Issuu

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG IV. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

o Dự đoán được sự phát triển của bào thai.

VÀ NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ

o Dự đoán được chi phí sản xuất và doanh thu của doanh nghiệp.

Y U Q

N Ơ NH

Các em học sinh thân mến, có bao giờ các em đã nge câu chuyện về bài toán con voi của

o Và còn rất nhiều các ứng dụng khác…

Trạng nguyên Lương Thế Vinh? Vào đời vua Lê Thánh Tông, một quan sứ của Trung Quốc là

Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay chỉ thiên về những bài tính

Chu Hy sang Việt Nam ta với thái độ hống hách và coi thường đất nước Việt Nam ta. Chu Hy

toán khô khan, học sinh chỉ biết tính toán một cách máy móc mà không thấy được những úng

đã thách đố nước ta làm sao để cân được khối lượng con voi. Vào thời ấy, không thể có loại

dụng thực tế của nó. Với xu thế đổi mới cách đánh giá năng lực học sinh thì những bài toán

cân nào đủ lớn để cân khối lượng con voi lên hàng tấn. Dĩ nhiên là ta không thể xẻ thịt con

ứng dụng thực tế của tích phân đang là chủ đề nóng và rất cần thiết cho những học sinh đang

voi để cân được. Vậy thì Trạng nguyên Lương Thế Vinh đã cân voi bằng cách nào?

chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia. Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với những bài

Chuyện kể rằng Trạng nguyên Lương Thế Vinh đã

toán thực tế áp dụng phép tính tích phân theo định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

sai quân lính dẫn con voi lên thuyền, do voi quá

Nội dung chương này bao gồm:

nặng nên thuyền đắm sâu xuống, Lương Thế Vinh

• Phần A: Tóm tắt lý thuyết và các kiến thức liên quan.

cho quân lính đánh dấu mực nước trên thành

• Phần B: Các bài toán ứng dụng thực tế.

thuyền, rồi dắt voi lên bờ. Sau đó, ông sai quân lính

• Phần C: Các bài toán trắc nghiệm khách quan.

vác đá bỏ lên thuyền cho đến khi thuyền đắm sâu

• Phần D: Đáp án và hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm.

tới mức đã đánh dấu lúc nãy thì dừng lại. Cuối cùng, ông bảo quân lính cân hết số đá trên thuyền và ra được khối lượng con voi. Khi ấy Chu Hy tuy

B 0 0 0 1

N Ầ TR

G N HƯ

PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Nguyên hàm

bực tức nhưng trong lòng rất thán phục. Cách cân voi của Trạng nguyên Lương Thế Vinh mang “hơi hướng” của phép tính tích phân

P Ấ C

hiện đại ngày nay. Để tính khối lượng của con voi, Lương Thế Vinh đã chia thành nhiều phần

nhỏ (là những viên đá) rồi tính tổng khối lượng các viên đá ấy. Trong thực tế ngày nay ta

A Ó -H

cũng gặp nhiều vấn đề tương tự như bài toán cân voi. Ví dụ tính diện tích của mảnh vườn

hình chữ nhật, hay hình vuông, hay hình tròn là chuyện dễ dàng. Tuy nhiên, sẽ khó khăn hơn

3 + 2

1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f ( x ) xác định trên K. Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của f ( x ) trên

K nếu

F' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K. • Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì họ tất cả các nguyên hàm của f ( x )

nhiều khi tính diện tích của mảnh vườn có hình dạng phức tạp, bằng cách chia nhỏ hình phức

trên K là

tạp ấy thành nhiều hình đơn giải quen thuộc, sau đó tính tổng diện tích các hình đơn giản ấy

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C, C ∈ ℝ.

Í L -

sẽ cho kết quả của hình phức tạp ban đầu. Qua đó ta thấy phép tính tích phân hiện đại sẽ

N Á O

giúp chúng ta giải quyết các bài toán trên một cách đơn giản hơn.

• Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Không dừng lại ở đó, phép tính tích phân phát huy ưu thế của nó qua nhiều ứng dụng rất

2. Tính chất

thực tế:

Cho các hằng số C, k ∈ ℝ .

o Tính thể tích của vật thể có hình dạng phức tạp (không phải là hình hộp có sẵn công thức tính).

Ỡ Ư D

o Tính quãng đường chuyển động của vật (xe, máy bay, …) khi biết được vận tốc trong suốt

I Ồ B

quãng đường ấy.

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

O Ạ Đ

. P T

∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C. ∫ f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx. ∫ k.f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx, ( k ≠ 0 ) . Trang 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

• Cho a, b, c, α, β ∈ ℝ là hằng số

∫ 0dx = c

∫ dx = x + c

x a +1 ∫ x dx = + c ( α = const, α ≠ −1) α +1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + c, ( a ≠ 0 )

dx 1 ∫ 2 = − +c x x

dx ∫ 2 = 2 x +c x

∫ cos xdx = sin x + c

∫ sin xdx = − cos x + c

1 ∫ cos2 x dx = tan x + c

∫ sin

∫ a dx = ln a + c ( 0 < a ≠ 1)

∫ e dx = e

1 ∫ x dx = ln x + c

1 2

dx = − cot x + c

+ c ( α ≠ −1, a ≠ 0 )

1 1 ∫ cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c ( a ≠ 0 )

1 1 ∫ sin 2 ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + c ( a ≠ 0 )

∫e

ax + b

II. Tích phân

N Á O

1. Khái niệm tích phân

Í L -

∫ f ( x )dx = F a

I Ồ B

Trang 3

b −F a

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

G N HƯ c

O Ạ Đ

N Ầ TR

∫ f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx. a

B 0 0 0 1

cong (C) và trục hoành

P Ấ C

trên K thì giá trị F ( b ) − F ( a ) gọi là tích phân của hàm f ( x ) từ a đến b, ký hiệu

G ( ) ( ) N Ỡ Ư D

1. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường

• Cho hàm số f ( x ) liên tục trên K và a, b ∈ K . Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x )

. P T

III. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

1 dx = eax + b + c, ( a ≠ 0 ) a

A Ó -H

Y U Q

∫ k.f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx.

a , ( 0 < a ≠ 1, α ≠ 0 ) α ln a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx.

αx +β

1 ∫ dx = log a x + c ( 0 < a ≠ 1) xlna

dx =

∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx.

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c, ( a ≠ 0 )

αx +β

∫a

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và k ∈ ℝ , c ∈ ( a; b ) .

∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c, ( a ≠ 0 )

2. Tính chất của tích phân

ax x

∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du = ...

α+1

1 ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = a . α + 1

N Ơ NH

• Đối với biến số, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là

3 + 2

 y = f ( x )( C ) 

( H) : y = 0

x = a, x = b a < b ( )  b

Diện tích được tính theo công thức S = ∫ f ( x ) dx a

2. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 2 đường cong

 y = f ( x )( C1 )  y = g ( x )( C2 ) ( H ) :  x = a x = b ( a < b )  Diện

tích được tính theo

công

thức

Trang 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ NH

1. Với một đại lượng f ( x ) biến thiên theo biến số x thì tốc độ

f ( x ) theo biến x chính là đạo hàm f ' ( x ) (với giả sử rằng f ' ( x ) luôn tồn tại). Ngược lại, khi

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

biết tốc độ thay đổi

thay đổi (vận tốc) của

Y U Q

f ' ( x ) của một đại lượng f ( x ) thì có thể suy ra mô hình hàm số biểu

. P T

thị cho đường đi của đại lượng đó bằng cách lấy nguyên hàm của f ' ( x ) . Nghĩa là

IV. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

f ( x ) = ∫ f ' ( x )dx

1. Cho hàm y = f ( x ) liên tục trên đoạn

[ a; b] .

2. Khi biết tốc độ thay đổi f ' ( x ) của một đại lượng f ( x ) . Sự chênh lệch giá trị của đại

hạn bởi các đường sau:

f b − f a = f ' x dx. a

Đây là mấu chốt quan trọng để giải quyết các bài toán thực tiễn như khi biết tốc độ tăng trưởng của một đại lượng, ta có thể tìm một hàm số biểu thị số lượng của đại lượng đó qua

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do

chuyển động của vật, sự gia tăng dân số, sự phát triển của vi khuẩn, các bài toán về sản xuất

V = π ∫ f 2 ( x )dx a

2. Cho 2 hàm y = f ( x ) và y = g ( x ) cùng liên

[a; b]

tục trên đoạn

và thỏa điều kiện

f ( x ) ≥ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ( C ) : y = f ( x )  ' ( C ) : y = g ( x ) ( H) :  x = a x = b a < b ( ) 

N Á O

Í L -

A Ó -H

P Ấ C

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: b

( x ) − g ( x ) dx 2

Ỡ Ư D

PHẦN B: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

ỒI

Trang 5

B 0 0 0 1

từng thời kỳ. Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan tới nội dung này có thể kể đến như: sự

hình (H) xoay quanh trục Ox.

V = π ∫ f

G N ( ) ( ) ∫ ( )HƯ N Ầ TR

lượng f ( x ) trong khoảng giá trị của biến x đi từ a đến b được xác định bởi công thức:

( C ) : y = f ( x )  y=0 ( H ) :  x  =a x = b ( a < b ) 

O Ạ Đ

Kết hợp thêm các điều kiện ban đầu thích hợp để tìm ra f ( x ) một cách chính xác.

Gọi (H) là hình thang cong giới

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 + 2

và kinh doanh…

DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

• Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi

đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là v =

s t

• Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính

đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm. • Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi đường sau quãng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t)

o Đạo hàm của quãng đường là vận tốc s’(t) = v(t) o Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s ( t ) = ∫ v ( t )dt • Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t ∈ [ a; b ] là: b

∫ v ( t )dt = s ( b ) − s ( a ) a

Trang 6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

• Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)

N Ơ NH

o Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc v’(t) = a(t)

Một là, nguyên hàm của vận tốc là quãng đường đi được của vật chuyển động.

o Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t )dt

Hai là, nếu biết s(t) là nguyên hàm của v(t) thì quãng đường của vật đi được trong khoảng thời gian t ∈ [ a; b ] được tính theo công thức ∫ v ( t ) dt = s ( b ) − s ( a ) . a

đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

C. 10m.

D. 20m.

có

nguyên

hàm

của

vận

G N HƯ

a = − 5 1  2  t = 2 ⇒ S = 10.2 + ( −5 ) .2 = 10m 2  v = 10  0

Phân tích bài toán • Ta

O Ạ Đ

1 còn di chuyển quãng đường là S = v0 t + at 2 trong đó 2

phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? B. 2m.

tốc

v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) chính là quãng đường s(t)

N Ầ TR

mà ô tô đi được sau quãng thời gian t giây kể từ

Bài toán 2: Một xe mô tô phân phối lớn sau khi

lúc tài xế đạp phanh.

chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận

tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là

• Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0. • Vào thời điểm ô tô dừng lại thì v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2. 2

• Từ đây ta tính được quãng đường xe đi được từ lúc t = 0 đến t = 2 theo công thức

∫ v ( t )dt. 0

Hướng dẫn giải • Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm t0, ô tô có vận tốc v0 = 10 ( m / s ) . Suy ra v ( t 0 ) = −5t 0 + 10 = 10 ⇔ t 0 = 0 . • Khi ô tô dừng lại tại thời điểm t1, thì vận tốc v1 = 0 ( m / s ) . Suy ra v ( t1 ) = −5t1 + 10 = 0 ⇔ t1 = 2 .

ÁN

Í L -

A Ó -H

P Ấ C

• Ta có mối liên hệ giữa hai đại lượng biến thiên quãng đường đi được S(t) và vận tốc v(t) là: Nguyên hàm của vận tốc v(t) chính là quãng đường đi được S(t). Suy ra quãng đường

đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm v(t) khi thời gian t từ 0s

đến 2s. 2

Ỡ Ư D

 t2  ∫0 v ( t ) dt = ∫0 ( −5t + 10 ) dt =  −5 2 + 10t  = 10m. 0

ỒI

• Vậy chọn đáp án C.

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

. P T

Ba là, bài toán có thể giải theo phong cách Vật lý. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô

v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp

A. 0,2m.

Y U Q

Bài toán 1: (Trích đề minh họa 2017). Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế

3 + 2

0 0 1

đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 15s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất là 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đạt đến lúc vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

Phân tích bài toán

• Lúc ban đầu mô tô phóng nhanh với vận tốc thay đổi liên tục được biểu thị bằng đồ thị (P) như hình vẽ, và đề bài chưa cho biểu thức vận tốc v(t), cho nên ta cần tìm biểu thức vận tốc chuyển động. • Vì đồ thị vận tốc có dạng là đường Parabol như hình vẽ nên biểu thức vận tốc sẽ có dạng

v ( t ) = at 2 + bt + c, đường cong Parabol có đỉnh I(15;60), đồng thời đi qua gốc tọa độ O(0;0). • Lúc bắt đầu tăng tốc xem như t = 0, và theo đồ thị xe đạt vận tốc cao nhất vào thời điểm t = 15. Trang 8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.

được của xe kể từ lúc tăng tốc (t = 0s) đến lúc đạt vận tốc cao nhất (t = 15s) tính theo công

Y U Q

thức

∫ v ( t )dt. 0

Hướng dẫn giải 2

• Hàm vận tốc v ( t ) = at + bt + c có dạng là đường Parabol có đỉnh I(15;60), đồng thời đi

O Ạ Đ

qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra a.02 + b.0 + c = 0 c = 0 c = 0   4  b   = 15 ⇔ 30a + b = 0 ⇔ a = − − 2a 15  a.152 + b.15 + c = 60   a.152 + b.15 + c = 60 b = 8

⇒ v(t) = −



thức a(t), nên bước đầu ta cần tìm công thức a(t).

• Vì đồ thị hàm số a(t) là đường thẳng nên có dạng a(t) = mt + n, đường thẳng này đi qua

  4  + 8t dt =  − t 3 + 4t 2  = 600m. .   45 0

• Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được một quãng đường dài 600m. Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: b

Thông thường để tính tích phân

N Ầ TR

• Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a(t), và đề bài chưa cho công

đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất

∫ v ( t )dt = ∫  − 15 t

G N HƯ

. P T

Phân tích bài toán

4 2 t + 8t . 15

• Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t = 0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t = 15s nên quãng

N Ơ NH

đường thẳng như hình bên. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để

• Nhắc lại rằng nguyên hàm của vận tốc v(t) chính là quãng đường. Vậy quãng đường đi

∫ f ( x )dx

A Ó -H

P Ấ C

thì đề bài luôn cho sẵn biểu thức f(x). Tuy nhiên,

đối với ví dụ này, đề bài chỉ cho đồ thị của hàm f(x) và học sinh phải thiết lập biểu thức f(x).

LÍ

Đây là kĩ năng rất cần thiết vì trong quá trình học phổ thông, học sinh thường chỉ làm bài

toán 1 chiều. Tức là, từ hàm số f(x) vẽ thành đồ thị, rất ít khi (thậm chí không có) học sinh

ÁN

gặp bài toán từ đồ thị suy ra biểu thức của hàm f(x).

Bài toán 3: Một máy bay đang

3 + 2

0 0 1

gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(16;90) từ đó suy ra phương trình a(t).

• Nhớ rằng: Nguyên hàm của gia tốc a(t) chính là vận tốc v(t) của vật chuyển động nên ta có

v ( t ) = ∫ a ( t )dt • Chú ý điều kiện vận tốc của máy bay lúc bắt đầu tăng tốc là v(0) = 3 (m/s), từ đây ta suy ra được hàm số v(t).

• Để tính vận tốc của máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta chỉ cần tính v(15). Hướng dẫn giải

• Đường thẳng a ( t ) = mt + n đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(16;90) nên suy ra m.0 + n = 0 n = 0 ⇔ ⇒ a ( t ) = 6t.  m.15 + n = 90 m = 6

• Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc a(t) chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có công thức vận tốc v(t) được tính theo công thức

chuyển động thẳng đều trên mặt đất

v ( t ) = ∫ a ( t )dt = ∫ 6tdt = 3t 2 + C .

với vận tốc v = 3(m/s) thì bắt đầu

• Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như t = 0 và vận tốc lúc đó là v = 3(m/s). Suy ra

G N Ỡ Ư D

tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là

v ( 0 ) = 3 ⇔ 3.02 + C = 3 ⇔ C = 3 ⇒ v ( t ) = 3t 2 + 3.

hàm số a(t) có đồ thị hàm số là

I Ồ B

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn • Vậy vận tốc

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi

mặt

đất

N Ơ NH

ném đứng từ dưới lên của vật. Giả sử vật A được ném thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu

là

v0 ở vị trí độ cao s0 so với mặt đất. Ta sẽ thiết lập các hàm vận tốc và hàm độ cao của vật

v (15 ) = 3.15 + 3 = 678 ( m / s ) .

Y U Q

A như sau: Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

. P T

• Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì vật được ném hướng lên. Theo giả thiết ta có s ( 0 ) = s 0 và

Một là, cho đồ thị của một hàm số, từ đó suy ra phương trình của hàm số đó.

s ' ( 0 ) = v0 .

Hai là, nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc của vật chuyển động.

O Ạ Đ

• Ta biết rằng trong chuyển động ném đứng từ dưới lên thì gia tốc trọng trường có giá trị âm Bài toán 4: Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là 72 m/s bắt đầu từ độ cao 2m.

tại mọi thời điểm t, nghĩa là s '' ( t ) = −9,8m / s 2 .

G N ( ) HƯ

Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn. Phân tích bài toán

• Ta có vận tốc của viên đại tại thời điểm t là s ' ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1

• Để xác định được chiều cao của viên đạn tại thời điểm bất kỳ, ta cần tìm công thức quãng

Do s ' ( 0 ) = v0 nên s ' 0 = −9,8.0 + C1 = v 0 ⇔ C1 = v0 ⇒ s ' ( t ) = −9,8t + v 0 .

đường s(t) mà viên đạn đi được.

s ( t ) = ∫ s ' ( t )dt = ∫ ( −9,8t + v 0 ) dt = −4,9t 2 + v0 t + C2 .

v(0) = 72. tại mọi thời điểm t, nghĩa là a(t) = -9,8m/s2.

• Vậy ta có hàm vận tốc s ' ( t ) = −9,8t + v 0 và hàm độ cao s ( t ) = −4,9.t 2 + v0 .t + s 0 .

• Vận tốc v(t) là nguyên hàm của a(t) nên ta có v ( t ) = ∫ −9,8dt , kết hợp điều kiện vận tốc ban đầu là v(0) = 72 ta suy ra dạng của v(t).

P Ấ C

• Tiếp tục có s(t) là nguyên hàm của v(t), kết hợp điều kiện vị trí ban đầu s(0) = 2 ta tìm được phương trình của s(t). Từ đây tính được s(5). Hướng dẫn giải

• Ta có vận tốc viên đạn tại thời điểm t là

v ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1

LÍ

A Ó -H

Do v ( 0 ) = 72 nên v ( 0 ) = −9,8.0 + C1 = 72 ⇔ C1 = 72 ⇒ v ( t ) = −9,8t + 72.

ÁN

• Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là

s ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ ( −9,8t + 72 ) dt = −4,9t 2 + 72t + C 2 .

Vì s(0) = 2 nên s ( 0 ) = −4,9.02 + 72.0 + C2 = 2 ⇔ C2 = 2 ⇒ s ( t ) = −4,9.t 2 + 72.t + 2. • Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao

Ỡ Ư D

B 0 0 0 1

Vì s 0 = s 0 nên s 0 = −4,9.02 + 72.0 + C2 = s 0 ⇔ C2 = s 0 ⇒ s ( t ) = −4,9.t 2 + v 0 .t + s 0 .

• Ta biết rằng trong chuyển động ném đứng từ dưới lên thì gia tốc trọng trường có giá trị âm

N Ầ T( R ) ( )

• Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là

• Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì viên đạn được bắn lên. Theo giả thiết ta có s(0) = 2 và

3 + 2

DẠNG 2: BÀI TOÁN VỀ CÔNG CỦA LỰC TÁC DỤNG VÀO VẬT

• Nếu một lực không đổi F tác dụng lên vật M dọc theo một khoảng cách (độ dời) d, thì công W sinh ra trong quá trình dịch chuyển bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách d mà nó đã tác dụng, ta có công thức W = F.d Trong đó, lực F được hiểu là chiều tác dụng dọc theo hướng (phương) chuyển động. • Định nghĩa trên luôn đúng khi lực F không đổi. Tuy nhiên, nhiều trường hợp lực F biến thiên trong suốt quá trình thực hiện công. Trong các tình huống như vậy, người ta thường chia quá trình này thành nhiều phần nhỏ và tính công toàn phần nhờ lấy tổng các công tương ứng với các phần được chia (được tính nhờ phép tính tích phân). • Giả sử f(x) là lực tác dụng lên vật tại vị trí x,

s ( 5 ) = −4,9.52 + 72.5 + 2 = 239,5m. Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Ta có bài toán tổng quát hơn cho chuyển động

I Ồ B

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ NH

không đổi trong thời gian nâng xô nước lên. Người ta ước tính rằng lượng nước trong

đường đi của lực tác dụng (quỹ đạo của vật được tác dụng lực) tương ứng với trục tọa độ

xô sẽ thay đổi theo đồ thị là hình bên. Hỏi người thợ hồ đã dung một công là bao nhiêu

Ox. Khi đó, công toàn phần sinh ra trong cả quá trình chuyển động của vật từ vị trí x = a

Y U Q

để nâng xô nước lên cao 20m, với giả sử bỏ qua trọng lượng sợi dây?

đến vị trí x = b là: W = ∫ f ( x )dx

Phân tích bài toán

. P T

• Trong suốt thời gian đưa xô nước lên độ cao 20m thì trọng lượng của xô không đổi, nhưng

Bài toán 1: Một lực 40N cần thiết để kéo căng một chiếc lo xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm. Hãy tính công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài 15cm đến 18cm.

nước bị chảy ra liên tục nên trọng lượng nước thay đổi. Vì vậy để tính được công đưa xô

Phân tích bài toán

nước lên cao thì ta tách làm 2 loại công: Một là công đưa xô lên, hai là công đưa nước lên.

• Vì lượng nước giảm liên tục nên trọng lượng của nước là một hàm số f(x) giảm liên tục

một lực gọi là lực đàn hồi, lực đàn

phụ thuộc vào quãng đường x mà xô đi được.

hồi này chống lại sự biến dạng, giúp lò xo trở về hình dạng tự nhiên ban đầu.

dựa vào đồ thị ta tìm được phương trình f ( x ) = ax + b .

kx, trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo. • Dùng giả thiết để suy ra hàm số f(x) = kx. Khi đó, công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15cm 0,08

∫

đến 18cm được tính theo công thức W =

f ( x )dx .

0,05

Hướng dẫn giải

P Ấ C

• Ban đầu lò xo có độ dài tự nhiên 10cm. Dùng một lực 40N kéo dãn lò xo có độ dài 15cm

A Ó -H

thì lò xo bị kéo dãn một đoạn có độ dài 5cm = 0,05m. Vậy ta có

f ( 0, 05 ) = 40 ⇔ 0, 05.k = 40 ⇔ k = 800 . Suy ra f(x) = 800x.

Í L -

• Vậy công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15cm đến 18cm là

∫ 0,05

x2 2

0,08

= 1, 56J.

N Á O

0,05

Bài toán 2: Người thợ hồ nâng một xô

nước bị rỉ lên cao 20m với tốc độ cố

định. Cho trọng lượng của xô là 3N,

Ỡ Ư D

trọng lượng ban đầu của nước là 2N. Biết rằng xô nước bị rỉ nên lượng

I Ồ B

nước trong xô sẽ chảy ra với tốc độ Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

• Khi đó, công để đưa lượng nước lên cao 20m tính theo công thức

0) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo sinh ra một lực đàn hồi có độ lớn bằng f(x) =

800xdx = 800.

N Ầ TR

• Theo giả thiết đồ thị biểu diễn trọng lượng xô nước là đường thẳng có dạng f ( x ) = ax + b ,

• Theo định luật Hooke: “Khi một lò xo bị biến dạng (nén hoặc giãn) với một độ dài x (x >

0,08

G N HƯ

tính bằng công thức Wxô = Pxô.h = 3.20 = 60(Nm).

hoặc kéo dãn) thì lò xo sẽ sinh ra

O Ạ Đ

• Vì trọng lượng xô không đổi trong suốt thời gian đưa lên cao nên công cũng không đổi và

• Khi một lò xo bị biến dạng (bị nén

3 + 2

0 0 1

∫ f ( x )dx. 0 20

• Vậy công cần thực hiện để đưa cả xô và nước lên cao 20m là 60 + ∫ f ( x )dx. 0

Hướng dẫn giải

• Vì trọng lượng của xô là 3N không thay đổi nên công để đưa xô lên cao 20m là Wxô = Pxô.h = 3.20 = 60(Nm). • Trọng lượng của nước thay đổi tùy thuộc vào độ cao của xô so với mặt đất. Gọi x là độ cao của xô so với mặt đất, khi đó f ( x ) = ax + b là trọng lượng của nước tương ứng với độ cao x. • Đồ thị hàm số f ( x ) = ax + b đi qua 2 điểm A(0;2) và B(20;0) nên b = 2 a.0 + b = 2 1  ⇔   1 ⇒ f ( x ) = − x + 2. 10 a = − a.20 + b = 0  10

• Công sinh ra khi đưa nước từ mặt đất lên độ cao 20m là: 20







∫ f ( x )dx = ∫  − 10 x + 2 dx =  − 20 x 0

 + 2x  = 20 ( Nm ) . 0

• Vậy công toàn bộ để đưa cả xô và nước lên cao 20m là 60 + 20 = 80 (Nm). Trang 14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ TĂNG TRƯỞNG, PHÁT TRIỂN

f ( 4 ) − f ( 0 ) = 10.4 +

• Cho hàm số f(x) biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng nào đó (số

3 2 2 ( 2.4 + 1) 2 + C −  0 + + C  ≈ 57 người. 3 3  

Y U Q

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy, …). • Giá trị f(x) là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm x.

N Ơ NH

Một là, nếu gọi f(x) là số dân thay đổi theo thời gian x thì đạo hàm f ' ( x ) chính là tốc độ

• Đạo hàm f ' ( x ) chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm x.

thay đổi (tăng hoặc giảm) của số dân.

. P T

Hai là, nguyên hàm của hàm tốc độ thay đổi tăng giảm f ' ( x ) chính là hàm f(x) biểu thị

cho dân số.

• Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng x ∈ [ a; b ] là: ∫ f ( x )dx

O Ạ Đ

Bài toán 1: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố

Ba là, bài toán có thể giải theo cách thứ 2. Vì v(x) là tốc độ tăng dân số từ bây giờ (x = 0)

A sẽ tăng với tốc độ v ( x ) = 10 + 2 2x + 1 (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng

đến tháng thứ 4 (t = 4) nên số dân tăng thêm (hoặc giảm đi) trong thời gian đó là

thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới.

N Ầ TR

tác tình nguyện ở nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô hình bởi hàm số

nêu thì số dân tăng thêm đó được tính theo công thức. 4

∫ v ( t )dt = f ( 4 ) − f ( 0 ) 0

P Ấ C

• Chú ý rằng ta có thể tính bằng 2 cách. Cách 1 là tìm nguyên hàm f(x), sau đó tính hiệu số 4

f ( 4 ) − f ( 0 ) . Cách 2 là tính trực tiếp tích phân ∫ v ( t )dt . 0

Hướng dẫn giải

LÍ

• Gọi f(x) là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.

N Á O

)

• Suy ra f ( x ) = ∫ 10 + 2 2x + 1 dx = 10x + 2∫

2x + 1 dx

1 3 1 1 2x + 1 dx = ∫ ( 2x + 1) 2 d ( 2x + 1) = ( 2x + 1) 2 + C . 2 3

)

• Do đó f ( x ) = 10x +

3 2 ( 2x + 1) 2 + C . 3

Ỡ Ư D

• Số dân trong 4 tháng tới là:

I Ồ B

Trang 15

(

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B 0 0 0 () 1

Bài toán 2: Tốc độ thay đổi của số lượng người V (tính bằng ngàn người) tham gia công

• Đề bài yêu cầu tính số dân tăng thêm của thành phố trong 4 tháng tới. Theo lý thuyết đã

• Tốc độ thay đổi của dân số là v ( x ) = 10 + 2 2x + 1 .

3 4   2x + 1 dx = 10x + ( 2x + 1) 2  ≈ 57 người. 3  0

tháng kể từ bây giờ.

∫(

G N ) Ư H

∫ f ' ( t )dt = f ( b ) − f ( a )

Vậy nguyên hàm của v(x) chính là hàm số f(x) biểu thị cho dân số của thành phố sau x

• Mà

• Giả thiết cho v ( x ) = 10 + 2 2x + 1 hàm biểu thị cho tốc độ tăng dân số trong tháng thứ x.

(

∫ v ( x )dx = ∫ (10 + 2

Phân tích bài toán

•

A Ó -H

3 + 2

V t = 119,85t 2 − 30e t + 37, 26e− t với t là năm (t = 0 ứng với năm 2000)

Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu. (Nguồn: Cục thống kê lao động Mỹ). Phân tích bài toán • Hàm số V ( t ) = 119,85t 2 − 30e t + 37, 26e− t biểu thị cho tốc độ thay đổi số lượng người tham gia công tác tại năm thứ t (tính từ năm 2000 đến năm 2006). • Suy ra nguyên hàm S(t) của V(t) chính là số lượng người tham gia công tác tại năm thứ t. • Đề bài yêu cầu tính số lượng người thay đổi (tăng lên hay giảm đi) trong khoảng từ năm 6

2000 đến năm 2006. Số lượng này chính được tính bằng công thức ∫ V ( t )dt = S ( 6 ) − S ( 0 ) 0

• Trong đó t = 0 ứng với năm 2000, t = 6 ứng với năm 2006.

Hướng dẫn giải • Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ năm 2000 đến năm 2006 là:

Trang 16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 6

∫ V ( t )dt = ∫ (119,85t 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ở nước Mỹ khoảng 61,047 triệu người. So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp

 119,85 3  = t − 30e t − 37, 261e − t  = −3473, 756166 − ( −67, 261) ≈ −3406 .  3 0

Bài toán 4: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số B' ( t ) =

• Vậy trong khoảng thời gian từ năm 2000 đến năm 2006, số lượng người tham gia công tác tình nguyện đã giảm đi khoảng 3406 người.

bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn phát triển đến 3000 con trên mỗi ml nước. Như vậy

b. Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hơn ở nước Mỹ vào năm

• Ta biết rằng tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

Phân tích bài toán

• Ở đây ta hiểu rằng năm 1970 ứng với t = 0 và năm 2005 ứng với t = 35. 2

• Hàm số f ( t ) = 1, 218t − 44, 72t + 709,1 biểu thị cho tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn vào năm thứ t. Suy ra nguyên hàm của f(t) là hàm số F(t) biểu thị cho số lượng cặp đôi kết hôn vào năm thứ t. • Dựa vào điều này ta tìm ra mô hình F(t) với điều kiện F(35) = 59513.

P Ấ C

• Từ mô hình F(t) ta có thể tính được số lượng cặp đôi kết hôn vào năm bất kỳ trong khoảng

A Ó -H

a. Để tìm một mô hình cho số lượng cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm của f(t) 1, 218 3 44, 72 2 F ( t ) = ∫ (1, 218t − 44, 72t + 709,1)dt = t − t + 709,1t + C 3 2

• Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59.513 triệu người nên ta có

F ( 35 ) = 59513 ⇔ 0, 406.353 − 22, 36.352 + 709,1.35 + C = 59513 ⇔ C = 44678, 25 • Vậy một mô hình cần tìm là F ( t ) = 0, 406t 3 − 22,36t 2 + 709,1t + 44678, 25

Ỡ Ư D

b. Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là F ( 42 ) = 65097,138 triệu người

I Ồ B

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

N Ầ TR

ta phải xác định hàm số B(t) biểu thị cho số lượng phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t.

2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?

G N HƯ

• Để biết được sau bao nhiêu ngày phải thay nước mới cho hồ bơi thì ta cần xác định sau

a. Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn ở nước Mỹ.

N Á O

O Ạ Đ

Phân tích bài toán

ngàn người.

0, 406t 3 − 22, 36t 2 + 709,1t + C

. P T

, t ≥ 0 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày

sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lý và thay nước mới cho hồ bơi.

với t là năm (t = 0 ứng với năm 1970). Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513

Í L -

toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi

năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số f ( t ) = 1, 218t 2 − 44, 72t + 709,1

Hướng dẫn giải

1000

(1 + 0,3t )

thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an

Bài toán 3: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn (đơn vị tính: triệu người) của nước Mỹ từ

từ năm 1970 đến 2005.

Y U Q

nhận được.

N Ơ NH

Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ thì vào năm 2012 tổng số các cặp đôi kết hôn

− 30e t + 37, 261e − t )dt

3 + 2

0 0 1

B' ( t ) =

1000

(1 + 0,3t )

. Suy ra nguyên hàm của B’(t) là hàm số B(t) biểu thị cho số lượng của

vi khuẩn tại ngày thứ t.

• Khi đó kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn lúc đầu B(0) = 500 con, ta tìm được một mô hình B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t. • Từ đây ta có thể tính được số lượng vi khuẩn tại thời điểm tùy ý và xác định được người bơi có an toàn hay không? Có nên thay nước cho hồ bơi hay không?

Hướng dẫn giải • Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t).

B(t) = ∫ • Số

1000

(1 + 0,3t )

lượng

−2

khuẩn

B ( 0 ) = 500 ⇔ − • Suy

hàm

dt = 1000∫ (1 + 0,3t ) dt = − lúc

ban

đầu

1000 + C. 0,3 (1 + 0,3t ) là

500

con

trên

mỗi

nước

nên

1000 11500 + C = 500 ⇔ C = . 0,3 (1 + 0, 3t ) 3 số

biểu

thị

cho

số

lượng

khuẩn

tại

ngày

thứ

là

1000 11500 B(t) = − + 0,3 (1 + 0, 3t ) 3

Trang 18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người

• Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ t là

bơi không an toàn khi

B ( t ) ≥ 3000 ⇔ − −

B(t) =

1000 11500 + ≥ 3000 0, 3 (1 + 0,3t ) 3

15.000 − 5.000 . 1 + 0, 2t

• Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B(5) = 2.500 con/1ml.

. P T

• Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua 2.000 con/ml nước.

1000 2500 ≥− ⇔ 1 + 0,3t ≥ 4 ⇔ t ≥ 10. 0,3 (1 + 0,3t ) 3

Y U Q

Bài toán 6: Người ta thay nước cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là

O Ạ Đ

h1 = 280cm . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời

• Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay nước mới.

điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là

Bài toán 5: Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi B' ( t ) =

3000

(1 + 0, 2t )

h '(t ) =

, t ≥ 0 , với B(t)

G N HƯ

1 3 t + 3 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 500

3 độ sâu của hồ bơi? 4

là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước và t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý.

N Ầ TR

Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10.000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định số

Phân tích bài toán

lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt 2.000 con/ml nước.

• Tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h ' ( t ) =

Phân tích bài toán • Theo giả thiết, tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi công thức B' ( t ) =

3000

(1 + 0, 2t )

, t ≥ 0 với t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý. Suy ra 2

nguyên hàm của B’(t) là hàm số B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t (kể từ khi hồ nước được xử lý).

P Ấ C

• Kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn ban đầu B(0) = 10.000 con/ml nước, ta tìm được

A Ó -H

mô hình B(t). Từ đây ta tính được B(5) là số lượng vi khuẩn sống sót sau 5 ngày kể từ khi hồ nước được xử lý.

Hướng dẫn giải

LÍ

• Tốc độ phát triển của vi khuẩn sống sót được mô hình bởi công thức đạo hàm

B' ( t ) =

3000

(1 + 0, 2t )

N Á O

,t ≥ 0.

G N Ỡ Ư D 3000

(1 + 0, 2t )

−2

−1

dt = −3000 ∫ (1 + 0, 2t ) dt = 1.5000 (1 + 0, 2t ) + C =

• Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 10.000 con/ml nước nên có

3 + 2

B 0 0 0 1

1.5000 +C 1 + 0, 2t

1 3 t + 3 . Suy ra nguyên 500

hàm của h’(t) chính là chiều cao mực nước đã bơm được tại thời điểm t. Ta sẽ tính công thức nguyên hàm h(t).

• Kết hợp với điều kiện lúc ban đầu hồ không chứa nước, tức là độ cao mực nước trong hồ tại thời điểm t = 0 là h(0) = 0. Ta suy ra mô hình hàm số h(t) biểu thị cho chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t. • Từ đây ta có thể xác định được thời gian để bơm được lượng nước bằng

3 độ sâu của hồ 4

bơi.

Hướng dẫn giải Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng h’(t) của chiều cao mực nước.

h (t ) = ∫ h '(t ) = ∫

• Nguyên hàm của B’(t) là hàm B(t) biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ t. Ta có B ( t ) = ∫

N Ơ NH

4 1 3 3 t + 3dt = ( t + 3) 3 + C . 500 2.000

Lúc ban đầu (tại t = 0) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là 7

h (t) = 0 ⇔

4 3 33 . ( 0 + 3) 3 + C = 0 ⇔ C = − 2.000 2.000

Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là

B ( 0 ) = 10.000 ⇒ 15.000 + C = 10.000 ⇒ C = −5000

I Ồ B

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com • Tốc

h (t) =

4 3 33 . ( t + 3) 3 − 2.000 2.000

B' ( t ) =

3 Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng độ sâu của hồ bơi nên ta có 4 7

B' ( t ) =

xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu? • Trong 40 phút, nhà máy thủy điện xả lũ với tốc độ v ( t ) = 10t + 500 ( m3 / s ) . Nguyên hàm

của v’(t) chính là hàm số f(t) biểu thị cho lượng nước đã xả tại thời điểm t. 2400

∫ v ' ( t )dt 0

∫

2400

∫ (10t + 500 )dt = (10t + 500 ) 0

2400 0

A Ó -H

= 3.107 ( m3 ) .

P Ấ C

Vậy trong khoảng 40 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 30 triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 30 triệu khối nước.

Í L -

mô

−0,193t 2

)

Y U Q

O Ạ Đ

G N HƯ )

2436e−0,193t

(1 + 784e

−0,193t 2

)

2436e −0,193t

N Ầ TR

(1 + 784e

−0,193t 2

dt.

3 + 2

0 0 1

B ≈ −16,1∫

du 16,1 16,1 16,1 = +C= + C ⇒ B( t) ≈ +C. u2 u 1 + 784e −0,193t 1 + 784e −0,193t

Sau 8 tuần tuổi thì bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên

B ( 8 ) = 0, 04 ⇒

16,1 + C = 0, 04 ⇒ C = −0, 0556 1 + 784e−0,193t

Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là

B(t) ≈

16,1 − 0, 0556,8 ≤ t ≤ 43. 1 + 784e −0,193t

Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:

B ( 25 ) ≈

16,1 − 0, 0556 = 2,152ounce . 1 + 784e−0,193.25

DẠNG 4: BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH O và B, có dạng như hình vẽ, trong đó độ dài các cạnh OA =

G N Ỡ Ư D

2436e

−0,193t 2

số

,8 ≤ t ≤ 43 nên B(t) chính là nguyên hàm B’(t).

Bài toán 1: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vuông tại

(1 + 784e−0,193t )

hàm

. P T

(1 ounce = 28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ: B' t =

N Ơ NH bởi

,8 ≤ t ≤ 43 . Nguyên hàm của B’(t) chính là hàm số B(t) biểu thị

Bài toán 8: Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce

N Á O ()

hình

Đặt u = 1 + 784e −0,193t , ta có

• Lượng nước đã xả được trong thời gian 40 phút (ứng với 2.400 giây) bằng tích phân

v ' ( t )dt =

(1 + 784e

B(t) = ∫

Phân tích bài toán

2400

được

Hướng dẫn giải

tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là v ( t ) = 10t + 500 ( m / s ) . Hỏi sau thời gian

thai

Theo giả thiết thì trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ là hàm số

Lượng nước đã xả trong thời gian 40 phút (2.400 giây) sẽ bằng

bào

B(t). Từ đây ta có thể dự đoán được trọng lượng của bào thai trong thời gian sắp tới.

Bài toán 7: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với

Hướng dẫn giải

của

• Kết hợp với điều kiện trọng lượng ban đầu của bào thai B(8) = 0,04, ta sẽ tìm ra hàm số

3 độ sâu của hồ bơi. 4

• Như vậy, bằng phép tính này ta đã xác định được lượng nước đã thoát ra.

2436e

trưởng

−0,193t

cho cân nặng của bào thai tại thời điểm t (tính bằng tuần).

4 4 3 3 33 3 = .280 ⇔ ( t + 3) 3 = 140004, 33 ⇔ t = 7234s. h ( t ) = h1 ⇔ ( t + 3) 3 − 4 2.000 2.000 4

Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được

tăng

độ

,8 ≤ t ≤ 43 với B(t) là

15m, OB = 20m, BC = 25m, và đường cong AC được mô tả bởi một hàm số mũ có dạng f ( x ) = N.emx trong đó N và m là các

cân nặng tính bằng ounce và t là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào

hằng số. Hỏi mảnh vườn này có diện tích bao nhiêu?

thai sau 25 tuần tuổi.

Phân tích bài toán

I Ồ B

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Điều đầu tiên dễ nhận thấy chúng ta không thể dung công thức diện tích hình thang thông thường để tính diện tích hình thang cong OACB. Để tính được diện tích này ta cần dung ý

được đơn giản hóa mà không mất tính tổng quát, kết quả diện tích không sai lệch.

Y U Q

nghĩa hình học của tích phân.

Bài toán 2: Vòm cửa lớn của Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh có dạng hình Parabol.

• Đề bài yêu cầu tính số dân tăng thêm của thành phố trong 4 tháng tới. Theo lý thuyết đã

vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m.

∫ v ( t )dt = f ( 4 ) − f ( 0 ) 0

• Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, khi đó hình thang cong OACB được đơn giản hóa trong mặt phẳng tọa độ Oxy. • Bước tiếp theo ta cần tìm hàm số mũ f ( x ) = N.emx biểu thị cho đường cong AC, để ý rằng

đường cong AC đi qua điểm A(0;15) và C(20;25). 20

• Diện tích của hình thang cong được tính theo công thức S = ∫ f ( x )dx 0

• Không mất tính tổng quát, chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sao cho các đoạn OA, OB lần lượt nằm trên các trục Oy, Ox.

• Theo hình vẽ ta có

 N = 15 f ( 0 ) = 15 ⇔  20m f 20 = 25 ( ) 15.e = 25   N = 15 x 5 ln  ⇔ 1 5 ⇒ f ( x ) = 15.e 20 3 m = 20 ln 3 hình phẳng ta có diện tích mảnh vườn là

ÁN 20

LÍ

A Ó -H

P Ấ C

  20 20 x 5 x 5  20 ln  ln   2 20 3 20 3 S = ∫ f ( x )dx = ∫ 15.e  ≈ 391, 52m . dx =  5 .15.e  0 0   ln   3 0

B 0 0 0 1

N Ầ TR

G N HƯ

3 + 2

• Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi 1 đường thẳng BC và 1 đường cong Parabol, cho nên ta không thể dùng các công thức tính diện tích của những hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình tròn, tam giác, … Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này.

• Như vậy việc đầu tiên ta cần đưa đường cong Parabol của cánh cửa vào hệ trục Oxy và mô hình nó thành hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c . • Dựa vào độ cao 8m và chiều rộng 8m của cánh cửa ta dễ dàng xác định các hệ số a, b, c trong biểu thức hàm số. • Ứng dụng ý nghĩa hình học của tích phân ta có công thức tính diện tích của cánh cửa là 4

∫ ( ax

+ bx + c )

−4

• Lưu ý rằng cánh cửa rộng 8m và ta cho đường cong Parabol đối xứng qua trục tung Oy nên dễ suy ra các cận x = -4 và x = 4.

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

Ỡ Ư D

O Ạ Đ

Phân tích bài toán

• Để tính được diện tích mảnh vườn, ta cần tìm hàm số f ( x ) = N.emx .

• Áp dụng công thức tính diện tích

. P T

Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp

nêu thì số dân tăng thêm đó được tính theo công thức. •

N Ơ NH

Hai là, đối với mỗi hình phẳng ta cần chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho hình phẳng đó

Hướng dẫn giải

Một là, để tính diện tích của các hình phẳng phức tạp (không phải là tam giác, tứ giác,

Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình vẽ sau

I Ồ B

Đồng thời xét ( P ) : y = ax 2 + bx + c

hình tròn, …) ta cần dung đến tích phân để tính diện tích.

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 4,35

1  A ( 0;8 ) ∈ ( P ) a = − 2 c = 8   1  Ta có: B ( 4;0 ) ∈ ( P ) ⇔ 16a + 4b + c = 0 ⇔ b = 0 ⇒ ( P ) : y = − x 2 + 8 2  16a − 4b + c = 0 c = 8  C ( −4;0 ) ∈ ( P )  

cạnh bên hông của thùng rượu là hình parabol. A. 321,05 lít.

N Ầ TR

để chiều cao thùng rượu trải theo chiều trục hoành. • Bước đầu ta cần xây dựng hàm số ( P ) : y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) với điều kiện đi qua các

• Quả trứng ngỗng trong đề bài được mô hình bởi quay đồ thị hàm số

1 7569 − 400x 2 , −4,35 ≤ x ≤ 4,35 quanh trục Ox. 30 hình

phẳng

được

giới

hạn

bởi

đồ

1 7569 − 400x 2 , −4,35 ≤ x ≤ 4,35 và trục Ox. 30

thị

hàm

P Ấ C

• Thể tích của quả trứng bằng thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay quanh trục Ox. 4,35

∫

tích phân để tính thể tích khối tròn xoay. Chú ý rằng khi mô hình đường cong Parabol ta

hình này để tính thể tích quả trứng (x, y được đo theo đơn vị cm).

• V=π

D. 425,16 lít.

Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) . Vì vậy để tính thể tích thùng rượu ta cần áp dụng

1 7569 − 400x 2 , −4,35 ≤ x ≤ 4,35 quanh trục Ox. Sử dụng mô 30

Phân tích bài toán

G N HƯ

C. 201,32 lít.

• Thùng rượu có dạng là một khối tròn xoay có đường sinh là một đường cong có dạng

trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra. Một quả trứng ngỗng được mô hình bởi

là

ẠO

B. 540 lít.

Phân tích bài toán

xác định kích thước của nó là một cách dự báo khá tốt về các thành phần cấu tạo của

(H)

. P T

đa bao nhiêu lít rượu (kết quả lấy 2 chữ số thập phân)? Cho rằng

Bài toán 3: Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích của một quả trứng để

• Gọi

N Ơ NH

40cm. Chiều cao thùng rượu là 1m. Hỏi thùng rượu đó chứa được tối

Y U Q

Bài toán 4: Một thùng rượu có bán kính ở trên là 30cm và ở giữa là

4  x3  128 2  1  Do đó: SH = 2∫  − x 2 + 8 dx = 16x −  = (m ). 2 3 3   0 0

quay đồ thị hàm số y =

4,35 π π  x3  ≈ 153cm3 7569 − 400x 2 )dx = (  7569x − 400  ∫ 900 −4,35 900  3  −4,35

y 2 dx

−4,35

Hướng dẫn giải

Í L -

A Ó -H

3 + 2

0 0 1

đỉnh N(-50;30), A(0;40), M(50;30) như hình vẽ.

• Dựa vào chiều cao 1m của thùng rượu ta tìm được các cạnh của tích phân. Khi đó lập được công thức tính được thể tích thùng rượu.

Hướng dẫn giải • Ta sẽ để thùng rượu nằm ngang thuận lợi cho việc tính toán

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: đồ thị hàm số

N Á O

1 7569 − 400x 2 , −4,35 ≤ x ≤ 4,35 và trục Ox. 30

• Thể tích của quả trứng bằng thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) xoay

quanh trục Ox. 4,35

V=π

∫ −4,35

I Ồ B

Trang 25

 1  7569 − 400x 2  dx   30 

Ỡ Ư D

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

• Ta cần tìm phương trình parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) đi qua đỉnh M, N, A

Trang 26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 4

1   M ( 50;30 ) ∈ ( P ) a = − 250 502 a + 50b + c = 30    ⇔ b = 0 A ( 0; 40 ) ∈ ( P ) ⇔ c = 40  502 a − 50b + c = 30 c = 40   N ( −50;30 ) ∈ ( P )  

⇒ ( P) : y = −

−0,5t

N Ơ NH

. P T

1 5+ t 2

tỷ USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD. Hãy dự

• Tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của quốc gia đó sau t năm tính từ năm 2004 được mô tả

Bài toán 1: Sau t giờ làm việc một công nhân có thể sản xuất với tốc độ là q ( t ) = 100 + e−0,5t đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc lúc 8

giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 9 giờ sáng và 11 giờ trưa?

P Ấ C

• Đề bài cho hàm q ( t ) = 100 + e−0,5t mô tả tốc độ sản xuất sản phẩm của một người công

A Ó -H

nhân. Suy ra nguyên hàm của q(t) là hàm số S(t) mô tả số lượng sản phẩm làm ra của

Í L -

• Lúc 8 giờ người công nhân đó bắt đầu làm việc (ta xem như t = 0). Như vậy thời gian từ 9

N Á O

• Số đơn vị sản phẩm người công nhân đó làm được từ 9 giờ sáng đến 11 giờ là: ∫ q ( t )dt

G ( ) ()N Ỡ Ư D

Hướng dẫn giải

• Gọi S(t) là số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 8 giờ sáng. Ta có S' t = q t = 100 + e −0,5t • Số đơn vị sản phẩm người đó sản xuất được từ 9 giờ sáng (t = 1) đến 11 giờ trưa (t = 4) là

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

N Ầ TR

• Năm 2004 xem như t = 0, năm 2015 ứng với t = 11. Giá trị tăng thêm GDP của quốc gia

DẠNG 4: BÀI TOÁN VỀ KINH TẾ

Phân tích bài toán

1 5 + t . Suy ra nguyên hàm của q(t) là hàm số S(t) biểu thị GDP 2

của quốc gia đó sau t năm. Ta có S t = ∫ q ( t )dt .

• Vậy thùng rượu chứa được tối đa 425,16 lít.

người công nhân đó trong t giờ.

G N HƯ ( )

bởi hàm số q ( t ) = 30 +

 x5  8x 3 406000π − + 402 x  = ≈ 425162, 20cm3 ≈ 425,16 ( l ) ⇒ Vruou = π  3  312500 75  −50

giờ sáng đến 11 giờ ứng với t từ 1 đến 4.

O Ạ Đ

đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015. Phân tích bài toán

50  x2   x4  80x 2 = π ∫ y 2dx = π ∫  − + 40  dx = π ∫  − + 402 dx 2 250 250 250   −50 −50  −50 

I Ồ B

= 200, 76 đơn vị sản phẩm.

Y U Q

x = 50, x = −50, y = 0 xung quanh trục hoành Ox:

Trang 27

trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004 là 30 +

• Tới đây ta áp dụng công thức tính thể tích V khi quay hình phẳng giới hạn bởi (parabol),

Vruou

−0,5t

Bài toán 2: Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng

x2 + 40 . 250

∫ q ( t )dt = ∫ (100 + e )dt = (100t − 2e )

3 + 2

0 0 1

đó từ năm 2004 đến 2015 được tính theo công thức

∫ q ( t )dt = S (11) − S ( 0 ) . 0

• Vậy tổng giá trị GDP của quốc gia đó tính đến năm 2015 bằng giá trị GDP năm 2004 cộng 11

thêm GDP từ năm 2004 đến đầu năm 2015, tính theo công thức

∫ q ( t )dt + 100 . 0

Hướng dẫn giải • Nguyên hàm của q ( t ) = 30 +

1 5 + t là hàm số S(t) mô tả GDP của quốc gia sau t năm 2

(được tính từ năm 2004). • GDP tăng thêm tính từ năm 2004 (t = 0) đến đầu năm 2015 (t = 11) là 3  (5 + t )2 1    = + + = + q t dt 30 5 t dt 30t  ∫0 ( ) ∫0  2  3  

  = 347, 6 tỷ USD.  0

• Như vậy tổng giá trị GDP tính đến đầu năm 2015 bằng 347,6 + 100 = 447,6 tỷ USD.

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý: Một là, ta cần hiểu đúng ý nghĩa của hàm số S ( t ) = ∫ q ( t )dt , đó là sản lượng GDP của quốc gia làm ra tính đến năm thứ t, chứ không phải sản lượng GDP làm được trong năm thứ t, hai điều đó hoàn toàn khác nhau. Trang 28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ NH

Hai là, nếu hiểu được S(t) là sản lượng GDP của quốc gia tính đến năm thứ t thì giá trị

• Ngoài ra, khi tính toán số lượng sản phẩm cần sản xuất, công ty còn phải dự báo được số

GDP tính đến đầu năm 2015 sẽ bằng GDP tính đến năm 2004 cộng với lượng GDP tăng

lượng sản phẩm bán ra được và doanh thu có tăng thêm nhiều hay ít khi tăng số lượng sản • Doanh thu cận biên là mức doanh thu tăng thêm khi tăng lượng bán thêm 1 sản phẩm, ta có ví dụ qua bảng sau:

• Để sản xuất x sản phẩm A, ta cần chi phí m đồng. Nếu ta tăng sản lượng sản xuất lên 1

đơn vị thành x + 1 sản phẩm thì cần chi phí tương ứng là n đồng. Khi đó, mức tăng chi

Số lượng sản phẩm sản

phí n – m được gọi là chi phí cận biên khi sản xuất x + 1 sản phẩm (tăng từ x lên x + 1 sản

xuất

phẩm). Ta xem ví dụ minh họa bằng bảng sau:

Số lượng sản phẩm sản xuất

Tổng chi phí (đồng)

Chi phí cận biên (đồng)

2 3

A Ó -H

P Ấ C

ra chi phí cận biên của 1 sản phẩm được sản xuất là 15 đồng. Tương tự, khi sản xuất tăng

từ 1 đến 2 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 11 đồng, đó chính là chi phí cận biên khi sản

Í L -

• Nếu gọi q(x) là chi phí cận biên khi sản xuất x sản phẩm thì nguyên hàm của q(x) chính là tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm.

N Á O

N Ầ TR 4

• Theo bảng trên, khi sản xuất tăng từ 0 đến 1 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 15 đồng, suy

xuất 2 sản phẩm,…

• Số liệu bảng trên là một ví dụ trong thực tế, khi sản xuất tăng từ 1 lên 4 sản phẩm thì chi

phí cận biên sẽ giảm nhưng khi số lượng sản phẩm làm ra tăng từ 5 trở lên thì chi phí cận

3 + 2

0 0 1

. P T

Đơn giá

Tổng doanh thu

Y U Q

phẩm sản xuất.

thêm từ năm 2004 đến đầu năm 2015. Tìm hiểu về chi phí cận biên và doanh thu cận biên trong sản xuất kinh tế

G N HƯ

O Ạ Đ

Doanh thu cận biên

105

112

117

120

• Theo bảng trên, khi tăng số lượng bán từ 1 đến 2 sản phẩm, thì doanh thu tăng từ 21 đồng

đến 40 đồng, như vậy mức tăng thêm 40 – 21 = 19 đồng gọi là doanh thu cận biên khi bán được 2 sản phẩm, tương tự doanh thu cận biên khi bán được 4 sản phẩm là 15 đồng. • Gọi f(x) là hàm doanh thu cận biên khi bán được x sản phẩm, khi đó nguyên hàm của

f(x) chính là tổng doanh thu khi bán được x sản phẩm. • Trong thực tế không phải sản xuất càng nhiều sản phẩm thì doanh thu cận biên và tổng doanh thu sẽ càng cao, mà nó phụ thuộc vào nhu cầu có khả năng thanh toán của người tiêu dùng. Mặt khác, nhu cầu có khả năng thanh toán của người tiêu dùng sẽ mua nhiều, cìn giá sản phẩm tăng cao thì người tiêu dùng sẽ mua ít lại. Vì vậy, một doanh nghiệm thường hạ giá bán khi số lượng sản phẩm bán ra tăng lên, điều này dẫn đến mối quan hệ

biên bắt đầu tăng trở lại. Một trong những lý do dẫn đến hiện tượng này là khi số lượng

giữa chi phí cận biên và doanh thu cận biên, đồng thời ảnh hưởng đến số lượng sản phẩm

sản phẩm tăng từ 1 đến 4 thi công ty sử dụng công nghê đơn giản nên tiết kiệm được chi

cần sản xuất.

Ỡ Ư D

phí, nhưng khi số lượng sản phẩm sản xuất tăng cao thì chi phí quản lý sẽ tăng cao thì chi phí quản lý sẽ tăng cao.

ỒI

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

• Để hiểu rõ hơn điều mới nói, chúng ta quan sát cả 2 bảng trên, khi số sản phẩm tăng lên 2 thì chi phí tăng thêm 11 đồng, doanh thu tăng thêm 19 đồng, vậy công ty có lời thêm 19 – 11 = 8 đồng, điều này khuyến khích công ty sản xuất 2 sản phẩm. Khi tăng số lượng sản

Trang 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Phân tích bài toán

phẩm từ 5 đến 6 thì chi phí tăng thêm 10 đồng, doanh thu tăng thêm 11 đồng, khi đó công ty chỉ lời thêm 11 – 10 = 1 đồng, thấp hơn nhiều so với mức tăng từ 1 lên 2 sản phẩm. Và

• Hàm số f ( x ) =

khi tăng số lượng sản phẩm từ 7 lên 8 sản phẩm thì chi phí tăng thêm 14 đồng, nhưng

N Ơ NH

24 ( x > 0 ) là doanh thu cận biên khi bán được x sản phẩm. Ta có x +1

Y U Q

doanh thu chỉ tăng thêm 7 đồng, vậy doanh thu đã giảm đi 7 – 14 = -7 đồng. Như vậy,

nguyên hàm của f(x) là hàm tổng doanh thu F(x) khi bán được x sản phẩm. Lập công thức

công ty sẽ tính toán số lượng sản phẩm sản xuất sao cho doanh thu cận biên lớn hơn chi

tính F(x).

. P T

phí cận biên, thậm chí mức chênh lệch giữa doanh thu cận biên và chi phí cận biên đủ lớn

• F ( x ) = ∫ f ( x )dx .

để công ty “có động lực” sản xuất nhiều sản phẩm.

• Dùng hàm điều kiện ban đầu, tổng doanh thu bằng 0 khi chưa bán được sản phẩm ta suy ra

Bài toán 3: Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên khi x sản phẩm

hàm F(x).

được sản xuất là q ( x ) = x 3 − 6x 2 + 40 USD/sản phẩm. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng

Phân tích bài toán 2

• Chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là q ( x ) = x − 6x + 40 USD/sản phẩm.

• Hiển nhiên rằng tổng doanh thu sẽ bằng 0 khi số lượng sản phẩm bán ra là bằng 0

phẩm, ta có S ( x ) = ∫ q ( x )dx 7

• Vậy khi tăng sản lượng sản xuất từ 3 đến 7 sản phẩm thì cân thêm chi phí ∫ q ( x )dx . 3

Hướng dẫn giải • Gọi S(x) là hàm tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm, ta có S' ( x ) = q ( x ) . • Chi phí tăng thêm khi tăng sản lượng sản xuất từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm là

∫ q ( x )dx = ∫ ( x 3

A Ó -H

x  − 6x 2 + 40 )dx =  − 2x 3 + 40x  = 108 USD. 4  3 4

P Ấ C

N Ầ TR

 24  F ( x ) = ∫ f ( x )dx =  dx = 24 ln x + 1 + C  x +1

Nguyên hàm của q ( x ) = x 3 − 6x 2 + 40 là hàm S(x) mô tả tổng chi phí khi sản xuất x sản

Hướng dẫn giải

• Hàm tổng doanh thu F(x) là nguyên hàm của f(x) nên ta có 3

G N H∫ Ư

• Khi đó dễ dàng tính được F(100).

lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản xuất tăng từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm?

O Ạ Đ

3 + 2

0 0 1

F ( 0 ) = 0 ⇔ 24 ln 0 + 1 + C = 0 ⇔ C = 0 ⇔ F ( x ) = 24 ln x + 1

• Vậy khi 100 sản phẩm được bán ra thì doanh thu sẽ là

F (100 ) = 24 ln x + 1 = 110, 76 đơn vị tiền tệ. Hàm doanh thu cận biên f(x) = 58 – x.

Bài toán 5: Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng với chi phí cận biên được mô tả bởi hàm số f ( x ) =

1 2 ( x − 16x + 93) , với x là số sản phẩm sản xuất. Giả sử rằng doanh 10

nghiệp bán được hết số lượng sản phẩm sản xuất được. Biết rằng doanh thu cận biên x −8

Một là, để giải được bài toán này ta cần hiểu rõ khái niệm chi phí cận biên là mức chi phí

 4 được mô tả bởi hàm số g ( x ) =   5

thay đổi trong tổng chi phí khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm.

sử rằng tổng chi phí khi chưa sản xuất sản phẩm nào là 0 đồng và tổng doanh thu khi

Hai là, nguyên hàm của hàm chi phí cận biên q(x) chính là hàm tổng chi phí S(x) khi sản

chưa bán được sản phẩm nào là 0 đồng.

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

ÁN

xuất x đơn vị sản phẩm.

Í L -

Bài toán 4: Một công ty có doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng x được xác định

Ỡ Ư D

dưới dạng hàm số f ( x ) =

I Ồ B

24 ( x > 0 ) , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Hỏi tổng x +1

doanh thu của công ty khi bán ra 100 sản phẩm là bao nhiêu? Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

+ 5 , với x là số lượng sản phẩm được bán ra. Giả

a) Hỏi khi sản xuất 8 sản phẩm và bán hết thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận là bao nhiêu? b) Lập bảng tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên khi sản xuất và bán được số lượng từ 10 đến 18 sản phẩm. Hỏi doanh nghiệp có nên tăng sản lượng lên 15 sản phẩm hay không? Phân tích bài toán Trang 32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com biên

• Số tiền lợi nhuận khi sản xuất và bán hết x sản phẩm sẽ bằng tổng doanh thu khi bán hết x sản phẩm trừ đi tổng chi phí sản xuất x sản phẩm đó. • Như vậy ta cận phải xác định 2 hàm số. Hàm tổng chi phí F(x) để sản xuất x sản phẩm và hàm tổng doanh thu G(x) khi bán hết x sản phẩm. 1 2 ( x − 16x + 93) , kết hợp với điều kiện ban đầu 10

• Hàm F(x) là nguyên hàm của f ( x ) = F(0) = 0, ta suy ra biểu thức F(x).

 4 • Hàm G(x) là nguyên hàm của g ( x ) =   5

x −8

+ 5 , kết hợp với điều kiện ban đầu G(0) = 0,

 1 x 2  − 8x + 93x  . 10  3 

 4 • Nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên g ( x ) =   5

x −8

• Kết hợp điều kiện ban đầu G(0) = 0 suy ra −8

1 4 1  4 + 5.0 + C = 0 ⇔ C = − 4  5  4  ln ln  5  5 5 −8

N Á O

LÍ

A Ó -H

7,8

5,21

9,3

ẠO

G N HƯ 12,9

Q . P

-1,24 -2,59

5,17

-4,13

5,13

-5,87

5,11

-7,79

Chi phí cận biên

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Doanh thu cận

N Ầ TR

3 + 2

0 0 1

−214x 24 + x 2

(USD/sản phẩm)

Hãy xác định giá khi 10 sản phẩm bán ra, biết rằng nếu một sản phẩm bán ra giá bán sẽ là 5600 (USD). Hướng dẫn giải • Gọi x là số sản phẩm bán ra và P(x) là giá bán của mỗi sản phẩm • Theo đề bài ta có P ' ( x ) =

−214x 24 + x 2

• Suy ra P ( x ) = ∫ P ' ( x )dx = ∫

−214x 24 + x

dx = −214 ∫

x 24 + x 2

x dt = −214 t + C = −214 24 + x 2 + C . 2 t

• Nếu chỉ có 1 sản phẩm được bán ra thì giá là:

b) Giả sử rằng số sản phẩm bán được bằng số sản phẩm sản xuất, ta có bảng sau

Trang 33

5,26

• Suy ra P ( x ) = −214 ∫

• Lợi nhuận khi sản xuất và bán hết 8 sản phẩm là G(8) – F(8) = 21,96 đồng.

ỒI

6,5

1,71

-0,07

• Đặt t = 24 + x 2 ⇒ dt = 2xdx .

1  4 . 4  ln  5  5

G N Ỡ Ư D

−8

P Ấ C

+ 5 là hàm tổng doanh thu G(x)

x −8   4  x −8  1 4 G ( x ) = ∫ g ( x )dx = ∫   + 5dx = + 5x + C . 4   5   ln  5  5

Số lượng sản phẩm

tốc độ thay đổi của giá mỗi sản phẩm được tính theo công thức:

+ 5x −

5,33

thuộc vào số lượng sản phẩm x được bán. Ước tính rằng nếu sản phẩm được bán ra với

 1 0 2  − 8.0 + 93.0  + C = 0 ⇔ C = 0 . Suy ra 10  3 

1  4 4  ln  5  5

5,51

5,4

Bài toán 6: Tại 1 công ty, giá bán P của một đơn vị sản phẩm của một mặt hàng phụ

G (x) =

3,8

phẩm, không nên sản xuất đến 15 sản phẩm.

 1 2 1  x3 x − 16x + 93)dx =  − 8x 2 + 93x  + C . ( 10 10  3 

x −8

2,34

thì mức tăng lợi nhuận bị âm. Như vậy, doanh nghiệp chỉ nên sản xuất tối đa 12 sản

• Nguyên hàm của f(x) là hàm số F(x) tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm

F(x ) =

5,64

• Quan sát bảng số liệu trên, khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra tăng đến 13 sản phẩm

Hướng dẫn giải

• Vì F ( 0 ) = 0 ⇔

3,3

ta suy ra biểu thức G(x).

F ( x ) = ∫ f ( x )dx = ∫

N Ơ NH

Lợi nhuận tăng thêm

P (1) = 5600 ⇔ 5600 = −214 24 + 1 + C ⇔ C = 6670 . • Vậy P ( x ) = −214 24 + x 2 + 6670 .

• Giá bán mỗi sản phẩm khi 10 sản phẩm được bán ra là: Trang 34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com A. 0,45m/s

P (10 ) = −214 24 + 102 + 6670 = 4287 USD.

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Hỏi rằng

trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét? B. 130.

D. 45m.

B. 15,2m/s

8598 m 49

1000 m 49

Q . P

10000 m. 49

3 ( m / s2 ) . Vận tốc ban đầu của vật là t +1

C. 13,2m/s

nhau một khoảng tối thiểu là 1m. Một xe máy di chuyển trên đường thì gặp đèn đỏ từ xa,

ẠO

người điều khiển xe máy đạp phanh và xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v ( t ) = 10 − 5t ( m / s ) . Hỏi để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu

6m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 là bao nhiêu? A. 10m/s

9000 m 49

N Ơ NH

D. 0,8m/s.

Câu 10: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trong thành phố thì các xe khi dừng lại phải cách

C. 170m.

Câu 2: Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) =

C. 0,6m/s

Câu 9: Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG IV

A. 16m.

B. 0,4m/s

G N HƯ

đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng bao xa, biết rằng ngay lúc

D. 12m/s.

đạp phanh thì xe phía trước đang đứng yên?

Câu 3: Một xe mô tô phân phối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc

A. 9m

B. 10m

C. 11m

D. 12m.

a ( t ) = t 2 + 3t ( m / s 2 ) . Hỏi quãng đường của xe đi được trong khoảng thời gian 10s đầu tiên

Câu 11: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t),

sau khi tăng tốc?

biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4.000 con thì bệnh nhân sẽ

3200 A. m/s 3

B. 1500m/s

4300 D. m/s. 3

C. 1200m/s

được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F' ( t ) =

Câu 4: Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là v ( t ) = 4t 3 + 2t + 3 ( m / s ) . Hỏi B. 665m

C. 625m.

bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu

D. 565m.

Câu 5: Vận tốc chuyển động của máy bay là v ( t ) = 3t 2 + 5 ( m / s ) . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: A. 36m

B. 252m

C. 1134m 2

Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1, 2 +

B. 11,81m

C. 4,06m

N Á O

A Ó -H

P Ấ C

t +4 ( m / s ) . Quãng đường đi được t +3

của vật đó trong 4s đầu tiên bằng bao nhiêu? A. 18,82m

D. 966m.

LÍ

Câu 7: Một vận động viên điền kinh xuất phát chạy với gia tốc a ( t ) = −

D. 7,28m.

1 3 5 2 t + t ( m / s2 ) . 24 16

Hỏi vào thời điểm 5s sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu? A. 5,6m/s

B. 6,51m/s

C. 7,26m/s

D. 6,8m/s.

Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20m/s. Giả

Ỡ Ư D

sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Dùng dữ liệu này để trả lời câu 8 và 9.

I Ồ B

Câu 8: Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến độ cao là bao nhiêu? Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B 0 0 0 1

1000 và ban đầu 2t + 1

bệnh nhân có 2.000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có

xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu (t = 0) cho đến lúc t = 5s. A. 365m

N Ầ TR

3 + 2

chữa được không? A. 5433,99 và không cứu được

B. 1499,45 và cứu được

C. 283,01 và cứu được

D. 3716,99 và cứu được.

Câu 12: Gọi h(t) (tính bằng cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết

rằng h ' ( t ) =

13 t + 8 và lúc đầu bồn không chứa nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm 5

được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 3,11cm

B. 2,43cm

C. 2,03cm

D. 2,66cm

Câu 13: Một quán café muốn làm cái bảng hiệu là

một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là (làm tròn đến hàng phần chục) A. 1,3

B. 1,4

C. 1,5

D. 1,6.

Câu 14: Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng

và kích thước như hình vẽ kế bên, biết đường cong Trang 36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ NH

phía trên là một parabol. Giá 1m2 cửa rào sắt có giá là 700.000 đồng. Vậy anh An phải trả

Minh và được truyền hình trực tiếp trên sóng VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam. Trong

bao nhiêu tiền để làm cái cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn)

chương trình này, các cá nhân tổ chức trong và ngoài nước sẽ có dịp được chung tay góp sức

Y U Q

A. 6.417.000 đồng

B. 6.320.000 đồng

giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ

C. 6.520.000 đồng

D. 6.620.000 đồng.

chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp thay đổi với tốc độ 300t.e −0,1t

Câu 15: Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 500, số lượng này tăng lên theo 1,1257 t

vận tốc v ( t ) = 450e

A. 321 triệu đồng.

vi khuẩn trong 1 giờ. Sẽ có bao nhiêu vi khuẩn trong buồng cấy sau

B. 3.209 triệu đồng.

ẠO

C. 2706,12 triệu đồng.

3 giờ? A. 1.1807

B. 2.1600

C. 1.5809

. P T

(triệu đồng/giờ). Số tiền có được sau 5 giờ đầu tiên quyên góp là:

D. 9.801 triệu đồng.

Câu 21: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết

D. 3.1250.

G N HƯ

Câu 16: Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc

thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l/s, vì thế nó được mô hình

v = t 2 .e − t m / s . Tính quãng đường nó đi được trong t giây đầu tiên?

hóa bởi v ( t ) = V sin

A. S ( t ) = 2 − e −3t ( t 2 + 2t ) . C. S ( t ) = 2 − e

−t

B. S ( t ) = 2 − e− t ( t 2 + 2t + 2 ) .

+ 3t + 2 ) .

D. S ( t ) = 1 − e

−t

( 5t

A. 2,5V lít.

+ 2t + 2 ) .

thứ ba đến hết tuần thứ tư. C. 6.333.

D. 5.315.

Câu 18: Người ta dự đoán rằng dân số thay đổi với tốc độ e0,001t (tỷ người/năm) với t là số

P Ấ C

năm tính từ năm 2003. Biết rằng năm 2009 dân số thế giới là 4,5 (tỷ người). Dân số thế giới vào năm 2013 khoảng A. 9,03 tỷ người.

B. 8,65 tỷ người.

A Ó -H

C. 8,53 tỷ người.

D. 9,54 tỷ người.

Câu 19: Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công thức

f '( t ) =

120

( t + 5)

Í L -

, với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với năm 1970). Biết

ÁN

rằng số dân của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào năm 2008 ước tính là bao nhiêu? A. 32,1 nghìn người.

C. 15,32 nghìn người.

B. 23,21 nghìn người. D. 20,41 nghìn người.

Câu 20: Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ

Ỡ Ư D

chức, tối ngày 10/4/2010 chương trình “Góp sức vì người nghèo” đã được tổ chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 3 thành phố lớn của cả nước là: TP Hà Nội, TP Đà Nẵng, TP Hồ Chí

I Ồ B

Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 2V lít.

D. 3,6V lít.

độ P ' ( t ) = 126 + t 2 (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp thu được lợi

nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)?

 10  sản lượng đạt được q ( t ) = 4000 1 −  máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được từ tuần  (10 − t )2   

B. 5.235.

B. 1,44V lít.

Câu 22: Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc

Câu 17: Công ty vừa đưa một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài tuần,

A. 45.000.

N Ầ TR

2πt . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s. 5

3 + 2

0 0 1

4780 . 3

B. 1235.

3257 . 3

D. 5020.

Câu 23: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 150 − 10t ( m / s ) . Hỏi rằng

trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét? A. 15m.

B. 520m.

C. 80m.

Câu 24: Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) =

D. 125m.

2 ( m / s 2 ) . Vận tốc ban đầu của vật là t+2

7m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 5 bằng bao nhiêu? A. 3,89 (m/s).

B. 9,51 (m/s).

C. 7,38 (m/s).

D. 10,89 (m/s).

Câu 25: Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là

30m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là? (biết rằng gia tốc rơi tự do là g = 9,8m / s 2 ). A.

5250 m. 49

52500 m. 49

2250 m. 49

22500 m. 49

Câu 26: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t),

biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 5.000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F' ( t ) =

1000 và ban đầu t +1

Trang 38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ NH

Câu 32: Một vật đang chuyển động thẳng nhanh dần đều có vận tốc là 18km/h. Trong giây

bệnh nhân có 2.000 con vi khuẩn. Sau 10 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu

thứ 5 vật đi được quãng đường là 5,9m, tính quãng đường vật đi được sau 10s kể từ lúc bắt

chữa được không?

đầu chuyển động

A. 5433,99 và không cứu được

B. 5044,52 và không cứu được

C. 4320,01 và cứu được

D. 2397,89 và cứu được.

132 m. 5

B. 103, 6m .

C. 60m .

. P T

Câu 27: Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 12m/s thì người lái xe bất ngờ tăng tốc cho

Câu 33: Anh Lâm Phong muốn làm cửa rào sắt có

xe chạy nhanh dần đều, sau 15s thì xe đạt vận tốc là 15m/s. Tính quãng đường xe đi được sau

hình dạng và kích thước như hình vẽ kế bên, biết

30s kể từ khi tăng tốc.

đường cong phía trên là một parabol. Giá 1m2 cửa rào

A. 270m.

B. 450m.

C. 360m.

O Ạ Đ

G N HƯ

nhiêu tiền để làm cái cửa rào sắt như vậy. (làm tròn

nhiên 10cm lên 15cm. Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một lò xo bị kéo căng

đến hàng chục nghìn)

thêm x (đơn vị độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trì lại (chống lại) với một lực

A. 5.420.000 đồng

B. 5.520.000 đồng

cho bởi công thức f(x) = kx (N), trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo. Hãy

C. 5.550.000 đồng

D. 5.320.000 đồng.

N Ầ TR( )( )

B 0 0 0 1

e = 10 cos 100πt V

công) C. 2,56J.

D. 3,18J.

 10  sản lượng đạt được q ( t ) = 2000 1 −  máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được từ tuần  (10 − t )2   

A. 147 máy.

B. 1523 máy.

C. 1470 máy.

P Ấ C

D. 3166 máy.

A Ó -H

Câu 30: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết

thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l/s, vì thế nó được mô hình hóa bởi v ( t ) = V sin A. 0,02V lít.

3πt . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s. 5 B. 1,06V lít.

Í L -

C. 0,95V lít.

ÁN

D. 3,12V lít.

Câu 31: Một chiếc xe thể thao hiệu Lamborghini Aventador chạy trên một đường đua thẳng

và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện

trở R = 50Ω . Tính điện lượng chuyển qua điện trở trong thời gian từ t = 0 đến t =

Câu 29: Công ty vừa đưa một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài tuần,

thứ ba đến hết tuần thứ tư.

121 m. 3

Câu 34: Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian

tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 20cm? (kí hiệu J (Jun) là đơn vị của B. 1,56J.

sắt có giá là 600.000 đồng. Vậy anh An phải trả bao

D. 540m.

Câu 28: Một lực có độ lớn 40N (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự

A. 3,00J.

Y U Q

3 + 2

A. 3,18.10−5 C .

B. 15,9µC .

C. 3,18µC .

1 s? 600

D. 1,59µC .

Câu 35: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo m/s2) là

a=−

( 2t + 1)

với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng t = 0 thì v = 40 m/s.

A. v ( t ) = 30 +

10 ( m / s ). . 2t + 1

B. v ( t ) = 20 +

10 (m / s). 2t + 1

C. v ( t ) = 30 +

20 ( m / s ). 2t + 1

D. v ( t ) = 20 +

30 (m / s). 2t + 1

Câu 36: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòn điện (đơn vị mA) là một hàm số

theo thời gian t là v ( t ) = 0,3 − 0, 2t ( mA ) . Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong

có độ dài 4km. Xe tăng tốc từ 0km/h đến 100km/h trong 3 giây đầu tiên đi hết 260m và sau

giây 0,05s là bao nhiểu, biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích chạy qua dây dẫn

đó xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 20m/s. Tính thời gian để xe hoàn thành đường

bằng 0?

đua biết vận tốc của chuyển động nhanh dần đều có công thức v = at + v0 với a, v0 là gia tốc

Ỡ Ư D

và vận tốc đầu. A. 18 s.

I Ồ B

Trang 39

B. 21 s.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A. 0, 015mC .

B. 0, 015µC .

C. 0, 03µC .

D. 0, 03mC .

Câu 37: Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung C = 8, 5nF đặt trong mạch thu sóng FM C. 11 s.

D. 14 s.

gần bằng 0. Nếu có cường độ dòng điện i = 0,042t (mA) nạp vào tụ. Tìm hiệu điện thế sau Trang 40

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2µs , biết rằng hiệu điện thế tại thời điểm t được tính theo công thức U ( t ) =

q(t) C

với q(t) là

điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t. A. 4,941nV .

B. 3, 294nV .

C. 13,18nV .

C. 0,9N .

C. 47,5 giây.

1100 m. 3

D. 300m .

Y U Q

N Ơ NH

1000

(1 + 0, 25t )

. P T

, t ≥ 0 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nươc tại ngày thứ

O Ạ Đ

t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 4000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu

1 2 1 t + t ( km / s 2 ) . Nếu bắt đầu tăng tốc tính từ lúc khởi 300 1350

B. 3,05 giây.

1400 m. 3

D. 1, 2N .

G N HƯ

ngày thì người ta phải xử lý và thay nước mới cho hồ bơi. A. 23 ngày.

động máy (vận tốc bằng 0km/h), hỏi mất bao lâu thì người đó đạt đến tốc độ 120km/h? A. 3 giây.

B' ( t ) =

Câu 39: Một người đi xe mô tô với độ tăng vận tốc tại một thời điểm t (tính theo giây, t ≥ 0 ) được cho bởi hàm số f ( t ) =

Câu 43: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

sinh ra là bao nhiêu nếu ta tiếp tục nén lò xo từ 16cm xuống 14cm? B. 1,8N .

1000 m. 3

D. 9,882nV .

Câu 38: Một lực 12 N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên là 18cm xuống còn 16cm. Hỏi công A. 3, 6N .

B. 22 ngày.

C. 24 ngày.

D. 25 ngày.

Câu 44: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là

D. 189,63 giây.

N Ầ TR

Câu 40: Hai người chạy đua xuất phát cùng lúc với vận tốc 0 m/s trên một đoạn đường

h1 = 300cm . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t

3 1 400m. Biết độ tăng vận tốc của 2 người lần lượt cho bởi hai hàm số f ( t ) = t + ( m / s2 ) 100 10

giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h ' ( t ) =

và g ( t ) =

8 ( m / s2 ) (t là thời gian, tính bằng giây). Hỏi thời gian về đích của hai người 25

chênh lệch bao nhiêu giây? A. 8 giây.

B. 10 giây.

C. 40 giây.

D. 1.090 giây.

Câu 41: Một xe máy đang chạy với vận tốc 8 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, xe

P Ấ C

máy chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −4t + 8 ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời

B 0 0 0 1

đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau khoảng bao lâu thì nước bơm được

3 + 2

A. 2 giờ 7 phút.

B. 1 giờ 7 phút.

lượng nước tại thời điểm t giây là v ( t ) = 10t + 500 ( m3 / s ) . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì có hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu? B. 16,1 triệu khối nước.

di chuyển được bao nhiêu mét?

C. 18,1 triệu khối nước.

D. 19,1 triệu khối nước.

C. 7 m.

Câu 42: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã

bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục

ÁN

được biểu thị bằng đồ thị là đường cong

Í L -

A Ó -H D. 6 m.

Câu 46: Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là q ( t ) = 100 + e−0,5t đơn

vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 11 giờ trưa?

Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe

đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu

giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc

Ỡ Ư D

cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

I Ồ B

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 3 giờ 7 phút.

Câu 45: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện A đã xả lũ trong 30 phút với tốc độ lưu

A. 17,1 triệu khối nước.

B. 10 m.

3 độ sâu của hồ bơi? 4

C. 4 giờ 7 phút.

gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe máy còn A. 8 m.

1 3 t + 3 và lúc 500

A. 401 đơn vị sản phẩm.

B. 403 đơn vị sản phẩm.

C. 601 đơn vị sản phẩm.

D. 501 đơn vị sản phẩm.

Câu 47: Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ 2

phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3 dm để làm một chiếc lu đựng (như hình vẽ). Thể tích của cái lu là: Trang 42

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A. 132π ( dm3 ) .

B. 41π ( dm3 ) .

100π ( dm3 ) . 3

D. 43π ( dm3 ) .

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com C. V = 1250 ( cm3 ) .

D. V = 1350 ( cm3 ) .

N Ơ NH

Câu 51: Giả sử một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc

Y U Q

ban đầu là 40 m/s, gia tốc trọng trường là g = 9,8m / s 2 . Quãng đường viên đạn đi được từ lúc

Câu 48: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính

. P T

bắn lên cho đến khi chạm đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

bằng 4 (cm) bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của hình trụ, mặt

(Trích đề thi thử lần 15 group 3K)

phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường kính của hình trụ và góc giữa hai

A. 67 m.

mặt phẳng đó bằng 300. Tính thể tích cái nêm đó?

B. 101 m.

C. 163 m.

O Ạ Đ

D. 197 m.

Câu 52: Để đàm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách

64 3 A. ( cm3 ) . 9

128π 3 B. ( cm3 ) . 9

128 3 C. ( cm3 ) . 9

64π 3 D. ( cm3 ) . 9

nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 12m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn

G N HƯ

đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bằng công

thức v A ( t ) = 12 − 4t (đơn vị tính bằng m/s), thời gian t tính bằng giây. Hỏi rằng để 1 ô tô A

Câu 49: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ

và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một

một khúc gỗ hình trụ có bán kính bằng 1 (m) bởi hai mặt

khoảng ít nhất là bao nhiêu? (Trích đề thi thử lần 15 group 3K)

45 . Tính thể tích cái nêm đó? B.

2 3 m . 3

1 3 m . 4

1 3 m . 2

B 0 0 0 1

P Ấ C

3 + 2

quãng đường chạy là a ( t ) =

A. 0,9 m/s.

A Ó -H

minh họa dưới dây).

Phân tích:

G N Ỡ Ư D( )

I Ồ B

Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. V =

D. 12,8 m/s.

• Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Ta biết rằng quãng đường vật đi được s(t) chính là nguyên hàm của vận tốc v(t). • Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v ( t ) = 0 ⇔ 160 − 10t = 0 ⇔ t = 16 ( s ) . Suy ra sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì dừng lại. • Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3s trước khi dừng hẳn chính là tích phân của hàm v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) từ t = 13s đến khi t = 16s.

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (hình 2). Tính thể tích của V. A. V = 2250 cm3 .

C. 10,9 m/s.

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG IV Câu 1: Đáp án D

LÍ

1 ( −t3 + 30t ) , đơn vị là m/s2. Vận tốc của vận động viên đạt 20

B. 2,8 m/s.

phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45 để lấy một hình nêm (xem hình

ÁN

D. 20 m.

đường tại thời điểm t = s2 là

Câu 50: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt

C. 19 m.

v(t) thay đổi theo thời gian t (tính bằng giây). Biết rằng gia tốc của vận động viên trong suốt

đường kính của hình trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng

1 3 m . 3

B. 18 m.

Câu 53: Sau tiếng còi xuất phát của trọng tài, một vận động viên điền kinh chạy với vận tốc

trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một

N Ầ TR

A. 17 m.

phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của hình

225π ( cm3 ) . 4

Hướng dẫn giải:

• Vật chuyển động chậm dần chi đến khi dừng hẳn thì Trang 44

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là: 16

hàm số a(t).

S ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ (160 − 10t )dt = 45m . 13

N Ơ NH

• Xe mô tô tăng tốc với gia tốc a ( t ) = t 2 + 3t ( m / s 2 ) . Vận tốc v(t) chính là nguyên hàm của

v ( t ) = 0 ⇔ 160 − 10t = 0 ⇔ t = 16 ( s ) .

v ( t ) = ∫ a ( t ) = ∫ ( t 2 + 3t )dt =

Y U Q

t3 t2 +3 +C 3 2

. P () T O Ạ

• Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t0 = 0) của xe là v0 = 10m / s nên

Vậy chọn đáp án D. Bình luận: Trong câu hỏi này, các em cần nhớ rằng: Đạo hàm của quãng đường đi được

v ( 0 ) = 10 ⇔

s(t) chính là vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t, và ngược lại, nguyên hàm của vận tốc v(t)

0 0 t t2 + 3 + C = 10 ⇔ C = 10 ⇒ v t = + 3 + 10 3 2 3 2

• Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại thời

chính là quãng đường s(t). Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào bằng

G N Ư ∫ () ∫ H N Ầ TR

tích phân của hàm vận tốc v(t) khi biến t chạy trong khoảng thời gian đó.

điểm t. Suy ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của hàm v(t)

Câu 2: Đáp án A

khi biến t từ 0s đến 10s.

Phân tích:

10 10  t3  t2 4300 S = v t dt =  + 3 + 10  dt = (m) . 3 2 3  0 0

• Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a ( t ) =

3 ( m / s2 ) . t +1

Câu 4: Đáp án B

• Ta biết rằng vận tốc chuyển độn v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc a(t).

• Nguyên hàm của vận tốc v(t) chính là quãng đường đi được s(t). Suy ra quãng đường đi

• Từ đó lập công thức tính v ( t ) = ∫ a ( t )dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu

v0 = 6m / s . • Suy ra công thức tính vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t và tính được v(10). Hướng dẫn giải:

• Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

v ( t ) = ∫ a ( t )dt = ∫

3 dt = 3ln t + 1 + C . t +1

• Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0) của vật là v0 = 6m / s nên

v0 = 3ln 0 + 1 + C = 6 ⇔ C = 6 ⇒ v t = 3ln t + 1 + 6 . • Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là

v (10 ) = 3ln 10 + 1 + 6 ≈ 13, 2m / s .

N Á O

Vậy chọn đáp án C.

LÍ

A Ó -H

P Ấ C

Bình luận: Trong câu hỏi này, các em cần nhớ rằng: Đạo hàm của vận tốc v(t) tại thời

điểm t chính là gia tốc của vật tại thời điểm đó. Câu 3: Đáp án A Phân tích:

I Ồ B

Trang 45

Ỡ Ư D

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 + 2

B 0 0 0 1

được trong khoảng thời gian từ t = 0s đến t = 5s là: 5

S = ∫ v ( t )dt = ∫ ( 4t 3 + 2t + 3)dt = ( t 4 + t 2 + 3t ) = 665m . 0

Câu 5: Đáp án D

• Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của hàm vận tốc v(t) khi t = 4s đến t = 10s. 5

S = ∫ v ( t )dt = ∫ v ( t )dt = ∫ ( 3t 2 + 5 ) dt = ( t 3 + 5t )

10 4

= 966m.

Câu 6: Đáp án B

• Quãng đường đi được của vật trong 4 giây đầu tiên là 5 4 4  t2 + 4  S = ∫ v ( t )dt = ∫ v ( t )dt = ∫  1, 2 +  dt = ... ≈ 11,81m. t+3  0 0 0

Câu 7: Đáp án B

• Vận tốc v(t) chính là nguyên hàm của gia tốc a(t) nên ta có: 1 5  1 5  v ( t ) = ∫ a ( t )dt = ∫  −2 t 3 + t 2 dt = − t 4 + t 3 + C 24 16 96 48   • Tại thời điểm ban đầu (t = 0s) thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là :

Trang 46

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn v ( 0) = 0 ⇔ −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

giữ khoảng cách an toàn.

1 5 • Vậy công thức vận tốc là: v ( t ) = − t 4 + t 3 96 48

Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F' ( t ) =

Câu 8: Đáp án B

vào ngày thứ t được tính theo công thức

Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì học sinh phóng tên lửa với vận tốc ban đầu là 20m/s.

F ( t ) = ∫ F' ( t )dt = ∫

Ta có s ( 0 ) = 0 và v ( 0 ) = 20 .

G N HƯ ( )

N Ầ TR

Số vi khuẩn sau 15 ngày là F 15 = 500 ln 2.15 + 1 + 2000 = 3716,99 con và bệnh nhân

v ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1

cứu được.

Do v ( 0 ) = 20 nên v ( 0 ) = 20 ⇔ −9,8.0 + C1 = 20 ⇔ C1 = 20 ⇒ v ( t ) = −9,8t + 20 . Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v ( 2 ) = −9,8.2 + 20 = 0, 4 ( m / s ) .

Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra

s ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ ( −9,8t + 20 )dt = −4,9t + 20t . 2

Vì s ( 0 ) = 0 nên s ( 0 ) = −4,9.0 + 20.0 + C2 = 0 ⇔ C2 = 0 ⇒ s ( t ) = −4,9t + 20t .

P Ấ C

 100 1000  Đồ thị của hàm số s ( t ) = −4,9t 2 + 20t là đường con Parabol có đỉnh I  ;  nên  49 49 

A Ó -H

1000 100 ( m ) tại thời điểm t = ( s ) . 49 49

Câu 10: Đáp án C

Í L -

Kể từ lúc đạp phanh (t = 0) đến lúc xe dừng lại thì xe đi được một quãng đường là s. Vì

N Á O

khoảng cách an toàn giữa 2 xe khi dừng lại tối thiểu là 1m nên người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng s + 1 (m).

Tại thời điểm t = 0 thì xe bắt đầu phanh, và xe dừng lại khi vận tốc bằng 0, khi đó

G N Ỡ ) Ư( ) D

v ( t ) = 0 ⇔ 10 − 5t = 0 ⇔ t = 2 ..

Trong khoảng thời gian từ t = 0s đến t = 2s thì xe chạy thêm được quãng đường

s = ∫ (10 − 5t dt = 10 m .

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B 0 0 0 1

Câu 12: Chọn Đáp án D

• Ta có h(t) là nguyên hàm của h ' ( t ) =

Câu 9: Đáp án C

I Ồ B

O Ạ Đ

1000 1000 dt = ln 2t + 1 + C = 500 ln 2t + 1 + C . 2t + 1 2

F ( t ) = 500 ln 2 t + 1 + 2000 .

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là

Trang 47

. P T

F ( 0 ) = 2000 ⇔ 500 ln 2.0 + 1 + C = 2000 ⇔ C = 2000

s '' ( t ) = −9,8m / s 2 .

1000 . Suy ra số lượng vi khuẩn 2t + 1

Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là

Y U Q

Câu 11: Đáp án D

• Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v ( 5 ) = 6,51m / s .

tên lửa đạt độ cao lớn nhất là

N Ơ NH

Vậy xe nên bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu khoảng 11m để

1 4 5 3 0 + 0 +C = 0⇒ C = 0. 96 48

3 + 2

13 t + 8 , nên ta có 5

1 1 ( t + 8) h ( t ) = ∫ h ' ( t )dt = ∫ 3 t + 8dt = . 4 5 5 3

+C =

• Lúc đầu bồn không chứa nước nên h ( 0 ) = 0 ⇔ h (t) =

4 3 ( t + 8) 3 + C . 20

4 3 12 ( 0 + 8) 3 + C = 0 ⇔ C = − 20 5

4 3 12 ( t + 8) 3 − . 20 5

Vậy lượng nước bơm được sau thời gian 6 giây là

h ( 6) =

4 3 12 ( 6 + 8) 3 − = 2, 66cm 20 5

Câu 13: Chọn Đáp án B Phân tích bài toán:

• Để tính diện tích của phần gỗ ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân. • Đầu tiên ta cần lập phương trình đường Elip biểu thị bảng gỗ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho bảng gỗ này đối xứng qua 2 trục Ox và Oy. Trang 48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn •

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Theo số liệu đề cho ta có được các độ dài CD = 1m, MN = 1,5m, NP = 0,75m. 2

• Đường Elip

• Suy ra diện tích cánh cửa là

x y  3 3 + = 1 có trục nhỏ CD = 1m và đi qua điểm N  ;  , ta có a b 4 8

Câu 15: Chọn Đáp án A

tốc v(t)

S ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ 450e1,1257 t dt = 450.

• Diện tích gỗ cần có được tính theo công thức

1 7 7 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx ≈ 1, 4m 2 . 2 9 9 0,75 0,75

Vậy lượng nước bơm được sau thời gian 6 giây là

S ( t ) = 450.

4 3 12 ( 6 + 8) 3 − = 2, 66cm 20 5

ADCB vuông tại C và D, cung AB như hình vẽ. trục Ox như hình vẽ. Vậy diện tích cánh cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật

P Ấ C

ABCD cộng thêm diện tích miền cong AIB. Để tính diện tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân.

A Ó -H

• Đầu tiên ta cần tìm cách viết phương trình Parabol y = ax 2 + bx + c biểu thị có đường  1  5  5  cong AIB. Parabol có đỉnh I  0;  , và cắt trục hoành tại 2 điểm A  − ;0  , B  ;0   2  2  2 

LÍ

 2 1 1 a.0 + b.0 + c =  2  c = 2  b  2 1 =0 ⇔ b = 0 ⇒ y = − x 2 + . − 2a 25 2   2   5 2  a = − 5 25  a.   + b.   + c = 0  2  2

N Á O

• Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2,5

B 0 0 0 1

1 .e1,1257.3 + 100, 25 = 11807 . 1,1257

Câu 16: Chọn đáp án B

• Gọi S(t) là số quãng đường chất điểm đi được sau t giây đầu tiên. Ta có S(t) là nguyên

• Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho 2 điểm A, B nằm trên

ỒI

N Ầ TR S ( 3) = 450.

• Ta mô hình hóa cánh cửa rào bằng hình thang cong

G N Ỡ Ư D

1 .e1,1257 t + 100, 25 . 1,1257

• Số vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ

Câu 14: Chọn Đáp án A

•

O Ạ Đ

1 .e1,1257 t + C = 500 ⇔ C = 100, 25 1,1257

G N HƯ

S ( t ) = 500 ⇔ 450.

. P T

1 .e1,1257t + C 1,1257

• Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con nên

0,75

∫

h ( 6) =

Y U Q

N Ơ NH

• Gọi S(t) là số lượng vi khuẩn trong buồng cấy sau t giờ. Ta có S(t) là nguyên hàm của vận

2b = 1 1  b=  7 1 7   3 2  3 2  2 ⇔ ⇒ x 2 + 4y 2 = 1 ⇒ y = ± 1− x2     9 9 2 9 2 4 8    +   = 1 a =   a 2 7 b2

0,75

5 55 + 1,55 = ( m 2 ) . 3 6

5  2 2 1 ∫−2,5  − 25 x + 2 dx = 3 .

3 + 2

hàm của vận tốc v ( t ) = t 2 .e−4 ( m / s )

S ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ ( t 2 .e − t )dt

• Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần ta tính được

S ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ ( t 2 .e − t )dt = 2 − e − t ( t 2 + 2t + 2 ) . Câu 17: Chọn đáp án C

• Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là: 4



10  4000 4 ≈ 6333 . dt = 4000t 2 + 2  t − 10 2 

∫ 4000 1 − 10 − t 2

Câu 18: Chọn đáp án D

• Gọi P(t) là dân số thế giới sau t năm tính từ năm 2003. • Khi ấy theo đề ra ta có P ' ( t ) = e0,001t . Suy ra

P ( t ) = ∫ P ' ( t )dt = ∫ e0,001t dt =

1 e0,001t + C . 0, 001

• Dân số năm 2009 (ứng với t = ) là 4,5 tỷ người nên P(6) = 4,5 ⇒ P ( 6 ) = 4,5 ⇔ 4, 5 = 1000e0,001.6 + C ⇔ C = 4,5 − 1000e0,001.6 .

Trang 50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn • Do đó ⇒ P ( t ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 e0,001.t + 4, 5 − 1000e0,001.6 . 0, 001

M ( 5) = −3000.5.e−0,1.5 − 30000e −0,1.5 + 30000 = 2706,12 triệu đồng. Câu 21: Chọn đáp án B

1 • Suy ra ⇒ P (11) = e0,001.11 + 4,5 − 1000e0,001.6 = 9,54 . 0, 001 • Vậy dân số thế giới năm 2013 là 9,54 (tỷ người).

hít vào sau 2 giây là:

Câu 19: Chọn đáp án B

• Tốc độ thay đổi số dân của thị trấn vào năm thứ t là f ' ( t ) =

120

( t + 5)

. Suy ra nguyên hàm

Câu 22: Chọn đáp án A

−120 f ( t ) = ∫ f ' ( t ) dt = ∫ dt = +C . 2 t+5 ( t + 5)

hàm tốc độ P’(t).

• Vậy số dân của thị trấn vào năm 2008 (ứng với t = 38) là

−120 + 26 = 32, 21 ngàn người. 28 + 5

Câu 20: Chọn đáp án C

• Gọi M(t) là số tiền có được sau t (giờ) thực hiện việc quyên góp. • Khi ấy theo đề ta có M ' ( t ) = 300t.e −0,1t . Suy ra M ( t ) = ∫ M ' ( t )dt = ∫ 300t.e −0,1t dt

+ ∫ 3000.e

N Á O

−0,1t

dt = −3000t.e

• Lúc ban đầu (t = 0) thì số tiền quyên góp là

M (t) = 0 ⇔ −

3000 + C = 0 ⇔ C = 30000 . 0,1

Ỡ Ư D

• Do đó M ( t ) = −3000te −0,1t − 30000e −0,1t + 30000 .

I Ồ B

∫ P ' ( t )dt = ∫ (126 + t

−120 + 26 . t+5

• Suy ra M ( t ) = −300t.e

N Ầ TR 10

−120 f ( 0) = 2 ⇔ + C = 2 ⇔ C = 26 . t+5

−0,1t

• Sau 5 giờ số tiền quyên góp được là Trang 51

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

G N HƯ )

O Ạ Đ

• Lợi nhuận phát sinh sau 10 năm đầu tiên là:

• Số dân của thị trấn vào năm 1970 (ứng với t = 0) là

du = 300dt  u = 300t  • Đặt  ⇒ 1 −0,1t .  −0,1t = dv e dt   v = − 0,1 e 

. P T

• Gọi P(t) là lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm đầu tư. Ta có P(t) là nguyên hàm của

120

f ( 28 ) =

2πt . Suy ra lượng khí 5

2πt 5V  2π.2  N ( 2 ) = ∫ v ( x )dx = ∫ V sin dt = 1 − cos  = 1, 44V lít khí. 5 2 π 5   0 0

của f’(t) là hàm số f(t) mô tả số dân của thị trấn vào năm thứ t. Ta có

f (t) =

Y U Q

• Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức v ( t ) = V sin

N Ơ NH

Í L -

−0,1t

A Ó -H

3000 −0,1t − e +C 0,1

P Ấ C

3 + 2

0 0 1

dt =

4780 (triệu đồng). 3

Câu 23: Chọn đáp án C

• Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v ( t ) = 150 − 10t ( m / s ) . Ta biết rằng quãng đường vật đi được s(t) chính là nguyên hàm của vận tốc v(t).

• Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v ( t ) = 0 ⇔ 150 − 10t = 0 ⇔ t = 15 ( s ) . Suy ra sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì dừng lại. • Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 4s trước khi dừng hẳn chính là tích phân của hàm v ( t ) = 150 − 10t ( m / s ) từ t =11s đến khi t = 15s. Hướng dẫn giải:

• Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì

v ( t ) = 0 ⇔ 150 − 10t = 0 ⇔ t = 15 ( s ) • Quãng đường vật đi dược từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là 15

S = ∫ v ( t )dt = ∫ (150 − 10t )dt = 80 ( m ) . Câu 24: Chọn đáp án B

• Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a ( t ) =

2 ( m / s2 ) . t+2

• Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc a(t).

Trang 52

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com • Ta có sau 15s thì xe đạt vận tốc 15 m/s (áp dụng v = v 0 + at )

• Từ đó ta lập công thức tính v ( t ) = ∫ a ( t )dt , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu

v0 = 7m / s .

⇒ 15 = 12 + a.15 ⇒ a =

• Suy ra công thức tính vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t và tính được v(5).

1 = 0, 2 ( m / s 2 ) . 5

• Vận tốc mà xe đạt sau 30s là v = 12 + 0, 2t

Hướng dẫn giải:

v ( t ) = ∫ a ( t )dt = ∫

• Vậy quãng đường xe đi được sau khi tăng tốc 30s là S =

2 dt = 2 ln t + 2 + C . t+2

Câu 28: Chọn đáp án A

• Vận tốc của vạt chuyển động tại giây thứ 5 là

⇒W=

S ( t ) = ∫ v ( t )dt = ∫ ( −9,8t + 30 )dt = −4,9t 2 + 30t + C2 . Vì s(0) = 0 nên s ( 0 ) = −4,9.02 + 30.0 + C2 = 0 ⇔ C2 = 0 ⇒ s ( t ) = −4,9t 2 + 30t .  150 2250  • Đồ thị của hàm số s ( t ) = −4,9t + 30t là đường cong Parabol có đỉnh I  ;  nên  49 49  2

2250 150 ( m ) tại thời điểm t = ( s ) . 49 49

Câu 26: Chọn đáp án B

• Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F' ( t ) =

N Á O

• Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên

A Ó -H

P Ấ C

1000 . Suy ra số lượng vi khuẩn t +1

Í L -

F ( 0 ) = 2000 ⇔ 1000 ln t + 1 + C = 2000 ⇔ C = 2000

G N Ỡ Ư D

3 + 2

0 0 1

I Ồ B

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,1

 x2  = 3(J )   2  0,05

∫ (800x )dx = 800  0,05

Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là: 4



∫ 2000 1 − (10 − t ) 3



 dt ≈ 1523 .  

Câu 30: Chọn đáp án B

Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức v ( t ) = V sin

3πt . Suy ra lượng khí hít 5

vào sau 2 giây là: 2

N ( 2 ) = ∫ v ( t )dt = ∫ V sin

3πt 5V  3π.2  dt = 1 − cos  = 1, 06V lít khí. 5 3π  5 

Câu 31: Chọn đáp án B

Ta có: 100km / h =

250 250 m / s , vận tốc nhanh dần đều là: v = 20t + 9 9

Gọi t0 là thời gian xe hoàn thành 4000 – 260 = 3740m còn lại. t0

250  250   2 250  Ta có S = ∫  20t + t  = 10t 02 + t0 . dt = 10t + 9  9 0 9  0 ⇒ 10t 02 +

Câu 27: Chọn đáp án B

Trang 53

∫ f ( x )dx 0,05

Câu 29: Chọn đáp án B

• Số vi khuẩn sau 10 ngày là F (10 ) = 1000 ln 10 + 1 + 2000 = 5044,52 con và bệnh nhân không cứu được.

0,1

f ( x )dx =

0,05

• Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra

⇒ F ( t ) = 1000 ln t + 1 + 2000

∫ N Ầ TR 0,1

Câu 25: Chọn đáp án C

1000 dt = 1000 ln t + 1 + C . t +1

0,1

Công sinh ra khi kéo căng lò xo tuwf15cm đến 20 cm là W =

v ( 5 ) = 2 ln 5 + 2 + 7 − 2 ln 2 ≈ 9,51m/ s .

F ( t ) = ∫ F' ( t )dt = ∫

G N HƯ

⇒ f ( 0, 05 ) = 40 ⇔ 0, 05k = 40 ⇒ k = 800 . Do đó f(x) = 800x

v ( 0 ) = 2 ln 0 + 2 + C = 7 ⇔ C = 7 − 2 ln 2 ⇒ v ( t ) = 2 ln t + 2 + 7 − 2 ln 2 .

vào ngày thứ t được tính theo công thức

O Ạ Đ

12 + 0, 2t )dt = 450m .

Khi kéo lò xo từ 10cm đến 15cm nó bị kéo căng thêm 5cm = 0,05m.

• Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0) của vật là v0 = 6m / s nên

tên lửa đạt độ cao lớn nhất là

∫ (. P T 30

• Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

Y U Q

N Ơ NH

 t 0 = 18 250 ⇒ t 0 = 18s . t 0 = 3740 ⇔   t 0 = − 187 ( l ) 9  9

Trang 54

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thời gian xe hoàn thành 4km đường đua là 3 + 18 = 21s.

Ta có: i =

Câu 32: Chọn đáp án C

Ta có: 18km / h =

u = 0, 02 cos (100πt )( A ) . Ta có i ( t ) = q ' ( t ) R t2

18 = 5m / s . 3, 6

Do đó q = ∫ i ( t )dt . Xét điện lượng từ t = 0 đến t = t1 2

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t: S = v0 t + quãng đường nó đi được là ∆S = 5.5 +

at vậy trong giây thứ 5 2

1 600

Ta có q = 0, 02 ∫ cos (100πt )dt = 3,18.10−5 C . 0

a.52 a.42 − 5.4 − = 5,9 ⇒ a = 0, 2m / s 2 . 2 2

Câu 35: Chọn đáp án B −20

S = ∫ ( 5 + 0, 2t )dt = 60m .

G N HƯ

Khi t = 0 ⇒ v ( 0 ) = 40 ⇔

Câu 33: Chọn đáp án C

Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như trên của cánh cửa với đoạn AB, phần này có diện

tích S1, phần 2 là hình chữ nhật ABCD có diện tích s2. Khi đó s = s1 + s2 = s1 + 5.1,5 = s1 + 7,5 Để tính s1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình

phẳng của tích phân. Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB, OB ⊂ Ox,OC ⊂ Oy . Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử ( P ) : y = ax 2 + bx + c

A Ó -H

P Ấ C

  5  5  25 2 A  − 2 ; 0  ∈ ( P )   4 a − 2b+c = 0    a = − 25   5   5 2 1  25 Khi đó: B  ; 0  ∈ ( P ) ⇔  a + b + c = 0 ⇔ b = 0 ⇒ ( P ) : y = − x 2 + 2 4 2 25 2      1 1   1  c = 2  C  0;  ∈ ( P ) c = 2    2

2,5

LÍ

NG( )

Ỡ Ư D

1 10 2 55 55  2 S2 = 2 ∫  − x 2 + dx = m ⇒ S = ( m 2 ) ⇒ .600.000 = 5.500.000 đồng. 25 2 6 6 6 0 

Câu 34: Chọn đáp án A

I Ồ B

Trang 55

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

N Ầ TR

10 + C = 40 ⇔ C = 30 2.0 + 1

Do đó biểu thức vận tốc theo thời gian là v ( t ) = 30 +

sau: phần 1 là phần giới hạn bởi đường cong phía

Diện tích

. P T

10 Ta có: v = ∫ a ( t )dt = ∫ dt = +C. 2 2t + 1 ( 2t + 1)

Vậy quãng đường mà vật đi được sau 10s kể từ lúc bắt đầu chuyển động

N Á O

O Ạ Đ

Y U Q

1 s 600

N Ơ NH

3 + 2

0 0 1

10 (m / s) . 2.t + 1

Câu 36: Chọn đáp án A Ta biết rằng cường độ dòng điện là lượng điện tích đi qua tiết diện vật dẫn trong một đơn vị thời gian. Nếu gọi hàm i(t) biểu thị cho cường độ dòng điện thì lượng điện tích q(t) là nguyên hàm của i(t). Ta có biểu thức điện tích q ( t ) = ∫ i ( t )dt = ∫ ( 0,3 − 0, 2 t )dt = 0,3t − 0,1t 2 + C . Ta có khi q ( 0 ) = 0 ⇔ C = 0 . Do đó tổng điện tích đi qua một điểm trong 0,05s là: 2

q ( 0, 05 ) = 0,3. ( 0, 05 ) − 0,1. ( 0, 05 ) = 0, 015mC .

Câu 37: Chọn đáp án D Lưu ý 1nF = 10−9 F,1µs = 10−6 s . Ta biết rằng điện tích q(t) là nguyên hàm của cường độ dòng điện i(t) Ta có

UC =

 4,94.103  2 1 0, 042.10−3 i ( t )dt = tdt =  t +K −6 ∫ ∫ C 8, 5.10 2  

Theo giả thiết ta có U ( 0 ) = 0 ⇔ K = 0 Do đó U C ( t ) = 2, 47.103 t 2 2

Khi U C ( 2µs ) = 2, 47.103 ( 2.10−6 ) = 9,882.10−9 = 9,882nV .

Câu 38: Chọn đáp án A Trang 56

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−2

⇔ 12 = k (18 − 16 ) .10 ⇒ k = 600N / m

Suy ra v ( t 0 ) = −4t 0 + 8 = 8 ⇔ t 0 = 0.

Do đó ta có F = 600x.

Khi xe máy dừng lại tại thời điểm t1 thì vận tốc v1 = 0(m/s). 0,04

Nên công sinh ra được xác định A =

∫ 0,02

⇒ A = 300 ( x

)

0,04 0,02

Suy ra v ( t1 ) = −4t1 + 8 = 0 ⇔ t1 = 2 .

0,04

∫

f ( x )dx =

N Ơ NH

Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm t0, xe máy có vận tốc v0 = 8(m/s).

Đầu tiên ta sẽ xác định hằng số lò xo (theo đơn vị m). Ta có F = kx

600xdx

Y U Q

. P T

Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được S(t) và vận tốc v(t) là:

0,02

Nguyên hàm của vận tốc v(t) chính là quãng đường đi được S(t). Suy ra quãng đường đi

= 3, 6N .

O Ạ Đ

được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm v(t) khi thời gian t từ 0s đến

Câu 39: Chọn đáp án A

2s.

Gọi x là thời gian cần thiết để người đó đạt đến tốc độ 120km/h.

= 0 đến t = x. Như vậy ta xét phương trình sau:

Câu 42: Chọn đáp án A

G N Ư H ()

2  t2  = v t dt ( ) ∫0 ∫0 ( −4t + 8)dt =  −4 2 + 8t  = 8m . 0

Ta nhận xét độ tăng vận tốc trong thời gian này cũng chính là tích phân của hàm f(t) với t

1  120 1 2 1 1 3 1 1  1 2  1 3 2 ∫0  300 t + 1350 t dt = 3600 ⇔  900 t + 2700 t  0 = 30 ⇔ 900 x + 2700 x = 30 ⇔ x = 3 ( s )

N Ầ TR

Hàm vận tốc v t = at 2 + bt + c có dạng là đường Parabol có đỉnh I(10;50), đồng thời đi qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra

Câu 40: Chọn đáp án B Ta nhận xét nguyên hàm của f(t) và g(t) chính là hàm vận tốc của hai người. Hàm vận tốc của người thứ nhất:  3

1

∫ f ( t )dt = ∫  100 t + 10 dt = 200 t

1 t + C1 ( m / s ) . 10

P Ấ C

Do vận tốc đầu của cả hai người đều là 0m/s nên C1 = 0, vậy hàm vận tốc của người thứ nhất là: f ( t ) =

3 2 1 t + t (m / s) . 200 10

Tương tự, hàm vận tốc của người thứ hai: g ( t ) = ∫

LÍ

Nguyên hàm của f1(t), g1(t) là hàm quãng đường của 2 người. Hàm quãng đường của người thứ nhất:

N Á O

1 3 1 2  3 2 1  f 2 ( t ) = ∫ f1 ( t ) dt = ∫  t + t dt = t + t (m) 10  200 20  200

A Ó -H

8 8 dt = t ( m / s) . 25 25

Từ đây ta suy ra thời gian để người thứ nhất hoàn tất 400m là 40s.

G N Ỡ Ư D

8 4 Hàm quãng đường của người thứ hai: g 2 ( t ) = ∫ g 2 ( t ) dt = ∫  t dt = t 2 ( m ) . 25  25 

Thời gian để người thứ hai hoàn tất 400m là 50s. Như vậy thời gian chênh lệch của 2 người là 10s.

I Ồ B

3 + 2

B 0 0 0 1

a.02 + b.0 + c = 0 c = 0 c = 0   b 1    = 10 ⇔ 2a + b = 0 ⇔ a = − − 2a 2  a.102 + b.10 + c = 50   a.102 + b.10 + c = 50 b = 10

Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t = 0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t =10s nên quãng

đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất 10

Câu 43: Chọn đáp án A Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t). B(t) = ∫

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1000

(1 + 0, 25t )

dt = 1000∫ (1 + 0, 25t ) dt = −

1000 +C. 0, 25 (1 + 0, 25t )

Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước nên B ( 0 ) = 600 ⇔ −

1000 + C = 600 ⇔ C = 4600 . 0, 25 (1 + 0, 25t )

Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là B(t) = −

Câu 41: Chọn đáp án A

Trang 57

1000  1 2   1 3 2 ∫0 v ( t )dt = ∫0  − 2 t + 10t dt =  − 6 t + 5t  0 = 3 m .

1000 + 4600 . 0, 25 (1 + 0, 25t )

Trang 58

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Số lượng vi khuẩn dưới 4000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người bơi không an toàn khi

∫ q ( t )dt = ∫ (100 + e )dt ≈ 401 đơn vị sản phẩm. −0,5t

1000 + 4600 ≥ 4000 B ( t ) ≥ 4000 ⇔ − 0, 25 (1 + 0, 25t ) ⇔−

Câu 47: Chọn đáp án A

1000 20 68 ≥ −600 ⇔ 1 + 0, 25t ≥ ⇔t≥ ≈ 22, 67 0, 25 (1 + 0, 25t ) 3 3

Xét đường cong cạnh bên của cái lu là

đường AC và chọn hệ trục tọa độ Oxy

Vậy sau ngày thứ 23 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 4000 con và hồ bơi bắt đầu cần thay nước.

như hình vẽ.

Câu 44: Chọn đáp án A

Khi đó ta có BC : y = 25 − x 2 > 0

Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng

Vlu = 2π ∫

4 1 3 3 h ( t ) = ∫ h ' ( t )dt = ∫ t + 3dt = ( t + 3) 3 + C 500 2000

3 3 ( t + 3) + C = 0 ⇔ C = − 2000 2000

7 3

3 3 . ( t + 3) − 2000 2000 4 3

3 Theo giả thiết, lượng nước bơm được bẳng độ sâu của hồ bơi nên ta có 4 7 3

4 3 3 3 3 = .300 ⇒ t ≈ 7619s . h1 ⇔ ( t + 3) 3 − 4 2000 2000 4

Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 7 phút thì bơm được

A Ó -H

3 độ sâu của hồ bơi. 4

Câu 45: Chọn đáp án A

LÍ

P Ấ C

Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 30 phút (1800 giây) sẽ bằng 1800

1800

∫ v ' ( t )dt = ∫ (10t + 500 )dt = ( 5t 0

+ 500t )

1800 0

= 17,1.106 ( m3 ) .

N Á O

là hồ chứa nước đã thoát đi 17,1 triệu khối nước.

Ỡ Ư D

Gọi S(t) là số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 7 giờ sáng. Ta có S' ( t ) = q ( t ) = 100 + e−0,5t

I Ồ B

Trang 59

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

25 − x 2 dx = 132π ( dm3 )

N Ầ TR

3 + 2

0 0 1

Ta có OB = 4.∡AOB = 300 . Nếu gọi S(x) là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x. Cụ thể S(x) là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx. Do đó S ( x ) =

1 16 − x 2 16 − x 2 16 − x 2 tan 300 = 2 2 3 4

1 (16 − x 2 )dx = 1289 3 ( cm3 ) 3 ∫0

Khi đó thể tích của cái nêm bằng V = 2∫ S ( x )dx = 0

Câu 49: Chọn đáp án B Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ Ta có OB = 1.∡AOB = 450 . Nếu gọi S(x) là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x. Cụ thể S(x) là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx. Do đó S ( x ) =

Vậy trong khoảng thời gian 30 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 17,1 triệu khối, tức

Câu 46: Chọn đáp án A

(

Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trúng với mặt cắt vuông góc với hình trụ

7 3

Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là h ( t ) =

h (t) =

. P T

Câu 48: Chọn đáp án C

Lúc ban đầu (tại t = 0) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là h (t) = 0 ⇔

G N HƯ

O Ạ Đ

Y U Q

Khi đó thể tích của cái lu chính là

h’(t) của chiều cao mực nước.

4 3

N Ơ NH

Số đơn vị sản phẩm người đó sản xuất được từ 8 giờ sáng (t = 1) đến 11 giờ trưa (t = 5) là

1 1− x2 1 − x 2 1 − x 2 tan 450 = 2 2 1

Khi đó thể tích của cái nêm bằng V = 2∫ S ( x )dx = ∫ (1 − x 2 )dx =

2 3 (m ) 3

Câu 50: Chọn đáp án A Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ

Trang 60

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có OB = 15.∡AOB = 450 . Nếu gọi S(x) là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x.

Y U Q

Cụ thể S(x) là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx. Do đó S ( x ) =

1 152 − x 2 15 − x 2 15 − x 2 tan 450 = 2 2 15

Khi đó thể tích của cái nêm bằng V = 2 ∫ S ( x )dx = ∫ (152 − x 2 )dx = 2250 ( cm 3 )

Câu 51: Chọn đáp án C Vận tốc của viên đạn biểu diễn theo t giây là v ( t ) = 40 − 9,8t . Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi nó dừng lại, lúc đó 0 = 40 − 9,8t ⇒ t =

200 49

Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắt đầu đến khi đạt độ cao lớn nhất là 200 49

∫ v ( t )dt = 0

4000 m 49

Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắt đầu đến khi chạm đát là 2s =

8000 ≈ 163m . 49

Câu 52: Chọn đáp án C Kể từ lúc hãm phanh (t = 0) đến lúc dừng lại (t = 3) thì ô tô A di chuyển được một đoạn 3

đường a = ∫ v A ( t )dt = ∫ (12 − 4t )dt = 18 ( m ) .

P Ấ C

3 + 2

B 0 0 0 1

N Ầ TR

G N HƯ

O Ạ Đ

N Ơ NH

. P T

Vì ô tô B đứng yên nên ta suy ra ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là 19m để đảm bảo khoảng cách an toàn khi dừng.

Câu 53: Chọn đáp án B Nguyên hàm của gia tốc a ( t ) =

Í L -

A Ó -H

1 ( −t 3 + 30t ) là vận tốc v(t) nên ta có 20

 1 1  t4 v ( t ) = ∫ a ( t )dt = − t 3 + 30t )dt =  − + 15t 2  + C ( ∫ 20 20  4 

N Á O

Tại thời điểm ban đầu, vận động viên tại vạch xuất phát nên vận tốc bằng 0 v ( 0) = 0 ⇔

1  04 2  − + 15.0  + C = 0 ⇔ C = 0 20  4 

Ỡ Ư D

Vậy biểu thức vận tốc của vận động viên là 1  t4 2  − + 15.t  ⇒ v ( 2 ) = 2,8m / s 20  4 

I Ồ B v(t) =

Trang 61

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial