Chuyên đề trắc nghiệm vectơ lớp 10 có lời giải chi tiết

TÀI LIỆU, CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/6131046

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL / BAN CHUYÊN ĐỀ PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Chuyên đề trắc nghiệm vectơ lớp 10 có lời giải chi tiết PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.  Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB     Vectơ còn được kí hiệu là: a , b , x , y ,…  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0

Hình 1.1 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ - Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương - Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng

Hình 1.2     Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng.

    AB cùng hướng CD kí hiệu: AB  CD     AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD

Đặc biệt vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ. 3. Hai vectơ bằng nhau

  - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB . - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.     - AA  BB  0 , 0  0 . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ + Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa + Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các Trang 1

đỉnh của tam giác. Lời giải

  Hai điểm phân biệt, giả sử A, B tạo thành hai vec tơ khác vec tơ – không là AB và BA . Vì vậy từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác ta có 3 cặp điểm phân biệt nên có 6 vec tơ khác vec tơ – không được tạo thành.   Ví dụ 2. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào hai vec tơ AB , AC cùng   hướng. Trong trường hợp nào hai vec tơ AB , AC ngược hướng. Lời giải     Hai vec tơ AB , AC cùng hướng khi và chỉ khi A nằm ngoài đoạn BC. Ngược lại hai vec tơ AB , AC ngược hướng khi và chỉ khi A nằm trong đoạn BC.    Ví dụ 3. Cho vec tơ AB và điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho AB  CD . Chứng minh rằng điểm D như thế là duy nhất. Lời giải

Hình 1.3

  Điểm D thỏa mãn điều kiện đề bài là duy nhất. Thật vậy: Giả sử có điểm D’ sao cho AB  CD ' thì   CD  CD ' , khi đó C, D, D’ thẳng hàng, D và D’ ở cùng một phía đối với C và CD  CD ' nên D  D '

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .  a. Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không cùng hướng với AB có điểm đầu, điểm cuối lấy trong các điểm đã cho.  b. Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho. Lời giải

  a. Các vec tơ khác – không cùng hướng với AB là AB ,   b. Các vec tơ khác – không cùng hướng với AB là AP ,

 PB ,  PB ,

 NM .  NM .

Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng với C qua   D. Hãy tính độ dài của MD , MN . Lời giải

Trang 2

Xét tam giác vuông MAD ta có: MD 2  AD 2  AM 2 

5a 2 a 5  MD  . 4 2

 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P. Khi đó ADNP là hình vuông và 3a PM  PA  AM  . 2 Xét tam giác NPM ta có: MN 2  PM 2  PN 2 

13a 2 a 13  MN  . 4 2

Phần 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIÊM Câu 1: Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:   A. DE B. DE C. ED

 D. DE

Lời giải Chọn D

 Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác 0 có điểm đầu và cuối là đỉnh của tứ giác bằng:

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

Lời giải Chọn D

  Hai điểm phân biệt, giả sử, A, B tạo thành hai vec tơ khác vec tơ- không là AB và BA Vì vậy từ bốn đỉnh A, B,C, D của tứ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt nên có 12 vec tơ khác vec tơ – không được tạo thành. Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Lời giải Chọn A

 Là vectơ 0

Câu 4: Cho 3 điểm A, B,C phân biệt. Khi đó Trang 3

  A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC .   B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với AB .   C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với AB .   D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB  AC .

Lời giải Chọn A Câu 5: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?         A. MN và CB . B. AB và MB . C. MA và MB . D. AN và CA . Lời giải Chọn A Câu 6: Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?   A. Hai vec tơ AB ; BC cùng phương. B. Hai vec tơ   C. Hai vec tơ AB ; CD cùng hướng. D. Hai vec tơ

 AB ;  AB ;

 CD cùng phương.  DC ngược hướng.

Lời giải Chọn B

    Câu 7: Cho AB  0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn: AB  CD

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải Chọn D

 Tập hợp điểm D là đường tròn tâm C, bán kính bằng AB . Câu 8: Xét các mệnh đề sau (I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0. (II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương. A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. (I) và (II) đúng.

D. (I) và (II) sai.

Lời giải Chọn C Câu 9: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây đúng?      A. AC  BC . B. AC  a . C. AB  AC .

 D. AB  a .

Lời giải Chọn D Câu 10: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB  BC . B. AC  BC .     C. AB  BC . D. AC và BC không cùng phương. Lời giải Trang 4

Chọn A Câu 11: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:     A. CA  CB . B. AB và AC cùng phương.     C. AB và CB ngược hướng. D. AB  CB . Lời giải Chọn B Câu 12: Cho M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AB  3 AM . Hãy tìm khẳng định sai?  1        A. MB  2 MA . B. MA  2 MB . C. BA  3 AM . D. AM  BM . 2 Lời giải Chọn D Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AD  BC . B. AB  AC . C. AC  DB .

  D. AB  CD .

Lời giải Chọn A

 Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Các véctơ ngược hướng với OB là           A. BD , OD . B. DB , OD , BO . C. DB , DO . D. BD , OD , BO .

Lời giải Chọn D Câu 15: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?    A. Hai vec tơ AB ; BC cùng phương. B. Hai vec tơ AB ;    C. Hai vec tơ AB ; CD cùng hướng. D. Hai vec tơ AB ;

 CD cùng phương.  DC ngược hướng.

Lời giải Chọn B Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3 , AD  4 . Khẳng định nào sau đây đúng ?        A. AC  BD . B. CD  BC . C. AC  AB . D. BD  7 . Lời giải Chọn B

 Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I, AB  3 , BC  4 . Khi đó BI là: A. 7.

B.

5 . 2

C. 5.

D.

7 . 2

Lời giải Chọn B Câu 18: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng. B. Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Trang 5

C. Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương. D. Hai vectơ ngược hướng với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương. Lời giải Chọn B Câu 19: Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?   A. HB  HC .

  B. AC  2 HC .

 3  HC . C. AH  2

  D. AB  AC .

Lời giải Chọn B Câu 20: Cho tam giác đều ABC cạnh a, mệnh đề nào sau đây đúng?

  A. AC  BC .

 B. AC  a .

  C. AB  AC .

 3 D. AH  a . 2

Lời giải Chọn D Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau + Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa     vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB  DC hoặc AD  BC . Phần 1: CÁC VÍ DỤ

  Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Từ 5 điểm A, B, C, D, O. Tìm các vectơ bằng vectơ AB OB .     AB  DC , OB  DO

Lời giải

    Ví dụ 7. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  DC thì AD  BC .

Lời giải     Ta có: AB  DC khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành. Suy ra AD  BC .   Ví dụ 8. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB  2CD . Từ C vẽ CI  DA . Chứng minh:   a. DI  CB    b. AI  IB  DC Lời giải

    a. Ta có: CI  DA suy ra AICD là hình bình hành. Suy ra AD  IC

Trang 6

Ta có: DC  AI , AB  2CD do đó AI 

1 AB suy ra I là trung điểm AB. 2

   DC  IB Ta có:   BCDI là hình bình hành suy ra DI  CB  DC / / IB        b. I là trung điểm AB  AI  IB và BCDI là hình bình hành  IB  DC  AI  IB  DC

Ví dụ 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh   MN  QP Lời giải  MN / / AC  Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra  (1). 1 MN  AC  2 QP / / AC  Tương tự  (2) 1 QB  2 AC

  Từ (1) & (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MN  QP .

  Ví dụ 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm BC, dựng điểm B’: B ' B  AG . Chứng minh:   a. BI  IC   b. Gọi J là trung điểm BB’, chứng minh BJ  IG .

Lời giải

   BI  CI   BI  IC a. Vì I là trung điểm BC nên    BI  IC

Trang 7

     B ' B  AG Vì B ' B  AG   . Do đó BJ  IG (1).  B ' B  AG

Vì G là trọng tâm tam giác ABC  IG    Từ (1) & (2) suy ra BJ  IG .

1 1 AG , J là trung điểm BB’  BJ  BB '  BJ  IG (2) 2 2

Ví dụ 11. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.  Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A, B. Lời giải

Trên tia CB lấy điểm B’ sao cho BB '  NP   Khi đó ta có BB ' là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP . (Ta cũng có thể dựng hình bình hành PNBB’)  Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP. Trên đường thẳng đó lấy điểm A’ sao cho AA '   cùng hướng với NP và AA '  NP .(Ta cũng có thể dựng hình bình hành PNAA’) Khi đó ta có AA ' là  vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

 Câu 21: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là:

A. 4.

B. 2.

C. 7.

D. 9.

Lời giải Chọn B   Đó là AB , ED . Câu 22: Khẳng định nào sau đây là đúng?   A. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.   B. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.   C. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành.   D. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu cùng độ dài. Lời giải Chọn A Câu 23: Cho tam giác ABC đều cạnh a, mệnh đề nào sau đây sai?     A. AB  BC . B. AC  BC . Trang 8

  C. AB  BC .

  D. AC , BC không cùng phương.

Lời giải Chọn A Câu 24: Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AD  BC . B. AB  AC . C. AC  DB .

  D. AB  CD .

Lời giải Chọn A

 Câu 25: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Vectơ OB bằng với vectơ nào sau đây ?     A. DO B. OD C. CO D. OC

Lời giải Chọn A Câu 26: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?         A. OB  DO B. AB  DC C. OA  OC D. CB  DA Lời giải Chọn C

  Câu 27: Cho AB  CD . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau     A. AB cùng hướng với CD . B. AB cùng phương với CD .   C. AB  CD . D. ABCD là hình bình hành.

Lời giải Chọn D Phải suy ra ABDC là hình bình hành. Câu 28: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. MA  MB . B. AB  AC . C. MN  BC . D. BC  2 MN . Lời giải Chọn D

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC.   Do đó BC  2 MN BC  2 MN .   Câu 29: Cho tứ giác ABCD. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD ?

A. ABCD là hình bình hành.

B. ABDC là hình bình hành. Trang 9

C. AD và BC có cùng trung điểm.

D. AB  CD . Lời giải

Chọn B Ta có:

   AB / / CD  AB  CD    ABDC là hình bình hành.  AB  CD  Mặt khác, ABDC là hình bình hành

 AB / / CD     AB  CD .  AB  CD

  Do đó, điều kiện cần và đủ để AB  CD là ABDC là hình bình hành.

Câu 30: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai?         A. AB  ED . B. AB  AF . C. OD  BC . D. OB  OE . Lời giải Chọn D

Hai vectơ này ngược hướng. Câu 31: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên làm điểm gốc hoặc điểm ngọn các vectơ. Tìm mệnh đề sai:   A. Có 2 vectơ bằng PQ B. Có 4 vectơ bằng AR   C. Có 3 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP Lời giải Chọn C Câu 32: Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:       A. IA  BI . B. AI  BI . C. IA  IB . D. IA  IB . Lời giải Chọn A Câu 33: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đấy là đúng ?       A. AB  DC . B. AC  DB . C. AD  CB .

  D. AB  AD .

Lời giải Chọn A

Trang 10

   AB  DC   Vì:     AB  DC .  AB  DC

Câu 34: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây là sai?         A. AB  ED . B. AB  AF . C. OD  BC . D. OB  OE . Lời giải Chọn D

Câu 35: Cho hình thoi ABCD có tâm I. Hãy cho biết số khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?       a) AB  BC b) AB  DC c) IA  IO       d) IB  IA e) AB  BC f) 2 IA  BD A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải Chọn A

    Câu 36: Cho AB  0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD .

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. Vô số.

Lời giải Chọn A

    Câu 37: Cho AB khác 0 và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB  CD .

A. Vô số.

B. 1 điểm

C. 2 điểm

D. Không có điểm nào.

Lời giải Chọn A   Ta có AB  CD  AB  CD . Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm C bán kính AB.

  Có vô số điểm D thỏa mãn AB  CD Trang 11

    Câu 38: Cho AB  0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD .

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. Vô số.

Lời giải Chọn A

  Câu 39: Cho tứ giác ABCD. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD ?

A. ABCD là hình bình hành.

B. ABDC là hình bình hành.

C. AD và BC có cùng trung điểm.

D. AB  CD . Lời giải

Chọn B Ta có:

   AB / / CD  AB  CD    ABDC là hình bình hành.  AB  CD  AB / / CD    Mặt khác, ABDC là hình bình hành    AB  CD .  AB  CD   Do đó, điều kiện cần và đủ để AB  CD là ABDC là hình bình hành. Câu 40: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên làm điểm gốc hoặc điểm ngọn các vectơ. Tìm mệnh đề sai:   A. Có 2 vectơ bằng PQ B. Có 4 vectơ bằng AR   C. Có 3 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP Lời giải Chọn C Câu 41: Véctơ là một đoạn thẳng: A. Có hướng.

B. Có hướng dương, hướng âm.

C. Có hai đầu mút.

D. Thỏa cả ba tính chất trên. Lời giải

Chọn A Câu 42: Hai véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là: A. Hai véc tơ bằng nhau.

B. Hai véc tơ đối nhau.

C. Hai véc tơ cùng hướng.

D. Hai véc tơ cùng phương. Lời giải

Chọn B Theo định nghĩa 2 véctơ bằng nhau. Câu 43: Hai véctơ bằng nhau khi hai véctơ đó có: A. Cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

B. Song song và có độ dài bằng nhau.

C. Cùng phương và có độ dài bằng nhau.

D. Thỏa mãn cả ba tính chất trên. Lời giải

Chọn A Trang 12

Theo định nghĩa hai véctơ bằng nhau. Câu 44: Điền từ thích hợp vào dấu (…) để được mệnh đề đúng. Hai véc tơ ngược hướng thì … A. Bằng nhau

B. Cùng phương

C. Cùng độ dài

D. Cùng điểm đầu

Lời giải Chọn B Câu 45: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng nhất ?   A. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương.   B. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và BC cùng phương.   C. A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC và BC cùng phương. D. Cả A, B, C đều đúng. Lời giải Chọn D Cả 3 ý đều đúng. Câu 46: Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất 2 vectơ cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Lời giải Chọn A

 Ta có vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ.

Câu 47: Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau. B. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng phương. C. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song nhau. D. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng. Lời giải Chọn C A. sai do hai vectơ không bằng nhau thì có thể hai vectơ ngược hướng nhưng độ dài vẫn bằng nhau. B. sai do một trong hai vectơ là vectơ không. C. đúng do hai vectơ bằng nhau thì hai vectơ cùng hướng. Câu 48: Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương.  B. Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. C. Vectơ – không là vectơ không có giá. D. Điều kiện đủ để 2 vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. Lời giải Trang 13

Chọn B

 Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương.   Câu 49: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khẳng định nào sau đây đúng ?   A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b .   B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b .    C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 .

D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Chọn C

   Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là  vectơ 0 .  Câu 50: Cho vectơ a . Mệnh đề nào sau đây đúng ?       A. Có vô số vectơ u mà u  a . B. Có duy nhất một u mà u  a .       C. Có duy nhất một u mà u  a . D. Không có vectơ u nào mà u  a .

Lời giải Chọn A

      Cho vectơ a , có vô số vectơ u cùng hướng và cùng độ dài với vectơ a . Nên có vô số vectơ u mà u  a .

Câu 51: Chọn khẳng định đúng. A. Hai véc tơ cùng phương thì bằng nhau. B. Hai véc tơ ngược hướng thì có độ dài không bằng nhau. C. Hai véc tơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. D. hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. Lời giải Chọn D Hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau. Câu 52: Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định sau hãy tìm khẳng định sai         A. AD  CB . B. AD  CB . C. AB  DC . D. AB  CD . Lời giải Chọn A

  Ta có ABCD là hình bình hành. Suy ra AD  BC .

Câu 53: Chọn khẳng định đúng. A. Véc tơ là một đường thẳng có hướng. B. Véc tơ là một đoạn thẳng. C. Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng. D. Véc tơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối. Lời giải Trang 14

Chọn C Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng. Câu 54: Cho vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Hãy chọn câu sai A. Được gọi là vectơ suy biến.

 C. Được gọi là vectơ không, kí hiệu là 0 .

B. Được gọi là vectơ có phương tùy ý. D. Là vectơ có độ dài không xác định. Lời giải

Chọn C Vectơ không có độ dài bằng 0. Câu 55: Cho hình vuông ABCD, khẳng định nào sau đây đúng:     A. AC  BD B. AB  BC     C. AB  CD D. AB và AC cùng hướng. Lời giải Chọn B

  Ta có ABCD là hình vuông. Suy ra AB  BC . Câu 56: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:     A. AB , AC cùng phương. B. AB , AC cùng hướng .     C. AB  BC . D. AB , CB ngược hướng. Lời giải Chọn A

  Câu 57: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?   A. A nằm trong đoạn BC B. AB  CA

C. A nằm ngoài đoạn BC

D. AB  AC Lời giải

Chọn C A nằm ngoài đoạn BC.

  Câu 58: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu AB  BC thì có khẳng định nào sau đây đúng

A. B là trung điểm của AC.

B. B nằm ngoài đoạn AC.

C. ABCD là hình bình hành.

D. ABCD là hình vuông. Lời giải

Chọn A Câu 59: Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:     A. CA  CB . B. AB và AC cùng hướng.     C. AB và CB ngược hướng. D. AB  CB . Lời giải Chọn B Trang 15

  Ta có C là trung điểm của đoạn AB và AC cùng hướng.

Câu 60: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. OA  OC . B. OB và OD cùng hướng.     C. AC và BD cùng hướng. D. AC  BD . Lời giải Chọn D Câu 61: Cho hình binh hành ABGE. Đẳng thức nào sau đây đúng.       A. BA  EG . B. AG  BE . C. GA  BE .

  D. BA  GE .

Lời giải Chọn D

  Hình bình hành ABGE  BA  GE .

Câu 62: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai ?     A. AB  BC . B. AC  BC .     C. AB  BC . D. AB không cùng phương BC . Lời giải Chọn A

    Ta có tam giác đều ABC  AB , BC không cùng hướng  AB  BC .

Câu 63: Chọn khẳng định đúng A. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng. B. Hai vec tơ cùng hướng thì cùng phương. C. Hai vec tơ cùng phương thì có giá song song nhau. D. Hai vec tơ cùng hướng thì có giá song song nhau. Lời giải Chọn B Hai véc tơ cùng hướng thì cùng phương. Câu 64: Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ. mệnh đề nào sau đây đúng ?           A. M , MA  MB . B. M , MA  MB  MC .C. M , MA  MB  MC . D. M , MA  MB . Lời giải Chọn C Ta có 3 điểm A, B, C không thằng hàng, M là điểm bất kỳ.       Suy ra MA , MB , MC không cùng phương  M , MA  MB  MC .  Câu 65: Cho hai điểm phân biệt A, B. Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm A, B là: A. 2.

B. 6.

C. 13.

D. 12.

Lời giải Chọn A Trang 16

   Số vectơ ( khác 0 ) là AB ; BA .

Câu 66: Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:     A. CA  CB . B. AB và AC cùng hướng.     C. AB và CB ngược hướng. D. AB  CB . Lời giải Chọn B

  Ta có C là trung điểm của đoạn AB và AC cùng hướng.

Câu 67: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:

  A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .   B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .   C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB .   D. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là AB  AC .

Lời giải Chọn A

  Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB .             Các vectơ đó là: AB , AC , AD , BA , BC , BD , CA , CB , CD , DA , DB , DC .

Câu 68: Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của AB. Khi đó:     A. BI  AI . B. BI cùng hướng với AB .     C. BI  2 IA . D. BI  IA . Lời giải Chọn D   BI  IA vì I là trung điểm của AB. Câu 69: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?     A. AC  BC . B. AB  BC .     C. AB  BC . D. AC không cùng phương BC . Lời giải Chọn B B. sai do hai vectơ không cùng phương.

 Câu 70: Cho hình bình hành ABCD. Các vectơ là vectơ đối của vectơ AD là         A. AD , BC . B. BD , AC . C. DA , CB . D. AB , CB . Lời giải Chọn C

   Vectơ đối của vectơ AD là DA , CB . Trang 17

 Câu 71: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng vectơ BA là:          A. OF , DE , OC . B. CA , OF , DE . C. OF , DE , CO .

   D. OF , ED , OC .

Lời giải Chọn C

    Ba vectơ bằng vectơ BA là: OF , DE , CO .   Câu 72: Cho tứ giác ABCD. Nếu AB  DC thì ABCD là hình gì? Tìm đáp án sai.

A. Hình bình hành.

B. Hình vuông.

C. Hình chữ nhật.

D. Hình thang.

Lời giải Chọn D. Câu 73: Cho lục giác ABCDEF, tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?       A. AB  ED . B. AB  OC . C. AB  FO .

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải Chọn D

      Ta có ABCDEF là lục giác, tâm O. Suy ra AB  ED , AB  OC , AB  FO . Câu 74: Chọn câu sai: A. Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.   B. Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a .

   C. 0  0 , PQ  PQ .  D. AB  AB  BA . Lời giải Chọn C   Vì PQ  PQ . Câu 75: Cho khẳng định sau

  (1). 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AB  CD .   (2). 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành thì AD  CB .   (3). Nếu AB  CD thì 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành.   (4). Nếu AD  CB thì 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Chọn B   Nếu AD  CB thì 4 điểm A, D, B, C theo thứ tự đó là 4 đỉnh của hình bình hành. Câu 76: Cho đoạn thẳng AB, I là trung điểm của AB. Khi đó:     A. BI  AI . B. BI cùng hướng với AB . Trang 18

  C. BI  2 IA .

  D. BI  IA . Lời giải

Chọn D   BI  IA vì I là trung điểm của AB. Câu 77: Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?     A. AC  BC . B. AB  BC .     C. AB  BC . D. AC không cùng phương BC . Lời giải Chọn B B. sai do hai vectơ không cùng phương.

  Câu 78: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu AB  BC thì có khẳng định nào sau đây đúng

A. B là trung điểm của AC.

B. B nằm ngoài đoạn AC.

C. ABCD là hình bình hành.

D. ABCD là hình vuông. Lời giải

Chọn A

  Câu 79: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?   A. A nằm trong đoạn BC. B. AB  CA .

C. A nằm ngoài đoạn BC.

D. AB  AC . Lời giải

Chọn C A nằm ngoài đoạn BC. Câu 80: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?         A. MN  QP . B. MQ  NP . C. PQ  MN . D. MN  AC . Lời giải Chọn D

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN 

 1  1 AC hay MN  AC . 2 2

 Câu 81: Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là

A. 42.

B. 3.

C. 9.

D. 27. Trang 19

Lời giải Chọn A

 Số vectơ ( khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là 7.6  42

Câu 82: Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác. A. 20.

B. 12.

C. 30.

D. 16.

Lời giải Chọn C

  Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơ – không là AB , BA . Một vectơ khác vectơ – không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 30 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 30 vectơ. Câu 83: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?         A. MN  QP . B. MQ  NP . C. PQ  MN . D. MN  AC . Lời giải Chọn D Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN 

 1  1 AC hay MN  AC . 2 2

Câu 84: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Độ dài của vectơ  BI là A. a

21 . 6

B. a

21 . 3

C. a

3 . 6

D. a

3 . 2

Lời giải Chọn A

 Ta có AB  AB  a Gọi M là trung điểm của BC

 2 2 2 2 a2 a 3 Ta có AG  AG  AM  AB 2  BM 2  a   3 3 3 4 3  a 2 a 2 a 21 2 2 BI  BI  BM  MI    4 3 6

Trang 20

Câu 85: Cho hình bình hành ABCD. Trên các đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM  BN . Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB. Khẳng định nào đúng?         A. DP  QB . B. MQ  NP . C. PQ  MN . D. MN  AC . Lời giải Chọn A

Ta có DM  BN  AN  MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành.   Suy ra AM  NC . Xét tam giác DMP và BNQ ta có DM  NB (giả thiết), PDM  QBN (so le trong) Mặt khác DMP  APB (đối đỉnh) và APQ  NQB (hai góc đồng vị) suy ra DMP  BNQ . Do đó DMP  BNQ (c.g.c) suy ra DB  QB .     Dễ thấy DB , QB cùng hướng vì vậy DB  QB . Câu 86: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD  60o . Đẳng thức nào sau đây đúng?        A. AB  AD . B. BD  a . C. BD  AC . D. BC  DA . Lời giải Chọn B

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD  a

 BD  a .

Câu 87: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC, AB; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.      A. DM  NB . B. DP  PQ  QB . C. Cả A, B đều đúng. D. Cả A, B đều sai. Lời giải Chọn C

Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì DM  NB 

  1 AB , DM / / NB . Suy ra DM  NB . 2

Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / / QC do đó P là trung điểm của DQ. Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB Trang 21

   Vì vậy DP  PQ  QB từ đó suy ra DP  PQ  QB .

  Câu 88: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB  2CD . Từ C vẽ CI  DA . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?     A. AD  IC B. DI  CB C. Cả A, B đều đúng D. A đúng, B sai

Lời giải Chọn C   Ta có CI  DA suy ra AICD là hình bình hành    AD  IC Ta có DC  AI mà AB  2CD do đó AI 

1 AB  I là trung điểm AB 2

Ta có DC  IB và DC / / IB  tứ giác BCDI là hình bình hành   Suy ra DC  IB . Câu 89: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?         A. HA  CD và AD  CH . B. HA  CD và AD  HC .           C. HA  CD và AC  CH . D. HA  CD và AD  HC và OB  OD . Lời giải Chọn B

Ta có AH  BC và DC  BC (do góc DCB chắn nửa đường tròn). Suy ra AH / / DC . Tương tự ta cũng có CH / / AD .

Trang 22

BẢNG ĐÁP ÁN 1-D

2-D

3-A

4-A

5-A

6-B

7-D

8-C

9-D

10-A

11-B

12-D

13-A

14-D

15-B

16-A

17-B

18-B

19-B

20-D

21-B

22-A

23-A

24-A

25-A

26-C

27-D

28-D

29-B

30-D

31-C

32-A

33-A

34-D

35-A

36-A

37-A

38-A

39-B

40-C

41-A

42-B

43-A

44-B

45-D

46-A

47-C

48-B

49-C

50-A

51-D

52-A

53-C

54-C

55-B

56-A

57-C

58-A

59-B

60-D

61-D

62-A

63-B

64-C

65-A

66-B

67-A

68-D

69-B

70-C

71-C

72-D

73-D

74-C

75-B

76-D

77-B

78-A

79-C

80-D

81-A

82-C

83-D

84-A

85-A

86-B

87-C

88-C

89-B

Trang 23

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẰM I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa tổng của hai vectơ       Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho AB  a , BC  b .    Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Kí hiệu    AC  a  b . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. 2. Các tính chất Tính chất giao hoán: Tính chất kết hợp:

    ab  ba;       ab c  a bc ;









   a0 a.        Chú ý: Do tính chất kết hợp, các vectơ a  b  c và a  b  c bằng nhau, bởi vậy, chúng có thể được       viết một cách đơn giản là a  b  c , và gọi là tổng của ba vectơ a, b, c . Tương tự, ta cũng có định nghĩa Tính chất của vectơ không:









cho tổng của n  n  , n  4  vectơ. 3. Các quy tắc cần nhớ

   Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có AB  BC  AC .    Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có AB  AD  AC . 4. Kết quả quan trọng

   Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA  MB  0 ;     Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 . II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1. Vectơ đối của một vectơ      Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ không, thì ta nói a là vectơ đối của b , hoặc b là vectơ đối của  a.    Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a .   Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 . 2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ       Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a  b , là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , tức là     a  b  a  b .

 

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ. 3. Quy tắc cần nhớ

   Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có BC  AC  AB . Trang 1

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Các bài toán liên quan đến tổng các vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

    Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, xác định các vectơ CB  CD, AC  DA .

        CB  CD  CA và AC  DA  DA  AC  DC .

Lời giải

     Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, xác định các vectơ AB  CA  BC , AB  AC . Lời giải           AB  CA  BC  AB  BC  CA  AC  CA  AA  0    Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình bình hành. Khi đó AB  AC  AD .      Ví dụ 3: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, xác định các vectơ AB  OD, AB  AE  OD .

     AB  OD  AB  BC  AC       AB  AE  OD  AO  OD  AD .

Lời giải

     Ví dụ 4: Cho n điểm A1 , A2 , A3 ,..., An , xác định vectơ An 1 An  An  2 An 1  An 3 An  2  ...  A2 A3  A1 A2 . Lời giải      An 1 An  An  2 An 1  An 3 An  2  ...  A2 A3  A1 A2       A1 A2  A2 A3  ...  An 3 An  2  An  2 An 1  An 1 An       Do đó An 1 An  An  2 An 1  An 3 An  2  ...  A2 A3  A1 A2  A1 An . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng     minh rằng RJ  IQ  PS  0 . Lời giải

         RJ  RA  AJ , IQ  IB  BQ, PS  PC  CS          RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS

              RA  CS    AJ  IB    BQ  PC  Trang 2

       SC  CS  BI  IB  CP  PC



 

    SS  BB  CC  0.     Vậy RJ  IQ  PS  0 .

 



PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM    Câu 1: Cho ba vectơ a, b và c khác vectơ-không. Tron các khẳng định sau, khẳng định nào sai?           A. a  b  b  a B. a  b  c  a  b  c

   C. a  0  a





   D. 0  a  0





Lời giải Chọn D.    0a  a.

  Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Vectơ tổng CB  CD bằng    A. CA B. BD C. AC

 D. DB

Lời giải Chọn A.    CB  CD  CA . Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?             A. AB  BC  AC B. AC  CB  AB C. CA  BC  BA D. CB  AC  BA Lời giải Chọn D.    CB  AC  AB .

    Câu 4: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Vectơ tổng AB  CD  BC  DA bằng     A. 0 B. AC C. BD D. BA Lời giải Chọn A.           AB  CD  BC  DA  AB  BC  CD  DA  AA  0 .

  Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vectơ tổng MP  NP bằng     A. BP B. MN C. CP D. PA Lời giải Chọn A.      MP  NP  BM  MP  BP . Trang 3

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?             A. IA  DC  IB B. AB  AD  BD C. IA  BC  IB D. AB  IA  BI Lời giải Chọn A.      IA  DC  IA  AB  IB . Câu 7: Cho hình bình hành ABCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?               A. IA  DC  IB B. DA  DC  BI  DI C. ID  AB  IC D. AB  AD  CI  IA Lời giải Chọn D.       AB  AD  CI  AC  CI  AI .

     Câu 8: Cho các điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Xác định vectơ tổng MN  PQ  RP  NP  QR .     A. MP B. MN C. MQ D. MR Lời giải Chọn A.            MN  PQ  RP  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RP  MP . Câu 9: Cho hình bình hành ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?             A. AB  BD  BC B. AB  AD  AC C. AC  CD  CB D. DC  DA  DB Lời giải Chọn C.     AC  CD  AD  BC . Câu 10: Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?                A. AB  BC  CA  0 B. AP  BM  CN  0 C. MN  NP  PM  0 D. PB  MC  MP Lời giải Chọn D.      PB  MC  PB  BM  PM . Câu 11: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?                A. OA  OC  OE  0 B. OA  OC  OB  EB C. AB  CD  EF  0 D. BC  EF  AD Lời giải Chọn D.    BC  EF  0 . Câu 12: Cho hình vuông ABCD, tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?             A. BC  AB  CA B. OC  AO  CA C. BA  DA  CA D. DC  BC  CA Trang 4

Lời giải Chọn A.      BA  DA  CD  DA  CA . Câu 13: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?            A. OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 B. OA  AB  BO  0        C. OA  FE  0 D. OA  ED  FA  0 Lời giải Chọn D.      OA  ED  OA  AB  FA . Câu 14: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC, G1 là điểm đối xứng của G qua M.   Vectơ tổng G1 B  G1C bằng     A. GA B. BC C. G1 A D. G1M Lời giải Chọn A.     G1 B  G1C  G1G  GA .

    Câu 15: Xét tam giác ABC có trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn OA  OB  OC  0 . Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?   1) OG  0 ; 2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân; 3) Tam giác ABC là tam giác đều; 4) Tam giác ABC là tam giác cân. A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải Chọn A.        OA  OB  OC  OG  OG  OG  0  O  G . Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

    Câu 16: Xét tam giác ABC có trọng tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O thỏa mãn HA  HB  HC  0 . Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?   1) HG  0 ; 2) Tam giác ABC là tam giác vuông cân;   3) OG  0 ; 4) Tam giác ABC là tam giác cân. A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải Chọn A.        HA  HB  HC  HG  HG  HG  0  H  G . Do đó tam giác ABC là tam giác đều. Trang 5

Câu 17: Xét tam giác ABC nội tiếp có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Hỏi trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?    1) HB  HC  HD ;     2) DA  DB  DC  HA ;     3) HA  HB  HC  HH1 , với H1 là điểm đối xứng của H qua O;     4) Nếu HA  HB  HC  0 thì tam giác ABC là tam giác đều. A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải Chọn A.        HB  HC  HD  HA  HB  HC  HH1 .       Nếu HA  HB  HC  0 thì HH1  0 , suy ra H  O . Câu 18: Cho 5 điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Mệnh đề nào sau đây đúng?             A. MN  PQ  RN  NP  QR  MP B. MN  PQ  RN  NP  QR  PR             C. MN  PQ  RN  NP  QR  MR D. MN  PQ  RN  NP  QR  MN Lời giải Chọn D.      MN  PQ  RN  QR  MN .

   Câu 19: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Vectơ tổng BA  DA  AC bằng    A. 0 B. BD C. OC

 D. OA

Lời giải Chọn A.         BA  DA  AC  CD  DA  AC  CC  0 . Câu 20: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1 , A2 ,..., An . Bạn Bình kí hiệu    chúng là B1 , B2 ,..., Bn  A1  Bn  . Vectơ tổng A1 B1  A2 B2  ...  An Bn bằng     A. 0 B. A1 An C. B1 Bn D. A1 Bn Lời giải Chọn A. Lấy điểm O bất kì. Khi đó          A1 B1  A2 B2  ...  An Bn  A1O  A1O  ...  AnO  OB1  OB2  ...  OBn



 



Vì  B1 , B2 ,..., Bn    A1 , A2 ,..., An  nên       OB1  OB2  ...  OBn  OA1  OA2  ...  OAn           Do đó A1 B1  A2 B2  ...  An Bn  A1O  OA1  A2O  OA2  ...  AnO  OAn  0 .



 







Trang 6

Dạng 2: Vectơ đối, hiệu của hai vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:      a) AP  AN  AC  BM  0       b) OA  OB  OC  OM  ON  OP với O là điểm bất kì. Lời giải

   a) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP  AN  AM , kết hợp với          quy tắc trừ  AP  AN  AC  BM  AM  AC  BM  CM  BM    Mà CM  BM  0 do M là trung điểm của BC.      Vậy AP  AN  AC  BM  0 . b) Theo quy tắc ba điểm ta có:          OA  OB  OC  OP  PA  OM  MB  ON  NC        OM  ON  OP  PA  MB  NC        OM  ON  OP  BM  CN  AP           BM  CN  AP  0 suy ra OA  OB  OC  OM  ON  OP . Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABC D có chung đỉnh A. Chứng minh rằng     BB  CC   DD  0 Lời giải Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có          BB  CC   DD  AB  AB  AC   AC  AD  AD         AB  AD  AC  AB  AD  AC  0 . Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.         a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP .    b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Lời giải

Trang 7

   a) AM  AN  NM        MN  NC  MN  MP  PN (vì NC  MP )      MN  PN  MN  NP  MP      BP  CP  BP  PC  BC     b) AM  NP  MP  MN .

      Ví dụ 4: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB . Lời giải    Ta có  DC  CD; CE  EC nên           VT  AC  DE  DC  CE  CB  AC  DE  CD  EC  CB        AC  CD  DE  EC  CB  AB  VP  đpcm. Ví dụ 5: Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1 , A2 ,..., An . Bạn Bình kí hiệu     chúng là B1 , B2 ,..., Bn  A1  Bn  . Chứng minh rằng A1 B1  A2 B2  ...  An Bn  0 . Lời giải Lấy điểm O bất kì. Khi đó          A1 B1  A2 B2  ...  An Bn  OB1  OB2  ...  OBn  OA1  OA2  ...  OAn



 



Vì  B1 , B2 ,..., Bn    A1 , A2 ,..., An  nên       OB1  OB2  ...  OBn  OA1  OA2  ...  OAn     Do đó A1 B1  A2 B2  ...  An Bn  0 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM      Câu 1: Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?     A. Hai vectơ a, b cùng phương. B. Hai vectơ a, b ngược hướng.     C. Hai vectơ a, b cùng độ dài. D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu. Lời giải Chọn D.     Ta có a  b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau. Câu 2: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?           A. OA  OB  CD B. OB  OC  OD  OA C. AB  AD  DB

    D. BC  BA  DC  DA

Lời giải Trang 8

Chọn B.

Xét các đáp án:

     Đáp án A. Ta có OA  OB  BA  CD . Vậy A đúng.     OB  OC  CB   AD  Đáp án B. Ta có     . Vậy B sai. OD  OA  AD     Đáp án C. Ta có AB  AD  DB . Vậy C đúng.     BC  BA  AC  Đáp án D. Ta có     . Vậy D đúng.  DC  DA  AC   Câu 3: Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính OB  OC .     A. BC B. DA C. OD  OA

 D. AB

Lời giải Chọn B.     OB  OC  CB  DA

  Câu 4: Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Hỏi vectơ AO  DO bằng vectơ nào?     A. BA B. BC C. DC D. AC Lời giải Chọn B.

      AO  DO  OD  OA  AD  BC . Câu 5: Chọn khẳng định sai:

   A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  IB  0 . B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì    C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  IB  0 . D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì

   AI  BI  AB .    IA  BI  0 .

Lời giải Chọn A.     IA  IB  BA  0 . Câu 6: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây là đúng:           A. OA  CA  CO B. BC  AC  AB  0 C. BA  OB  OA

   D. OA  OB  BA

Lời giải Chọn B. Trang 9

         BC  AC  AB  AB  BC  AC  AC  AC  0 . Câu 7: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  CD  BC  DA B. AC  BD  CB  AD         C. AC  DB  CB  DA D. AB  AD  DC  BC Lời giải Chọn D.         Ta có: AB  AD  DB, DC  BC  DC  CB  DB     Vậy: AB  AD  DC  BC      Câu 8: Chỉ ra vectơ tổng MN  QP  RN  PN  QR trong các vectơ sau:    A. MR B. MQ C. MP

 D. MN

Lời giải Chọn D.       MN  NP  PQ  QR  RN  MN . Câu 9: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. MA  MB  MC  MD B. MA  MD  MC  MB         C. AM  MB  CM  MD D. MA  MC  MB  MD Lời giải Chọn D.     Ta có: MA  MC  MB  MD       MA  MC  MB  MD  0       MA  MB  MC  MD  0     BA  DC  0 (đúng). Câu 10: Cho tam giác ABC có M, N, D lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Khi đó, các vectơ đối của  vectơ DN là:            A. AM , MB, ND B. MA, MB, ND C. MB, AM D. AM , BM , ND Lời giải Chọn A.

Trang 10

    Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ DN là: AM , MB, ND Câu 11: Cho các điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?          A. AB  BC  AC B. AB  CB  CA C. AB  BC  CA

   D. AB  CA  CB

Lời giải Chọn D.     OA  BO  BA  CD .

  Câu 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó CB  CA bằng      A. OC  OB B. AB C. OC  DO

 D. CD

Lời giải Chọn A.    AB  CB  CA (quy tắc 3 điểm).

     Câu 13: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó vectơ u  AD  CD  CB  DB là:         A. u  0 B. u  AD C. u  CD D. u  AC Lời giải Chọn C.             u  AD  CD  CB  DB  AD  DC  CB  BD  AC  CD  AD .      Câu 14: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó vectơ u  AD  CD  CB  AB bằng         A. u  AD B. u  0 C. u  CD D. u  AC Lời giải Chọn B.             u  AD  CD  CB  AB  AD  AB  CB  CD  BD  DB  0 . Câu 15: Cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  DC  AC  DB B. AB  CD  AD  BC         C. AB  DC  AD  CB D. AB  CD  DA  CB Lời giải Chọn C.        AB  DC  AD  DB  CD  AD  CB . Câu 16: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng?           A. AO  BO  CO  DO  0 B. AO  BO  CO  DO  0           C. AO  OB  CO  OD  0 D. OA  OB  CO  DO  0 Lời giải Chọn B.          Ta có: AO  BO  CO  DO  AO  CO  BO  DO  0     Do AO, CO đối nhau, BO, DO đối nhau. Trang 11

Câu 17: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?                A. OA  OC  EO  0 B. BC  EF  AD C. OA  OB  EB  OC D. AB  CD  EF  0 Lời giải Chọn D.

          Ta có: AB  CD  EF  AB  BO  OA  AO  OA  2 AO  0 Câu 18: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. BA  BC  DC  CB B. BA  BC  DC  BC         C. BA  BC  DC  AD D. BA  BC  DC  CA Lời giải Chọn A.          BA  BC  DC  CA  DC  DC  CA  DA  CB . Câu 19: Cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AB  CD  AD  CB B. AB  CD  AD  BC         C. AB  CD  AC  BD D. AB  CD  DA  BC Lời giải Chọn A.           AB  CD  AD  CB  AB  AD  CB  CD  DB  DB . Câu 20: Cho ABC , vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABEF, ACPQ, BCMN. Xét các mệnh đề:    (I) NE  FQ  MP    (II) EF  QP   MN       (III) AP  BF  CN  AQ  EB  MC Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I)

B. Chỉ (III)

C. (I) và (II)

D. Chỉ (II)

Lời giải Chọn A.    NE  FQ  MP .

Trang 12

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng      a) AB  CD  EA  CB  ED       b) AC  CD  EC  AE  DB  CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có      VT  AC  CB  CD  ED  DA       CB  ED  AC  CD  DA      CB  ED  AD  DA    CB  ED  VP . b) Đẳng thức tương đương với        AC  AE  CD  CB  EC  DB  0       EC  BD  EC  DB  0    BD  DB  0 (đúng). Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng     a) BA  DA  AC  0      b) OA  OB  OC  OD  0     c) MA  MC  MB  MD Lời giải

      a) Ta có BA  DA  AC   AB  AD  AC      AB  AD  AC    Theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC suy ra       BA  DA  AC   AC  AC  0 .        b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OA  CO  OA  OC  OA  AO  0         Tương tự: OB  OD  0  OA  OB  OC  OD  0 .        c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC  BA  DC  BA  AB  0 Trang 13

       MA  MC  MB  BA  MD  DC        MB  MD  BA  DC  MB  MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với       MA  MB  MD  MC  BA  CD (đúng do ABCD là hình bình hành). Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:     BM  CN  AP  0 . Lời giải

Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành.    BM  PN

  N là trung điểm của AC  CN  NA Do đó theo quy tắc ba điểm ta có       BM  CN  AP  PN  NA  AP     PA  AP  0 . Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABC D có chung đỉnh A. Chứng minh rằng     BB  CC   DD  0 . Lời giải Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có          BB  CC   DD  AB  AB  AC   AC  AD  AD         AB  AD  AC  AB  AD  AC  0 .         Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM  BA, MN  DA, NP  DC , PQ  BC . Chứng minh rằng:   AQ  0 . Lời giải          Theo quy tắc ba điểm ta có AQ  AM  MN  NP  PQ  BA  DA  DC  BC           Mặt khác BA  BC  BD, DA  DC  DB suy ra AQ  BD  DB  0 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho 5 điểm phân biệt M, N, P, Q, R. Mệnh đề nào sau đây đúng?             A. MN  PQ  RN  NP  QR  MP B. MN  PQ  RN  NP  QR  PR             C. MN  PQ  RN  NP  QR  MR D. MN  PQ  RN  NP  QR  MN Trang 14

Lời giải Chọn D.            Ta có MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN . Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, đẳng thức véctơ nào sau đây đúng?          A. CD  CB  CA B. AB  AC  AD C. BA  BD  BC

   D. CD  AD  AC

Lời giải Chọn A.

   Đẳng thức véctơ CD  CB  CA đúng theo quy tắc cộng hình bình hành. Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây là đúng:             A. AB  AC  DA B. AO  AC  BO C. AO  BO  CD D. AO  BO  BD Lời giải Chọn A.

        Ta có AB  AC  CB . Do ABCD là hình bình hành nên CB  DA nên AB  AC  DA . Câu 4: Cho 4 điểm bất kì A, B, C, O. Đẳng thức nào sau đây đúng?          A. OA  OB  BA B. OA  CA  CO C. AB  AC  BC

   D. AB  OB  OA

Lời giải Chọn B.         OA  OB  BA  OA  OB   BA  BA   BA nên A sai            OA  CA  CO  OA  CA  CO  OA  AC  CO  OC  CO nên B đúng. Câu 5: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?          A. AB  BC  CA B. AB  CB  AC C. AB  BC  AC

   D. AB  CA  BC

Lời giải Chọn B.      AB  AC  CB  CB  AC .

  Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA  BO bằng      A. OC  OB B. AB C. OC  DO

 D. CD

Lời giải Chọn D.     OA  BO  BA  CD . Câu 7: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng? Trang 15

       A. AB  CD  FA  BC  EF  DE  0        C. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AE

       B. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AF        D. AB  CD  FA  BC  EF  DE  AD Lời giải

Chọn A.       AB  CD  FA  BC  EF  DE        AB  BC  CD  DE  EF  FA      AC  CE  EA  0 . Câu 8: Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn BC và AD. Tính tổng   NC  MC .     A. AC B. NM C. CA D. MN Lời giải Chọn A.        NC  MC  NC  AN  AN  NC  AC . Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?                A. OA  OC  OE  0 B. BC  FE  AD C. OA  OB  OC  EB D. AB  CD  FE  0 Lời giải Chọn D.

          AB  CD  FE  AB  BO  FE  AO  OD  AD  0 .    Câu 10: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tổng véc tơ: AB  CD  EF bằng          A. AF  CE  DB B. AE  CB  DF C. AD  CF  EB

   D. AE  BC  DF

Lời giải Chọn C.             AB  CD  EF  AD  DB  CF  FD  EB  EF  AD  CF  EB .



 

 



Câu 11: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây sai?             A. AB  CD  EF  AF  ED  BC B. AB  CD  EF  AF  ED  CB             C. AE  BF  DC  DF  BE  AC D. AC  BD  EF  AD  BF  EC Lời giải Trang 16

Chọn A.       Ta có: AB  CD  EF  AF  ED  BC         AB  AF  CD  BC  EF  ED  0       FB  DF  CD  CB  0      DB  CD  CB  0     CB  CB  0 (vô lý). Câu 12: Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. AC  BD  BC  DA B. AC  BD  CB  DA         C. AC  BD  CB  AD D. AC  BD  BC  AD Lời giải Chọn D.         AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC . Câu 13: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?           A. IA  IC  0 B. AB  AD  AC C. AB  DC D. AC  BD Lời giải Chọn D. ABCD là hình bình hành với I là giao điểm của hai đường chéo nên I là trung điểm của AC và BD nên ta         có: IA  IC  0; AB  AD  AC ; AB  DC . Câu 14: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?          A. AB  AC  BC B. CA  BA  CB C. AA  BB  AB

   D. AB  CA  CB

Lời giải Chọn D.      Ta có AB  CA  CA  AB  CB  B đúng. Câu 15: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:             A. AB  AD  AC B. AB  AD  DB C. OA  OB  AD D. OA  OB  CB Lời giải Chọn C.

    Gọi M là trung điểm AB, ta có: OA  OB  2OM  DA . Câu 16: Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?                A. OA  OC  OE  0 B. BC  FE  AD C. OA  OB  OC  EB D. AB  CD  FE  0 Lời giải Chọn D.     AB  CD  EF  0 . Trang 17

Câu 17: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm E và F sao cho AE = EF = FC, BE cắt AM tại N. Chọn mệnh đề đúng:              A. NA  NM  0 B. NA  NB  NC  0 C. NB  NE  0 D. NE  NF  EF Lời giải Chọn A. Trong tam giác BCE có MF là đường trung bình nên MF / / BE  MF / / NE    N là trung điểm của AM nên NA  NM  0 . Câu 18: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào là đúng?             A. AD  BE  CF  AF  CE  BD B. AD  BE  CF  AB  AC  BC             C. AD  BE  CF  AE  AB  CD D. AD  BE  CF  BA  BC  AC Lời giải

Chọn A.          Ta có AD  BE  CF  AF  FD  BD  DE  CE  EF        AF  CE  BD  FD  DE  EF      AF  CE  BD  FF      AF  CE  BD  0     AF  CE  BD . Câu 19: Cho hình lục giác đều ABCDEF, tâm O. Đẳng thức nào sau đây đúng?           A. AF  FE  AB  AD B. AB  BC  CD  BA  AF  FE             C. AB  BC  CD  DE  EF  FA  6 AB D. AB  AF  DE  DC  0 Lời giải

Trang 18

Chọn A.       AF  FE  AB  AE  AB  AD . Câu 20: Cho tam giác ABC có trực tâm H , D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?         A. HA  CD và AD  CH B. HA  CD và AD  HC         C. HA  CD và AC  HD D. HA  CD và AD  HC Lời giải Chọn A

Ta có : Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn (O) AD // DH (cùng vuông góc với AB ) AH // CD (cùng vuông góc với BC ) Suy ra ADHC là hình bình hành     Vậy HA  CD và AD  CH .

Trang 19

Dạng 4: Các bài toán xác định điểm thỏa đẳng thức vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

    Ví dụ 1: Cho ABC , tìm M thỏa MA  MB  MC  O .         MA  MB  MC  O  BA  MC  CM  BA .

Lời giải

  Suy ra M là điểm cuối của vectơ có điểm đầu là C sao cho CM  BA .     Ví dụ 2: Cho ABC , tìm M thỏa MA  MC  AB  MB . Lời giải              MA  MC  AB  MB  MA  AB  MC  MB  MB  MC  MB  CM  O Suy ra M trùng C.

     Ví dụ 3: ABC , tìm điểm M thỏa MA  BC  BM  AB  BA . Lời giải             MA  BC  BM  AB  BA  MA  MC  BA  AB  MA  MC  O Suy ra M là trung điểm AC.

      Ví dụ 4: ABC , tìm điểm M thỏa MC  MB  BM  MA  CM  CB . Lời giải               MC  MB  BM  MA  CM  CB  BC  BA  BM  BC  BM  AB  CM  BA Suy ra M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành.      Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M thỏa MA  MB  AC  MD  CD .

     MA  MB  AC  MD  CD      BA  AC  MD  CD     BC  MD  CD     MD  DC  CB    DM  BD .

Lời giải

Vậy M là điểm đối xứng với B qua D. PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

   Câu 1: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm thỏa MA  BA  O . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M là trung điểm AB.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. A là trung điểm MB. Lời giải

Chọn D.       MA  BA  O  AM  AB  O  A là trung điểm MB.   Câu 2: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Tìm điểm I thỏa IA  BI . Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 20

A. I là trung điểm AB.

B. I thuộc đường trung trực của AB.

C. Không có điểm I.

D. Có vô số điểm I. Lời giải

Chọn A.      IA  BI  IA  IB  O  I là trung điểm AB.   Câu 3: Cho ABC . Tìm điểm I để IA và CB cùng phương. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. I là trung điểm AB.

B. I thuộc đường trung trực của AB.

C. Không có điểm I.

D. Có vô số điểm I. Lời giải

Chọn D.   IA và CB cùng phương nên AI // CB. Suy ra có vô số điểm I.    Câu 4: Cho 2 điểm phân biệt A, B . Tìm điểm M thỏa MA  MB  O . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm AB.

B. M thuộc đường trung trực của AB.

C. Không có điểm M.

D. Có vô số điểm M. Lời giải

Chọn C.      MA  MB  O  BA  O (vô lý). Câu 5: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm thỏa MB + MA = O. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm AB.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. A là trung điểm MB. Lời giải

Chọn A.    MB  MA  O suy ra M là trung điểm AB. Câu 6: Cho tam giác ABC, M là điểm thỏa MA + MB + MC = O. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm AB.

B. M là trọng tâm ABC .

C. M trùng B.

D. A là trung điểm MB. Lời giải

Chọn B.     MA  MB  MC  O nên M là trọng tâm ABC .     Câu 7: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thỏa AM  DC  AB  BD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng D.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. M trùng C.

Lời giải Chọn D.          AM  DC  AB  BD  DC  AD  AD  DC  AC . Câu 8: Cho ABCD là hình bình hành, M là điểm thỏa AM = AB + AD. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng D.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. M trùng C. Trang 21

Lời giải Chọn D.     AM  AB  AD  AC .

  Câu 9: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa AM  OC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng O.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. M trùng C.

Lời giải Chọn A.     AM  OC suy ra AM  AO (O là trung điểm AC) nên M trùng O.   Câu 10: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa AM  BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng D.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. M trùng C.

Lời giải Chọn A.    AM  BC  AD , suy ra M trùng D.

   Câu 11: Cho ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm thỏa AM  AB  DC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng O.

B. M trùng A.

C. M trùng B.

D. M trùng C.

Lời giải Chọn B.     AM  DC  AB  O . Câu 12: Cho tứ giác PQRN có O là giao điểm 2 đường chéo, M là điểm thỏa       MN  PQ  RN  NP  QR  ON . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. M trùng P

B. M trùng Q

C. M trùng O

D. M trùng R

Lời giải Chọn C.         ON  MN  PQ  RN  NP  QR  NM  NO .     Câu 13: Cho  ABC, tìm điểm M thỏa MB  MC  CM  CA . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm AB

B. M là trung điểm BC

C. M là trung điểm CA

D. M là trọng tâm ABC Lời giải

Chọn D.            MB  MC  CM  CA  MB  MC  AM  MA  MB  MC  O . Suy ra M là trọng tâm ABC .

    Câu 14: Cho DEF , tìm M thỏa MD  ME  MF  O . Mệnh đề nào sau đây đúng ?         A. MF  ED B. FM  ED C. EM  DF D. FM  DE Lời giải Trang 22

Chọn B.          MD  ME  MF  O  ED  MF  O  FM  ED .

  Suy ra M là điểm cuối của vectơ có điểm đầu là F sao cho FM  ED .     Câu 15: Cho DEF , M là điểm thỏa MD  ME  MF  O . Mệnh đề nào sau đây đúng?           A. EM  ED  EF B. FD  EM C. MD  MF  EM D. FM  DE

Lời giải Chọn A.          MD  ME  MF  O  ED  MF  O  FM  ED    Suy ra DEFM là hình bình hành. Do đó EM  ED  EF .

    Câu 16: Cho ABC có O là trung điểm BC, tìm M thỏa MA  MC  AB  MB . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng A

B. M trùng B

C. M trùng O

D. M trùng C

Lời giải Chọn D.              MA  MC  AB  MB  MA  AB  MC  MB  MB  MC  MB  CM  O Suy ra M trùng C.

     Câu 17: Cho ABC , tìm điểm M thỏa MA  BC  BM  AB  BA . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M là trung điểm AB

B. M là trung điểm BC

C. M là trung điểm CA

D. M là trọng tâm ABC Lời giải

Chọn C.             MA  BC  BM  AB  BA  MA  MC  BA  AB  MA  MC  O Suy ra M là trung điểm AC.

      Câu 18: Cho ABC , điểm M thỏa MC  MB  BM  MA  CM  CB . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M trùng A C. ACMB là hình bình hành

B. M trùng B    D. BA  BC  BM Lời giải

Chọn D.               MC  MB  BM  MA  CM  CB  BC  BA  BM  BC  BM  AB  CM  BA    Suy ra M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành. Nên BA  BC  BM .      Câu 19: Cho ABC , D là trung điểm AB, E là trung điểm BC, điểm M thỏa MA  BC  BM  AB  BA . Mệnh đề nào sau đây đúng ?       A. BD  CM B. AM  ED C. M là trung điểm BC. D. EM  BD Lời giải Chọn D. Trang 23

            MA  BC  BM  AB  BA  MA  MC  BA  AB  MA  MC  O   Suy ra M là trung điểm AC. Suy ra BEMD là hình bình hành nên EM  BD .      Câu 20: Cho tứ giác ABCD, điểm M thỏa MA  MB  AC  MD  CD . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. M là trung điểm AB

B. M là trung điểm BC

C. D là trung điểm BM

D. M là trung điểm DC Lời giải

Chọn D.      MA  MB  AC  MD  CD      BA  AC  MD  CD     BC  MD  CD     MD  DC  CB    DM  BD . Dạng 5: Các bài toán tính độ dài vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

  Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Tính AD  AB . Lời giải    Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD  AB  AC  AC  AB 2  a 2 .

  Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB  AC . Lời giải Gọi M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành. Ta có AB = AC nên ABMC là hình thoi. Gọi O là tâm    hình thoi ABMC. AB  AC  AM  AM  2 AO  a 3 .

  Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB  AD . Lời giải

   Ta có AB  AD  AC  AC  2a 2 .   Ví dụ 4: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 5, H là trung điểm của BC. Tính CA  HC . Trang 24

Lời giải Gọi M là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.      Ta có: CA  HC  CA  CH  CM  CM  2CE (E là tâm cúa hình bình hành CHMA). Ta lại có: AH 

5 3 ( ABC đều, AH là đường cao). 2

Trong tam giác HEC vuông tại H , có:   5 3 5 7 5 7 EC  CH  HE  2.5    CA  HC  2CE  .   4 2  4      Ví dụ 5: Có hai lực F1 , F2 cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực F1 , F2 đều có cường 2

2

2

2

độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu? Lời giải

    Giả sử F1  OA, F2  OB .

   Theo quy tắc hình bình hành, suy ra F1  F2  OC , như hình vẽ. Ta có AOB  60, OA  OB  50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC  50 3 .    Vậy F1  F2  OC  50 3 (N). PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

  Câu 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB  AC .   A. AB  AC  a 3   C. AB  AC  2a

  a 3 B. AB  AC  . M trùng A. 2   D. AB  AC  2a 3

Lời giải Chọn A. Trang 25

Gọi M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành. Ta có AB = AC nên ABMC là hình thoi. Gọi O là tâm    hình thoi ABMC. AB  AC  AM  AM  2 AO  a 3 .

  Câu 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Độ dài AD  AB bằng A. 2a

B.

a 2 2

C.

a 3 2

D. a 2

Lời giải Chọn D.

   Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD  AB  AC  AC  AB 2  a 2 . Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây đúng?      A. AC  BC B. AC  a C. AB  AC

 D. AB  a

Lời giải Chọn D.  AB  AB  a .

    Câu 4: Cho AB khác 0 và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa AB  CD ? A. Vô số

B. 1 điểm

C. 2 điểm

D. Không có điểm nào.

Lời giải Chọn A.   Ta có AB  CD  AB  CD . Suy ra tập hợp các điểm D là đường tròn tâm C bán kính AB. Câu 5: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:  A. 0 cùng hướng với mọi vectơ. B.   C. AA  0 D.

 0 cùng phương với mọi vectơ.  AB  0

Lời giải Chọn D.

  Mệnh đề AB  0 là mệnh đề sai, vì khi A  B thì AB  0 . Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm I ; G là trọng tâm tam giác BCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. BA  DA  BA  DC B. AB  AC  AD  3 AG          C. BA  BC  DA  DC D. IA  IB  IC  ID  0 Lời giải Chọn A.

Trang 26

      Ta có BA  DA  BA  DC  DA  DC (vô lý) → A sai. G là trọng tâm tam giác BCD; A là một điểm nằm ngoài tam giác BCD → đẳng thức ở đáp án B đúng.         Ta có BA  BC  BD và DA  DC  DB . Mà DB  BD → đáp án C đúng.         Ta có IA và IC đối nhau, có độ dài bằng nhau  IA  IC  0 ; tương tự  IB  ID  0 → đáp án D đúng.   Câu 7: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 5, H là trung điểm của BC. Tính CA  HC .   5 3 A. CA  HC  2

  B. CA  HC  5

  5 7 C. CA  HC  4

  5 7 D. CA  HC  2

Lời giải Chọn D. Gọi M là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.      Ta có: CA  HC  CA  CH  CM  CM  2CE (E là tâm cúa hình bình hành CHMA). Ta lại có: AH 

5 3 ( ABC đều, AH là đường cao). 2

Trong tam giác HEC vuông tại H, có:   5 3 5 7 5 7 EC  CH  HE  2.5    CA  HC  2CE  .   4 2  4  2

2

2

2

Câu 8: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. BA  CD B. AB  CD C. OA  OC D. AO  OC Lời giải Chọn C.

  Ta có O là trung điểm của AC nên OA  OC .

Trang 27

    Câu 9: Có hai lực F1 , F2 cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực F1 , F2 đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu? A. 100 (N)

B. 50 3 (N)

C. 100 3 (N)

D. Đáp án khác.

Lời giải Chọn B.

    Giả sử F1  OA, F2  OB .

   Theo quy tắc hình bình hành, suy ra F1  F2  OC , như hình vẽ. Ta có AOB  60, OA  OB  50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC  50 3 .    Vậy F1  F2  OC  50 3 (N).

    Câu 10: Cho tứ giác ABCD có AB  DC và AB  BC . Khẳng định nào sau đây sai?   A. AD  BC   C. CD  BC

B. ABCD là hình thoi. D. ABCD là hình thang cân. Lời giải

Chọn D.

    Tứ giác ABCD có AB  DC  ABCD là hình bình hành (1), nên AD  BC .   Mà AB  BC (2).

  Từ (1) và (2) ta có ABCD là hình thoi nên CD  BC .   Câu 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Tính AB  AC .   A. AB  AC  a 2

  a 2 B. AB  AC  2

  C. AB  AC  2a

  D. AB  AC  a

Lời giải Chọn A. Gọi D là điểm thỏa ABDC là hình bình hành. Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra ABDC là hình vuông.    AB  AC  AD  2 AM  BC  a 2 .

  Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường trung tuyến. Tính AC  AH . Trang 28

A.

a 3 2

B. 2a

C.

a 13 2

D. a 3

Lời giải Chọn C.

       Dựng CM  AH  AHMC là hình bình hành  AC  AH  AM  AC  AH  AM . Gọi K đối xứng với A qua BC  AKM vuông tại K. AK  2 AH  a 3; KM  CH 





a . 2 2

a 13 a AM  AK  KM  a 3     . 2 2       Câu 13: Cho ba lực F1  MA, F2  MB, F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.    Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 25N và góc AMB  60 . Khi đó cường độ lực của F3 là 2

A. 25 3 N

2

2

B. 50 3 N

C. 50 2 N

D. 100 3 N

Lời giải Chọn A.

   Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được F3   F1  F2 .





     Dựng hình bình hành AMBN. Ta có  F1  F2   MA  MB   MN Trang 29

  2 3MA  25 3 . Suy ra F3   MN  MN  2

Câu 14: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Tìm khẳng định sai.          A. IB  IC  IA  IA B. IB  IC  BC C. AB  AC  2 AI D. AB  AC  3GA Lời giải Chọn B.

      IB  IC  IA  0  IA  IA  IA (Do I là trung điểm BC) nên khẳng định ở A đúng.    AB  AC  AD  AD  2 AI (Gọi D là điểm thỏa ABDC là hình bình hành, I là trung điểm BC) nên khẳng định ở C đúng.   AB  AC  2 AI  3GA (Do G là trọng tâm tam giác ABC) nên khẳng định ở D đúng.

   IB  IC  0  0 (Do I là trung điểm BC) nên khẳng định ở B sai. Câu 15: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?       A. AC  BD B. BC  DA C. AD  BC

  D. AB  CD

Lời giải Chọn A.

  Ta có AC  BD là đẳng thức sai vì độ dài hai đường chéo của hình bình hành không bằng nhau.   Câu 16: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB  AD . A. 4a 2

B. 4a

C. 2a 2

D. 2a Trang 30

Lời giải Chọn C.

   Ta có AB  AD  AC  AC  2a 2 .   Câu 17: Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a, trọng tâm G . Độ dài vectơ AB  GC là A.

2a 3 3

B.

2a 3

C.

4a 3 3

D.

a 3 3

Lời giải Chọn C.               Ta có: AB  GC  GB  GA  GC  GB  GA  GC  GB  GB vì GA  GB  GC  0 .









   2 2a 3 4a 3  Khi đó AB  GC  GE  2GB  2. . (E đối xứng với G qua M). 3 2 3     Câu 18: Tam giác ABC thỏa mãn: AB  AC  AB  AC thì tam giác ABC là

A. Tam giác vuông A B. Tam giác vuông C.

C. Tam giác vuông B

D. Tam giác cân tại C

Lời giải Chọn A. Gọi E là trung điểm BC, M là điểm thỏa ABCM là hình bình hành. Ta có       1 AB  AC  AB  AC  AM  CB  AE  BC . Trung tuyến kẻ từ A bằng một nửa cạnh BC nên 2 tam giác ABC vuông tại A.   Câu 19: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB  GC là A.

a 3 3

B.

2a 3 3

C.

4a 3 3

D.

2a 3

Lời giải Chọn C.

Trang 31

  Gọi M là trung điểm BC, dựng điểm N sao cho BN  AG .          2 2a 3 4a 3  Ta có: AB  GC  GB  GA  GC  GB  GA  GC  2GB  2.GB  2. . (E đối xứng 3 2 3 với B qua G).       Câu 20: Cho hai lực F1  MA, F2  MB cùng tác động vào một vật điểm M cường độ hai lực F1 , F2 lần





lượt là 300 (N) và 400 (N). AMB  90 . Tìm cường độ lực tổng hợp tác động vào vật. A. 0 (N)

B. 700 (N)

C. 100 (N)

D. 500 (N)

Lời giải Chọn D.

      Cường độ lực tổng hợp của F  F1  F2  MA  MB  2 MI  AB (I là trung điểm của AB). Ta có  AB  MA2  MB 2  500 suy ra F  500 (N).

Trang 32

Trang 33

BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA    Cho vectơ a và số k . Tích của vectơ a và số k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau:      ka cùng hướng với a nếu k  0 , ka ngược hướng với a nếu k  0 .    ka  k . a II. TÍNH CHẤT   1. Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số k và l , ta có:      k a  b  ka  kb





     k  l  a  ka  la    k  la    kl  a      0.a  0, k .0  0      1a  a ,  1 .a  a      ka  0  k  0 hoặc a  0 2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

      M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA  MB  0  OA  OB  2OM (O tuỳ ý).

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

        G là trọng tâm ABC: ABC  GA  GB  GC  0  OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý).

III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Điều kiện để hai vectơ cùng phương       a và b a  0 cùng phương  k   : b  ka .





2. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  k  0 : AB  k AC

IV. BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG    Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất      theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho x  ma  nb B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP  Dạng 1: Xác định vectơ ka {Dựa vào định nghĩa và các tính chất của tích vectơ với một số } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ       Ví dụ 1. Cho a  AB và điểm O . Xác định hai điểm M và N sao cho: OM  3a; ON  4a Lời giải Trang 1

   Vẽ d đi qua O và song song với giá của a (nếu O thuộc giá của a thì d là giá của a )       Trên d lấy điểm M sao cho OM  3 a , OM và a cùng hướng khi đó OM  3a .       Trên d lấy điểm N sao cho ON  4 a , ON và a ngược hướng nên ON  4a .

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM 

1 AB . Tìm k trong các 5

đẳng thức sau   a) AM  k AB   b) MA  k MB   c) MA  k AB Lời giải

 AM     AM 1 1  , vì AM  AB  k  . a) AM  k AB  k    AB 5 5 AB

1 4 1 c) k   5

b) k  

   Ví dụ 3. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2 MA  3MB  0

Lời giải

Ta có:             2 MA  3MB  0  2 MA  3 MA  AB  0   MA  3 AB  0  AM  3 AB    AM , AB cùng hướng và AM  3 AB .





Ví dụ 4. Cho tam giác ABC.    a) Tìm điểm K sao cho KA  2 KB  CB     b) Tìm điểm M sao cho MA  MB  2 MC  0 Lời giải

Trang 2

           a) Ta có: KA  2 KB  CB  KA  2 KB  KB  KC  KA  KB  KC  0

 K là trọng tâm của tam giác ABC.

          b) Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: MA  MB  2 MC  0  2 MI  2 MC  0  MI  MC  0

 M là trung điểm của IC . Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính    a) AB  AC  BC   b) AB  AC Lời giải

          a) AB  AC  BC  AB  BC  AC  AC  AC  2 AC  2 AC  2 AC  2a





b) Gọi H là trung điểm của BC . Ta có: 2     a 2 2 2 AB  AC  2 AH  2 AH  2 AH  2 AB  BH  2 a     a 3 2

Ví dụ 6. Cho ABC vuông tại B có A  30 , AB  a . Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính:   a) BA  BC   b) AB  AC Lời giải

Trang 3

Ta có: BC  AB tan A  a tan 30  a)

a 3 AB a 2a 3 , AC    3 cos A cos 30 3

    AC 2a 3 BA  BC  2 BI  2 BI  2 BI  2.  AC  2 3

    a 3 a 39 b) AB  AC  2 AM  2 AM  2 AM  2 AB 2  BM 2  2 a 2     3  6  2

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định nào sai?   A. 1.a  a   B. ka và a cùng hướng khi k  0   C. ka và a cùng hướng khi k  0      D. Hai vectơ a và b  0 cùng phương khi có một số k để a  kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)

  Câu 2: Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN  3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

A. Hình 3

B. Hình 4

C. Hình 1

D. Hình 2

Lời giải Trang 4

Chọn A       MN  3MP  MN ngược hướng với MP và MN  3 MP   Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB  3 AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?         A. BC  4 AC B. BC  2 AC C. BC  2 AC D. BC  4 AC Lời giải Chọn D

Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng         A. BI  IC B. 3BI  2 IC C. BI  2 IC D. 2BI  IC Lời giải

Chọn A

    Vì I là trung điểm của BC nên BI  CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau   hay BI  IC .

Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?        1  A. AB  2 AM B. AC  2CN C. BC  2 NM D. CN   AC 2 Lời giải Chọn B

      Câu 6: Cho a  0 và điểm O . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM  3a và ON  4a . Khi đó:         A. MN  7 a B. MN  5a C. MN  7 a D. MN  5a

Lời giải Chọn C       Ta có: MN  ON  OM  4a  3a  7 a       Câu 7: Tìm giá trị của m sao cho a  mb , biết rằng a , b ngược hướng và a  5, b  15 A. m  3

B. m  

1 3

C. m 

1 3

D. m  3 Trang 5

Lời giải Chọn B

 a 5 1   Do a , b ngược hướng nên m        . 15 3 b   Câu 8: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB  AC bằng:

A. 2a

B. a 3

C. 2a 3

D.

a 3 2

Lời giải Chọn C

   2a 3  2a 3 Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó: AB  AC  2. AH  2. AH  2. 2

Câu 9: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức     MA  MB  2 MC  0 A. M là trung điểm của BC B. M là trung điểm của IC. C. M là trung điểm của IA D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM  2 MC Lời giải Chọn B           MA  MB  2 MC  0  2 MI  2 MC  0  MI  MC  0  M là trung điểm của IC .     Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thỏa mãn 4AM  AB  AD  AC . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AC

B. Điểm C

C. Trung điểm của AB

D. Trung điểm của AD Lời giải

Chọn A

Trang 6

       1  Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4 AM  AB  AD  AC  4 AM  2 AC  AM  AC 2

 M là trung điểm của AC .

  Câu 11: Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc BAD  60 . Tính độ dài vectơ AB  AD     A. AB  AD  2a 3 B. AB  AD  a 3

  C. AB  AD  3a

  D. AB  AD  3a 3 Lời giải

Chọn A

Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD  60 nên ABD đều     AB  AD  AC  2. AO  2. AO  2. AB 2  BO 2  2. 4a 2  a 2  2a 3

     Câu 12: Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA  OB  2OC  OA  OB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC cân tại C

C. Tam giác ABC vuông tại C

D. Tam giác ABC cân tại B Lời giải

Chọn C

Trang 7

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:             OA  OB  2OC  OA  OB  OA  OC  OB  OC  BA  CA  CB  AB  1  2.CI  AB  2CI  AB  CI  AB  Tam giác ABC vuông tại C . 2

 21  5  Câu 13: Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA  OB  a . Độ dài của véc tơ u  OA  OB là: 4 2

A.

a 140 4

B.

a 321 4

C.

a 520 4

D.

a 541 4

Lời giải Chọn D

 21   5  Dựng điểm M, N sao cho: OM  OA, ON  OB . Khi đó: 4 2 2 2 a 541      21a   5a  u  OM  ON  NM  MN  OM 2  ON 2        4  4   2 

Câu 14: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1   1   1  A. IJ  AE B. IJ  AE C. IJ  AE D. IJ  AE 2 3 4 5 Lời giải Chọn C

Trang 8

         Ta có: 2IJ  IQ  IN  IM  MQ  IP  PN  MQ  PN         1     MQ  MA  AE  EQ 1        2 MQ  AE  BD  MQ  AE  BD , PN   BD 2 2  MQ  MB  BD  DQ





 1   1  1   1  Suy ra: 2 IJ  AE  BD  BD  AE  IJ  AE 2 2 2 4





Câu 15: Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM  sai?

 1  A. MA  MB 3

 1  B. AM  AB 4

1 AB . Khẳng định nào sau đây 4

 3  C. BM  BA 4

Câu 16: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA  sau, khẳng định nào sai?  1   1  A. AM  AB B. MA   MB 5 4

  C. MB  4 MA

  D. MB  3MA

1 AB . Trong các khẳng định 5  4  D. MB   AB 5

Lời giải Chọn D

   4  Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB   AB là sai. 5

Câu 17: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường thẳng BN cắt   AC tại P . Khi đó AC  xCP thì giá trị của x là: A. 

4 3

B. 

2 3

C. 

3 2

D. 

5 3

Lời giải Trang 9

Chọn C

Kẻ MK / / BP  K  AC  . Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP Vì MK / / BP  MK / / NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK  3  3 Do đó: AP  PK  KC . Vậy AC   CP  x   2 2 Dạng 2: Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng {Điều kiện hai vectơ cùng phương, điều kiện ba điểm thẳng hàng } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao 1 AK  AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 3 Lời giải

    1     Ta có 2 BI  BA  BM  BA  BC  4 BI  2 BA  BC 1 2     1   1   2  1  Ta có BK  BA  AK  BA  AC  BA  BC  BA  BA  BC 3 3 3 3     3BK  2 BA  BC 2    4  Từ 1 và 2  3BK  4 BI  BK  BI  B, I, K thẳng hàng. 3





Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:        BC  MA  0, AB  NA  3 AC  0 . Chứng minh MN / / AC Lời giải             Ta có BC  MA  AB  NA  3 AC  0 hay AC  MN  3 AC  0  MN  2 AC Trang 10

  Vậy MN , AC cùng phương   Theo giả thiết BC  AM . Mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là bốn đỉnh của hình bình hành  M không thuộc AC

Vậy MN / / AC PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:         A. AB  AC B. k  0 : AB  k . AC C. AC  AB  BC D. MA  MB  3MC ,  điểm M Lời giải Chọn B

    Câu 2: Cho ABC . Đặt a  BC , b  AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?                 A. 2a  b , a  2b B. a  2b , 2a  b C. 5a  b , 10a  2b D. a  b , a  b

Lời giải Chọn C

        Ta có: 10a  2b  2. 5a  b  5a  b và 10a  2b cùng phương.   Câu 3: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?  1 1      A. 3a  b và  a  6b B.  a  b và 2a  b 2 2  1  1  1   C. a  b và  a  b D. a  b và a  2b 2 2 2





Lời giải Chọn C

  Câu 4: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?     1   3    3 A. u  2a  3b và v  a  3b B. u  a  3b và v  2a  b 2 5 5  1 1    2    3  C. u  a  3b và v  2a  9b D. u  2a  b và v   a  b 3 2 3 4

Lời giải Chọn D

      Câu 5: Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vectơ 3a  2b và  x  1 a  4b cùng

phương. Khi đó giá trị của x là: A. 7

B. 7

C. 5

D. 6

Lời giải Chọn A

  x 1 4     x  7 Điều kiện để hai vectơ 3a  2b và  x  1 a  4b cùng phương là: 3 2

Trang 11

      Câu 6: Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a  3b và a   x  1 b cùng

phương. Khi đó giá trị của x là: A.

1 2

B. 

3 2

C. 

1 2

D.

3 2

Lời giải Chọn C

   Câu 7: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BC  MA  0 ,     AB  NA  3 AC  0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. MN  AC

B. MN / / AC

C. M nằm trên đường thẳng AC

D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau Lời giải

Chọn B

     Ta có: BC  MA  0  AM  BC  M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên M  AC (1)        Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta được: BC  MA  0, AB  NA  3 AC  0 ,       BC  MA  AB  NA  3 AC  0               MA  AN  AB  BC  3 AC  0  MN  AC  3 AC  0  MN  2 AC  MN cùng phương với  AC (2)



 



Từ (1) và (2) suy ra MN / / AC Dạng 3: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB  2 MC . Chứng minh rằng:  1  2  AM  AB  AC 3 3 Lời giải

Trang 12

    1   1   1   2  Ta có: AM  AC  CM  AC  BC  AC  AC  AB  AB  AC (đpcm). 3 3 3 3





Ví dụ 2. Cho ABC có trọng tâm G . Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,         AB và I là giao điểm của AD và EF .Đặt u  AE , v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo   hai vectơ u và v . Lời giải

   Ta có: AEDF là hình bình hành  AD  AE  AF  1  1   1   Ta có: AI  AD  AE  AF   u  v  2 2 2  2  2   2   AG  AD  AE  AF   u  v  3 3 3      DE  FA   AF  0.u   1 v       DC  FE  AE  AF  u  v









Ví dụ 3. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC, trọng tâm G . Hãy phân tích các vectơ        AB, BC , CA theo hai vectơ u  AK , v  BM Lời giải

  

   2  2  AB  AG  GB  AK  BM 3 3     2  1  1  4  BC  2 BK  2 BG  GK  2. BM  AK  AK  BM 3 3 3 3        1   CA   AC   AK  KC    AK  BC  2  









PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trang 13

  Câu 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?     1  3  A. AM   AB  AC B. AM  2 AB  AC 2 2     1   C. AM  AB  AC D. AM  AB  AC 2





Lời giải Chọn A

Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:        1   1  3  AM  AI  2 AC  AM   AI  2 AC   AB  AC  2 AC   AB  AC 2 2 2





Câu 2: Cho tam giác ABC biết AB  8, AC  9, BC  11 . Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN  x  0  x  9  . Hệ thức nào sau đây đúng?   1 x   1  A. MN     AC  AB 2 2 9   x 1   1  C. MN     AC  AB 2 9 2

  x 1   1  B. MN     CA  BA 2 9 2   x 1   1  D. MN     AC  AB 2 9 2

Lời giải Chọn D

   x  1    x 1   1  Ta có: MN  AN  AM  AC  AB  AC     AC  AB 9 2 2 9 2





Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  2  1   1  1  A. AH  AC  AB B. AH  AC  AB 3 3 3 3

Trang 14

 2  1  C. AH  AC  AB 3 3

 2  1  D. AH  AB  AC 3 3

Lời giải Chọn A

Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC . Ta thấy AHCG là hình bình hành nên     2    2 1    AH  AG  AC  AH  AM  AC  AH  . AB  AC  AC 3 3 2   1    2  1   AH  AC  AB  AC  AH  AC  AB 3 3 3









Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1  1   1  1  A. AG  AE  AF B. AG  AE  AF 2 2 3 3  3  3   2  2  C. AG  AE  AF D. AG  AE  AF 2 2 3 3 Lời giải Chọn D

 2  2 1   1   2  2  Ta có: AG  AD  . AB  AC  2 AF  2 AE  AE  AF 3 3 2 3 3 3  2  Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm sao cho BD  BC và I là trung điểm của cạnh AD, M là điểm 3   2    thỏa mãn AM  AC . Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và BC . Hãy chọn khẳng định đúng 5 trong các khẳng định sau?



 



Trang 15

 1  1  A. BI  BA  BC 2 3  1  3  C. BI  BA  BC 2 4

 1  1  B. BI  BA  BC 2 2  1  1  D. BI  BA  BC 4 6

Lời giải Chọn A

Ta có: I là trung điểm của cạnh AD nên  1   1   2   1  1  BI  BA  BD   BA  BC   BA  BC 2 2 3 3  2





  Câu 6: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho CN  2 NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1  1   1  1  A. AK  AB  AC B. AK  AB  AC 4 6 2 3  1  1   1  2  C. AK  AB  AC D. AK  AB  AC 4 3 2 3

Lời giải Chọn A

 1     1  Ta có M là trung điểm AB nên AM  AB; CN  2 NA  AN  AC 2 3  1   1  1  Do đó AK  AM  AN  AB  AC 2 4 6





Câu 7: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi G theo thứ tự là trọng tâm  của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng:

Trang 16

A.

1   AC  BD 2





B.

2   AC  BD 3





  C. 3 AC  BD





D.

1   AC  BD 3





Lời giải Chọn D

 1    Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên: GG  GO  GC  GD (1) 3        Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: GO  GA  GB  0  GO  GA  GB (2)  1     1   Từ (1) và (2) suy ra: GG  GA  GB  GC  GD  AC  BD 3 3







 



 Câu 8: Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB  5, BC  6, CA  7 . Khi đó AD bằng: 5  7  7  5  7  5  5  7  AB  AC AB  AC AB  AC AB  AC A. B. C. D. 12 12 12 12 12 12 12 12 Lời giải Chọn C

Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:  5  BD AB 5    BD  DC DC AC 7 7   5    AD  AB  AC  AD 7  7  5   AD  AB  AC 12 12





Câu 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC  2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: Trang 17

 1  1  A. AK  AB  AC 6 4  1  1  C. AK  AB  AC 4 6

 1  1  B. AK  AB  AC 4 6  1  1  D. AK  AB  AC 6 4

Lời giải Chọn C

 1  Câu 10: Cho tam giác ABC, N là điểm xác định bởi CN  BC , G là trọng tâm tam giác ABC. Hệ thức 2    tính AC theo AG , AN là:  2  1   4  1  A. AC  AG  AN B. AC  AG  AN 3 2 3 2  3  1   3  1  C. AC  AG  AN D. AC  AG  AN 4 2 4 2

Lời giải Chọn C Câu 11: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB  4 , BC  5 và CA  6 . Khi  đó DE bằng 5  3  3  5  9  3  3  9  A. CA  CB B. CA  CB C. CA  CB D. CA  CB 9 5 5 9 5 5 5 5 Lời giải Chọn A

AD là phân giác trong của tam giác ABC nên  3  CD 6   CD  CB CB 10 5 CE 5  5    CE  CA Tương tự: CA 9 9    5  3  Vậy DE  CE  CD  CA  CB 9 5

CD AC 6 CD 6     DB AB 4 CD  DB 6  4



Dạng 4: Đẳng thức vectơ chứa tích của vectơ với một số PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng: Trang 18

   AB  CD  2 IJ

Lời giải

            IJ  IA  AB  BJ Ta có:       2 IJ  IA  IC  AB  CD  BJ  DJ  IJ  IC  CD  DJ         2 IJ  0  AB  CD  0  AB  CD



 

 



Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD      a) Chứng minh rằng: AC  BD  AD  BC  2 EF      b) Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA  GB  GC  GD  0 Lời giải

             a) AC  BD  AE  EF  FC  BE  EF  FD  2 EF  AE  BE  FC  FD      2 EF  0  0  2 EF 1              AD  BC  AE  EF  FD  BE  EF  FC  2 EF  AE  BE  FD  FC      2 EF  0  0  2 EF      Từ 1 và 2 suy ra: AC  BD  AD  BC  2 EF           b) GA  GB  GC  GD  2GE  2GF  2 GE  GF  20  0     Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB  2 AC  AD  3 AC





 



 









 

 







Lời giải

Trang 19

       VT  AB  2 AC  AD  AB  AD  2 AC  3 AC  VP





Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABC  thì     3GG  AA  BB  CC  Lời giải    VP  AA  BB  CC            AG  GG  GA  BG  GG  GB  CG  GG  GC          3GG  AG  BG  CG  GA  GB  GC           3GG  GA  GB  GC  GA  GB  GC   3GG  VP





PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:      A. 2 MA  MB  3MC  AC  2 BC      B. 2 MA  MB  3MC  2 AC  BC      C. 2 MA  MB  3MC  2 AC  CB      D. 2 MA  MB  3MC  2CB  CA Lời giải Chọn C Câu 2: Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác. Hệ thức đúng là:      3   1  A. OH  OG B. OH  3OG C. OG  GH D. 2GO  3OH 2 2 Lời giải Chọn B

   Câu 3: Ba trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM  BN  CP bằng vectơ nào?     3    1    GA  GB  CG B. 3 MG  NG  GP AB  BC  AC A. C. D. 0 2 2













Lời giải Chọn D

Trang 20

   3  3  3  3     Ta có: AM  BN  CP  AG  BG  CG  AG  BG  CG  0 2 2 2 2





Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Hệ thức nào sau đây đúng?        A. AI  AK  2 AC B. AI  AK  AB  AD   3     C. AI  AK  IK D. AI  AK  AC 2 Lời giải Chọn D Câu 5: Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống     ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ MD , ME , MF , MO là:    1     2  A. MD  ME  MF  MO B. MD  ME  MF  MO 2 3    3     3  C. MD  ME  MF  MO D. MD  ME  MF  MO 4 2 Câu 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các     đường thẳng AD và BC sao cho PA  2 PD, QB  2QC . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   A. MN  AD  BC 2  1   C. MN   AD  BC 2



   B. MN  MP  MQ







 1     D. MN  MD  MC  NB  NA 4





Câu 7: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:      1        A. MA  MB  MI B. MA  MB  2 MI C. MA  MB  3MI D. MA  MB  MI 2 Lời giải Chọn B

   Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA  MB  2 MI Câu 8: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:         A. MA  MB  MC  MG B. MA  MB  MC  2 MG         C. MA  MB  MC  3MG D. MA  MB  MC  4 MG Trang 21

Lời giải Chọn C

    Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA  MB  MC  3MG

Câu 9: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?          1  A. GA  2GI B. IG   IA C. GB  GC  2GI D. GB  GC  GA 3 Lời giải

   Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB  GC  2GI

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng?          A. AC  BD  2 BC B. AC  BC  AB C. AC  BD  2CD

   D. AC  AD  CD

Lời giải Chọn A

          Ta có: AC  BD  AB  BC  BC  CD  2 BC  AB  CD  2 BC





Câu 11: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?             2  A. AB  AC  AG B. BA  BC  3BG C. CA  CB  CG D. AB  AC  BC  0 3 Lời giải Chọn B

Trang 22

    3  Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA  BC  2 BM  2. BG  3BG . 2

Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?           1  1  A. AB  AD  2 AO B. AD  DO   CA C. OA  OB  CB D. AC  DB  4 AB 2 2 Lời giải Chọn D

         AC  DB  AB  BC  DC  CB  AB  DC  2 AB

  Câu 13: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó AC  BD bằng:     A. MN B. 2MN C. 3MN D. 2MN

Lời giải Chọn B

        MN  MA  AC  CN Ta có:       2 MN  AC  BD  MN  MB  BD  DN Câu 14: Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?           A. MA  MB  MC  MD  MO B. MA  MB  MC  MD  2 MO Trang 23

     C. MA  MB  MC  MD  3MO

     D. MA  MB  MC  MD  4 MO

Lời giải Chọn D

           Ta có: MA  MB  MC  MD  MA  MC  MB  MD  2 MO  2 MO  4 MO



 



Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. OH  4OG B. OH  3OG C. OH  2OG D. 3OH  OG Lời giải Chọn B

   Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA  HD  2 HO (1)    Vì HBDC là hình bình hành nên HD  HB  HC (2)            Từ (1),(2) suy ra: HA  HB  HC  2 HO  HO  OA  HO  OB  HO  OC  2 HO



 

 

            3HO  OA  OB  OC  2 HO  OA  OB  OC   HO  3OG  OH







Câu 16: Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, I là điểm trên GC sao cho IC  3IG .     Với mọi điểm M ta luôn có MA  MB  MC  MD bằng:     A. 2MI B. 3MI C. 4MI D. 5MI Lời giải Chọn C

Trang 24

  Ta có: 3IG   IC

Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên              IA  IB  ID  3IG  IA  IB  ID   IC  IA  IB  IC  ID  0             Khi đó: MA  MB  MC  MD  MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID          4 MI  IA  IB  IC  ID  4 MI  0  4 MI





Câu 17: Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC . Hạ ID, IE,    a  a IF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB . Giả sử ID  IE  IF  IO (với là phân số tối giản). Khi b b đó a  b bằng: A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải Chọn A

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN, IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ, RS.    1   1   1   Khi đó: ID  IE  IF  IM  IN  IP  IQ  IR  IS 2 2 2     1   1      IQ  IR  IM  IS  IN  IP   IA  IB  IC  2 2





 

 

  

 







1  3   .3IO  IO  a  3, b  2 . Do đó: a  b  5 2 2

Trang 25

   Câu 18: Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  1 A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Lời giải Chọn D

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC     1 Ta có: MA  MB  MC  3MG  3MG  1  MG  3    1 Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  1 là đường tròn tâm G bán kính R  . 3     Câu 19: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ v  MA  MB  2 MC . Hãy   xác định vị trí của điểm D sao cho CD  v . A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. D là trực tâm của tam giác ABC Lời giải Chọn B            Ta có: v  MA  MB  2 MC  MA  MC  MB  MC  CA  CB  2CI (Với I là trung điểm của AB )     Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trí điểm M . Khi đó: CD  v  2CI  I là trung điểm của CD Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.

    Câu 20: Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức OA  OB  2OC  0 .     Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v  MA  MB  2 MC có độ dài nhỏ nhất

A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d D. Điểm M là giao điểm của AB và d Lời giải Chọn A

Trang 26

Gọi I là trung điểm của AB .           Khi đó: OA  OB  2OC  0  2OI  2OC  0  OI  OC  0  O là trung điểm của IC Ta có:                v  MA  MB  2 MC  OA  OM  OB  OM  2 OC  OM  OA  OB  2OC  4OM  4OM





 Do đó v  4OM  Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d . Câu 21: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho NC  2 NA . Hãy         xác định điểm K thỏa mãn: 3 AB  2 AC  12 AK  0 và điểm D thỏa mãn: 3 AB  4 AC  12 KD  0 A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC Lời giải Chọn A

Ta có:            1    AB  2 AM   3 AB  2 AC  12 AK  0  3.2 AM  2.3 AN  12 AK  0  AK  AM  AN   2  AC  3 AN





Suy ra K là trung điểm của MN Ta có:              3 AB  4 AC  12 KD  0  3 AB  4 AC  12 AD  AK  0  3 AB  4 AC  12 AK  12 AD





         1    12 AD  3 AB  4 AC  3 AB  2 AC  12 AD  6 AB  6 AC  AD  AB  AC 2



 Trang 27

Suy ra D là trung điểm của BC .

    Câu 22: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM  AB  AC  AD . Khi đó điểm M là:

A. trung điểm AC

B. điểm C

C. trung điểm AB

D. trung điểm AD Lời giải

Chọn A

    Câu 23: Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  MD là: A. Đường tròn đường kính AB

B. Đường tròn đường kính BC .

C. Đường trung trực của cạnh AD.

D. Đường trung trực của cạnh AB . Lời giải

Chọn C

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC .       MA  MB  MC  MD  2 ME  2 MF  ME  MF Do đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF hay M thuộc đường trung trực của cạnh AD     Câu 24: Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MC  MB  MD là: A. Một đường thẳng.

B. Một đường tròn.

C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD

D. Tập rỗng. Lời giải

Chọn C

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:       MA  MB  MC  MD  2 MO  2 MO  MO  MO (đúng với mọi M)

Trang 28

Vậy tập hợp các điểm M là toàn bộ mặt phẳng ABCD .      Câu 25: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA  MB  MC  3 MB  MC . Tập hợp M là: A. Một đường tròn

B. Một đường thẳng

C. Một đoạn thẳng

D. Nửa đường thẳng Lời giải

Chọn B

   Câu 26: Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA  MB  MC  3 A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số

Lời giải Chọn D

     Câu 27: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 3MA  2 MB  MC  MB  MA . Tập hợp M là: A. Một đoạn thẳng

B. Một đường tròn

C. Nửa đường tròn

D. Một đường thẳng Lời giải

Chọn B Câu 28: Cho năm điểm A, B, C, D, E . Khẳng định nào đúng?       A. AC  CD  EC  2 AE  DB  CB

        B. AC  CD  EC  3  AE  DB  CB        AE  DB  CB C. AC  CD  EC  4       D. AC  CD  EC  AE  DB  CB

Lời giải Chọn D              AC  CD  EC  AE  DB  CB  AC  AE  CD  CB  EC  DB  0       EC  BD  EC  DB  0    BD  DB  0 (đúng) ĐPCM.



 



 1  Câu 29: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH  HC . 3     Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM  xBC . Tìm x sao cho độ dài của vectơ MA  GC đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

4 5

B.

5 6

C.

6 5

D.

5 4

Lời giải Chọn B Trang 29

     Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA  GC  MA  AE  ME    Kẻ EF  BC  F  BC  . Khi đó MA  GC  ME  ME  EF

  Do đó MA  GC nhỏ nhất khi M  F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC  Q  BC  Khi đó P là trung điểm GE nên BP  Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên  1  Mặt khác, BH  HC 3

3 BE 4

 4  BQ BP 3   hay BF  BQ BF BE 4 3

 1  PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ  HC 2    1  1  5  5 3  5  Suy ra BQ  BH  HQ  HC  HC  HC  . BC  BC 3 2 6 6 4 8  4  5  Do đó BF  BQ  BC 3 6

    Câu 30: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA  MB  MA  MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? A.

a 2

B.

a 3 2

C. a

D. 2a

Lời giải Chọn A

Trang 30

   Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA  MB  MN       Ta có MA  MB  MA  MB  MN  BA hay MN=AB

Suy ra MANB là hình chữ nhật nên  AMB  90 Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH  MO 

AB a  2 2

Trang 31

BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. TRỤC VÀ ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ TRÊN TRỤC 1. Trục tọa độ Định nghĩa 

Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là  điểm gốc và một vectơ đơn vị e.



Điểm O gọi là gốc tọa độ.



Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.  Ta kí hiệu trục đó là O; e .



 

2. Tọa độ của một điểm

   Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM  ke. Ta gọi số k

 

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho. 3. Tọa độ vecto

   Cho hai điểm A và B trên trục O; e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  ae. Ta gọi số a là độ dài  đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB.

 

Nhận xét.  

    Nếu AB cùng hướng với e thì AB  AB , còn nếu AB ngược hướng với e thì AB   AB.  Nếu hai điểm A và B trên trục O; e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB  b  a.

 

II. HỆ TỌA ĐỘ 1. Hệ tọa độ

   Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O; i; j gồm 2 trục O; i và O; j vuông góc với nhau. Điểm gốc O   chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O; i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox , trục O; j   được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy . Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và    i  j  1 . Hệ trục tọa độ O; i, j còn được kí hiệu là Oxy .





   

 



 



Trang 1

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy gọi tắt là mặt phẳng Oxy . 2. Tọa độ vecto

   Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA  u và gọi A1 , A2 lần lượt là hình chiếu của    vuông góc của A lên Ox và Oy . Ta có OA  OA1  OA2 và cặp số duy nhất  x; y  để        OA1  xi, OA2  y j . Như vậy u  xi  y j.   Cặp số x; y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u   x; y  hoặc  u   x; y  . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ Như vậy

    u   x; y   u  xi  y j Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai Vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

     x  x Nếu u   x; y  và u    x; y  thì u  u     y  y Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. 3. Tọa độ của một điểm

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được

gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

 Như vậy, cặp số  x; y  là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM   x; y  . Khi đó ta viết M   x; y  hoặc M   x; y  .Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của điểm

M còn được kí hiệu là xM , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM .    M   x; y   OM  xi  yi

Trang 2

  Chú ý rằng, nếu MM 1  Ox, MM 2  Oy thì x  OM 1 , y  OM 2 . 4. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A  x A ; y A  và B  xB ; y B  . Ta có  AB  xB  x A ; y B  y A .

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTO   Đinh lý: Cho u   x; y  ; u    x; y  và số thực k . Khi đó ta có:

   x  x 1) u  u     y  y   2) u  v   x  x; y  y   3) k .u   kx; ky       x  kx 4) u  cùng phương u u  0 khi và chỉ khi có số k sao cho   y  ky  5) Cho A  x A ; y A  , B  xB ; y B  thì AB  xB  x A ; y B  y A





IV. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG – TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC 1. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Cho đoạn thẳng AB có A x A ; y A , B xB ; y B . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I xI ; y I của đoạn thẳng AB là

xI 

x A  xB y y , yI  A B . 2 2

2. Tọa độ trọng tâm của tam giác Cho tam giác ABC có A  x A ; y A  , B  xB ; y B  , C  xC ; yC  . Khi đó tọa độ của trọng tâm G  xG ; yG  của tam giác ABC được tính theo công thức

xG 

x A  xB  xC y y y , yG  A B C . 3 3

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Trang 3

Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan  trên trục O; i

 

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

  Ví dụ 1: Trên trục tọa độ O; i cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là – 2; 1. Tìm tọa độ của vecto AB .

 

Lời giải   Ta có: AB  1  2  3  AB  3i .  Ví dụ 2: Trên trục tọa độ O; i cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt 3 và – 5. Tọa độ trung điểm I của AB

 

là. Lời giải 3   5   1 2  Ví dụ 3: Trên trục O; i cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a; b; c . Tìm điểm I sao cho     IA  IB  IC  0.

Tọa độ điểm I là: xI 

 

Lời giải Gọi điểm I có tọa độ là x .   IA  a  x  IA   a  x  i;   IB  b  x  IB   b  x  i;   IC  c  x  IC   c  x  i;       IA  IB  IC  0   a  b  c  3 x  i  0  a  b  c  3x  x 

abc . 3

 Ví dụ 4: Trên trục O; i , cho ba điểm A, B, C lần lượt có tọa độ là – 5; 2; 4. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn     2 MA  4 MB  3MC  0.

 

Lời giải Gọi điểm M có tọa độ là x .   MA  5  x  MA   5  x  i;   MB  2  x  MB   2  x  i;   MC  4  x  MC   4  x  i;         2 MA  4 MB  3MC  0   10  2 x  i   8  4 x  i  12  3 x  i  0  10  9 x  0  x 

10 . 9

 Ví dụ 5: Trên trục tọa độ O; i cho 4 điểm A, B, C , D bất kỳ. Chứng minh AB.CD  AC.DB  AD.BC  0. Trang 4

Lời giải Nhận thấy tọa độ điểm M 1; 1;0  thỏa mãn phương trình đường thẳng d . Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C , D lần lượt là a, b, c, d . Ta có AB.CD  b  a d  c  bd  ac  bc  ad AC.DB  c  a b  d  bc  ad  cd  ab AD.BC  d  a c  b  cd  ab  ac  bd

Cộng vế với vế lại ta được AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 Cách 2: AB.CD  AC.DB  AD.BC  AB. AD  AC  AC. AB  AD  AD. AC  AB  AB. AD  AB. AC  AC. AB  AC AD  AD. AC  AD. AC  0.

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  Câu 1: Trên trục tọa độ O; e , các điểm A, B và C có tạo độ lần lượt là – 1; 2 và 3.Tìm giá trị của

 

AB  2 AC.

A. 11.

B. 1.

C. 7.

D. – 11.

Lời giải Chọn A.

AB  2   1  3, AC  3   1  4  AB  2 AC  3  2.4  11.  Câu 2: Cho trục tọa độ O, e . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

 

A. AB  AB. B. AB  AB.e.

  C. Điểm M có tọa độ là a đối với trục tọa độ O, e thì OM  a.

 

D. AB  AB. Lời giải Chọn C Theo lý thuyết sách giáo khoa thì C đúng.  Câu 3: Trên trục O; i , cho ba điểm A, B lần lượt có tọa độ là 2; – 6. Tìm tọa độ điểm I sao cho   IA  3IB.

 

A. 4.

B. – 4. C. 5. D. – 10.   Câu 4: Trên trục O; i , cho ba điểm M , N lần lượt có tọa độ là – 2; 3. Độ dài đại số của MN là:

 

A. 5.

B. – 5.

C. 1.

D. – 1.

Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec tơ trên mặt phẳng Oxy

Trang 5

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M  x; y  . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với

M qua trục hoành? Lời giải

M 1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M 1  x;  y  .

 Ví dụ 2: Trong không gian Oxy , cho hai điểm A 1; 2  , B  2;3 . Tìm tọa độ của vectơ AB ? Lời giải  Ta có AB   2  1;3  2    3;1 .   Ví dụ 3: Vectơ a   4;0  được phân tích theo hai vectơ đơn vị i; j như thế nào?

 

     Ta có: a   4;0   a  4i  0 j  4i.

Lời giải

Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I và có A 1;3 . Biết điểm B thuộc trục    Ox và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AC ? Lời giải Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên. Vì điểm A 1;3 suy ra AB  3, OB  1 Do đó B 1;0  , C  4;0  , D  4;3  Vậy AC   3; 3 . Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD  60 . Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox và xB  0, y B  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình thoi ABCD . Lời giải Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

Oxy Gọi I là tâm hình thoi ta có BI  AB sin BAI  a sin 30 

AI  AB 2  BI 2  a 2  Suy ra A(0; 0),B(

a 2

a2 a 3  4 2

a 3 a a 3 a ; ),C(a 3; 0),D( ;  ). 2 2 2 2

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ i là

Trang 6

 A. i   0;0  .

 B. i   0;1 .

 C. i  1;0  .

 D. i 1;1 .

Lời giải Chọn C.

 Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A  5; 2  , B 10;8  Tìm tọa độ của vectơ AB ? A. 15;10  .

B.  2; 4  .

C.  5;6  .

D.  50;16  .

Lời giải Chọn C  Ta có AB   5;6  .

 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5; 2  , B 10;8  . Tọa độ vectơ AB là:     A. AB  15;10  . B. AB   2; 4  . C. AB   5;10  . D. AB   50;16  . Lời giải Chọn C

 A  5; 2  , B 10;8   AB   5;10  .

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1; 4  và B  3;5  . Khi đó:     A. AB   2; 1 . B. BA  1; 2  . C. AB   2;1 . D. AB   4;9  . Lời giải Chọn C.  Ta có: AB   2;1 .

 Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5;3 , B  7;8  . Tìm tọa độ của véctơ AB A. 15;10  .

B.  2;5  .

C.  2;6  .

D.  2; 5  .

Lời giải Chọn B  Ta có: AB   2;5  . Câu 6: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B  9;7  , C 11; 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm  của AB, AC . Tìm tọa độ vectơ MN ? A.  2; 8  .

B. 1; 4  .

C. 10;6  .

D.  5;3 .

Lời giải Chọn B

Trang 7

 1  1 Ta có MN  BC   2; 8   1; 4  . 2 2

Câu 7: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có gốc O làm tâm hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?      A. OA  OB  AB. B. OA  OB, DC cùng hướng. C. x A   xC , y A  yC .

D. xB   xC , y B   yC . Lời giải

Chọn A        Ta có OA  OB  CO  OB  CB  AB . (do OA  CO ). Câu 8: Trong hệ tọa độ Oxy , cho M  3; 4  .Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên

Ox, Oy . Khẳng định nào đúng? A. OM 1  3.   C. OM 1  OM 2   3; 4  .

B. OM 2  4.   D. OM 1  OM 2   3; 4  . Lời giải

Chọn D Ta có M 1   3;0  , M 2  0; 4  A. Sai vì OM 1  3. B. Sai vì OM 2  4.    C. Sai vì OM 1  OM 2  M 2 M 1   3; 4  . Câu 10: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC , C  Ox. Khẳng định nào sau đây đúng?  A. AB có tung độ khác 0. B. A, B có tung độ khác nhau. C. C có hoành độ khác 0.

D. x A  xC  xB  0. Lời giải

Chọn C

  Ta có OABC là hình bình hành  AB  OC   xC ;0  . Trang 8

  Câu 11: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam tác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i cùng    hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC . Gọi x A , xB , x C lần lượt là





hoành độ các điểm A, B, C . Giá trị của biểu thức x A  xB  x C bằng: A. 0

B.

a . 2

C.

a 3 . 2

a D.  . 2

Lời giải Chọn A

 a 3  a  a  Ta có A  0;  , B   ;0  , C  ;0  suy ra x A  xB  x C  0 . 2   2   2     Câu 12: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i cùng    hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .



 a 3 A. G  0; . 6  



 a 3 B. G  0; . 4  

a 3  C. G  ;0  .  6 

a 3  D. G  ;0  .  4 

Lời giải Chọn A

 a 3 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G  0; . 6      Câu 13: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có AC  8, BD  6. Biết OC và i cùng   hướng, OB và j cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC



A. G  0;1



B. G  1;0  .

1  C.  ;0  . 2 

 3 D.  0;  .  2

Lời giải Chọn A Ta có A  4;0, C 4;0, B 0;3, D 0; 3  G 0;1 .

     Dạng 3: Xác định tọa độ điểm, vec tơ liên quan đến biểu thức dạng u  v, u  v, ku



các bài toán tìm tâm I, bán kính R, xác định xem một phương trình có phải là phương trình mặt cầu

hay không, tìm điều kiện (có chứa tham số m) để một phương trình là phương trình mặt cầu, các bài toán về họ mặt cầu, bài toán quỹ tích…



PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ

    Ví dụ 1. Trong không gian Oxy , cho hai vectơ a 1;3 , b  3; 4  . Tìm tọa độ vectơ a  b ?

  Ta có a  b  1  3;3   4     2;7  .

Lời giải

Trang 9

      Ví dụ 2. Cho a  x; 2  , b  5;1 , c  x;7  . Tìm x để Vectơ c  2a  3b.

Lời giải Ta có x  2.x  3.  5   x  15.

  Ví dụ 3. Cho hai điểm A 1;0  và B  0; 2  . Tọa độ điểm D sao cho AD  3 AB là:

Lời giải

 xD  1  3  0  1 x  4 Ta có   D  D  4;6  .  yD  6  yD  0  3  2  0 

   Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM  AB  0 là

Lời giải

   3  xM  1   4  1  0 x  0 Ta có 3 AM  AB  0    M  M  0; 4  .  yM  4 3  yM  3   0  3  0 Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A  3;3 , B 1; 4  , C  2; 5  . Tọa độ điểm M thỏa mãn    2 MA  BC  4CM là: Lời giải 1      xM  6 2  3  xM    2  1  4  xM  2  1 5   M  ;  . Ta có: 2 MA  BC  4CM   6 6 y   5 2  3  yM    5  4   4  yM  5  M  6

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM     Câu 1: Cho a  1; 2  , b  5; 7  . Tìm tọa độ của a  b . A.  6; 9 

B.  4; 5 

C.  6;9 

D.  5; 14  .

Lời giải Chọn C   Ta có a  b   1  5; 2   7     6;9  .     Câu 2: Cho a  3; 4  , b  1; 2  . Tìm tọa độ của a  b . A.  4;6 

B.  2; 2 

C.  4; 6 

D.  3; 8 

Lời giải Chọn B   Ta có a  b   3   1 ; 4  2    2; 2  .    Câu 3: Trong hệ trục tọa độ O; i; j tọa độ i  j là:



A.  0;1 .



B. 1; 1 .

C.  1;1 .

D. 1;1 .

Lời giải Trang 10

Chọn D     Ta có i  1;0  , j   0;1  i  j  1;1     Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho a  1;3 , b  5; 7  . Tọa độ vectơ 3a  2b là: A.  6; 19  .

B. 13; 29  .

C.  6;10  .

D.  13; 23 .

Lời giải Chọn D   a   1;3 3a   3;9       3a  2b   13; 23 .  b   5; 7  2b  10; 14       Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a  1; 2  , b   3; 4  . Tọa độ c  4a  b là     A. c   1; 4  . B. c   4;1 . C. c  1; 4  . D. c   1; 4  . Lời giải Chọn C.    Ta có: c  4a  b  4 1; 2    3; 4   1; 4  .

      Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   2;1 , b   3; 2  và c  2a  3b . Tọa độ của vectơ c là

A. 13; 4  .

B. 13; 4  .

C.  13; 4  .

D.  13; 4  .

Lời giải Chọn A.    Ta có: c  2a  3b  2  2;1  3  3; 2   13; 4  .     Câu 7: Cho a  2;7  , b  3;5  . Tọa độ của vectơ a  b là A.  5; 2  .

B.  1; 2  .

C.  5; 2  .

D.  5; 2  .

Lời giải Chọn A.   Ta có: a  b   2;7    3;5    5; 2  .     Câu 8: Cho a  3; 4  , b  1; 2  . Tọa độ của vectơ a  2b là A.  4;6  .

B.  4; 6  .

C. 1;0  .

D.  0;1 .

Lời giải Chọn C.  a   3; 4    b   1; 2   2b   2; 4     a  2b  1;0  .    Câu 9: Trong hệ trục O, i, j , tọa độ của i  j là





Trang 11

A.  0;1 .

B. 1;1 .

C. 1; 1 .

D.  1;1 .

Lời giải Chọn C.  i  1;0     i  j  1; 1 . Ta có:    j   0;1       Câu 10: Cho a  1; 2  và b   3; 4  với c  4a  b thì tọa độ của c là:    A. c   1; 4  . B. c   4; 1 . C. c  1; 4  .

 D. c   1; 4  .

Lời giải Chọn C.    Ta có: c  4a  2b  4 1; 2    3; 4   1; 4  .      Câu 11: Cho a  1;5  , b   2;1 . Tính c  3a  2b .    A. c   7;13 . B. c  1;17  . C. c   1;17  .

 D. c  1;16  .

Lời giải Chọn B   a  1;5  3a   3;5        c  3a  2b   1;17  . Ta có   b   2;1 2b   4; 2           Câu 12: Cho a  2i  3 j và b  i  2 j . Tìm tọa độ của c  a  b .    A. c  1; 1 . B. c   3; 5  . C. c   3;5  .

 D. c   2;7  .

Lời giải Chọn B           c  a  b  2i  3 j  i  2 j  3i  5 j  c   3; 5  .       Câu 13: Cho hai vectơ a  1; 4  ; b   6;15  . Tìm tọa độ vectơ u biết u  a  b



A.  7;19  .

 



B.  7;19  .

C.  7; 19  .

D.  7; 19  .

Lời giải Chọn B       Ta có u  a  b  u  b  a   7;19  .      Câu 14: Tìm tọa độ vectơ u biết u  b  0, b   2; 3 . A.  2; 3 .

B.  2; 3 .

C.  2;3 .

D.  2;3 .

Lời giải Chọn C      Ta có u  b  0,  u  b   2;3 . Trang 12

Câu 15: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A  2;5  , B 1;1 , C  3;3 . Tìm tọa độ điểm E sao cho    AE  3 AB  2 AC A.  3; 3 .

B.  3;3 .

C.  3; 3 .

D.  2; 3 .

Lời giải Chọn C Gọi E  x; y  .          Ta có AE  3 AB  2 AC  AE  AB  2 AB  AC  BE  2CB





 x  1  4  x  3   y  1  4  y  3

 x  1; y  1  2  2; 2   

Vậy E  3; 3 .      Câu 16: Cho a   2; 4  ; b   5;3 . Tìm tọa độ của u  2a  b    A. u   7; 7  . B. u   9; 11 . C. u   9; 5  .

 D. u   1;5  .

Lời giải Chọn B  Ta có u  2  2; 4    5;3   9; 11 .

    Câu 17: Cho 3 điểm A  4;0  , B  5;0  , C  3;0  . Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA  MB  MC  0

A.  2;0  .

B.  2;0  .

C.  4;0  .

D.  5;0  .

Lời giải Chọn A

    4  5  3  2 Ta có M  Ox nên M  x;0  . Do MA  MB  MC  0 nên x  3      Câu 18: Trong hệ trục O, i, j cho 2 vectơ a   3; 2  , b  i  5 j . Mệnh đề nào sau đây sai?         A. a  3i  2 j. B. b   1;5  . C. a  b   2;7  . D. a  b   4; 3 .





Lời giải Chọn D.     a   3; 2  , b   1;5   a  b   4; 3 .          Câu 19: Cho u  2i  3 j , v  5i  j . Gọi  X ; Y  là tọa độ của w  2u  3v thì tích XY bằng: A. -57.

B. 57.

C. -63.

D. 63.

Lời giải Chọn A.          w  2u  3v  2 2i  3 j  3 5i  j  19i  3 j.  X  19, Y  3  XY  57.



 



Dạng 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình Trang 13

PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3;5  , B 1; 2  , C  5; 2  . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? Lời giải 3 1 5  3  xG  3   G  3;3 . Ta có  y  5 2 2  3  G 3

Ví dụ 2. Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2; 2  , B  3;5  và trọng tâm là gốc tọa độ O  0;0  . Tìm tọa độ đỉnh C ? Lời giải Gọi C x;y.  2  3  x 0   x  1 3  . Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên   y  7 2  5  y  0  3

Ví dụ 3. Cho M  2;0  , N  2; 2  , P  1;3 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB của ABC. Tọa độ của B là: Lời giải

 xB  xN  xP  xM  x  1  xB  2  2   1 Ta có: BPNM là hình bình hành nên    B .  yB  2  0  3  yB  1  y B  y N  y P  yM Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N  5; 3 và P thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox . Tọa độ của điểm P là Lời giải Ta có: P thuộc trục Oy  P  0; y  , G nằm trên trục Ox  G  x;0  1 5  0   x  x  2 3 G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:   y  4 0   1   3  y  3

Trang 14

Vậy P  0; 4  . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với AB  5, AC  1 . Tính tọa độ điểm D là của chân đường phân giác trong góc A , biết B  7; 2  , C 1; 4  . Lời giải

  DB AB   5  DB  5 DC  DB  5 DC. DC AC   Gọi D  x; y   DB   7  x; 2  y  ; DC  1  x; 4  y  .

Theo tính chất đường phân giác:

7  x  5 1  x  x  2 Suy ra:   . y  3 2  y  5  4  y  Vậy D  2;3 . Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  3; 1 , B  1; 2  và I 1; 1 . Xác định tọa độ các điểm C , D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ O của hình bình hành ABCD . Lời giải Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên xI 

x A  xB  xC  xC  3 xI  x A  xB  1 3

yI 

y A  yB  yC  yC  3 yI  y A  yB  4 3

Suy ra C 1; 4  Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra

  1  3  1  xD x  5 AB  DC    D  D  5; 7  2  1  4  yD  xD  7 Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó xO 

x A  xC y  yC 5 5   2, yO  A    O  2;   2 2 2 2 

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho A  4;0  , B  2; 3 , C  9;6  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: A.  3;5  .

B.  5;1 .

C. 15;9  .

D.  9;15  . Trang 15

Lời giải Chọn B Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ thỏa mãn: x A  xB  xC 429   xG   xG    xG  5  3 3    G  5;1  y  y  y  3  6 y  1 A B C G  y  y   G  G 3 3

Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3;5  , B 1; 2  , C  5; 2  . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? A.  3; 4  .

B.  4;0  .

C.





2;3 .

D.  3;3 .

Lời giải Chọn D.  3 1 5 5  2  2  ; Ta có tọa độ G      3;3 . 3  3 

Câu 3: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A  2; 3 , B  4;7  . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB A.  6; 4  .

B.  2;10  .

C.  3; 2  .

D.  8; 21 .

Lời giải Chọn C  2  4 3  7  ; Ta có I      3; 2  . 2   2

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A   3;5  , B  1; 2  , C   5; 2  . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: A.  3; 4  .

B.  4;0  .

C.





2;3 .

D.  3;3 .

Lời giải Chọn D Ta có G  xG ; yG  là trọng tâm tam giác ABC nên: x A  xB  xC 3  1  5   3  xG  3 3  G  3;3  y  y  y 5  2  2 B C y  A  3  G 3 3

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là

A  2;3 , B  5; 4  , C  1; 1 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác có tọa độ là: A.  3;3 .

B.  2; 2  .

C. 1;1 .

D.  4; 4  .

Lời giải Chọn B. Trang 16

x A  xB  xC   xG  3  G  2; 2  . Để G là trọng tâm tam giác ABC    y  y A  yB  yC  G 3

Câu 6: Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A  2;3 , B  5; 4  , C  2; 2  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác có tọa độ là A.  3;3 .

B.  2; 2  .

C. 1;1 .

D.  4; 4  .

Lời giải Chọn A.

 x A  xB  xC  3 xG Ta có:   G  3;3 .  y A  yB  yC  3 yG Câu 7: Cho hai điểm B  3; 2  , C  5; 4  . Tọa độ trung điểm M của BC là A. M   8;3 .

B. M   4;3 .

C. M   2; 2  .

D. M   2; 2  .

Lời giải Chọn B. xC  xB   xM  2  M  4;3 . Ta có:   y  yC  yB  M 2

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A  5; 2  , B  0;3 , C  5; 1 . Khi đó trọng tâm ABC là: A. G  0;11 .

B. G 1; 1 .

C. G 10;0  .

D. G  0;0  .

Lời giải Chọn D.

 x A  xB  xC  3 xG Ta có   G  0;0  .  y A  yB  yC  3 yG Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  2; 3 , B  4;7  . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I  6; 4  .

B. I  2;10  .

C. I  3; 2  .

D. I  8; 21 .

Lời giải Chọn C. x A  xB   xI  2  I  3; 2  . Ta có:   y  y A  yB  I 2

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  3;5  , B 1; 2  , C  2;0  . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Trang 17

A. G  3;7  .

7  C. G  3;  . 3 

B. G  6;3 .

 7 D. G  2;  .  3

Lời giải Chọn D.

 x A  xB  xC  3 xG  7 Để G là trọng tâm tam giác ABC    G  2;  .  3  y A  yB  yC  3 yG Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  3;5  , B 1; 2  . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I  4;7  .

 7 C. I  2;  .  2

B. I  2;3 .

7  D. I  2;  . 2 

Lời giải Chọn C. x A  xB   xI  2  7  I  2;  Ta có:   2  y  y A  yB I  2 1  Câu 12: Cho tam giác ABC với A  3;6  , B  9; 10  và G  ;0  là trọng tâm. Tọa độ C là: 3 

A. C  5; 4  .

B. C  5; 4  .

C. C  5; 4  .

D. C  5; 4  .

Lời giải Chọn C.

 xC  3 xG   x A  xB   x A  xB  xC  3 xG Ta có:    C  5; 4  .  y A  yB  yC  3 yG  yC  3 yG   y A  yB  Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho A  4; 2  , B 1; 5  . Tìm trọng tâm G của tam giác OAB. 5  A. G  ; 1 3 

5  B. G  ; 2  3 

C. G 1;3

5 1 D. G  ;   3 3

Lời giải Chọn A xO  xB  xC 0  4  1 5     xG  5  3 3 3  G  ; 1 .  3   y  yO  yB  yC  0  2  5  1 G  3 3

Câu 14: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2; 2  , B  3;5  và trọng tâm là gốc O. Tìm tọa độ đỉnh C? A.  1; 7  .

B.  2; 2  .

C.  3; 5  .

D. 1;7  .

Lời giải Chọn A Trang 18

 2  3  x 0   x  1 3  Gọi C  x; y  . Ta có O là trọng tâm    y  7 2  5  y  0  3

Vậy C  1; 7  Câu 15: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  và trọng tâm G  1;1 . Tìm tọa độ đỉnh C? A.  6; 3 .

B.  6;3 .

C.  6; 3 .

D.  3;6  .

Lời giải Chọn C  6   3  x  1   x  6 3 Gọi C  x; y  . Ta có G là trọng tâm     y  3 1  5  y  1  3

Vậy C  6; 3 . Câu 16: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  2;3 , N  0; 4  , P  1;6  lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A? A. 1;5  .

B.  3; 1 .

C.  2; 7  .

D. 1; 10  .

Lời giải Chọn B

  Gọi A  x; y  . Ta có PA  MN   x  1; y  6    2; 7  .  x  1  2  x  3 . Vậy A  3; 1 .    y  6  7  y  1 Câu 17: Trong hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 1;1 , B  3; 2  , C  6;5  . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A.  4;3 .

B.  3; 4  .

C.  4; 4  .

D.  8;6  .

Lời giải Chọn C

  Gọi D  x; y  , ABCD là hình bình hành  AD  BC   x  1; y  1   3;3 . Trang 19

x 1  3 x  4    y 1  3  y  4 Vậy D  4; 4  . Câu 18: Trong hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A  2;1 , B  0; 3 , C  3;1 . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A.  5;5  .

B.  5; 2  .

C.  5; 4  .

D.  1; 4  .

Lời giải Chọn A

  Gọi D  x; y  , ABCD là hình bình hành  AD  BC   x  2; y  1   3; 4  x  2  3 x  5    y 1  4 y  5 Vậy D  5;5  . Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A   1;3 , B   2;0  , C   6; 2  . Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành.

A.  9; 1 .

B.  3;5  .

C.  5;3 .

D.  1;9  .

Lời giải Chọn B

  ABCD là hình bình hành khi AB  DC.   Ta có AB   3; 3 , DC   6  x; 2  y  , D  x; y  .

  6  x  3 x  3 Nên AB  DC     D  3;5  . 2  y  3  y  5 Câu 20: Cho hình bình hành ABCD . Biết A 1;1 , B  1; 2  , C  0;1 . Tọa độ điểm D là: A.  2;0  .

B.  2;0  .

C.  2; 2  .

D.  2; 2  .

Lời giải Chọn A. Gọi D  x; y  là điểm cần tìm   Ta có: AB   2;1 , DC    x;1  y 

Trang 20

   x  2 Để ABCD là hình bình hành  AB  DC    D  2;0  . 1  y  1 Câu 21: Cho tam giác

ABC , Gọi

M , N , P lần lượt là trung điểm

BC , CA, AB . Biết

A 1;3 , B  3;3 , C  8;0  . Gía trị của xM  xN  xP bằng: A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 6.

Lời giải Chọn D. Ta có: M là trung điểm BC  xM  N là trung điểm AC  xN 

5 2

9 2

P là trung điểm AB  xP  1  xM  xN  xP 

5 9  1  6 2 2

Câu 22: Cho hình hình hành ABCD có A  2;0  , B  0; 1 , C  4; 4  . Tọa độ đỉnh D là: A. D  2;3 .

B. D  6;3 .

C. D  6;5  .

D. D  2;5  .

Lời giải Chọn D. Gọi D  x; y  là điểm cần tìm   Ta có: AB   2; 1 , DC   4  x; 4  y 

  4  x  2 Để ABCD là hình bình hành  AB  DC    D  2;5  . 4  y  1 Câu 23: Cho tam giác ABC với A  5;6  , B  4; 1 , C  4;3 . Tìm D để ABCD là hình bình hành: A. D  3;10  .

B. D  3; 10  .

C. D  3;10  .

D. D  3; 10  .

Lời giải Chọn A. Gọi D  x; y  là điểm cần tìm   Ta có: AB  1; 7  , DC   4  x;3  y 

  4  x  1 Để ABCD là hình hình hành  AB  DC    D  3;10  . 3  y  7 Dạng 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho A 1; 2  , B  2;6  . Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. Trang 21

Lời giải Ta có: M trên trục Oy  M  0; y    Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM    Ta có AB   3; 4  , AM   1; y  2  . Do đó, AB cùng phương với  1 y  2 AM    y  10. M  0;10  . 3 4       Ví dụ 2. Cho các vectơ a   4; 2  , b  1; 1 , c   2;5  . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c .

Lời giải 1  m      1  4m  2n 1 1  8  . Vậy b   a  c . Giả sử b  ma  nc   8 4 1  2m  5n n   1  4

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho A  m  1; 1 , B  2; 2  2m  , C  m  3;3 . Tìm giá trị của m để A, B, C là ba điểm thẳng hàng?

  Ta có AB   3  m;3  2m  , AC   4; 4 

Lời giải

  Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC



3  m 3  2m   m  0. 4 4

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A  6;3 , B  3;6  , C 1; 2  . Xác định điểm E trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng. Lời giải   Vì E thuộc đoạn BC và BE  2 EC suy ra BE  2 EC   Gọi E  x; y  khi đó BE  x  3; y  6  , EC 1  x; 2  y  1  x    x  3  2 1  x   3  Do đó  2  y  6  2  2  y  y   3  1 2 Vậy E   ;  .  3 3

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A  0;1 , B 1;3 , C  2;7  và D  0;3 . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD . Lời giải     Gọi I  x; y  là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD cùng phương Mặc khác Trang 22

  x y 1  6 x  2 y  2 1 AI  x; y  1 , AC  2;6  suy ra  2 6   2 BI   x  1; y  3 , BD   1;0  suy ra y  3 thế vào (1) ta có x  3 2  Vậy I  ;3  là điểm cần tìm. 3 

PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM         Câu 1: Cho a  2i  3 j , b  m j  i . Nếu a, b cùng phương thì: A. m  6.

B. m  6.

2 C. m   . 3

3 D. m   . 2

Lời giải Chọn D   1 m 3 m . a   2; 3 và b  1; m  cùng phương   2 3 2 Câu 2: Hai vectơ nào có tọa độ sau đây là cùng phương? A. 1;0  và  0;1 .

B.  2;1 và  2; 1

C.  1;0  và 1;0  .

D.  3; 2  và  6; 4 

Lời giải Chọn C   Ta có: i  1;0  và i   1;0  cùng phương. Câu 3: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;1 , B  2; 2  , C  7; 7  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. G  2; 2  là trọng tâm tam giác ABC . C. A ở giữa hai điểm B và C .

B. B ở giữa hai điểm A và C .   D. AB, AC cùng hướng. Lời giải

Chọn C     Ta có AB   3; 3 , AC   6;6  và AC  2 AB Vậy A ở giữa hai điểm B và C . Câu 4: Trong hệ tọa độ Oxy , cho A  1;5  , B  5;5  , C  1;11 . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. A, B, C thẳng hàng. B. AB, AC cùng phương.     C. AB, AC không cùng phương. D. AB, AC cùng hướng Lời giải Chọn C     Ta có AB   6;0  , AC   0;6   AB, AC không cùng phương. Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy , cho bốn điểm A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5  . Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 23

  A. AB, CD là hai vectơ đối nhau.   C. AB, CD cùng hướng.

  B. AB, CD ngược hướng. D. A, B, C , D thẳng hàng. Lời giải

Chọn B.      Ta có AB   4;3 , CD   8; 6   2 AB  AB, CD ngược hướng.   Câu 6: Cho u   3; 2  , v  1;6  . Chọn khẳng định đúng?      A. u  v và a   4; 4  ngược hướng. B. u , v cùng phương.         C. u  v và c  k .a  h.b cùng hướng. D. 2u  v, v cùng phương. Lời giải Chọn C     Ta có u  v   4; 4  và u  v   2; 8     4 4   u  v và a   4; 4  không cùng phương. Loại A 4 4   3 2  u , v không cùng phương. Loại B Xét tỉ số  1 6    2 8  3  0  u  v và b   6; 24  cùng hướng. Xét tỉ số  6 24

Xét tỉ số

Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng?   A. a   5;0  , b   4;0  cùng hướng.   C. u   4; 2  , v   8;3 cùng phương.

  B. c   7;3 là vectơ đối của d   7;3 .   D. a   6;3 , b   2;1 ngược hướng. Lời giải

Chọn A    5 5 Ta có a   5;0    4;0   b  a, b cùng hướng. 4 4

 Câu 8: Các điểm và các vectơ sau đây cho trong hệ trục O; i; j (giả thiết m, n, p, q là những số thực



khác 0). Mệnh đề nào sau đây sai?    A. a   m;0   a // i . C. Điểm A  n; p   xOx  n  0.



   B. b   0; n   b // j . D. A  0; p  , B  q; p  thì AB // xOx . Lời giải

Chọn C

A  n; p   xOx  p  0. Câu 9: Hai vectơ nào sau đây không cùng phương:   6 10     A. a   3;5  và b    ;   . B. c và 4c. 7  7 Trang 24

  5   C. i  1;0  và m    ;0  .  2 

  D. m   3;0 và n  0;  3 .









Lời giải Chọn D   m   3;0 và n  0;  3 . Ta có: a1b2  a2b1   3  3  0  3  0   Vậy m và n không cùng phương.     Câu 10: Cho u   2 x  1;3 , v  1; x  2  . Cho hai giá trị x1 , x2 của x để u cùng phương với v . Tính x1.x2 .







5 A. . 3



5 B.  . 3







5 C.  . 2

5 D.  . 3

Lời giải Chọn C   2x 1 3  (với x  2 ) u , v cùng phương  1 x2 5   2 x  1 x  2   3  2 x 2  3 x  5  0 . Vậy x1.x2   . 2        Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho ba vectơ a  1; 2  , b   3;1 , c   4; 2  . Biết u  3a  2b  4c .

Chọn khẳng định đúng.   A. u cùng phương với i .   C. u cùng phương với j .

  B. u không cùng phương với i .   D. u vuông góc với i .

Lời giải Chọn B

  x  3.1  2.  3  4.  4   19  Gọi u   x; y  . Ta có   u   19,16  .  y  3.2  2.1  4.2  16 Câu 11A: Cho bốn điểm A  2;5  , B 1;7  , C 1;5  , D  0;9  . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng A. A, B, C.

B. A, C , D.

.C. B, C , D

D. A, B, D.

Lời giải Chọn D      Ta có AB  1; 2  , AC  1;0  , AD  2; 4   AD  2 AB  A, B, D. thẳng hàng. Câu 12: Trong tọa độ Oxy , cho bốn điểm A  3;0  , B  4; 3 , C  8; 1 , D  2;1 . Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng? A. B, C , D.

B. A, B, C.

C. A, B, D

D. A, C , D.

Lời giải Chọn D.     Ta có AC   5; 1 ; AD   5;1  AC   AD . Vậy ba điểm A, C, D thẳng hàng. Trang 25

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy cho A  2m; m  , B  2m; m  . Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua O ? A. m  3.

C. m  .

B. m  5.

D. Không có m .

Lời giải Chọn C     Ta có OA   2m; m  , OB   2m; m  . Đường thẳng AB đi qua O khi OA, OB cùng phương   Mặt khác ta thấy OA   2m; m     2m; m   OB, m   nên AB đi qua O , m  . Câu 14: Cho hai điểm A  2; 3 , B  4;7  . Tìm điểm M  yOy thẳng hàng với A và B . 4  A. M  ;0  . 3 

1  B. M  ;0  . 3 

C. M 1;0  .

 1  D. M   ;0  .  3 

Lời giải Chọn B

  M  yOy  M  0; m  . AM   2; m  3 ; AB   6;10  .

Để A, B, M thẳng hàng thì

2 m3 1   3  m  3  10  m  . 6 10 3

Câu 15: Ba điểm nào sau đây không thẳng hàng? A. M  2; 4  , N  2;7  , P  2; 2  .

B. M  2; 4  , N  5; 4  , P  7; 4  .

C. M  3;5  , N  2;5  , P  2;7  .

D. M  5; 5  , N  7; 7  , P  2; 2  . Lời giải

Chọn C     MN   5;0  , MP   5; 2   MN , MP không cùng phương

 M , N , P không thẳng hàng. Câu 16: Cho ba điểm A  2; 4  , B  6;0  , C  m; 4  . Định m để A, B, C thẳng hàng? A. m  10.

B. m  6.

C. m  2.

D. m  10.

Lời giải Chọn A   AB   4; 4  ; AC   m  2;8  .

  m2 8   m  10. A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  4 4 Câu 17: Cho A  0; 2  , B  3;1 . Tìm tọa độ giao điểm M của AB với trục xOx. A. M  2;0  .

B. M  2;0  .

 1  C. M   ;0  .  2 

D. M  0; 2  .

Lời giải Chọn A Trang 26

  M  x;0   xOx  AM   x; 2  ; AB   3;3 .

  x 2   x  2. A, B, M thẳng hàng  AB, AM cùng phương  3 3 Vậy, M  2;0  . Câu 18: Cho bốn điểm A 1; 1 , B  2; 4  , C  2; 7  , D  3;3 . Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng? A. A, B, C.

B. A, B, D.

C. B, C , D.

D. A, C , D.

Lời giải Chọn D     3  AB  1;5  ; AC   3; 6  , AD   2; 4   AC   AD  A, C , D thẳng hàng. 2 Câu 19: Cho hai điểm M  2; 2  , N 1;1 . Tìm tọa độ điểm P trên Ox sao cho 3 điểm M , N , P thẳng hàng. A. P  0; 4  .

B. P  0; 4  .

C. P  4;0  .

D. P  4;0  .

Lời giải Chọn D

  Do P  Ox nên P  x;0  , mà MP   x  2; 2  , MN   3; 1 x  2 2   x  4. 3 1       Câu 20: Cho 3 vectơ a   5;3 ; b   4; 2  ; c  2;0  . Hãy phân tích vectơ c theo 2 vectơ a và b .             A. c  2a  3b . B. c  2a  3b . C. c  a  b . D. c  a  2b .

Do M , N , P thẳng hàng nên

Lời giải Chọn B    5m  4n  2 m  2 Giả sử c  ma  nb , ta có:   . 3m  2n  0 n  3

Câu 21: Trong hệ tọa độ Oxy , cho bốn điểm A  2;1 , B  2; 1 , C  2; 3 , D  2; 1 . Xét ba mệnh đề: (I) ABCD là hình thoi. (II) ABCD là hình bình hành. (III) AC cắt BD tại M  0; 1 . Chọn khẳng định đúng A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Chỉ (II) và (III) đúng.

D. Cả ba đều đúng. Lời giải

Chọn C

Trang 27

    AB  DC ABCD là hình bình hành. Ta có AB   0; 2  , DC   0; 2  

Trung điểm AC là  0; 1  (III) đúng.     AC   4; 4  , BD   4;0   AC.BD  16  0  AC , BD không vuông góc nhau. Câu 22: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 3 , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 1;0  .

B. M  4;0  .

 5 1 C. M   ;   .  3 3

 17  D. M  ;0  .  7 

Lời giải Chọn D Điểm M  Ox  M  m;0  .   Ta có AB  1;7  và AM   m  2;3 . Để A, B, M thẳng hàng 

m2 3 17  m . 1 7 7

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A  6;3 , B  3;6  , C 1; 2  . Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE  2 EC.  1 2 A. E   ;  .  3 3

 1 2 B. E   ;   .  3 3

 2 1 C. E  ;   .  3 3

 2 1 D. E   ;  .  3 3

Lời giải Chọn A

  Vì E thuộc đoạn BC và BE  2 EC suy ra BE  2 EC   Gọi E  x; y  khi đó BE  x  3; y  6  , EC 1  x; 2  y 

1   x   3  x  3  2 1  x   Do đó  y  2  y  6  2  2  y   3  1 2 Vậy E   ;  .  3 3  1 2 Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A  6;3 , B   ;  , C 1; 2  , D 15;0  . Xác định giao  3 3 điểm I hai đường thẳng BD và AC . 7 1 A. I  ;   . 2 2

 7 1 B. I   ;  .  2 2

 7 1 C. I   ;   .  2 2

7 1 D. I  ;  . 2 2

Lời giải Chọn D Gọi I  x; y  là giao điểm của BD và AC . Trang 28

   46 2  3  x  15  3 y   x  23 y  15  0 1 Do đó DI  x  15; y  , DB   ;  cùng phương suy ra 46 2  3 3   x 6 y 3   x  y  3  0  2 AI  x  6; y  3 , AC  5; 5  cùng phương suy ra 5 5

Từ (1) và (2) suy ra x 

7 1 và y  2 2

7 1 Vậy giao điểm hai đường thẳng BD và AC là I  ;  2 2

Câu 25: Cho ba điểm A  1;1 , B  0;1 , C  3;0  . Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và 2 BD  5 DC.

 15 2  A.  ;  .  7 7

 15 2  B.   ;  .  7 7

 2 15  C.  ;  . 7 7 

 15 2  D.  ;   .  7 7

Lời giải Chọn A     Ta có 2 BD  5 DC , BD  xD ; yD  1 , DC  3  xD ;  yD  15  x  D  2 xD  5  3  xD    15 2  7   D ;  Do đó   7 7 2  yD  1  5   yD  y  2 D  7

Câu 26: Cho tam giác ABC có A  3; 4  , B  2;1 , C  1; 2  . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho

S ABC  3S ABM . A. M 1  0;1 , M 2  3; 2  . B. M 1 1;0  , M 2  3; 2  .

C. M 1 1;0  , M 2  2;3 .

D. M 1  0;1 , M 2  2;3 .

Lời giải Chọn B

  Ta có S ABC  3S ABM  BC  3BM  BC  3BM   Gọi M  x; y   BM  x  2; y  1 ; BC  3; 3

3  3  x  2  x  1 Suy ra  hoặc  y  0 3  3  y  1

3  3  x  2  x  3   y  2 3  3  y  1

Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1 1;0  , M 2  3; 2  . Câu 27: Cho hình bình hành ABCD có A  2;3 và tâm I 1;1 . Biết K  1; 2  nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh B, D của hình bình hành. A. B  2;1 , D  0;1 .

B. B  0;1 , D  4; 1 .

C. B  0;1 , D  2;1 .

D. B  2;1 , D  4; 1 .

Lời giải Chọn C Trang 29

Ta có I trung điểm AC nên C  4; 1 Gọi D  2a; a   B  2  2a; 2  a    AK 1; 1 , AB  4  2a; 1  a 

  4  2a 1  a   a  1  D  2;1 , B  0;1 . Vì AK , AB cùng phương nên 1 1

Trang 30

BÀI 5. ÔN TẬP CHƯƠNG 1 Câu 1: Véctơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B được kí hiệu là   A. AB . B. AB . C. BA .

 D. AB .

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  4;0  và B  0;3 . Xác định tọa độ của vectơ   u  2 AB     A. u   8; 6  . B. u   8;6  . C. u   4; 3 . D. u   4;3 . Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  3; 1 , B  1; 2  và I 1; 1 . Tìm tọa độ điểm C để I là trọng tâm tam giác ABC . A. C 1; 4  .

B. C 1;0  .

C. C 1; 4  .

D. C  9; 4  .

Câu 4: Xét các mệnh đề sau (I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0 . (II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương. A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. (I) và (II) đúng.   Câu 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Độ dài AD  AB bằng A. 2a .

B.

a 2 . 2

C.

a 3 . 2

D. (I) và (II) sai.

D. a 2 .

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 5  và B  4;1 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là A. I 1;3 .

B. I  1; 3 .

C. I  3; 2  .

D. I  3; 2  .

Câu 7: Cho tam giác ABC với A  2;3 , B  4; 1 , trọng tâm của tam giác là G  2; 1 . Tọa độ đỉnh C là A.  6; 4  .

B.  6; 3 .

C.  4; 5  .

D.  2;1 .

Câu 8: Cho các điểm A, B, C , D và số thực k . Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. AB  k CD  AB  kCD . B. AB  kCD  AB  kCD .     C. AB  kCD  AB  k CD . D. AB  kCD  AB  kCD . Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm A 1; 2  , B  3; 1 , C  0;1 . Tọa độ của véctơ    u  2 AB  BC là     A. u   2; 2  . B. u   4;1 . C. u  1; 4  . D. u   1; 4  . Câu 10: Mệnh đề nào sau đây sai?     A. G là trọng tâm ABC thì GA  GB  GC  0 .    B. Ba điểm A, B, C bất kì thì AC  AB  BC .    C. I là trung điểm AB thì MI  MA  MB với mọi điểm M . Trang 1

   D. ABCD là hình bình hành thì AC  AB  AD

Câu 11: Cho ABC có trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AG  AB  AC . B. AG  2 AB  AC .



 1   C. AG  AB  AC . 3



 2   D. AG  AB  AC . 3  Câu 12: Cho hai điểm A  3;1 và B 1; 3 . Tọa độ của vectơ AB là









A.  2; 2  .

B.  1; 1 . C.  4; 4  . D.  4; 4  .     Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy , cho a   3; 4  , b   1; 2  . Tìm tọa độ của a  b .         A. a  b   4; 6  . B. a  b   2; 2  . C. a  b   4;6  . D. a  b   3; 8  . Câu 14: Cho 5 điểm phân biệt M , N , P, Q, R . Mệnh đề nào sau đây đúng?             A. MN  PQ  RN  NP  QR  MP . B. MN  PQ  RN  NP  QR  PR .             C. MN  PQ  RN  NP  QR  MR . D. MN  PQ  RN  NP  QR  MN . Câu 15: Cho hình bình hành ABCD , đẳng thức véctơ nào sau đây đúng?          A. CD  CB  CA . B. AB  AC  AD . C. BA  BD  BC .

   D. CD  AD  AC .

Câu 16: Cho 4 điểm A, B, C , D . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; O là trung điểm của IJ . Mệnh đề nào sau đây sai?  1   A. IJ  AD  BC . 2  1   C. IJ  AD  BD . 2





    B. AB  CD  AD  CB .





     D. OA  OB  OC  OD  0 .

Câu 17: Cho hình bình hành ABCD tâm I ; G là trọng tâm tam giác BCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. BA  DA  BA  DC . B. AB  AC  AD  3 AG .          C. BA  BC  DA  DC . D. IA  IB  IC  ID  0 .

  Câu 18: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB  5 , H là trung điểm của BC . Tính CA  HC   5 3   A. CA  HC  . B. CA  HC  5 . 2

  5 7 C. CA  HC  . 4

  5 7 D. CA  HC  . 2

Câu 19: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. BA  CD . B. AB  CD . C. OA  OC . D. AO  OC .      Câu 20: Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn IA  2 IB . Biểu diễn IC theo các vectơ AB, AC  2   C. IC   AB  AC . 3   Câu 21: Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA  4 . Tính 2OA  OB       A. IC  2 AB  AC . B. IC  2 AB  AC .

 2   D. IC  AB  AC . 3

Trang 2

      A. 2OA  OB  4 . B. Đáp án khác. C. 2OA  OB  12 . D. 2OA  OB  4 5 .     Câu 22: Có hai lực F1 , F2 , cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O , biết hai lực F1 , F2 biết hai lực đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60 . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu? A. 100 (N) .

B. 50 3 (N) .  Câu 23: Trong hệ trục tọa độ O; i; j    u  2a  b là   A. u   9; 5  . B. u   1;5  .





C. 100 3 (N) . D. Đáp án khác.       cho hai véc tơ a  2i  4 j , b  5i  3 j . Tọa độ của vectơ

 C. u   7; 7  .

 D. u   9; 11 .

Câu 24: Cho 4 điểm A, B , C , D. Khẳng định nào sau đây sai?   A. Điều kiện cần và đủ để NA  MA là N  M .   B. Điều kiện cần và đủ để AB  CD là tứ giác ABCD là hình bình hành.   C. Điều kiện cần và đủ để AB  0 là A  B .      D. Điều kiện cần và đủ để AB và CD là hai vectơ đối nhau là AB  CD  0 Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A  2; 2  ; B  5; 4  . Tìm tọa độ trọng tâm G của OAB

 7  A. G   ;1 .  2 

7 2 B. G  ;  . 3 3

C. G 1; 2  .

 3  D. G   ; 3  .  2 

Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 1; 3 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành là H 1;0  . B. Điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ là P  3; 1 . C. Điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ là N 1;3 . D. Hình chiếu vuông góc của M trên trục tung là K  0; 3     Câu 27: Cho tứ giác ABCD có AB  DC và AB  BC . Khẳng định nào sau đây sai?   A. AD  BC . B. ABCD là hình thoi.   C. CD  BC . D. ABCD là hình thang cân. Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A(2;5), B(2; 2), C (10; 5) . Tìm điểm E (m;1) sao cho tứ giác ABCE là hình thang có một đáy là CE . A. E  2;1 .

B. E  0;1 .

C. E  2;1 .

D. E  1;1 .

Câu 29: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn

2 MA2  MB 2  2 MC 2  MD 2  9a 2 là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là A. R  2a .

B. R  3a .

C. R  a .

D. R  a 2 . Trang 3

Câu 30: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD . Biết    MN  a. AB  b. AD . Tính a  b . A. a  b  1 .

B. a  b 

1 . 2

C. a  b 

3 . 4

D. a  b 

1 . 4

    Câu 31: Cho tam giác ABC . Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA  2 IB, 3 JA  2 JC  0 . Hệ thức nào đúng?

 5    5   A. IJ  AC  2 AB . B. IJ  AB  2 AC . 2 2

 2    2   C. IJ  AB  2 AC . D. IJ  AC  2 AB . 5 5     Câu 32: Cho tam giác ABC . Vị trí của điểm M sao cho MA  MB  MC  0 là

A. M trùng C .

B. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành CBAM .

C. M trùng B .

D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABM .       Câu 33: Cho ba lực F1  MA, F2  MB, F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên.    Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 25N và góc AMB  60 . Khi đó cường độ lực của F3 là

A. 25 3 N .

B. 50 3 N .

C. 50 2 N .

Câu 34: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh  1  2  A. AM  AB  AC . B. 3 3    C. AM  AB  AC . D.

D. 100 3 N .

BC sao cho MB  2 MC . Khi đó:  2  1  AM  AB  AC . 3 3  2  3  AM  AB  AC . 5 5

Câu 35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A  2;3 và tâm I  1;1 . Biết điểm

M  4;9  nằm trên đường thẳng AD và điểm D có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành? A. Tọa độ các đỉnh C  4; 1 , B  5; 4  , D  3;6  . B. Tọa độ các đỉnh C  4; 1 , B  4; 2  , D  2; 4  . C. Tọa độ các đỉnh C  4; 1 , B  1; 4  , D  1; 2  . D. Tọa độ các đỉnh C  4;1 , B  5; 4  , D  3;6  .

Trang 4

  Câu 36: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho 3 AM  2 AB và     3DN  2 DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC

 1  2  A. MN  AD  BC . 3 3  1  2  C. MN  AD  BC . 3 3

 1  1  B. MN  AD  BC . 3 3  2  1  D. MN  AD  BC . 3 3         Câu 37: Cho ABC . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn: MA  MB  0 , 2 NA  3 NC  0 và BC  k BP .

Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. 1 A. k  . 3

2 3 . D. k  . 3 5       1    Câu 38: Cho hai véc tơ a và b thỏa mãn các điều kiện a  b  1, a  2b  15 . Đặt u  a  b và 2      v  2k a  b, k   . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho u , v  60

C. k 

B. k  3 .

 

17 . 2   Câu 39: Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3 AM  2 AB và     3DN  2 DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC

A. k  4 

3 5 . 2

B. k  4 

3 5 . 2

 1  1  A. MN  AD  BC . 3 3  1  2  C. MN  AD  BC . 3 3

C. k  5 

17 . 2

D. k  5 

 1  2  B. MN  AD  BC . 3 3  2  1  D. MN  AD  BC . 3 3

Câu 40: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2; 3), B(3; 4) . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.  18  A. M  ;0  . 7 

B. M  4;0  .

C. M  3;0  .

 17  D. M  ;0  .  7     Câu 41: Cho M (1; 2), N (3; 2), P(4; 1) . Tìm E trên Ox sao cho EM  EN  EP nhỏ nhất

A. E  4;0  .

B. E  3;0  .

C. E 1;0  .

A. 2.

B. 4.

C. 8.

D. E  2;0  .

  Câu 42: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 . Tổng hai véctơ GB  GC có độ dài bằng bao nhiêu?

D. 2 3 .     Câu 43: Cho tam giác ABC . Tập hợp những điểm M sao cho: MA  2 MB  6 MA  MB là A. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R  2 AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA  2 IB . B. M nằm trên đường trung trực của BC . C. M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R  2 AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA  2 IB . D. M nằm trên đường thẳng qua trung điểm AB và song song với BC . Trang 5

    Câu 44: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm được xác định: 4 BM  3BC  0 . Khi đó vectơ AM bằng   1  1  1  2  1  3  A. AB  AC . B. AB  AC . C. AB  AC . D. AB  AC . 2 3 3 3 4 4   Câu 45: Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a , trọng tâm G . Độ dài vectơ AB  GC là 4a 3 a 3 . D. . 3 3     Câu 46: Tam giác ABC thỏa mãn: AB  AC  AB  AC thì tam giác ABC là

A.

2a 3 . 3

B.

2a . 3

A. Tam giác vuông A .

C.

B. Tam giác vuông C .

C. Tam giác vuông B .

D. Tam giác cân tại C .   Câu 47: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB  GC là A.

a 3 . 3

B.

2a 3 . 3

C.

4a 3 . 3

D.

2a . 3

Câu 48: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ điểm N trên cạnh BC của tam giác ABC có A(1; 2) ,

B(2;3), C (1; 2) sao cho S ABN  3S ANC là 1 3 A.  ;  . 4 4

 1 3 B.   ;   .  4 4

1 1 C.  ;   . 3 3

 1 1 D.   ;  .  3 3

Câu 49: Cho hình thang ABCD có đáy AB  a, CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC .    Tính độ dài của véctơ MN  BD  CA . A.

5a . 2

B.

7a . 2

C.

3a . 2

D.

a . 2

Câu 50: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC vuông tại A có B(1; 3) và C (1; 2) . Tìm tọa độ điểm

H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC , biết AB  3, AC  4 .  24  A. H 1;  .  5 

6  B. H 1;   . 5 

24   C. H 1;   . 5  

 6 D. H 1;  .  5

Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M (1; 1), N (5; 3) và P là điểm thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox . Tọa độ điểm P là A.  2; 4 

B.  0; 4  C.  0; 2  D.  2;0        Câu 52: Cho hai lực F1  MA, F2  MB cùng tác động vào một vật tại điểm M cường độ hai lực F1 , F2 lần lượt là 300(N) và 400(N). AMB  90 . Tìm cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật. A. 0(N).

B. 700 (N).

C. 100 (N).

D. 500 (N).       Câu 53: Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM  BC  2 AB , CN  x AC  BC . Xác định x để A, M , N thẳng hàng. 1 B.  . 3

C. 2 .

1 D.  . 2       Câu 54: Cho ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  3MB  2 MC  2 MA  MB  MC

A. 3 .

Trang 6

A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn. B. Tập hợp của các điểm M là một đường thẳng. C. Tập hợp các điểm M là tập rỗng. D. Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A . Câu 55: Tam giác ABC là tam giác nhọn có AA    u   tan B  AB   tanC  AC là       A. u  BC . B. u  0 . C. u  AB .

là đường cao. Khi đó véctơ   D. u  AC .

BẢNG ĐÁP ÁN 1-D

2-B

3-A

4-C

5-D

6-D

7-C

8-C

9-C

10-C

11-C

12-C

13-B

14-D

15-A

16-A

17-A

18-D

19-C

20-C

21-D

22-B

23-D

24-B

25-C

26-B

27-D

28-C

29-C

30-A

31-D

32-D

33-A

34-A

35-A

36-C

37-A

38-A

39-C

40-D

41-D

42-B

43-A

44-D

45-C

46-A

47-C

48-B

49-C

50-B

51-B

52-D

53-D

54-A

55-B Hướng dẫn giải

Câu 1: Lời giải Chọn D. Câu 2: Lời giải Chọn B.    AB   4;3  u  2 AB   8;6  Câu 3: Lời giải Chọn A. x A  xB  xC   xI  3 Điểm I là trọng tâm tam giác ABC    y  y A  yB  yC  I 3

 xC  3  3   1  1  xC  3 xI  x A  xB    yC  3 yI  y A  yB  yC  3   1  2  4 Vậy điểm C 1; 4  . Câu 4: Lời giải Chọn C Trang 7

Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau nên có độ dài bằng 0 . Véc tơ – không cùng phương với mọi véc tơ. Câu 5: Lời giải Chọn D.

   Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có AD  AB  AC  AC  AB 2  a 2 Câu 6: Lời giải Chọn D. x A  xB  x  I  xI  3  2   I  3; 2  Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB   y  y y   2 A B  I y   I 2

Câu 7: Lời giải Chọn C. x A  xB  xC   xG  3 Do G là trọng tâm tam giác ABC nên  y  y B  yC y  A G  3

 xC  3 xG  x A  xB  xC  4    yC  3 yG  y A  yB  yC  5 Vậy C  4; 5  . Câu 8: Lời giải Chọn C. Theo định nghĩa phép nhân véc tơ với một số. Câu 9: Lời giải Chọn C.    Ta có AB   2; 3  2 AB   4; 6  , BC   3; 2     Nên u  2 AB  BC  1; 4  . Câu 10: Lời giải Chọn C.

Trang 8

Với mọi điểm M , ta dựng hình bình hành AMBC     Khi đó, theo quy tắc hình bình hành: MA  MB  MC  2 MI Câu 11: Lời giải Chọn C.

 2  2 1   1   Gọi M là trung điểm BC , ta có: AG  AM  . AB  AC  AB  AC . 3 3 2 3



 



Câu 12: Lời giải Chọn C.  AB  1   3 ; 3  1   4; 4  . Câu 13: Lời giải Chọn B.   a  b   3   1 ; 4  2    2; 2  Câu 14: Lời giải Chọn D.            Ta có MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MN Câu 15: Lời giải Chọn A. Câu 16: Lời giải Chọn A.  1       1   Ta có IJ  IA  AC  CJ  IB  BD  DJ  AC  BD suy ra C. đúng. 2 2        AB  CD  AD  DB  CD  AD  CB suy ra B. đúng.        OA  OB  OC  OD  2 OI  OJ  0 suy ra D. đúng.



 







Câu 17: Lời giải Trang 9

Chọn A.

      Ta có BA  DA  BA  DC  DA  DC (vô lý) → A sai. G là trọng tâm tam giác BCD ; A là một điểm nằm ngoài tam giác BCD → đẳng thức ở đáp án B đúng.         Ta có BA  BC  BD và DA  DC  DB . Mà DB  BD → đáp án C đúng.         Ta có IA và IC đối nhau, có độ dài bằng nhau  IA  IC  0 ; tương tự IB  ID  0 → đáp án D là đúng.

Câu 18: Lời giải Chọn D.      Ta có: CA  HC  CA  CH  2CE  2CE (với E là trung điểm của AH ). Ta lại có: AH 

5 3 ( ABC đều, AH là đường cao). 2

Trong tam giác HEC vuông tại H , có:   5 3 5 7 5 7 EC  CH  HE  2.5    CA  HC  2CE    4 4  4  2

2

2

2

Câu 19: Lời giải Chọn C. Trang 10

  Ta có O là trung điểm của AC nên OA  OC .

Câu 20: Lời giải Chọn C.

   2  Ta có IA  2 IB  IA   IB 3    2   Vậy IC  IA  AC   AB  AC 3

Câu 21: A.

B.

C.

D.

Lời giải Chọn D.

       Dựng OC  2OA  2OA  OB  OC  OB  BC  BC  OC 2  OB 2  82  42  4 5 .

Câu 22: A.

B.

C.

D.

Lời giải Chọn B.

Trang 11

    Giả sử F1  OA, F2  OB

   Theo quy tắc hình bình hành, suy ra F1  F2  OC , như hình vẽ. Ta có AOB  60 , OA  OB  50 , nên tam giác OAB đều, suy ra OC  50 3 .    Vậy F1  F2  OC  50 3  N  Câu 23: Lời giải Chọn D.      Ta có a   2; 4  và b   5;3  u  2a  b   9; 11 Câu 24: Lời giải Chọn B.

  Xét 4 điểm A, B, C , D thẳng hàng và AB  CD nhưng ABCD không là hình bình hành.

Câu 25: Lời giải Chọn C. x A  xB  xO 2  5   1  xG  3 3 Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là   y  y A  yB  yO  2  4  2  G 3 3

Vậy G 1; 2  . Câu 26: Lời giải Chọn B. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Trang 12

+ Hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành là H 1;0  . Đáp án A đúng. + Điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ là P  1;3 . Đáp án B sai. + Điểm đối xứng với M qua trục hoành là N 1;3 . Đáp án C đúng. + Hình chiếu vuông góc của M trên trục tung là K  0; 3 . Đáp án D đúng. Câu 27: Lời giải Chọn D.

    Tứ giác ABCD có AB  DC  ABCD là hình bình hành (1), nên AD  BC   Mà AB  BC (2)

  Từ (1) và (2) ta có ABCD là hình thoi nên CD  BC . Câu 28: Lời giải Chọn C.     Ta có BA   4;3 , BC   8;7   BA, BC không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng,    CE   m  10;6  . Để ABCE là hình thang có một đáy là CE thì CE cùng chiều với BA 

m  10 6   0  m  2 . Vậy E  2;1 . 4 3

Câu 29: Lời giải Chọn C.

2 MA2  MB 2  2 MC 2  MD 2  9a 2   2   2    2 MO  OA  MO  OB  2 MO  OC



 





 6 MO 2  2OA2  OB 2  2OC 2  OD 2

 

   MO  OD   9a       2 MO  2OA  2OC  OB  OD   9a  2

2

2

2

 0

 6 MO 2  3a 2  9a 2  MO  a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R  a . Câu 30: Lời giải Chọn A.

Trang 13

   1  1  1   1  1   1  1  3  MN  MO  ON  AC  AD  AB  BC  AD  AB  AD  AD  AB  AD 4 2 4 2 4 2 4 4









1 3  a  ; b  . Vậy a  b  1 . 4 4

Câu 31: Lời giải Chọn D.

    2  2   Ta có: IJ  IA  AJ  2 AB  AC  AC  2 AB 5 5     Gọi M là trung điểm AB , ta có: OA  OB  2OM  DA .

Câu 32: Lời giải Chọn D.

         MA  MB  MC  0  BA  MC  0  CM  BA

Vậy M thỏa mãn CBAM là hình bình hành. Câu 33: Lời giải Chọn A. Trang 14

   Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được F3   F1  F2





     Dựng hình bình hành AMBN . Ta có  F1  F2   MA  MB   MN   2 3MA  25 3 . Suy ra F3   MN  MN  2

Câu 34: Lời giải Chọn A.

    2   2   1  2  Cách 1: Ta có AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC . 3 3 3 3     Cách 2: Ta có MB  2 MC  MB  2 MC (vì MB và MC ngược hướng)      1  2   AB  AM  2 AC  AM  AM  AB  AC . 3 3









Câu 35: Lời giải Chọn A.

Ta có I là trung điểm của AC  C  4; 1 Trang 15

Điểm D có tung độ gấp đôi hoành độ  D  xD ; 2 xD    Lại có AM   2;6  , AD   xD  2; 2 xD  3 Mà A, M , D thẳng hàng  6  xD  2   2  2 xD  3  xD  3  D  3;6 

I là trung điểm BD  B  5; 4  . Câu 36: Lời giải Chọn C.

Ta chứng minh bài toán sau:

 1   Gọi E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ thì ta có: EF  MQ  NP 2  1   1     1   Thật vậy, ta có: EF  EP  EQ  EN  NP  EM  MQ  MQ  NP 2 2 2





 



 



Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AM và DN .  1   1   1    Khi đó áp dụng kết quả của bài toán trên ta có: MN  BC  IK   BC  AD  MN  2 2 2   1  2   MN  AD  BC . 3 3









Câu 37: Lời giải Chọn A. Cách 1: Tự luận:    3  1  Ta có MN  AN  AM  AC  AB (1) 5 2    2    NP  NC  CP  AC  BP  BC 5 2   1    AC    1 BC 5 k 





Trang 16



2   1    AC    1 AC  AB 5 k 





 1 2    1       AC    1 AB k 5 k 

  Để ba điểm M , N , P thẳng hàng thì M   : NP  mMN  1 3    1   3m  m      AC    1 AB  AC  AB 5 2  k 5 k 

 1 3 3m m  4  k  5  5  Điều kiện:   1   1  1   m k  3 2   k 

1 Vậy k  . 3

Cách 2: Trắc nghiệm:      MA  1 Ta có MA  MB  0  MA   MB  MB     PB BC  k BP  PB  1  k  PC   1 k PC     3  NA 3 2 NA  3 NC  0  2 NA   NC   2 NC 2

Theo định lí Mêlêxauýt ba điểm M , N , P thẳng hàng khi MA PB NC 1  3 . .  1   1 . 1  k  .     1  k  3 MB PC NA  2

1 Vậy k  . 3

Câu 38: Lời giải Chọn A.   2 2   a  2b  15  a  4 b  4ab  15  2ab  1      2 2  2k  1 uv  a  b 2k a  b  2k a  b   2k  1 ab  2k  4  2   2     2 2 2  2 2  u v  a  b 2k a  b  a  b  2ab  4k 2 a  b  4k ab





  













     5  2ab 4k 2  4  4k ab  6  4k 2  4  2k   u v  6  4k 2  4  2k 







Trang 17

2k  1  2k  4    uv 1 2 u , v  60  cos 60       6  4k 2  4  2k   6k  9 2 2 u v 6  4k  4  2k 

 

3  3  k  k  2 2  6  4k  4  2k   6k  9    2 2 2  6  4k  2  k   6k  9 12k  96k  57  0   3  k  2 3 5 .   k  4 2 3 5 k  4   2

Câu 39: Lời giải Chọn C.     2   2  Ta có MN  MA  AD  DN  BA  AD  DC 3 3 2    2   2   2  1  2   BC  CA  AD  DA  AC  BC  AD  AD  AD  BC . 3 3 3 3 3 3









Câu 40: Lời giải Chọn D.

 Cách 1: Do M trên trục hoành  M  x;0  , AB  1; 1  AB  2   AM   x  2;3 , BM   x  3; 4  . Ta có chu vi tam giác ABM : PABM  2 

 2

 x  2

2

 32 

 x  3

2

 x  2

 42  2 

2

 32 

 x  3

2

 42

 x  2  3  x   3  4 2

2

x2 3 17  17    x   M  ;0  . 3 x 4 7  7  Cách 2: Lấy đối xứng A qua Ox ta được A(2; 3) . Ta có MA  MB  MA  MB  AB . Dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AB với Ox . Câu 41:

 PABM  6 2 . Dấu bằng xảy ra khi

Lời giải Chọn D. Do E  Ox  E  a;0     Ta có: EM   1  a; 2  ; EN   3  a; 2  ; EF   4  a; 1    Suy ra EM  EN  EP   6  3a; 1

Trang 18

   Do đó: EM  EN  EP 

 6  3a    1 2

2



 6  3a 

2

1  1

   Giá trị nhỏ nhất của EM  EN  EP bằng 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 6  3a  0  a  2 . Câu 42: Lời giải Chọn B.

Gọi M là trung điểm của BC . M cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC tại A .    Ta có: GB  GC  2GM  1  Mà G là trọng tâm tam giác vuông ABC nên GM  AM 3    2  Do đó: GB  GC  2GM  AM 3    2  2 2 1 2 1 Suy ra GB  GC  2 GM  AM  AM  . BC  . .12  4 . 3 3 3 2 3 2 Câu 43: Lời giải Chọn A.

  Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho 3BI  BA , ta có:           MA  2 MB  MB  BA  2 MB  3MB  BA  3MB  3BI  3MI    MA  MB  BA       MA  2 MB  6 MA  MB  3MI  6 BA  MI  2 AB

Trang 19

Vậy M nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R  2 AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA  2 IB . Câu 44: Lời giải Chọn D.         Ta có: 4 BM  3BC  0  4 AM  AB  3 AC  AB  0



 



      1  3   4 AM  4 AB  3 AC  3 AB  0  AM  AB  AC . 4 4

Câu 45: Lời giải Chọn C.              Ta có: AB  GC  GB  GA  GC  GB  GA  GC  GB  GB vì GA  GB  GC  0









   2 2a 3 4a 3  Khi đó AB  GC  2GB  2GB  2. . . 3 2 3

Câu 46: Lời giải Chọn A.

      1 Gọi M là trung điểm BC . Ta có AB  AC  AB  AC  2 AM  CB  AM  BC . Trung tuyến kẻ 2 từ A bằng một nửa cạnh BC nên tam giác ABC vuông tại A .

Câu 47: Lời giải Chọn C.

  Gọi M là trung điểm BC , dựng điểm N sao cho BN  AG .          2 2a 3 4a 3  Ta có: AB  GC  GB  GA  GC  GB  GA  GC  2GB  2.GB  2. . 3 2 3





Câu 48: A.

B.

C.

D. Trang 20

Lời giải Chọn B. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC . 1 3 AH .BN  AH .CN  BN  3CN 2 2         BN  3CN  BN  3 BN  BC  4 BN  3BC (*)   Ta có BN   xN  2; yN  3 ; BC   3; 5 

Theo đề ta có: S ABN  3S ACN 





1  x   N  4  xN  2   3  3   1 3 4  Do đó *   . Vậy N   ;    4 4 4  yN  2   3  5  y   3 N  4

Câu 49: Lời giải Chọn C.

      Ta có M , N là trung điểm của AD và BC nên MD  MA  0 và BN  CN  0           Khi đó: MN  BD  CA  MN  BN  NM  MD  CN  NM  MA

   1 3a  MN  2 NM  NM  NM   AB  CD   2 2

Câu 50: Lời giải Chọn B.

Trang 21

Ta có AB 2  BH .BC và AC 2  CH .CB . Do đó:

CH AC 2 16 16    HC  .HB 2 BH AB 9 9

   16  Mà HB, HC ngược hướng nên HC   HB 9   Khi đó, gọi H  x; y  thì HC  1  x; 2  y  , HB  1  x; 3  y  16  x  1 1  x   9 1  x  6    Suy ra:  6  H 1;   . 5  2  y   16  3  y  y   5   9

Câu 51: Lời giải Chọn B.

P  Oy  P  0; y  G  Ox  G  x;0  1 5  0   x  x  2 3 Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP   .   1   3  y y  4      0   3

Câu 52: Lời giải Chọn D.

      Cường độ lực tổng hợp của F  F1  F2  MA  MB  2 MI  AB ( I là trung điểm của AB ). Ta có  AB  MA2  MB 2  500 suy ra F  500  N  . Câu 53: Lời giải Trang 22

Chọn D. Ta có          BM  BC  2 AB  AM  BC  AB  AM   AC  2 BC           CN  x AC  BC  CA  AN  x AC  BC  AN   x  1 AC  BC   Để A, M , N thẳng hàng thì k  0 sao cho AM  k AN 1      k   2  x  1  k  Hay  x  1 AC  BC  k  AC  2 BC   . 1 1  2k x    2





Câu 54: Lời giải Chọn A.

    Gọi I là điểm thỏa mãn IA  3IB  2 IC  0             MA  3MB  2 MC  2 MA  MB  MC  2 MI  IA  3IB  2 IC  BA  CA (1)

  Gọi N là trung điểm BC . Ta được: 1  2 MI  2  AN  IM  AN I , A, N cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính AN . Câu 55: Lời giải Chọn B.

    AA  AA  u   tan B  AB   tanC  AC  u  AB  AC BA CA

Trang 23

AA  AA  AB và AC ngược hướng và độ dài mỗi vecto bằng AA nên chúng là hai BA CA   vecto đối nhau. Vậy u  0 .

Ta thấy hai vecto

Trang 24

SỞ GD VÀ ĐT ABC

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT – NĂM HỌC 2018 2019

TRƯỜNG THPT….

Môn: TOÁN – Hình học 10, CHƯƠNG I, Đề 1 Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.

 Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A. 4.

B. 6.

C. 7.

Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?          A. CA  BA  BC. B. AB  AC  BC. C. AB  CA  CB.   Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó AB  AC bằng:

  A. AB  AC  a 3.

D. 9.    D. AB  BC  CA.

  a 3 . B. AB  AC  2

  C. AB  AC  2a.

D. Một đáp án khác.

  Câu 5: Cho số thực k và vectơ a  0 . Chọn khẳng định sai?   A. Vectơ k a cùng phương với a với mọi số thực k.     B. Vectơ k a cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng k . a .     C. Vectơ k a cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng k . a .       D. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b  0 cùng phương là có một số k để a  kb .





Câu 6: Cho ABC có G là trọng tâm tam giác. Trong các biểu thức sau, đâu là biểu thức đúng?         A. AG  GB  GC  0. B. AG  BG  GC  0.         C. AG  BG  GC  0. D. MA  MB  MC  3MG với điểm M tùy ý.    Câu 7: Cho u   3; 2  ; v   2;3 . Khi đó w   3;15  được biểu diễn là             A. w  3u  2v. B. w  u  2v. C. w  3u  3v. D. w  3u  2v.       Câu 8: Cho u   3; 2  ; w   7;3 . Biết w  u  2v , tọa độ v là  1 A.  5;  .  2

1  B.  5;  . 2 

5 1 C.  ;  . 2 2

1  D.  5;   . 2 

Trang 1

 1   7 Câu 9: Cho A  4;  và B  2;  . Tọa độ AB là 2   6  10  A.  2;  .  3

 2 B.  6;  .  3

 1 C.  3;  .  3

 5 D. 1;  .  3

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD với E là trung điểm của BC; F là điểm thuộc đường thẳng AC   sao cho AB = EF . Có bao nhiêu điểm F thỏa mãn điều kiện đã cho A. 0.

B. 1.

C. 2. D. 3.      Câu 11: Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Vectơ tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng:     A. MP. B. PR. C. MR. D. MN . Câu 12: Cho 4 điểm A, B, C, D. Ta có đẳng thức sau:     A. AB  CD  AC  BD. B.     C. AB  CD  DA  BA. D.

    AB  CD  AC  BD.     AB  AC  BD  DC.

1 BC . Hãy chọn đẳng thức đúng: 4  3  1  B. AE  AB  AC. 4 4  1  1  D. AE  AB  AC. 4 4

Câu 13: Cho tam giác ABC, E là điểm trên cạnh BC sao cho BE     A. AE  3 AB  4 AC.

 1  1  C. AE  AB  AC. 3 5

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A  5; 2  , B  0;3 , C  5; 1 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: A.  0;0  .

B. 10;0  . C. 1; 1 . D.  0;11 .   Câu 15: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương:     1   3    3 A. u  2a  3b và v  a  3b. B. u  a  3b và v  2a  b. 2 5 5     2    3  1 1 C. u  a  3b và v  2a  9b. D. u  2a  b và v   a  b. 3 2 3 4 Câu 16: Cho tam giác ABC, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Xét các mệnh            đề sau: (I) AB  BC  AC  0 , (II) KB  JC  AI , (III) AK  BI  CJ  0 . Mệnh đề sai là A. Chỉ (I).

B. (II) và (III).

C. Chỉ (II).

D. (I) và (III).

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B 1;3 , C 13;5  và N, M lần lượt là trung  điểm của AB, AC. Tìm tọa độ của vectơ MN .     A. MN   6;1 . B. MN   7; 4  . C. MN  12; 2  . D. MN  14;8  .   Câu 18: Cho hai lực F 1 , F2 có điểm đặt tại O, có cường độ bằng nhau và tạo với nhau một góc 120 .  Biết cường độ lực tổng hợp của hai lực đó là 100 (N). Tính cường độ của lực F 1. Trang 2

 A. F 1  100  N  .

 B. F 1  100 3  N  .

 C. F 1  50  N  .

 D. F 1  50 3  N  .

  Câu 19: Cho tam giác đều ABC cạnh AB  4 . Tính AB  AC .   A. AB  AC  4 3.

  C. AB  AC  6 3.     Câu 20: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Tổng AB  CD  AD  CB bằng    A. 0. B. AD. C. BD.   Câu 21: Cho hai điểm M 1;6  và N  6;3 . Tìm điểm P mà PM  2 PN . A. P 11;0  .

  B. AB  AC  2 3.

B. P  6;5  .

C. P  2; 4  .

  D. AB  AC  3 3.  D. 2 BD.

D. P  0;11 .

Câu 22: Cho hai điểm M  2; 2  , N 1;1 . Tìm tọa độ điểm P trên Ox sao cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng. A. P  0; 4  .

B. P  0; 4  .

C. P  4;0  .

D. P  4;0  .

 Câu 23: (Quy) Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Biết AB  5, BC  6, CA  7 . Khi đó AD bằng: A.

5  7  AB  AC. 12 12

B.

7  5  AB  AC. 12 12

C.

7  5  AB  AC. 12 12

D.

5  7  AB  AC. 12 12

Câu 24: Cho ABC có A  0; 2  , B  4;0  , C 1;1 và G là trọng tâm. Nếu M là điểm trên đường thẳng d     có phương trình y  2 sao cho MA  MB  MC bé nhất thì tọa độ của vectơ MG là: 5 7 A.  ;  . 3 3

5 7 B.  ;   . 3 3

7  7  C.  0;  . D.  0;   . 3  3        Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a  1;3 , b  1; 2  , c   3; 1 . Biết a  xb  yc .

Tính A  xy  x  y . A. A  5.

B. A  6.

C. A  3.

D. A  1.

Trang 3

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-B

3-C

4-A

5-C

6-D

7-C

8-A

9-B

10-C

11-D

12-A

13-B

14-A

15-D

16-A

17-A

18-A

19-A

20-A

21-A

22-D

23-C

24-D

25-D ĐÁP ÁN CHI TIẾT.

Câu 1: Lời giải Chọn A. Vì Vectơ không cùng phương với mọi vectơ. Câu 2: Lời giải Chọn B.

      Đó là các vectơ: AB, BA, DE , ED, FC , CF . Câu 3: Lời giải Chọn C Xét các đáp án:   

      Đáp án. A. Ta có CA  BA  CA  AB  CB   BC. Vậy A sai.     Đáp án. B. Ta có AB  AC  AD  BC. (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai.      Đáp án. C. Ta có AB  CA  CA  AB  CB. Vậy C đúng.

Câu 4: Lời giải Chọn A. Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC Suy ra AH 

BC 3 a 3  2 2

   a 3  a 3. Ta lại có AB  AC  2 AH  2. 2

Câu 5: Lời giải Chọn C. Câu 6: Lời giải Chọn D. Trang 4

Câu 7: Lời giải Chọn C.

    xw  a.x u  bxv 3  3a  2b a  3 Giả sử a, b là cặp số thỏa mãn w  au  bv     .  yw  a. yu  byv 15  2a  3b b  3 Câu 8: Lời giải Chọn A. a  5      xw  x u  2 xv 7  3  2a  Giả sử v   a; b  thỏa mãn w  u  2v     1.  yw  yu  2 yv 3  2  2b b  2

Câu 9: Lời giải Chọn B.   2  Theo định nghĩa vectơ, AB   6;  .  3

Câu 10: Lời giải Chọn C.

Dựng EH / / AB . Đường tròn  E , EH  cắt AC tại hai điểm F1 , F2 . Câu 11: Lời giải Chọn D. Sử dụng quy tắc cộng:                 MN  PQ  RN  NP  QR  MN  NP  PQ  QR  RN  MP  PR  RN  MR  RN  MN



 



Câu 12: Lời giải Chọn A. Câu 13: Lời giải Chọn B.

   Vì khi phân tích AE  h AB  k AC thì hai số h, k không thể lớn hơn 1, không có số âm và không thể bằng nhau.

Câu 14: Lời giải Chọn A. Sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm G khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C. Trang 5

x A  xB  xC   xG  3 .   y  y A  yB  yC  G 3

Câu 15: Lời giải Chọn D.

    Cách 1: Sử dụng kiến thức nếu u  kv thì u và v cùng phương.     x y x y  Cách 2: Cho u  x; y  ; v  x; y  . Lập tỉ số ; , nếu thì u và v cùng phương. x y  x y 

Chú ý: Xét tỉ số dấu trước để loại phương án. Câu 16: Lời giải Chọn A. Sử dụng định nghĩa phép cộng vectơ. Phân tích phương án nhiễu: B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất vectơ. Câu 17: Lời giải Chọn A.

 1  Sử dụng MN  BC . 2

Phân tích phương án nhiễu: B, C, D: Học sinh nhầm lẫn công thức tính tọa độ của vectơ. Câu 18: Lời giải Chọn A. Sử dụng các tính chất của hình thoi, tam giác đều. Phân tích phương án nhiễu: B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất. Câu 19: Lời giải Chọn A. Sử dụng các tính chất của hình thoi, tam giác đều. Phân tích phương án nhiễu: B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất. Câu 20: Lời giải Chọn A. Sử dụng các tính chất của phép cộng trừ vectơ. Phân tích phương án nhiễu: B, C, D: Học sinh nhầm lẫn tính chất. Câu 21: Lời giải Chọn A. Trang 6

1  2.6     xP  1  2  11 PM  2 PN    P 11;0  .  y  6  2.3  0  P 1 2

Câu 22: Lời giải Chọn D.

  Do P  Ox nên P  x;0  , mà MP   x  2; 2  ; MN   3; 1 x  2 2   x  4. 3 1

Do M, N, P thẳng hàng nên Câu 23: Lời giải Chọn C.

Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên:  5  BD AB 5    BD  DC DC AC 7 7   5    AD  AB  AC  AD 7  7  5   AD  AB  AC . 12 12





Câu 24: Lời giải Chọn D.

        Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MA  MB  MC  3MG  MA  MB  MC  3 MG bé nhất  MG bé nhất  M là chân đường vuông góc kẻ từ G đến d. 7  5    Khi đó xM  xG  M  ; 2   MG   0;   . 3 3  

Câu 25: Lời giải Chọn D.

   x  3y  1  x  2 Ta có a  xb  yc   . Do đó A  xy  x  y  1 .  2 x  y  3  y  1

Trang 7

SỞ GD VÀ ĐT ABC

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT – NĂM HỌC 2018-2019

TRƯỜNG THPT….

Môn: TOÁN – Hình học, CHƯƠNG I, Đề 2 Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Câu 2: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng?    A. AB  AC  BC .    C. CA  BA  CB .

   B. MP  NM  NP .    D. AA  BB  AB .

Câu 4: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?        A. OA  OB  CD . B. OB  OC  OD  OA .        C. AB  AD  DB . D. BC  BA  DC  DA Câu 5: Cho ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng:     1    A. AM  AB  AC . B. MG  MA  MB  MC . 3    2   C. AM  3MG . D. AG  AB  AC . 3









Câu 6: Cho ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây đúng:     1    A. AM  AB  AC . B. MG  MA  MB  MC . 3    2   C. AM  3MG . D. AG  AB  AC . 3    Câu 7: Trong hệ trục tọa độ O; i; j tọa độ i  j là:













A.  0;1 .

B. 1; 1 .

C.  1;1 .     Câu 8: Cho a   3; 4  , b   1; 2  . Tìm tọa độ của a  b . A.  4;6  .

B.  2; 2  .

C.  4; 6  .

D. 1;1 .

D.  3; 8  .

Trang 1

 Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A  5; 2  , B 10;8  . Tìm tọa độ của vectơ AB . A.  5;10  .

B. 15;6  .

C.  5;6  .

D.  50;16  .   Câu 10: Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD ? A. ABCD là hình bình hành.

B. ABDC là hình bình hành.

C. AD và BC có cùng trung điểm.

D. AB  CD.

Câu 11: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. MA  MB . B. AB  AC . C. MN  BC . D. BC  2 MN . Câu 12: Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. AB  CD  AD  CB . B. AB  BC  CD  DA .         C. AB  BC  CD  DA . D. AB  AD  CD  CB . Câu 13: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?         A. AH  HB  AH  HC . B. AH  AB  AC  AH .     C. BC  BA  HC  HA .

   D. AH  AB  AH .

  Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính OA  CB A.

a2 . 2

 2 B. 1   a. 2  

C. a.

D.

a 2 . 2

    Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC  0 . Mệnh đề nào sau đây sai?    A. MABC là hình bình hành. B. AM  AB  AC.      C. BA  BC  BM . D. MA  BC.

Câu 16: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  và trọng tâm G  1;1 . Tìm tọa độ đỉnh C? A.  6; 3 .

B.  6;3 .

C.  6; 3 . D.  3;6  .    Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a  1; 1 , b   0; 2  . Xác định tọa độ của vectơ x    sao cho x  b  2a .     A. x   2;0  . B. x   2; 4  . C. x   1;1 . D. x   1;3 .   Câu 18: Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính CA  HC .   a A. CA  HC  . 2

  3a B. CA  HC  . 2

  2 3a . C. CA  HC  3

  a 7 . D. CA  HC  2

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 1 , B  2;0  , C  3;5  . Tìm tọa độ điểm D sao     cho AB  2 AC  3 AD  0 . Trang 2

 8 A. D  2;  .  3

B. D  3;3 .

A. 2a.

B. 2a 3.

C. D  6;6  .

D. D  3; 2  .

  Câu 20: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Khi đó độ dài vectơ AB  AC bằng:

C. 4a.

D. a 3.

Câu 21: Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B  3; 2  , C  6;5  . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A.  4;3 .

B.  3; 4  .

C.  4; 4  .

D.  8;6  .

Câu 22: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2; 3 , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 1;0  .

 5 1 C. M   ;   .  3 3

B. M  4;0  .

 17  D. M  ;0  .  7 

Câu 23: Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB  4, BC  5 và CA  6 . Khi  đó DE bằng: 5  3  3  5  9  3  3  9  A. CA  CB. B. CA  CB. C. CA  CB. D. CA  CB. 9 5 5 9 5 5 5 5 Câu 24: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của   BG và CG. Khi đó GE  GF bằng: 1   1   2   5   AB  AC . AB  AC . AB  AC . AB  AC . A. B. C. D. 3 6 3 6

















Câu 25: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2 MA  3MB  4 MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a A. r  . 3

a B. r  . 9

a C. r  . 2

a D. r  . 6

Trang 3

BẢNG ĐÁP ÁN 1-A

2-D

3-B

4-D

5-B

6-B

7-D

8-B

9-B

10-B

11-D

12-A

13-B

14-D

15-D

16-C

17-B

18-D

19-A

20-B

21-C

22-D

23-A

24-B

25-B

Câu 1: Lời giải Chọn A. Vì Vectơ không cùng phương với mọi vectơ. Câu 2: Lời giải Chọn D. Câu 3: Lời giải Chọn B. Xét các đáp án:



    Đáp án. A. Ta có AB  AC  AD  BC. (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai.      Đáp án. B. Ta có MP  NM  NM  MP  NP . Vậy B đúng.       Đáp án. C. Ta có CA  BA   AC  AB   AD  CB (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình



bình hành). Vậy C sai.       Đáp án. D. Ta có AA  BB  0  0  0  AB . Vậy D sai.

 





Câu 4: Lời giải Chọn D. Xét các đáp án:    

    Đáp án. A. Ta có OA  OB  BA  CD . Vậy A đúng.     OB  OC  CB   AD Đáp án. B. Ta có     . Vậy B sai. OD  OA  AD    Đáp án. C. Ta có AB  AD  DB . Vậy C đúng.     BC  BA  AC Đáp án. D. Ta có     . Vậy D đúng.  DC  DA  AC

Câu 5: Lời giải Chọn B.

Trang 4

Ta có: Nếu G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý thì      1    MA  MB  MC  3MG  MG  MA  MB  MC 3





Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC  1   AM  AB  AC . 2   Phương án C: Sai do HS dùng sai AM và MG là 2 vectơ ngược chiều   AM  3MG .





Phương án D: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC  2  2 1   1   AG  AM  . AB  AC  AB  AC . 3 3 2 3



 



Câu 6: Lời giải Chọn B.

Ta có: Nếu G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý thì      1    MA  MB  MC  3MG  MG  MA  MB  MC 3





Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC  1   AM  AB  AC . 2   Phương án C: Sai do HS dùng sai AM và MG là 2 vectơ ngược chiều   AM  3MG .





Phương án D: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC  2  2 1   1   AG  AM  . AB  AC  AB  AC . 3 3 2 3



 



Câu 7: Lời giải Chọn D.     Ta có i  1;0  , j   0;1   i  j  1;1 . Câu 8: Lời giải Chọn B.   Ta có a  b   3   1 ; 4  2    2; 2  . Trang 5

Câu 9: Lời giải Chọn B.  Ta có: AB   xB  x A ; y B  y A   10  5;8  2   15;6  Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Sai do cộng tọa độ với nhau. Phương án C: Sai do dùng công thức tọa độ của vectơ, không đổi dấu. Phương án D: Sai do nhầm lẫn một phần công thức tích vô hướng. Câu 10: Lời giải Chọn B. Ta có:  

   AB // CD AB  CD    ABDC là hình bình hành.  AB  CD  AB // CD   Mặt khác, ABDC là hình bình hành    AB  CD.  AB  CD   Do đó, điều kiện cần và đủ để AB  CD là ABDC là hình bình hành.

Câu 11: Lời giải Chọn D.

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC.   Do đó BC  2 MN   BC  2 MN . Câu 12: Lời giải Chọn A.         Ta có AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB . Câu 13: Lời giải Chọn B. Do ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC. Xét các đáp án:

Trang 6

    AH  HB  AB  a  Đáp án A. Ta có      AH  HC  AC  a      AH  HB  AH  HC .     AH  AB  BH Đáp án B. Ta có      . AH  AC  CH   BH       Đáp án C. Ta có BC  BA  HC  HA  AC .     Đáp án D. Ta có AB  AH  HB  AH . (do ABC vuông cân tại A ). Câu 14: Lời giải Chọn D.

Ta có: hình vuông ABCD cạnh a, tâm O nên đường chéo BD  a 2 .      BD a 2  . Mặt khác: OA  CB  OA  AD  OD  OD  2 2

Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Sai do HS tính BD  BA2  AD 2  a 2  a 2  a 4  a 2 .      BD a 2 OA  CB  OA  AD  OD  OD   . 2 2

  a 2  2 Phương án B: Sai do HS tính OA  CB   a  1   a. 2 2   Phương án C: Sai do HS tính BD  BA  AD  a  a  2a.      BD 2a OA  CB  OA  AD  OD  OD    a. 2 2 Câu 15: Lời giải Chọn A. Ta có          MA  MB  MC  0  BA  MC  0  MC  AB.  MABC là hình bình hành.

Trang 7

Câu 16: Lời giải Chọn C.  6   3  x  1   x  6 3 Gọi C  x; y  . Ta có G là trọng tâm      y  3 1  5  y  1  3

Vậy C  6; 3 . Câu 17: Lời giải Chọn B.    Ta có x  b  2a   2; 4  . Mội lỗi học sinh hay vấp là thay vì 2   2   4 lại bỏ mất 1 dấu trừ thành 2  2  0 nên chọn A; hoặc  thực hiện phép tính 2a chỉ nhân 2 vào hoành độ hoặc tung độ nên có thể chọn C, D. Câu 18: Lời giải Chọn D. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành.  AHBD là hình chữ nhật.      CA  HC  CA  CH  CD  CD .

Ta có: CD  BD 2  BC 2  AH 2  BC 2 

3a 2 a 7  a2  . 4 2

Câu 19: Lời giải Chọn A. Gọi D  x; y  .    Ta có AB  1;1 , AC   2;6  , AD   x  1; y  1 .

x  2     1  2.2  3  x  1  0   Khi đó AB  2 AC  3 AD  0   8. y  1  2.6  3  y  1  0  3    Học sinh dễ sai khi tính toán tọa độ vectơ AB, AC , AD dẫn đến các kết quả sai. Câu 20: Lời giải Chọn B. Vẽ hình bình hành ABCD và gọi M là trung điểm BC.     2 Ta có AB  AC  AD  2 AM  2 AB 2  BM 2  2  2a   a 2  2a 3

Trang 8

Câu 21: Lời giải Chọn C.

  Gọi D  x; y  , ABCD là hình bình hành   AD  BC    x  1; y  1   3;3 x 1  3 x  4      y 1  3 y  4 Vậy D  4; 4  . Câu 22: Lời giải Chọn D. Điểm M  Ox  M  m;0  .   Ta có AB  1;7  và AM   m  2;3 . Để A, B, M thẳng hàng 

m2 3 17  m . 1 7 7

Câu 23: Lời giải Chọn A.

AD là phân giác trong của tam giác ABC nên  3  CD 6   CD  CB. CB 10 5 CE 5  5    CE  CA. Tương tự: CA 9 9    5  3  Vậy DE  CE  CD  CA  CB. 9 5

CD AC 6 CD 6     DB AB 4 CD  DB 6  4



Trang 9

Câu 24: Lời giải Chọn B.

   1  1 1   1   Vì GEMF là hình bình hành nên GE  GF  GM  AM  . AB  AC  AB  AC . 3 3 2 6



 



Câu 25: Lời giải Chọn B. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.          Ta có 2 MA  3MB  4 MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC .



 

 



          Chọn điểm I sao cho 2 IA  3IB  4 IC  0  3 IA  IB  IC  IC  IA  0 .     Mà G là trọng tâm của tam giác ABC  IA  IB  IC  3IG .           Khi đó 9 IG  IC  IA  0  9 IG  AI  IC  0  9 IG  CA (*) .           Do đó 2 MA  3MB  4 MC  MB  MA  9 MI  2 IA  3IB  4 IC  AB  9 MI  AB .





Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính AB a r  . 9 9

Trang 10