Thủ thuật Casio giải nhanh trắc nghiệm Toán 12 - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN T. CASIO XÁC ĐỊNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

H Ơ

N

CỦA ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

N

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Y

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

ẤP

2+

3

10

00

B

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) có vecto chỉ phương ud và vecto pháp tuyến nP

d / / ( P ) nếu ud ⊥ nP và không có điểm chung

d ≡ ( P ) nếu ud ⊥ nP và có điểm chung

d ⊥ ( P ) nếu ud = k .nP

C

3. Lệnh Casio

A

Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8

H

Ó

Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

Í-

Tính tích vô hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB

-L

Tính tích có hướng của hai vecto: vectoA x vectoB

ÁN

Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

TO

Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP

G

Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO Đ Ư N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

TR ẦN

d chéo d ' nếu ud không song song ud ' và MM ' ud , ud '  ≠ 0

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đường thẳng trên.

d / / d ' nếu ud = k.ud ' và có không có điểm chung

d = d ' nếu ud = k.ud ' và có một điểm chung

d cắt d ' nếu ud không song song ud ' và MM ' ud , ud '  = 0

TP .Q

U

Cho hai đường thẳng d và d ' có hai vecto chỉ phương ud và ud ' và có ha điểm M, M’ thuộc hai

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đường thẳng d1 : d2 :

x +1 y −1 z +1 và đường thẳng = = 2 1 −3

x+3 y +2 z+2 . Vị trí tương đối của d1 , d 2 là: = = 2 2 −1

1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn B. Song song

C. Chéo nhau

D. Vuông góc

H Ơ

Y

N

Xét tích hỗn tạp M 1M 2 ud1 , ud2  bằng máy tính Casio theo các bước:

N

Giải

Ta thấy ud1 ( 2;1; −3) không tỉ lệ ud2 ( 2; 2; −1) ⇒ ( d1 ) , ( d 2 ) không song song hoặc trùng nhau

Lấy M1 ( −1;1; −1) thuộc d1 , lấy M 2 ( −3; −2; −2 ) thuộc d 2 ta được MM ' ( −2; −3; −1)

TP .Q

U

Nhập thông số các vecto M1M 2 , ud1 , ud2 vào các vecto A, vecto B, vecto C

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

w811p2=p3=p1=w8212=1=p3=w8312=2=p1=

Tính M 1M 2 ud1 , ud2 

2+

3

10

00

B

Wq53q57(q54Oq55)=

C

A

⇒ Đáp số chính xác là A

ẤP

Ta thấy M 1M 2 ud1 , ud2  = 0 ⇒ hai đường thẳng ( d1 ) , ( d2 ) đồng phẳng nên chúng cắt nhau

Ó

VD2-[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Í-

H

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng

TO

ÁN

-L

 x = 1 + 2t  x = 7 + 3m   d :  y = −2 − 3t và d ' :  y = −2 + 2m  z = 5 + 4t  z = 1 − 2m   A. Chéo nhau

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Trùng nhau

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A. Cắt nhau

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Giải

Ta có hai vecto chỉ phương ud ( 2; −3; 4 ) và ud ' ( 3; 2; −2 ) không tỉ lệ với nhau ⇒ Không song song hoặc trùng nhau ⇒ Đáp án C và D là sai

Chọn hai điểm M (1; −2;5) thuộc d và M ' ( 7; −2;1) thuộc d ' .

Xét tích hỗn tạp M 1M 2 ud1 , ud2  bằng máy tính Casio theo các bước:

Nhập thông số các vecto M1M 2 , ud1 , ud2 vào các vecto A, vecto B, vecto C

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

H Ơ

N

w8117p1=p2p(p2)=1p5=w8212=p3=4=w8313=2=p2=

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Wq53q57(q54Oq55)=

H

Ta thấy M 1M 2 ud1 , ud2  = −64 ≠ 0 ⇒ hai đường thẳng ( d ) , ( d ') không đồng phẳng nên chúng chéo

TR ẦN

nhau

00

VD3-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]

B

⇒ Đáp số chính xác là A

10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ( d ) :

x +1 y z − 5 và mặt phẳng = = 1 −3 −1

2+

3

( P ) : 3x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. d ⊥ ( P )

C. d song song với ( P )

D. d nằm trong ( P ) Giải

H

Ó

A

C

ẤP

A. d cắt và không vuông góc với ( P )

-L

Í-

Ta có ud (1; −3; −1) và nP ( 3; −3; 2 ) . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio

G

TO

ÁN

w8111=p3=p1=w8213=p3=2=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Tính M 1M 2 ud1 , ud2 

hoặc trùng nhau ⇒ Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B

Wq53q57q54=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Xét tích vô hướng ud .nP = 10 ⇒ ud không vuông góc với nP ⇒ d , ( P ) không thể song song

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lại thấy ud , nP không song song với nhau ⇒ d không thể vuông góc với ( P ) ⇒ Đáp số B sai Vậy đáp án chính xác là A

H Ơ

x − 9 y −1 z − 3 và đường thẳng = = 8 2 3

N

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :

N

VD4-[Câu 63 Sách bài tập hình học nâng cao trang 132]

C. d song song với ( P )

D. d nằm trong ( P )

Đ

Giải

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta có ud ( 8; 2;3) và nP (1; 2; −4 ) . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio

TR ẦN

H

w8118=2=3=w8211=2=p4=

00

B

Xét tích vô hướng ud .nα = 0 ⇒ ud không vuông góc với nP ⇒ d , ( P ) chỉ có thể song song hoặc

10

trùng nhau ⇒ Đáp số đúng chỉ có thể là C hoặc D

C

ẤP

2+

3

Wq53q57q54=

Ó

A

Lấy một điểm M bất kì thuộc d ví dụ như M ( 9;1;3) ta thấy M cũng thuộc (α ) ⇒ d và (α ) có

Í-

H

điểm chung ⇒ d thuộc (α )

-L

Vậy đáp án chính xác là D

ÁN

VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]

TO

Tìm m để mặt phẳng ( P ) : 2 x − my + 3z − 6 + m = 0 song song với mặt phẳng

Ỡ N

G

( Q ) : ( m + 3) x − 2 y + ( 5m + 1) z − 10 = 0

BỒ

ID Ư

A. m = 1

B. m ≠ 1

C. m = −

9 10

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B. d ⊥ ( P )

ẠO

A. d cắt và không vuông góc với ( P )

TP .Q

U

Y

(α ) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0

D. không tồn tại m

Giải

Ta có hai vecto pháp tuyến nP ( 2; −m;3) và nQ ( m + 3; −2;5m + 1)

Để ( P ) / / ( Q ) ⇔ nP = k nQ ⇔

−m 2 3 = = = k (1) m + 3 −2 5 m + 1

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với m = 1 ta có k = 2 thỏa (1)

N

( P ) : 2 x − y + 3 z − 5 = 0 Thử lại ta thấy hai mặt phẳng có dạng  ( Q ) : 2 x − 2 y + 6 z − 10 = 0

N Y

9 20 9 ta có k = không thỏa mãn (1) ⇒ m = − không nhận ⇒ C và B đều sai 10 21 10

TP .Q

⇒ Đáp án D là chính xác VD6-[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017]

C. M ( 4;3;5)

TR ẦN

B. M ( 2;1; −7 )

A. M ( 3;1; −5 )

Ư N

( P ) : 2 x + y + z − 2 = 0 . Giao điểm M của d và P có tọa độ:

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

 x = 1 + 2t  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = 1 và mặt phẳng  z = −2 − 3t 

D. M (1;0;0 )

Giải

00

B

Điểm M thuộc d nên có tọa độ M (1 + 2t;1; −2 − 2t ) . Điểm M cũng thuộc mặt phẳng ( P ) nên tọa

3

2+

⇔ 2 (1 + 2t ) + 1 + ( −2 − 3t ) − 2 = 0

10

độ điểm M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( P )

ẤP

Công việc trên là ta sẽ nhẩm ở trong đầu, để giải bài toán ta dùng máy tính Casio luôn:

Í-

H

Ó

A

C

2(1+2Q))+1+(p2p3Q))p2qr1=

-L

Ta tìm được luôn t = 1 vậy x = 1 + 2t = 3

ÁN

⇒ Đáp án chính xác là A

TO

VD7-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]

Ỡ N

G

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;0; 2 ) và đường thẳng d :

x −1 y z +1 . Viết = = 1 1 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Với m = −

H Ơ

Nhận thấy ( P ) ≡ ( Q ) ⇒ Đáp án A sai

BỒ

ID Ư

phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc và cắt d

A.

x −1 y z − 2 = = 1 1 1

B.

x −1 y z − 2 = = 1 1 −1

C.

x −1 y z − 2 = = 2 2 1

D.

x −1 y z − 2 = = 1 1 −3

Giải Đường thẳng ∆ cắt d tại điểm . Vì B thuộc d nên có tọa độ B (1 + t; t; −1 + 2t )

Ta có: ∆ ⊥ d ⇒ u∆ ⊥ u d ⇔ u∆ .u d = 0 ⇔ AB.u d = 0

5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với AB (1 + t − 1; t − 0; −1 + 2t − 2 ) và u d = (1;1; 2 ) , ta có: AB.u d = 0

⇔ 1. (1 + t − 1) + 1( t − 0 ) + 2 ( −1 + 2t − 2 ) = 0

H Ơ

N

Đó là việc nhẩm trong đầu hoặc viết ra nháp, nhưng nếu dùng máy tính Casio ta sẽ bấm luôn:

ẠO

Ta được luôn t = 1 ⇒ B ( 2;1;1) ⇒ u∆ = AB (1;1; −1) ⇒ Đáp án chính xác là B.

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

VD8-[Câu 74 Sách bài tập hình học nâng cao 12 năm 2017]

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cho hai điểm A ( 3;1;0 ) , B ( −9; 4; −9 ) và mặt phẳng (α ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ của M trên (α )

TR ẦN

5  A. M  1;1; −  2 

H

sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất.

 3 3 C. M 1; ; −   2 2

 1  B. M  2; ; −2   2 

5 5  D. M  ; ;3  4 4 

00

B

Giải

10

Nếu A, B, M không thẳng hàng thì ba điểm trên sẽ lập thành một tam giác. Theo bất đẳng thức

2+

3

trong tam giác ta có MA − MB < AB

ẤP

Nếu ba điểm trên thẳng hàng thì ta có MA − MB = AB nếu A, B nằm khác phía với (α ) (điều này

C

đúng). Theo yêu cầu của đề bài thì rõ ràng A, B, M thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng

Ó

A

AB và (α )

-L

Í-

H

 x = 3 − 12t  Ta có: AB :  y = 1 + 3t ⇒ M ( 3 − 12t ;1 + 3t; −9t )  z = −9t 

ÁN

Tìm t bằng máy tính Casio:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

2(3p12Q))p(1+3Q))+p9Q)+1qr1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

1O(1+Q)p1)+1O(Q)p0)+2O(p1+2Q)p2)qr1=

Ta được t =

1  3 3 ⇒ M  1; ; −  ⇒ Đáp án chính xác là C 6  2 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com y−2 z−4 và mặt phẳng = 2 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : x − 1 =

C. d ⊥ (α )

D. d nầm trên (α )

H Ơ

B. d cắt nhưng không vuông góc với (α )

Y

N

A. d / / (α )

N

(α ) : 2 x + 4 y + 6 z + 2017 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

ẠO

x = 2 + t ' x = 1+ t   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d :  y = 2 − t và d ' :  y = 1 − t ' . Vị trí tương đối của hai z = 1  z = −2 − 2t   C. Song song

H

Bài 3-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]

D. Trùng nhau

G

B. Cắt nhau

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. Chéo nhau.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

đường thẳng là:

TR ẦN

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình:

x − 10 y − 2 z + 2 Xét = = 5 1 1

B

mặt phẳng với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường

B. m = 2

C. m = −52

10

A. m = −2

00

thẳng ∆

D. m = 52

2+

3

Bài 4-[Thi thử THPT Phan Châu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]

A

C

ẤP

 x = 1 + 2t  Cho mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + z = 0 và đường thẳng ∆ :  y = 2 − t . ( P ) và ∆ cắt nhau tại điểm có tọa  z = −1 + t 

Ó

độ

B. (0;-1;3)

C. (-1;3;-2)

D. (3;1;0)

Í-

H

A. (1;2;-1)

-L

Bài 5-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017]

ÁN

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;3) và đường thẳng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

 x = −t  d :  y = 2 + t . Cao độ giao điểm của d và mặt phẳng (ABC) là: z = 3 + t 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017]

A. 3

B. 6

C. 9

D. -6

Bài 6-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P ) : nx + 7 y − 6 z + 4 = 0 ,

( Q ) : 3x + my − 2 z − 7 = 0

song song với nhau. Khi đó giá trị m, n thỏa mãn là:

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 7 A. m = , n = 1 3

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B. m = 9, n =

7 3

C. m =

3 ,n = 9 7

D. m =

7 ,n = 9 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

H Ơ

Nhập vecto chỉ phương ud (1; 2;3) và vecto pháp tuyến nα ( 2; 4; 6 ) vào máy tính Casio

N

N

Bài 1.

ẠO

Tính tích vô hướng ud .nα = 28 ≠ 0 ⇒ ud không vuông góc nα ⇒ d và (α ) không thể song song

G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

và không thể trùng nhau

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

1 2 3 = = ⇒ ud nα ⇒ d ⊥ (α ) 2 4 6

10

Vậy đáp số chính xác là C

2+

3

Bài 2.

Vì xét hai vecto chỉ phương ud (1; −1; −2 ) và ud ' (1; −1;0 ) không tỉ lệ với nhau ⇒ Hai đường thẳng

ẤP

B

Lại thấy tỉ lệ

00

TR ẦN

H

Ư N

Wq53q57q54=

C

d và d’ không thể song song hoặc trùng nhau ⇒ Đáp án C và D loại

A

Lấy hai điểm thuộc hai đường thẳng là M (1; 2; −2 ) và M ' ( 2;1;1) . Nhập ba vecto vào casio

Ó

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

w8112p1=1p2=1p(p2)=w85211=p1=p2=w8311=p1=0=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

w8111=2=3=w8212=4=6=

Xét tích hỗn tạp MM ' ud ; ud '  = 0 Wq53.oq57(q54Oq55)=

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ d, d’ đồng phẳng (nằm trên cùng một mặt phẳng) ⇒ d cắt d’ ⇒ Đáp án chính xác là B Bài 3.

N H Ơ N Y

10 2 m = = ⇒m=2 5 1 1

ẠO

Gọi giao điểm là M, vì M thuộc ∆ nên M (1 + 2t ;2 − t ; −1 + t )

Tọa độ M thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( P ) nên ta có thể sử dụng máy tính Casio tìm luôn ra

Đ

G

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 4.

H

i

00

B

TR ẦN

w11(1+2Q))p3(2pQ))+(p1+Q))qr1=

3

10

⇒ t = 1 ⇒ M ( 3;1;0 )

2+

⇒ Đáp án chính xác là D

Mặt phẳng (ABC) đi qua 3 điểm thuộc 3 trục tọa độ vậy sẽ có phương trình là:

C

ẤP

Câu 5.

Í-

Gọi giao điểm M ( −t; 2 + t ;3 + t ) . Sử dụng máy tính Casio tìm t

-L

H

Ó

A

x y z + + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z −1 = 0 .

1 2 3

G

TO

ÁN

6O(pQ))+3O(2+Q))+2(3+Q))p6qr1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy đáp số chính xác là B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒

U

Ta có vecto chỉ phương u∆ ( 5;1;1) và vecto pháp tuyến nP (10; 2; m )

Để mặt phẳng ( P ) ⊥ ∆ thì nP tỉ lệ với u∆ (song song hoặc trùng nhau)

TP .Q

Bài 6.

Để 2 mặt phẳng song song với nhau thì 2 vecto chỉ phương của chúng song song hoặc trùng nhau

n 7 −6 ⇔ nP ( n;7; −6 ) tỉ lệ với nQ ( 3; m; −2 ) ⇔ = = =k 3 m −3

Ta thu được tỉ lệ k = 3 từ đó suy ra n = 9; m =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy z = 3 + t = 9 ⇒ Đáp số chính xác là C

7 3

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⟹ Đáp số chính xác là D T. CASIO XÁC ĐỊNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG

H Ơ

N

KHÔNG GIAN OXYZ

N

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG.

Y

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

A2 + B 2 + C 2

Đ

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

G

Ư N

TR ẦN

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x − xN y − y N z − z N thì khoảng cách từ điểm M = = a b c

2  MN ; u  đến đường thẳng d được tính theo công thức d ( M ; d ) =

u

Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và đường thẳng d :

x − xM y − yM z − zM x − xM ' y − yM ' z − zM ' và d ' : thì = = = = a b c a b c

2+

3

Cho hai đường thẳng chéo nhau d :

10

00

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

B

Trong đó u ( a; b; c ) là vecto chỉ phương của d và N ( xN ; yN ; z N ) là một điểm thuộc d

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức sau:

MN . ud ; ud '  d ( d ; d ') =

 ud ; u d '   

Trong đó u ( a; b; c ) là vecto chỉ phương của d và M ( xM ; yM ; zM ) là một điểm thuộc d ,

u ( a '; b '; c ' ) là vecto chỉ phương của d’ và M ' ( xM ' ; yM ' ; zM ' ) là một điểm thuộc d’

ÁN

4. Lệnh Casio

TO

Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8

G

Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ax0 + By0 + Cz0 + D

ẠO

mặt phẳng (P) được tính theo công thức d ( M ; ( P ) ) =

TP .Q

U

Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì khoảng cách từ điểm M đến

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Tính tích vô hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB

Tính tích có hướng của hai vecto: vectoA x vectoB

Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]

N

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm A (1; −2;3) .

D. d =

5 3

Giải

A2 + B 2 + C 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Ax0 + By0 + Cz0 + D

G

d ( M ; ( P )) =

ẠO

Ta nhớ công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) :

Ư N

5 29 5 = 29 29

H

d ( M ; ( P )) =

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Áp dụng cho điểm A (1; −2;3) và ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 ta sử dụng máy tính để bấm luôn:

3

10

00

B

aqc3O1+4O(p2)+2O3+4Rs3d+4d+2d=

2+

⇒ Đáp số chính xác là C

ẤP

VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]

A

C

Tìm m để khoảng cách từ A (1;2;3) đến mặt phẳng ( P ) : x + 3 y + 4 z + m = 0 bằng

A. m = 7

Í-

H

Ó

B. m = 18

C. m = 20

-L

ÁN

TO

1.1 + 3.2 + 4.4 + m

1.1 + 3.2 + 4.4 + m 12 + 2 2 + 32

= 26

− 26 = 0

G

12 + 22 + 32

D. m = −45

Giải

Thiết lập phương trình khoảng cách: d ( A; ( P ) ) = ⇔

26

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5 29

C. d =

N

5 29

Y

B. d =

U

5 9

TP .Q

A. d =

H Ơ

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P )

Ỡ N

(việc này ta chỉ làm ở trong đầu)

BỒ

ID Ư

Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng chức năng SHIFT SOLVE. w1aqc1O1+3O2+4O3+Q)Rs1d+3d+4d$$ps26qr1=

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta thu được kết quả m = 7 ⇒ Đáp số chính xác là A

VD3-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tỉnh năm 2017]

N

x y +1 z + 2 và mặt phẳng = = 1 2 3

D. M ( −1; −3; −5 )

Giải

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = t  (biết được điều này sau khi chuyển d về dạng tham số d :  y = −1 + 2t  z = −2 + 3t 

ẠO

Ta biết điểm M thuộc ( d ) nên có tọa độ M (1 + t; −1 + 2t; −2 + 3t )

t + 2 ( −1 + 2t ) − 2 ( −2 + 3t ) + 3

TR ẦN

Thiết lập phương trình khoảng cách d ( M ; ( P ) ) = 2 ⇔

12 + 22 + ( −2 )

2

=2

00

ẤP

2+

3

10

qcQ)+2(p1+2Q))p2(p2+3Q))+3R3$p2qrp5=

B

Nghĩ được tới đây thì ta có thể sử dụng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau

Ó

A

⟹ Đáp số chính xác là D

C

Khi đó t = −1 ⇒ x = −1; y = −3

H

VD4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017]

-L

Í-

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1;1) và mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn bán

ÁN

( P ) : 2 x + y + 2 z + 2 = 0 . Biết mặt phẳng ( P )

TO

kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu ( S ) .

2

2

2

B. ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10

2

2

2

D. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10

Ỡ N

G

A. ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 8

BỒ

ID Ư

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 8

2

2

2

2

2

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C. M ( −2; −5; −8)

TP .Q

B. M ( −1;5; −7 )

U

Y

2. Tọa độ điểm M là:

A. M ( −2;3;1)

bằng

N

( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 . M là điểm có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P )

H Ơ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

Giải 2

2

2

Mặt cầu ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 sẽ có tâm I ( a; b; c ) . Vì mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1;1) nên nó chỉ có thể là đáp án C hoặc D.

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta hiểu: Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo một giao tuyến là đường tròn bán kính r = 1 sẽ thỏa mãn tính chất R 2 = h 2 + r 2 với h là khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng.

N

Tính tâm R 2 bằng Casio.

⇒ R 2 = 10

ẠO

⇒ Đáp số chính xác là D

B.

5 2 2

C.

G

TR ẦN

5 3

A.

H

điểm M ( −2;1; −1) tới d

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x −1 y − 2 z + 2 . Tính khoảng cách từ = = 1 2 −2

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Đ

VD5-[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017]

2 3

D.

5 2 3

10

00

B

Giải

Nhắc lại: Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud (1; 2; −2 ) và đi qua điểm N (1;2; −2 ) có khoảng

ẤP

2+

3

 MN ; u    cách từ M đến d tính theo công thức d ( M ; d ) =

u

A

C

Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vecto MN , ud vào máy tính

ÁN

-L

Í-

H

Ó

w8111p(p2)=2p1=p2pp1=w8211=2=p2=

TO

Tính d ( M ; d ) = 2.357022604 =

5 2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Wqcq53Oq54)Pqcq54)=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

(aqc2O2+1O1+2O1+2Rs2d+1d+2d$$)d+1d=

⟹ Đáp án chính xác là D VD6-[Thi thử Toán học tuổi tre lần 3 năm 2017]

13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

C. 2

D. 1

Y

2

2

TP .Q

Giải 2

Đ

ẠO

Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 1 có tâm I (1; −3; 2 ) bán kính R = 1

Đường thẳng d đi qua M ( 2;1;0 ) và có vecto chỉ phương u (1; m; −2 )

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta hiểu: Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt

( 8 − 2m )

2

2

+ 0 2 + ( 4 − 2m ) 2

1 + m + ( −2 )

2

2

( 8 − 2m )

2

TR ẦN

 IM ; u    ⇔ <1⇔

u

H

cầu ( S ) ) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu ( S ) )

<1⇔

+ 02 + ( 4 − 2m )

2

2

1 + m + ( −2 )

2

2

−1 < 0

00

B

Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình:

ẤP

2+

3

10

w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$p1==p9=10=1=

Ó

A

⟹ Đáp án chính xác là A.

C

Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là {-3;-4;-5;-6;-7}

H

VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]

ÁN

-L

Í-

x = 2 + t  Trong không gian với hệ trục toa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = 1 + mt và mặt cầu  z = −2t 

TO

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z + 13 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt ( S ) tại hai điểm

Ỡ N

G

phân biệt?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B. 3

U

A. 5

N

phân biệt?

H Ơ

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z + 13 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt ( S ) tại hai điểm

N

x = 2 + t  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = 1 + mt và mặt cầu  z = −2t 

BỒ

ID Ư

A. 5

B. 3

C. 2

D. 1 Giải

2

2

2

Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 1 có tâm I (1; −3; 2 ) bán kính R = 1

Đường thẳng d đi qua M ( 2;1;0 ) và có vecto chỉ phương u (1; m; −2 )

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta hiểu: Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu ( S ) ) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu ( S ) )

+ 0 2 + ( 4 − 2m )

12 + m 2 + ( −2 )

2

<1⇔

2

( 8 − 2m )

2

+ 02 + ( 4 − 2m )

12 + m 2 + ( −2 )

2

2

N

2

−1 < 0

H Ơ

( 8 − 2m )

G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là {-3;-4;-5;-6;-7}

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$p1==p9=10=1=

Ư N

⟹ Đáp án chính xác là A.

H

VD8-[Câu 68 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

TR ẦN

Cho đường thẳng d đi qua điểm M ( 0;0;1) , có vecto chỉ phương u (1;1;3) và mặt phẳng (α ) có

4 3

C.

3 2

00

B.

D.

10

2 5

A.

B

phương trình 2 x + y − z + 5 = 0 . Tính khoảng cách giữa d và (α )

6 5

ẤP

2+

3

Giải

Ta thấy: u.nP = 1.2 + 1.1 + 3. ( −1) = 0 ⇒ d chỉ có thể song song hoặc trùng với (α )

C

Khi đó khoảng cách giữa d và (α ) là khoảng cách từ bất kì điểm M thuộc d đến (α )

Ó

A

Ta bấm:

ÁN

-L

Í-

H

aqc0+0p1+5Rs2d+1d+2d=

TO

⟹ Đáp án chính xác là B

G

VD9-[Câu 92 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình:

N

 IM ; u    ⇔ <1⇔

u

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x = 3 + t  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ :  y = −1 + 2t . Gọi ∆ ' là giao tuyến của 2 mặt phẳng: z = 4 

( P ) : x − 3 y + z = 0 và ( Q ) : x + y − z + 4 = 0 . Tính khoảng cách giữa A.

12 15

B.

25 21

C.

20 21

∆,∆'

D.

16 15

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải

Đường thẳng ∆ ' có vecto chỉ phương u ' =  nP ; nQ  = ( 2; 2; 4 )

TP .Q

Và ∆ ' đi qua điểm M ' ( 0; 2;6 )

ẠO

Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u (1; 2;0 ) và đi qua điểm M ( 3; −1;4 )

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Ta hiểu: khoảng cách giữa hai đường thẳng chỉ tồn tại khi chúng song song hoặc chéo nhau.

Kiểm tra sự đồng phẳng của 2 đường thẳng trên bằng tích hỗn tạp MM ' u; u '

Nhập ba vecto MM ' , u , u ' vào máy tính Casio

2+

3

10

00

B

TR ẦN

w811p3=3=2=w8211=2=0=w8312=2=4=

ẤP

Xét tích hỗn tạp MM ' u; u ' = −40 ≠ 0 ⇒ ∆, ∆ ' chéo nhau

Í-

H

Ó

A

C

Tính độ dài hai đường thẳng chéo nhau ⇒ ∆, ∆ ' ta có công thức:

MM '. u; u ' 20 d= = 4.3640.. =

21 u; u '   

G

TO

ÁN

-L

Wqcp40)Pqcq54Oq55)=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

N

w8111=p3=1=w8211=1=p1=Wq53Oq54=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⟹ Đáp án chính xác là C

VD9-[Câu 25 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Cho hai đường thẳng d :

x −1 y −1 z + 1 x − 2 y +1 z + 3 và d ' : . Khoảng cách giữa hai đường = = = = 1 2 2 1 2 2

thẳng d, d’ là:

A. 4 2

B.

4 2 3

C.

4 3

D. 2 3

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = (1; 2; 2 ) và đi qua điểm M ( 2; −1; −3)

H Ơ

N

Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' (1;1; −1) Dễ thấy hai đường thẳng d, d’ song song với nhau nên khoảng cách từ d’ đến d chính là khoảng

Y

N

cách từ điểm M’ (thuộc d’) đến d.

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

w811p1=2=2=w8211=2=2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=

⟹ Đáp án chính xác là B VD10-[Câu 26 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

3

10

00

B

x = 2 + t  x = 2 − 2t '   Cho hai đường thẳng d :  y = 1 − t và d ' :  y = 3 . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ có  z = 2t z = t '  

2+

phương trình:

ẤP

A. x + 5 y + 2 z + 12 = 0

D. x + 5 y + 2 z − 12 = 0

A

C

C. x − 5 y + 2 z − 12 = 0

B. x + 5 y − 2 z + 12 = 0

-L

Í-

H

Ó

Giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = (1; −1; 2 ) và đi qua điểm M ( 2;1;0 )

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương u ' = ( −2;0;1) và đi qua điểm M ' ( 2;3;0 )

TO

ÁN

Dễ thấy hai đường thẳng d,d’ chéo nhau nên mặt phẳng ( P ) cách đều hai đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi qua trung điểm MM’ và song song với cả 2 đường thẳng đó.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Mặt phẳng ( P ) song song với cả 2 đường thẳng nên nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Gọi khoảng cách cần tìm là h ta có:

 MM '; u  4 2   h= = 1.8856... =

3 u

cặp vecto chỉ phương.

⇒ nP = u; u ' = ( −1; −5; −2 )

w8111=p1=2=w821p2=0=1=Wq53Oq54=

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

lại đi qua trung điểm I ( 2; 2; 0 ) của MM’ nên ( P ) : x + 5 y + 2 z − 12 = 0

H Ơ

( P)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

⟹ Đáp án chính xác là D

U

Y

Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]

2

2

=3

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

2

2

2

=9

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1)

2

2

2

2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C.

2

Đ

( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1)

ẠO

2

A.

G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tâm I (1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 8 = 0 ?

Ư N

Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]

( −1;3; −4 ) C.  ( 2;1; −1)

00

B

(1;1;0 ) B.  ( −1;3; −4 )

D. Không có M thỏa

10

(1;1;0 ) A.  ( 2;1; −1)

TR ẦN

H

x = 1+ t  Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 1 − t sao cho AM = 6 với A ( 0; 2; −2 )  z = 2t 

2+

3

Bài 3-[Thi thử THPT Phan Châu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]

ẤP

Cho ( P ) : 2 x − y + z − m = 0 và A (1;1;3) . Tìm m để d ( A; ( P ) ) = 6 m = 3 B.   m = −9

 m = −2 C.   m = 10

 m = −3 D.   m = 12

A

C

m = 2 A.  m = 4

H

Ó

Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]

-L

Í-

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( −2;3;1) và B ( 5; −6; −2 ) . Đường thẳng AB cắt

TO

MA 1 = MB 2

B.

MA =2 MB

MA MB

C.

MA 1 = MB 3

D.

MA =3 MB

G

A.

ÁN

mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài 5-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách từ điểm M ( 2;3; −1) đến đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α ) : x + y − 2 z − 1 = 0 và (α ') : x + 3 y + z + 2 = 0 .

A.

215 24

B.

205 15

C.

205 15

D.

215 24

Bài 6-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Cho A (1;1;3) , B ( −1;3; 2 ) , C ( −1; 2;3) . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) là:

C.

3 2

D.

3 2

127 4

B.

C.

386 3

D.

N Y U

127 4

A.

x + 2 y − 3 z +1 x −1 y + 3 z − 4 và d ' : = = = = 2 1 −2 4 −4 −2

386 3

TP .Q

Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng d :

H Ơ

Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

ẠO

Bài 8-[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

B.

C.

Ư N

4 2 ` 3

26 13

24 11

H

2 7 7

A.

D.

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

x = 2 − t x −1 y − 2 z − 3  Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng d : và d ' :  y = −1 + t = = 1 2 3 z = t 

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

00

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) khi d ( I ; ( P ) ) = R

10

B

Bài 1.

A

C

ẤP

2+

3

aqc1p4+2p8Rs1d+2d+2d=

2

2

2

Í-

Mà ta lại có tâm mặt cầu là I (1; 2; −1) ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

-L

H

Ó

d ( I ; ( P ) ) = 3 ⇒ R 2 = 9 ⇒ Đáp số chỉ có thể là C hoặc D

Bài 2.

TO

Gọi điểm M thuộc d có tọa độ theo t là M (1 + t;1 − t; 2t )

2 Ta có AM = 6 ⇔ AM = 6 ⇔ AM − 6 = 0

G

ÁN

Vậy đáp số chính xác là D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B. 3

3

N

A.

Ỡ N

ID Ư

Sử dụng máy tính Casio tìm t

BỒ

(1+Q)p0)d+(1pQ)p2)d+(2Q)+2)dp6qr5=qrp5=

Ta tìm được hai giá trị của t

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với t = 0 ⇒ M (1;1; 0 ) , với t = −2 ⇒ M ( −1;3; −4 )

⟹ Đáp án chính xác là B

H Ơ

Thiết lập phương trình khoảng cách d ( A; ( P ) ) = 6 ⇔

Đó là khi ta nhẩm, nếu vừa nhẩm vừa điền luôn vào máy tính thì làm như sau (để tiết kiệm thời

= 6

TP .Q

gian)

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

aqc2p1+3pQ)Rs2d+1d+1d

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tìm nghiệm ta sử dụng chức năng CALC xem giá trị nào của m làm vế trái = 6 thì là đúng

B

TR ẦN

H

rp2=

00

⟹ Chỉ có A hoặc C là đúng

ẤP

2+

3

10

rp4=

A

C

Giá trị m = 4 không thỏa mãn vậy đáp án A sai ⟹ Đáp án chính xác là C

H

Ó

Bài 4.

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y=0

Để tính tỉ số

Í-

ÁN

-L

MA ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học không MB

TO

gian)

MA d ( A; ( Oxz ) ) bất kể hai điểm A,B cùng phía hay khác phía so với (Oxz) = MB d ( B; ( Oxz ) )

Ỡ N

G

Ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

22 + 12 + 12

N

2.1 − 1 + 3 − m

N

Bài 3.

w1aqc0+3+0Rqc0+p6+0=

BỒ

ID Ư

Ta có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio

N

⟹ Đáp số chính xác là A

N

d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và (α ' ) nên cùng thuộc 2 mặt phẳng này ⟹ vecto chỉ

phương u của đường thẳng d vuông góc với cả 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng trên.

⇒ u =  nα ; nα '  = ( 8; −4; 2 )

Ư N 205 14

00

B

5 3  Gọi điểm N ( x; y;0 ) thuộc đường thẳng d ⇒ N  ; − ;0  2 2 

 MN ; u    Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là h = = 3.8265... =

u

H

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

w8111=1=p2=w8210=3=2=Wq53Oq54=

Ó

H

Vecto pháp tuyến của (ABC) là n =  AB; AC  = (1; 2; 2 )

Í-

A

Bài 6.

C

⟹ Đáp số chính xác là B

ẤP

2+

3

10

w8115P2p2=p3P2p3=0pp1=w8218=p4=2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=

G

TO

ÁN

-L

w811p2=2=p1=w821p2=1=0=Wq53Oq54=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

H Ơ

Bài 5.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⟹ ( ABC ) :1( x − 1) + 2 ( y − 1) + 2 ( z − 3) = 0 ⇔ x + 2 y + 3z − 9 = 0

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là h =

0+0+0−9 12 + 22 + 22

=3

⟹ Đáp số chính xác là B Bài 7.

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; −3; 4 ) và có vecto chỉ phương ( 2;1; −2 )

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau ⟹ Khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ M’ đến

M ' M ;u  386   d= = 6.5489... =

3 u

N

Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' ( −2;1; −1) và có vecto chỉ phương ( −4; −2; 4 )

⟹ Đáp số chính xác là D

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u (1; 2;3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' ( 2; −1;0 ) và có vecto chỉ phương u ' ( −1;1;1)

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 8.

10

00

B

Dễ thấy 2 đường thẳng trên chéo nhau

MM ' u; u ' 26 = 0.3922... = ⟹ Khoảng cách cần tìm là =

13 u ; u '   

A

⟹ Đáp số chính xác là C

C

ẤP

2+

3

w8111=p3=p3=w8211=2=3=w831p1=1=1=Wqcq53q57(q54Oq55))Pqcq54Oq55)=

Í-

H

Ó

T. CASIO TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM

-L

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG.

TO

ÁN

1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phẳng.

G

Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì hình chiếu vuông góc H

BỒ

ID Ư

Ỡ N

của M trên mặt phẳng

( P ) là giao điểm của đường thẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

w811p3=4=p5=w8212=1=p2=Wqcq53Oq54)Pqcq54)=

∆ và mặt phẳng ( P )

P) ∆ ( n u P ∆ là đường thẳng qua M và vuông góc ( nhận làm ∆ )

2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng.

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x − xN y − y N z − z N = = a b c Cho điểm và đường thẳng thì hình chiếu vuông góc của M

lên đường thẳng d là điểm H thuộc d sao cho MH ⊥ ud ⇔ MH .ud = 0 d:

H Ơ

N

M ( x0 ; y0 ; z0 )

N

3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng.

G Ư N H

( α ) chứa mọi điểm nằm trong đường thẳng d

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

4. Lệnh Caso.

00

B

Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8

10

Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

2+

3

Tính tích vô hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB

C

ẤP

Tính tích có hướng của vecto: vectoA x vectoB

Ó

A

Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

Í-

H

Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP

-L

Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7

TO

ÁN

Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

G

II) VÍ DỤ MINH HỌA

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( α ) nhận ud và nP là cặp vectơ chỉ phương

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

( α ) là mặt phẳng đi chứa d và vuông góc với ( P )

Đ

( α ) và mặt phẳng ( P )

TP .Q

là giao điểm của mặt phẳng

U

Y

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đến mặt phẳng ( P )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

VD1. [Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần 1 năm 2017] Cho mặt phẳng

( α ) : 3x − 2 y + z + 6 = 0 và điểm A ( 2; −1;0 ) . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

( α ) có tọa độ A.

( 2; −2;3)

B.

(1;1; −2 )

C.

(1;0;3)

D.

( −1;1; −1) 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( α ) ⇒ Đường thẳng AH song song với vecto pháp tuyến

N ( α ) là xong

ẠO

Để tìm t ta chỉ cần thiết lập điều kiện A thuộc

TP .Q

(Phần này ta dễ dàng nhẩm được mà không cần nháp)

Đ

3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q)+6qr1=

G Ư N H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ Đáp số chính xác là D

B

 1 1 1 M ' − ; − ; −  B.  3 3 3 

qua mặt phẳng

( P) : x + y + z −1 = 0

 7 7 7 M ' − ; − ; −  C.  3 3 3 

7 7 7 M ' ; ;  3 3 3 D.

3

10

1 1 1 M ' ; ;   3 3 3 A.

M ( 3;3;3)

00

Tìm tọa độ của điểm M' đối xứng với điểm

TR ẦN

VD2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]

ẤP

2+

Giải

( P ) là

M ( 3 + t ;3 + t ;3 + t )

A

C

Tương tự ví dụ 1 ta nhẩm được tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên

H

Ó

Tính t bằng Casio.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

⇒ Tọa độ điểm A ( 2 + 3t ; −1 − 2t;1 + t )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

c ủa

H Ơ

nα ( 3; −2;1)

 x = 2 + 3t  ⇒ ( AH ) :  y = −1 − 2t z = t (α) 

8 1 1 1 t =− ⇒H ; ;  3  3 3 3 Ta thu được

Ví A' đối xứng với M qua H nên H là trung điểm của MM'. Theo quy tắc trung điểm ta suy ra được  7 7 7 M ' − ; − ; − .  3 3 3

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Đáp số chính xác là C

x − 3 y +1 z −1 và điểm M (1; 2; −3) . Tọa = = 2 1 2

H (1; −2; −1)

C.

H ( −1; −2; −1)

D.

H (1; 2;1)

ẠO

Giải

Đ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

G

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = 3 + t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y = −1 + t ⇒ Tọa độ H (3 + 2t ; −1 + t ;1 + 2t )  z = 1 + 2t 

B

MH ⊥ d ⇒ MH .ud = 0 với ud ( 2;1;2 )

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

2(3+2Q)p1)+(p1+Q)p2)+2(1+2Q)pp3)qr1=

10

00

Sử dụng máy tính Casio bấm:

-L

Í-

Khi đó t = −1 ⇒ H (1; −2; −1) ⇒ Đáp số chính xác là B

TO

ÁN

VD4. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017] x −1 y − 2 z +1 = = 1 2 và điểm A ( 2; −1:1) . Gọi −1

Ỡ N

G

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H (1; 2; −1)

TP .Q

A.

U

Y

N

độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là:

H Ơ

Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

N

VD3. [Thi thử THPT Quảng Xương - Thanh Hóa lần 1 năm 2017]

ID Ư

I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt câu (C) có tâm I và đi qua A

BỒ

2

2

A.

x 2 + ( y − 3) + ( z − 1) = 20

C.

( x − 1)

2

2

2

x 2 + ( y − 3) + ( z − 1) = 5

D.

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 20

2

B.

2

2

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 14

Giải

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Điểm I có tọa độ I (1 − t ; 2 + t ; −1 + t )

H Ơ

N

Thiết lập điều kiện vuông ⇔ IA.ud = 0

Ư N

và

A ( 2; −1;1)

2

ta có:

R 2 = IA2 = IA = 14

H

V ới

I (1;2; −1)

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ t = 0 ⇒ I (1;2; −1)

2+

3

10

00

B

w8112p1=p1p2=1pp1=Wpcq53)==d=

C

ẤP

⇒ Đáp số chính xác là D

Ó

A

VD5. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017]

H

x −1 y +1 x − 2 . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( Oxy ) là = = 2 1 1

-L

Í-

Cho đường thẳng d :

 x = 1 + 2t  B.  y = −1 + t z = 0 

 x = −1 + 2t  C.  y = −1 + t z = 0 

 x = −1 + 2t  D.  y = −1 + t z = 0 

G

TO

ÁN

x = 0  A.  y = −1 − t z = 0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

N

p1(1pQ)p2)+(2+Q)pp1)+2(p1+2Q)p1)qr1=

Ta hiểu: Hình chiếu vuông góc d' của d lên mặt phẳng (Oxy) là giao tuyến của mặt phẳng ( α ) chứa d vuông góc với (Oxy) và mặt phẳng (Oxy)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Giải

Mặt phẳng

( α ) chứa d và vuông góc với (Oxy) nên nhận vecto chỉ phương

d và vecto pháp tuyến

nOxy ( 0;0;1)

u (2;1;1) của đường thẳng

là cặp vecto chỉ phương

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ nα = ud ; nOxy  = (1; −2;0 )

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

( α ) :1( x − 1) − 2 ( y + 1) + 0 ( z − 2 ) = 0 ⇔ ( α ) : x − 2 y − 3 = 0

TR ẦN

H

( α ) : x − 2 y − 3 = 0  Oxy ) : z = 0 . Chuyển sang dạng tham số ta có: Phương trình của d' có dạng (

B

ud ' =  nOxy ; nα  = ( −2; −1;0 )

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

w8111=p2=0=w8210=0=l=Wq53Oq54=

( −2; −1;0 ) là B, C, D

Í-

H

Có 3 đáp án thỏa mãn vecto chỉ phương có tọa độ

ÁN

-L

Tuy nhiên chỉ có đáp án B chứa điểm M (l ; −1;0) và điểm này cũng thuộc d'

TO

⇒ Đáp số chính xác là B

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

VD6. [Câu 61 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( α ) đi qua điểm có tọa độ (1; −1; 2 ) nên có phương trình:

ẠO

Hơn nữa

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

w8112=1=1=w8210=0=1=Wq53Oq54=

7   x = 2 + 3t  Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :  y = −2t trên ( α ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0  z = −2t  

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x−5 A. = −4

3 2=z 2 1

y+

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x+5 B. = −4

3 2=z 2 1

y−

x−5 C. 2 = 4

3 3 y− z x + 5 2= 2=z D. = 2 1 4 2 1

y+

H Ơ

N

Giải

Y

N

Lập phương trình mặt phẳng (β ) chứa D và vuông góc với ( α )

7   ;0;0  2   nên có phương trình

7  8  x −  + 8 y + 8z = 0 ⇔ 2 x + 2 y + 2z − 7 = 0 2 

B

(β ) đi qua điểm

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

w8113=p2=p2=w8211=2=p2=Wq53Op54=

3

10

00

2 x + 2 y + 2 z − 7 = 0 d ':  x + 2 y − 2z − 2 = 0 Ta có

2+

ẤP

Tính

nd ' =  nα ; nβ  = ( −8;6;2 ) = ( −8;6; 2 ) ⇒ n ( −4;3;2 )

cũng là vecto chỉ phương của d

H

Ó

A

C

3 y+ 3   − 5 x 2=z =  5; − ;0  2   2 1 Đường thẳng d’ lại đi qua điểm nên có phương trình: −4

-L

Í-

⇒ Đáp án chính xác là A

TO

ÁN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

G

Bài 1. [Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017]

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Hình chiếu vuông góc của A. (1; −1;2)

A ( −2 : 4 : 3)

 20 37 3 

B.  − ; ;   7 7 7

lên mặt phẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

nβ = ud ; nα  = ( 8;4;8 )

( P ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 có tọa độ là:

 2 37 31 

C.  − ; ;   5 5 5

D. Kết quả khác

Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng

C. N ( 3;0;8 )

N

B. N ( 3;0; −4 )

D. N ( 3;4; −4 )

N

A. N ( 3;4;8 )

( P)

H Ơ

độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

( P ) : x + y − z − 4 = 0 và điểm M (1; −2; −2 ) . Tìm tọa

TP .Q

Cho A ( 5;1;3) , B ( −5;1; −1) , C (1; −3;0 ) , D ( 3; −6;2 ) . Tọa độ của điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng

C. (1; −7; −5)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

Ư N

H

x +1 y z + 2 = = 2 2 3 và mặt phẳng

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 4. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017] d:

(1; −7;5 )

G

D.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1;7;5 )

Đ

B. (

A. (−1;7;5)

ẠO

(BCD) là:

B

( P ) : − x + y + 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng ( P ) . x + 2 y +1 z −1 = = 1 1 B. 3

3

10

00

x − 2 y −1 z +1 = = 1 −3 A. 1

x + 2 y +1 z −1 = = 1 −3 D. 1

ẤP

2+

x − 2 y −1 z +1 = = 1 1 C. 3

A ( −1;3;2 ) B ( 4;0; −3) C ( 5; −1;4 )

,

H

,

9 12 

-L

 77

Í-

Cho ba điểm

Ó

A

C

Bài 5. [Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

 77 9 12 

B.  ; ;   17 17 17 

 77

9

12 

C.  ; − ; −   17 17 17 

 77 9 12  ;− ;−   17 17 17 

D.  −

ÁN

A.  ; − ;   17 17 17 

. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC

TO

Bài 6. [Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Bài 3. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017]

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Tìm tọa độ điểm đối xứng của M (−3;1; −1) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( α ) : 4 x − 3 y − 13 = 0 và (β ) : y − 2 z + 5 = 0

A.

( −2; −5; −3)

B.

( 2; −5;3)

C.

( 5; −7; −3)

D.

( 5; −7;3)

Bài 7. [Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x −1 y +1 z − 2 Oxy ) là: . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ ( = = 2 1 1  x = −1 + 2t  C.  y = 1 + t z = 0 

 x = −1 + 2t  D.  y = −1 + t z = 0 

N

 x = 1 + 2t  B.  y = −1 + t z = 0 

N

x = 0  A.  y = −1 − t z = 0 

H Ơ

Cho đường thẳng d :

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đường thẳng ∆ chứa A và vuông góc với ( P ) có phương trình:

 x = −2 + 2t   y = 4 − 3t  z = 3 + 6t 

ẠO

Bài 1.

TR ẦN

H

Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên ( P ) nên có tọa độ H ( −2 + 2t ; 4 − 3t ;3 + 6t ) Tính t bằng Casio

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Chuyển t về dạng phân thức

C

ẤP

2+

3

10

00

B

2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3+6Q))+19qr1=

Ỡ N

G

3  20 37 3  t = − ⇒ H − ; ;  7  7 7 7 Vậy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BỒ

ID Ư

Vậy đáp số chính xác là B

Bài 2. x = 1+ t  ∆ :  y = −2 + t ⇒  z = −2 − t H 1 + t ; −2 + t ; −2 − t )  Phương trình Tọa độ hình chiếu (

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm t bằng Casio ta được t = 1

ẠO

t = 1 ⇒ H ( 2; −1; −3) ⇒ N ( 3;0; −4 )

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ Đáp án chính xác là B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Với

TR ẦN

H

Bài 3.

( BCD ) : u =  BC , BD  = ( −5; −10; −10 ) Tính vecto chỉ phương của

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

w8111pp5=p3p1=0pp1=w8213pp5=p6p1=2pp1=Wq53Oq54=

Í-

B ( −5;1;1) ⇒ ( BCD ) : −5 ( x + 5 ) − 10 ( y − 1) − 10 ( z + 1) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z + 5 = 0

-L

(BCD) qua

TO

ÁN

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD) ⇒ H ( 5 + t ;1 + 2t ;3 + 2t ) . Tính t

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

W15+Q)+2(1+2Q))+2(3+2Q))+5qr1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

1+Q)p2+Q)p(p2pQ))p4qr1=

31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ t = −2 ⇒ H ( 3; −3; −1) ⇒ A ' (1; −7; −5 ) ⇒

Đáp án chính xác là C

N

Bài 4.

N

H Ơ

( P ) ⇒ nα = ud ; n p  = (1; −7;4 ) Lập mặt phẳng ( α ) chứa d và vuông góc với

TR ẦN

H

( α ) : ( x + 1) − 7 y + 4 ( z + 2 ) = 0 ⇔ x − 7 y + 4 z + 9 = 0

10

cũng là vecto chỉ phương của d

2+

3

Ta có:

ud =  nα ; n p  = ( −18; −6; −6 ) ⇒ u ( 3;1;1)

00

phương trình đường thẳng d về dạng chính tắc

B

x − 7 y + 4z + 9 = 0  Đường thẳng d có phương trình tổng quát  − x + y + 2 z + 3 = 0 . Để so sánh kết quả ta phải chuyển

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

w8111=p7=4=w821p1=1=2=Wq53Oq54=

Ỡ N

G

TO

Hơn nữa điểm M ( 2;1; −1) cũng thuộc d

BỒ

ID Ư

⇒ Phương trình chính tắc

d:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

w8112=2=3=w821p1=1=2=Wq53Oq54=

x − 2 y −1 z +1 = = ⇒ 3 1 1 Đáp số chính xác là C

Bài 5.

1; 1;7 4;0; −3) Đường thằng BC nhân vecto BC ( − ) là vecto chỉ phương và đi qua điểm B (

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

BC ⇒ H ( 4 + t ; −t ; −3 + 7t )

N

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

N

x = 4 + t  ⇒ BC :  y = −t   z = −3 + 7t

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

w1(4+Q)pp1)p(pQ)p3)+7(p3+7Q)p2)qr1=

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

Chuyển t về dạng phân số

H

Ó

9  77 9 12  ⇒ H  ;− ;  ⇒ 17  17 17 17  Đáp số chính xác là A

-L

Í-

⇒t =

ÁN

Bài 6.

Vecto chỉ phương của d là

ud =  nβ ; nβ  = ( 6;8;4 ) ⇒

nhận

u ( 3; 4;2 )

là vecto chỉ phương

w8114=p3=0=w8210=1=p2=Wq53Oq54=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

 4 x − 3 y − 13 = 0  α β d là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) ; ( ) nên có phưong trình tổng quát:  y − 2 z + 5 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

Mặt khác BC ⊥ BC ⇒ AH .BC = 0 .

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Y

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Mặt khác MH ⊥ d ⇒ MH .u = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên có tọa độ M ( 4 + 3t ;1 + 4t;3 + 2t )

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

W13(4+3Q)pp3)+4(1+4Q)p1)+2(3+2Q)pp1)qr1=

ẤP

⇒ t = −1 ⇒ H (1; −3;1)

Í-

H

Ó

⇒ Đáp số chính xác là D

⇒ M ' ( 5; −7;3)

A

C

M’ đối xứng M qua d vậy H là trung điếm MM'

ÁN

-L

Bài 7.

( α ) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Oxy)

TO

Dựng mặt phẳng

Ỡ N

G

⇒ nα = ud ; nOxy  = (1; −2;0 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

 x = 4 + 3t  nên có phương trình tham số  y = 1 + 4t  z = 3 + 2t 

TP .Q

Đường thẳng d có vecto đi qua điểm

N ( 4;1;3)

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

W8112=1=1=w8210=0=1=Wq53Oq54=

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Mặt phẳng

( α ) chứa điểm

N (1; −1;2 )

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

nên có phương trình là:

N

( α ) : ( x − 1) − 2 ( y + 1) + 0 ( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y − 3 = 0

N

H Ơ

Đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (Oxy)

là vecto chỉ phương

00

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

w8111=p2=0=w8210=0=1=Wq53Oq54=

2+

Lại có d’ qua điểm có tọa độ

3

10

 x = 1 + 2t (1; −1;0 ) ⇒ d ':  y = −1 + t z = 0 

C

ẤP

⇒ Đáp số chính xác là B.

Ó

A

T. CASIO TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Í-

H

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

ÁN

-L

1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác

TO

S=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo công thức

1  AB; AC  2 BC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q

nhận

u ( 2;1;0 )

ẠO

Tính

ud =  nα ; nOxy  = ( −2; −1;0 ) ⇒

Y

⇒ d' là giao tuyến của ( α ) và (Oxy) ⇒ d ' :  x − 2 y − 3 = 0 z = 0

AH =

Ứng dụng tính chiều cao AH của tam giác ABC:

2.S ABC  AB; AC  = BC BC

2. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp.

Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức

VABCD =

1 AB  AC ; AD  6

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

AH =

N

Ứng dụng tính chiều cao AH của hình chóp ABCD:

AB  AC ; AD  3.VABCD = S BCD  BC ; BD   

H Ơ

3. Lệnh Caso.

Y

N

Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8

ẠO

Tính tích vô hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Tính tích có hướng của hai vecto: vectoA x vectoB

TR ẦN

H

Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7

00

B

Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

10

II) VÍ DỤ MINH HỌA

2+

3

VD1. [Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HN năm 2016]

ẤP

A (1;0;1) , B ( 2;2;2 ) , C ( 5;2;1) , D ( 4;3; −2 )

C

Cho 4 điểm

B. 12

C. 4

D. 2

Ó

A

A. 6

. Tính thể tích tứ diện ABCD

Í-

H

Giải

ÁN

-L

Nhập thông số ba vecto AB, AC , AD vào máy tính Casio

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

W8112p1=2p0=2p1=w8215p1=2p0=1p1=w8314p1=3p0=p2p1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Áp dụng công thức tính thể tích

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

VABCD =

1 AB  AC ; AD  = 4 6

A ( 2;1; −1) B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3)

,

. Điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa

TR ẦN

độ của D là: ( 0; −7;0 )  ( 0;8;0 ) B. 

( 0;8;0 )

B

C.

00

( 0; −7;0 )

( 0;7;0 )  ( 0; −8;0 ) D. 

10

A.

G Ư N

Cho

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

VD2. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

⇒ Đáp số chính xác là C

3

Giải

ẤP

2+

1 AD  AB; AC  = 5 ⇔ AD  AB, AC  = ±30 6

C

Ta có:

V=

H

Ó

A

 AB, AC     bằng Casio ta được  AB, AC  = ( 0; −4; −2 ) Tính 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

W8111=p1=2=w8210=p2=4=Wq53Oq54=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

0; ;0 2; 1;1 Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ D ( y ) ⇒ AD ( − y − )

Nếu

AD  AB; AC  = 30

W10O(p2)p4(Q)p1)p2O1p30qr1=

37 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Y

y = −7 ⇒ D ( 0; −7;0 )

00

y = 8 ⇒ D ( 0;8;0 )

10

Ta thu được

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

!!!o+qr1=

2+

3

⇒ Đáp số chính xác là B

C

ẤP

VD3. [Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017]

A (1; 2;0 ) , B ( 3; −1;1) , C (1,1,1)

B. S = 2

C.

S=

1 2

4 3 S =1 D. 3

TO

ÁN

A. S = 3

-L

Í-

H

ABC

Giải

. Tính diện tích S của tam giác

Ó

A

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Nhập 2 vectơ AB, AC vào máy tính Casio

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

AD  AB; AC  = −30

ẠO

Nếu

TP .Q

U

Ta thu được

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

W8112=p3=1=w8210=p1=1=

Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

S ABC =

1 2

 AB; AC  = 1.732... = 3  

Wqcq53Oq54)P2=

38 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Đáp số chính xác là A

H Ơ N

A (1; 2;0 ) , B ( 4;1;1)

. Độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:

54 D. 11

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

1 OA; OB   2

Ư N

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức

SOAB =

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải

B

TR ẦN

W8111=2=0=w8214=1=1=Wqcq53Oq54)P2=

10

00

Vì giá trị diện tích này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn

C

ẤP

2+

3

qJz

1 2S h. AB ⇔ h = 2 AB

Ó

A

Gọi h là chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có công thức

SOAB =

H

Í-

-L

Tính độ dài cạnh

AB = AB

TO

ÁN

W8113=p1=1=Wqcq53)=

qJx

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

19 C. 86

ẠO

A.

86 B. 19

TP .Q

1 19

U

Y

Cho hai điểm

N

VD4. [Thi thử THPT Vĩnh Châu – Phú Thọ lần 1 năm 2017]

h=

2A = 2.2156... = B

39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2QzPQx=

H Ơ

N

⇒ Đáp số chính xác là D

Y

N

VD5. [Thi thử Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

V=

1 154 AB  AC ; AD  = 6 3

00

B

Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức

TR ẦN

H

Giải

2+

3

10

W8112=p2=p3=w8214=0=6=w831p7=p7=7=Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

Ó

A

C

ẤP

1 3V 154 ⇒ V = h.S ABC ⇒ h = = 3 S ABC S ABC Gọi h là khoảng cách từ D

H

Í-

S ABC theo công thức

1 2

 AB; AC  = 14  

-L

Tính

S ABC =

Ỡ N

G

TO

ÁN

Qcq53Op54)P2=

BỒ

ID Ư

Khi đó

h=

154 = 11 ⇒ 14 Đáp số chính xác là A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

A. 11

4 3 D. 3

Đ

5 C. 5

45 B. 7

. Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là:

ẠO

A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C (6;3;7), D(−5; −4;8)

U

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có

VD6. [Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 )

và

d:

x + 1 y −1 z = = 2 −1 2

Điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là:

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

M ( −1;1; 0 )

B.

M ( 3; −1; 4 )

C.

M ( −3; 2; −2 )

D.

M (1;0; 2 )

N M ( −1;1; 0 )

ta có 2S = 29.3938...

Y U

ẠO

Với

1  AB; AM  ⇔ 2S =  AB; AM      2

TP .Q

Diện tích tam giác ABM được tính theo công thức

S=

N

H Ơ

Giải

ta có 2S = 29.3938...

B

M ( 3; −1; 4 )

00

Với

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

W8112=p2=6=w821p2=p4=0=Wqcq53Oq54)=

ta có 2S = 32.8633...

-L

M ( −3; 2; −2 )

ÁN

Với

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

W8212=p6=4=Wqcq53Oq54)=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

W821p4=p3=p2=Wqcq53Oq54)=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A.

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với

M (1;0; 2 )

ta có 2S = 28.1424...

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

So sánh 4 đáp số ⇒ Đáp án chính xác là C

ẠO

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

B. 40

Đ G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A. 30

Ư N

A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C (5; −1; 0), D(1; 2;1)

. Thể tích tứ diện ABCD bằng:

H

Cho

C. 50

D. 60

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 1. [Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

B

Bài 2. [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017]

A ( a; −1; 6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C (5; −1;0), D(1; 2;1)

và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30.

10

00

Cho bốn điểm

B. 2

C. 2 hoặc 32

D. 32

ẤP

A. 1

2+

3

Giá trị của a là:

A

C

Bài 3. [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017]

-L

x y z + + =1 B. 4 2 4

x y z + + =1 C. 6 3 12

D. Đáp án khác

TO

ÁN

x y z + + =1 A. 3 6 12

và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao

Í-

VOABC = 36

cho

M (1; 2; 4 )

H

Ó

Viết phương trình mặt phăng (P) đi qua

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài 4. [Thi thử THPT Nho Quan – Ninh Bình lần 1 năm 2017]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

N

W8210=p5=2=Wqcq53Opc4ôq54)=

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

d:

A ( 0;1;0 ) , B ( 2; 2; 2 ) , C (−2;3;1)

và đường thẳng

x −1 y + 2 z − 3 = = 2 2 . Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3 −1

 3 3 1   15 9 11   − ; − ; ; − ; ; −  A.  2 4 2   2 4 2 

 3 3 1   15 9 11   − ; − ; ; − ; ; −  B.  5 4 2   2 4 2 

42 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 3 3 1   15 9 11   ; − ; ; ; ;  C.  2 4 2   2 4 2 

 3 3 1   15 9 11   ; − ; ; ; ;  C.  5 4 2   2 4 2 

. Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống

C. 1

D. 11

ẠO Đ

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A. 11

Ư N

Bài 1. Chọn A.

H

1 AB  AC ; AD  = 30 6

TR ẦN

Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức

V=

Í-

Bài 2. Chọn C.

H

Ó

Vậy đáp số chính xác là A

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

w811p5=0=p10=w8213=0=p6=w831p1=3=p5=Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

G

TO

ÁN

-L

Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto BA tính sau cùng. Công thức tính thể tích ABCD ta sắp 1 V = BA  BC ; BD  6 xếp như sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 B. 11

TP .Q

U

Y

mặt phẳng (ABC) là:

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ơ

A ( 0; 0; 2 ) , B ( 3;0;5 ) , C (1;1;0), D(4;1; 2)

N

Cho

N

Bài 5. [Câu 4 tang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

w8118=0=4=w8214=3=5=Wq53Oq54=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 BC; BD  = ( −12; −24; 24 )  Tính 

43 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Y

00

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

w1p12(Q)+3)p24O0+24(6+4)p180qr1=

10

3

Với

BA  BC; BD  = −180 ⇔ BA  BC; BD  + 180 = 0 ⇒ a = 32

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

!!!!o+qr1=

TO

⇒ Đáp án chính xác là C

Ỡ N

G

Bài 3.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

BA  BC; BD  = 180 ⇔ BA  BC; BD  − 180 = 0 ⇒ a = 2

ẠO

Với

1 BA  BC ; BD  = 30 ⇔ BA  BC ; BD  = ±180 6

TP .Q

Ta có

V=

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

M (1; 2; 4 )

cho nên ta chỉ đi kiểm tra tính

đúng sai của đáp A

BỒ

ID Ư

Trong các đáp án chỉ có mặt phẳng ở đáp án A đi qua điểm

44 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x y z (P) : + + = 1 6 3 12 Theo tính chất của phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng cắt các tia Ox, Oy, Oz

A ( 3;0;0 ) , B ( 0;6;0 ) , C (0;0;12)

. Hơn nữa 4 điểm O, A, B, C lập thành một tứ diện

Ư N

G

M (1 + 2t ; −2 − t ;3 + 2t )

Diểm M thuộc d nên có tọa độ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Bài 4. Chọn A.

H

1 AM  AB; AC  6

TR ẦN

Thể tịch tứ diện MABC được tính theo công thức

V=

10

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

w8112=1=2=w821p2=2=1=Wq53Oq54=

00

B

 AB; AC  = ( −3; −6;6 )  Tính 

Í-

-L

AM  AB; AC  = 18 ⇔ AM  AB; AC  − 18 = 0

G

TO

Với

1 AM  AB; AC  = 3 ⇔ AM  AB; AC  = ±18 6

ÁN

Ta có

V=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

ẠO

⇒ Đáp án chính xác là A

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Y

1 1 OA OB OC = .3.6.12 = 36 6 6 (đúng)

TP .Q

Theo tính chất của tứ diện vuông thì

VOABC =

N

H Ơ

vuông đỉnh O

N

lần lượt tại 3 điểm

BỒ

ID Ư

Ỡ N

w1p3(1+2Q))p6(p2pQ)p1)+6(3+2Q))p18qr1=qJz

45 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

5  3 3 1 t = − ⇒ M − ;− ;  4  2 2 2 Ta được

N H Ơ

Với

AM  AB; AC  = −18 ⇔ AM  AB; AC  + 18 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

w8113=0=3=w8211=1=p2=w8314=1=0=Wqcq53q57(q54Oq55))P6=

ẠO

1 AB  AC ; AD  = 0.5 6

G

Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức

V=

TP .Q

Bài 5. Chọn B.

ẤP

2+

3

1 3S VABCD = h.S ABC ⇔ h = 3 S ABC Gọi h là chiều cao cần tìm. Khi đó 1 2

 AB; AC   

Vậy h =

H

3V 1 = 0.3015... = . ⇒ Đáp số chính xác là B S ABC 11

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Wqcq53Oq54)P2=qJz

Ó

A

C

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức

S ABC =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

Rõ tràng chỉ có đáp số A chứa điểm M trên ⇒ A là đáp số chính xác

CASIO TÍNH NHANH GÓC GIỮA VECTO ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG

46 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG.

và

H Ơ

v ( x′; y′; z ′ )

, góc giữa hai vecto u , v được tính theo công thức:

N

u ( x; y; z )

x 2 + y 2 + z 2 x′2 + y′2 + z ′2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

ud

ud ′

Ư N

2. Góc giữa hai đường thẳng.

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

00 ;1800  Góc giứa hai vecto thuộc khoảng 

)

10

00

B

(

TR ẦN

và . Góc α giữa hai đường thẳng d, d’ Cho hai đường thẳng d và d’ có hai vecto chỉ phương

ud .ud ′

được tính theo công thức: cos α = cos ud ; ud ′ = (tích vô hướng chia tích độ dài) ud . ud ′

2+

3

 00 ;900  Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 

ẤP

3. Góc giữa hai mặt phẳng.

C

nP

. Góc α giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

(

)

-L

Í-

H

Ó

A

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vecto pháp tuyến và

nP .nQ

cos α = cos nP ; nQ = nP . nQ được tính theo công thức:

nQ

TO

ÁN

 00 ;900  Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 

G

4. Góc giữa một đường thẳng và một măt phẳng.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x.x′ + y. y′ + z.z ′

TP .Q

( )

ẠO

u.v cos u; v = = u.v

U

Y

Cho hai vecto

N

1. Góc giữa hai vecto.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n .

Góc α giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) được tính theo công thức

sin α = cos u; n

( )

 00 ;900  Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 

47 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

5. Lệnh Casio.

Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE8

H Ơ

N

Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

Y

N

Tính tích vô hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB

ẠO

Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP

H

Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

TR ẦN

II) VÍ DỤ MINH HỌA

00

B

VD1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

3

)

. Khi đó

ẤP

2+

(

A ( −2;1;0 ) , B ( −3;0; 4 ) , C ( 0;7;3)

10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm

cos AB; BC bằng: −14 B. 3 118

C.

798 57

D.

−

798 57

Ó

A

C

14 118 A. 354

H

Giải

ÁN

-L

Í-

Nhập hai vecto AB, BC vào máy tính Casio

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

w811p1=p1=4=w8213=7=p1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Tính tích có hướng của hai vecto: vecoA x vectoB

14 AB, BC cos AB, BC = = 0.4296... = − 3 118 AB, BC

(

Tính

)

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Đáp số chính xác là B

0

C. 60

0

Đ G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B. 90

Ư N

0

H

A. 45

x y +1 z −1 x +1 y z − 3 = = và d ′ : = = là: 1 2 2 1 1 −1

D. 30

0

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Góc giữa hai đuòng thẳng d :

ẠO

VD2. [Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HN năm 2016]

Giải

10

, đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

u ′ ( 2;1;1)

3

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

u (1; −1; 2 )

00

B

Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ qw3

ẤP

2+

u.u ′

cos α = cos u; u ′ = u . u′

(

)

A

C

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d;d’ thì

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

w8111=p1=2=w8212=1=1=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

0 Ta có cos α = 0.5 ⇒ α = 60

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Wq53q57q54P(qcq53)Oqcq54))=

Áp dụng công thức tính thể tích

VABCD =

1 AB  AC ; AD  = 4 6

=qkM)=

49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D. m >1

Ư N

1 2

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. 0 < m <

Đ

m > 1 B.  0 < m < 1 2 

1 A. 1 > m > 2

là góc nhọn

G

Tìm m để góc giữa hai vecto

u (1;log 3 5; log m 2 ) , v ( 3;log 5 3; 4 )

TP .Q

VD3. [Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 5 năm 2017]

00

B

u.v cos α = u.v

10

u Gọi góc giữa 2 vecto , v là α thì

TR ẦN

Giải

2+

3

Để góc α nhọn thì cos α < 0 ⇔ u.v < 0 ⇔ 1.3 + log 3 5.log 5 3 + 4.log m 2 < 0 ⇔ log m 2 + 1 < 0 (1)

H

f ( 0.25 ) = 0.5 > 0 ⇒

C

Đáp án C Sai

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Ta thấy

Ó

A

w7iQ)$2$+1=p0.5=1.5=0.25=

ẤP

Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start – 2 End 2 Step 0.5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

⇒ Đáp số chính xác là C

f (1.25 ) = 4.1062 > 0 ⇒

Đáp số B và D sai

BỒ

ID Ư

Ta thấy

50 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

VD4. [Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]

0

C. 90

Ư N

B. 75

0

D. Cả A, B, C đều đúng

H

0

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

vuông góc nhau A. 15

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

1 y − z +5 = 0 ( Q ) : x sin α + y cos α + z sin 3 α + 2 = 0 4 và

G

Tìm α để hai mặt phẳng

( P) : x −

Giải

2+

3

10

00

B

 1  nP  1; − ; −1 P 4  , mặt phẳng ( Q ) có vecto pháp tuyến Mặt phẳng ( ) có vecto pháp tuyến 

nQ ( sin α ; cos α ;sin 3 α )

C

ẤP

0 n n Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau ⇔ góc giữa P và Q bằng 90

Í-

H

Ó

A

1 1 nP .nQ = 0 ⇔ sin α − cos α − sin 3 α = 0 P = sin α − cos α − sin 3 α ⇔ 4 4 . Đặt

ÁN

tính Casio

-L

Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy

TO

0 Với α = 15 ⇒ P = 0 ⇒ Đáp án A đúng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

⇒ Đáp số chính xác là A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

jQ))pa1R4$kQ))pjQ))^3r15=

51 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

0 Với α = 75 ⇒ P = 0 ⇒ Đáp án B đúng

mặt phẳng (P) và mặt phẳng 0

( Q ) : x − y− 6 = 0 B. 45

0

C. 60

0

D. 90

0

00

A. 30

G Ư N

H

là hính chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (P). Tìm số đo góc giữa

TR ẦN

H ( 2; −1; −2 )

Điểm

B

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

VD5. [Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

⇒ Đáp số chính xác là D

10

Giải

3

OH ( 2; −1; −2 )

la vecto pháp tuyến

ẤP

2+

Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên nhận

Ó

H

có vecto pháp tuyến là

nQ (1; −1;0 )

-L

Í-

(Q ) Mặt phẳng

A

C

⇒ ( P ) : 2 ( x − 2 ) − 1( y + 1) − 2 ( z + 2 ) = 0 ⇔ 2x − y − 2z − 9 = 0

TO

ÁN

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và

OH .nQ ⇒ cos α = OH . nQ (Q )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

w8112=p1=p2=w8211=p1=0=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

r75=

52 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy

cos α = 0.7071... =

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 ⇒ α = 450 2

và

G Ư N

B ( 0; 0;1)

đồng thời tạo với mặt phẳng (Oxy)

TR ẦN

A ( 3; 0; 0 )

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

VD6. [Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Mặt phẳng (Q) nào sau đây đi qua hai điểm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ Đáp số chính xác là B

0 một góc là 60

 x + 5 y + 3z − 3 = 0  x + 26 y + 3z − 3 = 0 B. 

3

10

00

B

 x − 26 y + 3 z − 3 = 0  x − 5 y + 3z − 3 = 0 A. 

 x + 26 y + 3z − 3 = 0  x − 26 y + 3z − 3 = 0 D. 

C

ẤP

2+

 x − 5 y + 3z − 3 = 0  C.  x + 5 y + 3z − 3 = 0

Ó

A

Giải

Í-

H

Cách Casio

-L

Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều

TO

là xong

ÁN

đi qua 2 điểm A, B. Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng (Oxy)

vecto pháp tuyến

26 y + 3z − 3 = 0

vó vecto pháp tuyến

nQ = 1; − 26;3

(

) , mặt phẳng (Oxy) có

n = ( 0;0;1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

(Q ) : x − Với mặt phẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

=qkM)=

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng trên

nQ ; n ⇒ cos α = = 0.5 ⇒ α = 600 nQ . n

w8111=ps26)=3=w8210=0=1=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

53 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tiếp tục thử với mặt phẳng x − 5 y + 3z − 3 = 0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án D

ẠO

đúng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cách tự luận

H

Ư N

Gọi mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0

TR ẦN

⇒ C = −1; A = −

(Q) qua A ⇒ 3A + D = 0 , (Q) qua B ⇒ C + D = 0 . Chọn D =1

1 3

10

00

B

 1  1 nQ  − ; B; −1 − x + By − z + 1 = 0  3  Khi đó (Q): 3 và có vecto pháp tuyến

2

ẤP

A

⇔

Ó

1 − .0 + B.0 − 1.1 3

nQ ; n 1 − = 0 nQ . n 2

C

Góc giữa hai mặt phẳng trên là

2+

3

n Q;n 1 600 ⇒ cos 600 = = ⇔ nQ . n 2

−

1 B2 +

10 9

−

1 =0 2

-L

Í-

H

 1 2 2 2 2  −  + B + 1. 0 + 0 + 1 3  

1 =0⇔ 2

ÁN

10 10 26 26 = 2 ⇔ B2 + = 4 ⇔ B2 = ⇔B=± 9 9 9 3

TO

⇔ B2 +

Ỡ N

G

⇒ Đáp án chính xác là C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

⇒ Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng ( Q ) : x − 26 y + 3z − 3 = 0 .

BỒ

ID Ư

VD7. [Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

Tính góc giữa đường thẳng A. 30

0

∆:

x + 3 y +1 z − 3 = = 2 1 1 và mặt phẳng ( P) : x + 2 y − z + 5 = 0

B. 45

0

C.60

0

D. 90

0

54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải

N

u ( 2;1;1) n (1; 2; −1) ∆ Đường thẳng có vecto chỉ phương và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

w8112=1=1=w8211=2=p1=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

TR ẦN

⇒ sin α = cos β = 0.5 ⇒ α = 300 Gọi α là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

Í-

H

Ó

⇒ Đáp án chính xác là A

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

qjM)=

-L

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TO

ÁN

Bài 1. [Câu 21 trang 119 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)

. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD:

Ỡ N

G

Cho bốn điểm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

u .n Gọi β là góc giữa 2 vecto u, n . Ta có cos β = u.n

BỒ

ID Ư

A. 30

0

B. 60

0

C. 90

0

D. 120

0

Bài 2. [Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho

u (1;1; −2 )

và

v (1;0; m )

u . Tìm m để góc giữa hai vecto , v là 450

55 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn m = 2 − 6  m = 2+ 6 A. 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B. m = 2 − 6

C. m = 2 + 6

D. Không có m thỏa mãn

H Ơ N

2 và 2x + m y − 2z + 1 = 0 vuông góc với nhau:

B.

m =1

C.

m= 2

D.

m= 3

ẠO

Bài 4. [Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

G Ư N H

2 B. 5

3 C. 2

2 D. 2

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

giữa hai đường thẳng AP và B′C ′

1 A. 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh bằng a. Xét hai điểm là trung điểm B′C ′ . Tính cosin góc

00

B

Bài 5. [Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

10

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q) : 2x + y − 5 z = 0 một góc

2+

3

600 x − 3y = 0  B.  −3 x + y = 0

 −3 x + y = 0  C.  x + 3 y = 0

 −3 x + y = 0  D. 3 x + y = 0

Ó

A

C

ẤP

x + 3y = 0  A.  x − 3 y = 0

Í-

H

Bài 6. [Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

-L

Cho ( P) : 3x + 4 y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

TO

ÁN

(α ) : x − 2 y + 1 = 0, ( β ) : x − 2z − 3 = 0 . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó: B. ϕ = 450

C. ϕ = 600

D. ϕ = 900

Ỡ N

G

A. ϕ = 300

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

m =2

TP .Q

A.

U

Y

( P) : m2 x − y + ( m 2 − 2 ) z + 2 = 0

N

Bài 3. [Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai mặt phẳng

BỒ

ID Ư

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.

Đường thẳng AB nhận vecto

AB ( −1;1;1)

là vecto chỉ phương, đường thẳng CD nhận

CD ( 0;1; −1)

là

vecto chỉ phương

56 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo công thức:

AB.CD

cos α = cos AB; CD = AB . CD

N

)

H Ơ

(

Tính

)

B

(

TR ẦN

AB.CD

cos α = cos AB; CD = = 0 ⇒ α = 900 AB . CD

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

w811p1=1=1=w8210=1=p1=

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

Í-

Vậy đáp số chính xác là C

-L

u.v 1 − 2m cos u; v = = u.v 6. m 2 − 1

ÁN

( )

G

TO

Bài 2. Ta có

1 − 2m 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Để góc giữa 2 vecto trên là 45 thì

2

6. m − 1

=

1 ⇔ 2

1 − 2m 2

6. m − 1

−

1 =0 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

Nhập các vecto AB; CD vào máy tính Casio

Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC Với m = 2 − 6 w1a1p2Q)Rs6$OsQ)d+1$$pa1Rs2r2ps6)=

57 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

Tiếp tục kiểm tra với m = 2 + 6

00

10

⇒ 2 + 6 không thỏa ⇒ Đáp số chính xác là B

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

r2+s6)=

2+

3

Bài 3.

, mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến

Ó

A

C

ẤP

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

n′ ( 2; m 2 ; −2 )

n ( m 2 ; −1; m 2 − 2 )

-L

Í-

H

Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì n ⊥ n′ ⇔ n.n′ = 0

ÁN

⇔ m2 .2 − m 2 + (m 2 − 2).(−2) = 0 ⇔ 4 − m2 = 0 ⇔ m = ±2

TO

⇒ Đáp án chính xác là A

Ỡ N

G

Bài 4. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD, tia Oz chứa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

⇒ m = 2 − 6 thỏa ⇒ Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B

BỒ

ID Ư

AA’. Chọn a = 1 khi đó:

A ( 0; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , D ( 0;1; 0 ) , A′ ( 0; 0;1) , B′ (1; 0;1) , C ′ (1;1;1)

 1   1  ⇒ P  1; ;1 , AP  1; ;1 , BC ′ ( 0;1;1)  2   2 

58 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

Góc giữa 2 đường thẳng AP, BC’ là α thì

AP; BC ′ 2 cos α = = 0.7071... = 2 AP . BC ′

H

Bài 5.

TR ẦN

Cách Casio

10

00

)

nP ; nQ ⇒ cos α = = 0.5 ⇒ α = 600 nP . nQ

2+

3

(

B

nP = (1;3) ( ) : + 3 = 0 P x y Với mặt phẳng có vecto pháp tuyến , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến

nQ = 2;1; − 5

C

ẤP

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng trên

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

w8111=3=0=w8212=1=ps5)=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ D là đáp số chính xác

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

w8111=0.5=1=w8210=1=1=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

⇒ Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x + 3y = 0.

Tiếp tục thử với mạt phẳng x – 3y = 0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án C đúng.

Cách tự luận Gọi mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0 . (P) chứa trục Oz thì (P) chứa 2 điểm thuộc trục Oz. Gọi hai điểm đó là A(0;0;0) và B(0;0;1)

59 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(P) qua A ⇒ D = 0, (P) qua B ⇒ C + D = 0 ⇒ C = D = 0 . CHọn A = 1

N N

H Ơ

nP ; n 1 − = 0 nQ . n 2

2

2

B+2 1 1 ⇔ = 2 10 B 2 + 1 2

Đ

12 + B 2 + 02 . 22

=

G

2

2

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B = 3 ⇔ 2 B + 2 = 10 B + 1 ⇔ 4 ( B + 4 B + 4 ) = 10 ( B + 1) ⇔ 6 B − 16 B − 6 = 0 ⇔  B = − 1 3  2

TR ẦN

⇒ Đáp án chính xác là C

B

Bài 6. d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ),( β ) nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến của

10

3

u d =  nα ; nβ  = ( 4; 4; 4 )

2+

⇒ Vecto chỉ phương

00

hai mặt phẳng này

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

w8111=p2=0=w8211=0=p2=Wq53Oq54=

w8114=2=2=w8213=4=5=Wqcq53q57q54)P(qcq53)Oqcq54))=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

ud ; n p γ Gọi là góc giữa ta có

ud ; n p 3 cos γ = = 0.8660... = 2 ud . n p

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) +1 + (− 5 )

ẠO

(

1.2 + B.1 + 0. − 5

⇔

TP .Q

U

n P ; nQ 1 ⇒ cos 600 = = ⇔ nP . nQ 2 0 Góc giữa hai mặt phẳng trên là 60

Y

Khi đó (P): x + By = 0 và có vecto pháp tuyến

nQ = (1; B;0 )

60 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

qjM)=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

⇒ Đáp số chính xác là C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

3 ⇒ ϕ = 600 2

sin ϕ = cos γ =

TP .Q

Ta có

N

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

61 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial