Tips bij het herkennen en toepassen van heuristieken
KE U RE
Om een wiskundig probleem met behulp van een heuristiek op te lossen, ga je als volgt te werk. Maak een plan
mathematiseren
IE
controleer
demathematiseren
Los het probleem op
R
D
Kijk terug en reflecteer
heuristiek bepalen
Stap 1 Begrijp het probleem Herformuleer wat je precies moet doen?
AA
Los’t op! wil een houvast bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. We kozen 9 algemene heuristieken waarbij we tips meegeven om de oplossingsmethode te herkennen en toe te passen. Bij elke heuristiek geven we telkens een voorbeeld. Via de QR-code naast de heuristiek kom je bij een lesvideo die de heuristiek verduidelijkt.
Begrijp het probleem
IN KI JK
EX
EM
PL
Om een probleem op te lossen kunnen één of meerdere heuristieken uit de steekkaarten gebruikt worden. Omdat het vaak ook mogelijk is om een probleem op verschillende manieren op te lossen, vind je via de QR-code in de reflectiefase alternatieve oplossingsmethodes voor het probleem.
Heuristiek komt van het Griekse ‘heuriskein’ (εὑρίσκειν) = vinden. Een heuristiek is een manier om iets te vinden. ~ ‘Eureka!’ (εὕρηκα εὕρηκα) = Ik heb het gevonden!
Stap 2 Maak een plan Welke heuristiek zal je gebruiken? Een heuristiek is een mogelijke aanpak om een probleem op te lossen. Stap 3 Los het probleem op Los het probleem op met behulp van de gekozen heuristiek. Stap 4 Kijk terug en reflecteer Noteer een antwoordzin zodat je een antwoord formuleert op de gestelde vragen. Denk ook kritisch na en controleer je antwoord.
KE U
RE
Hoe lossen we een probleem op? De vier stappen helpen je om een probleem op te lossen. We geven bij elke stap enkele tips en tricks.
Begrijp het probleem
IE
Stap 1
R
D
Voor je een plan opstelt, moet je het probleem goed begrijpen. Lees en herlees de opgave. Noteer de gegevens en bepaal wat gevraagd wordt.
AA
Wat valt er op?
EX
EM
PL
Het gegeven verduidelijken. • Zoek belangrijke gegevens in de tekst. • Herken grootheden en eenheden. Bv. lengte, massa, tijd, meter, kilogram, uur … • Kijk of een tekening of afbeelding extra informatie geeft.
IN KI JK
Het gevraagde begrijpen. • Let op vraagwoorden zoals: hoeveel, hoe groot, hoe lang, hoe oud, hoe zwaar … • Let op werkwoorden zoals: bereken, bepaal, bewijs, verklaar … • Kijk of je moet vergelijken of koppelen. Bv. Wie is groter? Wie hoort bij? Wanneer zijn ze even oud?
Wat kan je doen?
Ga na of je het probleem begrijpt. • Zorg dat je alle woorden begrijpt. • Herformuleer het probleem in je eigen woorden. Duid het gegeven en het gevraagde aan. Gebruik twee kleuren. Is er voldoende informatie om een oplossing te vinden? Zijn er voorwaarden? Welke informatie is (on-)belangrijk? Plaats het gegeven en het gevraagde op een tekening, in een schema, in een tabel …
KE U RE
Maak een plan
IE
Stap 2
R
D
Als je het probleem begrijpt, kun je nadenken hoe je het probleem gaat aanpakken. Welke heuristieken kan ik gebruiken? Overloop de heuristieken en denk na of je die kan gebruiken.
AA
Tips bij toepassen
IN KI JK
EX
EM
PL
Heb ik al eerder zo’n probleem opgelost? Kan ik een figuur, schema, lijst, grafiek, tabel of een diagram maken? Herken ik een patroon of regelmaat? Kan ik een wiskundige rekenregel, eigenschap of formule gebruiken? Kan ik het probleem oplossen met behulp van een onbekende? Kan ik het probleem vereenvoudigen? Is het op te splitsen in deelproblemen? Kan ik concrete of bijzondere gevallen uitwerken? Ken ik een gelijkaardig probleem? Kan ik omgekeerd (van achter naar voor) te werk gaan? Kan ik alle mogelijkheden opschrijven en elimineren? Kan ik een voorwaarde weglaten? Kan ik enkele (getal)voorbeelden uitwerken?
KE U RE
Stap 4
Los het probleem op
Kijk terug en reflecteer
IE
Stap 3
Als je een oplossing gevonden hebt, moet je altijd kritisch nadenken over je antwoord en je antwoord controleren.
AA
R
D
Nu je een heuristiek gekozen hebt, kun je starten met het probleem wiskundig op te lossen.
PL
Tips bij toepassen
IN KI JK
EX
EM
Volg de oplossingsmethode die je koos bij stap 2. Werkt de heuristiek goed of niet goed? Heb je nauwkeurig gewerkt? Heb je elke stap juist uitgevoerd? Heb je tussenstappen genoteerd?
Tips bij toepassen Heb je een antwoord op de vraag gevonden? Is mijn resultaat realistisch, klopt het met de context? Zijn alle voorwaarden voldaan? Gebruikte je de juiste formule? Is het resultaat correct? Heb je een rekenfout gemaakt? Heb je correcte eenheden en de juiste omzettingen gedaan? Waar liep je vast? Hoe loste je dat op? En wat kan ik daaruit onthouden voor een volgend probleem? Kon ik de oefening anders/sneller oplossen?
Stap 2
D
Begrijp het probleem
EM
PL
AA
Uit de tekst: haal ik "vullen met water: 12 liter per minuut". Ik weet dat een inhoud van 1 l water overeenkomt met 1 dm³, 90% vol betekent: 0,9 maal inhoud. Ik lees "Hoelang duurt..." dus moet ik een tijd bepalen en zal ik een antwoord moeten geven in minuten (of uur).
IN KI JK
EX
Uit de afbeelding: haal ik de afmetingen van het zwembad. Ik zet die best om naar dezelfde eenheid. Kies dm omwille van de omzetting later van dm3 naar liter. l = 500 cm of 50 dm b = 200 cm of 20 dm h = 1,5 m of 15 dm
Maak een plan
Plaats het gegeven en het gevraagde op een figuur.
Ik zal een formule moeten gebruiken voor de inhoud van een balk: V = l · b · h Ik zal eerst de inhoud van het zwembad berekenen en daarna 90% van die inhoud bepalen. Ik zal de inhoud van het gevulde zwembad (in liter) moeten delen door het debiet, dus door 12 liter per minuut, om de tijd te kennen. Ik maak gebruik van de heuristiek: gebruik een wiskundige rekenregel, eigenschap of formule.
R
Stap 1
Markeer het gegeven en het gevraagde.
IE
Hiernaast zie je de verpakking van het zwembad dat we gekocht hebben om in onze tuin te plaatsen. Hoelang duurt het om het zwembad voor 90% te vullen als er 12 liter water per minuut uit de tuinslang komt?
KE U RE
Voorbeeld
Los het probleem op
R
De inhoud van dit zwembad bepalen: V=l·b·h V = 50 dm · 20 dm · 15 dm V = 15 000 dm³
Noteer elke stap op een nieuwe regel Zorg dat de gegevens in dezelfde eenheid staan.
PL
AA
Tip
1 liter = 1 dm³
90% van de inhoud van het zwembad bepalen: I = 0,9 · 15 000 l = 13 500 l
90% = 0,9
De tijd berekenen die nodig is om het zwembad te vullen: 13 500 l : 12 l/min = 1 125 min (1125 : 60) uur = 18,75 uur 18,75 uur = 18 uur 45 minuten
1 uur = 60 minuten 0,75 uur = 45 minuten
EX
EM
De inhoud van dit zwembad omzetten in liter: V = 15 000 dm³ = 15 000 l
IN KI JK
Plaats het gegeven en het gevraagde op een figuur.
D
Stap 3
Markeer het gegeven en het gevraagde.
IE
Hiernaast zie je de verpakking van het zwembad dat we gekocht hebben om in onze tuin te plaatsen. Hoelang duurt het om het zwembad voor 90% te vullen als er 12 liter water per minuut uit de tuinslang komt?
KE U RE
Voorbeeld
PL
Denk kritisch na en controleer je antwoord
AA
Antwoord: Het duurt 18 uur en 45 minuten om het zwembad voor 90% te vullen.
D
Kijk terug en reflecteer
IN KI JK
EX
EM
Is jouw antwoord realistisch? Maak gebruik van jouw antwoord om te controleren of dit nog klopt met de context. I → 13 500 l = 0,9 · 15 000 l I → 13 500 l in 18,75 uur 13 500 l in 1 125 min 12 l in 1 min
Plaats het gegeven en het gevraagde op een figuur.
R
Stap 4
Markeer het gegeven en het gevraagde.
IE
Hiernaast zie je de verpakking van het zwembad dat we gekocht hebben om in onze tuin te plaatsen. Hoelang duurt het om het zwembad voor 90% te vullen als er 12 liter water per minuut uit de tuinslang komt?
KE U RE
Voorbeeld
Leer uit je aanpak Gebruikte je de juiste formule(s). Heb je correcte eenheden gebruikt en de juiste omzetting gedaan? Welke tussenstappen waren belangrijk om verder te geraken? Wat zou je volgende keer anders doen? Had je dit probleem ook anders kunnen oplossen?
Zo kan het ook
KE U RE
Werk van achter naar voor
Tips bij toepassen
Het gegeven verduidelijken. • Het probleem bestaat uit een concreet beschreven situatie. • De eindsituatie en tussentijdse gebeurtenissen staan in de vraag. • De veranderingen gebeuren stap voor stap.
Schrijf de eindsituatie op. Werk van achter naar voor. Bereken stap voor stap de voorgaande situaties. Voer telkens de omgekeerde berekening of inverse bewerking uit.
EX
D R
AA
PL
EM
Het gevraagde begrijpen. • Er staat: ‘Hoeveel in het begin …’. • Er staat: ‘Hoeveel aan de start …’.
IE
Tips bij herkennen
IN KI JK
7
KE U RE
Stap 2
D
Begrijp het probleem
EX
EM
PL
AA
Er zijn 4 haltes. Bij elke halte stappen passagiers af: • eerste halte: de helft van de passagiers stapt af, • tweede halte: 1 passagier stapt af, • derde halte: de helft van de overgebleven passagiers stapt af. Bij de laatste halte zijn er exact 6 passagiers. Ik lees: "Hoeveel passagiers ... bij de start...?" dus het aantal passagiers bij de start wordt gevraagd.
Maak een plan
We kennen enkel het aantal passagiers op het einde. Ik stel een schema op met het begin, einde en de tussentijdse haltes en werk van achter naar voor.
R
Stap 1
IE
Een boot in Londen vaart een route af met 4 haltes. Aan de eerste halte, stapt de helft van de passagiers af af. Aan de volgende halte, halte stapt slechts één passagier af af. Aan de derde halte stapt nog eens de helft van de overgebleven passagiers af af. Als de boot aan de laatste halte komt, stappen de laatste 6 passagiers af. Hoeveel passagiers zaten er bij de start op de boot?
IN KI JK
7
Probleem
KE U RE
Los het probleem op
D
Stap 3
IE
Een boot in Londen vaart een route af met 4 haltes. Aan de eerste halte, stapt de helft van de passagiers af af. Aan de volgende halte, halte stapt slechts één passagier af af. Aan de derde halte stapt nog eens de helft van de overgebleven passagiers af af. Als de boot aan de laatste halte komt, stappen de laatste 6 passagiers af. Hoeveel passagiers zaten er bij de start op de boot?
AA
+1
·2
13 :2
12 –1
:2
EX
26 start
EM
PL
·2
R
Werk van achter naar voor.
IN KI JK
7
Probleem
6 einde
Als je van achter naar voren redeneert, kun je de inverse bewerkingen gebruiken: stapt de helft af vermenigvuldig met 2 (·2) stapt één passagier af één passagier bij (+1)
KE U RE
PL
Denk kritisch na en controleer je antwoord
AA
Antwoord: Er zaten bij de start 26 passagiers op de boot.
D
Kijk terug en reflecteer
R
Stap 4
IE
Een boot in Londen vaart een route af met 4 haltes. Aan de eerste halte, stapt de helft van de passagiers af af. Aan de volgende halte, halte stapt slechts één passagier af af. Aan de derde halte stapt nog eens de helft van de overgebleven passagiers af af. Als de boot aan de laatste halte komt, stappen de laatste 6 passagiers af. Hoeveel passagiers zaten er bij de start op de boot?
EX
EM
Is jouw antwoord realistisch? Controleer opnieuw je stappen. Doe dat in beide richtingen.
IN KI JK
7
Probleem
Leer uit je aanpak Waarom werkte het van achter naar voor uitrekenen? Welke andere strategie had je eventueel kunnen proberen?
Zo kan het ook
vlakke figuur
formule omtrek
formule oppervlakte
vlakke figuur ruit
p = som van de zijden
b
rechthoek
3
PL A = z2
IN KI JK
EX
p=4·z
EM
vierkant
s
A=
D·d 2
R 3
l
parallellogram
p=4·z
formule oppervlakte
trapezium
215 · ( 000 A= l·b 15 000 dm = p 15=000 l + b)dm = 15 000
z
z
D
AA
b
d
b·h A= 2
D
h
b
formule omtrek
IE
driehoek
h
KE U RE
Vlakke figuren
p = 2 · (b + s)
A=b·h
b
p = som van de zijden
h B
A=
(B + b) · h 2
cirkel r
p=2·π·r
A = π · r2
ruimtefiguur
totale oppervlakte
inhoud of volume
ruimtefiguur bol
z
At = 6 · z 2
r
V = z3
4 · π · r3 3
R AA
h
V= l·b·h 000 = 15 000 2dm · ( l 3· 15 b b 000 · hdm + l 3· h) 15 000 dm 3 15 =A 15 000 = +15 t =000
PL
b
Ag
IN KI JK
piramide
At = pg · h + 2 · Ag pg: omtrek grondvlak
V = Ag · h
EX
h
EM
prisma
h
V=
cilinder
balk
l
At = 4 · π · r2
inhoud of volume
D
z
totale oppervlakte
IE
kubus
KE U RE
Ruimtefiguren
At = som van de oppervlaktes van de vlakken
V=
1 · Ag · h 3
r
At = 2 · π · r · h + 2 · π · r2
h
V = π · r2 · h
kegel a
h
r
At = π · r · ( r + a)
V=
1 · π · r2 · h 3
eenheden symbool
naam
symbool
lengte
l
meter
m
breedte
b
meter
m
hoogte/diepte
h
meter
diameter
d
meter
straal
r
meter
oppervlakte
A
vierkante meter
m2
volume
V
kubieke meter
m3
inhoud
I
liter
l
massa
m
kilogram
kg
tijd
t
seconde
s
temperatuur
θ of T
graden Celsius/Kelvin
°C of K
kracht
F
newton
N
IE
naam
EM
grootheden
KE U RE
Grootheden en hun eenheden
D
m
IN KI JK
EX
PL
AA
R
m m
snelheid
v
meter per seconde
m/s
massadichtheid
ρ
kilogram per kubieke meter
kg/m3
stroomsterkte
I
ampère
A
spanning
U
volt
V
weerstand
R
ohm
Ω
KE U RE IE EM
IN KI JK
EX
789048 653683
PL
Bestelnummer 901012011 ISBN 9789048653683 KB D/2026/0147/097
9
R AA
Auteurs Dequinnemaere Gill, Vanderbeken Justine
D
Colofon