Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị - Lê Hoành Phò

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN Đề 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đồ THị

N

1. KIếN THứC TRọNG TÂM

N

H Ơ

Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: y = f ( x ) , y = g ( x )

Y

Phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = 0 là một phương trình đại số, tùy theo số

ẠO

Chú ý:

Đ

Nếu có nghiệm x = x0 thì phân tích: ( x − x0 ) Ax 2 + Bx + C = 0

G

)

Ư N

(

H

Nếu đặt hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc

TR ẦN

yC Ð . yCT > 0 , có 2 nghiệm: yC Ð . yCT = 0 , có 3 nghiệm phân biệt: yCÐ . yCT < 0 .

10

00

B

 yC Ð . yCT < 0  Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT > 0  a. f 0 < 0 ( ) 

3

g ( x) , ta thường lấy hai hoành độ k − a và k + b với a, b > 0 . x−k

ẤP

2+

2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị y =

C

Góc và khoảng cách:

( )

H

Ó

A

- Góc giữa 2 vectơ: cos u, v =

xx '+ yy '

x 2 + y 2 . x '2 + y '2

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1) Phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0

(

)

ÁN

-L

- Góc giữa 2 đường thẳng: cos α = cos n, n ' =

TO

- Khoảng cách AB =

2

( xB − x A ) + ( y B − y A )

AA '+ BB '

A 2 + B 2 . A '2 + B '2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…

2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

- Khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ) đến ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 :

d=

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

- Đồ thị hàm bậc 3: y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC tức

là 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

Trang 1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0 < t1 < t2 ,

t2 = 9t1 .

N

Tiếp tuyến và tiếp xúc:

N

H Ơ

- Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) của đồ thị ( C ) : y = f ( x )

U

Y

y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) , hệ số góc: f ' ( x ) = k = tan ( 0 x, t )

Đ

ẠO

 f ( x ) = g ( x ) có nghiệm   f ' ( x ) = g ' ( x )

G

Ư N H

K ( a; b ) thì tìm ra x0 .

TR ẦN

Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' thì có: d ≡ d ' khi a = a ' , b = b ' ; d / / d ' khi a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' khi a.a ' = −1

B

Yếu tố đối xứng:

10

00

- Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x )

3

Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.

2+

- Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D và f ( − x ) = − f ( x )

C

ẤP

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.

Ó

A

- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI .

 x = X + x0  y = Y + y0

Í-

H

( Oxy ) → ( IXY ) với I ( x0 ; y0 ) : 

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Tiếp tuyến đi qua điểm K ( a; b ) : Lập phương trình tiếp tuyến tại x0 bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm

f ( x0 − x ) + f ( x0 + x ) , ∀x0 − x, x0 + x ∈ D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên 2

TO

y0 =

ÁN

- Điều kiện ( C ) nhận I ( x0 , y0 ) là tâm đối xứng.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

- Điều kiện 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc là hệ phương trình:

Ỡ N

G

là hàm số lẻ.

ID Ư

- Điều kiện ( C ) nhận d : x = a làm trục đối xứng;

BỒ

f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S ( a;0 ) là hàm số

chẵn.

Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.

Trang 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y). Đặc biệt: Nếu M ( x; y ) ∈ (V ) thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.

H Ơ

N

2. CÁC BÀI TOÁN

N

Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x 4 + 2m 2 x 2 + 1 luôn cắt đường thẳng y = x + 1 tại đúng hai

Y

điểm phân biệt với mọi giá trị m.

TP .Q

U

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Vì lim f ( x ) = lim x 3 + 2m 2 x − 1 = −∞ x →∞

x →−∞

(

)

và lim f ( x ) = lim x 3 + 2m 2 x − 1 = +∞

(

)

Đ G

B

x →+∞

00

x →+∞

H

TR ẦN

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2m 2 ≥ 0 nên hàm số này đồng biến trên ℝ .

Ư N

Xét hàm số f ( x ) = x3 + 2m 2 x − 1 . Ta có f ( 0 ) = −1 ≠ 0 và

3

10

nên phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm duy nhất x ≠ 0 : đpcm.

2+

Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:

C

ẤP

a) y = x 3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2 .

H

Ó

A

b) y = x 3 − 3mx + m + 1 .

Hướng dẫn giải

Í-

a) Cho y = 0 ⇔ x3 + ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x + m + 2 = 0

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔ x = 0 hoặc x3 + 2m 2 x − 1 = 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

x 4 + 2m 2 x 2 + 1 = x + 1 ⇔ x ( x3 + 2m 2 x − 1) = 0

ÁN

⇔ ( x + 1) ( x 2 + 2mx + m + 2 ) = 0

TO

⇔ x = −1 hoặc f ( x ) = x 2 + 2mx + m + 2 = 0 (1)

Ỡ N

G

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.

BỒ

ID Ư

 ∆ ' = 0 m2 − m − 2 > 0 ⇔ ⇔ m < −1 hoặc m > 2, m ≠ 3   − m + 3 ≠ 0  f ( −1) ≠ 0 

b) D = ℝ . Ta có y ' = 3 x 2 − 3m, y ' = 0 ⇔ x 2 = m . Điều kiện ( Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và yC Ð . yCT < 0 Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

) ( m) < 0

⇔ m > 0 và yC Ð . yCT < 0 ⇔ f − m . f

(

)(

2

)

N

⇔ m + 1 − 2m. m m + 1 + 2m m < 0 ⇔ ( m + 1) − 4m3 < 0 .

N

H Ơ

⇔ −4m3 + m 2 + 2m + 1 < 0 ⇔ ( m − 1) ( 4m 2 + 3m + 1) > 0 ⇔ m > 1 .

U

Y

(vì ∆ = 9 − 16 < 0 nên 4m 2 + 3m + 1 > 0, ∀m ).

Đ TR ẦN

Phương trình của ( d m ) : y = m ( x + 2 ) + 2 = mx + 2m + 2 .

H

Hướng dẫn giải

Ư N

G

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Phương trình hoành độ giao điểm của ( d m ) và đường cong:

00

B

2x −1 ⇔ ( mx + 2m + 2 )( x + 1) = 2 x − 1, x ≠ −1 x +1

10

mx + 2m + 2 =

⇔ mx 2 + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1

2+

3

(1)

ẤP

a) Đường thẳng ( d m ) cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai

C

nghiệm phân biệt khác −1.

H

Ó

A

 a ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ 2 ⇔ m < 0 hoặc m > 12 .  ∆ > − ≠ 0, g 1 0 ( ) − > m 12 m 0  

Í-

b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị. Đường

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Tại hai điểm phân biệt?

ÁN

thẳng ( d m ) cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

2x −1 x +1

ẠO

của hàm số: y =

TP .Q

Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( d m ) đi qua điểm A ( −2; 2 ) và có hệ số góc m cắt đồ thị

TO

hai nghiệm x1 , x2 và x1 < −1 < x2 .

G

Đặt x = t − 1 thì x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < 0 < t2 .

2

ID Ư

Ỡ N

Phương trình trở thành: m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + 3 = 0

BỒ

⇔ mt 2 + mt + 3 = 0 ( 2 ) .

ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ m < 0 .

Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng

Trang 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) y = m, m > 0 cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = x 4 − 3 x 2 − 2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.

H Ơ

N

x2 b) y = 3 x + m cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 và x1 − x2 đạt x −1

N

giá trị nhỏ nhất.

U

Y

Hướng dẫn giải

TP .Q

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

x 4 − 3 x 2 − 2 = m ⇔ x 4 − 3x 2 − 2 − m = 0

Đ

qua Oy, x A < xB .

TR ẦN

H

Mà x A + xB = 0 nên x A = − m; xB = m

Ư N

Tam giác OAB vuông tại O nên OA.OB = 0 ⇔ x A .xB + m 2 = 0

G

Do đó m 4 − 3m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m − 2 ) m3 + 2m 2 + m + 1 = 0

(

)

10

00

b) Phương trình hoành độ giao điểm:

B

⇔ m = 2 (vì m > 0 )

ẤP

Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:

2+

3

x2 = 3x + m ⇔ 2 x 2 + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ 1. x −1

H

Ó

A

C

 m 2 + 2m + 9 > 0  ∆ > 0 ⇔ : Đúng ∀m   −1 ≠ 0  g (1) ≠ 0

Í-

−b + ∆ −b − ∆ ∆ − = 2a 2a 4

-L

Ta có: x1 − x2 =

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Với mọi m > 0 thì đường thẳng y = m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) và B ( xB ; m ) đối xứng

TO

=

m 2 + 2m + 9 1 = 4 4

( m + 1)

2

+8 ≥

2 2

Ỡ N

G

Vậy giá trị x1 − x2 nhỏ nhất khi m = −1 .

ID Ư

Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho

BỒ

a) Đồ thị của hàm số y = x 4 − ( m + 1) x 2 + m cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C ) : y =

2x −1 tại hai điểm A, B mà AB = 10 . x −1 Hướng dẫn giải Trang 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:

x 4 − ( m + 1) x 2 + m = 0 ⇔ x 2 = 1 hoặc x 2 = m .

H Ơ

N

Điều kiện m > 0 và m ≠ 1 . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm

TP .Q

U

Y

N

x = −1, x = 1, x = − m , x = m

Ư N

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) :

TR ẦN

H

2 2x −1  x − ( m − 1) x + m − 1 = 0 = −x + m ⇔  x −1  x ≠ 1

00

B

Đường thẳng d cắt ( C ) tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1.

2+

3

10

 ∆ = ( m − 1)2 − 4 ( m − 1) > 0  m 2 − 6m + 5 > 0 m < 1 ⇔ ⇔   m > 5 1 ≠ 0, ∀m 1 − ( m − 1) + m − 1 ≠ 0

2

ẤP

Khi đó A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) và x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − 1 2

2

A

C

Ta có AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = 5 2

2

H

Ó

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 5 ⇔ ( m − 1) − 4 ( m − 1) − 5 = 0

Í-

 m − 1 = −1  m = 0 (thỏa mãn). ⇔ ⇔ m − 1 = 5 m = 6

ÁN

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

G

Đ

1 1 ⇔ m = 9 hoặc m = (chọn).

3 9

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m=

m = 3 hoặc

ẠO

Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi:

TO

Vậy m = 0 hay m = 6 .

Ỡ N

G

Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng d : y = m − x luôn cắt đồ thị ( C ) : y =

x2 − 3x tại 2 điểm M, N x −1

BỒ

ID Ư

và cắt 2 tiệm cận của ( C ) tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm d và ( C ) :

x2 − 3x = m − x ⇔ 2 x 2 − ( m + 4 ) x + m = 0, x ≠ 1 . x −1 Trang 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có x = 1 không là nghiệm và ∆ = m 2 + 16 > 0 , ∀m nên d luôn cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt M, N.

N

2 x 2 − 3x Ta có y = = x−2− nên TCĐ: x = 1 , TCX: y = x − 2 . x −1 x −1

N

H Ơ

Do đó xP = 1 , hoành độ giao điểm Q của d với TCX: m − x = x − 2

TP .Q

U

Y

xP + xQ m + 4 xM + xN m+2 . Do đó = = : đpcm.

2 2 2 2

Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

(

Đ H

Hướng dẫn giải

)

TR ẦN

a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 , f ( x0 ) :

y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )

B 3 2+

1 1 3 ( x − 2) + 2 = x + .

4 4 2

C

Thế vào: y =

10

1 1 nên f ' ( x0 ) = .

4 2 x+2

ẤP

f '( x) =

x + 2 = 2 ⇔ x0 = 2

00

Vì y0 = 2 ⇔

H

Ó

A

b) y ' = − x 2 − 4 x − 3 . Đường thẳng d có hệ số góc k =

Í-

Tiếp tuyến song song với nên y ' =

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 x+9 4

G

1 3

b) y = − x3 − 2 x 2 − 3 x + 1 song song với d : y =

ẠO

x + 2 biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2

3 3 ⇔ −x2 − 4x − 3 = 4 4

5 3 hoặc x0 = − .

2 2

5 29 3 37 thì f ( x0 ) = nên có tiếp tuyến y = x + 2 24 4 12

Với x0 = −

3 5 3 1 thì f ( x0 ) = − nên có tiếp tuyến y = x − .

2 4 4 8

Ỡ N

ID Ư

BỒ

3 .

4

G

TO

⇔ 4 x 2 + 16 x + 15 = 0 ⇔ x0 = − Với x0 = −

Ư N

a) y =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

⇒ xQ =

Vậy có 2 tiếp tuyến y =

3 1 3 37 x − và y = x + .

4 8 4 12

Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: Trang 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) y = 2 x 3 − 6 x 2 + 3 và có hệ số góc bé nhất. b) y = f ( x ) thỏa mãn f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) tại x = 1

H Ơ

N

Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.

N

2

U

Y

y ' = 6 x 2 − 12 x = −6 + 6 ( x − 1) ≥ −6 , dấu = khi x0 = 1

b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

Ư N

B

Với f (1) = 0 thì (*) : 0 = 1 (loại)

TR ẦN

⇒ f 2 (1) (1 + f (1) ) = 0 ⇒ f (1) = 0 hoặc f (1) = −1 .

H

Thế x = 0 vào f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) ⇒ f 2 (1) = − f 3 (1)

G

(*)

−1 .

7

3

2+

1 ( x − 1) 7

ẤP

Vậy phương trình tiếp tuyến y = −

10

00

Với f (1) = 1 thì (*) : −4 f ' (1) = 1 + 3 f ' (1) ⇒ f ' (1) =

C

Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số:

Ó

A

x −3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của ( C ) đến tiếp tuyến bằng 2 2 . x +1

H

a) y =

Í-

b) y = x 3 − 3 x 2 + 2 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thế x = 0 : 4 f (1) . f ' (1) = 1 + 3 f 2 ( x ) . f ' (1)

Đ

ẠO

4 f (1 + 2 x ) . f ' (1 + 2 x ) = 1 + 3 f 2 (1 − x ) . f ' (1 − x )

TO

ÁN

OB = 9OA .

4

( x + 1)

2

Hướng dẫn giải

, x ≠ −1

Ỡ N

G

a) Ta có y ' =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

nên max y ' = −6 , do đó tiếp tuyến tại A (1; −1) là y = −6 x + 5 .

BỒ

ID Ư

Phương trình tiếp tuyến d tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1

y=

4

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

x0 − 3 x0 + 1

2

⇔ 4 x − ( x0 + 1) y + ( x02 − 6 x0 − 3) = 0 nên Trang 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

16 + ( x0 + 1)

4

=2 2

N

2

N

H Ơ

4 2 2 ⇔ ( x0 + 1) − 8 ( x0 + 1) + 16 = 0 ⇔ ( x0 + 1) − 4  = 0  

TP .Q

U

Y

 x0 = 1 2 ⇔ ( x0 + 1) = 4 ⇔   x0 = −3 Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến y = x − 2

ẠO

Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + 6 .

Đ G

H

Ư N

Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB = 9OA nên hệ số góc của tiếp tuyến d là:

OB = ±9 OA

TR ẦN

k = tan OAB = ±

10 3

2+

 x2 − 2x − 3 = 0  x0 = −1 ⇔ 2 ⇔  x0 = 3  x − 2 x + 3 = 0 (VN )

00

B

Do đó y ' = ±9 ⇔ 3 x 2 − 6 x = ±9

ẤP

Với x0 = 1 , phương trình của d là y = 9 x + 7

A

C

Với x0 = 3 , phương trình của d là y = 9 x − 25 .

H

Ó

Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số: y =

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x .

-L

tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S =

Hướng dẫn giải

ÁN TO

−3

( x − 2)

2

1 .

6

,x ≠ 2

Ỡ N

G

Ta có y ' =

x +1 tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp x−2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

d ( I, ∆) = 2 2 ⇔

−4 − ( x0 + 1) + ( x02 − 6 x0 − 3)

BỒ

ID Ư

Tiếp tuyến d với ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) , x0 < 0

d:y=

−3

( x0 − 2 )

2

( x − x0 ) +

x0 + 1 x0 − 2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.

Trang 9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 + 2 x0 − 2   x02 + 2 x0 − 2   . Ta có A 0 ;0  , B  0; 2 3 ( x0 − 2 )    

H Ơ

N

1 1 1 1 x02 + 2 x0 − 2 x02 + 2 x0 − 2 1 ⇔ OA.OB = ⇔ = .

2 6 2 6 2 3 6 x − 2 ( 0 )

N TP .Q

U

Y

 x02 + x0 = 0  x0 = −1 ∨ x0 = 0 ⇔ 2 ⇔  x0 = −4 ∨ x0 = 1  x0 + 3x0 − 4 = 0

Ư N

G

Đ

1 1 1 ( x + 1) ; d 2 : y = − x + .

3 12 6

H

Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) hàm số:

(1 − m ) x + 2 − m , m ≠ 0 và đi qua mx + m − 1

M ( −1; −1)

B

b) y =

TR ẦN

a) y = x 3 − 5 x 2 + 2 và đi qua A ( 0; 2 )

10

00

Hướng dẫn giải

2+

3

a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 10 x . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 )

ẤP

y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0

A

C

y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − 5 x02 + 2 )

Cho tiếp tuyến qua A ( 0; 2 ) : 2 = 3 x02 − 10 x0

3 0

)(0 − x ) + ( x 0

Í-

H

Ó

(

⇔ 2 x03 − 5 x02 = 0 ⇔ x02 ( 2 x0 − 5 ) = 0 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

d1 : y = −

ẠO

Chọn x0 < 0 nên có hai tiếp tuyến là:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

S=

− 5 x02 + 2 ) 5 2

TO

ÁN

Với x0 = 0 thì có tiếp tuyến y = 2

5 25 thì có tiếp tuyến y = − x+2 2 4

Ỡ N

G

Với x0 =

BỒ

ID Ư

b) Ta có y ' =

−1

( mx + m − 1)

2

,x ≠

1− m m

Gọi d là tiếp tuyến với ( Cm ) tại điểm T ( x0 ; y0 ) bất kỳ.

d : y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0

Trang 10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

−1

( mx0 + m − 1)

( x − x0 ) +

2

(1 − m ) x0 + 2 − m mx0 + m − 1

( mx0 + m − 1)

H Ơ N U

Y

mx0 + m − 1

x0 + 1 =0 mx0 + m − 1

2

+

2

= 0 ⇔ x0 = −1 (vì m ≠ 0 )

Đ

( mx0 + m − 1)

ẠO

2

G

m ( x0 + 1)

(1 − m ) x0 + 2 − m

TP .Q

x0 + 1

+

Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = − x − 2 .

TR ẦN

Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

( P1 ) : y = x 2 − 5 x + 6 và ( P2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11

00

10

( P1 ) : y = f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 ⇒ f ' ( x ) = 2 x − 5

B

Hướng dẫn giải

2+

3

( P2 ) : y = g ( x ) = − x 2 + 5 x − 11 ⇒ g ' ( x ) = −2 x + 5

ẤP

Gọi tiếp tuyến chung là y = ax + b và M 1 ( x1 ; f ( x1 ) ) , M 2 ( x2 ; g ( x2 ) ) là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:

Í-

H

Ó

A

C

 f ( x1 ) = ax1 + b  x12 − 5 x1 + 6 = ax1 + b    f ' ( x1 ) = a 2 x1 − 5 = a ⇔ 2   g ( x2 ) = ax2 + b − x2 + 5 x2 − 11 = ax2 + b g ' x = a −2 x + 5 = a 2   ( 2)

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇔

( mx0 + m − 1)

2

Ư N

⇔

x0 + 1

H

−1 =

N

Tiếp tuyến d đi qua M ( −1; −1) nên ta có:

ÁN

Do đó 2 ( x1 + x2 ) − 10 = 0 nên x2 = 5 − x1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

y=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

G

TO

và x12 − 5 x1 + 6 − − x22 + 5 x2 − 11 = ( 2 x1 − 5 )( x1 − x2 )

(

)

2

2

Ỡ N

nên x12 − 5 x1 + 17 + ( 5 − x1 ) − 5 ( 5 − x1 ) − ( 2 x1 − 5 ) = 0

BỒ

ID Ư

⇔ 2 x12 − 10 x1 + 8 = 0 ⇔ x1 = 1 hoặc x1 = 4 .

Với x1 = 1 thì a = −3, b = 5 . Với x1 = 4 thì a = 3, b = −10 .

Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y = 3 x − 10 và y = −3 x + 5 .

Trang 11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x − 2 sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm x−2

Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) hàm số: y =

N

cận của A, B với AB = 2 5 .

H Ơ

Hướng dẫn giải

Y U

2 x0 − 2 x0 − 2

2

4

( x0 − 2 )

2

TR ẦN

=5

+

B

( x0 − 2 )

2

00

4

2

Ta có AB = 2 5 ⇔ ( x0 − 2 ) +

( x0 − 2 )

Ư N

2

 2 x0  AB = ( 2 x0 − 4 ) +  2 −  =2 x0 − 2   2

G

Giao điểm của d với tiệm cận ngang y = 2 là B ( 2 x0 − 2;2 )

10

( x0 − 2 )2 = 1  x0 = 1; x0 = 3 ⇔ ( x0 − 2 ) − 5 ( x0 − 2 ) + 4 = 0 ⇔  ⇔  x = 0; x = 4 ( x0 − 2 )2 = 4 0 0   2

ẤP

2+

3

4

C

Vậy M ( 0;1) , M (1;0 ) , M ( 3; 4 ) , M ( 4;3) .

Ó

A

Bài toán 3.14: Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 − 2 x 2 có đồ thị ( C ) . Trên đồ thị ( C ) lấy điểm phân biệt là A và B

Í-

H

có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm A và B song song với

-L

nhau.

Hướng dẫn giải

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com



2 x0  ; x0 − 2 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò



Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 2 là A  2;

TP .Q

( x − x0 ) +

ẠO

( x0 − 2 )

2

Đ

−2

H

d:y=

N

Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ 2

TO

Ta có f ' ( x ) = 4 x 3 − 4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a ≠ b . Hệ số góc của tiếp tuyến của

G

( C ) tại A và B lần lượt là:

Ỡ N

k A = f ' ( a ) = 4a 3 − 4a,

k B = f ' ( b ) = 4b3 − 4b

BỒ

ID Ư

Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là

y = f ' ( a )( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f ( a ) − af ' ( a ) y = f ' ( b )( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f ( b ) − bf ' ( b )

Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: Trang 12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

k A = k B ⇔ 4a 3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 − 1) = 0

⇔ a 2 + ab + b 2 = 1

H Ơ

N

Hai tiếp tuyến của ( C ) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi

TP .Q

U

Y

N

2 2 2 2  a + ab + b = 1, a ≠ b a + ab + b = 1, a ≠ b ⇔  4 2 4 2 −3a + 2a = −3b + 2b  f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b )

Giải hệ này, ta được nghiệm là ( a; b ) = ( −1;1) , (1; −1)

Đ

G

1 tại điểm M có hoành độ x = a ≠ 2 , cắt trục hoành Ox tại A x−2

Ư N

Bài toán 3.15: Tiếp tuyến (T ) của ( H ) : y =

TR ẦN

H

và cắt đường thẳng d : x = 2 tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến, Ox và d không đổi.

Hướng dẫn giải

−1

( a − 2)

2

00

B

. Phương trình tiếp tuyến (T ) tại x = a :

( x − a) +

10

2

1 . a−2

3

( x − 2)

2+

y=

−1

ẤP

y' =

=

1 ⇒ x A = 2a − 2 . a−2

A

( a − 2)

2

Ó

x−a

H

Cho y A = 0 thì

C

Giao điểm A với trục hoành

Í-

Giao điểm B với đường thẳng d : x = 2 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a ≠ ±1 , a ≠ b .

( a − 2)

2

+

1 2 = . a−2 a−2

G

x A + xB 2 a − 2 + 2 y + yB 1 = = a = xM , A = = yM 2 2 2 a−2

Ỡ N

Vì:

−(2 − a)

TO

ÁN

Cho xB = 2 thì yB =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của ( C ) tại A và B song song với nhau là a 2 + ab + b 2 = 1 ,

ID Ư

nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.

BỒ

Gọi I là giao điểm của Ox và d thì I ( 2;0 ) . Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:

S=

1 1 2 − 0 = 2 : không đổi IA.IB = 2a − 2 − 2 2 2 a−2

Trang 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 − 3x + 3 . Chứng minh rằng qua điểm M ( 3; −1) vẽ được hai tiếp tuyến với Bài toán 3.16: Cho hàm số y = x −1 đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.

H Ơ

N

Hướng dẫn giải

N

Phương trình đường thẳng qua M ( 3; −1) hệ số góc là a là y = a ( x − 3) − 1 , đường thẳng là tiếp tuyến với

U (1)

Đ

ẠO

( 2)

Ư N

G

Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được: x 2 − x − 1 = 0

( x1 x2 − x1 − x2 + 1)

2

=

TR ẦN

1+ 2 − 4

B

− 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2

( −1 − 1 + 1)

2

= −1

00

2

10

(x x ) = 1 2

x12 − 2 x1 x22 − 2 x2 .

2 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1)

2+

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.

3

Ta có: y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) =

H

PT có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 + x2 = 1, x1.x2 = −1 .

ẤP

Bài toán 3.17: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 ( C ) . Tìm trên ( C ) những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một

C

tiếp tuyến với ( C ) .

H

Ó

A

Hướng dẫn giải

Giả sử M ( x0 ; y0 ) là một điểm trên ( C ) . Giả sử tiếp tuyến ( t ) kẻ từ M đến ( C ) tiếp xúc với ( C ) tại

ÁN

-L

N ( x1 ; y1 ) . Khi đó phương trình của ( t ) có dạng: y − y1 = ( −3x12 + 6 x1 ) ( x − x1 ) Vì ( t ) đi qua M nên ta có: y0 − y1 = −3 x12 + 6 x1

)( x

− x1 )

⇔ ( x1 − x0 ) ( 2 x1 + x0 − 3) = 0 ⇔ x1 = x0 hay x1 =

3 − x0 2

0

TO

(

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

 x2 − 3x + 3 = a ( x − 3) − 1  ( x) = g ( x)  x −1 ⇔ 2 '( x ) = g '( x )  x − 2 x2 = a  ( x − 1)

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 f   f

Y

đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

Ỡ N

G

Và N thuộc ( C ) nên ta có: y1 = x13 + 3 x12 − 2

ID Ư

Suy ra 2 x13 − 3 ( x0 + 1) x12 + 6 x0 x1 − 2 − y0 = 0

BỒ

nên 2 x13 − 3 x0 x12 + x03 − 3 x12 + 6 x0 x1 − 3 x02 = 0 2

Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: Trang 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 − x0 = x0 ⇔ x0 = 1 . Từ đó tính được y0 = 0 .

2

N

H Ơ

x2 + 2 x + 2 Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = đi qua giao điểm của 2 tiệm cận. x +1

N

Vậy M (1;0 ) là điểm duy nhất trên ( C ) mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với ( C ) .

U

1 , x ≠ −1 nên có TCĐ: x = −1 , x +1

Đ

ẠO

TCX: y = x + 1 , giao điểm 2 tiệm cận I ( −1;0 )

G Ư N

10

1 1 2 = = 0 : vô lý ( x ≠ −1) ⇒ x +1 x +1 x +1

2+

3

⇒−

00

B

TR ẦN

1  1 1 k x + = x + + ( )   x +1 1  1  1 1 ⇒ x + −   = x +1+ ( )  2 1   x +1 k = 1 −  ( x + 1)  2  ( x + 1)

H

Giả sử d là tiếp tuyến của ( C ) thì hệ sau có nghiệm.

ẤP

Vậy không một tiếp tuyến nào của ( C ) đi qua I.

C

Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) của đồ thị ( C ) : y = − x 4 + 2 x 2 + x cũng là tiếp tuyến của Hướng dẫn giải

Í-

H

Ó

A

đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.

Ta có y ' = −4 x 3 + 4 x + 1 .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình đường thẳng ( d ) qua I với hệ số góc k là y = k ( x + 1) .

ÁN

Với x0 = −1, y0 = 0 thì f ' ( x0 ) = 1 nên tiếp tuyến tại A ( −1;0 ) là y = x + 1 .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Ta có y = x + 1 +

Y

Hướng dẫn giải

TO

Đặt y = f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 + x; y = g ( x ) = x + 1 .

Ỡ N

G

Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm x0 ≠ −1 :

BỒ

ID Ư

4 2  f ( x ) = g ( x ) − x + 2 x + x = x + 1 ⇔  3 −4 x + 4 x + 1 = 1  f ' ( x ) = g ' ( x )

( x 2 − 1)2 = 0 − x 4 + 2 x 2 − 1 = 0  ⇔ ⇔ ⇔ x = ±1 .

3 −4 x + 4 x = 0  4 x ( x 2 − 1) = 0 Trang 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn nghiệm x0 = 1 ≠ −1 nên B (1; 2 ) : đpcm.

Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.

H Ơ

N

3x x2 3 Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau: y = f ( x ) = + x và y = g ( x ) = . Viết 2 2 x+2

N

phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.

U

Y

Hướng dẫn giải

ẠO

(1)

H

TR ẦN

x = 0 x = 0 x = 0  Ta có (1) ⇔ x + 3 ⇔ 2 ⇔ .

3  = − 5 x = x + 5 x = 0   x+2  2

Ư N

G

Đ

( 2)

00

B

Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0 . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ O.

10

3 3 nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y = x .

2 2

ẤP

Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số

2+

3

Ta có y ' ( 0 ) =

( C ) : y = x3 − 1 − k ( x − 1) tiếp xúc với trục hoành

b)

(C ) : y =

C

a)

Í-

H

Ó

A

x 2 + ( m + 2 ) x + 2m + 2 có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: y = x 3 − 3x 2 − 8 x . x+2 Hướng dẫn giải

ÁN

a) Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

 x2 3  x2 3 3x 3x + x = + x= 2 2  x+2 x+2  2 2 ⇔  2 3 6  x + 3 x  =  3x  x + =     2 ( x + 2 )2  2 2   x + 2  

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

Ỡ N

G

TO

k = 3  x3 − 1 − k ( x − 1) = 0 y = 0 ⇔ 2 ⇔  k = 3 y ' = 0  3x − k = 0 4 

BỒ

ID Ư

b) Ta có y =

( x + 2 )( x + m ) + 2 = x + m + x+2

2 nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + m . Đường x+2

thẳng này tiếp xúc với y = x 3 − 3x 2 − 8 x khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 3 2 3 2  x + m = x − 3 x − 8 x m = x − 3 x − 9 x ⇔ 2  2 1 = 3 x − 6 x − 8  x − 2 x − 3 = 0

Trang 16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m = x3 − 3 x 2 − 9 x ⇔  x = −1 ∨ x = 3

N

Với x = −1 , ta có m = 5 và với x = 3 thì m = −27

H Ơ

Vậy có hai giá trị m cần tìm là m = 5 , m = −27 .

Hướng dẫn giải

ẠO

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( x A ; y A ) có dạng:

Đ − 3) ( x − x A ) + y A = x 3 − 3 x + 2

H

2 A

TR ẦN

( 3x

G

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và tiếp tuyến có dạng:

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

y = ( 3x A2 − 3) ( x − x A ) + y A

⇔ ( 3x A2 − 3) ( x − x A ) + x3A − 3 x A + 2 = x3 − 3x + 2

B

2

00

⇔ ( x − xA ) ( x + 2 xA ) = 0

10

Do đó tiếp tuyến của ( C ) tại A cắt ( C ) tại 2 điểm có hoành độ x A chính là A và điểm có hoành độ −2 x A

ẤP

Tương tự xB ' = −2 xB , xC ' = −2 xC .

2+

3

là điểm A ' , tức là x A ' = −2 x A .

A

C

Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc ( C ) thẳng hàng khi và chỉ khi x A + xB + xC = 0 .

H

Ó

Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y = ax + b .

-L

Í-

Khi đó x A , xB , xC là nghiệm của phương trình.

ÁN

x3 − 3 x + 2 = ax + b ⇔ x3 − ( 3 + a ) x + ( 2 − b ) = 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

là giao điểm của ( C ) với tiếp tuyến của ( C ) tại A, B, C. Chứng minh rằng A ', B ', C ' thẳng hàng.

Y

N

Bài toán 3.22: Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 ( C ) . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc ( C ) . Gọi A ', B ', C '

TO

Áp dụng định lý Viet, ta suy ra x A + xB + xC = 0

G

Ngược lại, giả sử x A + xB + xC = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C ' thì theo phần thuận

Ỡ N

ta có x A + xB + xC = 0 suy ra xC ' = xC suy ra C ' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng. Nhận xét

ID Ư

được chứng minh.

BỒ

Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có x A + xB + xC = 0 .

Mà x A ' + xB ' + xC ' = −2 ( x A + xB + xC ) = 0 nên suy ra A ', B ', C ' thẳng hàng (đpcm).

Bài toán 3.23: Cho hàm số y =

mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2

x + 3m

. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.

Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

6m − 2 1 ,m ≠ x + 3m 3

N

Ta có: y = mx − 2 +

H Ơ

Khi m = 0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại

Y U

Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45° ⇔ m = ±1 .

N

Khi m ≠ 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = −3m và tiệm cận xiên: y = mx − 2 .

x 2 + 2mx − 1 tại hai điểm phân biệt M và x −1

ẠO

N sao cho OM vuông góc với ON.

Đ

Hướng dẫn giải

G

Ư N B

( 2 x + 2m )( x − 1) − ( x 2 + 2mx − 1) 2m y' = ⇒ y ' ( xi ) = 2 xi ( x − 1)

3

2m 2m 4m 2 . = −1 ⇔ = −1 x1 x2 x1 x2

2+

Điều kiện OM ⊥ ON ⇔

10

00

Ta có

TR ẦN

x 2 + 2mx − 1 1 = 2m ⇔ x 2 − 1 + 2m = 0 . Do đó: m < , m ≠ 0 . x −1 2

H

biệt x1 , x2 khác 1:

C

ẤP

−1 ± 5 (chọn).

4

Ó

A

⇔ 4m 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ m =

4 x2 + 5x − 4 đến 2 x+2

Í-

H

Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị ( C ) : y = tiệm cận là một hằng số.

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân

ÁN

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y =

G

TO

4 x2 + 5x − 4 2 y= = 4x − 3 + nên TCĐ ∆ : x = −2 , x+2 x+2

Ỡ N

TCX: ∆ ' : y = 4 x − 3 ⇔ 4 x − y − 3 = 0

 

BỒ

ID Ư

Với M  x; 4 x − 3 +

2   ∈ ( C ) , khoảng cách đến 2 tiệm cận: x+2

d ( M , ∆ ) .d ( M , ∆ ') = x + 2 .

2 2 = : không đổi.

16 + 1. x + 2 17

Trang 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều đường thẳng d : y = −2 x .

N

Hướng dẫn giải

H Ơ

D = ℝ . Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x + m .

Y

N

Điều kiện có CĐ và CT là ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3

Đ

ẠO

1 1  d ' : y = 2  m − 1 x + m + 1 .

3 3 

G

Ư N

của đoạn nối CĐ, CT.

TR ẦN

H

1 1  2  m − 1 = −2, m + 1 ≠ 0 hoặc m − 1 = −2 3 3 

B

⇔ m = 0 hoặc m = −1 (chọn)

3

tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.

2+

Hướng dẫn giải

1 1 − 8x thì: y ' = 4 4 x − 4 x2

A

C

ẤP

Với điều kiện x − 4 x 2 > 0 ⇔ 0 < x <

( x − x0 ) + 2

4 x0 − 4 x0

  

  2  4 x0 − 4 x0 

x0

Ỡ N

G

TO

1 x0 − 4 x02 2

Í-

1 − 8x

-L

y=

H

Ó

Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là:

Tiếp tuyến cắt Oy tại A  0;

ID Ư

1 x0 2 Ta có: AM = ( x0 − 0 ) +  x0 − 4 x02 − 2 4 x0 − 4 x02 

BỒ

1 x − 4 x 2 cắt trục tung Oy 2

10

00

Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị ( C ) : y =

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Điều kiện CĐ, CT cách đều d : y = −2 x là d ' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I (1; m − 1)

=

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

1 1 1 1  y =  x −  y '+ 2  m − 1 x + m + 1 nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là 3 3 3 3 

Ta có

   

2

x02 = AO : đpcm 16 ( x0 − 4 x02 ) Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x +1 sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm x −1

Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc ( C ) : y =

N

cận của ( C ) ngắn nhất.

N

x +1 có TCĐ: x = 1 , TCN: y = 1 nên giao điểm 2 tiệm cận là I (1;1) . Ta có x −1

U

Y

Đồ thị ( C ) : y =

H Ơ

Hướng dẫn giải

≥4

⇔ ( x − 1) = 2 ⇔ x = 1 ± 2 .

H

2

(

)

Vậy M 1 1 + 2;1 + 2 , M 2 1 − 2;1 − 2 .

x +1 có đồ thị ( C ) . Tìm điểm M trên đồ thị ( C ) sao cho tổng khoảng cách x −1 từ M đến các đường thẳng ∆1 : 2 x + y − 4 = 0 và ∆ 2 : x + 2 y − 2 = 0 là nhỏ nhất.

10

00

B

Bài toán 3.29: Cho hàm số: y =

2+

3

Hướng dẫn giải

5

4 x0 − 1

Ó H

x0 +

+

Í-

d=

2 −3 x0 − 1

5

-L

2 x0 +

A

C



x0 + 1   ∈ ( C ) , x0 ≠ 1 . Tổng khoảng cách là x0 − 1 

ẤP



Giả sử M  x0 ;

1  2 4  − 3 + x0 +  2 x0 +  x0 − 1 x0 − 1  5

≥

1 2 4 3 2 2 x0 + − 3 + x0 + = x0 − 1 + x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 5 5

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

=

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

2

G

( x − 1)

ẠO

4

2

( x − 1)

)

+

TR ẦN

(

2

Ư N

4

2

Dấu = xảy ra khi ( x − 1) =

( x − 1)

Đ

2

 x +1  − 1 = IM = ( x − 1) +   x −1  2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TP .Q

 x +1 M  x;  ∈ ( C ) nên khoảng cách:  x −1 

BỒ

=

3  2  6 2  x0 − 1 + ≥ x0 − 1  5 5 2

 x0 = 1 + 2

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x0 − 1 = 2 ⇔ 

 x0 = 1 − 2 Trang 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

4x − 3 có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất. x−3

Hướng dẫn giải

N Y U TP .Q Đ

4x − 3 9 −4 = x −3 + ≥2 9 =6 x−3 x−3

9 2 ⇔ ( x − 3) = 9 , do đó có 2 điểm M ( 6;7 ) và M ' ( 0;1) . x−3

Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y =

TR ẦN

H

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x − 3 =

x −1 có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất. x +1

00

B

Hướng dẫn giải

x −1  x −1 , x ≠ −1 .  ∈ ( C ) , tổng khoảng cách đến 2 trục là d = x + x +1 x +1

2+

3

10

 

Gọi M  x;

ẤP

Xét điểm A ( 0;1) ∈ ( C ) thì d = 1 nên min d ≤ 1 , khi đó chỉ xét các điểm có: x ≤ 1 ,

A

C

0 < x < 1 , khi đó:

x −1 ≤ 1 nên x +1

H

Ó

x −1 2 2 = x −1 + = −2 + ( x + 1) + ≥ −2 + 2 2 x +1 x +1 x +1

Í-

d = x+

2 2 ⇔ ( x + 1) = 2 ⇔ x = −1 ± 2 x +1

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= x−3 +

ẠO

4x − 3   ∈ ( C ) , ta có d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ' ) x−3 

G

 

Gọi M  x;

4x − 3 có TCĐ ∆ : x = 3 , TCN ∆ ' : y = 4 . x−3

Ư N

Đồ thị y =

ÁN

Dấu = xảy ra khi x + 1 =

(

) (

TO

Vậy có 2 điểm M −1 − 2;1 + 2 , M ' −1 + 2;1 − 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y =

) N

) (

Vậy điểm M thỏa mãn M 1 + 2;1 + 2 , M 1 − 2;1 − 2

H Ơ

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

x2 − 3 Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất. x−2 Hướng dẫn giải



Gọi M  x;



x2 − 3  x2 − 3 thì tổng khoảng cách đến 2 trục C = + , x ≠ 2. ∈ d x  ( ) x−2  x−2

Trang 21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 3 3 , do đó min d ≤ nên chỉ xét các điểm có hoành độ x ≤ .

2 2 2

3 2

 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét điểm A  0;  ∈ ( C ) thì d =

H Ơ Y U TP .Q

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

3 .

2

 3  2

 

Do đó g nghịch biến trên  − ;0  ⇒ g ( x ) > g ( 0 ) =

00

B

3  3 tại M ≡ A  0;  .

2  2

10

So sánh thì min d =

3 .

2

TR ẦN

H

3 x2 − 3 −1 , g '( x ) = <0 Nếu − ≤ x < 0 thì d = g ( x ) = − x + 2 2 x−2 ( x − 2)

2+

3

Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị ( C ) :

Hướng dẫn giải

Ó

A

C

ẤP

x2 − x − 1 y= có khoảng cách bé nhất. x−2

H

1 x2 − x − 1 = x +1+ ,x ≠ 2 x−2 x−2

Í-

Hàm số y =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lập BBT thì min d = f ( 0 ) =

ẠO

2 .

2

G

f '( x) = 0 ⇔ x = 2 −

N

3 2 x2 − 8x + 7 x2 − 3 thì d = f ( x ) = x + , f '( x ) = 2 2 x−2 ( x − 2)

Ư N

Nếu 0 ≤ x ≤

N

x2 − 3 x2 − 3 Khi đó > 0 nên d = x + . x−2 x−2

 

1  1  , B  2 − b;3 − b −  là 2 điểm thuộc 2 nhánh với a, b > 0 . Ta có: a  b

TO

ÁN

Gọi A  2 + a;3 + a +

1 1 1  2   BA = ( a + b ) +  a + b + +  = ( a + b ) 1 +  1 +  a b    ab  2

2

Ỡ N

G

2

2

  

BỒ

ID Ư

2 1  2 1  2  = (a + b)  2 + + 2 2  ≥ 4ab  2 + + 2 2 ab a b  ab a b   

1   = 8 + 4  2ab +  ≥ 8 + 4.2 2 . ab  

Trang 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 ⇔a=b= 4 ab 2

Dấu = xảy ra khi a = b và 2ab =

N



1 1  1 1   4 4 ;3 + 2 + và B 2 − ;3 − 2 −    4 4 4 4 2 2 2 2 

H Ơ



Vậy A  2 +

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc ( P ) : y = f ( x ) = −3x 2 + 8 x − 9 và N thuộc ( P ') : y = g ( x ) = x 2 + 8 x + 13

U

Y

sao cho MN bé nhất.

Đ G Ư N

⇔ −6 x + 8 = 2 x1 + 8

TR ẦN

H

⇔ x1 = −3x Do đó MN 2 = 4 36 x 4 − 192 x3 + 392 x 2 − 352 x + 121 = h ( x )

(

)

)

B

(

00

Ta có h ' ( x ) = 64 9 x 3 − 36 x 2 + 49 x − 22 2

10

= 64 ( x − 1) ( 9 x 2 − 27 x + 22 )

2+

3

h ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 . Lập BBT thì min h ( x ) = h (1) = 5 .

ẤP

Khi đó M (1; 4 ) , N ( −3; −2 ) ; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy M (1; 4 ) ,

A

C

N ( −3; −2 ) .

H

Ó

Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị ( C ) :

Í-

x2 − 2 x + 2 a) y = có tâm đối xứng. x−3

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gọi M ( x; f ( x ) ) , N ( x1 ; g ( x1 ) ) thì f ' ( x ) = g ' ( x1 )

ẠO

Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Hướng dẫn giải

TO

b) y = x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 có trục đối xứng.

Hướng dẫn giải

G

5 nên ( C ) có TCĐ: x = 3 và TCX: y = x + 1 , do đó giao điểm 2 tiệm cận I ( 3; 4 ) . x−3  x = X + 3 Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI :  . Thế vào ( C ) thì được: y = Y + 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a) Ta có y = x + 1 +

Y + 4 = X + 3 +1+

5 5 ⇔Y = X + X +3−3 X Trang 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

5 là hàm số lẻ ⇒ đpcm.

X

b) y ' = 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x = 4 x x 2 + 3 x + 2

(

)

N

Vì Y = F ( X ) = X +

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

y ' = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = −1 hoặc x = 0 .

 x = X − 1 . Thế và hàm số:  y = Y +1

4

3

TP .Q

U

Y

Xét điểm I ( −1;1) . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI :  2

Ư N H

4 . Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài: x −1

TR ẦN

Ta có y = x + 2 +

G

Hướng dẫn giải

00

B

 x1 + x2 = 0  x1 + x2 = 0  x1 + x2 = 0  ⇔ ⇔ 4 4   y1 + y2 = 5  x1 x2 = −9  x1 + x2 + 4 + x − 1 + x − 1 = 5 1 2 

3

10

Do đó x1 = − x2 , x12 = −9 nên E ( −3; −2 ) và F ( 3;7 ) .

Ó

A

C

ẤP

2+

x2 − 2 x + 2 Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = đối xứng nhau qua đường thẳng x −1 d : y = x + 3.

Hướng dẫn giải

Í-

H

Xét đường thẳng d ' vuông góc với d thì d ' : y = − x + b .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

x2 + x + 2  5 Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y = đối xứng nhau qua điểm I  0;  . x −1  2

ÁN

PT hoành độ giao điểm của d ' và ( C ) :

x2 − 2 x + 2 = − x + b, x ≠ 1. x −1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Y + 1 = ( X − 1) + 4 ( X − 1) + 4 ( X − 1) ⇔ Y = X 4 − 2 X 2 là hàm số chẵn ⇒ đpcm.

TO

⇔ 2 x 2 − ( b + 3) x + 2 + b = 0 .

2

Ỡ N

G

Điều kiện ∆ = ( b + 3) − 8 ( 2 + b ) = b 2 − 2b − 7 > 0

BỒ

ID Ư

Hoành độ giao điểm I của d và d ' : x + 3 = − x + b ⇒ xI =

I là trung điểm đoạn AB: xI =

⇔

b−3 2

x A + xB 2

b−3 b+3 = ⇔ b = 9 (chọn).

2 4 Trang 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn



www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

14 14   14 14  ;6 + ;6 − , B3 + .

2 2   2 2 

Vậy A  3 −



N

H Ơ

N

x2 + ( m + 2) x − m Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − 4 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm đối x +1 xứng nhau qua y = x .

U

Y

Hướng dẫn giải

G

Ư N

H

TR ẦN

Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 là nghiệm của (1) theo định lí Viet: x1 + x2 = −

m+7 .

2

B

Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuông góc với đường thẳng y = − x − 4 nên tung độ của

10

00

hai giao điểm lần lượt là x2 , x1 .

2+

3

Do đó x2 = − x1 − 4 ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + 7 = 8 ⇔ m = 1 (thỏa mãn).

ẤP

Bài toán 3.39: Tìm những cặp điểm nguyên trên ( C ) : y = x 3 − 4 x − 1 đối xứng với nhau qua đường thẳng

A

C

y = x và không nằm trên đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

H

Ó

Nếu gọi A ( x; y ) thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng y = x có tọa độ là ( y; x ) . Vì thế yêu cầu của

Í-

bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên ( x; y ) với x ≠ y của hệ phương trình

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

1   2 ( −1)2 − ( m + 7 ) + 4 − m ≠ 0 m ≠ − 2 Đk:  ⇔ 2 ∆ = m + 7 − − m > 8 4 0 ( ) ( )   m < −11 − 104 hay m > −11 + 104

TO

ÁN

 y = x3 − 4 x − 1  3  x = y − 4 y − 1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

x2 + ( m + 2) x − m = − x − 4 ⇔ 2 x 2 + ( m + 7 ) x + 4 − m = 0 (1) . x +1

ẠO

TP .Q

Điều kiện PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác −1:

(

)

Ỡ N

G

nên ( x − y ) x 2 + xy + y 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 + xy + y 2 = 3

ID Ư

Phương trình x 2 + xy + y 2 = 3 có nghiệm nguyên x ≠ y là ( 2; −1) , ( −1; 2 ) , ( −2;1) , (1; −2 ) .

BỒ

Thử lại vào hệ, ta chọn 2 nghiệm ( 2; −1) , ( −1; 2 ) Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x và không nằm trên đường thẳng đó là ( 2; −1) và ( −1; 2 ) .

Trang 25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 3.40: Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 4. Chứng minh đồ thị của f ( x ) có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi: f ' ( a ) = 0 và f ''' ( a ) = 0 .

H Ơ

N

Hướng dẫn giải

4

3

N

Ta khai triển f ( x ) theo x − a : 2

U

Y

f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0

f ( ) (a) nên đồ thị của đa thức f ( x ) có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi trong đó: ai = i! g ( x ) = f ( x − a ) là hàm số chẵn:

2 m −1)

(a) = 0 .

B

f ' ( a ) = f ''' ( a ) = ... = f (

3 2+

ẤP

x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 5 a) Các đồ thị y = x−2

10

Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của:

Hướng dẫn giải

Ó

A

C

b) Các đường thẳng qua CĐ, CT của đồ thị: y = mx 3 − 3mx 2 + ( 2m + 1) x + 3 − m .

Í-

H

a) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ điểm mà đồ thị đi qua ∀m .

Ta có y0 = − x0 − m, ∀m

TO

ÁN

⇔ ( x02 − 1) m − y0 + x02 − x0 = 0, ∀m .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ Ư N H TR ẦN

Mở rộng cho các đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x = a khi và chỉ khi

00

•

G

 f ( 3) ( a ) =0   f ' ( a ) = 0  a3 = 0  3! ⇔ 1 ⇔  ()  a1 = 1  f ''' ( a ) = 0  f (a) = 0  1!

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP .Q

i

Ỡ N

G

2  x0 = 1, y0 = 0  x0 = 1 ⇔ ⇔  2  y0 = x0 − x0  x0 = −1, y0 = 0

ID Ư

Vậy đồ thị có hai điểm cố định M (1;0 ) và M ' ( −1;0 ) .

BỒ

b) y ' = 3mx 2 − 6mx + 2m + 1, ∆ > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1 .

Ta có y =

x −1 2 − 2m 10 − m y '+ x+ nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3 3 3 Trang 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 − 2m 10 − m 2 x − 10 m x+ = − ( 2 x + 1) + .

3 3 3 3  1  2

 

H Ơ

N

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT qua điểm cố định A  − ;3  .

U

Y

mx + 9 . x −9

TP .Q

a) y =

N

Bài toán 3.42: Tìm những điểm M mà mọi đồ thị sau không đi qua

b) y = x 3 − 3mx 2 + 2m 2 − 1 x + m 2 − 5m + 1 với M thuộc d : x = 1 .

)

ẠO

(

Đ

Hướng dẫn giải

G Ư N H

 x0 = 9 mx0 + 9 , ∀m ⇔  x0 − 9  x0 ≠ 9, mx0 + 9 ≠ y0 ( x0 − 9 ) , ∀m

TR ẦN

y0 ≠

00

B

 x0 = 9 . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng: x = 9 và x = 0 , bỏ điểm A ( 0; −1) . ⇔  x0 ≠ 0, y0 ≠ −1

10

b) Gọi M (1; y ) ∈ d là điểm cần tìm:

2+

3

y ≠ 1 − 3m + 2m 2 − 1 + m 2 − 5m + 1, ∀m .

C

ẤP

⇔ 3m 2 − 8m + (1 − y ) ≠ 0 ⇔ ∆ = 16 − 3 (1 − y ) < 0 ⇔ y < − 13 .

3

H

Ó

A

Vậy các điểm cần tìm là M (1; y ) với y < −

13 3

Í-

Bài toán 3.43: Chứng minh các đồ thị y = (1 + m ) x 3 + 3 (1 + m ) x 2 − 4mx − m luôn đi qua 3 điểm cố định

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) Gọi M ( x0 ; y0 ) là các điểm mà mọi đồ thị không đi qua:

Hướng dẫn giải

ÁN

thẳng hàng.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

y=

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

G

TO

Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định của các đồ thị:

Ỡ N

y0 = (1 + m ) x03 + 3 (1 + m ) x02 − 4mx0 − m, ∀m .

BỒ

ID Ư

⇔ y0 = ( x03 + 3x02 − 4 x0 − 1) m + x03 + 3 x02 , ∀m .

 x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0 ⇔ 3 2  y0 = x0 + 3x0

(1) (2)

Trang 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta chứng minh (1) có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 1 thì f liên tục trên ℝ , ta có

f ( −6 ) = −85 < 0 , f ( −1) = 5 > 0 , f ( 0 ) = −1 < 0 , f ( 2 ) = 11 > 0 nên (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc 3

H Ơ

N

khoảng ( −6; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; 2 ) .

N

Từ (1) ⇒ x03 + 3x02 = 4 x0 + 1 nên ( 2 ) ⇒ y0 = 4 x0 + 1 .

U

Y

Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng y = 4 x + 1 .

( m − 1) x + m , m ≠ 0 luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố x−m

ẠO

định tại một điểm cố định.

x0 − m

⇔ ( x0 + 1 + y0 ) m − x0 (1 + y0 ) = 0, x0 ≠ m, ∀m ≠ 0

Đ

B

2

, x ≠ m ⇒ y ' ( 0 ) = −1 .

00

( x − m)

10

⇔ x0 = 0, y0 = −1 . Ta có y ' =

G

TR ẦN

⇔ ( m − 1) x0 + m = y0 ( x − m ) , x0 ≠ m, ∀m ≠ 0 .

−m 2

Ư N

( m − 1) x0 + m , ∀m ≠ 0

H

Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định: y0 =

2+

3

Vậy các đồ thị luôn luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định M ( 0; −1) , có tiếp tuyến chung y = − x − 1 .

ẤP

Bài toán 3.45: Trên đồ thị ( C ) của hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 có những cặp điểm mà tại đó 2 tiếp tuyến cùng Hướng dẫn giải

Ó

A

C

có hệ số góc p, chứng minh trung điểm của các đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định.

H

Tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc p, hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải

-L

y ' = p ⇔ 3x 2 + 6 x = p ⇔ 3 x 2 − 6 x + p = 0 (1)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Bài toán 3.44: Chứng minh các đồ thị hàm số y =

ÁN

∆' = 9 − 3p > 0 ⇔ p < 3

G

TO

Với p < 3 thì ( C ) có 2 tiếp tuyến song song với hệ số góc p.

Ỡ N

Gọi x1 , x2 là nghiệm của (1), với 2 tiếp điểm M 1 , M 2 thì trung điểm M 1M 2 có hoành độ: xI =

x1 + x2 =1 2

BỒ

ID Ư

⇒ yI = 0 .

Vậy trung điểm M 1M 2 là điểm cố định I (1;0 ) .

− x 2 + mx − m 2 Bài toán 3.46: Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường của họ ( Cm ) : y = đi x−m

qua.

Trang 28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Hướng dẫn giải

Giả sử ( x0 ; y0 ) là một điểm trong mặt phẳng mà có đúng hai đường cong ( Cm ) đi qua. Khi đó phương

N

trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

Y

N

H Ơ

− x02 + mx0 − m 2 ⇔ m 2 − ( x0 + y0 ) m + x0 ( x0 + y0 ) = 0 y0 = x0 − m

Vậy các điểm cần tìm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thỏa mãn quan hệ

ẠO

( x0 + y0 )( y0 − 3x0 ) > 0

Đ G

5 x−m

Ư N

( m + 1) x + m

b) y = mx − 6m + 1 +

x+m

H

a) y =

x →±∞

00

( m + 1) x + m = m + 1 nên TCN: x+m

y = m +1

3

x →±∞

x →( − m )

10

Ta có lim y = lim

lim − y = +∞, lim + y = −∞ nên TCĐ: x = − m với m ≠ 0 .

x →( − m )

B

a) D = ℝ \ {−m} . Ta có

TR ẦN

Hướng dẫn giải

2+

 x = X − m . Thế vào  y = Y + m +1

ẤP

Giao điểm 2 tiệm cận I ( −m; m + 1) , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI : 

A

C

( Cm ) thì được:

H

Ó

m + 1)( X − m ) + m ( m2 Y + m +1 = ⇔Y = X ( X − m) + m

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích các tâm đối xứng của các đồ thị ( Cm ) :

-L

m2 là hàm số lẻ nên ( C ) có tâm đối xứng I có tọa độ x = − m ; y = m + 1 . Khử tham X số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là đường thẳng d : y = − x + 1, x ≠ 0 .

TO

ÁN

Ta có Y = F ( x ) =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( x0 + y0 )( y0 − 3x0 ) > 0

Ỡ N

G

b) Đồ thị ( Cm ) : y = mx − 6m + 1 +

5 , x ≠ m có TCĐ: x−m

BỒ

ID Ư

x = m và TCX: y = mx − 6m + 1 nên giao điểm I ( m; m 2 − 6m + 1) .

Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI thì được tâm đối xứng I có tọa độ: x = m , y = m 2 − 6m + 1 .

Khử tham số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là parabol ( P ) : y = x 2 − 6 x + 1 .

Bài toán 3.48: Tìm quỹ tích của điểm: Trang 29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 2 − 2mx + 3m − 5 a) Cực đại của đồ thị y = x −1 b) Cực tiểu của đồ thị y = x 3 + 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x + m3 − 3m

N

)

H Ơ

(

Hướng dẫn giải

U

Y

N

x 2 − 2mx + 3m − 5 ,∆' = m − 4 . x −1

TP .Q

a) D = ℝ \ {1} , y ' =

x = 1 − m − 4 < 1 nên giới hạn là x < 1 .

b) D = ℝ , y ' = 3 x 2 + 6mx + 3 m 2 − 1

H

)

TR ẦN

(

G

Đ

thế vào y thì được quỹ tích các điểm cực đại thuộc

Ư N

( P ) : y = −2 x 2 + 6 x − 10 , vì

2

Vì ∆ ' = 9 > 0 , ∀m nên đồ thị luôn có CĐ, CT có hoành độ x = − m ± 1 .

00

B

Lập BBT thì điểm cực tiểu là B : x = 1 − m; y = f (1 − m ) = −2 .

10

Vậy quỹ tích của điểm cực tiểu là đường thẳng d : y = −2 .

2+

3

2x2 − x + 1 tại hai điểm phân Bài toán 3.49: Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị y = x −1

C

ẤP

biệt A, B. Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB.

H

Ó

A

2 x2 − x + 1 = m − x ⇔ 3 x 2 − ( m + 2 ) x + m + 1 = 0, x ≠ 1 . x −1

Í-

PT hoành độ giao điểm:

Hướng dẫn giải

Vì x = 1 không phải là nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

ÁN

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có x = 1 − m − 4 ⇒ m = 4 + (1 − x )

ẠO

Lập BBT thì điểm cực đại A: x = 1 − m − 4, y = f ( x ) .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Điều kiện có 2 cực trị là ∆ > 0,1 − 2 − m + 5 ≠ 0 ⇔ m > 4 , hoành độ cực trị là x = 1 ± m − 4 .

2

TO

∆ = ( m + 2 ) − 12 ( m + 1) > 0 ⇔ m 2 − 8m − 8 > 0

G

⇔ m < 4 − 2 6 hoặc m > 4 + 2 6 . Hoành độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

x A + xB m + 2 = .

2 6

Ỡ N ID Ư

xM =

BỒ

Vì điểm M nằm trên đường thẳng y = m − x nên yM = m − xM .

Khử m, ta có m = 6 xM − 2 nên yM = 6 xM − 2 − xM = 5 xM − 2 .

Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng y = 5 x − 2 .

Trang 30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn: m < 4 − 2 6 ⇒ 6 x − 2 < 4 − 2 6 ⇔ x < 1 −

6 và m > 4 + 2 6 3

H Ơ

N

6 .

3

⇒ 6x − 2 > 4 + 2 6 ⇔ x > 1 +

U

Y

x2 − x + 1 . x −1

TP .Q

Cho x = 0 thì y =

Xét f ( x ) =

( x0 − 1)

2x −1

( x − 1)

2

Đ

2

, x ≠ 1 thì f ' ( x ) =

( x − 1)

3

3 2+ 0

1

Ó

0

+∞

+

−

H

−

A

C

−∞

y'

−2 x

ẤP

Bảng biến thiên

+∞

Í-

0

+∞

−1

0

ÁN

-L

y

G

2 x0 − 1

Cho f ' (1) = 0 ⇔ x = 0 .

x

Ư N

x02 − x0 + 1 x0 − 1

H

2

nên phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x0 ≠ 1.

TR ẦN

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2

B

x0 ( x0 − 2 )

( x − 1)

00

y=

x ( x − 2)

10

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có D = ℝ \ {1} , y ' =

ẠO

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

y=

N

Bài toán 3.50: Tim quỹ tích các điểm thuộc trục tung mà từ đó vẽ ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị

TO

Do đó y ≥ −1 , nên quỹ tích của điểm thuộc trục tung cần tìm là B ( 0; y ) với y ≥ 1 .

Ỡ N

G

Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến ( C ) : y = x − 1 +

1 x mà 2 tiếp x −1

BỒ

ID Ư

tuyến này vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi M ( a; b ) , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y = k ( x − a ) + b . Điều kiện d tiếp xúc ( C ) là hệ sau có nghiệm x ≠ 1

Trang 31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y

N

2 2 1 = k (1 − a ) + b ⇒ 1 − ( k (1 − a ) + b ) = k . x −1 4

U TP .Q

Ta có phương trình bậc 2 theo hệ số góc k: 2

ẠO

g ( k ) = ( a − 1) k 2 + 2 ( (1 − a ) b + 2 ) k + b 2 − 4 = 0, k ≠ 1 .

2

Ư N

2

H

⇔ ( a − 1) + b 2 = 4, a ≠ 1, a ≠ b + 1 .

)

(

2

TR ẦN

Vậy quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn

(

G

⇔ a ≠ 1, b 2 − 4 = − ( a − 1) , ( a − 1) + 2 ( (1 − a ) b + 2 ) + b 2 − 4 ≠ 0 .

( x − 1)

)

+ y 2 = 4 bỏ đi 4 điểm A (1; 2 ) , B (1; −2 ) ,

00

B

C 1 + 2; 2 và D 1 − 2; − 2 .

10

3. BÀI LUYệN TậP

2+

3

Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng

ẤP

x2 + x − 1 a) y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn x

A

C

thẳng AB thuộc trục tung.

H

Ó

b) y = m cắt đồ thị y = x 4 − 2 x 2 + 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.

Í-

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

Đ

Yêu cầu bài toán: a ≠ 1, k1k2 = −1, g (1) ≠ 0 .

Hướng dẫn

ÁN

-L

a) Phương trình hoành độ giao điểm 3x 2 + (1 − m ) x − 1 = 0 ( x ≠ 0 ) .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Do đó

1 = k ( x − a) + b x −1 1 = k ( x − 1) x −1

H Ơ

1   x −1 + x −1 + x −1 = k ( x − a) + b    ⇔ ⇔ 1 1 − x −1 − = k 2   ( x − 1)

TO

Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. Hoành độ trung điểm I

x1 + x2 m − 1 = .

2 6

Ỡ N

G

của AB: x1 =

ID Ư

Kết quả m = 1 .

BỒ

b) Kết quả m =

41 25

Bài tập 3.2: Tìm m sao cho đường thẳng

x2 + 4 a) y = m ( x − 2 ) + 4 cắt đồ thị hàm số y = ( C ) tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó. x Trang 32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x2 − 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 . b) y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = x

N

Hướng dẫn

H Ơ

a) Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm cùng dấu.

N

Kết quả m > 1

3 .

8

(

)

G H

3 3 , x0 = 1 ± 5 2 4

TR ẦN

Các tiếp điểm x0 =

Ư N

Hướng dẫn

Bài tập 3.4: Cho hàm số y = f ( x ) = cos 2 x + m sin x . Tìm m để hai tiếp tuyến tại x = −

4

và x =

π 3

song

00

B

song hoặc trùng nhau.

π

10

Hướng dẫn

(

3

− 3+2  π π  = f ' .

Kết quả m =    2 −1  4 3

)

ẤP

2+

Điều kiện f '  −

C

( 2m − 1) x − m2 x −1

luôn tiếp xúc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

H

Ó

A

Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y =

Hướng dẫn

Í-

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x .

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

( C ) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB là

ÁN

Điều kiện 2 đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc là hệ phương trình:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

x có đồ thị ( C ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của 4 ( x − 3)

ẠO

Bài tập 3.3: Cho hàm số y =

TP .Q

U

Y

b) Kết quả m = ±2 6 .

Ỡ N

G

TO

 f ( x ) = g ( x ) có nghiệm. Kết quả m ≠ 1 .   f ' ( x ) = g ' ( x )

ID Ư

Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị a) y = − x 4 + 2 x 2 − 2 tại điểm uốn

BỒ

b) y = − x 3 + 3 x 2 và có hệ số góc lớn nhất Hướng dẫn

a) y ' = −4 x 3 + 4 x, y '' = −12 x 2 + 4 Trang 33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Kết quả y = −

8 3 3

x−

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

7 8 7 và y = x− 3 3 3 3

H Ơ

x 2 + 2m 2 x + m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O. x +1

N

Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y =

N

b) Kết quả y = 3 x − 1

U

Y

Hướng dẫn

Đ

Hướng dẫn

) (

)

TR ẦN

(

Kết quả A 1 + 4 5; 2 + 4 5 , B 1 − 4 5; 2 + 4 5

Ư N

G

2x + 3 có khoảng cách bé nhất. x −1

H

Bài tập 3.8: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị ( C ) : y =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

1 1 , m ≠ ±1 . hoặc m > 2 2

B

Bài tập 3.9: Tìm những điểm mà mọi đồ thị không đi qua:

10

00

y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 − 3m ) x + ( 5 + 2m − m 2 )

3

Hướng dẫn

− 4 ( x3 + x2 + 5 − y ) < 0 

C

2

A

( x − 1) ( x − 1)( x − 2 )

ẤP

2+

Kết quả đường thẳng x = 1 , bỏ điểm A (1;7 ) và các điểm M ( x; y ) sao cho

Í-

H

Ó

Bài tập 3.10: Tìm điểm M trên đồ thị ( H ) : y =

-L

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Kết quả m < −

TP .Q

Điều kiện f ( − x ) = − f ( x ) có nghiệm x ≠ 0 và x ≠ −1 .

4x − 3 có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất. x −3 Hướng dẫn

ÁN

Kết quả M ( 0;1) hoặc M ( 6;7 )

TO

Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 3 + mx + m + 1 , tại giao điểm với trục Oy, tạo với

Ỡ N

G

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Hướng dẫn

BỒ

ID Ư

Kết quả m = 1 hay m = −3 ± 2 2

Trang 34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial