Xác định tính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số dưới dạng bảng biến thiên

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Xác định tính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số dưới dạng bảng biến thiên hoặc đồ thị WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

GIỚI THIỆU VỀ CHUYÊN ĐỀ Dự kiến số tiết: 3 tiết Trong giải tích, đạo hàm là công cụ rất mạnh để giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Hàm số và đạo hàm của nó có mối liên hệ chặt chẽ, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Trong các đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây, người ra đề khai thác khá sâu về mối liên hệ này. Trong các đề thi, đạo hàm của hàm số không chỉ được khai thác ở dạng công thức mà còn được cho dưới dạng bảng biến thiên hoặc đồ thị. Trong đề thi cũng xuất hiện nhiều bài toán khó có giả thiết là bảng biến thiên hoặc đồ thị của đạo hàm và yêu cầu xác định tính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số ban đầu.

Từ kỳ thi THPT quốc gia năm 2017, các dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Tuy nhiên, khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các dạng toán này của học sinh còn hạn chế. Vì vậy, tôi đầu tư viết chuyên đề này trình mày một số cách tiếp cận và giải quyết các dạng toán nêu trên với mục đích giúp học sinh có tài liệu tham khảo để ôn thi tốt hơn, đồng thời cũng là tài liệu để tôi giảng dạy trong nhà trường.

PHẦN I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: A. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.

1. Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên D nếu ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

2. Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên D nếu ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

3. Đồ thị hàm số đồng biến trên D có hướng đi lên tính từ trái qua phải, đồ thị hàm số nghịch biến trên D có hướng đi xuống tính từ trái qua phải.

II. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng D. 1. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên D thì f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D .

2. Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên D thì f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D .

III. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Định lý. Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng D 1. Nếu f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D. 2. Nếu f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D. 3. Nếu f '( x ) = 0, ∀x ∈ D thì hàm số không đổi trên D. B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1

I. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b) (có thể a là −∞ ; b là +∞ ) và điểm x0 ∈ (a; b) . * Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x0 . * Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 . * Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là fCÑ , còn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. * Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 , Khi đó, nếu y = f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f '( x0 ) = 0 . Điều ngược lại không đúng III. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: 1.Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số - Sử dụng bảng biến thiên) Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a, x0 ) và ( x0 , b) ( Có thể không có đạo hàm tại x0 ) Khi đó: + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 Minh họa bằng đồ thị Hàm số f đạt cực đại tại x = c .

Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c .

2

2.Định lý 2. (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số - Không sử dụng bảng biến thiên) Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0 , ( Phải có đạo hàm tại x0 ) f '( x0 ) = 0 và f ''( x0 ) ≠ 0 . Khi đó:

+ Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 + Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Phương pháp giải: Đây là dạng toán cơ bản, từ giả thiết ta xét dấu của f ′( x) rồi kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Chú ý rằng: - Nếu đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành với mọi x ∈ D thì hàm số nhận giá trị dương trên tập D .

- Nếu đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành với mọi x ∈ D thì hàm số nhận giá trị âm trên tập D .

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên ℝ . Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ .

B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ .

C. Hàm số f ( x ) chỉ nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Lời giải Chọn C. Trong khoảng ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = −1. B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

3

C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = − 2. D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = − 2 . y

f '( x )

4

2 x -2

-1 O

-1

-2

Lời giải Chọn C . Giá trị của hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = −2 .

Dạng 2: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y = g ( x ) = f ( ax + b) .

Phương pháp giải: - Từ đồ thị hàm số y = f ′( x ) suy ra dấu của đạo hàm trên các khoảng. Giả sử f ′( x ) > 0 ⇔ x ∈ D và f ′( x ) < 0 ⇔ x ∈ E - Tính g ′ ( x ) = af ′( ax + b) .

- Từ đồ thị hàm số ta xét dấu của f ′( ax + b) , từ đó suy ra dấu của g ′ ( x ) và kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số y = g ( x ) = f ( ax + b) . * Nếu a > 0 ta có: g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′( ax + b ) > 0 ⇔ ax + b ∈ D từ đó suy ra tập các giá trị của x để g ′ ( x ) > 0 . g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′( ax + b) < 0 ⇔ ax + b ∈ E từ đó suy ra tập các giá trị của x để g ′ ( x ) < 0 .

* Nếu a < 0 ta có: g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′( ax + b) < 0 ⇔ ax + b ∈ E từ đó suy ra tập các giá trị của x để g ′ ( x ) > 0 . g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′( ax + b) > 0 ⇔ ax + b ∈ D từ đó suy ra tập các giá trị của x để g ′ ( x ) < 0 .

Ví dụ 3: (Câu 35 – mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019). Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau: x

−∞

f ′( x)

−3 0

−1 0

1 0

+ − Hàm số y = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 4; + ∞ ) .

B. ( −2;1) .

−

C. ( 2; 4 ) .

Lời giải

+∞ +

D. (1; 2 ) .

Đáp án B  −3 < 3 − 2 x < −1 3 > x > 2 ⇔ . 3 − 2 x > 1 x < 1

Ta có y′ = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) < 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) > 0 ⇔  4

Vì hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) nên nghịch biến trên ( −2;1) .

Dạng 3: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  trong đó u ( x ) là một đa thức bậc n.

Phương pháp giải: - Từ đồ thị hàm số y = f ′( x ) suy ra dấu của đạo hàm trên các khoảng.

Giả sử f ′( x ) > 0 ⇔ x ∈ D ; f ′( x ) < 0 ⇔ x ∈ E và f ′( x ) = 0 ⇔ x = xi , i = 1, n . (*) - Tính g ′ ( x ) = u ′ ( x ) f ′ u ( x )  . u ′ ( x ) = 0

- Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔ u ′ ( x ) f ′ u ( x )  = 0 ⇔ 

 f ′ u ( x )  = 0

f ′ u ( x )  = 0 ⇔ u ( x ) = xi , i = 1, n (do (*)). Giải các phương trình này để tìm nghiệm của

phương trình g ′ ( x ) = 0 .

- Từ đó kết luận về tính đơn điệu hoặc cực trị của hàm số y = g ( x ) .

Ví dụ 4. (Câu 46– mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ′ ( x ) như sau

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) là A. 9 .

B. 3 .

C. 7 .

Lời giải

D. 5 .

Đáp án C Cách 1

Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′ ( x ) = 0 có các nghiệm tương ứng là  x = a, a ∈ ( −∞; −1)   x = b, b ∈ ( −1;0 ) .  x = c, c ∈ 0;1 ( )   x = d , d ∈ (1; +∞ )  5

Xét hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) ⇒ y ′ = 2 ( x − 1) f ′ ( x 2 − 2 x ) . x = 1  2 x − 2x = a  x −1 = 0  2 Giải phương trình y′ = 0 ⇔ 2 ( x − 1) f ′ ( x − 2 x ) = 0 ⇔  ⇔  x2 − 2x = b 2  f ′ ( x − 2 x ) = 0  x2 − 2x = c   x2 − 2x = d 

(1) ( 2) . ( 3) ( 4)

2

Xét hàm số h ( x ) = x 2 − 2 x ta có h ( x ) = x 2 − 2 x = −1 + ( x − 1) ≥ −1, ∀x ∈ ℝ do đó Phương trình x 2 − 2 x = a, ( a < −1) vô nghiệm.

Phương trình x 2 − 2 x = b, ( −1 < b < 0 ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 không trùng với nghiệm của phương trình (1) .

Phương trình x 2 − 2 x = c, ( 0 < c < 1) có hai nghiệm phân biệt x3 ; x4 không trùng với nghiệm của phương trình (1) và phương trình ( 2 ) .

Phương trình x 2 − 2 x = d , ( d > 1) có hai nghiệm phân biệt x5 ; x6 không trùng với nghiệm của phương trình (1) và phương trình ( 2 ) và phương trình ( 3 ) .

Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có 7 điểm cực trị.

Cách 2 Từ bảng biến thiên ta có phương trình

f ′( x) = 0

có các nghiệm tương ứng

 x = a, a ∈ ( −∞; −1)   x = b, b ∈ ( −1;0 ) là   x = c, c ∈ ( 0;1)  x = d , d ∈ (1; +∞ )  Xét hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) ⇒ y ′ = 2 ( x − 1) f ′ ( x 2 − 2 x ) . x = 1  2 x − 2x = a x −1 = 0   y′ = 0 ⇔ 2 ( x − 1) f ′ ( x 2 − 2 x ) = 0 ⇔  ⇔  x2 − 2x = b 2  f ′ ( x − 2 x ) = 0  x2 − 2x = c   x2 − 2x = d 

Vẽ đồ thị hàm số h ( x ) = x 2 − 2 x

6

(1) ( 2) . ( 3) ( 4)

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình ( 1) vô nghiệm. Các phương trình ( 2 ) ; ( 3 ) ; ( 4 ) mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.

Vậy phương trình y′ = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có 7 điểm cực trị.

Dạng 4: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y = g ( x ) = mf ( x) + h ( x ) .

Phương pháp giải: - Tính g ′ ( x ) = mf ′( x ) + h′ ( x ) .

- Xét dấu của g ′ ( x ) .

Tuỳ các biểu thức cho trong từng bài ta có thể có cách xét dấu khác nhau. Trong trường hợp tổng quát, ta có thể làm như sau: Tính g ′ ( x ) = 0 ⇔ mf ′( x ) + h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′( x) = −

h′ ( x ) . m

h′ ( x ) trên cùng hệ trục toạ độ với đồ thị hàm số y = f ′( x ) để so sánh m giá trị của chúng với nhau và suy ra dấu của g ′ ( x ) .

Vẽ đồ thị hàm số y = −

- Kết luận về tính đơn điệu hoặc cực trị Chú ý rằng: Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g ( x ) thì f ( x) > g ( x) .

Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g ( x ) thì f ( x ) < g ( x ) .

Chú ý: Ngoài cách giải trên, đối với các bài tập trắc nghiệm khách quan ta có thể tính g ′ ( x ) = mf ′( x ) + h′ ( x ) rồi thử các phương án trong đề bài để loại bỏ các đáp án nhiễu.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới

7

1 2

Đặt g ( x ) = f ( x ) + x 2 + x + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên (1; 3)

B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −3; 0 )

C. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 0; 3)

D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0; 3) Lời giải

Chọn A Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x + 1 Xét: g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x ) > − x − 1 (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị y = − x − 1 ta thấy:

Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm “phía trên” đồ thị y = − x − 1 khi x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) .

Do đó: (1) ⇔ x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −∞; − 3) và (1;3) .Vậy khẳng định đúng là A. Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + 3x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

8

D. 7.

Lời giải Chọn B. Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) + 3; g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) =−3. Suy ra số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′( x ) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị ta suy ra x =2

 x = −1  x = 0 . g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1   x = 2

y = −3.

Ta thấy x =−1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và

là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g( x ) = f ( x ) +3x có

3

điểm cực trị. Chọn B

Dạng 5: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số y = g ( x ) = mf (ax + b) + h ( x ) . ( am ≠ 0 ) Phương pháp giải: - Tính g ′ ( x ) = ma. f ′(ax + b) + h′ ( x ) .

Cách 1: Xét dấu của g ′ ( x ) .

Tuỳ các biểu thức cho trong từng bài ta có thể có cách xét dấu khác nhau.

Cách 2: Thử trực tiếp các phương án để loại bỏ phương án sai Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −1;0 ) .

Lời giải

Chọn C Cách 1: Xét y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x . y′ = 3.  f ′ ( x + 2 ) + (1 − x 2 )  .

9

D. ( 0; 2 ) .

1 ≤ x + 2 ≤ 3  −1 ≤ x ≤ 1 ⇔ . x + 2 ≥ 4 x ≥ 2

Ta có f ′ ( x + 2 ) ≥ 0 ⇔ 

 f ′ ( x + 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ y′ > 0, ∀x ∈ ( −1;1) .

2 1 − x > 0, ∀x ∈ ( −1;1)

Ta có 

Vậy ta chọn đáp án C. Cách 2: Xét y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x suy ra y′ = 3.  f ′ ( x + 2 ) + (1 − x 2 )  3



 7  5

Ta có y′   = 3.  f ′   −  < 0 nên loại đáp án A, D. 2   2  4 y ′ ( −2 ) = 3.  f ′ ( 0 ) − 3 < 0 nên loại đáp án B.

Vậy ta chọn đáp án C. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y = 3 f ( x + 3) − x3 + 12 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( 2; +∞ ) .

B. ( −1;0 ) .

C. (1;5 ) .

D. ( −∞; −1) .

Lời giải Chọn A Ta có y′ = 3 f ′ ( x + 3) − 3x 2 + 12 .

Cách 1: Thử với x = −0,5 ⇒ y′ ( −0,5 ) = 3 f ′ ( 2,5) − 0, 75 + 12 > 0 do f ′ ( 2,5 ) > 0 (Loại B) Với x = −1,5 ⇒ y′ ( −1,5 ) = 3 f ′ (1,5 ) − 6,75 + 12 > 0 do f ′ (1,5 ) > 0 (Loại D) Với x = 1,5 ⇒ y′ (1,5 ) = 3 f ′ ( 4,5) − 6, 75 + 12 > 0 do f ′ ( 4,5 ) > 0 (Loại C) Vậy chọn A. Cách 2: Đặt t = x + 3 ⇒ y′ = 3  f ′ ( t ) + ( −t 2 + 6t − 5 ) .

Xét dấu f ′ ( t ) và −t 2 + 6t − 5 .

10

 −1 < t < 1

 −4 < x < −2

⇔ Hàm số nghịch biến khi  . t > 5 x > 2 Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( −4; −2 ) và ( 2; +∞ ) .

Dạng 6: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số y = f ′( x ) và y = g ′( x ) suy ra tính đơn điệu của hàm số y = h ( x ) = m. f ( ax + b ) + n.g ( cx + d ) .

Phương pháp giải: - Tính y = h′ ( x ) = am. f ′ ( ax + b ) + cn.g ′ ( cx + d ) .

- Dựa vào đồ thị hai hàm số y = f ′( x ) và y = g ′( x ) suy ra dấu của của h′ ( x ) và kết luận.

Ta cũng có thể thử trực tiếp và loại phương án nhiễu.

Ví dụ 9. [Câu 50 - mã đề 101 - đề thi THPT quốc gia 2018] Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong

đậm hơn là đồ thị của hàm số y = g ′ ( x ) .

3 Hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x −  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 

31 A.  5;  . 

5

2

9 B.  ;3  .

4



31 C.  ; +∞  .



 5

Lời giải Đáp án B

11



25 D.  6;  . 

4 

Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) tại A ( a;10 ) , a ∈ ( 8;10 ) . Khi đó ta có  f ( x + 4 ) > 10, khi 3 < x + 4 < a  f ( x + 4 ) > 10, khi − 1 < x < 4   ⇒    3 3 3 3 25 .  g  2 x − 2  ≤ 5, khi 0 ≤ 2 x − 2 < 11  g  2 x − 2  ≤ 5, khi 4 ≤ x ≤ 4       3 3 Do đó h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x −  > 0 khi ≤ x < 4 nên suy ra hàm số 

2

4

3  h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x −  đồng biến trên khoảng 2 

9   ;3  . 4 

Cách 2: 3 Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x −  . 

2

Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3  , ta có < x + 4 < 7 , f ( x + 4 ) > f ( 3) = 10 ; 4 4  25

9

3 < 2x −

3 9 3  < , do đó g  2 x −  < f ( 8 ) = 5 .

2 2 2 

3 9 9 Suy ra h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x −  > 0, ∀x ∈  ;3  . Do đó hàm số đồng biến trên  ;3  .

2 4 4













Cách 3: (Thử trực tiếp để loại phương án nhiễu). x = 6 ⇒ h′ ( 6 ) = f ′ (10 ) − 2.g ′ (10, 5 ) .

Từ đồ thị ta thấy f ′ (10 ) = 8, g ′ (10, 5 ) > 4 ⇒ h′ ( 6 ) = f ′ (10 ) − 2.g ′ (10,5 ) < 0 nên loại A. x = 7 ⇒ h′ ( 7 ) = f ′ (11) − 2.g ′ (12,5 ) .

Từ đồ thị ta thấy f ′ (11) = 4, g ′ (12, 5 ) > 2 ⇒ h′ ( 6 ) = f ′ (11) − 2.g ′ (12,5 ) < 0 nên loại C, D. Vậy chọn B. PHẦN III. BÀI TẬP VẬN DỤNG Mức 1. ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ Câu 1:(THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) . Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

12

A. ( 2; +∞ ) .

B. (1; 2 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 0;1) và

( 2; +∞ ) .

Lời giải.

Chọn A Dựa vào đồ thị f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) > 0 khi x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) .

y

O 1

B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) .

3

-1

C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) .

x

D. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

-4 Lời giải Chọn B Trên khoảng ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trên trục hoành.

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) xác định, liên tục trên ℝ

y

và f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) .

B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (1; +∞ ) .

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ.

Lời giải Chọn C Trên khoảng (1; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trên trục hoành.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên ℝ . Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ, khẳng định 13

x O

1

nào sau đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ .

B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ .

C. Hàm số f ( x ) chỉ nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Lời giải Chọn C. Trong khoảng ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = −1. B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = − 2. D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại điểm x = − 2 . y

f '( x )

4

2 x -2

-1 O

-1

-2

Lời giải Chọn C Giá trị của hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = −2 .

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0.

B. f ( x ) đạt cực tiểu tại x = − 2.

C. f ( x ) đạt cực đại tại x = − 2.

D. Giá trị cực tiểu của f ( x ) nhỏ hơn giá trị cực đại của f ( x ) .

Lời giải Chọn B Giá trị hàm số y = f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = −2 .

Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng.

Câu 7. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số f ' ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

14

A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( − 1;1) . B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) . D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Lời giải Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì f ( x ) đồng biến trên K .

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì f ( x ) nghịch biến trên K .

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.

Trên khoảng ( 0; 2 ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên dưới trục hoành.

Câu 8. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) ĐB trên khoảng ( −∞; −2 ) ; ( 0; +∞ ) . B. Hàm số y = f ( x ) NB trên khoảng ( − 2; 0 ) .

C. Hàm số y = f ( x ) ĐB trên khoảng ( −3; +∞ ) .

D. Hàm số y = f ( x ) NB trên khoảng ( −∞ ; 0 ) Lời giải

Chọn C 15

Trên khoảng ( −3; +∞ ) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm trên trục hoành.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên ℝ . Biết f ( x ) có đạo hàm f '( x ) và hàm số y = f '( x ) có đồ thị như

hình vẽ. Xét trên (−π ; π ) , khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (−π ; π ) .

B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (−π ; π ) .    −π   π ; π  . và C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng −π ;    2  2  D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (0;π ) .

Lời giải Chọn D Trong khoảng (0;π ) đồ thị hàm số y = f '( x ) nằm phía trên trục hoành nên hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (0;π ) .

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ . Biết đồ thị của hàm số f ′( x) như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) trên đoạn [0;3] ?

A. x = 0 và x = 2.

B. x = 1 và x = 3.

C. x = 2.

D. x = 0.

Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 2.

Mức 2. ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = g ( x ) = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (1;3) C. ( −2;1)

B. ( 2; +∞ ) D. ( −∞; −2 ) Lời giải

Chọn C Ta có: g ′ ( x ) = ( 2 − x )′ . f ′ ( 2 − x ) = − f ′ ( 2 − x )  2 − x < −1 x > 3 ⇔ . 1 < 2 − x < 4 −2 < x < 1

Hàm số đồng biến khi g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < 0 ⇔ 

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới

16

Hàm số g( x ) = f (3−2x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (0;2).

B. (1;3).

C. (−∞;−1).

Lời giải

D. (−1; +∞).

Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra Xét

−2 < x < 2 . f ′ (x ) > 0 ⇔  x > 5 

Ta có g′ ( x ) =−2 f ′ (3 − 2x ).

1 5 −2 < 3 − 2 x < 2  <x<  ′ ′  g ( x ) < 0 ⇔ f (3 − 2 x ) > 0 ⇔ ⇔ 2 2. 3 − 2 x > 5    x < −1

Vậy g( x ) nghịch biến trên các khoảng

Cách 2. Ta có

   1 ; 5   2 2 

và (−∞;−1).

 5 x =  2  3 − 2 x = −2   1  theo do thi f '( x ) g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ (3 − 2 x ) = 0 ←→ 3 − 2 x = 2 ⇔  x = .   2 3 − 2 x = 5   x = − 1   

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C  

 2

1 Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn x = 0 ∈ −1; , suy ra ( )  → f ′ (3 − 2 x ) = f ′ (3) < 0. theo do thi f ' x

3 − 2x = 3

Khi đó g′ (0) =− f ′ (3) > 0.

Nhận thấy các nghiệm của g′ ( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới

Hàm số g( x ) = f (1−2x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−1;0).

B. (−∞;0).

C. (0;1).

17

D. (1; +∞).

Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị, suy ra Xét

 x < −1 . f ′(x ) < 0 ⇔   1 < x < 2

Ta có g′ ( x ) =−2 f ′ (1−2x ).

1 − 2 x < −1 g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ (1 − 2 x ) < 0 ⇔  ⇔  1 < 1 − 2 x < 2

x > 1   1 . − < x < 0  2

 1  Vậy g( x ) đồng biến trên các khoảng − ;0 và (1; +∞). Chọn D  2



Cách 2.

Ta có

x  x   ⇔ x =2   = 4 (nghiem kep )  x 

1 − 2 x  1 − 2 x theo do thi f '( x ) g ′ ( x ) = 0 ⇔ −2 f ′ (1 − 2 x ) = 0 ←   →  1 − 2 x 1 − 2 x 

= −1 =1

=1 =0 1 =− .

2 3 =− 2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 2 ∈ (1;+∞), suy ra ( )  → f ′ (1 − 2 x ) = f ′ (−3) < 0. theo do thi f ' x

Nhận thấy các nghiệm dấu; nghiệm

x =−

3 2

1 − 2 x = −3

Khi đó g′ (2) =−2 f ′ (−3) > 0.

1 x =− ;x = 0 2

và

x = 1 c ủa g ′ ( x )

là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi

là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên của hàm số y = f ′( x)  x được cho như hình vẽ bên. Hàm số y = f 1−  + x nghịch biến trên khoảng   2

A. (2; 4)

B. (0; 2)

C. (−2;0) Lời giải

Chọn D  x 1  x Xét hàm y = f 1−  + x , ta có: y ′ =− f ′ 1−  +1     2

2

2

18

D. (−4; −2)

 x  2 <1− < 3 (1)  x 1  x  2 Xét BPT y ′ =− f ′ 1−  +1< 0 ⇔ f ′ 1− > 2 ⇔  với f ′ ( a)= 2, a ∈(−1;0) .  2 x 2  2  −1<1− < a (2)  2 Xét (1): (1) ⇔− 4 < x <− 2 .

Xét (2): (2) ⇔ 2 − 2a < x < 4 Ta thấy các đáp án B, C không thỏa mãn và với a < 0 ⇒ 2 − 2a > 2 nên Đáp án A không thỏa mãn, vậy đáp án D thỏa mãn.

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = 2.

B. x = 4.

C. x = 3.

Lời giải

D. x = 1.

Chọn B Cách 1 : x −1 =1  x = 2 1< x−1<3 2< x <4 ⇔ g ' ( x) = f ' ( x −1) = 0 ⇔ x −1 = 3 ⇔  x = 4 ; g'( x) = f '( x−1) >0⇔ x − 1 > 5  x >6 x −1 = 5  x = 6

f '(x)

g'(x)

Cách 2 : đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.

Đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x − 1) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ x = 2; x = 4; x = 6 và giá trị hàm số g ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4 .

Câu 6. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) trên K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + 1) trên K ?

19

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Lời giải

D. 3.

Chọn B Ta có g ' ( x ) = f ' ( x + 1) có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x + 1) vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Câu 7. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y = f ( x − 2018 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

y

x

O

f ′ ( x ) theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) vẫn cắt trục hoành 1 điểm.

Mức 3. ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x 2 ) đồng biến trong khoảng y

y = f '( x ) O

1

−1

 −1 1 

A.  ;  .  2 2

B. ( 0; 2 ) .

4

x

 −1



C.  ;0  .  2  Lời giải

D. ( −2; − 1) .

Chọn C Đặt g ( x ) = f ( u ) , u = x 2 ≥ 0 thì g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( u ) nên x = 0 x = 0 ⇔ g′ ( x ) = 0 ⇔   x = ±1; x = ±2  f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = ±1; u = 4 Lập bảng xét dấu của hàm số g ′ ( x )

Lưu ý: cách xét dấu g ′ ( x ) 1 < x 2 < 4 1< u < 4 B1: Xét dấu f ′ ( u ) : ta có f ′ ( u ) > 0 ⇔  ⇔ 2 u < −1

 x < − 1 ( loai )

⇔ 1< x < 2

 x < 2 ⇔  x > 1

−2 < x < 2 ⇔ ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ (1; 2 ) và ngược lại tức là những khoảng còn lại f ′ ( u ) < 0 .  x < −1 ∪ x > 1 20

B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng).

B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f ′ ( u ) và x ta được như bảng trên

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi hàm số g( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−∞;−1).

B. (−1; +∞).

C. (−1;0).

Lời giải

D. (0;1).

Chọn C Ta có g′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 ).

Hàm số

Cách 2.

x > 0 x > 0    f ′ x 2 > 0 2 2   ( ) x >1 theo do thi f '( x ) −1 < x < 0 ∨ x > 1 g( x ) đồng biến ⇔ g′ ( x ) > 0 ⇔  ←→ . ⇔  x < 0 −1 < x < 0 x < 0    2  ′ 2 x < −1 ∨ 0 < x 2 < 1  f ( x ) < 0  x = 0   x 2 = −1  x = 0 x = 0 theo do thi f '( x )  ←→ ⇔ .

Ta có g′ ( x ) = 0 ⇔  ′ 2  2  f x = 0 ( ) x = 0  x = ±1   2  x = 1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (1;+∞)

x ∈ (1; +∞) → x > 0. (1) x ∈(1;+∞) → x 2 >1 . Với Từ (1) và (2), suy ra

( ) → f ′ ( x 2 ) > 0. x 2 > 1  theo do thi f ' x

g′ ( x ) = 2 xf ( x 2 ) > 0

(2)

trên khoảng (1;+∞) nên g′ ( x ) mang dấu

Nhận thấy các nghiệm của g′ ( x ) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

21

+.

Hàm số y = f ( x 2 ) có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

Lời giải

D. 2 .

Chọn B ′ Ta có y′ =  f ( x2 )  = 2 x. f ( x2 ) x > 0  x > 0  2   f ′ ( x ) < 0 theo dt f '( x )   x 2 < −1 ∨ 1 < x 2 < 4 1 < x < 2 ⇔ Hàm số nghịch biến ⇔ y′ < 0 ⇔  ← → x<0  x < −2 ∨−1 < x < 0 x < 0   ′ 2  −1 < x 2 < 1 ∨ x 2 > 4 f x >0  ( )

Vậy hàm số y = f ( x 2 ) có 3 khoảng nghịch biến.

Cách 2.

Ta có

x = 0   x 2 = −1  x = 0 x = 0 theo do thi f '( x )  ←→ ⇔  x = ±1. g′ ( x ) = 0 ⇔   2 2  ′ f x = 0 ( ) x = 1  x = ±2   2   x = 4

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+∞)

x ∈ (2; +∞) → x > 0.

(1)

x ∈(2;+∞) → x 2 > 4 . Với Từ (1) và (2), suy ra

( ) → f ′ ( x 2 ) > 0. x 2 > 4  theo do thi f ' x

g′ ( x ) = 2 xf ( x 2 ) > 0

(2)

trên khoảng (2;+∞) nên g′ ( x ) mang dấu

Nhận thấy các nghiệm của g′ ( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới

Hỏi hàm số g( x ) = f ( x 2 − 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Lời giải 22

D.

5.

+.

Chọn

C

Ta

g′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 5);

có

x = 0 x = 0    x 2 − 5 = −4  x = ±1 x = 0 theo do thi f '( x )   g′ ( x ) = 0 ⇔  ←→  2 ⇔  .

2 ′ f x − = 5 0 x − = − 5 1 ( )   x = ±2   2   x = ± 7  x − 5 = 2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi hàm số g( x ) = f (1 − x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (1;2) .

B. (0;+∞) .

C. (−2;−1) .

Lời giải

D. (−1;1) .

Chọn B

Ta có

g′ ( x ) = −2 xf ′ (1 − x 2 ). Hàm

Trường hợp 1: Trường hợp 2:

số g( x ) nghịch biến

−2 x > 0   f ′ 1 − x 2 < 0 )  ( ⇔ g′ ( x ) < 0 ⇔  . −2 x < 0   ′ 2  f (1 − x ) > 0

−2 x > 0  x < 0  . ⇔   2  f ′ 1 − x ) < 0 1 < 1 − x 2 < 2 : vo nghiem  ( −2 x < 0  x > 0  ⇔  ⇔ x > 0.  2  f ′ (1 − x ) > 0 1 − x 2 < 1 ∨ 1 − x 2 > 2 

Chọn B

Cách 2.

Ta có

x = 0 x = 0  theo do thi f '( x )   ←→ 1 − x 2 = 1 ⇔ x = 0. g′ ( x ) = 0 ⇔  2 ′ f 1 − x = 0 ( )  2  1 − x = 2

23

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 1 ∈ (0; +∞). →−2x < 0. (1) x = 1 

( ) → f ′ (1 − x 2 ) = f ′ (0 )  → f ′ (0 ) = 2 > 0. x = 1 → 1 − x 2 = 0  theo do thi f ' x

(2)

Từ (1) và (2), suy ra g′(1) < 0 trên khoảng (0; +∞).

Nhận thấy nghiệm của g′( x ) = 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 6. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Chọn A Cách 1: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x ) theo phương O y lên trên 4 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A

Cách 2: Số cực trị của hàm g ( x ) bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) + 4 = 0 ⇔ f ' ( x ) = −4

Dựa vào đồ thị của hàm f ' ( x ) ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) + 2 x là

A. 4 .

B. 1.

C. 3 .

Lời giải

D. 2 .

Chọn B Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2 x . Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 2 . Từ đồ thị hàm số f ′ ( x ) ta thấy:  x = −1 .  x = α (α > 0 )

+ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = −2 ⇔ 

x < α .  x ≠ −1

+ g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x ) > −2 ⇔ 

+ g′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( x ) < −2 ⇔ x > α .

24

Từ đó suy ra hàm số y = f ( x ) + 2 x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x = α .

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị.

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) + x . Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải

D. 4.

Chọn B Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) + 1 . Đồ thị của hàm số g ' ( x ) là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) theo phương O y lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm:

A. x = 0 .

B. x = 1 .

C. x = 2 .

Lời giải

D. Không có điểm cực tiểu.

Chọn B Cách 1: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 1 . Tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x ) lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số g ′ ( x ) .

Bảng biến thiên

Cách 2: Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) +1; g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) =−1. Suy ra số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′( x ) và đường thẳng

25

y = −1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

x = 0  g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 2 

Lập bảng biến thiên cho hàm g( x ) ta thấy g( x ) đạt cực tiểu tại x = 1.

Chọn B Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (−∞;0) ta thấy đồ thị hàm f ′( x ) nằm phía dưới đường y = −1 nên g′ ( x ) mang dấu − .

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + 3x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Lời giải

D. 7.

Chọn B Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) + 3; g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) =−3. Suy ra số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′( x ) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 x = −1  x = 0 . g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 x = 2 

y = −3.

Ta thấy x =−1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và

là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g( x ) = f ( x ) +3x có 3 điểm cực trị. Chọn B Mức 4. ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ x =2

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x 2 − 5) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

26

y

2

x -4

-1

2

O

-2

A. (−1;0)

B. (−1;1)

C. (0;1)

D. (1; 2)

Lời giải Chọn C Xét hàm số y = f ( x 2 − 5) x = 0 x = 0   2  x − 5 = −4  x = ±1 ⇒  Ta có y ′ = 2 x. f ′ ( x 2 − 5) , y ′ = 0 ⇒  2 .  x − 5 = −1  x = ±2  2   x − 5 = 2  x = ± 7

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ thỏa f (2) = f (−2) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x) có dạng như hình vẽ bên dưới.

2

Hàm số y = ( f ( x)) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:  3 A. −1;  

2

B. (−2; −1)

C. (−1;1)

D. (1; 2)

Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x) ta lập được bảng biến thiên của y = f ( x) như sau:

27

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ .

2

Xét hàm số y = ( f ( x)) , ta có y ′ = 2 f ( x). f ′ ( x) .

2

Do Oxyz và f ′ ( x) > 0, ∀x ∈ (1; 2) ∪ (−∞; −2) nên hàm số y = ( f ( x)) nghịch biến trên khoảng

(−∞; −2) và (1; 2) .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới

1 2

Đặt g ( x ) = f ( x ) + x 2 + x + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên (1; 3)

B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −3; 0 )

C. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 0; 3)

D. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0; 3)

Chọn A Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x + 1 Xét: g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x ) > − x − 1 (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị y = − x − 1 ta thấy:

Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm “phía trên” đồ thị y = − x − 1 khi x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) .

28

Do đó: (1) ⇔ x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) Vậy hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −∞; − 3) và (1;3) .Vậy khẳng định đúng là A.

Chú ý: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) thì nó cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng con của ( a; b ) .

Câu 4: (Sở Hà Nội 2018) Cho hàm số y = f ( x ) . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số y = f ( 3 − x 2 ) đồng biến trên khoảng

A. ( 0;1) .

B. ( −1;0 ) .

C. ( 2;3 ) .

D. ( − 2; − 1) .

Lời giải Chọn B   x > 0  2   f ' ( 3 − x ) < 0 2 2 Ta có:  f ( 3 − x )  ' = f ' ( 3 − x ) . ( −2 x ) > 0 ⇔    x < 0  2   f ' ( 3 − x ) > 0

 x > 0  x > 0   2 2    3 − x < −6  x > 9 x > 3    −1 < 3 − x 2 < 2 4 > x2 > 1 2 > x > 1     . ⇔ ⇔ ⇔  x < 0  x < 0  −1 < x < −2       −6 < 3 − x 2 < −1    4 < x 2 < 9  −1 < x < 0     2 2    x < 1   3 − x > 2

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên dưới

ℝ.

Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên

Hàm số g( x ) = 2 f ( x )− x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

29

A. (−∞;−2).

B. (−2;2).

C. (2;4).

Lời giải

D. (2; +∞).

Chọn B → g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.

Ta có g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) −2x  Số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, suy ra

d:y=x

(như hình vẽ bên dưới).

 x = −2  g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 4 

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x ∈ (−2;2) thì đồ thị hàm số f ′( x ) nằm phía trên đường thẳng

y=x

nên g′( x ) > 0 )

 →

hàm số g( x ) đồng biến trên (−2;2).

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi hàm số g( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1)2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

C. (−∞;3).

Lời giải Chọn B Ta → g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) =−x −1. g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2 ( x +1)  A. (−3;1).

B. (1;3).

D. (3; +∞). có

Số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng

Dựa vào Yêu cầu

d : y = −x − 1

 x = −3  đồ thị, suy ra g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 . x = 3   x < −3 bài toán ⇔ g′ ( x ) > 0 ⇔  (vì 1 < x < 3

y = −x −1 ).

(như hình vẽ bên dưới).

phần đồ thị của f '( x ) nằm phía trên đường thẳng

Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Hàm số g ( x ) = −2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng 30

A. ( −3; −2) .

B. ( −2; −1) .

C. ( −1; 0 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải

( ) ( ) ( ) ( ) Chọn C Ta có : (thêm bớt) Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) ta có : f ' ( x ) < x − 2 ⇔ 2 < x < 3 (vì phần đồ

g′ x = 2 f ′ 2 − x + 2x ⇒ g ′ x = 0 ⇔ f ′ 2 − x = − x ⇔ f ′ ( 2 − x ) = ( 2 − x ) − 2

thị f ' ( x ) nằm phía dưới đường thẳng y = x − 2 , chỉ xét khoảng

( 2;3) còn các khoảng khác không xét dựa vào đáp án). g ( x) Hàm số nghịch

biến

⇔ g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 ⇔ 2 < 2 − x < 3 ⇔ −1 < x < 0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) .

Lưu ý: Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = x − 2 cắt đồt thị f ′ ( x ) tại 2 điểm có hoành độ 1 < x < 2

1 nguyên liên tiếp là   x2 = 3

và cũng từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < x − 2 trên miền 2 < x < 3 nên

f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 trên miền 2 < 2 − x < 3 ⇔ − 1 < x < 0 .

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) . Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x2 − 3) .

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Lời giải

D. 5.

Chọn B Ta có

g′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 3);

x = 0   x = 0 x = 0 theo do thi f ' x ( ) . g ′ ( x ) = 0 ⇔  ←→  x 2 − 3 = −2 ⇔  x = ±1 2  2  f ′ ( x − 3) = 0   x − 3 = 1 (nghiem kep )  x = ±2 (nghiem kep )

Bảng biến thiên 31

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+∞)

x ∈ (2; +∞) → x > 0.

(1)

theo do thi f '( x ) → x 2 − 3 > 1 → f ′ ( x 2 − 3) > 0. x ∈ (2; +∞) → x 2 > 4 

Từ (1) và (2), suy ra

g′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 − 3) > 0

(2)

trên khoảng (2;+∞) nên g′ ( x ) mang dấu

+.

Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g′ ( x ) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f ′( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm f ' ( x ) như sau :

Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải

D. 4.

Chọn A Ta có

g ′ ( x ) = (2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x ); x = 1 x   2  x 2 x − 2 = 0 x − 2 x = −2 theo BBT f '( x )   g′ ( x ) = 0 ⇔  ←  → ⇔  2 ⇔  2  x − 2 x = 1( nghiem kep )  x  f ′ ( x − 2 x ) = 0  2   x  x − 2 x = 3

=1 = 1 ± 2 (nghiem kep ) . = −1 =3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (3;+∞)

x ∈ (3; +∞) → 2x −2 > 0.

(1)

theo BBT f '( x ) → f ′ ( x 2 − 2 x ) < 0. x ∈ (3; +∞) → x 2 − 2 x > 3 

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

g′ ( x ) = (2 x − 2) f ′ ( x 2 − 2 x ) < 0

trên khoảng (3;+∞) nên g′ ( x ) mang dấu

−

Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 3 là các nghiệm bội lẻ nên g′ ( x ) qua nghiệm đổi dấu.

32

.

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm f ' ( x ) như đồ thị hình bên dưới. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( − x 2 + 3 x ) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

Lời giải

D. 6.

Chọn A Ta có

g′ ( x ) = (−2 x + 3). f ′ (−x 2 + 3 x );  3 x =  3  x = 2   2 −2 x + 3 = 0   3 ± 17 theo do thi f ( x ) . ← → −x 2 + 3 x = −2 ⇔  x = g ′ ( x ) = 0 ⇔  2   ′ f − x + 3 x = 0 2 )  ( 2  −x + 3 x = 0 x = 0     x = 3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu của

g′ (x )

được xác định như sau: Ví dụ chọn

(1)

−2 x + 3 = −5 < 0.

( ) −x 2 + 3 x = −4  → f ′ (−4 ) > 0

Từ (1) và (2 ), suy ra

theo do thi f x

 3 + 17  x = 4 ∈  ; +∞   2

( vì

g′ ( x ) = (−2 x + 3) f ′ (−x 2 + 3x ) < 0

f

đang tăng).

trên khoảng

(2 )

   3 + 17 ; +∞.   2   

Nhận thấy các nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g ′ ( x ) qua nghiệm đổi dấu.

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x ) trên ℝ và đồ thị của hàm số f '( x ) như hình v ẽ.

33

Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x − 1) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có sáu cực trị. B. Hàm số có năm cực trị.

C. Hàm số có D. Hàm số có ba cực trị. bốn cực trị.

Lời giải Chọn D x = 1 x = 0  2 2 Ta có: g ' ( x) = (2x − 2) f '( x − 2x −1) . Nhận xét: g '( x) = 0 ⇔ x − 2x −1 = −1 ⇔  x = ±1 x2 − 2x −1 = 2  x = 2; x = 3  Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f (0) < 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g( x ) = f 2 ( x ) là A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải.

Dựa vào đồ thị, ta có

 x = −2 f ′ ( x ) = 0 ⇔  .  x = 1 ( nghiem kep )

Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

34

D.

4.

Xét

x   f ′ ( x ) = 0 theo BBT f x  x  ) g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) f ( x ); g ′ ( x ) = 0 ⇔  ← (  → x  f ( x ) = 0  x 

= −2 = 1 (nghiem kep ) . = a (a < − 2 ) = b (b > 0 )

Bảng biến thiên của hàm số g( x )

Vậy hàm số g( x ) có 3 điểm cực trị. Chọn C Chú ý: Dấu của g′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0 ∈ (−1;b)

theo do thi f '( x ) → f ′ (0) > 0. (1) x = 0 

Theo giả thiết f (0) < 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g′ (0) < 0 trên khoảng (−1; b).

Nhận thấy x =−2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g′ ( x ) đổi dấu khi qua các nghiệm này.

Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g′ ( x ) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g′ ( x ).

35