XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 (2019)

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/21693862

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN DISSERTATION PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 (2019) PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

NGUYỄN DẠ THẢO

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI, 2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

NGUYỄN DẠ THẢO

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2019

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, với tất cả tình cảm chân thành cùng tấm lòng kính trọng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, những ngƣời đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trƣờng. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn ThS. Dƣơng Thị Hà, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng học sinh trƣờng THPT Quỳnh Thọ và THPT Yên Phong số 1 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận.

Và cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những ngƣời thân đã quan tâm, động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, giới thiệu tài liệu giúp tôi hoàn thành khóa luận này.

Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng trong quá trình tiến hành làm khóa luận, nhƣng do năng lực của bản thân còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Dạ Thảo

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân với sự hƣớng dẫn của ThS. Dƣơng Thị Hà. Kết quả khóa luận không trùng khớp với các công trình nghiên cứu khác, nếu sai sót, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Dạ Thảo

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN BTTT

Bài toán thực tiễn

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HD

Hƣớng dẫn

KGM

Không gian mẫu

NXB

Nhà xuất bản

OECD

Organization for Economic Cooperation and Develop (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế)

PISA

Program for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế)

QTC

Quy tắc cộng

QTN

Quy tắc nhân

SGK

Sách giáo khóa

THPT

Trung học phổ thông

TH

Trƣờng hợp

XS

Xác suất

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................ 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu.............................................................................. 2 6. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................ 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 3 1.1. Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn Toán ................................................ 3 1.1.1. Vấn đề dạy học gắn với thực tiễn đời sống tại một số nƣớc trên thế giới hiện nay ............................................................................................................. 4 1.2. Tính thực tiễn của Toán học....................................................................... 7 1.2.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn ........................................................ 8 1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn ................................................................... 8 1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn....................................... 9 Nhƣ đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển Toán học. Ngƣợc lại, Toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kĩ thuật khác................................................................. 9 1.3. Bài toán thực tiễn ..................................................................................... 11 1.3.1. Bài toán thực tiễn và phân loại bài toán thực tiễn................................. 11 1.3.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học.......................... 13 1.3.3. Phƣơng pháp chung giải bài toán thực tiễn ........................................... 15 1.4. Thực trạng sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong dạy học môn Toán ở phổ thông ............................................................................. 20 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ........................................................... 20 1.4.2. Kết quả khảo sát .................................................................................... 21

Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 24 CHƢƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN ............. 25 CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 ........................ 25 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong dạy học Toán ở phổ thông ..................................................................... 25 2.1.1. Mục tiêu................................................................................................. 25 2.1.2. Nội dung [7] .......................................................................................... 25 III. Xác suất củ

iến cố .................................................................................... 29

2.2 Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề tổ hợp, xác suất .................... 30 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn ................................ 30 2.2.2. Phƣơng pháp xây dựng bài toán thực tiễn............................................. 32 2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất ......................... 34 2.3. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất................................................................................................................... 54 2.4. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợpXác suất cho học sinh lớp 11. ......................................................................... 56 2.4.1. Mục đích kiểm nghiệm.......................................................................... 56 2.4.2. Thời gian kiểm nghiệm ......................................................................... 56 2.4.3. Nội dung kiểm nghiệm .......................................................................... 56 2.4.4. Phƣơng pháp kiểm nghiệm ................................................................... 56 2.4.5. Kết quả kiểm nghiệm ............................................................................ 57 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 60 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 62 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và là “chìa khóa” trong hầu hết các hoạt động của con ngƣời, nó có mặt khắp nơi. Toán là môn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhƣ khoa học, công nghệ, hóa học, sinh học, vật lý,… Ngày nay, toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào y học, đời sống và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.

Chƣơng trình môn Toán mới đƣợc ban soạn thảo xây dựng trên phƣơng châm 10 chữ: Tinh giản, thiết thực, hiện đại và khơi nguồn sáng tạo. Nội dung phải tinh giản, phản ánh những giá trị cốt lõi, nền tảng của văn hóa toán học. Chƣơng trình chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế và các môn học khác. Ở lớp 11, chủ đề Xác suất giúp học sinh biết vận dụng kiến thức toán học trong giải quyết một số vấn đề đầu tƣ hay lãi suất và vay nợ của chức tín dụng. Trong y học, Xác suất đƣợc ứng dụng để giải một số bài toán về di truyền học. Trong đời sống, biết vận dụng tính lợi nhuận, năng suất lao động, năng suất cây trồng…

Tuy nhiên, trong chƣơng trình Toán lớp 11 chƣơng Tổ hợp và Xác suất, số lƣợng và nội dung các bài toán thực tiễn còn rất ít, chƣa phong phú, đa dạng và còn nhiều hạn chế. Qua nghiên cứu chƣơng trình SGK cùng các tài liệu liên quan đến toán học và đời sống, tôi nhận thấy đây là một chủ đề có rất nhiều tiềm năng xây dựng các bài toán thực tiễn.

Khi đó, những bài tập này ngoài tầm quan trọng nhƣ để củng cố hoặc chuyển tải kiến thức, còn có thể phục vụ cho việc học tập của học sinh, là niềm hứng thú vừa giúp học sinh thấy đƣợc vai trò quan trọng của Toán học trong cuộc sống vừa hấp dẫn, kích thích đƣợc ham muốn tìm tòi, khám phá của các em. Việc tăng cƣờng các bài toán thực tiễn ở chủ đề Xác suất góp phần tăng cƣờng sự kết nối giữa Toán học và thực tiễn của chƣơng trình giáo dục phổ thông hiện hành, đồng thời là sự chuẩn bị tốt để tiếp nhận chƣơng trình giáo dục phổ thông mới.

1

Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11”.

2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả dạy học chủ đề này nói riêng đồng thời nâng cao chất lƣợng hiệu quả của việc học tập môn Toán ở phổ thông nói chung để có thể ứng dụng ra đời sống.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về BTTT. - Tìm hiểu thực trạng về việc xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề Xác suất ở trƣờng phổ thông.

- Xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Xác suất cho học sinh lớp 11.

- Kiểm nghiệm chất lƣợng hệ thống bài toán đã đƣợc xây dựng.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Bài toán thực tiễn.

- Chủ đề Xác suất trong chƣơng trình Toán 11.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu -

Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận.

-

Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm.

-

Phƣơng pháp điều tra, khảo sát.

-

Phƣơng pháp kiểm nghiệm giáo dục.

6. Cấu trúc củ đề tài Ngoài phần mở đầu và kết luận thì khó luận gồm 2 chƣơng: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11

2

NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn Toán Luật giáo dục nƣớc ta năm 2005 đã khẳng định: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn”. Tuy toán học là môn học có tính trừu tƣợng cao nhƣng không vì thế mà mất đi tính thực tiễn của nó, bởi Toán học là môn khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn. Toán học nhƣ một môn khoa học ứng dụng nên các tri thức Toán đƣợc vận dụng nhiều cho việc học tập các môn khoa học, các ngành khoa học khác, cũng nhƣ trong đời sống thực tế.

Toán học ngày một hình thành nên những khái niệm, quy luật mới phản ánh sâu sắc hơn bản chất quan hệ số lƣợng và cấu trúc của hiện thực. Vì thế toán học ngày càng phục vụ hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn. Có những nghi ngờ về việc Toán học sẽ xa rời dần thực tế. Nhƣng thực chất, dù trừu tƣợng đến đâu thì Toán học vẫn là sản phẩm của tƣ duy, là kết quả của sự phản ánh hiện thực tích cực, sáng tạo của con ngƣời. Thông qua những hình thức trừu tƣợng mà tƣ duy con ngƣời phản ánh thế giới đầy đủ và sâu sắc hơn.

Trong quá trình dạy học Toán cần tăng cƣờng cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong cả giờ lý thuyết cũng nhƣ giờ bài tập. Để làm đƣợc nhƣ vậy cần có phƣơng pháp và kĩ năng Toán học hóa tình huống thực tế.

Có thể khẳng định rằng Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và lại quay lại phục vụ thực tiễn. Mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn có thể biểu diễn nhƣ sau: Hình thành Thực tiễn

Các lý thuyết Toán học

Ứng dụng Lâu nay không ít ngƣời cảm thấy thất vọng vì đã “uổng công” học Toán, đặc biệt rất nhiều học sinh thuộc bậc THPT đặt ra những câu hỏi chống chế với giáo viên của mình rằng “học Toán để làm gì? Ra thực tế có dùng gì 3

mấy cái tính toán này đâu cô?”. Nhƣng Toán học lại là “chìa khóa” cho mọi vấn đề, Toán học không phải những công thức vô bổ mà Toán học gắn liền với sự phát triển của loài ngƣời. Những bài toán đặt ra thƣờng xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn, nhƣng trên thực tế thì học sinh sau khi tốt nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức Toán đã học đƣợc trong nhà trƣờng vào việc gì trong cuộc sống, nhất là những bài toán khó mà họ đã tốn bao công sức nhồi nhét. Đây là một thực tế, xuất phát từ việc xác định nội dung và phƣơng pháp dạy Toán không hợp lý trong các nhà trƣờng hiện nay. Toán học đã bị biến thành một môn “đánh đố thuần túy”, thay vì một môn khoa học mang đầy chất thực tiễn. Tuy nhiên, vẫn còn một lý do khác khiến chúng ta không nhìn thấy đƣợc phản chiếu của Toán học trong thực tiễn thƣờng ngày, đó là Toán học ngày nay không mấy khi trực tiếp đi đƣợc vào các ứng dụng trong thực tiễn mà thƣờng phải ẩn sau các ngành khoa học khác nhƣ: Sinh học, Vật lý, Tài chính, Kinh tế,… và thậm chí là cả Công nghệ thông tin, một lĩnh vực có thể xem nhƣ là đƣợc sinh ra từ Toán học.

Thông qua thời gian học tập và thực tập giảng dạy ở trƣờng Trung học phổ thông, cũng nhƣ việc dự giờ, trao đổi kinh nghiệm, chúng tôi nhận thấy việc dạy Toán gắn với thực tiễn chƣa đƣợc chú trọng và quan tâm đúng mức bởi những nguyên nhân sau: - Cách đánh giá trong thi cử, học sinh thƣờng mang tâm lý học để thi, mục đích chính là để đối phó với thầy cô và cha mẹ.

- Chƣơng trình hiện hành vẫn đang còn nặng nề, gây quá tải cho ngƣời học, bộ sách chuẩn dung cho tất cả học sinh là không hợp lý. Không phải đối tƣợng nào cũng có thể học đƣợc chƣơng trình Toán hiện nay, ví dụ nhƣ: học sinh miền núi, vùng sâu vùng xa, học sinh có năng khiếu về khoa học xã hội thì hạn chế về tƣ duy Toán. Điều đó khiến nhiều học sinh không theo kịp.

Chƣơng trình học vẫn còn mang nặng tính hàn lâm, thiếu thực tiễn.

1.1.1. Vấn đề dạy học gắn với thực tiễn đời sống tại một số nước trên thế giới hiện nay  Phần Lan:

4

Giáo dục Phần Lan vận hành theo tƣ tƣởng giáo dục độc đáo, thể hiện ở quan điểm đối với học sinh và giáo viên: hai chủ thể quan trọng nhất này của nhà trƣờng phải đƣợc quan tâm và tôn trọng hết mức. Nhiệm vụ của giáo viên là làm cho học sinh hào hứng học tập, say mê hiểu biết, quan tâm tập thể và xã hội. Đây là một ƣu điểm của chế độ giáo dục Phần Lan. - Học sinh chỉ đƣợc dạy những thứ cần thiết trong cuộc sống. Trong các buổi học bơi, học sinh đƣợc dạy cách phát hiện dấu hiệu của một ngƣời bị đuối nƣớc. Khi học về quản lý nhà cửa, các em đƣợc trang bị kỹ năng nấu nƣớng, đan móc và khâu vá. Học sinh Phần Lan có thể dễ dàng tạo website.

Thiên nhiên cũng là mảng nội dung đƣợc các nhà giáo dục quan tâm. Điều quan trọng ở đây là chuẩn bị khả năng thích nghi đối với thế giới liên tục thay đổi. Học thuộc lòng hoàn toàn không cần thiết vì các em đã có sự hỗ trợ của Internet.

- Một số trƣờng không dạy theo môn học: một trong những hƣớng đi mới của hệ thống giáo dục Phần Lan là giảng dạy dựa trên sự kiện, hiện tƣợng. Thay vì cơ cấu thành từng bài giảng, giáo viên cho phép học sinh dùng 6 tuần để nghiên cứu về một chủ đề từ nhiều góc độ. Chẳng hạn, chủ đề về dân nhập cƣ có thể đƣợc khám phá từ địa lý (họ đến từ đâu), lịch sử (điều gì đã xảy ra trƣớc đó) và văn hóa (những truyền thống của họ). Học sinh tự đặt ra câu hỏi và tự tìm câu trả lời.

Phần Lan đã xây dựng đƣợc một nền tảng giáo dục vững chắc và đạt đƣợc nhiều kết quả ngoài mong đợi. Đáng chú ý là thành tích của sinh viên Phần Lan khi tham gia cùng với các nƣớc Công nghiệp phát triển OECD vào Chƣơng trình đánh giá sinh viên quốc tế (PISA) (đƣợc tổ chức 3 năm/lần từ năm 2000 đến nay), sinh viên Phần Lan luôn đứng đầu trong bảng thành tích của chƣơng trình này.

Sau những thành công này, giáo dục Phần Lan đã trở thành tâm điểm của thế giới. Truyền thông BBC của Anh ra hàng loạt phóng sự về hiện tƣợng Phần Lan. Chuyên gia giáo dục Phần Lan đƣợc mời đi hầu hết các nƣớc OECD và ngoài OECD để thuyết trình về mô hình giáo dục của mình.  Hoa Kỳ: 5

Nền giáo dục Mỹ đề cao sự tự tìm tòi khám phá và khác biệt của mỗi cá nhân. Học sinh là ngƣời phát biểu và đƣa ra ý kiến, thảo luận; giáo viên hƣớng dẫn, không áp đặt quan điểm mà chỉ gợi ý tính ƣu, khuyết của từng khía cạnh. Để có thể tự tin và tăng tính thuyết phục trong cuộc thảo luận, học sinh phải tự tìm hiểu, tham khảo tài liệu, phát huy điểm mạnh của bản thân.

Mỗi cá nhân tự đƣa ra mục tiêu học tập của mình và đƣợc nhà trƣờng tạo điều kiện tốt nhất để thực hiện.

Ngay khi còn ngồi trên ghế nhà trƣờng, học sinh đã đƣợc tiếp cận chƣơng trình học giàu tính trải nghiệm, kích thích tìm kiếm, đƣa ra các góc nhìn khác nhau khi có vấn đề cần giải quyết. Các em cũng vƣợt trội về sự năng động, tự tin và hòa nhập bởi đã đƣợc làm quen với kiến thức và kỹ năng cần thiết để xử lý các tình huống khó khăn.

Một trong những đặc trƣng nổi bật của phƣơng pháp giáo dục Mỹ là tôn trọng thực tế. Học sinh đƣợc tạo cơ hội trải nghiệm thực tế, không nhồi nhét kiến thức... Giáo viên còn áp dụng chƣơng trình vào thực tế, tránh lý thuyết suông để giúp các em hiểu sâu, nhớ lâu. Học tập kết hợp với internet, học qua dự án, chủ động xây dựng sự hiểu biết qua tƣơng tác với nhóm bạn. Các em dám tự tin thể hiện mình trƣớc đám đông, đƣợc trau dồi khả năng trở thành ngƣời lãnh đạo trong tƣơng lai.

PISA (Programme for International Student Assessment) là chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế do OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới) khởi xƣớng. PISA đƣợc đƣa vào triển khai thực hiện từ năm 2000 với mục đích kiểm tra, đánh giá và so sánh trình độ học sinh ở độ tuổi 15 giữa các nƣớc trên thế giới. Đây đƣợc coi là chƣơng trình nghiên cứu so sánh, đánh giá chất lƣợng giáo dục có quy mô lớn nhất trên thế giới cho đến nay.

Theo V. V. Firxov: “việc giảng dạy Toán ở trƣờng phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán học. Điều đó phải đƣợc thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế”. Chúng ta cũng đều thấy rõ rằng: khi xã hội càng hiện đại, khoa học kĩ thuật càng phát triển, nhất là trong thời đại công nghệ thông tin nhƣ hiện nay, thì vai trò của Toán học

6

càng không thể thiếu đƣợc. Toán học nhƣ một công cụ đắc lực trong nghiên cứu, ứng dụng Toán trong lao động sản xuất và rất nhiều mặt khác trong đời sống. Trên thế giới phƣơng pháp dạy học gắn với thực tiễn, phƣơng pháp kiểm tra đánh giá theo chƣơng trình PISA đang ngày càng đƣợc nhiều quốc gia áp dụng. Lần đầu tiên Việt Nam tham gia PISA với mục tiêu là hội nhập mạnh mẽ với giáo dục quốc tế, so sánh với giáo dục của các quốc gia trên thế giới, đổi mới phƣơng pháp đánh giá, cách dạy - học, đón đầu cho đổi mới nền giáo dục nƣớc nhà vào năm 2015... Có thể nói, với cách tiếp cận, hội nhập cùng giáo dục các nƣớc trên thế giới, chúng ta có nhiều hy vọng vào việc đổi mới toàn diện, triệt để, nâng cao chất lƣợng giáo dục Việt Nam. Trong bối cảnh giáo dục còn nặng về bệnh thành tích thì PISA có tác động rất lớn đến việc thay đổi việc dạy và học một cách tích cực, thay đổi thi cử một cách hữu hiệu, thay đổi cách đánh giá, kiểm định chất lƣợng giáo dục tiến bộ hơn, sát với thế giới hơn. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA đƣợc áp dụng cho học sinh ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi lớp 9 ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực Toán học của PISA bao gồm 100% các bài toán thực tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy câu hỏi đặt ra cho việ đánh giá học sinh ở lứa tuổi tiếp theo của PISA, tức là học sinh THPT thì đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tang cƣờng hơn nữa việc vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn, các bài toán thực tiễn.

1.2. Tính thực tiễn củ Toán học Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và là “chìa khóa” trong hầu hết các hoạt động của con ngƣời, nó có mặt khắp nơi. Toán học là kết quả của sự trừu tƣợng hóa các sự vật hiện tƣợng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tƣợng cao nhƣng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan. Cụ thể là:

7

1.2.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn Toán học xuất phát từ thực tiễn lao động của con ngƣời, do nhu cầu của con ngƣời trong quá trình lao động sản xuất, khám phá và cải tạo tự nhiên. Ăng-ghen đã chỉ ra khái niệm toán học ban đầu, khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa trong thế giới hiện thực do nhu cầu thực tiễn, chứ không phải sinh ra từ trí não con ngƣời, do tƣ duy thuần túy.

Ví dụ: - Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm những đồ vật, đếm gia súc chăn nuôi,...

- Hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nin (Ai Cập).

- Số biểu diễn bởi phân số phát sinh do nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả những đại lƣợng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và do nhu cầu chia những đồ vật thành nhiều phần bằng nhau.

- Hệ thống số hữu tỉ đƣợc hình thành do nhu cầu đo những đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng không đo đƣợc bằng số hữu tỉ có 1 lần đo. Đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con ngƣời hoàn thiện đƣợc khái niệm về số tự nhiên, đại số, hình học. Con ngƣời nghiên cứu tất cả các sự vật đó, số lƣợng, hình dạng, diện tích, thể tích của chúng trong khi giải quyết các bài toán trong thực tiễn đời sống.

1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn Angel đã chỉ rõ: “Đối tƣợng của toán học thuần túy là những quan hệ số lƣợng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Do đó toán học là một khoa học rất thực tiễn. Việc khoa học ấy mang một hình thức hết sức trừu tƣợng chỉ che đậy bề ngoài của nó trong thế giới khách quan mà thôi.” Chẳng hạn các khái niệm về số tự nhiên, đại lƣợng và hình học có vô số những hình dạng hiện thực với nội dung vật chất khác nhau.

8

1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Nhƣ đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển Toán học.

Ngƣợc lại, Toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kĩ thuật khác.

Ví dụ 1 : Ứng dụng củ đạo hàm trong một số ài toán về kinh doanh, sản xuất trong cuộc sống Một cửa hàng bán mít ở Bắc Ninh với giá bán mỗi quả là 70000 đồng.

Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán đƣợc khoảng 45 quả mít. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ƣớc tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số mít bán đƣợc tăng thêm 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu đƣợc lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 50000 đồng.

Lời giải: Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả mít ( x đồng; 50000  x  70000 đồng).

Ta có thể lập luận nhƣ sau: Giá 70000 đồng thì bán đƣợc 45 quả mít Giảm giá 5000 đồng thì bán đƣợc thêm 50 quả.

Giảm giá 70000  x thì bán đƣợc thêm bao nhiêu quả?

Ta có, số quả mít bán thêm đƣợc là: (70000  x).

50 1  (70000  x) .

5000 100

Do đó, số quả mít tƣơng ứng với giá bán x : 45 

1 1 (70000  x)   x  745 100 100

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu đƣợc (F( x ) đồng).

Ta có: F( x ) 1 2  1    x  745   x  50000    x  1245 x  37250000 100  100 

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của 9

F ( x)  

1 2 x  1245 x  37250000 với điều kiện 50000  x  70000 100

Ta có: F ' ( x)   F ' ( x)  0  

1 x  1245 50

1 x  1245  0  x  62250 50

Vì hàm F ( x) liên tục trên 50000  x  70000 nên ta có: F (50000)  0 F (62250)  1500625 F (70000)  900000

Vậy, x  62250 thì F ( x) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu đƣợc lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả mít là 62250 đồng.

Ngày nay cũng nhƣ trƣớc đây một bộ phận của Toán học đƣợc áp dụng vào sản xuất và kỹ thuật thông qua vật lý và cơ học. Rất nhiều tiến bộ của khoa học kỹ thuật chỉ giải quyết đƣợc trên cơ sở những tiến bộ của vật lý và cơ học, thế mà hai ngành này lại liên hệ mật thiết với toán học. Phƣơng pháp của Toán học đã giúp cho cơ học vật lý và thiên văn đi sâu vào bản chất các quy luật tự nhiên, có thể đoán trƣớc đƣợc các kết quả còn ẩn sau giới hạn của sự hiểu biết. Nhờ quy luật toán học mà Leverier và Adam (thế kỷ 19), Loren (thế kỷ 20) đã xác định đƣợc trên lý thuyết sự tồn tại của hai hành tinh mới Hải Vƣơng Tinh và Diêm Vƣơng Tinh. Sau đó đã đƣợc quan sát thiên văn xác nhận. Bằng phƣơng pháp vật lý toán Macxoen đã xác định đƣợc sự tồn tại của áp lực ánh sáng. Sau đó Leebedép đã xác nhận kết quả đó bằng thực nghiệm.

Những thành tựu to lớn của thời đại chúng ta nhƣ năng lƣợng nguyên tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện,… đều gắn liền với sự phát triển của nhiều ngành toán học khác nhau nhƣ: hình học Ơclid, đại số, hàm thực, hàm phức, phƣơng trình vi phân, xác suất thống kê,… Chẳng hạn nhƣ lý thuyết về các dạng không gian của không gian hình học đƣợc áp dụng trong điện động

10

học và điện kỹ thuật. Những định lý tổng quát của hàm phức là cơ sở của lý thuyết thủy động học và khí động học mà đây là hai ngành lý thuyết cơ sở của hàng hải và hàng không.

Trong giai đoạn hiện nay, cách mạng khoa học kỹ thuật trên thế giới đang diễn ra rất sôi nổi với tốc độ phát triển rất nhanh và quy mô rất lớn.

Toán học ngày càng có ứng rộng rãi và sâu sắc.

Việc sử dụng máy tính điện tử và phƣơng pháp toán học để điều khiển sản xuất ngày càng phát triển, đã đem lại những hiệu quả kinh tế rất to lớn.

Một nét nổi bật nữa là ngày nay toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa học mà trƣớc đây ngƣời ta không hề nghĩ tới, kể cả khoa học và xã hội nữa. Nhƣ Hóa học và Sinh học là hai ngành trƣớc đây ít sử dụng đến Toán học thì nay nhiều bộ phận của chúng đã sử dụng nhiều ngành hiện đại của Toán học, nhƣ thông tin, tô pô, máy tính điện tử. Bằng phƣơng pháp toán học ngƣời ta có thể dự đoán đƣợc tính chất của các hợp chất, nghiên cứu những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, về cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh…

Trong Y học, bằng phƣơng pháp thống kê và máy tính điện tử ngƣời ta có thể cải tiến phƣơng pháp chẩn đoán bệnh cho chính xác hơn.

Việc điều tra xã hội học để nghiên cứu tâm lý, thị hiếu của quần chúng trong các ngành văn hóa xã hội muốn đạt đƣợc kết quả sâu sắc chắc chắn cũng phải dùng các phƣơng pháp của Toán học.

Tóm lại, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát triển của khoa học kĩ thuật. Là sợi dây liên kết ràng buộc các ngành khoa học với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển.

1.3. Bài toán thực tiễn 1.3.1. Bài toán thực tiễn và phân loại bài toán thực tiễn Bài toán thực tiễn có thể hiểu là bài toán mà trong đó có chứa nội dung liên quan đến thực tiễn (có thể trong bài toán có gắn với các sự vật, hiện tƣợng của cuộc sống xung quanh, hoặc có thể bài toán là một vấn đề thực tiễn cần giải quyết).

11

Nhƣ vậy, có thể chia bài toán thực tiễn làm hai loại (theo hai mức độ) nhƣ sau: - Mức độ 1: (Bài toán phỏng thực tiễn) Là bài toán chƣa thực sự chứa đựng một vấn đề của thực tiễn và do thực tiễn có nhu cầu giải quyết, mà trong đó mới chỉ đề cập đến đối tƣợng của thực tiễn.

Ví dụ 1: Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn trong lớp để làm ban cán sự lớp. Tính xác suất để 4 học sinh đó có cả nam và cả nữ. Ở ví dụ trên, đối tƣợng đƣợc đề cập đến trong thực tiễn là: học sinh nam, học sinh nữ và việc chọn ban cán sự lớp. Tuy nhiên, trong thự tế việc lựa chọn ban cán sự lớp không thể chọn một cách ngẫu nhiên mà phải căn cứ vào năng lực của học sinh trong lớp để lựa chọn. Vì vậy bài toán đƣa ra trong ví dụ trên mới chỉ là “bài toán phỏng thực tiễn”.

- Mức độ 2: Là bài toán trong đó vừa đề cập đến đối tƣợng của thực tiễn, vừa là một vấn đề gặp trong thực tiễn, giải đƣợc bài toán là giải quyết đƣợc vấn đề cho xã hội và điều này ít nhiều ứng dụng đƣợc hoặc có lợi ích cho cuộc sống.

Ví dụ 2: Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 20 học sinh nữ. Kết quả bài thi khảo sát chất lượng đầu năm 3 môn Toán, Văn, Anh có 6 bạn đạt điểm giỏi cả 3 môn. Trong 6 bạn đó chỉ có 2 bạn là nam. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn trong 6 bạn đó để làm ban cán sự lớp. Tính xác suất để 4 bạn trong Ban cán sự lớp có cả nam và cả nữ.

Rõ ràng, ở ví dụ 2, tình huống đã gần với thực tiễn hơn rất nhiều so với ví dụ 1. Ở đây, 4 bạn trong bán cán sự lớp đƣợc chọn ngẫu nhiên trong nhóm 6 bạn học giỏi hơn dựa vào bài thi khảo sát chất lƣợng, điều này trong thực tế cũng gần nhƣ vậy. Thực tế thì GV sẽ ít chọn ngẫu nhiên mà ngoài căn cứ vào năng lực học còn căn cứ vào một số yếu tố khác nữa, nhƣ: lớp trƣởng thì sẽ chọn bạn có khả năng lãnh đạo, tổ chức và đƣợc nhiều bạn yêu mến, tín nhiệm; lớp phó văn nghệ thì sẽ chọn bạn có khiếu âm nhạc, v.v...

12

Tuy nhiên do một số nội dung kiến thức ở phổ thông chƣa sâu, nhất là phần Tổ hợp - Xác suất (lớp 11) lƣợng kiến thức đƣa ra ít nên những ứng dụng của kiến thức đó trong thực tiễn thƣờng chỉ gặp ở mức độ 1. Nhƣng, trong khóa luận hệ thống bài toán thực tiễn đƣợc đề xuất chủ yếu là ở mức độ 2.

Ví dụ 3: Trong số bệnh nhân ở 1 bệnh viện có 50% điều trị bệnh A; 30% điều trị bệnh B và 20% điều trị bệnh C. Xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C trong bệnh viện này tƣơng ứng là 0,7; 0,8; 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân đƣợc chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã đƣợc chữa khỏi bệnh.

Ví dụ 4: Trong 1 kho rƣợu, số lƣợng rƣợu loại A và rƣợu loại B bằng nhau. Ngƣời ta ta chọn ngẫu nhiên 1 chai rƣợu trong kho và đƣa cho 5 ngƣời sành rƣợu nếm thử để xác định xem đây là loại rƣợu nào. Giả sử mỗi ngƣời có xác suất đoán trúng là 80%. Có 4 ngƣời kết luận chai rƣợu loại A và 1 ngƣời kết luận chai rƣợu loại B. Hỏi khi đó xác suất để chai rƣợu thuộc loại A là bao nhiêu?

1.3.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều quan trọng là bài tập có vai trò giá mang trong hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, vai trò của bài tập toán học đƣợc thể hiện trên 3 bình diện sau: Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học Bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là: ● Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

13

● Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. ● Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học Bài tập Toán học là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết.

Thứ ba, Trên bình diện phương pháp dạy học Bài tập Toán học là giá mang hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác nhau về phƣơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng diện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,... Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên [5].

Qua việc rèn luyện kĩ năng trên bình diện thứ nhất và thứ hai sẽ nâng cao mức độ thông hiểu tri thức Toán học cho học sinh. Vì nếu muốn vận dụng đƣợc tri thức để làm toán thì cần phải thông hiểu nó. Đồng thời, thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những khoa học khác, thể hiện mối liên môn giữa các môn trong nhà trƣờng. Do vậy ngƣời giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong dạy học bộ môn.

Còn trên bình diện thứ ba, đây là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống. Qua đây, giúp học sinh hình thành và phát triển kĩ năng “toán học hóa tình huống thực tế”.

Dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và các cộng sự, quá trình liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán còn giúp học sinh

14

phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp đến cao thể hiện qua sơ đồ sau: Biết

Thông hiểu

Phân tích

Vận dụng

Tổng hợp

Đánh giá

Nhƣ vậy, bài toán thực tiễn cũng có đầy đủ các vai trò của bài toán, ngoài ra còn một số vai trò khác nhƣ là: - Thông qua giải bài toán thực tiễn giúp học sinh hiểu kĩ hơn về các khái niệm, tính chất; củng cố kiến thức một cách hệ thống hóa. Ngoài ra, bài toán thực tiễn còn giúp học sinh hiểu thêm về các môn khoa học kĩ thuật khác, về thiên nhiên, môi trƣờng và những vấn đề thiết thực trong cuộc sống.

Từ đó, giúp học sinh biết vận dụng kiến thức để lí giải những hiện tƣợng tự nhiên hay vận dụng để giải quyết những vấn đề trong cuộc sống.

- Giải bài toán thực tiễn giúp học sinh rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến thức để xử lý các tình huống có vấn đề trong thực tế một cách nhạy bén, sáng tạo; rèn luyện cho học năng lực nhận thức, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề xảy ra trong cuộc sống.

- Cuối cùng, thông qua nội dung bài tập giúp học sinh thấy rõ lợi ích của việc học môn Toán. Từ đó, tạo động cơ học tập, kích thích trí tò mò và làm tăng hứng thú đối việc học môn Toán. Giúp học sinh thấy đƣợc tầm quan trọng của môn Toán đối với đời sống của chính bản thân mình, gia đình và xã hội.

1.3.3. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn 1.3.3.1. Phương pháp chung giải bài toán Theo G. Polya, phƣơng pháp chung để giải một số bài toán thƣờng đƣợc tiến hành theo 4 bƣớc sau: Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề ài - Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.

15

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bƣớc 2: Tìm cách giải củ

ài toán

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí nhất.

Bƣớc 3: Trình ày lời giải - Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.

Bƣớc 4: Kiểm tr và nghiên cứu sâu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.

Ví dụ 1: Một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài, chia thành bốn chất: rô, cơ – màu đỏ; bích và nhép- màu đen. Mỗi chất có 13 quân bài lần lƣợt là: 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. Bốn quân 2 – gồm 2 rô, 2 cơ, 2 bích, 2 nhép lập thành một bộ, bốn quân 3 – gồm 3 rô, 3 cơ, 3 bích, 3 nhép lập thành một

16

bộ,…, bốn quân A gồm A rô, A cơ, A bích, A nhép lập thành một bộ. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài có 1 bộ.

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài  Đề bài yêu cầu tính xác suất để trong 5 quân bài đƣợc chọn ngẫu nhiên từ một bộ bài có 1 bộ.

Bƣớc 2: Tìm cách giải của bài  Để giải bài toán này, ta cần ta cần đi tính số phần tử không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.  Phần tử của không gian mẫu là lần rút ra 5 quân bài tùy ý. Có 52 quân bài, rút ra 5 quân tức là lấy ra tổ hợp chập 5 của 52. Ta có, số phần tử của không gian mẫu là: C525  2598960 

Gọi B là biến cố: “ trong 5 quân bài đƣợc chọn có 1 bộ”

 Nếu đã rút đƣợc một bộ, tức là đã rút đƣợc 4 quân bài. Nên quân bài thứ 5 là 1 trong 48 quân bài còn lại. Vậy có 48 khả năng của các biến cố “ có 5 quân trong đó có một bộ”. 

Áp dụng QTN ta có: Số phần tử của biến cố B là: 13  48  624



Vậy xác suất cần tìm là: P(B) =

624

C

5

 0,00024  0,24%

52

Bƣớc 3: Trình bày lời giải - Số phần tử của kgm là:   C 52  2598960 5

- Gọi B là biến cố: “ Trong 5 quân bài đƣợc chọn có 1 bộ bài”.

- Nếu đã rút đƣợc một bộ, tức là đã rút đƣợc 4 quân bài. Nên quân bài thứ 5 là 1 trong 48 quân bài còn lại. Vậy có 48 khả năng của các biến cố “ có 5 quân trong đó có một bộ”.

- Theo QTN ta có: Số phần tử của biến cố B là: 13  48  624 - Vậy xác suất cần tìm là: P(B) =

624

C

5

 0,00024  0,24%

52

Bƣớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải Khi biết cách giải bài toán này ta có thể giải tƣơng tự với bài toán sau:

17

Ngân hàng Techcombank cần chọn 5 ngƣời (3 nam, 2 nữ) chƣa có gia đình để tham dự 1 khóa học nâng cao trình độ trong 3 tháng. Danh sách những ngƣời chƣa có gia đình gồm 23 ngƣời trong đó 9 nam. Tính xác suất để chọn đƣợc ngƣời nhƣ thế?

1.3.3.2. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của BTTT, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải BTTT nhƣ sau: Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung củ

ài toán

Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.

Bƣớc 2: Chuyển đổi BTTT sang BTTH Toán học hóa tình huống, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những dữ kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học. Các ràng buộc giữa yếu tố trong BTTT đƣợc chuyển thành các biểu thức, các phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình toán học,…

Bƣớc này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của ngƣời học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học.

Bƣớc 3: Tìm cách giải củ

ài toán toán học

Tìm lời giải của bài toán toán học tƣơng tự nhƣ bƣớc 2 của mục 1.3.3.1.

Bƣớc 4: Trình ày lời giải Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.

18

Bƣớc 5: Đƣ r kết luận cuối cùng cho yêu cầu của BTTT Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứ khả năng ứng dụng của kết quả lời giải. Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tƣ duy, tìm tòi sáng tạo của học sinh.

Ví dụ 2: Một loại vé xổ số có 4 chữ số. Khi quay số, nếu bạn mua vé có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Bạn Linh mua một vé xổ số. Tính xác suất để Linh trúng giải nhất.  Bƣớc 1: Bài toán yêu cầu tính xác suất để Linh trúng giải nhất của 1 loại vé số có 4 chữ số. Biết rằng, nếu muốn trúng thì vé số của Linh phải trùng hoàn toàn với kết quả khi ban tổ chức quay số.  Bƣớc 2: Ta tìm nội dung bài toán , yêu cầu bài toán, phân tích bài toán có những địa lƣợng nào? Quan hệ giữa chúng ra sao? Toán học hóa đại lƣợng các mối quan hệ đó. Ở đây bài Toán yêu cầu tính xác suất để Linh trúng giải nhất.

- Một loại vé xổ số gồm 4 chữ số (0000 đến 9999).

- Nếu mua vé số có trùng với kết quả thì Linh trúng giải nhất.  Bƣớc 3: Tìm cách giải Sau khi toán học hóa bài toán ta đƣợc không gian mẫu là tất cả các số từ 0000 đến 9999. Tổng có 10 4 khả năng.

Số khả năng để xảy ra biến cố Linh trúng giải nhất chỉ có 1 khả năng.  Bƣớc 4: Trình bày lời giải - Số phần tử của kgm là tất cả các số từ 0000 đến 9999. Vậy,   104 - Gọi A là biến cố: “Linh trúng giải nhất” Do vé số Linh mua phải trùng hoàn toàn với kết quả thì mới trúng giải nhất nên chỉ có 1 khả năng là trúng số. Vậy,  A  1 - Xác suất trúng giải nhất của Linh theo công thức là: P(A) 

1  0,01% 10000

19

 Bƣớc 5: Đƣa ra kết quả BTTT Vậy xác suất Linh trúng giải nhất là 0,01%.

Từ bài toán trên ta hoàn toàn có thể mở rộng thêm câu hỏi: “ Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể ở tất cả các vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Tính xác suất để Linh trúng giải nhì”.

1.4. Thực trạng sử dụng ài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong dạy học môn Toán ở phổ thông 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng 1.4.1.1. Mục tiêu khảo sát thực trạng Đánh giá thực trạng việc xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp- Xác suất cho học sinh lớp 11 của giáo viên Toán ở phổ thông.

1.4.1.2. Đối tượng khảo sát Giáo viên và học sinh lớp 11 tại hai trƣờng: THPT Yên Phong số 1 và THPT Quỳnh Thọ.

1.4.1.3. Thời gian khảo sát Từ ngày 25/2/2019 đến 5/3/2019, khi đó học sinh đã học xong chủ đề này.

1.4.1.4. Nội dung khảo sát - Tìm hiểu thực tế nhận thức của GV về các BTTT Tìm hiểu thực tế mức độ cần thiết của GV trong việc sử dụng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11.

- Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 của GV. - Tìm hiểu thực tế nguồn tài liệu mà GV sử dụng trong việc xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11.

1.4.1.5. Phương pháp khảo sát 20

Để thực hiện đề tài của mình, tôi đã sử dụng phiếu khảo sát để điều tra thực tế về thực trạng xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất ở một số trƣờng THPT. Cụ thể: - Phát phiếu điều tới mỗi giáo viên và học sinh.

- Phiếu điều tra giáo viên gồm 6 câu hỏi trắc nghiệm nhằm đánh giá thực trạng xây dựng và sử dụng, mức độ cần thiết của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11.

- Phiếu điều tra học sinh gồm 6 câu hỏi trắc nghiệm nhằm đánh giá thực trạng vận dụng và mức độ cần thiết của hệ thống bài toán thực tiễn trong quá trình học tập của chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11.

- Thu lại phiếu, sau đó tổng hợp xử lý thông tin thu đƣợc trên cơ sở phần trả lời phiếu.

- Đánh giá thực trạng.

1.4.2. Kết quả khảo sát  Kết quả điều tra về giáo viên Sau khi tiến hành phát phiếu điều tra cho 25 giáo viên các trƣờng THPT, qua sự tổng hợp và phân tích, ta có kết quả nhƣ sau: - Có 30% giáo viên cho rằng bài toán thực tiễn là các bài toán liên quan đến thực tiễn, 70% giáo viên cho rằng bài toán thực tiễn là những bài toán chứa đựng nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn khoa học khác và phải sử dụng toán học để giải quyết. Điều đó chứng tỏ, đa số các giáo viên đều có quan niệm đúng đắn và bài toán thực tiễn.

- Có 65% giáo viên cho rằng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất có vai trò rất quan trọng; 35% cho rằng nó là bình thƣờng. Điều này cho thấy hầu hết các giáo viên đều nhận ra đƣợc tầm quan trọng của việc sử dụng bài toán thực tiễn cho chủ đề Tổ hợp – Xác suất.

- Từ điều tra khảo sát, ta thấy hầu hết các giáo viên ( 75% ) sử dụng các bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất đều lấy từ các tài liệu tham khảo trên internet, đồng nghiệp,... hoặc ngoài ra có 25% giáo viên lấy từ SGK, SBT và tự mình biên soạn.

21

- Có 88% giáo viên mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học. Còn lại 12% là không.

- Ngoài ra, 92% giáo viên cho rằng việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học là cần thiết, 8% cho rằng cũng không quan trọng lắm. Điều này chứng tỏ hầu hết giáo viên đã thấy đƣợc tầm quan trọng của bài toán thực tiễn trong dạy học.  Kết quả điều tra về học sinh Sau khi phát phiếu khảo sát cho 50 HS, qua sự tổng hợp và phân tích, ta thu đƣợc kết quả nhƣ sau: - Có 16,21% HS cho rằng bài toán thực tiễn là bài toán liên quan đến thực tiễn cuộc sống, 83,79% học sinh cho rằng BTTT là bài toán chứa đựng những nội dung liên quan đến thực tiễn và các môn khoa học khác. Điều này chứng tỏ rằng, hầu hết HS đã có nhận thức đúng đắn về BTTT. - Có 7,26% HS trả lời rằng thầy/cô của mình không sử dụng BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất; 62,28% là thỉnh thoảng; 30,46% là sử dụng thƣờng xuyên. Điều này cho thấy việc sử dụng BTTT trong dạy học chƣa nhiều.

- Có 61,28% HS trả lời rằng khi thầy/cô sử dụng bài toán thực tiễn thì các em cảm thấy thú vị và dễ hiểu hơn, 15,67% thấy bình thƣờng, 12,96% thấy bài học trở nên phức tạp và khó hiểu hơn, 10,09% ý kiến khác. Điều này cho thấy học sinh khá hứng thú khi đƣợc tiếp xúc với các bài toán thực tiễn.

- Có 68,37% HS trả lời rằng các em giải BTTT chủ đề Tổ hợp – Xác suất khi đƣợc thầy/cô giao cho; 21,28% là các em tự tìm tòi; 10,35% không bao giờ giải. Qua đây thấy đƣợc giáo viên là nguồn tiếp cận chính đối với học sinh.

- Trong khi đó, trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất số lƣợng bài toán thầy/cô cho các em làm là ít ( chiếm 73%) ; 21,28% là bình thƣờng và 5,72% là không bao giờ cho.

- Hơn nữa, có đến 83,61% HS muốn thầy/cô của mình cho nhiều bài toán thực tiễn hơn; 11,83% mong ƣớc thầy/cô hạn chế đƣa ra các bài toán thực tiễn; 4,56% không muốn thầy/cô đƣa BTTT vào chủ đề này. Điều này cho thấy học sinh muốn đƣợc tiếp xúc với BTTT nhiều hơn, đặc biệt là từ thầy/cô cho.

22

Do vậy, qua thực trạng trên chúng tôi nhận thấy rằng việc GV đã thấy đƣợc tầm quan trọng của bài toán thực tiễn trong dạy học nhƣng GV vẫn còn ít sử dụng hay vẫn còn hạn chế đƣa vào giảng dạy. Thêm vào đó, hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp – Xác suất còn khá ít. Mà học sinh lại khá hứng thú và mong muốn đƣợc tiếp xúc nhiều hơn với các BTTT. Cho nên, để cải thiện tình tình trạng trên, chúng ta cần phải xây dựng hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đồng thời tập dƣợt nghiên cứu và kiểm tra hệ thống BTTT đã xây dựng đƣợc.

23

Kết luận chƣơng 1 Ở chƣơng 1, chúng tôi đã hệ thống lại cơ sở lý luận và thực tiễn của việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn. Trong đó, những vấn đề chúng tôi đặc biệt quan tâm là: - Liên hệ thực tiễn trong dạy học môn Toán.

- Tính thực tiễn của Toán học phổ thông.

- Nêu rõ khái niệm, vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học và phƣơng pháp giải một bài toán thực tiễn.

- Thực trạng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong dạy học ở phổ thông.

Tất cả những lý luận ở trên là cơ sở để chúng tôi xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất giúp học sinh phát triển trí thông minh đa dạng, rèn luyện tính tổng hợp kĩ năng từ ngôn ngữ, giao tiếp đến khả năng quan sát, suy luận phân tích, logic,… và đích đến cuối cùng là hình thành tƣ duy sáng tạo, giải quyết vấn đề một cách nhạy bén, cho thấy đƣợc Toán học có ý nghĩa to lớn nhƣ thế nào đối với cuộc sống, thúc đẩy niềm hăng say đối với môn Toán của học sinh mà nội dung nghiên cứu cụ thể sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng sau.

24

CHƢƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong dạy học Toán ở phổ thông 2.1.1. Mục tiêu 2.1.1.1. Về kiến thức - HS nắm đƣợc các khái niệm về Tổ hợp – Xác suất.

- Các công thức để tính xác suất và điều kiện áp dụng.

- Biết đƣợc một số ứng dụng của Tổ hợp – Xác suất trong thực tế.

2.1.1.2. Về kĩ năng - Rèn luyện cho HS kĩ năng nhận biết một bài toán Xác suất.

- HS biết vận dụng công thức Xác suất để giải các bài toán về Xác suất.

- Rèn cho HS kĩ năng tính toán nhanh, chính xác, trình bày lời giải khoa học.

2.1.1.3. Về tư duy, thái độ - HS đƣợc rèn luyện khả năng tƣ duy logic và phát triển năng lực trí tuệ chung nhƣ: Phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, đặc biệt hóa,…

- HS đƣợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo.

- HS đƣợc rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong quá trình tính toán, có thái độ nghiêm túc trong học tập, tích cực tham gia xây dựng bài.

2.1.2. Nội dung [7] 2.1.2.1 Hai quy t c đếm cơ bản a. Quy tắc cộng  Phát biểu quy tắc: Một công việc nào đó đƣợc thực hiện bởi 1 trong k phƣơng án A 1 , A 2 , A 3 ,… A k - Nếu phƣơng án A 1 có n 1 cách thực hiện phƣơng án A 2 có n 2 cách thực hiện

25

phƣơng án A k có n k cách thực hiện và mỗi cách chọn của phƣơng án này không trùng bất kì cách chọn nào của phƣơng án còn lại thì có n 1  n 2  …  n k cách thực hiện công việc ban đầu. b. Quy tắc nhân  Phát biểu quy tắc: Một công việc đƣợc thực hiện bởi k bƣớc liên tiếp.

- Nếu bƣớc 1 có n 1 cách thực hiện bƣớc 2 có n 2 cách thực hiện …….. bƣớc k có n k cách thực hiện Ta có n 1 .n 2 …n k cách thực hiện công việc.

2.1.2.2. Hoán v - Chỉnh hợp - Tổ hợp I. Hoán vị a) Đ nh nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử thuộc A (gọi tắt là 1 hoán vị của A).

- Lƣu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. b) Số các hoán v : - Số các hoán vị của n phần tử đƣợc kí hiệu Pn .

- Công việc lập 1 hoán vị của tập A gồm n phần tử đƣợc thực hiện bởi n bƣớc liên tiếp.  Vị trí thứ nhất có n cách chọn phần tử  Vị trí thứ hai có n – 1 cách chọn phần tử  Vị trí thứ ba có n – 2 cách chọn phần tử ………….  Vị trí thứ k có n – (k – 1) cách chọn phần tử

26

 Vị trí thứ n – 1 có 2 cách chọn phần tử  Vị trí thứ n có 1 cách chọn phần tử  Theo QTN, có: n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 hoán vị của A  P n = n.(n -1).(n -2)…3.2.1

- Kí hiệu: n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 = n!

Khi đó: P n = n!

II. Chỉnh hợp a) Đ nh nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n .

Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử lấy từ n phần tử thuộc A đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A (gọi tắt là 1 chỉnh hợp chập k của A). b) Số các chỉnh hợp: - Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử đƣợc kí hiệu là: A kn - Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử ( 1  k  n ) là:

An  n(n  1)...(n  k  1)  k

n! (n  k )!

- Quy ƣớc: 0! = 1 và A 0n = 1 III. Tổ hợp a) Đ nh nghĩa: - Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).

- Quy ƣớc: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. b) Số các tổ hợp: - Số các tổ hợp chập k của n phần tử đƣợc kí hiệu là C kn 27

- Định lý: +) Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1  k  n ) là: k

C  Ak ! k

n

n



+) Quy ƣớc:

n(n  1)(n  2)...(n  k  1) n!  k! k !(n  k )!

C

0 n

1

c) Hai tính chất cơ bản của số

C

k n

- Tính chất 1: Cho số nguyên dƣơng n và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n.

Khi đó:

n k

Cn Cn k

- Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1  k  n Khi đó:

C

k 1

Cn Cn n1 k

k

2.1.2.3. Biến cố và xác suất của biến cố I. Phép thử ngẫu nhiên và không gi n mẫu - Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:  Kết quả của nó không đoán trƣớc đƣợc;  Có thể xác định đƣợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

- Phép thử thƣờng đƣợc kí hiệu bởi chữ T. - Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đƣợc gọi là không gi n mẫu của phép thử và đƣợc kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga).

II. Biến cố - Định nghĩa: + Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.

28

+ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, đƣợc gọi là một kết quả thuận lợi cho A. + Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đƣợc kí hiệu là ngƣời ta nói biến cố A đƣợc mô tả bởi tập III. Xác suất củ



A



A

. Khi đó

.

iến cố

- Đ nh nghĩa: Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và  A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), đƣợc xác định bởi công thức A 

P(A) = 

Chú ý:

+) 0  P(A)  1; +) P()  1, P( )  0 .

2.1.2.4. Các quy t c tính xác suất I. Quy tắc cộng xác suất a) Biến cố hợp - Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A  B, đƣợc gọi là hợp của hai biến cố A và B. - Nếu  A và  B lần lƣợt là các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A  B là  A  B . b) Biến cố xung kh c - Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

- Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu

 A  B =  .

29

c) Quy t c cộng xác suất - Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P(A B)  P(A)  P(B) - Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố: Cho k biến cố A 1 , A 2 ,…, A k đôi một xung khắc. Khi đó

P(A1  A2  ...  Ak )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( Ak ). d) Biến cố đối - Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A , đƣợc gọi là biến cố đối của A. - Nếu  A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là  \  A . Ta nói A và A là hai biến cố đối nhau.

- Định lý: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là: P(A)  1  P(A) .

II. Quy tắc nhân xác suất. a) Biến cố giao - Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, đƣợc gọi là giao của hai biến cố A và B. b) Biến cố độc lập - Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. c) Quy t c nhân xác suất - Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P(AB) = P(A).P(B) 2.2 Đề xuất hệ thống ài toán thực tiễn chủ đề tổ hợp, xác suất 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn Trong xây dựng hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho HS lớp 11 cần tuân thủ một số nguyên tắc sau: Nguyên t c 1: Việc xây dựng BTTT phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển chương trình SGK hiện hành.

30

Chƣơng trình và SGK môn toán đƣợc xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở nƣớc ta và cả nƣớc ngoài theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phƣơng diện Toán học cũng nhƣ về phƣơng diện sƣ phạm. Nó đã đƣợc thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và đƣợc điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nhà trƣờng nƣớc ta, phù hợp với mục tiêu đào tạo mới.

Vì vậy, hệ thống BTTT muốn đƣợc thực thi phải phù hợp với chƣơng trình và SGK. Hơn nữa, phải khai thác hết tiềm năng của chƣơng trình và SGK hiện hành.

Nguyên t c 2: BTTT phải sát với đời sống thực tế, sát với quá trình lao động sản suất và đảm bảo tính đa dạng về nội dung.

Khi xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn, cần phải chọn lọc những bài toán đơn giản, gần gũi, quen thuộc với HS. Đó là những tình huống sát với vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuất của HS. Các tình huống nhƣ vậy tạo ra một bức tranh sinh động về BTT mà HS có thể cảm thụ đƣợc.

Qua các bài toán này, HS đƣợc luyện tập sử dụng các kiến thức và kĩ năng toán học để giải quyết BTTT trong đời sống sản xuất.

Sự đa dạng về nội dung của hệ thống BTTT để thể hiện ở sự đa dạng về các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất đời sống xã hội. Sự đa dạng đó làm cho HS thấy đƣợc sự rộng rãi và sâu sắc của các BTTT trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của Toán học.

Nguyên t c 3: Hệ thống bài toán phải đảm bảo tính chính xác, khoa học và hiện đại.

Trong một BTTT, bên cạnh nội dung toán học nó còn có những dữ liệu thực tiễn. Những dữ liệu đó cần phải đƣợc đƣa vào một cách chính xác, không tùy tiện thay đổi. Ví dụ: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lƣợng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lƣợng vi khuẩn không vƣợt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ đƣợc cứu chữa [1]. Khi xây dựng BTTT không thể tùy tiện thay đổi tên vi khuẩn gây đau dạ dày. Làm nhƣ vậy là phi thực tế, không chính xác khoa học.

Trong một số bài toán về kinh tế, sản xuất nêu trên dựa vào những thông tin mới mang tính thời sự, cập nhật, không nên đƣa những thông tin quá cũ và lạc hậu.

31

Nguyên t c 4: Hệ thống bài toán đảm bảo tính sư phạm.

Các tình huống thực tiễn thƣờng phức tạp hơn, các dữ kiện và số liệu thƣờng bị lẻ, không nguyên, không đẹp trong tính toán,… nên khi xây dựng BTTT cho HS cần phải có các bƣớc xử lý sƣ phạm để làm đơn giản tình huống thực tiễn, các số liệu có thể đƣợc thay đổi để HS tính toán không quá phức tạp. Các yêu cầu giải BTTT cũng phải phù hợp với trình độ, khả năng của HS. Nguyên t c 5: Hệ thống bài toán phải đảm bảo tính mục đích, tính hiệu quả và tính khả thi trong khâu sử dụng.

- Tính mục đích: Mục đích của hệ thống BTTT với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho HS khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trƣờng THPT. - Tính khả thi: Tức khả năng thực hiện đƣợc (xây dựng đƣợc, sử dụng đƣợc) hệ thống bài toán này trong thực tế dạy học ở trƣờng THPT hiện nay.

- Tính hiệu quả: Sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải BTTT của HS. Hình thành và phát triển ở các em thói quen hay hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống trong học tập, lao động sản suất và trong đời sống.

2.2.2. Phương pháp xây dựng bài toán thực tiễn 2.2.2.1. Xây dựng bài toán thực tiễn xuất phát từ các bài toán toán học đã có.

Từ những bài toán yêu cầu đếm số phần tử của Tổ hợp – Xác suất, ta xây dựng cho chúng một mô hình thực tiễn tạo thành một BTTT, mà để giải đƣợc bài toán đó, ta phải đƣa về việc sử dụng các quy tắc đếm củaTổ hợp – Xác suất đã nêu trên.

Ví dụ 1: Cho tập A  0,1,2,...,9 . Liệt kê 15 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ A. Từ bài toán này ta xây dựng BTTT sau: Thƣ muốn lập mật khẩu để bảo vệ quyền riêng tƣ ở điện thoại của mình. Thƣ đã chọn loại mật khẩu gồm có 4 kí tự, mỗi kí tự ở 4 vị trí là một

32

chữ chữ số thuộc tập 0,1,2,...,9 . Hỏi có bao nhiêu cách lập mật khẩu cho Thƣ?

2.2.2.2. Xây dựng bài toán thực tiễn mới dựa trên bài toán thực tiễn đã có sẵn Từ một BTTT đã có, ta có thể thay đổi một số dữ liệu nhƣ số liệu, tên gọi,… để tạo thành một BTTT mới có cách giải tƣơng tự bài toán đã cho.

Ví dụ 2: Từ BTTT đã có trong SGK Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao).

Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nƣớc Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con ngƣời và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh đƣợc quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

Bài toán mới: Thu là sinh viên năm nhất trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2. Từ trƣờng về nhà Thu có thể đi bằng các phƣơng tiện: ô tô xe khách, xe bus, tàu hỏa. Mỗi ngày có 5 chuyến xe khách, 3 chuyến tàu hỏa, 10 chuyến xe bus. Hỏi Thu có bao nhiêu cách chọn phƣơng tiện để đi từ trƣờng về nhà.

2.2.2.3. Xây dựng bài toán thực tiễn dựa trên tình huống trong thực tế Dựa trên các tình huống trong thực tế, đƣa vào các yếu tố phù hợp để thiết kế bài toán đếm số phần tử hay tính xác suất của Tổ hợp – Xác suất.

Ví dụ 3: Sản phẩm mới của một công ty làm ra đƣợc gửi đến hai phòng thí nghiệm để kiểm nghiệm độc lập. Nếu cả hai phòng thí nghiệm đều chấp nhận thì sản phẩm mới sẽ đƣợc sản xuất đại trà. Xác suất để phòng thí nghiệm thứ nhất chấp nhận là 0,7. Xác suất để phòng thí nghiệm thứ 2 chấp nhận là 0,8. Tính xác suất để sản phẩm mới đƣợc sản xuất đại trà?

2.2.2.4. Xây dựng bài toán thực tiễn xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn của môn học khác Ví dụ 4: Giải quyết BTTT trong môn Sinh học Ở ngƣời, bệnh mù màu đỏ - xanh lục do gen lặn nằm trên nhiễm sắc thể giới tính X quy định. Một phụ nữ bình thƣờng có em trai bị bệnh mù màu lấy một ngƣời chồng bình thƣờng. Nếu cặp vợ chồng này sinh đƣợc một ngƣời con trai thì xác suất để ngƣời con trai đó bị mù màu là bao nhiêu? Biết rằng bố mẹ của cặp vợ chồng này đều không bị bệnh. (Bài 2, trang 53 – SGK Sinh học 12 cơ bản).

33

2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất Dựa vào các nguyên tắc và phƣơng pháp xây dựng ở trên, tôi đã xây dựng đƣợc hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11. Các bài toán đƣợc cho hƣớng dẫn cụ thể, phân chia các dạng rõ ràng nhƣ sau:  Bài toán trong đời sống thƣờng ngày (6 bài)  Bài toán trong nông nghiệp (3 bài)  Bài toán thiết lập mật mã (3 bài)  Bài toán trong lĩnh vực thể thao (4 bài)  Bài toán sắp xếp (3 bài)  Bài toán “trò chơi cờ bạc bịp” (3 bài)  Bài toán trong kĩ thuật máy bay (3 bài)  Bài toán trong Y học (4 bài)  Câu chuyện lý thú về xác suất (2 bài) 2.2.4.1.Bài toán trong đời sống thường ngày Bài 1: Đạt đi ăn ở một nhà hàng, chọn đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và 1 nƣớc uống trong 3 loại nƣớc uống. Có o nhiêu cách chọn thực đơn?

HD: - Chọn 1 món ăn trong 5 món có 5 cách chọn.

- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng có 5 cách chọn.

- Chọn 1 nƣớc uống trong 3 loại nƣớc uống có 3 cách chọn.

Vậy theo QTN, ta có: 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn.

Bài 2: Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, trong đó có 6 câu đại số và 4 câu hình học. Thầy gọi bạn N m lên ảng trả ài ằng cách chọn ngẫu nhiên 3 câu trong 10 câu hỏi. Nam rất sợ phần hình học và chƣ học ài cũ về nhà phần hình học, vậy xác suất Nam chọn ít nhất có 1 câu hình học là o nhiêu?

HD: - Số phần tử của kgm là:   C 10  120 3

34

- Gọi A là biến cố: “ chọn ít nhất có 1 câu hình học” - Suy ra A là biến cố: “ không chọn phải câu hình học nào”, khi đó

A

ta có:

 C  P(A)  1  P(A)  1  C C 3

6

3 6 3

10



5 6

Bài 3: Bình có 4 đôi giầy khác nh u gồm 4 màu: đen, trắng, xanh và hồng. Một buổi sáng đi học vì vội vàng Bình đã lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày đó. Xác suất để Bình lấy đƣợc 2 chiếc giày cùng màu là?

HD: - Số phần tử của kgm là:   C82  28 - Gọi A là biến cố cần tính xs, ta có:  A  4 Vậy , P(A)=

A 1   7

Bài 4: Ở một nƣớc có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu Quốc hội.

Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để lập thành một ủy ban. Tính xác suất để a) b)

Trong ủy n có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu trong ủy ban

50 HD: Không gian mẫu   C100

a)

Gọi A là biến cố trong ủy ban không có đại biểu của thủ

đô

C9850 A  C  P( A)  50 C100 50 98

Do vậy A là biến cố có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô 149 198 Gọi B là biến cố mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu ủy ban

 P( A)  1  P( A) 

b)

B  250  P( B) 

250 50 C100

35

Bài 5: Hà viết 3 lá thƣ với nội dung khác nh u nhƣng quên ỏ vào ì thƣ đã ghi sẵn địa chỉ. Do phải gửi gấp mà Hà lại đi công tác không có nhà nên nhờ mẹ củ mình để vào ì thƣ rồi gửi đi nhƣng mẹ Hà đã ỏ ngẫu nhiên 3 lá thƣ vào 3 chiếc ì thƣ đã ghi rõ địa chỉ vì nghĩ cùng nội dung. Tính xác suất để có ít nhất 1 lá thƣ ỏ đúng ì thƣ.

Hd : Kí hiệu 3 lá thƣ là A, B, C Gọi A, B, C tƣơng ứng là biến cố “Lá thƣ A bỏ đúng địa chỉ”, “Lá thƣ B bỏ đúng địa chỉ”, “ Lá thƣ C bỏ đúng địa chỉ”.  A  B  C là biến cố có ít nhất 1 lá thƣ bỏ đúng địa chỉ

P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( AC )  P(BC)  P(ABC) 2!

P(A)   P( B)  P(C ) 3!

1 P( AB)  P( AC )  P( BC )  P( ABC )  3!

2 P( A  B  C )  3 Bài 6: Có 2 hộp thuốc. Hộp thứ nhất đựng 8 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ kém chất lƣợng; hộp thứ 2 đựng 6 lọ, trong đó có 2 lọ kém chất lƣợng.

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 lọ. Tính xác suất để đƣợc 1 lọ tốt và 1 lọ kém chất lƣợng.

HD: - Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 lọ, với i 1,2 .

- Gọi T i là biến cố: “ lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là lọ tốt”, K i là biến cố: “ lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là kém chất lƣợng”.

- Gọi A là biến cố: “ lấy đƣợc 1 lọ tốt và 1 lọ kém chất lƣợng”.

- Khi đó, ta có:

A  K1T2  T1K2

3 2 5 1 11  P(A)  P(K1 T2  T1K2 )  P( K1T2 )  P(T1K 2 )  P(K1 ).P(T2 )  P(T1 ).P( K 2 )  .  .  8 3 8 3 24

Vậy, xác suất để lấy đƣợc 1 lọ tốt và 1 lọ kém chất lƣợng là:

36

11 .

24

2.2.4.2. Bài toán trong nông nghiệp.

Bài 7: Một chuồng gà có 9 con gà mái và 1 con gà trống. Chuồng ki có 1 con gà mái và 5 con trống. Bắt ngẫu nhiên từ mỗi chuồng 1 con để làm thịt, số gà còn lại hai chuồng đƣợc dồn chung vào chuồng thứ 3, bắt ngẫu nhiên một con nữ r để làm thịt. Tính xác suất để con thứ ba bắt r là trống HD: Trƣờng hợp 1: Chuồng 1 bắt ra con mái, chuồng 2 bắt ra con mái Số cách làm ngẫu nhiên 9.1.14=126 Số cách làm thỏa mãn 9.16=54 Trƣờng hợp 2: Chuồng 1 bắt ra con trống, chuồng 2 bắt ra con mái Số cách làm ngẫu nhiên 1.1.14=14 Số cách làm thỏa mãn 1.1.5=5 Trƣờng hợp 3: Chuồng 1 bắt ra con mái, chuồng 2 bắt ra con trống Số cách làm ngẫu nhiên 9.5.14=630 Số cách làm thỏa mãn 9.5.5=225 Trƣờng hợp 4: Chuồng 1 bắt ra con trống, chuồng 2 bắt ra con trống Số cách làm ngẫu nhiên 1.5.14=70 Số cách làm thỏa mãn 1.4.5=20 Tổng số ngẫu nhiên là 60 Số cách thỏa mãn là 304 Xác suất là

38 105

Bài 8: Có h i chuồng thỏ, chuồng thứ nhất có 5 con thỏ đen, 10 con thỏ vàng, chuồng thứ h i có 3 con thỏ trắng, 7 con thỏ đen. Từ chuồng thứ hai bắt ngẫu nhiên một con thỏ vào chuồng thứ nhất rồi bắt ngẫu nhiên một con trong chuồng thứ nhất r thì thấy màu trắng.

Tính xác suất để con thỏ bắt đƣợc là của con chuồng thứ nhất n đầu

37

HD: TH1: Con bắt từ chuồng 2 vào chuồng 1 là đen có 7 cách Sau đó chuồng 1 có 6 đen + 10 trắng. Số cách làm bất kì để đƣợc thỏ trắng là 1, số cách thảo mãn là 10 Vậy trƣờng hợp 1 số cách làm bất kì 70, số cách thảo mãn là 70 TH2: Con bắt từ chuồng 2 vào chuồng 1 là trắng. Có 3 cách. Sau đó chuồng 1 có 5 đen + 11 trắng. Số cách làm bất kì để đƣợc thỏ trắng là 11, số thỏa mãn là 10 Vậy trƣờng hợp 2 số cách làm bất kì 33, số cách làm thảo mãn là 30 Vậy không gian mẫu là 103, số cách làm thỏa mãn là 100 Bài 9: Bác O nh có một vƣờn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Bác O nh muốn chọn r 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây đƣợc chọn mỗi loại có đúng 2 cây.

HD: - Số phần tử của kgm là:   C 12  924 6

- Gọi A là biến cố cần tính xs, ta có  A  C 6.C 4.C 2  15.6.1  90 2

Vậy P(A)=

2

2

90 15  924 154

2.2.4.3. Bài toán thiết lập mật mã.

Bài 10: Hoàng thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cử phòng học lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút đƣợc ghi 1 số từ 0 đến 9 và không có 2 nút nào đƣợc ghi cùng 1 số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nh u s o cho 3 số trên 3 nút théo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số tăng và có tổng bằng 10. Dƣơng đƣợc giao nhiệm vụ đi sớm để trực nhật lớp ngày hôm đó nhƣng đột nhiên lại quên mật khẩu và chỉ nhớ đƣợc chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để Dƣơng mở đƣợc cử phòng học đó iết rằng nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khó lại.

HD:

38

- Số phần tử của không gian mẫu là:   C 10  120 3

- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Khi đó, các bộ số có tổng bằng 10 và khác nhau là:

(0;1;9);(0;2;8);(0;3;7);(0;4;6);(1;2;7);(1;3;6);(1;4;5);(2;3;5) TH1: Bấm đúng ngay ở lần thứ nhất thì ta có xác suất là:

8

C

3 10



8 120

8  8 16  TH2: Bấm đúng ở lần thứ hai ta có xác suất là: 1   .  120  119 255 ( vì trừ đi lần đầu bị sai nên không gian mẫu chỉ còn là 120 – 1 = 119).

TH3: Bấm đúng ở lần thứ 3 ta có xác suất là: 8  8  8 296  1  .

1  .      120   119  118 5015

Vậy xác suất cần tìm là P( A) 

8 16 296 189    120 255 5015 1003

Bài 11: Nhà để xe củ Nguyên đƣợc đặt mã số bảo mật gồm 4 chữ số. Mật mã đƣợc tạo thành từ những con số từ 0 đến 9. Tất cả các con số này có thể đƣợc sử dụng nhiều hơn một lần. Vì lí do ảo mật, nếu sử dụng sai mật mã 3 lần liên tiếp thì cánh cử nhà để xe sẽ bị khó trong 30 phút tiếp theo.

Em trai củ Nguyên đ ng ở trƣớc cử nhà để xe, nhƣng nh ấy quên mật mã, gọi điện cho Nguyên không liên lạc đƣợc, anh biết rằng phải hơn 2 giờ đồng hồ nữa mới hết giờ làm củ nh tr i mình. Anh cố nhớ, nhƣng chỉ nhớ nó ắt đầu với hai chữ số 16, và nh ấy cũng biết chắc trong mật mã không có số 0. Khả năng nh t phải chờ ít nhất 30 phút là o nhiêu?

HD: - Mật mã có dạng: 16cd (không có số 0).

- Hai số cd gồm 81 cặp số: {11, 12, ..., 19, 21, 22, ..., 29, 31, 32, ..., 91, ..., 99} (có 9 cách chọn c và 9 cách chọn d là các số từ 1 đến 9 ) - Xác suất chọn đúng cặp số 1 lần: 1/81.

- Xác suất chọn đúng cặp số 3 lần: 3/81.

39

- Gọi A là biến cố “Em trai của Nguyên phải chờ ít nhất 30 phút” Suy ra, số kết quả thuận lợi cho A là:  A  81  3  78 78  96,3% 81 Bài 12: Cô Gi ng muốn gọi điện thoại cho bạn nhƣng mảnh giấy có ghi số điện thoại bị mờ mất 2 số cuối, cô chỉ nhớ rằng 2 số đó không giống nh u. Làm thế nào để cô Gi ng gọi đƣợc cho bạn mình? Cần quay tối đ o nhiêu lần thì đúng số cần gọi?

HD: - Gọi 2 số cần tìm có dạng ab ( a  b).

- Có 9 cách chọn a từ 10 số tự nhiên từ 0 đến 9.

- Có 9 cách chọn b từ 9 số còn lại.

Vậy, có 10.9 = 90 số thỏa mãn số cần tìm. Do đó, cần quay tối đa 90 lần thì sẽ đƣợc đúng số cần gọi và cô Giang phải quay đúng các đầu số. ( Với bài toán này thì ta hoàn toàn có thể làm bằng cách liệt kê.

Nhưng với trường hợp từ 3 số trở lên thì ta phải dùng công thức để tìm ra bộ số và từ đó xem xét việc mò số có khả thi không? ).  P(A) 

2.2.4.4. Bài toán trong lĩnh vực thể thao.

Bài 13: Trong trận chung kết óng đá phải phân định thắng thua bằng loạt luân lƣu 11m. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một d nh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lƣu 5 quả 11m. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có o nhiêu cách chọn?

HD: Số cách chọn của huấn luyện viên mỗi đội là

5

A = 55440.

11

Bài 14: Một giải thi đấu quốc tế có 16 đội thi đấu vòng tròn 2 lƣợt tính điểm (2 đội bất kì đều thi đấu với nh u đúng 2 trận). Sau mỗi trận đấu, đội thắng đƣợc 3 điểm, đội thu 0 điểm, hò mỗi đội đƣợc 1 điểm. Sau giải đấu, BTC thống kê đƣợc 80 trận hò . Hỏi tổng điểm của tất cả các đội sau giải đấu là o nhiêu?

HD: 2 - Số trận đấu diễn ra trong giải là: A 16 = 240

40

- Tổng số điểm cho các trận thắng: 3.(240-80)=480 - Tổng số điểm cho các trận hòa: 2.80 = 160 - Tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu là: 480 + 160 = 640.

Bài 15: Giải óng đá Ngoại Hạng Anh 2018 có tất cả 20 đội tham gi . Các đội óng thi đấu vòng tròn 2 lƣợt ( tức là 2 đội A và B ất kì thi đấu với nhau 2 trận, một trên sân A, trận còn lại trên sân B). Hỏi giải đấu có tất cả o nhiêu trận?

HD: - Số trận đấu là: A 220 = 380 trận Bài 16: Giả sử rằng, trong đại hội thể dục thể thao tỉnh Bắc Ninh năm 2019 có 16 đội óng đăng kí th m gi giải, đƣợc chi thành 4 ảng A,B,C,D, mỗi bảng gồm 4 đội. Cách thức thi đấu nhƣ s u: Vòng 1: Các đội trong mỗi bảng thi đấu vòng tròn 1 lƣợt, tính điểm và chọn ra đội nhất của mỗi bảng.

Vòng 2: ( án kết): Đội nhất bảng A gặp nhất bảng C, nhất bảng B gặp nhất bảng D. Vòng 3: (chung kết):- Tranh giải : 2 đội thu trong án kết.

- Tranh giải nhất: 2 đội thắng ở án kết.

Biết rằng tất cả các trận đấu đều diễn r trên sân vận động huyện Yên Phong vào các ngày liên tiếp, mỗi ngày 4 trận. Hỏi BTC cần mƣợn sân trong o nhiêu ngày?

HD: - Số trận đấu diễn ra trong vòng 1 là: 4.C 24 = 24 - Số trận diễn ra trong vòng 2 là: 2 - Số trận diễn ra trong vòng 3 là: 2 - Có tất cả 28 trận đấu diễn ra trong cả giải đấu. Vậy, BTC cần mƣợn sân trong 7 ngày.

Bài 17: Ở thế vận hội Olympic 2016, vận động viên Hoàng Xuân Vinh đăng kí th m gi nội dung súng ngắn 30m. Mỗi vận động viên đƣợc bắn viên đạn vào i với ba lần độc lập. Xác suất để Hoàng Xuân Vinh ắn trúng vòng 10 điểm là 0,15,. Bắn trúng vòng 8 điểm là 0,2. Bắn trúng vòng dƣới 8 điểm là 0,3. Muốn thắng Hoàng Xuân Vinh 41

phải bắn đƣợc ít nhất 28 điểm. Tính xác suất vận động viên Hoàng Xuân Vinh thắng.

HD: Xét phép thử “Vận động viên bắn ba viên đạn vào bia với ba lần độc lập” Gọi B là biến cố “Vận động viên bắn trúng vòng 10 điểm” Gọi C là biến cố “Vận động viên bắn trúng vòng 9 điểm” Gọi D là biến cố “Vận động viên bắn trúng vòng 8 điểm” Gọi E là biến cố “Vận động viên bắn trúng vòng dƣới 8 điểm” Ta có p( B)  p(C )  p( D)  p( E )  1  p(C )  0,35 Gọi A là biến cố “Vận động viên đó đạt ít nhất 28 điểm” A1 , A2 , A3 lần lƣợt là biến cố “Vận động viên đƣợc 28 điểm, 29 điểm, 30

điểm” p( A1 )  C31.0,15.(0,35) 2  C32 .(0,15) 2 .0, 2 p( A2 )  C32 .(0,15) 2 .0,35 p( A3 )  (0,15)3

p( A)  p( A1 )  p(A2 )  p( A3 )  0,095625 2.2.4.5. Bài toán s p xếp.

Bài 18: Một kệ dài c o ở siêu thị có chứa 25 hộp Nesc fe có vỏ màu x nh, 24 hộp Nesc fe có vỏ màu đỏ. Thảo và Linh cùng đi siêu thị và mỗi ngƣời chọn ngẫu nhiên c fé nhƣng kệ c o quá tầm mắt 2 bạn nên không thể nhìn đƣợc đâu là hộp đỏ đâu hộp x nh, Linh không quan trọng màu nên chọn ngẫu nhiên một hộp, còn Thảo muốn chọn đƣợc hộp màu x nh. Tính xác suất Thảo chọn đƣợc hộp màu x nh?

Hd: - Số phần tử của kgm là:   48.49  2352

42

- Gọi A là biến cố: “ Thảo chọn đƣợc hộp màu xanh” +) TH1: Linh và Thảo đều chọn đƣợc hộp màu xanh Linh lấy đƣợc hộp màu xanh từ 25 hộp xanh có 25 cách Thảo lấy đƣợc hộp xanh từ 24 hộp xanh còn lại có 24 cách Theo QTN, ta có: 25.24 = 600 cách thỏa mãn TH1. +) TH2: Linh chọn đƣợc hộp đỏ, Thảo chọn đƣợc hộp xanh Linh lấy đƣợc hộp đỏ từ 24 hộp đỏ có 24 cách Thảo lấy đƣợc hộp xanh từ 25 hộp xanh có 25 cách Theo QTN, ta có: 25.24 = 600 cách thỏa mãn TH2.

Suy ra, theo QTC ta có:  A  600  600  1200 Vậy, P(A)=

1200  0,51 2352

Bài 19: Trong ữa tiệc kỉ niệm ngày sinh nhật An, vợ chồng An có mời 4 cặp vợ chồng bạn è khác. Tất cả mọi ngƣời đƣợc ngồi chung vào một àn tròn một cách ngẫu nhiên. Vì là ngôi s o trong bữa tiệc nên An đã đƣợc xếp ngồi giữ 2 cô gái. Tính xác suất để An đƣợc ngồi cạnh vợ.

Hd:Xét phép thử “ Xếp ngẫu nhiên An ngồi giữa 2 cô gái” Không gian mẫu   C52 .2!.7!

Gọi A là biến cố “An đƣợc xếp ngồi cạnh vợ” Chọn 1 trong 4 cố gái có 4 cách chọn Xếp vợ An và cô gái đó cạnh An có 2!

Xếp 7 ngƣời còn lại có 7!

A  4.2!.7! p ( A) 

2 5

43

Bài 20: Có h i dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3 ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 n m và 3 nữ, ngồi vào 2 dãy ghế sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Ngƣời ta muốn xếp đƣợc ngẫu nhiên mỗi học sinh n m đến ngồi đối diện với một học sinh nữ để bắt cặp chơi trò chơi đồng đội. Tính xác suất để mỗi học sinh n m đến ngồi đối diện với học sinh nữ.

HD: - Số kgm là:   6!  720 -Gọi A là biến cố: “ Mỗi học sinh nam đến ngồi đối diện với học sinh nữ.

Ta có: + Xếp 3 nam vào 3 ghế có 3! cách + Xếp 3 nữ vào 3 ghế có 3! cách + Ở mỗi loại ghê xếp chỗ ngồi cho cặp nam, nữ là 2! Cách  Theo QTN, ta có:  A  3!.3!.(2!)3  288 cách

Vậy, P(A) =

288 2  720 5

2.2.4.6. Bài toán “trò chơi cờ bạc b p”.

Bài 21: Ngƣời chủ bạc cầm 8 quân cờ caro trắng và 8 quân đen, bỏ vào một cái túi vải( gọi là túi thăm). Quy định rằng, ngƣời muốn chơi chỉ cần nộp 1 hào làm thủ tục phí, s u đó lấy trong túi r 5 quân cờ, ngƣời chủ bạc sẽ trả thƣởng theo một tờ bảng trả thƣởng ày trên mặt đất ( bảng 2- 1).

Bảng 2 – 1 Nếu lấy đƣợc Giải thƣởng 5 quân trắng

2 đồng

4 quân trắng

2 hào

3 quân trắng

Vật kỉ niệm giá trị 5 xu

Khác 3 trƣờng hợp nêu trên

Xem nhƣ trò vui một lần! (không đƣợc gì cả!)

44

Nhìn ề ngoài thì việc trúng thƣởng là dễ dàng. Nhƣng khả năng để nhận đƣợc giải thƣởng là o nhiêu? Nếu lấy 1000 lần thủ tục phí thì chủ sòng bạc thu về o nhiêu?

HD: - P( 5 quân trắng) =

8 7 6 5 4      0,0128 16 15 14 13 12

8 7 6 5 8 - P( 4 quân trắng) =        5  0,1282  16 15 14 13 12  8 7 6 8 7 - P( 3 quân trắng) =        10  0,3589  16 15 14 13 12  - Nếu lấy 1000 lần thủ tục phí thì chủ sòng bạc thu đƣợc là: 1000  0,1  100 đồng, hắn có thể phải chi ra số tiền thƣởng ( kể cả kỷ

niệm) là:

 P (5 quân trắng)  2 + P(4 quân trắng)  0,2 + P(3 quân trắng)  0,05 1000 =

 0,0128  2  0,1282  0,2  0,3589  0,05  1000  69,19

đồng - Như vậy, chủ sòng bạc thu về không ít hơn 30,91 đồng.

Bài 22: Trong túi có 6 quả óng đen và 6 quả óng trắng. Điều kiện chơi là: ngƣời chơi ỏ r 2 đồng thì đƣợc chọn 6 quả óng. Nếu chọn đƣợc 6 quả óng trắng hay 6 quả óng đen thì ngƣời chơi đƣợc 50 đồng (gấp 25 lần tiền bỏ ra). Nếu chọn đƣợc 5 quả trắng, 1 quả đen hoặc 5 quả đen, 1 quả trắng thì ngƣời chơi đƣợc 2 đồng. Nếu chọn đƣợc 2 quả đen 4 quả trắng hoặc 4 quả đen 2 quả trắng thì ngƣời chơi đƣợc 2 hào. Nếu chọn đƣợc 3 quả đen 3 quả trắng thì ngƣời chơi không đƣợc thƣởng xu nào nhƣng vẫn bị mất 2 đồng. Vậy xác suất để đƣợc thƣởng là o nhiêu? Từ xác suất vừa tính trên rút r điều gì?

HD: - Chọn 6 quả bóng từ 12 quả bóng có

C

6 12

 924 cách chọn. Vậy số

phần tử của kgm là   924 - Gọi A là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 50 đồng” +) 6 quả chọn ra là quả trắng

45

Chọn 6 quả trắng từ 6 quả trắng có 1 cách chọn +) 6 quả chọn ra là quả đen Chọn 6 quả đen từ 6 quả đen có 1 cách chọn 2  0,002 924 - Gọi B là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 2 đồng” +)TH1: 6 quả chọn ra có 5 quả trắng, 1 quả đen   A  1  1  2  P(A) 

Chọn 5 quả trắng từ 6 quả trắng có

C

5 6

 6 cách chọn

Chọn 1 quả đen từ 6 quả đen có 6 cách chọn Theo QTN, ta có 6  6  36 cách chọn thỏa mãn TH1. +) TH2: 6 quả chọn ra có 5 quả đen, 1 quả trắng Tƣơng tự nhƣ TH1, ta cũng có 36 cách chọn cho TH2.

72  0,078 924 - Gọi C là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 2 hào” +) TH1: 6 quả chọn ra có 4 quả đen, 2 quả trắng.   B  36  36  72  P(B) 

Chọn 4 quả đen từ 6 quả đen có

C

4 6

 15 cách chọn

Chọn 2 quả trắng từ 6 quả trắng có

cách chọn

Theo QTN, ta có 15 15  225 cách chọn thỏa mãn TH1. +) TH2: 6 quả chọn ra có 4 quả trắng, 2 quả đen.

Tƣơng tự nhƣ TH1, ta cũng có 225 cách chọn cho TH2.

 0,487 Qua tính toán ta thấy rằng, cứ 1000 lần chọn, để đƣợc thƣởng 50 đồng chỉ có 2 lần, để đƣợc thƣởng 2 đồng thì có 78 lần, còn cơ hội nhận đƣợc 2 hào là 487 lần, suy ra không nhận đƣợc tiền thƣởng mà còn mất cả 2 đồng tiền cọc là 433 lần.

Trong 1000 lần chọn bạn phải bỏ ra 2 1000  2000 đồng, nhƣng cơ hội thu lại tiền nhiều nhất chỉ là: 50  2  78  2  487  0,2  353,4 đồng.

Vậy, chủ trò bao giờ cũng thu lại đƣợc ít nhất là: đồng của bạn.

46

( Các trò chơi quay số, đoán đầu đuôi, chẵn lẻ,… cũng tương tự. Cho nên, nếu bạn không muốn cúng tiền cho những kẻ “ cờ bạc gian lận” và mất thời gian thì phải tránh xa các nơi này, không nên chơi thử vì bạn sẽ m c vào trò lừa đảo).

Bài 23: Luật chơi: Bạn đặt một số tiền, nói đơn giản x đồng để mua 1 con số từ 00 đến 99. Mục đích củ ngƣời chơi là làm s o để con số này trùng với hai con số của xổ số đặc biệt do Nhà nƣớc phát hành trong ngày hôm đó, nếu số của bạn trùng ạn sẽ đƣợc gấp 70 lần tiền đầu tƣ , tức là 70x. Nếu không trúng ạn mất x đồng đầu tƣ n đầu.

Nhiều người quan điểm sai lầm rằng: Nếu bỏ ra số tiền là 100.000 đồng. Nếu trúng thưởng sẽ được 7 triệu đồng tức là lãi được 6.9 triệu. Tuy nhiên nếu thua chỉ b lỗ 100.000 đồng. Quá lời !!!!. Vậy đâu là sai lầm trong cách nghĩ này. Chúng ta hãy giải bài toán này: HD: Vì chỉ có một số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là

1  0, 01 .

100

Trong khi đó xác suất thua là: 1−0,01=0,99.

Khi đó trung bình ngƣời chơi lãi: 6.900.000×0,01+(−100.000)×0,99= −30.000 Nhƣ vậy mỗi lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn lỗ khoảng 30.000 đồng.

Nhƣ vậy sai lầm của ngƣời chơi là không tính đến xác suất trúng có lớn hay không. Vì xác suất rất nhỏ nên đánh hoài không trúng!!!!! ( Việc mua sổ xố hằng ngày cũng như bài toán trên. Xác suất rất nhỏ nên khả năng trúng rất thấp. Không nên phụ thuộc vào mấy trò may rủi nếu không muốn vừa phí tiền vừa mất thời gian).

2.2.4.7. Bài toán trong kĩ thuật máy bay.

Bài 24: Một máy y có 3 ộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nh u. Máy y sẽ rơi khi cố 1 viên đạn trúng vào A, 2 viện đạn trúng vào B, 3 viên đạn trúng vào C. Giả sử rằng các ộ phận A, B, C

47

lần lƣợt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy máy y rơi khi máy y ị trúng 2 viên đạn.

y. Tính xác suất để

Hd: Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 viên đạn bay trúng A” B là biến cố “Có 2 viên đạn bay trúng B”

P(A)  1  0,852 P( B)  0,32 Xác suất để máy bay rơi là

+P(B)=0,3675

Bài 25: Một máy y có 4 ộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau.

Máy y sẽ rơi khi có 2 viên đạn cùng trúng vào 1 ộ phận, hoặc 2 bộ phận kề nh u trúng đạn. Tính xác suất để máy y rơi nếu 4 bộ phận có diện tích ằng nh u và máy y ị trúng 2 viên đạn.

HD: - Số phần tử kgm là:   4  4  16 - Gọi A là biến cố cần tìm. +) TH1: Cùng trúng 2 bộ phận Vì 4 bộ phận đều có diện tích bằng nhau nên khả năng trúng là nhƣ nhau cách thỏa mãn TH1 +) TH2: Trúng 2 bộ phận kề nhau  Nếu viên thứ nhất trúng A thì viên còn lại phải trúng B  chỉ 1 cách chọn  Nếu viên thứ nhất trúng B thì viên còn lại có thể trúng A hoặc C  Có 2 cách chọn  Nếu viên thứ nhất trúng C thì viên còn lại có thể trúng B hoặc C  Có 2 cách chọn  Nếu viên thứ nhất trúng D thì viên còn lại phải trúng C 48

 Có 1 cách chọn

Theo QTC, ta có  A  1  2  2  1  6 Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:  A  4  6  10 Vậy, xác suất cần tìm là: P(A) 

10 5  16 8

Bài 26: Một máy y có 5 động cơ, trong đó có 2 động cơ ở cánh phải, 2 động cơ ở cách trái và 1 động cơ ở thân đuôi. Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là 0,2, còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,06. Các động cơ hoạt động độc lập.

Tính xác suất để máy y thực hiện chuyến y n toàn trong các TH sau: ) Máy

y chỉ

) Máy y chỉ động cơ làm việc.

y đƣợc nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc. y đƣợc khi trên mỗi cánh củ nó có ít nhất 1

HD: a) Gọi A là biến cố “ tất cả động cơ bị hỏng” B là biến cố “có 4 động cơ bị hỏng” ; P(B)  2.(0,2) 3.0,06.0,94  3.(0,2) 2.(0,06) 2.0,94 4 ,918.103

Do đó, xác suất để có ít nhất 2 động cơ làm việc là: = 0,99508 b) Gọi C là biến cố: “ Cánh phải có ít nhất 1 động cơ làm việc” D là biến cố: “ Cánh trái có ít nhất 1 động cơ làm việc”  P(C )  1  (0,2)2  0,96 ; P( D)  1  (0,06)2 = 0,9964  C.D là biến cố: “Trên mỗi cánh ít nhất 1 động cơ làm việc”

49

 P(C.D) = P(C).P(D) = 0,96.0,9964 = 0,956544 (Do các động cơ

hoạt động độc lập).

2.2.4.8.Bài toán xác suất ứng dụng trong Y học Bài 27: Bệnh bạch tạng ở ngƣời do đột biến gen lặn nhiễm sắc thể thƣờng, alen trội tƣơng ứng quy định ngƣời ình thƣờng. Một cặp vợ chồng đều m ng gen gây ệnh, ở thể dị hợp. Về mặt lý thuyết, hãy tính xác suất có thể xảy ra về mặt giới tính đối với tình trạng trên nếu họ dự kiến đẻ 2 đứa con.

Hd: Lập sơ đồ lai theo bài toán ta có

3 bình thƣờng, 4

bị bệnh

Đây là trƣờng hợp các sự kiện không đồng khả năng tức là có xác suất khác nhau Gọi xác suất sinh con trai bình thƣờng là A

3 1 3 .  4 2 8

Gọi xác suất sinh con trai bị bệnh là a= 3 1 3 Gọi xác suất sinh con gái bình thƣờng là B  .  4 2 8

Gọi xác suất sinh con gái bị bệnh là ( Từ đây ta thấy con trai hay con gái đều có tỉ lệ m c bệnh như nhau).

Bài 28: Một cặp vợ chồng có nhóm máu A và đều có kiểu gen dị hợp về nhóm máu. Nếu họ sinh h i đứ con thì xác suất để một đứ có nhóm máu A và một đứ có nhóm máu O là o nhiêu?

HD: - Xác suất sinh con có nhóm máu A là: - Xác suất sinh con có nhóm máu O là:

50

1 4

3 4

- Xác suất sinh con trai là:

1 ( Vì sinh con trai hay con gái xác suất 2

là 50% con trai; 50% con gái) - Áp dụng công thức nhân xác suất, xác định để cặp vợ chồng sinh con trai không bị bệnh là: Bài 29: Bệnh Pheeninkêtô niệu ở ngƣời là do một gen lặn nằm trên nhiễm sắc thể thƣờng quy định và di truyền theo quy luật Menden. Một ngƣời đàn ông có cô em gái ị bệnh, có ý định kết hôn với một ngƣời phụ nữ có nh tr i ị bệnh. Họ lo sợ nếu lấy nhau con mình sinh r sẽ bị bệnh. Hãy tính xác suất để cặp vợ chồng này sinh đứ con đầu lòng ị bệnh? Biết rằng, ngoài ngƣời anh chồng và em vợ bị bệnh ra, cả ên vợ và ên chồng không còn i khác bị bệnh.

HD: - Gọi: A là gen không gây bệnh Phêninkêtô niệu; a là gen gây bệnh Phêninkêtô niệu.

- Do bệnh này tuân theo định luật Menđen và do chỉ có em chồng và anh vợ bị bệnh nên bố, mẹ ngƣời chồng và bố, mẹ ngƣời vợ đều có kiểu gen Aa. - Ngƣời chồng bình thƣờng và ngƣời vợ bình thƣờng có con bị bệnh (aa) nên kiểu gen của cặp vợ chồng này là Aa. - Xác suất để ngƣời chồng, ngƣời vợ có kiểu gen dị hợp (Aa) từ bố mẹ của họ là

2 3

- Xác suất để sinh con bị bệnh là

1 4

- Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có xác suất để cặp vợ chồng này sinh đứa con đầu lòng bị bệnh là:

2 2 1 1    3 3 4 9

51

(Từ kết quả trên ta có thể kết luận, sau này sinh con sẽ có nguy cơ b 1 1 và xác suất b bệnh của đứa con đầu lòng là . Do 4 9 vậy, xác suất không b bệnh vẫn cao hơn, hoàn toàn có thể có con bình

bệnh, xác suất là

thường. Nếu anh ch vẫn quyết tâm lấy nhau và sinh con thì có thể làm xét nghiệm gen để chuẩn đoán trước sinh, sàng lọc thai nhi b bệnh).

Bài 30: Một quần thể ngƣời bị bạch tạng là 1/10000. Giả sử quần thể này cân ằng di truyền. Hãy tính tần số len và thành phần các kiểu gen của quần thể? Biết rằng, bệnh bạch tạng là do gen lặn nằm trên NST quy định.

HD: - Gọi: gen A quy định da bình thƣờng; gen a quy định da bị bệnh bạch tạng - Gọi p, q lần lƣợt là tần số tƣơng ứng của các alen A, a - Vì quần thể ở trạng thái cân bằng di truyền nên từ ngƣời bị bạch tạng

có

kiểu

gen

aa,

tần

số

kiểu

gen

q2

=

1/10000

 q  0,01, p  1  q  0,99 2.2.4.9. Câu chuyện lý thú về xác suất 3 Câu chuyện 1: “R c rối của việc chia tiền cược” Trong cuộc chơi cờ, nếu thắng 6 ván thì mới gọi là thắng, nhƣng khi một ngƣời thắng đƣợc 5 ván, còn ngƣời kia thắng 2 ván thì cuộc chơi uộc phải dừng, nhƣ vậy việc chia tiền cƣợc nên nhƣ thế nào?

- Nhà toán học L. Pacioli cho rằng, nên chia theo tỉ lệ 5:2 mới là hợp lý.

- Nhà toán học G. Cardano cho rằng, trong vấn đề của L. Pacioli, ngƣời đã thắng 5 ván thì chỉ cần thắng thêm 1 ván nữa là đã chiến thắng, do vậy nếu cuộc đấu không bị ngừng thì chỉ có 5 khả năng: Thắng ván thứ nhất, thắng ván thứ hai, thắng ván thứ ba, thắng ván thứ tƣ hoặc thua cả

52

bốn ván. Do đó, G. Cardano cho rằng, tiền cƣợc nên chia theo tỷ lệ: (1+2+3+4) : 10 = 10: 1.

- Đến lúc đó, ngƣời ta vẫn chƣa biết đƣợc là G. Cardano lúc đó đã nghĩ nhƣ thế nào để tìm ra tỷ lệ chia này. Nhƣng đáng tiếc là về sau ngƣời ta đã khẳng định tỷ lệ G. Cardano đƣa ra là sai. Đúng là phải chia theo tỷ lệ 15:1.

- Sự thực cách giải quyết của G. Cardano là, trong 4 ván thi đấu còn lại, mỗi ván đều có 2 khả năng (thắng – bại) tổng cộng có 2  2  2  2  16 khả năng. Nhƣng chỉ có loại cuối cùng, tức là khi con bạc thứ nhất thua toàn bộ 4 ván thì con bạc thứ hai mới có khả năng thắng. Vì vậy, tỷ lệ chia tiền cƣợc phải là 15:1.

Câu chuyện 2: “ Thứ tự rút thăm” Lớp học quyết định tổ chức cuộc thi kiến thức toán học, mỗi tổ cử một đại biểu th m gi . Để kiểm tra diện phổ cập kiến thức toán học cơ ản, lớp quy định tất cả học sinh đều chuẩn bị. Trƣớc khi thi, các tổ dùng cách rút thăm để quyết định tùy ý chọn ngƣời tham gia thi.

- Cuộc thi dự kiến bắt đầu vào buổi chiều. Trên đƣờng tan học buổi sáng, ba bạn cùng tổ cùng về với nhau đã bàn luận về cuộc thi. Trang nói với Phƣơng: “ Cậu chuẩn bị đầy đủ hơn nên chiều nay cậu phải rút thăm trƣớc”.

Trang cho rằng, ngƣời rút thăm trƣớc đƣơng nhiên có nhiều cơ hội rút trúng hơn ngƣời rút sau.

- Dƣơng lại khẳng định: “Theo tớ, ngƣời rút thăm sau có khả năng rút trúng lớn hơn. Ví dụ, tổ có 10 ngƣời, thăm đánh dấu trúng chỉ có một chiếc, vì vậy khả năng rút trúng của ngƣời rút thăm đầu tiên chỉ có xác suất của

1 . Do 10

1 rất nhỏ nên ngƣời rút đầu thƣờng rất khó trúng. Nhƣng đối 10

với ngƣời thứ hai, lúc này chỉ còn lại 9 chiếc thăm, trong đó có 1 chiếc đánh dấu trúng, vì vậy khả năng rút trúng là

53

1 , lớn hơn của ngƣời rút 9

trƣớc. Nếu ngƣời rút trƣớc đều không rút trúng thì ngƣời cuối cùng rút thăm có đánh dấu trúng là tất nhiên, xác suất rút trúng của ngƣời cuối cùng bằng 1”.

- Lúc này, Phƣơng lên tiếng: “Theo tớ, khả năng của tất cả mọi ngƣời rút đúng thăm là nhƣ nhau”. Phƣơng bất giác nhấn mạnh: “Cả tổ 10 ngƣời, từng ngƣời nối tiếp nhau rút thăm nhƣng tạm thời không ra kết quả, hoặc cho dù đã xem cũng tạm thời không nói ra, vậy thì khả năng rút thăm đƣợc có đánh dấu trúng của từng ngƣời là bao nhiêu?”

- “ Một phần mƣời” – Trang và Dƣơng cùng đáp.

- Phƣơng lại hỏi: “Bây giờ mọi ngƣời hãy xem mình rút đƣợc thăm gì, điều đó có ảnh hƣởng nhƣ thế nào đến thứ tự rút thăm và nội dung rút thăm đƣợc?”.

- “Đƣơng nhiên là không ảnh hƣởng!” – Trang và Dƣơng cùng trả lời.  “Đây chẳng phải khả năng để từng ngƣời rút thăm có đánh dấu

trúng là một phần mƣời sao?” – Phƣơng chốt lại đáp án.

Vậy khả năng rút đƣợc thăm “có” của ngƣời rút trƣớc hay rút sau đều là nhƣ nhau.

2.3. Định hƣớng sử dụng hệ thống ài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất Hệ thống bài toán đƣợc xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán có nội dung thực tiễn và dạy học. Tùy vào từng mục, từng quá trình, từng chi tiết cụ thể mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn một cách phù hợp nhất.

Những bài toán trong hệ thống bài toán chỉ mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng đƣợc nhiều liên hệ thực tế hơn. Trong những trƣờng hợp khác chúng ta cũng cần sáng tạo thêm những bài toán khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát với đời sống thực tế hơn nhƣng không phức tạp trong việc giải chúng. Cụ thể khi sử dụng và giảng dạy hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề Tổ hợp – Xác suất ở phổ thông cần chú ý những điểm sau đây:

54

Thứ nhất: Về việc khai thác hệ thống trong giảng dạy Mặc dù hệ thống bài toán đƣợc lựa chọn, cân nhắc một cách cẩn trọng về nội dung, hình thức, số lƣợng trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất ở phổ thông, nhƣng trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trƣờng hợp cụ thể, ví dụ nhƣ: + Đối với học sinh trung bình, yếu ta cần sử dụng những bài toán ở mức độ thấp hơn hoặc sử dụng vừa phải những bài toán trong hệ thống, có sự hƣớng dẫn, gợi ý để giúp các em hoàn thành đƣợc bài toán.

Chẳng hạn nhƣ: Có thể đƣa các bài 1, 3, 9, 13, 15,… cho các học sinh này. + Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể lựa chọn những bài toán nâng cao, ra nhiều bài toán hơn so với các học sinh trung bình, yếu, các bài tập cần biến đổi và tƣ duy.

Với những học sinh này có thể đƣa các bài 6, 7, 10, 11, 21, 22, 25,… để giúp các em nâng cao khả năng tƣ duy sáng tạo.

Thứ hai: Về việc lựa chọn thời điểm đưa các BTTT vào giảng dạy Tùy thuộc vào từng nội dung, kiến thức, từng đối tƣợng học sinh mà ta đƣa BTTT vào thời điểm nào là phù hợp.

- Có thể đƣa bài toán có nội dung thực tiễn nhƣ bài 1, 11, 12, 21 hay câu chuyện “thứ tự rút thăm” vào mở bài (gợi động cơ) cho bài dạy.

- Khi khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc bài tập trong SGK. Thứ ba: Về phương pháp dạy học bài toán có nội dung thực tiễn Trong giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn cần chú ý vận dụng linh hoạt các bƣớc sau: - Bƣớc 1: Chuyển BTTT về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán học dùng để giải.

- Bƣớc 2: Dùng kiến thức toán học để giải bài toán.

55

- Bƣớc 3: Chuyển kết quả của lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tiễn.

Trong ba bƣớc trên, bƣớc 1 đƣợc coi là bƣớc quan trọng nhất. Để thực hiện đƣợc bƣớc này, giáo viên cần tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lƣợng trong những mối liên hệ với nhau, phát hiện những mối liên quan về lƣợng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đại lƣợng này qua đại lƣợng khác, phát hiện ra đâu là những yếu tố cho trƣớc, đâu là yếu tố cần tìm để từ đó vận dụng những kiến thức đã biết để giải quyết bài toán.

2.4. Kiểm nghiệm hệ thống ài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất cho học sinh lớp 11.

2.4.1. Mục đích kiểm nghiệm Kiểm nghiệm tính hiệu quả của hệ thống BTTT đã xây dựng. Từ đó, sửa chữa, điều chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài toán.

2.4.2. Thời gian kiểm nghiệm Tiến hành kiểm nghiệm trong đợt thực tập sƣ phạm từ ngày 15/3/2019 đến ngày 5/4/2019.

2.4.3. Nội dung kiểm nghiệm Chúng tôi đã soạn 2 đề kiểm tra mỗi đề gồm 4 bài lấy trong hệ thống BTTT đã soạn ở mục 2.2.4. Thời gian làm bài là 60 phút. Nội dung cụ thể của phần kiểm tra đã đƣợc trình bày ở phụ lục 2.

Tiến hành kiểm tra cho học sinh lớp 11A3 và 11A11, trƣờng THPT Quỳnh Thọ với số học sinh tham gia kiểm nghiệm là 90 em.

Tổng hợp và phân tích kết quả, từ đó rút ra nhận xét, đánh giá hệ thống BTTT. 2.4.4. Phương pháp kiểm nghiệm Từ 8 bài toán đã chọn, chúng tôi chia thành 2 đề 1, 2 khác nhau nhƣng độ khó tƣơng đƣơng nhau và độ khó tăng dần Trƣớc khi kiểm nghiệm, học sinh đƣợc thông báo hình thức, nội dung kiểm tra trƣớc 1 tuần để có kế hoạch ôn tập.

56

Kết quả kiểm nghiệm đƣợc xử lý theo phƣơng pháp thống kê. Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá cần thiết, làm cơ sở để chỉnh sửa các bài toán cho phù hợp.

2.4.5. Kết quả kiểm nghiệm Sau khi tiến hành kiểm tra, 100% học sinh tham gia làm bài và nộp bài đầy đủ. Chúng tôi tiến hành chấm điểm dựa trên thang điểm đã đề ra ở phụ lục 2. Tổng hợp, phân tích và đánh giá từng câu nhƣ sau:

57

ĐỀ SỐ 1 Câu 1: ( 2 điểm) Đây là môt bài dễ đối với HS. Dành cho đối tƣợng HS trung bình trở lên. Kết quả bài kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x < 1,5

1,5  x  2

Tỷ lệ (%)

2,01

4,16

93,83

Điều đó cho thấy hầu hết các em đều làm đƣơc bài này. Câu này phù hợp.

Câu 2: (3 điểm) Đây là câu dành cho đối tƣợng HS trung bình khá trở lên. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x<2

2  x < 2,5

2,5  x < 3

Tỷ lệ (%)

3,26

6,28

12,23

78,23

Hầu hết HS trung bình khá đều làm đƣợc. Câu này phù hợp.

Câu 3: ( 2 điểm) Đây là câu dành cho đối tƣợng HS khá, giỏi. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x < 1,5

1,5  x  2

Tỷ lệ (%)

20,89

10,53

68,58

Câu này đa số HS vẫn làm đƣợc. Nên đƣa ra với đối tƣợng học sinh trung bình khá thì hợp hơn.

Câu 4: (3 điểm) Đây là một câu hỏi khó, đòi hỏi vận dụng cao. Dành cho đối tƣợng học sinh giỏi. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x<2

2  x < 2,5

Tỷ lệ (%)

50,81

20,67

15,78

58

2,5  x < 3 12,74

ĐỀ SỐ 2 Câu 1: ( 2 điểm) Đây là môt bài dễ đối với HS. Dành cho đối tƣợng HS trung bình trở lên. Kết quả bài kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x < 1,5

1,5  x  2

Tỷ lệ (%)

0,5

3,2

96,3

Điều đó cho thấy hầu hết các em đều làm đƣơc bài này. Câu này phù hợp.

Câu 2: (3 điểm) Đây là câu dành cho đối tƣợng HS trung bình khá trở lên. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x<2

2  x < 2,5

2,5  x < 3

Tỷ lệ (%)

1,62

9,11

8,73

80,54

Hầu hết HS trung bình khá đều làm đƣợc. Câu này phù hợp.

Câu 3: ( 2 điểm) Đây là câu dành cho đối tƣợng HS khá, giỏi. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x < 1,5

1,5  x  2

Tỷ lệ (%)

35,56

16,21

48,23

Câu này phù hợp.

Câu 4: (3 điểm) Đây là một câu hỏi khó, đòi hỏi vận dụng cao. Dành cho đối tƣợng học sinh giỏi. Kết quả kiểm tra nhƣ sau: Điểm (x)

0  x<1

1  x<2

2  x < 2,5

2,5  x < 3

Tỷ lệ (%)

50,26

21,98

15,83

11,93

Phần lớn HS không làm đƣợc câu này. Độ phân biệt tốt. Câu này phù hợp.

59

Kết luận chƣơng 2 Ở chƣơng 2, chúng tôi đã xây dựng đƣợc hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp- Xác suất gồm 35 bài theo dạng bài tập tự luận. Đây không phải là những bài tập quá khó đối với học sinh, nhƣng nó lại là những bài tập mang tính thực tiễn cao bởi các tình huống trong thực tiễn cũng nhƣ trong các ngành học khác đƣợc đƣa vào một cách toàn diện.

Dựa trên hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp- Xác suất đã xây dựng, chúng tôi đã đề ra đƣợc 2 đề kiểm tra cho HS làm và đánh giá. Thực tế cho thấy, nếu các em không đƣợc làm quen với các bài toán này ngay từ đầu thì các em sẽ gặp lúng túng khi xử lý nó. Thƣờng thì HS không biết cách phân tích đề bài toán khi gặp phải đề bài dài và phức tạp.

Việc kiểm nghiệm chất lƣợng các câu hỏi đã giúp chúng tôi bƣớc đầu tích lũy đƣợc các kinh nghiệm khi ra đề cho HS và cần xử lý các BTTT khi đƣa vào chƣơng trình dạy học nhƣ thế nào.

Nhƣ vậy, chƣơng 2 chúng tôi đã hoàn thành nhiệm vụ đƣợc đề ra trong mục nhiệm vụ nghiên cứu.

60

KẾT LUẬN CHUNG

Trên đây là những nghiên cứu và nội dung cơ bản của bài luận: “Xây dựng hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp- Xác suất cho học sinh lớp 11”.Khóa luận đã giải quyết đƣợc những vấn đề nhƣ sau: - Đƣa ra đƣợc cơ sở lý luận và thực tiễn về BTTT, tính thực tiễn của Toán học và thực trạng sử dụng nó.

- Xây dựng và kiểm nghiệm đƣợc hệ thống BTTT chủ đề Tổ hợp- Xác suất cho học sinh lớp 11.

Qua khóa luận này giúp cho ngƣời đọc có cái nhìn đầy đủ và sâu sắc hơn về BTTT, đặc biệt là chủ đề Tổ hợp- Xác suất góp phần tích cực trong việc đổi mới phƣơng pháp dạy cũng nhƣ phƣơng pháp kiểm tra, đánh giá môn Toán ở trƣờng THPT nhằm nâng cao chất lƣợng dạy và học.

Do kiến thức, kinh nghiệm và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luận chỉ kiểm nghiệm đƣợc 8 bài trên 31 bài toán đã xây dựng. Trong thời gian tới, em sẽ tiếp tục kiểm nghiệm những BTTT còn lại để từ đó chỉnh sửa và hoàn thiện hệ thống bài toán đã xây dựng. Vì vậy, kết quả của khóa luận chƣa đƣợc sâu sắc, đầy đủ và không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung và hình thức, tôi rất mong đề tài tiếp tục nhận đƣợc sự quan tâm, góp ý, chỉ bảo của quý thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của em đƣợc hoàn chỉnh, chính xác và đầy đủ nhất.

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Công Diêu, Nguyễn Văn Quang, Tiếp cận phƣơng pháp và vận dụng cao trong trắc nghiệm bài toán thực tế, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2017.

[2] Nguyễn Bá Đô, Những câu chuyện lý thú về xác suất, NXB Dân Trí, năm 2017.

[3] G. Polya (1975), Giải một bài toán nhƣ thế nào?. Bản dịch tiếng Việt của Hồ Tƣờng NXB Giáo dục.

[4] Nguyễn Thị Phƣơng Hoa, Lê Diễm Phúc, Nguyễn Thị Thu Hà, Pisa và một quan niệm mới về đánh giá trong giáo dục, Tạp chí khoa học DDHQGHN: Nghiên cứu nƣớc ngoài, Số 1(2016) 58-65.

[5] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Phƣơng pháp dạy học môn Toán – phần 1, NXB Đại học Sƣ phạm, năm 2002.

[6] Hoàng Trọng Phán, Ứng dụng Tổ hợp – Xác suất trong giải bài tập di truyền, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2017.

[7] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, SGK Đại số và Giải tích 11 ( Nâng cao), NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2014.

[8] Nguyễn Quang Sơn, Chinh phục bài tập Tổ hợp – Xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2016.

62

PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN VỀ THỰC TRẠNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Thông tin cá nhân (có thể điền hoặc không) Giáo viên: Trƣờng: Xin quý thầy/cô đánh dấu (X) vào những phần mình chọn. Những thông tin mà quý thầy/cô cung cấp sẽ giúp chúng tôi đánh giá đƣợc sự cần thiết của việc đƣa các kiến thức toán học có nội dung gắn với thực tiễn vào quá trình dạy học ở trƣờng THPT. Rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của quý thầy/cô.

Câu 1. Thầy/cô hiểu thế nào là bài toán thực tiễn?  Là các bài toán có nội dung liên qua đến thực tế.  Là các bài toán có nội dung liên qua đến các môn học khác.  Là những bài toán có chứa nội dung liên quan đến thực tế và phải sử dụng toán học để giải quyết.  Ý kiến khác: Câu 2. Theo thầy/cô tầm quan trọng của các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất là nhƣ thế nào?    

Quan trọng.

Bình thƣờng.

Không quan trọng, không cần thiết. Ý kiến khác:

Câu 3. Trong thực tế, thầy/cô có sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất không?  Thƣờng xuyên.

 Đôi khi.  Có, nhƣng rất ít.  Không sử dụng.

Câu 4. Thầy/cô thƣờng sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất cho học sinh lớp 11 từ nguồn nào?    

Từ sách giáo khoa, sách bài tập.

Từ quá trình tham khảo (internet, đồng nghiệp, sách tham khảo,…)

Từ quá trình xây dựng của giáo viên. Ý kiến khác:

Câu 5. Thầy/cô có mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học không?  Có.  Không.

Câu 6. Theo thầy/cô việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học có cần thiết không?    

Cần thiết Bình thƣờng Không cần thiết Ý kiến khác

PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN HỌC SINH VỀ THỰC TRẠNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP-XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 Ở TRƢỜNG PT Học sinh:

Lớp:

Trƣờng: Em hãy đánh dấu (X) vào ô trống trƣớc phƣơng án trả lời của mình.

Câu 1. Em hiểu thế nào là bài toán thực tiễn?  Là các bài toán có nội dung liên qua đến thực tế.  Là các bài toán có nội dung liên qua đến các môn học khác.  Là những bài toán có chứa nội dung liên quan đến thực tế và phải sử dụng toán học để giải quyết.  Ý kiến khác: Câu 2: Trong thực tế, thầy/cô của em có thƣờng sử dụng bài tập toán học gắn với thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất không?    

Rất thƣờng xuyên. Đôi khi.

Thƣờng xuyên.

Không sử dụng.

Câu 3: Khi thầy/cô sử dụng các bài toán thực tiễn để dạy học, em cảm thấy thế nào?    

Bài học dễ hiểu hơn, thú vị hơn.

Bài học vẫn bình thƣờng.

Bài học trở nên phức tạp, khó hiểu. Ý kiến khác:

Câu 4: Em giải các bài toán thực tiễn của chủ đề Tổ hợp- Xác suất khi nào?  Khi thầy/cô cho.  Khi em tìm hiểu.

 Khi thầy/cô cho và do em tự tìm hiểu thêm.  Em không giải bao giờ.

Câu 5: Khi học chủ đề Tổ hợp- Xác suất, em thấy số lƣợng các bài toán thực tiễn mà thầy cô cho là?    

Nhiều.

Bình thƣờng. Ít.

Không bao giờ.

Câu 6: Em mong muốn giáo viên của mình sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề Tổ hợp- Xác suất nhƣ thế nào?    

Thầy/cô cho nhiều bài toán thực tiễn hơn.

Thầy/cô hạn chế đƣa ra các bài toán thực tiễn.

Thầy/cô không đƣa ra các bài toán thực tiễn vào chủ đề này. Ý kiến khác:

PHỤ LỤC 2 ĐỀ KIỂM TRA KIỂM NGHIỆM HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHO HỌC SINH LỚP 11 ĐỀ SỐ 1 Câu 1: (2 điểm) Đạt đi ăn ở một nhà hàng, chọn đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và 1 nƣớc uống trong 3 loại nƣớc uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?

Câu 2: (3 điểm) Ở một nƣớc có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu Quốc hội. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để lập thành một ủy ban. Tính xác suất để a) Trong ủy ban có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô b) Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu trong ủy ban Câu 3: ( 2 điểm) Bệnh bạch tạng ở ngƣời do đột biến gen lặn nhiễm sắc thể thƣờng, alen trội tƣơng ứng quy định ngƣời bình thƣờng. Một cặp vợ chồng đều mang gen gây bệnh, ở thể dị hợp. Về mệt lý thuyết, hãy tính xác suất có thể xảy ra về mặt giới tính đối với tình trạng trạng trên nếu họ dự kiến đẻ 2 đứa con.

Câu 4: ( 3 điểm) Hoàng thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp mình.

Bảng gồm 10 nút, mỗi nút đƣợc ghi 1 số từ 0 đến 9 và không có 2 nút nào đƣợc ghi cùng 1 số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút théo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số tăng và có tổng bằng 10.

Dƣơng đƣợc giao nhiệm vụ đi sớm để trực nhật lớp ngày hôm đó nhƣng đột nhiên lại quên mật khẩu và chỉ nhớ đƣợc chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng.

Tính xác suất để Dƣơng mở đƣợc cửa phòng học đó biết rằng nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại.

ĐỀ SỐ 2 Câu 1: (2 điểm) Bình có 4 đôi giầy khác nhau gồm 4 màu: đen, trắng, xanh và hồng.

Một buổi sáng đi học vì vội vàng Bình đã lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày đó. Xác suất để Bình lấy đƣợc 2 chiếc giày cùng màu là?

Câu 2: ( 3 điểm) Một kệ dài cao ở siêu thị có chứa 25 hộp Nescafe có vỏ màu xanh, 24 hộp Nescafe có vỏ màu đỏ. Thảo và Linh cùng đi siêu thị và mỗi ngƣời chọn ngẫu nhiên café nhƣng kệ cao quá tầm mắt 2 bạn nên không thể nhìn đƣợc đâu là hộp đỏ đâu hộp xanh, Linh không quan trọng màu nên chọn ngẫu nhiên một hộp, còn Thảo muốn chọn đƣợc hộp màu xanh. Tính xác suất Thảo chọn đƣợc hộp màu xanh?

Câu 3: ( 2 điểm) Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 2 động cơ ở cánh phải, 2 động cơ ở cách trái và 1 động cơ ở thân đuôi. Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là 0,2, còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,06. Các động cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các TH sau: a) Máy bay chỉ bay đƣợc nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc. b) Máy bay chỉ bay đƣợc khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất 1 động cơ làm việc.

Câu 4: ( 3 điểm) Trong túi có 6 quả bóng đen và 6 quả bóng trắng. Điều kiện chơi là: ngƣời chơi bỏ ra 2 đồng thì đƣợc chọn 6 quả bóng. Nếu chọn đƣợc 6 quả bóng trắng hay 6 quả bóng đen thì ngƣời chơi đƣợc 50 đồng (gấp 25 lần tiền bỏ ra). Nếu chọn đƣợc 5 quả trắng, 1 quả đen hoặc 5 quả đen, 1 quả trắng thì ngƣời chơi đƣợc 2 đồng. Nếu chọn đƣợc 2 quả đen 4 quả trắng hoặc 4 quả đen 2 quả trắng thì ngƣời chơi đƣợc 2 hào. Nếu chọn đƣợc 3 quả đen 3 quả trắng thì ngƣời chơi không đƣợc thƣởng xu nào nhƣng vẫn bị mất 2 đồng.

Vậy xác suất để đƣợc thƣởng là bao nhiêu? Từ kết quả đó có thể suy ra điều gì?

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ SỐ 1 Câu 1

Thang điểm

Đáp án HD: - Chọn 1 món ăn trong 5 món có 5 cách chọn.

0,5

- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng có 5 cách chọn.

0,5 - Chọn 1 nƣớc uống trong 3 loại nƣớc uống có 3 cách chọn.

0,5 Vậy theo QTN, ta có: 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn.

0,5 50 HD: Không gian mẫu   C100

2

0,25

a) Gọi A là biến cố trong ủy ban không có đại biểu của thủ đô 1

C9850 A  C  P( A)  50 C100 50 98

Do vậy A là biến cố có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô  P( A)  1  P( A) 

149 198

0,5

KL:… b) Gọi B là biến cố mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu ủy ban

B  250  P( B)  3

250 50 C100

HD: Lập sơ đồ lai theo bài toán ta có

1 bị bệnh 4

0,25

1

3 bình thƣờng, 4 1

Đây là trƣờng hợp các sự kiện không đồng khả năng tức là có xác suất khác nhau Gọi xác suất sinh con trai bình thƣờng là A=

3 1 3 .  4 2 8

1 1 1 Gọi xác suất sinh con trai bị bệnh là a= .  4 2 8

Gọi xác suất sinh con gái bình thƣờng là

0,25

0,25

0,25

1 1 1 Gọi xác suất sinh con gái bị bệnh là b  .  4 2 8

0,25

4 HD: - Số phần tử của không gian mẫu là:   C 10  120 3

0,25

- Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Khi đó, các bộ số có tổng bằng 10 và khác nhau là : (0;1;9);(0;2;8);(0;3;7);(0;4;6);(1;2;7);(1;3;6);(1;4;5);(2;3;5) 0,25 TH1: Bấm đúng ngay ở lần thứ nhất thì ta có xác suất 8 8 là:  3 C 10 120 TH2: Bấm đúng ở lần thứ hai ta có xác suất là: 8  8 16  ( vì trừ đi lần đầu bị sai nên  1  .  120  119 255 không gian mẫu chỉ còn là 120 – 1 = 119).

0,5

1

TH3: Bấm đúng ở lần thứ 3 ta có xác suất là: 8  8  8 296   1   .1  .  120   119  118 5015 Vậy xác suất cần tìm là: P( A) 

8 16 296 189    120 255 5015 1003

1

ĐỀ SỐ 2 Đáp án

Câu

1 HD: - Số phần tử của kgm là:   C82  28 - Gọi A là biến cố cần tính xs, ta có:  A  4 Vậy, P(A)= 2

A 1   7

Thang điểm 0,5 0,5

1

HD: - Số phần tử của kgm là:   48.49  2352

0,25

- Gọi A là biến cố: “ Thảo chọn đƣợc hộp màu xanh” +) TH1: Linh và Thảo đều chọn đƣợc hộp màu xanh Linh lấy đƣợc hộp màu xanh từ 25 hộp xanh có 25 0,25 cách Thảo lấy đƣợc hộp xanh từ 24 hộp xanh còn lại có 24 0,25 cách Theo QTN, ta có: 25.24 = 600 cách thỏa mãn TH1.

0,5

+) TH2: Linh chọn đƣợc hộp đỏ, Thảo chọn đƣợc hộp xanh Linh lấy đƣợc hộp đỏ từ 24 hộp đỏ có 24 cách

0,25

Thảo lấy đƣợc hộp xanh từ 25 hộp xanh có 25 cách

0,25

Theo QTN, ta có: 25.24 = 600 cách thỏa mãn TH2.

0,5

Suy ra, theo QTC ta có:  A  600  600  1200

0,25

Vậy, P(A)=

1200  0,51 2352

3 HD: a) Gọi A là biến cố “ tất cả động cơ bị hỏng” B là biến cố “có 4 động cơ bị hỏng”

0,25

 P(A)  (0,2)3.(0,06)2  1,728.106

; 0,25

P(B)  2.(0,2)3.0,06.0,94  3.(0,2)2.(0,06)2.0,94  4,918.103

0,25

Do đó, xác suất để có ít nhất 2 động cơ làm việc là: = 0,99508 0,5 b) Gọi C là biến cố: “ Cánh phải có ít nhất 1 động cơ làm việc” D là biến cố: “ Cánh trái có ít nhất 1 động cơ làm việc”  P(C )  1  (0,2)2  0,96 ;

0,5

= 0,9964  C.D là biến cố: “Trên mỗi cánh ít nhất 1 động cơ làm việc”

 P(C.D)= P(C).P(D) = 0,96.0,9964 = 0,956544 (Do các 0,5 động cơ hoạt động độc lập).

4 HD: - Chọn 6 quả bóng từ 12 quả bóng có

C

6 12

 924 cách chọn. 0,25

Vậy số phần tử của kgm là - Gọi A là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 50 đồng” +) 6 quả chọn ra là quả trắng Chọn 6 quả trắng từ 6 quả trắng có 1 cách chọn

0,5

+) 6 quả chọn ra là quả đen Chọn 6 quả đen từ 6 quả đen có 1 cách chọn  (A)  1  1  2  P(A) 

2  0,002 924

- Gọi B là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 2 đồng” +)TH1: 6 quả chọn ra có 5 quả trắng, 1 quả đen Chọn 5 quả trắng từ 6 quả trắng có

C

5 6

 6 cách chọn

Chọn 1 quả đen từ 6 quả đen có 6 cách chọn

1

Theo QTN, ta có 6  6  36 cách chọn thỏa mãn TH1. +) TH2: 6 quả chọn ra có 5 quả đen, 1 quả trắng Tƣơng tự nhƣ TH1, ta cũng có 36 cách chọn cho TH2.   B  36  36  72  P(B) 

72  0,078 924

- Gọi C là biến cố: “ Xs để đƣợc thƣởng 2 hào” +) TH1: 6 quả chọn ra có 4 quả đen, 2 quả trắng.

Chọn quả đen từ 6 quả đen có

C

4 6

Chọn 2 quả trắng từ 6 quả trắng có

 15 cách chọn

C

2 6

1

 15 cách chọn

Theo QTN, ta có 15 15  225 cách chọn thỏa mãn TH1. +) TH2: 6 quả chọn ra có 4 quả trắng, 2 quả đen.

Tƣơng tự nhƣ TH1, ta cũng có 225 cách chọn cho TH2.  C  225  225  450  P(A) 

450  0, 487 924

Qua tính toán ta thấy rằng, cứ 1000 lần chọn, để đƣợc thƣởng 50 đồng chỉ có 2 lần, để đƣợc thƣởng 2 đồng thì có 78 lần, còn cơ hội nhận đƣợc 2 hào là 487 lần, suy ra không nhận đƣợc tiền thƣởng mà còn mất cả 2 đồng tiền cọc là 433 lần.

Trong 1000 lần chọn bạn phải bỏ ra 2 1000  2000 đồng, nhƣng cô hội thu lại tiền nhiều nhất chỉ là: 50  2  78  2  487  0,2  353,4 đồng.

Vậy, chủ trò bao giờ cũng thu lại đƣợc ít nhất là: 0,25 2000  353,4  1646,6 đồng của bạn.