PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC .

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ”

A

C

ẤP

“PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

H

Ó

3. Tác giả chuyên đề

-L

Í-

4. Chủ đầu tư chuyên đề

TO

ÁN

5. Lĩnh vực áp dụng chuyên đề

H Ơ

Ỡ N

G

Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 8 ,9 có nội dung liên quan đến kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2+

3

2. Tên chuyên đề

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

1. Lời giới thiệu Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này.

Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” . phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức là giáo viên đưa ra các phương pháp cụ thể cho học sinh nhưng phải theo từng đối tượng học sinh thì với mỗi bài toán cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đó là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quá trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp.

N

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN

BỒ

ID Ư

6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ tháng 11 năm 2014.

7. Mô tả bản chất của chuyên đề 7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...

7.1.1. Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử . Cụ thể là:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Các phương pháp thường dùng khi giải phân tích đa thức thành nhân tử . + Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán có liên quan + Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.

N

7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

H Ơ

+ Xây dựng hệ thống lý luận về vấn đề nghiên cứu

Y

N

+ Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu

ẠO

7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

+ Thời gian: Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng 1 năm 2016

TR ẦN

H

+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh TườngVĩnh Phúc .

B

+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8, qua các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.

10

00

7.1.4. Phương pháp nghiên cứu 1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan

2+

3

+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập.

ẤP

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.

A

C

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.

H

Ó

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.

-L

Í-

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8,tài liệu chuyên toán lớp 8

ÁN

,nâng cao và phát triển toán 8,....

TO

2. Điều tra:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

a. Dự giờ:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

+ Địa điểm: Lớp 8 Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ Tiến hành thử nghiệm và đối chiếu kết quả.

TP .Q

U

+ Đề xuất giải pháp nghiên cứu

- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến

phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học . b. Đàm thoại:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 2

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh

N

pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp

H Ơ

- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện

N

chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.

c. Thực nghiệm:

ẠO

- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

cố kiến thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm

H

vững các kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán

TR ẦN

cho học sinh. Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập

00

B

ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh. Ngoài ra đối với học sinh khá giỏi giáo

2+

3

d.Theo dõi các bài kiểm tra:

10

viến nên có thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao.

ẤP

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình,

C

khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích

H

Ó

A

hợp cho từng đối tượng học sinh.

-L

Í-

7.2. Định nghĩa và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .

7.2.1.Định nghĩa :

ÁN

phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành tích của các đa thức

TO

khác.

Ỡ N

G

7.2.2. các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

hành ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

khác.

BỒ

ID Ư

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ từ dễ đến khó..

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.

1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.

A.B + A.C = A ( B + C). Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 3

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).

Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).

Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

H Ơ N Y

00

B

chung ( x– y) hoặc ( y – x)?

10

HS: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)

A

C

ẤP

2+

3

Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).

Giải: 10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y) = 2( x – y).5x + 2( x – y).4y

Í-

H

Ó

= 2( x – y)( 5x + 4y).

3) 9x( x – y) – 10( y – x) .

2

-L

Cách giải sai:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

9x( x – y) – 10( y – x)2

= 9x( x – y) + 10( x - y)2 = ( x – y) [9x + 10( x – y)]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

GV: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q ẠO Đ G

TR ẦN

HS: ( x – y) hoặc ( y – x).

Ư N

GV: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

HS: 2

N

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 5 x 2 ( x − 2 y ) − 15 x ( x − 2 y ) GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?

HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5 GV: Tìm nhân tử chung của các biến?

HS: x(x – 2y) Giải: 5 x 2 ( x − 2 y ) − 15 x ( x − 2 y ) = 5 x ( x − 2 y )( x − 3) 2) 10 x ( x − y ) − 8 y ( y − x ) GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?

= ( x – y)(19x – 10y).

Sai lầm: - Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 - Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2 Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).

Cách giải đúng: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 4

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= ( x – y) [9x - 10( x – y)] = ( x – y)(10y – x).

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

N

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.

TP .Q

x m +1 − x m x m+2 − x 2 x m+2 − x m

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TR ẦN

H

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 1) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2

00

B

3) A2 - B2 = ( A + B )( A - B )

10

4) ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3

2+

3

5) ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3

ẤP

6) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)

Í-

H

Ó

A

C

7) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ( a – b )2 – ( a + b )2 GV: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

-L

HS: Có dạng A2 - B2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Cách giải sai: ( a – b )2 – ( a + b )2 = ( a – b + a + b ) – ( a – b – a + b ) = 2a.0 = 0.

Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

10) x m+1 − x m+1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

2 a 2 b ( x + y ) − 4 a 3b ( − x − y )

ẠO

2

Y

6) 7) 8) 9)

G

5) 3ab ( x − 4 ) + 9a 2 ( 4 − x )

N

Bài tập áp dụng: 1) 2axy − 4a 2 xy 2 + 6a3 x 2 2) -7x 2 y5 -14x 3 y 4 -21y3 3) 2 xy ( a − 1) − 4 x 2 y (1 − a ) 4) 5a 2 ( x − y ) + 10a ( x − y )

H Ơ

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.

Cách giải đúng: ( x – y )2 – ( x + y )2 = [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )] = ( x – y + x + y ).( x – y – x – y ) = 2x.( –2y) = –4xy.

Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 5

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2) 10 x − 25 − x 2

3) 8 x 3 −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 8

4) 8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3

5)

1 2 x − 64 y 2 25

N

Giải: 2 2) 10 x − 25 − x 2 = − ( x 2 − 10 x + 25 ) = − ( x − 5 )

H Ơ

3

1 1 1 1 3 3) 8 x − = ( 2 x ) −   =  2 x −   4 x 2 + x +  8 2  4 2  3

Y

2

TP .Q

1 1 1 1 2 5) x 2 − 64 y 2 =  x  − ( 8 y ) =  x + 8 y   x − 8 y  25 5  5  5 

ẠO

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.

Bài tập áp dụng: 1 3 x + 8 y3 8 1 7) x 6 − 125 y 3 64 8) x3 + 15 x 2 + 75 x + 125

TR ẦN

1) 25a 2 − 1

6)

00

B

2) 144a 2 − 81 2

9) 27a 3 − 54a 2b + 36ab 2 − 8b3 10) x 6 − x 6

ẤP

2+

3

10

3) ( a − 2b ) − 4b 2 4) x 2 + 10 x + 25 5) 25 x 2 − 20 xy + 4 y 2

Ó H

đẳng thức.

A

C

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng

ÁN

-L

Í-

Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.

Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.

TO

Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 3x 2 − 3xy − 5 x + 5 y 2) x 2 + 4 x − y 2 + 4 – 4y2 – 4y Giải: 1) 3x 2 − 3xy − 5 x + 5 y Cách giải sai: 3x 2 − 3xy − x + y = 3x ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) 3x Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

- Quy tắc dấu ngoặc.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

U

3

4) 8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 = ( 2 x ) + 3. ( 2 x ) . y + 3.2 x. y 2 + y 3 = ( 2 x + y )

N

3

3) x2 – 2x

Cách giải đúng: 3x 2 − 3xy − 5 x + 5 y = 3x ( x − y ) − 5 ( x − y ) = ( x − y )( 3x − 5 )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 6

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)

TP .Q

= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )

ẠO

Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.

G

Đ

Cách giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)

Ư N

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )

TR ẦN

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

B

- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.

Bài tập áp dụng: 1) ax + ay + 2 x + 2 y 6) 3ax 2 + 3bx 2 + ax + bx + 5a + 5b 2) x 2 − xy − 2 x + 2 y 7) ax 2 − bx 2 − 2ax + 2bx − 3a + 3b 3) 10ax − 5ax − 5ay + 2 x − y 8) ax 2 − 5 x 2 − õ + 5 x + a − 5 4) 2a 2 x − 5by − 5a 2 y + 2bx 9) ax + bx + cx − 2a − 2b − 2c 5) 2 x 2 − 6 xy + 5 x − 15 y 10) ax − bx − 2cx − 2a + 2b + 4c 2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng

ÁN

pháp.

-L

Í-

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương

TO

• Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

• Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )

= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )

N

2) x 2 + 4 x − y 2 + 4 Sai lầm: HS không biết nhóm các hạng tử nào với nhau.

GV: Nếu như nhóm 2 hạng tử không được ta nhóm ba hạng tử.

2 Cách giải đúng: x 2 + 4 x − y 2 + 4 = x 2 + 4 x + 4 − y 2 = ( x + 2 ) − y 2 = ( x + 2 − y )( x + 2 + y ) 3) x2 – 2x – 4y2 – 4y Cách giải sai:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

• Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.

Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 7

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1) x4 – 9x3 + x2 – 9x Giải: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x Cách giải chưa hoàn chỉnh:

2) 8 xy 3 + x ( x − y )

3

H Ơ

N

Cách 1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 ) Cách 2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)

Y

H

Cách giải chưa hoàn chỉnh:

TR ẦN

3 3 8 xy 3 + x ( x − y ) = x 8 y 3 + ( x − y )   

00

B

Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.

Cách giải đúng:

10

3 3 2 8 xy 3 + x ( x − y ) = x 8 y 3 + ( x − y )  = x ( 2 y + x − y )  4 y 2 + 2 y ( x − y ) + ( x − y )     

2+

3

= x ( x + y ) ( 4 y 2 + 2 xy − 2 y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 ) = x ( x + y ) ( 3 y 2 + x 2 )

ẤP

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

A

C

- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta vẫn có thể phân tích

H

Ó

được nữa.

Í-

- Củng cố các công thức:

TO

ÁN

-L

( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 3

= A3+ B3 + 3AB( A + B) 3

3

G

⇒ A + B = ( A + B ) – 3AB( A + B)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

3

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2) 8 xy 3 + x ( x − y )

Đ

= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]= x( x – 9 )(x2 + 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

= ( x – 9 )( x3 + x ) Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.

Cách giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )

N

= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bài tập áp dụng: 2 1) ( a 2 + 4b 2 ) − 16a 2b 2

6) x 2 − ( 2a + b ) xy + 2aby 2

2) x 2 + 2 xy + y 2 − 25 7) ab ( x 2 + y 2 ) + xy ( a 2 + b 2 ) 3) x 2 − 2 x + 1 − a 2 − 2ab − b 2 8) 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2 4) x 2 ( a − b ) − 2 xy ( a − b ) + ay 2 − by 2 9) −12 x 4 y + 12 x 3 y 2 − 3x 2 y 3 5) x3 + 2 x 2 y + xy 2 − 9 x 10) x 2 + 4 xy + 4 y 2 − a 2 + 2ab − b 2 3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 8

B

2+

3

10

00

2) x 2 + 4 xy − 5 y 2 Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng: 2

2

ẤP

x 2 + 4 xy − 5 y 2 = x 2 + 4 xy + 4 y 2 − 9 y 2 = ( x + 2 y ) − ( 3 y ) = ( x + 2 y − 3 y )( x + 2 y + 3 y ) = ( x − y )( x + 5 y )

A

C

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

H

Ó

- Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức.

G

TO

ÁN

-L

Í-

- Biết cách nhóm ba hạng tử để xuất hiện hàng đẳng thức.

Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử Phương pháp: Cho đa thức : ax 2 + bx + c - Tìm tích ac - Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách ac = a1c1 = a2 c2 = a3c3 = ...a j c j = ...

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

x 2 − 2 x − 3 = x 2 − 2 x + 1 − 4 = ( x − 1) − 22 = ( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2 ) = ( x − 3)( x + 1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình phương. Đây là một kỹ thuật rất quan trọng liên quan đến dạng toán tìm Min, Max, do đó GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp này cho HS. Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x 2 − 2 x − 3 2) x 2 + 4 xy − 5 y 2 Giải: 1) x 2 − 2 x − 3 GV: Đối với phương pháp này các em nên tách để đưa về dạng A2 ± 2 AB + B 2 GV: Theo em ở câu 1 chúng ta nên tách hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức?

HS: Tách hạng tử –3 = 1 – 4.

GV: Khi đó ta được x 2 − 2 x + 1 − 4 . Tới đây ta đưa về dạng nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.

2 HS : x 2 − 2 x + 1 − 4 = ( x − 1) − 22 GV: Biểu thức thu được thuộc hằng đẳng thức nào?

HS: A2 − B 2 Cách giải đúng:

N

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Chọn hai thừa số mà tổng bằng ( b = a j + c j ) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 3x 2 + 7 x − 6 2) 10 x 2 − 11x − 6 3) 8 x 2 + 10 x − 3 Giải: 1) 3x 2 + 7 x − 6 GV: Hãy tìm tích ac.

HS: ac = 3.(-6) = -18.

GV: Phân tích tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách HS: 3. ( −6 ) = −18 = ( −3) .6 = ( −2 ) .9 = 2. ( −9 ) = ( −1) .18 = 1. ( −18)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 9

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà có tổng bằng 7 HS: 7 = -2 + 9 GV: Như vậy ta có: 7x = -2x + 9x Cách giải đúng: 3 x 2 + 7 x − 6 = ( 3 x 2 − 2 x ) + ( 9 x − 6 ) = x ( 3 x + 2 ) + 3 ( 3 x + 2 ) = ( 3 x + 2 )( x + 3)

N

H Ơ

N

2) 10 x 2 − 11x − 6 Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng:

ẠO

8 x 2 + 10 x − 3 = 8 x 2 − 2 x + 12 x − 3 = 2 x ( 4 x − 1) + 3 ( 4 x − 1) = ( 4 x − 1)( 2 x + 3)

H

x5 + x 4 + x 3 − x 4 − x 3

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Có nhiều cách tách để đi đến kết quả như tách hạng tử thứ nhất, tách hạng thử thứ ba. Tuy nhiên tách hạng tử thứ hai là dễ dàng giải quyết bài toán.

- Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.

Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2 Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử chung x 2 + x + 1 hoặc x 2 − x + 1 Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2) x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005 1) x5 + x + 1 Giải: 1) x5 + x + 1 = ( x 5 + x 4 + x3 ) − ( x 4 + x3 + x 2 ) + ( x 2 + x + 1) GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau: x5 + x 4 + x 3 GV: Như vậy khi ta thêm x 4 + x 3 thì ta sẽ bớt x 4 + x 3 ở phía sau, ta được:

Í-

GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được:

-L

x5 + x + 1 = x 5 + x 4 + x3 − x 4 − x3 − x 2 + x 2 + x + 1

TO

ÁN

GV: Ta nhóm 3 hạng tử tạo thành một bộ, sau đó sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung ta có:

Ỡ N

G

= x3 ( x 2 + x + 1) − x 2 ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x 3 − x 2 + 1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Lưu ý:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

3) 8 x 2 + 10 x − 3 Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1 Cách giải đúng:

Y

10 x 2 − 11x − 6 = 10 x 2 − 15 x + 4 x − 6 = 5 x ( 2 x − 3) + 2 ( 2 x − 3) = ( 2 x − 3)( 5 x + 2 )

Cách giải đúng:

ID Ư

x + x + 1 = x 5 + x 4 + x3 − x 4 − x 3 − x 2 + x 2 + x + 1 = ( x 5 + x 4 + x3 ) − ( x 4 + x3 + x 2 ) + ( x 2 + x + 1)

BỒ

5

= x3 ( x 2 + x + 1) − x 2 ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x3 − x 2 + 1)

2) x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005 GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên.

Cách giải đúng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 10

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 4 + 2005 x 2 − 2004 x + 2005 = x 4 − x3 + x 2 + x3 − x 2 + x + 2005 x 2 − 2005 x + 2005

= ( x 4 − x 3 + x 2 ) + ( x3 − x 2 + x ) + ( 2005 x 2 − 2005 x + 2005 ) = x 2 ( x 2 − x + 1) + x ( x 2 − x + 1) + 2005 ( x 2 − x + 1) = ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 2005 )

- Thêm bớt các hạng tử một cách chính xác.

2+

3

1) F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b).

C

ẤP

Nhận xét : Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b.

H

Ó

A

Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).

-L

Í-

Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : 1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1.

ÁN

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).

TO

2) F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10

00

B

Nhận xét 1: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.

Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

Bài tập áp dụng: 6) x11 + x10 + 1 1) x10 + x8 + 1 2) x8 + x 7 + 1 7) x 4 + 2002 x 2 + 2001x + 2002 3) x11 + x 4 + 1 8) x 4 + 2007 x 2 − 2006 x + 2007 4) x11 + x 7 + 1 9) x 4 + 1996 x 2 − 1995 x + 1996 5) x8 + x + 1 10) x 4 + 1999 x 2 − 1998 x + 1999 Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh Phương pháp:Dựa trên hai nhận xét sau:

TP .Q

U

Y

N

- Nếu như thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là x 2 + x + 1 mà không được thì ta thêm bớt để xuất hiện đa thức chung là x 2 − x + 1 .

H Ơ

N

Lưu ý:

Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).

Nhận xét 2: Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 11

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

( 2x

2

− x − 1)( 2 x 2 − x − 4 ) − 10

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Giải: 1) P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 Đặt y = x2 , ta có: Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)

H Ơ

Y U TP .Q ẠO Đ

Ư N

B

00

10

3

2+

ẤP

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

Xét Q(x) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n). Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b. Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 1) 6x4 + 19x2 + 15 2) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12 3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

8) x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) − x3 − y 3 − z 3 + 4 xyz 9) ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + 2abc 10) 3a 2b + ab 2 + b 2c + 3bc 2 + 9c 2 a + 9ca 2 + 6abc Dạng 9: Đặt biến phụ dạng đa thức Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

TR ẦN

7) x3 ( y + z 2 ) + y 3 ( z + x 2 ) + z 3 ( x + y 2 ) + xyz ( xyz + 1)

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài tập áp dụng: 1) ab ( a − b ) + bc ( b − c ) + ca ( c − a ) 2) ( a + b )( b + c )( c − a ) + ( b + c )( c + a )( a − b ) + ( c + a )( a + b )( b − c ) 3) ab ( a + b ) − bc ( b + c ) + ac ( a − c ) 4) a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b ) 5) a 4 ( b − c ) + b 4 ( c − a ) + c 4 ( a − b ) 6) a 3 ( b 2 − c 2 ) + b3 ( c 2 − a 2 ) + c3 ( a 2 − b 2 )

N

Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0. Do đó : F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx).

N

b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.

3) F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)

Do đó : 2

2) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12 Đặt x 2 + x = t 2

+ x ) + 4 ( x 2 + x ) − 12 = t 2 + 4t − 12 = t 2 − 2t + 6t − 12

N

2

H Ơ

(x

TP .Q

= ( x − 1 )( x + 2 ) ( x 2 + x + 6 )

2

− x − 1 )( 2 x 2 − x − 4 ) − 1 0 = t ( t − 3 ) − 1 0 = t 2 − 3 t − 1 0

=

(2 x

2

(2 x

2

G Ư N

(t

− x − 1 − 5 )( 2 x 2 − x − 1 + 2 )

− x − 6 )( 2 x 2 − x + 1 ) =

(2 x

2

H

− 5 )( t + 2 ) =

=

− 4 x + 3 x − 6 )( 2 x 2 − x + 1 )

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= t 2 − 5 t + 2 t − 1 0 = t (t − 5 ) + 2 (t − 5 )

00 10 3

ẤP

3) x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + 2 y − 15

2+

Bài tập áp dụng: 1) 4 x 4 − 37 x 2 + 9 2 2) ( x 2 + 3x ) + 7 x 2 + 21x + 10

C

4) x 2 + 8 xy + 16 y 2 + 2 x + 8 y − 3

(x

− 2 )(2 x + 3 )(2 x 2 − x + 1 )

B

=  2 x ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 )  ( 2 x 2 − x + 1 ) =

6) 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 10 x + 5 y − 6 7) ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2 ) − 12 8) ( x 2 − x + 3)( x 2 − x − 2 ) + 4 9) ( 2 x 2 + x − 2 )( 2 x 2 + x − 3) − 12

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

5) x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 7 x + 14 + 6 10) ( 2 x 2 − x − 1)( 2 x 2 − x 4 ) − 10 Dạng 10: Đặt biến phụ dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c+d) Phương pháp: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y2 = x2 + (a + b) x.

Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 2)

G

( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 24

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

(2 x

ẠO

3) ( 2 x 2 − x − 1)( 2 x 2 − x − 4 ) − 10 Đặt 2 x 2 − x − 1 = t

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

= ( x 2 − x + 2 x − 2 )( x 2 + x + 6 ) =  x ( x − 1 ) + 2 ( x − 1 )  ( x 2 + x + 6 )

N

= t ( t − 2 ) + 6 ( t − 2 ) = ( t − 2 )( t + 6 ) = ( x 2 + x − 2 )( x 2 + x + 6 )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Giải: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d.

Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5) Do đó: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 13

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi như trên.

Bài tập áp dụng: 1) x ( x + 4 )( x + 6 )( x + 10 ) + 128 6) ( x 2 + 4 x + 3)( x 2 + 6 x + 8 ) − 24 7) ( x 2 − 6 x + 5 )( x 2 − 10 x + 21) − 20

3) x ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) − 3

8) ( x 2 + x − 2 )( x 2 + 9 x + 18 ) − 28

4) ( x − 7 )( x − 5 )( x − 4 )( x − 2 ) − 72

9) ( x 2 − 5 x + 6 )( x 2 − 15 x + 56 ) − 144

5) ( x 2 + 8 x + 12 )( x 2 + 12 x + 32 ) + 16

10) ( x 2 − 11x + 28 )( x 2 − 7 x + 10 ) − 72

2

+ 1) + 3 x ( x 2 + 1) + 2 x 2 = t 2 + 3 xt + 2 x 2 = t 2 + 2 xt + xt + 2 x 2

ẤP

2+

3

= t ( t + 2 x ) + x ( t + 2 x ) = ( t + 2 x )( t + x ) = ( x 2 + 1 + 2 x )( x 2 + 1 + x ) = ( x 2 + 1 + 2 x )( x 2 + 1 + x ) = ( x + 1) 4

2

A

C

2) 10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4 Đặt x 2 − 2 x + 3 = t 4

2

H

Ó

10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4 = 10t 4 − 9 x 2t 2 − x 4 = 10t 4 − 10 x 2t 2 + x 2t 2 − x 4

-L

Í-

= 10t 2 ( t 2 − x 2 ) + x 2 ( t 2 − x 2 ) = ( t 2 − x 2 )(10t 2 + x 2 ) = ( t + x )( t − x ) (10t 2 + x 2 ) = ( x 2 − 2 x + 3 + x )( x 2 − 2 x + 3 − x ) 10 ( x 2 − 2 x + 3) + x 2   

ÁN

2

= ( x 2 − x + 3)( x 2 − 3 x + 3) 10 ( x 2 − 2 x + 3) + x 2   

TO

2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài tập áp dụng: 2 1) ( x 2 + 4 x + 8) + 3 x ( x 2 + 4 x + 8 ) + 2 x 2 4

2

6) ( x 2 − x + 1) − 5 x ( x 2 − x + 1) + 4 x 2 2

2) 3 ( − x 2 + 2 x + 3) − 26 x 2 ( − x 2 + 2 x + 3) − 9 x 4 2

3) ( x 2 − 1) + x ( x 2 − 1) − 2 x 2 2

4) ( x 2 + 4 x + 8) + 3 x ( x 2 + 4 x + 8 ) + 2 x 2 2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

10

(x

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

Dạng 11: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.

Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 4 2 1) ( x 2 + 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2 2)10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) − x 4 Giải: 2 1) ( x 2 + 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2 Đặt x 2 + 1 = t

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

2) ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − 7 ) − 20

4

2

7) ( x 2 − x + 2 ) − 3x 2 ( x 2 − x + 2 ) + 2 x 4 4

2

8) 3 ( − x 2 + 2 x + 3) − 26 x 2 ( − x 2 + 2 x + 3) − 9 x 4 4

2

9) −6 ( − x 2 − x + 1) + x 2 ( − x 2 − x + 1) + 5 x 4 4

2

5) 4 ( x 2 + x + 1) + 5 x ( x 2 + x + 1) + x 2 10) ( x 2 − x − 1) + 7 x 2 ( x 2 − x − 1) + 12 x 4 Dạng 12: Đặt biến phụ dạng hồi quy Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 14

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) 2 x 4 − 5 x3 − 27 x 2 + 25 x + 50

N

H Ơ

N

  6 1  1   1  A = x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1 = x 2  x 2 + 6 x + 11 + + 2  = x 2  x 2 + 2  + 6  x +  + 11 x x  x   x    1 1 Đặt x + = t thì x 2 + 2 = t 2 − 2 . Do đó x x 2

2

2 1    =  x  x +  + 3x  = ( x 2 + 3x + 1) x   

TP .Q

A = x ( t − 2 + 6t + 11) = x ( t + 3) = ( xt + 3x )

2

U

2

Y

2

2

2) 2 x 4 − 5 x3 − 27 x 2 + 25 x + 50 Giả sử x ≠ 0 , ta viết dưới dạng:

25 2 = t + 10 . Do đó x2 A = x 2  2 ( t 2 + 10 ) − 5t − 27  = x 2 ( 2t 2 + 20 − 5t − 27 ) = x 2 ( 2t 2 − 5t − 7 ) = x 2 ( t + 1)( 2t − 7 )

Ư N

5 x

TR ẦN

H

Đặt x − = t thì x 2 +

B

5   5   = x 2  x − + 1  2  x −  − 7  = ( x 2 + x − 5 )( 2 x 2 − 7 x − 10 ) x   x  

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

Bài tập áp dụng: 1) x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1 5) x 4 + 7 x 3 + 14 x 2 + 14 x + 4 6) x 4 − 10 x3 + 26 x 2 − 10 x + 1 2) x 4 + 6 x3 + 7 x 2 + 6 x + 1 3) x 4 + 5 x3 − 12 x 2 + 5 x + 1 7) x 4 − 10 x3 − 15 x 2 + 20 x + 4 4) 6 x 4 + 5 x3 − 38 x 2 + 5 x + 6 8) 3x 4 + 6 x 3 − 33x 2 − 24 x + 48 Dạng 13: Đặt biến phụ dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)(a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2) Phương pháp:Mục đích của phương pháp này là đưa về dạng đặt biến phụ dạng đẳng cấp.

Qua ví dụ cụ thể các em sẽ thấy được phương pháp của dạng này.

Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2 Giải: Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do đó: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).

Bài tập áp dụng: 1) ( x − 1)( x + 2 )( x + 3)( x − 6 ) + 32 x 2 5) ( x − 2 )( x − 4 )( x − 5 )( x − 10 ) − 54 x 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

   25 50  25   5  A = 2 x 4 − 5 x3 − 27 x 2 + 25 x + 50 = x 2  2 x 2 − 5 x − 27 + + 2  = x 2  2  x 2 + 2  − 5  x −  − 27  x x  x   x    

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1) x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1 Giải: 1) x 4 + 6 x3 + 11x 2 + 6 x + 1 Giả sử x ≠ 0 , ta viết dưới dạng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 15

6) ( x + 2 )( x − 4 )( x + 6 )( x − 12 ) + 36 x 2 2) ( x + 1)( x − 4 )( x + 2 )( x − 8 ) + 4 x 2 7) 4 ( x + 5 )( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) − 3 x 2 3) ( x − 2 )( x − 3)( x − 6 )( x − 4 ) − 72 x 2 4) ( x + 3)( x − 1)( x − 5 )( x + 15) + 64 x 2 8) ( x + 2 )( x + 3)( x + 8)( x + 12 ) − 4 x 2 Dạng 14: Dạng đoán nghiệm Phương pháp: Nếu đa thức f ( x ) = a x n + a x n −1 + ... + a x + a có nghiệm nguyên là x = x0 thì x0 là một ước của hệ số tự do a0 , khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử x = x0 . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của nó để định hướng cho việc phân tích ra nhân tử.

Nếu đa thức f ( x ) = a x n + a x n −1 + ... + a x + a có nghiệm hữu tỉ là n−1

1

0

n

n−1

1

0

p (dạng tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của q hệ số cao nhất an . Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx – p.

5 3

Ó

1 3

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) f(x) = x3 - x2 – 4 2) f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 Giải: 1) f(x) = x3 - x2 - 4 Ta lần lượt kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 ta thấy f(2) = 0. Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – 2.

Từ đó: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2).

2) f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 Theo ví dụ 4, ta thấy các số ±1; ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.

Í-

H

Xét các số ± ;± , ta thấy

1 là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân 3

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

tử, đa thức chứa nhân tử 3x – 1.

Từ đó: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).

Bài tập áp dụng: 1) f(x)=x3– 6x2 +11x – 6

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

x=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

n

N

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BỒ

ID Ư

2) g(x) = x5 + 6x 4 + 13x3 + 14x 2 + 12x + 8

3) h(x) = 2x 4 + 7x3 - 2x 2 - 13x + 6 .

Dạng 15: Đặt biến phụ dạng khác Phương pháp: Đối với dạng này chúng ta cần biến đổi thêm một số bước để đưa về dạng trên.

Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 1) ( 2 x + 1)( x + 1) ( 2 x + 3) − 18 2) ( 4 x + 1)(12 x − 1)( 3x + 2 )( x + 1) − 4 Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 16

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1) 2

2

A = ( 2 x + 1)( x + 1) ( 2 x + 3) − 18 = ( 2 x + 1)( 2 x + 3)( x + 1) − 18 = ( 4 x 2 + 8 x + 3)( x 2 + 2 x + 1) − 18

Đặt x 2 + 2 x + 1 = t

N

A = ( 4t − 1) t − 18 = 4t 2 − t − 18 = ( t + 2 )( 4t − 9 ) = ( x 2 + 2 x + 1 + 2 )  4 ( x 2 + 2 x + 1) − 9 

H Ơ

= ( x 2 + 2 x + 3 )( 4 x 2 + 8 x + 4 − 9 ) = ( x 2 + 2 x + 3)( 4 x 2 + 8 x − 5 )

N

2) A = ( 4 x + 1)(12 x − 1)( 3x + 2 )( x + 1) − 4 = ( 4 x + 1)( 3x + 2 )(12 x − 1)( x + 1) − 4

TP .Q

Đặt 12 x 2 + 11x + 2 = t

A = t ( t − 3) − 4 = t 2 − 3t − 4 = ( t + 1)( t − 4 ) = (12 x 2 + 11x + 2 + 1)(12 x 2 + 11x + 2 − 4 )

ẠO

= (12 x 2 + 11x + 3)(12 x 2 + 11x − 2 )

2+

3

f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0

ẤP

g ( x) = bn x n + bn−1 x n−1 + ... + b1 x + b0

H

Ó

A

C

f ( x) ≡ g ( x) ⇒ an = bn ; an−1 = bn−1 ;....; a1 = b1 ; a0 = b0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) f(x) = x2 + 3x + 2 2) g(x) = x3 – 19x – 30 3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 4) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Giải: 1) f(x) = x2 + 3x + 2 Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là (x2) là 1 nên f(x) có thể phân tích thành hai nhân tử x + a, x + b, ta có: x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b) 2 2 ⇔ x + 3x + 2 = x + (a + b)x + ab  a + b = 3 ⇔  ab = 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Bài tập áp dụng: 2 1) ( 6 x + 5) ( 3x + 2 )( x + 1) − 35 2) ( 2 x + 1)( x − 1)( x − 3)( 2 x − 3) + 9 Dạng 16: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt biến phụ dạng hệ số bất định Phương pháp: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

= (12 x 2 + 11x + 2 )(12 x 2 + 11x − 1) − 4

Từ a + b = 3 => a = 3 - b. Đem thế vào ab = 2, ta được: Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 17

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

ab = 2 => b(3 - b) = 2 ⇔ -b2 + 3b - 2 = 0 2 ⇔ -b + b + 2b -2 = 0 ⇔ -b(b - 1) + 2(b - 1) = 0 ⇔ (b - 1)(b - 2) = 0 b =1 ⇔ b = 2

BỒ

ID Ư

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = -30, do đó a, c là ước của -30 hay a, c ={ ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30 } a = 2, c = 15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ trên.

Vậy g(x) = x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) 3) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Dễ thấy ± 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có: 4 x + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

Cho b = 1 => a = 2 hoặc b = 2 => a = 1.

Trong cả hai trường hợp này ta đều được kết quả: f(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).

Vậy f(x) = (x +1)(x + 2).

Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm các hạng tử: x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2).

3 2) g(x) = x - 19x - 30 Kết quả phải tìm có dạng: (x + a)(x2 + bx + c = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 - 19x - 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có:  a+b =0  ab + c = 19  ac = −30 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 18

4

3

2

TO

2) g(x) = x − 6 x + 12 x − 14 x + 3 4

BỒ

ID Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ỡ N

G

3) h(x) = x − 8 x + 63 Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học.

Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b).

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

 a+c=6 ac + b + d = 7    ad + bc = 6  bd = 1 Từ hệ phương trình trên ta tìm được: a = b = d = 1, c = 5 Vậy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).

4) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Nhận xét: Các số ±1; ±3 không phải là nghiện của đa thức f(x) nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu f(x) phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d ∈ Z. Khai triển dạng này ra ta được đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với f(x) ta được hệ điều kiện: a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = 3.

Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {±1; ±3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = −6  ac = 8 a + 3c = −14.  Từ đó ta tìm được: a = -2; c = -4. Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1).

Ta trình bày lời giải như sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + 1)(x2 2x +3).

Bài tập áp dụng: 3 2 1) f(x) = x − 9 x + 26 x − 24

N

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 19

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2+

và bài tập vận dụng . Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thật đa

ẤP

dạng và phong phú kèm theo cả mức độ khó ,dễ. Vì vậy,Chúng ta nên hướng

A

C

dẫn học sinh giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ

H

Ó

nhận thức của học sinh để cho từng đối tượng học sinh đều làm được dạng toán

-L

Í-

này theo mức độ nhận thức của mình.Qua các bài tập trên ta thấy mỗi dạng bài

ÁN

tập sử dụng các phương pháp biến đổi khác nhau và có liên quan tới nhiều kiến

TO

thức toán khác cho nên để làm được tốt dạng toán này yêu cầu học sinh phải

H Ơ

G

nắm chắc các kiến thức như : bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ,phương pháp hệ số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

10

Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo ví dụ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

Nhận xét: Nếu thay x bởi y thì P = 0, nên P chia hết cho x - y Hơn nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi ( Ta nới đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x - y thì P cũng chia hết cho y - z và z - x.

Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến.

Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x, y, z ∈ R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.

Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọ tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh P = 0 là được.

Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm được a = - 1 Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x z).

2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b).

Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên Q = k.abc.

Chọn a = b = c = 1 được k = 4. Vậy Q = 4abc.

N

1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

bất định ,dấu hiệu chía hết ,...Đồng thời giáo viên phải lựa chọn đưa ra các bài

tập phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng toán và theo mức độ từ dễ đến khó

để học sinh nắm chắc cách giài từng dạng toán mà không bị lúng túng hoặc có sai lầm kho gặp dạng toán này.Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán phân tích đa thức thành thân tử trở thành niềm say ,mê hứng thú cho học sinh từ đó học sinh sẽ giải được những dạng toán khác có liên quan trong chương trình toán lớp 8,lớp 9.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 20

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

8. Những thông tin cần được bảo mật chuyên đề Không

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề

H

Tính nhanh:

TR ẦN

732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600

20022 - 4 = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.

00 10

Tính nhanh:

B

Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)

2+

3

37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

ẤP

= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)

A

C

= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.

H

Ó

452 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152

Í-

= (45 + 40)2 - 152

ÁN

-L

= 852 - 152

TO

= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000

G

Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán nếu áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giải được dễ dàng như một số dạng toán sau: Dạng 1: Tính nhanh

H Ơ

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề

N

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Tính nhanh: x2 +

1 1 x+ 2 16

x2 +

1 1 1 1 2 1  x+ = x 2 + 2. x +   =  x +  = ( x + 0, 25 ) 2 16 4 4 4 

khi x = 49, 75 2

2

2

2

khi x = 49, 75 ⇒ ( x + 0, 25 ) = ( 49, 75 + 0, 25 ) = 502 = 2500

Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì phương pháp chung là: Phân tích các biểu thức cấn tính nhanh ra thừa số rồi tính Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 21

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức: Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK) Tính giá trị của các biểu thức sau:

N

a. 15.91,5 + 150.0,85

H Ơ

b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1

Y

N

Giải

00

B

973 + 833 − 97.83 180

10

Giải

ẤP

32.54 32 = 9.54 9

A

=

C

a,

2+

3

( 43 − 11)( 43 + 11) 432 − 112 = 2 2 36,5 − 27,5 ( 36, 5 − 27, 5)( 36,5 + 27,5 )

)

Í-

(

ÁN

-L

b,

H

Ó

( 97 + 83) 97 2 − 97.83 + 832 973 + 833 − 97.83 = − 97.83 180 180 180.8247 = − 97.83 = 8247 − 97.83 = 8247 − 8051 = 196 180

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Trong 2 ví dụ trên đặc biệt là ví dụ 2 nhận thấy nếu như học sinh không sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em: - Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử.

- Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính.

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.

Nếu theo cách làm thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

TR ẦN

432 − 112 a, 36.52 − 27.52

b,

Ư N

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 thì biểu thức bằng 0 Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức:

Đ

b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) = 5x5 (x - 2z + 2z - x) = 5x5.0 = 0

ẠO

= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

a. 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 22

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y)

N

Thay x = 2001, y = 1999 ta được

H Ơ

(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.

N

Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước : Tìm x biết:

ẠO

a. x(x - 2) + x - 2 = 0

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải

H

a. x(x - 2) + x - 2 = 0

TR ẦN

Ta có x(x - 2) + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1)

00

B

x=2

10

Nên (x - 2)(x + 1) = 0 ⇔

ẤP

b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0

2+

3

x=-1

x=3

Í-

H

Ó

A

C

Ta có 5x(x - 3) - x + 3 = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1)

TO

ÁN

-L

Nên (x - 3)(5x - 1) = 0 ⇔ x=

1 5

G

Ví dụ 2 : Tìm x biết

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

b. 5x(x - 3) - x + 3 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a. 8x3 - 50x = 0

b. (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = 0

Giải a. 8x3 - 50x = 2x(4x2 - 25) x=0 = 2x(2x - 5)(2x + 5) = 0 ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x=

5 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 23

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com x=−

5 2

(x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)

H Ơ

N

= (x - 2)[x2 + 2x + 7 + 2(x + 2) - 5] nên (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0

N

= (x - 2)(x2 + 4x + 6) = 0 v× x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 > 0

TP .Q

Ví dụ 3: Tìm x biết

ẠO

5x(x - 1) = x - 1

G Ư N

⇔ x=

1 5

H

⇔ (x - 1)(5x - 1) = 0

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x =1

3

10

00

B

Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau: - Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0

2+

A=0

C

ẤP

- Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0 ⇔

A

B=0

H

Ó

- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Dạng 4: Áp dụng vào số học Đây là một dạng toán không khó nhưng việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải thì lại khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn cho các em giải định hướng sau đây: - Số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu có số nguyên k sao cho a = bk.

- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.

Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK) CMR 55n + 1 - 55n chia hết cho 54 (n là số tự nhiên) Giải

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇔ 5x(x - 1) - (x - 1) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

x - 2 = 0 hay x = 2

55n + 1 - 55n = 55n(55 - 1) = 55n.54 chia hết cho 54

Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK) CMR (5n + 2)2 - 4 chia hết cho 5

Giải Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 24

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(5n + 2)2 - 4 = (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5

Ví dụ 3: CMR

BỒ

ID Ư

H Ơ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

a. n3 - 13n chia hết cho 6 b. n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120; c. n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho 48 với n lẻ Giải 3 3 a. n - 13n = (n - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n Vì n, n + 1, n - 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 (2 và 3 nguyên tố cùng nhau), 12n chia hết cho 6 vậy: n3 - 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho 6 b. n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n = n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 2 số là bội của 2 (Trong đó có một số là bội của 4, một bội của 3 và một bội của 5). Do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, 3 đôi một nguyên tố cùng nhau nhau) n3 - 3n2 - n + 3 = n2(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n2 - 1) = (n - 3)(n - 1)(n + 1) thay n = 2k + 1 (vì n lẻ) vào ta được: (n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1) Vì (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6 do đó tích trên chia hết cho 48.

Qua 3 ví dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy giúp các em phân tích được biểu thức thành nhân tử thì ta đã giúp các em hoàn thành được bài toán.

Trên đây học sinh đã được nhận biết lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng trong một số bài toán được nêu trong SGK, tuy nhiên đối với các em học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu cho các em thêm một vài lợi ích khác nhằm giúp các em thích thú tìm hiểu trong học toán như các dạng sau: Dạng 5: Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn đẳng thức cho trước Ví dụ 1: Tìm các cặp số nguên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau: a. x + y = xy. b. xy - x + 2(y - 1) = 13 Giải

N

ta có:

a. Ta có x + y = xy được viết thành xy - x - y = 0 nên x(y - 1) - (y - 1) = 1 hay (y - 1)(x - 1) = 1 do x, y ∈ Z mà 1 = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có: y-1=1 y - 1 = -1 x=2 x=0 hoặc x-1=1

hoặc x - 1 = -1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

hoặc y=2

y=0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 25

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x + 2 = 13

hoặc x + 2 = -13

x + 2 = -1

Y

x+2=1

hoặc

x = -3

hoặc y=0

y = -12

Đ

y = 14

G

y=2

hoặc

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy 4 cặp số cần tìm là (11, 2) ; (-1, 14) ; (-15 , 0) ; (-3, -12) a. xy + 3x - 2y - 7 = 0 b. xy + 3x - 4y = 12

B

Giải

TR ẦN

H

Ví dụ 2 : Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau :

ẤP

2+

3

10

00

a. Phân tích vế trái ra thừa số nguyên tố ta có xy + 3x - 2y - 7 = x(y + 3) - 2(y + 3) - 1 = (y + 3)(x - 2) - 1 = 0 hay (y + 3)(x - 2) = 1 Do x, y ∈ Z nên (y + 3)(x - 2) = 1 = 1.1 = (-1)(-1) nên ta có y+3=1 y + 3 = -1 x=3 x=1 do đó

C

hoặc

x - 2 = -1

y=-2

y = -4

Ó

A

x-2=1

hoặc

Í-

H

Vậy hai cặp số nguyên cần tìm là (3, -2) và (1, -4)

-L

b. xy + 3x - 4y = 12

xy + 3x - 4y - 12 = 0

TO

ÁN

x(y + 3) - 4(y + 3) = 0

ID Ư

Ỡ N

G

x-4=0 ∀y

(y + 3)(x - 4) = 0 Do x, y ∈ Z nên

y+3=0 hoặc

∀x

x=4 do đó

∀x

(xy + 3x) - (4y + 12) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x = -15

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x = -1

ẠO

x = 11

TP .Q

U

Hay :

BỒ

H Ơ

hoặc

N

hoặc

N

Vậy hai cặp số nguyên đó là (0, 0) và (2, 2) b. xy - x + 2(y - 1) = 13 Phân tích vế trái ra thừa số ta có xy - x + 2(y - 1) = x(y - 1) + 2(y - 1) = (y - 1)(x + 2) Do x, y ∈ Z vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta lần lượt có: y-1=1 y - 1 = 13 y - 1 = -1 y - 1 = -13

hoặc ∀y

y = -3

Trong hai ví dụ trên ta thực hiện: - Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, số còn lại là một số nguyên n.

- Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách và từ đó tìm ra số nguyên x, y Như vậy kĩ năng chính trong việc giải các bài toán chính là phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử. Không chỉ dừng lại các bài toán đã nêu, việc phân

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 26

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tích đa thức thành nhân tử còn giúp cho các em học sinh thực hiện giải được các bài toán mang tính chất phức tạp hơn như hai dạng toán sau đây : Dạng 6: Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: CMR nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0

N

Giải

H Ơ

Từ đẳng thức đã cho suy ra a3 + b3 + c3 - 3abc = 0.

Y

N

Ta có : b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3)

H

Do đó nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0. Thì a + b + c = 0 hoặc :

TR ẦN

a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0 hay (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a) 2 = 0 suy ra a = b = c

00

B

Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 và a3 + b3 + c3 = 1

2+

3

10

CMR a2005 + b2005 + c2005 = 1

Giải

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

Áp dụng (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0 suy ra trong ba số a, b, c ó một số bằng 1 và hai số còn lại đối nhau nên a2005 + b2005 + c2005 = 1 Qua hai ví dụ trên nhận thấy bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng tích bằng 0 sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức ta có được kết quả cần tìm. Sau đây ta xét một ví dụ ở một dạng khác về ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc chứng minh các bất đẳng thức.

Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Trong dạng toán này vấn đề đặt ra là: Để chứng minh A ≥ B hoặc A ≤ B ta ta lập hiệu A - B và sau đó chứng minh A - B ≥ 0 hoặc A - B ≤ 0, ở đây ta sử dụng phương án phân tích A - B thành nhân tử để kết luận A ≥ B hoặc A ≤ B. Ví dụ: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. CMR:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

= (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ G

= (a + b +c) [a2 - a(b + c) + (b + c)2] - 3bc(a + b +c)

ẠO

= a3 + (b + c)3 - 3bc(b + c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

= (b + c)[(b + c)2 - 3bc] = (b + c)3 - 3bc(b + c)

a. a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 víi a < b < c. b. a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3

Giải a. a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 27

H Ơ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trước khi áp dụng chuyên đề:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0 ; c + a - b > 0 ; b + c - a > 0 do đó: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > 0 Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Nhận xét : Trong hai ví dụ trên ta nhận thấy vấn đề quan trọng nhất chính là phân tích được các đa thức thành nhân tử sau đó sử dụng kết quả bất đẳng thức tổng tam giác để kết luận.

Tóm lại: Qua việc hướng dẫn các đối tượng học sinh thông qua mức độ nhận thức các phương pháp phân tích thành nhân tử, khai thác các kết quả của bài toán từ đó có hướng đề xuất và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các cách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập. Việc khai thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử còn nhiều nhưng vì mức độ kiến thức toán THCS còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng hơn được. Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào trong giảng dạy cho các em học sinh khá giỏi lớp 8 thì các em tiếp thu tốt và có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội dung tương tự và từ chỗ mặc cảm với dạng toán này thì các em có hứng thú học hơn.

- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

= a3[(b2 - a2) + (a2 - c2)] + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = a3(b2 - a2) + a3(a2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = (a2 - b2)(c3 - a3) + (a2 - c2)(a3 - c3) = (a - b)(c - a)[(a + b)(c2 + ca + a2)] + (a - c)(a - b)[(a + c)(a2 + ab + b2)] = (a - b)(c - a)[ (a + b)(c2 + ca + a2) - (a + c)(a2 + ab + b2)] = (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca).

Vì 0 < a < b < c nên a - b < 0, c - a > 0, c - b > 0 và ab + bc + ca > 0 do đó (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < 0 Vậy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < 0 víi a < b < c. b. Xét hiệu: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 = [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3] = a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2] = a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c) = (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2) = (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) = (a + b - c)[c2 - (a - b)2] = (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Số HS giải được theo các mức độ Năm học

Số HS

2014 - 2015 35

Giỏi

Khá

SL

%

5

14,3 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

SL

TB

Yếu

%

SL

%

SL

%

34,3

14

40,0

4

11,4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 28

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Sau khi áp dụng chuyên đề: Giỏi

2015 - 2016 36

Khá

SL

%

8

22,2 14

TB

SL

Yếu

%

SL

%

SL

%

38,9

12

33,3

2

5,6

N

Số HS

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được.

Ó

A

C

10.3. Kết luận 1)Bài học kinh nghiệm:

H

- Đối với học sinh yếu, kém: Là một quá trình liên tục củng cố và rèn

-L

Í-

luyện các kỹ năng để vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải

ÁN

toán. Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo bài tập mẫu với các bài tương

TO

tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm các bài tập

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

khác với nội dung của SGK.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

Phần phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử , các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các phương pháp thông thường .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức cá nhân

H Ơ

Năm học

Số HS giải được theo các mức độ

- Đối với học sinh trung bình: Cần chú ý cho học sinh nắm chắc các

phương pháp cơ bản, kỹ năng biến đổi và vận dụng các phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể từ đó rèn luyện khả năng tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới.

- Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao

khác thông qua các bài tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 29

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

năng biến đổi, linh hoạt trong lựa chọn các phương pháp. Qua đó kích thích óc tìm tòi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho học sinh.

N

năng phân tích từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và

H Ơ

sinh tìm ra các phương pháp giải hợp lý từ đó nắm vững các dạng toán, rèn kỹ

N

- Đối với giáo viên: Phải định hướng và vạch ra những dạng toán giúp học

trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên. Đồng thời giáo viên phải tạo ra

ẠO

không khí tích cực trong khi giải bài tập đối với mọi đối tượng học sinh. Muốn

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

với học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét

H

cơ bản hướng học sinh theo con đường cần đi đến. Nên để cho học sinh tích cực

TR ẦN

tìm tòi sáng tạo như vậy mới phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh.

2)Hướng phổ biến, áp dụng và nghiên cứu tiếp của đề tài:

00

B

- Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng các phương pháp rèn kỹ năng phân tích

10

đa thức thành nhân tử trong chương trình đại số 8. Tôi nhận thấy kết quả bước

2+

3

đầu học sinh tiến bộ đáng kể, giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán khó

ẤP

hơn các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa.

C

- Đề tài này có thể áp dụng thực hiện trong tổ chuyên môn, khối 8 đồng thời

Ó

A

làm tài liệu tham khảo ở các khối khác trong năm học tới.

Í-

H

- Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt chương

-L

trình đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà và bồi

ÁN

dưỡng học sinh giỏi. Vì vậy việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức cơ

TO

bản theo yêu cầu của chương trình, có kỹ năng giải toán thành thạo là hết sức

Ỡ N

G

quan trọng. Việc áp dụng đề tài này cần phải có thời gian, phải được tiến hành

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

vậy giáo viên cần tác động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan

BỒ

ID Ư

một cách hệ thống. Do vậy hình thức tổ chức là các buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng bài tập và trình bày theo hệ thống kiến thức.

- Để áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh và trong quá

trình dạy phải khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học và tự học. Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi các bài

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 30

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tập liên quan, cách giải hay độc đáo và phân loại các dạng bài tập tiếp theo trong chương trình sách giáo khoa THCS. - Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm của bản thân tôi, thông qua thực trạng

N

ý của các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.

H Ơ

học đạt hiệu quả. Song vẫn còn một số thiếu sót, hạn chế của nó rất mong sự góp

N

học sinh của lớp 8A7 trong năm học 2012 – 2013 mà tôi xây dựng để cho tiết

tự tìm tòi rút ra những kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy và học.

Nguyễn Thị Thu Hằng

THCSLũng Hòa

2

Trần Thị Thanh Tâm

THCS Lũng Hòa

3

Lê Thị Hạnh

THCS Lũng Hòa

G

PP phân tích đa thức thành nhân tử

B

TR ẦN

1

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng

Ư N

Địa chỉ

H

Tên tổ chức/ cá nhân

PP phân tích đa thức thành nhân tử PP phân tích đa thức thành nhân tử

Lũng Hòa ,ngày 15 tháng 1 năm 2016 Tác giả

Lê Thị Thanh Hương

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Thủ trưởng đơn vị

A

C

ẤP

2+

3

10

00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TT

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

- Với đề tài này, tôi có thể áp dụng nghiên cứu tiếp trong các năm học sau và

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 31

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa toán tập 1 Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận

N

-Sách bài tập toán tập 1

H Ơ

Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận

Y

N

- Sách Để học tốt toán 6 tập 1

ẠO

Tác giả Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên

H

- Sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Tác giả Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều

TR ẦN

Tác giả Bùi Văn Tuyên

-Sách Một số vấn đề phát triển và nâng cao Toán 6 tập 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

Tác giả Vũ Hữu Bình

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

-Sách Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

-Sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6

TP .Q

U

Tác giả Lê Hồng Đức- Đào Thiện Khải

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 32

BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÂN TÍCH ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ

Mục lục Trang Phần I:

Phần mở đầu

1/ Lý do chọn đề tài

02

2/ Mục đích nghiên cứu

03

3/ Đối tượng nghiên cứu

03

4/ Nhiệm vụ nghiên cứu

03

5/ Phạm vi và giới hạn nghiên cứu

03

6/ Phương pháp nghiên cứu

03

Phần II: Nội dung của đề tài Cơ sở:

05 A- sở lý luận:

05

I) Một số đặc điểm của sách giáo khoa toán THCS (Phần hình học)

05

II) Suy luận và chứng minh hình học

05

III)Phương pháp suy luận phân tích để tìm lời giải bài toán hình học

06

IV) Sử dụng suy luận phân tích để khai thác mở rộng bài toán mới từ

10

bài toán ban đầu B/ Cơ sở thực tiễn.

10

II/ Một số ví dụ minh hoạ:

11

Phần III: Kết luận

29

Phần IV Tài liệu tham khảo

31

1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương pháp suy luận phân tích để tìm lời giải bài toán hình học trung học cơ sở Phần I: Phần mở đầu

N

Môn Toán học là một môn quan trọng chủ yếu đối với sự phát triển của

H Ơ

N

1/ Lý do chọn đề tài:

U

Y

môn học khoa học khác như: Vật lý, Hoá học, Sinh học, Ngôn ngữ học, Tâm lý

với nhau và cùng nhau phát triển. Vì vậy nó được đưa ngay từ lớp 1 và theo đuổi

ẠO

con người cho tới khi ngừng học. Vì tầm quan trọng của môn Toán học như vậy

Ư N

dạy.

TR ẦN

H

Vị trí của môn học trong hệ thống chương trình sách nói lên tầm quan trọng của nó trong việc giáo dục tính sáng tạo, kĩ năng tổng hợp, phân tích, khả

B

năng giải quyết vấn đề cho học sinh.

10

00

Có nhiều HS thắc mắc không hiểu tại sao nghe thầy, cô giáo giải bài tập và

3

chứng minh định lí, cũng như các em tự đọc chứng minh định lí trong sách em

2+

thấy dễ hiểu lắm nhưng em không sao giải được bài tập cũng như chứng minh

C

ẤP

lại một định lí, nếu không học thuộc lòng cách chứng minh đó. Tại sao?

Ó

A

Quả đúng là nghe hoặc đọc một bản chứng minh không khó vì bản chứng

H

minh được trình bày theo một trật tự lô gíc, từ một cái đúng này đến cái đúng

-L

Í-

khác rất hợp lí, với những lí lẽ rất xác đáng, làm cho người nghe, người đọc phải

ÁN

chấp nhận, không thắc mắc vào đâu được. Do vậy cái lập luận lô gíc đó nhẹ

G

TO

nhàng dẫn dắt người nghe dần dần đến một kế luận tất yếu phải thừa nhận.

Nhưng làm sao biết được cái trật tự lô gíc ấy để trình bày? Cái khó chính

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

nên nó cần phải được quan tâm cả về nội dung hình thức và phương pháp giảng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

giáo dục học... Toán học cùng với các nghành khoa học khác quan hệ mật thiết

BỒ

ID Ư

Ỡ N

là chỗ đó. Trong mớ bòng bong những quan hệ chằng chịt giữa các yếu tố trong bài toán, làm sao phát hiện được đầu mối, cái nút nằm ở đâu để tháo gỡ. Mà

muốn tháo gỡ cũng phải biết lập luận thật lô gíc. Cái lập luận có trật tự lô gíc ấy không phải bỗng nhiên mà có, mà là hình thành trong quá trình nghiên cứu có phương pháp. Một trong những phương pháp nghiên cứu giúp ta đi đúng đường , tìm được lời giải là phương pháp suy luận, phân tích mà học sinh nên cố gắng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

học hỏi để tự rèn luyện hay đúng hơn là khổ luyện. Tất cả đều do rèn luyện mà có. đối với Toán học nói chung và hình học nói riêng cũng vậy, không có con đường nào khác ngoài rèn luyện, rèn luyện có phương pháp.

H Ơ

N

nhiều cách chứng minh khác nhau. Cho nên sau mỗi bài phân tích học sinh tự

N

Cùng một vấn đề có thể phân tích theo nhiều cách khác nhau từ đó có

U

Y

hỏi có thể phân tích khác không, đừng bao giờ tự bằng lòng với một cách phân

giúp cho học sinh không còn cảm thấy quá sợ phân môn hình học ở THCS. Tôi

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

viên và học sinh yêu thích say mê với môn toán.

Ư N

2/ Mục đích nghiên cứu:

TR ẦN

H

- Giúp giáo viên hiểu được tầm quan trọng của việc sử dụng phương pháp suy luận phân tích trong việc dạy học hình học ở trung học cơ sở.

B

- Rèn luyện phương pháp tư duy cho học sinh

10

00

- Đề xuất cách giải, khai thác mở rộng bài toán hình học

3

3/ Đối tượng nghiên cứu:

ẤP

2+

- Một số bài toán hình học THCS

C

4/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

Ó

A

Xuất phát từ việc dạy toán và học toán hiện nay chuyên đề nhằm:

H

- Giúp giáo viên và học sinh thấy được tầm quan trọng của phương pháp

-L

Í-

suy luận phân tích trong việc tìm lời giải bài toán hình học

ÁN

- Đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm định hướng lời giải bài toán hình

TO

học một cách tự nhiên và lo gic

G

5/Phạm vi và giới hạn nghiên cứu:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

mạnh dạn viết chuyên đề này với mong muốn đóng góp một phần nhỏ cho giáo

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

tích. Với hy vọng đóng góp một phần nào đó có ích cho công cuộc giảng dạy,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

5.1/ Phạm vi nghiên cứu:

Sử dụng suy luận phân tích để chứng minh các định lý và bài toán hình học thcs

6/ Phương pháp nghiên cứu đề tài: - Chọn một số bài toán mẫu - Khai thác mở rộng bài toán.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phần II:

Nội dung của đề tài

Cơ sở của đề tài A/ Cơ sở lý luận:

N

- Được viết căn cứ vào chương trình môn toán THCS của Bộ Giáo dục -

H Ơ

N

I/ Một số đặc điểm của sách giáo khoa toán THCS ( Phần Hình học):

TP .Q

sinh vào một cuộc tìm tòi, khám phá những kiến thức toán học bổ ích, lý thú,

ẠO

những kiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và ứng dụng vào việc học tập

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

- Về hình học các kiến thức được trình bày theo con đường kết hợp trực

H

quan và suy diễn . Bằng đo đạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát, suy luận, phân

TR ẦN

tích… học sinh dự đoán các sự kiện hình học và tiếp cận với các định lí.

- Yêu cầu về tập dượt suy luận, chứng minh tăng dần qua các chương ở

00

B

phần hình học 7

10

Hình học 7

2+

3

Chương I: Có 3 tính chất được công nhận, không chứng minh, 6 tính chất

ẤP

thu được qua suy luận, 7 bài tập suy luận

C

Chương II: Chỉ có 1 định lí được công nhận ( định lí PiTaGo), 4 định lí có

Ó

A

chứng minh, 3 định lí có chứng minh thông qua các câu hỏi gợi ý SGK, 3 định lí

Í-

H

học sinh tự chứng minh.

-L

Chương III: Hầu hết các định lí được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh.

ÁN

Từ hai định lí về sự đồng quy của 3 đường trung tuyến và của 3 đường cao.

TO

SGK Toán 7 tiếp tục bổ sung những kiến thức mở đầu hình học đã được giới

Ỡ N

G

thiệu ở lớp 6 đó là khái niệm về hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

các môn học khác.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Đào tạo ban hành ngày 24/01/2002. Sách toán THCS đó lôi cuốn các em học

BỒ

ID Ư

song song, quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của hai đường thẳng.

Tiên đề Ơcơlít về đường thẳng song song. Tiếp đó sách hướng dẫn học sinh đo các góc của 1 số tam giác, cắt ghép hình.

Phần bài tập cho học sinh thực hành ở từng tiết học, lí thuyết thường chỉ có hai bài, các bài tập trong mỗi tiết luyện tập thường không quá ba bài. Bài tập ở mức Hình học 8.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hình học 8 Chương I: Có tổng số 90 bài tập.

Chương II:Có tổng số 47 bài tập. Cần cho học sinh luyện tập các bài toán

N

Chương III: Chương này có 61 bài tập. Mỗi tiết học luyện tập thường chỉ

H Ơ

N

rèn kĩ năng cơ bản

U

Y

bố trí khoảng 3 bài tập. đó có thể giảm bớt các bài tập sau: 4, 8, 12, 18, 24, 26,29, 31, 46, 55, 58

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chương I: Chương này có tổng số 43 bài tập. Có 6 định lý được chứng

Ư N

minh, một định nghĩa.

TR ẦN

H

Chương II: Có tổng số 43 bài tập. Có 8 định lý trong đó có 3 định lý được thừa nhận không chứng minh.

B

Chương III: Có tổng số 99 bài tập. Mỗi tiết luyện tập có khoảng từ 8 đến

10

00

10 bài tập.

3

Chương IV: Có tổng số 45 bài tập. Các bài tập được tăng cường tính suy

ẤP

2+

luận

C

SGK toán 9 tiếp tục đảm bảo sự nhất quán trong cách trình bày và hình thức thể

Ó

A

hiện của bộ sách Toán THCS từ lớp 6. Tuy nhiên yêu cầu về tính chặt chẽ, chính

H

xác; yêu cầu về suy luận tăng lên rõ rệt so với các lớp dưới.

-L

Í-

II/ Suy luận chứng minh trong toán học :

ÁN

a/Suy luận: Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới

TO

từ một hay nhiều phán đoán theo các quy tắc lô gíc xác định. Bất kì suy luận nào

G

cũng gồm tiền đề, kết luận và lập luận. Tiền đề ( còn gọi là phán đoán xuất phát)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Hình học 9

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

Chương IV: Có 59 bài tập. Nhiều bài tập tương tự được lặp đi lặp lại. Do

BỒ

ID Ư

Ỡ N

là phán đoán mà từ đó rút ra phán đoán mới . Kết luận là phán đoán mới thu được bằng con đường lô gíc từ cái tiên đề cách thức lô gíc rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận. Căn cứ vào cách thức lập luận, suy luận được chia thành suy

luận suy diễn( suy diễn) và suy luận quy nạp(quy nạp). Suy diễn là suy luận trong đó lập luận đi từ cái chung đến cái riêng cái đơn nhất. Quy nạp là suy luận trong đó lập luận đi từ cái riêng, cái đơn nhất đến cái chung. Suy diễn còn có

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

nhiều suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp. Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một phán đoán xuất phát dựa vào sự biến đổi của phán đoán ấy hoặc dựa trên cơ sở của các quy tắc tương quan giữa tính chân

H Ơ

N

thực và tính giả dối của phán đoán. Suy diễn gián tiếp là suy diễn trong đó kết

N

luận được suy ra từ hai hay nhiều phán đoán có mối quan hệ lô gíc với nhau.

U

Y

b/Chứng minh

đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

đề, căn cứ, luận chứng ( lập luận). Luận đề là phán đoán mà tính chân thực của

Ư N

nó cần phải chứng minh. Nó là thành phần chủ yếu của chứng minh và trả lời

TR ẦN

H

câu hỏi: chứng minh là cái gì, luận đề có thể là các luận điểm lí luận khoa học, …….có thể là các phán đoán về thuộc tính về quan hệ hay vì nguyên nhân tồn

B

tại của sự vật và hiện tượng nào đó. Luận cứ là các luận điểm lí luận khoa học

10

00

hay thực tế chân thực dùng để chứng minh luận đề. Luận cứ có chức năng là tiền

3

đề lô gíc của chứng minh và trả lời câu hỏi: dùng cái gì để chứng minh? Luận cứ

ẤP

2+

có thể là các luận điểm tin cậy về các sự kiện có thể là định nghĩa, tiên đề, các

C

luận điểm khoa học đủ được chứng minh. Luận chứng của chứng minh là mối

Ó

A

liên hệ lô gíc giữa luận cứ và luận đề. Đây là quá trình chuyển từ cái đã biết tới

H

cái chưa biết theo một trình tự lô gíc xác định. Quá trình này được thực hiện

-L

Í-

theo những quy luật và quy tắc của lô gíc học. Người ta chia chứng minh thành

ÁN

chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp. Chứng minh trực tiếp là chứng

TO

minh trong đó tính chân thực của luận đề được trực tiếp rút ra từ các luận cứ.

G

Chứng minh gián tiếp là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

đoán ấy. Chứng minh bao gồm 3 thành phần liên quan chặt chẽ với nhau: luận

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

Chứng minh là thao tác lô gíc …… để lập luận chính chân thực của phán

BỒ

ID Ư

Ỡ N

rút ra trên cơ sở lập luận tính giả dối của phản luận đề.

III/ Phương pháp suy luận phân tích tìm lời giải bài toán ( còn gọi là

phương pháp đi ngược ) Xuất phát điểm của phương pháp phân tích để tìm lời giải bài toán và kết luận của bài toán có thể là điều phải tìm trong bài toán tìm tòi , hay điều phải

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

chứng minh trong bài toán chứng minh.Người ta thường giả thiết rằng kết quả đó là tồn tại và đi theo hai hướng Hướng thứ nhất là đi tìm điều kiện để đi đến nó là gì ? Cứ từng bước đi ngược

H Ơ

N

như thế cho đến khi gặp các dữ kện đã biết , tức là từ “ cái cần tìm’’ từng bước

N

tìm được “cái đã biết ’’

TP .Q

tả đơn giản bằng sơ đồ : X ⇐ A1 ⇐ A2 ⇐ ... ⇐ An = B

Buocn

Đ

X là kết luận , B là giả thiết hay điều đã biết

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Hướng thứ hai đi từ hệ quả logic của nó. Phương pháp phân tích trong đồ: Buoc 2

Buocn

00

Buoc1

B

X ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ ... ⇒ An = B

TR ẦN

H

trường hợp này gọi là phương pháp phân tích đi xuống và có thể diễn tả bằng sơ

10

Trong việc tìm kiếm lời giải bài toán bằng phương pháp này, có bài toán

2+

3

mà khoảng cách từ X đến B rất gần chỉ một vài bước giải, nhưng cũng có bài

ẤP

toán mà khoảng này lại rất xa nó không chỉ là một vài bước.Các bài toán trong

C

trường hợp này rõ ràng là phức tạp hơn các bài toán trước đó. Tuy nhiên trong

Ó

A

nhiều trường hợp khoảng cách đó lại do người giải toán. Chẳng hạn người giải

Í-

H

toán không có định hướng đúng nên sau một số bước bài toán trở nên phức tạp

-L

hơn, hoặc trở lại bài toán ban đầu. Muốn cho định hướng đúng thì phải biết quan

ÁN

sát, phân tích các đặc điểm của kết luận mà đề xuất hướng giải. Mỗi bước phân

TO

tích được xem là đúng hướng nếu sau phép phân tích đó giả thiết gần gũi với kết

Ỡ N

G

luận hơn.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Buoc 2

ẠO

Buoc1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi lên và có mô

BỒ

ID Ư

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC (AB < AC), một điểm M trên AB, một điểm N trên AC sao cho AM = AN. Chứng minh rằng giao điểm I của MC với NB ở trên đường trung trực của BC.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ∆ ABC có

A

AB = AC GT

AM = AN

H Ơ

N

N

M

M ∈ AB; N ∈ AC

Y

IB = IC

ẠO

C

B

Đ

G

CM.

Chứng minh

IB = IC

Xét ∆ ABN và ∆ ACM có:

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phân tích

Aˆ chung

TR ẦN

H

⇑

AB = AC( gt ) AM = AN ( gt )

CM. ∆ BIC cân hay Bˆ 2 = Cˆ 2

00 10

Bˆ 2 = Bˆ − Bˆ 2 = > Bˆ = Cˆ (gt) ˆ ˆ ˆ C2 = C − C2

2+

3

Mà

B

⇑

ẤP

⇑

C

Bˆ1 = Cˆ 1

CM.

Ó

A

⇑

Í-

H

CM. ∆ ABN = ∆ ACM

⇒ Bˆ1 = Cˆ 1 (2 góc tương ứng)

Mà Bˆ = Cˆ nên: ⇒ Bˆ − Bˆ1 = Cˆ − Cˆ 1 Hay Bˆ 2 = Cˆ 2 Tam giác BIC cân: IB =IC

AB = AC( gt ) AM = AN ( gt )

Vậy I thuộc đường trung trực của BC

-L

Aˆ chung

TO

ÁN

Đã có

Suy ra: ∆ ABN = ∆ ACM (c.g.c)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Đủ điều kiện c.g.c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

TP .Q

U

KL

N

I

Lời giải của bài toán thì đơn giản và cũng có thể tìm được cách giải khác.

Điều muốn nói ở đây là mọi phân tích từ kết luận đều có định hướng một cách

chính xác và có lí.Rõ ràng ở mỗi bước trong lời giải trên đây thì kết luận của bài toán lại nhích gần tới giả thiết.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Cho tam giác có ba góc nhọn và các cạnh không bằng nhau. Qua một đỉnh của tam giác đó vẽ đường cao; qua đỉnh thứ hai vẽ đường trung tuyến; qua đỉnh

H Ơ N

tạo thành một tam giác thì tam giác đó là tam giác đều.

TP .Q

G

1 C

H

00

B

Phân tích

10

Giả sử ∆ DEF đều

2+

Do đó trung tuyến CI trở thành

A

C

⇒ Bˆ 2 = Bˆ1 = 300

đường trung trực của AB, kéo theo

H

Ó

0 ∆ BID có : Bˆ 2 = 30 ; Dˆ = 60 0

-L

Í-

CA = CB, mâu thuẫn với giả thiết

ÁN

⇒ ∆ ABC có trung tuyến CI đồng thời là

TO

đường trung trực nên CA = BC, trái với

ID Ư

Ỡ N

G

giả thiết.

BỒ

Dˆ = 60 0 ⇒ Iɵ = 900

ẤP

⇒ Bˆ1 = 300 (∆BHE)

⇒ Iɵ = 900

∆ BID có : Bˆ 2 = 30 0

3

0 ⇒ Dˆ - Eˆ = 60

Chứng minh

là các cạnh của ∆ ABC không bằng nhau.

Vậy thừa nhận kết luận ∆ DEF là

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

∆ DEF đều

H

KL

2

Ư N

BI = IA

F

D

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

E

Đ

GT

K I

Hˆ = 90 0 Bˆ1 = Bˆ 2

ẠO

AB ≠ AC ≠ BC; AB ≠ CA

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

∆ ABC nhọn có

U

Y

(Thi vô địch toán Nam Tư, 1998) A

N

thứ ba vẽ đường phân giác. Chứng minh rằng nếu ba đường đã vẽ được cắt nhau,

tam giác đều là không đúng.

Lưu ý: Có thể phân tích cách khác, thế nào cũng dẫn đến mâu thuẫn.

Phương pháp phân tích được dùng tìm lời giải bài toán trên là phương pháp phân tích đi xuống có tính chất bác bỏ mệnh đề cần chứng minh. Ta cũng cần chú ý rằng phép phân tích đi xuống chỉ được coi là chứng minh ( bác bỏ) trong trường hợp này. Nói chung không được lấy điều kiện cần để chứng minh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

làm điều kiện đã biết để suy kí. Chẳng hạn, muốn chứng minh A > B thì phải chứng minh A.B > 0. Ơ đây không lấy A – B > 0 làm cơ sở để suy diễn, nếu không sẽ mắc phải sai lầm về mặt lô gic.

H Ơ

N

IV/Sử dụng suy luận phân tích để khai thác mở rộng bài toán mới từ bài

N

toán ban đầu:

U

Y

Vấn đề tìm lời giải bài toán là vấn đề cơ bản của hoạt động giải toán. Tuy mới. Việc giải bài toán là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

tạo bài toán mới là hình thành kĩ năng phát hiện vấn đề. Làm tốt việc sáng tạo

Ư N

bài toán sẽ tạo điều kiện làm tốt việc giải toán. Từ đó người giải toán không chỉ

TR ẦN

H

nắm được các bài toán riêng lẻ mà còn nắm được dưới dạng tổng quát. Để làm tốt mặt nàyđòi hỏi người giải toán có sự hiểu biết sâu sắc về bài toán, nắm được

B

nguồn gốc của bài toán đoán nhận được quá trình hình thành bài toán.

10

00

Việc diễn đạt bài toán dưới hình thức khác nhau có ý nghĩa quan trọng rèn

3

luyện củng cố tri thức cho học sinh và góp phần bồi dưỡng năng lực suy luận

ẤP

2+

phân tích cho học sinh thực chất là năng lực nhìn thấy vấn đề mới trong tình

C

huống quen thuộc, phát hiện cấu trúc của đối tượng.... là phẩm chất cơ bản của

Ó

A

tư duy sáng tạo.

H

Một số con đường đi tới bài toán mới từ bài toán ban đầu:

-L

Í-

1/ Từ bai toán ban đầu sử dụng suy luận phân tích để sáng tạo, xây dựng

ÁN

bài toán mới

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

a/ Thành lập bài toán tương tự

b/ Thành lập bài toán đặc biệt hoá

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

độc lập sáng tạo là cơ sở rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề. Còn vấn đề sáng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

nhiên một khâu cơ bản không kém phần quan trọng là việc sáng tạo bài toán

c/ Thành lập bài toán khái quát hoá d/ Bài toán ngược

B/ Cơ sở thực tiễn: Tiến hành nghiên cứu đề tài này nhằm phát huy tích cực cao độ của chủ thể học sinh, nhân vật trung tâm trong quá trình dạy học toán nhằm đạt mục tiêu: Rèn luyện có hiệu quả kĩ năng giải bài toán hình học một trong những vấn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

đề khó của học sinh …đề tài nhằm giúp cho đội ngũ giáo viên xây dựng qui trình dạy học sinh đại trà cho phù hợp nhất với đối tượng học sinh của mình . * Yêu cầu để đạt được mục đích trên người nghiên cứu phải làm được những

N

+ Phải lắm được những vị trí ,mục tiêu ,đặc điểm ,chương trình nội dung

H Ơ

N

yêu cầu sau :

U

Y

của môn Toán.

TR ẦN

H

Bài toán 1:

Cho một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng. Chứng ming rằng nếu M cách

B

đều hai mút của một đoạn thẳng AB ( Tức MA = MB) thì M ở trên đường trung

10

00

trực của đoạn thẳng AB.

ẤP

2+

3

M

GT MA = MB M ∈ đường trung trực của AB

A

C

KL

2

Ó

1

A

B

Phân tích

Chứng minh

M ∈ đường trung trực của AB

Gọi H là trung điểm của AB. Kẻ MH.

⇑

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

H

ID Ư

BỒ

G

Một số ví dụ minh hoạ:

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

riêng trong trường thcs, nhằm đáp ứng nhu cầu trong thời đại mới.

Nhứ lại định nghĩa: Đường thẳng

Xét ∆ AHM và ∆ BHM có:

vuông góc với đoạn thẳng tại trung

 MA = MB( gt )   AH = HB  MHcanhchung 

điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Vậy nếu H là trung điểm của AB (AH = HB) thì ta

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

+ Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói chung và dạy Toán nói

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

pháp dạy hợp lí với đối tượng học sinh của mình về bộ môn này

TP .Q

+ Từ đó tiến hành đề tài giúp toàn thể đội ngũ giáo viên Toán có phương

⇒ ∆AMH = ∆BHM (c.c.c) ⇒ Hˆ 1 = Hˆ 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mà Hˆ 1 + Hˆ 2 = 180 0

phải chứng minh:

Vậy Hˆ 1 = Hˆ 2 = 90 0

MH ⊥ AB hay 0 Hˆ = 90

∆AHM = ∆BHM

N Đ

ẠO

Đủ điều kiện (c.c.c). Suy ra:

G TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hˆ 1 = H 2 = 90 0

Chú ý: Từ bài toán ta ghi nhớ để sử dụng tính chất quan trọng:

B

Bất kỳ điểm M nào cách đều hai mút của một đoạn thẳng AB ( tức MA = MB)

10

00

cũng đều nằm tren đường trung trực của AB.

2+

3

Bài toán 2:

ẤP

Cho tam giác ABC (AC < AB). Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =

C

AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, Cắt BE tại H. Chứng minh:

Ó H A

GT

2

1

AC < AB AE = AB

G

TO

ÁN

-L

Í-

b , BE ⊥ AD

A

a , BD = DE

Aˆ1 = Aˆ 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

 MA = MB( gt )  Đã có:  AH = HB  MHcanhchung 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

CM.

H Ơ

nó, đúng là đường trung trực của AB.

⇑

N

Mà MH ⊥ AB tại trung điểm H của

D E 1 B

2

KL

BD = DE BE ⊥ AD

H

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích BD = DE

a)Xét ∆ BDA và ∆ EDA có: AB = AE (gt)

⇑

CM. ⇒ Hˆ 1 = Hˆ 2 =

Ư N

G

AD cạnh chung 180 0 = 90 0 2

⇒ ∆ ABH = ∆ AEH(c.g.c) ⇒ Hˆ 1 = Hˆ 2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇑

Đ

Aˆ1 = Aˆ 2

⇑

Mà Hˆ 1 + Hˆ 2 = 1800

∆ABH = ∆AEH

B

Vậy Hˆ 1 = Hˆ 2 = 900

10

00

AB = AE (gt)

2+

3

Đã có: Aˆ1 = Aˆ 2

Tức BE ⊥ AH

Ó

A

Đủ điều kiện (c.g.c).

C

ẤP

AD cạnh chung

Í-

H

Bài toán 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD song song và bằng nhau ( B và C ở

-L

cùng phía so với đường thẳng AD).

ÁN

a ,Chứng minh: AD // BC và AD = BC.

TO

b ,Kéo dài AD ra một đoạn DE = AD. GT

Ỡ N

G

Chứng minh: CE // BD và CE = BD

AB = CD

ID Ư

BỒ

AB // CD

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

BE ⊥ AD ( Hˆ = 90 0 )

ẠO

AB = AE (gt)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒ Đủ điều kiện (c.g.c).

TP .Q

b)Xét ∆ ABH và ∆ AEH có:

U

Y

⇒ ∆BDA = ∆EDA (c.g.c) ⇒ BD = DE

AD cạnh chung

CM.

N

AD cạnh chung

Đã có: Aˆ1 = Aˆ 2

2.CM.

H Ơ

AB = AE (gt)

N

Aˆ1 = Aˆ 2

CM. ∆ BDA = ∆ EDA

H

CM.

Chứng minh

DE = AD KL

AD // BC, AD = BC CE // BD; CE = BD

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2

3 2

C 1

1 B

a)Xét

⇑

H

TR ẦN

∆ ADB và ∆ CDB

00 10

 AB = CD( gt )  BDcanhchung

⇒ ∆ ADB và ∆ CDB (c.g.c)

2+

3

Đã có: 

Bˆ 2 = Dˆ 2 ;

⇒ AD = BC Và

mà đó là 2 góc so le trong,

C

A

Vậy:

 AB // CD  AD // BC ⇒   AB = CD  AD = BC

H

Ó

⇑

Bˆ1 = Dˆ 1

nên: AD // BC

ẤP

⇑

CM.

∆ CDB có:

B

Bˆ1 = Dˆ 1 ; AD = BC

CM.

∆ADB và

 AB = C D ( gt )   B 2 = D 2 ( slt ; A B // C D )  B D ca n h ch u n g 

Kẻ BD. CM.

G

AD // BC và AD = BC

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a) CM.

Chứng minh

Đ

Phân tích

-L

Í-

Đúng là bằng nhau, vì đó là hai góc so

ÁN

le trong và AB // CD (gt)

TO

Từ kết quả này suy ra:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

 AB // CD  AD // BC ⇒   AB = CD  AD = BC

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

ẠO

.

TP .Q

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

1

H Ơ

D

N

E

⇑

b)Vận dụng kết quả suy ra trên đay để giải câu thứ 2, với  DE = AD = BC  EC // BD ⇒   DE // BC  EC = BD

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

b)  DE = AD = BC  EC // BD ⇒   DE // BC  EC = BD

14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 4: Cho tam giác ABC, trung điểm M của AB, trung điểm N của AC. Kéo dài MN ra một đoạn NP = MN.

H Ơ

N

a , Chứng minh CP = BM và CP // BM.

A

MN =

B

2+

a) CM. CP = BM Và CP // BM

ẤP

⇑

C

CM. ∆CPN = ∆AMN (1)

A

 AN = NC ( gt )  MN = NP( gt )

-L

Í-

H

Ó

Đã có: 

⇑

ÁN

Nˆ 1 = Nˆ 2

TO

G Ỡ N ID Ư

CP // BM ⇑

CM.

Mˆ = Pˆ (so le trong)

a) Xét ∆ CPN và ∆ AMN có:  AN = NC ( gt )   MN = NP( gt )   N1 = N 2

⇒ ∆CPN = ∆AMN (c.g.c) ⇒ CP = AM = BM Và

Mˆ = Pˆ

nên: CP // BM b)Hai đoạn thẳng CP và BM song song và bằng nhau nên: MP // BC và MP = BC ( C/m ở bài 3)

Suy ra từ (1) b). CM. MN =

Chứng minh

mà đó là 2 góc so le trong bằng nhau,

Đó là 2 góc đối đỉnh CM.

3

Phân tích

10

00

B

C

BC 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

CP = BM Và CP // BM

TR ẦN

KL

CM.

BỒ

MN = NP

P 2

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

H

1

M

G

AN = NC

ẠO

AM = MB

Đ

GT

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

N

BC 2

b , Vận dụng bài 3 chứng minh MN =

BC 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

mà 2 MN = MP

15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nên 2 MN = BC

⇑

Hay 2 MN = BC

Hay MN =

Mà 2 MN = MP

BC 2

H Ơ

N

⇑

TP .Q

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC ví AB =BC và ABC = 800 . Ta lấy một điểm I ở trong

G

GT

1 2

AB = BC

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A

H

ABC = 800

TR ẦN

10

IAC = 100 ; ICA = 300.

K

B

D

00

KL

3

I

C

C

ẤP

E

2+

30 B

∆ AIB ?

10

O

H

Ó

A

Chú ý : Đây là bài toán khó. Cần vẽ hình chính xác nhằm dễ phát hiện điều cần

Í-

phải chứng minh để có hướng phân tích. Thí dụ, nhờ hình vẽ tốt ta đoán nhận

-L

được tam giác AIB là tam giác cân. Góc ở đỉnh bằng 400, vậy góc ở đáy sẽ bằng

TO

ÁN

700. Ta thử phân tích để c/m điều mình đoán nhận đó.

Phân tích

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

a) CM. ∆ AIB cân (AB = AI ) ⇑

Tìm cách tạo ra những tam giác có

Chứng minh

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

tam giác ấy sao cho IAC = 100 ; ICA = 300. Tính góc ABC = 800 ?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

CM. MP = BC

a) 0

∆ ABC cân với ABC = 80

Nên BAC = 500 => BAI = 400

cạnh tương ứng là AB và AI và chứng Kẻ đường phân giác của góc ABC: minh bằng nhau. ⇑

Kẻ đường phân giác BK (K ∈ AC)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ABK = 400 Trong tam giác cân ABC, BK cũng là đường trung trực của AC. 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kẻ CI cắt BK tại O. Ta có:

BK cũng là đường trung trực của AC.

AIO = IAC + ICA = 400 = ABK

- Kẻ CI cắt BK tại O. AIO là góc

Kẻ OA. Do O ∈ BK là đường trung

ngoài của ∆ ACI nên:

trực của AC, nên:

AIO = IAC + ICA = 400

OA = OC <=> ∆OAC cân ⇔

Các góc ở B và I đều bằng 400. Vậy:

Xét ∆ CPN và ∆ AMN có:

Đ

AOˆ B = AOˆ I = 180 0 − (40 0 +20 0 ) = 120 0

TR ẦN

⇑

OAI = 200

⇒ ∆AOB = ∆AOI (g.c.g)

B

OAC = 300 = OCA

00

⇒ AB = AI

10

⇑

Tam giác ABI cân, có góc ở đỉnh bằng

3

OA = OC

2+

CM.

2

Điều đó đúng vì O ∈ BK là đường

ẤP

0 AIB = 70 Vậy

Ó

A

C

trung trực của AC

400.

Í-

H

Bài toán 6: Cho các điểm E, D, F lần lượt trên các cạnh AB, AC, BC của tam AB . Đoạn thẳng AF cắt BD và CE lần 3

ÁN

-L

giác đều ABC sao cho BE = AD = CF =

TO

lượt tại P và Q; CE cắt BD tại O. Chứng minh rằng OPQ là tam giác đều.

B

Ỡ N

G

1

2

GT

E

AB = BC = AC

O

BE = AD = CF =

ID Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

G

AO là tia phân giác của BAI

Ư N

AOcchung Aˆ = Aˆ = 20 0

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇑

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy AO là tia phân giác của BAI

ẠO

giác AOB và AOI chung cạnh AO,

Tức

N U

TP .Q

Kẻ AO thì ta thấy hình thành hai tam

CM.

Y

OAC = OCA = 300 => OAI = 200

⇑

CM.

H Ơ

N

của ABC = 800. Do ∆ ABC cân nên

F

AB .

3

BỒ

Q P 1

2

2

1 A

D

C

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

KL

∆ OPQ đều

17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích

Chứng minh

a) CM. ∆ OPQ đều Xét các ∆ ABD; ∆ ACF và ∆ CBE có:

Oˆ = Pˆ = 60 0

⇑

H

Pˆ = Bˆ1 + Aˆ 2 = Aˆ1 + Aˆ 2 = 60 0

TR ẦN

∆BAD = ∆ACF = ∆CBE

Đã có:

Tam giác OPQ có hai góc bằng 600 là một tam giác đều.

10

00

B

 AB = AC = BC ( gt )  0  A = B = C = 60 ( gt )  AD = CF = BE ( gt ) 

2+

3

Đủ điều kiện c.g.c

ẤP

Bài toán 7: Cho tam giác ABC và giao điểm O của ba đường trung trực. Chứng

A

C

minh BOC = 240 ( Xét hai trường hợp ∆ ABC nhọn và ∆ ABC có một góc tù ).

H

Ó

Lời giải:

-L

Í-

1/ Xét trường hợp ∆ ABC nhọn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇑

CM.

G

Cˆ = Cˆ1 +Bˆ 2 = Aˆ1 + Aˆ 2 = 60 0

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ Từ đó:

Aˆ1 = Bˆ1 = Cˆ1

CM.

Đ

Suy ra: Aˆ1 = Bˆ1 = Cˆ1

⇑

ẠO

∆ ABD = ∆ ACF = ∆ CBE (c.g.c)

Aˆ 2 = Bˆ 2

CM.

H Ơ TP .Q

Pˆ = Bˆ1 + Aˆ 2

N

Oˆ = Cˆ1 +Bˆ 2

Y

⇑

N

  AB = AC = BC ( gt )  0  A = B = C = 60 ( gt )  AB  AD = CF = BE = ( gt ) 3 

U

CM.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇑

∆ ABC nhọn O C

B

x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

GT

OA = OB = OC

KL

BOC = 2Â

18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích BOC = 2Â

Kẻ tia AOx: BOC = BOX + COX

Kẻ tia AOx: BOX ; COX là góc ngoài của các tam giác AOB và AOC. Cả hai tam

U

Y

⇑

giác này đều là tam giác cân theo gt, nên:

ẠO

BOX = BAO + ABO + 2BAO

Tương tự c/m:

COX = 2 CAO Từ đó:

Từ đó suy ra tổng

TR ẦN

H

BOX + COX = 2( BAO + CAO) Hay BOC = 240

BOC = BOX + COX

B

2/ Xét trường hợp có góc B tù: x x

10

00

Cũng phân tích và chứng minh như

2+

3

O

trên, chỉ có khác là:

ẤP

BOC = BOX + COX

C

BOX = 2 BAO COX = 2 CAO

Í-

H

Ó

A

A

Từ đó:

C

BOX - COX = 2 ( BAO - CAO)

TO

ÁN

-L

B

G

Hay

Ỡ N ID Ư

BỒ

G

COX = 2 CAO

Đ

Đúng vậy vì đó là gt

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇑

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

BAO = ABO ⇔ ∆ AOB cân

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

CM.

H Ơ

BOX = BAO + ABO + 2BAO

N

CM.

N

BOC = BOX + COX

⇑

TP .Q

CM.

Chứng minh

BOC = 2Â

Bài toán 8: Cho tam giác ABC ( AB < AC) và giao điểm O của ba đường trung trực.

Kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh: OAH = Bˆ − Cˆ Lời giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com ∆ ABC nhọn

A

KL

BOC = 2Â

Kẻ tia AOx: BOC = BOX + COX

Kẻ tia AOx: BOC = BOX + COX

BOX = BAO + ABO = 2 BAO

N

tam giác AOB và AOC. Cả hai tam

⇑

BAO = ABO ⇔ ∆ AOB cân

H

giác này đều là tam giác cân theo gt,

TR ẦN

CM.

Y

G

BOX + COX là góc ngoài của các

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

CM.

Đ

⇑

nên:

⇑

BOX = BAO + ABO = 2 BAO

B

Đúng vậy vì đó là gt

COX = 2 CAO

10

00

Tương tự c/m:

3

COX = 2 CAO

BOX + COX = 2(BAO + CAO) Hay BOC + 2Â

Ó

A

C

BOC = BOX + COX

ẤP

2+

Từ đó suy ra tổng

Từ đó:

Í-

H

Chú ý: từ bài toán này ta có kết quả sau:

-L

Bài toán 8.1:

ÁN

Cho bốn điểm A, B,C, D cách đều một điểm O (OA = OB = OC =OD).

TO

Nếu hai trong bỗn điểm đó ở cùng phía đối với đường thẳng nối hai điểm kia, và

Ỡ N

G

là đỉnh của những góc có cạnh cùng đi qua hai điểm kia thì hai đó bằng nhau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

BOC = 2Â

TP .Q

CM.

Chứng minh

U

Phân tích

H Ơ

C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

OA = OB = OC

ẠO

B

GT

N

O

trực. Kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh:

OAH = Bˆ − Cˆ

BỒ

ID Ư

Bài toán 9: Cho tam giác ABC (AB < AC) và giao điểm O của ba đường trung

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A

K

O

H Ơ

C

H

OAH = Bˆ − Cˆ

G

Chứng minh

1. Cách 1:

1. Cách 1:

Vì OA = OB =OC nên: AOB = 2 Cˆ

=B (góc nhọn có cạnh vuông góc OIH

∆ AOB cân nên đường trung trực OK

00

cũng là đường phân giác nên:

10

đôi một).

A

Mà OIH là góc ngoài ∆OAI nên:

Ó

OAH = OIH - Cˆ

H

OAH = OIH - Cˆ

Í-

Hay OIH = OAH + Cˆ (2)

-L

Mà OIH và Bˆ là hai góc nhọn có

ÁN

CM. Cˆ = Oˆ 1

TO

cạnh tương ứng vuông góc nên:

1 Oˆ 1 = AOˆ B 2

ID Ư

Ỡ N

G

mà

(1)

∆ OAI nên:

C

OAH = OIH - Cˆ

1 Cˆ1 = AOˆ B = Cˆ 2

là góc ngoài OK cắt AH tại I. OIH

ẤP

OAH = OIH - Cˆ

2+

3

⇑

CM.

B

AH cắt đường trung trực OK tại I thì

⇑

BỒ

TR ẦN

H

OAH = Bˆ − Cˆ

CM.

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phân tích

OIH = Bˆ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

KL

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

AH ⊥ BC

TP .Q

B

OA = OB = OC

N

GT

1

N

∆ ABC

I

Từ (2) ta có:

⇑

Bˆ = OAH + Cˆ

CM. AOˆ B = 2Cˆ Đúng vậy, vì OA = OB =OC (Đã c/m ở

Hay OAH = Bˆ - Cˆ

bài 8) 2. Cách 2:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2. Cách 2:

21 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A

H Ơ

1 2

TP .Q

U

C

H

Y

ACD = 900 và ADˆ C = AOˆ C = Bˆ (1)

P

Từ D kẻ DP ⊥ BC ⇒ AH // DP thì: Và CDˆ P = Cˆ (góc có cạnh

tương ứng vuông góc

C . Kéo dài AO thêm 1 đoạn OD = OA

(3)

= OC ⇒

H

Ư N

G

Ta thay Bˆ bằng một góc bằng nó ở gần ACˆ D = 90 0

Từ (1)(2)(3) suy ra:

1 2

ˆ H = AD ˆ P = AD ˆ C - CD ˆP OA

00

B

và ADˆ C = AOˆ C = Bˆ

10

Kẻ DP ⊥ BC thì CDˆ P = Cˆ ( góc nhọn có

2+

OAˆ H = Bˆ − Cˆ

ẤP

OAˆ H = Bˆ − Cˆ

CM.

Vậy:

3

cạnh tương ứng vuông góc)

C

⇑

Í-

⇑

H

Ó

A

ˆ H = AD ˆ C - CD ˆP OA

-L

ˆ H = AD ˆP OA

TO

DP

ÁN

Đúng vì đó là hai góc so le trong, AH //

Ỡ N

G

3. Cách 3:

BỒ

ID Ư

Kẻ BN ⊥ OA thì: NBˆ C = OAˆ H (góc có cạnh tương ứng

3. Cách 3: Từ kết quả bài toán 8 ta có:

vuông góc)

ˆC AO Bˆ = AOˆ M = (OM ⊥ AC) 2

CM. OAˆ H = Bˆ − Cˆ

Từ đó:

< = > NBˆ C = Bˆ − Cˆ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

(2)

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D

ẠO

ˆ H = AD ˆ P (sole trong, DP // AH ) OA

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

O

N

Do OD = OA = OC nên:

1

B

N

kéo dài OA thêm 1 đoạn OD = OA

Â1 = Â3 (cùng phụ Bˆ và AÔM

22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

nên: (Â1 + Â2 ) = (Â2 + Â3 ) (1)

⇑

ABN = Cˆ mà ABN phụ với (Â1 + Â2)

(Â2 + Â3 )= CHˆ A ( phụ với góc C) (2)

ẠO

Do đó: Bˆ − Cˆ = Bˆ − Bˆ1 = NBˆ C

⇑

Â3 phụ với AOM

Ư N

G

ứng vuông góc)

⇑

H

Vậy AOH = Bˆ − Cˆ

TR ẦN

AOˆ C Bˆ = AOM = 2

B

Đúng vì đã c/m ở bài 8

10

00

Chú ý: Từ cách c/m trên đây ta có thể có bài toán mới như sau:

3

Bài toán 9.1:

ẤP

2+

Cho tam giác ABC (AB < AC) và giao điểm O của ba đường trung trực.

A

-L

Bài toán 1:

Khai thác mở rộng một bài toán 9

Í-

H

Ó

phân giác của OAH

C

Kẻ AH vuông góc BC. Chừng minh rằng tia phân giác của BAC cũng là tia

ÁN

Cho hai đường tròn(0) và (0’) cắt nhau tại A và B.Từ A vẽ các đường kính AOC

G

TO

và AO’D. Chứng minh 3 điểm C,B,D thẳng hàng và AB ⊥ CD. (Bài 21- SGK toán 9)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Mà NBC = OAH (góc có cạnh tương

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Â1 phụ với Bˆ

TP .Q

~ B1 = Cˆ

⇑

H Ơ

U

Y

Từ (1)(2)(3) suy ra:

Â1 = Â3

N

(Â1 + Â2 ) = BAˆ N (phụ với Bˆ1 ) (3)

⇑

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

N

Kẻ BN ⊥ OA thì:

Cˆ phụ với (Â1 + Â2)

nhất.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Nhận xét: Bài này có thể c/m bằng nhiều cách, ở đây tôi xin nêu 1 cách c/m gọn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A

N

O'

H Ơ

D

N

B

C

U

Y

Ta có: ABC = ABD = 900 (Góc nt chắn nửa đường tròn)

TP .Q

= > CBD + ABD = 1800

ẠO

⇒ C,B,D thẳng hàng.

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Lưu ý: Trường hợp tâm O và 0’ của 2 đường tròn cùng thuộc 1 nửa mặt phẳng

H

bờ là dây cung chung ⇒ tự làm

TR ẦN

Các kết quả dưới đây đều được xem xét từ trường hợp trên Khai thác mở rộng bài toán:

00

B

Ta đi từ nhận xét sau: Bài toán khá đặc biệt bởi lẽ, để C, B, D thẳng hàng ta phải

10

tạo ra : ABC = ABD = 900

2+

3

Điều này có nhất thiết không? Câu hỏi đặt ra tự nhiên là phải chăng để C, B, D

ẤP

thẳng hàng chỉ cần AC = AD ?

C

Nhưng rõ ràng nếu ta lấy AC = AD trên 2 đường tròn ngược chiều nhau thì C,

Ó

A

B, D không thể thẳng hàng được. Vậy ta thử lấy các cung sđ AC = sđ AD cùng

Í-

H

chiều trên 2 đường tròn (Giả sử cùng lấy ngược chiều kim đồng hồ )xem sao?

ÁN

sau:

-L

Và không khó khăn lắm ta c/m được 3 điểm C,B,D thẳng hàng dựa vào lập luận

TO

C, B, D thẳng hàng <=> CBD = 1800 <=> CAD + ACB + ADB = 1800 (*)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Để có (*) ta liên hệ với các góc của tam giác AOO’

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ AB ⊥ CD

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

O

Như vậy bài toán 1 là trường hợp riêng của bài toán sau: Bài toán 1.2: Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R ≠ R’) cắt nhau tại A và B. Hai điểm M, N chuyển động cùng chiều lần lượt trên 2 đường tròn, cùng xuất phát từ A và cùng trở về A một lúc. Chứng minh đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gợi ý:

O'

O

ẠO

B

TR ẦN

H

Do M,N chuyển động cùng chiều trên 2 đường tròn, cùng xuất phát tại A, cùng vận tốc góc nên luôn có sđ AM = sđ ABN

B

Dựa theo lập luận trên c/m 3 điểm M, B, N thẳng hàng.

10

00

Do B cố định nên có đpc/m

3

Quan sát ở bài toán 1.1 và bài toán 1.2, sự xuất hiện các cát tuyến đi qua giao

2+

điểm B của 2 đường tròn khiến ta liên tưởng đến có một cát tuyến chuyển động

C

ẤP

quay quanh điểm B.

A

Vấn đề đặt ra là: độ dài của cát tuyến sẽ thay đổi như thế nào? ở vị trí nào cát

H

Ó

tuyến ấy sẽ có độ dài lớn nhất?

-L

Í-

Dễ thấy ở bài toán 1.1 cho ta một kết quả là CD = 2 OO’ (Tính chất đường trung

ÁN

bình). Như vậy ta đi so sánh độ dài của cát tuyến MN( Bài toán 1.2) qua 2OO’ .

TO

Từ đó trong bài toán1.2 ta hạ các đường vuông góc OI, OJ xuống MN theo đó

G

MN= 2IJ. Nhưng dễ dàng nhận ra trong hìng thang vuông OIJO’ luôn có IJ ≤

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

M

N

H Ơ

N

A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

OO’ (Dấu bằng khi MN// OO’) .Như vậy MN ≤ 2OO’ = CD. Tức là cát tuyến

song song với đường nối tâm có độ dài lớn nhất. Từ nhận xét ta có bài toán sau:

Bài toán 1.3: Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B có OO’ = 3cm. Qua B kẻ một đường thawngr cắt các đường tròn (0) và (0’) theo thứ tự tịa M và N (B nằm giữa M và N). Tính xem đoạn MN độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ bài toán 1.3 có thể đề xuất được bài toán dựng hình sau: Bài toán 1.4: Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua giao

N

H Ơ

N

điểm B một cát tuyến MN (M ∈ (0) ; N∈ (0’) ) sao cho MN có độ dài lớn nhất.

U

Y

Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh bị nhầm lẫn đi trình bày lời giải giống bài các bước giải bài toán dựng hình trước khi làm.

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

giao điểm B một cát tuyến MN có độ dài cho trước không. Tức là có giải được

Ư N

bài toán sau đây không?

TR ẦN

H

Bài toán 1.5:

Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B. Dựng qua B một xát tuyến

B

cắt hai đường tròn tại các điểm M, N sao cho MN= 2a( a là số dương cho trước)

10

00

Thấy ngay:

3

a , Khi B nằm giữa M,N nhờ kết quả phân tích được trong bài toán 1.3 thì cát tuyến

2+

OO ' MN thoả mãn bài toán có phương vuông góc với O F trong đó F = (O;a) ∩ (P; ) 2

ẤP

’

A

C

a ,Khi MN nằm cùng phía đối với điểm B

H

Ó

Hạ OE và OF’ vuông góc xuống BM

TO

ÁN

-L

Í-

BM   BE = 2 MN ⇒ EF = =a ⇒  BN 2 BF =  2

Ỡ N

G

Hạ O’G ⊥ OE ⇒ O’G = a

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Giải được bài toán dựng hình trên, một câu hỏi lại được đặt ra có thể dựng qua

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

toán 1.3. Do bài toán trên là 1 bài toán dựng hình nên học sinh phải xem xét kĩ

BỒ

ID Ư

Vậy cát tuyến cần dựng có phương vuông góc với OE, trong đó OE là tiếp tuyến

của đường tròn (O’; a) Xem xét kĩ bài toán 1.5 từ trường hợp 2 ta đề xuất được bài toán tổng quát hơn như sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

26 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán1.6: Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua B một Hiệu độ dài hai dây cung tạo thành bằng 2a cho trước

b)

Giao điểm B là trung điểm của MN

U

Y

Chú ý: Phần 1 bài toán 1.5 trên đã trình bày trường hợp khi điểm M và N nằm

N

H Ơ

a)

N

cát tuyến MN sao cho

Ư N

B N

N' O'

O

10

00

B

A

2+

3

Thực hiện phép đối xứng tâm B ( S( B ) ) ’

’

C

→N

A

N

ẤP

S( B ) : (O ) → ( O1 )

H

Ó

⇒ MN = 2a

Í-

Xác định phương của MN:

ÁN

-L

Hạ OE, O’F vuông góc xuống MN, ta có: BN ' BN = 2 2 BM − BN ' ⇒ EF = =a 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

BF =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

F

Đ

E

G

O''

H

M

G

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

theo hướng sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

cùng phía đối với điểm B. Khi điểm B nằm giữa 2 điểm M, N cách giải có thể

Hạ tiếp O’G ⊥ OE có O1 G = EF =a Vậy cát tuyến cần dựng có phương vuông góc với OE, với OFlaf tiếp tuyến của đường tròn ( O1 ; a )

b)Tự c/m

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

27 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vẫn tiếp tục xem xét đến vấn đề độ dài của cát tuyến qua B. Cũng từ bài toán 1.3 ta thấy khi cát tuyến MN lớn nhất thì dây AM và AN cũng lớn nhất (đường kính làday cung lớn nhất). Như vậy, chu vi tam giác AMN có giá trị lớn

H Ơ

N

nhất. Câu hỏi đặt ra với diện tích tam giác AMN khi đó sẽ như thế nào?

1 2

Y

N

Thấy ngay S△ AMN = AM . AN .sin MAN

= AOO ' không đổi.

Nên MAN

ẠO

Vì vậy diện tích AMN cũng lớn nhất khi MN lớn nhất xong ở đây có liên quan

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đồng dạng bằng tỉ số các bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác

H

tương ứng”

TR ẦN

( dễ chứng minh)

00 10

2+

3

R OO ' MN .R = ⇔ = R' ' ' R MN OO

B

Tức là ta luôn có:

’

’

ẤP

⇒ MN lớn nhất thì R cũng lớn nhất (R, R tương ứng là bán kính đường tròn

C

ngoại tiếp các tam giác AMN và tam giác AOO’)

H

Í-

Bài toán 1.7:

Ó

A

Qua các nhận xét trên ta có bài toán sau:

-L

Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

ÁN

Một cát tuyến MN di động quay quanh B. Hãy xác định vị trí của MN để:

TO

a , Chu vi tam giác AMN lớn nhất

Ỡ N

G

b ,Diện tích tam giác AMN lớn nhất

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

tới 2 tam giác đồng dạng ta nghĩ đến kết quả “ Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

△ AMN ∼△ AOO ' (M ≠ N)

Do

BỒ

ID Ư

c ,Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN lớn nhất? Có vị trí nào của MN

thoả mãn cả 3 yêu cầu trên không?

Khi nghiên cứu đến vấn đề chuyển động của cát tuyến MN quay quanh điểm B, một vấn đề không thể không xem xét đó là “ tính chất chuyển động của điểm K, trung điểm của MN”. Xét các vị trí đặc biệt thấy điểm K phải đi qua 3 điểm cố định là A, B và Io là trung điểm của Eo Fo ( Eo Fo ⊥ AB ). Do tính chất đối xứng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

28 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

của 2 đường tròn nên điểm K cũng phải đi qua điểm J o trung điểm của dây PQ (PQ ⊥ AB) nên ta dự đoán quĩ tích điểm K là đường tròn J o B ( do ABI o J o là

N

hình chữ nhật)

H Ơ

0 Vì vậy ta chứng minh: J Điều này không khó o KB = 90

Y

N

Từ đó ta có bài toán sau: Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B. Cát tuyến quay

ẠO

quanh B cắt 2 đường tròn (0) và (0’) lần lượt tại M và N. Tìm tập hợp các trung

Jo

TR ẦN

H

Q

O M

H

B

K

Fo

N

ẤP

2+

3

Eo

10

00

B

O'

A

C

(. Vì tập hợp điểm K là đường tròn đường kính JoB nên luôn có:

H

Ó

0 J o KB = 90 không đỏi khi MN quay quanh điểm B.

-L

Í-

Như vậy khi MN quay quanh điểm B đường thẳng JoK luôn luôn là trung trực

ÁN

của MN. Do Jo cố định nên từ bài toán 1.8 ta đề xuất được bài toán sau:

G

TO

Bài toán 1.9: Cho hai đường tròn (0) và (0’) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến MN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

P

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

điểm K của MN.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Bài toán 1.8:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

chuyển động quay quanh điểm B với M nằm trên (O) và N nằm trên (0’). Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Phần III: Kết luận Qua việc áp dụng “ phương pháp suy luận phân tích để tìm lời giải bài

toán hình học THCS”. Tôi nhận thấy các em học sinh đã giải quyết được một số bài toán hình học, có định hướng cách giải và tiếp cận gần hơn với các suy luận

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

phân tích. Các em đã có thói quen tư duy lo gic một cách sáng tạo trước một bài toán cụ thể, góp phần tạo hứng thú thu hút học sinh yêu thích học toán hơn và các em học yếu và trung bình không còn thấy sợ học toán nữa.

TP .Q

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

ẠO

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Ư N H TR ẦN

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

Trần Thị Thanh Tâm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Lũng Hoà, ngày..... tháng ..... năm 201...

Người viết sáng kiến

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

kính yêu!

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ơ

N

có những ý khiếm khuyết. Xin sự đóng góp chân thành của các đồng nghiệp

N

Với một thời gian không nhiều, kinh nghiệm còn ít ỏi, bài viết không khỏi

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PhÇn VI: TÀI LIỆU THAM KHẢO ************************

H Ơ

N

1. Phương pháp dạy học môn toán - T¸c gi¶ NguyÔn B¸ Kim

N

2. Tµi liÖu båi dưỡng thường xuyªn cho gi¸o viªn THCS chu k× III

TP .Q

Hoµng Chóng

ẠO

4. Dïng suy luËn ®Ó gi¶i to¸n h×nh häc – T¸c gi¶ NguyÔn V¨n Ban

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

==============================================

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

5. C¸c bµi to¸n h×nh häc n©ng cao

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

3. Phương ph¸p d¹y häc h×nh häc ë trêng trung häc c¬ së – T¸c gi¶

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial