CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THEO CÁC MỨC ĐỘ

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU, VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2 tiết).

Bài 2: Cực trị của hàm số (2 tiết) Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2 tiết) Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết) Bài 5: Đồ thị (1 tiết) Bài 6: Một số bài toán liên quan (2 tiết). ĐẶT VẤN ĐỀ Chương ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán THPT đặc biệt là chương trình toán lớp12. Khi học chương này giúp cho người học phát triển được rất nhiều khả năng như khả năng quan sát, khả năng nhận định đặc biệt là khả năng tư duy lôgic. Do vai trò quan trọng của chương nên nó thường xuất hiện trong các đề kiểm tra học kỳ lớp 12, đề thi chuyên đề lớp 12 của các trường THPT, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12, đặc biệt là đề thi THPTQG. Trong đề thi THTQG năm 2019 thì chương khảo sát hàm số có 10 câu trên 50 câu trong đề thi chiếm 20%, cụ thể: 4 câu mức độ nhận biết, 3 câu mức độ thông hiểu, 1 câu mức độ vận dụng, 2 câu mức độ vận dụng cao.

Vì vậy để giúp học sinh có một cái nhìn tổng thể về chủ đề này và nắm được các dạng toán thường gặp và phương pháp giải nên tôi chọn chủ đề: “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” Nội dung chuyên đề: Gồm 6 bài Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2 tiết).

Bài 2: Cực trị của hàm số (2 tiết) Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2 tiết) Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết) Bài 5: Đồ thị (1 tiết) Bài 6: Một số bài toán liên quan (2 tiết).

Trong mỗi bài tôi đưa ra kiến thức cơ bản cần nhớ và có hệ thống bài tập cùng hướng dẫn giải được phân

BÀI 1: HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN- HÀM SỐ NGHỊCH BIẾN( 2 TIẾT) A. Kiến thức cần nhớ : 1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K a) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) b) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng 2. Định lý : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K a) Nếu f '( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K b) Nếu f '( x ) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K 3. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K a) Nếu f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K b) Nếu f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K c) Nếu f '( x ) = 0, ∀x ∈ K thì f ( x ) không đổi trên K 4. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Bài toán: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).

Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau: B1: Tìm miền xác định của hàm số.

B2: Tính đạo hàm f ’(x), rồi giải phương trình f ‘(x) = 0.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Kết luận.

Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y= x4-2x2+3 D=R y’ = 4x3-4x; y’=0 x=0,x=1,x= -1 BBT:

theo các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao theo đúng tỷ lệ của ma trận đề thi

Hs đb trên các khoảng (-1;0), (1;+ ∞ )

THPTQG. Ngoài ra kết thúc mỗi bài đều có bài tập tự luyện cũng được phân theo các mức độ. Kết thúc

Hs nb trên các khoảng (- ∞ ;-1), (0;1) Dạng 2: Sự biến thiên của hàm số trên một miền.

Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng I. Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau: B1: Tìm miền xác định của hàm số.

B2: Tính đạo hàm f ‘(x).

B3: Lập luận cho một số trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau:  Hàm soá xaù c ñònh vôù i moï i x.

Hàm số đồng biến trên R ⇔   f '( x) ≥ 0 ∀x, daá u ñaú ng thöù c chæ xaû y ra taï i höõ u haï n ñieå m.

chuyên đề chúng tôi có bài kiểm tra đánh giá 1 tiết.

Hàm soá xaùc ñònh vôùi moïi x ∈ (a, b).  Hàm số đồng biến trên (a, b) ⇔  f '( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) ( daáu ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi höõu haïn ñieåm cuûa (a,b) ).  Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k. ⇔ f ‘(x) ∀x ∈ [a − k , a ], đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm của [a – k, a] và ∀x ∉ [a – k, a] không thoả mãn.

B. Luyện tập 1

2

C. Hàm số đã cho đồng biến trên (1;+∞) và nghịch biến trên (−∞;1) .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞;1) và nghịch biến (1;+∞) .

∗ Mức độ nhận biết Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định nh và có đạo hàm trên K. Khẳng định nh nào sau đđây là sai?

A. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biếnn trên kho khoảng K thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K. B. Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K. C. Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K thì hàm số f (x ) đồng biến trên K. D. Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng ng bi biến trên K. HD: Đáp án C Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng ảng bi biến thiên như sau

Lời giải. Đạo hàm: y / = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y / = 0 ⇔ x = 1 .

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên ℝ . Chọn A. Câu 8: Hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?

A. (−1;3) .

B. (−∞; −3) hoặc (1;+∞) .

C. ℝ .

D. (−∞; −1) hoặc (3;+∞) .

Lời giải. Ta có: y / = 3 x 2 − 6 x − 9.

Ta có y / ≤ 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 9 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 .

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1;3) . Chọn A. Câu 9: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?

B. y = −x 3 + 3 x 2 − 3 x + 2 .

A. y = x 3 − 3 x 2 .

3 3 C. y = −x + 3 x + 1 . D. y = x .

HD: Đáp án B Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của x 3 phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.

Xét B: Ta có y ' = −3 x 2 + 6 x − 3 = −( x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 ⇔ x = 1 .

Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên ℝ .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ên kho khoảng nào dưới đây A. (−2; 0) .

B. (−∞; −2) .

C. (0; 2) .

D. (0; +∞ ) .

HD: Đáp án A 2;+∞ ) .

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm àm ssố nghịch biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 2; 1 Câu 3: Tìm tất cả các khoảng đồng ng bi biến của hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x − 1 3 D. ( −∞;3) A. (1;3) B. ( −∞;1) và ( 3; +∞ ) C. (1; +∞ )

x

HD: Đáp án B

y'

y ' = x 2 − 4x + 3 > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) . Nên hàm số đồng biến trên ( −∞;1) và ( 3; +∞ )

B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) .

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; +∞ ) .

D. Hàm số nghịch biến trên ( −1; +∞ ) .

−∞ Trong các mệnh đề sau,−∞ có bao nhiêu mệnh đề sai?

I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−3;−2) .

II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;5) .

III. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) .

IV. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;−2) .

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

HD: Đáp án A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;−2) ; nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) .

Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.

Ta thấy khoảng (−∞;−3) chứa khoảng (−∞;−5) nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?

x−2 3 ⇒ y' = > 0, ∀x.

2 x +1 ( x + 1)

Câu 5: Hàm số nào sau đây nghịch ch bi biến trên (1;3 ) ? x2 − 2x + 1 1 B. y = x3 − 2x2 + 3x + 1 C. y = x 2 + 1 x−2 3 HD: Đáp án B Có y′ = x 2 − 4 x + 3. y′ ≤ 0 ⇔ x ∈ [1;3] nên ý B là thỏa mãn.

A. y =

D. y =

x +1 x+2

Câu 6: Tìm khoảng đồng biến củaa hàm ssố y = − x3 + 3x 2 + 9x.

C. ( −1;3)

0

+∞ −

5

HD: Đáp án B

B. ( −3; −1)

0

+

0

A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) .

A. (1;3 )

+

y

x−2 Câu 4: Cho hàm số y = nh đđề nào dưới đây đúng? . Mệnh x +1

y=

−2

−3

−∞

D. ( −∞; +∞ )

HD: Đáp án C y′ = −3x 2 + 6 x + 9; y′ ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −1;3] . Vậy trên ( −1;3) thì hàm số đồng biến Câu 7: Cho hàm số y =

x3 − x2 + x 3

.M Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;1) .

3

4

A. Hàm số đồng biến trên (1; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

D. Hàm số đồng biến trên (−∞;−1) ∪ (1; +∞).

Câu 4: Hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?

A. (0;2) .

B. (0;1) .

C. (1;2 ) .

D. (−1;1) .

HD: Đáp án C 1− x

Tập xác định D = [0;2] . Đạo hàm y ' =

2x − x 2

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2 ) .

HD: Đáp án D Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (−∞;−1) và (1;+∞) , nghịch biến trên (−1;1) nên các khẳng định A, B, C đúng.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì khẳng định D sai.

Câu 5: Cho hàm số y = x −1 + 4 − x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1;4 ).  5 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1; .

 2 5  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;4. 2 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ.

HD: Đáp án C

Ví dụ: Ta lấy −1,1 ∈ (−∞; −1), 1,1 ∈ (1; +∞) : −1,1 < 1,1 nhưng f (−1,1) > f (1,1).

1 1 − .

2 x −1 2 4 − x   x ∈ (1;4 ) 5 Xét phương trình y ' = 0 ⇔ x − 1 = 4 − x ⇔   → x = ∈ (1;4 ) .  2  x −1 = 4 − x  5  Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng  ;4. 2 

Tập xác định: D = [1;4 ]. Đạo hàm y ' =

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (−∞;0) và (0;+∞) .

B. Hàm số đồng biến trên (−1;0) ∪ (1; +∞).

C. Hàm số đồng biến trên (−∞;−1) và (1; +∞).

D. Hàm số đồng biến trên (−1;0) và (1; +∞).

Câu 6: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

A. y = 2 x − 1 .

B. y = 2 x − cos 2 x − 5 .

x +1

C. y = x 3 − 2 x 2 + x + 1 .

D. y = x 2 − x + 1 .

HD: Đáp án B Vì y ' = 2 + 2 sin 2 x = 2 (sin 2 x +1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 ⇔ sin 2 x = −1 .

Phương trình sin 2 x = −1 có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên ℝ.

Câu 7: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

HD: Đáp án B ∗ Mức độ thông hiểu Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m đồng biến trên khoảng

( −∞; +∞ ) .

A. m ≤ 11 HD: Đáp án B Có y′ = 3x 2 + 6 x + m

B. m ≥ 3

; y ' = 0 ⇔ x =1.

C. −1 ≤ m ≤ 3

D. m < 3

A. y = ( x − 1)2 − 3 x + 2 .

B. y =

x x 2 +1

.

C. y = x . x +1

D. y = tan x .

HD: Đáp án B

Hàm số đồng biến trên R ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' = 9 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3 Câu 2: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−1;2) thì hàm số y = f ( x + 2) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (−1;2) .

B. (1;4 ) .

C. (−3;0) .

D. (−2;4 ) .

HD: Đáp án C Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số y = f ( x + 2) . Khi đó, do hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến trên khoảng (−1;2) nên hàm số y = f ( x + 2) đồng biến trên (−3;0) . →−1 < x + 2 < 2 ↔ −3 < x < 0.

Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp x + 2 ∈ (−1;2)  Câu 3: Cho hàm số y = 1 − x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên [0;1] B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [0;1] D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.

HD: Đáp án C

x

Xét hàm số y = Ta có y ' =

x 2 +1

.

1

( x 2 + 1)

x 2 +1

> 0, ∀x ∈ ℝ  →

hàm số đồng biến trên ℝ .

Câu 8: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = 2 x + cos x đồng biến trên ℝ .

B. Hàm số y = −x 3 − 3 x + 1 nghịch biến trên ℝ .

C. Hàm số y = 2 x − 1 đồng biến trên mỗi khoảng xác định. x −1

D. Hàm số y = 2 x 4 + x 2 + 1 nghịch biến trên (−∞;0) .

HD: Đáp án C Xét hàm số y = 2 x − 1 . Ta có y ' =

−1

< 0, ∀x ≠ 1 .

2 ( x −1) Suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và (1;+∞) .

Câu 9: Cho hàm số f ( x ) = x 3 + x 2 + 8 x + cos x và hai số thực a, b sao cho a < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f (a) = f (b).

B. f (a) > f (b). x −1

−x Tập xác định D = [−1;1] . Đạo hàm y ' = ; y' =0 ⇔ x = 0.

2 1− x

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [0;1] .

5

6

C. f (a) < f (b).

D. Không so sánh được f (a) và f (b) .

HD: Đáp án C Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 8 − sin x = (3 x 2 + 2 x + 1) + (7 − sin x ) > 0, ∀x ∈ ℝ.

Suy ra f ( x ) đồng biến trên ℝ . Do đó a < b ⇒ f (a) < f (b) . ∗ Mức độ vận dụng ( m + 1) x + 2m + 2 nghịch biến trên khoảng Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+m ( −1; +∞ ) .

A. −1 < m < 2

m < 1 C.  m > 2

B. m ≥ 1

∗ Mức độ vận dụng cao Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′( x ) có đồ thị như hình bên.

Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến trên khoảng A. (1;3) B. (2; +∞ ) C. (−2;1) HD: Đáp án C Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến y ′ = − f ′(2 − x ) > 0 ⇔ f ′(2 − x ) < 0 . Nhìn đồ thị ⇔ 2 − x < −1 hoặc 1 < 2 − x < 4 ⇔ x > 3 hoặc −2 < x < 1

D. 1 ≤ m < 2

HD: Đáp án D m2 − m − 2 Có y ′ = . Hàm số nghịch biến trên ( −1; +∞ ) ⇒ m2 − m − 2 < 0 ⇔ m ∈ ( −2;1) 2 ( x + m) Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng: (−∞; − m ); (-m; + ∞ ) Để ycbt được tm thì (−1; +∞ ) ⊂ (-m; + ∞ ) ⇔ − m ≤ −1 ⇔ m ≥ 1 Vậy 1 ≤ m < 2 Câu 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 ( x + 2) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (− 2; +∞).

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (−∞;− 2) và (0; +∞).

C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;− 2) và (0; +∞).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (− 2;0).

HD: Đáp án A

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 m + 3 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm thực?

A. 5 B. 7 C. 3 D. 2 HD: Đáp án D

Ta có:

)

(

)

Suy ra 3 m + 3sin x = sin x ⇔ m = sin 3 x − 3sin x . Đặt sin x = t ( −1 ≤ t ≤ 1) và xét hàm f ( t ) = t 3 − 3t trên [ −1;1] có f ′ ( t ) = 3t 2 − 3 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] x

f (x )

−2

−∞ −

0

0

+

f (x )

Nên hàm số nghịch biến trên [ −1;1] ⇒ −1 = f (1) ≤ f ( t ) ≤ f ( −1) = 2 ⇒ −2 ≤ m ≤ 2 .

+∞

0

Vậy m ∈ {−2; −1;0;1; 2} .

+

f (0 )

f (−2) Dựa vào bảng biến thiên, ta có Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (− 2; +∞).

Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (−∞;− 2) .

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 .

9 4

m + 3 3 m + 3sin x = sin x ⇔ m + 3 3 m + 3sin x = sin 3 x .

(

x = 0 .  x = −2

/

A. m = − .

3

Đặt 3 m + 3sin x = u ⇒ m + 3sin x = u 3 thì phương trình trên trở thành m + 3u = sin 3 x Đặt sin x = v thì ta được m + 3v = u 3 ⇒ 3 ( v − u ) + ( v − u ) v 2 + uv + u 2 = 0 ⇔ ( v − u ) 3 + v 2 + uv + u 2 = 0  3 m + 3u = v Do 3 + v 2 + uv + u 2 > 0, ∀u, v nên phương trình trên tương đương u = v .

Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  Bảng biến thiên

D. ( −∞; −2)

B. m = 3 .

9 4

C. m ≤ 3 .

D. m = .

HD: Đáp án D Ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + m .

Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn x1 − x 2 = 1  ∆ ' = 9 − 3m > 0  m < 3 m < 3      9  ⇔ ⇔ ⇔  ∆'  9 ⇔m= 9 − 3 m    2 =1 4 2. = 1 m =    a   4  3    

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . Biết f (1) = 2. Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra ?

A. f ( 2017 ) > f ( 2018) B. f ( −1) = 2 C. f ( 2 ) = 1 D. f ( 2 ) + f ( 3) = 4 HD: Đáp án B

Ta có f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) nên:

f ( 2 ) + f ( 3) > 2f (1) = 4; f ( 2 ) > f (1) = 2;f ( 2018 ) > f ( 2017 ) . Khẳng định có thể xảy ra là f ( −1) = 2 Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = A. −2 ≤ a ≤ 2

B. −2 < a < 2

asin x − 2 đồng biến trên khoảng 2sin x − a

C. −2 < a ≤ 3

 π 2π   ; . 2 3 

a > 2 D.  a < −2

HD: Đáp án D

Có y′ =

.

7

a cos x ( 2sin x − a ) − 2 cos x ( a sin x − 2 )

( 2sin x − a )

2

( 4 − a ) cos x .

2

=

( 2sin x − a )

2

8

 π 2π   π 2π  Hàm số đồng biến trên  ;  mà cos x < 0, ∀x ∈  ;  2 3  2 3   π 2π  2 ⇔ y ′ > 0 , ∀x ∈  ;  ⇔ 4 − a < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) 2 3 

Câu 5 : Cho hàm số y = mx − 2 m − 3 với

m

x −m

π

là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .

A. 5 .

B. 4 .

C. Vô số.

D. 3 .

HD: Đáp án D m

Ta có y ' =

.

2 (x − m ) Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y ' > 0, ∀x ≠ m m ∈ℤ ⇔ −m 2 + 2m + 3 > 0 ⇔ −1 < m < 3  → m = {0;1;2}.

Câu 6: Biết rằng hàm số y = 2 x + a sin x + b cos x đồng biến trên ℝ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a 2 + b2 ≤ 2 .

B. a 2 + b2 ≥ 2 .

C. a 2 + b2 ≤ 4 .

D. a 2 + b2 ≥ 4 .

HD: Đáp án C Ta có y ' = 2 + a. cos x − b. sin x , ∀x ∈ ℝ . Để hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ( y ' = 0 có hữu hạn nghiệm) ⇔ 2 + a.cos x − b.sin x ≥ 0 ⇔ b.sin x − a.cos x ≤ 2. (*) Nếu a2 + b2 = 0 thì A đúng & C cũng đúng.

⇔ sin ( x − α ) ≤

2 a 2 + b2

b 2

a +b

2

. sin x −

a 2

a +b

đúng với mọi x ∈ ℝ ⇔

2

. cos x ≤

2 a 2 + b2

2 2

a +b

A. ℝ \ {1} .

B. ℝ \ {−1} .

x +1 là x −1

C. ℝ \ {1; −1} .

D. (1;+∞ ) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ℝ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

A. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ta luôn có f ( x1 ) < f ( x2 ) .

B. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ta luôn có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

C.Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ta luôn có x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

D. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ta luôn có f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Câu 3: Hàm số y = − x 4 + 4 x 2 + 1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây ?

)(

)

2; +∞ .

(

)

B. − 2; 2 .

C.

(

)

2; +∞ .

(

)(

D. − 2; 0 ;

)

2; +∞ .

Câu 4: Tập xác định của hàm số y = x4 − 4 x2 − 1 là: A. ( 0; +∞ ) . B. ( −∞;0 ) .

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( −1; +∞ ) .

Câu 5: Cho hàm số y = x3 + 2 x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên tập ℝ. .

B. Hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ ) , nghịch biến trên ( −∞;0 ) .

Câu 6: Giá trị của m để hàm số y = A. m ≥ 1 .

3 4

B. m ≤ − .

D. m ≤ −1 .

A. ℝ .

B. ℝ \ {−1} .

1 3 x – 2mx 2 + ( m + 3 ) x – 5 + m đồng biến trên ℝ là: 3 3 4

C. − ≤ m ≤ 1 .

Câu 7: Tập xác định của hàm số y =

π  Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = sin x + m nghịch biến trên khoảng  ; π A. m ≥ −1 . 2  sin x −1

3 4

D. − < m < 1 .

1 3 x − 2 x 2 + 3 x + 1 là: 3

C. ℝ \ {±1} .

D. (1;+∞ ) .

Câu 8: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =

2x + 1 là đúng? x −1

A. Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ \ {1} .



→ t ∈ (0;1) . Đặt t = sin x , với x ∈  ; π  2 

Hàm số trở thành y (t ) =

Câu 1: Tập xác định của hàm số y =

C. Hàm số nghịch biến trên tập ℝ.

D. Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ ) , đồng biến trên ( −∞;0 ) .

  x + x = 2m + 1 Theo định lí Viet, ta có  1 2 .    x1 x 2 = m (m + 1) Để hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ phương trình y / = 0 có hai nghiệm x1 < x 2 ≤ 2   x1 + x 2 < 4 2 m + 1 < 4   ( x1 − 2 ) + ( x 2 − 2 ) < 0 ⇔    ⇔ ⇔ ⇔ m ≤1     x x − 2 x + x + 4 ≥ 0 ( ) x x − 2 − 2 ≥ 0 )( 2 ) 1 2 ( 1   m (m + 1) − 2 (2 m + 1) + 4 ≥ 0  1 2  m ∈ℤ  → m = {−999;−998;...;1}.

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng (−1000;1000).

π

Nhận xét. Khi ta đặt ẩn t , nếu t là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì giữ nguyên câu hỏi trong đề bài.

Còn nếu t là hàm nghịch biến thì ta làm ngược lại câu hỏi trong đề bài.

A. − 3;0 ;

≥ 1 ⇔ a 2 + b2 ≤ 4 .

Xét phương trình y / = 0 có ∆ = (2m + 1)2 − 4 m (m + 1) = 1 > 0, ∀m ∈ ℝ.

Suy ra phương trình y / = 0 luôn có hai nghiệm x1 < x 2 với mọi m .

C. m < −1 .



  −1 − m > 0 , ∀t ∈ (0;1) ⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1 . ⇔   t −1 ≠ 0

(

2

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng (−1000;1000) để hàm số y = 2 x 3 − 3 (2m + 1) x 2 + 6 m (m + 1) x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞) ?

A. 999.

B. 1001.

C. 998.

D. 1998.

HD: Đáp án B Ta có y ' = 6 x 2 − 6 (2m + 1) x + 6m (m + 1) = 6.  x 2 − (2m + 1) x + m (m + 1) .

B. m > −1 .

HD: Đáp án C

π

C. Bài tập

−m 2 + 2 m + 3

Nếu a2 + b2 ≠ 0 thì (*) ⇔



Ta có t ' = cos x < 0, ∀x ∈  ; π , do đó t = sin x nghịch biến trên  ; π . 2  2  Do đó YCBT ←→ y (t ) đồng biến trên khoảng (0;1) ←→ y ' (t ) > 0, ∀t ∈ (0;1)

B. Hàm số luôn nghịch biến trên ( −∞; 1) và (1;+∞ ) .

t +m −1 − m  → y ' (t ) = .

2 t −1 (t −1)

C. Hàm số luôn đồng biến trên ℝ \ {1} .

D. Hàm số luôn đồng biến trên ( −∞; 1) và (1;+∞ ) .

9

10

1 3 x − 2 x 2 + 3 x + 1 đồng biến trên: 3 A. ( 2; +∞ ) . B. (1;+∞ ) .

C. (1; 3) .

Câu 19: Hỏi hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2017 nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?

Câu 9: Hàm số y =

A. ( −∞; −1) . B. ( −1;1) .

D. ( −∞; 1) và ( 3; +∞ ) .

B. D = ℝ \ {−2} .

C. D = ℝ \ {2} .

D. D = ℝ \ {−3} .

Câu 11: Hàm số y = − x3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên khoảng: A. ( 0; 2 ) .

B. ℝ.

C. ( −∞;1) .

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2 + 12 x − 5 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

D. ( 2;+∞ ) .

Câu 12: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

x

2 0

0

−∞

y′

−

0

+

+∞

y −1 3

−∞

2

3

A. y = − x + 3x − 1 .

B. y = − x − 3x − 1 .

D. y = x3 + 3x 2 − 1 .

A. [ −1;2)

C. [ −2;2] .

Câu 24: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = −3 x3 + 6 x 2 − 9 x

Câu 14: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

A. (−∞; +∞) . B. (−∞; −4) vµ (0; +∞) .C. (1; 3) .

1− x

D. y = log 5 x .

.

B. ( −1;0 ) .

A. ( −∞;1) .

2

+∞ +∞

y

A. y =

2x + 1 . x+2

B. y =

2x +1 . x−2

Câu 17: Khoảng đồng biến của hàm số y =

2x − 7 . x−2

D. y =

D. ℝ . x+2 +

2 x + 17 ≥ 11 là: C. [5 ; 8]

D. (0 ; 5)

2 + x − x 2 nghịch biến trên khoảng: 1  B.  − 1;  C. (2 ; + ∞ ) D. (− 1; 2) 2  1 Câu 29: Tìm m lớn nhất để hàm số y = x 3 − mx 2 + (4m − 3)x + 3 đồng biến trên R. 3 A. m =1 B. m = 3 C. m = 2 D. Đáp án khác Câu 30: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên R khi nào? a = b = 0, c > 0 a = b = 0, c > 0 A.  C.  2 2 a > 0 , b − 3 ac ≤ 0  a > 0, b − 3ac ≥ 0 a = b = 0, c > 0 a = b = c = 0 B.  2 D.  2 − ≤ b 3 ac 0  a > 0, b − 3ac < 0 Câu 28: Hàm số y = 1  A.  ; 2  2 

2

1− 2x . x−2

x2 + x + 2 là: x −1

A. ( −∞; −3) và (1; +∞ ) .

C. ( 3; +∞ ) .

C. y =

C. ( 2; +∞ ) .

Câu 27: Trong các hàm số sau, những hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó: 2x + 1 1 1 y= (I), y = ln x − (II), y= − 2 (III). x +1 x x −1 A. (I) B. (I) và (II) C. (II) và (III) D. (I) và (IV)

–

−∞

B. ( 0;2) .

Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình x + A. [5 ; + ∞ ) B. (5 ; + ∞ )

C. ( −∞;0 ) và (1;+∞ ) . D. ( 0;1) .

Câu 16: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình: x −∞ – y′ 2

D. (−∞;1) vµ (3; +∞) .

Câu 25: Hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng nào?

Câu 15: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 1 + 3 x 2 − 2 x 3 ?

A. ( −∞; +∞ ) .

−2 x − 3 (C), chọn phát biểu đúng x +1

A. Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

B. Hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

C. Hàm số có tập xác định ℝ \ {1} D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.

D. ( −1;1) .

 3 A. y = 3 x +1 . B. y = log 0,4 ( x 2 + 1) . C. y =   5

D. f ( x) giảm trên khoảng ( −1; 3) .

Câu 23: Cho hàm số y =

4 + mx nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ) khi m thuộc: x+m

B. ( −2;2 ) .

B. f ( x) giảm trên khoảng ( −1; 1) .

C. f ( x) giảm trên khoảng ( 5; 10) .

2

C. y = x3 − 3x 2 − 1 .

Câu 13: Hàm số y =

A. f ( x) tăng trên khoảng ( −3; −1) .

1 Câu 22: Hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 nghịch biến trong khoảng nào sau đây?

4 A. ( −∞;0 ) . B. (−2;0) và (0; +∞) .C. (−2; +∞) D. ( 0; + ∞ ) .

−

3

+∞

D. ( −∞;1) .

Câu 20: Cho K là một khoảng hoặc nữa khoảng hoặc một đoạn. Mệnh đề nào sai?

A. Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến trên K thì f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ K .

B. Nếu f ′( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K .

C. Nếu hàm số y = f ( x) là hàm số hằng trên K thì f ′( x) = 0, ∀x ∈ K .

D. Nếu f ′( x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số y = f ( x) không đổi trên K .

x+3 Câu 10: Tập xác định của hàm số y = là: x−2

A. D = ℝ .

C. ( −1;0 ) .

B. ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) .

D. ( −1;3) .

Câu 18: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ℝ x+2 1 A. y = tan x . B. y = x3 + x 2 + x . C. y = .

D. y = x . x+5 2 11

12

1 A

2 B

3 D

4 C

ĐÁP ÁN 5 6 A C

7 A

8 B

9 D

10 C

11 A

12 A

13 A

14 C

15 D

16 B

17 B

18 D

19 A

20 B

21 C

22 D

23 D

24 C

25 B

26 A

27 B

28 A

29 B

30 A

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ( 1,5 TIẾT) A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa: hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ ℝ, ∀x0 ∈ D . a) điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈(a;b)\{x0} f(x0) − giá trị cực đại của hàm số. Điểm m( x0; f(x0)) điểm cực đại của đồ thị. b) điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈(a;b)\{x0} f(x0) − giá trị cực tiểu Điểm m( x0; f(x0)) điểm cực tiểu của đồ thị. c) gi trị cực đại và gi trị cực tiểu gọi chung là các cực trị. * lưu ý: +) giá trị cực đại ( cực tiểu) nói chung không phải là gtln( gtnn), nó mang tính địa phương trong một khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu. +) hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên d, cùng có thể hàm số không có cực trị trên D. 2. Định lí: +) dấu hiệu cần: nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0. +) dấu hiệu đủ: dấu hiệu 1: (tính theo chiều tăng của trục số) f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 ⇒ x0 − là điểm cực đại.

• f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 ⇒ x0 − là điểm cực tiểu. dấu hiệu 2: cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x0.  f ′( x0 ) = 0  f ′( x0 ) = 0 ⇒ x0 − laø ñieå m cöï c trò cuû a HS ⇒ x0 − laø ñieå m cöï c ñaï i cuû a HS *  *   f ′′( x0 ) ≠ 0  f ′′( x0 ) < 0

 f ′( x0 ) = 0 ⇒ x0 − laø ñieå m cöï c tieå u cuû a HS *   f ′′( x0 ) > 0 3. Phương pháp tìm cực trị: Quy tắc 1: B1: tìm f’(x).

B2: tìm cc nghiệm xi ( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0.

B3: lập bảng xt dấu − căn cứ dấu hiệu 1 kết luận.

Quy tắc 2: B1: tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm xi.

B2: tính f”(xi) . nếu f”(xi) < 0 ⇒ xi là điểm cực đại nếu f”(xi) > 0 ⇒ xi là điểm cực tiểu. nếu f”(xi) = 0 không thể kết luận được cực trị.

B. Luyện tập * Mức độ nhận biết Câu 1: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a; b) . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu f ( x ) đồng biến trên (a; b) thì hàm số không có cực trị trên (a; b) .

B. Nếu f ( x ) nghịch biến trên (a; b) thì hàm số không có cực trị trên (a; b) .

C. Nếu f ( x ) đạt cực trị tại điểm x 0 ∈ (a; b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( x 0 ; f ( x 0 )) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f ( x ) đạt cực đại tại x 0 ∈ (a; b) thì f ( x ) đồng biến trên (a; x 0 ) và nghịch biến trên ( x 0 ; b) .

HD: Đáp án D Các Mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK. 13

14

Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài x 0 ∈ (a; b) là cực đại của f ( x ) thì còn có cực trị nào khác nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo.

Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm f ( x ) = x 4 − 2 x 2 , hàm số này đạt cực đại tại x 0 = 0 ∈ (−2; 2) , nhưng hàm số này không đồng biến trên (−2;0) và cũng không nghịch biến trên (0;2).

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng (a; b) và x 0 là một điểm trên khoảng đó. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu f ' ( x ) bằng 0 tại x 0 thì x 0 là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu dấu của f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+

f' ( x )

0

3 2

A. yCT = 2 yCD .

B. yCT = yCD .

HD: Đáp án D

C. yCT = yCD .

 x = 1 → y (1) = −2  x = −1 → y (−1) = 2

D. Nếu dấu của f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

HD: Đáp án C Mệnh đề A sai (phải thêm điều kiện f ' ( x ) đổi dấu khi qua x 0 ).

Mệnh đề B sai. Sửa lại cho đúng là '' Nếu dấu của f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số '' .

Mệnh đề C đúng, từ đó hiểu rõ tại sao D sai. (Phân biệt điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số).

0

−∞

y'

+

2

0 −1

x y

+

D. yCT = − yCD .

. Do đó yCT = − y CD .

0

−∞

'

−

1

0

+

0

+∞

−

5

+∞ y

A. y CD = 5.

+

B. y CT = 0.

−∞ D. max y = 5.

C. min y = 4.

ℝ

ℝ

HD: Đáp án A

+∞

y

Phương pháp: Nhìn và phân tích bảng bi biến thiên.

Cách giải: Nhận thấy hàm số đạt cực đđại tại x CD = 1; y CD = y (1) = 5.

−5

−∞

0

4

+∞

0

−

+

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng bi biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dư dưới đây đúng?

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình dưới đây x

0

3 Từ đó f ' ( x ) chỉ đổi dấu tại x = − ; x = 0 nên hàm số chỉ có 2 cực trị.

2 Câu 6: Gọi yCD , yCT lần lượt là giá tr trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 − 3 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có y ' = 3 x 2 − 3; y ' = 0 ⇔ 

C. Nếu dấu của f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

-

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có bảảng ng bi biến thiên như sau Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 0 B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2 C. Gía trị lướn nhất của hàm số bằng −1 D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 2; −5 )

Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x = 1 .

B. x = 0 .

C. x = 5 .

D D. x = 2 .

HD: Đáp án D Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm àm ssố đạt tiểu tại điểm x = 0 và đạt cực đại tại ại điểm x = 2 .

Câu 9: Cho hàm số hàm số y =f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

HD: Đáp án D Điểm là ta nói tọa độ.

Câu 4: Điểm cực tiểu của hàm số y = x 4 + x 2 + 1 A. x = 0 B. x = −1 C. x = −2 D. x = 1 HD: Đáp án A Có y′ = 4 x3 + 2 x; y′ = 0 ⇔ x = 0 . Qua x = 0 thì y ' đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0

x

2

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( 2x + 3 ) . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 HD: Đáp án C Ta có bảng xét dấu sau: x

B. 0

+∞

C. 2

−

3 2

D. 1

0

1

-

y'

y

0

−1

−∞

0

+

1

-

0

0

+∞ −3

+∞ +

+∞ 3

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 và 1.

−∞

15

16

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −3.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.

HD: Đáp án D

1 Tinh được AC = 2; BM = 2 ⇒ S ABC = .2.2 = 2 .

2 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x 3 + 2mx 2 − m 2 x − 2 đạt cực tiểu tại x = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0.

 m = −1 m = 1 A.  B.  m = 3  m = 3 HD: Đáp án C Có y′ = −3x 2 + 4mx − m 2 .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

y

-1

O

1

C. m = 3

D. m = 1

m =1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y′ (1) = 0 ⇒  m = 3 Với m = 1 thì y ' đổi dấu + sang – qua x = 0 nên x = 0 là cực đại (Loại) Với m = 3 thì y ' đổi dấu - sang + qua x = 0 nên x = 0 là cực tiểu (tm) Câu 3: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ( x + 1)( x − 2 )2 .

x

-1

-2

A. d = 2 5 .

HD: Đáp án A

HD: Chọn D. Câu 11: Cho hàm số y = −x 4 + 2 x 2 + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

HD: Đáp án D

B. d = 2 .

C. d = 4 .

D. d = 5 2 . x = 0 → y = 4 . x = 2 → y = 0

Ta có y ' = ( x − 2 )2 + ( x + 1).2 ( x − 2 ) = 3 x ( x − 2 ) ; y ' = 0 ⇔ 

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A (0; 4 ) và B (2;0) .

Ta có y ' = −4 x 3 + 4 x = −4 x ( x 2 −1); y ' = 0 ⇔  x = 1 .

Suy ra AB = 2 5 .

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1 .

A. y = x − 1.

B. y = x + 1.

C. y = −x + 1.

D. y = −x −1.

HD: Đáp án B

Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Ta có y ′ = −6 x 2 + 6 x ; y ′ = 0 ⇔ 

x = 0 

 x = −1 

x = 0 ⇒ y = 1 . x = 1 ⇒ y = 2

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A (0;1) và B (1;2) .

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y = x + 1.

a = −1 Cách 2. Ta có   → ab < 0  → đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. b = 2

Vì a = −1 < 0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Câu 12: Tìm điểm cực trị x 0 của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 3 x + 1 .

A. C.

1 x 0 = −3 hoặc x 0 = − .

3 10 x 0 = 0 hoặc x 0 = − .

3

B. x 0 = 0 hoặc D. x 0 = 3 hoặc

1 1 Cách 2. Lấy y chia cho y ' , ta được ⇔ y =  x −  y ′ + x + 1 .

3

10 . x0 = 3 1 x0 = .

3

HD: Đáp án D x = 3  1. x =  3

Ta có y ' = 3 x 2 −10 x + 3; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 10 x + 3 = 0 ⇔ 

* Mức độ thông hiểu Câu 1: Cho hàm số f ( x ) = 2x 4 − 4x 2 + 3. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. S = 1

B. S =

HD: Đáp án D

1 2

C. S = 4

D. S = 2

 x=0 Có f ′ ( x ) = 8 x3 − 8 x; f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1  x = −1

x

−∞

y'

Từ đó 3 điểm cực trị là A ( −1;1) ; B ( 0;3) ; C (1;1) .

2

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x + 1 .

Câu 5: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Phương trình y ′ = 0 vô nghiệm trên tập số thực.

B. Phương trình y ′ = 0 có đúng một nghiệm thực.

C. Phương trình y ′ = 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình y ′ = 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt.

HD: Chọn D Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  → phương trình y ′ = 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt với a, b, c là các số thực.

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tại x 0 và có bảng biến thiên sau:

y

−

x1

x0

+

0

−

x2

+∞ + +∞

+∞

Nhận thấy rằng ABC là tam giác cân tại B với đường cao là BM , M là trung điểm của AC . −∞ −∞

17

18

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

HD: Đáp án D Tại x = x 2 hàm số y = f ( x ) không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này.

Tại x = x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này.

Tại x = x 0 , hàm số không có đạo hàm tại x 0 nhưng liên tục tại x 0 thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x 0 và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu.

Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 7: Hỏi hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. Không có điểm cực trị.

B. Có một điểm cực trị.

C. Có hai điểm cực trị.

D. Có ba điểm cực trị.

HD: Đáp án B TXĐ: D = ℝ.  x 3 − 3 x + 1, x ≥ 0 3 x 2 − 3, x > 0   Ta có y =  3  → y'= . Suy ra y ' = 0 ⇔ x = 1 .  2   − x − 3 x + 1, x < 0  −3 x − 3, x < 0   Lập bảng biến thiên ta thấy y ' chỉ đổi dấu khi qua x = 1.

m < 0 ⇔ ∆ ' = m 2 − 2m > 0 ⇔  . m > 2 2

Câu 9: Cho hàm số f ( x ) = ( x 2 − 3) . Giá trị cực đại của hàm số f ' ( x ) bằng: 1 2

.

C. 8.

D. 9 .

HD: Đáp án C Ta có f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 9  → f ' ( x ) = 4 x 3 − 12 x .

2 Tính f '' ( x ) = 12 x −12; f '' ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 .

Vẽ bảng biến thiên, ta thấy f ' ( x ) đạt cực đại tại x = −1 , giá trị cực đại f ' (−1) = 8 .

Nhận xét: Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số f ( x ) và dẫn tới chọn đáp án D. * Mức độ vận dụng Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = − x 3 + 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tạo O (O là gốc tọa độ). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

1 1 A. −1 < m < B. 1 < m < 3 C. − < m < 1 D. −2 < m < 0 3 2 HD: Đáp án C Có y ′ = −3 x 2 + 3m . Hàm số có 2 cực trị khi m > 0 và khi đó 2 điểm cực trị là

(

) (

A − m ; −2 m m + 1 ; B

A. 1 ≤ m ≤ 3.

B. m ≤ 1.

C. m ≥ 1.

D. 1 < m ≤ 3.

HD: Đáp án A Phương pháp: Hàm số không có cực đại tức là hàm số chỉ tuyến tính.

m − 1 ≥ 0 ⇒ 1 ≤ m ≤ 3.

Trường hợp 1: Hàm số đồng biến. Tức  m − 3 ≤ 0 m − 1 ≤ 0 . Suy ra không tìm được m thỏa.

Trường hợp 2: Hàm số nghịch biến. Tức  m − 3 ≥ 0 Câu 3: Đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2ax + b có điểm cực tiểu A ( 2; −2 ) . Tính a + b.

A. a + b = −4 HD: Đáp án B

B. a + b = 2

C. a + b = 4

D. a + b = −2

* Mức độ vận dụng cao Câu 1: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Biết M (0;2) , N (2;−2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính giá trị của hàm số tại x = −2 .

A. y (−2) = 2 .

B. y (−2) = 22 .

C. y (−2) = 6 .

D. y (−2) = −18 .

HD: Đáp án D Ta có y ′ = 3ax 2 + 2bx + c .

Vì M (0;2), N (2; −2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên

Để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ x 2 − 2mx + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt

B.

đại.

 y ' ( 2 ) = 0 a = 0 a = 0 Ta có:  ⇔ ⇔ ⇒a+b=2  −4 + 4a + b = −2 b = 2  y ( 2 ) = −2

Vậy hàm số có một điểm cực trị.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 6 mx + m có hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2 ) .

B. m ∈ (−∞;0) ∪ (8; +∞) .

C. m ∈ (−∞;0 ) ∪ (2; +∞) D. m ∈ (0;8) .

HD: Đáp án C Ta có y ' = 3 x 2 − 6 mx + 6 m = 3 ( x 2 − 2 mx + 2 m ) .

A. −8 .

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( m − 1) x 4 − 2 ( m − 3 ) x 2 + 1 không có cực

 ′    y (0 ) = 0 ⇔  c = 0 ; (1)    y ′ (2 ) = 0  12a + 4b + c = 0     y (0) = 2  d = 2   ⇔ .

(2)     y 2 = − 2 ( ) 8a + 4b + 2c + d = −2    a = 1    b = −3 Giải hệ (1) và (2) , ta được   → y = x 3 − 3 x 2 + 2  → y (−2 ) = −18.  c=0      d = 2

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 + ( m − 1) 4 − x 2 có 3 điểm cực trị.

A. ( −5; 7 ) \ {1}

B.  −5; 7  \ {1}

C. ( −1;3 ) \ {1}

D.  −1;3 \ {1}

HD: Đáp án A x=0  m −1  .  . y′ = 0 ⇔  2 2 4− x 4− x  3 x 4 − x = m − 1 (*) Hàm số có 3 cực trị khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Có y′ = 3 x 2 −

( m − 1) x = x  3x − 2

 

(*)

có nghiệm khác 0 ⇔ m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 Ta lập bảng biến thiên của VT phương trình (*)

)

m ; 2m m + 1 .

1  1  OAB là tam giác vuông ⇔ OA.OB = 0 ⇔ − m + 1 − 4m 3 = 0 =⇔ m = ∈  − ;1 2  2  19

20

x

−2

2 -

f' ( x )

2

2

0

+

A. m = −1 HD: Đáp án C

0

0

C. m = 1

D. m = 2

x = 0 3 .

Ta có: y ' = 4x − 4mx = 0 ⇔  2 x = m

-

6

f (x)

B. m = 0

Hàm số có 3 điểm cực trị m > 0

0

Khi đó gọi A ( 0;1 − m ) , B

-6

(

) (

)

m; − m 2 − m + 1 , C − m. − m 2 − m + 1 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

⇔ m = 0, m = −1, m = 1. Kết hợp đk ta được m = 1.

d > 2018 3 2 Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = a x + bx + cx + d với a, b, c, d ∈ ℝ;a > 0 và  . Số cực a + b + c + d − 2018 < 0

Nhìn vào bảng biến thiên thì điều kiện của m là m − 1∈ ( −6;6 ) \ {0} ⇔ m ∈ ( −5;7 ) \ {1}

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

trị của hàm số y = f ( x ) − 2018 bằng x

y'

3

−1

−∞

+

0

−

0

+∞ +∞

5

y

A. 3 HD: Đáp án D

+

B. 2

C. 1

D. 5

Ta có hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 là hàm số bậc ba liên tục trên ℝ .

1

−∞

Do a > 0 nên lim g ( x ) = −∞; lim g ( x ) = +∞. x →−∞

x →+∞

Để ý g ( 0 ) = d − 2018 > 0;g (1) = a + b + c + d − 2018 < 0 nên phương trình g ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm phân

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

HD: Đáp án B Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.

biệt trên ℝ .

Khi đó đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x ) − 2018 có đúng 5 cực trị.

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x − 4 x − 12 x + m có 7 điểm cực trị?

C. Bài tập

A. 3 .

HD: Đáp án D

Câu 1: Hàm số nào sau đây không có cực trị? x +1 A. y = x3 + 3x2 – 1 B. y = x−2 2 B. C. y = - x4 + 1 D. y = - 2x + x +1

4

B. 5 .

3

C. 6 .

2

D. 4 .

x = 0 Xét hàm số y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có y ′ = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x = 0 ⇔ 12 x ( x 2 − x − 2 ) = 0 ⇔  x = −1  x = 2 4 3 2 Lập BBT của đồ thị hàm số f ( x ) = 3x − 4 x − 12 x + m ta có : Đồ thị hàm số y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m được vẽ bằng cách :

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

+) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox . +) Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox .

Do đó để đồ thị hàm số y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 7 điểm cực trị thì :

B. Hàm số đạt cực đại tại x = ± 1

 f (0) > 0 m > 0   f − 1 < 0 ⇔  ( )  −5 + m < 0 ⇔ 0 < m < 5  f ( 2) < 0  −32 + m < 0   m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4} Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1 − m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhân gốc tọa độ O làm trực tâm.

21

1 4 1 2 x + x − 3 , khẳng định nào đúng?

4 2 C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (− 1; 0), (1; + ∞ )

Câu 2: Trong các khẳng định sau về hàm số y = −

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞ ; − 1), (0 ;1)

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = - x3 + 3x2 – 3 có cực đại và cực tiểu C. Hàm số y = x3 + 3x + 1 có cực trị x −1 1 B. Hàm số y = không có cực trị D. Hàm số y = x − 1 + có hai cực trị 5x + 3 x +1 1 Câu 4: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + (2 m − 1)x − 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

3 A. ∀ m ≠ 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu C. ∀ m > 1 thì hàm số có cực trị B. ∀ m < 1 thì hàm số có hai điểm cực trị D. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu ∀ m .

Câu 5: Điểm cực tiểu của hàm số y = - x3 + 3x + 4 là: A. x = - 1 B. x = 1 C. x = -3 D. x = 3 22

1 4 x − 2 x 2 − 3 là : 2 B. x = ± 2

Câu 6: Điểm cực đại của hàm số y = A. x = 0

C. x = − 2

D. x =

2 Câu 7: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

A. y = x + 5

B. y = 2x + 5

C. y = 2x + 1

x 2 + 5x + 1 là : x+5 D. y = 2x

x 2 + 2x + 2 Câu 8: Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = ax + b với: 1− x A. a + b = 4 B. a + b = - 4 C. a + b = 2 D. a + b = - 2 Câu 9: Biết đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 1 có hai điểm cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: A. y = 2x – 1 B. y = -2x – 1 C. y = 2x + 1 D. y = -2x + 1 Câu 10: Biết đồ thị hàm số y = x3 – x2 – 2x + 1 có hai điểm cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: 14 7 14 7 A. y = 3x + 5 B. y = - 3x – 5 C. y = − x + D. y = x− 9 9 9 9 Câu 11: Biết khi m < -1 hoặc m > 1 thì hàm số y = x3 – 3mx2 + 3x + 2 có hai cực trị, khi đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: C. y = - 2mx +3m - 1 A. y = 2mx + m – 2 B. y = 2( 1 + m2)x + m + 2 D. y = 2( 1 - m2)x + m + 2 Câu 12: Cho hàm số y = x3 – mx2 + 3x + 1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi : A. -3 < m < 3 B. m ≥ 3 C. m < -3 D. m < - 3 hoặc m > 3 Câu 13: Hàm số y = mx4 + 2(m – 2)x2 – 1 có 3 cực trị khi: A. m < 2 B. m > 0 C. 0 < m < 2 D. 0 ≤ m ≤ 2 1 3 2 2 Câu 14: Giá trị của m để hàm số y = x − (m − 1)x + (m − 3m + 2 )x + 5 đạt cực đại tại x = 0?

3 A. m = 2 B. m = 1 C. m = 1 hoặc m = 2 D. m = 6 Câu 15: Giá trị nào của m để điểm I(-1;6) là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 – 9x + 1(Cm): A. m = - 1 B. m = ± 1 C. m = 1 D. m = 2 Câu 16: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 (Cm). Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x khi: 2 A. m = ± B. m = ± 2 C. m = 2 D. m = - 2 2 1 Câu 17: Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có: 4 A. Một cực đại và hai cực tiểu C. Một cực đại và không có cực tiểu B. Một cực tiểu và hai cực đại D. Một cực tiểu và một cực đại 2 x3 − 2 x 2 + 3 x + là: 3 3  2 A. (-1 ; 2) B. (1 ; 2) C.  3 ;   3 Câu 19: Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 1 bằng: A. – 6 B. 0 C. – 3 Câu 20: Hàm số y = x3 – mx + 1 có hai cực trị khi: A. m < 0 B. m > 0 C. m = 0 Câu 21: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 là: A. (-1 ; -1) B. (1 ; 3) C. (-1 ; 1) Câu 18: Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y =

D. (1 ; -2)

Câu 22: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 cực trị: B. y = x4 + 2x2 C. y = 2x4 + 4x2 – 4 D. y = - x4 – 2x2 – 1 A. y = x4 – 2x2 – 1 3 Câu 23: Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x – 3x + 4 là: B. 5 A. 4 C. 5 D. 2 5 1 3 2 Câu 24: Cho hàm số y = mx − (m − 1)x + 3(m − 2)x + 1 . Để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn 3 x1 + 2x2 = 1, thì giá trị m cần tìm là: 2 2 A. m = 2 hay m = C. m = 1 hay m = 3 3 2 2 B. m = -2 hay m = − D. m = - 1 hay m = − 3 3 Câu 25: Đồ thị hàm số y = x3 – ( 3m + 1)x2 + ( m2 + 3m + 2)x + 3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi : A. 1 < m < 2 B. 2 < m < 3 C. – 2 < m < - 1 D. – 3 < m < - 2 Câu 26: Cho hàm số y =

số thì tỉ số

x3 − mx 2 − x + m . Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là toạ độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm 3

y1 − y 2 bằng: x1 − x 2

2 1 2 1 (1 + m2) B. (1 + m 2 ) C. − (1 + m 2 ) D. − (1 + m 2 ) 3 3 3 3 Câu 27: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y = x4 + 4x2 + 2: C. Có cực đại và không có cực tiểu A. Đạt cực tiểu tại x = 0 B. Có cực đại và cực tiểu D. Không có cực trị

A.

Câu 28: Cho hàm số y =

khi :

x3 − (m − 2)x 2 + (4m − 8)x + m + 1 . Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả x1 < - 2 < x2 3

3 3 <m<2 D. m < 2 2 Câu 29: Tìm m để hàm số y = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O (ĐH – B – 2007): 1 1 A. m = ± B. m = 3 C. m = 0, m = ± D. m = 0, m = 2 2 2 Câu 30: Giá trị m để đồ thị hàm số y = x4 + mx2 – 1 nhận điểm I(1 ; - 2) làm điểm cực tiểu là: A. m = 2 B. m = - 2 C. m = 1 D. m = 4 ĐÁP ÁN

A. m < 2 hoặc m > 6

B. 2 < m < 6

1 B

2 B

3 C

11 D

12 D

21 D

22 A

C.

4

5 A

6 A

7 B

8 B

9 D

10 C

13 C

14 A

15 C

16 A

17 A

18 B

19 C

20 B

23 D

24 A

25 C

26 C

27 A

28 D

29 A

30 B

D

D. 3 D. m ≠ 0 D. (1 ; -1) 23

24

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (2 TIẾT) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D. B. Hàm số không có GTLN, GTNN trên (−4;4) .

A. max y = 10 và min y = −10 .

 f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:  . ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x) .

( −4;4)

( −4;4)

C. max y = 0 và min y = −4 . ( −4;4)

D. min y = −4 và max y = 10 .

( −4;4)

( −4;4)

( −4;4)

Hướng dẫn: Chọn B Dựa vào bảng biến thiên. Ta thấy không tồn tại GTLN, GTNN trên (−4;4)

x∈D

 f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:  . ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = min f ( x ) .

Câu 2.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

x∈D

đoạn [ −1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên K bằng phương pháp sử dụng bảng biến thiên .

Lưu ý: K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...

• Bước 1: Tìm TXĐ.

• Bước 2: Tính f ′ ( x ) và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn ∈ K mà tại đó f ′ ( x ) = 0 hoặc hàm số không có

của hàm số đã cho trên đoạn [ −1; 3] . Giá trị của M − m bằng

đạo hàm.

• Bước 3: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn liên tục. a. Định lý.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên một đoạn [ a; b] liên tục.

• Bước 1: Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng ( a; b ) , tại đó f ′ ( x ) = 0 hoặc f ′ ( x ) không xác

định.

A. 1 B. 4 Hướng dẫn: Chọn C Dựa và đồ thị suy ra M = f ( 3 ) = 3; m = f ( 2 ) = −2

• Bước 2: Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( b ) .

Vậy M − m = 5

• Bước 3: Khi đó: ∗ max f ( x ) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b )} .

Câu 3.

C. 5

D. 0

(ĐỀ 01 ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1] và có đồ thị như hình vẽ.

[ a ,b ]

∗ min f ( x ) = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b )}. [ a ,b ]

Chú ý: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] min f ( x ) = f ( a )  [ a ;b ] • Nếu y = f ( x ) đồng biến trên [ a; b] thì  . f ( x) = f (b) max [a ;b ] min f ( x) = f ( b )  [ a ;b ] • Nếu y = f ( x ) nghịch biến trên [ a; b] thì  . f ( x) = f ( a ) max [a ;b ] • Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

B. LUYỆN TẬP. * Mức độ nhận biết

Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên (−4;4) và có bảng biến thiên trên (−4;4) như bên.

Phát biểu nào sau đây đúng?

25

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ −1;1] . Giá trị của M − m bằng A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn: Chọn B Từ đồ thị ta thấy M = 1, m = 0 nên M − m = 1 .

26

Câu 4.

(CHUYÊN LƯƠNG NG TH THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 2019 L LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên ttục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2 ; 2 ] .

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

Hướng dẫn: Chọn A Trên đoạn [ −1; 2 ] ta có giá trị lớn nhất M = 3 khi x = −1 và giá trị nhỏ nhất m = 0 khi x = 0 .

Khi đó M + m = 3 + 0 = 3 .

Câu 7.

A. m = −5; M = −1 .

B. m = −2; M = 2 .

Hướng dẫn: Chọn A Nhìn vào đồ thị ta thấy: M = max f ( x ) = −1 khi x = −1 hoặc x = 2 .

C. m = −1; M = 0 .

Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn [ −1;5]

D. m = −5; M = 0 .

B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = −1 và x = 2 trên đoạn [ −1;5] C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = −1 và đạt GTLN tại x = 5 trên đoạn [ −1;5] D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn [ −1;5]

[ −2;2]

m = min f ( x ) = −5 khi x = −2 hoặc x = 1 . [ −2;2]

Câu 5.

(THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Xét hàm số y = f ( x) với x ∈ [ −1;5] có bảng biến thiên như sau:

(ĐỀ MINH HỌA A GBD&Đ GBD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = f ( x ) xác đđịnh, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

Hướng dẫn: Chọn A A. Đúng. Vì lim− y = +∞ nên hàm số không có GTLN trên đoạn [ −1;5] . x →5

B. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn [ −1;5] .

C. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn [ −1;5] và lim y = +∞ . x →5

D. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn [ −1;5] .

Câu 8.

(CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

ℝ , có bảng biến thiên như hình sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá tr trị nhỏ nhất bằng −1 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạạt cực tiểu tại x = 1 .

D. Hàm số có đúng một cực trị.

Hướng dẫn: Chọn C Đáp án A sai vì hàm số có 2 điểm cự ực trị. Đáp án B sai vì hàm số có giá trị cực ti tiểu y = −1 khi x = 0 . Đáp án C sai vì hàm số không có GTLN và GTNN trên ℝ . Đáp án D đúng vì hàm số đạt cực đại ttại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .

Câu 6.

(THPT-THANG-LONG--HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −3; 2 ] và có bảng biếến thiên như sau. Gọi M , m lần lượtt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1; 2 ] . Tính M + m .

27

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng − 3 .

C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.

D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( 2; +∞ ) .

Hướng dẫn: Chọn B Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN.

Câu 9.

(THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

28

x

–∞

y'

-2 +

0

0 –

2

0

+

4

0

M = max f ( x ) = 3 [ −1;5]  Từ đồ thị ta thấy:  ⇒ M + n = 1. f ( x ) = −2 n = min [ −1;5]

+∞ –

4

Câu 12.

y –∞

0

–∞

(SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ sau:

A. Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệệm phân biệt B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 D. Hàm số có 3 điểm cực trị Hướng dẫn Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có 3 đđiểm cực trị.

Câu 10.

(CHUYÊN NGUYỄN N T TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM ĂM 2018 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục và có bảảng biến thiên trên đoạn [ −1;3] như hình vẽẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

 3 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên  −1;  . Giá trị của M + m  2 bằng A. A. max f ( x) = f (0)

B. max f ( x ) = f ( 3) .

C. max f ( x ) = f ( 2) .

D. max f ( x ) = f ( −1) .

[ −1;3] [−1;3]

C. 4 .

B. 5 .

D. 3 .

Hướng dẫn: Chọn D

[ −1;3]

Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có: M = max f ( x ) = 4 ; m = min f ( x ) = −1.

[ −1;3]

 3 −1; 2   

Hướng dẫn Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max f ( x ) = f ( 0) .

 3  −1; 2   

Do đó M + m = 4 + ( −1) = 3 .

[−1;3]

Câu 11.

1 .

2

Câu 13.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 N NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1;5] và

có đồ thị trên đoạn [ −1;5] như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhấtt và giá trị nhỏ nhất của hàm

(THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) xác định,

 5 liên tục trên  −1,  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ.  2

số f ( x ) trên đoạn [ −1;5 ] bbằng

A. − 1 Hướng dẫn: Chọn C

B. 4

C. 1

D. 2

 5 Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) trên  −1,  là:  2 29

30

B. M = 4, m = −1

A. M = 4, m = 1

7 C. M = , m = −1 2

7 D. M = , m = 1 2

Hướng dẫn: Chọn B Dựa vào đồ thị M = 4, m = −1 .

Câu 14.

(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị

như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ 0; 2 ] là:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. Min f ( x ) = 2 .

A. Min f ( x ) = 6 . [−5;7 )

C. Max f ( x ) = 9 .

[−5;7 )

[-5;7 )

D. Max f ( x ) = 6 . [−5;7 )

Hướng dẫn: Chọn B Dựa vào bảng biến thiên trên [ −5; 7 ) , ta có: Min f ( x ) = f (1) = 2 . [ −5;7 )

* Mức độ thông hiểu.

3 Câu 17. (Mã 102 - BGD - 2019) Giá trị tr nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x − 3x + 2 trên đoạn [ −3;3] bằng

A. Max f ( x ) = 2 .

B. Max f ( x ) = 2 .

C. Max f ( x ) = 4 .

D. Max f ( x ) = 0 .

[0;2]

A. 0 .

B. − 16 .

Hướng dẫn: Chọn B 2 Cách 1: f ′ ( x ) = 3x − 3 . f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±1∈ [ −3;3] .

[0;2 ]

[0;2]

[0;2]

Hướng dẫn: Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn [ 0; 2] hàm số f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = 2

D. 4 .

f ( −3) = −16 ; f ( −1) = 4 ; f (1) = 0 ; f ( 3) = 20 . ⇒ Giá trị nhỏ nhất là − 16 .

Suy ra Max f ( x ) = 4 [0;2]

Câu 15.

C. 20 .

(SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

3 Cách 2: Mode 7 f ( x ) = x − 3x + 2 .

Start -3 End 3 Step 1 ⇒ Chọn B

của hàm số đã cho trên đoạn [ −1;3] . Giá trị của M + m là Câu 18.

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT ĐT N NĂM 2017) Tìm giá trị lớn nhất M củaa hàm s ố y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên đoạn 0; 3  .

A. M = 6 Hướng dẫn: Chọn A Ta có: y′ = 4 x 3 − 4 x = 4 x ( x 2 − 1)

B. M = 1

C. M = 9

D. M = 8 3

 x=0

y′ = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 1) = 0 ⇔  x = 1 A. 2 B. − 6 C. − 5 D. − 2 Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn [ −1;3] là M = 2 đạt được tại x = − 1 và GTNN của hàm

số số trên đoạn [ −1;3] là m = −4 đạt được tại x = 2 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên trên

[ −5;7 )

Ta có : y ( 0) = 3 ; y (1) = 2 ; y

( 3) = 6

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên đoạn 0; 3  là M = y

( 3) = 6

4 2 Câu 19. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Giá trị lớn nhất của hàm sốố f ( x ) = x − 4x + 5 trêm

⇒ M + m = 2 + (−4) = −2 Câu 16.

 x = −1(l )

như sau

31

đoạn [ −2;3] bằng A. 122 Hướng dẫn: Chọn B

B. 50

C. 5

D. 1

32

x = 0 f '( x) = 4 x3 − 8x = 0 ⇔  ∈ [ −2;3] ; x = ± 2

(

f ( 0 ) = e2 ; f ( 2 ) = Khi đó :

)

f ( 0 ) = 5; f ± 2 = 1; f ( −2 ) = 5; f ( 3) = 50

M − m = e2 −

Vậy Max y = 50 [ −2;3]

Câu 20.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 4 − x 2 + 13 trên đoạn

−  2;3  .

A. m = 13

B. m =

Hướng dẫn: Chọn B

51 4

C. m =

51 2

D. m =

49 4

1  A.  ; 2  . 2  Hướng dẫn:

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + 3 trên đoạn x −1

[ 2; 4] .

[2;4]

B. min y = [ 2;4]

19 3

C. min y = 6 [2;4]

D. min y = −2

1  B.  ; 2  . 2 

1  C.  ; 2  . 2 

cos x + 1  π trên 0;  là: sin x + 1  2 1  D.  ; 2  . 2 

Chọn A cos x + 1 . y= sin x + 1  π  π Vì x ∈  0;  nên sin x ∈ [ 0;1] . Do đó hàm 2018 đã cho xác định trên 0;  .  2  2

y=

[ 2;4]

Hướng dẫn:

cos x + 1 − sin 2 x − cos 2 x −1  π ⇒ y′ = = < 0 , ∀x ∈  0;  .

2 2 sin x + 1  2 ( sin x + 1) ( sin x + 1)

 π Suy ra hàm 2018 luôn nghịch biến trên 0;  .  2 1 Do đó: max y = y ( 0 ) = 2 ; min y = .  π  π 2  0;  0; 

Chọn C Tập xác định: D = ℝ \ {1}

x2 + 3 xác định và liên tục trên đoạn [ 2; 4] x −1 2 x − 2x − 3 ; y ′ = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = − 1 (loại) Ta có y′ = 2 ( x − 1)

Hàm số y =

Suy ra y ( 2 ) = 7; y ( 3) = 6; y ( 4 ) =

1 + e2 ; e4 1 1 m.M = 4 .e 2 = 2 ; e e m+M =

Câu 23: (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Tập giá trị của hàm 2018 y =

 1  51 Tính y ( −2 ) = 25 , y ( 3 ) = 85 , y ( 0 ) = 13 , y  ± = 12,75 ; = 2 4  51 Kết luận: giá trị nhỏ nhất m của hàm số là m = .

4

A. min y = −3

1 ; e4

M e2 = = e6 .

1 m e4

 x = 0 ∈ −2;3   3 ′ ′ y = 0 ⇔ y = 4x − 2x ;  x = ± 1 ∈ −2;3  ;    2

Câu 21.

1 1 . Do đó m = 4 và M = e 2 . e4 e



2



2

1  Vậy tập giá trị của hàm 2018 đã cho là  ; 2  . 2 

19 . Vậy min y = 6 tại x = 3 .

3 [ 2;4]

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên đoạn [ −2; 4] như hình vẽ bên. Tìm max f ( x ) . [ −2; 4]

Câu 22: (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Gọi m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = e2−3 x trên đoạn [ 0;2] . Mối liên hệ giữa M và m là

A. M − m = e .

B. m + M = 1 .

C. m.M =

1 . e2

D.

M = e2 . m

Hướng dẫn: Chọn C Hàm số f ( x ) = e2−3 x xác định và liên tục trên đoạn [ 0;2] .

f ′ ( x ) = −3e2−3 x < 0 , ∀x ∈ [ 0; 2] .

33

34

x

3

0

y'

−

8 3

0

+∞

+

y 33 9

A. f ( 0 ) .

B. 2 .

C. 3 .

 8 ⇒ min y = y  3  = 3 3 9 ( 0;+∞ )  3 Cách 2: 4 3x 3x 4 3x 3x 4 y = 3x + 2 = + + 2 ≥ 3 3 . . 2 = 3 3 9 x 2 2 x 2 2 x 3x 4 8 = ⇔x= 3 .

Dấu " = " xảy ra khi 2 x2 3

D. 1.

Hướng dẫn: Chọn C Dựa vào đồ thị ta có: max f ( x ) = 2 khi x = 2 và min f ( x ) = −3 khi x = −1 .

Vậy min y = 3 3 9

[ −2; 4]

[−2; 4]

Câu 25. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN)

Tìm tập giá trị của hàm số

y = x −1 + 9 − x

B. T =  2 2; 4  .

A. T = [1; 9] .

C. T = (1; 9 )

Câu 27: (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y = x 2 + trên khoảng (0; +∞) . Tìm a . x A. 3 3 4 .

B. 5.

C. 6 .

D. 2 3 16 .

Hướng dẫn: Chọn A 4 4 2 x3 − 4 Ta có: y = x2 + ⇒ y ' = 2 x − 2 = . x x x2 y ' = 0 ⇔ 2 x3 − 4 = 0 ⇔ x = 3 2 .

D. T =  0; 2 2  .

Hướng dẫn: Chọn B Tập xác định: D = [1; 9]

y′ =

x ≥ 1 1 1 − = 0 ⇔ 9 − x = x −1 ⇔  ⇔ x = 5.

2 x −1 2 9 − x 9 − x = x − 1

f (1) = f ( 9 ) = 2 2 ; f ( 5) = 4

Lập bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là a = 3 3 4 .

Vậy max f ( x ) = 3 3 4 khi x = −1 .

Vậy tập giá trị là T =  2 2; 4  .

Câu 26: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x +

4 trên x2

khoảng ( 0; +∞ ) .

33 5 Hướng dẫn: Chọn C Cách 1: A. min y = ( 0;+∞ )

B. min y = 2 3 9 ( 0;+∞)

( 0;+∞)

C. min y = 3 3 9 ( 0;+∞)

D. min y = 7 ( 0;+∞ )

4 trên khoảng ( 0; +∞ ) x2 4 8 Ta có y = 3x + 2 ⇒ y ' = 3 − 3 x x 8 8 8 Cho y ' = 0 ⇔ 3 = 3 ⇔ x3 = ⇔ x = 3 x 3 3

Xét hàm số y = 3 x +

[−2; 4]

Câu 28: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau t khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức c ( t ) = 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu t +1 thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ.

B. 1 giờ.

C. 3 giờ.

D. 2 giờ.

Hướng dẫn: Chọn B t Xét hàm số c ( t ) = 2 , (t > 0) . t +1 1− t2 c′ ( t ) = .

2 ( t 2 + 1)

t = 1 . c′ ( t ) = 0 ⇔   t = −1

35

36

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên [−1;2] là f (1) .

Với t = 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất. * Mức độ vận dụng: Câu 29: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y =

x+m ( m là tham số thực) thỏa mãn x −1

min y = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 31: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Ông A dự định dùng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 2, 26 m3 B. 1, 61 m3 C. 1, 33 m3 D. 1,50 m3 Hướng dẫn: Chọn D a

[2;4]

A. m > 4 Hướng dẫn:

B. 3 < m ≤ 4

C. m < −1

D. 1 ≤ m < 3

b

c

Chọn A

Ta có y ' =

−1 − m

( x − 1)

2

* TH 1. − 1 − m > 0 ⇔ m < −1 suy ra y đồng biến trên  2; 4  suy ra 2+m min f ( x ) = f ( 2 ) = = 3 ⇔ m = 1 (loại) 1 2;4  * TH 2. − 1 − m < 0 ⇔ m > −1 suy ra y nghịch biến trên  2; 4  suy ra

min f ( x ) = f ( 4 ) =  2;4 

Giả sử hình hộp chữ nhật có kích thước như hình vẽ. Ta có dung tích của bể cá: V = abc  6,5 − 2b2 2b2 + 6bc = 6,5 ab + 2bc + 2ac = 6,5 c = ⇔ ⇔ Mặt khác theo giả thiết ta có:  6b a = 2b a = 2b a = 2b 

4+m = 3 ⇔ m = 5 suy ra m > 4 .

3

Câu 30: (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) xác định

và liên tục trên ℝ , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

6,5 − 2b2 6,5b − 2b3 ⇔V = .

6b 3 3 6,5b − 2b Xét hàm số: f ( b ) = . Có BBT 3 Khi đó V = 2b 2 .

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1;2] là A. f (1) .

B. f ( −1) .

C. f ( 2 ) .

D. f ( 0 ) .

 39  3 Vậy bể cá có dung tích lớn nhất là: f   = 1,50 m .  6 

Hướng dẫn: Chọn A  x = −1 f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 2

Câu 32: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3 x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3. Số phần tử của S là A. 0 Hướng dẫn: Chọn D

Từ đồ thị hàm y = f ′ ( x) ta có bảng biến thiên 37

B. 6

C. 1

D. 2

38

3 2 Xét hàm số f ( x ) = x − 3x + m , ta có f ′ ( x) = 3x − 3 . Ta có bảng biến thiên của f ( x) :

⇒ Vmax =

5 30 ≈ 1, 01 m3 .

27

Câu 34: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một sợi dây có chiều dài một hình vuông và mộtt hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành m mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích củaa hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất?

56 112 84 92 A. .

B. .

C. .

D. .

4+π 4+π 4+π 4 +π Hướng dẫn: Chọn B Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x ( m ) ( 0 < x < 28 ) => chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 − x ( m )

TH 1 : 2 + m < 0 ⇔ m < − 2 . Khi đó max f ( x ) = − ( − 2 + m) = 2 − m [0;2]

2 − m = 3 ⇔ m = −1 (loại). 2 + m > 0 TH 2 :  ⇔ − 2 < m < 0 . Khi đó : m − 2 = 2 − m > 2 > 2 + m ⇒ max f ( x ) = − ( − 2 + m) = 2 − m [0;2] m < 0 2 − m = 3 ⇔ m = −1 (thỏa mãn). m > 0 TH 3 :  ⇔ 0 < m < 2 . Khi đó : m − 2 = 2 − m < 2 < 2 + m ⇒ max f ( x ) = 2 + m [0;2] − 2 + m < 0 2 + m = 3 ⇔ m =1 (thỏa mãn).

2

x2 x +) Diện tích hình vuông là:   =  4  16 28 − x +) Bán kính hình tròn là: R = 2π 2 784 − 56 x + x 2  28 − x  2 => Diện tích hình tròn: π R = π .   = 4π  2π 

TH 4: − 2 + m > 0 ⇔ m > 2 . Khi đó max f ( x ) = 2 + m [0;2]

2 + m = 3 ⇔ m =1 (loại).

x 2 784 − 56 x + x 2  π + 4  2 14 196 + = x − x+ 16 4π π π  16π  196  π + 4  2 14 Xét f ( x) =  . Nh Nhận thấy f ( x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x − x+ π π  16π  112 −b 14 16π . = x= = π 2 (π + 4 ) π + 4 2a Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đđạt giá trị nhỏ nhất là 112 m 4 +π +) Tổng diện tích hai hình:

* Vận dụng cao Câu 33: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 1, 01 m3 B. 0, 96 m3 C. 1,33 m3 D. 1,51 m3 Hướng dẫn: Chọn A A'

D'

B' A

2x D

x B

Câu 35 : (GKI THPT VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Một đoàn cứu trợ ợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung muốn đến xã C để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đi đđến C , đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ A đến vị trí D với vvận tốc 4 ( km / h ) , rồi đi bộ đến vị trí C vớii vận tốc 6 ( km / h ) . Biết A

C'

y

cách B một khoảng 5km , B cách C một khoảng 7 km (hình vẽ). Hỏi vị trí điểm m D cách A bao xa để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất?

C

Gọi x , y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y > 0 ).

Ta có thể tích bể cá V = 2 x 2 y .

Theo đề bài ta có: 2 xy + 2.2 xy + 2 x 2 = 5 ⇔ 6 xy + 2 x 2 = 5

⇔ y=

5 − 2x2 5 (Điều kiện kiện y > 0 ⇔ 5 − 2 x 2 > 0 ⇒ 0 < x < ) 6x 2

⇒ V = 2 x2

5 − 2 x 2 5 x − 2 x3 5 − 6 x2 5 = ⇒V′ = ⇒ V ′ = 0 ⇔ 5 − 6 x2 = 0 ⇔ x = 6 6x 3 3

A. AD = 5 3 km .

Hướng dẫn: Chọn B

39

B. AD = 2 5 km .

C. AD = 5 2 km .

D. AD = 3 5 km .

40

  1 1 x + 90 x = − x 2 + 90x Ta có F (x ) = −   50.000 50.000 Bài toán trở thành tìm giá tr trị lớn nhất của F (x ) = −

1 x 2 + 90x với điều kiện 50.000

x ≥ 2000.000 F ' (x ) = − Đặt AD = x ( km ) , ( x > 0 ) . Ta có BD =

2

2

AD − AB =

2

x − 25

1 x + 90 25.000

F ' (x ) = 0 ⇔ −

( x ≥ 5)

1 x + 90 = 0 ⇔ x = 2.250.000 25.000

Ta lập bảng biến thiên:

2

CD = BC − BD = 7 − x − 25 2

Suy ra F (x ) đạt giá trị lớn nhất nh khi x = 2.250.000

AD DC x 7 − x − 25 + = + 4 6 4 6 2 1 −2 x 3 x − 25 − 2 x .

T ′( x) = + = 4 12 x 2 − 25 12 x 2 − 25 T ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 25 = 2 x ⇔ x = 3 5 Bảng biến thiên Thời gian đi từ A đến C là: T ( x ) =

Vậy công ty phải cho thuê vvới giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì đượcc lãi lớn nhất.

Nhận xét: Làm sao ta có th thể tìm được hệ số

1 trong biểu thức (1) ?

50000

Ta có thể hiểu đơn giản nh như ư sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng vớii s ố tiền cho thuê; 50 − m (x − 2000.000) x = 2.000.000 thì số căn hộ được thuê là 50 . Nếếu số tiền cho thuê tăng

lên là x = 2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 ngườii thuê. Ta có: 50 − m (2.100.000 − 2.000.000) = 48 ⇔ m =

1 .

50000

Câu 37: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ' ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

14 + 5 5 Do đó min T ( x ) = T 3 5 = x∈[5; +∞ ) 12 AD = 3 5 km Vậy ( ).

( )

Câu 36: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếuu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì m mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗii lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có th thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốnn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá m mỗi căn hộ là bao nhiêu?

A. 2.250.000.

B. 2.350.000.

C. 2.450.000.

D. 2.550.000.

Hướng dẫn: Chọn A

Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m là tham ssố thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi

Gọi x là giá cho thuê thực ttế của mỗi căn hộ, ( x – đồng; x ≥ 2000.000 đồng ).

A. m > f ( 2 ) − 2.

Số căn hộ cho thuê được ứng vvới giá cho thuê: 50 −

B. m > f ( 0 ) .

C. m ≥ f ( 2 ) − 2.

D. m ≥ f ( 0 ) .

Hướng dẫn: Chọn D f ( x) < x + m ⇔ f ( x) − x < m .

1 1 x + 90, (1) (x − 2000000) = − 50.000 50000

Đặt g ( x ) = f ( x ) − x xét trên khoảng ( 0; 2 ) .

Gọi F (x ) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, ( F (x ) : đđồng).

g ′( x ) = f ′ ( x ) − 1 .

41

42

Từ đồ thị ta thấy g ′( x ) = f ′ ( x ) − 1 < 0 với mọi x ∈ ( 0; 2 ) . Suy ra hàm số g ( x ) = f ( x ) − x luôn nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

2

Có g ( t ) = −t 2 + 4t + 7 = 11 − ( t − 2 ) ≤ 11 , dấu đẳng thức xảy ra khi t = 2 ⇔ x 2 − 4 x + 6 = 2 x = 2 + 2

⇔ x2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ 

Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m là tham ssố thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi m ≥ lim g ( x ) = f (0) . x→0

Câu 38: (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢ ẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 2

trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề dưới đây đúng.

.  x = 2 − 2 Như vây, M = max f ( x ) = max g ( t ) = 11 ⇔ x = 2 ± 2 , suy ra nghiệm của phương trình f ( x ) = M là  2 ;+∞ ) 

x = 2± 2 .

Vậy tích các nghiệm của phương trình f ( x ) = M bằng 2 .

Câu 40: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình 6 x +

( 2 + x )( 8 − x ) ≤ x 2 + m − 1 nghiệm đúng với mọi

A. m ≥ 16 Hướng dẫn: Chọn B A. max g ( x ) = g ( 3 ) .

B. min g ( x ) = g (1) .

Xét bất phương trình: 6 x +

C. max g ( x ) = g ( 0 ) . D. max g ( x ) = g (1) .

[ −3;3]

[ −3;3]

[ −3;3]

[−3;3]

Đặt t =

Hướng dẫn: Chọn D

( 2 + x )(8 − x ) ,

C. m ≥ 8

( 2 + x )( 8 − x ) ≤ x 2 + m − 1 (1) , điều kiện

x ∈ [ −2;8]. Ta có: t ' =

3− x

( 2 + x )(8 − x )

D. − 2 ≤ m ≤ 16

x ∈ [ −2;8 ].

, t'= 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1) Dựa vào đồ thị ta thấy  x = −3 g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔  x = 1  x = 3 Và với x ∈ ( −∞; −3 ) : f ′ ( x ) < x + 1 ⇒ g ′ ( x ) < 0

Suy ra t ∈ [ 0; 5] . Khi đó (1) trở thành: t 2 + t − 15 ≤ m ( 2 ) .

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t − 15 , f ' ( t ) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ [ 0; 5] Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2;8] khi và chỉ khi ( 2 ) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;5]

với x ∈ ( −3;1) : f ′ ( x ) > x + 1 ⇒ g ′ ( x ) > 0 ,

⇔ max f ( t ) ≤ m ⇔ m ≥ 15 .

với x ∈ (1;3 ) : f ′ ( x ) < x + 1 ⇒ g ′ ( x ) < 0 với x ∈ ( 3; +∞ ) : f ′ ( x ) > x + 1 ⇒ g ′ ( x ) > 0 Bảng biến thiên x −∞ −3 ‒ 0 g′ ( x) +

B. m ≥ 15

x ∈ [ −2;8 ].

[0;5]

1 0

‒

3 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

+∞ +

* Mức độ nhận biết g (x)

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ a; b] . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên [ a; b] .

Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = g (1) . [−3;3]

B. max f ( x ) = f (a ) [ a ,b]

Câu 39: (CHUYÊN BẮC NINH NĂ NĂM 2018-2019 LẦN 03) Gọi M là giá tr ị lớn nhất của hàm số

f ( x ) = 4 x 2 − 4 x + 6 + 4 x − x 2 + 1 . Tính tích các nghi nghiệm của phương trình f ( x ) = M .

A. 2 .

B. 4 .

C. − 2 .

D. − 4 .

Hướng dẫn: Chọn A Đặt t = x 2 − 4 x + 6 =

( x − 2)

2

C. min f ( x ) = f (a ) [ a ,b]

D. Cho hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ a; b] .

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục và nghịch biến trên [ 0;5] . Khẳng định nào sau đây sai?

+2 ≥ 2 .

A. max f ( x ) = f (0)

)

Khi đó, M = max f ( x ) = max g ( t ) , vvới g ( t ) = −t 2 + 4t + 7 trên  2; +∞ .  2 ;+∞ ) 

[0,5]

43

44

B. min f ( x ) = f (5)

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) và ( 2;+∞ ) .

[ 0,5]

D. Hàm số có giá trị lớn nh nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là −2 .

C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

1  1  Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) xác đđịnh và liên tục trên khoảng  −∞;  và  ; +∞  . Đồ thị hàm số 2  2 

D. Phương trình f ' ( x ) = 0 vô nghiệm trên đoạn [ 0;5] .

Câu 3:

Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

y = f ( x ) là đường cong trong hình vvẽ bên. y

2 1

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. min y = 3 .

B. Cực tiểu của hàm số là 3 .

ℝ

C. max y = 4 .

−1

D. Cực đại của hàm số là 4 .

ℝ

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên

1 1 2

O

x

2

−2

Tìm mệnh đề đúng trong các m mệnh đề sau

A. max f ( x ) = 2 .

B. max f ( x ) = 0 .

C. max f ( x ) = f ( −3 ) .

D. max f ( x ) = f ( 4 ) .

[1;2]

[ −2;1]

[ −3;0]

[3;4]

Câu 7: [2D1-3.1-1] [THPT TRẦN N QU QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Hàm số y = f ( x ) liên tục và có bảng

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng −2 .

B. Hàm số có hai điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .

biến thiên trong đoạn [ −1; 3] cho trong hình bên. Gọi M là giá trị lớnn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1;3] . Tìm mệnh đề đúng?

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là hình sau:

y 2 A. M = f ( −1) .

-1

1

2

x

Câu 8:

O

B. M = f ( 3) .

C. M = f (2) .

D. M = f (0) .

[2D1-3.1-1] [THPT Thuận n Thành 3-2017] Cho hàm số y = f ( x ) xác đđịnh, liên tục trên R và có bảng biến thiên. x -∞

-2

-1

y'

+ +∞ + +∞

+∞

.

0 0

y

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

-1

.

Khẳng định nào sau đây là kh khẳng định đúng?

B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( 0; 2 ) và ( 2; −2 ) .

45

46

Câu 9:

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −1.

C. Hàm số không xác định tại x = −1 .

Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0.

D. Hàm số có đúng hai cực trị.

nhất của hàm số y = x +

A. m = 4 . y

1

x

A. m = −6 .

−2

1 Câu 18 : (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) 3 là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s) * Mức độ vận dụng

B. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −2;1] lần lượt là f ( −2 ) , f (1) .

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số nhận giá trị âm với mọi x ∈ ℝ .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng −2 .

B. max f ( x ) = −6 .

[1;3]

C. max f ( x ) = [1;3]

13 .

27

B. m = −3 .

C. m = −4 .

D. m = −5 .

Câu 19 : (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 3

B. x = 2

C. x = 4

D. x = 6

Lời giải Chọn B Ta có : h = x ( cm ) là đường cao hình hộp

* Mức độ thông hiểu.

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 8x 2 + 16 x − 9 trên đoạn [1;3] là [1;3]

D. m = 3 .

−1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −2;1] lần lượt là f ( −2 ) , f ( 0 ) .

A. max f ( x ) = 5 .

C. m = 1 .

Câu 17: (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − m .

Trên [ −1;1] hàm số có giá trị nhỏ nhất là −1 . Tính m ?

O −2

4 trên khoảng ( 0; +∞ ) . Tìm m x B. m = 2 .

Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 − 2 x ( cm )

D. max f ( x ) = 0 .

[1;3]

Câu 12: (Mã 103 - BGD - 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 3x trên đoạn [ − 3;3] bằng

x > 0 x > 0 2 Vậy diện tích đáy hình hộp S = (12 − 2 x ) cm2 . Ta có:  ⇔ ⇔ x ∈ ( 0; 6 ) 12 − 2 x > 0 x < 6

A. −2 .

Thể tích của hình hộp là: V = S.h = x. (12 − 2 x )

B. 18 .

C. 2 .

(

D. − 18 .

Câu 13: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − x 2 + 13 trên đoạn [−1;2] bằng 51 A. 85 B. C. 13 D. 25 4 2 1  Câu 14: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 2 + trên đoạn  ; 2 . x 2  17 A. m = 5 B. m = 3 C. m = D. m = 10 4 Câu 15: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 3 − 7 x 2 + 11x − 2 trên đoạn [0 ; 2] .

A. m = 3 B. m = 0 C. m = −2 D. m = 11

)

2

2

Xét hàm số: y = x. (12 − 2 x ) ∀x ∈ ( 0;6 ) 2

Ta có : y ' = (12 − 2 x ) − 4 x (12 − 2 x ) = (12 − 2 x )(12 − 6 x ) ; y ' = 0 ⇔ (12 − 2 x ) . (12 − 6 x ) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại).

Suy ra với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y ( 2 ) = 128 .

Câu 16: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi m là giá trị nhở 47

48

Câu 20: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = min y + max y = [1;2]

[1;2 ]

A. m > 4

x+m ( m là tham số thực) thoả mãn x +1

16 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3 B. 2 < m ≤ 4 C. m ≤ 0 Lời giải

A. − 1 .

B. 2 .

C. − 2 .

D. 1 .

Câu 24: (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

D. 0 < m ≤ 2

Chọn A Ta có y ′ =

1− m

( x + 1)

2

.

Nếu m = 1 ⇒ y = 1, ∀x ≠ −1 . Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu m < 1 ⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [1;2] .

16 16 m + 1 m + 2 16 ⇔ y (1) + y ( 2 ) = ⇔ + = ⇔ m = 5 (loại).

3 3 2 3 3 Nếu m > 1 ⇒ Hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2] .

Khi đó: min y + max y = [1;2]

[1;2]

Khi đó: min y + max y = [1;2]

[1;2]

Bất phương trình f ( x ) > x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi

16 16 2 + m 1 + m 16 ⇔ y ( 2 ) + y (1) = ⇔ + = ⇔ m = 5 ( t/m) 3 3 3 2 3

A. m ≤ f ( 0 ) .

Câu 21: (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Có một giá trị m0 của tham số m để hàm số y = x + (m +1) x + m +1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn [0;1] . Mệnh đề nào sau đây là 3

2

đúng?

A. 2018m0 − m02 ≥ 0 .

+ Ta có: y ′ = 3x 2 + m2 +1 . Dễ thấy rằng y ′ > 0 với mọi x , m thuộc ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ , suy ra hàm số đồng biến trên [ 0;1] . Vì thế min y = min f ( x) = f (0) = m + 1 . [ 0;1]

2 3

(1 − x )

[ 0;1]

+ Theo bài ra ta có: m + 1 = 5 , suy ra m = 4 . + Như vậy m0 = 4 và mệnh đề đúng là 2018m0 − m02 ≥ 0 . * Mức độ vận dụng cao.

D. m < f ( 2 ) − 2 .

≤ 0 đúng với mọi x ∈ [ −1;1] . Số phần tử của tập s bằng

A. 1.

D. 2m0 +1 < 0 .

Lời giải + Đặt f ( x) = x3 + (m2 +1) x + m +1 .

C. 6m0 − m02 < 0 .

C. m ≤ f ( 2 ) − 2 .

Câu 25: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi s là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0; 2019] để bất phương trình

x2 − m +

B. 2m0 −1 < 0 .

B. m < f ( 0 ) .

B. 2020 .

D. 2 .

C. 2019 .

1 D

2 C

3 A

4 D

5 D

6 C

7 D

Đáp án 8 A

9 A

10 C

11 C

12 B

14 B

15 C

16 A

17 C

18 D

19 B

20 A

21 A

22 D

23 C

24 C

25 C

13 D

Câu 22. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x ( cm ) , rồi gập tấm nhôm lại (như hình vẽ) để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (1 TIẾT) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.

1. Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; +∞ ) , ( −∞; b ) hoặc ( −∞; +∞ ) ). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x) = y0 , lim f ( x) = y0

8 − 2 21 10 − 2 7 9 + 21 9 − 21 B. x = C. x = .

D. x = 3 3 9 3 Câu 23: (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 2 x + m trên đoạn [ −1; 2] bằng 5 .

2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f ( x )

49

50

A. x =

x →+∞

x →−∞

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f ( x) = +∞, lim− f ( x) = −∞, lim+ f ( x) = −∞, lim− f ( x) = +∞

x → x0+

x → x0

x → x0

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y =

Câu 3: (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đồ thị hàm số y = f ( x )

x → x0

ax + b cx + d

( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

luôn có tiệm cận ngang là y =

a và c

như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y

d tiệm cận đứng x = − . c 3. Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng. +) Hàm phân thức mà bậc của tử ≤ bậc của mẫu có TCN. B. LUYỆN TẬP * Mức độ nhận biết.

1

−1

x

O

Câu 1: (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có báng biến thiên như sau: A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 , tiệm cận ngang y = 1.

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

D. Hàm số đồng biến trong khoảng ( −∞ ; 0 ) và ( 0 ; + ∞ ) .

Hướng dẫn: Chọn A

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: B. 3.

C. 4.

D. 1.

A. 2.

Hướng dẫn: Chọn B Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số

Câu 4: (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x) = 1 và lim f ( x) = −1 . x →+∞

x →−∞

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1 .

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1 .

lim f ( x ) = 3 ⇒ y = 3 là TCN của đồ thị hàm số

x →+∞

lim f ( x ) = 1 ⇒ y = 1 là TCN của đồ thị hàm số

x →−∞

Hướng dẫn: Chọn D Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án Câu 5: [THPT Đặng Thúc Hứa - 2017] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2x + 1 y= ? x−2 A. x = −2 .

B. y = 2 .

C. x = 2 .

D. y = −2 .

Vậy hàm số có 3 tiệm cận

Câu 2: (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hướng dẫn: Chọn C Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1.

B. 2 .

C. 4 .

Hướng dẫn: Chọn B Từ bảng biến thiên đã cho ta có :

2x +1 = +∞; x−2 .

2x + 1 = −∞ lim− y = lim− x→2 x →2 x − 2 lim y = lim+

x → 2+

D. 3 .

x →2

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

lim f ( x ) = 0 nên đường thẳng y = 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x→−∞

2x +1 .. x−2 1− x . x−2 D. y = −1 .

Câu 6: [THPT chuyên Lê Thánh Tông - 2017] Tìm cận cận ngang của đồ thị hàm số y =

lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = 0 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x→0

A. y = 2 .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

B. x = 2 .

C. x = −1 .

Hướng dẫn: Chọn D 51

52

Ta có

1 −1 1− x Ta có lim y = lim = lim x = −1 . Vậy tiệm cận ngang là y = −1 . x →±∞ x →±∞ x − 2 x →±∞ 2 1− x

x + 16 − 4 x = lim = lim x → 0 x →0 x + 1 x ( ) x ( x + 1) x + 16 + 4 ( x + 1)

lim y = lim x →0

(

x →0

x + 16 − 4 = lim ( x + 1) x x→( −1)+ ( x + 1)

Câu 7: [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - 2017] Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số −2 x − 1 y= có phương trình lần lượt là: x −1 A. y = 1, y = −2 .

B. x = 1; y = −2 .

C. x = 1, x = −2 .

D. x = 1, y = 2

vì lim +

Hướng dẫn: Chọn B

Tương tự lim − y = lim −

(

)

y=

x →( −1)

x+4 −2 là x2 + x A. 3 .

2x + 1 2x + 1 = 2 , lim y = lim =2. x →−∞ x →−∞ x − 1 x −1 ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. * Mức độ thông hiểu

Ta có: lim y = lim

Vì lim + y = lim + x →( −1)

1

( x + 1) (

x + 25 + 5

)

( x + 1) (

x + 16 + 4

x + 25 − 5 là x2 + x

C. 1.

D. 2 .

TXĐ: D = [ −4; +∞ ) \ {−1;0} .

x →( −1)

x+4 −2 = −∞ x2 + x

x→0

x+4 −2 = lim x→0 x2 + x

(

x+4 −2 x ( x + 1)

)(

(

x+4 +2

x+4 +2

)

) = lim x→0

1

( x + 1) (

x+4 +2

)

=

1 4

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x = −1 .

Câu 12: (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Đồ thị hàm số f ( x ) =

1 x + 25 + 5

)

.

Câu 10: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x + 16 − 4 là x2 + x

cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .

Hướng dẫn: Chọn B Tập xác định của hàm số D = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) TH1: x < −1 ⇒ x + 1 < 0 . Khi đó f ( x ) =

C. 1

= −∞ .

Nên đường thẳng x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

D. 1

= +∞ nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = −1 .

B. 2

)

Chọn C

x→0

C. 0

( x + 1) (

1

Hướng dẫn:

lim y = lim

Câu 9: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Tập xác định D = [ −25; +∞ ) \ {−1;0} . Biến đổi f ( x) =

+

Nên đường thẳng x = −1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

x →+∞

B. 2

= +∞ .

)

x →( −1)

B. 0 .

x →( −1)

A. 3 Hướng dẫn: Chọn D

x + 16 + 4

x + 16 + 4 = 15 + 4 > 0 , lim + ( x + 1) = 0 và x → ( −1) thì x > −1 ⇒ x + 1 > 0 .

Ta có: lim + y = lim +

x →+∞

(

)

Câu 11: (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hướng dẫn: Chọn C

A. 3 Hướng dẫn: Chọn C

x →( −1)

1

(

1 = . x + 16 + 4 8

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = −1 .

Câu 8: [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU - 2017] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị 2x +1 hàm số y = ? x −1 A. y = 1 .

B. x = 2 .

C. y = 2 .

D. x = 1 .

y=

x →( −1)

x →( −1)

1 1 −2 − −2 − −2 x − 1 −2 x − 1 x x = −2 .

Ta có lim y = lim = lim = −2 và lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x − 1 x →+∞ x →−∞ x →−∞ x − 1 x →−∞ 1 1 1− 1− x x Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = −2 . −2 x − 1 −2 x − 1 Ta có lim+ y = lim+ = −∞ và lim− y = lim− = +∞ . x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = 1 .

x →( −1)

lim + y = lim +

x →( −1)

)

1

D. 0

x +1 2

x −1

=

x +1 x2 − 1

có tất

D. 2 .

2

( x + 1) x − ( 1)( x + 1) −

=−

x +1 . x −1

Suy ra hàm số TCN y = −1 , không có TCĐ.

TH2: x > 1 ⇒ x + 1 > 0 . Khi đó f ( x ) =

Tập xác định hàm số D = [ −16; +∞ ) \ {−1;0} .

53

x +1 x2 − 1

2

=

( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

=

x +1 . x −1 54

Suy ra hàm số TCN y = 1 , TCĐ x = 1 .

Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCN

Câu 13: (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=

x ( 4x + 6) − 2

x+2 A. 1 Hướng dẫn: Chọn C

là?

B. 3

x ( 4 x + 6) − 2

lim

x+2

x →+∞

lim

x+2

x →−∞

= lim

Câu 16: [2D1-4.7-3] [THPT Chuyên Phan Bội Châu – 2017] Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận đứng x +3 của đồ thị hàm số y = đi qua điểm A ( 5;2 ) . x + m −1 A. m = 6 .

B. m = 4 .

C. m = −4 .

D. m = −1 .

Hướng dẫn: Chọn C Để đường thẳng x = 1 − m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 − m không phải là nghiệm của phương trình x + 3 = 0 . ⇔ 1− m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 4 . Đường thẳng x = 1 − m đi qua điểm A ( 5;2 ) .

6 2 − x x = −2 2 1+ x

− 4+ = lim

x →−∞

x ( 4x + 6) − 2

lim

x+2

x →−2±

D. 4

6 2 4+ − x x =2 2 1+ x

x →+∞

x ( 4x + 6) − 2

C. 2

= lim± x →−2

( x + 2 )( 4 x − 2 ) = lim ( x + 2 ) ( x ( 4 x + 6 ) + 2 ) x→−2

±

4x − 2 x ( 4x + 6) + 2

=

−5 2

⇔ 5 = 1 − m ⇔ m = −4 . * Vận dụng cao

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y = ±2 .

Câu 14: (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 .

B. 5 .

Hướng dẫn: Chọn A

(

)

Điều kiện: x ∈ −∞; − 2 ∪ ( −1;1) ∪ Do lim y = lim y = lim x →+∞

x →−∞

x →±∞

C. 3 .

(

x2 + 2x + 3 4

2

x − 3x + 2

. Đồ thị

D. 6 .

)

2; +∞ .

2 3 + x x 2 = 1 ⇒ y = 1 là đường tiệm cận ngang = lim 4 2 x →±∞ 3 2 x − 3x + 2 1− 2 + 4 x x

x2 + 2x + 3

1+

của đồ thị hàm số.

Có lim− y = +∞ nên đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng. lim + y = lim +

x →( −1)

x →( −1)

( x + 1)( x + 2 ) ( ) ( x − 1) ( x −

( x + 1) x + 2

2

)

= lim + x →( −1)

( x + 1) ( x + 2 )

(

x+ 2

)

(

( x − 1) x − 2

)

=0

nên

Điều kiện x2 − 4 x + m > 0 x+2 Đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng khi 2 x − 4x + m

x2 − 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác − 2  ( − 2 ) 2 − m > 0 4 − m > 0 ⇔ ⇔  2 12 + m ≠ 0  ( − 2 ) − 4. ( −2 ) + m ≠ 0

m < 4   m ≠ − 12

Câu 18: (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

đường thẳng x = −1 không là đường tiệm cận đứng.

A. 8.

Hướng dẫn: Chọn B.

Có lim + y = +∞ nên đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng. x →( 2 ) Có

Câu 17: (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị nguyên x+2 của hàm số thực m thuộc đoạn [ −2017; 2017 ] để hàm số y = có hai tiệm cận đứng.

2 x − 4x + m A. 2019 B. 2021 C. 2018 D. 2020 Hướng dẫn: Chọn B

Vì m là số nguyên và thuộc đoạn [ − 2017; 2017 ] nên có 2021 giá trị của m

x →1

Có

Câu 15: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5 – 2017] Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (m −1) x + 2m + 4 không có tiệm cận đứng. y= x −1 A. m ≠ −1 .

B. m = 1 .

C. m ≠ 1 .

D. m = −1 .

Hướng dẫn: Chọn D ( m −1) x + 2m + 4 Đồ thị hàm số y = không có tiệm cận đứng ⇔ 2m + 4 = −(m −1) ⇔ m = −1 . x −1

lim − y = +∞ nên đường thẳng x = − 2 là đường tiệm cận đứng. ( )

x 2 − 3x + 2 không có đường tiệm cận đứng? x − mx − m + 5 B. 10.

C. 11.

D. 9.

2

x = 1 Nhận xét: x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔  . x = 2

x→ − 2

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận ( 1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng).

Đặt f ( x ) = x 2 − mx − m + 5 .

* Mức độ vận dụng.

55

56

Hàm số đã cho không có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi

∆ f < 0  m 2 + 4m − 20 < 0   2  −2 − 2 6 < m < −2 + 2 6  ∆ f > 0   m + 4m − 20 > 0 ⇔  ⇔ .  1 − m − m + 5 = 0 f 1 = 0 m = 3  ( )   f ( 2 ) = 0   4 − 2m − m + 5 = 0  Vì m là số nguyên nên m∈{−6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3} .

Hướng dẫn:

hình dưới đây.

Chọn C

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

B. 1.

A. 0.

Hướng dẫn: Chọn D

1 đúng bằng số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) −1

( x ) − 2 f ( x )

=

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

x ≥ 0 x2 + x :  .  x ≤ −1

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) x + 1 = +∞ = lim . x →0 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 x . f ( x ) .  f ( x ) − 2 +

Suy ra x = 0 là

tiệm cận đứng.

Với f ( x ) = 0 ⇒ x = −3 (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì −1 < a < 0 ).

Ta có: lim+ x →−3

1 là 3 .

2 f ( x ) −1

Câu 20 : (THPT BẠCH ĐẰNG QUẢNG NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

x  f

2

x →0

1 = 1 ⇒ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 . x →±∞ 2 f ( x ) −1

+ 4 x + 3) x 2 + x

+ 4 x + 3) x 2 + x

Với x = 0 ta có lim+

Lại có lim

2

2

x = 0  2   x f x − 2 f x = 0 ⇔ Xét phương trình  ( ) ( )  f ( x) = 0 . f x =2  ( )

1 Mà số nghiệm thực của phương trình f ( x ) = bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) 2 1 với đường thẳng y = .

2 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại 2 điểm phân 2 1 biệt. Vậy đồ thị hàm số y = có 2 tiệm cận đứng.

2 f ( x) −1

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

(x

Điều kiện tồn tại căn

1 2 f ( x) −1 = 0 ⇔ f ( x ) = .

2

(x

D. 6 .

D. 3.

y=

như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y =

C. 4 .

1 là 2 f ( x ) −1

C. 2.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

B. 3 .

A. 2 .

Câu 19: (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = −∞ x. f ( x ) .  f ( x ) − 2

nên x = −3 là tiệm cận đứng.

 x = −1  f x = 2 ⇒ Vớ i ( )  x = b ( −3 < b < −1) (nghiệm bội 1). Ta có:  x = c c < −3 ( ) 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

57

58

 ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)  lim+ =0 x →−1 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2   x + 1 x + 3 x x + 1 ( )( ) ( )  lim =0  nên x = −1 không là tiệm cận x →b + x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)  =0  lim−  x →−1 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  đứng.

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) lim = +∞ x →b x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  +

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) lim = +∞ x→c x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  +

B. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −2 .

C. ( C ) có hai tiệm cận.

D. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −1 .

\ Câu 5:

[Cụm 1 HCM - 2017] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ?

A. y = −2 .

(do x → b thì f ( x ) → 2 ) nên x = b là tiệm cận đứng. +

+

A. ( C ) có tiệm cận đứng.

Câu 6: (do x → c + thì f ( x ) → 2− ) nên x = c là tiệm cận đứng.

Câu 7:

C. x = 2 .

D. x = 1 .

[2D1-4.4-1] [THPT Gia Lộc 2 - 2017] Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. y = 2 .

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN * Mức độ nhận biết

B. y = 1.

B. x = −1 .

1− 2x x−2

C. x = 0 .

2x −1 . x +1

D. x = 2 .

[THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - 2017] Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 2 và x →+∞

lim f ( x ) = −2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

x →−∞

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2 .

B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2 và x = −2 .

Câu 1: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Câu 8:

[THPT CHUYÊN VINH - 2017] Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +∞ . x →+∞

x →−∞

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 .

B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận ngang là trục hoành.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 .

B. 1.

C. 3 .

D. 2 .

C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận ngang.

Câu 2: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như

D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành. * Mức độ thông hiểu

sau

x2 − 5x + 4 . x2 −1 D. 1

Câu 9: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 2

B. 3

C. 0

Câu 10: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. 2 Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

Câu 3:

Câu 4:

[TT Hiếu Học Minh Châu - 2017] Cho hàm số y =

B. ( C ) chỉ có một tiệm cận.

C. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 3 .

D. ( C ) có tiệm cận đứng là x = 1 .

[Chuyên ĐH Vinh - 2017] Cho hàm số y =

C. 3

D. 0

Câu 11: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =

3 có đồ thị là ( C ) . Mệnh đề nào sau đây x +1

là đúng?

A. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 0 .

B. 1

x+4−2 là x2 + x

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Câu 12: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 1

B. 2

C. 0

x2 − 3x − 4 x2 − 16

x +9 −3 là x2 + x

D. 3

x−2 có mấy tiệm cận. x2 − 4 C. 2 D. 0

Câu 13: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Đồ thị hàm số y =

1− 2x có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây sai ? x +1

A. 3 59

B. 1

60

Câu 14: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x

2 x −1 − x2 + x + 3 . x2 − 5x + 6

B. 0

C. 2

–

1 2

+∞

0

+

1

y

1

−3

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

D. vô số

A. 0 .

mx − 1 Câu 16: : [Cụm 4 HCM – 2017] Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là 2x + m đường thẳng x = −1 ?

1 A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = .

D. m = 0 .

2 * Vận dụng cao.

−

y′

A. x = 3 và x = 2 .

B. x = 3 .

C. x = −3 và x = −2 .

D. x = −3 . * Vận dụng.

Câu 15: (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu giá trị của tham số m mx + 3 ( Cm ) : y = 1 − x có tiệm cận và tâm đối xứng của ( Cm ) thuộc đường thẳng để đồ thị d : 2x − y +1 = 0 ?

A. 1

−∞

B. 1 .

C. 2 .

1 là 2 f ( x ) −1 D. 3.

Câu 20: (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số bậc ba f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Câu 17: (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

x

−∞

1

2

3

+∞ +∞

f ( x) −∞

0

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

B. 3 .

A. 4 .

Hỏi đồ thị hàm số g (x ) =

C. 1.

1 là: 2 f ( x ) −1

A. 5

(x

2

− 3x + 2

)

x −1

( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x ) 

A. 5 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 4 .

C. 6 .

2

)

− 3x + 2

1 D 11 C

2 A 12 A

B. 4

3 A 13 C

4 D 14 B

2x − 1

x  f 2 (x ) − f (x )  

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

C. 6

D. 2 .

Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x) =

(x

5 A 15 B

ĐÁP ÁN 6 B 16 A

7 A 17 A

D. 3

8 B 18 D

9 A 19 D

10 B 20 B

D. 3 .

Câu 19: (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

61

62

BÀI 5: ĐỒ THỊ (1 TIẾT) A. Kiến thức cần nhớ I. Sơ đồ khảo sát hàm số.

1. Tập xác định 2. Sự biến thiên a. Chiếu biến thiên: Tính y’ Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm tại đó y’ không xác định.

Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. b. Tìm cực trị c. Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn tại + ∞ , - ∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định . Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có). d. Lập bảng biến thiên.

3. Đồ thị: + Tính thêm toạ độ một số điểm đặc biệt (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ). dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

II. Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức 1. Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Trường hợp a>0 a<0

y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt

y’ = 0 có 1 nghiệm

3. Dạng của đồ thị hàm số y = Trường hợp

y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt

ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d Dạng đồ thị

ad – bc > 0

y’ = 0 có nghiệm kép ad – bc < 0

B. Luyện tập *Mức độ nhận biết

y’ = 0 vô nghiệm

2. Dạng của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Trường hợp a>0

Câu 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = x 3 − 3 x .

B. y = −x 3 + 3 x .

C. y = −x 4 + 2 x 2 .

D. y = x 4 − 2 x 2 .

a<0 63

y 2

1 -1

x

O -2

64

HD: Đáp án A Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại C, D. Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 nên chỉ có A phù hợp.

Câu 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = ( x + 1)2 (1 − x ) .

Cách giải: Số giao điểm của (C) và trục hoành là số nghiệm của phương trình x 3 − 3x = 0.

x = 0 Ta có: x 3 − 3x = 0 ⇔ x x 2 − 3 = 0 ⇔  x = ± 3 Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có bảng biến thiên sau:

(

y

x

B. y = ( x + 1)2 (1 + x ) .

x

C. y = ( x + 1)2 (2 − x ) .

-1 O

+

C.

y

y

3

1

-1

x

2

-1 O

x

O

x

-2

-1 O

1

y

y

D

C -1

y

1

x

-2

và TCN: y =

1 2

-4

O

1 -2

x

đều giống nhau.

Câu 5: Cho hàm số y = x 3 − 3x có đồ thị ( C ) . Tìm số giao điểm của ( C ) và trục hoành.

C. 1.

x

-1

O

1 2 1 2

2

O

Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C. Cách 2. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định tức y ' > 0 . Kiểm tra ta thấy chỉ có C & D thỏa mãn. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O (0;0) nên đáp án C thỏa mãn.

B. 3.

4 1

−

1 2

B 2

2x +1 x −1 y= .

2 x +1

Các chi tiết đồ thị hàm số có TCĐ: x = −

y

A

HD: Đáp án C

A. 2.

−2

Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số y = f ( x ) ?

B. y = x + 3 .

D.

+∞

+ +∞

−∞

Câu 3: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y = −x 4 − 2 x 2 + 3 .

B. y = −x 4 − 2 x 2 − 3 .

C. y = −x 4 + 2 x 2 + 3 .

D. y = x 4 + 2 x 2 + 3 .

HD: Đáp án A Hình dáng đồ thị thể hiện a < 0 . Loại D. Dựa vào đồ thị thấy khi x = 0 thì y = 3 . Loại B. Hàm số có một cực trị nên a, b cùng dấu.

Câu 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

0

2

y

HD: Đáp án C Hình dáng đồ thị thể hiện a < 0 . Loại đáp án B, D. Để ý thấy khi x = 0 thì y = 2 . Do đó chỉ có đáp án C phù hợp.

2x +1 x y= .

2 x +1

1 −

0

1 2

D. y = ( x + 1)2 (2 + x ) .

A. y = x + 1 .

−1

−∞

y'

2

)

D. 0.

HD: Đáp án B Phương pháp: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành. Giải phương trình

HD: Đáp án A Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: ● Khi x → +∞ thì y → +∞ . Loại C và D. ● Tọa độ các điểm cực trị là (−1;2) và (1; −2) nên đáp án A là phù hợp.

Câu 7: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = sin x − cos x B. y = 2sin x C. y = 2 sin ( − x ) D. y = −2 cos x HD: Đáp án D Hàm số đó phải là hàm chẵn.

Xét hàm D có y ( − x ) = y ( x ) nên hàm D là hàm chẵn.

Câu 8: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số f ( x ) =

2x − 1 và trục tung. x+2

y = 0.

65

66

A. M ( 0; −2 )

 1 B. M  0; −  2 

1  C. M  ; 0  2 

 1  D. M  − ; 0   2 

y

HD: Đáp án B 1 . Vậy giao với trục tung là 2 *Mức độ thông hiểu

Cho x = 0 ⇒ y = −

1   0; −  2 

1

Câu 1: Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số y=

ax + b cx + d

-1

-2

1

x

y

với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề

nào sau đây là đúng ?

A. y ′ < 0, ∀x ≠ 1.

B. y ′ < 0, ∀x ≠ 2.

C. y ′ > 0, ∀x ≠ 1.

D. y ′ > 0, ∀x ≠ 2.

A. a = 1, b = −1 .

B. a = 1, b = 1 .

C. a = −1, b = 1 .

D. a = −1, b = −1.

HD: Đáp án B Tiệm cận đứng x= -1 nên b=1 Tiệm cận ngang y= 1 nên a=1 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Nhận xét nào sau đây là sai ?

1 O

2

x

HD: Đáp án B

y

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = ax + b nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và đường thẳng x = 2 là cx + d

3

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số suy ra y ′ < 0, ∀x ≠ 2 .

Câu 2: Cho hàm số y =

2

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? cx + d

x O

A. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 0 và x = 1 .

1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;3) và (1; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) và (1; +∞ ) .

HD: Đáp án B

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

Câu 5: Giả sử hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. bc > 0, ad < 0 B. ac > 0, bd > 0 HD: Đáp án B Do xTC Ð > 0 nên c.d < 0 và yTCN > 0 nên a.c > 0 .

C. bd < 0, ad > 0

D. ab < 0, cd < 0

x = 0 → y > 0 → b.d > 0 .

Câu 3: Xác định a , b để hàm số y =

ax − 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng? x+b

A. a < 0, b > 0, c = 1 .

C. a > 0, b < 0, c = 1 .

HD: Đáp án C

B. a > 0, b > 0, c = 1 .

D. a > 0, b > 0, c > 0 .

Từ đồ thị ta được a>0 67

68

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung tìm được c=1

Đồ thị có 3 điểm cực trị nên a, b trái dấu nên b<0 Câu 6: Hình bên là đồ thị của hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x 4 − 4 x 2 + 1 = 2 − m có 8 nghiệm phân biệt.

A. m = 0 .

B. −1 < m < 1 .

C. 1 < m < 2

A. −1 B. −2 C. 0 HD: Đáp án D Tiệm cận đứng x = −c = 2 ⇒ c = −2 , tiệm cận ngang y = a = −1 ⇒ a = −1 .

D. m = 1 .

3 2

 

HD: Đáp án C

Đồ thị qua  0; −  ⇒

Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 ( C )

D. 3

b 3 = − ⇒ b = 3. Do đó a + 2b + c = 3 . c 2

*Mức độ vận dụng cao Câu 1: Đồ thị hàm số y = 2 x −1 có đồ thị như hình

Từ đồ thị hàm số (C) ta được: ycbttm khi 0 < 2 − m < 1 ⇔ 1 < m < 2 *Mức độ vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị như Hình 1 . Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào trong bốn đáp án A, B, C, D dưới đây? y

bên. Hỏi đồ thị hàm số y =

x −1 2 x −1

x −1

y

có đồ thị là hình

nào trong các đáp án sau:

2 1

y

O 1

1

x

1

x

2

4 4 y

y

x O

1

x

3 -3

-1 O

1

3 2

Hình 1

A. y = −x 3 + 6 x 2 − 9 x .

2

Hình 2

B. y = x 3 + 6 x 2 + 9 x .

1 2

1

C. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x D. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x .

HD: Đáp án D Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số y = f ( x ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách

O

A

1 2

1

O

x

B

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x ) với x ≥ 0.

Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ ở trên qua trục Oy .

Câu 2: Cho hàm số y =

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của a + 2b + c . x+c

69

70

C

D

Câu 3: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) như hình vẽ.

y

y

1 3 3 Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x 3 − x 2 + x + 2017 3 4 2 Trong các mệnh đề dưới đây: ( I ) g ( 0 ) < g (1)

2 2 1

O

g ( x ) = g ( −1) ( II ) xmin ∈[ −3;1]

1

1 2

O 1

x

1 2

1

x

( III ) Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −3; −1) g ( x ) = max {g ( −3) , g (1)} ( IV ) xmax ∈[ −3;1] Số mệnh đề đúng là: A. 2 HD: Đáp án D

HD: Đáp án C  2 x −1 1   khi x ≥   x −1 2  Ta có y = = .  2 x −1 1 x −1  − khi x <   2   x −1 2 x −1 2 x −1 Do đó đồ thị hàm số y = được suy từ đồ thị hàm số y = bằng cách: x −1 x −1 1 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = 2 x −1 phía bên phải đường thẳng x = . x −1 2 1 2 x −1 Phần đồ thị hàm số y = phía bên trái đường thẳng x = thì lấy đối xứng qua 2 x −1 2 x −1 Hợp hai phần đồ thị ở trên ta được toàn bộ đồ thị hàm số y = . x −1

D. 4

3 3 3 3  Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) − x 2 − x + = f ' ( x ) −  x 2 + x −  . Căn cứ vào đồ thị ta có: 2 2 2 2 

2 x −1

(

C. 3

B. 1

f ' ( −1) = −2 g ' ( −1) ' = 0   ⇒ g ' (1) = 0 f ' (1) = 1   f ' ( −3) = 3 g ' ( −3) = 0 trục hoành.

Vẽ Parabol ( P ) : y = x 2 +

3 3 x − trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) 2 2

3 3 Ta có: Trên ( −3; −1) thì f ' ( x ) < x 2 + x − nên g ' ( x ) < 0∀x ∈ ( −3; −1) 2 2

)

Câu 2: Hàm số y = ( x − 2 ) x 2 −1 có đồ thị như hình vẽ bên.

3 3 Trên ( −1;1) thì f ' ( x ) > x 2 + x − nên g ' ( x ) > 0∀x ∈ ( −1;1) 2 2 Khi đó BBT của hàm số g ( x ) trên đoạn [ −3;1] : Vậy min g ( x ) = g ( −1) , g ( 0 ) < g (1) , hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −3; −1) và x∈[ −3;1]

(

m ax g ( x ) = max {g ( −3) , g ( −1)}

)

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = x − 2 x 2 − 1 ?

x∈[ −3;1]

−3

x

g '( x)

−1

-

0

1

+

g (x) g ( −1) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

( )

hình bên. Hàm số g ( x ) = f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

HD: Đáp án A

A. 4.

Nhận xét: Nếu x ≥ 2 thì hàm số vẫn không đổi. Nếu x ≤ 2 thì ta được phần đồ thị mới đối xứng với đồ thị ban đầu.

71

C. 5.

HD: Đáp án C.

B. 3.

D. 2.

72

Câu 9: Đồ thị ở hình 3 là đồ thị của hàm số nào sau đây: y A. y = - x4 – 2x2 + 3 B. y = x4 – 2x2 - 3 C. y = - x4 – 2x2 - 3 D. y = x4 + 2x2 - 3 Hình 3 O 1 -1 Câu 10: Câu nào sau đây sai: 3 A. Hàm số y = x + 3x – 2 đồng biến trên R; -3 B. Đồ thị hàm số y = 3x4 + 5x2 – 1 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt; 2x + 1 C. Đồ thị hàm số y = 2 có 2 đường tiệm cận; x −1 2x + 1 D. Đồ thị hàm số y = nhận giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng. x −1 x+5 Câu 11: Số điểm thuộc đồ thị hàm số y = có toạ độ là những số nguyên là: x+2 A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 2x + 4 Câu 12: Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y = . Khi đó hoành độ x −1 trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng: 5 5 A. − B. 1 C. 2 D. 2 2 Câu 13: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 4 là: A. I(0 ; 4) B. I(2 ; 0) C. I(1 ; 4) D. I(1 ; 2) 2x + 1 Câu 14: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = là: x −1 A. I(1 ; 1) B. I(2 ; 0) C. I(2 ; 1) D. I(2 ; -1)

Phương pháp: Công thức đạo hàm hàm hợp: y = f ( u ( x ) ) ⇒ y ' = f ' ( u ( x ) ) .u ' ( x ) .

Cách giải:

 x 2 = −2   x2 = 0 x = 0  f ' x2 = 0   g ( x ) = f x 2 ⇒ g ' ( x ) = f ' x 2 .2 x = 0 ⇔  ⇔  x 2 = 1 ⇔  x = ±1 x = 0  2 x = ± 3  x = 3  x = 0  Bảng xét dấu: x − 3 3 -1 0 1 + 0 0 + 0 + 0 0 f ' x2

( )

( )

( )

( )

x

g '( x )

| 0

− −

+

0 0

-

0 0

+ +

| 0

+ -

| 0

+ + +

( )

Vậy, g ( x ) = f x 2 đạt cực trị tại 5 điểm x = 0; x = ±1; x = ± 3.

C. Bài tập Câu 1: Đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 + 9x + 2 có tâm đối xứng là: B. (1 ; 0) C. (1 ; 13) A. (1 ; 12) Câu 2: Số điểm uốn của đồ thị hàm số y = x4 – 6x2 + 3 là: A. 0 B. 1 C. 2 2x + 1 Câu 3: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = là : x −1 A. (1 ; 2) B. (2 ; 1) C. (1 ; -1) Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = - x4 – 2x2 – 1 với trục Ox là: A. 1 B. 2 C. 3 Câu 5: Đồ thị ở hình 1 là đồ thị của hàm số nào sau đây: A. y = x3 + 3x2 – x – 1 B. y = x3 – 2x2 + x – 2 C. y = (x – 1)( x – 2)2 Hình 1 D. y = (x + 1)( x – 2)2 Câu 6: Đồ thị ở hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau đây: A. y = x3 + 3x2 – x – 1 B. y = - x3 – 2x2 + x – 2 C. y = - x3 + 3x + 1 Hình 2 D. y = x3 + 3x2 – x – 1

D. (1 ; 14) D. 3

D. (-1 ; 1)

x

Câu 15: Phương trình x 3 − 3 x 2 + 2 + 1 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: A. m > 3

D. 0

B. m > 2

C. m < 1

D. m > 0

ĐÁP ÁN 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

C

B

D

D

C

A

C

D

C

y

3

11

12

13

14

15

B

B

D

C

A

1 -1 O 1 -1

x

Câu 7: Toạ độ những điểm cố định của đồ thị hàm sô y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 là: A. M(0 ; 1) , N(2 ; 3) C. M(0 ; -1) , N(2 ; - 3) B. M(2 ; 1) , N(2 ; 3), P(- 1 ; 0) D. M(0 ; 1) Câu 8: Số điểm cố định của đồ thị hàm số y = (m – 1)x3 – mx + 2 là : B. 1 C. 3 D. 4 A. 2 73

74

BÀI 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN( 2 TIẾT)

Phương

trình (1) có ba nghiệm dương 2  2 2  7 2 1 y ( x ) = y '( x)  x −  +  − − m  x + m + 9  9 3  9 9 3

A. Kiến thức cần nhớ I. Sự tương giao của hai đồ thị 1. Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x, m) = g(x,m) (1).

Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x0; y0) thì phương trình d: y – y0 = k(x – x0). Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).

2. Bài toán cơ bản: Cho đồ thị y = f(x, m) và trục hoành: y = 0.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = 0.

3. Phương pháp chung: Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ n

f ( x) = an x + an−1 x p Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x = q q \ an và p \ a0 .

Cho phương trình:

n −1

+ ... + a1 x + a0 = 0 .

biệt

thì

điều

kiện

cần

và

đủ

là

A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B )

Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ thị và 1 đường thẳng g(x) = m. *) Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số Lập thành cấp số cộng:

Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x1, x2, x3 lập cấp số. Khi đó đồng nhất hai vế ta có:

x2 =

−b . Thế vào 3a

phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm. Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề bài không. Từ đó kết luận.

Cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có:

x2 =

3

−d a

. Thế vào và kiểm tra.

5. Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox. Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Phương pháp: Sau khi đặt t = x2 ta đựơc phương trình bậc hai. Căn cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t1, t2 dương và thỏa mãn t2 = 9t1.

(p, q)=1 thì

∆ > 0 S > 0  Vậy điều kiện là:  P > 0 t2 = 9t1

Phương pháp hàm số Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.

Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.

Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1.

4. Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox. a) Một số phương pháp xét tương giao:

II. Phương trình tiếp tuyến Dạng 1. Phươ ng trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f ( x ) tại tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng:

Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ.

Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x = α thì

d : y = f '( x0 ) ( x − x0 ) + y0

f ( x, m) = ( x − α ) ( a ( m) x 2 + b( m) x + c ( m) ) .

Áp dụng trong các trường hợp sau: Trường hợp 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) .

Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số: Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số.

f ( x, m) = ( x − ϕ ( m ) ) ( a ( m) x 2 + b ( m) x + c ( m) ) .

Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.

Cho phương trình bậc ba ax3 + bx 2 + cx + d = 0

phân

( a ≠ 0 ) (1)

*) Định lí viet đối với phương trình bậc ba: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm là x1 , x2 , x3 . Khi đó ta có:

b   x1 + x2 + x3 = − a  c   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a  d   x1 x2 x3 = − a  *) Đặt g ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị của hàm số g(x) cắt Ox tại ba điểm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hàm số g(x) có cực đại và cực tiểu và hai giá trị cực đại và cực tiểu của nó trái dấu.

75

Cần tìm

Ghí chú

Hệ số góc : f ' ( x0 )

2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = x0

Hệ số góc : f ' ( x0 )

3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có tung độ y = y0

Hoành độ tiếp điểm x0

4. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) , biết hệ số góc k của tiếp tuyến d .

Hoành độ tiếp điểm x0

Tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 ) Hệ số góc : f ' ( x0 ) Tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 )

 f ' ( x0 ) Từ x0 ⇒   f ( x0 ) Giải phươ ng trình y0 = f ( x0 ) Giải phươ ng trình f ' ( x0 ) = k

Chú ý: Gọi k1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và k2 là hệ số góc của đường thẳng d 2 Nếu d1 song song với d 2 thì k1 = k2 Nếu d1 vuông góc với d 2 thì k1.k2 = −1

Dạng 2. Viết phươ ng trình tiếp tuyến của đường cong (C) đi qua điểm A ( x1; y1 ) Phương pháp: Bước 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số 76

d : y = k ( x − x1 ) + y1 Bước 2. Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong (C) :  f ( x) = k ( x − x1 ) + y1 d tiếp xúc với đường cong (C) ⇔  có nghiệm  f ' ( x ) = k (*) Bước3. Khử k , tìm x , thay x vào (*) để tìm k , từ đó suy ra các tiếp tuyến cần tìm B. Luyện tập

Ta có y ' =

* Mức độ nhận biết Câu 1: Biết rằng đường thẳng y = − 2 x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x 3 + x + 2 tạii điểm duy nhất có tọa độ ( x0 ; y0 ) . Tìm y0 .

A. y0 = 4 .

B. y 0 = 0 .

C. y0 = 2 .

D. y0 = −1 .

HD: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm: −2 x + 2 = x 3 + x + 2 ⇔ x 3 + 3 x = 0 ⇔ x = 0  →y=2.

Câu 2: Cho hàm số y = ( x − 2 )( x 2 + 1) có đồ thị (C ). Mệnh đề nào sau đây là đúng? úng?

A. (C ) không cắt trục hoành.

B. (C ) cắt trục hoành tại một điểm.

C. (C ) cắt trục hoành tại hai điểm. D. (C ) cắt trục hoành tại ba điểm.

HD: Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) với trục hoành:

3x2 − 4 x − 1

( 3x

2

+ 1)

2

. Lần lượt thay x = 1 vào các biểu thức của y và y ' , ta đượ c y ' (1) = −

1 và 8

1 y (1) = . Suy ra phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M là: 4 1 1 1 3 ∆ : y = − ( x − 1) + ⇔ ∆ : y = − x + .

8 4 8 8 Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và y ' thay cho f và f ' trong trường hợp bài toán chỉ đề cập đến một hàm số.

Câu 6: Cho y = x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 ( C ) . Viết phương trình các tiếp tuyến của ( C ) tại những giao điểm của

( C ) với trục hoành.

HD: Đáp án Từ phương trình của ( C ) , cho y = 0 ta đượ c:

 x = −2 . =0 ⇔   x = −1 Suy ra ( C ) có hai giao điểm với trục hoành là M1 ( −2;0 ) và M 2 ( −1;0 ) . x3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0 ⇔

( x + 2 )( x + 1)

2

Từ y ' = 3x 2 + 8 x + 5 suy ra y ' ( −2 ) = 1 , y ' ( −1) = 0 . Do đó phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại các điểm M 1 , M 2 lần lượt là:

∆1 : y = 1. ( x + 2 ) + 0 ⇔ ∆1 : y = x + 2 ,

( x − 2 )( x 2 + 1) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại m một điểm.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham ssố m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 cắtt đư đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt.

A. m ∈ (−4;0).

B. m ∈ (0; +∞).

C. m ∈ (−∞; −4 ).

D. m ∈ (−∞;−4 ) ∪ (0; +∞).

HD: Đáp án A Xét hàm bậc ba y = x 3 − 3 x 2 , có  x = 0  → yCD = 0 y ' = 3 x 2 − 6 x  → y ' = 0 ⇔  . → yCT = −4  x = 2  Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm bậc ba, ta có ycbt ⇔ yCT < m < yCD ⇔ −4 < m < 0.

∆ 2 : y = 0. ( x + 1) + 0 ⇔ ∆ 2 : y = 0 . x+2 Câu 7: Tìm số tiếp tuyến tại điểm nằm trên đồ thị hàm số y = cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác x +1 cân.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 HD: Đáp án C Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 và –1. x = 0 1 = −1 ⇔  Do đó nên − 2  x = −2 ( x + 1)

Vậy có hai tiếp tuyến.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảảng ng bi biến thiên như sau

A. 1 < m < 5 .

3

Số nghiệm phương trình f ( x) − 2 = 0 là A. 0 .

B. 3 .

C. 1.

D. 2 .

HD: Đáp án B Số nghiệm của phương trình f ( x ) − 2 = 0 ⇔ f ( x ) = 2 là số giao điểm của ủa đồ thị hàm số y = f ( x ) và

3

B. 1 < m < 5 .

3

m

để phương trình x 3 − 3x 2 + 3m −1 = 0 có ba nghiệm phân biệt

C. 2 < m < 7 .

D. −2 < m < 4 .

3

3

HD: Đáp án B Phương trình ⇔ x 3 − 3x 2 = 1− 3m .

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 , ta được y

O

1

2

x

3

đường thẳng y = 2 .

Theo BBT ta thấy đường thẳẳng ng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm đ ểm phân biệt.

-2

x2 − x + 1 Câu 5: Cho y = c ( C ) tại điểm M có hoành độ bằng 1. ( C ) . Viếtt phương trình tiếp tuyến của 3x 2 + 1 HD: Đáp án

y = 1 − 3m

-4

77

78

5 3

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt ⇔ −4 < 1 − 3m < −2 ⇔ 1 < m < .

Chú ý: Sai lầm hay gặp là cho −4 < 1 − 3m < 0 .

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số phân biệt: 1 2

để phương trình 2 x 3 − 3x 2 = 2m +1 có đúng hai nghiệm

1 2

A. m = − , m = − 1 .

1 2

m

5 2

B. m = − , m = − .

5 2

C. m = , m = .

 x = 1 → y = −1 2 ⇔ x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 = 0 ⇔ ( x −1) ( x − 2 ) = 0 ⇔  .  x = 2 → y = −1 Suy ra A (1; −1), B (2;−1)  → AB = 1.

5 2

D. m = 1 , m = − .

HD: Đáp án A Xét hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 , có

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x 2 + mx + m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

 x = 0  → yCD = 0 f ' ( x ) = 6 x 2 − 6 x  → f ' ( x ) = 0 ⇔  . → yCT = −1  x = 1 

Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi  1 2 m + 1 = yCD  2m + 1 = 0 m = −  ⇔ ⇔ 2. 2 m + 1 = yCT  2 m + 1 = −1   m = −1 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định

trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) + m − 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm.

A. m = 2015, m = 2019.

B. 2015 < m < 2019.

C. m < 2015, m > 2019.

D. m ≤ 2015, m ≥ 2019.



1  1





1  1



A. m ∈ (4; +∞).

B. m ∈ −∞;−  ∪ − ;0.  2  2 

C. m ∈ (0;4).

D. m ∈ −∞;−  ∪ − ;0 ∪ ( 4; +∞).  2  2 

HD: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm:

y

x = 1

( x −1)( x 2 + mx + m ) = 0 ⇔ 

3

x

1 -1 O -1

HD: Đáp án C Phương trình f ( x ) + m − 2018 = 0 ←→ f ( x ) = 2018 − m. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành). 2018 − m > 3

Câu 2: Biết rằng đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1 cắt đồ thị hàm số y = x 2 − 3 x + 1 tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB = 3.

B. AB = 2 2.

C. AB = 2.

D. AB = 1.

HD: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3 x 2 + 2 x −1 = x 2 − 3 x +1

 m < 2015

.

2  x + mx + m = 0 (1)  12 + m.1 + m ≠ 0 Ycbt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔  2  ∆ = m − 4 m > 0   m > 4 1    m ≠−  2m + 1 ≠ 0    2 1    ⇔ ⇔ ⇔  m ≠− . m > 4    m m 4 0 − > ( ) 2        m < 0  m < 0    

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt ⇔  ⇔ . 2018 − m < −1  m > 2019 * Mức độ thông hiểu

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) = x3 − 6x 2 + 9x + 1 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 3x 2 + 3m −1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .

A. 1 B. 4 C. 3 HD: Đáp án D Có f ′ ( x ) = 3x 2 − 12 x + 9; f ′′ ( x ) = 6 x − 12 . Do đó

A. 1 < m < 5 .

3

3

B. 1 < m < 5 .

3

thuộc đồ thị ( C ) có tung độ là nghiệm phương trình 2f ' ( x ) − x.f '' ( x ) − 6 = 0.

C. 2 < m < 7 .

D. −2 < m < 4 .

3

3

(

x = 0 Vậy tiếp tuyến có được tại điểm có tung độ là 1 tức là x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 = 1 ⇔  x = 3 Có f ′ ( 0 ) = 9 ≠ f ′ ( 3) = −9 vậy nên ta sẽ có 2 tiếp tuyến tại 2 điểm có hoành độ x = 0; x = 3

y

1

2

x

3

)

2 f ′ ( x ) − xf ′′ ( x ) − 6 = 0 ⇔ 2 3 x 2 − 12 x + 9 − x ( 6 x − 12 ) − 6 = 0 ⇔ x = 1

HD: Đáp án B Phương trình ⇔ x 3 − 3x 2 = 1− 3m .

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 , ta được

O

D. 2

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

-2 y = 1 − 3m

x

-4

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt ⇔ −4 < 1 − 3m < −2 ⇔ 1 < m < 5 3 Chú ý: Sai lầm hay gặp là cho −4 < 1 − 3m < 0 .

f '(x)

.

f (x) 79

2

0

−∞

+

+ +∞

0

+∞ −

3

80

1

−∞

Phương trình f ( x ) + m − 2018 = 0 ←→ f ( x ) = 2018 − m. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành).

−∞

2018 − m > 3

 m < 2015

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt ⇔  ⇔ . 2018 − m < −1  m > 2019

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực phân biệt.

(

A. m ∈ ( 3; +∞ )

B. m ∈ −∞;1 ∪ {3}

Câu 8: Biết rằng đồ thị hàm số y = 2 x + 1 và đồ thị hàm số y = x 2 + x + 1 cắt nhau tại hai điểm. Kí hiệu

C. m ∈ 3; +∞ )

D. m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )

( x1 ; y1 ), ( x 2 ; y2 ) là tọa độ của hai điểm đó. Tìm y1 + y2 .

A. y1 + y2 = 4.

B. y1 + y2 = 6.

C. y1 + y2 = 0.

HD: Đáp án A

x

HD: Đáp án B

D. y1 + y2 = 2.

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x + 1 = x 2 + x + 1 ( x ≠ 0 ) x

x

0

−∞

g '( x)

+

g ( x)

+∞

2 +

0

 x = 1  → y (1) = 3 ⇔ x + x + x = 2 x + 1 ⇔ x + x − x − 1 = 0 ⇔  . → y (−1) = 1  x = −1  Khi đó y1 + y2 = y (1) + y (−1) = 4 .

3

+∞ -

2

3

2

Câu 9: Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng d : y = x + 1 và đồ thị (C ) : y = 2 x + 4 . Tìm hoành độ trung điểm x I x −1

của đoạn thẳng MN .

3

5 2

A. x I = .

1

C. x I = 1 .

5 2

D. x I = − .

HD: Đáp án C

−∞

−∞

B. x I = 2 .

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x + 4 = x + 1 ( x ≠ 1)

x −1 ⇔ 2 x + 4 = ( x + 1)( x −1) ⇔ x 2 − 2 x − 5 = 0.

Theo định lí Viet, ta có x1 + x 2 = 2 .

Suy ra x I = Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy rằng điều kiện của m là m∈ (−∞;1) ∪ {3}

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x 3 − 3x 2 = 2m + 1 có đúng hai nghiệm phân biệt: 1 2

1 2

A. m = − , m = − 1 .

1 2

5 2

B. m = − , m = − .

5 2

C. m = , m = .

5 2

Câu 10: Cho y = 4 x3 − 6 x 2 + 1

( C ) . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

M ( −1; −9 ) của ( C ) .

A. y = 24 x + 15 B. y = 24 x − 15 C. y = −24 x + 15 D. y = −24 x − 15 HD: Đáp án A Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ x0 là:

∆ : y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ ∆ : y = (12 x02 − 12 x0 ) ( x − x0 ) + 4 x03 − 6 x02 + 1 .

D. m = 1 , m = − .

HD: Đáp án A Xét hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 , có

xM + xN x + x2 = 1 =1.

2 2

Điều kiện ∆ đi qua M ( −1; −9 ) tương đương với

 x = 0  → yCD = 0 f ' ( x ) = 6 x 2 − 6 x  → f ' ( x ) = 0 ⇔  . → yCT = −1  x = 1 

Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi  1 2m + 1 = yCD 2m + 1 = 0 m = −  ⇔ ⇔ 2. 2m + 1 = yCT  2 m + 1 = −1    m = −1 Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) xác định

trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) + m − 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm.

A. m = 2015, m = 2019.

B. 2015 < m < 2019.

C. m < 2015, m > 2019.

D. m ≤ 2015, m ≥ 2019.

5  x = −9 = (12 x02 − 12 x0 ) ( −1 − x0 ) + 4 x03 − 6 x02 + 1 ⇔ 8 x03 + 6 x02 − 12 x0 − 10 = 0 ⇔  0 4 .   x0 = −1 15   y ' ( x0 ) = 4 5 15  5 9 15 21 ⇒ ∆: y = x− − ⇔ ∆: y = x− . x0 = ⇒  9 4 4 4 16 4 4   y(x ) = − 0  16

 y ' ( x0 ) = 24 x0 = −1 ⇒  ⇒ ∆ : y = 24 ( x + 1) − 9 ⇔ ∆ : y = 24 x + 15 .  y ( x0 ) = −9 Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của ( C ) là ∆ : y =

HD: Đáp án C

15 21 x − , ∆ : y = 24 x + 15 .

4 4

* Mức độ vận dụng 81

82

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên. Tìm số nghiệm

của phương trình 3 f ( x ) − 7 = 0. x

0

−∞

y'

+

0 1

2

+∞

0

−

−∞ A. 0 HD: Đáp án B

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 (C ) cắt đường thẳng d : y = m ( x −1) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn x12 + x 22 + x 32 = 5 .

A. m > −3.

B. m = −3.

C. m > −2.

D. m = −2.

HD: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm:

+∞ −5 B. 4

C. 5

D. 6

7   f ( x ) = 3 (1) 7 Ta có 3 f ( x ) − 7 = 0 ⇔ f ( x ) = ⇔  3  f ( x) = − 7 ( 2)  3 Dựa vào bảng biến thiên thì (1) có 1 nghiệm; (2) có 3 nghiệm, vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm.

1 x2 và g ( x ) = . Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số Câu 2: Cho hai hàm số f ( x ) = x 2 2 f ( x ) ,g ( x ) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

A. 30 HD: Đáp án B

B. 90

C. 60

D. 45

 x + x = 2 Theo định lí Viet, ta có  2 3

   x 2 x 3 = −m − 2

.

Ycbt ⇔ x 22 + x 32 = 4 ⇔ ( x 2 + x 3 )2 − 2 x 2 x 3 = 4 ⇔ 4 + 2 (m + 2 ) = 4 ⇔ m = −2 (thoû a) . x −1

−1 . 2 = −1 nên hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 2

 a +2

 , với Gọi M a;  a −1 

x = 0  .  x = 2m  3

Ta có y ' = 3 x 2 − 2 mx = x (3 x − 2m )  →y'=0 ⇔ 

Hàm số có hai cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔

2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

3

 −4 m 3   2 m  + 4  < 0 ⇔ m > 3.  < 0 ⇔ 4.    3   27

Khi đó ycbt ⇔ yCD . y CT < 0 ⇔ y (0 ). y 

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = m ( x −1) +1 cắt đồ thị hàm số y = −x 3 + 3 x − 1 tại ba điểm phân biệt A (1;1), B, C. 9 4

B. m < .

9 4

C. 0 ≠ m < .

HD: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm: −x 3 + 3x −1 = m ( x −1) +1 x = 1 ⇔ ( x − 1)( x + x − 2 + m ) = 0 ⇔  2  x + x − 2 + m = 0 2

    ∆ ' = 1 + m + 2 > 0 ⇔  m > −3 ⇔ m > −3 . ⇔ 2   m 1 − 2.1 − − 2 ≠ 0 m ≠ −3    Giả sử x1 = 1 . Khi đó x 2 , x 3 là hai nghiệm của phương trình (*) .

hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox ?

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

HD: Đáp án C

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + 4 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

A. m ≠ 0.

B. m > 3.

C. m ≠ 3.

D. m > 0.

HD: Đáp án B Đối với dạng bài này ta không cô lập được m nên bài toán được giải quyết theo hướng tích hai cực trị.

A. m ≠ 0.

Để d cắt đồ thị (C )

x = 1 x 3 − 3 x 2 + 2 = m ( x −1) ⇔  2 .  x − 2 x − m − 2 = 0 (*) tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Câu 2: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x + 2 sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy bằng

−1  1  Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại A 1; , k 2 = g ' (1) = 2  ⇒ k1 = f ' (1) = 2 2  Ta có k1k 2 =

  ∆ = 9 − 4 m > 0  m < 9  1⇔ ⇔ 4.    m ≠ 0    m ≠ 0 

* Mức độ vận dụng cao

+

y

Để đường thẳng d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác

9 4

D. m = 0 , m > .

a≠1

Yêu cầu bài toán ⇔ a = 2.

D. 3 .

là điểm thuộc đồ thị. a+2 a −1

 a+2   1 a = 2.  a 2 − 3a − 4 = 0 a = −1  M −1; −   a −1 2 . ⇔ ⇔  2 ⇔ a 2 − 3a − 4 = 0 ⇔  ⇒   a = 4  a+2  a + a + 4 = 0   M (4;2 ) a = −2.   a −1

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. x +1 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng Câu 3: Cho hàm số y = 2x + 1 m +1 d : y = mx + cắt đồ thị ( C ) tại hai nghiệm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (O 2 là gốc tọa độ).

A. m = 1 B. m > 0 C. m ± 1 D. m = 2 HD: Đáp án A Xét phương trình hoành độ giao điểm: x +1 m +1 = mx + ⇔ 4 mx 2 + 4 mx + m − 1 = 0 (1) 2x + 1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm xA ; xB ⇔ ∆ ' = 4m2 − 4m ( m − 1) = 4m > 0 ⇔ m > 0.

.

m +1  m +1  Khi đó giao điểm của 2 đồ thị là A  x A ; mx A +  ; B  xB ; mxB +  2   2  

(*)

83

84

với x A + xB = −1; x A .xB =

m −1 4m

Giả sử tiếp tuyến đi qua A ( a;1) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x0 , khi đó phương trình tiếp 2

2

tuyến có dạng : y =

2

m +1  m +1 m 2 + 2m + 1 1 1 1   2 Ta có OA + OB = x +  mx A + = 1 +  m +  ≥ 1 + .2 = 2 ( vì  + xB +  mxB +  = 2  2  2m 2 m 2   1 m > 0, theo Cauchy ta có m + ≥ 2 . Dấu bằng xảy ra khi m = 1 m Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = − mx cắt đồ thị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 − m + 2 (C ) tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho AB = BC .

A. m ∈ (1; +∞) . B. m ∈ (−∞;3) .

C. m ∈ (−∞; −1) .

D. m ∈ (−∞; +∞).

HD: Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3 x 2 − m + 2 = − mx 2

2 A

x = 1 . ⇔ x 3 − 3 x 2 + 2 + m ( x −1) = 0 ⇔ ( x −1)( x 2 − 2 x + m − 2 ) = 0 ⇔  2  x − 2 x + m − 2 = 0 (∗) Để d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1  ∆ ' > 0 1 −(m − 2 ) > 0  ⇔ ⇔ ⇔ m < 3. 2    1 − 2.1 + m − 2 ≠ 0    m ≠ 3 Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lí Viet, ta có x1 + x 2 = 2 nên suy ra x1 > 1 hoặc

Giả sử x 2 > 1 thì x1 = 2 − x 2 < 1 , suy ra x1 < 1 < x 2 .

Theo giả thiết BA = BC nên B là trung điểm của AC do đó x B = 1 và x A = x1 , xC = x 2 . Khi đó ta có x A + xC = 2 x B nên d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt A , B , C thỏa mãn AB = BC .

Vậy với m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 6 mx − 8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. m = 1.

B. m = 2, m = −1. C. m = −1.

D. m = 2.

HD: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3mx 2 + 6mx − 8 = 0. (*) Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng  → phương trình có một nghiệm b .

3a

( x0 − 1)

2

( x − x0 ) +

− x0 + 2 (d ) x0 − 1

Vì A ∈ d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : −x + 2 −1 a − x0 ) + 0 1= 2 ( x0 − 1 ( x0 − 1) ⇔ − a + x0 − x02 + 3x0 − 2 = x02 − 2 x0 + 1 ⇔ 2 x02 − 6 x0 + 3 + a = 0 (*) Để chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất 3 ′ ⇔ ∆ = 0 ⇔ 9 − 2 ( 3 + a ) = 0 ⇔ 3 − 2a = 0 ⇔ a = 2 3 ⇒S =  2 Câu 7: Cho đồ thị ( C ) : x 3 − 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b ∈ ( −10;10) để có đúng một tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm B ( 0; b ) ?

x2 > 1 .

x0 = −

−1

A. 17

B. 9

C. 2

D. 16

HD: Đáp án A

Phương pháp: +) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 : y − y ' ( x 0 )( x − x 0 ) + y0 +) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng b = f ( x 0 ) tìm điều kiện của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất. +) Phương trình b = f ( x 0 ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số

y = f ( x 0 ) tại một điểm duy nhất. Lập BBT của đồ thị hàm số y = f ( x 0 ) và kết luận.

Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.  m = −1

Thay x = m vào phương trình (*) , ta được m 3 − 3m.m 2 + 6 m.m − 8 = 0 ↔ 

m = 2

Cách giải:

.

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x 0 ; x 30 − 3x 02 ) có dạng:

 x = −4  Thử lại: Với m = −1 , ta được x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 = 0 ↔  x = −1 : thỏa mãn. x = 2  Với m = 2 , ta được x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0 ↔ x = 2 : không thỏa mãn.

Vậy m = − 1 là giá trị cần tìm.

y = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( x − x 0 ) + x 30 − 3x 20

Do tiếp tuyến đi qua điểm ( 0; b ) ⇒ b = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( − x 0 ) + x 30 − 3x 20 = −2x 30 + 3x 20

−x + 2 có đồ thị (C ) và điểm A(a;1) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a x −1 để có đúng một tiếp tuyến của (C ) đi qua A . Tổng giá trị tất cả phần tử của S bằng 3 5 1 A. 1.

B. .

C. .

D. .

2 2 2 HD: Đáp án B −1 TXĐ : x = R \ {1} ; y ′ = 2 ( x − 1)

Câu 6: Cho hàm số y =

85

Để có đúng một tiếp của ( C ) đi qua B ( 0; b ) thì phương trình b = −2x 30 + 3x 02 có duy nhất một nghiệm.

x = 0 ⇒ y = 0 Xét hàm số y = −2x 3 + 3x 2 ⇒ y ' = −6x 2 + 6x = 0 ⇔  x = 1 ⇒ y = 1 BBT: x

y'

0

−∞

-

0

1

+

0

+∞ -

86

y

1

+∞

Câu 4. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =

0

−∞

M là: 4 1 A. y = − x + 3 3

b > 1 Dựa vào BBT của đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi  b < 0 Với b ∈ ( −10;10 ) ⇒ b ∈ {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} ⇒ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bào toán.

Câu 8: Cho y =

2x +1 ( C ) . Tìm trên đường thẳng x = 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của ( C ) . x−2

−5

( x0 − 2 )

2

( x − x0 ) +

bằng: A. – 2

Điểm A nằm trên đường thẳng x = 3 ⇔ tọa độ A có dạng A ( 3; a ) .

(1)

2 a ( x0 − 2 ) = −5 ( 3 − x0 ) + ( 2 x0 + 1)( x0 − 2 ) ( ⇒ x0 − 2 ≠ 0 ) ⇔   x0 − 2 ≠ 0

phương trình là: A. y = x – 1

2

( a − 2) x02 − 2 ( 2a + 1) x0 + 4a + 17 = 0 .

Trường hợp 1. a − 2 = 0 ⇔ a = 2 . Khi đó ( 2) trở thành

( 2)

21 .

10 Trong trường hợp này ( 2) có nghiệm ⇒ (1) có nghiệm.

−10 x0 + 21 = 0 ⇔ x0 =

B. y = x + 1

C. y = x

D. y = - x

x3 + 3x 2 − 2 có hệ số góc k = - 9, có phương trình là: 3 B. y = - 9x + 43 C. y = - 9x + 7 D. y = - 9x – 27

Câu 12. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

A. y = - 9x – 43

Trường hợp 2. a − 2 ≠ 0 ⇔ a ≠ 2 . Khi đó ( 2) là phương trình bậc hai có ∆′ = −5a + 35 . Do đó, trong trường hợp này (1) có nghiệm khi và chỉ khi ( 2) có nghiệm, tức là ∆′ ≥ 0 ⇔ −5a + 35 ≥ 0 ⇔ a ≤ 7 .

{

x 2 − 3x + 1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có 2x − 1

x 2 − 3x + 4 tại A(0 ; -2) có phương trình là: Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x − 2 A. x + 2y – 4 = 0 B. x + 2y + 4 = 0 C. x – 2y – 4 = 0 D. x – 2y + 4 = 0 Câu 11. Số đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 3) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 3 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

⇔ a ( x0 − 2 ) = −5 ( 3 − x0 ) + ( 2 x0 + 1)( x0 − 2 ) ⇔

x −1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung x +1

B. 2

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Ta thấy

(1)

3 1 x+ 2 2

C. 1 D. – 1 4 Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ x0 = - 1 có phương trình là: x −1 A. y = x – 3 B. y = - x + 3 C. y = x – 1 D. y = - x – 3 1 1  Câu 8. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm A  ; 1 có phương trình là: 2x 2  A. 2x – 2y = - 1 B. 2x – 2y = 1 C. 2x + 2y = - 3 D. 2x + 2y = 3

2 x0 + 1 . x0 − 2

Qua A có tiếp tuyến tới ( C ) khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0 : 2x + 1 −5 . ∆:a = 3 − x0 ) + 0 2 ( x0 − 2 ( x0 − 2 )

4 2 3 1 C. y = − x + D. y = x − 3 3 2 2 x4 x2 Câu 5. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = + − 1 tại điểm có hoành độ x0 = - 1 là: 4 2 A. 0 B. 2 C. – 2 D. Đáp số khác

B. y =

Câu 6. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

HD: Đáp án Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ x0 ( x0 ≠ 2 ) là:

∆ : y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y ( x0 ) ⇔ ∆ : y =

2x − 1 với trục Ox. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại x−2

Câu 13. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

phương trình là:

x3 − 2 x 2 + x + 2 song song với đường thẳng 2x + y – 5 = 0 có 3

10 4 = 0 và 2x + y – 2 = 0 C. 2x + y + = 0 và 2x + y + 2 = 0 3 3 B. 2x + y – 4 = 0 và 2x + y – 1 = 0 D. 2x + y – 3 = 0 và 2x + y + 1 = 0 Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 3x vuông góc với đường thẳng x + 6y – 6 = 0 có phương trình là: A. y = 6x + 6 và y = 6x + 12 C. y = 6x + 5 và y = 6x - 27 B. y = 6x – 5 và y = 6x + 27 D. y = 6x – 6 và y = 6x – 12 Câu 15. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2 đi qua A(0 ; 3) có phương trình là: 13 A. y = 3x + 3 và y = - 4x + 3 C. y = 4x + 3 và y = x+3 4 15 5 x+3 D. y = - 2x + 3 và y = x + 3 B. y = - 3x + 3 và y = 4 4

}

A. 2x + y -

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A ( 3; a ) a ≤ 7 C. Bài tập

1 3 x − 2 x 2 + 3 x + 1 tại điểm uốn có phương trình là: 3 11 1 11 1 A. y = - x + B. y = - x C. y = x + D. y = x + 3 3 3 3 Câu 2. Cho hàm số y = - x2 – 4x + 3 có đồ thị là (P). Nếu tiếp tuyến tại M của (P) có hệ số góc là 8 thì hoành độ điểm M là: A. 12 B. - 6 C. – 1 D. 5 Câu 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ln( 1 + x2 ) tại điểm có hoành độ x = -1, có hệ số góc bằng: A. ln2 B. – 1 C. 4 D. 0

Câu 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

87

88

Câu 28. Đồ thị ở hình 3 là đồ thị của hàm số nào sau đây: y A. y = - x4 – 2x2 + 3 B. y = x4 – 2x2 - 3 C. y = - x4 – 2x2 - 3 D. y = x4 + 2x2 - 3 Hình 3 Câu 29. Câu nào sau đây sai: O -1 A. Hàm số y = x3 + 3x – 2 đồng biến trên R; 4 2 B. Đồ thị hàm số y = 3x + 5x – 1 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt; -3 2x + 1 C. Đồ thị hàm số y = 2 có 2 đường tiệm cận; x −1 2x + 1 D. Đồ thị hàm số y = nhận giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng. x −1 x+5 Câu 30. Số điểm thuộc đồ thị hàm số y = có toạ độ là những số nguyên là: x+2 B. 3 B. 4 C. 2 D. 5 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2x − 1 có đồ thị là (H). Tích các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến hai x +1 đường tiệm cận của (H) bằng: A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 2x + 2 Câu 17. Hàm số y = có đồ thị là (H). Điểm thuộc nhánh bên phải của (H) có tổng khoảng cách đến x −1 hai tiện cận của (H) nhỏ nhất là điểm : A. M(3 ; 4) B. M(3 ; - 4) C. M(- 3 ; 4) D. M(- 3 ; - 4) Câu 18. (C) là đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 + 2, (d) là đường thẳng đi qua điểm M(- 1 ; - 2) và có hệ số góc bằng k. Giá trị của k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt là: A. k > 0 và k ≠ 9 B. k < 0 và k ≠ - 4 C. k = 0 D. k < 4 và k ≠ 1 x−4 Câu 19. Đường thẳng y = kx – 2 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt khi : x−2 1 1 A. k < − hay k > 2 C. k < − 2 hay k > 2 2 1  9 9 k < B.  D. k < − hay k > - 2 2 hay k > 2 2 k ≠ 0

Câu 16. Hàm số y =

Câu 20. Đường thẳng (d): y = - x + m luôn cắt đồ thị hàm số y = đoạn thẳng PQ ngắn nhất là: A. m = - 1 B. m = 3

C. m = 1

2x − 1 tại hai điểm P, Q. Giá trị của m để x +1

D. m = 2

x3 1 − m 2 2m + x − mx + cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi: 3 2 3 1 1 A. m < - 4 hay − < m < 0 hay m > 1 C. m < - 2 hay − < m < 0 hay m > 3 7 7 B. m < - 3 hay − 1 < m < 1 hay m > 2 D. m < - 4 hay − 1 < m < 0 hay m > 1 Câu 22. Đồ thị hàm số y = x3 + ax2 – 4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi: A. a > 3 B. a > - 3 C. a < 3 D. a < - 3 Câu 23. Điểm nào sau đây mà đường cong y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x + 6 luôn đi qua với mọi m: y A. M(0 ; 6) B. M(0 ; - 6) C. M(1 ; 4) D. M(2 ;2) Câu 24. Đồ thị ở hình 1 là đồ thị của hàm số nào sau đây: A. y = x3 + 3x2 – x – 1 4 B. y = x3 – 2x2 + x – 2 2 C. y = (x – 1)( x – 2) -1 Hình 1 O 2 x D. y = (x + 1)( x – 2)2

A

B

B

C

C

B

D

D

A

B

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

D

C

A

C

B

D

A

A

B

C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

A

C

B

D

C

A

C

D

C

B

1

x

Câu 21. Đồ thị hàm số y =

y

Câu 25. Đồ thị ở hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau đây: A. y = x3 + 3x2 – x – 1 B. y = - x3 – A2x2 + x – 2 C. y = - x3 + 3x + 1 D. y = x3 + 3x2 – x – 1

3 1 -1 O 1 -1

H

x

Câu 26. Toạ độ những điểm cố định của đồ thị hàm sô y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 là: A. M(0 ; 1) , N(2 ; 3) B. M(0 ; -1) , N(2 ; - 3) C. M(2 ; 1) , N(2 ; 3), P(- 1 ; 0) D. M(0 ; 1) Câu 27. Số điểm cố định của đồ thị hàm số y = (m – 1)x3 – mx + 2 là : B. 1 C. 3 D. 4 B. 2 89

90

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I GIẢI TÍCH 12 Thời gian làm bài: 45 phút

BẢNG MÔ TẢ CHI TIẾT NỘI DUNG CÂU HỎI ĐỀ KIỂM TRA

Cấp độ tư duy Chủ đề

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Câu 1

1. Tính đơn điệu của hàm số

Vận dụng cao

Chủ đề Cộng

Câu 20

5

Câu 3 Câu 25 Câu 6 4 Câu 9

1 Câu 5

2. Cực trị của hàm số

3. GTLN GTNN của hàm số

1

1

Câu 10

Câu 11

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 24

2

2

6 Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ ĐTHS

2

1 Câu 2

4. Tiệm cận

Câu 8

3

Câu 23 3

1

Câu 4

Câu 12 Câu 14 Câu 15

5. Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Câu 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Nội dung Nhận biết: Tính đơn điệu của hàm số Nhận biết: Tìm tiệm cận của ĐTHS Nhận biết: Xét tính đơn điệu của hàm số Nhận biết: ĐTHS Thông hiểu: Tìm cực trị của hàm số Nhận biết: Tính đơn điệu của hàm số Thông hiểu: ĐTHS Nhận biết: Tìm tiệm cận của ĐTHS Nhận biết: Tìm cực trị của hàm số.

Nhận biết: Tìm GTLN của hàm số.

Thông hiểu: Tìm GTLN của hàm số.

Thông hiểu: Viết pt tiếp tuyến của ĐTHS. Vận dụng : Viết pt tiếp tuyến của ĐTHS. Thông hiểu: Tìm tọa độ giao điểm Thông hiểu: ĐTHS đi qua 1 điểm Vận dụng cao: Biện luận số nghiệm của pt bằng ĐT Vận dụng: Tìm ĐK để hàm số đạt cực trị tại 1 điểm Vận dụng cao: Tìm ĐK để hàm số có cực trị Vận dụng: Tìm ĐK để hàm số đạt cực trị tại 1 điểm Vận dụng cao: Tìm đk để hs đồng biến trên 1 khoảng Vận dụng cao: Nhận dạng ĐTHS Thông hiểu: Tâm đối xứng của ĐTHS Nhận biết: Tiệm cận Vận dụng cao: Tìm ĐK để hàm số có cực trị TM ĐK Nhậ biết: Tính đơn điệu của hàm số

363

Câu 22

Câu 13

Câu 7

Cộng

9

Câu

Câu 21

1

5

1

10

7

3

5

25

91

92

y=

ĐỀ KIỂM TRA

y=

y=

y' = D. Có đạo hàm

D. Điểm

Câu 15: Giá trị của a là bao nhiêu thì đồồ thị hàm số A. a=1 B. a=2

B. Hàm số có tập xác địịnh là:

 −7  A  ; 0 2  C. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm  Câu 2: Đồ thị hàm số A. x=2; y=2

C. Điểm

2x + 7 x + 2 có đồ th thị (C). Hãy chọn mệnh đề sai :

Câu 1: Cho hàm số A. Hàm số luôn nghịch biến trên

3x −1

x − 1 và đường thẳng (d ) y=3x-1 là: Câu 14: Giao điểm của đồ thị (C ) A. (d) và (C) không có điểm chung.

B. Điểm M(2;5)

−3 (x + 2) 2

x 3 − 3x 2 + 4 + m = 0

có nghiệm m duy nh nhất.

A.

C. x=-2; y=-2

D. x=-2; y=2

-1

O

1

2

B. (0; 2)

C.

yCT = −2; yCD = 0

yCT = −3; yCD = 0

Câu 6: Hàm số A.

C.

yCT = −3; yCD = 1

Câu 7: Cho hàm số A. Có trục đối xứng là trục tung.

C. Có ba cực trị

A. x=-2016; x=2 Câu 9: Cho các hàm số sau:

Câu 17: Biết rằng hàm số Khi đó giá trị của m sẽ là: A. m=1

D.

C. x=-2; x=3

C.

y = x 3 − 3x 2 + 3x+4

C. m=3

Câu 18: Với giá trị nào của tham số m thì hàm ssố A. m=0

A. m=2

D. x=-2016

y=

B. m ≥ 0

Câu 19: Hàm số

x − mx 2 + m 4 có ba cực trị.

C. m > 0

có giá trị cực đại m=-2 B. m=

D. m=4

D. m < 0

. Khi đó, giá trị tham ssố m là : C. m=-4

D. m=4

đồng biến trên khoảng

B. m > 1;m < −2

C. m < −2

Câu 21: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm nào ?

D.

trên đoạn

đạt cực đại tại x=2.

4

A. m > 2; m < −2

D. m > 2

[0;4] lần lượtt là:

B. Maxy = 4

C. Maxy = 5

[0;4]

[0;4]

D. Maxy = 64 [0;4]

trên đoạn [-5;3] là:

Miny = 2 2

Miny = 4

C. [ −5;3]

B. [ −5;3]

Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ th thị hàm số A. y=-5x+8 B. y=5x y=5x-2

y=

Miny = 3 D. [−5;3] A.

2x + 1 − x + 2 tại điểm có hoành độ x=1 là: C. y=-5x-2

B. y=3x y=3x-6

C. y=-3x+3

y = x 4 + 2x 2 − 1

B.

y = x 4 − 2x 2 + 2

C.

y = −x 4 − 2x 2 − 1 D.

y = x 3 + 3x 2 − 1 D. y=5x+8

3 2 Câu 13: Hàm số y = − x + 3 x + 1 (C ). Ti Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ng y=3x+2

A. y=3x

B. m=2

Câu 20: Với giá trị nào của tham số m thì hàm ssố

Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số A. [−5;3]

yCT = 2; yCD = 0

có đồ thị là 1 Parabol (P). Nhậnn xét nào sau đây về Parabol (P) là sai.

B. Có đúng một điểm cự ực trị .

D. Có đỉnh là điểm m I(0; 3)

B. x=2; x=3

[0;4]

Miny = 5

D.

C.

Hàm số nào không có cực trị?

A. B.

A. Maxy = 32

-4

có các đường tiệm cận đứng là:

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số

− 4 <m < 0

-2

nghịch biến trong khoảng nào sau đây: B. (0; 2)

Câu 8: Đồ thị hàm số

D.

D.

có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại là: B.

m < −4 hay m > 2

B. Đồ thị hàm số có hai đđiểm cực trị.

D. Đồ thị có tâm đối xứ ứng I(-1; 2018)

Câu 5: Hàm số A.

B.

 m < −4 m > 0 

C.

3 2 Câu 4: Cho hàm số y = x + 3 x + 2016 có đồ thị (C). Hãy chọn phát biểu sai :

A. Đồ thị đi qua điểm M(1; 2020) C. Có tập xác định D=

m = −4 hay m = 0

3

3 2 Câu 3: Cho hàm số y = − x + 3 x + 1 . Kho Khoảng đồng biến của hàm số này là:

A.

đii qua đi điểm M(1:1) D. a=4

Câu 16: Đồ thị sau đây là củaa hàm ssố y = − x 3 + 3 x 2 − 4 . Với giá trị nào củaa tham ssố m thì phương trình

2x + 1 − x + 2 có titiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: B. x=2; y= y=-2

C. a=3

Câu 22: Tâm đối xứng của đồ thị hàm sốố

là: D. y=3x+6

A. 93

( 2;1)

B.

y =

( 2; −1)

2x + 1 x −1

có tọa độ là : C.

( 1;2 )

D. (1; -2) 94

Câu 23: Cho hàm số

y = f (x )

có

lim f ( x ) = +∞

x → 2+

và

lim f ( x ) = −∞ . Khẳng định nào sau đây

x → 3−

đúng ?

A. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 2 và x = 3 B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng C. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là y = 1 và y = 2 D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng Câu 24: Tìm

m

để hàm số

y = −x 3 + 3x 2 + m − 1 có giá trị cực đại là y max , giá trị cực tiểu là y min ,

y max .y min = 5 m = −4, m = −2 m = 4, m = −2

thỏa mãn A.

B.

m = −4, m = 2

1 3 x − x 2 − 3x 3 A. ( −∞; −1 ) và ( 3;+∞ )

Câu 25: Hàm số

C.

1 A 14 C

y =

3 B 16 C

4 C 17 C

5 C 18 C

m = 4, m = 2

D.

đồng biến trên khoảng nào ?

( −∞; −1) D. ( −1; 3 ) B.

( 3;+∞ )

2 B 15 D

C.

6 D 19 D

7 C 20 D

ĐÁP ÁN 8 C 21 A

9 C 22 C

10 A 23 A

11 C 24 B

12 B 25 A

13 A

95