MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6 Môn: Toán Tổ: Khoa học Tự nhiên BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1. Lời giới thiệu Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi mới. Các nhà trường ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, đòi hỏi trong giảng dạy giáo viên phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học.

Ngày nay, học sinh luôn có nhu cầu hiểu biết rộng. Làm thế nào để học sinh phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy tôi nhận thấy “ Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 ” là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc hướng dẫn học sinh giải toán chia hết và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về chia hết trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên mà tôi đã từng áp dụng . Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.

1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2. Tên chuyên đề “Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6”

N

3. Tác giả chuyên đề

H Ơ

- Họ và tên: Nguyễn Thị Loan

Y

N

- Địa chỉ: THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc.

4. Chủ đầu tư chuyên đề

ẠO

Nguyễn Thị Loan - Trường THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc.

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 6 có nội dung liên quan đến tính chất chia hết.

TR ẦN

H

6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ tháng 8 năm 2014

B

7. Mô tả bản chất của chuyên đề

00

7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...

10

7.1.1. Mục đích nghiên cứu

ẤP

2+

3

Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 trong tập hợp N và tập hợp Z. Cụ thể là:

C

+ Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết.

Ó

A

+ Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết.

Í-

H

+ Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.

-L

7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

+ Xây dựng hệ thống lý luận về vấn đề nghiên cứu + Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu

+ Đề xuất giải pháp nghiên cứu

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

5. Lĩnh vực áp dụng chuyên đề

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

- Số điện thoại: 0986229114; Email: nguyenloan77@gmail.com

+ Tiến hành thử nghiệm và đối chiếu kết quả.

7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Địa điểm: Lớp 6 Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc + Thời gian: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 12 năm 2015 + Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 6 Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh TườngVĩnh Phúc 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết Toán 6, qua các buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.

H Ơ

TP .Q

- Phương pháp tọa đàm: Trò chuyện với HS trong trường, với các đồng nghiệp trường THCS Vĩnh Sơn

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

7.2. Định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, các tính chất về quan hệ chia hết.

TR ẦN

H

7.2.1.Định nghĩa

Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x

00

B

7.2.2.Các dấu hiệu chia hết

10

- Dấu hiệu chia hết cho 2

2+

3

Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.

ẤP

- Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

Ó

A

C

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).

Í-

H

Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại

-L

- Dấu hiệu chia hết cho 5

ÁN

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5

TO

- Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

- Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm một số phương pháp giải toán chia hết

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh trường THCS Vĩnh Sơn.

N

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu những tài liệu toán học có liên quan tới các dạng toán về tính chia hết.

N

7.1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 hoặc 125.

- Dấu hiệu chi hết cho 11 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.

N

7.2.3. Tính chất của quan hệ chia hết.

H Ơ

+ 0 chia hết cho b với b ∈ N*

N

+ a chia hết cho a với mọi a ∈ N*

ẠO

+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c

Ư N

+ Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)

TR ẦN

H

+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c

+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.

B

+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

10

00

+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.

2+

3

+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n ∈ N

ẤP

+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n ∈ N

C

* Lưu ý : Định nghĩa và các tính chất trên cũng đúng trong tập hợp số nguyên

Ó

A

7.3. Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết.

Í-

H

Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau:

-L

7.3.1. Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết

TO

ÁN

Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k (k ∈ N) hoặc a =m.k (m chia hết cho b)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Ví dụ 1: Các tích sau có chia hết cho 4 không?

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

TP .Q

U

Y

+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b (a, b ∈ N)

a) 5.12; b) 14.28; c) 126.572 Giải : a) 5.12=5.3.4 ⋮ 4 (vì 12=3.4 chia hết cho 4) b) 14.28 ⋮ 4 (vì 28=7.4 chia hết cho 4) c) 126.572 ⋮ 4 (vì 572=143.4 chia hết cho 4) 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Không thực hiện phép chia chứng tỏ rằng: a) 39.2015 chia hết cho 13

N

b) 2009.2010 chia hết cho 3

H Ơ

c) 187.2014 chia hết cho 17

Y

N

Giải : a) Ta có: 39.2015 = 3.13.2015 ⋮ 13 (vì 13⋮ 13) c) Ta có: 187 ⋮ 17 nên 187.2014 ⋮ 17

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.

TR ẦN

Giải :

00

B

Ta có : abcabc = abc 000 + abc = abc .(1000+1) = abc .1001 = abc .11.7.13 nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.

3

10

Ví dụ 5: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11

2+

Giải: Gọi 2 số đó là ab và ba .

C

ẤP

Ta có: ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) ⋮ 11

A

7.3.2. Phương pháp 2: Dùng các tính chất của phép chia hết.

H

Ó

a. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu

-L

Í-

* Để chứng minh a chia hết cho b ( b ≠ 0) ta có thể làm như sau:

ÁN

- Viết a = m + n mà m ⋮ b và n⋮ b

TO

- Viết a = m - n mà m ⋮ b và n⋮ b

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

Giải: Ta có: aaa = a.111 = a. 3.37 chia hết cho 3, cho 37

ẠO

Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng số có dạng aaa bao giờ cũng chia hết cho 3, cho 37

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

b) Ta có: 2010 ⋮ 3 nên 2009.2010 ⋮ 3

Ví dụ 1: Xét xem mỗi tổng( hiệu) sau có chia hết cho 6 không? a) 42 + 66

b) 60 + 15,

c) 600 - 14

d) 24 + 36 + 72

e) 120 + 54 + 20

f) 80 + 16 + 48

Giải: 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) 42⋮ 6, 66⋮ 6 => 42 + 66 ⋮ 6

6

f) 80

6, 16

Y

6

U

6 => 120 + 54 + 20

TP .Q

e) 120 ⋮ 6, 54 ⋮ 6, 20

N

d) 24 ⋮ 6, 36 ⋮ 6, 72⋮ 6 => 24 + 36 + 72 ⋮ 6

6, 48 ⋮ 6 nhưng 80 + 16 + 48 ⋮ 6.

ẠO

Ví dụ 2: Cho tổng A=15 + 27 + 33 + x với x ∈N. Tìm điều kiện của x để:

Nếu x

3 thì A

TR ẦN

Nếu x ⋮ 3 thì A ⋮ 3 3

10

00

B

Ví dụ 3: Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2 không ? có chia hết cho 4 không?

2+

3

Giải : Ta có: a = 24.q + 10 (q ∈N

4

C

4 => 24.q + 10

A

24.q ⋮ 4 , 10

ẤP

24.q ⋮ 2, 10 ⋮ 2 => 24.q + 10 ⋮ 2

H

Ó

Vậy a chia hết cho 2, a không chia hết cho 4

Í-

Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng:

-L

a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

ÁN

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4

TO

Giải:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải: Ta có nhận xét: 15⋮ 3, 27 ⋮ 3, 33 ⋮ 3. Do đó:

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) A không chia hết cho 3

Ư N

G

Đ

a) A chia hết cho 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

6 => 600 – 14

N

c) 600 ⋮ 6 , 14

6

H Ơ

b) 60 ⋮ 6, 15 6 => 60 + 15

Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) ⋮ 3 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3.

Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 4 Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.

Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4 chia hết cho n +1

N

n2 + 4 (n − 1)(n + 1) + 5 5 = = n-1 + n +1 n +1 n +1

H Ơ N

Để (n2 + 4) ⋮ (n+1) thì 5 ⋮ n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)

TP .Q

* n+1 = 1 ⇒ n = 0 (thoả mãn)

ẠO

* n+1 = 5 ⇒ n = 4 (thoả mãn)

G

n2 + 4 (n − 1)(n + 1) + 5 5 = = n-1 + n +1 n +1 n +1

H

Giải: Ta có :

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 6 : Tìm số nguyên n sao cho n2 +4 chia hết cho n +1

Đ

Vậy với n = 0; n = 4 thì n2 + 4 ⋮ n+1

TR ẦN

Để (n2 + 4) ⋮ (n+1) thì 5 ⋮ n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)

00

* n+1 = -5 ⇒ n = - 6 (thoả mãn)

B

Mà Ư(5) ={-5; -1; 1; 5}

10

* n+1 = -1 ⇒ n = - 2 (thoả mãn)

2+

3

* n+1 = 1 ⇒ n = 0 (thoả mãn)

ẤP

* n+1 = 5 ⇒ n = 4 (thoả mãn)

C

Vậy với n = -6; n=-2; n= 0 ; n = 4 thì n2 + 4 ⋮ n+1

Ó

A

Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x + 7) ⋮ (3x + 1)

Ta có: (3x+1) ⋮( 3x+1) ⇒ 5.(3x+1) ⋮ (3x+1) ⇒ (15x+5) ⋮ (3x+1) (1)

TO

ÁN

Giải:

-L

Í-

H

Hướng dẫn: Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số.

(5x+7) ⋮ (3x+1) ⇒ 3.(5x+7)⋮(3x+1) ⇒ (15x+21) ⋮ (3x+1) (2)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Từ (1) và (2) suy ra: (15x+21) - (15x+5) ⋮ (3x+1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Mà Ư(5) ={1; 5}

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải: Ta có :

Do đó 16 ⋮ (3x+1) ⇒ (3x + 1) ∈ {1; 2; 4;8;16} mà x ∈ N Vậy x ∈ {0;5} Ví dụ 8: Tìm số tự nguyên x sao cho: x2 + x+ 1 chia hết cho x + 1 Giải:

Ta có: x2 + x+ 1 ⋮ x+1 ⇔ x(x+1) +1 ⋮ x+ 1 ⇒ 1 ⋮ x+1 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó x + 1 ∈ Ư(1) mà Ư(1) = {−1; 1} ( x ∈ Z) Vậy x ∈ {−2; 0}

H Ơ

N

Bài 9: Tìm số tự nguyên n để 3n- 8 chia hết cho n-4

N

Giải:

Y

Cách 1: Ta có: 3n- 8 = 3(n - 4) + 4

ẠO

Do đó (3n- 8) ⋮ (n - 4) ⇔ 4 ⋮ (n - 4) ⇔ n- 4 là ước của 4.

G H

Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8 ⋮ n-4

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}

TR ẦN

Cách 2: (3n-8) ⋮ (n-4) Ta có: (n-4) ⋮ (n-4) => 3(n-4) ⋮ (n-4)

00

B

=> [ (3n - 8) - (3n -12)] ⋮ (n - 4)

2+

⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}

3

10

⇔ 4 ⋮ n – 4 ⇔ n - 4 ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

C

ẤP

Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8 ⋮ n+2

A

b. Dùng tính chất chia hết của 1 tích

Í-

H

Ó

Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:

-L

+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b

TO

ÁN

+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

+ Biểu diễn a = a1.a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇔ n - 4 ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Mà 3.(n - 4) ⋮ (n- 2)

Ví dụ 1: Chứng minh (2010a + 2025b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.

Giải: Vì 2010 ⋮ 3 nên 2010.a ⋮ 3 với ∀ a Vì 2025 ⋮ 3 nên 2025.b ⋮ 3 với ∀ b Vậy (2010a + 2025b) ⋮ 3.

8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chứng minh tương tự ta có: (2010a + 2025b) ⋮ 5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1 ⇒ (2010 a + 2025b) ⋮ 15

N

Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

H Ơ

Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 (n ∈ N)

Y

N

Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Mà 4 ⋮ 4 nên 4.n.(n+1) ⋮ (4.2)

TR ẦN

H

* Nhận xét: Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết.

7.3.3. Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư

10

00

B

Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p:

2+

3

Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k ∈ N. Rồi xét tất cả các trường hợp của r.

C

ẤP

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2.

Ó

A

Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k

Í-

H

- Với n = 2k +1 ta có:

-L

(n+3).(n+6)=(2k+1 +3).(2k+1+6)=(2k+4).(2k+7)=2.(k+2).(2k+7) ⋮ 2

ÁN

- Với n = 2k ta có:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 ⋮ 2.

Vậy với mọi n ∈ N thì (n+3)(n+6) ⋮ 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

G

⇒ 2n.(2n + 2) ⋮ 8

Đ

ẠO

⇒ 4.n.(n+1) ⋮ 8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) ⋮ 2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4 Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 Tích của số tự nhiên liên tiếp là: n.(n+1).(n+2) 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2 - Nếu r = 0 thì n ⋮ 3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) ⋮ 3

N

- Nếu r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)

H Ơ

⇒ n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) ⋮ 3

Y

N

⇒n. (n+1).(n+2) ⋮ 3 ⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 ⋮ 3

ẠO

⇒n.(n+1) . (n+2) ⋮ 3

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) ⋮ 4 với mọi n là số tự nhiên.

TR ẦN

H

Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát.

Giáo viên khắc sâu cho học sinh:

B

Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.

2+

3

10

00

*Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.

ẤP

7.3.4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết.

A

C

Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để:

H

Ó

a) 3*5 chia hết cho 3

Í-

b) 7*2 chia hết cho 9

-L

c) *63* chia hết cho cả 2, 3, 5, 9

ÁN

Giải:

TO

a) Để 3*5 ⋮ 3 ⇒ (3 + * + 5) ⋮ 3 ⇒ 8 + *⋮ 3 ⇒ * ∈{1; 4; 7}

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

b) Để 7*2 ⋮ 9 ⇒ (7 + * + 2) ⋮ 9 ⇒ 9 + *⋮ 9 ⇒ * ∈{0; 9}

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Tóm lại, n.(n+1).(n+2) ⋮ 3 với mọi n là số tự nhiên.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)

c) Để *63* ⋮ 2 và *63* ⋮ 5 thì * ở tận cùng là 0 Khi đó ta có *630 ⋮ 3 và *630 ⋮ 9 ⇒ (* + 6 + 3 + 0) ⋮ 9 ⇒ * +9 ⋮ 9 ⇒ * = 9 .

Vậy ta được số 9630 chia hết cho cả 2, 3, 5, 9.

Ví dụ 2: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho 8 Cách giải: - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; 8 để tìm b 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 để tìm các giá trị của a Giải:

N

Vì 19ab ⋮ 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5.

H Ơ

Vì 19ab ⋮ 8 nên suy ra b = 0.

Y

N

Mặt khác 19a 0 ⋮ 8 suy ra 19a 0 ⋮ 4.

Ta có 19a 0 ⋮ 8 ⇔ 9a 0 ⋮ 8 nên a = 2 hoặc a = 6.

ẠO

Nếu a = 2 thì b = 0

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy số phải là 1920, 1960.

H

Ví dụ 3: Tìm các chữ số a và b sao cho a - b = 4 và 87ab chia hết cho 9.

TR ẦN

Giải:

Ta có: 87ab ⋮ 9 => 8 + 7 + a + b ⋮ 9 => 15 + a + b ⋮ 9 => a + b ∈ {3; 12}

B

Mà a – b = 4 nên a+ b = 3( loại)

10

00

Từ a – b =4 và a + b =12 ta tìm được a=8, b=4.

3

Ví dụ 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho 9 không ? b) 1010 + 2

2+

a) 1012 – 1

ẤP

Giải:

C

a) 1012 – 1 = 100…0 - 1 = 99…9 chia hết cho 9, cho 3 12 chữ số 9

H

Ó

A

12 chữ số 0

-L

Í-

b) 1010 + 2 = 100…0 + 2 = 100…02 chia hết cho 3, không chi hết cho 9, 10 chữ số 0

9 chữ số 0

TO

ÁN

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Giải:

Ta có 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên

chia hết cho 9.

28 chữ số 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Nếu a = 6 thì b = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

19a 0 ⋮ 4 ⇔ a0 ⋮ 4 suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8}.

27 chữ số 0

1028 + 8 = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 27 chữ số 0

Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 ⋮ (8.9) hay 1028+ 8 ⋮ 72 Ví dụ 5: Chứng minh rằng (9931999 – 5571997) chia hết cho 10 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Ta có: 9931999 = [ (9934)499. 9933] = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7

H Ơ

N

5571997 = (5574)499.557 = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7

ẠO

7.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet

TR ẦN

H

Đối với dạng toán này giáo viên không đi sâu mà chỉ giới thiêu cho học sinh biết và bài tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu.

B

Ví dụ 1: Cho ba số lẻ. chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8.

3

2+

Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7

10

00

Giải: Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1; 3; 5; 7. ta chia 4 số dư này (4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)

ẤP

Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5

A

C

Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm

H

Ó

- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8

-L

Í-

- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8 Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu

ÁN

chia hết cho 5.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Giải:

Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là: 0; 1; 2; 3; 4.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

* Nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục (10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng (ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng như trên.

N

=> 9931999 – 5571997 = ...0 chia hết cho 10 ( đpcm)

Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư (nguyên tắc Đirichlet). Hiệu của 2 số chia hết cho 5.

Ví dụ 3: Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Giả sử có không quá 4 học sinh có tháng sinh giống nhau

N

Một năm có 12 tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: 12.4 = 48 (học

H Ơ

sinh). (ít hơn 50 học sinh). Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 5 học

Y

N

sinh có tháng sinh giống nhau.

ẠO

a) Tìm tất cả các số x, y để số 34 x5 y chia hết cho 36.

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4, 5.

Ư N

Giải:

H

a) Vì (4; 9) = 1 nên 34 x5 y ⋮ 36 ⇔ 34 x5 y ⋮ 9 và 34 x5 y ⋮ 4

TR ẦN

Ta có: 34 x5 y ⋮ 4 ⇔ 5y ⋮ 4 ⇔ y∈{2; 6} 34 x5 y ⋮ 9 ⇔ (3+4+x+5+y) ⋮ 9

00

B

⇔ (12+x+y) ⋮ 9

10

Vì x, y là các chữ số nên x+y ∈ {6; 15}

2+

3

Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)

ẤP

Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9

C

Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956

Ó

A

b) Ta có: 21xy ⋮ 5 ⇔ y ∈ {0; 5} 4

Í-

H

Nếu y = 5 thì 21xy

-L

Nếu y = 0 thì 21xy ⋮ 4 ⇔ x0 ⋮ 4 ⇒ x ∈ {0; 2; 4 ; 6 ; 8}

(1) ( 2)

TO

ÁN

21x0 ⋮ 3 ⇔ (2 + 1 + x + 0) ⋮ 3 ⇔ (3+ x)⋮ 3 ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9}.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Kết hợp (1) và ( 2) ⇒ x ∈ {0; 6}.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

Bài 1:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U

7.4. Áp dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán về chia hết

Vậy các số cần tìm là: 2100; 2160

Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211.

Giải: Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a 0b; ab 0; ba 0; b 0 a Tổng của các số đó là: 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a0b + ab0 + ba0 + b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b

= 211(a+b) chia hết cho 211.

*A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)

00

B

= 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) ⋮ 15.

2+

b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 32015

3

10

Vậy A ⋮ 3, A ⋮ 7 và A ⋮15.

ẤP

= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 32011+ 32013 + 32015)

C

= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 32011(1+ 32+34)

H

Ó

A

= 3. 91 + 37.91 + ... + 32011.91

Í-

= 91.( 3 + 37 + ... + 32011) ⋮ 13 ( vì 91 ⋮ 13)

ÁN

-L

B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 32009 + 32011 + 32013+ 32015)

ID Ư

Ỡ N

G

TO

= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 32009(1 + 32 + 34 + 36) = 3. 820 + 39 .820 + ... + 32009. 820

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

TR ẦN

= 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) ⋮ 7

Ư N

= 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4)

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

*A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

= 3.(2+ 23 + ... + 259) ⋮ 3

BỒ

H Ơ

ẠO

= 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 =

TP .Q

*A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) =

U

Y

Giải:

N

b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 32015. . Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B chia hết cho 41.

N

Bài 3: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chứng minh rằng: A⋮3; A⋮7; A ⋮15

= 820( 3 + 39 + ... + 32009) ⋮ 41 ( vì 820 ⋮ 41) Bài 4: Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6 a) a +5b

b) a + 17b

c) a - 13b

Giải: a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b ⋮ 6 ( vì (a - b) ⋮ 6 và 6b ⋮ 6) 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Ta có: a + 17 b = ( a- b) + 18b ⋮ 6

[ vì (a- b) ⋮ 6 và 18b⋮6]

c) Ta có: a - 13b = ( a - b) - 12b ⋮ 6

[ vì ( a - b ) ⋮ 6 và 12b ⋮ 6]

H Ơ

N

Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 201493) chia hết cho 5.

N

Giải:

TP .Q

199493 = (20142)46. 2014 = ...6 46. 2014 = ...6 .2014 = ...4

ẠO

Do đó: 92n + 201493 = ...1 + ...4 = ...5 ⋮ 5

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải: Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4

TR ẦN

H

Mà 3.(n+2) ⋮ (n+2)

Do đó (3n+10) ⋮ (n+2) ⇔ 4 ⋮ (n+2) ⇔ (n+2) là ước của 4.

00

B

⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2}

3 2+

Cách 2: (3n+10) ⋮ (n+2)

10

Vậy với n ∈ {0; 2} thì (3n+10) ⋮ (n+2)

C

ẤP

Mà (n+2) ⋮ (n+2) => 3(n+2) ⋮ (n+2)

H

Í-

=> 4 ⋮ (n+2)

Ó

A

=> [ (3n +10) - (3n +6)] ⋮ (n+2)

-L

⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2}

ÁN

Vậy với n ∈ {0; 2} thì (3n+10) ⋮ (n+2)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Bài 7: Tìm số tự nhiên n để Giải : Để

n + 15 là số tự nhiên n+3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Ta có: 92n = (92)n = 81n = ...1

n + 15 là số tự nhiên thì (n+15) ⋮ n+3 n+3

=> [( n+15) - (n+3)] ⋮ (n+3) ⇔ 12 ⋮ (n+3) ⇔ (n+3) ∈ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} => n ∈ {0; 1; 3; 9} 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn n + 15 là số tự nhiên n+3

H Ơ

N

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3n +1 và 4n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

ẠO

⇒ ( 12n + 4 - 12n - 3 ) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = 1

Đ

Vậy ( 3n + 1, 4n + 1) = 1

Ư N

Vì abc ⋮ 37 nên ( 100a + 10b + c) ⋮ 37

H

Giải:

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Bài 9: Chứng minh rằng nếu abc ⋮ 37 thì cab ⋮ 37 và bca ⋮ 37

⇒ 10.( 100a + 10b + c) ⋮ 37

00

B

⇒ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] ⋮ 37 ( vì 999⋮37)

10

⇒ ( 100b + 10c + a ) ⋮ 37

2+

3

⇒ bca ⋮ 37. Mặt khác:

ẤP

abc + cab + bca =100a +10b+c+ 100c +10a +b + 100b +10c+a

A

C

= 37.3.( a+b +c) ⋮ 37

Í-

H

Ó

Mà abc + bca ⋮ 37

-L

⇒ bca ⋮ 37

TO

ÁN

*Nhận xét: Qua bài này ta rút ra được tổng 3 số dạng abc + cab + bca ⋮ 37

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài 10: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3.( 4n+1) ⋮ d

TP .Q

4n + 1 ⋮ d

4.( 3n + 1) ⋮ d

Y

⇒

U

⇒ 3n + 1 ⋮ d

N

Giải: Gọi d là ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9} thì

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giải : Vì ( 6x + 11y) ⋮ 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) ⋮ 31 ⇒ ( 6x + 42 y) ⋮ 31 ⇒ 6 ( x + 7y ) ⋮ 31 mà ( 6, 31 ) = 1 ⇒ ( x + 7y ) ⋮ 31 ( đpcm).

Bài 11: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3. Tìm dư cho phép chia số đó cho 642.

16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Giải:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi số đó là a.

N

Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thương và là các số tự nhiên).

H Ơ

Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2) ⋮ 6

TP .Q

a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1) ⋮ 11

ẠO

suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6, 7, 11) = 462

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ ( a + 8 ) = 462.m ( m∈ N) ⇒ a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454

TR ẦN

H

⇒ a = 462.n + 454 ( n ∈ N).

Vậy a chia cho 462 dư 454.

2+

Cách 1: Gọi số cần tìm là a.

3

Giải:

10

00

B

Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 17 thì dư 5, còn khi cho 19 thì dư 12.

ẤP

Theo bài ra, ta có: a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m∈ N)

C

a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)

H

Ó

A

Suy ra: a =17m+5= 19n+12 ⇒ 17m= 19n+7 =17n+(2n+7) ⋮ 17

Í-

Vì a là số nhỏ nhất nên ta chọn n nhỏ nhất sao cho 2n+7 ⋮ 17

-L

Ta chọn n=5, a =107. Vậy số cần tìm là 107

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Cách 2: Gọi số cần tìm là a. Theo bài ra, ta có: a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m∈ N) a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ ( a + 8) ⋮ 462

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2) ⋮ 7

3a = 3.17m+15 ⇒ 3a + 2 ⋮ 17 (1) 3a = 3.19n +36 ⇒ 3a + 2 ⋮ 19 (2) Tu (1) (2) suy ra 3a + 2 BC(17, 19) Vì a là số nhỏ nhất nên 3a+2 =BCNN(17, 19), mà BCNN(17, 19) =17.19 = 323 Do dó

3a+2 = 323 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3a = 321 a = 107

H Ơ N

Bài 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 5, 7 ,9?

N

Vậy số cần tìm là 107.

Giải:

Ư N

TR ẦN

Mà 315.1838⋮ 315 suy ra ( 30 + abc ) ⋮ 315

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) ⋮ 315

Do 30 ≤ 30 + abc ≤ 30 + 999 = 1029

B

nên (30 + abc ) ∈ { 315; 630; 945}

00

Suy ra abc ∈ { 285; 600; 915}

10

Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.

2+

3

b) Gọi số phải viết thêm là abc . Ta có:

ẤP

523abc chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên 523abc chia hết cho BCNN(6,7,8,9) = 504.

A

C

Mặt khác 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc .

H

Ó

Vì 504. 1037 ⋮ 504 nên ( 352 + abc ) ⋮ 504 abc = k.504 - 352 với k ∈ N

Í-

⇒ k ∈ { 1; 2 } ⇔ abc ∈ { 152 ; 656}

-L

Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656.

TO

ÁN

Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến abc . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số.

Biết rằng m chia hết cho abc , tìm abc .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Giải: Từ 1 đến a b c , bạn đó phải viết số chữ số là :

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta có 579abc chia hết cho 5, 7, 9 suy ra 579abc chia hết cho 5. 7. 9 = 315. (vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?

m = 1.9 + 2.90 + 3.( abc - 99) = 3. abc - 108 Theo bài ra m ⋮ abc ⇔ ( 3.

⇔ abc

abc

- 108) ⋮ abc ⇔ 108⋮ abc

= 108

Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ 1 đến 108.

Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3. n chữ số

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + (11 ... 1 - n) n chữ số

n chữ số

H Ơ N

⇒ 11...1 - n chia hết cho 3

N

vì một số chia cho 3 dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số ấy chia cho 3 cũng dư bấy nhiêu nên 11... 1 và n có cùng số dư khi chia cho 3

Y

n chữ số

U

Vậy 3n + (11 ... 1 - n ) ⋮ 3 hay 2n + 11 ... 1 ⋮ 3

TP .Q

S

n chữ số

ẠO

*Cách 2: Với mọi n ∈ N ta có hoặc n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 (k ∈ N) - Nếu n = 3k ⇒ 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1 ⋮ 3

3k3kchữ sốsố chữ

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

- Nếu n = 3k + 1 ⇒ 2n + 11 ... 1 =2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hết 3k+1 chữ số 3k chữ số 1 n chữ số cho 3.

H

- Nếu n = 3k+ 2 ⇒ 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+2) + 11 ... 1 3k +1 chữ số

3k+2 chữ số

TR ẦN

n chữ số

= 6k + 3 + 11...12 chia hết cho 3

(vì số 11...12 có tổ1ng các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho 3)

B

3k +1 chữ số 1

2+

3

10

00

Bài 16: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

ẤP

Giải:

H

Ó

A

C

Có 45 - 2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5 = 40 học sinh (ít hơn 43 học sinh).

Í-

Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

-L

*Một số bài tập vận dụng:

ÁN

Bài 1: Thay dấu * bởi chữ số thích hợp để 517** chia hết cho cả 6, 7, 9

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Bài 2: Chứng minh rằng, hiệu một số có 2 chữ số với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn chia hết cho 9.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

n chữ số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

* Cách 1:

Bài 3: Chứng tỏ rằng số 20132000- 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 Bài 4: Chứng tỏ rằng n(n+1)( 5n+6) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Bài 5: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +2120. Chứng minh rằng : A⋮ 3; A ⋮ 7; A ⋮ 15 b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 32003 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B chia hết cho 30.

19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) Cho C= 5+ 52 + 53 + ...+ 5100 Chứng minh rằng: C chia hết cho 6 và C chia hết cho 30.

TP .Q

b) 2n + 1 chia hết cho 6 - n

ẠO

d ) 270 + 370 chia hết cho 13

b) 1719 + 1917 chi hết cho 18

e) 24n - 1 chia hết cho 15 với n ϵ N

H

c) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

00

B

TR ẦN

Bài 8: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. b) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N * thì 3n - 2 và 4n - 3 là hai số

10

nguyên tố cùng nhau.

3

Bài 9: Tìm các số tự nhiên n để 18n + 3 và 21 + 7 là hai số nguyên tố cùng

2+ ẤP

C

Bài 10: Tìm các số tự nhiên a, b biết .

A

a) a+b=432 và ƯLN(a, b)=36

H

Ó

b) a.b =864 và ƯCLN( a, b) = 6

-L

Í-

c) a.b=360 và BCNN( a, b) = 60

ÁN

Bài 11: Chứng minh rằng nếu ab + cd + eg ⋮ 11 thì abcdeg ⋮ 11 .

TO

Bài 12: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 8 thì dư 7, còn khi

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

cho 31 thì dư 28.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

a) 251 - 1 chia hết cho 7

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

c) n2 + 2n -7 chia hết cho n + 1 Bài 7: Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

a) 3n + 2 chia hết cho n – 1

nhau.

H Ơ N

Bài 6: Tìm số nguyên n sao cho

N

d) Cho D = 3 + 32 + 33 + ...+ 32004 Chứng minh rằng: B chia hết cho 12 và B chia hết cho 39.

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 11 thì dư 5, còn khi

cho 13 thì dư 8 Bài 13: a) Một số tự nhiên khi cho chia số đó cho 7 thì dư 1, khi cho 13 thì dư 4. Hỏi khi chia cho 91 thì dư bao nhiêu?

Bài 14: CMR trong 100 số tùy ý thì có ít nhất 10 số đôi một có hiệu chia hết cho 11.

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 15: CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.

N

Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về phép chia hết. Các bài

N

Y

dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy

H Ơ

toán về phép chia hết thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng

khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng

ẠO

phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt

H

giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy

TR ẦN

sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.

00

B

8. Những thông tin cần được bảo mật chuyên đề

10

Không

3

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề

ẤP

2+

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh

C

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề

H

Ó

A

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

- Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú, điều đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn Toán.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là

- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

Trước khi áp dụng chuyên đề: N ă m h ọc

Số

Số HS giải được theo các mức độ 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Giỏi SL

%

5

14,3 12

TB

SL

Yế u

%

SL

%

SL

%

34,3

14

40,0

4

11,4

H Ơ

2014 - 2015 35

Khá

SL

%

8

22,2 14

SL

Yế u

%

SL

%

SL

38,9

12

33,3

2

U

TB

TP .Q

2015 - 2016 36

Khá

ẠO

Giỏi

Y

Số HS giải được theo các mức độ

Số HS

N ă m h ọc

N

Sau khi áp dụng chuyên đề:

%

5,6

00

B

TR ẦN

H

Phần Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này rất hay sử dụng.

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được.

ÁN

-L

10.3. Kết luận

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

- Bản thân mỗi một người GV trong quá trình giảng dạy học sinh phải chú ý hướng dẫn HS một cách tổng quát các dạng toán và phân loại các loại bài và chú ý rèn kỹ năng cho HS.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức cá nhân

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

HS

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương tự như những bài tập mà các em đã làm được.

- Cần phải quan tâm đến HS, thay đổi phương pháp giảng dạy, tạo cho HS tích cực chủ động học hỏi và phải đam mê học.

11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu 22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng

Nguyễn Thị Hồng Minh

THCS Vĩnh Sơn

PP chia hết

2

Kim Trung Hưng

THCS Vĩnh Sơn

PP chia hết

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

1

N

Tên tổ chức/ cá nhân

H Ơ

TT

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Sách giáo khoa toán tập 1 Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận -Sách bài tập toán tập 1 Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận - Sách Để học tốt toán 6 tập 1 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tác giả Lê Hồng Đức- Đào Thiện Khải -Sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6

N

Tác giả Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên

H Ơ

-Sách Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6

Y

N

Tác giả Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều Tác giả Bùi Văn Tuyên

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Tác giả Vũ Hữu Bình

ẠO

-Sách Một số vấn đề phát triển và nâng cao Toán 6 tập 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

- Sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial