MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI THPTQG

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN HỌC

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI THPTQG WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO …………..

TRƯỜNG THPT …………..

Chuyên đề ôn thi THPTQG:

“MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI THPTQG”

Tác giả: …………..

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị:……………..

Năm học …………

1

MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU................................................................................................................................................... 3

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.......................................................................................................................3 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ...............................................................................................................4 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .............................................................................................................4 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................................................................4 5. ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH ...................................................................................................................4 6. DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY .....................................................................................................4 PHẦN II: NỘI DUNG ............................................................................................................................................. 5

1. LÝ THUYẾT CƠ BẢN .....................................................................................................................5 1.1. ĐỊNH NGHĨA GTLN- GTNN CỦA HÀM SỐ ........................................................................................... 5 1.2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN. ....... 5 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG. .................... 6 1.4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN MỘT ĐOẠN.................................................................................................................................................................. 7

2. CÁC DẠNG TOÁN ...........................................................................................................................8 2.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ. ........................................................................... 8 2.2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN ................................................................ 14 2.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. .... 24

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN .....................................................................................................................35

2

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các đề thi THPTQG, nội dung GTLN- GTNN của hàm số luôn luôn xuất hiện,với nhiều

ơ bản đến nâng cao. Ví dụ trong đề thi THPTQG năm n 2019 có bài dạng câu hỏi khác nhau, từ cơ toán như sau: “(Câu 36- mã đề 101, đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi A. m ≥ f ( 2 ) − 2 .

B. m ≥ f ( 0 ) .

C. m > f ( 2 ) − 2 .

D. m > f ( 0 ) ”

Đây là một bài toán thuộc mức độ vận dụng trong nội dung về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Trong quá trình giảng dạy nội dung này tôi nhận thấy rằng, đối với các hàm số cụ thể, học sinh thường sử dụng công cụ máy tính cầm tay để đưa ra giá trị nhất và nhỏ nhất của hàm số một cách nhanh chóng và tương đối chính xác. Tuy nhiên, khi đề bài cho hàm số dưới dạng hàm ẩn như bài toán trên, hoặc các bài toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối, học sinh lại lúng túng trong việc xác định cách làm.

Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và việc trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp, nhóm chúng tôi xây dựng chuyên đề: “ Một số dạng toán vềgiá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số trong đề thi THPTQG” , nhằm giúp học sinh hệ thống lại các dạng toán cơ bản. Từ đó hình thành tư duy, cách giải đối với một số dạng toán nâng cao về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của lớp hàm ẩn, hàm giá trị tuyệt đối.

3

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Trang bị, củng cố cho học sinh hai phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Từ hai phương pháp cơ bản đó, giúp học sinh tiếp cận một số bài toán khác về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy logic, sáng tạo.

- Giúp học sinh có hứng thú với bộ môn Toán học.

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán thường gặp trong nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn. Một số dạng toán chứa tham số về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sách, báo, tài liệu.

- Thực tiễn giảng dạy.

5. ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH - Học sinh lớp 12.

- Học sinh ôn thi THPTQG. 6. DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY - 6 tiết. * KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU • Trung học phổ thông quốc gia: THPTQG • Giá trị lớn nhất: GTLN • Giá trị nhỏ nhất: GTNN • Hướng dẫn giải: HDG

4

PHẦN II: NỘI DUNG 1. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1.1. ĐỊNH NGHĨA GTLN- GTNN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên miền K a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên K nếu f ( x) ≤ M với mọi x ∈ K và tồn tại x0 ∈ K sao cho f ( x0 ) = M Kí hiệu M = max f ( x) .

K

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên K nếu f ( x) ≥ m với mọi x ∈ K và tồn tại x0 ∈ K sao cho f ( x0 ) = m Kí hiệu m = min f ( x ) .

K

Lưu ý: + Một hàm số có thể đồng thời đạt cả GTLN, GTNN trên K , hoặc chỉ đạt GTLN, hoặc chỉ đạt GTNN, hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. + Khi nói đến GTLN hay GTNN của hàm số y = f ( x) ( mà không nói rõ “trên tập K ” ) thì ta hiểu đó là GTLN và GTNN trên tập xác định của nó.

1.2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN. Định lí 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Hãy tìm max f ( x ) và min f ( x) . [a ; b]

[ a ; b]

Giải Nếu f '( x) có dấu không đổi trên [a; b] thì y = f ( x) đồng biến hoặc nghịch biến trên [a; b] . Khi đó, y = f ( x) đạt GTLN và GTNN tại các điểm đầu mút của đoạn.

5

Nếu y = f ( x) có hữu hạn các điểm tới hạn xi ( xi < xi +1 ) thì hàm số y = f ( x) đơn điệu trên mỗi khoảng ( xi ; xi +1 ) . Do đó, GTLN (GTNN) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai điểm đầu mút a, b và các điểm xi nói trên.

Từ đó, ta có quy tắc tìm GTLN- GTNN của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] như sau: Quy tắc B1: Tìm các điểm x1, x2, …, xn trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) không xác định.

B2: Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).

B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = max f ( x ) ; m = min f ( x ) [a ;b ]

[a ;b ]

Nhận xét 1: Nếu một hàm số liên tục, đơn điệu trên đoạn [a; b] thì GTLN- GTNN của hàm số đạt tại 2 điểm đầu mút của [a; b] . Cụ thể: + Nếu hàm số

y = f ( x) liên tục ,đồng biến trên đoạn [a; b] thì max f ( x ) = f (b) và [ a ; b]

min f ( x ) = f ( a ) ; [a ; b ]

+ Nếu hàm số y = f ( x) liên tục, nghịch biến trên đoạn [a; b] thì max f ( x ) = f ( a ) và [ a ; b]

min f ( x ) = f (b ) . [a ; b ]

1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG.

Bài toán 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (a; b) . Hãy tìm max f ( x) và min f ( x) ( a ;b )

( a ;b )

Cách giải + Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) trên khoảng (a; b) rồi từ đó kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a; b) .

6

Nhận xét 2:Nếu trên khoảng (a; b) hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất ( giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng

(a; b) .

1.4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN MỘT ĐOẠN. Bổ đề 1:Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Biết rằng M = max f ( x) và m = min f ( x ) [a ; b]

. Khi đó a, max f ( x) = max { M , m } [ a ; b]

m, khi m>0  b, min f ( x) = -M, khi M< 0 a ; b [ ] 0, khi m.M ≤ 0  Chứng minh a. Ta có M = max f ( x) ⇒ ∃x1 ∈ [a; b] : f ( x1 ) = M ⇒ f ( x1 ) = M [ a ; b]

m = min f ( x) ⇒ ∃x2 ∈ [a; b] : f ( x2 ) = m ⇒ f ( x2 ) = m [ a ; b]

⇒ ∃x0 ∈ [a; b] : f ( x0 ) = max { M , m } .

Giả sử :  f ( x ) > M ( f − M )( f + M ) > 0 ⇔ f ( x ) > max { M , m } ⇒  ( f − m)( f + m) > 0  f ( x ) > m f +M <0 ⇒ ⇒ − m < f ( x ) < − M ⇔ M < m (vô lý) f +m>0 Vậy f ( x ) ≤ max { M , m } ⇒ f ( x) = max { M , m } (đpcm) b. + Nếu m > 0 ⇒ 0 < m ≤ f ( x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = f ( x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ min f ( x ) = min f ( x) = m . [a ;b ]

[a ;b ]

+ Nếu M < 0 ⇒ f ( x) ≤ M < 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = − f ( x), ∀x ∈ [a; b] 7

[a ; b]

Do m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ − M ≤ − f ( x) ≤ −m, ∀x ∈ [a; b] ⇒ min f ( x ) = min( − f ( x )) = − M [a ;b ]

[a ;b ]

+ Nếu M .n ≤ 0 ⇒ ∃x0 ∈ [a; b] : f ( x0 ) = 0 Mà f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] (đpcm).

 max f ( x ) = max f ( x) khi a ≥ 0  [a ;b ] [a ;b ]  Nhận xét3: Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn nên  max f ( x ) = max f ( x) khi b ≤ 0 [a ;b ] [-b;− a ]   max f ( x ) = max f ( x) khi a.b<0 [0;b ]  [a ;b ]

2. CÁC DẠNG TOÁN 2.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ.

Dạng 2.1.1: GTLN- GTNN của hàm số trên một đoạn.

Phương pháp: Sử dụng một trong 2 cách sau + Sử dụng quy tắc tìm GTLN- GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn. + Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền cần tìm GTLN- GTNN, từ đó đưa ra kết luận.

Lưu ý: Với dạng toán cơ bản này, có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ giải nhanh, tiết kiệm thời gian.

Các bước sử dụng máy tính tìm GTLN -GTNN của hàm số y= f (x) trên miền [a;b] Bước 1: Lập bảng giá trị trên máy tính.

Bước 2: Nhập f(x) =…

Start? a= → End? b= → step? α =

α là ta chọn tùy thuộc vào đoạn trong đề bài (lưu ý bước nhày càng nhỏ độ chính xác càng cao, nên thông thường ta chọn α =

b−a ).

19

Bước 3: Sau khi nhận được bảng giá trị, quan sát bảng ta sẽ thấy GTLN và GTNN hiển thị trong bảng là gần nhất với GTLN và GTNN cần tìm.

8

Nếu trong đề bài có liên quan đến hàm số lượng giác như sinx, cosx… mà không nói đến miền cần tìm GTLN-NN thì ta tìm chu kì tuần hoàn của hàm số, rồi tiến hành tìm GTLN-NN trên một chu kì tuần hoàn của hàm số.

Ví dụ 1 [Mức độ 2]Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 2 x 2 − 4 x + 1 trên đoạn [1;3].

A. max f ( x ) = [1;3]

67 .

27

B. max f ( x ) = −2.

[1;3]

C. max f ( x ) = −7.

D. x ( cm )

[1;3]

 x = 2 ∈ [1;3] HDG: Đạo hàm f ' ( x ) = 3 x − 4 x − 4  . → f '( x ) = 0 ⇔   x = − 2 ∉ [1;3]  3 2

 f (1) = −4  Ta có  f ( 2 ) = −7  → max f ( x ) = −2.

[1;3]   f ( 3 ) = −2

Cách 2. Sử dụng máy tính Casio 570ES, chức năng MODE 7 và nhập hàm

f ( X ) = X 3 − 2 X 2 − 4 X + 1 với thiết lập Start 1, End 3, Step 0,1 .

Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta chọn đáp án giá trị lớn nhất F ( X ) bằng − 2 khi X = 3.

Ví dụ 2 [Mức độ 2].Cho hàm số f ( x ) =

3x − 1 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của x−3

hàm số trên đoạn [ 0;2].

1 A. M = 5; m = .

3

1 1 B. M = − ; m = −5. C. M = ; m = −5.

3 3

1 M = 5; m = − .

3

HDG:Đạo hàm f ' ( x ) =

−8

( x − 3)

2

< 0, ∀x ∈ (0; 2) . Theo nhận xét 1: 9

D.

1  = = = M max f x f 0 ( ) ( )  [0;2] 3.

Vậ y  m = min f ( x ) = f ( 2 ) = −5 [0;2]  Lời bình:Đối với hàm f ( x ) =

ax + b (ad ≠ bc) là hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định, từ cx + d

nhận xét 1, học sinh không cần tìm đạo hàm, chỉ cần tính f ( 0 ) , f (2) rồi đưa ra đáp án B. Ví dụ 3 [Mức độ 2]. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = x 4 − x 2 .

A. M = 2; m = 0.

B. M = 2; m = − 2.

C. M = 2; m = −2.

D. M = 2; m = 0.

HDG:TXĐ: D = [ −2;2]. Đạo hàm f ' ( x ) =

(

)

Ta có f ( −2 ) = 0, f − 2 = −2, f

4 − 2x2 4− x

2

=0⇔ x=± 2

( 2 ) = 2, f ( 2) = 0 → M = 2; m = −2.

Lời bình: Sau khi tìm TXĐ: D = [ −2;2] , học sinh có thể dùng máy tính, tìm GTLN- NN trên đoạn [ −2;2] .

9 1 Ví dụ 4 [Mức độ 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = 2 cos 3 x − cos 2 x + 3cos x + .

2 2

A. m = −24.

B. m = −12.

C. m = −9.

D. m = 1.

HDG: Đặt t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) .

9 1 Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( t ) = 2t 3 − t 2 + 3t + trên đoạn 2 2

t = 1 ∈ [ −1;1] . → g '(t ) = 0 ⇔  1 [ −1;1] '' . Đạo hàm g ' ( t ) = 6t − 9t + 3  t = ∈ [ −1;1]  2 2

10

 g ( −1) = −9   1 9  → min g ( t ) = g ( −1) = −9  → min f ( x ) = −9.

Ta có  g   = x∈ℝ [ −1;1] 2 8     g (1) = 1  Lời bình: Sau khi đưa bài toán về việ tìm GTNN trên đoạn [ −1;1] có thể sử dụng máy tính Casio, đưa ra đáp án C. Dạng 2.1.2. GTLN- GTNN của hàm số trên một khoảng.

Phương pháp giải - Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền cần tìm GTLN- GTNN, từ đó đưa ra kết luận về GTLN- GTNN của hàm số.

- Có thể sử dụng máy tính cầm tay trong việc hỗ trợ việc tìm GTLN- NN trên một khoảng giống như trên một đoạn. Tuy nhiên cần lưu ý về mặt kết quả xem dấu bằng có xảy ra tại điểm thuộc miền đang xét hay không.

Ví dụ 5 [Mức độ 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) = x + A. m = 2.

B. m = 0.

1− HDG: Đạo hàm f ' ( x ) =

C. m = 2.

1 x2

2 x+

1 x

1 trên khoảng ( 0; +∞ ) . x

D. m = 1.

 x = −1 ∉ ( 0; +∞ ) .  → f '( x ) = 0 ⇔  x = 1 ∈ ( 0; +∞ ) 1   x+ x

x2 − 1

=

2x2

Bảng biến thiên

x 0 f '( x) +∞ f ( x)

1

−

+∞

0

+ +∞ 2

Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f (1) = 2 .

11

Lời bình : Trong các câu hỏi trắc nghiệm để tìm GTLN, NN trên một khoảng có chứa các giá trị +∞ hoặc −∞ học sinh có thể thử đáp án bằng cách thay +∞ (hoặc −∞ ) bằng 1 số cụ thể rồi dùng máy tính tìm đáp án. Ở ví dụ này, có thể thử tìm GTNN trên khoảng ( 0;10 ) .

Dạng 2.1.3.Tìm m để GTLN- GTNN của hàm số trên một đoạn thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm GTLN-NN. Tuy nhiên, ở bước 3, phải chia trường hợp để tìm ra số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) (nếu cần).

Ví dụ 6 [Mức độ 2].(ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y =

x+m (với m ≠ −1 là x −1

tham số thực) thỏa mãn min y = 3 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? [ 2;4]

A. 3 < m ≤ 4.

B.1 ≤ m < 3.

HDG:Đạo hàm f ′ ( x ) = −

C. m > 4.

m +1

( x − 1)

2

D. m < −1.

.

TH1. Với m > −1 suy ra f ′ ( x ) = −

m +1

( x − 1)

khoảng xác định. Khi đó min y = f ( 4 ) = [ 2;4]

TH2. Với m < −1 suy ra f ′ ( x ) = −

2

< 0; ∀x ≠ 1 nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên mỗi

m+4 = 3 ⇔ m = 5 (chọn).

3

m +1

( x − 1)

2

> 0; ∀x ≠ 1 nên hàm số f ( x ) đồng biến trên mỗi

khoảng xác định. Khi đó min y = f ( 2 ) = m + 2 = 3 ⇔ m = 1 (loại). [ 2;4]

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4 .

Lời bình: Dùng nhận xét 1, có thể làm theo cách sau: TH1: Xét y (2) = 3 ⇒ m = 1 ⇒ y (4) =

5 < 3 (loại).

3

TH2: Xét y (4) = 3 ⇒ m = 5 ⇒ y (2) = 7 > 3 (thỏa mãn).

12

Ví dụ 7 [Mức độ 2].Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x ) = − x3 − 3x 2 + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1;1] bằng 0.

A. a = 2.

B. a = 6 .

C. a = 0 .

D. a = 4 .

 x = 0 ∈ [ −1;1] . → f '( x) = 0 ⇔  HDG:Đạo hàm f ' ( x ) = −3x 2 − 6 x   x = −2 ∉ [ −1;1] Ta có f ( −1) = a − 2, f ( 0 ) = a, f (1) = a − 4 ⇒ min f ( x ) = f (1) = a − 4. [−1;1]

Theo bài ra: min f ( x ) = 0 ⇔ a − 4 = 0 ⇔ a = 4. [−1;1]

Lời bình: Học sinh có thể thay trực tiếp a vào hàm số rồi dùng máy tính tìm kết quả.

Dạng 2.1.4. Bài toán thực tế Phương pháp giải : Căn cứ vào đề bài, lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất rồi sử dụng các phương pháp tìm GTLN- GTNN ở trên.

Ví dụ 8 [Mức độ 2].Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là

s = −t 3 + 6t 2 + 17t , với t ( s ) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s ( m ) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc v ( m / s ) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 29m / s .

B. 26m / s .

C.17m / s .

HDG: Phương trình vận tốc v (t ) = s '(t ) = −3t 2 + 12t + 17 . Đạo hàm v '(t ) = −6t + 12 = 0 ⇔ t = 2 Bảng biến thiên

x

0

v’(t)

29

2 +

0

8 -

v(t) 17

−79 13

D. 36m / s .

Vậy trong khoảng thời gian t ∈ (0;8) , vận tốc lớn nhất của vật là 29m / s .

Lời bình: Dựa vào nhận xét 2, sau khi có v '(t ) = 0 ⇔ t = 2 , có thể kết luận ngay vận tốc lớn nhất của vật là v(2) = 29 .

Ví dụ 9 [Mức độ 3]. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm.

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x ( cm ) , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x

để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 6 .

B. x = 3 .

C. x = 2 .

D. x = 4 .

Lời giải. Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng 12 − 2 x ( cm ) và chiều cao x ( cm ) với 0 < x < 6 .

2

Do đó thể tích khối hộp V = (12 − 2 x ) .x = 4 x3 − 48 x 2 + 144 x .

Xét hàm f ( x ) = 4 x3 − 48 x 2 + 144 x trên ( 0;6 ) , ta được max f ( x ) = f ( 2 ) = 128 . ( 0;6)

Vậy với x = 2 ( cm ) thể tích khối hộp lớn nhất.

Lời bình : Sau khi xác định được V = 4 x3 − 48 x 2 + 144 x , có thểdùng chức năng CALC thử lại để tìm Vmax .

2.2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN Dạng 2.2.1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( u ( x ) ) trên miền D .

Phương pháp giải: 14

B1: Tìm miền giá trị D1 của u ( x) trên D B2: Từ đồ thị (bảng biến thiên) của f ( x) , đưa ra kết luận.

Lưu ý: Việc tìm miền giá trị D1 là nội dung của bài toán cơ bản ở dạng 1.

Ví dụ 10 [Mức độ 1].

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như

y

hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số

4

này trên đoạn [ −2;3] bằng:

2

-2

A. 2.

x

2

-3

O

B. 3.

3

-2

C. 4.

D. 5.

HDG:Nhận thấy trên đoạn [ −2;3] đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ ( 3;4 ) .

 → giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [ −2;3] bằng 4 tại x = 3 .

Lời bình:GTLN- GTNN của hàm số trên một miền của đồ thị tương ứng là các điểm cao nhấtthấp nhất trên miền đồ thị ấy.

Ví dụ 11[Mức độ 1]. Cho hàm số y = f ( x ) và có bảng biến thiên trên [ −5;7 ) như sau: x −∞ y'

−

0

+∞

+

9

6

y

7

1

−5

2

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. min f ( x ) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [ −5;7 ) . [−5;7 )

15

B. max f ( x ) = 6 và min f ( x ) = 2 . [−5;7 )

[−5;7 )

C. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 2 . [−5;7 )

[ −5;7 )

D. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 6 . [ −5;7 )

[ −5;7 )

HDG:Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy: ● Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 , đạt tại x = 1∈ [ −5;7 ) .  f ( x ) ≤ 9, ∀x ∈ [ −5; 7 ) ● Ta có  . Mà 7 ∈ / [ −5;7 ) nên không tồn tại x0 ∈ [ −5;7 ) sao cho f ( x0 ) = 9 . lim 9 f x = ( )  x →7− Do đó hàm số không đạt GTLN trên [ −5;7 ) .

Vậy min f ( x ) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [ −5;7 ) . [−5;7 )

Lời bình: Ở bài này nhiều học sinh chọn đáp án C vì không chú ý đến điều kiện để hàm số đạt GTLN là M thì phải tồn tại x0 ∈ [ −5;7 ) sao cho f ( x0 ) = M .

Ví dụ 12 [Mức độ 3]. Biết hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có M = 7 và m = −2 lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0;2] . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củahàm  4x  số y = f  2  trên [ 0;2] là:  x +1

A. 5

B.12C. 3D.10

HDG: Đặt g ( x ) =

4x , x ∈ [ 0;2] . Ta có max g ( x) = 2, min g ( x) = 2 ⇒ g ∈ [0;2], ∀x ∈ [0;2] [0;2] [0;2] x +1 2

Do max f ( g ( x)) = max f ( g ) = max f ( x) = 7 ; x∈[0;2]

g∈[0;2]

x∈[0;2]

min f ( g ( x)) = min f ( g ) = min f ( x) = −2 . Vậy tổng cần tìm là 7-2=5.

x∈[0;2]

g∈[0;2]

x∈[0;2]

16

Lời bình: Ở dạng câu hỏi này, khi chỉ cho biết giá trị lớn nhất M , GTNN m của hàm số

y = f ( x ) mà không có giả thiết nào nữa, thì thông thường GTLN- GTNN của hàm số y = f ( u ( x ) ) cũng trùng với M , m .

Ví dụ 13 [Mức độ 3].Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ .

(

)

Xét hàm số g ( x ) = f 2 x 3 + x − 1 + m. Tìm m để max g ( x ) = −10

A. -7B. -13C. -12

[0;1]

D.-11

HDG : Đặt t ( x ) = 2 x3 + x − 1 với x ∈ [ 0;1]. Ta có t′ ( x ) = 6 x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ [ 0;1].

Suy ra hàm số t ( x ) đồng biến nên x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ −1;2].

Từ đồ thị hàm số ta có max f ( t ) = 3 ⇒ max g ( x) = max  f ( t ) + m  = 3 + m. x∈[0;1] t∈[ −1; 2 ] [ −1; 2] Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3 + m = −10 ⇔ m = −13.

Lời bình : Ở ví dụ này, học sinh có thể mắc sai lầm khi không tìm miền giá trị của t ( x ) , mà lấy luôn max g ( x ) = max f ( x ) + m = 1 + m .

[0;1]

[0;1]

Ví dụ 14 [Mức độ 3]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

17

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = g ( x ) = f ( 3 − x ) trên [ 0;3] . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M = f ( 0 ) .

B. M = f ( 3) .

C. M = f (1) .

D. M = f ( 2 ) .

HDG: Ta có g ′ ( x ) = − f ′ ( 3 − x ) .

3 − x = −1  x = 4 ; ⇔ g′ ( x ) = 0 ⇔ − f ′ (3 − x ) = 0 ⇔  3 2 1 − x = x =    3 − x < −1  x > 4 . ⇔ g′ ( x ) > 0 ⇔ f ′(3 − x ) < 0 ⇔  3 − > 2 < 1 x x   Từ đó ta có bảng biến thiên

Vậy M = g (1) = f (2) .

Ví dụ 15. [Mức độ 4]. Cho x, y ≠ 0 thoả mãn 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 16 và hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của  x2 + y 2 − 2  2 2 P= f 2  . Tính M + m .

2  x − y − 2 xy + 4 

18

y

2

1

x

−1 O −2

A. M 2 + m2 = 4.

B. M 2 + m2 = 1.

C. M 2 + m2 = 25.

HDG : Ta có: t =

x2 + y 2 − 2 8 x 2 + 8 y 2 − 16 3 x 2 − 6 xy + 3 y 2 . = = x 2 − y 2 − 2 xy + 4 8 x 2 − 8 y 2 − 16 xy + 2.16 18 x 2 − 4 xy + 2 y 2 2

x x 3   − 6. + 3 y y x 3u 2 − 6u + 3  . . Đặt u = , ta có: t = Do y ≠ 0 ⇒ t = 2 y 18u 2 − 4u + 2  x x 18   − 4. + 2 y  y u = 0 3u 2 − 6u + 3 96u 2 − 96u Xét g ( u ) = ; g ' u = ; g ' u = 0 ⇔ ( ) ( ) u =1 .

2 18u 2 − 4u + 2  (18u 2 − 4u + 2 ) 1 Ta lại có: lim g ( u ) = lim g ( u ) = . Từ đó lập bảng biến thiên ta có u →+∞ u →−∞ 6

Từ bảng biến ta có 0 ≤ g ( u ) ≤

3 3 ⇒0≤t≤ .

2 2

Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; min P = −2. Vậy M 2 + m2 = 4.  3 0; 2 

 3 0; 2 

19

D. M 2 + m2 = 2.

Dạng 2.2.2. Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có liên quan đến hàm số y = f ( x ) .

Phương pháp giải: B1: Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f ' ( x ) , ta lập được bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x ) hoặc các hàm số có đạo hàm liên quan đến f ' ( x ) .

B2: Dựa vào bảng biến thiên lập được, tìm GTLN- GTNN của hàm số đã cho.

Ví dụ 16 [ Mức độ 2]: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị y = f ′ ( x ) như hình bên dưới.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0;3] .

A. f ( 0 ) .

B. f ( 2 ) .

C. f (1) .

HDG: Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

Khi đó: min f ( x ) = f (1) .

[0;3]

20

D. f ( 3)

Lời bình : Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) , ta có thể tìm được các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, đồng thời xác định được các miền mà f ′ ( x ) > 0 (đồ thị nằm phía trên trục Oy ),

f ′ ( x ) < 0 (đồ thị nằm phía dưới trục Oy ). Từ đó, lập được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 17 [Mức độ 3](THPTNGUYỄNHUỆ-TTHUẾ-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm

f ′( x) .

Đồ thị của hàm số

y = f ′( x)

được cho như hình vẽ. Biết rằng

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f ( x ) trên đoạn [ 0;5] lần lượt

là:

A. f ( 2 ) ; f ( 5) .

B. f ( 0 ) ; f ( 5) .

C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

D. f (1) ; f ( 5) .

Lời giải Cách 1: Bảng biến thiên:

x f′ f

−∞

0 0

−

2

5

0

+

+∞

f ( 0 ) f ( 5) f ( 2)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có min f ( x ) = f ( 2 ) ; max f ( x ) = max { f ( 0 ) , f ( 5 )} [0;5]

[ 2;5]

Vì f ( x ) đồng biến trên đoạn [ 2;5] nên f ( 3) > f ( 2 ) ⇒ f ( 5) − f ( 0 ) = f ( 3) − f ( 2 ) > 0 21

Do đó f ( 5) > f ( 0 ) , vậy max f ( x ) = max { f ( 0 ) , f ( 5 )} = f ( 5 ) [0;5]

Cách 2: Căn cứ đồ thị của y = f ′ ( x ) và ứng dụng tích phân, ta có: 2

2

0

0

S1 = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ − f ′ ( x )dx = f ( 0 ) − f ( 2 ) 5

S2 = ∫

và

5

f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x )dx = f ( 5 ) − f ( 2 )

2

Do

2

S2 > S1 ⇒ f ( 5) − f (2) > f ( 0 ) − f ( 2 ) ⇒ f (5) > f (2) .

Vậ y

min f ( x ) = f ( 2 ) , max f ( x ) = f ( 5 ) .

[0;5]

[0;5]

Lời bình: Khi biết đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , để so sánh giá trị của hàm số tại 2 điểm bất kì thì phương pháp dùng tích phân ở cách 2 là phương pháp sử dụng được trong nhiều trường hợp hơn.

Trong ví dụ này, nếu không có giả thiết f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5) thì rõ ràng chỉ có thể sử dụng cách 2.

Ví dụ 18. [Mức độ 3](Câu 36- mã đề 101, đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi

A. m ≥ f ( 2 ) − 2 .

B. m ≥ f ( 0 ) .

C. m > f ( 2 ) − 2 .

Lời giải Ta có f ( x ) < x + m, ∀x ∈ ( 0;2 ) ⇔ m > f ( x ) − x, ∀x ∈ ( 0;2 ) (*) 22

D. m > f ( 0 ) .

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có với x ∈ ( 0;2 ) thì f ′ ( x ) < 1 .

Xét

hàm

g ( x) = f ( x) − x

số

trên

( 0;2 ) có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 < 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) (Do

khoảng

f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ (0;2) ) Suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) ⇒ g (2) < g ( x) < g (0) .

Do (*) ⇔ m ≥ g ( 0 ) = f ( 0 ) .

Lời bình: Ở bài này, nhiều học sinh từ điều kiện m > g ( x), ∀x ∈ ( 0;2 ) ⇒ m > g (0) = f (0) . Tuy nhiên, nếu m = f (0) = g (0) > g ( x), ∀x ∈ (0;2) , nên (*) vẫn đúng. Vậy phải lấy cả m = f (0) .

Ví dụ 19 [Mức độ 4] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trêntập số thực ℝ và có đồ thị như hình vẽ. y

4 2

-1 O

Biết

f ( −1) =

1

2

13 , f ( 2 ) = 6 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

g ( x ) = f 3 ( x ) − 3 f ( x ) trên [ −1;2] .

A. 6;

13 4

B.

1573 ;2 .

64

C. 2;0

D.

1573 ;2 .

32

Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và giả thiết f ( −1) =

y = f ( x ) trên [ −1;2] :

23

13 , f ( 2 ) = 6 ta có bảng biến thiên hàm số 4

Ta có g ′ ( x ) = 3 f 2 ( x ) . f ′ ( x ) − 3 f ′ ( x ) .Xét trên đoạn [ −1;2] .  x = −1 g ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 f ′ ( x )  f 2 ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 Bảng biến thiên

⇒ min g ( x ) = g ( −1) = f 3 ( −1) − 3 f ( −1) = [ −1;2]

1573 64

⇒ max g ( x ) = g ( 2 ) = f 3 ( 2 ) − 3 f ( 2 ) = 2 . [ −1;2]

Lời bình: Ở dạng bài này, một số học sinh có thể nhận xét đồ thị hàm f '( x) trong giả thiết là một hàm bậc ba, nên tìm được f '( x ) = − x 3 + 3 x + 2 . Từ đây suy ra hàm f ( x) , rồi thay vào công thức của hàm g ( x) , và tìm GTLN- GTNN bằng máy tính. Tuy nhiên đây là cách làm không chính xác vì từ hàm số có thể suy ra hình dáng đồ thị nhưng từ đồ thị chúng ta không suy ra được hàm số, ví dụ hàm trùng phương có một cực trị và hàm bậc 2 có đồ thị giống hệt nhau.

2.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀMSỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. Dạng 2.3.1. Tìm GTLN- GTNN của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp giải: 24

-

Sử dụng bổ đề 1, nhận xét 3 để tìm GTLN- GTNN của hàm số.

Ví dụ 20 [Mức độ 1].

Cho hàm số

y

y = f ( x ) có đồ thị trên đoạn [ −2;4] như

2 1

hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm

-2

x

-1 O

số y = f ( x ) trên đoạn [ −2;4.]

2

4

-1 -3

A. M = 2.

B. M = f ( 0 ) .

C. M = 3.

D. M = 1.

HDG: Sử dụng bổ đề 1, ta có kết quả max f ( x ) = max { 2 , −3 } = 3 . [ −2;4]

Ví dụ 21 [Mức độ 1]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

x y′

0 0 f ( 0)

−2

−∞

−

0

+

+∞

4

−

0

+∞ + +∞

y

f ( −2 )

f ( 4)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2;4]

A. f (0)

B. f (2) C. f (4)

D. Không có đáp án đúng

HDG: Dựa vào nhận xét 3 , min f ( x ) = min f ( x ) = f (4) . [ −2; 4]

[0; 4]

Ví dụ 22 [Mức độ 2]: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị của hàm

y = f ′ ( x ) được cho như hình bên dưới và f ( −2 ) = 3 , f ( 0 ) = −5, f (1) = 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) + 1 trên [ −2;1] . Khi đó M 2 + m2 bằng 25

A. 8 .

B. 25 .

C. 37 .

D. 34 .

HDG: Ta có bảng biến thiên:

Từ

bảng

biến

thiên

ta

max f ( x ) = 3;min f ( x ) = −5 ⇒ max f ( x) = 5;min f ( x) = 0 ⇒ f ( x ) + 1 ∈ [1;6] . [ − 2;1]

[ − 2;1]

[ − 2;1]

[ − 2;1]

Suy ra M = 6 và m = 1.Vậy M 2 + m2 = 37 .

Ví dụ 23[Mức độ 3]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

26

có:

 3x 2 + 2 x + 3  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f   trên ℝ .

2  2x + 2  A. 3, -4

B. -2, -4

C. 4, 2

D. 4, 0.

HDG: Đặt t =

 x = −1 3x 2 + 2 x + 3 −4 x 2 + 4 ′ ⇒ t = =0⇔  2 2 2x + 2 x = 1 ( 2x2 + 2)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x ∈ ℝ ⇒ t ∈ [1;2] .

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm được max f (t ) = −2; min f (t ) = −4 . Theo bổ đề 1, suy ra [1;2]

[1;2]

M = max f (t ) = 4; m = min f (t ) = 2 .

[1;2]

[1;2]

Ví dụ 24 [Mức độ 4].Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên R . Biết

f ′ ( 0 ) = 3, f ′ ( 2 ) = f ′ ( −2018) = 0 , và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như sau:

Hàm số y = f ( x − 1 − 2018 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −1009;2 ) .

B. ( −2015;1) .

C. (1;3) .

HDG: Ta có bảng biến thiên của hàm số f ′ ( x ) 27

D. ( −∞; −2015 ) .

x

0

−∞

f ′′ ( x )

2

0

+

+∞

0

−

+

3

f ′( x) 0

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

x

− 2018

−∞

f ′( x)

2

0

−

+∞

0

+

+

f ( x) f ( −2018 ) Xét y = f ( x − 1 − 2018 ) ⇒ y′ =

x −1 f ′ ( x − 1 − 2018 ) với x ≠ 1 . x −1

 x − 1 − 2018 = 2  x = 2021 . y′ = 0 ⇔ f ′ ( x − 1 − 2018 ) = 0 ⇔  ⇔ 2019 x = − 1 2018 2018 VN x − − = − ( )   Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( x − 1 − 2018 )

x g′ ( x )

− 2019

−∞

0

−

1 ||

−

2021 +

0

+∞ +

g ( x) g (1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min g ( x ) = g (1) .

R

Lời bình: Nhận xét u = x − 1 − 2018 ≥ −2018 . Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên miền [ − 2018; +∞) suy ra y = f ( x − 1 − 2018 ) đạt GTNN khi x − 1 − 2018 = −2018 ⇔ x = 1 .

28

Dạng 2.3.2. Tìm m để GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên miền D nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số c.

Phương pháp giải: B1: Tìm max f ( x ) = A và min f ( x ) = a . Theo bổ đề suy ra max y = max { A + m , a + m } .

D

D

D

 A + m ≤ c B2: max y ≤ c ⇒  D  a + m ≤ c Ví dụ 25 [ Mức độ 2].Cho hàm số f ( x ) = x + m . Tìm m để max f ( x ) ≤ 3 [0;1]

A. −3 ≤ m ≤ 2

B. −2 ≤ m ≤ 3

C. −3 ≤ m ≤ −2

D. 2 ≤ m ≤ 3

HDG: Ta có max f ( x) = max { m , m + 1 } ≤ 3 [0;1]

 m + 1 ≤ 3 −3 ≤ m + 1 ≤ 3 ⇒ ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ 2 . −3 ≤ m ≤ 3  m ≤ 3 Ví dụ 26 [Mức độ 3] [Đề tham khảo Bộ GD_ĐT 2018].Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3 x + m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là

A. 0

B. 6

C. 1

D.2

HDG : Xét

hàm

số

f ( x) = x3 − 3x ,

có

⇒ max y = max { m + 2 , m − 2 } = 3(*) .

[0;2]

Để giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, ta có hai trường hợp : 29

max f ( x) = 2, min f ( x) = −2 [0;2]

[0;2]

  m = −5   m + 2 = 3 Trường hợp 1 :  ⇔ m = 1 ⇔ m = 1.

2 3 m − ≤ m−2 ≤3   m = 5  m − 2 = 3  Trường hợp 1 :  ⇔   m = −1 ⇔ m = −1 .  m + 2 ≤ 3 m+2 ≤3  Vậy m = 1 hoặc m = -1.

Lời bình : Có thể sử dụng điều kiện cần và đủ để giảm bớt việc giải bất phương trình như sau  m = −5 TH1: Xét m + 2 = 3 ⇔  . Thử lại (*), suy ra m = 1 = 1 m  m = 5 TH2: Xét m − 2 = 3 ⇔  . Thử lại (*), suy ra m = −1  m = −1

Ví dụ 27 [Mức độ 3] (ĐỀ 01 THỬ NGHIÊM NĂM 2018-2019).Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 4 19 2 x − x + 30 x + m trên đoạn [ − 6;4] không vượt quá 4 2

150?

A. 35

B. 36

C.37

D. 38

HDG: Xét hàm số f ( x ) =

1 4 19 2 x − x + 30 x , có f '( x ) = x 3 − 19 x + 30 = 0 ⇔ x = −5; x = 3; x = 2 .

4 2

x

-6

-5

2

3

4

f ( x)

-198

-231,25

26

24,75

32

30

Từ bảng trên ta có max f ( x) = 32, min f ( x) = −231, 25 [ − 6;4]

[ − 6;4]

⇒ max y = max { m + 32 , m − 231, 25 } [ − 6;4]

giá

Để

trị

lớn

nhất

c ủa

hàm

số

không

vượt

quá

150

 m + 32 ≤ 150 −150 ≤ m + 32 ≤ 150 ⇒ ⇔ ⇔ 81, 25 ≤ m ≤ 118 . − 150 ≤ m − 231, 25 ≤ 150 m − 231, 25 ≤ 150   Do m nhận giá trị nguyên m ∈ {82,83,....118} , có 37 giá trị.

 m + 32 ≤ 150 m + 32 ≤ 150 ⇔ Lời bình : Có thể nhận xét m − 231, 25 < m + 32 ⇒  −150 ≤ m − 231, 25  m − 231, 25 ≤ 150 để việc giải hệ điều kiện gọn gàng hơn.

Ví dụ 28 [Mức độ 4](THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - Lần 1 - 2018). Cho hàm số

f ( x ) = 8 x 4 + ax 2 + b , với a , b là các tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −1;1] bằng 1 . Hãy chọn khẳng định đúng?

A. a > 0; b < 0 .

B. a < 0; b < 0 .

C. a > 0; b > 0 .

D. a < 0; b > 0 .

HDG : x = 0 Xét g ( x ) = 8 x + ax + b , g ′ ( x ) = 32 x + 2ax = 0 ⇔  2 . x = − a 16  4

2

3

Ta có max f ( x ) = 1 ⇒ g ( 0 ) = b ∈ [ −1;1] . [ −1;1]

TH1. a > 0 . Ta có g (1) = g ( −1) = 8 + a + b > 1 . Suy ra max f ( x ) > 1 không thỏa YCBT. [ −1;1]

TH2. a < 0 .

31

N ếu −

a > 1 ⇔ a < −16 . Ta có g (1) = g ( −1) = 8 + a + b < −1 . Suy ra max f ( x ) > 1 không thỏa [ −1;1] 16

YCBT. N ếu −

a < 1 ⇔ a > −16 .

16

Ta có BBT

 a2 a 2 ≤ 64 ≥ −1 1 − ⇔ a = −8 (thỏa a > −16 ) ▪ max f ( x ) = b = 1 . Khi đó YCBT ⇔  32 ⇔ [ −1;1] ≤ − 8 a 8 + a + b ≤ 1   b ≤ 1  ▪ max f ( x ) = 8 + a + b = 1 . Khi đó, YCBT ⇔  a2 [ −1;1] − ≥ −1 b   32 a ≥ −8 a ≥ −8  ⇔ a = −8 ⇒ b = 1 . ⇒  a2 ⇔ − 24 ≤ ≤ − 8 a + + 6 ≤ 0 a    32  a2  a b = 32 − 1 = −1 b −   32 a = −8 a2 a2  .

▪ max f ( x ) = b − ≤0⇔ = 1 . Khi đó, YCBT ⇔ 8 + a + b ≤ 1 ⇔ 6 + a + [ −1;1] b = 1 32 32   b ≤ 1   a ≥ −8    2

Vậy a = −8 , b = 1 thỏa YCBT.

Dạng 2.3.3. Tìm m để GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên miền D đạt giá trị nhỏ nhất.

32

Phương pháp giải: B1: Tìm max f ( x ) = A và min f ( x ) = a . Theo bổ đề suy ra max y = max { A + m , a + m } .

D

D

D

 A + m ≤ M  A + m ≤ M ⇔ B2: Gọi M = max y ⇒  D  a + m ≤ M  −m − a ≤ M Áp dụng bất đẳng thức 2 M ≥ A + m + − m − a ≥ A + m − m − a = A − a ⇒ M ≥

A−a 2

 A + m = a + m = M A+a Dấu “=” xảy ra khi  ⇔m=− 2 ( A + m)(− m − a) ≥ 0 Nhận xét 4: GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên D có GTNN là M =

A−a A+ a khi m = − 2 2

với max f ( x ) = A , min f ( x ) = a D

D

Ví dụ 29 [ Mức độ 2].Tìm m để GTLN của hàm số y = 2 x + m trên [-2;3] là nhỏ nhất.

A. −3 ≤ m ≤ 2

B. −2 ≤ m ≤ 3

C. −3 ≤ m ≤ −2

D. 2 ≤ m ≤ 3

HDG: Gọi f ( x) = 2 x ⇒ max f ( x) = 6, min f ( x) = −4 . Theo nhận xét 4, GTLN của y = 2 x + m trên [ − 2;3]

[-2;3] nhỏ nhất khi m = −

[ − 2;3]

6−4 = −1 .

2

Ví dụ 30. [Mức độ 3] (THPT Đông Sơn- Thanh Hóa năm 2018-2019, lần 2). Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x + 2m − 1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc

A. [ − 1;0]

B. (0;1)

2  C.  ;2  3 

 −3  D.  ; −1  2 

HDG: 33

Xét

hàm

số

f ( x) = x3 − 3x ,

max f ( x) = 2, min f ( x) = −2

có

[0;2]

[0;2]

⇒ max y = M = max { 2m − 3 , 2m + 1 } [0;2]

 2m + 1 ≤ M  2m + 1 ≤ M ⇔ ⇒ 2 M ≥ 2m + 1 + 3 − 2m ≥ 2m + 1 + 3 − 2m = 4 ⇒ M ≥ 2 Do  2 3 3 2 m − ≤ M − m ≤ M    2m − 1 = 2m − 3 1 ⇔m= .

Dấu “=” xảy ra khi  2 (2m + 1)(3 − 2m) ≥ 0 Bình luận:Áp dụng nhận xét 4, sau khi học sinh tìm được max f ( x) = 2, min f ( x) = −2 thì dễ [0;2]

dàng đưa ra đáp án 2m − 1 = −

[0;2]

2 + ( −2) 1 =0⇔m= .

2 2

Ví dụ 31. [Mức độ 4] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Xét hàm số

f ( x ) = x 2 + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b .

A. 2 .

B. 4 .

C. − 4 .

D. 3 .

HDG: Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] .

 M ≥ f ( −1)  M ≥ 1− a + b   Suy ra  M ≥ f ( 3) ⇔  M ≥ 9 + 3a + b ⇒ 4M ≥ 1 − a + b + 9 + 3a + b + 2 −1 − a − b  M ≥ f (1)  M ≥ 1+ a + b  

≥ 1 − a + b + 9 + 3a + b + 2(−1 − a − b) ⇒ 4M ≥ 8 ⇒ M ≥ 2 .

Nếu M = 2 thì điều kiện cần là 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2 và 1− a + b , 9 + 3a + b ,

 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2 a = −2 −1 − a − b cùng dấu ⇔  ⇔ . 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = −2  b = −1 34

 a = −2 Ngược lại, khi  ta có, hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 trên [ −1;3] .  b = −1 Xét hàm số g ( x ) = x 2 − 2 x − 1 xác định và liên tục trên [ −1;3] ; g ′ ( x ) = 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ;

{

}

M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên [ −1;3] ⇒ M = max g ( −1) ; g ( 3 ) ; g (1) =2 .

 a = −2 Vậ y  . Ta có: a + 2b = −4 .  b = −1 Bình luận: Ở ví dụ này, việc đánh giá thêm M ≥ f (1) giúp triệt tiêu được các tham số a, b nhằm tìm ra GTNN của M .

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 2.1.1. Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Câu 1 [2]. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 trên đoạn [ 0;3] là: A. 3

B. 18

C. 2

D. 6

Câu 2 [2]. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 1 trên đoạn [- 2 ; 4] lần lượt là

A. -1 ; -19 ;

B. 6 ; -26 ;

C. 4 ; -19 ;

D. 10;-26.

Câu 3 [2]. GTLN của hàm số y = − x 4 + 3x 2 + 1 trên [0; 2] là A. y =

13 4

B. y = 1

C. y = 29

Câu 4[2]. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

A. ymax = 0; ymin = − C. ymax = 3; ymin = 1

2 2 B. ymax = ; ymin = 0 7 7

D. ymax = 1; ymin = 0 35

D. y = −3 x −1 trên [1;3] là: 2x + 1

Câu 5 [2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

A. min y = − x∈[ 0;2 ]

5 3

B. min y = − x∈[ 0;2 ]

1 3

x2 − 5 trên đoạn [ 0;2] . x+3

C. min y = −2 x∈[ 0;2 ]

D. min y = −10 x∈[ 0;2]

Câu 6 [2]. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x6 + 4(1 – x2)3 trên [-1; 1] là: A.

2;

6 3

B.

6 ; 2 3

C. 3 ;

Câu 7 [2]. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

A. 1

B.

2 + x2

1 + x2 + 3

11 1+ 2 3

12 27

D. 4 ;

4 9

trên [-3; -1] là:

C. 2

D.

2 1+ 3

1  1  Câu8 [2]. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng  −∞;  và  ; +∞  . Đồ thị 2  2 

hàm số y = f ( x ) là đường cong trong hình vẽ bên.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. max f ( x ) = 2 .

[1;2]

C. max f ( x ) = f ( −1) . [ −1;0]

B. max f ( x ) = 2 . [ −2;−1]

D. min f ( x ) = f (−1) . [ −1;0]

Câu9 [1]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên

36

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng − 2 .

B. Hàm số có hai điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng − 2 .

Câu 10 [3]. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

y = 1 − x 2 + 3 3 (1 − x 2 ) . Hỏi điểm A ( M ; m ) thuộc đường tròn nào sau đây?

2

2

A. x 2 + ( y − 1) = 1 .

2

2

B. ( x − 3) + ( y + 1) = 20

2

C. ( x − 3) + ( y − 1) = 2 .

2

( x − 1) + ( y − 1)

2

D.

=1

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

A

B

A

D

A

D

D

C

Dạng 2.1.2. Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.  π π Câu 1[2]. Cho hàm số y = 3sin x − 4sin 3 x . Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng  − ;   2 2

A. -1 Câu 2[2]. Cho hàm số y = x + A. 0

B. 1

C. 3

D. 7

1 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (0; +∞) bằng x

B. 1

C. 2 37

D. 2

Câu 3 [2]. Cho hàm số y = 3cosx − 4 cos 3 x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng ( 0; π ) bằng A. 1

B. -1

C. -2

D. −

3 2

Câu 4 [2](ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐTNĂM2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 x +

4 x2

trên khoảng ( 0; +∞ ) .

A. min y = ( 0;+∞ )

33 5

B. min y = 2 3 9

C. min y = 3 3 9

( 0;+∞ )

( 0;+∞ )

D. min y = 7 ( 0;+∞ )

Câu 5 [2](CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số y = x +

A. m = 4 .

4 trên khoảng ( 0; +∞ ) . Tìm m x

B. m = 2 .

C. m = 1.

D. m = 3 .

Câu 6 [2].Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 + x 2 − 2 x + 5 bằng A. min y = 3.

B. min y = 5.

ℝ

C. min y = 3 + 5. ℝ

ℝ

D. min y = 0. ℝ

x + 1 + 9x2 Câu 7 [2].Giá trị lớn nhất của hàm số y = trên khoảng ( 0; +∞ ) là: 8x2 + 1 A.

3 .

2

Câu 8 [2].Hàm số y = A. 0 .

B.

x2 − 2 x2 + 1

3 2 .

2

C.

3 2 .

4

D. −

3 2 .

2

có giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bằng:

C. 3 .

B. 2 .

D. − 2 .

Câu 9 [2].Hàm số y = 45 + 20 x 2 + 2 x − 3 có giá trị nhỏ nhất bằng: A. −9 .

B. 8 .

C. 9 .

ĐÁP ÁN 38

D. −8 .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

B

D

B

C

A

B

C

D

C

Dạng 2.1.3. Tìm m để GTLN- GTNN của hàm số trên miền D thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Câu 1 [2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

x + m2 y= trên đoạn [ 2; 3] bằng 14. x −1 A. 2 .

C. 0 .

B. 1 .

D. 4.

2

Câu 2 [3].Cho hàm số y = ( x 2 + x + m ) . Tổng tất cả các giá trị thực tham số m sao cho

min y = 4 bằng

[ −2;2]

A. −

31 .

4

B. −8 .

C. −

23 .

4

D.

9 .

4

Câu 3 [2](XUÂNTRƯỜNG-NAMĐỊNH-LẦN1-2018)Cho hàm số y = x 3 + 3 x + m (1) , với m là tham số thực. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số (1) trên [ 0;1] bằng 4 .

A. m = 4 .

B. m = −1 .

C. m = 0 .

Câu 4 [3].Gọi T là tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = trên đoạn [ 2;3] bằng

A.

17 .

5

D. m = 8 . mx + 1 có giá trị lớn nhất x + m2

5 . Tính tổng của các phần tử trong T .

6

B.

16 .

5

C. 2 .

D. 6 .

Câu 5 [3] (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚC-LẦN4-2018).Tìm tất cả các giá trị của m > 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3 x + 1 trên đoạn [ m + 1; m + 2] luôn bé hơn 3 .

A. m ∈ ( 0;2 ) .B. m ∈ ( 0;1) .C. m ∈ (1; + ∞ ) .

D. m ∈ ( 0; + ∞ ) .

39

Câu 6 [2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=

x + m2 trên đoạn [ 2; 3] bằng 14. x −1

A. 2 .

C. 0 .

B. 1 .

D. 4.

x − m2 − 2 Câu 7 [2].Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = trên x−m đoạn [ 0;4] bằng −1 .

A. 0 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .

Câu 8 [2](MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = mãn min y + max y = [1;2]

[1;2]

x+m ( m là tham số thực) thoả x +1

16 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3

A. m > 4

B. 2 < m ≤ 4

Câu 9 [3].Giá trị lớn nhất của hàm số y =

C. m ≤ 0

D. 0 < m ≤ 2

x3 + x 2 − m trên [ 0; 2] bằng 5 . Tham số m nhận giá trị x +1

là

A. −5 .

C. −3 .

B. 1 .

D. −8 .

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

6

7

8

9

B

C

C

A

B

B

D

A

C

Dạng 2.1.4. Bài toán thực tế Câu 1 [2]. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức f ( x ) = 0,025 x 2 ( 30 − x ) , trong đó x (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc

được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là A. 20 miligam.

B. 10 miligam.

40

C. 15 miligam.

D. 30 miligam.

1 Câu 2 [2]. Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính 3 từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A.180 ( m/s )

B. 36 ( m/s )

C. 144 ( m/s )

D. 24 ( m/s )

Câu 3 [3]. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200 m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là

300 nghìn đồng/ m2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).

A. 51 triệu đồng.

B. 36 triệu đồng.

C. 46 triệu đồng.

D. 75 triệu đồng.

Câu 4 [3].Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông có cạnh

12 ( cm ) rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của cái

(

)

hộp đó là 4800 cm 3 thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu?

A. 36 ( cm )

B. 42 ( cm )

C. 38 ( cm )

D. 44 ( cm )

Câu 5 [3]. Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây

điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.

41

C

B

A

G

A.

2 2 .

3

2 B. . C. 55km 5

D. 60km

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

A

B

A

D

B

GTLN-GTNN CỦA HÀM ẨN Dạng 2.2.1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( u ( x ) ) trên miền D .

Câu 1 [3].Cho hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − A. m = −24.

B. m = −12.

Câu 2 [3].Cho hàm số: f ( x ) =

A. M = 1.

B. M =

90 .

91

9 2 1 x + 3 x + Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( cos x ) 2 2

C. m = −9.

D. m = 1.

  π  x +1 Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a hàm s ố f sin x + M   .  x2 + x + 1 3     C. M =

110 .

111

D. M =

70 .

79

Câu 3[2]. Biết hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;2] lần lượt là 1 và -3. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

f

(

)

3 − 2x − x2 .

42

A. M = 1, m = −3 .

B. M = 3, m = −1 .

C. M = 2, m = 0 .

D. M = 0, m = −2

Câu 4 [2]. Biết hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 25 1 đoạn  − 2; 2  lần lượt là và . Tìm tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4

f ( sin x + cos x ) A.

25 .

16

B.

25 .

4

(

)

C. f − 2 .

D. f

Câu 5 [3]. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x) = f

( 2)

(

)

9 − x 2 − 1 đạt giá trị

nhỏ nhất tại điểm nào?:

A. x = −2

B. x = −1

C. x = 0

D. x = ±3

Câu 6 [3]. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số g ( x) = f

A. 5 .

(

)

1 − x 2 đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

B. 4 .

C. f ( 5 ) .

D. f ( 4 ) .

Câu 7 [3] (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH-ĐỒNG NAI-2018). Biết hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [ 0;2] . Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN trên đoạn [ 0;2] tương ứng là M và m ?.

43

 4x  A. y = f  2 .  x +1

C. y = f

(

B. y = f

(

)

2 ( sin x + cosx ) .

)

)

(

2 ( sin 3 x + cos 3 x ) .

D. y = f x + 2 − x 2 .

2

Câu 8 [2]. Hàm số y = x8 + ( x 4 − 1) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x1; x2 . Khi đó tích x1.x2 có giá trị bằng

A. 1

B.2

C. 15

D. 0

Câu 9 [4].Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình dưới dây.

(

Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2 + 2 x

)

trên đoạn [ −3; −2] biết

f ( −1) + f ( 3) = f ( 0 ) + f ( 2 ) A. -27.

B.0.

C. -32.

D. 864.

Câu 10 [3].Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số

f ( x3 − 3x + 2 ) trên đoạn [ 0;1] là :

A.0.

B.-2.

C.1.

D.2.

Câu 11 [2] (THPT Ngô Gia Tự-Phú Yên, lần 1, 2019-2020).Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như 44

hình vẽ sau :

Gọi M , m lần lượt là GTLN,GTNN của hàm số y = f (2 x 3 + x − 1) trên đoạn [ 0;1] . Giá trị M − m bằng :

B. 2

A. 3

D.4

C.1

Câu 12 [3] (THPT Ngô Gia Tự-Phú Yên, lần 1, 2019-2020).Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau :

Tìm tham số m để GTLN của hàm số f ( x 3 − 3 x + 1) + m trên đoạn [ −2;0] bằng

B. m = −

A. m = 2

3 2

B.

5 2

C.

3 .

2

9 2

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

A

A

A

D

A

A

B

B

D

D

A

45

Dạng 2.2.2.Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên miền D .

Câu 1 [2]. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2;2] , có đồ thị của hàm số

y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ −2;2] . y

x −2 −1 O

1

2

A. x0 = 2 .B. x0 = −1 .C. x0 = −2 .

D. x0 = 1 .

Câu 2 [3]. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;5] ?

A. m = f ( 0 ) , M = f ( 5) .

B. m = f ( 2 ) , M = f ( 0 ) .

C. m = f (1) , M = f ( 5) .

D. m = f ( 2 ) , M = f ( 5) .

46

Câu 3 [3]. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f (1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;4] ?

A. m = f ( 4 ) , M = f ( 2 ) .

C. m = f ( 0 ) , M = f ( 2 ) .

B. m = f ( 4 ) , M = f (1) .

D. m = f (1) , M = f ( 2 ) .

Câu 4 [3]. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Biết f ( a ) > 0 .

Phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? y

a

A. 2 nghiệm.

b

O

c

B. 1 nghiệm.C. 4 nghiệm.

x

D. 3nghiệm.

Câu 5 [3]. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như trong hình vẽ bên.

Biết f ( a ) < 0 , hỏi phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

47

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

D

D

A

A

A

Ố GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI GTLN- GTNN CỦA HÀM SỐ Dạng 2.3.1 Tìm GTLN- GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 1 [2]. Cho hàm số y = f ( x) liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ như sau:

Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất trên ℝ bằng

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Không tồn tại.

Câu 2 [3]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( −∞ ; + ∞ ) và có đồ thị như hình vẽ

48

(

)

Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = f x 3 − 3x + 1 trên đoạn

[ −2;0] . Tính M + m .

A. M + m = −2 .

7 B. M + m = − .

2

C. M + m = −

11 .

2

D. M + m = 0 .

Câu 3 [3]. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ.

(

)

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f 3 − 2 6 x − 9 x 2 . Giá trị biểu thức T = 3M − m bằng

A. T = 2 .

B. T = 0 .

C. T = −8 .

Câu 4 [2]. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

49

D. T = 14 .

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x − 1) trên đoạn [ −3;3] . Tìm M .

B. M = 6 .

A. M = 0 .

C. M = 5 .

D. M = 2 .

Câu 5 [3]. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f

B. 3.

A. 5 .

C. 2 .

(

π  2 f ( cos x ) trên đoạn  ; π  . 2 

)

D. 4 .

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

C

B

A

B

C

ủa hàm số y = f ( x ) + m trên miền D nhỏ hơn hoặc bằng hằng Dạng2.3.2 Tìm m để GTLN của số c.

50

Câu 1 [3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02).Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y =

x 2 + mx + m trên [1;2] x +1

bằng 2. Số phần tử của tập S là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 2 [3] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03).Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y =

x 2 − mx + 2 m trên đoạn [ −1;1] bằng 3. Tính tổng x−2

tất cả các phần tử của S .

8 A. − .

3

B. 5 .

C.

5 .

3

D. −1 .

Câu 3 [3] (THPT Phụ Dực - Thái Bình - 2019).Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số

y = x3 − 3 x 2 + m đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [ − 2;4] . Tổng các phần tử thuộc S là A. 4 .

B. 36 .

C. 140 .

D. 0 .

Câu 4 [3](SGD-NAMĐỊNH-LẦN1-2018). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = A. 3.

x 2 + mx + m trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S là x +1

B.1 .

C. 2 .

D. 4 .

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

D

D

A

C

Dạng 2.3.3. Tìm m để GTLN của hàm số y = f ( x ) + m trên miền D đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 1 [3] (THPT Cầu Xe- Hải Dương, năm 2018).Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số

y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là: A. 5 .

B. 1 .

C. 3.

51

D. 4 .

Câu 2 [3] (GKI THPT Nghĩa Hưng- Nam Định, năm 2018-2019).Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 −3 x2 + x+m xét trên đoạn [2;4] , m0 là giá trị của tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất.

Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. 1 < m0 < 5 .

B. −7 < m0 < −5 .

C. −4 < m0 < 0 .

D. m0 < −8 .

Câu 3 [3] (Liên trường THPT TP Vinh Nghệ An, năm 2018-2019).Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 38 x 2 + 120 x + 4m trên đoạn [ 0;2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

A. −12 .

B. −13 .

C. −14 .

D. −11 .

Câu 4 [3] (THPT Thanh Chương 3).Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là

A. 4 .

B. 1 .

C. 3.

D. 5 .

Câu 5 [3] (THPT Phù Cừ - Hưng Yên).Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x 2 − 6 x + 2m − 1 trên đoạn [ −2;3] đạt giá trị nhỏ nhất. Số phần tử của tập S là

B. 1 .

A. 2 .

C. 0 .

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

C

D

B

C

A

HẾT

52

D. 3.