Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPTQG

BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ÔN THI THPT QUỐC GIA

vectorstock.com/22575460

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPTQG . Xây dựng các phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT QUỐC GIA

I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: 1. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm: (Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) cơ bản mở rộng là từ HSSC cơ bản ta thay biến x

MỞ ĐẦU Nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng, phát triển trí tuệ, năng lực của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học.

Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường

bởi ax + b) Nguyên hàm của HSSC Nguyên hàm của HSSC mở rộng

Nguyên hàm của hàm

thường gặp

số hợp (với u = u(x) )

∫ dx = x + C

lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn

thường gặp

∫x

α

dx =

∫ du = u + C

x α +1 +C α +1

∫ (ax + b)

1

α

dx =

1

1 (ax + b)α +1 +C a α +1 1

phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học. Với hình thức

∫ x dx = ln x + C

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C

thi trắc nghiệm như hiện nay có xuất hiện nhiều dạng tích phân mới như tích phân hàm

∫e

x

∫x

ax +b

∫a

x

∫a

px + q

dx = e x + C

ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân,.. Đòi hỏi học sinh phải được trang bị và biết vận dụng các kiến thức từng dạng để giải được hết các câu tích phân trong đề thi

dx =

THPT Quốc Gia. Để kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học các bài toán về tích phân, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.

Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPT Quốc gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán.

Do còn nhiều hạn chế về thời gian nghiên cứu chuyên đề cũng như năng lực chuyên môn

ax +C ln a

dx =

dx =

∫a

1

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

2

1

∫ sin

2

x

1

u

du = e u + C

du =

au +C ln a

∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C

1

∫ cos

∫ cos ( ax + b )dx = a tan ( ax + b ) + C

dx = − cot x + C

∫ sin ( ax + b )dx = − a cot ( ax + b ) + C

1

2

1

u

1

dx = tan x + C

x

u α +1 +C α +1

1

1 a px + q +C p ln a

∫ sin xdx = − cos x + C

du =

∫ u du = ln u + C ∫e

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

1

α

1 ax +b .e +C a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos

∫u

1

2

u

1

∫ sin

2

2

u

dx = tan u + C

dx = − cot u + C

2. Tích phân

nên bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày.

2. 1. Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là

Kính mong các Thầy- Cô đọc và góp ý kiến để báo cáo được hoàn chỉnh hơn.

một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân của f từ a b

đến b và kí hiệu là

b

∫ f ( x)dx . Trong trường hợp a

∫ f ( x)dx a

f trên đoạn [ a; b ] .

1

a < b , ta gọi

2

là tích phân của

b

Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F ( a ) . Như vậy Nếu F là một nguyên

b

đến b và kí hiệu là

a

b

hàm của f trên K thì

∫

b

f ( x) dx . Trong trường hợp a < b , ta gọi

∫ f ( x)dx = F ( x)

= F (b ) − F ( a ) .

b a

là tích phân của

a

f trên đoạn [ a; b ] .

a

Lưu ý:

b

Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F ( a ) . Như vậy, Nếu F là một nguyên a

-

∫ f ( x)dx

Quy ước: + Nếu a = b thì

∫

b

f ( x ) dx = 0

hàm của f trên K thì

a

∫

a

f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx

a

∫

b

b

= F (b ) − F ( a ) .

b

u (b )

a

u(a )

f (u )du

Trong đó: u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f ( u ) liên tục và

b

f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt = ∫ f (u ) du = ...

a

a

∫ f [u( x)] u '( x)dx = ∫

3.2. Công thức đổi biến số:

- Tích phân không phụ thuộc vào biến số: b

b

a

b

+ Nếu a > b thì

∫ f ( x)dx = F ( x)

a

sao cho hàm số hợp f u ( x )  xác định trên K và a, b thuộc K.

a

3.3. Công thức tích phân từng phần 2.2. Tính chất:

b

a) Giả sử f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có

Nếu u ( x ) và v ( x ) là các hàm số liên tục có đạo hàm trên [ a; b ] thì

∫ udv = uv a

a

1)

b

∫ f ( x)dx = 0 ; a

b

b

a

c

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG

a

1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a

c

b

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a

b

4)

2)

a

a

; 3)

b

a b

; 5) ∫ kf ( x) dx =k ∫ f ( x)dx với k ∈ R . a

a

1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

b

b

b

*Phương pháp: Để tính

a

∫ f ( x ) dx thì thực hiện:

a

a

b) Với hàm số f liên tục và số thực dương a , ta có hai tính chất sau đây: a

- Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [ −a ; a ] thì

∫

- Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [ −a ; a ] thì

- Xét dấu f ( x ) trên [ a; b ] .

- Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn..

f ( x) dx = 0 .

1.3. Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn

−a

a

∫ −a

a

f ( x) dx = 2∫ f ( x)dx .

0

3. Các công thức tính tích phân.

3.1. Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là

*Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, các tính chất tích phân - Nếu F ′( x) = f ( x) với mọi x ∈ K thì F ( x) = ∫ f ( x)dx - Các công thức về đạo hàm:

một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân của f từ a

3

− ∫ vdu . a

1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa. có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân.

- Nếu F ′( x ) = f ( x) với mọi x ∈ K thì F ( x) = ∫ f ( x)dx

∫ ( f ( x) )′ dx = f ( x)

a

* Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm số

Chú ý:

- Ta có:

b

b

4

1) u′.v + u.v′ = ( uv )′ ;

3)

u′ = 2 u

2)

( u )′ ;

* Phương pháp:

u ′v − uv′  u ′ =  ; v2 v

4) nu n −1u ′ = ( u n )′ ;

+ Đặt x = u ( t ) sao cho u ( t ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [α , β ] , f u ( t )  được xác 5) −

u ′  1 ′ =  . u2  u 

- Giải bằng công thức giải nhanh ( nếu có)

định trên [α , β ] với u (α ) = a, u ( β ) = b. + Biến đổi f ( x ) dx = f u ( t )  u ' ( t ) dt = g ( t ) b

+ f ′ ( x ) = kf ( x )( k ∈ ℝ ) ⇒ f ( x ) = Cekx .

+ Tìm nguyên hàm G ( t ) suy ra

+ f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) = k ( x ) ⇒ ∫ f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) dx = ∫ k ( x ) dx .

β

∫ f ( x ) dx = G ( t ) α a

* Các dạng thường gặp:

+ f ′ ( x ) + g ( x ) f ( x ) = k ( x ) ⇔ eG ( x) f ′ ( x ) + g ( x ) eG( x) f ( x ) = k ( x ) eG( x ) .

Hàm số có chứa

a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t hoặc acost

′ ⇔ eG ( x ) f ( x ) = k ( x ) eG( x ) ⇒ eG ( x ) f ( x ) = ∫ k ( x ) eG ( x ) dx ⇔ f ( x ) = e − G ( x ) ∫ k ( x ) eG ( x ) dx .

Hàm số có chứa

a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t hoặc acott

(trong đó G( x) là một nguyên hàm của g ( x) )

Hàm số có chứa

x 2 − a 2 thì đặt x =

Hàm số có chứa

x ( k − x ) ( k > 0 ) thì đặt x = k sin 2 t.

(

)

2. Phương pháp đổi biến số.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x = ϕ ( t ) Phương pháp này thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc 2 trong căn bậc 2 Dấu hiệu

3

dx = d ( a sin t ) = a cos t dt

đặt x = a sin t → 

2 2 2 2 2  a − x = a − a sin t = a cos t

a 2 − x 2 thì

Nếu hàm f ( x ) có chứa

Nếu hàm số chứa căn ⇒ đặt t = căn

Đặt

Nếu hàm f ( x ) có chứa

2

a 2 + x 2 thì

Nếu hàm f ( x ) có

adt  dx = d ( a tan t ) = cos 2 t  đặt x = a tan t →   a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a  cos t − a cos tdt  dx = sin 2 t  đặt x = → 2 sin t  x 2 − a 2 = a 2 cos t 2  sin t

a

chứa 4

2.2. Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t = u ( x ) * Dấu hiệu chung:

* Dấu hiệu 1

a a hoặc x = cos t sin t

2

2

x − a thì

Nếu hàm f ( x ) có chứa

a+x thì a−x

dx = d ( a cos 2t ) = −2a sin 2tdt  1 + cos 2 t cos 2 t = =  a − x 1 − cos 2 t sin 2 t 

đặt x = a cos 2t →  a + x

5

Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức dưới số lũy thừa bậc cao * Dấu hiệu cụ thể: Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu

Có thể đặt

1

Có

t=

2

Có (ax + b)n

t = ax + b

I = ∫ x ( x + 1) 2018 dx . Đặt t = x + 1

3

Có a f ( x )

t = f ( x)

I =∫4

4

Có

f ( x)

dx và ln x x

Ví dụ I =∫

f ( x)

t = ln x

3

0

x 2 dx x +1

. Đặt t = x + 1

0

−1

π

0

hoặc biểu thức

chứa ln x

e

I =∫ 1

6

e tan x +3 dx . Đặt t = tan x + 3 cos 2 x

1 + 3ln x .ln x .dx . Đặt t = 1 + 3ln x x

5

Có e x dx

6

Có sin xdx

7

t = ex

hoặc biểu thức

ln 3 2 x

I =∫

0

π

I =∫3

t = cos x

0

9

Có

sin 3 x dx Đặt t = 2 cos x + 1 2cos x + 1

π

Có cos xdx

Có

4e x − 3.dx . Đặt t = 4e x − 3

chứa e x

I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x

t = sin xdx

dx cos 2 x

t = tan x

dx sin 2 x

t = cot x

u = P ( x ) dv = sin axdx

*Phương pháp: Đặt 

I =∫4 0

π

1 1 dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x ) dx 0 cos 4 x cos 2 x

β

π 6

β

3.4. Dạng 4: Tích phân dạng I = ∫ eax cos bxdx hoặc J = ∫ e ax sin bxdx α

* Phương pháp: Đặt: u = e

α

ax

dv = cos bx dx hoặc dv = sin bx dx

Tính 2 lần, giải phương trình suy ra kết quả.

Đặt t = tan x I = ∫π4

hoăc dv = cos axdx

Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần.

0

π

8

e

π

ecot x e cot x dx = ∫π4 dx . Đặt t = cot x 2 1 − cos 2 x 2sin x 6

4. Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân 4.1. Dạng 1. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : u ( x ) . f ' ( x ) + u′ ( x ) . f ( x ) = h ( x )

*Phương pháp:

* Phương pháp:

- Đặt t = u ( x ) , biểu thị f ( x ) dx theo u và du hay f ( x ) dx = g ( u ) du u( b )

b

- Tìm một nguyên hàm G ( u ) của g ( u ) :

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( u )dx = G ( u ) u(a)

a

3. Phương pháp tính tích phân từng phần. b

3.1. Dạng 1: Tích phân dạng ∫ P ( x ) ln k u ( x ) dx a

Từ phương trình vi phân u ( x ) . f ' ( x ) + u ′ ( x ) . f ( x ) = h ( x ) ⇔ u ( x ) . f ( x ) ′ = h ( x ) u( b)

′ ⇒ ∫ u ( x ) . f ( x )  dx = ∫ h ( x ) dx ⇔ u ( x ) . f ( x ) = H ( x ) + C

u( a )

Trong đó:

∫ h ( x ) dx = H ( x ) + C

4.2. Dạng 2. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D

k u = ln u ( x ) * Phương pháp: Đặt  dv = P ( x ) dx

* Phương pháp: Từ phương trình vi phân : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x )

Tùy theo bậc của ln ( u ( x ) ) có thể thực hiện nhiều lần.

Do e x ≠ 0, ∀x ∈ D , nhân hai vé của phương trình : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D

b

3.2. Dạng 2: Tích phân dạng ∫ P ( x ) e kx dx

cho e x ta được : e x . f ' ( x ) + e x . f ( x ) = e x .g ( x ) , ∀x ∈ D

a

⇔ e x . f ( x ) ′ = e x .h ( x ) , ∀x ∈ D

u = P ( x )

* Phương pháp: Đặt 

kx dv = e dx

Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần. β

β

3.3. Dạng 3: Tích phân ∫ P ( x ) sin axdx hoặc ∫ P ( x ) cos axdx α

α

′ ⇒ ∫ e x . f ( x )  dx = ∫ e x .h ( x ) dx ⇔ e x . f ( x ) = H ( x ) + C

Trong đó:

∫ e .h ( x ) dx = H ( x ) + C x

4.3. Dạng 3. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) − f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp:

7

8

Nhân cả hai vế với e− x ta được e− x . f ′ ( x ) − e− x . f ( x ) = e− x .h ( x ) ⇔ e − x . f ( x ) ′ = e − x .h ( x ) .

A. I = 1 −

π 4

.

B. I = 2 .

C. I = ln 2 .

D. I =

π 12

.

Lời giải:

Suy ra e − x . f ( x ) = ∫ e− x .h ( x ) dx .

Chọn đáp án A Từ đó tính được f ( x ) .

π

π

4.4. Dạng 4. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) + p ( x ) . f ( x ) = h ( x )

π

ta được f ′ ( x ) .e ∫

p ( x )dx

p ( x ) dx

+ p ( x ) .e ∫

p ( x ) dx

. f ( x ) = h ( x ) .e ∫

π

4

2

* Phương pháp: Nhân hai vế với e ∫

π

4 4 sin 2 x 1 − cos 2 x  1  Ta có: I = ∫ tan xdx = ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫  − 1 dx 2 cos x cos x cos 2 x  0 0 0 0 4

= ( tan x − x ) 04 = 1 −

p ( x ) dx

π 4

.

Ví dụ 3. ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD )

p ( x ) dx ′ ∫ p ( x ) dx . ⇔  f ( x ) .e ∫  = h ( x ) .e 

1

xdx

∫ ( x + 2)

Cho

= a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c bằng

2

0

Suy ra f ( x ) .e ∫

p( x ) dx

= ∫ e∫

p ( x ) dx

.h ( x ) dx .

A. −2 .

B. −1 .

Chọn đáp án B

Ứng dụng tích phân vào bài toán chuyển động

1

1

xdx

∫ ( x + 2)

III. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

2

( x + 2 ) − 2 dx = 1 dx − 1 2dx 2 ∫0 x + 2 ∫0 ( x + 2 )2 0 ( x + 2)

=∫

0

1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa .

1

1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa.

= ln ( x + 2 ) 0 − 2.

( x + 2)

Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ).

1

1

0

0

A. −7 .

C. −1 .

Lời giải:

= ln 3 − ln 2 + 0

2 1 − 1 = − − ln 2 + ln 3 .

3 3

1 3

bằng

0

B. 7 .

−1

−1 1

Vậy a = − ; b = −1; c = 1 ⇒ 3a + b + c = −1 .

1

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ g ( x ) dx = −4 khi đó ∫  f ( x ) + g ( x ) dx

D. 1.

Lời giải:

5. Một số bài toán ứng dụng tích phân vào thực tế

Biết

C. 2 .

D. 1.

Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 101 ). π

Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0) = 4 và f ′ ( x ) = 2cos 2 x + 1 , ∀x ∈ ℝ , khi đó

Chọn đáp án C

4

∫ f ( x ) dx 0

1

1

1

0

0

0

Ta có ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 − 4 = −1 .

Ví dụ 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) π

A.

π2 +4 16

.

B.

π 2 + 14π 16

.

π 2 + 16π + 4

C.

16

.

D.

16

Lời giải Chọn đáp án C

4

1 2

Tích phân ∫ tan 2 xdx bằng

π 2 + 16π + 16

Ta có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2 cos 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 + cos 2 x )dx = 2 x + sin 2 x + C .

0

9

10

.

bằng

1 2

1 2

Theo bài f ( 0 ) = 4 ⇔ 2.0 + .sin 0 + C = 4 ⇔ C = 4 . Suy ra f ( x ) = 2 x + sin 2 x + 4 .

π

∫ 0

π

2

2

2

( cos x − sin x ) dx = ∫ cos x − sin x dx

0

Vậy: 4

π

I=∫

π

π

2   1  π 2 + 16π + 4 1 cos 2 x     4 π f ( x ) dx = ∫  2 x + sin 2 x + 4  dx =  x 2 − + 4x  =  +π −−  = 2 4 16 16   0    4 0 4

0

π

π

4

2

= ∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( cos x − sin x ) dx π

0

4

π

π

= ( cos x + sin x ) 04 − ( cos x + sin x ) π2 = 2 2 − 2.

4

1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

Khi đó a = 2; b = −2; a + b = 0

2

Ví dụ 1: Giá trị của I = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx là:

e

Ví dụ 3: Giá trị của I = ∫ ln x dx. là

0

1 2

1 2

A. I = .

B. I = − .

C. I = 1 .

1 e

D. I = 2 .

2 e

A. 2 + .

Lời giải

B.

2 . e

C. 2 .

2 e

D. 2 − .

Lời giải

Chọn đáp án C Để ý: x x 2 − 3x + 2

2

1

−∞

+

0

Chọn đáp án D

-

0

e

+∞

e

I = ∫ − ln xdx + ∫ ln xdx

+

1 e

1 e

Để ý rằng nguyên hàm của lnx là x ( ln x − 1) 1

(

2

)

(

)

I = ∫ x − 3 x + 2 dx + ∫ − x + 3 x − 2 dx 2

0

2

1 1

1

e

1 2 = 1 + ( −2 ) + e − e + 1 = 2 − . e e

⇔ I = 1. π

π

2

Ví dụ 2: Biết I = ∫ 1 − sin 2 xdx = a 2 + b . Khi đó a + b bằng

Ví dụ 4: Biết

0

A. 0 .

e

Do đó: I = − x ( ln x − 1) 1 + x ( ln x − 1) 1

2

 x3 3x 2   x 3 3x 2  ⇔ I = − + 2x  +  − + − 2x  2 2  3 0  3 1

B. 4 .

C. −4 .

D. 2 .

2

∫π (

−

2

A. m ∈ (1;3) Lời giải

)

1 + cos 2 x − 1 − cos 2 x dx = m . Chọn đáp án đúng.

B. m ∈ [ 0; 2 )

Lời giải Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

11

12

C. m ∈ ( 0;1)

D. m ∈ [1;3] .

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f ( 0 ) = f (1) = 1 . Biết

π 2

m= 2

∫π

−

( cos x − sin x )dx

1

rằng ∫ e x  f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b . Khi đó a 2018 + b2018 là

2

0

π 0  2   = 2  ∫ ( cos x + sin x )dx + ∫ ( cos x − sin x )dx  π 0  − 2  π 0   = 2  ( sin x − cos x ) − π + ( sin x + cos x ) 02  = 2 ( −1 + 1 + 1 − 1) = 0 2  

A. 7

C. 2

D. 5

Nhận xét: Ta có e x  f ( x ) + f ′ ( x )  = e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) =  e x f ( x ) ′ Lời giải Chọn đáp án C

1.3. Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn 2

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) lẻ và liên tục trên đoạn [ −2; 2] . Tích phân

∫

f ( x )dx bằng

B. 2

C. −1

D. 0

1

1

0

0

1

Ta có ∫ e x  f ( x ) + f ′ ( x )  dx = ∫ e x f ( x ) ′ dx = e x f ( x )  = ef (1) − f ( 0 ) 0

−2

A. 1

B. −1

f ( 0 )= f (1) =1

=

e − 1.

Suy ra a = 1, b = −1 . Do đó a 2018 + b 2018 = 2 .

Lời giải Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên [ 0; 2] và thỏa đẳng thức sau đây

Chọn đáp án D Sử dụng tính chất tích phân của hàm số lẻ

2

f ( x ) + 2 f ( 2 − x ) = 4 − x 2 . Tích phân

 π Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và thỏa mãn  2 π

π

π

2

2

2

0

0

∫ f ' ( x ) .sin xdx = 1 , ∫ f ( x ) .cos xdx = −1 . Giá

trị I = ∫  f ( x ) .sin x ′ dx là

B. −1

C. 3

Nhận xét: Ta có  f ( x ) .sin x ′ = f ′ ( x ) sin x + f ( x ) .cos x Lời giải Chọn đáp án A

A. 0

D. −2

2

Ta có

2

2

0

0

0

π

π

2

2

0

∫

C. 7

D. 2

2 0

= f ( 2) − f (0) .

2  f (0) = −  f ( 0 ) + 2 f ( 2 ) = 2  3 Với x = 0 và x = 2 ta có hệ phương trình  . ⇔  f ( 2) = 4 2 f ( 0 ) + f ( 2 ) = 0  3

Do đó

I = ∫  f ( x ) .sin x ′ dx = ∫ ( f ′ ( x ) .sin x + f ( x ) .cos x ) dx = ∫ f ′ ( x ) .sin xdx +

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )

2

π

B. 3

Chọn đáp án D

Ta có: π

bằng

0

Lời giải

0

A. 0

∫ f ′ ( x ) dx

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) 0

2 0

= f ( 2) − f (0) = 2 .

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn 1

f ( x). f ′( x) − 2 x. f 2 ( x) + 1 = 0 với ∀x ∈ R và f (0) = 0 . Tích phân I = ∫ f ( x)dx bằng

f ( x ) .cos xdx = 1 − 1 = 0.

0

0

A. 0

13

B. 3

C. 7

14

D. 2

Nhận xét: Từ giả thiết có

f ( x). f ′( x ) 2

f ( x) + 1

= 2 x , biểu thức vế trái có dạng

uu ′ 2

u +1

=

(

u2 +1

)′

Ta có f ( x). f ′( x) − 2 x. f 2 ( x ) + 1 = 0 ⇔ f 2 ( x ) + 1 = ∫ 2 xdx ⇔

f ( x ). f ′( x ) 2

f ( x) + 1

= 2x ⇔

C. 3

)

Chọn đáp án A 2

Từ giả thiết, thay x bằng 1 − x ta được (1 − x ) f (1 − x ) + f ( x ) = 2 (1 − x ) − (1 − x )

f 2 ( x ) + 1 = x 2 + c . Do f (0) = 0 ⇒ c = 1 nên ta có 2

1

1

x2 + 2

(Vì f ( x ) không âm trên R ). Khi đó I = ∫ f ( x)dx = ∫ x x + 2dx = ∫ x x + 2dx 0

2

0

0

1

1

1 1 2 1 x 2 + 2 d ( x 2 + 2) = . ( x 2 + 2 ) x 2 + 2  = 3 3 − 2 2  2 ∫0 2 3 3 0

(

(

4

)

⇔ x 2 − 2 x + 1 f (1 − x ) + f ( x ) = 1 + 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 − x 4 . (1) 2

1

2

Ta có x f ( x ) + f (1 − x ) = 2 x − x4 ⇔ f (1 − x ) = 2 x − x 4 − x 2 f ( x ) ( 2 ) Thay ( 2 ) vào (1) ta được

(x

)

1 2 Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn f ( 2 ) = − và f ′ ( x ) = x 3  f ( x )  với mọi x ∈ ℝ .

5

Giá trị của f (1) bằng?

2

)

− 2 x + 1  2 x − x 4 − x 2 f ( x )  + f ( x ) = 1 + 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 − x 4

(

)

⇔ 1 − x 2 + 2 x3 − x 4 f ( x ) = x6 − 2 x5 + 2 x3 − 2 x 2 + 1

⇔ (1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 ) f ( x ) = (1 − x 2 )(1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 ) ⇔ f ( x ) = 1 − x2 .

1 4

B. 0

Nhận xét: Từ giả thiết ta có

f ′( x)

( f ( x) )

2

C.

4 5

= x3 , biểu thức vế trái có dạng

D. 2 u′  −1 ′ =  u2  u 

1

1



1



1

2

Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x 2 ) dx =  x − x3  = .

3 0 3  0 0 2. Phương pháp đổi biến số.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x = ϕ ( t )

Lời giải

1

Ví dụ 1 : Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = ∫

Chọn đáp án C

0

2 2 f ′( x) f ′( x) Ta có: f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇒ 2 = x3 ⇒ ∫ 2 dx = ∫ x 3dx f ( x) f ( x) 1 1 3

D. −2

Lời giải

′ f 2 ( x) + 1 = 2 x

(

f 2 ( x) + 1 = x 2 + 1 ⇔ f 2 ( x) + 1 = ( x 2 + 1) ⇔ f 2 ( x) = x 2 ( x 2 + 2 ) ⇔ f ( x) = x

A. −

B. −1

rồi kết hợp với giả thiết xác định hàm số f ( x )

Chọn đáp án D

=

2 3

Nhận xét: Từ giả thiết thay x bằng 1 − x xác định biểu thức quan hệ của f (1 − x ) ; f ( x )

Lời giải

⇒

A.

2

2

 1  15 1 1 15 4 ⇔ − = ⇔− + = ⇔ f (1) = −  f ( x )  4 2 1 4 5 f f ( ) ()  1

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn x2 f ( x ) + f (1 − x ) = 2 x − x 4 .

π

π

3

6

A. I = ∫ 3dt .

0

B. I = ∫ 0

π 6

3 dt 3

C. I = ∫ 3tdt .

0

Lời giải Chọn đáp án B Đặt x = 3 tan t ⇒ dx = 3 (1 + tan 2 t ) dt .

1

Tích phân I = ∫ f ( x ) dx là

Khi x = 0 thì t = 0 ; Khi x = 1 thì t =

0

15

dx trở thành tích phân nào? x2 + 3

π .

6

16

π 6

1 t

D. I = ∫ dt .

0

π 1

6

dx = x2 + 3

Ta có I = ∫ 0

3 (1 + tan 2 t )

∫ 3 (1 + tan t ) 2

dx 1− x

0

6

2

∫ 0

0

1 2

Ví dụ 2: Tích phân I = ∫

π

dt =

Đặt x = sin t , − −π C. 6

π D. 6

6

∫π

K=

−

6

1 − sin 2 t

0

= ∫ dt = 0

∫ −1

2

π 6

−

6

D.

=

1 − sin 2 t

∫π

−

6

∫x

π

sin 2 t cos tdt = cos t

6

π 6

dx 3

6

x2 −1

=

π a

+

3 −b ( a; b; c là các số nguyên). Khi đó tích abc bằng c

B. −384

C. 48

D. 192

Lời giải 2 2

(1 + x )

=

1  a. π  + b  ( a, b ∈ ℕ) . Giá trị biểu thức a 2 + b 2 bằng 2  2 

B. −1

C. 3

Chọn đáp án A Đặt: x =

D. −2

1 sin tdt ⇒ dx = cos t cos 2 t

x= 2 ⇒t =

Lời giải

π

Chọn đáp án A

π 4

;x = 2⇒t = π

π 3 π

π

3

dt cos 2 t

3 3 cos3 t sin tdt 1 1 3 −2  1 + cos 2t  3 π L=∫ = ∫ cos 2 tdt = ∫  + dt = t + sin 2t  π = 2 2 2 24 8 1   π π π  2 cos t −1 4 4 4 4 cos 2 t

π  π − < t <  2  2

Do đó a = 24; b = 2; c = 8; abc = 384 x = −1 ⇒ t = − π 4

π 4

; x =1⇒ t =

π

2.2. Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t = u ( x )

4

π

π

4

1 + cos 2t 1 1 1 π  4 ∫π cos tdt = ∫π 2 dt = 2 t + 2 sin 2t  π = 2  2 + 1 − − − 4

2

4

4

Do đó a = 1; b = 1; a 2 + b 2 = 2 Ví dụ 4: Tích phân K =

1 2

∫ −

1 2

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) 2

Cho

∫ f (x

5

2

+ 1) xdx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x )dx bằng:

1

x 2 dx 1 − x2

3 4

1 − cos 2t 1 1 π 3 6 ∫π 2 dt = 2 t − 2 sin 2t  π = 6 − 4 − −

6 dx

+

π

6

6

A. 384

A. 2

Đặt x = tan t ⇒ dx =

3 4

⇒ dx = cot dt

π

2

π

1

Ví dụ 3: Tích phân

π

≤t≤

sin 2 t cos tdt

Ví dụ 5: Cho

1 π ⇒t = 2 6

π

I=∫

2

2

dx = cos tdt; x = 0 ⇒ t = 0; x =

C.

1 π 1 π x = − ⇒t = − ;x = ⇒t = 2 6 2 6

π Đặt: x = sin t , 0 ≤ t ≤ 2

cos t

π

π

Chọn đáp án D

6

B. −1

6

Chọn đáp án C

Lời giải

π

π

Lời giải

bằng

5π B. 6

π A. − 6

A.

3 dt 3

A. 2 . bằng

2

B. 1.

C. −1 .

Lời giải Chọn đáp án D

17

18

D. 4 .

Chọn đáp án A

Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 , x = 2 ⇒ t = 5 .

2

Khi đó:

∫ f (x

2

+ 1) xdx =

1

5

Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt .

5

2

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 3 ⇒ t = 4 .

1 f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t )dt = 2 ∫ f ( x 2 + 1) xdx = 4 .

2 ∫2 2 1 5

Khi đó:

5

2

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = 4 .

2

2

1

Ví dụ 2: (THPT QG 2018- MĐ 101).

55

Cho

∫x

16

dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln11 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x+9

A. a − b = −c .

B. a + b = c .

C. a + b = 3c .

D. a − b = −3c .

2

t 2 −1

2

t3 − t



∫ 4 + 2t .2tdt = ∫ t + 2 dt = ∫  t 1

2

2

− 2t + 3 −

1

 t3 2  6  7  dt =  − t + 3t − 6 ln t + 2  = − 12 ln 2 + 6 ln 3 t+2 3  1 3

a = 7  Suy ra b = −12 ⇒ a + b + c = 1 . c = 6 

Ví dụ 4: (THPT QG 2018- MĐ 101). Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ .

1

4

0

0

Biết f ( 4 ) = 1 và ∫ xf ( 4 x ) dx = 1 , khi đó ∫ x 2 f ′ ( x ) dx bằng

Lời giải Chọn đáp án A

A.

Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ⇒ 2tdt = dx .

2

31 .

2

B. −16 .

C. 8 .

D. 14 .

Lời giải

Đổi cận: x

16

55

t

5

8

Chọn đáp án B Đặt t = 4 x ⇒ dt = 4dx 1

4

4 t. f ( t ) dt = 1 ⇒ ∫ xf ( x ) dx = 16 16 0 0

Khi đó: ∫ xf ( 4 x ) dx = ∫ 0

8 8 8 8 dx 2tdt dt 1  dt dt  ∫16 x x + 9 = ∫5 ( t 2 − 9 ) t = 2∫5 t 2 − 9 = 3  ∫5 t − 3 − ∫5 t + 3  55

4

Xét: ∫ x 2 f ′ ( x ) dx 0

8

1 2 1 1 = ( ln x − 3 − ln x + 3 ) = ln 2 + ln 5 − ln11 .

3 3 3 3 5

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: 4

2

Cho

∫ 4+2 0

x x +1

dx =

4

4

0

0

0

3. Phương pháp tính tích phân từng phần. b

a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c 3

3.1. Dạng 1: Tích phân dạng: ∫ P ( x ) ln k u ( x ) dx a 1

Ví dụ 1: Tích phân ∫ ln (1 + x ) dx bằng

bằng A. 1.

2

0

Ví dụ 3: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) 3

4

∫ x f ′ ( x ) dx = x f ( x ) − ∫ 2 x. f ( x ) dx = 16. f ( 4 ) − 2∫ x. f ( x ) dx = 16 − 2.16 = −16

2 1 1 Vậy a = , b = , c = − . Mệnh đề a − b = −c đúng 3 3 3

0

B. 2 .

C. 7 .

D. 9 .

A. 2 ln 2 + 1 .

B. ln 2 + 1 .

C. 2 ln 2 − 1 .

Lời giải

19

20

D. ln 2 − 1 .

Lời giải

Đặt: u = ln 2 x ⇒ du = 2 ln x.

Chọn đáp án C dv = dx ⇒ v = x

dx x +1

Đặt: u = ln (1 + x ) ⇒ du =

e

∫ ln

dv = dx ⇒ v = x

2

e

1

1

x

1

1

0

0

0



1

1 

0

Đặt

u = ln x ⇒ du =

2

ln x b b ∫1 x2 dx = c + a ln 2 (với a là số thực, b , c là các số nguyên dương và c là phân số

e

e

⇒ I = x ln x 1 − ∫ dx = ( x ln x − x ) 1 = 1 e

1

e

tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c .

Do đó: ∫ ln 2 xdx = e − 2

B. −6 .

C. 6 .

1

D. 5 .

Vậy m = 1; n = −2; 2m + n = 0

Lời giải

2

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Giá trị của 1 x

3 2

A. 2 ln 2 − ln 3 .

1 1 dx ⇒ v = − . x2 x 2

2

ln (1 + x ) x2

dx bằng 3 2

B. ln 2 − ln 3 .

C. 3ln 2 − ln 3 .

2

2

Chọn đáp án C

2

Đặt: u = ln (1 + x ) ⇒ du =

1 ⇒ a = − , b = 1, c = 2 .

2

dv =

 1 ⇒ 2a + 3b + c = 2.  −  + 3.1 + 2 = 4 .  2

2

∫ 1

e

Ví dụ 3: Cho ∫ ln xdx = m e + n ( Với m; n là các số nguyên). Giá trị biểu thức 2m + n là 2

1

B. 0 .

C. −1 .

Lời giải

D. 2 .

x

2

dx x +1

dx 1 ⇒v=− x2 x

ln (1 + x )

2

2

2

 1 x  1 2 1 3 =  − ln (1 + x ) + ln = − ln 3 + ln + ln 2 − ln = 3ln 2 − ln 3.

1 + x  1 2 3 2 2  x b

3.2. Dạng 2: Tích phân dạng: ∫ P ( x ) e kx dx a

Chọn đáp án B

21

2

1 dx 1 1  1 dx = − ln (1 + x ) + ∫ = − ln (1 + x ) + ∫  − dx x x ( x + 1) x x x +1 1 1 1 1 2

22

3 2

D. ln 2 + ln 3 .

Lời giải

ln x 1 1 1 1 1 1 1 1 b dx = − ln x + ∫ 2 dx = − ln x − = − ln 2 − + 1 = − ln 2 = + a ln 2 . x2 x x x x1 2 2 2 2 c 1 1 1 1

⇒∫

∫ 1

Đặt u = ln x ⇒ du = dx

A. 1 .

1 dx x

dv = dx ⇒ v = x

Ví dụ 2: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)

dv =

1

1

=  x.ln (1 + x ) − x + ln (1 + x )  = 2 ln 2 − 1.

A. 4 .

1

Xét I = ∫ ln xdx

0

1

Biết

e

e

∫ ln (1 + x ) dx = x ln (1 + x ) − ∫ x + 1dx = x ln (1 + x ) − ∫ 1 − x + 1 dx 0

e

xdx = x ln 2 x − 2 ∫ ln xdx = e − 2 ∫ ln xdx

1

1

dx x

Chọn đáp án A

1

∫ ( x + 1)e dx. bằng

Ví dụ 1: Tích phân

x

1

0

A. e .

B. e − 1 .

C. 2e .

1

1 2 x2 1 x e d x 2 = ∫ tet dt .

2 ∫0 20

m=

D. 2 − e .

( )

Đặt: u = t ⇒ du = dt

Lời giải

dv = et dt ⇒ v = et

Chọn đáp án A

1

Đặt: u = x + 1 ⇒ du = dx

m=

dv = e x dx ⇒ v = e x 1

∫ ( x + 1)e dx = ( x + 1) e x

x 1 0

0

1

1

0

0

4

Ví dụ 4: Hãy chọn đáp án đúng biết rằng ∫ e x dx = a.e 2 + b

− ∫ e x dx = ( x + 1) e x − e x = xe x = e.

0

1

Ví dụ 2: Giá trị của

1

∫(x

2

1 t t 1 te − e  = 2 2 0

0

A. a = −2b .

)

− 2 x − 1 e − x dx là

B. 2a = b .

A. 1 .

B. 0 .

C. −1 .

Đặt: t = x ⇔ dx = 2tdt

Chọn đáp án C

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 4 ⇒ t = 2

Đặt: u = x 2 − 2 x − 1 ⇒ du = 2 ( x − 1) dx

4

∫e

dv = e − x dx ⇒ v = −e − x

∫( 0

)

(

)

1

1

Xét I = ∫ ( x − 1)e − x dx

∫e

0

0

Đặt: u = x − 1 ⇒ du = dx dv = e dx ⇒ v = −e

Do đó:

∫(x

x

2 2   2 dx = 2  xe x − ∫ e x dx  = 2  xe x − e x  = 2 e 2 + 1 = 2e 2 + 2 0 0  0 

β 1

0

0

)

0

Vậy a = b = 2

I = − ( x − 1) e − x + ∫ e − x dx =  − ( x − 1) e − x − e− x  = − 2

0

−x

1

1

2

dv = e x dx ⇒ v = e x 4

−x

2

dx = 2 ∫ tet dt = 2 ∫ xe x dx

Đặt: u = x ⇒ du = dx

1

0

x

0 1

2 x 2 − 2 x − 1 e− x dx = − x 2 − 2 x − 1 e − x + 2 ∫ ( x − 1)e − x dx = − 1 + 2∫ ( x − 1)e − x dx 0 e 0 0

1

D. a = b .

Chọn đáp án D

D. 2 .

Lời giải

1

C. a = −b .

Lời giải

0

β

3.3. Dạng 3: Tích phân ∫ P ( x ) sin axdx hoặc ∫ P ( x ) cos axdx

1 e

α

α

π

Ví dụ 1: Giá trị của

− 2 x − 1 e dx = −1 −x

4

∫ x sin 2 xdx là 0

0 1

1 4

A. − .

2

Ví dụ 3: Biết ∫ x 3e x dx = m hãy chọn đáp án đúng 0

A. m ∈ ( 0;1) .

1 4

B. 0 .

C. .

Lời giải B. m ∈ (1; 2 ) .

Lời giải

C. m ∈ ( −1;0 ) .

D. m ∈ ( 2;3) .

Chọn đáp án C Đặt: u = x ⇒ du = dx

23

24

D. 2 .

dv = cos xdx ⇒ v = sin x

1 dv = sin 2 xdx ⇒ v = − cos 2 x.

2 π

Ta có:

4

π

π

4

π2

∫

π

4 x 14 1  x 4 1 ∫0 x sin 2 xdx = − 2 cos 2 x 0 + 2 ∫0 cos 2 xdx =  − 2 cos 2 x + 4 sin 2 x  = 4 0

0

π   2 π π π    2 cos xdx = 2  x sin x 0 − ∫ sin xdx  = 2 [ x sin x + cos x ] 02 = 2  − 1 = π − 2 2  0   π 4

π

Ví dụ 2: Biết

2

∫ ( x + 3) sin 2 xdx = 0

A. 7 .

π a

+ b (với a, b là các số nguyên dương) thì a − b bằng 2

B. 0 .

C. 25 .

D. 2 .

2

Ví dụ 4: Cho ∫ 2 x.cos 2 2 xdx =

7b thì giá trị biểu thức a 1 −  bằng 

B. 4 .

C. 25 .

Lời giải

Đặt: u = x + 3 ⇒ du = dx

Chọn đáp án B

1 dv = sin 2 xdx ⇒ v = − cos 2 x.

2

π

2

0

π

π

1 2

∫ ( x + 3) sin 2 xdx = − ( x + 3) cos 2 x

2

+

0

π

12 cos 2 xdx 2 ∫0

dv = cos 4 xdx ⇒ v =

0

1 sin 4 x 4

π

π

π

4 1 14 1 1 4 I = x sin 4 x − ∫ sin 4 xdx =  x sin 4 x + cos 4 x  4 4 4 16  0 0 0

∫ cos xdx bằng 0

C. π .

Lời giải

Chọn đáp án D

D. π − 2 .

π

π

 x2 1  4 π2 1 1 Do đó: ∫ 2 x.cos 2 xdx =  + x sin 4 x + cos 4 x  = − .

16  2 4  0 32 8 0 4

2

7b Vậy a = 32; b = 1; c = 8 ; a  1 −  = 4

Đặt t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt



2

4

4

+ ∫ x cos 4 xdx.

Đặt u = x ⇒ du = dx

4

π

0

π

0

π2

x = 0 ⇒ t = 0; x =

4

4

Vậy a = 4; b = 3; a 2 − b 2 = 7

B. π + 2

π

Xét I = ∫ x cos 4 xdx

1  1  2 1π  3 π =  − ( x + 3) cos 2 x + sin 2 x  =  + 3  + = + 3 4  2 0 2 2  2 4

A. 2π − 2 .

π

4

2

π

π

Ví dụ 3: Tích phân

π

4 4 x2  1 + cos 4 x  ∫0 2 x.cos 2 xdx = ∫0  2  dx = ∫0 xdx + ∫0 x.cos 4 xdx = 2 4

π

⇒t =

π2

π

π

4

2

2

0

0

0

c 

A. 60 .

Chọn đáp án A

∫ cos

b b − ( với a; b; c là các số tự nhiên ; là phân số tối giản) c c

a

0

Lời giải

Ta có:

π2

π

c 

β

β

3.4. Dạng 4: Tích phân dạng I = ∫ eax cos bxdx hoặc J = ∫ e ax sin bxdx

2

α

xdx = 2 ∫ t cos tdt = 2 ∫ x cos xdx

α

π

Ví dụ 1: Giá trị của I = ∫ e x cos xdx là 0

Đặt: u = x ⇒ du = dx

25

26

D. 2 .

π

A. e 2 + 1 .

B.

 1  π2  e + 1 .

2 

1 2

π



C.  e 2 − 1 

π

D. e 2 − 1 .

Đặt: u = e − x ⇒ du = −e − x dx dv = cos π xdx ⇒ v =

Lời giải Chọn đáp án C

J =−

Đặt u = e ⇒ du = e dx x

x

dv = cos xdx ⇒ v = sin x

sin π xdx

−x

0

1 1

1

π

(

Đặt u = e x ⇒ du = e x dx



1

)

π

dv = sin xdx ⇒ v = − cos x

2

Ví dụ 3: Tích phân I = ∫ e −2 x cos 2 xdx. bằng

π

J = − e x cos x + ∫ e x cos xdx

0

0

1

1

B. e −π + 2  4

A. e −π .

π

Do đó: I = ( e x sin x + e x cos x ) − I

C. e −π − 1 .

4

0

Lời giải

π

 ex 1 π ⇒ I = ( sin x + cos x ) =  e 2 − 1 .

2 2   0 1

Ví dụ 2: Cho ∫ e − x sin π xdx = 0

Chọn đáp án D Đặt u = e −2 x ⇒ du = −2e −2 x dx

π +e hãy chọn đáp án đúng e (π 2 + m )

A. m = −1 .

B. m = 1 .

C. m = 2 .

Lời giải Chọn đáp án B

dv = cos 2 xdx ⇒ v =

D. m = −2 .

π

1

π

sin 2 x

π

2 2 1 I = e −2 x sin 2 x + ∫ e −2 x sin 2 xdx 2 0 0

π 2

Xét J = ∫ e −2 x sin 2 xdx

Đặt u = e − x ⇒ du = −e − x dx

1

1

 π 2 +1  π +e π +e  2 I = 2 ⇔ I = π e e π 2 +1  π 

0

dv = sin π xdx ⇒ v = −

1

1

Xét J = ∫ e x sin xdx

0

0

e π∫

1  1 1 1   1  ⇔ 1 + 2  I =  − e − x cos π x − 2 e− x sin π x  = + 2 π  π   π  0 πe π

0

π

π

1

1

1

I = e x sin x − ∫ e x sin xdx.

0

sin π x +

Do đó: I = − e − x cos π x −  e − x sin π x + ∫ e− x sin π xdx  π π  π π 0 0 0 

π

π

1

e− x

1 sin π x π

1

π

0

u = e−2 x ⇒ du = −2e −2 x dx

cos π x 1

1

1

1

Ta có: I = ∫ e − x sin π xdx = − e − x cos π x − ∫ e − x cos π xdx π π 0 0 0 1

Xét J = ∫ e− x cos π xdx

dv = sin 2 xdx ⇒ v = − π

1

π

co s 2 x

π

2 2 1 J = − e −2 x co s 2 x − ∫ e −2 x cos 2 xdx 2 0 0

0

27

28

1

D. e −π + 1 .

4

Ví dụ 5: ( THPT QG 2019- MĐ 104) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ .

π

1

1

2

Do đó: I =  e−2 x sin 2 x − e −2 x cos 2 x  − I 2 2 0

1

3

0

0

Biết f ( 3) = 1 và ∫ xf ( 3x ) d x = 1 , khi đó ∫ x 2 f ′ ( x ) d x bằng

π

2 1 1 ⇒ I = e −2 x ( sin 2 x − cos 2 x ) = e −π + 1 .

4 4 0

A. 3 .

B. 7 .

C. −9 .

π 2

Ví dụ 4: Biết I = ∫ sin xe 2 x dx có kết quả I = 0

a π a là e + 1 ( Với a; b là số nguyên dương; b b

(

)

a phân số tối giản). Khi đó là b

D.

25 .

3

Lời giải Chọn đáp án C 1

Xét tích phân I = ∫ xf ( 3x ) d x = 1 .

0

2 A. − .

5

2 B. 5

12 C. .

5

1 D. .

5

Lời giải

1 3

Khi x = 0 thì t = 0 . Khi x = 1 thì t = 3 .

Chọn đáp án B

3

1 3 0

1 2x e 2

π

3

suy ra π

π

2

2 2 1 I = ∫ sin xe dx = e2 x sin xdx − ∫ cos xe2 x dx 2 0 0 0

3

1 tf ( t ) d t , 9 ∫0

3

3

3

1 tf ( t ) d t = 1 ⇒ ∫ tf ( t ) d t = 9 ⇒ ∫ tf ( t ) d t = 9 ⇒ ∫ xf ( x ) d x = 9 .

9 ∫0 0 0 0 3

2x

Xét tích phân J = ∫ x 2 f ′ ( x ) d x .

0

π

u = x d u = 2 x d x , ta có ⇒ d v = f ′ ( x ) d x v = f ( x ) 2

2

Đặt 

Xét J = ∫ cos xe 2 x dx 0

3

Đặt u = cos x ⇒ du = − sin xdx dv = e 2 x dx ⇒ v = π

J=

1 3

Do đó I = ∫ tf ( t ) . d t =

Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx dv = e 2 x dx ⇒ v =

1 3

Đặt t = 3 x ⇒ d x = d t và x = t .

1 2x e 2

3 0

3

0

0

4. Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân 4.1. Dạng 1. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :

1 1

u ( x ) . f ' ( x ) + u′ ( x ) . f ( x ) = h ( x )

1

Do đó: I = sin xe2 x dx −  cos e 2 x + I  2 2 2 2  0 2

3

= 32. f ( 3) − 02. f ( 0 ) − 2.9 = −9 .

2 1 12 cos xe 2 x dx + ∫ sin xe 2 x dx 2 20 0

1

0

0

π

π

3

J = ∫ x 2 f ′ ( x ) d x = x 2 f ( x ) − ∫ 2 xf ( x ) d x = x 2 f ( x ) − 2 ∫ xf ( x ) d x

* Phương pháp:

π

⇒

5 1 1  I =  sin x − cos x  e 2 x 4 2 2 

2 0

=

1 π 2 e + 1 ⇒ I = eπ + 1 2 5

(

)

Từ phương trình vi phân u ( x ) . f ' ( x ) + u ′ ( x ) . f ( x ) = h ( x ) ⇔ u ( x ) . f ( x ) ′ = h ( x ) ′ ⇒ ∫ u ( x ) . f ( x )  dx = ∫ h ( x ) dx ⇔ u ( x ) . f ( x ) = H ( x ) + C

29

30

∫ h ( x ) dx = H ( x ) + C

Trong đó:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + ( x + 1) . f ′( x) = 1 với

⇒ ln u ( x) = G( x) + c (với G ( x ) là một nguyên hàm của

1

∀x ∈ [ 0;1] . Biết f (5) =

A. 1 + ln 2 .

7 . Tích phân I = ∫ f ( x)dx bằng 6 0 2 3

B. 2 ln 2

C. ln .

31 9 + ln 3 + 2 ln 2 .

12 2

u′.v + u.v′ = ( uv )′ , từ đó ta có lời giải

⇒ ( x + 1) f ( x) = ∫ dx ⇔ ( x + 1) f ( x) = x + c , vì f (5) = ⇒ ( x + 1) f ( x) = x + 2 ⇔ f ( x) =

0

1

1 B. .

2018.2019

C.

1 .

2018.2017

D.

25 .

3

Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u ( x ) . Ta có

Ta có f ( x) + ( x + 1) . f ′( x ) = 1 ⇔ ( x + 1)′ f ( x) + ( x + 1) . f ′( x) = 1 ⇔ ( x + 1) f ( x ) ′ = 1

0

1 và 2018

2018 f ( x) + x. f ′( x) = 2 x 2018 với ∀x ∈ [ 0;1] . Tích phân I = ∫ f ( x)dx bằng

A. 3 .

Chọn đáp án A

1

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên [ 0;1] thỏa mãn f (1) =

0

Lời giải

1

A( x ) ) ⇒ từ đây ta sẽ chọn được B( x)

biểu thức u ( x ) .

D.

Nhận xét: Từ giả thiết ta có ( x + 1)′ f ( x) + ( x + 1) . f ′( x) = 1 , vế trái là biểu thức có dạng

I = ∫ f ( x)dx = ∫

u ′( x) A( x)  h ( x ) u ′( x) = A( x) u ′( x) A( x) ⇒ = ⇒∫ .dx = ∫ .dx  u ( x ) B ( x ) u ( x ) B ( x) h x u x B x ( ) = ( ) ( ) 

7 7 ⇔ 6. = 5 + c ⇔ c = 2 6 6

⇒ ln u ( x) = ∫

2018 dx ⇒ ln u ( x) = 2018ln x + c ⇔ ln u ( x) = ln x 2018 + c x

nên ta chọn u ( x) = x 2018 , khi đó ta có lời giải như sau: Lời giải

x+2 . Khi đó x +1

Chọn đáp án B 1

1

1  x+2  .dx = ∫  1 +  .dx = ( x + ln x + 1 ) = 1 + ln 2 x +1 x +1  0 0

Nhận xét: Với u ( x ) là biểu thức cho trước thì ta có [u ( x). f ( x)]′ = u′( x). f ( x) + u( x). f ′( x) Đặt v ( x) = u ′( x ) ta được [u ( x). f ( x)]′ = v( x). f ( x) + u ( x). f ′( x) (*).

Ngược lại mọi biểu thức có dạng v ( x ). f ( x ) + u ( x). f ′( x) ta có thể biến đổi đưa về dạng h ( x ) [u1 ( x). f ( x)]′ . Khi đó ta có bài toán tổng quát cho như sau:

Bài toán: Cho A( x); B ( x) ; g ( x) là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn

Ta có  x 2018 . f ( x) ′ = 2018 x 2017 f ( x) + x 2018 f ′( x) = x 2017 [ 2018 f ( x ) + xf ′( x ) ] = x 2017 .  2 x 2018  = 2 x 4035

Khi đó x 2018 f ( x ) = ∫ 2 x 4035 dx ⇔x 2018 f ( x) = ⇔ c = 0 ⇒ x 2018 f ( x ) = 1

1 1 1 x 4036 ⇔ = +c + c , do f (1) = 2018 2018 2018 2018

x 4036 x 2018 ⇒ f ( x) = 2018 2018 1

1

 x 2019  x 2018 1 dx =   = 2018 2019.2018 2018.2019   0 0

Khi đó I = ∫ f ( x )dx = ∫ 0

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên R \ {−1; 0} thỏa mãn

A( x ) f ( x ) + B ( x ) f ′( x ) = g ( x ) (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) g ( x) ⇔ h ( x ) [u ( x). f ( x)]′ = g ( x) ⇔ [ u ( x ). f ( x )]′ = h ( x)

Trong đó u ( x ) được chọn sao cho:

31

2

x( x + 1) f ′( x ) + f ( x ) = x 2 + x với ∀x ∈ R \ {−1; 0} và f (1) = −2ln 2 . Giá trị

∫ xf ( x)dx là 1

A. ln 2 .

B.

31 9 − ln 3 + 2 ln 2 12 2

2 3

C. ln .

32

D.

31 9 + ln 3 + 2 ln 2 .

12 2

Nhận xét :Trước hết ta đi tìm biểu thức u ( x ) .Ta có ln u ( x) = ∫

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn x. f ' ( x ) .ln x + f ( x ) = 2 x 2 . x 2 + 1 , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) và

1 1  x 1 dx ⇒ ln u ( x ) = ∫  − + c , nên ta chọn dx ⇔ ln u ( x ) = x( x + 1) x +1  x x +1

A. 2e 2 .

Lời giải

x ′ Ta có  . f ( x)  =



1 x 1 f ( x) + . f ′( x ) = .[ f ( x ) + x ( x + 1) f ′( x ) ] ( x + 1) 2 x +1 ( x + 1) 2

1 x x x  x ′  x ′ ⇒ . f ( x)  = .  x 2 + x  ⇔  . f ( x) = ⇒ . f ( x) = ∫ dx 2  x +1 x +1  x +1  ( x + 1)  x +1  x +1

3 f ( x)

B. e 2

dx bằng

C. e 2 − 1 . x

= 2 x x 2 + 1 , biểu thức vế trái có dạng

u′.v + u.v′ = ( uv )′

Lời giải Chọn đáp án B

x. f ' ( x ) ln x + f ( x ) = 2 x 2 . x 2 + 1 ⇔ f ' ( x ) ln x +

f ( x)

= 2 x x2 + 1 x 3 2 ⇔ ∫  f ( x ) ln x ′ dx = ∫ 2 x x 2 + 1dx ⇔ f ( x ) ln x = . ( x 2 + 1) 2 + C 3

Do 1 f (1) = −2ln 2 ⇔ .(−2ln 2) = 1 − ln 2 + c ⇔ c = −1 2 x 2 − 1 − ( x + 1).ln x + 1 x . Khi đó ⇒ . f ( x) = x − ln x + 1 − 1 ⇔ f ( x ) = x +1 x

2 f ( e ) = . e2 + 1 3

(

2

2

f ( x)

D. e 2 + 1 .

∀x ∈ ( 2; +∞ ) , ta có

x 1  x  . f ( x) = ∫ 1 − . f ( x) = x − ln x + 1 + c .  dx ⇒ x +1 x +1  x +1

2

2 ( x 2 + 1) 2

Nhận xét: Từ giả thiêt ta có f ' ( x ) ln x +

Chọn đáp án B

⇒

f ( e ) = e . Tích phân I = ∫

e2

e

x u ( x) = , từ đó ta có lời giải x +1

 x +1

3

2

2  x3  4 I = ∫ xf ( x)dx = ∫ ( x − 1 − ( x + 1).ln ( x + 1) ).dx =  − x  − ∫ ( x + 1).ln ( x + 1) .dx = − I1 3 3  1 1 1 1 2

)

3 2

Suy ra f ( x ) ln x =

⇒ C = 0.

3 2 2 x + 1) 2 , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ( 3 3

1  2  du = x + 1 dx u = ln( x + 1) Với I1 = ∫ ( x + 1).ln ( x + 1) .dx ; đặt  ⇒ 2 dv = ( x + 1)dx 1 v = x + x + 1 = 1 ( x + 1)2  2 2 2 2

2

2  9 1  x2 9 5 1 1  ⇒ I1 =  ( x + 1) 2 .ln( x + 1)  − ∫ ( x + 1) dx ⇒ I1 = ln 3 − 2 ln 2 −  + x  = ln 3 − 2 ln 2 − 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1

4

4

9

5

31 9

Khi đó I = − I1 = −  ln 3 − 2 ln 2 −  = − ln 3 + 2 ln 2 .

3 3 2 4  12 2

⇒ f ( x) =

2 ( x 2 + 1) 2 3.ln x

> 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )

3

⇒

2 ( x 2 + 1) 2 3 f ( x)

= ln ( x ) , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) .

3

e2

Vậy I = ∫e

2 ( x 2 + 1) 2 3 f ( x)

e2

e2

e

e

dx = ∫ ln ( x ) dx = x ln x

−x

e2 e

= e2 .

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ \ {−1;0} thỏa mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 ; x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x và f ( 2 ) = a + b ln 3

A. 3 .

33

B. 1.

C. −9 .

34

( a, b ∈ ℝ ) . Tính D.

a2 + b2

9 .

2

x x  x ′ . f ′( x) = , vế trái là biểu thức có dạng  . f ( x) + x +1 x +1  x +1 

Nhận xét: Từ giả thiết ta có 

1 e

A. +

1 e2

1 e

B. −

1 e2

2 e

C. −

1 e2

D. e 2 + 1

Nhận xét: Từ giả thiêt ta có e x . f ' ( x ) + e x . f ( x ) = 3 x 2 , biểu thức vế trái có dạng

u′.v + u.v′ = ( uv )′ , từ đó ta có lời giải

u′.v + u.v′ = ( uv )′

Lời giải

Lời giải

Chọn đáp án D Chọn đáp án B

x  x ′ x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x ⇔  . f ( x ) = .  x +1  x +1

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

Ta có : f ' ( x ) + f ( x ) =

x x x . f ( x) = ∫ dx ⇔ . f ( x ) = x − ln x + 1 + C . x +1 x +1 x +1

Mặt khác f (1) = −2 ln 2 ⇒ C = −1 ⇒ f ( x ) =

( x + 1) ( x − ln x + 1 − 1) x

.

′ ⇒ ∫ e x . f ( x )  dx = ∫ 3 x 2 dx ⇔ e x . f ( x ) = x3 + C .

Theo đề bài f (1) =

3  a = 2 9 3 3 ⇒ a 2 + b2 = Khi đó f ( 2 ) = − ln 3 ⇒  2 2 2 b = − 3  2

2

Do đó ta có : I = ∫ 1

4.2. Dạng 2. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :

3x 2 ⇔ e x . f ' ( x ) + e x . f ( x ) = 3x 2 ⇔  e x . f ( x ) ′ = 3 x 2 ex

x3 1 nên e. f (1) = 13 + C ⇔ C + 1 = 1 ⇔ C = 0 ⇒ f ( x ) = x e e

f ( x) x

3

2

2 1 1 1 1  dx = −e− x = −  e −2 −  = − 2 x 1 e e e e  1

dx = ∫

Ví dụ 2: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = cosx , ∀x ∈ R và

f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D

f ( 0 ) = 0 . Khi đó giá trị e π . f ( π ) là

* Phương pháp: A. eπ + 1 .

Từ phương trình vi phân : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) Do e x ≠ 0, ∀x ∈ D , nhân hai vế của phương trình : f ' ( x ) + f ( x ) = h ( x ) , ∀x ∈ D

B. −

eπ + 2 2

C.

eπ + 1 .

2

D. −

eπ + 1 .

2

Nhận xét: Từ giả thiêt có e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x .cosx , biểu thức vế trái có dạng ( uv )′

cho e x ta được : e x . f ' ( x ) + e x . f ( x ) = e x .g ( x ) , ∀x ∈ D

Lời giải Chọn đáp án D

⇔ e x . f ( x ) ′ = e x .h ( x ) , ∀x ∈ D

Ta có f ( x ) + f ′ ( x ) = sin x , với mọi x ∈ R nên e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x .cosx , với mọi x ∈ R .

′ ⇒ ∫ e . f ( x )  dx = ∫ e x .h ( x ) dx ⇔ e x . f ( x ) = H ( x ) + C x

Trong đó:

⇔ e x f ( x ) ′ = e x .cosx hay

∫ e .h ( x ) dx = H ( x ) + C x

1 e

2

1

f ( x) x3

dx là

3x 2 . ex

π

x

0

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ' ( x ) + f ( x ) = Biết f (1) = . Giá trị I = ∫

π

′ ∫ e f ( x ) dx = ∫ e .cosx dx x

0

π π eπ + 1 1 1 ⇔ e x f ( x )  = e x ( sin x + cos x )  ⇔ eπ f ( π ) − f ( 0 ) = ( −eπ − 1) ⇔ eπ f ( π ) = − 0 0 2 2 2 .

4.3. Dạng 3. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) − f ( x ) = h ( x ) * Phương pháp:

35

36

Nhân cả hai vế với e − x ta được e− x . f ′ ( x ) − e− x . f ( x ) = e− x .h ( x ) ⇔ e − x . f ( x ) ′ = e − x .h ( x ) .

Nhân cả hai vế với e − x ta được e − x . f ′ ( x ) − e − x . f ( x ) = x.e x ⇔ e − x . f ( x ) ′ = x.e x .

Suy ra e − x . f ( x ) = ∫ e− x .h ( x ) dx .

Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e − x . f ( x ) = ∫ xe x dx ⇔ e − x . f ( x ) = ( x − 1) e x + C .

Từ đó tính được f ( x ) .

Mặt khác f (1) = 2 ⇒ C =

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện

Vậy f ( 4 ) = 3e8 + 2e3 .

f ′ ( x ) = f ( x ) + x 2 .e x + 1, ∀x ∈ ℝ và f (1) = −1 . Cho f ( 3) ==

A. 3 .

B. 1.

26e3 − m thì m bằng 3

C. −9 .

D.

2 ⇒ f ( x ) = ( x − 1) e2x + 2e x−1 . e

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , f ( 0 ) = 1 và 25 .

3

Nhận xét: Từ giả thiêt có e . f ′ ( x ) − e− x . f ( x ) = x 2 + e− x , biểu thức vế trái có dạng ( uv )′

f ′ ( x ) = f ( x ) + e x + 1, ∀x ∈ [ 0;1] . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0 < f ( x ) < 1. B. 7 < f ( x ) < 8 .

C. 4 < f ( x ) < 5 .

D. 2 < f ( x ) < 3 .

−x

Nhận xét: Từ giả thiêt có e − x f ′ ( x ) − e − x f ( x ) = 1 + e − x , biểu thức vế trái có dạng ( uv )′

Lời giải

Lời giải

Chọn đáp án B

Chọn đáp án D

Ta có: f ′ ( x ) = f ( x ) + x 2e x + 1 ⇔ f ′ ( x ) − f ( x ) = x 2e x + 1.

Ta có f ′ ( x ) = f ( x ) + e x + 1 ⇔ f ′ ( x ) − f ( x ) = e x + 1 ⇔ e − x f ′ ( x ) − e − x f ( x ) = 1 + e − x

Nhân cả hai vế với e− x ta được e − x . f ′ ( x ) − e − x . f ( x ) = x 2 + e − x ⇔ e − x . f ( x ) ′ = x 2 + e− x .

Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e − x . f ( x ) = ∫ ( x 2 + e − x ) dx ⇔ e − x . f ( x ) = 1 3

Mặt khác f (1) = −1 ⇒ C = − ⇒ f ( x ) = Vậy f ( 3) =

x3 − e− x + C .

3

Do f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f ( x ) = ( x + 2 ) e x − 1 .

Vậy f (1) = 3e − 1 ≅ 7,15 ∈ ( 7;8 ) .

x3 − 1 −1 .

3e− x

26e3 −1.

3

4.4. Dạng 4. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′ ( x ) + p ( x ) . f ( x ) = h ( x )

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện f ′ ( x ) − f ( x ) = x.e 2 x , ∀x ∈ ℝ và f (1) = 2 . Cho f ( 4 ) = a e8 + b e3 thì giá trị a + b bằng

A. 32 .

⇔ e − x f ( x ) ′ = 1 + e − x ⇒ e − x f ( x ) = x − e− x + C ⇒ f ( x ) = xe x − 1 + Ce x .

B. 1.

C. −5 .

D. 5 .

Nhận xét: Từ giả thiêt có e . f ′ ( x ) − e . f ( x ) = x.e , biểu thức vế trái có dạng ( uv )′ −x

−x

x

Lời giải

* Phương pháp: p ( x )dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx Nhân hai vế với e ∫ ta được f ′ ( x ) .e ∫ . f ( x ) = h ( x ) .e ∫ + p ( x ) .e ∫

⇔  f ( x ) .e ∫ 

Suy ra f ( x ) .e ∫

Chọn đáp án D

p ( x ) dx

p ( x ) dx

′ = h x .e ∫ p ( x )dx . ( ) 

= ∫ e∫

p ( x ) dx

.h ( x ) dx .

Ta có: f ′ ( x ) − f ( x ) = x.e 2x .

37

38

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ thỏa mãn

3

2

f ′ ( x ) + 2 x. f ( x ) = 2 x.e− x và f ( 0 ) = 1 . Giá trị f (1) là

A.

1 . e2

B.

2 e

2 e

C. −

1 . e2

9 e

Mặt khác f (1) = ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = D. e 2 + 1 .

2

Lời giải

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫

Vậy

Nhận xét: Từ giả thiêt có e x . f ′ ( x ) + 2x.e x . f ( x ) = 2x , biểu thức vế trái có dạng ( uv )′ 2

3

Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e x . f ( x ) = ∫ (15x 4 + 12 x ) dx ⇔ e x . f ( x ) = 3x 5 + 6x 2 + C .

3x 5 + 6x 2 ex

3

3x 5 + 6x 2 ex

3

.

4 dx = 3 − . e

5. Ứng dụng tích phân vào thực tế Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn: tính diện tích, thể tích các hình – khối;

Chọn đáp án B

tính lượng bê tông xây cầu, tính vận tốc, gia tốc của xe…Trong đó các em đã được học 2

Ta có f ′ ( x ) + 2xf ( x ) = 2x.e − x .

bài toán chuyển động trong vật lý chính là ứng dụng của tích phân. ′

Nhân cả hai vế với e x ta được e x . f ′ ( x ) + 2x.e x . f ( x ) = 2x ⇔ e x . f ( x )  = 2x .

2

2

2

2

2

tốc độ 10 ( m s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều

2

Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e x . f ( x ) = ∫ 2xdx ⇔ e x . f ( x ) = x 2 + C .

Mặt khác f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x ) =

x2 + 1 ex

2

với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu

.

đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét.

2 e

A. 8 m .

Vậy f (1) = .

(

)

4

f ′ ( x ) + 3 x . f ( x ) = 15 x + 12 x .e 4 A. 3 − . e

2 B. e

− x3

9 , ∀x ∈ ℝ . Biết rằng f (1) = . Tích phân e

4 C. 3 + . e 3

C. 5 m .

D. 20 m .

Lời giải

1

∫ f ( x ) dx bằng 0

4 D. . e

3

B. 10 m .

Nhận xét: Quãng đường S ( t ) = ∫ v ( t ) dt

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ thỏa mãn: 2

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Một ô tô đang chạy với

Chọn đáp án B Khi ô tô có vận tốc 10 ( m/s ) tương ứng với t = 0 ( s ) .

Lúc ô tô dừng lại thì v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2 ( s ) .

Nhận xét: Từ giả thiêt có e x . f ′ ( x ) + 3x 2 .e x . f ( x ) = 15x 4 + 12x , biểu thức vế trái có dạng

Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

u ′v + uv′ = ( uv )′

 5  S = ∫ ( −5t + 10 ) dt =  − t 2 + 10t  = 10 ( m ) .  2 0 0

Lời giải

Ví dụ 2: Một vật di chuyển với gia tốc a(t ) = −20 (1 + 2t )

Chọn đáp án A

A.

′ e . f ′ ( x ) + 3x .e . f ( x ) = 15x + 12x ⇔ e x . f ( x )  = 15x 4 + 12x .   x3

( m / s ) . Khi t = 0 thì vận tốc 2

chữ số hàng đơn vị).

3

Nhân cả hai vế với e x ta được 2

−2

của vật là 30 m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến

3

Ta có f ′ ( x ) + 3x 2 . f ( x ) = (15x 4 + 12x ) .e − x .

x3

2

2

3

4

39

S = 106 m

B. S = 107 m

C. S = 108 m

Nhận xét: Vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t ) dt

40

D. S = 109 m

Quãng đường S ( t ) = ∫ v ( t ) dt

Nhận xét: Vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t ) dt

Lời giải

Lời giải

Chọn đáp án C

Chọn đáp án B −2

Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 (1 + 2t ) dt =

10 +C .

1 + 2t

Ta có v(t) = ∫ a(t ) dt = ∫ (3 t 2 + t) dt = t 3 +

Theo đề ta có v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 .

t2 + C (m/s).

2

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) ⇒ v(0) = 2 ⇒ C = 2 .

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: Vậy vận tốc của vật sau 2s là: V (2) = 23 +

2

2  10  S = ∫ + 20  dt = ( 5ln (1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m .

0 1 + 2 t  0

22 + 2 = 12 (m/s).

2

Ví dụ 3: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc là v(t ) = −40t + 20 ( m / s ) . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp

phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?

A. 2m

B.3m

C.4m

D. 5m

Nhận xét: Quãng đường S ( t ) = ∫ v ( t ) dt Lời giải Chọn đáp án D Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0) Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0 Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là v (T ) = 0 ⇔ −40T + 20 = 0 ⇔ T =

1 2

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T. Ta có v(t ) = s '(t ) suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t) Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường T

1 2

1/2

là : ∫ v(t )dt = ∫ (−40t + 20)dt = (−20t + 20t ) t

2

0

= 5( m) 0

2 Ví dụ 4: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s2). Vận

tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .

A. 10 m/s

B. 12 m/s

C. 16 m/s

41

D. 8 m/s.

42

1

IV. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 6.

1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Tính I = ∫ f ′ (x ) dx .

C. I = −2 .

Mệnh đề 3:

1

Câu 8. b

a

a

b

a

b

∫ f (x ) dx = −∫ f (x ) dx . Mệnh đề 2: ∫ 2f (x ) dx = 2∫ f (x ) dx .

a

b 2  2  f (x ) dx =  ∫ f (x ) dx  . Mệnh đề 4:  a 

b

b

a

a

∫ f (x ) dx = ∫ f (u ) du .

Câu 9.

B. m = 3 .

C. m = 2 .

2

Câu 4.

Tích phân I = ∫ 1

A.

13 .

12

π 3 . − 12 8

(

) (

D.

π 3 . − 12 4

)

 3x 3 − x 2 − 4x + 1 − 2x 3 + x 2 − 3x − 1  dx có giá trị là  

B.

5 .

12

C.

2 .

3

D. −

5 .

12

B. I = 2 .

Tích phân I = ∫ x − 2 dx bằng: A. 0 .

2 . ln 3

B. I =

1 .

4

C. 8 .

43

D. I =

3 . ln 3

π 2

Câu 11. Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx bằng bao nhiêu?

0

A. I = 1 .

B. I = −2 .

C. I = 0 .

D. I = −1 .

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU 4

∫ f (x )dx = 2. Mệnh đề nào sau đây là sai? −2

B. 2 .

C. I = 2 .

0

Câu 12. Cho hàm số f (x ) liên tục trên ℝ và

0

D. I = 0 .

1

4

Câu 5.

C. I = −2 .

Tính tích phân: I = ∫ 3x dx .

A. I =

π 3 . + 12 8

 0;1 f 0 = 1 f (1) = −1 có đạo hàm trên   , ( ) , .

A. I = 1 .

Câu 10.

C. −

D. I = − ln 2 .

1

D. m = 1 .

0

B.

C. I = ln 2 .

0

Tích phân I = ∫ sin2 xdx có giá trị là π 3 . + 12 8

f (x )

D. ln 2 .

Tính I = ∫ f ′ (x ) dx .

π 6

A.

4 3

B. I = ln .

Cho hàm số

C. − ln 3 .

dx bằng x 2 − 5x + 6

A. I = 1 .

Gọi m là số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên. Tìm m .

A. m = 4 .

Tích phân I = ∫ 0

a

∫

D. Không tồn tại.

dx

B. ln 3 .

D. I = 0 .

b

b

1 .

2

∫ x − 2 bằng

A. − ln 2 .

B. I = 2 .

Cho các số thực a , b và các mệnh đề: Mệnh đề 1:

Tích phân

C.

0

0

Câu 3.

B. –1 .

1

Câu 7.

1

Câu 2.

dx là: x

A. 0 .

 0;1 f 0 = 1 f (1) = −1 f x Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên   , ( ) , .

A. I = 1 .

∫ 1

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.

Kết quả của

D. 4 .

44

2

A.

B.

−1

∫ f (x + 1)dx = 2. −3

2

C.

Câu 18. Biết F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x ) trên a;b  và  

3

∫ f (2x )dx = 2.

6

∫ f (2x )dx = 1.

D.

−1

2F (a ) − 1 = 2F (b ) . Tính I =

1

∫ 2 f (x − 2)dx = 1.

a

0

A. I = −1 .

Câu 13. Cho hàm số f (x ) có đạo hàm trên đoạn 1;2 , f (1) = 1 và f (2) = 2 . Tính 2

I =

∫

f ′ (x ) dx .

∫

B. I = 1 .

f (x ) dx = 3

1

3

,

B. I = −1 .

C. I = 3 .

4

2

0

0

7 D. I = .

2

5

A. I = 32 .

4

Câu 15. Biết I = ∫ 3

B. I = 8 .

C. I = 16 .

1

Câu 20. Tính tích phân I = ∫ A. I = 2 ln 3 .

D. I = 4 .

2

Câu 21. Cho

B. S = 2 .

C. S = −2 .

D. S = 0.

∫

f (x ) dx = 3 .Khi đó

a

b

c

∫ f (x ) dx = −10 , ∫ f (x ) dx = −5 . Tính ∫ f (x ) dx.

A. 15 .

c

B. −15 .

C. −5 .

D. 5 .

1

Câu 22. Tính I = ∫

A. e 2 − 1 .

∫ 4f (x ) − 3 dx

C.

45

e2 − 1 .

2

1 2

D. e + .

.

C. 24 .

D. −24 .

C. 2 ln 2 .

D. 4 ln 2 .

bằng C. 6 .

D. 8 .

2x 2 + 5x − 2 dx . x + 2x 2 − 4x − 8 3

1 + ln12.

6

B. I =

1 3 + ln .

6 4

C. I =

1 − ln 3 + 2 ln 2.

6

D. I =

1 3 − ln .

6 4

 x − 1  dx = a + b ln 2 + c ln 3, (a, b, c ∈ ℚ) . Đẳng thức nào sau đây 2

∫  x + 2  0

B. e − 1 .

1

A. I =

Câu 23. Biết

0

∫ f (x ) dx

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

1

1

Câu 17. Tính I = ∫ e 2x dx .

. Tính

2

B. 4 .

0

b

2

5

0

A. 2 .

Câu 16. Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn a; c  và a < b < c. Biết a

∫

B. 4 ln 3 .

S = a + b + c.

A. S = 6 .

,

f (x ) dx = 4

D. I = 0, 5 .

4 dx .

2x + 1

0

dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính x2 + x

3

B. 5 .

0

∫ f (x ) dx = 16 . Tính tích phân I = ∫ f (2x ) dx .

C. I = −0, 5 .

f (x ) dx = 2

∫

A. 9 .

1

Câu 14. Cho

2

Câu 19. Cho

A. I = 1 .

b

∫ f (x ) dx .

đúng?

A. 2 (a + b + c ) = 7.

B. 2 (a + b − c ) = 7.

C. 2 (a + b − c ) = 5.

D. 2 (a + b + c ) = 5.

46

2

Câu 24. Biết rằng

x −1

a

∫ x + 3 dx = 1 + 4 ln b

với a,b ∈ ℤ và

1

a là phân số tối giản thì giá b

A. 2 (a + b + c ) = 7.

B. 2 (a + b − c ) = 7.

C. 2 (a + b − c ) = 5.

D. 2 (a + b + c ) = 5.

trị của 2a + b là bao nhiêu?

A. 0.

B. 13.

2

Câu 25. Biết

∫ 1

C. 14 .

D. −20 .

2x 2 + 5x − 2 dx . x + 2x 2 − 4x − 8 3

0

a 1 1 a là phân số dx = + ln với a, b là các số nguyên dương và 2 b b x 2 (x + 1)

tối giản. Tính a + b .

A. a + b = 7 .

B. a + b = 5 .

b

Câu 26. Giả sử

1

Câu 31. Tính I = ∫

∫

C. a + b = 9 .

b

f (x )dx = 2 và

a

∫

D. a + b = 4 .

A. I =

1 + ln 12.

6

B. I =

1 3 + ln .

6 4

C. I =

1 − ln 3 + 2 ln 2.

6

D. I =

1 3 − ln .

6 4

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

c

f (x )dx = 3 và a < b < c thì

c

∫

f (x )dx bằng bao

6+ 2 2

a

Câu 32. Tính tích phân

nhiêu?

∫ 1

A. 5 .

B. 1 .

3

Câu 27. Biết rằng

∫x

2

2

C. –1 .

D. –5 .

x −3 dx = a ln 2 + b với a, b ∈ ℤ . Chọn khẳng định đúng − 2x + 1

trong các khẳng định sau:

(

)

−4x 4 + x 2 − 3 2 dx = a 3 + b + c π + 4 . Với a , b , c là 8 x4 +1

các số nguyên. Khi đó biểu thức a + b 2 + c 4 có giá trị bằng A. 20 .

B. 241 .

C. 196 .

D. 48 .

Câu 33. Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 2 f (1) − f (0) = 1 .

1

a 1 A. = − . b 2 2

Câu 28. Biết

∫ 1

b B. = −1 . a

2a C. = −1 . b

D. a = 2b .

0

a 1 1 a là phân số dx = + ln với a, b là các số nguyên dương và 2 b b x 2 (x + 1)

tối giản. Tính a + b .

A. a + b = 7 .

5

Câu 29. Biết I = ∫ 1





A. I = 1.

B. I = 0.

1

D. I = −1.

Câu 34. Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 2 f (1) − f (0) = 1 .

C. a + b = 9 .

D. a + b = 4 .

2 x −2 +1 dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a, b ∈ ℤ . Tính S = a + b . x

B. S = 11 .

C. S = −3 .

D. S = 5 .

Tính I = ∫  f (x ) ln 2 + f ′ (x ) .2x dx 0





A. I = 1.

Câu 35. Tính tích phân

B. I = 0.

6+ 2 2

∫ 1

Câu 30. Biết

C. I = 2

1

B. a + b = 5 .

A. S = 9 .

Tính I = ∫  f (x ) ln 2 + f ′ (x ) .2x dx

 x − 1  dx = a + b ln 2 + c ln 3, (a, b, c ∈ ℚ) . Đẳng thức nào sau đây

C. I = 2

(

D. I = −1.

)

−4x 4 + x 2 − 3 2 dx = a 3 + b + c π + 4 . Với a , b , c là 8 x4 +1

2

∫  x + 2 

các số nguyên. Khi đó biểu thức a + b 2 + c 4 có giá trị bằng A. 20 .

0

B. 241 .

C. 196 .

đúng?

47

48

D. 48 .

2. ĐỔI BIẾN

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 42. Cho

2

Câu 36. Tính tích phân I = ∫ 2x x 2 − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1 , mệnh đề nào dưới 1

5

2

2

1

∫ f (x )dx = 3 . Tính I = ∫ f (3x − 1)dx 1 3

A. I = .

đây đúng?

2

A. T

3

B. I = ∫ u du.

2

C. I = ∫ u du. D. I =

1

0

3

Câu 37. Nếu đặt t = x + x 2 + 16 thì tích phân I = ∫ 0 8

A. I = ∫ 4

x 2 + 16 5

B. I = ∫ tdt.

C. I = ∫

4

0

1 .

8

B. J = 3

Câu 39. Tích phân K = ∫ 2

4

1 .

4

C. J = 2 .

1 8 D. K = ln .

2 3

1 A. .

3

xdx

−3

B. I = −3 .

dt . t

5

D. I = ∫ tdt.

4

∫

f (x )dx = −1 , tính I =

C. I = 9 .

D. I = 3 .

D. J = 1 .

1

∫ f (4x )dx .

0

0

1 2

A. I = − .

1 4

B. I = − .

C. I =

5

2

−1

0

1 .

4

D. I = −2 .

∫ f (x ) dx = 15 . Tính giá trị của P = ∫  f (5 − 3x ) + 7 dx .

A. P = 15.

B. P = 37.

C. P = 27.

Câu 46. Cho f (x ) là hàm số liên tục trên ℝ và

8 C. K = ln .

3

D. P = 19.

2

3

0

1

∫ f (x ) dx = −2, ∫ f (2x ) dx = 10 . Tính

2

I = ∫ f (3x ) dx 0

A. I = 8.

B. I = 6.

C. I = 4. m

bằng

2x + 1

0

4

Câu 44. Cho

x dx bằng x2 −1

B. K = 2 ln 2 .

1

0

D. I = 3.

∫ f (x )dx = 27 . Tính ∫ f (−3x )dx .

Câu 45. Cho biết

A. K = ln 2 .

Câu 40. Tích phân I = ∫

9

C. I = 9.

trở thành

xdx bằng (x + 1)3

Câu 38. Tích phân: J = ∫

0

Câu 43. Cho

A. I = 27 .

dx

8

dt . t 1

A. J =

1 u d u.

2 ∫1

B. I = 1.

Câu 47. Tìm tất cả các số thực dương m để

x 2 dx

D. I = 2.

1

∫ x + 1 = ln 2 − 2 .

0

B. 1 .

C. ln 2 .

1 D. .

2

A. m = 2 .

C. m > 3 .

B. m = 1 .

D. m = 3 .

2 1

Câu 48. Cho I = ∫ x 4 − x 2 dx và t = 4 − x 2 . Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 41. Tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx bằng 19

1

0

A.

1 .

420

B.

1 .

380

C.

49

1 .

342

D.

1 .

462

A. I = 3 .

B. I =

t2 2

3

3

.

0

50

C. I = ∫ t 2dt .

0

D. I =

t3 3

3

.

0

1

Câu 49. Cho

∫e 0

dx 1 +e = a + b ln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a 3 + b 3 .

2 +1

x

A. S = 2 .

B. S = −2 .

5

dx

∫x

Câu 50. Kết quả phép tính tích phân

C. S = 0 .

3x + 1

1

D. S = 1 .

có dạng I = a ln 3 + b ln 5 (a, b ∈ Z) .

Khi đó a 2 + ab + 3b 2 có giá trị là A. 4 .

Câu 51. Cho

B. 5 .

C. 1 .

5

2

2

1

D. 0 .

1

1 3

A. Bài giải đúng.

B. Sai ở bước III. D. Sai từ bước I. 3

Câu 55. Cho tích phân I = ∫ 1 2

3

C. I = 9.

1

C. Sai từ bước II.

I =

B. I = 1.

2   = 1 + 3 2 . t 

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

∫ f (x )dx = 3 . Tính I = ∫ f (3x − 1)dx

A. I = .

2



2

III. I = ∫ t (t − 1) dt =  t 5 − 

∫t

2

2

D. I = 3.

dx

(x + 1)

2x + 3

. Đặt t = 2x + 3, ta được

m dt (với m, n ∈ ℤ ). Tính T = 3m + n. +n

A. T = 7.

B. T = 2.

C. T = 4.

D. T = 5.

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG m

x

Câu 52. Cho hàm số f (x ) = ∫ (4t 3 − 8t ) dt . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá 1

B. 12.

4

Câu 53. Cho tích phân I = ∫ 0

C. 16.

1 3 + 2x + 1

dx = a + b ln

D. 9.

2 với a , b là các số nguyên.

3

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a + b = 3 .

B. a − b = 3 . e

Câu 54. Bài toán tích phân

∫ 1

e

1

D. a + b = 5 .

ln x + 1.ln x dx được một học sinh giải theo ba bước sau: x

I. Đặt ẩn phụ t = ln x + 1 , suy ra dt =

II. I = ∫

C. a − b = 5 .

ln x + 1.ln x dx = x

2

∫

1 dx và x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2 . x

t (t − 1) dt .

0

 7

(1 + x ) 2

3

dx =

3 . Mệnh đề nào sau đây 16

 3 B. m ∈ 0;  .

A. m ∈ 3;  .  2  3



 2



 2 

C. m ∈  ;3 .

7



 2



D. m ∈  ;5 .

Câu 57. Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ . Biết

2

∫ f (x ) xdx = 1 , hãy tính 2

0 4

I =

∫ f (x ) dx .

0

A. I = 2 .

∫e 0

A. a = 1 .

1 2

B. I = 4 . a

Câu 58. Tìm a để

1

51

x

là đúng?

trị lớn nhất của hàm số f (x ) trên đoạn 0;6 . Tính M − m.

A. 18.

∫

Câu 56. Cho m là số thực dương thỏa mãn

C. I = .

D. I = 1 .

C. a = ln 2 .

D. a = ln 3 .

ex 3 dx = ln . x 2 +1

B. a = 2 .

52

a

Câu 59. Tìm a để

∫e 0

x

A. 1.

ex 3 dx = ln .

2 +1

A. a = 1 .

4

B. a = 2 .

C. a = ln 2 .

Câu 60. Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ . Biết

D. a = ln 3 .

∫ f (x ) xdx = 1 , hãy tính 2

4

a

1 2

B. I = 4 .

C. I = .

D. I = 1 .

B. a − b = 3 .

C. a − b = 5 .

D. a + b = 5 .

B. I = 2 .

C. I =

Câu 62. Có bao nhiêu số a ∈ (0;20π) sao cho

a

∫ 0

A. 20 .

1 . ln 2

eb

∫ ea

1 dx . x ln x 1 2

D. I = .

2 sin x sin 2xdx = .

7

B. 19 .

5

C. 9 .

Câu 63. Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

e

1

f (ln x ) x

dx = e. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

1

∫ f (x ) dx = 1.

B.

e

e

0

Câu 64. Tính tích phân

D.

A. 4 < f (5) < 5 .

B. 2 < f (5) < 3 .

C. 3 < f (5) < 4 .

D. 1 < f (5) < 2 .

f (1) = 1, f (x ) = f ′ (x ) 3x + 1, với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 4 < f (5) < 5 .

B. 2 < f (5) < 3 .

C. 3 < f (5) < 4 .

D. 1 < f (5) < 2 .

3,. TỪNG PHẦN

∫ f (x ) dx = e.

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 69. Tích phân I =

0

π 4

∫ π 6

D. 9.

f (1) = 1, f (x ) = f ′ (x ) 3x + 1, với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

∫ f (x ) dx = e.

0

C. 16.

Câu 67. Giả sử hàm số y = f (x ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn

1

0

∫ f (x ) dx = 1.

B. 12.

Câu 68. Giả sử hàm số y = f (x ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn D. 10 .

∫

trị lớn nhất của hàm số f (x ) trên đoạn 0;6 . Tính M − m.

A. 18.

1 dx = 2 , trong đó a, b là các hằng số dương. Tính tích phân x

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

C.

2 với a , b là các số nguyên.

3

1

A. I = ln 2 .

A.

0

dx = a + b ln

x

A. I = 2 .

∫

3 + 2x + 1

D. 0.

Câu 66. Cho hàm số f (x ) = ∫ (4t 3 − 8t ) dt . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá

0

Câu 61. Biết

1

Câu 65. Cho tích phân I = ∫

A. a + b = 3 .

∫ f (x ) dx .

b

C. 2.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

0

I =

B. −1.

π 3

∫ x cos xdx

bằng:

0

1 − sin 3 x dx ta được kết quả là a 3 + b 2 + c với a, b, c ∈ ℚ. sin2 x

A.

π 3 −1 6

B.

π 3 −1 2

π

Câu 70. Tích phân I = ∫ x 2 sin xdx bằng:

Khi đó tổng a + b + c bằng:

0

53

54

C.

π 3 1 − 6 2

D.

π− 3 2

A. π 2 − 4

B. π2 + 4

C. 2π 2 − 3

D. 2π2 + 3

π 4

Câu 78. Tích phân I = ∫ x . cosx dx là :

2

0

Câu 71. Tích phân K = ∫ (2x − 1) ln xdx bằng: 1

A.

1 A. K = 3 ln 2 + .

2

1 B. K = .

2

1 C. K = 3 ln 2 D. K = 2 ln 2 − .

2

ln 2

2 .

3

C.

π 2 2 + +1.

8 2

D.

π 2 2 + − 1.

8 2

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU 1

0

1 (1 − ln 2) .

2

B.

Câu 79. Biết I = ∫ ln (3x + 1) dx = a ln 2 + b , (với a , b ∈ ℚ ). Tính S = 3a − b .

Câu 72. Tích phân I = ∫ xe −xdx bằng: A.

π + 1.

4

0

1 (1 + ln 2) .

2

B.

C.

1 (ln 2 − 1) .

2

A. S = 7 .

1 (1 + ln 2) .

4

D.

B. S = 11 .

C. S = 8 .

D. S = 9 .

e

2

Câu 73. Tích phân I = ∫ 1

Câu 80. Tích phân I = ∫ x ln xdx bằng:

ln x dx bằng: x2

1 A. (1 + ln 2) .

2

1

1 B. (1 − ln 2) .

2

1 C. (ln 2 − 1) .

2

1 D. (1 + ln 2) .

4

1 2

A. I = .

B. I =

e2 − 2 .

2

C.

e2 + 1 .

4

D.

e2 − 1 .

4

e −4

Câu 74. Tích phân I = ∫ x .e x +1dx có giá trị là: 2

−3

0

A.

e +e .

2 2

B.

e +e .

3 2

∫ (x + 4) ln (x + 4) dx

Câu 81. Tính K =

1

C.

e −e .

2 2

D.

e −e .

3 2

1

A. K =

Câu 82. Biết

Câu 75. Tích phân I = ∫ (1 − x )e xdx có giá trị là:

e −1 .

4 2

π 4

x

∫ cos

2

0

x

dx =

B. K =

e2 − 2 .

2

1 2

C. K = .

D. K =

e2 + 1 .

4

π 1 + ln 4 . Tính P = a + b . a b

0

A. e + 2 .

B. 2 − e .

C. e − 2 .

D. e .

3

A. P = 2 .

Câu 83. Biết

Câu 76. Tích Phân I = ∫ ln(x − x )dx là : 2

C. P = 0 .

D. P = 8 .

π 4

∫ x cos 2xdx = a + b π , với a,b

là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b .

0

2

A. 3 ln 3 .

B. P = 6 .

B. 2 ln 2 .

C. 3 ln 3 − 2 .

D. 2 − 3 ln 3 .

A. S = 0 .

B. S = 1 .

C. S =

1 .

2

D. S =

3 .

8

1

Câu 77. Giá trị của tích phân I = ∫ x 2e 3xdx

1

Câu 84. Tính tích phân I = ∫ 3x .e 2x dx .

0

A.

8e 3 + 5 .

27

B.

5e 3 − 2 .

27

55

C.

5e 3 + 2 .

27

D.

8e 3 − 5 .

27

0

A.

3e + 3 .

16 2

B.

2e 2 + 2 .

9

56

C.

3e 2 + 3 .

4

D.

e2 + 2 .

3

1

Câu 85. Tính giá trị của K = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx .

A. 25 .

B.

0

1 4

1 2



1 2

C. K = ln 2 + .

C. 16 .

Câu 91. Cho hàm số f (x ) liên tục trên −1; + ∞) và

1 2

B. K = ln 2 − .

A. K = ln 2 − .

1 .

7

D. K = − ln 2 + .

D.

3

∫ f(

1 .

9

)

x + 1 dx = 4. Tính

0

2

I =

∫ x.f (x ) dx .

1

Câu 86. Cho hàm số f (x ) thỏa mãn

1

∫ (x + 1) f ′ (x ) dx = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2 . Tính

A. I = 8 .

0

B. I = 4 .

f (x ) ∫ 1+2 1

Câu 92. Cho

1

∫ f (x ) dx .

x

−1

C. I = 16 .

D. I = 2 .

dx = 4 trong đó hàm số y = f (x ) là hàm số chẵn trên −1;1 , lúc đó

0 1

A. I = −12 .

B. I = 8 .

C. m = 1 .

D. I = −8 .

∫ f (x ) dx

bằng

-1

Câu 87. Cho hàm số f (x ) thỏa mãn

1

∫ (x + 1) f ′ (x ) dx = 10 và 2 f (1) − f (0) = 2 .

A. 2.

B. 16.

C. 4.

D. 8.

0 2

x 2016 dx có giá trị là: ex + 1 −2

Câu 93. Tích phân I = ∫

1

Tính

∫ f (x ) dx .

0

A. I = −12 .

B. I = 8 .

C. m = 1 .

D. I = −8 .

A. 0.

e −4

Câu 88. Tính K =

2

∫ (x + 4) ln (x + 4) dx

Câu 94. Biết

−3

A. K =

e −1 .

4 2

B.

∫ 1

B. K =

e −2 .

2 2

1 2

C. K = .

D. K =

e +1 .

4 2

22018 .

2017

C.

A. 4 .

Câu 95. Cho biết

2

với a , b , c là các số nguyên. Tính

B. − 6 .

A. S = 1 .

∫ 1 2

1

S = a +b +c .

C. 6 .

1 xf (x ) dx = . Tính tích phân I = 2

A. I = 2.

B. S = 0 .

C. S = 2 .

22018 .

2018

là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c .

1

∫ ln (x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c

D.

ln x b b dx = + a ln 2 (với a là số thực, b, c là các số nguyên dương và c c x2

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 89. Biết rằng

22017 .

2017

B. I =

D. S = −2 .

D. 5 .

π 2

∫ sin 2xf (sin x ) dx . π 6

1 2

π .

3

C. I = .

D. I = 1.

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO 1

Câu 90. Cho

∫ ln (x + 1) dx = a + ln b , (a,b ∈ ℤ) . Tính (a + 3) . b

0

e

Câu 96. Ta có tích phân I = 4 ∫ x (1 + ln x ) dx = a.e 2 + b ; với a , b là các số nguyên.

1

57

58

Tính M = ab + 4(a + b) .

A. M = −5 .

Câu 102. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng

B. M = −2 .

C. M = 5 .

D. M = −6 .

[ 0; +∞ )

thỏa

mãn

x

f ′( x) =

1

Câu 97. Tính giá trị của K = ∫ (x 2017 + 2017x 2016 ) ex dx .

C. K = e − 1. D. K = e + 1.

B. K = e.

Câu 98. Tính giá trị của K = ∫ (1 + tan x + tan2 x ) ex dx .

A. P = −3 .

1

∫ f ( x )dx

0

0

B. P = −66 .

C. P = 6 .

4

C. K = e 4 .

D. K = e.

 2x + 1 x e dx = a.e 4 + b.e , với a , b là các số nguyên. Tính  2 x 

Câu 99. Biết K = ∫  1

S = a 3 + b 3.

B. S = 7.

A. S = 9.

4

C. S = 2.

D. S = 3.

 2x + 1 x e dx = a.e 4 + b.e , với a , b là các số nguyên. Tính  2 x 

Câu 100. Biết K = ∫  1

S = a 3 + b 3.

A. S = 9.

D. P = −36 .

bằng

π

B. K = 1.

và

x≥0

Câu 103. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = 2 f ( x ) , ∀x ∈ ℝ và f ( 0) = 3 . Tích phân

π 4

A. K = 0.

mọi

f ( 0 ) = 1, f (1) = 3 a + b 2 với a, b là các số nguyên. Tính P = a.b .

0

A. K = e 2017 .

với

( x + 1) f ( x )

A. 2 3 ( e2 − 1) . B.

3 ( 2e −1) . C.

3 ( e2 − 1) 2

3 ( 2e − 1) .

2

. D.

Câu 104. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa 2

mãn

f ′ ( x ) = ( 2 x + 1)  f ( x )  , ∀x ∈ ℝ và

1

∫ f ( x )dx 0

1 6

A. − .

f ( 0 ) = −1 . Giá trị của tích phân

bằng B. − ln 2 .

C. −

2π 3 .

9

D. −

π 3 9

.

2

B. S = 7.

C. S = 2.

D. S = 3.

Câu 105. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) . f ′′ ( x ) = 15 x 4 + 12 x, ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1 . Giá trị của f 2 (1) bằng

4. TÍCH PHÂN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 101. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn

A. 8 .

2 f ( x ) + xf ′ ( x ) ≥ 673 x 2017 với mọi x ∈ [0;1] . Giá trị nhỏ nhất của tích phân

B.

9 .

2

C. 10 .

D.

5 .

2

Câu 106. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn

1

∫ f ( x )dx bằng

2

f ′ ( 0 ) = −1 và f ′′ ( x ) =  f ′ ( x )  . Giá trị của biểu thức f (1) − f ( 0 ) bằng

0

A.

1 .

3

B.

1 .

3.2017

C.

59

1 .

3.2018

D.

1 .

3.2019

A. ln 2 .

B. − ln 2 .

C.

60

1 ln 2 .

2

1 2

D. − ln 2 .

Câu 107. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f ′ ( x ) = −e x f 2 ( x ) với mọi x ∈ ℝ và f ( 0 ) =

1 A. ln 2 + .

2

1 B. .

3

Câu 113. Cho hai hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4] thỏa mãn

1 . Tính f ( ln 2 ) .

2 1 C. .

4

4

f (1) + g (1) = 4 và f ( x ) = − xg ′ ( x ) ; g ( x ) = − xf ′ ( x ) . Tích phân

1

1 D. ln 2 + .

2

bằng

2

Câu 108. Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng ( 0; + ∞ ) và

A. 8ln 2 .

A. e4 f ( 4 ) − f ( 0 ) =

A. 1 < f ( 5) < 2 . B. 4 < f ( 5 ) < 5 . C. 3 < f ( 5 ) < 4 . D. 2 < f ( 5) < 3 .

Câu 109. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng ( 0; + ∞ ) thỏa mãn

B. 2614 < f 2 ( 8 ) < 2615 .

C. 2618 < f 2 ( 8 ) < 2619 .

D. 2616 < f 2 ( 8 ) < 2617 .

Câu 110. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm

2 xf ( x ) + f ′ ( x ) = x ( x 2 − 1) với mọi x ∈ [0;1] . Tích phân

C. −

2016 .

2017

x2

1

A.

(

D. −

2018 .

2019

A. 8 +

7 .

6

D.

e−4 .

4e

∫ f ( x ) dx bằng 2

11π .

2

B. 8 +

7π .

2

C.

7π − 8.

2

D.

11π − 8.

2

Câu 117. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn x

g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , ∀x ∈ [ 0;1] và g ( x ) = f 2 ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] . Tính tích phân 0

2

1

∫

g ( x )dx bằng

0

A.

)

C.

0

dx bằng

9 e− 4 e . e

1 .

6

π

f (1) + g (1) = 9e và f ( x ) = − x g ′ ( x ) ; g ( x ) = − x f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1; 4 ] . Tích phân

∫

B.

f ( x ) f ′ ( x ) = cos x. 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ [ 0; π ] . Tích phân

Câu 112. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4 ] thỏa mãn 2

bằng

Câu 116. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; π ] thỏa mãn f ( 0) = 3 và

f (1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + ... + f ( 2018 ) bằng

2017 .

2018

e−4 .

8e

A.

1 thỏa mãn f ′ ( x ) = ( 2 x + 1) f 2 ( x ) , ∀x > 0 và f (1) = − . Giá trị của biểu thức 2

B. −

1

∫ xf ( x ) dx 0

f ′ ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

Câu 111. Cho hàm số f ( x ) < 0, ∀x > 0 và có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên khoảng ( 0; +∞ )

f ( x) + g ( x)

4 D. e4 f ( 4 ) − f ( 0 ) = − .

3

Câu 115. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 0 và

A. f 2 ( 2 ) = 144 . B. f 2 ( 2 ) = 100 . C. f 2 ( 2 ) = 64 . D. f 2 ( 2 ) = 81 .

4

26 26 . B. e 4 f ( 4 ) − f ( 0 ) = − .

3 3

4 C. e4 f ( 4 ) − f ( 0) = .

3

f ( x ) . f ′ ( x ) = 3 x5 + 6 x 2 . Biết f ( 0 ) = 2 , tính f 2 ( 2 ) .

2010 .

2019

D. 4 ln 2 .

( x + 1) f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 2613 < f 2 ( 8) < 2614 .

A. = −

C. 6ln 2 .

f ( x ) + f ′ ( x ) = e− x . 2 x + 1, ∀x ≥ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

đúng ?

2 và f ′ ( x ) = 3

B. 3ln 2 .

Câu 114. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) thỏa mãn

thỏa mãn f (1) = 1 , f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây

f ( 3) =

∫  f ( x ) + g ( x )dx

(

)

B. 9 e − 4 e .

61

C.

e e− 4 e .

9

(

)

D.

4

e− e .

9

1011 .

2

B.

1009 .

2

C.

62

2019 .

2

D. 505.

Câu 118. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn

Câu 223. Cho hàm số f ( x ) liên tục và đồng biến trên đoạn [1;4] , f (1) = 0 và

x

3 g ( x ) = 1 + 2018 ∫ f ( t ) dt , ∀x ∈ [ 0;1] và g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1]. Tính tích phân 0 1

∫

3

4

2

x + 2 xf ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀ x ∈ [1;3] . Đặt I = ∫ f ( x ) dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

A. 1 < I < 4 .

g 2 ( x )dx bằng

B. 4 < I < 8 .

C. 8 < I < 12 .

2021 A. .

2

2021 B. .

3

2019 C. .

3

2019 D. .

2

4

3

2018 f ( x ) + xf ′ ( x ) ≥ x

2019

, ∀x ∈ [ 0;1] . Giá trị nhỏ nhất của tích phân

1

A. I = 1

1

∫ f ( x ) dx 0

A. f ( 2 ) = 5

Câu 220. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0;1] và liên tục trên [ 0;1] thỏa 2

1

∫ f ( x ) dx

19 B. .

12

19 D. .

3 1 π π  , ∀ x ∈  ;  và cos 2 x 6 3

∫

f ( x ) dx bằng:

1 4

B. f ( 2) = 20

C. f ( 2) = 15

D. f ( 2 ) = 10

5. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỰC TẾ

A. 12 m/s.

B. −12 m/s .

C. −21m/s.

D. −12 m/ s 2 .

Câu 227: Một xe mô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, mô tô chuyển động chậm dần với vận

Quãng đường mà mô tô đi được từ khi người lái xe đạp phanh cho đến lúc mô tô dừng lại

π 6

 2 3 A. ln 1 + .

3  

 2 3 B. 2 ln 1 + .

3  

2 3  − 1 .

C. ln   3 

2 3  − 1 .

D. 2 ln   3 

là A. 40 m

C. 7 .

63

C. 60 m

D. 20 m

động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −12t + 24 ( m/ s ) , trong đó t là khoảng thời gian

f ′ ( x ) x 2 + 1 = 2 x f ( x ) + 1 , ∀ x ∈ ℝ và f ( x ) > −1 , ∀ x ∈ ℝ . Tính f

B. 3 .

B. 80 m

Câu 228. Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển

tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng

Câu 222. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 0 ) = 0 ,

A. 12 .

D. I =

tốc v ( t ) = 20 − 5t , trong đó t là thời gian (được tính bằng giây ) kể từ lúc đạp phanh.

π 3

1 3

tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

5 C. 2

Câu 221. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn cos x. f ( x ) + sin x. f ′ ( x ) =

C. I =

Câu 226. Cho chuyển động xác định bởi phương trình S = t 3 − 3t 2 − 9t , trong đó t được

bằng

0

5 A. .

4

1023 5

và f ( x ) = xf ' ( x ) − 2x 3 − 3x 2 , ∀x ∈ [1; 2] .Tính giá trị f ( 2 ) .

1 .

D. 2020 × 4037

mãn f ( 0) = 1 và f ( x ) = ( f ′ ( x ) ) , ∀x ∈ [ 0;1] . Tính

B. I =

Câu 225. Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên [1;2] thỏa mãn f (1) = 4

bằng 1 1 1 . B. . C. .

A. 4037 2018 × 4037 2019 × 4037

2

x + 2xf ( x ) =  f ' ( x )  , ∀x ∈ [1; 4 ] .Tính tích phân I = ∫ ( 2 f ( x ) + 1) dx.

Câu 119. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn

π  f   = 2 2 . Tích phân 4

D. 12 < I < 16 .

Câu 224. Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên [1; 4] thỏa mãn f (1) = 0 và

0

hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

( )

3 .

D. 9 .

A. 24 m .

B. 15 m .

C. 20 m .

D. 18 m

Câu 229. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Tính

64

quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm vật dừng lại.

A. S = 1840m .

B. S = 2560m .

C. S = 2180m .

D. S = 1280m .

Câu 230. Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t ) = 2t + t 2 (m/s 2 ) . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc

bắt đầu tăng tốc.

A. 210 m .

B. 48 m .

C. 30 m .

D. 35 m .

V- KẾT QUẢ THỰC HIỆN:

Áp dụng đề tài: Đã được thực hiện tại các lớp 12A1,12A5 của trường THPT ……… kết quả cho thấy các em học sinh đã có nhiều tiến bộ trong vi ệc tính tích phân, đã giải được các bài tích phân trong đề thi minh học THPT Quốc gia, đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây.

65