SÁNG KIẾN MÔN TOÁN CẤP THPT
vectorstock.com/22666516
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (Đối tượng Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng MỤC LỤC 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 2 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu ................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2 6. Dự kiến đóng góp của đề tài ....................................................................... 3 CHƯƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .............................................................. 4 1. Phương trình đường thẳng .......................................................................... 4 2. Khoảng cách và góc ................................................................................... 5 3. Các dạng bài tập ......................................................................................... 7 CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN ............................................ 13 1. Điểm và đường thẳng ........................................................................... 13 2. Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác......................................... 19 3. Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác ........................................... 37 CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU .............................................................................................................. 54 KẾT LUẬN...................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 65
1
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG. Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài “phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”. Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này, tránh những sai lầm dễ mắc phải. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra được những dạng bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng. 4. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu •
Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG.
•
Đối tượng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG.
5. Phương pháp nghiên cứu - Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm và kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua. - Phương pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. - Phương pháp thử nghiệm. - Phương pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng. - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp khảo sát, thống kê.
2
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
3
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƯƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình đường thẳng 1.1. Phương trình tổng quát của một đường thẳng Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0 ) với n (a;b ) là véc tơ pháp tuyến. Nhận xét: Nếu n là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k .n cũng là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ . 1.2. Phương trình tham số của một đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và có véc tơ x = x 0 + a1t chỉ phương u (a1; a 2 ) là: ( a12 + a 22 ≠ 0 , t là tham số) y = y 0 + a 2t Nhận xét: Nếu u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k .u cũng là
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . 1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và có véc tơ x − x0 y − y0 chỉ phương u (a1; a 2 ) là: ,(a1.a 2 ≠ 0) = a1 a2
1.4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (a; 0)và B (0;b ), a,b ≠ 0 là: x y + =1 a b
được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
4
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Chú ý: Nếu có hai điểm A (x A; yA ) và B (x B ; yB ), x B − x A, yB − yA ≠ 0 thì ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (x A; yA ) và B (x B ; yB ) là: x − xA y − yA = xB − xA y B − yA
2. Khoảng cách và góc 2.1. Khoảng cách Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax + by + c = 0 và điểm M (x 0 ; y 0 ) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính bởi công thức:
d (M , ∆) =
ax 0 + by 0 + c a 2 + b2
Cho đường thẳng cắt nhau ∆ và ∆′ có phương trình: ax + by + c = 0 và a ′x + b ′y + c ′ = 0 .
Phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′ là: ax + by + c a 2 + b2
=±
a ′x + b ′y + c ′ a ′2 + b ′2
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax + by + c = 0 và hai điểm M (x M ; y M ), N (x N ; y N ) không nằm trên ∆ . Khi đó:
+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với ∆ khi và chỉ khi
(ax
M
+ byM + c )(ax N + by N + c ) > 0
+) Hai điểm M , N nằm khác phía với ∆ khi và chỉ khi
(ax
M
+ byM + c )(ax N + by N + c ) < 0
2.2. Góc Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax + by + c = 0 và đường thẳng ∆′ có phương trình: a ′x + b ′y + c ′ = 0 .
5
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′ ta có:
Cosϕ =
aa ′ + bb ′
a 2 + b 2 . a ′2 + b ′2
6
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 3. Các dạng bài tập Chú ý: Các điểm đặc biệt trong tam giác Cho tam giác ABC, khi đó: +) Trọng tâm G (
x A + x B + xC yA + yB + yC ; ) 3 3
.BC = 0 AH +) Trực tâm H: BH .AC = 0 IA2 = IB 2 +) Tâm đường tròn ngoại tiếp I: 2 IA = IC 2
Các đường đặc biệt trong tam giác: +) Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. +) Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. +) Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó. +) Đường phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC. Một số bài toán cơ bản: Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đường cao không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại.
7
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Cách giải: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK . - Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH . A (a,b) H K
C
B
Bài toán 2: Cho một đỉnh và hai đường trung tuyến không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phương trình CN tìm tham số và điểm
C. - Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phương trình BM tìm tham số và điểm
B. A(a,b) M
N
B
C
Bài toán 3: Cho một đỉnh và hai đường phân giác trong không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Gọi A ' và A '' là hai điểm đối xứng của A qua đường phân giác
BB ' và CC ' ( A ' và A '' thuộc cạnh BC ). - Viết phương trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và C .
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A' A
C
B A''
Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trước. Tìm các yếu tố còn lại. Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k … Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) . và hai điểm A (x A ; yA ), B (x B ; y B ) không
thuộc ∆ . Xác định điểm M trên đường thẳng ∆ , biết đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng AB . Cách giải: - Viết phương trình đường thẳng AM qua A và vuông góc với đường thẳng AB. - Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng ∆ .
:ax+by+c=0 M
A(xA;yA)
B(xB;yB)
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài toán 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) và điểm C (xC ; yC ) không thuộc ∆ . Xác
định tọa độ điểm A trên đường thẳng ∆ , biết góc giữa hai đường thẳng AC và ∆ bằng ϕ .
C(xC;yC)
Cách giải:
ϕ
A
:ax+by+c=0
- Tham số hóa điểm A.
AC .u ∆ - Sử dụng công thức cos ϕ = ( u ∆ là véc tơ chỉ phương của đường AC u ∆ thẳng ∆ ). - Giải phương trình ở bước 2 và kết luận. Bài toán 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A (x A ; yA ), B (x B ; y B ) . Xác định điểm M trên đường thẳng AB, biết AM = kBM ; (k ∈ R, k > 0) .
Cách giải: B
- Giả sử M (x ; y )
A
M1
M2
- Xác định M trong hai trường hợp: - Trường hợp 1: AM = −kBM (điểm M nằm trong đoạn AB). - Trường hợp 2: AM = kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB).
Bài toán 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) và hai điểm A (x A; yA ), B (x B ; y B ) không M
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thuộc ∆ . Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho d (M , AB ) = k (k ∈ R, k > 0) .
Cách giải: - Tham số hóa điểm M. - Sử dụng công thức tính khoảng cách d (M , AB ) . - Giải phương trình ở bước 2 và kết luận. Bài toán 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (x A ; yA ), B (x B ; y B ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 )
và thỏa mãn hệ thức d (A, ∆) = k .d (B, ∆) ; (k ∈ R, k > 0) .
A
Cách giải: - Giả sử ∆ : ax + by = ax 0 + by 0 (a 2 + b 2 ≠ 0)
M B
a = αb - Sử dụng hệ thức d (A, ∆) = k .d (B, ∆) ⇒ (*) a = βb
- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn (*) Một số bài toán dựng hình cơ bản +) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng ∆ Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆ H =d ∩∆
+) Dựng A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên ∆
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x = 2x − x H A Lấy A’ đối xứng với A qua H: A ' yA ' = 2yH − yA +) Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng ∆ Lấy hai điểm M, N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua ∆ . Khi đó d ' ≡ M ' N '
12
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1. Điểm và đường thẳng A-Ví dụ
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (−2; 3) tạo với đường thẳng d : 2x − 3y + 3 = 0 góc 450 .
Lời giải: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm I (−2; 3) có dạng:
a (x + 2) + b (y − 3) = 0 , (a 2 + b 2 ≠ 0 ). Hay ∆ : ax + by + 2a − 3b = 0 Mà góc tạo bởi 2 đường thẳng d và ∆ bằng 450 suy ra: Cos 450 =
2a − 3b a 2 + b 2 . 13 2a − 3b
2 = 2 a 2 + b 2 . 13 2 ⇔ 2 ( 2a − 3b ) = 13 (a 2 + b 2 ) ⇔
⇔ 5a 2 + 24ab − 5b 2 = 0
+ Chọn b = 0 ⇒ a = 0 ( loại) a = −5 + Chọn b = 1 ⇒ 5a 2 + 24a − 5 = 0 ⇔ a=1 5
Vậy PT đường thẳng ∆ là: −5x + y − 13 = 0 hoặc x + 5y − 13 = 0
Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng. Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và b. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (−2; 3) và cách đều 2 điểm A(5; −1) và B (3;7). 13
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Lời giải: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm I (−2; 3) có dạng:
a (x + 2) + b (y − 3) = 0 , (a 2 + b 2 ≠ 0 ) Hay ∆ : ax + by + 2a − 3b = 0 Mà d (A; ∆) = d (B; ∆) ⇔
7a − 4b
=
5a + 4b
a 2 + b2 a 2 + b2 ⇔ 7a − 4b = 5a + 4b a = 4b ⇔ a = 0
Vậy có 2 đường thẳng ∆ là: 4x + y + 5 = 0 hoặc y − 3 = 0
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với AB , ∆ đi qua trung điểm của AB . Ví dụ 3: Cho đường thẳng ∆ có phương trình: x + y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆′ song song với đường thẳng ∆ và cách ∆ một khoảng bằng 2 . Lời giải: PT đường thẳng ∆′ song song với đường thẳng ∆ có dạng:
x + y + m = 0, (m ≠ 2) Chọn điểm M (−2; 0) thuộc ∆ . Theo bài ra ta có: d (M , ∆′) = 2 hay m −2 2
m = 4 = 2 ⇔ m − 2 = ±2 ⇔ m = 0
Vậy phương trình đường thẳng ∆′ là: x + y = 0 hoặc x + y + 4 = 0 Ví dụ 4( Khối A-2006):
14
Trong
mặt
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng
d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0 và d 3 : x − 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M
thuộc d 3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d2 . Lời giải: Gọi M (2a; a ) ∈ d 3 Theo bài ra ta có d (M , d1 ) = 2d (M , d2 ) ⇔
2a + a + 3
= 2.
2a − a − 4
2 ⇔ 3a + 3 = 2 a − 4 a = −11 ⇔ a = 1
2
Vậy M (−22; −11) hoặc N (2,1) . Ví dụ 5( Khối B-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và
d :2x − y − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. Lời giải: +) Gọi N (a;2a − 2) ∈ d và M (b;b − 4) ∈ ∆ +) Đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay b = ka 4a OM = kON ⇔ ⇔ a (b − 4) = (2a − 2)b ⇔ b = b − 4 = k (2a − 2) 2 −a
(1) +) Mà
15
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2 2 OM .ON = 8 ⇔ b 2 + (b − 4) a 2 + (2a − 2) = 64 2 2 2 2 ⇔ (5a − 8a + 4) = 4 (a − 2) ⇔ (5a − 10a + 8)(5a 2 − 6a ) = 0 a = 0 ⇔ (5a 2 − 6a ) = 0 ⇔ a = 6 5 6 2 Vậy N (0; −2) hoặc N ; 5 5
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt tia Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác AOB có diện tích nhỏ nhất. Lời giải: PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt Oy tại B(0;b): x y + = 1 (a, b ≥ 0) a b M (1,2) ∈ d ⇔
1 2 + =1 a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 =
Mà : S ∆AOB
1 2 1 2 + ≥ 2 . ⇒ ab ≥ 8 a b a b
a.b = 8 a = 2 1 = ab ≥ 4 ⇒ (S ∆AOB ) = 4 ⇔ 1 2 ⇔ min 2 = b = 4 b a
Vậy phương trình đường thẳng d là:
x y + =1 2 4
B-Bài tập Bài tập 1: Cho điểm A (2; −1) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d :2x − y − 4 = 0 sao cho AM = 2. 11 2 ĐS: M 1 (1; −2), M 2 ; . 5 5 16
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M (−1; −1) lên đường thẳng d : x − y + 2 = 0.
ĐS: H (−2; 0) . Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M ′ là đối xứng của M (1;1) qua đường thẳng d : x + y + 2 = 0.
ĐS: M ′ (−3; −3) . Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A (1; 3) và cách điểm B (−2;1) một khoảng bẳng 3.
ĐS: ∆1 : x − 1 = 0; ∆2 :5x + 12y − 41 = 0. Bài tập 5: Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
biết A (1;1), B (4;5),C (−4; −11) . ĐS: 4x + 7y − 11 = 0. Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua M (3;1) cắt Ox, Oy lần lượt
tại A và B sao cho: a) OA + OB nhỏ nhất. b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. c)
1 1 nhỏ nhất. + 2 OA OB 2
(
) (
)
ĐS: a) 3 − 3 x + 3 3 − 3 y = 6 , b) x + 3y = 6 , c) 3x + y = 10. Bài tập 7: Cho đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 và hai điểm A (1; −1), B (2; 0) .
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất. b) MA − MB lớn nhất.
17
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 31 33 ĐS: a) M ; , b) M (5; 3) . 35 35
Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1;1) và B (4; −3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng cách
từ C đến AB bằng 6. ĐS: C(7;3) Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 2 = 0 và
điểm I (1;1) . Viết phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450.
ĐS: 3x + y + 6 = 0, 3x + y − 14 = 0, x − 3y − 8 = 0, x − 3y + 12 = 0. Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Viết phương trình
đường
thẳng
∆
đi
qua
điểm
M
và
cắt
2
đường
thẳng
d1 : 3x − y − 5 = 0, d2 : x + y − 4 = 0 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho
2MA − 3MB = 0. ĐS: x − y = 0, x − 1 = 0 Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (1;2) . Viết phương trình
đường thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho
9 4 + 2 OA OB 2
nhỏ
nhất. ĐS: 2x + 9y − 20 = 0 Bài tập 12: Cho đường thẳng d : x + y + 2 = 0 và A (2;1), B (−1; −3),C (1; 3) .
Tìm M thuộc d sao cho: a) MA − MB lớn nhất. b) MA2 + MB 2 − MC 2 nhỏ nhất. c) MA + MB + MC nhỏ nhất.
18
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2. Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác A- Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (1; −2) , B (−3; 3) . Tìm tọa độ điểm C thuộc ∆ : x − y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc. Lời giải: Gọi C (c; c + 2)∈ ∆ ta có: AC (c − 1; c + 4), BC (c + 3;c − 1) Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra AC .BC = 0
⇔ (c − 1)(c + 3) + (c + 4)(c − 1) = 0 ⇔ (c − 1)(2c + 7) = 0 c = − 7 ⇔ c = 12 7 3 Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán:C (1; 3) , C − ; − . 2 2
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A (2;1) . Tìm tọa độ điểm B trên
∆ : x + 2y − 2 = 0 và điểm C trên d :x − 2y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông cân tai A.
Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau. Lời giải: Gọi B (2 − 2b;b )∈ ∆, C (2c − 2; c )∈ d , ta có AC (2c − 4;c − 1),
AB (−2b;b − 1)
AB. AC = 0 Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên: AB 2 = AC 2 19
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (1) −2b (2c − 4) + (b − 1)(c − 1) = 0 ⇔ 2 2 2 2 4b + (b − 1) = (2c − 4) + (c − 1) (2) Xét PT (1): −2b (2c − 4) + (b − 1)(c − 1) = 0 Nếu b = 0 thì c = 1 không thỏa mãn PT (2) suy ra b ≠ 0. Khi đó PT (1) ⇔ 2c − 4 =
(b − 1)(c − 1) 2b
Thay vào PT (2) ta được 2
2
4b 2 + (b − 1)
2
(b − 1) (c − 1) = 4b 2
2
+ (c − 1)
2 2 (c − 1) 2 ⇔ 4b + (b − 1) − 1 = 0 4b 2 2
(c − 1) ⇔ 4b 2
−1 = 0
2
⇔ (c − 1) = 4b 2 c − 1 = 2b ⇔ c − 1 = −2b
5 c = c − 1 = 2b 3 Trường hợp 1: ⇔ 2c − 4 = b − 1 1 b = 3 4 1 4 5 Suy ra B ; , C ; 3 3 3 3 c − 1 = −2b c = 3 Trường hợp 2: ⇔ 2c − 4 = 1 − b b = −1
Suy ra B (4; −1), C (4; 3) .
20
4 1 Vậy với B ; , 3 3
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 4 5 C ; hoặc B (4; −1), C (4; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 3
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết PT các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là: 4x + 3y − 4 = 0; x − y − 1 = 0. Phân giác trong của góc A có phương trình: x + 2y − 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Lời giải: A
B
C
D
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: 4x + 3y − 4 = 0 x = −2 ⇔ ⇒ A (−2; 4) x + 2y − 6 = 0 y = 4
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: 4x + 3y − 4 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ B (1; 0) x − y − 1 = 0 y = 0
Phương trình đường thẳng AC qua điểm A (−2; 4) có dạng: a (x + 2) + b (y − 4) = 0 ⇔ ax + by + 2a − 4b = 0
Gọi d :x + 2y − 6 = 0 Theo bài ra ta có d là phân giác trong của góc A nên: Cos (AB, d ) = Cos (AC , d )
⇔
1.a + 2.b a 2 + b2 . 5
=
4.1 + 2.3 25. 5
⇒ a + b = 2 a 2 + b2
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ⇔ a (3a − 4b ) = 0
a=0 ⇔ 3a − 4b = 0
+) Nếu a = 0 ⇒ b ≠ 0. Do đó AC : y − 4 = 0 +) Nếu 3a − 4b = 0 : chọn a = 4 thìb = 3.
Suy ra AC : 4x + 3y − 4 = 0 (trùng với AB ) Vậy PT đường thẳng AC là :y − 4 = 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT: y − 4 = 0 x = 5 ⇔ ⇒ C (5; 4) x − y − 1 = 0 y = 4
Vậy với A (−2; 4) ; B (1; 0) ; C (5; 4) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được
phương trình đường AC. A B'
B
D
C
Ví dụ 4( Khối D-2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4;1), trọng tâm G (1;1) và đường phân giác trong của góc A có PT: x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và C .
Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên. Lời giải:
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A
G
KM
I B
E
C
Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE : x − y − 1 = 0 Gọi M là trung điểm của AC . Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 1 GM = BG 2 Mà BG (5; 0) suy ra
x − 1 = 5 x = 7 7 ;1 M ⇔ ⇒ M M 2 2 2 y − 1 = 0 y = 1 M M
Từ B kẻ BK vuông góc với AE (K ∈AC ) tại I; Tam giác ABK có AI vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK. Đường thẳng BK ⊥ AE nên BK có dạng : x + y + c = 0. Mà B ∈ BK nên −4 + 1 + c = 0 ⇔ c = 3 Suy ra PT đường thẳng BK :x + y + 3 = 0. Ta thấy I ∈ BK , I ∈ AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: x − y − 1 = 0 x = −1 ⇔ ⇒ I (−1; −2) x + y + 3 = 0 y = −2
Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm K (2; −5) . 3 3 Suy ra MK = − ; −6 = − (1; 4) 2 2
Đường thẳng AC đi qua 2 điểm M ,K nên có phương trình: x −2 y + 5 = 1 4
⇔ 4x − y − 13 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
4x − y − 13 = 0 ⇔ x x − y − 1 = 0 y
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng =4 ⇒ A (4; 3) =3
M là trung điểm của AC nên C (3; −1) Vậy A (4; 3);C (3; −1) . Ví dụ 5( Khối D-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua
O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ . Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH . Lời giải: Gọi véc tơ chỉ phương của ∆ là: u (a ;b ),
(a
2
+ b 2 ≠ 0)
PT tham số của đường thẳng ∆ qua O (0; 0) và có véc tơ chỉ phương u (a;b ) là:
x = at y = bt H ∈ ∆ ⇒ H (at ;bt ) ⇒ AH (at ;bt − 2)
AH ⊥ ∆ ⇔ AH .u = 0 ⇔ a 2t + b 2 − 2b = 0 ⇔t =
2b a + b2 2
(1)
Lại có: d (H , 0x ) = AH 2
⇔ b 2t 2 = a 2t 2 + (bt − 2) ⇔ a 2t 2 − 4bt + 4 = 0
(2)
Từ (1), (2)ta có :a 4 + a 2 .b 2 − b 4 = 0 Chọn a = 2 tacó :−b 4 + 2b 2 + 4 = 0 ⇔ b = ± 1 + 5
24
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x = 2t x = 2t Vậy PT đường thẳng ∆ là hoặc y = 1 + 5t y = − 1 + 5t Ví dụ 6( Khối B-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4;1), phân giác trong góc A có PT: x + y − 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác phía với một đường thẳng. C
C'
B
A
Lời giải: Gọi: d là đường phân giác trong góc A, A (a;5 − a ) ∈ d ⇒ AC (−4 − a; a − 4) Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n (1;1) suy ra có véc tơ chỉ phương u (1; −1)
Tam giác ABC vuông tại A ta có: AC .u Cos (AC , d ) = AC . u
⇔
−4 − a + 4 − a 2
2
2. (−4 − a ) + (−4 + a )
=
1 2
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ⇔ −2a =
2
2
(−4 − a ) + (−4 + a )
⇔ 4a 2 = 2a 2 + 32 ⇔ a 2 = 16
⇔ a = 4 ( do a có hoành độ dương) Suy ra A ( 4;1) suy ra AC = 8 và AC (8, 0) . Gọi B (x ; y ) ta có AB (x − 4; y − 1) ⇒ AB =
Theo bài ra ta có: S ∆ABC =
2
2
(x − 4) + (y − 1)
1 AB.AC 2
2 2 1 .8. (x − 4) + (y − 1) (1) 2 Mà AB.AC = 0 ⇔ 8. (x − 4) + 0.(y − 1) = 0 ⇔ x = 4
⇔ 24 =
Thay vào (1) ta được y = 7 hoặc y = −5 . Suy ra B (4;7) hoặc B (4; −5) . Xét hàm số: F (x ; y ) = x + y − 5 Với B (4;7) , ta có: F (x B ; yB ) .F (xC ; yC ) = −48 < 0. Suy ra B và C nằm khác phía với đường phân giác góc A. Còn B (4; −5) (loại). Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x − 4y + 16 = 0.
Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau: B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d. B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A. B3: Viết phương trình đường AC’. B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’. Tính diện tích AB. Với điều kiện B, C’ nằm cùng phía với điểm A. Hay AB cùng chiều với AC ' . Ví dụ 7( Khối A-2010): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6;6), đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình:
26
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (∆) : x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Lời giải: A
E
I
B
H
C
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC AH ⊥ ∆ suy ra AH có phương trình: x − y + c = 0 AH qua A suy ra 6 − 6 + c = 0 ⇔ c = 0
Phương trình đường cao AH là: x − y = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ: x + y − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ A(2;2) x − y = 0 y = 2
Theo tính chất đường trung bình ta có I là trung điểm của AH Suy ra H (−2; −2). PT đường thẳng BC qua H và song song với ∆ có dạng: x + y + d = 0.
H thuộc BC ⇒ −2 − 2 + d = 0 ⇔ d = 4 Suy ra phương trình đường thẳng BC : x + y + 4 = 0 Gọi B (x 1; −x 1 − 4) ;C (x 2 ; −x 2 − 4) ta có: CE = (1 − x 2 ; 1 + x 2 ) ; AB = (x 1 − 6; −x 1 − 10) Theo bài ra ta có: CE .AB = 0 ⇔ (1 − x 2 )(x 1 − 6) + (1 + x 2 )(−x 1 − 10) = 0 (1) Mặt khác H là trung điểm của BC nên: x 1 + x 2 = −4
(2)
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x = 0 x = −6 Từ (1), (2) ta có: 1 hoặc 1 x 2 = −4 x 2 = 2 Vậy B (0; −4);C (−4; 0) hoặc B (−6;2),;C (2; −6) . Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong
AD : x − y = 0, đường cao CK : 2x + y + 3 = 0, đường thẳng AC đi qua M (0; −1) . Viết phương trình các cạnh biết BA = 2MA.
Lời giải: A K N
B
M I
C
D
Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB Phương trình đường thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra MN : x + y + 1 = 0
Gọi I là giao của MN và AD suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: x = − 1 x − y = 0 1 1 2 ⇔ ⇒ I − ;− 2 2 x + y + 1 = 0 1 y = − 2
Mà I là trung điểm của MN nên N (−1; 0) Đường thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra AB : x − 2y + 1 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x − 2y + 1 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ A (1;1) x − y = 0 y = 1
Đường thẳng AC qua A và M nên AC : x − 2y − 1 = 0
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: x − 2y − 1 = 0 x = − 1 1 ⇔ 2 ⇒ C − ; −2 2 2x + y + 3 = 0 y = −2
Gọi B (2b − 1;b ) ∈ AB 2
2
Ta có: AB 2 = (2b − 2) + (b − 1) , MA2 = 5. 2
Mà BA = 2MA ⇒ 4MA2 = AB 2 ⇔ 5 (b − 1) = 20 b = −1 ⇔ (b − 1) = 4 ⇔ b = 3 2
+) Nếu b = −1 ⇒ B (−3; −1) Thỏa mãn +) Nếu b = 3 ⇒ B (5; 3) không thỏa mãn do B,C nằm cùng một phía so với
AD. 5 11 = 0. Suy ra đường thẳng BC qua B và C là: x + y + 2 2
Vậy phương trình các cạnh là: AB : x − 2y + 1 = 0, AC : x − 2y − 1 = 0, 5 11 = 0. BC : x + y + 2 2
Ví dụ 9( Khối B-2013): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ 17 1 đỉnh A là H ; − , chân đường phân giác trong của góc A là D (5; 3) và 5 5
trung điểm của AB là M (1; 0) . Tìm tọa độ đỉnh C . Lời giải:
29
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng A N M
B
K
C
H D
Ta có AH qua H và vuông góc với HD nên AH có phương trình:
x + 2y − 3 = 0 Gọi A (3 − 2a;a ) ∈ AH. Do M là trung điểm của AB nên MA = MH a = − 1 Suy ra (3 − 2a ) + (a − 1) = 13 ⇔ a = 35 2
2
17 1 1 +) Nếu a = − thì A ; − ( loại do A ≠ H ) 5 5 5
+) Nếu a = 3 thì A (−3; 3) Phương trình đường thẳng AD qua A và D là: y − 3 = 0 Gọi N (a, b ) là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N ∈ AC và MN vuông góc AD hay MN .AD = 0 ⇔ a.8 + b.0 = 0 ⇒ a = 0 a b + 1 Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra K ; 2 2
K ∈ AD ⇒
b +1 −3 = 0 ⇔b = 5 2
Do đó N (0; 5) Phương trình đường thẳng AC qua A và N là: 2x − 3y + 15 = 0 Phương trình đường thẳng BC qua H và D là: 2x − y − 7 = 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 2x − 3y + 15 = 0 x = 9 ⇔ ⇒ C (9;11) 2x − y − 7 = 0 y = 11
Vậy C (9;11) .
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Ví dụ 10( THPTQG-2015): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B qua H ;
K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H (−5; −5), K (9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng
x − y + 10 = 0. tìm tọa độ điểm A. Lời giải: A M
B
H
C
D K
Gọi M là trung điểm AC . Ta có MH = MK =
AC , nên M thuộc đường 2
trung trực của HK . Đường trung trực của HK có phương trình x − y + 10 = 0 7x + y − 10 = 0, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ 7x + y − 10 = 0.
Suy ra M (0;10), = HCA = HAB = HAD , nên △AHK cân tại H , suy ra Ta có HKA HA = HK . Mà MA = MK , nên A đối xứng với K qua MH . Ta có MH = (5;15); đường thẳng MH có phương trình 3x − y + 10 = 0.
Trung điểm AK thuộc MH và AK ⊥ MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ x + 9 y − 3 3 − + 10 = 0 2 2 (x − 9) + 3 (y + 3) = 0.
Suy ra A (−15; 5) .
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Nhận xét: Mấu chốt ở đây là ta nhớ được tính chất đường trung tuyến trong = HKA . tam giác vuông để chỉ ra MH=MK. Nhớ được tính chất chỉ ra HAK
B- Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có A (2;2) và các phân giác trong góc B, góc C
lần lượt là: ∆B : x − 3y − 4 = 0, ∆C : x + y − 2 = 0. Tìm tọa độ B và C . 6 14 Đáp số: B ; , C (9; −7) . 5 15
Bài tập 2: Cho các điểm A (1;1), B (2;5),C (4;7) . Chứng minh tam giác ABC
có góc A nhọn. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A asao cho d(B,d ) + d(C ,d ) lớn nhất. Đáp số: 2x + 5y − 7 = 0. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Điểm K thuộc đoạn BC sao cho CK = 3KB. Điểm G thỏa mãn AG = −2GK . Điểm D thuộc BC sao
cho GD = GB. Biết D (7; −2), phương trình AK :3x − y − 13 = 0 và điểm A có tung độ âm. Viết phương trình AB. Đáp số: x = 3. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có:
AB : x − y + 2 = 0, AC :2x + y + 1 = 0, BC :4x − y − 7 = 0. 3 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ;6 mà chia tam giác ABC 2
thành hai phần có diện tích bằng nhau.
(
) (
)
Đáp số: d : 6 − 6 34 x + 3 34 − 15 y + 81 − 9 34 = 0. Bài tập 5: Cho tam giác ABC
có trực tâm H (2; 0) , trung tuyến
CM :3x − 7y − 8 = 0. Trung trực của BC là d : x − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
A. 32
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 16 Đáp số: A (2;2), A 2; . 5
Bài tập 6: Cho tam giác ABC , phân giác trong AD : x + y + 2 = 0, đường cao BH :2x − y + 1 = 0. AB qua M (1;1), S ABC =
Bài tập 7: Cho tam giác ABC có
27 . Tìm A, B,C . 4
A A ∈ Ox (0 < x A < 2, 5). Hai đường cao
hạ từ B,C có phương trình lần lượt là:
(d ) : x − y + 1 = 0; (d ) :2x + y − 4 = 0. 1
2
Tìm tọa độ A, B,C để diện tích tam giác ABC lớn nhất. 1 5 3 7 Đáp số: A ; 0, B − ; − ,C ; −3 . 2 2 2 2
Bài tập 8: Cho tam giác ABC và đường thẳng ∆ : x − 3y − 1 = 0. Giả sử 7 14 19 D 4; , E ; , N (3; 3) theo thứ tự là chân đường cao từ A, B và trung 2 5 10
điểm AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết trung điểm M của BC nằm trên ∆ và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4. Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm H (3; 0) và trung điểm của BC là I (6;1) . Đường thẳng AH : x + 2y − 3 = 0. Gọi D, E lần lượt là chân đường
cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng DE : x − 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.
Đáp số: A (−1;2), B (4; −3),C (8;5) . Bài tập 10( Khối D-2009):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình : 7x − 2y − 3 = 0; 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC .
33
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đáp số: Phương trình đường thẳng AC : 3x − 4y + 5 = 0 Bài tập 11(Khối B-2009):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 11 3 3 5 3 5 11 3 Đáp số: B ; ;C ; hoặc B ; − ;C ; 2 2 2 2 2 2 2 2
Bài tập 12(Khối B-2008):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H (−1; −1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình: 4x + 3y − 1 = 0. 10 3 Đáp số: C − ; 3 4
Bài tập 13(Khối B-2007):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (2;2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0,d2 : x + y − 8 = 0. Tìm hai điểm B, C thuộc d1, d2 sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A. Đáp số: B (−1; 3),C (3;5) hoặc B (3; −1),C (5; 3) Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5,
đỉnh C (−1; −1), đường thẳng AB có phương trình: x + 2y − 3 = 0, trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng: x + y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC . 1 3 1 3 Đáp số: A 4; − , B 6; − hoặc B 4; − , A 6; − 2 2 2 2
34
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (4; −2), phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là:
x − y + 2 = 0, 3x + 4y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh C , B của tam giác ABC . 1 9 7 1 Đáp số: B − ; ; C − ; 4 4 4 4
Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (2, 4).
Đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của AB, AC
có phương trình:
4x − 6y + 9 = 0. Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có PT:
2x − 2y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện tích bằng
7 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1. 2
Đáp số: B (1;1), C (4; 3) Bài tập 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương
trình các cạnh AB, BC lần lượt là: x + 2y − 1 = 0, 3x − y + 5 = 0. Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M (1; −3). Đáp số: Phương trình đường thẳng AC: 2x + 11y + 31 = 0 Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình
đường phân giác trong góc A là d1 : x + y + 2 = 0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2 : 2x − y + 1 = 0, cạnh AB đi qua M (1; −1) . Viết phương trình cạnh
AC . Đáp số: Phương trình đường thẳng AC: x + 2y + 7 = 0. Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : 2x + 5y + 3 = 0, d2 : 5x − 2y − 7 = 0 cắt nhau tại A và điểm P (−7; 8) .
35
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d 3 đi qua P tạo với d1,d2 thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng
29 . 2
Đáp số: Phương trình đường thẳng d 3 : 7x + 3y + 25 = 0.
36
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 3. Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác
Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng. Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng… A- Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh hình bình hành ABCD biết tâm hình bình hành là I (1;6) còn các cạnh AB, BC , CD, DA
lần lượt đi qua M (3; 0) ; N (6;6) ; P (5;9); Q (−5; 4) .
Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành. Lời giải: M
A
B
Q
I D
Q' C
M'
P
N
Do I là tâm hình bình hànhnên lấy M ′ đối xứng với M qua I .
⇒ M ′(−1;12), M ′ ∈ CD PT đường thẳng CD qua P và M ′ là: x + 2y − 23 = 0. PT đường thẳng AB qua M và song song với CD là: x + 2y − 3 = 0 . Lấy Q ′ đối xứng với Q qua I ⇒ Q ′(7; 8) và Q ′ ∈ BC PT đường thẳng BC qua N và Q ′ là: 2x − y − 6 = 0 PT đường thẳng AD qua Q và song song BC là: 2x − y + 13 = 0 Vây PT các cạnh HBH là: CD :x + 2y − 23 = 0 AB : x + 2y − 3 = 0
BC :2x − y − 6 = 0 AD : 2x − y + 13 = 0
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N, P qua tâm I. Khi đó ta tìm được tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ lần lượt nằm trên hai đường thẳng AD và AB. Ví dụ 2: 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; 0 và 2
đường thẳng AB : x − 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình chữ nhật. Lời giải: M
A
B
I D
M'
C
Lấy M (0;1) thuộc đường thẳng AB Do I là tâm HCN nên lấy M ′ đối xứng với M qua I ⇒ M ′(1; −1), M ′ ∈ CD PT đường thẳng CD qua M ′ và song song với AB là: x − 2y − 3 = 0 .
Tacó : AD = d (AB,CD ) = d (M ′, AB ) =
1 − 2.(−1) + 2 5
= 5
⇒ AB = 2AD = 2 5 ⇒ d (I , AD ) = 5
PT đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng AB là: 2x + y + c = 0 ⇒ d (I , AD ) = 5 ⇔
c=4 = 5 ⇔ 5 c = −6
1+c
Suy ra đường thẳng AD có 2 PT: 2x + y + 4 = 0 và 2x + y − 6 = 0 Trường hợp 1: Nếu AD : 2x + y + 4 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng x − 2y + 2 = 0 x = −2 ⇔ ⇒ A (−2, 0) ⇒ C (3; 0) 2x + y + 4 = 0 y = 0 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: x − 2y − 3 = 0 x = −1 ⇔ ⇒ D (−1; −2)⇒ B (2;2) 2x + y + 4 = 0 y = −2
Trường hợp 2: Nếu AD : 2x + y − 6 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x − 2y + 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ A 2;2 ⇒ C −1; −2 ( ) ( ) 2x + y − 6 = 0 y = 2
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: x − 2y − 3 = 0 x = 3 ⇔ ⇒ D (3; 0) ⇒ B (−2; 0) 2x + y − 6 = 0 y = 0
Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là:
A (−2; 0) ; B (2;2); C (3; 0) ; D (−1; −2) hoặc A (2;2); B (−2; 0) ; C (−1; −2) ; D (3; 0) Ví dụ 3( Khối D-2012): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là 2x − y + 3 = 0 và x − y + 4 = 0, đường 1 thẳng BD đi qua điểm M − ;1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật 3
ABCD.
Lời giải: A
B N I M
D
O C
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x + 3y = 0 ⇔ x = −3 ⇒ A −3;1 ( ) x − y + 4 = 0 y = 1
Gọi d là đường thẳng qua M và song song với AD thì phương trình d có dạng: x − y + m = 0 ( m ≠ 4)
M ∈d ⇒m =
4 4 ⇒ (d ) : x − y + = 0 3 3
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: x − y + 4 = 0 x = −1 1 ⇒ ⇒ N −1; 3 1 x + 3y = 0 y = 3 3 2 2 Gọi I là trung điểm của MN thì I − ; 3 3
Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với AB thì phương trình của ∆ là:
x +y +n = 0 Điểm I ∈ ∆ ⇒ n = 0 ⇒ ∆ : x + y = 0 Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì tọa độ điểm O là nghiệm của hệ PT: x + 3y = 0 ⇔ x = 0 ⇒ O 0; 0 ( ) x + y = 0 y = 0
Phương trình đường thẳng BD đi qua 2 điểm M, O có dạng: x + 3y = 0. Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 3x + y = 0 ⇔ x = −1 ⇒ D −1; 3 ( ) x − y + 4 = 0 y = 3
Do O là trung điểm của AC và BD nên ta có B (1; −3) ; C (3; −1) Vậy
tọa
độ
các
đỉnh
của
hình
chữ
nhật
là:
D (−1; 3); B (1; −3) ;C (3; −1) ; A (−3;1)
Nhận xét: Ở đây ta để ý để chỉ ra ON=OM. 40
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Ta có thể dùng cách 2: Viết phương trình đường thẳng BD qua M tạo với AD một góc bằng (AD,AC). Khi đó được hai đường nhưng có 1 đường song song với AC. Ví dụ 4( Khối A-2012):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1 M ; và đường thẳng AN có phương trình: 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ 2 2
điểm A. Lời giải: B
A
M D
N
C
= α, DAN = β,ta có : Đặt BAM tan α =
BM 1 DN 1 = ,tan β = = AB 2 AD 3
1 1 + tan α + tan β Mặt khác: tan (α + β ) = = 2 3 = 1 ⇔ α + β = 450 1 1 1 − tan α.tan β 1− . 2 3 = 450 ⇒ MAN
= 450. Đến đây thì Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là ta chỉ ra được MAN
bài toán trở nên dễ dàng. Gọi A (a;2a − 3) ∈ AN , 11 1 7 Ta có: AM = − a; − a = (11 − 2a;7 − 4a ) 2 2 2
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đường thẳng AM , AN có véc tơ chỉ phương lần lượt là: AM (11 − 2a;7 − 4a ), AN (1;2) ta có:
AM .AN Cos 450 = AM . AN
⇔
1 2
25 − 10a
=
2
2
(11 − 2a ) + (7 − 4a ) .
5
⇔ 5 − 2a = 2a 2 − 10a + 17 2
⇔ (5 − 2a ) = 2a 2 − 10a + 17 a = 1 ⇔ a − 5a + 4 = 0 ⇔ a = 4 2
Vậy có 2 điểm A cần tìm là: A1 (1; −1), A2 (4;5) Ví dụ 5( Khối A- 2013):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A (−4; 8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N (5; 4) . Lời giải: A(-4;8)
B I
C
D N(5;4)
M
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi C (t; −2t − 5) ∈ d, gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm t − 4 −2t + 3 của AC nên I ; 2 2
Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) suy ra IN = IA Do đó ta có phương trình: 2
2
2
2
5 − t − 4 + −4 − −2t + 3 = −4 − t − 4 + 8 − −2t + 3 2 2 2 2 ⇔ t = 1 ⇒ C (1, −7 )
Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra AC song song DM Lại có BN ⊥ DM , suy ra BN ⊥ AC và CB = CN . Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC. Phương trình đường thẳng AC qua A và C là: 3x + y + 4 = 0. Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: x − 3y − 17 = 0. 3a + 22 a − 4 Gọi B (3a + 17; a ), gọi K là trung điểm của BN suy ra K ; 2 2 3a + 22 a − 4 + + 4 = 0 ⇔ a = −7 ⇒ B (−4; −7) K ∈ AC ⇔ 3 2 2
Vậy B (−4; −7),C (1; −7) . Ví dụ 6( Khối B- 2013):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình:
x + 2y − 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm H (−3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
43
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Lời giải: B
C
I
H A
D
= 450 Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra IB = IC ⇒ ICB
Mà IB ⊥ IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân tại I BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC ⇒ ∆HBC vuông cân tại Bsuy ra Ilà trung điểm của
HC. a − 3 b + 2 Gọi C (a;b ) ⇒ I ; 2 2 Do CH ⊥ BD ⇒ CH .BD = 0 ⇔ 2 (a − 3) − (b − 2) = 0 I ∈ BD ⇒
a −3 b +2 + 2. −6 = 0 2 2
(1) (2)
a = −1 Từ (1), (2) suy ra ⇒ C (−1, 6) b = 6
Ta có
IC IB BC 1 = = = ⇔ 3IC = ID ID ID AD 3
Mà :CD = IC 2 + ID 2 = 10IC 2 = 5 2 ( theo pitago) Gọi D (6 − 2t, t ) ∈ DB vàCD = 5 2 t = 1 2 2 ⇒ (7 − 2t ) + (t − 6) = 50 ⇔ t = 7
Vậy C (−1;6), D (4;1) hoặc C (−1;6), D (−8;7) . Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng ∆ : x − y − 2 = 0. Điểm M (4; −4) nằm trên đường
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thẳng chứa cạnh BC, điểm N (−5;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD = 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết điểm D có hoành
độ âm.
Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng trục của hình thoi. Lời giải: N(-5;1) B
A
C
I
M(4;-4)
M' D
Gọi M ′ đối xứng với M qua BD ⇒ M ′ (−2;2) Đường thẳng AB qua M ′N nên AB : x − 3y + 8 = 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT: x − y − 2 = 0 x = 7 ⇔ ⇒ B (7;5) x − 3y + 8 = 0 y = 5
Gọi D (d, d − 2) ∈ ∆, 2
2
do BD = 8 2 ⇔ (d − 7) + (d − 7) = 128 ⇔ d = −1 ⇒ D (−1, −3) Gọi I là tâm hình thoi suy ra I (3;1), khi đó đường thẳng AC qua I và vuông góc với BD suy ra AC có phương trình: x + y − 4 = 0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT: x + y − 4 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ A (1, 3)⇒ C (5, −1) x − 3y + 8 = 0 y = 3
Vậy tọa độ các đỉnh hình thoi là: A (1; 3), B (7;5), C (5; −1), D (−1; −3) .
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Nhận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N qua trục đối xứng AC. Khi đó ta tìm được tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD. Ví dụ 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD trong đó A thuộc đường thẳngd1 : x + y − 1 = 0, và C, D nằm trên đường thẳng d2 :2x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có
diện tích bằng 5. Lời giải: C
D
A
B
Gọi I là tâm hình vuông ABCD . Gọi A (a;1 − a ) ∈d1,ta có S ABCD = 5 ⇔ d (A, d2 ) = AD = 5 ⇔
2a − 1 + a + 3 5
= 5
a =1 ⇔ 3a + 2 = 5 ⇔ a = − 7 3
*) Với a = 1 ⇒ A (1; 0) suy ra phương trình cạnh AD : x + 2y − 1 = 0 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 2x − y + 3 = 0 x = −1 ⇔ ⇒ D (−1;1) x + 2y − 1 = 0 y = 1
Gọi C (a,b )ta cóC ∈ d2 và DC = 5 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng a = 0 2a − b + 3 = 0 b = 3 ⇔ 2 2 (a + 1) + (b − 1) = 5 a = −2 b = −1 Suy ra C (0; 3) hoặc C (−2; −1) . 1 3 +) Với C (0, 3) ⇒ I ; ⇒ B (2;2) 2 2 1 1 +) VớiC (−2, −1) ⇒ I − ; − ⇒ B(0; −2) 2 2
*) Với a = −
x + 2y +
−7 10 7 ; suy ra phương trình cạnh AD là: ⇒ A 3 3 3
13 =0 3
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT: 2x − y + 3 = 0 x = − 1 1 7 3 D ⇔ ⇒ − ; 3 3 x + 2y + 13 = 0 7 y = 3 3
Gọi C (a;b ) tacóC ∈ d2 và DC = 5 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:
2a − b + 3 = 0 2 2 1 7 a + + b − 3 3
a = − 4 3 b = 1 3 ⇔ =5 a = 2 3 13 b = 3
4 1 11 11 −10 4 +) Với C − ; ⇒ I − ; ⇒ B ; 3 3 6 6 3 3
47
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 2 13 5 23 4 16 +) Với C ; ⇒ I − ; ⇒ B − ; 3 3 6 6 3 3 Vậy có 4 hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là: A (1; 0), B (2;2),C (0; 3), D (−1;1)
hoặc A (1; 0), B (0; −2),C (−2; −1), D (−1;1) −7 10 −10 4 4 1 1 7 hoặc A ; , B ; ,C − ; , D − ; 3 3 3 3 3 3 3 3 −7 10 4 16 2 13 1 7 hoặc A ; , B − ; , C ; , D − ; . 3 3 3 3 3 3 3 3
Ví dụ 9 (Khối A-2014):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB , N thuộc cạnh AC sao cho AN = 3NC . Viết phương trình đường thẳng CD, biết M (1;2), N (2; −1) . Lời giải: I
D
C
N
A
B
M
Ta có MN = 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD, a > 0. Ta có AM =
a 3AC 3a 2 và AN = = , 2 4 4
5a 2 nên MN = AM + AN − 2AM .AN .cos MAN = . 8 2
Do đó
2
2
5a 2 = 10 ⇔ a = 4. 8
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng BD Gọi I (x ; y ) là trung điểm của CD. Ta có IM = AD = 4 và IN = = 2, 4 nên ta có hệ phương trình x = 1; y = −2 x = 17 ; y = − 6 . 5 5 +) Với x = 1; y = −2 ta có I (1; −2) và IM = (0; 4) . 2 2 (x − 1) + (y − 2) = 16 ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2
Đường thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phương trình: y + 2 = 0. 12 6 17 6 I ; − và IM = − ; . 5 5 5 5 Đường thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phương trình: 3x − 4y − 15 = 0.
+) Với x =
17 6 ; y = − . ta có 5 5
B- Bài tập: Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có A (1;2), B (3; 0). Chân đường cao H kẻ từ đỉnh A xuống đáy lớn CD thỏa mãn tam giác AHC vuông cân tại H và có diện tích bằng 9. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang. Bài tập 2(Khối A-2005): Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết
đỉnh A thuộc đường thẳng d1, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 và B, D thuộc trục hoành. Đáp số: A (1;1), B (0; 0),C (1; −1), D (2; 0) hoặc A (1;1), B (2; 0),C (1; −1), D (0; 0) .
Bài tập 3( Khối A-2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
∆ :x + y − 5 = 0
Đáp số: AB: y − 5 = 0 hoặc x − 4y + 19 = 0.
49
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD lần lượt đi qua các điểm M (2; 3), N (−1;2). Hãy lập phương 5 3 trình đường thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm I ; và 2 2
độ dài đường chéo AC bằng
26.
Đáp số: BC : x + y − 7 = 0, CD : x − y − 3 = 0 hoặc BC : 3x − 4y − 14 = 0,CD : 4x + 3y − 12 = 0. Bài tập 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I (3; 3) và 4 13 AC = 2BD. Điểm M 2; thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; thuộc 3 3
đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết B có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số BD : 7x − y − 18 = 0. Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng ∆ : x − y − 2 = 0. Điểm M (4; −4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N (−5;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD = 8 2. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành
độ âm. Đáp số: A (1; 3), B (7;5),C (5; −1), D (−1; −3) Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A (−4;5), và một đường chéo có phương trình ∆ : 7x − y − 8 = 0. Viết phương
trình các cạnh của hình vuông. Đáp số: AB : 3x − 4y + 31 = 0, AD : 4x + 3y + 1 = 0,
BC : 4x + 3y − 24 = 0,CD : 3x − 4y + 7 = 0.
50
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài tập 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD. Biết A (0;2), D (−2; −2) và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình: d : x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình = 450. thang khi góc AID
(
) ( 2 ), C (4 + 4
Đáp số: B 2 + 2;2 + 2 , C 2 + 4 2;2 + 4 2
(
hoặc B 4 + 3 2;2 +
2; −2 2
)
)
Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A (1; 0), B (0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x . Tìm tọa độ các đỉnh C và D. 5 8 8 2 Đáp số: C ; , D ; hoặc C (−1; 0), D (0; −2) . 3 3 3 3
Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD . Biết 4 AB = 2BC , đường thẳng AB đi qua điểm M − ;1, đường thẳng BC đi qua 3 1 điểm N (0; 3), đường thẳng AD đi qua điểm P 4; − , đường thẳng CD đi qua 3
điểm Q (6;2) . Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD. Đáp số: AB : 3x − 9y + 13 = 0, AD : 9x + 3y − 35 = 0, BC : 3x − y − 3 = 0, CD : x − 3y = 0
hoặc AB : 3x + 17y − 13 = 0, AD : 17x − 3y − 71 = 0, BC : 17 − 3y + 9 = 0, CD : 3x + 17y − 52 = 0.
Bài tập 11: Cho tam giác ABC . Gọi A′, B ′,C ′ là các điểm sao cho
ABA′ C , BCB ′A,CAC ′B
là
các
hình
bình
hành.
Biết
51
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng H 1 (0; −2), H 2 (2; −1), H 3 (0;1) là trực tâm của các tam giác BCA′,CAB ′, ABC ′. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Đáp số: A (1;1), B (2; −1),C (1; −2) . Bài tập 12: Cho hình chữ nhật ABCD có H (1;2) là hình chiếu vuông góc của 9 A xuống BD, điểm M ; 3 là trung điểm BC . Trung tuyến kẻ từ A của tam 2
giác ADH là (d ) :4x + y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC . Đáp số: BC :2x + y − 12 = 0, BC :2x + 8y − 33 = 0. Bài tập 13:Cho hình chữ nhật ABCD có A (5; −7), điểm C nằm trên đường thẳng (d1 ) : x − y + 4 = 0. Đường thẳng đi qua đỉnh D và trung điểm của đoạn thẳng AB là (d2 ) ; 3x − 4y − 23 = 0. tìm tọa độ của B và C biết điểm B có hoành độ dương. 33 21 Đáp số: B ; ,C (1;5) . 5 5
Bài tập 14: Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm cạnh CD và đường thẳng BN :13x − 10y + 13 = 0, điểm M (−1;2) thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AM . Gọi H là điểm đối xứng của N qua C . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành, biết rằng 3CA = 2AB và điểm H thuộc đường thẳng
∆ :2x − 3y = 0. 5 7 7 13 Đáp số: A − ; , B ; ,C (1;1), D (−3; −1). 3 3 3 3
Bài tập 15: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d :2x + y + 5 = 0 và A (−4; 8) . Gọi M là điểm đối xứng với B qua C , N là
hình chiếu của B lên MD. Tìm tọa độ của B,C , biết N (5; −4) .
52
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đáp số: B (−4;7),C (1; −7) . Bài tập 16: Cho 3 đường thẳng: d1 :3x − 2y − 4 = 0, d2 : x + y − 6 = 0, d 3 : x − 3 = 0.
Tìm tọa độ điểm A,C ∈ d 3, B ∈ d1, D ∈ d2 sao cho ABCD là hình vuông. Đáp số: B (4; 4), D (2; 4), A,C ∈
{(3; 3); (3;5)}.
Bài tập 17: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm AB, đường thẳng DM :2x − y + 1 = 0 và điểm C (1; −1) . Tìm tọa độ điểm D .
Bài tập 18 (Khối B-2014): Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD. Điểm M (−3; 0) là trung điểm cạnh AB , điểm H (0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và 4 điểm G ; 3 là trọng tam tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B, D. 3
53
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁNTHEO CÁC CÁCH KHÁC NHAU Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi 3 1 M (1; 3) là trung điểm của cạnh BC, N − ; . là điểm trên cạnh AC sao cho 2 2 AN =
1 AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết D nằm 4
trên đường thẳng x − y − 3 = 0 . Phân tích:
- Ta nhận thấy rằng giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm D, M , N nên giữa chúng xuất hiện những mối quan hệ đặc biệt. Bằng trực quan ta đưa ra giả thuyết DN ⊥ MN . Nếu giả thuyết là đúng dựa vào bài toán 1 ta sẽ tìm được tọa độ điểm D. Từ đó ta sẽ tìm được các đỉnh còn lại của hình vuông bằng phương pháp tham số hóa quen thuộc. - Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A (−2;2), B (2;2),C (2; −2), (−2; −2) . Khi đó
DN .MN = 0 ⇒ DN ⊥ MN .
Giải.
Trước hết ta sẽ chứng minh DN ⊥ MN . Ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: Cách 1. (Thuần túy hình phẳng)
A
B N
I
M
F
D
C
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm F là trung điểm của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác
NDC nên CF ⊥ DN . Mà CF / /MN nên DN ⊥ MN . Cách 2 . (Sử dụng công cụ véc tơ)
A
Đặt DA = x ; DC = y x .y = 0; x = y . Ta có
B N
3 1 1 3 DN = x + y; MN = DN − DM = x − y. 4 4 4 4
M
x
C
D
3 2 2 Suy ra DN .MN = x − y = 0 ⇒ DN ⊥ MN . 16
y
Cách 3. (Sử dụng công cụ tọa độ) N M
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó D (0; 0), A (0; a ),C (a ; 0), Nên a a 3a 3 3 M a; , N ; . Do đó DN .MN = − a 2 + a 2 = 0 ⇒ DN ⊥ MN . 2 4 4 16 16
Cách 4. (Sử dụng công cụ lượng giác)
Đặt AB = BC = CD = DA = a. - Xét tam giác AND , ta có DN 2 = AN 2 + AD 2 − 2AN .AD.cosA = - Xét tam giác CMN , ta có MN 2 = CN 2 + CM 2 − 2CN .CM.cosC =
5 2 a. 8
5 2 a. 8
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 5 - Xét tam giác DCM , ta có DM 2 = DC 2 + CM 2 = a 2 . Suy ra 4 DM 2 = DN 2 + MN 2 ⇒ DN ⊥ MN .
B
A N
M
Sau khi chứng minh DN ⊥ MN ta có Phương trình đường thẳng DN : x + y + 1 = 0.
D
C
x + y + 1 = 0 x = 1 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ ⇒ ⇒ D (1; −2) . x − y − 3 = 0 y = −2 Giả sử A (m; n ), từ AC = 4AN ⇒ C (−6 − 3m;2 − 3n ). Từ AB = DC ⇒ B (−7 − 2m; 4 − 2n ) . Suy ra tọa độ điểm −13 − 5m 6 − 5n . M ; 2 2
−13 − 5m = 2 m = −3 Từ đó ta có ⇒ ⇒ A (−3; 0), B (−1; 4) ;C (3;2) 6 − 5n = 6 n = 0 Nhận xét:
Để giải quyết bài toán 1ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan hệ DN ⊥ MN . Như vậy bài toán 1 thực chất được xây dựng trên bài toán hình phẳng thuần túy : Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =
1 AC . Chứng minh rằng 4
DN ⊥ MN Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi 3 1 M là trung điểm của cạnh BC , N − ; là điểm trên cạnh AC sao cho 2 2
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng AN =
1 AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết đường 4
thẳng DM có phương trình x − 1 = 0 . Phân tích:
- Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M , N . Bằng trực quan ta dễ nhận thấy những nét giống bài toán 1. - Theo kết quả của bài toán 1, ta đã có DN ⊥ MN . Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh là giả thiết bài toán 2 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với mối quan hệ vuông góc. -
Từ đó ta đưa ra nhận định, giữa ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc khác nữa. Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN vuông = 450 từ cách giải 4 trong bài toán 1. cân, hay NDM
Giải:
Để chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có thể thực hiện theo các cách sau:
A
B N
Cách 1: (Sử dụng công cụ lượng giác)
M
Đặt AB = BC = CD = DA = a. C
D
Xét tam giác AND , ta có DN 2 = AN 2 + AD 2 − 2AN .AD.cosA =
5 2 a. 8
Xét tam giác CMN , ta có MN 2 = CN 2 + CM 2 − 2CN .CM .cosC =
5 2 a. 8
Xét tam giác DCM , ta có DM 2 = DC 2 + CM 2 =
5 2 a . Suy ra 4
DN = MN ⇒ ∆DMN vuông cân tại N . DM 2 = DN 2 + MN 2
Cách 2: (Thuần túy hình phẳng)
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm của đoạn DI . Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác
NDC nên CF ⊥ DN . Mà CF//MN nên DN ⊥ MN . = NCD = 450 . Từ đó suy ra tam giác Tứ giác DNMC nội tiếp nên NMD
DMN vuông cân tại N . Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ)
Đặt DA = x ; DC = y x .y = 0; x = y = a . Ta có 3 1 1 3 DN = x + y; MN = DN − DM = x − y; Suy ra 4 4 4 4 3 2 2 DM .MN = x − y = 0 ⇒ DN ⊥ MN . 16 2 3 1 9 2 1 Lại có DN = x + y = x + y 4 16 16 4
2 1 3 1 2 9 MN = x − y = x + y 4 16 16 4 2
()
2
( ) = 58 a
()
2
2
;
2
( ) = 85 a
2
⇒ DN = MN . Từ đó suy ra
tam giác DMN vuông cân tại N . Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ ) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó D (0; 0), A (0; a ),C (a ; 0) . a a 3a Ta có M a; ; N ; . 2 4 4
Do đó a 3a 3a a 3 3 DN = ; ; MN = − ; ⇒ DN .MN = − a 2 + a 2 ⇒ DN ⊥ MN . 4 4 4 4 16 16
58
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Và DN 2 = MN 2 =
5 2 a . Hay tam giác DMN vuông cân tại N . 8
Sau khi chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có: Giả sử D (1; d ) , ta có 1 d− DN .u DM d = −2 2 2 = cos NDM ⇒ = ⇒ 2 2 2 d = 3 DN u DM 5 + d − 1 2 2
Với d = −2 ⇒ D (1; −2) . Phương trình đường thẳng NM : x − y = −2 . Suy ra M (1; 3) . Từ đó theo kết quả bài toán 1 ta có A (−3; 0); B (−1; 4) ;C (3;2) . Với d = 3 ⇒ D (1; 3) . Phương trình đường thẳng AN . Suy ra M (1; −2) . Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có M Nhận xét :
- Ta nhận thấy bài toán 1 và bài toán 2 là giống nhau về mặt hình thức, song kết quả bài toán 1 và bài toán 2 lại có sự khác nhau . Nguyên nhân của sự khác nhau này chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo thành góc AM trong cách phát biểu bài toán. - Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra bài toán 2 thực ra được xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =
1 AC . Chứng minh tam giác DMN vuông cân. 4
Một số bài tập áp dụng
59
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường chéo AC : x + y − 5 = 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM . Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở F (0; −3) .
Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm M nằm trên trục hoành. Bài 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1; 4) . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho
DN = BM . Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F . Biết phương trình đường thẳng
CF : x− y− 3 = 0 . Xác định tọa độ các điểm M , N . Biết rằng M nằm trên trục hoành. Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở I (0; −1). Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với BD và 3 1 AC . Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở E − ; . Xác định tọa độ các đỉnh 2 2
của hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên đường thẳng x + 2y − 1 = 0 Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I . Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với BD và AC . Đường thẳng AH và BK cắt nhau tại E . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng BK : 3x − y + 5 = 0 , phương 3 4 trình đường thẳng IE : x + y + 1 = 0 và tọa độ điểm H − ; . 5 5
Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là 11 5 13 5 trung điểm của đoạn AB. Biết rằng I ; , E ; lần lượt là tâm đường 3 3 3 3 60
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC . Các điểm M (3; −1), N (−3; 0) lần lượt thuộc các đường thẳng DC , AB. Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC , biết A có tung độ dương. Bài 6:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, D là trung 13 5 điểm của đoạn thẳng AB. Điểm E ; là trọng tâm tam giác ADC . Phương 3 3
trình đường thẳng CD : x − 3 = 0 , đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua N (2; 0). Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, E (2;1) là 3 6 một điểm thuộc cạnh BC . Đường thẳng qua M ; − vuông góc với DE cắt 5 5
các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K (5; −2) . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông , biết đường thẳng CH có phương trình 7x − y − 16 = 0 . 13 Bài 8:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông N 3; là một điểm 3
thuộc cạnh BC . Đường thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đường thẳng 62 34 DE và DC theo thứ tự ở H ; và K (5; −2) . Xác định tọa độ các đỉnh của 25 25
hình vuông, biết điểm C thuộc đường thẳng x + 2y + 2 = 0 . Bài 9:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi E là trung điểm 11 2 3 6 của cạnh AD, H ; − là hình chiếu vuông góc của B lên CE và M ; − 5 5 5 5
là trung điểm của BH . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm A có hoành độ âm.
61
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB = 2AM . Đường tròn tâm I (1; −1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết đường 4 thẳng BC đi qua N ; 0 , phương trình đường thẳng CD : x − 3y − 6 = 0 và 3
điểm C có hoành độ dương. Bài 11:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;1), đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x − y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2y − 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6. Bài 12:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có tâm O và hai cạnh kề lần lượt đi qua M (−1;2), N (3; −1) . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài 13:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB và CD lần lượt là
4x − 3y − 4 = 0; 4x − 3y − 18 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 1 = 0 .
Bài 14:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB vàCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết A (0; 3), B (3; 4) và điểm C nằm trên trục hoành. Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang
ABCD.
Bài 15:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I (3; 3) 4 13 và AC = 2BD. Điểm M 2; thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; thuộc 3 3
62
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
63
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng KẾT LUẬN Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Đề tài đã nêu lên các dạng phương trình đường thẳng, các phương pháp giải phù hợp. Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc đưa ra các phương pháp đôi khi còn mang tính tương đối. Hi vọng qua bài viết này phần nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán và một số các kiến thức liên quan. Các kiến thức trong đề tài cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các lớp tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan. Tuy nhiên, do kiến thức cá nhân có hạn, kinh nghiệm giảng dạy còn nhiều hạn chế và bài viết cũng chưa được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Hi vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn. Xin chân thành cảm ơn! Sông Lô, tháng 11 năm 2015 Giáo viên thực hiện
Nguyễn Bá Huy
64
Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, 2008, Hình học 10 cơ bản, NXB Giáo dục. [2] Đoàn Quỳnh, 2008, Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục. [3] Trần Phương, 2007, Hình học giải tích, NXB Trẻ. [4] Tủ sách toán học và tuổi trẻ, 2012, NXB Giáo dục. [5] Tuyển tập tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2004.
65