www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CHUYÊN Đề 9 - ỨNG DụNG TÍCH PHÂN
N
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
H Ơ
Diện tích hình thang cong:
Y
N
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ,
U
trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ). Giả sử
ẠO
Diện tích S của hình thang cong đó là: S = F ( b ) − F ( a ) .
Đ
Diện tích hình phẳng
G Ư N H
đoạn [ a; b ] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
TR ẦN
y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b là: b
S = ∫ f ( x ) dx .
B
a
10
00
Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
d
ẤP
2+
3
x = g ( y ) , trục tung và 2 đường thẳng y = c , y = d là: S y = ∫ g ( y ) dy . c b
∫ f ( x ) dx a
A
C
Mở rộng cho y = f ( x ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ a; b ] thì diện tích giới hạn như trên là: S =
thẳng x = a , x = b là:
-L
b
H
Ó
Đối với 2 đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Từ định nghĩa tích phân, với y = f ( x ) ≥ 0 và liên tục trên
ÁN
S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
TO
a
Chú ý:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
f là hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn [ a; b ] .
Ỡ N
G
- Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm y = f ( x ) và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm.
BỒ
ID Ư
- Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới.
- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn.
Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Thể tích khối tròn xoay b
∫
Thể tích vật thể tổng quát V = S ( x ) dx
N
a
H Ơ
Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi
N
y = f ( x ) , y = 0 (trục hoành) và x = a, x = b quanh trục
Y
b
∫
TP .Q
U
hoành: V = π y 2 dx a
d
Đ
V = π ∫ x 2 dy .
G Ư N
Chú ý:
TR ẦN
H
- Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm y = f ( x ) và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm.
- Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên.
10
00
B
- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thể tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn.
2+
3
2. CÁC BÀI TOÁN
ẤP
Bài toán 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = ( x + 2 ) e 2 x , trục hoành và 2 đường
3
Hướng dẫn giải
Ó
A
C
thẳng x = 0, x = 3 .
3
H
1 S = ∫ ( x + 2 ) e dx = ∫ ( x + 2 ) d ( e2 x ) 30 0
Í-
2x
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
c
3
3
TO
ÁN
1 1 1 1 3 = ( x + 2 ) e 2 x − ∫ e2 x dx = ( 5e6 − 2 ) − ( e6 − 1) = ( 3e6 − 1) (đvdt). 2 20 2 4 4 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi x = g ( y ) , x = 0 và y = c, y = d thì có thể tích:
G
Bài toán 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
ID Ư
Ỡ N
y = x ( x + 1)( x − 2 ) và trục hoành. Hướng dẫn giải
BỒ
y = 0 ⇔ x = −1, x = 0, x = 2 2
S=
∫ x ( x + 1)( x − 2 ) dx −1
Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 0
∫ (x
2
3
− x − 2 x ) dx + ∫ ( − x3 + x 2 + 2 x ) dx 2
−1
37 (đvdt). 12
N U
Y
2 x 2 − 10 x − 12 và trục hoành. x+2
TP .Q
y=
N
Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của hàm số:
Hướng dẫn giải
ẠO
y = 0 ⇔ x = −1, x = 6
∫ −1
Đ G
2 x 2 − 10 x − 12 dx x+2
Ư N
S=
H
6
TR ẦN
6
−1
= 63 − 16ln 8 (đvdt)
00
6
10
= (14 x − x 2 − 16ln x + 2 )
B
16 = ∫ 14 − 2 x − dx x+2 −1
3
Bài toán 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
ẤP
2+
y = x 2 − 1 và y = 5 + x .
C
Hướng dẫn giải
(
)
Í-
0
H
S = 2∫ 5 + x − x 2 − 1 dx
Ó
3
A
Do tính đối xứng nên
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diện tích hình phẳng S cần tìm là:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
=
0
H Ơ
=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TO
ÁN
3 1 2 = 2 ∫ ( 5 + x − 1 + x ) dx + ∫ ( 5 + x − x 2 + 1) dx 1 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 73 (đvdt). = x + x + 4 x + − x + x + 6 x = 2 2 0 3 1 3 3
Trang 3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x = 4 − 4 y 2 và x = 1 − y 4 . Hướng dẫn giải
H Ơ
1
Y U TP .Q
16 8 56 − = (đvdt). 3 5 15
ẠO
=
N
1 4 − x 2 4 dx dx x 2 1 = 2∫ − − ( ) ∫ 4 2 0
1
4
G
4
Đ
∫ ( ( 4 − y ) − (1 − y ) )dy
Ư N
0
H
Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y 2 = 2 px, x 2 = 2 py ( p > 0 ) .
TR ẦN
Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm: 2
10
00
B
x2 = 2 px ⇔ x = 0, x = 2 p 2p
2+
ẤP
4 2 x2 px dx p (đvdt) 2 − = ∫0 2p 3
3
2p
S=
C
Bài toán 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2
Hướng dẫn giải
Í-
H
Ó
A
y 2 = x3 và y 2 = ( 2 − x ) .
Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Cách khác: S = 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1
4
N
Do tính đối xứng nên S = 2 ( S1 − S2 )
TO
ÁN
y 2 = x 3 2 3 y = ( 2 − x )
3
Ỡ N
G
⇒ x3 = ( 2 − x ) ⇒ x = 1, y = ±1 2 3
BỒ
ID Ư
Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là x = y và 2
y = 2 − y3
Theo tính chất đối xứng thì
Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 2 8 3 S = 2∫ 2 − y − y 3 dy = (đvdt). 5 0 1
H Ơ
N
Bài toán 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ( x − 1) 3 3 − 4 x và trục hoành.
U
Y
3 x= 3 − 4x = 0 ⇔ 4 x = 1
TP .Q
3 4
ẠO
Với x ∈ ;1 ⇒ ( x − 1) 3 3 − 4 x ≥ 0
Đ G Ư N
1
H
y = ( x − 1) 3 3 − 4 x và Ox: S = ∫ ( x − 1) 3 3 − 4 xdx
3 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = −1 . 4
B
10
Khi x =
1 3 3 − t 3 ) nên dx = t 2 dt . ( 4 4
00
3 − 4x = t ⇒ x =
0
0
3
3
TR ẦN
3 4
C
ẤP
2+
3 3 1 1 9 S = − ∫ t 3 (1 + t 3 )dt = − t 4 + t 7 = (đvdt). 16 −1 16 4 7 −1 448
Ó
A
Bài toán 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 x − x 2 và trục hoành. Hướng dẫn giải
H Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
Đặt
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ta có: y = ( x − 1)
3
N
Hướng dẫn giải
x = 0
ÁN
-L
Cho y = 0 ⇔ x 2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 2
2
TO
Vì x 2 x − x 2 ≥ 0 với mọi x ∈ [ 0; 2] nên diện tích giới hạn là: 2
2
Ỡ N
G
S = ∫ x 2 x − x dx = ∫ x 1 − ( x − 1) dx 2
ID Ư
0
0
π π ; thì dx = cos udu . 2 2
BỒ
Đặt x − 1 = sin u , u ∈ −
Khi x = 0 thì u = −
π 2
, khi x = 2 thì u =
π 2
.
Trang 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
π
∫π (1 + sin u ) cos u.cos udu = ∫π cos
−
−
2
π
2
2
udu −
−
2
2
2
π
π
2
∫π cos u ( d cos u )
N
π
2
H Ơ Y
2
2
Vậy S =
π 2
TP .Q
U
2
N
2 π 1 + cos 2u 1 u sin 2u 2 = ∫ −0 = du − cos3 u = + π 2 3 4 −π 2 2 π − −
(đvdt).
G
Đ
ẠO
x3 4 x x2 2 x Bài toán 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f ( x ) = − và g ( x ) = + 3 3 3 3
Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải
H
Phương trình hoành độ giao điểm
TR ẦN
x3 4 x x2 2 x f ( x) = g ( x) = − = + 3 3 3 3
00
B
⇔ x ( x2 − x − 6) = 0
10
⇔ x1 = −2, x2 = 0, x3 = 3 0
−2
−2
2+
3
3
0
ẤP
∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − f ( x )dx + ∫ g ( x ) − f ( x )dx 0
C
S=
3
Do đó:
3
Í-
H
Ó
A
16 21 253 x3 − x 2 − 6 x x3 − x2 − 6 x (đvdt). =∫ dx − ∫ dx = + = 3 3 9 4 36 0 −2
TO
x ≥ 0, y ≤ 1 .
ÁN
-L
Bài toán 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, y = 1 và y =
x2 trong miền 4
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
S=
π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Hướng dẫn giải
Ỡ N
G
Với x ≥ 0,0 ≤ y ≤ 1 thì x = y, x = 2 y 1
(
)
BỒ
ID Ư
S = ∫ 2 y − y dy 0
1
4 3 1 5 = y 2 − y 2 = (đvdt). 2 0 6 3 Trang 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 ,
y = 4 x − 4 và y = −4 x − 4 .
N
Hướng dẫn giải
−2
0
N
2
U
Y
2 2 ∫ ( x + 4 x + 4 )dx + ∫ ( x − 4 x + 4 )dx
8 8 16 + = (đvdt). 3 3 3
G
TR ẦN
Hướng dẫn giải
Ư N
3x x2 và y = 4 x +1
H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
y=
Đ
Bài toán 9.13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
=
0
TP .Q
S=
H Ơ
Hai đường thẳng y = 4 x − 4 , y = −4 x − 4 là 2 tiếp tuyến của ( P ) : y = x 2
x ≠ −1 x = 0 x2 3x = ⇔ 2 ⇔ 4 x +1 x = 3 x − 3x = 0
B
Phương trình hoành độ giao điểm
3
3
3
3
3 2+
0
3 3x 3x x2 x2 dx = ∫ − − dx 4 x +1 4 x + 1 0
ẤP
3
S=∫
10
00
x2 3x Với x ∈ [ 0;3] thì ≥ . Diện tích hình giới hạn là 4 x +1
Ó
A
C
3x x2 3 1 dx = x 2 − ∫ x − 1 + = ∫ dx − ∫ dx = 4 1 8 1 x + x + 0 0 0 0
H
3
-L
Í-
3 27 1 2 15 = − x − x − ln x + 1 0 = − 2ln 2 (đvdt) 8 2 8 0
TO
ÁN
Bài toán 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
G
y = e x + 1, y =
2 e +1 x
và x = ln 3
Ỡ N
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:
ex + 1 =
Ta có
2 e +1 x
⇔ ex + 1 = 2 ⇔ ex = 1 ⇔ x = 0
ex + 1 ≥ 2 ≥
2 ex + 1
; ∀x ∈ [ 0;ln 3] nên diện tích hình giới hạn là Trang 7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
dx ex + 1
2
0
Đặt t = e + 1 ⇒ dt =
e x dx
x
⇒ dx =
2 e +1 x
2tdt t 2 −1
2 ∫ 2 − t 2 − 1 dt = 2 2 2
Y 1
1
∫ t − t − 1 + t + 1 dt 2
(
)
= 4 − 2 2 + ln 9 − 6 2 (đvdt)
H
Hướng dẫn giải
Ư N
G
Bài toán 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x 2 − 2 x và 2 tiếp tuyến qua B ( 2; −9 ) .
TR ẦN
Hai tiếp tuyến qua B là:
y = −4 x − 1 có tiếp điểm E ( −1;3)
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
y = 8 x − 25 có tiếp điểm F ( 5;15 )
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
= ( 2t − ln t − 1 + ln t + 1 )
2
U
2
TP .Q
2 2tdt S = ∫ t − . 2 = t t −1 2
ẠO
2
N
Khi x = 0 ⇒ t = 2; x = ln 3 ⇒ 2 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ex + 1 −
N
∫
H Ơ
ln 3
S=
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
5
−1
2
BỒ
ID Ư
S = S1 + S2 = ∫ x − 2 x − ( −4 x − 1) dx + ∫ x 2 − 2 x − ( 8 x − 25 ) dx = 18 2
Bài toán 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên: ( E ) :
x2 y 2 + = 1. a2 b2
Giải Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
x2 y 2 b 2 a − x2 Ta có 2 + 2 = 1 ⇔ y = ± a b a b 2 a − x 2 . Theo tính đối xứng thì a
H Ơ
trong góc phần tư thứ I là: y =
N
a
Y U
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t =
2
. Khi đó:
0
π /2
1 (1 + cos 2t ) dt = 2ab t + sin 2t = π ab (đvdt) 2 0
00
Đặc biệt: khi a = b = R thì có diện tích hình tròn π R 2
TR ẦN
0
0
B
= 2ab ∫
π /2
2
Ư N
2
0
π /2
π /2
a − a sin t .cos tdt = 4ab ∫ cos t .cos tdt = 4ab ∫ cos 2 tdt 2
H
S = 4ab ∫
π
2+
3
10
3 x2 + y 2 = 1 và điểm A 1; Bài toán 9.17: Cho elip với PT: nằm trên elip. Gọi d là tiếp tuyến với elip tại 4 2
ẤP
A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip.
C
Hướng dẫn giải
A
x 3 + y = 1. 4 2
H
Ó
Phương trình tiếp tuyến d là
3 3 3 ; KB = 3 nên S AKB = 2 4
TO
Ta có AK =
-L
Í-
d cắt Ox tại B ( 4;0 ) . Hạ AK vuông góc với trục hoành.
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π /2
TP .Q
⇒ dx = a cos t.dt
ẠO
2
Đ
π
G
Đặt: x = a sin t , với 0 ≤ t ≤
N
4b S = 4 S1 = a 2 − x 2 dx ∫ a 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(E)
Phương trình của
2
Ỡ N
G
1 Diện tích tam giác cong AKC là S0 = ∫ 4 − x 2 dx 21
BỒ
ID Ư
Đổi biến x = 2sin t thì dx = 2cos tdt π 2
∫
Ta được S0 = 2cos 2 tdt = π
π 3
−
3 4
6
Trang 9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Vậy S = S AKB − S0 = 3 −
π 3
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
(đvdt).
N
Bài toán 9.19: Cho ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d qua A (1;3) có hệ số góc k. Tìm k để diện tích hình phẳng
H Ơ
giới hạn bởi d và ( P ) có diện tích nhỏ nhất.
Y
N
Hướng dẫn giải
PT hoành độ giao điểm: x 2 = k ( x − 1) + 3
ẠO
x 2 − kx + k − 30 =
Đ G Ư N
Gọi 2 nghiệm x1 , x2 thì:
H
x2
∫ ( k ( x − 1) + 3 − x )dx 2
TR ẦN
S=
x1
x2
10
00
B
3 k x3 1 1 = x 2 − ( k + 3) x − = ( x2 − x1 ) ( k 2 − 4k + 12 ) = ( k 2 − 4k + 12 ) 2 3 x 6 6 2 1 3
2+
3
1 2 2 2 = ( k − 2 ) + 8 2 ≥ nên min S khi k = 2 . 6 3
C
ẤP
Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y = f ( x ) = e − x , y = 0, x = 0 và x = 1 . Ta chia đoạn [ 0;1] 1
H
Ó
A
thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang có tổng diện tích Sn . Chứng minh lim S n =
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
∆ = k 2 − 4k + 12 > 0, ∀k
∫ f ( x ) dx 0
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
1 1 − e −1 ) 1 1 n 1 −1 ( − 2 − − 1 1 1− e Ta có Sn = e n + e n + ... + e n = e n = n 1 1 − n n 1− e n en −1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
d : y = k ( x − 1) + 3
Trang 10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
−x
Đ
∫e
dx = 1 − e −1 ⇒ đpcm.
G
n→+∞
Ư N
0
H
Bài toán 9.21: Tính thể tích của vật thể:
TR ẦN
a) Giữa hai mặt phẳng: x = 0, x = 2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) là một nửa hình tròn đường kính
5x 2 .
00
B
b) Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và
10
x = 1.
3
Hướng dẫn giải
∫ ( f ( x))
2
2+
a) Ta có V = π
2
2
5x4 x5 dx = ∫ π dx = π = 4π (đvtt) 8 8 0 0
ẤP
b
C
a
1
∫
∫
0
0
1 (đvtt). 3
H
1
Ó
A
b) Thiết diện tại x ∈ [ 0;1] là hình vuông cạnh bằng x có diện tích S ( x ) = x 2 .
Í-
Vậy V = S ( x ) dx = x 2 dx =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
Do đó lim S n = 1 − e −1 và
ÁN
Bài toán 9.22: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn bởi các
TO
đường y = cos x, y = 0, x = 0 và x =
π 4
.
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải
π /4
ID Ư
V =π
∫ cos 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2
xdx =
π 2
π /4
∫ 0
π /4
π (π + 2 ) 1 (đvtt). (1 + cos 2 x ) dx = x − sin 2 x = 2 2 8 0 π
BỒ
Bài toán 9.23: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox: x
a) Giới hạn bởi các đường y = xe 2 , y = 0, x = 0 và x = 1 Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b) Giới hạn bởi các đường y = 0, y =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 9 − x2 3
∫
∫
0
0
( )
(
0
1
− 2π ∫ xe x dx 0
U
Y
)
1
H Ơ
1
N
1
a) V = π x 2 e x dx = π x 2 d e x = π x 2e x
N
Hướng dẫn giải
G
3
1 3 8π ( 27 − 9 ) = 16π 9x − x = 3 0 9
Ư N
4 8π V = 2π ∫ ( 9 − x 2 )dx = 9 9 0
TR ẦN
H
Bài toán 9.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 1 + 2 x .e3 x và các trục tọa độ, quanh trục hoành. 1 2
B
Hướng dẫn giải
10
2+
3
1 1 + 2 x .e3 x ≥ 0 , với mọi x ∈ − ;0 nên thể tích khối tròn xoay là: 2
ẤP
Vì
00
Cho y = 0 thì y = 1 + 2 x .e3 x = 0 ⇒ x = − .
0
∫ (1 + 2 x ) e
6x
dx
C
V =π
H
Ó
A
1 − 2
Í-
Đặt u = 1 + 2 x, dv = e6 x dx . Khi đó du = 2dx, v =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
3
Đ
b) Do tính đối xứng của hình phẳng qua trục tung nên:
1 6x e . 6
Ỡ N
G
TO
ÁN
0 0 0 (1 + 2 x ) 1 1 1 1 1 Ta có: V = π e6 x − ∫ e6 x dx = π − (1 − e−3 ) = π + 3 1 6 17 9 18e3 6 1 − − 1 2 2 − 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
TP .Q
1 1 = π e − 2π xe x − ∫ e x dx = π ( e − 1) (đvtt). 0 0
1 1 + (đvtt). 3 9 18e
ID Ư
Vậy V = π
BỒ
Bài toán 9.25: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:
a) Giới hạn bởi y =
2
π x, y = sin x, x ∈ 0; π 2 Trang 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
b) Giới hạn bởi: y = x 2 − 3 x + 3, y = x,0 ≤ x ≤ 3 Hướng dẫn giải
4
−
π2
=
6
H Ơ N Y
π2
−π 2 (đvtt) 12
)
(
2
)
7π 64π 233π + = (đvtt) 2 15 30
TR ẦN
=
1
H
0
G
3
= π ∫ ( x − 3 x + 3) − x dx + π ∫ x 2 − ( x 2 − 3x + 3) dx 2
Ư N
(
2
2
B
Bài toán 9.26: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
00
x trục Ox và các đường thẳng x = 2, x = 4 khi quay quanh trục Ox. 1− x
10
đồ thị ( C ) : y =
ẤP
dx
C
2
4 2x −1 = π ∫ 1 + dx 2 1 − x ( ) 2
A
2 (1 − x )
Ó
x2
V =π∫
H
4
2+
3
Hướng dẫn giải
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
Đ
b) V = (V1 − V2 ) + (V3 − V4 )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
=
U
0
TP .Q
∫
=π
2 4x2 sin x − 2 dx π
ẠO
π /2
N
a) V = V1 − V2
-L
2x − 2 1 = π ∫ 1 + + dx (1 − x ) 2 (1 − x ) 2 2
TO
ÁN
4
4
Ỡ N
G
1 8π 2 = π x + ln (1 − x ) + + 2π ln 3 (đvtt) = 1− x 2 3
ID Ư
Bài toán 9.27: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
BỒ
xe x y= x , trục hoành và đường thẳng x = 1 xung quanh trục hoành. e +1 Hướng dẫn giải
Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Đặt u = x, dv =
(e
x
+ 1)
2
+ 1)
dx . Khi đó du = dx, v =
−1 e +1 x
G Ư N H
1
Đ
1
1 1 ex −x dx −1 Ta có: ∫ dx = + = + 1 − dx 2 x x x ∫ ∫ x 1 1 1 1 e − e + e + e + 0 0 ( e + 1) 0 0
xe x
TR ẦN
1 −1 e e +1 = + x − ln ( e x + 1) = − ln 0 2 e +1 e +1 0
e +1 e − ln (đvtt). 2 e +1
00
B
Vậy thể tích khối tròn xoay là V = π
10
Bài toán 9.28: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
2+
3
y = 1 + 2 x .3− x , y = 0, x = 1 xung quanh trục hoành.
ẤP
Hướng dẫn giải
1 2
H
Ó
A
C
Ta có y = 1 + 2 x .3− x = 0 ⇔ x = −
Í-
Thể tích khối tròn xoay là V = π
1
1
∫ y dx = π ∫ (1 + 2 x ) 3 2
1 − 2
−2 x
TO
Đặt u = 2 x + 1, dv = 3−2 x dx . Khi đó du = 2dx; v = − 1
1
1 −2 x 3 2ln 3
−2 x
Ỡ N
G
1 1 Ta có: ∫ (1 + 2 x ) 3 dx = − .3−2 x (1 + 2 x ) + 1 2ln 3 ln 2 1 −
BỒ
ID Ư
−
2
2
1 1 =− − 3−2 x 2 6 ln 3 2 ln 3
Vậy V =
1
−
1 2
=
dx
1 − 2
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1
ex
(e
dx
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
0
2
N
0
x
Y
∫
U
∫
xe x
TP .Q
1
ẠO
1
Thể tích khối tròn xoay là V = π y 2 dx = π
H Ơ
xe x Do đó hình phẳng là hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong y = x , y = 0, x = 0 và x = 1 e +1
N
xe x ⇔ x=0 Ta có y = x e +1
1
∫3
−2 x
−
dx
1 2
26 − 3ln 3 18ln 2 3
26 − 3ln 3 π (đvtt). 18ln 2 3 Trang 14
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 9.29: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy: 1
a) Giới hạn bởi: y = ( 2 x + 1) 3 , x = 0, y = 3
H Ơ
N
b) Giới hạn bởi: y = ln x, y = 0, x = e .
y3 − 1 = 1, y = ( 2 x + 1) ⇒ x = 2
U
Y
1 3
TP .Q
2
y3 − 1 480 π1 6 3 π (đvtt). V = π ∫ dy = ∫ ( y − 2 y + 1) dy = 2 4 7 0 0
ẠO
1
Đ G Ư N
1
V = V1 − V2 = π ∫ ( e 2 − e 2 y ) dy
TR ẦN
H
0 1
B
1 π = π e 2 . y − e2 y = ( e 2 + 1) (đvtt). 2 0 2
3
2+
a) Giới hạn bởi các đường y = 2 x − x 2 và y = 0
10
00
Bài toán 9.30: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay quanh Oy:
2 3
Hướng dẫn giải
A
C
ẤP
b) Giới hạn bởi đường y = x , x = 0 và tiếp tuyến tại x = 1 .
H
Ó
a) Ta có
2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) x = e ⇒ y = ln x = 1, y = ln x ⇒ x = e y
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
a) x = 0 ⇒ y = ( 2 x + 1)
1 3
N
Hướng dẫn giải
2
ÁN
-L
y = 2 x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y
TO
⇔ x = 1± 1− y 1
ID Ư
Ỡ N
G
V = V1 − V2 = π ∫ 1 + 1 − y 0 1
BỒ
= 4π ∫ 0
(
2
) (
− 1+ 1− y
) dy 2
1
8 8π 1 − ydy = − π (1 − y ) 1 − y = (đvtt) 3 3 0
b) Phương trình tiếp tuyến là y =
2 1 x+ 3 3 Trang 15
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
1
π 2π 3 1 1 3 V = π ∫ y 3dy − π ∫ y − dy = − y− 2 2 4 9 2 2 0 1/3
31
= 1/3
π 36
(đvtt). 2
H Ơ
N
Bài toán 9.31: Giả sử ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 ( x − 2 ) và y = x 2 − 4 x + 7 . Tính
N
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục tung.
U
Y
Hướng dẫn giải
Đ
ẠO
y y ,x = 2− 2 2
x = 2+
G Ư N
2 2 y y dy V1 = π ∫ 2 + − 2− 2 2 0
64π 3
00
0
TR ẦN
= π ∫ 4 ydy =
B
4
H
4
10
Hình ( H 2 ) được giới hạn bởi hai đường cong x = 2 + 4
16π − 2 − y − 3 dy = π ∫ 8 y − 3dy = 3 0
) (
)
2
C
(
2
2+
V2 = π ∫ 2 + y − 3 0
ẤP
4
3
y = 3, y = 4 .
y − 3 , x = 2 − y − 3 và hai đường thẳng
Ó
A
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V = V1 − V2 = 16π (đvtt) 2
H
Bài toán 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn ( C ) có phương trình: x 2 + ( y − 2 ) = 1 quanh trục
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
và hai đường thẳng y = 0, y = 4 .
ÁN
-L
Ox.
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Hình ( H1 ) giới hạn bởi đường cong
2
2
= 1 − x2 ⇔ y = 2 ± 1 − x2
Ỡ N
G
( y − 2)
TO
Đường tròn: x 2 + ( y − 2 ) = 1 có tâm I ( 0; 2 ) , bán kính R = 1 .
BỒ
ID Ư
Nửa ( C ) ở trên ứng với 2 ≤ y ≤ 4 có phương trình:
y = f1 ( x ) = 2 + 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1]
Nửa ( C ) ở dưới ứng với 0 ≤ y ≤ 2 có phương trình:
y = f 2 ( x ) = 2 − 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1] Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:
) (
− 2 − 1 − x2
)
2
1
2 dx = 8π ∫ 1 − x dx −1
N
(
2
N
π /2
cos 2 t cos tdt = 4π
− /2
∫π (1 + cos 2t ) dt
− /2
ẠO
∫ π
2
TP .Q
π /2
Khi đó: V = 8π
π
Y
2
; x = 1 thì t =
U
π
Đổi cận: x = −1 thì t = −
H Ơ
Đặt x = sin t thì dx = cos tdt
π /2
Đ G Ư N
h 3
TR ẦN
H
Bài toán 9.33: Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h là V = π h 2 R − Hướng dẫn giải
R 2 − x 2 thì thể tích chỏm cẩu cần tìm là:
00
B
Xét cung tròn ( O; R ) : y =
R
2 x3 V = π ∫ ( R − x ) dx = π R x − 3 R−h R−h R
3
10
2
2+
2
H
Ó
A
C
ẤP
3 3 R3 R − h) ( h 2 = π R − − R ( R − h) + = π h2 R − 3 3 3
Í-
Kết quả: Thể tích khối cầu V = 2π R 2 R −
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1 = 4π t + sin 2t = 4π 2 (đvtt) 2 −π /2
R 4 3 = π R (đvtt) 3 3
ÁN
Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y = kx + 1 − k cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm k < 0 để thể tích khối tròn xoay
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1
V = V1 − V2 = π ∫ 2 + 1 − x 2 −1
TO
tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất.
G
Hướng dẫn giải
ID Ư
Ỡ N
y = kx + 1 − k , k < 0 ⇔ x =
1 y +1− k k
BỒ
Thể tích khối nón tạo thành:
V (k ) = π
1− k
∫ 0
2
1 π 1 3 y + 1 − = 2 − − k + 3 , k < 0 k 3k k k
Trang 17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2 3 − 3 + 2 − 1 , V ' ( k ) = 0 ⇔ k = −2 3 k k
π
9π (đvtt). 4
N
Lập BBT thì min V ( k ) = V ( −2 ) =
H Ơ
V '( k ) =
Y
N
3. BÀI LUYệN TậP x = −2; x = 4 .
ẠO
Hướng dẫn
Đ
Dùng công thức S trực tiếp. Kết quả 44 (ddvdt)
G
Ư N
9 (đvdt) 2
TR ẦN
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả
H
Hướng dẫn
B
Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x 3 − 1 và tiếp tuyến tại điểm A ( −1; −2 ) .
10
00
Hướng dẫn
2+
3
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( −1; −2 ) rồi tìm thêm giao điểm khác A. Kết quả
27 (đvdt) 4
1 2
C
1 − x4
, y = 0 và x = 0, x =
A
x
Ó
y=
ẤP
Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
H
Hướng dẫn
π 12
(đvdt).
TO
Kết quả
-L
Í-
Dùng công thức S trực tiếp. Đổi biến số t = x 2 rồi t = sin u .
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y = 4 − x 2 , y = − x + 2 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x 3 − 4 x , trục hoành và 2 đường thẳng
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:
y 2 = 2 x, 27 y 2 = 8 ( x − 1)
Vẽ hình và xác định miền giới hạn. Kết quả
3
Hướng dẫn
88 2 (đvdt). 15
Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị: y = x 2 + 1 và y = mx + 2 là bé nhất. Hướng dẫn Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm và chú ý luôn có 2 nghiệm phân biệt. Kết quả m = 0 . Bài tập 9.7: Cho hàm số y = f ( x ) đơn điệu từ [ a; b ] vào [ c; d ] có hàm ngược x = g ( y ) . Chứng minh thể b
∫
H Ơ
N
tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, x = a, x = b là: VOy = 2π xf ( x ) dx a
Y
N
Hướng dẫn
U
Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị.
TP .Q
Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x = 0, x = π vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
Đ
Hướng dẫn
∫
Ư N
G
Dùng công thức thể tích vật thể tổng quát V = S ( x ) dx a
TR ẦN
H
Kết quả 2 3 (đvtt)
Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường y = x 2 − 4 x, y = − x 2 − 2 x + 6 .
B
Tính thể tích khối tròn xoay khi S quay quanh trục Ox.
10
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.
00
Hướng dẫn
2+
3
Kết quả 3π (đvtt)
C
ẤP
x2 1 Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y = 2 ; y = . Tính thể tích khối tròn xoay khi x +1 2 Hướng dẫn
H
Ó
A
S quay quanh Ox.
π2 4
+
3π (đvtt) 10
ÁN
Kết quả V =
Í-
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b
x , y = 0 và
Ỡ N
G
y = 2− x.
TO
Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy của hình phẳng S giới hạn bởi: y =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ π ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x .
Hướng dẫn
BỒ
ID Ư
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.
Kết quả
5π 32π (đvtt) và (đvtt) 6 15
Trang 19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
CHUYÊN Đề 10 - Số PHứC VÀ ứNG DụNG
N
1. KIếN THứC TRọNG TÂM
H Ơ
Số phức và các phép toán
Y
N
Tập hợp số phức ℂ , đơn vị ảo i với i 2 = −1 .
TP .Q
U
- Số phức (dạng đại số): z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) a là phần thực, b là phần ảo của z. Kí hiệu Re z = a, lm z = b . - Số phức liên hiệp của số phức: z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) là z = a − bi
Đ G
z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 ⇔ z = − z
Ư N
z = 0 là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo.
TR ẦN
H
- Môđun của số phức: z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ )
z = a2 + b2 = z z
B
- Phép toán:
10 3
2+
( a + bi ) − ( a '+ b ' i ) = ( a − a ') + ( b − b ') i
00
( a + bi ) + ( a '+ b ' i ) = ( a + a ') + ( b + b ') i
C
1 1 z' z'z z'z = 2 z; = z '.z −1 = 2 = . z z z zz z
Ó
A
z ≠ 0 : z −1 =
( a, b, a ', b ' ∈ ℝ )
ẤP
( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa '− bb ') + ( ab '+ ba ') i
H
Chú ý:
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 ⇔ z = z
-L
1) i 4 m = 1; i 4 m+1 = i; i 4 m+ 2 = −1; i 4 m+3 = −1 .
TO
ÁN
2) z = z; z + z ' = z + z '; zz ' = z.z ' 2
z' z' z' z' = . = , z z z z
Ỡ N
G
3) zz ' = z . z ' ; z = z 2 ;
ID Ư
Số phức dạng lượng giác
BỒ
- Cho số phức: z = a + bi với a, b ∈ ℝ, z ≠ 0 , ta có r ( cos ϕ + i sin ϕ ) với r > 0 là dạng lượng giác của số phức: z = a + bi ⇔ r = a 2 + b 2 ,cos ϕ =
a b ,sin ϕ = r r
ϕ là một acgumen của z với số đo rađian. Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Góc lượng giác ( Ox, OM ) = ϕ + k 2π tức là các acgumen sai khác k 2π với k
z.
N N
Khi z = 0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định.
TP .Q
U
Y
- Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) thì có:
zz ' = rr ' cos (ϕ + ϕ ' ) + i sin (ϕ + ϕ ' )
Đ
ẠO
z r = cos (ϕ − ϕ ' ) + i sin (ϕ − ϕ ') , z ' ≠ 0 z' r'
G Ư N
n
H
Với n là số nguyên, n ≥ 1 thì r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) n
TR ẦN
Đặc biệt: ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ
00
- Số phức z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z 2 = w .
B
Căn bậc hai, bậc n của số phức
2+
3
10
Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w .
ẤP
- Số phức z là một căn bậc n của số phức w ⇔ z n = w . n
A
C
Đặc biệt căn của đơn vị: ( cos ϕ + i sin ϕ ) = 1
H
Ó
⇔ cos nϕ + i sin nϕ = cos 0 + i sin 0 ⇔ ϕ =
k 2π , k = 0,1, 2,..., n − 1 n
k 2π k 2π + i sin , k = 0,1, 2,..., n − 1 n n
TO
zk = cos
-L
Í-
Do đó phương trình z n = 1 có n nghiệm phức (là các căn bậc n của đơn vị)
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Công thức Moa-vrơ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1− i
H Ơ
(i − 3 ) cos 12π − i.sin 12π
Kết quả tổng của các căn của đơn vị bằng 0.
Ỡ N
G
Phương trình bậc hai, bậc n
ID Ư
Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 với A ≠ 0, B, C là các số phức. Lập biệt thức: ∆ = B 2 − 4 AC
BỒ
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z =
−B 2A
Nếu ∆ ≠ 0 ta tìm các căn bậc hai ω của ∆ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1,2 =
−B ± ω . 2A
Định lý Viet: Nếu α và β là hai nghiệm của phương trình bậc hai: Trang 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Ax 2 + Bx + C = 0 thì: S = α + β = −
B C và P = α .β = A A
N
Đảo lại, hai số phức α và β là các nghiệm của phương trình bậc hai:
H Ơ
x 2 − (α + β ) x + α .β = 0
Y
N
- Phương trình bậc n: A0 z n + A1 z n −1 + ... + An −1 z + An = 0 trong đó A0 , A1 ,..., An là n + 1 số phức cho trước,
TP .Q
U
A0 ≠ 0 , n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức, không nhất thiết phân biệt. Hệ phương trình
Đ
Ư N
G
Biểu diễn số phức:
H
- Biểu diễn hình học:
TR ẦN
Số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) hay bởi vectơ
4i ( x; y ) trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức. Trục thực là trục i −1
00
B
hoành và trục ảo là trục tung.
10
- Nếu z , z ' biểu diễn bởi M , M ' thì z + z ' được biểu diễn bởi OM + OM ', z − z ' được biểu diễn bởi
2+
3
OM − OM ' = M ' M .
ẤP
Tập điểm biểu diễn số phức:
C
- Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z + x + yi ( x, y ∈ ℝ )
Í-
H
Ó
A
- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm.
2. CÁC BÀI TOÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
- Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) và z ' = x '+ y ' i , ( x ', y ' ∈ ℝ ) rồi thế vào hệ, đồng nhất để tìm x, y , x ', y ' .
ÁN
Bài toán 10.1: Thực hiện các phép tính sau:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
- Dùng các biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… như trong hệ phương trình đại số để giải.
33
G
TO
1 10 1+ i A= − (1 − i ) + ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) + i 1− i
Ỡ N
2
3
BỒ
ID Ư
B = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i )
20
Hướng dẫn giải 2
1 + i (1 + i ) 1 + i 2 + 2i 1 − 1 + 2i = = = =i Ta có: 1 − i 1 − i2 1+1 2
Trang 3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
33
2 1+ i 33 2 16 2 Nên: = i = ( i ) .i = i . Và (1 − i ) = 1 + i − 2i = −2i 1− i 10
5
H Ơ N U
10
= (1 + i )( 2i )
Đ G Ư N
−i
= −210 + ( 210 + 1) .i
z −i z +1 = z + 3 . Tính z+2 z + 2i
b) z −
4 = i . Tính 1 + (1 + i ) z z +1
TR ẦN
a)
H
Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn:
00
z +1 = z + 3 ⇔ z + 1 = ( z + 3)( z + 2 ) , z ≠ 2 z+2
10
a) Ta có
B
Hướng dẫn giải
ẤP
2+
3
z = −2 + i ⇔ z2 + 4z + 5 = 0 ⇔ z = −2 − i
2 26 z − i −2 − 2i 2 10 z −i = = + i⇒ = 13 z + 2i −2 + 3i 13 13 z + 2i
Với z = −2 + i,
4 2 2 5 z −i −2 z −i = = + i⇒ = 5 z + 2i −2 + i 5 5 z + 2i
Í-
H
Ó
A
C
Với z = −2 − i,
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy: D =
1 + ( 210 + i.210 )
ẠO
= − (1 + i ) .210 = −210 − i.210
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
20
TP .Q
21
mà (1 + i ) = (1 + i ) . (1 + i )
21
Y
21
1 − (1 + i ) 1 − (1 + i ) 1 − q 21 Ta có D = u1. = 1. = 1− q 1 − (1 + i ) −i
N
Nên (1 − i ) = ( −2i ) = −32i . Từ đó tính được C = 13 − 32i
ÁN
b) Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ )
TO
4 = i ⇔ a 2 + b 2 + a − 4 − bi = −b + ( a + 1) i z +1
G
Ta có: z −
BỒ
ID Ư
Ỡ N
a 2 + b 2 + a − 4 = −b a = 1, b = −2 ⇔ ⇔ a = −2, b = 1 −b = a + 1
Với a = 1, b = −2 , thì 1 + (1 + i ) z = 1 + (1 + i )(1 + 2i ) = 3i = 3
Với a = −2, b = 1 , thì 1 + (1 + i ) z = 1 + (1 + i )( −2 − i ) = −3i = 3 .
Bài toán 10.3: Cho số phức z. Hỏi mỗi số sau là số thực hay số ảo Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
()
a) z 2 + z
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2
z−z
b)
()
z3 + z
3
H Ơ
N
Hướng dẫn giải
=
z−z
( ) (z)
z + z
3
+z
3
z−z
=−
()
3
z + z
3
2
là số thực.
z−z
. Vậy
Y
()
U
2
()
3
z + z
3
là số ảo.
Đ b) 17 + 20 2i
H
Hướng dẫn giải 2
TR ẦN
a) x, y ∈ ℝ . Giả sử: ( x + yi ) = 1 + 4 3i
(
)
ẤP
2+
3
10
00
2 12 2 x − x 2 = 1 x = 4 x − y = 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 2 3 y = y = 2 xy = 4 3 x x 2
B
⇔ x 2 − y 2 − 1 + 2 xy − 2 3 i = 0 2
Ư N
a) 1 + 4 3i
C
Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1 = 2 + 3i, z2 = −2 − 3i
A
2
(
H
Ó
b) x, y ∈ ℝ . Giả sử: ( x + yi ) = 17 + 20 2i
)
Í-
⇔ x 2 − y 2 − 17 + 2 xy − 10 2 i = 0
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Bài toán 10.4: Tìm các căn bậc hai của số phức
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
3
3
()
TP .Q
z−z
2
= z + z 2 = z 2 + z . Vậy z 2 + z
ẠO
b)
2
G
()
a) z 2 + z
N
Ta tính các số phức liên hiệp:
TO
ÁN
2 2 x = 5, y = 2 2 x − y − 17 = 0 ⇔ ⇔ xy − 10 2 = 0 x = −5, y = −2 2
Ỡ N
G
Vậy có hai căn bậc hai là 5 + 2 2i, −5 − 2 2i .
BỒ
ID Ư
Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . Hướng dẫn giải
Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℤ ) là căn bậc hai của w = a + bi ( a, b ∈ ℝ )
x2 − y 2 = a 2 ⇔ ( x + yi ) = x 2 − y 2 + 2 xyi = a + bi ⇔ (*) 2 xy = b Trang 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
x2 − y 2 = a x2 − y 2 = a 2 2 ⇔ 4 x 2 y 2 = b 2 ⇔ ( x 2 + y 2 ) − ( x 2 − y 2 ) = b 2 xyb ≥ 0 xyb ≥ 0
N Y U TP .Q
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO Đ Ư N TR ẦN
00
B
khi b < 0
1+ i . 2
2+
Bài toán 10.6: Tìm các căn bậc ba của số phức
khi b ≥ 0
10
a 2 + b2 + a −i 2
H
a 2 + b 2 − a 2 a 2 + b 2 − a 2
a 2 + b2 + a +i 2
3
± Hay ±
G
Vậy các căn bậc hai cần tìm của w = a + bi là:
C
ẤP
Hướng dẫn giải
1+ i 3 1+ i :z = 2 2
H
Ó
A
Đặt z = x + iy , x, y ∈ ℝ là căn bậc ba của
Í-
⇔ x3 − 3xy 2 + i ( 3x 2 y − y 3 ) =
1+ i 2
1 2 2 2 ( x − y ) ( x + y + 4 xy ) = 2 ⇔ 2 2 1 ( x + y ) ( x + y − 4 xy ) = 0 2
Ỡ N
G
TO
ÁN
3 2 x − 3 xy = ⇔ 3x 2 y − y 3 =
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2 a 2 + b2 + a x = 2 x2 − y 2 = a 2 a 2 + b2 − a 2 2 2 2 ⇔ x + y = a + b ⇔ y = 2 xyb ≥ 0 xyb ≥ 0
BỒ
ID Ư
- Xét x + y = 0 ⇒ y = − x nên x3 − 3 x3 =
1 2
3
−1 −1 −1 ⇒x = = . ⇒x= 2 2 2 2 3
Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 −1 + i . Ta có được: z1 = . 2 2
Do đó: y =
N
- Xét x 2 + y 2 − 4 xy = 0 .
N Y U TP .Q ẠO Đ
)
3 +1 4
TR ẦN
H
Bài toán 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
(
)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
4
(
G
) −i 2(
)
Ư N
(
2 − 3 +1
z3 =
(
2 3 +1 2 3 −1 −1 + i ; z2 = +i 4 4 2
)
00
b) z = 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
B
a) z.z + 3 z − z = 4 − 3i .
10
Hướng dẫn giải
2+
(
3
a) Đặt z = x + iy , x, y ∈ ℝ
)
ẤP
Ta có: z.z + 3 z − z = x 2 + y 2 + 3.2iy = x 2 + y 2 + 6 yi
Ó
)
Í-
H
(
A
C
15 x = ± x2 + y 2 = 4 2 Do đó: z.z + 3 z − z = 4 − 3i ⇔ ⇔ 6 y = −3 y = − 1 2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Từ đó có 3 căn bậc ba là: z1 =
H Ơ
2 ( x − y ) ( x − y )2 + 6 xy = 2 x− y = 2 Ta có hệ: ⇔ 2 xy = 1 ( x − y ) − 2 xy = 0 4
15 i 15 i − hoặc z = − − . 2 2 2 2
TO
ÁN
Vậy z =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
z = 5 a 2 + b 2 = 5 b) Giả sử z = a + bi, a, b ∈ ℝ . Ta có: ⇔ a = 2b a = 2b a = 2 5 a = 2b a = −2 5 ⇔ ⇔ hay b = 5 b = − 5 b = ± 5
Vậy có hai số phức cần tìm: z = −2 5 − i 5, z = 2 5 + i 5 .
Bài toán 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp: Trang 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
)
a) z − z + 1 − i = 5 và có ( 2 − z ) i + z là số ảo. 2
2
(
)
2
N
b) ( z + i ) + z − 2 = 2 z − 3i .
H Ơ
Hướng dẫn giải
Y
N
a) Đặt z = x + yi, x, y ∈ ℝ . Khi đó: z − z + 1 − i = 5
TP .Q
)
G Ư N
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
mà: ( 2 − z ) i + z = ( ( 2 − x ) − yi ) ( x + (1 − y ) i )
H
= ( x ( 2 − x ) + y (1 − y ) ) + ( ( 2 − x )(1 − y ) − xy ) i
(
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO Đ
(
U
3 y = 2 2 ⇔ 1 + ( 2 y − 1) i = 5 ⇔ 1 + ( 2 y − 1) = 5 ⇔ y = − 1 2
)
B 00 10
3
1 x= 3 3 2 Với y = , ta có x 2 − 2 x + = 0 ⇔ 2 4 x = − 3 2
TR ẦN
nên ( 2 − z ) i + z là số ảo khi phần thực: x ( 2 − x ) + y (1 − y ) = 0
Ó
A
C
ẤP
2+
1 x= 1 3 2 Với y = − , ta có x 2 − 2 x + = 0 ⇔ 2 4 x = − 3 2
H
1 3 3 3 1 1 3 1 + i, z = − + i, z = − i, z = − − i . 2 2 2 2 2 2 2 2
-L
Í-
Vậy z =
2
2
(
ÁN
b) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó: ( z + 1) + z − 2 = 2 z − 3i 2
2
G
TO
⇔ ( x + ( y + 1) i ) + ( x − 2 ) + yi = 2 ( x − ( y + 3) i ) 2
2
)
2
2
2
Ỡ N
⇔ x 2 − ( y + 1) + 2 x ( y + 1) i + ( x − 2 ) + y 2 = 2 x 2 − 2 ( y + 3) − 4 x ( y + 3) i
BỒ
ID Ư
x 2 − ( y + 1) 2 + ( x − 2 )2 + y 2 = 2 x 2 − 2 ( y + 3) 2 ⇔ 2 x ( y + 1) = −4 x ( y + 3) x 2 − ( y + 1) 2 + ( x − 2 )2 + y 2 = 2 x 2 − 2 ( y + 3) 2 ⇔ 2 x ( 3 y + 7 ) = 0 Trang 8
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
7 7 y = − 3 y = − 3 x = 0 hay ⇔ 2 ⇔ 2 y − 10 y + 21 = 0 ( ∆ < 0 ) 497 = 4 x x = 497 36 9
Y
N
497 7 − i. 36 3
b)
TP .Q
)
a) 1 − i 3 (1 + i )
1− i 3 1+ i
ẠO
(
U
Bài toán 10.9: Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
(
)
π
π
π
π
G
00 10
3
1− i 3 2 π π π π = cos − − + i sin − − 1+ i 2 3 4 3 4
2+
b)
B
π π = 2 2 cos − + i sin − 12 12
TR ẦN
nên 1 − i 3 (1 + i ) = 2 2 cos − + + i sin − + 3 4 3 4
Ư N
H
π π π π + i sin − ,1 + i = 2 cos + i sin 4 4 3 3
C
ẤP
7π + i sin − 12
A
7π = 2 cos − 12
(
)
2 −1 i
b) z = 2 + 3 + i
Í-
a) z = 1 +
H
Ó
Bài toán 10.10: Tìm acgumen của số phức
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) 1 − i 3 = 2 cos −
Đ
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Vậy z =
(
1 2 −1 2 −1 i = 2 2 − 2 +i 2. 2 − 2 2. 2 2 −
)
G
TO
a) Ta có: z = 1 +
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
Ỡ N
2+ 2 2− 2 = 2. 2 − 2 +i 2 2
Dùng công thức hạ bậc: cos 2 a =
Ta tính được: cos
π 8
=
1 + cos 2a 1 − cos 2a , sin 2 a = 2 2
2+ 2 2− 2 π và sin = 2 8 2 Trang 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Vậy acgumen của số phức là
π
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
+ 2 kπ , k ∈ ℤ
8
(
)
H Ơ N Y U
) = 2(2 − 3) = 1 3 4(2 − 3) 2
Đ G Ư N
8−4
12
π
+ ℓπ . Chọn ϕ =
π 12
+ k 2π .
+ k 2π ( k ∈ ℤ ) .
3
Vậy acgumen của z = 2 + 3 + i bằng
12
TR ẦN
π
B
6
+ 2ℓπ ⇔ ϕ =
00
π
10
Suy ra: 2ϕ =
H
1 − tan 2 ϕ 3 Tương tự cos 2ϕ = = . 2 1 + tan ϕ 2
ẤP
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 + cos ϕ + i sin ϕ
C Ó
Í-
H
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ = 1 + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ
ϕ
=
2
ϕ
2
Ỡ N
G
2cos 2
ID Ư
- Khi tan
BỒ
− i.sin
TO
2sin 2
-L
a)
b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 + cos ϕ + i sin ϕ )
Hướng dẫn giải
A
a)
2+
Bài toán 10.11: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức
- Khi tan - Khi tan
ϕ 2
ϕ 2
ϕ 2
ϕ
+ i.sin
2
ϕ 2
cos cos
ϕ
ϕ ϕ sin − i cos ϕ 2 = tan 2 2 = −i.tan ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 2
cos
> 0 dạng lượng giác là: tan
2
+ i.sin
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
2
2 2− 3
ÁN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
) )
TP .Q
( (
2 2− 3 2 tan ϕ = 1 + tan 2 ϕ 1 + 2 − 3
⇒ sin 2ϕ =
=
AH 1 = = 2− 3 OH 2 + 3
ẠO
ta có tan ϕ =
N
b) Biểu diễn hình học số phức z = 2 + 3 + i thì số phức z tương ứng với điểm A 2 + 3,1 . Đặt ϕ = AOH .
2
ϕ
π π cos − + i sin − 2 2 2
< 0 dạng lượng giác là: − tan
ϕ
π π cos + i sin 2 2 2
= 0 thì không có dạng lượng giác. Trang 10
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin − i cos .2cos cos + i sin 2 2 2 2 2 2
N Y
N
π π = 2sin ϕ cos ϕ − + i sin ϕ − 2 2
π
TP .Q
U
- Khi sin ϕ = 0 : nó có dạng lượng giác không xác định.
π
Ư N
TR ẦN
H
Bài toán 10.12: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng z − 1 = z − 3i và iz có một acgumen là
π 6
.
Hướng dẫn giải
00
B
Đặt z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , r > 0, ϕ ∈ ℝ thì: z = r ( cos ϕ − i sin ϕ )
2
− ϕϕ =
π 6
⇔ϕ =
π
3
ẤP
π
C
Theo giả thiết ta có
2+
3
10
π π = i z = r ( sin ϕ − i cos ϕ ) = r cos − ϕ + sin − ϕ 2 2
3r r r r −1+ i = + 3 − 1 2 2 2 2
H
Ó
A
Khi đó z − 1 = z − 3i ⇔ 2
2
2
Í-
2 r2 r 3r r r ⇔ − 1 + = + 3 − 1 ⇔ r 2 = 4 − 1 ⇔ r = 1 4 4 2 2 2
π
3
+ i sin
G
TO
Vậy z = cos
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
π + i sin ϕ + 2 2
π
Đ
G
- Khi sin ϕ < 0 : dạng lượng giác là ( −2sin ϕ ) cos ϕ +
ẠO
- Khi sin ϕ > 0 : dạng lượng giác là 2sin ϕ cos ϕ − + i sin ϕ − 2 2
π 3
.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
i Bài toán 10.13: Tính: a) 1+ i
a) Ta có:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
= 2sin
H Ơ
b)
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
2016
1000
5 + 3i 3 b) 1 − 2 i 3
Hướng dẫn giải
π π i 1+ i 1 = = cos + i sin 1+ i 2 4 4 2
Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 2016π 2016π + i.sin cos 2 4 4
)(
2
)
1000
TP .Q
5 + 3i 3 1 + 2i 3 5 + 3i 3 2π 2π −13 + 13i 3 = = = −1 + i 3 = 2 cos + i.sin 1 + 12 13 3 3 1 − 2i 3 5 + 3i 3 ⇒ 1 − 2i 3
2000π 2000π = 21000 cos + i sin 3 3
Ư N
G
Đ
2π 2π 1000 1 − 3 = 21000 cos + i sin = 2 − +i 3 3 2 2
H
Bài toán 10.14: Tìm các căn bậc hai của các số phức:
b) z = 1 − i 3
TR ẦN
a) z = −2 + i 2 3
Hướng dẫn giải
B
1 3 2π 2π +i + i sin = 4 cos 2 3 3 2
10
00
a) Ta có: z = −2 + i 2 3 = 4 −
π
3
π
+ i sin
2+
3
= 1 + i 3 và 3
ẤP
Vậy z có hai căn bậc hai là: z1 = 2 cos
Ó
A
C
π π π π z2 = −2 cos + i sin = 2 cos π + + i sin π + 3 3 3 3
Í-
H
4π 4π = 2 cos + i sin = −1 − i 3 3 3
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
1008
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
1
N
2
( cos 3π + i.sin 3π ) = −
ẠO
b)
1 1008
H Ơ
=
1008
N
=
Y
2016
U
i ⇒ 1+ i
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1
TO
ÁN
b) Ta có: z = 1 − i 3 = 2
2
−i
3 5π 5π + i sin = 2 cos 2 3 3
Ỡ N
G
Vậy z có hai căn bậc hai là: z1 = −
6 2 6 2 i, z2 = − i. + − 2 2 2 2
ID Ư
Bài toán 10.15: Tìm số phức z thỏa mãn:
BỒ
a) 1 − 2 z = i − z và
π z+3 có một acgumen bằng . z −3 4
b) 2 z − i = 2 + z − z và
1 − 3i 2π có một acgumen là − . z 3 Trang 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải
a) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ )
2
( x − 3)
2
+ y2
U TP .Q
−6 y
i
ẠO
+
Đ
+y
2
Ư N
G
π z+3 có một acgumen bằng nên z −3 4
H
Vì
( x − 3)
2
z+3 π π r r = r cos + i sin = + , i, r > 0 z −3 4 4 2 2
2+
3
10
00
B
x2 − 9 + y 2 r = 2 2 2 y < 0 ( x − 3) + y Do đó ⇔ 2 2 −6 y r x − 9 + y = −6 y = , r > 0 ( x − 3)2 + y 2 2 −2 x = y < 0
ẤP
x = 3 ⇔ . Vậy z = 3 − 6i . y = −6 5 x − 12 − 9 = 0
C
2
A
Nên ta có
1
−
−π −π 3 i = 2 cos + i sin 2 3 3
-L
Ta có 1 − 3i = 2
H
Ó
b) Giả sử z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , r > 0 .
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
=
x2 − 9 + y 2
Y
z + 3 ( x + 3) + yi ( ( x + 3) + yi ) ( ( x − 3) − yi ) = = 2 z − 3 ( x − 3) + yi ( x − 3) + y 2
TR ẦN
Và:
N
⇔ ( 2 x − 1) + y 2 = ( 2 x ) + ( y + 1) ⇔ −2 x = y
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
H Ơ
2
N
Khi đó 1 − 2 x = i − 2 z ⇔ ( 2 x − 1) + yi = 2 x − ( y + 1) i
TO
1 − 3i 2 π π = cos − − ϕ + i sin − − ϕ z r 3 3
Ỡ N
G
nên
ÁN
2
ID Ư
Theo giả thiết −
π 3
−ϕ = −
π r 3r 2π ⇔ ϕ = . Do đó z = + i 3 3 2 2
BỒ
Theo giả thiết 2 z − i = 2 + z − z ⇔ r +
⇔ r2 +
(
3r − 2
)
2
= 4+
( 3r )
2
(
)
3r − 2 i = 2 + 3ri
⇔ r 2 − 4 3r = 0
⇔ r = 4 3 , vì r > 0 . Vậy z = 2 3 + 6i . Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 10.16: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau
N H Ơ
(1 + i ) z + 2 =
3 , hãy tìm số phức có môđun lớn nhất.
1− i
N TP .Q
U
Hướng dẫn giải a) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ )
Đ G
2
ẠO
z+z + 3 ⇔ ( x + 1) + yi = x + 3 2 2
( x + 2)
2
+4 ≥2
Dấu = xảy ra khi x = −2 ⇒ y = 0 . Vậy số phức z = −2 .
00
3 ⇔ i ( x + yi ) + 2 = 3 2
2+
3
1− i
10
(1 + i ) z + 2 =
B
b) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Ta có
H
x2 + y 2 = x2 + 4 x + 8 =
TR ẦN
Ta có z =
Ư N
⇔ ( x + 1) + y 2 = ( x + 3) ⇔ y 2 = 4 x + 8
A
C
2
H
x y−2 ⇔ + =1 3 3
Ó
2
ẤP
⇔ ( 2 − y ) + xi = 3 ⇔ x 2 + ( y − 2 ) = 3
Í-
Đặt x = 3 sin α , y = 3 cos α thì tìm được z
(
)
TO
ÁN
z = 2− 3 i.
(
Ỡ N
G
Bài toán 10.17: Xét các số phức z1 = 6 − i 2; z2 = −2 − 2i, z3 =
BỒ
ID Ư
Viết z1 , z2 , z3 dưới dạng lượng giác, suy ra cos
Ta có z1 = 2
)
lớn nhất khi z = 2 + 3 i và z nhỏ nhất khi
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Khi đó z + 1 =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b)
z+z + 3 , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2
Y
a) z + 1 =
z1 . z2
7π 7π và sin 12 12 Hướng dẫn giải
(
π π 3 − 1 = 2 2 cos − + i sin − 6 6
)
Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
z1 −π 3π = cos + 4 z2 6
π 3π + i sin − + 6 4
7π 7π + i sin = cos 12 12
N
8
=
6+ 2 − 6+ 2 i + 4 4
U
)
6 − i 2 ( −2 + 2i )
TP .Q
(
6 −i 2 z1 = = z2 −2 − 2i
Y
N
Mặt khác:
TR ẦN
Tìm phần ảo của số phức (1 + i tan a )(1 + i tan b )(1 + i tan c ) ,
H
Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos a.cos b.cos c ≠ 0 .
Ư N
G
Đ
7π − 6 + 2 7π 6+ 2 = ,sin = . 12 4 12 4
suy ra tan a + tan b + tan c = tan a.tan b.tan c ⇔ a + b + c = kπ ( k ∈ ℤ ) .
00
B
Hướng dẫn giải
10
Từ khai triển của (1 + i tan a ) . (1 + i tan b ) . (1 + i tan c ) thì phần ảo của số phức
2+
3
(1 + i tan a )(1 + i tan b )(1 + i tan c ) bằng tan a + tan b + tan c − tan a.tan b.tan c
C
ẤP
Vậy tan a + tan b + tan c = tan a.tan b.tan c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của π .
Ó
A
1 . ( cos α + i sin α ) có acgumen là a + ℓπ với ℓ là số nguyên bất kì cos a
H
Mặt khác, 1 + i tan a =
Í-
Tương tự cho 1 + i tan b,1 + i tan c
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
cos
ẠO
So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:
ÁN
Do đó: (1 + i tan a )(1 + i tan b )(1 + i tan c ) có acgumen là a + b + c + ℓπ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
z3 =
3π + i sin − 4
H Ơ
3π z2 = 2 ( −1 − i ) = 2 2 cos − 4
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
TO
Vậy: tan a + tan b + tan c = tan a.tan b.tan c ⇔ a + b + c = kπ ( k ∈ ℤ ) .
G
Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:
Ỡ N
a) 2ix 2 − 3 x + 4 + i = 0
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
b) z 2 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) z + i sin ϕ cos ϕ = 0
a) ∆ = 9 − 8i ( 4 + i ) = 9 − 32i − 8i 2 = 17 − 32i 2
Ta tìm các căn bậc hai a + bi, a, b ∈ ℝ của ∆ = ( a + bi ) = 17 − 32i Trang 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
2 256 a − a 2 = 17 a 2 − b 2 = 17 ⇔ ⇔ 2ab = −32 b = − 16 a
Y U
1313 + 17 i 2
G TR ẦN
Nên ∆ có hai căn bậc hai là ± ( cos ϕ − i sin ϕ )
10
00
B
Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1 = cos ϕ , z2 = i sin ϕ Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức
b) ( x + i − 2 ) x 2 − ( 2 + i ) x + 7i − 1 = 0
2+
3
a) x 3 − 8 = 0
Ư N
2
H
2
= cos 2 ϕ + ( i sin ϕ ) − 2i.sin ϕ cos ϕ = ( cos ϕ − i sin ϕ )
ẤP
Hướng dẫn giải
(
)
C
a) Ta có: x 3 − 8 = 0 ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ x = 2 hay x 2 + 2 x + 4 = 0
Ó
A
Phương trình bậc hai có ∆ ' = 1 − 4 = −3 = 3i 2 nên có các căn bậc hai là ±i 3 . Vậy phương trình đã cho có
b)
Í-
H
3 nghiệm: x = 2; x = −1 ± i 3
( x + i − 2 ) x 2 − ( 2 + i ) x + 7i − 1 = 0 ⇔ x = 2 − i hoặc
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
b) ∆ = ( cos ϕ + i sin ϕ ) − 4i sin ϕ cos ϕ
x 2 − ( 2 + i ) x + 7i − 1 = 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
1313 − 17 1 − 3− 2 4
ẠO
1 4
Đ
−
1313 + 17 i ; 2
TP .Q
1313 − 17 1 − 3 + 2 4
1 4
N
Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:
TO
2
ÁN
Phương trình bậc hai có biệt thức 2
G
∆ = ( 2 + i ) − 4 ( 7i − 1) = 7 − 24i = ( 4 − 3i ) nên ∆ có các căn bậc hai là ± ( 4 − 3i ) .
Ỡ N
Từ đó giải cho 2 nghiệm x = 3 − i, x = −1 + 2i
ID Ư
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x = 2 − i, x = 3 − i, x = −1 + 2i
Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:
BỒ
a) z 4 + 2 z 3 + z 2 + 4 z + 4 = 0 b) z 3 − ( 3 + i ) z 2 + ( 3 + 4i ) z + 1 − mi = 0 biết 1 nghiệm z = i . Hướng dẫn giải Trang 16
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Ta có z = 0 không là nghiệm của phương trình, chia z 2 ta được: 2
4 4 2 2 z + 2z + 1 + + 2 = 0 ⇔ z + + 2 z + − 3 = 0 z z z z
N
2
N Y U TP .Q
1 7 i. ± 2 2
Đ
Giải phương trình bậc hai 2
B
Ta có ∆ : 9 − 4 ( 3 + i ) = −3 − 4i = (1 − 2i )
H
TR ẦN
⇔ ( z − i ) ( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0 ⇔ z = i hoặc z 2 − 3 z + 3 + i = 0
Ư N
G
Khi đó PT: z 3 − ( 3 + i ) z 2 + ( 3 + 4i ) z + 1 − 3i = 0
10
00
Suy ra z = 2 − i, z = 1 + i
3
Vậy 3 nghiệm của phương trình là z = i, z = 2 − i, z = 1 + i
2+
Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:
2
iz + 3 iz + 3 −4=0 b) −3 z − 2i z − 2i
ẤP
2
A
C
a) ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0
H
Ó
Hướng dẫn giải
Í-
a) Đặt z + 3 − i = w thì phương trình trở thành w2 − 6 w + 13 = 0 .
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Thay z = i vào phương trình ta có m = 3 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Vậy nghiệm của phương trình là z = −1; z = −2; z =
H Ơ
2 1 7 z + z = 1 z2 − z + 2 = 0 z= ± i ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 2 z + 2 = −3 z + 3z + 2 = 0 z = −1; z = −2 z
ÁN
Biệt thức ∆ = 36 − 52 = −16 nên w =
6 ± 4i = 3 ± 2i 2
TO
do đó z + 3 − i = 3 ± 2i hay z − i = ±2i
G
Vậy z = 3i và z = −i là các nghiệm cần tìm.
iz + 3 = w thì phương trình: w2 − 3w − 4 = 0 z − 2i
Ỡ N
BỒ
ID Ư
b) Đặt
Biệt thức ∆ = 9 + 16 = 25 nên w =
Với w = −1 , ta có
3±5 suy ra w = −1 hay w = 4 2
iz + 3 −1 + 5i = −1 ⇔ z = z − 2i 2 Trang 17
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
iz + 3 4 + 35i =4⇔ z= z − 2i 17
Với w = 4 , ta có
a) z 4 − 16 = 0
N
Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm:
H Ơ
b) 8 z 4 + 8 z 3 = z + 1
(
)(
N
Hướng dẫn giải
)
TP .Q
U
Y
a) Ta có z 4 − 16 = 0 ⇔ z 2 − 4 z 2 + 4 = 0
⇔ ( z − 2 )( z + 2 ) ( z 2 + 4 ) = 0 ⇔ z1,2 = ±2 hay z3,4 = ±2i
(
) + 2 z + 1) = 0
G Ư N H
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ ( z + 1)( 2 z − 1) ( 4 z 2
Đ
b) 8 z 4 + 8 z 3 = z + 1 ⇔ ( z + 1) 8 z 3 − 1 = 0
TR ẦN
⇔ ( z + 1)( 2 z − 1) = 0 hay 4 z 2 + 2 z + 1 = 0
B
Nghiệm của z + 1 = 0 là z1 = −1 , nghiệm của 2 z − 1 = 0 là z2 =
00
2
1 2
1 3 1 3 1 3 Nghiệm của 4 z + 2 z + 1 = 0 ⇔ 2 z + + = 0 là z3 = − + i và z4 = − − i . Vậy phương 4 4 4 4 2 4
10
2
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Vậy phương trình có 4 nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình vuông ở hình 1.
n
n
Ỡ N
G
Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức: ( z + 1) − ( z − 1) = 0, n ∈ ℕ* . Hướng dẫn giải n
n
BỒ
ID Ư
Phương trình tương đương: ( z + 1) = ( z − 1) , n
z +1 vì z = 1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết: =1 z −1
Gọi ω0 , ω1 ,..., ωn −1 là các căn số bậc n của 1: Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2mπ 2mπ + i sin n n
N
z +1 = ωm với m = 0,1,..., n − 1 z −1
U
Y
1 + ωm mπ với m = 1, 2,..., n − 1 ⇔ z = cot ( −i ) n −1 + ωm
TP .Q
⇔z=
N
⇔ z + 1 = ωm ( z − 1) với m = 0,1,..., n − 1
G
Đ
mπ với m = 1, 2,..., n − 1 . n
Ư N
Bài toán 10.25: Giải các hệ phương trình nghiệm phức:
z 3 + w5 = 0 b) 4 2 z w = 1
TR ẦN
H
z + w = 4 − i a) 3 3 z + w = 7 + 28i
( )
(1)
( 2)
B
Hướng dẫn giải
− 3zw =
)
3
− 3 zw = 7 + 28i
7 + 28i ⇔ zw = 5 − 5i 4−i
ẤP
2
2
C
(4 − i)
(( z + w)
2+
Và z 3 + w3 = 7 + 28i ⇔ ( z + w )
10
00
a) Ta có z + w = 4 − i
A
Vì z + w = 4 − i nên w = 4 − i − z .
Í-
H
Ó
Thế vào thì có phương trình z 2 − ( 4 − i ) z + 5 − 5i = 0 2
Ta có: ∆ = −5 + 12i = ( 2 + 3i ) . Suy ra z = 3 + i hoặc z = 1 − 2i
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Vậy phương trình có n − 1 nghiệm: z = −i cot
ẠO
(Vì m = 0 ⇒ ω0 = 1 ⇒ z không xác định nên ta loại bỏ ω0 )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Phương trình trên trở thành:
H Ơ
ωm = cos
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
ÁN
Vậy ( z, w ) = ( 3 + i;1 − 2i ) , ( z; w ) = (1 − 2i;3 + i ) 12
TO
( )
G
b) Từ (2) suy ra z 6 w
Ỡ N
ID Ư
12
( )
Do đó: w10 w
BỒ
Suy ra z 6 = w
10
= 1 . Từ (1) suy ra z 6 = w10
= 1 nên w
22
= 1 tức là w = 1
= 1 tức là z = 1 . Từ w =
1 và w10 w w
12
( )
( )
= 1 suy ra w
2
= 1 nên w bằng 1 hoặc bằng
−1.
( )
Từ w
2
= 1 và (2) suy ra z 2 = 1 tức z bằng 1 hoặc bằng −1. Trang 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Mà (1): z 3 + w5 = 0 nên: z = 1 ⇒ w = −1 và z = −1 ⇒ w = 1 . Vậy hệ có hai nghiệm ( z , w ) là: (1; −1) và ( −1;1)
Y
N
z −1 =1 z −i
U
z − 3i =1 2+i
ẠO Đ G H
( i + 1) y − 2 (1 + i ) z = −10 4 y − (1 + i ) z = −20 − 30i
Ư N
x + iy − 2 z = 10 x + iy − 2 z = 10 a) Ta có: x − y + 2iz = 20 ⇔ x − y + 2iz = 20 ix + 3iy − 1 + i z = 30 x + 3 y + i − 1 z = −30i ( ) ( )
B
3
10
00
x = 3 − 11i Từ đó có x = 3 − 11i . Vậy hệ có nghiệm: y = −3 − 9i z = 1 − 7i
TR ẦN
Khử x ta có hệ:
2+
b) Ngoài cách giải đại số, bằng cách viết z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) rồi tính toán. Ta có cách giải hình học biểu
C
ẤP
diễn như sau:
Ó
A
Ta có tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
z − z0 = 1 ⇔ z − z0 = z − z1 z − z1
Í-
H
là đường trung trực của đoạn thẳng A0 A1 với A0 , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 , z1 .
z −1 = 1 nên điểm M biểu diễn số z = x + yi, với x, y ∈ ℝ phải nằm trên đường phân giác y = x . z −i
ÁN
Do đó
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
b)
x + iy − 2 z = 10 a) x − y + 2iz = 20 ix + 3iy − (1 + i ) z = 30
H Ơ
N
Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:
TO
z − 3i = 1 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1. Vậy z = 1 + i . z +i
G
Còn điều kiện
Ỡ N
Bài toán 10.27: Không giải phương trình z 2 + ( 2 − i ) z + 3 + 5i = 0 . Hãy tính: z12 + z22 , z14 + z24 .
BỒ
ID Ư
Hướng dẫn giải
Theo hệ thức Viet ta có: S = z1 + z2 = −2 + i, P = z1 z2 = 3 + 5i 2
Do đó z12 + z22 = S 2 − 2 P = ( −2 + i ) − 2 ( 3 + 5i ) = −3 − 14i 2
2
z14 + z24 = ( z12 + z22 ) − 2 z12 z22 = ( −3 − 14i ) − 2 ( 3 + 5i )
2
Trang 20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
= −155 + 24i Bài toán 10.27: Cho các số phức z1 , z2 thõa mãn điều kiện 2
4
H Ơ
N
z z z1 − z2 = z1 = z2 > 0 . Tính T = 1 + 2 . z2 z1
Y U
z1 = w ta được z2 w − z2 = z2 w = z2 > 0 z2
ẠO
Hay w − 1 = w = 1
- Với w =
G
Đ 4
4π 4π 4π 4π 1 thì w = cos + i sin và = cos − i sin 3 3 3 3 w 2
4
10
00
B
4
H
π π 1 3 + i = cos + i sin 2 2 3 3
Ư N
1 3 ,b = ± 2 2
TR ẦN
2
Khi đó ta có ( a − 1) + b 2 = a 2 + b 2 = 1 ⇔ a =
4
ẤP
2+
3
z z 4π 1 = −1 Do đó T = 1 + 2 = w4 + = 2cos 3 w z2 z1 2
4
4
Ó
A
C
z z 1 3 1 i , tương tự T = 1 + 2 = w4 + = −1. - Với w = − 2 2 w z2 z1
Í-
H
Bài toán 10.29: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: b)
TO
ÁN
a) z + 2 − 3i = 4
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Giả sử w = a + bi ( a, b ∈ ℝ )
z −i =1 z+i
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Đặt
N
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
Ỡ N
G
a) Giả sử: z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) , 2
BỒ
ID Ư
Ta có: z + 2 − 3i = 4 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 3) i = 4 2
2
⇔ ( x + 2 ) + ( y − 3) = 16
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( −2;3) , bán kính R = 4 .
b) Giả sử: z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) , ta có: Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
z −i = 1 ⇔ z − i = z + i ⇔ x + ( y − 1) i = x + ( y + 1) i z+i 2
N H Ơ
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox.
Y U
2
=4
TP .Q
( )
b) z 2 − z z
a) 2 z − i = z − z + 2i
N
Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:
ẠO
Hướng dẫn giải
Đ
a) Gọi z = x + yi, x, y ∈ ℝ . Ta có: 2 z − i = z − z + 2i
2
G Ư N
= 4 ⇔ 4 xyi = 4
B
()
b) Gọi z = x + yi, x, y ∈ ℝ . Ta có: z 2 − z
H
x2 x2 . Vậy tập hợp cần tìm là parabol y = 4 4
2
TR ẦN
⇔ y=
10
00
⇔ xy = 1 ⇔ xy = 1 hoặc xy = −1 .
3
1 1 và y = − . x x
2+
Vậy tập hợp cần tìm là hai hyperbol y =
C
ẤP
Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
Ó
A
a) z là các căn bậc hai của a + i, a thay đổi
H
π z−2 có một acgumen bằng . z+2 3
Í-
b)
Hướng dẫn giải
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
2
⇔ 2 x + ( y − 1) i = 2 ( y + 1) i ⇔ x 2 + ( y − 1) = ( y + 1)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
⇔ x 2 + ( y − 1) = x 2 + ( y + 1) ⇔ y = 0
TO
a) Viết z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thì
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
1 2 2 y = x − y = a z2 = a + i ⇔ ⇔ 2x 2 2 xy = 1 x − y2 = a
Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol y =
1 . Vì với mỗi điểm ( x, y ) của hyperbol này, tìm 2x
được a = x 2 − y 2 nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó.
Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
) (
(
)
π
có một acgumen bằng
3
)
khi và chỉ khi
N
(
z − 2 z − 2 z + 2 zz − 4 + 2 z − z = . = 2 z+2 z+2 z+2 z+2
b) Ta có số phức
1 . 2x
H Ơ
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol y =
(
)
(
U
Y
N
z z − 4 + 2 z − z = ℓ 1 + i 3 , ℓ là số thực dương.
) (
)
ẠO
( ℓ > 0 ).
)
3
Đ G Ư N
TR ẦN
(
Mà: 4 y = x 2 + y 2 − 4
H
x 2 + y 2 − 4 = ℓ ( ℓ > 0 ) ⇔ ⇔ 4 y = ( x 2 + y 2 − 4 ) 3, y > 0 4 y = ℓ 3
2
2 16 ⇔ x + y− − 3 =0 3
10
00
B
2
2 4 i và có bán kính bằng nằm ở phía trên trục 3 3
2+
3
Vậy M chạy trên cung tròn có tâm là điểm biểu diễn
ẤP
thực.
C
Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:
a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì
H
Ó
A
w = z
Í-
b) Nếu z1 khác z2 : z1 = z2 khi và chỉ khi
z1 + z2 là số ảo. z1 − z2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
⇔ x 2 + y 2 − 4 + 4 yi = ℓ + ℓ 3i ( ℓ > 0 )
ÁN
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Viết z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thì: z.z − 4 + 2 z − z = x 2 + y 2 − 4 + 4 yi nên z z − 4 + 2 z − z = ℓ 1 + i 3 ,
TO
a) Nếu z là một căn bậc hai của w thì z 2 = w 2
Ỡ N
G
Nên z 2 = z = w . Vậy: z =
BỒ
ID Ư
b) Với điều kiện z1 ≠ z2 ,
2
z =
w
z1 + z2 z + z2 z1 + z2 + là số ảo ⇔ 1 z1 − z2 z1 − z2 z1 − z2
⇔ ( z1 + z2 )( z1 − z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 + z2 ) = 0
(
)
⇔ 2 z1 z1 − z2 z2 = 0 ⇔ z1 = z2 Bài toán 10.33: Tìm số nguyên dương n: Trang 23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) z n là số thực, số ảo với số phức z = 3 + i n
H Ơ
N
n+2 3 −i 5−i b) Nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo. 2 − 3i 1 − 3i
π
Y
6
U
Áp dụng công thức Moivre thì z n = 2n cos
Đ Ư N
G
π π 3 −i 3 1 = + i = cos + i sin 2 2 6 6 1 − 3i
H
B
b) Ta có:
π nπ = ( 2k + 1) ⇔ n = 3 ( 2k + 1) , k ∈ ℕ 6 2
TR ẦN
z n là số ảo ⇔
nπ = kπ ⇔ n = 6 k , k ∈ ℕ * 6
n
3
10
00
n 3 −i π π nπ nπ nên z1 = + i sin = cos + i sin = cos 6 6 6 6 1 − 3i
2+
nπ = 0 ⇔ n = 6k , với k nguyên dương. 6
ẤP
z1 là số thực ⇔ sin
n+2
H
Ó
A
C
π π 5−i 5−i Ta có = 1 + i = 2 cos + i sin nên z2 = 2 − 3i 4 4 2 − 3i n+2
= 2
Í-
π π = 2 cos + i sin 4 4
n+ 2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
z n là số thực ⇔
nπ nπ + i sin 6 6
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
6
+ i sin
TP .Q
π
ẠO
a) Ta có: z = 3 + i = 2 cos
N
Hướng dẫn giải
ÁN
( n + 2)π
TO
z2 là số ảo ⇔ cos
4
( n + 2 ) π + i sin ( n + 2 ) π cos 4 4
= 0 ⇔ n + 2 = 4l + 2
Ỡ N
G
⇔ n = 4l , với l nguyên dương.
BỒ
ID Ư
Bài toán 10.34: Tính sin 4ϕ và cos 4ϕ theo các lũy thừa của sin ϕ và cos ϕ Hướng dẫn giải 4
Ta tính ( cos ϕ + i sin ϕ ) theo 2 cách:
( cos ϕ + i sin ϕ )
4
= cos 4ϕ + i sin 4ϕ
Trang 24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
và
( cos ϕ + i sin ϕ )
4
= cos 4 ϕ + 4 ( cos3 ϕ ) ( i sin ϕ ) + 6 ( cos 2 ϕ )( i 2 sin 2 ϕ ) + 4 ( cos ϕ ) ( i 3 sin 3 ϕ ) + i 4 sin 4 ϕ
H Ơ
N
= cos 4 ϕ − 6 cos 2 ϕ sin 2 ϕ + sin 4 ϕ + ( 4cos3 ϕ sin ϕ − 4cos ϕ sin 3 ϕ ) i
N
Từ đó có: cos 4ϕ = cos 4 ϕ − 6 cos 2 ϕ sin 2 ϕ + sin 4 ϕ
U
Y
sin 4ϕ = 4cos3 ϕ sin ϕ − 4cos ϕ sin 3 ϕ
Đ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
a) Ta có z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ ℝ )
1 = cos nϕ − i sin nϕ nên: zn
10
1 1 = 2cos nϕ , z n − n = 2i sin nϕ n z z
1 1 = 2cos ϕ , z − = 2i sin ϕ z z
ẤP
b) Khi n = 1 ta có: z +
2+
3
Do đó z n +
00
B
nên z n = cos nϕ + i sin nϕ ,
TR ẦN
Hướng dẫn giải
Ư N
G
1 1 ( cos 4ϕ + 4cos 2ϕ + 3) ,sin 5 ϕ = ( sin 5ϕ − 5sin 3ϕ + 10sin ϕ ) 8 16
H
b) cos 4 ϕ =
ẠO
1 1 = 2cos nϕ ; z n − n = 2i.sin nϕ với mọi số nguyên n ≥ 1 . n z z
4
H
Ó
A
C
1 1 1 1 ⇒ cos ϕ = z + ;sin ϕ = z − nên z z 2 2i 1 1 1 1 1 cos ϕ = z + = 4 z 4 + 4 + C41 z 2 + 2 + C42 z 2 z z 2
Í-
4
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) z n +
TP .Q
Bài toán 10.35: Cho z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ ℝ ) . Chứng minh rằng:
ÁN
1 1 2cos 4ϕ + 4.2cos 2ϕ + 6 ) = ( cos 4ϕ + 4 cos 2ϕ + 3) 4 ( 2 8
TO
=
5
G
1 1 1 1 1 1 và sin ϕ = z − = 5 z 5 − 5 − C51 z 3 − 3 + C52 z − z i 2 z z z 2i
ID Ư
Ỡ N
5
BỒ
=
1 1 2sin 5ϕ − 2C51 sin ϕ + 2C52 sin ϕ ) = ( sin 5ϕ − 5sin 3ϕ + 10sin ϕ ) 5 ( 2 16
Bài toán 10.37: Cho các số thực a, b sao cho sin
a ≠0 2
Với mỗi số nguyên n ≥ 1 , tính các tổng Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
S = cos b + cos ( a + b ) + cos ( 2a + b ) + ... + cos ( na + b ) T = sin b + sin ( a + b ) + sin ( 2a + b ) + ... + sin ( na + b )
H Ơ
N
Hướng dẫn giải
N
Đặt α = cos a + i sin a, β = cos b + i sin b thì:
U
Y
S + iT = [ cos b + i sin b ] + cos ( a + b ) + i sin ( a + b ) +
TP .Q
cos ( 2a + b ) + i sin ( 2a + b ) + cos ( na + b ) + i sin ( na + b )
H TR ẦN
n +1 a na na 2 b i b + + + cos sin . Từ đó suy ra: a 2 2 sin 2
sin
00
B
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
1 − cos ( n + 1) a − i sin ( n + 1) a 1 − cos a − i sin a
Đ
=β
G
1 − α n +1 a (để ý rằng α ≠ 1 do sin ≠ 0 ) 1−α 2
Ư N
=β
10
n +1 n +1 a sin a na na 2 2 + b ,T = + b cos sin a a 2 2 sin sin 2 2
3
sin
A
C
Bài toán 10.38: Tính các tổng hữu hạn:
ẤP
2+
S=
H
Ó
A = 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + −... và B = Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + −...
n
Í-
n
∑C i
k k n
= 1 + Cn1i − Cn2 − Cn3i + Cn4 + Cn5i − Cn6 − Cn7i + ...
ÁN
Ta có: (1 + i ) =
Hướng dẫn giải
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= β + βα + βα 2 + ... + βα n = β (1 + α + α 2 + ... + α n )
k =0
G
TO
= 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + −... + i ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + −...)
Ỡ N
= A + Bi . Mặt khác:
BỒ
ID Ư
(1 + i )
n
n
π π nπ nπ = 2 cos + i sin = 2n /2 cos + i sin 4 4 4 4
Vậy A = 2n /2 cos
nπ nπ n /2 và B = 2 sin 4 4
.
Bài toán 10.39: Chứng minh: Trang 26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
nπ 1 1 + Cn4 + Cn8 + ... = 2n −1 + 2n /2 cos 2 4
H Ơ
N
nπ 1 Cn1 + Cn5 + Cn9 + ... = 2n −1 + 2n /2 sin 2 4
= 1 + Cn1 − Cn2 − Cn3i + Cn4 + Cn5i − Cn6 − Cn7i + ...
k =0 n
(1 − i ) = ∑ ( −1) Cnk i k = 1 − Cn1i + Cn2 + Cn3i − Cn4 − Cn5i + Cn6 + Cn7i + ... n
ẠO
n
∑C
k n
= Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn
0 = (1 − 1) = ∑ ( −1) Cnk = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + ( −1) Cnn . n
n
TR ẦN
k =0
Do đó Cn0 + Cn2 + Cn4 + ... = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ... = 2n −1
nπ ⇒ đpcm. 4
B
)
10
00
(
Suy ra 2 Cn1 + Cn5 + Cn9 + ... = 2n−1 + 2n /2 cos
H
n
n
Ư N
k =0
1 zz '+ z z ' 2
(
C
ẤP
a) Tích vô hướng u.u ' thỏa mãn: u.u ' =
2+
3
Bài toán 10.40: Các vectơ u, u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z , z ' . Chứng minh:
H
Ó
A
b) Nếu u ≠ 0 thì u, u ' vuông góc khi và chỉ khi
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
n
G
n
Và 2n = (1 + 1) =
Đ
k =0
)
z' là số ảo; z
Hướng dẫn giải
ÁN
-L
a) Viết z + x + yi , z ' = x '+ y ' i ( x, y , x ', y ' ∈ ℝ ) thì: u.u ' = xx '+ yy '
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
k k n
Y
∑C i
U
Ta có (1 + i ) =
n
TP .Q
n
N
Hướng dẫn giải
TO
và: zz '+ z z ' = ( x − yi )( x '+ y ' i ) + ( x + yi )( x '− y ' i ) = 2 ( xx '+ yy ' )
Ỡ N
G
Nên: u.u ' =
1 zz '+ z z ' 2
(
)
BỒ
ID Ư
b) u.u ' = 0 ⇔ zz '+ z z ' = 0 . Do ddos:
z' z' z' z' z' u.u ' = 0 ⇔ + = 0 ⇔ + = 0 ⇔ là số ảo. z z z z z
Bài toán 10.41: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 . Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào? b) Giả sử z1 = z2 = z3 . Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:
N
z1 + z2 + z3 = 0 .
N
)
Y
Vì OA, OB, OC theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 nên G biểu diễn số phức
1 ( z1 + z2 + z3 ) 3
x3 − 3xy 2 = −1 a) 3 2 y − 3x y = − 3
Ư N
G
Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:
2 x + 5 y = xy + 2
H
b)
TR ẦN
2 2 x + 4 y + 21 = y + 10 x
Hướng dẫn giải
00
B
a) Điều kiện x 2 + y 2 ≠ 0 . Xét số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) thì:
3
10
z 3 = x3 − 3xy 2 + ( 3 x 2 y − y 3 ) i
C
ẤP
2+
x3 − 3xy 2 = −1 Hệ ⇔ x 3 − 3 xy 2 + ( 3x 2 y − y 3 ) i = −1 + i 3 3 2 y − 3x y = − 3
H
Ó
A
2π 2π ⇔ z 3 = −1 + i 3 = 2 cos + i sin 3 3
Í-
2π 2π ⇔ z = 3 2 cos + i sin 9 9
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Đ
ẠO
b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G ≡ 0 hay z1 + z2 + z3 = 0 .
3 ;
8π 8π 2 cos + i sin 9 9
3 ;
14π 14π 2 cos + i sin 9 9
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
U
1 OA + OB + OC 3
TP .Q
a) G là trọng tâm của tam giác ABC khi: OG =
H Ơ
Hướng dẫn giải
ÁN
Suy ra nghiệm hệ:
ID Ư
Ỡ N
G
TO
2π 8π 14π 3 3 3 x = 2 cos 9 x = 2 cos 9 x = 2 cos 9 hay hay 2 π 8 π 3 3 y = 2 sin y = 2 sin y = 3 2 sin 14π 9 9 9
BỒ
b) Xét số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) thì z 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi .
2 x + 5 y = xy + 2
xy − 2 x − 5 y + 2 = 0 ⇔ 2 2 2 2 x + 4 y + 21 = y + 10 x x − y − 10 x + 4 y + 21 = 0
Hệ
Trang 28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
⇔ ( x 2 − y 2 − 10 x + 4 y + 21) + 2 ( xy − 2 x − 5 y + 2 ) i = 0
N
⇔ ( x 2 − y 2 − 2 xyi ) − (10 + 4i )( x + yi ) + 21 + 4i = 0
) (
)
(
) (
)
y = 2 + 2 2
Y U
x = 5 − 2 2
TP .Q
x = 5 + 2 2
Suy ra nghiệm hệ phương trình:
N
⇔ z = 5 + 2 2 + 2 + 2 2 i hay z = 5 − 2 2 + 2 − 2 2 i hay
y = 2 − 2 2
ẠO
Bài toán 10.43: Phân tích thành
Đ G Ư N
x2 x4 − 1
H
b) Tổng các phần tử đơn của: P ( x ) =
π 2
kπ ⇔ x = cos
B
f ( x ) = cos ( n arccos x ) = 0 ⇔ n arccos x =
2k + 1 π. 2n
00
a)
TR ẦN
Hướng dẫn giải
10
Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược
2+
3
1 1 2k + 1 0≤ π ≤ π hay − ≤ k ≤ n − tức là k = 0,1.,,,.n − 1 2 2 2n
A
C
ẤP
n −1 n 2k + 1 2k − 1 π = a0 ∏ x − cos π f ( x ) = cos ( n arccos x ) = a0 ∏ x − cos 2n 2n k =0 k =1
H
Ó
Đặt arccos x = v thì từ công thức MOIVRE ta có:
Í-
cos ( nv ) = cos nv − Cn2 cos n −2v sin 2 v + Cn4 cos n −4 v sin 4 v... + ... 2
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
a) Nhân tử bậc nhất của: f ( x ) = cos ( n arccos x )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
H Ơ
⇔ z 2 − 2 ( 5 + 2i ) z + 21 + 4i = 0
ÁN
= x n − Cn2 x n −2 (1 − x 2 ) + Cn4 x n −4 (1 − x 2 ) + ...
TO
Nên hệ số cao nhất a0 = 1 + Cn2 + Cn4 + ... + Cnn = 2n−1 .
Ỡ N
G
Vậy: cos ( n arccos x ) = 2
n −1
n
∏ x − cos k =1
2k − 1 π n
BỒ
ID Ư
x2 x2 x2 b) Ta có: P ( x ) = 4 = = x − 1 ( x 2 − 1)( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1)( x − i )( x + i ) Áp dụng công thức nội suy Lagrăng cho f ( x ) = x 2 và 4 số
x1 = 1, x2 = −1; x3 = i, x4 = −i, ϕ ( x ) = ∏ ( x − xi ) : Trang 29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
f ( xi ) f ( x) 4 =∑ ϕ ( x ) i =1 ϕ ' ( xi )( x − xi )
N U
Y
N
1 1 1 − + trên R [ x ] 4 ( x − 1) 4 ( x + 1) 2 ( x 2 + 1)
Bài toán 10.44: Chứng minh:
ẠO
a) x 3 m + x 3n+1 + x 3 p + 2 ⋮ x 2 + x + 1 với m, n, p nguyên dương.
Đ G Ư N
Hướng dẫn giải
H
g ( x ) = x k −1 + x k − 2 + ... + 1 .
TR ẦN
a) Để chứng minh đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g ( x ) đều là nghiệm của f ( x ) .
00
B
Nếu gọi w là nghiệm của x 2 + x + 1 thì w2 + w + 1 = 0
10
hay w2 = − w − 1 nên w3 = − w2 − w = w + 1 − w = 1
2+
3
Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3m + w3n +1 + w3 p + 2 = 1 + w + w2 = 0
A
C
b) Gọi ε là nghiệm của g ( x ) , ta có:
ẤP
Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x 2 + x + 1 (đpcm).
H
Ó
g ( ε ) = ε k −1 + ε k − 2 + ... + 1 = 0 nên ε chính là các giá trị của căn bậc k của đơn vị, nghĩa là ta có ε k = 1 . Do đó
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) f ( x ) = x ka1 + x ka2 +1 + ... + x kak + k −1 chia hết cho:
ÁN
-L
f ( ε ) = ε ka1 + ε ka2 +1 + ... + ε kak + k −1 = 1 + ε + ... + ε k −1 = 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
=
i i 1 1 − − + trên C [ x ] 4 ( x − 1) 4 ( x + 1) 4 ( x − i ) 4 ( x + i )
H Ơ
Do đó P ( x ) =
TO
Vì vậy, mọi nghiệm của g ( x ) đều là nghiệm của f ( x ) nên f ( x )⋮ g ( x ) (đpcm).
G
Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P ( x ) với các hệ số thực như sau
BỒ
ID Ư
Ỡ N
P ( x ) = ( m + 1) x 2 ( x + 1)
2n+2
+ ( 3m − 2 ) x n . Tìm tất cả các giá trị thực m để x 2 + x + 1| P ( x ) . Hướng dẫn giải
{
}
Xét x 2 + x + 1 = 0 ⇔ x ∈ ω , ω 2 . Khi đó
P (ω ) = ( m + 1) ω 2 (ω + 1)
2 n+ 2
+ ( 3m − 2 ) ω n = ( m + 1) ω 4 n + 6 + ( 3m − 2 ) ω n
= ( m + 1) ω n + ( 3m − 2 ) ω n = ( 4m − 1) ω n Trang 30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Theo giả thiết, suy ra P (ω ) = 0 ⇔ m =
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 . 4
N
Bài toán 10.46: Tìm tất cả các đa thức p ( x ) ∈ Z [ x ] là monic bậc hai sao cho tồn tại đa thức q ( x ) ∈ Z [ x ] mà
H Ơ
các hệ số của đa thức r ( x ) = p ( x ) q ( x ) đều thuộc {−1;1} .
Y
N
Hướng dẫn giải
r ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , ai ∈ {−1;1} , i = 0,1,..., n
n
( z − 1) ≤ z
n
−1 ⇒ z
n
( z − 2 ) ≤ −1 ⇒ z < 2 .
Đ G
TR ẦN
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Suy ra z
n
ai i n −1 i n −1 i z − 1 z ≤∑ z =∑ z = ∑ z −1 i = 0 an i =0 i =0 n −1
Ư N
a z = z = −∑ i z i = i = 0 an n
H
n −1
n
ẠO
Gọi z là một nghiệm phức của r ( x ) và z > 1 thì ta có
Vậy mọi nghiệm của r ( x ) đều có môđun nhỏ hơn 2. Từ đó nếu gọi z1 , z2 là các nghiệm của p ( x ) thì ta
00
B
có z1 < 2 , z2 < 2 , ngoài ra ta còn có z1 z2 = z1 z2 = 1 .
10
Không mất tính tổng quát ta giả sử z1 ≥ z2 ⇒ 1 ≤ z1 < 2, 0 < z2 ≤ 1 .
2+
3
Ta lại có:
C
H
Ó
Với a = ±1 , ta có q ( x ) = 1 .
A
Với a = 0 , ta có q ( x ) = x + 1.
ẤP
a = z1 + z2 ≤ z1 + z2 < 1 + 2 = 3 ⇒ a ∈ {−2; −1;0;1; 2}
Í-
Với a = ±2 . Kiểm tra p ( x ) = x 2 ± 2 x + 1 thì sẽ có q ( x ) = x ∓ 1 , còn với p ( x ) = x 2 ± 2 x − 1 thì không
-L
thỏa mãn vì có một nghiệm có môđun lớn hơn 2.
TO
ÁN
Vậy có 8 đáp số của p ( x ) là x 2 ± 1, x 2 ± x ± 1, x 2 ± 2 x + 1 .
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Dễ thấy p ( x ) = x 2 + ax ± 1 , với a ∈ ℤ . Giả sử
G
Bài toán 10.47: Cho đa thức P ( x ) = rx 3 + qx 2 + px + 1 trong đó p, q, r là các số thực với r > 0 .
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Xét dãy số ( an ) : a0 = 1; a1 = − p, a2 = p 2 − q
an +3 = − pan+ 2 − qan+1 − ran ( n ≥ 0 )
Chứng minh rằng nếu đa thức P ( x ) chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có nghiệm bội thì dãy ( an )
có vô số số âm. Hướng dẫn giải Trang 31
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x 3 + px 2 + qx + r = 0 có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp.
n
n
N
Giả sử ba nghiệm đó là − a, R ( cos α + i sin α ) , R ( cos α − i sin α ) với a > 0, R > 0 , 0 < α < π thì n
H Ơ
an = C1 ( − a ) + C2 R n ( cos α + i sin α ) + C3 R n ( cos α − i sin α ) trong đó C1 , C2 , C3 là các hằng số nào
Y
N
đó, C2 , C3 là các số phức liên hợp.
TP .Q
U
Đặt C2 = R * ( cos ϕ + i sin ϕ ) với ϕ ∈ [ 0; 2π ) , ta có n
an = C1 ( − a ) + R n ( R * ( cos ϕ + i sin ϕ )( cos nα + i sin nϕ ) ) n
Đ G Ư N
Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho an ≥ 0 với mọi n ≥ n0 .
TR ẦN
H
Khi đó ta có 0 ≤ an +1 + aan
(
) = 2 R R * ( R cos ( ( n + 1) α + ϕ ) ) + a cos ( nα + ϕ ) = 2 R R *.C.cos ( nα + ϕ ) ( C > 0,ϕ ∈ [ 0; 2 ) ) với mọi n ≥ n . = 2 R n+1 R * cos ( ( n + 1) α + ϕ ) + a 2 R n R * ( cos ( nα + ϕ ) )
*
10
*
0
3
n
00
B
n
2+
Điều này không xảy ra vì 0 < α < π nên tồn tại vô số n sao cho:
H Í-
3. BÀI LUYệN TậP
Ó
A
C
ẤP
3π π nα + ϕ * ∈ + k 2π , + 2kπ 2 2
1 + i tan x Bài tập 10.1: Tính: a) 1 − i tan x
9
b)
ÁN
-L
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
= C1 ( − a ) + 2 R n R * ( cos ( nα + ϕ ) )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
+ R* ( cos ϕ − sin ϕ )( cos nα − i sin nϕ )
(1 + i ) 7 (1 − i )
TO
Hướng dẫn
G
a) Nhân số phức liên hiệp của mẫu. Kết quả cos 2 x + i sin 2 x
Ỡ N
b) Kết quả 2.
ID Ư
Bài tập 10.2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:
BỒ
a)
z+i với số phức z = x + iy ( x, y ∈ ℝ ) iz − 1
(
) (
b) z = 1 + 1 + i 3 + 1 + i 3
)
2
(
+ ... + 1 + i 3
)
2017
Hướng dẫn Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a) Tính trực tiếp. Kết quả
−2 xy x 2 + ( y + 1)
2
và
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
y2 − x2 −1 x 2 + ( y + 1)
2
H Ơ N
= −8 .
Y
2 ≥ a + b . Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
ẠO
Chứng minh z
TP .Q
Bài tập 10.3: Cho z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) .
Đ
Hướng dẫn
Ư N
G
Tính trực tiếp. Kết quả b = ± a . Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
TR ẦN
H
a) − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ;cos ϕ − i sin ϕ b) sin ϕ + i cos ϕ ;sin ϕ − i cos ϕ
00
a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác.
B
Hướng dẫn
3
10
Kết quả cos (ϕ + π ) + i sin (ϕ + π ) ;cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ )
2+
π π π π − ϕ + i sin − ϕ ;cos ϕ − + i sin ϕ − 2 2 2 2
ẤP
b) Kết quả cos
A
C
Bài tập 10.5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất. b) z − 5i ≤ 3
H
Ó
a) z + 1 − i ≤ 1
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
)
3
U
(
và tách lũy thừa về 1 + i 3
N
1 − qn b) Dùng tổng n số hạng của cấp số nhân Sn = u1 1− q
Hướng dẫn
ÁN
-L
a) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) và tìm tập điểm thỏa mãn.
12 16 + i 5 5
Ỡ N
G
b) Kết quả
TO
Kết quả z = i
ID Ư
Bài tập 10.6: Giải phương trình trong tập số phức:
BỒ
a) z 2 + (1 − 3i ) z − 2 (1 + i ) = 0
b) 3z 4 − 5 z 3 + 3 z 2 + 4 z − 2 = 0 Hướng dẫn
a) Lập ∆ . Kết quả 2i, −1 + i . b) Biến đổi tích nhờ nhẩm nghiệm, dự đoán nghiệm. Trang 33
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Kết quả 1 + i;1 − i; −
www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com
1 + 13 13 − 1 ; 6 6
H Ơ
1 là số ảo z −i
b) z − i + 2 + z + i = 9
N U
1 . z −i
TP .Q
a) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) và tính trực tiếp
Y
Hướng dẫn
ẠO
Kết quả trục ảo Oy trừ I ( 0;1)
Đ G Ư N
Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:
H
a) Nếu phương trình an z n + an −1 z n −1 + ... + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0
TR ẦN
cũng là nghiệm của phương trình.
b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số: −1 + i; −1 − i;2i; 2 − 2i cùng nằm trên một đường tròn.
10
a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp
00
B
Hướng dẫn
3
b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D.
2+
Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD.
C
ẤP
Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
()
b) z 2 + z
H
Ó
A
a) z 4 = −1
Í-
www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com
b) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) và biến đổi tương đương. Kết quả Elip
2
= 0 và
z −1 =1 z −3
Hướng dẫn
-L
a) z 4 = −1 ⇔ z 4 = i 2 ⇔ z 2 = −i hay z 2 = i .
ÁN
2 2 (1 ± i ) và ( −1 ± i ) . 2 2
TO
Kết quả
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
a)
N
Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
Ỡ N
G
b) Kết quả z1 = 2 (1 + i ) và z2 = 2 (1 − i ) .
ID Ư
Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P ( z ) là hàm số chẵn của z ∈ ℂ khi và chỉ khi tồn tại Q ( z ) thỏa
BỒ
mãn: P ( x ) = Q ( z ) Q ( − z ) , z ∈ ℂ . Hướng dẫn
Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P ( z ) , tức là tồn tại Q ( z ) thỏa mãn
P ( z ) ≡ Q ( z )Q (−z ) . Trang 34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial