SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HÌNH HỌC LỚP 10
vectorstock.com/10212103
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ . Chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Toán học là môn học rèn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt là môn hình học đòi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết các giải thiết và phát hiện các tính chất đặc biệt mà đề bài còn ẩn từ đó đưa ra hướng giải quyết bài toán. Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là tính công trong vật lý. Ngoài ra vectơ còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khó như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức. Một trong những ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nói đến hình học đa số học sinh đều sợ vì hình học đòi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen. Có những bài hình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có thể phát triển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 . Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tôi chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi gặp các bài toán hình học. Sáng kiến kinh nghiệm tôi viết do nhiều yếu tố khách quan nên vẫn còn nhiều tồn tại. Rất mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp và học sinh để sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn. 2. Tên sáng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ. 3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: 4. Chủ đầu tư ra sáng kiến 1
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng trong lĩnh vực hình học phẳng. - Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải quyết được các bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học phẳng, - Các bài toán trong vật lý 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử - Ngày 15 tháng 11 năm 2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến - Nội dung của sáng kiến được chia làm 3 phần Phần 1: Những bài tập về phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương. Phần 2: Những bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng được chia theo 4 mức độ nhận thức và phát triển một số bài tự luận sang trắc nghiệm. Phần 3: Một số bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi. - Về khả năng áp dụng của sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” có khẳ năng áp dụng cho học sinh khá, giỏi.
2
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM
Ơ” THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ thì điều qua trọng các em
vectơ qua 2 vectơ không cùng phương. Vì vậy phần đầu học sinh phải biết phân tích 1 vect ph tiên tôi đưa ra bài tập về phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
vectơ qua 2 vectơ không cùng phương ph Phần 1: Phân tích 1 vect phương a và b . Khi đó mọi vectơ vect x đều có thể Cơ sở lí luận: Cho 2 vectơ không cùng ph
phân tích duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho x = ma + nb .
Bài 1. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u = AE; v = AF . Hãy phân tích vectơ u,v . các vectơ AI , AG,DE ,DC theo hai vect Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Ta có AI = AD = ( AE + AF ) = u + v ) 2
2
2
2
2 2 2 AD = u + v 3 3 3 DE = FA = − AF = 0.u + ( −1 )v
AG =
DC = FE = AE − AF = u − v
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích Bài 2. Cho tam giác ABC. Đ vectơ AM theo hai vectơ u = AB, v = AC . Hướng dẫn giải
3
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
2 Ta có AM = AB + BM = AB + BC 3
mà BC = AC − AB 2 1 2 ⇒ AM = AB + ( AC − AB ) = u + v 3
3
3
Bài 3. Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn 1 AM = AB, CN = 2 BC . Hãy phân tích CM , AN , MN qua các véc tơ a và b . 3
Hướng dẫn giải
1 3
Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và
A M
1 AM = AB ; CN = 2 BC , suy ra N thuộc tia BC và 3 CN = 2 BC .
B
1 3
1 3
C
N
Ta có: CM = CA + AM = −AC + AB = a − b AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC − AB) = −2a + 3b 1 7 MN = MA + AN = − a − 2a + 3b = − a + 3b . 3 3
Bài 4. Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2 AN = 5 MN . G là trọng tâm tam giác ABC . a) Phân tích các vectơ AM , BN qua các véc tơ AB và AC
b) Phân tích các vectơ GC , MN qua các véc tơ GA và GB Hướng dẫn giải
4
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
3 4
5 7
a) Theo giả thiết ta có: BM = BC và AN = AM
A
3 4
suy ra AM = AB + BM = AB + BC
N 3 1 3 = AB + AC − AB = AB + AC 4 4 4
(
)
B
M
C
5 BN = BA + AN = −AB + AM 7 5 1 3 23 15 = −AB + AB + AC = − AB + AC 7 4 4 28 28
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0 suy ra GC = −GA − GB 7 4
2 2 1 3 Ta có MN = − AM = − AB + AC
7
=−
1 3 GB − GA − GC − GA 14 14
(
)
(
)
1 3 GB − GA − −GA − GB − GA 14 14 1 1 = GA + GB 2 7 =−
4
(
)
(
)
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3 AM , CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AN , MN , AG qua các véc tơ AB và AC
Hướng dẫn giải
A
M
1 Ta có: AN = AC + CN = AC − AB 2
B G
5
D
N
C
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
1 1 MN = MA + AN = − AB + AC − AB 3 2 5 = − AB + AC 6
Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên 1 1 5 3 AG = AM + AN + AB = AB + AC − AB + AB = AB + AC 3 2 6
Suy ra AG =
5 1 AB + AC 18 3
Phần 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cơ sở lí luận: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng chúng ta chứng minh AB = k AC , AB = k BC , BA = kCA,... chúng ta chứng minh 2 trong 6 vectơ lập được từ 3
điểm A, B, C cùng phương từ đó suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Đôi khi chúng ta không chứng minh trực tiếp được mà chúng ta phải chứng minh qua các vectơ trung gian. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng chia làm 4 mức độ I. Mức độ nhận biết Bài tập ở phần này được chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng
Bài 1. Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC . 1 3
a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM = AB, CN = 2 BC
b) Hãy phân tích CM , AN , MN qua các véc tơ a và b .
c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I , A , N thẳng hàng. Hướng dẫn giải
6
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
1 3
a) Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và AM =
1 AB ; CN = 2 BC , suy ra N thuộc tia BC và 3
CN = 2 BC .
1 1 3 3 AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC − AB) = −2a + 3b
b) Ta có: CM = CA + AM = −AC + AB = a − b
1 7 MN = MA + AN = − a − 2a + 3b = − a + 3b . 3 3
1 3
1 3
1 3
1 3
c) Ta có: AI = AM + MI = AB + CM = a + a − b = − (−2a + 3b) 1 ⇒ AI = − AN ⇒ A, I, N thẳng hàng. 3
Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C thỏa mãn OA + 2OB − 3OC = 0 . Chứng minh 3 điểm A, B, C
thẳng hàng. Hướng dẫn giải Ta có OA + 2OB − 3OC = 0 ⇔ OA − OC + 2OB − 2OC = 0 ⇔ CA + 2CB = 0 ⇔ CA = −2CB
Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B, và E là điểm trên đoạn AC sao cho AE =
2 AC . 5
a) Hãy phân tích các vectơ DE , DG theo AB, AC
7
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
b) Chứng minh 3 điểm D, E, G thẳng hàng Hướng dẫn giải a) ta có 2 DE = AE − AD = AC − 2 AB 5 1 DG = AG − AD = AB + AC − 2 AB 3 5 1 = − AB + AC 3 3
(
)
b) Theo phần a ta có 2 2 DE = AC − 2 AB = AC − 5 AB 5 5 6 5 1 1 DG = − AB + AC = AC − 5 AB ⇒ DE = DG 3 3 3 5
(
)
(
)
⇒ DE , DG cùng phương ⇒ 3 điểm D, E, G thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Gọi D, E là hai điểm sao cho BD = DE = EC
a) Chứng minh rằng AB + AC = AD + AE
b) tính vectơ AS = AB + AC + AD + AE theo AI , chứng minh 3 điểm A, I, S thẳng hàng
Hướng dẫn giải
8
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
a) ta có AB + AC = 2 AI AD + AE = 2 AI ⇒ AB + AC = AD + AE
b) AS = AB + AC + AD + AE = 4 AI
Vì AS = 4 AI nên hai vectơ AS , AI cùng phương nên 3 điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: MB = 2MC , NA = 2CN ,
PA + PB = 0
a) Hãy phân tích PM , PN theo hai vectơ AB, AC
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải a) Ta có PM = PB + BM 1 2 = AB + AC 2 3 1 2 2 = AB − AB + AC 2 3 3 1 2 = − AB + AC (1) 6 3 PN = PA + AN 1 = − AB + 2 AC ( 2 ) 2
1 3
b) Từ (1) và (2) ta có PM = PN ⇒ PM , PN cùng phương ⇒ M, N, P thẳng hàng
II. Mức độ thông hiểu 9
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Ở mức độ thông hiểu những bài chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ phức tạp hơn, sẽ không có những phần gợi ý học sinh sẽ phải phân tích đề bài rồi đưa ra hướng giải quyết bài toán. Bài 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm 1 3
thuộc AC sao AK = AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Hướng dẫn giải
Để chứng minh 3 điểm B, K, I thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ BI , BK cùng phương.
Chúng ta sẽ phân tích hai vectơ BI , BK theo hai vectơ BA và BC Ta có 1 2BI = BA + BM = BA +
2
BC
4BI = 2BA + BC ( 1 )
1
BK = BA + AK = BA +
3
AC
1 2 1 = BA + ( BC − BA ) = BA + BC 3 3 3 3BK = 2BA + BC (2) 4 Từ (1)&(2)⇒ 3BK = 4BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng. 3
Bài 2. Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC. Điểm F thuộc cạnh AC sao cho AF=2FC, điểm I thuộc EF sao cho 4EI=3FI. Chứng minh 3 điểm A, M, I thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
10
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Vì M là trung điểm của BC ta có 1 AM = AB + AC 2
(
) (1)
Theo bài ra 4EI=3FI 3 ⇒ IE = − IF 4 3 ⇔ IA + AE = − IA + AF 4 7 3 ⇔ IA = − AE − AF 4 4 4 3 ⇔ AI = AE + AF 7 7 4 1 3 2 ⇔ AI = . AB + . AC 7 2 7 3 2 2 ⇔ AI = AB + AC ( 2 ) 7 7
(
)
Từ (1) và (2) ta có AI =
4 AM vậy 3 diểm A, I, M thẳng hàng. 7
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng. Hướng dẫn giải Theo bài ra ta có BM = 2 MI ⇔ AM − AB = 2 AI − AM ⇔ 3 AM = 2 AI + AB (1)
(
)
Vì I là trung điểm của CD nên 2 AI = AC + AD thế vào (1) ta được 3 AM = AC + AD + AB = 2 AC
Vậy 3 điểm A, M, C thẳng hàng
11
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF. Hướng dẫn giải Ta có: EF = EA + AF 3 ⇔ EF = EA + AC 2 3 , ⇔ EF = AD + AD + AB 2 5 3 ⇔ EF = AD + AB ( 1 ) 2 2 EK = EA + AK ⇔ EK = AD + AB + BK 1 ⇔ EK = AB + AD + BA + BC 4 5 3 ⇔ EK = AD + AB ( 2 ) 4 4
(
)
(
)
Từ (1) và (2) ta có EF = 2EK . Vậy 3 điểm K, E, F thẳng hàng. Và K là trung điểm EF.
Bài 5. Cho 3 điểm A, B, C và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi OA + kOB và chỉ khi OC = ( k ≠ 1) 1+ k
Hướng dẫn giải Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = kCB ⇔ OC − OA = k OB − OC
(
)
12
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
⇔ (1 + k ) OC = OA + kOB OA + kOB ⇔ OC = ( k ≠ 1) 1+ k
III. Mức độ vận dụng thấp Bài tập phần này độ khó tăng nên rõ ràng, bài tập phần này thường chưa tham số, và yêu cầu bài toán thường là tìm điều kiện của tham số để 3 điểm nào đó thẳng hàng 2 3
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn BD = BC ,
1 AE = AC . Tìm vị trí điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. 4
Hướng dẫn giải
Giả sử AK = mAD Ta có
1 BE = BA + AE = − AB + AC 4
(1)
BK = BA + AK = − AB + m AD 2m BC = − AB + m AB + BD = ( m − 1) AB + 3
(
)
2m = ( m − 1) AB + − AB + AC 3
(
)
m 2m = − 1 AB + AC ( 2 ) 3 3
2m 1 1 m Để 3 điểm B, E, K thẳng hàng thì từ (1) và (2) ta có − 1 = : ⇔m= . 3
3
4
3
Bài 2. Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB , I là điểm thuộc đoạn AM sao cho AI = 3IM . Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba điểm
B, I , K thẳng hàng. 13
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Hướng dẫn giải
Đặt: AB = a ; AC = b và AK = t. AC
Khi đó: BK = − a + t.b Ta có:
3 3 1 AI = AM = AB + BM ; BM = BC 4 4 4 9 3 1 = AC − AB ⇒ AI = a + b 4 16 16
(
(
)
)
Mà BI = AI − AB =
9 3 7 3 a+ b−a=− a+ b 16 16 16 16
Để ba điểm B, I , K thẳng hàng thì
7 3 ∃ m : BK = mBI ⇔ − a + t.b = m − a + b 16 16
7m 16 − = − = 1 m 16 7 ⇔ ⇔ t = 3m t = 3 7 16
3 7
3 7
Suy ra AK = . AC ⇒ AK = . AC
3 7
Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK = . AC 3 4
Bài 3. Cho ∆ABC , gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = BC , I là trung điểm đoạn AM, N là điểm thỏa mãn NA = k NB. Tìm k để 3 điểm C, I, N thẳng hàng.
14
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Hướng dẫn giải
Ta có 1 CI = CA + AI = − AC + AM 2 1 1 3 = − AC + AB + BM = − AC + AB + BC 2 2 8 1 3 = − AC + AB + − AB + AC 2 8 1 5 = AB − AC (1) 8 8
(
)
(
)
(
)
Mà NA = k NB ⇔ NA = k NA + AB ⇔ NA =
k AB 1− k
k CN = CA + AN = − AC − AN = − AB − AC 1− k
Vậy để 3 điểm C, I, N thẳng hàng thì theo (1) và (2) ta có 1 k 1 8 : = ⇔k =− 1− k 8 5 4
Vậy với k = −
1 thì 3 điểm C, N, I thẳng hàng 4
Bài 4. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA = −2MC , N là điểm
thuộc BM sao cho NB = −3NM , P là điểm thuộc BC sao co PB = k PC . Tìm k để 3 điểm A, N, P thẳng hàng
Hướng dẫn giải
15
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Ta có PB = k PC ⇔ PB = k PB + BC ⇔ (1 − k ) PB = k BC k BC ( k ≠ 1) ⇔ BP = k −1
(
)
Mà AP = AB + BP k ⇔ AP = AB + BC k −1 k AC − AB ⇔ AP = AB + k −1 −1 k AB + AC (1) ⇔ AP = k −1 k −1
(
)
Mặt khác ta có AN = AB + BN 3 ⇔ AN = AB + BM 4 3 ⇔ AN = AB + AM − AB 4 1 3 2 ⇔ AN = AB + . AC 4 4 3 1 1 ⇔ AN = AB + AC ( 2 ) 4 2
(
)
Để 3 điểm A, N, P thẳng hàng từ (1) và (2) ta có 1 −1 1 k k −1 k −1 : = : ⇔ = ⇔ k = −2 do ( k ≠ 1) 4 k −1 2 k −1 2k −4
Vậy với k=-2 thì 3 điểm A, N, P thẳng hàng.
IV. Mức độ vận dụng cao 16
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Bài tập phần này đỏi hỏi học sinh phải tổng hợp được nhiều kiến thức thì mới giải quyết được bài toán. Những biến đổi hay phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương cũng gặp nhiều khó khăn vì chúng ta chưa biết tỉ lệ các đoạn thẳng vì vậy việc tính tỉ lệ đoạn thẳng cũng là ứng dụng quan trọng của vectơ Bài 1. Cho hai tam giác ABC và A1B1C 1 ; A2 .B2 ,C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC 1 . Gọi G ,G1,G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , A1B1C 1 , A2B2C 2 . Chứng minh rằng G ,G1,G 2 thẳng hàng và tính
GG1 . GG2
Hướng dẫn giải
Vì G , G1 là trọng tâm tam giác ABC , A1B1C 1 suy ra 3GG1 = GA1 + GB1 + GC 1 ⇔ 3GG1 = GA + GB + GC + AA1 + BB1 + CC 1 ⇔ 3GG1 = AA1 + BB1 + CC 1
Tương tự G , G2 là trọng tâm tam giác ABC , A2B2C 2 suy ra 3GG1 = GA1 + GB1 + GC 1 ⇔ 3GG2 = AA2 + BB2 + CC 2
Mặt khác AA2 + BB2 + CC 2 = AA1 + BB1 + CC 1 + A1A2 + B1B2 + C 1C 2 Mà A2 .B2 ,C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC 1
Suy ra 3 ( A1A2 + B1B2 + C 1C 2 ) = 3 ( A1B + AC + B1C + B1A + C 1A + C 1B ) 1
= 3 ( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA + C 1C + CA + C 1C + CB ) = 6 ( AA1 + BB1 + CC 1 )
Do đó AA2 + BB2 + CC 2 = 3 ( AA1 + BB1 + CC 1 )
⇒ GG2 = AA1 + BB1 + CC 1 17
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Vậy GG2 = 3GG1
Bài 2. Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB
sao cho MB = αMC , NC = β NA, PA = γ PB . Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng. Hướng dẫn giải
Ta có: MB =
α 1 BC ; BP = AB 1−α γ −1
BC = (1 − α)MC ;CN =
Ta có: MN = −
β AC ; 1−β
1 1 β AB + ( + )AC Và 1−α 1−α 1− β
α 1 α MP = (− AC − )AB + 1−α 1− γ 1−α
Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có −
α 1 α − 1−α 1− γ 1−α = ⇔ αβγ = 1 . β 1 1 − + 1−α 1−α 1−β
Bài 3. Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao 1 3
3 4 BC lấy E . Đặt BE = xBC .
cho AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng
Tìm x để A, O, E thẳng hàng. Hướng dẫn giải
18
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Để tìm được x sao cho 3 điểm A, O, E thẳng hàng thì chúng ta cần tính tính tỉ số và
ON OB
OM OC
A
Giả sử ON = nBN ; OM = mCM
M N
Ta có AO = AM + MO = AM − mCM B 1 = AM − m(AM − AC ) = (1 − m )AB + mAC ; 3
Và AO = AN + NO = AN − nBN 3 = AN − n(AN − AB ) = (1 − n )AC + nAB 4
Vì AO chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua AB và AC suy ra 1 (1 − m ) = n m = 2 3 3. ⇔ 3 1 (1 − n ) = m n = 4 9
Vậy
ON 1 OM 2 = và = . OB 9 OC 3
Sau khi tính được tỉ số ta phân tích
1 9
1 4
Ta có: AO = AB + AC AE = (1 − x )AB + xAC
A, E, O thẳng hàng ⇔ AE = kAO
19
O
C
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
k k 36 9 ⇔ (1 − x )AB + xAC = AB + AC ⇔ k = ; x = 9 4 13 13
Vậy x =
9 thì 3 điểm A, O, E thẳng hàng. 13
Bài 4. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho AM 2 BN 1 = ; = . Gọi I là giao điểm của AN và CM, E là điểm thuộc AC sao cho MB 5 NC 3 AE = k AC . Tìm k để 3 điểm B, I, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải Đặt AI = xAN ; CI = yCM
Ta có: x AI = x (AB + BN ) = xAB + BC 4
x 3x x 21x x AB + AC = AM + AC = xAB + (AC − AB ) = 4 4 4 8 4
Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có:
Tương tự:
21 x 8 AI 8 . x + =1⇒x = ⇒ = 8 4 23 AN 23
IC 21 IC 21 = ⇒ = IM 2 CM 23
Ta có AE = k AC ⇔ AB + BE = k AB + BC ⇔ BE = (1 − k ) BA + k BC (1)
(
)
Mà
20
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
BI = BC + CI 21 ⇔ BI = BC + CM 23 21 BM − BC ⇔ BI = BC + 23 2 21 5 BC + . BA ⇔ BI = 23 23 7 15 2 ⇔ BI = BA + BC ( 2 ) 23 23
(
)
Từ (1) và (2) để 3 điểm B, I, E, thẳng hàng thì
Vậy với k =
15 2 2 = ⇔k= 23 (1 − k ) 23k 17
2 thì 3 điểm B, I, E thẳng hàng. 17
V. Phát triển một số bài tập tự luận sang bài tập trắc nghiệm ở phần ngày tôi sẽ chuyển một số bài tập trong phần III và phần IV sang dạng bài trắc nghiệm Bài 1. ( bài 1 trong phần III )
2 3
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn BD = BC , AE =
B. m =
1 . 3
1 AC . Lấy 4
K trên AD sao cho AK = mAD . Tìm m để 3 điểm B, K, E thẳng hàng. A. m =
1 . 2
C. m = −
1 . 3
2 3
D. m = .
Bài 2. ( bài 3 trong mục III ) 3 4
Cho ∆ABC , gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = BC , I là trung điểm đoạn AM, N là điểm thỏa mãn NA = k NB. Tìm k để 3 điểm C, I, N thẳng hàng.
A. k = −
1 . 4
B. k =
1 . 4
C. k = −
21
3 . 4
D. k =
3 . 4
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Bài 3. ( bài 4 trong mục III)
Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA = −2MC , N là điểm thuộc BM
sao cho NB = −3NM , P là điểm thuộc BC sao co PB = k PC . Tìm k để 3 điểm A, N, P thẳng hàng 3
A. k ∈ − ; −1 . 2
3
B. k ∈ 0; . 2
3
C. k ∈ −3; − . 2
3
D. k ∈ ;3 . 2
Bài 4. ( bài 2 trong mục IV ) Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao
cho MB = αMC , NC = β NA, PA = γ PB .Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng. A. αβγ = −1 .
B. αβγ = 2 .
C. αβγ = −2 .
D. αβγ = 1 .
Bài 5. (bài 4 trong phần IV) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho AM 2 BN 1 = ; = . Gọi I là giao điểm của AN và CM, E là điểm thuộc AC sao cho MB 5 NC 3 AE = k AC . Tìm k để 3 điểm B, I, E thẳng hàng.
A. k =
2 . 17
B. k =
3 . 17
C. k =
4 . 17
D. k =
5 . 17
Phần 3. Một số bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong một số đề thi học sinh giỏi Bài 1. (đề HSG Hoàn Kiếm- Hà Nội năm học 2014-2015)
22
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Cho tam giác ABC đều, O là trọng tâm của tam giác. M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF.
Hướng dẫn giải Ta chứng minh 3 MD + ME + MF = MO 2
Qua M kẻ đường thẳng song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC lần lượt cắt BC, AB tại B1, B2; kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt BC, AC tại C1, C2.
Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, 1 MD = MB1 + MC1 2 1 1 ME = MA2 + MC2 , MF = MA1 + MB2 2 2 1 MD + ME + MF = MB2 + MC2 + MA1 + MC1 + MA2 + MB1 2 1 3 = MA + MB + MC = MO (1) 2 2 Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Ta có MD + ME + MF = 3MG
(
)
(
)
(
(
(
Từ (1), (2) ta có
)
) (
) (
)
)
3 MO = 3MG ⇒ MO = 2MG 2
⇒ M, O, G thẳng hàng. Vậy OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF
Bài 2. (đề HSG Hà Nam năm học 2012-2013) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N, M. 23
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC và theo a, b, c
b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng Hướng dẫn giải a. Gọi Q là giao điểm của AP và BC, suy ra P là trung điểm của AQ, tam giác ACQ cân tại C. CQ = CA = b suy ra BQ = BC – CQ = a – b.
a + c − b a + c − b BN = .BA, BM = BC ; 2c 2c 1 a − b BP = BA + BC 2 a
b. a + c − b a + c − b MN = BN − BM = .BA − .BC 2c 2c 1 c PM = BM − BP = − BA + BC 2 2a PM =
−c .MN suy ra PM cùng phương với MN do đó P, M, N thẳng hàng a +c−b
Bài 3. (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng Hướng dẫn giải Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G.
Khi đó với mọi điểm O ta có OA + OB + OC = 3.OG Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên: 24
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
OB + OC = 3.OM , OC + OA = 3.ON , OA + OB + = 3.OP Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được: 2 OA + OB + OC = 3 OM + ON + OP
(
) (
)
⇔ 2.3.OG = 3.3.OG ' ⇔ 2.OG = 3.OG ' ⇒ O , G , G' thẳng hàng
Bài 4. (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017-2018) Cho ba dây cung song song AA1, BB1,CC 1 của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 nằm trên một đường thẳng. Hướng dẫn giải Gọi H 1, H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 Ta có:
OH1 = OA + OB + OC 1 , OH 2 = OB + OC + OA1
và OH 3 = OC + OA + OB1 Suy ra H 1H 2 = OH 2 − OH1 = OC − OC 1 + OA1 − OA = C 1C + AA1 H 1H 3 = OH 3 − OH 1 = OC − OC 1 + OB1 − OB = C 1C + BB1
Vì các dây cung AA1, BB1,CC 1 song song với nhau Nên ba vectơ AA1, BB1,CC 1 có cùng phương Do đó hai vectơ H 1H 2 và H 1H 3 cùng phương hay ba điểm H 1, H 2 , H 3 thẳng hàng.
25
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
8. Những thông tin cần được bảo mật - Không có thông tin nào. 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm được hiệu quả thì học sinh phải được học bài tích của một số với một vectơ và học sinh có nhận thức khá giỏi. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu - Những bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hay bài tính tỉ số đoạn thẳng ở lớp dưới hay phải vẽ hình phụ làm cho học sinh gặp nhiều rắc rối. Học sinh không hiểu vì sao lại phải vẽ thêm hình phụ và cơ sở tư duy nào để vẽ được hình phụ. Sáng kiến đã khắc phục được nhược điểm đó. 10.1 Đánh giá lợi ích của sáng kiến thu được theo ý kiến của tác giả - Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm với nhóm học sinh có học lực khá giỏi lớp 10A3 trường THPT Nguyễn Viết Xuân tôi thấy các em có đã làm tốt bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi hy vọng sẽ giúp được các em học sinh làm bài thi học sinh giỏi và bài trắc nghiệm đạt được kết quả cao. - Đối với giáo viên trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm, giáo viên phải tìm tài liệu và nghiên cứu bài tập nhờ vậy mà chuyên môn của giáo viên được nâng cao hơn. 10.2 Đánh giá lợi ích thu được Sáng kiến của tôi đã được các thầy cô trong tổ bộ môn tham khảo, và dùng trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là cô Nguyễn Thị Huyền hiện đanh giảng dạy cùng khối 10, và đã nhận được những phản hồi rất tích cực. 26
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
1
Nguyễn Thị Huyền
THPT Nguyễn Viết Xuân
Học sinh ôn thi thpt quốc gia
2
Phan Thị Kim Sang
THPT Nguyễn Viết Xuân
Học sinh ôn thi học sinh giỏi toán 10 và ôn thi thpt quốc gia
áp dụng sáng kiến
27
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoavà sách giáo viên hình học 10-Bộ giáo dục đào tạo 2.Giải toán hình học 10 Võ Anh Dũng- Trần Đức Huyên 3.www.google.com
28
SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019
Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu)
Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019.
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu)
Vĩnh Tường, ngày 29 tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
Phan Thị Kim Sang
29