ĐỀ TÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG, ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG, ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

TN

Thực nghiệm

GV

Giáo viên

GVG

Giáo viên giỏi

HS

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi

THPT

Trung học phổ thông

THPT QG

Trung học phổ thông quốc gia

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

GTTĐ

Giá trị tuyệt đối

BBT

Bảng biến thiên

ĐTHS

Đồ thị hàm số

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

GD&ĐT

Giáo dục và đào tạo

CĐ

Cực đại

CT

Cực tiểu

MỤC LỤC Phần I: Mở đầu

1

1.1. Lý do chọn đề tài.

1

1.2. Mục đích nghiên cứu.

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4. Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

2

1.5. Phương pháp nghiên cứu.

2

1.6. Điểm mới của đề tài.

2

Phần II: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

4

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

4

2.1.1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối

4

2.1.2. Các phép biến đổi đơn giản

4

2.1.3. Các phép biến đổi đồ thị

4

2.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.

5

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

9

2.3.1. Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

9

2.3.1.1. Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

9

2.3.1.2. Nhận dạng đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

17

2.3.2. Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán liên quan đến cực trị hàm số.

19

2.3.3.Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ vào bài toán tương giao.

31

2.3.4.Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ trong một số bài toán khác.

44

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

48

2.4.1. Chọn bài thực nghiệm.

48

2.4.2. Cách thức tiến hành thực nghiệm sư phạm.

49

2.4.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

49

2.4.4. Hiệu quả của SKKN.

52

Phần III: Kết luận và kiến nghị.

53

1. Kết luận chung.

53

2. Kiến nghị.

53

Tài liệu tham khảo.

55

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài.

Từ năm học 2016 - 2017, trong kì thi THPT QG đề thi môn toán chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều đó đã tạo ra một sự chuyển biến đáng kể trong cách dạy và học ở các trường THPT. Để đạt được kết quả cao học sinh cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản, thuần thục các dạng toán và quan trọng hơn thế nữa phải linh hoạt, sáng tạo để chọn được cách giải quyết vấn đề tốt nhất.

Trong các đề thi THPT QG những năm gần đây không thể thiếu các câu hỏi về khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số. Đặc biệt những bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thường xuất hiện hàm hợp, trong số đó nhiều bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Những dạng toán này thường gây khó khăn cho cả người dạy và người học. Thực tiễn dạy học cho thấy khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu GTTĐ học sinh thường e ngại. Nhưng nếu học sinh được học tập đầy đủ có hệ thống, giáo viên xây dựng được một số dạng bài tập phù hợp thì các em sẽ có khản năng tốt hơn để giải bài tập toán. Đồng thời các em thấy hứng thú yêu thích môn học hơn, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông.

Trong quá trình giảng dạy ôn thi và làm đề tôi thấy rất nhiều bài toán khó về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bản thân tôi đã rút ra được những phương pháp chung để giải quyết một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tôi đã viết thành SKKN "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng".

Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải bài tập liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ngoài ra góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh.

Các đề thi THPT QG, đề tham khảo của bộ, đề thi thử THPTQG của các tỉnh, các trường trong những năm gần đây thì xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đề tài này cung cấp cho học sinh một số phương pháp để giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cung cấp cho giáo viên thêm một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giải quyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này, góp phần nâng cao kết quả dạy học, ôn thi THPT QG. 1.2. Mục đích nghiên cứu.

Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và một số bài toán liên quan. Đồng thời rèn luyện cho HS kĩ năng giải và trình bày các dạng toán này, góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh.

1

Cung cấp tài liệu cho giáo viên và học sinh nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi THPT QG và chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của đề tài tập trung chủ yếu vào kiến thức về đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải một số dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1.4. Cơ sở nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

Trong thực tiễn giảng dạy về hàm số ta hay gặp bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nếu người giáo viên có thể hệ thống được ngắn gọn nhưng đầy đủ lý thuyết. Đồng thời xây dựng được hợp lí các phương pháp áp dụng lí thuyết đó vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này, từ đó khơi dậy khản năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán, gây hứng thú, đam mê học tập cho các em. Để nghiên cứ đề tài này tôi đã nghiên cứu các tài liệu viết về hàm số và đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng như các dạng toán liên quan thường xuất hiện trong các đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ, đề thi thử của các trường. Có rất nhiều vấn đề liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tuy nhiên trong giới hạn của đề tài tôi chỉ tập trung nghiên cứu về một số dạng liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó.

1.5. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã sử dụng các phương pháp sau:  Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.  Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.  Phương pháp thống kê toán học.

Trên cơ sở phân tích kĩ chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kĩ đối tượng học sinh. Bước đầu mạnh dạn thay đổi từng tiết học, sau mỗi nội dung đều rút kinh nghiệm về kết quả thu được và đi đến kết luận.

Lựa chọn các bài tập phù hợp từ dễ đến khó, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán.

1.6. Điểm mới của đề tài.

Trong nhiều đề thi những năm gần đây thì những bài toán liên quan đến hàm hợp đặc biệt là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều. Vấn đề này đã gây không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập. Sáng kiến kinh nghiệm "Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng" bắt kịp xu thế đổi mới hình thức ra đề, thi cử, đổi mới hoạt động dạy học trong những năm gần đây, tạo thêm nguồn tài liệu cho giáo viên và học sinh 2

tham khảo. Đề tài của tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phương pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra. Đồng thời cập nhật được các bài tập mới nhất trong đề thi THPT QG, đề minh họa của bộ và trong các đề thi thử THPT QG của nhiều tỉnh thành trong cả nước. Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải học tập chuyên đề này.

Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết các em sau đó đã rất chủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của mình trong học tập. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong bồi dưỡng HSG, ôn thi THPT quốc gia cho HS khá giỏi, ôn thi GVG trường.

3

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

2.1.1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối.  Giá trị tuyệt đối của một số thực A, ký hiệu A là:  A khi A ≥ 0 A =  − A khi A < 0  Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A ( x ) , kí hiệu A(x) là:

khi A ( x ) ≥ 0  A( x ) A( x ) =   − A ( x ) khi A ( x ) < 0 2.1.2. Các phép biến đổi đơn giản.  Hai điểm M ( x; y ) và M ' ( x; − y ) đối xứng với nhau qua trục hoành .  Hai điểm M ( x; y ) và M ' ( − x; y ) đối xứng với nhau qua trục tung .  Hai điểm M ( x; y ) và M ' ( − x; − y ) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O .

Từ các phép biến đổi đơn giản này ta có:

2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị. y = f ( −x)

Lấy đối xứng đồ thị y = f ( x ) qua trục Oy .

y = − f ( x)

Lấy đối xứng đồ thị y = f ( x ) qua trục Ox .

y = − f (−x)

Lấy đối xứng đồ thị y = f ( x ) qua gốc tọa độ O .

y = f ( x ) + m với m > 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( 0, m ) (Dịch chuyển đồ thị theo phương Oy lên trên m đơn vị).

v y = f ( x ) − m với m > 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo ( 0, −m) (Dịch chuyển đồ thị theo phương Oy xuống dưới m đơn vị).

y = f ( x + n ) với n > 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( − n,0) (Dịch chuyển đồ thị theo phương Ox sang trái n đơn vị).

y = f ( x − n ) với n > 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( n,0) (Dịch chuyển đồ thị theo phương Ox sang phải n đơn vị). Đồ thị gồm 2 phần:

y= f ( x)

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) phía bên phải Oy . + Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) phía bên phải Oy .

4

Đồ thị gồm 2 phần:

y = f ( x)

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) phía trên Ox . + Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) phía dưới Ox .

y= f ( x)

Thực hiện liên tiếp biến đổi đồ thị y = f ( x ) thành đồ thị y = f ( x ) , sau đó biến đổi đồ thị y = f ( x ) thành đồ thị y = f ( x ) .

Đồ thị gồm 2 phần:

y = u ( x ) .v ( x ) với y = f ( x ) = u ( x ) .v ( x )

y = f ( x) + m

y = f ( x + m)

y= f ( x+m)

y= f ( x)+m

+ Phần 1: Phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên miền u ( x) ≥ 0 . + Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên miền u ( x ) < 0 .

V ẽ y = f ( x ) trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( 0, m ) .

Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( − m,0 ) (Tịnh tiến đồ thị sang trái m đơn vị nếu m > 0 hoặc phải m đơn vị nếu m < 0 ), sau đó lấy đối xứng qua trục Ox (Giữ nguyên phần trên Ox ,bỏ phần dưới Ox , lấy đối xứng phần bị bỏ qua trục Ox ).

Tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( − m,0 ) (Tịnh tiến đồ thị sang trái m đơn vị nếu m > 0 hoặc sang phải m đơn vị nếu m < 0 ), sau đó lấy đối xứng qua trục Oy (Giữ nguyên phần bên phải Oy , bỏ phần bên trái Oy , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua trục Oy ).

V ẽ y = f ( x ) trước sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số theo v ( 0, m ) (Tịnh tiến sang trái m đơn vị nếu m > 0 hoặc phải m đơn vị nếu m < 0 )

Hệ quả 1. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hệ quả 2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu.

Qua số liệu mà tôi đã thu thập được khi đi sâu khảo sát điều tra ở các trường THPT Thanh chương 1, THPT Thanh chương 3, THPT Cát Ngạn với 26 giáo viên và 250 em học sinh được khảo sát bằng phiếu thăm dò (Phiếu thăm dò ở phụ lục 1).  Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến giáo 26 giáo viên.

5

Số GV chọn phương án đưa ra.

Câu hỏi khảo sát 1. Trong quá trình dạy A. Có học thầy / cô có gặp khó B . Không khăn khi dạy kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan?

18 (69%)

2.Thầy / cô đã cho học A. Nhiều sinh của mình rèn luyện B. Vừa nhiều về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt C. Ít đối trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPTQG chưa?

3 (11,5%)

8 (31%)

4 (15,4%) 19 (73,1%)

3.Thầy / cô đã tham A. Rất nhiều. khảo được nhiều tài liệu B. Nhiều. hay về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt C. Ít đối và ứng dụng ?

D. Rất ít

3 (11,5%) 4 (15,4%) 9 (34,6%) 10 (38,5%)

Tổng hợp kế quả

Nhiều giáo viên gặp khó khăn khi dạy đến kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan?

Rất ít giáo viên đã cho học sinh của mình rèn luyện nhiều về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong quá trình dạy học. Ít giáo viên đã tham khảo được các tài liệu tham khảo hay về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

 Kết quả nhận được từ phiếu tham khảo ý kiến của 250 học sinh

Câu hỏi khảo sát 1.Khi gặp các bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối các em thấy như thế nào?

Số HS lựa chọn phương án đưa ra.

A. Rất khó.

128 (51,2%)

B. Khó.

91 (36,4%)

C.Bình thường

24 (9,6%)

D. Dễ

7 (2,8%)

2.Trong quá trình học A. Nhiều. tập các em đã được B. Vừa. rèn luyện nhiều về các bài tập liên quan C. Ít đến hàm số chứa dấu D. Rất ít

35 (14%) 52 (20,8%) 86 (34,4%) 77 (30,8%)

Tổng hợp kết quả Đa số các em học sinh thấy khó khăn khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Số các em đã được rèn luyện nhiều về các bài tập liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối chưa nhiều.

6

giá trị tuyệt đối chưa?

3. Khi học đến kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan em thấy như thế nào?

A. Rất thích.

5 (2%)

B. Thích

17 6,8%)

C.Bình thường.

38 (15,2%)

D. Không thích.

190 (76%)

4.Trong những năm A. Có gần đây bài toán về B. Không hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện nhiều trong các đề thi THPTQG, thi thử của các trường em có muốn được rèn luyện nhiều về nội dung này.

216 (86,4%) 34 (13,6%)

Đa số các em học sinh không mấy hứng thú khi học đến kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan.

Hầu hết các em mong muốn được học kiến thức về về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi biết những bài toán liên quan đến kiến thức này xuất hiện nhiều trong các đề thi THPTQG, thi thử của các trường.

Từ tổng hợp kết quả phiếu tham khảo ý kiến giáo viên và học sinh đã chỉ ra rằng :  Về phía học sinh.

Trong thực tế hiện nay khi gặp các dạng toán về “Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng” thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ việc nhận dạng cho đến cách xử lý nhất là những bài toán ở mức độ vận dụng cao.

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh khá e ngại khi không nắm được phương pháp giải toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế hơn nữa lại chưa được rèn luyện nhiều về phương pháp giải những dạng toán này. Các em không hứng thú khi giải những bài toán đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.  Về phía giáo viên.

Nhiều giáo viên gặp khó khăn trong quá trình giảng dạy kiến thức liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng. Nhiều giáo viên chưa dành thời gian dạy cho học sinh của mình một cách đầy đủ có hệ thống các kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.Đa số các thầy cô chưa tham khảo được các tài liệu hay đề cập đến vấn đề này.

Một thực tế nữa là trong các kì thi THPTQG, đề minh họa của Bộ GD&ĐT,đề thi thử của các tỉnh, các trường thì bài toán về “Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng” xuất hiện khá nhiều. Ví dụ như: 7

Đề thi minh họa THPT QG của Bộ GD&ĐT năm 2018 có câu: 4 3 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x − 4 x − 12 x + m có 7 điểm cực trị?

A. 3 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 4 . Đề Thi chính thức THPT QG năm học 2018 – 2019 có câu:

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3x ) = A. 3 .

B. 8 .

4 là: 3 D. 4 .

C. 7 .

Đề Thi THPT QG năm học 2019-2020 (Mã 101 – Lần 2) có câu:

Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0. Biết y = f ′ ( x ) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( x 3 ) − x là

A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D.3 . Đề thi thử của trường THPT Quế Võ – Bắc Ninh 2021 có câu:

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 2 ) điểm cực trị của hàm số f ( x ) là A. 5 .

B. 1.

2019

(x

2

C. 2 .

− x − 2)

2020

( x + 3)

3

. Số

D. 3 .

Để giải được những bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải được cung cấp hệ thống lí thuyết và phương pháp cụ thể. Đồng thời hướng dẫn HS biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải quyết các bài toán.

8

Chính những điều đó đã thôi thúc tôi nghiên cứu và áp dụng nội dung chủ đề dạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học, ôn thi THPTQG. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2.3.1.1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để vẽ đồ thị của hàm số chứa dấu GTTĐ ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.Phân tích hàm đã cho thành các phần không chứa dấu GTTĐ (Dạng hàm cho bởi nhiều công thức).

Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại. *Các kiến thức liên quan 1.Định nghĩa GTTĐ:  A khi A ≥ 0 A = − A khi A < 0 2. Định lý cơ bản: B ≥ 0 A =B⇔ A = ± B 3.Các phép biến đổi đồ thị cơ bản.

Dạng 1: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) vẽ đồ thị ( C ') : y = f ( x ) .  f ( x ) khi x ≥ 0 . y = f ( x) =  − f ( x ) khi x < 0

Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) :

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Bước 2: + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm phía trên trục hoành (cả những điểm nằm trên trục hoành). + Lấy đối xứng với phần đồ thị ( C ) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 3 có đồ thị như hình vẽ.

Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 3 suy ra đồ thị ( C ') : y = f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 3 .

Đồ thị hàm số y = f ( x ) bao gồm: 9

+ Phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía

y

trên Ox (cả những điểm nằm trên Ox ). + Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới Ox qua Ox .

-1 O

- 3

1

3

Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:

x

y

Hãy

suy

ra

đồ

thị

hàm

số

y = x4 − 4 x2 + 3 ?

- 3 -1 O

1

3

x

Nhận xét: y = f ( x ) nên toàn bộ phần đồ thị ( C ′ ) đều nằm phía trên trục hoành.

Dạng 2:Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , suy ra đồ thị ( C ') : y = f ( x ) .  f ( x ) khi x ≥ 0 . y= f ( x)= f − x khi x < 0  ( )

Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) .

Bước 2: + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục tung (cả những điểm nằm trên trục tung). + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục tung qua trục tung.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = 2 + 3 x − x3 có đồ thị như hình vẽ. y

-1 O

2

x

10

3

Hãy suy ra đồ thị hàm số y = 2 + 3 x − x ?

Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài từ đồ thị ( C ) y = f ( x ) = 2 + 3 x − x 3 , suy ra đồ thị

( C ') y = f ( x ) = 2 + 3 x − x

3

.

3

Đồ thị hàm số y = 2 + 3 x − x bao gồm: + Phần ĐTHS y = 2 + 3 x − x3 nằm bên phải Oy (cả những điểm nằm trên Oy ). + Phần đối xứng với phần ĐTHS y = 2 + 3 x − x3 nằm bên phải Oy qua Oy .

Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ: ĐTHS y = 2 + 3 x − x3

ĐTHS y = 2 + 3 x − x

y

y

-1 O

2

x

-1 O

2

3

x

Nhận xét: y = f ( x ) là hàm số chẵn nên đồ thị ( C ′ ) nhận trục tung làm trục đối xứng.

Dạng 3: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) suy ra đồ thị ( C ') : y = f ( x ) .

Phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

 Cách 1: Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) .

Bước 2: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) vẽ đồ thị y = f ( x ) .

Bước 3: Từ đồ thị y = f ( x ) vẽ đồ thị y = f ( x ) .  Cách 2: Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) .

Bước 2: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) vẽ đồ thị y = f ( x ) .

Bước 3: Từ đồ thị y = f ( x ) vẽ đồ thị y = f ( x ) 11

3

2

Ví dụ 3. Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = x − 3 x + 4 x − 2 ?

Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , suy ra đồ thị ( C′) : y = f ( x ) .

Từ đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 x − 2  đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 4 x − 2  đồ thị 3

2

hàm số y = x − 3 x + 4 x − 2

Đồ thị hàm số 3

Đồ thị hàm số

2

y = x − 3x + 4 x − 2

3

3

y = x − 3x + 4 x − 2

y

x

1

O

Đồ thị hàm số

2

2

y = x −3 x + 4 x −2

y

y

2

2

O

1

x

-1 O

1

x

-2

Nhận xét: Đồ thị y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Dạng 4: Từ đồ thị ( C ) : y = u ( x ) v ( x ) , suy ra đồ thị ( C ') : y = u ( x ) v ( x ) . u ( x ) khi u ( x ) ≥ 0 u ( x) =   −u ( x ) khi u ( x ) < 0

Từ đó ta có phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = u ( x ) v ( x ) Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = u ( x ) v ( x ) .

Bước 2: + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm trên miền u ( x ) ≥ 0 . + Lấy đối xứng với phần đồ thị ( C ) nằm trên miền u ( x ) ≥ 0 qua trục hoành.

2 Ví dụ 4. Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = x −1 ( x − 4) ?

Hướng dẫn giải: Đây là dạng bài từ đồ thị ( C ) : y = u ( x ) v ( x ) , suy ra đồ thị ( C ') : y = u ( x ) v ( x ) ( x − 1) ( x 2 − 4 ) khi x ≥ 1  Ta có: x − 1 ( x − 4 ) =  2  − ( x − 1) ( x − 4 ) khi x < 1 2

(

)

Đồ thị hàm số y = x − 1 x 2 − 4 bao gồm: 12

(

)

+ Phần đồ thị hàm số y = ( x − 1) x 2 − 4 trên miền x ≥ 1 .

(

)

+ Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số y = ( x − 1) x 2 − 4 trên miền x < 1 qua Ox.

(

ĐTHS y = ( x − 1) x 2 − 4

)

2 ĐTHS y = x −1 ( x − 4)

y

y

-2

O

1

2

x

-2

O 1

2

x

Một số dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khác: y = f ( x ) + m , y = f ( x + m) , y = f ( x + m) , y = f ( x ) + m * Kiến thức liên quan: Phép tịnh tiến đồ thị Cho hàm y = f ( x ) có đồ thị (C), a > 0 . Đồ thị cần tìm Cách biến đổi

Minh họa

Tịnh tiến đồ thị theo v ( 0, a ) (C1 ) : y = f ( x) + a (Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Oy lên phía trên a đơn vị).

(C2 ) : y = f ( x) − a

Tịnh tiến đồ thị theo

v ( 0, −a ) (Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Oy xuống

phía dưới a đơn vị).

(C3 ) : y = f ( x + a)

Tịnh tiến đồ thị theo

v ( − a,0 ) (Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Ox qua trái

a đơn vị).

13

Tịnh tiến đồ thị theo v ( a,0 ) (C4 ) : y = f ( x − a) (Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương Ox qua phải a đơn vị). * Cách vẽ đồ thị hàm số:

y = f ( x ) + m , y = f ( x + m) , y = f ( x + m ) ,

y= f ( x)+m Hàm số Cách vẽ

y = f ( x ) + m Vẽ y = f ( x ) trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo v ( 0, m ) (Theo

y = f ( x + m)

phương Oy lên trên m đơn vị nếu m > 0 hoặc xuống dưới m đơn vị nếu m < 0 .

Tịnh tiến đồ thị theo v ( −m,0) (Theo phương Ox sang trái m đơn vị

y= f ( x+m)

nếu m > 0 hoặc sang phải m đơn vị nếu m < 0 ), sau đó lấy đối xứng qua trục hoành. (Giữ nguyên phần trên Ox , bỏ phần dưới, lấy đối xứng phần bị bỏ qua trục Ox ).

Tịnh tiến đồ thị theo v ( −m,0) (Tịnh tiến đồ thị theo phương Ox qua

trái m đơn vị nếu m > 0 hoặc sang phải m đơn vị nếu m < 0 ), sau đó lấy đối xứng qua đường thẳng x = − m ( Giữ nguyên phần bên phải đường thẳng x = − m , bỏ phần bên trái đường thẳng x = − m , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x = − m ).

y = f ( x ) + m Vẽ y = f ( x ) trước, sau đó tịnh tiến đồ thị theo v ( 0, m ) (Tịnh tiến

Ví dụ 5:

theo phương Oy lên trên m đơn vị nếu m > 0 hoặc xuống dưới m đơn vị nếu m < 0 .

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. y 2

-2

-1 O

1

x

-2

Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) + 1.

Hướng dẫn giải: 14

Đồ thị hàm số y = f ( x ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành; lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

Đồ thị hàm số y = f ( x ) + 1 là tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) lên trên theo phương Oy 1 đơn vị.

-2

y

y

2

2

-1 O

1

-2

x

-1 O

y 3 1

1

x

-2

-2

ĐTHS y = f ( x )

-1 O

1

x

ĐTHS y = f ( x ) + 1

ĐTHS y = f ( x )

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số y = f ( x ) + m .

Ví dụ 6:

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ: y

2 -1 O

1

x

-2

Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + 2 ) .

Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = f ( x + 2 ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách tịnh tiến đồ thị qua trái 2 đơn vị.

Đồ thị hàm số y = f ( x + 2 ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x + 2 ) bằng cách Giữ nguyên phần bên phải đường thẳng x = −2 , bỏ phần bên trái đường thẳng x = −2 , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua đường thẳng x = −2 .

15

y

y

y

2

2

2

-1 O

1

-3

x

-2 -1 O

x

1

-2

-2

ĐTHS y = f ( x )

ĐTHS y = f ( x + 2 )

-3

x

1

-2 -1 O -2

ĐTHS y = f ( x + 2 )

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số y = f ( x + m ) .

Ví dụ 7:

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ: y

-2

O

x

1

-4

Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) .

Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách tịnh tiến sang phải 2 đơn vị. Đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành. Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị nằm dưới trục hoành. y

-2

O

y

1

-4

x

O

y

1

2

4

ĐTHS y = f ( x )

ĐTHS y = f ( x − 2 )

4

x

O

1

2

3

ĐTHS y = f ( x − 2 )

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số y = f ( x + m ) .

Ví dụ 8:

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ với hai đường nét đứt là

hai đường tiệm cận: 16

y

2

O -1

-2

x

Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) + 1 .

Đồ thị hàm số y = f ( x )

Hướng dẫn giải: được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung. Sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. Đồ thị hàm số y = f ( x ) + 1 là tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) lên trên 1 đơn vị. y

y

y

1 -2

O -1

1 1

2

ĐTHS y = f ( x )

x

-2

O -1

2

ĐTHS y = f ( x )

x

O -1

1

2

x

ĐTHS y = f ( x ) + 1

Nhận xét : Đây là dạng đồ thị hàm số y = f ( x ) + m .

2.3.1.2 Nhận dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

x có đồ thị 2x + 1 như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào trong các đáp án dưới đây?

Ví dụ 1: (THPTNguyễn KhuyếnTPHCM 2020) Cho hàm số y =

17

y

y

1

1

x

Hình 1

A. y =

x .

2 x +1

x .

2 x +1

B. y =

C. y =

x .

2x + 1

x

Hình 2 x D. y = .

2 x +1

Hướng dẫn giải: Đồ thị hình 2 nhận được từ hình 1 bằng cách: giữ nguyên phần đồ thị nằm bên trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục hoành. Sau đó x xóa bỏ phần bên dưới trục hoành. Đây chính là đồ thị hàm số y = .

2x + 1 Chọn C. Nhận xét: Bài toán này từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) nên chỉ cần học sinh nắm được chất đồ thị hàm số y = f ( x ) là giải quyết được bài toán.

(

)

Ví dụ 2: (Đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2017) Hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 có đồ thị

(

)

như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = x − 2 x 2 − 1 ? y

x

y

y

y

y

x

x

x

x

Hình 1 A. Hình 1

Hình 2 B. Hình 2

Hình 3 C. Hình 3

Hình 4 D. Hình 4 18

Hướng dẫn giải: ( x − 2 ) ( x 2 − 1) , x ≥ 2  . Đồ thị gồm 2 phần: y = x − 2 ( x − 1) =  2 − x − 2 x − 1 , x < 2 )( )  ( +) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x ≥ 2 . +) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x < 2 qua trục Ox 2

(

)

Hình1 nhận vì đồ thị là hàm y = x − 2 x 2 − 1

Hình2 loại vì đồ thị là hàm y = ( x − 2 ) x − 1 ( x + 1)

(

)

Hình3 loại vì đồ thị hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 Hình4 loại vì đồ thị hàm y = ( x − 2 ) ( x 2 − 1)

Đáp án A. Nhận xét: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số y = u ( x ) v ( x ) .

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.

-2

-1 O

1

2 x

-4

Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. f ( x ) = − x3 + x 2 + 4 x − 4

B. f ( x ) = x3 − x 2 − 4 x + 4

C. f ( x ) = − x3 − x 2 + 4 x − 4

D. f ( x ) = x3 + x2 − 4 x − 4.

Hướng dẫn giải: Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra phần đồ thị bên phải trục Ox là đồ thị của hàm số y = f ( x ) , vậy hàm số y = f ( x ) là hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d , a > 0 .

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên chọn A. Nhận xét: Bài toán thuộc dạng đồ thị hàm số y = f ( x ).

2.3.2. Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào các bài toán liên qua đến cực trị của hàm số.

1. Kiến thức liên quan : 19

 Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ∈ ( a, b ) . a) f ( x ) đạt CĐ tại x0 ⇔ ∃h > 0, f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ S ( x0 , h ) \ { x0 } . b) f ( x ) đạt CT tại x0 ⇔ ∃h > 0, f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ S ( x0 , h ) \ { x0 } .

Chú ý: a) Điểm cực trị của hàm số; Giá trị cực trị của hàm số; Điểm cực trị của đồ thị hàm s ố. b) Nếu y = f ( x ) có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x0 ∈ ( a, b ) thì f ' ( x0 ) = 0 .

 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc K \ { x0 } ( h > 0 ) . a) f ' ( x ) > 0 trên ( x0 − h; x0 ) , f ' ( x ) < 0 trên ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm CĐ của f ( x) . b) f ' ( x ) < 0 trên ( x0 − h; x0 ) , f ' ( x ) > 0 trên ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm CT của f ( x) .

Định lí 2: Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trong ( x0 − h; x0 + h ) ( h > 0 ) . a) Nếu f ' ( x0 ) = 0 , f ' ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. b) Nếu f ' ( x0 ) = 0 , f ' ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

 Quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Quy tắc 1: 1) Tìm tập xác định.

2) Tính f ' ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định.

3) Lập bảng biến thiên.

4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2: 1) Tìm tập xác định.

2) Tính f ' ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) = 0 và kí hiệu xi là nghiệm.

3) Tìm f ' ( x ) và tính f '' ( x ) .

4) Dựa vào dấu của f '' ( x ) suy ra tính chất cực trị của xi .

Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

20

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

 f ( x ) khi f ( x ) ≥ 0 y = f ( x) =  . − f ( x ) khi f ( x ) < 0 Do đó, đồ thị ( C ′ ) : y = f ( x ) bao gồm: + Phần đồ thị ( C ) : y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành (cả những điểm nằm trên trục hoành). + Phần đối xứng với phần đồ thị ( C ) : y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Nếu hàm số y = f ( x ) có số cực trị không nằm trên trục hoành là m, số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là n. Khi lấy đối xứngphần đồ thị ( C ) : y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành thì tạo thêm những điểm cực trị mới tại giao điểm với Ox . Vậy số cực trị của hàm số y = f ( x ) là m + n .

Chú ý: Hàm số y = f ( x ) có số cực trị không nằm trên trục hoành là m , số cực trị nằm trên trục hoành là p .Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành là n .

Thì số cực trị của của hàm số y = f ( x ) là m + n − p .

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .  f ( x ) khi x ≥ 0 y= f ( x)=  f ( − x ) khi x < 0

Do đó, đồ thị ( C ') y = f ( x ) bao gồm: + Phần đồ thị ( C ) : y = f ( x ) nằm phía bên phải trục tung (cả điểm nằm trên trục tung). + Phần đối xứng với phần đồ thị ( C ) : y = f ( x ) nằm phía bên phải trục tung qua trục tung.

Vậy nếu thị hàm số y = f ( x ) có số cực trị dương là m thì hàm số y = f ( x ) lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được 2m cực trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục tung nữa ta được tổng cộng là 2m + 1 cực trị .

2. Các ví dụ minh họa.  Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) là m .

Bước 2: Tìm số giao điểm với trục hoành là n .

21

Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm số y = f ( x ) là m + n .

Ví dụ 1. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) biết hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hướng dẫn giải: Số cực trị không nằm trên trục hoành của hàm số y = f ( x ) là 3 .

Tìm số giao điểm cắt của đồ thị hàm y = f ( x ) với trục hoành là 4 .

Vậy số cực trị của y = f ( x ) là 3 + 4 = 7 .

Nhận xét : Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 2: (Trích đề tham khảo Bộ GD&ĐT 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m có 7 điểm cực trị?

B. 6

A. 5

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải:

y = f ( x ) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m Ta có: f ′ ( x ) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 2 . −∞ x 0 2 +∞ −1 0 + 0 + − − 0 f ' ( x) +∞

+∞

m

f ( x) m−5

m − 32

Do hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị không nằm trên Ox nên hàm số y = f ( x ) có

m > 0 ⇔0<m<5 4 điểm cực trị khi phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm ⇔  m − 5 < 0 Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m = 1;m = 2;m = 3;m = 4. Chọn C. Nhận xét : Đây là dạng toán liên quan đến số cực trị của hàm số y = f ( x ) . Ta vận dụng phương pháp tìm số số cực trị của hàm số y = f ( x ) để giải.

22

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2021) Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số h ( x ) = f ( sin x ) − 1 có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn [ 0;2π ] .

A. 7 .

B. 8 .

C. 5 .

D. 6 .

Hướng dẫn giải: Xét hàm số g ( x ) = f ( sin x ) − 1 .

sin x = 1 f ( sin x ) − 1 = 0 ⇔ f ( sin x ) = 1 ⇔  sin x = α  Phương trình sin x = 1 cho một nghiệm x =

π 2

1  0 <α <  2  thuộc đoạn [ 0;2π ] .

Phương trình sin x = α cho 2 nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] .

Ta tìm số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( sin x ) − 1 .

cos x = 0  f ′ ( sin x ) = 0

Ta có: g ′ ( x ) = cos xf ′ ( sin x ) , g ′ ( x ) = 0 ⇔ cos xf ′ ( sin x ) = 0 ⇔ 

π  x = + kπ   cos x = 0 2   π 1 ⇔  x = + k 2π . ⇔ sin x =  6  2  sin x = 2 ( l ) 5π  x = + k 2π  6  π π 5π 3π  Vì x ∈ [ 0;2π ] , suy ra: x ∈  ; ; ;  . 6 2 6 2  Hàm số g ( x ) = f ( sin x ) − 1 có một điểm cực trị x =

π 2

thuộc trục hoành .

23

Vậy hàm số h ( x ) = f ( sin x ) − 1 có 6 điểm cực trị. Chọn D.

Nhận xét: Trong bài toán trên thì để tìm được số cực trị của hàm số y = h ( x ) đòi hỏi phải tìm được số cực trị của hàm số y = g ( x ) và số giao điểm của ĐTHS y = g ( x ) với trục hoành. Bài toán đòi hỏi HS nắm vững phương pháp sự linh hoạt trong quá trình giải.

Ví dụ 4: (Thi thử Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x3 − 2 x 2 x3 − 2 x với mọi x ∈ ℝ . Hàm số f (1 − 2018 x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

(

)(

)

A. 9 .

B. 2018.

C. 2022 .

D. 11 .

Hướng dẫn giải:

(

)

Ta có f ′ ( x ) = x3 ( x − 2 ) x 2 − 2 = 0 có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y = f ( x ) có 4 cực trị. Suy ra f ( x ) = 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt.

Do đó y = f ( x ) có tối đa 9 cực trị. Số cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng số cực trị của hàm số y = f (1 − 2018 x ) . Vậy hàm số y = f (1 − 2018x ) có tối đa 9 cực trị.

Nhận xét: Đây là dạng toán liên quan đến phép tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm số y = f ( x ) và số cực trị của hàm số y = f ( x ) . Để giải được bài toán này thì ngoài việc nắm được phương pháp tìm cực trị thì HS cần nắm được các phép biến đổi đồ thị.

Ví dụ 5: (Thi THPTQG2020 lần 2 - Mã 101) Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0. Biết y = f ′ ( x ) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f ( x 3 ) − x là

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Hướng dẫn giải:

( ) Có h ' ( x ) = 3x f ' ( x ) − 1 Xét h( x) = f x3 − x 2

3

24

h′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 f ′ ( x 3 ) − 1 = 0 ⇔ f ′ ( x 3 ) =

1 3x 2

( x ≠ 0 ) (1)

Đặt x3 = t  x2 = 3 t 2 phương trình (1) trở thành: 1 f ′(t ) = (t ≠ 0) ( 2) 33 t2 1 Vẽ đồ thị hàm y = trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y = f ′ ( x ) .

3 2 3 x

Dựa vào đồ thị ta có:

x = 3 b < 0  x3 = b < 0 t = b < 0 f ′(t ) = ⇔ ⇔ 3 ⇔ 33 t2 t = a > 0  x = a > 0  x = 3 a > 0 Bảng biến thiên 3 3 x b a −∞ 0 + 0 0 − − h '( x ) 1

+∞ +

f ( b) − 3 b h( x)

+∞ 0

f ( a) − 3 a

−∞ f ( b) − 3 b

g ( x) = h( x) = f ( x3 ) − x

0

− f ( a) + 3 a 0

0

25

Dựa vào BBT ta thấy hàm số g ( x) = f ( x3 ) − x có 5 điểm cực trị. Chọn A.

Nhận xét: Đây là bài toán tìm số cực trị của hàm số y = h ( x ) . Nhưng việc lập

được bảng biến thiên của h ( x ) khá phức tạp đòi hỏi học sinh linh hoạt và sáng tạo trong việc giải toán.

 Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Bước 1: Tìm số cực trị dương của hàm số y = f ( x ) là m .

Bước 2:Kết luận số cực trị của y = f ( x ) là 2m + 1.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

x f '( x )

−∞

−1 −

0

+

+∞

1 0

+∞ −

5

f ( x) −∞

0 Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = f ( x ) có 1 cực trị dương nên hàm số y = f ( x ) có 2.1 + 1 = 3 cực trị.

Nhận xét: Khi áp dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x) bài toán rất đơn giản.

Ví dụ 2: (Thi thử THPT Quế Võ – Bắc Ninh 2021).

2020 2019 3 x2 − x − 2 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 3) .

(

)

Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) là: A. 5 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải:

Biến đổi: 2019 2020 2020 3 4039 2020 3 f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) = ( x − 2 ) ( x + 1) ( x + 3) Hàm số f ( x ) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương là x = 2  Hàm số f ( x ) có 2.1 + 1 = 3 điểm cực trị.Chọn D.

Ví dụ 3: (THPT Kinh Môn Hải Dương lần 2- 2021) 26

Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình dưới.

Hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 .

B. 7 .

C. 3 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải: Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)  Hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Hàm số y = f ( x ) là hàm chẵn  Đồ thị hàm số gồm hai phần: Phần nằm bên phải trục Oy của đồ thị hàm số y = f ( x ) và phần đối xứng với phần này qua trục Oy Đồ thị hàm số y = f ( x ) có dạng như hình dưới:

Hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị  Hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2021 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chọn A.

Nhận xét: Đây là bài toán kết hợp phép tịnh tiến đồ thị và bài toán tìm cực trị của hàm tuy nhiên bài toán chỉ cho đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) nên việc phát hiện số cực trị dương của đồ thị hàm số y = f ( x ) đòi hỏi phải linh hoạt khi quan sát đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) .

Ví dụ 4: ( Thi thử THPTGia Bình 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau.

27

x −∞ y’ y

−2

+

0 6

+∞

4 0

−

+ +∞

−∞

2

Hàm số y = f ( x − 3 ) có bao nhiêu điểm cực trị

A. 5

B. 6

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Hàm số f ( x − 3) có BBT:

x

−∞

y’ y

−5

+

+∞

1

0

0

−

+ +∞

6

−∞

2

Hàm số f ( x − 3) có một cực trị dương nên hàm số y = f ( x − 3 ) có 3 cực trị.

Nhận xét : Bài toán kết hợp phép tịnh tiến đồ thị và bài toán tìm cực trị hàm số y = f ( x ).

Ví dụ 5: (Thi thử THPT Kinh Môn - 2018) Cho hàm số y = f ( x) = x3 − (2m − 1) x 2 + (2 − m) x + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị.

A.

5 < m ≤ 2.

4

B. −2 < m <

5 .

4

5 C. − < m < 2 .

4

D.

5 < m < 2.

4

Hướng dẫn giải: Ta có: y ' = 3x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 2 − m Hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f ( x ) có hai cực trị dương.

 2 ( 2m − 1) − 3( 2 − m ) > 0  4m 2 − m − 5 > 0 ∆ > 0   1  2 ( 2m − 1) 5   >0 ⇔ m > ⇔ <m<2 ⇔ S > 0 ⇔  3 2 4   P > 0  2 − m m < 2  3 > 0 Nhận xét: Sử dụng phương pháp tìm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) bài toán đưa về tìm m để hàm số y = f ( x) có 2 cực trị dương sẽ trở nên đơn giản hơn.

28

Ví dụ 6: (Thi thử THPT Minh Khai 2019) Cho hàm số Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − x 2 + 2 x + 2019 . Biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) là: A.5

B. 3

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải: Chọn A

g′( x ) = 2 f ′( x ) − 2x + 2 , g′( x ) = 0 ⇔ f ′( x ) = x − 1

Đường thẳng y = x − 1 đi qua các điểm ( −1 ; − 2 ) , (1 ; 0 ) , ( 3 ; 2 )

Quan sát vào vị trí tương đối của hai đồ thị trên hình vẽ, ta có BBT của hàm số y = g′ ( x) như sau:

x g '( x )

−∞ −

−1

0

1

0

+

0

+∞

3 −

0

+

g(1)

g ( x)

g(0) g(-1)

g(3)

∗ Đồ thị hàm số y = g ( x ) nhận trục Oy làm trục đối xứng nên từ BBT trên ta suy ra BBT của hàm số y = g ( x ) như sau: 29

−∞

x g '( x )

−3 −

0

g( x )

−1

+

0

0

1 +

−

g(1)

0

3 −

0

+∞

+

g(1)

g(3)

g(0)

g(3)

Vậy hàm số y = g ( x ) có 5 điểm cực trị.

Nhận xét: Học sinh dễ dàng nhận ra dấu hiệu ban đầu của bài toán là tìm cực trị của hàm y = g ( x ) . Tuy nhiên việc lập được BBT của hàm số y = g ( x ) đòi hỏi học sinh phải tìm được cực trị của hàm số y = g ( x ) dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x ) .

Ví dụ 7: (HSG 12 - Sở GD&ĐT Quảng Nam 2019) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ℝ , đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong ở hình vẽ. Hỏi hàm số 2 h ( x ) = [ f ( x ) ] − 4 f ( x ) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

y 2

-1 O

1

2

x

-2 A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 7 .

Hướng dẫn giải: 2

Đặt g ( x ) = [ f ( x) ] − 4 f ( x ) + 1 .  x = a ( a > 2)  f ( x) = 2  Khi đó, g ′ ( x ) = 2 f ( x). f ′( x ) − 4 f ′ ( x ) = 0 ⇔  ⇔  x = −1  f ′( x ) = 0  x = 2 Do đó, ta có bảng biến thiên:

x −∞ y − y’ +∞

−1

0

+

2 0 13

−

a 0

+∞

+ +∞ 30

g(2) < 0

−3

Suy ra đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba điểm cực trị không nằm trên trục hoành và bốn giao điểm với Ox .

Vậy đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ( x ) có số cực trị là 3 + 4 = 7 .Chọn B

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 6 thì bài toán này gây khó khăn cho học sinh trong việc lập BBT của hàm số y = g(x) khi phải linh hoạt để tìm được các cực trị của hàm số y = g(x).

Ví dụ 8: (Thi thử THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ NỘI - 2021) 3 2 Cho hàm số f ( x) = x + mx + nx −1 với m, n là các tham số thực thỏa mãn m + n > 0 và 7 + 2( 2m + n) < 0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f x .

( )

A. 9

B. 5

C. 11

D. 2

Hướng dẫn giải:

 f ( x ) = x + mx + nx − 1  Giả thiết m + n > 0 .Suy ra 7 + 2 2m + n < 0 ( )  3

2

 f ( 0) = −1   f (1) = m + n > 0   f ( 2) = 7 + 2 ( 2m + n ) < 0  lim f ( x ) = +∞ x→+∞

 f ( 0) . f (1) < 0   f (1) . f ( 2) < 0  (với lại f ( x ) liên tục trên  f ( 2) < 0  lim f ( x ) = +∞ x→+∞

ℝ)

 f ( x ) = 0 có 3 nghiệm lần lượt là x1 ∈ ( 0;1) , x2 ∈ (1;2 ) , x3 ∈ ( 2; +∞ )

(do f ( x ) là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)

Như vậy đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.

Ta phác họa đồ thị y = f ( x ) như sau:

31

y

x

Từ đó suy ra đồ thị y = f ( x ) như hình bên dưới

y

Cuối cùng, đồ thị của hàm số y = f ( x ) như sau y

O

x

Kết luận, đồ thị hàm số y = f ( x ) có 11 điểm cực trị. Chọn C.

2.3.3. Ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào bài toán tương giao.

1.Kiến thức liên quan.

 Bài toán tương giao cơ bản.

– Giả sử hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) và hàm số y = g ( x ) thị là ( C2 ) .

– Khi đó hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) .

– Giả sử x1 , x2 ... nghiệm của phương trình thì giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là: 32

M 0 ( x 0 ; f ( x 0 ) ) ; M1 ( x1; f ( x1 ) ) ....

 Bài toán biện luận số nghiệm phương trình đơn giản.

Xét phương trình: F ( x, m ) = 0 (1) .

– Biến đổi (1) về dạng: f ( x ) = g ( m ) (2) – Khi đó (2) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: ( C ) : y = f ( x ) và d : y = g ( m ) (trong đó y = f ( x ) thường là hàm số đã được khảo sát và vẽ đồ thị, (d) là đường thẳng cùng phương với trục hoành).

– Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d) ta suy ra số nghiệm của (2), cũng là số nghiệm của (1).

 Biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) = m ( m ≥ 0 ) (1).

Cách 1: – Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) .

– Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: (C ) : y = f ( x) , ( d ) : y = m .

– Dựa vào đồ thị ( C ) , từ số giao điểm của ( C ) và ( d ) ta suy ra số nghiệm của (1).

Cách 2:  f ( x) = m – Biến đổi : f ( x ) = m ⇔  ( 2 ). f x = − m ( ) 

– Khi đó (2) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) : y = f ( x ) và 2 đường thẳng ( d1 ) : y = m, ( d 2 ) : y = −m.

đồ thị:

– Dựa vào đồ thị ( C ) , từ số giao điểm của ( C ) và ( d1 ) , ( d 2 ) suy ra số nghiệm của (2) cũng là số nghiệm của (1).

 Biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) = m ( 3) .

– Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) .

– Khi đó (3) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: ( C ) : y = f ( x ) và

( d ) : y = m.

– Dựa vào đồ thị ( C ) , từ số giao điểm của ( C ) và ( d ) ta suy ra số nghiệm của (3).

 Biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) = m ( m > 0 ) (4).

– Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) .

– Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: ( C ) : y = f ( x ) và ( d ) : y = m.

– Dựa vào đồ thị ( C ) , từ số giao điểm của ( C ) và ( d ) ta suy ra số nghiệm của (4).

33

2. Ví dụ minh họa:

 Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x ) Ví dụ 1: (THPT Tiên Du– Bắc Ninh2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trong hình vẽ bên.

Tìm m để phương trình f ( x ) =

đúng 2 nghiệm phân biệt.

A. m ∈ ( 0;1) ∪ ( 5; + ∞ ) .

B. m ∈ ( 0;2 ) ∪ (10; + ∞ ) .

C. m ∈{2;10} .

D. m ∈ (1;5 ) .

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta m có 2 m thấy, phương trình f ( x ) = có đúng 2 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  0 < 2 < 1 0 < m < 2 ⇔ . Chọn B.   m > 10 m > 5  2

Nhận xét : Bài toán khá đơn giản khi học sinh nắm vững phương pháp vẽ ĐTHS y = f ( x) .

Ví dụ 2: Cho hàm số Hướng dẫn giải: 3 2 y = ax + bx + cx + d , ( a ≠ 0 ) có đồ thị Tịnh tiến đồ thị hàm số đã cho theo véc tơ

như hình vẽ. u ( 2;0 ) ta thu được đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) như sau

Phương trình

f ( x − 2 ) = 3 có bao Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) 34

nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( 0;5) ?

Suy ra phương trình f ( x − 2 ) = 3 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0;5) .

Nhận xét: Học sinh vẽ được ĐTHS y = f ( x − m) thì bài toán được giải quyết.

Ví dụ 3: (Trích đề thi THPTQG năm 2019-2020 , Mã 103) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm thực của phương trình f ( x3 − 3 x ) = A. 7.

3 là: 2

B. 3.

C.8.

D . 4.

Hướng dẫn giải:

Đặt t = x3 − 3x ta có phương trình f ( t ) =

3 2

(*) .

35

Từ đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y =

3 ta suy ra phương trình (*) có 4 2

nghiệm t1 < −2 < t2 < 0 < t3 < 2 < t4 . x =1 Xét hàm t = x3 − 3x . Ta có t ′ = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  Ta có bảng biến thiên:  x = −1

x

−∞

t’

−1

+

0

+

−

+∞

2

−∞ t

+∞

1

0 −2

Với t1 < −2 phương trình: t1 = x3 − 3x cho ta 1 nghiệm.

Với −2 < t2 < 0 phương trình: t2 = x3 − 3x cho ta 3 nghiệm.

Với 0 < t3 < 2 phương trình: t3 = x3 − 3x cho ta 3 nghiệm.

Với 2 < t4 phương trình: t4 = x3 − 3x cho ta 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm. Chọn C.

Nhận xét : Để giải quyết được bài toán này học sinh phải vẽ được đồ thị hàm số y = f ( t ) .Tuy nhiên khi xuất hiện hàm hợp thì đòi hỏi học sinh sáng tạo và linh hoạt hơn trong cách giải.

Ví dụ 4: (Trích đề thi Chuyên Vinh Nghệ An 2019-2020).

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình 2019 f ( x ) + x = 0 là A. 3.

B. 1.

Hướng dẫn giải: −x Ta có: 2019 f ( x ) + x = 0 ⇔ f ( x ) = (1) 2019

C. 2.

D. 0.

36

+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số x . y = f ( x ) ( C1 ) và đường thẳng d : y = − 2019 + Ta dựng đồ thị ( C1 ) từ đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành (xem hình vẽ)

+ Dựng đường thẳng d là đường thẳng nằm trên phần tư thứ 2 và phần tư thứ 4 của hệ trục tọa độ, do đó d cắt ( C1 ) tại hai điểm có hoành độ là: x = 0 và x = x1 < 0 .

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Chọn C.

Nhận xét : Bài toán này đưa về tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng d. Bài toán trở nên đơn giản khi vẽ được đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng d.

Ví dụ 5: (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam - 2020) Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới đây y

-2

x

1

-4

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −5;5) để phương trình

f 2 ( x) − (m + 4) f ( x) + 2m + 4 = 0 có 6 nghiệm phân biệt A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 5 .

37

Hướng dẫn giải: Ta có: 2

f 2 ( x) − (m + 4) f ( x) + 2m + 4 = 0 ⇔ f ( x) − m f ( x) − 4 f ( x) + 2m + 4 = 0 2

⇔ ( f ( x) − 2 ) − m ( f ( x) − 2 ) = 0 ⇔ ( f ( x) − 2 )( f ( x) − 2 − m ) = 0

 f ( x) − 2 = 0  f ( x ) = 2 (1) ⇔ ⇔  f ( x) − 2 − m = 0  f ( x ) = m + 2 ( 2 ) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ta có đồ thị hàm số y = f ( x)

như sau:

y

4

-2

1

x

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình (1) .

Ta có phương trình ( 2 ) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = f ( x) và y = m + 2 . Số nghiệm phương trình ( 2 ) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = f ( x) và y = m + 2 . Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) ta được phương trình f ( x) = m + 2 có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương m + 2 = 0  m = −2 trình f ( x) = 2 ⇔  m + 2 > 4 ⇔   m > 2  m + 2 ≠ 2 Do m ∈ ℤ và m ∈ ( −5;5 )  m ∈ {−2;3;4} .

Vậy có 3 giá trị nguyên m ∈ ( −5;5) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C. Nhận xét: Bài toán hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều trong các đề thi hiện nay. Để giải quyết được bài toán đòi hỏi học sinh nắm vững các dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và vận dụng linh hoạt các phương pháp giải.  Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2 −2 x + m = 0 (1) Hướng dẫn giải: 38

Đồ thị hàm số − x 2 + 2 x .

y 1 -2 -1 O

1

x

2

Viết lại phương trình dưới dạng: − x 2 + 2 x = m .

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của ( C ) : y = − x 2 + 2 x và đường thẳng ( d ) : y = m ,ta được: - Với m > 1 : Phương trình vô nghiệm.

m = 1 - Với  : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. m < 0  - Với 0 < m < 1 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt - Với m = 0 : Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: (Thi thử THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Phúc 2020 lần 1) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x 2 + 8 . Tính tổng các giá trị nguyên m để phương trình f ( x − 1 ) + m = 2 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

A. −6 .

B. 8 .

C. −2 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải:

x = 0 Ta có: f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x = 0 ⇔  . Ta có bảng biến thiên như sau: x = 2 x

−∞

f '( x )

0 +

0

−

0

−∞

+ +∞

8 f ( x)

+∞

2

4

Đặt t = x − 1  f ( x − 1 ) + m = 2 ⇔ f ( t ) = 2 − m  với mỗi giá trị t ta được mỗi giá trị x.

Ta có bảng biến thiên trên, ta có bảng biến thiên của | | như sau: 39

−∞

t

−2

0

+∞

f (t)

2

+∞

8

4

+∞

4

Từ đó để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì 2 − m = 8 ⇔ m = −6 . Chọn A. Ví dụ 3: (Sở GD&ĐT Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là

A. 2.

B. Vô số.

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đặt t = x + m ≥ 0 Với t = 0  x = m Với mỗi giá trị t > 0 sẽ ứng với 2 giá trị x Ta có phương trình : f ( t ) = m ( t ≥ 0 ) (*) Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương 3  m = Từ đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên miền t ≥ 0   4   m = −1

Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn.

Chọn C.

Ví dụ 4: (Thi thử Sở GD&ĐT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm thực phân biệt?

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải: Hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 có bảng biến thiên: 40

−∞

x

0

+∞

2

+∞

+∞

3

f ( x)

−1

Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x

−∞

−2

0

+∞

2

+∞

3

f ( x)

+∞

−1

−1

Đặt t = f ( x ) ≥ −1(*) Nhận xét: () → x ∈∅ + với t0 < −1  *

*

() → 2 nghiệm + với t0 = −1; t0 > 3  () → 3 nghiệm + với t0 = 3  *

(*) + với t0 ∈ ( −1;3 )  → 4 nghiệm

t = −1 Phương trình trở thành t 2 − ( m − 6 ) t − m + 5 = 0 ⇔  t = m − 5 m∈ℤ → m ∈ {5;6;7} . Chọn D. Yêu cầu bài toán suy ra −1 < m − 5 < 3 ⇔ 4 < m < 8 

Ví dụ 5: (Thi thử sở GĐ&ĐT Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình vẽ bên dưới. y

2 1 -1

-1

1

3

-2

Tập nghiệm của phương trình f ( 2sin x − 1 − 1) = m (với m là tham số) trên đoạn

[0;3π ] có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 8 .

B. 20 .

C. 12 .

D. 16 .

41

Hướng dẫn giải:

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị x = 0 và x = 2 nên có dạng f ′ ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . d = 2 a = 1 c = 0   b = −3 Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được   .

2 3 ⋅ a ⋅ 2 + 2 ⋅ b ⋅ 2 = 0 c = 0 −a 3 + b + d = −2 d = 2  Suy ra f ′ ( x ) = x3 − 3 x 2 + 2  f ( x ) =

x4 − x3 + 2 x + C .

4

x4 Mà f ( 0 ) = 0  C = 0  f ( x ) = − x3 + 2 x .

4 x =1  Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 − 3 . x =1+ 3  Suy ra bảng biến thiên: x

−∞

f '( x )

−

1− 3 0

+

1 0

−

1+ 3 0

+∞ +

5 4

+∞ f ( x)

+∞

−1

−1

Từ đó ta có bảng biến thiên của f ( x − 1) x

−∞

f '( x )

−

2− 3 0

−

2+ 3 0

5 4

+∞ f ( x)

+

2 0

−1

+∞ + +∞

−1

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ [ 0;3π ] nên 0 ≤ 2sin x − 1 ≤ 3 . Đặt t = 2sin x − 1 , t ∈ [ 0;3] Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f ( t − 1) = m có tối đa 2 nghiệm t = h, t = k . ±h + 1  sin x =   2sin x − 1 = ± h 2 ⇔ Do đó  .  2sin x − 1 = ± k sin x = ± k + 1  2 42

Trên [ 0;3π ] , mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất 16 nghiệm. Chọn D.

 Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình:

2x = m (1) x −1

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số y =

2x . x −1 y 4

2

-2

-1 O

1

2

x

Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=

2x với đường thẳng y = m, ta được: x −1

- Với m < 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm - Với m = 0 : phương trình (1) vô nghiệm - Với 0 < m ≤ 2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: (Thi thử THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Biết f (0) = 0 và f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) = m ( với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? y 3

O

1

3

x

43

A. 8

B. 6

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải: BBT của hàm số y = f ( x ) : x

−∞

0

y'

+

0

+∞

3 0

+

−

f ( 3) 0

y

−∞ BBT của hàm số y = f ( x ) : −∞ + y′

−∞ −3 0 − f (3)

0 0

y

+

3 0 − f (3)

0

−∞

BBT của hàm số y = f ( x ) . x −3 +∞ f(3)

+∞

−∞

3 f(3)

+∞

Y 0

0

0

Suy ra phương trình f ( x ) = m có nhiều nhất là 6 nghiệm. Chọn B.

 Bài toán tương giao liên quan đến đồ thị hàm số y = u ( x ) v ( x ) .

2x − 4 = m có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Tìm m để phương trình: x −3 Hướng dẫn giải:  2x − 4 khi x ≥ 3 2 x − 4  x − 3 = Ta có y = x − 3  2x − 4 − khi x < 3  x − 3

44

Đồ thị hàm số y = y=−

2x − 4 2x − 4 gồm: ĐTHS y = (với x ≥ 3 ) và ĐTHS x−3 x+3

2x − 4 (với x < 3 ) x+3 y

y

2

2

O

1

Hàm số y =

2 3

x

O

2x − 4 x −3

1

x

2 3

Hàm số y =

2x − 4 x−3

2x − 4 và x−3 đường thẳng y = m . Dựa vào đồ thị để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m∈ ( −2;0 ) .

Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y =

2.3.4. Ứng dụng của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong một số bài toán khác.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số

y = − x3 + 3( m + 1) x 2 − 3m ( m + 2 ) x + m2 ( m + 3) đồng biến trên ( 0;1) .

Hướng dẫn giải: Xét hàm số f ( x ) = − x 3 + 3 ( m + 1) x 2 − 3m ( m + 2 ) x + m 2 ( m + 3 ) f '( x ) = −3 x 2 + 6 ( m + 1) x − 3m ( m + 2 )

x = m x = m f '( x) = 0 ⇔  . Hơn nữa f ( x) = 0 ⇔  x = m + 2 x = m + 3 −∞ x m m+2 m+3 − − − 0 + 0 f '( x )

+∞

45

+∞ f ( x)

0

0

−∞ +∞

+∞

f ( x) 0

0

Từ BBT suy ra y = f ( x ) đồng biến trên (0; 1). ( 0;1) ⊂ ( m; m + 2 )  −1 ≤ m ≤ 0 . ⇔ ⇔  m ≤ −3 ( 0;1) ⊂ ( m + 3; +∞ )

Mà m nguyên , m ∈ [ −10;10] nên có 10 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhận xét: Trong một số bài toán xét tính đơn điệu của hàm số việc lập được bảng biến thiên thiên của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tỏ ra khá hiệu quả để giải quyết vấn đề.

Ví dụ 2: (Thi thử lần 1 Sở GD&ĐT Thái Nguyên - 2021) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên.

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( sin 3x + 4sin 3 x ) . Giá trị e 2 ln M + 2021m bằng:

A. 2021

B. 10

C. e2

D. ln2

Hướng dẫn giải:

46

3 3 Ta có sin 3x + 4sin x = 3sin x .Khi đó y = f ( sin 3 x + 4sin x ) = f ( 3sin x )

Đặt t = 3sinx ( −3 ≤ t ≤ 3) .

Quan sát đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −3;3] ta có M = 3, m = 0.

Do đó e 2 ln M + 2021m = 10 .

Nhận xét: Để giải được bài toán này chỉ cần vẽ được đồ thị y = f ( x ) và quan sát rồi đưa ra kết luận.

Ví dụ 3: (Thi thử THPT Thạch Thành 3 - Thanh Hóa 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. −∞ +∞ −1 x 3 2 1 f ( x) 1

−5

Khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2020 là

A. 4

B. 2020.

C. 5.

D. 7.

Hướng dẫn giải: Ta thấy đồ thị hàm số g ( x ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) xuống dưới 2020 đơn vị, nên khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số g ( x ) cũng bằng khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Ta có BBT sau: x

−∞

−1

+∞

3 5

2

1

f ( x) 1

0

0

Hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f ( x ) là A ( − 1; 2 ) và B ( 3;5 ) .

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số g ( x ) là AB = 5 .

47

Nhận xét: Nếu từ bảng biến thiên của y = f ( x ) lập được BBT của y = f ( x ) thì tìm được hai điểm cực đại và suy ra được khoảng cách giữa 2 điểm đó.

Ví dụ 4. (Thi thử Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f ( x ) + max f ( x ) = 10 . Số phần tử của S là? [ −1;2]

A. 2 .

[ −1;2]

B. 3 .

C. 5 .

D. 1 .

Hướng dẫn giải: x = 0  1 Đặt g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m  g ′ ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x = 0 ⇔  x = 2  x =1  Bảng biến thiên của hàm g ( x ) x g' ( x )

−1

0 −

0

+

1 2 0

1 −

0

2 +

m+4

m+4 m+

g ( x) m

1 16 m

Dựa vào bảng biến thiên của g ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số:

f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m . Ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: m ≥ 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 + m 1 x −1 0 1 2 2 m+4 m+4 1 m+ 16 f ( x) m

m

Dựa vào bảng biến thiên ta có :

min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ m + m + 4 = 10 ⇔ m = 3 (TM) [ −1;2]

[ −1;2]

48

Trường hợp 2: m < 0 < m + x

−1

1 1 ⇔ − < m < 0 . Bảng biến thiên: 16 16

1 2

0

1

2

m+4

m+4 m+

−m

f ( x) 0

1 16

0

−m

0

0

Dựa vào bảng biến thiên ta có: min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 + m + 4 = 10 ⇔ m = 6 (Loại) [ −1;2]

[ −1;2]

1 1 = 0 ⇔ m = − . Tương tự ta có: 16 16 min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 + m + 4 = 10 ⇔ m = 6 (Loại)

Trường hợp 3: m + [ −1;2]

[ −1;2]

Trường hợp 4: m + x

−1

1 1 < 0 < m + 4 ⇔ −4 < m < − . Bảng biến thiên: 16 16 1 0 1 2

2

m+4

m+4 −m

f ( x)

−m

−m −

1 16

0

0

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 + m + 4 = 10  m = 6 [ −1;2]  [−1;2] ⇔ ⇔ (Loại)  min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 + ( −m ) = 10 m = −10   [−1;2] [ −1;2] Trường hợp 5: m + 4 = 0 ⇔ m = −4 . Ta có: min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 − m = 10 ⇔ m = −10 (Loại) [ −1;2]

[ −1;2]

Trường hợp 6: m + 4 < 0 ⇔ m < −4 . Ta có: min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ −m − m − 4 = 10 ⇔ m = −7 (Thỏa mãn) [ −1;2]

[ −1;2]

Vậy m ∈ {−7;3} . Chọn A.

Nhận xét: Bài toán giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất xuất hiện khá nhiều trong các đề thi trong các năm gần đây. Một số bài có thể giải được khi lập được BBT hoặc vẽ được đồ thị hàm số chứa dấu GTTĐ.

49

2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Tôi đã tiến hành dạy ở các lớp TN và ĐC của các lớp khối 12 trường THPT năm học 2020 – 2021.

TT

Tên trường

Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

1

Trường THPT Cát Ngạn

12C

12B

2

Trường THPT Thanh Chương 3

12A3

12B

3

Trường THPT Thanh Chương 1

12B

12C

2.4.1. Chọn bài thực nghiệm Dựa vào kế hoạch thực hiện chương trình của môn toán lớp 12 và kế hoạch dạy học thêm môn toán lớp 12 của trường THPT Cát Ngạn, THPT Thanh Chương 3, THPT Thanh Chương 1, tôi lựa chọn kết hợp dạy trong các tiết dạy học thêm chương 1 – Giải tích 12, của học kỳ I, các tiết ôn thi THPT quốc gia.

2.4.2. Cách thức tiến hành thực nghiệm sư phạm.

- Chuẩn bị bài mẫu thống nhất với nội dung bài giảng về hệ thống câu hỏi và các hoạt động trong giờ dạy thực nghiệm.

- Dạy song song hai lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.

- Ở lớp thực nghiệm tôi đã dạy cho HS dạng bài tập này ở các tiết thuộc chương 1 Giải tích 12, các tiết tự chọn, học đại trà, dành thời gian nhiều hơn, ra bài tập thêm cho các em về nhà giải sau đó nộp bài cho giáo viên để giáo viên chữa bài.

- Ở lớp đối chứng giáo viên dạy học theo cách thức thông thường và không chú trọng về dạng toán này.

Sau khi dạy học hai lớp thực nghiệm và hai lớp đối chứng theo 2 cách thức tổ chức khác nhau chúng ta sẽ tiến hành kiểm tra về mặt kiến thức, kĩ năng, thái độ, năng lực của học sinh đối với dạng toán này.

2.4.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

Sau thời gian áp dụng tôi tiến hành khảo sát học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng ở các trường THPT Cát Ngạn, THPT Thanh Chương 3 và THPT Thanh Chương 1 (Một số hình ảnh học tập của lớp TN ở phụ lục 3). Tôi cho HS làm bài kiểm tra 45 phút (Đề bài kiểm tra ở phụ lục 2). Sau đó tiếp tục phát phiếu khảo sát cho 99 HS lớp TN tôi thu được kế quả như sau:

Bảng 1 :Tổng hợp điểm kiểm tra của HS các lớp ĐC và TN ở các trường THPT. Trường

Lớp

Sĩ

Điểm

50

Số

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

THPT Cát Ngạn

12B(ĐC) 18

0

0

2

4

9

2

1

0

0

0

0

12C(TN) 24

0

0

0

1

7

6

5

3

1

1

0

THPT

12B(ĐC) 39

0

0

0

2

9

10

9

4

5

0

0

35

0

0

0

1

3

11

7

6

5

2

0

12B(ĐC) 47

0

0

1

6

12

16

5

4

3

0

0

12C(TN) 40

0

0

0

5

10

9

9

3

2

1

1

Thanh Chương 3 THPT Thanh Chương 1

12A3 (TN)

Bảng 2: Bảng tổng hợp số học sinh đạt từ điểm xi trở xuống.

Trường

Lớp

Sĩ Số

THPT Cát Ngạn

12B(ĐC)

Điểm từ xi trở xuống 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

18

0

0

2

6

15

17

18

18

18

18

18

12C(TN)

24

0

0

0

1

8

14

19

22

23

24

24

THPT Thanh Chương 3

12B(ĐC)

39

0

0

0

2

11

21

30

34

39

39

39

12A3(TN)

35

0

0

0

1

4

15

22

28

33

35

35

THPT

12B(ĐC)

47

0

0

1

7

19

35

40

44

47

47

47

12C(TN)

40

0

0

0

5

15

24

31

36

38

39

40

Thanh Chương 1

Bảng 3: Bảng tỷ lệ % số học sinh đạt từ điểm xi trở xuống (bảng tần số tích lũy) Trường

Lớp

Sĩ số

Điểm từ xi trở xuống 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 51

12B THPT Cát Ngạn

(ĐC) 12C (TN)

18 0 0 11,1 33,3 83,3 94,4

100

100

100

100

0

4,17 33,3 58,3 79,2 91,7

95,8

100

100

0

5,12 28,2 32,8 76,9 87,1

100

100

100

0

2,86 11,4 42,9 62,9 80,0

94,3

100

100

47 0 0 2,1

14,9 40,4 74,5 85,1 93,6

100

100

100

40 0 0

12,5 37,5 60,0 77,5 90,0

95,0

97,5

100

24 0 0

12B THPT 39 0 0 Thanh (ĐC) Chương 12A3 35 0 0 3 (TN) THPT

12B

Thanh Chương

(ĐC)

1

12C (TN)

0

100

Bảng 4: Tổng hợp, so sánh kết quả phiếu khảo sát ý kiến học sinh trước và sau khi TN.

Câu hỏi khảo sát

A. Rất khó.

1. Khi gặp các bài toán liên quan đến B. Khó. hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối các em C.Bình thấy như thế nào? thường D. Dễ A. 2. Trong quá trình học tập các em đã Nhiều. được rèn luyện B. Vừa.

Tỉ lệ HS lựa chọn phương án đưa ra trước khi TN

51,2 % 36,4 % 9,6 %

Tỉ lệ HS lựa chọn phương án đưa ra sau khi TN. 7,1 %

20,2 % 64,6 %

2,8 %

8,1 %

14 %

70,7 %

20,8 %

20,2 %

So sánh kết quả

Tỉ lệ các em học sinh thấy khó khăn khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đã giảm rất nhiều, thay vào đó nhiều em cảm thấy bình thường sau khi được học thực nghiệm.

Số các em đã được rèn luyện nhiều về các bài tập liên 52

nhiều về các bài tập C. Ít liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị D. Rất ít tuyệt đối chưa?

3. Khi học đến kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan em thấy như thế nào?

34,4 % 30,8 %

9,1 % 0%

A. Rất thích.

2%

25,3 %

B. Thích

6,8 %

55,5 %

C.Bình thường.

15,2 %

D. Không thích.

76 %

4. Trong những năm gần đây bài toán về A. Có hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện nhiều trong các đề thi THPTQG, thi thử của các trường em có muốn được B. rèn luyện nhiều về Không nội dung này.

10,1 %

9,1 %

86,4 %

89,9 %

9,1 % 13,6 %

quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối chiếm tỉ lệ cao.

Sau khi học thực nghiệm nhiều em cảm thấy thích thú khi học đến kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan. Tỉ lệ học sinh không thích còn rất ít.

Tỉ lệ các em mong muốn được học kiến thức về về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối tăng lên.

2.4.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Từ kết quả xử lý số liệu TNSP cho thấy: kết quả bài làm của học sinh ở lớp TN cao hơn HS lớp ĐC, thể hiện: - Dựa vào bảng 3 ta thấy tỷ lệ % HS đạt điểm xi trở xuống ở lớp TN luôn thấp hơn lớp ĐC. - Dựa vào bảng 1 và bảng 2: Lớp TN số học sinh đạt điểm khá, giỏi cao hơn và đặc biệt số HS đạt điểm kém ít hơn.

- Dựa vào bảng 4 thấy kết quả thu được tích cực hơn. Nhiều em có hứng thú khi gặp những bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu GTTĐ. Đa số các em không còn e ngại, lúng túng khi gặp phải vấn đề này.

Đánh giá: Từ kết quả khảo sát trên, tôi nhận thấy rõ hiệu quả của việc áp dụng dạy học chủ đề “Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng” - Về phía học sinh:

53

Qua quá trình ôn tập và rèn luyện cho học sinh tôi thấy học sinh lớp thực nghiệm đã thành thạo vẽ, nhận dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng được và việc giải một số bài tập liên quan. Các em không còn lúng túng khi gặp các bài tập dạng này. Nhiều em hứng thú hơn với các bài tập vận dụng trong các đề thi THPTQG, đề minh họa của bộ và đề thi thử của các trường trong những năm gần đây.

- Về phía giáo viên: + Tạo thêm nguồn tài liệu trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPTQG. + Tìm được hứng thú trong quá trình dạy, yêu nghề hơn + Nâng cao năng lực chuyên môn. + Tạo cảm giác gần gũi hơn trong quan hệ thầy - trò.

- Đối với đồng nghiệp: Tạo mối quan hệ gần gũi, đoàn kết với đồng nghiệp. Trong quá trình trao đổi, thảo luận cách giải bài tập tôi và đồng nghiệp được học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.

- Đối với nhà trường: Học sinh được rèn luyện các kỹ năng giải toán sẽ giúp các em làm bài thi THPT QG tốt hơn, từ đó nâng cao chất lượng dạy học của nhà trường.

54

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận chung.

Từ năm 2017 bộ giáo dục và đào tạo đã đổi mới hình thức thi THPTQG, theo đó đối với môn toán từ thi tự luận chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong các đề thi THPTQG, đề thi minh họa của bộ, đề thi thử của các trường, các tỉnh xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 12 và ôn thi THPTQG thì tôi thấy nhiều học sinh còn tỏ ra lúng túng và rất e ngại khi gặp các bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua kết quả điều tra khảo sát các em học sinh trong các trường THPT Cát Ngạn, Thanh Chương 3, Thanh Chương 1 nhận thấy hiểu biết của các em về đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán liên quan còn hạn chế. Việc nghiên cứu đề tài này là rất thiết thực cung cấp nguồn tài liệu cho học sinh trong quá trình học tập, cho giáo viên trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPTQG, ôn thi HSG, GVG. Trong quá trình nghiên cứu đề tài này tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu cũng như thu thập các bài toán liên quan trong các đề thi THPTQG, đề minh họa của bộ đề thi thử của các tỉnh, các trường trong cả nước. Tôi cũng tham khảo ý kiến của bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và góp phần thiết thực trong quá trình giảng dạy.

Thông qua hệ thống lý thuyết và các bài tập nêu trên ta thấy được hiệu quả của việc sử dụng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối giúp cho việc giải quyết các bài toán liên quan được tự nhiên và đơn giản hơn. Trong hệ thống bài tập tác giả trích từ các đề thi để học sinh thấy được tầm quan trọng của phương pháp này và thấy được ứng dụng của nó để giải quyết các bài toán hay gặp phải trong các đề thi hiện nay.

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ dạy thêm, ôn thi THPT QG chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu các nội dung đã trình bày trên thông qua tài liệu giáo viên cung cấp đã giúp học sinh thấy được sự liên hệ giữa đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan, phát triển tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.

Trong bài viết tôi mới chỉ trình bày được các ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào một số bài toán liên quan. Trong thời gian tới trong quá trình ôn thi THPT QG tôi sẽ tiếp tục cho HS tiếp cận các dạng toán khác ứng dụng của đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2. Kiến nghị: Thông qua một số ví dụ trên có thể phần nào thấy được vai trò đề tài này trong việc giải quyết một số bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, để giải được các bài toán ở mức độ vận dụng giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một số vốn kiến thức nhất định và kỹ năng nhận dạng bài tập.

55

Là một giáo viên tôi xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm hứng thú say mê trong quá trình học tập, luôn cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình.

Bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối rất đa dạng. Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số ví dụ về bài toán hay gặp trong đề thi THPT quốc gia, đề tham khảo của Bộ GD&ĐT, đề thi thử của các trường nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt hơn khi gặp các bài toán này, tôi mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.

Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. Vậy rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hiệu quả hơn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thanh chương, Ngày 24 tháng 3 năm 2021.

Tác giả: Đặng Thị Loan

56

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Các tài liệu trên mạng Internet, các đề thi THPT QG, đề tham khảo của bộ, đề thi thử của các tỉnh, các trường , đề thi HSG tỉnh của các trường trong cả nước.

[2]. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

[3]. Sách Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục, năm 2008.

[4]. Sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

NXB Giáo dục.

[5]. Sách giáo khoa Giải tích 12, NXB Giáo dục, năm 2008.

[6]. Sách giáo khoa Đại số 10, NXB Giáo dục, năm 2008.

[7]. https://diendangiaovientoan.vn/ [8]. https://toanhocbactrungnam.vn/ [9]. https://toanmath.com/ [10]. https://www.mathvn.com/

57

Phụ lục 1.

Phiếu khảo sát giáo viên và học sinh Phiếu khảo sát giáo viên.

Thầy cô vui lòng trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống.

1. Trong quá trình dạy học thầy cô có gặp khó khăn khi dạy kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan?

A. Có

22

B. Không 22

2.Thầy cô đã cho học sinh của mình rèn luyện nhiều về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPTQG chưa?

A. Nhiều.

22

B. Vừa.

22

C. Ít

22

3.Thầy cô đã tham khảo được nhiều tài liệu hay về kiến thức hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ?

A. Rất nhiều. 22 C. Ít.

B. Nhiều.

22

22

D. Rất ít.

22

Phiếu khảo sát học sinh.

Em hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống.

1.Khi gặp các bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối các em thấy như thế nào?

A. Rất khó.

22

B. Khó. 22

C. Bình thường.

22

D. Dễ.

22

2.Trong quá trình học tập các em đã được rèn luyện nhiều về các bài tập liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối chưa?

A. Nhiều.22

B. Vừa.22

C. Ít

2

D. Rất ít.

22

3. Khi học đến kiến thức về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và bài toán liên quan em thấy như thế nào?

A. Rất thích.

22

C. Bình thường.

B. Thích.

22

22

D. Không thích.

22

4.Trong những năm gần đây bài toán về hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT QG, thi thử của các trường em có muốn được rèn luyện nhiều về nội dung này.

A. Có

22

B. Không

22 58

Phụ lục 2:

Đề kiểm tra 45 phút Câu 1.Cho hàm số y = x − 3 x + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào ?

3

2

Câu 2. Tìm số cực trị của hàm số y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 .

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1)

2

(x

2

với mọi x ∈ ℝ . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

3

+ m 2 − 3m − 4 ) ( x + 3)

5

g ( x ) = f ( x ) có đúng 3

điểm cực trị?

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x f '( x ) T ìf ( x ) m

−∞ −

+∞

0 0

+∞

1 0

+

2

−

2020

−∞

− 2020

số nghiệm của phương trình f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 Câu 5. Cho hàm số

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên dưới y

-2

O

1

x

-4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m + 5 ) f ( x ) + 4 m + 4 = 0 có 7 nghiệm phân biệt?

59

Phụ lục 3

Một số hình ảnh học tập của lớp thực nghiệm

60

61

62

Phụ lục 4: Một số giáo án thực nghiệm giảng dạy:

ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f ( x ) VÀ ỨNG DỤNG. I) Mục tiêu bài học: 1) Về kiến thức: - Hs nắm được ý nghĩa của việc vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Vận dụng để khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x) .

- Nhận dạng được đồ thị các hàm: y = f ( x ) khi biết đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Nắm được đặc điểm các hàm số với từng dạng đồ thị.

- Từ đồ thị hàm số có thể đọc ra một số tính chất của hàm số như sự đơn điệu, cực trị, GTLN, GTNN, tiệm cận, tương giao, biện luận số nghiệm phương trình.

- Giải quyết được một số bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2) Về kỹ năng: - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x ) khi biết đồ thị hàm số y = f ( x ) .

- Đọc được các tính chất của hàm số từ đồ thị hàm số.

- Hình thành kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Hình thành cho học sinh các kỹ năng khác: + Thu thập và xử lý thông tin. + Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet. + Viết và trình bày trước đám đông. + Học tập và làm việc tích cực chủ động, sáng tạo.

3) Thái độ: + Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm + Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4) Các năng lực, phẩm chất chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu bài học.

63

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

- Năng lực tính toán.

II. Chuẩn bị của GV và HS 1) Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, bảng phụ.

2) Học sinh: Sách giáo khoa, đồ dùng học tập.

III. Mô tả các mức độ: Bảng mô tả các mức độ nhận thức

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Sơ đồ khảo sát hàm số

Học sinh nắm được sơ đồ khảo sát hàm số

Học sinh áp dụng được sơ đồ khảo sát hàm số

Hàm số

Học sinh nắm được cách vẽ đồ thị hàm số

Học sinh áp dụng được vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x )

y = f ( x)

y = f ( x)

Cực trị của hàm số

y = f ( x)

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Vận dụng Sử dụng đồ thị khảo sát các các hàm số để suy hàm trong ngược lại tính chương trình chất hàm số Vận dụng giải một số bài toán về hàm số y = f ( x) .

Học sinh nắm Học sinh giải Vận dụng giải một số được phương được bài toán pháp giải bài toán đơn giản liên bài toán về đơn giản liên quan đến cực trị cực trị hàm quan đến cực trị của hàm số số y = f ( x ) y = f ( x) . của hàm số y = f ( x) .

Sử dụng đồ thị hàm số để suy ngược lại tính chất hàm số

Vận dụng giải một số bài toán về cực trị hàm số y = f ( x) .

Tương giao của ĐTHS

Học sinh nắm Học sinh giải Vận dụng Vận dụng giải được phương được bài toán giải một số một số bài toán về pháp giải bài toán đơn giản liên bài toán về tương giao của y = f ( x) đơn giản liên quan đến tương tương giao ĐTHS y = f ( x ) và ĐTHS quan đến tương giao của ĐTHS của ĐTHS và ĐTHS y = f ( x ) và y = f ( x ) và y = g(x) giao của ĐTHS y = g ( x) y = f ( x ) và ĐTHS ĐTHS ĐTHS y = g ( x ) y = g ( x) y = g ( x)

IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 64

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. - Mục tiêu: Học sinh tạo sự hứng khởi và làm quen với bài toán vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) và các bài toán liên quan.

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 2.1. Hình thành kiến thức 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

- Mục tiêu: Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

HS trả lời câu hỏi sau: Nêu định nghĩa GTTĐ?

A A = − A

khi A ≥ 0 khi A < 0

Để vẽ đồ thị hàm số y = x ta làm như Học sinh nắm được phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau: thế nào. + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ vận Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) . dụng kiến thức lớp 10 để giải quyết vấn Bước 2: đề. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm phía sinh bất kì trình bày, các học sinh khác trên trục hoành (cả những điểm nằm trên trục hoành). thảo luận để hoàn thiện lời giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt + Lấy đối xứng với phần đồ thị ( C ) nằm kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học phía dưới trục hoành qua trục hoành. sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức, từ đó nêu phương pháp vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) . HS viết bài vào vở.

2.2. Hình thành kiến thức 2: Cực trị của hàm số y = f ( x ) .

- Mục tiêu: Học sinh giải quyết được bài toán đơn giản liên quan đến cực trị hàm số y = f ( x ) .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Ví dụ. Tìm số cực trị của hàm số Số cực trị của hàm số y = f ( x ) là 3 y = f ( x ) biết hàm số y = f ( x ) có đồ Tìm số giao điểm cắt của đồ thị hàm y = f ( x ) với trục hoành là 4 . thị như hình vẽ bên.

65

Vậy số cực trị của y = f ( x ) là 3+ 4 = 7

*Báo cáo, thảo luận: Các cá nhân nhận xét các câu trả lời của bạn Học sinh nắm bắt Phương pháp tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) như sau: *Thực hiện: Hs thực hiện các bước qua các câu hỏi gợi ý của giáo viên học sinh thực hiện vào vở.

Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) là m.

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức: GV Bước 2: Tìm số giao điểm cắt của đồ nhấn mạnh phương pháp tìm cực trị của thị hàm y = f ( x ) với trục hoành là n. hàm số y = f ( x ) Kết luận số cực trị của y = f ( x ) là .

Giao cho học sinh về tìm cực trị của m + n. hàm số y = f ( x ) vào vở bài tập của mỗi cá nhân và 2 nhóm trình bày bài của mình vào bảng phụ.

2.2. Hình thành kiến thức 3: Tương giao của ĐTHS y = f ( x ) và đường thẳng y = m.

- Mục tiêu: Học sinh giải quyết được bài toán đơn giản liên quan đến tương giao của hàm số y = f ( x ) và y = m.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Ví

dụ: 4

y = x − 4x

hình vẽ.

2

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Cho hàm số Lời giải mong đợi : + 3 có đồ thị như Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 3 , suy ra đồ thị

( C′) : y = f ( x ) =

4

x4 − 4x2 + 3 .

Đồ thị hàm số y = f ( x ) bao gồm: 2

+ Phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên Ox (cả những điểm nằm trên Ox ). + Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới Ox qua Ox .

Tìm số nghiệm thực của Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ: 1 2

phương trình x 4 − 4 x 2 + 3 = ?

66

Hs thực hiện các bước qua các câu hỏi gợi ý của giáo viên học sinh thực hiện vào vở.

4

2

*Báo cáo, thảo luận: Các cá nhân nhận xét các câu trả lời c ủa b ạ n

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến bằng số giao điểm của thức: GV nhấn mạnh phương Số nghiệm phương4 trình 2 pháp giải bài toán đơn giản đồthị hàm số y = x − 4 x + 3 và đường thẳng liên quan đến tương giao của 1 y= . hàm số y = f ( x ) và y = m.

2 Từ đồ thị ( C ′) : y = f ( x ) = x4 − 4 x2 + 3 suy ra số nghiệm thực của phương trình x 4 − 4 x 2 + 3 =

1 là 8 2

nghiệm.

Học sinh nắm bắt Phương pháp giải bài toán đơn giản liên quan đến tương giao của hàm số y = f ( x ) và y = m.

Cách 1: - Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số

y = f ( x) .

- Khi đó (1) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: (C): y = f ( x ) ,(d): y = m.

- Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d) ta suy ra số nghiệm của (1).

Cách 2:  f ( x) = m - Biến đổi : f ( x ) = m ⇔  ( 2)  f ( x) = −m

– Khi đó (2) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của đồ thị: (C): y = f ( x ) và 2 đường thẳng (d1): y = m, (d2): y = - m.

– Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d1) , (d2) suy ra số nghiệm của (2) cũng là số nghiệm của (1).

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. 67

Mục tiêu: Giải quyết được một số bài tập về ứng dụng của đồ thị hàm số

y = f ( x) Nội dung, phương thức tổ chức hoạt Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động động học tập của học sinh 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ.

Lời giải

Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 là tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) xuống dưới 1 đơn vị. Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 bằng cách giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành; lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1 như hình vẽ:

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) − 1

.

Lời giải

2.Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x )

biết hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình Số cực trị của hàm số y = f ( x ) là 3 vẽ bên.

Tìm số giao điểm cắt của đồ thị hàm y = f ( x ) với trục hoành là 4 .

Vậy số cực trị của y = f ( x ) là 3+ 4 = 7

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

68

3.Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ.

Lời giải Tịnh tiến đồ thị hàm số đã cho theo véc

tơ u ( 2;0 ) ta thu được đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) như sau

Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = f ( x − 2) Phương

trình

f ( x − 2 ) = 3 có

bao

nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( 0;5 ) ?

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

Suy ra phương trình f ( x − 2 ) = 3 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0;5) .

4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG Mục tiêu: Giải quyết được một số bài tập về ứng dụng của đồ thị hàm số

y = f ( x) Nội dung, phương thức tổ Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt chức hoạt động học tập của động học sinh 1. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

Lời giải.

69

tham số m để hàm số y = f x = 3 x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m ( ) y = 3 x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m có 7 Ta có: f ′ ( x ) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x .; điểm cực trị? f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 2 .

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 Phương thức tổ chức: Cá nhân – ở nhà.

Do hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị nên hàm số y = f ( x ) có 7 điểm cực trị khi

Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm

m > 0 ⇔ ⇔ 0 < m <5. m − 5 < 0 Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m = 1; m = 2; m = 3; m = 4 .

Chọn C

2. (Mã 103 2019) Cho hàm số Lời giải bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như Đặt t = x3 − 3 x ta có phương trình hình vẽ dưới đây. Số nghiệm 3 của phương trình f ( t ) = 2 (*) . thực 3 f ( x 3 − 3x ) = là 2

Từ đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng

3 ta suy ra phương trình (*) có 4 nghiệm 2 t1 < −2 < t2 < 0 < t3 < 2 < t4 Xét hàm t = x3 − 3 x . Ta có y=

A. 7 .

B. 3 .

C. 8 .

D. 4 .

Phương thức tổ chức: Cá nhân 70

– ở nhà.

x =1 t′ = 3x2 − 3 = 0 ⇔  Ta có bảng biến thiên  x = −1

Với t1 < −2 phương trình: t1 = x 3 − 3 x cho ta 1 nghiệm.

Với −2 < t2 < 0 phương trình: t2 = x 3 − 3 x cho ta 3 nghiệm.

Với 0 < t3 < 2 phương trình: t3 = x 3 − 3 x cho ta 3 nghiệm.

Với 2 < t4 phương trình: t4 = x 3 − 3 x cho ta 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm.

Chọn C.

ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f ( x ) VÀ ỨNG DỤNG. I) Mục tiêu bài học: 1) Về kiến thức: - Hs nắm được ý nghĩa của việc vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Vận dụng để khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

y= f ( x)

- Nhận dạng được đồ thị các hàm: y = f ( x ) khi biết đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Nắm được đặc điểm các hàm số với từng dạng đồ thị.

- Từ đồ thị hàm số có thể đọc ra một số tính chất của hàm số như sự đơn điệu, cực trị, GTLN, GTNN, tiệm cận, tương giao, biện luận số nghiệm phương trình.

- Giải quyết được một số bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2) Về kỹ năng: - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x ) khi biết đồ thị hàm số y = f ( x ) .

- Đọc được các tính chất của hàm số từ đồ thị hàm số.

- Hình thành kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

71

- Hình thành cho học sinh các kỹ năng khác: + Thu thập và xử lý thông tin. + Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet. + Viết và trình bày trước đám đông. + Học tập và làm việc tích cực chủ động, sáng tạo.

3) Thái độ: + Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm + Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4) Các năng lực, phẩm chất chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu bài học.

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

- Năng lực tính toán.

II. Chuẩn bị của GV và HS 1) Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, bảng phụ.

2) Học sinh: Sách giáo khoa, đồ dùng học tập.

III. Mô tả các mức độ: Bảng mô tả các mức độ nhận thức

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Sơ đồ khảo sát hàm số

Học sinh nắm được sơ đồ khảo sát hàm số

Học sinh áp dụng được sơ đồ khảo sát hàm số

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Vận dụng Sử dụng đồ thị khảo sát các các hàm số để suy hàm trong ngược lại tính chương trình chất hàm số

72

Hàm số y= f ( x)

Học sinh nắm được cách vẽ đồ thị hàm số

y= f ( x)

Cực trị của hàm số

y= f ( x)

Học sinh áp dụng được vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x )

Vận dụng giải một số bài toán về hàm số y = f ( x ).

Sử dụng đồ thị hàm số để suy ngược lại tính chất hàm số

Học sinh nắm Học sinh giải Vận dụng Vận dụng giải được phương được bài toán giải một số một số bài toán về pháp giải bài toán đơn giản liên bài toán về cực trị hàm số đơn giản liên y = f ( x ). quan đến cực trị cực trị hàm quan đến cực trị của hàm số số y = f ( x ) y = f ( x ). của hàm số y = f ( x ).

Tương giao của ĐTHS

Học sinh nắm Học sinh giải Vận dụng Vận dụng giải giải một số một số bài toán về được phương được bài toán pháp giải bài toán đơn giản liên bài toán về tương giao của y= f ( x) quan đến tương tương giao ĐTHS y = f ( x ) đơn giản liên và ĐTHS quan đến tương giao của ĐTHS của ĐTHS và ĐTHS y = f ( x ) và y = f ( x ) và y = g ( x ) giao của ĐTHS y = g ( x) y = f ( x ) và ĐTHS ĐTHS ĐTHS y = g ( x ) y = g ( x) y = g ( x)

IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. - Mục tiêu: Học sinh tạo sự hứng khởi và làm quen với bài toán vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) và các bài toán liên quan.

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 2.1. Hình thành kiến thức 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

- Mục tiêu: Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

HS trả lời câu hỏi sau:

y = f ( x)=?  f ( x ) khi x ≥ 0 Để vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta y = f ( x ) =   f ( − x ) khi x < 0 làm như thế nào.

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ vận dụng kiến thức lớp 10 để giải quyết Học sinh nắm được phương pháp vẽ đồ thị 73

vấn đề.

hàm số y = f ( x ) như sau:

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) . học sinh bất kì trình bày , các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện Bước 2: lời giải. + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của phải trục tung (cả những điểm nằm trên học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến trục tung). thức, từ đó nêu phương pháp vẽ đồ + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên thị hàm số y = f ( x ) . HS viết bài phải trục tung qua trục tung. vào vở. Đây là dạng bài từ đồ thị Ví dụ1: Cho hàm số y = 2 + 3 x − x 3 ( C ) y = f ( x ) = 2 + 3x − x3 , suy ra đồ thị có đồ thị như hình vẽ.

( C ') y = f ( x ) = 2 + 3 x − x

y

3

Đồ thị hàm số y = 2 + 3 x − x

.

3

bao gồm:

+ Phần đồ thị hàm số y = 2 + 3 x − x3 nằm -1 O

2

bên phải Oy (cả những điểm nằm trên Oy ).

x

+ Phần đối xứng với phần đồ thị hàm số y = 2 + 3 x − x3 nằm bên phải Oy qua Oy .

Khi đó, ta được đồ thị như hình vẽ:

Hãy

suy

ra

đồ 3

y =2+3 x − x ?

thị

hàm

số y

-1 O

2

x

2.2. Hình thành kiến thức 2: Cực trị của hàm số y = f ( x ) .

- Mục tiêu: Học sinh giải quyết được bài toán đơn giản liên quan đến cực trị hàm số y = f ( x ) .

74

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Trong ví dụ 1: Số cực trị của hàm 3 y = f ( x ) = 2 + 3x − x là 2 cực trị.

số

Số giao điểm với trục hoành là 1.

đồ thị Quan sát 3 y = f ( x )=2+3 x − x

hàm

số Nếu thị hàm số y = f ( x ) có số cực trị

Khi lấy đối xứng với phần đồ thị hàm dương là m thì hàm số y = f ( x ) lấy số y = 2 + 3 x − x3 nằm bên phải Oy qua đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải Oy . Thì hàm số y = f x có số cực trị

( )

bằng 2 lần số cực trị dương của hàm số trục tung qua trục tung ta được 2m cực y = f ( x ) cộng 1 điểm cực trị mới tạo trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị thành tại giao điểm với trục tung.

hàm số y = f ( x ) với trục tung nữa ta

- Phương pháp tìm số cực trị của hàm số được tổng cộng là 2m + 1 cực trị . y = f (x) ?

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x

−∞

f’(x)

-1 -

0

+∞

1 +

0

+∞

-

5

f( x) 0

-∞

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Thực hiện: Hs thực hiện các bước qua Hàm số y = f(x) có một cực trị dương các câu hỏi gợi ý của giáo viên học sinh nên hàm số y = f ( x ) có 3 cực trị. thực hiện theo nhóm.

Giao cho học sinh về tìm cực trị của *Báo cáo, thảo luận: Các cá nhân nhận hàm số y = f ( x ) theo nhóm. Các xét các câu trả lời của bạn nhóm trình bày bài của mình vào bảng Học sinh nắm bắt Phương pháp tìm số phụ 75

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức: GV cực trị của hàm số y = f ( x ) như sau: nhấn mạnh phương pháp tìm cực trị của Bước 1:Tìm số cực trị dương của hàm hàm số y = f ( x ) số y = f (x) là m. .

Bước 2: Kết luận số cực trị của y = f ( x ) là: 2m + 1

2.2. Hình thành kiến thức 3 : Tương giao của ĐTHS y = f ( x ) và đường thẳng y = m.

- Mục tiêu: Học sinh giải quyết được bài toán đơn giản liên quan đến tương giao của hàm số y = f ( x ) và y = m.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Ví dụ 3: Biện luận theo m số Đồ thị hàm số y = − x2 + 2 x nghiệm của phương trình: x2 - 2|x| + m = 0 (1)

Hs thực hiện các bước qua các câu hỏi gợi ý của giáo viên học sinh thực hiện vào vở. *Báo cáo, thảo luận: Các cá nhân nhận xét các câu trả lời Viết lại phương trình dưới dạng: − x 2 + 2 x = m c ủa b ạ n Đánh giá, nhận xét, chốt kiến Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số thức: GV nhấn mạnh phương giao điểm của (C) và đường thẳng y = m,ta được: pháp giải bài toán đơn giản - Với m > 1 : Phương trình vô nghiệm. liên quan đến tương giao của m = 1 : Phương trình có 2 nghiệm phân hàm số y = f ( x ) và y = m . - Với  m < 0  biệt.

- Với 0 < m < 1 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt - Với m = 0 biệt.

: Phương trình có 3 nghiệm phân

Học sinh nắm bắt Phương pháp giải bài toán đơn 76

giản liên quan đến tương giao của hàm số y = f ( x ) và y = m .

- Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ).

- Khi đó (1) có thể xem là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: (C): y = f ( x ) ,(d): y = m .

- Dựa vào đồ thị (C), từ số giao điểm của (C) và (d) ta suy ra số nghiệm của (1).

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Mục tiêu: Giải quyết được một số bài tập về ứng dụng của đồ thị hàm số y= f(x)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của HS Ví dụ 4: (Thi thử THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Phúc 2020 lần 1) Cho hàm số 3 2 f ( x ) = x − 3x + 8 .

Tính tổng các giá trị nguyên m để phương trình f ( x − 1 ) + m = 2

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Lời giải Hướng dẫn giải: Chọn A. x = 0 Ta có: f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  . Ta có bảng biến x = 2 thiên như sau:

−∞ x 0 2 +∞ có đúng 3 nghiệm phân f(x)’ + 0 0 + biệt.

A. −6 . B. 8 .

8 +∞ C. −2 . D. 4 .

4 Phương thức tổ chức: f(x) −∞ Cá nhân – tại lớp. Đặt t = x − 1  f ( x − 1 ) + m = 2 ⇔ f ( t ) = 2 − m  với Vẽ đồ thị hàm số mỗi giá trị t ta được mỗi giá trị x. y = f ( x) −1 .

Ta có bảng biến thiên trên, ta có bảng biến thiên của y = f ( t ) như sau: t

−∞ +∞

-2

0 8

2

+∞ +∞

f (t) 77

4

4

Từ đó để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì 2 − m = 8 ⇔ m = −6 .

Ví dụ 3: (Sở GD&ĐT Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là

Đặt t = x + m ≥ 0 Với t = 0  x = m Với mỗi giá trị t > 0 sẽ ứng với 2 giá trị x Ta có phương trình : f ( t ) = m ( t ≥ 0 ) (*)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương Từ đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên miền t ≥ 0 3  m=   4   m = −1

Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.

A. 2.

B. Vô số.

C. 1.

D. 0

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG Mục tiêu: Giải quyết được một số bài tập về ứng dụng của đồ thị hàm số y= f (x)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Ví dụ 5: (Thi thử sở GĐ&ĐT Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình vẽ bên dưới. y

2 1 -1

-1

1

3

-2

Tập nghiệm của phương trình f ( 2sin x − 1 − 1) = m (với m là tham số) trên đoạn

[0;3π ] có tất cả bao nhiêu phần tử?

78

A. 8 .

B. 20 .

C. 12 .

D. 16 .

Phương thức tổ chức: Cá nhân – ở nhà.

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị x = 0 và x = 2 nên có dạng f ′ ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . d = 2 a = 1 c = 0   b = −3 Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được   .

2 3 ⋅ a ⋅ 2 + 2 ⋅ b ⋅ 2 = 0 c = 0   −a 3 + b + d = −2 d = 2 

x4 Suy ra f ′ ( x ) = x − 3 x + 2  f ( x ) = − x3 + 2 x + C .

4 4 x Mà f ( 0 ) = 0  C = 0  f ( x ) = − x3 + 2 x .

4 x =1  Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 − 3 . x =1+ 3  3

2

Suy ra bảng biến thiên: x

1− 3

−∞

f '( x )

-

0

1+ 3

1 +

0

-

0

+∞ +

5 4

+∞ f ( x)

+∞

-1

-1

Từ đó ta có bảng biến thiên của f ( x − 1) x

2− 3

−∞ -

f '( x )

0

+

0

-

0

5 4

+∞ f ( x)

2+ 3

2

-1

+∞ + +∞

-1 79

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ [ 0;3π ] nên 0 ≤ 2sin x − 1 ≤ 3 .

Đặt t = 2sin x − 1 , t ∈ [ 0;3] Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f ( t − 1) = m có tối đa 2 nghiệm ±h + 1  sin x =   2sin x − 1 = ± h 2 . t = h , t = k . Do đó  ⇔  2sin x − 1 = ± k sin x = ± k + 1  2 Trên [ 0;3π ] , mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất 16 nghiệm. Chọn D

80