Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 15 - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - Lê Hoành Phò

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

N

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

H Ơ

Điểm và vecto

ẠO

Hai điểm A(x1, y1, z1 ) và B(x 2 , y2 , z2 ) thì:

AB = (x 2 − x1; y 2 − y1; z 2 − z1 )

C

Ư N

G

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

x1 − kx 2  x = 1 − k 

y − ky 2  MA = kMB ⇔  y = 1 1− k  z1 − kz 2   z = 1− k 

Hai vecto: u = (x, y, z) và v = (x ', y ', z ') thì:

u ± v = (x ± x '; y ± y '; z ± z '); ku = (kx; ky; kz)

u.v = xx '+ yy '+ zz '; u = x 2 + y 2 + z 2

H

Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k ≠ 1 :

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

AB = (x 2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

H

Ó

A

 u; v  =  y z ; z x x y     y ' z ' z ' z ' x ' y ' 

x.x '+ y.y '+ z.z ' cos u, v = x 2 + y 2 + z 2 . x '2 + y '2 + z '2

TO

3 vecto a, b,c đồng phẳng:  a, b  .c = 0

3 vecto a, b,c không đồng phẳng:  a, b  .c ≠ 0

G

-

ÁN

-L

Í-

( )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Y

N

Ba vecto đơn vị i, j, k trên 3 trục Ox, Oy, Oz:

i = (1;0;0) , j = (0;1;0) , k = (0;0;1)

Diện tích và thể tích Diện tích tam giác ABC: S =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

-

1 2

 AB, AC   

Trang 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1  AB, AC  .AD  6

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V =  AB, AD  .AA '

H Ơ Y

N

1  AB, AD  .AA '  2

U ẠO Đ G Ư N

H TR ẦN B

10

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

d có VTCP u và (P) có VTPT n

sin(d, (P)) = cos(u, n)

00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Góc giữa 2 đường thẳng:

d có VTCP u và d’ có VTCP v thì

cos(d, d ') = cos(u, v)

2+

3

Khoảng cách từ M0 (x 0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng:

ẤP

− (Oxy) là z 0 ; (Oyz) là x 0 ; (Ozx) là y0

A

C

− (P) : Ax + By + Cz + D = 0 là:

H

Ó

Ax 0 + By0 + Cz 0 + D A 2 + B2 + C 2

Í-

d(M 0 , P) =

PT .Q

Góc giữa 2 mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp

tuyến n và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n ' thì

cos((P),(Q)) = cos(n, n ')

-L

Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V =

N

Thể tích tứ diện ABCD: V =

ÁN

Cho M0 (x 0 , y0 , z0 ) và đường thẳng d qua A và có

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

  AM

0, u  VTCP u = AB thì d(M0 , d) =

u

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d1 qua M1 và có VTCP u1;d 2 qua M 2 và có VTCP thì Trang 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

 u1, u 2  .M1 M 2   d(d1 , d 2 ) =

 u1, u 2   

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

U

Y

N

Mặt phẳng qua M0 (x 0 , y0 ) và vecto pháp tuyến n = (A, B,C)

ẠO

hay A(x − x 0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Phương trình của đường thẳng: đi qua M0 (x 0 , y0 , z0 ) và có vecto chỉ phương

u = (a, b, c), a 2 + b2 + c2 ≠ 0

TR ẦN

B

x − x 0 y − y0 z − z 0 = = a b c

00

Phương trình chính tắc khi a, b, c ≠ 0 :

H

 x = x 0 + at  Phương trình tham số: d :  y = y0 + bt, t ∈ R z = z + ct 0 

10

Phương trình mặt cầu:

2+

3

Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R:

ẤP

(x − a)2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = R 2 hay:

A

C

x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, A 2 + B2 + C2 − D > 0

H

Ó

Có tâm I( − A, − B, −C) và bán kính R = A 2 + B2 + C 2 − D

-L

Í-

Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:

ÁN

(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B ' y + C ' z + D ' = 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

Ax+By+Cz+D=0, A 2 + B2 + C2 ≠ 0

TO

- Cắt nhau: A : B : C ≠ A ' : B' : C'

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

- Trùng nhau:

A B C D A B C D ; Song song: = = = = = ≠ A ' B' C' D' A ' B' C' D'

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Đi qua A(x A , yA , zA ) và có vecto chỉ phương u(a, b, c)

Đi qua B(x B , yB , zB ) và có vecto chỉ phương v(a ', b ', c ')

Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

-Chéo nhau:  u, v  .AB ≠ 0

-Cắt nhau:  u, v  .AB = 0 và a : b : c ≠ a ' : b ' : c '

N

-Trùng nhau: a : b : c = a ': b' : c' = (x B − x A ) : (yB − yA ) : (zB − zA )

PT .Q

U

Y

-Song song: a : b : c = a ': b' : c' = (x B − x A ) : (yB − yA ) : (zB − zA )

ẠO

(P): Ax + By + Cz + D = 0 khi và chỉ khi:

Đ

(Ax1 + By1 + Cz1 + D).(Ax 2 + By2 + Cz1 + D) < 0

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng:

Đường thẳng d qua A và có vecto chỉ phương u và mặt phẳng (P) qua M0 và có vecto

pháp tuyến n

- Cắt nhau: u.n ≠ 0

Song song: u.n = 0 và A ∉ (P)

- Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n = 0 và A ∈ (P)

2+

3

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

ẤP

Cho mặt cầu S(I;R). Gọi IH = d là khoảng cách từ tâm I đến (P) thù:

C

a)Nếu d<R; mp (P) cắt mặt cầu theo hướng tròn giao tuyển có tâm H là hình chiếu của

Ó

A

tâm I lên mp(P), bán kính r = R 2 − d 2

H

Đặc biệt, khi d=0 thì mp(P) đi qua tâm I của mặt cầu, giao tuyến là đường tròn lớn của

-L

Í-

mặt cầu có bán kính R

ÁN

b) Nếu d=R, mp(P) và mặt cầu S(I;R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó mặt phẳng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

*Hai điểm M1 (x1, y1, z1) và M2 (x 2 , y2 , z2 ) nằm về hai phía của mặt phẳng

TO

(P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H c) Nếu d>R: mp(P) không có điểm chung với mặ cầu.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ứng dụng giải bài toán không gian: Đưa tọa độ Oxyz vào bài toán hình học không gian thuần túy, bằng cách chọn hệ trục

thuận lợn để giải toán.

2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A( −3; −2; 0) , B(3; −3;1) , C(5;0; 2) Trang 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

A,B,C không thẳng hàng.

Bài toán 15.2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

00

a) Tính diện tích và độ dài đường cao h A

B

A(1; 2; −1), B(2; −1;3), C( −4, 7,5)

10

b) Tính độ dài đường phân giác trong BD

A

C

ẤP

2+

3

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB = (1; −3; 4), AC = (−5;5;6), BC = (−6;8; 2)

⇒  AB, AC  = (−38; −26; −10)

Í-

H

Ó

1 1  AB, AC  = 382 + 262 + 10 2 = 554   2 2

-L

2SABC 2 554 277 = = BC 104 13

TO

ÁN

hA =

DA BA 26 1 = = = DC BC 104 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

b) Gọi D(x; y; z) Ta có

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q ẠO Đ G Ư N

TR ẦN

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x + 3 = 2  x = −1

  AD = BC ⇔  y + 2 = 3 ⇔  y = 1 . Vậy D( −1;1;1) z = 1  z =1  

Ta có AC = (8; 2; 2), BD = (−4; 4;0) , do đó:

−32 + 8 1 = − . Vậy (AC, BD) = 120o cos(AC, BD) = 2 72. 32

U

Gọi D(x, y, z) . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

Vậy SABC =

H Ơ

Hướng dẫn giải

Ta có BA = (−6;1; −1), BC = (2;3;1) . Vì tọa độ của hai vecto đó không tỉ lệ nên ba điểm

N

Tìm tọa độ đỉnh D và tính góc giữa hai vecto AC và BD

1 Vì D nằm giữa A, C nên DA = − DC 2

2 74  2 11  Từ đó tìm được D  − ; ;1 ⇒ DB = 3  3 3  Bài toán 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), Trang 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2)

Vậy ABCD là hình thang nên

G

Đ

ẠO

SABCD = SABC + SADC 1 1 =  AB, AC  +  AD, AC  = 3 1046 2 2

H

a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0)

TR ẦN

b) Tìm hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC)

00

B

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB = (1; −1;1), AC = (1;1;0), AD = (3; −1;0)

ẤP

2+

3

10

1 6 Nên  AB, AC = (−1;1; 2) ⇒ SABC =  AB, AC  = 2 2

1 2 Và  AB, AC  .AD = −4 ⇒ VABCD =  AB, AC  .AD = 6 3

H

Ó

A

C

b) Gọi H(x;y;z) là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) thì:

AH = (x + 1; y − 2; z), DH = (x − 2; y − 1; z) . Ta có:

 18 15 12  Vậy H  ; ;   11 11 11 

Bài toán 15.5: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

18  x=

 DH.AB = 0 11  x − 2y + z = 0   15   ⇔ x + y = 3 ⇔ y = DH.AC = 0 11   x − y − 3z = −3     AB, AC .AH = 0    12   z = 11 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Y

N

suy ra A, B, C không thẳng hàng và có:

DC = (−2; 2;14) = 2AB ⇒ AB CD

H Ơ

AB = (−1;1;7), AC = (−6; −6;16) , hai vecto này không cùng phương vì tọa độ không tỉ lệ

N

Hướng dẫn giải

Trang 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x = 1 + t  a) d :  y = −1 − t z = 1 

H Ơ

x y−2 z = = 3 3 −1

N

d':

Y

x y − 4 z +1 = = −1 1 −2

N

 x = 2 − 3t  d ' :  y = −2 + 3t z = 3 

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

Hướng dẫn giải

a) d đi qua điểm M1 (1; −1;1) , có vecto chỉ phương u1 = (1; −1;0) . d’ đi qua điểm

M2 (2; −2;3) có vecto chỉ phương u 2 = (−1;1;0)

Vì u1 và u 2 cùng phương nhưng u1 , u 2 không cùng phương với M1M 2 = (1; −1; 2) nên

B

TR ẦN

H

hai đường thẳng đó song song

 M1M 2 , u 2    =2 Vậy d(d; d ') = d(M1, d ') =

u2

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

b) d qua M(0;4;-1) có VTCP u = (−1;1; −2)

d’ qua M’(0;2;0) có VTCP u ' = (−1;3;3)

Ta có  u, u ' = (9;5; −2), MM ' = (0; −2;1) nên  u, u ' ≠ 0 nên chéo nhau.

 u, u ' .MM ' −10 − 21 12   = = Do đó d(d, d ') =

81 + 25 + 4 110  u, u '  

-L

Í-

Bài toán 15.6: Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxz) cách đều ba đểm A(1;1;1), B(-1;1;-0), Hướng dẫn giải

TO

ÁN

C(3;1;-1)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

b) d :

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

M thuộc (Oxz) trên M ( x;0; z ) . Ta có: MA = MB = MC

Trang 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

7 5 Vậy M  ;0; −  6 6

Đ

Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3)

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

a) Tìm tọa độ điểm C ∈ Oy để tam giác ABC có diện tích bằng 11 và thỏa mãn OC < 1

TR ẦN

H

b) Tìm điểm D ∈ (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB

B

Hướng dẫn giải

a) Gọi C(0; y;0) ⇒ AB = (−2; −2; 4), AC = (−2; y;1)

10

1  AB, AC  = 11 ⇔ (2 + 4y) 2 + 36 + (2y + 4) 2 = 11   2

3

1 2

2+

⇔

00

Ta có: SABC = 11

3 (loại) 5

C

ẤP

⇔ 20y2 + 32y + 12 = 0 ⇔ y = −1 hoặc y = −

A

Vậy C(0;-1;0)

-L

Í-

H

Ó

b) Gọi D(x;0; z) ∈ (Oxz) ⇒ DC = (−z; −1; −z)

ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB, DC cùng hướng − x −1 − z = = > 0 ⇔ x = 1, z = −2 .Vậy D(1;0; −2) −2 −2 4

TO

ÁN

⇔

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Y

N

H Ơ

N

AM 2 = BM 2  (x − 1) 2 + 1 + (z − 1)2 = (x + 1) 2 + 1 + z 2 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 2 (x − 1) + 1 + (z − 1) = (x − 3) + 1 + (z + 1) AM = CM 5   x = 6  4x − 2z = 1 ⇔ ⇔ 4x + 4z = 8 z = − 7  6

G

Bài toán 15.8: Tìm tọa độ điểm H là hình chếu của

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a) A(−2;1; 0) trên đường thẳng BC với B(0;3; −1), C( −1;0; 2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5)

Hướng dẫn giải

a) H(x; y; z) thuộc BC nên BH = tBC

Trang 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó x = − t, y − 3 = −3t, z + 1 = 3t

Y

N

11 9

U

(− t + 2)( −1) + ( −3t + 2)( −3) + (z + 1)3 = 0 ⇒ t =

H Ơ

N

⇒ x = − t, y = 3 − 3t, z = −1 + 3t

Ta có AH ⊥ BC nên AH.BC = 0

TR ẦN

(P) : 7(x − 4) + 5(y − 1) + 1(z − 4) = 0 hay 7x + 5y + z − 37 = 0

Đường thẳng d qua A, vuông góc với (ABC) có phương trình tham số:

10

00

B

x = 1 + 7 8   y = 1 + 5t . Thế x,y,z vào (P) thì t = 25 z = 1 + t 

ẤP

2+

3

 81 13 33  Vậy hình chiếu có tọa độ H  ; ;   25 5 25 

C

Bài toán 15.9:

H

VABCD = 5

Ó

A

a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy của tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và

ÁN

C(3;1;-2)

-L

Í-

b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với A(0;4;1), B(1:0:1),

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Cách khác: lập mp(P) qua A vuông góc với BC rồi tìm giao điểm H

b) Ta có AB = (−1; 2;3), AC = (−3; 4;1) nên mp (ABC) có VTCP:

n =  AB, AC  = (14;10; 2) hay (7;5;1)

ẠO

PT .Q

 11 24 14  Vậy hình chiếu H  − ; ;   9 9 9

TO

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

a) Gọi D(0;y;0) thuộc trục Oy. Ta có:

AB = (1; −1; 2), AD = (−2; y − 1;1), AC = (0; −2; 4)

⇒  AB, AC  = (0; −4; −2) ⇒  AB, AC  .AD = −4y + 2 Theo giả thiết VABCD = 5 ⇔

1  AB, AC  AD = 5  6

Trang 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

3xx+y+2z-6=0

Đ G Ư N H TR ẦN

10 3

2+

 4 29 37  Từ đó giải được tâm I  − ; ;   13 13 26 

00

B

IA = IB  Gọi I(x;y;z) là đường tròn ngoại tiếp: IA = IC I ∈ (ABC) 

ẠO

25  x=

 19 AH.BC = 0 2x + y − 3z − 1 = 0   11   ⇔ H : y = BH.AC = 0 ⇔  x − y − z = 0 19  H ∈ (ABC) 3x + y + 2z − 6 = 0   14    z = 19 

ẤP

Bài toán 15.10: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x − 8y + 7z − 1 = 0

C

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

Ó

A

b) Tìm điểm C nằm trên mp (P) sao cho ABC là tam giác đều

ÁN

-L

Í-

H

Hướng dẫn giải

a) Gọi I ( x; y; z ) ⇒ AB = (2;0; 2), AI = (x; y; z + 13)

Vì AI và AB cùng phương nên có một số k sao cho AI = kAB hay

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Gọi H(x; y; z) là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH = (x; y − 4; z − 1), BH = (x − 1; y; z − 1) , ta có:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ơ

N

Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: (0;-7;0) và (0;8;0)

b) Ta có AC = (3; −3; −3), BC = (2;1; −3) nên lập được phương trình mặt phẳng (ABC):

N

⇔ −4y + 2 = 30 ⇔ y = −7; y = 8

Mặt khác I ∈ (P) ⇒ 3x − 8y + 7z − 1 = 0 . Vậy ta có hệ:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

 x = 2k y = 0  ⇒ y = 0 x − z − 3 = 0  z + 3 = 2k

Trang 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

N

H Ơ

N

11  x = 5 y = 0  4   11 ⇔  y = 0 ⇒ I  ; 0; −  x − z − 3 = 0 5 5   4 3x − 8y + 7z − 1 = 0 z = − 5 

G

Đ

ẠO

CA = 2 2  x 2 + y 2 + (z + 3)2 = 8   Ta có CB = 2 2 ⇔  x + z + 1 = 0 C ∈ (P) 3x − 8y + 7z − 1 = 0  

Ư N H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 2 2 1 Giải ra có hai điểm: C(2; −2; −3), C  − ; − ; −   3 3 3

TR ẦN

Bài toán 15.11: Cho tam giác ABC có C(3;2;3), đường cao AH nằm trên đường thẳng x −2 y−3 z −3 , đường phân giác trong BM của góc B nằm trên đường thẳng = = 1 1 2

(d 2 ) :

x −1 y − 4 z − 3 . Tìm đỉnh A và B = = 1 1 −2

10

00

B

(d1 ) :

2+

3

Hướng dẫn giải

ẤP

Mặt phẳng (P) qua C, ⊥ (d1 ) là:

A

⇔ x + y − 2z + 1 = 0

C

1.(x − 3) + 1.(y − 2) − 2.(z − 3) = 0

H

Ó

(P) ∩ (d 2 ) = B(1; 4;3)

-L

Í-

Mặt phẳng (Q) qua C, ⊥ (d 2 ) là:

1.(x − 3) − 2.(y − 2) + 1.(z − 3) = 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Ta có AB = 2 2 , gọi điểm C(x; y; z)

ÁN

⇔ x − 2y + z − 2 = 0

TO

(P) ∩ (d 2 ) = I(2; 2; 4)

Ỡ N

G

K đối xứng với C qua (d 2 ) thì K nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Vì I là trung điểm

BỒ

ID Ư

của CK nên K(1;2;5)

x = 1  Đường thẳng ( ∆ ) đi qua KB là:  y = 2 + 2t  z = 5 − 2t  Trang 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó: ( ∆ ) cắt tại A(1;2;5)

N

Bài toán 15.12: Cho A(1;0;0). B(0;1;2). Tìm C ∈ Oz để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt

H Ơ

phẳng (α ) : 2x − 2y − z + 5 = 0 một góc bằng 60o

Y U PT .Q ẠO Đ G

2+ 2 2− 2 ), C '(0;0; ) 2 2

00

B

Bài toán 15.13: Cho điểm A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và đường thẳng d là giao tuyến của

10

hai mặt phẳng có phương trình: x − y + 1 = 0, x + y + z − 4 = 0 . Tìm tọa độ điểm D thuộc

2+

3

đường thẳng d sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1.

A

C

ẤP

Hướng dẫn giải

Ta có AB = (1;3; 0), AC = (0;3; 2) nên d có VTCP u =  AB, AC  = (6; −2;3)

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

x = 1  Phương trình của đường thẳng d là:  y = 1 + t z = 3 − 2t 

Vì D ∈ d nên D(t;1 + t;3 − 2t) ⇒ AD = (t − 1; t + 2; −2t + 4)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Vậy có hai điểm C(0;0;

1 2± 2 ⇔m= 2 2

Ư N

3 m 2 + 1 + (m − 2)2

=

H

2m + 4 − 2m − 1

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

MP (ABC) và (α ) hợp nhau góc 60o nên:

cos 60o = cos(u, n) =

N

Hướng dẫn giải

Gọi C(0; 0; m) ∈ Oz . Ta có : AB = (−1;1; 2), AC = ( −1; 0; m)

⇒ u =  AB, AC  = (m; m − 2;1) là vecto pháp tuyến của (ABC)

Mặt phẳng (α ) có vecto pháp tuyến n = (2; −2; −1)

1 2 − t  AB, AC  / AD =  6 3

Ỡ N

G

VABCD =

2−t

3

= 1 ⇔ t = −1 hoặc t = 5

Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán là D( −1;0;5) và D(5;6; −7)

BỒ

ID Ư

Do đó VABCD = 1 ⇔

Trang 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x −1 y −1 z − 2 và d 2 là giao tuyến của hai = = 2 2 1

N

Bài toán 15.15: Cho hai đường thẳng: d1 :

H Ơ

mặt phẳng có phương trình: 5x − 6y − 6z + 13 = 0, x − 6y + 6z − 7 = 0

N

a) Chứng minh rằng d1 và d1 cắt nhau tại điểm I

41 42

ẠO

Hướng dẫn giải

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

a) Tọa độ giao điểm I của d1 và d 2 thỏa mãn hệ:

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

 x − 3 y − 3 −3  2 = 2 = 1 x = 1   5x − 6y − 6z + 13 = 0 ⇔  y = 1 . Vậy I(1;1; 2)  x − 6y + 6z − 7 = 0 z = 2   

b) Vecto chỉ phương của d1 là u1 = (2; 2;1)

Vecto chỉ phương của d 2 là u 2 =  n, n ' = (−72; −18; −12) hay (6;3; 2)

u1.u 2 20 41 Gọi ϕ là góc giữa d1 và d 2 ta có: cos ϕ = = ⇒ sin ϕ = 21 u1 . u 2 21

Ó

A

1 2 41 2 41 IA sin ϕ = IA = ⇔ IA = IB = 1 2 42 42

H

Ta có SIAB =

-L

Í-

Vì A thuộc d1 nên tọa độ của A(1 + 2t;1 + 2t; 2 + t) 1 5 5 7 nên A  ; ;  hoặc 3 3 3 3

TO

ÁN

Do đó IA = 3 t = 1 ⇔ t = ±

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

diện tích bằng

PT .Q

U

Y

b) Tìm tọa độ các điểm A,B lần lượt thuộc d1 , d1 sao cho tam giác IAB cân tại I và có độ

G

Vì B thuộc d 2 nên tọa độ của B(1 + 6k;1 + 3k; 2 + 2k)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Do đó IB = 7 k = 1 ⇔ k = ±

11 72

 13 10 16   1 4 12  Suy ra B  ; ;  hoặc B  ; ;  7 7 7 7 7 7 

Bài toán 15.16: Cho hai mặt phẳng: Trang 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = 0

Hướng dẫn giải

G Ư N H TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

6   −5m 2 − m + 6 = 0 m = 1, m = − 5   ⇔ m = 1 ⇔ m =1  −7m + 7 = 0  2  m = 1, m = −4 m + 3m − 4 = 0   Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là:

00

B

2x − y + 3z − 5 = 0 và 4x − 2y + 6z − 10 = 0 nên chúng trùng nhau. Vậy:

2+

3

Khi m = 1 , hai mặt phẳng đó trùng nhau

10

Không có giá trị m nào để hai mặt phẳng đó song song

Khi m ≠ 1 , hai mặt phẳng đó cắt nhau

A

C

ẤP

Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi n1.n 2 = 0 9 19

H

Ó

⇔ 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0 ⇔ 19m + 9 = 0 ⇔ m = −

thẳng:

-L

Í-

Bài toán 15.17: Xác định các giá trị p và m để ba mặt phẳng sau đây đi qua một đường

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

ẠO

PT .Q

U

Y

N

Hai mặt phẳng đã cho có các vecto pháp tuyến lần lượt là:

n1 (2; −m;3), n 2 (m + 3; −2;5m + 1) . Ta có:

 n1.n 2  = (−5m 2 − m + 6; −7m + 7; m 2 + 3m − 4) Hai vecto đó cùng phương khi và chỉ khi  

 n1.n 2  = 0 , tức là:  

H Ơ

N

Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng song song; trùng nhau; cắt nhau; vuông góc.

TO

ÁN

5x + py + 4z + m = 0;3x − 7y + z − 3 = 0; x − 9y − 2z + 5 = 0

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Các điểm chung trên 2 mặt phẳng 3x − 7y + z − 3 = 0 và x − 9y − 2z + 5 = 0 có tọa độ thỏa

3z − 7y + z − 3 = 0 mãn hệ:   x − 9y − 2z + 5 = 0 1 18  1 18  Cho y = 0 ⇒ x = , z = suy ra A  ; 0;  7 17  7 17 

Trang 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

31 9  31 9  suy ra B  ; ;0  ,y = 10 10  10 10 

N

Cho z = 0 ⇒ x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng:

N

5x + py = 4z + m = 0 đi qua hai điểm A và B

Đ

Bài toán 15.18: Cho điểm A(1;-1;1) và hai đường thẳng:

G Ư N H TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x = t x = t '   (d1 ) :  y = −1 − 2t , (d 2 ) :  y = 1 + 2t ' z = 3t z = 4 + 5t '   Chứng minh (d1 ), (d 2 ) và A cùng thuộc một mặt phẳng

3

10

00

B

Hướng dẫn giải

(d 2 ) qua B(0;1;4) và có VTCP u = (1; 2;5)

Mp(A, d 2 ) qua B và có VTCP n =  u, AB = (−4; −8; −4) hay (1; 2; −1) nên có phương trình :

ẤP

2+

x + 2y − z + 2 = 0

C

Ta có (d1 ) qua M(0; −1;0) và N( −1;1;3)

Ó

A

Vì M, N thuộc Mp(A, d 2 ) nên (d1 ) thuộc Mp(A, d 2 )

H

Vậy A, d1 , d 2 cùng thuộc một mặt phẳng

-L

Í-

Bài toán 15.19:Cho bốn điểm A( −3;5;15), B(0; 0; 7), C(2; −1; 4), D(4; −3;0)

ÁN

Chứng minh hai đường thẳng AB và CD cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

PT .Q

U

Y

 5 72 + +m=0  m = −11  7 7 ⇔   p = −5 155 + 9p + m = 0  10 10

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = (3; −5; −8), AC = (5; −6; −11)

AD = (7; −8; −15), CD = (2; −2; −4)

Do đó  AB, AC  = (7; −7;7) ⇒  AB, AC  .AD = 0 nên AB, CD đồng phẳng, hơn nữa

AB, CD không cùng phương, do đó 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau

Gọi M(x M ; y M ; z M ) là giao điểm của AB và CD

Trang 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt MA = kMB, MC = kMD . Ta có:

x A − kx B x C − k ' x D −3 2 − 4k ' = ⇔ = 1− k 1− k ' 1− k 1− k ' 5 y − ky B y C − k ' y D −1 + 3k ' yM = A = ⇔ = 1− k 1− k ' 1− k 1− k ' z − kz B yC − k ' y D 15 − 7k 4 zM = A = ⇔ = 1− k 1− k ' 1− k 1− k '

H Ơ N Y U Đ

x−2 y−2 z = = 2 4 −4

(d 3 ) :

x y z −1 = = 2 1 1

(d 4 ) :

x − 2 y z −1 = = 2 2 −1

G

(d 2 ) :

Ư N

x −1 y − 2 z = = 1 2 −2

H

(d1 ) :

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Bài toán 15.20: Cho bốn đường thẳng:

Chứng minh tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả 4 đường thẳng đó. Viết phương trình chính

00

B

tắc của (d).

10

Hướng dẫn giải

ẤP

2+

3

(d1 ) qua A(1; 2; 0), A ∉ (d 2 ), (d1 ) và (d 2 ) cùng có vecto phương u = (1; 2; −2) nên (d1 ) (d 2 )

qua B ( 2; 2;0 ) , AB = (1;0;0)

A

C

Gọi (P) là mặt phẳng qua (d1 ) và (d 2 ) là PT của (P) là y + z − 2 = 0

-L

Í-

H

Ó

 1 3 (d 3 ) ∩ (P) = E  1; ;  và (d 4 ) ∩ (P) = F(4; 2;0)  2 2

ÁN

Đường thẳng (d) qua E,F là

x−2 = 2

1 1 z−

2= 2 có vecto chỉ phương v = (2;1; −1) không 1 −1

y−

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

7  −3 5  nên M  ; ;11  11  2 2 

ẠO

Giải ra được k ' =

N

xM =

TO

cùng phương với u . Vậy (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.

Ỡ N

G

Bài toán 15.21: Cho sáu điểm A(a; 0;0), B(0; b;0), C(0;0; c); A '(a '0; 0), B '(0; b ';0), C '(0; 0;c ')

BỒ

ID Ư

với aa ' ≠ bb ' ≠ cc ' ≠ 0, a ≠ a ', b ≠ b ', c ≠ c ' a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên b) Chứng minh đường thảng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC, vuông góc với

mặt phẳng (A’B’C’)

Trang 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn giải

N

Ta xác định tâm và bán kính R của mặt cầu qua 4 điểm A, A’, B, C

H Ơ

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu đó, ta có: IA 2 = IA '2 = IB2 = IC2

Y U G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 a + a ' b 2 + aa ' c 2 + aa '  Tâm I  ; ;   2 2b 2c   2

2

2

2

2

TR ẦN

 a + a '2   aa '+ b2   c2 + aa '  + + Ta có : R = IB =   2   2b   2c        2

2

2

B

 a + a '2   b 2 + aa '   c 2 + aa '  2 b ' + − Và IB ' =   +   = IB  2   2b   2c    

10

00

2

2+

3

Tương tự IC2 = IC '2 = IB2 . Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu

C

ẤP

 a b c  c) Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ OG =  ; ;   3 3 3

H

Ó

A

aa ' bb ' Ta có: A ' B ' = ( −a '; b ';0), A 'C ' = ( −a '; 0;c ') nên OGA ' B ' = − + +0 = 0 3 3

-L

Í-

aa ' cc ' OGA 'C ' = − + +0=0 3 3

ÁN

Do đó OG ⊥ A ' B ', A 'C ' ⇒ OG ⊥ mp(A ' B 'C ')

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q Đ

ẠO

a +a' b 2 +aa ' c 2 + aa ' và z = ⇒y= 2 2b 2c

H

Do đó x =

N

−2ax + a 2 = −2a ' x + a '2  ⇔  −2ax + a 2 = −2by + b 2  2 2  −2ax + a = −2cz + z

TO

Bài toán 15.22: Chứng minh các mặt phẳng (Pm ) : (2 + m)x + (1 + m)y + (1 + m)z + m − 1 = 0 Hướng dẫn giải

(Pm ) : 2x + y + z − 1 + m(x + y + z + 1) = 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

luôn đi qua một đường thẳng cố định

Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mặt phẳng (Pm) đi qua các điểm M(X;y;z) có tọa độ không phụ thuộc m khi và chỉ khi:

H Ơ

N

 2x + y + z − 1 = 0   x + y + z +1 = 0

N

Cho y=0 thì x = 2, z = −3 : A(2; 0; −3)

PT .Q

U

Y

Cho z=0 thì x = 2, y = −3 : B(2; −3; 0)

Vậy các mặt phẳng (Pm ) đi qua đường thẳng cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng :

ẠO

2x + y + z − 1 = 0, x + y + z + 1 = 0 tức là đường thẳng AB cố định

Tính thể tích khối tứ diện BDA’M

b)

Xác định tỷ số

H

a để mặt phẳng (A ' BD) ⊥ (MBD) b

Ư N

a)

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

với gốc O, B(a; 0;0), D(0; a;0), A '(0; 0; b), (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm cạnh CC’

Hướng dẫn giải

B

b Từ giả thiết ta có: C(a; a;0), C '(a; a; b) ⇒ M(a; a; ) 2

10

00

a)

C

ẤP

 ab ab  ⇒  BD, BM  =  ; ; −a 2   2 2 

2+

3

b Nên BD = ( −a; a; 0), BM = (0; a; ), BA ' = ( −a;0; b) 2

Ó

A

1 a 2 b  BD, BM  .BA ' = (dvtt)  6 4

Í-

H

Do đó VBDA 'M =

Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến là:

-L

b)

TO

ÁN

 ab ab  n1 =  BD, BM  =  ; ; −a 2   2 2 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

Bài toán 15.23: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có A trùng

Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến n 2 =  BD, BM  = ab;ab;a 2

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

(

a 2b2 a 2b2 Do đó (BDM) ⊥ (A ' BD) ⇒ n1.n 2 = 0 ⇔ + − a4 = 0 2 2 ⇔a=b⇔

a =1 b

Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 15.24: Cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm thay đổi M(m;0;0), N(0;n;0) sao cho

N

m + n = 1, m > 0, n > 0

H Ơ

Chứng minh thể tích V của hình chóp

N

S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.

U

Y

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

b)

PT .Q

(SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc

ẠO

với một mặt cầu cố định.

Đ

Hướng dẫn giải

G

Hình chóp S.OMAN có chiều cao SO=1 không đổi, tứ giác đáy nằm trong mặt

a)

Ư N

H

1 1 1 1 OM.AH + ON.AK = (m + n) = : không đổi 2 2 2 2

TR ẦN

S = SAOM + A AON =

n 2 + m 2 + m 2 .n 2

= 1: không đổi

3

n.1 + m.1 + 0 − mn

2+

d(A, (SMN)) =

10

x y z + + = 1 ⇔ nx + my + mnz − mn = 0 m n 1

B

Phương trình mặt phẳng (SMN) là

b)

00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

phẳng Oxy có diện tích:

ẤP

Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1

C

Bài toán 15.25: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD là hình thoi,

Ó

A

AC cắt BD tại gốc O. Biết A(2; 0;0), B(0;1; 0),S(0; 0; 2 2) . Gọi M là trung điểm của cạnh

Í-

H

SC.

Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

-L

a)

Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp

ÁN

b)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a)

Hướng dẫn giải

G

TO

S.ABMN

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a) C( −2; 0;0), D(0; −1;0), M( −1;0; 2)

SA = (2;0; −2 2), BM = ( −1; −1; 2)

3 cos(SA, BM) = cos(SA, BM) = ⇒ (SA, BM) = 30o 2

Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

N

Ta có: SA.BM = ( −2 2;0; −2), AB = ( −2;1; 0)

SA, BM  .AB 2 6   = Nên d ( SA, BM ) =

3 SA, BM   

G

Đ

ẠO

1 SM = ( −1;0; − 2),SB = (0;1; −2 2),SN = (0; − ; − 2) 2

Và SA,SM  = (0; 4 2; 0)

Ư N

1 2 2 1 2 SA,SM  .SB = SA,SM  .SN = , V = S.AMN     6 3 6 3

H

VS.ABM =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có:

Vậy: VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN = 2

00

B

Bài toán 15.26: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD

10

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của

2+

3

mặt đối diện với đỉnh đó. Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minnh rằng

GA =3 GA '

ẤP

Hướng dẫn giải

C

Ta giải bằng phương pháp tọa độ. Trong không gian tọa độ Oxyz,

Ó

A

giả sử A(x1; y1; z1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ), C(x 3 ; y3 ; z3 ), D(x 4 ; y 4 ; z 4 ) thì trọng tâm A’ của tam giác

Í-

H

BCD, trọng tâm tứ diện G:

TO

ÁN

-L

 x + x 3 + x 4 y 2 + y3 + y 4 z 2 + z 3 + z 4  A ' 2 ; ;  3 3 3    x + x 2 + x 3 + x 4 y1 + y 2 + y3 + y 4 z1 + z 2 + z3 + z 4  G 1 ; ;  4 4 4  

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Y

1 MN AB, CD nên N trung điểm SO, N(0; − ; 2) 2

b)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Do đó:

 3x − x − x − x 3y − y − y − y 3z − z − z − z  2 3 4 2 3 4 GA =  1 ; 1 ; 1 2 3 4 4 4 4    −3x + x + x + x 3y + y + y + y 3z + z + z + z  1 2 3 4 2 3 4 GA =  ; 1 ; 1 2 3 4 12 12 12  

Trang 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tương tự thì có đpcm

N

Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp trong mặt cầu tâm O và có AB=AC=AD. Gọi G là trọng

U

AB=AC=AD và OB=OC=OD

ẠO

⇒ OA ⊥ (BCD) tại chân đường cao H với HB=HC=HD

Đ

Chọn H làm gốc tọa độ, với hệ trục Hx, Hy, Hz sao cho

TR ẦN

 c + d c + d2 a  D(d1;d 2 ;0) và O(0; 0; z) suy ra G  1 1 ; 2 ;  3 3  3

H

Ư N

G

HA là trục Hz, HB là trục Hy, HD là trục Hx.

00

B

 c + d b c + d a   c + d b c + d 2 7a  E  1 1 ; + 1 2 ; ;F 1 1 ; + 2 ;  2 3 6   12 4 12 12   6

ẤP

2+

3

10

 c + d b c + d 7a a   c + d c + d 2 2; Và OF =  1 1 ; + 2 − z  ; BG =  1 1 ; 2 − b;  12 12 3 3  12 4   3

AC = (c1;c2 ; −a), OD(d1;d 2 ; −z)

A

C

Theo giả thiết OA = OB = OC = OD ⇒ OA 2 = OB2 = OC2 = OD 2

H

Ó

⇔ (a − z)2 = b 2 + z 2 = c12 + c22 + z 2 = d12 + d 22 + z 2

ÁN

-L

Í-

⇔ a 2 − 2az = b 2 = c12 + c 22 = d12 + d 22 (1)

Ta có: OF.BG = 0 ⇔ (c1 + d1 ) 2 + (c 2 + d 2 ) 2 − 9b 2 + 7a 2 − 12az = 0 (2)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

Hướng dẫn giải

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Y

tâm ∆ACD, E, F là trung điểm BG, AE. Chứng minh OF ⊥ BG ⇔ OD ⊥ AC

A(0; 0;a), B(0; b;0), C(c1;c 2 ;0)

H Ơ

N

GA Suy ra: GA = −3GA ' ⇒ G, A, A ' thẳng hàng và =3 GA '

G

TO

Khải triển (2) và thay thế (1) ta được:

(2) ⇔ a 2 + c1d1 + c2d 2 = 0 ⇔ OD.AC = 0 (dpcm)

trung điểm của A’D’ và B’B.

a)

Chứng minh rằng IJ ⊥ AC ' . Tính độ dài đoạn IJ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài toán 15.28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là

Trang 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chứng minh rằng D ' B ⊥ mp(A 'C ' D), mp(ACB ') . Tính góc giữa hai đường

b)

N

thẳng IJ và A’D

H Ơ

Hướng dẫn giải

N

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho

U

Y

A(0; 0;0), D(a; 0;0), B(0; a;0), A '(0;0; a)

PT .Q

Ta có C '(a; a;a), B '(0; a;0), D '(a;0; a) nên:

ẠO

a a I( ; 0; a); J(0;a; ) 2 2

Đ G Ư N H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a a a a Ta có: IJ = (0 − ;a − 0; − a) = ( − ; a; − ) 2 2 2 2

AC ' = (a − 0;a − 0; a − 0) = (a;a; a)

TR ẦN

a a Nên IJ.AC ' = − .a + a.a − .a = −a 2 + a 2 = 0 2 2 2

2

10

00

B

a 6  a  a Vậy IJ ⊥ AC ' . Đoạn IJ =  −  + a 2 +  −  = 2  2  2

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

b) Để chứng minh D ' B ⊥ mp(A 'C ' D) , ta chứng minh

D ' B ⊥ A 'C ', D ' B ⊥ A ' D ⇔ D ' B.A 'C ' = 0, D ' B.A ' D = 0

Ta có D ' B = ( −a; a; −a), A 'C ' = (a; a;0), A ' D = (a;0; − a)

Do đó D ' B.A 'C ' = 0, D ' B.A ' D = 0 . Tương twjj D ' B ⊥ mp(ACB ')

A ' D = (a;0; −a) . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D thì:

TO

ÁN

-L

a a IJ.A ' D − .a + a.0 − (−a) 2 cos ϕ = cos(IJ, A ' D = = 2 =0 IJ.A ' D a 6 .a 2 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

a)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Vậy ϕ = 90o

Bài toán 15.29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a, trên BC1 lấy điểm M sao

cho D1M, DA1 , AB1 đồng phẳng. Tính diện tích S của ∆MAB1 Hướng dẫn giải Chọn hệ Oxyz sao cho:

Trang 22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B = 0, B1 (a;0; 0), C1 (a;a; 0), C(0; a; 0), A(0; 0;a), A1 (a;0; a), D1 (a;a; a), D(0;a;a)

G

Đ

ẠO

3a  3a 3a   D1M, DA1  AB1 = 0 ⇒ x = M ⇒  ; ;0   2  2 2 

Vậ y S =

Ư N H

1 a 2 19  MA1 , MB  =  2 4

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3a 3a   a 3a  Nên MA =  − ; − ;a  ; MB1 =  − ; − ;0  2  2   2  2

00

B

Bài toán 15.30: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có chiều cao bằng nửa cạnh đáy.

10

Điểm M thay đổi trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A1MC1

ẤP

2+

Chọn hệ trục như hình vẽ (A1xyz)

3

Hướng dẫn giải

C

Đặt AM = x, 0 ≤ x ≤ 2

-L

Í-

H

Ó

A

Ta có: M(x;0; a), A1 (0;0;0), C1 (2; 2; 2)

Nên MA ' = (− x;0; −1), MC1' = (2 − x; 2; −1)

cos cos(MA α = MC Đặt α = A thì 1 1 1 , MC1 )

ÁN

x 2 + 1. (2 − x)2 + 5

TO

=

x 2 − 2x + 1

=

(x − 1)2 x 2 + 1. (2 − x)2 + 5

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Vì M ∈ BC1 nên gọi M(x;x;0)

Ta có D1M = (x − a; x − a; −a)

DA1 = (−a;a;0)

AB1 = (a; 0; −a)

Vì D1M, DA1 , AB1 đồng phẳng nên

≥0

Ỡ N

G

Do đó α ≤ 90o. Vậy góc α = A 1MC1 lớn nhất khi x=1 tức M trung điểm AB

BỒ

ID Ư

Bài toán 15.31: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại 1 C. AC = b, BC = a . Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho SN = SB 3

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

Trang 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB

N

Hướng dẫn giải

H Ơ

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gôc O trùng với A, tia

N

Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS sao cho

U

Y

điểm B nằm trong góc xOy. Khi đó:

ẠO

SB = (b; a; − h). Gọi N(x;y;z) thì SN = (x; y; z − h)

Đ G Ư N H

b a 2h −h  b a 2h  ;y = ,z − h = ⇒z= ⇒ N ; ;  3 3 3 3 3 3 3 

x=

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 Từ điều kiện SN = SB nên 3

B

 b b a 2h   b a 2h  a) Ta có MN =  − ; ;  =  − ; ;  3 2 3 3   6 3 3 

2+

3

10

00

b2 a 2 4h 2 1 2 b + 4a 2 + 16h 2 + + = Nên MN = 36 9 9 6

b) MN vuông góc với SB khi và chỉ khi MN.SB = 0

ẤP

− b 2 a 2 −2h 2 + + = 0 ⇔ 4h 2 = 2a 2 − b 2 6 3 3

C

⇔

H

Ó

A

Bài toán 15.32: Cho tứ diện S.ABC có SC = CA = AB = a 2,SC ⊥ (ABC) , tam giác ABC

Í-

vuông tại A. Các điểm M ∈ SA, N ∈ BC sao cho AM = CN = t(0 < t < 2a)

-L

a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất

TO

ÁN

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

b A(0; 0;0), C(b;0;0), B(b;a; 0),S(0;0; h), M( ; 0;0) 2

Hướng dẫn giải

G

a) Ta chọn hê trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O ≡ A . Trục

đó cạnh SC song song với rục Oz và ta có: A(0; 0;0), B(0; a 2;0), C(a 2;0; 0),S(a 2;0; a 2)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ox chứa AC, trục Oy chứa AB và trục Oz ⊥ (ABC) . Khi

Trang 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

t2 t2 + = 3t 2 − 4at + 2a 2 2 2

N

2

U PT .Q Đ

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a 2 a 2   2a 2 a 2  b) Khi MN ngắn nhất thì: M  ; 0; ; ; 0   , N   3 3 3 3    

ẠO

a 6 2a khi t = 3 3

G

Vây MN ngắn nhất bằng

Y

2 a 6  2a  2a = 3 t −  + ≥ 3  3 3 

00

B

TR ẦN

H

 a 2 a 2 a 2  ⇒ MN =  ; ;−  3 3   3

 MN.SA = 0 Ta có  ⇒ dpcm MN.BC = 0

10

Bài toán 15.33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α .

2+

3

Tìm tan α để SA vuông góc SC

ẤP

Hướng dẫn giải

C

Chọn hệ trục Oxyz có O là tâm đáy ABCD, tia Ox chứa

Ó

A

A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S. Ta có:

TO

ÁN

-L

Í-

H

a 2   a 2  A  ;0;0  , B  0; ;0  2  2     a 2   a 2   a  C  − ;0; 0  , D  0; − ;0  ,S  0; 0; tan α  2 2 2      

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

⇒ MN = 2(a 2 − 2at + t 2 ) +

N

t 2 t 2  t 2 t 2  ; ;0  M  ; 0;  ; N  a 2 − 2 2 2 2    

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

 a 2   a 2 a  a Nên SA =  ;0; − tan α ,SB = 0; ; − tan α     2   2 2 2      a 2    a a 2 a SC =  − ;0; − tan α  ,SD =  0; − ; − tan α  2 2 2 2    

Ta có SA ⊥ SC

Trang 25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ tan 2 α = 2 ⇒ tan α = 2

N

Bài toán 15.34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N,P lần lượt là các điểm

H Ơ

N

a2 a2 a2  1  ⇔ SA.SC = 0 ⇔ − + tan 2 α = 0 ⇔  tan 2 α − 1 = 0 2 4 2 2 

U

Y

chia đoạn thẳng AB, D’D và B’C’ theo cùng tỉ số k ≠ 0,1 . Chứng minh rằng mp(MNP) luôn

PT .Q

luôn song song với mp(AB’D’)

Hướng dẫn giải

G

Đ

với gốc là: A '(0; 0; 0) sao cho B '(a; 0; 0), D '(0; b; 0), A(0; 0;c)

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có C '(a; b; 0), B(a;0;c), D(0; b;c), C(a; b; c) . Các điểm M,N,P chia các đoạn thẳng AB,

H

D’D, B’C’ theo cùng tỉ số k nên:

TR ẦN

− kc   − kb   ka   M− ; 0;c  , N  0; b; ;0  , P  a; 1− k   1− k   1− k  

10

00

B

 ka 1   kc  −1 Do đó MN =  ; b; − c  , NP =  a; b;  c−k  1− k  a − k 1− k 

C

ẤP

2+

3

 − k 2 + k − 1 k 2 + k − 1 −k 2 + k − 1  Ta có:  MN, NP  =  bc; ca; ab  2 2  (1 − k) 2  (1 − k) (1 − k)  

Nên mp(MNP) có vecto pháp tuyến là n = (bc;ca;ab) 1 1 1 x y z + + = 1 có vecto pháp tuyến là n =  ; ;  a b c a b c

H

Ó

A

Mặt phẳng (AB’D’) có phương trình

Í-

bc ca ab = = = abc và M, N, P ∈ (AB ' D ') do k ≠ nên: mp(MNP) mp(AB ' D ') 1 1 1 a b c

ÁN

-L

Vì

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Đặt A ' B ' = a, A ' D ' = b, AA ' = c . Ta dùng phương pháp tọa độbằng cách chọn hệ trục tọa độ

TO

Bài toán 15.35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Gọi I là trung điểm cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)

Trang 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O

N

của đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz

H Ơ

chứa SO. Khi đó:

PT .Q

U

Y

N

a 2   a 2   a 2  A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  − ;0; 0  ,S ( 0; 0; h ) 2 2  2     

Đ

a 2 2

a2

+

9

z =1 h 2

H

4h 2 + 9a 2

h2

B

a2

+

2ah

=

a 2 2

+

TR ẦN

2

2 2

y

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do đó khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABM) là: d=

+

00

Bài toán 15.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2,SA = a,

10

SA vuông góc (ABCD). Gọi M, N là trung điểm AD, SC, gọi I là giao điểm BM và AC.

ẤP

2+

3

Chứng minh (SAC) ⊥ (SBM) và tính thể tích khối ANIB.

Hướng dẫn giải

C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

H

Ó

A

S(0;0; a), A(0;0; 0), B(a; 0;0), C(a; a 2; 0)

ÁN

IA IM AM 1 = = = IC IB BC 2

TO

Vì

a 2 a a 2 a ; 0), N( ; ; ) 2 2 2 2

-L

Í-

Thì D(0;a 2;0), M(0;

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

x

G

qua A, B, MI cũng chính là mặt phẳng (ABM) nên có phương trình là:

ẠO

h  Ta có giao điểm M của SO và AI là trọng tâm tam giác SAC nên M  0; 0;  . Mặt phẳng đi 3 

a a 2 a 2 ;0), BM( −a; ; 0), BS( −a; 0;a) ⇒ I( ; 3 3 2

Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

1 ⇒ IA = AC 3

Trang 27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

 a 2 2 2 a 2 2  n1 =  BM, BA  =  ;a ;   2 2  

U

Y

N

)

Đ G

a 3 2  AI, AN  .AB = (dvtt)   36

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

VANIB

1 = 6

ẠO

 a 2 a 2  Ta có:  AI, AN  =  − ; ; 0 , AB = (a;0; 0)  3 2 6   

H

Bài toán 15.37: Cho tứ diện đều (T) có các đỉnh có tọa độ (x i ; yi ; zi ) với 1 ≤ i ≤ 4 , nội tiếp

4

4

4

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

4

TR ẦN

4

∑ xi2 = ∑ yi2 = ∑ zi2 = i =1

4 3

00

∑ x i yi = ∑ yi z i = ∑ z i x i = 0

10

và

4

B

trong một mặt cầu đơn vị. Chứng minh:

2+

3

Hướng dẫn giải

ẤP

Ta kiểm tra được rằng kết luận đúng cho trường hợp tứ diện A o Bo Co Do có 4 đỉnh là

Ó

A

C

2 2   1 2 6 1 2 6 1 A o (0;0;1), B o  ; 0; −  , Co  − ; ; −  , D o  − ;− ; −  3 3 3 3  3  3 3  3

Í-

H

Bây giờ ta chứng minh khẳng dịnhđúng cho một tứ diện ABCD có các đỉnh (x i ; yi ; zi ) bất

-L

kỳ. Đầu tiên, ta quay (T) quanh trục z cho đến khi một đỉnh của nó nằm trong mặt phẳng

ÁN

(Oyz). Tiếp theo, ta quay nó quanh trục Ox cho đến khi đỉnh này trùng với điểm A o (0; 0;1) .

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

(

H Ơ

Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến:

n 2 =  AS, AC  = −a 2 2;a 2 ;0

Vì n1.n 2 = 0 nên 2 mặt phẳng (SAC), (SMB) vuông góc

TO

Sau đó, lại quanh quanh trục Oz cho đến khi (T) trùng với tứ diện A o Bo Co Do đã nói ở

Ỡ N

G

trên ⇒ dpcm

điểm M trên (α ) sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Bài toán 15.38: Cho hai điểm A(3;1; 0), B( −9; 4;9), và mp(α ) : 2x − y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ

Trang 28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt f (x; y; z) = 2x − y + z + 1 thì f (x A , y A , z A ).f (x B , y B , z B ) < 0 nên hai điểm A, B ở khác

N

phía đối với mặt phẳng (α )

H Ơ

Gọi A’ là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (α )

Y

N

Ta có: MA − MB = MA '− MB ≤ A 'B (Không đổi)

Ư N

G

Đ

ẠO

 x = −1 + 8t  Đường thẳng A’B có phương trình  y = 3 − t  z = −2 − 11t 

TR ẦN

H

 x = −1 + 8t y = 3 − t  ⇒ t = 1 ⇒ M(7; 2; −13) Điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ:  z = − 2 − 11t  2x − y + z + 1 = 0

3

10

00

B

Bài toán 15.39: Cho 4 điểm A(1;0;3), B( −3;1;3), C(1;5;1) và M(x;y;0). Tìm giá trị nhỏ nhất

T = 2 MA + MA + MC

2+

Hướng dẫn giải

A

C

ẤP

Gọi I là trung điểm của BC

⇒ I( −1;3; 2) ⇒ MB + MC = 2MI ⇒ T = 2(MA + MI)

H

Ó

z A = 3 > 0 và z I = 2 > 0 ⇒ A và I nằm về cùng 1 phía đối với mp(Oxy) và M(x;y;0) thuộc

Í-

mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-1;3;2) qua mp(Oxy) thành J(-1;3;-2)

ÁN

-L

⇒ MI = MJ ⇒ T = 2(MA + MJ) ≥ 2AJ = 2 38

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

⇒ H(1; 2; −1) . Do đó A '( −1;3; −2)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U

A ' H : x = 3 + 2t, y = 1 − t, z = t nên H(3 + 2t;1 − t; t) thuộc (α ) suy ra t = 2

Dấu = xảy ra khi M là giao điểm của đoạn MJ với mp(Oxy) thành J(-1;3;-2)

TO

⇒ MI = MJ ⇒ T = 2(MA + MJ) ≥ 2AJ = 2 38

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

 1 9  Dấu = xảy ra khi M là giao điểm của đoạn MJ với mp(Oxy) là M  − ; ; 0   9 5 

Vậy min T = 2 38

Bài toán 15.40: Cho A(2; −2;1), B(0; 2; −3) . Tìm điểm M thuộc

Trang 29

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

 x = 1 + 2t  d :  y = 2 − t sao cho MA + MB bé nhất z = 1 + t 

N

Hướng dẫn giải

U

Y

Ta tìm hình chiếu A’B’ của A, B lên d.

AM 2 = (2t − 1)2 + (4 − t)2 + t 2

ẠO

= 6t 2 − 12t + 17

Ư N

TR ẦN

Tương tự BM 2 = 6t 2 + 12t + 17 = 6(t + 1) 2 + 11 ≥ 11 BM

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

AM bé nhất khi t=1, khi đó M là hình chiếu A’(3;1;2)

G

Đ

= 6(t − 1)2 + 11 ≥ 11

BM bé nhất khi t=1, khi đó M là hình chiếu B’(-1;3;0)

B

Trên mp(A,d) lấy điểm B1 sao cho B1 à A khác phía đối với d, B1B ' ⊥ d

10

00

Với mọi M thuộc d: MA + MB = MA + MB1 ≥ AB1 : không đổi, do đó MA + MB bé nhất khi

3

M là giao điểm của AB1 với d.

AA ' 11 =− = −1 ⇒ M(1; 2;1) B1B ' 11

A

C

k=−

ẤP

2+

Ta có AA ' B1B ' nên M chia đoạn A’B’ theo tỉ số:

H

Ó

Bài toán 15.41: Tìm giá trị bé nhất của:

Hướng dẫn giải

ÁN

-L

Í-

f (x; y) = (x − 1)2 + (y + 3)2 + 9 + (x − 2)2 + (y + 4) 2 + 25

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

Ta có M bất kỳ thuộc d thì M(1 + 2t; 2 − t;1 + t)

TO

Trong không gian Oxyz, xét M(x;y;0) và 2 điểm cố định A(1; −3;3), B(2; −4; −5) ở khác phía

G

với mp(Oxy)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: f (x; y) = MA + MB ≥ AB = 66 Giá trị bé nhất của f (x; y) = 66 khi M là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng Oxy

Bài toán 15.42: Cho 9 số thức bất kì a1; b1; c1;a 2 ; b 2 ;c 2 ; a 3 ; b3 ; c3 thỏa mãn: a1 + a 2 + a 3 = 3b1 + b 2 + b3 = 4c1 + c 2 + c3 = 12 . Chứng minh bất đẳng thức:

Trang 30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a12 + b12 + c12 + a 22 + b 22 + c 22 + a 32 + b32 + c32 ≥ 13

H Ơ

N

Hướng dẫn giải Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chọn 3 điểm:

Y

N

A(a1; b1; c1 ), B(a1 + a 2 ; b1 + b 2 ;c1 + c 2 ), C(a1 + a 2 + a 3 ; b1 + b 2 + b3 ; c1 + c 2 + c3 )

a12 + b12 + c12 + a 22 + b 22 + c 22 + a 32 + b32 + c32

Đ

Nên ta có:

ẠO

OA = a12 + b12 + c12 ; AB = a 22 + b 22 + c 22 ; BC = a 32 + b32 + c32

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= OA + AB + BC ≥ OC = 13

TR ẦN

H

Ư N

3.BÀI LUYỆN TẬP

2π Bài tập 15.1: Cho u = 2, v = 5 , góc giữa hai vecto u và v bằng . Tìm k để vecto 3

p = ku + 17v vuông góc với vecto q = 3u − v

00

B

Hướng dẫn

10

Điều kiện tích vô hướng bằng 0. Kết quả k = 40

2+

3

Bài tập 15.2: Cho tam giác ABC có A(1; 0;0), B(0; 0;1), C(2;1;1). Tính chu vi, diện tích và độ

C

ẤP

dài đường cao H

A

2 + 3 + 5;

6 30 ; AH = 2 5

H

Ó

Dùng công thức. Kết quả

Hướng dẫn

Í-

Bài tập 15.3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các điểm

ÁN

-L

A(1; 0;1), B(2;1; 2), D(1; −1;1), C '(4;5; −5) . Tìm các điểm còn lại

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

U

hay C(3; 4;12) thì có:

Hướng dẫn

TO

Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ nên ABCD là hình bình hành

Ỡ N

G

Kết quả C(2;0; 2), A '(3;5; −6), B '(4;6;5), D '(3; 4; −6)

BỒ

ID Ư

Bài tập 15.4: Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0;1;0), C(0; 0;1), D(−2;1; −2) a) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao AH của tứ diện đó

Hướng dẫn Trang 31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2 3V 2 3 (dvtt); AH = = 3 SBCD 3

N

b) Kết quả V =

N

3 17 3 17 a) Kết quả cos(AB, CD) = ; cos(AB, CD) = 0; cos(AB, CD) = 14 14

U

Y

Bài tập 15.5: Cho 4 điểm A(2; −4; 2), B(0; 2; −2), C(4;8;0), D(6; 2; 4) . Chứng minh ABCD là Hướng dẫn

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

171 14

Kết quả SABCD = 2736, r =

ẠO

Chứng minnh ABCD là hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau

mặt của một hình hộp chữ nhật:

TR ẦN

H

Bài tập 15.6: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng (α ), (β, ( γ ), (δ) sau đây là các mặt phẳng chứ bốn

(α ) : 7x + 4y − 4z + 30 = 0, (β) : 36x − 51y + 12z + 17 = 0

B

( γ ) : 7x + 4y − 4z − 6 = 0, (δ) :12x − 17y + 4z − 3 = 0

10

00

Hướng dẫn

3

Chứng minh: (α) ( γ ), (β) (δ), (α) ⊥ (β)

2+

Bài tập 15.7: Chứng minh các đường thẳng d k là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

Hướng dẫn

A

C

ẤP

x + kz − k = 0, (1 − k)x − ky = 0, k ≠ 0 luôn nằm trên mặt phẳng cố định

H

Ó

Khử tham số k giữa hai phương trình mặt phẳng

Í-

Kết quả (P) : x + y + z − 1 = 0

-L

Bài tập 15.8: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

ÁN

a) M cách đều điểm A(2;3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = 0

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

PT .Q

hình thoi, tính diện tích và bán kính r đường tròn nội tiếp hình thoi

Hướng dẫn

Ỡ N

G

TO

b) M cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0 và x − y + z + 5 = 0

BỒ

ID Ư

a) Điểm M trên trục Oz nên M ( 0;0; z ) . Kết quả M ( 0;0;3) b) Điểm M trên trục Oz nên M ( 0;0; z ) . Kết quả M ( 0;0; −2 )

Bài tập 15.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a.

Trên các cạnh BB’, CD, AD’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho:

Trang 32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B ' M = CN = DP = ka(0 < k < 1)

N

a) Tính diện tích tam giác MNR theo k và a

H Ơ

b) Xác định vị trí M trên BB’ để diện tích MNP có giá trị bé nhất

U

Y

a2 3 2 (k − k + 1) 2

PT .Q

a) Chọn hệ trục tọa độ Axyz. Kết quả SMNP =

N

Hướng dẫn

b) Kết quả M là trung điểm BB’

G

Đ

tâm hình vuông CC1D1D . Tìm bán kính mặt cầu đi qua các đểm B, C1 , M, N

Ư N

a 35 4

H

Chọn hệ trục tọa độ Axyz. Kết quả R =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn

Bài tập 15.11:

00

B

a) Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất với A( −1; 6; 6), B(3; −6; −2)

10

b) Tìm điểm H trên BC sao cho AH bé nhất với A(4; 2; 6), B(4; −4;0), C(10; −2; 4)

3

Hướng dẫn

C

55 19 18 ;− ; ) 77 7 7

A

b) Kết quả H(

ẤP

2+

a) Điểm M thuộc mp(Oxy) nên M ( x; y;0 ) . Kết quả M ( 2; −3;0 )

H

Ó

Bài tập 15.12: Cho A(1; 4;5), B(0;3;1), C(2; −1; 0) và mặt phẳng (P) : 3x − 3y − 2z − 15 = 0

Í-

Tìm điểm M thuộc (P) để:

ÁN

-L

a) MA 2 + MB2 + MC2 bé nhất

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Bài tập 15.10: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm của AD, N là

TO

b) MA 2 + 1975.MB2 + 2015.MC2 bé nhất

Hướng dẫn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

a) Dùng trọng tâm G của tam giác ABC. Kết quả M(4; −1; 0)

b) Dùng tâm tỉ cự I của hệ điểm: IA + 1975IB + 2015IC = 0

Trang 33

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial