Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đối với học sinh trong các kì thi. Không những thế việc xây dựng một bài toán bất đẳng thức sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và sao cho bài toán xây dựng nên mang một nét riêng, không trùng lặp là một điều cần thiết.

Bất đẳng thức là một dạng toán phát triển tư duy và nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Bunhiacôpski để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức không phải là một điều đơn giản.

Thấy được tầm quan trọng của bất đẳng thức, với mục đích hiểu sâu hơn về bất đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức để tạo tiền đề, cơ sở cho việc học tập tiếp theo và mở rộng kiến thức cho bản thân. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại số sơ cấp’ tôi chọn đề tài “Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng ” làm đề bài tiểu luận cho mình.

2. Mục đích nghiên cứu Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về các bất đẳng thức, từ đó có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khả năng tự sáng tạo bất đẳng thức. Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu hơn về các bất đẳng thức.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, các tính chất cơ bản về bất đẳng thức.

4. Đối tượng nghiên cứu - Bất đẳng thức về giá trị tuyết đối - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski - Bất đẳng thức Becnuli - Bất đẳng thức Jensen - Bất đẳng thức Schwart

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

1

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

5. Phạm vi nghiên cứu - Hệ thống các tính chất cơ bản về bất đẳng thức - Các kiến thức liên quan.

6. Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại các kiến thức đã học.

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu.

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet - Hỏi ý kiến chuyên gia.

7. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu và kết luận, bài tiểu luận này được chia thành hai chương : Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản bất đẳng thức và đưa ra một số bất đẳng thức quan trọng Chương 2: Đưa ra bài tập vận dụng cho từng bất đẳng thức, một số bài tập nâng cao và ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

2

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

B. NỘI DUNG CHƯƠNG I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG 1. Bất đẳng thức 1.1. Định nghĩa Cho hai số a , b thuộc k ( k là trường số hữu tỉ

hay trường số thực

).

Ta nói a lớn hơn b và kí hiệu a  b nếu a − b là một số dương. Khi đó ta cũng nói b bé hơn a và kí hiệu b  a .

Ta nói a lớn hơn hay bằng b và viết a  b nếu a − b là một số dương hoặc bằng không. Khi đó ta cũng nói b bé hơn hay bằng a và viết b  a .

Giả sử A(x) , B(x) là hai biểu thức toán học với miền xác định chung của đối số x là S (hoặc có thể xem là hai biểu thức toán học của cùng n đối số x1 , x2 ,...., xn , nếu ta xem x = ( x1 , x2 ,...., xn ) thuộc k n . Ta nói: A( x)  B( x) hay B( x)  A( x) A( x)  B( x) hay B( x)  A( x)

nếu tại mọi giá trị thừa nhận được x 0 của đối số x thuộc S ta đều có tương ứng: A( x 0 )  B( x 0 ) hay B( x 0 )  A( x 0 ) A( x 0 )  B( x 0 ) hay B( x 0 )  A( x 0 )

là các bất đẳng thức đúng bằng số trên trường số k .

Chú ý rằng quan hệ “lớn hơn” chỉ có trên những trường hợp sắp thứ tự (chẳng hạn trường số thực

, trường hữu tỉ

). Trường số phức

không phải

là một trường sắp thức tự nên không thể xác lập được quan hệ “lớn hơn”, “nhỏ hơn” cho hai số phức phân biệt (trong đó ít nhất một số không phải là số thực). *Ví dụ: 7 > 3, 9 > 5 + 3, 6 > 2, 5  3 + 2 x 2  2 x − 1 , x 

1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Ta chứng minh được dễ dàng các tính chất sau đây trong đó A, B, C, D,… là các số hoặc các biểu thức toán học của cùng một số đối số xét trên cùng một trường số k .

•

A B B  A

•

A  B, B  C  A  C

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

(tính bắc cầu)

3

M᝙t sᝑ bẼt đẳng thᝊc quan tr�ng và åp d᝼ng •

A  B ďƒž A+C  B +C

•

A Bďƒź ďƒ˝ ďƒž A+C  B + D C  Dďƒž

•

A  B ďƒž{

•

A Bďƒź ďƒ˝ ďƒž A−C  B − D C  Dďƒž

đ??´đ?&#x2018;&#x161; > đ??ľđ?&#x2018;&#x161; đ??´đ?&#x2018;&#x161; < đ??ľđ?&#x2018;&#x161;

GVHD: Huáťłnh Tháť&#x2039; Mai Trâm

đ?&#x2018;&#x203A;áşżđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x161; > 0 đ?&#x2018;&#x203A;áşżđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x161; < 0

Aď&#x20AC;ž B

â&#x20AC;˘

ď&#x192;ź ď&#x192;˝ ď&#x192;&#x17E; AC ď&#x20AC;ž BD C ď&#x20AC;ž D ď&#x20AC;ž 0ď&#x192;ž

â&#x20AC;˘

A ď&#x20AC;ž B ď&#x20AC;ž 0 ď&#x192;&#x17E; An ď&#x20AC;ž B n

â&#x20AC;˘

A ď&#x20AC;ž B ď&#x20AC;ž 0 ď&#x192;&#x17E; n A ď&#x20AC;ž n B ( ď&#x20AC;˘nď&#x192;&#x17D; N )

â&#x20AC;˘

A ď&#x20AC;ž B ď&#x20AC;ž 0 hoạc B ď&#x20AC;ź A ď&#x20AC;ź 0 ď&#x192;&#x17E;

( ď&#x20AC;˘nď&#x192;&#x17D; N * )

1 1 ď&#x20AC;ž B A

2. CĂĄc bẼt Ä&#x2018;áşłng thᝊc quan tráť?ng 2.1. BẼt Ä&#x2018;áşłng thᝊc váť giĂĄ tráť&#x2039; tuyáť&#x2021;t Ä&#x2018;áť&#x2018;i 2.1.1. Ä?áť&#x2039;nh nghÄŠa a) Cho cĂĄc sáť&#x2018; tháťąc a1 , a 2 ,â&#x20AC;Ś, a n , thĂŹ hiáť&#x192;n nhiĂŞn ta cĂł a1 + a2 + ....+ an ď&#x201A;Ł a1 + a2 + ....+ an .

b) Cho cĂĄc sáť&#x2018; tháťąc khĂĄc khĂ´ng bẼt kĂŹ a, b, ta cĂł: a b + ď&#x201A;ł 2. b a

DẼu báşąng xảy ra khi vĂ cháť&#x2030; khi a = ď&#x201A;ąb . *Chᝊng minh: Tháş­t váş­y: 2

2

2

2

2

ď&#x192;Śa bď&#x192;ś ď&#x192;Śaď&#x192;ś ď&#x192;Śbď&#x192;ś ď&#x192;Śaď&#x192;ś ď&#x192;Śbď&#x192;ś ď&#x192;§ â&#x2C6;&#x2019; ď&#x192;ˇ ď&#x201A;ł0 ď&#x192;&#x203A;ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ +ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ ď&#x201A;ł 2 ď&#x192;&#x203A;ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ +ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ +2ď&#x201A;ł 4 ď&#x192;¨b aď&#x192;¸ ď&#x192;¨bď&#x192;¸ ď&#x192;¨aď&#x192;¸ ď&#x192;¨bď&#x192;¸ ď&#x192;¨aď&#x192;¸ 2

a b ď&#x192;Śa bď&#x192;ś ď&#x192;&#x203A; ď&#x192;§ + ď&#x192;ˇ ď&#x201A;ł 22 ď&#x192;&#x203A; + ď&#x201A;ł 2. b a ď&#x192;¨b aď&#x192;¸

2.2. BẼt Ä&#x2018;áşłng thᝊc CĂ´si 2.2.1. Ä?áť&#x2039;nh nghÄŠa Cho n sáť&#x2018; tháťąc khĂ´ng âm bẼt kĂŹ a1 , a 2 ,â&#x20AC;Ś, a n , tháşż thĂŹ trung bĂŹnh cáť&#x2122;ng cᝧa n sáť&#x2018; Ä&#x2018;Ăł láť&#x203A;n hĆĄn hoạc báşąng trung bĂŹnh nhân cᝧa chĂşng.

SVTH: Nguyáť&#x2026;n Ä?ᝊc Minh HoĂ ng

4

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

a1 + a2 + ....+ an n  a1a2 ...an n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an Bất đẳng thức Côsi còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân. *Chứng minh: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n + Với n=2 ta có Thật vậy:

a1 + a2  a1a2 2

a1 + a2  a1a2  a1 + a2 − 2 a1a2  0  2

(

a1 + a2

)

2

 0 đúng với

mọi a1 , a2  0 + Nếu x1 , x2 là số thực không âm thì x1  x2  x1n−1  x2n−1 .

Vậy với mọi x1 , x2 là số thực không âm thì ta luôn có ( x1n−1 − x2n−1 )(x1 − x2 )  0  x1n + x2n  x1 x2n−1 + x2 x1n−1

Lấy n số thực không âm x1 , x2 ,..., xn , viết các bất đẳng thức tương ứng rồi cộng lại ta được: ( x1n + x2n ) + ( x1n + x3n ) + ... + ( x1n + xnn ) + ( x2n + x3n ) + ... + ( x2n + xnn ) + ... + ( xnn−1 + xnn )  ( x1 x2n−1 + x2 x1n−1 ) + ( x1 x3n−1 + x3 x1n−1 ) + ... + ( x1 xnn−1 + xn x1n−1 ) + ... + ( xn−1 xnn−1 + xn xnn−−11 )

(*)

Từ đó: (n − 1)(x1n + x2n + ... + xnn )  x1 ( x2n−1 + x3n−1 + ... + xnn−1 ) + x2 ( x1n−1 + x3n−1 + ... + xnn−1 ) + ... + xn ( x1n−1 + x2n−1 + ... + xnn−−11 )

(**)

Theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n-1 số thực không âm bất kì, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có: x2n−1 + x3n−1 + ... + xnn−1  (n − 1) x2 x3 ...xn x1n−1 + x3n−1 + ... + xnn−1  (n − 1) x1 x3 ...x n .................................

(***)

x1n−1 + x2n−1 + ... + xnn−−11  (n − 1) x1 x2 ...xn−1

Từ (**) và (***) ta có thể suy ra được (n − 1)( x1n + x2n + ... + xnn )  n(n − 1) x1 x2 ... xn

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

5

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

Trong hệ thức này đặt x1n = a1 , x2n = a2 ,..., xnn = an ta được a1 + a2 + ....+ an n  a1a2 ...an n

(đpcm)

2.3. Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski 2.3.1. Định nghĩa Cho n cặp số thực tùy ý a1 , b1 

, i = 1, 2,...., n . Thế thì 2

n   n 2  n 2 a b  1 i    ai . bi   i=1   i=1   i=1 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại k  sao cho bi = kai , i = 1,2,..., n . *Chứng minh: Với x 

ta có: (a1 x − b1 ) 2  0 ............... (an x − bn ) 2  0.

Từ đó suy ra: a12 x 2 − 2a1b1 x + b12  0 ............... an2 x 2 − 2an bn x + bn2  0

Cộng vế theo vế ta được: (a12 + a22 + ... + an2 ) x 2 − 2(a1b1 + a2b2 + ... + an bn ) x + (b12 + b22 + ... + bn2 )  0

Ta thấy rằng vế trái là một tam thức bậc hai f ( x) = Ax 2 + Bx + C Ta có f ( x)  0, x  , nếu A  0 thì ' = B 2 − AC = (a1b1 + a2b2 + ... + an an ) + (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )  0

Từ đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Nếu A = 0 thì a1 = a2 = ... = an khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: ' = 0  a1 x − b1 = ... = an x − bn = 0 b1 = ka1 ,...,bn = kan , k  R

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

6

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

2.4. Bất đẳng thức Becnuli 2.4.1. Định nghĩa Đối với mọi số thực dương a và số hữu tỉ q > 1 ( 0  a  , 1  q  ) thì: (1 + a) q  1 + qa

*Chứng minh: Do q 

và q  1 nên q =

m trong đó m  n , m, n . n

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số ta được: n −n   m  (1 + qa) + ... + (1 + qa) + 1 + 1 + ... + 1 n  (1 + qa) n .1m−n m

hay n(1 + qa) + m − n  m(1 + qa) n m Nhưng

n 1 = , vậy ta có: m q 1 + a  (1 + qa)1 q

hay (1 + a) q  1 + qa

2.5. Bất đẳng thức Jensen 2.5.1. Hàm lồi và hàm lõm 2.5.1.1. Hàm lồi Hàm f (x) được gọi là hàm lồi trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x2  (a, b) và 0    1:

f (x1 + (1 −  ) x2 )  f ( x1 ) + (1 −  ) f ( x2 )

Hàm f (x) được gọi là lồi chặt nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  = 0 hoặc  =1.

*Ví dụ: f (x) = x , f ( x) = x 2 , f ( x) = e x 2.5.1.2. Hàm lõm Hàm f (x) được gọi là hàm lõm nếu - f (x) là hàm lồi *Ví dụ: f ( x) = x , f ( x) = log10 x

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

7

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

2.5.2. Bất đẳng thức Jensen 2.5.2.1. Định nghĩa k

Nếu f là hàm lồi trên K thì xi  k , pi   0,1 ,  pi = 1 ta có: i =0



k



k

 p f ( x )  f   p x  i =1

i

i

i =1

i i

Với mọi hàm lồi chặt dấu bằng chỉ xảy ra khi x1 = x2 = .... = xn . Với mọi hàm lõm chặt dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = .... = xn . *Chứng minh: + Với k = 2 ta có: p1 f ( x1 ) + p2 f ( x2 )  f ( p1 x1 + p2 x2 )

(vì f là hàm lồi)

+ Giả sử bất đẳng thức Jensen đúng với k −1, ta sẽ chứng minh nó đúng với k. Ta đặt qi = pi /(1 − pk ) với i = 1,2,...,k − 1 . Ta có: k −1  k −1  p f ( x ) = p f ( x ) + ( 1 − p ) q f ( x )  p f ( x ) + ( 1 − p ) f   qi xi   i i k k k  i i k k k i =1 i =1  i =1  k

k −1   k  f ( pk xk + (1 − pk ) qi xi ) = f   pi xi  i =1   i =1

2.6. Bất đẳng thức Schwartz 2.6.1. Định nghĩa Giả sử a1 , a2 ,..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 ,..., bn là các số dương. Khi đó ta luôn có: a 2 (a + a2 + ... + an ) 2 a12 a22 + + ... + n  1 b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(*)

a a1 a2 = = ... = n b1 b2 bn

*Chứng minh: + Với n = 2 ta luôn có: a12 a22 (a1 + a2 ) 2 + = b1 b2 b1 + b2

Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành a 2 y ( x + y ) + b 2 x( x + y )  (a + b) 2 xy  (ay − bx) 2  0

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

(luôn đúng)

8

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

+ Giả sử bất đẳng thức Schwartz đúng với n − 1 , ta sẽ chứng minh nó đúng với n.

Với a1 , a2 ,..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 ,..., bn là các số dương. Khi đó ta luôn có: a2 a 2 (a + a2 + ... + an−1 ) 2 an2 (a1 + a2 + ... + an ) 2 a12 a22 + + ... + n−1 + n  1 +  b1 b2 bn−1 bn b1 + b2 + ... + bn−1 bn b1 + b2 + ... + bn 

a 2 (a + a2 + ... + an ) 2 a12 a22 + + ... + n  1 b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

9

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

CHƯƠNG II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Bài tập áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 1.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho hai số thực x, y cùng dấu. Chứng minh rằng: x+ y 

x+ y + xy 2

*Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x + y  2 x y Suy ra x+ y 2

+

x+ y 2



x+ y 2

+

2 xy 2

 x+ y

x+ y + xy 2

(1)

Lại có x+ y x+ y + xy  + xy 2 2

Từ (1) và (2) suy ra x + y 

(2)

x+ y + xy 2

Bài toán 2: Cho các số thực a, b sao cho a  1, b  1 . Chứng minh: a + b  1 + ab

*Chứng minh: Ta có a  1  a 2  1  a 2 − 1  0 (1) b  1  b 2  1  1 − b 2  0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (a 2 − 1)(1 − b 2 )  0  a 2 + b 2 − a 2 b 2 − 1  0  a 2 + b 2  a 2 b 2 + 1  a 2 + b 2 + 2ab  a 2 b 2 + 2ab + 1  (a + b) 2  (1 + ab) 2  a + b  1 + ab

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

10

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

1.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng x− y y−z z−x 1 + +  x+ y y+z z+ x 8

Bài tập 2: Cho hai số thực a , b trong đó a  1 , b  1 . Chứng minh rằng a + b  1 + ab

Bài tập 3: Chứng minh rằng Nếu a , b cùng dấu thì

a b + 2 b a

a b +  −2 b a

Nếu a , b trái dấu thì

Bài tập 4: Cho số thực x thỏa 2x −1 + x − 3 + x + 4 − 3x + 4 = 0 .Chứng minh rằng x  2 2. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi 2.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho a, b, c  0 . Chứng minh: (1 + a)(1 + b)(1 + c)  (1 + 3 abc ) 3

*Chứng minh: Ta có: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a, b, c ta được: a + b + c  33 abc Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ab, bc, ca ta được: ab + bc + ca  33 a 2b2c 2 Suy ra (1 + a)(1 + b)(1 + c)  1 + 33 abc + 33 a 2b2c 2 + abc hay (1 + a)(1 + b)(1 + c)  (1 + 3 abc ) 3 Bài toán 2: Với mọi số thực a. Chứng minh: A=

a2 + 2 a2 +1

2

*Chứng minh: Ta có: A=

a2 + 2 a +1 2

( a + 1) + 1 = =

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

2

2

a +1 2

a2 +1 +

1 a2 +1

11

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng Vì a 2 + 1  0, a  1 a2 +1

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

a 2 + 1 và

ta được: a2 +1 +

1 a2 +1

2

a 2 + 1.

1 a2 +1

 A2

2.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho ba số thực a , b , c . Chứng minh rằng (ab + bc + ca) 2  3abc(a + b + c)

Bài tập 2: Cho hai số a , b thỏa a  1 , b  1 . Chứng minh rằng 1 1 2 +  2 2 1 + a 1 + b 1 + ab

Bài tập 3: Cho hai số a , b thỏa a + b  2 . Chứng minh rằng a 4 + b4  a3 + a3

Bài tập 4: Cho ba số thực dương và a + b + c = 1. Chứng minh rằng  1  1  1  1 +  1 +  1 +   64  a  b  c 

3. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski 3.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho a + b  1 . Chứng minh a 2 + b 2 

1 2

*Chứng minh: Ta có 1  a + b  1  (1a + 1b) 2

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: (1a + 1b) 2  (12 + 12 )( a 2 + b 2 )  (1a + 1b) 2  2(a 2 + b 2 )

Từ (1) và (2) suy ra a 2 + b 2 

(2)

1 2

Bài toán 2: Cho a, b, c là ba số thực không âm và a + b + c = 1 . Chứng minh a+b + b+c + c+a  6

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

12

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

*Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski cho hai bộ số 1; 1; 1 và

a+b , b+c ,

c + a ta có:



(1. a + b + 1. b + c + 1. c + a ) 2  (1 + 1 + 1) ( a + b ) 2 + ( b + c ) 2 + ( c + a ) 2



 ( a + b + b + c + c + a ) 2  3(a + b + b + c + c + a) = 6  a+b + b+c + c+a  6

3.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hai số thực a , b thỏa mãn a + b  1 . Chứng minh rằng a 4 + b4 

1 8

Bài tập 2: Cho a , b , c là ba số dương và a + b + c  1 . Chứng minh rằng x2 +

1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2  82 2 x y z

Bài tập 3: Cho hai số thực a , b . Chứng minh rằng (a − 2b + 1) 2 + (2a − 4b + 5) 2 

9 5

Bài tập 4: Cho hai số thực a , b và a + 2b = 2 . Chứng minh rằng a 2 + b2 

4 5

4. Bài tập áp dụng bất dẳng thức Becnuli 4.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh

an + bn  a + b    2  2 

n

*Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Becnuli ta có: a −b  2a   a − b    = 1 +  1+ n a+b a +b  a +b n

n

a −b  2b   a − b    = 1 −  1− n a+b a +b  a +b n

n

Cộng tương ứng hai vế của hai bất đẳng thức trên ta được: an + bn  a + b   2a   2b     +  2  2 a +b a +b  2  n

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

n

n

13

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 ta có bất đẳng thức 2 3 3 n + 1 n ( n + 2) + + ... + n +1  1 2 n n +1

*Chứng minh: Để khử các căn bậc k+1, ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Becnuli như sau:  1 1  k +1  = 1 + (k + 1)  1 + k k (k + 1)  k (k + 1) 

k +1

, k  1

Từ đó lấy căn bậc k+1 từng vế ta được: k +1

k +1 1 1 1  1+ = 1+ − , k  1 k k (k + 1) k k +1

Cho k = 1,2,...,n rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức lại với nhau ta được: 2 33 n +1  1 1   1 1  1   1 + + ... + n+1  1 + −  + 1 + −  + ... + 1 + −  1 2 n  1 2  2 3  n n −1  

2 33 n +1 1 + + ... + n +1  n +1− 1 2 n n +1 2 33 n + 1 n(n + 2) + + ... + n +1  1 2 n n +1



4.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a , b , c ta có bất đẳng thức 3

3

 a   b   c    +  +  b+c c+a  a+b 

3



3 3

2

Bài tập 2: Cho x1 , x2 ,..., xn là các số dương. Chứng minh rằng với mọi m  n  0 ta luôn có 1 m

 x + x + ... + x   x + x + ... + x      n n     m 1

m 2

m k

n 1

n 2

n k

1 n

Bài tập 3: Cho A , B , C là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin

2

A + sin

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

2

 3 B + sin C  3    2 

2

2

14

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

5. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Jensen 5.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi ABC ta luôn có: sin A + sin B + sin C 

3 3 2

*Chứng minh: Xét f ( x) = sin x với x  (0,  ) suy ra f (x) là hàm lồi Theo Jensen ta có: f ( A) f ( B) f (C ) A B C + +  f + +  3 3 3 3 3 3  A+ B +C   f ( A) + f ( B) + f (C )  3 f   3      f ( A) + f ( B) + f (C )  3 f   3

hay sin A + sin B + sin C 

3 3 2

(đpcm)

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi ABC ta luôn có: sin

A B C A B C 3 + sin + sin + tan + tan + tan  + 3 2 2 2 2 2 2 2

*Chứng minh:   Đặt f ( x) = sin x + tan x, x   0,  suy ra f (x) là hàm lồi 

2

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta được:  A B C  A B C f  f  f  + + 2+ 2+  2 f  2 2 2    3 3 3 3      A B C  f  f  f  2 2 2  A+ B +C    +  +   f   3 3 3 6    A B C    f  + f  + f   3f   2 2 2 6    A B C    f   + f   + f    3  tan + sin  6 6 2 2 2 

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

15

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng  sin

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

A B C A B C 3 + sin + sin + tan + tan + tan  + 3 2 2 2 2 2 2 2

5.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho A , B , C là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng tan

A B C + tan + tan  3 2 2 2

Bài tập 2: Cho a , b , c là các cạnh của tam giác ABC bất kì và x , y , z là các số dương, p là nửa chu của tam giác ABC. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3 8s 3 + +  x y z 3( x + y + z )

6. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Schwartz 6.1. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z  3 .Chứng minh rằng: x2 y2 z2 3 + +  x + yz y + zx z + xy 2

*Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Schwartz, ta có: x2 y2 z2 ( x + y + z) 2 + +  x + yz y + zx z + xy x + y + z + xy + yz + zx

Mặt khác: x + y + z  xy + yz + zx

nên ta có: ( x + y + z)2 x2 y2 z2 + +  x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z 

x2 y2 z2 x+ y+z 3 + +   2 2 x + yz y + zx z + xy

Bài toán 2: Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+b+c + +  2 2 2 2 2 2 3 a + ab + b b + bc + c c + ca + a

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

16

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

*Chứng minh: Ta có: a3 b3 c3 + + a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2 a4 b4 c4 = + + a(a 2 + ab + b 2 ) b(b 2 + bc + c 2 ) c(c 2 + ca + a 2 )

Áp dung bất đẳng thức Schwartz ta được: a4 b4 c4 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 + +  a(a 2 + ab + b 2 ) b(b 2 + bc + c 2 ) c(c 2 + ca + a 2 ) a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

Vì a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 )

Nên a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + +  a+b+c a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

Mặt khác: (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2  0  2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca  0  3(a 2 + b 2 + c 2 )  (a + b + c) 2 

a2 + b2 + c2 a + b + c − 0 a+b+c 3

a2 + b2 + c2 a + b + c   a+b+c 3

Suy ra

a3 b3 c3 a+b+c + +  2 2 2 2 2 2 3 a + ab + b b + bc + c c + ca + a

(đpcm)

6.2. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho ba số thực dương a , b , c . Chứng minh rằng a b c + + 1 b + 2c c + 2a a + 2b 1 3

Bài tâp 2: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2  . Chứng minh rằng a3 b3 c3 1 + +  2a + 3b + 5c 2b + 3c + 5a 2c + 3a + 5b 30

Bài tập 3: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 3abc . Chứng minh rằng a b c 9 + 2 2+ 2 2 bc ca ab a +b+c 2 2

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

17

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

Bài tập 4: Cho ba số thực dương a , b , c . Chứng minh rằng a 2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2 + +  a+b+c a+b b+c c+a

7. Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị 7.1. Các định lí 7.1.1. Mệnh đề 1.

Nếu tổng của các số thực dương x1 , x2 ,..., xn bằng một số cho trước thì tích của chúng lớn nhất khi x1 = x2 = ... = xn *Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: S x1 + x2 + ... + xn n =  x1 x2 ...xn n n S   x1 x2 ...xn    n

n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn . Với S là tổng của n số dương x1 , x2 ,..., xn đã cho, khi đó tích có giá trị lớn nhất.

7.1.2. Định lí 2.

Nếu n số thực dương x1 , x2 ,..., xn có tổng S không đổi thì tích P = x1m x2m ... xnm có 1

2

n

giá trị lớn nhất khi x x1 x = 2 = ... = n m1 m2 mn

trong đó mi là các số hữu tỉ dương cho trước 7.1.3. Mệnh đề 3.

Nếu tích các số dương x1 , x2 ,..., xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1 = x2 = ... = xn . *Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x1 + x2 + ... + xn n  x1 x2 ...xn = n P n  x1 + x2 + ...+ xn  nn P

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn . Với P là tích của n số dương x1 , x2 ,..., xn đã cho, khi đó tổng có giá trị bé nhất.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

18

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

7.1.1. Định lí 4.

Nếu n số thực dương x1 , x2 ,..., xn có tích P = x1m x2m ... xnm không đổi thì tổng 1

S = x1 + x2 + ... + xn có giá trị bé nhất khi

2

n

x x1 x = 2 = ... = n ( trong đó mi , i = 1,2..., n là m1 m2 mn

các số hữu tỉ dương cho trước).

7.2. Áp dụng Bài toán 1: Cho a, b, c  0 , biết a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b3 + c 3

*Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 1 a +  27 27 3 1 1 b b3 + +  27 27 3 1 1 c c3 + +  27 27 3 a3 +

Cộng tương ứng hai vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 6 a+b+c 6 1   a 3 + b3 + c3 +  27 3 27 3 1  a 3 + b3 + c3  9 a 3 + b3 + c3 +

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

1 1 , khi a = b = c = 9 3

Bài toán 2: Tìm giá trị bé nhất của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz = 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 4 . Giá trị đó đạt được khi nào?

*Giải: Theo bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 )( a 2 + b 2 + c 2 )  (ax + by + cz ) 2

Do đó S = x2 + y2 + z 2 

P2 36 = =9 2 2 2 a +b +c 4

Vậy S có giá trị bé nhất là 9 khi: x=

aP 3a bP 3b cP 3c = ;y= 2 = ;z = 2 = 2 2 2 2 2 2 a +b +c 2 a +b +c 2 a +b +c 2 2

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

19

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

* Bài toán 3: Với x không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

x+8 x +1

*Giải: 2

x + 8 ( x − 1) + 9 9 9 = = x −1+ = x +1+ −2 Ta có: A = x +1 x +1 x +1 x +1

Vì x  0 nªn

x được xác định và

x +1  0 ,

9 x +1

0

x + 1 và

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

9 x +1

Ta có: A = x +1+

9 −22 x +1

(

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x + 1 =

)

x +1.

9 −2 A4 x +1

9 x=4 x +1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi và chỉ khi x = 4 7.3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 3 + 2000 x

Bài tập 2: Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x2 − 6x + 5 2x

Bài tập 3: Cho x  y và x. y = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 − 12 xy + y 2 x− y

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 − x + x −1

Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (2 x 2 − 1)(2 − x 2 )

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 25 − x 2

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

20

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

8. Một số bài tập nâng cao Bài tập 1: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt = 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3  x ( yz + zt + ty) y ( xz + zt + tx) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3 3

*Chứng minh: 1 a

1 b

1 c

Đặt x = ; y = ; z = ; t =

1 , theo đề ta có abcd = 1 và d

1 1 a2 = = 1  1 1 1  b+c+d x 3 ( yz + zt + ty) +  +  a 3  bc dc bd  1 1 b2 = = 1  1 1 1  a+c+d y 3 ( xz + zt + tx) +  +  b 3  ac cd da  1 1 c2 = = 1 1  a+b+d z 3 ( yt + xt + xy ) 1  1 + +   c 3  bd ad ab  1 1 d2 = = 1  1 1 1  a+b+c t 3 ( yz + zx + xy ) +   + d 3  bc ca ab  (1)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 + 3 + 3 + 3 x ( yz + zt + ty) y ( xz + zt + tx) z ( yt + xt + xy) t ( yz + zx + xy) 3

=

a2 b2 c2 d2 + + + b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có: a2 b2 c2 d2 (a + b + c + d ) 2 a + b + c + d + + +  = b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) 3 (2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a + b + c + d 44 abcd 4  = 3 3 3

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3  x ( yz + zt + ty) y ( xz + zt + tx) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3 3

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

21

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

*Nhận xét: Ta thấy rằng đây là một bài toán khá khó, cái khó ở bài toán này là rất khó nhận ra dấu hiệu để áp dụng các bất đẳng thức, vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết cách phân tích để đưa về các bất đẳng thức quen thuộc và vận dụng các bất đẳng thức một cách linh hoạt. Để giải được bài toán này ta phải sử dụng đến hai bất đẳng thức khác nhau cùng một lúc, đó là bất đẳng thức Côsi và Schwart Bài tập 2: Cho số thực dương x, chứng minh A =

2 x 3 + 27 9 x2

*Chứng minh: Ta có: 2 x 3 + 27 27 27 A= = 2x + 2 = x + x + 2 2 x x x

Vì x  0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương x, x, x+x+

27 ta có: x2

27 27  33 x.x. 2  A  9 2 x x

*Nhận xét: Đây là một dạng toán không quá khó đối với học sinh nhưng đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc vận dụng các bất đẳng thức để giải toán. Ta thấy rằng hai số dương 2 x và

27 có tích không phải là một hằng số. Muốn khử được x 2 thì 2 x

tử phải có x 2 = x.x do đó phải biểu diễn 2x = x + x rồi dùng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Bài tập 3: Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2 . Chứng minh: A=

x2 y2 z2 + + 1 y+z z+x x+ y

*Chứng minh: x2 y+z Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương và ta được: y+z 4

x2 y+z x2 y + z x + 2 . = 2. = x y+z 4 y+z 4 2

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

(1)

22

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm y2 z+x và ta được: z+x 4

y2 z+x y2 z + x y + 2 . = 2. = y z+x 4 z+x 4 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

(2)

z2 x+ y và ta được: x+ y 4

z2 x+ y z2 x + y z + 2 . = 2. = z x+ y 4 x+ y 4 2

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được : x2 y2 z2 x+ y+z + + +  x+ y+z y+z z+x x+ y 2 x2 y2 z2 x+ y+z  + +  y+z z+x x+ y 2  A 1

*Nhận xét: Ta thấy rằng nếu để nguyên A thì khó có thể giải quyết bài toán vì A không có bất cứ dấu hiệu quen thuộc nào để ta áp dụng các bất đẳng thức để giải quyết x2 y2 y+z z+x bài toán. Ta sẽ thêm vào hạng tử thứ nhất , vào hạng tử thứ hai y+z z+x 4 4

,

z2 x+ y vào hạng tử thứ ba để khi vận dụng bất đẳng thức Côsi ta có thể khử x+ y 4

được y + z , z + x , x + y ở mẫu các hạng tử của A, từ đó giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 ta luôn có S=

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2  1 2 2 3 4 n

*Chứng minh: Xét

1 1 1 =  , k  2 2 k .k k (k − 1) k

Lại có

1 1 1 = − k (k − 1) k − 1 k

Suy ra

1 1 1  − 2 k −1 k k

Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có: SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

23

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

1 1 1  − 22 1 2 1 1 1  − 32 2 3 ........

1 1 1  − 2 n −1 n n

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ...+ 2  1 −  2 + 2 + 2 + ...+ 2  1 2 n 2 3 4 n 2 3 4 n

hay S =

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2  1 (đpcm) 2 2 3 4 n

*Nhận xét: Ta thấy rằng các hạng tử của S đều có dạng thức

1 , ta áp dụng bất đẳng k2

1 1 1 1  = − cho mỗi hạng tử của S, rồi cộng vế theo vế các bất đẳng k .k k (k − 1) k − 1 k

1 n

thức lại với nhau thì vế phải của bất đẳng thức mới chỉ còn lại 1− , từ đó ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

9. Ứng dụng bất đẳng thức vào việc giải phương trình Bài toán 1: Giải phương trình x4 + 4 = 2 x4 + 4 + 2 x4 − 4

*Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: x 4 + 4  4 x 2 (1) Theo bất đẳng thức Schwarz ta có: (a + b)2  2(a2 + b2 )  a + b  2(a 2 + b2 ) (*) Trở lại bài toán, áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 x 4 + 4 + 2 x 4 − 4  2  4( x 4 + 4) + 4( x 4 − 4)   2 x + 4 + 2 x − 4  4x 4

4

(2)

2

Từ (1) và (2) ta có dấu bằng xảy ra khi  x 4 = 4  x=  4 4  2 x + 4 = 2 x − 4

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

24

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

Bài toán 2: Giải phương trình 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4 = 16 *Giải: Áp dung bất đẳng thức Côsi ta có 4(1 − x 2 ) + x 2 4 − 3x2  2 x2 − x4  2 2 2 2 4 − 3x 52 − 39 x  x2 − x4   13 x 2 − x 4  4 4 4(1 − x 2 ) x 2 

Tương tự ta cũng có 9 x 2 + 4(1 + x 2 ) 13 x 2 + 4  6 x2 + x4  2 2 2 39 x + 12  9 x2 + x4  4 9 x 2 .4(1 + x 2 ) 

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4  16

Dấu bằng xảy ra khi 4(1 − x 2 ) = x 2 2 5 x=  2 2 5 9 x = 4(1 + x )

Vậy phương trình 13 x2 − x4 + 9 x2 + x4 = 16 có nghiệm là x =

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

2 5 5

25

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

C. KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau: 1. Hệ thống lại các khái niệm, tính chất và những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức.

2. Tìm hiểu sâu hơn về một số bất đẳng thức quan trọng, và đưa ra các bài tập vận dụng cho từng bất đẳng thức để học sinh nắm bài vững kiến thức về từng bất đẳng thức. Hướng dẫn học sinh những thủ thuật chứng minh bất đẳng thức và những dấu hiệu nhận biết để áp dụng các bất đẳng thức cho phù hợp.

3. Đưa ra một số bài tập về bất đẳng thức ở mức độ khó để những học sinh có học lực khá- giỏi phát triển tư duy. Đưa ra các đánh giá nhận xét để học sinh hiểu rõ hơn bản chất bài toán từ đó học sinh có thể tự giải các bài toán tương tự.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

26

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Kỳ- Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp và thực hành giải toán, NXB Đại Học Sư Phạm, 2005 [2] Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức và những lời giải hay, NXB Hà Nội, 2009 [3] Vũ Đình Hòa, Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2005 [4] website http://m.tailieu.vn, http://toan.hoctainha.vn

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

27

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

E. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ......................................................................................................................................

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

28

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 1 4. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................... 1 5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 7. Cấu trúc đề tài................................................................................................. 2 B. NỘI DUNG ..................................................................................................... 3 CHƯƠNG I. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG ........................ 3 1. Bất đẳng thức .................................................................................................. 3 1.1. Định nghĩa .................................................................................................... 3 1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức........................................................... 3 2. Các bất đẳng thức quan trọng ....................................................................... 4 2.1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ............................................................... 4 2.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 4 2.2. Bất đẳng thức Côsi....................................................................................... 4 2.2.1. Định nghĩa ................................................................................................. 4 2.3. Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski ............................................................. 6 2.3.1. Định nghĩa ................................................................................................. 6 2.4. Bất đẳng thức Becnuli ................................................................................. 7 2.4.1. Định nghĩa ................................................................................................. 7 2.5. Bất đẳng thức Jensen................................................................................... 7 2.5.1. Hàm lồi và hàm lõm.................................................................................. 7 2.5.1.1. Hàm lồi.................................................................................................... 7 2.5.1.2. Hàm lõm ................................................................................................. 7 2.5.2. Bất đẳng thức Jensen................................................................................ 8 2.5.2.1. Định nghĩa .............................................................................................. 8 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

2.6. Bất đẳng thức Schwartz .............................................................................. 8 2.6.1. Định nghĩa ................................................................................................. 8 CHƯƠNG II. BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................. 10 1. Bài tập áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối .................................... 10 1.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 10 1.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 11 2. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi ............................................................ 11 2.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 11 2.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 12 3. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski ................................. 12 3.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 12 3.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 13 4. Bài tập áp dụng bất dẳng thức Becnuli ...................................................... 13 4.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 13 4.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 14 5. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Jensen ........................................................ 15 5.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 15 5.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 16 6. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Schwartz ................................................... 16 6.1. Bài tập áp dụng .......................................................................................... 16 6.2. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 17 7. Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị ........................... 18 7.1. Các định lí................................................................................................... 18 7.1.1. Mệnh đề 1. ............................................................................................... 18 7.1.2. Định lí 2.................................................................................................... 18 7.1.3. Mệnh đề 3. ............................................................................................... 18 7.1.1. Định lí 4.................................................................................................... 19 7.2. Áp dụng ...................................................................................................... 19 7.3. Bài tập tự luyện .......................................................................................... 20 SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

GVHD: Huỳnh Thị Mai Trâm

8. Một số bài tập nâng cao ............................................................................... 21 9. Ứng dụng bất đẳng thức vào việc giải phương trình................................. 24 C. KẾT LUẬN................................................................................................... 26 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 27 E. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ........................................ 28

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng