SKKN Phương pháp tính một số dạng tích phân trong chương trình THPT Hạ Trọng Liên (2018)

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

vectorstock.com/6409658

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

SKKN Phương pháp tính một số dạng tích phân trong chương trình THPT Hạ Trọng Liên (2018) PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

b¸o c¸o kÕt qu¶ nghiªn cøu øng dông s¸ng kiÕn

I. LÝ do chän ®Ò tµi 1. Giíi thiÖu PhÐp tÝnh tÝch ph©n lµ mét trong nh÷ng néi dung chñ yÕu cña ch-¬ng tr×nh

IC IA L

to¸n THPT, lµ mét phÐp tÝnh c¬ b¶n cña gi¶i tÝch. V× vËy, viÖc häc tèt néi dung nµy lµ rÊt cÇn thiÕt ®èi víi c¸c em häc sinh. PhÐp tÝnh tÝch ph©n cßn gióp chóng ta gi¶i líp c¸c bµi to¸n vÒ tÝnh diÖn tÝch vµ thÓ tÝch cña c¸c vËt thÓ, c¸c bµi to¸n

FF

vÒ giíi h¹n .... Tõ ®ã, ta thÊy ®-îc tÇm quan träng cña bµi toµn tÝch ph©n. Cho

O

®Õn nay, ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng tÝch ph©n ®· ®-îc nghiªn cøu ®Çy ®ñ vµ s©u s¾c. Tuy nhiªn, ®Ó cã thªm mét tµi liÖu tham kh¶o cho häc sinh, n¨m häc

N

2016 - 2017, 2017 - 2018 t«i ®· tæng hîp l¹i mét sè d¹ng tÝch ph©n vµ ph-¬ng

Ơ

ph¸p c¬ b¶n tÝnh tÝch ph©n theo mét gãc ®é kh¸c trong ®Ò tµi: Ph-¬ng ph¸p

H

tÝnh mét sè d¹ng tÝch ph©n trong ch-¬ng tr×nh THPT. N¨m häc

N

nµy, t«i xin tiÕp tôc ph¸t triÓn ®Ò tµi trªn theo h-íng tËp hîp thªm c¸c bµi tËp

U

2. Tªn s¸ng kiÕn.

Y

tr¾c nghiÖm ë ch-¬ng 3 cña ®Ò tµi.

Q

Ph-¬ng ph¸p tÝnh mét sè d¹ng tÝch ph©n trong ch-¬ng tr×nh THPT.

M

3. T¸c gi¶ s¸ng kiÕn.

KÈ

Hä vµ tªn: §Þa chØ:

Email:

ẠY

Sè ®iÖn tho¹i: .

D

II. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô 1. Môc ®Ých Víi nh÷ng lÝ do ë trªn, t«i ®Æt ra môc ®Ých ®i nghiªn cøu vµ tr×nh bµy c¬ së lÝ thuyÕt cña ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n theo c¸c d¹ng hµm sè, cã vÝ dô minh ho¹, cuèi cïng lµ ®-a ra mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ.

2. NhiÖm vô 2

NhiÖm vô c¬ b¶n khi thùc hiÖn ®Ò tµi lµ: - S-u tÇm vµ nghiªn cøu c¸c tµi liÖu tham kh¶o cã liªn quan ®Õn c¸c vÇn ®Ò cña ®Ò tµi.

- X©y dùng ®Ò c-¬ng tæng qu¸t vµ ®Ò c-¬ng chi tiÕt.

c¸c kiÕn thøc liªn quan ®Õn tÝch ph©n vµ ph-¬ng ph¸p gi¶i.

IC IA L

- Thùc hiÖn c¸c néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi: tËp hîp vµ tr×nh bµy chÝnh x¸c

- Th«ng qua néi dung nghiªn cøu ®Ò xuÊt h-íng ph¸p triÓn tiÕp theo cña ®Ò tµi.

FF

III. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu

- Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ thuyÕt: TËp hîp, s-u tÇm nghiªn cøu tµi liÖu, nhÊt

O

qu¸n ho¸ vµ tr×nh bµy hoµn chØnh nh÷ng néi dung kiÕn thøc liªn quan ®Õn ®Ò

N

tµi.

Ơ

- Ph-¬ng ph¸p th¶o luËn nhãm, tham kh¶o ý kiÕn chuyªn gia.

H

IV. CÊu tróc cña ®Ò tµi

N

Néi dung cña ®Ò tµi ®-îc tr×nh bµy thµnh ba ch-¬ng. Ch-¬ng mét lµ mét sè

Y

kiÕn thøc liªn quan: t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc liªn quan nh- nguyªn hµm,

U

c¸c c«ng thøc nguyªn hµm, mét sè ph-¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm, ®Þnh nghÜa

Q

tÝch ph©n x¸c ®Þnh, tÝnh chÊt vµ ph-¬ng ph¸p tÝnh cña nã. Ch-¬ng hai t«i tr×nh bµy néi dung chÝnh cña ®Ò tµi lµ ph-¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng tÝch ph©n x¸c

M

®Þnh nh-: TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ, TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ, TÝch ph©n c¸c

KÈ

hµm l-îng gi¸c, TÝch ph©n c¸c hµm siªu viÖt, TÝch ph©n c¸c hµm chøa trÞ tuyÖt

D

ẠY

®èi.... Ch-¬ng ba lµ mét sè bµi tËp tr¾c nghiÖm theo h-íng cña c¸c ®Ò thi.

3

B¶ng ch÷ c¸i viÕt t¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

KiÕn thøc liªn quan

7

FF

1

IC IA L

Môc lôc

7

O

1.1. Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. C¸c c«ng thøc tÝnh hä nguyªn hµm (tÝch ph©n bÊt ®Þnh)

9

1.1.3. Mét sè ph-¬ng ph¸p t×m hä nguyªn hµm . . . . . . . .

10

1.2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

N

H

Ơ

N

1.1.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2. TÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rb 1.2.3. Ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh I = f (x)dx . .

17

U

Y

1.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q

Ph-¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh

20

2.1.1. Ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch, sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n. .

20

2.1.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn sè

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . . . . . . . . . . . .

25

2.2. TÝch ph©n cña c¸c hµm v« tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1. Sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n. . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . . . . . . . . . . . .

30

2.3. TÝch ph©n cña c¸c hµm l-îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . .

31

ẠY

KÈ

2.1. TÝch ph©n cña c¸c hµm h÷u tØ vµ c¸c hµm cã thÓ h÷u tØ hãa . .

D

20

M

2

17

a

4

32

2.3.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.3. Ph-¬ng ph¸p tõng phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4. TÝch ph©n cña c¸c hµm siªu viÖt . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4.1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n . . . . . . .

39

2.4.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . .

FF

2.5. TÝch ph©n cña c¸c hµm chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Mét sè bµi tËp tr¾c nghiÖm

O

3

IC IA L

2.3.1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n . . . . . . .

43

47 47

3.2. §Ò thi thö nghiÖm n¨m 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3. §Ò thi tham kh¶o n¨m 2018. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.4. Mét sè bµi tËp kh¸c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

N

H

Ơ

N

3.1. §Ò thi minh häa n¨m 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 61

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Tµi liÖu tham kh¶o

Y

KÕt luËn vµ h-íng ph¸t triÓn cña ®Ò tµi

5

B¶ng ch÷ c¸i viÕt t¾t

ViÕt t¾t

Néi dung §¹i häc, Cao ®¼ng

TCCN

Trung cÊp chuyªn nghiÖp

THPT

Trung häc phæ th«ng

NXB

Nhµ xuÊt b¶n

SGK

S¸ch gi¸o khoa

GD

Gi¸o dôc

GV

Gi¸o viªn

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

§H, C§

6

IC IA L

Ch-¬ng 1

N

O

1.1. Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh

FF

KiÕn thøc liªn quan

H

1.1.1.1. Nh¾c l¹i kh¸i niÖm vi ph©n

Ơ

1.1.1. §Þnh nghÜa

N

Cho hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a; b) vµ cã ®¹o hµm t¹i x ∈

Y

(a; b). Cho x sè gia ∆x sao cho: x + ∆x ∈ (a; b). Khi ®ã ta gäi tÝch f 0 (x)∆x

U

hoÆc y 0 ∆x lµ vi ph©n cña hµm sè y = f (x) t¹i x øng víi sè gia ∆x vµ kÝ hiÖu

Q

lµ dy hoÆc df(x). Nh- vËy ta cã: hoÆc df (x) = f 0 (x)∆x (10 )

M

dy = y 0 ∆x (1);

KÈ

MÆt kh¸c, víi y = x ta cã dy = dx = x0 ∆x ⇔ dx = ∆x

(2)

Thay (2) vµo (1) hoÆc (1'), ta ®-îc: hoÆc df (x) = f 0 (x)dx (30 )

ẠY

dy = y 0 dx (3);

D

1.1.1.2. §Þnh nghÜa nguyªn hµm a) §Þnh nghÜa. Hµm sè F (x) ®-îc gäi lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f (x) trong kho¶ng (a; b) nÕu F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ (a, b) b) §Þnh lý. (Ta thõa nhËn ®Þnh lý nµy) NÕu F (x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) th×:

i) Víi mäi h»ng sè C, F (x) + C còng lµ nguyªn hµm cña f(x) trªn kho¶ng ®ã.

7

ii) Ng-îc l¹i, nÕu G(x) lµ mét nguyªn hµm bÊt k× cña f (x) trªn kho¶ng (a.b) th× cã thÓ viÕt G(x) = F (x) + C (C = const). Khi ®ã: {F (x) + C, C ∈ R} ®-îc gäi lµ hä nguyªn hµm cña f (x) trªn kho¶ng (a; b). c) TÝnh chÊt

IC IA L

TÝnh chÊt 1. NÕu F (x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f (x), H(x) lµ nguyªn hµm cña hµm sè h(x) th×:

i) F (x) + H(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f (x) + h(x)

FF

ii) F (x) − H(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f (x) − h(x)

TÝnh chÊt 2. NÕu F (x) lµ nguyªn hµm cña hµm sè h(x), k lµ mét sè thùc th×

O

kF (x) lµ nguyªn hµm cña hµm sè kf (x)

N

Tæng qu¸t: ∀k1 , k2 , ..., kn lµ c¸c sè thùc vµ F1(x), F2 (x), ..., Fn (x) lÇn l-ît lµ

Ơ

nguyªn hµm cña c¸c hµm sè f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) th× k1 F1(x)±k2 F2(x)±· · ·±

H

kn Fn (x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè k1 f1(x) ± k2 f2(x) ± · · · ± kn fn (x).

N

1.1.1.3. §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh

Q

U

Y

a) §Þnh nghÜa. Hä c¸c nguyªn hµm cña hµm sè f (x) trong kho¶ng (a; b) gäi R lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm f (x). KÝ hiÖu: f (x)dx. Nh- vËy, ta cã: R f (x)dx = F (x) + C, C − h»ng sè tuú ý R trong ®ã: lµ dÊu tÝch ph©n bÊt ®Þnh.

M

f (x) Hµm sè d-íi dÊu tÝch ph©n bÊt ®Þnh.

KÈ

f (x)dx biÓu thøc vi ph©n d-íi dÊu tÝch ph©n bÊt ®Þnh.

Chó ý. Hä nguyªn hµm cña hµm sè f (x) trong kho¶ng (a; b) lµ tÝch ph©n bÊt

ẠY

®Þnh cña f (x) trong kho¶ng ®ã.

D

b) TÝnh chÊt.

1. Gi¶ sö F (x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f (x). Khi ®ã, ta cã: R 0 F (x)dx = F (x) + C R 2. d f (x)dx = f (x)dx R R R 3. [f(x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx 8

4.

5.

6.

7.

R

0 f (x)dx = f (x) R R kf (x)dx = k f (x)dx R R f (t)dt = F (t) + C ⇒ f (u(x))u0 (x)dx = F (u(x)) + C n n R R P P ki fi (x)dx = ki fi (x)dx i=1

i=1

IC IA L

c) Sù tån t¹i nguyªn hµm.

Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ: Mäi hµm sè f (x) liªn tôc trªn [a; b] ®Òu cã nguyªn hµm trªn ®o¹n ®ã.

R

f (x)dx ta ph¶i t×m mét hµm sè nµo ®ã sao cho ®¹o hµm cña

FF

Chó ý. §Ó tÝnh

O

nã b»ng f (x).

N

1.1.2. C¸c c«ng thøc tÝnh hä nguyªn hµm (tÝch ph©n bÊt ®Þnh)

dx = x + C

R

xα dx =

N

R

H

Ơ

1.1.2.1. B¶ng c¸c hä nguyªn hµm c¬ b¶n

Y

xα+1 + C (α 6= −1) α+1

Q

U

R dx = ln |x| + C x R x e dx = ex + C

ax + C (0 < a 6= 1) a dx = ln a x

D

ẠY

KÈ

M

R R R

cos xdx = sin x + C sin xdx = − cos x + C

R

1 dx = tan x + C cos2 x R 1 dx = − cot x + C sin2 x B¶ng 1.

9

1.1.2.2. C¸c hä nguyªn hµm më réng

R R R

Ơ

R

IC IA L

R

FF

R

O

R

uα+1 + C (α 6= −1) u u dx = α+1 u0 dx = ln |u| + C (u 6= 0) u 1 1 dx = ln |ax + b| + C (a 6= 0) ax + b a 1 eax+b dx = eax+b + C (a 6= 0) a 1 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a 1 sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 1 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 1 cot(ax + b) + C dx = − a sin2(ax + b) α 0

N

R

N

H

B¶ng 2.

U

Y

1.1.3. Mét sè ph-¬ng ph¸p t×m hä nguyªn hµm

Q

C¬ së lý thuyÕt cña ph-¬ng ph¸p t×m hä nguyªn hµm lµ ta t×m c¸ch ®-a c¸c

M

nguyªn hµm ®ã vÒ mét trong nh÷ng nguyªn hµm c¬ b¶n (hoÆc më réng) ®-îc

KÈ

tr×nh bµy ë phÇn 1.1.2. Trong phÇn nµy, mçi ph-¬ng ph¸p t«i chØ ®-a ra mét, hai vÝ dô minh ho¹. Chóng ta, sÏ nghiªn cøu c¸c ph-¬ng ph¸p nµy ë ch-¬ng 2.

ẠY

Ph-¬ng ph¸p 1. BiÕn ®æi, ¸p dông c¸c c«ng thøc hä nguyªn hµm

D

Ph-¬ng ph¸p nµy ta dïng víi nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n, ta dïng c¸c phÐp biÕn

®æi th«ng th-êng ®Ó ®-a vÒ c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n.

VÝ dô 1. TÝnh hä c¸c nguyªn hµm sau: R R b) sin3 x cos xdx a) (2x + 5)4 dx R (ln x + 3)2 R e2x dx d) dx c) e2x + 3 x Gi¶i 10

IC IA L

R 1R 1 (2x + 5)5 +C (2x + 5)4 d(2x + 5) = a) Ta cã: (2x + 5)4 dx = 2 2 5 (2x + 5)5 +C = 10 R R sin4 x 3 3 b) Ta cã: sin x cos xdx = sin xd(sin x) = +C 4 R e2x 1 R d(e2x+3 ) 1 dx = = ln(e2x + 3) + C c) Ta cã: 2x 2x+3 e +3 2 e 2 R (ln x + 3)2 R (ln x + 3)3 2 d) Ta cã: dx = (ln x + 3) d(ln x + 3) = +C x 3 Ph-¬ng ph¸p 2. X¸c ®Þnh hä nguyªn hµm b»ng ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch

FF

Ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch thùc chÊt lµ dïng c¸c ®ång nhÊt thøc ®Ó biÕn ®æi biÓu thøc d-íi dÊu tÝch ph©n thµnh tæng c¸c nh©n tö mµ nguyªn hµm cña mçi

O

nh©n tö ®ã cã thÓ nhËn ®-îc tõ b¶ng nguyªn hµm hoÆc b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi

N

®¬n gi¶n ®· biÕt.

Ơ

Ph-¬ng ph¸p chung: n P

αi fi (x)dx

H

B-íc 1: BiÕn ®æi f (x) vÒ d¹ng f (x) =

i=1

N

trong ®ãfi (x) cã nguyªn hµm trong b¶ng c«ng thøc c¬ b¶n vµ αi = const.

Y

(i = 1, n)

Q

U

B-íc 2: ¸p dông tÝnh chÊt 7 cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh. Ta cã: Z Z X Z n n X f (x)dx = αi fi (x)dx = αi fi (x)dx i=1

KÈ

M

VÝ dô 1. TÝnh hä nguyªn hµm sau: I =

R

i=1

x(1 − x)2007dx.

Gi¶i

Sö dông ®ång nhÊt thøc: x = 1 − (1 − x). Ta ®-îc:

D

ẠY

x(1 − x)2007 = [1 − (1 − x)](1 − x)2007 = (1 − x)2007 − (1 − x)2008

Khi ®ã, ta cã: Z Z Z I = x(1 − x)2007dx = (1 − x)2007dx − (1 − x)2008 dx Z Z = (1 − x)2008d(1 − x) − (1 − x)200d(1 − x) (1 − x)2009 (1 − x)2008 = − +C 2009 2008 11

Tæng qu¸t. TÝnh hä nguyªn hµm sau Z I = x(ax + b)αdx (a 6= 0; α 6= −1 vµ α 6= −2)

IC IA L

Gi¶i 1 1 Sö dông ®ång nhÊt thøc: x = ax = [(ax + b) − b], ta ®-îc: a a

1 1 (ax + b)α+1 − b(ax + b)α x(ax + b)α = [(ax + b) − b](ax + b)α = a a

dx x(x + 1)2

Ơ

R

N

O

FF

Khi ®ã, ta ®-îc: Z

1 I= (ax + b)α+1 − b(ax + b)α dx a Z

Z 1 1 b (ax + b)α+1 d(ax + b) − (ax + b)αd(ax + b) = a a a

α+2 α+1 1 (ax + b) b(ax + b) = 2 − +C a α+2 α+1

H

VÝ dô 2. TÝnh hä nguyªn hµm sau: I =

N

Gi¶i

Ta cã:

U

Y

B A(x + 1)2 + Bx + Cx(x + 1) A C 1 = = + + x(x + 1)2 x (x + 1)2 x + 1 x(x + 1)2

Q

XÐt ®ång nhÊt thøc: 1 = A(x + 1)2 + Bx + Cx(x + 1)

(4)

M

Chän x = −1, ta cã: (4) ⇔ 1 = −B ⇒ B = −1

KÈ

Chän x = 0, ta cã: (4) ⇔ 1 = A

Chän x = 1, ta cã: (4) ⇔ 1 = 4A + B + 2C

(5)

D

ẠY

Thay A = 1 vµ B = −1 vµo (5), suy ra C = −1.

Khi ®ã, ta cã: Z I=

Z Z Z dx dx dx dx − = − x(x + 1)2 x (x + 1)2 x+1

x

1

+ 1 +C − ln |x + 1| + C = ln

= ln |x| + x+1 x + 1 x + 1

Chó ý. Ph-¬ng ph¸p dïng tÝch ph©n bÊt ®Þnh trªn lµ mét trong nh÷ng ph-¬ng

ph¸p c¬ b¶n ®Ó tÝnh tÝch ph©n hµm h÷u tØ.

12

Ph-¬ng ph¸p 3. X¸c ®Þnh hä nguyªn hµm b»ng ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn KiÕn thøc c¬ b¶n: Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®-îc sö dông phæ biÕn trong viÖc

tÝnh c¸c tÝch ph©n bÊt ®Þnh còng nh- tÝch ph©n x¸c ®Þnh (ta xÐt ë ch-¬ng sau).

Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn ®Ó tÝnh nguyªn hµm cã hai d¹ng dùa trªn ®Þnh lÝ sau:

1) NÕu R

R

IC IA L

§Þnh lÝ. f (x)dx = F (x) + C vµ u = ϕ(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm th×

f (u)du = F (u) + C.

FF

2) NÕu hµm sè f (x) liªn tôc th× khi ®Æt x = ϕ(t) trong ®ã ϕ(t) cïng víi R R ®¹o hµm ϕ0 (t) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc th× f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt.

DÊu hiÖu

C¸ch ®Æt

Ơ



N

O

C¸c dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chän Èn phô th«ng th-êng

π π  x = |a| sin t víi − 2 ≤ t ≤ 2   x = |a| cos t víi 0 ≤ t ≤ π  π π |a| x = víi t ∈ − 2 ; 2 \ {0}  sin t   |a| víi t ∈ [0; π] \ { π2 } x = cos t 

Y

N

H

√ a2 − x2

Q

KÈ

M

√ a2 + x2

U

√ x2 − a2

r

a+x hoÆc a−x

r

D

ẠY

p (x − a)(b − x)

a−x a+x

π  x = |a| tan t víi − 2 < t <   x = |a| cot t víi 0 < t < π

π 2

x = a cos 2t x = a + (b − a) sin2 t

B¶ng 3.

R dx √ VÝ dô 1. TÝnh hä nguyªn hµm sau: I = x 1 + x2 Gi¶i R R xdx 1 R (x2 + 1) dx √ √ √ = = Ta cã: I = 2 x2 1 + x 2 x 1 + x2 x2 1 + x 2 13

√

1 + x2 ⇒ 1 + x2 = t2 ⇒ x2 = t2 − 1. Ta cã:

Z Z dt2 dt 1

t − 1

1 = = ln +C I= 2 (t2 − 1)t t2 − 1 2 t + 1

√

2 1 1 + x − 1

Hay I = ln √

+C 2 1 + x2 + 1

R dx VÝ dô 2. TÝnh hä nguyªn hµm sau: I = p (1 − x2 )3 Gi¶i π π §Æt x = sin t : − < t < ⇒ dx = d sin t = cos tdt. Ta cã: 2 2 Z Z Z Z dx cos tdt cos tdt dt p p p I= = = = cos2 t (1 − x2 )3 (cos2 t)3 (1 − sin2 t)3 Z sin x x = d tan t = tan t + C = +C = √ +C cos x 1 − x2 p π π Chó ý. ë vÝ dô trªn ta cã (1 − x2 )3 = cos3 t v× − < t < ⇒ cos t > 0 vµ 2 2 p √ 2 2 tõ ®ã suy ra cos t = 1 − sin t = 1 − x

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

§Æt t =

N

Ph-¬ng ph¸p 4. X¸c ®Þnh hä nguyªn hµm b»ng ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng

Y

phÇn

Q

U

R R C«ng thøc: udv = uv − vdu R R Trong ®ã vdu cã nguyªn hµm ®¬n gi¶n h¬n so víi udv

M

DÊu hiÖu nhËn biÕt c¸ch ®Æt:

ẠY

KÈ

• NÕu f (x) = f1 (x)f2(x) th× ta ®Æt:    du = f 0 (x)dx  u = f1 (x) 1 ⇒ R  v = f (x)dx  dv = f (x)dx 2 2

D

• NÕu f (x) = P (x) sin αx (hoÆc f (x) = P (x) cos αx); P ∈ R[x], α ∈ R∗ th×

ta ®Æt:

     du = P 0 (x)dx u = P (x)       1 ⇒ v = − cos αx dv = sin αxdx   α     1   (hoÆc dv = cos αxdx)  (hoÆc v = sin αx) α 14

N

H

Ơ

N

O

FF

• NÕu f (x) = P (x)eαx ; P ∈ R, α ∈ R∗ th× ta ®Æt:    du = P 0 (x)dx  u = P (x) ⇒  v = 1 eαx  dv = eαx dx α α • NÕu f (x) = x ln x th× ta ®Æt:   1   du = dx  u = ln x xα+1 ⇒ x   dv = xα dx v= α+1 C¸c vÝ dô R VÝ dô 1. TÝnh I = (4x + 1) sin xdx

IC IA L

• NÕu f (x) = eax cos bx (hoÆc f (x) = eax sin bx), ab 6= 0 th× ta ®Æt:      du = −b sin bxdx u = cos bx       (hoÆc du = b cos bxdx) (hoÆc u = sin bx) ⇒       1   dv = eax dx  v = eax a Chó ý. NhiÒu bµi ph¶i tõng phÇn nhiÒu lÇn.

Gi¶i

M

Q

U

Y

¸p dông ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn, ta ®Æt:    u = 4x + 1  du = 4dx ⇒  dv = sin xdx  v = − cos x R R Khi ®ã: I = (4x + 1) sin xdx = (4x + 1)(− cos x) − (− cos x)4dx

D

ẠY

KÈ

= 4 sin x − (4x + 1) cos x + C R VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh I = (4x + 1) ln xdx Gi¶i

¸p dông ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn, ta ®Æt:    du = dx  u = ln x x ⇒   dv = (4x + 1)dx v = 2x2 + x

R R dx Khi ®ã: I = (4x + 1) ln xdx = (2x2 + x) ln x − (2x2 + x) x R 2 2 = (2x + x) ln x − (2x + 1)dx = (2x + x) ln x − (x2 + x) + C 15

1.2. TÝch ph©n x¸c ®Þnh 1.2.1. §Þnh nghÜa 1.2.1.1. C«ng thøc Newton-Leibnitz

IC IA L

Cho hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ F (x) lµ nguyªn hµm cña f (x) trªn ®o¹n [a; b]. Khi ®ã, hiÖu sè F (b) − F (a) ®-îc gäi lµ tÝch ph©n tõ a ®Õn b Rb (hay tÝch ph©n x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a; b] cña hµm sè f (x). Ký hiÖu lµ f (x)dx a

a

a

O

Chó ý. TÝch ph©n

Rb

FF

(theo Gi¶i tÝch líp 12), vËy ta cã:

b

Rb f (x)dx = F (x)

= F (b) − F (a)

f (x)dx chØ phô thuéc vµo a, b, f mµ kh«ng phô thuéc vµo

a

a

Ơ

N

biÕn sè. V× vËy, ta cã thÓ viÕt: Rb Rb Rb f (x)dx = f (u)du = f (t)dt = · · · a

a

H

1.2.1.2. ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n

N

NÕu hµm f (x) liªn tôc vµ kh«ng ©m trªn ®o¹n [a; b] th× tÝch ph©n

Rb

f (x)dx

a

Y

lµ diÖn tÝch h×nh thang cong giíi h¹n bëi c¸c ®-êng:

Q

U

(C) : y = f (x); trôc Ox, ∆ : x = a vµ ∆0 : x = b

∆

KÈ

M

y

(C)

∆0

D

ẠY

(S)

O

a

b

x

H×nh 1.1:

16

1.2.2. TÝnh chÊt TÝnh chÊt 1.

Ra

TÝnh chÊt 2.

a Rb

TÝnh chÊt 3.

a Rb

TÝnh chÊt 4.

Rb

TÝnh chÊt 5.

a Rb

f (x)dx = 0 f (x)dx = −

Ra

f (x)dx

b

(k ∈ R)

f (x)dx

a

[f(x) ± g(x)]dx =

Rb

f (x)dx ±

a

g(x)dx

a

f (x)dx +

a

Rb

f (x)dx

c

TÝnh chÊt 6. NÕu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] th×

Rb

FF

f (x)dx =

a

Rc

Rb

f (x)dx ≥ 0

a

TÝnh chÊt 7. NÕu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] th×

Rb

O

a

Rb

IC IA L

kf (x)dx = k

f (x)dx ≥

g(x)dx.

a

N

a

Rb

Ơ

TÝnh chÊt 8. NÕu m ≤ g(x) ≤ M víi ∀x ∈ [a; b] vµ g(x) kh¶ tÝch trªn [a; b] Rb th× m(b − a) ≤ g(x)dx ≤ M(b − a).

H

a

N

TÝnh chÊt 9. NÕu f (x) = c kh«ng ®æi trªn [a; b] th×: Rb Rb f (x)dx = cdx = c(b − a)

Y

a

a

M

Q

U

TÝnh chÊt 10. NÕu f (x) lµ hµm sè liªn

tôc trªn [a; b] th×:

Rb

Rb

f (x)dx ≥ |f (x)|dx

a

a TÝnh chÊt 11. (C«ng thøc gi¸ trÞ trung b×nh)

ẠY

KÈ

NÕu f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× ∃ξ ∈ [a; b] sao cho: Rb 1 Rb f (x)dx = f (ξ)(b − a) ⇔ f (ξ) = f (x)dx b−a a a

D

1.2.3. Ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh I =

Rb

f (x)dx

a

Chóng ta sÏ sö dông tÊt c¶ c¸c ph-¬ng ph¸p ®· nÕu ë phÇn 1.1.3. ®Ó t×m nguyªn hµm cña hµm sè d-íi dÊu tÝch ph©n råi sö dông c«ng thøc Newton Leibnitz ®Ó tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh ®ã.

Chó ý.

17

1. §èi víi ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn: ta còng dùa vµo c¸c dÊu hiÖu ë phÇn nguyªn hµm ®Ó ®Æt Èn phô vµ ph¶i ®æi cËn theo Èn míi.

2. T-¬ng tù víi ph-¬ng ph¸p tõng phÇn ta còng dùa vµo dÊu hiÖu phÇn nguyªn hµm ®Ó ®Æt u vµ tÝnh du, v.

FF

VÝ dô 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: R1 xdx (Häc viÖn KÜ thuËt Qu©n sù-95) a) I = 2 (x + 1) 0 √ Re 1 + 3 ln x dx (§Ò tuyÓn sinh Khèi B-2004) b) I = x 1 Gi¶i

IC IA L

b) C¸c vÝ dô.

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

a) Ta cã:

R1 xdx R1 x + 1 − 1 R1 1 1 − = dx = dx I= 2 2 x + 1 (x + 1)2 0 (x + 1) 0 (x + 1) 0

1

1

R1 dx R1 dx 1

= ln 2 − 1

+ = − = ln |x + 1|

2 x + 1 0 2 0 x+1 0 (x + 1) 0 b) Ta cã: √ Re 1 + 3 ln x Re √ dx = 1 + 3 ln xd ln x I= x 1 1

e

p 1 Re 2 14 1 = (1 + 3 ln x)− 2 d(3 ln x + 1) = (1 + 3 ln x)3

= 31 9 9 1 sin x VÝ dô 2. Cho hµm sè f (x) = cos x + sin x

cos x − sin x a) T×m hai sè A, B sao cho f (x) = A + B cos x + sin x π R2 b) TÝnh I = f (x)dx.

0

D

ẠY

Gi¶i

a) Ta cã: cos x − sin x (A + B) cos x + (A − B) sin x sin x =A+B = cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x Suy ra: sin x = (A + B) cos x + (A − B) sin x. Ta cã:    A+B = 0  A= 1 2 ⇒  A−B =1  B = −1 2 18

IC IA L

b) Tõ kÕt qu¶ c©u a) ta cã: π π

R2 R2 1 1 cos x − sin x I = f (x)dx = − dx 2 2 cos x + sin x 0 0

π

π π 2 2

2 π 1

1 R d(cos x + sin x) π 1 = x − = − ln(cos x + sin x)

= 2 0 2 0 cos x + sin x 4 2 4 0 VÝ dô 3. TÝnh tÝch ph©n sau √ √ 2 R2 x2 dx R 7 x3 dx (§HTCKT-97) b) I = √ a) I = √ 3 1 − x2 1 + x2 0 0 Gi¶i

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

§Æt x = sin t ⇒ dx = cos tdt. √ π 2 ⇒t= §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 4 sin2 t cos tdt x2 dx sin2 t cos tdt = Ta cã: √ = sin2 tdt = p 2 cos t 1−x 1 − sin2 t h πi 1 = (1 − cos 2t)dt (V× t ∈ 0; ⇒ cos t > 0) 2 4 π

π4

1 1 π 1 1 R4 t − sin 2t

= − (1 − cos 2t)dt = VËy, ta cã: I = 20 2 2 8 4 0 √ 3 3 2 2 b) §Æt: t = x2 + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 3t dt = 2xdx. √ §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1; x = 7 ⇒ t = 2 t3 − 1 3 2 x2 .xdx 3 3 x3 dx = . t dt = t(t3 − 1)dt = (t4 − t) = Ta cã: √ 3 t t 2 2 2 1 + x2

19

IC IA L

Ch-¬ng 2 Ph-¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng tÝch ph©n

O

FF

x¸c ®Þnh

N

2.1. TÝch ph©n cña c¸c hµm h÷u tØ vµ c¸c hµm cã thÓ h÷u tØ

H

Ơ

hãa

N

ë bµi to¸n nµy, chóng ta cÇn linh ho¹t lùa chän ®óng mét trong c¸c ph-¬ng

Y

ph¸p c¬ b¶n sau ®Ó t×m nguyªn hµm cña hµm sè d-íi dÊu tÝch ph©n. Sau ®ã ¸p

U

dông c«ng thøc Newton - Leibnitz ®Ó tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh.

Q

1. Ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch, sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n.

M

2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn

KÈ

3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn PhÇn c¬ së lÝ thuyÕt cña c¸c ph-¬ng ph¸p nµy ®· ®-îc tr×nh bµy ë ch-¬ng 1

ẠY

phÇn 1.1.3. ë phÇn nµy chóng ta sÏ ¸p dông ®Ó tÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm

D

sè d-íi dÊu tÝch ph©n. Sau ®©u chóng ta sÏ ®i cô thÓ tõng ph-¬ng ph¸p

2.1.1. Ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch, sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n.

Chóng ta ®· lµm quen víi ph-¬ng ph¸p nµy ë ch-¬ng 1 phÇn 1.1.3. ë ®©y chóng ta sÏ xÐt cô thÓ h¬n vÒ viÖc sö dông ph-¬ng ph¸p nµy ®Ó t×m nguyªn 20

Q(x) . Thùc chÊt ®©y lµ mét d¹ng cña ph-¬ng P (x) ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, nh-ng ë ®©y ta sö dông c¸c ®ång nhÊt thøc quen thuéc.

hµm cña hµm sè h÷u tØ d¹ng

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

Sau ®©y lµ mét sè d¹ng cô thÓ vµ c¸ch ph©n tÝch Rx1 Ax + B dx ph©n tÝch thµnh +) D¹ng I = 2 + bx + c ax x0 Rx1 2ax + b Rx1 dx I =α dx + β b 2 ∆ 2 x0 ax + bx + c x0 (x + 2a ) − 4a2 Rx1 Ax2 + Bx + C dx ph©n tÝch thµnh +) D¹ng I = 2 x0 ax + bx + c Rx1 2ax + b Rx1 A Rx1 dx + β (x+ bdx dx + α I= ∆ 2 2 2a ) − 4a2 a x0 x0 ax + bx + c x0 Rx1 P (x) +) D¹ng I = dx ph©n tÝch thµnh n x0 (x − a) Rx1 dx Rx1 dx Rx1 dx +β I =α + · · · + γ 2 n x0 x − a x0 (x − a) x0 (x − a) Rx1 P (x)dx ph©n tÝch thµnh +) D¹ng I = 2 x0 (ax + b)(mx + nx + p) Rx1 dx Rx1 Bx + C I =A + dx 2 x0 ax + b x0 mx + nx + p Rx1 P (x) dx ph©n tÝch thµnh +) D¹ng I = 3 3 x0 x ± a Rx1 Rx1 dx Rx1 Bx + C P (x)dx =A + dx I= 2 2 2 2 x0 (x ± a)(x ∓ ax + a ) x0 x ± a x0 x ∓ ax + a Rx1 P (x)dx +) D¹ng I = (a > 0) ph©n tÝch thµnh 4 2 x0 x + a Rx1 Rx1 P (x)dx P (x)dx √ √ = = ··· I= 4 2 2 2 2 2 x0 x + 2ax + a − 2ax x0 (x + x 2a + a)(x − x 2a + a)

ẠY

Chó ý. Víi c¸c d¹ng trªn ta gi¶ sö bËc cña ®a thøc ë tö nhá h¬n hoÆc b»ng

D

bËc cña ®a thøc ë mÉu.

VÝ dô 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau R2 x3 − 2x2 dx a) I = 2 0 x − 4x − 5 R0 x2 dx c) I = 39 −1 (1 − x)

R4

dx 2 1 x (x + 1) R1 x2 + 3x + 10 dx d) I = 2 0 x + 2x + 9 Gi¶i b) I =

21

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

R2 x3 − 2x2 − 13x − 10 + 13x + 10 dx a) Ta cã I = x2 − 4x − 5 0 R2 R2 13x + 10 = (x + 2)dx + dx 2 0 0 x − 4x − 5

2

R2 x2 dx 13 R2 2x − 4

= ( + 2x) + dx + 36 2 2 0 x2 − 4x − 5 (x − 2)2 − 9 0

0 2

2

x − 5

13 2

= 6 + 13 ln 3 − 25 ln 5

ln |x − 4x − 5| +6 ln

=6+ 2 x + 1

0 2 0

4 4 R R A B C dx = + dx + b) Ta cã I = 2 x x2 x + 1 1 x (x + 1) 1 2 2 Khi ®ã ta cã: 1 = A(x2 + x) + B(x + 1) + Cx = (A + C)x + (A + B)x + B     A = −1 A+C =0         Suy ra A + B = 0 ⇒ B = 1          C = 1 B = 1

4

R4 −1 1 1 1 VËy I = + 2+ dx = ln |x| − + ln |x + 1|

x x x+1 x 1 1 3 = + ln 5 − 3 ln 2 4 c) Ta cã x2 = (1 − x)2 − 2(1 − x) + 1 . VËy

I=

=

Z0 −1 Z0

(1 − x)2 2(1 − x) 1 − + (1 − x)39 (1 − x)39 (1 − x)39 1 2 1 − + 37 38 (1 − x) (1 − x) (1 − x)39

dx

dx

−1

2 1 1 − + = 36(1 − x)36 37(1 − x)37 38(1 − x)38 −(239 + 40.37 + 4) = 238 .36.37.38

0

−1

22

d) Ta cã Z1

I=

x2 + 2x + 9 + x + 1 dx = x2 + 2x + 9

0

Z1

dx +

0

0

=1+

x+1 dx x2 + 2x + 9

0

1

1 2x + 2 2

dx = 1 + ln(x + 2x + 9)

x2 + 2x + 0 2 0

IC IA L

1 =1+ 2

Z1

Z1

1 4 ln 2 3

O

FF

2.1.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn sè

Còng nh- hai ph-¬ng ph¸p trªn, ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®· ®-îc xÐt ë

N

ch-¬ng 1 phÇn 1.1.3. Tuy nhiªn ë phÇn nµy chóng ta cÇn chó ý khi ®æi biÕn

Ơ

ph¶i ®æi cËn lÊy tÝch ph©n

N

H

Rx1 xk−1 P (xk )dx ; trong ®ã P, Q lµ hai ®a thøc.

NÕu tÝch ph©n cã d¹ng I = Q(xk ) x0 Ta thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sau

Y

§Æt t = xk ⇒ dt = dxk = kxk−1 dx

KÈ

M

Q

U

§æi cËn x = x0 ⇒ t = t0 = xk0 , x = x1 ⇒ t = t1 = xk1 Rx1 ϕ0 (x)P [ϕ(x)] dx th× ta ®Æt t = ϕ(x) Chó ý. NÕu I = Q[ϕ(x)] x0 VÝ dô 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau R1 1 + x2 R2 xdx √ (Khèi A-2004) dx b) I = a) I = 4 √ √ 1 + x 1 + x − 1 1 6+ 10 2

D

ẠY

c) I =

R3

√

3

a) Ta cã: I =

√

dx 2 x +3

√

R1

√ 6+ 10 2

R 3 x5 + 2x3 √ d) I = dx x2 + 1 0 Gi¶i 1 1 R +1 1 + x12 x2 dx = dx 1 1 2 2 √ √ + x (x − ) + 2 2 6+ 10 x x 2

1 1 §Æt t = x − ⇒ dt = (1 + 2 )dx x√ √ x√ 6+ 10 ⇒ t = 6; x = 1 ⇒ t = 0 §æi cËn: x = 2 0 R dt VËy I = √ t2 + 2 6 23

√ π π 2du √ = 2(1 + tan2 u)du §Æt t = 2 tan u, − < u < ⇒ dt = 2 2 2√ cos u π §æi cËn: t = 0 ⇒ u = 0; t = 6 ⇒ u = 3 √

0 0 R0 2(1 + tan2 u) R 1 1

π du = √ du = √ u = − √ VËy: I = 2 π 2 tan u + 2 2 π3 2 π3 3 2 3 √ 1 b) §Æt: t = 1 + x − 1 ⇒ dt = √ dx ⇒ dx = 2(t − 1)dt 2 x−1 §æi cËn: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 2

U

√ R 3 x5

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

VËy ta cã: R2 [(t − 1)2 + 1]2(t − 1)dt R2 (t2 − 2t + 2)(t − 1)dt =2 I= t t 1 1

2

R2 2 t3 3t2 2 + 4t − 2 ln t)

= 2 (t − 3t + 4 − )dt = 2( − t 3 2 1 1 11 − 4 ln 2 = 3 R3 dx R3 dx = c) Ta cã I = √ x2 + 3 √ 3(1 + ( √x )2) 3 3 3 √ √ x §Æt: √ = tan t ⇒ x = 3 tan t ⇒ dx = 3(1 + tan2 t)dt 3 √ π π §æi cËn: x = 3 ⇒ t = ; x = 3 ⇒ t = 4 3 π √ π 2 R3 3(1 + tan t) 1 R3 π √ √ dt = dt = VËy I = π 3(1 + tan2 t) π 3 12 3 4 4

IC IA L

√

√

D

ẠY

KÈ

M

Q

1 R 3 x4 + 2x2 2 + 2x3 √ dx = dx d) Ta cã I = √ 2 0 x2 + 1 x2 + 1 0 §Æt: x2 = t ≥ 0 ⇒ dt = dx2 √ §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = 3 1 R3 t2 + 2t √ dt Khi ®ã I= 2 0 t+1 √ dt 1 §Æt: t + 1 = u ⇒ du = √ dt = ⇒ 2udu = dt 2u 2 t+1 §æi cËn: t = 0 ⇒ u = 1; t = 3 ⇒ u = 2 R2 1 R2 (u2 − 1)2 + 2(u2 − 1) 2udu = (u2 − 1)(u2 + 1)du VËy I = 21 u 1

2 5

R2 4 u 26 = (u − 1)du = ( − u)

= 5 5 1 1

24

2.1.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn C¬ së lÝ thuyÕt cña ph-¬ng ph¸p nµy ®· ®-îc tr×nh bµy ë ch-¬ng 1 phÇn 1.1.3. Tuy nhiªn, ph-¬ng ph¸p nµy Ýt ®-îc sö dông ®èi víi hµm h÷u tØ, nh-ng chóng ta còng cÇn xÐt mét sè bµi cô thÓ:

VÝ dô 3. TÝnh tÝch ph©n sau I =

R3

   u = x3

   du = 3x2 dx

H

§Æt

Ơ

2

x4 dx (x2 − 1)3 Gi¶i

O

x0

N

x0

FF

IC IA L

Rx1 P (x)Q0 (x)dx ta thùc hiÖn nh- sau NÕu tÝch ph©n cÇn x¸c ®Þnh cã d¹ng I = Qn (x) x 0       du = P 0 (x)dx u = P (x) ⇒ §Æt 0 R dQ(x) (x)dx 1 1 Q     = − . v =  dv = n Qn (x) n Qn−1 (x)

x1 x Q (x)

R1

Khi ®ã I = uv − vdu

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

⇒ 2 dx 1 1     v = −  dv = 2 (x2 − 1)3 4(x2 − 1)2

3

3 x3 3 R3 x2 dx 269

+ J VËy: I = − + = 4(x2 − 1)2 2 4 2 (x2 − 1)2 2304 4 R3 x2 dx R3 x.x.dx TÝnh J = = 2 2 2 2 2 (x 2 (x − 1)   − 1)     u = x du = dx §Æt ⇒ xdx 1     v = − dv = 2  (x − 1)2 2(x2 − 1)

3

x − 1

3 7 R3 x dx 7 1 1 3

+

= ⇒J =− = + ln + ln 2(x2 − 1) 2 2 2(x2 − 1) 48 4 x + 1

2 48 4 2 3 7 1 3 521 3 3 269 + + ln = + ln VËy I = 2304 4 48 4 2 2304 16 2

25

2.2. TÝch ph©n cña c¸c hµm v« tØ §Ó tÝnh tÝch ph©n cña c¸c hµm v« tû chóng ta cÇn linh ho¹t lùa chän ph-¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó t×m nguyªn hµm cña hµm d-íi dÊu tÝch ph©n sau ®ã ¸p dông

IC IA L

c«ng thøc Newton - Leibnitz ®Ó tÝnh tÝch ph©n.

C¸c ph-¬ng ph¸p chó ý ®Ó x¸c ®Þnh nguyªn hµm cña c¸c hµm v« tû lµ: 1. Sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n.

2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn.

FF

3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.

O

C¸c ph-¬ng ph¸p nµy còng lµ nh÷ng ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó tÝnh nguyªn

Ơ

N

hµm cña c¸c hµm kh¸c. Cô thÓ ¸p dông ®èi víi hµm v« tû nh- sau:

H

2.2.1. Sö dông nguyªn hµm c¬ b¶n.

N

ë ph-¬ng ph¸p nµy, chóng ta th-êng ®-a tam thøc bËc 2 vÒ d¹ng chÝnh t¾c

KÈ

M

Q

U

Y

vµ sö dông c¸c c«ng thøc nguyªn hµm sau: Z p xdx √ = x2 ± a + C 2±a x Z p dx √ = ln |x + x2 ± a| + C 2 Z p x ±a p xp 2 a x2 ± adx = x ± a ± ln |x + x2 ± a| + C 2 2

D

ẠY

VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n sau R1 √ x2 + 4x + 5dx a) I =

b) I =

0

R2 1

√

xdx 9x2 − 6x

Gi¶i

R1 p (x + 2)2 + 1dx a) Ta cã: I = 0

1 √

x√ 2 1 = x + 4x + 5 − ln |x + x2 + 4x + 5|

2 2 0

√ 1 1 √ 1 √ 1 = 10 − ln(1 + 10) + ln 5 = 10 − ln 2 2 2 2 2 26

b) Ta cã:

=

IC IA L

=

FF

=

Z2 Z2 1 xdx xdx (3x − 1 + 1)d(3x − 1) √ p p = = 9x2 − 6x (3x − 1)2 − 1 9 (3x − 1)2 − 1 1 1 1   2 2 Z Z 1  (3x − 1)d(3x − 1) d(3x − 1)  p + p 9 (3x − 1)2 − 1 (3x − 1)2 − 1 1 1 # "

2

2 p

1 p

(3x − 1)2 − 1

+ ln 3x − 1 + (3x − 1)2 − 1

9 1 1 h

i √ √ √ 1 √ 2 6 − 3 + ln 5 + 24 − ln 2 + 3 9

O

I=

Z2

Ơ

N

2.2.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn

H

C¬ së lý thuyÕt cña ph-¬ng ph¸p nµy ®· ®-îc tr×nh bµy ë ch-¬ng 1 phÇn

N

1.1.3 . Ta cÇn chó ý ®æi cËn lÊy tÝch ph©n theo biÕn míi.

R2 2 √ VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n I = x x3 + 1dx

Y

0

Gi¶i

Q

U

C¸ch 1: §Æt t = x3 ⇒ dt = 3x2 dx

8

= 52

9 0

KÈ

M

§æi cËn: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 8 R2 1 R8 √ 1 2 3 Khi ®ã, ta cã: I = t + 1dt = . (t + 1) 2 3 3 0 3 0 3 2 C¸ch 2: §Æt x + 1 = t ⇒ dt = 3x dx

D

ẠY

§æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t =

9 9.

9 1 2 3

52 1R 1 t 2 dt = . t 2

= Khi ®ã, ta cã: I = 31 3 3 9 1 C¸ch 3: √ 3x2 dx 2 ⇒ tdt = x2 dx §Æt t = x3 + 1 ⇒ t2 = x3 + 1 ⇒ dt = √ 3 2 x3 + 1 §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 3. Khi ®ã, ta cã: 2 I= 3

Z3 1

3

1 2 52 t2 dt = . t3

= 3 3 1 9 27

VÝ dô 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau √ R1 1−x a) I = p dx (1 + x)5 0 c) I =

R2 3 2

1

b) I =

(2 − x)dx √ d) I = (x − 1) −x2 + 4x − 3

R2

dx √ (2x + 3) 4x2 + 12x + 5

− 12 √ aR 3 0

xdx q p a2 + x2 + (a2 + x2 )3

IC IA L

Gi¶i a) Ta cã:

Z1 √ Z1 r dx 1−x 1−x p . dx = I= 1 + x (1 + x)2 (1 + x)5 0

FF

0

1 + t2 2

2

1 − t2 −4tdt ⇒x= ⇒ dx = 1 + t2 (1 + t2 )2

N

1 1−x ⇒ = 1+x (1 + x)2

Ơ

t=

r

O

C¸ch 1: §Æt

H

§æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. Khi ®ã, ta cã:

Y

N

2 Z0 Z0 1 + t2 1 3 −4tdt 2 t = − t dt = − I= t 2 (1 + t2 )2 3 1

U

1

0

=1

3 1

M

Q

C¸ch 2: §Æt x = cos 2t ⇒ dx = −2 sin 2tdt π §æi cËn: x = 0 ⇒ t = ; x = 1 ⇒ t = 0. Khi ®ã, ta cã: 4 π

KÈ

Z0 r

I=

π 4

π

4 1 1 = tan3 t

= 3 3 0

ẠY D

1 − cos 2t −2 sin 2tdt = 1 + cos 2t (1 + cos 2t)2

Z4

π

tan2 t

0

1 dt = cos2 t

Z4

tan2 td tan t

0

b) Ta cã: 1

I=

Z2 − 21

1

dx =I = (2x + 3) 4x2 + 12x + 5 √

Z2 − 12

dx p (2x + 3) (2x + 3)2 − 4 28

1 dt 1 ⇒ (2x + 3) = ⇒ dx = − 2 2x + 3 t 2t 1 1 1 1 §æi cËn: x = − ⇒ t = ; x = ⇒ t = . Khi ®ã, ta cã: 2 2 2 4 §Æt t =

I=

t√

1 t−2 − 4

dt − 2 2t

1

1 =− 4

1 2

Z4 1 2

√ c) §Æt t =

1

4 π 1 du r = − arcsin 2u

= 4 12 1 1 2 − u2 4

IC IA L

1

Z4

−x2 + 4x − 3 t2 + 3 −4tdt ⇒x= 2 ⇒ dx = 2 vµ: 1−x t +1 (t + 1)2

FF

p 2 t2 − 1 −2t ; x−1= 2 ; 2−x = 2 −x2 + 4x + 3 = −t(x − 1) = 2 t +1 t +1 t +1

Z−1

Ơ

2 1− 2 t −1

xdx q = p 2 2 2 2 3 a + x + (a + x )

M

I=

√

Q

√ 3

Za 0

3

xdx r

p 2 2 2 2 (a + x ) 1 + (a + x )

KÈ

0

√ − 3

t2 − 1 dt t2 + 1

−1 √

π dt = (t − 2 arctan t)

√ = 3 − 1 − .

6 − 3

U

d) Ta cã: Za

Z−1

Y

√ − 3

H

√ − 3 Z−1

t2 − 1 t2 + 1 t2 + 1 −4tdt . . . = t2 + 1 2 −2t (t2 + 1)2

N

I=

=

N

O

√ 3 ⇒ t = − 3; x = 2 ⇒ t = −1. Khi ®ã, ta cã: 2

§æi cËn: x =

√ 3

D

ẠY

=

Za

√

0

xdx p √ a2 + x2 1 + a2 + x2

√ xdx a2 + x2 ⇒ dt = √ ⇒ xdx = (t − 1)dt. a2 √ + x2 §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1 + a; x = a 3 ⇒ t = 2a + 1. Khi ®ã, ta cã: §Æt t = 1 +

I=

2a+1 Z 1+a

(t − 1)dt √ = (t − 1) t

2a+1 Z 1+a

√

√ 2a+1 √ dt

√ =2 t

=2 2a + 1 − a + 1 t 1+a 29

2.2.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Víi c¸c hµm v« tû, ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Ýt ®-îc sö dông. Tuy nhiªn, chóng ta còng cÇn xem mét sè vÝ dô: R1 √ x2 + 1dx VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n I = Gi¶i §Æt

FF

  √   u = x2 + 1  du = √ xdx x2 + 1 ⇒  dv = dx   v=x

IC IA L

0

O

Khi ®ã, ta cã:

Ơ

N

1 Z1

Z1 p 2 p √

1 x dx x2 + 1 − √ = 2− dx I = x x2 + 1

− √ 2 x +1 x2 + 1 − =

2−

p x2 + 1dx +

√

√ dx = 2−I +J x2 + 1

(1)

N

√

0

Z1

H

0

Z1

0

Ta cã:

1

p √ dx

√ = ln x + x2 + 1

= ln(1 + 2) x2 + 1 0

Q

Z1

U

Y

0

M

J=

KÈ

0

(2)

D

ẠY

Thay (2) vµo (1), ta ®-îc: I=

√

√

√ 2 − I + ln(1 +

2) ⇒ I =

VÝ dô 5. Më réng vÝ dô trªn ta tÝnh ®-îc I =

√ 2 + ln(1 + 2

R1

2)

√ x2 x2 + 1dx b»ng c¸ch:

0

§Æt

  u=x  du = dx ⇒  dv = x√x2 + 1dx  v = 1 (x2 + 1)√x2 + 1 3 30

Khi ®ã, ta cã:

1 Z1 p

xp 2 1 2 3

(x + 1) x2 + 1dx (x + 1) − I= 3 3 0 0

4 ⇒ I= 3

IC IA L

N

H

Ơ

⇒I =

FF

=

O

=

Z1 p p 1√ 1 1 8− x2 x2 + 1dx − x2 + 1dx 3 3 3 0 0 √ p

1 p 2 2 1 1 x 1

− I− x2 + 1 + ln x + x2 + 1

(theo 1) 3 3 3 2 2 0 √ √ √ !

2 2 1 1 2 ln(1 + 2) − I− + 3 3 3 2 2 √ √ √ !

2 2 1 2 ln(1 + 2) − + 3 3 2 2 √ √ 3 2 − ln(1 + 2) 8

N

=

Z1

U

Y

2.3. TÝch ph©n cña c¸c hµm l-îng gi¸c

Q

C¸c hµm l-îng gi¸c lµ c¸c hµm chøa c¸c gi¸ trÞ l-îng gi¸c cña mét biÓu

M

thøc chøa biÕn. C¸c bµi to¸n d¹ng nµy rÊt phæ biÕn trong ch-¬ng tr×nh THPT.

KÈ

§Ó tÝnh tÝch ph©n d¹ng nµy, chóng ta còng cÇn linh ho¹t lùa chän ph-¬ng ph¸p phï hîp ®Ó tÝnh nguyªn hµm råi sö dông c«ng thøc Newton - Leibnitz ®Ó x¸c

ẠY

®Þnh tÝch ph©n. C¸c ph-¬ng ph¸p th-êng dïng ®èi víi hµm l-îng gi¸c lµ

D

1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n 2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn 3. Ph-¬ng ph¸p tõng phÇn

PhÇn c¬ së lÝ thuyÕt cña c¸c ph-¬ng ph¸p nµy ®· ®-îc tr×nh bµy ë ch-¬ng 1 phÇn 1.1.3.ë phÇn nµy chóng ta sÏ ¸p dông ®Ó tÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè d-íi dÊu tÝch ph©n. Sau ®©u chóng ta sÏ ®i cô thÓ tõng ph-¬ng ph¸p 31

2.3.1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n ë ph-¬ng ph¸p nµy, chóng ta sÏ biÕn ®æi hµm d-íi dÊu tÝch ph©n vÒ tæng

cña c¸c hµm l-îng gi¸c c¬ b¶n. Sau ®ã së dông b¶ng nguyªn hµm ®Ó x¸c ®Þnh

VÝ dô 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau π R4 a) I = sin x sin 2x cos 5xdx

b)

I=

0

IC IA L

nguyªn hµm ®ã.

R2π √ 0

1 + sin xdx

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

Gi¶iπ π 4 R 1 R4 (cos x − cos 3x) cos 5xdx a) Ta cã I = sin x sin 2x cos 5xdx = 20 0 π 1 R4 = (cos x cos 5x − cos 3x cos 5x)dx 20 π 1 R4 = (cos 6x + cos 4x − cos 8x − cos 2x)dx 40

π4

1 1 1 1 1 = sin 6x + sin 4x − sin 8x − sin 2x

4 6 8 2 0 4 1 1 1 1 − − =− = 4 6 2 6 2π R p R2π x x 2 (sin 2 + cos 2 ) dx = | sin x2 + cos x2 |dx b) Ta cã I = 0

| sin( x2 + π4 )|dx

Q

2

0

3π

√ =

0

U

√ =

R2π

M

2

R2 0

sin( x2 + π4 )dx −

R2π 3π

sin( x2 + π4 )dx

!

ẠY

KÈ

3π 2

2π !

2

√ = 2 −2 cos( x2 + π4 )

+2 cos( x2 + π4 )

3π 0 2 √ =4 2

D

VÝ dô 2 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau

a)

π

I=

Z4 0

π

dx cos x sin(x + π4 )

b)

I=

Z3 π 6

dx sin x sin(x + π6 )

Gi¶i a) C¸ch 1: 32

cos π4 cos(x + π4 − x √ √ Ta cã 1 = = 2 cos[(x + π4 ) − x]. Khi ®ã: π = 2 cos 4 2

I=

π Z4 √

0

2 cos[(x + π4 ) − x] dx cos x sin(x + π4 )

π

IC IA L

4 √ Z [cos(x + π4 ) cos x + sin(x + π4 ) sin x]dx = 2 cos x sin(x + π4 )

0

0

FF

π

4

√ Z cos(x + π4 ) sin x + dx = 2 sin(x + π4 ) cos x

C¸ch 2: Ta cã π

π

Ơ

dx cos x(sin x + cos x)

4 √ Z = 2

H

4 √ Z I= 2

N

O

π4 √ √ π = 2 ln | sin(x + )| − ln | cos x|

= 2 ln 2 4 0

0 π 4

dx cos2 x(tan x + 1)

0

Y

0

U

b) Ta cã

N

π √ Z d(tan x + 1) √

4 √ = 2 ln | tan x + 1|

= 2 ln 2 = 2 tan x + 1 0

Khi ®ã:

M

Q

sin[(x + π6 ) − x] sin π6 π ) − x] = = 2 sin[(x + 1= 1 sin π6 6 2 π

KÈ

Z3

I=

ẠY

π 6

D

=2

π

π ) 6

2 sin[(x + − x] dx = 2 sin x sin(x + π6 )

π

Z3 π 6

Z3 π 6

sin(x + π6 ) cos x − cos(x + π6 ) sin x dx sin x sin(x + π6 )

π

cos x cos(x + π6 ) π

3 − dx = 2 ln | sin x| − ln | sin(x + )|

sin x sin(x + π6 ) 6 0

3 2 Chó ý. Ph-¬ng ph¸p trªn cã thÓ ¸p dông cho tÝch ph©n d¹ng: Rβ dx I= α cos(x + a) cos(x + b) = 2 ln

33

b»ng c¸ch sö dông ®ång nhÊt thøc 1 =

sin(a − b) sin(a − b)

VÝ dô 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n π R2 dx a) I = 0 1 + cos x

π

b) I =

R2 0

dx sin x + sin

a) Ta cã

π

I=

Z2 0

π

1 dx = 2 cos2 x2 2

Z2 0

IC IA L

Gi¶i

π x

2 x 2d(tan ) = tan = 1 2 2 0

0

Z

2 cos( 4x+π − 4x−π ) 8 8 dx 4x−π 2 sin 4x+π cos 8 8

0

π 2

N

I=

dx = 4x−π 2 sin 4x+π cos 8 8

π Z2 √

O

π

FF

b) Ta cã Z2

π 4

U

Y

N

H

Ơ

cos 4x+π cos 4x−π + sin 4x+π sin 4x−π 8 8 8 8 dx 4x+π 4x−π sin 8 cos 8 0

4x−π sin 1 cos 4x+π 8 8 =√ dx 4x+π + 4x−π cos 8 2 sin 8

π

sin 3π 1 4x − π

2 1 4x + π 8 = √ ln | sin | − ln | cos | = √ ln

8 8 cos π8 2 2 0 1 =√ 2

Q

Chó ý. Ph-¬ng ph¸p trªn còng cã thÓ ¸p dông cho c¸c tÝch ph©n d¹ng

dx (|m| < 1) sin x + m

M

Zβ

KÈ

I=

D

ẠY

I=

α Zβ

I=

Zβ

dx cos x + cos α

α

dx (|m| < 1) cos x + m

α

VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n I =

π

R6 0

tan x tan(x + π4 )dx

Gi¶i π R6 sin x sin(x + π4 ) Ta cã I = π dx cos x cos(x + 0 4) π

R6 sin x sin(x + π4 ) + cos x cos(x + π4 ) = − 1 dx π cos x cos(x + ) 0 4 34

√ π π R6 cos π4 2 R6 dx π dx − = dx = π π − 2 0 cos x cos(x + 4 ) 6 0 cos x cos(x + 4 ) 0 π π √ R6 sin(x + π4 − x) R6 dx Ta cã I1 = 2 π = π dx cos x cos(x + ) cos x cos(x + 0 0 4 4) π √ R6 sin(x + π4 ) cos x − cos(x + π4 ) sin x dx = 2 cos x cos(x + π4 ) 0 π

R6 sin(x + π4 sin x = − dx cos(x + π4 ) cos x 0 ! √

π 6

√ √ 3 √ = 2(− ln | cos(x + π4 )| + ln | cos x|)

= 2 ln 2 2 cos 5π 0 12 ! ! √ √ √ π π 2√ 3 3 √ √ − = − 2 ln VËy I = 5π 5π 2 6 6 2 2 cos 12 2 2 cos 12 Chó ý. Ph-¬ng ph¸p trªn cã thÓ ¸p dông cho c¸c tÝch ph©n d¹ng Rβ Rβ I = tan(x + a) cot(x + b)dx I = tan(x + a) tan(x + b)dx π

N

O

FF

IC IA L

R6

I=

α

cot(x + a) cot(x + b)dx

H

α

Ơ

α

Rβ

Y

N

2.3.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn

U

Còng nh- c¸c hµm kh¸c, ®æi biÕn còng lµ ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó tÝnh tÝch

Q

ph©n c¸c hµm l-îng gi¸c. Cô thÓ cã c¸c h-íng ®æi biÕn sau:

KÈ

M

Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n d¹ng I=

Zb

R(sin x, cos x)dx

a

ẠY

trong ®ã hµm R lµ hµm v« tû.

D

•

NÕu R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) th× sö dông phÐp ®æi biÕn t =

cos x •

NÕu R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) th× sö dông phÐp ®æi biÕn t =

sin x •

NÕu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) th× sö dông phÐp ®æi biÕn t =

tan x (cã thÓ lµ t = cot x) 35

•

Mäi tr-êng hîp ®Òu cã thÓ dïng phÐp ®æi biÕn t = tan x2

VÝ dô 5. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau π

a) I =

Z2

π

cos3 x sin2 xdx

b) I =

0

Z4

cos x + sin x √ dx 3 + sin x

0

IC IA L

Gi¶i a) Ta cã π

cos3 x sin2 xdx =

=

Z

(1 − sin2 x) cos x sin2 xdx

0

FF

0

Z2

π 2

(sin2 x − sin4 x) cos xdx

0

N

§Æt: t = sin x ⇒ dt = cos xdx

O

I=

π

Z2

π ⇒ t = 1. Khi ®ã 2

1 3 Z1 5

t t

= 2 I = (t2 − t4 )dt = − 3 5 0 15

Y

0

N

H

Ơ

§æi cËn: x = 0 ⇒ t = 0; x =

U

b) §Æt: t = sin x − cos x ⇒ dt = (cos x + sin x)dx

KÈ

M

Q

3 + sin 2x = 4 − (1 − sin 2x) = 4 − (sin x − cos x)2 = 4 − t2 π §æi cËn: x = 0 ⇒ t = −1; x = ⇒ t = 0. Khi ®ã 4 Z0 dt √ I= 4 − t2 −1

π π < u < ) ⇒ dt = 2 cos udu 2 2 π §æi cËn: t = −1 ⇒ u = − ; t = 0 ⇒ u = 0. Khi ®ã 6

0 Z0 Z0

2 cos udu cos udu π p = I= = u

= | cos u| 6 4 − 4 sin2 u − π6 π π

D

ẠY

§Æt: t = 2 sin u (−

−6

VÝ dô 6. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau π R2 dx a) I = 0 1 + cos x + sin x

−6

π

b) I =

R4 0

sin 4x dx 1 + cos2 x 36

Gi¶i a) §Æt x 1 1 2dt x ⇒ dt = (1 + tan2 )dx = (1 + t2 )dx ⇒ dx = 2 2 2 2 1 + t2 π §æi cËn x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1. Khi ®ã: 2 I=

Z1 1+ 0

2dt (1+t2 ) 1−t2 2t + 1+t 2 1+t2

=

Z1

2dt = 2 + 2t

Z1

0

0

IC IA L

t = tan

1

dt = ln |t + 1|

= ln 2 1+t 0

I=

2 sin 2x cos 2x 2x dx = 1 + 1+cos 2

4 sin 2x cos 2x dx 3 + cos 2x

0

N

0

π

Z4

O

π

Z4

FF

b) BiÕn ®æi I vÒ d¹ng

Y

N

H

Ơ

§Æt t = cos 2x ⇒ dt = −2 sin 2xdx π §æi cËn x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0. Khi ®ã: 4

0

0 0

R −2tdt R 3 1− = −2 dt = −2(t − 3 ln |3 + t|)

= 2 + 6 ln 34 I= 3+t 1 3+t 1 1

Q

U

2.3.3. Ph-¬ng ph¸p tõng phÇn

M

VÝ dô 7. TÝnh c¸c tÝch ph©n R1 a) I = x tan2 xdx

b)

Rπ

I = (x sin x)2 dx

0

0

KÈ

Gi¶i

D

ẠY

a) Ta biÕn ®æi I vÒ d¹ng

1 R R1 xdx R1 1 − 1 dx = − xdx = I1 + I2 I= x 2 cos2 x 0 0 cos x 0 R1 xdx +) TÝnh I1 = 2 0 cos x     du = dx u = x khi ®ã ⇒ §Æt   dx v = tan x dv = 2x cos

1

1

R1 I1 = x tan x

− tan xdx = (x tan x + ln | cos x|)

= tan 1 + ln(cos 1) 0

0

0

37

O

FF

IC IA L

1 1 x2

1 ⇒ I = tan 1 + ln(cos 1) − +) TÝnh I2 = = 2 0 2 2 π

π π R 2 1 − cos 2x R 2 1 R 2 1 dx = x dx − x cos 2xdx = (I1 − I2 ) b) Ta cã I = x 2 2 0 2 0

0 3 π 3 x

π +) TÝnh I1 = =

3 0 3 Rπ 2 +) TÝnh I2 = x cos 2xdx 0     du = 2xdx u = x2 khi ®ã ⇒ §Æt   v = 1 sin 2x dv = cos 2xdx 2

π Zπ Zπ

x2 I2 = sin 2x

− x sin 2xdx = − x sin 2xdx 2 0

Ơ

⇒

 dv = sin 2xdx

  du = dx

 v = − 1 cos 2x 2

khi ®ã

H

§Æt

  u = x

0

N

0

Y

N

π

π Zπ

1 x 1 π π I2 = cos 2x

− cos 2xdx = + sin 2x

= 2 2 2 4 2 0 0 0

U

π3 π − 3 2

D

ẠY

KÈ

M

Q

1 1 Suy ra I = (I1 − I2 ) = 2 2

38

2.4. TÝch ph©n cña c¸c hµm siªu viÖt ë d¹ng tÝch ph©n nµy, chóng ta còng cã thÓ sö dông c¸c ph-¬ng ph¸p c¬

b¶n sau ®Ó t×m nguyªn hµm råi ¸p dông c«ng thøc Newton - Leibnitz ®Ó x¸c

IC IA L

®Þnh tÝch ph©n 1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n 2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn

FF

3. Ph-¬ng ph¸p tõng phÇn

PhÇn c¬ së lÝ thuyÕt cña c¸c ph-¬ng ph¸p nµy ®· ®-îc tr×nh bµy ë ch-¬ng 1

O

phÇn 1.1.3. ë phÇn nµy chóng ta sÏ ¸p dông ®Ó tÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm

H

Ơ

N

sè d-íi dÊu tÝch ph©n. Sau ®©u chóng ta sÏ ®i cô thÓ tõng ph-¬ng ph¸p

N

2.4.1. BiÕn ®æi, sö dông c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n

R2 22x 3x I= dx x x 1 16 − 9

Q

U

Y

VÝ dô 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau R1 dx R1 dx b) I = a) I = 2x 2x x 0 e +3 0 e +e Gi¶i

D

ẠY

KÈ

M

a) Ta cã R1 dx 1 R1 e2x + 3 − e2x 1 R1 e2x = dx = dx (1 − 2x I= 2x 30 e2x + 3 30 e +3 0 e +3

1

1 R1 1 1 1 R1 d(e2x + 3) 2x

= = (x − ln(e dx − + 3))

2x 3 0 2 0 e +3 3 2 0 4 1 1 ] = − ln 2 3 6 e +3 b) Ta cã R1 dx R1 ex + 1 − ex R1 1 1 I= dx = )dx = ( − 2x + ex x (ex + 1) x x+1 e e e e 0 0 0 x x 1 R1 1 R e +1−e 1 ex )dx = ( x − 1 + x )dx = ( x− ex + 1 e +1 0 e 0 e

1

e−1 − e−1 = (−e−x − x + ln(ex + 1))

= ln 2 0 39

c) Chia c¶ tö vµ mÉu cho 9x ta ®-îc

1

1 1

= 4 ln

ln 2

dx = 1

Z2 1

4 2x

1 4 x 4d 3 ln 3

4 2x −1 3

Z2

1 = 4 ln 3

2

− 1 3

x = ln 7 − ln 5

4 2x ln 4 − ln 3 +1 1 3

3

1

d

4 x − 1 3

4 2x −1 3

2.4.2. Ph-¬ng ph¸p ®æi biÕn VÝ dô 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau √ Re 2 + ln x a) I = dx 2x 1 R1 (1 + ex )2 c) I = dx ex 0

π

IC IA L

I=

4 x 3

4 2x − 3

Z2

Gi¶i

N

O

FF

R4 etan x+2 b) I = dx 2x cos 0 Re ln xdx d) I = 2 1 x[(ln x) + 1]

dx x §æi cËn: x = 1 ⇒ t =√0;x = e ⇒ t = 1. Khi ®ã √ √

1

R1 2 + t 1p 3 3 − 2 2 I= dt = (2 + t)3

= 2 3 3 0 0 dx b) §Æt: t = tan x + 2 ⇒ dt = cos2 x π §æi cËn: x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 3. Khi ®ã 4

3 3

R t I = e dt = et

= e2 (e − 1)

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

a) §Æt: t = ln x ⇒ dt =

KÈ

c) §Æt: t = ex ⇒ dt = ex dx

2

2

§æi cËn: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e. Khi ®ã

D

ẠY

I=

Ze

(1 + t)2 dt = t t

1

Ze 1

e 2 1

1 1 (1 + + 2 )dt = (t + 2 ln t − ) = e + 2 − t t t 1 e

dx x §æi cËn: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1. Khi ®ã, ta cã: d) §Æt: t = ln x ⇒ dt =

I=

Z1 0

1 tdt = t2 + 1 2

Z1 0

1

1 dt2 2

= 1 ln 2 = ln(t + 1)

t2 + 1 2 2 0 40

2.4.3. Ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn §©y lµ mét trong nh÷ng ph-¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó tÝnh tÝch ph©n cña c¸c hµm siªu viÖt sau.

P (x)eαxdx

a

P ∈ R[x] (α ∈ R∗ ). Khi ®ã, ta ®Æt:

  u = P (x)

IC IA L

D¹ng 1. TÝnh I =

Rb

 dv = eαx dx αx

e

cos βxdx ( hoÆc I =

a

a

hoÆc

xα ln xdx

a

(α ∈ R\{−1}). Khi ®ã, ®Æt:

H

D¹ng 3. TÝnh I =

 dv = eαx dx

Ơ

 dv = eαxdx

  u = sin βx

O

  u = cos βx Rb

eαx sin βxdx ) víi α, β 6= 0

N

Khi ®ã, ®Æt

Rb

FF

D¹ng 2. TÝnh I =

Rb

U

Y

N

  u = ln x

 dv = xα dx

Q

VÝ dô 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau R1 a) I = x2 e−x dx

M

b)I =

R1

0

0

π 2

KÈ

R c) I = (x − 1) cos xdx

D

ẠY

a) §Æt

x ln(1 + x2 )dx

d) I =

0

R1

ex sin2 (πx)dx

0

Gi¶i   u = x 2

⇒

 dv = e−x dx

  du = 2xdx  v = −e−x

Khi ®ã, ta cã: I = −x2 e−x

1 Z1

+2 xe−x dx = − 1 + 2I1

e 0

(1)

0

41

R1

0

0

Thay vµo (1), ta ®-îc:

1

=1− 2

e 0

IC IA L

+) TÝnh I1 = xe−x dx 0     du = dx u = x ⇒ §Æt :   v = −e−x dv = e−x dx Khi ®ã, ta cã:

1

R1 1 I1 = −xe−x

+ e−x dx = − − e−x e

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

2 5 1 =2− I =− +2 1− e e e   2xdx   du = u = ln(1 + x2 ) 1 + x2 ⇒ b) §Æt   x2  dv = xdx v = 2 Khi ®ã, ta cã:

1

1 x3 dx 1

R R ln 2 x x2 ln(1 + x2 )

− − = x− dx I= 2 2 2 1 + x2 0 1+x 0 0 2

1

ln 2 x 1 1 = − − ln(1 + x2 )

= ln 2 − 2 2 2 2 0     du = dx u = x − 1 ⇒ c) §Æt   v = sin x dv = cos xdx

π

π π

2 R2

2 π − 4 π Khi ®ã, ta cã:I = (x − 1) sin x

− sin xdx = ( − 1) + cos x

= 2 2 0  0 0    du = 2π sin πx cos πxdx u = sin2 πx ⇒ d) §Æt   v = ex dv = ex dx

1

R1 Khi ®ã, ta cã: I = ex sin2 πx

−π ex sin(2πx)dx = −πJ R1

0

0

+) TÝnh J = ex sin(2πx)dx 0     u = sin(2πx) du = 2π cos(2πx)dx §Æt ⇒   dv = ex dx  v = ex

1

R1 x x

Khi ®ã, ta cã: J = e sin(2πx) −2π e cos(2πx)dx = −2πK 0

0

42

R1

0

IC IA L

+) TÝnh K = ex cos(2πx)dx 0     du = −2π sin(2πx)dx u = cos(2πx) ⇒ §Æt   v = ex dv = ex dx

1

R1 x x

Khi ®ã, ta cã: K = e cos(2πx) +2π e sin(2πx)dx = e − 1 + 2π 0

Suy ra J = −2πK = −2(e − 1 + 2πJ) = 2π − 2πe − 4π 2 J ⇒ J =

O

FF

2π − 2πe 2π 2 (e − 1) Suy ra I = −πJ = −π = 1 + 4π 2 4π 2 + 1

2π − 2πe 1 + 4π 2

|f (x, m)|dx. Ta cÇn xÐt dÊu cña biÓu thøc f (x, m)

Ơ

§Ó tÝnh tÝch ph©n I =

Rb

N

2.5. TÝch ph©n cña c¸c hµm chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

a

N

H

trªn ®o¹n [a, b] tõ ®ã chia ®o¹n [a, b] thµnh c¸c ®o¹n nhá

Y

[a, b] = [a, c1 ] ∪ [c1 , c2 ] ∪ · · · ∪ [ck , b]

Zc2

Q

I=

Zc1

U

mµ trªn mçi ®o¹n nhá ®ã th× f (x, m) cã mét dÊu. Khi ®ã |f (x, m)|dx +

c1

M

a

|f (x, m)|dx + · · · +

Zb

|f (x, m)|dx

ck

I=

D

ẠY

KÈ

Tæng qu¸t ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n Zb

[|f1 | ± |f2 | ± · · · ± |fn |]dx

a

VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n I =

R4

|x2 − 3x + 2|dx

−1

Gi¶i Ta cã b¶ng xÐt dÊu hµm sè y = x2 − 3x + 2 trªn ®o¹n [−1, 4] x f (x)

−1

1

2

4

+ 0 − 0 + 43

Khi ®ã ta cã

I=

Z1

Z2

(x2 − 3x + 2)dx +

−1

−(x2 − 3x + 2)dx +

1

Z4

(x2 − 3x + 2)dx

2

1

2

4 3 2 3 2

3x 3x 3x x x x + 2x)

−( − + 2)

+( − + 2x)

=( − 3 2 3 2 3 2 −1 1 2 19 = 2 2

VÝ dô 2. (C§SP TPHP) Cho I =

R3

IC IA L

3

|x2 − 2x + m|dx

FF

1

1) TÝnh I víi m = 1

O

2) TÝnh I theo m(m < −3)

N

Gi¶i

H

|x2 − 2x + 1|dx =

1

Z3

|(x − 1)2 |dx

1

Y

3 3 (x − 1)

=8 (x − 1)2 d(x − 1) =

3 3 1

U

=

Z3

N

I=

Z3

Ơ

1) Víi m = 1 ta cã

Q

1

2) §Æt g(x) = x2 − 2x + m xÐt trªn ®o¹n [1, 3]

KÈ

M

Suy ra g 0 (x) = 2x − 2 ⇒ g 0 (x) ≥ 0 ∀x ≥ 1 ⇒ g(x) ®ång biÕn trªn [1, 3] . Ta l¹i cã g(1) = m − 1 vµ g(3) = m + 3.

ẠY

V× m < −3 ⇒ m + 3 < 0 ⇒ g(x) < 0 ∀x ∈ [1, 3] nªn ta cã:

D

I =−

Z3

(x2 − 2x + m)dx = −

1

VÝ dô 3 TÝnh tÝch ph©n I =

R5

3

= − 6m + 2

3

x3 − x2 + mx 3

1

(|x + 2| − |x − 2|)dx

−3

Gi¶i Ta cã b¶ng xÐt dÊu cña (x + 2) vµ (x − 2) trªn ®o¹n [−3, 5] 44

x

−3

−2

x+2

−

x−2

−

2

0

5

+

+

− 0 +

VËy ta cã

−3

−2

−3

2

VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n I =

R1

IC IA L

2

−2

5 Z−2 Z2 Z5

I = −4dx + 2xdx + 4dx = −4x

+x2

+4x

= 8 −2

x|x − a|dx (a > 0)

0

FF

Gi¶i

2

x3 ax2 − 3 2

0

1

=a−1

2 3 0

N

x(x − a)dx = −

Ơ

I =−

Z1

O

+) Tr-êng hîp 1: NÕu a ≥ 1 th× x − a < 0, ∀x ∈ [0, 1] . Khi ®ã

2

Q M

KÈ

ẠY D

I=

a

a 3

1 ax

ax2

x a3 a 1 x −

+ 3 − 2

= 3 −2+2 3 2 0 a 3

VÝ dô 5. TÝnh tÝch ph©n I =

Ta cã

x(x − a)dx

U

0

Z1

N

=−

x(x − a)dx +

Y

I =−

Za

H

+) Tr-êng hîp 2: NÕu 0 < a < 1 th× ta cã:

R2

|x2 − (a + 1)x + a|dx theo a

1

Gi¶i

Z2

|(x − 1)(x − a)|dx =

1

Z2

(x − 1)|x − a|dx

1

+) NÕu a ≥ 2 ⇒ x − a ≤ 0 ∀x ∈ [1, 2] th× ta cã: I =−

Z2 1

(x − 1)(x − a)dx = −

Z2

(x2 − (a + 1)x + a)dx

1

2

3a − 5 x3 a + 1 2 − x + ax

= =− 3 2 6 1

45

+) NÕu 1 < a < 2 th× ta cã: I =−

Za

(x − 1)(x − a)dx +

Z2

(x − a)(x − a)dx

a

1

a 3

2

a+1 2 a + 1 x x 2 − x + ax

+ − x + ax

=− 3 2 3 2 1 a 3 3a − 5 (a − 1) − = 3 6 3

+) NÕu a ≤ 1 th× ta cã: (x − 1)(x − a)dx =

2

5 − 3a

=

6 1

x3 a + 1 2 − x + ax 3 2

FF

I=

Z2

IC IA L

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

1

46

IC IA L

Ch-¬ng 3

FF

Mét sè bµi tËp tr¾c nghiÖm

O

3.1. §Ò thi minh häa n¨m 2017.

N

H

Ơ

N

√ C©u 23. T×m nguyªn hµm cña hµm sè f (x) = 2x − 1 R R √ 2 1√ A. f (x)dx = (2x − 1) 2x − 1 + C B. f (x)dx = − 2x − 1 + C 3 3 R R √ 1√ 1 D. f (x)dx = 2x − 1 + C C. f (x)dx = (2x − 1) 2x − 1 + C 3 2 Rπ C©u 25. TÝnh tÝch ph©n I = cos3 x sin xdx

Y

0

1 A. I = − π 4 4

B. I = −π 4

U

Q

M

C©u 26. TÝnh tÝch ph©n I =

Re

D. I = −

1 4

x ln xdx

1

e2 − 2 B. I = 2

e2 + 1 C. I = 4

e2 − 1 D. I = 4

ẠY

KÈ

1 A. I = 2

C. I = 0

D

3.2. §Ò thi thö nghiÖm n¨m 2017.

C©u 22. T×m nguyªn hµm cña hµm sè f (x) = cos 2x R R 1 1 A. f(x)dx = sin 2x + C B. f (x)dx = − sin 2x + C 2 2 R R C. f (x)dx = 2 sin 2x + C D. f (x)dx = −2 sin 2x + C C©u 23. Cho hµm sè f(x) cã ®¹o hµm trªn ®o¹n [1; 2], f (1) = 1 vµ f (2) = 2.

47

TÝnh I =

R2

f 0 (x)dx

1

B. I = −1

C. I = 3

C©u 24. BiÕt F (x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm f (x) =

D. I =

1 vµ F (2) = 1. x−1

TÝnh F (3)

C©u 25. Cho

R4

B. F (3) = ln 2 + 1

f (x)dx = 16. TÝnh I =

R2

0

C. F (3) =

f (2x)dx

0

B. I = 8

D. F (3) =

7 4

C. I = 16

D. I = 4

O

A. I = 32

1 2

FF

A. F (3) = ln 2 − 1

7 2

IC IA L

A. I = 1

R4

Ơ

C. S = −2

H

B. S = 2

D. S = 0

N

A. S = 6

N

dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5. Víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn.

2 3 x +x TÝnh S = a + b + c

C©u 26. BiÕt

R2 dx b»ng x + 3 0

Q

C©u 19. TÝch ph©n

U

Y

3.3. §Ò thi tham kh¶o n¨m 2018.

M

16 225

KÈ

A.

R2

B. log

5 3

C. ln

5 3

D.

2 15

√ √ dx √ = a − b − c. Víi a, b, c lµ c¸c sè 1 (x + 1) x + x x + 1 nguyªn d-¬ng. TÝnh P = a + b + c

ẠY

C©u 32. BiÕt

D

A. S = 24

√

B. S = 12

C. S = 18

D. S = 46

C©u 50. Cho hµm sè f (x) cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0; 1] tháa m·n R1 R1 R1 1 f (1) = 0, [f 0 (x)]2 dx = 7, x2 f (x)dx = . TÝch ph©n f (x)dx b»ng 3 0 0 0 A.

7 5

B. 1

C.

7 4

D. 4 48

3.4. Một số bài tập khác 2

Câu 1: Cho tích phân I   2 x x 2  1dx . Khẳng định nào sau đây sai: 1 3

2 32 C. I  u 3

2 B. I  27 3

A. I   udu 0

3

D. I  3 3 0

IC IA L

Câu 2: Giá trị trung bình của hàm số y  f  x  trên  a; b , kí hiệu là m  f  được b

1 tính theo công thức m  f   f  x  dx . Giá trị trung bình của hàm số b  a a





2

2

0

0

Câu 4: Giả sử

1

4

0

1

O

N

 2

C. 7

4

0

N

4

U

4

 f ( x)dx   g( x)dx

Q 0

0 4

0

0



I2   2

M

Câu 5: Cho I1   2 cos x 3sin x  1dx 0

0

KÈ

Phát biểu nào sau đây sai?

14 A. I1  B. I1  I 2 9 khác

ẠY

4

 f ( x)dx  5

D.



D

4

 f ( x)dx   g( x)dx

B.

Y

  f ( x)  g  x   dx  1 0

D. 3

 f ( x)dx  2,  f ( x)dx  3,  g( x)dx  4 khẳng định nào sau đây là

sai ?

C.



Ơ

B. 5 

0 4



4

 f  x  dx  5 . Khi đó   f  x   2sin x .dx bằng:

A. 5  

A.

D.

H

Câu 3: Cho

1

C.

FF

f  x   sinx trên  0;  là: 2 3 B. A.  

sin 2 x dx (sinx  2) 2

3 3 C. I 2  2ln  2 2

D. Đáp án

 3

Câu 6: Cho tích phân I  

sin x

0 1  cos2 x 

2

dx và đặt

t  cosx . Khẳng định nào sau

đây sai: 

1 3 sin x dx A. I   4 0 cos 2 x

1

1 dt B. I   4 41t 2

1

1 C. I   t 3 12 1

D. I 

7 12

2

49

( x  1)d x

1

Câu 7: Cho



 a  b . Khi a  b bằng: x2  2 x  2 B. 1 C. 2

0

A. 5

x 1 1 x dx  e . Khi đó, giá trị của a là: e B. e C. 2

D. 3

a

2 1 e



Câu 9: Cho tích phân I   0

A.

2

sin x 1  2 cos x   2

B. 2

 a

D.

, với   1 thì I bằng: C. 2

D.



sin x

 sin x  cos x dx  4 . Giá trị của a là

Câu 10: Cho

2 1 e

IC IA L

A.

O

0

 2

FF

Câu 8: Cho

    B. C. D. 4 2 3 6 Câu 11: Giả sử A, B là các hằng số của hàm số f ( x)  Asin( x)  Bx 2 . Biết

Ơ

N

A.

2

H

 f ( x)dx  4 . Giá trị của B là

f '(1)  2 và

N

0

B. Một đáp số khác C. 2

A. 1

3 2

Y

5

D.

U

Câu 12: Tính tích phân: I   a  ab  3b là: A. 4

B. 1

C. 0

x 1 b dx  a ln  1 ? x2 c 1 C. a  b  2c  10 D. ab  c  1

KÈ

Câu 13: Khẳng định nào sau đây sai về kết quả B. ac  b  3

A. a.b  3(c  1)

D. 5

0

M

2

Q

1

2

dx được kết quả I  a ln3  b ln5 . Giá trị x 3x  1



1

x3 1 dx  0 x4  1 a ln 2 ?

C. a  4 D. a  2

ẠY

Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả

D

A. a  2

B. a  4

1

Câu 15: Cho f ( x) là hàm số chẵn và liên tục trên

thỏa mãn

 f ( x)dx  2 . Khi

1 1

đó giá trị tích phân

 f ( x)dx là: 0

A. 2

B. 1

C.

1 2

D.

1 4 50

5

Câu 16: Giả sử

dx

 2 x  1  a  lnb . Giá trị của a,b là ?

1

A. a  0; b  81

B. a  1; b  9

C. a  0; b  3

D. a  1; b  8

3ea  1 ?

Câu 17: Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả  x ln xdx  b 1 A. a.b  64 B. a.b  46 C. a  b  12 D. a  b  4 e

3

ea  1 Câu 18: Cho  e sin x d x  . Khi đó sin a  cos2a bằng b 0 A. 1 B. 2 C. 4 2

x

B. ln

a2 a 1

C. ln

3

a2 2  a  1

2

 f (t )dt , với t 

Ơ

1

1

C. f (t )  t 2  t

D.

và  enx 4 xdx  (e  1)(e  1) . Giá trị của n là 2

U

0

Y

Câu 21: Cho n

a2 2a  1

N

f (t )  2t 2  2t

D. ln

1  x . Khi đó f (t ) là

H

x Câu 20: Biến đổi  dx thành 1  1  x 0 hàm nào trong các hàm số sau?

A. f (t )  2t 2  2t B. f (t )  t 2  t

D. 0

FF

a2 2a  1

N

A. ln

dx 0 x  3x  2 là 2

O

Câu 19: Với a  2 , giá trị của tích phân sau

a

IC IA L



A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

3x 2  5 x  1 2 dx  a ln  b . Khi đó, giá trị của a  2b là: x2 3 1 B. 40 C. 50 D. 60

Q

0

KÈ

A. 30

M

Câu 22: Giả sử rằng I  

Câu 23: Biết tích phân

1

2x  3

 2  x dx = aln2 +b. Thì giá trị của a là: 0

D. 1

y y = f(x)

D

ẠY

A. 7 B. 2 C. 3 Câu 24: Cho đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [0;6] như hình vẽ.

O

2

4

6

x

51

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất:



1

0

f ( x)dx

B.

Câu 25: Biết rằng



2

0

f ( x)dx

C.



3

f ( x)dx

0

3

3

2

1

2

1

D.



6

0

f ( x)dx

 f ( x)dx  5;  f ( x)dx  3 . Tính  f ( x)dx ?

B. 2

A. 2

C. 1

D. 5

2

Câu 26: Tính tích phân sau: I   x a  x dx 0

8 A. Cả 3 đáp án trên B. 2a  3

1 3 8 a   2a 3 3

D.

8  2a 3

FF

C.

IC IA L

A.

3

1 0 9  x2 dx = a thì giá trị của a là 1 1 A. B. C. 6 12 6 4 1 Câu 28: Nếu  dx  ln  m  thì m bằng 3 x 1 x  2    4 A. 12 B. C. 1 3

O

Câu 27: Biết tích phân

N

H

Ơ

N

D. 12

0





U



dt

B.

Q

A.

1

Y

Câu 29: Bằng cách đổi biến số x  2sin t thì tích phân 6 0

C.

dt



D.

1

dx

0

4 x



2

là:



6 0

D.

tdt

3 4





3 0

dt t

ln m

KÈ

M

e x dx Câu 30: Cho A   x  ln 2 . Khi đó giá trị của m là: e  2 0 A. m = 0; m = 4 B. Kết quả khác C. m = 2 Câu 31: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: 

 1

ẠY

2 x A.  sin dx  2  sin xdx 2 0 0

D

1

B.  (1  x) x dx  0 0 1

1

C.  sin(1  x)dx   sin xdx 0

D. m = 4

D.

x

1

0

2007

(1  x)dx 

2 2009

0

Câu 32: Cho f ( x) là hàm số chẵn và

 f ( x)dx a chọn mệnh đề đúng

3

52

3

A.

3

 f ( x)dx   a

B.

 f ( x)dx 2a

3

C.

3

0

 f ( x)dx a

D.

3

0

 f ( x)dx a 3

0

0

2

 f  x dx  1 và f  x  là hàm số chẵn. Giá trị tích phân  f  x dx là: B. 1 e

Câu 34: Hàm số f ( x) 

C. -1

D. 2

2x

 t ln tdt

e

đạt cực đại tại x bằng

x

A.  ln 2 B. 0 C. ln 2 Câu 35: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? 

 1

0

0





2

A.  sin xdx   dx .

D.  ln 4

2

B.  sin xdx   cos tdt 0 



0



2 12 C.  sin xdx   sin  2 x  1 d sin  2 x  1 . D.  sin xdx   sin tdt .

80  0 0 4

Ơ

N

2

O

2

IC IA L

A. -2

FF

Câu 33: Cho

2

2

H

x 4

0

B. 18 1

dx  ln c . Giá trị của c là 2x  1 B. 8 C. 3

D. 81

Q

A. 9



5

D. 23

U

Câu 37: Giả sử

C. 13

Y

A. 8

N

Câu 36: Tích phân:  (3x  e ).dx = a + b.e. Khi đó a + 5b bằng



6

M

Câu 38: Cho I   sin n x cos xdx 

KÈ

0

A. 5

B. 3

1 . Khi đó n bằng: 64 C. 4

D. 6

a

ẠY

3 Câu 39: Biết  (4sin 4 x  )dx  0 giá trị của a  (0; ) là: 2 0

D

A. a 



B. a 

4

Câu 40: Tích phân 1  A. a     2 

a 2 0





2

x dx bằng ax  2 B. a    4 

C. a 



8

1  C. a     2 

D. a 

 3

  2 D. a    4 

53



Câu 41: Cho tích phân I   2 sin 2 x.esin x dx :.một học sinh giải như sau: 0

x 0t 0 Bước 1: Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận:

x

 2

 t 1

1

 I  2 t.et dt .

0

 u t du  dt Bước 2: chọn   t t dv  e dt  v  e 1

1

1

1

0

0

0

0

IC IA L

  t.et dt  t.et   et dt  e  et  1 1

Bước 3: I  2 t.et dt  2 .

0

A. 5

2

0

0

 f ( x)dx  10 , thì  f (2 x)dx bằng: C. 19

D. 9

N

B. 29

O

Câu 42: Nếu f ( x) liên tục và

4

FF

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Bài giải trên sai từ bước 1.

B. Bài giải trên sai từ bước 2.

C. Bài giải trên hoàn toàn đúng.

D. Bài giải trên sai ở bước 3.

3

0

3

2

N

2

H

(I). I    2 x  4  dx    2 x  4  dx 0 3

Ơ

Câu 43: Cho tích phân I   2 x  4 dx , trong các kết quả sau:

2

(II). I    2  4  dx    2 x  4  dx

Y

x

0

U

2

3

2

Q

(III). I  2  2 x  4  dx

M

kết quả nào đúng?

A. Chỉ II.

B. Chỉ III.

C. Cả I, II, III.

D. Chỉ I.

KÈ



4

2 , khi đó, giá trị của a  b là: 2 0 1 3 1 3 B. C.  D. A.  6 5 5 10 Câu 45: Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b]. Các kết quả sau, câu nào đúng?

D

ẠY

Câu 44: Giả sử I   sin 3x sin 2 xdx  a  b

b

A.

 a

b

f ( x) dx   f( x)dx

 a

B.

a

b

C.

b

c

f ( x) dx 

a

b

a

c

f ( x) dx   f( x) dx   f( x) dx

b

 f( x) dx   f ( x)dx a



c

D. A, B, C đều đúng

a

54

Câu

46:

Khẳng

định

nào

sau

đây

sai

về

kết

quả



 1 (2 x  1  sin x ) dx      1 ? 0  a b A. a  2b  8 B. a  b  5 2

C. 2a  3b  2

D. a  b  2

2 x 2  ln x ln 2 2 , a là tham số. Giá trị của tham số a là.

Câu 47: Biết  dx  3  x 2 1 A. 4 B. 2 C. -1 D. 3

IC IA L

a

 4

1 a dx  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

4 cos x 3 0 A. a là một số chẵn B. a là số lớn hơn 5 C. a là số nhỏ hơn 3 D. a là một số





1

2 x A.  sin dx  2  sin xdx 2 0 0

B.  e x dx  1 

N

0 1



5

D.  sin(1  x)dx   sin xdx 0

0

dx 1 2 x  1  ln c . Giá trị đúng của c là: B. 3 C. 81

Y

A. 9

1

N

Câu 50: Giả sử

1 e

H

    C.  sin  x   dx   cos  x   dx 4 4   0 0

Ơ



O

lẻ Câu 49: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

FF

Câu 48: BIết: 



U

2

D. 8

 2

Q

Câu 51: Cho hai tích phân I   sin xdx và J   cos 2 xdx . Hãy chỉ ra khẳng định 0

0

B. I  J D. Không so sánh được

KÈ

M

đúng: A. I  J C. I  J

2

3

Câu 52: Cho tích phân I 

ẠY

2 3

1

2

t dt A. I    2 t 1 2

D



1  x2 dx . Nếu đổi biến số t  x2 3

2

t dt B. I   2 t 1 2

2 3

tdt C. I   2 t 1 2

x2  1 thì x 3

tdt t 1 2

D. I  

2

2

Câu 53: Cho I   2 x x 2  1dx và u  x 2  1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng 1

định sau: 3

A. I   udu 0

2

B. I   udu 1

2 32 C. I  u 3

3

D. I  0

2 27 3 55

a

1 Câu 54: Biết  sin x cos xdx  . Khi đó giá trị của a là 4 0   2  A. B. C. D. 2 4 3 3 1 dx Câu 55: Một học sinh tính tích phân I   tuần tự như sau: 1  ex 0 1

IC IA L

e x dx (I). Ta viết lại I   x x 0 e 1  e  e

e e e du du du (II). Đặt u  e thì I       ln u  ln 1  u  1 u (1  u ) 1 u 1 1  u 1 e (III). I  ln e  ln(e  1)  ln1  ln 1  1  ln e 1 Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?

A. III B. I C. II D. Lý luận đúng. b

a

c

c

 f ( x)dx  2,  f ( x)dx  3 với a  b  c thì  f ( x)dx bằng?

Ơ

Câu 56: Giả sử

b

N

O

FF

x

C. 1

H

B. 1

A. 5

a

D. 5

Câu 57: Hàm số y  tan 2 x nhận hàm số nào dưới đây là nguyên hàm?

1 B. tan 2 x  x C. tan 2x  x D. A. 2tan 2x  x 2 1 tan 2 x  x 2 e2016 1 Câu 58: Tích phân  cos(ln x).dx =   m.e2016 . Khi đó giá trị m: 2 1 1 A. m   B. m  1 C. m  2 D. m  1 2

KÈ

M

Q

U

Y

N

2



ẠY

Câu 59: Với a  0 . Giá trị của tích phân

D

A.

 a2

B. 1

Câu 60: Cho  e3 x d x  0

A. a  b

 2

2a

 x sin  ax  dx là 0



1 a2

C.

1 a2

D.

 a

2



 2a

ea  1 . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng b B. a  b C. a  b D. a  b t

Câu 61: Với t thuộc (-1;1) ta có

x 0

dx 1   ln 3 . Khi đó giá trị t là: 1 2

2

56

B. 

A. 1/3 Câu 62: Nếu A. 2

1 3

D. 1/2

C. 0

d

d

b

a

b

a

 f ( x)dx  5 ;  f ( x)dx  2 , với a  d  b thì  f ( x)dx bằng: B. 3

C. 8

D. 0



Câu 63: Tính I   (2 x  1)sin 2 xdx .

0

Lời giải sau sai từ bước nào: Bước 1: Đặt u = 2x + 1; dv = sin2xdx Bước 2: Ta có du = 2 dx; v = cos2x  



2

IC IA L

2



FF

Bước 3: I  (2 x  1)cos 2 x |02   2cos 2 xdx  (2 x  1)cos 2 x |02 2sin 2 x |02 Bước 4: Vậy A. Bước 4

O

0

B. Bước 3

C. Bước 2

b

D. Bước 1

Ơ

N

Câu 64: Biết   2 x  4 dx  0 , khi đó b nhận giá trị bằng: 0

2x  1 1 x  1 dx  a  b ln 2 . Tổng của a  b bằng: B. 7 C. -3

Y

N

3

Câu 65: Tích phân A. 1.

U

1



2x

2 a a  x 

2

a2  1 B. a  a  1

D. 2

dx có giá trị là

C.

a 1 a  a  1

D.

a 1 a 1

KÈ

M

Q

Câu 66: Với a  0 . Tích phân 1 A. a

D. b  0 hoặc

H

A. b  1 hoặc b  4 B. b  0 hoặc b  2 C. b  1 hoặc b  2 b4

ẠY

Câu 67: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? dx A.   2 1  x2  C 2 1 x

D

B. Nếu

C.

b

 f  x  dx  0 thì f  x   0,  x a;b a

b

c

b

a

a

c

 f  x  dx   g  x  dx   f  x  dx với mọi a, b, c thuộc TXĐ của f  x 

D. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f  x

F  x  là nguyên hàm của hàm số

57

1

Câu 68: Cho biết I   0

trị của a  b là A. 11

4 x  11 a dx  ln , với a, b là các số nguyên dương. Giá x  5x  6 b 2

B. 12

C. 10

D. 13

 2 dx Câu 69: Cho I   , J   4  sin 4 x  cos 4 x  dx và K    x 2  3x  1 dx . 1 0 3x  1 0 63 ?

Tích phân nào có giá trị bằng 6 A. I B. K C. J D. J và K 9

9

0

0

0

 f ( x)dx  37 và  g( x)dx  16 thì   2 f ( x)  3g( x) dx bằng: B. 74

Câu 71: Nếu A. 1

C. 48

2

3

3

1

2

1

 f ( x)dx  3 và  f ( x)dx  4 thì  f ( x)dx có giá trị bằng B. 1

C. 7

a  b  sin 2 x  b  f ( x) 

D. 12

N

Câu 72: Cho

D. 53

FF

A. 122

O

Câu 70: Nếu

9

IC IA L

1

1

U

Y

N

H

Ơ

với a,b là các số thực. Tìm nguyên hàm F(x) sin 2 x   1     của f(x) biết F    ; F    0; F    1 4 2 6 3 3 1 3 1 A. F  x   B. F  x    tanx-cotx    tanx+cotx   4 2 4 2 3 1 3 1 C. F  x   D. F  x    tanx-cotx    tanx+cotx   4 2 4 2

Q

dx  a ln 2  b ln 5  c . Khi đó a  2b  4c bằng 3  x 0 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Câu 74: Tính các hằng số A và B để hàm số f ( x)  Asin  x  B thỏa mãn đồng

x

5

KÈ

M

Câu 73: Cho

ẠY

thời các điều kiện f '(1)  2 và

2

 f ( x)dx  4 0

D

2 2 A. A   , B  2 B. A  , B  2





A  2, B  2

C. A  2, B  2 D.

2

Câu 75: Tìm a sao cho I   [a 2 +(4 - a)x + 4x 3 ]dx = 12 1

A. Đáp án khác

B. a = - 3

C. a = 5

D. a = 3

58

3

Câu 76: Giả sử k  0 và

dx



x k

0

A.

3

 ln(2  3) . Giá trị của k là

2

C. 2 3

B. 2

D. 1

1

Câu 77: Biết rằng tích phân  (2 x  1)e x dx  a  b.e , tích ab bằng: 0

B. -1

C. -15

D. 5 

IC IA L

A. 1

3 cot x 3 cot x 4    Câu 78: Biết rằng x   ;  thì dx. Kết luận   . Gọi I   x x   4 3  4

B.

1 1 I 4 3

C.

1 1 I 5 4

m

  2 x  5.dx  6 0

C. m  1, m  6

N

B. m  1, m  6

Ơ

A. m  1, m  6 m  1, m  6

D.

O

Câu 79: Tìm m biết

3 1 I 12 3

FF

nào sau đây là đúng ?

3 1 I A. 12 4

D.



Câu 80: Nếu đặt t  cos2 x thì tích phân I    2sin 2 x  1 sin 4 xdx trở thành: 4

N

H

4

1

1 4 t dt 2 0

1 3 t dt 2 0

U

Y

B. I 

0

1

C. I   t 5dt 0

D. I 

3 2

 t dt 4

0

D

ẠY

KÈ

M

Q

A. I 

1 2

59

kÕt luËn vµ h-íng ph¸t triÓn cña ®Ò tµi

- Víi hai ch-¬ng cña ®Ò tµi, ®Ò tµi ®· gi¶i quyÕt ®-îc môc ®Ých vµ nhiÖm vô ®Æt ra ®ã lµ ®i nghiªn cøu, s-u tÇm tµi liÖu, nhÊt qu¸n ho¸ vµ tr×nh bµy c¬

IC IA L

së lý luËn, ph-¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng tÝch ph©n theo tõng lo¹i hµm sè. §Ò tµi còng ®· ®-a ra ®-îc c¸c vÝ dô minh ho¹, bµi tËp tr¾c nghiÖm ë ch-¬ng 3.

- Víi nh÷ng néi dung ®-îc tr×nh bµy trong ®Ò tµi, t«i mong muèn nã sÏ lµ

FF

mét tµi liÖu tham kh¶o h÷u Ých cho c¸c em häc sinh líp 12, c¸c em «n thi C§ - §H, vµ mäi ng-êi yªu thÝch vÊn ®Ò nµy.

O

- §Ò tµi kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®-îc

Ơ

N

nh÷ng ý kiÕn quý b¸u ®Ó ®Ò tµi ®-îc hoµn thiÖn h¬n.

H

x¸c nhËn cña

VÜnh T-êng, ngµy 20 th¸ng 12 n¨m 2018 T«i xin cam ®oan ®©y lµ SKKN cña m×nh viÕt, kh«ng sao chÐp néi dung cña ng-êi kh¸c.

H¹ Träng Liªn

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

thñ tr-ëng ®¬n vÞ

60

IC IA L

Tµi liÖu tham kh¶o [1] Th.s Lª Hång §øc. Ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n luyÖn thi §¹i häc, tËp

FF

8. NXB Hµ Néi, 2004.

[2] Nhãm GV chuyªn To¸n tr-êng THPT thµnh phè Hå ChÝ Minh. Ph©n lo¹i

O

vµ ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n tÝch ph©n. NXB trÎ, 2001.

Ơ

N

[3] Phan Huy Kh¶i. Giíi thiÖu c¸c d¹ng to¸n luyÖn thi §¹i häc phÇn II.

H

NXB Hµ Néi, 2002.

N

[4] Ng« Thóc Lanh (chñ biªn). SGK Gi¶i tÝch 12 (chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m

Y

2000). NXB GD.

Q

NXB GD. 2008.

U

[5] TrÇn V¨n H¹o (tæng chñ biªn) - Vò TuÊn (chñ biªn). SGK Gi¶i tÝch 12.

KÈ

M

[6] NguyÔn Xu©n Liªm. Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch tËp 1, 2. NXB GD, 2000.

D

ẠY

[7] Bé GD vµ §T. §Ò thi minh häa n¨m 2017.

61