LECTURE TOÁN CAO CẤP A2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)

1/5/2016

TOÁN CAO CẤP A2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH)

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 45 Chương 1. Ma trận – Định thức Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chương 3. Không gian vector Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chương 5. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương

Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.

2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.

4. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục.

5. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP. HCM. 6. Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright – Fundamental Methods of Mathematical Economics.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

§1. Ma trận §2. Định thức

…………………………………………………

§1. MA TRẬN (Matrix) 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m ´ n trên  là 1 hệ thống gồm m ´ n số aij Î  (i = 1, m; j = 1, n ) và được sắp thành bảng gồm m dòng và n cột:

1

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æa çç 11 a12 çç a a22 A = çç 21 çç ... ... çç çèam 1 am 2

... a1n ö÷ ÷ ... a2n ÷÷÷ ÷. ... ... ÷÷÷ ÷ ... amn ø÷÷

• Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j .

• Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A.

• Khi m = 1, ta gọi: A = (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dòng.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æa ö çç 11 ÷÷ ÷ • Khi n = 1, ta gọi A = ççç ... ÷÷ là ma trận cột. çç ÷÷÷ çèam 1 ÷ø • Khi m = n = 1, ta gọi: A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử.

• Ma trận O = (0ij )m´n có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không.

• Tập hợp các ma trận A trên được ký hiệu là M m ,n ( ) , để cho gọn ta viết là A  (aij ) mn .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

• Ma trận vuông

 Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n .

Ký hiệu là A = (aij )n .

 Đường chéo chứa các phần tử a11, a22 ,..., ann được gọi là đường chéo chính của A = (aij )n , đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ.

æ1 çç çç5 çç çç7 çç çè3

2 3 4ö÷ ÷ 6 7 8÷÷÷ ÷ 6 5 4÷÷÷ ÷ 2 1 0÷÷ø

2

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

• Các ma trận vuông đặc biệt  Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo (diagonal matrix).

Ký hiệu: diag(a11, a22 ,..., ann ).

æ ö çç-1 0 0÷÷ çç 0 5 0÷÷ ÷÷ çç çç 0 0 0÷÷÷ è ø

 Ma trận chéo cấp n gồm tất cả æ1 çç các phần tử trên đường chéo ç chính đều bằng 1 được gọi là I 3 = çç0 çç ma trận đơn vị cấp n (Identity çè0 matrix). Ký hiệu là: I n .

0 0ö÷ ÷÷ 1 0÷÷ ÷÷ 0 1÷ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới). æ 3 0 0ö æ1 0 -2ö ÷÷ ÷÷ çç çç ÷÷ ÷ ç ç ÷ = B 4 1 0 A = çç0 -1 1 ÷ çç ÷÷ ÷ çç çç ÷÷ ÷÷ 1 5 2 0 0 0 ÷ø çè çè ø÷

 Ma trận vuông cấp n có tất cả các cặp phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau (aij = a ji ) được gọi là ma trận đối xứng.

æ 3 4 -1ö ÷÷ çç çç 4 1 0 ÷÷ ÷÷ çç çç-1 0 2 ÷÷÷ è ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Ma trận bằng nhau Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và aij = bij , "i, j .

æ1 0 -1ö æ1 x y ö ÷÷ ÷÷ çç VD 1. Cho A = ççç và B = ÷ çç2 u 3 ÷÷. çèz 2 t ÷ø è ø Ta có: A = B  x = 0; y = -1; z = 2; u = 2; t = 3 .

3

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m´n và B = (bij )m´n , ta có:

A  B = (aij  bij )m´n . æ-1 0 2 ö æ2 0 2ö æ1 0 4 ö ÷÷ ç ÷ ç ÷ VD 2. ççç ÷÷ + çç5 -3 1÷÷÷ = çç7 0 -3÷÷÷; 2 3 4 èç ø èç ø çè ø æ-1 0 2 ö æ2 0 2ö æ-3 0 0 ö ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ çç çç 2 3 -4÷÷ - ççç5 -3 1÷÷ = ççç-3 6 -5÷÷. è ø è ø è ø Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Phép nhân vô hướng Cho ma trận A = (aij )m´n và l Î  , ta có:

lA = (laij )m´n .

VD 3.

æ-1 -3 ççç èç-2 æ2 çç çç-4 è

0 ö÷ æç3 ÷=ç 0 -4÷÷ø èçç6 æ1 6 4ö÷ ÷÷ = 2 çç çç-2 0 8÷ø è 1

0 ö÷ ÷; 0 12÷÷ø 3 2÷ö ÷.

0 4÷÷ø

-3

Chú ý • Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng ma trận.

• Ma trận -1.A = -A được gọi là ma trận đối của A.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m´n và B = (bjk )n´p , ta có:

AB = (cik )m´p . n

Trong đó, cik = å aijbjk j =1

(i = 1, m; k = 1, p).

æ-1ö çç ÷÷ ÷ VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3 ççç 2 ÷÷. çç ÷÷÷ çè-5÷ø æ-1ö çç ÷÷ ÷ Giải. 1 2 3 ççç 2 ÷÷ = (-1 + 4 - 15) = (-12). çç ÷÷÷ çè-5÷ø

(

(

)

)

4

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ 1 -1 0ö ÷÷ VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2 ççç ÷. çè-1 0 3÷ø æ 1 -1 0ö ÷÷ Giải. 1 2 ççç ÷ = -1 -1 6 . çè-1 0 3÷ø

(

(

)

)

(

)

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ 0 ö÷ æ 1 1 -1ö çç 2 ÷÷ ÷÷ ç ç VD 6. Tính çç çç 1 -1÷÷. ÷ ÷÷ çè-2 0 3 ÷ø çç çè-1 3 ÷÷ø æ 0 ÷ö æ æ 1 1 -1ö çç 2 4 -4÷ö ÷÷ ÷÷ ç ç ÷.

Giải. çç çç 1 -1÷÷ = ççç ÷ ÷÷ çè-7 9 ø÷÷ çè-2 0 3 ÷ø çç çè-1 3 ÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất Cho các ma trận A, B,C Î M m ,n () và số l Î  .

Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có: 1) (AB )C = A(BC ) ; 2) A(B + C ) = AB + AC ; 3) (A + B )C = AC + BC ; 4) l(AB ) = (lA)B = A(lB ); 5) AI n = A = I m A .

æ1 0 -1ö æ-1 -2 1ö ÷÷ ÷÷ çç çç ÷ ÷ ç ç ÷ VD 7. Cho A = çç2 -2 0 ÷ và B = çç 0 -3 1÷÷. ÷ ÷÷ çç çç ÷ çè3 0 -3÷ø÷ çè 2 -1 0÷ø÷ Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.

5

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 8. Thực hiện phép nhân: æ 1 -1 2öæ 0 1 3 öæ 2 -1 2 öæ -1ö çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ A = ççç 2 -3 0÷÷ ççç-1 -2 1 ÷÷ ççç1 0 -2÷÷ ççç 1 ÷÷. ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ çç ç 0 ÷øè ÷ çç3 1 ÷ çç-2÷ø÷ èç-1 1 4÷÷øèç 2 -1 -3÷øè Nhận xét Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Lũy thừa ma trận Cho ma trận vuông A Î M n ().

• Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp: A0 = I n ; A0 = A ; Ak +1 = Ak .A, "k Î  .

• Nếu $k Î  \ {0; 1} sao cho Ak = (0ij )n thì A được gọi là ma trận lũy linh.

Số k Î , k ³ 2 bé nhất sao cho Ak = (0ij )n được gọi là cấp của ma trận lũy linh A . 0 1 0 VD 9. Ma trận A   0 0 1  là lũy linh cấp 3.   0 0 0  

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất 1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , "k Î 

2) Ak +m = Ak .Am , "A Î M n (), "k, m Î  3) Akm = (Ak )m , "A Î M n (), "k, m Î  .

Chú ý 1) Nếu A = diag (a11, a22 ,..., ann ) Î M n () thì: k k k Ak = diag(a11 , a22 ,..., ann ).

2) Nếu A, B Î M n () thỏa AB = BA (giao hoán) thì các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A , B .

Khi AB ¹ BA thì các hằng đẳng thức đó không còn đúng nữa.

6

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 -1ö ÷ VD 10. Cho f (x ) = 2x 3 - 4x 2 và A = ççç ÷÷. çè0 1 ÷ø Tính f (A) + I 2 . æ2 0ö ÷÷ 2011 VD 11. Cho A = ççç ÷÷ , giá trị của (I 2 - A) là: 1 0 çè ø æ-1 -1ö æ-1 1ö æ 0 -1ö æ-1 0ö ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ ; B. ççç ; C. ççç ; D. ççç A. ççç ÷ ÷ ÷ ÷. ÷ ÷ ÷ 1ø çè 0 çè-1 0ø çè-1 1 ø çè-1 1÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 12. Tìm ma trận D = (ABC )5 , trong đó: æ-2 1ö æ3 0 ö æ0 1ö ÷÷ ÷÷ ÷÷ A = ççç , B = ççç , C = ççç ÷ ÷ ÷. çè 1 0÷ø çè8 -1÷ø çè1 2÷ø

æcos a - sin aö ÷÷ VD 13. Cho ma trận A(a) = ççç ÷. çè sin a cos a ÷ø n

Hãy tìm ma trận éëêA(a)ùûú , "n Î  ?

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 14. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 40 có các phần tử aij = (-1)i + j . Phần tử a25 của A2 là: A. a25 = 0 ; B. a25 = -40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = -1.

VD 15. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 100 có các phần tử aij = (-1)i .3 j . Phần tử a 34 của A2 là:

35 (1 - 3100 ); 4 35 C. a 34 = (3100 - 1); 2

A. a 34 =

35 100 (3 - 1); 4 5 3 D. a 34 = (1 - 3100 ).

2

B. a 34 =

7

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

d) Phép chuyển vị (Transposed matrix) Cho ma trận A = (aij )m´n .

Khi đó, AT = (a ji )n´m được gọi là ma trận chuyển vị của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).

æ1

4 ö÷

ç ÷ æ1 2 3ö ÷÷  AT = ççç 2 5 ÷÷ . ç ç VD 16. Cho A = ç ÷÷ ÷ ç 5 6ø÷ çç çè4 ÷ çè 3 6 ÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Tính chất 1) (A + B )T = AT + BT ; 2) (lA)T = l.AT ; 3) (AT )T = A ; 4) (AB )T = BT AT ; 5) AT = A  A là ma trận đối xứng.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ 1 -1ö ÷÷ çç æ 0 1 -2ö ÷ ÷ 2 ÷÷, B = ççç VD 17. A = ççç 0 ÷÷. çè-1 0 -3÷ø çç ÷÷÷ çè-3 -2÷ø a) Tính (AB )T . b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .

8

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận (Gauss – Jordan) Cho ma trận A = (aij )m´n (m ³ 2). Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là: di «dk ¾ A¢ .

1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho nhau A ¾ ¾ d ld

i i ¾¾  A¢¢ .

2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số l ¹ 0 , A ¾¾

3) (e3 ) : Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần di di +ldk dòng khác, A ¾¾ ¾ ¾¾  A¢¢¢ .

Chú ý di  mdi +ldk ¾¾¾ B. 1) Trong thực hành ta thường làm A ¾¾ 2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận æ ö æ1 - 2 3 ö÷ çç2 1 -1÷÷ çç ÷÷ ÷÷ ç ç A = çç1 -2 3 ÷ về B = çç0 1 -7 / 5÷÷. ÷÷ ÷÷ çç çç 0 ÷÷ø çè3 -1 2 ÷÷ø çè0 0

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.4. Ma trận bậc thang • Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).

• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.

• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m ´ n (m, n ³ 2) thỏa hai điều kiện:

1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.

9

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 19. Các ma trận bậc thang: æ1 0 2 ö ÷÷ çç çç0 0 3÷÷, ÷÷ çç çç0 0 0÷÷÷ è ø

æ 1 0 ... 0 ö ÷÷ æ0 1 2 3ö çç ÷÷ çç çç 0 1 ... 0 ÷÷ çç0 0 4 5÷÷, ÷ ç çç ÷÷÷ I n = çç... ... ... ...÷÷÷ . ÷÷ çç çç0 0 0 1÷÷ è ø çç 0 0 ... 1 ÷÷ è ø

Các ma trận không phải là bậc thang: æ0 0 0ö æ0 2 7 ö æ1 3 5 ö ÷÷ ÷÷ ÷÷ çç ç ç çç3 1 4÷÷, ççç0 3 4÷÷, ççç0 0 4÷÷. ÷÷ ÷÷ ÷÷ çç çç çç ÷ ÷ ÷ ççè0 0 5÷÷ø ççè0 0 5÷÷ø ççè2 1 3÷÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

 Ma trận bậc thang rút gọn Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó. æ1 3 0 0ö æ0 1 0 3ö ÷÷ ÷÷ çç çç ÷ ÷ ç ç ÷ VD 20. I n , A = çç0 0 1 0÷ , B = çç0 0 1 2÷÷ ÷ ÷÷ çç çç ÷ çè0 0 0 1÷ø÷ çè0 0 0 0÷ø÷

là các ma trận bậc thang rút gọn.

æ1 2 3ö ÷÷ Ma trận C = ççç ÷ không là bậc thang rút gọn. çè0 0 1÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1.5. Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa • Ma trận A Î M n () được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B Î M n () sao cho: AB = BA = I n .

• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu B = A-1 . Khi đó: A-1A = AA-1 = I n ; (A-1 )-1 = A. Chú ý Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất và A cũng là ma trận nghịch đảo của B .

10

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ2 5ö æ 3 -5ö ÷÷ ÷÷ VD 21. A = ççç và B = ççç ÷ ÷÷ là hai ma trận ÷ 1 3 1 2 çè çè ø ø nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I 2 . æ 0 0 1ö ÷÷ çç ÷ VD 22. Cho biết ma trận A = ççç0 1 0÷÷ thỏa: ÷÷ çç çè1 0 0÷÷ø A3 - A2 - A + I 3 = O3 . Tìm A-1 ?

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý 1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì không khả nghịch.

2) I -1 = I ; (AB )-1 = B -1A-1 .

3) Nếu ac - bd ¹ 0 thì: -1 æ ö æ c -b ö 1 ÷÷ çça b ÷÷ = . ççç ÷. ççd c ÷÷ d a ac bd ÷ ç è ø è ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ2 5ö æ2 1ö ÷÷ ÷÷ VD 23. Cho A = ççç và B = ççç ÷ ÷÷. ÷ 1 3 3 2 çè çè ø ø -1 Thực hiện phép tính: a) (AB ) ; b) B -1A-1 . æ19 12ö ÷÷ Giải. a) Ta có: AB = ççç ÷ và 19.7 - 11.12 = 1 çè11 7 ÷ø

11

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ5 -3ö æ-4 1ö ÷÷ ÷÷ , B = ççç VD 24. Cho hai ma trận A = ççç ÷ ÷÷. ÷ 3 2 2 3 èç ø èç ø Tìm ma trận X thỏa AX = B .

Giải. Ta có: AX = B  A-1AX = A-1B  X = A-1B .

æ-2 3öæ-4 1ö æ-2 -7 ö ÷÷ç ÷ ç ÷ Vậy X = - ççç ÷÷çç-2 3÷÷÷ = çç-2 -12÷÷÷.

3 5 èç øèç ø èç ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng (tham khảo) Cho A Î M n () khả nghịch, ta tìm A-1 như sau: Bước 1. Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) bằng

(

)

cách ghép ma trận I n vào bên phải của A.

Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A I n về dạng I n B . æ1 -1 0 1ö ÷÷ çç Khi đó: A-1 = B . çç0 -1 1 0÷÷ ÷÷ VD 25. Tìm nghịch đảo của A = çç . çç0 0 1 1÷÷÷ çç ÷÷ èç0 0 0 1÷ø

(

)

(

)

 Chương 1. Ma trận – Định thức

(

Giải. Ta có: A I 4

)

æ çç1 -1 0 1 1 çç0 -1 1 0 0 = çç çç0 0 1 1 0 çç çè0 0 0 1 0

æ1 çç çç0 d3 d3 -d4 ç ¾¾ ¾ ¾ ¾  ç d2 d3 -d2 çç0 d1 d1 +d2 -d4 çç çè0

0 0 0ö÷ ÷÷ 1 0 0÷÷ ÷÷ 0 1 0÷÷ ÷ 0 0 1÷÷ø÷

0 0 0 1 -1 1 -2ö÷ ÷÷ 1 0 0 0 -1 1 -1÷÷ ÷÷ .

0 1 0 0 0 1 -1÷÷ ÷ 0 0 1 0 0 0 1 ÷÷÷ø I4 A-1



……………………………………………………………………

12

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

§2. ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa a) Ma trận con cấp k

Cho A = (aij ) Î M n (). n

• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A.

• Ma trận M ij có cấp n - 1 thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 2 3ö ÷÷ çç ÷ ç VD 1. Ma trận A = çç4 5 6÷÷ có các ma trận con ứng ÷÷ çç çè7 8 9÷÷ø với các phần tử aij là: æ5 6ö æ4 6ö æ 4 5ö ÷÷ ÷÷ ÷ , M 12 = ççç , M 13 = ççç M 11 = ççç ÷ ÷ ÷÷÷, ÷ ÷ 8 9 7 9 7 8 èç ø èç ø èç ø æ2 3ö æ1 3ö æ1 2ö ÷÷ ÷÷ ÷ , M 22 = ççç , M 23 = ççç M 21 = ççç ÷ ÷ ÷÷, 8 9 7 9 7 8 ÷ ÷ ÷ çè çè çè ø ø ø æ2 3ö æ1 3ö æ1 2ö ÷÷ ÷÷ ÷÷ , M 32 = ççç , M 33 = ççç M 31 = ççç ÷ ÷ ÷. çè5 6÷ø çè4 6÷ø çè4 5÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Định thức (Determinant) Định thức của ma trận vuông A Î M n (), ký hiệu det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa:  Nếu A = (a11 ) thì detA = a11 .

æa a ö÷  Nếu A = ççç 11 12 ÷÷ thì detA = a11a22 - a12a21 . çèa21 a22 ÷ø

 Nếu A = (aij )n (cấp n ³ 3 ) thì:

det A = a11A11 + a12A12 + ... + a1n A1n trong đó, Aij = (-1)i + j det M ij và số thực Aij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij .

13

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý 1) det I n = 1, detOn = 0 . a11 a12 a13

2) Tính a21 a22 a23 . a 31 a 32 a 33

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33

hoặc

(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: æ1 2 -1ö ÷÷ çç æ3 -2ö ÷÷ çç3 -2 1 ÷÷. = , B A = ççç ÷÷ ÷ çç çè1 4 ÷ø ÷÷ çç2 1 1 ÷ø è VD 3. Tính định thức của ma trận: æ0 0 3 -1ö ÷÷ çç ÷ ççç4 1 2 -1÷÷ ÷÷.

A=ç çç3 1 0 2 ÷÷ ÷÷ çç çè2 3 3 5 ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.2. Các tính chất cơ bản của định thức

Cho ma trận vuông A = (aij ) Î M n (), ta có các n

tính chất cơ bản sau:

a) Tính chất 1

( )

det AT = det A. 1

VD 4.

2 -1

3

2

1

2

-2 1 = 3 -2 1

1

2

1

-1 1 = -12 .

1

14

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Tính chất 2 Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.

1 3 2 1 -1 1 -1 1 1 VD 5. 2 -2 1 = - 2 -2 1 = -2 2 1 .

3 1 2 -1 1 1 1 3 2 Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột) giống nhau thì bằng 0. x x2 x3 3 3 1

VD 6.

2 2 1 = 0;

1 y2

y5 = 0.

1 1 7

1 y2

y5

 Chương 1. Ma trận – Định thức

c) Tính chất 3 Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì định thức tăng lên λ lần.

3.1 0 3.(-1)

VD 7.

2

1

-2

3

1

7

1 0 -1 = 3 2 1 -2 ; 3 1

x3

x +1 x

7

1 x

x3

x + 1 y y 3 = (x + 1) 1 y y 3 . z3

x +1 z

1 z

z3

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Hệ quả 1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột) bằng 0 thì bằng 0.

2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0. x

VD 8.

x

2

x

3

0

1

6

0

y = 0;

2

0 y

2

- 6 -9 2

-8 - 3

-3 = 0 .

12

15

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

d) Tính chất 4 Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng 2 định thức.

VD 9. x + 1 x - 1 x 1 -1 0 x x x x

y

y3 = x

y

y3 + x

1

z

z3

z

z3

cos2 x 2

sin x 2

sin x

2 3

1

sin2 x

5 6 + cos x 8 9

1 z

2 3

2

y y3 ; z3

1 2 3

5 6 = 1 5 6.

1 8 9 8 9

2

cos x

 Chương 1. Ma trận – Định thức

e) Tính chất 5 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng (hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.

VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về 1 2 3 dạng bậc thang: D = -1 2 -1 .

2

3

4

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý

1 Phép biến đổi 0

2 4

3 d 4d +d 1 2 3 3 2 2 ===== 0 4

0 -1 - 2

3 2 là sai

0 0 -6

vì dòng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4.

16

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

x

2 2

VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính D = 2 x 2 .

2 2 x

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.3. Định lý (khai triển Laplace)

Cho ma trận vuông A = (aij ) Î M n (), ta có các n

khai triển Laplace của định thức A: a) Khai triển theo dòng thứ i n

det A = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + ... + ain Ain = å aij Aij . j =1

i+j

Trong đó, Aij = (-1)

det(M ij ).

b) Khai triển theo cột thứ j n

det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = å aij Aij . i =1

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1 0 0 2 2 0 1 2 VD 12. Tính định thức bằng hai cách 1 3 2 3 3 0 2 1

khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.

VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính 1 1 1 2 định thức

2 -1 1 3 .

1 2 -1 2 3 3 2 1

17

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Các kết quả đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ...

0

...

0

... ... ... ann

=

a11 a21

0 a22

... ...

0 0

= a11a22 ...ann .

... ... ... ... an 1 an 2 ... ann

2) Dạng tích: det(AB ) = det A. det B.

3) Dạng chia khối A  B    = det A. detC , với A, B, C Î M n ().

On  C

 Chương 1. Ma trận – Định thức

1

VD 14. Tính det A =

VD 15. Tính det B =

2

3

4

0 -2 7

19

0

0

3

0

0

0

0 -1

0 0 3 4 3 -2 7 19 1 0

2 0

3 7 8 -1

.

.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 1 -1öæ2 1 4ö ÷÷ ç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷ ç VD 16. Tính detC = çç2 0 3 ÷ çç2 1 3÷÷ . ÷ ÷÷ çç ÷÷ çç ÷ ç1 2 1ø÷÷ èç1 2 -3øè T

æ öæ öæ ö çç1 1 -1÷÷ çç2 1 4÷÷ çç-3 1 4÷÷ ÷÷ ç ÷÷ ç ç VD 17. Tính det D = çç2 0 3 ÷ çç2 1 3÷ çç 0 1 2÷÷÷ . ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ çç ÷÷ çç 1 2 1ø÷÷ çè1 2 -3÷÷øèçç1 2 1øè

18

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 18. Phương trình

x 1 0 1 x 0

0 0

2 x x -2 3 8 2 x

= 0 có nghiệm

éx =  1 là: A. x = 1; B. x = 1; C. x = -1; D. êê . êëx = 2

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi: det A ¹ 0.

VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận T æm 1 öæm 0 ö÷ æçm - 1 0 ö÷ ÷÷ ç ç ÷÷ ÷÷ ç A = çç ÷ç m 2 ÷÷ø çè 0 m ÷øèçç 1 m - 1ø÷ ççè 1 khả nghịch là: ém = 0 A. êê ; êëm = 1

ì ïm ¹ 0 B. ïí ; ï m ¹1 ï î

C. m ¹ 0 ;

D. m ¹ 1.

 Chương 1. Ma trận – Định thức

b) Thuật toán tìm A–1

• Bước 1. Tính detA. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.

• Bước 2. Lập ma trận (Aij ) , Aij = (-1)i + j det M ij . n

Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là: T adjA = éê(Aij ) ùú . nû ë • Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là: 1 A-1 = .adjA. det A

19

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: æ1 2 1 ö ÷÷ çç ÷ ç A = çç1 1 2÷÷. ÷÷ çç çè3 5 4ø÷÷

æ1 2 1ö ÷÷ çç ÷ ç VD 21. Cho ma trận A = çç0 1 1÷÷. Tìm A-1 . ÷÷ çç çè1 2 3÷ø÷

 Chương 1. Ma trận – Định thức

2.5. Hạng của ma trận a) Định thức con cấp k Cho ma trận A = (aij )

m´n

. Định thức của ma trận con

cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. Định lý Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận (rank of matrix) Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A .

Ký hiệu là r (A).

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý • Nếu A = (aij )

m´n

khác 0 thì 1 £ r (A) £ min{m, n }.

• Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r (A) = 0 .

c) Thuật toán tìm hạng của ma trận • Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.

• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho.

• Đặc biệt Nếu A là ma vuông cấp n thì: r (A) = n  det A ¹ 0.

20

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận æm -1 -2ö ÷÷ çç ÷ ç A = çç 0 3 2 ÷÷ có hạng bằng 3 là: ÷÷ çç 1 ÷ø÷ çè 0 1 A. m ¹ 1; B. m ¹ -1; C. m ¹ 1;

D. m ¹ 0 .

 Chương 1. Ma trận – Định thức

æ1 -3 4 2ö ÷÷ çç ÷ ç VD 23. Cho A = çç2 -5 1 4÷÷. Tìm r (A). ÷÷ çç çè3 -8 5 6ø÷÷ æ ö çç2 1 -1 3 ÷÷ çç0 -1 0 0 ÷÷÷ ÷ . Tìm r (A).

VD 24. Cho A = çç çç0 1 2 0 ÷÷÷ çç ÷÷ çè0 -1 1 -4÷ø

 Chương 1. Ma trận – Định thức

Chú ý Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang.

VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận æm + 1 1 3÷ö çç ÷÷ ç A = çç 2 m + 2 0÷÷ có r (A) = 2 là: ÷÷ çç 1 3÷÷ø çè 2m

ém = -2 ém = -1 ; B. m = 1; C. m = -2 ; D. êê .

A. êê êëm = 1 êëm = 0

21

1/5/2016

 Chương 1. Ma trận – Định thức

VD 26. Tùy theo giá trị m , tìm hạng của ma trận: æ-1 2 1 -1 1 ö ÷÷ çç çç m -1 1 -1 -1÷÷ ÷÷.

A = çç çç 1 m 0 1 1 ÷÷÷ ÷ çç 2 2 -1 1 ÷ø÷ çè 1

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất ……………………………………………………………

§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 1.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i = 1,2,..., n ) và m phương trình: ì ï a11x 1 + a12x 2 + ... + a1n x n = b1 ï ï ï ïa21x 1 + a22x 2 + ... + a2n x n = b2 (I ) í ï .......................................... ï ï ï a x + am 2x 2 + ... + amn x n = bm ï ï î m1 1 trong đó, hệ số aij , bj Î  (i = 1,..., n; j = 1,..., m ) ,

được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

æa ö çç 11 ... a1n ÷÷ ÷ Đặt: A = ççç ... ... ... ÷÷ = (aij ) , m´n ÷÷ çç çèam 1 ... amn ø÷÷

(

B = b1 ... bm

)

T

(

và X = x 1 ... x n

)

T

lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn.

Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B .

(

• Bộ số a = a1 ... an

)

T

(

hoặc a = a1; ...; an

)

được gọi là nghiệm của (I ) nếu Aa = B .

22

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 1. Cho hệ phương trình: ì ï x 1 - x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 4 ï ï ï í2x 1 + x 2 + 4x 3 = -3 ï ï 2x - 7x 3 = 5. ï ï î 2 Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: æ ö æ1 -1 2 4ö ççx 1 ÷÷ æ 4 ö ÷÷ ç ÷÷ ç ÷÷ çç ÷ çx ÷ ç ÷ ç 4 0÷÷ çç 2 ÷÷ = ççç-3÷÷ ççç2 1 ÷÷ ççx 3 ÷÷ ç ÷÷ çèç0 2 -7 0÷ø÷ çç ÷÷ çèç 5 ÷ø÷ èçx 4 ø÷

và a = (1; -1; -1; 1) là 1 nghiệm của hệ.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

1.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B . Gọi ma trận æa ö çç 11 a12 ... a1n b1 ÷÷ ÷ mở rộng là A = A B = ççç ... ... ... ... ... ÷÷. ÷÷ çç çèam 1 am 2 ... amn bm ÷÷ø Định lý Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) = r (A).

(

)

Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì:  Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;  Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n - r tham số.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình: ìïx + my - 3z = 0 ï í ïï (1 - m 2 )z = m - 1. î VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: ìïmx + 8z - 7t = m - 1 ïï ïï3x + my + 2z + 4t = m ïí ïï mz + 5t = m 2 - 1 ïï 5z - mt = 2m + 2 ïïî có nghiệm duy nhất là: A. m ¹ 0 ; B. m ¹ 1; C. m ¹ 1; D. m ¹ 5 .

23

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch.

Ta có: AX = B  X = A-1B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận: ì ï 2x + y - z = 1 ï ï ï í y + 3z = 3 ï ï 2x + y + z = -1. ï ï î

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n .

• Bước 1. Tính các định thức: a11 ... a1 j ... a1n

D = det A = ... ... ... an 1 ... anj

a11 ... b1

... ... , ... ann

... a1n

D j = ... ... ... ... ... , j = 1, n an 1 ... bn ... ann (thay cột thứ j trong D bởi cột tự do).

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

• Bước 2. Kết luận:  Nếu D ¹ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: D x j = j , "j = 1, n.

D

 Nếu D = D j = 0, "j = 1, n thì hệ có vô số nghiệm (ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).  Nếu D = 0 và $D j ¹ 0, j = 1, n thì hệ vô nghiệm.

24

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: ì ï 2x + y - z = 1 ï ï ï y + 3z = 3 í ï ï 2x + y + z = -1. ï ï î ì ï(m + 1)x + y = m + 2 VD 6. Hệ phương trình ïí ï x + (m + 1)y = 0 ï î có nghiệm khi và chỉ khi: B. m ¹ -2  m ¹ 0 ; A. m = -2 ; C. m ¹ 0 ; D. m ¹ -2 .

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B .

(

)

• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc

thang bởi PBĐSC trên dòng.

• Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.

Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:  có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;  có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;

(

)

 có 1 dòng dạng 0...0 b , b ¹ 0 thì hệ vô nghiệm.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: ì ï 2x + y - z = 1 ï ï ï y + 3z = 3 í ï ï 2x + y + z = -1. ï ï î VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: ìï5x - 2x + 5x - 3x = 3 ïï 1 2 3 4 ïí4x + x + 3x - 2x = 1 2 3 4 ïï 1 = - 1. ïï2x 1 + 7x 2 - x 3 î

25

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

ì ï x + 4y + 5z = -1 ï ï VD 9. Tìm nghiệm của hệ ï 2 x í + 7y - 11z = 2 . ï ï 3x + 11y - 6z = 1 ï ï î A. x = 15, y = -4, z = 0 ; B. Hệ có vô số nghiệm; ìïx = 15 - 79a ì ï x = 15 + 79a ïï ï ï ï ï C. íy = -4 - 21a ; D. íy = -4 - 21a . ïï ï ï z =aÎ ïïz = a Î  ï ï î î

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

ì ï3x - y + 2z = 3 VD 10. Tìm nghiệm của hệ ïí . ï 2x + y - 2z = 7 ï î ìïx = 2 ì ï x =2 ïï ï ï ï ï A. íy = 7 - 2a ; B. íy = 3 + 2a ïï ï ï z =aÎ ïïz = a Î  ï ï î î C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình ì ï x + 2y + (7 - m )z = 2 ï ï ï tuyến tính í2x + 4y - 5z = 1 ï ï 3x + 6y + mz = 3 ï ï î có vô số nghiệm là: A. m = 1; B. m = 1; C. m = -7 ; D. m = 7 .

26

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Chú ý • Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, ta gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát.

Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng hay còn gọi là nghiệm cơ bản.

• Muốn tìm điều kiện tham số để 2 hệ phương trình có nghiệm chung, ta ghép chúng thành 1 hệ rồi tìm điều kiện tham số để hệ chung đó có nghiệm.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 12. Tìm điều kiện của tham số m để 2 hệ phương trình sau có nghiệm chung: ìïx + y - z + t = 2m +1 ì ï2x +5y - 2z +2t = 2m +1 ï ,ï . í í ïïx +7y - 5z - t = - m ï ï3x +7y - 3z +3t = 1 î î

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT 2.1. Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp đặc biệt của hệ phương trình tổng quát, có dạng:

ì ïïïa11x 1 + a12x 2 + ... + a1n x n = 0 ïa x + a x + ... + a x = 0 22 2 2n n ïí 21 1 (II ). ïï......................................... ïï a x + am 2x 2 + ... + amn x n = 0 ïîï m 1 1 Hệ (II ) tương đương với AX = (0ij )m´1 .

27

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Chú ý • Do r (A) = r (A) nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm.

• Nghiệm (0; 0;…; 0) được gọi là nghiệm tầm thường.

2.2. Định lý 1 Hệ (II ) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi: det A ¹ 0.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 1. Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường: ì ï 3x + m 2y + (m - 5)z = 0 ï ï ï =0 í (m + 2)y + z ï ïï 4y + (m + 2)z = 0. ïî

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

2.3. Định lý 2 Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B (I) và hệ phương trình thuần nhất AX = O (II).

Khi đó: • Hiệu 2 nghiệm bất kỳ của (I) là 1 nghiệm của (II); • Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (I) và 1 nghiệm bất kỳ của (II) là 1 nghiệm của (I).

28

1/5/2016

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

VD 2. Cho 2 hệ phương trình tuyến tính: ìïx + 4y + 5z = -1 ì ï ïï ïx + 4y + 5z = 0 ïí2x + 7y - 11z = 2 (I) và ï ï í2x + 7y - 11z = 0 (II). ïï ï ï 3x + 11y - 6z = 0 ïï3x + 11y - 6z = 1 ï ï î î Xét 2 nghiệm của (I) và 1 nghiệm của (II) lần lượt là: a1 = (15; -4; 0), a2 = (-64; 17; -1) và b = (-158; 42; -2), ta có:

• a1 - a2 = (79; -21; 1) là 1 nghiệm của (II); • a1 + b = (-143; 38; -2) là 1 nghiệm của (I). …………………………………………………………………

 Chương 3. Không gian vector

§1. Khái niệm không gian vector §2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính §3. Cơ sở, số chiều của kgvt – Tọa độ của vector §4. Không gian sinh bởi hệ vector §5. Không gian Euclide ………………………………………………………………

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR (Vector space) 1.1. Định nghĩa • Cho tập V khác rỗng, mỗi phần tử thuộc V được gọi là một vector. Xét hai phép toán sau: V ´V  V  ´V  V (x , y )  x + y; (l, x )  lx .

 Chương 3. Không gian vector

• Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một không gian vector (viết tắt là kgvt) trên  , hay  – không gian vector, nếu thỏa 8 tính chất sau: 1) (x + y ) + z = x + (y + z ), " x , y , z Î V ; 2) $ q Î V : x + q = q + x = x , " x Î V ; 3) " x Î V , $(-x ) Î V : (-x ) + x = x + (-x ) = q ; 4) x + y = y + x , " x , y Î V ; 5) l (x + y ) = l x + l y , " x , y Î V , " l Î  ; 6) (l + m )x = l x + m x , " x Î V , " l , m Î  ; 7) (lm )x = l ( m x ), " x Î V , " l , m Î  ; 8) 1.x = x , " x Î V .

Trong đó, q Î V được gọi là vector không.

29

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

VD 1.

{

}

• Tập  n = (x 1, x 2 ,..., x n ) x i Î , i = 1, n các bộ số thực là một không gian vector.

• Tập nghiệm V của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian vector.

• Tập V = M m,n () với hai phép toán cộng ma trận và nhân vô hướng là một không gian vector.

• Tập Pn [x ] các đa thức có bậc n : {p(x ) = an x n + ... + a1x + a 0 , ai Î , i = 0,..., n}

với phép cộng đa thức và nhân số thực với đa thức là một không gian vector.

 Chương 3. Không gian vector

1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)  Định nghĩa Cho kgvt V , tập W Ì V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là một kgvt.

 Định lý Cho kgvt V , tập W Ì V là kgvt con của V nếu: "x , y Î W , "l Î  thì (x + ly ) Î W .

VD 2.

• Tập W = {q} là kgvt con của mọi kgvt V .

{

}

• Tập W = (a, 0,..., 0) a Î  là kgvt con của  n . ……………………………………………………

 Chương 3. Không gian vector

§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. Định nghĩa

Trong kgvt V , xét n vector u i (i = 1, ..., n ).

Khi đó: n

• Tổng l1u1 + l2u 2 + ... + ln u n =

ålu , l i =1

i

i

i

Î ,

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui .

• Hệ gồm n vector {u 1 , u 2 , ..., u n } được gọi là độc lập tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: n

ålu i =1

i

i

= q thì l i = 0, " i = 1, ..., n .

• Hệ {u 1 , u 2 , ..., u n } không là độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt).

30

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

VD 1. Trong  2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: A = {u1 = (1; -1), u2 = (2; 3)}.

VD 2. Trong  3 , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: B = {u1 = (-1; 3; 2), u2 = (2; 0; 1), u 3 = (0; 6; 5)} .

VD 3. Trong M 2,3 () , xét sự đltt hay pttt của hệ: ì æ ö æ ö æ öü ï ïA = çç1 2 0÷÷, B = çç2 3 0÷÷,C = çç0 1 0÷÷ï ï. í ÷ ÷ çç3 0 1÷ çç4 0 1÷ çç2 0 1÷÷ý ï è ø è ø è øï ï ï ï ï î þ VD 4. Trong Pn [x ], xét sự đltt hay pttt của hệ: {u1 = 1, u2 = x , u 3 = x 2 ,..., un = x n -1, un +1 = x n }.

 Chương 3. Không gian vector

2.2. Định lý Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của n - 1 vector còn lại.

Nghĩa là: u j = l1u1 + ... + lj -1u j -1 + lj +1u j +1 + ... + ln un .  Hệ quả • Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính.

• Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt.

VD 5. Hệ {v1 = x 2 , v2 = -3x 2 , v 3 = (x - 1)3 , v 4 = x 4 } là pttt vì bộ phận {v1 = x 2 , v2 = -3x 2 } pttt.

 Chương 3. Không gian vector

2.3. Hệ vector trong  n

Xét m vector ui = (ai 1, ai 2 ,..., ain ), i = 1, m trong n .

Ma trận A = (aij )

m´n

được gọi là ma trận dòng của hệ

m vector {u1, u2 ,..., um }.

VD 6. Hệ {u1 = (1; -1; -2), u2 = (4; 2; -3)} æ1 -1 -2ö ÷÷ có ma trận dòng là A = ççç ÷. çè4 2 -3÷ø

31

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

 Định lý Trong n , cho hệ gồm m vector {u1, u2 ,..., um } có ma trận dòng là A .

Khi đó: • Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A) = m.

• Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A) < m.

 Hệ quả • Trong  n , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt.

• Trong  n , hệ n vector đltt  det A ¹ 0.

 Chương 3. Không gian vector

VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector: a) B1 = {(-1; 2; 0), (2; 1; 1)} ; b) B2 = {(-1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}.

VD 8. Trong  3 , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt: {(-m; 1; 1), (1 - 4m; 3; m + 2)} .

VD 9. Trong  3 , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt: {(m; 1; 1), (1; m; 1), (1; 1; m )} .

 Chương 3. Không gian vector

VD 10. Trong  4 , cho 4 vector: u1 = (1; -1; 0; 1), u2 = (m; m; -1; 2) , u 3 = (0; 2; 0; m ), u 4 = (2; 2; -m; 4) .

Điều kiện m để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u 3 , u 4 ?

Giải. Ta có: u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u 3 , u 4  hệ {u1, u2 , u 3 , u 4 } là phụ thuộc tuyến tính.

32

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT TỌA ĐỘ CỦA VECTOR 3.1. Cơ sở của không gian vector  Định nghĩa Trong kgvt V , hệ n vector F = {u1, u2 ,¼, un } được gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F .

 Chương 3. Không gian vector

VD 1. Trong  2 , xét hệ F = {u1 =(1; -1), u2 =(0; 1)} .

Ta có: hệ F là độc lập tuyến tính.

Mặt khác, xét vector tùy ý x = (a; b) Î  2 ta có: x = au1 + (a + b)u2 .

Vậy hệ F là 1 cơ sở của  2 .

VD 2. Trong  3 , xét hệ 2 vector: B = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 0)} .

Ta có: au1 + bu2 ¹ (1; 1; 1), "a, b Î  .

Vậy hệ B không phải là cơ sở của  3 .

 Chương 3. Không gian vector

VD 3.

• Trong n , hệ n vector: E = {ei = (ai 1; ai 2 ;...; ain ), i = 1,2,..., n } trong đó: aij = 1 nếu i = j , aij = 0 nếu i ¹ j được gọi là cơ sở chính tắc.

• Không gian vector P4 [x ] có 1 cơ sở là: {1; x - 1; (x - 1)2 ; (x - 1)3 ; (x - 1)4 }.  Chú ý Một không gian vector có thể có nhiều cơ sở và số vector (hữu hạn) trong các cơ sở là không đổi.

33

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

3.2. Số chiều của không gian vector  Định nghĩa Số vector có trong 1 cơ sở bất kỳ của không gian vector V được gọi là số chiều (dimension) của V .

Ký hiệu là: dimV .

VD 4. Ta có: dim n = n , dim P4 [x ] = 5 .

 Chú ý • Trong n , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở.

• Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình, ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều.

 Chương 3. Không gian vector

3.3. Tọa độ của vector a) Định nghĩa Trong kgvt V , cho cơ sở F = {u1, u2 ,¼, un } .

Vector x Î V tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách n

duy nhất qua cơ sở F là x = å aiui , ai Î  . i =1

Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là (a1; a2 ;¼; an ). æa ö çç 1 ÷÷ çça ÷÷ Ký hiệu là: [x ]F = çç 2 ÷÷÷ = (a1 a2 ... an )T . çç  ÷÷ çç ÷÷ çèan ÷ø

 Chương 3. Không gian vector

 Quy ước Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E trong n là [x ] hoặc viết dưới dạng x = (a1;...; an ) .

VD 5. Trong  2 , cho x = (3; -5) và 1 cơ sở: B = {u1 = (2; -1), u2 = (1; 1)} . Tìm [x ]B ?

34

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

VD 6. Trong P4 [x ], cho vector p(x ) = x 4 + x 3 và một cơ sở: A = u1 = 1; u2 = x - 1; u 3 = (x - 1)2 ;

{

}

u 4 = (x - 1)3 ; u5 = (x - 1)4 .

Hãy tìm [ p(x )]A ?

VD 7. Trong  2 , cho 2 cơ sở: B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0; -1)} , B2 = {v1 = (2; -1), v2 = (1; 1)} .

Cho biết [x ]B là (1; 2). Hãy tìm [x ]B ?

2

1

 Chương 3. Không gian vector

b) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau  Ma trận chuyển cơ sở Trong kgvt V , cho 2 cơ sở: B1 = {ui }, B2 = {vi }, i = 1, 2,..., n .

(

Ma trận [v1 ]B [v2 ]B ... [vn ]B 1

1

1

) được gọi là ma trận

chuyển cơ sở từ B1 sang B2 .

Ký hiệu là: PB B .

1

2

 Chương 3. Không gian vector

Đặc biệt Trong  n , ta có:

(

)

PE B = [u1 ] [u2 ]...[un ] 1

(ma trận cột của các vector trong B1 ).  Công thức đổi tọa độ

[x ]B = PB B .[x ]B .

1

1

2

2

35

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

VD 8. Trong  3 , cho hai cơ sở B1 và B2 . æ1 - 1 2 ö æ1ö ÷÷ çç çç ÷÷ ÷ ÷ ç é ù ÷ 3 ÷ và ëêv ûú = ççç2÷÷ .

Cho biết PB B = çç0 1 B1 2 1 ÷ çç ÷÷÷ çç ÷ çè3ø÷ çè0 0 -2÷ø÷ Tìm tọa độ của vector v trong cơ sở B2 ?

VD 9. Tìm ma trận chuyển cơ sở PB B trong VD 7.

1

2

 Chương 3. Không gian vector

 Định lý Trong kgvt V , cho 3 cơ sở B1 , B2 và B3 . Khi đó: • PB B = I n (i = 1,2, 3 ); i

i

• PB B = PB B .PB B ; 1

3

1

(

2

2

• PB B = PB B 1

2

2

1

)

-1

3

.

 Hệ quả Trong  n , ta có:

(

PB B = PB E PE B = PE B 1

2

1

2

1

)

-1

PE B .

2

VD 10. Dựa vào hệ quả, giải lại VD 7.

 Chương 3. Không gian vector

§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR 4.1. Định nghĩa Trong kgvt V cho hệ gồm m vector S = {u1,¼, um } .

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi là không gian con sinh bởi S .

Ký hiệu là: < S > hoặc spanS .

36

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

4.2. Hệ vector trong  n

Trong kgvt n , xét hệ S = {u1,¼, um } ta có: m ì üï ï n <S > =ï íx Î  x = å liui , li Î ïý . ï ïþï i =1 ï î Gọi A là ma trận dòng m vector của S .

Khi đó: • dim < S >= r (A) và dim < S > £ n.

• Nếu dim < S >= k thì mọi hệ con gồm k vector đltt của S đều là cơ sở của < S >.

 Chương 3. Không gian vector

VD 1. Trong  3 , cho hệ vector: S = {u1 = (1; 0; -1), u2 = (0; 1; -1)}.

Hãy tìm dạng tọa độ của vector v Î < S > ?

VD 2. Trong  4 , cho hệ vector: S = {(1;2; 3; 4), (2; 4;9; 6), (1;2; 5; 3), (1;2;6; 3)}.

Tìm số chiều của không gian sinh < S > ?

VD 3. Trong  4 , cho hệ vector S : {u1 =(-2; 4; -2; -4), u2 =(2; -5; -3;1), u 3 =(-1; 3; 4;1)} .

Hãy tìm dim < S > và 1 cơ sở của < S > ?

 Chương 3. Không gian vector

§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE 5.1. Định nghĩa • Cho không gian vector V trên  . Một quy luật cho tương ứng cặp vector x , y bất kỳ thuộc V với số thực duy nhất, ký hiệu x y (hay (x , y )), thỏa mãn:

1) x x ³ 0 và x x = 0  x = q ; 2) x y = y x ; 3) (x + y ) z = x z + y z , "z Î V ; 4) lx y = l x y , "l Î  được gọi là tích vô hướng của x và y .

37

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

• Không gian vector V hữu hạn chiều trên  có tích vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide.

VD 1. Kgvt  n có tích vô hướng thông thường: x y = (x 1,..., x n ) (y1,..., yn ) = x 1y1 + ... + x n yn là một không gian Euclide.

VD 2. Trong C [a; b ] – không gian các hàm số thực liên tục trên [a; b ], ta xác định được tích vô hướng: b

f g =

ò f (x )g(x )dx . a

Vậy C [a; b ] có tích vô hướng như trên là kg Euclide.

 Chương 3. Không gian vector

5.2. Chuẩn của vector a) Định nghĩa • Trong không gian Euclide V , số thực

uu

được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vector u .

Ký hiệu là u .

Vậy, u =

uu .

• Vector u được gọi là vector đơn vị nếu u = 1.

• d (u, v ) = u - v được gọi là khoảng cách giữa u , v .

 Chương 3. Không gian vector

VD 3. Trong  n cho vector u = (u1, u2 ,..., un ), ta có:

u =

u u = u12 + u22 + ... + un2 =

n

åu i =1

2 i

.

VD 4. Trong không gian Euclide C [a; b ], ta có: b

f =

f f =

òf

2

(x )dx .

a

38

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

b) Định lý Trong kg Euclide V cho 2 vector u, v bất kỳ. Ta có: • Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

u v £ u .v ; • Bất đẳng thức tam giác

u - v £ u +v £ u + v .

 Chương 3. Không gian vector

VD 5. Trong  n , bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là: n

åx y i =1

i i

n

n

åx . åy

£

i =1

2 i

i =1

2 i

.

VD 6. Trong C [a; b ], bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: b

ò a

b

f (x )g(x )dx £

ò a

b

f 2 (x )dx .

ò g (x )dx .

2

a

 Chương 3. Không gian vector

5.3. Cơ sở trực chuẩn a) Định nghĩa Trong không gian Euclide n chiều V , ta định nghĩa: • Hai vector u, v được gọi là trực giao nếu u v = 0 ;

• Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực giao nếu các vector của cơ sở là trực giao từng đôi một; • Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu cơ sở là trực giao và ui = 1, (i = 1,..., n ).

39

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

VD 7. Trong  2 , ta có:

• Hệ {(2; -1), (-3; -6)} là cơ sở trực giao;

ìïæ ü 2 ö÷÷ æç 2 2 ö÷÷ïï ç 2 ç ç ; , ; • Hệ ï íç ÷ ÷ý là cơ sở trực chuẩn. ïïçè 2 2 ÷ø÷ èçç 2 2 ø÷÷ïï ïþ îï b) Định lý Mọi kg Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn.

 Chương 3. Không gian vector

 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram – Schmidt • Bước 1. Trong không gian Euclide n chiều V , chọn cơ sở {u1, u2 ,..., un } bất kỳ.

• Bước 2. Xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2 ,..., vn } : Đặt v1 = u1 ; u2 v1 v2 = u2 v1 ; 2 v1

v3 = u3 …

…

…

…

u 3 v1 v1 …

2 …

u 3 v2

v1 …

…

v2 …

…

2

v2 ; …

…

…

 Chương 3. Không gian vector n -1

vn = u n - å

u n vi vi

i =1

2

vi .

• Bước 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn {w1, w2 ,..., wn } bằng việc chuẩn hóa các vector ở bước 2:

w1 =

v1 v1

; w2 =

v2 v2

; w3 =

v3 v3

;...; wn =

vn vn

.

VD 8. Trong  3 , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: F = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 1), u 3 = (0; 1; -1)}.

40

1/5/2016

 Chương 3. Không gian vector

 Định lý Nếu {u1,..., un } là một cơ sở trực chuẩn của kg Euclide n chiều V và u Î V thì: n

u = å u ui ui . i =1

VD 9. Trong  3 , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: {u1 = (1; -1; 0), u2 = (0; 1; -1), u 3 = (1; 1; -1)}.

Tìm tọa độ của u = (1; 2; 3) trong cơ sở trực chuẩn đó.

VD 10. Trong  4 , cho hệ S gồm 3 vector: {u1 =(1; 1; 0; 0), u2 =(1; 0; 1; 0), u 3 =(-1; 0; 0; 1)}.

Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian < S >.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

§1. Ánh xạ tuyến tính §2. Trị riêng – Vector riêng §3. Chéo hóa ma trận vuông …………………………………………………………

§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa Cho X , Y là 2 kgvt trên  . Ánh xạ T : X  Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1) T (ax ) = aT (x ), "x Î X , "a Î  ; 2) T (x + y ) = T (x ) + T (y ), "x , y Î X .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Chú ý • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT), ký hiệu T (x ) còn được viết là Tx .

• Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với: T (x + ay ) = Tx + aTy, "x , y Î X , "a Î  .

• T (qX ) = qY . Trong đó qX , qY lần lượt là vector không của X và Y .

41

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 1. Cho ánh xạ T :  3   2 được định nghĩa: T (x 1; x 2 ; x 3 ) = (x 1 - x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 ).

Trong  3 , xét x = (x 1; x 2 ; x 3 ), y = (y1; y2 ; y 3 ).

Với a Î  tùy ý, ta có: T (x + ay ) = T (x 1 + ay1; x 2 + ay2 ; x 3 + ay 3 )

= (x 1 + ay1 - x 2 - ay2 + x 3 + ay 3 ; 2x 1 + 2ay1 + 3x 2 + 3ay2 ) = (x 1 - x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 ) + a(y1 - y2 + y 3 ; 2y1 + 3y2 ) = Tx + aTy. Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ  3 vào  2 .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 2. Cho ánh xạ f :  2   2 xác định như sau: f (x ; y ) = (x - y; 2 + 3y ).

Xét u = (1; 2), v = (0; -1) ta có:

ìï f (u + v ) = f (1; 1) = (1 - 1; 2 + 3.1) = (0; 5) ï í ïï f (u ) + f (v ) = (-1; 8) + (1; -1) = (0; 7) î  f (u + v ) ¹ f (u ) + f (v ).

Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ  2 vào  2 .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng: • Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy : T (x ; y ) = (x ; 0), T (x ; y ) = (0; y ).

• Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : T (x ; y ) = (x ; -y ), T (x ; y ) = (-x ; y ).

• Phép quay 1 góc j quanh gốc tọa độ O : T (x ; y ) = (x cos j - y sin j; x sin j + y cos j).

M •¢ a cos j - b sin j

y a sin j + b cos j b •M j O a x

42

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 4. Gọi C [a; b ] là tập hợp các hàm một biến số liên tục trên [a; b ]. Trên C [a; b ], xác định phép toán cộng hai hàm số và nhân vô hướng thì C [a; b ] là 1 kgvt.

Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính: a

T : C [a; b ]  C [a; b ], Tf =

ò f (x )dx ; a x

S : C [a; b ]  C [a; b ], Sf = ò f (t )dt, x Î [a; b ]. a

VD 5. Cho A Î M m,n (), ta có:

TA :  n   m , TAx = Ax là ánh xạ tuyến tính.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính  Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y .

• Tập {x Î X : Tx = qY } được gọi là nhân của T .

Ký hiệu là KerT .

Vậy KerT = {x Î X : Tx = qY }.

• Tập T (X ) = {Tx : x Î X } được gọi là ảnh của T .

Ký hiệu là RangeT hoặc Im T .

Vậy Im T = {Tx : x Î X }.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Tính chất Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó: • KerT là không gian con của X ; • Im T là không gian con của Y ; • Nếu S là tập sinh của X thì T (S ) là tập sinh của Im T ;

• T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT = {qX }.

 Định lý Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó:

dim(KerT ) + dim(ImT ) = dim X .

43

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Chú ý • Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT f :  n   m .

• Khi n = m , ta gọi f :  n   n là phép biến đổi tuyến tính (viết tắt là PBĐTT).

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f :  n   m và hai cơ sở của n , m lần lượt là:

B1 = {u1, u2 ,¼, un } và B2 = {v1, v2 ,¼, vm } .

(

Ma trận A Î M m ,n (): éëê f (u1 )ùûú éêë f (u2 )ùûú ... éëê f (un )ùûú B2 B2 B2

)

được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 .

B

Ký hiệu là: [ f ]B2 hoặc viết đơn giản là A. 1

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Cụ thể là, nếu: ì ï f (u1 ) = a11v1 + a21v2 + a 31v 3 + ... + am 1vm ï ï ï ï f (u2 ) = a12v1 + a22v2 + a 32v 3 + ... + am 2vm í ï ........................................................... ï ï ï f (u ) = a1n v1 + a2n v2 + a 3n v 3 + ... + amn vm ï ï î n æa ö çç 11 a12 ... a1n ÷÷ çç a a22 ... a2n ÷÷÷ 21 ç ÷ ç B thì [ f ]B2 = çç a 31 a 32 ... a 3n ÷÷÷.

1 ÷ çç    ÷÷÷ çç  ÷÷ çça è m 1 am 2 ... amn ø÷

44

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Trường hợp đặc biệt Cho PBĐTT f :  n   n và cơ sở B = {u1,¼, un }.

Ma trận vuông A cấp n : éêë f (u1 )ùúû éêë f (u2 )ùúû ... éêë f (un )ùúû B B B được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B .

(

)

Ký hiệu là: [ f ]B hoặc [ f ] hoặc viết đơn giản là A.

Chú ý Nếu A là ma trận của AXTT f :  n   m trong cặp cơ sở chính tắc En , Em thì f (x ) = Ax , x Î  n .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 6. Cho AXTT f :  4   3 xác định như sau: f (x ; y; z ; t ) = (3x + y - z ; x - 2y + t ; y + 3z - 2t ).

E

Tìm ma trận A = [ f ]E3 ? Kiểm tra f (v ) = Av, v Î  4 ?

4

VD 7. Cho AXTT f :  2   3 xác định như sau: f (x ; y ) = (3x ; x - 2y; -5y ).

E

Tìm ma trận [ f ]E3 ?

2

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 9. Cho PBĐTT f :  2   2 có biểu thức: f (x ; y ) = (2x - y; 3y ).

Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và cơ sở B = {u1 = (1; 2), u2 = (-1; 3)} ?

VD 10. Cho PBĐTT f :  2   2 có ma trận của f đối với cơ sở F = {u1 = (1; 0), u2 = (1; 1)} là æ1 2ö ÷÷ A = ççç ÷. Hãy tìm biểu thức của f ? çè3 4÷ø VD 11. Cho PBĐTT f :  2   2 . Biết rằng: f (1; 2) = (-4; 3) và f (3; 4) = (-6; 7). Hãy tìm [ f ]E ?

45

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính E3

VD 12. Cho AXTT f :  2   3 có éêë f ùûú E2 B2 é ù Tìm ma trận êë f úû , biết hai cơ sở: B1

æ1 -3ö ÷÷ çç ÷ = ççç0 2 ÷÷. ÷÷ çç çè4 3 ø÷÷

B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

b) Định lý

B¢

B¢

1 2 Nếu AXTT f :  n   m có éêë f ùúû = A1 , éêë f ùúû = A2 B1 B2 và P = PB B , P ¢ = PB ¢B ¢ thì:

1

2

1

2

A2 = (P ¢) .A1.P .

-1

 Đặc biệt Nếu PBĐTT f :  n   n có [ f ]B = A , [ f ]B = B 1

2

và P = PB B thì: 1

2

B = P –1.A.P .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

P¢ B¢

B¢

2 A2 = éêë f ùúû B2

éf ù 1 = A 1 ëê ûú B1 P

A2 = (P ¢)- 1 A1P

46

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 13. Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x - 2y ) .

Tìm [ f ]B , với cơ sở B = {(2; 1), (1; -1)} ?

VD 14. Cho PBĐTT f :  3   3 có biểu thức: f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x - y + z ; x + y - z ).

Tìm [ f ]F , với F = {(2; 1; 0), (1; 0; 1), (-1; 0; 1)} ?

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 15. Cho AXTT f :  3   2 có biểu thức: f (x ; y; z ) = (x + y - z ; x - y + z ).

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} và B ¢ = {(2; 1), (1; 1)} ?

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT Cho AXTT f :  n   m và hai cơ sở lần lượt là: B1 = {u1, u2 ,¼, un } và B2 = {v1, v2 ,¼, vm }.

• Bước 1. Tìm các ma trận: S = [v1 ]E [v2 ]E ...[vm ]E

(

m

m

m

)

(ma trận cột các vector của B2 ),

(

)

Q = [ f (u1 )]E [ f (u2 )]E ...[ f (un )]E . n

n

n

(

• Bước 2. Dùng PBĐSC dòng đưa ma trận S Q

(

B2 B1

về dạng I [ f ]

).

)

47

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 16. Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x - 2y ) .

Dùng thuật toán tìm [ f ]B , với B = {(2; 1), (1; -1)} ?

VD 17. Cho AXTT f :  3   2 có biểu thức: f (x ; y; z ) = (x + y - z ; x - y + z ).

Dùng thuật toán tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} và B ¢ = {(2; 1), (1; 1)} ?

VD 18. Cho AXTT f (x ; y ) = (x + y; y - x ; x ) và cặp cơ sở: A = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} ,

B = {(1; -2), (3; 4)}. Dùng thuật toán, tìm [ f ]AB ?

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

d) Hạng của ánh xạ tuyến tính  Định nghĩa Hạng của AXTT f :  n   m là số chiều của không gian ảnh của nó.

Nghĩa là:

r ( f ) = dim(Im f ).

 Định lý Hạng của AXTT bằng hạng ma trận của nó.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 19. Cho PBĐTT f :  2   2 có ma trận trong æ1 2ö ÷÷ cơ sở F là A = ççç ÷÷.

2 4 çè ø Vậy r ( f ) = r (A) = 1.

VD 20. Cho AXTT f :  3   2 có ma trận trong cặp æ1 1 0ö ÷÷ ¢ cơ sở B, B ¢ là [ f ]BB = ççç ÷. èç2 0 1÷ø

(

¢

)

Vậy r ( f ) = r [ f ]BB = 2 . …………………………………………………………………………………………

48

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

§2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG 2.1. Ma trận đồng dạng  Định nghĩa Hai ma trận vuông A, B cấp n được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa: B = P –1AP .

æ1 0 ö æ-1 0ö ÷÷ ÷÷ VD 1. A = ççç và B = ççç ÷ ÷÷ là đồng dạng với ÷ 6 1 0 1 çè çè ø ø æ0 1ö ÷÷ -1 nhau vì có P = ççç ÷ khả nghịch thỏa B = P AP . çè1 3÷ø

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Định lý Hai ma trận vuông cùng biểu diễn một PBĐTT (trong hai cơ sở tương ứng) thì đồng dạng với nhau.

2.2. Đa thức đặc trưng  Định nghĩa

• Cho A Î M n (). Đa thức bậc n của l :

PA (l) = det(A - lI n ) được gọi là đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) của A và phương trình PA (l) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của A.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

• Cho PBĐTT f :  n   n . Đa thức bậc n của l :

Pf (l) = det(A - lI n ) được gọi là đa thức đặc trưng của f (A là ma trận biểu diễn f trong một cơ sở nào đó) và Pf (l) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của f .

æ1 2ö ÷÷ VD 2. Cho ma trận A = ççç ÷, ta có: çè3 4÷ø 1-l 2 = l 2 - 5l - 2 .

PA (l) = 3 4 -l

49

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Định lý Hai ma trận đồng dạng thì có cùng đa thức đặc trưng.

VD 3. Cho PBĐTT f (x ; y; z ) = (x - y; y - z ; z - x ).

Hãy tìm phương trình đặc trưng của f ? æ 1 -1 0 ö ÷÷ çç ÷ Giải. Gọi A = [ f ]E , ta có: A = ççç 0 1 -1÷÷. ÷ çç ÷ 1 ÷÷ø çè-1 0

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Pf (l) = 0 

1-l

-1

0

1-l

-1

0

0 -1 = 0 1-l

 -l 3 + 3l 2 - 3l = 0 .

Chú ý Từ đây về sau, ta gọi đa thức (phương trình) đặc trưng chung cho PBĐTT f và ma trận A biểu diễn f .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

2.3. Trị riêng, vector riêng a) Trị riêng, vector riêng của PBĐTT  Định nghĩa

Cho PBĐTT f :  n   n .

• Số l Î  được gọi là trị riêng (eigenvalue) của f nếu tồn tại vector x Î n , x ¹ q : f (x ) = lx (1).

• Vector x ¹ q thỏa (1) được gọi là vector riêng (eigenvector) của f ứng với trị riêng l .

50

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 4. Cho PBĐTT f (x 1; x 2 ) = (4x 1 - 2x 2 ; x 1 + x 2 ).

Xét số l = 3 và vector x = (2; 1), ta có:

f (x ) = f (2; 1) = (6; 3) = 3(2; 1) = lx .

Vậy x = (2; 1) là vector riêng ứng với trị riêng l = 3 .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

b) Trị riêng, vector riêng của ma trận  Định nghĩa Cho ma trận vuông A Î M n ().

• Số l Î  được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại vector x Î  n , x ¹ q : A[x ] = l[x ] (2).

• Vector x ¹ q thỏa (2) được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng l .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Định lý • Số thực l là trị riêng của PBĐTT f khi và chỉ khi l là trị riêng của ma trận A biểu diễn f trong một cơ sở B nào đó.

• Vector x Î n \ {q} là vector riêng của f ứng với l khi và chỉ khi [x ]B là vector riêng của A ứng với l .

• Các vector riêng của f (hay A) ứng với trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.

51

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Nhận xét A[x ] = l[x ]  (A - lI n )[x ] = [q ] (3). Để x ¹ q là vector riêng của A thì (3) phải có nghiệm không tầm thường. Suy ra det(A - lI n ) = 0 .

Vậy l là nghiệm của phương trình đặc trưng.

 Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng • Bước 1. Giải phương trình đặc trưng A - lI = 0 để tìm giá trị riêng l .

• Bước 2. Giải hệ phương trình (A - lI )[x ] = [q ], nghiệm không tầm thường là vector riêng.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 5. Cho PBĐTT f :  2   2 có ma trận biểu diễn æ4 -2ö ÷÷ là A = ççç ÷. Tìm trị riêng và vector riêng của f ?

1 1 ÷ø çè æ0 0 1ö ÷÷ çç ÷ VD 6. Cho ma trận A = ççç0 1 0÷÷. ÷÷ çç çè1 0 0÷÷ø Tìm trị riêng và vector riêng của A ?

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

2.4. Không gian con riêng  Định lý Cho PBĐTT f : n  n . Tập hợp tất cả các vector x Î  n thỏa f (x ) = lx , l Î  (kể cả vector không) là một không gian con của n . Ký hiệu là E (l).

 Định nghĩa

{

Không gian con E (l) = x Î  n f (x ) = lx

} được

gọi là không gian con riêng (eigenvector space) của n ứng với trị riêng l .

52

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Chú ý

• Các nghiệm cơ bản đltt của hệ phương trình thuần nhất (A - lI )[x ] = [q ] tạo thành 1 cơ sở của E (l).

• Số chiều của không gian con riêng là: dim E (l) = n - r (A - lI ).

• Nếu l là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng thì: dim E (l) £ k .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 7. Xét tiếp VD 6, ta có:

• Nghiệm cơ bản của (A - l1I )[x ] = [q ] là (1; 0; -1) nên E (-1) = (1; 0; -1) và dim E (-1) = 1.

• E (1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) và dim E (1) = 2 .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ2 4 3 ö÷ çç ÷÷ VD 8. Cho ma trận B = ççç-4 -6 -3÷÷. ÷÷ çç 3 1 ø÷÷ çè 3 Tìm số chiều của các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng của B ? æ3 1 -1ö ÷÷ çç ÷ ç VD 9. Cho ma trận C = çç2 2 -1÷÷. ÷÷ çç çè2 2 0 ÷ø÷ Tìm một cơ sở của các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng của C ?

53

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ1 3 3 ö÷ çç ÷÷ VD 10. Cho ma trận D = ççç-3 -5 -3÷÷. ÷ çç ÷ 3 1 ÷÷ø çè 3 Tìm trị riêng, dạng vector riêng tương ứng và cơ sở của các không gian con riêng của D ?

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

2.5. Định lý Cayley – Hamilton Nếu PBĐTT f :  n   n có ma trận biểu diễn là A và đa thức đặc trưng là Pf (l) thì:

Pf (A) = (0ij )n .

VD 11. Cho PBĐTT f :  2   2 có ma trận biểu æ4 -2ö ÷÷ 2 diễn là A = ççç ÷ và Pf (l) = l - 5l + 6 . çè1 1 ø÷

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ7 çç VD 12. Cho ma trận A = ççç0 çç çè3 7 Trong đó, B = A - 10A6

0 3ö÷ ÷÷ 2 0÷÷. Tính detB ? ÷÷ 0 1÷÷ø + 14A5 + 4A4 + 8I 3 .

54

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

§3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG Trong bài này, ta xét A Î M n () là ma trận biểu diễn PBĐTT f :  n  n trong cơ sở B nào đó của n .

3.1. Ma trận chéo hóa được  Định nghĩa Ma trận A Î M n () được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D .

Nghĩa là tồn tại ma trận P khả nghịch, thỏa: P -1AP = D.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ0 0 0ö ÷÷ çç ÷ ç VD 1. Ma trận A = çç0 1 0÷÷ là chéo hóa được, vì: ÷÷ çç çè1 0 1÷ø÷ æ 1 0 0ö æ0 0 0ö ÷÷ ÷÷ çç çç ÷ ÷ có P = ççç 0 1 0÷÷ thỏa: P -1AP = ççç0 1 0÷÷. ÷÷ ÷ çç ç çç0 0 1÷÷÷ çè-1 0 1÷÷ø è ø

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

3.2. Điều kiện ma trận chéo hóa được  Định lý 1 Ma trận A Î M n () là chéo hóa được khi và chỉ khi n có một cơ sở gồm n vector riêng của A .  Hệ quả Nếu ma trận A Î M n () có n trị riêng phân biệt thì chéo hóa được.

55

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

 Định lý 2 Cho ma trận A Î M n () có k trị riêng li i = 1, k

(

)

phân biệt và ni = dim E (li ).

Khi đó, ba điều sau đây là tương đương: 1) Ma trận A chéo hóa được;

2) Đa thức đặc trưng của A có dạng: n n n PA (l) = (l - l1 ) 1 + (l - l2 ) 2 + ... + (l - lk ) k ; 3) n1 + n2 + ... + nk = n .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

3.3. Ma trận làm chéo hóa • Cho ma trận A Î M n () chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận P khả nghịch thỏa P -1AP = D . æl 0 ... 0 ö ÷÷ çç 1 çç 0 l ... 0 ÷÷ ÷÷ = diag(l , l ,..., l ).

2 Trong đó, D = çç 1 2 n çç     ÷÷÷ ÷÷ çç çè 0 0 ... ln ÷ø

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

• Xét ma trận P = ([u1 ] [u2 ]...[un ]), ta có: P -1AP = D  AP = PD  A[ui ] = P[ui ]  A[ui ] = li [ui ] (i = 1, 2,..., n ).

Suy ra li là trị riêng và ui là vector riêng của A. • Vậy P là ma trận có các cột là các vector riêng đltt của A . Ma trận chéo D gồm các trị riêng tương ứng với các vector riêng trong ma trận P .

56

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ1 3 3 ö÷ çç ÷÷ VD 2. Ma trận A = ççç-3 -5 -3÷÷ có 2 trị riêng là: ÷÷ çç ÷÷ø 3 3 1 ç l1 = -2 , l2 = 1 . è

• Ứng với l1 = -2 có 2 vector riêng đltt là: u1 = (1; 0; -1), u2 = (0; 1; -1).

• Ứng với l2 = 1 có 1 vector riêng là u 3 = (1; -1; 1). æ1 æ-2 0 0ö 0 1 ö÷ ÷÷ çç çç ÷÷ ÷ ç ç ÷ Vậy P = çç 0 1 -1÷ và D = çç 0 -2 0÷÷. ÷ ÷÷ çç çç ÷ 0 1÷ø÷ çè 0 çè-1 -1 1 ÷ø÷

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Nhận xét P -1AP = D  A = PDP -1  A2 = (PDP -1 )(PDP -1 ) = PD 2P -1  Ak = PD k P -1 = P .[diag(l1,..., ln )]k .P -1 . k k k -1 Vậy A = P .diag(l1 ,..., ln ).P .

VD 3. Tiếp VD 2, ta có: æ0 -1 -1ö æ210 0 ÷÷ çç çç ÷ 10 ç 1 ÷÷ ççç 0 210 A = çç1 2 ÷÷ ç çç 1 ø÷÷ èçç 0 0 èç1 1

0ö÷ æç 1 0 1 ö÷ ÷÷ ç ÷÷ 0÷÷ ççç 0 1 -1÷÷ ÷÷ ç ÷÷ 1ø÷÷çèç-1 -1 1 ø÷÷

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ 1 -1023 1023 ö÷ çç ÷÷ ç = çç1023 2047 -1023÷÷. ÷÷ çç 1 ÷ø÷ çè1023 1023

57

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

3.4. Thuật toán chéo hóa ma trận vuông A cấp n Bước 1. Giải A - lI = 0 tìm trị riêng thực của A .

• Trường hợp A không có trị riêng thực nào thì ta kết luận A không chéo hóa được.

• Trường hợp A có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Ta làm tiếp bước 3 (bỏ qua bước 2).

• Trường hợp A có k trị riêng phân biệt li (i = 1,..., k ) với số bội tương ứng ni thì nếu:  n1 + n2 + ... + nk < n  A không chéo hóa được.  n1 + n2 + ... + nk = n , ta làm tiếp bước 2.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Bước 2. Với mỗi li ta tìm r (A - li I ) = ri .

Suy ra dim E (li ) = n - ri .

• Nếu có một li mà dim E (li ) < ni thì ta kết luận A không chéo hóa được.

• Nếu dim E (li ) = ni với mọi li thì A chéo hóa được.

Ta làm tiếp bước 3.

Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E (li ). Khi đó, P -1AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là li (mỗi li xuất hiện liên tiếp ni lần).

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ3 1 -1ö ÷÷ çç ÷ ç VD 4. Ma trận A = çç2 2 -1÷÷ có trị riêng bội hai là ÷÷ çç çè2 2 0 ÷ø÷ l = 2 (xem VD 9, §2, chương 4).

Do dim E (2) = 1 < 2 nên A không chéo hóa được.

58

1/5/2016

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

VD 5. Ma trận nào sau đây chéo hóa được: æ1 0ö æ1 -3ö æ1 3 ö ÷÷ ÷÷ ÷÷ A = ççç , B = ççç , C = ççç ÷ ÷ ÷. çè2 3÷ø çè2 5 ÷ø çè1 -1÷ø A. A và B;

B. B và C;

C. C và A;

D. A, B và C.

æ1 0 ö ÷÷ VD 6. Chéo hóa (nếu được) ma trận A = ççç ÷.

6 1 çè ø÷ æ3 0 ö ÷÷ 2010 VD 7. Cho ma trận A = ççç ÷. Tính A . çè8 -1÷ø

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

æ 2 -1÷ö çç 4 ÷÷ VD 8. Chéo hóa ma trận A = ççç-6 -4 3 ÷÷ . ÷÷ çç èç-6 -6 5 ÷ø÷

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

§1. Khái niệm cơ bản §2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc §3. Luật quán tính Xác định dấu của dạng toàn phương §4. Rút gọn Conic – Quadratic ……………………………………………………………………………

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Dạng song tuyến tính  Định nghĩa 1 • Ánh xạ f : n ´ n   (x , y )  f (x , y ) được gọi là một dạng song tuyến tính nếu f tuyến tính theo từng biến x , y .

59

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Nghĩa là: 1) f (x + y, z ) = f (x , z ) + f (y, z ); 2) f (x , y + z ) = f (x , y ) + f (x , z ); 3) f (ax , y ) = a f (x , y ); 4) f (x , ay ) = a f (x , y ), "x , y, z Î  n , "a Î  .

• Xét một cơ sở B = {u1, u2 ,..., un } của  n . Với hai n

n

i =1

j =1

vector bất kỳ x , y Î  n , x = å ui x i , y = å u j y j n

n

ta có f (x , y ) = å å f (ui , u j )x iy j . i =1 j =1

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Đặt aij = f (ui , u j ) ta được: n

n

f (x , y ) = å å ai j x iy j (1). i =1 j =1

• Ma trận A = (ai j )n được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f trong cơ sở B . Ký hiệu là A = [ f ]B .

Khi đó, dạng song tuyến tính f còn được viết dưới T dạng ma trận: f (x , y ) = [x ]B A[y ]B (2).

 Chú ý • Nếu cơ sở không được chỉ rõ thì ta ngầm hiểu đó là cơ sở chính tắc E trong  n .

• Dạng song tuyến tính thường được cho ở dạng (1).

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 1. Dạng song tuyến tính æ 1 3ö ÷ f (x , y ) = x 1y1 - 2x 2y1 + 3x 1y2 có A = ççç ÷÷. çè-2 0÷ø Khi đó: æ 1 3öæy ö ÷÷ ç 1 ÷÷ f (x , y ) = [x ]T A[y ] = x 1 x 2 ççç ÷ çç ÷. èç-2 0÷øèçy2 ÷ø æ0 1 2 ö ÷÷ çç ÷ ç VD 2. Cho dạng song tuyến tính có A = çç3 4 5÷÷. ÷÷ çç çè6 7 8ø÷÷ Ta có: f (x , y ) = x 1y2 + 2x 1y 3 + 3x 2y1 +4x 2y2 + 5x 2y 3 + 6x 3y1 + 7x 3y2 + 8x 3y 3 .

(

)

60

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

 Định nghĩa 2 Dạng song tuyến tính f trên n được gọi là đối xứng (tương ứng, phản đối xứng) nếu: f (x , y ) = f (y, x ), "x , y Î  n (tương ứng, f (x , y ) = -f (y, x ), "x , y Î  n ).  Nhận xét Ma trận của dạng song tuyến tính f đối xứng (phản đối xứng) trong một cơ sở bất kỳ của n là đối xứng (phản đối xứng).

VD 3. Dạng song tuyến tính đối xứng æ1 0 ö ÷÷ f (x , y ) = x 1y1 - 2x 2y2 có A = ççç ÷ đối xứng. çè0 -2÷ø

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

1.2. Dạng toàn phương  Định nghĩa • Cho f là dạng song tuyến tính đối xứng trên  n .

Q : n   x  f (x , x ) được gọi là dạng toàn phương trên n ứng với f .

Ánh xạ

• Nếu A = [ f ]B thì A cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B .

Khi đó, ta có: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 4. Tìm dạng toàn phương Q(x ) ? æ 1 -1ö ÷÷ .

Biết ma trận của Q(x ) là A = ççç ÷ ÷ èç-1 2 ø  Nhận xét • Trong VD 4, hệ số của x 12 và x 22 là a11 và a22 của A. • Nửa hệ số của x 1x 2 là a12 và a21 của A .

VD 5. Tìm ma trận trong dạng toàn phương sau: Q(x ) = 2x 12 + 3x 22 - x 32 - 4x 1x 2 + 6x 2x 3 .

61

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

§2. ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 2.1. Dạng chính tắc của một dạng toàn phương  Định nghĩa Trong n , xét dạng toàn phương (viết tắt là DTP) Q .

Ta nói Q được đưa về dạng chính tắc nếu ta chỉ ra được một cơ sở B mà trong cơ sở này, ma trận của Q có dạng đường chéo.

Nghĩa là: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B = l1x 12 + l2x 22 + ... + ln x n2

A = [ f ]B = diag(l1, l2 ,..., ln ), [x ]B = (x 1 ... x n )T .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

æ1 0 ö ÷ VD 1. Dạng chính tắc có ma trận A = ççç ÷÷ là: çè0 -2÷ø Q(x ) = Q(x 1, x 2 ) = [x ]T A[x ] = x 12 - 2x 22 .

VD 2. Trong  3 , dạng chính tắc Q(x ) = x 12 - 5x 22 æ1 0 0ö ÷÷ çç ÷ ç có ma trận A = çç0 -5 0÷÷. ÷÷ çç çè0 0 0ø÷÷

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 3. Ma trận của dạng toàn phương Q(x 1, x 2 ) = x 12 - 2x 1x 2 + 6x 22

trong cơ sở B = {(1; 1), (-1; 1)} là: 1 æ5 5ö÷÷ 1 æ 5 5ö÷÷ ; B. AB = ççç A. AB = ççç ÷ ÷; 2 èç5 9÷ø 2 èç-5 9÷ø

1 æ5 -5ö÷÷ C. AB = ççç ÷; 2 çè5 9 ÷ø

1 æ5 5 ö÷÷ D. AB = ççç ÷.

2 çè5 -9÷ø

62

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

2.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2.2.1. Phương pháp biến đổi trực giao a) Định nghĩa • Ma trận vuông P được gọi là ma trận trực giao nếu: P T = P -1 .

• Nếu có ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận A thì ta nói P chéo hóa trực giao ma trận A .  Chú ý Nếu P = (aij )n là ma trận trực giao thì

n

åa i =1

2 ij

=1

(tổng bình phương mỗi cột của P bằng 1).

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 4. Ma trận nào sau đây là ma trận trực giao ?

æ 3 -2 çç 1 çç 1 A. ç 0 6 ççç çè- 3 1

2 ö÷÷ ÷÷ 2 ÷÷; ÷÷ 2 ÷÷ø

æ 0 1 çç 1 çç B. ç 3 -2 6 ççç çè- 3 1

2 ö÷÷ ÷÷ 2 ÷÷; ÷÷ 2 ÷÷ø

æ 3 1 çç 1 çç -2 C. ç 0 6 ççç çè- 3 1

2 ö÷÷ ÷÷ 2 ÷÷; ÷÷ 2 ÷÷ø

æ 3 1 çç 1 çç D. ç- 3 -2 6 ççç 1 çè 0

2 ö÷÷ ÷÷ 2 ÷÷. ÷÷ 2 ÷÷ø

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

b) Thuật toán Xét dạng toàn phương Q(x ) trong n có ma trận là A .

Ta đi tìm ma trận trực giao P sao cho khi đổi biến [x ] = P [y ] thì D = P T AP có dạng chéo.

Khi đó, Q = [y ]T D[y ] có dạng chính tắc theo biến y : Q(y ) = l1y12 + l2y22 + ... + ln yn2 với li , i = 1,2,..., n là các trị riêng của A.

• Bước 1. Tìm các trị riêng li của A và vector riêng cơ sở ui của không gian riêng ứng với li , i = 1, n .

• Bước 2. Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt các vector ui thành wi (xem chương 3, §5, 5.3).

63

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

• Bước 3. Ma trận trực giao là: P = ([w1 ] [w2 ] ¼ [wn ]).

Ma trận của Q trong cơ sở mới là: D = P T AP = diag(l1, l2 ,..., ln ).

VD 5. Trong  2 , cho dạng toàn phương: Q(x ) = -3x 22 + 4x 1x 2 . æ0 2 ö ÷÷ Q(x ) có ma trận A = ççç ÷ trong cơ sở chính tắc. çè2 -3÷ø Ma trận A có trị riêng và vector riêng tương ứng là: l1 = 1, u1 = (2; 1); l2 = -4, u2 = (1; -2).

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Trực chuẩn hóa u1, u2 ta được: 1 1 w1 = 2; 1 và w1 = (1; -2).

5 5 Ma trận P của phép chuyển từ cơ sở chính tắc sang 1 æç2 1 ö÷÷ çç cơ sở trực chuẩn {w1, w2 } là P = ÷.

5 çè1 -2÷ø Đổi biến [x ] = P [y ]: 2 1 1 2 x1 = y1 + y2 , x 2 = y1 y2 .

5 5 5 5 Thay x 1, x 2 trong công thức đổi biến trên vào Q(x ),

( )

ta được dạng chính tắc Q(y ) = y12 - 4y22 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 6. Trong  2 , cho dạng toàn phương Q(x 1, x 2 ) = 3x 22 + 4x 1x 2 .

Bằng phép đổi biến trực giao [x ] = P[y ], 1 æç-2 1ö÷÷ çç với P = ÷, ta đưa Q về dạng chính tắc là: 5 çè 1 2÷ø A. Q = -y12 + 4y22 ;

B. Q = y12 - 4y22 ;

C. Q = 4y12 - y22 ;

D. Q = -4y12 + y22 .

 Chú ý Các trị riêng của A ứng với vector cột của P .

64

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 7. Trong  3 , cho ma trận A của DTP Q(x ) có các trị riêng và vector riêng cơ sở tương ứng là: l1 = 3, u1 = (1; 1; 1); l2 = 6, u2 = (-1; -1; 2) và l3 = 8, u 3 = (-1; 1; 0).

Tìm ma trận trực giao P và dạng chính tắc của Q ?

VD 8. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao: Q(x ) = 3x 12 + 6x 22 + 3x 32 - 4x 1x 2 + 8x 1x 3 + 4x 2x 3 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

2.2.2. Thuật toán Lagrange Xét dạng toàn phương: n

Q(x ) = å aii x i2 + 2 i =1

å

1£i < j £n

aij x i x j .

a) Trường hợp 1 (có 1 hệ số aii ¹ 0 )

• Bước 1. Giả sử a11 ¹ 0 , ta tách tất cả các số hạng chứa x 1 trong Q(x ) và thêm hoặc bớt để có dạng: 2 1 Q(x ) = a11x 1 + ... + a1n x n ) + Q1(x 2 ,..., x n ), ( a11 với Q1(x 2 ,..., x n ) chứa tối đa n - 1 biến.

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Đổi biến:

(

)

y1 = a11x 1 + a12x 2 + ... + a1n x n , yi = x i i = 2, n . Đổi biến ngược: 1 x1 = (y - a12y2 - ... - a1nyn ), x i = yi i = 2, n . a11 1 æ ö çç 1 - a12 ... - a1n ÷÷ çç a11 a11 ÷÷÷ çç ÷ 1 ...

0 ÷÷÷.

Ta có ma trận P1 = çç 0 ÷ çç ... ... ... ÷÷ çç... ÷÷ çç 0 ÷÷ 0 ...

1 è ø

(

)

65

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Với biến mới thì Q =

1 2 y + Q1(y2 ,..., yn ). a11 1

• Bước 2. Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1(y2 ,..., yn ), … Sau k bước thì Q có dạng chính tắc.

Ma trận đổi biến P = P1...Pk và [x ] = P[y ]. b) Trường hợp 2 (hệ số aii = 0, i = 1,..., n )

Giả sử a12 ¹ 0 , ta đổi biến: x 1 = y1 + y2 , x 2 = y1 - y2 , x i = yi (i = 3,..., n ).

Khi đó, Q = 2a12y12 - 2a12y22 + ... có hệ số của y12 là 2a12 ¹ 0 . Ta trở lại trường hợp 1.

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 9. Trong  3 , cho dạng toàn phương: Q (x 1, x 2 , x 3 ) = x 12 + 2x 22 + 2x 32 + 2x 1x 2 - 2x 2x 3 .

Dùng thuật toán Lagrange đưa Q (x ) về dạng chính tắc ta đặt y1 = x 1 + x 2 , y 2 = x 2 - x 3 , y 3 = x 3 .

Ma trận đổi biến P là: æ1 1 0 ö ÷÷ çç ÷ ç A. çç0 1 - 1÷÷; ÷ çç ÷ çè0 0 1 ÷÷ø æ 1 0 0ö ÷÷ çç ÷ C. ççç- 1 1 0÷÷; ÷÷ çç çè- 1 1 1÷ø÷

æ1 0 çç B. ççç1 1 çç çè0 - 1 æ1 - 1 çç D. ççç0 1 çç çè0 0

0÷ö ÷÷ 0÷÷; ÷÷ 1÷÷ø - 1ö÷ ÷÷ 1 ÷÷ . ÷÷ 1 ÷ø÷

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Giải. Ta có: ìïy = x + x ìïx = y - y - y ïï 1 ï 1 1 2 1 2 3 ïíy = x - x  ïïíx = y + y .

2 3 2 3 ïï 2 ïï 2 ïïy 3 = x 3 ïïx 3 = y 3 î î Vậy ta chọn D .

66

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 10. Trong  2 , cho dạng toàn phương: f (x 1, x 2 ) = -7x 12 - 2x 22 - 8x 1x 2 .

Dùng thuật toán Lagrange với ma trận đổi biến æ 1 0ö ÷ P = ççç ÷÷, ta đưa f về dạng chính tắc là: çè-2 1ø÷ A. f (y1, y2 ) = 2y12 - y22 ;

B. f (y1, y2 ) = -2y12 + y22 ;

C. f (y1, y2 ) = y12 - 2y22 ;

D. f (y1, y2 ) = -y12 + 2y22 .

VD 11. Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : Q(x ) = -x 22 + 4x 32 + 2x 1x 2 + 4x 1x 3 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 12. Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : f (x ) = 2x 1x 2 + 2x 1x 3 - 6x 2x 3 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

2.2.3. Thuật toán Jacobi (tham khảo)  Định thức con chính Cho ma trận vuông A = (aij )n .

a11 ... a1k Định thức: Dk = ... ... ... (1 £ k £ n ) ak 1 ... akk được gọi là định thức con chính của A.  Thuật toán • Cho dạng toàn phương Q(x ) có ma trận A = (aij )n

thỏa các định thức con Dk ¹ 0, k = 1,..., n .

67

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

• Với j > i , ta đặt D j -1, i là định thức của ma trận có các phần tử nằm trên giao các dòng 1,2,¼, j - 1 và các cột 1,2,¼, i - 1, i + 1,¼, j (bỏ cột i ) của A .

• Đổi biến theo công thức: ì ï x 1 = y1 + b21y2 + b31y 3 + b41y 4 + ... + bn 1yn , ï ï ï y2 + b32y 3 + b42y 4 + ... + bn 2yn , ïx 2 = í ï ............................................................, ï ï ï x = yn . ï ï î n D j -1, i Trong đó, bji = (-1)i + j .

D j -1

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

æ 1 b ... b ö çç 21 n1 ÷ ÷ çç 0 1 ... b ÷÷ ÷÷ n 2 Khi đó, P = çç và çç... ... ... ... ÷÷÷ ÷÷ çç çè 0 0 ... 1 ÷ø D D D Q = D1y12 + 2 y22 + 3 y 32 + ... + n yn2 .

D1 D2 Dn -1 VD 13. Dùng thuật toán Jacobi đưa DTP sau về dạng chính tắc: Q(x ) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 3x 1x 2 + 4x 1x 3 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

2.2.4. Thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng (tham khảo) • Bước 1. Biến đổi sơ cấp dòng của ma trận A I n và

(

)

đồng thời lặp lại các biến đổi cùng kiểu trên các cột của A I n để đưa A về dạng chéo diag(l1,..., ln ).

(

)

Khi đó, I n sẽ trở thành P T .

• Bước 2. Đổi biến [x ] = P [y ], ta được: Q(y ) = l1y12 + l2y22 + ... + ln yn2 .

VD 14. Dùng thuật toán biến đổi sơ cấp, đưa DTP Q(x ) = 2x 1x 2 - 4x 1x 3 + 6x 2x 3 về dạng chính tắc.

68

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

§3. LUẬT QUÁN TÍNH XÁC ĐỊNH DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 3.1. Luật quán tính a) Dạng chuẩn tắc

• Trong n , mọi dạng toàn phương bất kỳ đều có thể đưa về dạng chính tắc trong một cơ sở chính tắc: Q = l1x 12 + l2x 22 + ... + lr x r2 (l1l2 ...lr ¹ 0) (1).

• Dạng chính tắc (1) được gọi là dạng chuẩn tắc nếu: li = 1, "i = 1,2,..., r .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

• Không làm mất tính tổng quát, giả sử: l1, l2 ,..., ls > 0 và ls +1, ls +2 ,..., lr < 0 . Để đưa (1) về dạng chuẩn tắc, ta đổi biến: ì ï 1 ï xi = yi , i = 1,2,..., s ï ï li ï ï ï 1 ï ï y j , j = s + 1, s + 2,..., r íx j = ï -lj ï ï ï ï x k = yk , k = r + 1, r + 2,..., n. ï ï ï ï î Khi đó, Q = x 12 + x 22 + ... + x s2 - x s2+1 - ... - x r2 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 1. Trong  4 , cho dạng chính tắc: Q(x ) = 2x 12 - 3x 22 + 4x 32 . ìï ïïx = 1 y , 1 ïï 1 2 ïï 1 1 ïïx = y2 = y2 , 2 ï Đổi biến: í -(-3) -3 . ïï ïïx = 1 y = 1 y , 3 ïï 3 2 3 4 ïï ïïîx 4 = y 4 .

Trong cơ sở mới, ta được dạng chuẩn tắc: Q(y ) = y12 - y22 + y 32 .

69

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

b) Định lý (Luật quán tính Sylvester) Số s các số hạng mang dấu “ + ” và số p các số hạng mang dấu “ – ” trong dạng chính tắc là những đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

 Chú ý

• Số s được gọi là chỉ số dương quán tính của DTP. • Số p được gọi là chỉ số âm quán tính của DTP. • Số s - p được gọi là chỉ số (hay ký số) của DTP.

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 2. Trong  2 , cho dạng toàn phương: Q(x ) = x 12 - 3x 22 - 2x 1x 2 .

• Cách 1. Biến đổi: Q(x ) = (x 1 - x 2 )2 - 4x 22 . Đổi biến y1 = x 1 - x 2 , y2 = x 2 , ta được: Q(y ) = y12 - 4y22 .

1 4 • Cách 2. Biến đổi: Q(x ) = - (x 1 + 3x 2 )2 + x 12 .

3 3 Đổi biến z1 = x 1 + 3x 2 , z 2 = x 1 , ta được: 1 4 Q(z ) = - z12 + z 22 .

3 3

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

3.2. Tính xác định dấu của dạng toàn phương  Định nghĩa Trong  n , cho dạng toàn phương Q(x ).

• Q(x ) được gọi là xác định dương nếu: Q(x ) > 0, "x Î  n \ {q}.

• Q(x ) được gọi là xác định âm nếu: Q(x ) < 0, "x Î  n \ {q}.

• Q(x ) được gọi là nửa xác định dương (âm) nếu: Q(x ) ³ 0, "x Î  n (Q(x ) £ 0, "x Î  n ).

• Q(x ) được gọi là không xác định dấu nếu nó nhận cả giá trị dương lẫn âm.

70

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 3. Trong  2 , ta có: • Q(x ) = x 12 + 3x 22 - 2x 1x 2 là xác định dương vì Q(x ) = (x 1 - x 2 )2 + 2x 22 > 0, "x Î  2 \ {q}.

• f (x ) = -4x 12 - x 22 + 4x 1x 2 là nửa xác định âm vì f (x ) = -(2x 1 - x 2 )2 £ 0, "x Î  2 .

• g(x ) = x 12 - x 22 + x 1x 2 là không xác định dấu vì g(1, - 1) = -1 < 0 và g(1, 1) = 1 > 0 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

3.3. Các tiêu chuẩn xác định dấu a) Định lý 1 • DTP trong  n là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các hệ số ở dạng chính tắc của nó đều dương.

• DTP trong  n là xác định âm khi và chỉ khi tất cả các hệ số ở dạng chính tắc của nó đều âm.

 Hệ quả • Dạng toàn phương Q(x ) là xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng dương.

• Dạng toàn phương Q(x ) là xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng âm.

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 4. Trong  3 , xét tính xác định dấu của DTP sau: Q(x ) = 4x 12 + x 22 + 5x 32 - 2x 1x 2 + 6x 1x 3 .

VD 5. Trong  3 , xét tính xác định dấu của DTP sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 - x 32 + 5x 1x 3 .

71

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

b) Định lý 2 (Định lý Sylvester) • Trong n , dạng toàn phương là xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các định thức con chính đều dương.

Nghĩa là: Dk > 0, k = 1, n .

• Trong n , dạng toàn phương là xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm.

Nghĩa là: (-1)k Dk > 0, k = 1, n .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 6. Trong  3 , dùng định lý Sylvester xét tính xác định dấu của dạng toàn phương sau: Q(x ) = -2x 12 - 4x 22 - 3x 32 + 4x 1x 2 .

VD 7. Trong  3 , dùng định lý Sylvester xét tính xác định dấu của dạng toàn phương sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 - x 32 + 5x 1x 3 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

§4. RÚT GỌN CONIC – QUADRATIC (Nhận diện đường và mặt bậc hai) 4.1. Đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ Oxy a) Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy , đường bậc hai là tập hợp tất cả các điểm M (x ; y ) có tọa độ thỏa phương trình: ax 2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 (1).

Trong đó, a 2 + b 2 + c 2 > 0 .

VD 1. Trong  2 , đường (C ) có phương trình sau là đường bậc hai: x 2 + 4y 2 - 4xy + 4x - 3y - 7 = 0 .

72

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

b) Phân loại các đường conic  Các dạng chính tắc của đường conic x 2 y2 1) 2 + 2 = 1 (đường elip); a b x 2 y2 2) 2 - 2 = 1 (đường hyperbol); a b 3) y 2 = px hoặc x 2 = py (parabol).

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

 Phân loại Trong Oxy , xét đường (C ) có phương trình (1): ax 2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 . æa c d ö ÷÷ çç æa c ö ÷÷ ççc b e ÷÷. Đặt hai ma trận Q = ççç và Q = ÷÷ ÷ çç çèc b ÷ø ççd e f ÷÷÷ è ø

• Ta có (C ) là đường conic  detQ ¹ 0 .

• Khi (C ) là đường conic thì: 1) (C ) là đường elip  detQ > 0 ; 2) (C ) là đường hyperbol  detQ < 0 ; 3) (C ) là đường parabol  detQ = 0 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

 Chú ý Nếu detQ = 0 thì (C ) không phải là conic (có thể là tích của hai đường thẳng). c) Rút gọn đường conic Bằng cách xoay trục tọa độ và tịnh tiến, ta sẽ đưa (1) về dạng chính tắc.

• Bước 1. Đưa dạng toàn phương ax 2 + by 2 + 2cxy về dạng chính tắc a(x ¢)2 + b(y ¢)2 (khử tích chéo xy ) bằng phép biến đổi trực giao (phép quay).

• Bước 2. Đặt x ¢¢ = x ¢ + a ¢, y ¢¢ = y ¢ + b ¢ (tịnh tiến hệ tọa độ) một cách thích hợp để phương trình (C ) có dạng chính tắc.

73

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 2. Xác định dạng của đường bậc hai (C ) : x 2 + 4y 2 - 4xy + 4x - 3y - 7 = 0 .

VD 3. Xác định dạng của đường bậc hai (C ) : x 2 - 4y 2 - 4x + 8y = 0 .

VD 4. Trong Oxy , viết phương trình chính tắc của conic (C ) : 5x 2 + 8y 2 + 4xy - 32x - 56y + 80 = 0 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

3.2. Mặt bậc hai trong không gian tọa độ Oxyz a) Định nghĩa Trong không gian Oxyz , mặt bậc hai là tập hợp tất cả các điểm M (x , y, z ) có tọa độ thỏa phương trình: ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2 fyz + 2gx + 2hy + 2kz + l = 0 (2).

Trong đó a, b, c, d, e, f không đồng thời bằng 0.

VD 5. Trong  3 , mặt (S ) có phương trình sau là mặt bậc hai: 3x 2 + 3y 2 + 10xy - 2x - 14y - 13 = 0 .

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

 Các dạng chính tắc của mặt bậc hai

1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (mặt cầu); x2 a2 x2 3) 2 a x2 4) 2 a x2 5) 2 a

2)

y2 b2 y2 + 2 b y2 + 2 b y2 + 2 b +

z2 c2 z2 - 2 c z2 - 2 c z2 - 2 c +

= 1 (mặt elipsoid); = 1 (hyperbolic 1 tầng); = -1 (hyperbolic 2 tầng); = 0 (nón eliptic);

74

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

x 2 y2 + = 2z (parabolic eliptic); a 2 b2 x 2 y2 7) 2 - 2 = 2z (parabolic hyperbolic); a b x 2 y2 8) 2 + 2 = 1 (mặt trụ eliptic); a b x 2 y2 9) 2 - 2 = 1 (mặt trụ hyperbolic); a b 10) y 2 = px hoặc x 2 = py (mặt trụ parabolic).

6)

 Chú ý Các dạng 8), 9), 10) là các mặt bậc hai suy biến.

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

b) Phân loại mặt bậc hai Cho (S ) là mặt bậc hai có phương trình: ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2 fyz

+ 2gx + 2hy + 2kz + l = 0. æa d e g ö ÷÷ çç æa d e ö ÷ çç ççd b f h ÷÷ ÷÷ ÷ Đặt Q = çççd b f ÷÷ và Q = çç ÷÷÷. ÷ ç e f c k çç ÷ ÷÷ çç çèe f c ÷ø÷ ççg h k l ÷÷ è ø

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

Ta có, (S ) không suy biến  detQ ¹ 0 .

Khi đó: 1) (S ) là mặt elipsoid (kể cả elipsoid ảo) khi và chỉ khi Q xác định dương hoặc xác định âm.

2) (S ) là mặt hyperpolic (1 tầng hoặc 2 tầng) khi và chỉ khi chỉ số s - p của Q là 1.

3) (S ) là mặt parabolic eliptic (hay parabolic – hyperpolic) khi và chỉ khi detQ = 0 .

75

1/5/2016

 Chương 5. Dạng song tuyến tính – Toàn phương

VD 6. Xác định dạng của mặt bậc hai (S ) : 4x 2 + 4y 2 - 8z 2 - 10xy + 4xz + 4yz - 16x - 16y - 8z + 72 = 0.

VD 7. Xác định dạng của mặt bậc hai sau đây rồi viết phương trình chính tắc: (S ) : 22x 2 + 28y 2 + 15z 2 + 8xy - 112x - 184y - 30z + 343 = 0.

76