Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng Giáo viên: Trần Thanh Vân

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

vectorstock.com/11519232

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EXPERIENCE IDEA PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn WORD VERSION | 2015 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO D DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ AN TR TRƯỜNG THPT KỲ SƠN

Đề tài: ẠNG T TỔNG QUÁT CỦA ỦA DÃY D TÌM SỐ HẠNG SỐ CHO BỞ BỞI HỆ THỨC C TRUY HỒI H VÀ ỨNG DỤNG

Giaùo vieân : Traàn Thanh Vaân Toå : Toaùn Ñt : 0979057900

Năm học 2014 – 2015

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

MỤC LỤC

MỤC LỤC ......................................................................................................... 1 Phần 1:ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 2 Phần 2: NỘI DUNG ......................................................................................... 3 A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................. 3 I. DÃY SỐ ........................................................................................................ 3 II. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................................... 5 B. NỘI DUNG CHÍNH .................................................................................... 7 I. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI ........................................................................................................ 7 II. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ ................................................................................. 14 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG .................................................................................. 25 Phần 3:KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ................................................................. 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

1

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Phần 1 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng.Học sinh thườnggặp phải nhiều bài toán liên quan đến dãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trong chương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh để giúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khi đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiến thức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội.

Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh,đề tài “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số.

Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.

Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi.

Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung.Tuy nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo logic,giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

2

“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?

Phần 2 Náť˜I DUNG A. CĆ Sáťž LĂ? THUYáşžT I. DĂƒY Sáť?.

1. Ä?áť‹nh nghÄŠa

a) Máť—i hĂ m sáť‘ u xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn táş­p sáť‘ táťą nhiĂŞn ℕ∗ đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ vĂ´ hấn (gáť?i tắt lĂ dĂŁy sáť‘) u:

ℕ∗ â&#x;ś â„?

n â&#x;ź u(n)

Ä?ạt u(n) = un vĂ gáť?i nĂł lĂ sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ (un).

b) Máť—i hĂ m sáť‘ u xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn táş­p M = {1, 2, 3, ‌,m}, váť›i m ∈ ℕ∗ , đưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť‘ hᝯu hấn.

2. Cåch cho m᝙t dãy sᝑ. a) Dãy sᝑ cho bẹng công thᝊc cᝧa sᝑ hấng t᝕ng quåt un.

Khi Ä‘Ăł un=f(n), trong Ä‘Ăł f lĂ máť™t hĂ m sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn ℕ∗ .

VĂ­ d᝼ 1: Cho dĂŁy sáť‘ (un) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i un = 2n + 1. Khi Ä‘Ăł náşżu viáşżt dĂŁy sáť‘ nĂ y dĆ°áť›i dấng khai triáťƒn ta đưᝣc 3, 5, 7, 9, ‌, 2n + 1, ‌ b) DĂŁy sáť‘ cho báşąng phĆ°ĆĄng phĂĄp mĂ´ tả.

VĂ­ d᝼ 2: Cho dĂŁy sáť‘ (un) váť›i un lĂ chᝯ sáť‘ thᝊ n trong cĂĄch viáşżt tháş­p phân cᝧa sáť‘ , khi Ä‘Ăł ta cĂł dĂŁy sáť‘:u1 = 3; u2 = 1; u3 = 4; u4 = 1; u5 = 5; ‌ trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y ta khĂ´ng tĂŹm đưᝣc cĂ´ng thᝊc biáťƒu tháť‹ sáť‘ hấng un qua n. c) DĂŁy sáť‘ cho báşąng cĂ´ng thᝊc truy háť“i.

- Cho sᝑ hấng đầu u1(hoạc m᝙t và i sᝑ hấng đầu)

- Váť›i n ≼ 2, cho máť™t cĂ´ng thᝊc tĂ­nh un náşżu biáşżt un-1(hoạc máť™t vĂ i sáť‘ hấng đᝊng trĆ°áť›c nĂł). CĂĄc cĂ´ng thᝊc cĂł tháťƒ lĂ :

=

= ᝛ ≼ 2

ℎ ạ

= , =!

= , ᝛ ≼ 3

VĂ­ d᝼ 3: cho dĂŁy sáť‘ (Fn) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i

Giåo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kᝳ Sƥn

3

# = # = 1

# = # + # , ᝛ ≼ 3

“TĂŹm sáť‘ hấng táť•ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť‘ cho báť&#x;i hᝇ thᝊc truy háť“i và ᝊng d᝼ngâ€?

Dãy sᝑ nà y đưᝣc g�i là dãy sᝑ Phibônaxi.

3. Tính chẼt cᝧa dãy sᝑ.

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tÄ&#x192;ng náşżu váť&#x203A;i máť?i n ta cĂł un< un+1.

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; giảm náşżu váť&#x203A;i máť?i n ta cĂł un> un+1.

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; báť&#x2039; chạn trĂŞn náşżu táť&#x201C;n tấi máť&#x2122;t sáť&#x2018; M sao cho: â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2030;¤ (.

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; báť&#x2039; chạn dĆ°áť&#x203A;i náşżu táť&#x201C;n tấi máť&#x2122;t sáť&#x2018; m sao cho: â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2030;Ľ ).

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; báť&#x2039; chạn náşżu nĂł vᝍa báť&#x2039; chạn trĂŞn vᝍa báť&#x2039; chạn dĆ°áť&#x203A;i, nghÄŠa lĂ táť&#x201C;n tấi sáť&#x2018; M vĂ m sao cho : â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; , ) â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ (.

ChĂş Ă˝ :

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) tÄ&#x192;ng â&#x;ş + â&#x2C6;&#x2019; > 0, â&#x2C6;&#x20AC; .

- DĂŁy sáť&#x2018; (un) giảm â&#x;ş + â&#x2C6;&#x2019; < 0, â&#x2C6;&#x20AC; .

4. Giáť&#x203A;i hấn cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;.

a. DĂŁy sáť&#x2018; cĂł giáť&#x203A;i hấn 0.

- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť&#x2018; (un) cĂł giáť&#x203A;i hấn 0 náşżu váť&#x203A;i máť?i sáť&#x2018; dĆ°ĆĄng nháť? tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť&#x203A;c, máť?i sáť&#x2018; hấng cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;, káť&#x192; tᝍ máť&#x2122;t sáť&#x2018; hấng nĂ o Ä&#x2018;Ăł tráť&#x; Ä&#x2018;i, Ä&#x2018;áť u cĂł giĂĄ tráť&#x2039; tuyáť&#x2021;t Ä&#x2018;áť&#x2018;i nháť? hĆĄn sáť&#x2018; dĆ°ĆĄng Ä&#x2018;Ăł.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta viáşżt :

lim(un) = 0 hoạc limun = 0 hoạc â&#x;ś 0

limun = 0 â&#x;ş 1 > 0, â&#x2C6;&#x20AC; 2 â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; : > 2 â&#x;š | | < 1.

- Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 1: Cho hai dĂŁy sáť&#x2018; (un) vĂ (vn)

Náşżu | | â&#x2030;¤ váť&#x203A;i máť?i n vĂ limvn = 0 thĂŹ limun = 0.

- Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 2: Náşżu |6| < 1 thĂŹ limqn = 0. b. DĂŁy sáť&#x2018; cĂł giáť&#x203A;i hấn hᝯu hấn.

- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť&#x2018; (un) cĂł giáť&#x203A;i hấn lĂ sáť&#x2018; tháťąc L náşżu lim(un â&#x20AC;&#x201C; L) = 0.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta viáşżt : lim(un) =L hoạc limun = L hoạc â&#x;ś 7. DĂŁy sáť&#x2018; cĂł giáť&#x203A;i hấn lĂ máť&#x2122;t sáť&#x2018; tháťąc gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; cĂł giáť&#x203A;i hấn hᝯu hấn.

- Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 3: Giả sáť­ limun = A, limvn = B vĂ c lĂ máť&#x2122;t háşąng sáť&#x2018;. Khi Ä&#x2018;Ăł : lim(un + vn) = A + B ;

lim(un â&#x20AC;&#x201C; vn) = A â&#x20AC;&#x201C; B,

lim(un.vn) = A.B; lim(cun) = cA ; GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

4

8 )

9 = áşż : â&#x2030; 0 . :

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

- Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 4:(Táť&#x2022;ng cᝧa cẼp sáť&#x2018; nhân lĂši vĂ´ hấn)

CẼp sáť&#x2018; nhân vĂ´ hấn u1, u1q, u1q2, â&#x20AC;Ś, u1.qn, â&#x20AC;Ś cĂł cĂ´ng báť&#x2122;i q váť&#x203A;i |6| < 1 gáť?i lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân lĂši vĂ´ hấn. =>

?

S = u1 + u1q + u1q2 + â&#x20AC;Ś + u1.qn + â&#x20AC;Ś = c. DĂŁy sáť&#x2018; cĂł giáť&#x203A;i hấn vĂ´ cáťąc.

.

- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť&#x2018; (un) cĂł giáť&#x203A;i hấn lĂ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; náşżu váť&#x203A;i máť&#x2014;i sáť&#x2018; dĆ°ĆĄng tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť&#x203A;c, máť?i sáť&#x2018; hấng cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;, káť&#x192; tᝍ máť&#x2122;t sáť&#x2018; hấng nĂ o Ä&#x2018;Ăł tráť&#x; Ä&#x2018;i, Ä&#x2018;áť u láť&#x203A;n hĆĄn sáť&#x2018; dĆ°ĆĄng Ä&#x2018;Ăł. Khi Ä&#x2018;Ăł ta viáşżt : lim(un) = +â&#x2C6;&#x17E; hoạc limun = +â&#x2C6;&#x17E; hoạc â&#x;ś +â&#x2C6;&#x17E;

- Ta nĂłi ráşąng dĂŁy sáť&#x2018; (un) cĂł giáť&#x203A;i hấn lĂ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; náşżu váť&#x203A;i máť&#x2014;i sáť&#x2018; âm tĂšy Ă˝ cho trĆ°áť&#x203A;c, máť?i sáť&#x2018; hấng cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;, káť&#x192; tᝍ máť&#x2122;t sáť&#x2018; hấng nĂ o Ä&#x2018;Ăł tráť&#x; Ä&#x2018;i, Ä&#x2018;áť u bĂŠ hĆĄn sáť&#x2018; âm Ä&#x2018;Ăł.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta viáşżt: lim(un) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;hoạc limun = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; hoạc â&#x;ś â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

- Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 5: Náşżu 8 )| | = +â&#x2C6;&#x17E; Aâ&#x201E;&#x17D;ĂŹ 8 ) 5. CĂĄc táť&#x2022;ng Ä&#x2018;ạc biáť&#x2021;t.

=C

=0

1+ 2+ 3+â&#x2039;Ż+ =

+ 1 2

1 + 2 + 3 + â&#x2039;Ż+ =

1F + 2F + 3F + â&#x2039;Ż + F =

II. CẤP Sáť? Cáť&#x2DC;NG â&#x20AC;&#x201C; CẤP Sáť? NHĂ&#x201A;N. 1. CẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng

a. Ä?áť&#x2039;nh nghÄŠa: DĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

+

+ 1 2 + 1 6 + 1 4

=

= + H, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014;

(a, d lĂ hai sáť&#x2018; tháťąc cho trĆ°áť&#x203A;c) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng.

- a lĂ sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu tiĂŞn.

- d lĂ cĂ´ng sai.

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

5

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Ä?ạc biáť&#x2021;t khi d = 0 thĂŹ (un) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; trong Ä&#x2018;Ăł tẼt cả cĂĄc sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;áť u báşąng nhau vĂ gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; khĂ´ng Ä&#x2018;áť&#x2022;i. b. CĂĄc tĂ­nh chẼt: Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 1: Ba sáť&#x2018; un, un+1, un+2 lĂ ba sáť&#x2018; hấng liĂŞn tiáşżp cᝧa cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng (un) náşżu: 1 + = + + . 1 2

Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 2: Sáť&#x2018; hấng thᝊ n cᝧa cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng (un) Ä&#x2018;ưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc: = + â&#x2C6;&#x2019; 1 H. 2

Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 3: Táť&#x2022;ng cᝧa n sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu tiĂŞn (kĂ­ hiáť&#x2021;u lĂ Sn) cᝧa cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng (un) Ä&#x2018;ưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc : I = + + F + â&#x2039;Ż + =

2. CẼp sáť&#x2018; nhân.

+ 3 = J2 + â&#x2C6;&#x2019; 1 HK 3â&#x20AC;˛ 2 2

=

â&#x2C6;&#x2014; + = . 6, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;

a. Ä?áť&#x2039;nh nghÄŠa: DĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

(a, q lĂ hai sáť&#x2018; tháťąc khĂĄc 0 cho trĆ°áť&#x203A;c) Ä&#x2018;ưᝣc gáť?i lĂ cẼp sáť&#x2018; nhân.

- a lĂ sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu tiĂŞn.

- q lĂ cĂ´ng báť&#x2122;i. Ä?ạc biáť&#x2021;t khi q = 1 thĂŹ (un) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; trong Ä&#x2018;Ăł tẼt cả cĂĄc sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;áť u báşąng nhau vĂ gáť?i lĂ dĂŁy sáť&#x2018; khĂ´ng Ä&#x2018;áť&#x2022;i. b. CĂĄc tĂ­nh chẼt: Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 1: Ba sáť&#x2018; un, un+1, un+2 lĂ ba sáť&#x2018; hấng liĂŞn tiáşżp cᝧa cẼp sáť&#x2018; nhân (un) náşżu: + = . + . 4

Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 2: Sáť&#x2018; hấng thᝊ n cᝧa cẼp sáť&#x2018; nhân (un) Ä&#x2018;ưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc: = . 6 . 5

Ä?áť&#x2039;nh lĂ­ 3: Táť&#x2022;ng cᝧa n sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu tiĂŞn (kĂ­ hiáť&#x2021;u lĂ Sn) cᝧa cẼp sáť&#x2018; nhân (un) Ä&#x2018;ưᝣc cho báť&#x;i cĂ´ng thᝊc : 6 â&#x2C6;&#x2019; 1 I = + + F + â&#x2039;Ż + = . . 6 6â&#x2C6;&#x2019;1

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

6

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

B. Náť&#x2DC;I DUNG I. XĂ C Ä?áť&#x160;NH Sáť? Háş NG Táť&#x201D;NG QUĂ TCᝌA DĂ&#x192;Y Sáť? CHO Báť&#x17E;I Háť&#x2020; THᝨC TRUY Háť&#x2019;I Phần dĂŁy sáť&#x2018; trong chĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä?ấi sáť&#x2018; & Giải tĂ­ch 11, khi Ä&#x2018;áť cáş­p Ä&#x2018;áşżn bĂ i toĂĄn tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt thĆ°áť?ng sáť­ d᝼ng phĆ°ĆĄng phĂĄp quy nấp Ä&#x2018;áť&#x192; chᝊng minh. PhĆ°ĆĄng phĂĄp nĂ y cháť&#x2030; khả thi khi chĂşng ta biáşżt trĆ°áť&#x203A;c cĂ´ng thᝊc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt, hoạc dáťą Ä&#x2018;oĂĄn Ä&#x2018;ưᝣc nĂł. Trong nhiáť u trĆ°áť?ng hᝣp chĂşng ta chĆ°a biáşżt trĆ°áť&#x203A;c vĂ cĹŠng khĂ´ng dáťą Ä&#x2018;oĂĄn Ä&#x2018;ưᝣc cĂ´ng thᝊc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt thĂŹ phĆ°ĆĄng phĂĄp trĂŞn khĂ´ng khả thi.

VĂŹ váş­y, phần nĂ y sáş˝ xây dáťąng cĂĄch xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh cĂ´ng thᝊc táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa máť&#x2122;t sáť&#x2018; dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i Ä&#x2018;ạc biáť&#x2021;t (cĂĄc bĂ i toĂĄn váť dĂŁy sáť&#x2018; chᝧ yáşżu Ä&#x2018;ưᝣc cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i dấng nĂ y) dáťąa vĂ o cĂĄc kiáşżn thᝊc Ä&#x2018;ĂŁ biáşżt váť cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng, cẼp sáť&#x2018; nhân vĂ Ä&#x2018;ạc biáť&#x2021;t lĂ cĂĄch láťąa cháť?n cĂĄc dĂŁy sáť&#x2018; ph᝼ thĂ­ch hᝣp.

1. CĂĄc vĂ­ d᝼ Ä&#x2018;ĆĄn giản.

VĂ­ d᝼ 1: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 3

= + 2, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 Giải

Ta thẼy dĂŁy sáť&#x2018; (un) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng, váť&#x203A;i u1=3, cĂ´ng sai d = 2. Ă p d᝼ng káşżt quả (2) ta cĂł un = 3 + (n-1)2 = 2n + 1 Váş­y un = 2n + 1â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

VĂ­ d᝼ 2: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= â&#x2C6;&#x2019;2 . = 3 , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 Giải

Ta thẼy dĂŁy sáť&#x2018; (un) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân, váť&#x203A;i u1=-2, cĂ´ng báť&#x2122;iq = 3. Ă p d᝼ng káşżt quả (4) ta cĂł un = -2.3n-1

Váş­y un = -2.3n-1â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

2. TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i. áť&#x17E; phần 1 ta thẼy viáť&#x2021;c xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho lĂ khĂĄ Ä&#x2018;ĆĄn giản khi ĂĄp d᝼ng tráťąc tiáşżp cĂĄc káşżt quả Ä&#x2018;ĂŁ cĂł váť cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng vĂ cẼp sáť&#x2018;

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

7

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

nhân. Tuy nhiĂŞn tháťąc táşż cĂĄc bĂ i toĂĄn chĂşng ta gạp hầu háşżt Ä&#x2018;áť u khĂ´ng Ä&#x2018;ĆĄn giản nhĆ° tháşż, cháşłng hấn dĂŁy sáť&#x2018; :

= 2 . = 3 + 2 â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2

áť&#x17E; Ä&#x2018;ây ta nháş­n thẼy trong háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i thĂŹ háť&#x2021; sáť&#x2018; Ä&#x2018;i kèm un-1 khĂĄc 1 do Ä&#x2018;Ăł nĂł khĂ´ng phải lĂ cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng, Ä&#x2018;áť&#x201C;ng tháť?i háť&#x2021; sáť&#x2018; Ä&#x2018;i kèm khĂĄc 0 nĂŞn nĂł khĂ´ng lĂ cẼp sáť&#x2018; nhân ddĆĄn thuần.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta lĂ m tháşż nĂ o Ä&#x2018;áť&#x192; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho?

Sau Ä&#x2018;ây ta sáş˝ nghiĂŞn cᝊu cĂĄch tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; trĂŞn.

VĂ­ d᝼ 3: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i:

= 2 . = 3 + 2 â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 Giải

Váť&#x203A;i bĂ i toĂĄn nĂ y thĂŹ cĂ´ng viáť&#x2021;c khĂ´ng còn Ä&#x2018;ĆĄn giản, vĂŹ dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho khĂ´ng phải lĂ cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng hay cẼp sáť&#x2018; nhân, ta sáş˝ giải bĂ i toĂĄn nĂ y váť&#x203A;i tĆ° tĆ°áť&#x;ng cáť&#x2018; gắng Ä&#x2018;Ć°a dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho váť dấng máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân.

Gáť?i (vn) lĂ máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; sao cho un = vnâ&#x20AC;&#x201C; 1(1). Suy ra v1 = 3 VĂ tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i â&#x2C6;&#x2014; ta cĂł :

â&#x2C6;&#x2019; 1 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 â&#x;ş = 3.

NhĆ° váş­y (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân váť&#x203A;i sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu v1 = 3 vĂ cĂ´ng báť&#x2122;i q = 3, nĂŞn ta cĂł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt vn=3.3n-1=3n Thay vĂ o (1) ta cĂł un = 3n â&#x20AC;&#x201C; 1, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

Nháş­n xĂŠt: MẼu cháť&#x2018;t cᝧa cĂĄch lĂ m trĂŞn lĂ ta Ä&#x2018;ạt un = vn â&#x20AC;&#x201C; 1, vĂ thay vĂ o háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i cᝧa (un) ta dáť&#x2026; dĂ ng suy ra (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân. Tᝍ Ä&#x2018;Ăł suy ra káşżt quả bĂ i toĂĄn.

Váş­y câu háť?i Ä&#x2018;ạt ra lĂ ÂŤtấi sao lấi Ä&#x2018;ạt un=vnâ&#x20AC;&#x201C; 1?Âť, ÂŤ con sáť&#x2018; -1 tᝍ Ä&#x2018;âu mĂ cĂł ? Âť. Quay lấi vĂ­ d᝼ trĂŞn ta thẼy náşżu khĂ´ng cĂł sáť&#x2018; ÂŤ 2 Âť trong háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i = 3 + 2 thĂŹ dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân, do Ä&#x2018;Ăł viáť&#x2021;c xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; nĂ y lĂ Ä&#x2018;ĆĄn giản.VĂŹ váş­y ta tĂŹm cĂĄch ÂŤ loấi báť? Âť sáť&#x2018; ÂŤ 2 ÂťÄ&#x2018;áť&#x192; Ä&#x2018;Ć°a dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho tráť&#x; thĂ nh máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân báşąng cĂĄch Ä&#x2018;ạt un = vn + c, thay vĂ o háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i (*) ta cĂł vn = 3vn-1 + 2c + 2. Ta cháť?n c sao cho 2c + 2 = 0, suy ra c = -1. Do Ä&#x2018;Ăł mĂ ta cĂł cĂĄch Ä&#x2018;ạt nhĆ° trĂŞn ......

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

8

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Táť&#x2022;ng quĂĄt :Váť&#x203A;i cĂĄch lĂ m nhĆ° trĂŞn ta xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh Ä&#x2018;ưᝣc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= N .

=

+ !, â&#x2030;Ľ 2

- Náşżu a = 1 thĂŹ (un) lĂ cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng váť&#x203A;i cĂ´ng sai d = b, nĂŞn ta cĂł un= N + (n-1)b.

- Náşżu â&#x2030; 1, ta gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; cĂł cĂĄc sáť&#x2018; hấng tháť?a mĂŁn un = vn + c, thay vĂ o háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i ta cĂł vn = avn-1 + (a-1)c + b. + Ta cháť?n c sao cho (a-1)c + b = 0 hay = P O

+ Khi Ä&#x2018;Ăł (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân váť&#x203A;i cĂ´ng báť&#x2122;i q = a, sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu v1=u1-c, tᝊc lĂ v1 = N â&#x2C6;&#x2019;

O

P

.

Do Ä&#x2018;Ăł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt

Suy ra

= QN â&#x2C6;&#x2019;

= QN â&#x2C6;&#x2019;

Vậy ta có kết quả sau:

!

R . , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 1â&#x2C6;&#x2019;

! ! , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 R . + 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;

= N Dấng 1 : DĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i = . (a, b lĂ cĂĄc sáť&#x2018; tháťąc

+ !, â&#x2030;Ľ 2 khĂĄc 0) cĂł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt nhĆ° sau: N + â&#x2C6;&#x2019; 1 ! áşż = 1

! ! = S

+ , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 2 áşż â&#x2030; 1 QN â&#x2C6;&#x2019; R. 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;

NhĆ° váş­y ta Ä&#x2018;ĂŁ giải quyáşżt xong trĆ°áť?ng hᝣp b trong biáť&#x192;u thᝊc truy háť&#x201C;iÄ&#x2018;i kèm lĂ háşąng sáť&#x2018;, sau Ä&#x2018;ây ta sáş˝ xĂŠt máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; mĂ b lĂ máť&#x2122;t biáť&#x192;u thᝊc f(n).

VĂ­ d᝼ 4: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 1 .

= 2 + 3 â&#x2C6;&#x2019; 2, â&#x2030;Ľ 2 Giải

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

9

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Váť&#x203A;i tĆ° tĆ°áť&#x;ng nhĆ° áť&#x; vĂ­ d᝼ 3. Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; trĂŞn ta sáş˝ tĂŹm cĂĄch lĂ m mẼt Ä&#x2018;i ÂŤ 3n-2 Âť, vĂ Ä&#x2018;Ć°a dĂŁy sáť&#x2018; Ä&#x2018;ĂŁ cho váť cẼp sáť&#x2018; nhân.

Muáť&#x2018;n váş­y ta gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn un = vn + an + b.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł: vn = 2[vn-1+a(n-1)+b]- an â&#x20AC;&#x201C; b + 3n â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x;şvn = 2vn-1 + (a + 3)n - 2a + b â&#x20AC;&#x201C; 2

Ta cháť?n a, b sao cho (a + 3)n - 2a + b â&#x20AC;&#x201C; 2 = 0 â&#x2C6;&#x20AC; â&#x;ş

NhĆ° váş­y ta cĂł un=vn - 3n â&#x20AC;&#x201C; 4

= â&#x2C6;&#x2019;3 ! = â&#x2C6;&#x2019;4

= 8 lĂ cẼp sáť&#x2018; nhân, do Ä&#x2018;Ăł vn = 8.2n-1=2n+2. â&#x;š(vn) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i = 2

Váş­y un = 2n+2 - 3n â&#x20AC;&#x201C; 4 â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2030;Ľ 1.

Táť&#x2022;ng quĂĄt :Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= N .

=

+ , â&#x2030;Ľ 2

Váť&#x203A;i f(n) Ä&#x2018;a lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k, ta lĂ m nhĆ° sau: Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn un = vn + g(n).

Khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł

vn = avn-1 + ag(n-1) â&#x20AC;&#x201C; g(n) + f(n).

Ta láťąa cháť?n g(n) thĂ­ch hᝣp sao cho ag(n-1) â&#x20AC;&#x201C; g(n) + f(n) = 0 â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2014; â&#x;š = U â&#x2C6;&#x2019; U â&#x2C6;&#x2019; 1

Do Ä&#x2018;Ăł tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i ta cĂł

un â&#x20AC;&#x201C; g(n) = a[un-1 â&#x20AC;&#x201C; g(n-1)]=[un-2 â&#x20AC;&#x201C; g(n-2)]a2 =â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś=[u1 â&#x20AC;&#x201C; g(1)]an-1.

Váş­y un = [u1 â&#x20AC;&#x201C; g(1)]an-1+ g(n).

VẼn Ä&#x2018;áť áť&#x; Ä&#x2018;ây lĂ ta cháť?n g(n) nhĆ° tháşż nĂ o cho thĂ­ch hᝣp?

- Náşżu a = 1 thĂŹ U â&#x2C6;&#x2019; U â&#x2C6;&#x2019; 1 cĂł báş­c nháť? hĆĄn k(lĂ báş­c cᝧa f(n)), do Ä&#x2018;Ăł ta cháť?n g(n) lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k+1, vĂ Ä&#x2018;áť&#x192; Ä&#x2018;ĆĄn giản ta cháť?n háť&#x2021; sáť&#x2018; táťą do báşąng khĂ´ng. Ä?áť&#x192; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh cĂĄc háť&#x2021; sáť&#x2018; cᝧa g(n) tᝍ (*) ta cho cĂĄc háť&#x2021; sáť&#x2018; cᝧa Ä&#x2018;a thᝊc báşąng 0.

- Náşżu â&#x2030; 1 thĂŹ U â&#x2C6;&#x2019; U â&#x2C6;&#x2019; 1 cĂł báş­c k cĂšng báş­c váť&#x203A;i f(n), do Ä&#x2018;Ăł ta cháť?n g(n) lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k. Ä?áť&#x192; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh cĂĄc háť&#x2021; sáť&#x2018; cᝧa g(n) tᝍ (*) ta cho cĂĄc háť&#x2021; sáť&#x2018; cᝧa Ä&#x2018;a thᝊc báşąng 0.

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

10

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

*) Váş­y ta cĂł káşżt quả sau: Dấng 2 : Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= N .

=

+ , â&#x2030;Ľ 2

Váť&#x203A;i f(n) Ä&#x2018;a lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k, a vĂ N lĂ háşąng sáť&#x2018;, ta lĂ m nhĆ° sau:

Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn, un = vn + g(n), tᝍ Ä&#x2018;Ăł suy ra = U â&#x2C6;&#x2019; U â&#x2C6;&#x2019; 1 , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

Ta cĂł Ä&#x2018;ưᝣc un = [u1 â&#x20AC;&#x201C; g(1)]an-1 + g(n).

ChĂş Ă˝: Náşżu a = 1 thĂŹ ta cháť?n g(n) lĂ Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k + 1 cĂł háť&#x2021; sáť&#x2018; táťą do báşąng 0, còn náşżu â&#x2030; 1 thĂŹ cháť?n g(n) lĂ Ä&#x2018;a thᝊc báş­c k.

Ta váş­n d᝼ng káşżt quả trĂŞn Ä&#x2018;áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; sau Ä&#x2018;ây.

VĂ­ d᝼ 5: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 3 .

= + 4 â&#x2C6;&#x2019; 2, â&#x2030;Ľ 2 Giải

Ta cĂł háť&#x2021; sáť&#x2018; a = 1.

Theo káşżt quả trĂŞn ta cĂł un = u1 â&#x20AC;&#x201C; g(1) + g(n), váť&#x203A;i g(n) = an2 + bn lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc báş­c 2 cĂł háť&#x2021; sáť&#x2018; táťą do báşąng 0, tháť?a mĂŁn â&#x2C6;&#x2019; 1 + ! â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; ! + 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014;

2 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 = 2 â&#x;ş (2a â&#x20AC;&#x201C; 4)n â&#x20AC;&#x201C; a + b + 2 = 0 â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; â&#x2021;&#x2019;

â&#x;ş

â&#x2C6;&#x2019; + ! + 2 = 0 !=0

Do Ä&#x2018;Ăł g(n) = 2n2. Váş­y = 2 + 1, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

Tiếp theo ta sẽ xÊt trư�ng hᝣp f(n) = W. XY

VĂ­ d᝼ 6:XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= â&#x2C6;&#x2019;1 .

= 3 + 2 , â&#x2030;Ľ 2 Giải

Tưƥng t᝹ cåc ví d᝼ trên.

Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn un = vn + a.2n.

Khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł vn = 3vn-1 + Z + 1[ 2 . Cháť?n a = -2. Suy ra un = vn - 2n+1.

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

11

= 3 . = 3

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł(vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

NhĆ° váş­y (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân váť&#x203A;i = 3 vĂ cĂ´ng báť&#x2122;i q = 3.

Do Ä&#x2018;Ăł vn = 3.3n-1=3n

Váş­y un = 3n â&#x20AC;&#x201C; 2n+1, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

Táť&#x2022;ng quĂĄt :Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= \2 .

=

+ !. N , â&#x2030;Ľ 2

a, b, x0 lĂ háşąng sáť&#x2018;, N â&#x2030; 1.Ta lĂ m nhĆ° sau:

Gáť?i (vn) lĂ máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn un = vn + ]. N .

Khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł = + !. N â&#x2C6;&#x2019; ]. N + ] . N .

Cháť?n k sao cho !. N â&#x2C6;&#x2019; ]. N + ] . N = 0 â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; . â&#x;š !. N = ]. N â&#x2C6;&#x2019; ] . N

Tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i ban Ä&#x2018;ầu ta cĂł:

â&#x2C6;&#x2019; ]. N = â&#x2C6;&#x2019; ]. N = â&#x2C6;&#x2019; ]. N

= â&#x2039;Ż = â&#x2C6;&#x2019; ]. N . .

Váş­y = â&#x2C6;&#x2019; ]. N . + ]. N váť&#x203A;i ] =

O^

^ P

â&#x2030; N .

TrĆ°áť?ng hᝣp = N, ta phân tĂ­ch N = . N â&#x2C6;&#x2019; N â&#x2C6;&#x2019; 1 . N , khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł

â&#x2C6;&#x2019; ! . N = NJ â&#x2C6;&#x2019; ! â&#x2C6;&#x2019; 1 . N K = â&#x2039;Ż = J â&#x2C6;&#x2019; !N KN .

â&#x;š = N + ! â&#x2C6;&#x2019; 1 N , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; .

Vậy ta có kết quả sau :

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

12

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Dấng 3 : TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= \2 .

=

+ !. N , â&#x2030;Ľ 2 Váť&#x203A;i a, b, x0 vĂ N lĂ háşąng sáť&#x2018;:

- Náşżu = N â&#x;š = N + ! â&#x2C6;&#x2019; 1 N , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; - Náşżu â&#x2030; N ta gáť?i gáť?i (vn) lĂ máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn un = vn+ ]. N .

Cháť?n k sao cho !. N â&#x2C6;&#x2019; ]. N + ] . N = 0 â&#x2C6;&#x2014; , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; . â&#x;š !. N = ]. N â&#x2C6;&#x2019; ] . N

Ta Ä&#x2018;ưᝣc = â&#x2C6;&#x2019; ]. N . + ]. N , áť&#x203A; ] = ^ P. O^

Tᝍ Dấng 3 ta cĂł tháť&#x192; xây dáťąng cĂĄch tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; áť&#x; dấng sau: Dấng 4 :TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i :

= \2 .

=

+ !. N + . _ , â&#x2030;Ľ 2

Váť&#x203A;i a, b, c, x0,N Ă _ lĂ háşąng sáť&#x2018;

áť&#x17E; trĂŞn ta Ä&#x2018;ĂŁ nghiĂŞn cᝊu cĂĄch xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa máť&#x2122;t sáť&#x2018; dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i áť&#x; dấng un = f(un-1). Sau Ä&#x2018;ây ta sáş˝ nghiĂŞn cᝊu phĆ°ĆĄng phĂĄp Ä&#x2018;áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa máť&#x2122;t vĂ i dấng dĂŁy sáť&#x2018; mĂ un = f(un-1, un-2).

VĂ­ d᝼ 7: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 4, = 20 .

= 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 , â&#x2030;Ľ 3 Giải

Ta cĂł = 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019; 2 = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 Gáť?i (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn = â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2014; .

Suy ra (vn) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

= 12 , lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân nĂŞn = 2

= 12. 2 â&#x;š = 3. 2 +

Do Ä&#x2018;Ăł = 3. 2 , thay vĂ o (*) ta cĂł = 2 + 3. 2

NhĆ° váş­y ta cĂł (un) lĂ máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

= 4

= 2 + 3. 2

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

13

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Ä?áşżn Ä&#x2018;ây Ä&#x2018;Ć°a bĂ i toĂĄn váť dấng 3 áť&#x; trĂŞn vĂ ta dáť&#x2026; dĂ ng tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc = 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 2

Tᝍ vĂ­ d᝼ trĂŞn suy ra cĂĄch xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; sau: Dấng 5 : Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= \ , = \ .

=

+ !. , â&#x2030;Ľ 3

Váť&#x203A;i a, b, x1 vĂ x2 lĂ háşąng sáť&#x2018; vĂ â&#x2C6;&#x2019; 4! â&#x2030;Ľ 0, ta lĂ m nhĆ° sau: N + _ = - TĂŹm 2 sáť&#x2018; N Ă _d â&#x201E;&#x17D; N. _ = â&#x2C6;&#x2019;!

- Ta cĂł â&#x2C6;&#x2019; N = _ â&#x2C6;&#x2019; N , xĂŠt dĂŁy sáť&#x2018; (vn) tháť?a mĂŁn

= â&#x2C6;&#x2019; N , suy ra (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân, do Ä&#x2018;Ăł dáť&#x2026; dĂ ng tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc vn. Tᝍ Ä&#x2018;Ăł Ä&#x2018;Ć°a váť dĂŁy sáť&#x2018; Dấng 3 vĂ suy ra káşżt quả.

VĂ­ d᝼ 8: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 2, = 3 .

= 7 â&#x2C6;&#x2019; 12 , â&#x2030;Ľ 3

Gáť?i N Ă _ lĂ hai sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn

Giải

N + _ = 7 N = 3 â&#x;ş _=4 N. _ = 12

Khi Ä&#x2018;Ăł tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i, ta cĂł

â&#x2C6;&#x2019; 3 = 4 â&#x2C6;&#x2019; 3

= â&#x2C6;&#x2019;3 lĂ máť&#x2122;t Ä?ạt = â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2014; â&#x;š(vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

= 4

cẼp sáť&#x2018; nhân, do Ä&#x2018;Ăł = â&#x2C6;&#x2019;3. 4 .

Tᝍ (*) suy ra :

= 3 â&#x2C6;&#x2019; 3. 4 â&#x201E;&#x17D; b = 3 â&#x2C6;&#x2019;

NhĆ° váş­y (un) lĂ máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

= 2

3 c = 3 â&#x2C6;&#x2019; 4 16

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

3 4 16

14

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Theo Dấng 3 ta có

= 5. 3 â&#x2C6;&#x2019; 3. 4 , â&#x2030;Ľ 1

ChĂş Ă˝ :Váť&#x203A;i cĂĄch lĂ m tĆ°ĆĄng táťą káşżt hᝣp cảDấng 3, 4, 5ta sáş˝ xây dáťąng Ä&#x2018;ưᝣc phĆ°ĆĄng phĂĄp tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť&#x2018; cho áť&#x; dấng sau : Dấng 6 : TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= \ , = \ .

=

+ !. + , â&#x2030;Ľ 3

Váť&#x203A;i a, b, x1 vĂ x2 lĂ háşąng sáť&#x2018; vĂ â&#x2C6;&#x2019; 4! â&#x2030;Ľ 0, f(n) lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc Ẋn n.

Dấng 7 : TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= \ , = \ .

=

+ !. + . N , â&#x2030;Ľ 3

Váť&#x203A;i a, b, x1, x2vĂ N > 0lĂ háşąng sáť&#x2018; vĂ â&#x2C6;&#x2019; 4! â&#x2030;Ľ 0, f(n) lĂ máť&#x2122;t Ä&#x2018;a thᝊc Ẋn n.

CĂĄc Dấng toĂĄn trĂŞn ta Ä&#x2018;ĂŁ tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa cĂĄc dĂŁy sáť&#x2018; mĂ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i lĂ máť&#x2122;t biáť&#x192;u thᝊc tuyáşżn tĂ­nh. Sau Ä&#x2018;ây ta sáş˝ tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; mĂ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i áť&#x; dấng phi tuyáşżn váť&#x203A;i háť&#x2021; sáť&#x2018; háşąng Ä&#x2018;ĆĄn giản.

Ta xĂŠt máť&#x2122;t vĂ i vĂ­ d᝼ nhĆ° sau : VĂ­ d᝼ 9: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 2 c = .

2 + 3

Giải

Ta cĂł

=

1 2 â&#x;ş = +3

2 + 3

Ä?ạt = = thĂŹ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

C

c

=

1 2

= 2 + 3

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł theo Dấng 1 ta dáť&#x2026; dĂ ng cĂł Ä&#x2018;ưᝣc = 7. 2 â&#x2C6;&#x2019; 3.

Váş­y

=

1

7. 2

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

â&#x2C6;&#x2019;3 15

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

VĂ­ d᝼ 10: XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= 2 2 + 1 S . = â&#x2C6;&#x2014;

+ 2 Giải

Viáť&#x2021;c tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; nĂ y lấi khĂ´ng Ä&#x2018;ĆĄn giản nhĆ° vĂ­ d᝼ trĂŞn nᝯa vĂŹ ta thẼy áť&#x; táť­ sáť&#x2018; cĂł cả háť&#x2021; sáť&#x2018; táťą do. VĂŹ váş­y ta tĂŹm cĂĄch lĂ m mẼt Ä&#x2018;i háť&#x2021; sáť&#x2018; táťą do cᝧa táť­ báşąng cĂĄch, Ä&#x2018;ạt = + A 1 , váť&#x203A;i t lĂ háşąng sáť&#x2018;. Thay vĂ o (*) ta cĂł : â&#x2C6;&#x2014; â&#x;ş =

2 â&#x2C6;&#x2019; A â&#x2C6;&#x2019; A + 1 2 + A + 1 â&#x2C6;&#x2019;A =

+ A + 2

+ A + 2

Cháť?n t sao cho â&#x20AC;&#x201C;t2 + 1 = 0 Do Ä&#x2018;Ăł xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

Ta cĂł:

Ä?ạt \ =

eC

â&#x2021;&#x2019; A = 1 â&#x2021;&#x2019; =

=

+ 3

= 1 c =

+ 3

1 3 â&#x;ş = +1

+ 3

2 thĂŹ dĂŁy sáť&#x2018; \ xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

\ = 1

\ = 3\ + 1

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł theo Dấng 1 ta dáť&#x2026; dĂ ng cĂł Ä&#x2018;ưᝣc

Thay vĂ o (2) ta cĂł:

1 \ = 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 2

1 1 2 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x;ş = 2

3 â&#x2C6;&#x2019;1

Tiếp t᝼c thay t = 1 và =

FC

vĂ o (1) ta cĂł:

2 3 + 1 = + 1 â&#x;ş = 3 â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019;1

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

16

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

Tᝍ hai vĂ­ d᝼ trĂŞn ta cĂł káşżt quả sau : Dấng 8: Ä?áť&#x192; tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

= N c = + !.

i + 6 Váť&#x203A;i N, a, b, p vĂ q lĂ háşąng sáť&#x2018;, ta lĂ m nhĆ° sau:

- Ä?ạt = + A, ta cĂł : â&#x2C6;&#x2019; iA â&#x2C6;&#x2019; iA + â&#x2C6;&#x2019; 6 A + ! = i + iA + 6 - Ta cháť?n A = A2 sao cho â&#x2C6;&#x2019;iA2 + â&#x2C6;&#x2019; 6 A2 + ! = 0.

- Khi Ä&#x2018;Ăł ta cĂł : â&#x2C6;&#x2019; iA2

1 iA2 + 6 i = â&#x;ş = + i + iA2 + 6 â&#x2C6;&#x2019; iA2 â&#x2C6;&#x2019; iA2 - Tᝍ Ä&#x2018;ây Ä&#x2018;ạt \ =

eC

, tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc (xn) suy ra (vn) vĂ cĂł Ä&#x2018;ưᝣc (un).â&#x2C6;&#x17D;

II. ᝨNG DᝤNG BĂ&#x20AC;I TOĂ N TĂ&#x152;M Sáť? Háş NG Táť&#x201D;NG QUĂ T VĂ&#x20AC;O Máť&#x2DC;T Sáť?

BĂ&#x20AC;I TOĂ N Váť&#x20AC; DĂ&#x192;Y Sáť?.

Trong phần nĂ y chĂşng ta sáş˝ cĂšng nhau xem xĂŠt máť&#x2122;t sáť&#x2018; ᝊng d᝼ng rẼt hiáť&#x2021;u quả cᝧa bĂ i toĂĄn tĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; nhĆ°: TĂ­nh giáť&#x203A;i hấn cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;, chᝊng minh tĂ­nh báť&#x2039; chạn, tĂ­nh Ä&#x2018;ĆĄn Ä&#x2018;iáť&#x2021;u cᝧa dĂŁy sáť&#x2018;, tĂ­nh táť&#x2022;ng cᝧa máť&#x2122;t dĂŁy sáť&#x2018;, â&#x20AC;Ś VĂ­ d᝼ 1:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i : c +

TĂ­nh limun

Ä?ạt vn = un -

f

Ä&#x2018;áť&#x2039;nh nhĆ° sau:

Do Ä&#x2018;Ăł ta cĂł

g

= 10

1 = + 3, â&#x2030;Ľ 1 5 Giải

thĂŹ dáť&#x2026; dĂ ng chᝊng minh Ä&#x2018;ưᝣc dĂŁy sáť&#x2018; (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân xĂĄc

=

25 4

h 1 = , â&#x2030;Ľ 2 5

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

17

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

= 6

Suy ra

25 1

= .Q R 4 5

15 25 1 15 = .Q R + = + 4 4 5 4

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł ta Ä&#x2018;ưᝣc

25 1 15 15 8 ) = 8 ) k . Q R + l= â&#x2C6;&#x17D; 4 5 4 4

VĂ­ d᝼ 2 : Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) tháť?a mĂŁn

a. Ä?ạt =

+=C =C

c +

= â&#x2C6;&#x2019;2

= , â&#x2030;Ľ 1 1 â&#x2C6;&#x2019;

, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; , chᝊng minh (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng.

b. TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa (un) vĂ (vn). Tᝍ Ä&#x2018;Ăł tĂ­nh limun vĂ limvn.

Giải a. Ta có

=

Mạt khåc +

â&#x;š + = â&#x2C6;&#x2019; 1

1 + 1 1 â&#x;š = Ă = .

2 â&#x2C6;&#x2019; 1

1 eC

= â&#x;š = 1 â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; 1 1 â&#x2C6;&#x2019;

eC

=

1 â&#x2C6;&#x2019; 2

Váş­y (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng váť&#x203A;i = vĂ d = -1.â&#x2C6;&#x17D;

b. (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng do Ä&#x2018;Ăł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa (vn) lĂ :

= Váş­y

1 3 1 2 + â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; = = 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 1 â&#x2C6;&#x2019; 2

8 ) = 8 )

2 3 = 0 ; 8 ) = 8 ) Q â&#x2C6;&#x2019; R = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. â&#x2C6;&#x17D; 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 2

VĂ­ d᝼ 3: Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

18

2

= 3 . h

= , â&#x2030;Ľ 2 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

TĂ­nh

lim r s

â&#x;ś+q

st

Giải

Ta cĂł:

=

1 1 â&#x;š = + 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1

Ä?ạt = = , ta cĂł (vn) lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

C

3

c 2 = + 4 â&#x2C6;&#x2019; 2

=

Sáť­ d᝼ng cĂĄch giải bĂ i toĂĄn áť&#x; Dấng 2 ta tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc =

4 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 1 1 â&#x2021;&#x2019; = = â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 + 1 2

1 1 1 1 1 r s = + + â&#x2039;Ż + = Q1 â&#x2C6;&#x2019; R + Q â&#x2C6;&#x2019; R + â&#x2039;Ż + Q â&#x2C6;&#x2019; R 3 3 5 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 + 1 st

= 1â&#x2C6;&#x2019; Váş­y

1 2 = 2 + 1 2 + 1

2 = 1â&#x2C6;&#x17D; â&#x;ś+q 2 + 1

lim r s = lim

â&#x;ś+q

st

VĂ­ d᝼ 4:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 2, = 3

= 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 , â&#x2030;Ľ 3

Sáť&#x2018; 16385 cĂł náşąm trong dĂŁy (un) khĂ´ng? Náşżu cĂł thĂŹ dĂł lĂ sáť&#x2018; hấng thᝊ mẼy?

Giải Ta cĂł GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

19

= 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; = 2 â&#x2C6;&#x2019;

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

= 1 , tᝊc = 2.

lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; nhân do Ä&#x2018;Ăł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cảu nĂł lĂ = 2 .

Ä?ạt = â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2030;Ľ 2, thĂŹ lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i Khi Ä&#x2018;Ăł dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 2

= + 2 , â&#x2030;Ľ 2

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa lĂ : = 1 + 2

XĂŠt = 16385 â&#x;ş 1 + 2 = 16385 â&#x;ş = 15.

Váş­y 16385 lĂ sáť&#x2018; hấng thᝊ 15 cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; . â&#x2C6;&#x17D;

VĂ­ d᝼ 5:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 2013, = 2014

+ = 2 + â&#x2C6;&#x2019; + 3, â&#x2030;Ľ 1

a) TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt un

b) TĂ­nh táť&#x2022;ng n sáť&#x2018; hấng Ä&#x2018;ầu tiĂŞn Sn. Giải

a) Tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i ta cĂł + â&#x2C6;&#x2019; + = + â&#x2C6;&#x2019; + 3

Ä?ạt = + â&#x2C6;&#x2019; , ta cĂł dĂŁy sáť&#x2018; (vn) lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

= 1

= + 3

Do Ä&#x2018;Ăł sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt = 1 + â&#x2C6;&#x2019; 1 3 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 NhĆ° váş­y dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 2013

= + 3 â&#x2C6;&#x2019; 5

Suy ra = â&#x2C6;&#x2019; U 1 + U , váť&#x203A;i U = + ! áť&#x203A; , ! â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?

Sao cho 3 â&#x2C6;&#x2019; 5 = + ! â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; ! â&#x2C6;&#x2019; 1 , â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; â&#x;š 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; + ! + 2 = 0, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014;

3 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 0 2 â&#x;šh â&#x;şh 7 â&#x2C6;&#x2019; + ! + 5 = 0 !=â&#x2C6;&#x2019; 2 =

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

20

3 7 â&#x2C6;&#x2019; 2 2

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

â&#x;š U =

Váş­y sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; lĂ :

3 7 = â&#x2C6;&#x2019; + 2015, â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;â&#x2C6;&#x2014; 2 2

b. Sn = u1 + u2 + â&#x20AC;Ś + un

3 7 â&#x;š I = 1 + 2 + â&#x2039;Ż + â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 + 3 + â&#x2039;Ż + + 2015 2 2 3 + 1 2 + 1 7 + 1 = â&#x2C6;&#x2019; + 2015 2 6 2 2 Váş­y I = â&#x2C6;&#x2019; 3 + 1 + 2015 . â&#x2C6;&#x17D;

VĂ­ d᝼ 6:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i: u

= 1

+ = v3 + 2, â&#x2030;Ľ 1

a) XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un). b) TĂ­nh táť&#x2022;ng I = + + â&#x2039;Ż +

2

(HSG Long An 2011)

Giải

a) Tᝍ háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i ta cĂł + = 3 + 2, â&#x2030;Ľ 1

Ä?ạt = , thĂŹ lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i :

= 1

= 3 + 2, â&#x2030;Ľ 1

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł dáť&#x2026; dĂ ng tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc = 2. 3 â&#x2C6;&#x2019; 1.

Váş­y ta cĂł = â&#x2C6;&#x161;2. 3 â&#x2C6;&#x2019; 1, â&#x2030;Ľ 1â&#x2C6;&#x17D; b) Ta cĂł:

I = + + â&#x2039;Ż +

2

= 2. 32 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2. 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2. 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 + â&#x2039;Ż + 2. 3

= 2 32 + 3 + 3 + â&#x2039;Ż + 3 = 2.

3

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 2011 = 3 3â&#x2C6;&#x2019;1 2

2 2 2

â&#x2C6;&#x2019; 2011

2 2

â&#x2C6;&#x2019; 1

â&#x2C6;&#x2019; 2012. â&#x2C6;&#x17D;

VĂ­ d᝼ 7:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

21

1 2

3 + 4 = , â&#x2030;Ľ 1 2 + 1

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

z

y x +

TĂ­nh limun.

=

(HSG - TP HCM 2012-2013) Ä?ạt = \ + A, A â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?, ta cĂł

\ + =

Giải 3 â&#x2C6;&#x2019; 2A \ â&#x2C6;&#x2019; 2A + 2A + 4 2\ + 2A + 1

Cháť?n t sao cho â&#x2C6;&#x2019;2A + 2A + 4 = 0 â&#x2021;&#x2019; A = 2

Khi Ä&#x2018;Ăł (\ lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i : h

Tᝍ (*) ta có :

Ä?ạt b =

{C

\ +

1

\ +

3 \ = â&#x2C6;&#x2019; 2

\ =â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2014; â&#x2030;Ľ 1 2\ + 5

= â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;

5 ĂŹ \ â&#x2030; 0, â&#x2C6;&#x20AC; \

, thĂŹ b lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i : c

b +

2

3 = â&#x2C6;&#x2019;5b â&#x2C6;&#x2019; 2, â&#x2030;Ľ 1 b = â&#x2C6;&#x2019;

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł dáť&#x2026; dĂ ng tĂŹm Ä&#x2018;ưᝣc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; b lĂ : 1 1 b = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 3 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2021;&#x2019; \ = â&#x2C6;&#x2019;1 5 + 1

Váş­y

2. â&#x2C6;&#x2019;1 5 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2021;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;1 5 + 1

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

22

2. â&#x2C6;&#x2019;1 5 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 2â&#x2C6;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 5 + 1

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

8 ) = 8 )

VĂ­ d᝼ 8:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (xn) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i: TĂ­nh 8 )\ .

\ = 2005, \ = 2006

\ \ + \ + = 2\ . \ +

(Olympic 30/04/2006 â&#x20AC;&#x201C; ChuyĂŞn LĂ˝ Táťą Tráť?ng Cần ThĆĄ) Giải

Ta cĂł \ \ + \ + = 2\ . \ + â&#x2021;&#x2019; Ä?ạt b =

{C

{C

, thĂŹ b lĂ dĂŁy sáť&#x2018; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

=

{C|>

+

{C}>

1 1 ,b = c 2005 2006 b + = 2b â&#x2C6;&#x2019; b

b =

Tᝍ Ä&#x2018;Ăł dáť&#x2026; dĂ ng suy ra b lĂ máť&#x2122;t cẼp sáť&#x2018; cáť&#x2122;ng xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i 1 2005

h 1 b = b â&#x2C6;&#x2019; 2005.2006 b =

Do Ä&#x2018;Ăł ta cĂł

b =

Suy ra:

Váş­y

\ = 8 )\ = 8 )

â&#x2C6;&#x2019; + 2007 2005.2006

2005.2006 â&#x2C6;&#x2019; + 2007

2005.2006 = 0. â&#x2C6;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; + 2007

VĂ­ d᝼ 9: Cho dĂŁy sáť&#x2018; ( un ) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i

u1 = 4   1 un+1 = 9 un + 4 + 4 1 + 2un

(

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

)

â&#x2C6;&#x20AC;n â&#x2C6;&#x2C6; N *

.

23

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số.

(HSG Thái Nguyên 2011 – 2012) Giải Đặt xn = 1 + 2un ∀n ∈ N * Ta có xn ≥ 0 và xn2 = 1 + 2un , ∀n ∈ N * hay un =

xn2 − 1 2

Thay vào giả thiết, ta được:

xn2+1 − 1 1  xn2 − 1  =  + 4 + 4 xn  2 9 2  ⇔ 9 xn2+1 − 9 = xn2 − 1 + 8 + 8 xn 2

⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + 4 )

2

Suy ra: 3xn+1 = xn + 4 ∀n ∈ N * ( Do xn ≥ 0 , ∀n ∈ N * ) Hay 3n+1 xn+1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N * Đặt yn = 3n xn , ∀n ∈ N * . Ta có: yn+1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N * Từ đó yn +1 = y1 + 4 ( 3n + 3n −1 + ..... + 3) , ∀n ∈ N * Hay yn +1 = y1 − 6 + 2.3n +1 , ∀n ∈ N * Theo cách đặt ta có: x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3n .

Suy ra: xn = 2 +

1 , ∀n ∈ N * n −1 3

1 4 1  Do đó un =  3 + n −1 + 2 n− 2  , ∀n ∈ N * 2 3 3 

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

24

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

C. BĂ&#x20AC;I TẏP Ă P DᝤNG BĂ i 1: TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; (un) cho báť&#x;i:

u1 = 2  b)  1 1 * u = u +  n +1 3 n 3 (n â&#x2C6;&#x2C6; N )

u1 = 1 a)  * un +1 = 3un + 2(n â&#x2C6;&#x2C6; N ) c)

u1 = 2  * un +1 = un + 2n + 1(n â&#x2C6;&#x2C6; N )

d)

u1 = 1  2 * un +1 = un + n (n â&#x2C6;&#x2C6; N )

e)

u1 = 12  * un +1 = 5un â&#x2C6;&#x2019; 2n + 9(n â&#x2C6;&#x2C6; N )

f)

u1 = 1  n +1 * un +1 = 3un + 2 (n â&#x2C6;&#x2C6; N )

u1 = 2 g)  n * un +1 = 4un + 3 (n â&#x2C6;&#x2C6; N )

u1 = 1; u2 = 5 h)  * un + 2 = 5un +1 â&#x2C6;&#x2019; 6un (n â&#x2C6;&#x2C6; N )

i)

u1 = u2 = 1  j)  un â&#x2C6;&#x2019; 2un â&#x2C6;&#x2019;1 + un â&#x2C6;&#x2019;2 = 2; â&#x2C6;&#x20AC;n â&#x2030;Ľ 3

# = # = 1

# = # + # , áť&#x203A; â&#x2030;Ľ 3

BĂ i 2: Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i: S +

= 1

= 2 + v3 +

a) HĂŁy xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy (un). b) Chᝊng minh ráşąng

~ =C

~ =~C

liĂŞn tiáşżp váť&#x203A;i â&#x2030;Ľ 1.

â&#x2C6;&#x2019; 2 cĂł tháť&#x192; biáť&#x192;u diáť&#x2026;n thĂ nh táť&#x2022;ng cᝧa ba sáť&#x2018; táťą nhiĂŞn

BĂ i 3:Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 1, = 2

+ = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;2 + â&#x2C6;&#x2019;

a) HĂŁy xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy (un). b) TĂŹm cĂĄc giĂĄ tráť&#x2039; cᝧa n Ä&#x2018;áť&#x192; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;¤.

BĂ i 4: (Ä?áť thi OLYPIC 30 - 4 ToĂĄn 11 Lần thᝊ VIII - 2002) Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

25

= 0, = 0

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

u

un +1 â&#x2C6;&#x2019; 2un â&#x2C6;&#x2019; 3un â&#x2C6;&#x2019;1 = n + 2n

TĂŹm cĂ´ng thᝊc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt un .

BĂ i 5:Cho dĂŁy sáť&#x2018; ( xn ) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh nhĆ° sau  xn + 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 xn +1 + xn = 2   x0 = 1, x1 = 0

nâ&#x2C6;&#x2C6; N

XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh sáť&#x2018; táťą nhiĂŞn n sao cho xn +1 + xn = 22685

BĂ i 6: Cho dĂŁy sáť&#x2018; ( xn ) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh nhĆ° sau  xn + 2 + 8.xn +1 + 9.xn = 0   x0 = 2, x1 = â&#x2C6;&#x2019;8

nâ&#x2C6;&#x2C6; N

TĂ­nh giĂĄ tráť&#x2039; cᝧa biáť&#x192;u thᝊc A = x2006 â&#x2C6;&#x2019; 5.x2007 + 4

BĂ i 7:Cho dĂŁy sáť&#x2018; ( un ) thoả mĂŁn Ä&#x2018;iáť u kiáť&#x2021;n

un + 2 â&#x2C6;&#x2019; 2.un +1 + un = 2 nâ&#x2C6;&#x2C6; N  u = 1, u = 0 1  0

( n â&#x2030;Ľ 2)

Chᝊng minh ráşąng un lĂ máť&#x2122;t sáť&#x2018; chĂ­nh phĆ°ĆĄng.

BĂ i 8:(Ä?áť thi HSG Ä?áť&#x201C;ng ThĂĄp 2011) Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

= 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 S + = 2 â&#x2C6;&#x2019; 3

HĂŁy xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh cĂ´ng thᝊc sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt un.

BĂ i 9:(Ä?áť thi HSG HĂ Nam 2011 â&#x20AC;&#x201C; 2012) Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

z

1 6

3 = 2 + 1

=

y x +

a) Chᝊng minh dĂŁy sáť&#x2018; trĂŞn cĂł giáť&#x203A;i hấn, tĂŹm giáť&#x203A;i hấn Ä&#x2018;Ăł.

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

26

â&#x20AC;&#x153;TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; cho báť&#x;i háť&#x2021; thᝊc truy háť&#x201C;i và ᝊng d᝼ngâ&#x20AC;?

b) TĂŹm sáť&#x2018; hấng táť&#x2022;ng quĂĄt cᝧa dĂŁy sáť&#x2018; trĂŞn.

BĂ i 10: (HSG c᝼m Lấng Giang 2012 â&#x20AC;&#x201C; 2013) Cho dĂŁy sáť&#x2018; (un) xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh báť&#x;i:

TĂŹm

2 = 1, = 6

+ â&#x2C6;&#x2019; 3 + + 2 = 0 8 )

3. 2

GiĂĄo viĂŞn:Trần Thanh Vân â&#x20AC;&#x201C; THPT Káťł SĆĄn

27

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Phần 3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 1. Kết quả của việc ứng dụng SKKN a. Một số kết quả thực tế.

Trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng đưa một phần nội dung đề tài (Dạng 1 và Dạng 2) vào giảng dạy ở các lớp 11A, 11E trong hai tiết tự chọn của chương Dãy số. Sau khi thực hiện giảng dạy đại trà cho hai lớp tôi tiến hành cho làm bài kiểm tra 15 phút với nội dung như sau:

u1 = 2  “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi  .”

1 1 * = + ∈ u u ( n N )  n +1 3 n 3 Kết quả thu được như sau: Lớp Giải được

Có đường lối giải Không giải được

11A

80%

12%

8%

11E

70%

20%

10%

Các phần khó hơn trong nội dung của đề tài tôi dùng để ôn thi cho đội tuyển HSG cấp trường và cấp tỉnh. Qua kết quả của hai kỳ thi, khi gặp các bài toán về dãy số các em đều vận dụng thành thạo và hoàn thành tốt nội dung bài toán. Đặc biệt trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh hai học sinh trong đội tuyển của trường đều làm rất tốt bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số trong đề thi môn toán bảng B. b. Một số kết luận.

Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được một số kết quả tích cực như sau: 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở các bài toán cơ bản xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số.

2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.

3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo.

4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số theo các dạng đã có.

5) Khi sử dụng đề tài giảng dạy đã tạo được hứng thú học tập cho các em học sinh.

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

28

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

Tuy vậy, do thời gian thực hiện gấp rút, sự chuẩn bị về thời gian chưa thật đầy đủ nên đề tài cũng bộc lộ một số hạn chế nhất định.

1) Đề tài chỉ dừng lại ở các dãy số cho dưới dạng truy hồi đơn giản.

2) Đề tài chưa áp dụng các phương pháp liên quan đến toán cao cấp.

3) Các bài toán ứng dụng của đề tài chưa đa dạng và phong phú.

Vì vậy, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp, các em học sinh góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.

2. Kiến nghị, đề xuất.

Kính mong hội đồng xét duyệt đề tài có những góp ý thiết thực để đề tài được hoàn thiện hơn và có thể phổ biến rộng rãi cho bạn bè đồng nghiệp, các em học sinh. Qua đó góp phần thúc đẩy chất lượng dạy và học của nhà trường nói riêng và của nghành giáo dục nói chung.

Kỳ Sơn, tháng 4 năm 2015

Người viết đề tài

Trần Thanh Vân

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

29

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM DUYỆT ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

30

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng”

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục.

[2] Bài tập Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục.

[3] Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 11 – Nhóm Cự môn – NXB ĐHQG Hà Nội.

[4] Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXB ĐHQG Hà Nội.

[5] 500 bài toán chọn lọc Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXB ĐHQG Hà Nội.

[6] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 khối 11 – NXB Giáo dục.

[7] Các Website Mathvn.com, Violet.vn ……

Giáo viên:Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn

31