Xây dựng và sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong dạy học Ứng dụng của tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN CẤP THPT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN LESSON PLAN PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Xây dựng và sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong dạy học Ứng dụng của tích phân nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình.

I. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm: Trình STT

Họ và tên

Nơi công tác

Chức danh

độ chuyên môn

1

Nguyễn Minh Đức

2

THPT Hoa Lư A

Giáo viên

Đoàn Thịnh

THPT

Phó hiệu

Khánh Ngọc

Nguyễn Huệ

trưởng

Tỉ lệ % đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến

Thạc sĩ

50%

Thạc sĩ

50%

Ghi chú

Tác giả Đồng tác giả

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Xây dựng và sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong dạy học Ứng dụng của tích phân nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh”.

II. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Lĩnh vực Giáo dục (Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT).

III. Nội dung sáng kiến 1. Giải pháp cũ thường làm Qua khảo sát cách thức giảng dạy nội dung này, chúng tôi nhận thấy cách mà giáo viên thường tiến hành như sau: - Cung cấp lý thuyết trong sách giáo khoa.

- Đưa ra một số ví dụ minh họạ theo hình thức tự luận, các ví dụ đưa ra thường chỉ yêu cầu học sinh áp dụng công thức một cách máy móc. Giáo viên chưa có sự mở rộng hay khai thác các ví dụ một cách hiệu quả.

- Cho bài tập về nhà, chủ yếu là bài tập tự luận trong sách giáo khoa và sách bài tập. Bài tập trắc nghiệm về phần ứng dụng của tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập rất ít nên học sinh ít được rèn luyện kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm.

- Giáo viên thường chỉ dừng lại ở việc dạy cho học sinh về các ứng dụng hình học của tích phân mà chưa khai thác việc sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tiễn.

Vì vậy, bằng thực nghiệm chúng tôi nhận thấy cách làm này có một số điểm còn tồn tại sau: - Học sinh học tập một cách thụ động, không có sự liên hệ giữa kiến cũ và kiến thức mới và vận dụng lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Không phát huy được tính chủ động, tích cực 1

và sáng tạo của học sinh.

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải.

- Học sinh ít được rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm, kỹ năng tìm tòi, mở rộng bài toán. Học sinh lúng túng, ngại khó trước mỗi bài toán mới, dạng toán mới.

- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít, “chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học .

- Học sinh chưa thấy được ứng dụng của tích phân vào thực tế cuộc sống. Do đó, học sinh chưa thấy hứng thú trong học tập.

2. Giải pháp mới cải tiến Nhằm khắc phục những khó khăn trên, chúng tôi đưa ra giải pháp mới dạy phần ứng dụng của tích phân như sau: - Cung cấp cho học sinh các kiến thức về ứng dụng của tích phân trong hình học, trong các môn học khác và trong thực tế cuộc sống mà không được đề cập đến trong sách giáo khoa (Phụ lục 1: Cơ sở lí thuyết về ứng dụng của tích phân).

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho từng ứng dụng dưới hình thức trắc nghiệm. Sau đó, giáo viên phân tích các phương án nhiễu dựa trên các sai lầm học sinh thường mắc phải, hướng dẫn học sinh cách khai thác mở rộng bài toán và xây dựng các bài toán trắc nghiệm khác tương tự (Phụ lục 2: Phân tích một số sai lầm thường gặp khi giải toán Ứng dụng của tích phân).

- Từ các bài tập tự tuận trong SGK cơ bản và sách bài tập Giải tích 12, giáo viên chia nhóm và phân công nhiệm vụ cho các nhóm xây dựng phương án đúng và phương án nhiễu cho các bài toán đó để tạo thành hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Ngoài ra, giáo viên đề xuất các bài tập tự luận ngoài SGK, yêu cầu học sinh xây dựng thành các câu hỏi trắc nghiệm (Phụ lục 3: Xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm từ bài tập tự luận trong SGK và sách bài tập Giải tích 12).

- Đưa vào các bài toán liên hệ thực tế, đó là các bài toán chuyển động và các bài toán trong thực tế cuộc sống. Hướng dẫn học sinh ứng dụng tích phân để giải các bài toán đó (Phụ lục 4: Một số bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân).

- Yêu cầu học sinh sưu tầm các bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân có trong các đề thi minh họa và đề thi thử THPT Quốc gia. Sau đó, học sinh trình bày lời giải cho các bài toán đó (Sáng kiến gồm 16 ví dụ minh họa có phân tích sai lầm và 130 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và hướng dẫn giải các câu vận dụng , vận dụng cao).

2

* Ưu điểm của giải pháp mới: - Từ việc phân tích các phương án nhiễu trong các ví dụ minh họa học sinh tránh được các sai lầm mình hay mắc phải khi giải toán về ứng dụng của tích phân .

- Thông qua việc xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm từ bài tập tự luận học sinh khắc sâu được kiến thức về ứng dụng của tích phân, đồng thời phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập.

- Học sinh thấy được ứng dụng của tích phân trong thực tiễn cuộc sống. Từ đó, học sinh thấy được toán học thật gần gũi với cuộc sống, giúp các em hứng thú hơn trong học tập, ghi nhớ kiến thức một cách có chủ đích, đồng thời kích thích được ham muốn tìm tòi, khám phá của các em.

- Học sinh được rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm, kỹ năng phân tích, tìm tòi và mở rộng bài toán.

- Nâng cao khả năng làm việc nhóm, khả năng soạn thảo văn bản toán học, kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin và các phần mềm toán học như Mathtype, Geogebra.

IV. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 1. Hiệu quả kinh tế Qua ý kiến nhận xét của học sinh, đồng nghiệp đã sử dụng sáng kiến này làm tài liệu tham khảo học tập và nghiên cứu, hiệu quả kinh tế dự kiến mà sáng kiến mang lại là rất lớn như: - Tiết kiệm được nhiều thời gian và công sức tìm tòi tài liệu của giáo viên và học sinh trong giảng dạy và học tập môn Toán.

- Tiết kiệm được nhiều chi phí mua tài liệu và sưu tầm tài liệu.

2. Hiệu quả xã hội - Làm cho học sinh thấy được sự gần gũi, mối quan hệ mật thiết của môn Toán học với các môn học khác, với các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống.

- Thông qua giải toán trắc nghiệm, rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy nhanh, chính xác. Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Rèn luyện và phát triển cho các em kỹ năng làm việc nhóm, kỹ năng giao tiếp, kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin.

- Đáp ứng mục tiêu giáo dục theo định hướng phát triển năng lực, mục tiêu trong chiến lược phát triển giáo dục 2011 -2020. Từ đó đào tạo ra những thế hệ học sinh - chủ nhân tương lai của đất nước có đầy đủ các phẩm chất và năng lực cần thiết tìm ra các giải pháp tối ưu để thực hiện nhiệm vụ hoặc có cách ứng xử phù hợp trong bối cảnh phức tạp.

- Là nguồn tài liệu phong phú và bổ ích trong quá trình giảng dạy của giáo viên. Do đó, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học theo yêu cầu đổi mới của nền giáo dục nước nhà.

- Việc dạy học cho học sinh theo hướng liên hệ thực tế đã góp phần tạo được hứng thú, lôi cuốn học sinh, giúp học sinh đào sâu, nhớ lâu kiến thức. Thực hiện việc đổi mới này có tác dụng rất mạnh mẽ đến tư tưởng, tình cảm của các em. Từ đó, các em có lòng say mê ham thích 3

môn toán hơn rất nhiều. Giáo viên đã thay đổi nhận thức của học sinh: học sinh thấy rằng môn toán không phải là môn học quá khó và khô khan như một số em nghĩ mà nó là một môn học đầy tính hấp dẫn và lí thú.

- Kết quả thực nghiệm đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của đề tài: Chúng tôi đã tiến hành cho học sinh bốn lớp của trường THPT Hoa Lư A là: 12A, 12B, 12E, 12M và hai lớp của trường THPT Nguyễn Huệ là: 12B và 12E làm bài kiểm tra 60 phút.

Trình độ nhận thức của các lớp 12A và 12 B; 12E và 12M của trường THPT Hoa Lư A và hai lớp 12B và 12E của trường THPT Nguyễn Huệ được đánh giá là tương đương nhau. Lớp thực nghiệm: 12A, 12E (THPT Hoa Lư A), 12E (THPT Nguyễn Huệ); lớp đối chứng: 12B, 12M (THPT Hoa Lư A), 12B (THPT Nguyễn Huệ).

Về kết quả bài kiểm tra Trường THPT Hoa Lư A: Lớp/Điểm Đối chứng Thực nghiệm

Yếu

TB

Khá

Giỏi

12 B

21,3%

53,2%

14,9%

10,6%

12 M

24,4%

51,1%

15,6%

8,9%

12 A

6,4%

38,3%

34%

21,3%

12 E

7,5%

40%

32,5%

20%

Yếu

TB

Khá

Giỏi

Trường THPT Nguyễn Huệ: Lớp/Điểm Đối chứng

12 B

20,3%

50,6%

17,6%

11,5 %

Thực nghiệm

12 E

5,5 %

33,5%

35,5%

25,5%

Phân tích kết quả kiểm tra *) Trường THPT Hoa Lư A: -

Các lớp đối chứng:

+ Lớp 12B có 78,7 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi. + Lớp 12M có 75.6 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 24,5% đạt khá, giỏi.

-

Các lớp thực nghiệm:

+ Lớp 12A có 93,6 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi. + Lớp 12 E có 92,5 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 52,5% đạt khá, giỏi. *) Trường THPT Nguyễn Huệ: - Lớp đối chứng (12B) có 79,7 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 29,1 % đạt khá, giỏi.

- Lớp thực nghiệm (12E) có 94,5 % đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 61 % đạt khá, giỏi.

4

Nhận xét - Các lớp đối chứng: + Kĩ năng làm bài tập trắc nghiệm chưa tốt, các em mất nhiều thời gian để làm các câu hỏi trắc nghiệm, có nhiều học sinh lựa chọn phải phương án nhiễu. Số học sinh làm được các bài toán thực tế còn ít.

Nhiều em lúng túng trong việc xây dựng 2 câu hỏi trắc nghiệm, phương án nhiễu đưa ra chưa tốt; phần lớn các em đưa ra phương án nhiễu một cách tùy ý và chưa phân tích được các phương án nhiễu đã xây dựng.

- Các lớp thực nghiệm: + Đa số học sinh tránh được các sai lầm thường gặp khi giải toán về ứng dụng của tíc phân. Từ đó, các em có kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm một cách nhanh và chính xác và biết phân tích để loại bỏ các phương án nhiễu. Nhiều học sinh làm được các bài toán thực tế. + Dựa trên các bài tập tự luận, trên cơ sở phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán học sinh đã biết được cách xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm với các phương án nhiễu khá tốt.

- Về kết quả thi THPT QG năm 2017 – 2018: Năm học 2017- 2018 là năm thứ hai Bộ giáo dục áp dụng hình thức thi trắc nghiệm đối với môn toán trong kì thi THPT Quốc Gia. Mặc dù đề thi được đánh giá tương đối là khó so với năm học 2016-2017 nhưng đối với các lớp được áp dụng sáng kiến vào giảng dạy và ôn thi THPT QG đều đạt kết quả cao, nhiều em đạt điểm môn toán cao (trên 7) và đỗ vào các trường đại học tốp trên (các trường Y dược, quân đội, kinh tế...) + THPT Hoa Lư A: Điểm Lớp

≥5

12A

100%

70%

35%

Áp dụng SK

12E

95%

60%

20%

Áp dụng SK

12B

70%

40%

4,5%

Không áp dụng SK

12M

50%

20%

0%

Không áp dụng SK

≥7

≥8

+ THPT Nguyễn Huệ:

Đ iể m Lớp

≥5

12E 12B

≥7

≥8

96%

75%

30%

Áp dụng SK

75 %

35%

4%

Không áp dụng SK

- Về thi HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018: Đề thi HSG lần 2 cấp tỉnh gồm 2 phần: 56 câu trắc nghiệm (14 điểm) và 3 câu tự luận (6 điểm). Do phần trắc nghiệm chiếm điểm phần lớn nên đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng giải toán trắc nghiệm nhanh và chính xác. Cả hai trường

5

đều đạt tốt trong kì thi, cụ thể: Trường THPT Hoa Lư A cả 3 em đi thi đều đạt giải (2 giải nhì, 1 giải ba) xếp thứ 5 trên 24 trường trong toàn tỉnh; trường THPT Nguyễn Huệ đạt 3 giải (1 giải nhì, 2 giải ba) xếp thứ 6 trên 24 trường trong toàn tỉnh.

V. Điều kiện và khả năng áp dụng - Điều kiện về cơ sở vật chất: + Để thực hiện giải pháp cải tiến nói trên, không cần tốn nhiều kinh phí, chỉ cần GV có ý thức say mê, tìm tòi, tích cực đổi mới phương pháp dạy học.

+ Tài liệu được biên soạn bằng phần mềm Word 2007 và Mathtype 6.9 nên tương thích với tất cả các dòng máy tính, phù hợp với tình hình của công tác dạy và học hiện nay.

- Khả năng áp dụng: + Áp dụng dạy ôn thi ôn thi THPT QG. + Áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trong toàn tỉnh.

Giải pháp mới này có tính khả thi rất cao, có thể nhân rộng trong các trường trung học phổ thông, giáo viên đều có thể áp dụng trong giảng dạy bộ môn toán đối với các chuyên đề khác trong chương trình THPT. Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.

Ninh Bình, ngày 10 tháng 10 năm 2018 Xác nhận của BGH

NHÓM TÁC GIẢ Nguyễn Minh Đức Đoàn Thịnh Khánh Ngọc

6

PHỤ LỤC 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức b

S = ∫ f ( x) dx

(*)

a

Lưu ý: b

- Nếu f ( x) = 0 vô nghiệm trên (a; b) thì S = ∫ f ( x) dx = a

b

∫ f ( x)dx . a

- Nếu f ( x) = 0 có 1 nghiệm c ∈ ( a; b) thì b

S = ∫ f ( x) dx = a

c

∫

b

f ( x)dx +

a

∫ f ( x)dx . c

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Cho hai hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: b

S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x ) dx

(**)

a

Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).

2. Tính thể tích a) Thể tích của vật thể

7

Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b ( a < b) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b) cắt V theo

thiết diện có diện tích là S ( x) . Giả sử S ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P) và (Q) được tính bởi công thức: b

V = ∫ S ( x) dx a

b) Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục

Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b

Vx = π ∫ f 2 ( x)dx a

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quay xung quanh trục Oy là: d

Vy = π ∫ g 2 ( y ) dy. c

3. Bài toán chuyển động của vật Giả sử phương trình chuyển động của một vật là s = s (t ) (đơn vị độ dài). Khi đó, phương trình vận tốc của vật chuyển động đó là v(t ) = s ' (t ) (đơn vị độ dài / đơn vị thời gian) và gia tốc của vật đó là a (t ) = v ' (t ) = s '' (t ) .

Do đó, công thức tính vận tốc của vật chuyển động tại thời điểm t = b theo vận tốc của vật chuyển động tại thời điểm t = a là: b

v(b) = [ v(b) − v( a ) ] + v( a ) = ∫ a(t )dt + v( a ) a

Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b được tính bởi công thức b

s = s(b) − s(a ) = ∫ v(t )dt . a

8

PHỤ LỤC 2 PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN - Học sinh sử dụng sai công thức tính diện tích và thể tích, chẳng hạn: + Học sinh nhớ nhầm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số b

y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ f ( x)dx hoặc S = a

∫

b

a

f ( x) dx .

+ Học sinh nhớ nhầm công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành b

là V = ∫ f 2 ( x)dx (quên nhân với π ). a

+ Khi tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy , học sinh học sinh nhầm với công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục

Ox , hoặc học sinh quên không rút x theo y , không đổi cận theo biến y . + Học sinh cho rằng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục b

hoành là V = π ∫ ( f ( x) − g ( x))2 dx . a

- Học sinh sai sót trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối vì học sinh cho b

rằng

∫

b

f ( x) dx =

a

∫ f ( x)dx

(Công thức này chỉ đúng khi hàm số f ( x) không đổi dấu trên đoạn

a

[ a; b] ) hoặc phá dấu giá trị tuyệt đối sai.

- Học sinh giải phương trình hoành độ giao điểm sai, hoặc học sinh lấy cận tích phân sai vì không để ý tới tập xác định của các hàm số đã cho.

- Trong một số bài toán phải vẽ đồ thị để xác định hình phẳng, học sinh đọc hoặc vẽ đồ thị hàm số sai.

- Học sinh tính tích phân sai. Trong các bài toán trắc nghiệm, chúng ta có thể khắc phục sai lầm này, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án đúng.

Một số ví dụ minh họa: Khi biên soạn câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn, các phương án nhiễu đưa ra không phải tùy tiện. Giáo viên cần dự đoán các hướng làm sai của học sinh để đưa ra các phương án nhiễu.

Vì vậy giáo viên cần phải nghiên cứu, tìm hiểu những sai lầm học sinh có thể mắc phải khi làm bài tập nội dung trên.

9

Ví dụ 1 (Đề tham khảo 2017). Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = f ( x ), trục hoành và hai x = −1, x = 2

đường thẳng 0

a=

∫

(như

hình vẽ bên). Đặt

2

f ( x) dx, b = ∫ f ( x) dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

−1

0

A. S = b − a.

B. S = b + a.

C. S = −b + a.

D. S = −b − a.

Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ, suy ra f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0; 2] và f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;0] .

Diện tích hình phẳng cần tìm là : 2

S=

0

∫

f ( x) dx =

−1

∫

2

0

2

0

−1

0

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = −a + b.

−1

Vậy đáp án đúng là A.

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhớ sai công thức tính diện tích hình phẳng: 2

0

2

−1

−1

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =a + b .

S=

Phương án C: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai: 2

S=

∫

0

f ( x) dx =

−1

∫

2

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx =

−1

0

0

2

f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = a − b.

∫ −1

0

Phương án D: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai: 2

S=

∫

0

f ( x) dx =

−1

∫

2

0

2

0

−1

0

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = − a − b.

−1

Nhận xét: - Qua ví dụ 1, giáo viên rèn luyện cho học sinh kĩ năng đọc đồ thị hàm số, kĩ năng chia

nhỏ hình vẽ để tính diện tích. Dựa vào đồ thị, học sinh xét được dấu của hàm số y = f ( x ), từ đó học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối rồi suy ra phương án đúng.

- Giáo viên hướng dẫn học sinh có thể tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm mới bằng cách chọn hàm f ( x) cụ thể hoặc thay đổi các đường thẳng x = −1, x = 2 , chẳng hạn chọn f ( x) = x3 ta

được các bài toán sau: Bài 1. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 2 (hình vẽ). Tính S. A. S =

17 .

4

B. S =

15 .

4

C. S =

1 4

D. S = 4.

10

Bài 2. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = k (k > 0) (hình vẽ). Tìm k để S = B. k = 4 3 .

A. k = 1 .

C. k =

1 .

2

1 .

2

D. k =

1 2 3

.

Để giải hai bài toán trên, học sinh có thể không cần sử dụng hình vẽ mà sử dụng luôn công thức tính diện tích hình phẳng, sau đó lập bảng xét dấu để tính tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp đó được thể hiện rõ qua ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 2. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) và trục Ox , mệnh đề nào dưới đây đúng?

3

3

A. S = ∫ f ( x) dx.

B. S =

1

∫ f ( x)dx .

1

2

C. S = ∫ f ( x)dx 1

3

∫

3

2

2

1

D. S = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx.

f ( x) dx.

2

Hướng dẫn giải:

x = 1 Xét phương trình: f ( x) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = 0 ⇔  x = 2   x = 3 Bảng xét dấu hàm số f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x

1

f ( x)

0

2 +

3

0

-

0

Diện tích hình phẳng (H) là: 3

2

3

2

3

1

1

2

1

2

S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx.

Vậy đáp án đúng là C.

Phân tích các phương án nhiễu: 3

Phương án A: Học sinh nhớ sai công thức tính diện tích hình phẳng: S = ∫ f ( x) dx .

1

Phương án B: Học sinh ngộ nhận sai tính chất của giá trị tuyệt đối: 3

S = ∫ f ( x) dx = 1

3

∫ f ( x)dx .

1

Phương án D: Học sinh xét dấu hàm f ( x) sai:

11

3

2

3

2

3

1

1

2

1

2

S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx.

Nhận xét: Trong trường hợp bài toán chưa cho sẵn hình vẽ hoặc chưa cho sẵn cận lấy tích phân, học sinh phải giải phương trình hoành độ giao điểm để xác định cận lấy tích phân trong công thức tính diện tích và thể tích. Tuy nhiên, có không ít học sinh xác định cận sai.

Ví dụ 3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 x − x 3 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 .

A. S = 40 .

B. S = 36 .

C. S = 44.

D. S = 32.

Hướng dẫn giải: x = 0 Xét phương trình: x3 − 4 x = 0 ⇔   x = ±2 4

S = ∫ 4 x − x3 dx = 40.

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

0

Vậy đáp án đúng là A.

Phân tích các phương án nhiễu: 4

Phương án C: Học sinh lấy cận sai S =

∫ 4x − x

3

dx = 44 .

−2

4

Phương án D: Học sinh nhầm công thức tính diện tích hình phẳng S = ∫ (4 x − x3 )dx = 32.

0 4

Phương án B: Học sinh vừa nhầm công thức vừa lấy cận sai S =

∫ (4 x − x )dx = 36.

3

−2

Ví dụ 4. Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 1 , trục hoành và đường thẳng x = 3 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox .

A. V =

16π .

3

B. V =

20 .

3

C. V =

16 .

3

D. V =

20π .

3

Hướng dẫn giải: Xét phương trình:

x 2 − 1 = 0.

có 2 nghiệm là 1 và - 1.

Thể tích V của khối tròn xoay là: 3

V = π ∫ ( x 2 − 1) dx = 1

20 π.

3

Vậy đáp án đúng là D. 12

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh lấy cận từ −1 đến 3 . Điều này không đúng vì trong khoảng ( −1;1) hàm 3

số y = x 2 − 1 không xác định, V = π ∫ ( x 2 − 1)dx = −1

16 π.

3

Phương án B: Học sinh quên không nhân với π trong công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Phương án C: Học sinh vừa lấy cận sai vừa quên không không nhân với π 3

V = ∫ ( x 2 − 1) dx = −1

16 .

3

Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh việc xác định cận của tích phân trong công thức tính diện tích hình phẳng và công thức tính thể tích. Để học sinh thấy rõ được sai lầm, giáo viên nên yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số, rồi xác định hình phẳng đã cho. Đồng thời, giáo viên cũng lưu ý học sinh phải nhớ chính xác công thức, tránh việc nhầm lẫn giữa các công thức hoặc viết thiếu công thức.

Ví dụ 5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x =

π 2

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V

bằng bao nhiêu?

A. V = π − 1.

B. V = (π − 1)π .

C. V = (π + 1)π .

D. V = π + 1.

Hướng dẫn giải: π

π

2

2

0

0

π

Ta có: V = π ∫ ( 2 + cos x ) 2 dx = π ∫ (2 + cos x)dx = π ( 2 x + sin x ) 02 = π (π + 1).

Vậy đáp án đúng là C.

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án D: Học sinh quên không nhân với π .

Phương án B: Học sinh nhầm lẫn giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm y = cos x nên cho rằng ∫ cos xdx = − sin x + C . π

π

2

2

0

0

π

2 Do đó: V = π ∫ ( 2 + cos x ) dx = π ∫ (2 + cos x)dx = π ( 2 x − sin x ) 02 = π ( π − 1) .

Phương án A: Học sinh vừa quên không nhân với π vừa nhầm lẫn giữa nguyên hàm và

đạo hàm của hàm y = cos x nên: π

π

2

2

0

0

π

V = ∫ ( 2 + cos x )2 dx = ∫ (2 + cos x)dx = ( 2 x − sin x ) 02 = π − 1.

13

Ví dụ 6. (SBT Giải tích 12) Tính thể tích V khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, y = 0, x = e quay quanh trục Oy .

A. V = π ( e − 2 ) .

B. V =

e2 + 1 π.

2

C. V =

e2 − 1 π.

2

D. V =

e 2 − 4e + 5 π.

2

Hướng dẫn giải: Ta có:

y = ln x ⇔ x = e y .

Tính thể tích V khối tròn xoay sinh ra là 1

V = π ∫ (e2 − e2 y )dy = 0

e2 + 1 π.

2

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng quay quanh Ox : e

V = π ∫ (ln x) 2 dx =π ( e − 2 ) .

1

Phương án C: Do học sinh xác định sai hình phẳng đã cho nên dẫn đến viết sai công thức tính thể 1

y 2 tích V = π ∫ (e ) dy = 0

e2 − 1 π.

2 1

y 2 Phương án D: Học sinh sử dụng sai công thức tính thể tích V = π ∫ (e − 1) dy = 0

Ví dụ 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

1 cung tròn có 4

e2 − 4e + 5 π.

2

y 2

bán kính R = 2 , đường cong y = 4 − x và trục hoành (miền

gạch ngang trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) xung quanh trục hoành.

77π A. V = .

6 C. V =

77 .

6

53 B. V = π .

6 D. V = π +

-2

O

3

x

14 .

3

Hướng dẫn giải: Cung tròn tâm O bán kính R = 2 có phương trình là y = 4 − x 2 , ( − 2 ≤ x ≤ 0).

Từ hình vẽ, ta có thể tích V của khối tròn xoay thu được là: 14

0

3

−2

0

V = π ∫ (4 − x 2 )dx + π ∫ (4 − x)dx =

77 π.

6

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án B: Viết sai phương trình cung tròn tâm O bán kính R = 2 là

y = 2 − x 2 , ( − 2 ≤ x ≤ 0).

0

3

Do đó: V = π ∫ (2 − x )dx + π ∫ (4 − x)dx = 2

−2

0

53 π.

6

Phương án C: Học sinh quên không nhân với π : 0

3

−2

0

V = ∫ (4 − x 2 )dx + ∫ (4 − x)dx =

77 .

6

Phương án D: Học sinh nhầm sang công thức tính diện tích: 0

V=

∫

3

4 − x dx + ∫ 4 − xdx = π + 2

−2

0

14 .

3

Ví dụ 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

x , y = 2 − x và

trục Ox.

A.

7 .

6

B.

4 2 +6 .

3

C.

5 .

6

D.

8 2 −7 .

6

Hướng dẫn giải: Vẽ hình phẳng cần tính diện tích trong hệ trục tọa độ Oxy .

1

2

0

1

S = ∫ xdx + ∫ ( 2 − x )dx =

Từ hình vẽ, ta có

7 .

6

Chọn phương án A.

Phân tích các phương án nhiễu: Do học sinh không vẽ hình nên học sinh không xác định

được hình phẳng đã cho, dẫn đến học sinh áp dụng sai công thức hoặc xác định cận sai. Cụ thể: 2

2

0

0

Phương án B: S = ∫ xdx + ∫ ( 2 − x )dx = 1

Phương án C: S = ∫

x − (2 − x) dx =

5 .

6

x − (2 − x) dx =

8 2 −7 .

6

0 2

Phương án D: S = ∫ 1

4 2 +6 .

3

15

Ví dụ 9. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi parabol (P): y = x 2 và đường thẳng d : y = x + 2 quanh trục Ox .

A. V =

72π .

5

B. V =

9π .

2

C. V =

81π .

10

D. V =

72 .

5

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:  x = −1 x2 = x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔  x = 2

Từ hình vẽ, ta có 2

2

V = π ∫ ( x + 2) dx − π ∫ ( x 2 )2 dx = 2

−1

−1

72π .

5

Đáp án đúng A. Phân tích các phương án nhiễu: 2

Phương án B: Học sinh nhầm công thức tính: V = π ∫ x 2 − ( x + 2) dx = −1 2

2 2 Phương án C: Học sinh nhầm công thức: V = π ∫ [x − ( x + 2)] dx = −1

9π .

2

81π .

10

Phương án D: Học sinh quên không nhân với π .

Nhận xét: - Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) hoặc tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường

trở lên (chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x ) ) ta vẽ các đồ thị hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy , xác định hình phẳng đã cho. Dựa vào hình vẽ, ta chia hình phẳng đã cho thành các hình

phẳng nhỏ , rồi suy ra công thức tính diện tích hoặc thể tích cần tìm.

- Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục hoành được tính bởi b

2 2 công thức: V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx. a

Ví dụ 10. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x =

π 4

,

biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với 16

0≤ x≤

π 4

thì được thiết diện là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và

sin x .

A. V =

2 π   π 1 −  π . B. V = 2 1 −  .

2  4  4

 π C. V = 2  1 −  π .  4

D. V =

2 π  1 −  .

2  4

Hướng dẫn giải: Diện tích thiết diện tam giác vuông là : S ( x ) = x sin x . π 4

Thể tích V của phần vật thể là: V = ∫ x sin xdx = 0

2  π  1 − .

2  4

Chọn đáp án D.

Phân tích các phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh nhớ sai công thức tính thể tích (nhân thêm với π ): π 4

V = π ∫ x sin xdx.

0

Phương án B: Học sinh tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông ( quên chia cho 2): S ( x) = 2 x sin x.

Phương án C: Học sinh vừa tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông (quên chia cho 2) vừa nhớ sai công thức tính thể tích vật thể.

Nhận xét : Qua ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm tương tự bằng cách thay đổi số liệu các cạnh của thiết diện, hoặc thay đổi hình dạng thiết diện là tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật.

17

PHỤ LỤC 3 XÂY DỰNG CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỪ BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12.

- Qua các ví dụ minh họa, học sinh hiểu sâu sắc hơn về các ứng dụng của tích phân trong hình học, trong các môn học khác và trong thực tế cuộc sống. Từ việc phân tích các ví dụ minh họa, giáo viên chia lớp thành các nhóm và yêu cầu các nhóm xây dựng các bài tập trắc nghiệm tương tự, xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm từ các bài toán tự luận về phần ứng dụng của tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập giải tích 12 chương trình cơ bản và từ các bài tập tự luận do giáo viên đề xuất. Đồng thời, giáo viên cũng yêu cầu học sinh sưu tầm các bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân trong các đề thi thử THPT Quốc gia, trong các tài liệu tham khảo.

- Giáo viên tiến hành chia nhóm: 36 học sinh của lớp 12E chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 9 học sinh, giữa các nhóm phải đảm bảo độ đồng đều về trình độ. Mỗi nhóm cử nhóm trưởng, thư ký để ghi chép cụ thể sự phân công công việc, tiến trình, quá trình tham gia của các thành viên trong nhóm.

- Giáo viên phân công công việc: STT

Nhóm thực hiện 1

Nội dung công việc

Nhóm 1

Xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân

để tính diện tích hình phẳng.

2

Nhóm 2

Xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân

để tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay.

3

Nhóm 3

Xây dựng và sưu tầm các câu hỏi trắc nghiệm về ứng dụng của tích phân trong bài toán chuyển động.

4

Nhóm 4

Sưu tầm và giải các bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân.

- Các nhóm học sinh tiến hành làm việc theo nhóm. Sau khi các nhóm hoàn thành công việc, giáo viên tổ chức tiết học cho các nhóm báo cáo kết quả bằng văn bản trên Word, cử đại diện nhóm phân tích một số câu hỏi điển hình. Các học sinh khác trong lớp theo dõi, nhận xét và bổ sung. Giáo viên đánh giá, nhận xét và chính xác hóa các câu hỏi trắc nghiệm các nhóm báo cáo. Giáo viên tổng hợp kết quả các nhóm thành một tài liệu hoàn chỉnh theo chủ đề .

18

PHỤ LỤC 4 MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Để góp phần nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh và tạo hứng thú cho học sinh khi học tập môn toán giáo viên cần chú trọng việc khai thác các bài toán thực tế vào giảng dạy. Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây, thường xuyên xuất hiện các bài toán thực tế mang tính vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán về ứng dụng của tích phân. Các bài toán đó cho thấy toán học gắn bó mật thiết với thực tiễn cuộc sống và với nhiều môn khoa học khác như vật lý, y học, sinh học... Để giải quyết các bài toán đó, học sinh cần có kỹ năng phân tích, tổng hợp kiến thức tốt và vận dụng linh hoạt các công thức đã học về tích phân.

Ví dụ 11. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng

đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức vA (t ) = 16 − 4t ( đơn vị tính bằng m/s), thời gian t tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B

đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?

A. 33 m.

B. 32 m.

C. 65 m.

D. 64 m.

Hướng dẫn giải: Chọn mốc thời gian t = 0 là thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh..

Lúc ô tô A dừng hẳn, ta có v A (t ) = 0 ⇔ 16 − 4t = 0 ⇔ t = 4 .

Quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: 4

s = ∫ (16 − 4t ) dt = 32 (m) .

0

Vì các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m nên để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 33 m. Chọn đáp án A.

Phân tích các phương án nhiễu: - Phương án B: Học sinh sau khi tính được quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là 32 m thì chọn luôn đáp án mà quên không cộng thêm 1 m.

- Phương án C: Học sinh tính sai quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh

đến khi dừng hẳn là 4.16 = 64 m ( học sinh áp dụng công thức quãng đường bằng thời gian nhân với vận tốc, điều này không đúng vì từ lúc hãm phanh ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vA (t ) = 16 − 4t ). Sau đó, học sinh cộng thêm 1 m.

19

- Phương án D: Học sinh tính sai quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh

đến khi dừng hẳn là 4.16 = 64 m .

Ví dụ 12. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,

đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. s = 23, 25 (km) .

B. s = 21,58 (km) .

C. s = 15, 50 (km) .

D. s = 6, 08 (km) .

Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình vận tốc chuyển động của vật theo parabol là v(t ) = at 2 + bt + c (a ≠ 0)   c = 4 c = 4   5 Ta có 4a + 2b + c = 9 ⇔ b = 5 ⇒ v(t ) = − t 2 + 5t + 4 (km / h) 4  b  5 −  =2 a=−  4  2a

Ta có v(1) =

31 .

4

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là 1

3

31 259  5  ≈ 21,58 (km). s = ∫  − t 2 + 5t + 4 dt + ∫ dt = 4 4 12  0 1 Chọn đáp án B.

Phân tích các phương án nhiễu: 3

 5  - Phương án A: Học sinh lấy cận tích phân sai s = ∫  − t 2 + 5t + 4  dt = 23, 25 (km).

4  0 3

31 dt = 15, 5 (km).

4 1

- Phương án C: Học sinh tính thiếu s = ∫ 1

 5  - Phương án D: Học sinh tính thiếu s = ∫  − t 2 + 5t + 4  dt = 6, 08 (km).

4  0

Nhận xét :

20

- Qua hai ví dụ trên, giáo viên cần lưu ý cho hoc sinh khi giải toán phải đọc kĩ đề bài, tránh trường hợp vội vàng, hấp tấp dẫn đến hiểu sai đề hoặc lời giải thiếu sót.

- Bằng cách thay đổi phương trình vận tốc hoặc thay đổi thời gian chuyển động có thể xây dựng được các bài toán chuyển động tương tự như sau:

Bài 1. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển

động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 26,5 (km) .

C. 27 (km) .

B. 28,5 (km) .

D. 24 (km) .

Bài 2. Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của

1  đường parabol có đỉnh I  ;8  và trục đối xứng song song 2  với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.

A. s = 4,0 (km) .

B. s = 2,3 (km) .

C. s = 4,5 (km) .

D. s = 5,3 (km) .

Ví dụ 13. Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có 250000 con, tới ngày thứ t thì số lượng vi trùng trong đám ấy là N ( t ) con, biết rằng N '(t ) =

4000 . Gọi x là số lượng vi trùng trong đám ấy sau 10 ngày, giá trị của x gần với kết 1 + 0,5t

quả nào nhất trong các kết quả sau đây?

A. x ≈ 14334 .

B. x ≈ 14000 .

C. x ≈ 264000 .

D. x ≈ 264334 .

Hướng dẫn giải: Ta có: N ( t ) = ∫ N '(t )dt = ∫

4000 dt =8000.ln(1 + 0,5t ) + C 1 + 0,5t

Vì N ( 0 ) = 250000 nên C = 250000

⇒ N ( t ) = 8000.ln(1 + 0,5t ) + 250000 ⇒ x = N (10) = 8000ln15 + 250000 ≈ 264334.

21

Chọn đáp án D.

Ví dụ 14. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 8m

m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ).

Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m2. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?

A. 7.862.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng.

D. 7.826.000 đồng.

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O tâm của mảnh vườn.

Mảnh vườn giới hạn bởi đường Elip có phương trình chính tắc là

x2 y 2 + = 1.

64 25

Diện tích dải đất trồng hoa là: 4

S = 2 ∫ 5 1− −4

40π x2 dx = + 20 3 (m2 ).

64 3

Số tiền cần để trồng hoa là:

100.000 × (

40π + 20 3 ) ≈ 7.653.000 đồng).

3

Chọn đáp án B.

Ví dụ 15. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính bằng 4 dm , người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện tích mặt cắt là 15π dm 2 để lấy phần còn lại làm bể nuôi cá. Tính thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa.

A.

175 π (dm3 ).

4

B.

175 π (dm3 ).

3

C.

125 125 π ( dm3 ). D. π (dm3 ).

4 3

22

Hướng dẫn giải: - Hướng dẫn học sinh xây dựng công thức tính thể tích của khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h : Trong mặt phẳng Oxy , xét hình phẳng giới hạn bởi cung tròn tâm O bán kính R có phương trình y = R 2 − x 2 , trục hoành và đường thẳng x = R − h, ( R − h ≤ x ≤ R) . Quay hình phẳng đó xung quanh trục hoành ta được khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h .

Thể tích của khối chỏm cầu là: R

R

 x3  h  Vcc = π ∫ ( R − x )dx = π  R 2 x −  = π h2  R −  .(***) 3  R−h 3   R−h 2

2

- Yêu cầu học sinh áp dụng công thức (***) để giải quyết bài toán: Gọi V , V1 , V2 lần lượt là thể tích tối đa bể nuôi cá có thể chứa, thể tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.

Ta có R = 4 dm, r 2 = HB 2 =

15π

π

= 15.

Suy ra OH = OB 2 − HB 2 = 42 − 15 = 1 dm. ⇒ h = AH = R − OH = 4 − 1 = 3 dm.

Do đó

4 h 4 3 175 V = V1 − V2 = π R3 − π h 2 ( R − ) = π 43 − π 32 (4 − ) = π (dm3 ).

3 3 3 3 3 Ví dụ 16. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).

Hình 1

Hình 2 23

Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V .

(

)

A. V = 2250 cm 3 .

B. V =

225π cm 3 .

4

(

)

(

)

C.V = 1250 cm 3 .

(

)

D. V = 1350 cm 3 .

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn : 0 ≤ y ≤ 225 − x 2 , − 15 ≤ x ≤ 15.

Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm

(

)

có hoành độ x , x ∈  −15;15  cắt hình nêm theo thiết

( )

diện là tam giác vuông cân MNP có diện tích là S x Dễ thấy OP = x và MN = NP = 225 − x 2 .

()

Do đó S x =

1 1 MN .NP = . 225 − x 2 2 2

(

)

15

Suy ra thể tích hình nêm là : V =

∫

15

S ( x)dx =

−15

1 225 − x 2 )dx = 2250 ( cm3 ) . ( ∫ 2 −15

Nhận xét: Bằng cách tương tự, ta xây dựng được công thức tính thể tích của hình nêm trong trường hợp tổng quát là V =

2 3 R tan α .

3

24