Thủ thuật Casio giải nhanh trắc nghiệm Toán 12 - Vương Thanh Bình - NGUYỄN HÀM, TÍCH PHÂN

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN T.CASIO TÌM NHANH HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

H Ơ

N

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

N

I)MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C. 25 m

G

B. 20 m

D. 40 m

H

A. 15 m

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

[Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10(m/s) thì người lái đạp phanh,từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn , ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

TR ẦN

Xem nào, khi xe dừng lại vận tốc sẽ về 0 hay 0 = -2t +10 vậy thời gian xe còn di chuyển thêm được là 5(s). Vậy quãng đường s = v.t = 10.5 = 50(m) mà xe chạy chậm dần vậy sẽ phải nhỏ hơn 50(m), chắc là 40(m) phải không nhỉ ?

Hết giây thứ 1

Hết giây thứ2

Vận tốc

10 8

8 6

Quãng đường

9

Hết giây thứ 3 Hết giây thứ 4 Hết giây thứ 5

2+

3

10

Mốc 0

00

B

Để chắc chắn, có lẽ mình phải lập 1 bảng mô tả quãng đường:

4 2

2 0

5

3

1

C

ẤP

7

6 4

H

Ó

A

Như vậy tổng quãng đường xe đi được khi vận tốc giảm đến 0 là 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 (m)

-L

Í-

Cách này có vẻ tin cậy hơn, nhiều, nhưng mất của mình thời gian đến hơn 2 phút!!! Vậy còn cách gì nhanh hơn không nhỉ?

TO

ÁN

Minh Nguyệt đã giải được bài toán và tìm ra đáp án chính xác 25 (m), rất tốt về mặt kết quả nhưng về mặt thời gian tính lại hơi lâu. Bài này ta có thể hoàn thành trong thời gian 20 (s) nhờ 1 công cụ gọi là tích phân.

G

5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

Hôm nay mình nhận được 1 câu hỏi của thầy Bình Kami, một câu hỏi về tính quãng đường của một vật chuyển động bằng biến đổi đều câu hỏi đã được xuất hiện trong đề thi minh họa của BGD-ĐT năm 2017

BỒ

ID Ư

Ỡ N

S = ∫ ( −2t + 10 ) dt = 25(cm) 0

Ta bấm máy tính như sau: Khởi động chức năng tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân và nhấn nút= (p2Q)+10)R0E5=

1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

Máy tính sẽ cho chúng ta kết quả là 25 (m). Chỉ mất 20 (s) thật tuyệt vời phải không nào !!!

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

Tích phân là 1 trong những công cụ tuyệt vời nhất mà nền toán học đã tạo ra, sử dụng tích phân có thể tính quãng đường , vận tốc của 1 vật thể hoặc có thể tính được diện tích của 1 hình rất phức tạp ví dụ như hình tròn , hình tham giác, hình e líp…thì còn có công thức nhưng diện tích của mặt ao hồ hình thù phức tạp thì chỉ có tích phân mới xử lý được, hoặc tính thể tích của 1 khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp thì lại phải nhờ đến tích phân.

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tích phân hiện đại được nhà toán học Anh Isac Newton và nhà toán học Pháp Laibonit công bố khoảng cuối thế kỉ 17 nhưng người đặt nền móng cho sự hình thành và phát triển của Tích phân là nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met

00

B

Tích phân chia làm 2 dạng: Tích phân bất định (không cận ) thường được biết tới tên là Nguyên hàm và Tích phân xác định ( có cận ) thường được biết đến với tên Tích phân mà các e sẽ được học ở học kì 2 lớp 12.

2+

3

Xây dựng công thức tính nguyên hàm :

10

II) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM

ẤP

Ta có ( x 5 ) ' = 5 x 4 vậy ta nói nguyên hàm của 5x 4 là x5 kí hiệu ∫ 5 x 4 dx = x5 + C

Ó

A

C

Tương tự ( s inx ) = cos x vậy ta nói nguyên hàm của cosx là sinx, kí hiệu ∫ cos xdx = s inx + C

Í-

H

Tổng quát: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) 2

ÁN

-L

VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F ( x ) = e x là nguyên hàm của hàm số nào : 2

B. f ( x ) = 2 x.e

TO

A. f ( x ) = e

2x

2x

ex C. f ( x ) = 2x

2

D. f ( x ) = x 2 e x − 1

Ỡ N

G

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Thầy Bình Kami, Tích phân là công cụ gì mà hay vậy ạ ???

BỒ

ID Ư

Thưa thầy, bài này em làm được ạ! *Đầu tiên em tính đạo hàm của F(x) , vì F(x) là một hàm hợp nên em áp dụng công thức ( eu ) ' = eu .u '

ạ.

( ) 2

2

*Khi đó: F ' ( x ) = e x ' = e x . ( x 2 ) ' = 2 x.e x

2

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 2

*Vậy F(x) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x.e x và ta chọn đáp án B ạ

1 D. e 2 x ( x − 2 ) + C 2

N

1  C. 2e 2 x  x −  + C 2 

H Ơ

1 1  B. e 2 x  x −  + C 2 2 

A. 2e 2 x ( x − 2) + C

N

VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm của hàm số y = x.e 2 x là

TP .Q

Thưa thầy, chúng ta sẽ thử lần lượt , với đáp án A thì F ( x ) = e 2 x ( x − 2 ) . Nhưng việc tính đạo hàm

ẠO

F(x) là 2e 2 x ( x − 2 ) thì em thấy khó quá ạ, em quên mất công thức ạ !!

Ư N

TR ẦN

Ta biết F’(x) = f(x) việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định Vậy sẽ đúng với x = 1 chẳng hạn. Khi đó F’(1) = f(1) Tính giá trị f(1) = 7,3890…

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều khi chúng ta đột nhiên bị quên công thức đạo hàm hay bản than chúng ta chưa học phần này thì làm sao?? Thầy sẽ cho các em một thủ thuật Casio để các em quên công thức vẫn biết đâu là đáp án đúng:

ẤP

2+

3

10

00

B

Q)QK^2Q)r1=

Ó

TO

ÁN

-L

Í-

H

qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1=

A

C

Tính đạo hàm F’(1) với từng đáp án , bắt đầu từ đáp án A là F ( x) = 2e 2 x ( x − 2)

G

Vậy ta được kết quả F’(1) = -14.7781… đây là 1 kết quả khác với f(1) Đáp án A sai

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Giải

qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 1  Tính đạo hàm F’(1) của đáp án B với F ( x ) = e 2 x  x −  2  2

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

Y

1 1  Ta thu được kết quả giống hệt f ( x ) vậy F '( x) = f ( x ) hay F ( x ) = e 2 x  x −  là nguyên hàm của 2  2

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

Bình luận:

*Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f ( x ) thì F ( x ) + C cũng là 1 nguyên hàm của hàm f ( x ) vì

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

(F ( x ) + C ) ' = F '( x ) + C ' = F ' ( x ) = f ( x )

TR ẦN

H

Ư N

*Việc sử dụng Casio để tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối với những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng 1 lúc, và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán!!

VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 : 2 ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C 3 1 f ( x ) dx = − 2x −1 + C 3

A. ∫ f ( x ) dx =

1

B

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)

00 D.

10

∫

2+

3

C.

B.

1

∫ f ( x ) dx = 2

2x −1 + C

2x −1 + C

Giải

A

C

ẤP

Cách 1: CASIO Nhắc lại 1 nữa công thức quan trọng của chúng ta. Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f ( x ) thì

H

Ó

F ( x) = f ( x)

-L

Í-

Khi đó ta chọn 1 giá trị x = a bất kì thuộc tập xác định thì F(a) = f(a)

ÁN

Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn ( thỏa mãn điều kiện 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1 ) 2

TO

Khi đó f(2) = 1,732…

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

s2Q)p1r2=n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

f ( x ) => Đáp án B là đáp án chính xác

Theo đúng quy trình ta sẽ chọn đáp án F(x) ở 4 đáp án , A, B, C, D nếu đáp án nào thỏa mãn F’(2)=f(2) = 1,732…

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Thử đáp án A khi đó F ( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2 ( 2 x − 1) 2 x − 1 3

TP .Q

Vậy F’(2) = 3,4641…là một giá trị khác f(2) = 1,732..điều đó có nghĩa là điều kieneh F’(x) = f(x) không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này f (2) = 1, 732... có nghĩa là điều kiện F’(x) = f(x) được thỏa mãn. Vậy đáp án chính xác là B Cách tham khảo: Tự luận 1

H

*Dựa vào đặc điểm của hàm f(x) ta thấy 2 x − 1 về mặt bản chất sẽ có dạng (2 x − 1) 2 .Ta nghĩ ngay

TR ẦN

đến công thức đạo hàm (u n ) ' = n.u n −1.u '

00

B

+)Trong công thức đạo hàm số mũ của u bị giảm đi 1. Vậy hàm F(x) có số mũ lớn hơn f(x) là 1 đơn vị. 3 Vậy F(x) phải có số mũ 2

2+

3

10

3 3   3 +)Ta thực hiện phép đạo hàm ( 2 x − 1) 2  ' = ( 2 x − 1) 2 (2 x − 1) ' = 3 2 x − 1   2

Í-

Bình luận:

H

Ó

A

C

ẤP

3 1  *Cân bằng hệ số ta được ( 2 x − 1) 2  = 2 x − 1 . Điều này có nghĩa nguyên hàm 3  3 1 1 F ( x ) = ( 2 x − 1) 2 = ( 2 x − 1) 2 x − 1 => B là đáp án đúng. 3 2

TO

ÁN

-L

*Nếu chúng ta có một chút kiến thức cơ bản về đạo hàm thì việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án 3 sẽ nhẹ nhàng hơn. Chúng ta chỉ việc thử đáp án A và B vì 2 đáp án này mới có số mũ là . 2

+) Chúng ta có thể áp dụng 1 cách linh hoạt . Ví dụ tìm nguyên hàm của hàm số y =

m thì vô cùng x

đơn giản.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

*Điều đặc biệt của dạng này là số mũ của nguyên hàm F(x) lúc nào cũng lớn hơn số mũ của hàm số f(x) là 1 đơn vị.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

N

qya2R3$(2q)p1)s2Q)p1$$2=

5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 1 về mặt bản chất thì là x mũ − vậy chắc chắn nguyên hàm phải là x 2 x x

1 1 mũ − + 1 = hay là 2 2

N U TP .Q

H

Giải

TR ẦN

Cách 1: CASIO Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định (x # 0) là x = 5

00

B

Khi đó f(5) = 7.6

C

ẤP

2+

3

10

aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n

A

x2 + 3 x − 2 ln x + 1 có 2

Í-

H

Ó

Với đáp án C ta có F ( x ) =

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

qyaQ)dR2$+3Q)p2HQ))+1$5=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A. 2 x + 3 x − 2 ln x

x2 + x x2 + 3 x − 2 ln x + 1 D. 2 C. 2 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x 2 3x B. − + ln x 2 2

2

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x 2 + 3x − 2 là x

ẠO

VD4- Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ta nhận cả 2

Y

m Thật đơn giản phải không!! x

)

x

Đ

(

vế của (*) với 2m là xong. Khi đó 2m x ' =

m

H Ơ

(*)Việc còn lại chỉ cân bằng hệ số, để tạo thành

N

( x )' = 21x

G

+Ta xét đạo hàm gốc

x.

Ư N

Ta thấy y = m.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Cách tham khảo : Tự luận *Hàm số f ( x ) =

x 2 + 3x − 2 có tên gọi là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử là bậc 2 lớn hơn bậc x

của mẫu là bậc 1

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

*Phương pháp giải: Thực hiện 1 phép chia tử số cho mẫu số ta được: f ( x ) = x + 3 −

2 Khi đó hàm số x

trở thành dạng đơn giản và ta dễ dàng tìm được nguyên hàm.

H Ơ N Y

TR ẦN

H

3 1  *Cân bằng hệ số ta được ( 2 x − 1) 2  ' = 2 x − 1 . Điều này có nghĩa nguyên hàm 3  3 1 1 F ( x ) = ( 2 x − 1) 2 = ( 2 x − 1) ( 2 x − 1) => B là đáp án đúng. 2 3

00

B

Bình luận:

2+

3

10

*Tìm nguyên hàm của 1 hàm phân thức hữu tỉ là 1 dạng toán hay nếu chúng ta biết nguyên tắc tư duy và nếu không biết thì sẽ rất khó khăn.

C

ẤP

*Ta phải nhớ thế này, nếu phân thức hữu tỉ ở bậc ở tử lớn hoặc bằng bậc ở mẫu thì ta sẽ thực hiện 1 phép chia tử số cho mẫu số thì sẽ thu được 1 hàm số cực kì dễ tính nguyên hàm.

H

Ó

A

*Ngoài ra còn 1 dạng hay nữa khi phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích được thành nhân tử thì ta sẽ xử lý thế nào ? Mời các bạn xem ví dụ tiếp theo.

-L

Í-

VD5- Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ÁN

TO

x+2 +C x−2

ID Ư

Ỡ N

G

C. ln

4 là: x −4 2

B. 2 ln ( x − 2 ) + ln ( x + 2 ) + C D. ln

x−2 +C x+2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x2 x2 + 3 x − 2 ln x là một nguyên hàm cần tìm thì + 3 x − 2 ln x + 5 cũng là một nguyên hàm. 2 2

A. ln ( x − 2 ) − 2 ln ( x + 2 ) + C

BỒ

ẠO

 x2  2 x 2 + 3x − 2 Tổng kết  + 3 x − 2 ln x  ' = x + 3 − = x x  2  Hay

U

2 2 1 . Cân bằng hệ số ta có ( −2 ln x ) ' = − vậy -2lnx là nguyên hàm của − x x x

TP .Q

+)Có (ln x) ' =

N

 x2  x2 +)Có  + 3 x  ' = x + 3 vậy + 3 x là nguyên hàm của x + 3 2  2 

Giải

Cách 1: CASIO Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định ( x ≠ 0 ) là x = 5 Khi đó f(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

H Ơ

x2 Với đáp án C ta có F ( x ) = + 3 x − 2 ln x + 1 có 2

H

Cách tham khảo: Tự luận

4 có tên gọi là hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích được thành nhân tử x −4

TR ẦN

*Hàm f ( x ) =

2

10

00

4 4 = x 2 + 4 ( x − 2 )( x + 2 )

2+

3

+) Có

B

*Phương pháp giải: Chia phân thức phức tạp ban đầu thành các phân thức phức tạp

ẤP

+)Ta sẽ tách phân thức lớn này thành 2 phần nhỏ đơn giản :

4 1 1 = m. + n. x +4 ( x − 2) ( x + 2) 2

A

C

+) Để tách được ta lại dùng phương pháp hệ số bất định:

Ó

m ( x + 2) + n ( x − 2) 4 1 1 = m. + n. ⇔ x +4 ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2 )( x + 2 )

Í-

H

2

4 1 1 = − x + 4 ( x − 2) ( x + 2)

TO

Vậy

ÁN

-L

 0= m+n  m =1 ⇔ 4 = m ( x − 2 ) + n ( x + 2 ) ⇔ 0 x + 4 = x ( m + n ) + 2m − 2n ⇔  ⇔  n = −1  4 = 2m − 2n

G

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta được F ' ( 5 ) = 7.6 = f ( 5 ) . Vậy đáp án C là đáp án chính xác.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

*Thành công trong việc đưa 2 phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức sau:

1 x

( ln x ) ' = .( ln u ) =

1 .u ' u

Dễ dàng áp dụng: ln ( x − 2 )  ' =

1 1 1 1 .( x − 2 ) ' = và ln ( x + 2 )  ' = .( x + 2) ' = x−2 x−2 x+2 x+2

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 1  x−2 − ⇔  ln x−2 x+2  x+2 x−2 +C x+2

N

Vậy nguyên hàm của f ( x) là F ( x ) = ln

4   ' = x2 − 4 

H Ơ

Tổng hợp ln ( x − 2 ) − ln ( x + 2 )  ' =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

Bình luận:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

*Về nguyên tắc thì có thể ra 1 bài tích phân hàm phân thức được chia thành hang chục phân số đơn giản nhưng trong trương trình học THPT thì cùng lắm là chia làm 3 phân thức con. Chúng ta hãy cùng theo dõi phép chia sau:

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

m n p 4 x2 − 5x − 1 4 x 2 − 5x − 1 4 x2 − 5x − 1 = = = + + x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 2 ) ( x 2 − 1) ( x − 2 )( x − 1)( x + 1) x − 2 x − 1 x + 1

TR ẦN

⇔ Tử số vế trái = Tử số vế phải

4 = m + 2n + p m = 1   ⇔ 4 x − 5 x − 1 = m ( x − 1) + n ( x − x − 2 ) + p ( x − 3 x + 2 ) ⇔  −5 = − n − 3 p ⇔  n = 2 ⇔  −1 = − m = 2 p n =1   2

2

2

3

4 x2 − 5x − 1 1 2 1 = + + 3 2 x − 2x − x + 2 x − 2 x −1 x +1

2+

Cuối cùng ta thu được:

10

00

B

2

ẤP

1 2 1 + + là : x − 2 x −1 x + 1

A

C

Và ta dễ tính được nguyên hàm của

H

Ó

ln ( x − 2 ) + 2 ln ( x − 1) + ln ( x + 1) + C

-L

Í-

Thật hiệu quả phải không!!

1 A. cos 2 x + C 4

1 B. − cos 2 x + C 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

thực là :

ÁN

VD6-[Báo Toán học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = s inx.cos x trên tập số

C. − s inx.cos x

1 D. − cos 2 x + C 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

*Qua ví dụ trên chúng ta thấy được sự hữu hiệu của phương trình pháp hệ số bất định, 1 phân số phức tạp sẽ được chia thành 2 hoặc 3 phân số đơn giản.

Giải

Cách 1: CASIO Chuyển máy tính Casio về chế độ Radian ( khi làm các bài toán liên quan đến lượng giác ) qw4

Chọn 1 giá trị x bất kì ví dụ như x =

π 6

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Khi đó giá trị của f ( x ) tại x =

π 6

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

là

ẠO

1 π  π  Theo đáp án A thì F ( x ) = cos 2 x . Nếu đáp án A đúng thì F '   = f   . Ta tính được F(2) = 2 6 6

G B

TR ẦN

H

Ư N

qya1R4$k2Q))$aqKR6=

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

π  -0,4430 là một giá trị khác f   . Vậy đáp án A sai 6

00

Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B.

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

qypa1R4$k2Q))$aqKR6=

-L

Í-

π  π  Ta được F '   = 0, 4430... = f   . Vậy đáp án chính xác là B 6 6

ÁN

Cách tham khảo: Tự luận

TO

* Dễ thấy cụm sinxcosx rất quen thuộc và ta nhớ đến công thức có nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

*Từ đó ta rút gọn f ( x ) =

1 sin 2 x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

jQ))kQ))rqKP6=n

*Cái gì đạo hàm ra sin thì đó là cos!! Ta nhớ đến công thức ( cos u ) ' = −u '.sin u Áp dụng ( cos 2 x ) ' = − sin 2 x. ( 2 x ) ' = −2sin 2 x

 1  1 Cân bằng hệ số bằng cách chia cả hai vế cho -4 ta được  − cos 2 x  ' = sin 2 x  4  2

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 *Từ đây ta biết được F ( x) = − cos2x 4

N

Bình luận:

N

H Ơ

*Khi sử dụng máy tính Casio để làm bài tập liên quan đến hàm lượng giác thì ta nên đổi sang chế độ Radian để phép tính của chúng ta đạt độ chuẩn xác cao..

TP .Q

Nếu ta cói sin x = u thì cosx = u’ vậy ta nhớ tới công thức ( u n ) ' = n.u n −1.u '

Đ

ẠO

1  Ta thiết lập quan hệ ( sin 2 x ) ' = 2sin x cos x hay  sin 2 x  ' = sin x cos x 2 

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 Vậy ta biết F = sin 2 x tuy nhiên so sánh đáp án thì lại không có đáp án giống. Vậy ta tiếp tục biến 2 1 1 1 − cos 2 x 1 1 1 đổi 1 chút sin 2 x = = − cos 2 x + => F ( x ) cũng là − cos 2 x 2 2 2 4 4 4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 tan x + C 3

C. 3 tan 3 x + C

2+

B.

3

A. tan 2 x + C

sin 2 x dx bằng cos 4 x

10

00

B

Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng-Phú Yên 2017] Nguyên hàm ∫

1 D. tan 3 x + C 3

B. 2016 x.ln 2016 + C

Ó

A

2016 x +C ln 2016

Í-

H

A.

C

ẤP

Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2016 x là:

D.

-L

C. x.2016− x.ln 2016 + C

x.2016 x −1 +C ln 2016

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Bài 3-[THPT Quảng Xương I –Thanh Hóa 2017] Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm x ( x + 2) của hàm số f ( x ) = : 2 ( x + 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

*Ngoài cách gộp hàm f(x) theo công thức góc nhân đôi, ta có thể tư duy như sau:

A.

x2 + x −1 x +1

B.

x2 − x − 1 x +1

C.

x2 + x + 1 x +1

D.

x2 x +1

3   Bài 4:-[THPT Hàm Rồng-Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số ∫  x 2 + − 2 x  dx x  

A.

x3 4 3 + 3ln x − x +C 3 3

B.

x3 4 3 + 3ln 3 − x +C 3 3

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x3 4 3 + 3ln x + x +C 3 3

D.

x3 4 3 − 3ln x − x +C 3 3

D. ∫ e 2 x dx

( ln x )

3

C.

+C

1 +C 2 ln x

D.

3 2

( ln x )

3

+C

C. e x +

Ư N

B. e x − 2017e − x + C

2017 − x e +C 2

D. e x −

2017 x e +C 2

TR ẦN

A. e x + 2017e − x + C

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 7-[Báo Toán học Tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x (1 − 2017e −2 x ) là

Bài 8-[THPT Triệu Sơn –Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm của ∫

00 10 3 2+

2 5 ln 2 x + 1 − ln x − 1 + C 3 3

1 5 D. − ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C 3 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

A

C

ẤP

C.

2 5 B. − ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C 3 3

B

2 5 A. ln 2 x + 1 + ln x − 1 + C 3 3

2x + 3 dx : 2 x2 − x −1

-L

Í-

Cách 1: CASIO

H

Ó

Bài 1.

TO

ÁN

*Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio rồi chọn giá trị x =

6

chẳng hạn.

sin 4 x π  4 và F   = 4 cos x 6 9

Ỡ N

G

*Ta có f ( x ) =

π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 3

Đ

B.

TP .Q

1

U

ln x dx bằng: x

Bài 6-[Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa 2017] ∫ A. 2 ( ln x ) 2 + C

Y

N

B. ∫ − x 2 + 2 x − 2dx C. ∫ sin 3 xdx

H Ơ

x2 − x + 1 dx x −1

ẠO

A. ∫

N

Bài 5-[THPT Vĩnh Chân –Phú Thọ 2017] Không tồn tại nguyên hàm:

BỒ

ID Ư

qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6=

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

π 4 1 *Tính đạo hàm của F ( x ) = tan 3 x tại x = ta được F ( x ) = 0, 44(4) = 3 6 9

TR ẦN

*Theo công thức đạo hàm (u n ) ' = n.u n −1.u ' . Với u = tan x và n = 3

10

1 hàm ⇒ tan 3 x + C là họ nguyên hàm cần tìm. 3

B

1 1 1 1  . Vậy F ( x ) = tan 3 x là 1 nguyên ⇔  tan 3 x  ' = tan 2 x. 2 2 3 cos x cos x 3 

00

Ta có ( tan 3 x ) ' = 3.tan 2 x.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

G

sin 2 x 1 = tan 2 x. 4 cos x cos 2 x

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

*Biến đổi

Đ

Cách tham khảo : Tự luận

2+

3

Bài 2.

ẤP

Cách 1: CASIO

C

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

H

Ó

A

*Ta có f ( x) = 2016 x và F (2) = 4064256

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

2016^Q)r2=

2016 x tại 2 ta được F '(2) = 4064256 ln 2016

qya2016^Q)Rh2016)$$2=

BỒ

ID Ư

*Tính đạo hàm của F ( x) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4 => D là đáp án chính xác 9

ẠO

*Vậy F ' ( x ) = f ( x ) =

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

qya1R3$1Q))^3$$aqKR6=

13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

*Vậy F '( x ) = f ( x ) = 4064256 ⇒ A là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G Ư N

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

H

x( x + 2) 8 và f (2) = 2 ( x + 1) 9

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

Đ

Cách 1: CASIO

*Ta có f ( x) =

Y

ẠO

Bài 3.

x2 + x −1 10 tại 2 ta được F '(2) = 1.11(1) = x +1 9

qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2=

ÁN

-L

Í-

H

Ó

C

ẤP

*Tính đạo hàm của F ( x) =

A

2+

3

10

00

B

aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2=

x2 + x −1 không phải nguyên hàm của f ( x ) ⇒ A là đáp án chính xác x +1

G

TO

*Vậy F '( x ) ≠ f ( x) ⇒ F ( x) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2016 x + C là họ nguyên hàm cần tìm. ln 2016

TP .Q

⇒

U

 2016 x  2016 x x 2016 Ta có (2016 x ) ' = 2016 x.ln 2016 ⇔  = . V ậ y là 1 nguyên hàm F ( x ) =  ln 2016  ln 2016 

H Ơ

N

* Theo công thức đạo hàm (a x ) ' = a x .ln x . Với a = 2016

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Cách tham khảo: Tự luận

* Biến đổi

1 x( x + 2) ( x + 1) 2 − 1 = = 1− 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2

 1  −1 *Theo công thức đạo hàm   ' = 2 .u ' . Với u = x + 1 u u

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cách 1: CASIO

H

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

11 − 4 2 3 − 2 x và f ( 2 ) = 2 x

TR ẦN

*Ta có f ( x ) = x 2 +

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Bài 4.

C

11 − 4 2 x3 4 3 x tại 2 ta được F ' ( 2 ) = 2.6715... = + 3ln x − 2 3 3

A

*Tính đạo hàm của F ( x ) =

ẤP

2+

3

10

00

B

Q)d+a3RQ)$p2Sq)r2=

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3sQ)^3$$$2=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

*Vậy F ' ( x ) = f ( x ) =

11 − 4 2 x3 4 3 => F ( x ) = + 3ln x − x là nguyên hàm của f ( x ) 2 3 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x2 cũng là 1 nguyên hàm ⇒ Đáp số D đúng x +1

N

* F ( x ) −1 =

Y

x2 + x + 1 là 1 nguyên hàm ⇒ Đáp số B đúng x +1

U

* F ( x) − 2 =

TP .Q

x2 + x + 1 là 1 nguyên hàm ⇒ Đáp số C đúng x +1

ẠO

Vậy F ( x) =

N

 x 2 + x + 1  x( x + 2) 1  1 1   1  = ⇒ + = − ⇔ x ' 1 x ' 1 Ta có  và ' = −  ' =    2 ( x + 1) 2 x +1 ( x + 1) 2   x +1  x + 1  ( x + 1)

⇒ C là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận * Theo công thức đạo hàm ( ln x ) ' =

1 3 => ( 3ln x ) ' = x x

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

*Theo công thức ( x n ) ' = n.x n −1 với n =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 1  3 3 3 4 3 3 4 3 x ' = 2 x =>  x 2  ' = .x 2 ⇔  .x 2  ' = 2 x 2 ⇔  2 3    2 3 

H Ơ

N

 x3 4 3 3 x3 4 3 *Vậy  + 3ln x − x  ' = x 2 + − 2 x hay F ( x ) = + 3ln x − x là 1 nguyên hàm 3 3 3 x  3 

Y

N

Bài 5.

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

G TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

spQ)d+2Q)p2r2=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

*Ta có f ( x ) = − − x 2 + 2 x − 2 và f ( 2 ) không tồn tại

00

B

Vậy hàm số ở đáp số C không tồn tại

10

Cách tham khảo: Tự luận 2

− x 2 + 2 x − 2 không tồn tại

ẤP

*Vậy

2+

3

* Dễ thấy − x 2 + 2 x − 2 = − ( x − 1) − 1 < 0 với mọi giá trị x ∈ R

A

C

Bài 6.

H

Ó

Cách 1: CASIO

-L

Í-

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

ln x và f ( 2 ) = 0, 4162... x

TO

ÁN

*Ta có f ( x ) =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

ashQ))RQ)r2=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Cách 1: CASIO

*Tính đạo hàm của F ( x ) =

2 3

( ln x )

3

tại 2 ta được F ' ( 2 ) = 0, 4612...

qya2R3$shQ))^3$$$2=

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2 3

( ln x )

3

là nguyên hàm của f ( x ) ⇒ B là đáp án chính

N

*Vậy F ' ( x ) = f ( x ) = 0, 4162... => F ( x ) =

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP .Q

Cách tham khảo: Tự luận

( ln x )

3

Ư N

G

ln x  ' = x 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 *Vậy  3

3

ln x 2  hay F ( x ) = ' = 3 x 

( ln x )

3

H

( ln x )

là 1 nguyên hàm

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2 ⇔ 3

Đ

ẠO

3 1 1   3 2 3 1 1 * Theo công thức ( u n ) ' = n.u n −1.u ' với u = ln x =>  ln x 2  ' = .ln x 2 . ⇔  x 2  ' = ln x 2 . x x   2 3 

B

Bài 7.

10

00

Cách 1: CASIO

3

*Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

-L

Í-

H

Ó

A

C

QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r2=

ẤP

2+

*Ta có f ( x ) = e x (1 − 2017e −2 x ) và f ( 2 ) = −265.5822...

TO

ÁN

*Tính đạo hàm của F ( x ) = e x + 2017 − x tại 2 ta được F ' ( 2 ) = −265.5822...

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

xác

*Vậy F ' ( x ) = f ( x ) = −265.5822... => F ( x ) = e x + 2017e − x là nguyên hàm của f ( x ) ⇒ A là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Biến đổi e x (1 − 2017e −2 x ) = e x − 2017e− x

N

*Theo công thức ( e x ) ' = e x và ( e − x ) = −e x => ( −2017e − x ) = 2017e− x

N

H Ơ

Vậy ( e x + 2017e − x ) ' = e x − 2017e− x hay F ( x ) = e x + 2017e− x = e x (1 + 2017e−2 x ) là 1 nguyên hàm .

TP .Q

Cách 1: CASIO *Chọn giá trị x = 2 chẳng hạn.

ẠO

2x + 3 7 và f ( 2 ) = 2 2x − x −1 5

G Ư N TR ẦN

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

*Ta có f ( x ) =

10

00

B

7 2 5 *Tính đạo hàm của F ( x ) = − ln 2 x + 1 + ln x − 1 tại 2 ta được F ' ( 2 ) = 1.4 = 3 3 5

H

-L

chính xác

7 2 5 => F ( x ) = − ln 2 x + 1 + ln x − 1 là nguyên hàm của f ( x ) ⇒ B là đáp án 5 3 3

Í-

*Vậy F ' ( x ) = f ( x ) =

Ó

A

C

ẤP

2+

3

qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ)p1)$2=

ÁN

Cách tham khảo: Tự luận

TO

* Vì mẫu số tách được thành nhân tử : 2 x 2 − x − 1 = ( x − 1)( 2 x + 1) nên ta sử dụng phương pháp hệ số

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

bất định để tách phân số:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Bài 8.

2x + 3 1 1 = m. +n ⇔ 2 x + 3 = m ( 2 x + 1) + n ( x − 1) 2 2x − x −1 x −1 2x +1  5  2m + n = 2  m = 3 ⇔ 2 x + 3 = ( 2m + n ) x + m − n ⇔  ⇔  m−n =3 n = − 4 3  

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vậy ta tách được

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2x + 3 5 1 4 1 = . − . 2x2 − x −1 3 x −1 3 2x + 1

H Ơ

3

là 1 nguyên hàm.

N

( ln x )

Y TP .Q

T.CASIO TÍNH NHANH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

ẠO

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Để tính giá trị 1 tích phân xác định ta sử dụng lệnh y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

I) LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN

00

B

II) VÍ DỤ MINH HỌA

π

1 A. I = − π 4 4

C

ẤP

2+

B. I = −π 4

3

10

VD1-[Câu 25 đề minh họa 2017] Tính giá trị tích phân I = ∫ cos 3 x.s inxdx C. 0

0

D. I = −

1 4

Giải

H

Ó

A

Cách 1: CASIO Vì bài toán liên quan đến các đại lượng tính π nên ta chuyển máy tính về chế độ Radian

-L

Í-

qw4

BỒ

ID Ư

TO

Ỡ N

G

y

ÁN

Gọi lệnh tính giá trị tích phân

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 3

U

=> F ( x ) =

N

1 5 4 1  2  5 1 *Theo công thức ( ln u ) ' = .u ' ⇔  − ln 2 x + 1 + ln x − 1  ' = − u 3  3  3 x −1 3 2x + 1

Điền hàm f ( x ) = cos 3 x.sin x vào máy tính Casio kQ))^3$jQ))R0EqK

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

So sánh với các đáp án A,B,C,D thì ta thấy C là đáp án chính xác

G Ư N

*Đặt t = cosx khi đó cos 3 x = t 3

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Cách tham khảo : Tự luận

TR ẦN

H

*Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ cos x = t ⇔ ( cos x ) ' dx = t ' dt ⇔ − sin xdx = −dt *Đổi cận dưới x = 0 khi đó t = cos 0 =1

tích

phân phức tạp t −1 1 1 giản I = − ∫ t 3 dt = − = − −  = 0 4 1 4 4 1 −1

ban

đầu

đã

trở

thành

tích

phân

đơn

2+

3

4

00

này

10

*Lúc

B

*Đổi cận trên: x = π khi đó t = cosπ = −1

ẤP

Bình luận:

Ó

A

C

*Có 10 phép đặt ẩn phụ tính nguyên hàm tích phân. Bài toán trên có tính chất của phép số 2 : “nếu tích phân chứa cụm sinxdx thì đặt ẩn phụ cosx = t’’

Í-

H

*Trong thực tế học tập, việc đổi vi phân ( đổi đuôi) thường bị các bạn lãng quên, chúng ta chú ý điều này.

ÁN

-L

PHỤ LỤC : 10 PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THƯỜNG GẶP

TO

Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng để đưa tích phân phức tạp , khó tính trở về một tích phân đơn giản, dễ tính hơn. Sau đây là 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp.

Ỡ N

G

*Phép 1: Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là 0

BỒ

ID Ư

*Phép 2: Nếu xuất hiện cụm sinxdx thì đặt cosx = t *Phép 3: Nếu xuất hiện cụm

1 dx thì đặt tan x = t cos 2 x

*Phép 4: Nếu xuất hiện cụm

1 dx thì đặt cotx = t sin 2 x

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 *Phép 5: Nếu xuất hiện cụm dx thì đặt lnx = t x

H Ơ

1 dx thì đặt x = tant x + a2

Y

thì đặt x = a sin t

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Việc đặt ẩn phụ thường tiến hành theo 3 bước

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

*Phép 10: Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln, log, e …thì đặt cả biểu thức là t

TR ẦN

Bước 2: Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ để đổi đuôi

H

Bước 1: Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu

00

B

Bước 3: Đổi cận dưới và cận trên sau đó thế tất cả 3 đại lượng trên vào tích phân ban đầu để tạo thành một tích phân đơn giản hơn.

3

10

VD2-[Chuyên Khoa học Tự nhiên 2017] Tính tích phân I =

ẤP

2+

A. 3 − e 2 − 1

∫ 1

e2 x e2 x − 1

dx

B. 2 ln 2 − 1 D. Cả 3 đáp án trên đều sai Giải

Ó

A

C

C. ln 2 2 − 1

ln 2

TO

ÁN

-L

Í-

H

Cách 1: CAISO Gọi lệnh tính giá trị tích phân y

Điều hàm f ( x ) =

e2 x

yaQK^2Q)RsQK^2Q)$p1$$$1Eh2)=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

và các cận 1 và ln2 vào máy tính Casio Rồi nhấn nút = ta nhận được e2 x − 1 ngay kết quả tích phân là -0,7956…

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a cos t

ẠO

*Phép 9: Nếu xuất hiện cụm a 2 − x 2 thì đặt x =

U

*Phép 8: Nếu xuất hiện cụm x 2 − a 2

N

2

TP .Q

*Phép 7: Nếu xuất hiện cụm

N

*Phép 6: Nếu xuất hiện cụm e x dx thì đặt e x = t

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Cách tham khảo : Tự luận

TR ẦN

*Đặt t = e 2 x − 1

B

*Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ

2+

3

*Đổi cận dưới : x = 1 khi đó t = e2 − 1

10

00

* t = e 2 x − 1 ⇔ t 2 = e 2 x − 1 ⇔ ( t 2 ) ' dt = ( e 2 x − 1) ' dx ⇔ 2tdt = 2e 2 x dx ⇔ tdt = e 2 x dx

ẤP

Đổi cận trên: x = ln 2 khi đó t = e 2ln 2 − 1 = 3

3

Ó

∫

dt = t

e 2 −1

2

e −1

= 3 − e2 − 1

-L

ÁN

Bình luận:

3

Í-

1 I = ∫ .tdt = t e 2 −1

H

3

A

C

*Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản

TO

*Bài toán trên chứa nội dung của phép đặt ẩn phụ số 1 “ nếu tích phân chưa căn thì ta đặt căn là ẩn phụ t”

Ỡ N

G

*Việc vi phân luôn phương trình đặt ẩn phụ t = e 2 x − 1 thường khó khăn vì chứa căn, dò đó ta thường

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đây là giá trị giống hệt tích phân, vậy C là đáp số chính xác

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

Giữ nguyên kết quả này ở máy tính Casio số 1, dùng máy tính Casio thứ 2 để tính kết quả của các đáp án A,B, C, D ta thấy đáp số C

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

khử căn t 2 = e 2 x − 1 bằng cách bình phương 2 vế. Sau đó ta mới vi phân a

VD3-[ THPT Nguyễn Đình Chiếu- Bình Dương 2017] Gía trị của a để tích phân ∫ 0

giá trị

x2 + 2 x + 2 dx có x +1

a2 + a + ln 3 là: 2 A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Giải

Cách 1: CASIO

x2 + 2 x + 2 a2 có giá tr ị b ằ ng bi ể u th ứ c dx + a + ln 3 thì hiệu của ∫0 x + 1 2

0

ẠO

0

 52  x2 + 2 x + 2 dx −  + 5 + ln 3  x +1  2 

TP .Q

a

Thử với giá trị a = 5. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio hiệu ∫

TR ẦN

H

Ư N

G

Rồi nhấn phím =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E5$p(a5dR2$+5+h33o))

00

B

Máy tính Casio báo một giá trị khác 0 vậy đáp án A là sai.

3

10

Sửa vị trí a thành số 4 và số 3 ta đều nhận được kết quả khác 0 vậy đáp án B và C đều sai Thử với giá trị a = 2 ta được:

H

Ó

A

C

ẤP

2+

yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E2$p(a2dR2$+2+h3))=

-L

Í-

Khi đó hiệu trên bằng 0 tức là A là đáp án chính xác

ÁN

Cách tham khảo : Tự luận

x2 + 2 x + 2 1   ∫0 x + 1 dx = ∫0  x + 1 + x + 1  dx a

a

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

*Tách tích phân thành:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

tìm a để hiệu trên bằng 0

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ơ

 a2  x2 + 2 x + 2 dx −  + a + ln 3  và bài toán trở thành x +1  2 

N

a

chúng phải bằng nhau. Vậy ta thiết lập hiệu ∫

Y

Về mặt bản chất nếu tích phân

N

a

 x2  x2 *Vì  + x  ' = x + 1 nên nguyên hàm của x + 1 là +x 2  2  *Vì ( ln x + 1 ) ' =

1 1 nên nguyên hàm của là ln x + 1 x +1 x +1

a  x2  a a2 1   = + + ln + 1 Tóm lại ∫  x + 1 + dx x x   = + a + ln a + 1  x +1  0 0 2 0

23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

*Thiết lập quan hệ

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a2 a2 + a + ln a + 1 = + a + ln 3 ⇔ ln a + 1 = ln 3 ⇔ a = 2 2 2

H Ơ N

ẠO

*Hầu hết bài toán chứa tham số tích phân tác giả xin khuyên các bạn nên dùng phương pháp Casio chứ phương pháp tự luận nhiều khi rất loằng ngoằng và dễ sai.

2

1

1

0

0

G

π 4

Ta có kết quả nào sau đây

A. I > K > J

B. I > J > K

TR ẦN

H

Ư N

phân I = ∫ xdx, J = ∫ sin 2 xcosxdx, K ∫ x.e x

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

VD4-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] So sánh các tích

C. J > I > K

00

B

Giải

D. K > I > J

3

10

Cách 1: CASIO Tính giá trị tích phân I ta được I = 4,6666…và ghi giá trị này ra nháp.

H

Ó

A

C

ẤP

2+

ysQ)R1E4=n

-L

Í-

Tính giá trị tích phân J ta được J = 0.3333…và lại ghi giá trị này ra nháp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

qw4yjQ))dkQ))R0EaqKR2=n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

*Bài toán này có mẹo giải nhanh dành cho bạn tinh ý, chúng ta quan sát hàm f(x) chứa thành phần 1 có mối quan hệ với nguyên hàm của nó là ln x + 1 . Ta đặt câu hỏi vậy phải chăng ln x + 1 khi x +1 thế cận sẽ là ln a + 1 có mỗi liên hệ với ln 3 = ln a + 1 suy ra a = 2.

N

Bình luận:

Tính tiếp giá trị cuối cùng K = 1 qw3yQ)OQK^Q)R0E1=

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

Rõ ràng 4,6666 > 1 > 0.3333 hay I > K > J. Vậy đáp án chính xác là A. Bình luận:

1

ẠO

VD5-[Báo Toán học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân ∫ ( 3x − 1 − 2 x )dx bằng

Giải

11 6

D. 0

2+

3

10

00

B

Cách 1: CASIO Cách gọi lệnh giá trị tuyệt đối qc

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C. −

G

7 6

Ư N

B.

H

1 6

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. −

Đ

0

ẤP

Khi biết lệnh giá trị tuyệt đối rồi chúng ta nhập tích phân và tính giá trị một cách bình thường

-L

Í-

H

Ó

A

C

y(qc3Q)p1$p2qcQ)$)R0E1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Nhấn nút = ta sẽ nhận được giá trị tích phân là I = -0,0016666…

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

*Qua bài toán trên ta thấy rõ hơn sức mạnh Casio khi giải nhanh những bài tích phân xác định , phương pháp tự luận cũng có những rất dài dòng, tác giải xin không đề cập tới dành thười gian cho bài khác quan trọng hơn.

Đây chính là giá trị xuất hiện ở đáp án A. Vậy A là đáp số chính xác của bài toán Cách tham khảo : Tự luận 1

1 3

0

0

0

*∫ ( 3 3 x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx + ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx * 1 3

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

1 1 1 1  x2  1 1 *0 ≤ x ≤ * thì ∫ ( 3x − 1 − 2 x )dx = ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( x − 1) dx =  − x  3 = 3 1 1 1  2  0 18 3 3 3

1

*Vậy I = ∫ ( 3 x − 1 − 2 x )dx + ∫ ( 3 x − 1 − 2 x )dx =

ẠO

1 3

0

1 2 1 − =− 18 9 6

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Bình luận:

1 1  1 và 3 x − 11 ≤ 0 ⇔ x ≤ vậy ta sẽ chia đoạn [0;1] thành 2 đoạn 0;  và 3 3  3

TR ẦN

Ta biết 3 x − 11 ≥ 0 ⇔ x ≥

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

*Để giải các bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng phương pháp chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.

00

B

1   3 ;1

c

b

a

a

c

2+

3

b

[a, b] thì ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

10

*Để tách 1 tích phân thành 2 tích phân ta sử dụng công thức chèn cận: Với giá trị c bất kì thuộc đoạn

C

ẤP

VD6-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] π 4

A

cos x 1 dx = aπ + ln b(0 < a < 1.1 < b < 3) . Tích ab bằng bao nhiêu? s inx + cos x 4 0

-L

1 2

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 8

Giải

TO

ÁN

A.

Í-

H

Ó

Cho biết ∫

Ỡ N

G

Cách 1: CASIO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 3

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

1 1 1 1  x2  2 1 *Khi ≤ x ≤ 1 thì ∫ ( 3x − 1 − 2 x )dx = ∫ ( 3 x − 1 − 2 x ) dx = ∫ ( x − 1) dx =  − x  1 = − 3 9 1 1 1  2  3 3 3 3

π 4

cos x dx = 0,5659... = A s inx + cos x 0

qy4yakQ))RjQ))+kQ))R0EaqKR4=

BỒ

ID Ư

Tính ∫

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

Lưu giá trị này vào biến A

1 A − ln b 1 1   π 4 .b = ⇔ b  A − ln b  − = 0 2 4 π   2

TR ẦN

1 Nếu đáp số A đúng thì ab = ⇔ 2

00

B

Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

Q)(Qzpa1R4$QQhQ)))paqKR2$qr=0.5=

Í-

H

Không tìm được b Đáp số A sai

ÁN

-L

1   π Với đáp án B ta có b  A − ln b  − = 0 4   4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Q)(Qzpa1R4$hQ)))paqKR4qr=0.5=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G Ư N H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 A − ln b 1 4 Vậy ta có: aπ + ln b = 0,5659... = A => a = π 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

qJz

=> b = 2 => a =

1 thỏa điều kiện 0 < a < 1. 1 < b < 3 8

Đáp số B chính xác của bài toán

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bình luận: *Một bài toán rất hay kết hợp lệnh tính tích phân và lệnh dò nghiệm SHIFT SOLVE

N

π 4

cos x dx s inx + cos x 0

N

0

C. 5

D. 6

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 2-[Báo Toán học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân ∫ 3 x x 2 + 1 bằng : B. 7

C. -5 ln 5

∫e

x

3 4

C. ln

10

B. ln

3 2

D. ln

1 2

2+

3

A. ln 3

dx bằng: + 2e − x − 3

00

ln 3

D. -3

B

Bài 3-[Group Nhóm Toán 2017] Tích phân

TR ẦN

A. 3

H

0

π

cos 2 x 1 dx = ln 3 . Tìm giá trị của a: 1 + 2sin 2 x 4 0

a

C

ẤP

Bài 4-[THPT Nho Quan –Ninh Bình 2017] Cho ∫ B. 2

C. 4

Ó

A

A. 3

D. 6

H

a

ÁN

-L

Í-

Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị nào của a để ∫ ( 3 x 2 + 2 ) dx = a 3 + 2? A. 0

0

B. 1

C. 2

D. 3

TO

e

Bài 6-[THPT Thuận Thành 1 –Bắc Ninh 2017] Tính tích phân ∫ 1

G Ỡ N ID Ư

BỒ

G

3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

B. 4

1 thì n bằng : 64

ẠO

6

Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu ∫ sin n x cos xdx =

TP .Q

π

A. I = e 2 −

1 2

B. I =

e2 + 1 2

x 2 + 2 ln x dx x

C. I = e 2 + 1

D. I =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

A. 3

H Ơ

*Cách Casio có thêm một ưu điểm là tránh được các bài tích phân khó như ∫

e2 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

π 6

*Với n = 2 tính giá trị tích phân ∫ sin 2 x cos xdx = 0

1 1 ≠ => Đáp số A sai 24 64

TR ẦN

H

Ư N

yjQ))^3$OkQ))R0EaqKR6=

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

0

1 => Đáp án B chính xác 64

Đ

6

*Với n = 3 tính giá trị tích phân ∫ sin 2 x cos xdx =

ẠO

π

00

B

*Chú ý : Tự luận với dấu hiệu “ xuất hiện cụm cosxdx” ta sẽ đặt t = sinx

3

10

Bài 2.

2+

3

*Tính tích phân ∫ 3 x x 2 + 1 = 7 => Đáp số chính xác là B

ẤP

0

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

y3Q)sQ)d+1R0Es3=

TO

*Chú ý : Tự luận với dấu hiệu “ xuất hiện căn thức” ta sẽ đặt căn thức là ẩn phụ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Đặt t = x 2 + 1 ⇔ t 2 = x 2 + 1 Vi phân hai vế => 2 xdx = 2tdt => xdx = tdt .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

yjQ))dOkQ))R0EaqKR6=

2  x = 0 => t = 1 2 Đổi biến:  .Khi đó tích phân trở thành ∫ 3t.tdt = t 3 = 7 1 1  x = 3 => t = 2

Bài 3. ln 5

*Tính tích phân

∫e

ln 3

x

dx 3 = 0, 4054... = ln   => Đáp số chính xác là C −x + 2e − 3 2

29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

ya1RQK^Q)$+2QK^pQ)$p3Rh3)Eh5)=

TP .Q

Đặt t = e x Vi phân hai vế => e x dx = dt

ẠO

ln 5 ln 5  x = ln 3 => t = 3 e x dx dt 3 Đổi biến  = ∫ 2 = ... = ln   . Khi đó tích phân trở thành ∫ 2 x x e − 3e + 2 ln 3 t − 3t + 2 2  x = ln 5 => t = 5 ln 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài 4.

Ư N

π 3

1 cos 2 x dx = 0, 2512... ≠ ln 3 => Đáp sô A sai 1 + sin 2 x 4 0

TR ẦN

H

*Thử với a = 3. Tính tích phân ∫

2+

3

10

00

B

qw4yakQ))R1+2j2Q))R0EaqKR3=

π 4

A

C

ẤP

cos 2 x 1 dx = 0, 2746 = ln 3 => Đáp số C sai 1 + 2sin 2 x 4 0

*Thử với a = 4 . Tính tích phân ∫

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

$$E$R$o4=

G

*Chú ý : Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện cụm cos2xdx” ta sẽ đặt sin2x = t là ẩn phụ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

*Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “ xuất hiện ex” là ẩn phụ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài 5.

a

*Thiết lập phương trình ∫ ( 3 x 2 + 2 ) dx − ( a 3 + 2 ) = 0 . Vì đề bài cho sẵn các nghiệm nên ta sử dụng phép 0

thử 1

Với a = 1 vế trái phương trình là

∫ ( 3x

2

+ 2 ) dx − (13 + 2 ) = 0 => Đáp số đúng là B

0

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

Wy(3Q)d+2)R0E1$p(1+2)=

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK=

e

e

00

B

1 *Chú ý : Tự luận ta ên tách tích phân thành 2 tích phân con để dễ xử lý : I = ∫ xdx + 2 ∫ ln x. dx x 1 1

2+

3

10

1 1 Nếu tích phân “ xuất hiện cụm dx ” thì đặt lnx = t. Vi phân hai vế => dx = dt x x

C

ẤP

e e  x = 1 => t = 0 e2 + 1 Đổi biến :  . Khi đó tích phân trở thành I = ∫ xdx + 2 ∫ tdt = 2  x = e => t = 1 1 1

Ó

A

T.CASIO TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

H

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

-L

Í-

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

ÁN

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng

TO

x = a, x = b được tính theo công thức b

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx(1) (Dạng 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1

x 2 + 2 ln x e2 + 1 => Đáp số chính xác là B dx = 4.1945... = x 2

ẠO

e

*Tính tích phân ∫

TP .Q

U

Y

Bài 6.

a

Quy ước: Trong bài học này ta gọi đường thẳng x = a là cận thứ nhất, x = b là cận thứ hai Chú ý : Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng x = x1 , x = x2 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = f ( y ) , x = g ( y ) và hai cận y = a, y = b được tính theo công thức:

31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b

S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy (2) (Dạng 2) a

H Ơ

N

3. Tổng hợp phương pháp ( gồm 3 bước )

N

+Bước 1: Xác định rõ hai hàm y = f ( x ) , y = g ( x ) hoặc x = f ( y ) , x = g ( y )

TP .Q

+Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoặc (2) rồi sử dụng máy tính Casio

ẠO

II) VÍ DỤ MINH HỌA

Đ

VD1-[ Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017]

B.

9 4

C.

81 12

Giải

D. 13

B

Ta có hai hàm số y = x3 − x và y = x − x 2

Ư N

37 12

H

A.

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − x và đồ thị hàm số y = x − x 2

2

3

2

2+

3

10

00

 x=0 Giải phương trình hoành độ giao điểm x − x = x − x ⇔ x + x − 2 x = 0 ⇔  x = 1  x = −2 3

C

ẤP

Ta có 3 cận x = 0; x = 1; x = -2 mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận −2 ≤ x ≤ 0 và 0 ≤ x ≤ 1

Ó

A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x 3 − x, y = 3 − x và hai đường thẳng x = −2; x = 0 là 0

∫ (x

3

− x ) − ( x − x 2 ) dx

H

S1 =

Í-

−2

-L

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x3 − x, y = 3 − x và hai đường thẳng x = 0 ; x = -1 là 0

∫ (x

3

TO

−2

1

− x ) − ( x − x 2 ) dx + ∫ ( x 3 − x ) − ( x − x 2 ) dx

ÁN

S1 =

0

Ỡ N

G

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

+Bước2: Xác định rõ hai cận x = a, x = b hoặc y = a, y = b

BỒ

ID Ư

yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d)R0E1=

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vậy S =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

37 ta chọn đáp án chính xác là A 12

H Ơ

N

* Thật tuyệt vời phải không, và từ đây theo 3 bước kết hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng.

N

Bình luận:

Cho miền (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln ( x + 1) , y = ln 2. x , x = 2 .Diện tích miền phẳng (D)

D. ln

3

)

16 4 + ln 2 27 3

Đ

2 + 1 + 3ln 3 − 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

16 4 + 2 ln 2 + 1 27 3

(

G

4 B. − ln 2. 3

)

2 + 1 − 3ln 3 + 1

Ư N

C. ln

(

2

+1

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. ln 3 16

ẠO

bằng :

TR ẦN

Giải Ta có hai hàm số y = ln ( x + 1) và y = ln 2. x

00

B

Cận đầu tiên là x = 2 ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao

10

điểm ln ( x + 1) = ln 2 x ⇔ ln ( x + 1) − ln 2. x = 0

2+

3

Để giải nhanh phương trình này ta sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

hQ)+1)ph2)OsQ)qr2=

ÁN

Ta được nghiệm x = 1

TO

Vậy ta tìm được hai cận x = 1; x = 2

G

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số y = ln ( x + 1) , y = ln 2. x và hai đường thẳng x = 1; x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]

2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= 2 là S = ∫ ln ( x + 1) − ln 2. x dx 1

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2=

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

Vậy S = 0, 0646…Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả 0,0646… thì đáp án chính xác ta chọn B

H Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

VD3-[Th thử website Vnmath.com lần 1 năm 2017]

C. 2 2 Giải

Hai hàm số y = x 2 và y = 4

Ư N

B. 3 9

D. 3 3

H

A. 3 16

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Đường thẳng y = c chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 và đường thẳng y = 4 thành hai phần bằng nhau .Tìm c

3

10

Vậy cận thứ nhất là x = -2 cận thứ hai là x = 2

00

B

Giải phương trình hoành độ giao điểm x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2

2+

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x 2 , y = 4 và hai đường thẳng x = -2 , x = 2 2

∫

x 2 − 4 dx

ẤP

là S =

C

−2

G

H

TO

ÁN

-L

Í-

yqcQ)dp4Rp2E2=

Ó

A

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy S =

16 32 => một nửa diện tích là 3 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

Bình luận: Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE đã được học ở bài trước.

Vì đường thẳng y = c chia hình phẳng S thành 2 phần bằng nhau Diện tích hình phẳng giới hạn 16 bởi đường cong y = x 2 , đường thẳng y = c có độ lớn là 3 Thử với đáp án A ta có 3 16 Giải phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 3 16 ⇔ x = ± 6 16

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 6

6

∫

=> S1 =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x 2 − 3 16 dx

−6 6

H Ơ N

16 (đúng ) =>Đáp án chính xác là A 3

Y

B.

8 3

C.

4 3

D.

Ư N

G

Giải

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

16 3

Đ

A. 2

ẠO

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 = x + 1 và trục Ox bằng :

Giải phương trình tung độ giao điểm y 2 − 1 = 0 ⇔ y ± 1

B

Vậy cận thứ nhất là y = -1 cận thứ hai là y = 1

TR ẦN

H

Hai hàm số x = y 2 − 1 và trục Oy có phương trình x = 0

00

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = y 2 − 1, x = 0 và hai đường thẳng y = -1, y =

∫ (y

2

10

1

1 là : S =

− 1) − 0 dy

ẤP

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

2+

3

−1

4 => Đáp số chính xác là C 3

TO

Vậy S =

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

yqcQ)dp1Rp1E1=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bình luận:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

VD4-[Đề cương chuyên KHTN HN năm 2017]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy S1 =

N

yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^6$16=

*Bài toán này nên đưa về dạng 2 thì dễ dàng tính toán hơn. Nếu đưa về dạng 1 ta phải tính y = ± x + 1 rồi lại phải tìm cận sẽ khó hơn 1

*Ta hiểu máy tính X và Y chỉ ký hiệu nên S =

∫ (y

1

2

− 1) − 0 dy =

−1

∫ (x

2

− 1) − 0 dx

−1

Nên ta có thể thực hiện phép tính với máy tính casio như trên

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

VD5-[Sách bài tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] 2

B.

8 5

C.

5 5

D.

7 4

H Ơ

6 5

N U

Y

Giải

TP .Q

2

Hai hàm số x = y 3 và x + y 4 = 2

ẠO

Trục hoành có phương trình y = 0 cận thứ nhất y = 0 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm y 3 = 2 − y 4 .Để giải nhanh

B

TR ẦN

H

Ư N

Q)a2R3$$+Q)^4$p2qr1=

10

00

Vậy cận thứ hai là y = 1

2

2+

3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = y 3 , x = 2 − x 4 và đường thẳng y = 0, y = 1 là

C

ẤP

1  2 : S = ∫  y 3  − ( 2 − y 4 ) dy  0 

Ó

A

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0E1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A.

N

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = y 3 , đường cong x + y 4 = 2 và trục hoành

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy S = 2 đáp số chính xác là A

Bình luận:

*Do cài đặt làm tròn của máy tính của mỗi máy là khác nhau nên ta nhanh nhạy trong việc làm tròn để tìm đáp án đúng nhất. VD6-[Thi thử lớp toán thầy Bình lân 2 năm 2017]

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

A. π

B. 3π

9π 5

D.

7π 3

N

y2 y2 y2 y2 = 1 <=> x 2 = + 1 − => Hai hàm số x − 1 − và x + 1 − 9 9 9 9

y2 y2 y2 = 1− <=> 1 − = 0 <=> y 2 = 9 <=> y 2 = ±3 9 9 9

ẠO Đ

Vậy cận thứ nhất y=-3, cận thứ hai y=3

y2 y2 , x = 1− và hai đường 9 9

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

− 1−

TP .Q

Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm:

H

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = − 1 −

∫

1−

−3

B

y2 y2 y2 = 1− <=> 1 − = 0 <=> y 2 = 9 <=> y 2 = ±3 Vậy cận thứ nhất y=-3, 9 9 9

00

giao điểm − 1 −

y2  y2  −  − 1 −  dy Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ 9  9 

TR ẦN

3

thẳng y=-3, y=3 là S =

10

cận thứ hai y=3

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2slpaQ)dR9Rp3E3=

-L

Vậy s = 9.4247... = 3π => đáp số chính xác là B

ÁN

*Bình luận Trong chương trình lóp 10 sách giáo khoa đã đề cập đẹn các tính chất cơ bản của hình

TO

Elip nhưng chưa đề cập đến công thức tính diện tích của Elip và việc sử dụng tích phân để tính diện

G

tích Elip là một úng dụng tuyệt vời.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Ta có x 2 +

C.

y2 =1 9

N

Tính diên tích hình phắng giới han bởi Elip có phương trình x 2 +

H Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giói hạn bởi các cạnh AB,CD

đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB = 2n(m), AD = 2{m). Tính diện tích đất phần còn lại (đơn vị tính m 2 ) A. 4π − 1

B. 4π − 1

37 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn D. 4π − 3

H Ơ

N

C. 4π − 2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

0

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

qw4yqcjQ))p0ROEqK=

Diện tích cần tìm = S1 − 2 S 2 = 4π − 4 => Đáp án chính xác là B

B

Bình luân:

10

VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ÐT lần 2 năm 2017]

00

Nếu đề bài thay đổi thành AD = 4 như vậy biên độ hình là ±2 vây sẽ có phương trình là y =2sinx

ẤP

B. k = ln 2

D. k = ln 3

Ó

A

8 3

Í-

H

C. ln

2 ln 4 3

C

A. k =

2+

3

Cho hình thang cân (H) giới hạn bởi các đường, y = e x , y=0, x = 0 và x = ln4 . Đường thẳng x = k(0< ln4) chia (H) thành hai phần có diên tích S1 , S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 = 2 S 2

-L

Gọi S là diện tích hình (H) ta có

ln 4

S=

∫

e x − 0 dx = 3

0

k

S1 = 2 S 2 mà tổng diện tích là 3 => S1 = 2 => S = ∫ e x dx = 2 . Thử các đáp án ta có k = ln 3 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

yqcQKAQ)R0Eh3)=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành là: S 2 = ∫ s inx − 0 dx = 2

TP .Q

U

Y

N

Giải Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S1 = AB.CD = 4π ( m 2 ) Hình sin có biên độ ±1 và chu kì 2π nên có phương trình là: y=sinx Gắn hình trên lên trục tọa độ Oxy vơi gốc tọa độ o là giao điểm của đồ thị hình sin vói trục hoành MN

38 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Y

C

H

Ó

A

Số tiền cần là 100.000S O100000=

ẤP

2+

3

10

00

B

2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4=

-L

Í-

Ðáp sð chính xác là B

Ỡ N

G

TO

ÁN

BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lân 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2, đường thẳng y = 2-x và trục hoành trong miền x ≥ 0 bằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP .Q

U

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng 1 m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn). A. 7.862.000 B. 7.653.000 c.7.128.000 D. 7.826.000 Giải Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là x2 y 2 + =1 64 25 x2 Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có y = 5 1 − 64

N

Đáp số chính xác là D VD9 [Đề minh họa Bộ GD-ĐT lân 1 năm 2017] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trực lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của Elip làm trực đối xứng (như hình vẽ).

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

7 1 5 C. D. 6 3 6 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh - Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phắng giới hạn bởi các đường x 2 + x − 1 và y = x 4 + x − 1

BỒ

ID Ư

A. 2

B.

8 14 4 B. C. 15 15 15 Bài 3-[Đê cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]

B.

D.

6 15

39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 2 + 1 và y = x + 3 bằng:

10 20 40 B. C. 4 3 3 Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017]

D.

52 3

H Ơ

N

C.

Y

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thì hàm số ( P ) : y = x 2 − 2 x + 2 và các tiếp tuyến với (P) đi qua

TR ẦN

H

các điểm A(2;-2) là:

8 64 16 B. C. 3 3 3 Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh- Hà Nội lần 1 năm 2017]

D.

40 3

B

A.

10

00

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 2ax (a>0), trục hoành và đường thẳng

4 3

C.

ẤP

B.

2+

7 3

12 5

D.

6 5

C

A.

3

x = a bằng ka 2 . Tính giá trị của tham số k

A

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

H

Ó

Bải 1.

Í-

x = 1 Phương trình hoành độ giao điểm x 2 = 2 <=>   x = −2

ÁN

-L

■

TO

diện tích trên miên x ≥ 0 => Ta tính diện tích hình phang trên miên [0;l]

G

=> Cận thứ nhất x = 0, cận thứ hai x = 1 . 1

Diện tích cần tính là: S = ∫ x 2 − (2 − x ) dx = 0

7 6

yqcQ)dp(2pQ))R0E1=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

■

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ư N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

 1 được viết dưới dạng S = a  1 −  .Tìm khẳng định sai:  e Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017]

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 , x=e e

ẠO

Biết diện tích 5 của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =ln x, y = 0, x =

1 ln 2

U

D. 2 +

TP .Q

5 1 1 3 B. 3 − C. 5 − − 2 ln 2 ln 2 ln 2 Bài 5-[Đoàn Quỳnh-Sách bài tập trắc nghiệm toán 12]

D.

N

Tính diện tích hình phang giói hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 x và đồ thị hàm số y = 3-x và trục tung

■ Chú ý: Nếu đ'ê bài không yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền x ≥ 0 thì ta tính trên toàn bộ

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1

miền [-2;0].Ta có: S = ∫ x 2 − (2 − x) dx = −2

9 2

H Ơ

10 3

N TP .Q

U

Các e học sinh chú ý điều này vì rất dễ gây nhầm lẫn. Bải 2.

4

2

2

2

Ư N

=> Ta có cận thứ nhất x = -1, cận thứ hai 0, cận thứ ba x = 1 0

1

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

4

ẠO

x = 0 Phương trình hoành độ giao điểm x + x − 1 = x + x − 1 <=> x − x = 0 <=> x ( x − 1) <=>  x = 1  x = −1 2

TR ẦN

Diện tích cân tính là: S = ∫ ( x 2 + x − 1) − ( x 4 + x − 1) dx + ∫ ( x 2 + x − 1) − ( x 4 + x − 1) dx = −1

0

4 15

2+

3

10

00

B

yqc(Q)d+Q)pl)p(Q)A4$+Q)pl)RplE0$+yqc(Q)d+Q)pl)p(Q)A4+Q)pl)R0El=

0

1

−1

0

ẤP

=> Đáp số chính xác là C Chú ý: Em nào hiểu phép biến đổi tính diện tích thì có thể bấm máy theo công thức

A

C

S = ∫ x 2 − x 4 dx + ∫ x 2 − x 4 dx sẽ rút gọn được thao tác bấm máy

H

Í-

Phương trình hoành độ giao điểm x 2 + 1 = x + 3 <=> x 2 + 1 = x + 3 <=> x 2 − x − 2 = 0 (1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

■

Ó

Bài 3.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

−2

Y

0

S = ∫ x 2 − (2 − x ) dx =

N

Nếu đ'ê bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miên x ≤ 0 thì ta tính trên miền [-2;0]. Ta có:

2

Diện tích cân tính là: S = ∫ x 2 + 1 − ( x + 3) dx = −2

20 3

y qcQ) d+1 pqcQ)$p3Rp2E2=

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x 2 − x − 2 = 0 có thể giải bằng Casio thay vì chia

N Y

khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.

ẠO

TP .Q

U

Q)dpqcQ)$p2qrp5=

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

qr5=

2+

3

10

00

B

TR ẦN

Ta tìm được hai nghiệm x = -2;x = 2

ẤP

Bài 4.

C

■ Đề bài cho trục tung có phương trình X = 0 nên cận thứ nhất là X = 0

!

Í-

H

Ó

A

Phương trình hoành dộ giao diểm 2 = 3 − x <=> x = 1 . là nghiệm duy nhất => cận thứ 2 hai x = 1. 1 5 1 Diện tích cần tính là: S = ∫ 2 x − (3 − x ) dx = 1.0573... = − 0 2 ln 2 x

TO

ÁN

-L

Yqc2^Q)$p(3pQ))R0El=

G

=> Đáp số chính xác là A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

■

N

==> Đáp sô' chính xác là B

2^Q)$Qr3pQ)qrl=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Chú ý: Đê’ giải phương trình 2 x = 3 − x ta có thể sử dựng máy tính Casio

Ta nhận được nghiệm x = 1 . Tưy nhiên vì sao x = 1 lại là nghiệm duy nhất thì xem lại ở bài "Sử

42 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ."

Bài 5. e

N

1 x=e là: S = ∫ ln x − 0 dx = 1.2642... e 1

H Ơ

■ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, y = 0, x =

e

G TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

P(1pa1RQK$)=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

S  1 =2 Vì S = a 1 −  => a = 1  e 1− e

Chỉ có phương trình ở câu c không chứa nghiệm này => đáp án c là đáp án chính xác Chú ý: Bài này không cần dùng đến kiến thức của tích phân vẫn có thể làm được. Đề bài yêu câu tìm

B

đáp án mà số a không thỏa mãn => a không phải nghiệm chung của các phương trình. Mà nghiệm

00

chung của các phương trinh là 2 nên đáp số c không thóa mãn.

10

Bài 6.

2+

3

■ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;-2) ta thu được Tiếp tuyến thứ nhất y = -2x + 2 với tiếp điểm B(0;2)

ẤP

Tiếp tuyến thứ hai y = 6x -14 với tiếp điểm C(4; 10)

C

Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích là phần đường cong có 3 đinh A,B,C ta thu được ba cận là: x =

Ó H

2

A

0;x = 2;x = 4

4

Í-

=> S = ∫ ( x 2 − 2 x + 2) − (−2 x + 2) dx + ∫ ( x 2 − 2 x + 2) − (6 x − 14) dx = 2

-L

0

16 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p(6Q)pl4)R2E4=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

yqchQ))Ra1 RQKEEQK=

=> Đáp số chính xác là c Chú ý: Đế biết được tiếp tuyến tại sao lại là y = -2x + 2; y = 6x -14 thì xem lại bài Casio tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Giải thích công thức (1): Trên miền x ∈ [ 0, 2] ta thấy hai cận này được hình thành bởi hai

đường cong y = x 2 − 2 x + 2; y = −2 x + 2 nên diện tích phải được tính theo công thức 2

S = ∫ ( x 2 − 2 x + 2) − (−2 x + 2) dx 0

43 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 7. 2 ax = 0

N

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành:

H Ơ

Ta được cận thứ nhất x = 0 và cận thứ hai x = a. Khi đó diện tích hình phẳng là: a

N

S = ∫ 2 ax − 0 dx

a

Thiết lập quan hệ S = ∫ 2 ax − 0 dx = ka <=> k = 2

∫2

ax − 0 dx

. Chọn giá trị dương a bất kì ví dụ a=

0

a2

ẠO

0

TP .Q

a

a

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G Ư N TR ẦN

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 4 3 khi đó k = ∫ 2 3 x − 0 dx = 1.33(3) = 90 3 alR9$Oy2s3Q)ROE3= Ra một kết quả khác 0 vậy đáp án A sai

00

B

=> Đáp số chính xác là B

10

Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương a bất kì thì đáp sổ k đều ra 1.125

4 ví dụ ta chọn a = 1.125 3

3

1 4 2 1.125 x − 0 dx = 1.33(3) = 2 ∫ 1.125 0 3 alR1.125d$y2sl.l25Q)R0E1.125=

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

Khi đó k =

ÁN

CASIO TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

TO

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1 Dạng 1: Thê’ tích vật thê’ có diện tích thiết diện S(x) tạo bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

có hoành độ x ( a ≤ x ≤ b) . Giả sử S(x) là hàm liên tục thì thê’ tích vật thê’ tính theo công thức:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

0

h

V = ∫ S ( x) dx a

1 Dạng 2: Cho hình phẳng (H) tạo bởi các đường y = f ( x ) ), y = g ( x ) và các đường: thẳng x = a, x = b . Khi quay hình phang (H) quanh trục Ox thì được vật thể tròn xoay:

44 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

h

có thế tích tính theo công thức: V = π ∫ f 2 ( x) − g 2 ( x) dx a

H Ơ

N

Dạng 3: Cho hình phẳng (H) tạo bởi các đường x = f ( y ) , x = g ( y ) và các đường thẳng y = a, y = b. Khi quay hình phẳng (H) quanh trục Oy thì được vật thê’ tròn h

N

xoay có thê’ tích tính theo công thức: V = π ∫ f 2 ( y ) − g 2 ( y ) dy

Y

a

TP .Q

VDl-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần l năm 2017]

ẠO

Kí hiệu (H) là hình phăng giới hạn bơi đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V cúa khối tròn xoay thu được khi hình (H) quay xung quanh trục Ox

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G Ư N

Giải

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. V = (e 2 − 5)π

C. V = e 2 − 5

B. V = (4 − 2e)π

Đ

A. V = 4 − 2e

H

Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung => cận thứ nhất là: x = 0

TR ẦN

Trục hoành có phương trình y = 0. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong

y = 2( x − 1)e x và trục hoành => 2( x − 1)e x = 0 <=> x = 1 . Vậy cận thứ 2 là: x = 1 1

0

3

Ó

A

C

ẤP

2+

qKyqc(2(Q)pl)QKAQ)$)dR0El =

10

Sừ dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

00

B

Thể tích V = π ∫ (2( x − 1)e x ) 2 − 02 dx

H

=> V = 7.504... = π (e 2 − 5)

-L

Í-

Vậy ta chọn đáp án D

G

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1

1

0

0

2

Thể tích V = π ∫ (2( x − 1)e x ) 2 − 02 dx = 4π ∫ ( x − 1) e x dx

TO

ÁN

❖ Cách tham khảo : Tự luận

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

II) VÍ DỤ MINH HỌA.

Vì biểu thức dưới dấu tích phân có dạng u(x).v’(x) nên ta sử dụng tích phân từng phần. Tuy nhiên làm dạng này rất mất thời gian. Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo Casio, dành thời gian cho việc tư duy xây dựng công thức để bấm máy.

❖Bình luân: •

Qua ví dụ đầu tiên ta cũng đã thấy ngay sức mạnh của Casio khi xử lý các bài tích phân, các bài

ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống. VD2[Thi thử Group Nhóm toán lần 3 năm 2017]

45 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 1 − x 2 ; y = 0 quanh trục Ox

B.

4 3

C.

3 π 4

D.

4 π 3

N

3 4

H Ơ

E.

N

Giải

ẠO

 x = −1 Giải phương trình hoành độ giao 1 − x 2 = 0 <=> 1 − x 2 = 0 <=>  x = 1

) −0

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

G

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−1

(

1 − x2

dx

Ư N

1

Thể tích V = π ∫

Đ

Cận thứ nhất: x = -1, cận thứ hai: x = 1

H

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

B

TR ẦN

qKyqcl pQ)dRpl El=

ẤP

2+

3

10

00

4 V= π 3 Vậy ta chọn đáp án D VD3[Thi thử chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa lân 2 năm 2017]

C

Cho D là miền hình phẳng giới hạn bởi y = sin x ; y = 0; x = 0; x =

π 2

Khi D quay quanh Ox tạo thành

A

một khối tròn xoay. Thê’ tích của khối tròn xoay thu được là:

B. π

C. 2π

H

Ó

A. 1

D. 2

Í-

Giải

-L

Hàm thứ nhất y = sin x , hàm thứ 2 y=0

π 2

π 2

Thể tích V = π ∫

(

s inx

)

2

− 02 dx

0

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qw4qKyqcjQ))R0EaqKR2=

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Cận thứ nhất: X = 0 . cận thứ hai: x =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

Hàm thứ nhất: y = 1 − x 2 , hàm thứ hai: y = 0

46 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2y và các đường thẳng y=0; y=1 y +1

x=

N

=> V = π Vậy ta chọn đáp án B VD4[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể’ tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thì hàm số

1 π 2

D.

2y , hàm thứ 2 x=0 y +1 2

G

2

H

Ư N

 2y  Thể tích V = π ∫  2  − 02 dy  y +1 0   1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Cận thứ nhất y=0, cận thứ 2 y=1

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 π 2

ẠO

Hàm thứ nhất x =

C.

TR ẦN

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân

00

B

qKyqc(as2Q)RQ)d+l$)dR0El=

H

Ó

5 π 3

B.

8 π 3

C.

-L

Í-

A.

A

C

ẤP

2+

3

10

1 V = π 2 Vậy ta chọn đáp án C VD5-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sô' y = 2 x − x 2 và các đuờng thẳng y = 0,y = 2 :

2

7 π 5

D.

3 π 5

Giải 2

ÁN

Xét y = 2 x − x <=> ( x − 1) = 1 − y

TO

Vì ( x − 1) 2 ≥ 0 <=> 1 − y ≥ 0 <=> y ≤ 1 Khi đó x − 1 = ± 1 − y <=> x = 1 ± 1 − y hàm thứ nhất có

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

dạng x = 1 + 1 − y , hàm thứ hai x = 1 − 1 − y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B. 3π

TP .Q

A. 2π

U

Y

N

2

Phương trình hoành độ giao điểm 1 + 1 − y = 1 − 1 − y <=> 1 − y = 0 <=> y = 1

Vì y ≤ 1 => cận thứ nhất x=0 và cận thứ 2 y=1 1

(

Thể tích V = π ∫ 1 + 1 − y

)

2

− (2 − 1 − y ) 2 dy

0

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(l+slpQ)$)dp(lpslpQ)$)dROEl=

47 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

H Ơ

H

nhất có dạng x = 2 + 1 − y 2 , hàm thứ hai: x = 2 − 1 − y 2

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vì ( x − 1) 2 ≥ 0 <=> 1 − y 2 ≥ 0 <=> −1 ≤ y ≤ 1 Khi đó x − 2 = ± 1 − y 2 <=> x = 2 ± 1 − y 2 . Hàm thứ

TR ẦN

 y = −1 Phương trình hoành độ giao điểm 2 + 1 − y 2 = 2 − 1 − y 2 <=> 1 − y 2 = 0 <=>  y =1

)

2

−1

− (2 − 1 − y 2 ) 2 dy

3

(

2+

1

Thể tích V = π ∫ 2 + 1 − y

10

00

B

=> Cận thứ nhất y = -1 cận thứ hai y = 1

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2+slpQ)d$)dp(2pslpQ)d$)dRplEl=

ÁN

=> V = 39.4787... = 4π 2

G

TO

Vậy ta chọn đáp án A VD7:[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

ẠO

( x − 2) 2 + ( y − 0) 2 = 1 <=> ( x − 2) 2 = 1 − y 2

U

B. 4π 2

A. 4π

TP .Q

C. 5π D. 5π 2 Giải Hàm thứ nhất là đừng tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 có phương trình

Y

8 => V = 8,3775... = π 2 3 Vậy ta chọn đáp án B VD6-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1:

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ỡ N

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = l, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bỏ

BỒ

ID Ư

mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 1) là một tam giác đều có cạnh là

4 ln(1 + x) A. 4 3(2 ln 2 − 1)

i

B. 4 3(2 ln 2 + 1)

C. 8 3(2 ln 2 − 1)

D. 16π (2 ln 2 − 1)

Giải Thiết diện của vật thể và mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều có diện tích

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

S = S ( x) =

(

3 4 ln(1 + x )

)

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

= 4 3 ln(1 + x) 4 Diện tích S=S(x) là một hàm liên tục trên [0; 1] nên thê’ tích vật thể cần tìm được tính theo

N

1

H Ơ

công thưc V ∫ 4 3 ln(1 + x) dx = 2.7673... = 4 3(2 ln 2 − 1) 0

ẠO

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Đ

Bài 1[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 20171

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gọi (S) là miền giới hạn bởi đường cong y = x 2 , trục Ox và hai đường thẳng x = l;x = 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (S) quay quanh trục Ox :

H

31π 1 31π 1 31π 31π B. C. D. − + +1 5 3 5 3 5 5 Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh - Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sin x, x = 0; x = π . Thể tích vật thể tròn xoay sinh

π2 2

10

B.

C.

3

A. 2π

00

bởi mặt phẳng (H) quay quanh trục Ox bằng:

B

TR ẦN

A.

π2 4

D.

π 2

.

2+

Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền - Cần Thơ lần 1 năm 2017]

ẤP

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = 2 x − x 2 , y = 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay

H

B. a = −7; b = 15

C. a = 241; b = 15

D. a = 16; b = 15

Í-

A. a = 1; b = 15

Ó

A

C

a  thu được khi quay (H) xung quanh trục Ox ta được V = π  + 1  . Khi đó: b 

-L

Bài 5-[Câu 54b Sách bài tập giải tích nâng cao 12]

ÁN

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi

TO

các đường y = x 3 , trục tung và hai đường thẳng y = 1, y = 2 quanh trục Oy . Khẳng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

định nào đúng?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

y4s3$hl+Q))R0El= => Ta chọn đáp án A

A. V > 5

B. V < 2

C. V > 4

D. V < 3

Bài 6-Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường y = 2 x − x 2 ( C ) , trục tung. Khi quay hình (S) quanh trục Oy sẽ tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

A. V =

5π 2

B. V =

9π 4

C. V =

11π 4

D. V =

8π 3

49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 7-Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I ( 2;1) bán kính R = 1

C. V =

11π 2 2

D. V = 4π 2

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

C.

16 3

Đ

9 2

D. 5

G

B.

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

17 4

ẠO

x ( −1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông có cạnh là 2 1 − x 2 A.

U

TP .Q

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1, x = 1 . Biết rằng thiết diện của

Y

N

Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12]

H

Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12]

TR ẦN

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = π . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

B. 2π 3

C. 3

D. 2 3

10

A. π 3

00

B

x ( 0 ≤ x ≤ π ) là một tam giác đều có cạnh là 2 sin x

2+

3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ẤP

Bài 1.

A

C

Đường cong thứ nhất y = f ( x ) = x 2 , đường thứ hai là trục hoành có phương trình

H

Ó

y = g ( x) = 0

-L

Í-

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong thứ nhất y = x 2 , trục hoành y = 0 và hai đường thẳng 2

2

( )

1

2

− 02 dx

1

TO

ÁN

x = 1; x = 2 có thể tích là V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx = π ∫ x 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

qKyqc(Q)d)dp0dR1E2=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

11π 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B. V =

H Ơ

A. V = 4π

N

quay quanh trục Oy

⟹ Đáp số chính xác là C Chú ý: Chú ý công thức tính thể tích có π và có bình phương của f 2 ( x ) , g 2 ( x ) . Rất nhiều học sinh thường quên những yếu tố này so với công thức tính diện tích.

50 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2. π

N

Hình phẳng được giới hạn bởi đường thứ nhất có phương trình y = f ( x ) = ( 2 − x ) e 2 và đường thứ

π

Thể tích cần tìm là:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

qKyqc((2pQ))QK^aQ)R2$$)dR0E2=

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

)

ẠO

(

Đ

1

π   f ( x ) − g ( x ) dx = π ∫  ( 2 − x ) e 2  − 02 dx = 15.0108... = π 2e 2 − 10  0  2

G

V =π∫

2

2

2

B

⇒ Đáp số chsinh xác là C Bài 3.

Hàm thứ nhất y = f ( x ) = sin x , hàm thứ hai (của trục Ox ) là y = 0 . Cận thứ nhất x = 0 , cận thứ hai x = π .

Thể tích cần tìm V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx = π ∫ ( sin x ) − 02 dx = 4.9348... =

10

00

2+

3

π

2

0

π2 2

ẤP

0

π

H

Ó

A

C

qw4qKyqcjQ))dR0EqK=

TO

ÁN

-L

Í-

⇒ Đáp án chính xác là B Chú ý: Để tính tích phân hàm lượng giác ta cần chuyển máy tính về chế độ Radian qw4 Bài 4. x = 0 Phương trình hoành độ giao điểm 2 x − x 2 = 0 ⇔  ⇒ cận thứ nhất x = 0 cận thứ hai x = 2 x = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ta được cận thứ nhất x = 0 và cận thứ hai x = a . Khi đó diện tích hình phẳng là:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

( 2 − x ) e 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ Cận thứ hai là x = 2

2

N

Y

cận thứ nhất x = 0 . Xét phương trình hoành độ giao điển đường cong y = f ( x ) và trục hoành:

H Ơ

hai là trục hoành có phương trình y = g ( x ) = 0 . Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung nên có

a

S = ∫ 2 ax − 0 dx 0

π

π

2

Tính thể tích V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx = π ∫ ( 2 x − 2 ) − 02 dx = 0

0

16 π 15

qKyqc(2Q)pQ))od)dR0E2=

51 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N Y

Cận thứ nhất y = 1 và cận thứ hai y = 2 . 2

( x) 3

2

− 02 dy = 4.099... > 4 

Ư N TR ẦN

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

qKyqc(q^3$Q)$)dp0R1E2=

Đ

2

V = π ∫  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dy = π ∫   1 1

ẠO

Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay quanh trục Oy :

G

B

00

⟹ Đáp án chính xác là C Chú ý: Để tính thể tích hình phẳng xoay quanh trục Oy thì phải chuyển phương trình đường cong

10

về dạng x = f ( y ) và x = g ( y )

3

Bài 6.

2+

 x = 1 + 1 − y ( AO) 2 với y ≤ 1 . Đường cong (C) chia làm 2 Xét y = 2 x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y ⇔   x = 1 − 1 − y ( AB) nhánh.

C

ẤP

Phương trình tung độ giao điểm hai nhánh: 1 + 1 − y = 1 − 1 − y ⇔ 1 − y = 0 ⇔ y = 1

Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy :

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Ỡ N

V = π ∫  1+ 1− y  0

(

2

) − (1 −

2 8π 1 − y dy = 8.3775... =  3

)

qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps1pQ)$)dR0E1=

BỒ

ID Ư

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

y và đường thứ hai (trục tung): x = 0 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

U

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường thứ nhất y = f ( x ) =

TP .Q

H Ơ

a 16 a 1 a  Mà V = π  + 1 ⇒ + 1 = ⇒ = ⇒ a = 1; b = 15 15 b 15 b  b ⇒ Đáp số chính xác là A Bài 5.

⇒ Đáp án chính xác là D

52 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 7.

2

2

Phương trình đường tròn ( I ; R ) : ( x − 2 ) + y 2 = 1 ⇔ ( x − 2 ) = 1 − y 2 ⇔ x = 2 ± 1 − y 2 .

) dy = 39.4784... = 4π 2

TR ẦN

H

Ư N

2qKyqc(2+s1pQ)d$)dp(2ps1pQ)d$)dR0E1=

2

⇒ Đáp số chính xác là A

00

Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình vuông ⟹ Diện tích thiết

10

B

Bài 8.

2+

1

Vì hàm S = S ( x ) liên tục trên [ −1;1] nên vật thể có thể tích là: V = ∫ 4 1 − x 2 dx =

(

ẤP

3

diện S = S ( x ) = 4 (1 − x 2 ) .

−1

16 3

Í-

H

Ó

A

C

y4(1pQ)d)Rp1E1=

)

Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều

TO

ÁN

Bài 9.

-L

⇒ Đáp số chính xác là C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

⟹ Diện tích thiết diện S = S ( x ) =

(

3 2 sin x

4

)

2

= 3 sin x. π

Vì hàm S = S ( x ) liên tục trên [ 0; π ] nên vật thể có thể tích là: V = ∫ 3 sin xdx = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) (

− 2 − 1 − y2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

2

Đ

1

 V = 2π ∫  2 + 1 − y 2 0

ẠO

Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy :

G

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

 x = 2 + 1 − y 2 (CB ) Đường tròn (C) chia làm 2 nhánh.   x = 2 − 1 − y 2 (CA) 

16 3

qw4ys3$jQ))R0EqK=

53 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Đáp án chính xác là D

H Ơ

N

T. CASIO TÌM NHANH QUÃNG ĐƯỜNG VẬT CHUYỂN ĐỘNG BIẾN ĐỔI

TP .Q

v = f ( t ) trong khoảng thời gian từ t0 đến t1 thì quãng đường vật đi được là: t1

S = ∫ f ( t ) dt

ẠO

t0

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

2) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM VD1-[Câu 24 Đề minh họa BGD-ĐT lần 1 năm 2007] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −5t + 10(m / s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ

TR ẦN

H

lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh tới khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 0, 2m B. 2m C. 10m D. 20m Cách 1: CASIO

10

S ' ( t ) .dt = v ( t ) .dt ⇔ S ' ( t ) = v ( t )

00

B

Ta có quãng đường S ( t ) = v ( t ) .t. Vi phân theo 2 vế theo t ta được: t1

2+

3

⇒ S ( t ) là 1 nguyên hàm của v ( t ) ⇒ S ( t ) = ∫ v ( t ) dt t0

2

A

C

ẤP

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc tại điểm dừng = 0 ⇔ 0 = −5t + 10 ⇔ t = 2 Chọn gốc thời gian t0 = 0 thì t1 = 2

H

Ó

Quãng đường là S = ∫ ( −5t + 10 )dt 0

G

TO

ÁN

-L

Í-

Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(p5Q)+10)R0E2=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Quãng đường đi được của một vật: Một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Quãng đường S = 10m . Vậy đáp á chính xác là C Bình luận:

•

Nhắc lại kiến thức quan trọng nhất của Tích phân: Nếu hàm F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì F ' ( x ) = f ( x )

•

Chính áp dụng kiến thức trên ta thấy S ' = v ( t ) ⇒ S là một nguyên hàm của v ( t ) t1

⇒ S ( t ) = ∫ v ( t ) dt t0

54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2007] Lúc 9h sáng, một ô tô bắt đầu xuất phát từ Nhà hát Lớn thành phố Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. Trong 1 giờ đầu tiên, vì xe đi trong nội thành nên tốc độ di chuyển chưa nhanh, xe ô tô đi với

Y

N

H Ơ

tính bằng đơn vị phút. Hỏi lúc 9h10’ xe ô tô đi được quãng đường bao nhiêu km? A. 0,7 B. 5 C. 0,3 D. 5,2 Cách 1: CASIO

N

vận tốc v ( t ) = 0,5 + 0, 2.cos π t (km/phút), trong đó t là thời gian kể từ lúc xe ô tô xuất phát được

t1

⇒ S ( t ) là 1 nguyên hàm của v ( t ) ⇒ S ( t ) = ∫ v ( t ) dt t0

ẠO

Chọn gốc thời gian lúc 9h là t0 =0 thì lúc 9h10’ là t1 =10

G Ư N

TR ẦN

Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân qw4y(0.5+0.2kqKQ)))R0E10=

H

0

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

10

Quãng đường là S = ∫ ( 0,5 + 0, 2.cos π t )dt

2+

3

10

00

B

Quãng đường S= 5m. Vậy đáp án chính xác là B. Bình luận: Bài toán rất chuẩn mực về phép tính toán, con số ra cũng phản ánh tính trạng tắc xe tồi tệ ở Hà Nội khi 10s chỉ đi được có 5m VD3-[Thi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2007]

ẤP

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v ( t ) = 3t + 2 , thời

-L

Í-

H

Ó

A

C

gian được tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đó di chuyển được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm t = 2(s) thì vật di chuyển được quãng đường là 10(m). Hỏi tại thời điểm t = 30(s) thì vật di chuyển được quãng đường dài là bao nhiêu? A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m Cách 1: CASIO

Ta có quãng đường S ( t ) = v ( t ) .t. Vi phân 2 vế theo t ta được S ' ( t ) dt = v ( t ) dt ⇔ S ' ( t ) = v ( t )

ÁN

t1

TO

⇒ S ( t ) là 1 nguyên hàm của v ( t ) ⇒ S ( t ) = ∫ v ( t ) dt t0

Ỡ N

G

Chọn thời gian lúc đầu là t0 sau 2 giây thì t1 = t0 + 2

BỒ

ID Ư

Quãng đường là S =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Ta có quãng đường S ( t ) = v ( t ) .t. Vi phân 2 vế theo t ta được S ' ( t ) dt = v ( t ) dt ⇔ S ' ( t ) = v ( t )

t0 + 2

∫ (3t + 2 )dt

t0 t0 + 2

Để tìm t0 ta thiết lập quan hệ

∫ ( 3t + 2 )dt = 10(m) . Ta dự đoán t

0

có thể là 0; 1; 2... và ta tiến

t0

hành thử với t0 = 0 Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(3Q)+2)R0E30=

55 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

Bình luận: Mốc thời gian ban đầu không nhất thiết phải bằng 0 tuy nhiên khi sử dụng phép thử để tìm t0 thì ta

N

Ta thấy S1 = 1410( m) và A là đáp án chính xác

ẠO

a ( t ) = 6 ( m / s 2 ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe

t1

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

của anh ta đi được trong thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu? D. 1110m A. 1100m B. 400m C. 1010m Giải Cách 1: CASIO Ta có quãng đường S ( t ) = v ( t ) .t. Vi phân 2 vế theo t ta được S ' ( t ) dt = v ( t ) dt ⇔ S ' ( t ) = v ( t )

⇒ S ( t ) là 1 nguyên hàm của v ( t ) ⇒ S ( t ) = ∫ v ( t ) dt t0

B

Vận tốc của xe v ( t ) = v0 + a ( t ) ⇒ v ( t ) = 10 + 6t

00

Chọn gốc thời gian lúc xe bắt đầu tăng tốc là t0 =0 vậy t1 = t0 + 10 = 10

10

10

2+

0

3

Quãng đường là S = ∫ (10 + 6t )dt

Ó

A

C

ẤP

Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(10+6Q))R0E10=

Í-

H

Ta thấy kết quả ra 400(m) vậy B là đáp án chính xác Bình luận:

-L

at 2 6.102 = 10.10 + = 400(m) 2 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – HN lần 2 năm 2017] Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 chuyển động với vận tốc v ( t ) = t ( 5 − t ) (m/s). Tính Ta có thể giải theo công thức vật lý: S = v0t +

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

VD4-[Thi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2007] Một vận động viên đua F1 đang chạy với vận tốc 10(m/s) thì anh ta tăng tốc với gia tốc

U

Y

luôn ưu tiên t0 = 0

quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng hẳn 125 125 125 125 A. B. C. D. (m) (m) (m) (m) 12 9 3 6 Bài 2-[Thi thử Group nhóm toán Facebook năm 2017] Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2.5s tên lửa đến độ cao bao nhiêu? Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực g = 9.8 (m/s2) A. 62.25m B. 6.875m C. 68.125m D. 30.625m

56 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3-[Bài 15 trang 153 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Một vật đang chuyển động với vận tốc v = 10 ( m / s ) thì tăng tốc độ với gia tốc

a ( t ) = 3t + t 2 (m / s 2 ) . Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Đ

h ' ( t ) = 3at 2 + bt với a, b là các tham số. Ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

trong bể là 150mm, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 8400m3 B.2200m3 C.600m3 D.4200m3 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Thời điểm t0 = 0 vật ở trạng thái nghỉ. Tại thời điểm t1 ( t1 > t0 ) vật dừng lại hẳn khi đó

B

v ( t ) = 0 ⇔ t1 ( 5 − t1 ) = 0 ⇔ t1 = 5

00

Vận tốc là một hàm biến thiên theo thời gian, đồng thời v ( t ) liên tục trên miền [ 0;5]

t0

0

125 6

3

5

ẤP

∫ v(t )dt = ∫ t ( 5 − t ) dt =

2+

t1

10

⟹ Quãng đường vật di chuyển từ trạng thái nghỉ đến khi dừng hẳn là:

Í-

H

Ó

A

C

yQ)(5pQ))R0E5=

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

⇒ D là đáp án chính xác Chú ý: Vận tốc của vật theo thời điểm nếu biểu diễn trên trục tọa độ Oxy sẽ là một Parabol. Dựa vào đó nếu đề bài yêu cầu tìm thời điểm để vật có vận tốc lớn nhất thì ta dựa vào tọa độ đỉnh 5  5  25 Parabol suy ra t = và vận tốc lớn nhất vật có thể đạt được là v   = ( m / s ) 2 2 4 Bài 2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

A. 996m B. 1200 C. 1680m D. 3600m Bài 4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] 1 sin (π t ) (m / s ) . Quãng đường di chuyển của vật đó + Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 2π π trong khoảng thời gian 1,5 giây chính xác đến 0,01 (m) là: A. 0.32m B. 0.33m C. 0.34m D. 0.35m Bài 5-[Thi thử nhà sách Lovebook lần 1 năm 2017] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho

BỒ

ID Ư

Phương trình vận tốc theo thời gian v ( t ) = v0 + gt = 15 − 9.8t

Vì hàm v ( t ) liê tục trên miền [0;2.5] nên quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t0 = 0 đến thời t1

2.5

t0

0

điểm t1 = 2.5( s) được tính theo công thức S = ∫ v(t )dt =

∫ (15 − 9.8t ) dt = 6.875(m)

y(15p9.8Q))R0E2.5=n

57 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N

H Ơ

⇒ Nếu chọn thì chọn đáp án B Chú ý: Nếu xét theo phân loại dạng vật lý thì đây là dạng bài chuyển động thẳng đứng Bài 3.

t1

10

t0

0

(

TP .Q

tục trên R ⇒ Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t0 = 0 đến thời điểm t1 = 10 được tính theo

))

công thức S = S ( t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 10 + 3t + t 2 t dt = 966(m)

ẠO

(

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

y(10+(3Q)+Q)d)Q))R0E10=

TR ẦN

⇒ Đáp án chính xác là D

Chú ý: Ta phải nhớ rõ công thức v ( t ) = v0 + at với a = 3t + t 2 tránh nhầm lẫn at = 3t + t 2

B

⇒ v ( t ) = 10 + 3t + t 2 là sai

sin (π t )   dt = 0.34( s) (sau khi làm tròn) π  t0 0 qw4y(a1R2qK$+ajqKQ))RqK$)R0E1.5= 1.5

3

∫  2π +

H

Ó

A

C

ẤP

2+

t1

thời điểm 1,5 giây là: ∫ v(t )dt =

 1

10

00

Bài 4. Vận tốc v ( t ) là một hàm biến thiên theo thời gian ⇒ Quãng đường vật di chuyển từ lúc bắt đầu tới

ÁN

-L

Í-

⇒ C là đáp án chính xác Bài 5. h ' ( t ) là một hàm biến thiên theo thời gian và liên tục trên R ⇒ Thể tích nước bơm được tính theo t1

(

)

t0

G

TO

công thức V = h ( t ) = ∫ 3at 2 + bt dt

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Ta có vận tốc v ( t ) = v0 + at = 10 + ( 3t + t 2 ) t và v ( t ) là một hàm biến thiên theo thời gian và liên

BỒ

ID Ư

Ỡ N

5  bt 2  5 Tại thời điểm t1 = 5 giây thì V = ∫ ( 3at 2 + bt ) dt = 150( m3 ) ⇔  at 3 +  = 150 2 0  0 ⇔ 125a + 12.5b = 150

10  bt 2  5 Tại thời điểm t1 = 10 giây thì V = ∫ ( 3at 2 + bt ) dt = 1100( m3 ) ⇔  at 3 +  = 1100 2 0  0 ⇔ 1000a + 50b = 1100

58 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

)

+ 2t dt = 8400 ⇒ A là đáp án chính xác

0

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

y(3Q)d+2Q))R0E20=

H

T. CASIO GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO

TR ẦN

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG β

1. Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức

∫ f ( x ) dx = f ( a, b, c ) , muốn tìm a, b, c thỏa mãn hệ β

00

∫ f ( x ) dx =

rồi lưu vào A.

10

thức h(a, b, c)=m. Ta sẽ tính giá trị tích phân

B

α

α

C

ẤP

2+

3

 f ( a, b, c ) = A Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình  . Để giải hệ phương trình này ta sẽ sử dụng chức  h ( a, b, c ) = m năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio (Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6)

H

qua phép biến đổi biến x = u ( t ) . Để sử dụng được máy tính Casio ta ép hệ số cho

Í-

∫ f ( u ( t ) ) dt

β

ÁN

-L

nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định quả là tương đương nên

TO

∫ f ( x ) dx và nguyên hàm hệ quả

Ó

A

2. Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc

∫ f ( x ) dx . Vì nguyên hàm gốc và nguyên hàm hệ α

β'

β

∫ f ( x ) dx = α∫ f ( u ( t ) ) dx ( α ', β ' là 2 cận mới) '

α

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

(Xem ví dụ minh họa 7, 8, 9) II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

∫ ( 3t

TP .Q

Vậy tại thời điểm t1 = 20 thì thể tích V =

U

20

Y

N

H Ơ

N

125a + 12.5b = 150 Giải hệ phương trình  1000a + 50b = 1100 w51125=12.5=150=1000=50=1100===

Biết

4

∫x 3

dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c +x

2

A. S = 6

B. S = 2

C. S = -2 Giải

D. S = 0

59 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 4

Tính tích phân

∫x 3

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

dx và lưu vào biến A +x

2

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

QK^Qz=

16 2.2.2.2 = = 24.3−1.5−1 = 2a.3b.5c ⇒ a = 4; b = −1; c = −1 ⇒ S = 2 15 3.5 ⇒ Đáp án chính xác là B VD2-[Tổng hợp tích phan chống Casio – Internet 2017]

TR ẦN

H

Dễ thấy

2

B

Cho I = ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c ( a, b, c ∈ Z ) . Tính giá trị của biểu thức A = a + b + c

00

1

B. 1

C. 2

D. 3

10

A. 0

2

H

Ó

A

C

ẤP

2+

1

yhQ)+1)R1E2=qJz

3

Tính giá trị tích phân I = ∫ ln ( x + 1) dx rồi lưu giá trị này vào biến A

-L

Í-

Khi đó a ln 3 + b ln 2 + c = A ⇔ ln ( 3a.2b.ec ) = ln e A ⇔ 3a.2b.ec = e A ⇔ 3a.2b =

ÁN

Để tính được 3a.2b ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm f ( X ) = 3a.2b =

eA ec

eA ec

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

16 15

TP .Q

Khi đó A = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 ⇔ A = ln ( 2a.3b.5c ) ⇔ 2a.3b.5c = e A =

Y

N

H Ơ

N

ya1RQ)d+Q)R3E4=qJz

Quan sát màn hình xem giá trị nào của f ( X ) (cũng là của 3a.2b ) là số hữu tỉ thì nhận Dễ thấy với X = c = −1 thì 3a.2b = 6.75 =

27 = 33.2−2 ⇒ a = 3; b = −2 4

Tóm lại a + b + c = 2 − 2 − 1 = 0 ⇒ Đáp án A là đáp án chính xác VD3-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017]

60 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

π 2

Cho I = ∫ π

sin x − cos x dx = ( a + b ) ln 3 + c ln 2 ( a, b, c ∈ Q ) . Tính giá trị của biểu thức: A = a + b + c sin x + cos x

1 3 Giải

C.

D. 2

H Ơ

π

U

sin x − cos x dx rồi lưu giá trị này vào biến A sin x + cos x

TP .Q

2

Tính giá trị tích phân I = ∫

Y

π

4

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

yajQ))pkQ))RjQ))+kQ))RaqKR4EEaqKR2=qJz

Khi đó ( a + b ) ln 3 + c ln 2 = A ⇔ ln ( 3a +b.2c ) = ln e A . Mà ta tính được e A = 2

3

1 2

10

1

⇒ 3a + b.2c = 2 = 30.2 2 ⇒ a + b = 0; c =

00

B

TR ẦN

H

QK^Qz=

1 1 = 2 2 ⇒ Đáp án B là đáp án chính xác VD4-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017]

C

ẤP

2+

Tóm lại a + b + c = 0 +

A

π

Ó

4

H

Cho I = ∫ sin 4 xdx = π a + b ( a, b ∈ Q ) . Tính giá trị của biểu thức A = a + b

-L

11 32

ÁN

A.

Í-

0

B. −

5 32

C. 4

D. 7

Giải 2

TO

Tính giá trị tích phân I = ∫ ln ( x + 1) dx rồi lưu giá trị này vào biến A 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2

B.

N

A. 0

N

4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

yjQ))^4R0EaqKR4=qJz

π a + b = A  Khi đó π a + b = A . Nếu đáp số A đúng thì hệ  11 có nghiệm hữu tỉ (thuộc Q)  a + b = 32 ==$$Rp5P32==

61 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

3 1 ; b = − là các số hữu tỉ ⇒ B là đáp án chính xác 32 4 VD5-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017]

A= a+b A. 20

B. 40

a là phân số tối giản. Tính biểu thức b

C. 60 Giải

D. 10

Đ

π 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b

0

→ ( a, b ∈ Q ) với

TP .Q

π2 +a

ẠO

4

Cho I = ∫ x (1 + sin 2 x ) dx =

U

π

Y

N

H Ơ

Rõ ràng a =

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Tính giá trị tích phân I = ∫ x (1 + sin 2 x ) dx rồi lưu giá trị này vào biến A 0

π2 +a

00

Khi đó

B

TR ẦN

H

yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=qJz

= A . Nếu đáp số A đúng thì a + b = 20 ⇒ b = 20 − a ⇒ A =

20 − a

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

b Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm a (với a là số nguyên) QzQraqKd+Q)R20pQ)qr=10=

π2 +a

H

Kết quả không ra một số nguyên ⇒ Đáp số A sai

-L

Í-

Nếu đáp số B đúng thì a + b = 40 ⇒ b = 40 − a ⇒ A =

π2 +a 40 − a

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

$$$$R$4qr=20=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy a = 8 ⇒ b = 32 ⇒ Đáp án A là đáp án chính xác 2

VD6-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho I = ∫ x3 ln 2 xdx = 1

với

a b ; là các phân số tối giản. Tính biểu thức A = a + b c c A. 15 B. -28 C. 36

ae 4 + b c

( a, b, c ∈ Z )

D. 46

62 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Giải

2

Tính giá trị tích phân I = ∫ x 3 ln 2 xdx rồi lưu giá trị này vào biến A 1

15 A − a. A − a.e 4 A +1 Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm a (với a là số nguyên) w7a15QzpQzQ)pQK^4$Q)RQz+1==p9=10=1=

ẠO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒b=

Kết quả không tìm ra một số nguyên ⇒ Đáp số A sai

36 A − a. A − a.e 4 A +1

00

B

Tương tự như vậy với đáp số C đúng thì ⇒ b =

ẤP

2+

3

10

C$$$oo36=====

H

π

Ó

A

C

Ta tìm được nghiệm a = 129 là một số hữu tỉ ⇒ Đáp án C là đáp án chính xác VD7-[Trích đề thi ĐH khối B năm 2005] 2

ÁN

π

-L

Í-

Cho tích phân I = ∫ esin x sin 2 xdx. Nếu đổi biến số t = sin x thì: 2

TO

A. I = ∫ et .t.dt

0

π 1

B. I = ∫ et .t.dt

G

C. I = 2 ∫ et .t.dt

0

0

Ỡ N

1

0

2

D. I = 2 ∫ et .t.dt 0

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ae4 + b = A. Nếu đáp số A đúng thì c = 15 − a − b ⇒ 15 A − a. A − b. A = a.e 4 + b c

TP .Q

Khi đó

U

Y

N

H Ơ

N

yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=qJz

π 2

0

yQK^jQ))$j2Q))R0EaqKR2=

BỒ

ID Ư

Tính giá trị tích phân I = ∫ esin x sin 2 xdx.

63 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài và cùng π 2

bằng 2. Tính I = ∫ et .t.dt

N

0

Kết quả ra một số khác 2 ⇒ Đáp số A sai 1

ẠO

Tương tự như vậy với đáp số C thì I = 2 ∫ et .t.dt = 2 0

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

2yQ)QK^Q)R0E1=

TR ẦN

⇒ Đáp án C là đáp án chính xác Chú ý: Đổi cận thì phải đổi biến ⇒ Dễ dàng loại được đáp án A và D VD8-[Trích đề thi ĐH khối D năm 2011]

B

4

10

00

Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân I = ∫

4x −1 dx thành tích phân 2x +1 + 2

0

5

∫ f ( t ) dt . Khi 3

2+

3

đó f ( t ) là hàm nào trong các hàm số sau?

C A Ó

2t 2 − 3 2 (t + 2 )

Í-

H

C. f ( t ) =

ẤP

2t 2 − 3 A. f ( t ) = t+2

2

( 2t

2

D. f ( t ) =

− 8t + 3) ( t + 2 ) t

)

− 8t + 3 ( t + 2 ) 2t

Giải 4

Tính giá trị tích phân I = ∫

-L

B.

( 2t f (t ) =

0

4x −1 dx 2x +1 + 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

ya2Q)dp3RQ)+2R3E5=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

yQK^Q)$Q)R0EaqKR2=

5

2t 2 − 3 2t 2 − 3 dt = 6.2250... điều này là Nếu đáp án A đúng thì f ( t ) = và giá trị tích phân I = ∫ t+2 t+2 3 5

sai vì I = ∫ 3

2t 2 − 3 dt = 9.6923... t+2

ya2Q)dp3RQ)+2R3E5=

64 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

VD9- Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt t = 3 1 + ln x thì nguyên hàm của

3

B. ∫ t 3 ( t 3 − 1) dt

− 1) dt

C. ∫ 3t 3 ( t 3 + 1) dt

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

G

∫ 3t ( t

D. ∫ t 3 ( t 3 + 1) dt

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A.

Đ

ln x. 3 1 + ln x dx có dạng: ∫ x

TR ẦN

H

Giải Để có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là 1 và e7 . Tính giá trị tích phân e7

2+

3

10

00

B

ln x. 3 1 + ln x dx = 43.1785... ahQ))Oq^3$1+hQ))RQ)R1EQK^7= ∫1 x

A

C

ẤP

 x = 1 ⇒ t = 3 1 + ln1 = 1 Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận:  . Nếu đáp án A đúng thì  x = e7 ⇒ t = 3 1 + ln 37 = 2

Ó

2

H

giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài. Tính I = ∫ 3t 3 ( t 3 − 1) dt

Í-

1

TO

ÁN

-L

yQK^Q)$Q)R0EaqKR2=

Ỡ N

G

Kết quả ra một số khác 2 ⇒ Đáp số A sai

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Kết quả ra một số khác 2 ⇒ Đáp số A sai Tương tự nhưu vậy với đáp số B chính xác ya(2Q)dp8Q)+5)(Q)p2)RQ)R3E5=

0

1

y3Q)^3$(Q)^3$p1)R1E2=n

BỒ

ID Ư

Tương tự như vậy với đáp số C thì I = 2 ∫ et .t.dt = 2

⇒ Đáp án A là đáp án chính xác

65 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chú ý: Ta có thể chọn cận nào cũng được không nhất thiết phải là 1 và e7 (chỉ cần thỏa mãn tập xác định của hàm số là được)

Y

D. 2

a = 2 10 x 2 − 7 x + 2  = ⇔ b = −1 ⇒ a + b + c = 2 Ca 2x −1 c = 1 

ẠO

2x −1

G

sio: Tư duy mình nghĩ như sau:

10 x 2 − 7 x + 2 ∫a 2 x − 1 dx = F ( b ) − F ( a )

H

Ư N

b

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

+ bx + c ) 2 x − 1 ' =

5ax 2 + ( −2a + 3b ) x − b + c

Đ

( ( ax

2

TP .Q

Tự luận:

TR ẦN

Nếu giờ ta sẽ chọn x sao cho F ( a ) = 0 → x = 0.5 nhưng các em nhìn giá trị đạo hàm không xác

định tại x = 0.5 nên ta sẽ lấy giá trị lân cận 0.5

B

Chú ý là f (1) = ( a + b + c ) → Chọn b = 1

10

10 x 2 − 7 x + 2 dx ≈ a + b + c ∫ 2x −1 0.5+∆x

ẤP

2+

3

Thì

00

1

Ó

A

C

Chọn đáp án D. Nếu mà đề hỏi 4a + 2b + c thì các em tính tích phân từ 0.5 + ∆x → 2

Í-

H

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

-L

π

4

ÁN

Cho tích phân

∫ tan

2

xdx = a + bπ ( a, b ∈ Q ) . Tính giá trị của biểu thức P = a + b

0

TO

5 3 1 B. P = C. P = 4 4 4 Bài 2-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

D. P =

11 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

A. P =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

C. 4 Giải

N

H Ơ

1  khoảng  ; +∞  thì a + b + c có giá trị là: 2   A. 3 B. 0

10 x 2 − 7 x + 2 trên 2x −1

N

Ví dụ 3: Nếu f ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 1 là một nguyên hàm của hàm số g ( x ) =

2

Cho tích phân ( a, b ∈ Q )

1− x x e dx = a.e 2 + b.e ( a, b ∈ Q ) . Tính giá trị của biểu thức P = a + b 2 x 1

∫

A. P = −1 B. P = 0.5 C. P = 1 Bài 3-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

D. P = 2

π 2

Cho tích phân

cos 3 x + 2 cos x

∫ 2 + 3sin x − cos 2 x dx = a ln 2 + b ln 3 + c ( a, b, c ∈ Z ) . Tính P = a + b + c 0

66 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

A. P = −3 B. P = −2 C. P = 2 Bài 4-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

Đ

D. -1

ẠO

P = a+b+c A. P = 3 B. P = −2 C. 4 Bài 6-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

TP .Q

x2 + 2x + 2 ∫1 x 2 + x dx = a ln 2 + b ln 3 + c ( a, b, c ∈ Z ) . Tính giá trị của biểu thức

2

∫

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = x 2 − 1 đưa tích phân

Ư N

2 3

∫

2 3

1

dt 2 t +1

B.

∫ 1

2

dt 2 t +1

C.

TR ẦN

2

A.

x x2 −1

thành tích

H

phân nào sau đây?

dx

∫ ( 2 3

3

dt t t2 +1

)

1

D.

∫ t (t 1

dt 2 +1

)

3

2+

3

10

00

B

Bài 7-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = 1 + 3cos x đưa nguyên hàm sin 2 x + sin x I =∫ dx thành nguyên hàm nào sau đây? 1 + 3cos x

1 −2t 2 − 1 −2t 2 − 1 −2t − 1 1 −2t − 1 dt dt B. C. ∫ D. ∫ dt dt ∫ t ∫ 9 9 t t t Bài 8-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = 1 + 3cos x đưa nguyên hàm sin 2 x + sin x I =∫ dx thành nguyên hàm nào sau đây? 1 + 3cos x

G

-L

TO

Bài 1.

−2t 2 − 1 ∫ t dt

Ỡ N

Tính giá trị tích phân

1 −2t 2 − 1 −2t − 1 dt C. ∫ dt ∫ 9 t t LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

D.

1 −2t − 1 dt 9∫ t

π 4

∫ tan

2

xdx rồi lưu vào biến A

0

qw4y1Q))dR0EaqKR4=qJz

BỒ

ID Ư

B.

ÁN

A.

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

A.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

Cho tích phân

N

D. 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

P = a+b+c B. P = −3 C. 2 A. P = 1 Bài 5-[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017]

H Ơ

1

dx =a ln 2 + b ln 5 + c ln11( a, b, c ∈ Z ) . Tính giá trị của biểu thức + 5x + 3

N

2

Y

∫ 2x

Cho tích phân

U

4

D. P = 1

67 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2. 2

1− x x e dx rồi lưu vào biến A x2 1

∫

B

Tính giá trị tích phân

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

 a + bπ = A a = 1  Tương tự như vậy với đáp án B ta có hệ phương trình  ⇒ B là đáp số chính 3 ⇒ 2 = b + = a b   4 xác ==$$R3P4===

2+

3

10

00

ya1pQ)RQ)d$QK^Q)R1E2=qJz

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

ae 2 + be = A a = −0.5 ⇒ Với đáp số A ta có hệ phương trình  b = 1 a + b = 0.5 w51QKd=QK=Qz=1=1=0.5==

TO

ÁN

⇒ Đáp số A chính xác Bài 3.

G

Tính giá trị tích phân

π 2

cos 3 x + 2 cos x

∫ 2 + 3sin x − cos 2 x dx rồi lưu vào biến A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

 a + bπ = A  Nếu đáp số A đúng ta có hệ phương trình  5 ⇔ a = 1.7334... không phải là số hữu tỉ ⇒  a + b = 4 Đáp số A sai w511=qK=Qz=1=1=5P4==

0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

yak3Q))+2kQ))R2+3jQ))pk2Q))R0EaqKR2=qJz

Vậy a ln 2 + b ln 3 + c = A ⇔ ln ( 2 a.3b.ec ) = ln ( e A ) ⇔ 2a.3b =

eA . Tìm 2 a.3b bằng chức năng lập c e

bảng giá trị MODE 7 với biến X = c w7aQK^QzRQK^Q==p9=10=1=

68 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

Ta được 2 a.3b =18 với X = c = −2 . Vậy 18 = 2.32 = 2a.3b ⇒ a = 1; b = 2

1

N

dx = rồi lưu vào biến A + 5x + 3

Y

2

U

∫ 2x

TP .Q

4

Tính giá trị tích phân

H Ơ

⇒ P = a + b + c = 1 + 2 − 2 = 1 ⇒ Đáp án chính xác là D Bài 4.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

25 5.5 = = 52 2−111−1 22 2.11

Tính giá trị tích phân

∫ 2x

2

1

Ư N

dx = rồi lưu vào biến A + 5x + 3

B

4

TR ẦN

Rõ ràng là a = −1; b = 2; c = −1 ⇒ P = a + b + c = 1 + 2 − 2 = 1 ⇒ Đáp số chính xác là D Bài 5.

H

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Vậy a ln 2 + b ln 5 + c ln11 = A ⇔ ln ( 2a 5b11c ) = ln ( e A ) ⇔ 2a 5b11c = e A =

Đ

ẠO

ya1R2Q)d+5Q)+3R1E4=qJz

2+

3

10

00

yaQ)d+2Q)+2RQ)d+Q)R1E2=qJz

ẤP

Vậy a ln 2 + b ln 3 + c = A ⇔ ln ( 2 a.3b.ec ) = ln ( e A ) ⇔ 2 a.3b.ec = e A ⇔ 2a.3b =

eA . Tìm 2 a.3b bằng c e

-L

Í-

H

Ó

A

C

chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến X = c w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=

8 = 23.3−1 ⇒ a = 3; b = −1 với X = c = 1. 3 ⇒ P = a + b + c = 3 − 1 + 1 = 3 ⇒ Đáp số chính xác là A Bài 6.

Ỡ N

G

TO

ÁN

Ta được 2a.3b = 2.66 ( 6 ) =

2

∫

2 3

dx 2

x x −1

=

π 12

ya1RQ)sQ)dp1Ra2Rs3EEs2=

BỒ

ID Ư

Tính giá trị tích phân I =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

69 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn π 12

1

Ta có đáp án B có giá trị:

∫t

thì đó là đáp án đúng.

π dt = + 1 12

2

1

N

Tích phân nào có giá trị bằng

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

3

TR ẦN

H

yaj2Q))+jQ))Rs1+3kQ))R0EaqKR2=

10

00

B

 x = 0 ⇒ t = 1 + cos 3x = 4  Tiến hành đổi biến thì phải đổi cận  π  x = 2 ⇒ t = 1

2+

ẤP

1 2t + 1 dt 9 ∫4 t

3

1

Với đáp số D ta có −

H

Ó

A

C

a1R9$yap2Q)p1RsQ)R4E1=nn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

⇒ Đáp số chính xác là D Chú ý: Chọn cận thế nào cũng được tuy nhiên nên chọn cận x sao cho t đẹp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

sin 2 x + sin x dx 1 + 3cos x 0

G

2

2

. Tính giá trị tích phân I = ∫

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn cận 0 và

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

π

ẠO

Đ

⇒ Đáp số chính xác là A Chú ý: Giá trị tích phân không thay đổi theo phép biến đổi biến (đặt ẩn phụ) Bài 7.

TP .Q

U

Y

N

qw4ya1RQ)d+1Ra1Rs3EE1=

70 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial