Giải bài tập Toán 9 Tập 1 - TS Vũ Thế Hựu

TÀI LIỆU MÔN TOÁN LỚP 9

vectorstock.com/8334283

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Giải bài tập Toán 9 Tập 1 TS Vũ Thế Hựu PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

PHẦN ĐẠI SỐ Chương I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA §1. Căn bậc hai 1. Định nghĩa Căn bậc hai của một số thực a là số x sao cho x 2  a .

Kết quả - Một số thực dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, kí hiệu

a và  a .

- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất, là 0.

- Một số âm không có căn bâc hai.

2. Căn bậc hai số học Căn bậc hai số học của một số thực a không âm là số x không âm mà x 2  a , kí hiệu x  a .

3. Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự Định lí: Với a, b là các số dương, ta có: a, Nếu a  b thì

a b

b, Ngược lại, nếu

a  b thì a  b

Tóm tắt: a  b  a  b ; a, b  0 .

BÀI TẬP 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400.

Hướng dẫn Ta có bảng: x

121

144

169

225

256

324

361

400

x

11

12

13

15

16

18

19

20

±11

±12

±13

±15

±16

±18

±19

±20

 x

x là căn bậc hai số học của số x,  x là các căn bậc hai của số x. Thường  x được viết gọn

Trong đó là

x.

2. So sánh: a) 2 và

3;

b) 6 và

41

Hướng dẫn a) 2  4 ; 4  3  4  3  2  3 . b) 6  36 ; 36  41  36  41  6  41 . c) 7  49 ; 49  47  49  47  7  47 .

c) 7 và

47

3. Dùng máy tính bỏ túi để tính nghiệm của các phương trình dưới đây (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ ba). a) x 2  2

c) x 2  3,5 ;

b) x 2  3

d) x 2  4,12

Hướng dẫn a) x 2  2



x 2

Chẳng hạn dùng máy tính bỏ túi CASIO fx 220, ta nhấn các nút: AC

2

. Kết quả trên máy tính là

1.414213562. Làm tròn đến số thập phân thứ ba ta được các nghiệm là: x   1, 414 . b) x 2  3 c) x 2  3,5



x=  3



d) x 2  4,12





x=  3,5

x  1,732. 

x=  4,12

x  1,871. 

x  2, 030.

4. Tìm x không âm, biết: a)

x  15

b) 2 x  14

x 2

c)

d)

2x  4

Giải a)

x  15

b) 2 x =14

 x  152

 x  225.

 (2 x ) 2  142  4 x  196

 x  49;  0  x  4;

c)

x< 2

 ( x ) 2  ( 2) 2  x  4

d)

2 x <4

 ( 2 x ) 2  42

 2 x  16

 0  x  8;

5. Đố: Tính cạnh một hình vuông biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m còn chiều dài 14m (hình dưới).

Hướng dẫn Gọi cạnh hình vuông là x, ta có:

x 2  3,5.14  49 Vì độ dài cạnh hình vuông là một số không âm nên

x 2  49  x  49  7  m  BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho các số 64; 100; 103; 271. a) Tìm căn bậc hai của các số trên. b) Tìm căn số số học của các số trên.

2. Trong các số sau đây, số nào có căn bậc hai, số nào không có căn bậc hai: 36; 37; -64; m; n với m, n là các số thực.

3. So sánh các số:

9  16 và

Từ kết quả trên, liệu ta có thể viết:

9  16

4  9  49 ?

25  36  25  36 ?

§2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

A2 = A

1. Định nghĩa Nếu A là một biểu thức thì

A là biểu thức dạng căn bậc hai hay nói gọn hơn là căn bậc hai của A; A được

gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. Điều kiện để

A có nghĩa là A  0 . Rõ ràng với A  0 thì

 A

2

A

A2 = A

2. Hằng đẳng thức

Định lí: Với mọi số thực a, ta có

a2  a

Chú ý: Kết hợp với định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có:

 A nÕu A  0;  A nÕu A  0.

A2  A  

BÀI TẬP 6. Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa? a)

a 3

;

b)

5a ;

c)

4 a;

d)

3a  7 .

Hướng dẫn a)

a 3

có nghĩa khi

a 3

0



a  0. 

b)

5a có nghĩa



 5a  0

c)

4  a có nghĩa



4a 0



a  4.

d)

3a  7 có nghĩa 

3a  7  0



a  .

a  0.

7. Tính : a)

(0,1)2 ;

b)

(0,3)2 ;

c)  (1,3)2 ; d) 0,4 (0,4)2 .

Hướng dẫn

7 3

a)

(0,1)2  0,1  0,1

b)

(0,3)2  0,3  0,3 ;

c)  (1,3)2   1,3  1,3 ; d) 0,4 (0,4)2  0,4.0,4  0,16 .

8. Rút gọn các biểu thức sau đây: a)



b)

3 

2 3



2

11



; 2

;

c) 2 a2 với a  0 ; d) 3  a  2 với a  2 2

Hướng dẫn a) Vì 2  3 nên 2  3  0 vậy b) Vì 3  11 nên

3 

11



2

 2  3

2

 2 3  2 3

 3  11  11  3

c) 2 a2 với a  0 thì 2 a2  2a d) Với a  2  a  2  0

3  a  2  3 a  2  3.    a  2   3 2  a  2

9. Tìm x, biết: a)

x2  7 ;

b)

x 2  8 ;

c)

4x2  6 ;

d)

9 x 2  12

Hướng dẫn a)

x2  7  x  7

b)

x 2  8  x 2  8  x  8

c)

4 x 2  6  4 x 2  36  x 2  9  x  3

d)

9 x 2  12  9 x 2   12   9 x 2  144

 x 2  16  x  4

2

10. Chứng minh: a)



b)



3 1

2

 42 3

4  2 3  3  1

Giải a) Xuất phát từ vế phải, ta có: 4  2 3  3  2 3 1 

 3

2

 2.1. 3  12 





3 1

2

b) Theo câu a), ta có: 42 3 





3 1



 42 3 

Vậy

2



3 1

2

 3  1 (vì

3  1, 3  1  0 ).

4  2 3  3  3  1  3  1

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Với giá trị nào của m thì căn thức sau đây có nghĩa: a)

3m 2  1

b)

1 m 1

c)

m 2  2m  1

2. Rút gọn các biểu thức với a là một số thực bất kì a) 2a  b)

1  a 

 3  2a 

2

2

3  2a

LUYỆN TẬP 11. Tính a) 16. 25  196 : 49 ; b) 36 : 2.32.18  169; c) d)

81 ;

32  42 .

Hướng dẫn a) 16. 25  196 : 49  4.5  14 : 7  20  2  22 b) 36 : 2.32.18  169  36 :18  13  11

81  9  3

c) d)

32  42  9  16  25  5

12. Tìm x để căn thức sau có nghĩa: a)

2x  7 ;

b)

3 x  4 ;

c)

1 ; 1  x

d) 1  x 2 .

Hướng dẫn a)

2 x  7 có nghĩa khi 2 x  7  0  x  

b) Đáp số: x 

7 2

4 3

c) x  1 d) 1  x 2 có nghĩa với mọi x.

13. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 a 2  5a với a  0 ; b)

25a 2  3a với a  0 ;

c)

9a 4  3a 2 với a bất kì;

d) 5 4a 6  3a 3 với a  0 .

Hướng dẫn a) Với a  0 thì

a 2  a

2 a 2  5a  2a  5a  7 a

b) Với a  0  25a 2  5a 25a 2  3a  5a  3a  8a

c) Ta có:

9a 4  3a 2

9a 4  3a 2  3a 2  3a 2  6a 2

d) Với a bất kì thì

4a 6 

 2a 

3 2

 2a 3

Với a  0 thì: 2a 3  2a 3 và 5 4a 6  3a 3  5.  2a 3   3a 3  13a 3

14. Phân tích thành nhân tử: a) x 2  3; b) x 2  6; c) x 2  2 3 x  3; d) x 2  2 5 x  5.

Hướng dẫn: Dùng kết quả: Với a  0 thì a 

  a

2

Hướng dẫn

 3    x  3  x  3   6   x  6  x  6  2

a) x 2  3  x 2  b) x 2

c) x 2  2 3 x  3  x 2  2 3 x  ( 3) 2  ( x  3) 2 . d) x 2  2 5 x  5  x 2  2 5 x  ( 5) 2  ( x  5) 2 .

15. Giải các phương trình sau : b) x 2  2 11x  11  0;

a) x 2  5  0; Hướng dẫn a) x 2  5  0



x2  5

b) x 2  2 11x  11  0



x   5.



x 2  2 11x  ( 11) 2  0



( x  11) 2  0



x  11  0



x  11.

16. Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “ Con muỗi nặng bằng con voi”.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có: m2  V2  V2  m2 .

Cộng cả hai vế với -2mV, có : m 2  2mV + V 2  V 2  2mV + m 2

hay (m - V) 2  (V - m) 2 Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được: m-VV-m.

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi.

Hướng dẫn Lập luận này sai từ chỗ (m - V) 2  (V - m) 2 Suy ra m - V  V - m .

Lẽ ra ta phải suy như sau : (m - V) 2  (V - m) 2



V - m  m-V

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tính a từ đẳng thức : 2a(a - 1) = 9 - a.

2. Tính x, biết :

(3x - 1) 2  16.

§3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 1. Định lí Nếu a  0 và b  0 thì

a .b  a . b

Chú ý: Định lí được mở rộng cho trường hợp tích của nhiều thừa số.

2. Khai phương một tích Quy tắc : Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

2. Nhân các căn thức bậc hai Quy tắc : Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai kết quả tìm được.

a . b  a . b ; a  0, b  0 Chú ý: Định lí và các quy tắc cũng được áp dụng cho trường hợp A, B là các biểu thức không âm

A.

B. C

A . B . C ; A  0, B  0, C  0.

BÀI TẬP 17. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính: a)

0, 09.64;

b)

24.(7) 2 ;

c) 12,1.360; d)

22.34 .

Giải a)

0, 09.64  0, 09 . 64  0,3 . 8  2, 4 ;

b)

24.(7) 2  24 . (7) 2  22 . 7  28 ;

c) 12,1 . 360  121 . 36.  11.6  66 ; d)

22. 34  22 . (32 ) 2  2.9  18 .

18. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính: a)

7 . 63 ;

b)

2,5 . 30 . 48 ;

c)

0,4 . 6, 4 ;

d)

2,7 . 5 . 1,5 .

Hướng dẫn

a) 7 . 63  7 . 63  7 2. 9  7.3  21 ;

b) 2,5 . 30 . 48  2,5 . 30 . 48  2,5 . 2 . 15 . 24 . 3  5 . 5 . 3 . 3 . 24  5.3.4  60 ;

c) 0,4 . 6, 4  0,4 . 6, 4  0, 4 . 0, 4 . 16  0, 4 . 4  1, 6 ; d) 2,7 . 5 . 1,5  9 . 0,3 . 5 . 5 . 0,3  3 . 0,3 . 5 = 4,5 .

19. Rút gọn các biểu thức sau: a)

0,36a 2 với a < 0;

b)

a 4 (3  a ) 2 với a ≥ 3;

c)

27. 48 (1  a ) 2 với a > 1;

d)

1 . a 4 (a  b) 2 với a > b. a b

Hướng dẫn a)

0,36a 2  0, 6 a vì a  0 nên a   a

0,36a 2  0, 6a.

Vậy b)

a 4 (3  a ) 2  a 2 3  a vì a  3 

3  a  a  3.

a 4 (3  a ) 2  a 2 (a  3 ); a  3.

Vậy c)

(a  0)

27. 48 (1  a ) 2  33. 3 . 42 (1  a ) 2  32. 4 1  a

vì a  1 nên 1  a  a  1 27. 48 (1  a ) 2  36(a  1).

d)

1 1 . a 4 ( a  b) 2  .a 2 a  b a b a b

vì a  b nên



a  b  a  b và a  b  0

1 1 . a 4 ( a  b) 2  .a 2 (a  b)  a 2 a b a b

20. Rút gọn các biểu thức sau: 2a .

3

3a với a  0 ; 8

b) 13a .

52 với a  0 ; a

a)

c)

5a . 45a  3a với a  0 ;

d) (3  a ) 2  0, 2 . 180a 2 .

Hướng dẫn

a)

2a .

3

3a 2a . 3a a2 a    8 3.8 4 2

Vì a  0

a a  . nên 2 2



2a .

3

3a a  .

8 2

b) Đáp số : 26. c)

5a . 45a  3a 

Với a  0

52.32. a 2  3a  15 a  3a.

 15 a  3a  15a  3a  12a

d) (3  a ) 2  0, 2 . 180a 2  (3  a ) 2  36a 2  (3  a ) 2  6 a * Với a  0



6 a  6a

3  a  * Với a < 0

2

 6 a  9  6a  a 2  6a  a 2  12a  9

 6 a   6a (3  a ) 2  6 a  9  6a + a 2  6a  a 2  9

21. Khai phương tích 12 x 30 x 40 được : A) 1200; B) 120; C) 12; D) 240.

Hãy chọn kết quả đúng. Đáp số B) 120.

LUYỆN TẬP 22. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính : a) 132  122 ; b) 17 2  82 ; c) 117 2  1082 ; d)

3132  3122 .

Hướng dẫn a) 132  122  (13  12)(13  12)  1.25  5. b) Đáp số : 15 c) Đáp số : 45 d) Đáp số : 25.

23. Chứng minh :

a) (2  3)(2  3)  1 ; b) ( 2006  2005) và ( 2006  2005) là hai số nghịch đảo nhau.

Hướng dẫn a) (2  3)(2  3)  22  ( 3) 2  4  3  1. b) Xét tích ( 2006  2005)( 2006  2005)

= ( 2006) 2  ( 2005) 2  2006  2005  1. 

2006  2005 

1 2006  2005

.

24. Rút gọn rồi tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau : a) 4(1  6 x  9 x 2 ) 2 tại x   2 ; 9a 2 (b 2  4  4b) tại a  2, b   3.

b)

Hướng dẫn 2

4(1  6 x  9 x 2 ) 2  4 (1  3 x) 2   2(1  3 x) 2

a)

Với x   2 Lấy



2(1  3 x) 2  2(1  3 2) 2

2  1,4142, ta tính ra kết quả :  21,029.

9a 2 (b 2  4  4b)  9a 2 (b  2) 2  3 a b  2

b)

Vì

a  2  0 nên a  a

b   3  b  2   3  2  0 nªn b  2  2  b và

3 a b  2  3a (2  b)  6(2 

3)

Lấy 3  1,7320, ta có kết quả :  22,392.

25. Tìm x, biết : a) 16 x  8 b)

4x  5

c)

9( x  1)  21

d)

4(1  x) 2  6  0

Hướng dẫn a) 16 x  8



Thử lại : x  4

x 2 



x  4

16.4  4.2  8

Vậy x  4 là nghiệm của phương trình đã cho.

b)

4x  5

Thử lại : x  Vậy x 

c)



4x  5

5 4



 4.

x 

5 4

5  5.

4

5 là nghiệm của phương trình đã cho.

4

9( x  1)  21



x 1  7



x  1  49



Thử lại : Với x  50



x  50

9.49  3.7  21.

Vậy x  50 là nghiệm của phương trình đã cho. d)

4(1  x) 2  6  0



4(1  x) 2  6

1 x

 3

* Với x  1  1  x  0 nên 1  x  x  1 Phương trình trở thành x  1  3  x  4 Giá trị x  4 thỏa mãn điều kiện x  1 . * Với x  1  1  x  0 nên 1  x  1  x Phương trình trở thành 1  x  3  x  2 Giá trị x  2 thỏa mãn điều kiện x  1 .

Thử lại : - Với x  2 

4(1  2) 2  6  2.3  6  0

Vậy x  2 là nghiệm của phương trình đã cho - Với x  4 

4(1  4) 2  6  2.3  6  0

Vậy x  4 là nghiệm của phương trình đã cho Đáp số : S = 2; 4 .

26. a) So sánh :

25  9 và

25  9 .

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh

a  b a  b Hướng dẫn

a) Đặt A = 25  9  34 ; Ta có :

B = 25  9  8.

A 2  34, B2  64 A 2  B2 , A, B > 0 nên A < B

25  9  25  9

Chú ý : Có thể so sánh như sau :



A = 34

A < 36



A<6

(1)

B=8



B>6

(2)



25  9  25  9

Từ (1) và (2) suy ra A < B b) Tương tự, đặt A  a  b

B 

a  b 



A 2 < B2

A2  a  b B2  a  b  2 a . b

2 a . b  0 , do vậy a + b < a  b  2 a . b

Vì a > 0, b > 0  



A<B

a  b a  b b)  5 và  2.

27. So sánh : a) 4 và 2 3

Giải a) Ta có : 42  16;

(2 3) 2  12.

Như vậy : 42  (2 3) 2 b) Ta so sánh

5 và 2 :

Vì 2  4 mà

4<5

Từ 2  5 suy ra



4  2 3



4  52  5

2   5 BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Tìm các giá trị của biến x để các biểu thức sau có nghĩa :

5 x ;

3 x 2 ;

1  x2 .

2. Rút gọn các biểu thức :

a  b a ; b a

x  ax ; a x

x 

xy

x y

.

§4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương 1. Định lí Nếu a ≥ 0 và b > 0 thì

a  b

a b

.

2. Khai phương một thương Quy tắc: Muốn khai phương một thương

a trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai b

phương số a và khai phương số b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

3. Chia hai căn thức bậc hai Quy tắc : Muốn chia căn thức bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi lấy căn bậc hai của thương đó.

a b



a , a ≥ 0, b≥ 0 b

Chú ý : Định lí và các quy tắc trên cũng được áp dụng cho trường hợp A là biểu thức không âm và B là biểu thức dương.

BÀI TẬP 28. Tính : a)

289 ; 225

b)

2

c)

0, 25 ; 9

d)

8,1 .

1, 6

14 ; 25

Hướng dẫn a)

289  225

b) 2

289 225



17 ; 15

14 64 64 8    ; 25 25 25 5

c)

0, 25 25 25 5 1     ; 9 900 900 30 6

d)

8,1 81 81 9    .

1, 6 16 16 4

29. Tính :

a) b) c)

d)

2 18

;

15 735

;

12500 ; 500 65

.

23. 35

Hướng dẫn a) b) c)

d)

2 2 1 1    ; 18 9 3 18 15 735

15  735



1 1  ; 49 7

12500 12500   25  5 ; 500 500 65 23. 35



25. 35  22  2 .

23. 35

30. Rút gọn các biểu thức sau đây : y . a) x

x2 với x > 0, y  0 ; y4

b) 2y 2 .

x4 với y < 0 ; 4y 2

c) 5xy .

25x 2 với x < 0, y > 0; y6

d) 0,2x 3 y3 .

16 với x  0, y  0 . x 4 y8 Hướng dẫn

a)

y . x

x2 y x  . y4 x y2

vì x > 0 

x = x nên

Do y  0 và x  0 nên có thể rút gọn với y và x :

b) 2y 2 .

x4 x2 2  2y .

4y 2 2y

y x y x .  . x y2 x y2 y x 1 .  x y2 y

y =  y , ta có : 2y 2 .

vì y < 0 nên

5x 25x 2  5xy .

6 y y3

c) 5xy .

x2 2y

 2y 2 .

x2 =  2x 2 y .

2y

( vì y > 0 )

5x 5x 25x 2 Vì x < 0 nên x   x , ta có : 5xy. 3  5xy. 3   2 . y y y

16 4 0,8x ( vì x  0, y  0 ).  0, 2x 3y 3. 2 4  4 8 x y x y y

d) 0, 2x 3y 3.

25  16 và

31. a) So sánh

25  16

b) Chứng minh rằng với a > b > 0 thì

a  b  a  b.

Hướng dẫn

a) Ta có :

25  16  9  3;

25  16  5  4  1

25  16  25  16 .

Vậy

a  b  a  b.

b) Để chứng minh

a  a  b  b (1)

Ta chứng minh

Vì hai vế của (1) là các số không âm, nên ta tính

 a 

2

 a (2)

ab  b

 

abb2

2

ab



2

2

a  b b  

b



2

a  b b

 a  2 2  a  b  .b (3)

So sánh (2) và (3) ta có :

 a   2

ab  b



2

 a  a  b  b hay

a  b  a  b. với a > b > 0.

LUYỆN TẬP

32. Tính a) 1 c)

9 4 .5 .0,01; 16 9

1652  1242 ; 164

b) 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4; d)

1492  762 .

4572  3842 Hướng dẫn

a) 1

9 4 25 49 1 5.7.1 7 .5 .0,01  . .   ; 16 9 16 9 100 4.3.10 24

b)

1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 44 1, 21  0, 4  1, 44.0,81 

c)

1652  1242  164



289.41  4.41

d)

165  124 165  124  164

289  4

289 4





144 81 12.9 .   1,08 100 100 100

289.41 164

17 ; 2

1492  762 73.225 225 15    .

2 2 457  384 73.841 841 29

33. Giải phương trình : a)

2.x  50  0;

b)

3.x  3  12  27;

c)

3.x 2  12  0;

d)

x2  20  0.

5

Hướng dẫn a)

2.x  50  0  2.x  50  x  50 : 2  25  5;

b)

2.x  8  0  2.x  8  x 

8 8 x  x  4  x  2; 2 2

c) Đáp số : x   2; d)

x2  20  0  x 2  20. 5  x 2  100  x 2  10  x   10 5

34. Rút gọn các biểu thức sau đây : a) ab2 .

3 với a  0, b  0; a b 2 4

b)

27  a  3 với a > 3 ; 48

c)

9  12a  4a 2 với b < 0 và a  1,5 ; b2

2

d)  a  b  .

ab

 a  b

2

với a < b < 0.

Hướng dẫn

a) ab2 .

3 3  ab2 . . a b a b2 2 4

Vì a < 0  a  a và b  0 nên :

ab2 .

3 3  ab2  3 2 ab ab2

3a 3 27  a  3 3.9  a  3 9  a  3    48 48 16 4 2

b)

2

2

Vì a > 3  a  3  0  a  3  a  3 Nên

3a 3 3   a  3 .

4 4

 2a  3

9  12a  4a 2  b2

c)

b

2

2



2a  3 b

b < 0  b   b; a  1,5  2a  3  0  2a  3  2a  3

2a  3 2a  3 2a  3   . b b b ab

d)  a  b  .

 a  b

2



ab ab

ab

Vì a < b  a  b    a  b  ab ab

ab 

ab ab   ab   a  b

Chú ý : Vì a < b mà b < 0  a  0 a < 0, b < 0  ab  0

ab có nghĩa.

nên

35. Tìm x biết : a)

 x  3

b)

4x 2  4x  1  6.

2

 9;

Giải a)

 x  3

2

9 x3 9

- Với x  3  x  3  0 nên x  3  x  3 , phương trình trở thành x  3  9  x  12 (thỏa mãn điều kiện x > 3).

- Với x < 3 thì x – 3 < 0 nên x  3  3  x , phương trình trở thành 3  x  9  x  6 (thỏa mãn điều kiện x < 3) Tập nghiệm của phương trình là : S  6;12 4x 2  4x  1  6 

b)

- Với x  

 2x  1

2

 6  2x  1  6

1  2x  1  0 nên 2x  1  2x  1 .

2

Phương trình trở thành : 2x  1  6  x  - Với x  

5 1 (thỏa mãn điều kiện x   ) 2 2

1  2x  1  0 nên 2x  1  2x  1 .

2

Phương trình trở thành : 2x  1  6  x  

7 1 (thỏa mãn điều kiện x   ) 2 2

 7 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;   2 2

36. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? a) 0,01  0,0001; b) 0,5  0, 25

39  7 và

c)



39  6







d) 4  13 .2x  3 4  13  2x  3 Hướng dẫn a) Đúng vì  0,01  0,0001 2

b) Sai vì 0, 25  0  0, 25 vô nghĩa c) Vì 72  49 và 62  36

36  39  49  6  39  7 . Vậy c đúng d) Vì 16 > 13  4  13  4  13  0 . Vậy d đúng.

37. Đố : Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh 1cm, cho 4 điểm M, N, P, Q (hình bên).

Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích tứ giác MNPQ.

Hướng dẫn -

Sử dụng định lý Pitago, ta tính ra :

MN 2  22  12  5  MN  5 cm Tương tự, ta có MQ  QP  PN  MN  5 cm Đường chéo MP 2  32  12  10  MP  10 cm Tương tự, ta tính ra NQ  10 cm Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Hình thoi này lại có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông. Từ đó ta có :

SABCD  MN 2 

 5

2

 5cm 2 BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Tính

15  5 2 3  3 2  2 ; ; 1 3 3 1 2 2. Tìm giá trị x thỏa mãn các đẳng thức : a)

x  m  m  

b) 2 x  1  0 2. Rút gọn : a)

b)

c)

d)

9a 4 b2c 2 4a 2 bc 2 ab2c

m  n

2

a  b 3 c d 4  a  b 3  .c d

 3

5

2

2

0,01 a 1  a  2

4

4 3

§5..BẢNG CĂN BẬC HAI Dùng bảng số để tìm căn bậc hai của mỗi số sau đây rồi dùng máy tính bỏ túi kiểm tra và so sánh kết quả (từ bài 38 đến bài 40) 38. 5,4; 7,2; 9,5; 31; 68. Đáp số

5, 4  2,324; 9,5  3,082 7, 2  2, 683

31  5,568 68  8, 246 Học sinh kiểm tra lại bằng máy tính bỏ túi.

39. 115; 232; 571; 9691.

Ta có : 115  1,15.100  10 1,15  1,072.10  10,72 Tương tự, ta có :

232  1,523.10  15, 23 571  7,556.10  75,56 9691  9,845.10  98, 45.

40. 0,71; 0,03; 0,216; 0,811; 0,0012; 0,000315. Đáp số Ta có : 0, 71  Tương tự :

71 71 8, 426  0, 71    0,8426; 100 10 10

0,03  0,1732

0, 216  0, 4648

0,0012  0,0346 41. Biết

911,9 ;

0,000315  0,0175

9,119  3,019. Hãy tính :

91190 ;

0,09119 ;

0,0009119 Giải

Ta có :

911,9  9,119.100  3,019.10  30,19 ;

91190  9,119.10000  301,9 Tương tự ta có :

0,09119 

9,119 3,019   0,3019 100 10

0,0009119  0,03019 42. Dùng bảng căn bậc hai để tìm nghiệm mỗi phương trình sau :

0,811  0,9006

a) x 2  3,5 b) x 2  132 Hướng dẫn a) Đáp số : x  1,871 b) Đáp số : x  11, 489

§6. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn A2 B  A B

 B  0

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

A B  A2 B với A  0, B  0 A B   A2 B với A  0, B  0 BÀI TẬP 43. Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn. a)

54

b) 108 c) 0,1 20000 d) 0,05 28800 e)

7.63.a 2

Hướng dẫn a)

54  9.6  3 6

b) 108  36.3  6 3 c) 0,1 20000  0,1 10000.2  0,1.100. 2  10 2 d) 0,05 28800  0,05 14400.2  0,05.120 2  6 2 e)

7.63.a 2  7.7.9.a 2  7.3. a  21 a

44. Đưa thừa số vào trong dấu căn : 3 5; 5 2; 

2 2 xy với xy  0; x với x > 0. x 3

Hướng dẫn 3 5  32.5  45 5 2   52.2   50  x

2 4xy xy   3 9 2 2  x 2 .  2x , x  0 x x

45. So sánh : a) 3 3 và 12 b) 7 và 3 5

c)

1 1 51 và 150 3 5

d)

1 1 6 và 6 2 2

Hướng dẫn a) Ta có : 3 3  27 . Vì 27  12  27  12 Vậy 3 3  12 Chú ý : Có thể làm như sau :

12  4.3  2 3 . Vì 2 3  3 3  12  3 3 b) 3 5  45;7  49  3 5  7 c) Ta có :

1 1 1 150  25.6  .5 6  6 5 5 5

1 51 17 51   3 9 3

Vì

17 1 1 6 51  150 3 3 5

d)

1 3 1 1 1 6 ;6  18  66 2 2 2 2 2

46. Rút gọn các biểu thức sau với x  0 : a) 2 3x  4 3x  27  3 3x b) 3 2x  5 8x  7 18x  28 Hướng dẫn a) 2 3x  4 3x  27  3 3x

 2 3x  4 3x  3 3x  27  27  5 3x b) 3 2x  5 8x  7 18x  28  3 2x  10 2x  21 2x  28

 14 2x  28  14





2x  2 hoặc 14 2



x 2



47. Rút gọn : 2 a) 2 x  y2

b)

3 x  y 2

2

với x  0, y  0 và x  y

2 5a 2 1  4a  4a 2  với a > 0,5.

2a  1

Hướng dẫn

2 a) 2 x  y2

3 x  y xy 4.3 (vì x  0, y  0 và x  y nên x + y > 0)  2  x  y  x  y  2 2

 b)

6 xy

2 a 2a  1 2 2 2 5a 2 1  4a  4a 2   5a 2  2a  1  . 5 2a  1 2a  1 2a  1

Vì a  0,5  2a  1  0 nên a  a và 2a  1  2a  1 Ta được kết quả 2a 5 BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Đưa ra ngoài dấu căn



 1  5 

a)

1 3  11 4

b)

9a 2  12ab  4b2 81a 4 b4

c)

1 1  a a2

2

2

2. Đưa vào trong dấu căn : a)

5 2m 2  2n 2 (m > n) mn 5

b) m3 n 2 p (m < 0) c) ab m1 a 3b m1c3 ( a, b, c > 0) d)  x  5

x với 0 < x < 5 25  x 2

§7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

AB  B2

AB B

A B B

 B  0

4. Trục căn thức ở mẫu

A B 1



A B



A B ; A  0, B  0, A  B. A B

Tổng quát: a) Với các biểu thức A, B mà B  0 , ta có:

A B



A B B

b) Với các biểu thức A, B, C mà A  0 và A  B 2 , ta có:



C AB C  A  B2 AB



c) Với các biểu thức A, B, C mà A  0, B  0 và A  B , ta có: C C  A B



A B A B

BÀI TẬP Khử mẫu của biểu thức lấy căn (các bài 48 và 49).

48.

1 11 3 5 ; ; ; ; 600 540 50 98

1  3  27

2

.

Hướng dẫn 1 1 6 6    ; 600 100.6 100.6.6 60 11 11 11.15 165    ; 540 36.15 6.15 90 3  50

3  25.2

1  3  27

2

3.2 6  ; 25.2.2 10

1  3  .3  1  2

.

27.3

3 3 81



1 3 3 9



3



3 1 9





Vì 1  3  1  3  0  1  3  3  1 Vậy

1 3 3 9



3

a a b ; . ; b b a

49. ab.





3 1 9

1 1  ; b b2

9a 3 2 ; 3 xy.

36b xy

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn a) ab.

ab.

a Do b

a có nghĩa nên a, b cùng dấu. b

a ab ab  ab 2  ab b b b

b0

ab ab  a ab b

b0

ab ab  a ab b

b)

a b a b.a a .  . 2  b a b a ba

ab

a0

a ba

ab 

1 ab ab  b b

a0

a ba

ab 

a 1 ab ab  ab   ab b b

c)

1 1 b 1 1  2   b b b b2

b0

1 b

b 1 

b0

1 b

b 1  

d)

b 1

b 1 b b 1 b

9a 3 9a 3 b 32 a 2 .ab 3 a ab a ab a ab      36b 6b 2b 2b 36b 2 36b 2

e) 3 xy

2  3 2 xy xy

* Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa (từ bài 50 đến 52).

2 2  2 y  b. y ; với b  0, y  0 10 2 5 3 20 5 2 b. y

5

50.

5

;

1

;

;

Hướng dẫn

5 10 5 2 5



5 10 10  10 2



5 5 1  5 2.5 2

1



3 20

1 3 4.5

2 22 5 2

2



y  b. y b y

3 1 p

2 p 1

1 6 5

22

5 5  6.5 30





2

42 2 2 2  10 5



10

 y  b. y 



3

51.



y

by

2

;

2 3

;

y y  by b  y  by b



b

;

với b  0 ;

3 1 2  3 3  b

với p  0, p 

1 .

4

Hướng dẫn a)

3 3 1

3

 b)

c)

d)

e) 52.



. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp



3 1



3 1 2

3 1 2 3 2 3 b 3 b



3 1 2





2 p 1

6 5

3

3 1



3 1

2

43



b 3 b 9b

;





3 1

3 1

 2  3  . 2  3  



2



3 1

3 1



p



3



3  1 ta có:



2 3



2

 ;b  0



 ; p  0, p  1

p 2 p 1 4 p 1

3 10  7

4

;

1 x y

với x  0, y  0, x  y;

2ab

với a  0, b  0, a  b

a b

Hướng dẫn a) b)

c)

d)

2 6 5



3

x y 2ab a b



6 5 65

2



6 5



 10  7

10  7 1

2

x y x y





2ab



x  0, y  0, x  y;

a b ab



a  0, b  0, a  b

LUYỆN TẬP 53. Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa). a) 18





b) ab 1  c) d)

2

2 3 ; 1 ; a b2 2

a a  4; 3 b b

a  ab a b

.

Hướng dẫn

a) 18 Vì



2 3

2 3 



2

 9.2





2

 3. 2  3 . 2

2 3  3 2

Vậy 3 2  3 . 2  3. 2 b) ab 1 

2 3





3 2 3 6 6 3



1 a 2 b 2  1 ab  ab  1  a 2b2 2 2 2 2 ab ab ab

- Với a, b cùng dấu, ab > 0 thì ta có kết quả 1  a 2 b 2 - Với a, b trái dấu, ab < 0 thì ta có kết quả  1  a 2 b 2 c)

d)

a a  4  3 b b

a  ab a b



ab  a 1  2 4 b b

a 

ab



ab

a a  b

a b



6 2



a





a b



a b

ab



a a  b  ab

 a với a  b

Chú ý: Ta có thể giải gọn hơn như sau:

a có nghĩa thì a  0 . Ta có:

Vì để

a  ab

a 2  ab



a b

a



a b



a b a b



a với a  b

54. Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa) 2 2 1 2

15  5 2 3  6 a  a p  2 p ; ; ; 1 3 8  2 1 a p 2

;

Hướng dẫn

2 2 1 2

2



1 3

2 3 6

a a 1 a

p 2

5







2. 6  6 4.2  2

a

 p



2



p 2 p 2

5;

6



a 1

1 a 

2;

3 1

1 3





p2 p



2 1

1 2

15  5

82









2 1



2 1

6 ; 2

a;



p.

55. Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm). a) ab  b a  a  1; x3  y 3  x 2 y  xy 2

b)

Hướng dẫn a) ab  b a  a  1  b a

 x2







x  y  y2

x y



 

a 1 

x3  y 3  x 2 y  xy 2 

b)







x y

 x  y

x, y  0  x 2  x, y 2  y .

 

a 1 

 

x3  x 2 y 





a 1 b a 1

y 3  xy 2





56. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: a) 3 5, 2 6, 29, 4 2; b) 6 2, 38,3 7, 2 14.

Hướng dẫn a) Ta có: 3 5  9.5  45 ;

2 6  4.6  24 ; 4 2  16.2  32 ; Vậy 2 6  29  4 2  3 5 b) Tương tự, ta có:

38; 2 14;3 7;6 2

25 x  16 x  9 khi x bằng:

57.

A. 1;

B. 3;

C. 9;

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn

25 x  16 x  5 x  4 x  x  x  9  x  81 Vậy câu trả lời đúng là D. 81.

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Khử mẫu các biểu thức: a)

b)

a b a b

;

x y . xy

2. Trục căn ở mẫu: a) b)

3 52

;

3 11  3

.

3. Rút gọn: a)

2x2 3y

b)

2 xy 2 3ab

y3 y5   x, y  0  x4 x6 9a 3 b 4  a, b, c, x, y  0 8 xy 3

D. 81

§8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Để thực hiện các bài toán như rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức ta cần biết thực hiện các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

Trong việc chứng minh các đẳng thức, thông thường ta biến đổi một vế để được một biểu thức bằng vế còn lại, cũng có khi ta biến đổi cả hai vế để đi đến một kết quả chung.

BÀI TẬP 58. Rút gọn biểu thức: a) 5

1 1  20  5; 5 2

b)

1  4,5  12,5; 2

c)

20  45  3 18  72;

d) 0,1. 200  2. 0, 08  0, 4. 50 Hướng dẫn a) 5 b)

1 1 5 5 1  20  5   .2 5  5  3 5 5 2 5 2 1  4,5  12,5  2 

c)

1 9 25   2 2 2 1 1 1 1 9 2 3 5 9  2 2 2 2 2

20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 9.2  36.2  2 5  3 5  9 2  6 2  15 2  5

d) 0,1. 200  2. 0, 08  0, 4. 50  0,1. 100.2  2  0,1.10 2 

 2

4.2  0, 4. 25.2 100

2.2 2  0, 4.5 2 10

2 17 22 2  2 5 5

59. Rút gọn các biểu thức sau (với a  0, b  0 ) a) 5 a  4b 25a 3  5a 16ab 2  2 9a ; b) 5a 64ab3  3. 12a 3b3  2ab. 9ab  5b. 81a 3b Hướng dẫn a) 5 a  4b 25a 3  5a 16ab 2  2 9a

 5 a  20ab a  20ab a  6 a   a

b) 5a 65ab3  3. 12a 3 b3  2ab. 9ab  5b. 81a 3 b

 40ab ab  6ab ab  6ab ab  45ab ab  5ab ab 60. Cho biểu thức B  16 x  16  9 x  9  4 x  4  x  1 với x  1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16 Hướng dẫn a) Ta có: B  4 x  1  3 x  1  2 x  1  x  1  4 x  1; x  1 b) Để B có giá trị là 16 thì:

4 x  1  16  x  1  4  x  1  16  x  15 Thử lại: x  15  4 x  1  4. 15  1  4.4  16 Đáp số: Để B có giá trị là 16 thì x  15 61. Chứng minh đẳng thức: 3 2 3 6  4.   ; a)  . 6  2.

3 2 6 2   6 2x 1   6 x  : 6 x  2 với x  0 b)  x. x 3 3  

Hướng dẫn Xuất phát từ vế trái, thực hiện các biến đổi 3 2 3 3 2  62 4 6 6 2 6 a)   3 2 2 3  2

1 6 3 2   6    2   6.  6 6 2 3   6  2x 1  1    6x  : 6x   x.

6x  6x  6x  : 6x b)  x 3 3  x   x  2

1 1 6x : 6x  2 3 3

LUYỆN TẬP Rút gọn các biểu thức sau (các bài 62 và 63) : 62. a)

1 33 1 48  2. 75  5 1 2 3 11

b) 150  1,6. 60  4,5. 2 c)



28  2 3  7



2  6 3

7  84

d)



6 5



2

 120 Hướng dẫn

a)

1 33 1 1 4 48  2. 75  5 1  16.3  2 25.3  3  5 2 3 2 3 11

 2 3  10 3  3 

10 17 3 3 3 3

b) 150  1,6. 60  4,5. 2

2 8  6  25.6  16.6  4,5  6 3 3

 5 6  4 6  3 6  6  6  5  4  3  1  11 6 c)



28  2 3  7





7  84  2 7  2 3  7



7  2 21

 14  2 21  7  2 21  21

d)



6 5



2

 120  6  2 30  5  2 30  11

63. Rút gọn các biểu thức sau : a)

a a b + ab + . với a > 0 và b > 0; b b a

b)

m 4m - 8mx + 4mx 2 với m > 0 và x  1 .

1- 2x + x 2 81 Hướng dẫn

a)

a a b 1 1  2   b+ 2  ab + ab + . = ab + ab + ab = ab  1+  = b b a b b b  b

b)

m 4m - 8mx + 4mx 2 . = 1- 2x + x 2 81



4m  x - 1 .

2 81  x - 1 m

2

2 x 1 1 2 m. m m x 1 9 9

64. Chứng minh đẳng thức sau : 2

 1 a a  1 a  a)   a     1 với a > 0 và a  1  1 a  1 a  b)

ab a 2b 4 .  a với a +b > 0 và b  0 b2 a 2  2ab  b 2 Hướng dẫn

Xuất phát từ vế trái và thực hiện các phép biến đổi : 2





 1 a a  1 a  1 a a  a  a 1 a a)   a   .   2 1 a 1  a   1 a  1 a 

2







2





1  a  1  a . 1  a 1  a 1  a  a 1  a   1  a  1  a  .   1 2 2 2 1 a 1  a  1  a  1  a  b)

2 ab a 2b 4 ab a b .  . a b2 a 2  2ab  b 2 b2 a  b

65. Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết :

1  a 1  1 với a > 0 và a  1 M   : a 1  a  2 a 1 a a Hướng dẫn

1  a 1  1 M   : a 1  a  2 a 1 a a   1 1   M   :  a a 1 a 1    M 





1 a

 .

a





a 1

Với a  0 và a  1 



a 1

a 1





a 1

2

2

a 1



a 1 1  1 a a

1 0 a

Vậy M < 1 66. Giá trị của biểu thức A)

1 2

1 1  bằng : 2 3 2 3

B) 1

C) -4

Chọn câu trả lời đúng Hướng dẫn Thực hiện trục căn ở mẫu ta có :



 



2 3  2 3 1 1   4 43 2 3 2 3

Vậy D) 4 đúng BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Chứng minh

1 1  1 3 2 4 3 2 4

2. Tính giá trị biểu thức : x2  x  3 với x  3, x  2 x

3. Rút gọn : A  2a  4a 2  4a  1

D) 4

4. Chứng minh đẳng thức :

 a  1

3a 1  a  3a  với 0  a  1 2 1 a 1 a

5. Rút gọn biểu thức :  b  ab   a b ab    a   :   a  b   ab  b ab  a ab  

§9. CĂN BẬC BA 1. Căn bậc ba Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a Mỗi số thực có duy nhất một căn bậc ba.

Nhận xét : -

Căn bậc ba của 0 là 0

-

Căn bậc ba của một số thì cùng dấu với số ấy.

2. Tính chất -

Nếu a < b  3 a < 3 b

-

Với a, b bất kì thì

-

Với a, b bất kì và b  0 thì

3

a .3 b = 3 ab 3

a 3a . = b 3b BÀI TẬP

67. Hãy tìm : 3

512;

3

729;

3

0, 064; 3 0, 008 Hướng dẫn

3

512  8;

3

729  9;

3

0,064  0, 4;

3

0,008  0, 2.

68. Tính : a) b)

3

3

27  3 8  3 125; 135 3  54. 3 4 5

3

Đáp số a) b)

3

3

27  3 8  3 125  3   2  5  0

135 3  54. 3 4  3 27  3 27. 3 8  3  3.2  3 5

3

69. So sánh : a) 5 và 3 123 b) 5 3 6 và 6 3 5 Hướng dẫn a) Ta có : 5  3 125

125  123  3 125  3 123  5  3 123 b) 5 3 6  3 125. 3 6  3 125.6  3 750 (1)

6 3 5  3 216. 3 5  3 216.5  3 1080 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 3 6  6 3 5

ÔN TẬP CHƯƠNG 1 BẢNG TÓM TẮT Một số phép biến đổi căn thức bậc hai A2  A

AB 

A  B

A B

A

 A  0, B  0 

B

A2 B  A B

A B

A B



AB

A B B

1 A B



 B  0 (với A  0 và B  0 )

A2 B

A B   A2 B A 1  B B

 A  0, B  0 

(với A  0 và B  0 )

 AB  0, B  0   B  0

A B ( A  0, B  0 và A  B ) A B

CÂU HỎI 1. Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ Hướng dẫn Để x là căn bậc hai số học của số a không âm là: x  0 và x 2  a Ví dụ: 3 là căn bậc hai số học của 9, vì 3 > 0 và 32  9 .

2. Chứng minh

a 2  a với mọi số a.

Hướng dẫn Ta xét hai trường hợp: 2

- Nếu a  0  a  a nên a  a 2 - Nếu a  0  a  a nên a   a   a 2 2

2

Trong cả hai trường hợp ta đều có  a   a 2

(1)

Mặt khác, a  0

(2)

2

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra a chính là căn bậc hai số học của a 2 hay 3. Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để

A xác định.

a2  a

Hướng dẫn Căn bậc hai của biểu thức A:

A xác định khi A  0 hay nói khác đi là: Điều kiện xác định của căn bậc hai

là biểu thức lấy căn không âm.

A là A  0 .

Điều kiện xác định của

2 2  3a xác định khi 2  3a  0  a  ; 3

5  7a xác định khi 5  7 a  0  a  

5 7

4. Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.

Hướng dẫn

ab  a . b

Định lí: Nếu a  0 và b  0 thì Chứng minh: Vì a  0, b  0  ab  0, do đó



Ta có: Do

a. b

   a  . b  2

2

a , b , ab đều được xác định.

2

 a.b

a  0, b  0  a. b  0,

Vậy

a . b là căn bậc hai số học của tích a.b

ab  a . b Định lí này là cơ sở cho 2 quy tắc: - Quy tắc khai phương một tích các số không âm:

abc  a . b . c ; a  0, b  0, c  0 - Quy tắc nhân các căn thức bậc hai:

a . b  ab 36.49  36. 49  6.7  42

Ví dụ:

18. 2  18.2  36  6 5. Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.

Hướng dẫn Định lí: Nếu a  0 và b  0 thì Do a  0 và b  0 nên 2

 a     b

 a  b

a b



a b

a b

được xác định.

2

2

a  b

(1)

Từ (1) và (2) suy ra

a  b

Hay

a

a  0, b  0 nên

Mặt khác

a b

a b

b

0

(2)

là căn bậc hai số học của

a b

, a  0, b  0

Định lí này là cơ sở cho 2 quy tắc: - Quy tắc khai phương một thương: - Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Ví dụ:

a  b a b



a b a . b

64 64 8    0,8 100 100 10 50 2

50  25  5 2



BÀI TẬP 70. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp a)

25 16 196 . . ; 81 49 9

b)

3

c) d)

1 14 34 .2 .2 ; 16 25 81

640. 34,3 567

;

21, 6. 810. 112  52 Hướng dẫn

a)

25 16 196 . .  81 49 9

b) Đáp số: c)

d)

25 16 196 5 4 14 40 . .  . .  ; 81 49 9 9 7 3 27

196 ; 45

640. 34,3 567



64.343 567



64.343 64.49 56   ; 567 81 9

21, 6. 810. 112  52  21, 6.81.10.16.6  216.6.81.16

1296.81.16  36.9.4  1296 71. Rút gọn các biểu thức sau:

a)



8  3 2  10

b) 0, 2

 10 

2



.3  2

2  5;





2

3 5 ;

1 1 3  1 4  2 200  : ; c)  5 2 2 2  8

d) 2



2 3



2

 2  3  5

 1

2

4

Hướng dẫn a)



8  3 2  10



2  5  16  6  20  5  4  6  2 5  5  2  5;

b) 0, 2

 10 

2

.3  2



3 5



2

2 32





5  3  2 5;

1 1 3  1 1 4 3  1  2 200  :   2 2 8 2: c)  5 2  8 2 2 2  8 4 

d) 2



2 3



2

 2  3  5 2

37 1 2 :  74 2; 4 8

 1

4





 2 3  2  3 2  5  1 2

72. Phân tích thành nhân tử với các số (x, y, a, b không âm và a  b ). a) xy  y x  x  1; b)

ax  by  bx  ay ;

c)

a  b  a 2  b2 ;

d) 12  x  x.

Hướng dẫn a) xy  y x  x  1  y x b)





x 1  x 1 





x 1 1 y x



ax  by  bx  ay

  x  y  a  b  Cách 2: ax  bx   ay  by   x  a  b   y  a  b    a  b  x  y  c) a  b  a  b  a  b   a  b  a  b   a  b  a  b . a  b  a  b 1  a  b  d) 12  x  x    x  x  12    x  4 x  3 x  12     x  x  4   3  x  4     x  4  x  3  , x  0   Cách 1:

ax  ay  bx  by  a

2

2





x y  b



x y 

73. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau: a)

9a  9  12a  4a 2 tại a  9

b) 1 

3m m 2  4m  4 tại m  1,5 m2

c) 1  10a  25a 2  4a tại a  2 d) 4 x  9 x 2  6 x  1 tại x   3 Hướng dẫn a)

 2a  3

9a  9  12a  4a 2  9a 

2

 3  a  2a  3

Với a  9  2a  3    2a  3 và biểu thức có dạng

3 a  2a  3 . Thế a  9 , ta tính được giá trị của biểu thức là 6 b) 1 

3m 3m m 2  4m  4  1  m2 m2

 m  2

2

 1

3m m2 m2

Với m  1,5 thì m  2    m  2  1

3m m  2  1  3m  3,5 m2

c) 1  10a  25a 2  4a 

 5a  1

2

 4 a  5a  1  4 a

Với a  2  5a  1  5a  1 Nên 5a  1  4a  5a  1  4a  a  1 Đáp số:

2 1

d) 4 x  9 x 2  6 x  1  4 x 

 3x  1

2

 4 x  3x  1

Với x   3  3 x  1    3 x  1  4 x  3x  1  4 x  3x  1  x  1

Đáp số:  3  1 74. Tìm x, biết: a) b)

 2 x  1

2

 3;

5 1 15 x  15 x  2  15 x 3 3

Hướng dẫn a)

 2 x  1

2

 3  2x  1  3

- Với 2 x  1  0  x 

* 

1 thì 2 x  1  2 x  1 2

Phương trình (*) tương đương với 2x  1  3  x  2

Giá trị x  2 thỏa mãn điều kiện x 

1 .

2

Vậy x  2 là nghiệm của phương trình đã cho.

- Với 2 x  1  0  x 

1 thì 2 x  1    2 x  1 2

Phương trình (*) tương đương với 2 x  1  3  x  1

Giá trị x  1 thỏa mãn điều kiện x 

1 .

2

Vậy x  1 là một nghiệm của phương trình đã cho. Đáp số: S  1; 2 b) Ta có: 

5 1 15 x  15 x  15 x  2 3 3

1 15 x  2  15 x  6  15 x  36 3

Đáp số: x 

36 15

75. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 3 6 216  1   1,5; a)   3  6  82  14  7 15  5  1   2; b)  : 1 3  7  5  1 2

c)

a b b a ab

:

1 a b

 a  b (a, b > 0 và a  b )

 a  a  a  a  d) 1   1    1 a a  1   a  1  

 a  0, a  1 Hướng dẫn

a) Ta biến đổi vế trái : 2 3 6 216  1  12  6 36.6  1       .  .

3 3 8  2 6 2 2  2     6





 6 2 1   1 6 6 1  6 1 1   .    2 6  .   2  1  2 2 1 3  6  2 2  6 2  





 14  7 15  5  1  b)  : 1 3  7  5  1 2







  :

 7 2 1 5 3 1    1 2 1 3 



  7 5

c)



a b b a ab

2

 

 2

7 5 :

7 5 75

1 a b



ab



a b ab

.

a b  ab 1

 a  a   a  a  a  2 a  1 a  2 a  1 . d) 1   1   a  1   a  1  a 1 a 1  









2 2 a  1 .  a  1     a 1 a 1











a 1



a 1  1 a

76. Cho biểu thức: Q

 a  1  a 2  b2  a 2  b2

 b với a  0, b  0 : 2 2  a a b

a

a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q khi a  3b Hướng dẫn  a  1  2 2 2 a b a  b2 

 b : 2 2  a a b

a

a) Q 







a a 2  b2 a a 2  b2 ab a b 2

2



a  a 2  b2 a  a 2  b2 . b a 2  b2





b) Với a  3b  Q 

a 2   a 2  b2  b a 2  b2

 a  b a b 2

2b  4b

2

2





a a 2  b2



 a  b  a  b   a  b  a  b 

1 2  2 2

b a 2  b2 

ab ab

Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT §1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số 1. Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

Hàm số được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.

Ký hiệu y là hàm số của x: y  f ( x ), y  g( x )...

Trong trường hợp hàm số y  f ( x ) được cho bằng công thức, ta hiểu rằng biến số x chỉ nhận những giá trị làm cho công thức có nghĩa.

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng ( x; y ) trên mặt phẳng tọa độ.

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số y  f ( x) được gọi là đồng biến khi với hai giá trị x1 ,x2 mà x1  x2 thì hai giá trị tương ứng y1 , y2 thỏa mãn y1  y2

x1  x2  y1  y2 Nếu x1  x2 mà y1  y2 thì hàm số được gọi là nghịch biến.

BÀI TẬP 1. a) Cho hàm số y  f ( x ) 

2 x 3

1 Tính: f ( 2 ); f ( 1 ); f ( 0 ); f   ; f ( 1 ); f( 2 ); f( 3 ) 2

b) Cho hàm số y  g(x) 

2 x3 3

1 Tính: g( 2 ); g( 1 ); g( 0 ); g   ; g( 1 ); g( 2 ); g( 3 ) 2

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị.

Hướng dẫn a) y  f ( x ) 

2 x 3

2 4 f ( 2 )  ( 2 )   ; 3 3

2 f ( 1 )   ; 3

1 1 f   ; 2 3

f (1) 

2 ; 3

f ( 0 )  0; f(2)

4 ; 3

f ( 3 )  2.

5 b) g( 2 )  ; 3

7 g( 1 )  ; 3

 1  10 g   ; 2 3

g( 1 ) 

g( 0 )  3;

8 ; 3

g( 2 ) 

c) Ứng với cùng một giá trị của biến số x thì giá trị của hàm số g( x )  y

13 ; 3

g( 3 )  5.

2 x  3 lớn hơn giá trị của hàm số 3

2 x là 3 đơn vị.

3

1 2. Cho hàm số y   x  3 2

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo x và điền vào bảng sau: x

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

5

1

1,5

2

2,5

1 y   x3 2

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

Giải a) Ta có: x

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

5

1

1,5

2

2,5

1 y   x3 2

4,25

4

3,75

3,5

3,25

3

2,75

2,5

2,25

2

1,75

1 b) Từ bảng các giá trị tương ứng của hàm số y   x  3 ta nhận thấy khi giá trị x tăng lên thì giá trị y giảm 2

đi. Ta chứng minh hàm số trên nghịch biến.

Giả sử x1  x2  x2  x1  0 . Khi đó: 1  1   1  f ( x2 )  f ( x1 )    x2  3     x1  3    ( x2  x1 )  0 2  2   2 

tức là f ( x1 )  f ( x2 ) 3. Cho hai hàm số y  2x và y  2x a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. b) Trong hai hàm số đã cho hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Vì sao?

Hướng dẫn a) Để vẽ đồ thị hàm số y  2x ta lấy điểm A( 1;2 ) Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y  2x Lấy điểm B( 1; 2 ) . Đường thẳng OB là đồ thị hàm số y  2x

b) Trong hai hàm số y  2x và y  2x thì hàm số y  2x là hàm số đồng biến, vì rõ ràng là ứng với giá trị lớn hơn của biến số x thì ta được giá trị y lớn hơn.

Hàm số y  2x là hàm số nghịch biến vì ứng với giá trị lớn hơn của x thì ta được giá trị của y nhỏ hơn.

Ta xét bảng sau: y  2x

-1

0

1

2

y  2x

-2

0

2

4

y  2x

2

0

-2

-4

LUYỆN TẬP 4. Đồ thị hàm số y  3x được vẽ bằng thước và compa ở hình 4. Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó.

Hướng dẫn - Trước tiên ta xác định vị trí điểm B( 1;1 ) Như vậy OB  2 . Lấy O làm tâm, dựng đường tròn tâm O bán kính OB. Đường tròn này cắt trục hoành tại điểm C. Qua C dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt đường thẳng qua B vuông góc với Oy tại điểm D( 2;1 ) Như vậy OD  3 . Đường tròn tâm O bán kính OD cắt trục tung tại điểm F. - Xác định điểm A( 1; 3 ) . Đường thẳng OA là đồ thị hàm số y  3x Vì điểm A( 1; 3 ) có tọa độ thỏa mãn công thức y  3x

5. a) Vẽ đồ thị các hàm số y  x và y  2x trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy (h.5). b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ y  4 , thứ tự cắt các đường thẳng y  2x, y  x tại hai điểm A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B và tính chu vi, diện tích của OAB theo

đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét.

Hướng dẫn a) Xem hình bên. b) Với y  4  4  2x  x2  A( 2;4 )

Với đồ thị hàm số y  x , ta có: y4  x4

 B( 4;4 )

OA2  22  42  20  OA=2 5 OB 2  4 2  4 2  32  OB  4 2

Chu vi OAB  2  2 5  4 2  2( 1  2 2  5 ) (đvđd) Gọi giao điểm của đường thẳng y  4 với trục tung là C. Tam giác OAB có cạnh đáy là AB  2 và chiều cao OC  4 . Vậy SOAB 

1 .4.2  4 (đvdt).

2

6. a) Tính giá trị của mỗi hàm số theo giá trị của x rồi điền vào bảng sau: x

-2,5

-2,25

-1,5

-1

0

1

1,5

2,25

2,5

y  0,5x y  0,5x  2

b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi x lấy cùng một giá trị?

Hướng dẫn a) Ta có bảng: x

-2,5

-2,25

-1,5

-1

0

1

1,5

2,25

2,5

y  0,5x

-1,25

-1,125

-0,75

-0,5

0

0,5

0,75

1,125

1,25

y  0,5x  2

0,75

0,875

1,25

1,5

2

2,5

2,75

3,125

3,25

b) Với cùng một giá trị của biến, giá trị tương ứng của hàm số y  0,5x  2 lớn hơn giá trị của hàm số y  0,5x là 2 đơn vị.

7. Cho hàm số y  f ( x )  3x Cho x các giá trị thực bất kì x1 ,x2 sao cho x1  x2 . Hãy chứng minh f ( x1 )  f ( x2 ) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên tập hợp số thực R. Giải Cho x1 , x2 các giá trị thực bất kì sao cho x1  x2 Ứng với giá trị x1 thì hàm số nhận giá trị f ( x1 )  3x1 Ứng với giá trị x2 thì hàm số nhận giá trị f ( x2 )  3x2 Xét hiệu f ( x1 )  f ( x2 )  3x1  3x2

 f ( x1 )  f ( x2 )  3( x1  x2 )

(1)

Theo giả thiết, x1  x2 nên x1  x2  0

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: f ( x1 )  f ( x2 )  0  f ( x1 )  f ( x2 )

Vậy x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

(3)

Vì x1 ,x2 là hai số thực bất kì nên từ (3) ta kết luận hàm số y  3x đồng biến trên tập số thực R vì (3) đúng với mọi giá trị bất kì của x   BÀI TẬP LÀM THÊM Cho hàm số y  f ( x )  x  1 a) Tính f ( 5 ); f ( 1 ); f ( 0 ); f ( 1 ) b) Với những giá trị nào của x thì hàm số được xác định. c) Chứng tỏ rằng với các giá trị x  1 thì hàm số đồng biến.

Hướng dẫn a) f ( 5 )  2; f ( 1 )  0; f ( 0 ) và f ( 1 ) không xác định. b) Hàm số xác định khi x  1  0  x  1 c) Với a  b  1 thì a  1  b  1  Với x1  a, x2  b x1  x2 f ( x1 )  a  1; f ( x2 )  b  1

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Vậy hàm số đồng biến.

a 1  b 1

§2. Hàm số bậc nhất 1. Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức: y  ax+b

trong đó a, b là các số thực xác định và a  0 2. Tính chất a) Hàm số bậc nhất y  ax+b được xác định với mọi giá trị x thuộc  . b) Trên tập hợp số thực  , hàm số y  ax+b đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0 BÀI TẬP 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a, b của chúng và xem xét hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến. a) y  1  5x;

b) y  0,5x;

c) y  2( x  1 )  3;

d) y  2x 2  3.

Hướng dẫn

Các hàm số bậc nhất: a) y  5x  1; a  5; b  1 b) y  0,5x; a  0,5; b  0 c) y  2( x  1 )  3 hay y  2x  3  2;

a  2; b  3  2 Hàm số y  2x  3  2 có hệ số a  2  0 nên nó là hàm số đồng biến.

Hàm số y  5x  1 có a  5  0 và hàm số y  0,5x có a  0,5  0 nên là hai hàm số nghịch biến.

9. Cho hàm số bậc nhất: y  ( m  2 )x  3 . Tìm các giá trị của m để hàm số a) Đồng biến

b) Nghịch biến Hướng dẫn

a) Để hàm số y  ( m  2 )x  3 đồng biến thì m  2  0  m  2 b) Đáp số: m  2 Chú ý: Khi m  2 , ta có hàm hằng y  3 10. Một hình chữ nhật có kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình đi x (cm). Được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm).

Hãy lập công thức y theo x Hướng dẫn Theo bài ra ta có y  2 ( 20  x )  ( 30  x )  y  4x  100 Vậy y  4x  10 có dạng y  ax+b nên nó là hàm số bậc nhất.

LUYỆN TẬP 11. Hãy biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ: A(-3;0), B(-1;1), C(0;3), D(1;1), E(3;0), F(1;-1), G(0;-3), H(-1;-1)

Hướng dẫn

12. Cho hàm số bậc nhất y  ax  3 . Tìm hệ số a, biết rằng khi x  1 thì y  2,5 Hướng dẫn Thế x  1, y  2,5 vào y  ax  3 , ta có: 2,5  a.1  3  a  0,5

Hàm số đã cho là y  0,5x  3 13. Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau là các hàm số bậc nhất? a) y  5  m( x  1 );

b) y 

m1 x  3,5 m 1

Hướng dẫn a) y  5  m( x  1 ) là hàm số bậc nhất khi 5  m  0  m  5 b) Đáp số: m  1 14. Cho hàm số bậc nhất y  ( 1  5 )x  1 a) Hàm số là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực R? Vì sao? b) Tính giá trị của y khi x  1  5 c) Tính giá trị tương ứng của x khi y  5 Hướng dẫn a) Vì

5  1  1  5  0  Hàm số đã cho nghịch biến trên tập hợp R, vì hệ số a  0

b) Ta có f ( 1  5 )  ( 1  5 )( 1  5 )  1  ( 1  5 )  1  5 c) Khi y  5  ( 1  5 )x  1  5

x

5 1 1   ( 1  5 )2 4 1 5 BÀI TẬP LÀM THÊM

Cho hàm số: y  f ( x )  ( m  1 )( m  2 )x 2  3mx  4 a) Với giá trị nào của m thì hàm số trên là hàm số bậc nhất? b) Với những giá trị m mà hàm số là bậc nhất thì nó đồng biến, nghịch biến?

§3. Đồ thị của hàm số y  ax  b ( a  0 ) 1.Đồ thị của hàm số y  ax  b với a  0 Đồ thị của hàm số y  ax  b ( a  0 ) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y  ax , nếu b  0 và trùng với đường thẳng y  ax nếu b  0 b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng y  ax  b 2. Cách vẽ đồ thị hàm số Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  b , ta phải xác định hai điểm thuộc đồ thị.

- Thông thường ta chọn 2 điểm bất kì. Tùy trường hợp cụ thể nên chọn sao cho các tọa độ là các số nguyên để vẽ dễ dàng hơn.

- Người ta cũng thường chọn các giao điểm của đồ thị với các trục tọa dộ. + Giao điểm của trục tung với đồ thị là điểm có hoành độ x  0 , tung độ y  b A( 0;b )

+ Giao điểm của trục hoành với đồ thị là điểm có tung độ y  0 , hoành độ x  

b a

 b  B   ;0   a 

Nối hai điểm trên, ta được đồ thị của hàm số y  ax  b BÀI TẬP 15. a) Vẽ đồ thị các hàm số y  2x; y  2x  5; y= 

2 2 x và y   x  5 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

3 3

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ). Tứ giác OABC có phải là hình bình hành không? Tại sao?

Hướng dẫn a) Đồ thị hàm số y  2x là đường thẳng đi qua điểm M ( 1;2 ) và đồ thị hàm số y  2 x  5 đi qua hai điểm  5  B( 0;5 ) và N   ;0  . Hai đường thẳng này song song với nhau.  2 

2 2 Đồ thị hàm số y   x là đường thẳng đi qua D( 3; 2 ) và đồ thị hàm số y   x  5 đi qua hai điểm 3 3

B( 0;5 ) và F(7,5;0 ) . Hai đường thẳng này song song với nhau.

b) Tứ giác OABC có hai cặp cạnh đối song song với nhau nên nó là hình bình hành.

16. a) Vẽ đồ thị hàm số y  x và y  2x  2 trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm A. c) Vẽ qua điểm B( 0;2 ) một đường thẳng song song với trục Ox, cắt đường thẳng y  x tại điểm C. Tìm tọa độ của điểm C rồi tính diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) Hướng dẫn a) Với đồ thị y  x , ta chọn điểm x  1, y  1  M ( 1;1 ) Với đồ thị hàm số y  2x  2 ta chọn điểm x  0; y  2 và điểm y  0; x  1 B( 0;2 ), D( 1;0 )

b) Gọi giao điểm của hai đồ thị là điểm A. Rõ ràng tung độ của A trên hai đồ thị là bằng nhau, như vậy ta có : x  2x  2  x  2 Từ đây suy ra y  2 Vậy giao điểm hai đồ thị là A( 2, 2 ) c) Dễ thấy tọa độ của C là ( 2,2 ) Kẻ đường thẳng qua A và song song với Oy, cắt đường thẳng qua B song song với Ox tại E. Dễ thấy AE  BC

S ABC 

1 1 BC.AE  .2.4  4 2 2

S ABC  4 cm 2 LUYỆN TẬP 17. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y  x  1 và y   x  3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Hai đường thẳng y  x  1 và y   x  3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) Hướng dẫn a) Xem đồ thị b) Hoành độ điểm C được tính từ việc giải phương trình x  1  x  3

 x 1 y 2  C( 1;2 )

Ta tính được tọa độ của A: y  0  x  1  A( 1;0 )

Tương tự, ta có B( 3;0 ) S ABC 

1 .4.2  4 ( cm 2 ) 2

Ta có AC 2  ( 1  1 )2  ( 2  0 )2  8  AC  2 2 Tương tự CB 2  ( 3  1 )2  ( 0  2 )2  8  CB  2 2 Chu vi tam giác ABC :

AB  BC  CA  2 2  4  2 2  4( 1  2 ) ( cm ) 18. a) Biết rằng với x  4 thì hàm số y  3x  b có giá trị 11, tìm b. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị b vừa tìm được. b) Biết rằng đồ thị của hàm số y  ax  5 đi qua điểm ( 1;3 ) . Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a vừa tìm được.

Hướng dẫn a) Thế x  4 vào y  3x  b để có y  11 , ta có: 11  3.4  b  b  1

Hàm số cần tìm là : y  3x  1 Cho x  0  y  1  A( 0; 1 ) Cho x  1  y  2  B( 1;2 ) Đồ thị là đường thẳng AB. b) Tương tự như trên, ta có : 3  a( 1 )  5  a  2

Hàm số cần tìm : y  2x  5 Chọn x  0  y  5 x  1  y  3

Đồ thị xem hình bên 19. a) Đồ thị hàm số y  3x  3 được vẽ bằng compa và thước thẳng (hình bên).

Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện. b) Áp dụng : Vẽ đồ thị hàm số y  5x  5 bằng compa và thước thẳng.

Hướng dẫn : Tìm điểm trên trục tung có tung độ bằng

5

Hướng dẫn

a) Vì x  0  y  3 y  0  x  1

nên ta cần xác định điểm D( 0; 3 ) trên trục Oy. - Trước hết xác định điểm A( 1;1 ) Như vậy OA2  12  12  2  OA  2 - Quay cung tròn ( 0; 2 ) để đặt đoạn OC  2 trên trục hoành.

- Xác định điểm B( 2;1 ) Như vậy OB 2  ( 2 )2  1  3  OB  3 - Quay cung tròn tâm O: ( 0; 3 ) để đặt đoạn OD  3 trên trục tung  D( 0; 3 ) Nối D với điểm E( 1;0 ) , ta được đồ thị hàm số y  3x  3 b) Do x  0  y  5 y  0  x  1

Ta xác định điểm B( 0; 5 ) như sau: - Dựng điểm A( 2;1 )  OA2  2 2  12  5

 OA  5 - Quay cung tròn ( 0; 5 ) đặt đoạn OB  5 trên trục Oy. - Nối B với điểm C( 1;0 ) ta được đồ thị hàm số y  5x  5

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho hàm số y  2x  2 và điểm A( 1;3 ) a) Gọi d là đồ thị của hàm số. So sánh vị trí tương đối của điểm A với đường thẳng d. b) Vẽ đồ thị của hàm số để xác nhận lại kết quả trong câu a.

2. Cho bốn điểm A( 1; 2 ),

B( 1;4 ),

1 5 C ; , 2 2

D( 2;3 )

a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Xác định vị trí tương đối của các điểm C, D đối với đường thẳng AB. c) Biểu diễn kết quả câu b lên đồ thị.

§4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau 1. Đường thẳng song song

a  a' Hai đường thẳng y  ax  b ( a  0 ) và y  a' x  b' ( a'  0 ) song song với nhau khi và chỉ khi:   b  b' Hai đường thẳng y  ax  b và y'  a' x  b' trùng nhau khi và chỉ khi a  a' và b  b' 2. Đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau y  ax  b ( a  0 ) và y  a' x  b' ( a'  0 ) cắt nhau khi và chỉ khi a  a' Chú ý: Khi a  a' và b  b' thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

BÀI TẬP 20. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau: a) y  1,5x  2

b) y  x  2

c) y  0,5x  3

d) y  x  3

e) y  1,5x  1

g) y  0,5x  3

Giải - Các đường thẳng cắt nhau là các đường thẳng có a  a' . Ta có ba cặp sau: y  1,5x  2 và y  x  2 y  1,5x  2 và y  0,5x  3 y  x  3 và y  0,5x  3

- Các đường thẳng song song là các đường thẳng có a  a' và b  b' . Ta có các cặp sau : y  1,5x  2 và y  1,5x  1 y  x  2 và y  x  3 y  0,5x  3 và y  0,5x  3

21. Cho hai hàm số bậc nhất y  mx  3 và y  ( 2m  1 )x  5 . Tìm giá trị m để đồ thị của hai hàm số đã cho là : a) Hai đường thẳng song song với nhau. b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn a) Hai hàm số y  mx  3 và y  ( 2m  1 )x  5 đã có b  b' Để đồ thị của chúng là hai đường thẳng song song thì ta phải có m  2m  1  m  1

Trường hợp này ta được hai hàm số y   x  3 và y   x  5 , có đồ thị là các đường thẳng song song với nhau. b) Để đồ thị của hai hàm số y  mx  3 và y  ( 2m  1 )x  5 là hai đường thẳng cắt nhau, ta cần có a  a' hay m  2m  1  m  1 22. Cho hàm số y  ax  3 . Hãy xác định hệ số a của hàm số trong các trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  2x b) Khi x  2 thì hàm số có giá trị y  7 Hướng dẫn a) Các đường thẳng song song với đường thẳng y  2x đều có hệ số góc a  2 . Vậy hàm số cần tìm có công thức là y  2x  3 b) Khi x  2  y  7 , cho ta: 7  ax  3  ax  4  a  2

Vậy hàm số cần tìm có công thức là y  2x  3 LUYỆN TẬP 4. Cho hàm số y  2x  b . Hãy xác định hệ số b trong các trường hợp sau: a) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ  3 b) Đồ thị đi qua điểm ( 1;5 ) Hướng dẫn a) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y  3 , tức là: x  0  y  3 Thế vào công thức y  2x  b , ta được: 3  2.0  b  b  3

Vậy đường thẳng có công thức là y  2x  3 b) Đồ thị đi qua điểm : ( 1;5 ) 5  2.1  b  b  3

Hàm số có công thức y  2x  3 24. Cho hai hàm số bậc nhất y  2x  3k và y  ( 2m  1 )x  2k  3 . Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là: a) Hai đường thẳng cắt nhau. b) Hai đường thẳng song song với nhau. c) Hai đường thẳng trùng nhau.

Giải a) Để hai đường thẳng cắt nhau, ta cần có a  a' tức là 2m  1  2  m 

1 2

b) Để hai đường thẳng song song với nhau, ta cần có a  a' và b  b'

 2m  1  2 1 tức là   m  và k  3 2 3k  2k  3 c) Để hai đường thẳng trùng nhau, ta cần có a  a' và b  b'

 2m  1  2 1 tức là có hệ:   m  và k  3 2 3k  2k  3

25. a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ y

2 x2 ; 3

3 y  x2 2

b) Một đường thẳng song song với trục hoành Ox cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, cắt đường thẳng y

2 3 x  2 và y   x  2 theo thứ tự tại các điểm M và N. Tìm tọa độ các điểm M, N. 3 2

Giải a) Đồ thị hàm số y 

2 x  2 là đường thẳng đi qua hai điểm 3

A( 0;2 ), B( 3,0 ) 3 Đồ thị hàm số y   x  2 là đường thẳng đi qua hai điểm 2 4  C( 0;2 ), D  ;0  3 

b) Điểm M có tung độ y  1 và nằm trên đường thẳng y  nên có: 1 

2 x2 3

2 3  3  x  2  x    M   ;1  3 2  2 

2  Tương tự, ta tính ra N  ;1  3 

26. Cho hàm bậc nhất y  ax  4 (1). Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  2x  1 tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  3x  2 tại điểm có tung độ bằng 5.

Giải a) Tung độ của giao điểm là: y  2.2  1  3

Như vậy, ta có: 3  a.2  4  2a  7  a 

7 2

b) Hoành độ của giao điểm là: 5  3x  2  x  1

Như vậy, ta có: 5  a( 1 )  4  a  9  a  9

§5. Hệ số góc của đường thẳng y  ax  b Cho đường thẳng y  ax  b ( a  0 ) thì a là hệ số góc của đường thẳng. Đối với hàm số y  ax thì a cũng là hệ số góc của đường thẳng.

Chú ý: Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì cùng tạo với trục Ox những góc bằng nhau.

BÀI TẬP 27. Cho hàm số bậc nhất y  ax  3 a) Xác định hệ số góc a biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2;6 ) b) Vẽ đồ thị hàm số.

Giải a) Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2;6 ) cho ta: 6  a.2  3  a 

3 2

và được hàm số y 

3 x3 2

b) Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A( 0;3 ), B( 2;6 ) 28. Cho hàm số y  2x  3 a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Tính góc hợp bởi đường thẳng y  2x  3 và trục Ox (làm tròn đến phút).

Giải 3  a) Đồ thị hàm số y  2x  3 đi qua hai điểm A( 0;3 ) và B  ;0  2 

b) Trong tam giác vuông OAB thì OA  3; OB   tan OBA 

3 2

3  2  OBA  6326' 3 2

 ABx  180  6326'  116 34' LUYỆN TẬP 29. Xác định hàm số bậc nhất y  ax  b , trong mỗi trường hợp sau: a) a  2 , đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5. b) a  3 , đồ thị hàm số đi qua điểm (2;2). c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  3x và đi qua điểm ( 1; 3  5 ) Hướng dẫn a) y  2x  b; y  0  x  1,5  0  2.1,5  b  b  3

Hàm số cần tìm y  2x  3 b) y  3x  b; 2  2.3  b  b  4 Hàm số cần tìm y  3x  4 c) Đáp số y  3x  5 30. a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các hàm số: y 

1 x  2 (1) và y   x  2 2

(2)

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2) với trục hoành thứ tự là A, B và giao điểm của chúng là C. Tính các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ). c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) Hướng dẫn a) Ta có các đồ thị trên hình vẽ. b) Dễ thấy tọa độ của A( 4;0 ), B( 2;0 ), C( 0;2 ) tanA 

2 1  4 2

 A  26 33'  A  27 tan B 

2 1 2

 B  45 Suy ra C  180  ( A  B )  180  ( 26 33'  45 )  107 c) Ta có AB  6; AC  20  2 5; BC  8  2 2

 Chu vi ABC  2( 2  5  3 ) ( cm ) S ABC 

1 .6.2  6 ( cm 2 ) 2

31. a) Vẽ đồ thị các hàm số: y  x  1; y 

1 x  3; y  3x  3 3

b) Gọi  ,  , lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên với tia Ox. Chứng minh rằng tan   1, tan  

1 , tan   3 3

Tính số đo các góc  ,  , (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn - Đồ thị các hàm số (xem hình) - Ta có tan  

OA 1  1 OB 1

   45

tan  

OB 3 1   OD 3 3

   30 tan  

OC 3   3 OE 1

   60

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho hình bình hành ABCD có các đỉnh A( 0; 1 ), B( 3;2 ), C( 1;3 ) a) Xác định tọa độ đỉnh D. b) Tìm tọa độ giao điểm O của hai đường chéo.

2. Cho hàm số y  2x  3 và điểm A( 1;2 ) a) Xác định vị trí tương đối của A và đồ thi hàm số đã cho. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn a) A đồ thị của hàm số đã cho.

b) y  2x  4

ÔN TẬP CHƯƠNG II 1. Cho hàm số y  ax+b (a  0) a) Khi nào thì hàm số đồng biến? b) Khi nào thì hàm số nghịch biến?

Hướng dẫn a) Hàm số đồng biến khi a > 0 b) Hàm số nghịch biến khi a < 0 2. Khi nào thì hai đường thẳng y  ax+b (a  0) và y  a'x  b' (a'  0 ) cắt nhau? Song song với nhau?

Trùng nhau?

Hướng dẫn Cho hai đường thẳng (D) : y  ax+b, a  0 (D'): y  a'x  b', a'  0

Thế thì: ( D ) cắt ( D')  a  a' ( D )  ( D')  a  a' và b  b' ( D ) trùng ( D')  a  a' và b  b'

BÀI TẬP 32. a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y  (m 1 ) x  3 đồng biến? b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y  ( 5  k) x  1 nghịch biến?

Hướng dẫn a) Đáp số: m  1

b) Đáp số: k  5

33. Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y  2 x  ( 3  m) và y  3 x  ( 5  m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Hướng dẫn Hai đường thẳng này có a  a' nên chúng cắt nhau. Để chúng cắt nhau trên trục tung thì: 3m  5m m 1

34. Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y  ( a  1 )x  2, ( a  1 ) và y  ( 3  a )x  1, ( a  3 ) song song với nhau.

Hướng dẫn Đáp số: a  2 35. Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau? y  kx  ( m  2 ), k  0 ;

y  ( 5  k )x  ( 4  m ), ( k  5 )

Hướng dẫn Đáp số: k 

5 và m  3 2

36. Cho hai hàm số bậc nhất y  ( k  1 )x  3 và y  ( 3  2k )x  1

a) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau? b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau? c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?

Hướng dẫn Đáp số: - Hai đường thẳng song song k  - Hai đường thẳng cắt nhau k 

2 3

2 3

- Hai đường thẳng này không thể trùng nhau vì b  3; b'  1 nên b  b'

37. a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: y  0,5x  2 (1);

y  5  2x (2)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1) và (2) với trục hoành thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. c) Tính các khoảng cách AB, AC và BC (đơn vị đo trên trục tọa độ là xentimét, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).

Hướng dẫn a) Đồ thị, xem hình vẽ. b) Dễ thấy A( 4;0 ); B( 2,5;0 ) Hoành độ của C là nghiệm của phương trình: 0,5x  2  5  2x x

6  1,2 5

Ta tính được y  2,6 c) Ta có AB  6 ,5 Kẻ CH  AB . Dễ thấy OH  1,2  HB  1,3 HA  5,2

AC 2  AH 2  CH 2  ( 5,2 )2  ( 2,6 )2  27,04  6 ,76  33,8

 AC  33,8  5,81 Tương tự ta tính được BC  2,91 d) Ta có: tan   0,5    26 33' Tương tự ta tính được   116 34' 38. a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: y  2x

(1);

y  0,5x

(2);

y  x  6

(3)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với các đường thẳng có phương trình (1) và (2) thứ tự là A, B. Tìm tọa độ của các điểm A, B. c) Tính các góc của tam giác OAB. Hướng dẫn câu c: - Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB cân.

AOB   AOx   BOx - Tính  Hướng dẫn a) Đồ thị xem hình vẽ.

b) Hoành độ của A là nghiệm của phương trình 2x   x  6 Ta tìm ra A( 2;4 ) Hoành độ của B là nghiệm của phương trình 0,5x   x  6 Ta tìm ra B( 4;2 ) c) Ta có OA2  4 2  2 2  20  OA  20

OB 2  2 2  4 2  20  OB  20 OA  OB  AOB cân, đỉnh O.

Ta lại có tan BOx  0,5   BOx  26 33'

tan AOx  2   AOx  6326' AOB  6326'  26 33'  36 53' Vậy  1  OAB   OBA  ( 180  36 53')  7133' 2

PHẦN HÌNH HỌC Chương I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG §1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Cho tam giác

ABC

vuông góc tại

A , ta gọi độ dài các cạnh

BC  a; AC  b; AB  c . Kẻ đường cao AH  h; BH  c  là hình chiếu của

AB trên cạnh huyền, CH  b  là hình chiếu của AC trên cạnh huyền Trong hình học lớp 7 ta đã biết định lý Pitago thuận và đảo:

  90  BC 2  AB 2  AC 2 A Sử dụng các kiến thức về tam giác vuông đồng dạng, ta chứng minh được các hệ thức sau: 1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền b 2  ab  c 2  ac 

2. Các hệ thức liên quan đến đường cao h 2  b .c  a.h  b.c

1 1 1  2  2 2 h b c

BÀI TẬP Hãy tính x và y trong các hình sau: 1.

Hướng dẫn a) Ta có: x  y là độ dài của cạnh huyển, theo định lý Py – ta – go, ta có:

 x  y

2

 62  82   x  y   100  x  y  10 2

Mặt khác x là hình chiếu của cạnh góc vuông 6 trên cạnh huyển nên:

62  x.10  10 x  36  x  3, 6 Suy ra y  6, 4 b) Đáp số: x  7, 2; y  12,8

2.

Hướng dẫn Đáp số: x  5; y  2 5 3.

Hướng dẫn Trước hết, ta tính cạnh huyển và được:

y  52  7 2  74 Từ x. y  5.7  x 

35 74



35 74 74

4.

Hướng dẫn Đáp số: x  4; y  2 5 LUYỆN TẬP 5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyển. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyển Hướng dẫn Ta tính được: BC  5 Từ đây tính ra AH 

3.4  2, 4 5

BH 

32  1,8 5

CH  3, 2

6. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyển thành hai đoạn thẳng có độ dài 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này Hướng dẫn Đáp số:

3 và

6

7. Người ta đưa ra hai cách dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b như trong hai hình sau:

Dựa vào các công thức (1) và (2), hãy chứng minh các cạnh dựng trên là đúng Gợi ý: Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy vuông Hướng dẫn Cách 1: Kí hiệu các điểm như hình vẽ Ta có OA  OB  OC 

1 BC 2

Tam giác ABC có trung tuyến AO bằng một nửa cạnh tương ứng BC nên nó là tam giác vuông tại đỉnh A , đường cao AH Áp dụng định lí 2 ta có: AH 2  BH .CH  x 2  a.b

Cách 2: Làm như phần trên. Áp dụng định lí 1 8. Tìm x và y trong các hình sau: a)

b)

c)

Hướng dẫn a) Đáp số: x  6 b) Đáp số: x  2; y  2 2 c) Áp dụng định lí 2, ta có:

16.x  122  x  9; y  15 9. Cho hình vuông ABCD . Gọi I là một điểm nằm giữa A và B . Tia DI và tia CB cắt nhau ở K . Kẻ đường thẳng qua D , vuông góc với DI . Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L . Chứng minh rằng: a) Tam giác DIL là tam giác cân b) Tổng

1 1 không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB  2 DI DK 2

Giải

D  (cùng phụ với góc D ) a) Ta có: D 1 2 3 Hai tam giác vuông ADI và CDL có một góc nhọn bằng nhau và AD  AC nên: ADI  CDL  DI  DL  DIL cân tại đỉnh D

b) Trong tam giác vuông DKL thì DC là đường cao ứng với cạnh huyển nên: 1 1 1   2 2 DL DK DC 2

Vì DI  DL nên ta cũng có: 1 1 1   2 2 DI DK DC 2 DC là cạnh của hình vuông ABCD nên

Vậy

1  không đổi CD 2

1 1   không đổi 2 DI DK 2

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A , kẻ đường cao AH . Biết BH  2cm, CH  8cm Tính AB, AC và diện tích S của tam giác 2. Cho tam giác ABC có AB  9cm; AC  12cm; BC  15cm . Kẻ đường cao AH Tính độ dài các đoạn thẳng AH , BH , CH

§2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn 1. Định nghĩa + sin  

AC doi  BC huyen

+ cos  

AB ke  BC huyen

+ tan  

AC doi  AB ke

+ cot  

AB ke  AC doi

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau Định lí: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia

    90  sin   cos  ;cos   sin  tan   cot  ;cot   tan 

BÀI TẬP 10. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34 rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34 Hướng dẫn Học sinh vẽ hình và tính Đáp số: sin 34  0,5592;cos 34  0,8290 tan 34  0, 6745;cot 34  1, 4826

11. Cho tam giác ABC vuông tại C , trong đó AC  0,90m, BC  1, 20m . Tính các tỉ số lượng giác của góc

B . Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Hướng dẫn Trước hết, ta tính được: AB  1,50 (m)  sin B

AC 0,90   0, 6 AB 1,50

 cos B

BC 1, 20   0,8 AB 1,50

 tan B

AC 0,90   0, 75 BC 1, 20

 cot B

BC 1, 20 4    1,3333 AC 0,90 3

 A  90 , ta có: Vì B   0,8;cos A  sin B   0, 6; sin  A  cos B   1,3333;cot A  tan B   0, 75 tan  A  cot B

12. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 : sin 60, cos 75,sin 5230, cot 82, tan 80

Hướng dẫn sin 60  cos 30;cos 75  sin15;sin 5230  cos 3730 cot 82  tan 08; tan 80  cot10

LUYỆN TẬP 13. Dựng góc nhọn  , biết rằng: a) sin  

2 3

c) tan  

b) cos   0,5

3 4

d) cot  

3 2

Hướng dẫn a) Dựng tam giác vuông có cạnh huyền là 3; một cạnh góc vuông là 2 góc đối diện với cạnh 2 là góc  .

Ta dựng như sau: - Lấy đoạn thẳng AB  3 - Dựng nửa đường tròn đường kính AB . Lấy A làm tâm quay cung tròn

 A; 2  cắt đường tròn đường kính

AB tại C

ABC   - Góc  Thật vậy, ABC có trung tuyến CO 

1 AB nên vuông góc tại C , ta 2

có: sin  ABC 

AC 2  AB 3

b) Ta có: cos   0,5 

1 2

- Dựng tam giác vuông cạnh huyển là 2, một cạnh góc vuông là 1 HB 

- Hoặc dựng nửa tam giác đều cạnh là 2

1 AB 2

c) Dựng tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông là 3 và 4. Góc nhọn đối diện với cạnh 3 là góc  cần dựng d) Dựng tam giác vuông với 2 cạnh là 3 và 2. Góc kề với cạnh 3 là góc  cần dựng 14. Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn  tùy ý, ta có: a) tan  

sin  cos  , cot   , tan  .cot   1 cos  sin 

b) sin 2   cos 2   1 Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago Hướng dẫn

a) Ta có: tan  

cot  

BC BC AB 1 sin  .   sin  .  AC AB AC cos  cos 

AC 1 cos    BC sin  sin  cos 

tan  .cos  

sin  cos  . 1 cos  sin  2

2

BC 2  AC 2 AB 2  BC   AC  b) sin 2   cos 2       1    AB 2 AB 2  AB   AB    0,8 . Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C 15. Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết cos B

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14 Hướng dẫn

  sin 2 B   1  sin 2 B   1  cos 2 B  Từ cos 2 B   0,36  sin B   0, 6  sin 2 B   3 ;cot B 4 Từ đây ta tính ra: tan B 4 3   cos B   0,8;cos C   sin B   0, 6; tan C   4 ;cot C 3 Vậy sin C 3 4

16. Cho tam giác vuông có một góc 60 và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài cạnh đối diện với góc 60

Hướng dẫn Gọi độ dài cạnh đối diện với góc 60 là x , ta có: sin 60 

x 8

Trong bảng hàm số lượng giác các góc đặc biệt (SGK), ta có: sin 60 

3 x 3   x4 3 2 8 2

17. Tìm x trong hình bên Hướng dẫn Gọi độ dài đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng đã cho là y , ta có: y y  tan 45   1  y  20 20 20

x 2  202  212  400  441  841  x  841  29 BÀI TẬP LÀM THÊM

a) Biết cos  

1 . Tính sin  , tan  , cot  4

b) Chứng minh các hệ thức: tan 2   1 

1 1 ;cot 2   1 2 2 cos  sin 

 cos   sin  

2

 1  2sin  .cos 

§3. Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi Chú ý: Các kết quả được làm tròn đến 4 chữ số trong phần thập phân BÀI TẬP 18. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính các tỉ số lượng giác sau đây: a) sin 4012

b) cos 5254

c) tan 6336

d) cot 2518 Hướng dẫn

Đáp số: a) 0, 6455

b) 0, 6032

c) 2, 014

d) 2,1155

19. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính số đo góc x (làm tròn kết quả đến phút), biết rằng: a) sin x  0, 2368

b) cos x  0, 6224

c) tan x  2,154

d) cot x  3, 251 Hướng dẫn

a)  1342

b)  5130

c)  656

d)  1754

LUYỆN TẬP 20. Dùng bảng lượng giác (có sử dụng phần hiệu chính xác) hoặc máy tính bỏ túi. Hãy tính các tỉ số lượng giác sau: a) sin 7013

b) cos 2532

c) tan 4310

d) cot 3215

Hướng dẫn a)  0,9408

b)  0,9023

c)  0,9380

d)  1,5879

21. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính số đo của góc x (làm tròn kết quả đến độ), biết rằng: a) sin x  0,3495

b) cos x  0,5427

c) tan x  1,5142

d) cotx  3,163 Hướng dẫn

a)  2027   20

b)  5709  57

c)  5635  57

d)  1733  18

22. Hãy so sánh: a) sin 20 và sin 70

b) cos 25 và cos 6315

c) tan 7320 và tan 45

d) cot 2 và cot 3740 Hướng dẫn

Dễ thấy đối với sin và tan thì góc càng lớn sin, tan càng lớn còn đối với cos và cot thì góc càng lớn cos, cot càng nhỏ a) sin 20  sin 70

b) cos 25  cos 6315

c) tan 7320  tan 45

d) cot 2  cot 3740

Chú ý: Có thể tính sin 20,sin 70 bằng máy tính bỏ túi hoặc bằng bảng số, ta cũng có kết quả trên

23. Hãy tính: a)

sin 25 cos 65

b) tan 58  cot 32 Hướng dẫn

Sử dụng kết quả tỉ số lượng giác các góc phụ nhau, ta có: a)

sin 25 sin 25  1 cos 65 sin 25

b) Đáp số: 0

24. Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần a) sin 78, cos14,sin 47, cos87

b) tan 73, cot 25, tan 62, cot 38 Hướng dẫn

a) Ta có cos14  sin 76;cos87  sin 3 Do sin 3  sin 47  sin 76  sin 78 nên cos87  sin 47  cos14  sin 78 b) Đáp số: cot 38  tan 62  cot 25  tan 73 25. Hãy so sánh: a) tan 25 và sin 25

b) cot 32 và cos 32

c) tan 45 và cos 45

d) cot 60 và sin 30 Hướng dẫn

a) sin 25  tan 25

b) cot 32  cos 32

c) cos 45  tan 45

d) cot 60  sin 30

§4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong một tam giác vuông Định lí: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cạnh huyền nhân với cosin góc kề b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cạnh góc vuông kia nhân với cotang góc kề a) b  a.sin B  a.cos C ; c  a.sin C  a.cos B b) b  c.tan B  c.cot C ; c  b.tan C  b.cot B BÀI TẬP 26. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34 và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét) Hướng dẫn Đáp số:  58  m 

27. Giải tam giác ABC vuông tại A , biết:   30 a) b  10cm, C

  45 b) c  10cm, C

  35 c) a  20cm, B

d) c  21cm, b  18cm Hướng dẫn

  30  B   60, c  b.tan C  10. 3  10 3 (cm) a) C 3 3 a 2  b 2  c 2  10   2

3.102 1200 20 3  a (cm) 9 9 3

Chú ý: Có thể thấy ngay a  2b (nửa tam giác đều)   45; c  b  10  cm  ; a  10 2  cm  b) Đáp số: B   55; b  11,5  cm  ; c  16, 4  cm  c) Đáp số: C   4036; C   4924; a  27, 7  cm  d) Đáp số: B

LUYỆN TẬP 28. Một cây cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc của tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc  trong hình bên) Hướng dẫn Đáp số: 6015  60

29. Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu (góc  trong hình vẽ)?

Hướng dẫn Đáp số: 3836  39 ABC  38,  ACB  30 . Gọi điểm N là chân của đường 30. Cho tam giác ABC , trong đó AB  11cm, 

vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC . Hãy tính: a) Đoạn thẳng AN

b) Cạnh AC

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC Hướng dẫn Đáp số: a) AN  8, 7  cm 

b) AC  17, 4  cm 

  90, ACB   54 và  ACD  74 . Hãy tính 31. Trong hình bên, AC  8cm, AD  9, 6cm, ABC

a) AB

ADC b)  Hướng dẫn Đáp số: a) AB  6, 47 (cm) b) Kẻ AH  CD , ta có: AH  8.sin 74  7, 69 Trong tam giác vuông AHD thì: AH sin  ADH  sin  ADC  AD

7, 69  sin  ADC   0,8010   ADC  5313 9, 6

32. Một con thuyền với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70 . Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính chính xác đến mét.

Hướng dẫn Đoạn đường con thuyền đã đi: AB  2.

5 1  (km) 60 6

Chiều rộng con sông: BC  AB.sin 70

 BC  0,157  km   BC  157  m 

BÀI TẬP LÀM THÊM   61 và đường cao CH  12cm . Tính các cạnh AB, AC , BC của tam A  32, B Cho tam giác ABC biết 

giác

ÔN TẬP CHƯƠNG 1 CÂU HỎI 1. Cho hình bên dưới. Hãy viết hệ thức giữa a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền b) Các cạnh góc vuông p, r và đường cao h c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền p , r  Hướng dẫn a) p 2  p .q; r 2  r .q b)

1 1 1  2  2 2 h p r

c) h 2  p .r  2. Cho hình bên dưới a) Hãy viết công thức các tỉ số lượng giác của góc  b) Hãy viết hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của góc  và các tỉ số lượng giác của góc  Hướng dẫn a) sin  

b c ;cos   a a

b c tan   ;cot   c b

b) sin   cos  ;cos   sin  tan   cot  ;cot   tan 

3. Cũng trong hình trên, a) Hãy viết công thức tính các cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các góc

,  b) Hãy viết công thức tính mỗi cạnh góc vuông kia và tỉ số lượng giác của các góc  ,  Hướng dẫn a) b  a sin   a cos  ; c  a sin   a cos  b) b  c.tan   c.cot  4. Để giải một tam giác vuông, cần biết ít nhất mấy góc và cạnh? Có lưu ý gì đến cạnh?

Hướng dẫn Để giải một tam giác vuông cần biết 2 yếu tố trong đó có ít nhất là 1 yếu tố cạnh BÀI TẬP 33. Chọn kết quả đúng trong các kết quả A, B, C, D dưới đây: a) Trong hình bên, sin  bằng:

A)

5 3

B)

5 4

C)

3 5

D)

3 4

b) Trong hình bên, sin Q bằng: A)

PR RS

B)

PR QR

C)

PC SR

D)

SR QR

c) Trong hình bên, cos 30 bằng A) C)

2a

B)

3 a 3 2a

a 3

D) 2 3a 2

Hướng dẫn a) Câu C

b) Câu D

c) Câu C

34. a) Trong hình bên, biểu thức nào trong các biểu thức sau là đúng?

A) sin  

b c

B) cot  

b c

C) tan  

a c

D) cot  

a c

b) Trong hình bên, biểu thức nào trong các biểu thức sau không đúng?

A) sin 2   cos 2   1 B) sin   cos  C) cos   sin  90    D) tan  

sin  cos 

Hướng dẫn a) Câu C b) Câu C sai vì cos   sin  90    mới đúng 35. Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của tam giác đó Hướng dẫn Gọi một trong hai góc là  thì: tan  

19 28

   34;   56

36. Cho tam giác có một góc bằng 45 . Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm. Tìm cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý hai trường hợp hình a, b)

Hướng dẫn - Trong hình a, vì CH  BH nên AC là cạnh lớn hơn Ta có AH  BH  20 AC 2  202  212  841  AC  29  cm 

- Trong hình b, ta có: AB  AC  AB 

BH 21   21 2 cos 45 2 2

Chú ý: Trường hợp AB  AC có thể giải như phần trên. Ta có:

BH  AH  21 AB 2  BH 2  AH 2  212  212  2.212  AB  21 2

37. Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  4,5cm, BC  7,5cm a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A . Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Hướng dẫn a) Ta có: AB 2  36; AC 2  20, 25; BC 2  56, 25 Vậy BC 2  AB 2  AC 2  ABC vuông tại A Ta có: cos B 

AB 6   3652; C   5308   0,8  B BC 7,5

Do AH .BC  AB. AC  AH  b) Diện tích tam giác ABC là:

AB. AC 6.4,5   3, 6  cm  BC 7,5

1 . AB. AC  13,5  cm 2  2

1 Kẻ MH  BC  S MBC  .MH .BC 2 1  .MH .7,5  13,5 2

 MH 

27,5  3, 6 7,5

M luôn cách BC một khoảng MH  3, 6  cm  . Vậy M nằm trên hai đường thẳng song song cách BC một khoảng 3, 6  cm 

38. Hai chiếc thuyền A, B có vị trí như trong hình bên dưới. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét) Hướng dẫn Ta có AI  380.tan 50  452,9  m  BI  380.tan 65  814,9  AB  362  m 

Chú ý: Có thể tính AB  380.  tan 65  tan 50 

39. Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực (hình dưới)

Hướng dẫn x  20.tan 50 

5  23,8  6,5  17,3  m  sin 50

40. Tính chiều cao của cây theo hình bên Hướng dẫn h  30.tan 35  1, 7  21  1, 7  22, 7  m    x,  ABC  y . Dùng các thông tin sau để 41. Tam giác ABC vuông tại C có AC  2cm, BC  5cm, BAC

tìm x  y : sin 2336  0, 4 ;

cos 6624  0, 4 ;

tan 2148  0, 4

Hướng dẫn Ta có tan y 

2  0, 4  tan y  tan 2148 5

 y  2148

x  90  2148  6812

x  y  6812  2148  46o34 ' 42. Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc ở giữa 60 và 70 . Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy xét xem: Khi dùng thang, chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Hướng dẫn Ta có: 3.cos 70  x  3.cos 60  1, 07  x  1,5

43. Đố: Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ – ra – tô – xten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chi vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau: 1. Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy – en (nay gọi là Át – xu – an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng 2. Cùng lúc đó ở thành phố A – lếch – xăng – đri – a cách Xy – en 800km , một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất (Trên hình trên, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy – en, điểm A tượng trưng cho thành phố A – lếch – xăng – đri – a, bóng của tháp trên mặt đất là đoạn thẳng AB ) Hướng dẫn

AOS   thì: Gọi C là chi vi Trái Đất, l là độ dài cung AS , góc  C

360 .l 

  AOS  BCA Dễ thấy do SO∥ BC   Trong tam giác vuông ABC thì:

tan  

Suy ra C  800.

AB 3,1   0,124    736 AC 25 360  40790  km  736

Đáp số: Chu vi Trái Đất  41000km

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN §1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN 1. Định nghĩa: Đường tròn tâm O , bán kính R là tập hợp các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng R không đổi R  0 . Đường tròn tâm O , bán kính R được kí hiệu là  O; R  .

-

Điểm M nằm trên đường tròn khi và chỉ khi OM  R .

-

Điểm M nằm trong đường tròn khi và chỉ khi OM  R .

-

Điểm M nằm ngoài đường tròn khi và chỉ khi OM  R

2. Cách xác định đường tròn: Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Tâm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC , CA . Đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta cũng nói tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn.

3. Tâm đối xứng: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

4. Trục đối xứng: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

BÀI TẬP 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  12cm, BC  5cm . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , D thuộc cùng một đường tròn, tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn Trong hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA  OB  OC  OD .

Bốn đỉnh A, B, C , D cách đều tâm O .

Vậy chúng nằm trên đường tròn tâm O .

Bán kính đường tròn này bằng R

1 đường chéo AC , ta tính ra: 2

1 13 122  52   R  6,5  cm  .

2 12

2. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn

(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.

(2) Nếu tam giác có góc vuông

(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác.

(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất.

(3) Nếu tam giác có góc tù

(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất.

Hướng dẫn

1. Nối (1) với (5): Nếu một tam giác có ba góc nhọn thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác (hình a).

2. Nối (2) với (6): Nếu một tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất (hình b).

3. Nối (3) với (4): Nếu một tam giác có ba góc tù thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác (hình c).

3. Chứng minh các định lí sau: a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A ; O là trung điểm cạnh huyền BC .

Trong tam giác vuông AO 

ABC

thì trung tuyến

1 BC hay OA  OB  OC . Vậy O chính là tâm 2

đường tròn đi qua ba điểm A, B, C . b) Gọi O là trung điểm của BC , tức O là tâm đường tròn đường kính BC .

Vì OA, OB, OC là các bán kính của đường tròn nên: OA  OB  OC 

1 BC .

2

Tam giác ABC có trung tuyến AO bằng một nửa cạnh đối diện.

Vậy nó là tam giác vuông tại A .

Chú ý: Có thể chứng minh trực tiếp câu b như sau:

.

A1  B OA  OB  AOB cân tại O   .

A2  C OA  OC  AOC cân tại O    C   1800  A1   A2  B





2  A1   A2  1800

 A1   A2  900   A  900  ABC vuông tại A .

4. Trên mặt phẳng tọa độ, xác định vị trí của mỗi điểm A, B, C : A  1; 1 , B  1; 2  , C



2; 2

 đối

với đường tròn tâm O bán kính bằng 2 .

Hướng dẫn Ta tìm khoảng cách OA, OB, OC và có: OA  2, OB  5, OC  2 .

Vì

2  2  Điểm A thuộc miền trong của  O;2  .

5  2  Điểm B thuộc miền ngoài của  O;2  .

2  2  C   O;2  .

5. Đố: Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.

Hướng dẫn Gấp tấm bìa sao cho hai nửa chồng khít với nhau. Nếp gấp là một đường kính. Gấp tấm bìa theo một đường thẳng khác sao cho hai nửa chồng khít lên nhau. Ta được một đường kính thứ hai.

Giao của hai đường kính này là tâm của hình tròn.

Có thể làm theo cách sau:

LUYỆN TẬP 6. Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng? a) Biển cấm đi ngược chiều (hình a); b) Biển cấm ô tô (hình b).

Hướng dẫn a) Biển a có tâm đối xứng là tâm hình tròn, có 2 trục đối xứng. b) Biển b có trục đối xứng.

7. Hãy nối mỗi ý (1), (2), (3) với một trong các ý (4), (5), (6), (7) để được câu đúng: (1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm A cố định bằng 2cm.

(4) là đường tròn tâm A bán kính 2cm

(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm toàn thể những điểm

(5) có khoảng cách đến điểm nhỏ hơn hoặc bằng 2cm.

(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm toàn thể những điểm

(6) có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm.

(7) có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2cm.

Hướng dẫn

1   4  ;

 2   6 ;

 3    5 .

8. Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax . Dựng đường tròn  O  đi qua B và C sao cho O tâm nằm trên tia Ay .

Hướng dẫn Tâm O của đường tròn đi qua B, C là giao điểm của tia Ay với đường trung trực của đoạn thẳng BC .

9. Đố: a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình a được tạo bởi cung có tâm A, B, C , D ( A, B, C , D là các đỉnh của một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó).

Hãy vẽ lại hình a vào vở. b) Vẽ chiếc lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình b được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi bốn cung có tâm A, B, C , D . Hãy vẽ lại hình b vào giấy kẻ ô vuông.

Hướng dẫn Học sinh tự giải.

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho tam giác vuông ABC tại đỉnh A . Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC đi qua đỉnh A .

2. Cho một góc nhọn xOy và một đỉnh A thuộc miền trong của góc. Từ A kẻ AH vuông góc với Ox và AK vuông góc với Oy . a) Chứng minh bốn điểm O, H , A, K nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Một tia Oz di chuyển trong góc xOy , quay xung quanh điểm O . Hình chiếu M của điểm A trên Oz nằm trên đường nào?

3. Tứ giác lồi ABCD có các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, AC , AD giao nhau tại điểm O . a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , D nằm trên đường tròn tâm O . b) Chứng minh rằng đường trung trực của các đoạn thẳng BC , BD cũng đi qua O .

§2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN 1. So sánh độ dài của đường kính và dây: Định lí 1: Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. ?1. Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây đó.

-

Ta chọn dây AB là một đường kính của đường tròn. Như vậy một đường kính CD bất kì đi qua trung điểm O của AB mà vẫn có thể không vuông góc với AB . (Xem hình bên).

?2.

Cho

hình

bên.

Hãy

tính

độ

dài

dây

AB ,

biết

OA  13cm; AM  MB; OM  5cm .

-

Theo giả thiết AM  MB mà M  AB nên M là trung điểm của dây AB . Theo định lí 3, ta có: OM  AB .

Suy ra tam giác vuông AOM tại đỉnh M . Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOM : AM 2  OA2  OM 2  AM 2  132  52  169  25  144  cm  AM 2  144  AM  144  12  cm 

Từ đây ta có: AB  2 AM  24  cm  .

BÀI TẬP 10. Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, E , D, C thuộc cùng một đường tròn. b) DE  BC .

Hướng dẫn a) Gọi M là trung điểm của cạnh BC .

Trong tam giác vuông BDC , ta có: DM 

1 BC .

2

Tương tự ta có: EM 

1 BC hay DM  EM  BM  CM .

2

Điểm M cách đều bốn điểm B, E , D, C .

Vậy bốn điểm B, E , D, C nằm trên đường tròn tâm M , bán kính bằng

1 BC .

2

b) Trong đường tròn đường kính BC thì DE là một dây, BC là đường kính nên DE  BC .

11. Cho đường tròn  O  đường kính AB , dây CD không cắt đường kính AB . Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng: CH  DK .

Gợi ý: Kẻ OM vuông góc CD .

Hướng dẫn Kẻ OM  CD thì M là trung điểm của CD , cho ta: MC  MD (1).

Ta có:

AH  HK    AH / / BK  ABKH là hình thang.

BK  HK 

Ta cũng có OM / / AH và O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của HK , cho ta: MH  MK (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY Định lí 1: Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm thì lớn hơn.

BÀI TẬP 12. Cho đường tròn  O  bán kính 5cm , dây AB bằng 8cm . a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB . b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI  1cm . Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB .

Chứng minh rằng CD  AB .

Hướng dẫn a) Gọi J là trung điểm của AB .

Theo định lí 3, §2, ta có: OJ  AB hay OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB .

Trong

tam

giác

vuông

AJO

thì:

OJ 2  OA2  AJ 2  OJ 2  52  42  9  OJ  3 .

b) Gọi M là trung điểm của CD  OM  CD .

Tứ giác OMIJ có 3 góc vuông, lại có IJ  OJ   3 nên nó là hình vuông, suy ra: OM  OJ .

Hai dây AB và CD cách đều tâm O . Vậy AB  CD .

13. Cho đường tròn  O  có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng: a) EH  EK .

b) EA  EC .

Hướng dẫn

a) AB  CD  OH  OK .

 Hai tam giác vuông OHE và OKE bằng nhau.

Suy ra EH  EK . b) Nối OA, OC .

Dễ thấy: AOE  COE  c.g .c   EA  EC .

Chú ý: Có thể chứng minh:

EA  EH  HA (1).

EC  EK  KC (2).

Mà AH 

1 1 AB; KC  CD; AB  CD (3).

2 2

Từ (1), (2) và (3) suy ra EA  EC .

LUYỆN TẬP 14. Cho đường tròn  O  bán kính 25cm , dây AB  40cm . Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm . Tính độ dài dây CD .

Hướng dẫn Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .

Vì AB / / CD nên ba điểm M , O, N thẳng hàng và ta có: MN  22cm; OA  25cm; AM  20cm OM 2  252  202  225  OM  15

Suy ra ON  MN  OM  22  15  7

CN 2  OC 2  ON 2  252  7 2  576  CN  24 CD  2CN  48  cm  15. Cho hình bên dưới, trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O . Cho biết AB  CD . Hãy so sánh các độ dài: a) OH và OK . b) ME và MF . c) MH và MK .

Hướng dẫn a) Trong đường tròn nhỏ: AB  CD  OH  OK . b) Trong đường tròn lớn: OH  OK  ME  MF (1). c) H là trung điểm ME nên: MH  Tương tự, ta có: MK 

1 ME (2).

2

1 MF (3).

2

Từ (1), (2) và (3) suy ra MH  MK .

16. Cho đường tròn  O  , điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A . Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA . So sánh độ dài hai dây BC và EF .

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của dây EF thế thì: OH  EF .

Trong tam giác vuông OAH thì OA là cạnh huyền nên: OH  OA .

Suy ra EF  BC .

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Chứng minh rằng bốn đỉnh A, B, C , D của hình thang cân ABCD thì nằm trên một đường tròn.

2. Cho đường tròn tâm O , hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm P . Gọi H , K theo thứ tự là các trung điểm của các dây AB, CD . Chứng minh: PH  PK .

3. Cho hình bình hành ABCD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại điểm O . Một đường tròn tâm O cắt các cạnh AB, BC , CD, DA theo thứ tự tại các điểm M , N , P, Q . a) Chứng minh ba điểm M , O, P thẳng hàng và ba điểm N , O, Q cũng thẳng hàng. b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

4. Cho đường tròn tâm O ; hai dây AB, CD của đường tròn cắt nhau tại một điểm P và cùng hợp với đường kính đi qua P hai góc bằng nhau. Chứng minh: AB  CD .

§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn  O; R  đến đường thẳng  thì:

 cắt  O; R   d  R .  tiếp xúc với  O; R   d  R .  không cắt  O; R   d  R .

2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

BÀI TẬP 17. Điền vào các chỗ trống trong bảng sau ( R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng).

R 5cm 6cm 4cm

d 3cm …

7cm

Vị trí tương đối …

Tiếp xúc nhau …

Học sinh tự giải.

18. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A là  3;4  . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn  A;3 với các trục tọa độ?

Hướng dẫn Khoảng cách từ điểm A đến trục tung là 3, tức là bằng bán kính đường tròn. Vậy đường tròn A  3;4  bán kính R  3 tiếp xúc với trục Oy .

Khoảng cách từ tâm A  3;4  đến trục hoành là 4; do 4  3 nên đường tròn không cắt trục Ox .

19. Cho đường thẳng xy . Tâm các đường tròn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?

Hướng dẫn Tâm các đường tròn có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với xy nằm trên hai đường thẳng song song với xy , cách xy một khoảng h  1cm và thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy .

20. Cho đường tròn tâm O , bán kính 6cm và một điểm A có AO  10cm . Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm). Tính độ dài AB .

Hướng dẫn Ta có: AB 2  OA2  OB 2  102  62  AB  8

BÀI TẬP LÀM THÊM Trên mặt phẳng cho hệ trục tọa độ vuông góc Oxy . Vẽ đường tròn tâm O , bán kính R  5cm . a) Hãy biểu diễn các điểm sau đây lên hệ tọa độ đã cho: M 1  3;4  ;

M 2  3;4  ;

M 3  3; 4  ;

M 4  3; 4 

N1  1;2  ;

N 2 1; 2  ;

N 3 1;2  ;

N 4  1; 2 

P1  3;5  ;

P2  3;5  ;

P3  3; 5  ;

P4  3; 5 

Trên hình vẽ cho biết vị trí tương đối của các điểm đã cho đối với đường tròn  O;5  . b) Chứng minh các kết luận trong câu 1.

§5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Định lí: Nếu đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

BÀI TẬP 21. Cho tam giác ABC có AB  3, AC  4, BC  5 . Vẽ đường tròn  B; BA  . Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Hướng dẫn Ta có: AB 2  9; AC 2  16; BC 2  25 .

Suy ra: BC 2  AB 2  AC 2 .  ABC vuông góc tại A .  AC  BA .  AC là tiếp tuyến tại A của  B; BA  .

22. Cho đường thẳng d , điểm A nằm trên đường thẳng d , điểm B nằm ngoài đường thẳng d . Hãy dựng đường tròn  O  đi qua điểm B tiếp xúc với đường thẳng d tại A .

Hướng dẫn Phân tích: -

Đường tròn đi qua hai điểm A, B nên tâm của nó phải nằm trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng AB .

-

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A nên tâm của nó phải nằm trên đường thẳng

 vuông góc với đường thẳng d tại điểm A .

Vậy O là giao điểm của  với trung trực Mx của AB .

Cách dựng: -

Dựng đường trung trực Mx của AB .

-

Dựng đường thẳng  vuông góc với d tại A .

-

Dựng giao điểm O của  và Mx .

-

Dựng đường tròn tâm O , bán kính OA .

Đó là đường tròn cần dựng.

Chứng minh: O  Mx nên đường tròn  O; OA  đi qua A, B .

O   nên đường tròn  O; OA  tiếp xúc với d tại A .

23. Đố: Dây cua-roa trên hình bên có những phần là tiếp tuyến của đường tròn tâm A, B, C . Chiều quay của đường tròn tâm B được vẽ trên hình. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).

Học sinh tự giải.

LUYỆN TẬP 24. Cho đường tròn  O  , dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C . a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn. b) Cho biết bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB  24cm . Tính độ dài OC .

Hướng dẫn a) Tam giác AOB cân, OC  AB .

 O .

AOB hay O  OC là tia phân giác của góc  1 2 Kết hợp với OA  OB, OC chung Suy ra OAC  OBC .

  OAC   900  OB  CB .  OBC Hay CB là tiếp tuyến tại B của đường tròn. b) Ta có: OH 2  OA2  HA2  152  122  3.27  81  OH  9 .

Trong tam giác vuông OAC thì: OA2  OH .OC  OC 

OA2 152 225    25  cm  .

OH 9 9

25. Cho đường tròn  O  có bán kính OA  R , dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA .

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B , nó cắt đường thẳng OA tại E . Tính độ dài BE theo R .

Hướng dẫn a) OCAB là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. b) Trong  vuông OBE thì: OB 2  OM .OE với OB  R; OM 

R .

2

Ta tính ra: OE  2 R .

Ta cũng có EB 2  OE 2  OB 2 . Tính ra EB  R 3 .

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho đường tròn tâm O và một dây AB . Gọi I là trung điểm của dây AB và trả OI cắt đường tròn tại điểm M . a) Chứng minh rằng tiếp tuyến với đường tròn tại điểm M thì song song với dây AB . b) Suy ra cách dựng các tiếp tuyến của đường tròn song song với một dây cho trước. Bài toán này có bao nhiêu nghiệm?

2. Cho một hình thoi ABCD , các đường chéo AC và BD giao nhau tại điểm O . Từ O kẻ các đường thẳng OH , OK , OI , OJ theo thứ tự vuông góc với các cạnh AB, BC , CD, DA . a) Chứng minh các điểm H , O, I thẳng hàng và bốn điểm H , K , I , J nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh đường tròn tâm O , đi qua các điểm H , O, I , J tiếp xúc với các cạnh của hình thoi. c) Biết OA  8cm, OB  6cm . Tính các cạnh của hình thoi và bán kính đường tròn đi qua bốn điểm H, K, I, J .

§6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 1. Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: -

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

-

Tia từ điểm đó kẻ qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

-

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

 O .

A1   A2 ; O Ta có: AB  AC ;  1 2 2. Đường tròn nội tiếp tam giác: -

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác.

-

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác: -

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đường tròn bàng tiếp của tam giác.

-

Tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai đường phân giác ngoài của hai góc ngoài của tam giác.

-

Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.

BÀI TẬP

26. Cho đường tròn  O  , điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC . b) Vẽ đường kính CD . Chứng minh rằng BD song song với AO . c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB  2cm, OA  4cm .

Hướng dẫn

. a) ABC cân tại đỉnh A và AO là phân giác của góc BAC  OA  BC

(1).

1 b) Tam giác CBD có BO  CD nên là tam giác vuông đỉnh 2

B  BD  BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm. c) Ta có: AB  AC  OA2  OB 2  AB  AC  2 3  cm  .

Ta lại có: OB 2  OH .OA  OH  1 .

Từ đây ta có: HB  3  BC  2 3  cm  .

Nhận xét: ABC là tam giác đều, cạnh 2 3  cm  .

27. Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn  O  , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  , nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB .

Hướng dẫn Ta có: AB  AC ; DB  DM ; EC  EM .

Chu vi ADE : AD  AE  DE  AD  DM  AE  EM  AD  DB  AE  EC  AB  AC  2 AB

28. Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc nằm trên đường nào?

Hướng dẫn Các đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của một góc thì có tâm cách đều hai cạnh của góc. Vậy tâm của chúng nằm trên tia phân giác của góc ấy.

29. Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax . Hãy dựng đường tròn  O  tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay .

Hướng dẫn Cách dựng: -

Dựng tia phân giác Az của góc xAy .

-

Dựng đường thẳng Bt , qua B và vuông góc với cạnh Ax .

-

Giao điểm của Az và Bt là tâm của đường tròn cần dựng.

-

Dựng đường tròn tâm O , bán kính R  OB .

LUYỆN TẬP 30. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn đối với đường thẳng AB ). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D . Chứng minh rằng:

  900 . a) COD b) CD  AC  BD . c) Tích AC.BD không đổi khi M điểm di chuyển trên nửa đường tròn.

Hướng dẫn a) Theo cách định lí 1, 2 ta có:  O ; O  O  O 1 2 4 3 0

 O  O  O   180  900  COD   900 O 2 3 1 4 2

b) CM và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn, cắt nhau tại C nên: CM  CA .

Tương tự:

DM  DB  CM  DM  CA  DB  CD  AC  BD

c) Ta có: OM  CD .

Trong tam giác vuông COD, OM là đường cao thuộc cạnh huyền OM 2  CM .DM .

Mà OM  OA  OB 

AB và CM  AC ; DM  BD .

2

AB 2  không đổi.

Suy ra AC.BD  4

31. Trên hình bên dưới, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  O  . a) Chứng minh rằng: 2AD  AB  AC  BC . b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a.

Hướng dẫn a) Từ AD  AF ; BD  BE; CF  EC , ta có:

AD  AB  BD  AB  BE AF  AC  FC  AC  EC 2 AD  AB  AC   BE  EC   2 AD  AB  AC  BC

b) Tương tự, ta có, chẳng hạn: 2 BE  2 BD  AB  BC  AC 2CF  2CE  AC  BC  AB

32. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm . Diện tích của tam giác ABC bằng:

 A 6cm2 ;

 B

3cm 2 ;

C 

3 3 2 cm ; 4

 D 3

3cm 2 .

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Hướng dẫn Ta có: AD  OD.cot g 300  3 .

Cạnh của  đều AB  2 3 .

Diện tích S ABC  AB 2 .

3  4





2

2 3 . 3 4

 3 3  cm 2  .

Vậy câu D đúng.

BÀI TẬP LÀM THÊM Cho đường tròn tâm O , bán kính R  6cm và một điểm P cách tâm O một khoảng OP  10cm . Từ

P kẻ hai tiếp tuyến PM và PM ' đến đường tròn.

1. Tính độ dài các tiếp tuyến PM , PM ' và dây MM ' .

2. Trên OA , ta lấy một điểm B sao cho AB  8cm . Tia MB cắt đường tròn tại điểm C và tia

M ' B cắt đường tròn tại điểm D . a) Chứng minh MC là tia phân giác của góc M ' MO . b) Chứng minh ba điểm C ; D; O thẳng hàng.

§7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1. Ba vị trí tương đối: Hai đường tròn có thể: -

Không cắt nhau:

-

Tiếp xúc với nhau:

-

Cắt nhau tại 2 giao điểm:

2. Tính chất của đường tròn nối tâm: Định lí: a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung.

OO '  AB và IA  IB .

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

Chú ý: Đường nối tâm là trục đối xứng của hình hợp bởi hai đường tròn.

BÀI TẬP 33. Trên hình bên, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A .

Chứng minh rằng OC / / O ' D .

Hướng dẫn

 A1 .

Tam giác COA cân: C  A2 .

Tam giác DO ' A cân: D D   OC / / O ' D .

A1   A2 (đối đỉnh)  C Mà 

34. Cho hai đường tròn  O;20cm  và  O ';15cm  cắt nhau tại A và B . Tính đoạn nối tâm OO ' biết rằng AB  24cm (xét hai trường hợp O và O ' khác phía đối với AB , O và O ' cùng phía đối với

AB ).

Hướng dẫn a) Trường hợp O và O ' khác phía đối với AB .

Ta có: 1 AB  12 2 OI 2  OA2  AI 2  OI  56 AI 

O ' I 2  O ' A2  AI 2  O ' I  9  OO '  9  56  16,5

b) Trường hợp O và O ' cùng phía đối với AB .

Ta có: OI 2  OA2  AI 2  OI  56 .

Tương tự: O ' I  9 .

Do đó: OO '  OI  O ' I  9  56  1,5 .

BÀI TẬP LÀM THÊM  R Cho hai đường tròn  O;  và  O; R  và một điểm I cách tâm O một đoạn PO  2 R . Từ ta kẻ hai  2

tiếp tuyến PM , PM ' đến đường tròn  O; R  . Gọi A, N là giao điểm của tia PO với đường tròn

 O; R 

 R và  O;  (Tâm O nằm giữa hai điểm A, N ).  2

 R a) Chứng minh rằng MM ' tiếp xúc với đường tròn  O;  .  2

 R b) Chứng minh rằng NM và NM ' là hai tiếp tuyến xuất phát từ N đến đường tròn  O;  .  2

c) Chứng minh tứ giác AMNM ' là hình thoi. d)

§8. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (tiếp theo) 1. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính: Gọi d là đoạn nối tâm: OO '  d ; R, r là các bán kính của hai đường tròn.

Ta có: R  r  d  R  r : Hai đường tròn cắt nhau. d  Rr:

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

d  R  r  0:

Hai đường tròn tiếp xúc trong.

d  Rr:

Hai đường tròn ngoài nhau (không cắt nhau).

d  Rr:

Hai đường tròn đựng nhau.

Đặc biệt: d  0 :

Hai đường tròn đồng tâm.

2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: a) Hai đường tròn ngoài nhau: -

Có hai tiếp tuyến chung trong.

-

Có hai tiếp tuyến chung ngoài.

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: -

Có hai tiếp tuyến chung ngoài.

-

Có 1 tiếp tuyến chung trong.

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong: - Có 1 tiếp tuyến chung.

d) Hai đường tròn cắt nhau: -

Có hai tiếp tuyến chung.

e) Hai đường tròn đựng nhau: Không có tiếp tuyến chung.

BÀI TẬP 35. Điền vào các chỗ trống trong bảng biết rằng hai đường tròn  O; R  và  O '; r  có OO '  d , R  r .

Vị trí tương đối (O) đựng (O')

Số điểm chung

Hệ thứ giữa d, R, r d>R+r

Tiếp xúc ngoài d=R-r 2 Hướng dẫn Học sinh dựa vào các kết luận của SGK để điền.

36. Cho đường tròn  O  có bán kính OA và đường tròn đường kính OA . a) Hãy xác định vị trí của hai đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C . Chứng minh rằng: AC  CD .

Hướng dẫn a) Ta có: OA  R

r  O' A  OO ' 

R 2

R 2

Từ OO '  OA  O ' A  OO '  R  r .

Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong.

 A. b) Tam giác AOD cân  D  A. Tam giác AO ' C cân  C  C   O ' C / / OD . D O ' là trung điểm của OA , suy ra C là trung điểm của AD .  AC  CD .

37. Cho hai đường tròn đồng tâm O . Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D . Chứng minh rằng: AC  BD .

Hướng dẫn Kẻ OH  AB thì H là trung điểm của AB .

HA  HB (1).

H cũng là trung điểm của CD .

HC  HD (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

LUYỆN TẬP 38. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…): a) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn  O;3cm  nằm trên … b) Tâm của các đường tròn có bán kính bằng 1cm tiếp xúc trong với đường tròn  O;3cm  nằm trên …

Hướng dẫn a) … đường tròn tâm O , bán kính 4cm :  O;4cm  . b) … đường tròn tâm O , bán kính 2cm :  O;2cm  .

39. Cho hai đường tròn

O 

 O '

và

tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

BC , B   O  , C   O '  . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I .

  900 . a) Chứng minh rằng: BAC b) Tính số đo góc: OIO ' . c) Tính độ dài BC biết: OA  9cm, O ' A  4cm .

Hướng dẫn

 A1 . a) AIB cân: B  A2 . AIC cân: C  C  Mà B A1   A2  1800   BAC A  A  900 1

2

'  900 . b) Đáp số: OIO c) Trong tam giác vuông OIO ' , IA  OO ' nên: IA2  OA.O ' A  IA  6  cm 

Dễ thấy IA  IB  IC .

Tam giác vuông BAC có AI là trung tuyến thuộc cạnh huyền.

BC  2 AI  BC  12  cm  40. Đố: Trên các hình a, b, c các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào, hệ thống răng chuyển động được? Trên hình nào, hệ thống răng không chuyển động được?

Hướng dẫn Học sinh tự giải.

BÀI TẬP LÀM THÊM Cho hai đường tròn  O;6  ;  O ';10  và đoạn nối tâm OO '  20cm . a) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn. b) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài giới hạn bởi hai tiếp điểm.

ÔN TẬP CHƯƠNG II CÂU HỎI 1. Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Trả lời Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác.

2. Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Trả lời Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các tia phân giác của các góc trong của tam giác.

3. Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đối xứng của đường tròn.

Trả lời Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Mọi đường kính của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn.

4. Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Hướng dẫn Giả sử ta có đường tròn đường kính AB  2 R và một dây CD .

Trong COD , theo bất đẳng thức tam giác ta có: CD  OC  OD  CD  2 R  CD  AB

Vậy dây CD luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2R hay đường kính là dây lớn nhất.

5. Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

Trả lời Nếu một đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Ngược lại, một đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải là đường kính thì vuông góc với dây ấy.

6. Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Trả lời Trong một đường tròn: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

7.

Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).

(Xem Sách giáo khoa).

8. Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn. Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Trả lời -

Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

-

Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

-

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

-

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

9. Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm với các bán kính R, r .

Trả lời Gọi R, r là hai bán kính, d là đoạn nối tâm.

Vị trí tương đối

Hệ thức giữa d , R, r

Cắt nhau

Rr d  Rr

Ngoài nhau

d Rr

Trong nhau

d  Rr

Ngoài nhau

d Rr

Đựng nhau

d  Rr d  0 : đồng tâm

Tiếp xúc nhau

Không cắt nhau

Minh họa

10. Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm?

Trả lời -

Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì nằm trên đường nối tâm.

-

Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau thì đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

BÀI TẬP

41. Cho đường tròn  O  có đường kính BC , dây AD vuông góc với BC tại H . Gọi E , F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC . Gọi  I  ,  K  theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE , HCF . a) Hãy xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn:  I  và  O  ,  K  và  O  ,  I  và  K  . b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức: AE. AB  AF . AC . d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  I  và  K  . e) Dây AD vuông góc với BC tại vị trí nào thì EF có độ dài lớn nhất?

Hướng dẫn a) Đường kính đường tròn  O  là BC . Đường kính đường tròn  I  là BH . Đường kính đường tròn  K  là HC .

Từ đây suy ra:

I 

và  O  : Tiếp xúc trong tại B .

K 

và  O  : Tiếp xúc trong tại C .

I 

và  K  : Tiếp xúc ngoài tại H .

b) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

 A  E  F  90  .

0

 AEF  EAH AEF   ACB . c) Dễ thấy   AEF ~ ACB 

AE AF   AE. AB  AF . AC .

AC AB

.

ACB  F d) Ta có FKC cân   2  F .

AEF  F Ta cũng có F 1 2 1 F F F   900  KE  EF .

F 1 3 2 3

 EF là tiếp tuyến tại F của đường tròn  K  .

Chứng minh tương tự, ta có EF là tiếp tuyến tại E của  I  . e) Ta có: EF  AH . Vậy EF lớn nhất khi AH lớn nhất  H trùng với tâm O của đường tròn

O  .

42. Cho hai đường tròn

O 

và

 O '

tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài

 B   O  , C   O ' , tiếp tuyến chung trong tại

A cắt BC tại M . Gọi E là giao điểm của OM và

AB, F là giao điểm của O ' M và AC . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO  MF .MO ' . c) OO ' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC . d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO ' .

Hướng dẫn a) Ta có: OM  AB, O ' M  AC và OM  O ' M .

 Tứ giác AEMF có 3 góc vuông. b) Tam giác OMO ' vuông tại M .

AEMF là hình chữ nhật.

F  (so le trong) mà E   E A F A . (1) MAO vuông tại A, EA  OM

 O A (cùng phụ với góc M ). (2) F .

Từ (1) và (2) suy ra: O  MEF ~ MO ' O 

ME MO '   ME.MO  MF .MO ' .

MF MO

c) Do MB  MC  MA  M là tâm đường tròn ngoại tiếp BAC .

Ta lại có MA  OO '  OO ' là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC . d) Gọi I là trung điểm của OO '  IM / / OB  IM  BC .

Mặt khác I là tâm đường tròn ngoại tiếp OMO '  BC là tiếp tuyến tại M của đường tròn đường kính OO ' .

43. Cho hai đường tròn  O; R  và  O '; r  cắt nhau tại A và B  R  r  . Gọi I là trung điểm của OO ' .

Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A , đường thẳng này cắt các đường tròn  O; R  và  O '; r  theo thứ tự tại C và D (khác A ). a) Chứng minh rằng: AC  AD . b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I . Chứng minh rằng KB vuông góc với AB .

Hướng dẫn

a) Từ O và O ' ta kẻ OE  AC và OF  AD .

Theo định lí 2 về đường kính và dây của đường tròn, ta có: E là trung điểm của AC hay EA  EC  AC  2 AE . (1)

Tương tự,

F

là trung điểm của

AD

 AD  2 AF (2)

Ta lại có IA / / OE / / O ' F mà I là trung điểm của OO ' nên IA là đường trung bình của hình thang OEFO ' , cho ta A là trung điểm của EF hay AE  AF (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC  AD . b) Gọi H là giao điểm của AB và OO ' thì H là trung điểm của AB . Theo giả thiết K đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của đoạn thẳng AK . Trong tam giác AKB thì IH là đường trung bình tương ứng với cạnh KB nên IH / / KB , mà ta có IH  AB , suy ra KB  AB .

BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Cho hai đường tròn đồng tâm O và một điểm A nằm ngoài cả hai đường tròn. Từ A ta kẻ các tiếp tuyến AM , AQ đến đường tròn lớn và AN , AP đến đường tròn nhỏ. a) Chứng minh M , N , P, Q cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.   QAP  , MON   QOP . b) Chứng minh MAN

c) Tứ giác MNPQ là hình gì?

2. Cho hai đường tròn  O;4  và  O ';8  và đoạn nối tâm OO '  10cm . a) Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại một điểm P . Tiếp tuyến chung trong tại điểm P , cắt tiếp tuyến chung ngoài M , N , M , N là các tiếp điểm tại điểm Q .

-

Tính MN .

-

Chứng minh tam giác MPN vuông.

b) Gọi R là trung điểm của OO ' .

-

Chứng minh RQ  MN .

-

Tính EQ .