Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập

SÁNG KIẾN DẠY HỌC TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN LESSON PLAN PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

BÁO CÁO KẾT QUẢ

nghề nghiệp, phù hợp với định hướng về phương pháp dạy học tích cực của chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Với những lí do trên đây, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ”.

1. LỜI GIỚI THIỆU Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu bức thiết và đang trở thành một phong trào rộng lớn trong toàn ngành Giáo dục và Đào tạo. Nhiệm vụ quan trọng này đã được chỉ rõ ở Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung Ương Đảng (khoá VIII ): “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thói quen, nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và định hướng tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ”. Điều 28, Luật giáo dục 2005 qui định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Ở nước ta, trong những năm gần đây phong trào đổi mới PPDH đã phát triển với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau như : “lấy người học làm trung tâm ”, “ phát huy tính tích cực ”, “ phương pháp dạy học tích cực ”, “ tích cực hoá hoạt động học tập ”, “ hoạt động hoá người học ”... và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu tiêu biểu về đổi mới phương pháp dạy học. Tuy nhiên những nghiên cứu trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào những chủ đề cụ thể chưa được đề cập nhiều.

Giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Giới hạn là cơ sở, hàm số là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân, nội dung bao trùm chương trình giải tích 11,12 THPT. Mặc dù có vị trí quan trọng như đã nói, song trong thực tiễn dạy và học chủ đề này vẫn còn nhiều khó khăn: Đối với giáo viên, việc giúp học sinh chuyển từ tư duy “ hữu hạn, rời rạc ” của đại số sang tư duy “ vô hạn, liên tục ” của giải tích, giúp học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa giới hạn còn gặp nhiều khó khăn nhất định, về phía học sinh, sự chuyển biến về chất trong nhận thức đòi hỏi phải suy nghĩ, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo những qui tắc, định lý vào từng bài toán cụ thể là rất khó khăn và còn bộc lộ những sai lầm trong khi giải toán.

Như vây, việc đi sâu nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh vào một lĩnh vực cụ thể trong môn toán là rất cần thiết, giúp người giáo viên nâng cao kiến thức và các kỹ năng 1

2.Tên sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: .............

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: ....................

- Số điện thoại: ................

E mail:..............................

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ................

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Sáng kiến được áp dụng với môn toán 11, đổi mới phương pháp nhằm nâng cao chất lượng của môn học.

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu : Tháng 2 năm 2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Về nội dung của sáng kiến Ngoài mục lục, lời nói đầu, tài liệu tham khảo sáng kiến gồm 3 chương: Chương 1. Cơ sở lí luận.

Chương này trình bày một cách khái quát về cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, là cơ sở cho các chương sau.

Chương 2. Vận dụng một số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Với cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tác giả đã đưa ra các biện pháp gợi vấn đề trong dạy học chủ đề giới hạn, đưa ra quy trình dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ vận dụng vào chủ đề giới hạn.

Chương 3. Những sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán giới hạn.

Chương này tác giả đưa ra một số sai lầm về kiến thức, kĩ năng và ví dụ về những 2

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về chủ đề giới hạn. Các ví dụ đó được trình bày theo hệ thống các dạng vô định, trong mỗi dạng đều đưa ra những bài tập điển hình, phân tích sai lầm, chỉ rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục những sai lẫm đó. Đây là một chương tham khảo rất hữu ích cho việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập chủ đề giới hạn của học sinh.

thức là trạng thái hoạt động của học sinh , đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Tính tích cực bên trong là tích cực tư duy. Đây là tư duy nhằm phát hiện, tìm hiểu và giải quyết các vấn đề mới đặt ra bằng kiến thức và kĩ năng đang có.

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH.

- Tính tích cực bên ngoài thể hiện ở trong hành động, ngôn ngữ. Ta có thể nêu ra những dấu hiệu bề ngoài của tích cực học tập như sau:

1.1.1. Khái niệm về tính tích cực học tập của học sinh.

Nói về tính tích cực, theo Kharlamov trong tài liệu Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào: “ Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, nghĩa là của người hành động ”.

Tích cực ở đây là tích cực trong hoạt động nhận thức như là một trạng thái hoạt động được đặc trưng bởi khát vọng học tập, sự nỗ lực tự nguyện về mặt trí tuệ và với nghị lực cao trong quá trình nắm vững tri thức.

Còn nói về nhận thức, như chúng ta đã biết, nhận thức là sự phản ánh không phải như bức tranh những hiện tượng, sự kiện và quá trình của hiện thực vào ý thức con người. Hình ảnh của đối tượng hiện thực xuất hiện trong ý thức thông qua sự phản ánh có tính chất cải tạo, bao gồm trong đó sự sáng tạo. Đó có thể là sự phản ánh giống hệt của những đối tượng trong hiện thực và cũng có thể là sự tạo nên những hình ảnh mới của sự vật, hiện tượng, quá trình chưa có trong thế giới khách quan bằng cách tổng hợp, xây dựng từ những hình ảnh của các bộ phận khác nhau của sự vật, hiện tượng, quá trình đang tồn tại trong hiện thực.

Có thể nói con đường của nhận thức khoa học tức là con đường phát hiện những thuộc tính bản chất và những quy luật của thực tại khách quan, là một quá trình phức tạp và rất đa dạng. Khoa học không chỉ nghiên cứu những gì nằm trên bề mặt và có thể tri giác trực tiếp được, mà chủ yếu còn đi sâu vào những gì thường ẩn náu sau những biểu hiện bề ngoài và chỉ có thể được phát hiện bằng sức mạnh của lí trí, của tư tưởng. Theo V.I. Lênin: sự nhân thức “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, nhận thức thực tế khách quan”. (V.I. Lênin toàn tập, tập 152 ).

Hơn nữa, sự học tập lại là trường hợp riêng của hoạt động nhận thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng đi và được thực hiện dưới sự chỉ đạo của giáo viên. Vì vậy bất kì một sự nhận thức nào, trong đó có sự học tâp là một quá trình tích cực.

1.1.2 Những biểu hiện của tính tích cực của học sinh.

Tính tích cực thể hiện ở tích cực bên trong và tích cực bên ngoài.

+ Học sinh khao khát trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích được phát phát biểu ý kiến của mình về vấn đề nêu ra. + Học sinh hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề giáo viên trình bày chưa đủ rõ. + Học sinh chủ động vân dụng linh hoạt những kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề. + Học sinh mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin mới lấy từ những nguồn khác nhau, có khi vượt ra ngoài phạm vi bài học, môn học, Ngoài những biểu hiện mà giáo viên dễ nhận thấy nói trên còn có những biểu hiện về mặt xúc cảm, khó nhận thấy hơn như thờ ơ hay hào hứng, phớt lờ hay ngạc nhiên, hoan hỉ hay buồn chán trước một nội dung nào đó của bài học hoặc tìm ra lời giải thích cho một bài toán. Những biểu hiện khác nhau ở từng học sinh, bộc lộ rõ ở học sinh các lớp dưới, kín đáo ở các lớp trên.

Tác giả còn phân biệt tính tích cực về mặt ý chí đó là: -

Tập trung chú ý vào vấn đề đang học.

-

Kiên trì làm cho xong các bài tập.

-

Không nản trước những tình huống khó khăn.

- Thái độ phản ứng khi chuông báo hết giờ học: tiếc rẻ, cố làm cho xong hoặc vội vàng gấp vở ra chơi.

Ngoài ra, tính tích cực học tập còn được phân ra làm ba cấp độ được biểu hiện từ thấp đến cao: - Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất hiện do tác động bên ngoài, người học làm theo mẫu, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào trong theo chế độ nhập nội. Loại này phát triển mạnh ở học sinh tiểu học.

Nói về tính tích cực nhận thức, có nhiều quan điểm khác nhau. Trong sáng kiến này, tác giả đồng tình với quan điểm của I. F Kharlamov . “Tính tích cục nhận

- Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình lĩnh hội khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,... với sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí.

3

4

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

- Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm ra phương thức hành động riêng, trong đó có cách thức giải quyết mới mẻ, không dập khuôn, độc đáo.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học hợp tác nhóm nhỏ là một số trong các PPDH có tác dụng kích thích tính tích cực học tập của học sinh.

1.2.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

Hiện nay, gắn liền với PPDH người ta thường dùng các khái niệm: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau.

1.2.1.1.

Cơ sở lý luận :

a. Cơ sở triết học : Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Một vấn đề gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn có.

Có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những hình tròn đồng tâm như sau: Tư duy tích cực

b. Cơ sở tâm lý học .

Tư duy sáng tạo

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề.

Tư duy độc lập

c. Cơ sở giáo dục học.

Ta làm sáng tỏ mối quan hệ này bằng ví dụ sau: Một học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng minh định lý, cố gắng hiểu được tài liệu. Ở đây có thể nói đến tư duy tích cực.

Nếu giáo viên đáng lẽ giải thích lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa theo sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này có thể nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tư duy tích cực ).

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết. Chỉ có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh đã có tư duy tích cực và tư duy độc lập.

Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập cho học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất để cho họ hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Chủ thể sử dụng thông tin xuất phát từ hành động của bản thân mình tốt hơn là thông tin từ sự kiện bên ngoài. Vốn kiến thức thu nhận được ở nhà trường chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh biết sử dụng nó một cách độc lập, sáng tạo.

Tính độc lập thực sự của học sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết cách tổ chức công việc của mình một cách hợp lý trến cơ sở quy trình được giáo viên hướng dẫn.

1. 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THƯỜNG ĐƯỢC VẬN DỤNG TRONG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG. Để có thể lĩnh hội một cách tích cực những tri thức mà con người đã khám phá được và để tạo tiềm năng làm giàu thêm những tri thức đó thì không thể không sử dụng những tiềm năng to lớn của PPDH. 5

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Nó cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất.

1.2.1.2.

Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề: a.Vấn đề trong dạy học: Theo Nguyễn Bá Kim trong tài liệu phương pháp dạy học môn toán, trong dạy học toán, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các yêu cầu sau: - Câu hỏi còn chưa được giải đáp (yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện).

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra.

Trong dạy học toán, câu hỏi hoặc yêu cầu hành động còn được gọi là bài tập.

Như vậy mọi vấn đề đều là bài tập nhưng vấn đề không đồng nghĩa với bài tập. Nếu bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một qui tắc có tính chất thuật giải thì không phải là vấn đề.

Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết phương pháp khử dạng vô định học sinh làm bài tập: Tìm lim x→∞

∞ giáo viên cho ∞

x2 −1 thì đây không phải vấn đề. Nhưng nếu ta đưa x2 + 2 x

bài tập này khi học sinh chưa biết phương pháp trên đây thì đây lại là vấn đề.

6

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Vấn đề mang tính chất tương đối: cùng một bài tập nhưng đối với học sinh này là vấn đề, đối với học sinh khác có thể không là vấn đề. b. Tình huống gợi vấn đề trong dạy học: Tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều kiện sau: - Tình huống phải tồn tại các vấn đề mà trình độ nhận thức, kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm sẵn có chưa giải quyết được, gây ra các khó khăn, nảy sinh mâu thuẫn giữa thực tiễn và trình độ nhận thức.

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nghĩa là tình huống đặt ra học sinh phải thấy cần thiết phải giải quyết, tốt nhất là tạo ra sự ngạc nhiên, hứng thú.

- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tức là tình huống đặt ra tuy chưa giải quyết được ngay nhưng học sinh đã có những tri thức liên quan đến vấn đề và nếu tích cực suy nghĩ thì có thể giải quyết được.

Ví dụ: Dạy học số hạng tổng quát của một cấp số cộng: Cho một cấp số cộng mà ba số hạng đầu của nó lần lượt là 1, 7, 13.

Tìm các số hạng lần lượt là số hạng thứ 4, 5, 6 của cấp số cộng đó.

huống có vấn đề, làm cho các em ý thức được, thừa nhận và giải quyết những tình huống này trong quá trình hoạt động chung của giáo viên và học sinh, với tính tự lực cao nhất của học sinh và dưới sự chỉ đạo chung của giáo viên.

c. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề: Dạy học giải quyết vấn đề bao gồm việc tạo ra trước học sinh những tình

Cũng tương tự V.Ôkôn trong tài liệu dạy học nêu vấn đề, viết: “ Dưới dạng chung nhất dạy học nêu vấn đề là tập hợp những hoạt động như tổ chức các tình huống có vấn đề, giúp đỡ cần thiết cho học sinh trong việc giải quyết vấn đề , kiểm tra những phép giải đó và cuối cùng quá trình hệ thống hoá và cuối cùng củng cố những kiên thức tiếp thu được ”.

Như vậy trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra nhũng tình huống gọi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác.

Do đó ta thấy hạt nhân của nó là việc điều kiển học sinh thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề.

Theo V.Ôkôn: “Nét quan trọng nhất của dạy học giải quyết vấn đề không phải là việc đặt câu hỏi mà là việc tạo ra các tình huống có vấn đề • Đặc điểm: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các đặc điểm sau: Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.

Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải nghe thầy nói một cách thụ động .

Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho học sinh phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học sinh học được bản thân việc học.

• Các cấp độ trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề: - Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc lập của người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó.

- Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này tính độc lập của người học cũng được phát huy cao độ nhưng quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ mà có sự hợp tác giữa những người học - Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này người học sinh không hoàn toàn độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết.

- Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: ở cấp độ này mức độc lập của học sinh thấp hơn ở các cấp độ khác, thầy giáo tạo ra các tình huống gợi vấn đề sau đó thày phát hiện trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề đó.

7

8

Lời giải: Ta có: d = 6 nên

u4 = 13 + 6 = 19 u5 = 19 + 6 = 25 u6 = 25 + 6 = 31

Hãy tính u999 = ? u2020 = ?

Khi đó học sinh sẽ không dễ dàng tính được như ở câu hỏi trước, lúc này học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề. Học sinh phải phân tích được quá trình có u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ở trên. u2 = 7 = 1 + 6 = u1 + d u3 = 13 = 7 + 6 = u2 + d = u1 + d + d = u1 + 2d u4 = 19 = 13 + 6 = u3 + d = u1 + 2d + d = u1 + 3d u5 = 25 = 19 + 6 = u4 + d = u1 + 3d + d = u1 + 4d u6 = 31 = 25 + 6 = u5 + d = u1 + 4d + d = u1 + 5d

Từ đó có dự đoán un = u1 + ( n − 1) d Do đó nảy sinh vấn đề: có thể tính số hạng bất kỳ un của cấp số cộng theo u1 và d được không?

Giải quyết được vấn đề thì học sinh sẽ đi đến định lý về số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh sẽ phải trải qua các khâu sau: + Quan sát và nghiên cứu các sự vật, hiện tượng. + Phát hiện vấn đề. + Nêu giả thuyết. + Lập kế hoạch nghiên cứu. + Thực hiện kế hoạch. + Phát biểu lời giải. + Kiểm tra lời giải. + Rút ra những kết luận thực tiễn vế khả năng và sự cần thiết vận dụng tri thức đã thu được vào thực tế.

• Các bước tiến hành dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề: Ta thấy hạt nhân của cách dạy và học này là việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề.

Quá trình này có thể chia thành các bước như sau: Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề - Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra.Có thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học nhưng có thể liên tưởng đến những cách tìm tòi dự đoán sau: Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế, hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc, chính xác hoá một khái niệm, hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống, lật ngược vấn đề, xét tương tự, khái quát hoá, tìm sự liên hệ và phụ thuộc.

- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra.

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.

Bước 2: Tìm giải pháp.

Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ sau: Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Kết thúc

* Giải thích sơ đồ: - Khi phân tích vấn đề cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm. Trong toán học ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng đến những định nghĩa và định lý thích hợp.

Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu huy động tri thức thường hay sử dụng những phưong pháp kỹ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hoá, khái quát hoá, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược lùi,... Phương hướng được đề xuất là không bất biến, trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lý.

- Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp.

- Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem có đúng đắn không.

Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm ra giải pháp đúng.

Sau khi tìm ra một giải pháp, có thể tìm ra một giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.

Bước 3: Trình bày giải pháp Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát hiện vấn đề cho tới giải pháp.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả Để xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể. d. Một số cách tạo tình huống có vấn đề.

Có một số cách thông dụng để tạo ra tình huống gợi vấn đề như sau : - Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm.

- Lật ngược vấn đề .

- Xem xét tương tự.

- Khái quát hoá .

- Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải.

- Tìm sai lầm trong lời giải.

Giải Pháp đúng

9

10

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm. e.Ý nghĩa của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có ý nghĩa vô cùng to lớn trong việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh, tạo ra bầu không khí hứng thú sáng tạo trong học tập, giúp học sinh làm quen với các cách giải quyết vấn đề, giúp họ tìm hiểu cả logic, đôi khi có chứa mâu thuẫn của sự tìm tòi những cách giải quyết này.

Theo I.Ia.Lemer trong tài liệu dạy học nêu vấn đề viết, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có các chức năng : Chuẩn bị cho thế hệ trẻ tham gia lao động, sáng tạo, biểu lộ tiềm lực sáng tạo trong tất cả mọi lĩnh vực hoạt động mai sau. Đảm bảo cho học sinh lĩnh hội một cách sáng tạo các tri thức và phương thức hoạt động . Đảm bảo cho học sinh nắm được một cách sáng tạo các phương pháp của khoa học hiện đại ở trình độ vừa sức và cần thiết đối với mỗi học sinh.

Tuy nhiên, dù có một vai trò tích cực to lớn, dạy học phát hiên và giải quyết vấn đề cũng không thể trở thành PPDH vạn năng để cung cấp kiến thức cho học sinh .

Theo I.Ia.Lemer: “ Chỉ có một số tri thức và phương pháp hoạt động nhất định được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học giải quyết vấn đề. Những tri thức và kĩ năng này được học sinh tự lực thu lượm trong quá trình giải quyết vấn đề sẽ giúp hình thành những cấu trúc đặc biệt của tư duy. Nhờ các tri thức đó, tất cả các tri thức khác mà học sinh đã lĩnh hội không phải trực tiếp bằng PPDH giải quyết vấn đề, sẽ được chủ thể chỉnh đốn lại, cấu trúc lại. Các cấu trúc trí tuệ hình thành nhờ dạy học giải quyết vấn đề là những phương tiện không thể thiếu được để thực hiện sự chỉnh đốn đó ”.

1.2.2 Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ: a. Thế nào là dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ ?

Lớp học được chia thành các nhóm từ 4 - 6 người. Tuỳ theo mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hoặc có chủ định, ổn định trong cả tiết học hoặc thay đổi trong từng phần của tiết học, các nhóm được giao cùng một nhiệm vụ hoặc các nhiệm vụ khác nhau. Trong nhóm có thể phân công mỗi nhóm viên hoàn thành một phần việc.

Trong nhóm nhỏ, mỗi thành viên đều phải làm việc tích cực, không ỷ lại vào một số thành viên tích cực hơn. Các thành viên trong nhóm giúp đỡ nhau tìm hiểu vấn để trong không khí thi đua với nhóm khác.

Kết quả làm việc của mỗi nhóm sẽ đóng góp vào kết quả học tập chung của cả lóp. Đến khâu trình bày kết quả làm việc của nhóm trước toàn lớp, nhóm có thể cử ra một đại diên hoặc có thể phân công mỗi nhóm viên trình bày một phần nếu vấn đề học tập khá phức tạp. b. Các bước tiến hành tổ chức dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.

Bước 1: Làm việc chung cả lớp. + Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức. + Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ.

11

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

+ Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm.

Bước 2: Làm việc theo nhóm. + Trao đối ý kiến thực hiện trong nhóm. + Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập và trao đổi. + Cử đại diện trình bày tổng hợp kết quả làm việc của nhóm.

Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp. + Đại diện các nhóm lần lượt báo cáo kết quả. + Thảo luận chung. + Giáo viên tổng kết, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề tiếp theo. c. Những ưu điểm và hạn chế khi dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ: * Ưu điểm: Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ trong môn toán cho phép các thành viên trong nhóm chia sẻ các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân, cùng nhau xây dựng nhận thức mới. Bằng cách nói ra những điều đang nghĩ, mỗi người có thể nhận rõ trình độ hiểu biết của mình về chủ đề nêu ra, thấy được mình cần học hỏi thêm những gì. Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải là sự tiếp nhận thụ động từ giáo viên. * Hạn chế: Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ bị hạn chế bởi không gian chật hẹp của lớp học, bởi thời gian hạn định của tiết học nên giáo viên phải biết tổ chức hợp lý và học sinh đã khá quen với phương pháp này thì mới có kết quả. Trong dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ, giáo viên phải quan sát để không một học sinh nào không làm việc hoặc ỷ lại vào thành viên khác của nhóm. Mặt khác cần tránh lạm dụng chia nhóm một cách khiên cưỡng, không cần thiết, mất thời gian vô ích. Mặt khác, nếu học sinh chỉ biết phần viộc của nhóm mình được giao, thì cuối tiết học có thể kiến thức của bài học trở thành một vài chi tiết chắp vá trong đầu học sinh.

Tóm lại với những thế mạnh của dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ sẽ: Góp phần tạo ý thức tự chủ, độc lập của học sinh.

Tạo cơ hội để học sinh hoà nhập cộng đồng, tập lắng nghe ý kiến của người khác, tập thể hiện quan điểm của bản thân.

Tạo cơ hội để học sinh nâng cao năng lực hợp tác, biết đánh giá ý kiến của bạn, xác định trách nhiệm trong tập thể. Nếu người giáo viên biết vận dụng một cách hợp lí sẽ góp phần đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh. * Kết luận: Về cơ bản chương 1 đã nêu tương đối đầy đủ cơ sở lí luận của phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, bao gồm khái niệm về tính tích cực học tập của học sinh, những biểu hiện của tính tích cực của 12

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

học sinh. Đặc biệt tác giả đã đưa ra hai phương pháp dạy học theo hướng tích hoá hoạt động học tập của học sinh thường được vận dụng trong dạy toán phổ thông. Đó là phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ. Mỗi phương pháp đều được trình bày kỹ từ cơ sở lí luận cho đến khái niệm, đặc điểm, ưu điểm, nhược điểm và các bước tiến hành phương pháp. Chương 1 là cơ sở lý thuyết cho chương 2.

Chương 2 VẬN DỤNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 2.1. MỤC TIÊU DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN * Kiến thức : Học sinh phải nắm được : + Các khái niệm : Dãy số có giới hạn 0.

Dãy số có giới hạn là một số thực.

Dãy số có giới hạn là +∞ Dãy số có giới hạn là −∞ Giới hạn của hàm số tại một điểm.

Giới hạn của hàm số tại vô cực.

Giới hạn một bên của hàm số.

Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn. + Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số. + Các quy tắc tìm giới hạn vô cực. + Một vài tính chất cơ bản của hàm số liên tục. * Kĩ năng: + Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để từ các giới hạn đơn giản đã biết tìm được giới hạn của các dãy số và hàm số khác. + Biết tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. + Biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, biết áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiêm của một phương trình đơn giản. * Tư duy: + Phát triển tư duy trừu tượng qua phương pháp hình thành khái niệm giới hạn của dãy số. + Phát triển tư duy biện chứng qua xét mối quan hệ giữa các khái niệm: giới

hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục. + Mở rộng nhãn quan toán học khi nghiên cứu nhiều nội dung toán học nhờ phương pháp chuyển qua giới hạn.

2. 2. NỘI DUNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Theo phân phối chương trình đổi mới môn toán THPT Bộ Giáo dục và Đào tạo, Đại số và Giải tích lớp 11.Chương giới hạn gồm hai phần: Phần A: Giới hạn của dãy số: Phần B: Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục.

Nội dung chương giới hạn được thể hiện trong sách giáo khoa đổi mới của Bộ Giáo dục & Đào tạo: Đại số và giải tích 11, Đại số và giải tích 11 nâng cao, Bài tập đại số và giải tích 11, Bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao, Tài liêu bồi dưỡng giáo viên lớp 11, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11...Theo tinh thần của sách giáo khoa mới, chương giới hạn cũng được biên soạn theo hướng: giảm nhẹ lí thuyết, tăng cường thực hành, coi trọng vai trò của ghi nhận trực giác. Coi trọng rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán, coi trọng tính thực tiễn, tạo thuận lợi cho việc sử dụng các thiết bị dạy học và ứng dụng công nghệ thông tin. Đặc biệt là tăng cường các hoạt động của chính bản thân học sinh.

Giới hạn là một kiến thức mới đối với học sinh; nó được áp dụng nhiều trong toán học và là cơ sở của giải tích hiện đại nên dễ gây được hứng thú học tập cho đa số học sinh. Cách trình bày, diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa là tương đối dễ hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Số lượng bài tập là vừa phải nên không gây tình trạng quá tải đối với đa số học sinh mà vẫn đảm bảo việc rèn luyên kĩ năng tính toán.

Tuy nhiên, việc dạy học chủ đề giới hạn của giáo viên và việc tiếp cận kiến thức về giới hạn của học sinh còn gặp những khó khăn sau: Một là, đối với học sinh, với tư duy ở trình độ THPT thì Giới hạn là kiến thức mới và khó; lần đầu tiên học sinh được tiếp xúc, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡ và lúng túng khi học nội dung này.

Hai là, số tiết giành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lí ngại khó khi học nội dung này.

Ba là, trong quá trình giảng dạy nội dung này, giáo viên thường sử dụng phương pháp truyền thống mà chủ yếu là phương pháp thuyết trình và trực quan để truyền thụ kiến thức cho học sinh. Từ đó dẫn đến dạy học nội dung này chưa đạt hiệu quả cao.

Chính vì vậy, nếu giáo viên biết vận dụng phương pháp dạy học tích cực và đưa ra các biện pháp dạy học thích hợp thì học sinh sẽ nắm vững được lý thuyết và vận dụng tốt để giải bài tập.

2.3. CÁC BIỆN PHÁP GỢI VẤN ĐỀ TRONG DẠY CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN.

13

14

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề. Khi dạy học chủ đề giới hạn có thể có một số cách sau đây để tạo ra tình huống gợi vấn đề: 2.3.1. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiêm (tính toán đo đạc...) (−1) n tức là dãy số: Ví dụ 1: Xét dãy số (U n ) với U n = n 1 1 1 1 1 1 1 1 −1, , − , , − ,..., , − ,..., , ,...

2 3 4 5 10 11 23 24

1 1 1 1 ? , , , 10 23 50 100

Học sinh có thể nêu nhận xét sau: - Điểm biểu diễn các số hạng của dãy số trên nằm trên một đoạn thẳng.

- Khi n càng lớn thì các điểm biểu diễn càng gần với điểm biểu diễn số 0.

Khoảng cách U n =

1

1 1 với ∀n > 50 < n 50

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 501 trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

1 , tức là: 500

1 1 với ∀n > 500 < n 500

Từ việc biểu diễn các số hạng của dãy số và tính toán trực tiếp U n , học sinh có ý niệm về hình ảnh các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số: Khi chỉ số tăng lên vô hạn thì các điểm biểu diễn qui trị dần tới một điểm xác định trên trục số, đó là điểm 0 và mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ đó học sinh sẽ hiểu được định nghĩa dãy số có giới hạn 0. (từ hình ảnh trực quan và tính toán thực nghiệm chuyển sang khái niệm toán học trừu tượng ).

1 từ điểm U n đến điểm 0 nhỏ bao nhiêu cũng được miễn n

là n đủ lớn.

Học sinh có thể lập bảng tính U n như sau: N 1 2 3 ... 10 11 ... 23 24 ... 50 51 ... 500 ...

Un

Un =

Un =

Em hãy biểu diễn các số hạng của dãy số đã cho trên trục số và nêu nhận xét về điểm biểu diễn các số hạng của dãy số đó, khoảng cách từ điểm U n đến điểm 0 ? Từ số hạng bao nhiêu trở đi, mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Ví dụ 2: Cho 3 hàm số: (1) f ( x) =

 x2 − 4 ,x ≠ 2  (2) f ( x) =  x − 2 3, x = 2 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ...

2 3 10 11 23 24 50 51 500

Từ bảng trên, học sinh có thể nhận xét: + Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 11 trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn Un =

1 , tức là: 10

,x ≠ 2

4, x = 2  x →2

b) Vẽ đồ thị của các hàm số và nêu nhận xét về các đồ thị đó.

1 tuyệt đối nhỏ hơn , tức là: 23

Học sinh sẽ có được hình ảnh trực quan và nội dung khái niệm hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 Ví dụ 3: Có thể đoán nhận tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng hình học như sau:

1 1 với ∀n > 23 < n 23

Cho cấp số nhân

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 51 trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

 x2 − 4

(3) f ( x) =  x − 2

a) Hãy so sánh f (2) và lim f ( x ) của từng hàm số đó.

1 1 với ∀n > 10 < n 10

+ Mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng thứ 24 trở đi, đều có giá trị

Un =

x2 − 4 x−2

1 , tức là: 50

15

1 1 1 1 , , ,... ...

2 22 23 2n 1 2

Ta có thể đoán nhận tổng S = +

1 1 + ... n + ... = 1 nhờ hình sau: 22 2

16

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an g ( x ) = b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm −1 x + bm , a0 , b0 ≠ 0 khi x → ±∞

Ví dụ 3: Xét bài toán: 2x2 − 8 và 1 dãy số bất kỳ x1 , x2 ,....xn ,... những số thực khác 2 (tức x−2 là xn ≠ 2 với ∀n ) sao cho lim xn = 2 (1)

Cho hàm số f ( x ) =

Hãy xác định các giá trị tương ứng f ( x1 ) , f ( x2 ) ,....., f ( xn ) ,.... của hàm số và tìm 1   2 ,1 1 1 + 2 22

1 Ở hình trên: Trung điểm của đoạn [ 0,1] là điểm , trung điểm của đoạn 2 1 1 1 1 1 1 1 là điểm + 2 trung điểm của đoạn  + 2 ,1 là điểm + 2 + 3 , ... Do đó 2 2 2 2 2 2 2  1 + ... n + ... = 1 2

lim f ( xn )

Giải Vì xn ≠ 2 nên f ( xn ) =

2 ( xn2 − 4 ) xn − 2

= 2 ( xn + 2 ) với mọi n

2.3.2. Xem xét tương tự

Do đó f ( x1 ) = 2 ( x1 + 2 ) , f ( x2 ) = 2 ( x2 + 2 ) , ... f ( xn ) = 2 ( xn + 2 ) , ...

Ví dụ 1: Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, bằng cách tương tự cho học sinh phát biểu khái niệm “giới hạn của hàm số tại vô cực”, “giới hạn một bên”.

Từ (1) suy ra: lim f ( xn ) = lim 2 ( xn + 2 ) = 2 ( limx n + 2 ) = 2 ( 2 + 2 ) = 8

Ví dụ 2: Khi dạy định lí giới hạn của “tổng, hiệu, tích, thương các hàm số”, tính duy nhất về giới hạn của hàm số, các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, giới hạn kẹp của hàm số. Giáo viên có thể cho học sinh phát biểu định lí về giới hạn của “tổng, hiệu, tích, thương các dãy số”, tính duy nhất về giới hạn của dãy số, giới hạn kẹp của dãy số. Từ đó gợi vấn đề: phải chăng đối với hàm số ta cũng có định lí tương tự?

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 8 khi x dần đến 2

2.3.3. Khái quát hoá Ví dụ 1 : Cho hai dãy số ( xn ) , ( yn ) với xn =

n −1 3n , yn = , 2n n +1

Tìm lim xn ; lim yn , lim ( xn + yn ) , lim ( xn . yn ) , lim n →∞ n→∞ n →∞ n →∞ n →∞

lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0

xn yn

x → x0

Ví dụ 2: Sau khi học sinh đã giải các bài tập tìm giới hạn của thương hai đa thức cụ thể : lim

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên khoảng (a; b) có thể không xác định tại điểm x0 ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0) nếu vói mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp (a; b) \ { x0 } ( tức là xn ∈ (a; b) và xn ≠ x0 với ∀n ) mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .

Khi đó ta viết

Có nhận xét gì vể mối liên hệ giữa các giới hạn đó? Từ đó, nhờ khái quát hoá đi đến các định lí về phép toán trên các giới hạn của các dãy số .

x →±∞

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm:

x3 + 2 x − 1 x4 + 2 9 x2 + 4x − 4 , xlim , xlim ; 2 4 →±∞ →±∞ 2x +1 3x + x − 5 x5 − 3 x 2 + 4

2.3.4. Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải để giải trực tiếp Khi học sinh được giao một bài tập mà họ chưa biết thuật giải để giải trực tiếp thì tức là tình huống có bao hàm một vấn đề. Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy ở họ niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kĩ năng của bản thân vào việc giải quyết vấn đề, bởi vì kinh nghiệm từ quá trình học tập cho họ thấy rằng mỗi bài tập thầy ra đều dẫn đến một tri thức bổ ích, hoặc giúp củng cố một tri thức đã học hay rèn luyện một kĩ năng nào đó, và họ cũng thấy rằng khi giải những bài tập như vậy chỉ cần sử dụng những tri thức đã được học.

có thể yêu cầu nêu kết quả tổng quát về giới hạn hai thương đa thức 17

18

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Ví dụ: Không giải phương trình hãy chứng minh rằng:

do thầy đưa ra thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, bởi vì nói chung không có thuật giải để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận lời giải sai. Nó cũng gây cho người học niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kĩ năng sẵn có của bản thân mình vì họ hiểu rõ lời giải có sai chỉ liên quan đến tri thức đã học Ví dụ 1:

Phương trình x − 3x + 1 = 0 có một nghiệm trên khoảng ( 0;1) .

2

Phương trình x3 − x 2 − 5 x + 2 = 0 có một nghiệm trên khoảng ( 0;1) .

Phương trình x3 + 2 x − 2 = 0 có một nghiệm trên khoảng ( 0;1) . Đối với phần a), học sinh phải sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Đối với phần b), sau khi biến đổi x3 − x 2 − 5 x + 2 = ( x + 2 ) ( x 2 − 3x + 1) ta đưa được việc xét sự có nghiệm của phương trình x3 − x 2 − 5 x + 2 = 0 trên khoảng ( 0;1) về việc xét sự có nghiệm của phương trình x 2 − 3 x + 1 = 0 trên khoảng ( 0;1) .

Đặt vấn đề: Đối với phương trình f(x) = 0 , trong đó f(x) là đa thức bậc cao khó phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, thì có cách nào xét sự có nghiệm của phương trình đó hay không ? Từ đó đi đến việc sử dụng hệ quả của định lí 2 ( định lí về giá trị trung bình của các hàm số liên tục ): Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0. Từ đó ta có lời giải cho các bài tập trên như sau: a, f ( x) = x 2 − 3 x + 1 liên tục trên [ 0;1] .

1

2

Tìm giới hạn: lim  2 + 2 + ... + 2  n →∞ n n n   Lời giải 1: n

2 n  1 2 n  1 lim  2 + 2 + ... + 2  = lim 2 + lim 2 + ... + lim 2 = 0 + 0 + ... + 0 = 0 n→ ∞ n→ ∞ n n→ ∞ n n n  n→ ∞ n n

Lời giải 2: 2 n  1 + 2 + ... + n  1 lim  2 + 2 + ... + 2  = lim = lim n→ ∞ n→ ∞ n n  n→ ∞ n2 n

n (n + 1) n +1 1 2 = lim = n→ ∞ 2 n n2 2

Trong hai lời giải đó, lời giải nào đúng? Lời giải nào sai? Sai ở đâu?

Ví dụ 2: Khi bắt đầu dạy giới hạn một bên, cho học sinh tìm lim x − 1 x →1

Hầu hết học sinh đề cho rằng lim x − 1 = 0 x →1 Thực ra giới hạn này không tồn tại. Sai lầm này nảy sinh do học sinh không chú ý đến điều kiện để xét giới hạn của hàm số f ( x ) = x − 1 khi x → 1 là phải có một khoảng K chứa điểm 1 mà f(x) xác định trên cả khoảng đó hoặc chỉ có thể xác định trên tập hợp K \ {1} .

f (0) = 1 > 0 f (1) = −1 < 0

Vì f (1). f (0) < 0 nên theo hệ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ khoảng ( 0;1) sao cho f (c ) = 0 x = c chính là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 trên khoảng ( 0;1) . b, f ( x ) = x3 − x 2 − 5 x + 2 liên tục trên [ 0;1]

Từ đó đặt vấn đề mở rộng khái niệm giới hạn để có khái niệm giới hạn một bên.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số: 0, x < 0  f ( x ) =  x2 , 0 ≤ x < 1  2 − x − 2 x + 1, x ≥ 1

f (0) = 2 f (1) = −3

Vì f (1). f (0) = −6 < 0 nên theo hệ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( 0;1) sao chof(c) =0 x = c chính là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên khoảng ( 0;1) . c, f ( x ) = x3 + 2 x − 2 liên tục trên đoạn [ 0;1] .

Vì f (1). f (0) = −2 < 0 nên theo hộ quả trên, tồn tại ít nhất một điểm x1 ∈ ( 0;1) sao cho f ( x1 ) = 0 x = x1 chính là một nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 trên khoảng ( 0;1) .

2.3.5. Tìm sai lầm trong lời giải.

Khi học sinh được yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải ( có thật hay hư cấu)

Giáo viên tung ra tình huống: Có một học sinh đã giải bài toán này như sau: Ta thấy rằng: Với ∀x ∈ ( −∞;0 ) thì f ( x ) = 0 Với ∀x ∈ [ 0;1) thì f ( x ) = x 2 Với ∀x ∈ [1; +∞ ) thì f ( x ) = − x 2 − 2 x + 1 Tức là trên từng khoảng, nửa khoảng đã chỉ ra ở trên, f(x) đều là những đa thức hữu tỷ nên nó liên tục trên các khoảng và nửa khoảng đó.

Ta lại có: ( −∞;0 ) ∪ [ 0;1) ∪ [1; +∞ ) Kết luận: Vậy f(x) liên tục ∀x ∈ ( −∞; +∞ )

19

20

f (0) = −2 f (1) = 1

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Giáo viên yêu cầu học sinh, hãy tìm sai lầm trong lời giải trên?

Tiếp xúc với các bài toán về tìm giới hạn, học sinh rất dễ bị mắc sai lầm .

Các sai lầm xuất phát từ việc nắm không vững quy tắc vận dụng các định lí về giới hạn, đặc biệt là các phạm vi có hiệu lực của định lí. Yêu cầu học sinh tìm và sửa chữa sai lầm có thể xuất hiện trong quá trình giải toán của họ chính là đã đặt học sinh vào tình huống gợi vấn đề.

2.3.6. Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.

Sau khi phát hiện thấy một sai lầm, học sinh đứng trước một nhiệm vụ nhận thức: Tìm nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm. Đó là một tình huống gợi vấn đề bởi vì đối chiếu vối ba điều kiện của tình huống gợi vấn đề ta thấy: Một là, học sinh chưa có sẵn câu trả lời và cũng không biết một thuật giải nào để có câu trả lời.

Hai là, học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, họ không thể chấp nhận để nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa.

Ba là, vấn đề này có liên quan tới tri thức sẵn có của họ, không có gì vượt quá yêu cầu. Họ thấy nếu tích cực suy nghĩ vận dụng tri thức đã học thì có thể tìm ra nguyên nhân sai lầm.

Ví dụ 1: Tính giới hạn I = lim x 2 + 1 − x

Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc có giới hạn 0, tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng Lời giải đúng:

x →∞

(

)

Sai lầm thường gặp: lim x →∞

(

)

x 2 + 1 − x = lim

(

2

x +1 − x

)(

2

x +1 + x

2

x +1 + x

x →∞

) = lim ( x + 1) − x 2

2

2

x +1 + x

x →∞

= lim x →∞

( lim ( x + 1 − x ) = lim

x→+∞

x2 + 1 − x

x →+∞

)(

x2 + 1 + x

2

x +1 + x

Khi x → −∞ thì − x → +∞ nên lim x →−∞

(

) = lim ( x + 1) − x 2

x →+∞

2

1 x2 + 1 + x

x +1 + x

x →+∞

=0

1 2

x +1 + x

= 0 (1)

Từ (1),(2) suy ra không tồn tại giới hạn mà chỉ tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải 

1

2  n +1

+

1 n2 + 2

+ ... +

1   n2 + n 

Sai lầm thường gặp 

  1   1   = nlim  2  = ... = nlim  2 =0 →+∞ →+∞ n +1   n +2   n +n  1 1 1  + + ... + + 0 + ... + 0 = 0  = 0 n2 + 1 n2 + 2 n2 + n  n 1

Do nlim  →+∞

2

 

Nên nlim  →+∞ 

1

n2 + k

≤

1

n2 + 0

=

Tìm sai lầm trong lời giải phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm các bài toán về giới hạn sẽ được nghiên cứu sâu trong chương III của khóa luận 2.3.7. Đặt thêm câu hỏi sau mỗi bài tập.

Ví dụ: Khi dạy tìm giới hạn vô định bằng phương pháp thêm bớt giáo viên có thể thực hiện như sau: Sau khi học sinh giải toán: 1− 3 1− x 3x

Giáo viên có thể đặt thêm câu hỏi: Tìm giới hạn lim x→0

1− 2x − 3 1 − x x

2.4 XÂY DỤNG, CỦNG CỐ KIẾN THỨC VÊ GIỚI HẠN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HỢP TÁC NHÓM NHỎ.

Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ, thực chất là trường hợp đặc biệt và phát triển cao của dạy học tích cực, hướng vào học sinh. Nó là tích hợp của nhiều phương pháp gần gũi nhau: Phương pháp hợp tác, phương pháp tình huống, phương pháp nêu và gợi vấn đế...trong đó phương pháp thảo luận nhóm có vai trò chủ yếu, nhằm phát huy cao độ tính tích cực chủ động sáng tạo của người học. Với dạy học theo nhóm, học sinh không được đặt trước các kiến thức sẵn có của SGK hay các bài giảng áp đặt của giáo viên mà được đặt trước các tình huống cụ thể và sinh động. Đối với học sinh, giáo viên là người trung gian giúp cho họ chiếm lĩnh tri thức, là người tạo điều kiện cho việc học. Do đó năng lực của giáo viên là năng lực thiết kế và sáng tạo ra tình huống dạy học (THDH). THDH tồn tại khách quan và là đối tượng của hoạt động học tập của học sinh. Nhưng khi học sinh nhận thức được những mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết chứa đựng trong tình huống, đồng thời mong muốn giải quyết mâu thuẫn đó bằng cách huy động cái đã

)

x 2 + 1 − x = +∞ (2)

Ví dụ 2: Tính giới hạn I = nlim  →+∞

≤

Học sinh thấy rằng bài toán này gần giống bài toán vừa giải xong, nên rất tích cực bắt tay vào tìm cách giải. Từ đó đặt vấn đề: Phải chăng phải tách bài toán này thành 2 bài toán có dạng bài toán trên?

2

= lim

1

n2 + n

Tìm giới hạn: lim x→ 0

Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên không xét các giới hạn riêng x → +∞, x → −∞ Lời giải đúng: 2

1 với ∀k = 1, n nên: n n 1 1 1 1 ≤ + + ... + ≤ =1 n2 + n n2 + 1 n2 + 2 n2 + n n n 1 Mà nlim = lim = 1 . Theo định lí kẹp về giới hạn của dãy số →+∞ n 2 + n n →+∞ 1 + 1 n  1 1 1  ⇒ lim  + + ... +  =1 2 2 2 n →+∞ n +2 n +n   n +1

Do

Nguyên nhân sai lầm: 21

22

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

biết, tạo ra phương pháp hành động mới để đạt hiểu biết mới thì khi đó THDH đã chuyển hoá thành tình huống có vấn đề ở học sinh.

thực hiện đúng trách nhiệm của mình. Thư ký có trách nhiệm ghi kết quả hoạt động khi cần thiết. Nhóm trưởng chịu trách nhiệm điều khiển hoạt động và báo cáo kết quả của nhóm nếu cần.

Học tập là công việc do chính học sinh thực hiện, chứ không phải là điều được làm sẵn cho các em. Quá trình học tập không phải là một môn thể thao có khán giả. Nó đòi hỏi sự tham gia trực tiếp và tích cực của học sinh. Giống như những người leo núi, học sinh sẽ dễ dàng đạt đến kết quả hơn khi chính các em là một bộ phận của nhóm hợp tác. Hợp tác nghĩa là cùng chung sức để đạt được những mục tiêu chung. Trong các tình huống hợp tác, cá nhân tìm kiếm những kết quả có ích cho họ và đồng thời cho cả các thành viên của nhóm. Học hợp tác là việc sử dụng các nhóm nhỏ để học sinh làm việc cùng nhau nhằm tối đa hoá kết quả học tập của bản thân mình cũng như của người khác. Mặc dù còn có những hạn chế trong việc xác định xem khi nào và ở đâu thì có thể sử dụng hình thức học hợp tác hay cá nhân một cách phù hợp, vẫn có thể xây dựng theo hướng hợp tác bất cứ nhiệm vụ học tập nào trong bất kỳ môn học nào và ở chương trình giảng dạy nào.

Nội dung chương giới hạn có nhiều đơn vị kiến thức cung cấp các kiến thức mới, các kết luận, các nhận xét cho học sinh có thể được hình thành thông qua quá trình dạy học hợp tác nhóm.

2.4.1.Qui trình xây dựng, củng cố kiến thức cho học sinh thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.

Bước 2: Phổ biến kế hoạch bài học cho các nhóm Giáo viên đưa ra những yêu cầu cụ thể, nêu vấn đề, phổ biến nhiệm vụ nhận thức, mục tiêu cụ thể cần đạt, hướng dẫn cách làm việc theo nhóm, đưa ra thời gian hạn chế cho các nhóm.

Các nhóm tiếp nhận nhiêm vụ nhận thức của mình qua sự phổ biến của giáo viên hoặc qua phiếu giao việc mà giáo viên đã phát

Yêu cầu !

Trong bước này, giáo viên có thể dùng phiếu hoặc phổ biến trực tiếp nhiệm vụ học tập cho các em và yêu cầu tất cả học sinh phải chú ý theo dõi và tiếp nhận nhiệm vụ, không ỷ lại vào nhóm trưởng và một số học sinh tích cực hơn.

Giáo viên theo dõi để có thể giúp đỡ, định hướng, điều chỉnh kịp thời hoạt động của mỗi nhóm đi đúng hướng Bước3: Học sinh làm việc theo nhóm: Sau khi tiếp nhận nhiệm vụ, các nhóm tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa, trao đổi ý kiến thực hiện trong nhóm

Căn cứ vào cơ sở lí luận của dạy học tích cực nói chung, của dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ nói riêng, thực hiên nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa tập thể và cá nhẩntrong dạy học, sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy, vai trò tự giác, tích cực của trò ta có thể xây dựng qui trình dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ trong dạy học toán cho học sinh THPT gồm các bước như sau:

Nhóm trưởng phân công công việc cho các thành viên trong nhóm, từng cá nhân làm việc một cách độc lập và trao đổi lẫn nhau, không gây ồn ào cho lớp học.

Yêu cầu tất cả các thành viên trong nhóm làm việc tích cực, có kết quả đóng góp vào kết quả chung của nhóm mình.

Bước 1: Xây dựng nhóm hợp tác:

Nhóm trưởng tổng hợp các kết quả của các thành viên trong nhóm, trong nhóm thống nhất kết quả tối ưu nhất.

Trong bước này, tuỳ theo đặc điểm và trình độ nhân thức của lớp học, giáo viên chia lớp thành 4 đến 6 nhóm ( có thể theo tổ, theo bàn, hoặc theo sự sắp xếp của giáo viên tuỳ vào trình độ nhận thức của học sinh ). Có thể phân công nhóm thường xuyên và nhóm cơ động ( Để duy trì hoạt động nhóm, có thể phân nhóm thường xuyên theo từng bàn hoặc hai bàn ghép lại và đặt tên cụ thể. Thí dụ như nhóm 1, nhóm 2...Có thể thay đổi nhóm khi có những công việc cần thiết gọi là nhóm cơ động, không cố định.

• Đểphát huy tính tích cực của hợp tác nhóm, cần đảm bảo yêu cầu sau: Phân công trách nhiệm trong nhóm để thực hiện một nhiệm vụ nhất định. Thí dụ phân công trưởng nhóm, thư kí của nhóm và các thành viên với những nhiêm vụ cụ thể trong một hoạt động nhất định. Sự phân công này cũng có sự thay đổi để mỗi học sinh có thể phát huy vai trò cá nhân.

Sau đó cử một đại diện ( không nhất thiết phải là nhóm trưởng ) chuẩn bị lên trình bày kết quả làm việc của nhóm.

Bước 4: Báo cáo kết quả làm việc của nhóm: Giáo viên yêu cầu đại diện các nhóm báo cáo kết quả làm việc của nhóm ( có thể cho học sinh thuyết trình hoặc sử dụng máy chiếu ), cả lớp lắng nghe, tranh luận, bổ sung ý kiến, giáo viên làm trọng tài khẳng định ý kiến đúng và ghi tóm tắt từng phần kết quả lên bảng.

Bước 5: Tổng kết toàn bài: Dựa trên kết quả quan sát của các nhóm, giáo viên hướng dẫn học sinh tự rút ra kết luận của bài học. Sau đó giáo viên củng cố, khái quát lại toàn bộ vấn đề.

Nhóm trường có nhiêm vụ phân công trách nhiệm và yêu cầu mỗi thành viên

2.4.2 Một số ví dụ minh hoạ việc hướng dẫn học sinh tự củng cố kiến thức mới thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ trong chủ đề giới hạn

23

24

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Ví dụ 1: Sau khi học định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Giáo viên muốn củng cố định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và đưa ra nhận xét:

1  0

Hàm số liên tục tại điểm nào thì đồ thị liền nét tại điểm đó.

khix = 0 1 x

Hàm số gián đoạn tại điểm nào thì đồ thị không liền nét tại điểm đó.

Ta có f (0) = 0 , lim f ( x ) = lim = ∞ ≠ f ( 0 ) x →0 x →0

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh củng cố định nghĩa và tự lực tiếp cân nhận xét đó như sau:

Không tồn tại lim f ( x ) = lim x→0 x →0

Bước 1: Chia lớp thành 4-6 nhóm:

1 x

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại điểm x = 0

Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm, yêu cầu các nhóm cử nhóm 1 trưởng. f(x) =

Bước 2: Phân công công việc, giao nhiệm vụ cho các nhóm:

khix ≠ 0

Xét hàm số: f ( x ) =  x

1 x

4

+ Nhóm 1, 3, 5 : Thực hiện nhiệm vụ 1.

2

Nhiệm vụ 1: 10

5

5

Xét tính liên tục của hàm số: 1  f ( x) =  x  0

khix ≠ 0

10

2

Tại điểm x = 0

4

khix = 0

Hãy vẽ đồ thị của hàm số trên và nêu nhận xét?

Nhận xét Đồ thị hàm số y = f ( x) không liền nét tại điểm x = 0 + Nhóm 1,3,5: Xét hàm số f ( x ) = x TXĐ: f ( 0 ) = 0 = 0

+ Nhóm 2, 4, 6: Thực hiện nhiệm vụ 2.

Nhiệm vụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x tại điểm x = 0 .

Vẽ đồ thị của hàm số f ( x ) = x và cho nhận xét về đồ thị của hàm số đó?

lim f ( x ) = lim x = 0 = f ( 0 ) x →0

+ Mỗi nhóm thực hiện trong 5 phút + Yêu cầu để thực hiện nhiệm vụ: Nắm được một cách vững vàng, hiểu sâu định nghĩa, hiểu được bản chất định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và vận dụng được vào làm bài tập.

x →0

Vậy đồ thị hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0 Đồ thị f(x) = x 4

• Lời gợi ý của giáo viên:

2

+ Cần xét được sự liên tục hay không liên tục của hàm số tại điểm x0 (cụ thể x0 = 0 )

10

5

5

10

2

+ Cần nhận xét được đồ thị của hàm số, nếu hàm số liên tục tại x0 thì đồ thị có đặc điểm gì? Nếu hàm số có gián đoạn tại x0 thì đồ thị hàm số tại điểm đó có đặc điểm gì?

Bước 3: Học sinh thực hiện làm việc theo nhóm.

• Nhóm 2,4, 6: 25

4

Nhận xét: Đồ thị của hàm số y = x là một đường liền nét trên .

Bước 4: Trình bày kết quả làm việc của nhóm: 26

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Đại diện các nhóm trình bày kết quả của nhóm mình, cả lớp theo dõi.

Sau khi trình bày xong, các nhóm thảo luân nhận xét lẫn nhau.

Bước 5: Tổng kết trước toàn lớp: - Giáo viên nhận xét kết quả làm việc của các nhóm.

- Đưa ra kết luận cuối cùng: + Ở nhiệm vụ 1: Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 0 , đồ thị hàm số không liền nét tại điểm x = 0 . + Ở nhiệm vụ 2: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0 , đồ thị là một đường liền nét trên TXĐ.

- Kết luận chung: Hàm số đã cho liên tục trên khoảng ( đoạn ) nào thì đồ thị của nó là đường liền nét trên khoảng (đoạn) đó.

-

Giáo viên biểu dương những nhóm tích cực và làm đúng.

Ví dụ 2: Sau khi học xong định lí “ Giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn ”, giáo viên muốn đưa thêm nhận xét: tổng vô hạn của các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc có giới hạn 0. Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh hoạt động theo các nhóm như sau: Bước 1: Chia lớp thành 4 nhóm, trong đó thành lập 2 nhóm có nhận thức khá nhất. Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm, yêu cầu các nhóm cử nhóm 1 trưởng.

Bước 2: Phân công công việc, giao nhiệm vụ cho các nhóm: + Nhóm 1: Thực hiện nhiệm vụ 1 như sau:(có thể giao cho nhóm có lực học trung bình trở lên) Tìm giới hạn sau:  1  1 1 L2019 = lim  + + ... +  2 2 2 n →∞ + 1 + 2 + 2019 n n n  

+ Nhóm 2: Thực hiện nhiệm vụ 2 như sau:( có thể giao cho nhóm có lực học trung bình trở lên)  1  1 1 L2020 = lim  + + ... +  2 2 2 n →∞ n +2 n + 2020   n +1



Hãy đánh giá biểu thức sau: 

1 2

 n +1

+

1 2

n +2

+ ... +

+ Lời gợi ý của giáo viên: - Nhiệm vụ 1 và nhiêm vụ 2: sử dụng định lý “giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn”.

- Nhiệm vụ 4: Đánh giá biểu thức cần tìm giới hạn rồi sử dụng định lý giới hạn kẹp của dãy số.

Bựớc3: Học sinh làm việc theo nhóm: Nhóm 1: Do lim n →∞

1 n2 + 1

1

= lim

n2 + 2

n →∞

1

= ... = lim

n 2 + 2019

n →∞

=0

Nên ta có:  1  1 1 L2019 = lim  + + ... +  = 0 + 0 + ... + 0 + 0 = 0 2 2 2 n →∞ n +2 n + 2019   n +1

Nhóm 2: Do lim n →∞

1 2

n +1

1

= lim

2

n +2

n →∞



Nên ta có L2020 = lim  n →∞

1

= ... = lim

2

n + 2020

n →∞

1 2

 n +1

1

+

2

n +2

+ ... +

=0

  = 0 + 0 + ... + 0 + 0 = 0 n + 2020 

1

2

Nhóm 3: Do

1

1 với ∀k = 1, n nên: n 1 n ≤ + + ... + ≤ =1 n2 + n n2 + 1 n2 + 2 n2 + n n

n2 + n 1

≤

1

n2 + k 1

≤

1

n2 + 0 1

=

Nhóm 4: Đánh giá như nhóm 3 rồi nhận xét:

+ Nhóm 3 : Thực hiện nhiệm vụ 3 như sau: (nhiệm vụ này giao cho một trong hai nhóm có lực học khá nhất) -

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Mà ta lại có lim n →∞

  n +n 

1

n n2 + n

= lim

n →∞

1 1+

1 n

=1

2

+ Nhóm 4: Thực hiên nhiệm vụ 4 như sau: (nhiệm vụ này giao cho nhóm có lực học khá còn lại) Tìm giới hạn sau:

Vậy theo định lí kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn, ta có:  1 1 1  lim  + + ... +  =1 2 2 2 n + 1 n + 2 n +n  

n →+∞

 1 1 1  L = lim  + + ... +  2 n →∞ n2 + 2 n2 + n   n +1

Bước 4: Trình bày kết quả làm việc của nhóm: -

27

Đại diện các nhóm trình bày kết quả của nhóm mình, cả lớp theo dõi.

28

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

-

Sau khi trình bày xong, các nhóm thảo luận nhân xét lẫn nhau.

1) Em hãy viết dãy trên dưới dạng khai triển.

Lưu ý: Nhóm 4 có thể mắc sai lầm sau: 

2) Biểu diễn các số hạng của dãy số đã cho trên trục số.

3) Khi n tăng, thì các điểm biểu diễn gần tới điểm nào ?

  1   1   = lim  2  = ... = lim  2 =0 n →∞ n→∞ n + 1 n + 2      n +n 

Do lim  n →∞

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

1

4) Em hãy lập bảng tính |un| ?

2

5) Kể từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi, mọi số hạng của dãy đã cho đều có giá tri

Nên ta có

tuyệt đối nhỏ hơn:  1 1 1  L = lim  + + ... + + 0 + ... + 0 = 0  = 0 2 2 2 n→∞ n +2 n +n  n  n +1

Ở bước 2: Giáo viên có thể phân mỗi nhóm làm từ 1 đến 2 câu hỏi. Mỗi câu từ 2 đến 3 phút.

Sau đó gọi đại diện của các nhóm trình bày kết quả, ghi tóm tắt lên bảng ( hoặc dùng máy chiếu).

- Đưa ra nhận xét: Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương tuý ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói rằng dãy số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói rằng dãy

Kết luận: Vậy L=0 Bước 5: Tổng kết trước toàn lớp: -

Giáo viên nhận xét kết quả làm việc của các nhóm. Đưa ra kết luận cuối cùng:

 ( −1)n   có giới hạn 0  n   

số 

Ở nhiệm vụ 1: L2019 = 0 Ở nhiệm vụ 2: L2020 = 0 Ở nhiệm vụ 3:

1 n2 + n

1 1 1 1 ? , , , 50 75 500 1000000

≤

1 n2 + 1

+

1 n2 + 2

+ ... +

1 n2 + n

≤

n =1 n

Ở nhiệm vụ 4: L=1 Nếu nhóm 4 mắc sai lầm ở trên thì giáo viên phân tích rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm, cách khắc phục sai lầm đó để học sinh cả lớp hiểu rõ và lần sau không mắc phải.

Kết luận chung: + Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0. + Phương pháp thường sử dụng là phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0.

Giáo viên biểu dương những nhóm tích cực và làm đúng.

Ví dụ 3: Khi dạy định nghĩa dãy số có giới hạn 0, giáo viên đưa ra ví dụ mở đầu: Xét dãy số

Mục tiêu: Để đi đến định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

Giáo viên đặt ra các câu hỏi: 29

- Đặt câu hỏi: Từ đó em hãy định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

Yêu cầu tất cả các nhóm thực hiện, sau đó thảo luận, trao đổi, giáo viên nhận xét, bổ sung ý kiến và chốt lại định nghĩa. * Kết luận: Dựa vào mục tiêu và nội dung, đặc điểm của chương giới hạn, chương 2 đã trình bày các biện pháp gợi vấn đề trong dạy học chủ đề giới hạn. Mỗi biên pháp đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể. Xây dựng, củng cố kiến thức về giới hạn cho học sinh thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ. Trong mục này, đưa ra qui trình xây dựng, củng cố kiến thức cho học sinh thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ và vận dụng qui trình đó để Xây dựng, củng cố một vài đơn vị kiến thức về giới hạn theo từng bước qua các ví dụ minh hoạ cụ thể.

Chương 3

NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN GIỚI HẠN Trong quá trình giải toán học sinh không tránh khỏi những thiếu sót và sai lầm, chính vì vậy người giáo viên cần phải phát hiện kịp thời những sai lầm của học sinh, đồng thời áp dụng các biện pháp để sửa chữa những sai lầm đó. Công việc này chỉ dừng lại khi năng lực giải toán của học sinh đã đủ sức để đánh giá 30

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

chính xác lời giải của mình, tuy nhiên điều đó cũng rất khó khăn. Sau đây là một số những sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về giới hạn.

3.1 NHŨNG SAI LẦM VỂ KIẾN THỨC 3.1.1. Những sai lầm về khái niệm, định lý Nguyên nhân:

các phép toán trên các giới hạn của hàm số.

Do không nắm được dấu hiệu bản chất của khái niệm giới hạn của dãy số (hàm số ) nên khi gặp kí hiệu lim un = ∞ lim f ( x ) = ∞ thì có học sinh cho rằng dãy n →∞

(

)

x→a

số un (hàm số f(x)) là có giới hạn và coi ∞ là một số nên đã áp dụng định lý về các phép tính giới hạn một cách máy móc. Để giúp học sinh tránh được sai lầm này, khi dạy giới hạn của dãy số ( hàm số) giáo viên phải nhấn mạnh rằng dãy số ( hàm số) có giới hạn thì giới hạn đó là một số thực, còn ∞ không phải là số thực. Nếu lim un = ∞ lim f ( x ) = ∞ thì dãy số un (hàm số f(x)) không có giới hạn.

(

n →∞

Có học sinh hiểu sai, nhớ nhầm định lí, tính chất và công thức nên đã áp dụng vào giải bài tập một cách máy móc: Ví dụ: Tìm giới hạn sau: lim

x →+∞

(

x2 − 2 x + 2 + x

)

Một học sinh đã giải như sau: lim

x →+∞

(

2

x − 2x + 2 + x

)

(x = lim x →+∞

2

− 2x + 2) − x2

x2 − 2 x + 2 − x

= lim

x →+∞

2 x = lim =∞ x 2 − 2 x + 2 − x x →+∞ 1 − 2 + 2 − 1 x x2 −2 x + 2

−2 +

)

x→a

Có học sinh cho rằng hàm số f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( x0 ) x→x 0

1 2 n Khi tính lim  2 + 2 + ... + 2  , có học sinh đã làm như sau: n →∞ n n n   2 n  1 2 n  1 lim  2 + 2 + ... + 2  = lim 2 + lim 2 + ... + lim 2 = 0 + 0 + ... + 0 = 0 n →∞ n n →∞ n n n  n →∞ n n →∞ n 

Học sinh này đã áp dụng định lý về các phép toán trên các giới hạn của hàm số cho một tổng mà các số hạng của nó tăng lên vô hạn. Sai lầm này xuất phát từ việc nắm không vững định lý nói trên: định lý chỉ áp dụng được cho tổng hữu hạn số hạng.

Lời giải đúng cho bài toán trên là: 2 n  1 + 2 + .... + n  1 lim  2 + 2 + ... + 2  = lim = lim n →∞ n n →∞ n n  n→∞ n2 

n ( n + 1) n +1 1 2 = lim = n →∞ 2 n n2 2

1 x

1 x

Nhưng lim  + x→0

(

)

x − 2 x + 2 + x = +∞

3.1.2 Các sai lầm về suy luận Nguyên nhân sai lầm : Do học sinh suy luận không logic; khả năng diễn đạt, tímh toán và biến đổi kém nên dẫn đến sai lầm trong khi giải toán. x+3 ⇔ a là x 2 − 3x + 2

x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ a = 2, a = 1

Tuy đáp số là đúng nhưng học sinh đã mắc sai lầm trong lập luận. Hàm số f(x) không xác định tại a là điều kiện đủ để f (x) gián đoạn tại a chứ không phải là điều kiện cần và đủ để f(x) gián đoạn tại a.

x →a

Thực tế không hoàn toàn như vậy. Chẳng hạn lim = ∞,lim x→0 x→0

Vậy xlim →+∞

)

điểm không xác định của f ( x ) ⇔ a là nghiệm của phương trình

lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) = ∞ + ∞ = ∞ x →a

(

2

Có học sinh cho rằng a là điểm gián đoạn của hàm số f ( x ) =

Có học sinh cho rằng nếu lim f ( x ) = ∞ và lim g ( x ) = ∞ thì x→a x→a x →a

Học sinh này đã sai lắm khi không kiểm tra xem giới hạn đã cho có dạng như thế nào và không xem xét kỹ dấu của biểu thức chứa mẫu sau khi nhân liên hợp mà áp dụng luôn một cách máy móc các định lí về giới hạn, phép nhân liên hợp để giải bài toán này.

Lời giải đúng: Với ∀x ∈ R , ta luôn có: x 2 − 2 x + 2 + x〉 x nên khi x → +∞ thì x 2 − 2 x + 2 + x → +∞

2x −1 =∞ x

Có học sinh cho rằng vì dãy số un = ( −1)n không tăng, không giảm nên theo định lý Weirstrass thì dãy số đó không có giới hạn.

2x −1   = lim 2 = 2 ≠ ∞ x  x →0

Trong quá trình dạy học, giáo viên nên nhấn mạnh phạm vi áp dụng định lý về 31

Sai lầm ở đây là do không hiểu đúng định lý Weirstrass. Định lý đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần và đủ để một dãy số có giới hạn.

32

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Để tránh sai lầm này, giáo viên phải nêu các ví dụ về dãy số có giới hạn nhưng không phải là dãy số đơn điệu.

chứng với nhau: có nắm vững lí thuyết mới có thể giải bài tập được tốt; giải bài tập là dịp tốt để cùng cố, bổ sung, khắc sâu lí thuyết.

3.2. NHỮNG SAI LẦM VỂ KĨ NĂNG

3.3. MỘT VÀI VÍ DỤ THƯỜNG GẶP VỂ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN GIỚI HẠN

x

1  1 Nhầm lẫn giữa lim (1 + x ) x = e và lim  1 +  = e khi x → 0, x → ∞ x →0 x →∞



Nhầm lẫn giữa u lim ( x )→0

sin u ( x ) = 1 và u ( x)

3.3.1. Giới hạn vô định dạng

x

lim

u ( x ) →∞

sin u ( x ) =1 u ( x)

Ví dụ 1: Tính giới hạn I = lim x→ 0

 1 1  lim ( x 2 + x + 1) = lim x 2 1 + + 2  = ∞ (Áp dụng máy móc) x →∞ x →∞  x x 

Sai lầm thường gặp:

1 1 Cho g ( x ) = , h ( x) = 2 tìm lim ( g ( x ) + h ( x )) x →1 x −1 x − 3x + 2

I = lim

Nguyên nhân sai lầm

x →1

Học sinh đó coi sin 2 2 x = sin 2 x

1 1 x −1 1 + = = nên x − 1 x 2 − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) x − 2

lim ( g ( x ) + h ( x ) ) = lim x →1

Lời giải đúng

1 = −1 x−2

Tuy kết quả đúng nhưng học sinh đã sai lầm khi đồng nhất

1 − cos 4 x x

1 − cos 4 x 2sin 2 2 x 2 sin 2 x sin 2 x = lim = lim = lim 2 2 = 2 2.1 = 2 2 x →0 x →0 x→0 x x x 2x

x →0

Có học sinh giải như sau: Vì g ( x ) + h ( x ) =

0 0

lim

x → 0−

x −1

( x − 1)( x − 2 )

với

1 x−2

(

= lim− − 2 2 x→ 0

Ở đây phải có điều kiện x ≠ 1

lim+

0 ∞ Coi ∞ + ∞,0 ± ∞, , là dạng vô định ∞ 0

x→ 0

Một trong những nguyên nhân của những sai lầm trên mà học sinh thường mắc phải khi học chủ đề giới hạn là học sinh học một cách thụ động. Hình thức học chủ yếu là ghi nhớ và vận dụng một cách máy móc, áp đặt, xem nhẹ việc học các định nghĩa, định lí, rèn luyện kĩ năng mà chỉ chú ý đến việc giải bài tập. Giáo viên chưa thực sự đổi mới phương pháp dạy học. Hệ thống bài tập chưa được xây dựng và lựa chọn một cách phù hợp. Bên cạnh đó, việc phát triển khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo, giải quyết vấn đề chưa được quan tâm một cách thính đáng.

Trong môn Toán, lí thuyết là nền tảng của kiến thức. Thực tiễn dạy học toán cho thấy chất lượng kiến thức của học sinh phụ thuộc vào việc nắm vững ý nghĩa của từng đơn vị kiến thức lí thuyết. Việc dạy học theo cách trình bày lí thuyết nhanh rồi cho học sinh làm các bài tập có sử dụng kiến thức tổng hợp dẫn đến việc kiến thức không sâu, học sinh gặp khó khăn khi giải toán. Do đó khi dạy chủ đề giới hạn, giáo viên phải làm cho học sinh nắm chắc kiến thức lí thuyết bằng cách hướng dẫn học sinh tự tìm ra kiến thức. Đó là một bài tập bổ ích đối với học sinh.

Học toán có hai khâu là học lí thuyết và giải bài tập. Hai khâu có mối quan hệ biện 33

) sin2 x2 x = −2

x→ 0

2.1 = − 2 2 (1) 2 sin 2 x 2 2 sin 2 x = lim+ x→ 0 x 2x

2 sin 2 2 x = lim+ x→ 0 x

1 − cos 4 x = lim+ x→ 0 x

= lim+ 2 2

2 sin 2 x − 2 2 sin 2 x = lim− x→ 0 x 2x

2 sin 2 2 x = lim− x→ 0 x

1 − cos 4 x = lim− x→ 0 x

sin 2 x = 2 2.1 = 2 2 (2) 2x

Từ (1) và (2) suy ra giới hạn không tồn tại. Chỉ tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải.

Ví dụ 2: Tính giới hạn I = lim x →0

2 − 4 − x2 x

Sai lầm thường gặp: lim

2−

x→0

= lim x →0

(2 −

4 − x2 = lim x→ 0 x x

)( 2 +

4 − x2

(

4 − x2

)

x 2+ 1

= lim

x. 2 + 4 − x 2

4 − x2

x →0

2 + 4 − x2

=

1 2+ 4

) = lim

x→ 0

=

4 − (4 − x 2 ) x. 2 +

4 − x2

1 2

Nguyên nhân sai lầm : Cách giải trên đã coi

x2 = x

34

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Lời giải đúng 2−

lim+

x→ 0

= lim+ x →0

x

2−

lim−

x→ 0

= lim− x →0

2

x. 2 + 4 − x 2

(2 −

(

x →0

)( 2 + 4 − x2

1

4 − x2

)

) = lim

x → 0+

4 − (4 − x2 ) x. 2 +

Sai lầm thường gặp:

(2 −

1

4− x

(

x 2+ −1

2

)( 2 + 4 − x2 −1

=

2 + 4 − x2

4− x

2

)

x →∞

x → 0−

=−

2+ 4

lim

) = lim

x. 2 +

3.3.2 Giới hạn vô định dạng Ví dụ 1: tính giới giạn I = lim x →∞

x2 − x + 1

x− = lim 2

x →∞

1 (2) 2

1 3  x−  + 2 4 

Phép biến đổi từ x −

lim

x →+∞

2x −1 x2 − x + 1

x− x →+∞

lim

5x 2 + 1 2x

x →−∞

1  4 x −  2 

2

2x −1 x2 − x + 1

= lim 2

1

lim 2

x →+∞

1 3  x−  + 2 4 

x− x →−∞

1 2

1 2

1+

1  4 x −  2 

x →−∞

2

−1

lim 2

2

1 3  x−  + 2 4 

= 2 (1)

3

1+

= −2 (2)

3 1  4 x −  2 

2

Từ (1) (2) suy ra giới hạn không tồn tại. Chỉ tồn tại giới hạn phải, trái.

 1 5 5=  = 2  2

tan x

Ví dụ 3: Tính giới hạn: I = limπ x→

tan 2 x + 2

2

Sai lầm thường gặp:

Lời giải đúng I = lim

 1 5x + 1  1 5x + 1 1  1 5 (1) = lim  5 + 2  = 5=  = lim  2 x →+∞  2  x →+∞  2 x x 2x 2 2   

I = lim

 1 5x 2 + 1   1 5x2 + 1 1 = lim  − 5+ 2  = lim  − 2 x →−∞ x →−∞   2x x x  2  2 

x →−∞

=2

3

2

2

∞ ∞

Phép biến đổi từ x = x 2 là không tương đương

x →+∞

1+

1   x −  là không tương đương 2 

1 thành 2

= lim 2

Nguyên nhân sai lầm:

2

x →∞

Lời giải đúng:

f ( x) ≥ 0 f ( x) < 0

 1 5x2 + 1  1 5x 2 + 1 1 = lim  5+ 2  = lim  2 x →∞ 2  x →∞  2 2x x x  

1

lim 2

2

x →∞

Sai lầm thường gặp: I = lim

1 2

Nguyên nhân sai lầm:

4 − x2

Nhận xét: Khi giải toán cần chú ý đến phép căn bậc hai  f ( x ) khi f ( x) = f ( x) =  − f ( x ) khi

2x −1

4 − (4 − x2 )

Từ (1) và (2) suy ra giới hạn không tồn tại. Chỉ tồn tại giới hạn trái, phải

2

x2 − x + 1

4 − x2

1 = = (1) 2 2+ 4 2 2+ 4− x

x→ 0

= lim−

4 − x2 x 2+

= lim+

4 − x2 = lim− x→ 0 x x

2x −1

Ví dụ 2: Tính giới hạn I = lim x →∞

4 − x2 = lim+ x→ 0 x

x. 2 + 4 − x

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

lim−

2

x→

π

2

lim π+

 1 5 5=− (2)  = − 2 2 

x→

2

tan x tan 2 x + 2

tan x tan 2 x + 2

= lim x→

π− 2

= lim π+ x→

2

1 2 1+ tan 2 x 1 2 1+ tan 2 x

=

1 = 1 (1) 1+ 0

=

−1 = −1 (2) 1+ 0

Từ (1) (2) suy ra giới hạn không tồn tại. Chỉ tồn tại giới hạn trái, phải.

35

36

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Từ (1) (2) suy ra giới hạn không tồn tại. Chỉ tồn tại giới hạn phải, trái.

0 ≤ x sin

3.3.3. Giới hạn vô định dạng ∞ − ∞ Ví dụ: Tính giới hạn I = lim x →∞ Sai lầm thường gặp: I = lim x →∞

(

(

2

x +1 − x

x 2 + 1 − x = lim

x2 + 1 + x

x →∞

= lim x →∞

1 x2 + 1 + x

=0

)

x 2 + 1 − x = lim

( x 2 + 1 − x)( x 2 + 1 + x) x2 + 1 + x

x →+∞

Khi x → −∞ thì − x → +∞ nên I = lim x →−∞

(

= lim

x →+∞

1 x2 + 1 + x

= 0 (1)

Cách giải trên đã sai lầm khi cho rằng 1∞ = 1

)

- Lời giải đúng:

Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại giới hạn mà chỉ tồn tại các giới hạn trái, phải.





3 x−2 3 x −2 6   2x + 3   I = lim  = lim 1 + x→∞  2 x − 3  x→∞  2 x − 3  1 9 2 x −3+ 1 9 2 x−3   6 2   6  2    1  1  1  .1 + = lim 1 + = lim 1 +   x→∞ x→∞ 2 x 3 2 x 3 2 x − − − 3       6  6  6     9 2 x −3  1   6   2     1  1  = lim 1 + 1+  xlim →∞  2x − 3  2x − 3  2 x−3→∞       6 6  6       1 = e9 .12 = e9

1

Ví dụ: Tính giới han: I = lim  x.sin  x→0 x 

- Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: 1 1  I = lim  x.sin  = lim x.sin = lim x.sin ∞ = lim x = 0 x→0  x→0 x  x→0 x x→0

Sai lầm 2: 1 sin 1  x =1 I = lim  x.sin  = lim x→0  x  x→0 1 x

- Nguyên nhân sai lầm: sin ∞ = 1 x → 0 thì

x

1

Sử dụng giới hạn cơ bản: lim 1 +  = e , ta có: x →∞ x

3.3.4. Giới hạn vô định dạng 0.∞ 

3 x−2

- Nguyên nhân sai lầm:

x + 1 − x = +∞ (2) 2

2x + 3

  Ví dụ 1: Tìm giới hạn: I = xlim →∞  2 x − 3 

3 x−2 3 x −2 6   2x + 3   = lim 1 + = lim 13x−2 = 1∞ = 1 I = lim    x→∞  2 x − 3  x→∞  2 x − 3  x→∞

Lời giải đúng:

(

x→0

- Sai lầm thường gặp:

Cách giải trên không xét các giới hạn riêng: x → +∞; x → −∞

x →+∞

lim x = 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp thì

3.3.5. Giới hạn vô định dạng 1∞ ( x 2 + 1 − x )( x 2 + 1 + x)

Nguyên nhân sai lầm

I = lim

1 1 = x sin ≤ x , với x ≠ 0 mà x x

1  I = lim  x.sin  = 0 x→0  x

)

)

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

1 sin f ( x) → 0 nên đã áp dụng công thức lim = 1 một cách máy móc. x→0 f ( x) x

1

Ví dụ 2: Tìm giới hạn I = lim 1 + tan 2 x x sin x x→0 (

)

- Sai lầm thường gặp:

- Lời giải đúng: Vì hàm sin là hàm bị chặn nên ta có:

37

38

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

1 1 I = lim 1 + tan 2 x x sin x = lim 1 xsin x = 1∞ = 1 x→0 x→0

1 với ∀k = 1, n nên: n 1 n ≤ + + ... + ≤ =1 2 2 2 2 n +n n +1 n +2 n +n n n 1 Mà ta lại có lim = lim = 1 nên n →∞ n 2 + n n →∞ 1 + 1 n

Do

)

(

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

- Nguyên nhân sai lầm: 1

Cách gải trên đã sai lầm khi tính lim 1xsin x = 1∞ = 1 x→0

- Lời giải đúng:

1

n2 + n 1

≤

1

n2 + k 1

≤

1

n2 + 0 1

=

 1 1 1  I = lim  + + ... +  =1 2 n →∞ n2 + 2 n2 + n   n +1

lim sinx . 1  cot 2 x  x→0 x cos2 x 1 1 1 1    cos2 0 = e I = lim 1 + tan 2 x x sin x = lim 1 + = e   x →0 x→0  cot 2 x   

Nhận xét:

Nhận xét:

+ Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0.

)

(

+ xlim 1∞ chưa chắc đã bằng 1. →x

+ Thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn bằng 0.

0

+ Khi tính giới hạn dạng xlim 1∞ thường sử dụng công thức giới hạn → x0  1  lim  1 +  u ( x ) →∞ u ( x)  

3.3.7. Sai lầm khi xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm

u( x)

= e để tính toán.

Ví dụ 1:Xét tính liên tục của hàm số:

3.3.6 Giới hạn của tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0.

0, x < 0  trên ℝ Sai lầm thường gặp: f ( x) =  x 2 , 0 ≤ x < 1 − x 2 − 2 x + 1, x ≥ 1 

Ví dụ 1: Tính giới hạn:  1 1 1  I = lim  + + ... +  2 2 2 n →∞ n + 1 n + 2 n +n  

Ta thấy rằng:

- Sai lầm thường gặp:

Với ∀x ∈ ( −∞;0 ) thì f ( x) = 0

Do lim n →∞

1 n2 + 1

= lim

n →∞



Nên ta có I = lim  n →∞

1 n2 + 2

1 2

 n +1

+

= ... = lim

n →∞

1 2

n +2

1 n2 + n

+ ... +

Với ∀x ∈ [ 0;1) thì f ( x) = x 2

=0

Với ∀x ∈ [1; +∞ ) thì f ( x) = − x 2 − 2 x + 1

  = 0 + 0 + ... + 0 + 0 = 0 n +n 

Tức là trên từng khoảnh, nửa khoảng đã chỉ ra ở trên, f ( x) đều là những đa thức hữu tỷ nên nó liên tục trên các khoảng và nửa khoảng đó.

1

2

Ta lại có: ( −∞;0 ) ∪ [ 0;1) ∪ [1; +∞ )

- Nguyên nhân sai lầm: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0, tức là các phép toán có giới hạn tổng, hiệu chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng.

- Lời giải đúng: 39

Kết luận: vậy f ( x) liên tục ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã coi hàm số gồm nhiều biểu thức ( hàm đặc biệt) như hàm số chỉ có một biểu thức ( hàm thông thường). Từ đó đã vận dụng định lí: “ các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập 40

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

xác định của nó”. Chính vì vậy đã không xét tính liên tục tại các điểm phân tách x = 0 và x = 1, do đó dẫn đến kết luận sai lầm.

mỗi biện pháp tác giả đã sử dụng các ví dụ cụ thể được chọn lọc để minh họa giúp người đọc hiểu rõ và dễ dàng vận dụng, cung cấp cho học sinh những phương pháp học dễ nhớ để có thể áp dụng với những bài tập liên quan.

Lời giải đúng:

- Bên cạnh đó tôi còn hi vọng sáng kiến này có thể hữu ích đối với bạn bè đồng nghiệp muốn giao lưu học hỏi, trau dồi kinh nghiệm.

+ Xét tính liên tục của f ( x) tại x = 0 lim f ( x) = lim− 0 = 0

x → 0−

8. Những thông tin cần được bảo mật: không

x →0

lim+ f ( x) = lim+ x 2 = 0

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

lim f ( x ) = lim+ f ( x) = 0

Để áp dụng những phương pháp đổi mới này một cách hiệu quả, đòi hỏi một số điều kiện cần thiết sau:

x →0

x →0−

x →0

x →0

Suy ra f ( x) liên tục tại x = 0

- Phòng học bộ môn đảm bảo cơ sở vật chất về Máy chiếu, máy tính xách tay,…

+ Xét tính liên tục của f ( x) tại x = 1

- Giáo viên: Ngoài kiến thức chuyên môn, kỹ năng tay nghề thì giáo viên phải có trình độ xác định các mục tiêu bài dạy, phân bố thời gian hợp lý, chọn lựa phương pháp dạy học phù hợp, khả năng bao quát và điều hành hoạt động của người học.

Giáo viên cần tìm tòi sáng tạo và áp dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích

lim− f ( x) = lim− x 2 = 1 x →1

x →1

lim+ f ( x) = lim+ ( − x 2 − 2 x + 1) = −2 x →1

x →1

Suy ra f ( x) gián đoạn tại x = 1

cực hóa hoạt động của học sinh - Học sinh: Học sinh phải chủ động, tích cực, độc lập, có tinh thần hợp tác nhóm.

- Thời gian: 8 tháng

Vậy hàm số f ( x) liên tục ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) \ {1}

- Đối tượng: học sinh lớp 11A1, 11A4

Chú ý: Khi xét tính liên tục trên một khoảng của hàm số cho bởi nhiều biểu thức cần chú ý xét tính liên tục tại các điểm phân tách.

10. Đánh giá lợi ích thu được

lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) x →1

x →1

Nhận xét:

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Sai lầm khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm của hàm số thường do chưa nắm vững các quy tắc giới hạn hàm số.

Với nội dung nghiên cứu và đưa vào áp dụng cụ thể sáng kiến kinh nghiệm trên, bản thân nhận thấy những lợi ích do áp dụng sáng kiến như sau:

* Kết luận:

a. Về phía học sinh :

Tác giả đã đưa ra những sai lầm học sinh thường gặp về kiến thức, về kĩ năng giải toán giới hạn. Đặc biệt, tác giả đưa ra các bài tập, mà mỗi dạng toán đều có sai lầm của học sinh, phân tích nguyên nhân sai lầm và đưa ra lời giải đúng. Viếc phát hiện, phân tích, và sửa chữa sai lầm thực sự cần thiết để góp phần nâng cao cao kĩ năng giải toán của học sinh trong trường THPT.

- Học sinh dành thời gian cho việc học tập hơn, chủ động hơn với bài học tránh tình trạng lĩnh hội kiến thức một cách thụ động.

7.2. Khả năng áp dụng của sáng kiến - Sáng kiến này đưa ra và vận dụng một số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Các biện pháp này sẽ góp phần trợ giúp giáo viên trong quá trình giảng dạy theo phương pháp mới. Với 41

- Tạo cho học sinh tính nhạy bén, năng động, sáng tạo và hứng thú với giờ học môn toán.

- Tăng khả năng làm việc theo nhóm, biết nêu ý kiến cá nhân. b.Về phía giáo viên :

42

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

- Thúc đẩy giáo viên đầu tư nhiều hơn trong công tác chuẩn bị, thiết kế giáo án cho phù hợp với tinh thần đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh, lấy học sinh làm trung tâm.

học sinh ở trường THPT. Rất mong nhận được ý kiến nhận xét, đánh giá và đóng góp của Hội đồng Sáng kiến nhà trường, Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc cũng như các đồng nghiệp để đề tài từng bước hoàn chỉnh và áp dụng có hiệu quả hơn nữa. Tôi xin chân thành cảm ơn !

- Làm tốt công tác đầu tư cho tiết dạy sẽ giúp giáo viên chủ động, linh hoạt trong khâu tổ chức, hướng dẫn học sinh tự khai thác và chiếm lĩnh kiến thức bằng những phương pháp dạy học tích cực. Tránh được tình trạng lúng túng khi áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào tiết dạy.

Kết quả cụ thể

Lập Thạch, ngày..... tháng 02 năm 2020 Lập Thạch, ngày 06 tháng 02 năm 2020

Thủ trưởng đơn vị (ký tên, đóng dấu)

Các lớp không áp dụng sáng kiến có tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên thấp hơn với lớp được áp dụng.

Chủ tịch hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở

Tác giả sáng kiến

(ký tên, đóng dấu)

Phan Thị Dung

+ Lớp không áp dụng Kết quả khảo sát ban đầu: Lớp 11A4: 52,3%

Kết quả khảo sát sau khi thực nghiệm: Lớp 11A4: 65,3% - Tăng 13 %

+ Lớp áp dụng Kết quả khảo sát ban đầu:

Kết quả khảo sát sau khi thực nghiệm:

Lớp 11A1: 59,6%

Lớp 11A1: 81,1% - Tăng 21,5 %

10.2. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng với chủ đề giới hạn môn toán khối 11, giúp học sinh hứng thú hơn với bài học và kết quả học tập cao hơn rõ rệt.

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử Số TT Tên tổ chức/cá nhân 1

Lớp 11A1

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Học sinh trường THPT Triệu Thái

- Phạm vi: Môn toán lớp 11- chủ đề giới hạn

Trên đây là kết quả nghiên cứu và thực nghiệm bước đầu của đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ”góp phần nâng cao chất lượng giờ học chủ đề giới hạn môn toán lớp 11theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của 43

44

Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Quang Ánh, Lê Quý Mậu. Phương pháp giải toán Đại số và giải tích 11. NXB ĐHQG Hà Nội 2. Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Hoàng Khanh. Tuyển tập 400 bài tập toán 11, đại số và giải tích. NXB ĐHQG Thành phố HCM. 3. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn toán. NXB ĐHSP Hà Nội 4. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 11. NXB Hà Nội .

5. Đặng Văn Hương. Một số phương pháp dạy học môn Toán theo hướng phát huy tích cực học tập của học sinh THCS. ĐHSP .

6. Lê Bích Ngọc. Học và ôn tập Toán Đại số và giải tích 11. NXB ĐHQG Hà Nội 7. Kharlamov I.F. Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế nào, tập II, NXBGD, Hà Nội .

8. Lemer I.IA. Dạy học nêu vấn đề (Phạm Tất Đắc dịch) NXBGD, Hà Nội 9. Ôkôn V. Những cơ sở của dạy học nêu vấn đề, NXBGD, Hà Nội 10. Trần Phương, Nguyễn Đức trí. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Hà Nội.

11. Áp dụng dạy và học tích cực trong môn toán học. Tài liệu tham khảo dùng cho giảng viên sư phạm, giáo viên THPT, giáo viên THCS môn Toán.

12. Đảng Cộng sản Việt Nam. Văn kiện hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa VIII. NXB Chính trị Quốc gia Hà Nội.

13. Đại số và giải tích 11 nâng cao NXBGD 14. Đại số và giải tích 11 cơ bản, NXBGD 15. Bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXBGD 16. Bài tập Đại số và giải tích 11 cơ bản, NXBGD 17. Đại số và giải tích 11 nâng cao sách giáo viên, NXBGD 18. Đại số và giải tích 11 cơ bản sách giáo viên, NXBGD 19. Luật giáo dục. NXB Chính trị quốc gia Hà Nội.

45