BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM
GIẢI TÍCH 1 Biên Soạn: GS.TSKH. Đỗ Công Khanh (chủ biên) ThS. Lê Thị Hồng Ngọc ThS. Nguyễn Cao Trí
www.hutech.edu.vn
GIẢI TÍCH 1 Ấn bản 2015
MᝤC LᝤC
I
MᝤC LᝤC MᝤC LᝤC ...................................................................................................................I HĆŻáťšNG DẪN ........................................................................................................... VI BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN .................................................... 1 1.1 GIáťšI Háş N CᝌA HĂ€M Sáť? ....................................................................................... 1 1.1.1 Ä?áť‹nh nghÄŠa ..................................................................................................... 1 1.1.2 CĂĄc tĂnh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ..................................................................... 2 1.1.3 Giáť›i hấn lim u(x)v(x), dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ ................................................................. 3 1.2 VĂ” CĂ™NG BÉ, VĂ” CĂ™NG LáťšN VĂ€ GIáťšI Háş N ........................................................... 6 1.3 HĂ€M Sáť? LIĂŠN TᝤC ............................................................................................... 9 TĂ“M TẎT ................................................................................................................ 12 BĂ€I TẏP ................................................................................................................. 13 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM .......................................................................................... 14 BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN ........................................................... 15 2.1 CĂ C QUY TẎC TĂ?NH Ä?áş O HĂ€M............................................................................ 15 2.2 KHẢ VI, VI PHĂ‚N .............................................................................................. 17 2.2.1 Khả vi, vi phân.............................................................................................. 17 2.2.2 Vi phân cᝧa hĂ m hᝣp, tĂnh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân (cẼp máť™t) ......................... 18 2.2.3 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ ........................................... 19 2.2.4 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn ..................................................................................... 19 2.3 Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N CẤP CAO ........................................................................ 21 2.3.1 Ä?ấo hĂ m cẼp cao .......................................................................................... 21 2.3.2 CĂ´ng thᝊc Leibniz .......................................................................................... 21 2.3.3 Vi phân cẼp cao ............................................................................................. 22 2.3.4 ᝨng d᝼ng vi phân tĂnh gần Ä‘Ăşng ..................................................................... 22 2.4 CĂ C Ä?ᝊNH LĂ? Vᝀ GIĂ TRᝊ TRUNG BĂŒNH .............................................................. 23 2.5 CĂ”NG THᝨC TAYLOR ......................................................................................... 26 2.5.1 CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i phần dĆ° Peano ................................................................ 27 2.5.2 CĂ´ng thᝊc Maclaurin máť™t sáť‘ hĂ m sĆĄ cẼp .......................................................... 28 2.5.3 Sáť d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂnh gần Ä‘Ăşng cĂł Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘ ................................ 30 2.5.4 Sáť d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂnh giáť›i hấn ............................................................ 31 2.6 QUY TẎC L’HOSPITAL ....................................................................................... 31 TĂ“M TẎT ................................................................................................................ 33 BĂ€I TẏP ................................................................................................................. 34 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM .......................................................................................... 37 BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN ........................................................................ 39 3.1 DĂ™NG Ä?áş O HĂ€M KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) ...................................................... 39 3.2 KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? CHO BáťžI PHĆŻĆ NG TRĂŒNH THAM Sáť? ..................................... 42
II
MỤC LỤC
3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC ................................................... 45 3.3.1 Hệ tọa độ cực ................................................................................................45 3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng....................................................................................46 3.3.3 Đường cong trong tọa độ cực ...........................................................................47 3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực ............................................48 TÓM TẮT ................................................................................................................ 51 BÀI TẬP ................................................................................................................. 51 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 53 BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................................... 54 4.1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ 54 4.1.1 Tích phân xác định .........................................................................................54 4.1.2 Các tính chất của tích phân xác định .................................................................55 4.1.3 Tích phân với cận trên thay đổi ........................................................................55 4.1.4 Công thức Newton - Leibniz - định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................56 4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 (KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN VÔ HẠN).................... 58 4.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................58 4.2.2 Sử dụng công thức Newton - Leibniz .................................................................59 4.2.3 Tích phân không âm. Các định lý so sánh ..........................................................59 4.2.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................61 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 (HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN KHÔNG BỊ CHẶN) .. 62 4.3.1 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................62 4.3.2 Tích phân hàm không âm. Các định lý so sánh ...................................................63 4.3.3 Công thức Newton - Leibniz trong tích phân suy rộng .........................................64 4.3.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................64 4.3.5 Một số ví dụ ..................................................................................................64 TÓM TẮT ................................................................................................................ 67 BÀI TẬP ................................................................................................................. 67 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 68 BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 70 5.1 MẶT BẬC HAI .................................................................................................... 70 5.1.1 Ellipsoid ........................................................................................................70 5.1.2 Elliptic paraboloid ...........................................................................................71 5.1.3 Hyperboloid một tầng .....................................................................................71 5.1.4 Hyperboloid hai tầng ......................................................................................72 5.1.5 Hyperbolic paraboloid .....................................................................................73 5.1.6 Mặt trụ bậc hai ..............................................................................................73 5.1.7 Mặt nón bậc hai .............................................................................................74 5.2 HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................. 75 5.3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ..................................................................................... 76 5.4 ĐẠO HÀM RIÊNG ............................................................................................... 79 5.4.1 Đạo hàm riêng ...............................................................................................79
MỤC LỤC
III
5.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .................................................................................. 80 5.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT ................................................................. 82 5.5.1 Đạo hàm theo hướng và gradient của hàm 𝒇(𝒙, 𝒚) .............................................. 82 5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến ......................................... 84 TÓM TẮT ................................................................................................................ 86 BÀI TẬP ................................................................................................................. 87 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 89 BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................... 90 6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN .......................................................................................... 90 6.1.1 Khả vi và vi phân .......................................................................................... 90 6.1.2 Các tính chất của vi phân ............................................................................... 93 6.1.3 Tính gần đúng .............................................................................................. 93 6.1.4 Vi phân cấp cao ............................................................................................ 94 6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP ..................................................... 96 6.2.1 Vi phân của hàm hợp. Tính bất biến của dạng vi phân cấp một ........................... 98 6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp ................................................ 99 6.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN ..................................................... 100 6.3.1 Hàm ẩn ....................................................................................................... 100 6.3.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ............................................................ 101 6.4 CÔNG THỨC TAYLOR ....................................................................................... 105 TÓM TẮT .............................................................................................................. 108 BÀI TẬP ............................................................................................................... 110 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 112 BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................... 113 7.1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (CỰC TRỊ TỰ DO) ................................................... 113 7.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................................... 117 7.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 125 TÓM TẮT .............................................................................................................. 130 BÀI TẬP ............................................................................................................... 132 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 134 BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................................ 135 8.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ......................................................................... 135 8.1.1 Bài toán thể tích........................................................................................... 135 8.1.2 Định nghĩa tích phân kép ............................................................................... 136 8.1.3 Tính chất ..................................................................................................... 137 8.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................ 138 8.3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP..................................................... 145 8.3.1 Diện tích hình phẳng..................................................................................... 145 8.3.2 Thể tích vật thể............................................................................................ 145 8.3.3 Diện tích mặt cong ....................................................................................... 145 TÓM TẮT .............................................................................................................. 147
IV
MᝤC LᝤC
BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 148 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 150 BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP ................................................................ 152 9.1 TĂ?CH PHĂ‚N KÉP TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C............................................................... 152 9.2 Ä?áť”I BIáşžN Táť”NG QUĂ T .................................................................................... 156 9.3 ᝨNG DᝤNG CĆ HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP ........................................................ 157 9.3.1 Kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh pháşłng .......................................................................... 157 9.3.2 MĂ´-men quĂĄn tĂnh (mĂ´-men thᝊ hai) cᝧa mảnh pháşłng ..................................... 158 9.3.3 MĂ´-men tÄŠnh (mĂ´-men thᝊ nhẼt) cᝧa mảnh pháşłng ........................................... 158 9.3.4 Tráť?ng tâm ................................................................................................... 158 TĂ“M TẎT .............................................................................................................. 161 BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 162 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 164 BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N ........................................................................... 165 10.1 KHĂ I NIᝆM CĆ BẢN ...................................................................................... 165 10.1.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân .................................................................................. 165 10.1.2 Nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân ................................................................. 166 10.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 1 .................................................................... 167 10.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t ................................................................................. 167 10.2.2 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? Ä‘Ć°áť?ng cong ....................................................... 169 10.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP Máť˜T CĂ“ BIáşžN PHĂ‚N LY ................................... 171 10.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N Ä?ẲNG CẤP............................................................. 172 10.5 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TOĂ€N PHẌN .......................................................... 176 10.6 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 1 ................................................ 178 10.6.1 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange) ............................... 178 10.6.2 PhĆ°ĆĄng phĂĄp thᝍa sáť‘ tĂch phân .................................................................... 179 10.7 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH BERNOULLI ........................................................................ 180 TĂ“M TẎT .............................................................................................................. 182 BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 183 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 185 BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2 ................................................................. 186 11.1 KHĂ I NIᝆM CHUNG ....................................................................................... 186 11.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH GIẢM CẤP Ä?ƯᝢC ................................................................. 188 11.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa y vĂ y’ .................................................................. 188 11.2.2 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa y .......................................................................... 188 11.2.3 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa đ?’™ .......................................................................... 189 11.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 2 ................................................ 189 11.3.1 KhĂĄi niᝇm .................................................................................................. 189 11.3.2 Xây dáťąng nghiᝇm thᝊ hai khi biáşżt máť™t nghiᝇm ............................................... 195 11.3.3 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (TĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa ‌ thuần nhẼt) ............. 196 11.3.4 NguyĂŞn lĂ˝ xáşżp cháť“ng nghiᝇm ....................................................................... 198
MỤC LỤC
V
11.4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO ......................................................... 199 11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng ................................... 200 11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng .................................. 203 11.4.3 Nghiệm riêng phương trình không thuần nhất cấp hai. … bất định..................... 204 11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cấp cao hệ số hằng .............. 207 TÓM TẮT .............................................................................................................. 208 BÀI TẬP ............................................................................................................... 208 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 209
VI
HƯỚNG DẪN
HƯỚNG DẪN MÔ TẢ MÔN HỌC Môn học trang bị các kiến thức về giải tích các hàm một biến, giải tích các hàm
n
hàm một biến và ứng dụng; hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục; tích phân suy rộng;
hơ
N
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến; tích phân kép, chuyển tích phân
uy
sang tọa độ cực; phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và phương trình vi phân tuyến
Q
tính cấp cao hệ số hằng.
Kè
m
NỘI DUNG MÔN HỌC
Bài 1. Trình bày về giới hạn và liên tục của hàm số một biến cùng với khái niệm về
Bài 2. Nhắc lại đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp. Khái niệm và cách tìm đạo hàm
/+ D
ạy
vô cùng bé.
của hàm ẩn, đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. Trình bày các định lí
co
m
về giá trị trung bình và công thức Taylor.
Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số ở dạng tường minh,
Bài 4. Tích phân suy rộng loại 1, loại 2. Một số tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của
oo
gl
e.
dạng phương trình tham số và trong tọa độ cực.
tích phân suy rộng.
Bài 5. Khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. Đạo
.g
us
hàm riêng cấp một và cấp cao của hàm nhiều biến. Khái niệm đạo hàm theo hướng và gradient của hàm nhiều biến.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn, gradient; cực trị và
Bài 6. Tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Tìm đạo hàm riêng của hàm hợp, hàm ẩn, hàm cho bởi phương trình tham số. Công thức Taylor của hàm hai biến.
Bài 7. Tìm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
nhiều biến và phương trình vi phân. Nội dung bao gồm: phép tính vi tích phân đối với
HƯỚNG DẪN
VII
Bài 8. Trình bày về tích phân kép, đưa về tích lặp để tích tính tích phân kép và đổi thứ tự lấy tích phân. Ứng dụng của tích phân kép.
Bài 9. Đổi biến trong tích phân kép. Đổi sang tọa độ cực và tính tích phân kép trong tọa độ cực.
Bài 10. Khái niệm chung về phương trình vi phân. Một số dạng và cách giải một số
N
cấp cao hệ số hằng.
Q
uy
KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ
Kè
đạo hàm và tính tích phân của hàm một biến số.
m
Môn Giải tích 1 yêu cầu sinh viên có kĩ năng cơ bản tìm giới hạn của hàm số, tìm
ạy
YÊU CẦU MÔN HỌC
/+ D
Người học vận dụng được lí thuyết để tính các giới hạn và xét sự liên tục của hàm một biến; tính các đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn, và hàm cho bởi phương trình
m
tham số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm một biến trong tọa độ cực, từ phương trình
co
tham số, của các mặt bậc hai; khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng; tìm cực
e.
trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm số 2, 3 biến số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị
gl
nhỏ nhất của hàm số hai biến trên miền đóng, bị chặn; tích được tích phân kép, đưa
oo
về tính trên tọa độ cực trong những điều kiện cho phép; giải được phương trình vi
.g
phân cấp 1, cấp 2 và cấp cao tuyến tính hệ số hằng.
us
Sử dụng thành thạo các phương pháp diễn dịch, quy nạp trong toán học. Khuyến khích sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi và các chương trình trên máy tính hỗ trợ việc tính toán trong môn học. Người học cần đi học đầy đủ, đọc các nội dung sẽ được học trước khi đến lớp, làm các bài tập về nhà và đảm bảo thời gian tự học ở nhà.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
Bài 11. Trình bày phương trình vi phân cấp 2 (tổng quát) và phương trình vi phân
hơ
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
dạng phương trình vi phân cấp 1 (tách biến, đẳng cấp, tuyến tính,…).
VIII
HƯỚNG DẪN
CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC Để học tốt môn này, người học cần đọc trước các nội dung chưa được học trên lớp; tham gia đều đặn và tích cực trên lớp; hiểu các khái niệm, tính chất và ví dụ tại lớp học. Sau khi học xong, cần ôn lại bài đã học và làm các bài tập, câu trắc nghiệm. Tìm
hơ
Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm một biến và lí thuyết chuỗi,
N
NXB ĐHQG TPHCM, 2009" và "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu
uy
Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TPHCM, 2009". Hầu
Q
hết các kết quả lí thuyết trong bài giảng này đều không có chứng minh. Sinh viên có
m
thể tìm đọc thêm cuốn sách nêu trên để tìm hiểu các chứng minh chi tiết cho những
Kè
kết quả trong bài giảng, cũng như làm thêm bài tập để rèn luyện từ nguồn bài tập và
ạy
các ví dụ đã giải sẵn trong đó.
/+ D
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC
m
Môn học được đánh giá gồm hai thành phần.
Phần điểm quá trình chiếm 30%, hình thức và nội dung đánh giá điểm quá trình do
.g
oo
gl
e.
Phần điểm cuối khóa chiếm 70%, hình thức bài thi trắc nghiệm trong 90 phút.
us
co
giảng quyết định và công bố cho người học đầu khóa học.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
n
Tài liệu này được biên soạn dựa theo cuốn sách "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
đọc thêm các tài liệu khác liên quan đến bài học và làm thêm bài tập.
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
1
BÀI 1: GI᝚I HẠN VÀ LIÊN TᝤC
Kè
m
XĂŠt tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ trĂŞn máť™t khoảng xĂĄc Ä‘áť‹nh.
ấy
1.1 GI᝚I HẠN CᝌA HÀM S�
/+ D
1.1.1 Ä?áť‹nh nghÄŠa
m
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.1 (TrĂŞn ngĂ´n ngᝯ â€œď Ľ -ď ¤â€?)
co
Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇ. Ta nĂłi sáť‘ đ?‘Ž lĂ giáť›i hấn cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0
e.
(hay là khi � tiến t᝛i �0 ), nếu:
lim f ( x)  a.
oo
khi Ẽy ta viết:
gl
ď€˘ď Ľ > 0, ď€¤ď ¤ = ď ¤ (ď Ľ ): đ?‘Ľ ďƒŽ đ??ˇ, 0 < ď ź đ?‘Ľ – đ?‘Ľ0 ď ź < ď ¤ ďƒžď źđ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘Žď ź < ď Ľ (1) x ď‚Ž x0
us
.g
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.2 (TrĂŞn ngĂ´n ngᝯ dĂŁy) Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇ vĂ đ?‘Ľ0 . Ta nĂłi sáť‘ đ?‘Ž lĂ giáť›i hấn cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 , náşżu
đ?‘Ľđ?‘› ďƒŽ đ??ˇ, đ?‘Ľđ?‘› ď‚š đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľđ?‘› ď‚Ž đ?‘Ľ0 ďƒž đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› ) ď‚Ž đ?‘Ž. ďƒŚ ďƒś CĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn vĂ´ cĂšng ďƒ§ďƒ§ lim f ( x)  ď‚Ľ ďƒˇďƒˇ ďƒ¨ x ď‚Ž x0 ďƒ¸
ďƒŚ lim f ( x) ďƒś ďƒ§ ďƒˇ đưᝣc Ä‘áť‹nh nghÄŠa nhĆ° sau: ďƒ¨ x  ďƒ¸
hoạc gi᝛i hấn tấi vô cÚng
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Q
đạc biᝇt là cåc vô cÚng bÊ tưƥng đưƥng. -
hĆĄ
TĂŹm giáť›i hấn cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ dĂšng máť™t sáť‘ káťš thuáşt biáşżn Ä‘áť•i tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng,
uy
-
N
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
2 1. 2.
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
lim f (x)   ď‚Ľ ďƒ› E  0,
ď€¤ď ¤ = ď ¤ (E):
x ď‚Ž xo
đ?‘“(đ?‘Ľ) > đ??¸, x ďƒŽ D f, 0 < |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 | < đ?›ż|.
lim f (x)  a ďƒ› ď€˘ď Ľ  0, ď€¤ď „  ď „(ď Ľ) : f (x) ď€ a  ď Ľ, x ďƒŽ Df , x  ď „
x  
hĆĄ uy
1 1 , xn’ = . Khi Ẽy ta cĂł 2nď ° 2nď °  2ď °
Q
ďƒŠ Tháşt váşy, lẼy xn =
N
1 Và d᝼ 1.1.1. Chᝊng t� rẹng không tᝓn tấi lim sin . x x0
Kè
Váşy khi x ď‚Ž 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng cĂł giáť›i hấn ďƒť.
m
f(xn) ď‚Ž 0; f(x'n) = 1 ď‚Ž 1.
ấy
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.1. CĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn nĂŞu trong hai Ä‘áť‹nh nghÄŠa trĂŞn lĂ tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng.
/+ D
1.1.2 CĂĄc tĂnh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘
m
Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa giáť›i hấn trĂŞn ngĂ´n ngᝯ dĂŁy vĂ cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa dĂŁy háť™i t᝼ ta cĂł cĂĄc
co
tĂnh chẼt sau:
e.
1) Nếu �(�) có gi᝛i hấn khi � → �0 thÏ gi᝛i hấn đó là duy nhẼt. x  xo
oo
x ď‚Ž xo
gl
2) Náşżu lim f (x)  a, lim g(x)  b , thĂŹ a) lim ď ›Cf (x)ď ?  Ca
(C- háşąng sáť‘)
us
.g
x ď‚Ž xo
b) lim ď › f (x)  g(x)ď ?  a  b x ď‚Ž xo
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
ChĂş Ă˝ 1.1.3. Tᝍ Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.2, Ä‘áťƒ chᝊng táť? hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng tiáşżn táť›i đ?‘Ž khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 ta thĆ°áť?ng lĂ m nhĆ° sau: xây dáťąng hai dĂŁy đ?‘Ľđ?‘› vĂ đ?‘Ľđ?‘›â€˛ cĂšng tiáşżn táť›i đ?‘Ľ0 , nhĆ°ng sao cho đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› ) ď‚Ž đ?‘?, đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘›â€˛ ) ď‚Ž đ?‘? vĂ Ăt nhẼt máť™t trong hai sáť‘ đ?‘? hoạc đ?‘? phải khĂĄc đ?‘Ž.
c) lim ď › f (x)g(x)ď ?  ab x ď‚Ž xo
f (x) a  b x  xo g(x)
d) v᝛i b  0, lim
3) Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) trong máť™t lân cáşn nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 vĂ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Tưƥng t᝹ v᝛i cåc trư�ng hᝣp -.
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
3
lim g(x)  b
lim f (x)  a ;
x ď‚Ž xo
x ď‚Ž xo
khi Ä‘Ăł ta cĂł a ď‚Ł b. 4) Náşżu trong máť™t lân cáşn nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 ta cĂł:
lim f (x)  a  lim h(x)
x ď‚Ž xo
hĆĄ
n
x ď‚Ž xo
lim g(x)  a .
khi Ä‘Ăł ta cĂł:
uy
N
x ď‚Ž xo
Q
1.1.3 Gi᝛i hấn lim u(x)v(x), dấng vô đᝋnh 1
m
Trư᝛c tiên, ta xÊt m᝙t và i và d᝼. x
Kè
Và d᝼ 1.1.2. lim a x  a 0 , a  0.
ấy
x ď‚Ž x0

1 n

ď‚Ž 1 , cho nĂŞn
m
ď‚Ž 1, a
ď€
co
Mạt khåc, vÏ
1 n a
/+ D
ďƒŠ Ta chᝉ cần xĂŠt trĆ°áť?ng hᝣp a > 1. Ta cĂł: a x ď€ a xo  a xo a x ď€ xo ď€ 1
ď€
1
1
e.
ď€˘ď Ľ> 0,  N:  n > N ďƒž 1 – ď Ľ< a n < a n < 1 + ď Ľ
gl
1 N
ta cĂł
oo
khi Ẽy, váť›i ď ź x – đ?‘Ľ0 ď ź<
.g
1 – ď Ľ< a-1/N < a x ď€ xo <a1/N < 1 + ď Ľ
us
ďƒž lim a x ď€ xo = 1 ďƒž lim a x  a xo ďƒť. x ď‚Ž xo
x ď‚Ž xo
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
vĂ
Và d᝼ 1.1.3. lim ln x  ln x0 , x0  0. x  x0
Bấn đ�c t᝹ chᝊng minh. Bây gi�, ta chᝊng minh mᝇnh đᝠsau.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
�(�) ≤ �(�) ≤ ℎ(�)
4
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
Mᝇnh Ä‘áť 1.1.2. Cho đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘˘(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž > 0; đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = đ?‘?, khi Ẽy ta cĂł lim đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘? .
�→�0
ďƒŠ
Theo b) vĂ cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł lim v(x) ln u(x)  b ln a
n
uy Q
ď‚Že
ďƒŚ 1 ďƒś  ďƒ§1  ďƒˇ n 1ďƒ¸ ďƒ¨
n 1
m
ďƒŚ 1 ďƒś ďƒž ďƒ§1  ďƒˇ n 1ďƒ¸ ďƒ¨
 e.
n 1 e n  2
Kè
n 1
x
N

n 1
n
ďƒŚ 1 ďƒś ; ďƒ§1  ďƒˇ  e ď€Ťď Ľ n 1ďƒ¸ ďƒ¨
/+ D
1ďƒś ďƒŚ do Ä‘Ăł  ď Ľ  0,  N :  n  N ďƒž e – ď Ľ< ďƒ§ 1  ďƒˇ nďƒ¸ ďƒ¨
ấy
1ďƒś
ďƒŚ
Ta cĂł ďƒ§ 1  ďƒˇ nďƒ¸ ďƒ¨
m
v᝛i x > N +1, ta có phần nguyên [x] > N, cho nên [x]
ďƒŚ x  ďƒ¨
1ďƒś
e.
co
ďƒŚ 1 ďƒś e ď€ ď Ľ  ďƒ§1  ďƒˇ [x]  1 ďƒ¸ ďƒ¨ x
x
[x]  1
1ďƒś 1 ďƒś ďƒŚ ďƒŚ  ďƒ§1  ďƒˇ  ďƒ§1  ďƒˇ x [x] ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒ¨ ďƒ¸
 e ď Ľ
.g
oo
ďƒ¸
gl
Váşy lim ďƒ§ 1  ďƒˇ = e ďƒť. x
us
Dᝅ thẼy, ta cŊng lấi có:
1ďƒś ďƒŚ e = lim ďƒ§ 1  ďƒˇ xďƒ¸ x ď‚Žď€ď‚Ľ ďƒ¨
x
= lim (1  x o
1 x) x
Bây giáť? cĂł tháťƒ xĂŠt giáť›i hấn dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ qua cĂĄc vĂ d᝼ sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
 x
Và d᝼ 1.1.4. Chᝊng minh: lim 1  1x
hĆĄ
x ď‚Ž xo
x ď‚Ž xo
ďƒŠ
n
váşy theo a) ta đưᝣc lim u(x) v(x) = lim ev(x) ln u(x) = eb lna = abďƒť.
ďƒŚ x2  1 ďƒś ďƒˇ VĂ d᝼ 1.1.5. TĂŹm lim ďƒ§ x ď‚Žď‚Ľ ďƒ§ x2 ď€ 2 ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒŚ x2  1 ďƒś ďƒŠ Ta cĂł: ďƒ§ 2 ďƒˇ ďƒ§ x ď€ 2ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸
x2
x2
. 3x2 x ď€ 2 ďƒš x2 ď€ 2 ďƒś 3 ďƒş
ďƒŠ ďƒŞďƒŚ 3 = ďƒŞďƒ§ 1  ďƒˇ 2 x ď€ 2ďƒ¸ ďƒŞďƒ¨ ďƒŤ
2
ďƒş ďƒş ďƒť
ď‚Ž e3
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x ď‚Ž xo
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
5
trĆ°áť›c tiĂŞn sáť d᝼ng c) ta cĂł [‌] → đ?‘’, sau Ä‘Ăł sáť d᝼ng Mᝇnh Ä‘áť 1.1.2. ďƒť. VĂ d᝼ 1.1.6. 1/sin x
lim(cos x) x ď‚Ž0
ď ť
1/(cos x ď€1)
 lim [1  (cos x ď€ 1) ] x ď‚Ž0
ď ˝
cos x ď€1 sin x
 e0  1.
uy
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł khĂĄi niᝇm giáť›i hấn phải: đ?‘? = limđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0+ đ?‘“(đ?‘Ľ); đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ). x ď‚Ž 0
x ď‚Ž 0ď€
Kè
x ď‚Ž1ď€
m
x 1
Q
Và d᝼. lim [x]  1 ; lim [x]  0 ; lim 21 / x   ; lim 2 1/ x  0.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.3. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł giáť›i hấn tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł cĂĄc giáť›i hấn trĂĄi –
ấy
đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), giáť›i hấn phải đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) vĂ chĂşng báşąng nhau đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) = đ?‘Ž, khi Ẽy đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘“(đ?‘Ľ) =
/+ D
đ?‘Ž.
m
Bấn đ�c t᝹ chᝊng minh.
co
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.5. HĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) đưᝣc gáť?i tăng (tĆ°ĆĄng ᝊng tăng chạt) trĂŞn đ?‘¨, náşżu:
e.
∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´; đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) (tĆ°ĆĄng ᝊng đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) < đ?‘“(đ?‘Ľ2 )).
gl
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł khĂĄi niᝇm hĂ m giảm vĂ giảm chạt. CĂĄc hĂ m tăng, hĂ m giảm đưᝣc
oo
gáť?i chung lĂ cĂĄc hĂ m Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu. CĂĄc hĂ m tăng chạt, hĂ m giảm chạt đưᝣc gáť?i chung lĂ
.g
cåc hà m đƥn điᝇu chạt.
náşżu:
us
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.6. HĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) đưᝣc gáť?i báť‹ chạn trĂŞn (tĆ°ĆĄng ᝊng báť‹ chạn dĆ°áť›i) trĂŞn A
∃đ??ś ∈ â„?: đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ??ś (tĆ°ĆĄng ᝊng đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ đ??ś), ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.4. Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng vĂ báť‹ chạn trĂŞn trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy táť“n tấi giáť›i hấn trĂĄi tấi đ?‘?: limď€ f ( x). xď‚Žb
TĆ°ĆĄng táťą, náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) giảm vĂ báť‹ chạn dĆ°áť›i trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ táť“n tấi giáť›i hấn phải tấi đ?‘Ž,
lim f ( x).
x a 
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ?‘Ž = đ?‘“(đ?‘Ľ0− ).
N
xď‚Ž x0 ď€
hĆĄ
a  lim f ( x) hoạc
Khi Ẽy ta viết:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
âˆ€ď Ľ > 0 âˆƒď ¤ âˆś ∀ đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ, 0 < đ?‘Ľ0 – đ?‘Ľ < ď ¤ â&#x;š | đ?‘“(đ?‘Ľ)– đ?‘Ž | < ď Ľ.
n
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.4. Cho hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn đ??ˇ. Sáť‘ đ?‘Ž đưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn trĂĄi cᝧa hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 (hay lĂ giáť›i hấn khi đ?‘Ľ tiáşżn táť›i đ?‘Ľ0 tᝍ bĂŞn trĂĄi), náşżu:
6
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
1.2 VĂ” CĂ™NG BÉ, VĂ” CĂ™NG LáťšN VĂ€ GIáťšI Háş N Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.1. HĂ m sáť‘ ď Ą(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i vĂ´ cĂšng bĂŠ (viáşżt tắt VCB) khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 náşżu lim ď Ą ( x)  0 (áť&#x; đây đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ lĂ ď‚ą ď‚Ľ ). xď‚Ž 0
CĂĄc tĂnh chẼt cᝧa VCB
N
đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .
đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 , ď ˘(đ?‘Ľ) báť‹ chạn trong lân cáşn nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy
uy
b) ď Ą(đ?‘Ľ) lĂ VCB khi
Q
ď Ą(đ?‘Ľ) ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .
m
c) lim  a ďƒ› f ( x)  a  ď Ą( x).
Kè
xď‚Ž xo
1 1 - VCB, khi x  0, vÏ x - VCB và sin bᝋ chạn. x x
/+ D
VĂ d᝼ 1.2.1. ď Ą(x) = xsin
ấy
trong Ä‘Ăł ď Ą(đ?‘Ľ)lĂ VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.2. Cho ď Ą(x), ď ˘(x) - VCB khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 . ChĂşng đưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB so ď Ą(x)  c (c cĂł tháťƒ ď‚ąď‚Ľ). Khi Ä‘Ăł, náşżu x ď‚Ž xo ď ˘(x)
co
m
sånh đưᝣc nếu tᝓn tấi gi᝛i hấn: lim
e.
a) c ď‚š 0, c ď‚šď‚Ľ thĂŹ ta nĂłi ď Ą(x), ď ˘(x) lĂ nhᝯng VCB cĂšng cẼp.
gl
b) c = 0, ta nĂłi ď Ą(x) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˘(x), vĂ kĂ˝ hiᝇu:
oo
ď Ą(x) = 0 (ď ˘(x)) (khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 ) (Ä‘áť?c lĂ O - micro cᝧa ď ˘(x))
.g
c) Táť“n tấi r > 0 sao cho ď Ą(x) cĂšng cẼp váť›i [ď ˘(x)]r thĂŹ ta nĂłi ď Ą(x) lĂ VCB cẼp r Ä‘áť‘i
us
váť›i VCB ď ˘(x). VĂ d᝼ 1.2.2. a) lim
xď‚Ž0
1 ď€ cos x x
2

1 , nhĆ° váşy 1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ vĂ đ?‘Ľ 2 lĂ nhᝯng VCB cĂšng cẼp, hĆĄn nᝯa ta cĂł 2
1 – đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ = 0(đ?‘Ľ), đ?‘Ľ ď‚Ž 0. b)
1
ďƒŚ1ďƒś  0 ďƒ§ ďƒˇ , x ď‚Ž ď‚Ľ. ďƒ¨xďƒ¸ x 2
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
a) Náşżu ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 thĂŹ ď Ą(đ?‘Ľ) ď‚ą ď ˘(đ?‘Ľ), ď Ą(đ?‘Ľ) ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khi
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
Tᝍ cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł:
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
c)
lim x3 / 2 ( x3  2 ď€
x 
x3 / 2 .4
x3 ď€ 2) = lim
x 
3
3
x 2 x ď€2
 lim
x 
4 1
2 x3
 1 ď€ 23
7 2
x
NhĆ° váşy, cĂĄc VCB ď Ą(x)  x3  2 ď€ x3 ď€ 2 vĂ ď ˘(x)  xď€3/ 2 cĂšng cẼp. Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.3. Cho ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ cĂĄc VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 . ChĂşng đưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB
ď Ą( x )  1. xď‚Ž xo ď ˘( x)
Q
a) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď ˘ (đ?‘Ľ) ďƒ›ď Ą (đ?‘Ľ) – ď ˘ (đ?‘Ľ) = 0(ď Ą(đ?‘Ľ)) ďƒ›ď Ą (đ?‘Ľ) – ď ˘ (đ?‘Ľ) = 0(ď ˘(đ?‘Ľ)).
m
b) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď Ą(đ?‘Ľ).
Kè
c) ď Ą1(x) ď žď ˘1(x), ď Ą2(x) ď žď ˘2(x) ďƒžď Ą1(x) ď Ą2(x) ď žď ˘1(x) ď ˘2(x)
ấy
d) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď ˘(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) ď žď §(đ?‘Ľ) ďƒžď Ą(đ?‘Ľ) ď žď §(đ?‘Ľ)
/+ D
e) Cho ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khĂĄc cẼp. Khi Ẽy
m
ď Ą(đ?‘Ľ) + ď ˘(đ?‘Ľ) tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng váť›i VCB cẼp thẼp hĆĄn.
e.
co
f) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď Ą1 (đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) ď žď ˘1 (đ?‘Ľ). Khi Ẽy:
ď Ą( x) ď Ą ( x)  lim 1 . xď‚Ž xo ď ˘( x) xď‚Ž xo ď ˘1 ( x) lim
gl
g) (Quy tắc ngắt báť? VCB cẼp cao) Náşżu cĂĄc VCB ď Ą(x) vĂ ď ˘(x) lĂ táť•ng cᝧa cĂĄc VCB ď Ą (x) báşąng giáť›i hấn cᝧa tᝡ sáť‘ hai VCB cẼp thẼp cᝧa táť ď ˘(x)
.g
và mẍu.
oo
khåc cẼp thÏ gi᝛i hấn cᝧa tᝡ sᝑ
us
Ta cĂł máť™t vĂ i VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng Ä‘ĂĄng nháť› sau đây (khi đ?‘Ľ ď‚Ž 0): sin đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ, tan đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ.
(1)
arcsin đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ, ln(1 + đ?‘Ľ) ď ž đ?‘Ľ, đ?‘’ đ?‘Ľ – 1 ď ž đ?‘Ľ.
(2)
n 1 x
ď€1 ~
1 x. n
VĂ d᝼ 1.2.3. TĂnh I  lim
xď‚Ž0
(3)
sin


x  2 ď€ 2  x2  3tg 2 x sin x3  2 x
.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n uy
N
Ta cĂł cĂĄc tĂnh chẼt sau cᝧa VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng (khi đ?’™ ď‚Ž đ?’™đ?&#x;Ž ):
hĆĄ
Khi Ä‘Ăł ta viáşżt ď Ą(đ?‘Ľ)ď žď ˘(đ?‘Ľ)(đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 ).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng náşżu lim
8
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
Ta cĂł sin


x2ď€ 2 ~
x2ď€ 2 ~
x 2 2
;
đ?‘Ľ 2 3đ?‘Ąđ?‘”3 đ?‘Ľ = đ?‘‚(đ?‘Ľ); đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ + đ?‘‚(đ?‘Ľ). x
x
 0( x)
uy
N
đ?‘™đ?‘›(1 – 2đ?‘Ľ sin2 đ?‘Ľ)ď ž − 2đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›2 đ?‘Ľ ď ž − 2đ?‘Ľ 3 ;
Q
đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ 2 đ?‘Ąđ?‘”đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 2 đ?‘Ąđ?‘”đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 3 .
m
Do Ä‘Ăł, đ??ź = −2.
xď‚Ž x0
1 lĂ VCB. f (x)
/+ D
RĂľ rĂ ng váť›i đ?‘“(đ?‘Ľ) ≠0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) lĂ VCL ďƒ›
ấy
Kè
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.4 (vĂ´ cĂšng láť›n). HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ vĂ´ cĂšng láť›n (viáşżt tắt VCL) khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 náşżu lim f ( x)  .
m
TĆ°ĆĄng táťą nhĆ° VCB ta cĹŠng cĂł tháťƒ phân loấi cĂĄc VCL. f (x)  C. x ď‚Ž xo g(x)
e.
co
Cho �(�), �(�) là cåc VCL khi �  �0 và  lim
gl
a) Nếu C  0, C  ta nói �(�), �(�) là cåc VCL cÚng cẼp.
oo
b) C =1, ta nĂłi chĂşng lĂ cĂĄc VCL tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng.
.g
f (x) - VCL ta nói �(�) -VCL cẼp cao hƥn �(�). g(x)
us
c) Náşżu
d) Nếu �(�), �(�) - cåc VCL khåc cẼp, thÏ �(�) + �(�) tưƥng đưƥng VCL cẼp cao
hĆĄn.
e) Gi᝛i hấn cᝧa
f (x) cĂł tháťƒ đưᝣc thay báşąng giáť›i hấn cĂĄc VCL tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng. g(x) n
n
Và d᝼ 1.2.5. Ta có a0  a1 x  ...  an x ~ an x , x  
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n hĆĄ
ln(1 ď€ 2 x sin 2 x) . VĂ d᝼ 1.2.4. TĂnh I  lim xď‚Ž x0 sin x 2tgx
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1  lim 2 2  NhĆ° váşy, I  lim 2 2 ďƒť. x ď‚Ž xo 2 x  0( x) x ď‚Ž0 2 x 4 2
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
a0  a1 x  ...an xn
cho nĂŞn lim
x
 lim
b0  b1 x  ...bm xm
x
an xn
bm xm
9
.
1 ln x  lim ln x x  0. x x x
Và d᝼ 1.2.6. lim
n  1  1.
ln x  0. x  x

hĆĄ
N
ď‚Ž 1.
Q
 1.
Tᝍ đây ta có lim

VĂ d᝼ 1.2.7. lim x ď€ ln x  .
/+ D
x 
ď‚Ł [ x]
1 |  1) x|
m
x 
 ([ x]
1  1) x
Kè
NhĆ° váşy, lim
1 xx
1 xx
m
Theo VĂ d᝼ 1.2.6 thĂŹ đ?‘Ľ lĂ VCL cẼp cao hĆĄn đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ, cho nĂŞn: đ?‘Ľ − đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ.
co
1.3 HÀM S� LIÊN TᝤC
e.
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.1. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi Ä‘iáťƒm Ẽy vĂ lim f ( x)  f ( x0 ).
gl
xď‚Ž x0
oo
HĂ m sáť‘ đưᝣc xem lĂ liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂ´ láşp.
us
.g
Tᝍ cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy cĂĄc hĂ m sáť‘ đ??śđ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ). đ?‘”(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . NgoĂ i ra náşżu đ?‘”(đ?‘Ľ0 ) ≠0 thĂŹ hĂ m sáť‘
đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)
cŊng liên t᝼c tấi �0 .
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.2. Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) > 0, khi Ẽy sáş˝ cĂł máť™t ď ¤ - lân cáşn cᝧa đ?‘Ľ0 , sao cho váť›i máť?i x thuáť™c lân cáşn Ẽy (vĂ thuáť™c miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ)) ta cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) > 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
uy
Mạt khåc, v᝛i � > 1 ta có 1 
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n 
n  1 , tᝍ đây dᝅ nhÏn thẼy
n
n
ấy
Ta cĂł lim
10
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.3 (tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m hᝣp). Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn A, f(A) ďƒŒ B, g(y) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn B. Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c tấi đ?’™đ?&#x;Ž ∈ đ?‘¨, đ?’ˆ(đ?’š) liĂŞn t᝼c tấi đ?’šđ?&#x;Ž = đ?’‡(đ?’™đ?&#x;Ž ), thĂŹ hĂ m hᝣp đ?’ˆ(đ?’‡(đ?’™)) liĂŞn t᝼c tấi đ?’™đ?&#x;Ž . Tᝍ cĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn ta cĂł
hĆĄ
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.2. HĂ m đ?’‡(đ?’™) đưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c trĂĄi tấi đ?’™đ?&#x;Ž náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?’™đ?&#x;Ž vĂ
N
lim f ( x)  f ( xo ) (tᝊc lĂ f ( x0ď€ )  f ( xo )) .
uy
xď‚Ž xo ď€
Q
Tưƥng t᝹ ta có khåi niᝇm liên t᝼c phải.
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.5. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł liĂŞn t᝼c trĂĄi vĂ liĂŞn t᝼c phải
Kè
tấi Ä‘iáťƒm Ẽy.
lim ďƒŠďƒŤ x ďƒšďƒť  k ; 
lim ďƒŠďƒŤ x ďƒšďƒť  k ď€ 1. ď€
xď‚Ž k
/+ D
xď‚Ž k
ấy
VĂ d᝼ 1.3.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = [đ?‘Ľ] liĂŞn t᝼c phải tấi đ?‘˜ ∈ ℤ nhĆ°ng khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi Ä‘Ăł.
m
Và d᝼ 1.3.3. Hà m Dirichlet
co
1, đ?‘Ľ ∈ â„š đ?œ’(đ?‘Ľ) = { khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ ∈ â„?. 0, đ?‘Ľ ∈ â„?\â„š
e.
Cho đ?‘Ľ0 ∈ â„š, theo tĂnh chẼt cᝧa sáť‘ tháťąc, táť“n tấi dĂŁy sáť‘ vĂ´ tᝡ đ?‘Ľđ?‘› háť™i t᝼ Ä‘áşżn đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy,
oo
gl
�(�� ) = 0  0 ≠�(�0 ) = 1.
.g
Váşy đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . TĆ°ĆĄng táťą đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm vĂ´ tᝡ.
us
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.4. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 thĂŹ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ). a) Náşżu táť“n tấi cĂĄc giáť›i hấn hᝯu hấn
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
Ä‘iáťƒm xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa nĂł.
f(xo-) = lim f (x) x ď‚Ž xo ď€
;
f(xo+) =
lim f (x)
x  xo 
nhĆ°ng ba sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ), đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng nhau thĂŹ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn. Khi Ẽy ta gáť?i đ?‘Ľ0 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 1. CĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 1 cĂł tháťƒ đưᝣc phân ra hai loấi: -
Ä?iáťƒm khᝠđưᝣc náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.4 (tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa cĂĄc hĂ m sĆĄ cẼp). HĂ m sáť‘ sĆĄ cẼp liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
-
11
Ä?iáťƒm nhảy, náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ). Khi Ẽy hiᝇu sáť‘: â„Ž = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) − đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) đưᝣc gáť?i lĂ bĆ°áť›c nhảy cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 . b) Ä?iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn khĂ´ng thuáť™c loấi 1 đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 2. NhĆ° váşy
tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 2 khĂ´ng táť“n tấi Ăt nhẼt máť™t giáť›i hấn (hᝯu hấn) máť™t phĂa.
uy
N
hĆĄ
1 1 ď€ VĂ d᝼ 1.3.6. Khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ y  x x  1 . 1 1 ď€ x ď€1 x
x ď‚Žď€1ď‚ą
x ď‚Ž1
/+ D
x ď‚Ž0
x ď€1 0 x ď‚Ž1 x  1
lim y(x)  lim
ấy
x ď€1  ď€1 ; x ď‚Ž0 x  1
lim y(x)  lim
Kè
x ď‚Žď€1ď‚ą
x ď€1  . x1
m
lim y( x)  lim
Q
HĂ m sáť‘ khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?‘Ľ = −1, 0, +1. Ta cĂł
Váşy đ?‘Ľ = −1 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi hai. CĂĄc Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ = 0 vĂ đ?‘Ľ = 1 lĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn
m
đoấn khᝠđưᝣc.
co
Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.7. HĂ m sáť‘ đưᝣc gáť?i liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] náşżu nĂł liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm cᝧa khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ liĂŞn t᝼c phải tấi đ?‘Ž, liĂŞn t᝼c trĂĄi tấi đ?‘?.
gl
e.
HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn cĂł cĂĄc tĂnh chẼt sau.
oo
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.6. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ báť‹ chạn trĂŞn Ä‘oấn Ä‘Ăł.
.g
Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ âˆƒđ??´, đ??ľ: đ??´ ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ??ľ, ∀đ?‘Ľ ďƒŽ [đ?‘Ž, đ?‘?].
us
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.7. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ đất cĂĄc giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ nháť? nhẼt trĂŞn Ä‘oấn Ẽy.
Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ táť“n tấi cĂĄc sáť‘ x1, x2ďƒŽ [đ?‘Ž, đ?‘?] sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ), ∀ đ?‘Ľ ∃ [đ?‘Ž, đ?‘?]. GiĂĄ tráť‹ đ?‘š = đ?‘“(đ?‘Ľ1 ), đ?‘€ = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) đưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt vĂ láť›n nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.8. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ đất tẼt cả cĂĄc giĂĄ tráť‹ trung gian giᝯa đ?‘“(đ?‘Ž) vĂ đ?‘“(đ?‘?).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
cĂł đ?’™ = đ?&#x;? lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn khᝠđưᝣc.
n
x2 ď€ 4 xď€2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Và d᝼ 1.3.5. �(�) =
12
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y háť?c viĂŞn, trĆ°áť›c háşżt, Ă´n lấi viᝇc tĂnh giáť›i hấn cᝧa hĂ m máť™t biáşżn. Sau lĂ m quen váť›i khĂĄi niᝇm vĂ´ cĂšng bĂŠ, dĂšng nĂł Ä‘áťƒ tĂnh giáť›i hấn. VĂ xĂŠt tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa máť™t biáşżn sáť‘.
uy
x ď‚Ž xo
hĆĄ
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł giáť›i hấn phải: b  lim  f ( x) hay đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ).
N
ď€˘ď Ľ > 0 ď€¤ď ¤ âˆś đ?‘ĽďƒŽđ??ˇ, 0 < đ?‘Ľ0 – đ?‘Ľ < ď ¤ďƒžď źđ?‘“(đ?‘Ľ) – đ?‘Žď ź < ď Ľ.
Q
HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł giáť›i hấn tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł cĂĄc giáť›i hấn trĂĄi đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), giáť›i hấn
m
phải đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) vĂ chĂşng báşąng nhau đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) = đ?‘Ž, khi Ẽy lim f ( x)  a.
Kè
xď‚Žx0
ấy
2. HĂ m sáť‘ ď Ą(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i vĂ´ cĂšng bĂŠ (viáşżt tắt VCB) khi đ?‘Ľď‚Žđ?‘Ľ0 náşżu lim ď Ą ( x)  0 (áť&#x; đây đ?‘Ľ0 xď‚Ž 0
/+ D
cĂł tháťƒ lĂ ď‚ą ď‚Ľ ). Cần lĆ°u Ă˝ cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa VCB Ä‘áťƒ ĂĄp d᝼ng tĂnh giáť›i hấn. Cho ď Ą(x), ď ˘(x) lĂ cĂĄc VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 . ChĂşng đưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng
ď Ą( x)  1. xď‚Ž xo ď ˘( x )
co
m
náşżu: lim
e.
3. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi Ä‘iáťƒm Ẽy vĂ đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘“(đ?‘Ľ) =
us
.g
oo
gl
đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
xď‚Ž x0 ď€
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1. Sáť‘ đ?‘Ž đưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn trĂĄi cᝧa hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi Ä‘iáťƒmđ?‘Ľ0 , viáşżt a  lim f ( x) , náşżu:
13
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
BÀI TẬP Bài 1. Tính giới hạn của hàm số sau. f)
x 1 . x1 n x 1
1 g) lim cot gx .
lim x x x x . x
h)
1 lim x sin . x x
i)
lim
j)
2
x . 1 x
e) lim
cos x
.
n
3 cos x
x2
hơ
x0
3x4
N
uy
.
.
1
Q
n) lim cos x x 2 .
b) lim x
x0
1
1 tgx sin x o) lim . x0 1 sin x
1 cos x . sin x
e.
co
m
1 x 2 1.
lim
.
x2
/+ D
Bài 2. Tính các giới hạn một phía sau.
x 1
x
x2
m) lim x x 3
1 sin x 1 sin x . x x0 lim
x 0 5 1 5 x
a) lim
1 cos x
x 0
l)
m
1 x n1
x1
sin x
2
ln cos x
x0
Kè
d)
x0
1 x 1 3 x ...1 n x . lim
k) lim
ạy
c)
m
ln 1 2 x 2
.
us
.g
x0
sin 2 3x
oo
a) lim
gl
Bài 3. Dùng vô cùng bé tương đương, tính các giới hạn sau b) lim
x0
ln cos x
ln 1 x 2
.
Bài 4. So sánh các vô cùng bé sau (khi x0), các vô cùng bé nào là tương đương?
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
b) lim
sin 5 x . x0 tg 8 x lim
a) x 1 cos3 x, x x sin x. b) x sin x tgx, x 1 cos x. c) x x sin 2 x, x x2 sin x.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 2x 3 . x 4 x 2
a) lim
14
BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN
BĂ i 5. XĂŠt tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa cĂĄc hĂ m sau.
n hĆĄ
 
ấy
Kè
CÂU HᝎI TRẎC NGHIᝆM
m
Q
uy
N
ďƒŹ x ln x 2 , x ď‚š 0 ďƒŻ c) f ( x)  ďƒ ďƒŻ a, x  0. ďƒŽ
m
/+ D
ďƒŹ e2 x ď€ 2 ď€ 1 ďƒŻ ,ď€ x ď‚š 1 Câu 1. XĂĄc Ä‘áť‹nh a Ä‘áťƒ hĂ m sáť‘ y  f ( x)  ďƒ 1 ď€ x liĂŞn t᝼c trĂŞn â„?. ďƒŻ a ď€ 1, x 1 ďƒŽ B. 2.
Câu 2. TĂnh giáť›i hấn
L  lim
e.
gl
1 . 2
1 L . 4
oo
L
B.
us
ďƒŹ sin 5 x ďƒŻ Câu 3. Cho hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) = ďƒ e3 x ď€ 1 ďƒŻ ďƒŽm B. m =
A. m = 1; Câu 4. TĂnh A. 0.
lim�→0
D. -2.
2(1 ď€ cos x ) . xď‚Ž0 x2
.g
A.
C. 1.
co
A. -1.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1 ďƒŹ 2 ďƒŻ x sin x , x ď‚š 0 b) f ( x)  ďƒ ďƒŻ x  0. ďƒŽ 0,
5 ; 3
C.
khi x ď‚š 0
L  1.
D. L 
. Ä?iáť u kiᝇn Ä‘áťƒ hĂ m sáť‘ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ = 0 lĂ
khi x= 0 C. m =
3 ; 5
D. m = 0 .
2đ?‘Ľâˆ’sin 2đ?‘Ľ . đ?‘Ľâˆ’sin đ?‘Ľ
B. 8.
ď€1 . 4
C. 4.
D. 2.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ďƒŹ sin x , xď‚š0 ďƒŻ a) f ( x)  ďƒ x ďƒŻ x  0. ďƒŽ 1,
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
15
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N
Q
ᝨng d᝼ng vi phân tĂnh gần Ä‘Ăşng.
TĂnh đấo hĂ m cᝧa hĂ m cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘, đấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn.
-
Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cho máť™t hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ trong lân cáşn cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm.
Kè
m
-
ᝨng d᝼ng cᝧa đấo hà m trong viᝇc khᝠdấng vô đᝋnh, tÏm gi᝛i hấn hà m sᝑ.
/+ D
-
ấy
ᝨng d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂnh giáť›i hấn hĂ m sáť‘.
co
m
2.1 CĂ C QUY TẎC TĂ?NH Ä?áş O HĂ€M
ď „y f  xo  ď „x  ď€ f  xo   ď „x ď „x
oo
gl
e.
Ä?áť‹nh nghÄŠa 2.1.1. Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáşn cᝧa Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 . Giáť›i hấn (náşżu cĂł) cᝧa tᝉ sáť‘:
us
�′(�0 ).
.g
khi ď „x ď‚Ž 0, đưᝣc gáť?i là đấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘“′(đ?‘Ľ0 ) hay
Ta cĂł cĂĄc tĂnh chẼt sau cᝧa đấo hĂ m. TĂnh chẼt 2.1.1 1) Ä?ấo hĂ m cᝧa táť•ng, tĂch, thĆ°ĆĄng:
u  v
,
,  u  v, ;
 uv 
,
, ,  u v  uv ;
, , , u v ď€ uv ďƒŚuďƒś  ďƒ§ ďƒˇ ďƒ¨vďƒ¸ v2
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
XĂŠt tĂnh khả vi vĂ tĂnh đấo hĂ m, vi phân cẼp máť™t vĂ cẼp cao cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn.
uy
-
N
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
HĂ€M Máť˜T BIáşžN
16
BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2) Đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số u(x) có đạo hàm u’(𝑥0 ) tại 𝑥0 , hàm y(u) có đạo hàm tại uo = u(𝑥0 ) khi , , , ấy hàm hợp 𝑓(𝑥) = 𝑦(𝑢(𝑥)) có đạo hàm tại 𝑥0 và f xo y uo u xo . 3) Đạo hàm của hàm ngược:
n
hơ
g(y) sẽ có đạo hàm tại 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) và
uy
1 xx
Q
,
N
1 , g yo , . f xo
m
Ta thường viết công thức ở dạng: x y , .
Kè
4) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm 𝑥0 thì nó liên tục tại điểm ấy. Ngược lại nói
ạy
chung không đúng.
/+ D
Ví dụ 2.1.1. Hàm số 𝑦 = |𝑥| liên tục tại 𝑥 = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.
m
Định nghĩa 2.1.2. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trong lân cận phải [𝑥0 , 𝑥0 + 𝜖) của điểm 𝑥0 . Đạo hàm phải của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 là giới hạn (nếu có) của tỉ số
co
f x0 x f x0 y x x
gl
e.
, , khi x 0+. Khi ấy đạo hàm phải được ký hiệu f x0 hoặc y x0 . ,
.g
oo
Tương tự, ta có đạo hàm trái f 0 lim
us
Ví dụ 2.1.2. f x x ; f
,
f xo x f xo
x0
0
lim
x0
x
.
x , x lim 1; f 0 1 . x x0 x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
song ánh từ Y lên X). Nếu 𝑓(𝑥) có đạo hàm hữu hạn khác không f’(𝑥0 ) tại 𝑥0 , thì hàm
Lưu ý 2.1.3. Hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 khi và chỉ khi nó có các đạo hàm trái và đạo hàm phải tại 𝑥0 và chúng bằng nhau. Khi ấy , , , f xo f xo f xo Trong trường hợp lim
x0
f xo x f xo ta nói 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 . x
Tương tự, ta có đạo hàm trái và đạo hàm phải .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một song ánh từ X lên Y và 𝑥 = 𝑔(𝑦) là hàm ngược của nó (là
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN 2
17
1
2
ta cĂł: đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = 3 . đ?‘Ľ −3 khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi
Và d᝼ 2.1.3. XÊt hà m �(�) = � 3 . Tấi � ≠0
đ?’™đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž. Ta cĂł tháťƒ tĂnh đấo hĂ m tấi đ?‘Ľ0 = 0 theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa: f  0  ď „x  ď€ f  0 ď „x

 ď „x 2 / 3 ď „x

1
 ď „x 1 / 3
.
hĆĄ
N
Ta xÊt và d᝼ sau.
uy
1 ďƒŹ 2 ďƒŻ x sin , x ď‚š 0 x ďƒŻ x0 ďƒŽ0,
Kè
, 1 1 f  x   2x .sin ď€ cos x x
m
Dᝅ thẼy hà m �(�) liên t᝼c tấi �0 = 0. Tấi � ≠0 ta có
Q
VĂ d᝼ 2.1.4. Cho hĂ m f  x   ďƒ
ấy
(*)
/+ D
Váşy háť?i: hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł đấo hĂ m tấi đ?‘Ľ0 = 0 ? Ta tĂnh theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa:
co
m
, f  0  ď „x  ď€ f  0  1 f  0   lim  lim ď „x .sin  0. ď „x ď „x ď „xď‚Ž0 ď „xď‚Ž0
gl
e.
NhĆ° váşy ta thẼy đ?‘“′(0) khĂ´ng tháťƒ đưᝣc tĂnh tᝍ cĂ´ng thᝊc (*) ráť“i cho đ?‘Ľ = 0 hoạc đ?‘Ľď‚Ž 0.
oo
2.2 KHẢ VI, VI PHÂN
us
.g
2.2.1 Khả vi, vi phân Ä?áť‹nh nghÄŠa 2.2.1. HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ khả vi tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 náşżu sáť‘ gia hĂ m sáť‘ tấi đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ đưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
ChĂş Ă˝ 2.1.4. Trong máť™t sáť‘ trĆ°áť?ng hᝣp, Ä‘áťƒ tĂnh đấo hĂ m tấi máť™t Ä‘iáťƒm đạc biᝇt cần dĂšng Ä‘áť‹nh nghÄŠa máť›i káşżt luáşn đưᝣc.
ď „ f  xo   f  xo  ď „x  ď€ f  xo   A ď „ x  0  ď „x  .
(1)
váť›i A lĂ háşąng sáť‘ vĂ 0(ď „x) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď „x khi ď „x ď‚Ž 0. Khi Ẽy đấi lưᝣng Aď „x đưᝣc gáť?i lĂ vi phân cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) hoạc đ?‘‘đ?‘Ś(đ?‘Ľ0 ). Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.2.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł đấo hĂ m tấi Ä‘iáťƒm Ẽy. Váşy náşżu hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 thĂŹ ta cĂł
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
, , Tᝍ đây ta cĂł fď€ ď€¨ 0  ď€ ď‚Ľ, f   0   ď‚Ľ .
18
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
df  xo   f '  xo  dx.
(2)
Tᝍ đây ta cĂł cĂĄc tĂnh chẼt cᝧa vi phân a) đ?‘‘đ??ś = 0. b) đ?‘‘(đ?‘“ + đ?‘”) = đ?‘‘đ?‘“ + đ?‘‘đ?‘”.
uy
2.2.2 Vi phân cᝧa hĂ m hᝣp, tĂnh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân
m
Q
(cẼp m᝙t)
Kè
Cho đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ). Ta viáşżt (2) áť&#x; dấng
(3)
ấy
, dy  y x dx
/+ D
Bây giáť? cĂł x=ď Ş(t), váşy ta cĂł hĂ m hᝣp y=f(ď Ş(t)). Váť›i biáşżn Ä‘áť™c láşp t ta cĂł vi phân (4)
m
, dy  yt dt
co
Mạt khåc
(5)
e.
, , , y t  y x xt
oo
gl
váşy
�� = ��′ ��′ �� = ��′ ��.
(6)
.g
NhĆ° váşy, ta quay lấi cĂ´ng thᝊc (3) Ä‘ĂŁ biáşżt. Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ : Dấng (3) cᝧa vi
us
phân khĂ´ng thay Ä‘áť•i dĂš x lĂ biáşżn Ä‘áť™c láşp hay lĂ máť™t hĂ m sáť‘. TĂnh chẼt Ä‘Ăł đưᝣc gáť?i lĂ tĂnh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân cẼp máť™t. Váşy đấo hĂ m cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng tᝉ sáť‘ cᝧa cĂĄc vi phân. , dy yx  dx
(Váşż phải cᝧa (7) lĂ cĂĄc vi phân đưᝣc tĂnh theo cĂšng máť™t biáşżn).
(7)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
.
N
g2
n
gdf ď€ fdg
hĆĄ
ďƒŚ f ďƒś
d) d ďƒ§ ďƒˇ  ďƒ¨gďƒ¸
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
c) �(��) = ��� + ���.
19
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
2.2.3 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ Giả sáť hĂ m sáť‘ y ph᝼ thuáť™c biáşżn x khĂ´ng tráťąc tiáşżp mĂ thĂ´ng qua máť™t biáşżn trung gian t: x=ď Ş(t),
y=ď š(t),
(8)
hĆĄ
, , dy y t dt y t hĂ m). Theo (7) ta cĂł yx   ,  , , váşy dx x t dt x t
N
,
uy
, yt yx  , xt
(9)
m
Q
,
Kè
VĂ d᝼ 2.2.1. HĂ m sáť‘ y  1 ď€ x2 , −1 < đ?‘Ľ < 1, cĂł tháťƒ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘
ấy
x=sint, y=cost, ď€ 2ď °  t  2ď ° . Khi Ẽy
/+ D
, ďƒŚ y sin t ďƒ§ x , yx  t,  ď€ ď€˝ď€ ďƒ§ xt cos t 1 ď€ x2 ďƒ¨
ďƒś ďƒˇ. ďƒˇ ďƒ¸
co
m
2.2.4 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn
gl
e.
Náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh (10)
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0
oo
váť›i máť?i đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?), tᝊc lĂ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘“(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ ta nĂłi nĂł lĂ máť™t hĂ m Ẋn cho báť&#x;i
.g
phĆ°ĆĄng trĂŹnh (10).
us
Và d᝼ 2.2.2. Phưƥng trÏnh � 2 + � 2 = 1 xåc đᝋnh hai hà m Ẋn
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Khi Ẽy hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = Ψ(đ?œƒ(đ?‘Ľ)) = đ?‘“(đ?‘Ľ) sáş˝ cĂł đấo hĂ m (váť›i giả thiáşżt cĂĄc hĂ m ď Ş, ď š cĂł đấo
y1  1 ď€ x2 ;
y 2  ď€ 1 ď€ x 2 x ďƒŽ (ď€1,1)
Ä?áťƒ tĂnh đấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn, chᝉ cần lĆ°u Ă˝ ráşąng đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?)
(11)
NĂŞn ta cĂł tháťƒ lẼy đấo hĂ m hᝇ thᝊc (11) theo đ?‘Ľ, coi váşż trĂĄi cᝧa nĂł nhĆ° lĂ máť™t hĂ m hᝣp. Khi Ẽy sáş˝ xuẼt hiᝇn đấo hĂ m đ?‘Śâ€™(đ?‘Ľ) trong phĆ°ĆĄng trĂŹnh máť›i. , VĂ d᝼ 2.2.3. TĂnh yx biáşżt đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
hĂ m sáť‘ x= ď Ş(t) cĂł hĂ m ngưᝣc t=ď ą(x) vĂ hĂ m ď ą(x) cĂł đấo hĂ m.
20
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
LẼy đấo hĂ m theo đ?‘Ľ cả hai váşż, ta đưᝣc , , x 2x  2yy  0 ďƒž y  ď€ y
(12)
Lưu ý rẹng vÏ phưƥng trÏnh � 2 + � 2 = 1 xåc đᝋnh hai hà m Ẋn, nên đấo hà m (12)
1 ď€ x2
x
y2  x 
x2 a2

a
2

2yy ' b2
0.
m
2x
Kè
LẼy đấo hà m hai vế ta đưᝣc
Cho � = �0 , thÏ � = �0 và �0′ = �′(�0 ) b2
 0
m
b2 xo . a2 yo
co
váşy y '  xo   ď€
2y o y '  xo 
/+ D
a2

ấy
2xo
e.
Ta đưᝣc phưƥng trÏnh tiếp tuyến
gl
b2 xo  x ď€ xo  a2 yo
oo
y ď€ yo  ď€
.g
ďƒž a2 y o y  b2 xo x  a 2yo2  b2 xo2
us
x x y y x 2 y 2 ďƒ› o  o  o  o 1 a2 b2 a2 b2
Váşy phĆ°ĆĄng trĂŹnh tiáşżp tuyáşżn cĂł dấng
b2
xo x a
2
1 ď€ x2
y y  o  1. b2
.
 1 tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) trĂŞn
Q
ellipse.
y2
x

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
, y2  x   ď€
;
hĆĄ
x
N
y1  x 
 ď€
uy
x
Và d᝼ 2.2.4. Viết phưƥng trÏnh tiếp tuyến đᝑi v᝛i elip
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
, y1  x   ď€
n
cŊng là đấo hà m cᝧa hai hà m Ẋn
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
21
2.3 Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N CẤP CAO 2.3.1 Ä?ấo hĂ m cẼp cao
2
x ď€ 3x  2
, tĂnh đ?‘Ś (đ?‘›) .
n hĆĄ
Q m
1
Kè
Và d᝼ 2.3.1. Cho y 
uy
dn y . Ä?ấo hĂ m cẼp đ?‘› còn đưᝣc kĂ˝ hiᝇu dxn
N
, n n ď€1 y   x   ďƒŠ y   x ď€Šďƒš . ďƒŞďƒŤ ďƒşďƒť
n
n
tĂnh đ?‘Ś (đ?‘›) .
1 1 nď ° ďƒś ďƒŚ n ď€ cos 2x ďƒž y   ď€ 2nď€1 cos ďƒ§ 2x  ďƒˇ. 2 2 2 ďƒ¸ ďƒ¨
co
y
m
Và d᝼ 2.3.2. Cho � = sin2 �,
/+ D
ấy
 ď€1 n! ď€ ď€¨ ď€1 n! . 1 1 n y ď€ ďƒž y   x ď€ 2 x ď€1  x ď€ 2n1  x ď€ 1n1
gl
e.
2.3.2 Công thᝊc Leibniz
oo
Ta có công thᝊc Leibniz sau đây: n
k  k   n ď€k  ; Cnk  ď “ Cn f g
k o
n! k ! n ď€ k !
us
.g
 fg  n  
Sinh viĂŞn cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng chᝊng minh báşąng quy nấp cĂ´ng thᝊc trĂŞn.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?ấo hĂ m cẼp đ?‘› là đấo hĂ m cᝧa đấo hĂ m cẼp đ?‘›â€“ 1
LĆ°u Ă˝ 2.3.1. Náşżu hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ą) thĂŹ ta cĂł , y , yx  t, . xt
Cho nên y ''xx 
 y 'x  't , xt

ďƒŚ ďƒ§ ďƒ¨
, yt , xt
, xt
, ďƒś ďƒˇ ďƒ¸t

, , y ''t xt ď€ x ''tt y t .  xt, 3
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?ấo hĂ m cẼp hai cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) là đấo hĂ m (náşżu cĂł) cᝧa đấo hĂ m cẼp máť™t: , ,, , y  x   ďƒŠďƒŤ y  x  ďƒšďƒť .
22
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
2.3.3 Vi phân cẼp cao Vi phân cẼp hai cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) (tấi máť™t Ä‘iáťƒm nĂ o Ä‘Ăł) lĂ vi phân (tấi Ä‘iáťƒm Ẽy) cᝧa vi phân cẼp máť™t và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘ 2 đ?‘Ś, váşy đ?‘‘ 2 đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś). TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł vi phân cẼp cao
hĆĄ
N
nên đấo hà m (hoạc vi phân) cᝧa nó sẽ bẹng 0.

uy
, , , ,, ,, Váşy d2y  d  dy   d  y .dx   dy .dx   y dx .dx  y dx2

m Kè
n Tưƥng t᝹: dn y  y dxn
(13)
Q
,, ,, ,,, ,,, d 3 y  d y dx2  d  y  dx2  y dx .dx2  y dx3
(14)
ấy
Khåc v᝛i vi phân cẼp m᝙t, công thᝊc vi phân cẼp cao (13), (14) không còn đúng
/+ D
náşżu x khĂ´ng phải lĂ biáşżn Ä‘áť™c láşp mĂ lĂ máť™t hĂ m sáť‘.
Tháşt váşy, giả sáť x=x(t), khi Ẽy dx khĂ´ng lĂ háşąng sáť‘, mĂ ph᝼ thuáť™c t, cho nĂŞn nhĂŹn


m
chung d(dx) = d2x ď‚š 0.
Khi Ẽy d 2 y  d y 2dx  d y  dx  y d  dx   y dx2  y d 2 x . ,
,,
,
e.
co
,
oo
gl
2.3.4 ᝨng d᝼ng vi phân tĂnh gần Ä‘Ăşng
us
.g
Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 , váşy ta cĂł , f  xo  ď „x  ď€ f  xo   f  xo  ď „x  0  ď „x 
Náşżu báť? phần VCB cẼp cao 0(ď „x) ta cĂł cĂ´ng thᝊc gần Ä‘Ăşng:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?áťƒ tĂnh vi phân cẼp cao, cần biáşżt ráşąng đ?‘‘đ?‘Ľ lĂ máť™t sáť‘ bẼt káťł khĂ´ng ph᝼ thuáť™c đ?‘Ľ, cho
, f  xo  ď „x  ď‚ť f  xo   f  xo  ď „x
CĂ´ng thᝊc Ẽy cĂł tháťƒ dĂšng Ä‘áťƒ tĂnh gần Ä‘Ăşng giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 + Δđ?‘Ľ thĂ´ng qua tĂnh giĂĄ tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ và đấo hĂ m cᝧa nĂł tấi đ?‘Ľ0 . VĂ d᝼ 2.3.3. HĂŁy tĂnh gần Ä‘Ăşng sáť‘ sin29o. ďƒŠ XĂŠt hĂ m sáť‘ y = sinx, đ?’™đ?&#x;Ž =
ď ° , 6
ď „x  ď€
ď ° 180
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
đ?‘‘ 3 đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘ 2 đ?‘Ś), ‌ , đ?‘‘ đ?‘› đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘ đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ś).
BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
23
3 Ta có y, cos x , y’ cos 6 2 4 3 0, 484 . Cho nên sin 29o sin sin 6 2 180 6 180
n 1 1 y xo 1, y, xo 27 3
1 1 1 28 3 y xo y, xo x 3 1 . 3 3, 04 . 3 27 27
Q
3
x , xo 1, x
m
Vậy:
3
Kè
2.4 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
/+ D
ạy
Định nghĩa 2.4.1. Hàm 𝑓(𝑥) được gọi đạt cực đại (hay là cực đại theo nghĩa rộng) tại 𝒙𝟎 , nếu: tồn tại một lân cận của 𝒙𝟎 , xo , xo Df : f x f xo , x xo , xo
m
Nếu f x f xo , x xo , xo thì ta nói 𝑓(𝑥) đạt cực đại chặt (hay là cực đại theo
co
nghĩa hẹp) tại 𝑥0 .
gl
e.
Các khái niệm cực tiểu, cực tiểu chặt được định nghĩa tương tự.
oo
Hàm đạt cực đại, cực tiểu, được gọi chung là đạt cực trị, hàm đạt cực đại chặt, cực
.g
tiểu chặt được gọi chung là đạt cực trị chặt.
us
Định lý 2.4.1 (Fermat). Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định trong lân cận điểm 𝑥0 và đạt cực trị tại 𝑥0 . Nếu tại 𝑥0 tồn tại đạo hàm 𝑓′(𝑥0 ) thì 𝑓′(𝑥0 ) = 0. Giả sử 𝑓(𝑥) đạt cực đại tại 𝑥0 , vậy trong một lân cận của 𝑥0 ta có: f xo x f xo 0
Mặt khác, vì hàm số có đạo hàm tại 𝑥0 , nên f ' xo f ' xo lim
x0
f ( xo x) f xo x
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Xét hàm số y =
1 27
hơ
3 27 1 3 3 1
uy
3 28
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ta có
3 28.
N
Ví dụ 2.3.4. Tính gần đúng
24
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
f '  xo   f '  xo   lim
f  xo  ď „x  ď€ f  xo  ď „x
ď „xď‚Ž0
Tᝍ Ä‘Ăł ta cĂł f'(đ?’™đ?&#x;Ž ) = 0
ď‚Ł 0
ďƒť.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.2 (Rolle). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ)
n hĆĄ N
3) đ??š(đ?‘Ž) = đ?‘“(đ?‘?).
uy
Khi Ẽy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): đ?‘“ ′ (đ?‘?) = 0.
m
Náşżu đ?‘€ = đ?‘š thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] ⇒ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) ≥ 0.
Q
ďƒŠ Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Weierstrass, hĂ m sáť‘ đất giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt M vĂ nháť? nhẼt m trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].
Kè
Náşżu đ?‘€ ≠đ?‘š, khi Ẽy máť™t trong hai sáť‘ đ?‘š, đ?‘€ phải khĂĄc đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘“(đ?‘?), giả sáť đ?‘€ ≠đ?‘“(đ?‘Ž) =
ấy
đ?‘“(đ?‘?). Váşy hĂ m đ?’‡(đ?’™) đất giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt đ?‘€ tấi Ä‘iáťƒm bĂŞn trong đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?). Cho nĂŞn đ?‘? sáş˝ lĂ
/+ D
Ä‘iáťƒm cáťąc đấi (vĂŹ đ?‘“(đ?‘?) = đ?‘€ ≼ đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i đ?‘Ľ trong máť™t lân cáşn cᝧa đ?‘?). Tháşż thĂŹ theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Fermat, ta cĂł đ?‘“ ′(đ?‘?) = 0. ďƒť.
co
1) LiĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.3 (Lagrange). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ)
gl
e.
2) Khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?).
f b ď€ f  a   f ' c . bď€a
.g
oo
Khi Ẽy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) :
g  x  f  x ď€
us
ďƒŠ XĂŠt hĂ m:
f  b ď€ f a  bď€a
x ď€ a
Dáť… thẼy g(x) tháť?a Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle g(a) = g(b) = f(a) váşy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): đ?‘”′ (đ?‘?) = 0
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
2) Khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?);
ďƒž g ' c  f ' c  ď€
f  b ď€ f  a  bď€a
 0 ďƒť.
RĂľ rĂ ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle lĂ hᝇ quả cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange. Náşżu lẼy b = a + h, thĂŹ cĂ´ng thᝊc Lagrange cĂł dấng: f  a  h   f  a   f '  a  ď ą h  , 0 ď€źď ąď€ź 1
(1)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1) LiĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];
25
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
Công thᝊc (1) đưᝣc g�i là công thᝊc sᝑ gia gi᝛i n᝙i. Ta xÊt ý nghĊa hÏnh h�c cᝧa công thᝊc Lagrange. Giả B
A
sáť (ď §) lĂ Ä‘áť“ tháť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) vĂ đ??´(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘Ž)), đ??ľ(đ?‘?, đ?‘“(đ?‘?)) lĂ hai Ä‘iáťƒm thuáť™c (ď §).
. CĂ´ng thᝊc Lagrange chᝊng táť? lĂ táť“n tấi Ä‘iáťƒm
n N
Q
uy
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.4 (Cauchy). Cho cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™), đ?’ˆ(đ?’™)
/+ D
f  b  ď€ f  a  f '(c)  . g  b  ď€ g  a  g '(c )
ấy
3) g,(x) ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?).
Kè
m
2) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?);
Khi Ẽy: ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?):
c
HĂŹnh 1
đ??ś(đ?‘?, đ?‘“(đ?‘?)) sao cho tiáşżp tuyáşżn tấi đ??ś song song cĂĄt tuyáşżn AB (H.1).
1) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];
b
ďƒŠ RĂľ rĂ ng g(b) ď‚š g(a) vĂŹ náşżu ngưᝣc lấi thĂŹ ∃đ?‘Ľ0 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) sao cho đ?‘”’(đ?‘Ľ0 ) trĂĄi váť›i giả thiáşżt
co
m
3).
f  b ď€ f  a 
g  b ď€ g  a 
 g  x  ď€ g a 
gl
e.
HĂ m sáť‘: h  x   f  x  ď€ f  a  ď€
oo
tháť?a Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]: h(a)=h(b)=0. Váşy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): ℎ’(đ?‘?) = 0. f  b ď€ f  a 
g  b ď€ g  a 
g '  c   0 ďƒť.
us
.g
ďƒž f , c ď€
Ä?áť‹nh lĂ˝ Lagrange lĂ hᝇ qᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy khi đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
bď€a
a
hĆĄ
f  b ď€ f  a 
k =
VĂ d᝼ 2.4.1. Cho đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľâ€“ 1)(đ?‘Ľâ€“ 2)(đ?‘Ľâ€“ 3)(đ?‘Ľâ€“ 4). Khi Ẽy phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘ƒâ€™(đ?‘Ľ) = 0 cĂł ba nghiᝇm tháťąc. ďƒŠTháşt váşy vĂŹ đ?‘ƒ(1) = đ?‘ƒ(2) = đ?‘ƒ(3) = đ?‘ƒ(4)(= 0) nĂŞn theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle  x1ďƒŽ (1, 2), x2 ďƒŽ (2, 3), x3ďƒŽ (3, 4): P’(x1) = 0, P’(x2) = 0, P’(x3) = 0 ďƒť.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Khi Ẽy cåt tuyến AB có hᝇ sᝑ góc
26
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
VĂ d᝼ 2.4.2. Cho đ?‘“′(đ?‘Ľ) > 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy hĂ m sáť‘ tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). LẼy ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 , ta cĂł theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange: f  x2  ď€ f  x1   f '  c  x2 ď€ x1   0.
VĂ d᝼ 2.4.3. Chᝊng minh đ?‘’ đ?‘Ľ ≼ 1 + đ?‘Ľ, ∀đ?‘Ľ ∈ â„?.
-
Váť›i x  0 ďƒž 1 ď€ ex  eo ď€ ex  ed  0 ď€ x   ď€ x ďƒž ex  1  x. ďƒť.
hĆĄ N uy
Q
2.5 CÔNG THᝨC TAYLOR
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.5.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp đ?‘› + 1 trong khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ ∈
Kè
(đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł cĂ´ng thᝊc Taylor sau
k n 1 f    xo  f   c k f  x  ď “  x ď€ xo    x ď€ xo n1 . k! k 0  n  1
(1)
/+ D
ấy
n
k f    xo 
ďƒŠ Ä?ạt R  x   f  x  ď€ ď “
k 0
k!
 x ď€ xo k ;
co
n
m
váť›i đ?‘? lĂ Ä‘iáťƒm trung gian giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘Ľ, đ?‘? = đ?‘Ľ0 + ď ą (đ?‘Ľ – đ?‘Ľ0 ), 0 < ď ą < 1. n1
G  x    x ď€ xo 
gl
e.
Ta có R  xo   R,  xo   ....R(n)  xo   0
.g
oo
G  xo   G,  xo   ....G(n)  xo   0
us
Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy ta cĂł:
(2)
R  x  R  x  ď€ R  xo  R '  x1    G  x  G  x  ď€ G  xo  G '  x1 
váť›i đ?‘Ľ1 náşąm giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘Ľ. Ta lấi sáť d᝼ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy vĂ (2) máť™t lần nᝯa: R '  x1  R '  x1  ď€ R '  xo  R ''  x2    G '  x1  G '  x1  ď€ G '  xo  G ''  x2 
v᝛i x2 nẹm giᝯa �0 và x1. Tiếp t᝼c quå trÏnh Ẽy sau n + 1 bư᝛c ta đưᝣc: R  x
G  x

R '  x1 
G '  x1 
 ... 

R(n  1) xn  1 G
 n1 ( x
  f (n 1)  xn 1 
n 1 )
(n  1)!
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Váť›i x  0 ďƒž ex ď€ 1  ex ď€ eo  ec  x ď€ 0  ec . x  x ďƒž ex  1  x.
n
-
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŠ DĂšng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange cho hĂ m ex:
27
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
váť›i xn+1 náşąm giᝯa xn, đ?‘Ľ0 nĂŞn cĹŠng náşąm giᝯa x vĂ đ?‘Ľ0 . Ä?áť‹nh lĂ˝ đưᝣc chᝊng minh váť›i c=xn+1ďƒť. Biáťƒu thᝊc: Rn  x  
f
n ď€1
 c  x ď€ x n1 đưᝣc gáť?i lĂ phần dĆ° dấng Lagrange.  o  n  1
Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł:
hĆĄ
(4)
 đưᝣc g�i là phần dư dấng Peano.
ấy
Kè

Biáťƒu thᝊc Rn  x   0  x ď€ xo n

m

Q
k f    xo  f  x  ď “  x ď€ xo k  0  x ď€ xo n k! k 0 n
uy
N
Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], khả vi Ä‘áşżn cẼp (đ?‘›â€“ 1) trong (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ âˆƒđ?‘“ đ?‘› (đ?‘Ľ0 ) (đ?‘Ľ0 ∃(đ?‘Ž, đ?‘?)).
/+ D
CĂ´ng thᝊc (4) cĂł tháťƒ chᝊng minh nhĆ° sau: váť›i R(x) nhĆ° trong chᝊng minh cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn, ta cĂł theo tĂnh khả vi
 x   R nď€1  x  ď€ R nď€1  xo 
m
n ď€1
co
R
(5)
e.
n  R   xo  x ď€ xo   0   x ď€ xo    0   x ď€ xo  
 x   R nď€2  x  ď€ R nď€2  xo   R nď€1  c   x ď€ xo 
oo
n ď€2 
.g
R
gl
Ta lấi có (theo đᝋnh lý Lagrange):

us
 0   c ď€ xo    x ď€ xo   0  x ď€ xo 
2

(6)
Hᝇ thᝊc (6) rút ra tᝍ (5) và vÏ c nẹm giᝯa �0 và x; tiếp t᝼c quå trÏnh như trên ta
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Nhiáť u lĂşc, cĂ´ng thᝊc Taylor tiᝇn dĂšng áť&#x; dấng sau đây:


đưᝣc R  x    x ď€ xo n . CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i đ?‘Ľ0 = 0 đưᝣc gáť?i lĂ cĂ´ng thᝊc Maclaurin, tᝊc lĂ k f    0 k f  x  ď “ x  Rn  x  k! k 0 n
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
2.5.1 Công thᝊc Taylor v᝛i phần dư Peano
28
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
f    ď ąx  n 1 x hoạc Rn  x   0 x n . ( n  1)! n 1
v᝛i phần dư: Rn  x  
 
2.5.2 Công thᝊc Maclaurin m᝙t sᝑ hà m sƥ cẼp f  x  ex.
n hĆĄ
x2 xn  ....   0 xn 2! n!
N
 
uy
ďƒž ex  1  x 
Q
2) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ.
ďƒ¨
f
2 m ď€1
Kè
 0   sin  mď °   0,
 0   sin  mď ° ď€ ď °2 
ấy
2m 
2ďƒ¸
  ď€1
m ď€1
, m = 1,2,3‌
2 mď€1 x3 x5 mď€1 x   ...   ď€1  0 x 2m . 3! 5!  2m ď€ 1!
/+ D
f
m
ď ° Ta cĂł f  k   x   sin ďƒŚďƒ§ x  k ďƒśďƒˇ , cho nĂŞn
m
Váşy sin x  x ď€
 
e.
co
2m x2 x 4 mď€1 x   ...   ď€1  0 x2m1 . 3) cos x  1 ď€ 2! 4!  2m!


 
4) 1  x   1  Cď Ą1 x  Cď Ą2 x2  Cď Ąn x n  0 x n , x  ď€ 1, ď Ą ďƒŽ R, Cď Ąk 
oo
gl
ď Ą
ď Ą  ď Ą ď€ 1 ...  ď Ą ď€ k  1 k!
.g
1  1 ď€ x  x2  0 x2 . 1 x
 
us
Ä?ạc biᝇt,
5) ln 1  x   x ď€
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
k k Ta có f    x   ex , f    0   1
n x2 x3 nď€1 x  ...   ď€1  0 xn , x  ď€1, n ďƒŽ N. 2 3 n
 
Và d᝼ 2.5.1. Viết công thᝊc Maclaurin cho esinx đến cẼp x3. Theo 1), ta có esin x  1  sin x  1 6
 
Mạt khĂĄc sin x  x ď€ x3  0 x4

1 2 1 sin x  sin 3 x  0 sin 3 x 2 6

.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1)
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
2
1 6
cho nĂŞn: sin 2 x  ďƒŚďƒ§ ( x ď€ x3  0( x4 ) ďƒśďƒˇ  x2  ďƒ¨
ďƒ¸
+ 2x . 0(x4) -

29

2 1 1 6 x  0( x4 ) ď€ x4 36 3
1 3 x . 0(x4) = x2 + 0(x5) + 0(x8) + 0(x3) 3
 
 
n hĆĄ

  
1
  ďƒśďƒ¸
ďƒŚ1 ďƒ¨
ďƒś ďƒ¸
  ďƒśďƒ¸  
ďƒŚ1 ďƒ¨
 
Ä‘áşżn báşc 4 cᝧa đ?‘Ľ. TĂnh đ?‘“ (4) (0).
/+ D
1ď€x x
2
ấy
1  x  x2
Kè
m
1 2 x  0 x3 2
VĂ d᝼ 2.5.2. Khai triáťƒn đ?‘“(đ?‘Ľ) =
1  x  x2 1  x 1  x3  2x  2x 2 .   1  2x  2x2 1 ď€ x  x2 1  x 1  x3

ď€1

 1 x3 
 
 1 ď€ x 3  0 x5
e.


co
Mạt khåc theo (4): 1  x3
m
ďƒŠ Ta cĂł: f  x  
Q
váşy esin x  1  ďƒ§ x ď€ x3 ďƒˇ  ďƒ§ x2  0 x3 ďƒˇ  ďƒ§ x3  0 x3 ďƒˇ  0 x3 6 2 6 1 x 
uy
ďƒŚ ďƒ¨
N
và vÏ sin 3 x ~ x3 neân 0 sin 3 x  0 x 3

 
f  x   1  2x  2x2 1 ď€ x3  0 x5
oo
gl
váşy:
 
.g
 1  2x  2x2 ď€ 2x 4  0 x 4
us
Ä?áťƒ tĂnh f(4) (0) ta lĆ°u Ă˝ ráşąng, theo cĂ´ng thᝊc Maclaurin thĂŹ:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
sin 3 x  x3  0 x 4
cho nĂŞn:
ď€2x4  4 f    0   ď€ 2 . 4 !  ď€ 48 ďƒť.
4 f    0 4 x 4!
ď€1
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
+ 0(x5) + 0(x7)  x2  0 x3 ;
30
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
2.5.3 Sáť d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂnh gần Ä‘Ăşng cĂł Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘ Trong cĂ´ng thᝊc (1) náşżu báť? phần dĆ° Rn(x) ta cĂł cĂ´ng thᝊc gần Ä‘Ăşng: k f    xo   x ď€ xo k k! k 0 n
 xo  ď ąď€¨ xď€ xo    n1!
 x ď€ xo n1
ď‚Ł M, x ďƒŽ [a, b]
m
 x
Kè
n 1
Q
Náşżu f(n+1) (x) báť‹ chạn Ä‘áť u trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?], tᝊc lĂ : f
hĆĄ
n 1 
N
f
uy
Rn  x  
M n1 x ď€ xo  n  1 !
/+ D
Rn  x  
ấy
Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ, đ?‘Ľ0 ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], sai sáť‘ Rn(x) cĂł tháťƒ Ä‘ĂĄnh giĂĄ Ä‘ĆĄn giản:
m
VĂ d᝼ 2.5.3. TĂnh sáť‘ đ?‘’ chĂnh xĂĄc Ä‘áşżn ď Ľ = 0,001.
e.
eď ą , ď ą ďƒŽ  0,1  n  1 !
3 .  n  1!
us
váşy ď Ľ ď‚Ł
.g
oo
ď Ľ  Rn  x  
1 1 v᝛i sai sᝑ:  ...  2! n!
gl
e1  1  1 
co
ďƒŠ Trong cĂ´ng thᝊc Maclaurin cᝧa đ?‘’ đ?‘Ľ lẼy đ?‘Ľ = 1, ta cĂł:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Khi Ẽy ta có sai sᝑ:
Ä?áťƒ ď Ľ< 0,001 chᝉ cần lẼy n = 6. Khi Ä‘Ăł ta cĂł: e ď‚ť 2 
1 1 1 1 1     2 3! 4! 5! 6!
LĆ°u Ă˝ ráşąng Ä‘áťƒ tĂnh c᝼ tháťƒ thĂ nh sáť‘, sáş˝ còn xuẼt hiᝇn cĂĄc sai sáť‘ (do phĂŠp chia sinh ra) áť&#x; đây ta chᝉ Ä‘áť cáşp Ä‘áşżn sai sáť‘ do phĆ°ĆĄng phĂĄp sinh ra. ďƒť.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
f  x ď‚ť ď “
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
31
2.5.4 Sáť d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂnh giáť›i hấn CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i phần dĆ° áť&#x; dấng Peano cĂł tháťƒ dĂšng Ä‘áťƒ tĂnh giáť›i hấn.
ex  1  x 
x2 x3   0 x3 ; 2 3!
eď€ x  1 ď€ x 
x2 x3 x3 ď€ ď€Ť 0 x3 ; sin x  x ď€ ď€Ť 0 x3 . 2 3! 3!
hĆĄ
uy m
Q
 x  0.
ấy
2.6 QUY TẎC L’HOSPITAL
Kè
   
ď€x
N
 
 
x3  0 x3 e ď€ e ď€ 2x Váşy:  33 ď‚Ž2 x ď€ sin x x 3 0 x 3! x
n
 
lim f  x   0 ;
lim g  x   0 ;
x ď‚Ž bď€
x ď‚Ž bď€
m
1)
/+ D
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.6.1. Cho cĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ
f ' x
A.
oo
x ď‚Ž bď€ g '  x 
gl
3) lim
e.
co
2) g,  x  ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?);
.g
Khi Ẽy tᝓn tấi gi᝛i hấn: lim
g  x
 A.
us
xď‚Žbď€
f  x
Chú ý 1. Rþ rà ng đᝋnh lý trên cŊng đúng cho trư�ng hᝣp � → �+ .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ta cĂł:
ChĂş Ă˝ 2. Ä?áť‹nh lĂ˝ vẍn Ä‘Ăşng náşżu đ?‘? = +ď‚Ľ.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.6.2. Cho cĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ 1) lim f  x    ď‚Ľ, lim g  x    ď‚Ľ; xď‚Žbď€
xď‚Žbď€
2) g ,  x   0 trên  a, b  ;
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
e x ď€ eď€ x ď€ 2 x . VĂ d᝼ 2.5.4. TĂnh lim x ď‚Ž0 x ď€ sin x
32
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
f '( x)  A; g x ď‚Žb ď€ '( x )
3) lim
khi Ẽy: lim
x ď‚Žb ď€
f ( x)  A. g ( x)
Dáť… thẼy ráşąng Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn Ä‘Ăşng cho cả cĂĄc trĆ°áť?ng hᝣp đ?‘Ľď‚Žđ?‘Ž+ , hoạc đ?‘? = +∞ hoạc
n sin x 1  . 2 x0 2x
N
 lim
x2
x ď‚Ž0
hĆĄ
1 ď€ cos x
uy
1) lim
1 ďƒś x 2 ď€ sin 2 x lim . ď€ ď€˝ ďƒˇ ďƒ¨ sin 2 x x 2 ďƒ¸ xď‚Ž0 x 2 sin 2 x 1
m
Q
ďƒŚ
2) I  lim ďƒ§ xď‚Ž0
Kè
TẼt nhiĂŞn cĂł tháťƒ dĂšng ngay quy tắc L’Hospital, nhĆ°ng Ä‘áťƒ Ä‘ĆĄn giản hĆĄn, trĆ°áť›c khi
x 2 ď€ sin 2 x
x ď‚Ž0
x
4
 lim
2 x ď€ 2sin x cos x 4x
3
 lim
/+ D
I  lim
ấy
dĂšng quy tắc L’Hospital ta sáť d᝼ng vĂ´ cĂšng bĂŠ tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng đ?‘Ľ 2 sin2 đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 4 , váşy 2 ď€ 2cos 2 x
x ď‚Ž0
12 x
2
4sin 2 x 1  . 3 x0 24 x
 lim
e.
xď‚Ž1
Ta cĂł dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ. Sáť d᝼ng cĂ´ng thᝊc u v  ev ln u  u  0, v  0 , ráť“i sáť
co
3) I  lim
1 1 ď€ x x.
m
᝞ đây ta đã sᝠd᝼ng quy tắc L’Hospital ba lần.
oo
gl
d᝼ng quy tắc L’Hospital ta đưᝣc I  e
ln x
lim1ď€ x xď‚Ž1
us
.g
1 ln x  lim x  0. 4) I  lim x ln x  lim 1 xď‚Ž0 xď‚Ž0 xď‚Ž0 ď€1 x x2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Và d᝼ 2.6.1

ďƒŚ 1ďƒś limďƒ§ ď€ ďƒˇ x ď‚Ž1ďƒ¨ x ďƒ¸ e
 eď€1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ?‘Ž = −∞, hoạc đ?‘Ž = +∞.
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
33
TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn cᝧng cáť‘ kiáşżn thᝊc vᝠđấo hĂ m cᝧa hĂ m máť™t biáşżn, Ä‘áť“ng tháť?i nắm rĂľ cĂĄch tĂnh đấo hĂ m cᝧa hĂ m hᝣp, cĂĄch tĂnh đấo hĂ m cᝧa hĂ m cho báť&#x;i
f  xo  ď „x  ď€ f  xo 
uy
,
TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł đấo hĂ m trĂĄi: f ď€ ď€¨ 0  lim
ď „x
Q
ď „xď‚Ž0ď€
N
hĆĄ
, , khi ď „đ?‘Ľ ď‚Ž0+ . Khi Ẽy đấo hĂ m phải đưᝣc kĂ˝ hiᝇu f   x0  hoạc y  x0  .
n
f  xo  ď „x  ď€ f  xo  ď „y  ď „x ď „x
m
Hà m �(�) có đấo hà m tấi �0 khi và chᝉ khi nó có cåc đấo hà m tråi và đấo hà m phải
Kè
tấi đ?‘Ľ0 vĂ chĂşng báşąng nhau. Khi Ẽy đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“+′ (đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“âˆ’â€˛ (đ?‘Ľ0 ).
2. HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ khả vi tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 náşżu sáť‘ gia hĂ m sáť‘ tấi đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ đưᝣc
/+ D
ấy
biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng: ď „ f  xo   f  xo  ď „x  ď€ f  xo   A ď „ x  0  ď „x  . 3. Giả sáť hĂ m sáť‘ đ?‘Ś ph᝼ thuáť™c biáşżn đ?‘Ľ thĂ´ng qua máť™t biáşżn trung gian đ?‘Ą: đ?‘Ľ = ď Ş (đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ś = ď š (ď ą(đ?‘Ľ)) = đ?‘“(đ?‘Ľ) sáş˝ cĂł đấo hĂ m (váť›i giả thiáşżt cĂĄc hĂ m ď Ş, ď š cĂł đấo
co
hĂ m sáť‘:
m
ď š (đ?‘Ą), vĂ hĂ m sáť‘ đ?‘Ľ = ď Ş (đ?‘Ą) cĂł hĂ m ngưᝣc đ?‘Ą = ď ą(đ?‘Ľ) vĂ hĂ m ď ą(đ?‘Ľ) cĂł đấo hĂ m. Khi Ẽy
yt, , yx  , . xt
oo
gl
e.
hĂ m):
.g
4. Náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 váť›i máť?i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), tᝊc lĂ
us
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘“(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ ta nĂłi nĂł lĂ máť™t hĂ m Ẋn cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1. Ä?ấo hĂ m phải cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł) cᝧa tᝉ sáť‘
5. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp đ?‘› + 1 trong khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł cĂ´ng thᝊc Taylor sau: k n 1 f    xo  f   c k f  x  ď “  x ď€ xo    x ď€ xo n1 . k! k 0  n  1 n
Công thᝊc Taylor v᝛i �0 = 0 đưᝣc g�i là công thᝊc Maclaurin.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
phưƥng trÏnh hà m Ẋn, viết công thᝊc Taylor cᝧa hà m sᝑ.
34
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂnh đấo hĂ m cĂĄc hĂ m sáť‘ sau (tấi nhᝯng Ä‘iáťƒm mà đấo hĂ m táť“n tấi). a) y 
tgx 3 2
.
x b) y  cos2 ďƒŚďƒ§ sin ďƒśďƒˇ .
hĆĄ
n
3ďƒ¸
N
c) y  sin x .
uy
BĂ i 2. TĂnh đấo hĂ m y’(x) cᝧa cĂĄc hĂ m cho sau đây theo tham sáť‘:
m
Q
a) � = ln(1 + � 2 ), � = � – arctan �.
ấy
BĂ i 3. TĂnh đấo hĂ m đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ľ0 ) cᝧa cĂĄc hĂ m
Kè
b) x  2ď€t , y  22t.
/+ D
a) đ?‘Ľ = đ?‘Ą 3 + 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ś = 3đ?‘Ą 5 + 5đ?‘Ą 2 + 1, đ?‘Ľ0 = 1. b) đ?‘Ľ = đ?‘Ž cos đ?‘Ą , đ?‘Ś = đ?‘Ž sin đ?‘Ą , đ?‘Ľ0 = 0.
co
m
c) đ?‘Ľ = đ?‘’ −đ?‘Ą , đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ą cos đ?‘Ą , đ?‘Ľ0 = 0.
gl
a) x3 + lny – x2ey = 0.
e.
BĂ i 4. TĂnh đấo hĂ m cᝧa cĂĄc hĂ m Ẋn đ?‘Ś(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh sau:
oo
b) xy = yx.
2
.g
c) ex + ey – 2xy – 1 = 0.
us
d) x y  y2 ln x ď€ 4  0 .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒ¨
BĂ i 5. TĂnh vi phân cᝧa cĂĄc hĂ m sau: a) y =
a x  arctg ; x a
b) y = ln x  x2  a 2 ;
c) y = arccos
1 . x
BĂ i 6. TĂnh vi phân cᝧa cĂĄc hĂ m Ẋn y(x): a) y5 + y = x2 + 1 ;
b) x + y = ey;
c) cos(xy) = x.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
ďƒŹ ďƒŻ x2  2x, ďƒŻ ďƒŽax  b,
BĂ i 7. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = ďƒ
35
x0 x0
4 17
b) tg 46o
n
Q
c) arctg 0,97
d)
1 4 0, 983
m
a)
uy
N
BĂ i 9. Ă p d᝼ng vi phân cẼp 1 Ä‘áťƒ tĂnh gần Ä‘Ăşng cĂĄc giĂĄ tráť‹ sau:
hĆĄ
TĂŹm a, b sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c vĂ khả vi tấi máť?i đ?‘Ľ ∈ â„?.
Kè
BĂ i 10. Váť›i cĂĄc hĂ m sau cĂł ĂĄp d᝼ng đưᝣc Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle khĂ´ng, náşżu cĂł hĂŁy tĂŹm Ä‘iáťƒm c. a) y = x trĂŞn [-1, 1].
ấy
b) y =
trĂŞn [0, 8].
/+ D
ď °ďƒš . 2 ďƒşďƒť
3 x 8 ď€ x
m
ďƒŠ ď ° c) y = sin x treân ďƒŞ ď€ , ďƒŤ 2
co
BĂ i 11. Chᝊng táť? phĆ°ĆĄng trĂŹnh 16x2 – 64x + 31 = 0 khĂ´ng tháťƒ cĂł hai nghiᝇm phân
e.
biᝇt nẹm trong khoảng (0,1).
gl
BĂ i 12. Cho đ?’‡(đ?’™) = đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ + 3).
oo
Chᝊng minh phưƥng trÏnh �′(�) = 0 có ba nghiᝇm th᝹c.
.g
Bà i 13. Chᝊng minh cåc bẼt đẳng thᝊc:
us
a) arctgx ď€ arctgy ď‚Ł x ď€ y , x, y ďƒŽ R.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŹ1 x ď‚ł1 ďƒŻ , BĂ i 8. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) = ďƒ x ďƒŻ 2 ďƒŽax  b, x  1
b) c)
xď€ y ď‚Ł
1 x ď€ y , x, y ďƒŽ [1, ). 2
x  ln 1  x   x, x  0. x 1
BĂ i 14. Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 4, áť&#x; lân cáşn đ?‘Ľ0 = 1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
TĂŹm a, b sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c vĂ khả vi tấi máť?i Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ ∈ â„?.
36
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
Bà i 15. Viết công thᝊc Maclaurin v᝛i phần dư Peano cᝧa cåc hà m sau. 1 � 2 +3�+2
2 b) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ 2đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ Ä‘áşżn đ?‘Ľ 3 .
Ä‘áşżn đ?‘Ľ 4 ;
BĂ i 16. TĂnh giáť›i hấn (Kháť cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh
0 ď‚Ľ ). , 0 ď‚Ľ
e x ď€ eď€ x ď€ 2 x ; x ď€ sin x xď‚Ž0
n hĆĄ
ln cos 2 x ; xď‚Ž0 sin x
N
b) lim
uy
etgx ď€ e x ; x ď‚Ž0 tgx ď€ x
m
ď ° ď€ 2arctgx ; ďƒŚ 1ďƒś x ln ďƒ§1  ďƒˇ ďƒ¨ xďƒ¸
ấy
lim
/+ D
e)
b  0;
Kè
ea x ď€ 1 , sin bx xď‚Ž0
d) lim
Q
c) lim
x
lim
x
x  ex
.
m
f)
xe 2
gl
ďƒŚ
1
1 ďƒś
b) lim ďƒ§ ď€ ďƒˇ. xď‚Ž0 ďƒ¨ x sin x x 2 ďƒ¸
oo
ďƒŚ 1 ďƒś a) lim x ďƒ§ e x ď€ 1ďƒˇ ; ďƒˇ x ďƒ§ ďƒ¨ ďƒ¸
e.
co
BĂ i 17. TĂnh giáť›i hấn (Kháť cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 0.ď‚Ľ vĂ ď‚Ľ-ď‚Ľ).
us
.g
BĂ i 18. TĂnh giáť›i hấn (Kháť cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ , ď‚Ľo , 0o ).
a) lim 1  x ln x ;
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
a) lim
xď‚Ž0
1
tgx ďƒś x2 b) lim ďƒŚďƒ§ ďƒˇ ; xď‚Ž0 ďƒ¨ x ďƒ¸
1
c) lim  cot gx  ln x . x0
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
a) đ?’‡(đ?’™) =
BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN
37
CÂU HᝎI TRẎC NGHIᝆM
A. f ''(0) 
f ( x)  ln(2 ď€ x) . TĂŹm f ''(0) .
1 . 4
B. f ''(0) 
ď€1 . 4
C. f ''(0) 
ď€1 . 2
D. f ''(0) 
n
C. d 2 y  ď€(1  tg 2 x)dx 2
D. d 2 y  (1  tg 2 x)dx
hĆĄ
B. d 2 y  ď€(1  tg 2 x)dx
Q
uy
N
A. d 2 y  (1  tg 2 x)dx 2
m
Câu 3. TĂŹm đấo hĂ m y’(x) cᝧa hĂ m sáť‘ y = y(x) đưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘:
2t 2 . 1 t2
B. y’(x) =
ď€ 2t 2 . 1 t2
/+ D
A. y’(x) =
ấy
Kè
ďƒŹ x  ln(1  t 2 ) ďƒ ďƒŽ y  2t ď€ 2arctgt
C. y’(x) = -t.
D. y’(x) = t.
m
Câu 4. TĂŹm đấo hĂ m đ?‘Śâ€™(đ?‘Ľ) cᝧa hĂ m Ẋn đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ľ) đưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Śâ€“ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ś) =
sin y . (1 ď€ x)cos( y )
C. y ' 
ď€ sin y . (1 ď€ x)cos( y )
us
.g
oo
gl
A. y ' 
e.
co
0.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Câu 2. Vi phân cẼp hai cᝧa hà m sᝑ y  ln cos x là :
1 . 2
B. y '  D.
sin y . 1 ď€ x cos( y )
y '  sin y.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Câu 1. Cho
38
BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Câu 5. Viết khai triển Maclaurin của hàm số f x 5x 1 đến cấp 3 với số hạng dư dạng Peano.
2
2
x
2
ln 5
3
x3 0 x3
6
2
ln 5
3
6
x3 0 x3 .
Câu 6. Viết công thức Taylor của hàm A. y ( x 2) x 2 x 2 O 3
B. y x x 2 x 2 O
tại điểm c = 2 đến cấp 3.
x 2 . 3
x 2 . 3
co
m
3
x x 1
y
/+ D
2
2
uy
x2
Q
2
m
ln 5
Kè
D. f x x ln 5
N
x 2 x3 0 x3 2 6
ạy
C. f x x
6
x3 0 x3
n
2
3
C. y 2 ( x 2) x 2 x 2 O 3
e.
2
oo
gl
2 3 x 2 x 2 y 2 ( x 2) O
2!
3!
.g
D.
x 2 .
us
Câu 7. Cho hàm số f x x2e2x . Tính f 2 220 A. C20
2 18 2 B. C20
3
x 2 .
20
3
0. C. 0
2 19 2 D. C20
4 C. . 3
2 D. . 3
2
Câu 8. Tính giới hạn lim
e2 x 1
x 0 3x 2
A.
2 . 3
B.
4 . 3
x3
.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
x 2
ln 5 1 x ln 5
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. f x
ln 5
2
hơ
A. f x x ln 5
ln 5
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
39
n
-
Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘.
-
Khảo såt và vẽ đᝓ thᝋ hà m sᝑ đưᝣc cho trong t�a đ᝙ c᝹c.
hĆĄ
Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ).
Q
uy
N
-
Kè
m
3.1 DĂ™NG Ä?áş O HĂ€M KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) Ta nĂłi hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu:
ấy
Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.1
/+ D
∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ),
m
ta nĂłi đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng chạt trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), náşżu:
co
x1 , x2 ďƒŽ  a, b  ; x1  x2 ďƒž f  x1   f  x2 
e.
Tưƥng t᝹ ta có cåc khåi niᝇm giảm và giảm chạt.
gl
Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.1. Cho đ?’‡(đ?’™) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) khi vĂ chᝉ
oo
khi đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) ≼ 0, ∀đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).
us
.g
ďƒŠ Cho đ?’‡(đ?’™) tăng, khi Ẽy ta cĂł:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
f '  x   f ' (x)  lim  ď „x ď‚Ž0
f  x  ď „x  ď€ f  x  ď „x
ď‚ł0
vĂŹ f  x  ď „x  ď€ f  x  ď‚ł 0, ď „x  0. Ngưᝣc lấi, náşżu f ′ (x) ≼ 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ váť›i đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange ta cĂł f  x2  ď€ f  x1   f '  c   x2 ď€ x1  ď‚ł 0. ďƒť
Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.2. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng chạt trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) khi vĂ chᝉ khi
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
40
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
1) f '( x) ď‚ł 0, x ďƒŽ  a, b  . 2) KhĂ´ng táť“n tấi khoảng (đ?›ź, đ?›˝) ⊂ (đ?‘Ž, đ?‘?) sao cho đ?‘“’(đ?‘Ľ) = 0 trĂŞn (đ?›ź, đ?›˝). ChĂş Ă˝ 3.1.2. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ tĆ°ĆĄng táťą dáť… dĂ ng phĂĄt biáťƒu vĂ chᝊng minh cho cĂĄc hĂ m khĂ´ng tăng hoạc giảm.
hĆĄ
n
x2 2
uy
N
ďƒž f ' (x)  ex ď€ 1 ď€ x
Q
f ' ' (x)  ex ď€ 1  0, x  0
m
Cho nĂŞn đ?‘“′(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (0, +ď‚Ľ). NhĆ°ng đ?‘“ ′ (0) = 0, váşy đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) > 0, ∀đ?‘Ľ > 0. Ä?iáť u Ä‘Ăł lĂ
Kè
chᝊng táť? đ?’‡(đ?’™) tăng trĂŞn (0, +ď‚Ľ), tᝊc lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) > đ?‘“(0) = 0. ďƒť
ấy
Ä?iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹ Ä‘ĂŁ xĂŠt trong Ä‘áť‹nh lĂ˝ Fermat
/+ D
Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.3. Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?‘Ľ0 vĂ khả vi trong lân cáşn đ?‘Ľ0 (cĂł tháťƒ trᝍ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 ). Khi qua đ?‘Ľ0 :
m
1- Náşżu f’(x) Ä‘áť•i dẼu tᝍ âm sang dĆ°ĆĄng thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) đất cáťąc tiáťƒu tấi đ?‘Ľ0
co
2- Nếu f’(x) đ᝕i dẼu tᝍ dưƥng sang âm thÏ hà m �(�) đất c᝹c đấi tấi �0
gl
e.
3- Nếu f’(x) không đ᝕i dẼu thÏ hà m �(�) không có c᝹c trᝋ tấi �0 .
oo
Ä?áť‹nh lĂ˝ lĂ hᝇ quả tráťąc tiáşżp cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ 2, sinh viĂŞn táťą chᝊng minh.
.g
Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.4. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi trong lân cáşn đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘“′(đ?‘Ľ0 ) = 0
us
1- Náşżu đ?‘“′′(đ?‘Ľ0 ) < 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) đất cáťąc đấi chạt tấi đ?‘Ľ0 ; 2- Náşżu đ?‘“′′(đ?‘Ľ0 ) > 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) đất cáťąc tiáťƒu chạt tấi đ?‘Ľ0 .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŠ Ä?ạt: đ?‘“(đ?‘Ľ) = e x ď€ 1 ď€ x ď€
x2 2
Táť•ng quĂĄt hĆĄn, dĂšng cĂ´ng thᝊc Taylor cho cẼp n ta cĂł Ä‘áť‹nh lĂ˝ sau: Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.5. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn 1- Khả vi Ä‘áşżn cẼp n –1 trong lân cân đ?‘Ľ0 vĂ tấi đ?‘Ľ0 (tᝊc lĂ táť“n tấi đ?‘“ (đ?‘›â€“1) (đ?‘Ľ) trong lân cáşn đ?‘Ľ0 vĂ tấi đ?‘Ľ0 ) 2- ∃đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 )
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Và d᝼ 3.1.1. Chᝊng minh v᝛i � > 0 ta có e x  1  x 
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
41
3- đ?‘“’(đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“’’(đ?‘Ľ0 ) = ‌ = đ?‘“ (đ?‘›â€“1) (đ?‘Ľ0 ) = 0, đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) ≠0; Khi Ẽy náşżu n cháşľn thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) đất cáťąc tráť‹ tấi đ?‘Ľ0 , c᝼ tháťƒ náşżu đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) > 0 ta cĂł cáťąc tiáťƒu chạt, náşżu đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) > 0 ta cĂł cáťąc đấi chạt. Náşżu n láşť thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi đ?‘Ľ0 .
∀đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), ∀đ?›ź ∈ [0; 1]
n
(1)
A1
N
XÊt ý nghĊa hÏnh h�c cᝧa hà m lþm. XÊt đᝓ thᝋ cᝧa hà m sᝑ
hĆĄ
f(ď Ąx1 + (1 – ď Ą)x2) ď‚Łď Ąf(x1) + (1 – ď Ą)f(x2)
x1
Ao
xo
x2
uy
đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) vĂ hai Ä‘iáťƒm A1(x1,(f(x1)), A2(x2,(f(x2)) trĂŞn Ä‘áť“ tháť‹. Váşż
A2
m
đ?‘Ľ0 = ď Ąđ?‘Ľ1 + (1 – ď Ą)đ?‘Ľ2
Q
trĂĄi cᝧa (1) lĂ tung Ä‘áť™ cᝧa Ä‘iáťƒm đ??´0 (đ?‘Ľ0 , (đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) trĂŞn Ä‘áť“ tháť‹ váť›i:
Kè
còn váşż phải cᝧa (1) lĂ tung Ä‘áť™ Ä‘iáťƒm B náşąm trĂŞn dây trĆ°ĆĄng cung A 1A2 váť›i hoĂ nh Ä‘áť™
ấy
đ?‘Ľ0 .
/+ D
LĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ0 náşąm giᝯa x1 vĂ x2, váşy bẼt Ä‘áşłng thᝊc (1) chᝊng táť? ráşąng Ä‘iáťƒm A0 náşąm dĆ°áť›i Ä‘iáťƒm B, nĂłi máť™t cĂĄch táť•ng quĂĄt lĂ cung A1A2 náşąm dĆ°áť›i dây trĆ°ĆĄng cung A1A2.
m
HĂ m đưᝣc gáť?i lĂ láť“i trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu trong (1) ta cĂł bẼt Ä‘áşłng thᝊc ngưᝣc chiáť u, nĂłi
co
cĂĄch khĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) láť“i náşżu hĂ m −đ?‘“(đ?‘Ľ) lĂľm.
e.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.6. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp hai trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy hĂ m sáť‘ lĂľm trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?)
gl
khi vĂ chᝉ khi f’’(x) ď‚ł 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?).
oo
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĹŠng cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) láť“i ďƒ› f’’(x) ď‚Ł 0.
us
.g
Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.4 (Ä?iáťƒm uáť‘n). Ä?iáťƒm đ?‘€(đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm uáť‘n náşżu nĂł phân cĂĄch cung láť“i vĂ cung lĂľm cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong. Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.7. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł đấo hĂ m cẼp hai đ?‘“′′(đ?‘Ľ) trong lân cáşn Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 . Náşżu khi
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒž
B
qua đ?‘Ľ0 , đấo hĂ m cẼp hai đ?‘“′′(đ?‘Ľ) Ä‘áť•i dẼu thĂŹ Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) lĂ Ä‘iáťƒm uáť‘n. Ä?Ć°áť?ng tiᝇm cáşn Ä?Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? đưᝣc gáť?i lĂ tiᝇm cáşn cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) (khi xď‚Ž+ď‚Ľ hoạc xď‚Ž-ď‚Ľ) náşżu lim (f (x) ď€ ax ď€ b)  0 hoaĂŤc
x
lim (f (x) ď€ ax ď€ b)  0
xď‚Žď€ď‚Ľ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.3 (Láť“i, lĂľm, Ä‘iáťƒm uáť‘n). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ liĂŞn t᝼c trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) đưᝣc gáť?i lĂ lĂľm trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu:
42
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
Ä?Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ľ = đ?‘Ž đưᝣc gáť?i lĂ tiᝇm cáşn đᝊng cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) náşżu tháť?a mĂŁn Ăt nhẼt máť™t trong hai Ä‘iáť u kiᝇn sau: (ď€ď‚Ľ) ;
lim (f (x)  
x ď‚Ža ď€
lim (f (x)  
(ď€ď‚Ľ)
x a 
RĂľ rĂ ng tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa, náşżu đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? lĂ tiᝇm cáşn thĂŹ: f ( x) ; b  lim [ f ( x) ď€ ax]. x x x
m ấy
Kè
ďƒŹ x  x(t ) (1) ďƒ y  y ( t ) ďƒŽ
Cho hai hĂ m sáť‘:
Q
Phưƥng trÏnh tham sᝑ cᝧa đư�ng cong
Khi đ?‘Ą thay Ä‘áť•i, Ä‘iáťƒm đ?‘€(đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą)) váş˝ Ä‘Ć°áť?ng cong (C) trong mạt pháşłng táť?a Ä‘áť™. CĂĄc
coi chĂşng lĂ cost vĂ sint:
m
2 x2 y x y   1 , vĂŹ táť•ng bĂŹnh phĆ°ĆĄng cᝧa , báşąng 1, nĂŞn cĂł tháťƒ 2 2 a b a b
co
Và d᝼ 3.2.1. Cho ellipse
/+ D
hà m sᝑ (1) đưᝣc g�i là phưƥng trÏnh tham sᝑ cᝧa đư�ng cong (C).
gl
e.
x y  cos t;  sin t; t ďƒŽ [0, 2ď ° ]. a b
oo
Váşy ta cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa ellipse:đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą; đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą.
us
.g
VĂ d᝼ 3.2.1. Cycloid lĂ quáťš đấo cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm M náşąm trĂŞn máť™t Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂnh a khi vòng tròn Ä‘Ăł lăn khĂ´ng trưᝣt trĂŞn máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng. Giả sáť vòng tròn lăn váť phĂa hĆ°áť›ng dĆ°ĆĄng tr᝼c Ox (lăn trĂŞn tr᝼c hoĂ nh), váť‹ trĂ ban đầu cᝧa M trĂšng váť›i gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O. XĂŠt váť‹ trĂ máť›i cᝧa vòng tròn, váť›i Ä‘iáťƒm tiáşżp xĂşc lĂ N vĂ Ä‘iáťƒm M nhĆ° HĂŹnh 3.2. VĂŹ lăn Ě‚ = đ?‘‚đ?‘ . khĂ´ng trưᝣt nĂŞn: đ?‘€đ?‘ Ě‚ . Váşy táť?a Giả sáť tâm vòng tròn lĂ đ??ˇ, đạt đ?‘Ą = đ?‘ đ??ˇđ?‘€ Ä‘áť™ cᝧa M sáş˝ đưᝣc tĂnh nhĆ° sau:
M 0
F
t
D G N
x
HĂŹnh 3.2
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n hĆĄ
uy
N
3.2 KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? CHO BáťžI PHĆŻĆ NG TRĂŒNH THAM Sáť?
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
a  lim
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
43
Ě‚ – đ?‘€đ??ş = đ?‘Žđ?‘Ą – đ?‘Ž sin đ?‘Ą , đ?‘Ľ = đ?‘‚đ??š = đ?‘‚đ?‘ – đ??šđ?‘ = đ?‘ đ?‘€ đ?‘Ś = đ??šđ?‘€ = đ?‘ đ??ş = đ?‘ đ??ˇ – đ??şđ??ˇ = đ?‘Ž – đ?‘Ž cos đ?‘Ą. Váşy ta cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa cycloid: đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ą – sin đ?‘Ą); đ?‘Ś = đ?‘Ž(1 – cos đ?‘Ą).
ấy
t ď‚Žt o
lim x(t)  , lim y ( t)  b , ta cĂł tiᝇm cáşn ngang đ?‘Ś = đ?‘?.
t ď‚Žt o
t ď‚Žt o
y (t )  a; x (t)
lim [ y (t) ď€ ax (t)]  b
t ď‚Žt o
co
lim
t ď‚Žt o
m
Náşżu: khi t ď‚Ž to, x ď‚Ž +ď‚Ľ, y ď‚Ž +ď‚Ľ vĂ :
gl
e.
thĂŹ: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? lĂ tiᝇm cáşn xiĂŞn.
oo
VĂ d᝼ 3.2.2. Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ cycloid đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ąâ€“ sin đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ž(1– cos đ?‘Ą). ďƒŠ VĂŹ đ?‘Ľ(đ?‘Ą + 2ď °) = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) + 2ď °đ?‘Ž, đ?‘Ś(đ?‘Ą + 2ď °) = đ?‘Ś(đ?‘Ą), cho nĂŞn hĂ m sáť‘ đ?‘Ś (theo biáşżn đ?‘Ľ) cĂł chu
us
.g
káťł 2đ?œ‹đ?‘Ž. Váşy chᝉ cần khảo sĂĄt vĂ váş˝ trong Ä‘oấn 0 ď‚Ł đ?‘Ľ ď‚Ł 2đ?œ‹đ?‘Ž ᝊng váť›i 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 2đ?œ‹. đ?‘Ľđ?‘Ąâ€˛ = đ?‘Ž(1 − cos đ?‘Ą) = 0 â&#x;ş đ?‘Ą = 0, đ?‘Ą = 2đ?œ‹, đ?‘Śđ?‘Ąâ€˛ = đ?‘Ž sin đ?‘Ą = 0 â&#x;ş đ?‘Ą = 0, đ?‘Ą = 2đ?œ‹, y 'x 
ďƒŹ y 't sin t ďƒŻ0, t  ď °  ď€˝ďƒ x 't 1 ď€ cos t ďƒŽ ďƒŻď‚Ľ, t  0, t  2ď °
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
Kè
lim x(t)  a, lim y (t)   , ta cĂł tiᝇm cáşn đᝊng đ?‘Ľ = đ?‘Ž.
t ď‚Žt o
/+ D
Náşżu:
m
- Tiᝇm cáşn: Náşżu:
uy
y't . x't
Q
- Khảo såt chiᝠu biến thiên, lưu ý: y'x 
N
- TĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh, tĂnh cháşľn láşť, tuần hoĂ n.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ta cŊng tiến hà nh cåc bư᝛c như đᝑi v᝛i hà m sᝑ � = �(�), đó là :
n
Sƥ đᝓ khảo såt
44
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
Ta có bảng biến thiên t x’t x y’t y
hơ N uy Q m Kè
Ví dụ 3.2.3. Lá Descartes
ạy
x3 + y3 – 3axy = 0 (a > 0)
(10)
Đặt t = y , thế y = xt vào (10) ta được phương trình tham số của đường (10): 3at ; 1 t3
x' 3a
m
3at 2 (11) 1 t3
1 2t 3 1 0t 3 3 2 (1 t ) 2
e.
ta có:
y
co
x
/+ D
x
gl
2 t 3 t
(1 t 3 ) 2
0t
oo
y' 3a
t 2 t3
vậy
us
.g
y' x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Vậy đồ thị có dạng sau:
1 2t
3
0t
3
3
2, t 0
2, t 0
y'x = 0 khi t = 0 và t =
y''xx khi t
1 3
2
3
2 , và:
vaø t
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
y’x
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
45
Ta có bảng biến thiên t
-
x’t
+ +
x
n hĆĄ uy
lim y(t)  
tď‚Žď€1
Q
tď‚Žď€1
y (t )  lim t  ď€1 x(t) t ď‚Žď€1
m
lim
t ď‚Žď€1
lim y(t)  ď€ď‚Ľ lim x(t)  ď€ď‚Ľ ;
tď‚Žď€1ď€
lim [ y (t) ď€ ď€¨ ď€ 1x t ]  lim
t ď‚Žď€1
3at  t  1
t ď‚Žď€1
t3  1
 ď€a
Kè
vĂ
lim x(t)   ;
tď‚Žď€1ď€
ấy
ta cĂł
N
y’x
y
3
co
a
m
3
x + y - 3axy = 0
/+ D
Váşy ta cĂł tiᝇm cáşn xiĂŞn: đ?‘Ś =– đ?‘Ľâ€“ đ?‘Ž. Ä?Ć°áť?ng cong đưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; HĂŹnh 3.7.
x
a
a
a 0
oo
x +y =a x+y+a=0
HĂŹnh 6
HĂŹnh 7
HĂŹnh 3.7
HĂŹnh 3.8
us
.g
X
a
gl
e.
0
y
3.3 KHẢO SĂ T Ä?ĆŻáťœNG CONG TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
y
3.3.1 Hᝇ táť?a Ä‘áť™ cáťąc Trong mạt pháşłng cháť?n máť™t Ä‘iáťƒm O cáť‘ Ä‘áť‹nh gáť?i lĂ cáťąc vĂ máť™t tia Ox gáť?i lĂ tia cáťąc. Váť‹ trĂ cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm M trĂŞn mạt pháşłng hoĂ n toĂ n xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i hai đấi lưᝣng:
r  OM; ď Ş  (Ox, OM )
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
y’t
46
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
trong đó r là bán kính vectơ; là góc cực của điểm M. Chú ý rằng, là góc định hướng có chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Cặp (r, ) được gọi là các tọa độ cực của điểm M.
n
hơ
tương ứng với một điểm. Với gốc O thì r = 0 và bất kỳ.
N
Bây giờ lấy trục tọa độ Đề Các sao cho gốc tọa độ trùng với cực và nửa dương của
x r cos y r sin
m Kè
(2)
ạy
y tg x
/+ D
Ngược lại ta có:
r x 2 y2
(1)
Q
uy
trục hoành trùng với trục cực . Vậy ta có:
Để từ (2) xác định được góc ta cần chọn sao cho sin cùng dấu với y.
3
gl
vì sin
3
3
0 cùng dấu với y
3
3 2 . Vậy M 1, . 2 3
.g
oo
Ta chọn
1 3 , y . 2 2
3 , ta có hai góc 1 , 2 .
e.
Vậy: r = 1, tg =
co
m
Ví dụ. Điểm M trong tọa độ Descartes là x =
us
3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng Bây giờ cho M(r,), với r, không bị hạn chế như ở trên (r 0, 0 2), mà được
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2. Khi ấy, mỗi điểm M O sẽ có một cặp (r, ) tương ứng và mỗi cặp (r, ) sẽ
lấy các giá trị bất kỳ. Khi ấy ta có tọa độ cực mở rộng. Như vậy một điểm có thể có nhiều tọa độ cực khác nhau. Quy ước: điểm (r,) là điểm sau: vẽ tia Ou tạo với Ox một góc . Trên tia Ou kéo dài lấy điểm M sao cho OM r.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Để biểu diễn được tất cả các điểm của mặt phẳng, rõ ràng chỉ cần hạn chế r 0, 0
47
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
VĂ d᝼. Cho M cĂł toấ Ä‘áť™ r = –1, ď Ş  4ď ° . 3
TrĂŞn tia Ou (kĂŠo dĂ i) tấo váť›i Ox gĂłc ď Ş  4ď ° , Ä‘áťƒ lẼy Ä‘iáťƒm M cĂł OM  ď€1 thĂŹ M phải 3
ngưᝣc hư᝛ng v᝛i Ou.
ďƒŚ ď °ďƒś ďƒ§ 1, ďƒˇ , ďƒ¨ 3ďƒ¸
táť?a
Ä‘áť™
cáťąc
máť&#x;
r᝙ng,
ďƒŚ 5ď ° ďƒś ďƒ§ 1, ďƒˇ ,... 3 ďƒ¨ ďƒ¸
vĂ
d᝼:
uy
ďƒś ďƒˇ, ďƒ¸
trong
o
u
Kè
ďƒŚ 4ď ° ďƒ§ ď€1, 3 ďƒ¨
diáť…n
Q
biáťƒu
m
cĂĄch
M
N
tᝊc lĂ ta lấi đưᝣc Ä‘iáťƒm M trong vĂ d᝼ 1. NhĆ° váşy M cĂł nhiáť u
hĆĄ
n
4ď ° 1 4ď ° 3  , y  ď€1sin  3 2 3 2
F(ď Ş,r) = 0
hoạc:
r = f(ď Ş)
/+ D
Hᝇ thᝊc:
ấy
3.3.3 Ä?Ć°áť?ng cong trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc
(3) (4)
m
xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m sáť‘. Quáťš tĂch nhᝯng Ä‘iáťƒm M(r,ď Ş) tháť?a mĂŁn (3) hoạc (4) sáş˝ lĂ máť™t
co
đư�ng cong trong mạt phẳng.
gl
e.
Và d᝼.
oo
a) đ?‘&#x; = 1 lĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn tâm O bĂĄn kĂnh 1, đ?œ‘ =
đ?œ‹ 3
đ?œ‹
lĂ tia đ?‘‚đ?‘˘ tấo váť›i đ?‘‚đ?‘Ľ máť™t gĂłc đ?œ‘ = . 3
.g
b) Láşp phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂnh a, Ä‘i qua cáťąc O vĂ cĂł tâm trĂŞn tr᝼c cáťąc.
us
ďƒŠ Ta cĂł hai cĂĄch: CĂĄch 1: Cho tâm áť&#x; tấi Ä‘iáťƒm ď ˇ(a,0). Giả sáť tᝍ M thuáť™c Ä‘Ć°áť?ng tròn váť›i
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
x  ď€1cos
( Ox, OM)  ď Ş thĂŹ r = 2a cosď Ş. CĂĄch 2: Ä?Ć°áť?ng tròn Ä‘Ăł cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh (trong táť?a Ä‘áť™ Decac): ( x ď€ a) 2  y 2  a 2
Tháşż x = r cosď Ş, y = r sinď Ş vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn ta đưᝣc r = 2a cosď Şďƒť.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Sang táť?a Ä‘áť™ Descartes thĂŹ
48
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
c) Chứng tỏ rằng đường r = a sin (a > 0) là đường tròn đường kính a. Với r 0, phương trình trên tương đương với: r2 = ar sin Mặt khác điểm cực cùng thuộc vào cả hai đường, vậy hai phương trình trên có
n hơ
uy
N
a 2 a 2 0, a . x 2 y - đường tròn tâm 0, a , bán kính 2 2 2 2
Q
3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực
-
Lập bảng biến thiên
-
Tiệm cận nếu có
-
Xác định một số điểm đặc biệt
Kè
Miền xác định, tuần hoàn, đối xứng…
m
/+ D
ạy
-
m
Ta cũng tiến hành theo các bước thông thường:
co
Ta cần lưu ý một số điểm sau đây:
e.
1- Tuần hoàn: nếu hàm số có chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trong góc 0 T, rồi
gl
sau đó xoay những góc T (quanh cực O).
.g
oo
2- Đối xứng: ta có các trạng thái đối xứng thường gặp sau (H.3.13)
us
(r, )
( r, )
(r,)
(r,)
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Thế x2 + y2 = r2, y = r sin ta được: x2 + y2 = ay
(r, ) (r, ) Ñoái xöùng qua ñöôøng =
Ñoái xöùng qua truïc cöïc
2
+
(r,)
( r,) (r, ) Ñoái xöùng qua cöïc O
Ta có vài nhận xét sau: -
Nếu khi thay (r, ) bởi (r, - ) hoặc (-r, -) mà hàm số vẫn không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua đường =
2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
chung đồ thị.
49
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
-
Nếu khi thay (r, ) bởi (r, - ) hoặc (-r, - ) mà hàm số không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua trục cực
-
Nếu khi thay (r, ) bởi (-r, ) hoặc(r, + ) mà hàm số không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua cực O.
-
Nếu r = f(cos) trường hợp riêng là hàm chẵn theo thì đồ
N
hơ
2
uy
thị đối xứng qua trục cực.
Q
3- Tiếp tuyến của đường cong
m
Gọi là góc giữa bán kính vectơ OM với tiếp tuyến tại M(r,)
Kè
(H.3.14) .
M r
Hình 3.14
tg tg . 1 tg tg
/+ D
tg tg( )
(6)
m
vậy:
ạy
Với ký hiệu - góc của tiếp tuyến tại M với Ox, ta có: = - ,
co
Mặt khác đường cong r = f() có thể viết ở dạng tham số sau:
e.
x = r() cos();
y ' x '
r 'sin r cos , r ' cos r sin
dr . d
us
.g
ở đây: r '
oo
gl
Cho nên hệ số góc bằng: tg
y = r() sin().
Thế (7) vào (6) ta được: tg
r . r'
4- Tiệm cận: coi là tham số và đưa đường cong về dạng tham số
x r( )cos y r( )sin .
(7)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Nếu r = f(sin) hoặc là hàm lẻ theo thì đồ thị đối xứng qua = .
n
-
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Như là hệ quả ta có quy tắc rất tiện sử dụng sau:
50
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
a VĂ d᝼ 3.3.1. r  . ď Ş
a ď Ş
Ä?Ć°a váť tham sáť‘: x r= cosď Ş, y r= a sinď Ş. ď Ş
Khi ď Şď‚Ž 0 thĂŹ x ď‚Žď‚Ľ, y ď‚Ž a nĂŞn y = a lĂ tiᝇm cáşn ngang.
hĆĄ
r’ = –asinď Ş
N
r 1  cos ď Ş ďƒŹ ďƒŻ0, ď Ş  ď ° ď€˝ď€ ď€˝ďƒ r' sin ď Ş ďƒŻď€Ťď‚Ľ, ď Ş  0 ďƒŽ
uy
tgď ˇ 
/+ D
ấy
Kè
m
Q
Bảng biến thiên
us
.g
oo
gl
e.
co
m
Váşy Ä‘áť“ tháť‹ cĂł dấng (sau khi Ä‘áť‘i xᝊng qua tr᝼c cáťąc)
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
ďƒŠ HĂ m sáť‘ cháşľn, chu káťł 2ď °. Váşy chᝉ cần khảo sĂĄt váť›i 0 ď‚Ł ď Ş ď‚Ł ď ° ráť“i lẼy Ä‘áť‘i xᝊng qua tr᝼c cáťąc.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
VĂ d᝼ 3.3.2. Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ Ä‘Ć°áť?ng cardioid: đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 + cos đ?œ‘), đ?‘Ž > 0.
BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN
51
TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn cᝧng cáť‘ lấi khảo sĂĄt máť™t sáť‘ hĂ m sáť‘ dấng đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ), ngoĂ i ra, cần lĂ m quen váť›i cĂĄch khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ cho áť&#x; dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘,
hĆĄ
n
BĂ i 2. Chᝊng minh cĂĄc bẼt Ä‘áşłng thᝊc sau. a) sinx + tgx ď‚ł 2x, x ďƒŽ ďƒŚďƒ§ 0, ď ° ďƒśďƒˇ 2ďƒ¸
co
x>0
m
arctgx , 1 x
/+ D
b) 2xarctgx  ln(1 + x2), x c) ln(1+x) >
uy
ấy
ďƒ¨
x . ln x
m
b) y =
Q

Kè

a) y = x 1  x ;
N
BĂ i 1. TĂŹm cĂĄc khoảng tăng giảm cᝧa cĂĄc hĂ m sau.
ďƒŠ
e.
BĂ i 3. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ bĂŠ nhẼt cᝧa hĂ m sáť‘y = 2tgx – tg2x trĂŞn ďƒŞ 0,
ď °ďƒš
2 ďƒşďƒť
.
gl
ďƒŤ
oo
BĂ i 4. TĂŹm tiᝇm cáşn cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ cĂĄc hĂ m sáť‘ y(x) sau:
.g
x2 ď€ 3
a) y =
us
x
b) y =
;
ln  x  1 x2
 2x
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
BÀI TẏP
BĂ i 5. XĂŠt tĂnh láť“i, lĂľm, Ä‘iáťƒm uáť‘n cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘: a) x = tlnt, y = –6et – 3t2;

b) x = 1  t

1 t ,y

= 1 t
1

1 t.
BĂ i 6. TĂŹm tiᝇm cáşn cᝧa cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘: x = t3 - 3ď °, y = t3 – 6arctgt.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĂ m sáť‘ trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc.
52
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
Bài 7. Khảo sát và vẽ đồ thị của các đường cong sau: a) x = t2, y = t3;
b) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3.
d) x2 + 9y2 = 9.
N
Bài 9. Đưa các phương trình trong tọa độ cực về phương trình trong tọa độ đề các
c) r =
Q
b) r = 1 – sin ;
Kè
m
a) r = 2cos ;
uy
vuông góc.
ạy
Bài 10. Khảo sát và vẽ đồ thị các đường cong sau:
b) r = 1 + sin
/+ D
a) r = 2 (1 - cos); c) r = acos 3, a > 0;
m co e. gl oo .g us
3
d) r = a cos 3 , a > 0.
1 . sin
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
c) x2 + y2 + 2x = 0.
n
b) y2 = 8x.
hơ
a) x = 4.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 8. Đưa các phương trình sau về tọa độ cực:
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN
53
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số
y
x 1 có các khoảng tăng giảm là: x 1
n hơ N
C. y giảm trên từng khoảng ( ,1) , (1, ) .
Q
/+ D
B. lồi trên 0; , lõm trên ;0 .
ạy
A. lõm trên ;0 1; , lồi trên 0;1 .
m
1 x 2 . Đồ thị hàm số này: x
Kè
Câu 2. Cho hàm số f x
uy
D. y giảm trên ( , ) .
C. lồi trên 1; , lõm trên ;1 .
co
m
D. lồi trên ;0 1; , lõm trên 0;1 .
y
gl
e.
Câu 3. Tìm tất cả các tiệm cận của hàm số
y 1.
C.
x 1, x 1, y 1.
us
.g
oo
A.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
B. y tăng trên ( , ) .
x 4
x4 1
.
B.
x 1, x 1.
D.
y 1, y 1.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
A. y tăng trên ( ,1) , giảm trên (1, ) .
54
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
n
Nháşn diᝇn tĂch phân suy ráť™ng loấi 1, loấi 2.
-
Ă p d᝼ng cĂĄc tiĂŞu chuẊn háť™i t᝼ khĂĄc nhau xĂŠt sáťą háť™i t᝼ (hay phân kĂŹ) cᝧa tĂch phân
N
hĆĄ
-
Q
TĂnh tĂch phân suy ráť™ng loấi 1, loấi 2 trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂł háť™i t᝼.
m
-
uy
suy r᝙ng loấi 1, loấi 2.
m
Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.1 (Phân hoấch)
/+ D
4.1.1 TĂch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh
ấy
Kè
4.1 Ä?ᝊNH LĂ? CĆ BẢN CᝌA PHÉP TĂ?NH TĂ?CH PHĂ‚N, CĂ”NG THᝨC NEWTON - LEIBNIZ
co
1) Phân hoấch cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] lĂ táşp cĂĄc Ä‘iáťƒm: đ?‘ƒ = {đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› } sao cho: đ?‘Ž = đ?‘Ľ0 < đ?‘Ľ1 <
max
n ď‚Ł i ď‚Ł n ď€1
xi1 ď€ xi ,0 ď‚Ł i  n, đưᝣc gáť?i lĂ chuẊn cᝧa phân hoấch P.
oo
gl
2) Ä?ấi lưᝣng: P 
e.
â‹Ż < đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?.
.g
3) Phân hoấch Q cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] đưᝣc gáť?i máť‹n hĆĄn phân hoấch đ?‘ƒ náşżu đ?‘ƒ ⊂ đ?‘„.
us
Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.2 (Táť•ng Riemann). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ?‘ƒ = {đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› } lĂ máť™t phân hoấch cᝧa [đ?‘Ž, đ?‘?]. Táť•ng Riemann cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) ᝊng váť›i phân hoấch đ?‘ƒ lĂ táť•ng
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
S( P ) 
nď€1
ďƒĽ f ( ď ¸i ) ď „xi ;
i0
ď „xi  xi1 ď€ xi ,
Váť›i ď ¸ i lĂ máť™t Ä‘iáťƒm bẼt káťł cᝧa [đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘–+1 ]. Táť•ng Riemann (gáť?i theo tĂŞn nhĂ toĂĄn háť?c Ä?ᝊc Georg Friedrich Bernhaed Riemann (1826 – 1866) rĂľ rĂ ng ph᝼ thuáť™c vĂ o hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), phân hoấch đ?‘ƒ vĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm trung gian ď ¸i .
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
55
Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.3 1) Ta nĂłi táť•ng Riemann đ?‘†(đ?‘ƒ) cĂł giáť›i hấn đ?‘† khi P ď‚Ž 0 náşżu: ď€˘ď Ľ  0, ď€¤ď ¤ : P , P  ď ¤ ďƒž S( P ) ď€ S  ď Ľ (váť›i máť?i Ä‘iáťƒm trung gian ď ¸ i ).
2) Náşżu táť•ng Riemann đ?‘†(đ?‘ƒ) cĂł giáť›i hấn đ?‘† thĂŹ ta gáť?i đ?‘† lĂ tĂch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ)
ďƒ˛
hĆĄ
S  f ( x )dx.
N
a
uy
Khi Ẽy hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) đưᝣc gáť?i lĂ khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].
Q
LĆ°u Ă˝ ráşąng khi P ď‚Ž 0 thĂŹ sáť‘ cĂĄc Ä‘iáťƒm chia n cĹŠng Ä‘Ć°ĆĄng nhiĂŞn tiáşżn táť›i ď‚Ľ. Ä?iáť u
Kè
m
ngưᝣc lấi nói chung không đúng.
ấy
4.1.2 CĂĄc tĂnh chẼt cᝧa tĂch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh
/+ D
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ khả tĂch trĂŞn Ä‘oấn Ẽy. Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.2. Náşżu hĂ m liĂŞn t᝼c tᝍng khĂşc trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ nĂł khả tĂch trĂŞn Ä‘oấn
m
Ẽy.
co
(Hà m sᝑ đưᝣc g�i liên t᝼c tᝍng khúc trên m᝙t đoấn nếu trên đoấn Ẽy nó chᝉ có hᝯu
gl
e.
hấn cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi máť™t, khĂ´ng cĂł Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi hai).
oo
4.1.3 TĂch phân váť›i cáşn trĂŞn thay Ä‘áť•i
us
.g
Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]. Váť›i đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?] ta xĂŠt hĂ m sáť‘:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
b
đ?‘Ľ
đ?œ™(đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą. đ?‘Ž
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.3. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ đ?œ™(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]. Chᝊng minh. TrĆ°áť›c háşżt ta lĆ°u Ă˝ ráşąng náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ nĂł báť‹ chạn trĂŞn Ä‘oấn Ä‘Ăł (tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa), giả sáť f ( x ) ď‚Ł M , x ďƒŽ ď › a,bď ? .
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ kĂ˝ hiᝇu
56
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
Khi Ẽy váť›i ∀đ?‘Ľ, đ?‘Ľâ€™ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?] ta cĂł: ď Ś( x ) ď€ď Ś( x )  ,,
,
x,,
x,
x,,
x,,
a
a
x,
x,
ďƒ˛ f (t) dt ď€ ďƒ˛ f (t) dt  ďƒ˛ f (t) dt ď‚Ł M ďƒ˛ dx  M
x,, ď€ x, .
Váşy đ?œ™(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].

ďƒ˛
hĆĄ
uy
xď€Ťď „x
f (t) dt  f (ď ¸).
x
Q
ď †( x  ď „x) ď€ ď †( x) 1  ď „x ď „x
N
Chᝊng minh. Cho đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], lẼy Δđ?‘Ľ ≠0, đ?‘Ľ + Δđ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], khi Ẽy ta cĂł
m
Trong Ä‘áşłng thᝊc cuáť‘i ta Ä‘ĂŁ sáť d᝼ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh, áť&#x; đây ď ¸ = x + ď ąď „x
Kè
(0 <ď ą< 1).
ấy
Sáť d᝼ng tĂnh liĂŞn t᝼c cᝧa đ?’‡(đ?’™), cho ď „x ď‚Ž 0 ta cĂł Ä‘pcm.

/+ D
áťž đây lĆ°u Ă˝ ráşąng hĂ m đ?œ™(đ?‘Ľ) cĂł đấo hĂ m trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] cĂł nghÄŠa lĂ nĂł cĂł đấo hĂ m
m
trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ cĂł đấo hĂ m phải tấi đ?‘Ž, đấo hĂ m trĂĄi tấi đ?‘?.
co
NhĆ° lĂ hᝇ quả tráťąc tiáşżp cᝧa Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.4 ta cĂł
e.
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.5. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ nĂł cĂł nguyĂŞn hĂ m trĂŞn Ä‘oấn
gl
Ẽy.
oo
4.1.4 Công thᝊc Newton - Leibniz - đᝋnh lý cƥ bản cᝧa phÊp
us
.g
tĂnh tĂch phân Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.6 (Newton - Leibniz). Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ??ş(đ?‘Ľ) lĂ máť™t nguyĂŞn hĂ m bẼt káťł cᝧa nĂł. Khi Ẽy ta cĂł:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
đ?œ™â€˛(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ).
b
ďƒ˛ f (x) dx  G(b) ď€ G(a).
a
Chᝊng minh. Gáť?i ÎŚ(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ), khi Ä‘Ăł đ??ş(đ?‘Ľ) = ÎŚ(đ?‘Ľ) + đ??ś, ∀đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?]. Cho x = a vĂ lĆ°u Ă˝ ď †(a) = 0 ta đưᝣc C = G(a).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.4. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ đ?œ™(đ?‘Ľ) cĂł đấo hĂ m trĂŞn Ä‘oấn Ẽy vĂ
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
57
Cho x = b, ta cĂłG(b) = ď †(b) + C = ď †(b) + G(a), hay lĂ b
ďƒ˛ f (x) dx  ď †(b)  G(b) ď€ G(a).

a
Ä?áť‹nh lĂ˝ trĂŞn cĂł tháťƒ máť&#x; ráť™ng áť&#x; dấng sau.
n hĆĄ
b
ďƒ˛ f ( x) dx  G(b) ď€ G(a).
Q
a
uy
N
2- CĂł nguyĂŞn hĂ m trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ??ş(đ?‘Ľ) lĂ máť™t nguyĂŞn hĂ m bẼt káťł cᝧa nĂł. Khi Ẽy,
Kè
m
Chᝊng minh. LẼy phân hoấch bẼt káťł cᝧa [đ?‘Ž, đ?‘?]; a = x0< x1< ‌ < xn = b ta cĂł
ấy
G  b – G  a   ď ›G( x1 ) ď€ G( x0 )ď ?  ď ›G( x2 ) ď€ G( x1 )ď ?  ...  ď ›G( xn ) ď€ G( xnď€1 )ď ? .
/+ D
Sᝠd᝼ng công thᝊc Lagrange cho tᝍng đoấn [xi,xi+1] ta đưᝣc
co
váť›i ď ¸i ďƒŽ ď › xi , xi1 ď ? , i  0, 1,....,n ď€ 1.
m
G( b ) ď€ G( a )  f ( ď ¸0 ) ď „x0  f ( ď ¸1 ) ď „x1  ... f ( ď ¸nď€1 ) ď „xnď€1 ,
NhĆ° váşy G(b) – G(a) đưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng táť•ng tĂch phân cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™) trĂŞn Ä‘oấn
e.
b
ďƒ˛
gl
[đ?‘Ž, đ?‘?]. Cho max ď „xiď‚Ž 0 ta đưᝣc G( b) ď€ G(a)  f ( x) dx.

oo
a
.g
ChĂş Ă˝ 4.1.4. CĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz thĆ°áť?ng đưᝣc viáşżt áť&#x; dấng: b
a
2
x3 VĂ d᝼ 4.1.1. ďƒ˛ x dx  3 ď€1 2
e2
Và d᝼ 4.1.2.
ďƒ˛ e
b
ďƒ˛ f (x) dx  G(x) a .
us pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1- Khả tĂch trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?].
dx  x ln x
e2
ďƒ˛ e
23  ď€1 ď€ ď€˝ 3. 3 3 3
2 ď€1 
d (ln x )  ln ln x ln x
e2 e
 ln 2.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.7 (New – Leibniz). Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ)
58
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
4.2 TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG LOáş I 1 (KHOẢNG LẤY TĂ?CH PHĂ‚N VĂ” Háş N) 4.2.1 TĂch phân suy ráť™ng loấi 1
n
ďƒ˛ f ( x ) dx
hĆĄ
(4.1)
ďƒ˛
là gi᝛i hấn (nếu có)
f ( x) dx  lim
b
b
a
Q
a
ďƒ˛ f ( x) dx. .
uy

N
a
m
Khi Ẽy ta nĂłi ráşąng tĂch phân (1) háť™i t᝼. Náşżu ngưᝣc lấi ta nĂłi tĂch phân (4.1) phân
dx
ďƒ˛ 1  x2
 arctgx 
dx
ďƒ˛ xď Ą
VĂ d᝼ 4.2.2. XĂŠt tĂch phân
(ď Ą> 0).
dx
ďƒ˛ xď Ą
1 1ď€ď Ą b 1 x  b1ď€ď Ą ď€ a1ď€ď Ą . 1ď€ď Ą 1 ď€ ď Ą a

co
b

gl
1ď€ď Ą
0ďƒž
oo
Náşżu ď Ą  1 ďƒž lim b
.g
b
1ď€ď Ą
us
Náşżu ď Ą  1 ďƒž lim b b b
dx
ďƒ˛x

ďƒ˛
a
dx
xď Ą

a1ď€ď Ą ďƒž háť™i t᝼. ď Ą ď€1 b
dx
ďƒž phân káťł. b ďƒ˛ xď Ą
  ď‚Ľ ďƒž lim
a
 ln b ď€ ln a ď‚Ž  ď‚Ľ ( b ď‚Ž  ď‚Ľ) ďƒž phân káťł.
a

Váşy tĂch phân
ďƒ˛
a

e.
a
Náşżu ď Ą  1 ďƒž
m
a
Náşżu ď Ą ď‚š 1 ďƒž
0
 arctgb, b  0, suy ra
/+ D
0
b
ấy
b
Và d᝼ 4.2.1. Ta có
Kè
káťł.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

dx xď Ą
ďƒŹhoäi tuĂŻ neĂĄu ď Ą  1 ďƒ ďƒŽphaân kyø neĂĄu ď Ą ď‚Ł 1

dx
ď °
lim arctgb  . ďƒ˛ 1  x2  b 2 0
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.2.1. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž. TĂch phân suy ráť™ng loấi 1 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ), đưᝣc kĂ˝ hiᝇu
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
59
TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.2.2 b
b
ď€ď‚Ľ
a
lim ďƒ˛ f ( x ) dx; ďƒ˛ f ( x ) dx  aď‚Žď€ď‚Ľ
ďƒ˛ f ( x ) dx ( c ďƒŽ R ). c
ď€ď‚Ľ
4.2.2 Sᝠd᝼ng công thᝊc Newton - Leibniz
uy
Giả sáť đ??š(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?’‡(đ?’™) trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ], khi Ä‘Ăł
ď › F (b) ď€ F (a)ď ?. ďƒ˛ f ( x) dx  blim 
m
lim
a
Kè
b
Q
b
Váşy ta cĂł tháťƒ viáşżt
ďƒ˛
/+ D

ấy
Cho nĂŞn tĂch phân suy ráť™ng táť“n tấi khi vĂ chᝉ khi  lim F (b) :  F ().
f ( x) dx  F () ď€ F ( a)  F ( x)
 a .
m
a
b
co
4.2.3 TĂch phân khĂ´ng âm. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh
b
ďƒ˛
ď †( b)  f ( x) dx
(2)
a
.g
oo
gl
e.
Náşżu đ?’‡(đ?’™) ≼ 0 vĂ khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ), thĂŹ:
us
là m᝙t hà m không giảm trên [�, +), cho nên gi᝛i hấn
lim ď †(b) táť“n tấi khi vĂ chᝉ khi
b
nĂł báť‹ chạn, ď †(b) ď‚Ł M (b ďƒŽ [a,  ď‚Ľ)). Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 vĂ khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž. Khi Ẽy tĂch phân (2) háť™i t᝼ b
khi và chᝉ khi  M:
ďƒ˛ f ( x )dx ď‚Ł M ,b ďƒŽ [ a, ). a
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khĂ´ng âm vĂ khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) áť&#x; lân cáşn cᝧa +ď‚Ľ. Khi Ẽy náşżu
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n
ďƒ˛
f ( x ) dx 
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ď€ď‚Ľ
c
hĆĄ
ďƒ˛
f ( x ) dx 
N

60
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

a)
ďƒ˛
g( x ) dx h᝙i t᝼ thÏ
a

b)
ďƒ˛

ďƒ˛
f ( x ) dx h᝙i t᝼.
a
f ( x ) dx phân kᝳ thÏ

ďƒ˛
g( x ) dx phân kᝳ.
a
a
b
a
a
n
Q
Tiáşżp theo sáť d᝼ng Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.1.
N
ďƒ˛ f (x) dx ď‚Ł ďƒ˛ g(x) dx.
hĆĄ
b
uy
đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ), ∀đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, +ď‚Ľ) ďƒž
Kè
x
f ( x)  K, g ( x)
ấy
Giả sᝠ lim
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.3. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khĂ´ng âm vĂ khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž.


/+ D
ďƒ˛ g(x) dx háť™i t᝼, ta cĂł ďƒ˛ f (x) dx
a) K = 0 thĂŹ náşżu
h᝙i t᝼
a
m
a

ďƒ˛ f (x) dx
gl
a
h᝙i t᝼, ta có
e.
c) K = +ď‚Ľ thĂŹ náşżu
co
b) 0 < K < +ď‚Ľ thĂŹ hai tĂch phân cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł 
ďƒ˛ g(x) dx háť™i t᝼.
a
oo
Chᝊng minh. K = 0 ďƒž váť›i ď Ľ> 0, áť&#x; lân cáşn +ď‚Ľ, ta cĂł: f ( x)  ď Ľ ďƒž f (x)  ď Ľ g(x).
.g
g ( x)
us
Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. ta cĂł Ä‘pcm. b) 0 < K < +ď‚Ľďƒž váť›i 0 <ď Ľ< K, áť&#x; lân cáşn +ď‚Ľ, ta cĂł K ď€ ď Ľ  f ( x)  K  ď Ľ,
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
đ?‘“(đ?‘Ľ) áť&#x; lân cáşn +ď‚Ľ. NĂŞn khĂ´ng lĂ m giảm tĂnh táť•ng quĂĄt cĂł tháťƒ giả thiáşżt
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa ta thẼy tĂnh háť™i t᝼ cᝧa tĂch phân suy ráť™ng ph᝼ thuáť™c dĂĄng Ä‘iᝇu cᝧa
g ( x)
(K ď€ ď Ľ) g ( x)  f ( x)  f ( x)  (K  ď Ľ) g( x).
Tiáşżp theo lấi sáť d᝼ng Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. c) K = 0 ďƒž lim
x
g ( x)  0. Rᝓi sᝠd᝼ng phần a). f ( x)

BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG
61
cos2 x
1 x2 dx .
Ví dụ 4.2.3. Xét tính hội tụ của
0
1 x
2
x 1 x2
~
dx
2 1 x 1 x
.
dx ( x ) mà hội tụ (xem Ví dụ 4.2.2), vậy tích phân đã 2 2 x x 1 1
dx;
dx
1
( x ).
1/ 2
x
phân kỳ. Vậy tích phân đã cho phân kỳ.
x1/ 2 1
m
b
/+ D
4.2.4 Hội tụ tuyệt đối Đặt (b)
~
ạy
Tích phân
1 x
2
Kè
1
x3/ 2
Q
x3/ 2
1 x2
Ví dụ 4.2.5. Khảo sát
m
uy
cho hội tụ.
f ( x) dx,
f (x) dx
như vậy sự hội tụ của tích phân
tương đương với sự
a
co
a
e.
tồn tại lim ( b). Cho nên, từ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ta có
gl
b
oo
Định lý 4.2.4. Nếu tích phân
.g
us
f ( x) dx hội tụ thì tích phân
a
1 Chứng minh. Đặt f f f , 2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ví dụ 4.2.4. Khảo sát 1
hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ.
0
Ta có
dx
1 x2 dx
, mà
f (x) dx
hội tụ.
a
1 f f f , ta có: 0 f f , f f f mà 2
f
dx
a
hội tụ, nên
f dx
hội tụ.
a
Ví dụ 4.2.6. Tích phân
1 x 0
Nếu tích phân
a
cos x
dx hội tụ vì 2
cos x
1 x2 dx
hội tụ (như Ví dụ 4.2.3).
0
f x dx hội tụ thì tích phân
f (x) dx
a
được gọi hội tụ tuyệt đối.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1
n
1 x
2
hơ
cos2 x
N
Vì
62
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
4.3 TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG LOáş I 2 (HĂ€M DĆŻáťšI DẤU TĂ?CH PHĂ‚N KHĂ”NG Bᝊ CHáşśN) 4.3.1 TĂch phân suy ráť™ng loấi 2 Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.3.1. Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong [đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ lim f ( x )   ď‚Ľ, Ä‘áť“ng tháť?i đ?’‡(đ?’™) khả xď‚Žbď€
hĆĄ
a
thÏ gi᝛i hấn đó
n
ďƒ˛ f ( x ) dx
đưᝣc gáť?i lĂ tĂch phân suy ráť™ng loấi 2 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu
N
b
uy
ďƒ˛ f ( x ) dx. cď‚Žbď€
a
c
bď€ď Ľ
ďƒ˛ f ( x) dx  lim
ď Ľď‚Žo
a
ďƒ˛
f ( x) dx.
a
b
ďƒ˛ f ( x) dx
h᝙i t᝼. Trong trư�ng hᝣp ngưᝣc lấi ta nói phân kᝳ.
ấy
Khi Ẽy ta nĂłi tĂch phân
1
Ta cĂł
ďƒ˛
1 ď€ x2
 lim arcsin (1 ď€ ď Ľ)  arcsin 1  ď Ľď‚Žo
gl
0
dx
 arcsin (1 ď€ ď Ľ).
m
1 ď€ x2
0
co
dx
ďƒ˛
e.
Và d᝼ 4.3.1.
/+ D
a
1ď€ď Ľ
b
VĂ d᝼ 4.3.2. Khảo sĂĄt tĂnh háť™i t᝼ cᝧa ďƒ˛
dx
ď Ź a b ď€ x
oo
m
ďƒ˛ f ( x) dx  lim
Kè
b
Váşy
Q
a
ď ° . 2 (b  a).
us
.g
Váť›i ď Źď‚Ł 0 thĂŹ ta đưᝣc tĂch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh thĂ´ng thĆ°áť?ng. Váť›i ď Źď‚š 1 ta cĂł:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
cď‚Žbď€
1ď€ď Ź
Náşżu ď Ź  1 thĂŹ ď Ľ
bď€ď Ľ
dx
ďƒ˛  b ď€ x ď€Šď Ź a

1 ďƒŠ 1ď€ď Ź ď Ľ ď€ (b ď€ a)1ď€ď Ź ďƒš . ďƒť 1ď€ď Ź ďƒŤ b
ď‚Ž 0 (ď Ľ ď‚Ž 0 ) , váşy
dx
1
1ď€ď Ź
ďƒ˛  b ď€ x ď€Šď Ź  ď Ź ď€ 1 ( b ď€ a )
a
Náşżu ď Ź  1 thĂŹ ď Ľ1ď€ď Ź ď‚Ž  (ď Ľ ď‚Ž 0 ) , váşy tĂch phân phân káťł.
.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
c
tĂch trong [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘?: đ?‘Ž ≤ đ?‘? < đ?‘?. Náşżu táť“n tấi giáť›i hấn:  lim
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
Náşżu ď Ź  1 ďƒž
bď€ď Ľ
ďƒ˛
a
dx  ln ( b ď€ a) ď€ ln ď Ľ ď‚Ž  (ď Ľ ď‚Ž 0), váşy tĂch phân phân káťł. bď€x
b
Tóm lấi ta có
63
dx
ďƒ˛  b ď€ x ď€Šď Ź
háť™i t᝼ khi ď Ź< 1; phân káťł khi ď Źď‚ł 1.
a
b
a
c
a ď€Ťď Ľ
Q
m
Náşżu Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ máť™t Ä‘iáťƒm trong cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?]
f ( x) dx.
N
b
uy
b
lim ďƒ˛ ďƒ˛ f ( x) dx  clim ďƒ˛ f ( x) dx  ď Ľď‚Ž ď‚Ža 0
lim f ( x)   ď‚Ľ, c ďƒŽ ( a, b),
Kè
xď‚Žc
ďƒ˛
b
ďƒ˛
ďƒ˛
a
c
m
a
c
f ( x) dx  f (x) dx  f (x) dx.
/+ D
b
ấy
thĂŹ theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa ta cĂł
co
4.3.2 TĂch phân hĂ m khĂ´ng âm. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh
e.
Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [a,c] c : a ď‚Ł c < b vĂ khĂ´ng âm trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].
b
ďƒ˛
g( x ) dx h᝙i t᝼ thÏ
.g
Náşżu
oo
gl
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.1. Cho trong lân cáşn trĂĄi cᝧa b ta cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) b
ďƒ˛ f ( x ) dx
h᝙i t᝼.
a
us
a
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.2. Giả sᝠ lim f ( x )  K . Khi Ẽy:
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
nghÄŠa
hĆĄ
n
xa 
xď‚Žbď€
g( x )
b
a) Náşżu K = 0 thĂŹ náşżu
ďƒ˛ g( x ) dx a
b
h᝙i t᝼ ta có
ďƒ˛ f ( x ) dx háť™i t᝼; a
b) Náşżu 0 < K < +ď‚Ľ thĂŹ hai tĂch phân cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł;
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
TĆ°ĆĄng táťą náşżu lim f (x)   ď‚Ľ vĂ đ?’‡(đ?’™) khả tĂch trĂŞn (c, b] váť›i máť?i c: a<cď‚Łb. Ta cĂł Ä‘áť‹nh
64
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
b
b
ďƒ˛ f ( x ) dx háť™i t᝼ ta cĂł ďƒ˛ g( x ) dx
c) Náşżu K = +ď‚Ľ thĂŹ náşżu
a
h᝙i t᝼.
a
Náşżu Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ cáşn trĂĄi hoạc áť&#x; giᝯa ta cĹŠng cĂł cĂĄc káşżt quả tĆ°ĆĄng táťą. 1
Và d᝼ 4.3.3. Khảo såt
dx
ďƒ˛ 4 1 ď€ x4 ; Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ cáşn phải x = 1, ta cĂł 4 (1 ď€ x)
(1  x  x 2  x 3 )
ď ž
1 . 4 4(1 ď€ x)
n
1
hĆĄ
1 ď€ x4
1
dx
ďƒ˛ 4 4(1 ď€ x)
háť™i t᝼, nĂŞn tĂch phân Ä‘ĂŁ cho cĹŠng háť™i t᝼.
uy
Mạt khĂĄc tĂch phân

N
4
Q
0
Kè
m
4.3.3 CĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz trong tĂch phân suy ráť™ng CĹŠng giáť‘ng nhĆ° tĂch phân suy ráť™ng loấi 1, náşżu đ??š(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn
ấy
[đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ ta cĂł:
/+ D
b
lim ď ›F( b ď€ ď Ľ) ď€ F(a)ď ?  F( bď€) ď€ F(a), ďƒ˛ f (x) dx  ď Ľď‚Ž o
ta viáşżt
ďƒ˛
b
co
b
m
a
f ( x) dx  F( bď€) ď€ F(a)  F( x) . a
gl
e.
a
.g
oo
4.3.4 H᝙i t᝼ tuyᝇt đᝑi
us
Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.3. Náşżu tĂch phân
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1
b
ďƒ˛
a
f ( x ) dx háť™i t᝼ thĂŹ tĂch phân
b
ďƒ˛ f ( x ) dx
h᝙i t᝼. (V᝛i điᝠu
a
kiᝇn lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [a, b - ď Ľ], ď Ľ> 0). Khi Ẽy ta nĂłi tĂch phân
b
ďƒ˛ f ( x ) dx
h᝙i t᝼ tuyᝇt
a
Ä‘áť‘i.
4.3.5 Máť™t sáť‘ vĂ d᝼ Ta xĂŠt thĂŞm máť™t vĂ i vĂ d᝼ cả hai loấi tĂch phân suy ráť™ng. LĆ°u Ă˝ ráşąng cĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz cĂł tháťƒ dĂšng cho cả hai trĆ°áť?ng hᝣp nhĆ° Ä‘ĂŁ nĂŞu áť&#x; cĂĄc phần trĂŞn, cho
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
0
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
65
nĂŞn ta cĹŠng cĂł tháťƒ sáť d᝼ng cĂĄc phĆ°ĆĄng phĂĄp Ä‘áť•i biáşżn vĂ tĂch phân tᝍng phần, chᝉ cần nháť› lĂ cĂĄc cáşn đạc biᝇt thĂŹ phải coi lĂ giáť›i hấn tĆ°ĆĄng ᝊng. 1
ln x
ďƒ˛ 1  x2 dx .
VĂ d᝼ 4.3.4. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂch phân
0
1
arctgx dx. x 0
xo
1
ln x
arctgx dx. x 0
ďƒ˛ 1  x2 dx  ď€ ďƒ˛
Do lim ln x arctgx  lim x ln x  0, cho nên xo
hĆĄ
1
0
N
0
n
ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ ln x d (arctgx)  lnx arctgx 0 ď€ ďƒ˛
0
TĂch phân cuáť‘i khĂ´ng phải lĂ tĂch phân suy ráť™ng, mĂ lĂ tĂch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh thĂ´ng
Q
arctgx  1. Váşy tĂch phân Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. x ď‚Ž0 x 
ďƒ˛
1
1
cos x x
 1

1
cos 1 , vĂ tĂch phân 1
e.
VĂŹ
ďƒ˛
d cos x cos x ď€˝ď€ x x


/+ D
ďƒ˛

m
Ta cĂł
sin x dx  ď€ x
co

sin x dx . x
ấy
VĂ d᝼ 4.3.5. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂch phân
Kè
m
thĆ°áť?ng, vĂŹ lim

ďƒ˛
1
cos x
1
x2
gl

oo
VĂ d᝼ 4.3.6. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂch phân
ď€
ďƒ˛
1
cos x x2
dx.
dx háť™i t᝼, nĂŞn tĂch phân Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. ln x
ďƒ˛ 1  x2 dx. 0
.g
áťž đây ta cĂł cả hai loấi tĂch phân: miáť n lẼy tĂch phân vĂ´ hấn, hĂ m dĆ°áť›i dẼu tĂch
us
phân không bᝋ chạn (khi � → 0+ ). 
ln x
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1
uy
Ta cĂł
1
ln x
Ta cĂł
1
ln x

ln x
ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ 1  x2 dx.
0
0
1
TĂch phân thᝊ nhẼt cᝧa váşż phải háť™i t᝼ (VĂ d᝼ 4.3.4). XĂŠt tĂch phân thᝊ hai.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1
66
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
LẼy 1 <ď Ź< 2, khi Ẽy
ln x 1  x2
:
1 xď Ź

x2
ln x
1  x2 x2ď€ď Ź 
ln x
ďƒ˛ 1  x2 dx
(ď Ź> 1), nĂŞn theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh thĂŹ
ď‚Ž 0 ( x ď‚Ž ), mĂ tĂch phân

dx
ďƒ˛ xď Ź
h᝙i t᝼
1
h᝙i t᝼.
1
1
hĆĄ
ln x
ln t
ln x
ďƒ˛ 1  x2 dx  0.
m
Cho nĂŞn
Q

0
uy
1
N
ďƒ˛ 1  x2 dx  ď€ ďƒ˛ 1  t2 dt .
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ấy
Kè
0
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1
HĆĄn nᝯa, náşżu trong tĂch phân thᝊ hai ta dĂšng Ä‘áť•i biáşżn đ?‘Ľ = đ?‘Ą , ta đưᝣc
n
Váşy tĂch phân Ä‘ĂŁ cho cĹŠng háť™i t᝼.
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
67
TĂ“M TẎT Qua bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn biáşżt váť 1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž, tĂch phân suy ráť™ng loấi 1 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn
b
ďƒ˛ f ( x) dx. a
N
a
b
n
f ( x) dx  lim
hĆĄ
ďƒ˛
2. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong [đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ lim f ( x)   ď‚Ľ, tĂch phân suy ráť™ng loấi 2 cᝧa hĂ m
uy
xď‚Žbď€
cď‚Žbď€
a
c
ďƒ˛ f ( x) dx  lim a
bď€ď Ľ
m
ďƒ˛ f ( x) dx  lim
ď Ľď‚Ž o
Kè
b
Q
đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?],
ďƒ˛
f ( x) dx.
a
/+ D
ấy
3. CĂĄc tiĂŞu chuẊn xĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂch phân suy ráť™ng: so sĂĄnh, háť™i t᝼ tuyᝇt Ä‘áť‘i,‌
co
m
BÀI TẏP
;
dx ď Ą
ď ˘
x ln x
;
us
g)
ďƒ˛0
5
gl
1 x

d)
dx
oo

ďƒ˛0
.g
a)
e.
BĂ i 1. HĂŁy cho biáşżt tĂch phân suy ráť™ng sau háť™i t᝼ hay phân kĂŹ?

ďƒ˛0
x ln x
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

i)
k)
1
ďƒ˛0
1
ďƒ˛0
1  x 
2 2
sin 2x 1 ď€ x2 dx x ď€ x2
dx;
.
dx;
xdx

b)
ďƒ˛0
e)
ďƒ˛0
3
x  2x  1

1
;
x .eď€ x dx;
xndx
h)
ďƒ˛0
j)
ďƒ˛ 0 esin x ď€ 1;
l)
ďƒ˛ 0 ex ď€ cos x .
1 ď€ x4
1
x dx
1
dx
(váť›i n ďƒŽ N)
 sin 2 x
c)
ďƒ˛0
f)
ďƒ˛1
x
dx;
1ďƒś ďƒ§ 1 ď€ cos ďƒˇ dx; xďƒ¸ ďƒ¨
 ďƒŚ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
[�, +) là gi᝛i hấn (nếu có)
68
BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 2. Hãy cho tính các tích phân suy rộng sau. a)
dx
0
1 x
3
b)
;
dx
3 1
2
4x x 3
c)
;
dx
1 x
2 2
.
Bài 3. Hãy cho biết tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì? Trong trường hợp nó
1
1 f) 2 dx ; x 1
x
1 x2 dx ;
d)
hơ
2 dx ;
1 g) dx ; 4x 1 0
2
h)
x 3
2 x 3dx . 0
m
0
x
b)
2
0
dx ; x sin x
/+ D
1
dx ; x e2 x
ạy
a)
Kè
Bài 4. Hãy xác định tích phân sau hội tụ hay phân kì.
x
x2 1 3x 1 dx
hội tụ.
0
co
m
Bài 5. Hãy xác định hằng số để tích phân
e x x dx . 0 1
c)
oo
gl
e.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
us
.g
Câu 1. Xét các tích phân suy rộng:
(1)
1
1 dx và (2) x
1
1 x
2
dx .
Khẳng định nào sau đây đúng ? A. (1) Phân kì và (2) hội tụ.
B. (1) Hội tụ và (2) phân kì.
C. Cả (1) và (2) cùng hội tụ.
D. Cả (1) và (2) cùng phân kì
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
e)
e
4
0
1 dx ; x
c)
N
3
1 2 x 5dx ;
uy
1
b)
Q
0
1 dx ; (3x 1)2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a)
n
hội tụ, hãy tính tích phân; trong trường hợp nó phân kì, hãy giải thích lí do.
BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG
Câu 2. Cho tĂch phân suy ráť™ng
ďƒ˛
 2
69
2 x3  1 dx , váť›i ď Ą lĂ tham sáť‘. XĂĄc Ä‘áť‹nh ď Ą Ä‘áťƒ xď Ą  2 x 2  3
Câu 3. TĂnh tĂch phân suy ráť™ng I 
ďƒ˛ xďƒ—
B. đ??ź = 1;
C. đ??ź = 2;
dx . ln x
D. đ??ź = +∞.
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ấy
Kè
m
Q
uy
A. đ??ź = 0;
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1
D. � ≤ 1.
n
e
C. � > 1;
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
B. � ≤ 4;
N
A. � > 4;
hĆĄ
tĂch phân nĂ y háť™i t᝼.
70
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
n
Váş˝ mạt báşc hai trong khĂ´ng gian.
-
TĂnh cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t vĂ cẼp cao Ä‘áť‘i váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.
uy
N
hĆĄ
-
Q
5.1 MẜT BẏC HAI
m
ChĂşng ta Ä‘ĂŁ biáşżt mạt pháşłng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh báşc nhẼt. Trong phần nĂ y chĂşng ta sáş˝
Kè
khảo sĂĄt cĂĄc mạt cong mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng báşc hai, chĂşng đưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc mạt
ấy
báşc hai.
/+ D
PhĆ°ĆĄng trĂŹnh báşc hai ba biáşżn táť•ng quĂĄt cĂł dấng
m
đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘§ 2 + đ??ˇđ?‘Ľđ?‘Ś + đ??¸đ?‘Ľđ?‘§ + đ??šđ?‘Śđ?‘§ + đ??şđ?‘Ľ + đ??ťđ?‘Ś + đ??žđ?‘§ + đ?‘€ = 0.
co
Báşąng máť™t sáť‘ biáşżn Ä‘áť•i khĂ´ng phᝊc tấp (cĂł tháťƒ sáť d᝼ng phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange), cĂł
gl
oo
5.1.1 Ellipsoid
e.
tháťƒ Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť máť™t trong cĂĄc dấng dĆ°áť›i đây.
z
(5.1)
c
.g
x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2
us
Mạt ellipsoid cắt cĂĄc tr᝼c táť?a Ä‘áť™ tấi (Âą đ?‘Ž, 0,0), (0, Âąđ?‘?, 0) vĂ (0, 0, Âąđ?‘?). NĂł Ä‘áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
vĂŹ cĂĄc biáşżn Ä‘áť u báşc hai. Mạt (5.1) cắt cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ theo cĂĄc ellipse. VĂ d᝼, khi đ?‘§ = 0
ďƒž
x 2 y2  1 a 2 b2
đ?‘Ľ = 0
ďƒž
y2 z2  1 b2 c2
b a
O
x
HĂŹnh 1.7
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
71
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
Cho mạt (5.1) cắt mạt đ?‘§ = đ?‘§0 (– đ?‘? ≤ đ?‘§0 ≤ đ?‘?), ta đưᝣc ellipse x2 a 2 (1 ď€ (
zo 2 ) ) c

y2 b 2 (1 ď€ (
zo 2 ) ) c
(5.2)
1
Khi cho �0 chấy tᝍ –c đến c, đư�ng ellipse (5.2) sẽ chấy và vẽ toà n b᝙ mạt
hĆĄ
có cåc mạt tròn xoay khi a = c hoạc b = c. Khi a = b = c, ta đưᝣc mạt cầu tâm O, bån
uy
N
kĂnh a.
m
x 2 y2  a 2 b2
(5.3)
Kè
z
Q
5.1.2 Elliptic paraboloid
ấy
Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ đ?‘Ľ = 0 vĂ đ?‘Ś = 0, cắt cĂĄc z
/+ D
mạt táť?a Ä‘áť™ ďƒžz 
y2 (parabola) b2
đ?‘Ś = 0
ďƒžz 
y2 (parabola) a2
� = 0
ďƒž Ä‘iáťƒm (0,0,0).
h
m
đ?‘Ľ = 0
co
y
e.
x
HĂŹnh 1.8
gl
z
oo
Náşąm áť&#x; náťa khĂ´ng gian trĂŞn: đ?‘§ ≼ 0.
.g
Cắt mạt phẳng � = �0 (�0 > 0) theo đư�ng ellipse
us
x2 y2  1 2 zo a zob2
(5.4)
a
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
Trư�ng hᝣp a = b, ta có mạt ellipsoid tròn xoay (quanh tr᝼c oz). Tưƥng t᝹, ta cŊng
o
b
y
x
Cho �0 chấy tᝍ 0 đến +, cåc ellipse (5.4) v᝛i cåc bån
tr᝼c tăng dần sáş˝ váş˝ toĂ n báť™ mạt paraboloid (H.1.8)
5.1.3 Hyperboloid máť™t tầng x 2 y2 z 2  ď€ ď€˝1 a 2 b2 c2
(5.5)
HÏnh 1.9: Hyperboâlit moät taà ng
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ellipsoid (5.1) (xem H.1.7).
72
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™. Cắt cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ theo cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng sau
(hyperbola)
đ?‘Ś = 0,
x 2 z2 ď€ ď€˝1 a 2 c2
(hyperbola)
hĆĄ
n
y2 z2 ď€ ď€˝1 b2 c2
a 2 (1 
zo2 ) c2
y2

b2 (1 
zo2 ) c2
1
uy
x2
Q
� = �0 ,
N
Mạt � = �0 cắt mạt (5.5), theo cåc ellipse
x 2 y2 z 2  ď€ ď€˝ ď€1 a 2 b2 c2
O
m
(5.6)
x
/+ D
5.1.4 Hyperboloid hai tầng
ấy
tầng) (H.1.9)
Kè
m
Khi đ?‘§0 thay Ä‘áť•i tᝍ −∞ Ä‘áşżn +∞ cĂĄc ellipse trĂŞn váş˝ toĂ n báť™ mạt hyperboloid (máť™t
co
Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™. KhĂ´ng cắt mạt táť?a Ä‘áť™
a -a
y
e.
� = 0. Cắt cåc mạt t�a đ᝙ � = 0, � = 0 theo cåc hyperbola
y2 z 2 ď€ ď€˝ ď€1 b2 c2
z
HĂŹnh 1.10: Hyperboloit hai taĂ ng
.g
oo
đ?‘Ľ = 0,
gl
v᝛i tr᝼c th᝹c ��.
us
đ?‘Ś = 0,
x2 z2 ď€ ď€˝ ď€1 a 2 c2
Mạt cong đưᝣc chia hai phần riĂŞng biᝇt: đ?‘§ ≤– đ?‘? vĂ đ?‘§ ≼ đ?‘?. Mạt pháşłng đ?‘§ = đ?‘§0 (váť›i đ?‘§0 ≼
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
đ?‘Ľ = 0,
đ?‘?) sáş˝ cắt mạt (5.6) theo ellipse đ?‘§ = đ?‘§0 ;
x2 y2   1. 2 2 2 zo 2 zo a ( 2 ď€ 1) b ( 2 ď€ 1) c c
Khi �0 thay đ᝕i tᝍ c đến + và tᝍ -c đến – thÏ cåc ellipse trên vẽ toà n b᝙ mạt hyperboloid hai tầng (H.1.10).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x 2 y2   1 (ellipse) a 2 b2
� = 0,
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
73
5.1.5 Hyperbolic paraboloid z 2
2
y x ď€ ď€˝z b2 a 2
(5.7)
O y
Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0 vĂ cắt cĂĄc mạt Ä‘Ăł theo cĂĄc parabol
m
x 2 yo2  . a 2 b2
Kè
đ?‘Ś = đ?‘Ś0 , z  ď€
Q
Mạt phẳng � = �0 cắt mạt (5.7) theo đư�ng parabol
ấy
Khi �0 thay đ᝕i tᝍ – đến  cåc parabola trên vẽ toà n b᝙ mạt hyperbolic
/+ D
paraboloid.
y2 b2
ď€
x2 a2
 zo .
co
� = �0 ;
m
Mạt � = �0 cắt mạt (5.7) theo đư�ng hyperbola
gl
e.
5.1.6 Mạt tr᝼ báşc hai
oo
Máť™t cĂĄch táť•ng quĂĄt, mạt tr᝼ lĂ mạt đưᝣc sinh báť&#x;i máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ (Ä‘Ć°áť?ng sinh)
.g
di đ᝙ng trong không gian luôn luôn song song v᝛i m᝙t phưƥng cᝑ đᝋnh và t᝹a và o m᝙t
us
Ä‘Ć°áť?ng (ď §) cho trĆ°áť›c (đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn). XĂŠt mạt cong S xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa đ?‘§, đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0. Khi Ẽy, náşżu Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) thuáť™c mạt S (tᝊc lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = 0), thĂŹ rĂľ rĂ ng toĂ n báť™ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ Ä‘i qua đ?‘€0 vĂ song song tr᝼c Oz cĹŠng thuáť™c S. VĂŹ váşy cĂł tháťƒ coi mạt S sinh báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ luĂ´n luĂ´n song song tr᝼c Oz vĂ táťąa vĂ o Ä‘Ć°áť?ng (ď §) cᝧa mạt pháşłng z = 0: (ď §):
ďƒŹ f ( x, y)  0 ďƒ z 0 ďƒŽ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ N
x2 . a2
uy
đ?‘Ś = 0, z  ď€
n
y2 . b2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
� = 0, z 
x
HÏnh 1.11: Paraboloâit hyperboâlic
74
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
TĆ°ĆĄng táťą, phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa x xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t mạt tr᝼ váť›i Ä‘Ć°áť?ng sinh song song tr᝼c Ox. Nhᝯng mạt tr᝼ mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng báşc hai Ä‘áť‘i váť›i táť?a Ä‘áť™ chấy, đưᝣc gáť?i lĂ mạt tr᝼ báşc hai. Ta cĂł cĂĄc mạt tr᝼ báşc hai Ä‘iáťƒn hĂŹnh sau:
n hĆĄ uy Q
x2 . a2
z
m
Mạt tr᝼ parabôlic (H.1.14): z 
N
x 2 y2 ď€ ď€˝1 a 2 b2
z
Kè ấy
-a
z
a
/+ D
0
x
x
HĂŹnh 1.13: MaĂŤt truĂŻ hyperbolic
HÏnh 1.14: MaÍt truï paraboâlic
e.
co
HĂŹnh 1.12: MaĂŤt truĂŻ eliptic
x y
m
b
0
z
gl
5.1.7 Mạt nĂłn báşc hai
oo
Mạt nĂłn lĂ mạt sinh ra báť&#x;i máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng D di Ä‘áť™ng táťąa vĂ o
.g
máť™t Ä‘Ć°áť?ng chuẊn (ď §) vĂ luĂ´n Ä‘i qua máť™t đᝉnh A cáť‘ Ä‘áť‹nh. Ä?Ć°áť?ng
us
tháşłng D đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘Ć°áť?ng sinh. Ta xĂŠt mạt nĂłn báşc hai sau x 2 y2 z 2  ď€ ď€˝ 0. a 2 b2 c2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Mạt tr᝼ hyperbôlic (H.1.13):
(5.8)
Cắt nĂł báť&#x;i mạt pháşłng z = h ta đưᝣc ellipse x2 a2

y2 b2

h2 c2
; � = ℎ.
y
x
HĂŹnh 1.15: MaĂŤt noĂšn
(5.9)
Mạt khĂĄc, náşżu Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) thuáť™c mạt (5.8) thĂŹ toĂ n báť™ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng qua O vĂ đ?‘€0 cĹŠng thuáť™c mạt (5.8). [Máť?i Ä‘iáťƒm thuáť™c Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘‚đ?‘€0 cĂł táť?a Ä‘áť™ (ď Źđ?‘Ľ0 ), ď Źđ?‘Ś0 , ď Źđ?‘§0 )].
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x 2 y2  1 a 2 b2
Mạt tr᝼ eliptic (H.1.12);
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
75
NhĆ° váşy, mạt (5.8) lĂ mạt nĂłn tấo báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng qua gáť‘c O vĂ táťąa vĂ o Ä‘Ć°áť?ng chuẊn (5.9) (H.1.9). Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.1.1 (Mạt táťąa tháşłng). Mạt đ?‘† đưᝣc gáť?i lĂ mạt táťąa tháşłng náşżu qua máť—i Ä‘iáťƒm đ?‘€ thuáť™c đ?‘† cĂł máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘™ Ä‘i qua vĂ đ?‘™ thuáť™c đ?‘†. RĂľ rĂ ng mạt pháşłng, mạt tr᝼, mạt nĂłn lĂ cĂĄc mạt táťąa tháşłng. NgoĂ i ra còn cĂł cĂĄc
hĆĄ N
tháşłng.
uy
5.2 HÀM NHIᝀU BIẞN
m
Q
Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.2.1 (hĂ m nhiáť u biáşżn). Cho â„?đ?‘› lĂ khĂ´ng gian sáť‘ háť?c n chiáť u, máť—i máť™t Ä‘iáťƒm đưᝣc kĂ˝ hiᝇu (x1, x2,..., xn) hoạc M(x1, x2,..., xn). Khoảng cĂĄch giᝯa hai Ä‘iáťƒm ,
, 2
, 2
,
( x1 ď€ x1 )  ( x2 ď€ x2 )  ď Œ  ( xn ď€ xn )
2
ấy
,
d(M, M ) 
Kè
M(x1, x2,..., xn) vĂ M ( x1, , x2, , . . ., xn, ) đưᝣc tĂnh báť&#x;i cĂ´ng thᝊc
/+ D
Cho D ďƒŒ Rn. HĂ m sáť‘ tháťąc f trĂŞn D lĂ máť™t ĂĄnh xấ tᝍ D vĂ o R. Khi Ẽy, náşżu
m
f : M ( x1 , x2 ..., xn ) ď‚Ž u
co
thĂŹ ta viáşżt
hoaĂŤ c
u  f (M)
e.
u  f ( x1 , x2 ..., xn )
gl
Táşp D đưᝣc gáť?i lĂ miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa hĂ m sáť‘ f, vĂ thĆ°áť?ng ta kĂ˝ hiᝇu Df.
oo
Táşp Rf=ď ťuďƒŽ R: u = f (M), MďƒŽD)ď ˝ đưᝣc gáť?i lĂ miáť n giĂĄ tráť‹ cᝧa f.
.g
Giᝯa hĂ m máť™t biáşżn vĂ hĂ m nhiáť u biáşżn cĂł nhiáť u khĂĄc biᝇt rẼt căn bản, song giᝯa
us
hĂ m hai biáşżn vĂ hĂ m nhiáť u hĆĄn hai biáşżn khĂ´ng khĂĄc nhau váť nguyĂŞn tắc. VĂŹ váşy, chĂşng ta thĆ°áť?ng khảo sĂĄt cĂĄc hĂ m hai biáşżn, còn cĂĄc hĂ m nhiáť u hĆĄn hai biáşżn, náşżu cần,
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.1.1. CĂĄc mạt hyperbolic máť™t tầng vĂ hyperbolic paraboloid lĂ cĂĄc mạt táťąa
sáş˝ nĂŞu cĂĄc káşżt quả tĆ°ĆĄng ᝊng. Trong trĆ°áť?ng hᝣp hĂ m hai biáşżn, ta sáş˝ dĂšng kĂ˝ hiᝇu đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) hoạc đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘€), coi đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘iáťƒm cᝧa mạt pháşłng đ?‘‚đ?‘Ľđ?‘Ś. CĹŠng nhĆ° trong trĆ°áť?ng hᝣp hĂ m máť™t biáşżn, náşżu miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh D khĂ´ng cho trĆ°áť›c, mĂ hĂ m f cho báť&#x;i máť™t hoạc vĂ i biáťƒu thᝊc, thĂŹ theo qui Ć°áť›c, ta hiáťƒu miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ táşp tẼt cả nhᝯng Ä‘iáťƒm M sao cho cĂĄc biáťƒu thᝊc Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
mạt t᝹a thẳng khåc.
76
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
VĂ d᝼ 5.2.1. TĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ miáť n giĂĄ tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘§ = ln(đ?‘Ľâ€“ đ?‘Ś 2 ). ďƒŠ
Ta cĂł miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh â„?.
Df =ď ť(x, y): x – y2> 0ď ˝ Ä‘Ăł lĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm náşąm trong parabola y2= x (khĂ´ng káťƒ parabola Ä‘Ăł)
đó là miᝠn nẹm giᝯa hai vòng tròn
ấy
1 1 (x ď€ ) 2  y2  2 4
/+ D
( x ď€ 1) 2  y 2  1,
n
Kè
ď ˝
vĂ bao gáť“m cả vòng tròn nháť?, mĂ khĂ´ng lẼy vòng tròn láť›n ďƒť .
m
Ä?áť‹nh nghÄŠa . Ä?áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ táşp đ??şđ?‘“ (thuáť™c khĂ´ng gian R3)
co
đ??şđ?‘“ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)| đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) thuáť™c miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇđ?‘“ }.
e.
VĂ d᝼ 5.2.3. Cho đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Ä?áť“ tháť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ Ä‘Ăł chĂnh lĂ paraboloid Ä‘ĂŁ xĂŠt.
oo
gl
Ä?áť‹nh nghÄŠa . Táşp tẼt cả cĂĄc Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą đưᝣc gáť?i lĂ táşp Ä‘áşłng tráť‹ (hoạc táşp Ä‘áť“ng mᝊc) cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). x2 + y2= 4
us
.g
VĂ d᝼ 5.2.4. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Váşy táşp cĂĄc Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn
lĂ máť™t táşp Ä‘áť“ng mᝊc, trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y lĂ máť™t Ä‘Ć°áť?ng tròn tâm O, bĂĄn kĂnh 2. Ta gáť?i nĂł lĂ Ä‘Ć°áť?ng Ä‘áşłng tráť‹. Ä?áť‘i váť›i hĂ m 3 biáşżn thĂŹ táşp Ä‘áť“ng mᝊc thĆ°áť?ng lĂ mạt cong, đưᝣc gáť?i mạt Ä‘áşłng tráť‹.
5.3 GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.1 (giáť›i hấn). Sáť‘ đ?‘Ž đưᝣc gáť?i giáť›i hấn cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 (hay lĂ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) → đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Náşżu
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ď ť
Q
ďƒŹ x 2  y2 ď€ x ď‚ł 0 ďƒź 2 2 D f  ďƒ( x, y) : ďƒ˝  ( x, y) : x ď‚Ł x  y  2 x 2 x ď€ x 2 ď€ y 2  0ďƒž ďƒŽ
uy
N
ďƒŹ ďƒź x 2  y2 ď€ x D f  ďƒ( x, y) : ď‚ł 0ďƒ˝ 2 2 2x ď€ x ď€ y ďƒŽ ďƒž
m
ďƒŠ
hĆĄ
Và d᝼ 5.2.2. TÏm miᝠn xåc đᝋnh hà m sᝑ z 
x 2  y2 ď€ x . 2 x ď€ x 2 ď€ y2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Miáť n giĂĄ tráť‹ rĂľ rĂ ng lĂ toĂ n báť™ R ďƒť.
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
77
ď€˘ď Ľ> 0, ď€¤ď ¤> 0:  (x, y) ď‚š (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ), (x, y) ďƒŽ Df ( x ď€ xo ) 2  ( y ď€ yo ) 2  ď ¤ ďƒž f ( x, y) ď€ a  ď Ľ
Khi Ẽy ta viết lim �(�, �) = � hoạc lim f(M)=a, M�0 hoạc lim �(�, �) = �, (�, �) → (�0 , �0 ).
hĆĄ
uy
N
Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.2. Sáť‘ đ?‘Ž đưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 náşżu váť›i máť?i dĂŁy Ä‘iáťƒm đ?‘€đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) ∈ đ??ˇđ?‘“ : đ?‘€đ?‘› → đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) → đ?‘Ž.
Q
Dáť… dĂ ng chᝊng minh cĂĄc tĂnh chẼt giáť›i hấn cᝧa táť•ng, tĂch, thĆ°ĆĄng
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.1. Cho đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ž vĂ đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘? khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 . Khi Ẽy ta cĂł
Kè
1) lim [f (x,y) + g (x,y)] = a + b
ấy
2) lim f (x,y) g(x,y) = ab
f ( x, y) a  nếu b  0. g( x, y) b
m
4) lim
/+ D
3) lim K f (x,y) = Ka
e.  ď€1.
Sáť d᝼ng Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.2, lẼy xnď‚Ž 0, ynď‚Ž 1, suy ra
.g
ďƒŠ
x  y2
oo
x ď‚Ž0 y ď‚Ž1
x ď€1 2
gl
Và d᝼ 5.3.1. lim
co
TẼt cả cåc gi᝛i hấn đưᝣc lẼy khi � → �0 , � → �0 .
us
lim
x ď‚Ž0 y ď‚Ž1
x ď€1 x 2  y2
 lim
nď‚Žď‚Ľ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
tưƥng đưƥng v᝛i đᝋnh nghĊa qua dãy sau đây.
xn ď€ 1
xn2  yn2
 ď€1.
áť&#x; bĆ°áť›c cuáť‘i cĂšng ta sáť d᝼ng cĂĄc tĂnh chẼt giáť›i hấn cᝧa dĂŁy.ďƒť VĂ d᝼ 5.3.2. KhĂ´ng táť“n tấi giáť›i hấn lim
x ď‚Ž0 y ď‚Ž0
ďƒŠ
1
x y
1
1
LẼy xn  yn  ďƒž n n  ď‚Ž . n xn2  yn2 2 2
xy x 2  y2
.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
Giáť‘ng nhĆ° hĂ m máť™t biáşżn, cĂł tháťƒ chᝊng minh đưᝣc ráşąng Ä‘áť‹nh nghÄŠa giáť›i hấn Ä‘Ăł
78
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
LẼy xn, 
x , y, 1 , 2 2 2 , yn  ďƒž , 2 n n , 2  ď‚Ž . n n 5 5 ( x )  (y ) n
n
Tᝊc lĂ váť›i hai dĂŁy Ä‘iáťƒm đ?‘€đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) vĂ đ?‘€â€˛ (đ?‘Ľđ?‘›â€˛ , đ?‘Śđ?‘›â€˛ )ď‚Ž (0,0) ta cĂł hai giáť›i hấn khĂĄc nhau, nĂŞn khĂ´ng táť“n tấi giáť›i hấn.ďƒť .
n hĆĄ
2) Tᝓn tấi lim f ( x , y ).
uy
lim f ( x , y )  f ( xo , yo ).
Q
x ď‚Ž xo y ď‚Ž yo
m
3)
N
x ď‚Ž xo y ď‚Ž yo
Kè
HĂ m đưᝣc gáť?i lĂ hĂ m liĂŞn t᝼c náşżu nĂł liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm cᝧa miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh Df.
ấy
LĆ°u Ă˝ ráşąng Ä‘áť‹nh nghÄŠa liĂŞn t᝼c áť&#x; trĂŞn cĹŠng dĂšng cho nhᝯng Ä‘iáťƒm biĂŞn cᝧa Df (vĂ
/+ D
thu᝙c Df).
Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.1 ta thẼy táť•ng, hiᝇu, tĂch cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c (tấi máť™t Ä‘iáťƒm nĂ o Ä‘Ăł) lĂ
m
máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł), thĆ°ĆĄng cᝧa hai hĂ m liĂŞn t᝼c lĂ máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (náşżu
co
hĂ m áť&#x; mẍu khĂĄc 0).
e.
Váşy cĂĄc Ä‘a thᝊc, cĂĄc hĂ m hᝯu tᝡ liĂŞn t᝼c tấi nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ chĂşng xĂĄc Ä‘áť‹nh. CĹŠng
gl
giáť‘ng nhĆ° hĂ m máť™t biáşżn, hᝣp cᝧa hai hĂ m liĂŞn t᝼c lĂ máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (áť&#x; cĂĄc Ä‘iáťƒm
oo
thĂch hᝣp).
.g
Và d᝼ 5.3.3.
us
a) HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm. b) HĂ m sáť‘
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
1) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ).
ďƒŹ xy , ( x, y) ď‚š (0,0) ďƒŻ f ( x, y)  ďƒ x 2  y2 ďƒŻ 0, ( x, y)  (0,0) ďƒŽ
liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm khĂĄc (0,0). Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.2 (Weierstrass). Cho E lĂ táşp compact khĂĄc tráť‘ng trong R2 vĂ f lĂ hĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn E. Khi Ẽy,
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.3 (liĂŞn t᝼c). HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc gáť?i liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
79
1) f báť‹ chạn trĂŞn E. 2) f đất giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt vĂ láť›n nhẼt trĂŞn E. Tᝊc là  (x1, y1) ďƒŽ E, (x2, y2) ďƒŽ E: f (x1, y1) ď‚Ł f (x, y) ď‚Ł f (x2, y2),  (x, y) ďƒŽ E. Ta cĂ´ng nháşn Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn.
hĆĄ
máť™t sáť‘ náşąm giᝯa a vĂ b. Khi Ẽy táť“n tấi máť™t Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) ∈ đ??¸ sao cho đ?‘“0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = đ?‘?.
uy
N
ChĂş Ă˝ 5.3.4. Ä?áť‘i váť›i hĂ m hĆĄn hai biáşżn, cĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn liĂŞn t᝼c đưᝣc phĂĄt biáťƒu máť™t cĂĄch hoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą, bấn Ä‘áť?c cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng táťą tháťąc hiᝇn Ä‘iáť u Ä‘Ăł.
m
Q
5.4 Ä?áş O HĂ€M RIĂŠNG
Kè
5.4.1 Ä?ấo hĂ m riĂŞng
ấy
Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.4.1. Ä?ấo hĂ m riĂŞng theo biáşżn đ?‘Ľ cᝧa hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)
f ( xo  ď „x , yo ) ď€ f ( xo , yo ) ď „x
/+ D
lim
co
z f ( x , y ). ( xo , yo ),hoạc f x, ( xo , yo ), hoạc x o o x
e.
và đưᝣc ký hiᝇu
m
ď „x ď‚Ž0
f d ( xo , yo )  f ( x, yo ) x  xo . x dx
.g
oo
gl
RĂľ rĂ ng ta cĂł
us
NhĆ° váşy, chĂşng ta Ä‘áť‹nh nghÄŠa đấo hĂ m riĂŞng cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) theo biáşżn đ?‘Ľ tấi Ä‘iáťƒm (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) nhĆ° là đấo hĂ m thĆ°áť?ng cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś0 ) tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
trĂŞn E. Cho a=f(x1,y1) ď‚š f(x2,y2)=b váť›i hai Ä‘iáťƒm M1(x1,y1), M1(x2 y2) thuáť™c E, vĂ c lĂ
Tưƥng t᝹, ta có đấo hà m riêng theo y
f ( xo , yo  ď „y ) ď€ f ( xo , yo ) ď‚śf ( xo , yo )  lim . ď „y ď‚Ž0 ď‚śy ď „y VĂ d᝼ 5.4.1. TĂnh
f (1, 2), biết f ( x, y)  3x 2 y  2 y  x. x
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.3 (váť giĂĄ tráť‹ trung gian). Cho E lĂ táşp liĂŞn thĂ´ng trong â„?2 , đ?‘“ liĂŞn t᝼c
80 ďƒŠ
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
Ä?áťƒ tĂnh đấo hĂ m theo x, ta chᝉ viᝇc xem biáşżn y nhĆ° lĂ máť™t háşąng sáť‘.
f   (3x 2 y  2 y  x )  6 xy  1, x x
n
f x , biết f ( x , y )  xy  arctg . y y
1
x x ( ď€ )  x ď€ . 1  ( x / y)2 y 2 x 2  y2
m
Q
x
uy
N
f   x 1  x  ( xy)  (arctg )  x  ( ) 2 y y y y 1  ( x / y) y y
Kè
Hoà n toà n tưƥng t᝹ ta có đấo hà m riêng cᝧa hà m hƥn 2 biến.
/+ D
ấy
ChĂş Ă˝ 5.4.2. Ä?áť‘i váť›i hĂ m máť™t biáşżn ta Ä‘ĂŁ biáşżt, náşżu hĂ m cĂł đấo hĂ m thĂŹ nĂł liĂŞn t᝼c (tấi Ä‘iáťƒm khảo sĂĄt). Ä?áť‘i váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn, viᝇc táť“n tấi cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng chĆ°a đảm bảo sáťą liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m sáť‘.
ďƒŹ0, neĂĄu xy  0 cĂł đấo hĂ m riĂŞng tấi (0,0), nhĆ°ng khĂ´ng liĂŞn ďƒŽ1, neĂĄu xy ď‚š 0
m
VĂ d᝼ 5.4.3. HĂ m f ( x, y)  ďƒ t᝼c tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł. ď „x ď‚Ž0
oo
gl
��′ (0,0) = 0.
f (ď „x,0) ď€ f (0,0) 0ď€0  lim  0. ď „x ď‚Ž0 ď „x ď „x
co
f ' x (0,0)  lim
e.
ďƒŠ
1 1 ) vĂ n n
.g
Ä?áťƒ thẼy hĂ m sáť‘ khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi (0,0), chᝉ cần lẼy hai dĂŁy Ä‘iáťƒm M n ( ,
us
1 N n (0, ) tiến t᝛i 0 (0,0). n
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
VĂ d᝼ 5.4.2. TĂnh
Khi Ẽy f (Mn )  1, f ( Nn )  0, n. ďƒť.
5.4.2 Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp cao Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai là đấo hĂ m riĂŞng cᝧa đấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t. Giả sáť xĂŠt hĂ m hai biáşżn z  f ( x, y) , ta cĂł cĂĄc đấo hĂ m cẼp hai sau:
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ď‚śf (1,2)  13. ďƒť ď‚śx
hĆĄ
váşy
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś2 f  fyx,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śx ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śyď‚śx
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f xx  f x2 ; ď‚śx ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śx
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f  f xy,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śxď‚śy
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f yy  fy2 . ď‚śy ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śy
81
Q
,, ,, Chᝊng minh ráşąng f xy (0,0)  ď€1, f yx (0,0)  1.
Tấi (0,0) ta lấi có f x, (0,0)  lim
ď „x ď‚Ž0
m
Kè
f (ď „x ,0) ď€ f (0,0)  0. ď „x
m
Tᝍ đó ta đưᝣc
ďƒŠ x 2 ď€ y2 4 x 2 y2 ďƒš yďƒŞ 2  2 ďƒş. 2 ( x  y 2 )2 ďƒťďƒş ďƒŤďƒŞ x  y
ấy
V᝛i (x, y)  (0, 0) ta có
f x, ( x, y) 
/+ D
ďƒŠ
f x, (0, ď „y) ď€ f x, (0, 0) lim ď „y ď‚Ž0 ď „y ď€ď „y  lim  ď€1. ď „y ď‚Ž0 ď „y
oo
gl
e.
co
,, f xy (0,0) 
.g
,, HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł f yx (0, 0)  1. ďƒť
us
Tuy váşy, náşżu cĂĄc đấo hĂ m háť—n hᝣp liĂŞn t᝼c thĂŹ chĂşng báşąng nhau, Ä‘iáť u Ä‘Ăł tháťƒ hiᝇn
pl
trong Ä‘áť‹nh lĂ˝ Schwarz sau đây Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.4.1 (vᝠđấo hĂ m háť—n hᝣp). Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng ,,
,,
,,
,,
f x , f y , f xy , f yx xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; G chᝊa (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), thĂŹ ,, ,, f xy ( xo , yo )  f yx ( xo , yo ).
Hoà n toà n tưƥng t᝹ ta có cåc đấo hà m riêng cẼp 3, 4,... Và d᝼ như
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
N
, ( x, y)  (0,0).
hĆĄ
, ( x, y) ď‚š (0,0)
uy
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŹ x 2 ď€ y2 ďƒŻ xy f ( x, y)  ďƒ x 2  y 2 ďƒŻ 0 ďƒŽ
n
Và d᝼ 5.4.4. Cho hà m sᝑ
82
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
ď‚ś3 f ď‚śxď‚śy 2

ď‚ś ďƒŚ ď‚ś2 f ďƒś ď‚ś3 f ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ,  ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ,... ď‚śy ďƒ¨ďƒ§ ď‚śxď‚śy ďƒˇďƒ¸ ď‚śx 2ď‚śy ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx 2 ďƒ¸
Hƥn nᝯa, nếu chúng liên t᝼c thÏ viᝇc lẼy đấo hà m h᝗n hᝣp không ph᝼ thu᝙c và o
N
hĆĄ
5.5.1 Ä?ấo hĂ m theo hĆ°áť›ng vĂ gradient cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š)
Như đã biết, đấo hà m riêng fx, ( xo , yo ) và f y ( xo , yo ) đạc trưng tᝑc đ᝙ thay đ᝕i cᝧa
uy
,
Q
hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) theo hĆ°áť›ng tr᝼c Ox vĂ Oy. Ä?áťƒ Ä‘o lĆ°áť?ng táť‘c Ä‘áť™ thay Ä‘áť•i cᝧa hĂ m sáť‘
m
�(�, �) theo m᝙t hư᝛ng khåc, chúng ta cần đến khåi niᝇm t᝕ng quåt hƥn đấo hà m
Kè
riêng - đó là đấo hà m theo hư᝛ng.
ấy
Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.5.1. Cho u  u1i  u2 j lĂ máť™t vector Ä‘ĆĄn váť‹. Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘
( x0 , y0 )  lim t 0
co
ď‚śu
ď‚śu
( x0 , y0 ) hoạc Du f ( x0 , y0 ) là gi᝛i hấn
f ( x0  tu1 , y0  tu2 ) ď€ f ( x0 , y0 ) . t
m
sau
ď‚śf
ď‚śf
/+ D
f ( x , y ) theo hư᝛ng u tấi ( x0 , y0 ) đưᝣc ký hiᝇu
e.
Tᝍ đᝋnh nghĊa ta thẼy cåc đấo hà m riêng chᝉ là trư�ng hᝣp riêng cᝧa đấo hà m có
gl
ď‚śf
ď‚śi
( x, y) 
oo
hư᝛ng. Rþ rà ng ta có
f f f ( x0 , y0 ), ( x, y)  ( x0 , y0 ). x y j
us
.g
Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.5.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi ( x0 , y0 ) khi Ẽy ta cĂł
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
5.5 Ä?áş O HĂ€M THEO HĆŻáťšNG, GRADIENT
f f f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 )u1  ( x0 , y0 )u2 . u x y
(5.10)
ChĂş Ă˝: thĆ°áť?ng vector chᝉ hĆ°áť›ng u đưᝣc viáşżt áť&#x; dấng u  cos ď Ąi  cos ď ˘ j ( cos ď Ą, cos ď ˘ đưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc cosin chᝉ hĆ°áť›ng). Khi Ẽy ta cĂł
ď‚śf ď‚śu
( x 0 , y0 ) 
ď‚śf ď‚śf ( x0 , y0 )cosď Ą  ( x0 , y0 )cos ď ˘ . ď‚śx ď‚śy
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
thᝊ t᝹ cåc biến.
83
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ 5.5.1. Tính đạo hàm của f 3xy2 y theo hướng của a 2i j tại điểm M(1,2).
Ta có
f (1, 2) 3 y2 12 ; (1, 2) x
f (1, 2) 6 xy 1 13 , (1, 2) y
hơ
n
a 2 1 i j. |a| 5 5
uy
N
Vậy đạo hàm theo hướng a bằng
m
Q
2 1 37 f (1, 2) 12 . 13 u 5 5 5
f f ( x , y ) i ( x , y ) j. x y
ạy
grad f ( x, y) là vector f ( x, y)
Kè
Định nghĩa 5.5.2. Gradient của f tại điểm (x,y) được ký hiệu f ( x, y) hoặc
( x, y) (f ( x, y), u).
(5.11)
co
u
m
f
/+ D
Từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng, ta có
e.
Từ (5.11) ta thấy tính chất sau của đạo hàm theo hướng:
gl
a) Đạo hàm có giá trị lớn nhất theo hướng của vector gradient, và giá trị đó bằng
oo
f ( x, y) .
.g
b) Đạo hàm có giá trị nhỏ nhất theo hướng đối với vector gradient và giá trị nhỏ
us
nhất đó bằng f (x, y) . Các kết luận vừa nêu trên rút trực tiếp từ biểu thức của tích vô hướng.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
u
f u
(f , u) f cos (- góc giữa
f và u )
Một tính chất khác của gradient được phát biểu như sau: vector gradient f ( x0 , y0 ) ( 0) là vector pháp tại ( x0 , y0 ) đối với đường đẳng trị f ( x , y ) C . Thật vậy, lấy đạo hàm tại ( x0 , y0 ) biểu thức f ( x , y ) C ta được
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
với hướng a ta cần lấy vector đơn vị của hướng đó, tức là
84
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN
f f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) y '( x0 ) 0 x y
Vậy f ( x0 , y0 ) vuông góc với vector v i y '( xo ) j 1, y '( xo )
mà vector đó chính là
hơ
Ta nêu các kết quả tương ứng đối với hàm 3 biến.
N
u
cho bởi công thức sau
Q
đạo hàm của f tại ( xo , yo , zo ) theo hướng
uy
Cho hàm số f ( x, y, z) khả vi tại ( xo , yo , zo ) và vector đơn vị u u1 i u2 j u3 k . Khi ấy
f ( x0 , y0 , z0 ) u f f f ( x0 , y0 , z0 ) u1 ( x0 , y0 , z0 ) u2 ( x0 , y0 , z0 )u3 . x y z
ạy
Kè
m
Du f ( x0 , y0 , z0 )
/+ D
Vector gradient của f tại ( x0 , y0 , z0 ) xác định bởi công thức
f f f ( x0 , y0 , z0 )i ( x0 , y0 , z0 ) j ( x0 , y0 , z0 )k . x y z
e.
co
m
f ( x0 , y0 , z0 ) grad f ( x0 , y0 , z0 )
gl
Ta có Du f ( x0 , y0 , z0 ) (f ( x0 , y0 , z0 ), u ).
.g
f ( x0 , y0 , z0 ) , nó đạt giá trị nhỏ nhất khi hướng của
u
trùng với f ( xo , yo , zo )
us
đó bằng
oo
Nó đạt giá trị lớn nhất khi hướng của u trùng với f ( x0 , y0 , z0 ) và giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất đó bằng f ( x0 , y0 , z0 ) .
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
n
5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến
Ví dụ 5.5.2. Tính đạo hàm theo hướng a (6, 3, 6) của hàm số
f ( x, y, z)
x y z . 2 3 6
Theo công thức đạo hàm theo hướng ta có
f f f f 1 2 1 1 1 2 1 ( x0 , y0 , z0 ) .cos .cos .cos . . . . a x y z 2 3 3 3 6 3 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
vector tiếp tuyến của đường f ( x , y ) C tại ( x0 , y0 ). .
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN
85
Ví dụ 5.5.3. Tìm giá trị và hướng của gradient của hàm
f x 2 2 y 2 3z2 xy 3x 2 y 6z tại các điểm a) O(0,0,0);
b) A(1,1,1);
c) B(2,0,1).
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ạy
Kè
m
grad f (2,0,1) 7 i ; grad f (B) 7.
n
Q
grad f (1,1,1) 6 i 3 j; grad f ( A) 3 5;
grad f ( M ) 0 tại M(–2,1,1).
N
grad f (O) 7,
hơ
grad f (0,0,0) 3 i 2 j 6k
uy
vậy:
f f f 2 x y 3; 4 y x 2; 6 z 6. x y z
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ta có
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Tại điểm nào thì grad f 0?
86
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn, đạc biᝇt lĂ hĂ m hai biáşżn. TĂnh giáť›i hấn vĂ xĂŠt sáťą liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m hai biáşżn. PhĂŠp tĂnh đấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t vĂ
và đưᝣc ký hiᝇu
hĆĄ
Kè
m
RĂľ rĂ ng ta cĂł
N
z f ( x , y ). ( xo , yo ),hoạc f x, ( xo , yo ), hoạc x o o x
uy
ď „x ď‚Ž0
f ( xo  ď „x , yo ) ď€ f ( xo , yo ) ď „x
Q
lim
x  x0
.
/+ D
Tưƥng t᝹ ta có đấo hà m riêng theo y
ấy
d f ( x0 , y0 )  f ( x, y0 ) dx x
co
m
f ( xo , yo  ď „y ) ď€ f ( xo , yo ) ď‚śf ( xo , yo )  lim . ď „y ď‚Ž0 ď‚śy ď „y
e.
2. Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai là đấo hĂ m riĂŞng cᝧa đấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t. Giả sáť xĂŠt
gl
hà m hai biến z  f ( x , y ) , ta có cåc đấo hà m cẼp hai sau:
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f xx  f x2 ; ď‚śx ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śx
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f  f xy,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śxď‚śy
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f yy  fy2 . ď‚śy ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śy
us
.g
oo
ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś2 f  fyx,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śx ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śyď‚śx
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
1. Ä?ấo hĂ m riĂŞng theo biáşżn đ?‘Ľ cᝧa hĂ m đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)
,,
,,
,,
,,
3. Ä?áťƒ Ă˝ Ä‘áşżn Ä?áť‹nh lĂ Schwarz. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng f x , f y , f xy , f yx xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; G chᝊa (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) vĂ liĂŞn t᝼c tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ), thĂŹ ,, ,, f xy ( xo , yo )  f yx ( xo , yo ).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
cẼp cao cᝧa hà m nhiᝠu biến.
87
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN
4. Hoàn toàn tương tự ta có các đạo hàm riêng cấp 3, 4,... 5. Cho u u1i u2 j là một vector đơn vị. Đạo hàm của hàm số f ( x , y ) theo hướng u
( x0 , y0 ) lim t 0
ký
hiệu
f u
( x 0 , y0 )
hoặc
Du f ( x0 , y0 )
là
f ( x0 tu1 , y0 tu2 ) f ( x0 , y0 ) . t
giới
hạn
sau
uy
N
f f ( x , y ) i ( x , y ) j. x y
Q
f ( x, y)
hơ
6. Gradient của f tại điểm (x,y) được ký hiệu f ( x , y ) hoặc Gradf ( x , y ) là vector
Kè
m
BÀI TẬP
m
a) f ( x , y )
x sin e y .
/+ D
ạy
Bài 1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm sau
b) f ( x, y) ln( x 2 y 2 ).
c) f ( x, y, z)
co
e. gl oo
2
2
x y z
2
.
3y
e) g ( x, y )
us
.g
1
d) f ( x, y) xe .
3 3 3 Bài 2. Chứng minh rằng nếu f ( x , y, z) ln x y z 3 xyz thì
x y . x y
f f f 3 . x y z x y z
Bài 3. Cho hàm f ( x , y, z) ( x y )( y z)(z x ). Chứng minh rằng hàm thỏa phương trình
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
u
được
f f f 0. x y z
x r Bài 4. Cho x r cos ; y r sin , tính y r
x . y
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
f
( x0 , y0 )
n
tại
BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN
n
ď‚śf ď‚śf  x 2 ď€ y và  y 2 ď€ x. ď‚śx ď‚śy
uy
N
BĂ i 7. Cho f ( x, y )  sin(2 x  3 y ) . TĂnh đ?‘“đ?‘Ś (−6,4).
Q
x . TĂnh đ?‘“đ?‘§ (3,2,1). yz
m
Bà i 8. Cho f ( x, y, z ) 
ď‚śx ď‚śď ą ď‚śy . ď‚śď ą ď‚śz ď‚śď ą
co
3 f nếu f ( x , y )  x ln( xy ). x 2y
e.
BĂ i 12. TĂnh
m
/+ D
ď‚ś 4u BĂ i 11. TĂŹm váť›i đ?‘˘ = đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘Ś đ?‘› đ?‘§ đ?‘? . ď‚ś xď‚ś y 2 ď‚ś z
x . x y
ấy
Bà i 10. TÏm fxxy, fyyy v᝛i �(�, �) = 3�� 4 + � 3 � 2 .
Kè
BĂ i 9. TĂŹm cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng cẼp 2 cᝧa : f ( x, y )  x 4 ď€ 3 x 2 y 3 , g ( x, y ) 
gl
BĂ i 13. TĂŹm gradient cᝧa hĂ m đ?‘“ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘ƒ và đấo hĂ m cᝧa đ?‘“ tấi đ?‘ƒ theo hĆ°áť›ng cᝧa
f ( x, y)  1  2 x y , đ?‘ƒ(3 ; 4), đ?‘Ł = (4 ; −3).
.g
a)
oo
vector � đưᝣc cho như sau.
us
b) f ( s, t )  s 2et , đ?‘ƒ(2; 0), đ?‘Ł = (1; 1).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
BĂ i 6. TĂŹm hĂ m f ( x, y) náşżu biáşżt ráşąng
ď‚śx ď‚śď Ś ď‚śy ď‚śď Ś ď‚śz ď‚śď Ś
c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 , đ?‘ƒ(1; 1), đ?‘Ł = (6,8). đ?‘Ľ
d) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ś+đ?‘§ , đ?‘ƒ(4; 1; 1), đ?‘Ł = (1; 1; 3). BĂ i 14. TĂŹm gradient cᝧa hĂ m đ?‘“ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘ƒ và đấo hĂ m cᝧa đ?‘“ tấi đ?‘ƒ theo hĆ°áť›ng cᝧa vector cĂł gĂłc đ?œ‘. 2 3 4 a) f ( x, y )  x y ď€ y , đ?‘ƒ(2; 1), đ?œ‘ = đ?œ‹/4.
b) f ( x, y)  5x ď€ 4 y , đ?‘ƒ(4; 1), đ?œ‘ = −đ?œ‹/6.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ď‚śx ď‚śď ˛ ď‚śy BĂ i 5. Cho x  ď ˛ cos ď ą cos ď Ş; y  ď ˛ cos ď ą sin ď Ş; z  ď ˛ sin ď ą. TĂnh ď‚śď ˛ ď‚śz ď‚śď ˛
hĆĄ
88
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN
89
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM x
D. xzx yzy xy z
uy
2x y Câu 2. Cho hàm hai biến z e . Tính đạo hàm riêng z x 63 y3 ?
B. zx 63 y3 6e2 x y
1 8
C. zx3 y3 e
D. zx 63 y3 8e2 x y
m
6
2x y
Kè
6
Q
2x y A. z x3 y3 e
A. zx (1,2) 1 5, zy (1,2) 2 5
B. zx (1,2) 1 5, zy (1,2) 2 5 D. zx (1,2) 1 5, zy (1,2) 2 5 .
e.
co
C. zx (1,2) 2 5, zy (1,2) 1 5
m
/+ D
ạy
y Câu 3. Hàm hai biến z arctan( ) có các đạo hàm riêng tại điểm (1,2) là: x
B. zyy e2x y
us
.g
A. zxy 2e2 x y
oo
gl
2x y Câu 4. Cho hàm hai biến z e . Kết quả nào sau đây sai?
Câu 5. Cho hàm
f ( x, y , z )
C. zxy 2e2 x y
D. zxx 4e 2 x y .
y xe z . Tìm f(x,y,z).
yz x yz xy zy A. f ( x, y , z ) e , e , 2 e . z z y y y z z C. f ( x, y, z ) xe , xye , xze z .
yz x yz xy yz e B. f ( x, y , z ) e , e , z z y y y z z D. f ( x, y, z ) e , xe , xe z
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C. yzx xzy xy z
hơ
B. xzx yzy xy z
N
A. yzx xzy xy z
n
có đạo hàm riêng thỏa:
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Câu 1. Hàm hai biến z xy xe y
90
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA
Q
ᝨng d᝼ng vi phân tĂnh xẼp xᝉ.
TĂŹm đấo hĂ m riĂŞng vĂ vi phân cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh hĂ m Ẋn.
-
TÏm đấo hà m riêng và vi phân cᝧa hà m hᝣp.
-
Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa hĂ m hai biáşżn trong lân cáşn cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm.
/+ D
ấy
Kè
m
-
m
6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN
co
6.1.1 Khả vi và vi phân
e.
Ä?áť‹nh nghÄŠa 6.1.1. Cho (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) lĂ Ä‘iáťƒm trong cᝧa miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh Df cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š),
gl
cho cĂĄc sáť‘ gia ď „x, ď „y sao cho ( xo  ď „x , yo  ď „y ) ďƒŽ D f . Sáť‘ gia toĂ n phần cᝧa đ?’‡(đ?’™, đ?’š) tấi
ď „f ( xo , yo )  f ( xo  ď „x, yo  ď „y) ď€ f ( xo , yo ).
us
.g
oo
Ä‘iáťƒm (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) là đấi lưᝣng sau
HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc gáť?i khả vi tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu sáť‘ gia toĂ n phần ∆đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cĂł tháťƒ biáťƒu diáť…n đưᝣc áť&#x; dấng
ď „f ( xo , yo )  Aď „x  Bď „y  ď Ąď „x  ď ˘ď „y
(6.1)
áť&#x; đây A, B lĂ cĂĄc háşąng sáť‘, ď Ą, ď ˘ď‚Ž 0 khi ď „x, ď „y ď‚Ž 0. Khi Ẽy đấi lưᝣng Aď „x + Bď „y đưᝣc gáť?i lĂ vi phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
XĂŠt tĂnh khả vi vĂ tĂŹm dấng vi phân cẼp máť™t vĂ cẼp cao cᝧa hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.
uy
-
N
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
HÀM NHIᝀU BIẞN
91
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Và d᝼ 6.1.1. Cho f ( x, y)  x 2  xy. Khi Ẽy
ď „f ( xo , yo )  ( xo  ď „x )2  ( xo  ď „x )( yo  ď „y) ď€ xo2 ď€ xo yo  (2 xo  yo )ď „x  xo ď „y  ď „x 2  ď „xď „y.
n hĆĄ
N
Biáťƒu thᝊc vĂ´ cĂšng bĂŠ ď Ąď „x  ď ˘ď „y cĂł tháťƒ biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng khĂĄc nháť? khoảng cĂĄch
ď „x
ď ˛
ď „y
ď€Ťď ˘
ď ˛
ď „y
ď ˛
ď‚Ł ď Ą 2  ď ˘ 2 ď‚Ž 0.
co
ď ˛
ď€Ťď ˘
m
ď „x
/+ D
Tháşt váşy, khi ď ˛ ď‚Ž 0, thĂŹ ď „x , ď „y ď‚Ž 0. Khi Ẽy | ď Ľ | ď Ą
Q
tiáşżn Ä‘áşżn 0 khi ď ˛ ď‚Ž 0.
ấy
Ä?ấi lưᝣng ď Ľ  ď Ą
ď ˛
ď „y ďƒś ď ˛  ď Ľď ˛ , ( ď ˛ ď‚š 0). ď ˛ ďƒˇďƒ¸
Kè
ďƒ¨
ď€Ťď ˘
m
ďƒŚ ď „x
ď Ąď „x  ď ˘ď „y  ďƒ§ ď Ą
uy
ď ˛  ď „x 2  ď „2y nhĆ° sau
e.
Váşy biáťƒu thᝊc (6.1) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng (6.2)
oo
gl
ď „f ( xo , y0 )  Aď „x  Bď „y  0(ď ˛ )
.g
0(ď ˛) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˛(=ď Ľď ˛).
ďƒŠ
us
Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.1. Náşżu hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š) khả vi tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) thĂŹ nĂł liĂŞn t᝼c tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł. VĂŹ khả vi, nĂŞn tᝍ (6.1) ta cĂł
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
df ( xo , yo )  (2 xo  yo )ď „x  xo ď „y. ďƒť .
lim [ f ( xo  ď „x, yo  ď „y) ď€ f ( xo , yo )]  0
ď „x ď‚Ž0 ď „y ď‚Ž0
tᝊc là hà m liên t᝼c tấi (�0 , �0 )
ďƒť.
,
,
Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.2. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ nĂł cĂł cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng f x , f y tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ chĂşng tĆ°ĆĄng ᝊng báşąng A, B trong biáťƒu thᝊc (6.1).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Váşy A  2 xo  yo , B  xo , ď Ą  ď „x, ď ˘  ď „x, cho nĂŞn hĂ m sáť‘ khả vi tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) vĂ
92 ďƒŠ
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Trong (6.1) cho ď „y  0 , ta đưᝣc f ( xo  ď „x, yo ) ď€ f ( xo , yo )  Aď „x  ď Ąď „x
Váşy lim
ď „x ď‚Ž0
f ( xo  ď „x , yo ) ď€ f ( xo , yo )  lim ( A  ď Ą )  A ďƒž f x, ( xo , yo )  A. ď „x ď‚Ž0 ď „x
,
uy
N
(�0 , �0 ) và cåc đấo hà m riêng f x , f y liên t᝼c tấi (�0 , �0 ) thÏ hà m �(�, �) khả vi tấi (�0 , �0 ). Ta xÊt m᝙t và d᝼ chᝊng t� rẹng s᝹ tᝓn tấi cåc đấo hà m riêng chưa đảm bảo cho
m
Q
hà m khả vi.
Kè
Và d᝼ 6.1.2. Chᝊng t� rẹng hà m sᝑ z  3 xy không khả vi tấi (0,0), mạc dÚ tᝓn tấi cåc đấo hà m riêng tấi đó.
z (ď „x,0) ď€ z (0,0) 0ď€0  lim  0. ď „x ď‚Ž0 ď „x ď‚Ž0 ď „x ď „x
ấy
Ta có z,x (0,0)  lim
/+ D
ďƒŠ
m
, Tưƥng t᝹, ta có zy (0,0)  0.
co
Giả sáť hĂ m khả vi tấi (0,0), cĂł nghÄŠa lĂ tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.4 vĂ (6.2) ta phải cĂł
gl
e.
ď „z(0,0)  0( ď ˛ ), ď ˛  ď „2x  ď „2y .
oo
Mạt khĂĄc, ď „z (0,0)  z (ď „x , ď „y ) ď€ z (0,0)  3 ď „x.ď „y khĂ´ng lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˛. Tháşt
us
.g
váşy, lẼy ď „x  ď „y , ta cĂł
ď „z (0,0)
ď ˛

ď „x 2/3 2 ď „x
Váşy hĂ m sáť‘ khĂ´ng khả vi tấi (0,0).ďƒť .
ď‚Ž ď‚Ľ khi ď „x ď‚Ž 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
,
hĆĄ
Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.3 (Ä?iáť u kiᝇn đᝧ khả vi). Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; chᝊa Ä‘iáťƒm
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
, TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł f y ( xo , yo )  B. ďƒť .
93
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
6.1.2 CĂĄc tĂnh chẼt cᝧa vi phân Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.2 ta cĂł biáťƒu thᝊc cᝧa vi phân
df ( xo , yo )  f x, ( xo , yo )ď „x  f y, ( xo , yo )ď „y.
n hĆĄ
f (váť›i Ä‘iáť u kiᝇn mẍu sáť‘ khĂĄc khĂ´ng tấi Ä‘iáťƒm Ä‘ang xĂŠt) cĹŠng tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn g
uy
vĂ
N
Bây gi� giả sᝠf ( x, y) và g( x, y) th�a mãn điᝠu kiᝇn đᝧ khả vi, rþ rà ng khi Ẽy f+g, fg
m
,
Q
đᝧ khả vi, nên chúng khả vi. Khi Ẽy ta có ,
Kè
d( fg )  ( fg ) x dx  ( fg ) y dy  [ f x, g  fg ,x ]dx  [ f y, g  fg ,y ]dy
ấy
 [ f x, dx  f y, dy] g  f [ g ,x dx  g ,y dy]  (df ) g  f (dg )
/+ D
Váşy d ( fg)  (df )g  f (dg).
ďƒŚ f ďƒś (df )g ď€ fd ( g) . ďƒˇď€˝ g2 ďƒ¨gďƒ¸
co
m
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł d ( f  g)  df  dg, d ďƒ§
e.
2 2 VĂ d᝼ 6.1.3. TĂnh vi phân cᝧa hĂ m f ( x , y )  ln( x  x  y ).
ďƒś ďƒˇď€˝ ďƒˇ x 2  y2 ďƒ¸
gl
ďƒŚ ďƒ§1  ďƒ§ x 2  y2 ďƒ¨
f  x x 
f  y x 
ďƒŚ y ďƒ§ ďƒ§ x 2  y2 ďƒ¨ x 2  y2
x
oo
1
.g us
Váşy df 
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Váşy df ( xo , yo )  f x, ( xo , yo )dx  f y, ( xo , yo )dy
1
dx
2
x y
2

ďƒś ďƒˇď€˝ ďƒˇ ďƒ¸
1 2
x  y2 y
x 2  y2 (x 
ydy 2
2
2
2
x  y (x  x  y )
x 2  y2 )
. ďƒť
6.1.3 TĂnh gần Ä‘Ăşng Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), khi Ẽy ta cĂł ,
,
f ( x o  ď „x, yo  ď „y) ď€ f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )ď „x  f y ( x o , yo )ď „y  0(ď ˛)
(6.3)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Dáť… thẼy ráşąng dx  ď „x, dy  ď „y (lẼy f  x ďƒž dx  ď „x )
94
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Váşy, sau khi báť? VCB 0(ď ˛) ta đưᝣc cĂ´ng thᝊc tĂnh gần Ä‘Ăşng ,
,
f ( x o  ď „x, yo  ď „y) ď‚ť f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )ď „x  f y ( x o , yo )ď „y
V᝛i ký hiᝇu
,
,
hĆĄ
n
(6.4)
Váşż phải cᝧa (6.4) lĂ máť™t hĂ m báşc nhẼt, ta kĂ˝ hiᝇu nĂł lĂ đ??ż(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). NhĆ° váşy, trong lân
N
cáşn (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc xẼp xᝉ báşąng máť™t hĂ m tuyáşżn tĂnh đ??ż(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). HĂ m sáť‘
Q
uy
L( x, y)  f ( xo , yo )  fx, ( xo , yo )( x ď€ xo )  f y, ( xo , yo )( y ď€ yo )
m
đưᝣc gáť?i lĂ xẼp xᝉ tuyáşżn tĂnh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong lân cáşn cᝧa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).
XĂŠt hĂ m sáť‘ f ( x, y)  x 3  y 3 xo  1; y0  2; ď „x  0,02; ď „y  ď€0,03
Váşy
A  f ( xo  ď „x, yo  ď „y)
m
/+ D
LẼy
ấy
ďƒŠ
Kè
VĂ d᝼ 6.1.4. TĂnh gần Ä‘Ăşng sáť‘ A  1,023  1,973 . KhĂ´ng Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘.
3
2
e.
3x
,
2 x y
3
(1, 2)
3
(1, 2)

gl
f x ( x o , yo ) 
co
f ( x o , yo )  1  2 3  3
Ta cĂł
2
oo
yo ) 
3y 3
2 x y
.g
, f y (xo ,
1 2
2
1 0,02  2(0,03)  2,95 ďƒť . 2
us
Váşy A  3 
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
f ( x, y) ď‚ť f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )( x ď€ x o )  f y ( x o , yo )( y ď€ yo )
6.1.4 Vi phân cẼp cao (1) Trư�ng hᝣp hà m hai biến � = �(�, �) Bản thân ��(�, �) cŊng là m᝙t hà m sᝑ cᝧa cåc biến �, �
df ( x , y )  f x, ( x , y )dx  f y, ( x , y )dy
(6.5)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x  xo  ď „x, y  yo  ď „y , ta cĂł
95
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
vĂ náşżu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł đấo hĂ m liĂŞn t᝼c (chᝉ cần hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng cẼp hai liĂŞn t᝼c), thĂŹ cĂł tháťƒ nĂłi váť vi phân cᝧa nĂł đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)), ta gáť?i lĂ vi phân cẼp hai cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘ 2 đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Váşy
d 2 f ( x, y)  d (df ( x, y)).
n hĆĄ
,
,
,,
,,
,,
uy
,,
N
 d ( f x ( x, y)) dx  d ( f y ( x, y)) dy
2
,,
,,
Q
 ( f xx dx  f xy dy) dx  ( f yx dx  f yy dy) dy ,,
Kè
m
 f xx dx  2 f xy dxdy  f yy dy 2
ấy
,, ,,  f yx (áť&#x; đây ta sáť d᝼ng f xy )
/+ D
Váşy ta cĂł tháťƒ ,,
,, ,, dxdy  f yy d 2 f  f xx dx 2  2 f xy dy 2
ď‚śx 2
dx 2  2
2 f 2 f dxdy  2 dy 2 xy y
m
ď‚ś2 f
(6.6)
co

gl
e.
CĂĄc cĂ´ng thᝊc vi phân (6.5) (6.6) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng sau
oo
ď‚ś ďƒŚ ď‚ś ďƒś df  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f ď‚ś x ď‚ś y ďƒ¨ ďƒ¸
(6.7) 2
(6.8)
us
.g
ď‚ś ďƒŚ ď‚ś ďƒś d2 f  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f ď‚ś x ď‚ś y ďƒ¨ ďƒ¸
CĂĄc biáťƒu thᝊc (6.7) (6.8) phải hiáťƒu nhĆ° sau: Sau khi bĂŹnh phĆ°ĆĄng theo qui tắc thĂ´ng thĆ°áť?ng, thĂŹ f đưᝣc viáşżt vĂ o táť sáť‘ áť&#x; cháť— cĂł ď‚ś hoạc ď‚ś2.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
d 2 f ( x, y)  d( f x, ( x, y)dx  f y, ( x, y)dy)
Tưƥng t᝹, v᝛i vi phân cẼp n, ta có n
ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś d f  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f . ď‚śy ďƒ¸ ďƒ¨ ď‚śx n
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Trư᝛c hết, ta cần lưu ý rẹng ��, �� là cåc hẹng sᝑ, ta có
96
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
(2) Trường hợp Hàm nhiều hơn hai biến Hàm u f ( x, y, z) khả vi tại Po ( xo , yo , zo ) nếu u u( P) u( Po ) Ax By Cz x y z
,
hơ ,
N
Vi phân tại Po có dạng ,
Q
uy
df ( Po ) f x ( Po ) dx f y ( Po ) dy f z ( Po ) dz
m
Hàm f(P) được tính gần đúng bởi
,
,
/+ D
f ( xo , yo , zo ) df ( xo , yo , zo )
ạy
f y ( x o , yo , zo ) dy f z ( x o , yo , zo ) dz
Kè
,
f ( x, y, z) f ( x o , yo , zo ) f x ( x o , yo , zo ) dx
m
Vi phân cấp n có dạng n
co
dn f dx dy dz f x y z
gl
e.
Trường hợp tổng quát n biến: u f ( x1 , x2 , . . ., xn ) thì m
.g
oo
dm f dx1 dx 2 . . . dx n f x x x 2 n
us
và ta cũng có công thức xấp xỉ f (M) f (M o ) df (M o )
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x y z 0()
6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Cho z f ( x , y ) khả vi trong miền mở D và x, y là các hàm của biến t
x x(t); y y(t); t1 t t2 .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
với , , 0 khi x, y, z 0
97
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Ngoài ra, khi t thay đổi trong khoảng (t1,t2), thì (x,y) luôn thuộc D. Khi ấy
z f [ x (t ), y(t )] là hàm hợp biến t, xác định trong khoảng (t1,t2). Định lý 6.2.1. Nếu z f ( x , y ) khả vi trong miền D và x x (t ), y y (t ) khả vi trong
hơ
n
dz (2 x y)2t ( x )3 (2t 2 3t )2t t 2 3 4t 3 9t 2 . dt
N
dz . dt
uy
2
Q
2
(6.9)
Ví dụ 6.2.1. Cho z x xy; x t ; y 3t . Hãy tính
Ví dụ 6.2.2. Cho z x sin ; y x2 . Tính
y y z 1 cos 2 , x x x
m
Ta có
dz z . và dx x
co
ạy
y x
(6.10)
/+ D
dz z z dy . dx x y dx
Kè
m
Chú ý . Cho z f ( x , y ), y y( x ), khi ấy từ Định lý 6.2.1 (xem t=x), ta được
oo
gl
e.
z y 1 dy cos ; 2 x, y x x dx
us
.g
x2 dz y y 1 y x2 1 x2 1 2 cos cos 2 x 1 2 cos cos 2 x 1 cos x. . x dx x x x x x x x
Tất nhiên để có kết quả đó có thể thay y x 2 vào ngay hàm số ban đầu rồi lấy đạo
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
dz z dx z dy . dt x dt y dt
hàm theo x ta sẽ được
dz . dx
Bây giờ xét trường hợp tổng quát hơn: cho z f ( x, y) và x, y là các hàm của hàm hai biến x x (u, v), y y(u, v). Cho các hàm z, x, y khả vi tại các điểm tương ứng. Như vậy z là hàm hợp của hai biến u, v và vì quá trình lấy đạo hàm riêng ta luôn cố định một biến, cho nên thực chất ta lại quay về trường hợp đã xét. Vậy ta có
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(t1,t2), khi ấy hàm hợp z f [ x (t ), y(t )] cũng khả vi trong (t1, t2) và
98
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Ä?ấo hĂ m
z z x z y   . u x u y u
(6.11)
Hà m hᝣp
z z x z y   . v x v y v
(6.12)
Q
Trư�ng hᝣp t᝕ng quåt
Kè
m
w  f ( x1, x2 ,..., xn ), xk  ď Śk (u1, u2 ,..., um ); k  1,2,..., n.
ấy
Khi Ẽy ta có
/+ D
w w x1 w x2 w xn , i  1, 2, ..., m.    ...  ui x1 ui x2 ui xn ui
z,y  xe xy ,
xu,  2u,
xv,  0,
gl
z,x  ye xy ,
co
Ta cĂł
yu,  v,
e.
ďƒŠ
m
ď‚śz ď‚śz VĂ d᝼ 6.2.3. Cho z  e xy , váť›i x  u 2 , y  uv , hĂŁy tĂnh ,
ď‚śv
yv,  u
3
ďƒž zu,  z,x xu,  z,y zu,  ye xy 2u  xe xy v  3u 2 ve u
oo
ď‚śu
v
3
us
.g
ďƒž zv,  z,x xv,  z,y yv,  ye xy .0  xe xy u  u 3e u v ďƒť .
6.2.1 Vi phân cᝧa hĂ m hᝣp. TĂnh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân cẼp máť™t
Ta Ä‘ĂŁ biáşżt, náşżu hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi, cĂĄc biáşżn đ?‘Ľ, đ?‘Ś lĂ nhᝯng biáşżn Ä‘áť™c láşp thĂŹ
dz 
z z dx  dy. x y
trong Ä‘Ăł dx  ď „x , dy  ď „y.
(6.13)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
uy
N
hĆĄ
n
w w x w y w z    ; u x u y u z u w w x w y w z    . v x v y v z v
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?áť‘i váť›i hĂ m ba biáşżn w  f ( x, y, z) , trong Ä‘Ăł x, y, z lĂ cĂĄc hĂ m cᝧa u, v. Khi Ẽy ta cĂł
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
99
Bây giờ xét hàm hợp z f ( x , y ) , với x x (u, v), y y (u, v), và u, v là các biến độc lập. Vậy ta có
dz
ạy
Ta quay lại công thức (6.13). Điều đó có nghĩa là dạng của vi phân toàn phần
/+ D
(6.13) là không đổi, cho dù x và y là các biến độc lập hay là các hàm số. Tính chất đó thường được gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp một. Ở đây lưu ý trước rằng,
co
m
tính chất bất biến đó không còn đúng cho vi phân cấp cao.
e.
6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp
gl
Cho z f ( x , y ), x x (u, v), y y (u, v) và giả thiết rằng tất cả các hàm số đều có các
oo
đạo hàm riêng liên tục cấp hai. Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai theo u và v cũng
.g
như vi phân d 2 z.
us
, , , , , Ta có zu zx xu zy yu . Vậy
,, ,, ,, zuu (z,x ),u xu, z,x xuu (zy, ),u yu, zy, yuu ,, ,, , ,, , , ,, (z,,xx xu, z,,xy yu, ) xu, z,x xuu (zyx xu zyy yu )yu z,y yuu .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
z z dx dy. x y
Kè
m
Q
uy
N
z x z y z x z y dz du dv x u y u x v y v z x x z y y du dv du dv x u v y u v
hơ
n
z z , được tính theo (6.11) (6.12). u v
Vậy ta được
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
trong đó các đạo hàm riêng
z z du dv u v
100
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
,
,
,, ,, TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł zuv , zvv . Bây giáť? tĂnh d 2 z. Ta cĂł dz  zx dx  zy dy.
ďƒž d 2 z  d (dz)  d (z,x )dx  z,x d (dx )  d (zy, )dy  zy, d (dy ) ,, ,,  (z,,xx dx  z,,xy dy )dx  z,x d 2 x  (zyx dx  zyy dy )dy  zy, d y2
hĆĄ
NhĆ° váşy dấng cᝧa vi phân cẼp hai d 2 z Ä‘ĂŁ thay Ä‘áť•i khi x, y lĂ cĂĄc hĂ m sáť‘ so váť›i khi x,
uy
N
y lĂ cĂĄc biáşżn Ä‘áť™c láşp.
m
Q
6.3 Ä?áş O HĂ€M RIĂŠNG VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M ẨN
Kè
6.3.1 Hà m Ẋn
ấy
Cho hĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; D chᝊa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Giả thiáşżt ráşąng váť›i máť?i x ďƒŽ ( xo ď€ ď Ľ, xo  ď Ľ) , táť“n tấi duy nhẼt máť™t giĂĄ tráť‹ y sao cho (x,y)ďƒŽD vĂ F (x, y)  0 . NhĆ°
/+ D
váşy ta Ä‘ĂŁ xĂĄc Ä‘áť‹nh hĂ m sáť‘ y  y (x) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong khoảng ( xo ď€ ď Ľ, xo  ď Ľ) vĂ tháť?a mĂŁn
m
F ( x, y ( x))  0 váť›i máť?i x ďƒŽ ( xo ď€ ď Ľ, xo  ď Ľ) . Khi Ẽy ta nĂłi phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y)  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh y
co
nhĆ° lĂ máť™t hĂ m Ẋn cᝧa x trong khoảng ( xo ď€ ď Ľ, xo  ď Ľ) .
e.
VĂ d᝼ 6.3.1. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  2  y  0 rĂľ rĂ ng xĂĄc Ä‘áť‹nh hĂ m sáť‘ y  ď€ x 2 ď€ 2 trĂŞn â„?.
gl
VĂ d᝼ 6.3.2. XĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y)  x 2  y 2 ď€ 1  0.
oo
HĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn toĂ n mạt pháşłng. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh xĂĄc Ä‘áť‹nh vòng tròn C
.g
tâm O(0,0) bĂĄn kĂnh 1.
us
Cho D lĂ náťa mạt pháşłng trĂŞn y>0 vĂ đ?‘€(đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) lĂ máť™t Ä‘iáťƒm thuáť™c D vĂ náşąm trĂŞn vòng tròn C.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
᝞ đây lưu ý rẹng, nói chung d 2 x  0 (vÏ x là hà m sᝑ nên dx không phải là hẹng sᝑ).
Khi Ẽy ď€1  xo  1, yo  1 ď€ x2 . Váşy phĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  y 2 ď€ 1  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh trong D máť™t hĂ m Ẋn y  1 ď€ x 2 cᝧa x trĂŞn khoảng (-1,1). Náşżu lẼy N(1,0) thĂŹ trong miáť n máť&#x; D’ chᝊa N, vĂ d᝼ D’ lĂ hĂŹnh tròn máť&#x; tâm N bĂĄn kĂnh ď Ľ, phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m Ẋn.
M
N
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
,,  z,,xx dx 2  2z,,xy dxdy  zyy dy 2  z,x d 2 x  zy, d 2 y.
101
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Tháşt váşy, váť›i x ďƒŽ (1 ď€ ď Ľ , 1  ď Ľ ), thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  y 2  1 hoạc vĂ´ nghiᝇm (náşżu x>1), hoạc cĂł hai nghiᝇm y1,2  ď‚ą 1 ď€ x 2 (khi Ẽy Ä‘iáťƒm (x,y1) vĂ (x,y2) Ä‘áť u thuáť™c D’). Váşy hĂ m Ẋn khĂ´ng đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh.
n hĆĄ
N
1) XĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ liĂŞn t᝼c trong hĂŹnh tròn máť&#x; B(M,ď Ľ) tâm M ( xo , yo ) , bĂĄn kĂnh ď Ľ.
Q
Kè
ď‚śF ( xo , yo ) ď‚š 0. ď‚śy
ấy
4)
ď‚śF ď‚śF , . ď‚śx ď‚śy
m
3) Táť“n tấi trong B(M, ď Ľ ) cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c
uy
2) đ??š(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = 0.
/+ D
thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y )  0, xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáşn U ( xo ď€ ď ¤ , xo  ď ¤ ) cᝧa đ?‘Ľ0 , máť™t hĂ m sáť‘ y  y( x ) sao cho yo  y( xo ) vĂ F ( x , y( x )) ď‚ş 0 trong lân cáşn Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 . HĆĄn nᝯa,
co
m
hĂ m sáť‘ y  y( x ) khả vi liĂŞn t᝼c (tᝊc lĂ cĂł đấo hĂ m liĂŞn t᝼c) trong U, vĂ
F, dy  ď€ x, ( Fy, ď‚š 0). dx F
gl
e.
(6.14)
y
oo
Ta cĂ´ng nháşn Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn. Tuy váşy cĂ´ng thᝊc (6.14) cĂł tháťƒ thiáşżt láşp máť™t cĂĄch dáť…
us
.g
dĂ ng. Tháşy váşy, vĂŹ F ( x , y( x )) ď‚ş 0 trong U, ta cĂł
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.3.1. Cho hĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tháť?a cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn
d F ( x , y( x ))  0  Fx,  Fy, y '. dx
tᝍ Ä‘Ăł cĂł (6.14).ďƒť VĂ d᝼ 6.3.3. Cho hĂ m y  y( x) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i ďƒŠ
Ä?ạt F  x 2  y 2 ď€ R 2 ďƒž Fx,  2 x, Fy,  2 y ďƒž y , ( x)  ď€
2x x ď€˝ď€ ďƒť 2y y
x2  y2  R2 . HĂŁy tĂnh y '( x ).
(6.15)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
6.3.2 Ä?ấo hĂ m riĂŞng vĂ vi phân cᝧa hĂ m Ẋn
102
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
VĂ d᝼ 6.3.4. TĂŹm y '( x ) tấi x = 1 vĂ y = – 1, biáşżt x 2 y3  2 x 2 y  3x 4 ď€ y ď€ 1  0. RĂľ rĂ ng x  1, y  ď€1 tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho. Ta cĂł ,
Fx
 2 xy3  4 xy  12 x;
F y,
 3x 2 y 2  2 x 2 ď€ 1. 3 2
n hĆĄ
uy
N
ChĂş Ă˝ 6.3.1. Ä?áťƒ tĂŹm đấo hĂ m cᝧa đ?‘Ś(đ?‘Ľ) tᝍ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 ta cĂł tháťƒ coi đ?‘Ś lĂ hĂ m cᝧa đ?‘Ľ, và đấo hĂ m biáťƒu thᝊc đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 khi Ẽy sáş˝ xuẼt hiᝇn đ?‘Ś ′ (đ?‘Ľ), tᝍ Ä‘Ăł tĂŹm đ?’šâ€˛ (đ?’™).
Ta thẼy x  1, y  ď ° tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh. LẼy đấo hĂ m biáťƒu thᝊc trĂŞn theo x
m
ďƒŠ
Q
VĂ d᝼ 6.3.5. TĂŹm đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ľ) cᝧa hĂ m Ẋn xy ď€ e x sin y  ď ° , khi x  1, y  ď ° .
Kè
(coi y là hà m cᝧa x)
ấy
y  xy, ď€ e x sin y ď€ e x cos yy,  0.
/+ D
Cho x  1, y  ď ° ta đưᝣc ď °  y ,  ey ,  0 ďƒž y , (1) 
ď€ď ° .ďƒť 1 e
,,
,
co
,,
m
LĆ°u Ă˝ 6.3.2. Ä?áťƒ tĂŹm đấo hĂ m cẼp hai đ?‘Śâ€˛â€˛ ta lẼy đấo hĂ m hᝇ thᝊc (6.15) (6.16)
e.
,, , , , Fxx  Fxy y  ( Fyx  Fyy y ) y  F y, y,,  0 .
gl
Thế (6.14) và o (6.16), tᝍ đó tÏm �′′.
LẼy đấo hĂ m biáťƒu thᝊc Ä‘ĂŁ cho ta đưᝣc
us
.g
ďƒŠ
oo
VĂ d᝼ 6.3.6. TĂnh y’, y’’ biáşżt x ď€ y  arctg y  0.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
, , Cho x  1, y  ď€1 ďƒž Fx  6, Fy  4. Váşy y '(1)  ď€ . ďƒť
1 ď€ y, 
y, 1  y2
 0 ďƒž y, 
1  y2 y2
.
(6.17)
2 2 2 2 Ta cĂł y y '  1  y , lẼy đấo hĂ m biáťƒu thᝊc trĂŞn: 2 yy '  y y ''  2 yy '.
Tháşż (6.17) vĂ o (6.18) ta đưᝣc y ''  ď€
2(1  y 2 ) y5
(6.18)
.ďƒť
Tᝍ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y, z)  0 cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m Ẋn z  z( x , y ) váť›i cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn sau.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ďƒŠ
103
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.3.2. Cho hĂ m F ( x , y, z) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn 1) XĂĄc Ä‘áť‹nh liĂŞn t᝼c trong hĂŹnh cầu máť&#x; B( M ,ď Ľ ) tâm tấi M ( xo , yo , zo ) bĂĄn kĂnh ď Ľ. 2) F ( xo , yo, zo )  0.
Q
uy
ď ˝
hĆĄ
n ď ť
ď —  ( x , y ) : ( x ď€ xo )2  ( y ď€ yo )2  ď ¤
N
Khi Ä‘Ăł, phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y, z)  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáşn
m
cᝧa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), máť™t hĂ m hai biáşżn z  z( x , y ) sao cho zo  z( xo , yo ) vĂ F ( x , y, z( x , y ) ď‚ş 0)
Fx,
 ď€ , , zy, Fz
ď€
Fy, Fz,
,(Fz, ď‚š 0).
(6.19)
/+ D
z,x
ấy
Kè
trong ď —. HĆĄn nᝯa hĂ m z  z( x , y ) cĂł đấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c trong ď — vĂ
x y F , x  2 x , F , y  2 y, F ,z  2 z ďƒž z,x  ď€ , zy,  ď€ (z ď‚š 0). ďƒť z z
gl
e.
ďƒŠ
co
m
, , VĂ d᝼ 6.3.7. Cho F  x 2  y 2  z2 ď€ R2  0, tĂnh zx , zy .
Ta cĂł cĂ´ng thᝊc tĂnh gần Ä‘Ăşng
us
.g
ďƒŠ
oo
VĂ d᝼ 6.3.8. Cho hĂ m Ẋn z  z( x, y) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i z ď€ ye x / z  0 . HĂŁy tĂnh gần Ä‘Ăşng z(0,02; 0,99).
z (0,02;0,99) ď‚ť z (0,1)  z,x (0,1)0,02  zy, (0,1)( ď€ 0,01).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
, 4) Fz ( xo , yo , zo ) ď‚š 0.
Cho x = 0, y= 1 và o phưƥng trÏnh ban đầu, ta đưᝣc z (0, 1) = 1. Ta lấi có F
,
x
ď€
y x/ z e , z
F
,
Tấi x  0, y  1, khi Ẽy z = 1, ta đưᝣc F
y
,
x
 ď€ ex / z,
F,z  1 
xy z
2
 ď€1, F , y  ď€1, F ,z  1.
ex / z
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
3) Táť“n tấi cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c Fx, , Fy, , Fz, trong B( M , ď Ľ ).
104
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
, , Vậy zx (0,1) 1; zy (0,1) 1. Cho nên cuối cùng ta có
z(0,02; 0,99) 1 1 0,02 1 0,01 1,01. Ví dụ 6.3.9. Cho xyz x y z , tìm dz.
hơ
N
yz 1 , xz 1 1 ( yz 1)dx ( xz 1)dy . , zy , dz xy 1 yx 1 xy 1
uy
Vậy z,x
Q
Cách 2. Xem z là hàm của hai biến độc lập x, y thỏa điều kiện: xyz x y z 0.
ạy
1 ( yz 1)dx ( xz 1)dy . xy 1
/+ D
dz
Kè
m
Lấy vi phân biểu thức đó, ta được yzdx xzdy xydz dx dy dz 0,
Đối với đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ta cũng làm tương tự.
2z 2z , . xy x 2
Lấy đạo hàm phương trình đã cho theo x
e.
co
m
Ví dụ 6.3.10. Cho x y z e z , tìm
1 z,x ez z,x
oo
gl
(6.20)
1
ez 1
.
(6.21)
us
.g
z,x
Tiếp theo, lấy đạo hàm biểu thức (6.20) theo x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
F xyz x y z, F , x yz 1, F , y xz 1, F ,z xy 1.
2
z,,xx ez z,x ez z,,xx .
(6.22)
Thế (6.21) vào (6.22), từ đó ta được
z,,xx
ez z 3
(1 e )
xyz (1 x y z)3
.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
, , Cách 1. Tìm zx , zy theo công thức (6.19) ta có
n
105
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
,, Để tìm zxy , trước tiên lấy đạo hàm phương trình ban đầu theo y
1 zy, e z zy, , 1 z
e 1
.
(6.24)
.
N
xyz
hơ
n
(6.25)
(1 x y z)3
uy
Thế (6.21), (6.24) vào (6.25) từ đó tìm được z,,xy
m
Q
6.4 CÔNG THỨC TAYLOR
Kè
Cho hàm z f ( x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n+1 trong Q(xo+x, yo+y)
ạy
miền mở D chứa điểm P( xo , yo ) . Giả thiết rằng:
M
Q( xo x, yo y) D và cả đoạn PQ D.
/+ D
P(xo, yo)
m
Đặt x xo tx, y yo ty,0 t 1 M( x, y) PQ D.
co
Xét hàm số z f ( x, y) f ( xo tx, yo ty) (t ).
gl
e.
Đó là hàm hợp một biến t, có đạo hàm cấp n+1. Theo công thức Taylor ta có
'(0) 1
t ...
( n) (0) n!
n
t
( n1) ( t ) (n 1)!
t n1, 0 1.
.g
oo
(t ) (0)
us
Cho t = 1 ta được
(1) (0)
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
,, z , , z ,, Tiếp theo lấy đạo hàm (6.20) theo y zxy e zy zx e zxy .
'(0) ''(0) 1
2!
Ta có
(1) f ( xo x, yo y), (0) f ( xo , yo ). Hơn nữa ta lại có
...
( n) (0) ( n1) ( ) n!
(n 1)!
.
(6.26)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
zy,
(6.23)
106
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
'(t ) f ' x ( x , y )x f 'y ( x , y )y, dx dy y x, dt dt
(6.27)
2
x y f ( x, y) y x
hơ
n
(6.28)
N
Hoàn toàn tương tự, theo qui nạp ta được k
(6.29)
Q
uy
(k) (t) x y f ( x, y) y x
xo , y
t0
yo (x, y - các hằng số), ta được
Kè
t0
ạy
'(0) f x, ( xo , yo )x fy, ( xo , yo )y df ( xo , yo )
/+ D
''(0) f xx,, ( xo , yo )x 2 2 f xy,, ( xo , yo )xy f yy,, ( xo , yo )y 2 d 2 f ( xo , yo )
m
...
k
e.
( n 1)
( ) x y y x
gl
co
(0) x y f ( x , y ) d k f ( x o , yo ) ( x , y ) x y o o
(k )
n 1
f ( x, y)
( xo x , yo y )
.g
oo
d n1 f ( xo x , yo y ).
Vậy ta có công thức Taylor sau:
us
x
m
Trong các công thức (6.27), (6.28) và (6.29), cho t=0, khi ấy chú ý rằng
n
1 k 1 d f ( xo , yo ) d n1 f ( xo x , yo y ), 0<<1. (n 1)! k 0 k !
f ( xo x, yo y )
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
=
Phần dư
Rn (x , y )
1 d n1 f ( xo x , yo y ) (n 1)!
(6.30)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
,, ,, ,, ( x, y)xy f yy ( x, y) y 2 , , (t) f xx ( x, y) x 2 2 f xy
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
107
được gọi là phần dư dạng Lagrange. Có thể chứng minh được rằng có thể viết phần dư ở dạng Peano sau đây
Rn (x, y) 0(S n ), S x 2 y 2 . Lấy xo 0, yo 0, x x, y y ta có công thức Maclaurin
1 k 1 d f (0,0) d n1 f ( x, y); 0 1. (n 1)! k 0 k !
n
hơ
N
uy
Ta có theo công thức Taylor, n = 2
Q
Kè
m
1 ,, ,, ,, f ( x, y) f (0, 0) f x (0, 0) x f y, (0, 0) y [ f xx (0, 0) x2 2 f xy (0, 0) xy f yy (0, 0) y2 ] R2 , 2
/+ D
ạy
1 ,,, 3 ,,, 2 ,,, ,,, R2 [ fxxx x 3 fxxy x y 3 fxyy xy2 f yyy y3 ] (x, y) 6
co
0; fy, (0,0) sin x cos y
(0,0)
(0,0)
e.
f x, (0,0) cos x sin y
f (0,0) 0;
m
Ta có f ( x , y ) sin x sin y;
0; f xy,, cos x cos y
gl
f xx,, (0,0) sin x sin y
oo
(0,0)
(0,0)
1 6
0;
1; fyy,, sin x sin y
(0,0)
us
.g
Vậy sin x sin y xy, với sai số | R2 ( x , y ) | [0,13 3 0,13 3 0,13 0,13 ]
0.
4 3 0,1 (ở đây sử 3
dụng | f ,,, | 1 ).
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ví dụ 6.4.1. Tìm xấp xỉ bậc hai của hàm z sin x sin y tại lân cận gốc tọa độ. Đánh giá sai số biết | x | 0,1; | y | 0,1 ?
Công thức Taylor với n=2 đối với hàm số f ( x , y ) sin x sin y có thể nhận được nhờ
sử dụng công thức Taylor của các hàm một biến
sin x x 0( x ), sin y y 0( y) sin x sin y [ x 0( x )][y 0( y)] xy 0( ); x 2 y 2 .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
f ( x, y)
108
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
VĂ d᝼ 6.4.2. Khai triáťƒn Taylor hĂ m f ( x , y )  y x áť&#x; lân cáşn Ä‘iáťƒm (1,1) Ä‘áşżn báşc 2. ďƒŠ
Ta cĂł
f (1,1)  1 f x, ( x , y )  y x ln y ďƒž
f x, (1,1)  0
,, f xx  y x ln2 y,
,, f xx (1,1)  0
m
Q
ďƒť
ấy
Kè
TÓM TẎT
/+ D
Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn cần nắm máť™t sáť‘ Ä‘iáť u sau. 1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc gáť?i khả vi tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu sáť‘ gia toĂ n phần ď „đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cĂł tháťƒ
m
biáťƒu diáť…n đưᝣc áť&#x; dấng
co
ď „f ( xo , yo )  Aď „x  Bď „y  ď Ąď „x  ď ˘ď „y,
e.
áť&#x; đây đ??´, đ??ľ lĂ cĂĄc háşąng sáť‘, ď Ą, ď ˘ď‚Ž 0 khi ď „đ?‘Ľ, ď „đ?‘Ś ď‚Ž 0. Khi Ẽy đấi lưᝣng đ??´ď „đ?‘Ľ + đ??ľď „đ?‘Ś đưᝣc gáť?i
oo
gl
là vi phân cᝧa hà m �(�, �) tấi (�0 , �0 ) và đưᝣc ký hiᝇu ��(�0 , �0 ).
.g
, , Biáťƒu thᝊc df ( x , y )  f x ( x , y )dx  f y ( x , y )dy cĹŠng lĂ máť™t hĂ m sáť‘ cᝧa cĂĄc biáşżn x,y, vi
us
phân cᝧa nó �(��(�, �)), ta g�i là vi phân cẼp hai cᝧa �(�, �) và ký hiᝇu � 2 �(�, �),
d 2 f ( x , y )  d (df ( x , y ))d 2 f ( x , y )  f xx,, dx 2  2 f xy,, dxdy  f yy,, dy 2 n
ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś dy ďƒˇ f . TĆ°ĆĄng táťą, váť›i vi phân cẼp n, ta cĂł d f  ďƒ§ dx  ď‚śy ďƒ¸ ďƒ¨ ď‚śx n
Trư�ng hᝣp t᝕ng quåt n biến: u  f ( x1, x2 ,..., xn ) thÏ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
f yy,, (1,1)  0
hĆĄ
f yy,,  x ( x ď€ 1)y x ď€2 ,
N
, f xy (1,1)  1
uy
,, f xy  y x ď€1 ( x ln y  1),
n
f y, (1,1)  1
Váşy ta đưᝣc đ?‘Ś đ?‘Ľ = 1 + (đ?‘Ś − 1) + (đ?‘Ľ − 1) + đ?‘‚(đ?œŒ2 ), đ?œŒ = √(đ?‘Ľ − 1)2 + (đ?‘Ś − 1)2 .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
f y, ( x , y )  xy x ď€1 ,
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
109
m
ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś ď‚ś d f  ďƒ§ dx1  dx2  ...  dxn ďƒˇ f . ďƒ§ ď‚śx ďƒˇ ď‚śx2 ď‚śxn ďƒ¨ ďƒ¸ m
2. Nếu z  f ( x , y ) khả vi trong miᝠn D và x  x (t ), y  y (t ) khả vi trong (t1,t2), khi Ẽy hà m
n hĆĄ
N
Cho z  f ( x , y ) và x, y là cåc hà m cᝧa hà m hai biến x  x (u, v), y  y(u, v). Cho cåc
uy
hĂ m z, x, y khả vi tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm tĆ°ĆĄng ᝊng. NhĆ° váşy z lĂ hĂ m hᝣp cᝧa hai biáşżn u, v vĂ
Q
ta cĂł
Kè
m
z z x z y z z x z y   ;   . u x u y u v x v y v
ấy
3. Ä?áť‹nh lĂ vᝠđấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn đưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 vĂ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) =
/+ D
0 lần lưᝣt cho ta
co
m
Fy, Fx, , Fx, , dy ,  ď€ , ( Fy ď‚š 0); vĂ zx  ď€ , zy  ď€ ,(Fz, ď‚š 0). dx Fy Fz, Fz,
e.
4. CĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa z  f ( x , y ) cĂł đấo hĂ m riĂŞng Ä‘áşżn cẼp n+1 trong miáť n máť&#x; D
oo
gl
chᝊa Ä‘iáťƒm P( xo , yo ) ,
n
1 k 1 d f ( xo , yo )  d n1 f ( xo  ď ąď „x , yo  ď ąď „y ), 0<ď ą<1. (6.30) (n  1)! k 0 k !
us
.g
f ( xo  ď „x, yo  ď „y )  ďƒĽ
LẼy xo  0, yo  0, x  ď „x, y  ď „y ta cĂł cĂ´ng thᝊc Maclaurin :
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
dz z dx z dy   . dt x dt y dt
n
1 k 1 d f (0,0)  d n1 f (ď ą x, ď ą y); 0  ď ą  1. (n  1)! k 0 k !
f ( x, y)  ďƒĽ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hᝣp z  f [ x (t ), y(t )] cĹŠng khả vi trong (t1, t2) vĂ
110
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CᝌA HÀM NHIᝀU BIẞN
BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂnh vi phân cᝧa cĂĄc hĂ m sau.


n hĆĄ
z . x  y2
N
2
uy
c) TĂnh đ?‘‘đ?‘“(1, 2, 1) náşżu f ( x , y, z) 
4,052  3,072 .
/+ D
b) (2,01)3,03 biết rẹng �� 2 = 0,69.
ấy
a)
Kè
m
BĂ i 2. TĂnh gần Ä‘Ăşng cĂĄc giĂĄ tráť‹ sau nháť? vi phân cẼp 1
Q
d) TĂnh đ?‘‘đ?‘“(1,1) náşżu f ( x , y )  ( x  y )e xy .
m
ďƒŚď ° ďƒś ď °  0,017 ). c) đ?‘ đ?‘–đ?‘›280 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 610 (biáşżt ráşąng cos ďƒ§ ďƒˇ  0,87; 180 ďƒ¨6ďƒ¸
e.
gl
a) f ( x , y )  x y ( x  0).
co
BĂ i 3. TĂŹm d 2 f náşżu
oo
b) f ( x , y, z)  xy  yz  zx.
.g
2 2 2 BĂ i 4. TĂŹm d f (1,1) náşżu f ( x, y)  x  xy  y ď€ 4 ln x ď€ 2 ln y.
df náşżu dt
us
BĂ i 5. TĂnh
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
b) f ( x , y )  ln y  x 2  y 2 .
y a) f ( x , y )  x và x  ln t, y  sin t.
b) f ( x , y )  arctg
c) f ( x , y, z) 
y 2t 2t vĂ x  e  1, y  e ď€ 1. x
yz df t 2 vĂ x  e , y  ln t, z  t ď€ 1 , sau Ä‘Ăł tĂnh (1). dt x
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
a) f ( x , y )  e xy .
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Bài 6. Tính
df và dx
f nếu f ( x, y) ln e x e y x
và y 13 x
3
111
x.
Bài 7. Chứng minh rằng hàm g y . f (cos( x y)) thỏa phương trình
dx 2
hơ
d2 y
nếu x y e x y
N
dy ; dx
2 f 0 xy
uy
Bài 9. Tính
Q
Bài 10. Tính y’(1) và y’’(1) nếu biết
Kè
ạy
xy 0. Bài 11. Tính z ; z nếu z ln( x z) x y z
m
x 2 2xy y2 4 x 2 y 2 0 và khi x = 1 thì y = 1
/+ D
3 Bài 12. Giả sử z z( x, y) là hàm khả vi được xác định từ phương trình z xz y 0.
m
Biết rằng tại x = 3; y = –2 thì z = 2. Tính dz (3, –2) và d2z (3, –2) Bài 13. Tính u ; u nếu u x z trong đó z z( x, y) được xác định từ phương trình y
e.
ze z xe x ye y .
y z
co
x
oo
gl
Bài 14. Khai triển Maclaurin đến bậc 2 hàm f ( x , y ) ln(1 y x ).
.g
Bài 15. Khai triển Maclaurin đến bậc 3 hàm f ( x , y ) ln(1 x ).ln(1 y).
us
Bài 16. Khai triển Taylor đến bậc 3 hàm f ( x, y)
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bài 8. Tìm tất cả các hàm f ( x, y) thỏa phương trình
y ở lân cận điểm (1,1). x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
với giả thiết f là hàm khả vi.
n
g g g x y y
112
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm vi phân cấp một của hàm hai biến z x 2 3 y. A. dz x3y 2dx x ln 3dy
uy
N
Câu 2. Vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z ye x xe y là:
B. d 2 z ye x dx 2 (e x e y )dxdy xe y dy 2
C. d 2 z xe x dx 2 2(e x e y )dxdy ye y dy 2
D. d 2 z ye x dx 2 2(e x e y )dxdy xe y dy 2
Kè
m
Q
A. d 2 z ye x dx 2 2(e x e y )dxdy xe y dy 2
ạy
u Câu 3. Hàm hợp z arctan( ) với u x sin y, v x cos y có đạo hàm riêng: v B. zx 0, zy 1.
/+ D
A. zx 1, zy 0.
co
D. zx 1, zy 1.
e.
y df 2 2 2 biết f (u, v) u sin v, u x y , v . dx x
oo
gl
Câu 4. Tìm
m
C. zx 0, zy 0.
df yu 2 2 xu sin v 2 cos v. B. dx x
us
.g
df yu 2 4 xu sin v 2 cos v. A. dx x df yu 2 4 xu sin v 2 cos v. C. dx x
df yu 2 4 xu sin v 2 cos v. D. dx x
x y Câu 5. Hàm ẩn y y( x ) xác định từ phương trình y x có:
A. y( x )
x 2 ln x 1 y 2 ln y 1
B. y( x )
y 2 ln y 1 x 2 ln x 1
C. y( x )
y 2 ln x 1 x 2 ln y 1
D. y( x )
x 2 ln y 1 . y 2 ln x 1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
D. dz x3y 2dx x ln3dy
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
hơ
y y 1 C. dz x3 2dx xy3 dy
B. dz x3y 2dx xdy
113
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
n
TÏm c᝹c trᝋ cᝧa hà m hai biến sᝑ.
-
TÏm c᝹c trᝋ có (m᝙t) điᝠu kiᝇn cᝧa hà m hai biến sᝑ.
-
TÏm giå trᝋ l᝛n nhẼt, giå trᝋ nh� nhẼt cᝧa hà m hai biến sᝑ trên miᝠn đóng, bᝋ chạn.
-
TĂŹm đấo hĂ m riĂŞng theo hĆ°áť›ng cᝧa vĂŠc-tĆĄ, tĂnh gradient cᝧa hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.
m
Q
uy
N
hĆĄ
-
ấy
Kè
7.1 Cáť°C TRᝊ HĂ€M NHIᝀU BIáşžN (Cáť°C TRᝊ Táť° DO) Ä?áť‹nh nghÄŠa 7.1.1. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n D vĂ Ä‘iáťƒm P0 ( x0 , y0 ) lĂ Ä‘iáťƒm
/+ D
trong miáť n D.
Ta nĂłi P0 ( x0 , y0 ) lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu chạt (hay lĂ cáťąc tiáťƒu theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa háşšp), náşżu
co
m
táť“n tấi ď Ľ - lân cáşn B(Po ,ď Ľ ) cᝧa P0 sao cho
(7.1)
e.
f ( x0 , y0 )  f ( x, y), ( x, y) ďƒŽ B(P0 ,ď Ľ ), ( x, y) ď‚š ( x0 , y0 ).
oo
gl
Náşżu táť“n tấi ď Ľ lân cáşn B(P0 ,ď Ľ ) cᝧa P0 sao cho (7.2)
.g
f ( x0 , y0 )  f ( x, y), ( x, y) ďƒŽ B(P0 ,ď Ľ ), ( x, y) ď‚š ( x0 , y0 ).
us
thĂŹ Ä‘iáťƒm Po đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc đấi chạt (còn gáť?i lĂ cáťąc đấi theo nghÄŠa háşšp). TrĆ°áť?ng hᝣp cĂĄc bẼt Ä‘áşłng thᝊc chạt (7.1), (7.2) đưᝣc thay tháşż báşąng cĂĄc Ä‘áşłng thᝊc
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
không chạt.
f ( xo , yo ) ď‚Ł f ( x, y);
f ( xo , yo ) ď‚ł f ( x, y).
thĂŹ Po đưᝣc gáť?i tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu vĂ Ä‘iáťƒm cáťąc đấi (chĂşng còn đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu, Ä‘iáťƒm cáťąc đấi theo nghÄŠa ráť™ng).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
114
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
CĂĄc Ä‘iáťƒm cáťąc đấi vĂ cáťąc tiáťƒu đưᝣc gáť?i chung lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹. KhĂĄi niᝇm cáťąc tráť‹ nĂŞu trĂŞn cĂł tĂnh Ä‘áť‹a phĆ°ĆĄng. GiĂĄ tráť‹ hĂ m f chᝉ so sĂĄnh tấi P0 váť›i cĂĄc Ä‘iáťƒm áť&#x; gần nĂł. Máť™t hĂ m sáť‘ cĂł tháťƒ cĂł nhiáť u Ä‘iáťƒm cáťąc đấi, cáťąc tiáťƒu. VĂ d᝼ 7.1.1. TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ z  x  y . 2
2
n hĆĄ
Ta cĂł z  (0, 0)  0 . Trong máť?i ď Ľ lân cáşn cᝧa (0,0) cĂł nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł z  0
uy
N
(gĂłc I), vĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ z  0 (gĂłc II). Váşy hĂ m sáť‘ khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi (0,0). VĂ d᝼ 7.1.3. Khảo sĂĄt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  x y .
RĂľ rĂ ng z(0, 0)  0 vĂ z( x, y) ď‚ł 0, ( x, y) , nĂŞn hĂ m đất cáťąc tiáťƒu (theo nghÄŠa ráť™ng)
m
ďƒŠ
2
Q
2
Kè
tấi (0,0). TĆ°ĆĄng táťą, hĂ m đất cáťąc tiáťƒu theo nghÄŠa ráť™ng trĂŞn cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng x  0 vĂ
ấy
y  0.
Ä‘iáťƒm P(0, y1 ) trĂŞn tr᝼c tung
x  0.
/+ D
Tuy váşy, hĂ m khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ chạt (tᝊc lĂ theo nghÄŠa háşšp). Tháşt váşy, xĂŠt máť™t Ta cĂł z ( P)  0 , nhĆ°ng trong máť?i lân cáşn cᝧa P, luĂ´n
co
m
táť“n tấi Ä‘iáťƒm Q (cĹŠng thuáť™c tr᝼c tung) sao cho z (Q)  0 ( z ( P)). ďƒť
ďƒŹ ďƒŻ x 2  y 2 , ( x , y ) ď‚š (0,0) , ( x , y )  (0,0). ďƒŻ ďƒŽ1
gl
Váť›i 0  ď Ľ  1, ( x, y) ďƒŽ ď Ľ - lân cáşn cᝧa Ä‘iáťƒm O(0,0) ta cĂł
oo
ďƒŠ
e.
VĂ d᝼ 7.1.4. XĂŠt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  ďƒ
ďƒť.
.g
z(x, y)  x 2  y2  ď Ľ 2  1  z(0, 0) , cho nĂŞn hĂ m đất cáťąc đấi tấi O(0,0)
us
Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.1 (Ä?iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹). Náşżu hĂ m sáť‘ z  f ( x , y ) cĂł cáťąc tráť‹ tấi
Po ( xo , yo ) thÏ tấi P0, hà m sᝑ có cåc đấo hà m riêng bẹng 0 hoạc không có đấo hà m.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Và d᝼ 7.1.2. Hà m z  xy có c᝹c trᝋ tấi (0,0) hay không?
ďƒŠ
Giả sᝠhà m đất c᝹c đấi tấi Po ( xo , yo ) và có cåc đấo hà m riêng tấi Po. XÊt hà m m᝙t
biáşżn f ( x, yo ), váşy trong máť™t lân cáşn nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 ta cĂł f ( x, yo ) ď‚Ł f ( xo , yo ) , tᝊc hĂ m máť™t biáşżn f ( x, yo ) đất cáťąc đấi tấi đ?‘Ľ0 , cho nĂŞn ď‚śf (xo, yo) d f (x, yo)  0 x  x dx ď‚śx o
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ta cĂł z(0, 0)  0  z( x, y) váť›i ( x, y) ď‚š (0, 0) . Váşy hĂ m sáť‘ đất cáťąc tiáťƒu chạt tấi (0,0).
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł
115
ď‚śf ( x o , yo )  0 ďƒť . ď‚śy
ChĂş Ă˝ ráşąng Ä‘iáť u kiᝇn trĂŞn cĹŠng lĂ Ä‘iáť u kiᝇn cần Ä‘áť‘i váť›i cáťąc tráť‹ chạt vĂŹ tᝍ cáťąc tráť‹ chạt ta cĂł cáťąc tráť‹. Ä?iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng báşąng 0 hoạc khĂ´ng cĂł đấo hĂ m đưᝣc gáť?i lĂ
n hĆĄ
RĂľ rĂ ng Ä‘iáť u kiᝇn cần áť&#x; trĂŞn chĆ°a phải lĂ Ä‘iáť u kiᝇn đᝧ. XĂŠt hĂ m sáť‘ đ?‘§ = đ?‘Ľđ?‘Ś cᝧa VĂ d᝼
uy
N
7.1.2 ta thẼy z,x (0, 0)  z,y (0, 0)  0 nhưng không có c᝹c trᝋ tấi (0,0).
Q
Ä?iáťƒm ( xo , yo ) mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng báşąng 0 vĂ trong máť™t lân cáşn bẼt káťł cᝧa
m
nĂł táť“n tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) sao cho f ( x1 , y1 )  f ( xo , yo )  f ( x2 , y2 ) , đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm
Kè
yĂŞn ngáťąa.
ấy
Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 (Ä?iáť u kiᝇn đᝧ cáťąc tráť‹ chạt). Cho f ( x , y ) xĂĄc Ä‘áť‹nh, liĂŞn t᝼c vĂ cĂł cĂĄc
/+ D
đấo hĂ m riĂŞng cẼp hai liĂŞn t᝼c tấi lân cáşn cᝧa Ä‘iáťƒm dᝍng ( x0 , y0 ) . Khi Ẽy
m
1) Náşżu dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 f ( x0 , y0 ) xĂĄc Ä‘áť‹nh dĆ°ĆĄng thĂŹ hĂ m sáť‘ đất cáťąc tiáťƒu chạt
co
tấi ( x0 , y0 ) ;
e.
2) Nếu dấng toà n phưƥng d 2 f ( x0 , y0 ) xåc đᝋnh âm thÏ hà m sᝑ đất c᝹c đấi chạt tấi
oo
gl
( x0 , y0 ) ;
us
( x0 , y0 ) .
.g
3) Nếu dấng toà n phưƥng d 2 f ( x0 , y0 ) không xåc đᝋnh thÏ hà m không đất c᝹c trᝋ tấi
ChĂş Ă˝ 7.1.2.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
0 đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm dᝍng.
(1) VĂŹ cáťąc tráť‹ chạt cĹŠng lĂ cáťąc tráť‹, nĂŞn Ä‘iáť u kiᝇn đᝧ nĂŞu trong Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 cĹŠng lĂ Ä‘iáť u kiᝇn đᝧ cho cáťąc tráť‹ (theo nghÄŠa ráť™ng). (2) Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 cĹŠng Ä‘Ăşng cho hĂ m nhiáť u hĆĄn 2 biáşżn (chᝊng minh hoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą), ta phĂĄt biáťƒu cho hĂ m 3 biáşżn.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ä‘iáťƒm táť›i hấn, Ä‘Ăł lĂ Ä‘iáťƒm nghi ngáť? cĂł cáťąc tráť‹. Ä?iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng báşąng
116
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý 7.1.3. Cho hàm f ( x , y , z) xác định liên tục và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại lân cận của điểm dừng ( x0 , y0 , z0 ) . Khi ấy nếu dạng toàn phương
d 2 f ( x0 , y0 , z0 ) là:
n hơ N
3) Không xác định thì hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 , z0 ) .
uy
Trong sử dụng thực tế, đối với hàm hai biến, định lý được dùng ở dạng sau đây.
Q
Định lý 7.1.4. Cho hàm số f ( x , y ) xác định liên tục và các đạo hàm liên tục tại lân
Kè
m
cận của điểm dừng ( x0 , y0 ) .
ạy
,, ,, ,, 2 Đặt A f xx ( xo , yo ), B f xy ( xo , yo ), C f yy ( xo , yo ), AC B .
/+ D
1) Nếu 0, A 0, hàm đạt cực tiểu chặt tại ( x0 , y0 ) ;
m
2) Nếu 0, A 0, hàm đạt cực đại chặt tại ( x0 , y0 ) ;
co
3) Nếu 0, hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) , khi ấy ( x0 , y0 ) là điểm yên ngựa. Ví dụ 7.1.5. Tìm cực trị của hàm số z x xy y 3x 6 y.
e.
2
gl
Trước tiên ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ
oo
2
zx, 2 x y 3 0; z,y x 2 y 6 0 y3
.g
x 0,
us
,, ,, zxx 2; zxy 1;
z,,yy 2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2) Xác định âm thì hàm đạt cực đại tại ( x0 , y0 , z0 ) ;
Vậy
AC B2 4 1 0; A 2 0, hàm
zmin z(0, 3) 9. Ví dụ 7.1.6. Tìm cực trị hàm số z x y 3xy. 3
, 2 zx 3 x 3 y 0 Giải hệ , 2 zy 3 y 3x 0.
3
đạt
cực
tiểu
tại
(0,3)
và
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1) Xác định dương thì hàm đạt cực tiểu tại ( x0 , y0 , z0 ) ;
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
117
Ta đưᝣc hai Ä‘iáťƒm dᝍng M1 (1,1), M2 (0, 0). Ta cĂł
,, ,, zxx  6x; zxy  ď€3; z,,yy  6 y.
Tấi M1 ta đưᝣc A  6; B  ď€3; C  6; ď „  36 ď€ 9  0 ďƒž cáťąc tiáťƒu chạt zmin  z(1,1)  ď€1.
VĂ d᝼ 7.1.7. Khảo sĂĄt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  x  y ď€ x ď€ 2 xy ď€ y . 2
hĆĄ N
ďƒŹ zx,  4 x3 ď€ 2 x ď€ 2 y  0 ďƒŻ Giải hᝇ ďƒ , 3 ďƒŻ ďƒŽ zy  4 y ď€ 2 x ď€ 2 y  0.
m
Kè
,, ,, zxx  12x2 ď€ 2; zxy  ď€2; z,,yy  12 y2 ď€ 2.
Q
Ta đưᝣc ba Ä‘iáťƒm dᝍng M1 (0, 0), M2 (ď€1, ď€ 1), M3 (1,1). Ta cĂł
n
2
uy
ďƒŠ
4
ấy
Tấi M1 ta lấi cĂł A  ď€2; B  ď€2; C  ď€2; ď „  0.
1 ta đưᝣc n
m
Ta có z ( M1 )  0 . V᝛i x  y 
/+ D
Trư�ng hᝣp nà y cần phải khảo såt thêm bẹng phưƥng phåp khåc.
e.
co
ďƒŚ1 1ďƒś 2 ďƒŚ 1 ďƒś z ďƒ§ , ďƒˇ  2 ďƒ§ 2 ď€ 2 ďƒˇ  0 váť›i n> 1. ďƒ¨ n nďƒ¸ n ďƒ¨ n ďƒ¸
gl
ďƒŚ1 1ďƒś 2 , ď€ ďƒˇ  2  0. ďƒ¨n nďƒ¸ n
oo
Mạc khĂĄc, ta cĂł z ďƒ§
us
.g
Váşy trong lân cáşn M1 (0, 0) hĂ m sáť‘ Ä‘áť•i dẼu, hĂ m khĂ´ng đất cáťąc tráť‹ tấi M1. Tấi M2 vĂ M3 ta cĂł A  10, B  ď€2, C  10, ď „  96 . Cho nĂŞn hĂ m đất cáťąc tiáťƒu chạt
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
4
tấi M2 vĂ M3 vĂ zmin  ď€2. ďƒť
7.2 Cáť°C TRᝊ CĂ“ Ä?IᝀU KIᝆN Trong phần trĂŞn ta Ä‘ĂŁ xĂŠt bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ z  f ( x , y ) , trong Ä‘Ăł hai biáşżn Ä‘áť™c láşp đ?‘Ľ, đ?‘Ś khĂ´ng cĂł Ä‘iáť u kiᝇn rĂ ng buáť™c, ngĆ°áť?i ta gáť?i lĂ cáťąc tráť‹ khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn hay lĂ cáťąc tráť‹ táťą do.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Tấi M2 ta cĂł A  0; B  ď€3; C  0; ď „  ď€9  0 , khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi M2.
118
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
NhĆ°ng Ä‘áť“ng tháť?i ta rẼt thĆ°áť?ng gạp cĂĄc bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹, mĂ trong Ä‘Ăł cĂĄc biáşżn x, y báť‹ rĂ ng buáť™c báť&#x;i máť™t Ä‘iáť u kiᝇn nĂ o đẼy. TrĆ°áť?ng hᝣp 3 biáşżn cĹŠng tĆ°ĆĄng táťą. VĂ d᝼ 7.2.1. TĂŹm Ä‘iáťƒm náşąm trĂŞn mạt pháşłng 2 x  y ď€ z ď€ 5  0 gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt.
n
x 2  y 2  z2 , trong đó cåc biến x, y, z bᝋ rà ng
N
buáť™c báť&#x;i Ä‘iáť u kiᝇn 2 x  y ď€ z ď€ 5  0.
uy
RĂľ rĂ ng đấi lưᝣng ď ˛  x 2  y 2  z 2 đất cáťąc tiáťƒu khi f  x 2  y 2  z 2 đất cáťąc tiáťƒu. Váşy ta
m
Q
xĂŠt bĂ i toĂĄn tĂŹm cáťąc tiáťƒu cᝧa
(7.3)
Kè
f  x 2  y 2  z2
(7.4)
ấy
váť›i Ä‘iáť u kiᝇn 2 x  y ď€ z ď€ 5  0.
/+ D
Tᝍ (7.4) ta cĂł z  2x  y ď€ 5 , tháşż vĂ o (7.3) ta đưᝣc
m
g( x, y)  f ( x, y,2 x  y ď€ 5)  x 2  y 2  (2 x  y  5)2
e.
 10 x  4 y ď€ 20  0  4x
 4 y ď€ 10
5 5 ďƒž xo  , yo  , 3 6  0
oo
gl
ďƒŹďƒŻ g, x ďƒ , ďƒŻďƒŽ gy
co
và dẍn đến bà i toån c᝹c trᝋ t᝹ do cᝧa hà m hai biến g( x , y ) . Ta có
us
.g
,, g,,xx  10, g,,xy  4, gyy  4 ďƒž ď „  10.4 ď€ 42  0, , hĂ m đất cáťąc tiáťƒu tấi ( x0 , y0 ). .
ďƒŚ5 5 5 ,ď€ ďƒ¨3 6 6
Váşy Ä‘iáťƒm phải tĂŹm lĂ ďƒ§ ,
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
bĂ i toĂĄn sau: tĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ ď ˛ 
x 2  y 2  z2 . VĂŹ váşy, ta dẍn Ä‘áşżn
ďƒś ďƒˇ. ďƒť . ďƒ¸
ChĂş Ă˝: BĂ i toĂĄn cĂł tháťƒ giải theo phĆ°ĆĄng phĂĄp hĂŹnh giải tĂch, báşąng cĂĄch tĂŹm hĂŹnh chiáşżu cᝧa gáť‘c táť?a Ä‘áť™ xuáť‘ng mạt pháşłng. Bấn Ä‘áť?c táťą tháť lĂ m theo cĂĄch nĂ y. Ä?áť‹nh nghÄŠa 7.2.1. Ta nĂłi hĂ m f ( x , y ) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn ď Ş ( x , y )  0
)= ,y ď Ş(x
đất cáťąc đấi chạt tấi Ä‘iáťƒm Mo ( xo , yo ) náşżu táť“n tấi máť™t lân cáşn đ?‘Ť Mo
0
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Khoảng cĂĄch tᝍ M ( x , y, z) Ä‘áşżn gáť‘c táť?a Ä‘áť™ báşąng ď ˛ 
hĆĄ
ďƒŠ
119
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
cᝧa đ?‘´đ?&#x;Ž sao cho f ( M )  f ( Mo ), váť›i M ďƒŽ D, M ď‚š Mo vĂ tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn rĂ ng buáť™c
ď Ş ( M )  0. ThĂ´ng thĆ°áť?ng phĆ°ĆĄng trĂŹnh ď Ş ( x, y)  0 cho ta máť™t Ä‘Ć°áť?ng cong L. NhĆ° váşy ta chᝉ so sĂĄnh f (M o ) váť›i f (M ) khi M náşąm trĂŞn L.
n hĆĄ N
NhĆ° váşy bĂ i toĂĄn đưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ° sau
uy
TÏm c᝹c trᝋ hà m sᝑ z  f ( x , y )
Q
ď Ş ( x , y )  0.
v᝛i điᝠu kiᝇn
(7.5) (7.6)
Kè
m
Trong Và d᝼ 7.2.1 ta đã xÊt bà i toån c᝹c trᝋ cᝧa hà m 3 biến.
ď Ş ( x, y, z)  0.
(7.7) (7.8)
/+ D
v᝛i điᝠu kiᝇn
ấy
TÏm c᝹c trᝋ hà m sᝑ u  f ( x , y, z)
Qua Và d᝼ 7.2.1 ta thẼy, nếu tᝍ điᝠu kiᝇn (6) ta xåc đᝋnh đưᝣc hà m 2 biến khả vi
m
z  ď Ş ( x , y ) , tháşż vĂ o (5) ta thu đưᝣc u  f ( x , y, z( x , y )) vĂ Ä‘i tĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m Ä‘Ăł
co
(khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn). Ä?Ăł lĂ phĆ°ĆĄng phĂĄp rẼt thĆ°áť?ng dĂšng.
BĂ i toĂĄn dẍn Ä‘áşżn tĂŹm cáťąc tiáťƒu cᝧa hĂ m
gl
ďƒŠ
x2 ď€ z2 ď€ 1  0 gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt.
e.
VĂ d᝼ 7.2.2. TĂŹm Ä‘iáťƒm trĂŞn mạt
.g
oo
f ( x, y, z)  x 2  y 2  z2
x 2 ď€ z2 ď€ 1  0.
us
v᝛i điᝠu kiᝇn Tᝍ (7.10)
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
tiáťƒu theo nghÄŠa ráť™ng cĂł Ä‘iáť u kiᝇn.
Giải hᝇ
2 2 ďƒž z2  x2 ď€ 1 tháşż vĂ o (7.9) ďƒž h( x, y)  f ( x, y, z)  2x  y ď€ 1.
(7.9) (7.10) (7.11)
, ďƒŹ ďƒŻ hx  4 x  0 ďƒž x  0, y  0 . ďƒ , ďƒŻ ďƒŽ hy  2 y  0
Ta sáş˝ tiáşżp t᝼c bĂ i toĂĄn tháşż nĂ o, khi mĂ Ä‘iáťƒm cĂł táť?a Ä‘áť™ x  0, y  0 khĂ´ng thuáť™c mạt
x2 ď€ z2 ď€ 1  0 ? CĂł Ä‘iáť u gĂŹ sai áť&#x; đây hay khĂ´ng ?
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł cĂĄc khĂĄi niᝇm cáťąc tiáťƒu chạt cĂł Ä‘iáť u kiᝇn vĂ cáťąc đấi, cáťąc
120
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
Khi đưa vᝠhà m hai biến h( x, y) theo (7.11), ta thẼy hà m sᝑ xåc đᝋnh trên toà n b᝙ mạt phẳng Oxy. Nhưng điᝠu đó không đúng, vÏ tᝍ điᝠu kiᝇn
x2 ď€ z2 ď€ 1  0 ta cĂł
| x |ď‚ł 1, nhĆ° váşy cần khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ h( x, y) trong miáť n | x |ď‚ł 1 . HĂ m h( x, y) rĂľ rĂ ng khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹, vĂŹ náşżu cĂł cáťąc tráť‹ thĂŹ, theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa, Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł phải thuáť™c miáť n máť&#x;
hĆĄ
x2  z2  1 ďƒž xĂŠt hĂ m
Ä?áťƒ trĂĄnh Ä‘iáť u Ä‘Ăł ta cĂł tháťƒ lĂ m nhĆ° sau: tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn rĂşt ra
N
g( y, z)  ( z2  1)  y2  z2  1  y2  2z2 trên toà n mạt phẳng Oyz. Dᝅ dà ng thẼy hà m
m
ď Ş( x, y)  0.
v᝛i điᝠu kiᝇn
Kè
Bà i toån 7.2.2. XÊt bà i toån c᝹c trᝋ hà m z  f ( x, y)
ďƒť.
Q
uy
đất cáťąc tiáťƒu tấi y  0, z  0 ďƒž x  ď‚ą1 . Tᝊc lĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm (ď‚ą1, 0, 0) gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt
(7.12)
ấy
Ä?iáťƒm ( x0 , y0 ) đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong (7.12) náşżu
/+ D
ď Ş,x ( x0 , y0 )  0; ď Ş,y ( x0 , y0 )  0.
m
Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.2.1. Cho Ä‘iáťƒm M0 ( x0 , y0 ) tháť?a cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn
co
1) đ?‘€0 khĂ´ng lĂ Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng (7.12) ;
gl
e.
2) CĂĄc hĂ m sáť‘ f ( x , y ), ď Ş ( x , y ) vĂ cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t cᝧa chĂşng liĂŞn t᝼c
oo
trong lân cáşn cᝧa đ?‘€0 ;
.g
3) Hà m f ( x, y) v᝛i điᝠu kiᝇn (7.12) đất c᝹c trᝋ tấi M0.
us
Khi Ẽy táť“n tấi máť™t sáť‘ ď Ź sao cho
f x, ( x0 , y0 )  ď Źď Ş x, ( x0 , y0 )  0
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
không có. (Hà m đất c᝹c trᝋ tuyᝇt đᝑi - giå trᝋ nh� nhẼt tấi biên | x | 1 , ta sẽ xÊt sau).
f y, ( x0 , y0 )  ď Źď Ş y, ( x0 , y0 )  0,
ď Ş ( x0 , y0 )  0.
(7.13)
(7.14)
Sáť‘ ď Ź đưᝣc gáť?i lĂ nhân táť Lagrange. HĂ m sáť‘ L ( x, y)  f ( x, y)  ď Źď Ş( x, y) đưᝣc gáť?i lĂ hĂ m Lagrange.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
| x | 1 , mà trong đó hà m h khả vi nên cåc đấo hà m riêng phải bẹng 0, mà điᝠu đó
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
121
Ä?áť‹nh lĂ˝ chᝉ cho ta Ä‘iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. Tuy váşy, trong nhiáť u bĂ i toĂĄn c᝼ tháťƒ, dáťąa vĂ o Ă˝ nghÄŠa tháťąc táşż cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh đưᝣc đ?‘€0 cĂł phải lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹ hay khĂ´ng. VĂ d᝼ 7.2.3. TĂŹm cáťąc tráť‹ hĂ m z  3x  4 y váť›i Ä‘iáť u kiᝇn x 2  y 2  1.
2
2
ďƒŚ3 4ďƒś , ďƒˇ. ďƒ¨5 5ďƒ¸
/+ D
Ta đưᝣc hai Ä‘iáťƒm dᝍng ď‚ą ďƒ§
ấy
Kè
5 3 4 ďƒŚ 3 ďƒś ďƒŚ2ďƒś ďƒ§ ďƒˇ ď€Ťďƒ§ ďƒˇ 1ďƒž ď Ź  ď‚ą ďƒž x  ď‚ą ; y  ď‚ą . 2 5 5 ďƒ¨ 2ď Ź ďƒ¸ ďƒ¨ ď Ź ďƒ¸
y
m
Vᝠmạt hÏnh h�c thÏ cåc đư�ng đẳng trᝋ cᝧa hà m sᝑ
co
z  3x  4 y là cåc đư�ng thẳng song song nhau 3x  4 y  C .
e.
NhĆ° váşy ta cần tĂŹm Ä‘iáťƒm ( xo , yo ) thuáť™c vòng tròn x2  y2  1
gl
và cŊng thu᝙c đư�ng thẳng 3x  4 y  C sao cho C l᝛n nhẼt
oo
vĂ nháť? nhẼt. Ä?iáť u Ä‘Ăł xảy ra khi Ä‘Ć°áť?ng tháşłng tiáşżp xĂşc
.g
vòng tròn (như hÏnh vẽ).
us
BĂ i toĂĄn cĂł máť™t cáťąc đấi vĂ máť™t cáťąc tiáťƒu, chĂşng tĆ°ĆĄng ᝊng váť›i hai Ä‘iáťƒm tĂŹm đưᝣc. Ta cĂł
ďƒŚ3 4ďƒś z ďƒ§ , ďƒˇ  5; ďƒ¨5 5ďƒ¸
ďƒŚ 3 4ďƒś z ďƒ§ ď€ , ď€ ďƒˇ  ď€5. ďƒ¨ 5 5ďƒ¸
Váşy zmax  5, zmin  ď€5. ďƒť ChĂş Ă˝: BĂ i toĂĄn cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng giải báşąng hĂŹnh háť?c giải tĂch.
O
x
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ N
Q
3 2 , y  ď€ , tháşż vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh cuáť‘i 2ď Ź ď Ź
m
ďƒžxď€
 2ď Źx  0  2ď Źy  0  y2 ď€ 1  0
 3  4  x2
uy
ďƒŹ L,x ďƒŻ , Giải hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh ďƒ Ly ďƒŻ L, ďƒŽ ď Ź
n
Ta cĂł hĂ m Lagrange L ( x, y)  3x  4 y  ď Ź ( x2  y2 ď€ 1) .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŠ
122
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
Trong vĂ d᝼ trĂŞn, ta thẼy cĂł tháťƒ dĂšng Ă˝ nghÄŠa hĂŹnh háť?c Ä‘áťƒ láşp luáşn sáťą táť“n tấi cĂĄc giĂĄ tráť‹ cáťąc đấi, cáťąc tiáťƒu. Tuy nhiĂŞn, trong trĆ°áť?ng hᝣp táť•ng quĂĄt, Ä‘iáť u Ä‘Ăł rẼt khĂł tháťąc hiᝇn, ta cần phải sáť d᝼ng Ä‘iáť u kiᝇn đᝧ cᝧa cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. Ä?iáť u kiᝇn đᝧ cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn
hĆĄ
f ( x , y ) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn ď Ş ( x , y )  0 sang bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn cᝧa hĂ m
uy
L ( x , y )  f ( x , y )  ď Źď Ş ( x , y ).
N
Lagrange
Q
Giả thiáşżt thĂŞm ráşąng cĂĄc hĂ m f, ď Ş cĂł đấo hĂ m riĂŞng Ä‘áşżn cẼp 2 liĂŞn t᝼c trong lân cáşn
Kè
m
Ä‘iáťƒm đ?‘€0 vĂ ď Ź lĂ giĂĄ tráť‹ tĆ°ĆĄng ᝊng váť›i xo , yo (nghiᝇm cᝧa hᝇ (7.13), (7.14)). Ta cĂł Ä‘iáť u kiᝇn đᝧ cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn sau đây.
/+ D
ấy
XÊt vi phân cẼp hai cᝧa hà m L ( x , y ) tấi ( x0 , y0 )
m
d 2 L ( xo , yo )  L,,xx ( xo , yo )dx 2  2 L,,xy ( xo , yo )dxdy  L,,yy ( xo , yo )dy 2 .
co
NhĆ°ng cĂĄc vi phân dx, dy khĂ´ng phải táťą do, mĂ báť‹ rĂ ng buáť™c báť&#x;i Ä‘iáť u kiᝇn
e.
dď Ş ( x0 , y0 )  ď Ş x, ( x0 , y0 )dx  ď Ş y, ( x0 , y0 )dy  0,
(7.15)
gl
dx 2  dy2  0.
d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cáťąc tiáťƒu cĂł Ä‘iáť u kiᝇn, náşżu
oo
Khi Ẽy, nếu
us
.g
d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cáťąc đấi cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. (ChĂş Ă˝: biáťƒu thᝊc d 2 L ( x0 , y0 )  0 cĂł nghÄŠa lĂ dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 L ( x0 , y0 ) xĂĄc Ä‘áť‹nh
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
lĂ Ä‘iáťƒm dᝍng cᝧa bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn). Ta chuyáťƒn bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ hĂ m
dĆ°ĆĄng. TĆ°ĆĄng táťą váť›i d 2 L ( x0 , y0 )  0 ). VĂ d᝼ 7.2.4. TĂŹm cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  6 ď€ 4 x ď€ 3 y váť›i Ä‘iáť u kiᝇn x 2  y 2  1. ďƒŠ
Ta cĂł L ( x, y)  6 ď€ 4 x ď€ 3 y  ď Ź ( x2  y2 ď€ 1).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Giả sáť f ( x, y), ď Ş ( x, y), M0 ( x0 , y0 ) tháť?a mĂŁn Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.2.1 (Ä‘iáťƒm M0 ( x0 , y0 ) đưᝣc gáť?i
123
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
L,x , Giải hệ Ly L,
4 2x 0 3 2y 0 2 2 x y 1 0
Đồng thời, Lxx 2, Lxy 0, Lyy 2. ,,
hơ
n
,,
N
Do vậy, d2 L 2 (dx2 dy2 ).
uy
5 2 4 3 4 3 , d L ( , ) 0 đạt cực tiểu tại M1 , và zmin 1. 2 5 5 5 5
Q
Với 1
m
5 2 4 3 4 3 , d L( , ) 0 đạt cực đại tại M2 , và zmax 11. 2 5 5 5 5
Kè
Với 2
8
y2 1 2
m
x2
Ta có L( x, y) xy
co
/+ D
ạy
x 2 y2 1. Ví dụ 7.2.5. Tìm cực trị hàm z xy với điều kiện 8 2
e.
Giải hệ
x 0 4
(7.16)
L ' y x y 0
(7.17)
.g
oo
gl
L 'x y
us
x2 y2 L ' 1 0 8 2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
,,
2 y Từ (7.16) và (7.17) ta có y (y) y 0 hoặc 2 . 4 4 Nếu y 0 x 0 không thỏa (7.18), loại bỏ. Vậy y 0,
2 x 2 y từ (7.18) thế vào (7.17) ta được
(7.18)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
5 4 3 5 4 3 1 , x1 , y1 ; 2 , x2 , y2 . 2 5 5 2 5 5
124
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
4 y2 y2 1 0, y 1. 8 2 Vậy ta có hai điểm dừng M1(–2,1), M2 (2,–1). Tương tự, với = –2 ta có 2 điểm dừng M3 (2,1), M4 (2, 1).
hơ N
2 dx 2dxdy dy2 . 4
m
Q
x 2 y2 Từ điều kiện 1, 8 2
Ta xét lần lượt 4 điểm 𝑀𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4.
m
1 2 1 dx 2dxdy 2dy2 ( dx 2dy)2 . 2 2
(7.21)
co
2 d2 L( M1 )
/+ D
a) Tại M1 (2, 1), khi ấy
(7.20)
ạy
Kè
x dx ydy 0. 4
ta có
(7.19)
uy
d2 L
n
, L,,xy 1, L,,yy , 4
oo
gl
dx dy 0 . 2
.g
e.
Hệ thức liên kết (7.20) tại M1 (2, 1) có dạng
d2 L( M1 ) 2dx2 0 (vì
dx 0 ), nếu ngược lại thì từ
us
Thế (7.22) vào (7.21) ta được
(7.22)
(7.22) ta cũng có dy 0).
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
L,,xx
Vậy hàm đạt cực tiểu tại M1 (2, 1) , zmin z ( M1 ) 2. b) Tương tự, tại M2 (2, 1) hàm cũng đạt cực tiểu, zmin 2. c) Tại M3 (2,1), khi ấy
1 1 2 d2 L( M3 ) dx2 2dxdy 2dy2 ( dx 2dy) 2 . 2 2
(3.31)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Lấy các đạo hàm riêng cấp hai
125
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
Hᝇ thᝊc liên kết (21) tấi M3 (2, 1) có dấng
dx  dy  0. 2
(3.32)
Thế (3.32) và o (3.31) ta đưᝣc
d2 L ( M3 )  0 . Váşy hĂ m đất cáťąc đấi tấi M3 vĂ
n hĆĄ
uy
N
7.3 GIà TRᝊ L᝚N NHẤT, GIà TRᝊ NHᝎ NHẤT
Q
BĂ i toĂĄn 7.3.1.
m
TÏm giå trᝋ l᝛n nhẼt và giå trᝋ nh� nhẼt (còn đưᝣc g�i là c᝹c trᝋ tuyᝇt đᝑi) cᝧa hà m
Kè
liên t᝼c �(�, �) trong miᝠn đóng, bᝋ chạn G.
ấy
Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Weierstrass, cáťąc tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i sáş˝ đất đưᝣc tấi máť™t Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cᝧa G. Náşżu đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm trong cᝧa G, thĂŹ đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹, tᝊc đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm táť›i hấn cᝧa hĂ m
/+ D
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Tuy nhiĂŞn hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł tháťƒ đất cĂĄc giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ bĂŠ nhẼt trĂŞn biĂŞn ď‚ś G.
m
Váşy ta cĂł káşżt luáşn Ä‘áťƒ tĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c ,
co
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn G ta cần: TĂŹm nhᝯng Ä‘iáťƒm táť›i hấn (tᝊc lĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm ,
e.
mĂ tấi Ä‘Ăł f x  0, f y  0 hoạc khĂ´ng táť“n tấi máť™t đấo hĂ m riĂŞng) bĂŞn trong miáť n G, tĂnh
gl
giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm Ẽy, so sĂĄnh chĂşng váť›i giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm nghi ngáť?
oo
có c᝹c trᝋ trên biên (tᝊc là c᝹c trᝋ có điᝠu kiᝇn). Sᝑ l᝛n nhẼt (nh� nhẼt) trong chúng sẽ
.g
là giå trᝋ l᝛n nhẼt (nh� nhẼt) cᝧa �(�, �) trên G.
us
VĂ d᝼ 7.3.1. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt, nháť? nhẼt cᝧa hĂ m sáť‘ z  x 2 y(2 ď€ x ď€ y ) trong tam giĂĄc Ä‘Ăłng đ?‘Ž giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
d) TĆ°ĆĄng táťą hĂ m đất cáťąc đấi tấi M4 vĂ zmax  z( M4 )  2. ďƒť
ďƒŠ
x  0, y  0, x  y  6.
TrĆ°áť›c háşżt tĂŹm Ä‘iáťƒm táť›i hấn bĂŞn trong miáť n đ??ş, vĂŹ hĂ m khả vi nĂŞn chĂşng lĂ cĂĄc
Ä‘iáťƒm dᝍng , ďƒŹ ďƒŻ zx ďƒ , ďƒŻ ďƒŽ zy
 xy (4 ď€ 3 x ď€ 2 y )  0  x 2 (2 ď€ x ď€ 2 y)
 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
zmax  z( M3 )  2.
126
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
1 VĂŹ chᝉ cần tĂŹm cĂĄc Ä‘iáťƒm dᝍng bĂŞn trong đ??ş, nĂŞn x  0, y  0. Váşy ta đưᝣc x  1, y  . 2 1 1 Ä?iáťƒm M 0 (1, ) náşąm bĂŞn trong tam giĂĄc, z ( M0 )  . 2 4 Bây giáť? xĂŠt trĂŞn biĂŞn. BiĂŞn bao gáť“m 3 Ä‘oấn OA, OB, AB.
6
B x +
TrĂŞn OA vĂ OB: z = 0.
N uy Q m
ấy
1 vĂ giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt lĂ z (M2 )  ď€128 ďƒť . 4
/+ D
Váşy giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt lĂ z ( M0 ) 
A
Kè
Ä?iáťƒm M1 (0, 0) ďƒŽ OA Ä‘ĂŁ đưᝣc xĂŠt. z ( M2 )  ď€128.
6
HĂŹnh
VĂ d᝼ 7.3.1. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt, nháť? nhẼt cᝧa hĂ m f ( x, y)  x 2  y2 ď€ 12 x  16y trĂŞn
ďƒŹď‚śf  2 x ď€ 12  0 ďƒŻ ďƒŻď‚śx ďƒ ďƒŻ ď‚śf  2 y  16  0 ďƒŻ ďƒŽ ď‚śy
us
.g
oo
gl
Tᝍ hᝇ phưƥng trÏnh
co
TrĆ°áť›c háşżt ta xĂŠt cĂĄc Ä‘iáťƒm dᝍng trong miáť n x 2  y2  25.
e.
ďƒŠ
m
miᝠn x 2  y2  25.
ta đưᝣc Ä‘iáťƒm (6,–8), Ä‘iáťƒm nĂ y khĂ´ng náşąm trong miáť n x 2  y2  25.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
z  ď€4 x 2 (6 ď€ x ), 0 ď‚Ł x ď‚Ł 6, dz  12 x ( x ď€ 4)  0 ďƒ› x1  0, x2  4, dx ďƒž y1  0, y2  2.
hĆĄ
n
=6
O
Ta xÊt tiếp c᝹c trᝋ cᝧa hà m f ( x, y) v᝛i điᝠu kiᝇn x 2  y2  25. Tᝍ hᝇ phưƥng trÏnh
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
y
Trên AB: thế y = 6 – x và o hà m đã cho ta đưᝣc
127
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
f x x 2 x 12 2 x 0 f 2 y 16 2 y 0 y y ( x , y ) x 2 y 2 25 0
Q
125 và giá trị nhỏ nhất là -75.
uy
N
Vậy giá trị lớn nhất của hàm f ( x, y) x 2 y2 12 x 16y trong miền x 2 y2 25 là
m
Ví dụ 7.3.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Kè
f ( x, y) x 2 y2 xy x y
Ta tìm điểm dừng của f ( x, y) bên trong miền tam giác từ hệ
/+ D
ạy
trong miền D : x 0, y 0, x y 3.
co
m
f 2 x y 1 0 x f 2 y x 1 0 y
gl
e.
Điểm dừng là P (1, 1) , tại đó f (1, 1) 1 .
oo
Ta tìm điểm nghi ngờ có cực trị của f ( x, y) trên biên của tam giác, biên này gồm ba
.g
đoạn AB, AO, BO. Trong đó AO là đoạn x 0; 3 y 0 , trên AO hàm f ( x, y) chỉ còn 1 phụ thuộc theo y : f (0, y) y2 y , trên đó hàm có ba điểm nghi ngờ là y và hai
us
2
điểm đầu mút y 0; y 3 . 1 1 Ta có f 0, ; f (0, 0) 0; f (0, 3) 6
Trên
đoạn
2
4
BO thì
y 0; 3 x 0
ta
1 1 f , 0 ; f (0, 0) 0; f (3, 0) 6 2 4
Trên đoạn AB thì x y 3 , từ đó y 3 x
cũng có ba
giá trị nghi ngờ là
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
f (3, 4) 125
hơ
Ta có f (3, 4) 75;
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
ta có hai điểm nghi ngờ là P1 (3, 4) và P2 (3, 4) tương ứng với 3 và 1
128
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
Thay vào, hàm f chỉ còn phụ thuộc theo x : f 3x 2 9x 6 , ở đây ta có ba điểm 3 3 nghi ngờ là , ; (0, 3); (3, 0) . 2
2
3 3 3 Ta có f , (còn hai giá trị sau f (0, 3); f (3, 0) đã xét ở trên).
2
2
4
n hơ
Ví dụ 7.3.3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
2
uy
.
Ta tìm điểm dừng nằm trong miền mở 0 x , 2
Q
2
,0 y
0 y
Kè
m
trong miền 0 x
N
f ( x , y ) sin x sin y sin( x y )
từ hệ phương trình 2
m
/+ D
ạy
f cos x cos( x y ) 0 x f cos y cos( x y ) 0. y
e.
co
3 3 Điểm dừng là , tại đó f , . 3 3 2 3 3
gl
Ta lần lượt xét các điểm nghi ngờ có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên 4 cạnh biên của
oo
hình vuông.
Trên cạnh AO : x 0 và 0 y
.g
2
us
hàm f trở thành f (0, y) 2 sin y , nó có hai điểm nghi ngờ là y 0 và y và tại đó 2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
giá trị nhỏ nhất là –1 tại (–1;–1).
f (0, 0) 0; f (0, ) 2 . 2 Trên cạnh AB : y và 0 x hàm f trở thành 2
2
f ( x, ) 1 sin x sin( x, ) 1 sin x cos x, 2 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
So sánh các giá trị nghi ngờ ta suy ra giá trị lớn nhất là 6 tại (0;–3) và (–3;0) và
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
nó có ba điểm nghi ngờ là x 0, x
2
,x
4
129
và tại đó
f (0, ) 2; f , 2; f , 1 2. 2 2 2 4 2
2
n
và 0 y
.
ta có kết quả tương tự vì vai trò của x, y là như
uy
nhau.
Q
So sánh các giá trị của hàm tại các điểm nghi ngờ ta có: hàm đạt giá trị lớn nhất là
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ạy
Kè
m
3 3 tại điểm , , hàm đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại điểm (0;0). 3 3 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2
2
hơ
N
Trên cạnh CB : x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Trên cạnh CO : y 0 và 0 x
130
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
TÓM TẮT Trong bài này, học viên làm quen với khái niệm cực trị của hàm nhiều biến. Có thể tìm cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm hai, ba biến qua các điều kiện cần và
n hơ
Ta lưu ý một số trường hợp sau.
N
1. Hàm f ( x , y , z) xác định liên tục và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại lân
Q
uy
cận của điểm dừng ( x0 , y0 , z0 ) . Khi ấy nếu dạng toàn phương d 2 f ( x0 , y0 , z0 ) là:
m
(1) Xác định dương thì hàm đạt cực tiểu tại ( x0 , y0 , z0 ) ;
Kè
(2) Xác định âm thì hàm đạt cực đại tại ( x0 , y0 , z0 ) ;
/+ D
ạy
(3) Không xác định thì hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 , z0 ) . 2. Hàm số f ( x , y ) xác định liên tục và các đạo hàm liên tục tại lân cận của điểm dừng ,, A f xx,, ( xo , yo ), B f xy ( xo , yo ), C f yy,, ( xo , yo ), AC B 2 .
co
m
( x0 , y0 ) .Đặt
e.
(1) Nếu 0, A 0, hàm đạt cực tiểu chặt tại ( x0 , y0 ) ;
oo
gl
(2) Nếu 0, A 0, hàm đạt cực đại chặt tại ( x0 , y0 ) ;
.g
(3) Nếu 0, hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) , khi ấy ( x0 , y0 ) là điểm yên ngựa.
us
3. Giả sử f ( x, y), ( x, y), M0 ( x0 , y0 ) thỏa mãn Định lý 7.2.4 (điểm M0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện). Ta chuyển bài toán cực trị hàm
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
hàm theo hướng và gradient của hàm nhiều biến.
f ( x , y ) với điều kiện ( x , y ) 0 sang bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange
L ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ). 2 ,, 2 ,, ,, 2 Xét d L ( x0 , y0 ) L xx ( x0 , y0 )dx 2 L xy ( x 0 , y0 )dxdy L yy ( x 0 , y0 )dy .
Và các vi phân dx, dy bị ràng buộc bởi
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
đủ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn, tìm đạo
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
131
dď Ş ( x0 , y0 )  ď Ş x, ( x0 , y0 )dx  ď Ş y, ( x0 , y0 )dy  0, dx 2  dy2 ď‚š 0. Khi Ẽy, náşżu d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đất cáťąc tiáťƒu cĂł Ä‘iáť u kiᝇn tấi, náşżu
hĆĄ
chạn G ta cần: TĂŹm nhᝯng Ä‘iáťƒm táť›i hấn bĂŞn trong miáť n G, tĂnh giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi
N
cĂĄc Ä‘iáťƒm Ẽy, so sĂĄnh chĂşng váť›i giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm nghi ngáť? cĂł cáťąc tráť‹ trĂŞn
uy
biên. Sᝑ l᝛n nhẼt (nh� nhẼt) trong chúng sẽ là giå trᝋ l᝛n nhẼt (nh� nhẼt) cᝧa
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ấy
Kè
m
Q
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn G.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
4. Ä?áťƒ tĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong miáť n Ä‘Ăłng, báť‹
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
d 2 L ( x0 , y0 )  0 thÏ hà m �(�, �) có c᝹c đấi có điᝠu kiᝇn.
132
BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN
BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa cĂĄc hĂ m sau. a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 9 − 2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś – đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 .
uy
N
d) f ( x , y )  3 x 2 ď€ x 3  2 y 2  4 y.
m
f ( x , y )  4 xy ď€ x 4 ď€ y 4 .
Kè
f)
Q
3 3 e) f ( x , y )  x  3 xy  y .
ấy
g) f ( x , y )  y .sin x.
f ( x, y)  xy ď€ 5x, x ď€ y  1.
m
x y  , x 2  y 2  1 (a, b  0). a b
f ( x, y)  x 2 ď€ y 2 ,
x 2  y 2  1.
d)
f ( x, y)  4 x  6 y,
e)
f ( x, y)  x 2 y, x 2  2 y 2  6.
f)
f ( x , y )  x 2  12 xy  2 y 2 , 4 x 2  y 2  25.
e.
c)
gl
b) f ( x , y ) 
co
a)
/+ D
Bà i 2. TÏm c᝹c trᝋ cᝧa hà m sᝑ v᝛i điᝠu kiᝇn tưƥng ᝊng đưᝣc cho sau đây.
us
.g
oo
x 2  y 2  13.
2 2 g) f ( x , y )  x  y ď€ xy  x  y ď€ 4 , x  y  3  0.
h) f ( x , y ) 
xď€y 2
ď€ 2 2 , x 2  y 2  1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n hĆĄ
2 4 2 2 c) f ( x, y)  x  y ď€ 2 x  4 xy ď€ 2 y .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
b) f ( x, y )  x 2  xy  y 2 ď€ 3x ď€ 6 y.
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
133
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền được cho như sau. a)
f ( x, y) 1 4 x 5 y trên tam giác có các đỉnh là (0;0), (2;0) và (0;3).
b) f ( x , y ) x 3 y 3 3 xy trên miền 0 x 2, 1 y 2.
uy Q
f ( x , y ) x 2 xy y 2 trên miền x y 1.
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ạy
Kè
m
f)
N
e) f ( x , y ) x 2 2 y 2 x trên miền x 2 y 2 1.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n hơ
d) f ( x , y ) xy 2 trên miền x 2 y 2 1.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c) f ( x , y ) x 2 y 2 xy x y trên miền x 0, y 0, x y 3.
134
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
B. M không là điểm dừng.
C. M là điểm cực đại.
D. M là điểm yên ngựa.
hơ
Câu 2. Cho hàm z = x4 - 8x2 +y2 + 5. Và các điểm I(0,0), J(2,0), K(-2,0), L(1,1).
uy
N
Khẳng định nào sau đây đúng ?
B. z đạt cực đại tại I, L.
C. z đạt cực tiểu tại J, K và đạt cực đại tại I, L.
D. z đạt cực tiểu tại I, J, K.
Kè
m
Q
A. z đạt cực tiểu tại J, K.
/+ D
A. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và (1,2).
ạy
Câu 3. Tìm cực trị của hàm hàm z = x3/3 -3x+y, với điều kiện -x2 + y + 1 =0.
B. z đạt cực đại tại (-3,10) và (1,2).
m
C. z đạt cực đại tại (-3,10) và cực tiểu tại (1,2).
co
D. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và cực đại tại (1,2).
gl
oo
D = [-1,0][-1,1].
e.
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất M và trị nhỏ nhất m của hàm: z = x2 + 2y +1 trong miền
.g
A. M = 4, m =-1.
us
C. M = 3, m =-1.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
n
A. M là điểm cực tiểu.
B. M = 3, m = 0. D. M = 4, m =-2.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Câu 1. Cho hàm số z xe y ye x 2 và điểm M(-1,-1). Khẳng định nào sau đây đúng?
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
135
n
TĂnh tĂch phân kĂŠp cᝧa máť™t hĂ m sáť‘ khả tĂch trĂŞn miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn.
-
Phân tĂch miáť n lẼy tĂch phân kĂŠp vĂ xĂĄc Ä‘áť‹nh cáşn cᝧa tĂch phân khi Ä‘Ć°a váť tĂch
N
hĆĄ
-
uy
phân lạp.
Ä?áť•i thᝊ táťą lẼy tĂch phân ᝊng váť›i miáť n lẼy tĂch phân thĂch hᝣp.
-
Biáşżt Ä‘Ć°a cĂĄc bĂ i toĂĄn tĂnh diᝇn tĂch pháşłng, diᝇn tĂch mạt cong, tháťƒ tĂch váşt tháťƒ váť
Kè
m
Q
-
ấy
tĂnh tĂch phân kĂŠp.
m
8.1.1 BĂ i toĂĄn tháťƒ tĂch
/+ D
8.1 Ä?ᝊNH NGHĨA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
co
Ta bắt đầu phần nĂ y báşąng bĂ i toĂĄn tĂnh tháťƒ tĂch V cᝧa máť™t kháť‘i tr᝼ cong trong khĂ´ng
e.
gian, kháť‘i nĂ y cĂł Ä‘ĂĄy lĂ miáť n pháşłng D Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i trong mạt pháşłng Oxy, phĂa trĂŞn lĂ
gl
mạt cong liên t᝼c, gi᝛i n᝙i có phưƥng trÏnh � = �(�, �), và xung quanh là mạt tr᝼ có
oo
đư�ng sinh song song v᝛i tr᝼c Oz.
.g
Ä?áťƒ giải bĂ i toĂĄn nĂ y, trĆ°áť›c háşżt, ta tĂŹm cĂĄch tĂnh xẼp xᝉ tháťƒ tĂch cᝧa kháť‘i tr᝼ Ẽy báşąng
us
cĂĄch chia miáť n D thĂ nh n mảnh nháť? tĂšy Ă˝ D1, D2,..., Dn khĂ´ng cháť“ng lĂŞn nhau (nghÄŠa lĂ cĂĄc mảnh nĂ y chᝉ cĂł chung nhau cĂšng lắm lĂ phần biĂŞn cᝧa chĂşng) lần lưᝣt cĂł diᝇn tĂch lĂ ď „S1, ď „S2,‌, ď „Sn, Ä‘iáť u nĂ y cĹŠng Ä‘áť“ng nghÄŠa váť›i viᝇc kháť‘i tr᝼ ban đầu đưᝣc phân thĂ nh
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
n kháť‘i tr᝼ nháť? hĆĄn. Ä?áťƒ tĂnh xẼp xᝉ tháťƒ tĂch cᝧa tᝍng kháť‘i tr᝼ nháť? hĆĄn Ä‘Ăł, ta lẼy Ä‘iáťƒm Mk(xk,yk) bẼt kĂŹ trĂŞn mảnh Dk ráť“i tĂnh tĂch cᝧa diᝇn tĂch Ä‘ĂĄy ď „Sk váť›i chiáť u cao f(xk,yk) thĂŹ đưᝣc tháťƒ tĂch xẼp xᝉ váť›i tháťƒ tĂch (tháşt) cᝧa kháť‘i tr᝼ nháť? thᝊ k. NhĆ° váşy, táť•ng cĂĄc tháťƒ tĂch xẼp xᝉ cᝧa n kháť‘i tr᝼ nháť? lĂ tháťƒ tĂch xẼp xᝉ cᝧa kháť‘i tr᝼ ban đầu,
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
136
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
n
đ?‘‰ď‚ť ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . k=1
RĂľ rĂ ng, viᝇc xẼp xᝉ tháťƒ tĂch cĂ ng chĂnh xĂĄc náşżu miáť n D đưᝣc chia cĂ ng nháť?. Do Ä‘Ăł, tháťƒ tĂch V sáş˝ báşąng giáť›i hấn, náşżu cĂł, cᝧa táť•ng trĂŞn khi nď‚Ž+ď‚Ľ Ä‘áť“ng tháť?i max{ď „Sk}ď‚Ž0,
∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ .
lim
hĆĄ
n
đ?‘›ď‚Ž+ď‚Ľ max{ď „đ?‘†đ?‘˜}ď‚Ž0 k=1
N
Trong th᝹c tế có nhiᝠu bà i toån dẍn đến viᝇc tÏm gi᝛i hấn như trên, t᝕ng quåt hóa bà i
uy
toån nà y ta có đᝋnh nghĊa sau đây.
m
Q
8.1.2 Ä?áť‹nh nghÄŠa tĂch phân kĂŠp
Kè
Cho hà m � = �(�, �) xåc đᝋnh trên miᝠn đóng gi᝛i n᝙i D trong mạt phẳng xy. Phân hoấch D thà nh n phần D1, D2,..., Dn không dẍm lên nhau (cåc phần trong cᝧa Dk không
ấy
cĂł phần chung). Gáť?i ď „SklĂ diᝇn tĂch cᝧa Dk. Trong máť—i miáť n Dk lẼy máť™t Ä‘iáťƒm bẼt káťł
/+ D
Mk(xk,yk). Thiáşżt láşp táť•ng
n
m
đ?‘†đ?‘› = ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜
co
k=1
e.
đưᝣc gáť?i lĂ táť•ng tĂch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D.
gl
RĂľ rĂ ng táť•ng Sn ph᝼ thuáť™c vĂ o phân hoấch miáť n D vĂ cĂĄch lẼy Ä‘iáťƒm Mk.
oo
Gáť?i dk = d(Dk) lĂ Ä‘Ć°áť?ng kĂnh cᝧa mảnh Dk, tᝊc dk lĂ khoảng cĂĄch láť›n nhẼt giᝯa hai
.g
Ä‘iáťƒm bẼy káťł thuáť™c Dk. Cho nď‚Ž+ď‚Ľ sao cho max{dk}ď‚Ž0, náşżu khi Ẽy táť•ng Sn tiáşżn Ä‘áşżn
us
máť™t giáť›i hấn hᝯu hấn S khĂ´ng ph᝼ thuáť™c vĂ o cĂĄch chia miáť n D cĹŠng khĂ´ng ph᝼ thuáť™c cĂĄch lẼy Ä‘iáťƒm Mk, thĂŹ giáť›i hấn S Ä‘Ăł đưᝣc gáť?i lĂ tĂch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
�=
miáť n D và đưᝣc kĂ˝ hiᝇu lĂ
âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ hay âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. Váşy n
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ = đ??ˇ
lim
max{đ?‘‘đ?‘˜ }ď‚Ž0
∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . k=1
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
137
Khi Ẽy ta nĂłi hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả tĂch trĂŞn D. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc gáť?i lĂ hĂ m dĆ°áť›i dẼu tĂch phân, D lĂ miáť n lẼy tĂch phân, x vĂ y lĂ cĂĄc biáşżn tĂch phân vĂ đ?‘‘đ?‘ lĂ yáşżu táť‘ diᝇn tĂch. Ä?áť‹nh nghÄŠa 8.1.1. Ä?Ć°áť?ng cong đ?‘Ş váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ đ?’™ = đ?’™(đ?’•), đ?’š = đ?’š(đ?’•) đưᝣc gáť?i trĆĄn, náşżu cĂĄc đấo hĂ m đ?’™â€˛ (đ?’•), đ?’šâ€˛ (đ?’•) liĂŞn t᝼c vĂ khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng khĂ´ng. Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł
N
trĆĄn.
uy
Ä?áť‹nh lĂ 8.1.1. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t miáť n Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i, cĂł biĂŞn trĆĄn tᝍng khĂşc thĂŹ
Q
khả tĂch trĂŞn miáť n Ẽy.
m
Ta cĂ´ng nháşn Ä‘áť‹nh lĂ˝ nĂ y.
ấy
Kè
Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂch phân kĂŠp, ta cĂł tháťƒ rĂşt ra cĂĄc tĂnh chẼt sau đây.
/+ D
8.1.3 TĂnh chẼt
Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hai hĂ m khả tĂch trĂŞn D vĂ ď Ą lĂ háşąng sáť‘ bẼt kĂŹ,
co
m
khi Ä‘Ăł
gl
ď Ąđ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = ď Ą âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
oo
(2)âˆŹđ??ˇ
e.
(1)Diᝇn tĂch cᝧa miáť n D lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
.g
(3)âˆŹđ??ˇ (đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś))đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹđ??ˇ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
us
(4)Nếu D đưᝣc chia thà nh hai phần D1 và D2 không dẍm nhau thÏ
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
đ??ˇ1
đ??ˇ2
(5)Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong đ??ˇ thĂŹ
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≤ âˆŹ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś . đ??ˇ
đ??ˇ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
Ä?Ć°áť?ng cong đ??ś đưᝣc gáť?i trĆĄn tᝍng khĂşc náşżu cĂł tháťƒ chia nĂł thĂ nh hᝯu hấn cung
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
âƒ—âƒ—âƒ—â€˛ = đ?’™â€˛ (đ?’•)đ?’Š + đ?’šâ€˛ (đ?’•)đ?’‹ lĂ máť™t hĂ m vĂŠc-tĆĄ liĂŞn t᝼c khĂĄc khĂ´ng. nghÄŠa lĂ vĂŠc-tĆĄ đấo hĂ m đ?’“
138
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
(6)Nếu M và m lần lưᝣt là cåc giå trᝋ l᝛n nhẼt và nh� nhẼt cᝧa hà m �(�, �) trên D thÏ
đ?‘šđ?‘†đ??ˇ ≤ âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≤ đ?‘€đ?‘†đ??ˇ . đ??ˇ
Ä?áť‹nh lĂ (váť giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh). Cho hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š) liĂŞn t᝼c trong miáť n Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i, liĂŞn
1 đ?‘†đ??ˇ
âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś đưᝣc gáť?i lĂ giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh cᝧa hĂ m
Q
Ä?ấi lưᝣngđ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) =
uy
đ??ˇ
Kè
m
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D.
ấy
8.2 Cà CH T�NH T�CH PHÂN KÉP
/+ D
Ä?áťƒ tĂnh tĂch phân kĂŠp, ngĆ°áť?i ta tĂŹm cĂĄch Ä‘Ć°a váť tĂch phân lạp. Káşżt quả đưᝣc trĂŹnh bĂ y qua Ä‘áť‹nh lĂ sau.
(1)
co
m
Ä?áť‹nh lĂ 8.2.1 (Fubini). Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) liĂŞn t᝼c trĂŞn miáť n D. Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘”2 (đ?‘Ľ)}, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) vĂ đ?‘”2 (đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c
oo
gl
e.
trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], thĂŹ
đ?‘?
đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
.g
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ . đ?‘Ž
đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
us
đ??ˇ
(2)
Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘‘, â„Ž1 (đ?‘Ś) ≤ đ?‘Ľ ≤ â„Ž2 (đ?‘Ś)}, â„Ž1 (đ?‘Ś) vĂ â„Ž2 (đ?‘Ś) liĂŞn t᝼c
trĂŞn [đ?‘?, đ?‘‘], thĂŹ đ?‘‘
â„Ž2 (đ?‘Ś)
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
đ?‘?
â„Ž1 (đ?‘Ś)
LĆ°u Ă˝ 8.2.1. Ä?áťƒ thuáşn tiᝇn cho viᝇc trĂŹnh bĂ y, ta qui Ć°áť›c gáť?i miáť n D cĂł dấng (1) trong Ä?áť‹nh lĂ 8.2.1 lĂ miáť n loấi I, vĂ miáť n D cĂł dấng (2) trong Ä?áť‹nh lĂ 8.2.1 lĂ miáť n
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ N
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 )đ?‘†đ??ˇ .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
thĂ´ng D. Khi Ẽy, trong D cĂł Ăt nhẼt máť™t Ä‘iáťƒm M(x0,y0) sao cho
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
139
loấi II. CĂĄc tĂch phân lạp nhĆ° trong Ä?áť‹nh lĂ 8.2.1 còn đưᝣc viáşżt áť&#x; dấng đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
đ?‘?
đ?‘?
đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
đ?‘? đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ ; â„Ž2 (đ?‘Ś)
đ?‘‘
đ?‘Ž đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
â„Ž2 (đ?‘Ś)
đ?‘‘ â„Ž2 (đ?‘Ś)
n
đ?‘‘
đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
đ?‘Ž
â„Ž1 (đ?‘Ś)
đ?‘? â„Ž1 (đ?‘Ś)
N
đ?‘?
hĆĄ
â„Ž1 (đ?‘Ś)
đ?‘?
uy
VĂ d᝼ 8.2.1. TĂnh đ?‘° = âˆŹđ?‘Ť đ?’™đ?&#x;? đ?’šđ?’…đ?’™đ?’…đ?’š, váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh O(0;0), A(1;0),
Q
B(1;1).
Kè
(đ?‘Ś = 0), AB (đ?‘Ľ = 1) vĂ BO (đ?‘Ś = đ?‘Ľ ).
m
Tam giĂĄc D lĂ miáť n đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng OA
ấy
Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 = đ?‘Ľđ?‘‚ ≤
/+ D
đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ??´ = 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho 0 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n
co
m
giao váť›i Ä‘oấn OA tấi đ?‘€1 (đ?‘Ľđ?‘€ , 0)vĂ OB tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Ľđ?‘€ ), Ä‘áťƒ
e.
Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ .
gl
NhĆ° váşy, khi Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a 0 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi
.g
oo
cĂĄch khĂĄc
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, 0 ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ},
us
là miᝠn loấi I, do đó
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś.
1 đ?‘Ľ
1
đ?‘Ľ
1
đ?‘Ś2 1 1 2 2 2 đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ 4 đ?‘‘đ?‘Ľ = . | 2 10 2 đ?‘Ś=0 đ??ˇ
0 0
0
0
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
đ?‘Ž
140
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
VĂ d᝼ 8.2.2. TĂnh tĂch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ
miáť n đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i parabola đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ. Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ
−2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho −2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤
n hĆĄ
N
Ä‘Ć°áť?ng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , 2 − đ?‘Ľđ?‘€ ). Ä?áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm
uy
2 trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Ľđ?‘€ .
Q
2 NhĆ° váşy, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 2 −
m
đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc
lĂ miáť n loấi I, do Ä‘Ăł 1 2−đ?‘Ľ
/+ D
1
đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = −2 đ?‘Ľ 2
âˆŤđ?‘Ľđ?‘Ś|2−đ?‘Ľ đ?‘Ś=đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ
m
−2
1
9 = âˆŤ(2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ = − . 4 −2
co
đ??ˇ
ấy
Kè
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ 2 − đ?‘Ľ}
e.
VĂ d᝼ 8.2.3. TĂnh đ??ź = âˆŹđ??ˇ (3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh tròn Ä‘ĆĄn váť‹.
gl
Nháşn thẼy ráşąng, D lĂ miáť n đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1 đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘ĆĄn váť‹
oo
đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1, Ä‘Ć°áť?ng tròn nĂ y giao váť›i tr᝼c Ox (cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = 0) tấi hai Ä‘iáťƒm lần
.g
lưᝣt lĂ (-1;0) vĂ (1;0). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1.
us
ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đᝊng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i náťa Ä‘Ć°áť?ng tròn phĂa dĆ°áť›i Ox tấi
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
2) thẳng nà y luôn giao v᝛i parabola tấi �1 (�� , �� và v᝛i
2 2 đ?‘€1 (đ?‘Ľđ?‘€ , −√1 − đ?‘Ľđ?‘€ ) vĂ náťa Ä‘Ć°áť?ng tròn phĂa trĂŞn Ox tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , √1 − đ?‘Ľđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c 2 2 miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ âˆ’âˆš1 − đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ √1 − đ?‘Ľđ?‘€ .
NhĆ° váşy, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ 2 2 −√1 − đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ √1 − đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đᝊng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
141
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, −√1 − đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ √1 − đ?‘Ľ 2 } lĂ miáť n loấi I, do Ä‘Ăł √1−đ?‘Ľ 2
1
hĆĄ
uy
N
VĂ d᝼ 8.2.4. TĂnh diᝇn tĂch cᝧa miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc parabola đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 vĂ đ?‘Ľ = 2 − đ?‘Ś 2.
Q
Diᝇn tĂch cᝧa miáť n D đưᝣc tĂnh báť&#x;i tĂch phân kĂŠp lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ
1. đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś (theo TĂnh
Kè
m
chẼt 8.1.3-(1)).
Ta tĂŹm đưᝣc cĂĄc Ä‘iáťƒm giao cᝧa hai parabola Ä‘ĂŁ cho
ấy
lĂ (1;-1) vĂ (1;1). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong
/+ D
miáť n D, thĂŹ −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1.
ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Śđ?‘€ sao cho −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt
m
Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ .
co
Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i parabola đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 tấi
e.
2 đ?‘€1 (đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i parabola đ?‘Ľ = 2 − đ?‘Ś 2 tấi đ?‘€2 (2 −
oo
2 2 đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Śđ?‘€ .
gl
2 đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2, tᝊc lĂ
.g
2 NhĆ° váşy, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤
us
2 2 − đ?‘Śđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
−1
−√1−đ?‘Ľ 2
n
−1
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −1 ≤ đ?‘Ś ≤ 1, đ?‘Ś 2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2 − đ?‘Ś 2 }
là miᝠn loấi II, do đó 1
2−đ?‘Ś 2
1
8 đ?‘†đ??ˇ = âˆŹ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ 1đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 âˆŤ(1 − đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ś = . 3 đ??ˇ
−1
đ?‘Ś2
−1
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
âˆŤ (3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 6 âˆŤ √1 − đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 3.
đ??ź = âˆŹ(3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ˇ
1
142
B├ђI 8: T├ЇCH PH├ѓN K├ЅP
Lк░u ├й 8.2.2. Khi D l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt, Юљи = [ЮЉј; ЮЉЈ] ├Ќ [ЮЉљ, ЮЉЉ] = {(ЮЉЦ, ЮЉд): ЮЉј РЅц ЮЉЦ РЅц ЮЉЈ, ЮЉљ РЅц ЮЉд РЅц ЮЉЉ} th├г ЮЉЈ ЮЉЉ
ЮЉЉ ЮЉЈ
Рѕг ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ РѕФ ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉдЮЉЉЮЉЦ = РѕФ РѕФ ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд. Юљи
ЮЉј ЮЉљ
ЮЉљ ЮЉј
n
0
hкА
4
4
0
0 Рѕњ2
Юљи
0
Q
4
uy
N
ЮЉд2 2 2 2 Юљ╝ = Рѕг(ЮЉЦ ЮЉд Рѕњ 2ЮЉЦЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ РѕФ(ЮЉЦ Рѕњ 2ЮЉЦ)ЮЉдЮЉЉЮЉдЮЉЉЮЉЦ = РѕФ(ЮЉЦ Рѕњ 2ЮЉЦ) | ЮЉЉЮЉЦ 2 ЮЉд=Рѕњ2 32 . 3
m
= Рѕњ2 РѕФ(ЮЉЦ 2 Рѕњ 2ЮЉЦ)ЮЉЉЮЉЦ = Рѕњ
K├е
0
р║Аy
Lк░u ├й 8.2.3. Nр║┐u h├аm ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд) c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc р╗Ъ dр║Аng Юљи l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt, Юљи = [ЮЉј; ЮЉЈ] ├Ќ [ЮЉљ, ЮЉЉ], th├г
/+ D
ЮЉЈ
ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд) = ЮЉћ(ЮЉЦ). Рёј(ЮЉд) v├а
ЮЉЉ
m
Рѕг ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ ЮЉћ(ЮЉЦ)ЮЉЉЮЉЦ . РѕФ Рёј(ЮЉд)ЮЉЉЮЉд. ЮЉј
ЮЉљ
co
Юљи
gl
e.
V├Г dр╗Ц 8.2.6. Xem lр║Аi V├Г dр╗Ц 8.2.5 tr├фn, ta thр║Цy h├аm dк░р╗Џi dр║Цu t├Гch ph├бn c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh ЮЉЊ(ЮЉЦ, ЮЉд) = (ЮЉЦ 2 ЮЉд Рѕњ 2ЮЉЦЮЉд) = (ЮЉЦ 2 Рѕњ 2ЮЉЦ)ЮЉд vр╗Џi miр╗Ђn lр║Цy t├Гch ph├бn D l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt [0; 4] ├Ќ [Рѕњ2,0], do ─Љ├│ t├Гch ph├бn n├аy c├│ thр╗Ѓ ─Љк░р╗Бc t├Гnh bр║▒ng c├Аch kh├Аc 4
0
4
0
.g
us
Юљи
oo
ЮЉЦ3 ЮЉд2 2 ) Юљ╝ = Рѕг(ЮЉЦ Рѕњ 2ЮЉЦ)ЮЉдЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ(ЮЉЦ Рѕњ 2ЮЉЦ)ЮЉЉЮЉЦ . РѕФ ЮЉдЮЉЉЮЉд = ( Рѕњ ЮЉЦ | ) ( | 3 2 ЮЉЦ=0 ЮЉд=Рѕњ2 2
pl
Diр╗Ёn ─Љ├аn hр╗Ќ trр╗Б gi├Аo dр╗Цc : ─љ/C 1000B Trр║Дn Hк░ng ─љр║Аo Tp Quy NhкАn Ngк░р╗Юi s├Аng lр║Гp : Nguyр╗Ёn Thanh Tuр║Цn - Chр╗Д quр║Бn t├аi nguy├фn : Nguyр╗Ёn Thanh T├║
Vр╗Џi h├гnh chр╗» nhр║Гt D nhк░ ─Љ├Б cho, th├г
2
0
Рѕњ2
=(
16 32 ) (Рѕњ2) = Рѕњ . 3 3
Lк░u ├й 8.2.4. Nр║┐u miр╗Ђn D c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh miр╗Ђn loр║Аi I v├а c┼Еng ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh miр╗Ђn loр║Аi II,
Юљи = {(ЮЉЦ, ЮЉд): ЮЉј РЅц ЮЉЦ РЅц ЮЉЈ, ЮЉћ1 (ЮЉЦ) РЅц ЮЉд РЅц ЮЉћ2 (ЮЉЦ)} = {(ЮЉЦ, ЮЉд): ЮЉљ РЅц ЮЉд РЅц ЮЉЉ, Рёј1 (ЮЉд) РЅц ЮЉЦ РЅц Рёј2 (ЮЉд)} th├г ta c├│ c├┤ng thр╗Еc ─Љр╗Ћi thр╗Е tр╗▒ lр║Цy t├Гch ph├бn:
Dр║аY K├ѕM QUY NHкаN OFFICIAL ST> : ─љ/C 1000B TRр║дN Hк»NG ─љр║аO TP.QUY NHкаN
V├Г dр╗Ц 8.2.5. T├Гnh t├Гch ph├бn Юљ╝ = РѕгЮљи (ЮЉЦ 2 ЮЉд Рѕњ 2ЮЉЦЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд vр╗Џi Юљи = [0; 4] ├Ќ [Рѕњ2,0].
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
đ?‘? đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
143
đ?‘‘ â„Ž2 (đ?‘Ś)
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś. đ?‘Ž đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
đ??ˇ
đ?‘? â„Ž1 (đ?‘Ś)
VĂ d᝼ 8.2.7. XĂŠt tĂch phân kĂŠp áť&#x; VĂ d᝼ 8.2.1, đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh O(0;0), A(1;0), B(1;1).
hĆĄ
Q
0 ≤ �� ≤ 1, xÊt đư�ng thẳng nẹm ngang có phưƥng trÏnh
uy
0 = đ?‘Ľđ?‘‚ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ??ľ = 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Śđ?‘€ sao cho
N
Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D thĂŹ
m
đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i Ä‘oấn OB tấi
Kè
đ?‘€1 (đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ )vĂ AB tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ?‘€ ), Ä‘áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤
ấy
đ?‘Ľđ??´ = 1.
/+ D
NhĆ° váşy, khi Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, nĂłi
m
cĂĄch khĂĄc
e.
là miᝠn loấi II, do đó
co
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 1, đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ 1}
gl
1 1
1
1
1
0 đ?‘Ś
0
.g
đ??ˇ
oo
đ?‘Ľ3 1 1 2 2 đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘Ś | đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(đ?‘Ś − đ?‘Ś 4 )đ?‘‘đ?‘Ś = . 3 đ?‘Ľ=đ?‘Ś 3 10 0
us
VĂ d᝼ 8.2.8. XĂŠt tĂch phân kĂŠp áť&#x; VĂ d᝼ 8.2.2, đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ miáť n đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i parabola đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
tĂch thĂ nh miáť n loấi II nhĆ° sau.
Ta Ä‘ĂŁ phân tĂch D thĂ nh miáť n loấi I, váť›i miáť n D nĂ y
ta cĹŠng cĂł tháťƒ phân tĂch thĂ nh miáť n loấi II nhĆ° sau. Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4. Miáť n D đưᝣc phân thĂ nh hai miáť n D1vĂ D2báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang đ?‘Ś = 1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
Ta Ä‘ĂŁ phân tĂch D thĂ nh miáť n loấi I, váť›i miáť n D nĂ y ta hoĂ n toĂ n cĂł tháťƒ phân
144
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
TrĂŞn miáť n D1, Ä‘iáťƒm M cĂł 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i náťa trĂĄi parabola (theo tr᝼c Oy) tấi đ?‘€1 (−√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i náťa phải parabola tấi đ?‘€2 (√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n D1thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ âˆ’âˆšđ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ √đ?‘Śđ?‘€ . NhĆ° váşy, miáť n D1 loấi II cĂł dấng
hĆĄ
đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i parabola tấi đ?‘€1 (−√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng
uy
tᝊc lĂ âˆ’âˆšđ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Śđ?‘€ . NhĆ° váşy, miáť n D2 loấi II cĂł dấng
N
đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ tấi đ?‘€2 (2 − đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n D2thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 ,
m
Q
đ??ˇ2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 4, −√đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ 2 − đ?‘Ś}
Kè
Váşy tĂch phân kĂŠp Ä‘ĂŁ cho đưᝣc tĂnh lĂ
√đ?‘Ś
1
4
2−đ?‘Ś
1
đ?‘Ś
đ?‘Ľ2 √ =âˆŤ | 2 đ?‘Ľ=−
4
0
2−đ?‘Ś
đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤ | 2 đ?‘Ľ=− đ?‘Ś
√
1
co
0
đ??ˇ2
/+ D
đ??ˇ1
m
đ??ˇ
ấy
đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ
2
ďƒ˛
gl
e.
VĂ d᝼ 8.2.9. TĂnh tĂch phân kĂŠp I  dx 0
−√đ?‘Ś
1
−√đ?‘Ś
4
1 9 đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(2 − đ?‘Ś)2 − đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś = − . 2 4 đ?‘Ś
√
4ď€ x 2
ďƒ˛ 0
1
xe2 y dy . 4ď€ y
oo
Náşżu Ä‘áťƒ nguyĂŞn thᝊ táťą lẼy tĂch phân nhĆ° Ä‘áť bĂ i
.g
thĂŹ sáş˝ gạp khĂł khăn khi tĂŹm nguyĂŞn hĂ m. Trong
us
trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y ta nĂŞn Ä‘áť•i thᝊ táťą lẼy tĂch phân. Miáť n D đưᝣc viáşżt (loấi I) lĂ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
TrĂŞn miáť n D2, Ä‘iáťƒm M cĂł 1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh
đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2, 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 4 − đ?‘Ľ 2 }
NhĆ° váşy, D đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0, đ?‘Ś ≤ 4 − đ?‘Ľ 2 (lĆ°u Ă˝ ráşąng parabola đ?‘Ś = 4 − đ?‘Ľ 2 giao váť›i Ä‘Ć°áť?ng đ?‘Ś = 0 tấi hai Ä‘iáťƒm cĂł hoĂ nh Ä‘áť™ đ?‘Ľ = Âą2). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i tr᝼c Oy tấi đ?‘€1 (0, đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ??ˇ1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, −√đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ √đ?‘Ś}
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
145
váť›i náťa phải parabola tấi đ?‘€2 (√4 − đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n DthĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 . NhĆ° váşy, miáť n D loấi II cĂł dấng đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 4, 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ √4 − đ?‘Ś} Khi Ä‘Ăł tĂch phân Ä‘ĂŁ cho đưᝣc Ä‘áť•i thĂ nh
0
x 0
uy
N
8.3 ᝨNG DᝤNG HĂŒNH HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
m
Q
8.3.1 Diᝇn tĂch hĂŹnh pháşłng
Kè
Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa cᝧa tĂch phân kĂŠp, diᝇn tĂch cᝧa miáť n D lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
ấy
8.3.2 Tháťƒ tĂch váşt tháťƒ
/+ D
Ta Ä‘ĂŁ biáşżt tháťƒ tĂch V cᝧa hĂŹnh tr᝼ cong giáť›i hấn trĂŞn báť&#x;i mạt đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0, giáť›i hấn dĆ°áť›i báť&#x;i đ?‘§ = 0 vĂ giáť›i hấn xung quanh báť&#x;i mạt tr᝼ song song tr᝼c Oz vĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn
đ?‘‰ = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
gl
e.
co
m
lĂ biĂŞn miáť n D đưᝣc tĂnh báť&#x;i cĂ´ng thᝊc
oo
VĂŹ váşy náşżu miáť n ď — giáť›i hấn trĂŞn báť&#x;i đ?‘§ = đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), giáť›i hấn dĆ°áť›i báť&#x;i đ?‘§ = đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), giáť›i
.g
hấn xung quanh báť&#x;i mạt tr᝼ song song tr᝼c Oz vĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn lĂ biĂŞn miáť n D, giả sáť
us
ráşąng đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≤ đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D. Khi Ä‘Ăł tháťƒ tĂch cᝧa kháť‘i ď — lĂ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒ˛
4
1 e8 1 dy  ďƒ˛ e2 y dy  ď€ . 2 4 4 0
đ?‘‰(ď —) = âˆŹ[đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
8.3.3 Diᝇn tĂch mạt cong Cho mạt cong S cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ D
là hÏnh chiếu cᝧa S lên mạt
pháşłng Oxy. Giả thiáşżt ráşąng hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi liĂŞn t᝼c trĂŞn D. Khi Ä‘Ăł, diᝇn tĂch cᝧa mạt S đưᝣc tĂnh qua tĂch phân kĂŠp lĂ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
0
ďƒ˛ dy
4ď€ y
4
xe2 y e2 y x 2 dx  ďƒ˛ 4ď€ y 4ď€ y 2 0
n
4ď€ y
hĆĄ
4
146
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
đ?‘† = âˆŹ √(đ?‘“đ?‘Ľâ€˛ )2 + (đ?‘“đ?‘Śâ€˛ )2 + 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
VĂ d᝼ 8.3.1. TĂnh tháťƒ tĂch V đ?‘Ľ 2 + đ?‘§ 2 = đ?‘Ž2 .
cᝧa váşt tháťƒ giáť›i hấn báť&#x;i hai mạt tr᝼ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 vĂ
Nếu xÊt hᝇ t�a đ᝙ Oxyz v᝛i tr᝼c đᝊng là Oz thÏ mạt tr᝼ � 2 + � 2 = �2 là mạt thẳng
hĆĄ
0, � ≼ 0. HÏnh chiếu cᝧa phần nà y xuᝑng mạt phẳng Oxy là m᝙t phần tư hÏnh tròn bån
uy
N
kĂnh đ?‘Ž trong gĂłc đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0.
√đ?‘Ž 2 −đ?‘Ľ 2
−
= 8 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ
đ??ˇ
0
đ?‘Ž
√đ?‘Ž2
0
−
m
�=
đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś
đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ś
= 8 âˆŤ(đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ =
Kè
đ?‘Ž
8 âˆŹ √đ?‘Ž2
Q
Váşy ta cĂł
0
2đ?‘Ľâˆšđ?‘Ľ 3
/+ D
Ta tĂnh cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng đ?‘§đ?‘Ľâ€˛ = √đ?‘Ľ, đ?‘§đ?‘Śâ€˛ = 0. Diᝇn tĂch cᝧa mạt S lĂ 1 2
1
2
us
.g
oo
gl
e.
co
m
2 đ?‘† = âˆŤ âˆŤ √1 + đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś. âˆŤ √1 + đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = (2√2 − 1). 3 0 1
0
1
16 3 đ?‘Ž . 6
; 0 < đ?‘Ľ < 1 vĂ 1 < đ?‘Ś < 2.
ấy
VĂ d᝼ 8.3.2. TĂŹm diᝇn tĂch mạt S cho báť&#x;i đ?‘§ =
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
pháşłng táť?a Ä‘áť™, ta chᝉ cần tĂnh máť™t phần tĂĄm kháť‘i Ä‘ĂŁ cho, náşąm trong gĂłc đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đᝊng còn mạt tr᝼ đ?‘Ľ 2 + đ?‘§ 2 = đ?‘Ž2 lĂ mạt tr᝼ náşąm ngang. Do tĂnh Ä‘áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
147
TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i khĂĄi niᝇm tĂch phân kĂŠp, cĂĄchtĂnh tĂch phân kĂŠp, cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh cáşn tĂch phân, Ä‘áť•i thᝊ táťą tĂch phân và ᝊng d᝼ng cᝧa tĂch
hĆĄ
hoấch D thĂ nh n phần khĂ´ng dẍm lĂŞn nhau cĂł diᝇn tĂch lĂ ď „S1, ď „S2,‌,ď „Sn. Thiáşżt láşp
N
táť•ng táť•ng tĂch phân vĂ lẼy giáť›i hấn, náşżu giáť›i hấn táť“n tấi hᝯu hấn, ta Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂch
uy
phân kÊp
∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . đ?‘˜=1
Kè
đ??ˇ
���
đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ{đ?‘‘đ?‘˜ }ď‚Ž0
m
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ =
Q
đ?‘›
ấy
2. TĂch phân kĂŠp đưᝣc tĂnh báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť tĂch phân lạp qua Ä‘áť‹nh lĂ Fubini.
/+ D
Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘”2 (đ?‘Ľ)} thĂŹ đ?‘?
đ?‘”2 (đ?‘Ľ)
co
đ??ˇ
m
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś. đ?‘Ž
đ?‘”1 (đ?‘Ľ)
oo
gl
e.
Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘‘, â„Ž1 (đ?‘Ś) ≤ đ?‘Ľ ≤ â„Ž2 (đ?‘Ś)} thĂŹ đ?‘‘
â„Ž2 (đ?‘Ś)
us
.g
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ . đ??ˇ
đ?‘?
â„Ž1 (đ?‘Ś)
3. ᝨng d᝼ng hĂŹnh háť?c lĂ dĂšng tĂch phân kĂŠp Ä‘áťƒ tĂnh diᝇn tĂch miáť n pháşłng, tĂnh tháťƒ tĂch váşt tháťƒ trong khĂ´ng gian vĂ tĂnh diᝇn tĂch mạt cong trong khĂ´ng gian.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
1. Cho hà m � = �(�, �) xåc đᝋnh trên miᝠn đóng gi᝛i n᝙i D trong mạt phẳng xy. Phân
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
phân trong hÏnh h�c.
148
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂnh cĂĄc tĂch phân sau. 2ď ° 2
4 1
bď€˝ďƒ˛
a  ďƒ˛ ďƒ˛ ( x  y )dydx; 2
2
hĆĄ
1 ey
f ď€˝ďƒ˛
0 0
ďƒ˛
N
1 x2
uy
R
xdxdy.
m
Q
0 y
Kè
BĂ i 2. HĂŁy tĂnh cĂĄc tĂnh phân sau váť›i miáť n D đưᝣc cho tĆ°ĆĄng ᝊng.
ấy
a  ďƒ˛ďƒ˛ x3 y 2dS , D  {( x, y ) | 0 ď‚Ł x ď‚Ł 2, ď€ x ď‚Ł y ď‚Ł x};
b  ďƒ˛ďƒ˛
x2  1
dS , D  {( x, y) | 0  x  1, 0  y  x};
m
D
2y
/+ D
D
co
c  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )2 dS , D lĂ miáť n đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng y  x  2, y  x 2  1, x  1;
e.
D
gl
2 2 d  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )2 dS , lĂ miáť n đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i y  x  1, y  ď€ x , x  0, x  1.
oo
D
.g
BĂ i 3. TĂnh tĂch phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn miáť n D.
us
a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 4đ?‘Ľ + 2váť›i D lĂ miáť n đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2; đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ 2đ?‘Ľ. b) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 5 váť›i D lĂ miáť n đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 2; đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ √đ?‘Ś. c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh A(2;3), B(7;2) vĂ C(4;5). BĂ i 4. HĂŁy Ä‘áť•i thᝊ táťą tĂch phân Ä‘áť‘i váť›i cĂĄc trĆ°áť?ng hᝣp sau. 4 x
aď€˝ďƒ˛
ďƒ˛
0 0
3
1 4
f ( x, y )dydx;
bď€˝ďƒ˛
ďƒ˛
0 4x
f ( x, y )dydx;
cď€˝ďƒ˛
9ď€ y 2
ďƒ˛
0 ď€ 9ď€ y 2
f ( x, y )dxdy;
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
2
d  ďƒ˛ďƒ˛ xye x y dS , R  [0,1] ď‚´ [0,2].
R
ďƒ˛ ( x  2 y)dydx.
n
0 0
c  ďƒ˛ďƒ˛ x sin( x  y )dS , R  [0, ď ° 6 ] ď‚´ [0, ď ° 3 ];
eď€˝ďƒ˛
x sin ydydx;
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
2 ď€1
ďƒ˛
BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP
1
d
1 x 2
ďƒ˛ dx ďƒ˛
ď€1
2
2 x ď€ x2
1
2ď€ x
e  ďƒ˛ dx
f ( x, y )dy;
0
ďƒ˛
149
f ( x, y) dy.
BĂ i 5. TĂnh diᝇn tĂch cᝧa miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong sau. a) đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś; đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0.
N
BĂ i 7. TĂnh diᝇn tĂch phần mạt pháşłng đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = đ?‘Ž báť‹ cắt báť&#x;i mạt cong đ?‘Ś 2 = đ?‘Žđ?‘Ľ vĂ mạt
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ấy
Kè
m
Q
uy
pháşłng đ?‘Ľ = đ?‘Ž (đ?‘Ž > 0).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
BĂ i 6. TĂnh tháťƒ tĂch váşt tháťƒ Ί giáť›i hấn báť&#x;i đ?‘Ś = 1 + đ?‘Ľ 2 ; đ?‘§ = 3đ?‘Ľ; đ?‘Ś = 5; đ?‘§ = 0 (phần đ?‘Ľ > 0).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
b) đ?‘Ś 2 = 10đ?‘Ľ + 25; đ?‘Ś 2 = −6đ?‘Ľ + 9.
150
BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Biểu diễn cận lấy tích phân của miền phẳng sau đây trong hệ tọa độ Descartes Oxy
D. Đáp án khác.
1
f x , y dx.
0
3y
1
3y
I dy
B.
I dy 0
f x , y dx.
D.
0
N uy
0
f x , y dx.
I
3y
3y
1
0
0
dx f x , y dy.
m
0
Q 1
ạy
C.
I dy
0
/+ D
A.
0
I dx f x , y dy .
Kè
1
x3
m
Câu 2. Hãy đổi thứ tự tính tích phân
1
co
Câu 3. Tính I 12 ydxdy với D là miền phẳng kín giới hạn bởi các đường x y 2 , x y.
e.
D
B. I 4.
gl
A. I 1.
C. I
3 . 20
D. Đáp án khác.
D
.g
oo
Câu 4. Hãy biểu diễn I f x , y dxdy ở dạng tích lặp với D là miền xác định bởi
us
x2 y 2 1. 4 9 3
A.
C.
I
I
dy
2 9 y 2 /3
f x , y dx.
B.
3
2 9 y 2 /3
I dy
3
2 9 y 2 /3
0
2 9 y 2 /3
2
4 x 2 /3
2
4 x 2
dx
2
4 x 2 /3
f x , y dy.
D.
I
dx
2
4 x 2
f x , y dx.
f x , y dy.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C. 2 x 2, 4 x 2 y x 2 .
n
B. 2 x 2, x 2 y 4 x 2 .
hơ
A. 2 x 2, x 2 y 4 x 2 .
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
x; y | y x 2 , y 4 x 2 .
BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP
Câu 5. Hãy đổi thứ tự tính tích phân
dy 0
I
f x , y dx.
2
y
0
2 y 2
dy
m
y
f x , y dx.
/+ D
D.
0
Kè
I
dy f x , y dx. 1
2 y 2
2
C.
f x , y dx
16 2 . 3
32 . 3
co
B. S =
us
.g
oo
gl
e.
A. S =
m
Câu 6. Tính diện tích S của miền D giới hạn bởi y = 4-x2; y = x2.
C. S =
32 2 . 3
D. S =
8 2 . 3
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
0
n
0
I dy
y
2
hơ
2 y 2
0
N
1
f x , y dy .
f x , y dx.
dy 1
x
uy
0
0
I dx
Q
0
I dy f x , y dx
2 y 2
2
2 x 2
ạy
B.
y
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
A.
1
1
151
152
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH
m
Ä?áť•i biáşżn, Ä‘Ć°a tĂch phân váť dấng thuáşn tiᝇn cho viᝇc tĂnh toĂĄn tĂch kĂŠp trong máť™t
TĂnh kháť‘i lưᝣng, cĂĄc mĂ´-men vĂ tráť?ng tâm cᝧa mảnh pháşłng báşąng tĂch phân kĂŠp.
ấy
-
Kè
sᝑ trư�ng hᝣp đƥn giản.
/+ D
9.1 TĂ?CH PHĂ‚N KÉP TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C
m
Khi Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn miáť n D cᝧa mạt pháşłng xy, ta cĂł tháťƒ
co
chia D thĂ nh cĂĄc phần nháť? hĂŹnh chᝯ nháşt báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng song song cĂĄc tr᝼c táť?a Ä‘áť™.
e.
Giả sáť hĂ m đ?‘“(đ?‘&#x;, đ?œ‘) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc tia đ?œ‘ = đ?›ź, đ?œ‘ = đ?›˝ vĂ cĂĄc
thiáşżt
ráşąng
0 ≤ đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤
.g
Giả
oo
gl
Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘&#x; = đ?‘&#x;1 (đ?œ‘), đ?‘&#x; = đ?‘&#x;2 (đ?œ‘).
us
đ?‘&#x;2 (đ?œ‘) ≤ đ?‘?, tᝊc lĂ miáť n D xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i đ?›ź ≤ đ?œ‘ ≤ đ?›˝, đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘&#x;2 (đ?œ‘), (đ?›˝ − đ?›ź ≤ 2đ?œ‹). Chia D thĂ nh cĂĄc mảnh nháť? báť&#x;i lĆ°áť›i cĂĄc tia cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh
đ?œ‘ = đ?›ź, đ?œ‘ = đ?›ź + Δđ?œ‘, đ?œ‘ = đ?›ź + 2Δđ?œ‘, ‌ vĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť“ng tâm cho báť&#x;i cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh
đ?‘&#x; = đ?‘Ž, đ?‘&#x; = đ?‘Ž + Δđ?‘&#x;, đ?‘&#x; = đ?‘Ž + 2Δđ?‘&#x;, ‌
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Q
cáťąc, vĂ tĂnh đưᝣc tĂch phân nĂ y. -
hĆĄ
Ä?Ć°a bĂ i toĂĄn tĂnh tĂch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cĂĄc váť tĂnh tĂch phân trong táť?a Ä‘áť™
uy
-
N
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần th᝹c hiᝇn đưᝣc cåc điᝠu sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
PHÂN KÉP
BÀI 9: ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP
153
Khi ấy tổng tích phân có dạng n
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜑𝑘 )𝑆𝑘 . k=1
Giả sử mảnh Dk là mảnh ABCD (như hình vẽ) có phương trình biểu diễn của tia AB
n
là tâm của mảnh Dk thì
hơ
1
𝑀𝑘 (𝑟𝑘 , 𝑘 )
1
N
𝑟𝑘 = 𝑎 + (𝑗 + ) Δ𝑟, 𝜑𝑘 = 𝛼 + (𝑖 + ) Δ𝜑. 2 2
uy
Diện tích của mảnh Dk, kí hiệu Δ𝑆𝑘 , khi đó là
Kè
m
Q
1 1 Δ𝑆𝑘 = 𝑆𝑂𝐵𝐶 − 𝑆𝑂𝐴𝐷 = Δ𝜑(𝑎 + (𝑗 + 1)Δ𝑟)2 − Δ𝜑(𝑎 + 𝑗Δ𝑟)2 = 𝑟𝑘 Δ𝑟Δ𝜑. 2 2
n
ạy
Vậy
/+ D
𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜑𝑘 )𝑟𝑘 Δ𝑟Δ𝜑. k=1
co
m
Qua giới hạn ta được
e.
∬ 𝑓(𝑟, 𝜑)𝑑𝑠 = ∬ 𝑓(𝑟, 𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑. 𝐷
gl
𝐷
oo
Ta đã biết công thức liên hệ giữa tọa độ Đê-cac vuông góc và tọa độ cực là
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, từ đó ta có công thức chuyển từ tích phân kép trong tọa độ
us
.g
Đê-cac sang tọa độ cực
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
của cung tròn BC là 𝑟 = 𝑎 + (𝑗 + 1)Δ𝑟. Lấy điểm
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑. 𝐷
𝐷
Lưu ý 9.1.1. Định lý Fubini trong tọa độ cực được thể hiện như sau. (1) Nếu có biểu diễn 𝐷 = {(𝑟, 𝜑): 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽, 𝑟1 (𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 (𝜑)},𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋, thì 𝛽
𝑟2 ( 𝜑 )
∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟. 𝐷
𝛼
𝑟1 ( 𝜑 )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
là 𝜑 = 𝛼 + 𝑖Δ𝜑, của tia DC là 𝜑 = 𝛼 + (𝑖 + 1)Δ𝜑, của cung tròn AD là 𝑟 = 𝑎 + 𝑗Δ𝑟 và
154
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
Ä?ạc biᝇt, khi miáť n D chᝊa Ä‘iáťƒm O vĂ biĂŞn cᝧa D lĂ Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘&#x; = đ?‘&#x;(đ?œ‘) bao gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O thĂŹ ta cĂł đ?‘&#x;( đ?œ‘ )
2Ď€
âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.
đ?‘Ž
n
đ?œ‘1 (đ?‘&#x;)
uy
đ??ˇ
đ?‘“(đ?‘&#x;cosđ?œ‘, đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.
N
âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;cosđ?œ‘, đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ
hĆĄ
đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)
đ?‘?
m
Q
2 2 VĂ d᝼ 9.1.1. TĂnh tĂch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť táť?a Ä‘áť™ cáťąc, váť›i D lĂ hĂŹnh tròn Ä‘ĆĄn váť‹.
Kè
Nháşn thẼy ráşąng D lĂ miáť n chᝊa gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O vĂ biĂŞn cᝧa nĂł lĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn cĂł
ấy
phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘&#x; = 1 bao quanh gáť‘c O, ta cĂł biáťƒu diáť…n
/+ D
đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): 0 ≤ đ?œ‘ ≤ 2đ?œ‹, 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 1}, vĂ lĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2 do Ä‘Ăł
1
m
2Ď€
2
co
đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘’ đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹(đ?‘’ − 1). 0
e.
0
oo
gl
VĂ d᝼ 9.1.2. TĂnh tĂch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ 2đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ máť™t phần hĂŹnh vĂ nh khăn đưᝣc náşąm trong gĂłc phần tĆ° thᝊ nhẼt đưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂnh 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂnh 5.
.g
Miáť n D đưᝣc biáťƒn diáť…u trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac báť&#x;i 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤
us
25, đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0; biáťƒu diáť…n trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc báť&#x;i 2 ≤ đ?‘&#x; ≤ 5, 0 ≤ đ?œ‘ < đ?œ‹/2. Do Ä‘Ăł
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
(2) Náşżu cĂł biáťƒu diáť…n đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘?, đ?œ‘1 (đ?‘&#x;) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)}, thĂŹ
Ď€/2
5
Ď€/2
5
đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ 2(đ?‘&#x;cosđ?œ‘)(đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = âˆŤ sin(2đ?œ‘)đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘&#x;3 đ?‘‘đ?‘&#x; = 0
2
0
2
609 . 4
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
0
0
đ??ˇ
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
VĂ d᝼ 9.1.3. TĂnh đ??ź = âˆŹđ??ˇ
1 √4−đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ś2
155
���� v᝛i D là miᝠn đưᝣc
cho báť&#x;i: (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1, đ?‘Ś ≼ 0. Ä?áťƒ tĂŹm biáťƒu diáť…n cᝧa Ä‘Ć°áť?ng tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 = 1, cĹŠng lĂ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 2đ?‘Ľ , trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc, ta thay đ?‘Ľ =
hĆĄ
đ?œ‹ , 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘. 2
N
0≤đ?œ‘≤
n
2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘. NhĆ° váşy, cĂšng váť›i yĂŞu cầu đ?‘&#x; ≼ 0 vĂ đ?‘Ś ≼ 0 ta cĂł biáťƒu diáť…n miáť n D lĂ
Ď€ 2
uy
Khi Ä‘Ăł
√4 − đ?‘&#x; 2
Kè
0
đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹ − 2.
m
1
đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ 0
Q
2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘
ấy
VĂ d᝼ 9.1.4. TĂnh diᝇn tĂch miáť n giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng:
/+ D
(đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 = 1, (đ?‘Ľ − 2)2 + đ?‘Ś 2 = 4, đ?‘Ś = đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0. Gáť?i D lĂ miáť n cần tĂnh giáť›i hấn – cĂł biĂŞn lĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng
co
phĆ°ĆĄng trĂŹnh lần lưᝣt lĂ
m
Ä‘ĂŁ cho, chuyáťƒn sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc thĂŹ báť‘n Ä‘Ć°áť?ng trĂŞn cĂł
gl
e.
đ?‘&#x; = 2 cos(đ?œ‘) , đ?‘&#x; = 4 cos(đ?œ‘) , đ?œ‘ =
đ?œ‹ , đ?œ‘ = 0. 4
oo
NhĆ° váşy, miáť n D đưᝣc biáťƒu diáť…n trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ
đ?œ‹ , 2 cos(đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ 4 cos(đ?œ‘)}. 4
us
.g
đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): 0 ≤ đ?œ‘ ≤
Diᝇn tĂch cᝧa miáť n D khi Ä‘Ăł lĂ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
đưᝣc đ?‘&#x; =
Ď€ 4
đ?‘†đ??ˇ = âˆŹ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ đ??ˇ
đ??ˇ
0
4cos(đ?œ‘)
âˆŤ 2cos(đ?œ‘)
3 đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = (đ?œ‹ + 2). 4
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘Ć°áť?ng tròn nĂ y vĂ thu
156
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
9.2 Ä?áť”I BIáşžN Táť”NG QUĂ T Giả sáť táşp Ä‘Ăłng D’ cᝧa mạt pháşłng uv đưᝣc biáşżn Ä‘áť•i vĂ o táşp Ä‘Ăłng D cᝧa mạt pháşłng xy nháť? cĂ´ng thᝊc: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł), áť&#x; đây đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) lĂ cĂĄc hĂ m khả vi liĂŞn t᝼c
trĂŞn D’. Ä?áť‹nh thᝊc trĂŞn đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi cᝧa cĂĄc hĂ m x, y. Khi Ẽy ta cĂł
m
Q
công thᝊc đ᝕i biến sau
ấy
đ??ˇâ€˛
đ??ˇ
Kè
ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)) | | đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł. ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)
/+ D
Ta cĂ´ng nháşn cĂ´ng thᝊc biáşżn Ä‘áť•i trĂŞn.
m
Nháşn xĂŠt 9.2.1. TrĆ°áť?ng hᝣp táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ máť™t trĆ°áť?ng hᝣp riĂŞng cᝧa phĂŠp Ä‘áť•i biáşżn táť•ng quĂĄt váť›i đ?‘Ľ = đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ vĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi
−đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ | = đ?‘&#x;, đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘
gl
e.
co
đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘ ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =| ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘
oo
thay và o công thᝊc đ᝕i biến thÏ ta có
đ??ˇ
us
.g
ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘&#x;, đ?œ‘), đ?‘Ś(đ?‘&#x;, đ?œ‘)) | | đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘. ď‚ś(đ?‘&#x;, đ?œ‘) đ??ˇ
đ??ˇ
VĂ d᝼ 9.2.1. TĂnh âˆŹđ??ˇ (2đ?‘Ľ − đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh bĂŹnh hĂ nh giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1, đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2,2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 1 vĂ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3. Ä?ạt đ?‘˘ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś, đ?‘Ł = 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś, nĂłi cĂĄch khĂĄc đ?‘Ľ =
�+� 3
,đ?‘Ś =
2đ?‘˘âˆ’đ?‘Ł 3
.
Khi Ẽy cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1, đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2trong mạt pháşłng xy lần lưᝣt đưᝣc biáşżn thĂ nh cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘˘ = 1, đ?‘˘ = 2 trong mạt pháşłng uv. CĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś =
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n uy
đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ł
|≠0 |
hĆĄ
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł
N
đ?œ•đ?‘Ľ ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) |đ?œ•đ?‘˘ = ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) |đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
th�a điᝠu kiᝇn
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
157
1, 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 lần lưᝣt đưᝣc biáşżn thĂ nh cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ł = 1, đ?‘Ł = 3. NhĆ° váşy, miáť n D’ trong mạt pháşłng uv lĂ hĂŹnh chᝯ nháşt 1 ≤ đ?‘˘ ≤ 2, 1 ≤ đ?‘Ł ≤ 3.
−
3
1 3
| = − 1. | 3
2
uy
N
Váşy
3
Q
1 4 1 âˆŹ(2đ?‘Ľ − đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ł |− | đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = âˆŤ đ?‘‘đ?‘˘ âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = . 3 3 3 đ??ˇâ€˛
đ?‘Ľ2 đ?‘Ž
m
1
đ?‘Ś2
− đ?‘?2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh ellipse 2
đ?‘Ľ2
đ?‘Ś2
+ đ?‘?2 ≤ 1. đ?‘Ž2
ấy
VĂ d᝼ 9.2.2. TĂnh đ??ź = âˆŹđ??ˇ √1 −
1
Kè
đ??ˇ
Ä?ạt đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘&#x;sinđ?œ‘ (gáť?i lĂ táť?a Ä‘áť™ cáťąc máť&#x; ráť™ng). Khi Ẽy miáť n D’ tĆ°ĆĄng ᝊng
/+ D
đưᝣc biáťƒu diáť…n báť&#x;i 0 ≤ đ?œ‘ ≤ 2đ?œ‹, 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 1 ; vĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi tĂnh đưᝣc
co
m
ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;. ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)
gl
e.
LĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2 (đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ), do Ä‘Ăł 2đ?œ‹
đ??ˇâ€˛
0
1
.g
oo
2 đ??ź = âˆŹ √1 − đ?‘&#x; 2 đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;√1 − đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹đ?‘Žđ?‘?. 3 0
us
9.3 ᝨNG DᝤNG CĆ HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
(�, �) | = (�, �) | 2
n
1 3
hĆĄ
1 3
9.3.1 Kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh pháşłng Giả sáť mảnh D thuáť™c mạt pháşłng Oxy cĂł giĂĄ tráť‹ kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi Ä‘iáťƒm (x,y) lĂ ď ¤(x,y). Báşąng cĂĄch chia D thĂ nh cĂĄc mảnh nháť? tĆ°ĆĄng táťą nhĆ° bĂ i toĂĄn tháťƒ tĂch (BĂ i toĂĄn 8.1.1), kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh D đưᝣc tĂnh báşąng tĂch phân kĂŠp
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Ta lấi có
158
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
đ?‘šđ??ˇ = âˆŹ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ
9.3.2 MĂ´-men quĂĄn tĂnh (mĂ´-men thᝊ hai) cᝧa mảnh pháşłng Ta biáşżt ráşąng mĂ´-men quĂĄn tĂnh cᝧa máť™t chẼt Ä‘iáťƒm kháť‘i lưᝣng m Ä‘áť‘i váť›i máť™t Ä‘Ć°áť?ng
m
Kè
Ä‘áť‘i váť›i gáť‘c O lĂ đ??źđ?‘‚ = âˆŹđ??ˇ (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
Q
Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Oy lĂ đ??źđ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľ 2 ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;
ấy
9.3.3 Mô-men tĊnh (mô-men thᝊ nhẼt) cᝧa mảnh phẳng
/+ D
Ta Ä‘ĂŁ biáşżt mĂ´-men tÄŠnh cᝧa máť™t chẼt Ä‘iáťƒm kháť‘i lưᝣng m đạt tấi Ä‘iáťƒm cĂł táť?a Ä‘áť™ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox vĂ Oy lần lưᝣt lĂ
co
m
�� = �� và �� = ��.
e.
Tᝍ Ä‘Ăł, ta tĂnh đưᝣc mĂ´-men tÄŠnh cᝧa mảnh D cĂł kháť‘i lưᝣng riĂŞng ď ¤(x,y)
gl
Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox lĂ đ?‘€đ?‘Ľ = âˆŹđ??ˇ đ?‘Śď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;
.g
oo
Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Oy lĂ đ?‘€đ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.
us
9.3.4 Tráť?ng tâm Cho n chẼt Ä‘iáťƒm cĂł kháť‘i lưᝣng m1, m2,..., mn lần lưᝣt đưᝣc đạt tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ). Khi Ä‘Ăł mĂ´-men tÄŠnh cᝧa cả hᝇ n chẼt Ä‘iáťƒm Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox, Oy lĂ đ?‘›
đ?‘›
đ?‘€đ?‘Ľ = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ; đ?‘€đ?‘Ś = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ; đ?‘–=1
đ?‘–=1
vĂ tráť?ng tâm cᝧa hᝇ n chẼt Ä‘iáťƒm nĂ y lĂ Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) váť›i
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
uy
N
Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox lĂ đ??źđ?‘Ľ = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ś 2 ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
tĂnh đưᝣc cĂĄc mĂ´-men quĂĄn tĂnh cᝧa mảnh D cĂł kháť‘i lưᝣng riĂŞng ď ¤(x,y)
n
tháşłng lĂ mr2, trong Ä‘Ăł r lĂ khoảng cĂĄch tᝍ chẼt Ä‘iáťƒm Ä‘áşżn Ä‘Ć°áť?ng tháşłng L. Tᝍ Ä‘Ăł ta
B├ђI 9: ─љр╗ћI BIр║ЙN TRONG T├ЇCH PH├ѓN K├ЅP
ЮЉЦ0 =
159
ЮЉђЮЉд ЮЉђЮЉЦ ; ЮЉд0 = ЮЉџ ЮЉџ
trong ─Љ├│ ЮЉџ = РѕЉЮЉЏЮЉќ=1 ЮЉџЮЉќ . Tр╗Ћng qu├Аt, ─Љр╗Љi vр╗Џi mр║Бnh D c├│ khр╗Љi lк░р╗Бng ri├фng №Ђц(x,y) th├г trр╗Їng t├бm cр╗Дa D l├а ─Љiр╗Ѓm
hкА
N
uy
Q
K├е
№Ђё = {(ЮЉЦ, ЮЉд): 0 РЅц ЮЉЦ РЅц 1, 0 РЅц ЮЉд РЅц 2ЮЉЦ}.
m
Mр║Бnh №Ђё ─Љк░р╗Бc ph├бn t├Гch th├аnh miр╗Ђn loр║Аi I c├│ dр║Аng
2ЮЉЦ
/+ D
1
р║Аy
Khi ─Љ├│, khр╗Љi lк░р╗Бng cр╗Дa mр║Бnh №Ђё ─Љк░р╗Бc t├Гnh qua t├Гch ph├бn k├Еp l├а ЮЉџ№Ђё = Рѕг №Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ ЮЉЉЮЉЦ РѕФ 6(1 + ЮЉЦ + ЮЉд)ЮЉЉЮЉд 0 1
0
m
Юљи
co
= РѕФ[6(1 + ЮЉЦ)ЮЉд + 3ЮЉд 2 |2ЮЉЦ ЮЉд=0 ]ЮЉЉЮЉЦ
e.
0
1
1
gl
2 РѕФ[6(1 + ЮЉЦ)ЮЉд + 3ЮЉд 2 |2ЮЉЦ ЮЉд=0 ]ЮЉЉЮЉЦ = РѕФ 12(ЮЉЦ + 2ЮЉЦ )ЮЉЉЮЉЦ = 14. 0
oo
0
us
.g
M├┤-men t─Еnh cр╗Дa №Ђё ─Љр╗Љi vр╗Џi trр╗Цc Ox, Oy lр║Дn lк░р╗Бt l├а
pl
Diр╗Ёn ─Љ├аn hр╗Ќ trр╗Б gi├Аo dр╗Цc : ─љ/C 1000B Trр║Дn Hк░ng ─љр║Аo Tp Quy NhкАn Ngк░р╗Юi s├Аng lр║Гp : Nguyр╗Ёn Thanh Tuр║Цn - Chр╗Д quр║Бn t├аi nguy├фn : Nguyр╗Ёn Thanh T├║
V├Г dр╗Ц 9.3.1. Cho mр║Бnh tam gi├Аc phр║│ng №Ђё giр╗Џi hр║Аn bр╗Ъi c├Аc ─Љк░р╗Юng ЮЉЦ = 1, ЮЉд = 2ЮЉЦv├а trр╗Цc Ox; khр╗Љi lк░р╗Бng ri├фng cр╗Дa №Ђё tр║Аi ─Љiр╗Ѓm (ЮЉЦ, ЮЉд) l├а №Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд) = 6(ЮЉЦ + ЮЉд + 1). H├Бy t├Гnh khр╗Љi lк░р╗Бng, c├Аc m├┤-men qu├Аn t├Гnh, m├┤-men t─Еnh v├а trр╗Їng t├бm cр╗Дa mр║Бnh №Ђё ─Љ├Б cho.
1
2ЮЉЦ
ЮЉђЮЉЦ = Рѕг ЮЉд№Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ ЮЉЉЮЉЦ РѕФ 6(1 + ЮЉЦ + ЮЉд)ЮЉдЮЉЉЮЉд = 11. Юљи
0 1
0 2ЮЉЦ
ЮЉђЮЉд = Рѕг ЮЉЦ№Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = РѕФ ЮЉЉЮЉЦ РѕФ 6ЮЉЦ(1 + ЮЉЦ + ЮЉд)ЮЉЉЮЉд = 10. Юљи
0
0
Trр╗Їng t├бm cр╗Дa №Ђё l├а ─Љiр╗Ѓm ЮљХ(ЮЉЦ0 , ЮЉд0 ) c├│ c├Аc tр╗Їa ─Љр╗Ў l├а ЮЉЦ0 =
ЮЉђЮЉд 10 ЮЉђЮЉЦ 11 = ; ЮЉЦ0 = = . ЮЉџ 14 ЮЉџ 14
Dр║аY K├ѕM QUY NHкаN OFFICIAL ST> : ─љ/C 1000B TRр║дN Hк»NG ─љр║аO TP.QUY NHкаN
ЮЉђЮЉд РѕгЮљи ЮЉЦ№Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд ЮЉђЮЉЦ РѕгЮљи ЮЉд№Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд = ; ЮЉд0 = = . ЮЉџ ЮЉџ РѕгЮљи №Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд РѕгЮљи №Ђц(ЮЉЦ, ЮЉд)ЮЉЉЮЉЦЮЉЉЮЉд
ЮЉЦ0 =
n
(ЮЉЦ0 , ЮЉд0 ) vр╗Џi
160
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
MĂ´-men quĂĄn tĂnh cᝧa ď „ Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox, Oy lần lưᝣt lĂ 2đ?‘Ľ
1
đ??źđ?‘Ľ = âˆŹ đ?‘Ś ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ 6(1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ś = 12. 2
đ??ˇ
0
0
1
2đ?‘Ľ
đ??źđ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ľ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ 6đ?‘Ľ 2 (1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 39/5. 2
0
hĆĄ
uy
N
VĂ d᝼ 9.3.2. TĂŹm kháť‘i lưᝣng cᝧa máť™t Ä‘ÄŠa tròn bĂĄn kĂnh R, náşżu biáşżt kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi máť—i Ä‘iáťƒm tᝡ lᝇ váť›i khoảng cĂĄch tᝍ Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł táť›i tâm vĂ kháť‘i lưᝣng riĂŞng lĂ 3 tấi biĂŞn cᝧa Ä‘ÄŠa.
Q
Tᝍ Ä‘áť bĂ i ta suy ra kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cᝧa Ä‘ÄŠa tròn nĂ y lĂ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
m
đ?‘˜âˆšđ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 .
Kè
3
So sĂĄnh váť›i Ä‘iáť u kiᝇn trĂŞn biĂŞn ta cĂł ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Kháť‘i lưᝣng cᝧa Ä‘ÄŠa đưᝣc đ?‘…
ấy
tĂnh báť&#x;i tĂch phân kĂŠp lĂ
/+ D
2đ?œ‹
đ?‘…
3 3 đ?‘š = âˆŹ √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘&#x;. đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = 2đ?œ‹đ?‘…3 . đ?‘… đ?‘… 0
us
.g
oo
gl
e.
co
m
đ??ˇ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
MĂ´-men quĂĄn tĂnh cᝧa ď „ Ä‘áť‘i váť›i gáť‘c O lĂ đ??źđ?‘‚ = đ??źđ?‘Ľ + đ??źđ?‘Ś = 99/5.
0
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
0
n
đ??ˇ
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
161
TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn Ä‘ĂŁ biáşżt cĂĄch tĂnh tĂch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc, Ä‘áť•i biáşżn trong tĂch phân kĂŠp vĂ giải máť™t sáť‘ bĂ i toĂĄn trong cĆĄ háť?c báşąng tĂch phân kĂŠp. 1. CĂ´ng thᝊc liĂŞn hᝇ giᝯa táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac vuĂ´ng gĂłc vĂ táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ đ?‘Ľ = đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś =
hĆĄ N
đ??ˇ
Q
đ??ˇ
uy
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘.
đ?‘&#x;2 ( đ?œ‘ )
Kè
đ?›˝
m
2. Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?›ź ≤ đ?œ‘ ≤ đ?›˝, đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘&#x;2 (đ?œ‘)},đ?›˝ − đ?›ź ≤ 2đ?œ‹, thĂŹ
ấy
âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;. đ?‘&#x;1 ( đ?œ‘ )
�
/+ D
đ??ˇ
m
Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘?, đ?œ‘1 (đ?‘&#x;) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)} thĂŹ đ?‘?
đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)
đ?‘Ž
đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.
đ?œ‘1 (đ?‘&#x;)
e.
đ??ˇ
co
âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ
gl
3. Táť•ng quĂĄt, giả sáť táşp Ä‘Ăłng D’ cᝧa mạt pháşłng uv đưᝣc biáşżn Ä‘áť•i vĂ o táşp Ä‘Ăłng D cᝧa
oo
mạt phẳng xy nh� công thᝊc: � = �(�, �), � = �(�, �), cåc hà m �(�, �), �(�, �) là khả vi (�,�)
us
.g
liĂŞn t᝼c cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi đ??˝ = ď‚ś(đ?‘˘,đ?‘Ł) ≠0 trĂŞn D’. Khi Ẽy ta cĂł cĂ´ng thᝊc Ä‘áť•i biáşżn
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä‘áť™ cáťąc
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł))|đ??˝|đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł. đ??ˇ
đ??ˇâ€˛
4. Máť™t sáť‘ bĂ i toĂĄn trong cĆĄ háť?c tĂnh cĂĄc mĂ´-men tÄŠnh, mĂ´-men quĂĄn tĂnh, tráť?ng tâm cᝧa mảnh pháşłng đưᝣc tĂnh dĂšng tĂch phân kĂŠp.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘, tᝍ Ä‘Ăł ta cĂł cĂ´ng thᝊc chuyáťƒn tᝍ tĂch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac sang táť?a
162
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
BĂ€I TẏP BĂ i 1. HĂŁy xĂĄc Ä‘áť‹nh cáşn cᝧa tĂch phân I 
ďƒ˛ďƒ˛ f ( x, y )dS
sau khi đ᝕i sang t�a đ᝙ c᝹c ᝊng
D
n hĆĄ
b) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 5, đ?‘Ś ≤ 0};
uy
N
c) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 5, đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≤ 0};
Q
d) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): (đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 9, đ?‘Ś ≤ 0}.
1 √đ?‘Ž2 −đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ś 2
váť›i đ??ˇ lĂ máť™t phần tĆ° hĂŹnh tròn bĂĄn kĂnh đ?‘Ž, tâm đ?‘‚(0,0) trong gĂłc
Kè
a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
m
BĂ i 2. TĂnh tĂch phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)trĂŞn miáť n đ??ˇ.
ấy
phần tư thᝊ nhẼt.
/+ D
b) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘Ś váť›i đ??ˇ lĂ náťa trĂŞn cᝧa hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1; đ?‘Ś ≼ 0.
m
c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘Ś váť›i đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1.
co
BĂ i 3. Ä?áť•i sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc ráť“i tĂch tĂch phân.
e.
a  ďƒ˛ďƒ˛ xydS váť›i đ??ˇ lĂ Ä‘ÄŠa tròn tâm đ?‘‚ bĂĄn kĂnh 3.
gl
D
oo
b  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )dS váť›i đ??ˇ lĂ miáť n náşąm giᝯa cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tròn x 2  y 2  1, x 2  y 2  4.
.g
D
us
c  ďƒ˛ďƒ˛ cos( x 2  y 2 )dS , đ??ˇ lĂ miáť n náşąm phĂa trĂŞn tr᝼c đ?‘Ľ vĂ trong Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 9. D
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
a) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 3, đ?‘Ś ≼ 0, đ?‘Ľ ≤ 0};
BĂ i 4. Báşąng cĂĄch Ä‘áť•i biáşżn thĂch hᝣp hĂŁy tĂnh cĂĄc tĂch phân sau. đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś
a) đ??ź = âˆŹđ??ˇ
đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +1
b) đ??ź = âˆŹđ??ˇ
đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2
đ?‘Ľ+đ?‘Ś
váť›i đ??ˇ lĂ miáť n giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ngđ?‘Ś = √1 − đ?‘Ľ 2 vĂ đ?‘Ś = 0.
đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śváť›i đ??ˇ lĂ náťa trĂŞn hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1; đ?‘Ś ≼ 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
váť›i miáť n đ??ˇ đưᝣc cho nhĆ° sau.
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
163
BĂ i 5. TĂnh diᝇn tĂch cᝧa miáť n đ??ˇ giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong sau a) Phần phĂa trong cardioid cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 + cos φ)vĂ phĂa ngoĂ i Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘&#x; = đ?‘Ž cos φ , đ?‘Ž > 0. b) Phần phĂa ngoĂ i cᝧa đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 − cos φ) vĂ phĂa trong Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘&#x; = đ?‘Ž.
n hĆĄ
BĂ i 7. TĂŹm táť?a Ä‘áť™ tráť?ng tâm cᝧa miáť n pháşłng Ä‘áť“ng chẼt giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng
uy
N
đ?‘Ś 2 = 4(đ?‘Ľ + 1); đ?‘Ś 2 = −2đ?‘Ľ + 4.
BĂ i 8. TĂnh mĂ´men quĂĄn tĂnh cᝧa váşt tháťƒ đ??ˇ Ä‘áť“ng chẼt Ä‘áť‘i váť›i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng (hoạc
m
Q
Ä‘iáťƒm) đưᝣc chᝉ ra sau đây.
Kè
a) Váşt đ??ˇ lĂ hĂŹnh vĂ nh khăn cĂł tâm tấi gáť‘c táť?a Ä‘áť™ váť›i bĂĄn kĂnh nháť? lĂ r vĂ bĂĄn kĂnh láť›n lĂ R váť›i gáť‘c táť?a Ä‘áť™.
ấy
b) Miáť n đ??ˇ giáť›i hấn báť&#x;i máť™t nháť‹p Cycloid đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ą) ; đ?‘Ś = đ?‘Ž(1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą); 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 2đ?œ‹ Ä‘áť‘i
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
v᝛i tr᝼c Ox.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
� 2 + � 2 = 1.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
BĂ i 6. TĂnh diᝇn tĂch phần mạt paraboloid đ?‘Ľ = 1 − đ?‘Ś 2 − đ?‘§ 2 náşąm phĂa trong hĂŹnh tr᝼
164
BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP
CÂU HᝎI TRẎC NGHIᝆM D
, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn x 2  y 2 ď‚Ł 9.
C. I  3ď ° .
B. I  9ď ° .
Câu 2. TĂnh tĂch phân I =
D. I  18ď ° .
( x 2  y 2 )dxdy váť›i D  ď ť( x, y ) | x 2  y 2 ď‚Ł 4 y; x ď‚ł 0ď ˝ .
ďƒ˛ďƒ˛
hĆĄ
A. I  6ď ° .
128 . 6
128 . 9
C. I =
D. I =
Q
B. I =
uy
128 . 3
A. I =
N
D

0
0
ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r  dr.
ď ° /2
1
0
0
ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r  dr.
B. I 
/+ D
A. I 
1
ấy
náťa hĂŹnh tròn x 2  y 2 ď‚Ł 1, y ď‚ł 0 . 2ď °
m
1
ď ° /2
ďƒ˛
D. I 
co
C. I  ď ° ďƒ˛ rf  r  dr.
0
1
dď Ş ďƒ˛ f  r  dr. 0
e.
0

Kè
D
128 . 15
x 2  y 2 dxdy, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ
m
Câu 3. Chuyáťƒn tĂch phân sau sang hᝇ táť?a Ä‘áť™ cáťąc I  ďƒ˛ďƒ˛ f
gl
Câu 4. Chuyáťƒn tĂch phân sau sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc I  ďƒ˛ďƒ˛ f  x, y  dxdy, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn D
2ď °
ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ f  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr. 0
us
A. I 
4
.g
oo
x 2  y 2 ď‚Ł 4 y . Ä?áşłng thᝊc nĂ o sau đây Ä‘Ăşng?
0
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
2
ď °
2
C. I  ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr. 0
0
ď ° 2
4cos ď Ş
0
0
B. I  ďƒ˛ dď Ş
ďƒ˛
ď °
4sin ď Ş
0
0
D. I  ďƒ˛ dď Ş
ďƒ˛
rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr.
rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
x y 2
n
dxdy
Câu 1. TĂnh tĂch phân I  ďƒ˛ďƒ˛
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
165
n
Phân biệt được nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị của PTVP.
-
Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng tách biến (có biến phân ly).
-
Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng đẳng cấp.
-
Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng vi phân toàn phần.
-
Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng tuyến tính cấp 1.
-
Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng Bernoulli.
ạy
Kè
m
Q
uy
N
hơ
-
/+ D
10.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN
m
10.1.1 Phương trình vi phân
co
Một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm
e.
được gọi là phương trình vi phân.
oo
gl
Nếu phương trình chỉ chứa các đạo hàm của một biến độc lập thì nó được gọi là phương trình vi phân thường, nếu nó chứa các đạo hàm riêng thì được gọi là phương
.g
trình vi phân đạo hàm riêng.
us
Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Học xong bài này người học cần nắm được các nội dung sau.
Ví dụ 10.1.1. Các phương trình vi phân thường
dy 2 y 1 ; dx
x y dy
du dv 3 0; dx dx
y ,,
2
2 ydx 0 ;
, 3y 1 0 .
Các phương trình sau là phương trình vi phân đạo hàm riêng
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
166
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2u 2u u . t x 2 t 2
u u x y u; x y Các phương trình vi phân sau 3
n
N
hơ
hàm riêng cấp 3.
uy
10.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân
ạy
và nếu giải được theo y(n) thì nó có dạng
Kè
m
F (x , y , y ,, ..., y ( n ) ) 0
Q
Dạng tổng quát của phương trình vi phân (thường) cấp n có dạng
/+ D
y ( n ) y ( x, y, y , ,..., y ( n1) ) Nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng I là một hàm số y = (x) xác định
m
trên I sao cho khi thay vào phương trình vi phân đó ta được đồng nhất thức trên I.
co
Nói cách khác, đó là một hàm số y = (x) ít nhất phải có đạo hàm đến cấp n trên
e.
I, sao cho
oo
gl
F ( x, ( x), , ( x),..., ( n) ( x)) 0, x I .
.g
Tất nhiên, nghiệm y = (x) có thể cho ở dạng tường minh hoặc cho ở dạng ẩn.
us
Đồ thị của nghiệm y = (x) được gọi đường cong tích phân. x x x x x x Ví dụ 10.1.2. Các hàm số y e , y e , y c1e , y c2e và y c1e c2e đều là
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
lần lượt là các phương trình vi phân thường cấp 2, cấp 1 và phương trình vi phân đạo
nghiệm của phương trình y’’ – y = 0. Ví dụ 10.1.3. Hàm số (cho ở dạng ẩn) y arctg( x y) C là nghiệm của phương trình
x y
2
dy 1. dx
Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm ẩn, ta được
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
d2y 3u 4 2u dy 5 dy 2 5 y 1; xy 3 y 1 0; u0 dx dx 2 x3 xy dx
167
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
dy dy 1 dx ďƒž dy   . 2 dx 1   x  y  dx  x  y 2 1
Tháşż vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta đưᝣc Ä‘áť“ng nhẼt thᝊc.ďƒť
N
Phưƥng trÏnh cẼp m᝙t t᝕ng quåt có dấng
(1)
Q
uy
F( x, y, y ,)  0.
m
Nếu giải đưᝣc theo y’, ta đưᝣc
(2)
ấy
BĂ i toĂĄn Cauchy
Kè
y,  y( x, y).
/+ D
Bà i toån Cauchy là bà i toån tÏm nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh vi phân (1) hoạc (2) th�a
m
điᝠu kiᝇn đầu
y ( x 0 )  y0
co
(3)
e.
hay nĂłi cĂĄch khĂĄc lĂ tĂŹm máť™t Ä‘Ć°áť?ng cong tĂch phân cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân (1) hoạc
oo
gl
(2) Ä‘i qua Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).
.g
Và d᝼ 10.2.1. XÊt bà i toån Cauchy y ' 
y, 1 , y Tᝍ y  , ta cĂł  ďƒž y  Cx. Tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn đầu x0  1, y0  2 , ta tĂŹm đưᝣc C  2. x y x
us
ďƒŠ
y , y(1)  2. x
Váşy nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn lĂ y = 2x.
ďƒť
Ä?áť‹nh lĂ˝ 10.2.1 (táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm). Náşżu hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™, đ?’š) liĂŞn t᝼c trong


2 miáť n máť&#x; D ďƒŒ R , thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm x0 , y0 ďƒŽ D , bĂ i toĂĄn Cauchy (2) (3) cĂł nghiᝇm xĂĄc
Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáşn cᝧa x0. Náşżu ngoĂ i ra, đấo hĂ m riĂŞng thĂŹ nghiᝇm Ä‘Ăł lĂ duy nhẼt.
f cŊng liên t᝼c trong � y
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n hĆĄ
10.2.1 Phưƥng trÏnh cẼp m᝙t
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
10.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 1
168
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
Ä?áť‹nh lĂ˝ trĂŞn thĆ°áť?ng đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť‹nh lĂ˝ Peano-Cauchy-Picard, ta cĂ´ng nháşn vĂ khĂ´ng chᝊng minh Ä‘áť‹nh lĂ˝ nĂ y. Ä?áť‘i váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) vĂ Ä‘iáť u kiᝇn (3), Ä‘áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm đưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ° sau: náşżu hĂ m sáť‘ F vĂ cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng
F F liên t᝼c trong miᝠn , y y '
uy
táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa (1) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáşn cᝧa x0 vĂ tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn
Q
(3).
x , C ďƒŽ D 0
(miᝠn mà bà i toån Cauchy có nghiᝇm) thÏ
Kè
x0 cᝑ đᝋnh, lẼy C = y0, sao cho
m
Như ta thẼy, phưƥng trÏnh vi phân cẼp m᝙t thư�ng ph᝼ thu᝙c và o m᝙t hẹng sᝑ. V᝛i
ấy
ta đưᝣc nghiᝇm, cho nĂŞn nĂłi chung nghiᝇm cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng
/+ D
y  ď Ş  x, C  .

m
Ä?áť‹nh nghÄŠa 10.2.1 (Nghiᝇm táť•ng quĂĄt). HĂ m sáť‘ y  ď Ş x , C

đưᝣc g�i là nghiᝇm
co
táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp máť™t trong miáť n D ďƒŒ R 2 náşżu váť›i máť?i Ä‘iáťƒm
 x , y  ďƒŽ D,

e.
táť“n tấi duy nhẼt máť™t sáť‘ C0 sao cho y  ď Ş x , C0
0
gl
0
oo
Cauchy v᝛i điᝠu kiᝇn đầu y( x0 )  y0 .

.g
Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ táť“n tấi duy nhẼt C0 sao cho

lĂ nghiᝇm trong lân cáşn đ?‘Ľ0 ;
us
1- y  ď Ş x , C0


2- y0  ď Ş x 0 , C0 .

là nghiᝇm cᝧa bà i toån
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n hĆĄ
ď‚śF (x , y , y ' ) ď‚š 0 ď‚śy ' 0 0 0
N
F( x0 , y0 , y '0 )  0,
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
D ďƒŒ R 3 thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ ) ∈ đ??ˇ sao cho
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
169
, y Và d᝼ 10.2.2. Phưƥng trÏnh y  có nghiᝇm y = Cx là nghiᝇm t᝕ng quåt trong x miᝠn D  x , y : x  0 (mạt phẳng b� tr᝼c tung).
ď ťď€¨
ď ˝



 
Tháşt váşy, váť›i máť?i x0 , y0 ďƒŽ D , tᝊc lĂ đ?‘Ľ0 ≠0 thĂŹ hĂ m sáť‘ f x , y 
y f 1 và  liên t᝼c x y x
hĆĄ
n
y0 . x0
uy
khi cho háşąng sáť‘ C máť™t giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ đưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm riĂŞng.
N
Ä?áť‹nh nghÄŠa 10.2.2 (Nghiᝇm riĂŞng). Nghiᝇm bẼt káťł nháşn đưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt
m
Q
TẼt nhiên nghiᝇm cᝧa m�i bà i toån Cauchy đᝠu là nghiᝇm riêng.
Kè
LẼy lấi VĂ d᝼ 10.2.2 áť&#x; trĂŞn, khi cho C lần lưᝣt cĂĄc giĂĄ tráť‹ lĂ : 1, 2, 10 ta lần lưᝣt
ấy
đưᝣc cåc nghiᝇm riêng: y = x, y = 2x, y = 10x.
LĆ°u Ă˝ ráşąng khĂ´ng phải bẼt káťł nghiᝇm nĂ o cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cĹŠng nháşn
/+ D
đưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt báşąng cĂĄch cho háşąng sáť‘ C nhᝯng giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ. Nghiᝇm khĂ´ng tháťƒ nháşn đưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cho dĂš C lẼy bẼt káťł giĂĄ tráť‹ nĂ o đưᝣc gáť?i lĂ
m
nghiᝇm kᝳ dᝋ.
e.
co
VĂ d᝼ 10.2.3. XĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y ,  1 ď€ y 2 . Ta đưᝣc
 dx ďƒž arcsin y  x  C ďƒž y  sin  x  C  .
gl
dy
oo
1 ď€ y2
.g
Ä?Ăł lĂ nghiᝇm táť•ng quĂĄt. NgoĂ i ra, ta thẼy y = 1 vĂ y = –1 cĹŠng lĂ nghiᝇm, nhĆ°ng
us
chĂşng khĂ´ng đưᝣc nháşn tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt, Ä‘Ăł lĂ cĂĄc nghiᝇm káťł dáť‹.
10.2.2 Phưƥng trÏnh vi phân cᝧa h� đư�ng cong
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä‘Ăł chĂnh lĂ y = C0x váť›i C0 
Ta thẼy nghiᝇm cᝧa máť™t phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp máť™t ph᝼ thuáť™c vĂ o máť™t háşąng sáť‘ bẼt káťł C, tᝊc lĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong tĂch phân tấo thĂ nh máť™t háť? Ä‘Ć°áť?ng cong ph᝼ thuáť™c vĂ o máť™t tham sáť‘ C.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
trong lân cáşn cᝧa Ä‘iáťƒm (x0,y0), cho nĂŞn bĂ i toĂĄn Cauchy cĂł nghiᝇm duy nhẼt, nghiᝇm
170
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
Ta đạt vẼn Ä‘áť ngưᝣc lấi. Cho trĆ°áť›c máť™t háť? cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong ph᝼ thuáť™c tham sáť‘ C, hĂŁy tĂŹm phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân sao cho cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong cᝧa háť? Ä‘ĂŁ cho lĂ Ä‘Ć°áť?ng cong tĂch phân cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân Ä‘Ăł. PhĆ°ĆĄng phĂĄp chung Ä‘áťƒ giải bĂ i toĂĄn Ä‘Ăł nhĆ° sau. Giả sáť háť? Ä‘Ć°áť?ng cong cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh
Q
Tᝍ đây, kháť C ta đưᝣc máť™t phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y, C )  0 lĂ
Kè
m
Ä‘Ć°áť?ng cong tĂch phân cᝧa nĂł.
LẼy đấo hà m y’ = 3Cx2, tᝍ giả thiết ta suy ra C 
/+ D
ďƒŠ
ấy
Và d᝼ 10.2.4. TÏm phưƥng trÏnh vi phân cᝧa h� đư�ng cong y=Cx3.
ďƒŚ y ďƒś y y , ďƒž y  3ďƒ§ 3 ďƒˇ. x 2  3 . 3 x x ďƒ¨x ďƒ¸
m
Váşy ta đưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân xy’ – 3y = 0.ďƒť
ďƒŠ
co
VĂ d᝼ 10.2.5. Láşp phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng ellipse cĂł tr᝼c láť›n báşąng 2a. Trong hᝇ tr᝼c táť?a Ä‘áť™ vuĂ´ng gĂłc, ta lẼy sao cho tr᝼c láť›n náşąm trĂŞn tr᝼c hoĂ nh vĂ
oo
gl
e.
ellipse cắt tr᝼c hoà nh tấi (–a,0) và (a,0). Khi Ẽy phưƥng trÏnh ellipse có dấng
x2 y2  1 a2 c2
us
.g
váť›i c - háşąng sáť‘ bẼt káťł vĂ 0 < đ?‘? ≤ đ?‘Ž. LẼy đấo hĂ m cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn theo x ta đưᝣc
2x 2 yy ,   0. a2 c2
Khᝠctᝍ hai phưƥng trÏnh trên, ta có


ďƒŚ xy x2 ďƒś ,  1 ď€ y  0 , biáşżn Ä‘áť•i tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng, ta ďƒ§ 2 ďƒˇ a2 a ďƒ¨ ďƒ¸
thu đưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh a 2 ď€ x 2 y ,  xy  0 .ďƒť
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
uy
N
F F ,  y  0. x y
hĆĄ
LẼy đấo hà m phưƥng trÏnh nà y theo x (C là hẹng sᝑ) ta đưᝣc
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
F ( x, y, C )  0.
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
171
10.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CÓ BIẾN PHÂN LY Phương trình vi phân cấp một gọi là có biến phân ly nếu nó có dạng f ( x )dx g( y )dy 0 .
N
1 1 Lấy tích phân phương trình ta được ln 1 x 2 ln 1 y 2 C1, và đưa được về 2 2
ạy
Kè
dạng 1 x 2 1 y 2 C (hằng C tùy ý).
Q
m
x y dx dy 0 . 2 1 x 1 y2
uy
Ví dụ 10.3.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Lưu ý 10.3.1. Phương trình dạng
/+ D
f 1 (x )g 1 ( y )dx f 2 (x )g 2 ( y )dy 0
m
có thể đưa về dạng phương trình có biến phân li theo cách như sau. Nếu g1(y) = 0 tại b (tức g1(b) = 0) thì y = b là nghiệm.
-
Nếu f2(x) = 0 tại a thì x = a là nghiệm.
-
Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia hai vế cho g1(y)f2(x) rồi lấy tích phân
f1 ( x )
g2 ( y )
f ( x ) dx g (y) dy C. 2
1
us
.g
oo
gl
e.
co
-
Ví dụ 10.3.2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y xy( y 2) .
Từ phương trình đã cho, ta viết lại được ở dạng dy xy ( y 2) dx . Và nhận xét rằng
y(y + 2) = 0 khi y = 0 hay y = –2, nên y = 0 và y = –2 là nghiệm của phương trình đã cho. Các nghiệm khác tìm bằng cách chia hai vế cho y(y + 2) rồi lấy tích phân
dy
y ( y 2) xdx
0
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n hơ
f ( x )dx g( y)dy C.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Bằng cách lấy tích phân phương trình này, ta được nghiệm tổng quát
172
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
ta đưᝣc ln
y y  Cx 2 , (C  0). ď€ x 2  ln C , nĂłi cĂĄch khĂĄc y2 y2
,


LĆ°u Ă˝ 10.3.2. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh y  f ax  by  c cĂł tháťƒ Ä‘Ć°a váť biáşżn phân ly báşąng cĂĄch Ä‘áť•i biáşżn z  ax  by  c .
,


Ä?ạt z  x ď€ y ď€ 1 , khi Ä‘Ăł z’ = 1 – y’, viáşżt lấi phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho theo biáşżn z, ta
hĆĄ
đưᝣc 1 – z’ = cos z, hayz’ = 1 – cos z, nĂłi cĂĄch khĂĄc dz  (1 ď€ cos z) dx .
N
Nháşn xĂŠt ráşąng 1 – cosz = 0 khi z = 2kď °, k ďƒŽ z nĂŞn z = 2kď ° lĂ cĂĄc nghiᝇm.
uy
Tiáşżp theo, Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh dz  (1 ď€ cos z) dx váť dấng tĂĄch biáşżn vĂ tĂch phân
dz
Kè
ďƒ˛ 1 ď€ cos z  ďƒ˛ dx
m
Q
phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y
ấy
z  x ď€ C , hay z  2 arccot(C ď€ x )  2nď ° . Thay tráť&#x; lấi biáşżn ban đầu, ta đưᝣc 2
/+ D
ta đưᝣc ď€ cot
x ď€ y ď€ 1  2arc cot(C ď€ x )  2nď ° .
co
m
TĂłm lấi, nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 + 2đ?‘˜đ?œ‹, đ?‘˜ ∈ ℤ;
gl
e.
đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 − 2 arccot(đ??ś − đ?‘Ľ) + 2đ?‘›đ?œ‹, đ?‘› ∈ ℤ.ďƒť
oo
10.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N Ä?ẲNG CẤP
us
.g
HĂ m đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đưᝣc gáť?i Ä‘áşłng cẼp báşc k náşżu váť›i máť?i ď Ź> 0, ta cĂł
F  ď Ź x , ď Ź y   ď Ź k F ( x , y ).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
ďƒŠ
Phưƥng trÏnh vi phân y '  f (x , y )
đưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân Ä‘áşłng cẼp náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hĂ m sáť‘ Ä‘áşłng cẼp báşc 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
VĂ d᝼ 10.3.3. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y  cos x ď€ y ď€ 1 .
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
173
PhĆ°ĆĄng trĂŹnh P (x , y ) dx  Q (x , y ) dy  0 sáş˝ lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘áşłng cẼp náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), đ?‘„(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘áşłng cẼp cĂšng báşc. Mᝇnh Ä‘áť 10.4.1. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘áşłng cẼp báşc 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hĂ m sáť‘ cᝧa máť™t biáşżn
n hĆĄ
y ďƒž f ( x, y)  f ( x, ux )  x 0 f (1, u)  f (1, u) (áť&#x; đây x Ä‘Ăłng vai trò tham sáť‘ ď Ź cᝧa x
N
Ä?ạt u 
uy
ďƒŠ
m
y , Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh x
Kè
Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘áşłng cẼp, Ä‘áť•i biáşżn u 
Q
Ä‘áť‹nh nghÄŠa hĂ m Ä‘áşłng cẼp).ďƒť
ấy
có biến phân ly.
/+ D
ďƒŚyďƒś y Tháşt váşy, vĂŹ y  ď Ş ďƒ§ ďƒˇ váť›i u  ta suy ra đ?‘Śâ€™ = đ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘˘â€™, đ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘˘â€™ = đ?œ‘(đ?‘˘) vĂ nhĆ° váşy x ďƒ¨xďƒ¸
du dx  x ď Ş (u) ď€ u
e.
co
m
đ?‘Ľđ?‘˘â€˛ = đ?œ‘(đ?‘˘)– đ?‘˘, nĂłi cĂĄch khĂĄc ta Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť dấng
gl
là phưƥng trÏnh có biến phân ly.
oo
Tᝍ nhᝯng Ä‘iáť u trĂŞn, ta Ä‘i Ä‘áşżn giả thiáşżt ď Ş (u) ď€ u ď‚š 0 . Náşżu ď Ş (u0 ) ď€ u0  0 thĂŹ rĂľ rĂ ng y
us
.g
ďƒŚyďƒś y , y = u0x lĂ máť™t nghiᝇm. Náşżu ď Ş (u) ď‚ş u thĂŹ ď Ş ďƒ§ ďƒˇ ď‚ş , tᝊc lĂ y  . x ďƒ¨xďƒ¸ x VĂ d᝼ 10.4.1. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y , 
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
ďƒŚyďƒś f ( x, y)  ď Ş ďƒ§ ďƒˇ . ďƒ¨xďƒ¸
x 2 ď€ xy  y 2 . xy
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
y , tᝊc lĂ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng x
174 ďƒŠ
Ä?ạt
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
u
y , phĆ°ĆĄng trĂŹnh viáşżt lấi đưᝣc thĂ nh (1 ď€ u)dx ď€ xudu  0 , vĂ Ä‘Ć°a đưᝣc váť x
dấng tåch biến
dx udu   0 , tĂch phân hai váşż ta đưᝣc x (u ď€ 1)eu  C , thay tráť&#x; lấi biáşżn x u ď€1
hĆĄ 1 ď€ u2 , viáşżt cĂĄch khĂĄc
Kè
lĂ
x du uu dx x
Q
Ä?ạt đ?‘Ś = đ?‘˘đ?‘Ľ, thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta đưᝣc x
m
ďƒŠ
dy y  x 2 ď€ y 2  . dx x
uy
Và d᝼ 10.4.2. TÏm nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa phưƥng trÏnh
N
phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť
ấy
co
m
ďƒŹ1, x  0 ďƒŽď€1, x  0.
trong Ä‘Ăł sign ( x )  ďƒ
du  sign ( x ) 1 ď€ u2 , dx
/+ D
x
oo
gl
e.
Ta tiếp t᝼c đưa đưᝣc vᝠdấng phưƥng trÏnh có biến phân li
du 1 ď€ u2
 sign( x )
dx . x
us
.g
LẼy tĂch phân, ta đưᝣc arcsin u  sign( x ) ln x  C , tᝊc lĂ arcsin
y  sign( x ) ln x  C. x
Ngoà i ra, phưƥng trÏnh còn có cåc nghiᝇm u   1 tᝊc là y   x là nghiᝇm cᝧa
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
NgoĂ i ra, ta cĂł nháşn xĂŠt ráşąng uď‚ş1 cĹŠng lĂ nghiᝇm, tᝊc lĂ y = x lĂ nghiᝇm cᝧa
phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť
,
ďƒŚ a1x  b1 y  c1 ďƒś ďƒˇ cĂł tháťƒ Ä‘Ć°a váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh   a x b y c ďƒ¨ 2 2 2 ďƒ¸
LĆ°u Ă˝ 10.4.1. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh dấng y  f ďƒ§ Ä‘áşłng cẼp theo cĂĄch sau.
1- Hai Ä‘Ć°áť?ng tháşłng a1 x  b1 y  c1  0, a2 x  b2 y  c 2  0 cắt nhau tấi máť™t Ä‘iáťƒm (x0,y0). NĂłi cĂĄch khĂĄc, hᝇ
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
y ďƒŚy ďƒś y ban đầu ta x ďƒ§ ď€ 1ďƒˇ e x  C hay ( y ď€ x )e x  C . ďƒ¨x ďƒ¸
175
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
a1x b1 y c1 0 a2 x b2 y c 2 0 có một nghiệm duy nhất (x0,y0). Khi ấy đặt x u x0 , y v y0 . Vì y’x = v’u, khi đó
hơ
z a1
, phương trình đã cho đưa về dạng
z c 1 f z c 2
ạy
b1
z
uy
b2
. Đặt z a1 x b1 y a2 x b2 y
Q
b1
m
a2
Kè
a1
N
2- Hai đường thẳng trên không cắt nhau, khi ấy chúng song song nhau và
/+ D
là phương trình có biến phân ly.
2x 4 y 6 x y 3
co
y ,
e.
m
Ví dụ 10.4.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 x 4 y 6 dx x y 3 dy 0 .
oo
gl
2 x 4 y 6 0 Giải hệ ta được nghiệm x0 1, y0 2 . x y 3 0
us
.g
Đặt x 1 u, y 2 v , khi đó phương trình được viết lại 2u 4v du u v dv 0 là phương trình đẳng cấp. Đặt z
v , v uz , dv udz zdu ta được u
2 3z z du u 1 z dz 0. 2
Và đưa về dạng phương trình có biến phân li
được
u z 2
z 1
2
3
C.
1 z du 0 , lấy tích phân ta u 2 3z z 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
a u b1v f 1 a2u b2v
là phương trình vi phân đẳng cấp.
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
a1 u x o b1 v y o c1 v , f a2 u x o b2 v y o c 2
176
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Ngoài ra vì 2 3z z 2 0 tại z = 1 và z = 2 nên phương trình còn có thêm hai nghiệm z 1 và z 2. Tóm lại, ta đưa nghiệm về biến x, y C u v y 2x C y x 1 . 2
2
y x 1 và y = 2x (chú ý rằng nghiệm
hơ
y=2x nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C=0).
uy
x y 2 0 vô nghiệm. 2 x 2 y 1 0
Q
Hệ
m
N
Ví dụ 10.4.4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình x y 2 dx 2 x 2 y 1 dy 0 .
Kè
Đặt x y t, dy dt dx (t 2) dx (2t 1)(dt dx ) 0 , rút gọn ta được
ạy
(3 t) dx (2t 1) dt 0 , đưa về dạng phương trình có biến phân li rồi lấy tích phân ta
/+ D
được 2t 5ln t 3 x C , tức là x 2 y 5ln x y 3 C.
m
Ngoài ra, phương trình còn có nghiệm t=3, tức là x+y=3.
co
10.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
e.
Phương trình vi phân có dạng
oo
gl
P( x, y) dx Q( x, y) dy 0 (*)
du( x, y) P( x, y) dx Q( x, y) dy.
us
.g
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm u(x,y) sao cho
Ta biết điều kiện để là vi phân toàn phần được biểu diễn ở dạng sau
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Với các nghiệm z = 1 và z = 2 ta có
3
Q x , y x
trong một miền nào đó của mặt phẳng xy.
P (x , y ) y
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3
n
v 2u
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
177
Giải phương trình vi phân toàn phần Có nhiều cách để giải phương trình loại này, vì giới hạn của môn học, ta giới thiệu cách sau đây. Nếu biết hàm U(x,y) thì nghiệm của (*) là U(x,y) = C.
m
Q
U (x , y ) P (x , y ) dx (x , y ) C ( y )
Kè
ở đây C(y) là hằng số đối với biến x và là một hàm bất kỳ (khả vi) theo y, hàm (x,y)
U Q x, y ta có y
/+ D
ý đến
ạy
là nguyên hàm của P(x,y). Tiếp theo, lấy đạo hàm của hàm U(x,y) này theo y và chú
m
x, y
dC( y) Q( x, y). dy
co
y
e.
Từ đây, giải ta tìm được C(y).
2
2 xy 2 x dx 6 xy x 2 3 dy 0 .
Đó là phương trình vi phân toàn phần, vì
us
3y
.g
oo
gl
Ví dụ 10.5.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
3 y 2 2 xy 2 x 6 y 2 x 6 xy x 2 3 . y x
Để tìm U(x,y), trước hết, lấy tích phân
U x , y y
6xy x 2 3 theo y, ta được
U ( x , y ) 3 xy 2 x 2 y 3y g( x ) .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
hơ N
U P( x, y) theo x ta được x
uy
Lấy tích phân của
n
U U P( x, y); Q x, y . x y
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Để tìm U(x,y), ta lưu ý rằng
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
U  x , y 
Ä?ấo hĂ m phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y theo x, chĂş Ă˝ Ä‘áşżn
3y 2  2 xy 
 3 y 2  2xy  2x , ta đưᝣc
dg ( x )  3y 2  2 xy  2 x . dx
uy
10.6 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 1
m
Q
PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cĂł dấng
y  p( x ) y  f ( x ).
Kè
(L)
ấy
Nếu �(�) ≥ 0 thÏ phưƥng trÏnh (L) đưᝣc g�i là phưƥng trÏnh thuần nhẼt. Nếu �(�) ≠0 thÏ (L) đưᝣc g�i là phưƥng trÏnh không thuần nhẼt. Sau đây, sẽ trÏnh bà y m᝙t sᝑ
/+ D
phĆ°ĆĄng phĂĄp giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh nĂ y.
co
m
10.6.1 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange)
y   p (x ) y  0
(H)
gl
e.
Trư᝛c hết xÊt phưƥng trÏnh thuần nhẼt tưƥng ᝊng cᝧa (L)
ď€ p( x )dx y  Ce ďƒ˛ .
us
.g
oo
Nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa (H) có dấng
Tiáşżp theo, nghiᝇm cᝧa (L) đưᝣc tĂŹm áť&#x; dấng ď€ p( x )dx . y  ď Ş ( x )e ďƒ˛
Tháşż nghiᝇm nĂ y vĂ o (L) Ä‘áťƒ tĂŹm ď Ş(x) ta đưᝣc
ď Ş '( x )  f ( x )eďƒ˛
p( x )dx
.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
3 xy 2  yx 2  3y  x 2  C . ďƒť
N
Váşy nghiᝇm táť•ng quĂĄt cĂł dấng
n
dg ( x )  2 x ďƒž g( x )  x 2  C . NhĆ° váşy, U ( x , y )  3 xy 2  yx 2  3y  x 2 . dx
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Suy ra
ď‚śx
hĆĄ
178
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
179
Từ đó ta có
( x ) C f ( x )e
p( x )dx
dx
với C là hằng số bất kỳ. Nghiệm của (L) khi đó là p( x )dx
dx .
hơ
Xét phương trình thuần nhất
N
m
Q
phương trình này có nghiệm y C e sin x .
uy
y y cos x 0 ,
Kè
Tiếp theo, ta tìm nghiệm phương trình không thuần nhất đã cho ở dạng
ạy
y ( x) e sin x
/+ D
Lấy đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho ta được
m
'( x)e sin x cos xe sin x ( x) ( x)e sin x cos x e sin x
co
Từ đó, ta tính được ' 1 ( x ) x C , vậy nghiệm tổng quát của phương trình
e.
đã cho là y ( x C) e sin x .
oo
gl
10.6.2 Phương pháp thừa số tích phân
us
.g
Nhân cả hai vế của (L) với e
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ví dụ 10.6.1. Giải phương trình y y cos x e sin x .
y ,e
p( x )dx
p ( x )dx
ta được
p( x)ye
Phương trình được viết lại ở dạng
p( x )dx
f ( x)e
.
d p( x )dx p( x )dx ye f (x) e . dx
Lấy tích phân cả hai vế ta được
y e
p( x )dx
p( x )dx
C f ( x ) e
p( x )dx
dx
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
f ( x)e
n
p( x )dx y e C
180
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
p( x )dx p( x )dx Như vậy, nghiệm của (L) có dạng y e C f ( x ) e dx .
, Ví dụ 10.6.2. Giải phương trình y ytgx Nhân hai vế với e
tan xdx
1 sin x 1 1 y , y ta được . Viết phương trình cos x cos x cos2 x cos2 x
n hơ uy
y C tan x , nghiệm của phương trình đã cho là cos x
Q
Lấy tích phân hai vế ta được
,
Ví dụ 10.6.3. Giải phương trình y ( x y 2 ) y.
Kè
m
y C cos x sin x.
Nhận xét rằng phương trình đã cho không phải tuyến tính nhưng có thể xem x là
ạy
N
d 1 1 . y dx cos x cos2 x
/+ D
hàm số, y là đối số. Khi đó, ta viết được ở dạng
e.
dx x y , đây là một phương trình tuyến tính theo hàm x, và dễ dàng dy y
gl
cách khác là
co
m
dx x y2 dy y
oo
giải được nghiệm của phương trình này là x Cy y 2 .
us
.g
10.7 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli là phương trình vi phân có dạng
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
trên ở dạng
dy p( x )y f ( x )y n dx
(B)
trong đón là số thực. Với n = 0 hay n = 1 ta được phương trình tuyến tính.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 . cos x
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
181
PhĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y đưᝣc giải báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh. Khi đ?‘› ≠0 vĂ đ?‘› ≠1, đạt đ?‘¤ = đ?‘Ś 1−đ?‘› , thay vĂ o (B) ta đưᝣc
dw  1 ď€ n  p (x )w  (1 ď€ n )f (x ) dx
n hĆĄ
, 1 Ä?ạt w  y ď€1 , thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta đưᝣc w ď€ w  ď€ x lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh x
w  ď€ x 2  Cx , nĂłi cĂĄch khĂĄc, phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho cĂł nghiᝇm
Q
cĂł nghiᝇm lĂ
uy
N
ďƒŠ
1 . ď€ x  Cx
y
Taviáşżt lấi phĆ°ĆĄng trĂŹnh áť&#x; dấng
/+ D
ďƒŠ
dy 3 dy x sin y  2 y  x . dx dx
ấy
Và d᝼ 10.7.2. Giải phưƥng trÏnh
Kè
m
2
dx ď€ x  ď€ x 3 sin y dy
co
m
2y
gl
ta đưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh
C ď€ cos y ďƒž y  C ď€ cos y  x 2 . y
us
.g
w 
1 x2
oo
Ä?ạt w 
e.
là phưƥng trÏnh Bernoulli v᝛i hà m x, biến y.
Chú ý rẹng y 0 cŊng là nghiᝇm.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
, 1 Và d᝼ 10.7.1. Giải phưƥng trÏnh y  y  xy 2 . x
y
dw  w  sin y dy
có nghiᝇm
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh.
182
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TÓM TẮT Trong bài này, học viên làm quen với cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp 1. Cụ thể như sau :
n hơ N
3. Dạng vi phân toàn phần (xem phần 10.5).
uy
4. Dạng tuyến tính cấp 1 (xem phần 10.6).
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ạy
Kè
m
Q
5. Dạng Bernoulli (xem phần 10.7).
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
2. Dạng đẳng cấp (xem phần 10.4).
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1. Dạng tách biến (xem phần 10.3).
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
183
BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình vi phân dạng tách biến sau.
2
2
hơ
1 y xdx 1 y dy
n
3y 2 , .y x 1 0
,
Q
uy
d) y (x y ) 1
Kè
m
e) 1 e 2 x y 2dy e x dx thỏa y (0) 0
ạy
, f) y tgx y thỏa y 1 2
/+ D
Bài 2. Giải các phương trình vi phân dạng đẳng cấp sau.
y y 1 x x
co
e
e.
,
gl
b) y
m
y , a) xy x sin y x
xy x dy ydx 0 thỏa y (1) 1
.g
us
d)
oo
y , y 0 c) xy xtg x
y , e) xy y ln thỏa y (1) 1 x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c)
x 2 4x 13
N
4 y2
b)
Bài 3. Giải các phương trình vi phân dạng tuyến tính cấp 1 sau: a) 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑒 𝑏𝑥 (𝑎 + 𝑏 ≠ 0); b) 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 1 − 2𝑥 2 ; c) 𝑥(1 + 𝑥 2 )𝑦 ′ + 𝑦 = arctan 𝑥.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
a) tgydx x ln xdy 0
184
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
Bà i 4. Giải cåc phưƥng trÏnh vi phân dấng Bernoulli: a) � ′ +
đ?‘Ľđ?‘Ś 1−đ?‘Ľ 2
= đ?‘Ľ √đ?‘Ś ;
b) đ?‘Ľđ?‘Ś ′ − đ?‘Ś(2đ?‘Ś ln đ?‘Ľ − 1) = 0; đ?‘Ś
c) � ′ + � = � 2 � 4 ;
n hĆĄ uy
N
a) (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0;
Q
b) (đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ś + sin đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘’ đ?‘Ś + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ cos đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0;
us
.g
oo
gl
e.
co
m
/+ D
ấy
Kè
m
c) (2đ?‘Ś + đ?‘Ľđ?‘Ś 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ś = 0, (đ?‘Ľ > 0).
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Bà i 5. Giải cåc phưƥng trÏnh vi phân dấng toà n phần:
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
đ?œ‹
d) 3đ?‘‘đ?‘Ś + (1 + 3đ?‘Ś 3 )đ?‘Ś sin đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 tháť?a đ?‘Ś ( 2 ) = 1.
BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
185
CÂU HᝎI TRẎC NGHIᝆM
B. arctan y  arcsin x  C
C. arctan x ď€ arcsin y  C
D. arctan x  ln y  1 ď€ y 2  C
N
hĆĄ
n
A. arctan x  arcsin y  C
uy
Câu 2. Nghiᝇm riêng cᝧa phưƥng trÏnh vi phân (1  e x ) yy  e x th�a điᝠu kiᝇn ban đầu
2
 e (1  e x ) 2
B. 2e y  e(1  e x ) 2
 e (1  e x )
y D. e
2
2
 e (2 ď€ e x )
ấy
C. 2e y
2
m
2
Kè
A. e y
Q
đ?‘Ś(0) = −1 lĂ :
y2 ď€ 1) x  3 x2
m
y B. ( ď€ 1) x  3 x
co
A. (
/+ D
dy x 2  y 2  ; y (1)  2 . Câu 3. TÏm nghiᝇm riêng cᝧa phưƥng trÏnh vi phân: dx 2 xy y C. (  1) x  3 x
D. (
y2  1) x  3 x2
oo
gl
e.
Câu 4. TÏm nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa phưƥng trÏnh vi phân tòan phần
e
y
 1 dx   xe y  1 dy  0. B. x ď€ y  xe y  C
C. xy  xe y  C
D. Ä?ĂĄp ĂĄn khĂĄc.
us
.g
A. x  y  xe y  C
Câu 5. Theo phĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ Lagrange, nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Ś ′ − đ?‘Ś cot đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ cĂł dấng: đ??ś(đ?‘Ľ)
A. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) sin đ?‘Ľ ;
B. đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ ;
C. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) + sin đ?‘Ľ ;
D. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) + sin đ?‘Ľ.
2 Câu 6. TÏm nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh vi phân y 'cos x  y  0 , v᝛i điᝠu kiᝇn y(0)= 1.
A.
y  e ď€ tan x ;
B.
y  ecot x ;
C. đ?‘Ś = 0;
D.
y  e ď€ tan x ď€ 1
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
dx dy   0. 2 1 x 1 ď€ y2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Câu 1. TÏm nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa phưƥng trÏnh vi phân
186
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N
Biết cåch giải PTVP cẼp 2 dấng giảm cẼp đưᝣc.
-
Biáşżt cĂĄch giải PTVP tuyáşżn tĂnh cẼp 2 hᝇ sáť‘ háşąng.
-
Biáşżt cĂĄch giải PTVP tuyáşżn tĂnh cẼp cao hᝇ sáť‘ háşąng.
Kè
m
Q
uy
-
ấy
11.1 KHà I NIᝆM CHUNG
/+ D
Phưƥng trÏnh vi phân cẼp hai t᝕ng quåt có dấng
(1)
m
, ,, F ( x , y, y , y )  0
co
Náşżu giải đưᝣc theo y’’ thĂŹ cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng
y ''  f ( x , y, y ')
e.
(2)
,
,
oo
2 2 Ä?ạt y   z ďƒž z  2x  1 ďƒž z  x  x  c1 ; tᝊc lĂ y  x  x  c1 .
.g
ďƒŠ
gl
Và d᝼ 11.1.1. Giải phưƥng trÏnh vi phân �’’ = 2� + 1.
us
Váşy nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ y 
x3 x2   c1 x  c 2 , (c1, c2ďƒŽâ„?). ďƒť 3 2
Ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai cĂł nghiᝇm ph᝼ thuáť™c vĂ o hai háşąng sáť‘, nĂŞn Ä‘áťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t nghiᝇm c᝼ tháťƒ (nghiᝇm riĂŞng) cần cĂł hai Ä‘iáť u kiᝇn nĂ o Ä‘Ăł. NgĆ°áť?i ta thĆ°áť?ng xĂŠt bĂ i toĂĄn Cauchy (bĂ i toĂĄn đầu). BĂ i toĂĄn Cauchy lĂ bĂ i toĂĄn tĂŹm nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn đầu
y ( x 0 )  y0 ,
y '( x0 )  y '0
(3)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ N
H�c xong bà i nà y ngư�i h�c cần nắm đưᝣc cåc n᝙i dung sau.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
CẤP 2
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
187
váť›i x0, y0, y’0 lĂ nhᝯng sáť‘ cho trĆ°áť›c. Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.1.1 (Táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm). Náşżu hĂ m sáť‘ f(x,y,y’) vĂ cĂĄc đấo hĂ m riĂŞng
ď‚śf ď‚śf 3 , liĂŞn t᝼c trong miáť n máť&#x; D ďƒŒ R thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm ( x0 , y0 , y '0 ) ďƒŽ D , ď‚śy ď‚śy '
táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (2) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáşn cᝧa x 0,
hĆĄ
N
ď‚śF ď‚śF ď‚śF , ,, ,, liĂŞn t᝼c trong miáť n máť&#x; ď‚śy ď‚śy ď‚śy
m
F  x , y , y ' , y ''   0 y 0 0 0 0
Kè
F  x0 , y0 , y '0 , y ''0   0,
Q
D ďƒŒ R 4 . Khi Ẽy váť›i máť?i Ä‘iáťƒm ( x0 , y0 , y '0 , y ''0 ) ďƒŽ D , sao cho
uy
sau:Cho hà m F ( x , y, y ', y '') và cåc đấo hà m
ấy
thĂŹ táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáşn cᝧa x 0,
/+ D
th�a điᝠu kiᝇn (3).
Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.1.2 (nghiᝇm táť•ng quĂĄt). HĂ m sáť‘ y  ď Ś ( x, c1, c2 ) đưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai trong miáť n đ??ˇ ⊂ â„?3 , náşżu váť›i máť?i Ä‘iáťƒm
m

co
( x0 , y0 , y '0 ) ďƒŽ D , táť“n tấi duy nhẼt máť™t cạp sáť‘ c10 , c20 sao cho y  ď Ś x, c10 , c20

là nghiᝇm
e.
cᝧa bà i toån Cauchy v᝛i điᝠu kiᝇn y(x0) = y0, y’(x0) = y’0. Và d᝼ 11.1.2. Phưƥng trÏnh y’’ + y = 0 có nghiᝇm t᝕ng quåt y  c1 cos x  c 2 sin x
oo
gl
trong â„?3.
Tháşt váşy, trĆ°áť›c tiĂŞn ta thẼy hĂ m sáť‘ Ä‘Ăł lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť›i máť?i háşąng
us
.g
sáť‘ c1, c2. LẼy (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ ) ∈ â„?3 , Ä‘iáť u kiᝇn (3) cĂł dấng
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?áť‘i váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1), Ä‘áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm đưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ°
y0  c1 cos x0  c2 sin x0 , y '0  ď€ c1 sin x0  c2 cos x0
(4)
xem c1, c2 là Ẋn, hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh cĂł nghiᝇm duy nhẼt vĂŹ Ä‘áť‹nh thᝊc cᝧa hᝇ 0 0 0 0 báşąng 1 ď‚š 0. Váşy táť“n tấi duy nhẼt máť™t cạp c1 , c2 Ä‘áťƒ y  c1 cos x  c2 cos x lĂ nghiᝇm tháť?a
Ä‘iáť u kiᝇn đầu (4). ďƒť
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
th�a mãn điᝠu kiᝇn (3).
188
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.1.3 (nghiᝇm riĂŞng). Nghiᝇm nháşn đưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt y  ď Ś (x , c1 , c 2 ) báşąng cĂĄch cho cĂĄc háşąng sáť‘ c1, c2 nhᝯng giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ đưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm riĂŞng. Váşy máť?i nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn Cauchy Ä‘áť u lĂ nghiᝇm riĂŞng. NgoĂ i bĂ i toĂĄn Cauchy, nghiᝇm riĂŞng cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh tᝍ cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn biĂŞn, ngĆ°áť?i ta gáť?i lĂ bĂ i toĂĄn biĂŞn. Ä?iáť u
n
m
Q
11.2.1 Phưƥng trÏnh không chᝊa y và y’
uy
N
11.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH GIẢM CẤP Ä?ƯᝢC
hĆĄ
nghiᝇm duy nhẼt cho dĂš cĂĄc hĂ m sáť‘ cĂł mạt áť&#x; phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ rẼt táť‘t.
Kè
Là phưƥng trÏnh có dấng F ( x , y '')  0 .
ấy
, Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y, đạt y’ = z ta Ä‘Ć°a váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t F (x , z )  0 .
z  y ' ďƒž z'  x4, z 
x5 x5 x6  c1 tᝊc lĂ y '   c1 ďƒž y   c1 x  c 2 .ďƒť 5 5 30
m
ďƒŠ
/+ D
Và d᝼ 11.2.1. Giải phưƥng trÏnh vi phân �′′ = � 4 .
co
11.2.2 Phưƥng trÏnh không chᝊa y
gl
e.
Là phưƥng trÏnh có dấng F ( x , y ', y '')  0 .
oo
Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y ta cĹŠng hấ báşc báşąng cĂĄch đạt y’=z.
.g
x 2 Và d᝼ 11.2.2. Giải phưƥng trÏnh vi phân y '' 2 y '  e y ' .
,
us
x 2 ďƒŠÄ?ạt z = y’, thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho ta đưᝣc z  2z  e z .
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Lưu ý rẹng, khåc v᝛i bà i toån Cauchy, bà i toån biên không phải lúc nà o cŊng có
Rþ rà ng có ngay m᝙t nghiᝇm � = 0. Ngoà i nghiᝇm � = 0, chú ý đó là phưƥng trÏnh Bernoulli ta đưa vᝠdấng
zď€2 z ' 2 zď€1  e x . Ä?ạt đ?‘§ −1 = đ?‘˘, ta đưᝣc đ?‘˘â€˛ − 2đ?‘˘ = −đ?‘’ đ?‘Ľ lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh cẼp 1 cĂł nghiᝇm táť•ng quĂĄt đ?‘˘ = đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘’ 2đ?‘Ľ .
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
kiᝇn biĂŞn đưᝣc cho khĂ´ng tấi máť™t Ä‘iáťƒm x0 mĂ tấi hai đầu mĂşt cᝧa máť™t Ä‘oấn [đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 ].
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
NhĆ° váşy, y ' 
189
1 dx ďƒžy ď€˝ďƒ˛ x  c 2  eď€ x ď€ c1 x  c1 ln 1  c1e x  c2 lĂ nghiᝇm 2x 2x e  c1e e  c1e x
cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť
11.2.3 Phưƥng trÏnh không chᝊa �
hĆĄ

dz dz dy dz   z. . Thay và o phưƥng trÏnh ban đầu, ta đưᝣc phưƥng trÏnh dx dy dx dy
N
,,
uy
đưᝣc y
m
Q
ďƒŚ dz ďƒś cẼp máť™t F ďƒ§ y , z , z ďƒˇ  0. dy ďƒ¸ ďƒ¨
Kè
VĂ d᝼ 11.2.3. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śđ?‘Ś ′′ − đ?‘Ś ′2 = 0, đ?‘Ś(0) = 1, đ?‘Ś ′ (0) = 2.
dy
dy
ấy
dz dz ,, , ďƒž yz . ď€ z2  0 , viáşżt lấi đưᝣc Ä?ạt z  y ta cĂł y  z .
m
/+ D
dz ďƒŚ dz ďƒś ď€ z  0. z ďƒ§y ď€ z ďƒˇ  0 ďƒž z  0 vĂ y dy ďƒ¨ dy ďƒ¸ Náşżu đ?‘§ = 0 ⇒ đ?‘Ś ′ = 0 ⇒ đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą (háşąng), khĂ´ng tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn đầu.
-
Nếu z  y
co
-
gl
e.
dz dy dz ďƒž  , z  c1 y hay lĂ y’ = c1y. Cho x = 0 ďƒž y = 1, y’ = 2 (Ä‘iáť u dy y z
oo
kiᝇn đầu), váşy c1 = 2, tᝊc lĂ y’ = 2yďƒžy = c2e2x, tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn đầu y(0) = 1 ďƒžc2 = 1.
.g
Váşy y = e2x. ďƒť
us
11.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 2
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh, đạt z = y’ nhĆ°ng xem y lĂ biáşżn vĂ z lĂ hĂ m sáť‘. Khi Ẽy ta
11.3.1 KhĂĄi niᝇm PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh cẼp hai lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng
y ''  p( x ) y '  q( x ) y  f ( x ), a  x  b
(LF)
CĂĄc hĂ m đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Ä?áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi duy nhẼt nghiᝇm cĂł dấng: náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
, ,, Là phưƥng trÏnh có dấng F ( x , y , y )  0.
190
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ váť›i máť?i đ?‘Ľ0 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ máť?i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ , phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF) cĂł nghiᝇm duy nhẼt tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn đầu
y ( x 0 )  y0 ,
y '( x0 )  y '0
(I)
Trong phần nĂ y, ta giả thiáşżt cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ) vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trong khoảng
hĆĄ
n
(HF)
N
đưᝣc g�i là phưƥng trÏnh thuần nhẼt tưƥng ᝊng v᝛i phưƥng trÏnh (LF).
Q
L ( y )  y ''  p( x ) y '  q( x )y
uy
KĂ˝ hiᝇu váşż trĂĄi cᝧa (LF) lĂ L(y), tᝊc lĂ
ấy
1- L (ď Ą y )  ď Ą L ( y ), ď Ą háşąng sáť‘
Kè
TĂnh tuyáşżn tĂnh cᝧa nĂł tháťƒ hiᝇn nhĆ° sau
m
khi Ẽy L lĂ máť™t ĂĄnh xấ tuyáşżn tĂnh, nĂł đưᝣc gáť?i lĂ toĂĄn táť vi phân tuyáşżn tĂnh cẼp hai.
/+ D
2- L ( y 1  y 2 )  L ( y 1  y 2 )
m
CĂĄc tĂnh chẼt nĂ y đưᝣc kiáťƒm tra máť™t cĂĄch dáť… dĂ ng. Váşy phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF) vĂ (HF)
L ( y)  f ( x ) L ( y)  0
gl
e.
co
cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng
oo
Tᝍ cĂĄc tĂnh chẼt tuyáşżn tĂnh ta thẼy, náşżu y 1 (x ), y 2 (x ) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh
us
.g
thuần nhẼt (HF) thĂŹ C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x ) cĹŠng lĂ nghiᝇm thuần nhẼt (HF). Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.1. CĂĄc hĂ m sáť‘ đ?’šđ?&#x;? (đ?’™), đ?’šđ?&#x;? (đ?’™), ‌ , đ?’šđ?’Ž (đ?’™) đưᝣc gáť?i lĂ ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂnh trĂŞn khoảng (đ?’‚, đ?’ƒ), náşżu táť“n tấi cĂĄc sáť‘ ď Ą1 , ď Ą 2 ,..., ď Ą m khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng 0, sao cho
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
y ''  p( x ) y '  q( x ) y  0
ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x )  ...  ď Ą m y m (x )  0, x ďƒŽ (a, b ) TrĆ°áť?ng hᝣp ngưᝣc lấi, tᝊc lĂ khi hᝇ thᝊc trĂŞn chᝉ Ä‘Ăşng váť›i ď Ą1=ď Ą2=‌ = ď Ąm =0 thĂŹ cĂĄc hĂ m sáť‘ y1( x), y2 ( x ), ..., ym ( x) đưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
(đ?‘Ž, đ?‘?). PhĆ°ĆĄng trĂŹnh
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
191
VĂ d᝼ 11.3.1. CĂĄc hĂ m sáť‘ đ?&#x;?, đ?’™, đ?’™đ?&#x;? Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn khoảng (đ?’‚, đ?’ƒ) bẼt káťł. VĂ d᝼ 11.3.2. CĂĄc hĂ m sáť‘ |đ?‘Ľ| vĂ đ?‘Ľ ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂnh trĂŞn (0,+ď‚Ľ) nhĆ°ng Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn (–, ď‚Ľ). Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.2. Cho cĂĄc hĂ m sáť‘ y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) cĂł đấo hĂ m Ä‘áşżn cẼp m–1
uy
đưᝣc g�i là đᝋnh thᝊc Wronski cᝧa cåc hà m y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) .
m
Q
Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1. Náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) cĂł đấo hĂ m Ä‘áşżn cẼp (m–1) vĂ
 a, b : W ( x)  0, x ďƒŽ (a, b). Giả sᝠ x0 ďƒŽ (a, b) : W ( x0 ) ď‚š 0 vĂ
/+ D
ďƒŠ
ấy
Kè
ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂnh trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ Ä‘áť‹nh thᝊc Wronski cᝧa chĂşng báşąng 0 trĂŞn
m
ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x )  ...  ď Ą m y m (x )  0, x ďƒŽ (a, b )
co
LẼy đấo hà m (m – 1) lần ta đưᝣc
e.
ď Ą1y ,1 ( x )  ď Ą 2 y ,2 ( x )  ...  ď Ą m y ,m ( x )  0
oo
gl
...
ď Ą1y1( mď€1) ( x )  ď Ą 2 y2( mď€1) ( x )  ...  ď Ą m ym ( mď€1) ( x )  0
us
.g
CĂĄc Ä‘áşłng thᝊc trĂŞn Ä‘Ăşng váť›i máť?i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?). Cho đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 ta đưᝣc
ďƒŹď Ą1y1 ( x0 )  ď Ą 2 y2 ( x0 )  ...  ď Ą m ym ( x0 )  0 ďƒŻ , , , ďƒŻď Ą1y 1 ( x0 )  ď Ą 2 y 2 ( x0 )  ...  ď Ą m y m ( x0 )  0 ďƒ ďƒŻ... ďƒŻď Ą y ( mď€1) ( x )  ď Ą y ( mď€1) ( x )  ...  ď Ą y ( mď€1) ( x )  0 m m 0 2 2 0 0 ďƒŽ 1 1
Xem đây nhĆ° máť™t hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť›i cĂĄc Ẋn ď Ą1 , ď Ą 2 ,..., ď Ą m . Hᝇ Ä‘Ăł cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc
W ( x0 ) ď‚š 0 , váşy nĂł cĂł nghiᝇm tầm thĆ°áť?ng duy nhẼt ď Ą1  ď Ą 2  ...  ď Ą m  0 , tᝊc y 1 , y 2 ,..., y m Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh.ďƒť
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
n
... y m (x ) , ... y m (x ) ... ... ( m ď€1) ... y m (x )
N
y 1 (x ) y 2 (x ) , , y 1 (x ) y 2 (x ) W (x )  W ďƒŠďƒŤ y 1 , y 2 ,..., y m ďƒšďƒť  ... ... ( m ď€1) ( m ď€1) y 1 (x ) y 2 (x )
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?), khi Ẽy Ä‘áť‹nh thᝊc sau
192
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
Và d᝼ 11.3.3. Cåc hà m y 1  e
k 1x
, y 2  e k 2x váť›i k 1 ď‚š k 2 lĂ Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn máť?i
khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?), vĂŹ kx
e1
W ďƒŠďƒŤ y1, y2 ďƒšďƒť 
k1e
k1x
e
k2 x
k2e
k2 x
( k1  k2 ) x
 (k2 ď€ k1 )e
ď‚š 0.
hĆĄ
Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.2. Cho phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) cĂł cĂĄc hᝇ sáť‘ p(x), q(x) liĂŞn t᝼c.
N
CĂĄc nghiᝇm y1(x), y2(x) cᝧa nĂł Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh khi vĂ chᝉ khi W[y1,y2]ď‚š0 váť›i máť?i
Náşżu W[y1,y2] ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1, cĂĄc hĂ m y1, y2 Ä‘áť™c láşp tuyáşżn
Q
ďƒŠ
uy
đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).
m
tĂnh.
Kè
Ngưᝣc lấi, cho cĂĄc nghiᝇm y1(x), y2(x) Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), ta cần chᝊng
ấy
minh W ( x ) ď‚š 0, x ďƒŽ (a, b) . Giả thiáşżt ngưᝣc lấi,  x0 ďƒŽ (a, b): W ( x0 )  0 . Khi Ẽy, hᝇ
m
/+ D
ďƒŹ ďƒŻď Ą y ( x )  ď Ą 2 y2 ( x0 )  0 (*) ďƒ 1 1, 0 , ďƒŻ ďƒŽď Ą1y 1 ( x0 )  ď Ą 2 y 2 ( x0 )  0
co
cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc W ( x0 )  0 , nĂŞn cĂł nghiᝇm khĂ´ng tầm thĆ°áť?ng ď Ą1 , ď Ą 2 (khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i
y  ď Ą1 y 1 ( x )  ď Ą 2 y 2 ( x )
oo
gl
e.
báşąng 0). XĂŠt hĂ m sáť‘
cŊng là nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh thuần nhẼt (HF), hƥn nᝯa, theo (*) thÏ nghiᝇm đó
us
.g
th�a điᝠu kiᝇn đầu
y( x0 )  0,
, y ( x0 )  0.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
n
(HF), khi Ẽy mᝇnh đᝠđảo cᝧa Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1 cĹŠng Ä‘Ăşng.
NhĆ°ng theo tĂnh duy nhẼt nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn Cauchy, Ä‘Ăł chĂnh lĂ nghiᝇm yď‚ş0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), váşy
ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x ) ď‚ş 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) tᝊc lĂ y1, y2 ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂnh. Ä?áť‹nh lĂ˝ đưᝣc chᝊng minh.ďƒť
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
Bây giáť? ta xĂŠt cĂĄc nghiᝇm phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh cẼp hai thuần nhẼt
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
193
Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.3. Cho y1(x), y2(x) lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) (váť›i cĂĄc hᝇ sáť‘ p(x), q(x) liĂŞn t᝼c). Khi Ẽy máť?i nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (HF) cĂł dấng
y  C 1 y 1 ( x )  C 2 y 2 (x ) Rþ rà ng hà m sᝑ có dấng y  C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x ) là nghiᝇm cᝧa (HF) v᝛i m�i hẹng
n hĆĄ
u '( x0 )  u '0 ,
x0 ďƒŽ (a, b)
uy
u( x0 )  u0 ,
N
Ngưᝣc lấi, giả sᝠu = u(x) là m᝙t nghiᝇm cᝧa (HF) th�a điᝠu kiᝇn đầu
m
Q
0 0 Ta cần chᝊng minh rẹng, tᝓn tấi duy nhẼt cạp hẹng sᝑ C1 , C2 sao cho
Kè
u  C10 y1( x)  C20 y2 ( x).
ấy
V᝛i x0 , u0 , u '0 ta xÊt hᝇ phưƥng trÏnh (Ẋn C1, C2)
m
/+ D
ďƒŹC y ( x )  C2 y2 ( x0 )  u0 ďƒŻ (*) ďƒ 1 1, 0 , ďƒŻ ďƒŽC1y 1 ( x0 )  C2 y 2 ( x0 )  u '0
y (x ) y (x ) W ( x0 )  1, 0 2 , 0 0 y 1 ( x0 ) y 2 ( x0 )
gl
e.
co
Ä?áť‹nh thᝊc cᝧa hᝇ nĂ y lĂ
cĂł
nghÄŠa
.g
Ä‘Ăł
lĂ
C10 y1( x)  C20 y2 ( x) lĂ
m᝙t
nghiᝇm
tháť?a
Ä‘iáť u
kiᝇn
đầu
us
Ä?iáť u
oo
0 0 vĂŹ cĂĄc nghiᝇm y1, y2 Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh. Váşy hᝇ (*) cĂł máť™t nghiᝇm C1 , C2 duy nhẼt.
u( x0 )  u0 , u '( x0 )  u '0 , x0 ďƒŽ (a, b) , tᝊc lĂ báşąng nghiᝇm u = u(x).ďƒť
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
sáť‘ C1, C2.
Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.3. Táşp hai nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) đưᝣc gáť?i lĂ hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản cᝧa (HF). Váşy, Ä‘áťƒ tĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa (HF), chᝉ cần tĂŹm hai nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh (hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản), ráť“i lẼy táť• hᝣp tuyáşżn tĂnh cᝧa chĂşng. ChĂş Ă˝. áťž đây cĂł tháťƒ nảy sinh câu háť?i: Liᝇu phĆ°ĆĄng trĂŹnh (HF) (váť›i cĂĄc hĂ m p(x), q(x) liĂŞn t᝼c) cĂł hay khĂ´ng cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh, náşżu cĂł thĂŹ bao nhiĂŞu nghiᝇm? Ta thẼy táť“n tấi hai nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh y1, y2, váť›i cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn sau
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
ďƒŠ
194
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
y1 ( x0 ) 1, y ,1 ( x0 )  0 y ( x )  0, y , ( x )  1 2
0
2
0
VĂŹ W ďƒŤďƒŠ y1 , y2 ďƒšďƒť ( x0 )  1 ď‚š 0 . HĆĄn nᝯa, máť?i nghiᝇm cᝧa (HF) theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.3 Ä‘áť u lĂ táť• hᝣp tuyáşżn tĂnh cᝧa y1, y2.
n hĆĄ
Dáť… thẼy ráşąng: náşżu y0(x) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) vĂ yr(x) lĂ
uy
N
m᝙t nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh không thuần nhẼt thÏ y0 ( x )  yr ( x ) là nghiᝇm cᝧa
Tháşt váşy, vĂŹ y0(x) lĂ nghiᝇm cᝧa (HF) nĂŞn
Kè
L ( y0 )  0
m
Q
phưƥng trÏnh không thuần nhẼt (LF).
ấy
vĂ yr(x) lĂ nghiᝇm cᝧa (LF), nĂŞn L ( y r )  f (x ) , nhĆ° váşy
/+ D
L ( y0  yr )  L ( y0 )  L ( yr )  0  f ( x )  f ( x ).
m
Hƥn nᝯa, ta có đᝋnh lý vᝠnghiᝇm t᝕ng quåt sau.
co
Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.4. Cho y 1 (x ), y 2 (x ) lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) cᝧa
e.
phưƥng trÏnh thuần nhẼt (HF) và yr(x) là m᝙t nghiᝇm riêng cᝧa phưƥng trÏnh không
y  C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x )  y r (x )
.g
oo
gl
thuần nhẼt (LF). Khi Ẽy m�i nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh (LF) có dấng
ďƒŠ
us
váť›i cĂĄc háşąng sáť‘ C1, C2 thĂch hᝣp. Giả sáť y(x) lĂ máť™t nghiᝇm cᝧa (LF). VĂŹ yr(x) cĹŠng lĂ nghiᝇm cᝧa (LF) nĂŞn dáť… thẼy
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
(HF) váť›i cĂĄc hĂ m p (x ), q (x ), f (x ) liĂŞn t᝼c trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?).
hĂ m sáť‘ u (x )  y (x ) ď€ y r (x ) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF). Tháşt váşy
L (u)  L ( y ď€ yr )  L ( y ) ď€ L ( yr )  f ( x ) ď€ f ( x )  0. 0 0 Váşy theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.9, táť“n tấi (duy nhẼt) cĂĄc hᝇ sáť‘ C1 , C2 sao cho
u( x)  C10 y1( x)  C20 y2 ( x)
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
XÊt phưƥng trÏnh không thuần nhẼt (LF) có phưƥng trÏnh thuần nhẼt tưƥng ᝊng
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
195
0 0 Vậy y C1 y1( x) C2 y2 ( x ) yr ( x ).
11.3.2 Xây dựng nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm Việc tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (HF) là rất
n hơ
y2 y1 ( x ) u( x ).
N
với u (x ) const (khi ấy y1, y2 độc lập tuyến tính).
,
,,
,
uy
Ta có y 2 y '1 u y1u ', y ''2 y ''1 u 2 y ' u ' y1u '' , thế chúng vào (HF) và chú ý rằng y1 là
,
m
,
Q
nghiệm của (HF) ta được y 1u (2 y 1 py 1 )u 0 .
,
1 p ( x )dx e y 12
y12 ( x )
dx.
m
p ( x ) dx e
co
Vậy u
/+ D
ạy
z
Kè
Đặt z = u’ ta được phương trình phân ly y 1 z (2 y 1 py 1 ) z 0 , giải ra ta được
.g
oo
gl
e.
Tóm lại, nghiệm thứ hai được tính bởi công thức
us
Ví dụ 11.3.4. Phương trình y
y2 ( x ) y1( x )
p( x ) dx e
y12 ( x )
dx
sin x ,, 2 y , y 0 . có một nghiệm y1 x x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Giả sử ta biết y1(x) là một nghiệm của (HF). Ta tìm nghiệm thứ hai dạng
Khi ấy nghiệm thứ hai tính được
y 2 (x )
sin x x
e
2
dx
x
sin x x
2
dx
sin x x
dx
sin
2
x
cos x x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
quan trọng. Ta trình bày phương pháp tìm nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm.
196
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Vậy nghiệm tổng quát có dạng (trên khoảng (0, )) y C1
sin x cos x C1 x x
11.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số (Tìm nghiệm riêng
hơ
N
một nghiệm riêng của nó. Sau đây, ta trình bày phương pháp biến thiên hằng số để
uy
tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất khi biết hệ nghiệm cơ bản của
m
Xét phương trình không thuần nhất có dạng như (LF)
Q
phương trình thuần nhất tương ứng.
Kè
y ,, p( x )y , q( x ) f ( x ),
ạy
giả thiết rằng y 1 (x ), y 2 (x ) là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần
/+ D
nhất (HF) tương ứng
m
y ,, p (x ) y , q (x ) 0
e.
co
Khi ấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất này có dạng
y0 ( x ) c1y1 ( x ) c2 y2 ( x )
oo
gl
với các hằng số c1, c2. Ta tìm nghiệm riêng yr ( x ) của phương trình không thuần nhất
us
.g
cũng có dạng như y0 ( x ) nhưng c1, c2 là các hàm số của x:
y r c1 ( x ) y 1 ( x ) c 2 ( x ) y 2 ( x ) ,
,
,
,
,
Từ đó, tính được các đạo hàm: y r c1y 1 c2 y 2 c 1 y1 c 2 y2 .
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Như đã xét ở trên, để giải được phương trình không thuần nhất, ta cần biết ít nhất
Để đơn giản hơn trong tính toán, ta yêu cầu các hàm c1 (x ), c 2 (x ) thỏa mãn thêm
,
điều kiện c 1 y 1 c
, y 0 . Khi ấy 2 2 y 'r c1y '1 c2 y '2 và y ''r c '1 y '1 c '2 y '2 c1 y ''1 c2 y ''2 .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
của phương trình không thuần nhất)
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Thế chúng vào (LF), y
197
,, p( x )y , q( x )y f ( x ) , ta được r r r
, , , , c1 ( y ,,1 py ,1 qy1 ) c2 ( y ,,2 py ,2 qy2 ) c 1 y 1 c 2 y 2 f ( x ) Vì y1, y2 là nghiệm của phương trình thuần nhất, tức là
, , c 2 y 2 f (x ) . Như vậy, c1, c2 có thể tìm được hệ
n
1
uy
N
, , c 1 y 1 c 2 y 2 0 , , , , c 1 y 1 c 2 y 2 f (x )
Q
Tóm lại. Một nghiệm riêng yr của phương trình không thuần nhất
m
y ,, p (x ) y , q (x ) y f (x )
Kè
có thể tìm được ở dạng yr c1 ( x )y1 ( x ) c2 ( x )y2 ( x ), trong đó y1, y2 là các nghiệm độc lập
ạy
tuyến tính của phương trình thuần nhất tương ứng. Các hàm c1 (x ), c 2 (x ) thỏa hệ
m
/+ D
c,1 ( x )y1( x ) c ,2 ( x )y2 ( x ) 0 , , , , c 1 ( x )y 1 ( x ) c 2 ( x)y 2 ( x) f ( x).
co
,, , 2x Ví dụ 11.3.5. Tìm nghiệm của phương trình y 4 y 4 y ( x 1) e . Biết rằng phương
e.
trình thuần nhất tương ứng có hệ nghiệm cơ bản là y1 e2 x , y2 xe2 x .
us
.g
oo
gl
Ta tìm c1 (x ), c 2 (x ) theo hệ phương trình
Ta được c1
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
,
hơ
,
cho nên c 1 y
, 2x , 2x c 1 e c 1 xe 0 , c 1 2e 2 x c ,2 e 2 x 2xe 2 x (x 1)e 2 x
x3 x2 x2 , c2 x. 3 2 2
Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là
x 3 x 2 2x x 2 x 3 x 2 2x yr x xe 2 x e e 2 2 3 2 6
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
y ,,1 py ,1 qy 1 0, y ,, 2 py ,2 qy 2 0
198
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
Nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ
ďƒŚ x6 x2 ďƒś 2x y  c1e2 x  c2 xe2 x  ďƒ§  ďƒˇe . 6 2 ďƒ¨ ďƒ¸
11.3.4 Nguyên lý xếp chᝓng nghiᝇm
hĆĄ uy
Q
,, , y  p( x )y  q( x )y  f1 ( x ), y ,,  p( x )y ,  q( x )y  f2 ( x )
N
Nếu y1, y2 lần lưᝣt là nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh
Kè
m
thÏ y 1  y 2 là nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh
,,
,
ấy
y ,,  p( x )y ,  q( x )y  f1 ( x )  f2 ( x ).
/+ D
VĂ d᝼ 11.3.6. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh y ď€ 2 y  2 cos2 x. Biáşżt phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng cĂł hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản lĂ 1 vĂ đ?‘’ 2đ?‘Ľ .
m
Vế phải cᝧa phưƥng trÏnh đã cho có dấng
co
f ( x )  2 cos2 x  1  cos2 x  f1( x )  f2 ( x ).
oo
gl
e.
Nghiᝇm riĂŞng ᝊng váť›i váşż phải f1 ( x)  1  e ox . 1 lĂ
y1  xAe0 x  Ax .
us
.g
0x Nghiᝇm riĂŞng ᝊng váť›i váşż phải f2 ( x)  cos2 x  e (1.cos2 x  0.sin2 x) lĂ
y2  e0 x (B cos2 x  C sin2 x)  B cos2 x  C sin2 x
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
mᝇnh đᝠsau rẼt tiᝇn lᝣi (đưᝣc g�i là nguyên lý xếp chᝓng).
Theo nguyên lý chᝓng chẼt nghiᝇm thÏ m᝙t nghiᝇm riêng cᝧa phưƥng trÏnh
,, , y ď€ 2 y  1  cos2 x lĂ
y ( x )  y1( x )  y2 ( x )  Ax  B cos2 x  C sin 2 x
1 1 1 TĂnh đấo hĂ m ráť“i thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho ta đưᝣc A  ď€ , B  ď€ , C  ď€ . 2 8 8
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
Ä?áťƒ tĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂnh khĂ´ng thuần nhẼt, nhiáť u lĂşc
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
199
Váşy nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh cần giải lĂ
y  y0  y  c1  c2e2 x ď€
1 1 x ď€ (cos2 x  sin 2 x ). 2 8
11.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH TUYáşžN TĂ?NH CẤP CAO
hĆĄ
(LHF)
uy
N
ta cŊng có kết quả hoà n toà n tưƥng t᝹.
Q
Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.4.1. Giả sáť y1 , y2 ,..., yn lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láşp tuyáşżn tĂnh cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh
m
thuần nhẼt tưƥng ᝊng thÏ nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa phưƥng trÏnh thuần nhẼt có dấng
Kè
y0  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )  ...  cn yn ( x )
ấy
Nếu yr(x) là nghiᝇm riêng cᝧa (LHF) thÏ nghiᝇm t᝕ng quåt cᝧa (LHF) có dấng
/+ D
y  yr ( x )  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )  ...  cn yn ( x ).
m
Nghiᝇm riĂŞng yr(x) cĂł tháťƒ tĂŹm đưᝣc áť&#x; dấng
co
y r (x )  c1 (x ) y 1 (x )  c 2 (x ) y 2 (x )  ...  c n (x ) y n (x )
us
.g
oo
phĆ°ĆĄng trĂŹnh sau
gl
e.
(phưƥng phåp biến thiên hẹng sᝑ), trong đó cåc hà m c1 (x ), c 2 (x ), ..., c n (x ) th�a hᝇ
ďƒŹc,1 y1  c,2 y2  ...  c,n yn  0 ďƒŻ , , , , , , ďƒŻc 1 y 1  c 2 y 2  ...  c n y n  0 ďƒŻ ďƒ... ďƒŻc, y ( nď€2)  c, y ( nď€2)  ...  c, y ( nď€2)  0 n n 2 2 ďƒŻ 1 1 , , , n ď€ n ď€ ( 1) ( 1) ( n ď€1) ďƒŻc y ďƒŽ 1 1  c 2 y2  ...  c n yn  f ( x ).
Và d᝼ 11.4.1. Giải phưƥng trÏnh vi phân y
,,, ď€ 3y ,,  2 y , 
lĂ hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản. Ta tĂŹm nghiᝇm riĂŞng áť&#x; dấng yr  c1( x)  c2 ( x)e x  c3 ( x )e2 x .
ex 1e
ď€x
x 2x , biáşżt ráşąng 1, e , e
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
n
y(n)  p1( x)y( nď€1)  ...  pn ( x)y  f ( x),
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
Váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp n (cĂĄc hᝇ sáť‘ hĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?))
200
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Các hàm c1 , c 2 , c 3 thỏa hệ
1 x 1 1 e 1 ln e x 1 , c2 ln e x 1 , c3 ln 1 e x . 2 2 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
1 x 1 1 e 1 ln e x 1 e x ln e x 1 e2 x ln 1 e x . 2 2 2
Kè
ạy
y c1 c2ex c3e2 x
uy
Q
m
Từ đó tính được c1
N
hơ
/+ D
11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng
m
Xét phương trình thuần nhất có dạng
co
,, , y py qy 0
(H)
e.
trong đó p, q là các hằng số.
.g
oo
gl
kx Ta tìm nghiệm của (H) ở dạng y e . Thế vào (H) ta được
e kx k 2 pk q 0
us
kx Vậy hàm y e là nghiệm của phương trình (H) khi và chỉ khi
k 2 pk q 0
(C)
Phương trình (C) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (H) (hoặc còn gọi là phương trình phụ trợ của (H)). Có những khả năng sau đây:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
n
1 ex , 1 e x , , ,c (x) . Giải hệ này, ta tìm được c 1 ( x ) ,c (x) 2 1 e x 2 1 e x 3 2 1 e x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
c ,1 c ,2 e x c ,3 e2 x 0 , x , 2x c 2 e 2c 3 e 0 x c , e x 4c , e 2 x e 2 3 1 e x
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
201
(1)Trường hợp 1: phương trình (C) có hai nghiệm thực phân biệt k1 và k2. Khi ấy phương trình (H) có hai nghiệm y e
k 1x
, y 2 e k 2 x . Chúng rõ ràng độc lập tuyến
tính (trên (-, )) nên (H) có nghiệm tổng quát
y c1e k1x c 2e k 2 x
hơ
Q
e2 kx dx xekx . 2 kx e
/+ D
ạy
y2 ekx
p , do đó 2
Kè
Lưu ý rằng, k là nghiệm kép của (C) nên k
uy
e px dx. e2 kx
m
y ekx
N
thức
Vậy nghiệm tổng quát của (H) có dạng
m
y c1e kx c 2 x e kx
co
(3)Trường hợp 3: phương trình (C) có hai nghiệm phức liên hợp
( 0)
gl
e.
k1 i , k 2 i
y c1e ( i )x c 2e ( i )x
us
.g
oo
Về nguyên tắc, giống như trường hợp 1, nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng
Tuy vậy, ta thường làm việc với các nghiệm thực hơn là có số phức ở số mũ. Để tìm các nghiệm thực độc lập tuyến tính ta làm như sau. Do
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
n
phân (H) tạm thời chỉ có một nghiệm y 1 e kx . Ta tìm nghiệm thứ hai theo công
y 1 e ( i ) x e x cos x i sin x y 2 e ( i ) x e x cos x i sin x
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
(2)Trường hợp 2: phương trình (C) có một nghiệm thực kép là k. Vậy phương trình vi
202
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất cho nên tổ hợp tuyến tính của
1 y 1 y 2 e x cos x 2
y2
1 y y 2 e x sin x 2i 1
n
y1
,,
hơ
uy
,
Q
Ví dụ 11.4.2. Giải phương trình y 4 y 3y 0 .
Xétphương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho
Kè
k 2 4k 3 0,
m
N
y e x c1 cos x c 2 sin x
ạy
phương trình này có hai nghiệm k1=-1, k2=-3. Vậy nghiệm tổng quát của phương
/+ D
trình đã cho là
y c1e x c2e3 x .
,
m
,,
,
Phương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho k 2 10 k 25 0 có
e.
co
Ví dụ 11.4.3. Giải y 10 y 25y 0, y(0) 1, y (0) 5.
oo
gl
nghiệm kép k = 5, cho nên nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu có dạng
y c1e5 x c2 x e5 x .
us
.g
, Thay vào điều kiện đầu y(0) 1 c1 1; y (0) 5 c2 1. 5x Vậy nghiệm của bài toán đã cho là y e (1 x ).
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Rõ ràng các nghiệm này độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát có dạng
,,
,
Ví dụ 11.4.4. Giải y 2 y 4 y 0.
Phương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho k 2 2 k 4 0 có các
nghiệm phức k 1 i 3 .
x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y e c1 cos 3 x c2 sin 3 x .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
chúng cũng là nghiệm. Ta lấy
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
203
11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng Ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng cấp n y ( n ) p1y ( n1) ... pn y 0,
(HHC)
n
hơ
đối với phương trình cấp hai.
uy
N
Phương trình đặc trưng ứng với (HHC) có dạng
Q
k n p1k n1 ... pn 0.
Kè
m
Nếu k 1 , k 2 ,..., k i là các nghiệm của (HHC) với các bội tương ứng là
ạy
m1 , m2 ,..., mi , (m1 m2 ... mi m).
kx
kx
/+ D
thì các hàm số
e 1 , e 1 ,..., x , xe
ki x
e
, ..., x
,e
k2 x
, xe
k2 x
,..., x
m2 1 k2 x
e
,...,
mi 1 ki x
m
e
ki x
m1 1 k1x
e
co
tạo thành hệ nghiệm cơ bản của (HHC).Nghiệm tổng quát của (HHC), tất nhiên có thể
e.
viết ở dạng tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản này,tuy nhiên, để tiện lợi hơn khi
gl
làm việc với các nghiệm thực, ta xét hai trường hợp sau.
oo
Trường hợp 1: k là nghiệm thực bội m của phương trình đặc trưng. Khi ấy, ứng với
us
.g
k, phương trình (HHC) có m nghiệm y1 ekx , y2 xekx ,..., ym x m 1e kx .
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Ta cũng tìm các nghiệm độc lập tuyến tính ở dạng ekx, các kết quả tương tự như
Trường hợp 2: k i là cặp nghiệm phức liên hợp bội mcủa phương trình đặc
trưng. Tiến hành như đối với phương trình cấp hai, ta có 2m nghiệm
y1 e x cos x,
y2 x e x cos x, ..., ym x m1 e x cos x
ym1 e x sin x, ym2 x e x sin x, ..., y2 m x m1 e x sin x.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
trong đó p1 , p 2 , ..., p n các hằng số thực.
204
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
VĂ d᝼ 11.4.5. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y '''  8y  0. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh đạc trĆ°ng tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ ď Ź 3  8  0 cĂł cĂĄc nghiᝇm ď Ź1  ď€ 2, ď Ź2,3  1 ď‚ą i 3. NhĆ° váşy, nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ


Kè
Nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ
m
Q
x x x x Suy ra hᝇ nghiᝇm cƥ bản là 1, x , e cos x , e sin x , x e cos x, x e sin x.
ấy
y  c1  c2 x  e x (c3 cos x  c4 sin x  c5 x cos x  c6 x sin x ).
/+ D
11.4.3 Nghiᝇm riêng phưƥng trÏnh không thuần nhẼt cẼp
m
hai. Phưƥng phåp hᝇ sᝑ bẼt đᝋnh.
co
Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt ,,
,  py  qy  f (x )
(L)
gl
e.
y
oo
m᝙t điᝠu quan tr�ng là phải tÏm đưᝣc m᝙t nghiᝇm riêng yr cᝧa nó. Trong phần trên đã trÏnh bà y phưƥng phåp biến thiên hẹng sᝑ. TẼt nhiên phưƥng phåp đó åp d᝼ng đưᝣc
us
.g
cho trĆ°áť?ng hᝣp hᝇ sáť‘ háşąng. áťž đây ta trĂŹnh bĂ y máť™t phĆ°ĆĄng phĂĄp khĂĄc tĂŹm nghiᝇm riĂŞng, tiᝇn lᝣi cho trĆ°áť?ng hᝣp hᝇ sáť‘ háşąng khi váşż phải đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł dấng đạc biᝇt - Ä‘Ăł lĂ phĆ°ĆĄng phĂĄp hᝇ sáť‘ bẼt Ä‘áť‹nh. Giả sáť váşż phải đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł cĂĄc dấng sau TrĆ°áť?ng hᝣp 1: f ( x)  eď Ą x Pn ( x) , trong Ä‘Ăł ď Ą lĂ sáť‘ tháťąc, Pn(x) lĂ Ä‘a thᝊc báşc n. a) Náşżu ď Ą khĂ´ng lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh đạc trĆ°ng (C) thĂŹ ta tĂŹm nghiᝇm riĂŞng yr áť&#x; dấng y r  e ď Ą x Q n (x ) , váť›i Qn(x) lĂ Ä‘a thᝊc báşc n váť›i n + 1 hᝇ sáť‘ chĆ°a đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
hĆĄ
uy
k1  k2  0, k3  k4  1  i, k5  k6  1 ď€ i .
N
PhĆ°ĆĄng trĂŹnh đạc trĆ°ng tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ k 6 ď€ 4k 5  8k 4 ď€ 8k 3  4k 2  0 cĂł nghiᝇm
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
,, (6) (5) (4) (3) VĂ d᝼ 11.4.6. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y ď€ 4 y  8y ď€ 8y  4 y  0 .
n
y  c1eď€2 x  e x c2 cos 3 x  c3 sin 3 x .
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
205
b) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (C) thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng y r x e x Q n (x ) . c) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (C) thì tìm nghiệm riêng ở dạng y r x 2e x Q n (x ) .
n
hơ
N
dạng
uy
yr x se x Rk ( x )cos x Hk ( x )sin x ,
m
Q
trong đó i là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng (C) và k max n , m
Kè
(nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0), Rk, Hk là các đa
ạy
thức bậc k.
/+ D
Tất nhiên trường hợp 1 là trường hợp riêng của trường hợp 2.
,,
,
2 Ví dụ 11.4.7. Giải phương trình vi phân y y 4 x .
Nhận thấy = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng (có nghiệm
m
yr Ax 2 Bx C.
gl
e.
co
k 1 1, k 2 2 ) nên nghiệm riêng cần tìm ở dạng đa thức bậc hai
2 A 2 Ax B 2 Ax 2 Bx C 4 x 2 .
us
.g
oo
Lấy đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho, ta được
Cân bằng hệ số hai vế, rồi giải ra ta được A 2, B 2, C 3. Như vậy,
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
thực, Pn (x ), Q m (x ) là các đa thức bậc n, m tương ứng. Khi ấy nghiệm riêng được tìm ở
yr 2 x 2 2 x 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y 2 x 2 2 x 3 c1e x c2e2 x .
,, x x Ví dụ 11.4.8. Giải phương trình vi phân y y xe 2e .
Phương trình đặc trưng có nghiệm k 1,2 i . Sử dụng nguyên lý xếp chồng, ta tìm
nghiệm riêng ở dạng
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
f (x ) e x Pn (x ) cos x Q m (x )sin x , trong đó , - các hằng số
Trường hợp 2:
206
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
yr y1 y2 Ax B e x Ce x ,
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là y c1 cos x c2 sin x
1 ( x 1)e x e x . 2
hơ
Ví dụ 11.4.9. Hãy xác định dạng nghiệm riêng của phương trình , 2 y 3 y g( x)
N
,,
uy
y
Q
với g(x) là các hàm số sau b) 3xex, e) tgx.
m
d) 3xexsinx + excosx,
c) (x + 1) cosx,
Kè
a) 2 cos 3x,
ạy
Phương trình đặc trưng có nghiệm k1 = 1, k2 = –3.
/+ D
a) 0, 3, n m 0 , như vậy i 3i không là nghiệm phương trình đặc trưng cho nên
co
m
yr A cos3 x B sin3 x.
e.
b) 1, 0, n 1, m 0 , như vậy i 1 là nghiệm phương trình đặc trưng,
oo
gl
cho nên s = 1, dạng của nghiệm riêng là
yr x Ax B e x .
us
.g
c) Tương tự, 0, 1, n 1, m 0, s 1 , ta có
yr ( Ax B)cos x (Cx D)sin x.
d) Tương tự, 1, 1, s 0, n 0, m 1 , ta có
yr e x Ax B cos x (Cx D)sin x . e) Không có dạng đặc biệt. Trường hợp này cần sử dụng phương pháp biến thiên hằng số.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
1 1 , B , C 1. 2 2
n
Tính các đạo hàm rồi thế vào phương trình, ta tìm được A
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
(y1, y2 là các nghiệm riêng ứng với các vế phải xex và 2e–x).
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
207
Ví dụ 11.4.10. Tìm nghiệm tổng quát y ,, y 3sin x
Phương trình đặc trưng có nghiệm
k1,2 i, 0, 1 s 1, n m 0. Vậy ta tìm nghiệm riêng của phương trình ở dạng
3 x cos x. 2
Q
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y c1 cos x c2 sin x
ạy
cấp cao hệ số hằng
Kè
m
11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
/+ D
Đối với phương trình cấp n: y(n) p1 y( n1) ... pn y f ( x) với vế phải có dạng đặc biệt
m
f ( x ) e x Pn ( x )cos x Qm ( x )sin x ,
co
ta cũng tìm nghiệm riêng hoàn toàn như với phương trình cấp hai, tức là
e.
yr x s e x Rk ( x )cos x H k ( x )sin x
oo
gl
khi i là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng, k max n, m và Rk ( x ), H k ( x )
us
.g
các đa thức bậc k.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
uy
N
hơ
3 3 Thế vào phương trình ta tìm được A , B 0 , như vậy yr x cos x. 2 2
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
n
yr x( A cos x B sin x).
208
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i cĂĄch giải máť™t sáť‘ dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp 2. C᝼ tháťƒ nhĆ° sau:
n hĆĄ
uy
N
3. Dấng PTVP tuyáşżn tĂnh cẼp cao hᝇ sáť‘ háşąng (xem phần 11.4)
m
Q
BÀI TẏP
Kè
Bà i 1. Giải cåc phưƥng trÏnh dấng giảm cẼp sau:
/+ D
,,
, , y  y ln ďƒŚďƒ§ ďƒśďƒˇ . ďƒ¨ xďƒ¸
, y ď€ ď€˝ x ( x ď€ 1) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn đ?‘Ś(2) = 1, đ?‘Ś ′ (2) = −1. x ď€1
co
c) y
,,
m
b) xy
ấy
a) � ′′ = � 2 + �� � + 1.
e.
d) đ?‘Śđ?‘Ś ′′ − đ?‘Ś ′2 = 0 tháť?a đ?‘Ś(0) = 1, đ?‘Ś ′ (0) = 2.
.g
,,
1 , 1 y ď€ 2 y  0 biáşżt máť™t nghiᝇm riĂŞng lĂ y1  ln x . x x
oo
,,
a) (1 ď€ ln x) y 
gl
BĂ i 2. Giải cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh thuần nhẼt
,
,
us
b) y  (tgx) y  y cos2 x  0 th�a điᝠu kiᝇn y (0)  3, y (0)  2 . c) y1 ( x)  cos (sin x) là m᝙t nghiᝇm riêng cᝧa phưƥng trÏnh.
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
2. Dấng PTVP tuyáşżn tĂnh cẼp 2 (xem phần 11.3)
BĂ i 3. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂnh cẼp 2 váť›i hᝇ sáť‘ háşąng a) đ?‘Ś ′′ − 5đ?‘Ś ′ + 6đ?‘Ś = 0. b) đ?‘Ś ′′ − 4đ?‘Ś ′ + 4đ?‘Ś = 0. c) đ?‘Ś ′′ + 4đ?‘Ś = 0. d) đ?‘Ś ′′′ − 4đ?‘Ś ′′ + 3đ?‘Ś ′ = 0.
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
1. Dấng giảm cẼp đưᝣc (xem phần 11.2)
BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2
209
e) đ?‘Ś (5) − 6y (4) + 9đ?‘Ś (3) = 0. BĂ i 4. Giải cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt a) đ?‘Ś ′′ − 3đ?‘Ś ′ + 2đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ 3 − 30. b) đ?‘Ś ′′ − 2đ?‘Ś ′ + 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 . 3
đ?œ‹
đ?œ‹
sin 2� th�a �(0) + � ′ (0) = 2 ; � ( 2 ) + � ′ ( ) = 0. 2
N
hĆĄ
d) đ?‘Ś ′′ − 4đ?‘Ś ′ + 4đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ cos 2đ?‘Ľ.
Q
uy
CÂU HᝎI TRẎC NGHIᝆM
A. đ?‘Ś = đ??ś1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ś2 đ?‘’ 2đ?‘Ľ ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.
ấy
B. đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (đ??ś1 cos(2đ?‘Ľ) + đ??ś2 sin(2đ?‘Ľ)) ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.
Kè
m
Câu 1. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y ''ď€ 3 y ' 2 y  0.
m
D. đ?‘Ś = đ??ś1 đ?‘’ −đ?‘Ľ + đ??ś2 đ?‘’ −2đ?‘Ľ ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.
/+ D
C. đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (đ??ś1 cos(3đ?‘Ľ) + đ??ś2 sin(3đ?‘Ľ)) ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.
co
Câu 2. TĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śâ€™â€™ + đ?‘Śâ€™ − 2đ?‘Ś = 0 tháť?a: đ?‘Ś(0) =
e.
0, �’(0) = 1.
1 x 1 ď€2 x B. y  e  e . 3 3
1 ď€2 x 1 x C. y  e ď€ e . 3 3
D. y 
1 x 1 ď€2 x e ď€ e . 2 2
us
.g
oo
gl
1 x 1 ď€2 x A. y  e ď€ e . 3 3
Câu 3. Nghiᝇm cᝧa phưƥng trÏnh vi phân y '' 9 y  0 , v᝛i điᝠu kiᝇn y(0)=3 và y’(0)=3 là :
A. y  3cos(3 x)  sin(3 x).
B. y  ď€3cos(3x)  3sin(3x).
C. y  3cos(3 x)  3sin(3 x).
D. y  cos(3 x)  3sin(3 x).
Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST> : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N
4
n
9đ?‘Ľ
pl
Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láşp : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş
c) đ?‘Ś ′′ + đ?‘Ś = −3 cos 2đ?‘Ľ +
210
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Câu 4. Một nghiệm riêng của phương trình y '' 4 y ' 5 y xe x có dạng: A. yr x ax b e x
B. yr ax b e x
x C. yr axe
x 5 x D. yr C1e C2e ; C1 , C2
D. yr ax cos 2 x
N
uy
y '' 2 y ' y 2e x , biết
phương trình này có một nghiệm riêng là : y x e .
y x 2 e x C1e x C2 xe x .
C. y x e C1e C2 e . x
x
D.
y x 2 e x C1 xe x C2 x 2 e x .
m
2 x
y x 2 e x Ce x .
ạy
B.
/+ D
A.
Kè
2 x
m
Q
Câu 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
co
Câu 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
C2 e 5 x .
gl
x
oo
A. y cos x C1e
e.
biết phương trình này có một nghiệm riêng là :
C. y cos x C1e C2e
us
.g
x
5 x
.
y '' 4 y ' 5 y 4sin x 6cos x ,
y cos x.
B. y cos x (C1 cos5 x C2 sin 5 x)e . x
D. y cos x C1e
x
C2 xe5 x .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C. yr a cos 2 x
n
B. yr e x a cos 2 x b sin 2 x
hơ
A. yr a cos 2 x b sin 2 x
pl
Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú
Câu 5. Một nghiệm riêng của phương trình y '' 2 y ' 5 y cos 2 x có dạng: