Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐẠI SỐ LỚP 10

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số giảng dạy cho học sinh lớp 10 WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

FF IC IA L

I. Lời giới thiệu

Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thi

học sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số là các bài vẫn thường xuất hiện, tuy nhiên nó lại là một câu khó để lấy điểm cao. Một trong những phương pháp phổ biến khi giải phương trình, bất phương trình và hệ

O

phương trình đại số là phương pháp phân tích thành nhân tử. Mặc dù khi học các

thầy, cô đã dành khá nhiều thời lượng để giảng dạy và luyện tập cho học sinh các kỹ

N

thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích còn học sinh

Ơ

nghe thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc: "Tại sao lại làm như vậy?". Sách, tài

H

liệu tham khảo và thầy cô chỉ nêu cho học sinh phương pháp và một số kinh nghiệm

N

khi lựa chọn phương pháp vào một số bài cụ thể nên học xong, đọc xong học sinh vẫn cảm thấy rất mơ hồ. Chính vì vậy khi đứng trước một bài toán mới học sinh cảm

Y

thấy rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và không biết phải lựa chọn phương

Q U

pháp nào cho phù hợp, bài nào có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử và nhóm, tách ra sao để biến đổi phương trình, bất phương trình thành phương trình

M

và bất phương trình tích. Đối với học sinh khá - giỏi cũng phải thử hết cách này sang

KÈ

cách khác rất mất thời gian, đối với học sinh trung bình và yếu thậm chí còn không tìm được lời giải.

Sau một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải toán trên máy tính cầm tay",

ẠY

tham khảo các tài liệu qua mạng internet và đặc biệt là bài viết của đồng nghiệp, của học sinh được chia sẻ trên facebook tôi thấy được máy tính cầm tay chính là một "vũ

D

khí" đắc lực trong việc giải phương trình, bất phương trình và đặc biệt là hệ phương trình đại số.

Tuy rằng, máy tính không phải là một phương pháp để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số nhưng nó giúp cho học sinh có thể định hướng tìm cách giải nhanh và rõ ràng, đặc biệt nó có ưu thế rất mạnh trong việc phân tích 1

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

một phương trình thành phương trình tích. Tính năng SOLVE trên máy tính cầm tay rất hay, nếu học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thì rất thú vị.

Chính vì tính ưu việt của máy tính cầm tay và với mong muốn cung cấp cho học sinh một số bí quyết trong việc sử dụng nó để nhanh chóng định hướng được

FF IC IA L

phương pháp giải trong khi chưa có sách tham khảo hay tài liệu nào được công khai chia sẻ cho học sinh biết được bí quyết đó nên tôi đã đúc rút, tổng hợp những kinh

nghiệm của bản thân, những tài liệu của đồng nghiệp và học sinh mà tôi đã được đọc

để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số".

O

Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm này đã được tôi báo cáo và sử dụng từ năm

2015 nhưng qua các năm giảng dạy tôi đã rút ra được nhiều kinh nghiệm khi áp dụng

N

sáng kiến nên tôi quyết định bổ sung và phát triển để sáng kiến được thể hiện logic

Ơ

và đầy đủ hơn.

H

Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn

N

nhiều tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm

Y

của tôi được hoàn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo

Q U

viên và học sinh.

II. Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất

M

phương trình và hệ phương trình đại số.

KÈ

III. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên:

ẠY

IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.

D

VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm 2015.

VII. Mô tả bản chất của sáng kiến: ❖ Một số lưu ý trước khi đọc bài viết

2

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Trong toàn bộ bài viết này đều hướng dẫn sử dụng trên máy tính Casio fx - 570ES, các máy tính có cùng chức năng thao tác tương tự.

- Việc giới thiệu quy trình nhìn thì dài nhưng khi thực hiện rất nhanh, không mất

FF IC IA L

nhiều thời gian.

1. Sử dụng máy tính Casio khi giải phương trình và bất phương trình đại số 1.1. Giải phương trình bậc 4

O

- Như ta đã biết máy tính giải được phương trình bậc 3 bất kì nhưng bậc 4 ta thì không. Nếu phương trình bậc 4 có nghiệm nguyên hoặc hữu tỷ thì ta cũng dễ dàng

N

giải được bằng cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc

Ơ

1 và bậc 3. Trong trường hợp phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ thì ta sẽ phải làm thế

H

nào? Máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ tích cực trong việc đó.

N

❖ Phương pháp: Xét phương trình ax 4 + bx 2 + cx + d = 0 (a  0) (1.1) .

Y

• Máy tính sẽ giúp ta tìm được các nghiệm gần đúng của (1.1) là: A, B, C, D

Q U

(về nguyên tắc là thế nhưng thường ta chỉ cần tìm 3 nghiệm là đủ).

• Do (1.1) có thể viết thành: ( a'x 2 + b ' x + c ')( d'x 2 + e ' x + f ' ) = 0. Nên ta có thể

M

thử 2 trong 4 nghiệm A, B, C, D xem 2 nghiệm nào có tổng và tích nguyên,

KÈ

chẳng hạn A + B = S , A.B = P với S, P nguyên thì A, B là nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 . Nên ta có:

ẠY

(1.1)  ( x 2 − Sx + P )( d'x 2 + e ' x + f ') = 0. (Dạng quen thuộc đã biết cách

D

giải).

• Tìm biểu thức d'x 2 + e ' x + f ' bằng cách chia đa thức ax 4 + bx 2 + cx + d cho đa thức x 2 − Sx + P .

3

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Ví dụ: Giải phương trình x 4 − 3x3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0 .

FF IC IA L

Hướng dẫn quy trình - Nhập phương trình vào máy tính:

Alpha X x 4 − 3 Alpha X x3 − 6 Alpha X x 2 + 3 Alpha X + 1 = ( Dấu "=" để lưu phương trình).

O

- Bấm shift solve . Máy hỏi: Solve for X ( Nhập giá trị ban đầu).

N

X=

− 1.618...

−R=

0

H

Ơ

- Bấm −9 = . Máy sẽ sử lí mất vài giây và cho kết quả

N

- Lưu nghiệm này vào biến A RCL X Shift STO A . Nhấn nút đẩy lên hai lần để

X=

Q U

tiếp 0 = máy báo

Y

tìm phương trình đã lưu. Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi Solve for X , ta bấm

− 0.236...

−R=

0

.

M

- Lưu nghiệm vào biến B RCL X Shift STO B . Nhấn nút đẩy lên để tìm phương

KÈ

trình đã lưu Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp 9 =

ẠY

máy báo

X=

−R=

4.236...

3.5  10−12

.

D

Lưu nghiệm vào biến C RCL X Shift STO C .

- Bấm: Alpha A + Alpha B = , máy hiện kết quả −1.854... (lẻ nên bỏ qua).

- Bấm: Alpha A + AlphaC = , máy hiện kết quả 2.618... (lẻ nên bỏ qua).

4

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Bấm: Alpha B + AlphaC = , máy hiện kết quả 4 ( Tốt rồi, tiếp tục!)

Alpha B  AlphaC = máy hiện kết quả −1 . Vậy là xong rồi. Ta có lời giải như

sau:

x 4 − 3x3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0  ( x 2 − 4 x − 1)( x 2 + x − 1) x = 2  5  x2 − 4 x − 1 = 0  2   −1  5 x = x + x −1  2

O

 −1  5    .

Vậy, phương trình có nghiệm là: x  2  5; 2    

N

❖ Bài tập vận dụng

H

Ơ

Gải các phương trình sau

Q U

Y

2. x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + 10 x + 5 = 0

N

1. x 4 − 6 x3 + 3x 2 + 18x − 8 = 0

3. x 4 − 22 x 2 − 5 x + 2 = 0

FF IC IA L

Bài giải

M

1.2. Giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

KÈ

Ví dụ 1: Giải phương trình

D

ẠY

3 5 x + 4 + 3 x + 4 + 4 x 2 − 18 x − 12 = 0 (1.2)

Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) rất khó để sử lí, không thể đặt ẩn phụ chỉ có thể phân tích thành nhân tử. Vậy phân tích như thế nào? Ta sẽ dùng máy tính để dự đoán cách phân tích Hướng dẫn quy trình 5

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

4 - Điều kiện: x  − .

5 - Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x2 − 18 Alpha X − 12 = .

FF IC IA L

- Bấm shift solve 0 . Máy cho ta nghiệm X = 0 .

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách: sửa phương trình thành

(3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x 2 − 18 Alpha X − 12)  Alpha X .

O

- Bấm shift solve = máy báo X = 3.797... .

Ơ

N

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

H

- Sửa phương trình thành

N

(3 5 Alpha X + 4 + 3 Alpha X + 4 + 4 Alpha X x 2 − 18 Alpha X − 12)  .

Q U

Y

 Alpha X  ( Alpha X − Alpha A)

- Bấm shift solve = = máy báo X = 1 10−50 nghiệm này xấp xỉ bằng 0, tức vô

M

nghiệm.

KÈ

- Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thôi, làm thế nào tìm được nghiệm lẻ nữa để kết hợp với A để áp dụng định lí Talet đảo tìm được phương trình nhận chúng là nghiệm.

ẠY

* Cách 1: Mò phương trình bậc hai tạo ra nghiệm lẻ còn lại.

D

- Nghiệm đó là nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 .

- Thông thường là a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b.

- Ta đã lưu nghiệm lẻ tìm được vào A, bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách RCL A Shift STO X .

6

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Nhập: X 2 + BX : B = B + 1 bằng cách

FF IC IA L

alpha X x 2 + alpha B alpha X alpha  alpha B alpha = alpha B + 1 - Bấm CALL, máy hiện B ? ta bấm tiếp −9 =

- Bấm tiếp dấu " =" cho đến khi X 2 + BX là số nguyên thì dừng.

O

- Ở bài này ta dừng ở B = -3 khi X 2 + BX = 3 . Vậy: x 2 − 3x − 3 là nhân tử cần tìm.

N

➢ Ta cũng có thể dùng tính năng table cho nhanh như sau:

Ơ

- Bấm Mode 7.

H

- Máy hiện f(x) =, ta nhập: A2 + XA = 3 ( X chạy và A là nghiệm), rồi bấm "=".

Y

N

- Máy hiện Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu).

Q U

- Máy hiện End?, ta bấm 9= ( kết thúc).

- Máy hiện Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy là 1).

M

Nhìn vào bảng ta thấy luôn X = -3 thì f(x) = 3 vậy: f ( x) = A2 − 3 A = 3 , suy ra

KÈ

x 2 − 3x − 3 là nhân tử cần tìm.

ẠY

- Nếu không có giá trị đẹp có thể sửa thành 2 A2 + XA, 3 A2 + XA... tuy nhiên không đến nỗi khó thế, nó chỉ dừng ở hệ số của x 2 bằng 1 mà thôi.

D

* Cách 2: Mò biểu thức để ghép liên hợp.

- Những bài toán như thế này thường ghép liên hợp nhưng vấn đề đặt ra là ghép với số nào?

7

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

  5 x + 4 = ax + b - Dạng chính là:  ta phải đi tìm a, b, a', b'. x + 4 = a ' x + b '  

- Lưu nghiệm A = 3,79... sang nghiệm X = 3,79...

5x + 4-ax khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị nguyên

của biểu thức là 1 tại a = 1, tức a = 1 và b = 1.

- Tương tự, thử xem

FF IC IA L

- Thử xem

x + 4-a'x khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị

nguyên của biểu thức là -1 tại a = 1, tức a = 1 và b = -1.

H

Ơ

N

O

 − ( x 2 − 3 x − 3)  5 x + 4 − ( x+1) = 5 x + 4 + ( x+1)  - Vậy ta có:  , thế là định hướng xong.

2 − x − 3 x − 3 ( )   x + 4 − ( x-1) = x + 4 + ( x-1) 

Y

N

Bài giải

Q U

4 - Điều kiện: x  − .

5

(1.2)  3  5 x + 4 − ( x + 1)  + 3  x + 4 − ( x − 1)  + 4 ( x 2 − 3x − 3) = 0

KÈ

M

  3 3  ( x 2 − 3 x − 3)  4 − − =0 5 x + 4 + ( x + 1) x + 4 + ( x − 1)  

D

ẠY

 x 2 − 3x − 3 = 0   3 3 g ( x) = 4 − − =0  5 x + 4 + ( x + 1) x + 4 + ( x − 1)

- Ta có:

g '( x) = x  −

(

5   1 + 2  + 2 5 x + 4   5x + 4 + x + 1 3

)

(

1   1 + 2  0 x − 1 + x + 4   x + 4 + x −1 3

)

4 5 8

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

 4  Suy ra g(x) luôn đồng biến trên  − ; +  . Mà g(0) = 0 nên g(x) = 0 có nghiệm  5 

duy nhất x = 0.

3  21 .

2

FF IC IA L

- Xét x 2 − 3x − 3 = 0  x =

- Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0, x =

x+2 −2

)

(1.3)

O

(

N

x2 + 2 x − 8 Ví dụ 2: Giải phương trình 2 = ( x + 1) x − 2x + 3

3 + 21 2

Ơ

Hướng dẫn quy trình

N

H

- Điều kiện: x  −2 .

Y

- Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

Q U

Alpha X x 2 + 2 Alpha X − 8 − ( Alpha X + 1) Alpha X x 2 − 2 Alpha X + 3

(

)

Alpha X + 2 − 2 = .

M

- Bấm shift solve − 2 . Máy cho ta nghiệm X = 2 .

KÈ

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:

ẠY

Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm

D

shift solve 0 máy báo X = 3.302... .

- Tiếp tục tìm thêm nghiệm: shift solve 9 máy vẫn báo kết quả X = 3.302... .

9

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Điều đó cho thấy phương trình chỉ có hai nghiệm và có lẽ nghiệm X = 3.302... là một trong hai nghiệm của phương trình bậc hai, còn một nghiệm bị loại. Ta sẽ đi tìm phương trình bậc hai nhận X = 3.302... là nghiệm.

FF IC IA L

- Ta sẽ biến đổi phương trình thành phương trình hệ quả để tìm thêm được nghiệm ngoại lai

x2 + 2 x − 8 = ( x + 1) x2 − 2 x + 3

(

x+2 −2

)

N

O

x2 + 2 x − 8  2 + 2 ( x + 1) = ( x + 1) x + 2 x − 2x + 3 ( 2 x − 1) ( x 2 + 2 )  = ( x + 1) x + 2 (1.4) x2 − 2 x + 3 2

2

2

H

2

Ơ

 ( 2 x − 1) ( x 2 + 2 ) − ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 3) ( x + 2 ) = 0 (1.5)

N

- Nhập phương trình (1.5) vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình.

Q U

Y

- Bấm shift solve − 2 . Máy cho ta nghiệm X = −0.302... .

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

M

- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:

KÈ

Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm

ẠY

shift solve 3 máy báo X = 3.302... .

D

- Bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào B).

- Vậy là đã tìm được hai nghiệm lẻ, ta tính tổng và tích của chúng xem có ra số nguyên hay không bằng cách - Bấm: Alpha A + Alpha B = , máy hiện kết quả 3 (Đẹp quá rồi!).

10

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Bấm tiếp: Alpha A Alpha B = , máy hiện kết quả −1 - Vậy (1.5) sẽ có nhân tử: ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x − 1) .

FF IC IA L

Bài giải - Điều kiện: x  −2 . *Cách 1

x2 − 2 x + 3

)

O

x2 + 2 x − 8 + 2 ( x + 1) = ( x + 1) x + 2 x2 − 2 x + 3

= ( x + 1) x + 2

N



( 2 x − 1) ( x2 + 2 )

(

x+2 −2 

(1.4)

Ơ

x2 + 2 x − 8 = ( x + 1) x2 − 2 x + 3

 ( 2 x − 1) ( x 2 + 2 ) − ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 3) ( x + 2 ) = 0 (1.5) 2

2

H

2

2

Y

N

 ( x − 2 ) ( x 2 − 3x − 1)( − x 4 − x 3 − 3x 2 − x − 7 ) = 0

M

Q U

x = 2  3  13  x =  2  4 3 2  x + x + 3x + x + 7 = 0 (1.6)

KÈ

1  x  2 - Từ (1.4) ta thấy   −2  x  −1

D

ẠY

x = 2 1 • Nếu x  thì (1.6) vô nghiệm, suy ra (1.5) có hai nghiệm  3 + 13 .

2 x=  2

• Nếu −2  x  −1 Ta xét hàm số: f ( x) = x 4 + x3 + 3x 2 + x + 7 trên đoạn  −2; −1

11

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

f '( x) = 4 x3 + 3x 2 + 6 x + 1 f ''( x) = 12 x 2 + 6 x + 6  0, x 

Nên hàm số f'(x) đồng biến trên

. Vì vậy:

−31 = f '(−2)  f '( x)  f '(−1) = −6  f '( x)  0, x  −2; −1 , vậy hàm số f(x)

FF IC IA L

nghịch biến trên đoạn  −2; −1 , mà 9 = f (−1)  f ( x)  f (−2) = 25 nên (1.6) vô nghiệm.

Vậy, trên  −2; −1 phương trình (1.5) vô nghiệm.

O

x = 2 - Thử lại ta thấy phương trình (1.3) có hai nghiệm   x = 3 + 13  2

(

x = 2  x+4  2 =  x − 2 x + 3

x +1 x+2+2

)

( x − 2 )( x + 4 ) = ( x + 1)( x − 2 ) x2 − 2x + 3

x+2+2

Y

N

x+2 −2 

H

x2 + 2 x − 8 = ( x + 1) x2 − 2x + 3

Ơ

N

*Cách 2: Nhân liên hợp xuất hiện nhân tử ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x − 1)

Q U

(1.6)

KÈ

M

(1.6 )  ( x + 4 ) x + 2 = x3 − x 2 − x − 5  ( x + 4 ) ( x − 1 − x + 2 ) + x3 − 2 x 2 − 4 x − 1 = 0

3 − 13 không là nghiệm của phương trình (1.7) nên: 2

D

ẠY

Ta thấy x − 1 + x + 2  x =

(1.7)

 ( x + 4 ) ( x 2 − 3x − 1) 2 =0 ( x − 3x − 1) ( x + 1) + x −1− x + 2  (1.7 )   x  −2   x = 3 + 13  2

12

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

FF IC IA L

  x 2 − 3x − 1 = 0  x+4  x + 1 + = 0 (1.8)   x −1− x + 2    x  −2   x = 3 + 13  2  

Ta có: (1.8)  x2 + x + 3 + ( x + 1) x + 2 = 0

O

N

 ( x + 2)

2

1 3  x + 2 +  x + 2 −  + = 0 (Vô nghiệm do VT > 0).

2 4 

N

H

Ơ

x = 2  Vậy, phương trình (1.3) có hai nghiệm  3 + 13 . x=  2

Q U

Y

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 3 ( x 2 − 1) 2 x + 1  2 ( x3 − x 2 ) (1.9)

M

Hướng dẫn quy trình

KÈ

1 - Điều kiện: x  − .

2

ẠY

- (1.9)  ( x − 1) 3( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2   0

D

- Ta sẽ phân tích biểu thức 3( x + 1) 2 x + 1 − 2 x2 bằng cách sử dụng chức năng Solve của máy tính đề tìm nghiệm của phương trình: 3( x + 1) 2 x + 1 − 2 x2 = 0. Máy cho ta 2 nghiệm X = 6,464... và X = -0,464..., ta lưu vào 2 biến A và B, tính tiếp A + B = 6 và A.B = -3 nên 2 nghiệm tìm được chính là nghiệm của phương trình:

x2 − 6 x − 3 = 0 .

13

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Ép nhân tử chung x 2 − 6 x − 3 là xong.

Bài giải

FF IC IA L

1 - Điều kiện: x  − .

2

(1.9)  ( x − 1) 3( x + 1) 2 x + 1 − 2 x 2   0

(

)

 ( x − 1) 3 2 x + 1 x + 1 − 2 2 x + 1 − 2 ( x 2 − 6 x − 3)   0  

N

O

  x2 − 6 x − 3  ( x − 1) 3 2 x + 1 − 2 ( x 2 − 6 x − 3)   0 x + 1 + 2 2x + 1  

Q U

Y

N

H

Ơ

 − 2 x + 1 − 2 ( x + 1)   ( x − 1) ( x 2 − 6 x − 3)  0 x + 1 + 2 2 x + 1   2   1 3  − 2x + 1 +  −  2 4 2  ( x − 1) ( x − 6 x − 3)   0  x + 1 + 2 2x + 1       ( x − 1) ( x 2 − 6 x − 3)  0

(

) (

KÈ

M

 x  3 − 2 3;1  3 + 2 3; +

)

(

) (

)

Vây, bất phương trình có tập nghiệm: S = 3 − 2 3;1  3 + 2 3; + .

ẠY

❖ Bài tập vận dụng

D

Giải các phương trình, bất phương trình sau 1. ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1.

2. ( 3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2 x + 3 .

14

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

3. 3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15 .

4.

2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 − 4 − x  2 3 .

N

O

FF IC IA L

5. ( x − 1) x 2 − 2 x + 5 − 4 x x 2 + 1  2 ( x + 1)

H

Ơ

2. Sử dụng máy tính Casio khi giải hệ phương trình

N

2.1.Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ một phương trình

M

Q U

Y

 x 2 + xy + y 2 = 7 (2.1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau  2 2  x − xy − 2 y = − x + 2 y (2.2)

KÈ

Hướng dẫn quy trình Cách 1:

ẠY

* Nhận xét chung:

D

- Hệ gồm 2 phương trình hai ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ phương trình (2.2) biến đổi được còn phương trình (2.1) không có gì để biến đổi (Nhìn là có thể nhận biết được ngay điều này).

- Vậy, ý tưởng chung là: từ phương trình số (2.2) biến đổi đưa về mối quan hệ của x, y rồi thế vào phương trình (2.1).

15

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Tuy nhiên, biến đổi phương trình (2.2) như thế nào? Đa số học sinh thường bằng giác quan: nhóm nhóm, tách tách... tìm đủ mọi cách để phân tích thành nhân tử rồi đến một lúc nó sẽ ra.

- Để không phải loay hoay, mất thời gian tôi sẽ đưa ra phương pháp để lấy căn cứ

FF IC IA L

biến đổi như sau: *Sử dụng tính năng của Solve:

+ Nhập nguyên phương trình (2): X 2 − XY − 2Y 2 = − X + 2Y bằng cách nhập trên máy tính:

(2.3)

N

O

Alpha X x 2 − Alpha X AlphaY − 2 AlphaY x 2 = − Alpha X + 2 AlphaY

Ơ

Lưu ý:

N

X là biến và Y là tham số.

H

• " AlphaX , AlphaY " gọi là biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định

(

)

Q U

Y

• Dấu "=" trong (2.3) là dấu "=" màu đỏ Alpha = trên bàn phím.

M

+ Sau đó bấm phím: Shift Slove .

KÈ

+ Máy hiện Y ? : Máy hỏi giá trị ban đầu của Y là mấy để tìm X.

ẠY

+ Khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 = .

D

+ Máy tính hỏi: Slove for X thì bấm = .

+ Máy sẽ sử lí mất vài giây và màn hình cho kết quả:

X= −R=

0 0

.

Giải thích:

16

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

• Khi Y = 0 thì X = 0( có thể ra nghiệm X = -1, không ảnh hưởng đến thuật toán).

• Sai số của nghiệm là: 0.

FF IC IA L

+ Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại phương trình và khởi tạo lại cho Y = 1 thì được X = 2... cứ như vậy tới y = 5 thì được x = -6 và ta bẳng giá trị sau: Y

0

1

2

3

X

0 hoặc -1

2 hoặc -2

-3

-4

5

-5

-6

O

(Bảng 1)

4

N

+ Vậy là, từ bảng trên ta có quy luật: x + y + 1 = 0 ( Ưu thế của máy tính dừng ở

Ơ

đây, viết ra thì dài nhưng thực hành thì rất nhanh, tiết kiệm thời gian và định

H

hướng rất rõ ràng).

Y

N

+ Việc tiếp theo đã rõ: Biến đổi (2) để xuất hiện nhân tử: " x + y + 1"

KÈ

M

 x = −( y + 1)  x = 2y

Q U

x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y  x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0  x( x + y + 1) − 2 y( x + y + 1) = 0  ( x + y + 1)( x − 2 y) = 0

Vậy là nghiệm vừa rồi bị nhiễu tại Y = 0 và Y = 1 là do: " x = 2 y " .

D

ẠY

+ Việc còn lại là thế vào phương trình (1): • Khi x = −( y + 1) :.....

• Khi x = 2 y :

4 y 2 + 2 y 2 + y 2 = 7  y = 1

Cách 2: Cách này tuy phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm.

17

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

*Với Y = 0 ta được một nghiệm X = 0 . *Để xem phương trình còn nghiệm khác hay không, chúng ta sẽ làm như sau: + Ấn mũi tên sang ngang để sửa phương trình thành: 2

− XY − 2Y 2 + X − 2Y ) : ( X − 0 )

FF IC IA L

(X

+ Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm và tìm thêm nghiệm mới

+ Sau đó bấm lại như từ đầu và tìm được nghiệm ta tìm được X = −1 .

N

O

X 2 − XY − 2Y 2 + X − 2Y + Sau đó lại nhập: . ( X − 0 )( X + 1)

Ơ

+ Sau đó lại bấm lại quy trình tìm nghiệm thì máy báo "Can't solve" tức là vô

H

nghiệm hay phương trình ban đầu đã hết nghiệm. Vậy Y = 0; X = 0; X = −1 được

N

Y = 0 , X = 0 , X = −1 .

(

Y

+ Tiếp theo chúng ta ấn " mũi tên chỉ sang trái" để quay trở về phương trình. Ta lại

)

Q U

2 2 sửa phương trình thành: X − XY − 2Y + X − 2Y .

Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y = 1, X = 0 máy lại tính được X = 2 hoặc

KÈ

M

X = −2 . Cứ như vậy cho đến khi Y = 5 thì ta được kết quả như sau: 0

X

0(hoặc -1) 2(hoặc -2) -3(hoặc 4) -4(hoặc 6) -5(hoặc 8) -6(hoặc 10)

D

ẠY

Y

1

2

3

4

5

(Bảng 2) ➢ Cách này đầy đủ nhưng sẽ mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên trong bài viết này đa phần tác giả sẽ giải theo cách 1.

Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài một nghiệm đã tìm được

18

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Ví dụ khi Y = 0 lúc đó máy hỏi: "solve for X" thì ta ấn "0 = " máy sẽ tìm được nghiệm X = 0 , ấn tiếp "− 9 = " thì được nghiệm X = −1 , ấn tiếp "9 = " thì được nghiệm X = 0 . Điều đó cho biết máy đã tìm được hai nghiệm X = 0 và X = −1 khi

Y = 0.

FF IC IA L

- Trong bảng 1 từ giá trị Y = 2 đến Y = 5 ta thấy nó xuất hiện quy luật:

X + Y + 1 = 0 ( Tại Y = 0 và Y = 1 nó không có quy luật đó do có nhân tử gây

nhiễu bởi tính năng "solve" là tính năng dò nghiệm theo công thức Newton nên nó sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X).

O

- Bây giờ là việc thêm, bớt để ép phương trình (2) xuất hiện nhân tử : X + Y + 1

Ơ

N

x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y  x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0  x( x + y + 1) − 2 y( x + y + 1) = 0  ( x + y + 1)( x − 2 y) = 0

H

Bài giải

Q U

x + y +1 = 0  x − 2y = 0

Y

N

x 2 − xy − 2 y 2 = − x + 2 y  x 2 − xy − 2 y 2 + x − 2 y = 0  x( x + y + 1) − 2 y ( x + y + 1) = 0  ( x + y + 1)( x − 2 y ) = 0

KÈ

M

 y = −3  x = 2 • Với x = − y − 1 : (1.1)  y 2 + y − 6 = 0    y = 2  x = −3

ẠY

 y =1 x = 2 • Với x = 2 y : (1.1)  7 y 2 = 7    y = −1  x = −2

D

Vậy, hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) ( 2;1) ; ( −2; −1) ; ( 2; −3) ; ( −3;2 ) .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau

19

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y (2.3)  2 2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 (2.4)

FF IC IA L

Hướng dẫn quy trình * Nhận xét chung:

điều kiện của (2.3) là x  y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu "solve for X" ta phải nhập giá trị lớn hơn Y, chẳng hạn "9 =". Tại sao lại như vậy? Vì nếu ta cho

O

Y = 3 mà giá trị ban đầu X = 2 thì máy sẽ có hai kiểu dò nghiệm:

Ơ

H

+ Kiểu 2 là: ... 1,7 1,8 1,9  2

N

+ Kiểu 1 là: 2 → 2,1 → 2,2 → 2,3 → ...

x − y cũng không xác định ngay, do đó

N

Nhưng dù có đi theo con đường nào thì

Q U

của X lớn hơn Y.

Y

máy dừng dò nghiệm và báo "Can't solve". Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu

0

KÈ

Y

M

- Làm tương tự như ví dụ 1 ta được bảng sau

ẠY

X

1

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

(Bảng 3)

x − y = 1. Vậy ta sẽ đi theo hướng

D

- Từ bảng 3 ta thấy luôn quy luật x − y = 1 hay làm xuất hiện nhân tử x − y − 1 = 0 . Cụ thể:

20

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y  (1 − y ) x − y + x − 2 − ( x − y − 1)

y =0

 (1 − y ) x − y + x − y − 1 + ( y − 1) − ( x − y − 1) y = 0

(

(

 1− y

)

(

)

x − y − 1 + ( x − y − 1) 1 − y = 0

)(

)(

)

x − y − 1  1 + y + x − y + 1 = 0  

1 − y = 0    x − y −1 = 0   1 + y + x − y + 1 = 0 (VN ) 

(

FF IC IA L

 (1 − y )

N

O

)

H

Ơ

+ Với 1 − y = 0  y = 1: Thế vào (2.4) ta được x = 3.

x − y − 1 = 0  x = y + 1: Thế vào (2.4) ta được:

N

+ Với

Y

2 y 2 − 3( y + 1) + 6 y + 1 = 2 1 − y − 1 − y  2 y 2 + 3 y − 2 = 1 − y (2.5)

Q U

Ở phương trình (2.5) ta thấy vế phải là hàm số nghịch biến và vế trái là hàm số đồng biến nên phương trình có nhiều nhất là một nghiệm.

KÈ

M

➢ Ta sẽ sử dụng máy tính để dò nghiệm nào!

• Nhập phương trình: 2 alpha X x 2 + 3 alpha X − 2alpha =

1 − alpha X

ẠY

( Dấu "=" trong khi nhập phương trình là dấu "=" màu đỏ, biến trong phương trình

D

là "X" chứ không phải "Y" vì máy tính đã mặc định như vậy rồi).

• Sau đó bấm: shift solve 0,5 = ( Lưu ý: do x  0;1 nên chọn giá trị khởi đầu phải thỏa mãn điều kiện). Thật không may mắn vì máy tính cho nghiệm rất lẻ. Không sao, ta hi vọng nó là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

21

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

• Ta sẽ tư duy như thế này nhé: phương trình (5) nếu bình phương hai vế sẽ được phương trình bậc bốn nên có thể sẽ phân tích được thành:

(x

2

+ Sx + P )( x 2 + S ' x + P ') = 0 . Do đó nếu ta tìm được một nhân tử là xong.

FF IC IA L

Ta sẽ làm xuất hiện nhân tử bằng cách sau: - Nhập phương trình: ( 2 alpha X x 2 + 3 alpha X − 2 ) − (1 − alpha X ) = 2

- Sau đó bấm: shift solve 0 =

N

O

Máy báo: X = 0,3288...

Ơ

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

H

- Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa

)

+ 3 alpha X − 2 ) − (1 − alpha X )  ( alpha X − alpha A) 2

Y

2

Q U

(( 2 alpha X x

N

mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi A ? 0,3228... , ta bấm tiếp = thì máy hiện

M

Slove for X ta bấm tiếp 0 = máy báo X = 0,6180... . ta ấn phím sang trái rồi ấn

KÈ

= để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm

ẠY

được vào B).

- Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa

D

mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

(( 2 alpha X x

2

+ 3 alpha X − 2 ) − (1 − alpha X ) 2

)

 ( alpha X − alpha A)( alpha X − alpha B )

22

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Sau đó bấm: shift solve = = 0 = . Ta được nghiệm X = −1,61803... ta ấn phím sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO C ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào C).

đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

(( 2 alpha X x

2

+ 3 alpha X − 2alpha X ) − (1 − alpha X ) 2

)

FF IC IA L

- Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình đã lưu,

O

 ( alpha X − alpha A )( alpha X − alpha B )( alpha X − alphaC )

Ơ

Vậy là ta có bốn nghiệm là: A, B, C, X.

N

Sau đó bấm: shift solve = = = 0 = . Ta được nghiệm X = −2,3288... .

N

H

- Ta tính tổng và tích các nghiệm để tìm được phương trình bậc hai với hệ số nguyên. Sau khi thử ta thấy: BC = −1 và B + C = −1, vậy theo định lí Viet ta có B,

Q U

Y

C là nghiệm của phương trình x 2 + x − 1 = 0 .

Bài giải:

M

- Vậy ta đưa phương trình (5) về dạng tích có chứa nhân tử x 2 + x − 1 , thế là xong.

ẠY

KÈ

( 2.3)  (1 − y ) x − y + x − 2 − ( x − y − 1) y = 0  (1 − y ) x − y + x − y − 1 + ( y − 1) − ( x − y − 1)  (1 − y ) ( x − y − 1) + ( x − y − 1) (1 − y ) = 0

(

D

 1− y

)(

)(

y =0

)

x − y − 1  1 + y + x − y + 1 = 0  

1 − y = 0    x − y −1 = 0   1 + y + x − y + 1 = 0 (VN ) 

(

)

23

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

+ Với 1 − y = 0  y = 1: Thế vào (2.4) ta được x = 3.

x − y − 1 = 0  y = x + 1: Thế vào (2.4) ta được:

+ Với

FF IC IA L

2 y 2 − 3( y + 1) + 6 y + 1 = 2 1 − y − 1 − y  2 y 2 + 3 y − 2 = 1 − y (2.5)  2 y 2 + 3 y − 2 = 1 − y  2 ( y 2 + y − 1) + y − 1 − y = 0

  y2 + y −1 1  2 ( y + y − 1) + = 0  ( y 2 + y − 1)  2 +  = 0  y + 1− y y + 1 − y  

Ơ

N

 5 −1 (t / m) y = 5 +1 2 2  y + y −1 = 0   x= 2  − 5 −1 (l ) y =  2

O

2

Y

N

H

  5 + 1 5 − 1   Vậy, hệ phương trình có nghiệm: ( x; y )  ( 3;1) ;  ;  .

2 2    

Q U

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

KÈ

M

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12 (2.6)    x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2 (2.7)

ẠY

Hướng dẫn quy trình

D

* Nhận xét chung: - Ta thấy phương trình (2.6) dễ biến đổi hơn.  2  y  12 • Điều kiện:  2  x  12

24

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

• Làm tương tự như trên ta có bảng sau: Y

2

3

4

5

6

7

X

3,16

3

2,828

2,64

2,44

5

0 3,464=

Y

2

3

4

5

6

X2

9,999

9

8

7

O

• Ta thử bình phương X xem sao:

FF IC IA L

Ta nhận thấy khi Y tăng thì X giảm.

12

5

0

12

Ơ

N

6

7

H

Ta thấy xuất hiện quy luật: y + x 2 = 12 . Tuy nhiên ta thấy ở bài này không dễ phân

N

tích thành nhân tử như bài trước được, vậy ta chỉ có thể nghĩ đến việc dùng phương

Y

pháp hàm số hoặc đánh giá thôi.

Q U

➢ Phân tích: Ở phương trình (6) mà dùng phương pháp hàm số khó: do có tích x và y, mà chia thì vướng số 12 ở vế phải, trong khi đó dùng

M

bất đẳng thức Cosi thì xuất hiện ngay y + x 2 = 12 . Ta sẽ dùng

KÈ

máy tính kiểm tra luôn nhé!

ẠY

Ở đây ta sẽ dùng tính năng của CALL.

D

• Nhập vế trái của (6): alpha X

12 − alphaY +

alphaY − (12 − alpha X x 2 )

• Sau đó bấm: CALL. • Máy hỏi: X ? (Tức: Cho X bằng mấy ?), ta nhập: 1 = .

25

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

• Máy hỏi: Y ? (Tức: Cho Y bằng mấy ?), ta nhập: 11 = (hoặc tùy ý).

Ta sẽ có bảng sau: 1

1

2

2

X

10

11

10

11

11,9

12

11,7

11,38

Giá trị

3

4

8

11

10,89

8,7

error

O

hàm

3

FF IC IA L

Y

• Từ bảng trên ta thấy vế trái luôn nhỏ hơn 12, vậy dùng phương pháp đánh

Ơ

N

giá là đúng đắn.

H

• Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

Y

N

2 x 2 + (12 − y ) y + (12 − x ) x 12 − y + y (12 − x )  + = 12 2 2 2

M

Q U

 x = 12 − y x  0  Dấu "=" xảy ra khi  2 2  y = 12 − x  y = 12 − x

KÈ

- Thế: y = 12 − x 2 vào phương trình (2.7) ta được: x3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 .

- Nhập phương trình và tìm được nghiệm x = 3, vậy ta sẽ biến đổi để làm xuất hiện

ẠY

nhân tử: x - 3 là xong.

D

Bài giải

 2  y  12 - Điều kiện:  2  x  12

- Xét (2.6): Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được 26

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số 2 x 2 + (12 − y ) y + (12 − x ) x 12 − y + y (12 − x )  + = 12 2 2 2

FF IC IA L

 x = 12 − y x  0 Dấu "=" xảy ra khi   2 2  y = 12 − x  y = 12 − x x  0 Vậy (2.6)   .

2 y = 12 − x 

- Thế: y = 12 − x 2 vào phương trình (2.7) ta được:

O

x3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2

N

)

(

x2 − 9

2

=0

H

 ( x − 3) ( x + 3x + 1) + 2

Ơ

 x3 − 8 x − 3 + 2 1 − 10 − x 2 = 0

N

1 + 10 − x 2

Q U

Y

 x+3   ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 + 2 =0 1 + 10 − x 2   x+3

1 + 10 − x 2

= 0 vô nghiệm.

M

- Do x  0 nên: x 2 + 3x + 1 + 2

KÈ

- Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( x; y ) = ( 3;3) .

2  y2 y + 1 + = y2 + 2 x − 2   x Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau   x + x − 1 + y = y 2 + y (2.9)  y x 

)

(2.8)

D

ẠY

(

Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.9) dễ biến đổi hơn, nên ta sẽ biến đổi (2.9).

27

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Điều kiện: x  2; y  0 .

- Nhập phương trình: x +

x −1 y + = y2 + y . y x

FF IC IA L

- Bấm: shift solve 0 = máy hiện: Y ? , các bạn nhập: 1 = .

- Máy hiện: Slove for X (Tức khai báo giá trị đầu của X).

- Các bạn bấm 0 = . Máy sẽ trả về giá trị nghiệm: X = 0,5 . Vậy Y = 1 thì

O

X = 0,5 .

N

- Để tìm nghiệm tiếp với Y = 2 thì các bấm: shift solve máy sẽ hiện Y ? các

H

Ơ

bạn nhập: 2 = .

X

0,5

2

3

Y

1

Q U

Y

N

- Cứ như vậy ta có bảng sau:

0,333... =

1 3

0,25 =

4

1 4

1 5

0,1666... =

1 6

1  XY + X − 1 = 0 .

Y +1

KÈ

M

- Dựa vào bảng, ta thấy xuất hiện quy luật: X =

0, 2 =

5

ẠY

- Ta sẽ ép để xuất hiện nhân tử trên: xy + x − 1 là xong.

Bài giải

D

- Điều kiện: x  2; y  0 .

28

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

xy + x − 1 y + − y2 − y = 0 y x

( 2.9 ) 

 ( xy + x − 1) x + y 2 − y 3 x − xy 2 = 0  ( xy + x − 1) x − y 2 ( xy + x − 1) = 0  ( xy + x − 1) ( x − y 2 ) = 0

FF IC IA L

(2.10)

- Với x  2; y  0  xy + x − 1  0 nên từ (2.10)  x = y 2 .

- Thế vào (2.8) ta được: y + 1 + 1 = y2 + 2 y2 − 2 



(

)

) ( 2

y +1=

2

y2 − 2 + 1

 y = −1  0 y2 − 2  y2 − y − 2 = 0   y = 2 x = 4

Ơ

y=

)

2

y2 − 2 + 1 

)

y + 1 = ( y2 − 2) + 2 y2 − 2 + 1

N

y +1 =

(

H



2

O

(

N

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( x; y ) = ( 4;2 )

Q U

Y

2.2. Dạng 2: Các mối quan hệ được rút ra từ kết hợp hai phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

ẠY

KÈ

M

2 ( x + y )3 + 4 xy − 3 = 0 (2.11)  4 2 2 ( x + y ) − 2 x − 4 xy + 2 y + x − 3 y + 1 = 0 (2.12)

Hướng dẫn quy trình

D

- Ta nhận thấy cả phương trình (2.11) và (2.12) đều không khả thi khi sử dụng cách giải ở dạng 1. Vậy, ta xét:

( x + y)

4

3 − 2 x2 − 4 xy + 2 y 2 + x − 3 y + 1 + k 2 ( x + y ) + 4 xy − 3 = 0 ( 2.13)  

29

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Thử với k = 1;  2;  3;  4... để Y nguyên thì X nguyên là được.

- Với k = 1, ta có bảng giá trị sau: 0

1

2

3

X

1

0

-1

...

Như vậy, ta đã thấy xuất hiện quy luật: X + Y = 1.

4

5

FF IC IA L

Y

...

...

- Biến đổi phương trình (2.13) với k = 1 để xuất hiện nhân tử X + Y − 1 là xong.

O

Bài giải

− 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 + x − 3 y + 1 + 2 ( x + y ) + 4 xy − 3 = 0   3

Ơ

4

H

( x + y)

N

- Cộng về với vế của (2.11) và (2.13) ta được

 ( x + y ) + 2( x + y ) − 2x2 + 2 y 2 + x − 3 y − 2 = 0 4

N

3



Q U

Y

3 2  ( x + y ) ( x + y − 1) + 3 ( x + y ) − 1 − 2 x 2 + 2 ( y 2 − 2 y + 1) + ( x + y − 1) = 0   3 2  ( x + y ) ( x + y − 1) + 3 ( x + y ) − 1 − 2  x 2 − ( y 2 − 2 y + 1)  + ( x + y − 1) = 0  



 ( x + y − 1) ( x + y ) + 3 ( x + y ) + 2 + x + 5 y = 0 3

2

KÈ

M

x + y −1 = 0  3 2 ( x + y ) + 3 ( x + y ) + 2 + x + 5 y = 0 (13)

• Với ( x + y ) + 3( x + y ) + 2 + x + 5 y = 0 (13) 2

ẠY

3

D

Lấy 2 nhân (13) rồi trừ vế, với vế cho (11) ta được:

30

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

6 ( x + y ) + 2 x + 10 y + 4 − 4 xy + 3 = 0  6 ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4 xy + 2 x + 10 y + 7 = 0 2

2 2 14 2 16 2   2  25    25  2   5 x + 8 xy + y  + ( x + 2 x + 1) +  x + 10 y +    + 7 − 1 −   = 0 5    14    14   5

2

 Phương trình vô nghiệm.

FF IC IA L

2

 14 4  25  551 2  x 5 + y  + ( x + 1) +  y+  + =0 5 4 196 5    

• Với x + y − 1 = 0 : Thế vào phương trình (11) ta được

O

1 1 y= .

2 2

N

2 + 4(1 − x) − 3 = 0  x =

N

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

H

Ơ

1 1 Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ;  . 2 2

M

Q U

Y

2 x 2 − 11x − 2 y + 9 = 0 (2.14)  2 3 2 4 x − 22 x + 21 + y + 3 y + y = ( 2 x + 1) 2 x − 1 (2.15)

KÈ

Hướng dẫn quy trình

- Ta nhận thấy cả phương trình (2.14) và (2.15) đều không khả thi khi sử dụng cách

ẠY

giải ở dạng 1. Vậy, ta xét:

D

4 x 2 − 22 x + 21 + y 3 + 3 y 2 + y − ( 2 x + 1) 2 x − 1 + k ( 2 x 2 − 11x − 2 y + 9 ) = 0 (2.16)

Thử với k = 1;  2;  3;  4... để Y nguyên thì X nguyên là được.

- Thử với k = 1, Y = 0 suy ra X = 9,..., nghiệm xấu nên dừng.

31

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

- Thử với k = 2, Y = 0 suy ra X = 1, nghiệm đẹp nên tiếp tục thao tác ta được bảng giá trị sau: 0

1

2

3

4

X

1

2,5

5

8,5

13

FF IC IA L

Y

Vậy là xuất hiện quy luật: y + 1 = 2 x − 1 . Ở phương trình (16): x và y rất độc lập với nhau nên ta nghĩ đến phương pháp hàm số.

O

Bài giải

Ơ

N

- Trừ vế, với vế của phương trình (2.15) cho (2.16) ta được:

y 3 + 3 y 2 + 5 y + 3 = ( 2 x + 1) 2 x − 1

(

)

3

2 x − 1 + 2 2 x − 1 (2.17)

Q U

3

Y

 ( y + 1) + 2 ( y + 1) =

N

H

 ( y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1) + 2 ( y + 1) = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + 2 2 x − 1

- Xét hàm số: f (t ) = t 3 + 2t , ta có: f '(t ) = 3t 2 + 2  0, t 

. Suy ra hàm số f(t)

M

luôn đồng biến, nên: (2.17)  y + 1 = 2 x − 1  y = 2 x − 1 − 1.

KÈ

- Thế vào phương trình (2.14) ta được: 2 x 2 − 11x − 2

(

)

2 x − 1 − 1 + 9 = 0 (2.18)

D

ẠY

t2 +1 Đặt t = 2 x − 1 (t  0)  x = , phương trình (2.18) trở thành: 2 2

 t2 +1  t2 +1 4 2 2  − 11  − 2t + 11 = 0  t − 9t − 4t + 12 = 0  2   2  t = 3 2  ( t − 3)( t − 1)( t + 2 )  t = 1  t = −2(l )

32

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

x = 5 • Với t = 3   y = 2

Vậy, hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) ( 5;2) ; (1;0). ❖ Bài tập vận dụng

O

Giải các hệ phương trình sau

N

H

Ơ

N

2 2 3  5 x y − 4 xy + 3 y − 2( x + y ) = 0 1.  2 2 2   xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )

4   x +1 + 4 x −1 − y + 2 = y 2.  2 2   x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0

FF IC IA L

x = 1 • Với t = 1   y = 0

Q U

Y

2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y = 0 3.  2 2 4 x − y − 6 y + x = 2 x + y + x + 4 y

KÈ

M

 x3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y  4.  2 1 2 x + y − x + y =  2

ẠY

5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 5.  2 2 2  xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )

D

( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 6.  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

33

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

 x3 ( 4 y 2 + 1) + 2 ( x 2 + 1) x = 6  7.  2 2 2 x y 2 + 2 4 y + 1 = x + x + 1 

 x 2 − x − y − 1. 3 x − y − 1 = y + 1 8.  x + y + 1 + 2 x + y = 5 x 2 + 3 y 2 + 3x + 7 y VIII. Những thông tin cần được bảo mật: Không.

IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

FF IC IA L

)

(

O

Học sinh lớp 10 khi học Đại số chương III và chương IV.

N

X. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

Ơ

theo ý kiến của tác giả:

Học sinh được học theo nội dung trình bày trong sáng kiến sẽ tự tin hơn khi

H

đối mặt với việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đề thi

N

THPT Quốc Gia và kì thi học sinh giỏi đạt được kết quả cao hơn. Cụ Thể: Học sinh

Y

khá giỏi sẽ định hướng lời giải nhanh hơn để tiết kiệm thời gian dành cho các bài

Q U

khác, còn học sinh trung bình có thể làm được những bài không quá phức tạp hoặc làm được phần đầu những bài phức tạp mà có thể dùng máy tính cầm tay giải được.

M

Bản thân giáo viên khi viết đề tài này đã phần nào đó rèn luyện cho mình khả năng nghiên cứu khoa học, tìm tòi và phân tích và tổng hợp tài liệu, tăng cường khả

KÈ

năng tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn.

Sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo về các phương pháp giải

ẠY

phương trình, bất phương trình và hệ phương trình để trao đổi kinh nghiệm với đồng

D

nghiệp và truyền đạt cho học sinh.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này

nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp và học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu quả máy tính cầm tay trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 34

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

đại số" được hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu hay, hữu ích trong việc dạy và học phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số.

XI. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: Tên tổ chức/cá

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

FF IC IA L

STT

nhân 1

áp dụng sáng kiến

THPT Nguyễn Viết Xuân

Giáo viên

Bồi dưỡng kiến thức giải phương trình,

Vũ Thị Thanh Nga

O

bất phương trình và

THPT Nguyễn Viết Xuân

Nâng cao kiến thức

H

Lớp 12A2, 12A5

THPT Quốc Gia

M

Q U

Y

N

2

D

ẠY

KÈ

Vĩnh Tường, ngày..... tháng 02 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu)

học sinh ôn thi

Ơ

N

hệ phương trình cho

Vĩnh Tường, ngày.....tháng......năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu)

giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Vĩnh Tường, ngày 20 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên)

Vũ Thị Thanh Nga

35