Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Nguyễn Bá Hoàng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời mở đầu.

Ơ

N

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng thường xuyên là câu hỏi dùng để phân loại học sinh khá, giỏi trong đề thi. Đây là một chủ đề đã có rất nhiều bài viết, tuy nhiên tác giả vẫn quyết định viết chủ đề này như một món quà tặng cho các em học sinh lớp 10.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

Mặc dù trong quá trình biên soạn tác giả đã rất cố gắng để bài viết của mình được hoàn thiện nhất. Tuy nhiên chắc chắn rằng đâu đó sẽ có những câu, những từ làm bạn đọc thấy không hợp lý. Tác giả rất mong nhận được góp ý từ phía bạn đọc để bài viết được hoàn thiện hơn.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

N

H

Các bài trong tài liệu được phân bài theo chương trình sách giáo khoa hiện hành rất thuận tiện cho bạn đọc và đặc biệt là các em học sinh đang học phần này tham khảo! Trong tài liệu tác giả có đưa ra các ví dụ minh họa ở các mức độ khác nhau kèm với đó là các bài tập đề nghị có hướng dẫn giải một số bài tập khó; đồng thời tác giả đưa ra 50 bài tập trắc nghiệm không đáp án để bạn đọc làm quen với các bài tập trắc nghiệm!

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1. Viết phương trình đường thẳng

N

I. Nội dung kiến thức.

( )

TP

N

G

( )

•

Đ

ẠO

xA + xB + xC y + yB + yC ; yG = A .

3 3

u.v = u . v .cos u , v , nếu u ⊥ v thì u.v = 0;0° < u , v < 180° .

B

TR ẦN

H Ư

2. Vecto chỉ phương của đường thẳng: Vecto u được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

3. Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vecto n được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng d.

TO

4. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = ( a; b ) và đi qua điểm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì xG =

H

•

x A + xB y + yB ; yM = A .

2 2

N

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì xM =

U Y

•

.Q

•

Giá của một vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

2 2 Cho hai điểm A, B thì AB = ( xB − xA ; yB − y A ) , AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) .

•

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ơ

1. Một số kiến thức về vecto và tọa độ:

Đ

ÀN

 x = x0 + at M ( x0 ; y0 ) thì có phương trình tham số là:  , ở đây t chính là tham số.  y = y0 + bt

D

IỄ N

5. Phương trình chính tắc của đoạn thẳng: Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = ( a; b ) và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) thì có phương trình tham số là:

x − x0 y − y0 = , chú ý rằng phương trình chính tắc của đoạn thẳng a b

chỉ được viết khi ab ≠ 0 .

6. Phương trình tổng quát của đường thẳng:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến n = ( a; b ) và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) thì có phương trình tổng quát

•

là: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0 .

Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 .

•

H

Ơ

N

Nếu đường thẳng d ' song song với đường thẳng d thì phương trình đường thẳng d ' có dạng ax + by + c ' = 0 .

TP

x y + −1 = 0 . a b

ẠO

có phương trình là:

.Q

7. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng d đi qua hai điểm A ( a;0 ) , B ( 0; b ) với ab ≠ 0

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

8. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:

G

Đường thẳng d có hệ số góc k và đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) thì có phương trình theo hệ số góc là:

N

•

H Ư

y = k ( x − x0 ) + y0 , chú ý rằng những đường thẳng song song với trục tung không viết được phương

TR ẦN

trình theo hệ số góc.

Góc giữa đường thẳng d và trục Ox: Đường thẳng d cắt trục Ox tại M, Mt là tia nằm phía trên trục Ox thì xMt = α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox và ta cần lưu ý rằng tan α = k .

•

Đường thẳng d nếu có hệ số góc là k thì nó có vecto chỉ

phương là u = (1; k ) và vecto pháp tuyến là v = ( k ; −1) .

•

Cho đường thẳng d có hệ số góc là k và đường thẳng d ' có hệ số góc là k ' nếu:

H

Ó

A

10 00

B

•

Í-

d ⊥ d ' thì k .k ' = −1 .

-L

d / / d ' thì k = k ' .

ÁN

9. Lưu ý: Khi đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà không nói gì ta viết phương trình tổng quát.

ÀN

TO

d : ax + by + c = 0 .

10. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng  d ' : a ' x + b ' y + c ' = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

Nếu đường thẳng d '' vuông góc với đường thẳng d thì phương trình đường thẳng d '' có dạng bx − ay + c '' = 0 .

Đ

Để xét vị trí tương đối của d và d ' ta xét số nghiệm của hệ phương trình sau:

D

IỄ N

ax + by + c = 0  a ' x + b ' y + c ' = 0

•

Hệ (I) có một nghiệm thì d và d ' cắt nhau.

•

Hệ (I) vô nghiệm thì d và d ' song song với nhau.

•

Hệ (I) có vô số nghiệm thì d và d ' trùng nhau.

(I )

Nếu a ' b ' c ' ≠ 0 thì:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com a b ≠ . a' b'

•

d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi

•

d và d ' song song với nhau khi và chỉ khi

•

d và d ' trùng nhau khi và chỉ khi

a b c = ≠ . a' b' c'

H

Ơ

N

a b c = = . a' b' c'

N

II. Ví dụ minh họa.

.Q

a. Tìm vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng MN;

ẠO

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải

a. Ta có vecto MN chính là vecto chỉ phương của đường thẳng MN nên:

uMN = ( 2 − ( −1) ;3 − 2 ) ⇔ uMN = ( 3;1)

TP

b. Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng MN.

H Ư

b. Do đường thẳng MN đi qua M ( −1; 2 ) và có vecto chỉ phương uMN = ( 3;1) nên ta có:

TR ẦN

x = 3 − t  x = 3 + ( −1) t Phương trình tham số của đường thẳng MN là:  ⇔  y = 1 + 2t  y = 1 + 2t

10 00

B

Phương trình chính tắc của đường thẳng MN là:

x − ( −1) y − 2 x +1 y − 2 = ⇔ = 3 1 3 1

Ó

A

 x = 1 + 2t Ví dụ 2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:  .  y = −3 − t

H

a. Viết phương trình tổng quát của ∆;

-L

Í-

b. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M ( 2;3) và song song với ∆;

ÁN

c. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N ( 4; 2 ) và vuông góc với ∆.

TO

Lời giải

a. Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u = ( 2; −1) nên có vecto pháp tuyến là n = (1; 2 ) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Ví dụ 1. Cho hai điểm M ( −1; 2 ) , N ( 2;3) .

ÀN

Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A (1; −3) nằm trên ∆.

Đ

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là:

D

IỄ N

1. ( x − 1) + 2.  y − ( −3)  = 0 ⇔ x + 2 y − 5 = 0

b. Do đường thẳng d song song với ∆ nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là ud = ( 2; −1) .

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x−2 y −3 = 2 −1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c. Đường thẳng l vuông góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến là nl = ( 2; −1) .

Phương trình tổng quát của đường thẳng l là:

2 ( x − 4 ) − 1( y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y − 6 = 0

Ơ

N

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A ( −1; 2 ) , B ( 2;3) , C ( 4;6 ) .

N

H

a. Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác kẻ từ B;

3  a. Gọi D là trung điểm của AC, ta có tọa độ điểm D là: D =  ; 4  . 2 

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 3   1  Ta có BD =  − 2; 4 − 3  =  − ;1 nên vecto pháp tuyến của đường thẳng 2   2 

BD là: nBD = ( 2;1) .

TP

.Q

Lời giải

H Ư

N

Phương trình đường thẳng BD là:

2 ( x − 2 ) + 1( y − 3 ) = 0 ⇔ 2 x + y − 7 = 0

TR ẦN

b. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Ta có BC = ( 2;3) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AH nên đường thẳng AH có phương trình là:

10 00

B

2 ( x + 1) + 3 ( y − 2 ) = 0 ⇒ 2 x + 3 y − 4 = 0 .

Ta có AC = ( 5; 4 ) là vecto pháp tuyến của đường thẳng BH nên

A

đường thẳng BH có phương trình là:

H

Ó

5 ( x − 2 ) + 4 ( y − 3) = 0 ⇔ 5 x + 4 y − 22 = 0 .

Í-

Suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:

ÁN

-L

2 x + 3 y − 4 = 0  50 24  ⇒ H =  ;−   7   7 5 x + 4 y − 22 = 0

TO

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có đỉnh C ( −2; −4 ) và trọng tâm G ( 0; 4 ) . Hãy viết phương trình đường thẳng AB

Lời giải

Đ

ÀN

biết rằng M ( 2; 2 ) là trung điểm của cạnh BC.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

b. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

D

IỄ N

Vì M ( 2; 2 ) là trung điểm của cạnh BC nên ta có:  xB + ( − 2 ) =2   xB = 2.2 + 2 = 6 2 ⇔ ⇒ B ( 6;8 ) .   yB = 2.2 + 4 = 8  y B + ( −4 ) = 2  2

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2GM

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

0 − x A = 2 ( 2 − 0 )  x A = −4 ⇔ ⇒ A ( −4;8 ) .   yA = 8 4 − y A = 2 ( 2 − 4 )

Ta có: AB = (10;0 ) nên vecto pháp tuyến của đường thẳng AB là: nAB = ( 0;1) .

Ơ

N

Phương trình đường thẳng AB là: 0 ( x + 4 ) + 1( y − 8 ) = 0 ⇔ y − 8 = 0

N

H

Ví dụ 5. Cho đường thẳng d có hệ số góc bằng −3 và A (1; 2 ) nằm trên d.

Lời giải

ẠO

a. Đường thẳng d có hệ số góc bằng −3 nên có vecto chỉ phương là (1; −3) .

TP

.Q

b. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2 ) và có vecto chỉ phương là (1; −3) nên có phương trình tham số là:

H Ư

N

G

x = 1+ t   y = 2 − 3t

TR ẦN

b. Đường thẳng d có hệ số góc bằng −3 nên có vecto pháp tuyến là ( 3;1) . Đường thẳng d đi qua điểm A (1; 2 ) và có vecto pháp tuyến là ( 3;1) nên có phương trình tổng quát là:

B

3 ( x − 1) + 1( y − 2 ) = 0 ⇔ 3 x + y − 5 = 0

10 00

Ví dụ 6. Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A ( 2; −5 ) và nó tạo với trục Ox một góc

Ó

A

60°.

-L

Í-

H

Hệ số góc của đường thẳng d là k = tan 60° =

3 .

3

3 ( x − 2) − 5 ⇔ 3

3x − 3 y − 15 − 2 3 = 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Phương trình đường thẳng d là: y =

Lời giải

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

a. Lập phương trình tham số của đường thẳng d;

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Biết rằng A (1;0 ) và BAO = 45° . Hãy viết phương trình đường thẳng d.

Lời giải

N

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox.

Ơ

Trường hợp 1:

N

H

BAO + α = 180° ⇒ α = 180° − 45° = 135° .

.Q

thẳng d có hệ số góc k = −1 và đi qua A (1;0 ) nên có phương trình là:

TP

y = −1( x − 1) + 0 ⇔ x + y − 1 = 0

ẠO

Trường hợp 2: BAO = α ⇒ α = 45° .

G

Đường thẳng d có hệ số góc k = 1 và đi qua A (1; 2 ) nên có phương

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là: k = tan 45° = 1 .

N

trình đường thẳng d là:

TR ẦN

H Ư

y = 1( x − 1) + 0 ⇔ x − y − 1 = 0

Ví dụ 8. Đường thẳng d đi qua M ( −1; −5 ) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA = 2OB . Hãy viết

B

phương trình đường thẳng d.

10 00

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc.

Ó

A

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox.

OB 1 = .

OA 2

Í-

H

Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có: tan BAO =

-L

Trường hợp 1:

TO

ÁN

1 1 BAO + α = 180° ⇒ tan α = − . Đường thẳng d có hệ số góc bằng − và đi qua M ( −1; −5 ) nên có 2 2 1 phương trình là: y = − ( x + 1) − 5 ⇔ x + 2 y + 11 = 0 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là: k = tan135° = −1 . Đường

ÀN

Trường hợp 2: 1 1 . Đường thẳng d có hệ số góc bằng và đi qua M ( −1; −5 ) nên có phương trình là: 2 2

IỄ N

Đ

BAO = α ⇒ tan α =

D

y=

1 ( x + 1) − 5 ⇔ x − 2 y − 9 = 0 2

Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn.

Giả sử A ( a;0 ) , B ( 0; b ) ; ab ≠ 0 phương trình đường thẳng AB là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x y + = 1 ⇔ bx + ay − ab = 0 (1). a b

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 a = 2b Do OA = 2OB nên a = 2 b ⇔  .  a = −2b

Trường hợp 1:

N

Nếu a = 2b ta có (1) ⇔ bx + 2by − 2b 2 = 0 ⇔ x + 2 y − 2b = 0 (2).

H

Ơ

Do M ( −1; −5 ) nằm trên d nên −1 + 2. ( −5 ) − 2b = 0 ⇔ 2b = −11 . Thay vào (2) ta được phương trình

N

đường thẳng d là: x + 2 y + 11 = 0 .

.Q

Nếu a = −2b ta có (1) ⇔ bx − 2by + 2b 2 = 0 ⇔ x − 2 y + 2b = 0 (3).

TP

Do M ( −1; −5 ) nằm trên đường thẳng d nên −1 − 2. ( −5 ) + 2b = 0 ⇔ 2b = −9 . Thay vào (3) ta được

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

phương trình đường thẳng d là: x − 2 y − 9 = 0

Đ

Ví dụ 9. Hãy lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích

H Ư

Lời giải

N

G

tam giác OAB bằng 4.

Giả sử d là đường thẳng cần lập phương trình. Gọi

TR ẦN

A ( a;0 ) , B ( 0; b ) lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, Oy.

B

x y + −1 = 0 . a b

10 00

Ta có phương trình đường thẳng d là:

Do điểm M ( 2;1) nằm trên đường thẳng d nên:

H

Ó

A

2 1 + − 1 = 0 ⇔ a + 2b − ab = 0 (1). a b

-L

Í-

 ab = 8 Ta có: S ∆ABC = 4 ⇔ OA.OB = 8 ⇔ a . b = 8 ⇔ ab = 8 ⇔  .  ab = −8

ÀN

TO

ÁN

8  8  b = 2  a = b a = b  Trường hợp 1: Nếu ab = 8 thay vào (1) ta có:  ⇔ ⇔ .

8  8 + 2b − 8 = 0 ( b − 2 )2 = 0 a = b = 4   b

Đ

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Trường hợp 2:

x y + −1 = 0 ⇔ x + 2 y − 4 = 0 4 2

D

IỄ N

Trường hợp 2: Nếu ab = −8 thay vào (1) ta có:  a = 8 + 4 8   8 b = −2 ± 2  a = − b  b = −2 + a = −  ⇔ ⇔ ⇔ b  8  a = 8 − 4 − 8 + 2b + 8 = 0 b 2 + 4b − 4 = 0 a = −  b   b   b = −2 −

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2 2

.

2 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó phương trình đường thẳng d là:

(1 − 2 ) x + ( 2 + 2 2 ) y − 4 = 0 ∨ (1 + 2 ) x + ( 2 − 2 2 ) y + 4 = 0

N

Ví dụ 10. Cho hai điểm M ( 3;1) và I ( 2; −2 ) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần

Ơ

lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

N

H

Lời giải

Đ

H Ư

N

 a = −b ⇔ ( a + b )( b − a + 4 ) = 0 ⇔  a = b + 4

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 a−4 b+4 2 2 Do đó: IN . AB = 0 ⇔  ;  . ( −a; b ) = 0 ⇔ 4a − a + b + 4b = 0 2 2  

ẠO

a b Gọi N là trung điểm của AB thì N  ;  . Vì tam giác ABC cân tại I nên IN ⊥ AB . 2 2

x y + =1⇔ x − y − 2 = 0 2 −2

B

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

3 1 + = 1 ⇔ b = −2 ⇒ a = 2 . −b b

TR ẦN

Trường hợp 1: a = −b thay vào (1) ta có:

10 00

Trường hợp 2: a = b + 4 thay vào (1) ta có:

H

Ó

A

b = 2 ⇒ a = 6 ( tháa m n ) 3 1 + = 1 ⇔ 3b + b + 4 = b 2 + 4b ⇔ b 2 = 4 ⇔  b+4 b b = −2 ⇒ a = 2 ( lo¹i )

x y + = 1 ⇔ x + 3y − 6 = 0 6 2

-L

Í-

Với a = 6, b = 2 ta có phương trình đường thẳng d là:

Ví dụ 11. Cho đường thẳng d : y = 2 x + 1 , viết phương trình đường thẳng d ' đi qua điểm B là điểm đối xứng

TO

ÁN

của điểm A ( 0; −5 ) qua đường thẳng d và song song với đường thẳng y = −3 x + 2 .

Lời giải

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

x y 3 1 + = 1 . Do d đi qua M ( 3;1) nên + = 1 (1). a b a b

TP

Phương trình đường thẳng d có dạng:

U Y

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A ( a;0 ) , B ( 0; b ) , ab ≠ 0 .

Đ

ÀN

1 Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên ta có: k AB .2 = −1 ⇔ k AB = − .

2

D

IỄ N

Phương trình đường thẳng AB là: y = −

1 1 ( x − 0) − 5 ⇔ y = − x − 5 .

2 2

Vì A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d nên trung điểm N của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.  y = 2x + 1   12 19  Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ N − ;−  .

1 5  5  y = − 2 x − 5

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 24 13  Từ đó ta tính được A  − ; −  .

5  5

Đường thẳng d ' song song với đường thẳng y = −3 x + 2 nên kd ' = −3 .

Ơ

N

24  13  Phương trình đường thẳng d ' là: y = −3  x +  − ⇔ y = −3 x − 17 5  5 

N

H

III. Bài tập đề nghị.

.Q

a. Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến kẻ từ C;

TP

b. Tìm tọa độ của điểm H là chân đường cao kẻ từ A.

ẠO

2. Hãy xác định đường thẳng đi qua điểm A (1; 2 ) , cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C sao cho

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

OB = 2OC .

Đ

3. Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết tam giác có hai đỉnh A ( −1; 2 ) ,

N

G

B ( 2; 4 ) và trọng tâm G ( 2;3) .

H Ư

4. Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là

TR ẦN

M ( −1;0 ) , N ( 4;1) , P ( 2; 4 ) .

5. Cho M (1; 2 ) hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

10 00

B

6. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A ( 0; 2 ) , B ( −1;3) , C ( 4;1) . Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho OM = 4ON . Hãy viết phương trình đường thẳng d biết rằng nó đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Í-

H

1 1 thẳng d đi qua C  ;  .  2 3

Ó

A

7. A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox và Oy. Biết rằng ABO = 60° và đường

-L

8. Cho đường thẳng d : 2 x − y − 4 = 0 . Hãy lập phương trình đường thẳng AO biết rằng O là gốc tọa độ và

ÁN

A là hình chiếu của điểm B (1; 2 ) lên đường thẳng d.

TO

9. Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh là A (1; 2 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 2; −3) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

1. Cho tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy với A ( 2;3) , B ( −1; 4 ) , C ( 3;6 ) .

ÀN

a. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB;

D

IỄ N

Đ

b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C; c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC;

d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt các cạnh AB và AC.

10. Cho hai điểm M ( 0; −2 ) và I (1; 4 ) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

11. Hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có phương trình lần lượt là 3 x − 2 y + 1 = 0 và x − y + 1 = 0 . Đường trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình là 2 x − y − 1 = 0 . Viết phương trình của cạnh BC.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

12. Một cạnh của tam giác có phương trình x − 2 y + 7 = 0 . Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh còn lại có phương trình x + y − 5 = 0 và 2 x + y − 11 = 0 . Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác.

13. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

N

a. 2 x − 5 y + 3 = 0 và −3 x + 7 y − 8 = 0 ;

N

H

Ơ

 x = 3 + 6t  b. x − 3 y + 5 = 0 và  ; 1  y = 2 + 2t

TP

14. Tìm phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết rằng tam giác có hai đỉnh

tam

giác

ABC,

biết

phương

trình

đường

thẳng

AB : x − 3 y + 11 = 0 ,

đường

cao

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

15. Cho

ẠO

A ( −1; 2 ) , B ( 2; 4 ) và trọng tâm G ( 2;3) .

G

AH : 3 x + 7 y − 15 = 0 , đường cao BH : 3 x − 5 y + 13 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng chứa hai cạnh

N

còn lại của tam giác.

H Ư

16. Cho tam giác ABC có A ( −2;3) và hai đường trung tuyến qua điểm B và điểm C lần lượt là

TR ẦN

2 x − y + 1 = 0 , x + y − 4 = 0 . Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

17. Lập phương trình đường thẳng d đi qua P ( 6; 4 ) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

10 00

B

18. Lập phương trình đường thẳng d đi qua Q ( 2;3) và cắt tia Ox, Oy tại hai điểm M (có hoành độ dương), N (có tung độ dương) sao cho OM + ON nhỏ nhất.

A

19. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y − 2 = 0, d 2 : x + y + 3 = 0 và điểm M ( 3;0 ) . Viết phương trình đường

H

Ó

thẳng ∆ qua M, cắt d1 và d 2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Í-

20. Cho điểm M ( 3;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox và Oy lần lượt tại A (có

-L

hoành độ dương) và B (có tung độ dương) sao cho OA + 3OB nhỏ nhất.

ÁN

21. Cho hai đường thẳng d1 : x − 2 y + 2 = 0, d 2 : 2 x + 3 y − 17 = 0 . Đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và

TO

d 2 cắt hai tia Ox và Oy lần lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho

1 1 nhỏ + 2 OA OB 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

U Y

 x = 5 + 4t  x = 1 − 2t ' và  ; c.   y = −2 + 2t  y = 7 + 3t '

ÀN

nhất.

22. Cho điểm M ( 2; 4 ) . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt trục Ox tại A (có hoành độ dương), cắt

D

IỄ N

Đ

trục Oy tại B (có tung độ dương) sao cho:

a. OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất; b. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2. Khoảng cách và góc I. Nội dung kiến thức.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng a2 + b2

.

N

ax0 + by0 + c

Ơ

d : ax + by + c = 0 được tính theo công thức d ( M , d ) =

2 1

=±

a2 x + b2 y + c2 a22 + b22

a +b

.

3. Vị trí tương đối của hai điểm với một đường thẳng trên mặt phẳng: Cho hai điểm A ( x A ; y A ) ,

ẠO

Nếu ( ax A + by A + c )( axB + byB + c ) < 0 thì A và B nằm khác phía so với đường thẳng d trên mặt

Đ

•

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B ( xB ; yB ) và đường thẳng d : ax + by + c = 0 . Khi đó:

Nếu ( ax A + by A + c )( axB + byB + c ) > 0 thì A và B nằm cùng phái so với đường thẳng d trên mặt

H Ư

•

N

phẳng.

TR ẦN

phẳng.

4. Góc giữa hai đường thẳng: •

Cho hai đường thẳng d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 , khi đó góc giữa hai đường

10 00

B

thẳng d1 và d 2 được xác định qua công thức: cos ( d1 , d 2 ) =

a1a2 + b1b2

a12 + b12 . a22 + b22

.

d1 và d 2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1a2 + b1b2 = 0 .

•

Cho đường thẳng d1 có hệ số góc k1 và d 2 có hệ số góc k2 thì ta có: tan ( d1 , d 2 ) =

•

0° < ( d1 , d 2 ) < 90° .

k1 − k2 .

1 + k1k2

-L

Í-

H

Ó

A

•

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

5. Lưu ý: Bạn đọc cần phân biệt rõ các khái niệm góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng và các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2 1

.Q

a1 x + b1 y + c1

TP

giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d 2 là:

U Y

N

H

2. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau: Cho đường hai đường thẳng cắt nhau d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 , khi đó phương trình hai đường phân

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

II. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : 2 x − 3 y + 1 = 0 và điểm A ( −1;3) . a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Ơ

N

b. Tìm phương trình đường thẳng d ' đi qua A và cách điểm B ( 2;5 ) khoảng cách bằng 3.

H

Lời giải

U Y

⇔ d ( A, d ) =

10 13 13

Đ

= 3 (2).

G

a 2 + b2

N

b = 0 = 3 ⇔ 5b − 12ab = 0 ⇔  b = 12a a 2 + b2 5 

3a + 2b

2

TR ẦN

Thay (1) vào (2) ta có:

2a + 5b + c

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hơn nữa d ( B, d ') = 3 ⇔

ẠO

b. Phương trình d ' có dạng: ax + by = c = 0 . Do A ∈ d ' nên: ( −1) a + 3b + c = 0 ⇔ c = a − 3b (1).

•

Với b = 0 thay vào (1) ta có c = a ⇒ d ' : ax + a = 0 ⇔ d ' : x + 1 = 0

•

Với b =

B

12a ta chọn a = 5, b = 12 thay vào (1) ta được: 5

10 00

c = 5 − 3.12 = −31 ⇒ d ' : 5 x + 12 y − 31 = 0

Lời giải

H

Ó

A

Ví dụ 2. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( 2;5 ) và cách đều A ( −1; 2 ) và B ( 5; 4 ) .

Í-

Cách 1:

ÁN

-L

Trường hợp 1: đường thẳng cần tìm đi qua M và song song với AB.

Khi đó AB = ( 6; 2 ) là vecto chỉ phương của đường thẳng d suy ra

TO

vecto pháp tuyến của đường thẳng d là: (1; −3) .

ÀN

Phương trình đường thẳng cần tìm là:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

22 + ( −3)

2

.Q

2 ( −1) − 3.3 + 1

TP

d ( A, d ) =

N

a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

Đ

1( x − 2 ) − 3 ( x − 5 ) = 0 ⇔ x − 3 y + 13 = 0

D

IỄ N

Trường hợp 2: Đường thẳng cần tìm đi qua M và đi qua trung điểm D của đoạn thẳng AB.

Ta có D ( 2;3) nên MD = ( 0; −2 ) suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng d là: (1; 0 ) .

Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1( x − 2 ) + 0 ( y − 5 ) = 0 ⇔ x − 2 = 0

Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là ax + by + c = 0 (1).

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do M ( 2;5 ) ∈ d nên ta có: 2a + 5b + c = 0 ⇔ c = −2a − 5b . Thay c = −2a − 5b vào (1) ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2a − 5b = 0 (2).

Vì d cách đều hai điểm A và B nên:

a2 + b2

⇔ 3a + 3b = 3a − b

U Y

N

H

b = 0 . ⇔ 9a 2 + 18ab + 9b 2 = 9a 2 − 6ab + b 2 ⇔ 8b 2 + 24ab = 0 ⇔  b = −3a

.Q

Trường hợp 1: Với b = 0 thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là:

TP

ax + 0 y − 2a − 5.0 = 0 ⇔ ax − 2a = 0 ⇔ x − 2 = 0

ẠO

Trường hợp 2: Với b = −3a ta chọn a = 1, b = −3 thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là:

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1x − 3 y − 2 − 5. ( −3) = 0 ⇔ x − 3 y + 13 = 0

N

G

Ví dụ 3. Cho các đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0, d 2 : 3 x + 6 y − 1 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 .

H Ư

a. Tìm số đo góc giữa d1 và d 2 ;

TR ẦN

b. Tìm đường thẳng d đi qua điểm M ( 2; −1) cắt d1 , d 2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân đỉnh A. Lời giải 2

22 + ( −1) . 32 + 62

= 0 ⇒ ( d1 , d 2 ) = 90°

B

2.3 − 1.6

10 00

a. Ta có: cos ( d1 , d 2 ) =

b. Giả sử đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 (1).

Ó

A

Do M ( 2; −1) ∈ d nên 2a − b + c = 0 ⇔ c = b − 2a (2).

-L

Í-

H

Do tam giác ABC cân tại A nên ( d , d1 ) = ( d , d 2 ) ⇔

ÁN

⇔

2a − b 5

=

3a + 6b 3 5

2a − b 2

2

= 2

2 + ( −1) . a + b

2

3a + 6b 2

3 + 62 . a 2 + b 2

 2a − b = a + 2b  a = 3b ⇔ 2a − b = a + 2b ⇔  ⇔  2a − b = −a − 2b 3a = −b

TO

Trường hợp 1: Nếu a = 3b chọn b = 1 ⇒ a = 3 thay vào (2) ta có: a = b − 2a = 1 − 2.3 = −5 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

5a + 4b − 2a − 5b

N

a 2 + b2

=

Ơ

( −1) a + 2b − 2a − 5b

ÀN

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: 3 x + y − 5 = 0

Đ

Trường hợp 2: Nếu 3a = −b chọn a = 1 ⇒ b = −3 thay vào (2) ta có: a = b − 2a = −3 − 2.1 = −5 .

D

IỄ N

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: x − 3 y − 5 = 0

Ví dụ 4. Cho đường thẳng d : x + 2 y + 4 = 0 và điểm M (1; 2 ) . a. Tìm số đo góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d ' : x − 3 y + 6 = 0 . b. Tìm phương trình đường thẳng qua M hợp với d một góc bằng 60°.

Lời giải

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a. Ta có: cos ( d1 , d 2 ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1.1 + 2. ( −3) 12 + 22 . 12 + ( −3)

=

2

2 ⇒ ( d1 , d 2 ) = 45° 2

b. Đường thẳng d 2 qua M (1; 2 ) hợp với d một góc 60° có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 .

1 +2 . a +b

(

2

=

(

)

)

(

.Q

Trường hợp 1: Với a = 8 + 5 3 b chọn b = 1 ⇒ a = 8 + 5 3 ; (1) ⇒ c = −10 − 5 3 .

)

TP

Suy ra d : 8 + 5 3 x + y − 10 − 5 3 = 0

(

Ơ

1 ⇔ a 2 − 16ab − 11b 2 = 0 ⇔ a = 8 ± 5 3 b .

2

)

(

ẠO

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Trường hợp 2: Với a = 8 − 5 3 b chọn b = 1 ⇒ a = 8 − 5 3 ; (1) ⇒ c = −10 + 5 3 .

)

TR ẦN

a. Tìm số đo góc BAC.

H Ư

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC với A ( 3;3) , B ( −1; 2 ) , C ( 4;1) .

N

G

Suy ra d : 8 − 5 3 x + y − 10 + 5 3 = 0

b. Tìm số đo góc tạo thành từ hai đường thẳng AB và AC. Lời giải

10 00

B

a. Ta có: AB = ( −4; −1) , AC = (1; −2 ) .

Mà cos BAC = cos AB, AC ⇔ cos BAC =

)

Ó

A

(

−4.1 + ( −1) . ( −2 ) 2

( −4 ) + ( −1)

b. Ta có: cos ( AB, AC ) = cos AB, AC ⇔ cos ( AB, AC ) =

)

. 1 + ( −2 )

2

=

−2 ⇒ BAC = 102°32 ' 85

−4.1 + ( −1) . ( −2 ) 2

2

. 12 + ( −2 )

⇒ ( AB, AC ) = 77°28'

ÁN

-L

2

( −4 ) + ( −1)

Í-

H

(

2

TO

Ví dụ 6. Cho các cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB : x − y + 4 = 0, BC : 3 x + 5 y + 4 = 0, CA : 7 x + y − 12 = 0 .

2

=

2 85 85

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2

H

2

N

2

U Y

1.a + 2.b

Lại có: ( d , d 2 ) = 60° ⇔

N

Vì M (1; 2 ) ∈ d 2 ⇔ a + 2b + c = 0 ⇔ c = −a − 2b (1)

ÀN

a. Viết phương trình đường phân giác trong góc A;

D

IỄ N

Đ

b. Chứng minh rằng điểm O nằm trong tam giác ABC. Lời giải

x − y + 4 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ A (1;5 ) . 7 x + y − 12 = 0

x − y + 4 = 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ B ( −3;1) . 3 x + 5 y + 4 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 x + 5 y + 4 = 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ C ( 2; −2 ) . 7 x + y − 12 = 0

a. Phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A là:

2

2

7 +1

5 ( x − y + 4 ) = 7 x + y − 12  x + 3 y − 16 = 0 (1) ⇔ ⇔ 5 ( x − y + 4 ) = − ( 7 x + y − 12 ) 3 x − y + 2 = 0 ( 2 )

N

Thay tọa độ điểm B và C vào vế trái của phương trình (1) ta được:

U Y

−3 + 3 − 16 = −16 và 2 − 6 − 16 = −20

.Q

Suy ra B và C ở cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1),

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b. Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái phương trình của các đường thẳng AB, BC, CA ta được: 4, 4, −12 .

TP

do vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 3 x − y + 2 = 0

Đ

Thay lần lượt tọa độ của C, A, B vào vế trái của các đường thẳng AB, BC, CA ta được: 8,32, −32 . Như

H Ư

N

G

vậy O và A nằm cùng phía so với đường thẳng BC, O và B nằm cùng phía so với đường thẳng AC, O và C nằm cùng phía so với đường thẳng AB nên O nằm trong tam giác ABC.

Ví dụ 7. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng d ' đi qua điểm A ( −1; 2 ) và tạo với đường thẳng

TR ẦN

x = 2 + 3y d : góc 60°.  y = −2t

10 00

B

Lời giải

Gọi u = ( a; b ) là vecto chỉ phương của đường thẳng d ' .

A

Do đường thẳng d ' tạo với đường thẳng d góc 60° nên: 2

Ó

3a − 2b

cos 60° =

2

2

TO

ÁN

-L

Í-

H

3 +2 . a +b

ÀN

Trường hợp 1: a =

2

⇔

3a − 2b 1 2 = ⇔ 13 ( a 2 + b 2 ) = 4 ( 3a − 2b ) 2 2 2 13. a + b

 24 − 507 b a = 23 2 2  23a − 48ab + 3b = 0 ⇔  24 + 507 b a = 23 

24 − 507 24 − 507 b chọn b = 1 ⇒ a = , ta được phương trình của đường thẳng d ' 23 23

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

7 x + y − 12

N

=±

Ơ

1 + ( −1)

2

H

x− y+4

D

IỄ N

Đ

 24 − 507 t  x = −1 + là:  23 y = 2+t 

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Trường hợp 2: a =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

24 + 507 24 + 507 b chọn b = 1 ⇒ a = , ta được phương trình của đường thẳng d ' 23 23

Ơ

N

 24 + 507 t  x = −1 + là:  23 y = 2+t 

N

H

Ví dụ 8. Cho M ( 5;1) , viết phương trình đường thẳng d qua M và tạo với đường thẳng d ' : y = −2 x + 4 góc 45°.

TP ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

k = 3 k −k' −2 − k Ta có: tan ( k , k ' ) = tan 45° ⇔ =1⇔ =1⇔  k = − 1 1 − k .k ' 1 − 2k 3 

.Q

Gọi k và k ' theo thứ tự là hệ số góc của hai đường thẳng d và d ' thì k ' = −2 .

N

1 ( x − 5) + 1 ⇔ x + 3 y − 8 = 0 3

TR ẦN

y=−

1 ta có phương trình đường thẳng d là: 3

H Ư

Trường hợp 2: Với k = −

G

Đ

Trường hợp 1: Với k = 3 ta có phương trình đường thẳng d là: y = 3 ( x − 5 ) + 1 ⇔ 3 x − y − 14 = 0

III. Bài tập đề nghị.

B

23. Cho các điểm P ( 2;5 ) , Q ( 5;1) . Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ Q

10 00

đến d bằng 3.

24. (Khối A năm 2006) Cho các đường thẳng d1 : x + y + 3 = 0, d 2 : x − y − 4 = 0, d 3 : x − 2 y = 0 . Tìm tọa độ

Ó

A

điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến

H

d2 .

-L

A ( −1;0 ) , B ( 2;1) .

Í-

25. (ĐH DL Công Nghệ năm 1999) Tìm phương trình đường thẳng qua M ( −2;3) và cách đều hai điểm

ÁN

26. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 1 = 0, d 2 : x + 2 y − 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua gốc

TO

tọa độ sao cho d tạo với d1 , d 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d 2 .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Lời giải

ÀN

27. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (1;1) và cách B ( 3;6 ) một khoảng bằng 2.

IỄ N

Đ

28. Cho đường thẳng d có phương trình 8 x − 6 y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d ' song song với d và cách d ' một khoảng bằng 5.

D

29. (ĐH Tây Nguyên khối D năm 2000) Hãy lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

I ( −2;3) và cách đều hai điểm A ( 5; −1) và B ( 3; 4 ) .

30. Cho điểm P ( 3;0 ) và hai đường thẳng d1 : 2 x − y − 2 = 0, d 2 : x + y + 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho PA = PB . Viết phương trình đường thẳng d.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

31. (Dự bị khối A năm 2004) Cho điểm A ( 0; 2 ) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0 . Tìm tọa độ các điểm B, C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2 BC .

32. (Khối B năm 2004) Cho A (1;1) , B ( 4; −3) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 sao cho

N

khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Ơ

33. Cho các đường thẳng d1 : 2 x − y − 2 = 0, d 2 : 2 x + 4 y − 7 = 0 .

N

H

a. Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d 2 .

.Q

giao điểm của d1 và d 2 .

TP

34. Cho đường thẳng d : 2 x + 3 y − 5 = 0 và hai điểm M ( 3; m ) , N ( 6; 2 ) với m là tham số. Tìm giá trị của M

ẠO

để hai điểm M và N nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là d.

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

35. Cho đường thẳng d : 3 x − 4 y + 6 = 0 và các điểm A ( −1; 2 ) , B ( 2;3) , C ( −3; −4 ) . Hãy cho biết đường

G

thẳng d cắt những cạnh nào của tam giác ABC.

H Ư

N

36. Hãy tính diện tích tam giác OBC biết rằng B ( 4; −3) , C (12;5 ) và O là gốc tọa độ.

TR ẦN

4 7 37. Cho tam giác ABC có đỉnh A  ;  . Hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt có phương 5 5 trình x − 2 y − 1 = 0 và x + 3 y − 1 = 0 . Hãy viết phương trình cạnh BC của tam giác.

38. Lập phương trình đường phân giác góc nhọn giữa hai đường thẳng d1 : x + 3 y − 6 = 0 và

10 00

B

d 2 : 3x + y + 2 = 0 .

Bài 3. Đường tròn

Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R là: 2

Í-

•

H

Ó

1. Phương trình đường tròn.

A

I. Kiến thức cần nhớ.

= R2 .

Phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình

ÁN

•

2

-L

( x − a ) + ( y − b)

TO

đường tròn khi a 2 + b 2 − c > 0 và khi đó nó có tâm

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

b. Viết phương trình đường thẳng qua P ( 3;1) và cùng d1 , d 2 tạo thành một tam giác cân tại đỉnh là

ÀN

I ( a; b ) , bán kính R = a 2 + b 2 − c .

Đ

2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.

2

2

Cho đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 . Khi đó số giao

điểm của đường thẳng d và đường tròn ( C ) là số nghiệm của hệ phương trình:

D

IỄ N

•

2 2 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R (*).   Ax + By + C = 0

Nếu hệ (*) vô nghiệm thì đường thẳng d và đường tròn (C) không có điểm chung.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nếu hệ (*) có một nghiệm thì đường thẳng d và đường tròn (C) tiếp xúc với nhau.

Nếu hệ (*) có hai nghiệm thì đường thẳng d và đường tròn (C) cắt nhau.

•

Cho đường tròn (C) tâm I ( a; b ) , bán kính R và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 . Ta cũng có thể xét

N

vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (C) như sau:

Ơ

Nếu d ( I , d ) > R thì đường thẳng d và đường tròn (C) không có điểm chung.

N

H

Nếu d ( I , d ) = R thì đường thẳng d và đường tròn (C) tiếp xúc với nhau.

.Q

3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn.

TP

Cho hai đường tròn: ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 và ( C ') : x 2 + y 2 − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 0 . Ta xét hệ

ẠO

•

Nếu hệ (*) có một nghiệm thì ( C ) và ( C ') tiếp xúc với nhau.

•

Nếu hệ (*) có hai nghiệm thì ( C ) và ( C ' ) cắt nhau.

Đ

Nếu hệ (*) vô nghiệm thì ( C ) và ( C ') không có điểm chung.

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

H Ư

N

G

•

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 phương trình sau:  2 (*).

2  x + y − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 0

Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) của đường tròn tâm I ( a; b ) có phương trình:

10 00

B

( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0 .

II. Ví dụ minh họa.

Ó

A

Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A ( 7; −3) , B (1;7 )

H

Lời giải

-L

Í-

Cách 1:

ÁN

Đường tròn đường kính AB nhận trung điểm I của AB là tâm và có bán kính R = 1 1 AB = 2 2

ÀN

TO

Ta có: I = ( 4; 2 ) , R =

2

(1 − 7 ) + ( 7 + 3)

1 = .2 34 = 34 .

2

2

( x − 4) + ( y − 2)

2

= 34

Đ

Suy ra phương trình đường tròn là:

2

1 AB .

2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Nếu d ( I , d ) < R thì đường thẳng d và đường tròn (C) cắt nhau.

IỄ N

Cách 2:

D

Điểm M ( x; y ) thuộc đường tròn đường kính AB khi và chỉ khi

AM ⊥ BM .

Suy ra: AM .BM = 0 ⇔ ( x − 7 )( x − 1) + ( y + 3)( y − 7 ) = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 14 = 0 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Như vậy phương trình đường tròn là: x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 14 = 0

Ví dụ 2. Viết phương trình của đường tròn trong các trường hợp sau: a. Có tâm là điểm I ( 2;3) và đi qua M ( 3;6 ) ;

Ơ

N

b. Đi qua ba điểm A ( −1; −2 ) , B (1;3) , C ( 2;1) ;

N

H

c. Có tâm là điểm I ( 3; −2 ) và tiếp xúc với đường thẳng 6 x − 8 y − 17 = 0 .

= 10 .

2

( x − 2 ) + ( y − 3)

b. Cách 1:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

ẠO

Suy ra đường tròn tâm I ( 2;3) đi qua M ( 3;6 ) có phương trình là:

= 10

N

G

Đ

Tâm của đường tròn qua ba điểm là giao điểm của các đường trung trực của ba đoạn thẳng nối các điểm đó.

TR ẦN

H Ư

 1 Trung điểm của AB là M  0;  nên phương trình đường trung  2 trực của đoạn thẳng AB là: 1  2 ( x − 0 ) + 5  y −  = 0 ⇔ 4 x + 10 y − 5 = 0 .

2 

10 00

B

1 1 Trung điểm AC là N  ; −  nên phương trình đường trung trực 2 2 của đoạn thẳng AC là:

H

Ó

A

1  1  3 x −  + 3 y +  = 0 ⇔ x + y = 0 .

2  2 

-L

Í-

4 x + 10 y − 5 = 0  5 5 Tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ I − ;  .  6 6 x + y = 0 2

2

TO

ÁN

5 290  5  Bán kính của đường tròn là: R = IB =  1 +  +  3 −  = .

6 6  6  2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2

.Q

2

( 3 − 2 ) + ( 6 − 3)

TP

a. Bán kính của đường tròn là: R = IM =

U Y

Lời giải

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

5  5  145  Phương trình đường tròn cần tìm là:  x +  +  y −  = 6  6 18 

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 .

Ta có hệ phương trình sau:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5  a=−  ( −1) + ( −2 ) − 2. ( −1) a − 2. ( −2 ) b + c = 0 6 2a + 4b + c = −5   5   2 2 ⇔ −2a − 6b + c = −10 ⇔ b = . 1 + 3 − 2.1a − 2.3b + c = 0 6 22 + 12 − 2.2a − 2.1b + c = 0 −4a − 2b + c = −5   20   c = − 3 

N

2

Ơ

Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn:

TP

a. Đi qua hai điểm A ( 3;1) , B ( −1;3) và có tâm nằm trên đường thẳng 3 x − y − 2 = 0 .

.Q

U Y

N

H

5 5 20 =0 Suy ra phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 + x − y − 3 3 3

ẠO

b. Có tâm nằm trên đường thẳng d : 2 x + y − 1 = 0 và tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 : 3 x + 4 y − 1 = 0 và

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

d2 : 4 x + 3 y − 8 = 0 .

G

Lời giải

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:

H Ư

N

a. Tâm của đường tròn là giao của đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường thẳng 3 x − y − 2 = 0 .

TR ẦN

4 ( x − 1) − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y = 0 .

Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

10 00

B

2 x − y = 0 ⇒ I ( 2; 4 )  3 x − y − 2 = 0

b. Để đường tròn tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d 2 thì tâm của đường

A

tròn phải nằm trên các tia phân giác của các góc tạo bởi d1 và d 2 . Như vậy tâm của đường tròn là giao

H

Ó

điểm của đường thẳng d các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d 2 .

Í-

Phương trình các đường phân giác là:

-L

x − y − 7 = 0 và 7 x + 7 y − 9 = 0 .

ÁN

Trường hợp 1:

Tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

ÀN

TO

2 x + y − 1 = 0  8 13  ⇒ I  ;− .  3 3  x − y − 7 = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2

d ( I , d1 ) =

D

IỄ N

Đ

Bán kính của đường tròn là:

2

8  13  3. + 4  −  − 1 3  3 2

3 +4

2

=

31 .

15

2

8  13  961  Suy ra: ( C ) :  x −  +  y +  = 3  3 225 

Trường hợp 2:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 x + y − 1 = 0  2 11  Tâm của J của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ I − ; .  7 7 7 x + 7 y − 9 = 0

=

31 .

35

N

3 +4

2

2

N U Y

.Q

4 = 0 và đường tròn d : mx − y − 2m + 3 = 0, m ∈ ℝ . Với những giá 5

TP

Ví dụ 4. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x +

H

2  11  961  Suy ra: ( C ) :  x +  +  y −  = 7  7  1225 

ẠO

trị nào của tham số m thì đường thẳng d và đường tròn ( C ) không có điểm chung.

Đ N

1 5 2 Ta có ( C ) : ( x − 1) + y 2 = , tâm I (1;0 ) , bán kính R = .

5 5

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lời giải

H Ư

Đường tròn ( C ) và đường thẳng d không có điểm chung nếu khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d

m2 + 1

>

 11  Suy ra: m ∈ ( −∞; 2 ) ∪  ; +∞  2  

m < 2 5 m 2 − 6m + 9 1 2  . ⇔ > ⇔ 4 m − 30 m + 44 > 0 ⇔  m > 11 5 m2 + 1 5 2 

B

m − 0 − 2m + 3

10 00

d (I,d ) > R ⇔

TR ẦN

lớn hơn bán kính. Ta có:

Ó

A

Ví dụ 5. Cho hai đường tròn x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 và x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0 . Tìm tọa độ các giao điểm

Í-

H

của hai đường tròn trên.

Lời giải

-L

Tọa độ các giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

ÀN

TO

2

ÁN

 59 + 7 119 x =  x + y − 2 x − 4 y + 1 = 0 x = 7 y − 4  50 hoặc ⇔ ⇔  2 2 2 50 y − 74 y + 25 = 0  x + y − 4 x + 10 y − 7 = 0  y = 37 + 119  50 2

 59 − 7 119 x =  50   y = 37 − 119  50

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2

2

Ơ

Bán kính của đường tròn là: d ( I , d1 ) =

11  2 3.  −  + 4. − 1 7  7

D

IỄ N

Đ

 59 + 7 119 37 + 119   59 − 7 119 37 − 119  Như vậy tọa độ các giao điểm là: A  ; ;  , B   50 50 50 50    

Ví dụ 6. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình các cạnh của tam giác là AB : 3x + 4 y − 6 = 0, BC : y = 0, CA : 4 x + 3 y − 1 = 0 .

Lời giải Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 x + 4 y − 6 = 0  x = −2 ⇔ ⇒ A ( −2;3) .  4 x + 3 y − 1 = 0 y = 3

N

1  Tương tự ta tính được B ( 2;0 ) , C  ;0  . 4 

.Q

Thay lần lượt tọa độ của A, C vào vế trái của (1) ta được:

TP

1 2 + 5 = 7 > 0, + 5 > 0 .

4

ẠO

Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc A là:

32 + 4 2

3x − y − 6 = 0 ( 3) = ±y ⇔  .  x + 3 y − 2 = 0 ( 4 )

Đ

H Ư

3x + 4 y − 6

N

Phương trình các đường phân giác của trong và ngoài của góc B là:

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x + y −1 = 0 .

TR ẦN

1 7 Thay lần lượt tọa độ của A, C vào vế trái của (4) ta được: −2 + 3.3 − 2 = 5 > 0, − 2 = − < 0 .

4 4

B

Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc B là x + 3 y − 2 = 0 .

10 00

x + y −1 = 0 1 1 Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ I ; . 2 2 x + 3y − 2 = 0

H

Ó

A

Bán kính của đường tròn là: R = d ( I , BC ) =

1 .

2

2

2

-L

Í-

1  1 1  Suy ra phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:  x −  +  y −  = 2  2 4 

TO

ÁN

III. Bài tập đề nghị.

39. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A (1;3) , B ( 5;6 ) , C ( 7;0 ) .

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

4 2 + 32

 x − y + 5 = 0 (1) ⇔  x + y − 1 = 0 ( 2 )

H

4x + 3y −1

N

32 + 42

=±

U Y

3x + 4 y − 6

Ơ

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc A là:

ÀN

40. Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng d : x − my + 2m + 3 = 0 và đường tròn

Đ

(C ) : x2 + y 2 + 2 x − 2 y − 2 = 0 .

D

IỄ N

41. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A ( 6;0 ) và đi qua điểm B ( 9;9 ) .

42. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A ( −1;0 ) , B (1; 2 ) và tiếp xúc với đường thẳng x − y −1 = 0 .

43. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A (1;3) . Xét xem A nằm trong hay nằm ngoài đường tròn.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

44. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − x − 7 y = 0 và đường thẳng d : 3 x + 4 y − 3 = 0 . Viết phương trình các đường tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm của nó với đường thẳng d.

45. Viết phương trình đường tròn:

Ơ

N

a. Tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm A ( 2; 4 ) ;

U Y

N

c. Tiếp xúc với trục hoành, có tâm nằm trên đường thẳng x + y − 3 = 0 và bán kính bằng 1;

H

b. Đi qua hai điểm A ( 4; 2 ) , B ( 5;1) và có tâm nằm trên đường thẳng 2 x − 7 = 0 ;

TP

46. Viết phương trình đường tròn:

a. Đi qua A ( 4; 2 ) và tiếp xúc với hai đường thẳng x − 3 y − 2 = 0, x − 3 y + 18 = 0 ;

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b. Có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng 3 x − y + 3 = 0 ,

Đ

x − 3y + 9 = 0 ;

N

G

c. Đi qua các điểm A ( 3; 4 ) , B (1; 2 ) và tiếp xúc với đường thẳng 3 x + y − 3 = 0 .

H Ư

47. Cho hai đường tròn x 2 + y 2 − 7 x − 7 = 0 và x 2 + y 2 − x − 7 y − 18 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm của hai

TR ẦN

đường tròn.

48. Cho đường tròn ( C1 ) có tâm I ( 2;3) , bán kính R1 = 3 và đường tròn ( C2 ) có tâm J ( m; m − 3) , bán kính R2 = 3 . Tìm các giá trị của tham số m để:

10 00

B

a. Hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau;

b. Hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau; 2

2

A

49. (Khối D năm 2004) Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0 . Viết

H

Ó

phương trình đường tròn ( C ') đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d.

2

2

Í-

50. Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt đường tròn ( x − 1) + ( y − 3) = 25 tạo ra một dây

-L

cung có độ dài bằng 8.

ÁN

51. (Khối A năm 2007) Cho tam giác ABC có A ( 0; 2 ) , B ( −2; 2 ) , C ( 4; −2 ) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B.

TO

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N.

52. Cho ba điểm A ( −1;0 ) , B ( 2; 4 ) , C ( 4;1) . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

.Q

d. Tiếp xúc với đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 tại điểm A (1;0 ) và đi qua điểm B ( 3; −6 ) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

3MA2 + MB 2 = 2 MC 2 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4. Đường elip I. Kiến thức cần nhớ.

1. Định nghĩa đường elip.

Cho hai điểm cố định F1 và F2 sao cho F1 F2 = 2c ( c > 0 ) và số

N H

Ơ

2a ( a > c ) . Đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho

N

MF1 + MF2 = 2a .

•

Khoảng cách 2c là tiêu cự của elip.

.Q

Hai điểm F1 , F2 là các tiêu điểm của elip.

TP

•

U Y

( E ) = {M : MF1 + MF2 = 2a} .

TR ẦN

Trong đó: b 2 = a 2 − c 2 .

x2 y 2 + = 1. a2 b2

H Ư

nhận F1 , F2 làm các tiêu điểm là: ( E ) :

N

F2 ( c;0 ) với c > 0 thì phương trình chính tắc của elip

Đ

Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm F1 ( −c; 0 ) và

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

•

ẠO

2. Phương trình chính tắc của elip.

Elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và nhận các gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

•

Elip (E) cắt các trục tọa độ tại các điểm A1 ( −a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) gọi là các đỉnh của

10 00

B

•

elip.

Đoạn thẳng A1 A2 = 2a gọi là trục lớn.

•

Đoạn thẳng B1 B2 = 2b gọi là trục nhỏ.

•

Các đường thẳng x = ± a, y = ±b cắt nhau từng đôi một tại P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở

Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn, kí hiệu là e và được xác định như sau: e =

ÁN

•

-L

của elip (E).

Í-

H

Ó

A

•

TO

(do c < a nên e < 1 ).

ÀN

II. Ví dụ minh họa.

c a

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

•

Đ

Ví dụ 1. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ của mỗi elip có phương trình sau:

D

IỄ N

a.

x2 y2 + = 1; 49 25

b. 4 x 2 + 9 y 2 = 16 .

Lời giải

a. Ta có: a 2 = 49 ⇒ a = 7; b 2 = 25 ⇒ b = 5 .

Do a > b nên c 2 = a 2 − b 2 = 49 − 25 = 24 ⇒ c = 2 6 .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

) (

)

Tọa độ các tiểu điểm: F1 −2 6;0 , F2 2 6;0

•

Tọa độ các đỉnh: A1 ( −7;0 ) , A2 ( 7;0 ) , B1 ( 0; −5 ) , B2 ( 0;5 )

•

Độ dài trục lớn: 2a = 14

•

Độ dài trục nhỏ: 2b = 10

H

Ơ

N

•

U Y .Q

16 20 2 5 = ⇒c= .

9 9 3

 2 5  2 5  ; 0  , F2  ;0  Tọa độ các tiêu điểm: F1  − 3 3    

•

4   4 Tọa độ các đỉnh: A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 ) , B1  0; −  , B2  0;  3   3

•

Độ dài trục lớn: 2a = 4

•

Độ dài trục bé: 2b =

B 10 00

8 3

TR ẦN

H Ư

N

G

•

A

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

c 1 = . a 2

Lời giải

ÁN

-L

Í-

b. Có tiêu cự bằng 8, tỉ số

H

Ó

a. Tâm O, một tiêu điểm là ( 3;0 ) , một đỉnh là ( −5;0 ) ;

TO

a. Ta có: a = −5 = 5, c = 3 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16 ⇒ b = 4 .

ÀN

Suy ra phương trình chính tắc của elip là:

x2 y 2 + =1 25 16

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Do a > b nên c 2 = a 2 − b 2 = 4 −

TP

16 4 ⇒b= .

9 3

ẠO

Suy ra: a 2 = 4 ⇒ a = 2; b 2 =

N

x2 y 2 + =1.

4 16 9

Đ

b. Ta có: 4 x 2 + 9 y 2 = 16 ⇔

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Đ

b. Tiêu cự 2c = 8 ⇒ c = 4 .

Tỉ số:

c 1 = ⇒ a = 2c = 8 . a 2

Suy ra: b = a 2 − c 2 = 64 − 16 = 4 3 .

Suy ra phương trình chính tắc của elip là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x2 y 2 + =1 64 48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 3. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau;  3 a. Elip đi qua các điểm M ( 0;1) và N 1;  ;  2   3 b. Elip có một tiêu điểm F1 − 3;0 và điểm M  1;  và nằm trên elip.  2 

Ơ

N

)

H

b. Phương trình chính tắc của elip có dạng

(

x2 y 2 + = 1. a 2 b2

)

TP ẠO

N

G

x2 y 2 + =1 4 1

H Ư

Suy ra phương trình chính tắc của elip là:

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 =1 2  b 2 b = 1 Do elip đi qua các điểm M và N nên ta có:  . ⇔ 2  1 + 3 = 1 a = 4  a 2 4b 2

.Q

U Y

x2 y 2 + = 1. a 2 b2

Đ

a. Phương trình chính tắc của elip có dạng

N

Lời giải

Vì elip có một tiêu điểm F1 − 3;0 nên c = 3 ⇒ a 2 = b 2 + 3 (1).

1 3 + 2 = 1 ⇔ 4b 4 + 5b 2 − 9 = 0 ⇔ b 2 = 1 ⇒ a 2 = 4 . b + 3 4b 2

H

Ó

A

Thay (1) vào (2) ta được:

10 00

B

 3 1 3 Lại có M  1; ∈ ⇒ + = 1 (2).

E ( )  2  2  a 4b 2  

x2 y 2 + =1 4 1

-L

Í-

Suy ra phương trình chính tắc của elip là:

Lời giải

ÀN

TO

ÁN

 x = 7 cos t Ví dụ 4. Cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ thỏa mãn  với t là tham số thay đổi. Chứng minh  y = 4sin t rằng M di động trên một elip.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(

D

IỄ N

Đ

 x2 x cos = t = cos 2 t   7 cos x = t  x2 y 2 7  49 Ta có:  ⇒ ⇒ 2 ⇒ + =1. y 49 16 y  y = 4sin t 2  = sin t  = sin t  4  16 Như vậy điểm M di động trên elip có phương trình là:

x2 y2 + =1 49 16

Ví dụ 5. Cho elip 4 x 2 + 9 y 2 = 36 và điểm M (1;1) viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt elip đã cho

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Lời giải Xét đường thẳng d đi qua điểm M (1;1) và có hệ số góc k.

Ơ

N

Phương trình đường thẳng d là: y = k ( x − 1) + 1 .

.Q

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm xA , xB sao cho:

4 ( x − 1) ⇔ 4 x + 9 y − 13 = 0 9

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Suy ra phương trình của đường thẳng d là: y = −

ẠO

TP

−18k (1 − k ) 4 x A + xB = xM ⇔ = 1 ⇔ 18k 2 − 18k = 18k 2 + 8 ⇔ k = − .

2 2 9 2 ( 9k + 4 )

N

G

III. Bài tập đề nghị.

H Ư

53. Lập phương trình chính tắc của elip biết rằng:

TR ẦN

a. A ( 0; −2 ) là một đỉnh và F (1;0 ) là một tiêu điểm của elip;

b. F1 ( −7; 0 ) là một tiêu điểm của elip và elip đi qua M ( −2;12 ) ; c. Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = ±4; y = ±3 ;

(

) (

)

10 00

x2 + y2 = 1 9

A

54. Tìm những điểm trên elip ( E ) :

B

d. Elip đi qua hai điểm M 4; 3 ; N 2 2; −3 .

Ó

a. Điểm đó nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông;

Í-

H

b. Điểm đó nhìn hai tiêu điểm một góc 60°.

-L

55. Cho elip (E) có phương trình

x2 y 2 + = 1 . Xác định m để đường thẳng d : x + m và (E) có điểm chung.

9 4

ÀN

TO

ÁN

 x = 7 cos t 56. Cho điểm M ( x; y ) di động luôn có tọa độ thỏa mãn  với t là tham số. Chứng minh rằng M  y = 5sin t di động trên một elip.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

2

4 x 2 + 9  k ( x − 1) + 1 + 36 ⇔ ( 9k 2 + 4 ) x 2 + 18k (1 − k ) x + 9 (1 − k 2 ) − 36 = 0 (1)

H

Hoành độ của hai điểm A và B là nghiệm của phương trình:

D

IỄ N

Đ

57. Cho elip ( E ) : 9 x 2 + 25 y 2 = 225 . a. Tìm tọa độ các tiêu điểm của elip; b. Tìm điểm M nằm trên elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

58. Cho elip ( E ) :

c x2 y 2 + 2 = 1( 0 < b < a ) . Tính tỉ số trong các trường hợp sau: 2 a b a

a. Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ; b. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông; c. Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

59. Cho elip ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 16 .

 1 a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  1;  và có vecto pháp tuyến n = (1; 2 ) ;  2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

b. Tìm tọa độ các giao điểm A và B của đường thẳng d và elip (E). Chứng minh MA = MB .

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài tập trắc nghiệm không đáp án 1. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A (1; 2 ) , B ( 3;1) , C ( 5; 4 ) . Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A.

B. 3 x − 2 y − 5 = 0

C. 5 x − 6 y + 7 = 0

D. 3 x − 2 y + 5 = 0

Ơ

2. Cho tam giác ABC với các đỉnh A ( −1;1) , B ( 4;7 ) , C ( 3; −2 ) , M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Viết  x = 3 + 3t D.   y = −2 + 4t

TP

5 + t 3. Cho phương trình tham số của đường thẳng d :  . −9 − 2t

B. 2 x + 3 y + 1 = 0

C. x + 2 y + 2 = 0

ẠO

A. 2 x + y − 1 = 0

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của d?

D. x + 2 y − 2 = 0

N

G

4. Đường thẳng đi qua điểm M (1;0 ) và song song với đường thẳng d : 4 x + 2 y + 1 = 0 có phương trình B. 2 x + y + 4 = 0

C. 2 x + y − 2 = 0

D. x − 2 y + 3 = 0

TR ẦN

A. 4 x + 2 y + 3 = 0

H Ư

tổng quát là:

5. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3 x + 5 y + 2006 = 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề

10 00

A. d có vecto pháp tuyến n = ( 3;5 ) ;

B. d có vecto chỉ phương u = ( 5; −3) ;

B

sau:

Ó

A

5 C. d có hệ số góc k = ; 3

H

D. d song song với đường thẳng 3 x + 5 y = 0 .

-L

Í-

6. Bán kính của đường tròn tâm I ( 0; −2 ) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y − 23 = 0 là: B. 5

ÁN

A. 15

C.

3 5

D. 3

TO

7. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x + y + 4 − m = 0, d 2 : ( m + 3) x + y − 2m − 1 = 0 . Tìm m để hai đường thẳng đã

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

x = 3 − t C.   y = 4 + 2t

.Q

x = 3 + t B.   y = −2 − 4t

N

H

phương trình tham số đường thẳng CM.

x = 3 − t A.   y = −2 + 4t

N

A. 2 x + 3 y − 8 = 0

ÀN

cho song song với nhau.

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 2

D. m = 3

D

IỄ N

Đ

8. Cho hai đường thẳng d1 : x + 2 y + 4 = 0, d 2 : 2 x − y + 6 = 0 . Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho.

A. 30°

B. 60°

C. 45°

D. 90°

9. Cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d 2 : y = −10 . Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho.

A. 45°

B. 30°

C. 88°57 '52"

D. 1°13'8"

10. Khoảng cách từ điểm M ( 0;3) đến đường thẳng d : x cos α + y sin α + 3 ( 2 − sin α ) = 0 là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. 3sin α

B. 6

6

D.

3 sin α + cos α

D. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0

C. ( C ) đi qua M ( 2; 2 )

D. ( C ) không đi qua A (1;1)

U Y

B. ( C ) có bán kính R = 5

.Q

A. ( C ) có tâm đi qua I (1; 2 )

N

12. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 20 = 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

B. x + y + 7 = 0

C. x − y − 7 = 0

D. x + y − 3 = 0

ẠO

A. x + y − 7 = 0

TP

13. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 3; 4 ) với đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0 là:

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

14. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 và đường thẳng ∆ : x + 2 y + 1 = 0 . Tìm mệnh đề đúng trong

N

G

các mệnh đề sau:

B. ∆ cắt ( C ) tại hai điểm

C. ∆ tiếp xúc với ( C )

D. ∆ không có điểm chung với ( C )

TR ẦN

H Ư

A. ∆ đi qua tâm O của ( C )

15. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − x + y − 1 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn đã cho.

10 00

B

A. I ( −1;1) , R = 1

D. I (1; −1) , R = 6

A

6  1 1 C. I  − ;  , R = 2  2 2

6 1 1 B. I  ; −  , R = 2 2 2

Ó

16. Cho phương trình x 2 + y 2 − 2 ( m + 2 ) x + 4my + 19m − 6 = 0 , hãy tìm m để phương trình đã cho là phương

Í-L

B. −2 ≤ m ≤ 1

m < 1 C.  m > 2

 m < −2 D.  m > 1

ÁN

A. 1 < m < 2

H

trình đường tròn.

TO

17. Đường thẳng d : 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 1 khi: A. m = 3

B. m = 5

C. m = 1

D. m = 0

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0

Ơ

B. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0

H

A. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0

N

11. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

ÀN

18. Cho hai điểm A (1;1) , B ( 7;5 ) . Viết phương trình đường tròn đường kính AB. B. x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 12 = 0

C. x 2 + y 2 − 8 x − 6 y − 12 = 0

D. x 2 + y 2 + 8 x + 6 y − 12 = 0

D

IỄ N

Đ

A. x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 12 = 0

19. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 2 ) , B ( −2;0 ) , C ( 2;0 ) .

A. x 2 + y 2 = 8

B. x 2 + y 2 + 2 x + 4 = 0

C. x 2 + y 2 − 2 x − 8 = 0

D. x 2 + y 2 − 4 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

20. Cho điểm M ( 0; 4 ) và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 21 = 0 . Tìm phát biểu đúng trong các phát B. M nằm trên ( C )

C. M nằm trong ( C )

D. M trùng với tâm của ( C )

H

x2 y2 + = 1 và các mệnh đề: 25 9

N .Q

c 4 = ; a 5

TP

(II) ( E ) có tỉ số

U Y

(I) ( E ) có các tiêu điểm F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) ;

ẠO

(III) ( E ) có đỉnh A1 ( −5;0 ) ;

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(IV) ( E ) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

C. (I) và (III)

N

B. (II) và (III)

D. (IV) và (I)

H Ư

A. (I) và (II)

G

Các mệnh đề sai là:

22. Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh ( −3;0 ) , ( 3;0 ) và hai tiêu điểm ( −1; 0 ) , (1; 0 ) là:

x2 y 2 + =1 9 1

B.

x2 y 2 + =1 8 9

x2 y 2 + =1 9 8

TR ẦN

A.

C.

D.

x2 y 2 + =1 1 9

B

23. Cho ( E ) : x 2 + 4 y 2 = 1 , hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

10 00

(I) ( E ) có trục lớn bằng 1; (II) ( E ) có trục nhỏ bằng 4;

Í-

H

Ó

A

 3 ; (III) ( E ) có tiêu điểm F1  0;  2   

-L

(IV) ( E ) có tiêu cự bằng

ÁN

A. (I)

TO

24. Dây cung của elip ( E ) :

B. (II) và (IV)

2c 2 a

2b 2 a

Đ

B.

IỄ N

25. Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ số

D

C. (I) và (III)

D. (IV)

x2 y 2 + = 1( 0 < b < a ) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là: a2 b2

ÀN

A.

3.

A. 5

B. 10

C.

2a 2 c

D.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

21. Cho elip ( E ) :

Ơ

A. M nằm ngoài ( C )

N

biểu sau:

a2 c

c 12 = . Tính trục nhỏ của elip. a 13 C. 12

D. 24

26. Cho elip ( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. ( E ) có trục lớn bằng 6

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. ( E ) có trục nhỏ bằng 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. ( E ) có tiêu cự bằng

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. ( E ) có tỉ số

5

5 c = a 3

27. Khi cho t thay đổi, điểm M ( 5cos t ; 4sin t ) di động trên đường nào sau đây?

B. Đường thẳng

D. Nửa đường tròn

Ơ

x2 y 2 + = 1( 0 < b < a ) . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip. Cho M ( 0; −b ) . Tính giá trị a2 b2

H

C. 2b 2

D. a 2 − b 2

U Y

B. 2a 2

.Q

A. c 2

N

của biểu thức MF1.MF2 − OM 2 .

x2 y2 + = 1 và đường thẳng d : y + 3 = 0 . Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của elip 16 9 đến đường thẳng d bằng bao nhiêu.

ẠO

TP

29. Cho elip ( E ) :

N

B. n = −4

H Ư

A. n = 1

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 16 B. 9 C. 81 D. 7

30. Cho e = ( 4;1) , f = (1; 4 ) . Tìm n để hai vecto a = ne + f và b = i + j tạo với nhau một góc bằng 45°.

D. Tất cả các câu trên đều sai

31. Cho ba điểm M ( −1; −2 ) , N ( 3; 2 ) , P ( 4; −1) . Tìm điểm E trên Ox sao cho EM + EN + EP đạt giá trị nhỏ nhất.

B. E ( 3; 7 )

C. E ( 2;0 )

D. E (1;0 )

B

A. Không tồn tại E

TR ẦN

C. n = 5

10 00

32. Cho tam giác ABC với A ( −4;1) , B ( 2; 4 ) , C ( 2; −2 ) . Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC. 1  A.  ;1 2 

C. ( 2;5 )

D. ( 3;1)

Ó

A

B. (10;11)

H

33. Cho A ( −1;3) , B (1;1) , C ( 2; 4 ) . Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3 7 B.  ;  2 2

Í-L

 2 8 A.  ;   3 3

 2 5 C.  − ; −   5 2

D. ( 6; 4 )

ÁN

34. Cho A ( −4;1) , B ( 2; 4 ) , C ( 2; −2 ) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  1  B.  − ;1  4 

1  C.  ; 2  2 

 1  D.  − ; 4   4 

ÀN

TO

 1 1 A.  − ;   4 2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

28. Cho elip ( E ) :

C. Đường tròn

N

A. Elip

Đ

35. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( −2; −4 ) và cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho

D

IỄ N

tam giác OAB vuông cân.

A. x + y − 6 = 0

B. x + y + 6 = 0

C. x + y − 2 = 0

D. x − y − 2 = 0

36. Cho A ( 4;5 ) , B ( −6; −1) , C (1;1) . Phương trình một trong ba đường trung tuyến của tam giác ABC là: A. 8 x − 17 y + 32 = 0

B. 4 x + 2 y − 3 = 0

C. 10 x − 13 y + 25 = 0

D. 3 x + 2 y − 3 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

37. Cho tam giác ABC có AB : 2 x − 3 y − 1 = 0, BC : x + 3 y + 7 = 0, CA : 5 x − 2 y + 1 = 0 . Viết phương trình đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh B. A. 2 x − 5 y + 8 = 0 37 30

1 =0 3

N

D. 2 x + 5 y + 6 = 0

Ơ

C. 2 x + 5 y +

B. x + 3 y +

N

H

38. Hãy xác định tọa độ điểm P trên đường thẳng d có phương trình x − y + 2 = 0 sao cho P cách đều hai

 29 69  D. P  ;   18 18 

TP

.Q

 133 169  C. P  ;   18 18 

A. Không tồn tại điểm P B. P ( 5; −7 )

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x = 2 + 2t 39. Cho điểm A ( 0;1) và đường tròn d :  . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: y = 3+ t

N

B. Tồn tại duy nhất một điểm M trên d sao cho AM = 5 ;

G

Đ

A. Không tồn tại điểm M trên d sao cho AM = 5 ;

D. Tất cả các câu trên đều sai.

TR ẦN

H Ư

 24 2  C. Tồn tại hai điểm M trên d sao cho AM = 5 , đó là ( 4; 4 ) và  − ; −  ; 5  5

 262  B.  ;0   169 

10 00

 262 250  A.  ;   169 169 

B

40. Hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3; −2 ) xuống đường thẳng d : 5 x − 12 y + 10 = 0 là:  262 250  C.  ;   169 169 

D. Đáp án khác

41. Cho ba điểm A ( 3; 0 ) , B ( −5; 4 ) , P (10; 2 ) . Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cách đều A, B.

Ó

A

A. 2 x + 3 y − 26 = 0 ∨ 3 x + 2 y − 34 = 0

H

C. 3 x + y − 36 = 0 ∨ x − 10 = 0

B. 2 x + 3 y − 14 = 0 ∨ y − 2 = 0 D. x + 2 y − 14 = 0 ∨ y − 2 = 0

-L

Í-

42. Cho hai đường thẳng d1 : x + 2 y − 3 = 0 và d 2 : 3 x − y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm P ( 3;1) và cắt d1 , d 2 lần lượt ở A, B sao cho đường thẳng d tạo với d1 và d 2 một tam giác cân có

ÁN

đáy là AB.

B. d : x − y − 2 = 0

C. d : x + 5 y − 8 = 0

D. Đáp án khác

ÀN

TO

A. Không tồn tại đường thẳng d

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

điểm A ( 0; 4 ) và B ( 4; −9 ) .

D

IỄ N

Đ

43. Cho ba điểm A ( 4; −1) , B ( −3; 2 ) , C (1;6 ) . Tính góc giữa hai đường thẳng AB, AC. A. ( AB, AC ) ≈ 32°

B. ( AB, AC ) ≈ 40°

C. ( AB, AC ) ≈ 43°36 '

D. ( AB, AC ) ≈ 18°

44. Cho ba điểm A ( 3; −7 ) , B ( 9; −5 ) , C ( −5;9 ) . Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 3 x + y − 2 = 0

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 2 x − y − 13 = 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(

) (

)

D. 1 + 2 2 x − 3 − 2 y + 2 − 24 = 0

C. 4 x + 2 y + 1 = 0

45. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( 0;1) và tạo với đường thẳng x + 2 y + 3 = 0 một góc bằng

C. 2 x − 5 y + 5 = 0 ∨ 2 x + y − 1 = 0

D. x + 3 y + 3 = 0 ∨ 3 x − y + 1 = 0

Ơ

B. x − 3 y + 3 = 0 ∨ 3 x + y − 1 = 0

H

A. 5 x − 3 y + 3 = 0 ∨ 5 x + y − 1 = 0

N

45°.

N

46. Đường thẳng qua M (1;1) và cắt elip ( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 tại hai điểm M 1 , M 2 sao cho MM 1 = MM 2 có

D. x + y + 5 = 0

ẠO

47. Cho điểm M ( 2;3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A¸B sao cho tam giác ABM

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

vuông cân tại M.

B. 2 x + 3 y − 13 = 0

C. 2 x + 3 y + 13 = 0

D. Đáp án khác

G

A. x − 3 = 0

C. Tâm I ( 3; −1) , bán kính R = 2

B. Tâm I ( 2;1) , bán kính R = 3

TR ẦN

A. Tâm I ( 3; −1) , bán kính R = 3

H Ư

N

4 2 48. Cho ba điểm A ( 2; −4 ) , B  ;  , C ( 6;0 ) . Phát biểu nào đúng về đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 3 3

D. Tâm I ( 0;1) , bán kính R = 3

10 00

B

49. Cho tam giác ABC có A ( −1; 2 ) , B ( 2;0 ) , C ( −3;1) . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  12 13  A.  − ; −   5 14 

 11 13  B.  − ; −   4 14 

 11 14  C.  − ; −   4 15 

 11 13  D.  − ; −   6 15 

A.

B. 5

H

bằng 2 đến các tiêu điểm.

Ó

A

50. Cho elip có phương trình 16 x 2 + 25 y 2 = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip có hoành độ

C. 2 2

D. 4 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

3

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

C. 4 x + 9 y − 13 = 0

.Q

B. 16 x − 15 y + 100 = 0

TP

A. 2 x + 4 y − 5 = 0

U Y

phương trình là:

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

HƯỚNG DẪN GIẢI

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 −1 3 + 4   1 7  1. a. Gọi M là trung điểm của AB thì M =  ;  =  ; .

2  2 2  2  1 7   5 5  Suy ra: CM =  − 3; − 6  =  − ; −  ⇒ nCM = (1; −1) .

2 2   2 2

Ơ H N

1 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 2 1 ( x − 1) + 2 ⇔ x − 2 y + 3 = 0 2

10 00

B

y=

TR ẦN

Trường hợp 2: với k =

1 ( x − 1) + 2 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 2

H Ư

y=−

xA + xB + xC y + yB + yC . Sau khi tìm được tọa độ điểm C bạn đọc ; yG = A 3 3 dễ dàng tìm được phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác.

Ó

A

3. Hướng dẫn: Chú ý rằng xG =

Í-

H

4. Dễ thấy đường trung trực đi qua điểm M sẽ vuông góc với đường thẳng NP.

Ta có: NP = ( 2 − 4; 4 − 1) = ( −2;3)

ÁN

-L

Phương trình đường trung trực của tam giác đi qua M là: −2 ( x + 1) + 3 ( y + 0 ) = 0 ⇔ 2 x − 3 y + 2 = 0

TO

Hai đường còn lại xin để lại cho bạn đọc.

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

Đ

1 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 2

N

Trường hợp 1: với k = −

ẠO

1 Dễ thấy hệ số góc k = ± .

2

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2.

TP

x − 2 y + 9 = 0  23 11  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:  ⇒ A − ;   5 5 2 x + y − 7 = 0

.Q

Phương trình đường thẳng AH là: 4 ( x − 2 ) + 2 ( y − 3) = 0 ⇔ 2 x + y − 7 = 0 .

N

Phương trình đường thẳng CM là: 1( x − 3) − 1( y − 6 ) = 0 ⇔ x − y + 3 = 0

b. Ta có BC = ( 4; 2 ) ⇒ nBC = (1; −2 ) ⇒ BC :1( x − 3) − 2 ( y − 6 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 9 = 0

ÀN

5. Đường thẳng cần tìm có phương trình là: x + y − 3 = 0 ∨ 2 x − y = 0 . xA + xB + xC y + yB + yC ; yG = A ⇒ G (1; 2 ) .

3 3

1 Hệ số góc k = ± .

4

D

IỄ N

Đ

6. Ta có: xG =

Trường hợp 1: với k = −

1 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 4 y=−

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 ( x − 1) + 2 ⇔ x + 4 y − 9 = 0 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 4 y=

1 ( x − 1) + 2 ⇔ x − 4 y + 7 = 0 4

N

7. Ta có: ABO = 60° ⇒ BAO = 120° .

H

Ơ

Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox, ta xét các trường hợp sau đây:

TP

Trường hợp 2: α + BAO = 120° ⇒ α = 60° ⇒ k = tan 60° = 3 .

.Q

1 1  Phương trình đường thẳng d là: y = − 3  x −  + ⇔ 6 3 x + 6 y − 2 + 3 3 = 0 2 3 

U Y

N

Trường hợp 1: α = BAO = 120° ⇒ k = tan120° = − 3 .

G

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 1  Phương trình đường thẳng d là: y = 3  x −  + ⇔ 6 3 x − 6 y + 2 − 3 3 = 0 2 3 

8. Do A ∈ d nên A ( xA ; 2 x A − 4 ) . Ta có: AB.nd = 0 ⇔ (1 − x A ;6 − 2 x A ) . (1; 2 ) = 0

9. Bạn đọc tự giải.

10. Bạn đọc tự giải.

N

TR ẦN

Phần còn lại tác giả xin để cho bạn đọc.

13  13 46  ⇒ A =  ; .

5 5 5 

H Ư

⇔ 1 − x A + 12 − 4 x A = 0 ⇔ x A =

10 00

B

11. HD: Điểm C là giao điểm của trung tuyến CM và đường thẳng AC. Điểm M là giao điểm của AB và CM, sau khi tìm được tọa độ điểm M thì tìm được tọa độ điểm C từ đó viết được phương trình đường thẳng BC.

Ó

A

12. HD: Ta tìm được tọa độ của hai đỉnh đầu tiên là giao điểm của hai đường trung tuyến với cạnh đã cho.

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác rồi suy ra tọa độ đỉnh còn lại.

Í-

H

13. Bạn đọc tự giải.

-L

14. Bạn đọc tự giải.

15. Bạn đọc tự giải.

2 x − y + 1 = 0  5 7 ⇒ G− ;− .   3 3 x + y − 4 = 0

ÀN

TO

ÁN

16. Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ phương trình:

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Trường hợp 2: với k =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Đ

3 31 2  3  Ta có: AK = AG ⇔ ( xK + 2; yK − 3) =  ;  ⇒ K  − ; 4  .

2 23 3  2 

Gọi B ( xB ; 2 xB + 1) suy ra C ( −3 − xB ;7 − 2 xB ) vì K là trung

điểm của BC. Vì C nằm trên đường thẳng x + y − 4 = 0 nên ta có: ( −3 − xB ) + ( 7 − 2 xB ) − 4 = 0 ⇔ xB = 0 .

Phần giải tiếp xin để cho bạn đọc.

17. Bạn đọc tự giải.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com x y + =1. m n

18. Giả sử M ( m; 0 ) , N ( 0; n ) với m, n > 0 . Phương trình đường thẳng d là:

Ơ

N

3m 6 = ( m − 2) + +5 ≥ 2 6 +5. m−2 m−2

H

Ta có: OM + ON = m + n = m +

2 3 3m + =1⇒ n = . Do n > 0 nên m > 2 . m n m−2

U Y .Q TP

x y + =1 2 + 6 3+ 6

ẠO

Phương trình đường thẳng d :

N

6  m − 2 = m − 2 m = 2 + 6 Đẳng thức xảy ra khi:  ⇔ . n = 3 + 6 n = 3m m−2 

Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

19. Bạn đọc tự giải.

x y + = 1. a b

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

H Ư

3 1 + = 1. a b

TR ẦN

Do đường thẳng d đi qua điểm M nên ta có:

N

G

20. Gọi A ( a;0 ) , B ( 0; b ) với a, b > 0 . Phương trình đường thẳng d là

Ta có: OA + 3OB = a + 3b ≥ 2 a.3b ⇔ OA + 3OB ≥ 2 3ab .

B

3 1 3 1 2 3 + ≥ 2 . ⇒1≥ ⇔ ab ≥ 12 . a b a b ab

10 00

Mà ta cũng có:

Suy ra: OA + 3OB ≥ 2 3.12 ⇔ OA + 3OB ≥ 12 .

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 a = 3b  a = 6 x y 3 1 Đẳng thức xảy ra khi:  = ⇔ ⇒ d : + = 1 ⇔ d : x + 3y − 6 = 0 6 2 b = 2 a b 3 1  a + b = 1

TO

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars.

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

3 1 3 1  Ta có: OA + 3OB = a + 3b = ( a + 3b )  +  ≥  a . + 3b  ⇒ OA + 3OB ≥ 12 .  a b  a b 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Vì đường thẳng d đi qua điểm Q nên

1  3 a : a = 3b : b a = 6 Đẳng thức xảy ra khi:  ⇔ ⇒ d : x + 3y − 6 = 0 b = 2 3 + 1 =1  a b

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 với + = 2 2 OA OB OH 2 H là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB của tam giác OAB.

21. Xét tam giác OAB vuông tại O ta có:

1 1 1 nhỏ nhất, tức là OH lớn nhỏ nhất thì + 2 2 OA OB OH 2 nhất. Mà OH lớn nhất khi H và M trùng nhau.

Như vậy đường thẳng d sẽ nhận OM = ( 4;3) làm vecto pháp ra

phương

trình

đường

thẳng

cầ n

tìm

là

TP

Suy

.Q

tuyến. d : 4 x + 3 y − 25 = 0

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

22. Bạn đọc tự giải.

Đ

23. Bạn đọc tự giải.

N

G

24. HD: Vì M nằm trên d3 nên M ( 2 yM ; yM ) từ đó ta tính khoảng cách từ M tới d1 bằng 2 lần khoảng cách

H Ư

từ M đến d 2 .

25. ĐS: x − 3 y + 11 = 0 ∨ x + y − 1 = 0 .

26. Bạn đọc tự giải.

B

27. Bạn đọc tự giải.

TR ẦN

ĐS: M 1 ( −22; −11) , M 2 ( 2;1) .

10 00

28. Bạn đọc tự giải.

29. Bạn đọc tự giải.

Ó

A

30. Bạn đọc tự giải.

Í-

H

2 6 31. HD: AB : 2 x + y − 2 = 0 ⇒ B  ;  . 5 5

ÁN

-L

4 7 Vì C ∈ d nên C ( 2 yC − 2; yC ) ; AB = 2 BC ⇒ AB 2 = 4 BC 2 ⇒ C1  ;  , C2 ( 0;1) . 7 5

TO

 43 27  32. C ( 7;3) , C2  − ; −  .  11 11 

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

H

Ơ

N

Để

ÀN

33. Bạn đọc tự giải.

Đ

34. Bạn đọc tự giải.

D

IỄ N

35. HD: Cách 1 viết phương trình các cạnh của tam giác sau đó thì mối quan hệ của chúng với đường thẳng d rồi đưa ra kết luận. Cách 2 quan hệ bằng cách thay tọa độ của ba điểm A, B, C vào đường thẳng d.

36. HD: Cách 1 dùng công thức Herron. Cách 2 SOBC =

1 d ( O, BC ) .BC .

2

37. HD: Điểm đối xứng qua A qua đường phân giác trong góc B nằm trên BC, điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc C nằm trên BC.

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

38. HD: Tính góc giữa một đường phân giác và một cạnh để xác định xem trong hai đường phân giác đường nào là đường cần tìm.

39. Bạn đọc tự giải.

40. Bạn đọc tự giải.

.Q

trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với Ox.

TP

42. Gọi I là trung điểm của đường tròn thì IA = IB = d ( I , d : x − y − 1 = 0 ) .

ẠO

43. Bạn đọc tự giải.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

44. Bạn đọc tự giải.

2

2

2

⇒ a2 = ( 2 − b) + ( 4 − a )

N

( 2 − a ) + (4 − b)

H Ư

d ( I , Ox ) = d ( I , Oy ) = IA ⇔ b = a =

G

Đ

45. a. Gọi I ( a; b ) ta có:

 a = 10 ⇒ I (10;10 ) ⇒ ( C ) : ( x − 10 )2 + ( y − 10 )2 = 10 ⇔ a − 12a + 20 = 0 ⇔   a = 2 ⇒ I ( 2; 2 ) ⇒ ( C ) : ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 10 

TR ẦN

2

46. Bạn đọc tự giải.

10 00

B

47. Bạn đọc tự giải.

48. a. Hai đường tròn này tiếp xúc trong với nhau khi IJ = R1 − R2 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

b. Hai đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau khi IJ = R1 + R2 .

2

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

U Y

N

H

Ơ

N

 IA ⊥ Ox 41. HD: Cách 1 gọi I là tâm của đường tròn thì  . Cách 2 gọi I là tâm đường tròn và M là trung  IA = IB  IA ⊥ Ox điểm AB thì  . Cách 3 gọi I là tâm đường tròn thì I nằm trên đường trung trực của AB và nằm  IM ⊥ AB

ST&GT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial