Sáng kiến “Phương pháp hai đường vuông góc và một số ứng dụng” trong dạy học môn Hình học lớp 11, 12

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN HỌC

vectorstock.com/10212103

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Sáng kiến “Phương pháp hai đường vuông góc và một số ứng dụng” trong dạy học môn Hình học lớp 11, 12 WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỤC LỤC A. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN....... 3 1. Sự cần thiết ......................................................................................................... 3 2. Mục đích của đề tài ............................................................................................. 4 B. PHẠM VI TRIỂN KHAI .................................................................................... 4 C. NỘI DUNG ........................................................................................................... 5 1. Tình trạng giải pháp đã biết ................................................................................... 5 2. Nội dung của giải pháp .......................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................................... 5 1. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN ..................................... 5 1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ................................................... 5 1.2. Hai mặt phẳng vuông góc ......................................................................... 6 1.3. Khoảng cách.............................................................................................. 6 2. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT .. 8 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC ............................. 9 2.1. Bài toán gốc .................................................................................................. 9 2.2. Phân tích bài toán gốc ................................................................................ 10 2.3. Phương pháp hai đường vuông góc............................................................ 10 2.4. Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc. ............... 11 2.5. Ví dụ minh họa ........................................................................................... 11 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG .................................................................. 12 3.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng ............................................... 12 3.1.1. Thuật toán rời điểm .............................................................................. 13 3.1.2. Một số bài tập áp dụng ......................................................................... 14 3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .......................................... 22 3.2.1. Nhận xét: .............................................................................................. 22 3.2.2. Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. ............ 23 3.2.3. Nhận xét ............................................................................................... 24 1

3.2.4. Bài toán áp dụng .................................................................................. 24 CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 38 3. Khả năng áp dụng của giải pháp ...................................................................... 41 4. Hiệu quả, lợi ích thu được ................................................................................. 41 5. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp .................................................................... 41 6. Kiến nghị đề xuất ............................................................................................... 41

2

A. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Sự cần thiết Trong cấu trúc của đề thi đại học, cao đẳng từ năm 2007 đến năm 2014, trong đề thi THPT Quốc gia năm 2015 đến nay và trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh trong những năm gần đâybài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một phần không thể thiếu trong các đề thi. Nội dung tính khoảng cách trong không gian thường được đưa ra dưới dạng tính trực tiếp hoặc giải các bài toán liên quan. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy trên lớp và tham gia ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia tôi nhận ra rằng học sinh có lực học trung bình và khá thường cho rằng đây là câu khó trong đề, các em thường “bỏ qua” hoặc chỉ tính được thể tích của khối đa diện mà không biết làm ý về khoảng cách. Tôi đưa ra một số nguyên nhân như sau: Thứ nhất, kiến thức khoảng cách được học ở lớp 11, lên lớp 12 các em chỉ học tính thể tích khối đa diện. Do đó học sinh hay bị quên phương pháp tính khoảng cách được học ở lớp 11.

Thứ hai, Bài toán tính khoảng cách thường khá đa dạng như khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng (điểm đó có thể là chân đường cao hoặc không), phải dùng thuật toán rời điểm song song hoặc cắt nhau; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (hai đường thẳng có thể vuông góc hoặc không). Thêm nữa giáo viên khi dạy thường chỉ dạy một cách chung chung, từng bài cụ thể không hình thành cho học sinh một phương pháp cụ thể để áp dụng cho hầu hết các bài nên khi làm học sinh thường lúng túng có bài thì làm được, có bài thi không.

Trong khi đó, các tài liệu tham khảo thể tích khối đa diện ít đề cập đến phương pháp mang tính thuật toán để học sinh áp dụng. Có chăng các tác giả chỉ nói rằng “muốn tính khoảng cách phải tính qua chân đường cao của hình chóp” nhưng lại không đề cập cụ thể tính như thế nào? Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì?

3

Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi thấy cần phải xây dựng một thuật toán cụ thể chi tiết cho hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong không gian để trả lời các câu hỏi như: Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Và thuật toán này áp dụng cho hầu hết các bài tính khoảng cách trong các kỳ thi Đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Tôi gọi phương pháp này là “Phương pháp hai đường vuông góc” vì trong phương pháp này phải kẻ 2 đường vuông góc để thu được kết quả. Đây không phải là phương pháp hoàn toàn mới nhưng chưa ai đặt tên để dễ nhớ. Trong đề tài tôi trình bày một cách chi tiết các bước áp dụng để học sinh hình thành thuật toán của dạng bài toán này. Cấu trúc đề tài gồm 4 chương Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến đề tài như: Quan hệ vuông góc trong không gian, một số tích chất về đường cao của hình chóp.

Chương 2: Tôi trình bài toán gốc và các bước thực hiện của phương pháp hai đường vuông góc.

Chương 3: Tôi trình bày các ví dụ áp dụng của phương pháp hai đường vuông góc. Bao gồm tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Mỗi ví dụ đều có sự phân tích hướng giải và lời giải chi tiết.

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm 2. Mục đích của sáng kiến Nghiên cứu phương pháp hai đường vuông góc từ đó đưa ra quy trình chung giải các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

B. PHẠM VI TRIỂN KHAI Đề tài nghiên cứu phương pháp hai đường vuông góc và một số ứng dụng được triển khai trong dạy học môn Hình học lớp 11, 12, ôn thi học sinh giỏi cấp 4

tỉnh, thi Đại học, Cao đẳng, ôn thi THPT Quốc gia tại trường THPT Thị xã Mường Lay. C. NỘI DUNG 1. Tình trạng giải pháp đã biết Hiện nay, các tài liệu tham khảo thể tích khối đa diện ít đề cập đến phương pháp mang tính thuật toán để học sinh áp dụng. Có chăng các tác giả chỉ nói rằng “muốn tính khoảng cách phải tính qua chân đường cao của hình chóp” nhưng lại không đề cập cụ thể tính như thế nào? Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi thấy cần phải xây dựng một thuật toán cụ thể chi tiết cho hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong không gian để trả lời các câu hỏi như: Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Và thuật toán này áp dụng cho hầu hết các bài tính khoảng cách trong các kỳ thi Đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Tôi gọi phương pháp này là “Phương pháp hai đường vuông góc” vì trong phương pháp này phải kẻ 2 đường vuông góc để thu được kết quả. Đây không phải là phương pháp hoàn toàn mới nhưng chưa ai đặt tên để dễ nhớ.

2. Nội dung của giải pháp CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức có liên quan đến đề tài như: Quan hệ vuông góc trong không gian, khoảng cách trong không gian, một số vấn đề về xác định chiều cao của khối đa diện. Các kiến thức này có thể tham khảo trong các quyển sách chuyên khảo về kình học không gian.

1. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1.1.1. Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α ) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α ) . Kí hiệu d ⊥ (α ) .

5

1.1.2. Định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy.

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc 1.2.1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

1.2.2. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

a

c

b

1.2.3. Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

1.2.4. Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

1.3. Khoảng cách.

6

1.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Cho điểm O và mặt phẳng (α ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α ) . Khi đó khoảng cách OH gọi là khoảng O cách từ điểm O đến mặt phẳng

(α ) . Kí hiệu

d (O, (α ))

H

M

1.3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α ) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc a đến mặt phẳng (α ) . Kí hiệu d (a, (α ))

A a

A'

B

B'

1.3.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, đường thẳng c vuông góc và cắt các đường thẳng a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) = MN

a

M b N

7

c

2. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT 2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là S

độ dài cạnh bên vuông góc với đáy

C

A

B

2.2. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

S

C

A

B

2.3. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.

S

A

D

B

C

8

2.4. Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối S

đỉnh và tâm của đáy.

A

D

B

C

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC Trong chương này tôi trình bày bài toán gốc và phương pháp hai đường vuông góc một cách chi tiết có phân tích các yếu tố trong quá trình thực hiện. Sau đó tôi trình bày một ví dụ áp dụng đơn giản của phương pháp.

2.1. Bài toán gốc Cho mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng AB. Đường thẳng SH vuông góc với

(α ) tại H ( H ∉ AB ). Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB).

Lời giải S

K B H I A

Kẻ HI ⊥ AB( I ∈ AB) . Khi đó AB ⊥ ( SHI ) . Suy ra ( SAB) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. 9

Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB)) = HK .

Do ∆SHI vuông tại H nên HK = Vậy d ( H , ( SAB)) =

HS .HI HS 2 + HI 2

HS .HI HS 2 + HI 2

.

2.2. Phân tích bài toán gốc Bài toán gốc trình bày ở trên là bài toán cơ bản nhất trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi HSG cấp tỉnh đều được xuất phát và quy về bài toán gốc này. Bài toán gốc và bài toán tính khoảng cách trong các đề thi thường có mối liên hệ như sau: - Điểm S ở trong bài toán gốc chính là đỉnh của hình chóp hoặc một đỉnh nào đó của hình lăng trụ.

- Đường thẳng AB chính là một cạnh đáy của hình chóp hoặc cạnh đáy của hình lăng trụ.

- Điểm H chính là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ.

- Mặt phẳng (SAB) chính là mặt bên của hình chóp hoặc là mặt bên của hình lăng trụ. * Lưu ý: Nhận thấy rằng tất cả các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, hoặc thi THPT Quốc gia, thi HSG cấp tỉnh đều có dạng “Tính khoảng cách từ 1 điểm nằm trên mặt phẳng đáy (điểm này có thể không phải chân đường cao) đến một mặt bên nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ”. Và mọi bài toán dạng này đều được quy về bài toán gốc trên.

Do đó việc nắm được cách giải bài toán gốc là cơ sở để giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong không gian.

2.3. Phương pháp hai đường vuông góc.

10

Với các dữ liệu cho như trong bài toán gốc, ta có phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng như sau: Bước 1 (kẻ đường vuông góc thứ nhất): Từ chân đường cao (điểm H) kẻ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên đang xét với mặt phẳng đáy (chính là cạnh AB). Khi đó ta chứng minh được AB ⊥ ( SHI ) .

Bước 2 (kẻ đường vuông góc thứ 2). Từ điểm H kẻ đường thẳng HK vuông góc với giao tuyến SI của hai mặt phẳng (SHI) và (SAB). Khi đó HK chính là khoảng cách cần tính.

Bước 3. Tính đoạn HK dựa vào tam giác vuông HIK. 2.4. Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc.

- Ở Bước 1, khi kẻ HI ⊥ AB , ta phải căn cứ vào tính chất của mặt phẳng đáy để xác định chính xác vị trí điểm I để tính HI trong Bước 3. Trong trường hợp đặc biệt điểm I có thể trùng với điểm A hoặc điểm B. - Phương pháp hai đường vuông góc còn được áp dụng để xác định góc giữa hai . mặt phẳng ( (α ), ( SAB) ) = SIH S

B H I A

2.5. Ví dụ minh họa Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=3a.

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt đáy góc 450. Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

11

Lời giải

S

K C

A I B

Kẻ AI ⊥ BC ( I ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAI ) theo giao tuyến SI. Kẻ AK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ AK ⊥ ( SBC ) . Do đó d ( A, ( SBC ) = AK Ta có AC = BC 2 − AB 2 = 9a 2 − a 2 = 2a 2 ⇒ AI =

AB. AC AB 2 + AC 2

=

a.2a 2 a 2 + 8a 2

=

2a 2 3

= 450 ⇒ SA = AB.tan 450 = a .

Do ( SB, ( ABC )) = SBA

Vậy d ( A, ( SBC ) = AK =

2a 2 2a 2 3 = = 2 2 2 17 AS + AI 8a a2 + 9 AS.AI

a.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng Trong mục này tôi trình bày một số bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp hai đường vuông góc, có phân tích và hướng dẫn cụ thể.

Trở lại bài toán gốc, ta thấy rằng điều kiện để áp dụng được phương pháp hai đường vuông góc là điểm H là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ.

12

Trong trường hợp H không phải là chân đường cao thì ta xử lý thế nào? Để giải quyết vấn đề này ta sẽ tính gián tiếp thông qua chân đường cao bằng cách áp dụng thuật toán rời điểm như sau: 3.1.1. Thuật toán rời điểm 3.1.1.1. Rời điểm song song: Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng AB / / (α ) . Khi A

B

A'

B'

đó d ( A, (α )) = d ( B, (α ))

3.1.1.2. Rời điểm cắt nhau: Cho (α ) và đường thẳng AB sao cho AB ∩ (α ) = I .

Khi đó

d ( A, (α )) IA = d ( B, (α )) IB B A

B'

A'

I

3.1.1.3. Nhận xét. Thuật toán rời điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm không phải chân đường cao về tính khoảng từ điểm là chân đường cao.

Trong một số bài toán ta có thể kết hợp hai thuật toán rời điểm song song và rời điểm cách nhau để tính như sau: d ( A, (α )) = d ( B, (α ))   d ( B, (α )) IB  d (C , (α )) = IC 

C A

B

A'13 I

B'

C'

3.1.2. Một số bài tập áp dụng Bài 1(Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, ACB = 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt

S

phẳng (SAB).

K A

H

C

I Phân tích

B

- Bài toán có dạng “tính khoảng cách từ điểm C nằm trên mặt đáy đến một mặt bên”.

- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H. - Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt bên với mặt đáy (chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm của AB).

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI. Khi đó d ( H , ( SAB)) = HK - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra

d ( H , ( SAB ) AH = . Tính d (C , ( SAB)) d (C , ( SAB ) AC 14

Lời giải. * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI ⊥ AB( I ∈ AB) ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB) = HK Ta có BC = AC.cos ACB = 2a.

⇒ HK =

3 1 a 3 = a 3 ⇒ HI = BC = 2 2 2

a 3 HS .HI 2 = a 66 = 2 2 11 HS + HI 3a 2 2a 2 + 4

* Mặt khác ta có

a 2.

d ( H , ( SAB ) AH 1 2a 66 = = ⇒ d (C , ( SAB ) = 2d ( H , ( SAB ) = d (C , ( SAB ) AC 2 11

Bài 2(Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD =

3a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là 2

trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) S

K

C

B I H A

D

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

15

- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H. - Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với 1 4

mặt đáy (chính là đường thẳng BD) ta thu được điểm I (trong đó BI = BD ).

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SI tại K. Khi đó

d ( H , ( SAB )) = HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra

d ( H , ( SBD ) BH = . Tính d ( A, ( SBD)) d ( A, ( SBD ) BA

Lời giải * Tính d ( H , ( SBD)) Kẻ HI ⊥ BD( I ∈ BD) ⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SBD) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SBD) . Do đó d ( H , ( SBD) = HK + HD = AH 2 + AD 2 = 1 4

+ HI = AC =

⇒ HK =

a2 a 5 9 a 2 5a 2 + a2 = ⇒ SH = SD 2 − HD 2 = − =a 4 2 4 4

a 2 4

a 2 a 4 = = HS 2 + HI 2 a2 3 a2 + 8 HS .HI

* Mặt khác ta có

a.

d ( H , ( SBD ) BH 1 2a = = ⇒ d ( A, ( SBD ) = 2d ( H , ( SBD ) = d ( A, ( SBD )) BA 2 3

Bài 3(Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

16

C'

A'

B' K

A

C

I H

Phân tích

B

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một mặt bên của hình lăng trụ”.

- Điểm A’ đóng vai trò tương tự như điểm S trong bài bài toán gốc. AC là giao tuyến của mặt phẳng đang cần xét với mặt đáy.

- Do A’B không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H. - Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng AC) ta thu được điểm I. - Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng A’I tại K. Khi đó

d ( H , ( ACC ' A ')) = HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra

d ( H , ( ACC ' A ') AH = . Tính d ( B, ( ACC ' A ')) d ( B, ( ACC ' A ') AB

Lời giải * Tính d ( H , ( ACC ' A ')) Kẻ HI ⊥ AC ( I ∈ AC ) ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I. 17

Kẻ HK ⊥ A ' I ( K ∈ A ' I ) ⇒ HK ⊥ ( ACC ' A ') . Do đó d ( H , ( ACC ' A ') = HK a 3 a 3 = 2 2 4

= . + HI = AH .sin IAH

+ A ' H = CH .tan A ' CH =

⇒ HK =

HA '.HI HA '2 + HI 2

* Mặt khác ta có

=

a 3 3a . 3= 2 2 a 3 3a .

4 2 = 3a 13 26 3a 2 9a 2 + 16 4

d ( H , ( ACC ' A ') AH 1 3a 13 = = ⇒ d ( B, ( ACC ' A ') = 2d ( H , ( ACC ' A ') = 13 d ( B, ( ACC ' A ')) AB 2

Bài 4(Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) S

K C

B

H I

Phân tích

A

- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H.

18

- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm AB ).

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SI tại K. Khi đó

d ( H , ( SAB )) = HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra

d ( H , ( SAB ) BH = . Tính d (C , ( SAB)) d (C , ( SAB ) BC

Lời giải * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI ⊥ AB( I ∈ AB) ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB) = HK + BC = a ⇒ SH =

a 3 2 1 2

1 2

a 2

+ AC = BC.sin ABC = a. = ⇒ HI = AC =

⇒ HK =

HS .HI HS 2 + HI 2

* Mặt khác ta có

=

a 4

a 3 a .

2 4 = a 39 26 3a 2 a 2 + 4 16

d ( H , ( SAB ) BH 1 a 39 = = ⇒ d (C , ( SAB ) = 2d ( H , ( SAB ) = d (C , ( SAB )) BC 2 13

Bài 5(Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a.

S

19

K

A H

D I

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về chân đường cao H. - Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm I - Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SI tại K. Khi đó

d ( H , ( SCD )) = HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) . Tính d ( A, ( SCD)) Lời giải * Tính d ( H , ( SCD)) Kẻ HI ⊥ CD( I ∈ CD) ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SCD) . Do đó d ( H , ( SCD) = HK + HI = a + AB = a ⇒ HS =

⇒ HK =

a 3 2

a 3 a 21 2 = = 7 HS 2 + HI 2 3a 2 a2 + 4 HS .HI

a

* Mặt khác ta có AH / /( SCD) ⇒ d ( A, SCD) = d ( H , ( SCD)) = 20

a 21 7

Bài 6( Đề HSG lớp 12, Điện Biên 2014-2015). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

3a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng 2

(ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD).

S K

A

D

I B

H C

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi qua đỉnh S và một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.

- Do SI vuông góc với (ABCD) nên ta tính trực tiếp d ( I , ( SCD)) - Từ I kẻ đường thẳng IH vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với mặt đáy (chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm H - Từ I kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SH tại K. Khi đó

d ( I , ( SCD )) = IK

Lời giải Kẻ IH ⊥ CD( H ∈ CD) ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SH. Kẻ IK ⊥ SH ( K ∈ SH ) ⇒ IK ⊥ ( SCD) . Do đó d ( I , ( SCD) = IK + IH = a

21

+ ID = AD 2 + IA2 =

a 5 2 9 a 2 5a 2 − =a 4 4

+ SI = SD 2 − ID 2 = ⇒ IK =

IS .IH IS 2 + IH 2

=

Vậy d ( I , ( SCD) = IK =

a.a a2 + a2

=

a 2 2

a 2 2

3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 3.2.1. Nhận xét: Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đảng, THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Để giải bài toán này ta thường dùng các phương pháp sau: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

M a

b

N

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó a

d (a, b) = d (a, (α )) = d ( M , (α )) = MH 22 b

M

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau và chứa hai đường thẳng đó a M

b

H

Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia chủ yếu sử dụng cách thứ hai để tính. Bài toán được phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho đường thẳng b ∈ (α ) , a ∩ (α ) = A , a và b chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Vấn đề đặt ra là “Hãy trình bày quy trình thực hiện cách thứ hai để áp dụng chung cho các bài toán” thì hầu như chưa ai đưa ra quy trình cả. Sau đây tôi trình bày quy trình thực hiện tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách thứ 2.

3.2.2. Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Với các dữ kiện như trên, ta có quy trình để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b như sau: Bước 1: Từ điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng b. Khi đó b / /(a; Ax) .

Bước 2: d (a, b) = d (b; (a; Ax)) = d ( H ; (a; Ax)) 23

Bước 3: Tính d ( H ;(a; Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

a

b x

3.2.3. Nhận xét - Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thực chất là bài toán mở rộng của bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Tuy nhiên nó cho dưới dạng ẩn mà ta phải đi làm thêm Bước 1 và Bước 2 để đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.

- Mối liên hệ giữa bài toán tổng quát và các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong đề thi: + Đường thẳng b chính là một cạnh nằm trên mặt phẳng đáy. + Đường thẳng a chính là một cạnh nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ. + Điểm A chính là giao điểm của cạnh hình chóp và mặt phẳng đáy.

- Ở bước thứ nhất khi kẻ đường thẳng Ax ta cần dựa vào tính chất của mặt đáy để xác định chính xác vị trí đường thẳng này. Trong trường hợp đặc biệt đường thẳng Ax có sẵn không cần kẻ thêm.

3.2.4. Bài toán áp dụng

24

Bài 1(THPT QG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách giữa SB và AC. Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm B kẻ đường thẳng Bx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi đó AC / /( SB, Bx) .

- Khi đó ta quy về d ( SB, AC ) = d ( AC , ( SB, Bx) = d ( A, ( SB, Bx)) .

- Tính d ( A, ( SB, Bx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

S Lời giải

K D

A O

I B

C x

Kẻ Bx / / AC ⇒ AC / /( SB, Bx) .

Khi đó d ( SB, AC ) = d ( AC , ( SB, Bx)) = d ( A, ( SB, Bx)) * Tính d ( A, ( SB, Bx)) Kẻ AI ⊥ Bx( I ∈ Bx) ⇒ Bx ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SB, Bx) ⊥ ( SAI ) theo giao tuyến SI. Kẻ AK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ AK ⊥ ( SB, Bx) . Do đó d ( A, ( SB, Bx)) = AK 25

+ HI = AB.sin 450 =

a 2 2

+ AS = AC = a 2

⇒ AK =

a 2 AS . AI 2 = a 10 = 2 2 5 AS + AI a2 2 2a + 2

Do đó d ( A, ( SB, Bx)) =

a 2

a 10 a 10 . Vậy d ( SB, AC ) = 5 5

Bài 2(Khối D năm 2014): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi đó BC / /( SA, Ax) .

- Khi đó ta quy về d ( SA, BC ) = d ( BC , ( SA, Ax) = d ( H , ( SA, Ax)) .

- Tính d ( H , ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

Lời giải

S

K B

C

H 26

A

x

Kẻ Ax / / BC ⇒ BC / /( SA, Ax) .

Khi đó d ( SA, BC ) = d ( BC , ( SA, Ax) = d ( H , ( SA, Ax)) * Tính d ( H , ( SA, Ax)) Do ∆ABC vuông cân tại A nên HA ⊥ Ax ⇒ Ax ⊥ ( SHA) ⇒ ( SA, Ax) ⊥ ( SHA) theo giao tuyến SA. Kẻ HK ⊥ SA( K ∈ SA) ⇒ HK ⊥ ( SA, Ax) . Do đó d ( H , ( SA, Ax)) = HK 1 2

+ HA = BC = + HS =

a 2

a 3 2

⇒ HK =

HS .HA HS 2 + HA2

=

Do đó d ( H , ( SA, Ax)) =

aa 3 a 3 2 2 = 2 2 4 a 3a + 4 4 a 3 a 3 . Vậy d ( SA, BC ) = 4 4

Bài 3(Khối A năm 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB.. Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a Phân tích

27

- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi đó BC / /( SA, Ax) .

- Khi đó ta quy về d ( SA, BC ) = d ( BC , ( SA, Ax) = d ( B, ( SA, Ax)) .

- Tính d ( B, ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

S

K I A

H

x

B

C

Lời giải Kẻ Ax / / BC ⇒ BC / /( SA, Ax) .

Khi đó d ( SA, BC ) = d ( BC , ( SA, Ax) = d ( B, ( SA, Ax)) * Tính d ( H , ( SA, Ax)) Kẻ HI ⊥ Ax( I ∈ Ax) ⇒ Ax ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SA, Ax) ⊥ ( SHI ) theo giao tuyến SI. Kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ HK ⊥ ( SA, Ax) . Do đó d ( H , ( SA, Ax)) = HK + HI = AH .sin 600 =

2a 3 a 3 . = 3 2 3

+ HS = HC. tan 600 =

a 7 a 21 3= 3 3

28

⇒ HK =

a 21 a 3 3 3 = a 42 = 12 HS 2 + HI 2 21a 2 3a 2 + 9 9 HS .HI

Do đó d ( H , ( SA, Ax)) = Mặt khác

a 42 .

12

d ( H , ( SA, Ax)) AH 2 3 a 42 = = ⇒ d ( B, ( SA, Ax)) = d ( H , ( SA, Ax)) = d ( B, ( SA, Ax)) AB 3 2 8

Vậy d ( SA, BC ) =

a 42 .

8

Bài 4(Khối A năm 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

- Từ giao điểm N kẻ đường thẳng Nx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy. Khi đó AB / /( SN , Nx) .

- Khi đó ta quy về d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SN , Nx)) = d ( A, ( SN , Nx)) .

- Tính d ( A, ( SN , Nx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

S

K I

29

N A

C

Lời giải Kẻ Nx / / AB ⇒ AB / /( SN , Nx) .

Khi đó d ( SN , AB ) = d ( AB, ( SN , Nx) = d ( A, ( SN , Nx)) Kẻ AI ⊥ Nx( I ∈ Nx) ⇒ Nx ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SN , Nx) ⊥ ( SAI ) theo giao tuyến SI. Kẻ AK ⊥ SI ( K ∈ SI ) ⇒ AK ⊥ ( SN , Nx) . Do đó d ( A, ( SN , Nx)) = AK + SA = AB. tan 600 = 2a. 3 = 2a 3 1 2

+ AI = BC = a ⇒ AK =

AS . AI 2

AS + AI

2

=

Do đó d ( A, ( SN , Nx)) =

2a 3.a 2

12a + a

2

=

2a 39 13

2a 39 2a 39 . Vậy d ( AB, SN ) = .

13 13

Bài 5(Khối A năm 2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thằng DM và SC theo a.

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh bên của hình chóp.”

30

- Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy DM. Khi đó DM / /( SC , Cx) .

- Khi đó ta quy về d ( DM , SC ) = d ( DM , ( SC , Cx)) = d ( H , ( SC , Cx)) .

- Tính d ( H , ( SC , Cx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

S

K

A

M

B

N H D

Lời giải

Kẻ Cx / / DM ⇒ DM / /( SC , Cx) .

C x

Khi đó d ( DM , SC ) = d ( DM , ( SC , Cx)) = d ( H , ( SC , Cx)) Do CN ⊥ DM ⇒ HC ⊥ Cx ⇒ Cx ⊥ ( SHC ) ⇒ ( SC , Cx) ⊥ ( SHC ) theo giao tuyến SC. Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) ⇒ HK ⊥ ( SC , Cx) . Do đó d ( H , ( SC , Cx)) = HK = DC. + HC = DC.cos HCD

DC a 2a 5 = a. = NC 5 a 5 2

+ SH = a 3

⇒ HK =

2a 5 5 = 2a 57 = 19 HS 2 + HC 2 4a 2 3a 2 + 5 HS .HC

Do đó d ( H , ( SC , Cx)) =

a 3.

2a 57 2a 57 . Vậy d ( DM , SC ) = .

19 19 31

Bài 6(Khối D năm 2008): Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh thuộc mặt bên của hình lăng trụ.”

- Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy AM. Khi đó AM / /( B ' C , Cx) .

- Khi đó ta quy về d ( AM , B ' C ) = d ( AM , ( B ' C , Cx)) = d ( M , ( B ' C , Cx)) .

- Tính d ( B, ( B ' C , Cx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

A'

C'

B' K I C A

x M

Lời giải

B

Kẻ Cx / / AM ⇒ AM / /( B ' C , Cx) .

Khi đó d ( AM , B ' C ) = d ( AM , ( B ' C , Cx) = d ( M , ( B ' C , Cx)) * Tính d ( B, ( B ' C , Cx)) Kẻ BI ⊥ Cx( I ∈ Cx) ⇒ Cx ⊥ ( B ' BI ) ⇒ ( SA, Ax) ⊥ ( SHA) theo giao tuyến B’I. Kẻ BK ⊥ B ' I ( K ∈ B ' I ) ⇒ BK ⊥ ( B ' C , Cx) . Do đó d ( B, ( B ' C , Cx)) = BK + BB ' = AA ' = a 2 32

= BC.sin + BI = BC.sin ICB AMB = BC.

AB a 2a 5 = a. = 5 BM a 5 2

2a 5 BB '.BI 5 = 2a 7 = 2 2 7 BB ' + BI 4a 2 2a 2 + 5 a 2.

⇒ BK =

Do đó d ( B, ( B ' C , Cx)) =

2a 7 .

7

d ( M , ( B ' C , Cx)) CM 1 1 a 7 = = ⇒ d ( M , ( B ' C , Cx)) = d ( B, ( B ' C , Cx)) = d ( B, ( B ' C , Cx)) CB 2 2 7

Mặt khác

Vậy d ( AM , B ' C ) =

a 7 7

Bài 7( Đề HSG lớp 12 năm 2013-2914 – Điện Biên). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, A'D', AB. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và MP. A'

D' N C'

B'

K A

D

P B

M C

Phân tích - Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một cạnh thuộc mặt của hình lăng trụ.”

- Từ giao điểm A kẻ đường thẳng CD song song với đường thẳng nằm trong mặt đáy PM. Khi đó PM / /( AC ' D) .

33

- Khi đó ta quy về d ( MP, AC ') = d ( MP, ( AC ' D)) = d ( M , ( AC ' D)) .

- Tính d ( M , ( AC ' D)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

Lời giải Do CD / / MP ⇒ MP / /( AC ' D) . Khi đó d ( MP, AC ') = d ( MP, ( AC ' D)) = d ( M , ( AC ' D)) * Tính d (C , ( AC ' D)) Do CD ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (CC ' D) ⇒ ( AC ' D) ⊥ (CC ' D) theo giao tuyến C’D. Kẻ CK ⊥ C ' D( K ∈ B ' I ) ⇒ CK ⊥ ( AC ' D) . Do đó d (C , ( AC ' D)) = CK = Mặt khác

a 2 2

d ( M , ( AC ' D )) DM 1 1 a 2 = = ⇒ d ( M , ( AC ' D )) = d (C , ( AC ' D )) = d (C , ( AC ' D )) DC 2 2 4

Vậy d ( MP, A ' C ) =

a 2 4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC

là tam giác vuông cân tại

B, AB = a, SA ⊥ (ABC ) , góc giữa mp (SBC ) và mp (ABC ) bằng 300 . Gọi M là trung

điểm của cạnh SC . a/ Tính khoảng cách từ M đến mp (ABC ) . b/ Gọi G là trọng tâm ∆SAC . Tính khoảng cách từ G đến mp (SBC ) . c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và AB .

Bài

2:

Cho

hình

chóp

S .ABC có

đáy là

tam giác

= 300 , SA = AC = a và SA vuông góc với mp ABC .

BAC ( )

a/ Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC ) . b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC . c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC .

34

vuông

tại

B,

Bài 3: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SA ⊥ (ABCD ) và mặt bên (SCD ) hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 600 .

a/ Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (SCD ) . b/ Gọi G là trọng tâm ∆ABC . Tính khoảng cách từ G đến mp (SCD ) . c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và CG .

Bài 4: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy vớiO là giao điểm của AC và BD . Giả sử SO = 2 2, AC = 4, AB = 5 và M là trung điểm của SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM .

Bài 5: Hình chóp S .ABC có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết mp (SAC ) hợp với mp (ABC ) một góc 600 .

a/ Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC ) . b/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC . c/ Tính góc hợp bởi 2 đường thẳng SB và IK với I , K là trung điểm của đoạn AB và AC .

Bài 6: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

A,

cho AB = a, AC = a 3 , mặt bên (SBC ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. a/ Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC ) . b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và SA .

Bài 7: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều, ∆SBC có đường cao SH = a và mp(SBC ) vuông góc với mp (ABC ) . Biết rằng SB hợp với mp (ABC ) một

góc 300 . a/ Tính thể tích của khối chóp S .ABC .

35

c/ Lấy điểm E trên cạnh AB thỏa:

BF 1 = . Tính khoảng cách từ điểm E BC 3

đến mp (SAC ) .

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có ∆ABC và ∆BCD là những tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AD = a 2 . a/ Tính thể tích của khối tứ diện này. b/ Gọi G là trọng tâm ∆BCD . Tính khoảng cách của điểm G đến mp (ACD ) .

Bài 9: Cho tứ diện ABCD có ∆ABC là tam giác đều, ∆BCD là tam giác vuông cân tại D . Mặt phẳng (ABC ) vuông góc với mặt phẳng mp (BCD ) và AD hợp với mp (BCD ) một góc 600 , biết AD = a .

a/ Gọi G là trọng tâm tam giác △BCD . Tính khoảng cách từ G đến mp (ACD ) . b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CB và SA .

Bài 10: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a , hai

mp (SAB ) và

mp (SAC ) cùng vuông góc với mp (ABC ) .

Gọi M là trung điểm AB , mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mp (SBC ) và mp (ABC ) bằng 600 . a/ Tính thể tích của khối chóp S .BCNM b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a .

Bài 11: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Hai mặt phẳng (SAB ) và (SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ) , cho BC = a 2 , mặt bên (SBC ) tạo với đáy (ABC ) một góc 600 . a/ Tính thể tích của khối chóp S .ABC .

2 3

b/ Trên cạnh AC lấy điểm D thỏa mãn: AD = AC . Tính khoảng cách của điểm D đến mp (SBC ) .

36

Bài 12: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , các mặt (SAC ) và (SBD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD ) , mặt bên (SCD ) tạo với đáy một góc 600 . a/ Gọi G là trọng tâm △SAB . Tính khoảng cách của điểm G đến mp (SAD ) b/ Tính khoảng cách 2 đường thẳng SA và BC . = 600 , I ∈ BC và Bài 13: Cho hình chóp đều S .ABC có cạnh đáy bằng a , BSA IB = 2IC .

a. Tính thể tích khối chóp S .ABC và thể tích khối chóp S .ABI . b. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB ) c. Tính khoảng cách 2 đường thẳng SA và BC .

Bài 14: Cho hình chóp đều S .ABC có chiều cao h , góc ở đỉnh của mặt bên bằng 600 .

a/ Tính thể tích của khối chóp. b/ Tính khoảng cách hình chiếu của điểm S trên mp (ABC ) đến mp (SAB ) Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a .

Tính thể tích của khối chóp S .ABCD . Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC ) .

Bài 16: Cho hình chóp đều S .ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . a/ Chứng minh: SA ⊥ BC . b/ Tính thể tích khối chóp S .ABI theo a . c/ Tính khoảng cách từ I đến mp (SAB ) .

Bài 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 'C bằng a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A ' B 'C ' . b/ Tính khoảng cách từ A đến mp (A ' BC ) .

37

a 15 .

5

Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết rằng AB ' hợp với mặt bên (BCC ' B ') một góc 300 . a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A ' B 'C ' . b/ Tính khoảng cách từ C đến mp (AB 'C ') .

Bài 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 (cm ) và biết diện tích của tam giác A ' BC bằng 8 (cm ) . a/ Tính thể tích khối tứ diện A 'CB 'C ' b/ Gọi G là trọng tâm △AA 'C ' . Tính khoảng cách từ G đến mp (BB 'C ) .

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Năm học 2017 - 2018 tôi áp dụng đề tài này với việc giảng dạy trong đội tuyển thi học sinh giỏi lớp 12 và một nhóm học sinh lớp 12C1 trường THPT Thị xã Mường Lay gồm: STT

Họ và tên

Giới tính

1

Trịnh Tuấn Anh

Nam

2

Vương Ngọc Hà

Nữ

3

Điêu Đức Trọng

Nam

4

Mào Thị Linh Chi

Nữ

5

Nguyễn Thị Hiền

Nữ

6

Đinh Thị Hoa

Nữ

7

Nguyễn Tố Uyên

Nữ

8

Mào Văn Long

9

Chui Minh Nguyệt

Nam Nữ

38

Ghi chú

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy hầu hết học sinh tham gia thực nghiệm đều tiếp thu tốt các phương pháp trong đề tài. Các em đều hình thành được cho mình quy trình để giải các bài toán tính khoảng cách trong không gian. Tuy nhiên một số em còn yếu trong quá trình tính toán và phân tích dữ liệu nên cũng gây khó khăn trong quá trình tiếp thu kiến thức.

Sau khi giảng dạy đề tài, tôi tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra để dánh giá kết quả thực hiện đề tài. Tôi thu được kết quả như sau:

STT

Họ và tên

Giới tính

Điểm bài

Ghi chú

kiểm tra 1

Trịnh Tuấn Anh

Nam

9

Giải KK HSG cấp tỉnh

2

Vương Ngọc Hà

Nữ

8

Giải KK HSG cấp tỉnh

3

Điêu Đức Trọng

Nam

8

Giải KK HSG cấp tỉnh

4

Mào Thị Linh Chi

Nữ

9

Giải KK HSG cấp tỉnh

5

Nguyễn Thị Hiền

Nữ

7

6

Đinh Thị Hoa

Nữ

8

7

Nguyễn Tố Uyên

Nữ

8

8

Mào Văn Long

Nam

7

9

Chui Minh Nguyệt

Nữ

8

Với kết quả thu được, tôi thấy việc áp dụng và nhân rộng đề tài trong quá trình giảng dạy rất khả thi.

39

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ MƯỜNG LAY TỔ TOÁN – CÔNG NGHỆ

ĐỀ KIỂM TRA Chuyên đề: Khoảng cách trong không gian Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút kể cả thời gian phát đề

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết SD = 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 . Tính

theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

40

3. Khả năng áp dụng của giải pháp Đề tài này cung cấp cho học sinh phương pháp hai đường vuông góc và thuật toán đề giải các bài toán tính khoảng cách trong không gian. Với đề tài này học sinh có phương pháp cụ thể, cái nhìn tổng quan hơn về các bài toán tính khoảng cách trong các kì thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp. Đề tài cũng là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên trong công tác giảng dạy môn hình học lớp 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia.

4. Hiệu quả, lợi ích thu được Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thu được kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, mà các em còn hình thành được quy trình để giải các bài toán này.

Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp, một số buổi bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc gia, tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của nhóm học sinh trên một số dạng bài tập thi đã có những chuyển biến nhất định.

5. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp Đề tài “Phương pháp hai đường vuông góc và một số ứng dụng” đã trình bày phương pháp để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đề tài cung cấp các quy trình cụ thể, chi tiết để giải các bài toán liên quan đến khoảng cách trong các kì thi Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc gia.

Khi áp dụng phương pháp trong đề tài vào giảng dạy trên lớp, một số buổi bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc gia thì đã thu được những kết quả khả quan. Khả năng áp dụng của đề tài rất khả thi. Sáng kiến có thể dùng làm tài liệu sinh hoạt nhóm chyên môn, tham khảo cho học sinh và giáo viên trong trường.

6. Kiến nghị đề xuất Hiện nay thư viện nhà trường có số lượng và chất lượng sách tham khảo còn rất hạn chế. Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều hơn đến tài liệu học tập và 41

ôn thi cho các em. Đề tài có thể đăng trên website của nhà trường để các giáo viên và học sinh có thể tham khảo.

Ngày......tháng ......năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, đóng dấu)

42

Ngày......tháng ......năm 2018 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN (Ký, ghi rõ họ tên)