CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGORIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ LỚP 12

vectorstock.com/21609945

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGORIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN GIẢI CHI TIẾT PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 5 dạng bài tập Phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit Trắc nghiệm sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit Dạng 5: Phương trình logarit chứa tham số Trắc nghiệm giải phương trình logarit chứa tham số Giải phương trình logarit bằng cách đưa về phương trình tích

Chủ đề: Phương trình logarit

tiế 5 dạng bài tập Phương trình logarit trong đề thi Đại học có giảii chi tiết định của phương trình lôgarit. Dạng 1. Tìm điều kiệnn xác đị 1. Phương pháp giải Cho phương trình logaf(x) = g(x).

ương trình là: Điều kiện xác định của phươ + a > 0; a ≠ 1 + f(x) > 0 và f(x) có nghĩa + g(x) có nghĩa. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Điều kiện xác định ccủa phươg trình log2x+2 156 = 24 là:

Hiển thị đáp án Đáp án: B

ương trình: log2x + 2 156 = 24 Điều kiện xác định của phươ

Ví dụ 2. Điều kiện xác định ccủa phươg trình logx(2x2 − 7x − 12) là: A. x ∈ (0; 1) ∪ (1: +∞) B. x ∈ (−∞; 0) . C. x ∈ (0; 1) . D. x ∈ (0; +∞)

Hiển thị đáp án Đáp án: A Phương trình logx(2x2 − 7x − 12) xác định:

⇔x ∈ (0; 1) ∪ (1: +∞)

Ví dụ 3. Điều kiện xác định ccủa phương trình

là:

A. x ∈ (1; +∞). B. x ∈ (−1; 0). C. x ∈ R\[−1; 0]. D. x ∈ (−∞; 1). Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện xác định của ủa phương trình đã cho là: Biểu thức ức log3(x − 1) và

⇔x>1

xác định

Ví

dụ

4. Điều

trình

ki kiện

định

xác

của ủa

phương

là:

A. 0 < x < 7 B. x > 7 C. 3 < x < 7 D. 0 < x < 3 Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện phương trình:

⇔x>7 Ví dụ 5. Điều kiện xác định ccủa phương trình log2[3log2(3x − 1) − 1] là:

Hiển thị đáp án Dạng 2. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số. 1. Phương pháp giải

ng các phép tính lôgarit để biến đổi, để hóa đồng cơ ơ số hoặc để khử Thường áp dụng ng các công thức th biểu thức lôgarit chứa ẩn số ta thường lấy mũ các vế. Ta áp dụng Với a > 0; a ≠ 1

• loga M = loga N ⇔ M = N > 0

• loga f(x) = loga g(x) • loga N = M ⇔ N= aM hoặc loga f(x)= b ⇔ f(x) = ab

ột ssố tính chất Ngoài ra, cần chú ý đến một

• logab có nghĩa

•

(công thức đổi cơ số).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình A. x = 27 B. x = 9 C. x = 3 D. x = log36 Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện x > 0

⇔ log3x + 2log3x − log3x = 6

có nghiệm là:

2log3x = 6 ⇔ log3x = 3 ⇔ x = 27

Ví dụ 2. Phương trình A. x= − 2

có nghiệm là:

B. x = 4 hoặc x = −2 . C. x = 4 D. x = 1

Hiển thị đáp án Đáp án: C

⇔x=4 Ví dụ 3. Số nghiệm của phươ ương trình log4 (x + 12). logx2 = 1 là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện : 0 < x ≠ 1

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x=4. Ví dụ 4. Phương trình log2x − 3(32 − 7x + 3) − 2 = 0 có nghiệm là: A. x = 2; x= 3 B. x= 2 C. x= 3 D. x= 1, x= 5 Hiển thị đáp án Đáp án: D

Điều kiện:

Kết hợp với điều kiện, n, ta có nghi nghiệm phương trình là x= 3 Ví

dụ

5. Số

trình A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Hiển thị đáp án Đáp án: B

nghi nghiệm

nguyên là:

dương

của

phương

Điều kiện: 2x + 1 − 3 > 0 ⇔ x > log23 − 1 Ta có:

Đặt t = 2x(t > 0) Ta có

⇔ t2 − 3t − 4 = 0 => t = 4 Do đó, 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

ương trình log4(log2x) + log2(log4x) = 2 là: Ví dụ 6. Số nghiệm của phươ A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hiển thị đáp án Đáp án: D

đương: Phương trình đã cho tương đươ

=> x = 16 Dạng 3. Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Phương trình log22x − 4log2x + 3 = 0 có tổng các nghiệm là: A. 6 B. 8 C. 2 Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện: x > 0

D. 10

ương trình đã cho trở thành Đặt log2 x= t. Khi đó, phương

ương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 2 và x= 8. Kết hợp với điểu kiện, phươ ương trình là: S = 2 + 8 =10 Tổng các nghiệm của phương

Ví dụ 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình Khi đó x1 + x2 bằng:

.

Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện

Đặt t = log2x, điều kiện

. Khi đó phương trình trở thành:

Ví dụ 3. Phương trình log52(2x − 1) − 8log5√(2x − 1) + 3 = 0 có tổng các nghiệm nghi là: A. 4 B. 10 C. 26 D. 66 Hiển thị đáp án Đáp án: D

Điều kiện

Đặt t= log5 (2x − 1). Khi đó, phương trình (*) trở thành:

Do đó, tổng các nghiệm của ủa phương trình đã cho là: 63 + 3= 66. Ví dụ 4. Biết phương trình 4log9x − 6.2log9x + 2log327 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Khi đó x12 + x22 bằng

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x > 0 Ta có phương trình tương ng đươ đương 22log9x − 6.22log9x + 23 = 0 (1) Đặt t = 2log9x, t > 0. (1) => t2 − 6t + 8 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 4 - Với t = 2 ⇔ 2log9x = 2 ⇔ log9x = 1 ⇔ x = 9 - Với t = 4 ⇔ 2log9x = 22 ⇔ log9x = 2 ⇔ x = 81. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {9; 81} => x12 + x22 = 6642 .

ủa phương trình 4log22x − xlog26 = 2.3log24x2 là: Ví dụ 5. Tập nghiệm của

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện: 0 < x ≠ 1 Ta có: 4log22x − xlog26 = 2.3log24x2 ⇔ 41 + log2x − 6log2x = 2.32+2log2x ⇔ 4.4log2x − 6log2x = 19.9log2x (1) Chia 2 vế cho 4log2x.

Đặt Khi đó, phương trình (*) trở thành:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

Dạng 4. Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về phương trình tích 1. Phương pháp giải

ằ đẳng thức Để giải phương trình lôgarit ta có thể đặt nhân tử chung, dùng hằng ương trình đã cho về dạng A(x). B(x) = 0 đáng nhớ.... để đưa phương

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Nghiệm nhỏ nhất ất ccủa phương trình − log√3(x − 2). log5x = 2log3(x − 2) là:

Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện: x > 2

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x= 3.

ương trình log2x . log3(2 − 1) = 2log2x là: Ví dụ 2. Số nghiệm của phươ A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Hiển thị đáp án Đáp án: A PT

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x= 3.

p nghiệm của c phương Ví dụ 3. Cho hàm số f(x)= 3x3lnx − 36x. lnx − 7x3 + 108x tập trình f’(x)= 0 là.

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x > 0 Ta có: f'(x) = 92lnx + 3x2 − 36lnx − 36 − 21x2 + 108 = 0 ⇔ 9(x2 − 4)lnx − 18(x2 − 4) = 0 ⇔ 9(x2 − 4)(lnx − 2) = 0

nghiệm của phương trình đã cho là S= {e2; 2}. Kết hợp với điều kiệnn ta có nghi ỏa mãn điều kiện T. Dạng 5. Tìm tham số m thỏa 2. Ví dụ minh họa

trị thực của tham số m để phương trình log3x − log3(x Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá tr − 2) = log√3m có nghiệm? A. m > 1. B. m ≥ 1. C. m < 1 D. m ≤ 1. Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x > 2 và m > 0.

Phương trình có nghiệm m x > 2 khi đó:

Kết hợp điều kiệnn m > 0 ta được m > 1 .

trị thực của tham số m để phương Ví dụ 2. Tìm tất cảả các giá tr trình 3√3] ?

ệm thuộc thu đoạn [1; có ít nhất một nghiệm

A. m ∈ [0; 2]. B. m ∈ (0; 2). C. m ∈ (0; 2]. D. m ∈ [0; 2). Hiển thị đáp án Đáp án: A Với x ∈ [1; 3√3] hay 1 ≤ x ≤ 3√3

Đặt t = √(log32x + 1); t ∈ [1; 2] Phương trình đã cho trở thành: t2 − 1 + t − 2m − 1 = 0 hay t2 + t − 2= 2m Khi đó bài toán trở thành:Tìm m để phương trình t2 + t − 2 = 2m có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 2]. Xét hàm số f(t) = t2 + t − 2, ∀t ∈ [1; 2], f'(t) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ [1; 2] Suy ra hàm số đồng biến trên [1; 2]. Ta có bảng biến thiên của hàm số.

Khi đó phương trình có nghiệm khi 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Vậy 0 ≤ m ≤ 2 là các giá trị ccần tìm.

trị của tham số m để phương ng trình log2(5x − Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá tr nghiệm x ≥ 1 ? 1).log4(2.5x − 2 ) = m có nghi A. m ∈ [2; +∞). B. m ∈ [3; +∞). C. m ∈ (−∞; 2]. D. m ∞ (−∞; 3]. Hiển thị đáp án

Đáp án: B Ta có: log2(5x − 1).log4(2.5x − 2 )

Đặt t = log2 (5x − 1). Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Với x ≤ 1 => 5x ≤ 5 => log2(5x − 1) ≤ log2(5 − 1)hay t ≥ 2 . Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t2 + t = 2m có nghiệm Xét hàm số f(t) = t2 + t, ∀t ≥ 2, f'(t) = 2t + 1 > 0, ∀t ≥ 2

với t ≥ 2. Suy ra hàm số đồng biếnn vớ Khi đó phương trình có nghiệm khi 2m ≥ 6 ⇔ m ≥ 3

ần tìm. Vậy m ≥ 3 là các giá trị cần

trị thực của tham số m để phương trình log32x − (m + Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá tr 2)log3x + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1.x2 = 27? A. m = −2 B. m = − Hiển thị đáp án

C. m = 1 D. m = 27

Đáp án: C Đặt t = log3x. Khi đó phương ương trình có dạng: t2 − (m + 2).t + 3m − 1 = 0 (1). Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = (m + 2)2 − 4(3m − 1) = m2 − 8m + 8 > 0

ng trình (1) có 2 nghiệm t1 ; t2 và : Với điều kiện (*), phương t1 + t2 = log3x1 + log3x2 = log3 (x1.x2) = log327 = 3 Theo Vi-ét ta có: t1 + t2 = m + 2. Do đó, m+ 2 = 3 ⇔ m= 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

trị thực của tham số m để phương Ví dụ 5. Tìm tất cảả các giá tr trình

có nghiệm thuộc [32; +∞)?

A. m ∈ (1; √3]. B. m ∈ [1; √3). C. m ∈ [−1; √3). D. m ∈ (−√3; 1] Hiển thị đáp án Đáp án: C

ương trình tương đương: Điều kiện: x > 0.Khi đó phươ

Đặt t = log2x với x ≥ 32 => log2x ≥ log232 = 5 hay t ≥ 5 Phương trình đã cho trở thành : √(t2 − 2t − 3) = m(t − 3) (*).

mt≥5” Khi đó bài toán trở thành : Tìm m để phương trình (*) có nghiệm

Với t ≥ 5 thì (*)

Ta có:

Với

hay

Suy ra 1 < m ≤ √3 Vậy phươ ương trình có nghiệm với 1 < m ≤ √3 Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Định nghĩa

phương trình có chứa ẩn số trong biểu ểu thức th dưới dấu Phương trình lôgarit là ph lôgarit. 2. Phương trình lôgarit cơ bản • loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

• loga f(x) = loga g(x)

ng trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ ơ số 3. Các bước giải phương ện củ của phương trình (nếu có). * Bước 1. Tìm điều kiện nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có * Bước 2. Sử dụng định ngh mặt trong phương trình về cùng cơ số. ương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách * Bước 3.Biến đổi phươ giải. ều ki kiện và kết luận. * Bước 4. Kiểm tra điều Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình: log2 x + log3 x + log4 x = log20 x. Hướng dẫn: Điều kiện của phương trình là x > 0.

ương trình đã cho tương đương với phương trình Với điều kiện trên phương

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}. Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}. B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình Hiển thị đáp án

Phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

ương trình đã cho tương đương với phương trình Với điều kiện trên phương

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}. Bài 3: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

ương trình đã cho tương đương với phương trình Với điều kiện trên phương

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {2}.

Bài 4: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là x > 0.

ương trình đã cho tương đương với phương trình Với điều kiện trên phương

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {8}. Bài 5: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình Hiển thị đáp án

Bài 7: Giải phương trình Hiển thị đáp án Tập xác định 0 < x < 2a.

Bài 8: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

ương trình đã cho tương đương với phương trình Với điều kiện trên phương

+) Với x ∈ (-4;-1):

Khi đó (*) trở thành 4(-x-1) = 16-x2 ⇔ x2-4x-20= 0 +) Với x ∈ (-1;4):

Khi đó (*) trở thành 4(x+1) = 16-x2 ⇔ x2+4x-12 = 0 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {2; 2-2√6}.

Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

m không âm ccủa phương trình log√3 x - log3 (2x2-4x+3)=0 Bài 1: Tổng các nghiệm là: A.1

B. 2

C.3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện x > 0 log√3 x - log3 (2x2-4x+3)=0 ⇔ 2log3 x - log3 (2x2-4x+3)=0 ⇔ log3 x2 = log3 (2x24x+3) ⇔ x2=2x2-4x+3 ⇔ x2-4x+3=0

Bài 2: Cho phương trình loga (x2+3x) = log√a 2x , (a > 0;a ≠ 1), số nghiệm của phương trình trên là ? A. 1.

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0 loga (x2+3x)=log√a 2x ⇔ loga (x2+3x)=2loga 2x ⇔ loga (x2+3x)=loga 4x2 ⇔ x2+3x=4x2

Vậy phương trình có một nghi nghiệm.

m trên R? Bài 3: Phương trình log(a3+2) 3- log(4-a) 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm A.0

B.1

C.2

D.3

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Điều kiện loga3+2 3-log4-a 3=0

⇔ log3 (a3+2)=log3 (4-a) ⇔ a3+2=4-a ⇔ a3+a-2=0 ⇔ a=1 (TM)

ải phương trình log22 x - log2 x2 + 1 = 0 theo các bư b ớc như Bài 4: Một học sinh giải sau: Bước 1: Điều kiện Bước 2: Từ điều kiện trên ph phương trình đã cho trở thành: (log2 x)2 - 2log2 x + 1 = 0 ⇔ (log2 x-1)2 = 0 ⇔ log2 x=1 Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là x = 21 = 2 (nhận) Bài trên sai ở bước nào? A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Không sai bước nào.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

ương trình log4 (x+2)=log2 x là Bài 5: Tập nghiệm của phươ A.S={2;-1}. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

B.S={2}.

C.S={4}

D.S={4;-1}.

• Tự luận: ĐK: x > 0.

• Trắc nghiệm: Đkk x > 0 → Loại ngay đáp án A,D. Thử trực tiếp ếp x=2 vào thấy thỏa mãn Bài 6: Giải phương trình log3 x+log3 (x+2)=1. A.x=3.

B.x=3∧x=-1.

C.x=(-1)/2.

D.x=6∧x=3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : • Tự luận: ĐK: x > 0.

PT ⇔ log3 [x(x+2)] = log3 3 ⇔ x(x+2) = 3 ⇔ x2+2x-3 = 0

ếp x=3 vào thấy • Trắc nghiệm: Đkk x > 0 → Loại ngay đáp án B,C. Thử trực tiếp thỏa mãn, x=6 thấy không thỏa mãn ương trình là Bài 7: Tập nghiệm của phươ

A.S={-5;-5+5√2}.

B. S={-5;-5-5√2}.

C.S={-5;-5-5√2;-5+5√2}. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

D.S={-5-5√2;-5+5√2}.

• Tự luận: Đk x > -10. PT ⇔ log(x+10) + log|x| = log100 - log4 ⇔ (x+10)|x| = 25.

TH1: x ≥ 0 ⇒ x2+10x-25=0 TH2: -10 < x < 0 ⇒ x2+10x+25 = 0 ⇔ x = -5 (tm).

ương trình log(2+√3) (x+1) = log(2-√3) (x+2) là Bài 8: Tập nghiệm của phươ

áp án Hiển thị đáp Đáp án : C Giải thích : • Tự luận: Đk x > -1.

ương trình Bài 9:Tập nghiệm của phươ

A.S={2}.

B.S={1-√33}.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : • Tự luận: Đk

Th1.

Th2.

C.S={2;1+√33}.

D.S={2;1-√33}.

ương trình: log4 x2=log√2 2có được là: Bài 10: Số nghiệm của phươ A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : ĐK: x2 > 0 ⇔ x ≠ 0. log4 x2 = log√2 2 ⇔ log2 |x| = log2 4 ⇔ |x| = 4 ⇔ x = ±4.

ương trình log4 (log2 x)+log2 (log4 x)=2 là: Bài 11: Số nghiệm của phươ A. 0.

B. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

C. 3.

D. 1.

ương trình log2 (x3+1)-log2 (x2-x+1)-2log2 x=0 là: Bài 12: Số nghiệm của phươ A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Bài 13: Số nghiệm của phươ ương trình log5 (5x)-log25 (5x)-3=0 là : A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Bài 14: Phương trình log3 (5x-3)+log(1/3) (x2+1)=0 có 2 nghiệm m x1, x2 trong đó x1 < x2.Giá trị của P=2x1+3x2 là A. 5.

B. 14.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

C. 3.

D. 13.

Vậy 2x1+3x2=2.1+3.4=14. Bài 15: Hai phương trình 2log5 (3x-1)+1=log∛5 (2x+1) và log2 (x2-2x-8)=1nghiệm duy nhất là x1,x2. Tổng x1+x2 là? log(1/2) (x+2) lần lượtt có 2 nghi A. 8.

B. 6.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

C. 4.

D. 10.

Vậy x1+x2=2+6=8. Bài 16: Gọi x1, x2 là nghiệệm của phương trình logx 2-log16 x = 0. Khi đó tích x1.x2bằng: A. -1.

B. 1.

C. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 < x ≠ 1

D. -2.

[Phương pháp trắc nghiệm] Đáp án B, D có tích âm thì có thể x1 < 0 hoặc x2 < 0 thì không thỏa mãn điều kiện của x nên loại.

ương trình ln(x2-6x+7)=ln(x-3)là: Bài 17: Số nghiệm của phươ A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Bài 18: Gọi x1,x2là 2 nghiệm ccủa phương trình log3 (x2-x-5) = log3 (2x+5). Khi đó |x1-x2 | bằng: A. 5.

B. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

C. -2.

D. 7.

Giải thích :

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Phương trình lôgarit cơ bản • loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

• loga f(x) = loga g(x)

ng pháp mũ hoá 2. Cơ sở của phương loga f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ f(x) = ag(x) Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình log2 (x+3)=1. Hướng dẫn: log2 (x+3) = 1 ⇔ x+3 = 2 ⇔ x = -1 Bài 2: Giải phương trình log(25x - 22x+1) = x. Hướng dẫn: log(25x-22x+1 )=x ⇔ 25x-22x+1=10x ⇔ 25x-2.4x=10x

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là Bài 3: Giải phương trình log2 (9-2x )=3-x. Hướng dẫn: log2 (9-2x ) = 3-x ⇔ log2 (9-2x ) = log2 23-x ⇔ 9-2x=23-x ⇔ 9-2x=8/2x ⇔ 22x9.2x+8=0

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;3}. B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình log2 (5x+1-25x) = 2. Hiển thị đáp án log25(x+1) - 25x=2 ⇔ 5x+1-25x = 4 ⇔ 52x-5.5x+4=0

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {0; log5 4}. Bài 2: Giải phương trình log5-x (x2-2x+64) = 2. Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

ương trình đã cho tương đương với phương ng trình log5-x (x2Với điều kiện trên phương 2x+64)=log5-x (5-x)2 ⇔ x2-2x+64=(5-x)2 ⇔ x=-8. Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {-8}. Bài 3: Giải phương trình logx2 (3-2x) = 1. Hiển thị đáp án

Điều kiện của phương trình là

ương trình đã cho tương đương với phương trình logx2(3Với điều kiện trên phương 2x)=logx2 x2 ⇔ 3-2x=x2 ⇔ x2+2x-3=0

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {-3}.

Bài 4: Giải phương trình log2 [x(x+3)] = 1. Hiển thị đáp án

Điều kiện: log2 [x(x+3)] = 1 ⇔ x(x+3) = 2 ⇔ x2 + 3x - 2 = 0 Vậy x1 + x2 = -3. Bài 5: Giải phương trình log2 (3.2x-1)=2x+1 có bao nhiêu nghiệm? Hiển thị đáp án log2 (3.2x-1)=2x+1 ⇔ 3.2x-1 = 22x+1 ⇔ 2.4x - 3.2x + 1 = 0

Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa Bài 1: Nghiệm phương trình log4 (x-1)=3 là: A. x=63

B. x=65

C. x=80

D. x=82

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : log4 (x-1) = 3 ⇔ x-1 = 81 ⇔ x = 82 Bài 2: Phương trình log2 (4-2x)=2-x tương đương với phương trình nào sau đây? A. 4-2x=2-x

B. 4-2x=2^(2-x)

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : log2 (4-2x) = 2-x ⇔ 4-2x = 22-x

C.(2x )2-4.2x+4=0

đề sai. D. Cả 3 đều

Bài 3: Nghiệm của phương trình log0,4 (x-3)+2=0 là? A. Vô nghiệm

B. Có nghiệm ∀x > 3

C. x=2

D.x=37/4

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : log0,4 (x-3) + 2 =0 ⇔ log0,4 (x-3) = -2 ⇔ x-3 = (0,4)-2 ⇔ x = 37/4 Bài 4: Nghiệm của phương trình sau là ?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 5: Tập nghiệm của phươ ương trình log√3 |x-1| = 2 là: A.{3}

B.{-3;4}

C. {-2;-3}

D. {4;-2}

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Bài 6: Cho phương trình nghiệm của phương trình trên là:

, tổng bình phương các

A. 0

B. 244

C. 59

D. 118

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

⇒ x12 + x22 = 118 Bài 7: Phương trình logx (x2+4x-4)=3 có số nghiệm là: A.0.

B. 1.

C.2.

D.3.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : • Tự luận: ĐK: x > 0; x ≠ 1 PT ⇔ x2 + 4x - 4 = x3 ⇔ x = 1; x = 2; x = -2

mx=2 Kết hợp đk ta có nghiệm

Bài 8: Giải phương trình log4 {2log3 [1+log2 (1+3log2 x)]}=1/2 ta được nghiệm x=a. Khi đó giá trị a thuộc khoảng nào sau đây? A.(0;3).

B.(2;5).

C.(5;6).

D.(6;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : • Tự luận: PT ⇔ 2log3 [1 + log2 (1 + 3log2 x)] = 2 ⇔ 1 + log2 (1 + 3log2 x)=3 ⇔ log2 (1+3log2 x)=2 ⇔ 1+3log2 x=4 ⇔ log2 x=1 ⇔ x=2 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 Bài 9: Phương trình log3 (x2+4x+12)=2. Chọn phương án đúng? A. Có hai nghiệm cùng dương C. Có hai nghiệm cùng âm Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

B. Có hai nghiệm trái dấu D. Vô nghiệm

• Tự luận: PT ⇔ x2 + 4x + 12 = 9 ⇔ x = -1; x = -3 Vậy pt có hai nghiệm cùng âm.

ương trình log2 (2x-1)=-2 là: Bài 10: Tập nghiệm của phươ A.{2-log2 5}.

B.{2+log2 5}

C. {log2 5}.

D. {-2+log2 5}.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : • Tự luận:

Bài 11: Số nghiệm của phươ ương trình log3 (x+1)2=2 là: A.0.

B.1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Vậy phương trình có hai nghiệm. Bài 12: Nghiệm phương trình log4 (3x+4).log_x 2=1 là

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d 1. Phương trình lôgarit cơ bản • logax = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

• logaf(x)=logag(x) 2. Các bước giải phương ng trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Giải phương trình: f[logag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1). • Bước 1: Đặt t = logag(x) (*).

ện củ củat (nếu có). • Bước 2: Tìm điều kiện ương trình f(t) = 0 đã biết cách giải. • Bước 3: Đưa về giải phươ •Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

biến đổi 3. Một số lưu ý quan trọng khi bi 1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)| 3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x) 4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)| Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình log23 x - 4log3x + 3 = 0. Hướng dẫn: Điều kiện của phương trình là x > 0.

ương trình đã cho trở thành Đặt log3x = t. Khi đó phương

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3;27}. Bài 2: Giải phương trình Hướng dẫn:

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {10; 100}.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn: Điều kiện của phương trình là x > 0.

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3√3; 3-√3 }. B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình

Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là x > 0.

ương trình đã cho trở thành Đặt log2 x = t . Khi đó phươ

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {1/2; √2}. Bài 2: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

Khi đó phương trình đã cho trở thành

⇔ 3(t+1) + (1+3t)(1+2t) + (1+2t)(1+t) = 0 ⇔ 8t2 + 11t + 5 = 0 ⇒ VN Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện của phương trình là

Khi đó phương trình: log3-2x(2x2-9x+9)+log3-x (4x2-12x+9)=4 ⇔ log3-2x(x-3)(2x-3)+log3-x (2x-3)2=4 ⇔ log3-2x|x-3|+log3-2x|2x-3|+2log3-x |2x-3|=4 ⇔ log3-2x(3-x)+log3-2x(3-2x)+2log3-x (3-2x)=4 ⇔ log3-2x(3-x)+1+2log3-x (3-2x)=4 ⇔ log3-2x(3-x)+2log3-x (3-2x)-3=0

phương trình đã cho trở thành: Đặt log3-2x(3-x) = t. Khi đó ph

nghiệm phương trình là Kết hợp điều kiện ta được nghi Bài 4: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện: 2x+1 - 3 > 0 ⇔ x > log2 3 - 1.

Đặt t=2x, t > 0. Ta có (1) ⇒ t2+4 = 2t2-3t ⇔ t2-3t-4 = 0 ⇒ t = 4. ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=2.

Bài 5: Giải phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0. Ta có phương trình tương ng đươ đương 22log9x - 6.2log9x + 23 = 0. (1) Đặt t = 2log9x,t > 0. (1) ⇒ t2-6t+8=0 Với t = 2 ⇔ 2log9 x = 2 ⇔ log9 x = 1 ⇔ x = 9. Với t = 4 ⇔ 2log9 x = 22 ⇔ log9 x = 2 ⇔ x = 81. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={9;81}. Bài 6: Giải phương trình

Hiểển thị đáp án

Đặt t=log2 x, điều kiện Khi đó phương trình trở thành:

Bài 7: Giải phương trình Hiển thị đáp án Đk: x > 0

Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 8: Giải phương trình Hiển thị đáp án Đk: x > 0

Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Bài 1: Phương trình log3(3x-1).log3(3x+1-3) = 6 có: A. Hai nghiệm dương.

B. Một nghiệm dương.

C. Phương trình vô nghiệm

D. Một nghiệm kép

.Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Tập xác định 3x-1 > 0 ⇔ x > 0. log3(3x-1).log3(3x+1-3) = 6 ⇔ log3(3x-1).log3(3(3x-1))=6 ⇔ log3(3x-1).(1+log3(3x1))-6=0. Đặt log3(3x-1) = t Khi đó phương trình trở thành

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm dương. Bài 2: Phương trình log3(√x+2) = log7 x có nghiệm là: A.x=4

B.x=49

Hiển thị đáp án

C.x=25

D. Đáp án khác.

Đáp án : B Giải thích : Tập xác định x > 0.

Phương trình (*) có mộtt nghi nghiệm t=2 .

Suy ra vế trái của (*) là hàm đồng biến mà vế phải là hàm hằng nên(*) có nghiệm duy nhất t=1⇒x=49.

ương trình sau: log2x-1 (2x2+x-1)+logx+1 (2x-1)2 = 4 Bài 3: Tìm nghiệm của phươ A. x=2

B.x=5/2

C. x=5/4

D. Cả A và C đều đúng.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Đặt log2x-1(x+1)=t (t ≠ 0).

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

ủa phương trình log22x+3log2x+2 = 0. Bài 4: Tìm số nghiệm của A. 2 nghiệm.

B. 1 nghiệệm.

C. Vô nghiệm.

D. 3 nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : • Tự luận: Đk: x > 0 Đặt t=log2x

Bài 5: Tìm số nghiệm của ủa phương trình log22(x2-1)+log2(x-1)+log2(x+1)-2=0. A. 4 nghiệm. Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

B. 1 nghiệệm.

C. 2 nghiệm.

D. 3 nghiệm.

• Tự luận:

Bài 6: Tìm số nghiệm của ủa phương trình log2(x+1)=logx+1 16. A. Vô nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 1 nghiệm.

D. 2 nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : • Tự luận:

Bài 7: Tìm số nghiệm của ủa phương trình logx 2 - log4 x + 7/6 = 0.

A. 2 nghiệm.

B. 1 nghiệệm.

C. 4 nghiệm.

D. 3 nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Bài 8: Tìm số nghiệm của ủa phương trình log22x+(x-12)log2x+11-x=0. A. Vô nghiệm. Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

B. 3 nghiệm.

C.1 nghiệm.

D. 2 nghiệm.

• Tự luận: Đk: x > 0 Đặt t=log2x

Mà g(3)=0 ⇒ x=3 là nghiệm duy nh nhất của pt (2). Vậy phương trình có hai nghiệm. Bài 9: Nếu đặt t=log2x thì phương trình sau trở thành phương trình nào?

A. t2-5t+6=0.

B. t2+5t+6=0.

C. t2-6t+5=0.

D. t2+6t+5=0.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Đặt t=log2x

⇔ 1+t+2(5-t) = (5-t)(1+t) ⇔ 11-t = 5+4t-t2⇔ t2-5t+6=0. Bài 10: Nếu đặt t=lgx thì phương trình sau trở thành phương trình nào?

A. t2+2t+3=0.

B. t2-3t+2=0.

C. t2-2t+3=0.

D. t2+3t+2=0.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Đặt t=lgx

Bài 11: Nếu đặt t=log2xthì phương trình log2(4x)-logx 2=3 trở thành phương ph trình nào?

áp án Hiển thị đáp Đáp án : A Giải thích :

Bài 12: Nếu đặt t=logxthì phương trình log2x3-20log√x+1=0trở thành phương trình nào? A. 9t2-20√t+1=0. C. 9t2-10t+1=0. Hiển thị đáp án Đáp án : C

B. 3t2-20t+1=0. D. 3t2-10t+1=0.

Giải thích : log2x3 - 20log√x+1 = 0 ⇔ 9log2x - 10logx+1 = 0 Bài 13: Phương trình xln7 + 7lnx = 98 có nghiệm là: A. x=e.

B. x=2.

C. x=e2.

D. x=√e.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ 1 Đặt x = et xln7 + 7lnx = 98 ⇔ et.ln7 + 7lnet = 98 ⇔ 2.7t = 98 ⇔ t = 2 [Phương pháp trắc nghiệm]

ức sai, vậy v loại A, Lần lượt thay x=2; x=e; x=√e vào phương trình ta được đẳng thức B, D, vậy chọn đáp án C. Bài 14: Biết phương trình sau có hai nghiệm x1,x2. Khẳng định nh nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Đặt t=log2x. Phương trình đã cho trở thành 3t2-7t-6 = 0.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x) (*)

một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn • Bước 1: Nhẩm được m nghiệm lân cận 0). n chứng chứ minh một • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm ất có hoành độ x0. không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất m duy nhấ nhất của phương trình (*). Đó chính là nghiệm dạng f(x) = 0 Hoặc đưa phương trình về dạ nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn ch nghiệm • Bước 1: Nhẩm đượcc hai nghi lân cận 0). ng minh f'(x) = 0 có nghiệm nghi duy • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghi nhiều nhất hai nghiệm. Hoặc:

• Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) . • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2 Hướng dẫn:

Phương trình có mộtt nghiệm x = 1 f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định phương trình đã cho có một nghiệm m duy nhất nhấ x = 1 ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phươ Bài 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4 Hướng dẫn:

Phương trình (2)có mộtt nghiệ nghiệm x = 4

ến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch ch biến trên tập xác f(x) = log2(x-3), đồng biến định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4. Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3) Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0 Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2} B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình log23 x + (x-12)log3 x + 11 - x = 0 Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0 Đặt log3 x = t . Khi đó phươ ương trình đã cho trở thành

Với t=1 ⇒ x=3. Với t=11-x ⇒ log3 x = 11-x. Ph Phương trình này có một nghiệm là x = 9; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {3;9}

Bài 2: Giải phương trình log3 (2x+1) = x Hiển thị đáp án Đặt log3 (2x+1) = x ⇔ 3x = 2x+1 ⇔ 3x - 2x + 1 = 0(*). Phương trình (*) có hai nghiệm là x=0; x=1 Xét hàm số f(x) = 3x - 2x + 1. Ta có f'(x) = 3x ln3 - 2; f''(x) = 3x ln2 3 > 0 ⇒ f'(x) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm (1). Mặt khác ta có f'(0).f'(1) > 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm và f'(x) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {0;1}

Bài 3: Giải phương trình log2 (2x+1) + log3 (4x+2) = 2. Hiển thị đáp án +) x = 0 là một nghiệm của phương trình. +) Với x > 0,ta có: 2x+1 > 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) > log2 2 = 1 4x+2 > 40+2=3 ⇒ log3 (4x+1) > log3 3=1

⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) > 2 = VP +) Với x ≤ 0,ta có: 2x+1 < 20+1=2 ⇒ log2 (2x+1) < log2 2 = 1 4x+2 < 40+2 = 3 ⇒ log3 (4x+1) < log3 3 = 1 ⇒ VT = log2 (2x+1)+log3 (4x+1) < 2 = VP Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0. Bài 4: Giải phương trình: log3 (x2+x+1) - log3 x = 2x-x2 Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0. Phương trình:

Xét hàm số: f(x) = 2x-x2; f'(x) = 2-2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 . BBT

Căn cứ BBT f(x) ≤ 1. Hay VP ≤ 1.

ương đương với Vậy phương trình đã cho tươ

Vậy nghiệm của phương trình là: x=1. Bài 5: Giải phương trình logx (x+1) = log1,5 Hiển thị đáp án

+) Với x ∈ (0;1): x+1 > 1 ⇒ VT = logx (x+1) < logx 1 = 0

phương trình vô nghiệm Với x ∈ (0;1). VP = log1,5 > 0. Suy ra phươ ): x+1 > x ⇒ VT = logx (x+1) > logx x = 1 +) Với x ∈ (1;+∞): VP = log1,5 < 1. Suy ra phươ phương trình vô nghiệm Với x ∈ (1;+∞). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 6: Giải phương trình

Hiển thị đáp án

Ta có:

Vậy phương trình tương đươ đương với

Bài 7: Giải phương trình ln(sin2 x) - 1 + sin3 x = 0. Hiển thị đáp án Điều kiện: sinx ≠ 0. ln(sin2 x) - 1 + sin3 x=0 ⇔ ln(sin2 x)-1 = 1-sin3 x Ta có: VT = ln(sin2 x)-1 ≤ ln1-1=0. VP = 1-sin3 x ≥ 0 Vậy phương trình tương đươ đương với

Bài 8: Giải phương trình log2 (x-2) = log3 (x-1). Hiển thị đáp án

Điều kiện của phương trình là

Đặt log2 (x-2) = log3 (x-1) = t

ệm ccủa(*). Dễ thấy t = 1 là một nghiệm

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {4}. Trắc nghiệm sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit Bài 1: Phương trình (lnx)3-7lnx+6=0 có bao nhiêu nghiệm trên R? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Vậy phương trình có ba nghiệm.

ương trình log2x+log3x + log4x = log20 x là Bài 2: Tập nghiệm của phươ A.S={1}.

B.S=∅.

C.S={1;2}

D.S={2}

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : ĐK x > 0.

Bài 3: Tập nghiệm của phươ ương trình sau là:

A.S={1}.

B.S=∅.

C.S={1;2}

D.S={2}

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : • Tự luận:ĐK -1 < x < 1.

Vâỵ phương trình vô nghiệm. Bài 4: Nghiệm của phương trình x+2.3log2x=3 là A. x=1

B.x=-3; x=1

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

C. x=3; x=1.

D.x=3.

Phương trình có mộtt nghiệm x=1. f(x)=x+2.3log2x ⇒ f'(x) > 0. Suy ra vế trái là hàm đòng biến, mà vế phải là hàm hằng, nên phương trình có một nghiệm duy nhất x=1.

nghiệm của phương trình Bài 5: Tìm tích tất cả các nghi log3[(x+1)3+3(x+1)2+3x+4]=2log2(x+1). A. -1.

B. -7.

C. 7 .

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : • Tự luận: log3[(x+1)3+3(x+1)2+3x+4]=2log2(x+1) Điều kiện: x > -1 log3[(x+1)3+3(x+1)2+3(x+1)+1]=2log2(x+1)

ất, và f(1)=1, vậy nhận thấy f(t)là hàm luôn nghịch biến, nên pt có nghiệm duy nhất, nghiệm t=1, hay x=7

m x = a/b với vớ a/b là phân Bài 6: Cho phương trình log2(x+3log6 x )=log6 x có nghiệm ng a+b bbằng? số tối giản. Khi đó tổng A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

nhận thấy f(t) là hàm đồng bi biến trên R và f(-1)=1. Nên pt có nghiệm duy nhất t=-1 hay x=1/6 Bài 7: Phương trình 2log5(x+3) = x có bao nhiêu nghiệm? A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : ĐK: x > -3 2log5(x+3) = x ⇔ log5(x+3)=log2x Đặt log5(x+3)=log2x=t

nghiệm t=1. Phương trình (*)có mộtt nghiệ

Xét hàm số Ta có f'(t) > 0nên vế trái củ của(*) là hàmđồng biến trên tập xác định, trong khi vế v ương trình (*) có nghiệm duy nhất t=1 ⇒ x=2 phải là hàm hằng nên phương

Bài 8: Phương trình (4x-5)log22 x+(16x-7)log2x+12=0 có tích các nghiệm bằng? A.1/2.

B. -1/2.

C. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : (4x-5)log22 x+(16x-7)log2x+12=0 ĐK: x > 0 Đặt t=log2x pt ⇔ (4x-5) t2+(16x-7)t+12=0 ⇔ (4x-5) t2+(16x-7)t+12=0 ⇔ (t+2)(t+x-3)=0

D. 5.

Với t=-x+3 ⇒ log2x=-x+3 Nhận xét thấy vế trái là hàm ttăng, vế phải là hàm giảm. Nên pt có nghiệm duy Vậy nghiệm x=2 nhất. Và thay x=2 thì thỏa pt. V Tích bằng 0.5 Bài 9: Phương trình sau có tổng các nghiệm bằng

A.√5.

B. 3

C. -3.

D. -√5.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

pt ⇔ log3(u+2)+5u2-1=2

ng, và f(1)=2. Nên Đặt f(u)=log3(u+2)+5u2-1. Nhận xét thấy vế phải là hàm tăng, m duy nh nhất u=1 phương trình có nghiệm hay

ệm lớ lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phươ ương trình 7x-1Bài 10: Hiệu của nghiệm 2log7 (6x-5)3=1 là A. 1.

B. 2

C. -1.

D. -2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : 7x-1-2log7 (6x-5)3=1 (DK: x > 5/6) ⇔ 7x-1+6(x-1)=6x-5+6log7 (6x-5) Đặt f(t)=t+6log7 t

Nên f(t) tăng Vậy f(7x-1 )=f(6x-5) ⇔ 7x-1=6x-5 ⇔ 7u=6u+1 Xét hàm g(u)=7u-6u-1

Theo bảng biến thiên ta có hàm g(u) ttăng, giảm trên hai khoảng. Nên g(u) có nhiều nhất 2 nghiệm Mà g(0)=0;g(1)=0;

Bài 11: Phương trình sau có nghiệm là

A. x=0 .

B. x=0; x=4.

C.Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

⇔ log3(2x+1)-log3(x2-2x+1)=x2-4x ⇔ log3(2x+1)+(2x+1)=log3(x2-2x+1)+(x2-2x+1) ⇔ f(2x+1)=f(x2-2x+1) (*) Với f(x)=log3x+x ⇒ f'(x) > 0. Nên f(x) đồng biến . Vậy (*) ⇔ x2-2x+1=2x+1 ⇔ x2-4x=0 Bài 12: Nghiệm của phương trình là:

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

D. x=4.

ĐK: x > -1. Phương trình có mộtt nghiệm x=3.

Ta có f'(x) > 0 nên VT=f(x) đồng biến trên (-1;+∞), trong khi VP là hàm hằng nên m duy nh nhất. phương trình có nghiệm ủa phương trình log23 x-2log22 x=log2x-2 là: Bài 13: Nghiệm bé nhất của A. x=4.

B. x=1/4.

C. x=2.

D. x=1/2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : TXĐ:x > 0 PT ⇔ log23 x-2log22 x=log2x-2 ⇔ log23 x-2log22 x-log2x+2=0 ⇔ log23 x-log2x-2log22 x+2=0 ⇔ log2x(log22 x-1)-2(log22 x-1)=0 ⇔ (log22 x-1)(log2x-2)=0

⇒ x=1/(2 )là nghiệm nhỏỏ nhấ nhất.

ất củ của phương trình -log√3(x-2).log5x=2log3(x-2) là: Bài 14: Nghiệm nhỏ nhất A. 1/5.

B. 3.

Hiển thị đáp án

C. 2.

D. 1.

Đáp án : B Giải thích : Điều kiện: x > 2 -log√3(x-2).log5x=2log3(x-2) ⇔ -2log3(x-2).log5x=2log3(x-2)

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x=3.

m của phương trình log2x.log4x.log8 x.log16 x=81/24 là : Bài 15: Tích các nghiệm A. 1/2.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: x > 0. Ta có: log2x.log4x.log8 x.log16 x=81/24 ⇔ (log2x)(1/2 log2x)(1/3 log2x)(1/4 log2x)=81/24

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={1/8;8} ⇒ x1.x2=1.

ương trình 4log22x-xlog26=2.3log24x2 là: Bài 16: Tập nghiệm của phươ A. S={4/9}. Hiển thị đáp án

B. S={-1/2}.

C. S={1/4}.

D. S={-2}.

Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: 0 < x ≠ 1 Ta có: 4log22x - xlog26 = 2.3log24x2 ⇔ 41+log2x-6log2x = 2.32+2log2x ⇔ 4.4log2x6log2x=19.9log2x (1) Chia 2 vế cho 4log2x.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={1/4}. Dạng 5: Phương trình logarit chứa tham số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d ương trình có số nghiệm cho trước: ♦ Dạng toán Tìm m để phươ • Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m). • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. • Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x). • Bước 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

♦ Lưu ý • Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt. nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau. Hoặc sử dụng điều kiệnn có nghi nghiệm thỏa mãn ♦ Nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghi

Hoặc sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m=0 có nghiệm. Hướng dẫn: Tập xác định D=(0;+∞). Đặt log3x=t. Khi đó phương trình trở thành t2+t+m=0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: ∆=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4. Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4. Bài 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1. Hướng dẫn: Điều kiện: 5x-1 > 0 ⇔ x > 0 log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m ⇔ log2(5x-1) 1/2 log2(2(5x-1))=m ⇔ log2(5x-1)(1+log2(5x-1))=2m ⇔ log22 (5x-1)+log2(5x-1)=2m Đặt log2(5x-1)=t. Khi đó phương trình đã cho trở thành t2+t-2m=0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (*)có nghiệm

thực x ≥ 1 thì m ≥ 3. Vậy phương trình có nghiệm th ực m để phương trình Bài 3: Tìm tham số thực nhất.

có nghiệm thực duy

Hướng dẫn:

⇔ log(mx)=2log(x+1) ⇔ log(mx)=log(x+1)2 ⇔ mx=(x+1)2 ⇔ x2+(2-m)x+1=0 (*)

ộ nghiệm thỏa Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*)có một mãn

TH1: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn -1 < x1 ≤ x2:

TH2: phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn x1 < -1 < x2: af(-1) < 0 ⇔ m < 0.

Các giá trị m cần tìm B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tham số thực m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng (4;6).

Hiển thị đáp án

Khi đó phương trình đã cho trở thành: mt2-2(m2+1)t+m3+m+2 = 0 (*). Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt

Vậy 0 < m ≠ 1 thỏa yêu cầu bài toán.

nhất một nghiệm trong đoạn[1;3 ạn[1;3√3 ] . Bài 2: Tìm m để phương trình sau có ít nh Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0.

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2+t-2m-2 = 0 ⇔ t2+t=2m+2 (*).

đương với (*) phải có ít nhất mộtt nghiệm thuộc thu đoạn Yêu cầu bài toán tương đươ [1;2]. Xét hàm số f(t)=t2+t trên đoạn[1;2] . Ta có f'(t) = 2t+1 > 0, ∀t ∈ [1;2]

thuộc đoạn [1;2] thì 2 < 2m+2 < 6 ⇔ 0 < m < 2 Để (*) có ít nhất mộtt nghiệm thu Bài 3: Tìm tham số m để (m-4)log22 x-2(m-2)log2 x+m-1=0 có hai nghiệm thỏa 1 < x1 < 2 < x2 Hiển thị đáp án Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2.

Từ BBT ⇒ m > 4. Bài 4: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc [32;+∞].

Hiển thị đáp án

Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:

ệt t ≥ 5: Yêu cầu bài toán tương đương vvới (*) phải có hai nghiệm phân biệt

Bảng biến thiên

Căn cứ BBT suy ra giá trịị cầ cần tìm là m ∈ (1;√17/2]. Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 (mx-x2 )=2 vô nghiệm? Hiển thị đáp án log2 mx-x2 = 2 ⇔ -x2+mx-4 = 0 (*) Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ m2-16 < 0 ⇔ -4 < m < 4

trị thực của tham số m để phương trình Bài 6: Tìm tất cả các giá tr 2 log4 x+3log4 x+2m-1=0 có 2 nghiệm phân biệt? Hiển thị đáp án

biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 13-8m > 0 ⇔ m < 13/8 Phương trình có 2 nghiệm phân bi Trắc nghiệm giải phương trình logarit chứa tham số Bài 1: Phương trình (lnx)3-7lnx+6=0 có bao nhiêu nghiệm trên R? A. 1

B. 2

Hiển thị đáp án

C. 3

D. 4

Đáp án : C Giải thích :

Vậy phương trình có ba nghiệm.

ương trình log2x+log3x + log4x = log20 x là Bài 2: Tập nghiệm của phươ A.S={1}.

B.S=∅.

C.S={1;2}

D.S={2}

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : ĐK x > 0.

Bài 3: Tập nghiệm của phươ ương trình sau là:

A.S={1}.

B.S=∅.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : • Tự luận:ĐK -1 < x < 1.

C.S={1;2}

D.S={2}

Vâỵ phương trình vô nghiệm. Bài 4: Nghiệm của phương trình x+2.3log2x=3 là A. x=1

B.x=-3; x=1

C. x=3; x=1.

D.x=3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Phương trình có mộtt nghiệm x=1. f(x)=x+2.3log2x ⇒ f'(x) > 0. Suy ra vế trái là hàm đòng biến, mà vế phải là hàm hằng, nên phương trình có một nghiệm duy nhất x=1.

nghiệm của phương trình Bài 5: Tìm tích tất cả các nghi log3[(x+1)3+3(x+1)2+3x+4]=2log2(x+1). A. -1.

B. -7.

C. 7 .

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : • Tự luận: log3[(x+1)3+3(x+1)2+3x+4]=2log2(x+1) Điều kiện: x > -1 log3[(x+1)3+3(x+1)2+3(x+1)+1]=2log2(x+1)

ất, và f(1)=1, vậy nhận thấy f(t)là hàm luôn nghịch biến, nên pt có nghiệm duy nhất, nghiệm t=1, hay x=7 Bài 6: Cho phương trình log2(x+3log6 x )=log6 x có nghiệm m x = a/b với vớ a/b là phân ng a+b bbằng? số tối giản. Khi đó tổng A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

nhận thấy f(t) là hàm đồng bi biến trên R và f(-1)=1. Nên pt có nghiệm duy nhất nh t=-1 hay x=1/6 Bài 7: Phương trình 2log5(x+3) = x có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : ĐK: x > -3 2log5(x+3) = x ⇔ log5(x+3)=log2x Đặt log5(x+3)=log2x=t

nghiệm t=1. Phương trình (*)có mộtt nghiệ Xét hàm số

của(*) là hàmđồng biến trên tập xác định, trong khi vế v Ta có f'(t) > 0nên vế trái củ ương trình (*) có nghiệm duy nhất t=1 ⇒ x=2 phải là hàm hằng nên phương

Bài 8: Phương trình (4x-5)log22 x+(16x-7)log2x+12=0 có tích các nghiệm bằng? A.1/2.

B. -1/2.

Hiển thị đáp án

C. 2.

D. 5.

Đáp án : A Giải thích : (4x-5)log22 x+(16x-7)log2x+12=0 ĐK: x > 0 Đặt t=log2x pt ⇔ (4x-5) t2+(16x-7)t+12=0 ⇔ (4x-5) t2+(16x-7)t+12=0 ⇔ (t+2)(t+x-3)=0

Với t=-x+3 ⇒ log2x=-x+3 Nhận xét thấy vế trái là hàm ttăng, vế phải là hàm giảm. Nên pt có nghiệm duy Vậy nghiệm x=2 nhất. Và thay x=2 thì thỏa pt. V Tích bằng 0.5 Bài 9: Phương trình sau có tổng các nghiệm bằng

A.√5.

B. 3

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

C. -3.

D. -√5.

pt ⇔ log3(u+2)+5u2-1=2

ng, và f(1)=2. Nên Đặt f(u)=log3(u+2)+5u2-1. Nhận xét thấy vế phải là hàm tăng, m duy nh nhất u=1 phương trình có nghiệm hay

Bài 10: Hiệu của nghiệm ệm lớ lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phươ ương trình 7x-12log7 (6x-5)3=1 là A. 1.

B. 2

C. -1.

D. -2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : 7x-1-2log7 (6x-5)3=1 (DK: x > 5/6) ⇔ 7x-1+6(x-1)=6x-5+6log7 (6x-5) Đặt f(t)=t+6log7 t

Nên f(t) tăng Vậy f(7x-1 )=f(6x-5) ⇔ 7x-1=6x-5 ⇔ 7u=6u+1

Xét hàm g(u)=7u-6u-1

Theo bảng biến thiên ta có hàm g(u) ttăng, giảm trên hai khoảng. Nên g(u) có nhiều nhất 2 nghiệm Mà g(0)=0;g(1)=0;

Bài 11: Phương trình sau có nghiệm là

A. x=0 .

B. x=0; x=4.

C.Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

⇔ log3(2x+1)-log3(x2-2x+1)=x2-4x ⇔ log3(2x+1)+(2x+1)=log3(x2-2x+1)+(x2-2x+1) ⇔ f(2x+1)=f(x2-2x+1) (*) Với f(x)=log3x+x ⇒ f'(x) > 0. Nên f(x) đồng biến . Vậy (*) ⇔ x2-2x+1=2x+1 ⇔ x2-4x=0 Bài 12: Nghiệm của phương trình là:

D. x=4.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : ĐK: x > -1. Phương trình có mộtt nghiệm x=3.

Ta có f'(x) > 0 nên VT=f(x) đồng biến trên (-1;+∞), trong khi VP là hàm hằng nên m duy nh nhất. phương trình có nghiệm ủa phương trình log23 x-2log22 x=log2x-2 là: Bài 13: Nghiệm bé nhất của A. x=4.

B. x=1/4.

C. x=2.

D. x=1/2.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : TXĐ:x > 0 PT ⇔ log23 x-2log22 x=log2x-2 ⇔ log23 x-2log22 x-log2x+2=0 ⇔ log23 x-log2x-2log22 x+2=0 ⇔ log2x(log22 x-1)-2(log22 x-1)=0 ⇔ (log22 x-1)(log2x-2)=0

nhất. ⇒ x=1/(2 )là nghiệm nhỏỏ nhấ của phương trình -log√3(x-2).log5x=2log3(x-2) là: Bài 14: Nghiệm nhỏ nhất củ A. 1/5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Điều kiện: x > 2 -log√3(x-2).log5x=2log3(x-2) ⇔ -2log3(x-2).log5x=2log3(x-2)

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x=3.

m của phương trình log2x.log4x.log8 x.log16 x=81/24 là : Bài 15: Tích các nghiệm A. 1/2.

B. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: x > 0.

C. 1.

D. 3.

Ta có: log2x.log4x.log8 x.log16 x=81/24 ⇔ (log2x)(1/2 log2x)(1/3 log2x)(1/4 log2x)=81/24

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={1/8;8} ⇒ x1.x2=1.

ương trình 4log22x-xlog26=2.3log24x2 là: Bài 16: Tập nghiệm của phươ A. S={4/9}.

B. S={-1/2}.

C. S={1/4}.

D. S={-2}.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: 0 < x ≠ 1 Ta có: 4log22x - xlog26 = 2.3log24x2 ⇔ 41+log2x-6log2x = 2.32+2log2x ⇔ 4.4log2x6log2x=19.9log2x (1) Chia 2 vế cho 4log2x.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={1/4}. Giải phương trình logarit bằng cách đưa về phương trình tích

ằng bao nhiêu thì phương trình log(2+√3) (mx+3)+log2Bài 1: Với giá trị m bằng 2 √3 (m +1)=0 có nghiệm là -1?

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Thay x=-1 vào phương trình ta có log(2+√3) (-m+3)+log2-√3(m2+1)=0 ⇔ log(2+√3) (-m+3)+log(2+√3)-1 (m2+1)=0 ⇔ log(2+√3) (-m+3)-log2+√3(m2+1)=0 ⇔ log(2+√3) (-m+3)=log2+√3(m2+1) ⇔ -m+3=m2+1 ⇔ m2+m-2=0 < Bài 2: Với giá trị nào của m thì phương trình log2 (4x+2m3)=x có hai nghiệm phân biệt?

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : log2 (4x+2m3)=x ⇔ 4x+2m3=2x ⇔ 4x-2x+2m3=0

phương trình trở thành t2-t+2m3=0 (*) Đặt 2x=t (t > 0). Khi đóó phươ

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt :

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: 0 < m < 1/2. Bài 3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm trên 1;3 .

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Điều kiện: x > 0.

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2+t-1=3m (*) . ới (*) phải có nghiệm thuộc đoạn [1;√2]. Yêu cầu bài toán tương đương vvới Xét hàm số f(t)=t2+t-1 trên đđoạn [1;√2]. Ta có f'(t) =2t+1 > 0, ∀ t ∈ [1 ;√2]

đoạn [1;√2] thì Để (*) có nghiệm thuộc đoạ

bi Bài 4: Tìm m để phương trình log2 (x3-3x)=m có ba nghiệm thựcc phân biệt. A. m < 1.

B.0< m < 1

C. m > 0.

D. m > 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : PT ⇔ x3-3x=2m < 1 f(x)=x3-3x; f'(x)=3x2-3; f'(x)=0 ⇔ x=±1 BBT

Phương trình có ba nghiệm phân bi biệt khi và chỉ khi -2 < 2m < 2 ⇔ m < 1 • Trắc nghiệm: PT ⇔ x3-3x=2m ⇔ x3-3x-2m=0 Bấm máy tính giải phương trình bậc 3: Thay m=0,5. Giải pt x3-3x-20,5=0 có ba nghiệm phân biệt. Loại D Thay m=-1. Giải pt x3-3x-2-1=0 có ba nghiệm phân biệt. Chọn A.

bi Bài 5: Tìm m để phương trình log2 (4x-m)=x+1 có đúng hai nghiệm phân biệt. A. 0< m < 1 Hiển thị đáp án Đáp án :

B. 0< m < 2

C. -1< m < 0.

D. -2< m < 0.

Giải thích : • Tự luận: PT ⇔ 4x-m=2x+1 ⇔ 22x-2.2x-m=0 Đặt ẩn phụ t=2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương pt t2-2t-m=0 có hai nghiệm dương phân biệt

• Trắc nghiệm: PT ⇔ 4x-m=2x+1 ⇔ 22x-2.2x-m=0 Đặt ẩn phụ t=2x,t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương pt t2-2t-m=0 có hai nghiệm dương phân biệt . Thấy pt có hai nghiệm dương thì a.c > 0⇒-m > 0⇒m < 0. Nên loại A,B

ch C. Thử m=-1,5 thấy phương trình t2-2t+1,5=0 vô nghiệm. Nên loạii D, chọn Bài 6: Cho phương trình sau với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 x2=3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1< m < 2.

B.3< m < 4.

C. 0< m < 3/2.

D. 2< m < 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : PT được viết lại: 9log32 x-(9m+3)log3 x+9m-2=0 . Nếu đặt t=log3 x ,khi đóó ta tìm

ng hợp ttổng quát cần điều kiện có nghiệm của ủa phương trình (Chú ý trong các trường bậc 2).

thực dương khác 1. Hãy tìm tập p nghiệm nghiệ S của bất Bài 7: Với m là tham số th 2 2 ộ nghiệm của phương trình logm (2x +x+3) ≤ logm (3x -x). Biết rằng x = 1 là một bất phương trình.

Hiển thịị đáp án Đáp án : Giải thích : x=1 là nghiệm nên logm 6 ≤ logm 2 ⇔ 0< m < 1 . Khi đó ta có BPT:

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị ccủa m để phương trình x.log2 (x-1)+m=m.log2 (x-1)+x biệt thuộc (1;3] . có hai nghiệm thựcc phân biệ A. m > 3.

B. 1< m < 3.

C. m ≠ 3.

D. Không có m.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : ĐK: x > 1 x.log2 (x-1)+m=m.log2 (x-1)+x ⇔ (x-m)log2 (x-1)=x-m < ⇔ (x-m)(log2 (x-1) - 1) = 0

biệt thuộc (1;3] khi 1< x=m < 3. Phương trình có hai nghiệm phân bi

trị của tham số m để phương ng trình log32 xBài 9: Tìm tất cả các giá tr (m+2).log3 x+3m-1=0 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho x1 x2=27. A. m=4/3.

B.m=25.

C.m=28/3.

D.m=1.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : Nếu đặt t=log3 x, khi đó ta tìm t1+t2=log3 x1+log3 x2=log3 x1.x2=3 ⇔ m+2=3 ⇔ m=1. Bài 10: Định điều kiện cho tham ssố m để: logx m+logmx m+logm2 x m=0 có nghiệm .

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : ĐK: m > 0. Với m=1. Phương trình: logx 1=0 nghiệm đúng mọi 0 < x ≠ 1 . Với 0 < m ≠ 1. Phương trình:

Đặt logm x=t (t ≠ 0; t ≠ -1; t ≠ 2). Khi đó có phương trình:

Vậy m > 0.

trị thực của tham số mđể phương trình log3 x-log3 (xBài 11: Tìm tất cả các giá tr 2)=log√3 m có nghiệm? A. m > 1.

B. m ≥ 1.

C. m < 1.

D. m ≤ 1.

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích : [Phương pháp tự luận] Điều kiện x > 2; m > 0

Phương trình có nghiệm m x > 2 khi m > 1,ch 1,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm]

ậy loại loạ C, D Thay m=0 (thuộc C, D) vào biểu thức log√3 m không xác định, vậy Thay m=1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương x=x-2 vô nghiệm Vậy chọn đáp án A. Bài 12: Tìm tất cả giá trịị thự thực của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm?

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :

x2-mx+4=0 vô nghiệm ⇔ x2-mx+4 < 0 ∀ x ∈ R ⇔ ∆ < 0 ⇔ -4 < m < 4

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGORIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bảns Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit cơ bản Dạng 2: Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số Dạng 3: Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ Dạng 4: Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu Bất phương trình logarit có chứa tham số m

Chủ đề: Bất phương trình logarit

ải chi tiết ti 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải định của bất phương trình lôgarit Dạng 1. Tìm điều kiệnn xác đị 1. Phương pháp giải Biểu thức loga f(x) xác định khi: + a > 0; a ≠ 1 + f(x) > 0 và f(x) có nghĩa. 2. Ví dụ minh họa Ví

dụ

1. Điềuu

ki kiện

xác

trình

định

củaa

bất bấ

phương

củaa

bất bấ

phương

là

Hiển thị đáp án Đáp án: C Bất phương trình xác định khi:

Ví trình

dụ

2. Điềuu

ki kiện

xác

định

là

A. 2 < x < 5 B. 1 < x < 2. C. 2 < x < 3 D. −4 < x < 3 Hiển thị đáp án Đáp án: A Bất phương trình xác định khi:

Ví dụ 3. Điều kiện xác định ccủa bất phương trình A. x ∈ [−1; 1] . B. x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) . C. x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞). D. x ∈ (−1; 1). Hiển thị đáp án Đáp án: D Bất phương trình xác định khi:

Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ c số 1. Phương pháp giải

là

Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1) + Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am. + Nếu a > 1 thì (1) x < am Chú ý: Kết hợp với điềuu kiện xác định khi giải bất phương trình. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện:

Với điều kiện trên, bất phươ ương trình trở thành: log5 (x − 2) + log5x > log53 ⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0

Kết hợp với điều kiện ta đượ ợc, x > 3

Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x) là: A. 6. B. 10. C. 8. D. 16. Hiển thị đáp án Đáp án: D BPT

Ví trình

dụ

3. Nghiệm m

nguyên là:

nhỏ

nhất

củaa

bất bấ

phương

Hiển thị đáp án Đáp án: A BPT

Do đó, x = 0 là nghiệm m nguyên nhỏ nhất. Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A

+ Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1 ⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73 + Với điều kiện trên ta có : logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*) Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành : t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9 Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9. Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2.

nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] . Kết hợp điều kiện, tậpp nghiệ

Ví dụ 5. Giải bất phương trình

Hiển thị đáp án Đáp án: C Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3

Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0

Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: x > 0 Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3.

Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3

u kiện). ( thỏa mãn điều

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :

Hiển thị đáp án Đáp án: A Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x. Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1 ⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*)

phương trình (*) trở thành: Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, ph t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4 suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34 Ví

dụ

3. Nếu

đặt

t

=log2x

trình trình nào?

thì

bất

phương

trở thành bất phương

A. t4 +13t2 + 36 < 0 . B. t4 + 12t2 + 12 < 0 C. t4 < 24t2 + 23 > 0 D. t4 − 13t2 + 36 < 0 Hiển thị đáp án Đáp án: D Điều kiện: x > 0.

⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x ⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0 ⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0 ⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0

ương trình trên trở thành : Đặt t= log2x khi đó phương t4 − 13t2 + 36 < 0

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 4. Tập nghiệm của

là

Hiển thị đáp án Đáp án: A Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*) Ta có:

Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0

(thỏa mãn điều kiện)

ương trình đã cho là S = (1; √5) . Vậy tập nghiệm của bất phươ

ủa bấ bất phương trình Ví dụ 5. Tập nghiệm của

là

Hiển thị đáp án

Đáp án: A Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u Bất phương trình đã cho trở thành

- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2 - Với u < −1 => log2x < −

Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc

Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu của hàm số. 1. Phương pháp giải a. Phương pháp đánh giá: Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có th thể chứng minh vớii mọi mọ x < x0 ta có A(x) ≥ B(x) và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x).

ương trình đã cho là x ≥ x0 Khi đó, nghiệm của bất phươ b. Tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên khoảng D.

biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0. + Nếu hàm số y = f(x) đồng bi biến trên D thì f(x) > f(x0) ⌠⇔< x0. + Nếu hàm số y = f(x) nghịch bi 2. Ví dụ minh họa

p nghiệm nghiệ là: Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập A. [0; +∞). B. (−∞; 0). C. (−∞; 0]. D. (0; +∞) . Hiển thị đáp án Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2

Hiển thị đáp án Đáp án: B Điều kiện:

Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên

có đạo hàm:

ến trên Suy ra, hàm số đồng biến Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

ện , ta có nghi nghiệm của bất phương ng trình đã cho Kết hợp với điều kiện

là Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7

Hiển thị đáp án Đáp án: C Tập xác định D = R. Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R. Đạo hàm

Suy ra, hàm số đồng biến ến trên R. Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2

ương trình là [2; +∞) Vậy tập nghiệm của bất phươ Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.

Hiển thị đáp án Đáp án: A Tập xác định D = R. Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R. Đạo hàm

nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở Do đó, hàm số y= f(x) nghị thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2. ương trình là (2; +∞) Vậy tập nghiệm của bất phươ Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m 2. Ví dụ minh họa

trị thực của tham số m để bất b phương Ví dụ 1. Tìm tất cảả giá tr trình

vô nghiệm?

Hiển thị đáp án Đáp án: D

Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x2 − mx + 4 ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ ∆ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4 Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(5x − nghiệm x ≥ 1 ? 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghi A. m ≥ 6. B. m > 6 C. m ≤ 6. D. m < 6 Hiển thị đáp án Đáp án: C BPT

Đặt

do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞)

BPT

Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng ng biến biế trên t ∈ [2; +∞) Nên min f(t) = f(2) = 6.

nghiệ x ≥ 1 thì : Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6

trị thực của tham số m sao cho khoảng ng (2 ; 3) thuộc tập Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá tr 2 2 nghiệm của bất phương trình log5 (x + 1) > log5 (x +4x + m) − 1.

áp án Hiển thị đáp Đáp án: A Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1

Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)

trị thực của tham số m để bất phương ng trình log2(7x2 + Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá tr 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R

Hiển thị đáp án Đáp án: C Bất phương trình tương đươ đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

Nếu m = 7 thì (2) không thỏỏa ∀x ∈ R

Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để bất phươ ương trình 1 + 2 2 log5(x + 1) ≥ log5(mx + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x.

Hiển thị đáp án Đáp án: A

đương : 5(x2 + 1) ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R Bất phương trình tương đươ

thỏa ∀x ∈ R Nếu m = 0 hoặcc m= 5 : (*) không th m ≠ 0 và m ≠ 5: (*)

Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bảns

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d logax ≤ b

Nghiệm

0<a<1

x ≥ ab

a>1

0 < x ≤ ab

logax ≥ b

Nghiệm

0<a<1

0 < x ≤ ab

a>1

x ≥ ab

Ví dụ minh họa Bài 1: Giải bất phương trình sau log2(x2+3x) > 2. Hướng dẫn:

Bài 2: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn: Điều kiện : x > -3.

Kết hợp điều kiên ta được x ≥ 13. Bài 3: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải bất phương trình sau

Hiển thị đáp án

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phươ ương trình đã cho là S=(1;3/2). Bài 2: Giải bất phương trình sau Hiển thị đáp án

Bài 3: Giải bất phương trình sau Hiển thị đáp án

Bài 4: Giải bất phương trình sau Hiển thị đáp án

Bài 5: Tìm điều kiệnn xác định ccủa phương trình log2[3log2(3x-1)-1]=x là: Hiển thị đáp án Biểu thức log2[3log2(3x-1)--1]=x xác định khi và chỉ khi:

ương trình sau có tập nghiệm R Bài 6: Tìm a để bất phương

Hiển thị đáp án Điều kiện :

⇔ x2+2ax+a+3 > 1, ∀ x ∈ R ⇔ x2+2ax+a+2 > 0, ∀ x ∈ R ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -1 < a < 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra giá trị a cần tìm là -1 < a < 2 Bài 7: Tìm giá trị củaa tham ssố m để bất phương trình log_m(x2 - 2x + m + 5) > 1 có vô số nghiệm

Hiển thị đáp án Điều kiện:

TH1: 0 < m < 1 BPT ⇔ x2-2x+m+5 < m ∀ x ∈ R ⇔ x2-2x+5 < 0 ∀ x ∈ R (VL) TH2: 1 < m BPT ⇔ x2-2x+m+5 > m ∀ x ∈ R ⇔ x2-2x+5 > 0 ∀ x ∈ R (LĐ) Vậy 1 < m thỏa ycbt. Bài 8: Giải bất phương trình sau

Hiển thị đáp án

Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit cơ bản

Bài 1: Giải bất phương trình log3(2x-3) > 2 A. x > 3/2.

B. x > 6.

C. 3 < x < 6.

D. 3/2 < x < 6.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Bài 2: Nghiệm của bất phươ ương trình log√3(x-1) > 2 là B. x > (√3)2.

A. x < √3+1.

C. x > 4.

D. x ≤ 4.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Bài 3: Bất phương trình sau có nghiệm là

A.x > 1.

B.1 < x ≤ 10.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

C.x ≥ 10.

D.1 ≤ x ≤ 10.

Bài 4: Số nghiệm nguyên củủa bất phương trình log(2x2-11x+25) ≤ 1 là A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có:

⇒ bất phương trình có 1 nghiệm nguyên

ương trình log0,3(3x-2) ≥ 0 là Bài 5: Nghiệm của bất phươ A. (2;+∞).

B. (2/3;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Bài 6: Tập xác định của hàm số

C. (2/3;1).

D. (2/3;1].

A. [0;2).

B. (0;2).

C. (-∞;-2)∪[0;2).

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Bài 7: Tìm tập nghiệm m S của bbất phương trình

A. S=[0;2]∪[4;6].

B. S=[0;6].

C. S=[0;2)∪(4;6].

D. S=(-∞;0]∪[6;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có:

D. (-∞;-2).

Bài 8: Nghiệm của bất phươ ương trình sau là

A. (-1;1)∪(2;+∞). Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

B. (-1;0)∪(0;1).

C. (-1;1).

D. (-∞;-1)∪(1;+∞)

Bài 9: Giải bất phương trình sau trên tập số thực R.

A. (0;1/2).

B. (0;1/2].

C. [1/4;1/2].

D. (0;1/4].

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Bài 10: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log√3-1(x2-2x+1) > 0 . A. Vô số.

B. 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

C. 2.

D. 1.

ất phương trình ln[(x-1)(x-2)(x-3)+1] > 0 là Bài 11: Tập nghiệm của bất A. (1;2)∩(3;+∞).

B. (-∞;1)∪(2;3).

C. (-∞;1)∩(2;3).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Bài 12: Giải bất phương trình

A. x < 0.

B. x > -9500.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

C. x > 0.

D. -31000 < x < 0.

D. (1;2)∪(3;+∞).

Bài 13: Bất phương trình sau có tập nghiệm là tập số thực R khi

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Ta có:

Bài 14: Tập nghiệm của bất phương trình 3 < log2x < 4 là A. (8;16).

B. (0;16).

C. (8;+∞).

D. R.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Bài 15: Số nghiệm thựcc nguyên của bất phương trình log(2x2-11x+15) ≤ 1 là A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

⇒ Bất phương trình có 4 nghiệm nguyên là 1,2,4,5. Dạng 2: Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d logaf(x) ≤ logag(x) 0<a<1

logaf(x) ≤ logag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0

a>1

logaf(x) ≤ logag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x)

logaf(x) ≥ logag(x) 0<a<1

logaf(x) ≥ logag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x)

a>1

logaf(x) ≥ logag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0

Ví dụ minh họa Bài 1: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

đương Bất phương trình tương đươ

ương trình là [2;+∞). Vậy tập nghiệm của bất phươ Bài 2: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải bất phương trình log2(x2-x-2) ≥ log0,5(x-1)+1 Hiển thị đáp án

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(logx) ≥ loglog2x Hiển thị đáp án

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình Hiển thị đáp án

Bài 4: Giải bất phương trình

Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0.

Bài 5: Giải bất phương trình log(x+1)+logx > log20 Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0.

Ta có: log(x+1)+logx > log20 ⇔ log[(x+1)x] > log20 ⇔ x2+x > 20 ⇔ x2+x-20 > 0 ⇔ x < -5 ∨ x > 4. Giao với điều kiện ta được: x > 4. Bài 6: Giải bất phương trình log2(x+1)-2log2(5-x) < 1-log2(x-2) Hiển thị đáp án

Điều kiện: 2< x < 5. Ta có: log2(x+1)-2log2(5-x) < 1-log2(x-2) ⇔ log2(x+1)+log2(x-2) < log22+log2(5-x)2 ⇔ log2[(x+1)(x-2)] < log2[2(5-x)2 ] ⇔ (x+1)(x-2) < 2(5-x)2 ⇔ x2-19x+52 > 0

Bài 7: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 1. Ta có:

Giao với điều kiện ta được: 1< x ≤ 2. Bài 8: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 0.

Kết hợp điều kiện ta được 0< x ≤ 25. Bài 9: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện: x > 2. ⇔ log2(x+1)+log2(x-2) ≤ log24 ⇔ log2[(x+1)(x-2)] ≤ log24 ⇔ (x+1)(x-2) ≤ 4 ⇔ x2-x-6 ≤ ⇔ -2 ≤ x ≤ 3. Giao với điều kiện ta được 2< x ≤ 3. Bài 10: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án

Bài 11: Giải bất phương trình Hiển thị đáp áp án Điều kiện: x > 3. Ta có:

Giao với điều kiện ta được: 3< x < 4. Bài 12: Tìm giá trị củaa tham ssố m để bất phương trình log2(3x2-2mx-m2-2m+4) > úng vớ với mọi x∈R. 1+log2(x2+2) nghiệm đúng Hiển thị đáp án Ta có: log2(3x2-2mx-m2-2m+4) log2(2x2+4)

>

1+log2(x2+2)

⇔

log2(3x2-2mx-m2-2m+4)

>

Yêu cầu bài toán

Trắc nghiệm giải bất phươ ương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ c số

ủa bấ bất phương trình log22 x-5log2x-6 ≤ 0 là Bài 1: Tập nghiệm S của

áp án Hiển thị đáp Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành t2-5t-6 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ t ≤ 6 ⇔ -1 ≤ log2x ≤ 6 ⇔ 1/2 ≤ x ≤ 64 .

ương trình log25 x-6log2x > -5 Bài 2: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0 .

Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành

m S của bbất phương trình log22 (2-x)+4log2(2-x) ≥ 5. Bài 3: Tìm tập nghiệm

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x < 2 . Đặt t=log2(2-x) . Bất phương trình trở thành

ương trình (lnx)2-2lnx > -1là Bài 4: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=lnx . Bất phương trình trở thành

ương trình log22 x-3log2x ≤ -2. Bài 5: Nghiệm của bất phươ A. 1 < x < 2. Hiển thị đáp án Đáp án : C

B. 2 < x < 4.

C. 2 ≤ x ≤ 4.

D. 1 ≤ x ≤ 2.

Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành Bất phương trình trở thành t2-3t+2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ 1 ≤ log2x ≤ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4

ất phương trình ln2 x-3lnx+2 ≥ 0 là Bài 6: Tập nghiệm của bất A. (-∞;1]∪[2;+∞).

B. [e2;+∞).

C. (-∞;e]∪[e2;+∞).

D. (0;e]∪[e2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=lnx . Bất phương trình trở thành

ất phương trình log√22 x-5log2x+1 > 0 là Bài 7: Tập nghiệm của bất

Hiển thị đáp áp án Đáp án : A Giải thích :

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều log√22 x-5log2x+1 > 0 ⇔ 4log22 x-5log2x+1 > 0 Đặt t=log2x, bất phương trình trở thành

ệm ccủa bất phương trình là So với điều kiện tập nghiệm

Bài 8: Cho bất phương trình sau. Nếu đặt t=log2x, ta được bất phương trình nào sau đây?

A. t2+14t-4 > 0 . Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

B. t2+11t-3 > 0 .

C. t2+14t-2 > 0 .

D. t2+11t-2 > 0 .

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều

Đặt t=log2x, ta được bất phương trình t2+14t-4 > 0 .

m nguyên của bất phương trình log32 x5-25log3x2-750 ≤ 0 là Bài 9: Tổng các nghiệm A. 925480.

B. 38556.

C. 378225.

D. 388639.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0, với điều ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành log32 x5-25log3x2-750 ≤ 0 ⇔ 25log3x-50log3x2-750 ≤ 0 ⇔ log32 x-2log3x2-30 ≤ 0 Đặt t=log3x, ta được bất phương trình

ệm nguyên của bất phương trình là S={1;2;…; 1360}. suy ra tập tất cả các nghiệm Tổng các nghiệm nguyên củủa bất phương trình là S=1360.(1360+1)/2=925480.

ất phương trình sau là Bài 10: Tập nghiệm của bất

A. (1;2]∪[3;+∞).

B. (-1;1]∪[4;+∞).

C. (0;4]∪[5;+∞).

D. (0;1]∪[2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện x > 0, với điều ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành

Đặt t=log4(3x-1), ta đượcc bất phương trình

ập nghi nghiệm của bất phương trình là (0;1]∪[2;+∞). So với điều kiện ta có tập Bài 11: Bất phương trình sau có nghiệm là:

A. x < 2/3.

B. x < 4/9.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

C. x > 4/9.

D. 4/9 < x < 2/3.

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều

So với điều kiện bất phương trình có nghiệm là 4/9 < x < 2/3.

ương trình log2x 64+logx216 ≥ 3 là Bài 12: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0, x ≠ 1/2, x ≠ 1, với điều kiện trên bất phương trình trở thành

ương trình Đặt t=log2x, ta được bất phươ

Bảng xét dấu

So với điều kiện bất phương trình có nghiệm là

m nguyên trên đoạn Bài 13: Bất phương trình log4x-logx4 ≤ 3/2 có mấy nghiệm [1;25]? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

Do x ∈ [1;25]; x ≠ 1 nên suy ra có 1 nghiệm nguyên x=2 cần tìm.

ương trình sau là Bài 14: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

Kết hợp với điều kiệnn suy ra nghi nghiệm của bất phương trình: 0 < x < 1/(102√2) ∨ 1 < x < 102√2 Bài 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2log5x-logx125 < 1 A. 1.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

⇔ log5x < -1 ∨ 0 < log5x < 3/2 ⇔ 0 < x < 1/5 ∨ 1 < x < 5√5

Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 10. Bài 16: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log3x+log3x27 ≤ 3 A. 9.

B. 0.

C. 5.

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1/3

⇔ log3x < -1 ∨ 0 ≤ log3x ≤ 2 ⇔ 0 < x < 1/3 ∨ 1 ≤ x ≤ 9 Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 9 Bài 17: Giải bất phương trình sau ta được tập nghiệm là

A. (1/e2 ; e). Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Ta có.

B. (-∞;e).

C. (-∞;1/e2 ).

D. (e;+∞).

ất phương trình sau là Bài 18: Tập nghiệm của bất

A. (-∞;0)∪(1;e)∪(e2;+∞). C. (1;e2 )\{e}.

B. (-∞;1).

D. (-∞;e)∪(e2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0; x ≠ 1; x ≠ e2 Đặt t=lnx bpt trở thành:

Suy ra 0 < lnx < 1 ∨ 1 < lnx < 2 ⇔ 1 < x < e ∨ e < x < e2.

ất phương trình sau là Bài 19: Tập nghiệm của bất

A. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪(2;4)∪(4;+∞).

B. (0;1/16)∪(1/4;1/2)∪(2;4)∪(4;+∞).

C. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪[2;4]∪(4;+∞).

D. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪[2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt: t=log2x

Ta có bất phương trình:

Bảng xét dấu:

Bài 20: Tập nghiệm của bất ất phương trình sau là

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích : Đặt: t=log2x Ta có bất phương trình:

Bảng xét dấu:

Bài 21: Tìm m để bất phương trình log2 x-mlogx+m+3 ≤ 0 có nghiệm x > 1

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Đặt t=logx. Vì x > 1 ⇒ t > 0

Bất phương trình đã cho có nghiệm x > 1 khi và chỉ khi bấtt phương trình t2mt>0 mt+m+3 ≤ 0 có nghiệm

+ Trường hợp 1: ∆=0 Với m=-2 thì bất phương trình không có nghiệm t > 0

ương trình có nghiệm t > 0 Với m=6 thì bất phương + Trường hợp 2: ∆ < 0 ⇔ m2-4m-12 < 0 ⇔ -2 < m < 6 thì bất phương trình vô nghiệm. + Trường hợp 3: ∆ > 0 Bất phương trình có nghiệm t > 0 khi:

Do đó: m > 6

ức t2-mt+m+3có hai nghiệm trái dấu u m+3 < 0 ⇔ m < -3 + Trường hợp 4: Tam thức Dạng 3: Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về bất thuộc, đặc biệt là các bất phương trình bậc ậ hai hoặc hệ phương trình đại số quen thu bất phương trình. Ví dụ minh họa Bài 1: Giải bất phương trình sau log52 x+4log25x-8 < 0. Hướng dẫn: Đk: x > 0.

BPT ⇔ log52x + 2log5x - 8 < 0. Đặt t = log5x. Khi đó bất phương trình trở thành.

ều kiện). ki t2+2t-8 < 0 ⇔ -4 < t < 2 ⇔ -4 < log5x < 2 ⇔ 5-4 < x < 25 (thỏa đđiều ương trình là : (5-4; 25). Vậy tập nghiệm của bất phươ Bài 2: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

Đặt t=log2x ≠ 0. Khi đó bất phương trình trở thành.

ương trình là: Vậy tập nghiệm của bất phươ

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:

Đk : x > 0. Viết lại bất phương trình dưới dạng log3x.log2x-2log3x-log2x-2 < 0.

Khi đó bất phương trình trở thành. uv-2u-v-2 < 0 ⇔ (u-1)(v-2) < 0.

Vậy tập nghiệm của bất phươ ương trình là: (3;4). B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện x > 0 .

Đặt t=log3x .

Bài 2: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án Điều kiện x > 0 .

Đặt t=log2x .

ủa hàm số Bài 3: Tìm tập xác định của Hiển thị đáp án

m S của bbất phương trình Bài 4: Tìm tập nghiệm Hiển thị đáp án Điều kiện x > 0 .

Đặt t=log2x .

Bài 5: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0. Với điều

Đặt t=log2x, bất phương trình trở thành

ệm ccủa bất phương trình là So với điều kiện tập nghiệm Bài 6: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0. Với điều

Đặt t=log2x, bất phương trình trở thành

ệm ccủa bất phương trình là (0;1/16]∪[2;+∞). So với điều kiện tập nghiệm Bài 7: Giải bất phương trình Hiển thị đáp án

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x < 2, với điều

Đặt t=log2(2-x), bất phương trình trở thành

ệm ccủa bất phương trình là (-∞;0]∪[63/32;2). So với điều kiện tập nghiệm Bài 8: Giải bất phương trình

Hiển thị đáp án

đương với: Phương trình đã cho tương đươ

Kết hợp với điều kiệnn suy ra -3 < x < -2 ∨ 3 < x < 4. Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

ủa bấ bất phương trình log22 x-5log2x-6 ≤ 0 là Bài 1: Tập nghiệm S của

Hiển thị đáp áp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành t2-5t-6 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ t ≤ 6 ⇔ -1 ≤ log2x ≤ 6 ⇔ 1/2 ≤ x ≤ 64 .

ương trình log25 x-6log2x > -5 Bài 2: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành

m S của bbất phương trình log22 (2-x)+4log2(2-x) ≥ 5. Bài 3: Tìm tập nghiệm

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x < 2 . Đặt t=log2(2-x) . Bất phương trình trở thành

ương trình (lnx)2-2lnx > -1là Bài 4: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=lnx . Bất phương trình trở thành

ương trình log22 x-3log2x ≤ -2. Bài 5: Nghiệm của bất phươ A. 1 < x < 2. Hiển thị đáp án Đáp án : C

B. 2 < x < 4.

C. 2 ≤ x ≤ 4.

D. 1 ≤ x ≤ 2.

Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=log2x . Bất phương trình trở thành Bất phương trình trở thành t2-3t+2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ 1 ≤ log2x ≤ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4

ất phương trình ln2 x-3lnx+2 ≥ 0 là Bài 6: Tập nghiệm của bất A. (-∞;1]∪[2;+∞).

B. [e2;+∞).

C. (-∞;e]∪[e2;+∞).

D. (0;e]∪[e2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện x > 0 . Đặt t=lnx . Bất phương trình trở thành

ất phương trình log√22 x-5log2x+1 > 0 là Bài 7: Tập nghiệm của bất

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều log√22 x-5log2x+1 > 0 ⇔ 4log22 x-5log2x+1 > 0 Đặt t=log2x, bất phương trình trở thành

ệm ccủa bất phương trình là So với điều kiện tập nghiệm

Bài 8: Cho bất phương trình sau. Nếu đặt t=log2x, ta được bất phương trình nào sau đây?

A. t2+14t-4 > 0 . Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

B. t2+11t-3 > 0 .

C. t2+14t-2 > 0 .

D. t2+11t-2 > 0 .

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều

Đặt t=log2x, ta được bất phương trình t2+14t-4 > 0 .

m nguyên của bất phương trình log32 x5-25log3x2-750 ≤ 0 là Bài 9: Tổng các nghiệm A. 925480.

B. 38556.

C. 378225.

D. 388639.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0, với điều ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành log32 x5-25log3x2-750 ≤ 0 ⇔ 25log3x-50log3x2-750 ≤ 0 ⇔ log32 x-2log3x2-30 ≤ 0 Đặt t=log3x, ta được bất phương trình

ệm nguyên của bất phương trình là S={1;2;…; 1360}. suy ra tập tất cả các nghiệm Tổng các nghiệm nguyên củủa bất phương trình là S=1360.(1360+1)/2=925480.

ất phương trình sau là Bài 10: Tập nghiệm của bất

A. (1;2]∪[3;+∞).

B. (-1;1]∪[4;+∞).

C. (0;4]∪[5;+∞).

D. (0;1]∪[2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện x > 0, với điều ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành

Đặt t=log4(3x-1), ta đượcc bất phương trình

ập nghi nghiệm của bất phương trình là (0;1]∪[2;+∞). So với điều kiện ta có tập Bài 11: Bất phương trình sau có nghiệm là:

A. x < 2/3.

B. x < 4/9.

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

C. x > 4/9.

D. 4/9 < x < 2/3.

ều kiệ kiện trên bất phương trình trở thành Điều kiện x > 0, với điều

So với điều kiện bất phương trình có nghiệm là 4/9 < x < 2/3.

ương trình log2x 64+logx216 ≥ 3 là Bài 12: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0, x ≠ 1/2, x ≠ 1, với điều kiện trên bất phương trình trở thành

ương trình Đặt t=log2x, ta được bất phươ

Bảng xét dấu

So với điều kiện bất phương trình có nghiệm là

m nguyên trên đoạn Bài 13: Bất phương trình log4x-logx4 ≤ 3/2 có mấy nghiệm [1;25]? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

Do x ∈ [1;25]; x ≠ 1 nên suy ra có 1 nghiệm nguyên x=2 cần tìm.

ương trình sau là Bài 14: Nghiệm của bất phươ

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

Kết hợp với điều kiệnn suy ra nghi nghiệm của bất phương trình: 0 < x < 1/(102√2) ∨ 1 < x < 102√2 Bài 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2log5x-logx125 < 1 A. 1.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

⇔ log5x < -1 ∨ 0 < log5x < 3/2 ⇔ 0 < x < 1/5 ∨ 1 < x < 5√5

Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 10. Bài 16: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log3x+log3x27 ≤ 3 A. 9.

B. 0.

C. 5.

D. 11.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện: x > 0; x ≠ 1/3

⇔ log3x < -1 ∨ 0 ≤ log3x ≤ 2 ⇔ 0 < x < 1/3 ∨ 1 ≤ x ≤ 9 Vậy số nghiệm nguyên của phương trình là: 9 Bài 17: Giải bất phương trình sau ta được tập nghiệm là

A. (1/e2 ; e). Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Ta có.

B. (-∞;e).

C. (-∞;1/e2 ).

D. (e;+∞).

ất phương trình sau là Bài 18: Tập nghiệm của bất

A. (-∞;0)∪(1;e)∪(e2;+∞). C. (1;e2 )\{e}.

B. (-∞;1).

D. (-∞;e)∪(e2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện x > 0; x ≠ 1; x ≠ e2 Đặt t=lnx bpt trở thành:

Suy ra 0 < lnx < 1 ∨ 1 < lnx < 2 ⇔ 1 < x < e ∨ e < x < e2.

ất phương trình sau là Bài 19: Tập nghiệm của bất

A. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪(2;4)∪(4;+∞).

B. (0;1/16)∪(1/4;1/2)∪(2;4)∪(4;+∞).

C. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪[2;4]∪(4;+∞).

D. (0;1/16)∪[1/4;1/2]∪[2;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Đặt: t=log2x

Ta có bất phương trình:

Bảng xét dấu:

Bài 20: Tập nghiệm của bất ất phương trình sau là

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích : Đặt: t=log2x Ta có bất phương trình:

Bảng xét dấu:

Bài 21: Tìm m để bất phương trình log2 x-mlogx+m+3 ≤ 0 có nghiệm x > 1

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Đặt t=logx. Vì x > 1 ⇒ t > 0

Bất phương trình đã cho có nghiệm x > 1 khi và chỉ khi bấtt phương trình t2mt>0 mt+m+3 ≤ 0 có nghiệm

+ Trường hợp 1: ∆=0 Với m=-2 thì bất phương trình không có nghiệm t > 0

ương trình có nghiệm t > 0 Với m=6 thì bất phương + Trường hợp 2: ∆ < 0 ⇔ m2-4m-12 < 0 ⇔ -2 < m < 6 thì bất phương trình vô nghiệm. + Trường hợp 3: ∆ > 0 Bất phương trình có nghiệm t > 0 khi:

Do đó: m > 6

ức t2-mt+m+3có hai nghiệm trái dấu u m+3 < 0 ⇔ m < -3 + Trường hợp 4: Tam thức Dạng 4: Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu

dụ A. Phương pháp giảii & Ví d logaf(x) ≤ g(x) 0<a<1

logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x) .

a>1

logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)

0<a<1

logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)

a>1

logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x)

đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ên thì bất phương Nếu hàm số y=f(x) luôn đồ trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u, v ∈ D.. Ví dụ minh họa Bài 1: Giải bất phương trình sau log2(4x+3) > x+2. Hướng dẫn: log2(4x+3) > x+2 ⇔ 2log2(4x+3) > 2x+2 ⇔ 4x-4.2x+3 > 0.

ương trình là : (-∞;0)∪(log23;+∞). Vậy tập nghiệm của bất phươ Bài 2: Giải bất phương trình sau log2 (2x+1)+log3 (4x+1) ≤ 2 Hướng dẫn: Đặt f(x)= log2 (2x+1)+log3 (4x+1) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R . Do đó f(x) ≤ f(0)=2 ⇔ x ≤ 0.

ương trình là : (-∞;0] Vậy tập nghiệm của bất phươ Bài 3: Giải bất phương trình log3 (2x+1)+x ≤ 2 Hướng dẫn:

Điều kiện x > -1/2. Đặt f(x)=log3 (2x+1)+x

ến trên (-1/2;+∞) Suy ra, hàm số đồng biến Mặt khác f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1 So điều kiện, suy ra -1/2 < x ≤ 1 ⇒ S=(-1/2;1] B. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải bất phương trình log3(5x+2)+log4(3x+7) ≥ 5 . Hiển thị đáp án Đặt f(x)=log3(5x+2)+log4(3x+7) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R. Do đó f(x) ≥ f(2)=5 ⇔ x ≥ 2 .

phương trình là [2;+ ∞). Vậy tập nghiệm của bất phươ

Bài 2: Giải bất phương trình log3(4.3x-1) > 2x-1 Hiển thị đáp án log3(4.3x-1) > 2x-1 ⇔ 4.3x-1 > 32x-1 ⇔ 32x-4.3x < 0 ⇔ 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34 Bài 3: Giải bất phương trình logx[log9(3x-9)] < 1 Hiển thị đáp án

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: logx[log9(3x-9)] < 1 ⇔ log9(3x-9) < x ⇔ 3x-9 < 9x ⇔ 9x-3x+9 > 0 ⇔ x ∈ R So với điều kiện ta thu được ttập nghiệm: (log210;+ ∞) Bài 4: Giải của bất phương trình logx(log4(2x-4)) ≤ 1 Hiển thị đáp án

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: log4(2x-4) ≤ x ⇔ 2x-4 ≤ 4x ⇔ 4x-2x+4 ≥ 0 ⇔ x ∈ R So với điều kiện ta thu được tập nghiệm (2;+ ∞)

m nguyên của bất phương trình log2x (x2-5x+6) < 1 Bài 5: Tìm số nghiệm Hiển thị đáp án

Bất phương trình không có nghiệm m nguyên. Trường hợpp 1: 0 < x < 1/2 : B Trường hợp 2: x > 1/2.

đương với: Bất phương trình tương đươ

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên. Bài 6: Giải bất phương trình

Hiển thị đáp án Phương trình tương đương với:

Bài 7: Giải bất phương trình log2x+log3(x+1) < 2. Hiển thị đáp án Điều kiện x > 0

Ta xét hàm số: y=f(x)=log2x+log3(x+1) có đạo hàm

với mọi x ∈ D nên hàm số là hàm đồng biến. Ta có f(2)=2 nên log2x+log3(x+1) < 2 ⇔ x < 2 Kết hợp điều kiện ta có x ∈ (0;2). Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu Bài 1: Bất phương trình log3(3x-2)+x < 1có tập nghiệm A. (log32;+∞).

B. (0;1).

C. (log32;1).

D. (1;+∞).

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Điều kiện xác định 3x-2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔ x > log32. log3(3x-2)+x < 1 ⇔ log3(3x-2) < 1-x ⇔ 3x-2 < 31-x ⇔ 32x-2.3x-3 < 0.

ương trình trở thành t2-2t-3 < 0 ⇔ -1 < t < 3. Đặt t = 3x, (t > 0) bất phương Kết hợp điều kiện thì 0 < t < 3. Vậy 0 < 3x < 3 ⇔ x < 1. Nghiệm của bất phương trình là x ∈ (log32;1). Bài 2: Giải bất phương trình logx (log3(9x-72)) ≤ 1 ta được:

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: logx (log3 (9x-72)) ≤ 1 ⇔ log3 (9x-72) ≤ x ⇔ log3 (9x-72) ≤ x ⇔ 9x-72 ≤ 3x ⇔ 32x-3x-72 ≤ 0 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2

ương trình log2(7.10x-5.25x) > 2x+1 là Bài 3: Nghiệm của bất phươ A. (-1;0].

B. (-1;0).

C. [-1;0).

D. [-1;0].

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Ta có: log2(7.10x-5.25x) > 2x+1 ⇔ 7.10x-5.25x > 22x+1

Bài 4: Bất phương trình sau có tập nghiệm là

A. (-∞;-1]∪[2;log314]

B. (-∞;1]∪[2;log314] .

C. (-∞;-1]∪[2;12/5]

D. (-∞;log314] .

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Điều kiện: 28-2.3x > 0 ⇔ 3x < 14 ⇔ x < log3 14

m của bbất phương trình là (-∞;1]∪[2;log3 14] So điều kiện, tập nghiệm ất phương trình log7x > log3(√x+2) là? Bài 5: Tập nghiệm của bất A. (1;+∞)

B. (0;1).

C. (0;+∞).

D. [0;1].

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Điều kiện x > 0. Ta có: log7 x > log3 (√x+2) √x+2) ⇔ log7 x-log3 (√x+2) > 0

√x+2) xác định và liên tục trên (0;+∞) Đặt f(x)=log7 x-log3 (√x+2)

nên hàm số đồng biến trên (0;+∞) Mặt khác: f(x) > f(1)⇔ x > 1.

ương trình là : (1;+∞) Vậy tập nghiệm của bất phươ Bài 6: Số nghiệm nguyên củủa bất phương trình sau là?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Điều kiện x > -1/3

Suy ra, hàm số nghịch biến ến trên (-1/3;+∞) Mặt khác: f(x) > 0 ⇔ f(x) > f(1) ⇔ x < 1 So điều kiện, suy ra -1/3 < x < 1 ⇔ x ∈ {0}

m nguyên của bất phương trình log3(x+1)+log5 (2x+1)=2 Bài 7: Tổng các nghiệm bằng? A. 1.

B. 2.

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

C. 3.

D. 4.

Điều kiện x > -1/2 Đặt f(x)=log3 (x+1)+log5 (2x+1)

ến trên (-1/2;+∞) Suy ra, hàm số đồng biến f(x) > f(2)⇔ x > 2 So điều kiện, suy ra -1/2 < x < 2 ⇒ x ∈ {0;1} ⇒ S=0+1=1

m nguyên của bất phương trình sau bằng? Bài 8: Tích các nghiệm

A. 4

B. 6

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích :

C. 0

D. 2

(*)⇔ log (x2-x+1)+(x2-x+1) ≥ log (2x2-4x+3)+2x2-4x+3 (*) Đặt f(t)=log t+t,t ∈ (0;+∞)

ến trên (0;+∞) Suy ra, hàm số f đồng biến Mặt khác log (x2-x+1) ≥ log (2x2-4x+3) ⇔ x2-x+1 ≥ 2x2-4x+3 ⇔ -x2+3x-2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ S={1;2}

nhất của bất phương trình log3(4.3x-1) > 2x-1 là: Bài 9: Nghiệm nguyên lớn nh A. x=3

B. x=2

C. x=1

D. x=-1

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Ta có log3(4.3x-1) > 2x-1 ⇔ 4.3x-1 > 32x-1 ⇔ 32x-4.3x < 0 ⇔ 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34 Bất phương trình logarit có chứa tham số m

ất cả giá trị nguyên của tham số m (m<3) để bất phương Câu 1:Gọi S là tổng tất trình A. S= - 3 B.S= -7

vô nghiệm. Tính S.

C. S=0 D. S= 4 Hiển thị lời giải

Để bất phương trình đã cho vô nghiệm thì bất phương trình x2- mx+4≤0 vô nghiệm

Mà m nguyên và m< 3 nên m= -3; -2; -1; 0;1; 2 Khi đó S = -3. Chọn A. Câu 2:Tìm tất cả các giá tr trị thực của tham số m để bất b phương trình

có nghiệm x≥1?

A. m≥7 B.,m> 7 C. m≤7 D.m < 7 Hiển thị lời giải Bất phương trình đã cho

Đặt

do x≥1

Bất phương trình đãã cho tương đương với t(1+t)> m-

Suy ra t2+ t>m-1 hay f(t) > m-1 Với f(t) = t2+ t Đạo hàm f’ (t) = 2t+1>0 với nên hàm đồng biến trên Nên Min f(t) =f(2) =6 Do đó để để bất phương trình thì: m-1≤min f(t) hay m≤7

có nghiệm x≥1

Chọn C.

trị thực của tham số m sao cho khoảng ng (2 ; 3) thuộc thu tập Câu 3:Tìm tất cả các giá tr nghiệm của bất phương trình A. B.

.

. .

C. D.

. .

Hiển thị lời giải

ọi 2<x< 3 Hệ trên thỏa mãn với mọi

Chọn A. Câu 4:Bất phương trình lg2x-mlg x+m+3≤0 có nghiệm x > 1 khi giá trị của m là:

A.

.

B. C.

. .

D. (3;6]. Hiển thị lời giải Điều kiện mx> 1 Đặt t= lg x, với x> 1 thì lg x> 0

≤ m(t-1) (*) Khi đó phương trình đã cho trở thành t2- mt+m+3≤0 hay t2+ 3≤ TH1: Với t-1> 0 hay t> 1 Khi đó (*)

(I)

Xét hàm số. với t> 1, có Suy ra TH2: Với t<1 khi đó (*)

Xét hàm số

. Khi đó để (I) có nghiệm khi (II)

với 0< t<1, có

Suy ra

. Khi đó để (I) có nghiệm khi

Vậy

là giá trị cần tìm của bài toán.

Chọn A.

Câu

5:Tìm

m

thỏa

để

mãn

BPT A. 2≤m< 4 B.2< m< 4 C. m≥2 D. m< 4 Hiển thị lời giải

Điều kiện: Đặt BPT có dạng: Vì t≥0 nên ta được

Vậy BPT BPT có nghiệm với

khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm với

Khi mỗi BPT trong hệệ (I) có nghiệm với Xét hàm số f(x) =x2- 2x ta có bảng biến thiên

.

.

Từ bảng biến thiên ta suy ra Hay . 2≤m< 4 Chọn A.

ất phương trình Câu 6:Xác định m để bất > 0.

v mọi m (1) có nghiệm đúng với

A. m≤1 B.m ≤2 C. m< 1 D. m > 2 Hiển thị lời giải Đặt t=

ện t > 1 , điều kiện

Khi đó (1) có dạng: y =

(2)

Vậy (1) nghiệm đúng với ới ∀ m > 0 ⇔ (2) nghiệm đúng với ∀ t >1. Xét hàm số: y =

.

∞ ). Tập xác định D = (1, +∞

Đạo hàm: y’ = Y’ =0 khi t-2=0 hay t= 2 Bảng biến thiên:

Vậy bpt nghiệm đúng với ới ∀ t >1 ⇔ m 1. Chọn A. Câu

7:Vớii

trình

giá

tr trị

nào

của

m

thì

nghiệm đúng với mọi

A. 2< m≤5 B. 2< m< 7 C.5 ≤ m ≤ 9 D. m ≥ 9 . Hiển thị lời giải (1).

Ta phải có Đồng thời

(2).

ấ bất ?

phương

Từ (1) và (2) suy ra chọn đáp án 2< m≤5. Chọn A.