Tổng hợp đề thi đại học môn Toán từ 1975 đến 2018 Giáo viên Lê Văn Tho

TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPTQG

vectorstock.com/10346411

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Tổng hợp đề thi đại học môn Toán từ 1975 đến 2018 Giáo viên Lê Văn Tho WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Năm học 1975 -1976 Đề số 1 Đại học Tổng hợp (180 phút không kể thời gian chép đề bài) Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau đây, trong hệ trục tọa độ vuông góc

y=

x2 + 1 . x

Câu 2.Tìm những trị số của x để hàm số sau đây xác định: y = log ( − x 2 − 4 x + 6 )

Ký hiệu log chỉ logarit thập phân.

Câu 3. Cho hai điểm B, C và một đường thẳng (D) song song với đường thẳng BC. Khoảng cách a giữa (D) và đường thẳng BC bằng , a là độ dài đoạn BC. Lấy một điểm A bất kỳ trên (D). Các 2 góc của tam giác ABC được ký hiệu là A, B, C. a. Chứng minh các hệ thức:

cot B + cot C = 2, cot ( B − C ) = sin A − cos A. b. Nếu B − C =

π 4

, hãy tính A, B, C.

Câu 4.Cho tam giác đều ABC cạnh a, (D) là đường thẳng qua A và thẳng góc với mặt phẳng của ∆ABC. Lấy một điểm M bất kỳ trên (D). Gọi O là tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong tam giác MBC, BE là đường cao phát xuất từ B, CF là đường cao phát xuất từ C (E ở trên CM, F ở trên BM). a. Khi M di động trên (D) thì quỹ tích của E và F là những vòng tròn, hãy xác định các mặt phẳng chứa các vòng tròn này, các tâm và bán kính của chúng. b. Gọi H là trực tâm của ∆BCM . Chứng minh OH và (D) nằm trong cùng một mặt phẳng. Nếu N là điểm cắt nhau của hai đường thẳng OH và (D), hãy chứng minh tứ diện BCMN có các cạnh đối đôi một trực giao (vuông góc).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

1

Đề số 2 Đại học Bách Khoa (Bài thi làm trong 180 phút không kể thời gian chép đề)

Câu 1. Cho hàm số f định bởi:

y = f ( x) =

x2 − 2 x − 2 ( x ≠ −1) x +1

a. Tìm giới hạn của y khi x → ±∞ và khi x → −1. Tính đạo hàm y ' và xét dấu đạo hàm đó. b. Trong một hệ trục tọa độ vuông góc, đường biểu diễn ( Γ ) của f cắt trục hoành tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của ( Γ ) tại A và B.

c. Viết phương trình của các đường tiệm cận của ( Γ ) . Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( Γ ) của hàm số trên.

Câu 2. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Giả sử trung tuyến AM xuất phát từ A có độ dài c bằng . Hãy chứng minh các hệ thức sau đây: 2

2b 2 = a 2 − b 2

(1) , 2sin B = sin ( A − C ) ( 2 ) .

Câu 3. Trong mặt phẳng (P), ta lấy một hệ trục tọa độ vuông góc có gốc là O. Trên đường thẳng (D) vuông góc với (P) tại O, ta lấy hai điểm A và B đối xứng nhau qua O. Đặt OA = OB = a.

Trên trục x ' Ax song song và cùng chiều với trục hoành X ' OX (trong mặt phẳng (P)) ta lấy một điểm M và trên trục y ' By song song và cùng chiều với trục tung độ Y ' OY (trong mặt phẳng (P)) ta lấy một điểm N. a. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng tỏ rằng I ở trong mặt phẳng (P). b. Gọi ( x; y ) là tọa độ của điểm I trong mặt phẳng (P). Chứng tỏ rằng 2 x = AM , 2 y = BN và từ đó suy ra quĩ tích ∆ k của I khi M và N di động thế nào cho AM + BN = k , k là một hằng số cho trước. ∆ k là một đường thẳng. Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, ∆ k luôn luôn song song với một

đường thẳng cố định. c. Chứng minh hai hệ thức MN 2 = AB 2 + AM 2 + BN 2 = 4 ( a 2 + OI 2 ) . Từ đó suy ra quĩ tích của I khi M và N di động thế nào cho MN có độ dài không đổi l.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

2

Đề số 3 Đại học Y – Nha – Dược Thí sinh chọn một trong hai đề sau

ĐỀ I

π  Câu 1. Giải phương trình lượng giác sin 2 x = sin  x +  .

3  Câu 2. Dùng công thức để tính đạo hàm của hàm số sau y =

1

( 3x − 4 )

2

.

Câu 3. Cho hàm số y = x 2 − 6 x + 9. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đường biểu diễn của hàm số đã cho trong hệ trục tọa độ vuông góc. b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường biểu diễn của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của A là 2.

Câu 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. SA là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA = a. M là một điểm di động trên đoạn SD. Đặt SM = x. a. Mặt phẳng ABM cắt đoạn SC tại N. Chứng minh tứ giác MABN là một hình thang vuông. b. Đặt y = AM 2 . Tính y theo a và x. c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đường biểu diễn của y = AM 2 khi M vẽ đoạn SD (dùng hệ trục tọa độ vuông góc). ĐỀ II Câu 1. (như câu 1 đề I).Câu 2. (như câu 2 đề I).Câu 3. (như câu 3 đề I).

Câu 4. Cho hàm số lượng giác y = sin 2 x + cos x (x tính theo radian). a. Chứng minh đó là một hàm số chẵn. b. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, vẽ đường biểu diễn hàm số trên trong hệ trục tọa độ vuông góc. c. Tính giới hạn y ( x ) =

y − cos x khi x → 0 với y đã cho ở trên. tan 2 2 x

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

3

Đề số 4 Đại học Sư Phạm Khối A

x 2 − 2mx + m trong đó m là tham số và m ≠ 0; đường biểu diễny trong x 2 − 8m hệ trục tọa độ vuông góc được gọi là ( Cm ) .

Câu 1. Cho hàm số y =

a. Hãy xác định m để cho hàm số qua một cực đại khi x = 1. b. Khảo sát hàm số khi m = 1 và vẽ đồ thị. c. Chứng minh rằng khi m thay đổi, ( Cm ) luôn qua hai điểm cố định.

Câu 2. Giải bất phương trình

x + x + 1 < 6 x − 1.

Câu 3. Giải phương trình 4 cos 2 x − 6sin 2 x + 5sin 2 x − 4 = 0.

Câu 4. Trong một mặt phẳng (P) người ta cho một tam giác vuông cân ABC với AB = AC = a; Bu , Cv là những nửa đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C và cùng một phía với (P). Trên Bu, Cv người ta lần lượt lấy những điểm M, N di động sao cho tam giác AMN vuông góc tại M. Đặt BM = x và CN = y. a. Hãy tính y khi x = a. Tính diện tích tam giác AMN; suy ra cosin của góc nhọn hợp bởi mặt phẳng AMN và (P). b.I là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc AMI là góc phẳng của nhị diện có cạnh là MN và có các mặt là các mặt phẳng BMNC và AMN. Tính giá trị của góc này khi x = 4. c. Chứng minh

α. Bốn điểm C, I, M, N cùng nằm trên một vòng tròn. β. Năm điểm A, C, I, M, N cùng nằm trên một mặt cầu. Hãy xác định tâm của hình cầu này.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

4

Năm học 1976 – 1977 Đề số 1 Đại học Bách khoa – Kiến trúc Thí sinh cần làm tất cả các câu của phần bắt buộc và một trong hai đề của phần tự chọn.

PHẦN BẮT BUỘC Câu 1. Cho hàm số f ( x ) =

x 2 − 5 x + 10 .

3− x

1. Tìm khoảng xác định của f ( x ) và các đường tiệm cận của đường cong y = f ( x ) .

2. Hàm số f ( x ) tăng (đồng biến) giảm (nghịch biến) trong các khoảng nào?

3. Tìm cực đại và cực tiểu của f ( x ) .

4. Vẽ đồ thị y = f ( x ) .

5. Hãy chứng tỏ đường cong y = f ( x ) có một tâm đối xứng, tìm tọa độ của tâm đó.

6.Viết phương trình của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x ) tại giao điểm của đường cong với trục Oy.

Câu 2. Cho một hình nón cụt tròn xoay có chiều cao h, các đáy có bán kính là r và R ( r < R ) .

Tìm kích thước của hình trụ tròn xoay có cùng trục đối xứng, nội tiếp trong hình nón cụt đó và có thể tích lớn nhất.

PHẦN LỰA CHỌN

x x Câu 3. Giải phương trình lượng giác cos + 3 sin = 1.

2 2 Câu 4. Với ý thức tiết kiệm vật liệu, anh hay chị hãy tính xem cần bao nhiêu thanh sắt, mỗi thanh dài 7, 4m để cắt thành 1000 đoạn, mỗi đoạn dài 0, 7m và 2000 đoạn, mỗi đoạn dài 0,5m (không được nối). Anh hay chị có chứng tỏ được cách tính của anh hay chị là tiết kiệm vật liệu nhất không?

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

5

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha

Câu 1. Trong hệ trục tọa độ vuông góc x ' Ox, y ' Oy cho hai đường cong sau đây

( P1 ) : y =

2 x ; ( P2 ) : y =

x2 .

2

1. ( P1 ) và ( P2 ) cắt nhau tại O và M. Tính tọa độ của M. 2. Tính diện tích giới hạn bởi cung OM trên ( P1 ) và OM trên ( P2 ) .

Câu 2. Dùng ph ươ ng pháp l ấ y tích phân t ừng ph ần để tính tích phân b ất định sau đ ây

I = ∫ x sin xdx.

Câu 3. Cho biết tan

x = 2 − 3 và từ đó suy ra trị số của sin x, cos x và x (tính bằng radian).

2

Câu 4. Cho một tứ diện đều S.ABC có cạnh là a.

1. Hãy tính chiều cao SO phát xuất từ đỉnh S và thể tích của tứ diện S.ABC. 2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và của BC. Chứng minh MN là đoạn thẳng vuông góc chung của SA và BC. Hãy tính độ dài của MN theo a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

6

Đề số 3 Đại học Tổng Hợp Câu 1. Giải phương trình 4cos 2 x − 2

(

)

3 − 2 cos x − 6 = 0.

Câu 2. x, a là hai số thực cho trước và a ≠ 0. Chứng minh

Câu 3.1.Cho hàm số y =

sin ax x+a

≤ x.

x2 + 2 x + m trong đó m là tham số. Hãy xác định m để hàm số có một x2 − 2 x + 2

cực đại khi x = 2. Vẽ đường biểu diễn của hàm số trong trường hợp này (dùng một hệ trục tọa độ vuông góc).

2. Trong một mặt phẳng với một hệ trục tọa độ vuông góc xOy, ta xem những điểm A và B có tọa độ lần lượt là ( −1; 0 ) và (1; 0 ) và đường thẳng ( D ) có phương trình y = 1, M là một điểm di

MA2 MA = k , k là một hằng số . Tìm M để 2 MB MB dương cho trước. Biện luận (có thể dùng đề thi của câu 1). động trên ( D ) và có hoành độ là x. Hãy tính tỉ số

Câu 4.ABC là một tam giác đều cạnh a, nội tiếp trong một vòng tròn tâm O chứa trong một mặt phẳng (P). D là điểm xuyên tâm đối của A trên vòng tròn này, SD là một đoạn thẳng có chiều dài là a và vuông góc với (P).

1. Chứng minh SAC và SAB là những tam giác vuông.

2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC. 3. Định tâm của hình cầu qua 5 điểm S, A, B, C, D.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

7

Đề số 4 Đại học Sư Phạm Thí sinh chọn 1 trong 2 đề

ĐỀ I Câu 1.Khảo sát hàm số y =

x3 + 1 . x2

Câu 2. Đáy hình chóp S . ABCD là hình chữ nhật ABCD có AD = BC = 2a và AB = DC = 5a.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy ABCD. Biết rằng điểm H nằm trên đoạn thẳng IJ, trong đó I là trung điểm của AD và J là trung điểm của BC. Cho SH = 2a; IH = a.

1. Chứng minh rằng tam giác ISJ vuông. Tính giá trị góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng SAD và SBC. 2.Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.

3. Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng vuông góc với IJ tại điểm K. Hỏi tiết diện là hình gì? Giả sử IK = x. Gọi y là diện tích của tiết diện MNPQ (M, N, P, Q là bốn điểm của mặt phẳng vuông góc cắt bởi bốn cạnh của hình chóp). Tính y theo a và x (xét trường hợp K nằm giữa I và H, hoặc K nằm giữa H và J).

4. Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) đó.

Câu 3. Giải phương trình 1 + cos 2 x = 4sin x.

(

)

x

Câu 4. Giải bất phương trình x 2 − x + 1 < 1. ĐỀ II Câu 1. Cho hàm số thực y = ex − ln x trong đó e là cơ số của hệ thống logarit nêpe và ln x là logarit nêpe của x.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y.

2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại điểm x = 1.

3. Tính diện tích giữa ( C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = e.

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, cho bốn điểm A (1; −1) , B ( 4; 2 ) , C (1;5) , D ( −2; 2 ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

8

1. Tính các mô-đun của AB, AD, CD, CB. Chứng minh AB và AD vuông góc. Từ đó suy ra tứ giác ABCD là hình gì?

2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 4. Giải phương trình sin ( 2 x − 2700 ) = tan ( 450 − x ) .

Câu 5. Như câu 4 đề 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

9

Năm học 1977 – 1978 Đề số 1 Đại học Bách Khoa Thí sinh chọn một trong hai đề sau

ĐỀ I Câu 1. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y =

x3 .

1 − x2

x3 Câu 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = và ( d ) : y = x.

1 − x2

 1 3  3 1 ;  và tiếp xúc với Câu 4.Viết phương trình các đường tròn qua hai điểm A  − ;  , B  2 2 2 2    đường thẳng x − 3 y − 2 = 0. Kiểm tra kết quả bằng hình vẽ. ĐỀ II Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy là a, góc ở đỉnh của mặt bên là α . a. Tính thể tích của hình chóp đã cho. b. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S nội tiếp trong hình chóp đó.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 + 2 x 2 − 15 x + 12. Viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong đã cho tại điểm uốn.

Câu 3. Giải phương trình cos 2 x + cos 2 2 x − cos 3 x − sin 2 x − sin 2 2 x = 0.

Câu 4. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh a (cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai đường tròn cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của hộp trụ được làm ra, biết rằng các cạnh của hình chữ nhật phải song song hoặc trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

10

Đề số 2 Đại học Y – Nha – Dược Thí sinh chọn một trong hai đề

ĐỀ I Câu 1. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 2. Tính I = ∫ x cos xdx ( x > 0 ) .

2 x2 .

Câu 3. Cho hàm số y = 2x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong hệ trục trực chuẩn. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau đây 2cos 2 α − 2m cos α + m = 0, 0<α <π , trong đó α là ẩn số, m là tham số.

Câu 4. Trong hệ trục tọa độ vuông góc, cho các đường tròn ( C ) và ( C ') có phương trình

( C ) : x 2 + y 2 − x − y = 0, ( C ') : x 2 + y 2 − x + y = 0. a. Xác định tọa độ tâm của ( C ) và ( C ') . Tính bán kính của từng vòng tròn nói trên. b. Một đường thẳng ( D ) có phương trình y = mx (m là tham số) cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm O và M và cắt đường tròn ( C ') tại hai điểm O và M’. Tính tọa độ của M và M’ theo m. ĐỀ II Câu 1. Tìm giới hạn

x 1   1 a. lim x cot , b. lim  − 2  , (x tính bằng radian).

2 x →0 x → 0 4sin x 3 sin 2 x   Câu 2. Giải và biện luận phương trình

5 − x = x + m , x là ẩn số, m là tham số.

Câu 3. (Giống như câu 3 đề I).

Câu 4. Trong mặt phẳng (P), xét một vòng tròn (C) đường kính AB = 2 R và một dây cung MN

= α với 0 < α < π ; Ax là đường vuông góc với (P) tại A. vuông góc với AB tại H. Đặt BAM 2 Trên Ax lấy một điểm S sao cho AS = R. a. Tính thể tích của khối chópS.AMBN theo R và α . b. Xác định α để thể tích hình chóp S.BMN bằng 3 lần thể tích hình chóp S.AMN. Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

11

Đề số 3 Đại học Tổng hợp (KHỐI A) Thí sinh chọn 1 trong hai đề sau

ĐỀ I Câu 1. Tính tích phân

∫

x3

(x

2

+ 1)

3

dx bằng hai cách đổi biến số sau

a. Đặt x = tan θ, b. Đặt u = x 2 − 1.

So sánh hai kết quả tìm được.

Câu 2. Cho hàm số xác định bởi y = 2 x +

1 . x −1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong một hệ trục vuông góc. b.Dùng kết quả trên để biện luận số nghiệm của phương trình 2 x x − 1 − m x − 1 + 1 = 0 trong đó x là ẩn số, m là tham số.

c. Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác sau 2 cos x cos x − 1 − m cos x − 1 + 1 = 0 trong đó x là ẩn số, m là tham số và

π 3

≤x≤

2π .

3

Câu 3. (Chưa tìm thấy nội dung).

Câu 4.Trong một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho một parabol (P) có phương trình y = x 2 .

x '+ x " . Hãy viết 2 phương trình tiếp tuyến với (P) tại N và chứng minh tiếp tuyến này song song với M ' M ". a. Lấy 3 điểm M ', M ", N trên (P) có hoành độ lần lượt là x ', x " và u với u =

b. Các tiếp tuyến của (P) tại M ' và M " cắt nhau tại Q. Tính tọa độ Q. Chứng minh QN Oy.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

12

ĐỀ II

x Câu 1. Tìm a. lim x cot ; x →0 3

x sin 2 x ( x tính bằng radian). x →0 1 − cos x

b. lim

Câu 2. (Giống câu 2 của đề I).

Câu 3. a. Cho a là một số nguyên dương. Chứng minh 1 + a ≥ 2 a (1) . b. Nếu a1 ; a2 ;...; an là n số nguyên dương, chứng minh rằng

(1 + a1 )(1 + a2 ) ... (1 + an ) ≥ 2n

a1a2 ...an

( 2).

Trường hợp nào thì hệ thức (1) là đẳng thức.

Câu 4. Cho một hình cầu tâm O, bán kính R, đường kính SS '. Một mặt phẳng vuông góc với SS ' cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Cho ABC là một tam giác đều nội tiếp trong vòng tròn này. Cho SH = x. a. Tính những cạnh của tứ diện SABC. Định x để SABC là một tứ diện đều, trong trường hợp này hãy tính thể tích của nó. b. Giả sử tứ diện SABC đều chứng minh thể tích của tứ diện S’ABC bằng một nửa thể tích tứ diện SABC và chứng minh tam diện S’ABC có đỉnh S’ có ba góc vuông.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

13

Đề số 4 Đại học Sư Phạm – Kinh Tế – Tài Chánh – Nông nghiệp (KHỐI B) Thí sinh chọn 1 trong 2 đề

ĐỀ I Câu 1. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây

y = sin 2 x + sin x + 1; y = 0; x = 0; x =

π 2

.

Câu 2.Viếtphương trình đường thẳngđi qua giao điểm của hai 3 x − 5 y + 2 = 0;5 x − 2 y + 4 = 0 và song song với đường thẳng 2 x − y + 4 = 0.

Câu 3. Cho hàm số y =

đường

thẳng

x 2 + 2mx + 3 , m ∈ ℝ. x+m

1. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm ( −1;0 ) .

2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc −1.

3. Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo k số nghiệm và dấu của nghiệm số của phương trình

x2 + 2 x + 3 = k. x + 11

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

14

ĐỀ II

x 2 + 2mx + 3 , m ∈ ℝ.

Câu 1. Cho hàm số y = x+m 1. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số qua điểm ( −1;0 ) .

2. Khảo sát hàm số ứng với m = 1.

Câu 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 2a; AD = a. Từ A kẻ đường vuông góc với mặt phẳng (P) và trên đó lấy đoạn AS = 3a.

1.Tính các đoạn SB, SC, SD theo a.

2. Chứng minh rằng các tam giác SDC và SBC là các tam giác vuông.

3. Mặt phẳng chứa DC cắt SA tại M và SB tại N. Hãy xác định tính chất của tứ giác DCMN. Đặt AM = x, tính diện tích của tứ giác DCMN theo a và x.

Câu 3. Giải bất phương trình 1 < 3

x2 − x

Câu 4.Giải phương trình lượng giác

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

< 9.

1 + tan x = 2sin x.

1 + cot x

15

Năm học 1978 – 1979 Đề số 1 Đại học Bách Khoa PHẦN BẮT BUỘC

Câu 1. Cho hàm số y =

− x2 + x + a , trong đó a là tham số. x+a

a. Với giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm ( 2;0 ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với giá trị vừa tìm được của a.

b. Xác định tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x − 1 tại hai điểm phân biệt. Khi đó gọi y1; y2 là tung độ của hai giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa y1 và y2 không phụ thuộc vào a.

Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu b > 0; c > 0 thì

4 b+c . ≥ bc b−c

b. Sử dụng kết quả trên, chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1 thì b + c ≥ 16abc.

PHẦN TỰ CHỌN (Mỗi thí sinh được chọn một trong hai phần dưới đây để tiếp tục làm bài) Phần 1

Câu 3. a. Hãy tìm ba số A, B, C sao cho với mọi x ≠ −1 ta có

B ( 2 x − 1) x A C . ≡ + 2 + 2 x +1 x +1 x − x +1 x − x +1 3

b.Dự vào đó hãy tính

xdx .

3 +1

∫x

n

c. Với mỗi số dương n, đặt J n = ∫ 0

2π xdx . . Chứng minh rằng lim J n = 3 n →∞ x +1 3 3

Câu 4. Trong mặt phẳngvới hệ trục tọa độ trực chuẩn, người ta cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm M ( 4; 7 ) .

Câu 5. (Chưa tìm thấy nội dung).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

16

Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác 1 + tan x = (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) .

Câu 4. Trong không gian, từ một điểm A ngoài mặt phẳng (P) người ta hạ đường vuông góc AB và đường xiên AC xuống mặt phẳng (P) (B và C nằm trong (P)). Điểm M di chuyển trên đường tròn đường kính BC trong (P). a. Chứng minh rằng AB 2 + BM 2 + MC 2 = AC 2 và AM 2 + BC 2 = BM 2 + AC 2 . b.Tìm góc phẳng của nhị diện cạnh AM tạo nên bởi các mặt phẳng AMB và AMC. c. Gọi D và E là các hình chiếu vuông góc của B trên các đường thẳng AM và AC. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC và DE. Tìm quĩ tích của D khi M di chuyển. d. Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, M nằm trên cùng một đường tròn.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

17

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

mx + 4 , m là tham số. x+m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với giá trị m = −1. b. Khi m ≠ ±2 đồ thị ( H m ) của hàm số đã cho là một hyperbol tâm J m . Tìm quĩ tích của tâm

J m khi m thay đổi. c. Chứng minh rằng J m luôn đi qua hai điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của hai điểm cố định ấy. Hãy xác định m để cho các tiếp tuyến với ( H m ) tại hai điểm cố định trên là song song với nhau.

Câu 2. Hãy tìm tất cả các giá trị của k sao cho

kx + 1 ≤ 3, ∀x ∈ ℝ. x + x +1 2

Phần tự chọn Phần I

Câu 3. Tính các tích phân I = ∫ x cos xdx; J = ∫ e x cos xdx.

Câu 4. Trong một hệ trục trực chuẩn cho tam giác ABC có A (1; −1) , B ( −2;1) , C ( 3;5) . Gọi K là trung điểm của AC. Hãy viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với BK. Tính diện tích của tam giác ABK. Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác tan 2 x =

1 + cos x .

1 + sin x

Câu 4. Từ trọng tâm G của tam giác đều ABC cạnh a, ta kẻ đường vuông góc với mặt phẳng ABC. Trên đường thẳng đó, ta lấy một điểm S với SG =

a 6 .

3

a. Chứng minh các cạnh đối của tứ diện SABC vuông góc với nhau từng đôi một. b. Chứng minh tứ diện SABC đều. c. Tìm bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

18

Đề số 3 Đại học Kiến Trúc Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa)

4 − x + x + 1 < 1.

Câu 2. Giải bất phương trình

Phần tự chọn Thí sinh chọn một trong hai đề sau

ĐỀ I π 2

Câu 3. Cho tích phân I n = ∫ sin n xdx, n ∈ ℕ.

0

a. Tìm hệ thức giữa I n và I n + 2 . b. Chứng minh rằng hàm số f ( n ) = ( n + 1) I n +1 thỏa mãn hệ thức f ( n + 1) = f ( n ) . c. Tính f ( n ) .

Câu 4. (Giống câu 4 phần I Đại học Bách Khoa).

Câu 5. (Chưa tìm thấy nội dung). ĐỀ II Câu 3. (Giống câu 3 phần II Đại học Bách Khoa).

Câu 4. Cho tứ diện ABCD, cạnh AB vuông góc với CD. a. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường cao của tứ diện. Chứng minh AA’, BB’ cắt nhau tại H, CC’, DD’ cắt nhau tại K và HK nằm trên đường vuông góc chung của AB và CD. b. Chứng minh AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 . c. Ngược lại, giả sử trong tứ diện ABCD ta có AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 thì chứng minh AB ⊥ CD.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

19

Đề số 4 Đại học Kinh Tế Phần bắt buộc

Câu 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

2 x2 − 4 x + 2 .

2x + 3

b. Dùng đồ thị trên để biện luận theo m số nghiệm của phương trình

2 x 2 − 2 ( 2 + m ) x − 3m + 2 = 0.

Câu 2. Cho phương trình với ẩn số x 4 x ( x + sin α ) − 1 = 4 x + cos 2α . Với những giá trị nào của α thì tổng bình phương của các nghiệm đã cho đạt

a. Giá trị lớn nhất;b. Giá trị nhỏ nhất.

Phần tự chọn Phần I t

Câu 3. a. Giả sử t > 1. Tính tích phân sau đây I = ∫ 0

2 x ln xdx 2 2

(1 + x )

.

b. Tính giới hạn của tích phân này khi t → 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, người ta cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0. Đường tròn này cắt Ox tại A và O, cắt Oy tại O và B.

a. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) tại O, A, B. b. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M ( 4; 7 ) .

Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).

Phần II

Câu 3. Giải phương trình tan 2 x =

1 + cos x .

1 + sin x

Câu 4. Trong không gian trên 3 trụcOx, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một, người ta lần lượt lấy ba điểm A, B, C với OA = a; OB = b; OC = c. a. Hãy tính theo a, b, c đường cao OH của tứ diện OABC hạ từ đỉnh O (H nằm trên mặt phẳng ABC). b. Chỉ rõ vị trí tâm O của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và tính bán kính R của hình cầu ấy.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

20

c. Chứng minh rằng các điểm O, I, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng. Đề số 5 Đại học Tổng Hợp khối A Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa).

Câu 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số thực không âm thì

( a + b )( b + c )( c + d )( d + a ) ≥ 16abcd .

Phần tự chọn Phần I

Câu 3. (Giống câu 3 phần I đề Đại học Bách Khoa).

Câu 4. (Giống câu 4 phần I đề Đại học Bách Khoa).

Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).

Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác

1 1 1 . − = sin x sin 2 x sin 4 x

Câu 4.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông góc tại C. Trên đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P), ta lấy một điểm S khác A. Gọi D, E là hình chiếu vuông góc của A lên SD, SC. a. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E nằm trên cùng một mặt cầu. b. Chứng minh SD vuông góc với mặt phẳng ABE. c. Chứng minh rằng khi S di chuyển trên (d) thì đường thẳng DE luôn luôn đi qua một điểm cố đỉnh.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

21

Đề số 6 Đại học Sư Phạm khối A Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 đề Đại học Bách Khoa).

Câu 2. (Giống câu 2 đề Đại học Kiến Trúc).

Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. (Giống câu 3, phần I, Đại học Kiến Trúc).

Câu 4. (Giống câu 4, phần I, Đại học Bách Khoa).

Câu 5. (Chưa tìm được nội dung).

Phần II

Câu 3. (Giống câu 3, phần II, Đại học Tổng Hợp khối A).

Câu 4. (Giống câu 4, phần II, Đại học Kiến Trúc). Đề số 7 Đại học Tài Chính Phần bắt buộc

Câu 1, 2. (Giống câu 1, 2 Đại học Kinh Tế) Phần lựa chọn Phần I π

π

dx x cos x ; J =∫ dx.

2 1 + sin x 1 + sin x ( ) 0 0

Câu 3. Tính các tích phân I = ∫

Câu 4, 5. (Giống câu 4, 5 Đại học Kinh Tế).

Phần II

Câu 3. Giải phương trình lượng giác sin x + cos x + sin x cos x = 1.

Câu 4. (Giống câu 4, phần II, Đại học Kinh Tế).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

22

Đề số 8 Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Thủ Đức Giống đề Đại Học Kinh Tế

Đề số 9 Đại học Tổng Hợp khối B Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Y – Dược – Nha).

Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).

Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 4. Trong hệ trục trực chuẩn, cho đường thẳng (D) có phương trình x + y = 1 và đường thẳng (D’): x − 3 y + 3 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng ( D '') đối xứng với đường thẳng ( D ') qua đường thẳng ( D ) .

Phần II

1 Câu 3. Với x là một số thực tùy ý, hãy chứng minh sin 4 x + cos 4 x ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra với 2 những giá trị nào của x.

Câu 4. (Giống câu 4, phần II Đại học Y – Dược – Nha).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

23

Đề số 10 Đại học Sư Phạm khối B Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Kinh Tế).

Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).

Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. Giải phương trình lượng giác sin x + cos x =

1 . cos x

Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD với cạnh AB = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. a. Chứng minh rằng AC ⊥ ( BCD ) ; tính độ dài AC theo a. b. Lấy điểm M trên cạnh BC, N trên đoạn CD. Đặt CM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) , CN = y ( 0 ≤ y ≤ a ) .

Tính thể tích của tứ diện ACMN theo a, x, y.

Đề số 11 Đại học Nông Nghiệp khối B Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Y – Dược – Nha).

Câu 2. (Giống câu 2 Đại học Kiến Trúc).

Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. (Giống câu 3, phần I Đại học Y – Dược – Nha).

Câu 4. (Giống câu 4, phần I Đại học Tổng Hợp khối B).

Phần II

Câu 3. (Giống câu 3, phần II Đại học Tài Chính).

Câu 4. (Giống câu 4, phần II Đại học Sư Phạm khối B).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

24

Đề số 12 Đại học Thể Dục Thể Thao Câu 1. Lập phương trình của đường phân giác của góc tù bởi hai đường thẳng

( ∆1 ) : 3x − 4 y + 12 = 0; ( ∆ 2 ) :12 x + 5 y − 7 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân PRQ, biết phương trình cạnh đáy PQ : 2 x − 3 y + 5 = 0, cạnh bên PR : x + y + 1 = 0. Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi qua điểm D (1;1) .

Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

25

Năm học 1979 – 1980 Đề số 1 Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp khối A Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

2 x2 − 5x + 4 . x −1

1. Khảo sát hàm số đã cho và vẽ trong hệ trục tọa độ vuông góc đường biểu diễn (C) của nó.

2. Chứng minh rằng (C) có một tâm đối xứng.

3. Dùng đường (C) để biện luận theo những giá trị của tham số m số nghiệm của phương trình

2sin 2 x + ( 5 + m ) cos x − m − 6 = 0 (1) thỏa các điều kiện 0 ≤ x ≤ 2π .

Câu 2. Giả sử x; y; z là ba số thực bất kỳ. Chứng minh x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0.

Phần tự chọn Phần I

Câu 3. (Chưa tìm thấy nội dung).

Câu 4. Cho đường cong y = x 2 + 9 và đường thẳng 4 x − 5 y − 32 = 0.

1. Vẽ đường cong đã cho.

2. Tính khoảng cách z từ một điểm M tùy ý của đường cong đến đường thẳng theo hoành độ x của M. 3.Tính khoảng cách ngắn nhất giữa đường cong và đường thẳng.

Phần II

1 Câu 3. Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x − cos 2 x + sin 2 2 x + a = 0 (1) .

4 1. Giải phương trình khi a = −2.

2. Với những giá trị nào của a phương trình đã cho có nghiệm?

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

26

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD(S là đỉnh). Cắt hình chóp ấy bằng một mặt phẳng không song song với mặt đáy. Mặt này cắt các cạnh SA, SB , SC , SD lần lượt tại các điểm

ASH = α M , N , P , Q; MP và NQ cắt nhau tại L. Đặt SM = a, SN = b, SP = c, SQ = d , SL = l , (SH là đường cao của hình chóp S.ABCD).

1. Tính diện tích tam giác SMP theo a, c, α .

2. Chứng minh hệ thức

1 1 2 cos α . + = a c l

3. Chứng minh hệ thức

1 1 1 1 + = + . a c b d

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

27

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

x3 x2 + + mx.

3 2

1.Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn m.

2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −2.

3. Cắt đường cong (C) bởi đường thẳng (T): y −

13 1  = k  x +  . Biện luận theo k số giao điểm 12 2 

của (C) và (T).

Câu 2. Chứng minh rằng 1. Với mọi x ≥ 0 ta có 1 + x ≥ 2 x .

2. Với mọi xi ≥ 0 ( i = 1, 2,..., n ) ta có (1 + x1 )(1 + x2 ) ⋯(1 + xn ) ≥ 2 n x1 x2 ⋯ xn . Trường hợp nào giá trị của hai vế bằng nhau.

Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 4.Cho hàm số y = ln ( x 2 + 4 x + m ) , trong đó ln là ký hiệu của logarit cơ số nepe và m là tham số thực.

a. Tìm tất cả các giá trị của m để ym xác định với mọi x. b. Giải phương trình y0 = ln ( x + 2 ) + ln 2 trong đó y0 là hàm số ym ứng với m = 0. c. Chứng tỏ rằng Y4 = 2 ( x + 2 ) ln ( x + 2 − x )  là một nguyên hàm của hàm số

y4 = ln ( x 2 + x + 4 ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

28

d.Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong biểu diễn hàm số y4 , các đường thẳng x = −1; x = 0 và trục Ox.

Phần II

Câu 3. Tính giới hạn của biểu thức sau đây A ( x ) =

cos x − cos 2 x khi x → 0, trong đó x tính sin 2 2 x

bằng radian.

Câu 4.Cho hình chóp V.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Giả sử mặt bên VBC vuông góc với mặt đáy ABC, còn các mặt bên VAC, VAB lần lượt hợp với mặt đáy ABC thành hai góc nhị diện có số đo bằng

π 3

. Gọi D là trung điểm của BC, trong mặt phẳng ABC kẻ DE vuông

góc với AC.

1. Chứng minh rằng AD vuông góc với VD. 2. Chứng minh rằng VE = 2 DE. 3. Tính diện tích toàn phần của hình chóp V.ABC.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

29

Đề số 3 Đại học Kiến Trúc – Kinh Tế Tài Chánh – Sư Phạm khối A Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Bách Khoa).

Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình sau theo tham số thực a

x 2 − 6 x + 9 − 2 3 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = a (1) .

Phần tự chọn Phần I

Câu 3. (Không tìm thấy nội dung).

Câu 4. Cho hai đường cong có phương trình y =

1 3 + d. và y = x x−c

1.Xác định tham số c > 0 và d > 0 để cho hai đường cong cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là 1 và 2.

2. Vẽ các đường cong với các giá trị của c và d vừa tìm được.

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong vừa vẽ.

Phần II

Câu 3. (Giống câu 3 phần II Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp khối A).

Câu 4. Cho hình chóp V.ABC, các mặt bên hợp với mặt đáy ABC thành những góc nhị diện bằng nhau có góc phẳng là ϕ .

1. Chứng minh rằng chân I của đường cao hình chóp xuất phát từ đỉnh V là tâm của đường tròn nọi tiếp trong tam giác ABC. 2. Tìm điểm O cách đều các mặt bên và mặt đáy hình chóp.

3.Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC và R là bán kính đường hình cầu nội tiếp trong hình chóp V.ABC. Tính R theo r và ϕ .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

30

Đề số 4 Đại học Sư Phạm – Sư Phạm Kỹ Thuật khối B Phần bắt buộc

Câu 1. (Giống câu 1 Đại học Y – Dược – Nha).

Câu 2. Giả sử x1; x2 là hai số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng 1. 1 + x1 ≥ 2 x1 ;

2.

x1 + x2 ≤ 2

x12 + x22 .

2 Phần lựa chọn Phần I

Câu 3. (Chưa tìm được nội dung).

Câu 4. (Giống câu 4, phần I Đại học Y – Dược – Nha).

Phần II

Câu 3. (Giống câu 3, phần II Đại học Y – Dược – Nha).

Câu 4. (Giống câu 4, phần II Đạo học Y – Dược – Nha).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

31

Năm học 1980 – 1981 Đề số 1 Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp Phần bắt buộc

Câu 1. 1. Cho hàm số g ( x ) = 3x − x3 . Chứng minh rằng g ( x ) > 0 khi 0 < x < 2. Khảo sát cực đại và cực tiểu các hàm số f ( x ) = 3. Chứng minh rằng sin 2 x <

π 2

.

π 2 ; g ( x ) = 3 x − x 3 với 0 < x < . sin 2 x 2

2 π khi 0 < x < .

3 3x − x 2

Câu 2.Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định. Với mọi giá trị của x thỏa mãn

f ( x + 6 ) + 2 g ( 2 x + 15 ) =

x+2 2

 x+2 f  + g ( x − 5) = x + 4  2 

(1) ( 2) .

Hãy chỉ rõ biểu thức của f ( x ) và g ( x ) .

Phần tự chọn Phần I

Câu 3. 1. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e =

4 và các tiêu 5

điểm nằm trên Ox.

 45  2. Viết phương trình các tiếp tuyến với elip (E) xuất phát từ điểm A  0;  .  12  3. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip (E) và các tiếp tuyến nêu trên. (Dung hệ trục trực chuẩn Oxy).

Câu 4. (Chưa tìm được nội dung).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

32

Phần II

Câu 3. 1. Giải phương trình lượng giác sin 2 x + 4 ( cos x − sin x ) = 4. (Hướng dẫn đặt t = cos x − sin x ).

2. Với những giá trị nào của m thì phương trình sin 2 x − 4 ( cos x − sin x ) = m có nghiệm.

Câu 4. Trong không gian cho ba tia Ox, Oy , Oz từng đôi một làm với nhau một góc

α ( 00 < α < 900 ) . Trên Ox, Oy , Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C với OA = a; OB = b; OC = c.

1. a, b, c phải thỏa mãn hệ thức gì để tam giác ABC có góc A vuông? Hãy tìm điều kiện cần và đủ ràng buộc b, c, α để tìm được a thỏa mãn hệ thức này.

2. Giả sử α cố định ( 00 < α < 900 ) và b = c cố định. Xác đinh a để tam giác ABC có góc A lớn nhất. Giá trị lớn nhất ấy của góc A bằng bao nhiêu?

3. Với các giả thiết của (2) hãy tính thể tích của tứ diện OABC ứng với giá trị lớn nhất của góc A.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

33

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha Phần bắt buộc

Câu 1. Cho đa thức P ( x ) = 2 x 3 + mx 2 + nx + p trong đó m, n, p là những hằng số.

1. Xác định m, n, p để cho đa thức trên chia hết cho đa thức 2 x 3 + 3 x 2 − 1.

2. Với các giá trị đã tìm được của m, n, p hãy giải bất phương trình sau P ( x − 1 ) > 0.  a 4 + a 2 − 2a > 0  Câu 2. Cho hệ bất phương trình ( A ) 2a 3 + a − 1 < 0  3 a − a > 0

(1) ( 2). ( 3)

1. Tìm những giá trị của a để cho bất phương trình (3) được nghiệm đúng.

2. Chứng tỏ rằng a > 1 không thể là nghiệm của hệ (A).

3. Tìm tất cả các nghiệm của hệ (A).

Phần lựa chọn Thí sinh được phép chọn một trong hai đề sau đây

ĐỀ I Câu 3a. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A (1; 2 ) mà khoảng cách từ điểm

M ( 2;3) và điểm N ( 4; −5) đến đường thẳng ấy bằng nhau (trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn). a

Câu 4a. Tính và biện luận theo các tham số dương a và b tích phân I =

∫ −a

dx 2

a + b 2 − 2bx

.

Câu 5a. (Chưa tìm thấy được nội dung). ĐỀ II Câu 3b. Giải phương trình lượng giác tan 3 x − tan x = 2sin 2 x.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

34

Câu 4b. Trong không gian cho một đoạn thẳng IJ, trên một đường thẳng d vuông góc với IJ và đi qua I, lấy về hai phía của I hai điểm A, B với IA = IB = a; trên một đường thẳng d’ vuông góc với IJ và đi qua điểm J, lấy về hai phía của J hai điểm C, D với CJ = JD = b. Các đường thẳng d và d’ không nằm trong cùng một mặt phẳng.

1. Chứng minh rằng AC = BD và AD = BC. 2. Chứng minh rằng tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên đường thẳng IJ. 3. Tính bán kính R của hình cầu trên theo a, b và c = IJ .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

35

Đề số 3 Đại học Kinh Tế - Tài Chánh – Sư Phạm Phần bắt buộc

Câu 1. Cho ba số thực a, b, c với a ≠ 0, b ≠ 0 và a + b + c = 0.

1. Chứng minh rằng a 3 + b3 + c 3 = 3abc.

2. Nếu thêm điều kiện c = −2n với n nguyên dương, chứng minh rằng

a 3 + b3 + c 3 = 3n. a2 + b2 − c2

Câu 2. Cho phương trình x 2 + x + 12 x + 1 = 36.

1. Chứng tỏ rằng phương trình trên không có nghiệm trên đoạn [ −1;0] .

2. Chứng tỏ rằng với x > 0 thì vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình trong khoảng ( 0;10 ) .

Phần tự chọn Thí sinh được phép chọn một trong hai đề sau

ĐỀ I Câu 3a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn xOy cho parabol (P): y 2 − 4 y − 8 x = 4.

1. Xác định tiêu điểm và vẽ parabol (P).

2. Viết phương trình đường thẳng chứa dây AB của parabol sao cho điểm M ( 0; 4 ) là trung điểm của AB.

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và dây AB. Câu 4a. (Chưa tìm được nội dung). ĐỀ II Câu 3b. Giải phương trình lượng giác 1 + sin x − 1 − sin x = 1 + cos x

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

(1) .

36

Câu 4b. (Giống câu 4, Đề II Đại học Bách Khoa).

Đề số 4 Đại học Nông Nghiệp – Tổng Hợp – Sư Phạm – Kỹ Thuật khối B Phần bắt buộc

Câu 1. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4. Hãy chỉ rõ các giao điểm của đồ thị với trục Ox. 2. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số các nghiệm số của phương trình

2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + m = 0 (1) .

Câu 2. Chứng minh với mọi giá trị x ta có bất đẳng thức

1 1 2 + ≤ 3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x

( 2 ) . Dấu

đẳng thức xảy ra với những giá trị nào của x.

Phần tự chọn Phần I π

Câu 3a. Tính I =

4

∫ tan

2

xdx.

0

Câu 4a. Trong mặt phẳng với hệ trục trực chuẩn Oxy, viết phương trình đường tròn tâm A ( 2; −1) , tiếp xúc với đường thẳng 4 y − 3 x = 5 và xác định tiếp điểm với đường đó.

Phần II

Câu 3b. Giải phương trình 2 sin 2 x + 3 tan x = 5.

Câu 4b.(Giống như câu 4b, Đại học Y – Nha – Dược).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

37

Năm học 1981 – 1982 Đề số 1 Đại học Bách Khoa – Tổng hợp Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

x 2 + 2mx − m . x2 + 1

a. Xác định tất cả các giá trị m sao cho đường thẳng y = 2 tiếp xúc với đồ thị của hàm số. b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

x2 + 4 x − 2 . x2 + 1

c. Dùng đồ thị trên để biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trình

( k − 1) x 2 − 4 x + k + 2 = 0.

Câu 2. a. Bằng cách biểu diễn sin 2 x, cos2 x qua cos 2 x, chứng minh rằng a+b ( sin x + a cos x )( sin x + b cos x ) ≤ 1 +    2 

2

( 2).

Phần tự chọn

ĐỀ I Câu 3a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Ox, Oy, gọi A là điểm có các tọa độ

( 2; 0 )

và xem điểm M di chuyển trên đường tròn (C) tâm O bán kính 2. H là hình chiếu vuông

góc của M lên Oy.

a. Tính tọa độ giao điểm P của các đường thẳng OM và AH theo góc α = OA, OM .

(

)

b. Xác định và vẽ quĩ tích của P khi M chạy trên (C). Cho biết các đặc điểm của quĩ tích này.

Câu 4a. Cho hàm số f ( x ) xác định với mọi số thực x, và thỏa mãn các điều kiện (1) f ( x ) ≥ 1 + x với mọi x.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

38

(2) f ( x + y ) ≥ f ( x ) . f ( y ) với mọi x, y.   x a. Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n, ta có f ( x ) ≥  f  n  2

2n

  . 

b. Từ (1) hãy chỉ ra một khoảng mở chứa O để f ( x ) > 0 trên khoảng đó. Từ các kết quả đã tìm được, hãy suy ra rằng f ( x ) > 0 với mọi x. c. Chứng minh rằng với mọi x và mọi h ( h < 1) , ta có h. f ( x ) ≤ f ( x + h ) − f ( x ) ≤

h. f ( x ) .

1− h

d. Chứng tỏ rằng đạo hàm f ' ( x ) luôn luôn tồn tại, từ đó tìm ra biểu thức của hàm f ( x ) . ĐỀ II Câu 3b. a. Giải phương trình lượng giác 4 cos x + 2cos 2 x + cos 4 x = −1 (1) . b. Chứng minh rằng phương trình 4 cos x + 2cos 2 x + cos 4 x = −7 ( 2 ) không có nghiệm.

Câu 4b. Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d1 , d 2 cắt nhau tại A và tạo với nhau một góc

α ( 00 < α < 900 ) . Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm B với AB = h; trên đường thẳng d3 đi qua B và song song với d 2 , lấy điểm C với BC = a. Gọi D là

hình chiếu vuông góc của C lên d1.

a. Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABD. Từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD. b. Xác định tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. c. Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng d 2 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

39

Đề số 2 Đại học Y – Dược – Nha Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y = x3 − mx + 4 − m. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số tương ứng với m = −3. b. Xác định m để đồ thị có tiếp tuyến với độ dốc bằng 8 tại điểm có hoành độ x = 2. Viết phương trình tiếp tuyến ấy. c. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định, chỉ rõ các tọa độ của điểm ấy.

Câu 2. Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c khác không và thỏa mãn điều kiện 2a + 2b + 6c = 0.

a. Đặt

f ( x ) = ax 2 + bx + c. Biểu diễn a, b, c qua

1 f ( 0 ) , f   , f (1) . Chứng tỏ rằng 2

1 f ( 0 ) , f   , f (1) không thể đồng thời dương và cũng không thể đồng thời âm. 2 b. Chứng minh rằng phương trình đã cho có một nghiệm α với 0 < α < 1.

Phần tự chọn Thí sinh được phép chọn 1 trong 2 đề sau

ĐỀ I 1

Câu 3a. a. Tính

∫ ( 2 x − 1) e

x − x2

dx.

0 1

b. Với mọi số nguyên dương n, chứng minh rằng

∫ ( 2 x − 1)

2 n +1

2

e x − x dx = 0.

0

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

40

Câu 4a. Trong mặt phẳng với một hệ trục tọa độ trực chuẩn, cho parabol (P) với phương trình  t2  y 2 = 2 x. Gọi F là tiêu điểm của (P), M là điểm có tọa độ  ; t  ( t ≠ 0 ) và N là giao điểm của 2  NF với (P) ( N ≠ M ) .

a. Tính theo t các tọa độ của trung điểm I của đoạn MN. b. Tìm quĩ tích của I khi t thay đổi ( t ≠ 0 ) . ĐỀ II Câu 3b. Giải phương trình 3cos 2 x − sin 2 x − tan x = 0 (1) .

Câu 4b. Cho hai đường thẳng d, d’ vuông góc với nhau, không trong cùng một mặt phẳng. Gọi IJ là đường vuông góc chung của chúng (I trên d, J ở trên d’). Trên d, về hai phía của I, lấy hai điểm A và B; trên d’ lấy một điểm M khác J. a. Tính thể tích của tứ diện ABMJ theo IJ = k , IA = a, IB = b, JM = m. b. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng AJ, H là trực tâm của tam giác ACM. Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng ACM và AM vuông góc với BH.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

41

Đề số 3 Đại học Sư Phạm – Nông nghiệp – Tổng Hợp khối B Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y = ( m − 2 ) x3 − mx + 2 trong đó m là tham số. a. Với giá trị nào của m thì hàm số có đồ thị là một đường thẳng? Vẽ đường thẳng ấy. b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = −1. c. Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có cực đại và cực tiểu.

2

Câu 2.a, b, x, y là bốn số dương. Chứng minh rằng ( ax + by )( bx + ay ) ≥ ( a + b ) xy

(1) .

Phần tự chọn

ĐỀ I (Giống đề I Đại học Y – Dược – Nha) ĐỀ II Câu 3b. Giải phương trình

1 + sin x + cos x = 2 − tan x ( 2 ) .

1 + sin x

= 600 ; = 1200.

Câu 4b. Cho góc tam diện Oxyz với các góc phẳng ở đỉnh xOy yOz = 900 ; zOx Trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C với OA = OB = OC = a.

a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. b. Chứng minh rằng trung điểm H của đoạn AC là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC. Từ đó suy ra thể tích của tứ diện OABC. c. Xác định tâm I và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

42

Đề số 4 Đại học Sư Phạm – Kinh Tế - Kiến Trúc – Nông Nghiệp Khối A Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

x 2 + 2mx − m . x2 + 1

a. Xác định tất cả các giá trị của m sao cho đường thẳng y = 2 tiếp xúc với đồ thị của hàm số.

x2 + 4 x − 2 . b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 + 1 Câu 2. (Giống câu 2 đề Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp).

Phần tự chọn

ĐỀ I Câu 3a. Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, xem các cônic (C) có phương trình

(m

2

− 4 ) x 2 − 4 y 2 = 4 ( m 2 − 4 ) trong đó m là tham số.

a. Tùy theo m chỉ rõ bản chất của ( Cm ) và cho biết tâm, đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận nếu có.

(

b. Vẽ ( C0 ) và C2

2

) trên cùng một hình. x n −1 + 1 ∫ x n + 1 dx. n −1 n

Câu 4a. Với mỗi số nguyên dương đặt I n =

a. Chứng minh rằng dãy ( I n ) ( n = 1, 2,...) bị chặn. b. Chứng minh rằng I n +1 ≤ I n , ∀n ∈ ℕ. ĐỀ II

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

43

Câu 3b. (Giống câu 3b đề Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp).

Câu 4b. Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R. Giả sử M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, khác với A và B, gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB, đặt AH = x. Xem nửa đường thẳng Mn vuông góc với (P) tại M. Giả thiết MN luôn luôn ở về cùng phía đối với (P) khi M thay đổi, trên Mn lấy điểm S với SM = MH . a. Tính độ dài các cạnh của tứ diện SABM. b. Chứng tỏ rằng góc nhị diện cạnh AB tạo nên bởi các mặt phẳng (P) và SAB có giá trị không đổi khi M thay đổi. c. Xác định vị trí tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABM. Tính bán kính hình cầu ấy theo R và x.

Với giá trị nào của x thì bán kính ấy có giá trị lớn nhất?

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

44

Năm học 1982 – 1983 Khác với các năm trước, từ năm học này có hai đề thi cho các trường đại học hai khối AB. Trong mỗi đề có ghi chú các phần dành riêng cho khối A, khối B. Đề A1 B1 dành cho các trường

Đại học Bách Khoa, Tổng Hợp, Y – Nha – Dược. Đề A2 B2 dành cho các trường Sư Phạm, Kinh Tế, Tài Chính, Nông Nghiệp, Kiến Trúc, Kỹ Thuật.

Đề số 1 Đại học Bách Khoa, Tổng Hợp, Y – Nha – Dược (Đề A1 B1 ) Phần bắt buộc

Câu 1. Cho hàm số y =

x 2 + px + q . x2 + 1

3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với p = ; q = −1 (không yêu cầu xét điểm 2 uốn). Chứng minh rằng tại các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox, các tiếp tuyến với đồ thị là vuông góc với nhau. b. Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng nếu đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2a + p . a, thì tại đó tiếp tuyến với đồ thị có hệ góc k = 2 a +1 c. Tìm điều kiện đối với p, q để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau và tại các điểm đó, các tiếp tuyến với đồ thị là vuông góc với nhau. d. Với điều kiện đã tìm được ở câu c, và với p ≠ 0, viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị. Chứng minh rằng đường thẳng ấy luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Phần tự chọn

ĐỀ I

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

45

Câu 2a.Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ 0;1] ,0 ≤ f ( x ) ≤ 1 với mọi x ∈ [ 0;1] và

1 f ( 0 ) = f (1) = .

2 1

a. Chứng tỏ rằng 0 < ∫ f ( x )dx < 1.

0 1

x

0

0

b. Biết c = ∫ f ( x )dx, với mọi x ∈ [ 0;1] , đặt F ( x ) = ∫ f ( t )dt. Chứng minh rằng

 F ( x ) ≤ x khi 0 ≤ x ≤ c .  ≤ khi ≤ ≤ 1 F x c c x ( )  1

c.Chứng minh rằng

∫ F ( x ) dx < c − 0

c2 .

2 1

d. Sử dụng kết quả trên, chứng minh rằng

c2 c2 < ∫ xf ( x )dx < c − .

2 0 2

Câu 3a. Trong hệ trục tọa độ trực chuẩn cho các điểm A ( 8; 0 ) và B ( 0; 6 ) . a. Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OAB. b. Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) và đi qua điểm S (14;8 ) . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. ĐỀ II Câu 2b. a. Giải phương trình lượng giác cos x + cos 2 x = 0. b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, phương trình cos x + m cos 2 x = 0 luôn luôn có nghiệm. c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = (1 + cos x ) sin x.

Câu 3b. Trên cạnh AD của hình vuông cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) , và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với

SA = y ( y > 0 ) . a. Chứng minh rằng nhị diện cạnh SB tạo với các mặt phẳng SBA và SBC là một nhị diện vuông.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

46

b. Gọi I là trung điểm của SC, H là hình chiếu vuông góc của I lên CM. Tìm quĩ tích của H khi M chạy trên AD và S chạy trên Ax. c. Tính thể tích khối chóp S.ABCM. d. Với giả thiết x 2 + y 2 = a 2 , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.

Đề số 2 Đại học Kinh Tế - Sư Phạm – Nông Nghiệp (Đề A2 B2 ) Phần bắt buộc

Câu 1. Xem hàm số y =

x2 − 3x + 4 . x −1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Viết phương trình các tiếp tuyến với đồ thị, có hệ số góc k = −1. c. Dựa vào đồ thị trên, chứng tỏ rằng phương trình

x2 − 3x + 4 = x − 3 − 3 không có nghiệm. x −1

x 2 − 3x + 4 = x − a + b không có d. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình x −1  −4 < a + b < 4 . nghiệm là  2 ≤ a − b Phần tự chọn

Để tiếp tục làm bài, thí sinh được phép chọn một trong hai đề sau ĐỀ I Câu 2a. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ 0;1] ,0 ≤ f ( x ) ≤ 1 với mọi x ∈ [ 0;1]

1 và f ( 0 ) = f (1) = .

2 1

a. Chứng tỏ rằng 0 < ∫ f ( x ) dx < 1.

0 1

x

0

0

b. Biết c = ∫ f ( x ) dx. Với mọi x ∈ [ 0;1] , đặt F ( x ) = ∫ f ( t )dt. Chứng minh rằng

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

47

 F ( x ) ≤ x khi 0 ≤ x ≤ c .   F ( x ) ≤ c khi c ≤ x ≤ 1 1

c. Chứng minh rằng

c2 ∫0 F ( x )dx < c − 2 .

1

c2 d. Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng ∫ xf ( x )dx > .

2 0

Câu 3a.Trong hệ trục tọa độ trực chuẩn, cho các điểm A ( 8; 0 ) và B ( 0; 6 ) . a. Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OAB. b. Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) và đi qua điểm S (14;8 ) . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. ĐỀ II Câu 2b. a. Giải phương trình lượng giác cos x + cos 2 x = 0. b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = (1 + cos x ) sin x.

Câu 3b. Trên cạnh AD của hình vuông cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) , và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với

SA = y ( y > 0 ) . a. Chứng minh rằng nhị diện cạnh SB tạo với các mặt phẳng SBA và SBC là một nhị diện vuông. b.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAC. c. Tính thể tích khối chóp S.ABCM. d. Với giả thiết x 2 + y 2 = a 2 , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

48

Năm học 1983 – 1984 Đề số 1 Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp – Y – Nha – Dược (Đề A1 B1 ) Phần bắt buộc

Câu 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x + 2 x 2 + 1. a. Xác định các tiệm cận của đồ thị (C). b. Với những giá trị nào của m thì phương trình x + 2 x 2 + 1 = m có nghiệm? c. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm trên (C) có hoành độ x = 2. d. Tìm quĩ tích các điểm trên trục tung Oy, từ đó có thể kẻ được ít nhất một đường thẳng tiếp xúc với (C).

Câu 2. Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = b; cạnh SA của hình chóp vuông góc với đáy, AS = 2a. a.M là một điểm trên cạnh AS, với AM = x ( 0 ≤ x ≤ 2a ) . Mặt phẳng MBC cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện ấy theo a, b, x?

b. Xác đinh x sao cho thiết diện của mặt phẳng MBC với hình chóp có diện tích lớn nhất. c. Xác định x sao cho mặt phẳng MBC chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau.

Phần tự chọn Chọn 1 trong 2 đề sau

ĐỀ I

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

49

Câu 3a. a. Với 0 ≤ x ≤

π 4

, hãy xác định các hằng số a, b sao cho π

Dựa vào kết quả đó, tính tích phân I =

4

1 a cos x b cos x . = + cos x 1 − sin x 1 + sin x

dx

∫ cos x .

0

π

b. Bằng cách viết J =

4

∫ 0

π

4 dx 1 dx = . 2 và sử dụng phép lấy tích phân theo từng phần, 3 ∫ cos x 0 cos x cos x

hãy tính J.

Câu 4a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, cho họ elip ( Em ) có phương trình

y2 = 2x −

x2 , với m là tham số và 0 < m < 1. m

a. Bằng một phép tịnh tiến trục tung, hãy đưa phương trình trên về dạng phương trình chính tắc.

Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh trên trục lớn của ( Em ) (trong hệ tọa độ xuất phát). Tìm quĩ tích (S) của các đỉnh ấy khi m thay đổi.

b. Tìm tọa độ các tiêu điểm của ( Em ) và xác định quĩ tích của các tiêu điểm khi m thay đổi (0 < m < 1).

ĐỀ II Câu 3b. Giải bất phương trình

1 − 4 x ≥ 2 x + 1.

(1 − x ) sin a + 2 x cos a 2

Câu 4b. Cho hàm số f ( x )

1 + x2

trong đó a là một tham số.

a. Chứng minh rằng nếu m là một số cho trước, với m < 1, thì phương trình f ( x ) = m luôn luôn có nghiệm.

b. Chứng minh rằng với mọi a và mọi x, ta luôn có f ( x ) ≤ 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

50

Đề số 2 Đại học Kinh Tế - Tổng Hợp – Sư Phạm – Nông Nghiệp (Đề A2 B2 ) Phần bắt buộc

Câu 1. Cho tứ diện, đáyABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = 3a, cạnh SB vuông góc với đáy, SA = a 3.

a. Chỉ rõ tâm và tìm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện S SABC. M b.M là một điểm di động trên cạnh SC, đặt MC = x. Gọi H và K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M lên các mặt C phẳng ABC và SAB. Mặt phẳng KMH cắt AB tại L. Chứng a 3 K minh rằng KMHL là một hình chữ nhật. Với giá trị nào của x H thì KMHL là một hình vuông?

B 3a c. Tính theo a và x độ dài đường chéo ML của hình chữ nhật KMHL. Với giá trị nào của x thì ML có độ dài nhỏ nhất? Ứng L 2a với giá trị đã tìm được của x, hãy nêu lên đặc tính hình học A của đoạn ML. d. Hãy tính theo a và x thể tích V của hình chóp đỉnh A đáy KMHL. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm V khi M di động trên cạnh SC. e. Xác định x sao cho V =

4 3 3 a.

27 Phần tự chọn Chọn 1 trong 2 đề sau

ĐỀ I

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

51

Câu 2a. a. Với 0 ≤ x ≤

π 4

, hãy xác định các hằng số a, b sao cho π

Dựa vào kết quả đó, tính tích phân I =

4

1 a cos x b cos x . = + cos x 1 − sin x 1 + sin x

dx

∫ cos x .

0

π

b. Bằng cách viết J =

4

∫ 0

π

4 dx 1 dx = . 2 và sử dụng phép lấy tích phân theo từng phần, 3 ∫ cos x 0 cos x cos x

hãy tính J.

Câu 3a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, cho họ elip ( Em ) có phương trình

y2 = 2x −

x2 , với m là tham số và 0 < m < 1. m

a. Bằng một phép tịnh tiến trục tung, hãy đưa phương trình trên về dạng phương trình chính tắc.

Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh trên trục lớn của ( Em ) (trong hệ tọa độ xuất phát). Tìm quĩ tích (S) của các đỉnh ấy khi m thay đổi.

b. Tìm tọa độ các tiêu điểm của ( Em ) và xác định quĩ tích của các tiêu điểm khi m thay đổi (0 < m < 1).

ĐỀ II Câu 3b. Giải bất phương trình

1 − 4 x ≥ 2 x + 1.

(1 − x ) sin a + 2 x cos a 2

Câu 4b. Cho hàm số f ( x )

1 + x2

trong đó a là một tham số.

a. Chứng minh rằng nếu m là một số cho trước, với m < 1, thì phương trình f ( x ) = m luôn luôn có nghiệm.

b. Chứng minh rằng với mọi a và mọi x, ta luôn có f ( x ) ≤ 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

52

Năm học 1984 – 1985 Đề số 1 Đại học Bách Khoa – Tổng Hợp – Y Dược – Kiến Trúc (Đề A1 B1 ) Câu 1. Cho ∆ABC vuông góc tại A, có AC = b; AB = c; BC = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống BC. Trên nửa đường thẳng Hx vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy một điểm S và đặt HS = h > 0.

1. Tính các cạnh SA, SB , SC của tứ diện SBCA theo b, c, h.

2. Chứng minh rằng với mọi điểm S trên Hx ta luôn có SA <

SB + SC .

2

3.Giả sử c > b, ta muốn tìm các giá trị của h để có SB = SA + SC , chứng minh rằng bài toán này dẫn về việc giải hệ sau đây 2 2 2 2 3x + 2 ( m + m + 1) x − ( m + m + 1)( m − 3m + 1) = 0 ,  0 < x < m2 − m + 1 

nếu đặt

c2 a 2 h2 = m ; = x. b2 b4

4. Chứng minh rằng chỉ với điều kiện

5 +1 c > ta mới có một tứ diện duy nhất SABC thỏa mãn b 2

SB = SA + SC.

Câu 2. Tìm những số x, y thử đúng đẳng thức sau Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

53

2

2

1   1  7  2 2 2  sin x − 2  +  cos x −  = + 2 sin y − sin y.

2 sin x   cos x  2 

Câu 3a.Hai hàm số f , g xác định với x > 0 được cho bởi

f ( x) = x −

x2 − ln (1 + x ) ; g ( x ) = x − ln (1 + x ) .

2

1. Tìm đạo hàm của f ( x ) và g ( x ) . Chứng minh với mọi x > 0, ta luôn có

x2 x − < ln (1 + x ) < x.

2  1  2   n  2. Với ∀n ∈ ℕ, n > 0, ta đặt U n = ln 1 + 2 1 + 2  ⋯1 + 2   . Tính lim U n . n →∞  n  n   n   Nhắc lại 1 + 2 + ⋯ + n =

n ( n + 1) 2 n ( n + 1)( 2n + 1) ; 1 + 22 + ⋯ + n 2 = .

2 6

Câu 4a.Hàm số xác định với ∀x ≥ 0, được cho bởi f ( x ) =

x2 .

8 x3 + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) với x ≥ 0.

x2 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0; y = 3 .

8x + 1 3. Cho n là một số nguyên dương ( n > 0 ) đặt Un =

12 22 k2 22 . + + ⋯ + + ⋯ + 3 3 2 3 + n 3 43 + n 3 ( 2k ) + n3 ( 2n ) + n 3

Dùng kết quả tìm được ở phần 2, hãy giải thích tại sao ta có thể suy ra lim U n . n →∞

Câu 3b. 1. Cho hàm số y =

2 (1 − sin x ) với 0 < x < π . sin x − 2 cos x − 2

a. Chứng minh rằng nếu đặt tan

x t 2 − 2t + 1 = t thì y = với t > 0.

2 t −2

b. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y ( t ) với t > 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

54

2. Giải và biện luận phương trình lượng giác

( m + 2 ) sin x − 2m cos x = 2 ( m + 1) (1)

với

0 < x < π theo tham số m. Kiểm tra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) bằng cách dùng đồ thị ta vẽ ở mục b.

log 2 x log 2 y + 1 = 0  Câu 4b. Tìm các nghiệm của hệ phương trình sin x cos y = 1 − cos x sin y . x + y < 8 

Đề số 2 Đại học Kinh Tế - Tổng Hợp – Nông Nghiệp (Đề A2 B2 ) Phần bắt buộc

Câu 1.Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong một mặt phẳng và một điểm A nằm trên Oz. Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (xOy), Ox, Oy lần lượt là A’, B, C.

= yOz thì OA’ là đường phân giác của góc xOy và BC trực giao 1. Chứng minh rằng nếu xOz với OA.

= = 900. Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng Oz 2. Cho biết xOz yOz = α , 450 < α < 900 và xOy và mặt phẳng (xOy); γ là góc nhọn hợp bởi mặt phẳng (ABC) và (xOy). Tìm hệ thức giữa tan β và tan γ ; giữa cos β và cos α . Suy ra biểu thức của tan γ và tan α . Tính β nếu α = 600.

3. Cùng giả thiết như ở phần 2, hãy xác định tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và xác định tiếp diện của hình cầu này tại điểm A. Cho biết OA = a và α = 600. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng (ABC) với hình cầu trên.

= yOz " có đúng không? Tại sao?

4. Mệnh đề “Nếu BC trực giao với OA thì xOz Câu 2. Với những giá trị nào của y thì bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn với mọi x ≠ k   1   1 cos 2 x − 3 − log 2  1 −   cos x − log 2 1 −  − 5 < 0.  y   y  Phần tự chọn Thứ sinh được phép chọn 1 trong 2 đề sau

ĐỀ THỨ NHẤT Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

55

Câu 3a. Hai hàm số f , g xác định với x > 0 được cho bởi

f ( x) = x −

x2 − ln (1 + x ) ; g ( x ) = x − ln (1 + x ) .

2

1. Tìm đạo hàm của f ( x ) và g ( x ) . Chứng minh với mọi x > 0, ta luôn có

x−

x2 < ln (1 + x ) < x.

2

 1  2   n  2. Với ∀n ∈ ℕ, n > 0, ta đặt U n = ln 1 + 2 1 + 2  ⋯1 + 2   . Tính lim U n . n →∞  n  n   n   Nhắc lại 1 + 2 + ⋯ + n =

n ( n + 1) 2 n ( n + 1)( 2n + 1) ; 1 + 22 + ⋯ + n 2 = .

2 6

Câu 4a. Hàm số xác định với ∀x ≥ 0, được cho bởi f ( x ) =

x2 .

8 x3 + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) với x ≥ 0.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0; y =

x2 , ( 0 ≤ x ≤ 1) .

8 x3 + 1

3. Cho n là một số nguyên dương ( n > 0 ) đặt 12 22 k2 22 .

Un = 3 + +⋯+ +⋯+ 3 3 2 + n 3 43 + n 3 ( 2k ) + n3 ( 2n ) + n 3 Dùng kết quả tìm được ở phần 2, hãy giải thích tại sao ta có thể suy ra lim U n . n →∞

Câu 3b. 1. Cho hàm số y =

2 (1 − sin x ) với 0 < x < π . sin x − 2 cos x − 2

a. Chứng minh rằng nếu đặt tan

x t 2 − 2t + 1 = t thì y = với t > 0.

2 t −2

b. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số y ( t ) với t > 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

56

2. Giải và biện luận phương trình lượng giác

( m + 2 ) sin x − 2m cos x = 2 ( m + 1) (1)

với

0 < x < π theo tham số m. Kiểm tra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) bằng cách dùng đồ thị ta vẽ ở mục 1b.

Câu 4b. Giải phương trình 9 x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2 x − 5 = 0.

Ghi chú: Thí sinh khối B, D không phải làm phần 4 câu 1; cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề số 3 các trường Cao Đẳng ( A3 B3CD ) Phần bắt buộc

Câu 1. Cho một góc tam diện OABC mà cả 3 mặt AOB, BOC, COA đều bằng 600. Cho OA = a và đặt OB = x, OC = y; a, x, y là những số thực dương. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BOC).

1. Hãy xác định rõ vị trí của điểm H và tính độ dài của OH và AH.

= 900 thì có hệ thức xy − a ( x + y ) + 2a 2 = 0 (1) .

2. Chứng minh rằng nếu BAC 3. Với điều kiện ở phần 2, hãy tính y theo x; x có thể lấy những giá trị nào? Khảo sát và vẽ đồ thị của y theo x.

4.Chứng minh rằng nếu đường thẳng BC đi qua H thì có hệ thức 3xy = a ( x + y ) .

5. Hãy xác định x và y để cả 2 hệ thức (1) và (2) đều được nghiệm đúng.

Câu 2. Cho phương trình m cos 2 x − 4 ( m − 2 ) cos x + 3 ( m − 2 ) = 0.

1. Giải phương trình trên khi m = 1.

2. Hãy xác định m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn x <

π 2

.

Phần tự chọn (Thí sinh tự chọn câu 3a hoặc 3b)

Câu 3a. Trong mp(Oxy) của hệ trục tọa độ vuông góc, cho hai điểm A ( a;0 ) và B ( 0; a ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

57

m 2 (m là tham số).

2 Viết phương trình của đường tròn này. Tìm tọa độ giao điểm P của (C) và đường thẳng AB. 1. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và tâm (C) có tung độ là

2. Viết phương trình của đường tròn (C’) đi qua P và tiếp xúc với Oy tại B. Hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại P và Q. Viết phương trình của đường thẳng PQ. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3b. Cho bất phương trình 4 x − ( m + 2 ) 2 x +1 + m 2 + 2m + 2 > 0 (1) .

1. Giải bất phương trình (1) khi m = 1.

2. Tìm m để bất phương trình (1) được thỏa mãn với mọi x.

Chú thích: Thí sinh khối B và D không phải làm phần 5 câu 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

58

Từ bộ đề thi ngột ngạt...

TTCT - Cuộc bàn thảo về giáo dục gần đây của nhiều chuyên gia, nhà giáo, trí thức... đọng lại trong dư luận xã hội nỗi buồn về sự “lạc lối” của giáo dục nước nhà. Trong đó, đầu bảng là kiểu dạy và học chỉ để đi thi, lấy bằng mà “bộ đề thi” (giai đoạn 1988-1997) là một ví dụ.

“Sơ yếu lý lịch” bộ đề Trong một lần trả lời phỏng vấn gần đây, GS Nguyễn Cảnh Toàn nhắc đến cụm từ “bộ đề thi” để nói về một giải pháp sai lầm lớn nhất mà Bộ Đại học và trung học chuyên nghiệp lúc đó (gọi tắt là Bộ ĐH) đã triển khai. “Tôi là một trong những người đã cảnh báo: ra bộ đề thi thì sẽ dẫn tới học tủ. Và học tủ thì mất tính sáng tạo, học tủ thì không còn quá trình nỗ lực nữa rồi, nghĩa là anh chỉ nhớ lấy một cái tủ rồi làm theo cái hình mẫu ấy. Thế nhưng Bộ ĐH không nghe” - ông nhớ lại.

Thời điểm GS Nguyễn Cảnh Toàn nhắc đến ở trên là năm 1988 - năm đầu tiên mở đầu cho một giai đoạn mười năm cả nước thi tuyển sinh ĐH sử dụng bộ đề thi do Bộ ĐH ban hành. Lúc đó, GS Nguyễn Cảnh Toàn là thứ trưởng Bộ Giáo dục, vấn đề tuyển sinh ĐH lại do Vụ Tuyển sinh (Bộ ĐH) phụ trách. Vụ trưởng Vụ Tuyển sinh là PGS.TS Đỗ Văn Chừng, với mong muốn cải tiến công tác tuyển sinh, đã đề xuất ý tưởng ra một bộ đề thi và được lãnh đạo Bộ ĐH ủng hộ.

Bộ đề thi được đưa vào sử dụng lần đầu tiên năm 1988 với số lượng trên dưới một trăm đề thi hoàn chỉnh cho mỗi môn. Những năm sau, Bộ ĐH tiếp tục bổ sung đề thi vào bộ đề, môn nhiều nhất có khoảng 200 đề. Để làm bộ đề, Bộ ĐH đã mời những thầy có tiếng bậc nhất trong các ngành khoa học cơ bản của các trường ĐH lớn, chủ yếu là ở các trường phía Bắc: ĐH Bách khoa Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội I, ĐH Tổng hợp (nay là ĐH Quốc gia Hà Nội)… Các trường ĐH trên cả nước buộc phải sử dụng bộ đề khi tổ chức tuyển sinh. Tuy nhiên, đề thi của mỗi trường được chọn thông qua một quy trình bắt buộc.

Thoạt tiên, các thành viên hội đồng đề thi của mỗi trường chọn ngẫu nhiên một đề, sau đó họ tập hợp các đề ngẫu nhiên đó để biên soạn lại thành một đề hoàn chỉnh. “Quy trình là như vậy nhưng có trường làm rất nghiêm túc, có trường làm qua loa bằng cách chọn đại nguyên vẹn một đề thi Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

59

nào đó khiến nhiều thí sinh phát hiện ngay đó là đề số mấy của môn nào trong bộ đề” - một cựu chuyên viên Vụ Tuyển sinh nhớ lại.

Tháng 3-1990, Bộ ĐH nhập vào Bộ Giáo dục thành Bộ GD-ĐT và do GS Trần Hồng Quân làm bộ trưởng. Vụ Tuyển sinh nhập vào Vụ Công tác học sinh thành Vụ Công tác học sinh - sinh viên do PGS Đỗ Văn Chừng làm vụ trưởng. Trước sự phản ứng mạnh mẽ của dư luận, từ năm 1997 bộ đề thi chính thức bị bãi bỏ.

Tội đồ gây ra nạn quay cóp?

Theo ký ức của nhiều người trong cuộc, từ thập niên 1980, khi xuất hiện bộ đề, nạn quay cóp bùng phát rồi lan tỏa dữ dội nhờ sự phát triển của dịch vụ photocopy. Nay, nạn quay cóp trở thành một mặt không thể thiếu trong đời sống học đường. Nhiều nhân chứng cho biết ngay từ khi Bộ ĐH nảy sinh ý tưởng làm bộ đề thi, giới trí giả trong cả nước phản ứng quyết liệt. “Bộ tổ chức rất nhiều hội thảo, nhận được rất nhiều ý kiến, trong đó có nhiều ý kiến phản đối.

Có lần tôi vào dự hội thảo trong Nam, nhiều giảng viên Trường ĐH Bách khoa TP.HCM đứng lên nói tôi không ra gì. Họ nói các anh đã làm một việc hết sức vớ vẩn, phản sư phạm. Theo họ, công khai đề thi thì học sinh chỉ nhăm nhăm học theo đề mà không thiết tha học những kiến thức khác. Họ cũng cảnh báo nguy cơ học sinh mang tài liệu vào phòng thi mà không tài nào ngăn chặn được”- ông Đỗ Duy Dự, nguyên chuyên viên Vụ Tuyển sinh (Bộ ĐH), buồn bã nhắc lại.

Nhưng những người ủng hộ bộ đề vẫn rất quyết tâm. Theo lập luận của phái này, bộ đề là một công trình khoa học giá trị, giúp cho việc định hướng hoạt động dạy - học kiến thức trong trường phổ thông vì hồi đó nước ta chưa có chương trình phổ thông, càng không có khái niệm chuẩn kiến thức kỹ năng, việc dạy học hoàn toàn phụ thuộc vào sách giáo khoa. Thậm chí có người còn bao biện, cứ cho là học sinh sẽ học vẹt, nhưng với những em thuộc được kiến thức của cả bộ đề thì xứng đáng đỗ ĐH! Những người khai sinh và nuôi dưỡng ý tưởng làm bộ đề còn cho rằng việc sử dụng bộ đề sẽ giúp thu hẹp ảnh hưởng của các “lò” luyện thi xung quanh các trường ĐH (vốn xuất hiện vào giữa những năm 1980, khi việc tổ chức thi tuyển sinh ĐH do các trường tự làm, tự ra đề). Thực tế ngược lại, ngoài tình trạng phao thi trắng sân trường sau mỗi kỳ thi, các “lò” luyện thi mọc lên như cỏ dại sau mưa vây kín các trường ĐH. Hồi ấy giá vàng 200.000 đồng/chỉ thì các “đại sư” luyện thi thu nhập từ 10-50 triệu đồng/tháng.

Ở Hà Nội, xung quanh khu vực ĐH Quốc gia Hà Nội, các trường ĐH Bách khoa, ĐH Sư phạm… tất cả các nhà bỏ hoang, nhà kho đều bị biến thành “lò” luyện thi, mỗi “lò” chen chúc hàng trăm người, những “lò” nổi tiếng thậm chí còn chứa từ 500-800 người. Anh Long, một cựu học sinh Trường THPT Trần Phú (Hà Nội), nói: “Hồi đó hôm nào tôi cũng phải canh giờ đi sớm cả tiếng mà may mắn lắm mới được ngồi hàng ghế thứ 2. Hôm nào chậm chân mấy phút phải ngồi hàng ghế thứ 5, thứ 6 thì chẳng học được gì! Những bạn ngồi hàng cuối của cái lò 700-800 người ấy thì học được cái gì nhỉ?”.

Một người trong cuộc khác, thầy Trần Phương (Liên hiệp các hội khoa học kỹ thuật VN) cũng chia sẻ chính mình là người “vớ bẫm” nhờ bộ đề. Hồi ấy, là một thầy luyện thi khá có tiếng ở Hà Nội, thầy Phương còn viết một cuốn bài giải tất cả đề môn toán trong bộ đề. Nhờ cách giải rất Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

60

ngắn gọn so với cuốn đáp án chính thức, cuốn sách bán chạy như tôm tươi, tiền nhuận bút thầy Phương nhận được sau 7-8 lần tái bản trong vòng ba năm (1995-1997) là 90 triệu đồng, chưa kể lượng phát hành “tiểu ngạch” (bản photocopy thu nhỏ) của cuốn sách.

Cải tiến cải lùi

Đời sống tuyển sinh “hậu bộ đề thi” nhiều biến động, trong đó sự thay đổi mạnh mẽ nhất là kỳ thi “ba chung” được triển khai từ năm 2002. Ngạc nhiên thay, tác giả của “ba chung” không ai khác mà vẫn là PGS.TS Đỗ Văn Chừng. Năm 2001, khi chuyển mảng quản lý tuyển sinh qua cho Vụ ĐH và sau ĐH phụ trách, Bộ trưởng Bộ GD-ĐT hồi đó là ông Nguyễn Minh Hiển đã luân chuyển ông Chừng từ vụ trưởng Vụ Công tác học sinh - sinh viên sang làm vụ trưởng Vụ ĐH và sau ĐH. Với cương vị vụ trưởng Vụ ĐH và sau ĐH, ông Chừng và cộng sự tiếp tục tổ chức các hội thảo, bàn thực hiện giải pháp “ba chung”.

Năm 2002, khi “ba chung” được triển khai, ông Chừng tuy nghỉ quản lý nhưng vẫn là trợ lý bộ trưởng, thực chất là hỗ trợ làm tuyển sinh cho vụ trưởng Vụ ĐH và sau ĐH kế nhiệm là ông Bành Tiến Long. Hồi ấy Bộ GD-ĐT luôn cho rằng “ba chung” chỉ là giải pháp tình thế nhưng mười năm trôi qua, GS Bành Tiến Long từ vụ trưởng lên làm thứ trưởng và giờ đã nghỉ hưu mấy năm rồi, giải pháp lâu dài thay thế “ba chung” vẫn còn đâu đó mờ mịt.

Trao đổi với chúng tôi, ông Đỗ Duy Dự, thuộc cấp và là người kề vai sát cánh với vụ trưởng Đỗ Văn Chừng trong hành trình mấy chục năm cải tiến cải lùi công tác tuyển sinh, lặng người khi nói đến bộ đề. Ông Dự dùng các từ “ấu trĩ”, “bảo thủ” khi nói về mình trong giai đoạn đó. “Giá như hồi đó mình sáng suốt biết lắng nghe những lời phản biện hơn - ông Dự day dứt - Ngay khi đang làm việc ở Bộ GD-ĐT, tôi đã nhận ra dường như hệ thống giáo dục của mình đang được vận hành theo cách không bình thường.

Thi tuyển sinh chỉ là một khâu rất nhỏ trong quá trình đào tạo mà sao mình và xã hội phải tốn công tốn sức với nó, dành nhiều thời gian để nói về nó thế? Nhưng khi về hưu tôi mới bắt đầu có thời gian đọc sách, đọc tài liệu thì vỡ ra những gì mình đã làm, đồng nghiệp mình đang làm thật vô nghĩa với cuộc sống của người dân. Lúc nào cũng tối mắt chúi đầu vào những dự thảo văn bản chỉ đạo, hướng dẫn khẩn mà người dân không cần”. Theo ông Dự, mọi tìm kiếm giải pháp cho tuyển sinh rốt cục sẽ sa lầy khi mà làm tuyển sinh đối phó, học là để thi cử - lấy bằng cấp vì tất cả những thiết kế sẽ chỉ luẩn quẩn trong vòng “học để thi”.

Những nhà giáo từng cộng tác với Bộ GD-ĐT về quản lý công tác tuyển sinh cũng ngán ngẩm khi nói về những sự loay hoay của một thời. Đường đường một cơ quan quản lý nhà nước cấp bộ mà nhiều khi cứ hành xử theo kiểu “giật mình sực nhớ”.

GS Nguyễn Hoành Khung - một chuyên gia tầm cỡ “cây đa cây đề” khi nhớ về giai đoạn tham gia quản lý công tác tuyển sinh mảng ra đề thi - đã nhận xét: “Sau khi bộ đề thi cáo chung là đến giai đoạn các trường tự ra đề thi. Hồi ấy có hàng trăm thứ rắc rối và lẽ ra bộ phải xử lý nhưng rốt cục bộ phải lờ đi, nếu không sẽ rắc rối quá, ầm ĩ quá, thậm chí sẽ có chuyện đâu đó phải tổ chức thi lại. Lắm đáp án sai be bét mà có khi toàn do những giáo sư thảo ra cả”.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

61

Theo giải thích của GS Nguyễn Hoành Khung, sở dĩ giáo dục loanh quanh trong cái mạng nhện của chính mình có thể do “thiếu những người đứng đầu có tư tưởng, có triết lý, có suy tư về chiến lược giáo dục”.

“Thời mà thủ lĩnh ngành giáo dục xuất hiện những trí thức tầm cỡ như các GS Nguyễn Văn Huyên, Tạ Quang Bửu không còn nữa mặc dù đội ngũ làm nghiên cứu về giáo dục rất hùng hậu với nhiều giáo sư, tiến sĩ. Tôi lấy làm lạ vì thời đại hội nhập sao mình không học hỏi thế giới một cách nghiêm túc mà cứ gặp những cái tày đình mới nói, nói một hồi thành ra mỗi người một ý rồi lại để đấy” - GS Nguyễn Hoành Khung nhận xét.

Hội chứng thi: gần thi mới lo học, học đối phó, học nhồi nhét chỉ cốt để thi, thi cái gì học cái nấy, thi thế nào học thế ấy, chủ yếu là học thuộc lòng các loại bài mẫu, các đáp án mẫu. Trước đây thi theo bộ đề thi cho sẵn, nay bộ đề thi biến tướng thành các bảng “cấu trúc đề thi”. Nghĩa là tư duy có thay đổi gì đâu, hai mươi năm trời, tốn bao công nghiên cứu, cuối cùng trở lại gần như điểm xuất phát, dưới một hình thức có vẻ mới để che giấu một phương pháp cổ lỗ. GS Hoàng Tụy.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

62

Đề số 1

x2 − x + 1 .

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x −1 2. Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).

3. Xác định a để (C) tiếp xúc với parabol y = x 2 + a.  x + y + xy = m .

Câu II. Cho hệ phương trình  2 2 x + y = m 1. Giải hệ với m = 5.

2. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?

Câu III. Cho bất phương trình x 2 + 2 x ( cos y + sin y ) + 1 ≥ 0.

1. Tìm x để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi y.

2. Tìm y để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi x ≥ 0.

Câu IVa. Xác định các hằng số a, b, c sao cho

sin x − cos x + 1 = A ( sin x + 2 cos x + 3) + B ( cos x − 2sin x ) + C. π

Dựa vào kết quả đó, tính tích phân

∫ 0

( sin x − cos x + 1) dx . sin x + 2 cos x + 3

Câu Va. Cho hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 − 12 x − 6 y + 44 = 0. Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

63

Câu IVb.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt nhau tại O. Đường cao của hình chóp là SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

1. Xác đinh h để B’C’D’ là tam giác đều.

2. Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.

Câu Vb. Hai góc nhọn A và B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2

A+ B .

2

Chứng tỏ rằng ABC là tam giác cân.

Đề số 2 2

Câu I. Cho m là một số nguyên dương, hãy tìm cực trị của hàm số y = x m ( 4 − x ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Câu II.1.ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

1+ 2. Giải phương trình cos x +

1 2 x ≥ cos A + x ( cos B + cos C ) .

2

1 1 10 + sin x + = . cos x sin x 3

Câu III. 1. Giải biện luận theo a, b phương trình

ax + b x − b . = x−a x+a

2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng

abc + 2 (1 + a + b + c + ab + bc + ca ) ≥ 0.

Câu IVa. Cho parabol y = x 2 . Hai điểm A, B di động trên parabol sao cho AB = 2.

1. Tìm quỹ tích trung điểm của AB. 2. Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

64

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD thỏa mãn điều kiện AB : CD = 1: 4. Trên đường thẳng d vuông góc với P tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2 R. 1. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD. 2. Chứng minh rằng O cách đều 4 mặt bên của hình chóp. Từ đó xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.

Đề số 3 Câu I. Cho phương trình ( x − 3)( x + 1) + 4 ( x − 3)

x +1 = m. x −3

1. Giải phương trình với m = −3.

2. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

Câu II. 1. Cho hàm số y = x + x 2 − x + 1. Tìm miền xác định của hàm số; tính đạo hàm và xét dấu của nó.

15 x 2 − 11xy + 2 y 2 = −7  .

2. Tìm a để hệ sau có nghiệm  x < y 2a 2 x + 3ay < 0 

x x     Câu III. 1. Giải phương trình log 3  sin − sin x  + log 1  sin + cos 2 x  = 0.

2 2    3 1 2 ( a sin 2 B + b2 sin 2 A) .

4

2. Chứng tỏ rằng có thể tính diện tích tam giác ABC bởi công thức S = Câu IVa. 1. Xác định các hằng số A, B sao cho

3x + 1

( x + 1)

3

=

A

( x + 1)

2. Dựa vào kết quả trên, tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

3

+

B

( x + 1)

3x + 1

( x + 1)

3

2

.

.

65

Câu Va. Cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; 2 ) .

1. Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9 x − 3 y − 4 = 0, x + y − 2 = 0 lần lượt là phương trình các đường cao kẻ từ B và C.

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AC.

= α . Biết Câu IVb. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, và BAC rằng cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy, và biết rằng tồn tại ba điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho AM = AN = AP, và các tam giác SMP, SNP có diện tích bằng nhau.

1. Chứng tỏ rằng O là trung điểm cạnh BC. 2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN. 3. Chứng tỏ rằng tồn tại một hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN và xác định bán kính r của hình cầu ấy. Đề số 4 Câu I. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 − 9 x + m.

1.(1,25đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.

2. (1,0đ) Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Câu II. 1. (1,0 đ) Tìm các nghiệm x ∈ ( 0; 2π ) của phương trình

sin 3 x − sin x = sin 2 x + cos 2 x.

1 − cos 2 x

2. (1,25đ) Chứng minh rằng các trung tuyến AA’ và BB’ của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi cot C = 2 ( cot A + cot B ) .  x + y = 2a − 1 . Xác định a Câu III.(1,5đ) Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ phương trình  2 2 2  x + y = a + 2a − 3 để tích xy là nhỏ nhất.

Câu IVa. (1,0 đ) Cho a > 0, và f ( x ) là một hàm chẵn, liên tục và xác định trên ℝ. Chứng x

minh rằng với mọi x ∈ ℝ , ta đều có

∫ −x

f ( t ) dt at + 1

x

= ∫ f ( t ) dt .

0

Câu Va. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho e-lip ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 4, và hai điểm

M ( −2; m ) , N ( 2; n ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

66

1.(1,5đ) Gọi A1 , A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phương trình các đường thẳng

A1 N , A2 M và xác định tọa độ giao điểm I của chúng.

2.(1,0đ) Cho MN thay đổi sao cho nó luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ tích của I. Câu IVb. Cho hình chóp tam giác D.ABC, M là một điểm di động trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M, song song với AD, BD, CD theo thứ tự cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’.

1.(1,0đ) Gọi N là giao điểm của DA’ và BC. Hãy chứng tỏ rằng 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

2.(1,25đ) Chứng tỏ rằng tỉ số giữa thể tích các hình chóp M.BCD và A.BCD bằng MA ' AD .

3. (1,25đ) Chứng minh rằng tổng

MA ' MB ' MC ' + + không phụ thuộc vào vị trí của M trong tam AD BD CD

giác ABC.

Đề số 5 Câu I.1 (1,0đ) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để các nghiệm x1 , x2 của phương trình x12 x22 x + ax + 1 = 0 thỏa mãn 2 + 2 > 7. x2 x1 2

2. (1,0đ) Với giá trị nào của a và b, phương trình x 3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm khác nhau lập thành một cấp số cộng?

Câu II. Cho phương trình (1 − a ) tan 2 x −

2 + 1 + 3a = 0. cos x

1 1. (1,0đ) Giải phương trình khi a = .

2 2. (1,0đ) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong

 π khoảng  0;  .  2 5 x4 Câu III. Cho hàm số y = − 3x 2 + .

2 2 1. (1,0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. (1,0đ) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ xM = a. Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị là các nghiệm của phương trình Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

67

( x − a)

2

(x

2

+ 2ax + 3a 2 − 6 ) = 0.

3. (1,0đ) Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến d cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q khác nhau và khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của đoạn PQ. 1

x n dx = 0. n →+∞ ∫ 1 + x 0

Câu IVa. (1,0đ) Chứng minh rằng lim

Câu Va.M là một điểm thuộc parabol y 2 = 64 x, N là một điểm thuộc đường thẳng 4 x + 3 y + 46 = 0.

1. (1,0đ) Xác định M, N để đoạn MN là ngắn nhất.

2. (1,0đ) Với kết quả đã tìm được ở câu 1, chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol.

Câu IVb. Trong hai mặt phẳng vuông góc P, Q, cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung đáy CD = 2 x, và các cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD. 1. (1,0đ) Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD. 2. (1,0đ) Tính theo a và x độ dài các đoạn AB và MN. 3. (1,0đ) Xác đinh x để nhị diện ( C , AB, D ) là vuông. Trong trường hợp đó, tính độ dài đoạn AB, xác định điểm O cách đều 4 điểm A, B, C, D và tính độ dài OA.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

68

Đề số 6

m2 x2 + 1 Câu I. Cho hàm số y = . x 1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1.

2. (0.75đ) Tìm những điểm trên đường thẳng y = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.

3. (0.75đ) Tìm những điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua, với mọi m.

4. (0.75đ) Xác đinh a để x 2 − ax + 1 > 0 với mọi x > 0.

Câu II. (1.5đ) Cho hai phương trình x 2 − x + m = 0 (1) , x 2 − 3 x + m = 0 ( 2 ) . Với những giá trị nào của m thì phương trình (2) có một nghiệm khác 0, gấp hai lần nghiệm của phương trình (1)?

Câu III. 1. (1.0đ) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh cot A + cot B + cot C =

R ( a 2 + b2 + c2 ) abc

.

2. (1.0đ) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng

a ( b 2 − 1)( c 2 − 1) + b ( a 2 − 1)( c 2 − 1) + c ( a 2 − 1)( b 2 − 1) = 4abc.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

69

1

Câu IVa. Cho I n = ∫ x n 1 − x dx ( n ∈ ℕ ) .

0

1. (0.75đ) Chứng minh rằng I n +1 = 2. (0.75đ) Chứng minh rằng I n <

2n + 2 In .

2n + 5 1

( n + 1)

n +1

.

x2 y2 + = 1. Gọi AA’ là trục lớn của e-lip, dựng các tuyến At và A’t’. a 2 a2 Một tiếp tuyến qua điểm M thuộc (E) cắt At và A’t’ tại T và T’.

Câu Va. Cho e-lip ( E ) :

1. (0.75đ) Chứng minh rằng tích AT.A’T’ không phụ thuộc M. 2. (0.75đ) Tìm giao điểm quỹ tích N của AT’ và A’T khi M chạy trên (E).

Câu IVb. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kì trên mặt cầu, dựng 3 cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C và từng đôi một lập với nhau góc α .

1. (1.25đ) Tính thể tích tứ diện SABC theo R và α .

2. (1.0đ) Khi α thay đổi, xác đinh α để thể tích ấy lớn nhất.

Câu Vb. (1.0đ) Cho x, y, z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng

x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

y 2 + yz + z 2 .

70

Đề số 7  x + y + xy = a Câu I. Cho hệ phương trình  2 .

2 + = 3 − 8 x y xy a 

7 1. (1.25đ) Giải hệ với a = .

2 2. (1.5đ) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm?

Câu II. 1. (1.25đ) Giải phương trình 2 cos x − sin x = 1.

2. (1.25đ) Tam giác ABC có tính chất gì nếu a tan B + b tan A = ( a + b ) tan Câu III. (1.75đ) Lập bảng biến thiên của hàm số y =

Câu IVa. (1.0đ) Chứng minh bất đẳng thức

π 6

1

<∫ 0

x +1 x2 − x + 1 dx 2

4− x − x

3

A+ B .

2

.

<

π 2 8

.

Câu Va. Cho các đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 1 = 0, ( Cm ) : x 2 + y 2 − 2 ( m + 1) x + 4my − 5 = 0.

1. (0.75đ) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ( Cm ) khi m thay đổi.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

71

2. (1.25đ) Chứng minh rằng có 2 đường tròn ( Cm ) tiếp xúc với đường tròn (C), ứng với 2 giá trị của m. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( Cm ) đó.

Câu IVb. Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao SH = h. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với SC. 1. (1.0đ) h phải thỏa mãn điều kiện gì để (P) cắt SC tại một điểm K thuộc cạnh SC? Khi đó hãy tính diện tích tam giác ABK. 2. (1.25đ) Xác định h theo a để mặt phẳng (P) chia hình chóp ra 2 phần với thể tích bằng nhau.

Chứng tỏ rằng khi đó tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp cũng là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp.

Câu Vb. (0.75đ) Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 0, thì ( a + b ) ( a 3 + b3 )( a 5 + b5 ) ≤ 4 ( a 9 + b9 ) .

Đề số 8 Câu I. Cho hàm số y =

− x2 + x + a trong đó a là tham số. x+a

1. (1.0đ) Xác định a để đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A ( 2; 0 ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của a.

2. (1.75đ) Xác định tất cả các giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = x − 1 tại 2 điểm phân biệt. Khi đó gọi y1 , y2 là tung độ của 2 giao điểm, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa

y1 , y2 không phụ thuộc vào a.

Câu II. (1.5đ) Giải và biện luận theo k phương trình Câu III.1. (1.5đ) Giải bất phương trình

1 1 − = k. cos x sin x

x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4.

2. (1.25đ) Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2

2

thức ( x − 2 y + 1) + ( 2 x + ay + 5 ) .

Câu IVa. (1.0đ) Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng x n 1 − x <

1 v ớ i m ọi 2ne

x ∈ ( 0;1) , (e là cơ số của lô-ga-rít tự nhiên).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

72

Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, cho điểm F ( 3;0 ) và đường thẳng (d) có phương trình 3 x − 4 y + 16 = 0.

1. (1.0đ) Tính khoảng cách từ F đến (d), từ đó suy ra phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (d).

2. (1.0đ) Viết phương trình parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ O. Chứng minh rằng parabol tiếp xúc với (d). Tìm tọa độ của tiếp điểm.

Câu IVb. Cho hình thang ABCD vuông góc ở A và D, AB = AD = a, DC = 2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho SD = a.

1. (1.0đ) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác gì?

2. (1.0đ) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, B, C, D. 3. (1.0đ) Gọi M là điểm giữa của SA. Mặt phẳng DMC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. Đề số 9 3

3

Câu I. Cho hàm số y = ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 .

1. (1.5đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = 1, b = 2.

2. (0.75đ) Trong trường hợp tổng quát, các số a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu?

3

3

3. (1.25đ) Chứng minh rằng với mọi a, b phương trình ( x + a ) + ( x + b ) − x 3 = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Câu II. Cho phương trình lượng giác cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0.

3 1. (1.0đ) Giải phương trình với m = .

2  π 3π  2. (1.0đ) Tìm m để phương trình có nghiệm x với x ∈  ;  . 2 2  Câu III. (1.5đ) Tìm a để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x

a.4 x + ( a − 1) 2 x + 2 + a − 1 > 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

73

1

Câu IVa. Cho I n = ∫ x n sin π xdx ( n ∈ ℕ ).

0

1. (0.75đ) Chứng minh lim I n = 0. n →+∞

π

sin x dx. x 0

2. (0.75đ) Đặt Sn = I 0 + I1 + ⋯ + I n . Chứng minh lim S n = ∫ n →+∞

Câu Va. (1.5đ) Mặt phẳng (P) được xác định bởi hệ phương trình chứa tham số u, v

x = 1+ v ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇔  y = 1 + 4u + 2v , và đường thẳng (D) được xác định bởi hệ phương trình chứa z = u − v   x = 2 − 3t  tham số t ( x; y; z ) ∈ ( D ) ⇔  y = 7 − 2t . Chứng minh rằng đường thẳng (D) song song với mặt  z = −1 + 4t  phẳng (P).

Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC; (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

1. (1.25đ) h phải thỏa mãn điều kiện gì để C’ là một điểm thuộc cạnh SC? 2. (1.0đ) Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’.

3. (0.75đ) Chứng tỏ rằng B’C’D’ luôn luôn là một tam giác tù.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

74

Đề số 10 Câu I. (1.5đ) Chứng minh rằng để x 4 + px3 + q ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ , điều kiện cần và đủ là

256q ≥ 27 p 4 .

Câu II. 1. (1.5đ) Cho tam giác ABC với 3 góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích P = tan A. tan B. tan C.

2. (1.5đ) Xác định a để hai phương trình sau tương đương 2 cos x cos 2 x = 1 + cos 2 x + cos 3x (1) ,

4 cos 2 x − cos 3x = a cos x + ( 4 − a )(1 + cos 2 x ) ( 2 ) .

2

Câu III. 1. (1.5đ) Giải bất phương trình 6log6 x + x log6 x ≤ 12.

2. (1.0đ) Giải bất phương trình 4 ( x 3 − 2 x + 1) ( sin x + 2 cos x ) ≥ 9 x3 − 2 x + 1 .  x2 x2 khi x > 0,  ln x − Câu IVa. 1. (0.5đ) Chứng tỏ hàm F ( x ) =  2 là một nguyên hàm của hàm 4 0 khi x = 0   x ln x khi x > 0 . số f ( x ) =  khi x = 0 0

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

75

2. (1.25đ) Với hàm y = f ( x ) ở trên, hãy tính diện tích hình chắn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đoạn [ 0;1] của trục Ox, biết đơn vị độ dài trên trục Ox bằng 2cm, và đơn vị độ dài trên trục Oy bằng 3cm. x + 4 y − 2z + 7 = 0 Câu Va. (1.25đ) Hãy xác định góc nhọn tạo bởi đường thẳng  với mặt phẳng 3 x + 7 y − 2 z = 0 3 x + y − z + 1 = 0.

Câu IVb. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2 R , lấy một điểm C tùy ý. Kẻ CH ⊥ AB (H thuộc đoạn AB). Gọi I là điểm giữa của CH. Trên một nửa đường thẳng It vuông góc tại I với mặt = 900. phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho ASB 1. (1.0đ) Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho, thì mặt phẳng (SAB) không đổi.

2. (1.0đ) Đặt AH = x. Tính thể tích V của tứ diện SABC. Với giá trị nào của x, thì V đạt giá trị lớn nhất?

3. (1.0đ) Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho, thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy trên đường thẳng cố định.

Đề số 11

4 + mx − 3 x 2 . Với những giá trị nào của m thì thì tiếp tuyến của 4x + m đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận?

Câu I. 1. (1.0đ) Cho hàm số y =

2. (1.5đ) Tìm tất cả các giá trị của h sao cho phương trình x 4 + hx 3 + x 2 + hx + 1 = 0 có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau.

Câu II. 1. (1.0đ) Xác đinh a để phương trình sau có nghiệm sin 6 x + cos 6 x = a sin 2 x .

2. (1.0đ) Tìm những điểm cực đại của hàm số y = 3 sin x + cos x +

2x + 3 .

2

Câu III. 1. (1.25đ) Giải bất phương trình ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9.

2. (1.25đ) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 2 + 4 − x . Sử dụng kết quả đã tìm được để giải phương trình

x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

76

π

Câu IVa. (1.0đ) Tính tích phân

x sin x

∫ 9 + 4 cos

2

0

x

dx.

Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho họ đường tròn ( Cm ) có phương trình ( Cm ) : x 2 + y 2 − ( m − 2 ) x + 2my − 1 = 0.

1. (0.75đ) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( Cm ) .

2. (0.5đ) Chứng tỏ khi m thay đổi, các đường tròn ( Cm ) đều đi qua một điểm cố định.

3. (0.75đ) Cho m = −2 và điểm A ( 0; −1) . Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn ( C−2 ) kẻ từ điểm A.

Câu IVb. Cho tứ diện SABC có các mặt SBC và ABC là tam giác đều cạnh a, và SA = a 2.

1. (1.0đ) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. 2. (1.0đ) Gọi O là trung điểm cạnh BC. Kéo dài AO một đoạn OD = OA. Tính các cạnh của tứ diện SBCD. 3. (1.0đ) Qua D dựng mặt phẳng (R) song song với BC sao cho góc nhọn tạo bởi BD và (R) bằng 300. Tính diện tích thiết diện do (R) cắt tứ diện SBCD. Đề số 12 n

Câu I. Cho hàm số f ( x ) = x n + ( c − x ) trong đó c > 0, và n là một số nguyên dương lớn hơn 1.

1. (2.0đ) Khảo sát sự biến thiên của hàm số đó. n

an + bn  a+b 2.(1.0đ) Từ kết quả ấy, chứng minh bất đẳng thức  với a, b là hai số tùy ý thỏa ≤  2  2  mãn điều kiện a + b ≥ 0, còn n là số nguyên dương bất kì.

Câu II. 1. (1.5đ) Giải phương trình

3

x + 34 − 3 x − 3 = 1.

2. (1.0đ) Chứng minh rằng từ bốn số cho trước luôn luôn có thể chọn ra được hai số x, y sao cho

0≤

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

x− y ≤ 1.

1 + xy

77

1  sin x cos y = Câu III. (1.5đ) Giải hệ phương trình  4. 3 tan x = tan y

Câu IVa. (1.0đ) Cho f là một hàm liên tục trên [ 0;1] . Chứng minh rằng π

∫

π

2

f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx.

0

0

Câu Va.(2.0đ) Cho parabol ( P ) : y 2 = 2 px và đường thẳng ( ∆ ) : 2mx − 2 y − mp = 0. Gọi M’, M’’ là các giao điểm của (P) và (D). Chứng tỏ rằng đường tròn đường kính M’M’’ tiếp xúc với đường chuẩn của parabol (P).

Câu IVb.Cho hình lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 (đáy là tam giác đều), cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h. M là một điểm nằm trên đường chéo AB1 của mặt ABB1 A1 sao cho AM : MB1 = 5 : 4. Gọi

α là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng A1C và BC1.

1. (1.5đ) Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng AC và BC1.

2. (1.0đ) Xác định thiết diện do mặt phẳng α cắt lăng trụ.

3. (0.5đ) Cạnh CC1 bị mặt phẳng α chia theo tỉ số nào?

Đề số 13  x 2 + xy + y 2 = 4 .

Câu I. 1. (1.0đ) Giải hệ phương trình   x + xy + y = 2

2. (1.0đ) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh

 a+b log 2 a + log 2 b ≤ 2 log 2  .  2 

Câu II. 1. (1.5đ) Xác định p sao cho hàm số y =

− x 2 + 3x + p có giá trị cực đại M và giá trị cực x−4

tiểu m, với m − M = 4.

2. (1.5đ) Tìm m thì hàm số y = x 2 − 5 x + 4 + mx có giá trị nhỏ nhất lớn hơn 1.

Câu III. 1. (1.25đ) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau đây có nghiệm

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

78

3 + 3 tan 2 x + m ( tan x + cot x ) − 1 = 0.

2 sin x 2. (0.75đ) Xác định m để hàm số sau đây luôn luôn nghịch biến y = ( m − 3) x − ( 2m + 1) cos x. π

Câu IVa. Xét tích phân I n =

2

∫ sin

n

xdx ( n ∈ ℕ ).

0

1. (1.0đ) Chứng tỏ rằng I n + 2 =

n +1 In. n+2

2. (0.5đ) Chứng minh rằng f : ℕ → ℝ,

f ( n ) = ( n + 1) I n .I n +1 là một hàm hằng số.

Câu Va. (1.5đ) Trong không gian, cho các điểm A ( −3; −2;6 ) , B ( −2; 4; 4 ) . Hãy tính độ dài đường cao OO’ của tam giác OAB, (O là gốc tọa độ).

Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A hạ các đường vuông góc AE ⊥ SB, AF ⊥ SD ( E ∈ SB, F ∈ SD ) .

1. (1.0đ) Chứng minh rằng mặt phẳng (AEF) vuông góc với SC. 2. (1.0đ) Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với đáy (ABCD).

3. (1.0đ) Chứng minh rằng có 2 vị trí của S trên Ax sao cho hình chóp P.ABCD có thể tích V cho trước, với điều kiện V nhỏ hơn một giá trị V1. Chỉ rõ giá trị lớn nhất của V1.

Đề số 14 Câu I. Cho hàm số bậc hai f ( x ) = 2 x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m + 3.

1.(1.0đ) Với giá trị nào của m thì f ( x ) = 0 có nghiệm?

2. (1.0đ) Tìm m để f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.

3. (1.0đ) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của f(x). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) .

Câu II. Xem hàm số y = −2 x + k x 2 + 1.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

79

1. (1.0đ) Với k = 3 hãy lập bảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.

2. (1.0đ) Với giá trị nào của k thì hàm số có cực tiểu?

Câu III. 1. (1.0đ) Chứng minh rằng tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 =

8 3 cos 200.

3

2. (1.0đ) Chứng tỏ rằng nếu trong tam giác ABC ta có tan A + tan B = 2 cot

C thì ABC là một tam 2

giác cân. e

k Câu IVa. (1.25đ) Với mỗi số nguyên dương k, đặt I k = ∫ ln dx. Xác đinh k để I k < e − 2. x 1

Câu Va.(1.75đ) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh là M ( −1; −1) , N (1;9 ) , P ( 9;1) .

Câu IVb. Cho S.ABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy bằng a, đường cao SH = h.

1. (1.0đ) Tính theo a và h các bán kính r, R các hình cầu nội, ngoại tiếp của hình chóp.

2. (1.0đ) Giả sử a cố định, còn h thay đổi. Xác định h để tỉ số

r lớn nhất.

R

Câu Vb. (1.0đ) Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 2, thì với mọi n ∈ ℕ* ta có a n + b n ≤ a n +1 + b n +1.

Đề số 15

2 x 2 + (1 − m ) x + 1 + m .

Câu I. Cho hàm số y = x−m 1. (1.25đ) Với m = 1, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. (0.75đ) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.

3. (0.75đ) Xác định m để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .

Câu II. 1. (1.0đ) Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có

a 2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ≥ a ( a + b + c + d + e ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

80

2. (1.0đ) Cho a ≤ 6, b ≤ −8, c ≤ 3. Chứng minh rằng với mọi x ≥ 1 ta đều có x 4 − ax 2 − bx ≥ c.

Câu III. 1. (1.0đ) Giải phương trình 2 cos 2

3x 4x + 1 = 3cos .

5 5

2. (1.0đ) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có

2 ( sin A sin 2 A + sin B sin 2 B + sin C sin 2C ) < ( sin A + sin B + sin C )( sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) . π

Câu IVa. (1.25đ) Tính

x sin x

∫ 1 + cos 0

2

x

dx.

Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, cho đường thẳng ∆ : 2 x − y − 1 = 0 và cho 5

1  điểm A ( 0; −1) , B ( 2;3) , C  ;0  , E (1; 6 ) , F ( −3; −4 ) . 2  1.(1.0đ) Kiểm nghiệm rằng các điểm A, B, C thuộc đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa.

2. (1.0đ) Tìm điểm M trên ∆ sao cho véc-tơ EM + FM có độ dài nhỏ nhất.

= 1200 , = 900. Trên các tia Sx, Sy, Câu IVb. Cho góc tam diện Sxyz đỉnh S, với xSy ySz = 600 , zSx Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a.

1. (1.0đ) Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông.

2. (0.75đ) Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC).

3. (0.75đ) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC. 4. (0.75đ) Tính các góc phẳng các nhị diện cạnh AB, BC, CA trong tứ diện SABC. Đề số 16 2

2

Câu I. Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) .

1. (1.25đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2

2. (0.5đ) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( x − 1) − 2m + 1 = 0.

3. (1.0đ) Tìm b để parabol y = 2 x 2 + b tiếp xúc với đồ thị đã vẽ ở phần 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.

Câu II. 1. (1.25đ) Giải bất phương trình

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

21− x − 2 x + 1 ≤ 0.

2x −1

81

2. (1.0đ) Cho hàm số y =

x +1 . Xác định a để tập giá trị của y chứa đoạn [ 0;1] . x2 + a

Câu III. 1. (1.25đ) Tìm m để phương trình x 2 − mx + m 2 − 3 = 0 có nghiệm x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài 2.

π  2.(1.25đ) Tìm các nghiệm x ∈  ;3π  của phương trình 2  5π  sin  2 x + 2 

7π    − 3cos  x − 2  

  = 1 + 2sin x. 

Câu IVa. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 đường thẳng

( D2 ) : 4 x + 3 y − 1 = 0, ( D3 ) : y = 0. Gọi

( D1 ) : 3x + 4 y − 6 = 0,

A = D1 ∩ D2 , B = D2 ∩ D3 , C = D3 ∩ D1.

1.(1.5đ) Viết phương trình phân giác trong của góc A của tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó.

2. (1.0đ) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu IVb. Cho tam giác nhọn ABC, đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Trên (d) lấy điểm S với AS = x > 0. Gọi I là trực tâm tam giác SBC, K là trực tâm tam giác ABC. Đường thẳng IK cắt (d) tại Q. 1. (1.5đ) Chứng minh rằng AK cắt SI tại một điểm P, IK ⊥ ( SBC ) , PQ ⊥ SK .

2. (1.0đ) Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích V của hình chóp S.QBC theo a và x; xác đinh x để V nhỏ nhất. Đề số 17

2 x2 − x + 1 .

Câu I. 1. (1.5đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x −1 2. (0.5đ) Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đường thẳng y = 7 ?

3. (1.0đ) Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y = 7, có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450.

2 2  x − 4 xy + y = k .

Câu II. Cho hệ phương trình  2  y − 3xy = 4

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

82

1. (1.0đ) Giải hệ với k = 1.

2. (1.0đ) Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k.

Câu III. 1. (1.0đ) Giải phương trình

π π   2 ( 2sin x − 1) = 4 ( sin x − 1) − cos  2 x +  − sin  2 x +  .

4 4  

2. (1.0đ) Tìm số k lớn nhất để trong mọi tam giác ABC ta đều có sin 2 A + sin 2 B > k sin 2 C. x

dt t t + 1) 1 (

Câu IVa. (1.25đ) Đặt I ( x ) = ∫

( x > 1) . Tìm

lim I ( x ) .

x →+∞

 x = −2t  x = 3t '+ 1 , ( D2 ) :  .

Câu Va. Cho hai đường thẳng ( D1 ) :   y = −3t  y = 6t '+ 3

1. (0.75đ) Xác định giao điểm của ( D1 ) và ( D2 ) .

2. (1.0đ) Tính cô-sin góc nhọn tạo bởi ( D1 ) và ( D2 ) .

Câu IVb. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với SD cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.

1. (1.0đ) Chứng minh rằng AB’C’D’ là một tứ giác nội tiếp.

2. (1.0đ) Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’.

3. (1.0đ) Tính diện tích tứ giác AB’C’D’.

Đề số 18 Câu I. Cho hàm số y =

x 2 + 2m 2 x + m 2 . x +1

1. (0.75đ) Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

2. (1.0đ) Xác định m để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

3. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với m = 2.

Câu II. 1. (1,25đ) Xác định a để phương trình ( a + 1) x 2 − ( 8a + 1) x + 6a = 0 có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

83

2. (1.0đ) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng ( abc ) Câu III. 1. (1.0đ) Giải phương trình 3cos x + 4sin x +

a +b+ c 3

≤ a abb c c .

6 = 6.

3cos x + 4sin x + 1

2. (1.0đ) Với tam giác ABC, đặt T = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C. Chứng minh rằng ABC là tam giác nhọn khi và chỉ khi T > 2.

1

π

Câu IVa. Tính các tích phân 1. (0.5đ) ∫ cos 4 xdx, 2. (0.75đ)

xdx

∫ ( x + 1)

3

.

0

0

Câu Va. (1.75đ) Hypebol Hcó các trục trùng với các trục tọa độ, và tiếp xúc với các đường thẳng 5 x − 6 y − 16 = 0,13x − 10 y − 48 = 0. Hãy xác định phương trình của heypebol H.

= 600 , BC = 2a. Dựng các đường A = 900 , C Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho tam giác ABC có thẳng Bx, Cy vuông góc với P. 1. (1.0đ) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy. 2. (0.75đ) L là điểm di động trên Bx. Hỏi L phải ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm được điểm N sao cho tam giác BLN có góc N vuông.

3. (1.25đ) Trong các vị trí của L nói ở phần 2, hãy xác định L sao cho hình chóp A.BLNC có thể tích nhỏ nhất.

Đề số 19

 x 2 + y 2 = 2 (1 + a ) .

Câu I. Cho hệ phương trình  2 ( x + y ) = 4 1. (0.75đ) Giải hệ với a = 1.

2. (1.0đ) Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 2 nghiệm.

Câu II. 1. (1.5đ) Xác định tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện c = c cos 2 B + b sin 2 B. 2. (1.0đ) Cho a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng

p<

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

p − a + p − b + p − c ≤ 3 p.

84

Câu III. Cho hàm số y = x 4 − 6bx 2 + b 2 .

1. (1.25đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với b = 1.

2. (1.25đ) Với b là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] . π

Câu IV. Cho I n =

4

∫ tan

n

xdx ( n ∈ ℕ ) .

0

1. (0.5đ) Chứng minh rằng I n > I n+1.

2. (0.75đ) Tìm một hệ thức liên hệ giữa I n và I n+1.

Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho đường thẳng ( D ) : x cos α + y sin α + 2 cos α + 1 = 0.

1. (1.0đ) Chứng minh khi α thay đổi, đường thẳng (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

2. (1.0đ) Cho điểm I ( −2;1) . Dựng IH vuông góc với (D) ( I ∈ ( D ) ) , và kéo dài IH một đoạn HN = 2 IH . Tính tọa độ của N theo α .

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ CD, và đường thẳng IJ, với I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, là đường vuông góc chung của AB và CD. 1. (0.75đ) Chứng minh AC = AD = BC = BD. 2. (1.0đ) Một mặt phẳng đi qua IJ cắt AC, BD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh MN ⊥ IJ và MN bị IJ chia thành hai phần bằng nhau.

3. (0.5đ) O là một điểm thuộc đoạn IJ. Chứng minh O cách đều 2 mặt phẳng (ABC), (ABD), O cách đều 2 mặt phẳng (ACD), (BCD).

4. (1.0đ) Biết AB = 2a, CD = 2b, IJ = k . Xác định vị trí của O trên IJ để O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Trong trường hợp đó, hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp. Đề số 20 Câu I. Cho hàm số y =

x 2 + 2 x cos α + 1 . x + 2sin α

1. (0.75đ) Xác định tiệm cận xiên và tâm đối xứng của đồ thị.

2. (0.75đ) Tìm α để hàm số có cực đại và cực tiểu.

3. (1.0đ) Tìm α để từ gốc tọa độ có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến phân biệt. Khi đó gọi

( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 )

là các tọa độ các tiếp điểm. Chứng minh x1 x2 + y1 y2 = 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

85

log x ( 3x + ky ) = 2 .

Câu II. 1. (1.75đ) Giải và biện luận theo k hệ phương trình  log y ( 3 y + kx ) = 2 2

2. (1.0đ) Tìm m để với mọi x thì f ( x ) = ( x − 2 ) + 2 x − m ≥ 3.  tan A.tan B = p .

Câu III. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Biết   tan A.tan C = q

1 1. (1.0đ) Tính tan A, tan B, tan C khi p = −2, q = .

2 2. (1.25đ) p, q phải thỏa mãn điều kiện gì để bài toán có nghiệm. Khi đó hãy viết biểu thức tan A, tan B, tan C theo p và q.  x = x 1 + mt  x = x2 + pt ' ( x1 ; y1 ; x2 ; y2 là 4 số , Câu IVa. Trong mặt phẳng, cho 2 đường thẳng   y = y1 + nt  y = y2 + qt ' cố định). Tìm điều kiện cần và đủ (viết theo m, n, p, q) để các đường thẳng ấy

1. (0.5đ) cắt nhau; 2. (0.25đ) song song nhau; 3. (1.25đ) trùng nhau; 4. (0.5đ) vuông góc nhau.

Câu IVb.Trong mặt phẳng P cho hình chữ nhật ABCD với AB = a; AD = b. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với P và ở về cùng một phía đối với P, lấy điểm M và N. Đặt AM = x, CN = y.

1. (1.25đ) Tính tang các góc nhị diện do các mặt phẳng (BDM), (BDN) tạo với P. Từ đó suy ra rằng để các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là xy =

a 2b 2 . a2 + b2

2. (1.25đ) Với giả thiết các mặt phẳng (BDM), (BDN) vuông góc với nhau, hãy tính thể tích tứ diện BDMN. Khi nào thì thể tích ấy nhỏ nhất? Đề số 21

1 Câu I. (2.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 + . x Câu II. (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình

2 x 2 + 3 < x − a.

Câu III. 1. (1.5đ) Chứng minh tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600 khi và chỉ khi

sin A + sin B + sin C = 3. cos A + cos B + cos C Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

86

2. (1.5đ) Một tứ giác lồi có 4 cạnh là a, b, c, d và diện tích S. Chứng minh S ≤

1 ( ab + cd ) . Khi 2

nào thì xảy ra dấu đẳng thức? n

n

n +1

0

k =1

1

Câu IVa. 1. (1.0đ) Chứng minh với ∀n ∈ ℕ, ∫ x dx < ∑ k <

∫

x dx.

100  1 2. (2.0đ) Từ kết quả trên, hãy suy ra a. 666, 6 < ∑ k < 676; b. lim  3 n →+∞ k =1  n

n

∑ k =1

 2 k= .  3

Câu IVb. Một hình chóp cụt đều có các đáy là các hình vuông với cạnh là a và 2a. Chiều cao hình chóp cụt là h.

1. (1.0đ) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp cụt.

2. (0.75đ) Xác định quan hệ giữa a và h để tồn tại một hình cầu tiếp xúc với 4 cạnh bên và 2 đáy.

3. (0.75đ) Tính tỉ số diện tích của hai phần mặt cầu được tách ra từ mặt cầu nói trên bởi mặt phẳng P qua các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh bên.

4. (0.5đ) Tính tỉ số thể tích của 2 phần hình cầu được tách bởi mặt phẳng P.

Đề số 22

 x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 .

Câu I. 1. (1.25đ) Giải hệ phương trình  x + y = 4  2. (1.25đ) Giải bất phương trình

x + 2 − x + 1 ≤ x.

Câu II. 1. (1.25đ) Giải phương trình 8sin x =

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

3 1 . + cos x sin x

87

2. (1.0đ) Chứng minh nếu tam giác ABC có các cạnh a, b, c và có diện tích bằng 1, thì a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16.

Câu III. 1. (1.0đ) Với giá trị nào của x thì hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = lg 2 x +

1 . lg x + 2 2

2. (1.25đ) Xác định m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm với hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Câu IVa. (1.5đ) Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A (1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3, và điểm C trên trục hoành, sao cho ABC là tam giác đều.

1

Câu Va. (1.5đ) Tính tích phân I ( m ) = ∫ x 2 − 2 x + m dx.

0

Câu IVb. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x ( 0 < x < a ) , và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho AS = y > 0.

1. (1.0đ) Chứng minh nhị diện cạnh SB của hình chóp S.ABCM là nhị diện vuông.

2. (1.0đ) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAC. 3. (1.0đ) Gọi I là trung điểm đoạn SC, H là hình chiếu vuông góc của I lên CM. Tìm quỹ tích của H khi M chạy trên AD và S chạy trên Ax.

Đề số 23 Câu I. Cho hàm số y =

( m − 1) ( x 2 − 2 x ) + m + 4 mx + m

1 với tham số m, m ≠ 0, m ≠ − .

4

1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

2. (1.0đ) Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y = 1.

3. (1.0đ) Chứng minh với mọi giá trị của m đã nêu đồ thị của hàm số luôn có một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một điểm cố định.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

88

π    tan x + cot x = 2sin  y + 4     .

Câu II. 1. (1.25đ) Giải hệ phương trình  π    tan y + cot y = 2sin x +    4  2. (1.0đ) Chứng minh với mọi x, y ta luôn có x 2 (1 + sin 2 y ) + 2 x ( sin y + cos y ) + 1 + cos 2 y > 0.

Câu III.(1.25đ) Tìm a để biểu thức π

Câu IVa. 1. (1.0đ) Tính

( a + 1) x 2 − 2 ( a − 1) x + 3a − 3

có nghĩa với mọi x.

2

∫ sin

n

xdx ( n ∈ ℕ ) .

0

2. (1.0đ) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần?

Câu Va.(1.5đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn, xét hình bị chắn phía dưới bởi parabol y = x 2 , bị chắn phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm (1; 4 ) và có hệ số góc k. Xác định k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (K) tâm O, bán kính R, và một điểm A ∈ ( K ) . BC

ABC. Trên đường thẳng qua A, vuông góc với P, lấy là một đường kính quay quanh O, đặt α = điểm S với AS = 2 R. 1. (1.0đ) Tìm quỹ tích chân H của đường cao SH trong tam giác SBC. 2. (1.0đ) Xác định α để tam giác SBC có diện tích lớn nhất.

3. (1.5đ) Trên các đoạn SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’thỏa SA.SA ' = SB.SB ' = SC .SC ' = 3R 2 .

Khi BC quay quanh O, hãy chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) cố định và đường tròn trong mặt phẳng (SB’C’), đi qua S, B’, C’ luôn đi qua một điểm cố định thứ hai, khác với S.

Đề số 24 Câu I. (1.25đ) Giải bất phương trình

x 4 − 2 x 2 + 1 ≥ 1 − x.

Câu II. Cho hàm số y = ( x − m )( x − n )( x − p ) (1) .

1.(1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = n = 1, p = 4.

2. (0.75đ) Với m < n < p, chứng minh hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện m < x1 < n < x2 < p.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

89

3.(0.75đ) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số (1) mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị.

(

)

Câu III. 1. (1.0đ) Giải phương trình lượng giác cos 3x + 2 − cos 2 3x = 2 1 + sin 2 2 x .

2. (1.25đ) Trong tam giác ABC, gọi r , rA , rB , rC lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính các đường tròn bàn tiếp đối diện với các góc A, B, C. Chứng minh nếu rA = r + rB + rC thì ABC là một tam giác vuông.

15 + 25 + 35 + ⋯ + n5 . Tính lim Sn .

Câu IVa. (1.5đ) Với mỗi số nguyên dương n đặt Sn = n →+∞ n6 Câu Va. Trong mặt phẳng tọa độ, cho 2 điểm F1 ( −5; 2 ) , F2 ( 3; 2 ) .

1. (1.25đ) Viết phương trình hypebol (H) có tâm sai e = 2, và nhận F1 , F2 làm tiêu điểm.

2.(1.25đ) Tìm trên (H) 4 điểm sao cho chúng là các đỉnh của hình bình hành có một cạnh đi qua gốc tọa độ, và có đường trung bình thuộc đường thẳng y = 3 x + 5.

Câu IVb. Cho đường tròn đường kính AB và một điểm C trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của đường tròn tại A. M là một điểm bất kì trên đường tròn, H là hình chiếu vuông góc của A lên CM. 1. (1.0đ) Tìm quỹ tích của H khi M di chuyển trên đường tròn.

2.(0.75đ) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB tại A và M. Chứng minh KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB và của mặt cầu đường kính CA. 3. (0.75đ) Xác định ví trí của M trên đường tròn để thể tích tứ diện CAHB đạt giá trị lớn nhất.

 2 4 x2 ≥5 x + 2 .

Câu Vb. (1.5đ) Xác đinh m để hệ sau đây có nghiệm  ( x + 2)  4 2 2  x + 8 x + 16mx + 16m + 32m + 16 = 0 Đề số 25 Câu I. 1. (1.0đ) Tính giá trị của biểu thức A =

2n x 2 − 4 x − x2 − 4

2. (1.5đ) Cho số dương a khác 1. Giải bất phương trình

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

khi x =

m n . + n m

1 + log 2a x > 1.

1 + log a x

90

Câu II. Cho hàm số y =

−x2 + x − n trong đó n là tham số.

2x + n

1. (1.5đ) Xác định n để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; −2 ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị n đã tìm được.

2. (1.0đ) Chứng minh rằng loại trừ hai giá trị đặc biệt của n, còn thì với mọi giá trị khác của n, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định.

π  Câu III. 1. (1.0đ) Giải phương trình 2sin  3 x +  = 1 + 8sin 2 x cos 2 2 x .

4  2. (1.0đ) Trong tam giác cân, cạnh đáy có đồ dài a, cạnh bên có độ dài b, góc ở đỉnh bằng 200 , chứng minh a 3 + b3 = 3ab 2 .

x2 y 2 + = 1 nhận các đường thẳng 3 x − 2 y − 20 = 0 và a2 b2 x + 6 y − 20 = 0 làm tiếp tuyến. Xác định a 2 và b 2 .

Câu IVa. 1. (1.5đ) Biết rằng elip

2. (1.5đ) Lập phương trình các cạnh của hình vuông, biết rằng hình vuông đó có một đỉnh là

( −4;5)

và một đường chéo có phương trình 7 x − y + 8 = 0.

Câu IVb. (3.0đ) Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao, đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy của hình chóp kia, mỗi cạnh bên của hình chóp này cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao góc α . Cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc β . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp.

Đề số 26 Câu I. Gọi P là parabol có phương trình y = ax 2 + bx + c và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng y = 2 x + 1 tại điểm A (1;3) .

1. (1.0đ) Hãy biểu diễn b, c qua a.

2. (0.75đ) Tìm quỹ tích đỉnh của P khi a thay đổi.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

91

3. (1.0đ) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà P không thể đi qua.

Câu II. 1. (1.75đ) Giải và biện luận theo m bất phương trình

x − m + 2m ≤ x + 2m .

2. (1.0đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh

3 3 a b c . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 b +c c +a a +b 2 2

Câu III. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R và r là bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ấy. Chứng minh 1. (1.0đ) r = 4 R sin

A B C sin sin ; 2. (0.75đ) IA.IB.IC = 4 Rr 2 .

2 2 2

Câu IVa. Cho hàm số y =

3x 2 + 3x + 3 . x3 − 3x + 2

1. (0.75đ) Xác định các hằng số A, B, C để y =

A

( x − 1)

2

+

B C . + x −1 x + 2

2. (0.5đ) Tìm họ các nguyên hàm của y.

Câu Va. (1.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ, cho 4 điểm A ( a; 0 ) , B ( 0; b ) , M ( m, 0 ) , N ( 0; n ) trong đó a, b không đổi, còn m, n thay đổi sao cho ta luôn có

OM ON + = 2. Tìm tập hợp giao điểm của OA OB

các đường thẳng AN, BM.

Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b. Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Mặt phẳng P đi qua CD cắt SA, SB lần lượt tại K và L. 1. (1.5đ) Thiết diện KLCD là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy theo a, b, h và x = AK .

2. (1.25đ) Xác định x để mặt phẳng P chia hình chóp ra 2 phần với thể tích bằng nhau. Đề số 27 Câu I. Cho hàm số y = x 4 + 4ax3 − 2 x 2 − 12ax (1) .

1. (1.5đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1.

2. (1.25đ) Xác đinh a để đồ thị của (1) có trục đối xứng song song với Oy.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

92

Câu II. 1. (1.0đ) Rút gọn không còn dấu căn

2 + 2 + 2 cos α

( 0 ≤ α < 2π ) .

2. (1.5đ) Giả sử ABC là tam giác thỏa mãn điều kiện 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c.

Chứng minh rằng nó là tam giác đều.

Câu III. (1.75đ) Xác định tham số m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình

2 log 4 ( 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 ) + log 1 ( x 2 + mx − 2m 2 ) = 0 lớn hơn 1.

2

π

Câu IVa. (1.5đ) Tính các tích phân

π

2

4

∫ cos xdx,

∫ tan

0

0

n

2n

xdx

(n ∈ ℕ).

2

Câu Va. (1.5đ) Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi hình tròn x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ( 0 < a ≤ b ) quay quanh trục Ox.

Câu IVb. Cho tứ diện SABC với góc tam diện đỉnh S là vuông.

1. (1.25đ) Giả sử H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng SH ⊥ ( ABC ) . Điều ngược lại có đúng không?

2. (0.5đ) Chứng minh rằng ABC là một tam giác nhọn.

3. (1.25đ) Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a. Tính SH theo a. Kéo dài HS một đoạn SD = HS .

Chứng tỏ rằng ABCD là tứ diện đều.

Đề số 28 Câu I. 1. (0.75đ) Giải phương trình sin 2 ( x − π ) − sin ( 3x − π ) = sin x.

2. (1.25đ) Tìm a để phương trình sin 2 ( x − π ) − sin ( 3x − π ) = a sin x có ít nhất một nghiệm

x ≠ kπ ( k ∈ ℤ ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

93

Câu II. 1.(1.25đ) Tìm y để bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x    y  2 y  y   2 − log 2  x − 2 1 + log 2  x − 2 1 + log 2  > 0. y +1  y +1 y +1    

2. (1.25đ) Giải bất phương trình

2 x 2 − 6 x + 1 − x + 2 > 0.

Câu III. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 18mx − 8.

1. (1.25đ) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

2. (1.25đ) Chứng minh rằng trên đường cong y = x 2 có 2 điểm không thuộc đồ thị của hàm số đã cho dù m lấy bất kỳ giá trị nào.

Câu IVa. 1. (0.75đ) Với n là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo a số nghiệm của

x2n+2 x n+ 2 x 2 + + + a = 0. phương trình 2n + 2 n + 2 2 π

3 3 sin x 1 < ∫ dx < .

2. (0.75đ) Chứng minh 4 π x 2 6

Câu Va. (1.5đ) Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A (1; −2 ) và các giao điểm của đường thẳng x − 7 y + 10 = 0 với đường tròn x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0.

Câu IVb. Trong không gian cho đoạn OO ' = h và hai nửa đường thẳng Od , O ' d ' cùng vuông góc với OO’ và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O’d’ sao cho ta luôn có MO 2 + O ' N 2 = k 2 với k > 0 cho trước.

1. (0.75đ) Chứng minh đoạn MN có độ dài không đổi.

2. (1.25đ) Xác định vị trí của M trên Od, N trên O’d’ sao cho tứ diện OO’MN có thể tích lớn nhất.

3.(1.0đ) Tìm điều kiện đối với h, k để MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO’.

Đề số 29 Câu I. 1. (2.5đ) Giải và biện luận theo a, b các phương trình a. x +

1 a −b a +b . b. 2 lg x − lg ( x − 1) = lg a. = + x a +b a−b

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

94

7−

2. (1.5đ) Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn điều kiện

a. Chứng minh rằng

7n − m >

1 . m

b. Giả sử thêm rằng n ≤ m. Hãy chứng minh

Câu II. Cho hàm số y =

m > 0. n

m 2 − n 2 + 2mn − n 2 >

1 .

7n − m

3x + 4 . x −1

1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. (1.0đ) Xác đinh a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị.

Câu

III.

cos (α − β ) =

(1.5đ)

Chứng

minh

rằng

sin ( x − α ) sin ( x − β )

=

a cos ( x − α ) A , = , aB + bA ≠ 0 b cos ( x − β ) B

thì

aA + bB . aB + bA

Câu IVa. Cho hai đường D, D’ có phương trình chung Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 = 0 với B 2 − AC > 0.

1. (1.0đ) Chứng tỏ rằng đó là hai đường thẳng phân biệt, hãy viết phương trình của mỗi đường thẳng đó.

2. (1.5đ) Viết phương trình chung của các đường phân giác của góc tạo bởi D và D’.

Câu IVb. (2.5đ) Trong một hình nón người ta đặt một hình chóp tam giác sao cho đáy của hình chóp nội tiếp đáy của hình nón, đỉnh của hình chóp nằm trên một trong các đường sinh của hình nón. Tất cả các mặt bên của hình chóp nghiêng như nhau so với mặt đáy. Đáy của hình chóp là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng α . Tính tỉ số giữa thể tích của hình nón và thể tích của hình chóp.

Đề số 30

( a + b ) x + ( a − b ) y = a .

Câu I. 1. (1.0đ) Giải và biện luận hệ phương trình  ( 2a − b ) x + ( 2a + b ) y = b 2. (1.5đ) Giải và biện luận phương trình

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 = x.

95

Câu II. 1. (1.0đ) Giải phương trình

1 1 2 . + = cos x sin 2 x sin 4 x

2. (1.5đ) Xác định a để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

2 x + x = y + x 2 + a .  2 2  x + y = 1 Câu III. Cho hàm số y = x 4 + 4mx3 + 3 ( m + 1) x 2 + 1.

1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.

2.(1.0đ) Với những giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại?

Câu IVa. (1.5đ) Cho a, c là hai hằng số. Giả sử f ( x ) là một hàm số xác định trên ℝ, và

f ( 0 ) = c; af ( x ) = f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Chứng minh f ( x ) = c.e ax . Từ kết quả đó hãy tìm hàm g ( x ) x

nếu biết

∫ g ( x ) d x = g ( x ) , ∀x ∈ ℝ .

0

Câu Va. (1.5đ) Xét hình có diện tích chắn bởi parabol y = x 2 và bởi đường thẳng có hệ số góc k, đi qua điểm trong A ( x0 ; y0 ) của parabol (tức là điểm A với tọa độ thỏa mãn điều kiện y0 > x02 ).

Xác định k để diện tích ấy nhỏ nhất.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (α ) đường kính AB = 2 R , tâm O. Gọi S là điểm đối xứng của O qua A. Dựng Sz vuông góc với mặt phẳng P, trên đó lấy ST = 2 R. 1. (1.0đ) Xác định tâm O’ của mặt cầu (W) đi qua T và cắt P theo (α ) .

2. (1.0đ) Tính x = OO ' theo R. Tính thể tích hình cầu (W).

3. (1.0đ) M là một điểm bất kì trên (α ) , D là trung điểm của đoạn MT, D’ là hình chiếu của D lên P. Tìm quỹ tích của D’ khi M di động trên (α ) .

Đề số 31

log x ( x cos α + y sin α ) + log y ( y cos α + x sin α ) = 4 .

Câu I. Cho hệ phương trình  log x ( x cos α + y sin α ) .log y ( y cos α + x sin α ) = 4 1. (1.0 đ) Giải hệ khi α =

π .

4

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

96

2. (1.5đ) Cho 0 < α <

π , hãy biện luận hệ.

2

Câu II. 1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

1 4 5 x − 3x 2 + .

2 2

2. (1.5đ) Cho điểm M trên (C) có hoành độ xM = a. Với những giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm khác với M?

Câu III. 1. (1.0đ) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

2 + cos x . sin x + cos x − 2

2. (1.0đ) Tìm các giá trị của m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x

m cos 2 x − m + m 2 > 0. m2 + 1 − m cos 2 x 1

Câu IVa. (1.0đ) Tính

2 n

∫ (1 − x )

dx ( n ∈ ℕ ) .

0

x2 y 2 + = 1 cắt elip tại M và N. Chứng a2 b2 minh rằng các tiếp tuyến của elip ở M và N song song với nhau.

Câu Va. 1. (1.0đ) Một đường kính bất kì của elip ( E ) :

2. (1.0đ) Tìm quan hệ giữa a, b, k, m để elip (E) tiếp xúc với đường thẳng y = kx + m.

Câu IVb. Cho hai đường thẳng ( ∆ ) , ( ∆ ') chéo nhau, nhận AA’ làm đường vuông góc chung.

Gọi P là mặt phẳng qua A và vuông góc với ( ∆ ') , và (d) là hình chiếu của ( ∆ ) lên P. Đặt AA ' = a, góc nhọn giữa ( ∆ ) và (d) là α . Mặt phẳng Q song song với P cắt ( ∆ ) và ( ∆ ') theo

thứ tự tại M và M’. Gọi M 1 là hình chiếu vuông góc của M lên P.

1. (1.5đ) Chứng minh rằng 5 điểm A, A’, M, M’ và M 1 cùng nằm trên cùng một mặt cầu (S). Xác định tâm O của mặt cầu đó. Tính bán kính của mặt cầu theo a và khoảng cách x giữa các mặt phẳng P và Q. 2.(1.5đ) Khi x thay đổi, hãy tìm quỹ tích tâm O của mặt cầu (S). Chứng minh rằng khi x thay đổi, mặt cầu (S) luôn đi qua một đường tròn cố định. Đề số 32 Câu I. 1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3 − 3x + 2.  m2 + 1  2. (1.0đ) Biện luận theo m ( m ≠ 0 ) số nghiệm của phương trình x 3 − 3 x + 2 = 2  .  m 

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

97

1  x y a + a = Câu II. Cho hệ phương trình  2 ( a > 0) .  x + y = b2 − b + 1 

1. (1.0đ) Giải hệ với b = 1.

2. (1.5đ) Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b ∈ [ 0;1] .

1  sin x + cos x = 2 + sin y − cos y .

Câu III. 1. (1.25đ) Giải hệ phương trình  2sin 2 x = 3 + sin 2 y  2 2.(1.25đ) Giải phương trình 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0.

Câu IVa. (1.25đ) Cho phương trình x 2 + ( 2a − 6 ) x + a − 13 = 0 với 1 ≤ a < +∞. Tìm a để nghiệm lớn của phương trình nhận giá trị lớn nhất.

Câu Va.(1.75đ) Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác vuông với một cạnh có trung điểm là

M ( −1;1) , còn hai cạnh kia có phương trình là x + y − 2 = 0 và 2 x + 6 y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

Câu IVb. Cho hình cầu tâm O đường kính AB. Hai tiếp tuyến ( ∆ ) , ( ∆ ') của hình cầu tại A và B vuông góc với nhau. CD là tiếp tuyến thứ ba thay đổi của hình cầu, tựa trên ( ∆ ) và

( ∆ ' ) ( C ∈ ( ∆ ') , D ∈ ( ∆ ) ) .

1. (1.0đ) Chứng minh rằng thể tích hình chóp ABCD không phụ thuộc vào vị trí của CD. 2. (1.5đ) Gọi H là tiếp điểm của CD với hình cầu. Chứng minh rằng H thuộc một mặt phẳng cố định và CD tạo với mặt phẳng đó một góc không đổi.

3. (0.5đ) Gọi R là bắn kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCD. Chứng minh rằng R ≥

AB .

2

Đề số 33 Câu I. Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1.

1.(1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

98

2. (1.0đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 0; −1) và tiếp xúc với đồ thị hàm số (1).

3. (1.0đ) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đường thẳng y = kx (k cho trước)? Biện luận theo k số giá trị của m?

sin x + sin y = 2 .

Câu II. (1.0đ) Giải hệ  cos x + cos y = 2 2

1

+1

 1 x  1 x Câu III. 1. (1.5đ) Xác định m để mọi nghiệm của bất phương trình   + 3   > 12 (1)  3 3 2

cũng là nghiệm của phương trình ( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 6 ) x − ( m + 1) < 0 ( 2 ) .

2. (1.5đ) Cho x, y là hai số thay đổi, nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 = 1. Xác định các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A = x 1 + y + y 1 + x .

1

Câu IVa. (1.75đ) Tính I (α ) = ∫ x x − α dx với α là tham số. Sau đó vẽ đồ thị của hàm I (α ) 0

đối với α .

Câu IVb. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, O là trực tâm của tam giác BCM. 1. (1.25đ) Chứng minh MC ⊥ ( BOH ) , OH ⊥ ( BCM ) .

2. (1.0đ) Đường thẳng OH cắt d tại N. Chứng minh rằng tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

3. (0.75đ) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên d, thì tích AM.AN không đổi.

Đề số 34

x2 + 4 x + 3 .

Câu I. 1. (1.0đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x+2

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

99

2. (0.75đ) Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. 3. (0.75đ) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi.

2 x + y − 1 = m .

Câu II. 1. (1.25đ) Giải và biện luận theo m hệ phương trình  y + x − = m 2 1  2. (1.25đ) Trong các nghiệm ( x; y ) của bất phương trình log x2 + y 2 ( x + y ) ≥ 1, hãy tìm nghiệm có tổng x + 2 y lớn nhất.

Câu III. 1.(1.0đ) Giải phương trình tan 2 2 x tan 2 3 x tan 5 x = tan 2 2 x − tan 2 3 x + tan 5 x.

2. (1.0đ) Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

k sin x + 1 nhỏ hơn −1. cos x + 2

 7 Câu IVa. (1.5đ) Cho hàm số f ( x ) = x 2 + bx + 1 với b ∈  3;  . Giải bất phương trình  2

f  f ( x )  > x.

Câu Va. (1.5đ) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kì của một elip bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ của elip.

Câu IVb. Cho ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.

1. (1.0đ) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

2. (1.0đ) Hy là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax, đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định.

3. (1.0đ) Hy cắt Ax tại S’. Xác định h theo a để đoạn SS’ ngắn nhất.

Đề số 35 Câu I. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

100

1.(1.0đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

2. (1.25đ) Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

Câu II. (1.25đ) Giải phương trình sin x + cos x = 2 ( 2 − sin 3 x ) . x + y = m .

Câu III. 1. (1.5đ) Giải và biện luận theo m hệ phương trình  2 2 x − y + 2x = 2

2.(1.25đ) Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì, ta luôn có

a3 b3 c3 a+b+c . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 1

e − nx dx ( n ∈ ℕ ).

1 + e− x 0

Câu IVa. Cho I n = ∫ 1. (0.75đ) Tính I1.

2. (1.0đ) Với n > 1, hãy tìm công thức biểu diễn I n qua I n−1. Từ đó tính lim I n . n →+∞

Câu Va. Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol

( P) : y =

1 2 x và đường thẳng 2

( d ) : 2mx − 2 y + 1 = 0.

1.(1.0đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi.

2.(1.0đ) Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của parabol (P).

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm M trong không gian luôn nhìn AB, AD dưới góc vuông.

1. (1.0đ) Chứng minh rằng M chuyển động trên một đường tròn (K). Xác định đường tròn đó.

2. (1.0đ) Cho (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đi qua AB. DM cắt (P) tại N. Tìm quỹ tích điểm N. 3. (1.0đ) Tính thể tích tứ diện DABN biết khoảng cách MA = h.

4. (1.0đ) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích DABN khi M chuyển động. Đề số 36

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

101

Câu I. Cho hàm số y =

x3 1  3sin 2a  − ( sin a + cos a ) x 2 +   x.

3 2  4 

1. (1.25đ) Tìm a để hàm số luôn đồng biến.

2. (1.25đ) Tìm a để hàm số có cực trị. Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực trị, xác đinh a để

x1 + x2 = x12 + x22 .

Câu II. (1.5đ) Giải bất phương trình 5 x +

5 2 x

< 2x +

1 + 4.

2x

Câu III. 1. (1.5đ) Chứng minh rằng hàm số y = sin 2 x − 14sin x cos x − 5cos 2 x + 3 3 33 chỉ nhận giá trị dương.

2. (1.5đ) Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x 2 − 4ax + a 2 − 2a trên đoạn [ −2;0] bằng 2. π

4

 sin x − cos x  Câu IVa. (1.5đ) Tính ∫   0  sin x + cos x 

2 n +1

dx ( n ∈ ℕ* ) .

Câu Va. (1.5đ) Hai đường cong gọi là trực giao với nhau tại điểm A, nếu chúng cắt nhau tại A, và tại đó hai tiếp tuyến của hai đường cong là vuông góc với nhau. Tìm điều kiện đối với a, b, p để tại mỗi giao điểm của chúng, elip

x2 y 2 + 2 = 1 và parabol y = px 2 là trực giao với nhau.

2 a b

Câu IVb. Cho hai điểm A, B đối xứng nhau qua mặt phẳng P, I là giao điểm của AB với P, O là một điểm nằm ngoài P, có hình chiếu vuông góc xuống P là H. M là một điểm chạy trên đường tròn đường kính HI vẽ trong P. 1. (1.0đ) Chứng minh rằng IM là đường vuông góc chung của AB và OM. 2. (1.0đ) Cho AB = 2a, HM = x, MI = y. Tính thể tích khối tứ diện OMAB. Xác định vị trí của M để thể tích khối đó lớn nhất.

3. (1.0đ) Chứng minh rằng hai điểm A, B luôn cách đều đường thẳng OM.

Đề số 37 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

102

Câu I. Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x 2 − ( 2m 2 − 3m + 2 ) x + 2m ( 2m − 1) .

1. (1.0đ) Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. Từ đó, hãy xác định m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với Ox. 2. (1.0đ) Tìm m để hàm số là đồng biến khi x ≥ 2.

3. (1.0đ) Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = −49 x + 98.

Câu II. Cho phương trình lượng giác 1 + sin x + 1 − sin x = k cos x.

1. (1.0đ) Giải phương trình với k = 2.

2. (1.5đ) Giải và biện luận phương trình trong trường hợp tổng quát. 4 x + y −1 + 3.4 2 y −1 ≤ 2 .

Câu III. (1.5đ) Giải hệ  3 2 log 3 x + y ≥ − 4  π

π

Câu IVa.(1.5đ) Tính các tích phân 1. ∫ cos x cos nxdx ( n ∈ ℕ ) , 2. ∫ e 2 x sin 2 xdx. *

n

0

0

Câu Va. (1.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông AC = a, BC = b ( a , b cho trước), A di động trên Ox, B di động trên Oy. Tìm quỹ tích đỉnh góc vuông C của tam giác đó.

Câu IVb. Cho hai tia Ax, By vuông góc với nhau và nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Trên Ax lấy điểm M, trên By lấy điểm N, đặt AM = x, BN = y. Biết AB = k .

1. (1.0đ) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. 2. (1.0đ) Giả sử M chạy trên Ax, N chạy trên By sao cho luôn luôn ta có AM + BN = MN . Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. 3. (1.0đ) Với điều kiện ở 2, hãy xác định M (hay N) sao cho tứ diện ABMN có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Đề số 38 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

103

Câu I. Cho phương trình y = x 4 − 4 x3 + 8 x = k .

1. (1.0đ) Giải phương trình với k = 5.

2. (1.25đ) Tìm k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu II. Biết rằng a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích tam giác đó, hãy xác định dạng của tam giác nếu 1. (1.0đ) S =

1 3 2 ( a + b − c )( a − b + c ) ; 2. (1.0đ) S = ( a + b + c ) .

4 36

Câu III. Cho hàm số y =

2x +1 . x+2

1. (1.25đ) Chứng minh rằng đường thẳng y = − x + m luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.

2. (1.0đ) Tìm t sao cho phương trình

2sin x + 1 = t có đúng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện sin x + 2

0 ≤ x ≤ π.

Câu IVa. (1.5đ) Tính diện tích hình hữu hạn chắn bởi các đường cong ax = y 2 , ay = x 2 (a > 0 cho trước).

Câu Va. (2.0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, cho tam giác ABC với các đỉnh A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) . Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM 2 + MB 2 = MC 2 . Biện luận kết quả tùy theo tính chất hình học của tam giác ABC.

Câu IVb. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với độ dài cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên cạnh AA’, điểm N chạy trên cạnh BC sao cho AM = BN = h với 0 < h < 1.

1. (1.25đ) Chứng minh rằng khi h thay đổi, MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định.

2. (1.25) Gọi T là trung điểm cạnh C’D’. Hãy dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNT) cắt hình lập phương. Chứng minh rằng mặt phẳng đó chia hình lập phương ra hai phần với thể tích bằng nhau.

3. (1.0đ) Tìm h để thiết diện có chu vi nhỏ nhất.

Đề số 39 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

104

Câu I. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5.

1. (1.25đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. (0.75đ) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.

3. (0.75đ) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx.

Câu II. (1.5đ) Tam giác ABC có các góc và các cạnh thỏa mãn hệ thức

1 + cos B 2a + c . = sin B 4a 2 − c 2

Chứng minh rằng ABC là một tam giác cân.

Câu III. 1. (1.75đ) Trên parabol y = x 2 , lấy hai điểm A ( −1;1) , B ( 3;9 ) và một điểm M thuộc cung AB. Xác định vị trí của M sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất.

2 y ≥ x 2 . Hãy chứng minh x 2 + y 2 ≤ 2.

2. (1.0đ) Hai số x, y thỏa mãn các điều kiện  2  y ≤ −2 x + 3 x Câu IVa. Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho đường thẳng D xác định bởi hệ  x − z sin α + cos α = 0 , trong đó α là tham số. phương trình   y − z cos α − sin α = 0 1. (0.75đ) Xác định véc-tơ chỉ phương của đường thẳng D. 2. (0.75đ) Chứng minh rằng đường thẳng D tạo với trục Oz một góc không phụ thuộc vào α .

3. (0.75đ) Viết phương trình hình chiếu D’ của D lên mặt phẳng Oxy. 4. (0.75đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị α , đường thẳng D’ luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định thuộc mặt phẳng Oxy. Câu IVb. Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Lấy lần lượt trên Ox, Oy, Ozcác điểm P, R, Q khác O. Gọi A, B, C theo thứ tự là trung điểm các đoạn PQ, QR, RP. 1. (1.0đ) Chứng minh rằng 4 mặt của khối tứ diện OABC là những tam giác bằng nhau.

2. (1.0đ) Chứng minh rằng ABC là tam giác có 3 góc nhọn.

3. (1.0đ) Giả sử tứ diện OABC có góc nhị diện cạnh OA vuông. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có tan A.tan B = 2. Đề số 40 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

105

Câu I.Cho hàm số y =

( m + 1) x + m . x+m

1. Với m = 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.

2. Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định.  x + xy + y = m + 1 .

Câu II. Cho hệ phương trình  2 2  x y + xy = m

1. Giải hệ với m = 2. 2. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0; y > 0.

Câu III. 1. Giải phương trình 3cos x + cos 2 x − cos 3 x + 1 = 2sin x sin 2 x.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên tương đương với phương trình sau

m cos 3 x + ( 4 − 8m ) sin 2 x + ( 7m − 4 ) cos x + ( 8m − 4 ) = 0.  x2 − 2 x + 1  Câu IVa. 1. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ln  2  .  x + 2x + 1  1

2. Tính tích phân

x2 − 1 ∫0 x 4 + 1 dx.

Câu Va. Hai đường cong gọi là trực giao với nhau tại A, nếu chúng cắt nhau tại A và tại đó hai tiếp tuyến của đường cong là vuông góc với nhau. Tìm điều kiện đối với a, b, c, d để tại mọi giao điểm của chúng, elip

x2 y 2 x2 y2 + = 1 − = 1 là trực giao với nhau. và hypebol a2 b2 c2 d 2

Câu IVb.Cho hình cầu bán kính R, AB là đường kính của nó. Qua A và B, dựng các tia At1 , Bt2 tiếp xúc với hình cầu và vuông góc với nhau. MN là một tiếp tuyến biến thiên của hình cầu, với M ∈ At1 , N ∈ Bt2 , T là tiếp điểm. Đặt AM = x, BN = y.

1. Chứng minh xy = 2 R 2 , và tứ diện ABMN có thể tích không đổi.

2. Chứng minh tiếp điểm T chuyển động trên một đường tròn. Đề số 41

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

106

Câu I. Cho hàm số y =

x 2 − 2mx + m . x+m

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1.

2. Chứng minh nếu đồ thị của hàm số cắt Ox tại x = x0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là

k=

2 x0 − 2m . x0 + m

3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.

Câu II.Cho hàm số y =

( m + 1) x − m ( a > 0; a ≠ 1) . log a ( mx − m + 2 )

1 1. Tìm miền xác định của hàm số khi m = − .

2 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi x ≥ 1.

Câu III. 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì, ta luôn có

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − cos A cos B cos C (1) .

2. Giả sử A, B, C là 3 góc nhọn thỏa mãn hệ thức (1). Chứng minh đó là 3 góc của một tam giác.

Câu IVa.Cho họ đường thẳng D ( p ) : y = ( 2 p + 1) x − p 2

( p ∈ ℝ ).

1. Với p ≠ q, tìm giao điểm của D ( p ) và D ( q ) .

2. Cho p cố định và q → p. Tìm vị trí giới hạn của giao điểm trên. Từ đó, chứng tỏ D ( p ) luôn tiếp xúc với một parabol cố định.

3. Xác đinh p để khoảng cách từ điểm A ( 0;1) đến D ( p ) là nhỏ nhất.

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a; AC = BD = b; AB = CD = c.

1. Chứng minh đoạn thẳng nối các điểm giữa của cặp cạnh đối là đoạn vuông góc chung của cặp cạnh đó.

2. Chứng minh tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện trùng nhau.

3. Tính thể tích tứ diện theo a, b, c. Đề số 42 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

107

Câu I. Cho hàm số y =

mx 2 + 3mx + 2m + 1 . x −1

1 1. Với m = − .

2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x 2 + 3x + 2k x − 1 = 0.

2. Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với Ox. Câu II. Cho bất phương trình m.92 x

2

−x

− ( 2m + 1) .6 2 x

2

−x

+ m.42 x

2

−x

≤ 0.

1. Giải bất phương trình khi m = 6.

1 2.Tìm m để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi x thỏa x ≥ .

2 Câu III. 1. Cho phương trình sin x + m cos x = 1 (1) . a. Giải phương trình với m = − 3. b. Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm.

2. Xác định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình m sin x + cos x = m 2 ( 2 ) .

Câu IVa. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn

 y = xe x  bởi các đường  x = 1 y = 0 

( 0 ≤ x ≤ 1) .

Câu Va. Khoảng cách từ một điểm A đến một đường cong là giá trị nhỏ nhất của đoạn AM, với M là điểm thuộc đường cong ấy.

1 1. Tính khoảng cách từ điểm A ( a; −a ) đến đường hypebol y = . x 2. Xác định tâm và bán kính các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 1 và với cả hai

1 nhánh của hypebol y = . x

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

108

Câu IVb. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm N

(

)

thuộc đoạn BD với AM = DN = x 0 < x < a 2 .

1. Chứng minh rằng với x =

a 2 , thì đoạn MN ngắn nhất.

3

2. Khi MN ngắn nhất hãy chứng minh a. MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB;

b.MN song song với A’C.

3. Chứng minh khi x thay đổi thì MN luôn song song với mặt phẳng (A’BCD’).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

109

Đề số 43 Câu I. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − ( m2 − 1) .

1. Với m = 0. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2  b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A  ; −1 . 3  2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương. ax + y = b .

Câu II. Cho hệ phương trình  2  x + ay = c + c

1.Với b = 0, hãy giải và biện luận hệ theo a và c.

2.Tìm b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm.

Câu III. 1. Chứng minh tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi

a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (1) .

2. Tính các góc A, B, C của tam giác, biết rằng tam giác đó thỏa mãn hệ thức (1) và hệ thức sin 2 A + sin 2 B + cos 2 A + cos 2 B = 2.

1 Câu IVa.Chứng minh rằng < 2

1

2

∫ 0

dx 1 − x2n

<

π ( n = 2,3, 4,...) .

6

x2 y 2 Câu Va.M, N là hai điểm trên một tiếp tuyến của elip 2 + 2 = 1, sao cho mỗi tiêu điểm F, F’ a b của elip nhìn đoạn MN dưới góc vuông. Hãy xác định vị trí của M và N trên tiếp tuyến ấy.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (T) đường kính AB = 2 R. S là một điểm thuộc đường thẳng vuông góc với P tại A. Mặt phẳng Q qua A và vuông góc với SB tại K. C là một điểm thuộc đường tròn (T). Đường thẳng SC cắt mặt phẳng Q tại H.

= α.

1. Giả sử S cố định với SA = h, còn C chuyển động trên (T). Đặt BAC a. Tính thể tích tứ diện SAHK theo R, h và α . b. Chứng minh rằng thể tích tứ diện SAHK đạt giá trị lớn nhất tại góc α 0 >

π . Xác định α 0 .

4

2. Giả sử S chuyển động trên đường thẳng vuông góc với P tại A, còn C cố định ( C ≠ B ) . Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

110

Đề số 44 Câu I. Cho phương trình x 2 − ( 2sin α − 1) x + 6sin 2 α − sin α − 1 = 0, trong đó α là tham số.

1. Với những giá trị nào của α thì phương trình có nghiệm?

2. Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

x12 + x22 khi α thay đổi. m −1 . Tìm điều kiện cần và đủ đối với m để trên mặt phẳng x +1 tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Câu II. 1. Cho hàm số y = x − 1 +

2. Giải và biện luận phương trình

a − b cos x 2 a 2 − b 2 tan y . = sin x 1 + tan 2 y

Câu III. Cho tam giác ABC.

= MBC = MCA .

1. Hãy chỉ cách dựng điểm M trong tam giác đó, sao cho MAB = ϕ . Chứng minh hệ thức cot ϕ = cot A + cot B + cot C. 2. Đặt MAB Câu

IVa. 9

Khai 10

(1 + x ) + (1 + x )

triển

và

rút

gọn

các

đơn

thức

đồng

dạng

từ

biểu

thức

14

+ ⋯ + (1 + x ) , ta sẽ được đa thức P ( x ) = A0 + A1 x + A2 x 2 + ⋯ + A14 x14 . Hãy

xác định hệ số A9 .

Câu Va.A là một điểm tùy ý trên parabol y = px 2

( p > 0 ) , D là một đường thẳng song song với

tiếp tại A của parabol. Đường thẳng D cắt parabol tại M và N. Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình chắn phía trên bởi đường thẳng D, và phía dưới bởi parabol.

= α.

Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và ASB 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp.

3. Chứng minh rằng hai tâm mặt cầu đó trùng nhau khi và chỉ khi α = 450.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

111

Đề số 45

 x y + y x = 30 .

Câu I. 1. Giải hệ phương trình   x x + y y = 35 2.Xác định các giá trị của m sao cho qua điểm A ( 0;1) không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ

2 x 2 + mx + m . thị hàm số y = x +1 Câu II. 1. Giải phương trình

3 ( cos 2 x + cot 2 x ) − sin 2 x = 2. cot 2 x − cos 2 x

2. Chứng tỏ rằng nếu sin 2 A + sin 2 B = 4 sin A sin B thì ABC là một tam giác vuông.

3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của x và y, ta đều có

4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 ( x − y ) + 4sin 2 x sin 2 y + sin 2 ( x − y ) ≥ 2. ( x − 1) lg 2 + lg ( 2 x +1 + 1) < lg ( 7.2 x + 12 ) Câu III. 1. Giải hệ bất phương trình  (1) . log x ( x + 2 ) > 2 2. Tìm các giá trị của m để phương trình để phương trình m.2−2 x − ( 2m + 1) 2− x + m + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2

( x1 < x2 ) , sao cho

x1 nằm ngoài và x2 nằm trong khoảng nghiệm hệ (1).

Câu IVa. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = ln x; y = 0; x = 1; x = 2.

x2 y 2 Câu Va. Cho elip 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , t là một tiếp tuyến của elip, cắt các đường thẳng a b x = a; x = − a tại M và N. Xác định tiếp tuyến t sao cho tam giác FMN có diện tích nhỏ nhất, trong đó F là một trong hai tiêu điểm của elip.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = b. Gọi I, J là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật. Trong mặt phẳng qua IJ và vuông góc với P, dựng nửa đường tròn đường kính IJ. Gọi S là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đó.

1. Gọi AA’ là đường cao xuất phát từ A của tam giác SAB. Chứng minh rằng AA’ vuông góc với BJ. 2. Gọi H’, K’ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của các trực tâm H, K của các tam giác SAB và SCD xuống P. Chứng minh rằng tích HH’.KK’ là đại lượng không đổi khi S chạy trên nửa đường tròn đã cho.

3.Một điểm M chạy trên đường thẳng AD và một điểm N chạy trên đường thẳng BC sao cho góc

' N = 900. Giả sử điểm S cố định, hãy tìm vị trí của M, N sao cho hình chóp S.MNH’ có thể tích nhỏ MH nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

112

Đề số 46 Câu I. 1. Số đo ba góc của tam giác ABC lập thành một cấp số cộng và thỏa mãn đẳng thức

sin A + sin B + sin C =

3+ 3 .

2

a. Tính các góc A, B, C. b. Biết nửa chu vi tam giác bằng 50 (đơn vị dài). Tính các cạnh của tam giác.

2. Giải phương trình cot x = tan x +

1 . sin x

1 ≥ 0 được thỏa mãn với mọi 100 cặp số ( x; y ) là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y = x và y = − x.

Câu II.Xác định k để bất đẳng thức 25 x 2 + 25 y 2 + kxy − x − y +

2

 x2   x2  3 m − + 4m với tham số m.

Câu III. Cho hàm số y = f1 ( x, m ) = ( m + 1)   2  2   1+ x   1+ x  1. Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.

2.Xác định m để hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất.

3. Xác định m và k để hàm số y = f1 ( x, m ) cắt đồ thị hàm số y = f1 ( x, m ) = −

k 2 2

(1 + x )

tại 3

điểm phân biệt.

( )

2

Câu IVa. Chứng minh rằng nếu n và k là hai số tự nhiên với 0 ≤ k ≤ n, thì C2nn+ k .C2nn −k ≤ C2nn .

2

2

Câu Va. 1. Cho đường tròn ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn tại điểm ( x0 ; y0 ) có phương trình ( x0 − a )( x − a ) + ( y0 − b )( y − b ) = R 2 .

2. Tìm tiếp tuyến chung của hai đường tròn x 2 + y 2 − 10 x + 24 y = 56; x 2 + y 2 − 2 x − 4 y = 20.

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD nằm trên mặt phẳng P. Qua A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với P. M là một điểm trên Ax. Đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng (MCB) cắt P tại R; đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng (MCD) cắt P tại S. 1. Chứng minh A, B, R thẳng hàng và A, D, S thẳng hàng.

2. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn RS khi M di chuyển trên Ax. 3. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A trong tam giác AMI. Chứng minh AH là đường cao của tứ diện ARMS và H là trực tâm của tam giác MRS. Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

113

Đề số 47 Câu I. Cho hàm số y = 4 x3 + mx.

1. Tùy theo giá trị của m hãy xét sự biến thiên của hàm số.

2. Xác định m để y ≤ 1 khi x ≤ 1.

Câu II. Cho bất phương trình mx − x − 3 ≤ m + 1.

1 1. Giải bất phương trình với m = .

2 2. Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm?

Câu III. 1. Giải phương trình

(

)

cos x 2sin x + 3 2 − 2 cos 2 x − 1

2. Trong tam giác ABC, biết tan

1 + sin 2 x

= 1.

A B 1 1 .tan = . Chứng minh c = ( a + b ) .

2 2 3 2

x2 y 2 + = 1. Xét hình vuông ngoại tiếp elip (tức là các cạnh của hình vuông 6 3 đều tiếp xúc với elip). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông đó.

Câu IVa. Cho elip

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng P. Hai điểm M, N di động trên cạnh CB và CD, đặt CM = x; CN = y. Trên đường thẳng At vuông góc với P, lấy điểm S. Tìm liên hệ giữa x và y để

1. Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 450.

2. Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

114

Đề số 48

x2 Câu I. Cho hàm số y = . x −1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x − 1.

3. Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình z 4 − mz 3 + ( m + 2 ) z 2 − mz + 1 = 0, trong đó m là tham số.

Câu II. 1. Giả sử P là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, C lần lượt là x, y, z và đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là p, q, r. Chứng minh

x + y + z ≥ 2 ( p + q + r ).  17π  2. Giải phương trình sin 2 2 x − cos 2 8 x = sin  + 10 x  .  2  Câu III. 1. Giải và biện luận theo tham số m bất phương trình

(

)

4 x 2 − 2 m + 1 + m x + m 1 + m < 0.

2. Giải phương trình

3

2 x − 1 = x 3 16 − 3 2 x + 1.

x2 − 2 x + 2 . Tìm quỹ tích các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp Câu IVa. Cho hàm số y = x −1 tuyến vuông góc.

Câu IVb. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại B. Biết

AB = a, BC = b, AA ' = c ( c 2 ≥ a 2 + b 2 ) . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với CA’.

1. Dựng thiết diện do P cắt lăng trụ.

2. Tính diện tích thiết diện đó.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

115

Đề số 49 Câu I. 1. Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành.

2. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2m ( m − 4 ) x + 9m 2 − m. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.

3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được ở phần 2.

C C    Câu II. 1. Chứng minh nếu tam giác ABC có a  cot − tan A  = b  tan B − cot  thì ABC là 2 2    một tam giác cân.

2. Giải phương trình 3sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin 3 3x.

Câu III. 1. Với giá trị nào của m thì phương trình 2

1

2

x −1

(

= 3m − 2 có duy nhất một nghiệm?

)

2

2. Giải bất phương trình 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 3 + 2 x .

3. Cho các số x1 ; x2 ; y1; y2 ; z1 ; z2 thỏa mãn các điều kiện x1 x2 > 0; y1 z1 ≥ y12 ; x1 z2 ≥ y22 . Chứng minh rằng ( x1 + x2 )( z1 + z2 ) ≥ ( y1 + y2 )2 .

 x + kz − k = 0 Câu IVa. Trong không gian, cho đường thẳng D ( k ) có phương trình  với k là (1 − k ) x − ky = 0 một số tùy ý khác 0. Chứng minh rằng khi k thay đổi 1. Đường thẳng D ( k ) luôn đi qua một điểm cố định.

2. Đường thẳng D ( k ) luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.

Câu IVb. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S với góc phẳng ở đỉnh bằng 600. AB là một đường kính cố định của đáy.

1.C, D là hai điểm thuộc đường tròn đáy và ở về cùng một phía đối với AB, sao cho = α < 450 , BAD = 450. Tính góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) theo α .

BAC 2. EF là một dây cung thay đổi của đường tròn đáy, luôn luôn vuông góc với AB. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SEF.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

116

Đề số 50

mx 2 + 6 x − 2 Câu I. Cho hàm số y = . x+2 1. Xác định m để hàm số là nghịch biến trên khoảng [1; +∞ ) .

2. Tùy theo các giá trị khác nhau của m, hãy xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số.

(

Câu II. Cho phương trình 5 + 2 6

)

tan x

(

+ 5−2 6

)

tan x

= α.

1. Giải phương trình với α = 10.

2. Giải và biện luận phương trình theo α .

Câu III. Giải và biện luận theo a bất phương trình x 2 − 5 x + 4 < a.

Câu IV. Cho a 2 + b 2 > 0, và hai đường thẳng d1 : ( a − b ) x + y = 1, d 2 : ( a 2 − b 2 ) x + ay = b.

1. Xác định giao điểm của d1 và d 2 .

2. Tìm điều kiện đối với a, b để giao điểm đó nằm trên trục hoành.

Câu Va. 1. Viết phương trình của elip E có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e =

4 và các tiêu điểm nằm 5

trên Ox, đối xứng nhau qua Oy.

 15  2.Viết phương trình các tiếp tuyến của elip đi qua điểm  0;  .  4 3. Tính diện tích hình phẳng chắn bởi elip E và hai tiếp tuyến trên.

Câu Vb. Trong mặt phẳng P cho hình thoi ABCD. Dựng các nửa đường thẳng By, Cx, Dt về cùng một phía đối với P và cùng vuông góc với mặt phẳng ấy. Trên Dt lấy đoạn DD ' = x ( x > 0 thay đổi), trên By lấy đoạn BB ' = kx ( k > 0 cho trước). Mặt phẳng (AB’D’) cắt Cz tại C’.

1. Tính CC’ theo x. Nhận dạng của tứ giác AB’C’D’. Xác định x để tứ giác AB’C’D’ là hình thoi.

2. Gọi giao điểm của BC với B’C’, CD với C’D’, BD với B’D’ lần lượt là I, J, K. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K cùng nằm trên một đường thẳng cố định khi x thay đổi.

3. Xác định k để hình chóp A.BB’DD’ có mặt cầu ngoại tiếp.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

117

Đề số 51

x 2 cos α + 2 x sin α + 1 Câu I. Cho hàm số y = . x−2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi α = π .

2. Trong trường hợp tổng quát, xác định phương trình tiệm cận xiên của đồ thị. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên.

3. Tìm α để khoảng cách ấy lớn nhất.

Câu II. 1. Giải phương trình sin x − cos x + 4sin 2 x = 1.

2. Chứng tỏ nếu trong tam giác ABC có

cos 2 A + cos 2 B 1 = ( cot 2 A + cot 2 B ) thì ABC là tam giác 2 2 sin A + sin B 2

cân.

2  Câu III. Giải bất phương trình 2 + x 2 − 7 x + 12  − 1 ≤ x 

(

)

(

2 14 x − 2 x 2 − 24 log x . x

)

Câu IVa. Cho f ( x ) là hàm số có tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ O. Chứng minh rằng có thể phân tích f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) trong đó g ( x ) là hàm chẵn, h ( x ) là hàm lẻ. Chứng tỏ rằng cách phân tích đó là duy nhất. x − 2z = 0 Câu Va. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  và vuông góc với 3 x − 2 y + z − 3 = 0 mặt phẳng x − 2 y + z + 5 = 0.

Câu IVb. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) và SA = SB = a.

1. Chứng tỏ SBC là một tam giác vuông.

2. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x.

Câu Vb. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) . Biết rằng phương trình f ( x ) = x không có nghiệm, hãy chứng minh phương trình af 2 ( x ) + bf ( x ) + c = x không có nghiệm.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

118

Đề số 52

ax 2 + 3ax + 2a + 1 Câu I. Cho hàm số y = (1) . x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = −1.

2. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi a.

3. Với giá trị nào của a thì đồ thị của (1) tiếp xúc với đường thẳng y = a ?

Câu II. 1. Trực tâm của tam giác ABC là H. Chứng minh các tam giác ABH, ACH, BCH có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau.

2. Giải phương trình cos

4x = cos 2 x.

3

Câu III. 1. Giải phương trình

(

x

2− 3

) ( +

x

2+ 3

) = 4.

2. Tìm tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4ax + − x 2 + 4 x − 3 lớn hơn 2. π

Câu IVa. Tính

2

∫ 0

sin x cos x a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x

dx ( a, b ≠ 0 ) .

Câu Va.Xác định các tham số l và m để cho mặt phẳng 5 x + ly + 4 z + m = 0 thuộc chùm phẳng

α ( 3x − 7 y + z − 3) + β ( x − 9 y − 2 z + 5) = 0.

Câu IVb.Cho tứ diện SABC có các phẳng ở đỉnh S vuông.

1. Chứng minh

3S ABC ≥ SSBC + S SBA + S SAC .

2. Biết rằng SA = a; SB + SC = k . Đặt SB = x. Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k, x và xác định SB, SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất.

3.Cho A cố định, B, C thay đổi sao cho SB + SC = k không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm O của các đường chéo của hình hộp có ba cạnh là SA, SB, SC.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

119

Đề số 53 Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sô y = x + 4 x 2 + 2 x + 1.

2. Xác định tất cả các điểm trên trục tung, sao cho từ mỗi điểm ấy ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị.

Câu II. 1. Tìm tham số m sao cho bất phương trình sau vô nghiệm

2.Tìm nghiệm của bất phương trình

1 3 sin 2 x + sin 2 x ≥ m.

2

1 3 sin 2 x + sin 2 x ≥ 3 thỏa mãn điều kiện 2

lg ( x 2 + x + 1) < 1.

A B C , cot , cot theo thứ 2 2 2 tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

Câu III. 1. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc sao cho cot

2.

Cho

a , b, c , d , p , q

thỏa

p 2 + q 2 − a 2 − b 2 − c 2 − d 2 > 0.

mãn

Chứng

minh

rằng

2

( p 2 − a 2 − b2 )(q 2 − c 2 − d 2 ) ≤ ( pq − ac − bd ) .

Câu IVa. Chứng minh − arctan x + arctan

1+ x π = , ∀x ∈ ( −∞;1) .

1− x 4

Câu Va. 1. Chứng tỏ hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau

x y −1 z = = và 1 −2 3

3 x + y − 5 z + 1 = 0 .  2 x + 3 y − 8 z + 3 = 0

2. Hai đường thẳng đó có cắt nhau không?

Câu IVb. 1. Tứ diện SABC có góc tam diện đỉnh S là tam diện vuông. Đáy ABC có ba góc A, B, C. Đặt SA = a, SB = b, SC = c. Chứng minh rằng a 2 tan A = b 2 tan B = c 2 tan C .

2. Tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối tứ diện theo x. Tìm x để thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

120

Đề số 54 Câu I. Cho α , β , γ là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp chữ nhật với ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh. Chứng minh

1. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1; 2.

4 cos 2 α + 1 + 4 cos 2 β + 1 + 4 cos 2 γ + 1 ≤ 21.

Câu II. 1. Tùy theo giá trị của tham số m hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin 4 x + cos 4 x + m sin x cos x.  xy + yz + zx = 27  1 1 1 2. Giải hệ phương  + + = 1 . x y z  x + y + z = 9

Câu III. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + (12m + 5 ) x + 2 với m là tham số.

1. Xác định m để hàm số đồng biến trong khoảng ( 2; +∞ ) .

2. Xác định mđể hàm số đồng biến trong các khoảng ( −∞; −1) , ( 2; +∞ ) .

3. Khi m = 1 qua điểm A ( −2;5 ) có thể kẻ được mấy đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho?

Câu IV. Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường x + y = 0; x 2 − 2 x + y = 0.

Câu Va. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm M ( 2;3; −5 ) và song song với 3 x − y + 2 z − 7 = 0 . đường thẳng  x + 3 y − 2z + 3 = 0

Câu IVb. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi K, N là trung điểm của SA, SB. Điểm M nằm trên SM 2 = .

SC sao cho MC 3 1. Tìm tỉ số diện tích hai tam giác ASC và AKM. 2. Mặt phẳng qua K và song song với AB, SC có đi qua N không?

3. Qua K, M, N dựng mặt phẳng P. a. Xác định thiết diện tạo bởi P và hình chóp đã cho. b. Chứng minh KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau. c. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng P là h và thể tích hình chóp là V. Tìm diện tích thiết diện theo V và h.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

121

Đề số 55

2 x2 + ( m − 2) x Câu I. Cho hàm số y = , trong đó m là tham số. x −1 1. Với những giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Khi đó hãy tìm quỹ tích của điểm cực đại và quỹ tích của điểm cực tiểu của đồ thị.

2. Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào.

1 1 Câu II. Giải và biện luận phương trình x + x + + x + = a.

2 4

Câu III. 1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng a sin A, b sin B, c sin C là ba cạnh của một tam giác.

2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có

1 1 1 + +⋯+ < 2.

2 3 2 ( n + 1) n

Câu IVa. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình H quay quanh trục Ox, với H là hình giới hạn bởi các đường y = 0; y = cos6 x + sin 6 x ; x = 0; x =

π .

2

 x − 2 y + 3z − 4 = 0 .

Câu Va. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng  3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0

Câu IVb. Cho tứ diện SABC có cạnh SA ⊥ ( ABC ) , nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông. Cho biết

(

= 450 ; ASB =α 0<α <π SB = a 2; BSC

2

).

1. Chứng minh rằng BC ⊥ SB. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. 2. Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của α thì thể tích đó lớn nhất.

3. Xác định α để góc phẳng của nhị diện cạnh SC bằng 600.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

122

Đề số 56

x2 + x + 1 Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = . x2 − 1 2. Biện luận số nghiệm của phương trình

3 x2 + x + 1 = a 2 − 4a + 3 + theo a.

2 x −1 2

Câu II. 1. Cho phương trình cos 2 x − tan 2 x =

cos 2 x − cos3 x − 1 , x ∈ [1;70] . Tính tổng các cos 2 x

nghiệm của phương trình trên.

2. Xác định a sao cho phương trình (1 − a ) tan 2 x −

2 + 1 + 3a = 0 có nhiều hơn một nghiệm cos x

 π thuộc  0;  .  2 log x ( ax + by ) + log y ( ay + bx ) = 4 .

Câu III. Cho hệ phương trình  log x ( ax + by ) .log y ( ay + bx ) = 4 1. Giải hệ khi a = 3, b = 5. 2. Giải hệ và biện luận hệ trên khi a > 0, b > 0.

Câu IVa. Cho Sn =

1 1 1 . Tính lim = Sn . + +⋯+ n →∞ n +1 n + 2 n+n

Câu Va. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P ( 2; −1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0; d 2 : 3x + 6 y − 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao

điểm của hai đường thẳng d1 , d 2 .

Câu IVb. 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác cân tại A, trung tuyến AD = a, SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt phẳng (SAD) góc β . Tính thể tích hình chóp đó.

2. Chứng ming nếu bốn mặt của một tứ diện có diện tích bằng nhau thì bốn mặt đó bằng nhau.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

123

Đề số 57 Câu I. Cho hàm số y =

( m − 2 ) x − ( m 2 − 2m + 4 ) x−m

trong đó m là tham số.

1. Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

2.Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.

3. Tìm các điểm trên mặt phẳng mà đồ thị không thể đi qua, dù m lấy bất kì giá trị nào.

 x 2 + 2 x + a ≤ 0 .

Câu II. Cho hệ bất phương trình  2  x − 4 x − 6a ≤ 0 1. Tìm a để hệ có nghiệm. 2. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.

Câu III. 1. Cho phương trình 3cos x + 2 sin x = k . Giải phương trình với k = 2 và k = 3.

2. Chứng minh nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, với a ≤ b ≤ c thì ( a + b + c ) ≤ 9bc. π

Câu IVa. Tính

2

∫ 0

cos xdx .

2 + cos 2 x

Câu Va. Cho P ( 3;0 ) và hai đường thẳng ( d1 ) : 2 x − y − 2 = 0, ( d 2 ) : x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1 , d 2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình của d biết rằng PA = PB.

Câu IVb. Tứ diện OABC có cạnh OA = Ob = OC = a và các góc AOB = AOC = 600 ,

= 900.

BOC 1. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng tỏ rằng ABC là một tam giác vuông.

2. Chứng minh OA ⊥ BC và nếu I, J lần lượt là trung điểm của OA và BC thì IJ là đường vuông góc chung của OA và BC. 3. Chứng tỏ các mặt ABC và OBC vuông góc với nhau. Tính độ dài đoạn IJ theo a.

Câu Vb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng P cắt SA, SB, SA SC SB SD . + = + SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N. Chứng minh SK SM SL SN

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

124

Đề số 58 Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 4 − 4 x3 + 3.

2. Chứng minh tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị phần 1 tại hai điểm phân biệt.

Hãy viết phương trình tiếp tuyến này và tìm hoành độ hai tiếp điểm.

3. Dựa vào kết quả trên, hãy suy ra theo tham số m số nghiệm của phương trình x 4 − 4 x 3 + 8 x + m = 0.

4. Tính chất nói trong phòng 2 còn đúng không đối với đồ thị hàm số dạng

y = ax 4 + bx 3 + c ( a, b ≠ 0 ) . ( x − 1)( x − 2a ) ≤ 0 .

Câu II. Giải và biện luận theo tham số a hệ bất phương trình  ( x + 2 )( x + a ) ≤ 0   1  Câu III. Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cos π  a 2 + 2a −   − sin (π a 2 ) = 0.

2   

Câu IVa.Cho hình tròn có tâm I ( 2;0 ) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên.

Câu Va. Lập phương trình của các cạnh tam giác ABC nếu cho B ( −4; −5 ) và hai đường cao có phương trình 5 x + 3 y − 4 = 0;3 x + 8 y + 13 = 0.

Câu IVb. Một hình cầu S1 bán kính r, nội tiếp trong một hình nón có góc ở đỉnh của thiết diện qua trục là

π .

3

1. Tính tỷ số

V1 giữa thể tích V1 của hình cầu và thể tích V của hình nón.

V

2. Gọi S2 là hình cầu nằm trong hình nón tiếp xúc với tất cả các đường sinh và tiếp xúc với S1;

S3 là hình cầu nằm trong hình nón tiếp xúc với tất cả các đường sinh và tiếp xúc với S2 ;⋯; Sk +1 là hình cầu nằm trong hình nón tiếp xúc với tất cả các đường sinh và tiếp xúc với Sk ;… Chứng minh với mọi n, tổng thể tích S1 , S2 , …, S n luôn nhỏ hơn nửa thể tích của hình nón.

Câu Vb. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = cos

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

2x 4x + cos + 1.

2 1+ x 1 + x2

125

Đề số 59 Câu I. Gọi (C) là đồ thị hàm số y =

1 và đường thẳng ( D ) : y = ax + b. x

1.a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng (D) tiếp xúc với (C)?

2. Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó (D) cắt Ox và Oy tại M và N. a. Chứng minh tam giác OMN có diện tích không đổi. b. Chứng tỏ điểm giữa của đoạn MN là tiếp điểm của (D) và (C). c. Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (D) lớn nhất?

Câu II. 1. Cho phương trình

3+ x + 6 − x −

( 3 + x )( 6 − x ) = m.

a. Giải phương trình với m = 3. b. Với những giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

2. Cho a ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = a + cos x + a + sin x .

Câu III. Giải phương trình cos x + sin 3x = 0.

1 π 2π n −1  π .

Câu IV. Tính lim Sn với Sn =  sin + sin + ⋯ + sin n →∞ n n n n   x = 3t + 1 x −1 y + 2 z − 5  = = ;  y = 2t + 2 cùng nằm trên một mặt Câu Va. Chứng minh hai đường thẳng 2 −3 4   z = −2t + 1 phẳng. Lập phương trình của mặt phẳng ấy.

Câu IVb. Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’. Biết OO ' = h, OAB là tam giác vuông ở O, OA = a, OB = b. Gọi P là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với AB’.

1. Nêu cách xác định thiết diện do P cắt lăng trụ. Thiết diện ấy là hình gì?

2. Tìm liên hệ giữa a, b, h để thiết diện ấy là một tam giác, khi đó tính diện tích thiết diện ấy.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

126

Đề số 60

3x 2 + 2 x + 1 Câu I. 1. Khảosát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = .

2x 2. Cho một nửa đường tâm O, đường kính AB = 2 R. Gọi M là một điểm nằm trên nửa đường = a, hãy tìm giá trị của tan a để tròn đã cho và M’ là hình chiếu của M lên AB. Đặt BOM 2 a OM + MM '+ M ' B = mMM ', trong đó m là số cho trước (có thểđặt tan = x).

2 3. Chứng minh có thể tìm được kết quả trong phần 2 nhờ đồ thị của hàm số y =

3x 2 + 2 x + 1 .

2x

Câu II. Với giá trị nào của m thì bất phương trình x 2 − 2mx + 2 x − m + 2 > 0 thỏa mãn với mọi x.

Câu III. 1. Giải phương trình x 2 − 2 x sin xy + 1 = 0.

2. Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình x log a x +1 > a 2 x.

1

Câu IVa. Tính

∫x

−1

2

dx (0 < α < π ). − 2 x cos α + 1

Câu Va. Lập phương trình đường thẳng qua điểm A ( 3; 2;1) vuông góc với đường thẳng

x y z +3 = = và cắt đường thẳng đó.

2 4 1 Câu IVb. Cho hai nửa mặt phẳng α và β vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy đoạn AB = a 2 (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với ∆ và ở trong

β lấy điểm N sao cho BN =

a2 . m

1. Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.

2. Chứng minh thể tích của tứ diện đó không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên Ax. 3. Tìm quỹ tích các chân đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B khi M chạy trên Ax. 4. Tính MN theo m. Tìm m để MN có độ dài cực tiểu. Tính độ dài cực tiểu đó.

5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và tìm quỹ tích của tâm đó khi M chạy trên Ax.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

127

Đề số 61 Câu I. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Xác định các giao điểm của đồ thị với trục hoành.

 23  2. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A  ; −2  .  9  3. Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Câu II. Cho bất phương trình x 2 − ( 3 + m ) x + 3m < ( x − m ) log 1 x.

2

1. Kiểm nghiệm rằng với m = 2 bất phương trình không có nghiệm.

2. Giải và biện luận bất phương trình theo m.

Câu III. 1. Giải phương trình tan 2 x =

1 + cos x .

1 − sin x

2. Tam giác ABC có cả ba góc nhọn và trực tâm H chia đường cao AA’ theo tỉ số tan B.tan C và chứng minh tan A ≥

AH = m. Tính HA '

2 m +1 . m

Câu IVa. Cho hình giới hạn bởi elip

x2 y 2 + = 1 quay quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn a2 b2

xoay được tạo thành.

Câu Va. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

x − 2 y + 2 z −1 = = lên mặt 3 4 1

phẳng x + 2 y + 3 z + 4 = 0.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình chữ nhật ABCD, AB = a, AD = b. Một điểm M chuyển động trên đường tròn ( C ) đường kính BD trong mặt phẳng Q vuông góc với P, cắt P theo giao tuyến BD. Đặt BM = x.

1. Tính thể tích hình chóp M.ABCD theo a, b, x.

2. Chứng tỏ rằng MAC là tam giác vuông.

3. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng MB. Câu Vb. Hàm f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa điều kiện f ( −1) ≤ 1, f ( 0 ) ≤ 1, f (1) ≤ 1. Chứng minh rằng f ( x ) ≤

5 khi x ≤ 1.

4

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

128

Đề số 62

1 1 Câu I. Cho hàm số y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + .

3 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + 2 x2 = 1.

3. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trong khoảng [ 2; +∞ ) .

Câu II. 1.Giải và biện luận theo tham số m phương trình

x 2 − 2mx + 1 + 2 = m.

2. Cho a + b = 2. Chứng minh a 4 + b 4 ≥ 2.

x x + cos 4 2 2 − tan 2 x sin x = 1 + sin x + tan 2 x.

1 − sin x 2

sin 4 Câu III. 1. Giải phương trình

2. Trong tam giác ABC góc B lớn hơn góc C. Gọi α là góc nhọn tạo bởi trung tuyến AM với cạnh BC. Chứng minh rằng 2 cot α = cot C − cot B. Câu IVa. Chứng tỏ nếu y = ln x + x 2 − a 2

thì y ' =

1 x2 − a2

( a > 0) ;

sau đó tính

2a

∫

x 2 − a 2 dx.

a

Câu Va. Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng P. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho

MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu IVb. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với đáy một góc α .

Trong hình chóp đã cho vẽ nội tiếp một hình lăng trụ đứng tam giác có ba đỉnh nằm trên ba trung đoạn, ba đỉnh còn lại nằm trên đáy của hình chóp. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng tâm hình cầu nội tiếp của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của lăng trụ.

1 2  3 3  x − ay = ( a + 1) Câu Vb. Với những giá trị nào của a thì hệ phương trình  có nghiệm và 2 3 2 2  x + ax y + xy = 1  mọi nghiệm của nó đều thỏa mãn phương trình x + y ?

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

129

Đề số 63

ax 2 + bx + c Câu I. Cho hàm số y = . x−2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1, b = −4, c = 8.

2. Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị 1− x . vuông góc với đường thẳng y = 2 3. Giải bất phương trình

2 − 5 x − 3x 2 + 2 x > 2 x.3x 2 − 5 x − 3x 2 + 4 x 2 .3x.

Câu II. 1. Giải phương trình sin 8 x + cos8 x =

17 cos 2 2 x.

16

2. Trong tam giácABCcác góc thỏa mãn hai điều kiện cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C < 1, sin 5 A + sin 5 B + sin 5C = 0. Chứng minh tam giác đó có ít nhất một góc bằng 360.

Câu III. 1. Giải và biện luận phương trình x − 1 ( x + 2 ) + m = 0 (m là tham số).

4 x2 2 px + + 1 − p 2 = 0 có ít nhất một 2. Với những giá trị nào của p thì phương trình 2 4 2 1+ 2x + x 1+ x nghiệm.

Câu IVa. Gọi miền đường được giới hạn bởi các đường y = 0, y = 2 x − x 2 là D. Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay D a. quanh trục Ox,

b. quanh trục Oy.

Va. Lập phương trình đường vuông x −7 y −3 z −9 x − 3 y −1 z −1 , ( d2 ) : . = = = = ( d1 ) : 1 2 2 3 −1 −7

Câu

góc

chung

của

hai

đường

thẳng

Câu IVb. Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz cùng xuất phát tại O, không đồng phẳng và từng đôi một hợp với nhau góc 600. Trên Ox lấy một điểm A sao cho OA = a ( a > 0 là một độ dài cho trước).

1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Oyz.

= 900.

2. Trên Oy lấy điểm B, trên Oz lấy điểm C (B và C không trùng với điểm O) sao cho BAC Đặt OB + OC = m. Chứng minh m > 2a và tính thể tích của tứ diện OABC theo m và a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

130

Đề sô 64

x 2 cos α + x + sin 2 α cos α + sin α Câu I. Cho hàm số y = x + cos α

( α ≠ kπ , k ∈ ℤ ) .

1. Với những giá trị nào của α thì hàm số có cực đại và cực tiểu.

2. Viết phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị.

3. Chứng minh tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Tìm quỹ tích của tiếp điểm.

Câu II. 1. Giải phương trình

cos 2 x + 1 + sin 2 x = 2 sin x + cos x .

là a 2 = b 2 + bc.

2. Chứng minh trong tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để A = 2B

Câu III. Giải và biện luận theo a bất phương trình

x − 4a + 16 ≥ x + 2 x − 2a + 4.

Câu IVa. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường y = 0, y = arcsin x, y = arccos x.

Câu Va.Lập phương trình mặt cầu có tâm I (1; 4; −7 ) , tiếp xúc với mặt phẳng 6 x + 6 y − 7 z + 42 = 0.

Câu IVb. Tâm O của hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên đường thẳng IJ nối trung điểm I của cạnh AB và trung điểm J của cạnh CD. 1. Chứng min IJ là đường vuông góc chung của AB và CD và AC = BD, AD = BC .

2. Giả thiết thêm đường thẳng AO vuông góc với mặt BCD. Chứng minh các cạnh AB và CD vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD. Câu Vb. Cho hình chóp S.ABC; G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng P cắt SA, SB, SC, SA SB SC SG . + + =3 SG theo thứ tự A’, B’, C’, G’. Chứng minh SA ' SB ' SC ' SG '

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

131

Đề số 65 Câu I. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx − 1 ( Cm ) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.

2. Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số ( Cm ) đã cho luôn luôn cắt đồ thị y = x 3 + 2 x 2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 3. Xác định m để đồ thị ( Cm ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C ( 0;1) , D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.

Câu II. Chứng minh nếu với mọi x ∈ [ −1;1] ta có ax 2 + bx + c ≤ h thì a + b + c ≤ 4h.

Câu III. 1. Tìm các nghiệm của phương trình x 2 + x + 12 x + 1 = 36.

 x − y = m . Tìm m để hệ phương trình có 2. Cho hệ phương trình  2 2 ( cos 2 x + cos 2 y ) − 1 − 4 cos m = 0 nghiệm, tính các nghiệm đó.

Câu IVa. Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường x = 0; y = arc tan x; y = arccot x.

Câu Va. Cho hai véc-tơ u , v không cùng phương và có độ dài bằng 1. Chứng minh với mọi véc

tơ w có độ dài bằng 1 và đồng phẳng với u và v thì véc-tơ a = u.w v − v.w u có độ dài

( ) ( )

không đổi.

Câu IVb.Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm trong góc tam diện, một mặt phẳng (α ) qua M cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M tới (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt là a, b, c.

1. Chứng minh tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

2. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích OABC nhỏ nhất.

3. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tổng OA + OB + OC nhỏ nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

132

Đề số 66

x2 − 3x + 4 Câu I. Cho hàm số y = .

2x − 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2.M là một điểm tùy ý thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại A và B. Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB; và tam giác IAB với I là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào M. 3. Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. 2 x + 2 y ≤ 1 .

Câu II. 1. Giải hệ bất phương trình   x + y ≥ −2

2. Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây có nghiệm 1 + 2cos x + 1 + 2sin x = m.

Câu III. Chứng minh nếu m sin ( a + b ) = cos ( a − b ) , trong đó a − b ≠ kπ ( k ∈ ℤ ) và m ≠ 1 thì biểu thức M =

1 1 + không phụ thuộc vào a và b.

1 − m sin 2a 1 − m sin 2b

Câu IVa.Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường y = −3 x + 10, y = 1 và y = x 2 ( x > 0 ) .

Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quay D xung quanh trục Ox tạo nên (miền D nằm ngoài parabol y = x 2 ).

Câu Va.Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện có 4 đỉnh là A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) ,

C ( 6;3;7 ) , D ( −5; −4;8) .

Câu IVb. Cho P và Q là hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆.

1. Chứng minh nếu R là mặt phẳng cắt P và Q theo hai giao tuyến D1 và D2 vuông góc với nhau, thì hoặc D1 ⊥ ∆ hoặc D2 ⊥ ∆.

2. Cho A là một điểm nằm ngoài P và Q. Hãy chỉ ra cách dựng mặt phẳng đi qua A và cắt P, Q theo hai giao tuyến vuông góc.

3. Đường thẳng d phải thỏa mãn điều kiện gì để có vô số mặt phẳng R đi qua d và cắt P, Q theo hai giao tuyến vuông góc?

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

133

Đề số 67 Câu I. Cho hàm số

3m + 1) x − m 2 + m ( y=

x+m

(1)

trong đó m là tham số khác không.

1. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị trục hoành, tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y + 10 = x. Viết phương trình tiếp tuyến ấy.

2. Chứng minh họ đường cong (1) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.

3. Trên đường thẳng x = 1, chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường cong nào của (1) đi qua.

Câu II. 1. Tìm các số x ∈ ( 0; 2π ) (tức là 0 < x < 2π ) thỏa mãn 2

2

sin 3 x − sin x = cos 2 x + sin 2 x.

1 − cos 2 x

2

2

2. Chứng minh nếu phương trình ( x + a ) + ( y + b ) + ( x + y ) = c 2 có nghiệm thì ( a + b ) ≤ 3c 2 .

Câu III. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

cos x + 2sin x + 3 trong khoảng 2 cos x − sin x + 4

−π < x < π .

( x + a ) e−bx khi x < 0 Câu IVa. Xác định a và b để hàm số f ( x ) =  2 có đạo hàm tại điểm x = 0. ax + bx + 1 khi x ≥ 0 Câu Va. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai elip

x2 y2 x2 y 2 + = 1, + = 1.

25 16 16 25

Câu IVb. Cho một tam giác cân SAB có đáy AB = 2a không đổi, cạnh bên SA = x (thay đổi) quay quanh đường cao SH. 1. Tính tỉ số y =

V1 theo a và x, trong đó V1 và V2 theo thứ tự là thể tích các vật thể sinh bởi tam V2

giác SAB và hình tròn nội tiếp tam giác đó trong phép quay nói trên.

2. Khảo sát sự biến thiên của y theo x và biểu diễn bằng đồ thị sự biến thiên đó.

Câu Vb. Cho tứ diện đều ABCD. Phải chọn mặt phẳng P thế nào để hình chiếu vuông góc của tứ diện ABCD lên P có diện tích lớn nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

134

Đề số 68 Câu I. 1. Giải và biện luận phương trình

a b + = 2 với a, b là hai số cho trước. x −b x −a

2. Giải phương trình log x ( x + 1) = lg1,5.

Câu II. 1. Giải phương trình 2 cos3 x + cos 2 x + sin x = 0.

2. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức cos

Câu III. Cho hàm số y =

π 7

− cos

2π 3π + cos .

7 7

x2 + ( m + 2) x − m (1) . x +1

1. Với giá trị nào của m thì hàm (1) có cực đại, cực tiểu.

2. Xác định giá trị của m để cho đường thẳng y = − ( x + 4 ) cắt đường cong (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. π

4sin 3 x dx.

Câu IVa. Tính ∫ x 1 + cos 0 2

Câu Va. Cho hai điểm A ( −1;3; −2 ) , B ( −9; 4;9 ) và mặt phẳng P có phương trình 2 x − y + z + 1 = 0. Tìm điểm K ∈ P sao cho AK + BK nhỏ nhất.

Câu IVb. Cho tứ diện đều ABCD. Dựng AI ⊥ ( BCD ) , I ∈ ( BCD ) . E là trung điểm AI. Hạ

EK ⊥ AD ( K ∈ AD ) .

1. Chứng minh EK đi qua trọng tâm H của tam giác đều ABC, từ đó suy ra EH = EK .

2. Mặt phẳng qua BC và E chia thể tích tứ diện thành hai phần theo tỉ số nào?

3. Mặt phẳng qua BC và E chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số bán kính hình cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

135

Đề số 69 Câu I. Cho hàm số y =

x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 − m , trong đó m là tham số. x + m 2 + 4m + 5

1. Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục Ox, khi m thay đổi.

2. Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục Oy, khi m thay đổi.

3. Xác định a để trên đường thẳng y = a có một điểm duy nhất mà đồ thị không thể đi qua, dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Câu II. Cho bất phương trình

( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m.

1. Giải bất phương trình với m = −12. 2. Tìm m sao cho mọi x ∈ [ −4; −6] đều là nghiệm.

Câu III. 1. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu sin 6 A + sin 6 B + sin 6C = 0?

2. Giải phương trình 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1.

82  2 2 x + y = 9  .

3. Giải hệ  1 10 10 1 x+ + −x+ y = + y+  y y 3 3

π 1  Câu IVa. Chứng minh với mọi x ∈  ;1 ta đều có arctan x − ≥ ln ( x 2 + 1) − ln 2.

4 2  Câu Va.Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 − 10 x + 2 y + 26 z − 113 = 0 và song song với hai đường thẳng

x + 5 y − 1 z + 13 x + 7 y + 1 z − 8 ; . = = = = 2 2 3 0 −3 −2

Câu IVb. Cho hai đường thẳng d, d’ vuông góc với nhau nhưng không nằm trong cùng một mặt phẳng, và cho một điểm A cố định trên d. Với mỗi điểm B thay đổi trên d’, chọn C trên d’ sao cho các mặt phẳng ( d , B ) và ( d , C ) vuông góc với nhau. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao trong tam giác ABC, kẻ từ các đỉnh A, B, C.

1.Chứng minh tích A ' B. A ' C không đổi.

2. Chứng minh trực tâm tam giác ABC là một điểm cố định.

3. Tìm quỹ tích của B’ và C’. Đề số 70 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

136

Câu I. 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số y =

2. Tìm tiệm cận của đường cong y =

2x −1 . x + x+4 2

mx3 − 1 m là tham số. x 2 − 3x + 2

3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 (1) .

Câu II. 1. Giải hệ phương trình  2 2 5 x − 9 xy − 3 y = 15 ( 2 ) x 2

2. Giải phương trình 2 = 3 + 1. x

Câu III. Cho a = x 2 + x + 1; b = 2 x + 1; c = x 2 − 1.

1. Xác định x để a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

2. Với x tìm được, hãy chứng minh tam giác đó có một góc bằng 1200.

1

3  Câu IVa. Tính tích phân f ( t ) = ∫  4sin 4 x −  dx. Giải phương trình f ( t ) = 0.

2 0

Câu Va.Cho hai điểm A ( 3cos t ; 0 ) , B ( 0; 2sin t ) . Tìm tập hợp các điểm M ( x; y ) sao cho

2 AM + 5MB = 0 (khi t thay đổi).

Câu IVb.Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD và BD. 1. Chứng minh A’B’C’D’ là hình vuông.

2. Tính thể tích khối DAA’B’C’D’ theo a.

3. Nếu thay đổi đầu bài bằng cách lấy A’, B’, C’, D’ theo thứ tự trên các đoạn thẳng AB, AC, CD 1 a  và BD sao cho AA ' = AB ' = DC ' = DD ' =  n ≥  thì thể tích khối DAA’B’C’D’ sẽ bằng bao 2n  2 nhiêu?

Đề số 71

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

137

Câu I. Cho hàm số y =

x2 + 2 x + 2 . x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2.A là điểm trên đồ thị có hoành độ a. Viết phương trình tiếp tuyến ta của đồ thị tại điểm A. 3.Xác định a để ta đi qua điểm (1; 0 ) . Chứng minh có hai giá trị của a thỏa mãn điều kiện của bài toán, và hai tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau.

 x + y + xy = a .

Câu II. Giải và biện luận theo a hệ   x − y = a Câu III. 1. Giải phương trình 3 tan 3x + cot 2 x = 2 tan x +

2 . sin 4 x

2. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có cos A + cos B + cos C > 1 và ở vế phải không thể thay 1 bởi một số lớn hơn.

Câu IVa. Tìm họ nguyên hàm của f ( x ) =

2x x + x2 −1

và g ( x ) = cos x.cos 2 x.sin 4 x.

Câu Va.Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( 2;1) và tạo với đường thẳng 2 x + 3 y + 4 = 0 một góc 450.

Câu IVb. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA ' = c. Mặt phẳng P cắt các cạnh AB, AD, DD’ tại các điểm giữa I, J, K của chúng.

1. Xác định các giao điểm của P với các cạnh khác của hình hộp. Từ đó suy ra dạng hình học của thiết diện do P cắt hình hộp.

2. Tính diện tích thiết diện ấy.

Câu Vb. Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất ax 2 − 2 ( a − 1) x + 2 = ax − 2 .

Đề số 72 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

138

Câu I. Cho hàm số y = x 4 − ax3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.

2. Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1.

3. Xác định a sao cho phương trình x 4 − ax3 − ( 2a + 1) x 2 + ax + 1 = 0 có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn 1.

Câu II. 1. Giải phương trình cos 4 x − cos 2 x + 2sin 6 x = 0.

2.a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính R = 1. Chứng minh để tam giác đó nhọn (ba góc nhọn) thì cần và đủ là a 2 + b 2 + c 2 > 8.

 x + 1 + y = m .

Câu III. Xác định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm  + 1 + = 1 y x  Câu IVa. Chứng minh nếu 0 < b < a thì

a −b a a+b . < ln < a b b

Câu Va. Cho biết ba trung điểm ba cạnh của tam giác là M 1 ( 2;1) , M 2 ( 5;3) , M 3 ( 3; −4 ) . Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác đó.

Câu IVb. Cho một hình cầu bán kính R. (L) là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng P cách tâm mặt cầu một khoảng cách bằng h ( 0 < h < R ) . A là một điểm cố định trên (L). Một góc vuông

trong mặt phẳng P quay quanh điểm A; các cạnh Ax, Ay cắt (L) ở C, D. Đường thẳng đi qua xAy A vuông góc với mặt phẳng P cắt mặt cầu ở B. 1. Chứng minh tổng BC 2 + AD 2 và BD 2 + AC 2 luôn có giá trị không đổi.

2. Vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD có giá trị lớn nhất.

3. Tìm quỹ tích của hình chiếu (vuông góc) H của B lên đường thẳng CD.

Đề số 73 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

139

Câu I. Cho hàm số y = x 2 ( m − x ) − m (1) .

1. Chứng minh đường thẳng y = kx + k + 1 luôn cắt đường cong (1) tại hai điểm cố định.

2. Tìm k theo m để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt.

3. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2.

Câu II. 1. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

 x 2 − 5 x + 4 − 9 x 2 − 5 x + 4 + 10 x x = 0 .  2 x − 2 a − 1 x + a a − 2 = 0 ( ) ( )  2. Giải phương trình x3 + 1 = 2 3 2 x − 1.

(

)

Câu III. 1. Tìm mọi nghiệm của phương trình sin x tan 2 x + 3 sin x − 3 tan 2 x = 3 3 thỏa mãn 2 + log 1 x ≤ 0.

2

= β.

2. Cho tam giác ABC có CM là trung tuyến và ACM = α , BCM a. Chứng minh

sin A sin α . = sin B sin β

b. Cho α và β . Hãy tính các góc A, B, C của tam giác.

Câu IVa. Chứng minh với 4 ≤ k ≤ n, ta có Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 = Cnk+ 4 .

Câu Va. Cho n điểm A1 ( x1 ; y1 ) , A2 ( x2 ; y2 ) ,…, An ( xn ; yn ) và n + 1 số k1 , k2 ,…, kn , k sao cho

k1 + k2 + … + kn = 0. Tìm tập hợp các điểm M sao cho k1MA12 + k2 MA22 + … + kn MAn2 = k .

Câu IVb. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a.

1. Chứng minh mặt phẳng (AB’D’) vuông góc với đường chéo A’C. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD).

2. Dựng góc hợp bởi hai mặt phẳng (DA’C’) và (ABBA’), tìm cô-sin của góc đó.

3. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AD, CD và gọi P là một điểm trên cạnh BB’ có BP = 3PB '. Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương và tìm tỉ số thể tích hai phần hình lập phương do thiết diện chia ra. Đề số 74 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

140

Câu I. Cho hàm số y =

x 2 + 5 x + 15 . x+3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tọa độ của điểm đó là các số nguyên.

3. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ M tới trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.

2

Câu II. 1. Giải phương trình ( cos 4 x − cos 2 x ) = 5 + sin 3x.

2. Xác định tham số a sao cho phương trình sau có nghiệm

( cos 4 x − cos 2 x )

2

= ( a 2 + 4a + 3)( a 2 + 4a + 6 ) + 7 + sin 3 x.

Câu III. 1. Chứng minh nếu hai phương trình x 2 + p1 x + q1 = 0, x 2 + p2 x + q2 = 0 có nghiệm 2

chung thì ( q1 − q2 ) + ( p1 − p2 )( q2 p1 − q1 p2 ) = 0.

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức y − 2 x + 5 biết x, y thay đổi và thỏa mãn phương trình 36 x 2 + 16 y 2 = 9.

Câu IVa. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3 x sin 8 x.

Câu Va. Cho hai điểm P ( 2;5 ) và Q ( 5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3.

Câu IVb. Cho hình chóp tam giác A.BCD, M là điểm nằm trong tam giác ABC; các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD) và (ABD) tại A’, B’, C’.

1. Gọi N là giao điểm của DA’ với BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.

2. Chứng minh tỷ số giữa thể tích hai hình chóp M.BCD và A.BCD bằng

3. Chứng minh tổng

MA ' .

AD

MA ' MB ' MC ' + + không đổi. Tìm tổng đó.

AD BD CD

4. Giả sử A.BCD là hình chóp tam giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước. Gọi h là đường cao của hình chóp. Tìm diện tích xung quanh của hình chóp theo r và h. Xác định h để diện tích xung quanh đó là nhỏ nhất (khi r không đổi). Đề số 75 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

141

Câu I. Cho hàm số y =

2 x 2 − 3x + m (1) . x−m

1. Xác định tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị trong trường hợp đó.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện yCD − yCT > 8.

3. Giả sử m ≠ 0 và m ≠ 1. Chứng minh tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1.

 tan y − tan x − tan x tan y = 1 .

Câu II. 1. Giải hệ  cos 2 y + 3 cos 2 x = −1 2. Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y =

ax + b đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ x2 + 1

nhất bằng −1.

6ax + ( 2 − a ) y = 3 .

Câu III. 1. Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình ẩn số x, y  ( a − 1) x − ay = 2 2. Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ đó. Tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với a.

(

Câu IVa. Chứng minh nếu y = ln x + x 2 + a 2

)

thì y ' =

1 2

x + a2

( a > 0) ;

sau đó tính

a

∫

x 2 + a 2 dx.

0

Câu Va. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’.

Chứng minh MN vuông góc với AC.

. Đoạn SO = a vuông góc với mặt phẳng Câu IVb. Cho trên mặt phẳng (α ) góc vuông mOn

(α ) . Các điểm M, N chuyển động trên Om, On sao cho ta luôn có OM + ON = a.

1. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN. 2. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN. Chứng minh khi tứ diện đó có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.

3. Chứng minh tổng các góc phẳng ở đỉnh S của góc tam diện SOMN luôn bằng

π 2

.

4. Chứng minh mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Đề số 76 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

142

Câu I. Cho hàm số y = −

x3 + 3mx 2 − 2, m ≠ 0. m

1. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số nhận điểm I (1;0 ) làm tâm đối xứng.

2. Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ứng với giá trị của m bằng 1.

Câu II. 1. Giải phương trình cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x cos x = cos x + 8cos x cos3 3 x.

2. Cho tam giác ABC vuông ở A, cạnh BC = a. Biết tích số của độ dài hai đường phân giác trong của hai góc trong của hai góc B và C là l 2 . a. Chứng minh sin

B C l2 sin = 2 .

2 2 4a

b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC. Chứng minh BI .CI =

Câu III. 1. Giải phương trình

log a ( 35 − x3 ) log a ( 5 − x )

l2 .

2

> 3 ( a là tham số, a > 0, a ≠ 1) (1) .

2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình 1 + log 5 ( x 2 + 1) − log 5 ( x 2 + 4 x + m ) > 0.

Câu IVa. Ta nói hai hàm f ( x ) và g ( x ) là trực giao với nhau trong đoạn [ −π ; π ] nếu π

∫ f ( x ) g ( x ) dx = 0. Chứng minh hàm u

m

= cos mx trực giao với các hàm uk = cos kx ( k ≠ m )

−π

và vm = sin nx ( m, n, k ∈ ℕ ) .

 x = 2t − 3  x = t '+ 5   Câu Va. Chứng minh hai đường thẳng sau đây cắt nhau ( d1 ) :  y = 3t − 2; ( d 2 ) :  y = −4t '− 1.  z = 4t + 6  z = t '+ 20   Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD với AB = 2a; BC = CD = DA = a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy một điểm chuyển động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD theo thứ tự P, Q, R. 1. Chứng minh tứ giác CDRQ nội tiếp và đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax.2. Với SA = a 3. Hãy tính diện tích tứ giác APQR.

Câu Vb. Tìm những giá trị nguyên của a và b sao cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện −2 < x1 < −1 và 1 < x2 < 2. Đề số 77 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

143

Câu I. 1. Chứng minh bất phương trình x 4 + px + q ≥ 0 thỏa mãn với mọi x khi và chỉ khi

256q 3 ≥ 27 p 4 (1) .

2. Chứng minh nếu p, q thỏa mãn (1) thì với mọi x ta cũng có qx 4 + px 3 + 1 ≥ 0.

Câu II. 1. Giải phương trình log x ( 5 x 2 − 8 x + 3) > 2 ( 2 ) .

2. Xác định tham số a sao cho mọi nghiệm của (2) cũng là nghiệm của bất phương trình x 2 − 2 x + 1 − a 4 ≥ 0.

π 1  Câu III. Giải các phương trình 1. sin 4 x + cos 4  x +  = ; 4 4  n

1   2.  tan x + cot x  = cos n x + sin n x ( n = 2, 3, 4,...) .

4  

Câu IVa. Chứng minh với mọi x ∈ [ −1;1] ta đều có arcsin x + arccos x =

π 2

.

2 x − z − 1 = 0 3 x + y − 2 = 0 ; ( d2 ) :  .

Câu Va. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng ( d1 ) :  − x − y + 4 = 0 3 y − 3 z − 6 = 0

Câu IVb. Trong mặt phẳng P, cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định, với OA = 2 R. Một đường thẳng thay đổi đi qua A, cắt đường tròn tại B và C. Điểm H là hình chiếu = α . M là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C. của O lên BC. Đặt OAB 1. Tính OH, AH, AB + AC theo R và α .

2. Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm x 1 = AB, x2 = AC. Các hệ số của phương trình phải thỏa mãn điều kiện gì?

3. Tìm quỹ tích của H khi α biến thiên. Chứng minh hình chiếu vuông góc của M lên OA là một điểm cố định. Từ đó suy ra quỹ tích của M.

Đề số 78 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

144

Câu I. Cho hàm số y =

2 x3 + ( cos a − 3sin a ) x 2 − 8 ( cos 2a + 1) x + 1 với a là tham số.

3

1. Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.

2. Giả sử hàm số đạt trị tại hai điểm x1 , x2 . Chứng minh x12 + x22 ≤ 18 với mọi a.

Câu II. 1. Giải phương trình ( 4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1.

2. Chứng minh nếu 0 < x <

π 2

thì 2sin x + 2 tan x ≥ 2 x +1.

Câu III. 1.Các góc x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = nπ (n là một số nguyên). n

Chứng minh cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z − 1 = ( −1) 2cos x cos y cos z.

2. Giải phương trình 2 log 3 cot x = log 2 cos x.

Câu IVa. Cho hàm f ( x ) =

a bx 4x − 2 + 2 . . Tìm hai số a, b sao cho f ( x ) = 2 x + 2 x +1 ( x + 2 ) ( x + 1)

t

Tính F ( t ) = ∫ f ( x ) dx, t > 0. Tính lim F ( t ) .

0

t →+∞

Câu Va. Trên trục Oy, tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0; x − y + z − 5 = 0.

Câu IVb. Giải và biện luận theo tham số m phương trình x 2 + x + m = − x 2 + x + 2.

Câu Vb. Đáy của hình chóp P.QRS là tam giác đều QRS. Đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh P đi qua trung điểm của cạnh RS. Người ta cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với các cạnh PQ, RS và cách đỉnh Q một khoảng bằng d. Tìm diện tích thiết diện giữa mặt phẳng đó và hình chóp, biết PQ = m 2; QR = m.

Đề số 79

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

145

1 Câu I. Cho hàm số y = − x3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x − 4.

3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.

2. Xác định a để hàm đồng biến trong khoảng ( 0;3) .

Câu II. Giải và biện luận hệ bất phương trình ( a 2 − 4 ) x ≤ a − 2 ≤ ( a 2 − 2a − 3) x (1) .

sin 2 x = cos x cos y .

Câu III. 1. Giải hệ  2 cos y = sin x sin y 2. Cho hàm số f ( x ) = cos 4 x + a cos 2 x + b sin 2 x. a. Chứng minh f ( x ) nhận cả giá trị âm và giá trị dương. b. Chứng minh nếu f ( x ) ≥ −1 với mọi x thì a = b = 0.

Câu IVa. Chứng minh các hệ thức a. Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋯ + Cnn = 2n ; b. C21n + C23n + C25n + ⋯ + C22nn −1 = C20n + C22n + C24n + ⋯ + C22nn .

Câu Va. Cho elip 4 x 2 + 9 y 2 = 36 và điểm M (1;1) . Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm M 1 , M 2 sao cho MM 1 = MM 2 .

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD. 1. Chứng minh các đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện là đồng quy tại điểm G. 2. Chứng minh các hình chóp đỉnh G với đáy là các mặt của tứ diện có thể tích bằng nhau.

Đề số 80 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

146

Câu I. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = c = 1; b = d = 0.

2. Giả sử a > 0. Chứng minh trong số các tiếp tuyến của (1) thì tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ có hệ số góc nhỏ nhất.

1 Câu II. 1. Giải và biện luận theo tham số m bất phương trình log x 100 − log m 100 > 0.

2 2. Cho các tham số a, b, c thỏa mãn điều kiện abc < 0. Hãy giải bất phương trình x−a x−b x −c 1 1 1 + + > 2 + + . bc ca ab a b c Câu III. 1. Giải phương trình cos 4 x − sin 4 x = cos x + sin x .

2. Chứng minh tồn tại ít nhất một tam giác sao cho các góc của nó đều là nghiệm của phương trình ( 56 − 65sin x ) ( 80 − 64sin x − 65cos 2 x ) = 0.

Câu IVa. Cho D là miền được giới hạn bởi bốn đường y = 0; y = cos 4 x + sin 4 x ; x =

π 2

; x = π.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên do ta quay miền D quanh trục Ox.

Câu Va. Lập phương trình đường thẳng qua điểm M ( −4; −5;3) và cắt hai đường thẳng

x + 1 y + 1 z − 2 x − 2 y +1 z −1 ; . = = = = 3 −2 −1 2 3 −5 Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn đường kính AE cố định. Trên đường thẳng vuông góc với P tại A lấy một điểm S cố định. Xét hình chóp đỉnh S, đáy là tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AE nói trên có các đường chéo vuông góc với nhau. Biết AE = 2 R , AS = h.

1. Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 2. Phải chọn đáy của hình chóp thế nào để thể tích của nó lớn nhất? Hãy tính thể tích lớn nhất ấy.

3. Chứng minh trong trường hợp thể tích hình chóp lớn nhất thì hình chóp ấy có hình cầu nội tiếp.

Tìm tâm và bán kính hình cầu nội tiếp ấy.

Đề số 81

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

147

Câu I. 1. Giải phương trình

3 2 3 3 log1 4 ( x + 2 ) − 3 = log1 4 ( 4 − x ) + log1 4 ( x + 6 ) .

2

2. Giải và biện luận bất phương trình

x − x − 1 > a với a là tham số dương.

Câu II. Với những giá trị nào của m bất phương trình log1 2 ( x 2 − 2 x + m ) > −3 có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số y = log x ( x 3 + 1) .log x +1 x − 2.

x x π x  Câu III. 1. Giải phương trình 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  .

2 2  4 2 sin ( B − C ) .

2. Cho tam giác ABC, trung tuyếnAM, góc AMB = α . Chứng minh cot α = 2sin B sin C

3. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c và diện tích S. Tìm sốp nhỏ nhất thỏa S 2 ≤ p ( a 4 + b 4 + c 4 ) .

1

Câu IV. Tính

n

2 n

∫ (1 − x ) 0

−1) Cnn 2.4.6 … ( 2n − 2 ) 2n Cn1 Cn2 ( + −⋯+ = dx, n ∈ ℕ. Chứng tỏ 1 − .

3 5 2n + 1 1.3.5… ( 2n + 1)

5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 Câu Va. Lập phương trình mặt cầu có tâm I ( 2;3; −1) cắt đường thẳng  tại 3x − 4 y + z − 8 = 0 hai điểm A, B sao cho AB = 16.

Câu IVb. Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho

AB = p.

AE

1. Mặt phẳng (A’DE) chia hình hộp thành hai phần. Gọi thể tích của khối A’ADE là V1 , của phần còn lại của hình hộp là V2 . Tính theo p tỉ số

V2 và xác định vị trí của điểm E trên cạnh AB để tỉ V1

số đó là nhỏ nhất.

2. Gọi F và F’ theo thứ tự là giao điểm của AC và AC’ với mặt phẳng (A’DE). Chứng minh rằng AC AC ' = p + 1 và = p + 2.

AF AF ' 3. Gọi độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp là a, b, c và O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Chứng minh tổng các bình phương các khoảng cách từ một điểm M bất kì trong không gian đến tám đỉnh của hình hộp bằng 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 8MO 2 .

Đề số 82 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

148

Câu I. Cho hàm số y =

2 x 2 + (1 − m ) x + 1 + m (1) . −x + m

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2.Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( 2; +∞ ) .

3. Chứng minh với mọi m ≠ −1, các đường cong (1) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.

Câu II. 1. Tìm tham số a sao cho phương trình 2 x 2 − 3x − 2 = 5a − 8 x − 2 x 2 có nghiệm duy nhất.

2. Xác định tham số a để phương trình cos 3 x − cos 2 x + m cos x − 1 = 0 có đúng bảy nghiệm khác

 π  nhau thuộc khoảng  − ; 2π  .  2  Câu III. Gọi R, r , ra tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và bàn tiếp góc A của tam giác ABC. Chứng minh ra là nghiệm của phương trình ( x 2 + p 2 ) ( x − r ) = 4 Rx 2 , với p là nửa chu vi của tam giác đó.

Câu Va. Cho f ( x ) =

5x − 3 A B . Tìm hai số A, B sao cho f ( x ) = . Tính đạo hàm + x − 3x + 2 x −1 x − 2 2

cấp n của f ( x ) .

Câu Va.Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 = 1. Đường tròn (C) cắt trục tung ở A ( 0;1) và B ( 0; −1) . Đường thẳng y = m ( −1 < m < 1, m ≠ 0 ) cắt (C) tại T và S. Đường thẳng qua A, T cắt

đường thẳng qua B, S tại P. Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi.

Câu IVb. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau d và d’. Lấy điểm A ∈ d cố định, lấy hai điểm B, C thuộc d’ sao cho các mặt phẳng ( B, d ) và ( C , d ) vuông góc với nhau.

Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao AA’, BB’, CC’ trong tam giác ABC.

1. Chứng minh tích A ' B. A ' C không đổi và trực tâm H của tam giác ABC là điểm cố định.

2. Tìm quỹ tích điểm B’ và quỹ tích điểm C’.

3. Chứng minh AB 2 + AC 2 − BC 2 không đổi.

Đề số 83 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

149

2

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ( x + 1) ( 2 − x ) .

2

2

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( x + 1) ( 2 − x ) = ( m + 1) ( 2 − m ) .

Câu II. 1. Giải bất phương trình

1 2

log 1 2 x − 3 x + 1

>

1 . log 1 ( x + 1)

3

3

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của U = 19 x 2 + 54 y 2 + 16 z 2 + 36 xy − 16 xz − 24 yz.

Câu III. 1. Giải các phương trình sau a. cos 2 x − cos 6 x + 4 ( 3sin x − 4sin 3 x + 1) = 0; 2

2

     3x 1   3x 1  81 2 b.  sin +  +  cos +  = cos 4 x.

2 2 4 3 x 3 x  sin   cos   2  2

9R thì ABC là tam giác đều ( ma , mb , mc là độ dài các đường 2 trung tuyến, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

2. Chứng minh nếu ma + mb + mc =

Câu IVa.Chứng minh các hệ thức 2

1 2 n

( ) + (C )

1. Cn0

2

+ ⋯ + ( Cnn ) = C20n .

2. 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3.Cn4 + ⋯ + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) .2n − 2.

Câu Va. Tìm tập hợp các A (1;1;1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 2; −3; 2 ) .

điểm

M

trong

không

gian

cách

đều

ba

đi ể m

Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, đường cao SH; M là điểm bất kỳ thuộc AH. Mặt phẳng P qua M song song với AD và SH cắt AB, DC, SD, SA lần lượt tại I, J, K, L. 1. Cho SH = a 2. Xác định vị trí của M trên AH để thiết diện IJKL là tứ giác ngoại tiếp.

2. Xác định vị trí của M để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.

3. Mặt phẳng P cắt DB tại N. Tìm quỹ tích giao điểm E của hai đường chéo của tứ giác MNKI, khi M thay đổi trên AH.

Đề số 84 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

150

Câu I. Xét hàm số y = 4 x 3 + ( a + 3) x 2 + ax.

1. Tùy theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.

2. Xác định a để y ≤ 1 khi x ≤ 1.

Câu II. 1. Giải phương trình tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x = tan 2 x tan 3 x tan 5 x.

sin A + sin B ≥ 2sin C 2. Chứng minh nếu  thì ABC là tam giác đều. cos A + cos B ≥ 2 cos C Câu III. Giải và biện luận theo a bất phương trình π

Câu IVa. Tính

2

dx

∫ π sin 4

4

x

a2 x+a − < x + 2a . x +1

.

Câu Va. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B ( 2; −1) , đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3 x − 4 y + 27 = 0; x + 2 y − 5 = 0.

Câu IVb. Cho hình chóp S.ABC. 1. Chứng minh để SA ⊥ BC điều kiện cần và đủ là SB 2 + AC 2 = SC 2 + AB 2 .

2. Chứng minh nếu SA ⊥ BC và SB ⊥ AC thì ta cũng có SC ⊥ AB. Câu Vb. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f ( x ) = 1 + 2 cos x + 1 + 2sin x .

Đề số 85

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

151

Câu I. Cho hàm số y =

x 2 − 2mx + 3m2 x − 2m

(1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1.

2. Xác định m để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.

3. Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; +∞ ) .

Câu II. 1. Tìm đặc điểm về góc của tam giác ABC sao cho sin 5 A + sin 5 B + sin 5C = 0.

2. Giả sử a 2 + b 2 ≠ 0 và c là số bất kỳ. Chứng minh trong hai phương trình sau a cos x + b sin x = c; a cot x + b tan x = 2c ít nhất có một phương trình có nghiệm.

Câu III. 1. Giải bất phương trình

x + 3 − x − 1 < x − 2.

2. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh và x, y, z là độ dài các đường phân giác trong của tam giác ABC. 1 1 1 1 1 1 Hãy chứng minh + + > + + . x y z a b c 1

Câu IVa. Tính

∫x 0

4

dx . + 4x2 + 3

Câu Va. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A (1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình x − 2 y + 1 = 0; y − 1 = 0.

Câu IVb. Một hình lăng trụ đứng có đáy ABC là một tam giác vuông ở B, có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’.

1. Chứng minh AB’C’ là tam giác vuông còn AB’C không thể là tam giác vuông.

2. Chứng minh hai tam giác AB’C’ và AB’C chia hình lăng trụ thành ba hình chóp có thể tích bằng nhau.

3. Biết diện tích đáy ABC là S, cạnh bên BC bằng a, góc giữa AC’ với mặt phẳng đáy bằng α .

Tính diện tích toàn phần của hình chóp AA’B’C’.

Đề số 86 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

152

Câu I. Cho các đường ( P ) : y = −

x3 + 3 x, (T ) : y = m ( m − x ) .

3

1. Với giá trị nào của m thì (T) là tiếp tuyến của (P)?

2. Chứng tỏ họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P).

3. Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T). Hãy tìm m để OB ⊥ OC (O là gốc tọa độ).  x 3 − y 3 = m ( x − y ) Câu II. Cho hệ  .  x + y = −1

1. Giải hệ với m = 3.

2. Tìm m để hệ có 3 nghiệm ( x 1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) , ( x3 ; y3 ) , với x1; x2 ; x3 lập thành một cấp số cộng và trong ba số đó có hai số với giá trị tuyệt đối lớn hơn 1.

Câu III. 1. Giải phương trình cos x + 2sin 2 x − cos 3x = 1 + 2sin x − cos 2 x.

2. Giải bất phương trình

1 3x > − 1.

2 1− x 1 − x2

1

Câu IVa. Tính

1 1 1 2 1 2n +1 − 1 n n 1 .

T ừ đ ó ch ứ ng minh + C + C + ⋯ + C = 1 d ℕ . + x x n ∈ ) n n n ∫0 ( ) ( 2 3 n +1 n +1

3 Câu IVa. Cho diện tích tam giác ABC là S = ; hai đỉnh là A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) và trọng tâm tam 2 giác thuộc đường thẳng 3 x − y − 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng (d) và một điểm A ngoài (d). Một góc xAy di động quay quanh A, cắt (d) tại B và C. Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.

1.Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.

= 600.

2. Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3, BAC 3. Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn đi qua một đường tròn cố định khi S thay đổi.

Đề số 87 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

153

Câu I. Cho hàm số y = x3 − 3 ( m − 1) x 2 + ( 2m 2 − 3m + 2 ) x − m ( m − 1) .

1. Biết đồ thị của hàm số cắt Ox tại điểm với hoành độ có dạng x = Am + B, trong đó là A, B là hai số cố định. Hãy xác định A và B. 2. Xác định m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành.

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị.

2 sin x + m tan y = m Câu II. Cho hệ phương trình  2 .  tan y + m sin x = m

1.Giải hệ với m = 1.

2. Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.

Câu III. 1. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên của hàm số y =

x+3 x2 + 1

.

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x + 3 = m x 2 + 1.

 p cos x + q sin x khi x ≤ 0 .

Câu IVa. Cho hàm số f ( x ) =  khi x > 0  px + q + 1 Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f ( x ) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0.

2 x + 4 y − z − 7 = 0 Câu Va. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  và tiếp xúc 4 x + 5 y + z − 14 = 0 với hai mặt phẳng x + 2 y − 2 z − 2 = 0; x + 2 y − 2 z + 4 = 0.

Câu IVb. Cho hình chóp A.BCD. 1. Chứng minh để tồn tại bốn hình cầu có tâm tại A, B, C, D và tiếp xúc với nhau từng đôi một, điều kiện cần và đủ là AB + CD = AC + BD = AD + BC .

2. Chứng minh nếu điều kiện trên được nghiệm đúng, thì tồn tại một hình cầu tiếp xúc với cả sáu cạnh của hình chóp.

Câu Vb. Giả sử a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn

abcd ≤

1 1 1 1 + + + ≥ 3. Chứng minh 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d

1 .

81 Đề số 88

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

154

1 Câu I. 1. Tìm cực trị của hàm số y = cos x + cos 2 x.

2 2. Tìm cực trị của hàm số y = −2 x 2 + 3x + 5 .

Câu II. Giả sử ABC là tam giác có ba góc nhọn.

1. Chứng minh tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C .

2. Chứng minh bất đẳng thức sau tan A + tan B + tan C ≥ 3 3.

1 Câu III. 1. Giải phương trình log x +3 3 − 1 − 2 x + x 2 = .

2

)

(

2. Cho

f ( x ) = a cos x + b cos 2 x + c cos 3x. Chứng minh nếu

f ( x ) = 0 với mọi x thì

a = b = c = 0.

Câu IVa.Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.

Câu Va. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD; I là trung điểm của EF.

a. Chứng minh IA + IB + IC + ID = 0.

b. Với điểm M bất kỳ trong không gian, hãy chứng minh 4MI = MA + MB + MC + MD. Câu IVb. Cho hai đường thẳng chéo nhau ( ∆ ) , ( ∆ ') , chúng nhận AA’ làm đường vuông góc chung ( A ∈ ( ∆ ) , A ' ∈ ( ∆ ') ) và AA ' = a. ( P ) là mặt phẳng đi qua A’ và ⊥ ( △') . Gọi ϕ là góc giữa ( ∆ ) và (P). (Q) là một mặt phẳng di động, luôn song song với (P), cắt ( ∆ ) tại M, ( ∆ ') tại M’. N là hình chiếu của M trên (P). Gọi x là khoảng cách giữa (P) và (Q).

1. Chứng minh A’M’MN là hình chữ nhật. Tính thể tích của AA’M’MN theo a và x.

' = α , MAA ' = β . Xét mối quan hệ giữa ϕ , α và β .

2. Đặt MAM 3. Xác định tâm O của hình cầu ngoại tiếp AA’M’MN. Chứng minh khi (Q) di động, tâm O luôn thuộc một đường thẳng cố định và hình cầu tâm O cũng luôn chứa một đường tròn cố định.

Đề số 89

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

155

Câu I. Cho các đường y =

x2 − 2 x + 2 x −1

( H ) ; y = − x + m (T ) .

1. Xác định m để (T) cắt (H) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3.

2. Tìm các giá trị của k sao cho trên (H) có hai điểm khác nhau P, Q thỏa mãn điều kiện  x p + y p = k . Chứng minh khi đó P và Q thuộc một nhánh của (H).   xQ + yQ = k Câu II. Cho phương trình ( 2sin x − 1)( 2 cos 2 x + 2sin x + m ) = 3 − 4 cos 2 x.

1. Giải phương trình khi m = 1.

2. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [ 0; π ] .  x 2 + 2 xy − 3 y 2 = 0 Câu III. 1. Giải phương trình  .  x x + y y = −2

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 2 px + 2 p 2 + x 2 − 2qx + q 2 trong đó p, q là hai số cho trước khác nhau.

Câu IVa. Tính thể tích vật tròn xoay được tạo nên do ta quay miền D được giới hạn bởi các đường y = ln x; y = 0; x = 2 quanh trục Ox. Câu Va. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5 x − 3 y + 2 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4 x − 3 y + 1 = 0;7 x + 2 y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.

Câu IVb. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O. Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.

1. Biết AOM = α , nhị diện cạnh AM có số đo bằng β và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAM) bằng a. Tính thể tích hình nón theo a, α , β .

2. Xác định M để tam giác SAM có diện tích lớn nhất.

3. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông gócH của O lên mặt phẳng (SAM) khi M thay đổi.

Đề số 90

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

156

Câu I. Biết a < b < c. Xét hàm số y = ( x − a )( x − b )( x − c ) .

1. Chứng minh y có cực đại, cực tiểu.

2. Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối vớia, b, c.

3. Giả sử b = 0. Tìm liên hệ giữa a và c để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong y = x 3 .

Câu II. Giải bất phương trình log 3 x − x2 ( 3 − x ) > 1.

Câu III. 1. Giải phương trình

sin x + sin 2 x + sin 3 x = 3. cos x + cos 2 x + cos 3x

2. Chứng tỏ nếu tan A + 2 tan B = tan A tan 2 B thì tam giác ABC cân.

 xf ( x + 1) + g ( x + 1) = 2 x ( x + 1) + 11  2 Câu IVa. Tìm hai hàm số f ( x ) , g ( x ) sao cho   1  1 .  1  2 − 2 x − 10 x  f − xg =       x ≠ 0; x ≠  2 x x    x Câu Va. Cho tam giác M ( −1;1) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình là x + y − 2 = 0; 2 x + 6 y + 3 = 0. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD với AB = CD = a, AC = BD = b, AC = BC = c. Trong mặt phẳng (BCD) dựng tam giác PQR sao cho B, C, D là trung điểm các cạnh QR, RP và PQ. 1. Chứng minh AP, AQ, AR vuông góc với nhau từng đôi một.

2. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c.

3. Chứng tỏ mỗi mặt của tứ diện ABCD là một tam giác với ba góc nhọn.

Câu Vb. Tứ diện ABCD có các cạnh thỏa mãn hệ thức AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 .

Chứng minh trong bốn mặt của tứ diện, phải có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.

Đề số 91 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

157

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

x2 − x + 2 . x −1

x2 − x + 2 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình = log 2 m. x −1

3. Xác định tham số a để phương trình

x2 − x + 2 − ax + a − 1 = 0 có nghiệm. x −1

Câu II. 1. Giải phương trình sin 4 x cos16 x = 1.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a 4 b4  a 2 b2  a b + −  +  + + với a, b ≠ 0. b4 a 4  b2 a 2  b a

Câu III. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có dung tích (thể tích) lớn nhất?

Câu IVa. Cho f ( x ) =

sin x . cos x + sin x

 cos x − sin x  a. Tìm hai số A, B sao cho f ( x ) = A + B  .  cos x + sin x  π

b. Tính

2

∫ f ( x ) dx.

0

Câu Va. Lập phương trình đường thẳng qua điểm A ( 0;1;1) , vuông góc với đường thẳng

x + y − z + 2 = 0 x −1 y + 2 z = = và cắt đường thẳng  .

3 1 1 x +1 = 0 Câu IVb. Trong mặt phẳng P, người ta cho tam giác cân AOB có OA = OB = 2a, và góc

AOB = 1200. Trên đường vuông góc với P tại O, về hai phía của điểm O, người ta lấy hai điểm C và D sao cho tam giác ABC là vuông tại C và tam giác ADB là đều.

1. Tính khoảng cách OC và khoảng cách OD. 2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. 3. Tìm tâm I của hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tính bán kính của hình cầu này và bán kính của các hình tròn được cắt bởi bốn mặt của tứ diện. Đề số 92 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

158

Câu I. Cho hàm số y =

( m + 1) x − 2mx − ( m3 − m2 − 2 ) x−m

với m là tham số khác −1.

1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu trong khoảng ( 0; 2 ) .

2. Xác định tiệm cận xiên của đồ thị. Chứng tỏ tiệm cận xiên luôn tiếp xúc một parabol cố định.

3. Tìm m để tâm đối xứng nằm trên parabol y = x 2 + 1. Khảo sát và vẽ đồ của hàm số thị ứng với giá trị m tìm được.

4. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó ta có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số ở phần 3.

Câu II. Giải phương trình cot x − tan x = sin x + cos x.

≥C . Chứng minh ha + hb + hc ≥ hb + ha + hc , trong đó A≥ B Câu III. Cho tam giác ABC có hb hc ha ha hc hb

ha , hb , hc là độ dài của ba đường cao xuất phát từ A, B, C. Câu IVa. Chứng minh với x ≥ 1 ta đều có 2 arctan x + arcsin

2x = π.

1 + x2

Câu Va. Cho hình tứ diện ABCD. Tìm điểm O sao cho OA + OB + OC + OD = 0. Chứng minh điểm O đó là duy nhất.

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn đoạn AB và CD dưới một góc vuông. Gọi O là tâm của hình vuông.

1. Chứng minh M luôn di động trên một đường tròn (C) cố định.

2. α là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Kéo dài DM cắt α tại N. Chứng ANB vuông. minh 3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x. Từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thỏa mãn MN = k .

4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABND.

Đề số 93

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

159

Câu I. Cho hàm số y = x 4 + 4 x 3 + mx 2 .

1. Với m = 4, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Chứng tỏ đồ thị có trục đối xứng.

2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số có trục đối xứng.

3. Xác định m sao cho x 4 + 4 x 3 + mx 2 ≥ 0 khi x ≥ 1.

Câu II. 1.Cho trước α , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = tan 2 ( x + α ) + tan 2 ( x − α ) .

2. Giải phương trình 6sin x − 2 cos3 x =

5sin 4 x cos x .

2 cos 2 x

 x 4 − 5 x 2 + 4 < 0 .

Câu III. 1. Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm  2 2  x + ( 2a + 1) x + a + a − 2 = 0

1 1 2. Cho x ≥ . Chứng minh luôn tìm được một số tự nhiên n sao cho x − n 2 ≤ x − .

4 2 a

Câu IVa. 1. Chứng minh nếu f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ −a; a ] thì

∫ f ( x ) dx = 0. −a

1

3

2. Tính ∫ ln x + x 2 + 1  dx.   −1

(

)

Câu Va. Cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) và đường thẳng d :

x +1 y − 2 z − 2 . = = 3 2 −2

1. Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

2. Tìm điểm I ∈ d sao cho AI + BI nhỏ nhất.

Câu IVb. Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1.

1. Chứng minh SA ⊥ SC .

2.Tính diện tích đáy ABCD và tính đường cao SH của hình chóp. Từ đó suy ra điều kiện đối với x để bài toán có nghĩa.

3. Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất. Đề số 94 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

160

Câu I. Cho hàm y = − x 4 + 2 ( m + 1) x 2 − 2m − 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2. Xác định tham số m để phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt tạo thành cấp số cộng.

Câu II. 1. Giải và biện luận theo a phương trình

a + x = a − a − x.

2. Cho x 2 + y 2 = 16, u 2 + v 2 = 25, xu + yv ≥ 20. Tìm giá trị lớn nhất của x + v.

Câu III. 1. Gọi r, R tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh là a, b, c. Chứng minh a. ( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) ≤ abc. b. R ≥ 2r.

2. Giải phương trình cos13 x + sin14 x = 1.

( )

2

Câu IVa. Chứng minh với 0 ≤ k ≤ n ta có C2nn+ k .C2nn −k ≤ C2nn .

x −1 y z + 2 . Viết phương trình của đường thẳng = = 2 1 −3 đi qua giao điểm của P và d, vuông góc với d và nằm trong P. Câu Va. Cho ( P ) : 2 x + y + z − 1 = 0, ( d ) :

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở về cùng một phía với mặt phẳng ấy. Lấy M ∈ Bm, N ∈ Dn. Đặt BM = x, DN = y.

1.Tính thê tích tứ diện ACMN theo a, x, y.

2. Tìm hệ thức giữa x, y để các mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau.

3. Giả sử x, y thỏa mãn điều kiện nêu ở phần 2, gọi HK là đường vuông góc chung của AC và MN ( H ∈ AC , K ∈ MN ) . Chứng minh khi x, y thay đổi thì H cố định và HK không đổi.

Đề số 95 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

161

Câu I. Xét hàm số y =

x 2 + 3x + 3 (1) . x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị của hàm số y=

x 2 + 3x + 3 . x+2

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (1) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng 3 y − x + 6 = 0.

3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình x 2 + ( 3 − a ) x + 3 − 2a = 0 ( 2 ) và so sánh các nghiệm đối với số −3 và −1.

Câu II.Giải và biện luận phương trình 2 a + x − a − x = a − x x ( a + x ) . theo tham số a.

Câu III.Giải và biện luận phương trình ( m − 1) sin 2 x − 2 ( m + 1) cos x + 2m − 1 = 0 theo m.

Câu IVa. Tính diện tích miền được giới hạn bởi các đường y = x; y = sin 2 x + x ( 0 ≤ x ≤ π ) .

Câu Va. Lập phương trình đường thẳng qua điểm M ( −1; 2; −3) , vuông góc với a ( 6; −2; −3) và cắt đường thẳng

x −1 y +1 z − 3 . = = 3 2 −5

Câu IVb. Cho hình vuông ABCD cạnh a và tâm O. Ta vẽ từ A, B, C, D cùng một phía với mặt phẳng (ABCD) bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Ax ta lấy điểm A’ sao cho OA = a và trên Cz lấy điểm C’ sao cho A ' C ' = 2a.

1. Tính CC’ theo a, chứng minh tam giác C’A’O vuông và A’C’ vuông góc với mặt phẳng (DA’B).

2. Trên By lấy điểm B’ sao cho BB ' = x và trên Dt ta lấy một điểm D’ sao cho DD ' = y. Tìm hệ thức giữa x, y và a để cho A’, B’, C’, D’ đều nằm trong một mặt phẳng, và trong trường hợp ấy chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

3. Tìm x để cho a. Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua D. b.Hình bình hành A’B’C’D’ là hình thoi hoặc hình chữ nhật. Đề số 96

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

162

Câu I. Cho hàm số y =

x2 − 2 x + 2 . x −1

1. Xác định các cực đại và cực tiểu của hàm số, các tiệm cận của đồ thị và vẽ đồ thị hàm số.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm ( 3;0 ) .

3. Chứng minh nếu k > 1 thì đường thẳng y = kx + m luôn cắt đồ thị với mọi m.

Câu II. 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos x + sin x .

2. Tìm m để phương trình sin 4 x = m tan x có nghiệm x = kπ ( k ∈ ℤ ) .

Câu III. Giải và biện luận phương trình

a 2 − x + b 2 − x > a + b theo a, b.

3

Câu IVa. Tính diện tích của miền được giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x; 27 y 2 = 8 ( x − 1) .

5 x − 3 y + 2 z − 5 = 0 Câu Va. Chứng tỏ đường thẳng  nằm trong mặt phẳng 4 x − 3 y + 7 z − 7 = 0. 2 x − y − z − 1 = 0 Câu IVb.A, B là hai điểm cho trước trong không gian, I là điểm giữa của đoạn AB. D là mọi đường thẳng trong không gian, cách đều A và B. 1. Chứng tỏ hình chiếu vuông góc M của I lên D nằm trong mặt phẳng trung trực P của đoạn AB. 2.O là một điểm cố định, nằm ngoài P và không thuộc AB. Xét các đường thẳng D qua O. Chứng tỏ quỹ tích giao điểm của D với P là một đường tròn.

 x 2 + a 2 = 4 .

Câu Vb. Xác định a để hệ sau đây có nghiệm  2 2  x + ( 5a + 2 ) x + 4a + 2a < 0

Đề số 97

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

163

Câu I. Cho hàm số y = x3 + mx 2 − 1.

1. Chứng minh với mọi m ≠ 0, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

2. Chứng minh với mọi m, phương trình x 3 + mx 2 − 1 = 0 luôn có một nghiệm dương.

3. Xác định m để phương trình x 3 + mx 2 − 1 = 0 có nghiệm duy nhất.

Câu II. Cho phương trình 6 tan x + a cot x = tan 2 x.

1. Giải phương trình khi a = 0. 2. Giải phương trình khi a = 5.

Câu III. 1. Tìm a để 2 bất phương trình sau tương đương ( a − 1) x − a + 3 > 0; ( a + 1) x − a + 2 > 0.

2. Tìm a, b để a ( cos x − 1) + b 2 + 1 − cos ( ax + b 2 ) = 0 với mọi x.

1

Câu IVa. Tính

∫ x ( arctan x )

2

dx.

0

Câu Va. Tìm trên trục hoành P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A (1; 2 ) , B ( 3; 4 ) là nhỏ nhất.

Câu IVb. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD được tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD cạnh a. Cạnh SA = h và vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M là điểm di động trên AC; Q là mặt phẳng qua M và vuông góc với AC. 1. Khi M trên OC thì Q cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo x = MC . Khi nào thì diện tích đó lớn nhất?

2. Khi M thuộc AO, đặt t = AM . Tính diện tích thiết diện (do Q cắt hình chóp) theo t. Khi nào diện tích ấy lớn nhất?

3.Xác định vị trí của M trên AC để Q cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích lớn nhất.

Đề số 98 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

164

( x − λ cos θ )( x − λ sin θ ) , trong đó λ y= 2

Câu I. Xét hàm số

2

x

là một hằng số dương và góc θ

 π là một hằng số nằm trong khoảng  0;  . Gọi (C) là đồ thị của hàm số.  2 1.Chứng minh đồ thị (C) của hàm số có một điểm cực đại M 1 và một điểm cực tiểu M 2 . Tính tọa độ hai điểm cực trị theo λ , θ .

 π 2. Khi θ ∈  0;  tìm quỹ tích các điểm M 1 và M 2 . Phải lấy điểm M trong miền nào của mặt  2 phẳng để cho M có thể được coi là điểm M 2 ?

3. Cho M 2 ( 2; −1) . Vẽ đường cong (C) tương ứng.

2 3 x + 2 x − 1 < 0 Câu II. Giải hệ bất phương trình  3 .  x − 3 x + 1 > 0

sin x + sin 2 x = m .

Câu III. Cho hệ  cos x + cos 2 x = m 1. Giải hệ khi m = 0. 2.Xác định m để hệ có nghiệm.

Câu IVa. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = e − x

2

+x

. Xác định hoành độ các điểm

uốn.

Câu Va. Cho hình vuông có một đỉnh là A ( −4;5 ) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7 x − y + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông đó.

Câu IVb. Cho tam giác đều ABC, tâm I. Ba trung tuyến AA’, BB’, CC’. Đặt IA ' = a. Một hình cầu tâm O bán kính r tiếp xúc với mặt ABC ở I. 2. Chứng minh BC = 2a 3.

3.Chứng minh những mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu và chứa một cạnh của tam giác ABC cắt nhau tại một điểm D ở trên đường OI. Tìm điều kiện cho a và r để ba điểm I, O, D nằm theo thứ tự đó. Sau này ta coi điều kiện đó được thỏa mãn.

3. Đặt ID = h. Chứng minh hr 2 + 2a 2 r − ha 2 = 0.

= 900.

4. Cho a, tính r để BDC Đề số 99 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

165

Câu I. 1. Giải phương trình y = x + y 2 + 2 ( x + 1) y + 4 x (*) trong đó y là ẩn số.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y của x, xác định bởi hệ thức trên.

3. Tìm các giá trị nguyên của x và y, nghiệm của (*).

Câu II. Giải phương trình

1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x = 1.

2sin x cos x − 1 2

Câu III. 1.Xác định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt ( x − 1) = 2 x − k .

2. Xác định k để phương trình sau có ba nghiệm

4

− x−k

log

2

(x

2

− 2 x + 3) + 2− x

2

+2 x

log

2

( 2 x − k + 2 ) = 0.

Câu IVa. Parabol y 2 = 2 x chia diện tích của hình tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính 2 2 theo tỉ số nào?

8 x − 11y + 8 z − 30 = 0 Câu Va. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  và tiếp xúc với x − y − 2z = 0 mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0.

Câu IVb. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác S.ABC bằng 3s, chu vi đáy ABC bằng 3a.

Một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh đáy tại trung điểm của chúng, và đi qua các trung điểm của ba cạnh bên.

1. Chứng minh S.ABC là hình chóp tam giác đều.

2. Tính bán kính của mặt cầu nói trên theo a và s.

Câu Vb. Giải phương trình tan 2 x + tan 2 y + cot 2 ( x + y ) = 1.

Đề số 100 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

166

Câu I. 1. Xác định a để phương trình −2 x 2 + 10 x − 8 = x 2 − 5 x + a có 4 nghiệm khác nhau.

2. Tìm tham số a để bất phương trình sin 5 x + cos5 x − a ( sin x + cos x ) ≥ sin x cos x ( sin x + cos x )

 π được thỏa mãn với mọi x ∈ 0;  .  4 Câu II. Tính số tiệm cận của đường cong y =

Câu III. 1. Giải phương trình tan 2 x =

x+2 tùy theo giá trị của tham số m. x − 4x + m 2

1 − cos3 x .

1 − sin 3 x

2. Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai

1 1 1 a (1 − b ) > ; b (1 − c ) > ; c (1 − a ) > .

4 4 4 Câu IVa. Chứng minh với hai số a, b bất kì ta đều có arctan a − arctan b ≤ a − b .

2

2

2

Câu Va. Gọi T là giao tuyến của mặt cầu ( x − 3) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 100 với mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 = 0. Xác định tọa độ tâm và bán kính của T.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình chữ nhật ABCD. Gọi Q là mặt phẳng vuông góc với P và chứa AB. 1. Chỉ rõ cách dựng quỹ tích K của điểm M luôn nhìn các đoạnAB và AD dưới một góc vuông.

2. Đường thẳng DM cắt Q tại M’. Tìm quỹ tích của M’.

3. Mặt phẳng chứa K cắt CD tại I, đường thẳng IM cắt K tại điểm thứ hai N. Đường thẳng DN cắt Q tại N’. Chứng minh M ' N ' || AB.

Đề số 101 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

167

 x − y = a (1 + xy ) Câu I. Cho hệ phương trình  .  xy + x + y + 2 = 0

1 1. Giải hệ với a = .

2 2. Giải và biện luận hệ theo a.

Câu II. 1. Tùy theo m, hãy lập bảng biến thiên của hàm số y =

x+m x2 + 1

.

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x + m = m x 2 + 1.

Câu III. 1. Chứng tỏ phương trình sin x − 2 sin 2 x − sin 3 x = 2 2 không có nghiệm.

2. Giải bất phương trình sin x + sin 3 x < sin 2 x.

Câu IVa. Chứng minh nếu x > 0 thì với mọi số nguyên dương n ta đều có x2 xn e > 1+ x + +⋯+ .

2! n! x

Câu Va. 1. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc-tơ AC , AD, AF , EF qua các véc tơ u = AB, v = AE. 2. Hãy xác định các tiếp tuyến chung của elip

x2 y2 + = 1 và parabol y 2 = 12 x.

8 6

Câu IVb. Nhận dạng tam giác ABC biết cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1.

Câu Vb. Cho hình trụ tròn xoay bán kính đáy R, đường cao OO ' = h (O, O ' là tâm các đáy). AB là một đường kính di động của đường tròn (O), CD là một đường kính cố định của đường tròn (O’); α là góc giữa AB và CD. 1. Tính diện tích tam giác đáy ACD và góc ϕ do mặt phẳng (ACD) tạo với mặt phẳng đáy (O’) theo R, h, α .

2. Với giá trị nào của α thì tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất?

Đề số 102 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

168

Câu I. Cho parabol y = x 2 + ( 2m + 1) x + m2 − 1 với m là tham số.

1. Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi m biến thiên.

2. Chứng minh khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với parabol không phụ thuộc vào m.

3. Chứng minh với mọi giá trị m, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Câu II. 1. Giải phương trình ( 2sin x − 1)( 2sin 2 x + 1) = 3 − 4 cos 2 x.

2. Chứng minh 0 < x <

π 4

thì

cos x > 8. sin x ( cos x − sin x ) 2

Câu III. 1. Với giá trị nào của a thì bất phương trình log 2 a +1 ( 2 x − 1) + log a ( x + 3) > 0 được thỏa mãn đồng thời tại x = 1 và x = 4 ? ( x 2 + 1)a + ( b 2 + 1) y = 2 2. Tìm a để hệ  có nghiệm với mọi b.  a + bxy + x 2 y = 1

 4 x − 3 y − 13 = 0 .

Câu IVa. Xác định tọa độP’ đối xứng với P ( −3;1; −1) qua đường thẳng D :  y − z +5 = 0 Câu Va. 1. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?

2.

Cho

hai

hàm

số

liên

t ục

f : [ 0;1] → [ 0;1] ; g : [ 0;1] → [ 0;1] .

Chứng

minh

2

1 1  1 f x g x d x f x d x . ≤  ∫ ( ) ( )  ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx. 0  0 0

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (T) đường kính AH = 2 R. Kéo dài AH thêm một đoạn HI = R. Trong P kẻ đường thẳng d ⊥ AH tại I. Gọi M là một điểm di động trên (T)

( M ≠ A; M ≠ H ) ; AM

cắt d tại B, MH cắt d tại C. S là một điểm nằm ngoài P, sao cho SABC là

một tam diện vuông tại S.

1. Chứng minh SH ⊥ P. Tính SH và IB.IC theo R. 2. Xác định vị trí M sao cho tứ diện SABC có thể tích nhỏ nhất.

3. Chứng minh khi M di động trên (T), tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC di động trên một đường thẳng cố định. Đề số 103 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

169

Câu I. Giải và biện luận theo a bất phương trình x 2 − 2 x + a ≤ x 2 − 3 x − a .

Câu II. 1. Giải và biện luận phương trình

a b a +b + = với a, b là tham số. ax − 1 bx − 1 ( a + b ) x − 1

2.Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ( 3 − x )( 4 − y )( 2 x + 3 y ) .

1  sin x + sin y = .

Câu III. 1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  2 cos 2 x + cos 2 y = m

ax 2 + a − 1 = y − sin x 2. Xác định a để hệ  2 có nghiệm duy nhất.

2  tan x + y = 1 Câu IVa. Chứng minh điều kiện cần và đủ để đường thẳng ( D ) : Ax + By + C = 0 ( A2 + B 2 > 0 ) tiếp xúc với elip ( E ) :

x2 y 2 + = 1 là C 2 = a 2 A2 + b 2 B 2 . a2 b2 2π

Câu Va. Tính tích phân

∫

1 + sin xdx.

0

Câu IVb.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên cạnh AB lấy điểm M. Mặt phẳng (A’MC) cắt C’D’ tại N. 1. Chứng minh tứ giác A’MCN là hình bình hành.

2. Xác định vị trí của M trên cạnh AB để tứ giác trên là hình chữ nhật. Nó có thể là hình vuông được hay không?

3. Xác định vị trí của M trên AB để tứ giác trên có diện tích nhỏ nhất.

4. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc H của C xuống MN, khi M di động trên cạnh AB.

Đề số 104 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

170

Câu I. Cho hàm số y = 4 x3 − 3x + 1.

1. Giả sử A thuộc đồ thị có hoành độ 1, và d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc m. Hãy xác định m để (d) cắt đồ thị tại hai điểm M, N phân biệt khác A. 2. Giả sử P là một điểm trên d với hoành độ x p thỏa mãn

xA − xM xP − xM ( xM , xN là hoành = xN − x A xP − xN

độ các điểm M, N). Tìm quỹ tích của P khi m biến thiên.

Câu II.Giải và biện luận phương trình log x a + log a x + 2 cos a ≤ 0 theo tham số a.

cos x + cos y + cos z = 1  Câu III. 1. Giải phương trình cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1. x + y + z = π  2. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B, C là mb , mc thỏa mãn

c mb = ≠ 1. Chứng minh 2 cot A = cot B + cot C . b mc 3π

Câu IV. Tính các tích phân

8

∫ π

8

1

dx dx ;∫ .

2 2 sin x cos x −1 x + 1 + x − 1

Câu Va.Cho A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Hãy tính

BC. AA ' + CA.BB ' + AB.CC '.

Câu IVb.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy, ϕ là góc giữa hai mặt bên kề nhau.

1. Tính chiều cao hạ từ đỉnh S của hình chóp theo ϕ và theo khoảng cách a từ chân đường cao đến cạnh bên.

2. Xác định quan hệ giữa α và ϕ .

Đề số 105 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

171

Câu I. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x + 3 +

1 . Chỉ rõ các giao điểm của đồ x +1

thị với trục hoành.

9 Câu II. Giải phương trình sin 2 x + sin 2 y + sin 2 ( x + y ) = .

4 Câu III. 1. Tìm a để phương trình log 3 ( x 2 + 4ax ) + log

3

( 2 x − 2a − 1) = 0 có nghiệm duy nhất.

a b c + + = 0. Chứng minh khi đó m + 2 m +1 m 2 phương trình ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .

2. Cho m > 0, còn a, b, c là 3 số bất kì thỏa mãn

Câu IVa. Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy ( un ) , ( vn ) bằng cách đặt

u1 = a; v1 = b; un +1 =

un + vn ; vn +1 = u n vn n = 1, 2,3... Chứng minh lim un = lim vn .

2

x − y + z − 5 = 0 Câu Va. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( D ) :  lên mặt 2 x + 3 y + z − 5 = 0 phẳng ( P ) : 3x − 2 y − z + 15 = 0.

= α , đường chéo AC’ Câu IVb. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, BAD tạo với đáy góc β ; gọi O là giao điểm các đường chéo hình hộp.

1. Tính thể tích khối họp.

2. Xác định đường vuông góc chung của BD và AC’ và tính khoảng cách giữa chúng.

3.M là một điểm trong không gian. Tính tổng T các bình phương các khoảng cách từ M đến 8 đỉnh của hình hộp theo a, b, α , β và x = OM . Từ đó hãy tìm ra vị trí của M để T bé nhất.

Đề số 106

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

172

Câu I. 1. Các độ dài cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác ấy không thể có hai góc lớn hơn 60 0.

2. Giải phương trình 2 ( tan x − sin x ) + 3 ( cot x − cos x ) + 5 = 0.

Câu II. 1. Giải bất phương trình 1 + x + 1 − x ≤ 2 −

x2 .

4

2.a, b, c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [ 0;1] . Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2b + b 2 c + c 2 a.

 2 a2 = + 2 x y  y  Câu III. Chứng tỏ a ≠ 0, hệ  có nghiệm duy nhất.

2 2 y 2 = x + a  x Câu IVa. Chứng minh nếu f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục, xác định trên đoạn [ a; b ] thì ta có 2

b b  b 2 2 ≤ f x g x d x f x d x  ∫ ( ) ( )  ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx. a  a a

Câu Va. Cho tam giác ABC có A (1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −4;7;5 ) . Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình chữ nhật ABCD. Gọi (K) là đường tròn đường kính BD trong mặt phẳng đi qua BD và vuông góc với P. M là một điểm di động trên (K).

1. Chứng minh AM ⊥ CM .

2. Với giá trị nào của M trên (K) thì các mặt phẳng (MAB) và (MCD) vuông góc với nhau?

3. Gọi Q là mặt phẳng đi qua CD và vuông góc với P. Đường thẳng AM cắt Q tại M’. Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của M’ lên CD. Chứng minh DH = k 2 M ' H '2 với k là một hằng số không phụ thuộc vào M. Từ đó suy ra quỹ tích của M’ khi M di chuyển trên (K).

Đề số 107

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

173

Câu I. Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình 12 x 2 − 6mx + m2 − 4 +

12 = 0. Với giá trị nào m2

của m thì x13 + x23

a. đạt giá trị lớn nhất? b. đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu II. 1. Giải và biện luận theo a bất phương trình

2 x − a ≥ x.

2. Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x − m 2 x + m + 3 ≤ 0.

Câu III. 1. Giải phương trình

sin 2 x − 2sin x + 2 = 2sin x − 1.

2. Tìm tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân với công bội 1 1 1 q = 2. Chứng minh các cạnh của tam giác đó thỏa mãn hệ thức = + . a b c Câu IVa. Cho parabol y 2 = 16 x. Viết phương trình (các) tiếp tuyến của parabol 1. đi qua A (1; 2 ) , 2. đi qua B (1; −4 ) , 3. vuông góc với đường thẳng 2 x − y + 5 = 0.

Câu

Va. Chứng minh rằng hàm số

f ( x) =

a sin x + b cos x c sin x + d cos x

có họ nguyên hàm

F ( x ) = Ax + B ln c sin x + d cos x + C. Câu IVb. Trên cạnh SA, SB của tứ diện SABC lấy điểm M, N sao cho SM MA = 1 2, SN NB = 2. Mặt phẳng đi qua M, N và song song với SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số

thể tích của hai phần ấy.

Câu Vb. Giải bất phương trình sin x < sin 2 x.

Đề số 108

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

174

Câu I. Xác định a để hàm số y = −

x3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x đồng biến trong khoảng ( 0;3) .

3

cot x − cot y = x − y .

Câu II. 1. Tìm các số x, y thuộc khoảng ( 0; π ) thỏa mãn hệ  5 x + 8 y = 2π 2. Giải phương trình

1 + cos x + 1 − cos x = 4sin x. cos x

Câu III. 1. Giải phương trình x3 +

2 3

(1 − x )

= x2 1 − x2 .

2.a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng minh a. ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤

abc 1 1 1  1 1 1 ; b. + + ≥ 2  + + .

8 p −a p −b p −c a b c

Câu IVa. Cho f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] . Chứng minh

π

ππ

0

0

∫ xf ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx.

Câu Va. Cho hypebol 64 x 2 − 169 y 2 = −10816. Xác định các tiêu điểm, tiệm cận và vẽ hypebol.

Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD cạnh a, và với các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a.

1. Tính thể tích hình chóp.

2. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại Q và R. Tính độ dài các đoạn thẳng QB, RD. 3. Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần với thể tích bằng nhau.

Đề số 109 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

175

(

)

(

)

Câu I. 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log x2 +1 3 − x 2 + log 3− x2 x 2 + 1 .

2. Giải và biện luận theo tham số α bất phương trình log 3 x + log x 3 + 2 cos α ≤ 0. x 2 cos α − 2 x + cos α Câu II. 1. Cho hàm số y = với tham số α ∈ ( 0; π ) . Chứng minh với mọi x 2 − 2 x cos α + 1 giá trị của x ta đều có −1 ≤ y ≤ 1. sin10 x + cos10 x sin 6 x + cos 6 x . = 2. Giải phương trình 4 4 cos 2 2 x + sin 2 2 x

Câu III. 1. Giải bất phương trình

2

x − 1 + x − 3 ≥ 2 ( x − 3 ) + 2 x − 2.

2. Cho hai phương trình x 2 + 3x + 2s = 0; x 2 + 6 x + 5s = 0. Tìm tất cả các giá trị của s để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt, và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia.

Câu IVa. Cho 2n số dương a1 , a2 ,…, an , b1 , b2 ,…, bn . Chứng minh n

( a1 + b1 )( a2 + b2 )⋯( an + bn ) ≥ n a1a2 ⋯ an + n b1b2 ⋯bn .

Câu Va.Chứng minh để đường thẳng Ax + By + C = 0 ( A2 + B 2 > 0 ) tiếp xúc với hypebol x2 y 2 + = 1, điều kiện cần và đủ là C 2 = a 2 A2 − b 2 B 2 > 0. a 2 b2

Câu IVb. Cho một tam diện vuông đỉnh O. Trên 3 cạnh của tam diện, lấy 3 điểm A, B, C sao cho AC = 2OB, BC = 2OA. 1.M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC. Chứng minh MN ⊥ OC .

.

2. Tính cos MON MN tan 4 OCD + = 1.

3. Gọi D là điểm giữa của đoạn AB. Chứng minh AB tan 4 OCA

Đề số 110

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

176

Câu I. 1. Xác định a để phương trình x 3 − x 2 + 18ax − 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt.

2. Giải phương trình 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) .5x − 2 + 3 − x = 0.

Câu II. 1. Giải phương trình a.

1 − cos 4 x sin 4 x ; b. cos 3 x + sin 3 x = sin x − cos x. = 2sin 2 x 1 + cos 4 x

2. Tam giác ABC có a = 1; b = 2; c = 3. Tính các góc của tam giác đó.

Câu III. 1. Cho ab ≥ 1. Chứng minh 2. Cho a, b, c ≥ 1. Chứng minh

1 1 2 . + ≥ 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab

1 1 1 3 . + + ≥ 3 3 3 1 + a 1 + b 1 + c 1 + abc

x2 y 2 + = 1. Hình chữ nhật Q được gọi là một hình chữ nhật ngoại tiếp a 2 b2 (E), nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với (E). Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp elip (E), hãy xác định

Câu IVa. Cho elip ( E ) :

1. hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất; 2. hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Câu IVb.ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm M khác A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác MBC. Đường thẳng OH cắt d tại N. 1. Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (MBC), và tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.

2. Gọi I là trung điểm cạnh BC. Biết MH = 3.HI . Hãy tính MN theo a.

3. Xác định vị trí của M trên d sao cho tứ diện BCMN có thể tích nhỏ nhất.

Đề số 111 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

177

Câu I. Cho hàm số y =

x .

1+ x

1. Dùng định nghĩa của đạo hàm, hãy tính giá trị của đạo hàm y’ tại điểm x = 0.

2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

x ≥ ax 2 + x.

1+ x

3. Tìm số a lớn nhất sao cho với mọi giá trị x, ta đều có Câu II. 1. Giải phương trình

cos 2 x + 1 − sin 2 x = 2 sin x − cos x .

2. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có 1 +

r = cos A + cos B + cos C với r, R là bán R

kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ấy.

 1  x − 2y + x + 2y = 5  .

Câu III. 1. Giải và biện luận theo a hệ phương trình  x + 2 y  =a  x − 2 y 2

2

2. Giải hệ phương trình x 2 + a 2 = y 2 + b 2 = ( x − b ) + ( y − a ) với a, b là hai số cho trước.

Câu IVa. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ là các điểm lần lượt chia các đoạn thẳng

A ' A B ' B C 'C D ' D AB, BC, CD, DA theo tỉ số k, tức là = = = = k .

A ' B B 'C C ' D D ' A 1. Chứng minh với điểm O bất

OA + OB + OC + OD = OA ' + OB ' + OC ' + OD '.

kì

trong

không

gian,

ta

luôn

có

2. Với giá trị nào của k thì 4 điểm A’, B’, C’, D’ là đồng phẳng?

Câu IVb.Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ là điểm giữa của các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.

1. Chứng minh SC = 3SC '.

2. Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’ theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.

Đề số 112

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

178

Câu I. Cho hàm số y = x + x 2 − 2 x + m (1) .

1. Tùy theo các giá trị khác nhau của m, hãy lập bảng biến thiên của hàm số.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, với giá trị cực đại ymax < 3.

3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm chung với trục hoành.

Câu II. 1. Giải phương trình 6 sin x − 2 cos 3 x = 5sin 2 x cos x.

2.a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, với a < b < c. Chứng minh

a 3 ( b 2 − c 2 ) + b3 ( c 2 − a 2 ) + c3 ( a 2 − b 2 ) < 0.

Câu III. 1.Giải phương trình x 2 + x + 5 = 5.

2. Giải bất phương trình 4 x 2 + 3 x x + 31+

x

< 2.3 x x 2 + 2 x + 6.

x + y = 0 x + 3 y −1 = 0 , ( D2 ) :  .

Câu IVa. Cho hai đường thẳng ( D1 ) :  x − y + z + 4 = 0 y + z − 2 = 0 1. Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau.

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( 2;3;1) và cắt cả hai đường thẳng ( D1 ) , ( D2 ) .

Câu IVb. Trong mặt phẳng (D) cho tam giác ABC cố định, M là một điểm ngoài (D). Gọi E, F, G, P, Q, R lần lượt là trung điểm các đoạn BC, CA, AB, MA, MB, MC. 1. Chứng minh các đoạn thẳng PE, QF, RG đồng qui tại một điểm I. 2. Tìm tất cả các điểm M trong không gian sao cho hai tứ giác PQEF và QRFG là những hình chữ nhật. Khi đó tứ giác RPGE là hình gì?

3. Cho trước số dương k khác 1. Giả sử M di động sao cho ta luôn có PE = kQF . Chứng minh khi đó I di động trên một mặt cầu cố định.

Đề số 113 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

179

Câu I. 1. Cho hàm số f ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 2ax + a 2 + 2a + 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.

2. Xét các giá trị của a để phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm. Với mỗi a đó, gọi xa là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định a để xa nhỏ nhất.

2. Chứng minh với x > 0, ta đều có x −

x3 < sin x < x.

6

a cos A + b cos B + c cos C 2 p = (p là nửa chu vi; R a sin B + b sin C + c sin A 9 R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) thì ABC là tam giác đều.

Câu II. 1. Chứng minh nếu tam giác ABC có

2. Giải phương trình sin 3 x (1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = 2 sin x cos x .

Câu III. 1. Giải phương trình 2. Chứng minh với 0 < x <

Câu

IVa.

Cho

( D ) : Ax + By + C = 0

π 2

2

x − 1 + 3 x − 2 = 3 2 x − 3.

3π

+1

, ta có 22sin x + 2tan x > 2 2 .

hypebol

(A

3

x2 y2 − =1 a2 b 2

và

m ột

tiếp

tuyến

bất

kì

của

hypebol

+ B 2 > 0 ) tiếp xúc với hypebol tại điểm T. Gọi M, N là các giao điểm

của tiếp tuyến (D) với các tiệm cận của hypebol.

1. Chứng minh T là trung điểm của đoạn MN. 2. Chứng tỏOMN (O là gốc tọa độ) có diện tích không phụ thuộc tiếp tuyến (D).

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho điểm O và đường thẳng d cách O một khoảng OH = h, H ∈ d . = COH = α . Trên đường vuông góc với P tại O lấy A với OA = OB. Lấy B, Ctrên d thỏa BOH 1. Tính thể tích tứ diện OABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

2.K là một điểm thuộc OH, với OK = x ( 0 < x < h ) . Mặt phẳng Q vuông góc với OH tại K cắt tứ diện OABC theo một thiết diện. Thiết diện ấy là hình gì? Tính chu vi của thiết diện. Với giá trị nào của α thì chu vi ấy không phụ thuộc vào x?

3. Với α tìm được ở trên, gọi I là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, và cắt đường thẳng OA tại một điểm D. Tính CD. Đề số 114 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

180

Câu I. Cho hàm số y =

x −1 . x +1

1. Chứng minh đồ thị của hàm số nhận các đường thẳng y = x + 2, y = − x làm trục đối xứng.

2. Xác định điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa độ nhỏ nhất.

Câu II. Cho bất phương trình

a + x + a − x ≤ 2.

1. Giải bất phương trình khi a = 1.

2. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số a.

Câu III. Cho phương trình

( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0.

1. Giải phương trình với m = 2.

 π 2. Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn 0;  .  4 Câu IVa. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi P, Q là các điểm xác định bởi

AP = − AD ', C ' Q = −C ' D. 1. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của cạnh BB’.

2. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. Câu Va. Cho tam giác ABC với ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm tam giác. Chân các đường cao kẻ AH BH CH + + ≥ 6. Với tam giác nào thì xảy ra từ A, B, C lần lượt là A1 , B1 , C1. Chứng minh A1 H B1 H C1 H dấu bằng?

Câu IVb. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N, E lần lượt là điểm giữa của các cạnh BC, CC’, C’A’. Gọi P là mặt phẳng đi qua M, N, E. 1. Chỉ cách xác định thiết diện của P với lăng trụ. Chứng minh mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng (AA’B’B).

2. Tính diện tích thiết diện.

3. Chứng minh mặt phẳng P chia lăng trụ ra hai phần với thể tích bằng nhau. Đề số 115 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

181

Câu I. Cho phương trình 2 cos x cos 2 x cos 3 x + m = 7 cos 2 x.

1. Giải phương trình với m = −7.

 3π π  2. Xác định m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm x thuộc đoạn  − ; −  .

8  8 Câu II. 1. Giải phương trình ( x + 2 ) log 32 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0.

2. Cho ba số x, y, z thỏa xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của F = x 4 + y 4 + z 4 .

3

12 x ( x − a )  4 Câu III. 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =  2  .  x + 36  3

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( cos x + sin x ) +

1 . cos x sin 2 x 2

Câu IVa. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD, người ta lấy theo thứ tự các điểm A’, B’, C’, D’. Biết rằng trong không gian tồn tại một điểm O sao cho

OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = OA + OB + OC + OD, chứng minh

AA ' : A ' B = BB ' : B ' C = CC ' : C ' D = DD ' : D ' A. Câu Va. Gọi r , rc lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn bàn tiếp cạnh AB = c của tam giác ABC. Chứng minh 4r.rc ≤ c 2 .

Câu IVb. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.

1. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. Chứng minh ( IKG ) || ( BB ' C ' C ) , ( A ' KG ) || ( AIB ') .

2. Giả sử ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều với tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnhBB’ và CC’. Một đường thẳng đi qua tâm của tam giác ABC cắt các đường thẳng AB’ và MN tại P và Q. Tính độ dài đoạn PQ.

Đề số 116 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

182

Câu I. Xét hàm số y = x3 + ( m + m ) x 2 − 4 x − 4 ( m + m ) , trong đó m là tham số.

1. Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m.

2. Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

3. Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số khi m thay đổi.

Câu II. 1. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có

2. Chứng minh nếu ABC không phải là tam giác tù thì

sin A + sin B + sin C < 2. cos A + cos B + cos C

sin A + sin B + sin C 2 . ≥ 1+ cos A + cos B + cos C 2

Câu III. 1. Tìm điều kiện đối với a, b để hàm số f ( x ) = 2 x + a sin x + b cos x luôn đồng biến.

2. Cho x, y là hai số thỏa x + y ≥ 0, chứng minh

1 1 1 . + ≥ x y 1 + 4 1 + 4 1 + 2x+ y

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho A ( −1;3) , B (1;1) và đường thẳng ( D ) : y = 2 x.

1. Xác định điểm C trên (D) sao cho tam giác ABC là tam giác cân, là tam giác đều.

2. Với M ( 2; 4 ) , hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho nửa lục giác đều ABCD với cạnh a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với P tại A, lấy điểm S sao cho SA = h. Mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

1.Chứng minh AB’C’D’ là một tứ giác nội tiếp, với AB ' > C ' D '.

2. Chứng minh khi S di chuyển trên Ax, thì đường thẳng B’C’ luôn đi qua một điểm cố định, và đường thẳng C’D’ cũng luôn đi qua một điểm cố định.

3. Gọi I là giao điểm các đường chéo của tứ giác AB’C’D’. Tính độ dài đoạn SI theo a và h.

Đề số 117 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

183

Câu I. Cho hàm số y =

x2 − m trong đó m là tham số khác 1. x+m

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1.

2. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 0;1] bằng −2.

Câu II. Tìm a, b để hai phương trình sau đây là tương đương a sin 2 x + 2 = 2 cos x + a 2 sin x và 2 sin 2 x + cos 2 x + sin 2 x + b = 2b sin x + cos x + 1.

Câu III. 1. Giải bất phương trình

(

5+2

)

x −1

≥

(

5−2

)

x −1 x +1

.

 x + y − x − y = m 2. Giải và biện luận theo m hệ  .

2 2 2 2 2  x + y + x − y = m

 x − my + z − m = 0 .

Câu IVa.Trong không gian cho họ đường thẳng ( D ) :  mx + y − mz − 1 = 0 1. Viết phương trình hình chiếu D’ của D lên mặt phẳng Oxy. 2. Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng D’ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng Oxy. Câu IVb. Trong không gian cho 4 đường thẳng d1 , d 2 , d3 , d 4 song song với nhau, trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng phẳng. Một mặt phẳng P cắt 4 đường thẳng đó theo thứ tự A, B, C, D. Một mặt phẳng Q cắt 4 đường thẳng ấy theo thứ tự A’, B’, C’, D’. Chứng minh tứ diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.

Đề số 118 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

184

x 2 − 4mx + m 2 − 2m + 2 . Gọi giao điểm của (C) với 2 x 2 + m2 + m + 3 trục tung là I, giao điểm của (C) với trục hoành là J. Tìm quỹ tích của I và J khi m biến thiên.

Câu I. 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y =

2. Giải và biện luận theo a phương trình

x 2 − x = a − x.

Câu II. Giải các bất phương trình

5 sin 2 x − cos 2 x + 1 > 0.

1. cos3 x cos 3x − sin 3 x sin 3x ≤ . 2.

8 sin 2 x + cos 2 x − 1 3

1  1  1   2   Câu III. 1. Chứng tỏ trong tam giác ABC ta có 1 +  1 +  1 +  ≥ 1 +  , 3  sin A   sin B   sin C   dấu bằng xảy ra khi nào?

1  1  1   2. Chứng minh tam giác ABC có 3 góc nhọn thì 1 + 1 + 1 +  ≥ 27, dấu  cos A  cos B  cos C  bằng xảy ra khi nào? x2 x2 y2 2 + y = 1, + = 1.

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy cho hai elip 16 9 4

1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elip.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai elip.

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD. 1. Tìm điểm M sao cho tổng MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Tính góc giữa từng cặp cạnh đối diện.

Đề số 119 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

185

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

x2 − x + 2 . x −1

x2 − x + 2 = ax − a + 1.

2. Biện luận theo a số nghiệm dương của phương trình x −1

Câu II. 1. Giải phương trình cos x

1 1 − 1 + cos 3x − 1 = 1. cos x cos 3 x

sin x − 7 cos y = 0 .

2. Giải hệ phương trình  5sin y − cos x + 6 = 0 Câu III. Tìm a sao cho bất phương trình sau có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó log

3

(

)

x 2 + ax + 6 .log 5 ( x 2 + ax + 6 ) + log a 3 ≥ 0.

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip

x2 y 2 + = 1, a > b > 0. a 2 b2

1. Chứng minh với mọi điểm M thuộc elip thì b ≤ OM ≤ a.

2. Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với elip. Tính OA theo a, b, k.

3. Gọi A, B thuộc elip sao cho OA ⊥ OB. Chứng minh

1 1 + có giá trị không đổi.

2 OA OB 2

Câu IVb. Cho điểm A cố định trong mặt phẳng P và điểm B cố định ngoài P sao cho AB không vuông góc với P. Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của B xuống P, và ∆ là đường thẳng chuyển động trong P sao cho các khoảng cách AM và BN từ A và B đến ∆ là bằng nhau.

1. Chứng minh trong P, đường trung trục đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.

2. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh IA2 − IB '2 không đổi. Từ đó suy ra quỹ tích của I. 3. Gọi Q là mặt phẳng xác định bởi đường thẳng ∆ và điểm B. Từ A hạ AH vuông góc với Q. Chứng tỏ đoạn AH có độ dài không đổi. Từ đó suy ra quỹ tích của H.

Đề số 120 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

186

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

x2 − x + 2 . x −1

2. Xác định tập hợp các điểm N ( x; y ) có tọa độ thỏa điều kiện y ≥

x2 − x + 2 . x −1

3. Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ 0; π ] của phương trình cos 2 x − ( m + 1) cos x + m + 2 = 0.

Câu II. 1. Chứng minh nếu 0 ≤ x, y , z ≤ π thì a.

sin x + sin y sin x + sin y + sin z  x+ y  x+ y+ z ≤ sin  ≤ sin   , b. .

2 3 3  2   

2. Hãy sử dụng kết quả trên để chứng minh

1 a. trong mọi tam giác ABC ta đều có (1 − cos A)(1 − cos B )(1 − cos C ) ≤ ; 8  3 b. nếu ABC không là tam giác tù thì (1 − sin A )(1 − sin B )(1 − sin C ) ≤  1 − .  2  

Câu III. 1. Xác định a để phương trình

log 5 ( ax ) log 5 ( x + 1)

= 2 có nghiệm duy nhất.

2

2. Chứng minh nếu phương trình x 4 + bx 3 + cx 2 + bx + 1 = 0 có nghiệm thì b 2 + ( c − 2 ) > 3.

Câu IVa. Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm tam giác AB’C.

1. Chứng minh BD = 3BG. 2. Gọi P, Q, R là ảnh đối xứng của điểm D’ qua các điểm A, B’, C. Chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện PQRD’.

Câu IVb. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng π song song với AC và BD cắt tứ diện theo thiết diện PQRS. 1. Chứng minh PQRS là hình bình hành.

2. Xác định π để a. thiết diện là một hình thoi,

b. thiết diện có diện tích lớn nhất. Đề số 121

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

187

 x + y = a .

Câu I. 1. Giải và biện luận theo a hệ phương trình   x + y − xy = a 2. Giải phương trình

sin 3 x + cos3 x = cos 2 x.

2 cos x − sin x

Câu II. Xét hàm y = x 4 + ( m + 3) x3 + 2 ( m + 1) x 2 .

1. Xác định m để đồ thị của hàm số có trục đối xứng.

2. Tìm m để hàm số có cực đại? Khi đó chứng tỏ hoành độ cực đại không thể dương.

Câu III. 1. Chứng tỏ nếu tam giác ABC có sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C thì tam giác ABC vuông.

2.Cho H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A. Gọi p, p1 , p2 là nửa chu vi các tam giác ABC, ABH, ACH. Biết p 2 = p12 + p22 . Chứng minh ABC vuông.

Câu IVa. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A’D’.

Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là giao điểm các đường chéo của các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’.

1. Chứng minh PP ' + QQ ' + RR ' = 0.

2. Chứng minh hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm.

Câu IVb. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Các mặt phẳng (ABC’), (AB’C), (A’BC) cắt nhau tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

1. Chứng minh H là trọng tâm của tam giác ABC. 2. Tính thể tích tứ diện OABC theo thể tích V của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Đề số 122 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

188

Câu I. Cho hàm số y = x 4 + ax + b (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a =

3 , b = 1.

10

2. Giả sử đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh 9a 2 − 100b = 0.

Câu II. 1. a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với a > b ≥ c. Xác định độ dài x để a + x, b + x, c + x là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

= α . Tính tỉ số các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội 2. ABC là tam giác vuông tại A, ABC tiếp tam giác đó theo α . Xác định α để tỉ số đó đạt giá trị nhỏ nhất.  x − y = α Câu III. 1. Giải và biện luận theo α hệ phương trình  .

2  2 ( cos 2 x + cos 2 y ) = 1 + 4 cos ( x − y ) n

n

2. Chứng minh nếu x < 1 và n là một số nguyên lớn hơn 1, thì ta có (1 + x ) + (1 − x ) < 2n.

 x − 8 y + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0 Câu IVa. Trong không gian cho ∆1 :  , ∆2 :  .  y − 4 z + 10 = 0  y + 2z + 2 = 0 1. Viết phương trình mặt phẳng P và Q song song với nhau và lần lượt đi qua ∆1 và ∆ 2 .

2. Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆ 2 .

3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 .

Câu IVb. Cho mặt cầu (S) tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. M là một điểm di động trên (S).

Hai tiếp tuyến của (S) tại M cắt (P) ở A và B.

.

AMB = AIB 1. Chứng minh 2. I’ là điểm đối xứng của I qua AB. Chứng minh bốn điểm I, I’, M, O cùng nằm trên một mặt phẳng và I’M đi qua một điểm cố định J thuộc (S).

3. Cho M di động trên (S) nhưng sao cho AMB = 900 , các điểm A, B lần lượt chạy trên hai

đường thẳng d, d’ nằm trong (P) và d, d’ vuông góc với nhau tại K. Chứng tỏ khi đó mặt cầu đường kính AB luôn chứa một đường tròn cố định, I’ chạy trên một đường thẳng cố định và M di động trên một đường tròn cố định. Đề số 123 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

189

Câu I. Cho hàm số y =

x2 − 3 . x−2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Tìm trên đồ thị điểm M với tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

Câu II. 1. Tam giác cân ABC có một góc là nghiệm của phương trình tan x − tan

x 2 3 . = 2 3

Chứng minh ABC là tam giác đều.

2. Giải phương trình tan (1200 + 3x ) − tan (1400 − x ) = 2sin ( 800 + 2 x ) .

Câu III. 1. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình sau có nghiệm

x 2 + 2 x − m + m2 + m − 1 ≤ 0.

2. Giải và biện luận theo a phương trình

x + 2ax − a 2 + x − 2ax − a 2 = 2a.

Câu IVa. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Đặt B ' A ' = a, B ' B = b, B ' C ' = c. Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD’ theo tỉ số n.

1. Hãy biểu thị B ' M , B ' N theo a, b, c và m, n.

2. Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B’D. 3. Tính độ dài đoạn thẳng MN. Câu IVb. Cho hình chóp S.ABC đỉnh S. Biết SC nghiêng với đáy ABC góc 600 , và 6 điểm A, B, C, các trung điểm các cạnh bên của hình chóp cùng nằm trên mặt cầu bán kính R. Hãy tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp.

Đề số 124 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

190

Câu I. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( 2a + 1) x 2 + 6a ( a + 1) x + 1 (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số a = 1.

2. Chứng minh với mọi a, hàm số (1) luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 với x2 − x1 không phụ thuộc vào tham số a.

Câu II. 1. a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa a < b < c và lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh ac = 6 Rr , trong đó R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó.

2. Giải và biện luận theo a phương trình

Câu III. 1. Giải phương trình

sin 2 x + a 2 − 2 a2 . = 1 − tan 2 x cos 2 x

x2 − 3x − 2 = 1 − x.

3x − 2

2. Giải và biện luận theo a bất phương trình

x − a − x − 2a > x − 3a .

x + 2 y − 3 = 0 Câu IVa. Trong không gian cho ( P ) : x + y + z = 0, ( D ) :  . 3x − 2 z − 7 = 0 1. Xác định giao điểm A của đường thẳng (D) và mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (D) và nằm trong (P).

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng D và D’ cắt nhau tại O. Lấy hai điểm A, A’ nằm ngoài P, sao cho đường thẳng AA’ cắt P tại một điểm O’ khác O. Gọi Q là một mặt phẳng chứa AA’. Q cắt D, D’ lần lượt tại B, B’. Các đường thẳng AB, A’B’ cắt nhau tại M, các đường thẳng AB’, A’B cắt nhau tại N. 1. Tìm quỹ tích của điểm M và N khi mặt phẳng Q quay quanh AA’.

2. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

3. Xác định vị trí của mặt phẳng Q để các tứ diện MAOA’ và NAOA’ có cùng thể tích.

Đề số 125 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

191

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x + 1 +

2.

Từ

đồ

thị

trên,

hãy

suy

ra

số

nghiệm

1 . x −1

 π x ∈  0;   2

của

phương

trình

1 1 1  + sin x + cos x +  tan x + cot x +  = m tùy theo giá trị của m.

2 sin x cos x  Câu II. 1. Chứng tỏ mọi tam giác ABC đều có ( a − b ) cot 2. Giải phương trình log 7 − x 2 Câu III. 1. Cho

( x; y; z )

C A B + ( b − c ) cot + ( c − a ) cot = 0.

2 2 2

3sin 2 x − 2sin x = log 7 − x2 2. sin 2 x cos x  x2 + y2 + z 2 = 8 . Chứng minh là nghiệm của hệ phương trình   xy + yz + zx = 4

8 8 − ≤ x, y, z ≤ .

3 3

ax + by = c  2. Giả sử hệ phương trình bx + cy = a có nghiệm. Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. cx + ay = b  Câu IVa. Trên phẳng phẳng Oxy, cho F (1;0 ) và M ( −1; m ) , m ∈ ℝ.

1. Với mỗi giá trị m, viết phương trình đường trung trục ∆ của đoạn MF. 2. Tìm những điểm trên mặt phẳng mà không thuộc đường thẳng ∆ nào.

3. Chứng minh ∆ luôn tiếp xúc với một parabol cố định.

Câu IVb. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, góc giữa cạnh bên và đáy là α ∈ ( 0;900 ) .

1. Tính theo a và α các bán kinh R, r của các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của hình chóp đó.

2. Chứng minh

r 1 ≤ , dấu đẳng thức xảy ra khi S.ABC là tứ diện đều.

R 3

Đề số 126 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

192

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x2 + x .

2x − 2

x2 + x = m.

2x − 2

Câu II. 1. Cho a, b, c là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng phương trình

ab ( x − a )( x − b ) + bc ( x − b )( x − c ) + ca ( x − c )( x − a ) = 0 luôn luôn có nghiệm.

3 cos x = a cos y 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm  .

3 sin x = a sin y

Câu III. Xét bất phương trình x 2 + 2 x ( cos y − sin y ) + 2sin 2 y ≥ 0.

1. Tìm y để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

2. Tìm y để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ 0. x

Câu IVa. 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ∫ cos ( t − x 2 ) dt = sin x.

0

2. Giả sử k, m, n là 3 số tự nhiên thỏa m ≤ k ≤ n. Chứng minh

Cm0 Cnk + Cm1 Cnk −1 + Cm2 Cnk − 2 + ⋯ + CmmCnk − m = Cmk + n .

Câu IVb. Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b. Dựng AS = h vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên cạnh CD lấy điểm M, với CM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) .

1. Tính diện tích tam giác SBM. 2. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SBM) khi x thay đổi.

3. Chứng tỏ khi M thay đổi trên CD, hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (SBM) nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.

Đề số 127 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

193

Câu I. 1. Cho hàm số y =

u ( x) v ( x)

2. Chứng minh nếu y =

. Chứng tỏ y ' ( x0 ) = 0 và v ' ( x0 ) ≠ 0 thì

u ' ( x0 ) v ' ( x0 )

=

u ( x0 ) v ( x0 )

.

2 x 2 + 3x + m − 2 (1) đạt cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì x+2

y ( x1 ) − y ( x2 ) = 4 x1 − x2 .

3. Kiểm tra lại kết quả trong phần 2) bởi việc khảo sát và vẽ đồ thị vủa (1) khi m = 2.

Câu II. 1. Cho a, b, c > 0 với

1 1 2 a+b c+b + = . Chứng minh = ≥ 4. a c b 2a − b 2c − b

2. Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình −1 ≤

x + 2a ≤ 1.

2ax + 1

Câu III. 1. Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

3r  C A Chứng minh công sai của cấp số cộng ấy bằng  tan − tan  (r là bán kính đường tròn nội 2 2 2 tiếp tam giác).

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho A ( 0; a ) , B ( b;0 ) , C ( −b;0 ) với a > 0, b > 0.

1. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. 2. Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn ở phần 1. Gọi d1 , d 2 , d3 lần lượt là khoảng cách từ M tới các đường thẳng AB, AC, BC. Chứng minh d1d 2 = d32 .

Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.

1. Tính các bán kính R và r của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp của hình chóp.

2. Gọi W là thể tích hình chóp, V là thể tích hình cầu ngoại tiếp, v là thể tích hình cầu nội tiếp v W v , , đạt giá trị lớn nhất? hình chóp. Trong những trường hợp nào thì mỗi tỉ số W V V

Đề số 128 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

194

(

2 ( x + y ) = 3  Câu I. 1. Giải hệ phương trình   3 x + 3 y = 6

3

x 2 y + 3 xy 2

).

2. Cho a, b, c ∈ [ 0; 2] , a + b + c = 3. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5.

Câu II. 1. Chứng minh nếu cos ϕ = cos a cos b với a ≠

tan

ϕ +a 2

tan

ϕ +b 2

π 2

+ kπ , b ≠ ( 2n + 1) π ( k , n ∈ ℤ ) thì

b = tan 2 .

2

2. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp với AB = a, BC = b, CD = c, DA = d . Chứng minh

tan

A = 2

( p − a )( p − d ) . ( p − b )( p − c )

Câu III. 1. Cho hàm số y = x + 1 − x 2 − m. Tìm m để hàm số không nhận giá trị dương tại mọi

điểm x thuộc tập xác định của hàm số.

2. Xét hàm số y =

x 2 + m ( m 2 − 1) x − m 2 + 1

x−m

.

a. Chứng minh với mọi giá trị m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b. Chứng tỏ tồn tại một điểm duy nhất trên mặt phẳng Oxy là cực đại của đồ thị ứng với một giá trị nào đó của m, và nó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị khác của m.

Câu

IVa.

Trong không

gian

Oxyz,

cho

hình

lập

phương ABCD.A’B’C’D’

có

A ' ( 0;0;0 ) , B ' ( a;0;0 ) , D ' ( 0; a;0 ) , A ( 0;0; a ) , a > 0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’.

1. Viết phương trình mặt phẳng α đi quà M và song song với hai đường thẳng AN và BD’.

2. Tính thể tích tứ diện ANBD’.

3. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên đường thẳng Ox vuông góc với P, lấy một điểm S. Gọi α là góc do một mặt bên của hình chóp S.ABCD tạo với đáy.

1. Xác định đường vuông góc chung của SA và CD. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.

2. Mặt phẳng đi qua AC và vuông góc với mặt bên (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Đề số 129 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

195

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1.

2. Tìm điều kiện của a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại A, B, C đôi một khác nhau với B là trung điểm đoạn AC. Câu II. 1. Giải và biện luận theo a, b phương trình cos ax + cos 2bx − cos ( a + 2b ) x = 1.

2. Chứng minh ABC không là tam giác tù thì (1 + sin 2 A)(1 + sin 2 B )(1 + sin 2 C ) > 4.

Câu III. 1. Cho a = x 2 + 2 x + 3; b = x 2 + 1; c = x 2 + 4 x + 5. a. Với giá trị nào của x thì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. b. Chứng minh khi đó bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác được tính theo công thức

r=

3 6

(x

2

− 2 x − 2 )( x 2 + 6 x + 7 ) .

x + y = a .

2. Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình  4 4 4 x + y = a Câu IVa. Trong mặt phẳng cho đường tròn x 2 + y 2 = R 2 và một điểm M ( x0 ; y0 ) nằm ngoài

đường tròn. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT1 , MT2 với đường tròn, T1 , T2 là tiếp điểm.

1. Viết phương trình đường thẳng T1T2 .

2. Giả sử M chạy trên đường thẳng D cố định, không cắt đường tròn đã cho. Chứng minh khi đó đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định.

AOB = α ( 00 < α < 900 ) , OA = a, OB = b.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB có

(∆)

là đường thẳng vuông góc với P tại O. Trên ( ∆ ) lấy một điểm C khác O. Gọi H là trực tâm

tam giác CAB. Qua H dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (CAB), nó cắt P tại K. 1. Chứng tỏ K là trực tâm tam giác OAB. HK cắt ( ∆ ) tại D. Chứng tỏ AC ⊥ BC , AC ⊥ BD. 2. Tính OC.OD theo a, b, α . Tìm C để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất.

3. Khi C chạy trên ( ∆ ) chứng tỏ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Đề số 130 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

196

Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 x3 − x 2 .

2. Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị (C) tại 3 điểm cố hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính x12 + x22 + x32 .

Câu II. 1. Giải bất phương trình 1 + x − 1 − x ≤ x.

2. Chứng tỏ nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca ) .

Câu III. 1. Giải phương trình cot 2 x + cot 3x +

1 = 0. sin x sin 2 x sin 3x

2. Tứ giác IAJB có các góc A và B vuông, IA > IB. Chứng tỏ với mọi điểm M trên đường thẳng JA MA IA IJ ta luôn có ≤ ≤ .

JB MB IB Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho A ( 2;0 ) và điểm M di động trên đường tròn (C) tâm O bán kính 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Oy.

1. Tìm các tọa độ giao điểm P của OM và AH theo α = OA, OM .

(

)

2. Xác định và vẽ quỹ tích của P khi M chạy trên (C).

Câu IVb. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, cạnh SH = h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính góc nhọn ϕ giữa các đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AC và SD. 3. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng BC và SD.

Đề số 131 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

197

Câu I. Cho hàm số y = x 4 + 8ax 3 + 3 (1 + 2a ) x 2 − 4.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0.

2. Xác định a để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực tiểu mà không có cực đại.

Câu II. 1. Tam giác ABC nhọn thỏa 3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2 cos C ) = 15. Chứng minh ABC là một tam giác vuông.

1 2. Giải phương trình sin 2 x + sin 2 3x = sin x sin 2 3x.

4 Câu III. 1. Chứng minh nếu n là một số tự nhiên chẵn và a > 3 thì phương trình sau không có nghiệm ( n + 1) x n + 2 − 3 ( n + 2 ) x n +1 + a n + 2 = 0.

( x 2 − 1) ( x − 2 ) ≥ 0 .

2. Giải và biện luận theo a hệ bất phương trình  2 2  x − ( 3a + 1) x + 2a + a ≤ 0 Câu

IVa.

Hàm

số

f ( x)

xác

đinh

trên

ℝ

và

thỏa

f ( x ) ≥ x + 1, ∀x ∈ ℝ (1) ;

f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ ( 2 ) .  1. Chứng tỏ với ∀x ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ ta có f ( x ) ≥  f 

 x   n   2 

n

( 3) .

2. Từ (3) chỉ ra một khoảng mở chứa O để f ( x ) > 0 trên đó. Từ đó suy ra f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ.

3. Chứng tỏ h. f ( x ) ≤ f ( x + h ) − f ( x ) ≤

h. f ( x )

1− h

, ∀x ∈ ℝ , ∀h ∈ ( −1;1) .

4. Chứng tỏ ∃f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Từ đó suy ra f ( x ) = e x .

Câu IVb. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng P đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng P thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?

Câu Vb. Cho tam giác ABC. Xác định hình tròn có bán kính nhỏ nhất chứa nó.

Đề số 132

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

198

Câu I. Cho hàm số y =

ax + b . x −1

1. Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A ( 0; −1) và tiếp tuyến với đồ thị tại A có hệ số góc bằng −3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a, b tìm được.

2. Đường thẳng D có hệ số góc bằng m và đi qua B ( −2; 2 ) . Tìm m để D cắt đồ thị (C) tại hai

điểm M1 , M 2 ? Khi đó, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1M 2 .

3. Các đường thẳng đi qua M 1 và M 2 song song với các trục tọa độ, cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m. Tìm m để hình chữ nhật đó là hình vuông?

x + y + z = a  1 1 1 1 3 3 3 .

Câu II. 1. Tính tổng S = x + y + z theo a, b, c biết  + + = x y z c  x2 + y 2 + z 2 = b2  2. Xác định theo m số nghiệm của phương trình

x 4 + 4 x + m + 4 x 4 + 4 x + m = 6.

Câu III. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh pa 2 + qb 2 > pqc 2 với p + q = 1.

Ngược lại nếu pa 2 + qb 2 > pqc 2 với p + q = 1; a, b, c > 0 thì a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác.

Câu IVa. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ elip ( Em ) : y 2 = 2 x −

x2 với 0 < m < 1. m

1. Bằng một phép tịnh tiến trục tung, hãy đưa phương trình trên về dạng chính tắc. Từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh A, A’ trên trục lớn của ( Em ) trong hệ tọa độ xuất phát.

2. Tìm quỹ tích các đỉnh A, A’ khi m thay đổi.

3. Tìm tọa độ các tiêu điểm của ( Em ) và xác đinh quỹ tích của các tiêu điểm đó.

Câu IVb. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh SA = 2a vuông góc với đáy. M là một điểm trên SA, với AM = x, ( 0 ≤ x ≤ 2a ) .

1. Mặt phẳng MBC cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện ấy?

2. Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất.

3. Xác định x để mặt phẳng MBC chia hình chóp ra hai phần với thể tích bằng nhau.

Đề số 133 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

199

Câu I. Chứng minh thể tích V và diện tích xung quanh S của một hình nón tròn xoay tùy ý luôn 3

2

 6V   2 S  thỏa mãn bất đẳng thức   ≤  . Khi nào xảy ra dấu bằng?  π  π 3  2 9 sin x − 5sin x sin 2 x + 17 cos x − 11 = 0 Câu II. 1. Giải hệ phương trình  .

3 2 5 cos x − 3sin x + 8 cos x − 1 = 0

2. Giải phương trình tan 2 x =

1 − cos x 1 + cos x

.

Câu III. Trong mỗi hệ sau đấy, hãy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất 2 3 2  y = x − 4 x + ax 1.  2 ; 3 2  x = y − 4 y + ax

 x 2 + ( 2a + 1) x + a 2 + a − 2 = 0 .

2.  4 2  x − 5 x + 4 < 0

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho A ( a;0 ) , B ( 0; a ) ( a > 0 ) .

1. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và có tâm C với tung độ yC =

m 2 .

2

Xác định giao điểm thứ hai P của (C) và đường thẳng AB. 2. Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua P và tiếp xúc với Oy tại B. 3. Hai đường tròn (C), (C’) cắt nhau tại P và Q. Viết phương trình đường thẳng PQ. Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu IVb. Cho hình cầu tâm O bán kính R, tiếp xúc với mặt phẳng P. Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên P, có chiều cao h và bán kính đáy cũng bằng R. Hình cầu và hình nón nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng P. Người ta cắt hai hình đó bằng một mặt phẳng Q song song với P, và được hai thiết diện. Gọi x là khoảng cách giữa P và Q. 1. Giả sử x < 2 R , x < h. Tính tổng diện tích của hai thiết diện. Biểu thức tìm được còn thích hợp khi h < x < 2 R , nếu kéo dài các đường sinh của hình nón để chúng cắt Q? 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của tổng diện tích ấy khi x biến thiên. Hãy biện luận đủ các trường hợp.

Đề số 134 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

200

Câu I. Cho parabol P : y = x 2 − 1.

1. O là gốc tọa độ. Xác định M trên P sao cho OM ngắn nhất.

2. Chứng minh nếu OM ngắn nhất thì OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của P. Câu II. 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x + 3sin 2 x.

2. Cho đường tròn bán kính 1. Trên tiếp tuyến tại một điểm A của đường tròn, lấy T với AT = 1. Đường thẳng quay quanh T cắt đường tròn tại B và C. Xác định góc nhọn α giữa đường thẳng d và tiếp tuyến AT, sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Câu III. 1. Giải và biện luận theo a, b phương trình a x + 2 + a x − 1 = b.

 x2 = y + 1  2. Giải hệ  y 2 = z + 1. z2 = x +1  Câu IVa. Cho hàm số f ( x ) =

x2 với tập xác định ℝ + = [ 0; +∞ ) .

3 8x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi trục hoành, đồ thị hàm số và đường thẳng x = 1.

3. Cho n ∈ ℕ* , đặt U n =

12 22 k2 n2 . Tính lim U n . + + ⋯ + ⋯ + 3 3 23 + n 3 4 3 + n 3 ( 2k ) + n 3 ( 2n ) + n 3

Câu IVb. Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy; đáy ABC không phải là một tam giác cân. Gọi B’, C’ là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. 1. Chứng minh BCC’B’ là một tứ giác nội tiếp, có các cạnh BC, B’C’ không song song với nhau.

= ICA .

2. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BC, B’C’. Chứng minh IAB

Đề số 135 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

201

1 2  2 log 3 x − log 3 y = 0 , a là tham số.

Câu I. Cho hệ phương trình   x 3 + y 2 − ay = 0  1. Giải hệ khi a = 2. 2. Xác định a để hệ có nghiệm.

Câu II. 1. Giải phương trình cos3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x =

2 .

4

2. Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện a 4 = b 4 + c 4 . Chứng minh các góc của tam giác đó đều nhọn và thỏa mãn hệ thức 2 sin 2 A = tan B tan C .

Câu III. 1. Giải bất phương trình

5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x.

x 2 − 2ax + 3a 2 2. Tìm a để hàm số y = nghịch biến trong khoảng (1; +∞ ) .

2a − x

x = 1− t  x = 2t '   Câu IVa. Trong không gian Oxyz, cho ( ∆1 ) :  y = t , ( ∆ 2 ) :  y = 1 − t '.  z = −t z = t '   1. Chứng minh hai đường thẳng này chéo nhau.

2. Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lượt đi qua ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) .

3. Tính khoảng cách giữa ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) .

Câu IVb. Cho tam giác đều ABC. Các tai Bx, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. M, N lần lượt là hai điểm di động trên Bx và Cy, P là trung

điểm đoạn MN. Đặt BM CN = k ( k > 0 ) .

1. Chứng tỏ với k không đổi thì hai mặt phẳng (ABC), (AMN) cắt nhau theo giao tuyến cố định.

2. Chứng minh PM PA < 1, từ đó suy ra tam giác AMN có góc A nhọn.

1 3. Biết k = , CN = AB 2, hãy tính góc phẳng của nhị diện tạo bởi các nửa mặt phẳng (MNA) 2 và (MNB).

Đề số 136 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

202

Câu I. Cho hàm số y =

x2 + x − 3 . x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Từ kết quả, suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y =

x2 + x − 3 . x+2

3. Tìm các điểm thuộc trục hoành sao cho từ mỗi điểm ấy có thể vẽ được đúng một tiếp tuyến đối với đồ thị ở phần 1.

Câu II. 1. Chứng minh nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì ta có 2

2

2

a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a + b ) > a 3 + b3 + c3 .

2. Tìm mọi cặp số x, y thỏa mãn phương trình 2

2

1   2 1  1  2  cos x +  +  sin x +  = 12 + sin y.

2 2 cos x   sin x  2 

Câu III. 1. Giải và biện luận phương trình

3

( x + a)

2

2

+ m 3 ( x − a ) = ( m + 1) 3 x 2 − a 2 theo các

tham số a, m.

2. Chứng minh nếu x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 thì ta có −

1 ≤ xy + yz + zx ≤ 1.

2

Câu IV. Trong mặt phẳng Oxy cho D1 : kx − y + k = 0, D2 : (1 − k 2 ) x + 2ky − (1 + k 2 ) = 0.

1. Chứng minh khi k thay đổi đường thẳng D1 luôn đi qua một điểm cố định.

2. Với mỗi giá trị k hãy xác định giao điểm của D1 và D2 .

3. Tìm quỹ tích của giao điểm đó khi k thay đổi.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định, một đường thẳng d cố định không đi qua O, các cạnh Ox, Oy cắt d theo thứ tự A và B. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P và đi = α. qua O lấy điểm S. Gọi a là khoảng cách từ O đến d, OAB 1. Tính góc α khi OS =

8a 5 , SA = OA. 3 3

quay quanh O. 2. Hạ OE ⊥ SA, OF ⊥ SB. Tìm quỹ tích các điểm E, F khi góc vuông xOy 3. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OSAB. Chứng minh 3 điểm O, G, I thẳng hàng.

Đề số 137 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

203

 1 − 5cos 4 3 x log ≤2  cos(π 4) 2 .

Câu I. Giải và biện luận theo tham số m hệ  1 + sin x ≤ m  sin 2 x Câu II. Tìm a, b, c để 4 x3 + ax 2 + bx + c ≤ 1 với mọi x ∈ [ −1;1] .

=C . Chứng minh A = 2B Câu III. Trong tam giác ABC, đặt a = BC , b = CA, c = AB. Giả sử 4 1.

1 1 1 + + ; a b c

5 2. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = .

4

Câu IV. Một hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của khối tứ diện đều. Tính thể tích của phần hình cầu nằm ngoài khối tứ diện, biết cạnh của tứ diện đều bằng a.

Câu Va. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol

x2 y2 − = 1. a2 b2

1. Tính độ dài của phần đường tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn.

2. Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của hypebol tới các đường tiệm cận.

3. Chứng minh chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó.

Câu Vb. Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là một điểm tùy ý trên đường chéo AB’ của mặt bên AA’B’B. Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MCD’) với các đường thẳng BC’ và DA’.

1. Chứng minh ba điểm M, I, J thẳng hàng.

2. Xác định vị trí của M trên đoạn AB’ để trung điểm của IJ nằm trên mặt phẳng (A’B’C’D’).

Đề số 138 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

204

2

Câu I. 1. Chứng tỏ hệ thức kb 2 = ( k + 1) ac ( k ≠ −1) là điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm, trong đó một nghiệm bằng k lần nghiệm kia.

2. a, b, c là 3 số khác 0. Chứng minh

a2 b2 c 2 a b c + + ≥ + + . b2 c2 a 2 b c a

Câu II. 1. Tìm y để bất phương trình x 2 cos y − 2 x cos y sin y + sin y ≥ 0 được nghiệm với mọi x.

2. Giải phương trình

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

x+3 .

2

Câu III. Tứ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA tương đương, và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 1800. Chứng minh các cạnh đối của tứ diện bằng nhau từng đôi một. b

2

Câu IVa. a, b là hai số cố định. Chứng minh lim ∫ e x sin nxdx = 0. n →+∞

a

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (K) và một điểm H nằm bên trong đường tròn ấy.

Dựng đoạn HS vuông góc với P. Xét hai dây cung AC và BD của đường tròn (K), đi qua H. Gọi A’, B’, C’, D’ là hình chiếu vuông góc của H lên SA, SB, SC, SD. 1. Chứng tỏ bốn điểm A’, B’, C’, D’ nằm trên cùng một mặt phẳng, và A’B’C’D’ là một tứ giác nội tiếp.

2. Chứng tỏ khi các dây cung AC và BD quay quanh H thì (A’B’C’D’) là một mặt phẳng cố định.

Đề số 139 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

205

Câu I. 1. Cho hàm số f ( x ) = 3cos 4 x − 5cos 3x − 36sin 2 x − 15cos x + 36 + 24a − 12a 2 . Với giá trị nào của a thì f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ.  x + 1 + y + 2 = a 2. Xác định tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm  .  x + y = 3a

Câu II. 1. Tam giác ABC có các cạnh với độ dài a, b, c và có diện tích S. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các cạnh ở A’, B’,C’ (đối diện với các đỉnh A, B, C). Tam giác A’B’C’ có các cạnh a’, b’, c’ và diện tích S’. Chứng minh i.

a' b' C A B + = 2sin  sin + sin  ; 2 2 2 a b

2. Chứng minh

ii.

S' A B C = 2sin sin sin .

S 2 2 2

cos 3 x + asin3 x + 1 1 + 1 + 3a 2 . ≤ cos 3 x + 2 3

Câu III. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh 1 <

a b c d + + + < 2. a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

Câu IV. Chứng minh nếu các góc của tam giác ABC thỏa điều kiện 2 A + 3B = π , thì các cạnh tương ứng của nó thỏa mãn a + b ≤

5 c.

4

Câu Va. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A ' ( 0;0; 0 ) ,

B ' ( a;0; 0 ) , D ' ( 0; b; 0 ) , A ( 0; 0; c ) trong đó a, b, c > 0. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’.

1. Viết phương trình tham số của hai đường thẳng PR, QS. 2. Xác định a, b, c để hai đường thẳng PR, QS vuông góc với nhau.

3. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng PR, QS cắt nhau.

4. Tính diện tích tứ giác PQRS. Câu Vb. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại B’, C’, D’.

1. Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông.

2. Cho S di chuyển trên đường thẳng Ax vuông góc với đáy tại A. Chứng minh mặt phẳng (AB’C’D’) luôn đi qua một đường thẳng cố định và 7 điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định.

3. Gọi x là góc nhọn tạo bởi cạnh SC và mặt bên (SAB). Biết rằng ABCD là hình vuông, hãy tính tỉ số giữa thể tích của hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.

Đề số 140 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

206

Câu I. Cho hàm số y =

x 2 cos α + 2 x sin α + 1 . x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi α = 0.

2. Xác định α để đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và tiếp xúc với cận xiên của đồ thị hàm số có bán kính lớn nhất.

Câu II. 1. Tìm tổng tất cả các nghiệm x của phương trình 2 cos 2 x + cot 2 x =

sin 3 x + 1 thỏa mãn sin 2 x

điều kiện 2 ≤ x ≤ 40.

(

)

(

)

2. Tìm x để phương trình log 2 a 2 x 3 − 5a 2 x 2 + 6 − x = log 2+ a2 3 − x − 1 được nghiệm đúng với mọi a.

Câu III. 1. Cho cấp số cộng a, b, c, d. Chứng minh nếu 2m ≥ ad − bc thì với mọi số thực x ta có

( x − a )( x − b )( x − c )( x − d ) + m2 ≥ 0.

2. a, b, c là các độ dài của một tam giác. Chứng minh

a b c a c b + + − − − < 1. b c a c b a

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2m ( x − a ) = 0 với a > 0.

1. Tìm m để F ( x, y ) là phương trình đường tròn? Kí hiệu tương ứng ( Cm ) .

2. Chứng tỏ đoạn OA với O ( 0;0 ) , A ( 2a;0 ) luôn cắt ( Cm ) .

3. Chứng tỏ có đường thẳng là trục đẳng phương chung cho tất cả các ( Cm ) .

Câu IVb. Trong mặt phẳng P, cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với P, dựng tam giác đều ABE. M chạy trên đoạn AB, đặt BM = x. Từ E kẻ đường vuông góc EN với MC (E thuộc đường thẳng MC). Gọi F, O lần lượt là trung điểm của AB, CE. 1. Tìm quỹ tích của điểm N khi M di chuyển trên đoạn AB. 2. Tính độ dài đoạn MO theo a và x.

3. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của MO.

Đề số 141 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

207

Câu I. Cho hàm số y = 3 x 2 − 6 x + 2a − 1 với −2 ≤ x ≤ 3. Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu II. 1. Chứng minh nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn thì ABC là tam giác đều a. 3S = 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) ;

b. b + c =

a + ha . 3.

2

2. Giải phương trình tan x + tan 2 x + tan 3 x + cot x + cot 2 x + cot 3 x = 6.

Câu III. 1. Tìm điều kiện của a, b để phương trình x 2 + 5 = 2 ( x − 2 cos ( ax + b ) ) có nghiệm.

2. Giải bất phương trình

x +1 x +1 −2 > 3. x x

Câu IVa. Cho họ đường thẳng ( x − 1) cos α + ( y − 1) sin α − 4 = 0 với tham số α .

1. Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ.

2. Chứng minh mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Câu IVb. 1. Cho tứ diện đều cạnh a. Tìm bán kính hình cầu tiếp xúc tất cả các cạnh của tứ diện.

2. a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S .

Trong trường hợp nào thì dấu bằng xảy ra?

Đề số 142 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

208

Câu I. Cho hàm số y = x3 − 3ax 2 + 4a 3 .

1. Với a > 1 cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Tìm a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

3. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C với AB = BC. Câu II. Cho phương trình

x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m.

1 1. Giải phương trình với m = − .

2 2. Với những giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

Câu III. 1. Chứng tỏ với mọi α ta luôn có 4 sin α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5sin α .

2. Giải phương trình 4 cos3 x = cos 3 x cos3 x + sin 3 x sin 3 x.

Câu IV. ABC là một tam giác tùy ý. Về phía ngoài của tam giác ấy, người ta dựng các tam giác đều ABD, BCE, CAF. Chứng minh các tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều nói trên là các đỉnh của một tam giác đều.

Câu Va. Cho ( E ) :

x2 y 2 + = 1. Xét các điểm A ( −3;0 ) , M ( −3; a ) , B ( 3; 0 ) , N ( 3; b ) trong đó a, b 9 4

là hai số thay đổi.

1. Xác định các tọa độ của giao điểm I của các đường thẳng AN và BM. 2. Chứng thẳng để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) điều kiện cần và đủ là ab = 4.

3. Với a, b thay đổi nhưng sao cho MN luôn tiếp xúc với (E), hãy tìm quỹ tích điểm I. Câu Vb. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định, gọi I là trung điểm đoạn AB. Ta gọi D là một đường thẳng bất kì, cách đều A và B. 1. Chứng tỏ hình chiếu vuông góc M của I lên D nằm trên mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB. 2. O là một điểm cố định không thuộc (P) và cũng không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh nếu D đi qua O, thì giao điểm của D với (P) nằm trên một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó, biết OI = d , và khoảng cách từ O đến (P) là OH = h.

3. Tính thể tích tứ diện OHMI theo d, h và x = OM . Tìm x để thể tích đó lớn nhất.

Đề số 143 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

209

Câu I. Cho hàm số y =

− m ( x + 1) + x + 2 m ( x + 1) + 1

(1)

trong đó m là tham số khác 0.

1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ? Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của m.

2. Chứng minh với mọi giá trị m ≠ 0 đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó.

Câu II. 1. Giải phương trình 3sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x.

2. Cho hình thang ABCD có các đáy AB = a, CD = b và các cạnh bên AD = c, BC = d , các

đường chéo AC = p, BD = q. Chứng minh p 2 + q 2 = c 2 + d 2 + 2ab.

Câu III. 1. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

y = x 2 + ( m + 1) + 2 x + m − 1 không lớn hơn 3.

2. Chứng minh nếu a1a2 ≥ 2 ( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình x 2 + a1 x + b1 = 0;

x 2 + a2 x + b2 = 0 có nghiệm.

(

)

2

Câu IVa. Giải và biện luận theo a, b phương trình x = a − b a − bx 2 .

Câu Va. 1. Chứng tỏ với t > 0 ta luôn có ln t < t .

2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có lim x n ln x = 0. x →0

 x n ln x khi x ≠ 0 3. Chứng minh với n ∈ ℕ , n ≥ 2 hàm số f n ( x ) =  có đạo hàm f ' ( x ) liên tục khi x = 0 0 trên ℝ.

Câu Vb. Trong mặt phẳng P cho hình vuông ABCD cạnh a. Kéo dài AB thêm đoạn BE = a.

Dựng ba nửa đường thẳng Ax, By, Dz vuông góc với P và ở về cùng một phía đối với P. Một mặt phẳng Q chứa CE quay quanh CE cắt Ax, By, Dz lần lượt tại A’, B’, D’.

1. Chứng minh B ' D ' || BD và đường thẳng A’D’ luôn đi qua một điểm cố định.

2. Tứ giác A’D’CD’ là hình gì? Tính diện tích tứ giác ấy khi P tạo với Q góc 600.

3. Khi Q quay quanh CE, tĩm quỹ tích giao điểm I của các đường chéo A’C và B’D’ của tứ giác A’B’CD’.

Đề số 144 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

210

2 3x + 2 x − 1 < 0 .

Câu I. Cho hệ bất phương trình  3  x + 3mx + 1 < 0

1. Giải hệ khi m = −1.

2. Tìm m để hệ có nghiệm.

ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4 với a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ 2. abc

Câu II. 1. Tìm giá trị lớn nhất của f = 2. Giải bất phương trình 252 x − x

2

+1

+ 92 x − x

2

+1

2

≥ 34.152 x − x .

 3π  Câu III. 1. Tìm nghiệm x ∈  − ; π  của phương trình  4  a 2 sin x − a sin 2 x − a 2 cos x + a cos 2 x = cos x − sin x.

2.

Cho

α , β , γ > 0;α + β + γ =

π 2

.

Tìm

giá

trị

l ớn

nhất

của

biểu

thức

g = 1 + tan α tan β + 1 + tan β tan γ 1 + tan γ tan α . eπ

Câu IVa. Tính

∫ cos ( ln x ) dx.

0

 x = 2 + at  x + 2 y − 3z + 1 = 0  ; ( D ) :  y = −1 + 2t .

Câu Va. Trong không gian Oxyz cho ( ∆ ) :  2 x − 3 y + z + 1 = 0  z = 3 − 3t  1. Với a cho trước, hãy xác định phương trình mặt phẳng P đi qua ( ∆ ) và song song với (D).

2. Xác định a để tồn tại một mặt phẳng Q đi qua ( ∆ ) và vuông góc với (D).

= xOz = 450 , Câu IVb. Cho góc tam diện Oxy, với xOy yOz = 600. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt đặt các đoạn OA = a, OB = OC = a 2. Trên nửa đường thẳng Ot vuông góc với mặt phẳng

( Ox, Oz )

và ở về cùng phía với Oy, ta đặt đoạn OD = a.

1. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

2. Chứng minh các tia Ox, Oy, Ot nằm trong cùng một mặt phẳng.

3. Tính thể tích của khối đa diện OABCD.

Đề số 145 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

211

Câu I. Cho hàm số y =

mx 2 + ( m 2 + 1) x + 4m3 + m x+m

.

1. Với m = −1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng tọa độ.

 y − x 2 − x − 1 ≥ 0 .

Câu II. Cho hệ bất phương trình  y x − 2 + + 1 − 1 ≤ 0  1. Giải hệ khi y = 2. 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( x; y ) của hệ.

Câu III. Cho phương trình m sin x + ( m + 1) cos x =

1 1. Giải phương trình khi m = .

2

m . cos x

2. Tìm m để phương trình có nghiệm.

3. Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm thỏa điều kiện

x1 + x2 ≠

π 2

+ kπ ( k ∈ ℤ ) . Hãy tính cos 2 ( x1 + x ) .

Câu IVb. Trên mặt phẳng Oxy xét A ( a; 0 ) , B ( 0; b ) với ab ≠ 0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Ox tại A, và có tâm C với tung độ yC = m, trong đó m tham số khác 0 và khác ( a 2 + b2 ) 2b .

1. Đường thẳng AB cắt đường tròn (C) tại giao điểm thứ hai P. Hãy xác định các tọa độ của P. 2. Xác định tâm K của dường tròn (K) tiếp xúc với Oy tại B và đi qua P. 3. Các đường tròn (C), (K) cắt nhau tạo P và Q. Chứng tỏ khi m thay đổi, đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Qua B, C dựng lần lượt hai nửa đường thẳng d, m nằm cùng phía và vuông góc với (P). Trên d lấy điểm D, trên m lấy điểm E. 1. Hãy xác định vị trí của D trên d sao cho trên m tồn tại duy nhất một điểm E nhìn AD dưới góc vuông.

2. Giả sử D, E chuyển động trên d, m sao cho tổng BD + CE = 2b không đổi. a. Chứng minh mặt phẳng (ADE) luôn quay quanh một đường thẳng cố định và khối đa diện ABCDE có thể tích không đổi. b. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của trung điểm cạnh BC lên mặt phẳng (ADE).

Đề số 146 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

212

Câu I. 1. Chứng minh với mọi a, b ta có −

2. Giải bất phương trình

1 ( a + b )(1 − ab ) 1 ≤ ≤ .

2 (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2

2 1− x −2 x + 1 ≤ 0.

2x −1

Câu II. Gọi R, r, h, l lần lượt là bán kính đường trong ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp,

đường cao và đường phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh. Chứng minh

h 2r . Khi nào xảy ≥ l R

ra dấu bằng?

Câu III. 1. Giải phương trình sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3.

2. Trong tất cả các tứ giác ABCD với AB = BC = CD = a ( a > 0 ) , hãy xác định tứ giác có diện tích lớn nhất.

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho ( P ) : y 2 = x. Gọi (C) là đường tròn tâm C ( 2;0 ) bán kính R. 1. Xác định R để đường tròn (C) tiếp xúc với parabol (P). Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T’.

2. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại T và T’.

3. Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi parabol (P) và hai tiếp tuyến trên.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho đường tròn (C) đường kính AB = 2 R. Lấy C là một điểm trên

đoạn AB, đặt AC = x ( 0 < x < 2 R ) ; một đường thẳng đi qua C cắt đường tròn (C) tại K, L. Trên nửa đường thẳng vuông góc với P tại A, lấy điểm S với AS = h. Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SC, SK, SL lần lượt tại B’, C’, K’, L’.

1. Chứng minh AK’B’L’ là một tứ giác nội tiếp.

2. Đường thẳng KL phải thỏa mãn điều kiện gì để C’ là điểm giữa của đoạn K’L’?

3. Tìm điều kiện đối với đường thẳng KL để AK’B’L’ là một hình vuông.

Đề số 147 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

213

Câu I. Xác định a để hàm số y = −2 x + 2 + a x 2 − 4 x + 5 có cực đại.

Câu II. Cho phương trình

cos6 x + sin 6 x = 2m tan 2 x (1) . cos 2 x − sin 2 x

1 1. Giải (1) khi m = .

8

2. Với giá trị nào của m thì (1) có nghiệm?

Câu III. 1. Tìm điều kiện a, b, c để hệ bất phương trình sau có nghiệm 2 2  a cos x + b sin x + c ≥ 0 .  2 2  a sin x + b cos x + c ≥ 0

2. Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có tổng các bình phương các cạnh là lớn nhất.

x2 y2 − = 1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua 4 9 gốc tọa độ O và có hệ số góc k, (D’) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (D).

Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol ( H ) :

1. Tìm điều kiện đối với k để (D) và (D’) đều cắt (H).

2. Tính theo k diện tích của hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (D) và (D’) với (H).

3. Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB với OA = OB, AB = 2a đường cao OH = h.

Trên đường thẳng (d) vuông góc với P tại O, lấy điểm M với OM = x. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB, N là giao điểm của đường thẳng EF với (d).

1. Chứng minh MB ⊥ NA, MA ⊥ NB. 2. Tính BF, BE và thể tích khối tứ diện ABEF theo a, h và x.

3. Tìm vị trí của M trên (d) để tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

214

Đề số 148

x 2 + mx − 1 Câu I. Cho hàm số y = . x −1 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và trên (1; +∞ ) .

2. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục một tam giác có diện tích bằng 8.

3. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B với OA ⊥ OB. 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1.

1 1 1 1 1 Câu II. 1. Chứng minh nếu 0 < x ≤ y ≤ z thì y  +  + ( x + z ) ≤  +  ( x + z ) . x z y x z 2. Chứng minh với a, b là 2 số không âm thì 3a 3 + 7b3 ≥ 9ab 2 .

Câu III. Chứng minh với mọi tam giác có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 ≤ c 2 luôn có r 0.4 < < 0.5 trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là độ dài đường cao hạ xuống cạnh c. h Câu IVa. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) với a, b, c > 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2. Xác định tọa độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ lên mặt phẳng (ABC).

Tính độ dài OH. 3. Tính diện tích tam giác ABC. 4. Giả sử a, b, c thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = k 2 với k dương cho trước.

Khi nào thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất? Chứng tỏ khi đó OH cũng có độ dài lớn nhất.

Câu IVb. Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt 3 điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là trực tâm, G là trọng tâm, S là diện tích tam giác ABC. 1. Tính OH, S, OG theo a, b, c.

2. Chứng minh tam giác ABC có các góc A, B, C nhọn và a 2 tan A = b 2 tan B = c 2 tan C .

3. Cho A cố định trên Ox, còn B và C chạy trên Oy và Oz. Tìm quỹ tích của G và H.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

215

Đề số 149 Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 1.

2. Chứng tỏ đồ thị hàm số có một trục đối xứng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Câu II. 1. Tìm nghiệm của phương trình sin 2 ( x + 1) y  = sin 2 ( xy ) + sin 2 ( x − 1) y  sao cho

( x + 1) y, xy, ( x − 1) y

là số đo các góc của một tam giác.

2. Chứng minh mọi tam giác ABC bao giờ ta cũng có a. sin

A a ; ≤ 2 2 bc

b.

aA + bB + cC π ≥ . a+b+c 3

(

)

(

)

Câu III. 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 2 1 + x 3 + 1 + x3 + 2 1 − x3 + 1 .

2. Cho bất phương trình −4

( 4 − x )( 2 + x ) ≤ x 2 − 2 x + a − 18.

a. Giải bất phương trình khi a = 6. b. Xác định a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] .

Câu IVa. 1. Chứng tỏ hàm số F ( x ) = x − ln (1 + x ) là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1 .

1+ x e

2. Tính tích phân I = ∫ x ln 2 xdx.

1

Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là điểm giữa của cạnh SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Chứng minh

SB SD + = 3.

SM SN chóp S.AMKN.

1.

2.

1 V1 3 ≤ ≤ trong đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V1 là thể tích hình 3 V 8

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

216

Đề số 150 Câu I. 1. Giả sử phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm x1 , x2 , phương trình x 2 + cx + d = 0 có nghiệm x3 , x4 . Chứng minh 2

2

2 ( x1 + x3 )( x1 + x4 )( x2 + x3 )( x2 + x4 ) = 2 ( b − d ) − ( a 2 − c 2 ) ( b − d ) + ( a + c ) ( b + d ) .

2. Cho a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh

a b c + + + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ 1. b + c +1 a + c +1 a + b +1

Câu II. 1. Giải phương trình sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x.

2. k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 9R . giác đó. Chứng minh k + l + m ≤ 2 Câu III. Trên mặt phẳng Oxy cho A ( 3; 0 ) và parabol P có phương trình y = x 2 .

1. M là một điểm thuộc parabol P, có hoành độ xM = a. Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn nhất.

2. Chứng tỏ nếu AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol P. x2 y 2 = 1 và hai đường thẳng ( D ) : ax − by = 0, Câu IVa. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip ( E ) : + 9 9 ( D ') : bx + ay = 0 với a 2 + b 2 > 0.

1. Xác định các giao điểm M, N của (D) và (E), và các giao điểm P, Q của (D’) với (E).

2. Tính theo a, b diện tích tứ giác MNPQ. 3. Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy lớn nhất.

4. Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy nhỏ nhất.

Câu IVb. Trong mặt phẳng P cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng P tại A, lấy một điểm M. Dựng BK ⊥ AC , BH ⊥ CM . Đường thẳng KH cắt (d) tại N. 1. Chứng minh BN ⊥ CM . 2. Chứng minh BM ⊥ CN .

3. Hãy chỉ ra cách dựng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

217

NĂM HỌC 2001 – 2002 Khối A Câu 1. (ĐH: 2,5 điểm; CĐ: 3,0 điểm) Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 + 3 (1 − m 2 ) x + m3 − m2 (1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm k để phương trình − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Câu 2. (ĐH: 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) Cho phương trình log 32 x + log32 x + 1 − 2m − 1 = 0 (1) (m là tham số).

1. Giải phương trình (2) khi m = 2.

2. Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  .   Câu 3. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 2,0 điểm)

cos 3x + sin 3x   1. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) của phương trình 5  sin x +  = cos 2 x + 3.

1 + 2sin 2 x   2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 − 4 x + 3 , y = x + 3.

Câu 4. (ĐH: 2,0 điểm; CĐ: 3,0 điểm) 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

x = 1+ t x − 2 y + z − 4 − 0  △1:  và △2 :  y = 2 + t . x + 2 y − 2z + 4 = 0  z = 1 + 2t  a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng △1 và song song với đường thẳng △2 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

218

b. Cho điểm M (1; 2; 4 ) . Tìm tọa điểm điểm H thuộc đường thẳng △2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Câu 5. (ĐH: 2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc với Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A,

3x − y − 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. phương trình đường thẳng BC là

2. Cho khai triển nhị thức n

n

−x x −1 x −1  x2−1    0 1 3 2 2  2 + 2  = Cn  2  + Cn  2       

n −1

x −1  −3x    −3x  n −1  2  2  + ⋯ + Cn  2   2      

n −1

 −3x  +C 2   

n

n n

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn3 = 5Cn1 và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

219

Năm học 2001 – 2002 Khối B Câu 1. (ĐH 2,0 điểm; CĐ 3,0 điểm)Cho hàm số y = mx 4 + ( m2 − 9 ) x 2 + 10 (1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số 1 có 3 điểm cực trị.

Câu 2. (ĐH 3,0 điểm; CĐ 3,0 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x.

(

))

(

2. Giải bất phương trình log x log 3 9 x − 72 ≤ 1.

 3 x − y = x − y .

3. Giải hệ phương trình   x + y = x + y + 2 Câu 3. (ĐH 1,0 điểm; CĐ 1,5 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = 4−

x2 x2 . y = và 4 4 2

Câu 4. (ĐH 3,0 điểm; CĐ 3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1  I  ;0  , phương trình đường thẳng AB là x − 2 y + 2 = 0 và AB = 2 AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, 2  B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

2. Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1 D1 có cạnh a. a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D. b. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BD1 , CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

220

Câu 5. (ĐH 1,0 điểm) Cho đa giác đều A1 A2 … A2 n ( n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn ( O ) .

Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , …, A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , …, A2 n . Tìm n.

Ghi chú: Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm câu 4.2.b và câu 5.

Năm học 2001 – 2002 Khối D Câu 1. (ĐH 3,0 điểm; CĐ 4,0 điểm)Cho hàm số y =

( 2m − 1) x − m2

(1)

x −1

(m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = −1.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.

3. Tìm m để đồ thị củahàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

(

Câu 2. (ĐH 2,0 điểm; CĐ 3,0 điểm)1. Giải phương trình x 2 − 3x

)

2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0.

 23 x = 5 y 2 − 4 y  .

2. Giải hệ phương trình  4 x + 2 x +1 y =  x  2 +2 Câu 3. (ĐH 1,0 điểm; CĐ 1,0 điểm) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng phương trình cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0.

Câu 4. (ĐH 2,0 điểm; CĐ 2,0 điểm)1.Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

2.Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 = 0 và

( 2m + 1) x + (1 − m ) y + m − 1 = 0 , (m là tham số). Xác đinh m để ( d m ) song đường thẳng d m :  mx + ( 2m + 1) z + 4m + 2 = 0 song với (P).

Câu 5. (ĐH 2,0 điểm)1. Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ⋯ + 2n Cnn = 243.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình x2 y 2 + = 1. Xét điểm M di động trên tia Ox và điểm N di động trên tia Oy sao cho đường thẳng 16 9 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

221

MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Ghi chú: Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm câu 5.

Năm học 2002 – 2003 Khối A Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

mx 2 + x + m (1) (m là tham số). x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

Câu 2. (2 điểm)1. Giải phương trình cot x − 1 =

cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x.

1 + tan x 2

1  1 x − x = y − y .

2. Giải hệ phương trình  2 y = x 3 + 1  Câu 3. (3 điểm) 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính số đo góc phẳng nhị diện [ B, A ' C , D ].

2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có A trùng với gốc hệ tọa độ, B ( a;0; 0 ) , D ( 0; a; 0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a > 0, b > 0 ) .

Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b. Xác định tỷ số

a để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b

Câu 4. (2 điểm)1. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển của nhị thức Niu-tơn của n

 1 k n +1 n 5   3 + x  , biết rằng Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3) (n là số nguyên dương, x > 0, Cn là số tổ hợp x  chập k của n phần tử).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

222

2 3

2. Tính tích phân I =

∫

5

dx x x2 + 4

.

Câu 5. (1 điểm)Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng x2 +

1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82.

2 x y z

Năm học 2002 – 2003 Khối B Câu 1. (2 điểm)Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + m (1) (m là tham số).

1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình cot x − tan x + 4sin 2 x =

2 . sin 2 x

 y2 + 2 3 = y  x2  .

2. Giải hệ phương trình  2 3 x = x + 2  y2 Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABC có = 900. Biết M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và G  2 ; 0  là trọng tâm tam giác AB = AC , BAC   3  ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 600. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn BAD điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.

3. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai điểm A ( 2;0; 0 ) , B ( 0;0;8 ) và

điểm C sao cho AC = ( 0; 6; 0 ) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Câu 4. (2 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

223

π

1 − 2sin 2 x ∫0 1 + sin 2 x dx.

2. Tính tích phân I =

4

Câu 5. (1 điểm) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng Cn0 +

2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n Cn + Cn + ⋯ + Cn , 2 3 n +1

(Cnk là tổ hợp chập k của n phần tử).

Năm học 2002 – 2003 Khối D x2 − 2x + 4 Câu 1. (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (1) . x−2

2. Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.

x x π Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0.

2 2 4 2. Giải phương trình 2 x

2

−x

2

− 22+ x − x = 3.

Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho đường tròn 2

( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 )

2

= 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C ')

đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d . Tìm tọa độ các giao điểm của ( C ) và ( C ') .

2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho đường thẳng  x + 3ky − z + 2 = 0 . Tìm k để d k vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x − y − 2 z + 5 = 0. dk  kx − y + z + 1 = 0 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy 2 điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao choAC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.

Câu 4. (2 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =

x +1 x2 + 1

trên đoạn [ −1; 2].

2

2.Tính tích phân I = ∫ x 2 − x dx.

0

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

224

Câu 5. (1 điểm) Với n là một số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x 3 n −3 trong khai triển

(

n

) ( x + 1)

thành đa thức của x 2 + 1

n

. Tìm n để a3n −3 = 26n.

Năm học 2003 – 2004 Khối A − x 2 + 3x − 3 Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = (1) .

2 ( x − 1)

1. Khảo sát hàm số (1).

2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải bất phương trình

2 ( x 2 − 16 ) x−3

+ x−3 >

7−x . x −3

1  log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1 .

2. Giải hệ phương trình  4  x2 + y 2 = 4 

(

)

Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0; 2 ) và B − 3; −1 .

Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC

(

)

cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , S 0;0; 2 2 . Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a.Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 2

x dx. x −1 1 1+

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫

8

2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1 + x 2 (1 − x )  .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

225

Câu

5.

(1

điểm)

Cho

tam

giác

ABC

không

tù,

thỏa

mãn

điều

kiện

cos 2 A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3. Tính ba góc của tam giác ABC.

Năm học 2003 – 2004 Khối B

1 Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x (1) có đồ thị (C).

3 1. Khảo sát hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( C ) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của

( C ) có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan 2 x.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

ln 2 x trên đoạn 1; e3  . x

Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (1;1) , B ( 4; −3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

ϕ ( 00 < ϕ < 900 ) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ .

 x = −3 + 2t  3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( −4; −2; 4 ) và đường thẳng d :  y = 1 − t .  z = −1 + 4t  Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. e

Câu 4.(2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫ 1

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

1 + 3ln x ln x dx. x

226

2.Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Câu 5. (5 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm m

(

)

1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .

Năm học 2003 – 2004 Khối D Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 1 (1) với m là tham số.

1. Khảo sát hàm số (1) với m = 2.

2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình ( 2 cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x.

 x + y = 1 .

2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x x y y 1 3 m + = −  Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A ( −1;0 ) , B ( 4;0 ) , C ( 0; m ) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC. A1B1C1. Biết A ( a;0;0 ) ,

B ( −a;0; 0 ) , C ( 0;1; 0 ) , B1 ( −a; 0; b ) , a > 0, b > 0. a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b. b. Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.

3. Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho ba điểm A ( 2;0;1) , B (1; 0; 0 ) , C (1;1;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y + z − 2 = 0. Viết

phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt

phẳng (P).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

227

3

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫ ln ( x 2 − x )dx.

2 7

1   2. Tìm các số hạng không chứ x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  3 x + 4  với x > 0. x 

Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0.

Năm học 2004 – 2005 Khối A Câu 1. (2 điểm) Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = mx +

1 (*) (m là tham số). x

1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .

4 2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( Cm ) đến tiệm cận xiên

( Cm )

bằng

1 .

2

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải bất phương trình

5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4.

2. Giải phương trình cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0.

Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0 và

d 2 : 2 x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

x −1 y + 3 z − 3 = = và mặt phẳng 2 1 −1

( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0. a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d. π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

2

∫ 0

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

sin 2 x + sin x dx.

1 + 3cos x 228

2. Tìm số nguyên dương n sao cho

C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + ⋯ + ( 2n + 1) 22 n C22nn++11 = 2005

(Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Câu 5. (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1 + + = 4. Chứng minh rằng x y z

1 1 1 + + ≤ 1.

2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Năm 2004 – 2005 Khối B Câu 1. (2 điểm) Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y =

x 2 + ( m + 1) x + m + 1 (*) (m là tham số). x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.

2. Chứng minh rằng với m bất kì , đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

20.

 x − 1 + 2 − y = 1 Câu 2. (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình  .

2 3 3log 9 − log = 3 x y ( )  9 3

2. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0.

Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 2; 0 ) và B ( 6; 4 ) . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 với A ( 0; −3; 0 ) ,

B ( 4; 0;0 ) , C ( 0;3;0 ) , B1 ( 4;0; 4 ) . a. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng

( BCC1B1 ) . b. Gọi M là trung điểm của đoạn A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

229

π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

2

∫ 0

sin 2 x cos x dx.

1 + cos x

2. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? x

x

x

 12   15   20  Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi x ∈ ℝ , ta có   +   +   ≥ 3x + 4 x + 5 x.  5  4  3  Khi nào đẳng thức xảy ra?

Năm học 2004 – 2005 Khối D

1 m 1 Câu 1. (2 điểm) Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = x3 − x 2 + (*) (m là tham số).

3 2 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.

2. Gọi M là điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song với đường thẳng 5 x − y = 0.

Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình sau1. 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

π  π 3  2. cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3x −  − = 0.

4  4 2  Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C ( 2;0 ) và elip x2 y 2 ( E ) : + = 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau 4 1 qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z +1 = = và 3 2 −1

x + y − z − 2 = 0 . d2 :   x + 3 y − 12 = 0 a. Chứng minh rằng d1 và d 2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d 2 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

230

b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

2

∫ (e

sin x

+ cos x ) cos xdx.

0

2. Tính giá trị của biểu thức M =

An4+1 + 3 An3 , biết rằng Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149 (n là số 1 ! n + ( )

nguyên dương, Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Câu 5. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng 1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ 3 3. Khi nào đẳng thức xảy ra? xy yz zx

Năm học 2005 – 2006 Khối A Bắt đầu từ năm này lại quay lại kiểu có phần bắt buộc và phần tự chọn.

Phần chung cho tất cả các thí sinh Câu 1. (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4.

3

2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2 x − 9 x 2 + 12 x = m.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x 2 − 2 sin x

= 0.

 x + y − xy = 3 2. Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) .  x + 1 + y + 1 = 4 Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD. A1B1C1 D1 với

A ( 0; 0; 0 ) , B (1; 0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A ' ( 0;0;1) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α với cos α = π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

2

∫ 0

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

sin 2 x 2

cos x + 4sin 2 x

1 .

6

dx.

231

2. Cho hai số thực x ≠ 0; y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1 1 + 3.

3 x y

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b Câu 5a.Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0; d 2 : x − y − 4 = 0;

d3 : x − 2 y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1 gấp hai lần khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d 2 . n

2. Tìm hệ số của số hạng chứ x

26

 1  trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  4 + x 7  , biết rằng x 

C21n +1 + C22n+1 + ⋯ + C2nn+1 = 220 − 1. (n nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Câu 5b.Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm) 1. Giải phương trình 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0.

2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.

Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a.

Tính thể tích của khối tứ diện OO ' AB.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

232

Năm học 2005 – 2006 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

x2 + x + 1 . x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).

x  Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình cot x + sin x 1 + tan x tan  = 4.

2  2. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1.

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;1; 2 ) và hai đường thẳng

x = 1+ t x y −1 z +1  d1 : = = , d 2 :  y = −1 − 2t .

2 1 −1 z = 2 + t  1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d 2 .

2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. ln 5

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

∫e

ln 3

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

x

dx . + 2e − x − 3

233

2. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

( x − 1)

2

+ y2 +

( x + 1)

2

+ y2 + y − 2 .

Phần tự chọn

Câu 5a. 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 và điểm M ( −3;1) . Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyếnkẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 .

2. Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ) . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, …, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Câu 5.b (2 điểm) 1. Giải bất phương trình log 5 ( 4 x + 144 ) − 4log 5 2 < 1 + log5 ( 2 x− 2 + 1) .

2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

234

Năm học 2005 – 2006 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x + 2.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A ( 3; 20 ) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0.

2. Giải phương trình

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 ( x ∈ ℝ ) .

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2;3) và hai đường thẳng

d1 :

x−2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z + 1 , d2 : . = = = = 2 1 2 1 −1 −1

1. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2 .

1

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫ ( x − 2 ) e 2 x dx.

0

2. Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất x y e − e = ln (1 + x ) − ln (1 + y ) .   y − x = a

Phần tự chọn Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

235

Câu 5a. (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

2. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải phương trình 2 x

2

+x

− 4.2 x

2

−x

− 22 x + 4 = 0.

2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

236

Năm học 2006 – 2007 Khối A Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + m (1) , (m là tham số). x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độO tạo thành một tam giác vuông tại O. Câu 2. (2 điểm) 1.Giải phương trình (1 + sin 2 x ) cos x + (1 + cos 2 x ) sin x = 1 + sin 2 x.

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1.

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x y −1 z + 2 = = 2 1 −1

 x = −1 + 2t  và d 2 :  y = 1 + t . z = 3  1. Chứng minh d1 và d 2 chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ( e + 1) x, y = (1 + e x ) x.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

237

2. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2 ( y + z )

y y + 2z z

+

y2 ( z + x)

z z + 2x x

+

z2 ( x + y )

x x + 2y y

.

Phần tự chọn

Câu 5a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

A ( 0; 2 ) , B ( −2; −2 ) và C ( 4; −2 ) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnhAB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 1 1 1 3 1 5 1 22n − 1 C2 n + C2 n + C2 n + ⋯ + C22nn −1 = (n là số nguyên dương, Cnk là 2 4 6 2n 2n + 1 tổ hợp chập k của n phần tử).

2. Chứng minh rằng

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải bất phương trình 2 log 3 ( 4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) ≤ 2.

3

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

238

Năm học 2006 – 2007 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3 ( m2 − 1) x − 3m − 1 (1) , m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x.

2.Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt

x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ).

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0.

mặt

cầu

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.

Câu 4. (2 điểm) 1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.

2. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x 1  y 1  z 1  P = x  +  + y  +  + z  + .  2 zx   2 xy   2 yz  Phần tự chọn n

Câu 5a. (2 điểm) 1. Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 2 + x ) , biết n

3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n − 2 Cn2 − 3n −3 Cn3 + ⋯ + ( −1) Cnn = 2048.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2; 2 ) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0,

d 2 : x + y − 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

239

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải phương trình

(

x

) (

2 −1 +

)

x

2 + 1 − 2 2 = 0.

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo (a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

240

Năm học 2006 -2007 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

2x . x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam 1 giác OAB có diện tích bằng .

4 2

x x  Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình  sin + cos  + 3 cos x = 2.

2 2 

2. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

.

1  1 x + + y + =5  x y  .   x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10  x3 y3 Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2 ) , B ( −1; 2; 4 ) và đường thẳng ∆ :

x −1 y + 2 z = = .

1 1 −1

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2.Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. e

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫ x 3 ln 2 xdx.

1 b

a

1   1   2. Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng  2a + a  ≤  2b + b  .

2   2  

Phần tự chọn

Câu 5a. (2 điểm) 5

10

1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3x ) .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

241

2

2

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 và đường thẳng d : 3 x − 4 y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải phương trình log 2 ( 4 x + 15.2 x + 27 ) + 2 log 2

1 = 0.

4.2 x − 3

= 900 , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh ABC = BAD 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

242

Năm học 2007 – 2008 Khối A Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2

x + 3m

(1) ,

với m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

1 + sin x

1

 7π  = 4sin  − x .

3 π    4  sin  x −  2  

5  2 3 2  x + y + x y + xy + xy = − 4 2. Giải hệ phương trình   x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5  4

( x, y ∈ ℝ ) .

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng

d:

x −1 y z − 2 . = = 2 1 2

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn nhất. π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

6

∫ 0

tan 4 x dx. cos 2 x

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4

2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m ∈ ℝ ) .

Phần riêng

Câu 5a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

5 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

3

243

n

2. Cho khai triển (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x n , trong đó n ∈ ℕ * và các hệ số a0 , a1 ,… an thỏa mãn hệ thức a0 +

a1 a + ⋯ + nn = 4096. Tìm hệ số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,…, an .

2 2 2

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải phương trình log 2 x −1 ( 2 x 2 + x − 1) + log x +1 ( 2 x − 1) = 4.

2. Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A '. ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

244

Năm học 2007 – 2008 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = 4 x3 − 6 x 2 + 1 (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( −1; −9 ) .

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x.  x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 2. Giải hệ phương trình  2  x + 2 xy = 6 x + 6

( x, y ∈ ℝ ) .

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;1) ,

C ( −2; 0;1) .

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 x + 2 y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC . π

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I =

4

∫ 0

π  sin  x −  dx 4  . sin 2 x + 2 (1 + sin x + cos x )

2.Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 ( x 2 + 6 xy ) 1 + 2 xy + 2 y 2

.

Phần riêng

Câu 5a. (2 điểm) 1. Chứng minh rằng

n +1  1 1  1  k + k +1  = k (n, k là các số nguyên dương, n + 2  Cn +1 Cn +1  Cn

k ≤ n, Cnk là số tập hợp chập k của n phần tử).

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H ( −1; −1) , đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3 y − 1 = 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

245

 x2 + x  Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải bất phương trình log 0,7  log 6  < 0. x+4  

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

246

Năm học 2007 – 2008 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1; 2 ) với hệ số góc k ( k > −3) cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos 2 x.

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 2. Giải hệ phương trình   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

( x, y ∈ ℝ ) .

Câu 3. (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 3;3; 0 ) , B ( 3; 0;3) ,

C ( 0;3;3) , D ( 3;3;3) .

1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2

ln x dx. x3 1

Câu 4. (2 điểm) 1. Tính tích phân I = ∫

2. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu ( x − y )(1 − xy ) . thức P = 2 2 (1 + x ) (1 + y ) Phần riêng

Câu 5a. (2 điểm) 1. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C21n + C23n + ⋯ + C22nn−1 = 2048 (Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y 2 = 16 x và điểm A (1; 4 ) . Hai điểm

= 90 0 . Chứng minh rằng phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. x 2 − 3x + 2 ≥ 0.

Câu 5b. (2 điểm) 1. Giải bất phương trình log 1 x 2 Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

247

2. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA ' = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

248

Năm 2009 Khối A Phần chung

Câu 1. (2 điểm)Cho hàm số y =

x+2 (1) .

2x + 3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

(1 − 2 sin x ) cos x = (1 + 2 sin x )(1 − sin x )

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

3.

2. Giải phương trình 2 3 2 x − 3 + 3 6 − 5x − 8 = 0 ( x ∈ ℝ ) . π

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I =

2

∫ ( cos

3

x − 1) cos 2 dx.

0

Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp ( S . ABCD ) theo a.

Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z thỏa mãn x ( x + y + z ) = 3 yz , ta có 3

( x + y) + ( x + z)

3

3

+ 3 ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ 5 ( y + z ) .

Phần riêng

A. Chương trình chuẩn Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm

I ( 6; 2 ) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

249

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt

mặt cầu (S) theo

một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu 7a. (1 điểm) Gọi z1 và z1 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0. Tính giá trị 2

2

của biểu thức A = z1 + z2 .

B. Chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng

∆ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi

I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và hai đường

x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z + 1 , ∆2 : . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng = = = = 1 1 6 2 1 −2 ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng

thẳng ∆1 :

nhau. log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy ) Câu 7b. (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 2 3x − xy + y = 81

( x, y ∈ ℝ ) .

(Nhận xét:Từ năm học 2008 -2009 đến năm học 2013 – 2014 cấu trúc và thang điểm của đề có thay đổi. Cấu trúc đề vẫn gồm hai phần chung và riêng, nhưng số câu khác với trước. Phần riêng gồm hai phần nhỏ, một theo chương trình cơ bản, một theo chương trình nâng cao. Năm học 2008 – 2009 lần đầu tiên, nội dung về số phức được đưa vào đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

250

Năm học 2009 Khối B Phần chung

Câu 1.Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 (1) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Với giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt?

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) .  xy + x + 1 = 7 y 2. Giải hệ phương trình  2 2 2  x y + xy + 1 = 13 y 3

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫

3 + ln x

1 ( x + 1)

2

( x, y ∈ ℝ ) . dx.

Câu 4. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có BB ' = a, góc giữa đường thẳng BB’ = 600. Hình chiếu vuông góc và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

3

Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y ) + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3 ( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1.

Phần riêng

A. Chương trình chuẩn

4 5 và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆ 2 : x − 7 y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của 2

Câu 6a.(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + y 2 =

đường tròn ( C1 ) ; biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và tâm K thuộc đường tròn (C).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

251

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) ,

C ( 2; −1; 2 ) và D ( 0;3;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

Câu 7a. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25.

B. Chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh

A ( −1; 4 ) và các đỉnh B, C thuộc ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm

A ( −3; 0;1) , B (1; −1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Câu 7b. (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số x2 − 1 y= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. x

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

252

Năm 2009 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.

2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị ( Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

3 cos 5 x − 2sin 3x cos 2 x − sin x = 0.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

 x ( x + y + 1) − 3 = 0  2. Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) .

5 2 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 x  3

dx . e −1 1

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫

x

Câu 4. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

Câu 5. (1 điểm) Cho các số không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ( 4 x 2 + 3 y )( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy.

Phần riêng

A. Chương trình chuẩn Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M ( 2;0 ) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x − 2 y − 3 = 0 và 6 x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

253

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;1; 0 ) , B (1; 2; 2 ) , C (1;1; 0 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2.

B. Chương trình nâng cao 2

Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y 2 = 1. Gọi I là tâm

= 300. của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO x+2 y−2 z = = và mặt phẳng 1 1 −1 ( P ) : x + 2 y − 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho dcắt

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

và vuông góc với đường thẳng ∆.

Câu 7b. (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y=

x2 + x − 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. x

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

254

Năm 2010 Khối A Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m (1) , m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4.

(1 + sin x + cos 2 x ) sin  x + 

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

2. Giải bất phương trình

1 + tan x

x− x 1 − 2 ( x 2 − x + 1) 1

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0

π

 4

=

1 cos x.

2

≥ 1.

x 2 + e x + 2 x 2e x dx.

1 + 2e x

Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 Câu 5. (1 điểm) Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) .

2 2 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 Phần riêng

A. Chương trình chuẩn

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

255

Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và

d 2 : 3x + y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3 2

và điểm A có hoành độ dương.

x −1 y z + 2 = = và mặt phẳng 2 1 −1 ( P ) : x − 2 y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

M đến (P), biết MC = 6.

Câu 7a. (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết z =

(

2 +i

2

) (1 − 2i ) .

B. Chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A ( 6;6 ) ; đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các

đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

x+2 y−2 z+3 . = = 2 3 2 Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0; 0; −2 ) và đường thẳng ∆ :

3

(1 − 3i ) . Tìm mô-đun của số phức z + iz.

Câu 7b. (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = 1− i

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

256

Năm 2010 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

2x + 1 . x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

3 (O là gốc tọa độ).

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x − sin x = 0.

3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 − 0 ( x ∈ ℝ ) .

2. Giải phương trình

e

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 1

ln x x ( 2 + ln x )

2

dx.

Câu 4. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

(

)

của biểu thức M = 3 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 3 ( ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 .

Phần riêng

A. Chương trình chuẩn Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh

C ( −4;1) , phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và điểm A có hoành độ dương.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

257

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1;0; 0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) , trong đó b, c dương và mặt phẳng ( P : y − z + 1 = 0 ) . Xác định b, c biết rằng mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng

1 .

3

Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z − i = (1 + i ) z .

B. Chương trình nâng cao x2 y 2 + = 1.

3 2 Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) ( F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương

(

)

Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2; 3 và elip ( E ) :

của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 .

x y −1 z = = . Xác định tọa độ điểm M 2 1 2 trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.

2.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

log 2 ( 3 y − 1) = x Câu 7b. (1 điểm) Giải hệ phương trình  x x 2  4 + 2 = 3 y

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

( x, y ∈ ℝ ) .

258

Năm 2010 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm)Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y = x − 1.

6 Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0.

2. Giải phương trình 42 x +

x+2

3

+ 2 x = 4 2+

x+2

+ 2x

3

+ 4 x −4

( x ∈ ℝ ).

e

3  Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫  2 x −  ln xdx. x 1 Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a;

AC .

4 Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =

Câu 5. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10.

Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

259

Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 3; −7 ) , trực tâm

H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( −2;0 ) . Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( P) : x + y + z − 3 = 0

và

( Q ) : x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

Câu 7a. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z 2 là số thuần ảo.

B. Chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 0; 2 ) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ điểm H đến trục hoành bằng AH.

x = 3 + t x − 2 y −1 z  = = .

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :  y = t và ∆ 2 : 2 1 2 z = t  Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆ 2 bằng 1.

 x 2 − 4 x + y + 2 = 0 Câu 7b. (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 log 2 ( x − 2 ) − log

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

2

y=0

( x, y ∈ ℝ ) .

260

Năm 2011 Khối A Phần chung

Câu 1. (2 điểm) 1. Cho hàm số y =

−x +1 .

2x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng

k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x sin 2 x.

1 + cot 2 x

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 2 − 2 ( x + y ) = 0 2. Giải hệ phương trình  2 2 2  xy ( x + y ) + 2 = ( x + y ) π

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I =

4

∫ 0

x sin x + ( x + 1) cos x x sin x + cos x

( x, y ∈ ℝ ) .

dx.

Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

261

Câu 5. (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ z; y ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x y z . + + 2x + 3y y + z z + x Phần riêng

A. Chương trình chuẩn Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2; 0;1) , B ( 0; −2;3) và mặt phẳng

( P ) : 2 x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho

MA = MB = 3.

2

Câu 7a. (1 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = z + z.

B. Theo chương trình nâng cao x2 y 2 + = 1. Tìm tọa độ các 4 1 điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y − 4 z = 0 và điểm A ( 4; 4; 0 ) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

(

)

Câu 7. (1 điểm) Tìm mô-đun của số phức z, biết ( 2 z − 1)(1 + i ) + z + 1 (1 − i ) = 2 − 2i.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

262

Năm 2011 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m (1) , m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x.

2. Giải phương trình 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x ( x ∈ ℝ ) . π

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I =

3

∫ 0

1 + x sin x dx. cos2 x

Câu 4. (1 điểm) Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 60 0. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1 BD ) theo a.

Câu 5. (1 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2 ( a 2 + b 2 ) + ab = ( a + b )( ab + 2 ) .  a 3 b3   a 2 b 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  . a  b a  b Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

263

Phần riêng

A. Theo chương trình cơ bản Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2 x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường

thẳng ∆ tại điểm M sao cho OM .ON = 8.

x − 2 y +1 z = = và mặt phẳng 1 −2 −1 ( P ) : x + y + z − 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

vuông góc với ∆ và MI = 4 14.

Câu 7a. (1 điểm) Tìm số phức z, biết z −

5+i 3 − 1 = 0. z

B. Chương trình nâng cao

1  Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường 2  tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Cho D ( 3;1) và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.

x + 2 y −1 z + 5 = = và hai điểm 1 3 −2 A ( −2;1;1) , B ( −3; −1; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

diện tích bằng 3 5.

3

 1+ i 3  Câu 7b. (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =   .  1+ i 

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

264

Năm 2011 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

2x + 1 . x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trùng hoành bằng nhau.

Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình

sin 2 x + cos x − sin x − 1 = 0. tan x + 3

2. Giải phương trình log 2 ( 8 − x 2 ) + log 1 2 4

Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0

(

)

1+ x + 1 − x − 2 = 0 ( x ∈ ℝ ).

4x −1 dx.

2x +1 + 2

Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; = 300. Tính thể tích mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

2 x3 − ( y + 2 ) x 2 + xy = m Câu 5. (1 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  2 ( x, y ∈ ℝ ) .  x + x − y = 1 − 2m Phần riêng

A. Theo chương trình cơ bản Câu 6a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ( −4;1) , trọng tâm

G (1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

265

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2;3) và đường thẳng

x +1 y z − 3 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường = = 2 1 −2 thẳng d và cắt trục Ox. d:

Câu 7a. (1 điểm) Tìm số phức z, biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i.

B. Theo chương trình nâng cao Câu 6b. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (1;0 ) và đường tròn

( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng

∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M

và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.

x −1 y − 3 z = = và mặt phẳng 2 4 1 ( P ) : 2 x − y + 2 z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Câu 7b. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =

2 x3 + 3x + 3 trên đoạn x +1

[ 0; 2].

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

266

Năm 2012 Khối A và A1 Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m2 (1) , với m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình

 x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y  Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 1 2 x + y − x + y =  2

( x, y ∈ ℝ ) .

3

1 + ln ( x + 1) dx. x2 1

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫

Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3

x− y

+3

y−z

3

z−x

− 6x2 + 6 y 2 + 6z 2 .

Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

267

Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung  11 1  điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CD = 2 ND. Giả sử M  ;  và đường  2 2 thẳng AN có phương trình 2 x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

x +1 y z − 2 = = và 1 2 1 điểm I ( 0;0;3) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

giác AIB vuông tại I.

Câu 9a. (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 . Tìm số hạng chứa x5 trong n

 nx 2 1  khai triển nhị thức Niu-tơn của  −  , x ≠ 0.  14 x 

B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) , biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4

điểm tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông.

x +1 y z − 2 , = = 1 2 1 mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 và điểm A (1; −1; 2 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d

Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN.

Câu 9b. (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn

(

5 z +i

z +1

) = 2 − i.

Tính mô-đun của số phức

w = 1 + z + z 2.

(Ghi chú: Từ năm 2012 đến 2014 đề khối A được xét chung cho khối A1 bao gồm Toán Lí Anh. Đề cũng có sự thay đổi về cấu trúc: phần chung và phần riêng thì như cũ; số câu và phân bố điểm thì thay đổi).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

268

Năm 2012 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m3 (1) , m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

(

)

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình 2 cos x + 3 sin x = cos x − 3 sin x + 1.

Câu 3. (1 điểm) Giải bất phương trình x + 1 + x 2 − 4 x + 1 ≥ 3 x .

1

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0

x3 dx. x 4 + 3x 2 + 2

Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 5 + y 5 + z 5 .

Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4,

( C2 ) : x 2 + y 2 − 12 x + 18 = 0

và đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

269

tâm thuộc ( C2 ) , tiếp xúc với d và cắt ( C1 ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.

x −1 y z = = và 2 1 −2 hai điểm A ( 2;1; 0 ) , B ( −2;3; 2 ) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường

Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

thẳng d.

Câu 9a. (1 điểm) Trong một lớp gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ.

B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2 BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x 2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 0;0;3) , M (1; 2;0 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.

Câu 9b. (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 3iz − 4 = 0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

270

Năm 2012 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y =

2 3 2 x − mx 2 − 2 ( 3m 2 − 1) x + (1) , m là tham số.

3 3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b.Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x − sin x + cos x = 2 cos 2 x.  xy + x − 2 = 0 Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình  3 ( x, y ∈ ℝ ) .

2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0 π

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I =

4

∫ x (1 + sin 2 x ) dx.

0

Câu 5. (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

2

2

Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 3 + y 3 + 3 ( xy − 1)( x + y − 2 ) .

Phần riêng

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

271

A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3 y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua

 1  điểm M  − ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.  3  Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 10 = 0 và điểm I ( 2;1;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

Câu 9a. (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn ( 2 + i ) z +

2 (1 + 2i )

1+ i

= 7 + 8i. Tìm mô-đun của số phức

w = z + 1 + i.

B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.

x −1 y + 1 z = = và 2 −1 1 hai điểm A (1; −1; 2 ) , B ( 2; −1; 0 ) . Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông

Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

tại M.

Câu 9b. (1 điểm) Giải phương trình z 2 + 3 (1 + i ) z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

272

Năm 2013 Khối A, A1 Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 (1) , với m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

π  Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin  x +  .

4   x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) .

2 2 x + 2 x y − 1 + y − 6 y + 1 = 0 ( )  2

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 1

x2 − 1 ln xdx. x2

= 300 , SBC là tam Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 6. (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ( a + c )( b + c ) = 4c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

32a 3

( b + 3c )

3

+

32b3

( a + 3c )

3

−

a2 + b2 . c

Phần riêng

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

273

A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và A ( −4;8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N ( 5; −4 ) .

Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x−6 y+2 z+2 ∆: = = và điểm A (1; 7;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông 1 −3 −2 góc với ∆. Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho AM = 2 30.

Câu 9a. (1 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc Oy. Viết phương trình đường tròn (C).

Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 = 0 và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 z − 8 = 0. Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).

Câu 9b. (1 điểm) Cho số phức z = 1 + 3i. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + i ) z 5 .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

274

Năm 2013 Khối B Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 6mx (1) , với m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình sin 5 x + 2 cos 2 x = 1.

2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y + 1 = 0 Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

( x, y ∈ ℝ ) .

1

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ x 2 − x 2 dx.

0

Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Câu 6. (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=

4 a2 + b2 + c2 + 4

−

9

( a + b ) ( a + 2c )( b + 2c )

.

Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

275

Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x + 2 y − 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm là H ( −3; 2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3;5; 0 ) và mặt phẳng

( P ) : 2 x + 3 y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).

Câu 9a. (1 điểm) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.

B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ  17 1  từ đỉnh A là H  ; −  , chân đường phân giác trong của góc A là D ( 5;3) và trung điểm của  5 5 cạnh AB là M ( 0;1) . Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và

x +1 y − 2 z − 3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với = = 1 3 −2 hai đường thẳng AB và ∆.

đường thẳng ∆ :

 x 2 + 2 y = 4 x − 1 Câu 9b. (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 log3 ( x − 1) − log

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

( y + 1) = 0 3

.

276

Năm 2013 Khối D Phần chung

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số y = 2 x3 − 3mx 2 + ( m − 1) x + 1 (1) , với m là tham số thực. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b.Tìm m để đường thẳng y = − x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình sin 3 x + cos 2 x − sin x = 0.

1 Câu 3. (1 điểm) Giải phương trình 2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 2

(

1

Câu 4. (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0

( x + 1)

)

2

(x −2

)

x +2 .

2

x2 +1

dx.

Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với = 450. Tính theo a thể tích khối chóp = 1200 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA đáy, BAD S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6. (1 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

x+ y x 2 − xy + 3 y 2

−

x − 2y .

6(x + y)

Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn

 9 3 Câu 7a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M  − ;  là  2 2 trung điểm của cạnh AB, điểm H ( −2; 4 ) và điểm I ( −1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C. Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

277

Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( −1; −1; −2 ) , B ( 0;1;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).

Câu 9a. (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i. Tính mô-đun của số phức w =

z − 2z +1 . z2

B. Theo chương trình nâng cao 2

2

Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 4 và phương trình đương thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các

đỉnh N và P thuộc ∆, điểm M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P. Câu 8b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −1;3; −2 ) và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y − 2 z + 5 = 0.

Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A

và song song với (P).

Câu 9b. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

2 x 2 − 3x + 3 trên x +1

đoạn [ 0; 2] .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

278

Năm học 2014 - 2015 Từ năm học 2014 – 2015 gộp chung kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học cao đẳng trung cấp thành kì thi trung học phổ thông quốc gia, và không chia thành các khối nữa mà tất cả thí sinh thi chung một đề.

Câu 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 3x.

Câu 2. (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x +

4 trên đoạn [1;3] . x

Câu 3. (1,0 điểm) a. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z. b. Giải phương trình log 2 ( x 2 + x + 2 ) = 3.

1

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x − 3) e x dx.

0

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; −2;1) , B ( 2;1;3) và mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( P ) .

Câu 6. (1,0 điểm)

2 a. Tính giá trị của biểu thức P = (1 − 3cos 2α )( 2 + 3cos 2α ) , biết sin α = .

3 b.Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

279

Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H ( −5; −5 ) , K ( 9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x − y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A. x2 + 2x − 8 = ( x + 1) Câu 9. (1,0 điểm) Giải phương trình 2 x − 2x + 3

(

)

x + 2 − 2 trên tập số thực.

Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 12abc + 72 1 − abc. ab + bc + ca 2

280

Năm học 2015 -2016 Câu 1. (1,0 điểm) 1. Cho số phức z = 1 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 2 z + z.

2. Cho log 2 x = 2. Tính giá trị của biểu thức A = log 2 x 2 + log 1 x3 + log 4 x.

2

Câu 2. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 .

Câu 3. (1,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có 2 điểm cực trị. Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để x12 + x22 = 3.

3

(

)

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3 x x + x 2 + 16 dx.

0

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3; 2; −2 ) , B (1; 0;1) và

C ( 2; −1;3) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC. Câu 6. (1,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin 2 x + 7 sin x − 4 = 0.

2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết qui tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên 3 nút liên tiếp khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.

Câu 7. (1,0 điểm)Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a.

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' và chứng minh A’B vuông góc với B’C. Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi M, N lần lượt là hình hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC, BD

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

281

và P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC. Biết đường thẳng AC có phương trình

x − y − 1 = 0, M ( 0; 4 ) , N ( 2; 2 ) và hoành độ A nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm P, A và B.

Câu 9. (1,0 điểm) Giải phương trình 2

3log

2 3

(

)

2 + x + 2 − x + 2 log 1 3

(

  2 + x + 2 − x .log 3 ( 9 x ) +  1 − log 1 x  = 0.   3

)

Câu 10. (1,0 điểm) Xét các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + 1 = 2

2

(

x−2 + y +3

) ( *) .

1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.

2. Tìm m để 3x + y − 4 + ( x + y + 1) 27 − x − y − 3 ( x 2 + y 2 ) ≤ m đúng với mọi x, y thỏa mãn (*).

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

282

Năm học 2016 – 2017 gồm 24 mã đề trắc nghiệm, mỗi mã đề gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan chọn 1 trong 4 đáp án, nội dung chỉ bao gồm chương trình 12 Mã đề 101 Câu 1. Cho phương trình 4 x + 2 x+1 − 3 = 0. Khi đặt t = 2x , ta được phương trình nào dưới đây?

A. 2t 2 − 3 = 0.

B. t 2 + t − 3 = 0.

D. t 2 + 2t − 3 = 0.

C. 4t − 3 = 0.

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3 x.

A. ∫ cos 3xdx = 3sin 3 x + C. C. ∫ cos 3xdx = −

B. ∫ cos 3xdx =

sin 3x + C. 3

sin 3x + C. 3

D. ∫ cos3xdx = sin 3x + C.

Câu 3. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

A. z = −2 + 3i.

B. z = 3i.

D. z = 3 + i.

C. z = −2.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

x

−∞

y'

y

−

−1 0

+

0 0

−

1 0

3

+∞

0

+∞ + +∞

0

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

283

Câu 5. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. y = − x3 + x2 − 1.

B. y = x4 − x2 −1.

C. y = x3 − x2 − 1.

D. y = − x4 + x 2 − 1.

Câu 6. Cho a là số thực dương khác 1. Tính I = log

1 A. I = .

2

B. I = 0.

a

a.

C. I = −2.

D. I = 2.

Câu 7. Cho hai số phức z1 = 5 − 7i và z2 = 2 + 3i. Tìm số phức z = z1 + z2 .

A. z = 7 − 4i.

B. z = 2 + 5i.

C. z = −2 + 5i.

D. z = 3 − 10i.

Câu 8. Cho hàm số y = x3 + 3x + 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. Q ( 2; −1;5 ) .

B. P ( 0;0; −5 ) .

C. N ( −5; 0; 0 ) .

D. M (1;1;6 ) .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy)?

A. i = (1;0;0 ) .

B. k = ( 0; 0;1) .

C. j = ( 0;1;0 ) .

D. m = (1;1;1) .

Câu 11. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao h = 4 2.

A. V = 128π .

B. V = 64 2π .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

C. V = 32π .

D. V = 32 2π .

284

Câu 12. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 2.

B. 3.

Câu 13. Hàm số y = A. ( 0; +∞ ) .

x2 − 3x − 4 . x 2 − 16

C. 1.

D. 0.

2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x +1 2

B. ( −1;1) .

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( −∞; 0 ) .

Câu 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng x = 0; x =

π 2

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

bao nhiêu?

A. V = π − 1.

B. V = ( π − 1) π .

C. V = ( π + 1) π .

D. V = π + 1.

Câu 15. Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = log a b3 + log a2 b6 . Mệnh đề nào dương đây đúng?

A. P = 9loga b.

B. P = 27 log a b.

C. P = 15log a b.

Câu 16. Tìm tập xác định D của hàm số y = log5

D. P = 6loga b.

x −3 . x+2

A. D = ℝ \ {−2} .

B. D = ( −∞; −2 ) ∪ [ 3; +∞ ) .

C. D = ( −2;3) .

D. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 17.Tìm tập nghiệm S của phương trình log 22 x − 5log 2 x + 4 ≥ 0.

A. S = ( −∞; 2] ∪ [16; +∞ ) .

B. S = [ 2;16] .

C. S = ( 0; 2] ∪ [16; +∞ ) .

D. S = ( −∞;1] ∪ [ 4; +∞ ) .

Câu 18. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4 mặt phẳng.

B. 3 mặt phẳng.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

C. 6 mặt phẳng.

D. 9 mặt phẳng.

285

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình x −1 y + 2 z − 3 mặt phẳng đi qua điểm M ( 3; −1;1) và vuông góc với đường thẳng ∆ : ? = = 3 1 −2 A. 3 x − 2 y + z + 12 = 0.

B. 3 x + 2 y + z − 8 = 0.

C. 3 x − 2 y + z − 12 = 0.

D. x − 2 y + 3 z + 3 = 0.

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm A ( 2;3;0 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − z + 5 = 0?

 x = 1 + 3t  A.  y = 3t . z = 1− t 

 x = 1 + 3t  C.  y = 1 + 3t . z = 1− t 

x = 1+ t  B.  y = 3t . z = 1− t 

 x = 1 + 3t  D.  y = 3t . z = 1+ t 

Câu 21. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V =

2a 3 .

2

B. V =

2a 3 .

6

14a 3 .

C. V = 2

14a 3 .

D. V = 6

Câu 22. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2i và 1 − 2i là nghiệm?

A. z 2 + 2 z + 3 = 0.

B. z 2 − 2 z − 3 = 0.

C. z 2 − 2 z + 3 = 0.

D. z 2 + 2 z − 3 = 0.

Câu 23. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x3 − 7 x2 + 11x − 2 trên đoạn [ 0; 2] .

A. m = 11.

B. m = 0.

C. m = −2.

D. m = 3.

1

Câu 24.Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − 1) 3 .

A. D = ( −∞;1) .

6

Câu 25.Cho

∫

B. D = (1; +∞ ) .

D. D = ℝ \ {1} .

2

f ( x ) dx = 12. Tính I = ∫ f ( 3 x ) dx.

0

A. I = 6.

C. D = ℝ.

0

B. I = 36.

C. I = 2.

D. I = 4.

Câu 26. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.

A. R =

3a .

3

B. R = a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

C. R = 2 3a.

D. R = 3a.

286

Câu 27. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = 3 − 5sin x và f ( 0 ) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f ( x ) = 3x + 5cos x + 5.

B. f ( x ) = 3x + 5cos x + 2.

C. f ( x ) = 3x − 5cos x + 2.

D. f ( x ) = 3 x − 5cos x + 15.

Câu 28. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số ax + b y= với a , b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào cx + d dưới đây đúng?

A. y ' > 0, ∀x ∈ ℝ.

B. y ' < 0, ∀x ∈ ℝ.

C. y ' > 0, ∀x ≠ 1.

D. y ' < 0, ∀x ≠ 1.

Câu 29.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2;3) . Gọi I là hình chiếu vuông góc M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm I, bán kính IM? 2

B. ( x + 1) + y 2 + z 2 = 13.

2

2

D. ( x + 1) + y 2 + z 2 = 17.

A. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 13.

2

C. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 13.

Câu 30. Cho số phức z = 1 − 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ?

A. Q (1; 2 ) .

B. N ( 2;1) .

C. M (1; −2 ) .

D. P ( −2;1) .

Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2. Tính thể tích V của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. A. V =

π a3 2

.

B. V =

2π a 3 .

6

C. V =

π a3 6

.

D. V =

2π a 3 .

2

Câu 32. Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số

f ' ( x ) e2 x .

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

287

A.

∫ f '( x) e

2x

dx = − x 2 + 2 x + C.

B.

∫ f '( x) e

C.

∫ f '( x) e

2x

dx = 2 x 2 − 2 x + C.

D.

∫ f '( x) e

Câu 33. Cho hàm số y =

2x

dx = − x 2 + x + C.

2x

dx = −2 x 2 + 2 x + C.

x+m (m là tham số thực) thỏa mãn min y = 3. Mệnh đề nào dưới đây [ 2;4] x −1

đúng?

A. m < −1.

B. 3 < m ≤ 4.

C. m > 4.

D. 1 ≤ m < 3.

Câu 34.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( −1;1;3) và hai đường thẳng

x −1 y + 3 z −1 x +1 y z ,∆': = = = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường 3 2 1 1 3 −2 thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆ '? ∆:

 x = −1 − t  A.  y = 1 + t .  z = 1 + 3t 

 x = −t  B.  y = 1 + t . z = 3 + t 

 x = −1 − t  C.  y = 1 − t . z = 3 + t 

 x = −1 − t  D.  y = 1 + t . z = 3 + t 

Câu 35. Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

A. 13 năm.

B. 14 năm.

C. 12 năm.

D. 11 năm.

Câu 36. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0. Tính S = a + 3b.

7 A. S = .

3

B. S = −5.

C. S = 5.

7 D. S = − .

3

 x = 1 + 3t  Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = −2 + t , z = 2 

x −1 y + 2 z = = và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − 3z = 0. Phương trình nào dưới đây là phương 2 2 −1 trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và ( P ) , đồng thời vuông góc với d 2 ? d2 :

A. 2 x − y + 2 z + 22 = 0.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

B. 2 x − y + 2 z + 13 = 0.

288

C. 2 x − y + 2 z − 13 = 0.

D. 2 x − y + 2 z − 22 = 0.

Câu 38. Cho hàm số y = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?

A. 7.

B. 4.

C. 6.

D. 5.

Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x − m log 3 x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 = 81.

A. m = −4.

B. m = 4.

C. m = 81.

D. m = 44.

Câu 40. Đồ thị của hàm số y = x3 − 3x 2 − 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB? A. P (1;0 ) .

B. M ( 0; −1) .

C. N (1; −10 ) .

D. P ( −1;10 ) .

Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v ( km / h ) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I ( 2;9 ) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. s = 23, 25( km).

B. s = 21,58( km ).

C. s = 15, 50(km).

D. s = 13,83( km ).

Câu 42. Cho log a x = 3, log b x = 4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log ab x.

A. P =

7 .

12

B. P =

1 .

12

C. P = 12.

D. P =

12 .

7

Câu 43. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 0. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

289

6a 3 .

3

A. V =

2a 3 .

3

B. V =

C. V =

2a 3 .

3

D. V = 2a 3 .

Câu 44. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V. A. V =

7 2a 3 .

216

B. V =

11 2a 3 .

216

C. V =

13 2a3 .

216

D. V =

2a 3 .

18

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9, điểm

M (1;1; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt

(S) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng ∆ có một véctơ chỉ phương là u (1; a; b ) , tính T = a − b.

A. T = −2.

B. T = 1.

C. T = −1.

Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và B. Vô số.

A. 0.

D. T = 0.

z là số thuần ảo? z −4

C. 1.

Câu 47. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3

D. 2.

1 − xy = 3 xy + x + 2 y − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất x + 2y

Pmin của P = x + y.

A. Pmin =

9 11 − 19 .

9

B. Pmin =

9 11 + 19 .

9

C. Pmin =

18 11 − 29 .

21

D. Pmin =

2 11 − 3 .

3

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx − m + 1 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + x + 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.

 5  A. m ∈ ( −∞; 0] ∪ [ 4; +∞ ) . B. m ∈ ℝ. C. m ∈  − ; +∞  .  4 

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

D. m ∈ ( −2; +∞ ) .

290

Câu 49. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình bên. Đặt h ( x ) = 2 f ( x ) − x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. h ( 4 ) = h ( −2 ) > h ( 2 ) .

B. h ( 4 ) = h ( −2 ) < h ( 2 ) .

C. h ( 2 ) > h ( 4 ) > h ( −2 ) .

D. h ( 2 ) > h ( −2 ) > h ( 4 ) .

Câu 50. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3a. Tính khoảng cáchd từ tâm của đường tròn đáy đến (P).

A. d =

3a .

2

B. d = a.

Tổng hợp đề thi đại học 1975 - 2018

C. d =

5a .

5

D. d =

2a .

2

291