VBTL 3 D&A - Leerwerkboek Meetkunde - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Meetkunde D&A-finaliteit

Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx CARTOONS Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

*

1

Dit boek bevat vier hoofdstukken vol meetkunde.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

1

Gelijkvormigheid

Definities vind je op een rode achtergrond.

Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.

Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

9 Samenvatting •

25

Hij nam de uitdaging aan en werkte als volgt.

Op de lijn die het midden van een van

Je weet hoe je de gelijkvormigheidsfactor bepaalt.

de zijden met de schaduw van de top ( A)

Je vindt de gelijkvormigheidsfactor door de lengte van een zijde van de tweede figuur te delen door

van de piramide verbindt, plaatste hij

de lengte van de overeenkomstige zijde in de eerste figuur.

•

Je weet dat de schaal overeenkomt met de gelijkvormigheidsfactor.

•

Je weet wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn.

een paaltje [ DE] zodat de schaduw van met de schaduw van de top van de piramide.

Hij mat de afstanden | KL |, | AM |, | AD |, | DE |

C′

A′ B

C

B′

C′ B

Driehoeksmeting

B′

HH

Z

H

Driehoeksmeting

A

23

W ISK U N DE & BO U W

De cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is het quotiënt van de aanliggende

nodig zijn, bereken dan het totale aantal meter hout dat de timmerman minstens zal verbruiken. De kleine

rechthoekszijde en de schuine zijde.

driehoeken zijn congruent.

= cos B

a

Z A

b

C

| AB | c aanliggende rechthoekszijde = = schuine zijde | BC | a

aanliggende rechthoekszijde b | AC | = = schuine zijde | BC | a 2,40 m

ZZZ

b Bereken de hoogte van de piramide als je weet dat :

ZZZ

| KL | = 114 m, | AM | = 96 m, | AD | = 3 m,

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

en | DE | = 2 m.

•

Je kunt de gelijkvormigheidskenmerken toepassen.

•

Je weet dat de verhouding van de omtrek van twee gelijkvormige figuren gelijk is aan de gelijkvormigheidsfactor.

Je weet dat de verhouding van de oppervlakte van twee gelijkvormige figuren gelijk is aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

•

E

D

De dakspanten van een huis zien eruit zoals op de onderstaande tekening. Als er in totaal 20 van deze spanten

= cos C

een even grote ingesloten hoek hebben.

•

M

Teken de twee gelijkvormige driehoeken waarmee Thales gewerkt heeft.

*

B

c

Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paar zijden een evenredigheid vormen en ze

Kenmerk 3:

a

b Cosinus van een scherpe hoek

zijn als twee hoeken van de tweede driehoek.

Z

4

cosinus

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee hoeken van de eerste driehoek even groot

Kenmerk 2:

K

A

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot zijn en hun overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.  in symbolen : ′ ′ , C ′ , B  =C =B =A A    A en ∆ ABC ∼ ∆ A′ B′ C′ ⇐⇒   | A′ B′ | | A ′ C′ | | B ′ C′ | A ′  = = =k  | AB | | AC | | BC | C

Kenmerk 1:

L

de top van dit paaltje precies samenviel

en berekende de hoogte | LC |.

in woorden :

Je kent en herkent de gelijkvormigheidskenmerken.

C

en wiskundige Thales uitgedaagd werd om de hoogte van een piramide te berekenen.

overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

•

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur.

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof. Je maakt dan gebruik van heuristieken.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen.

W ISK U N DE & G E SC H I E DE N I S Een legende vertelt dat de Griekse filosoof

Je weet wat gelijkvormige figuren zijn.

Gelijkvormige figuren zijn figuren waarbij de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de

•

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap.

De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

Wiskunde kent veel links met andere vakken.

We tonen zo’n link in een paars­gekleurd kadertje.

2

c Tangens van een scherpe hoek

Je weet dat de verhouding van het volume van twee gelijkvormige ruimtefiguren gelijk is aan de derde macht van de gelijkvormigheidsfactor.

tangens De tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde.

B 27

c

| AC | b overstaande rechthoekszijde = = = tan B aanliggende rechthoekszijde | AB | c

a

= tan C A

b

C

45°

________________________________________________

6,50 m 8,20 m

________________________________________________ ________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

44

| AB | overstaande rechthoekszijde c = = aanliggende rechthoekszijde | AC | b

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

24

Lisa en Pepper (haar hond) maken een tweedaagse tocht door de woestijn.

1 In de rugzak zit een grote waterfles. Tijdens de eerste dag drinkt Lisa van 4 1 het water in de fles en Pepper van wat er nadien nog in de fles zit.

3 1 Op dag twee drinkt Lisa van wat er dan nog rest in de fles.

3 Welk deel van de oorspronkelijke hoeveelheid blijft over voor Pepper?

119

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

141

4

Wat moet je kennen en kunnen ?

1

Om vierkantswortels te berekenen, kun je ook gebruikmaken van ICT.

2 Photomath

Met deze gratis app neem je een foto van de opgave, je typt ze in of je

Met deze gratis app neem je

noteert ze. Je ziet de oplossing. Je kunt tussenstappen opvragen door op

een foto van de opgave. Je kunt

de witte pijl in de blauwe cirkel te klikken. Nadien kun je ook een quiz

de opgave ook noteren door

genereren die je vragen stelt over wat je net hebt ingegeven.

een handig wiskundig klavier.

Toon Oplossingen.

13

 

Ik kan een gevraagde lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren.

14

 

❒

Ik ken het verband tussen gelijkvormigheid en schaal.

14

 

❒

Ik herken gelijkvormige ruimtefiguren.

15

 

❒

Ik ken de definitie van gelijkvormige driehoeken.

16

 

❒

Ik kan de gelijkvormigheidsfactor berekenen.

16

 

❒

Ik kan de gelijkvormigheidskenmerken afleiden.

17

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op de lengte van lijnstukken.

24

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op de oppervlakte van vlakke figuren.

25

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op het volume van ruimtefiguren.

25

 

❒

Gelijkvormigheid

Vaardigheden | Gelijkvormigheden en ICT Opdracht 1 : Teken met GeoGebra een driehoek ABC en een willekeurig punt O. •

3 Met de rekenmachine TI-30 √ 2nd 2nd

√

4

1

▶

enter

1

2

·

2

5

▶

enter

841 12,25

1

❒

Ik herken gelijkvormige figuren.

Klik op het icoontje voor homothetie en klik nadien op de getekende driehoek ABC en nadien op het punt O.

JE ZI E T

8

Gelijkvormigheid

dit moet ik leren

Meer uitleg nodig? Klik op

ik ken het !

Microsoft Math Solver

pagina

1

29 3,5

• •

Klas

Nummer

1

Meet nu alle hoeken van driehoek ABC en driehoek A’B’C’. Hiervoor volstaat het om te klikken op het

Gegeven :

•

Totaal

Punten

Orde / Stiptheid

Correctheid

…… / 3

D ABC is gelijkvormig met D XYZ. vul de tabel aan.

Geef ook alle lengtes van de zijden van beide driehoeken weer.

Ga na via het algebravenster dat de verhouding van de lengtes van overeenkomstige zijden steeds 2 is of geef

| AB |

| BC |

5,5 cm

3,8 cm

| AC |

8,4 cm

alle verhoudingen weer in het tekenvenster. Dit laatste kan als volgt:

2

A

B

44°

60°

| XY |

| YZ |

8,4 cm

C

X

Y

D ABC is gelijkzijdig. a

•

Datum

De gelijkvormigheidsfactor is k .

Gevraagd :

•

Gelijkvormigheid

Naam

Vul dan op het scherm dat zich opent als schaalfactor 2 in en klik op OK.

icoontje voor hoek en nadien te klikken binnen de twee driehoeken.

4 Met GeoGebra

1

HERHALINGSOEFENINGEN

2

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet.

Het computationeel denken doe je het best met de computer.

oké voor examen

De stelling van Pythagoras

Vaardigheden

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte.

Elk hoofdstuk sluit af met twee of drie pagina’s herhalingsoefeningen.

Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk.

Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets.

Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

| XZ |

k

11,4 cm

3

8,4 cm

0,7

Z

k

76°

2

A

Teken D CQP als je weet dat D CQP ∼ D ABC.

Geef de omtrek en de oppervlakte weer van beide driehoeken en noteer de verbanden die ertussen

…… / 2

P

bestaan.

63

49

C

b Teken ∆ XYZ als je weet dat ∆ XYZ ∼ ∆ ABC en

47

50

| XY | = 1,5. | AB |

B

Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder meetkunde …

Ingenieurs zouden niet kunnen berekenen hoeveel deze stalen constructie kan dragen. De bouwheer zou maar gokken hoe hoog de schans zou uitkomen en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de balustrade.

En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang je op de schans blijft en onder welke hoek je ‘gelanceerd’ wordt.

In dit boek glijden we op een realistische manier door de gelijkvormigheden en maken we kennis met misschien wel de bekendste stelling uit de wiskunde.

Inhoud

Meetkunde

1

Gelijkvormigheid 1 2 3 4 5 6 7 8

2

Instap ���������������������������������������������������������������������������������������������� 9 Gelijkvormige figuren �������������������������������������������������� 13 Lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren ����������������������� 14 Gelijkvormige ruimtefiguren ������������������������������� 15 Gelijkvormige driehoeken ������������������������������������� 16 Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken ������������������������������������������������������������������ 17 Toepassingen ���������������������������������������������������������������������� 22 Verhouding van de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren �������������������������������������� 24

Extra’s ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 47

De stelling van Pythagoras 1 2 3 4 5 6 7 8

De beroemdste stelling in de wiskunde ������������������������������������������������������������������� 55 De stelling van Pythagoras : meetkundige voorstelling ������������������������������������� 58 De stelling van Pythagoras bewijzen ��������� 60 Vierkantswortel ���������������������������������������������������������������� 62 Rationale en irrationale getallen ������������������ 64 Constructie van irrationale lengten ����������� 65 Problemen in het vlak oplossen met de stelling van Pythagoras ����������������������������������� 66 Toepassingen op de stelling van Pythagoras in ruimtefiguren ������������������������������� 70

3

Afstand in het vlak 1 2 3

4

Coördinaten �������������������������������������������������������������������������� 97 Afstand tussen twee punten : bijzondere gevallen ������������������������������������������������������ 98 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten in het vlak ������������������������������������������������������������������������������� 99

Extra’s .................................................................................................... 110

Driehoeksmeting 1 2 3 4 5 6 7

Driehoeksmeting ����������������������������������������������������������� 117 Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek ���������������������������������������������� 118 Verband tussen sinus, cosinus en tangens van een hoek ���������������������������������������������� 121 Berekening van goniometrische getallen met ICT ������������������������������������������������������������� 122 Helling en tangens ������������������������������������������������������� 123 Grondformule van de goniometrie ������������ 123 Meetkundige problemen oplossen met behulp van rechthoekige driehoeken ������������������������������������ 124

Extra’s ................................................................................................... 142

Oplossingen 148

Extra’s ...................................................................................................... 90

Trefwoordenregister 151

1

Gelijkvormigheid

Houten Russische poppetjes die netjes in elkaar passen : wij noemen ze matroesjka’s. Dit woord stamt af van een populaire Russische meisjesnaam, Matryona. Dat is op zijn beurt afgeleid van het Latijnse woord mater, wat ‘moeder’ betekent.

De eerste set poppetjes kwam er in 1890 en was bedoeld als kinderspeelgoed : een meubelmaker en schilder werkten hiervoor samen in opdracht van Savva Mamontov, een belangrijk industrieel met een groot hart voor kunst. Het waren acht poppetjes die in elkaar pasten : de moeder met haar kinderen, afwisselend een meisje en een jongen. Hij zou zijn inspiratie uit Japan gehaald hebben bij de Honshupoppen of Daruma-poppen.

De grootste set matroesjka’s bestaat trouwens uit 51 gelijkvormige figuren.

De grootste is bijna 54 cm hoog, de kleinste amper 0,31 cm.

1

Gelijkvormigheid 1 2 3

Instap .............................................................................................. 9 Gelijkvormige figuren ................................................... 13 Lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren ...................................................................... 14 4 Gelijkvormige ruimtefiguren ................................ 15 5 Gelijkvormige driehoeken ..................................... 16 6 Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken .................................................................. 17 7 Toepassingen ....................................................................... 22 8 Verhouding van de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren ....................................... 24 9 Samenvatting ....................................................................... 27 10 Oefeningen ............................................................................. 28

Extra’s

Vaardigheden : gelijkvormigheden en ICT ......... 47 Wat moet je kennen en kunnen ? .............................. 49 Herhalingsoefeningen .......................................................... 50

8

1

Gelijkvormigheid

1 Instap Voorbeeld 1 : vlinders

B

B′ C

D

C′

D′

Meet de lijnstukken [ BC], [ BD], [ B′C′] en [ B′D′].

| B ′ C′ | = | BC |

| B′ D′ | = | BD |

Kies nu zelf nog een vierde punt op de kleinste tekening en het corresponderende punt op de grote tekening.

Bereken nu zelf de verhouding van de overeenkomstige lijnstukken.

Wat besluit je hieruit ? __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ Op welke schaal is de kleine vlinder getekend ten opzichte van de grote ? __________________________________________________________________________________________________________

9

Voorbeeld 2 : matroesjka’s A′

A

D

C

D′

C′

B

B′ Meet de lijnstukken [ AB], [ A′B′], [ CD] en [ C′D′].

| A ′ B′ | = | AB |

| C′ D′ | = | CD |

Kies nu zelf nog twee punten op de ene tekening en de corresponderende punten op de andere tekening.

Bereken nu zelf de verhouding van de overeenkomstige lijnstukken.

Wat besluit je hieruit ? __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ Op welke schaal is de grote matroesjka getekend ten opzichte van de kleine ? __________________________________________________________________________________________________________

10

1

Gelijkvormigheid

Voorbeeld 3 : vierkantjes

A

C

B

A′

C′ B′

Meet de afstanden en bereken telkens de verhouding van de afstanden van de overeenkomstige lijnstukken.

Formuleer je bevindingen.

D′ ′ ′

|A B | = | AB |

| C′ D′ | = | CD |

D

__________________________________________________________________________________________________________ Op welke schaal is de kleinste tekening getekend ten opzichte van de grootste? __________________________________________________________________________________________________________

Voorbeeld 4 : hipster

Welke schaal wordt gebruikt om de tweede foto weer te geven ? __________________________________________________________________________________________________________ Verklaar je antwoord. __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

11

Voorbeeld 5: een vijfhoek C′ C

B

B′

D D′

A

A′

E

E′

′ A′ , AE ′ D′ , CDE ′ E′ .

A, C′ B D, A′ E en C′ D Meet de hoeken CB A = CB

D = AE

= CDE

′ A′ = C′ B

′ D′ = A′ E

′ E′ = C′ D

Besluit : __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ Bereken de verhouding van alle overeenkomstige zijden van de getekende veelhoeken.

| A ′ B′ | = | AB |

| D′ E′ | = | DE |

| B ′ C′ | = | BC | | E ′ A′ | = | EA |

| C′ D′ | = | CD |

Besluit : __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ De veelhoeken ABCDE en A′B′C′D′E′ worden gelijkvormig genoemd. Bemerk ook het verband met de schaal.

Wat is de schaal ?___________________________________________________________________________________________ 12

Gelijkvormigheid

2 Gelijkvormige figuren

© Mini-Europe

De gebouwen in Mini-Europa of Madurodam, speelgoedautootjes, bouwplannen en wegenkaarten : het zijn allemaal voorbeelden van schaalmodellen. We zeggen dat deze uitvoeringen gelijkvormig zijn met de oorspronkelijke figuren.

Alle lengten zullen met eenzelfde factor verkleind zijn, terwijl alle hoeken ongewijzigd zijn gebleven. gelijkvormige figuren Gelijkvormige figuren zijn figuren waarbij de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

B′

B 4

We stellen vast :

′ ; D ′ ; C ′ ′ ; B =C =B =D =A A

2 8

C

A 3

4

4 C′

A′

| A ′ B′ | | B ′ C′ | | C ′ D′ | | A ′ D′ | = = = =2 | AB | | BC | | CD | | AD | We noemen 2

D

de gelijkvormigheidsfactor.

6 8

We noteren :

ABCD ∼ A′B′C′D′ D′

Opmerkingen : –

Sommige figuren zijn altijd gelijkvormig. Zo zijn alle vierkanten gelijkvormig en ook alle cirkels zijn gelijkvormig met elkaar. Kun je nog andere voorbeelden vinden ?

–

De gelijkvormigheidsfactor wordt algemeen voorgesteld door k . Je vindt de gelijkvormigheidsfactor door de lengte van een zijde van de tweede figuur te delen door de lengte van de overeenkomstige zijde in de eerste figuur.

13

1

Samenhang gelijkvormigheid en schaal Madurodam is een bekende Nederlandse miniatuurstad in Den Haag, waar bijvoorbeeld de luchthaven van Schiphol wordt weergegeven op schaal 1:25. De oorspronkelijke gebouwen zijn steeds gelijkvormig met de schaalmodellen.

In Nieuwpoort vind je op de grote markt de grootste Belgische speciaalzaak van poppenhuizen en minia­turen, waar alles nagebouwd is op schaal 1:12 en 1:24.

© Madurodam

In The Small World kun je zelfs je eigen huis laten nabouwen. Je echte woning zal gelijkvormig zijn met het gekochte schaalmodel. De schaal komt steeds overeen met de gelijkvormigheidsfactor.

3 Lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren De onderstaande driehoeken zijn gelijkvormig. Om de ontbrekende maatgetallen x en y te berekenen, stellen we een tabel op. De hoekpunten van D ABC en D DEF schrijven we eerst in de juiste volgorde.

D ABC

| AB | = x

| BC | = 30

| AC | = 24

D DEF

| DE | = 16

| EF | = 40

| DF | = y

∆ ABC ∼ ∆ DEF =⇒

30 24 x = = 16 40 y

Om x en y te bepalen, lossen we volgende evenredigheden op : A

30 24 x 30 = = 40 y 16 40

hoofdeigenschap evenredigheden 40x = 16 · 30

x =

16 · 30 40

x = 12

C

y =

D B

40 · 24 30

y = 32

x 30

30y = 40 · 24

Dus : | AB | = 12 Dus : | DF | = 32

14

24

y 16

F 40

E

Gelijkvormigheid

4 Gelijkvormige ruimtefiguren G′

F′ E′ F

H′

′ ′ ′ ′ EFGH EFGH ∼ ′ ′ ′ ′ ABCD ABCD

T′ T ∼ ′ ′ ′ ′ ABCD ABCD

G

E

H A′

D

A

C′

B′

C

B

D′

T T′

B

C D

A

B′

A′

C′

D′

Met behulp van gelijkvormigheden kunnen we ook lengten van gelijkvormige ruimtefiguren berekenen.

Voorbeeld : Gegeven :

onderstaande piramiden zijn gelijkvormig.

Gevraagd :

bereken de lengte van de opstaande zijden van de piramide

T′ .

A′ B′ C′ D′

Oplossing :

T

We bepalen eerst de gelijkvormigheidsfactor :

T′ 12 cm

T ABCD

∼

T′ ′ ′ ′ ′ ABCD

| A′ B′ | 4 2 = = | AB | 6 3

Hiermee kunnen we de lengte van B

A 6 cm

C

D

C′

B′ A′

4 cm

D′

de opstaande zijde [ A′T′] bepalen.

| A′ T′ | =

2 2 · | AT | = · 12 cm = 8 cm 3 3

15

1

5 Gelijkvormige driehoeken

gelijkvormige driehoeken in woorden : Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot zijn en hun overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.

    

in symbolen :

∆ ABC ∼ ∆ A′ B′ C′

⇐⇒

   

′ ′ , C ′ , B =C =B =A A en | A ′ C′ | | B ′ C′ | | A′ B′ | = = =k | AB | | AC | | BC |

A A′

Voorbeeld :

B

C

In deze voorstelling zijn de zijden [ AB] en [ A′B′] overeenkomstige zijden,

net als [ BC] en [ B′C′] en ook [ AC] en [ A′C′].

′ overeenkomstige hoeken. ′ , B ′ , C en C en B en A We noemen A ′ ′

′

We noteren: ∆ ABC ∼ ∆ A B C

A

C We zeggen ook dat ∆ A B C en ∆ ABC schaalmodellen zijn van elkaar. ′ ′

B′

C′

A′

B

′

Opmerkingen : –

De constante verhouding tussen de overeenkomstige zijden noemen we de gelijkvormigheidsfactor of B′ C′ kortweg factor.

–

Uit de definitie volgt dat congruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn.

De verhouding van de overeenkomstige zijden is dan 1.

Praktische afspraak : Om de overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken gemakkelijk terug te vinden, spreken we af om de driehoeken zodanig te noteren dat de hoekpunten van de overeenkomstige hoeken in dezelfde volgorde staan.

In symbolen :

∆ ABC ∼ ∆ DEF

 =D

 A     =E

 B       16

=F

C | DE | | EF | | DF | = = | AB | | BC | | AC |

A F

D

C B

E

1

Gelijkvormigheid

6 Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken Om te bewijzen dat twee lijnstukken even lang zijn, kun je gebruikmaken van de congruentiekenmerken voor driehoeken.

Om te bewijzen dat twee lijnstukken evenredig zijn, kun je gebruikmaken van de gelijkvormigheidskenmerken.

Om aan te tonen dat twee hoeken gelijk zijn, kun je zowel gebruikmaken van de congruentiekenmerken als van de gelijkvormigheidskenmerken.

Als je moet aantonen dat twee driehoeken congruent zijn, kun je gebruikmaken van de congruentiekenmerken die je vorig schooljaar leerde: ZHZ, HZH, ZHH, ZZZ, 90°ZZ. Om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn, moeten we volgens de definitie zes gelijkheden aantonen.

Dat is veel ! In wat volgt zullen we aantonen dat een beperkt aantal goed gekozen gelijkheden volstaat om de gelijkvormigheid aan te tonen. kenmerk 1 : HH Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee hoeken van de eerste driehoek even groot zijn als twee hoeken van de tweede driehoek.

′ = A = 100 ◦ A ′ = B = 30 ◦ B . en C Gevraagd : Meet de hoeken C | A ′ B′ | | A ′ C ′ | | B ′ C′ | .

Bepaal de verhoudingen , en | AB | | AC | | BC | Wat leid je hieruit af ?

A

Gegeven :

Oplossing :

= C

′ = C

B

A′

B′

C C′

| A ′ B′ | = | AB |

| A ′ C′ | = | AC |

| B ′ C′ | = | BC |

17

Z

kenmerk 2 :

Z

H

Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paar zijden een evenredigheid vormen en ze een even grote ingesloten hoek hebben.

| A ′ B′ | | A ′ C′ | 1 = = | AB | | AC | 2

Gegeven :

B

′ = A = 40 ◦ A Gevraagd :

.′

C B ′,,C Meet en ,,B Meet de de hoeken hoekenB B enCC .

Oplossing :

Bepaal

| B ′ C′ | . Wat leid je hieruit af? | BC |

= B

B′

′ = B A

= C

C A′

C′

′ = C

| B ′ C′ | = | BC |

Wat leid je hieruit af ? __________________________________________________________________________________________________________

18

Gelijkvormigheid

Opgelet !

Bekijk grondig de onderstaande gegevens van D ABC en D A′B′C′ :

| AB | = 3 cm | AC | = 5 cm = 30 ◦ A a

| A′ B′ | = 6 cm | A′ C′ | = 10 cm ′ = 60 ◦ A

Teken twee driehoeken die aan deze voorwaarden voldoen.

b Zijn beide driehoeken gelijkvormig ? ____________________ c

Verklaar.

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ 19

1

Nog een doordenkertje : Bekijk grondig de onderstaande gegevens van D ABC en D A′B′C′ :

| AB | = 4 cm | BC | = 5 cm = 80 ◦ C a

| A′ B′ | = 6 cm | B′ C′ | = 7, 5 cm ′ = 80 ◦ C

Teken twee gelijkvormige driehoeken die aan deze voorwaarden voldoen.

b Teken twee niet-gelijkvormige driehoeken die aan deze voorwaarden voldoen.

20

1

Gelijkvormigheid

kenmerk 3 :

ZZZ ZZZ

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

| A′ B′ | | A′ C ′ | | B′ C′ | = = | AB | | AC | | BC |

Gegeven :

A

B A′

B′

C

C′

Gevraagd :

meet de hoeken.

Oplossing :

= A

= B

′ = A

′ = B

= C

′ = C

Wat leid je hieruit af ? __________________________________________________________________________________________________________

21

7 Toepassingen Toepassing 1: de lengte van een zijde in een driehoek berekenen B

Gegeven:

BC ⫽ DE

Gevraagd:

| AB | en | AE |

3

?

5

Oplossing: 2

Om de gevraagde afstanden te kunnen berekenen,

C

1 A

tonen we (steunend op de gelijkvormigheidskenmerken) ?

eerst aan dat de driehoeken gelijkvormig zijn.

In ∆ ABC en ∆ ADE geldt: 1 = A 2 A

B=D

 

overstaande hoeken verwisselende binnenhoeken bij BC DE en snijlijn BD



HH

E

=⇒ ∆ ABC ∼ ∆ ADE

4,5

6

D

Nu we weten dat beide driehoeken gelijkvormig zijn, stellen we de evenredigheid van de zijden op. Een handig hulpmiddel om de overeenkomstige zijden te herkennen, is de overeenkomstige hoeken in eenzelfde kleur aanduiden.

3

B

?

C

| AB | | BC | | AC | = = | AD | | DE | | AE |

5

3 5 | AB | = = 6 4,5 | AE |

1 A 2

| AB | 3 = 6 4,5

?

6

E

4,5

| AB | =

D

Antwoord :

| AB | = 4 en | AE | = 7,5

Controle :

3 4 = = 0,66 . . .

6 4,5

22

en

3 5 = = 0,66 . . .

4,5 7,5

en

6·3 = 4 en 4,5

3 5 = 4,5 | AE | | AE | =

4,5 · 5 = 7,5 3

Gelijkvormigheid

Toepassing 2 : de hoogte van een toren berekenen

Probleemstelling : E

De schaduw van een boom van 4,80 m is 3,84 m lang.

Op datzelfde ogenblik is de schaduw van een toren 28,80 m lang.

Bereken de hoogte van de toren.

Gegeven :

zie figuur

Gevraagd :

de hoogte van de toren

Oplossing : eerst zoek je naar twee gelijkvormige driehoeken.

In D ABC en D ADE geldt :

=A

A

B = D

gemeenschappelijke hoek =

90 ◦

C

HH

=⇒ ∆ ABC ∼ ∆ ADE

Uit de gelijkvormigheid leid je deze evenredigheid af :

| AB | | BC | = | AD | | DE |

3,84 4,8 = 28,8 | DE |

?

4,80 m

D

B

3,84 m A

28,80 m

3,84 · | DE | = 4,8 · 28,8

4,8 · 28,8 | DE | = 3,84

| DE | = 36

Antwoord :

de toren is 36 m hoog.

Controle :

4,8 3,84 = = 0,133 . . .

36 28,8

23

1

8 Verhouding van de omtrek, de oppervlakte en het volume van gelijkvormige figuren Voorbeeld : B′

De hiernaast afgebeelde

driehoeken ABC en A′B′C′ zijn gelijkvormig want :

| A′ B′ | | A′ C′ | | B′ C′ | = = =4 | AB | | AC | | BC |

10 cm 8 cm

B 5 cm 2 2 cm A

3 cm 2

C

A′

6 cm

De gelijkvormigheidsfactor van D A′B′C′ ten opzichte van D ABC is k = 4.

•

omtrek van ∆ ABC is 6 cm omtrek van ∆ A′ B′ C′ is 24 cm dus:

•

omtrek ∆ A′ B′ C′ 24 cm = = 4=k omtrek ∆ ABC 6 cm

3 cm2 2 oppervlakte van ∆ A′ B′ C′ is 24 cm2 oppervlakte van ∆ ABC is

dus:

24 cm2 oppervlakte ∆ A′ B′ C′ 2 = = 24 · = 16 = k 2 3 oppervlakte ∆ ABC 3 cm2 2

eigenschap • De verhouding van de omtrek van twee gelijkvormige driehoeken is gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor.

• De verhouding van de oppervlakte van twee gelijkvormige driehoeken is gelijk aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

24

C′

Gelijkvormigheid

1

De eigenschap geldt niet alleen voor gelijkvormige driehoeken, maar ook voor gelijkvormige veelhoeken. omtrek en oppervlakte gelijkvormige veelhoeken Als een veelhoek V gelijkvormig is met een veelhoek V′ en k is de gelijkvormigheidsfactor van V′ ten opzichte van V, dan geldt :

omtrek V′ oppervlakte V′ = k en = k2 omtrek V oppervlakte V

Voorbeeld : 2 cm

A

A′

B

B′

4 cm

2,5 cm

1,5 cm 4 cm

D

5 cm

3 cm

C

D′

C′

8 cm

De gelijkvormigheidsfactor k van de rechthoekige trapezium A′B′C′D′ ten opzichte van de rechthoekige trapezium ABCD is 2.

(4 + 2) · 1, 5 cm2 = 4, 5 cm2 2

omtrek ABCD = 10 cm

oppervlakte ABCD =

omtrek A′ B′ C′ D′ = 20 cm

oppervlakte A′ B′ C′ D′ =

omtrek A′ B′ C′ D′ =2=k omtrek ABCD

oppervlakte A′ B′ C′ D′ = 4 = k2 oppervlakte ABCD

(8 + 4) · 3 cm2 = 18 cm2 2

Je merkt dus dat de omtrek van A′B′C′D′ tweemaal zo groot is als de omtrek van ABCD.

De oppervlakte van A′B′C′D′ is viermaal zo groot als de oppervlakte van ABCD.

Volume van gelijkvormige figuren in de ruimte F′

G′

V E′ F′ G′ H′ = | A′ B′ | · | B′ C′ | · | C′ G′ | A′ B′ C′ D′

E′ F E

H′

= 8 · | AB | · |BC | · | CG |

= 23 · V( EFGH ) ABCD

G H

B′

B

= 2 · | AB | · 2 · |BC | · 2 · | CG |

De verhouding van beide volumes C′ wordt: V E′ F′ G′ H′

C

A′ B′ C′ D′

V( EFGH ) ABCD

= 23 = k 3

D′ A′ 4 cm

EFGH EFGH Het volume van de kubus A′ B′ C′ D′ is achtmaal zo groot als het volume van de kubus ABCD .

A

2 cm

D

′ ′

′

′

volume gelijkvormige ruimtefiguren Als een ruimtefiguur R gelijkvormig is met een ruimtefiguur R′ en k is de gelijkvormigheidsfactor

van R′ ten opzichte van R, dan geldt :

volume R′ = k3 volume R

25

Toepassing : Gegeven :

• Een piramide met top T en grondvlak ABC wordt gesneden door een vlak evenwijdig met het grondvlak. De doorsnede is de driehoek PQR.

• TA staat loodrecht op het grondvlak.

• De oppervlakte van D ABC is 18 cm2.

• | TP | = 6 cm • | PA | = 3 cm Gevraagd : Oplossing :

bereken de oppervlakte van D PQR. T

6 cm

Q P

1

1

R

B 3 cm

A

1

1

• In ∆ TRP en ∆ TCA geldt: =T

T =A

P

C T

gemeenschappelijke hoek = 90 ◦

HH

=⇒ ∆ TRP ∼ ∆ TCA

• PQ AB en QR BC en PR AC

| TP | | PR | = | TA | | AC |

6 cm

(1) P 3 cm

1 1 = A 1 en R 1 = C P

A

∆ PQR ∼ ∆ ABC

| PQ | | QR | | PR | (1) | TP | 6 2 = = = = = | AB | | BC | | AC | | TA | 9 3 De gelijkvormigheidsfactor van ∆ PQR ten opzichte van ∆ ABC is dus •

oppervlakte ∆ PQR = oppervlakte ∆ ABC

oppervlakte ∆ PQR =

2 2 3

4 · oppervlakte ∆ ABC 9

dus: oppervlakte ∆ PQR = 26

4 · 18 cm2 = 8 cm2 9

R

2 .

3

C

1

Gelijkvormigheid

9 Samenvatting •

Je weet wat gelijkvormige figuren zijn.

Gelijkvormige figuren zijn figuren waarbij de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

•

Je weet hoe je de gelijkvormigheidsfactor bepaalt.

Je vindt de gelijkvormigheidsfactor door de lengte van een zijde van de tweede figuur te delen door de lengte van de overeenkomstige zijde in de eerste figuur.

•

Je weet dat de schaal overeenkomt met de gelijkvormigheidsfactor.

•

Je weet wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn. in woorden :

A

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot zijn en hun overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.  in symbolen : ′ ′ , C ′ , B  =C =B =A A    A en ∆ ABC ∼ ∆ A′ B′ C′ ⇐⇒ ′ ′ ′ ′ ′ ′   |A C | | B C | A′ |A B |  = = =k  | AB | | AC | | BC | C

•

Je kent en herkent de gelijkvormigheidskenmerken.

Kenmerk 1:

C′

A′ B

C

B′

C′ B

B′

HH

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee hoeken van de eerste driehoek even groot zijn als twee hoeken van de tweede driehoek.

Kenmerk 2:

Z Z

H

Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paar zijden een evenredigheid vormen en ze een even grote ingesloten hoek hebben.

Kenmerk 3:

ZZZ ZZZ

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

•

Je kunt de gelijkvormigheidskenmerken toepassen.

•

Je weet dat de verhouding van de omtrek van twee gelijkvormige figuren gelijk is aan de gelijkvormigheidsfactor.

•

Je weet dat de verhouding van de oppervlakte van twee gelijkvormige figuren gelijk is aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

•

J e weet dat de verhouding van het volume van twee gelijkvormige ruimtefiguren gelijk is aan de derde macht van de gelijkvormigheidsfactor.

27

10 Oefeningen Vul volgende tabel aan.

SCHAAL

AFMETING OP DE TEKENING

1:50 000

3 cm

WERKELIJKE AFMETING

1:1 250 000

80 km 5 cm

50 km

2,5 cm

750 m

250:1

0,001 mm

1250:1

Bereken de werkelijke afstand tussen …

Oosterschelde

Wes te

NEDERLAND

rsch

NOORDZEE

Turnhout

lde

schaal

Halle

Tournai (Doornik)

Ath (Aat)

Ze

nn

e

te Ne

VlaamsBrabant

Tienen

Wavre (Waver)

Waals-Brabant

Soignies

Henegouwen (Zinnik)

Charleroi

Sc

Thuin am

__________________________________________________

Philippeville

Le

ss

Verviers

Ro

Luik Am

blè

Viroin

W ar ch

e

ve

O

Bastogne (Bastenaken)

ur

Clervaux

Luxemburg

Sû

Neufchâteau

Charleville-Mézières

Sem

M

eu

FRANKRIJK ____________________________________________________________________________________

re

O ur Diekirch S

GROOTH. ûre LUXEMBURG

ois

Grevenmacher

se

Arlon (Aarlen)

(M aa s)

Virton

Luxembourg (Luxemburg) Esch-sur-Alzette M

oe

ze

____________________________________________________________________________________ c

Kortrijk - Tienen _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________

28

er

Marche-enFamenne

e

__________________________________________________ b Ieper - Verviers

as Ma Huy (Hoei)

Dinant Maas

(S

r)

(Vesde Liège dre (Luik) Ves

e

e

r ke Je Waremme (Borgworm)

th

m Sa

br

Namen

Düren Aachen (Aken)

ur

Brugge - Bastenaken

Maastricht Tongeren

Namur (Namen) Bocq

)

Hasselt

O

a

Samber

(Bergen)

he

lde

Haine (Hene) Mons

r be

Méhaigne

Nivelles (Nijvel)

1:1 600 000 Valenciennes

D em er

x

Lille (Rijsel)

Leuven Brussel (Bruxelles) Hoofdstad

you

L

eie

Vilvoorde

DUITSLAN

Ho

Sc Mouscron (Moeskroen)

Mechelen er D ij le D e m

me

Oudenaarde

Maaseik

Limburg G e te

de

Aalst

l

Lom

l he

pe

helde Dendermonde

Oost- Sc Vlaanderen

D

Mönchengla

er

Kortrijk

Ru

Krefeld

s

Ro

Ieper

e

nd

Roeselare

Lei

Mandel

er

WestTielt Vlaanderen

IJzer

Durme

Gent

Diksmuide

Calais

Sc

Sint-Niklaas

Veurne

aa

Antwerpen

he

Eeklo

De

Dunkerque (Duinkerken)

M

Antwerpen

Oostende

Brugge

D

Eindhoven

elde

Mo

2

160 cm

l

1

Gelijkvormigheid

3

Teken deze rechthoek : a

A

B

D

C

op schaal 1:2

b op schaal 1:4

4

Op welke schaal is deze badkamer getekend?

90

200

__________________________________________

170

__________________________________________

60

35

__________________________________________

35

50

310

5

Een vlinder van 3,5 cm lang werd op een foto uitvergroot en heeft zo een lengte van 14 cm.

Op welke schaal is deze vlinder weergegeven? __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

6

Nadat hij deze spin gebouwd heeft, meet Lucas de lengte van de spin.

Hij meet 28 cm. De werkelijke lengte van het diertje is slechts 4 cm.

Welke schaal zal Lucas op de doos van deze modelspin terugvinden ? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 29

1

7

Schaal en ruimtefiguren.

F′

F

G

E

H

4

B

E′

H′

12

C 6

A

G′

8

B′

D

C′

18 A′

a Hoeveel keer zijn de afmetingen van de balk

EFGH ABCD

24

D′

vergroot?

__________________________________________________________________________________________________________ b Bereken :

oppervlakte A′ E′ H′ D′ oppervlakte AEHD

c

volume grote balk volume kleine balk

Welke besluiten trek je hieruit?

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

30

Gelijkvormigheid

8

T

D′

4

C′ 4

4 E′

B′

4 4

A′

F′

4

D

8

C

8 8 E B 8 8 8

A

a

Op welke schaal is de regelmatige piramide

T A′ B′ C′ D′ E′ F′

F

getekend ten opzichte van

T ABCDEF

?

_______________________________________________________________________________________________________ b Als je weet dat de oppervlakte van ABCDEF vier keer zo groot is als de oppervlakte van A′B′C′D′E′F′, wat is dan T

en dat van de piramide A′ B′ CT′ D′ E′ F′ ? het verband tussen het volume van de piramide ABCDEF _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ c

Geef hiervoor een verklaring. _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________

31

1

9

Zijn volgende figuren gelijkvormig ? Verklaar. e

a

6

5 3

48°

4

8 3 48°

8

6 ______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

b

f

5 2 9

6,5

4

4

4 6,5 ______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________ g

c 4

40°

5 8

40°

7 5

6

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________ h

d

3 70°

3 70° 2

35° 35°

32

60°

60°

4,5

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Gelijkvormigheid

10

Verklaar waarom volgende figuren al dan niet gelijkvormig zijn. f

a

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

b

g

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

c

h

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

d

FF

GG

EE

HH

EE′′

CC

BB AA

A′ A′

DD

FF′′

BB′′

GG′′

HH′′

CC′′

DD′′

_____________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________ F′

e

G

F

G

HF

E E

E′

F′

H′

C

D

B

B′

C

C′ B′

C′

D′ A′ D′ _____________________________________________________________________________________________________ A

D

A′

G′

H′

H B

A

E′

G′

_____________________________________________________________________________________________________ 33

1

11

Teken een figuur die gelijkvormig is met de gegeven figuur. Er is telkens al één zijde getekend.

A′ A

B

D

C

B′

U

E

F

E′

F′

V

W

X

Z

Y

V′

U′

H

G K′

I

J′ K

J L

34

M

N

O

P

Q

R

S

T

S′

T′

Gelijkvormigheid

12

a Teken een driehoek XYZ als je weet dat deze driehoek gelijkvormig is met driehoek ABC en als de gelijkvormigheids­factor 2 is.

X

B A C b Construeer een vierkant KLMN als je weet dat het vierkant gelijkvormig is met het vierkant ABCD en als de gelijkvormigheidsfactor 0,4 is.

c

13

A

B

D

C =K

Construeer een rechthoek RSTU als je weet dat de rechthoek gelijkvormig is met ABCD en als 4 de gelijkvormigheidsfactor is.

3 A

B

D

C

R

Wat gebeurt er met de omtrek en de oppervlakte van een vlakke figuur bij een gelijkvormigheid als de gelijkvormigheidsfactor …

a . . . 2 is ?

b ...

c

1 is ?

2

. . . gelijk is aan 1 ?

35

1

14

a Teken de rechthoek ABCD op schaal 1: 2. Noem de nieuwe rechthoek AFGH. Wat is de gelijkvormigheidsfactor van ABCD t.o.v. AFGH ?__________________________________________________ A

B

D

C

b Teken de rechthoek ABCD op schaal 1: 3. Noem de nieuwe rechthoek AKLM. _______________________________________________________________________________________________________ Wat is de gelijkvormigheidsfactor van ABCD t.o.v. AKLM ? _______________________________________________________________________________________________________ Wat is de gelijkvormigheidsfactor van AFGH t.o.v. AKLM ? _______________________________________________________________________________________________________ c Teken hiernaast de rechthoek ABCD op schaal 1: 4.

Noem de nieuwe rechthoek PQRS.

d Wat gebeurt er in elk van de gevallen met de omtrek en met de oppervlakte van de oorspronkelijke rechthoek ?

Maak gebruik van onderstaande tabel.

RECHTHOEK OP SCHAAL

LENGTE

BREEDTE

OMTREK

OPPERVLAKTE

1:1 1:2 1:3 1:4 Kun je dit veralgemenen ? e Vul aan : als de afmetingen van een rechthoek n keer verkleind worden, dan zal de oppervlakte_______________ ___________________________________________ en de omtrek ___________________________________________ zijn.

36

Gelijkvormigheid

*

15

Juist of Fout ? Verklaar ! a

Alle gelijkzijdige driehoeken zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ b Alle gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ c

Alle rechthoeken zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ d De twee driehoeken bepaald door een diagonaal van een parallellogram zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ e

Alle ruiten zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ f De twee driehoeken die bepaald worden door de hoogte uit de top van een gelijkbenige driehoek te tekenen, zijn gelijkvormig.

Juist

Fout

_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________

16

Teken een driehoek die gelijkvormig is met D ABC en waarvan k de gelijkvormigheidsfactor is. a

D ABC ∼ D A′B′C′ en k = 2 B

A

C

37

1

b ∆ ABC ∼ ∆ PQR en k = B

2 3

C

A

c

∆ ABC ∼ ∆ PQR en k = 1 B

A

C

=X = 40 ◦ , B =Y = 60 ◦ d ∆ ABC ∼ ∆ XYZ, A 3 en k = 4 C

40°

A

60° B *e

=X = 60 ◦ ∆ ABC ∼ ∆ XYZ en A | AB | | AC | 3 en = = | XY | | XZ | 2 A 60°

C

38

B

Gelijkvormigheid

17

Gegeven :

D ABC ∼ D A′B′C′

Gevraagd :

vul de tabel aan.

[ AB] en [ A′B′]; [ BC] en [ B′C′]; [ AC] en[ A′C′] zijn overeenkomstige zijden.

| AB |

| AC |

| BC |

a

3

2

4

b

1,5

3

2

c

8

18

2,3

4

2

3,7

| A′ C′ |

| B′ C′ |

| A′ B′ | | AB |

=k

3

4 6

√

d e

| A′ B′ |

√

2 5

3

5

3

√

3 1

Van twee gelijkvormige driehoeken ABC en QRP is gegeven :

=Q A | AB | = 4 | QR | = 8

=R

B | PQ | = 6 | PR | = 5

Bereken | BC | en | AC |.

*

19

Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek vormt met de andere twee zijden een driehoek die gelijkvormig is met de eerste driehoek.

Maak een duidelijke tekening en bewijs die eigenschap.

________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

39

1

20

Op onderstaande tekening is BC ⫽ PQ. Noteer welke driehoeken gelijkvormig zijn (verklaar) en bereken telkens de gevraagde lengte(n). a

A 3 x

Q

P

2 C

7

B

b P

Q 3

2

A

C x

B

c

C 4 Q x A

5

8

3 P y B

40

Gelijkvormigheid

d C

6 S

P

2

3

B

x

Q

e

B

C

6

8

x

P

6

Q

*f

A

x

30

60 Q y

C

P 20

B

41

1

*

21

Verklaar waarom de volgende driehoeken gelijkvormig zijn. a

b A A D D

C

B

E C

22

7

B

3,5

E

Een weg stijgt 50 m over een afstand van 1,2 km. In de veronderstelling dat de weg overal dezelfde helling heeft, bereken dan : a

de afstand die je moet afleggen om 15 m

b de afstand die je hebt afgelegd als je 30 m

te stijgen ;

42

bent gestegen.

Gelijkvormigheid

23

De hoeken van een driehoek zijn gelijk aan die van een andere driehoek. De zijden van de ene driehoek zijn 4 cm, 5 cm en 6 cm. De omtrek van de andere driehoek is 30 cm. Bereken de lengte van de zijden van de tweede driehoek.

___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________

24

Het parallellogram ABCD is gelijkvormig met het parallellogram PQRS. Bereken de oppervlakte van beide parallellogrammen.

B

C Q

3 cm P A

5 cm

D

2 cm

R S

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

43

1

25

W ISK U N DE & G E SCH I E DE N IS C

Een legende vertelt dat de Griekse filosoof en wiskundige Thales uitgedaagd werd om de hoogte van een piramide te berekenen.

Hij nam de uitdaging aan en werkte als volgt.

Op de lijn die het midden van een van de zijden met de schaduw van de top ( A) van de piramide verbindt, plaatste hij een paaltje [ DE] zodat de schaduw van

L

de top van dit paaltje precies samenviel met de schaduw van de top van de piramide.

Hij mat de afstanden | KL |, | AM |, | AD |, | DE |

K

M

en berekende de hoogte | LC |.

a

E

Teken de twee gelijkvormige driehoeken waarmee Thales gewerkt heeft.

D A

b Bereken de hoogte van de piramide als je weet dat :

| KL | = 114 m, | AM | = 96 m, | AD | = 3 m, en | DE | = 2 m.

________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

44

Gelijkvormigheid

26

D ABD is gelijkvormig met D PQR. Bereken de omtrek en de oppervlakte van D ABC.

R

A 6

Q

P

8

C

D 12

B ____________________________________________________

27

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

___________________________________________________

____________________________________________________

Noteer welke driehoeken gelijkvormig zijn (verklaar) en bepaal telkens de grootte van x . a

D

*b

A

18 A

8

C

x

12

8

6

D

10

x

B C

4

E

B

45

1

28

De papierformaten zijn voor een groot deel gestandaardiseerd. De formaten worden onder andere aangegeven met A0, A1, A2, A3, A4 enz. De formaten voldoen aan volgende afspraken : – –

–

alle formaten zijn gelijkvormig ; de lengte van een formaat is gelijk aan de breedte van het grotere formaat ;

Voorbeeld : lengte van A1 = breedte van A0, lengte van A2 = breedte van A1 … de oppervlakten van de formaten liggen vast (zie tabel hieronder).

FORMAAT OPPERVLAKTE

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

1 m2

1 2 m 2

1 2 m 4

1 2 m 8

1 m2 16

1 m2 32

1 m2 64

Dat betekent dat je een blad A3 verdeelt in twee bladen A4 door het in de breedte te halveren.

Als we dit schematisch voorstellen, zien we :

A2

A1 A6 A5 A3 A4

a

Zoek de verhouding van de lengte en de breedte van de formaten. Doe dit door een blad met A4-formaat te meten. _______________________________________________________________________________________________________

b Probeer nu de verhouding van lengte en breedte van een vel te berekenen zonder te meten.

Tip : aangezien alle formaten gelijkvormig zijn, zijn de verhoudingen van lengtes en breedtes gelijk.

Als de lengte van een formaat l is en de breedte b , dan is de lengte van het volgende formaat b en de breedte l : 2. _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ c Bereken met de verhouding uit oefening b de lengte en de breedte van een A3-blad. _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________

29

In een doos zitten 7 pakjes zoute chips, 8 pakjes paprikachips, 9 pakjes Grills gerookt en 10 pakjes Grills met picklessmaak. Loïc legt nog extra zakjes zoute chips in de doos. Als je nu een willekeurig zakje chips uit de doos haalt, is de kans op een zakje Grills 1 op 2. Hoeveel zakjes zoute chips legde Loïc extra in de doos? _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ 46

Gelijkvormigheid

Vaardigheden | Gelijkvormigheden en ICT Opdracht 1 : Teken met GeoGebra een driehoek ABC en een willekeurig punt O. •

Klik op het icoontje voor homothetie en klik nadien op de getekende driehoek ABC en nadien op het punt O.

•

Vul dan op het scherm dat zich opent als schaalfactor 2 in en klik op OK.

•

Meet nu alle hoeken van driehoek ABC en driehoek A’B’C’. Hiervoor volstaat het om te klikken op het icoontje voor hoek en nadien te klikken binnen de twee driehoeken.

•

Geef ook alle lengtes van de zijden van beide driehoeken weer.

•

Ga na via het algebravenster dat de verhouding van de lengtes van overeenkomstige zijden steeds 2 is of geef alle verhoudingen weer in het tekenvenster. Dit laatste kan als volgt:

•

Geef de omtrek en de oppervlakte weer van beide driehoeken en noteer de verbanden die ertussen bestaan.

47

1

Opdracht 2 : Voer een afbeelding van een bloem in.

Teken een willekeurig punt O.

1 Neem als schaalfactor .

2 Merk op dat je de oorspronkelijke afbeelding van het bloempje ook nog kunt verkleinen of vergroten (versleep de twee getekende punten bij de figuur).

Opdracht 3 : Neem of zoek een foto van je lievelingsdier en vergroot deze foto anderhalve keer.

Opdracht 4 : Teken met 3D een kubus en een punt O. •

Open het 3D-tekenvenster, klik op het icoontje voor kubus en klik tweemaal in het xOy-vlak.

Er wordt een kubus getekend.

•

Klik op homothetie en klik op de getekende kubus en nadien op O.

•

Vul als schaalfactor 2 in.

Kijk in het algebravenster en ga na wat het verband is tussen de volumes van de twee getekende kubussen.

48

13

 

❒

Ik kan een gevraagde lengte berekenen in gelijkvormige vlakke figuren.

14

 

❒

Ik ken het verband tussen gelijkvormigheid en schaal.

14

 

❒

Ik herken gelijkvormige ruimtefiguren.

15

 

❒

Ik ken de definitie van gelijkvormige driehoeken.

16

 

❒

Ik kan de gelijkvormigheidsfactor berekenen.

16

 

❒

Ik kan de gelijkvormigheidskenmerken afleiden.

17

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op de lengte van lijnstukken.

24

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op de oppervlakte van vlakke figuren.

25

 

❒

Ik kan het effect bepalen van schaalverandering op het volume van ruimtefiguren.

25

 

49

WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?

Ik herken gelijkvormige figuren.

oké voor examen

❒

dit moet ik leren

ik ken het !

Gelijkvormigheid

pagina

1

HERHALINGSOEFENINGEN

1

Gelijkvormigheid

Naam

Klas

1

Nummer

Datum

Totaal

Punten

Orde / Stiptheid

Correctheid

…… / 3

Gegeven : D ABC is gelijkvormig met D XYZ. De gelijkvormigheidsfactor is k .

Gevraagd :

vul de tabel aan.

| AB |

| BC |

5,5 cm

3,8 cm

| AC |

8,4 cm

2

A

B

44°

60°

| XY |

| YZ |

8,4 cm

C

X

Y

D ABC is gelijkzijdig. a

| XZ |

k

11,4 cm

3

8,4 cm

0,7

Z

k

76°

2

A

Teken D CQP als je weet dat D CQP ∼ D ABC.

…… / 2

P

C

b Teken ∆ XYZ als je weet dat ∆ XYZ ∼ ∆ ABC en

50

| XY | = 1,5. | AB |

B

1

Gelijkvormigheid

3

…… / 4

Bepaal telkens de grootte van x en y als D ABC ∼ D A′B′C′. a

b A

A′ A′

9

8

4,5 C′

C

x

A

y 4

B′

7,5 5

x

B

12,5

C

4,5

B C′

y

B′

4

De schaduw van een boom is op een bepaald ogenblik 20 m lang.

…… / 2

Op hetzelfde ogenblik heeft een stok van 1,5 m een schaduw van 2 m.

Hoe hoog is de boom ? Verklaar. ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________

51

5

Gegeven :

…… / 2

recht prisma

snijvlak A′B′C′D′ evenwijdig met ABCD

A 6

afmetingen : zie tekening Gevraagd :

bereken de oppervlakte van A′B′C′D′.

___________________________________________________

B

A′

B′

E 8

___________________________________________________ D ___________________________________________________

___________________________________________________

C

D′

___________________________________________________ F

C′

6

2

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________

6

…… / 2

Een piramide wordt gesneden door een vlak, evenwijdig met het grondvlak.

Bepaal alle gelijkvormige driehoeken.

D

__________________________________________________________________________ B′

__________________________________________________________________________ A′

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

C′ B C

A

__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ 52

2

De stelling van Pythagoras

Wiskunde vind je overal : ook in de groente­afdeling van je plaatselijke supermarkt. Deze romanesco, ­genoemd naar de Italiaanse omschrijving ‘broccoli uit Rome’, is inderdaad familie van de broccoli en de bloemkool.

Voordat je deze kool opeet, moet je eerst nauw­gezet kijken naar de prachtige opbouw. Je ziet namelijk een voorbeeld van een fractaal, een meetkundige figuur die bestaat uit kleinere, ­ongeveer gelijkvormige figuurtjes met veel oog voor detail.

Dankzij de stelling van Pythagoras maak je ­kennis met een pythagorasboom, die zal leiden tot zo’n fractaal.

2

De stelling van Pythagoras 1

De beroemdste stelling in de wiskunde ................................................................... 55 2 De stelling van Pythagoras : meetkundige voorstelling ...................................... 58 3 De stelling van Pythagoras bewijzen ......... 60 4 Vierkantswortel ................................................................. 62 5 Rationale en irrationale getallen ................... 64 6 Constructie van irrationale lengten ............ 65 7 Problemen in het vlak oplossen met de stelling van Pythagoras .................................... 66 8 Toepassingen op de stelling van Pythagoras in ruimtefiguren ................................ 70 9 Samenvatting ....................................................................... 73 10 Oefeningen .............................................................................. 74

Extra’s

Vaardigheden : het doolhof van Pythagoras ................................ 90 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................... 91 Herhalingsoefeningen .......................................................... 92

54

3

Afstand in het vlak

Megaboerderijen vind je in Amerika en Rusland, waar graan en gerst worden geoogst op duizenden hectares.

Voor een sproeimachine is het dus erg belangrijk dat de afstanden correct worden ingeschat.

Het is immers belangrijk om geen plekje over te slaan, zodat de kwaliteit van de oogst overal dezelfde is.

3

Afstand in het vlak 1 2 3 4 5

Coördinaten ........................................................................... 97 Afstand tussen twee punten : bijzondere gevallen ...................................................... 98 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten in het vlak ............................................................................... 99 Samenvatting .................................................................... 101 Oefeningen .......................................................................... 102

Extra’s

Vaardigheden : wiskundige woordenschat .... 110 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 112 Herhalingsoefeningen ........................................................ 113

96

4

Driehoeksmeting

Een zwoele zomeravond eindigt soms met een regenbui, voorzien van een onweer. Eerst zie je de bliksem. Dat is een bundeling van elektriciteit, tot wel 100 000 volt. Na enkele seconden hoor je de donder.

Als je je net onder zo’n ­natuurfenomeen bevindt, krijg je ze op hetzelfde moment voorgeschoteld. In het andere (veel veiligere) geval kan driehoeksmeting een oplossing bieden om de afstand te bepalen waarop het onweer zich bevindt.

Stel : je kijkt naar de bliksem onder een hoek van 60°. De bliksem wordt vier seconden later ­gevolgd door enkele donderslagen. Als je weet dat de snelheid van het geluid 330 m/s is, kun je de hoogte berekenen waarop de bliksem start.

4

Driehoeksmeting 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Driehoeksmeting ........................................................... 117 Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek ......................................................... 118 Verband tussen sinus, cosinus en tangens van een hoek .............................................. 121 Berekening van goniometrische getallen met ICT .............................................................. 122 Helling en tangens ....................................................... 123 Grondformule van de goniometrie ............ 123 Meetkundige problemen oplossen met behulp van rechthoekige driehoeken ..................................... 124 Samenvatting .................................................................... 129 Oefeningen .......................................................................... 130

Extra’s

Vaardigheden : probleemoplossend denken en voetbal ............................................................................. 142 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 144 Herhalingsoefeningen ....................................................... 145

116