CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ LỚP 12

vectorstock.com/21609945

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN GIẢI CHI TIẾT PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Giải phương trình mũ chứa tham số Chủ đề: Bất phương trình mũ Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Phương pháp giải bất phương trình mũ

Trắc nghiệm bất phương trình mũ CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1. Giải phương trình mũ cơ bản 1. Phương pháp giải Cho phương trình af(x) = b ( a > 0 và a ≠ 1) + Nếu b le; 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm . + Nếu b > 0 thì phương trình đã cho tương đương f(x)= logab .

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình 22x+ 1 = - 2 A. (0; +∞)

B. (− ∞; −1)

C. R

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có: −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Phương trình 3x+1 = 27 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 3x + 1 = 27 3x + 1 = 33 ⇔x + 1 = 3 ⇔ x = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên âm.

Ví dụ 3. Phương trình 5x = 10 có nghiệm x = 1+ log5a. Tìm a?

A. a = 1

B.a = 2

C.a = 5

D.a = 10

Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: 5x = 10, lấy loga cơ ơ số 5 hai vế ta được: ⇔x = log510 = 1 + log52 Vậy a= 2.

Ví dụ 4. Giải phương trình 42x + 1 = 12.

A. x = log43

B. x = log23

C. x = log163

D. x = log83

Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có: 42x+ 1 = 12, lấyy loga cơ số 4 hai vế ta được; 2x + 1= log412 ⇔ 2x + 1 = 1 + log43 ⇔ 2x= log43

Dạng 2. Đưa về cùng cơ số 1. Phương pháp giải af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc .

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3 A.x = 1; x = 2 B. x = −1; x = 2

C. x = 1; x = 3 D. x = −1; x = 3

Hiển thị đáp án Đáp án: C Phương trình đã cho xác định vvới mọi x.

Ta có: 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3 ⇔ x2 − 3x + 6 = x + 3 ⇔ x2 − 4x + 3= 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3

m phân biệt bi là x1, Ví dụ 2. Biết rằng phương trình 2x2 − x + 4 = 4x + 1 có hai nghiệm 4 4 của biểu thức S = x1 + 2x2 x2 ( x1 > x2). Tính giá trị củ A. S = 18 B. S = 83 C. S = 21 D. S = 30 Hiển thị đáp án Đáp án: A Phương trình đã cho xác định vvới mọi x.

Ta có: 2x2 − x + 4 = 4x + 1 ⇔ 2x2 − x + 4 = (22)x + 1 2x2 − x + 4 = 22(x + 1) x2 − x+ 4 = 2( x+ 1) ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

Do đó, x1 = 2 và x2 = 1. Suy ra, S = 24 + 2. 14 = 18

ng các nghiệm nghiệ là: Ví dụ 3. Phương trình 28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x có tổng A. 5. B. 7. C. − 7

D. −5

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có : 28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x ⇔ (2.5)8 − x2 = 10−3 . 105 − 5x ⇔ 108 − x2 = 102 − 5x

ủa phương trình đã cho là : −1+ 6 = 5.

Do đó, tổng các nghiệm của bi x1, Ví dụ 4. Biết rằng phương trình 9x2 − 10x + 11 = 81 có hai nghiệm phân biệt x2. Tính S= x1 + x2 A. 8 B.10 C. 6 D.12 Hiển thị đáp án Đáp án: B Phương trình đã cho xác định vvới mọi x.

Ta có : 9x2 − 10x + 11 = 81 ⇔ (32)x2 − 10x + 11 = 34 ⇔(32)x2 − 10x + 11 = 34 ⇔ 2. (x2 − 10x + 11) = 4 ⇔ 2x2 − 20 x + 22 − 4= 0 ⇔ 2x2 − 20x + 18 =0 ⇔x = 1 hoặc x = 9. Do đó , tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là S = 10 Ví dụ 5. Cho phương trình :

đ là đúng ? . Khẳng định nào sau đây

ương trình là một số âm.

A. Tích các nghiệm của phươ

ương tình là một số nguyên .

B. Tổng các nghiệm của phươ C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Nghiệm của phương trình là:

Khi đó

Dạng 3. Đặt ẩn phụ 1. Phương pháp giải

f[ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1) Ta thường gặp các dạng: ● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 ta đặt t = a f(x) ( t > 0 ).

Khi đó, phương trình đã cho có dạng m.t2 + nt + p= 0 . ● m.af(x) + n.bf()x) + p = 0, trong đó ab = 1. Đặt t = af(x),( t> 0);suy ra

● m.a2f(x) + n. (ab)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt

.

• Phương trình dạng Aa3x + m + Ba2x + n + Cax + p + D = 0 + Ta biến đổi Aam.(ax)3 + Ban.(ax)2 + Capax + D = 0

m máy tính tìm nghiệm và Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t= ax ,(t > 0 ), ta bấm đối chiếu với điều kiện. + Lưu ý biến dạng a2x = (a2)x, a3x = (a3)x và ta có thể biến x thành một hàm f(x) 2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình A.1. B. 3. C. 2. D. 0.

Hiển thị đáp án

có bao nhiêu nghiệm âm?

Đáp án: A Phương trình đã cho xác đinh với mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt

(t > 0) . Phươ ương trình trở thành :

3t = 2 + t2 ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 ● Với t= 1, ta được

● Với t= 2, ta được

Vậy phương trình có một nghi nghiệm âm.

ương trình Ví dụ 2. Số nghiệm của phươ A.2 B. 4. C. 1. D. 0 Hiển thị đáp án Đáp án: A

là:

Phương trình đã cho xác định vvới mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt t = 3x ( t > 0). Phương trình trở thành t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc ặ t=3 ● Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0. ● Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.

Ví dụ 3. Cho phương trình 4.4x − 9. 2x+1 + 8 = 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x1.x2 bằng : A. − 2 B. 2 C. − 1 D. 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 4.4x − 9. 2x+1 + 8 =0 ⇔ 4. (22)x − 9.2.2x + 8 = 0 ⇔ 4. 22x − 18.2x + 8 = 0

phương trình đã cho tương đương với Đặt t= 2x ( t > 0), khi đóó phươ 4t2 − 18t + 8 = 0

Vậy tích 2 nghiệm phương trình đã cho là: S= 2.(−1)= − 2.

Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0 là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0 Chia cả hai vế phương trình cho 4x > 0 ta được:

Đặt

, khi đđó phương trình trên trở thành:

6t2 − 13t + 6 = 0

Ví dụ 5. Phương trình (7 + 4√3)x + (2 + √3)x có nghiệm là: A. x = log(2 + √3)2 B. x = log23 C. x = log2(2 + √3) D. x = log32 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 7 + 4√3 = (2 + √3)2

Do đó, phương trình đã cho trở thành: (2 + √3)2x + (2 + √3)x = 6 Đặt t = (2 + √3)x( t > 0 ), khi đó phương trình trên tương đương với: t2 + t = 6

⇔ 2 = (2 + √3)x ⇔ x = log(2 + √3)2 Dạng 4. Phương trình tích 1. Phương pháp giải Để giải phương trình mũ ta có th thể dùng các phương ng pháp phân tích biểu thức thành nhân tử; đưa về phương trình tích.

ng pháp logarit hóa; ph phương pháp đưa về cùng cơ c số...

Sau đó, áp dụng phương 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 12. 3x + 3. 15x − 5x+ 1 = 20 là: A. x = log35 − 1 B. x = log>35 C.x = log35 + 1. D. x = log53 − 1 Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 12 . 3x + 3 . 15x − 5x + 1 = 20 ⇔ ( 12.3x + 3.15x ) − (5x+ 1 + 20) = 0 ⇔ 3.3x ( 4 + 5x) − 5. ( 5x +4) = 0 ⇔ ( 3.3x − 5) . (4 + 5x) = 0 ⇔ 3x + 1 − 5 = 0 ( vì 4+ 5x > 0 với mọi x)

⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x + 1 = log35 ⇔ x = log35 − 1 Ví dụ 2. Phương trình sau có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên 4x2 − 3x + 2 + 4x2 + 6x + 5 = 42x2 + 3x + 7 + 1.

A. 2 B. 3

C. 4

D.1.

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt.

m không nguyên?

Ví dụ 3. Phương trình 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6 có bao nhiêu nghiệm A. 0 B. 1 C. 2

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án: B Theo đầu bài ta có: 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: log22x − 3 = log23x2 − 5x + 6

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm không nguyên

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình x2 .Tổng x1 + x2 có dạng a+ 2b

,với a,b ∈ N* và

A. S= 95 B. S= 169 C. S= 32 D. S= 43 Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện: x ∈ R (*) Phương trình

m phân biệt bi là x1, có hai nghiệm ối giản. gi Tính S = là phân số tối

Do đó: x1 + x2 = 2 − log97 = log981 − log97

Ví dụ 5. Biết rằng phương trình ức S = x1 + x2 Tính giá trị của biểu thức

m phân biệt bi là x1; x2. có hai nghiệm

Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện: x ≠ −2 (*) Phương trình

Do đó S = x1 + x2 = −1 − log23 = −log23 − log22 = −log26

ánh giá.

Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp đánh 1. Phương pháp giải

ịch biến) bi trên (a; o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch ơ một và f(u) b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a; b) không nhiều hơn = f( v) ⇔ u = v ∀u,v ∈ (a; b) n (hoặc (hoặ luôn nghịch o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến bi trên D biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) thì số nghiệm trên D củaa phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. ịch biến) bi trên D o Tính chất 3. Nếu hàm số y =f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v ( hoặc u < v).

2. Ví dụ minh họa

c bao nhiêu Ví dụ 1. Phương trình (√3 − √2)x + (√3 + √2)x = (√10)x có tất cả nghiệm thực ?

A. 1 B. 2 C. 3

D. 0

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Xét hàm số

Hàm số f(x) nghịch biến trên R do các ccơ số

Do đó, nếu phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

ương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Ta thấy f(2) =1 nên phương Ví dụ 2. Phương trình 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

A. 1 B. 2 C. 0

D. 3

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0

⇔ 3x + 2x − 5 = 0 ( vì 3x + 1 > 0 với mọi x) Xét hàm số f(x) = 3x + 2x − 5 ; f'(x) = 3xln3 + 2 > 0; ∀x ∈ R.

ng biế biến trên R. Do đó, phương trình đã cho nếu có nghiệm Suy ra, hàm số f(x) đồng thì nghiệm đó là duy nhất. nhất của phương trình là x = 1.

Lại có, f(1) = 0 nên nghiệm duy nh Ví dụ 3. Phương trình 4x + 2x (x − 7) − 4x + 12= 0 có số nghiệm là?

A. 0 B. 1 C. 3

D. 2

Hiển thị đáp án Đáp án: D Đặt t= 2x ( t > 0) phương trình đã cho thành: t2 + (x − 7)t − 4x + 12= 0 (1) Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta có ∆ = (x − 7)2 − 4(−4x + 12) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 Do đó (1)

+ TH1. Nếu t = 4 thì 2x = 4 ⇔ x = 2 + TH2. Nếu t = 3 - x thì 2x = 3- x , theo ví dụ trên ta được x= 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2.

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình hai nghiệm phân biệt là x1, x2 ( x1 > x2). Nghiệm x1 có dạng Z . Tính S= a4 + 10ab

có , với a,b ∈

A. S= 11 B. S= − 9 C. S= 575 D. S= 675 Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện: x ≠ R (*) Để ý: (2x2 − 4x + 3) − (x2 + x − 2) = x2 − 5x + 5 Ta biến đổi phương trình

⇔ f(2x2 − 4x + 3)= f(x2 + x − 2) (1) Xét hàm số f(t) = 2t + 3t với t ∈ R có f’(t) = 2t.ln2 + 3 > 0 với mọi t.

ng biế biến trên R nên (1) Suy ra, hàm số f(t) đồng

Ví dụ 5. Phương trình 2x2 + 1 + 3x2 + 2 = 5(sinx + cosx) có số nghiệm nghiệ là ?.

A. 2 B. 1 C. 0 Hiển thị đáp án Đáp án: C

D. 3

Điều kiện: x ≠ R (*) Ta có 2x2 + 1 + 3x2 + 2 ≥ 20 + 1 + 30 + 2 = 11, ∀x ∈ R. Mà 5(sinx + cosx) ≤ 5(1 + 1) = 10, ∀x ∈ R

phương trình vô nghiệm . => 2x2 + 1 + 3x2 + 2 > 5(sinx + cosx) => ph Dạng 6. Bài toán tìm tham số m thỏa mãn điều kiện T. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2 + √3)x + (2 − √3)x = m vô nghiệm?

A. m ≤ 2 B . m > 2 C. m = 2 D. m < 2 Hiển thị đáp án Đáp án: D Nhận xét: (2 + √3) + (2 − √3) = 1 ⇔ (2 + √3)x + (2 − √3)x = 1 . Đặt t = (2 + √3)x.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Xét hàm số Ta có:

xác định và liên tục trên (0; +∞).

Cho

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, nếu m < 2 thì phương trình (1’) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.

Ví dụ 2. Với giá trị củaa tham ssố m thì phương trình: (m + 1).16x − 2.(2m − 3).4x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái ddấu?

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành: (m + 1).t2 − 2( 2m − 3)t + 6m + 5= 0 (*) Đặt f(t) = ( m + 1)t2 − 2 (2m − 3)t + 6m + 5 Yêu cầu bài toán ⇔(*) có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Ví dụ 3. Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình 4x − m. 2x+1 +2m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 3?

A. m= − 2 B. m = 4

C. m = 1 D. m = 3

Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: 4x − m. 2x+1 +2m = 0 ⇔ (2x)2 − 2m.2x + 2m = 0 (*) Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2x có: ∆' = (−m)2 − 2m = m2 − 2m Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m2 − 2m ≥ 0 ⇔ m(m − 2) ≥ 0

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1. 2x2 = 2m ⇔ 2x1 + x2 = 2m Do đó; x1 + x2 = 3 ⇔ 23 = 2m ⇔ m = 4.

Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn.

ất cả các giá trị của tham số m để phương ng trình 6x +( 3 − Ví dụ 4. Tìm tập hợp tất m).2x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A. [3; 4] B. [2; 4] C. (2; 4) D. (3; 4) Hiển thị đáp án Đáp án: C Phương trình tương đương: m(2x + 1) = 6x + 3 . 2x.

Xét hàm số

Ta có:

Suy ra, f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) thì f(0) < f(x) < f(1)

Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √(3x + 3)+ √(5 − 3x) = m có nghiệm.

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện: 5 − 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 5 ⇔ x ≤ log35 Xét hàm số f(x) = √(3x + 3) + √(5 − 3x), x ∈ (−∞; log35) Ta có:

BBT:

Số nghiệm của √(3x + 3)+ √ √(5 − 3x) = m (*) chính là số giao điểm ểm của củ đồ thị hàm ng y = m số y= f(x) và đường thẳng Vậy để (*) có nghiệm thì

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương ng pháp lôgarit hóa Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Phương trình mũ cơ bản.

Phương trình mũ cơ bản có ddạng: ax = m

(1).

Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = logam.

Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

2. Phương pháp đưa về cùng ccơ số.

Với a > 0 và a ≠ 1 ta có af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x).

3. Phương ng pháp lôgarit hoá. af(x) = b ⇔ f(x) = logab af(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)logab

logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 3: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình Hiển thị đáp án

Bài 2: Giải phương trình

Hiển thị đáp án

Bài 3: Giải phương trình Hiển thị đáp án

Bài 4: Giải phương trình Hiển thị đáp án 2x+2.5x+2=23x.53x ⇔ (2.5)x+2 = (2.5)3x ⇔ 10x+2 = 103x ⇔ x + 2 = 3x ⇔ x = 1 Bài 5: Giải phương trình

Hiển thị đáp án

đương: Phương trình đã cho tương đươ

Bài 6: Giải phương trình Hiển thị đáp án

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±√5 Bài 7: Giải phương trình

Hiển thị đáp án

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9 Bài 8: Giải phương trình Hiển thị đáp án

đương: Phương trình đã cho tương đươ log22(x2-4) + log252-x = 0 ⇔ x2 - 4 - (x-2)log25 = 0 ⇔ (x-2)(x+2-log25) = 0

Bài 9: Giải phương trình Hiển thị đáp án Ta có:

Bài 10: Giải phương trình Hiển thị đáp án

đương: Phương trình đã cho tương đươ

Bài 11: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện x ≠ 2 Phương trình đã cho tương đươ đương

Bài 12: Giải phương trình Hiển thị đáp án Phương trình đã cho tương đươ đương

Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa Bài 1: Phương trình 3x3-9x+4 = 81 có mấy nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C.3.

D.4.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : 3x3-9x+4 = 81 = 34 ⇔ x3-9x+4 = 4 ⇔ x(x2-9)=0 ⇔ x ∈ {0;±3}.

Bài 2: Phương trình 2x+2.5x = 40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1.

B. 2.

C.3.

D.4.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Phương trình đã cho tương đương với: 4.2x.5x=40000 ⇔ 10x = 10000 ⇔ x = 4.

Bài 3: Phương trình 3x-2 = 666661 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Cách 1: Vế trái là hàm số đồng biến nhận các giá trị (0;+∞). Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách 2: Lấy logarit hai vế ta được x-2 = log3666661.

Bài 4: Cho phương trình 3x2-4x+5 = 9 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là: A. 28.

B. 27.

C. 26.

D. 25.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có: 3x2-4x+5 = 9 ⇔ 3x2-4x+5 = 32 ⇔ x2-4x+5 = 2 ⇔ x2-4x+3=0

Suy ra 13 + 33 = 28.

phươ trình là: Bài 5: Cho phương trình : 3x2-3x+8 = 92x-1, khi đó tập nghiệm của phương

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : 3x2-3x+8=92x-1 ⇔ 3x2-3x+8=34x-2 ⇔ x2-3x+8 = 4x-2 ⇔ x2-7x+10 = 0

Vậy S={2;5}

Bài 6: Cho phương trình:

đ là đúng? . Khẳng định nào sau đây

A. Tổng các nghiệm củaa phương tình là một số nguyên .

ương trình là một số âm.

B. Tích các nghiệm của phươ C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Nghiệm của phương trình là: S = {-7/3;3}. Vì -7/3.3 = -7 < 0 Bài 7: Phương trình 28-x2.58-x2 = 0,001.1051-x có tổng các nghiệm là?

A. 7.

B. -7.

C.5.

D.-5.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : (2.5)8-x2=10-3.105-5x ⇔ 108-x2=102-5x ⇔ 8-x2 = 2-5x ⇔ (x = -1; x = 6) Ta có : -1+6=5.

Bài 8: Nghiệm của phương trình 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 là:

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : 2x+2x+1 = 3x+3x+1 ⇔ 3.2x = 4.3x

Bài 9: Nghiệm của phương trình 6.4x - 13.6x + 6.9x = 0 là: A. x ∈ {0;1}.

B. x ∈ {2/3;3/2}.

C. x ∈ {-1;0}.

D. x ∈ {1;-1}.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 10: Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20 là: A. x=log53-1.

B. x=log35.

C. x=log35+1.

D. x=log35-1.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : 12.3x + 3.15x - 5x + 1 = 20 ⇔ 3.3x(5x+4) - 5(5x + 4) = 0 ⇔ (5x + 4)(3x + 1 - 5) = 0 ⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x=log35 - 1

ệm bằng bằ bao nhiêu Bài 11: Phương trình x.2x + x2 + 2 = 2x+1 + 3x có tổng các nghiệm trên R? A. 0.

B. 4.

C.3.

D. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Phương trình tương đương với: x2 - 3

m duy nh nhất x = 0. +) 2x = 1 - x có nghiệm Bài 12: Phương trình 2x-3 = 3x2-5x+6 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1 < x2 , hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x1+2x2=log354.

B. 2x1-3x2=log38.

C. 2x1+3x2=log354.

D. 3x1-2x2=log38

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: (3) ⇔ log22x3 =log23x2-5x+6

Bài 13: Cho phương trình:

đ là đúng? . Khẳng định nào sau đây

ương trình là một số âm.

A. Tích các nghiệm của phươ ương tình là một số nguyên .

B. Tổng các nghiệm của phươ C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Nghiệm của phương trình là : S={-7/3;3}.

Vì -7/3.3=-7 < 0. Chọn đáp án A

Bài 14: Phương trình 28-x2.58-x2 = 0,001.(105)1-x có tổng các nghiệm là: A. 5.

B. 7.

C. -7 .

D. – 5 .

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : (2.5)8-x2=10-3.105-5x ⇔ 108-x2=102-5x ⇔ 8-x2=2-5x ⇔ (x=-1;x=6)

áp án A Ta có: -1+6=5. Chọn đáp phụ trong phương trình mũ Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn ph phương trình mũ Phương pháp đặt ẩn phụ trong phươ dụ A. Phương pháp giảii & Ví d phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương Ta thường sử dụng 1 ẩn ph trình với 1 ẩn phụ.

Các phép đặt ẩn phụ thường ggặp sau: Dạng 1: Phương trình αk + αk-1 a(k-1)x + ... + α1 ax + α0 = 0

kiện t > 0, ta được αk tk + αk-1 tk-1 + ... + α1 t + α0 = 0 Khi đó ta đặt t = ax điều ki Mở rộng: Nếu đặtt t = af(x) , điều kiện hẹp t > 0.

Dạng 2: Phương trình α1 ax + α2 ax + α3 = 0 với a.b = 1

n hẹp t > 0, suy Mở rộng: Vớii a.b = 1 thì khi đặt t = af(x), điều kiện ra

ó chia hai vế của phương Dạng 3: Phương trình α1 a2x + α2 (a.b)x + α3 b2x = 0 khi đó 2x 2x x trình cho b > 0 (hoặc a , (a.b) ), điều kiện t < 0, ta được

kiện t < 0 , ta được α1 t2 + α2 t+α3 = 0 , điều kiệ Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a2f, b2f, (a.b)2f, ta thực hiện theo các bước sau:

ương trình cho b2f > 0 (hoặc a2f,(a.b)f) + Chia 2 vế của phươ

+ Đặt

kiện hẹp t > 0 điều ki

Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình 9x-5.3x+6=0 Hướng dẫn:

ương trình đã cho tương đương với Đặt t=3x (t > 0), khi đó phươ

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)x-3(2-√3)x+2=0 Hướng dẫn:

√3)2; (2+√3)(2-√3)=1 Nhận xét rằng 7+4√3=(2+√3)

Do đó nếu đặt t=(2+√3)x điềều kiện t > 0 thì (2-√3)x=1/t và (7+4√3)x = t2 Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm x=0 Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)x+(√2+1)x-2√2=0 Hướng dẫn:

ương trình đã cho tương đương: Đặt t=(√2+1)x ta có phương

Bài 4: Giải phương trình sau: (3+√5)x+16(3-√5)x = 2x+3 Hướng dẫn: Chia cả hai vế của phương trình cho 2x > 0, ta được

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Nhận xét rằng (5+√24)(5-√24) = 1

ện t > 0 ⇒ (5-√24)x = 1/t Đặt t = (5+√24)x, điều kiện Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bài 2: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Chia cả hai vế của phương trình cho 22x+2 ≠ 0 ta được:

Đặt t = 2x2-x điều kiệnn t > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án

dạng: Biến đổi phương trình về dạ

2.22(x2+1) +(2.3)(x2+1)=32(x2+1) Chia cả hai vế của phương trình cho 22(x2+1) ≠ 0, ta được:

Khi đó phương trình có dạng:

Bài 4: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Viết lại phương trình có dạng:

Khi đó phương trình (1) có dạng:

phương trình (2) có dạng: Đặt u = 2x, u > 0. Khi đóó phươ

Vậy phương trình có nghiệm x=1 Bài 5: Giải phương trình sau: Hiểển thị đáp án

dạng: Biến đổi phương trình về dạ 125x+50x = 2.8x Chia cả 2 về của phương trình trên cho 8x ≠ 0, ta được:

ương đương: Khi đó phương trình (*) tươ

Bài 6: Giải phương trình sau:

Hiển thị đáp án dạng: Biến đổi phương trình về dạ

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Bài 7: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Điều kiện x ≥ 0. Biến đổi phương trình về dạng:

Đặt t=3√x, điều kiện t ≥ 1 Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 8: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án

ạng: 22(x+1) + 2x+4 = 2x+2 + 16 ⇔ 2.22x - 6.2x - 8 = 0 Đưa phương trình về dạng: Đặt t = 2x, điều kiện t > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bài 9: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Đưa phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3x2+x, t > 0

đương: Phương trình đã cho tương đươ

Bài 10: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 38.32x-4.35.3x+27=0 ⇔ 6561.(3x )2-972.3x+27 = 0 Đặt t = 3x, t > 0

đương: Phương trình đã cho tương đươ

Bài 11: Giải phương trình sau: Hiển thị đáp án Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3x, t > 0

đương: Phương trình đã cho tương đươ

Vậy phương trình có nghiệm x=1 Trắc nghiệm phương pháp đặặt ẩn phụ trong phương trình mũ

Bài 1: Phương trình sau có mấy nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C.3.

D.4.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Bài 2: Phương trình 4x-10.2x+16=0 có mấy nghiệm?

A. 1.

B. 4.

C.3.

D.2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt t = 2x ta được: t2-10t+16 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 8. Do đó ta tìm được x = 1 hoặcc x = 3 Bài 3: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1.

B. 4.

C.0.

D.2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Phương trình tương đương với

Đặt t = 3x, t > 0. Phương trình trở thành

• Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0.

• Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.

Bài 4: Phương trình 9x-5.3x+6=0 có nghiệm là: A. x = 1,x = log2 3.

B. x = -1,x = log3 2.

C. x = 1,x = log3 2.

D. x = -1,x = -log3 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

phương trình đã cho tương đương với Đặt t = 3x (t > 0), khi đóó phươ

Bài 5: Cho phương trình 4.4x - 9.2(x+1) + 8 = 0. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x1.x2 bằng : A. -1.

B. 2.

Hiển thị đáp án

C. -2.

D. 1.

Đáp án : C Giải thích : Đặt t = 2x (t > 0), khi đóó phươ phương trình đã cho tương đương với

Vậy x1.x2 = -1.2 = -2..

Bài 6: Cho phương trình 4x-4(1-x) = 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x - 3.4x - 4 = 0.

nghiệm.

B. Phương trình có mộtt nghiệ C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt t=4x (t > 0), khi đó phươ ương trình đã cho tương đương với

Bài 7: Phương trình 9x-5.3x+6=0 có tổng các nghiệm là:

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : 9x - 5.3x + 6 = 0 (1)

Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ (x = log3 2).

Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ (x = log3 3=1).

Suy ra 1 + log3 2 = log3 3 + log3 2 = log3 6

Bài 8: Phương trình 5x + 25(1-x) = 6 có tích các nghiệm là :

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Đặt t = 5x > 0.

Khi đó:

Bài 9: Phương trình (7+4√3)x+(2+√3)x=6 có nghiệm là: A.x = log2+√3 2.

B. x = log2 3.

C. x = log2 (2+√3).

D. x = 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Đặt t = (2+√3)x (t > 0), khi đđó phương trình đã cho tương đương với

Bài 10: Cho phương trình 2(cos2 x)+4.2(sin2 x) = 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A.0.

B.2.

C.4.

D. Vô số nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt t = 2(cos2 x), t ∈ [1;2] ta được: t2-6t+8 = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = 2. Đỗi chiếu điều kiện ta được t = 2 ⇒ 2(cos2 x) = 21 ⇒ x = kπ; k ∈ Z.

√5+√2)x + (√3-√2)x = (√7)x có mấy nghiệm?

Bài 11: Phương trình: (√5+√ A. 4.

B. 0.

C.3.

D. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

đương với: Phương trình đã cho tương đươ

Phương trình trở thành: ax+bx=1.

Nếu x ≥ 0 thì ax ≥ 1, bx > 0 nên vế trái > 1.

Nếu x < 0 thì ax > 0, bx > 1 nên vế trái > 1.

nghi Bài 12: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình sau. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

A.-2.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Đặt t=2(x2+1) (t ≥ 2) , phương trình trên tương đương với

Từ đó suy ra

ằng 0.

Vậy tổng hai nghiệm bằng Bài 13: Phương trình 3(1-x) = 2 + (1/9)x có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Phương trình tương đương với

nghiệm âm.

Vậy phương trình có một nghi ương trình sau là: Bài 14: Số nghiệm của phươ

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Phương trình tương đương với

Đặt t=3x, t > 0. Phương trình trở thành

• Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0.

• Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x=0, x=1.

c phương Bài 15: Cho phương trình 4.4x-9.2(x+1)+8=0. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của trình trên. Khi đó tích x1.x2 bằng : A. -2.

B. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

C. -1.

D. 1.

phương trình đã cho tương đương với Đặt t = 2x (t > 0), khi đóó phươ

Vậy x1.x2 = -1.2 = -2. Chọn đđáp án A Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Hướng 1: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu • Bước 3. Nhận xét: + Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm. + Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm. + Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch ịch biến bi hoặc là hàm số y = f(x) là hàm số đồ hàm hằng.

• Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0 .

• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3. Khi đóó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn: Ta có: (*) ⇔ 2.3log2x = 3-x (1).

Nhận xét: + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến. + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

m duy nhất. nhấ Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm ệ duy nhất x Mặt khác: x = 1 là nghiệm củ = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇒ x2 - 3x + 2 = u2 ⇒ 3x - x2 - 1 = 1 - u2.

Khi đó phương trình (*) có dạng

Xét hàm số:

+ Miền xác định: D = [0;+∞). + Đạo hàm đồng biến trên D.

∀x ∈ D. Suy ra hàm số

Mặt khác f(1) = log3 (1+2) + (1/5).5 = 2.

ợc viết dưới dạng Do đó, phương trình (1) đượ

Bài 3: Giải phương trình 2x2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x - x2 + 5x (*).

Hướng dẫn: Ta có: (*) ⇔ 2x2-x + 36-4x + x2 + 6 = 24x-6 + 3x-x2 + 5x.

⇔ 2x2-x + x2 - x - 3x-x2 = 24x-6 + 4x - 6 - 36-4x.

ta được 2u + u - 3-u = 2v + v - 3-v.

Xét hàm số:

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến ến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x Hiển thị đáp án

nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.

ương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Mặt khác: f(2) = 1 nên phươ Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2 Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0. Đặt t = log3 x ⇔ x = 3t.

Phương trình (*) 3.(3t )t+(t-1)2 = 32t ⇔ 3t2+1+t2+1 = 32t+2t. (1) Xét hàm số: f(t) = 3t+t ⇒ f'(t) = 3t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.

ng biến trên R. Suy ra hàm số f(t) đồng Phương trình (1) ⇔ f(t2+1) = f(2t) ⇔ t2+1 = 2t ⇔ t = 1.

Với t=1 ⇒ x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x Hiển thị đáp án Do 5x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 vvề của phương trình (*) cho 5x ta được:

ch biế biến trên R. Suy ra hàm số f(t) nghịch ương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0 Hiển thị đáp án Xét hàm số: f(t) = 3t+t-4 ⇒ f'(t) = 3t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.

ng biến trên R. Suy ra hàm số f(t) đồng ương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1 Hiển thị đáp án

ng trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Nhận xét: Ta thấy phương

Với x = 1/2 không là nghiệm ccủa phương trình nên

Ta có hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên R.

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

ệm x = ±1.

Nên hàm số có hai nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x Hiển thị đáp án

Ta có: f(2) = 1 Hàm số f(x) nghịch biến trên R

nhất là x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nh Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x Hiển thị đáp án

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3 Hiển thị đáp án Ta có: (*) ⇔ 3x.5x-3.5x+3x-3 = 0 ⇔ 5x (3x-3)+3x-3 = 0 ⇔ (3x-3)(5x+1) = 0 ⇔ 3x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5x+1 > 0 ∀x ∈ R) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 9: Giải phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1 Hiển thị đáp án Nhận xét: x2-3x+2 + x2+6x+5 = 2x2+3x+7 Ta có: (*) ⇔ 4x2-3x+2 - 42x2+3x+7 = 1 - 4x2+6x+5 ⇔ (4x2-3x+2 - 1)(4x2+6x+5 - 1) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Bài 1: Phương trình (√3-√2)x+(√3+√2)x=(√10)x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Ta có: f(2)=1 Hàm số f(x) nghịch biến trên R

nhất là x=2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nh Bài 2: Phương trình 32x+2x(3x+1)-4.3x-5=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

A. 1.

B.2.

C.0.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : 32x+2x(3x+1)-4.3x-5=0 ⇔ (32x-1)+2x(3x+1)-(4.3x+4)=0

⇔ (3x-1)(3x+1)+(2x-4)(3x+1)=0 ⇔ (3x+2x-5)(3x+1)=0 ⇔ 3x+2x-5=0 Xét hàm số f(x)=3x+2x-5 , ta có: f(1)=0. f'(x)=3x ln3+2 > 0; ∀x ∈ R . Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1 Bài 3: Phương trình 32x+2x(3x+1)-4.3x-5=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : 32x+2x(3x+1)-4.3x-5=0 ⇔ (32x-1)+2x(3x+1)-(4.3x+4)=0 ⇔ (3x-1)(3x+1)+(2x-4)(3x+1)=0 ⇔ (3x+2x-5)(3x+1)=0 ⇔ 3x+2x-5=0 Xét hàm số f(x)=3x+2x-5, ta có: f(1)=0. f'(x)=3x ln3+2 > 0; ∀x ∈ R . Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1 Bài 4: Với giá trị của tham số m thì phương trình (m+1)16x-2(2m-3) 4x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu?

A.-4 < m < -1.

C. -1 < m < 3/2.

B. Không tồn tại m.

D. -1 < m < -5/6.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Đặt 4x=t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

nghiệm của phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = Bài 5: Tìm tất cả các nghi 42x2+3x+7+1.

A. x ∈ {-5;-1;1;2}.

B. x ∈ {-5;-1;1;3}.

C. x ∈ {-5;-1;1;-2}.

D. x ∈ {5;-1;1;2}.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : 4x2-3x+2+4x2+6x+5=42x2+3x+7+1 3x+2.4x2+6x+5+1

⇔

4x2-3x+2 +

4x2+6x+5 =

4x2-

⇔ 4x2-3x+2 (1-4x2+6x+5 )-(1-4x2+6x+5 )=0 ⇔ (4x2-3x+2-1)(1-4x2+6x+5 )=0

Bài 6: Phương trình 4sin2 x+4cos2 x=2√2 (sinx+cosx) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0;15].

A.3.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Vế trái bằng vế phải khi:

Phương trình có ba nghiệm.

ng các nghiệm nghiệ là ?

Bài 7: Phương trình 33+3x + 33-3x + 34+x + 34-x = 103 có tổng A. 0.

B. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

C. 3.

D. 4 .

Khi đó:

Đặt y=3x > 0.

Bài 8: Tìm giá trị của tham số k để hai phương trình sau có nghiệm chung: 3x=30-x

(1)

x-k=0

(2)

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Phương trình(1)có nghiệm duy nhất x=3. Thay vào phương trình(2)ta được k=3.

Bài 9: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1.

A. x ∈ {-5;-1;1;2}.

B. x ∈ {-5;-1;1;3}.

C. x ∈ {-5;-1;1;-2}.

D. x ∈ {5;-1;1;2}.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : 4x2-3x+2+4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1 ⇔ 4x2-3x+2+4x2+6x+5=4x2-3x+2.4x2+6x+5+1 ⇔ 4x2-3x+2 (1-4x2+6x+5 )-(1-4x2+6x+5 ) = 0 ⇔ (4x2-3x+2)-1(1-4x2+6x+5)=0

2 (sinx+cosx) có bao nhiêu nghiệm Bài 10: Phương trình 4sin2 x + 4cos2 x = 2√2 thuộc đoạn [0;15].

A.3.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Vế trái

Vế phải

Vế trái bằng vế phải khi:

Phương trình có ba nghiệm.

đổi sao cho phương trình 9x - 4.3x+1 + 27m2-1 = 0 có hai Bài 11: m là tham số thay đổ ng hai nghi nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng ng bao nhiêu? nghiệm phân biệt. Tổng A. 1.

B.-3.

Hiển thị đáp án

C. 2.

D. -4.

Đáp án : B Giải thích : Đặt 3x = t ta được: t2-12t+33(m2-1)) = 0 (1).

Do phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên (1)có hai nghiệm phân biệtt1,t2.

3x1+x2=3x1.3x2 = t1.t2=33(m2-1) ⇒ x1+x2=3(m2-1) ≥ -3.

nhất bằng -3 khi m = 0.

Do đó x1+x2 đạt giá trị nhỏỏ nh Thay m=0 vào (1) ta được t2-12t+1/27 = 0 có hai nghiệm t1,t2 > 0.

Bài 12: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình (2+√3)x + (2-√3)x = m có hai nghiệm phân biệt?

A. m < 2.

B. m > 2.

C.m=2.

D. m ≤ 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Nhận xét: (2+√3)(2-√3)=1 ⇔ (2+√3)x (2-√3)x=1.

Bảng biến thiên:

+ Nếu m > 2 thì phương trình (1') có hai nghiệm phân biệt ⇒ pt(1)có hai nghiệm phân biệt.

Bài 13: Với giá trị củaa tham ssố m thì phương trình (m+1)16x - 2(2m-3) 4x + 6m + ấu?

5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

A.-4 < m < -1.

C. -1 < m < 3/2.

B. Không tồn tại m.

D. -1 < m < -5/6.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Đặt 4x=t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Bài 14: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình (2+√3)x+(2-√3)x=m vô nghiệm?

A. m < 2.

B. m > 2.

C.m=2.

D. m ≤ 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Nhận xét: (2+√3)(2-√3)=1 ⇔ (2+√3)x (2-√3)x=1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên: Nếu m < 2 thì phương trình (1')vô nghiệm ⇒ pt(1)vô nghiệm.

√ x=m có hai Bài 15: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình (2+√3)x+(2-√3) nghiệm phân biệt?

A. m > 2.

B. m < 2.

C.m=2.

D. m ≤ 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Nhận xét: (2+√3)(2-√3)=1 ⇔ (2+√3)x (2-√3)x=1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên: Nếu m > 2 thì phương trình (1')có hai nghiệm phân biệt ⇒ pt(1)có hai nghiệm phân biệt.

Bài 16: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình 4x-m.2x+1+2m=0 có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1+x2=3?

A. m=4.

B. m=2.

C. m=1.

D. m=3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có: 4x-m.2x+1 + 2m = 0 ⇔ (2x)2 - 2m.2x+2m = 0(*) Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2x có: ∆'=(-m)2-2m = m2-2m.

Phương

trình

(*)

có

nghiệm

⇔

m2-2m

≥

0

⇔

m(m-2)

≥

0

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1.2x2 = 2m ⇔ 2x1+x2 = 2m Do đó x1+x2=3 ⇔ 23 = 2m ⇔ m = 4.

ỏa mãn. Chọn D. Thử lại ta được m=4 thỏa ứa tham ssố Giải phương trình mũ chứa Câu 1:Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3x+m2=10m-9 có nghiệm thực?

A. 7 B. 9 C. 6 D. 10 Hiển thị lời giải Phương trình đã cho tương đương 3x= -m2+10m-9 (1)

thực khi và chỉ khi -m2+10m -9>0 hay 1<m<9 Phương trình (1) có nghiệm th Mà Chọn A.

Câu 2:Cho phương trình

c) có nghiệm duy nhất. nh (m là tham số thực)

Mệnh đề nào dưới đây là đđúng ?

A. 1<m<2 B. 2≤m<4 C. m>2 D.m>3 Hiển thị lời giải Trước hết ta cần có m-1>0 hay m>1 Khi đó

Phương nhất

trình

đã

cho

có

nghiệm ệ

duy

.

Chọn B. Câu 3:Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình m(2x+ 3x) =3x+12x+2 có nghiệm thực?

A.8 B.5 C.7 D. 6

Hiển thị lời giải Phương trình đã cho tương đươg với:

(m+4)2x=(3-m)3x

(1)

Để phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi (m+4) (3-m)>0 hay -4 <m<3 Mà Chọn C. Câu 4:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x-2x+1+m=0 có hai nghiệm thực phân biệt.

A. B. C. D. Hiển thị lời giải Phương trình đã cho Đặt t= 2x > 0 ta được t2- 2t+m=0 Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực dương phân biệt

Chọn D. Câu 5:Cho phương trình 4x-3.2x+1+2m=0 ( m là tham số thực) c) có hai nghiệm nghi thực phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1+ x2= 4. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A.4<m≤6 B. m > 6 C.2<m≤4 D. 0<m≤2 Hiển thị lời giải Phương trình Đặt t= 2x >0, ta được t2-2mt+2m=0 P hương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm thực dương phân biệt

(*)

Ta có Chọn B. Câu 6:Cho phương trình 4x-(m+3) 2x+m+2=0 ( m là tham số thực ực dương) có hai thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? nghiệm thực phân biệtt x1 ; x2 th A. 1<m≤3 B.3≤m<5

C. 0< m≤1 D. m>5 Hiển thị lời giải Phương trình

Ta thấy 1-(m+3)+m+2=0 nên

ải có nghi nghiệm thực khác Từ đó 2x=m+2 cần phải (*)

Khi đó

thỏa mãn (*) Kết hợp với m>0 đề bài cho thì ta được m=6 thỏa mãn.

Chọn D. Câu 7:Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [0 ; 10] để phương trình 4x-m.2x+1+4( m-1)=0 có hai nghiệm thực dương phân biệt.

A. 9 B. 8 C.10 D. 11

Hiển thị lời giải Phương trình Đặt t= 2x >0 ta được t22mt+ 4(m-1) =0 (1)

Để ý

nên (1)

Do đó Khi

đó

2x=

2m-2

cần

phải

có

nghiệm m

thực thự

khác

Mà m nguyên và Chọn B. Chủ đề: Bất phương trình mũ

mũ trong đề thi Đại học có giảii chi tiết tiế Dạng bài tập Bất phương trình m 1. Phương pháp giải • Bất phương trình dạng af(x) > ag(x) (a > 0; a ≠ 1) + Nếu a > 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x). + Nếu 0 < a < 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

• Bất phương trình dạng af(x) > b (a > 0; a ≠ 1) + Nếu b ≤ 0 thì ax > b ⇔ x ∈ R

dương

+ Nếu a > 1 thì ax > b ⇔ x > logab + Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax > b ⇔ x < logab • Bất phương trình dạng ax > b (a > 0; a ≠ 1) + Nếu b ≤ 0 thì ax < b ⇔ x ∈ ø + Nếu a > 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x < logab + Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x > loga b * Tương tự với bất phương trình dạng:

* Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ (a − 1)(M − N) > 0. * Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y= f( x) có tập xác định D: Nếu hàm số đồng biến trên D thì f(u) < f(v) ⇔ u < v.

Nếu hàm số nghịch biến trên D thì f(u) < f (v) ⇔ u > v.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3 A. 1 < x < 9 B. x > 1 C. x < 9 D. x > 9 hoặc x < 1 Hiển thị đáp án

Đáp án: D Bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3 ⇔ x2 − 9x + 6 > x − 3 (vì cơ số 3 > 1). ⇔ x2 − 10x + 9 > 0

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương

trình A. 6 B. 8 C. 7

D. 9

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có:

⇔ x2 − 6x + 4 < 4x − 5 (vì cơ số

)

⇔ x2 − 10x+ 9 < 0 hay 1 < x < 9

th mãn.

Mà x nguyên nên x ∈ { 2, 3, 4.., 7, 8}. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thỏa d ?

Ví dụ 3. Bất phương trình 4x2 − 6x − 16 > 16x + 2 có số nghiệm nguyên dương A.11 B. 0 C.1 D. Vô số.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D Điều kiện: x ∈ R (*) Ta có: 4x2 − 6x − 16 > 16x + 2 ⇔ 4x2 − 6x − 16 > 42(x + 2)

ương trình trên tương đương với bất phương trình : x2 − Do cơ số 2 > 1 nên bất phươ 6x − 16 > 2(x + 2) ⇔ x2 − 8x − 20 > 0 x < −2 hoặc x > 10 Do đó, bất phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình 32x+1 > 10

Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện: x ∈ R (*) Ta có: 32x+1 > 10 ⇔ 2x + 1 > log310 ⇔ 2x > log310 − 1

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x ∈ R (*) Bất phương trình: 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2

Ví dụ 6. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình

là

A. x ∈ (−∞; 5). B. x ∈ (−∞; 5) C. x ∈ (−5; +∞) D. x ∈ (5; +∞) Hiển thị đáp án Đáp án: A

Ví dụ 7. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình

là

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x ≠ −1

Ta có:

Kết hợp với điều kiện

Ví dụ 8. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0 là A. x ≤ log43. B. x > log43. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3 Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x ≠ −1 Ta có: 16x − 4x − 6 ≤ 0 ⇔ 42x − 4x − 6 ≤ 0 Đặt t= 4x ( t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: t2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3 Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 9. Tập nghiệm của

là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Ta có:

Đặt t= 3x > 0, khi đó ( *) trở thành:

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 10. Tập nghiệm của

là: Hiển

thị đáp án Đáp án: A

Ví dụ 11. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình

là: Hiển

thị đáp án Đáp án: A Ta có:

Đặt t=3x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 12. Tập nghiệm của

là:

Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:

Đặt t=2x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 13. Tập nghiệm của

là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có:

Ví dụ 14. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình

là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Đặt

. Khi đó, phương trình ( *) trở thành:

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 15. Tập nghiệm của

là:

Hiển thị đáp áp án Đáp án: C

Đặt

. Khi đó, phương trình ( *) trở thành:

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 16. Tập nghiệm của

Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có:

là:

Ví dụ 17. Tập nghiệm của ủa bấ bất phương trình

là:

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện: x ≥ 0

Đặt t = 2√x. Do x ≥ 0 => t ≥ 1

Ví dụ 18. Cho bất phương trình: phương trình.

p nghiệm nghi của bất . Tìm tập

A. S = (−1; 0] ∪ (1; +∞) B. S = (−1; 0] ∩ (1; +∞) C. S = (−∞; 0] D. S = (−∞; 0) Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x ≠ ±1

Đặt t = 5x. BPT(1)

Đặt

, ta được nghiệm củaa BPT (*) là:

Lập bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (−1; 0] ∪ (1; +∞) Ví trình

dụ

19. Vớii

giá

tr trị

nào

của

có nghiệm?

A. m ≤ 2. B. m ≥ 4. C. m ≤ 4. D. m ≥ 1

tham

số

m

thì

bất

phương

Hiển thị đáp án Đáp án: C Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x > 0 , ta được

Xét hàm số

là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0 ≤ sin2x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4 Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4.

c các giá trị Ví dụ 20. Cho bất phương trình: 9x + ( m − 1).3x + m > 0 (1). Tìm tất cả của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀x > 1 .

Hiển thị đáp án Đáp án: A Đặt t = 3x ( t > 0) .Vì x > 1 nên t > 3.

Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m − 1)t + m > 0 nghiệm đúng ∀t ≥ 3

nghiệm đúng ∀t > 3 .

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và

.

Yêu cầu bài toán tương đương

Ví dụ 21. Cho hàm số nhất củaa x sao cho f’(x) < g’(x) là.

và g(x)=5x + 4x. ln5. Giá trị nguyên lớn

A. −2 B. −1 C. 1 D. 2 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có:

Khi đó: f’(x) < g’(x) ⇔ 52x+1.ln 5 < (5x + 4).ln 5 ⇔ 52x+1 < 5x +4 ⇔ 5.52x − 5x − 4 < 0

nhất thỏa mãn đầu bài là x = −1.

Do đó, giá trị nguyên lớn nhấ

nhỏ nhất của bất phương trình Ví dụ 22. Gọi x0 là nghiệm nh x0 ?

. Tìm

Hiển thị đáp án Đáp án: C

đương: Bất phương trình tương đươ

Do đó,nghiệm nhỏ nhất của ủa bbất phương trình đã cho là x0 = 2.

Ví dụ 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là.

A. 2 B. 4 C. 3

D. vô sốố.

Hiển thị đáp án Đáp án: B

√2) = 9 − 8 = 1 nên: Ta thấy: (3 − 2√2).(3 + 2√2)

Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên .

. Gọi x1, x2 lần Ví dụ 24. Cho bất phương trình nhất và nhỏ nhất của bất phương trình. Khi đó x1 + lượt là nghiệm nguyên lớn nh x2 bằng bao nhiêu?

A. < 2 B. 1 C. 0

D. < 1

Hiển thị đáp án Đáp án: D Ta có:

nên:

Do đó, nghiệm nguyên lớn nh nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là 3 và −4. Suy ra, x1 + x2 = −1

ớn nhất của m để bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 Ví dụ 25. Tìm số nguyên lớ − 2m > 0 nghiệm đúng với ới m mọi x ∈ R A. m = −1 B.m = −2 C. m = 0 D. m = −3 Hiển thị đáp án Đáp án: A Đặt t= 3x ; (t > 0).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm số nguyên lớn nhất củaa m để bất phương trình:

t2 − 2(m + 1)t − 3 − 2m > 0 đđúng với mọi m (*) Cách 1:

ất củ của m thỏa mãn là m = −1.

Suy ra, số nguyên lớn nhất Cách 2:

Ví dụ 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4x − 2x − m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x

Hiển thị đáp án Đáp án: C Đặt t =2x ( t > 0). Khi đó bất phương trình có dạng: t2 < t < m ≥ 0

Ta có

BBT:

Khi đó:

Vậy

Dạng 1: Phương pháp giải bất ất phương trình mũ

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Bất phương trình mũ cơ bản có ddạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.

ệm củ của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R..

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab.

ất phương trình là x > loga b.

Với a > 1, nghiệm của bất ủa bất phương trình là x < loga b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của Ta minh họa bằng đồ thịị sau: • Với a > 1, ta có đồ thịị sau.

thị sau.

• Với 0 < a < 1, ta có đồ th

Lưu ý: 1. Dạng 1:

2. Dạng 2:

3. Dạng 3: af(x) > b(*)

4. Dạng 4: af(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ. + Sử dụng tính đơn điệu:

Ví dụ minh họa Bài 1: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải bất phương trình sau 9x-1-36.3x-3+3 ≤ 0 Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trình (1) ta được (1) ⇔ (3x-1)2-4.3x-1+3 ≤ 0 (2)

ương trình (2) trở thành t2-4t+3 ≤ 0 (3) Đặt t = 3x-1 (t > 0), bất phươ (3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3 Suy ra: 1 ≤ 3x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

ương trình là S = [1;2] Vậy tập nghiệm của bất phươ

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

trường hợp sau Vì x2+1/2 > 0 nên ta có các tr

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án Ta có (√10+3)(√10-3)=1 ⇒ √10-3 = (√10+3)-1 Bất phương trình cho

Bài 2: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án Ta có: 7+4√3 = (2+√3)2 và (2-√3)(2+√3) = 1 nên đặt t = (2+√3)x, t > 0 ta có bất phương trình: t2-3/t+2 ≤ 0 ⇔ t3+2t-3 ≤ 0 ⇔ (t-1)(t2+t+3) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1 ⇔ (2+√3)x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0 Bài 3: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

Hiển thị đáp án Ta có 2x + 4.5x - 4 < 10x ⇔ 2x - 10x + 4.5x-4 < 0 ⇔ 2x (1-5x) - 4(1-5x) < 0 ⇔ (15x)(2x-4) < 0

Bài 5: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án

Bài 6: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án

Bài 7: Giải bất phương trình sau: Hiển thị đáp án

Vậy bất phương trình cho có nghiệm là -1/4 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2 Bài 8: Với giá trị nào củủa tham số m thì phương trình (m+1)16x-2(2m-3) 4x+6m+5=0 có hai nghiệm trái ddấu.

Hiển thị đáp án Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Trắc nghiệm bất phương trình mũ

ất phương trình (1/2)x > 32 là: Bài 1: Tập nghiệm của bất A. x ∈ (-∞; -5)

B. x ∈ (-∞; 5)

C. x ∈ (-5; +∞)

D. x ∈ (5; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 2: Tập nghiệm của bất ất phương trình A. -6 ≤ x ≤ 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

B. x < -6

C. x > 3

là: D. ∅

m của củ bất phương Bài 3: Cho bất phương trình , tập nghiệm ng S = (a;b). Giá tr trị của biểu thức A=b-a nhận giá trị nào sau đây? trình có dạng A. 2

B. -1

C. 1

D. -2

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

ương trình là S = (1;2).

Vậy tập nghiệm của bất phươ

ất phương trình Bài 4: Tập nghiệm của bất

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

là:

Vì 2/√5 < 1 nên bất phương trình tương đương với

ương trình là (0;1/3] Vậy tập nghiệm của bất phươ ất phương trình 3x.2x+1 ≥ 72 là: Bài 5: Tập nghiệm của bất A. x ∈ [2; +∞).

B. x ∈ (-∞; 2].

C. x ∈ (-∞; 2).

D. x ∈ (2; +∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có 3x.2x+1 ≥ 72 ⇔ 2.6x ≥ 72 ⇔ x ≥ 2

ất phương trình 2x+2x+1 ≤ 3x+3x-1: Bài 6: Tập nghiệm của bất A. x ∈ [2; +∞)

B. x ∈ (2; +∞)

C. x ∈ (-∞; 2)

∞) D. (2; +∞

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 7: Tập nghiệm của bất ất phương trình

là:

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Điều kiện: x ≠ -1

Bài 8: Tập nghiệm của bất ph phương trình 16x-4x-6 ≤ 0 là: A. x ≥ 3

B. x > log43.

C. x ≥ 1

D. x ≤ log43.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Đặt t = 4x (t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với t2-t-6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ t ≤ 3 ⇔ 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43.

ất phương trình 4x-3.2x+2 > 0 là: Bài 9: Tập nghiệm của bất A. x ∈ (-∞;0)∪(1;+∞).

C. x ∈ (0;1).

B. x ∈ (-∞;1)∪(2;+∞).

D. x ∈ (1;2).

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 10: Tập nghiệm của bất ất phương trình A. S = (-∞;0].

B. S = (-1;0]∩(1;+∞).

C. S = (-1;0]∪(1;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

D. S = (-∞;0).

là:

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (-1; 0]∪(1; +∞).

ất phương trình 2√x-21-√x < 1 là: Bài 11: Tập nghiệm của bất A. (-8;0).

B. [0;1)

C. (1;9).

D. (0;1].

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : 2√x - 21-√x < 1 (1). Điều kiện: x ≥ 0

Đặt t=2√x. Do x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1

ất phương trình Bài 12: Tập nghiệm của bất

là:

A. x > 1.

B. x ≤ -1.

C. -1 < x ≤ 1.

D. 1 < x < 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Đặt t=3x (t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Bài 13: Cho bất phương trình: 9x+(m-1).3x+m > 0 (1). Tìm tất cảả các giá trị tr của ng trình (1) nghi tham số m để bất phương nghiệm đúng ∀x > 1 A. m ≥ -3/2.

B. m > -3/2.

C. m > 3+2√2.

√2.

D. m ≥ 3+2√2.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Đặt t = 3x Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2+(m-1).t+m > 0 nghiệm đúng ∀t ≥3

Xét hàm số

ương đương -m ≤ Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và g(3) = 3/2. Yêu cầu bài toán tương 3/2 ⇔ m ≥ -3/2 Bài 14: Với giá trị nào của tham sốm thì bất phương trình 2sin2x+3cos2x ≥ m.3sin2x có nghiệm?

A. m ≤ 4.

B. m ≥ 4.

C. m ≤ 1.

D. m ≥ 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x > 0 , ta được

Ta có: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4 Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4. Chọn đáp án A Bài 15: Với giá trị nào của tham ssố m thì phương trình 4x-m.2x+1+2m = 0 có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1+x2=3?

A. m = 3

B. m = 2

C. m = 1

D. m = 4

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Ta có: 4x-m.2x+1+2m = 0 ⇔ (2x)2-2m.2x+2m = 0(*) Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2x có: ∆'=(-m)2-2m = m2-2m.

Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m2-2m ≥ 0 ⇔ m(m-2) ≥ 0 Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1.2x2 = 2m ⇔ 2x1+x2 = 2m Do đó x1 + x2 = 3 ⇔ 23 = 2m ⇔ m = 4.

ỏa mãn.

Thử lại ta được m = 4 thỏa