Chuyên đề “Một số ứng dụng của định lý Viet” chương trình đại số lớp 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN 9

vectorstock.com/20944636

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Chuyên đề “Một số ứng dụng của định lý Viet” chương trình đại số lớp 9 WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú, đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Viet. Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viet và ứng dụng của định lí này. Chuyên đề “Một số ứng dụng của định lý Viet” sẽ giúp các em học sinh nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập một cách thành thạo.

I – Cơ sở của lý thuyết 1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*). ∆ = b2 − 4ac a) Nếu ∆ < 0 thì (*) vô nghiệm b) Nếu ∆ = 0 thì (*) có nghiệm kép: x1 = x 2 =

−b 2a

c) Nếu ∆ > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 =

−b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a

−b  S = x1 + x 2 = a * Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x1, x2 thì:  (Viet) P = x x = c 1 2  a

II. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 1: Ứng dụng của định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 I. Phương pháp giải Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (*) 1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm x1 = 1; x 2 =

c a

2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm x1 = −1; x 2 =

−c a

3. Nếu x1 + x 2 = m + n ; x1 .x 2 = m.n và ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = m; x 2 = n hoặc x 2 = m; x1 = n

II. Một số ví dụ VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a. x 2 + ( 3 − 5 ) x − 15 = 0

(1)

1

b.

1 1 2m − 5 x2 + x+ = 0 (Với m ≠ 2; m ≠ 3, x là ẩn) m−2 n−3 ( 2 − m)(m − 3)

(2) c. (m -3)x2 - (m +1)x - 2m + 2 = 0

( m là tham số, x là ẩn)

(3)

Hướng dẫn: a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c ≠ 0, a - b + c ≠ 0, nhưng có a.c = − 15 < 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 . áp dụng hệ thức Viét  x1 + x 2 = − 3 + 5

có: 

 x1 .x 2 = − 15 = − 3. 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: − 3 và 5

b. Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c =

1 1 2m − 5 + + =0 m − 2 m − 3 (2 − m)(m − 3)

(Với m ≠ 2; m ≠ 3). Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x 2 =

2m − 5 3−m

c. ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay: a - b + c = m - 3 + m + 1 - 2m + 2 = 0. Nên x1 = −1 ; x 2 = 2m − 2 mà không thấy

được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai.

Vì vậy ta cần xét m - 3 = 0; m - 3 ≠ 0, rồi nhẩm nghiệm.

Giải: + Nếu m -3 = 0 ⇔ m = 3 thì phương trình (3) trở thành -4x - 4 = 0 ⇔ x = -1 + Nếu m -3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 phương trình (3) có a - b + c = 0, nên có 2 nghiệm x1 = −1; x 2 =

2m − 2 . m−3

Kết luận: Như vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (*) thì ta cần + Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm + Xét a ≠ 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm.

VD2: Nhẩm nghiệm của phương trình 5 x 3 + x 2 − 5 x − 1 = 0 (4) Hướng dẫn PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 - 5 - 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.

Khi đó ta đưa PT (4) về dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x + 1 = 0

2

Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =

−1 5

VD3: Giải phương trình : x 4 + (x +1)(5x2 - 6x - 6 ) = 0 Hướng dẫn: Phương trình trên có dạng x 4 + 5x2 (x +1) - 6 ( x+ 1)2 = 0 (5) Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta được: 2

 x2  x2   + 5 -6=0 x +1  x + 1

Đặt

x2 ta được X 2 + 5 X - 6 = 0 x +1

Dễ dàng nhận được X 1 = 1 ; X 2 = -6 Sau đó giải tiếp tìm được x

Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai I. Phương pháp giải Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình. ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm.

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2 nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình.

II. Một số ví dụ VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức A =

1 1 + 3 3 x1 x 2

6   x1 + x 2 = 3 Giải: Theo định lý viét ta có:   x .x = 2c − 1  1 2 3 3

x 3 + x 3 ( x + x 2 ) − 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 1 1 S = 3 + 3 = 2 3 31 = 1 x1 x 2 x1 .x 2 x13 .x 23 3

2c − 1 c c .   − 3.

3 3 c(c 2 − 18c + 9 )  3 S= = 3 (2c + 1)2  2c − 1     3 

3

Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức.

VD2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của phương trình bậc hai : x2 Hướng dẫn: Phương trình (*) có ∆ =

85 5 x + 1 = 0 (*) 4 16

85 21 1 〉 0 ⇒ Phương trình (*) có 2 −4 = 16 16 16

nghiệm phân biệt x1, x2 . Không mất tính tổng quát. Giả sử x1 〉 x2 .

21 85 và P = x1 . x2 = 4 16

áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =

[

ta có x13 − x 23 = (x1 - x2 ) (x12 + x 22 + x1 x 2 ) = (x1 - x2 ) ( x1 + x 2 )2 − x1 x 2

]

Do x1 〉 x2 nên x1 - x2 =

2

(x1 − x 2 ) =

Vậy x13 − x 23 =

x12 + x 22 − 2 x1 x 2 =

(

)

s 2 − 4 p. s 2 − p =

(x1 + x 2 )2 − 4 x1 x 2

85 84  85 21  1 64 − . −  = . = 1 16 16  16 16  4 16

VD3: a. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 − ax + 1 = 0 Tính S = x17 + x 27 theo a. b. Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận a =

7

3 + 5

7

5 làm nghiệm 3

Hướng dẫn: a. ở đây x17 + x 27 không biẻu diễn trực tiếp được dưới dạng x1 + x2 và x1 . x2 . Tuy nhiên ta có thể biểu diễn S = x17 + x 27 = (x14 + x 24 )( . x13 + x 23 ) − x13 x 23 .(x1 + x 2 ) Như vậy ta phải tính x14 + x 24 ; x13 + x 23 theo a.  x1 + x 2 = a  x1 .x 2 = 1

Thật vậy kí hiệu S n = x1n + x 2n . Theo Viét ta có:  Do đó S 2 = x12 + x 22 = ( x1 + x 2 )2 − 2 x1 x 2 = a 2 − 2

(

S 4 = x14 x 24 = x12 + x 22

)

2

(

− 2 x12 x 22 = a 2 − 2

)

2

− 2 = a 4 − 4a 2 + 2

3

S 3 = x13 + x 23 = ( x1 + x 2 ) − 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) = a 3 − 3a

Vậy S 7 = (a 4 − 4a 2 + 2 )(. a 3 − 3a ) − a = a 7 − 7 a 5 + 14a 3 − 7a b. Để tìm một đa thức bậc 7 nhận α làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà khi thay αvào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:

4

x17 + x 27 = a 7 − 7a 5 + 14a 3 − 7 a

(

)

⇔ a 7 − 7 a 5 + 14a 3 − 7 a - x17 + x 27 = 0 (1)

Như vậy trước hết ta phải lập 1 phương trình bậc 2 có α là hệ số:

Đặt x1 = 7

3 5 ; x2 = 7 ta có: 5 3

x1 + x2 =

3 7 5 + =a; 5 3

7

x1 . x2 =

7

3 7 5 + =1 5 3

Do đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình x 2 − αx + 1 = 0 3 5

5 3

Theo (1) ⇒ α 7 − 7α 5 + 14α 3 − 7α −  +  = 0 15 α 7 − 105α 5 + 210α 3 − 105α − 34 = 0 Vậy đa thức cần tìm là 15 x 7 − 105 x 5 + 210 x 3 − 105 x − 34 Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 . x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức.

VD4: Cho phương trình x 2 − 5 x + 3 = 0 . Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2 Tính giá trị của biểu thức A = x1 − 2 − x 2 + 1 Hướng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x1 , x2 .Như vậy nếu để ý kỹ ta thấy x1 − 2 =

(x1 − 2)2

(Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006) Có x1 + x2 = 5;

x1 . x2 = 3 ⇒ x1 〉 0 , x2 〉 0

Vì x1 là nghiệm của phương trình x 2 − 5 x + 3 = 0 nên x12 − 5 x1 + 3 = 0 ⇒ x12 − 4 x1 + 4 = x1 + 1 2

⇒ (x1 − 2 ) = x1 + 1 ⇒

(x1 − 2)2 =

⇒

x1 + 1 = x1 − 2

Khi đó A =

x1 + 1

x1 + 1 − x 2 + 1

⇒ A 2 = x1 + x 2 + 2 − 2 x1 + x 2 + x1 x 2 + 1 ⇒ A 2 = 5+2 - 2 5 + 3 + 1 = 1 ⇒ A = 1 ( vì A ≥ 0

5

* ở VD7 sau không có mặt S 4 P3 nhưng vội vằng bình phương 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc. Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế x1 − 2 bởi

x1 + 1 như trên

với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng . Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phương trình a x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 . Khi đó : x12 = ( x1 + x 2 )x1 − x1 x 2 = Sx1 − P x13 = x1 .x12 = x1 .(Sx1 − P ) = Sx12 − Px1

= S .(Sx1 − P ) − Px1 = S 2 x1 − SP − Px1 = (S 2 − P )x1 − SP

(

)

(

)

x14 = x1 .x13 = S 3 − 2 SP x1 − P S 2 − P .

VD 5: Cho phương trình x 2 − 2 x − 1 = 0 , có 2 nghiệm x1 , x2 ( ( x 2 〈0) thì giá trị của các biểu thức : A= x14 + 2 x 23 + 3x12 + 8 x 2 − 8 B=

x15 − 3 x12 + x1 + 1 −

3 x 24 − 8 x 2 2

Hướng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có: x12 = 2 x1 + 1 ; x 22 = 2 x 2 + 1 x 23 = (4 + 1)x 2 + 2.1 = 5 x 2 + 2 x14 = (8 + 2.2.1).x1 + 1.(4 + 1) = 12 x1 + 5 x 24 = 12 x 2 + 5 x15 = x1 .x14 = x1 .(12 x1 + 5) = 12 x12 + 5 x1

= 12(2 x1 + 1) + 5 x1 = 29 x1 + 12 Ta có : A= x14 + 2 x 23 + 3x12 + 8 x 2 − 8 = 12 x1 + 5 + 2(5 x 2 + 2) + 3(2 x1 + 1) + 8 x 2 − 8 = 12 x1 + 5 + 10 x 2 + 4 + 6 x1 + 3 + 8 x 2 − 8 = 18 x1 + 18 x 2 + 4 = 18( x1 + x 2 ) + 4 = 40

B = x15 − 3 x12 + x1 + 1 −

3 x 24 − 8 x 2 2

= 12 x12 + 5 x1 − 3 x12 + x1 + 1 −

3 2

(2 x 2 + 1)2 − 8 x 2 6

=

9 x12 + 6 x1 + 1 −

= 3x1 + 1 −

3 4 x 22 − 4 x 2 + 1 2

3 2 x2 − 1 2

Vì phương trình có ac = -1 〈 0 nên x1 , x 2 trái dấu mà x 2 〈 0 ⇒ x1 〉 0 Khi đó B = 3 x1 + 1 +

3 (2 x 2 − 1) 2

B = 3 x1 + 3x 2 + 1 −

3 1 = 3.( x1 + x 2 ) − 2 2

= 3.2 -

1 11 = 2 0

*. Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình. Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình . Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thường thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách được giá trị của biểu thức đó.

VD2: Giả sử x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + 1 = 0 và x3 , x 4 là nghiệm của phương trình x 2 + bx + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức: M = (x1 − x 3 )(. x 2 − x 3 )(. x1 + x 4 )(. x 2 + x 4 ) theo a và b.

Hướng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có:  x + x 4 = −b  x1 + x 2 = −a và  3   x1 .x 2 = 1  x 3 .x 4 = 1

Do đó (x1 − x 3 )(. x 2 + x 4 ) = x1 x 2 + x1 x 4 − x 2 x3 − x 3 x 4 = 1 + x1 x 4 − x 2 x3 − 1 = x1 x 4 − x 2 x3 và (x 2 − x 3 )(. x1 + x 4 ) = x1 x 2 + x 2 x 4 − x1 x 3 − x 3 x 4 = 1 + x 2 x 4 − x1 x3 − 1 = x 2 x 4 − x1 x3 ⇒

M = (x1 x 4 − x 2 x3 )(. x 2 x 4 − x1 x 3 ) M = x1 x 2 x 42 − x12 x 3 x 4 − x 22 x 3 x 4 + x1 x 2 x 32 M = x 42 − x12 − x 22 + x 32 M= (x32 + x 42 ) − (x12 + x 22 )

[

][

M= ( x 3 + x 4 )2 − 2 x 3 x 4 . (x1 + x 2 )2 − 2 x1 x 2

]

M= (b 2 − 2 ) − (a 2 − 2 ) = b 2 − a 2 VD 6: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình : x 2 + px + 1 = 0 7

b,c là hai nghiệm của phương trình : x 2 + qx + 2 = 0 Chứng minh hệ thức (b − a )(. b − c ) = pq − 6 Hướng dẫn: Vì a,b là hai nghiệm của phương trình : x 2 + px + 1 = 0 b,c là hai nghiệm của phương trình : x 2 + qx + 2 = 0 nên theo

định lý Viét ta có : a + b = − p b + c = − q ;   ab = 1 bc = 2

Ta có (b − a )(. b − c ) = b 2 − ab − bc + ac = b 2 + ab + bc + ac − 2(ab + bc ) = b (a + b ) + c(a + b ) − 2(ab + bc ) = (a + b )(b + c ) − 2(ab + bc ) = (− p )(− q ) − 2(1 + 2) = pq − 6

( Điều phải chứng minh)

Bài tập áp dụng : BT1. Cho phương trình : 2 x 2 − x − 2 = 0 Không tính nghiệm của phương trình. hãy tính: a. x13 + x 23

d. x1 x 2 + x 2 x1

b. x1 − x 2

e.

c.

x1 + x 2

x12 x2 + 2 x 2 + 1 x1 + 1

BT2. Cho phương trình : 5 x 2 − 3 x − 1 = 0 Không tính nghiệm của phương trình , hãy tìm giá trị của mỗi biểu thức: A= 2 x13 − 3 x12 x 2 + 2 x 23 − 3x1 x 22 B=

x1 x1 x x + + 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x1 x1 + 1

1 1  −  x1 x 2

  

C. 2 x1 − x 2 + 2 x 2 − x1 BT3. Cho phương trình x 2 + mx + m + 7 = 0 Không tính nghiệm x1 và x 2 theo m, hãy tính .

A = x12 + x 22 B= C=

x12 x2 + 2 x 2 + 1 x1 + 1 4 x12 − 3x1 x 2 + 4 x 22

x12 x 2 + x1 x 22

4. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1 ; x 2 Tính theo a,b,c các biểu thức

8

A= (5 x1 − 3x 2 )(5 x 2 − 3x1 ) B=

x1 x2 + x 2 − 3 x1 x1 − 3 x 2

5. cho phương trình x 2 − 5 x − 1 = 0 gọi x1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình trên.

Tính : A= (x12 − 4 x1 − 1)(. x 22 − 4 x 2 − 1) B = (x13 − 5 x12 + 2 )(. x 23 − 5 x 22 + 2 ) 6. Cho phương trình x 2 + (a − 4 )x + a 2 − 3a + 3 = 0 gọi x1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của a để. ax12 ax 22 8 ( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003) + =− 1 − x1 1 − x 2 9

7. Cho phương trình x 2 − x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x 2 . hãy tính giá trị của biểu thức A = x1 − 3 x 2 B=

x18 + x 26 + 13 x 2

8. Cho phương trình x 2 + x − 1 = 0 gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức. C =

x18 + 10 x1 + 13 + x1

9. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0 ) có 2 nghiệm x1 ; x 2 .thoả mãn x1 = x 22 CMR : b 3 + a 2 c + ac 2 = 3abc 10. Giả sử phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm x1 ; x 2 và phương trình x 2 + cx + d = 0 có nghiệm x 3 , x 4 .

CMR 2 (x1 + x 3 )( x1 + x 4 )( x 2 + x3 )( x 2 + x 4 ) = 2(b − d )2 − (a 2 − c 2 )(b − d ) + (a + c )2 (b + d )

Dạng 3: Ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số v và V có tổng v + V = S và tích u.v =p thì v và V là nghiệm của phương trình . x 2 − Sx + P = 0 (*) . Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0 hay S 2 ≥ 4 P . Đó chính là điều kiện tồn tại hai số v và V mà tổng v + V = S và v .V =P . Như vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm được hai số

đó thông qua tích giải phương trình bậc hai.

VD1: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b2 ( a,b 〉 0 cho trước).

Hướng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0〈 x; y 〈 2a ) .

Theo giả thiết ta có x+y= 2a

9

x.y= b 2 Do đó x,y là nghiệm của phương trình X 2 − 2aX + b 2 = 0 (1)

Có ∆ ′ = a 2 − b 2 = (a − b )(. a + b ) Vì a,b 〉 0 ⇒ a+b 〉 0 *. Nếu a 〉 b ⇒ ∆ ′〉 0 ⇒ Phương trình (1) có nghiệm là : X1 = a + a2 − b2 X 2 = a − a2 − b2

Vì P 〉 0 . S 〉 0 ⇒ 0 〈 X 2 〈 X 1 . Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:  x = a + a 2 − b 2   y = a − a 2 − b 2

hoặc

 x = a − a 2 − b 2   y = a + a 2 − b 2

Nếu a=b ⇒ ∆ ′ =0 (1) có nghiệm kép là x1 = x 2 = a Khi đó hình chữ nhật là vuông cạnh a.

Nếu a 〈 b ⇒ ∆ ′ 〈 0 ⇒ (1) vô nghiệm . khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn

đầu bài.

VD2: Tìm 2 số a,b biết a. a+b = 10 và ab = 32 b. a+b = 5 và a2 +b2 = 13 c. a -b = 2 và ab = 80 d. a2 +b2 = 29 và ab = 10 Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phương trình x2-10x+ 32 = 0. có S2 〈 4 P ( hay ∆〈 0 ) Hướng dẫn: ở VD này dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trước hết ta phải xác

định được a.b ( phần a) ; a+b ( ở phần b;c). a. Có (a + b )2 = a 2 + b 2 + 2ab 5 2 = 13 + 2ab ⇒ 2ab = 12 ⇒ ab =6

Nên a,b là nghiệm của phương trình : x 2 − 5 x + 6 = 0 Giải phương trình này ta được x1 = 3; x 2 = 2 . Vậy a= 3 và b = 2 hoặc a= 2 và b= 3. b. có a- b = 2 ⇒ a+ (-b) = 2 a.b =80 ⇒ a.(-b) = -80 ⇒ a và -b là nghiệm của phương trình x 2 − 2 x − 80 = 0 . Giải phương trình được

x1 = 10; x 2 = −8 . vậy a= 10 và b= 8 hoặc a = -8 và b = -10.

10

a 2 + b 2 = 29 ⇒ ab = 10

c. Có 

(a + b) 2 = 49 ⇔ ab = 10

(a + b) 2 − 2ab = 10  ab = 10

⇔ a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10

*. Nếu a+b = 7 và ab = 10 ⇒ a,b là 2 nghiệm của phương trình x 2 − 7 x + 10 = 0 giải phương trình được x1 = 2; x 2 = 5 ⇒ a= -2 và b = -5 hoặc a= -5 và b = -2.

VD3: Giải các hệ phương trình sau: x + y + z = 6  b.  xy + yz − zx = 7 Nhận xét : Để  x 2 + y 2 + z 2 = 14 

 x + y + xy = 5 a.  2 2  x + y + xy = 7

giải hệ phương trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm được x+y và xy sau đó đưa về phương trình bậc 2 đã biết cách giải. (x + y ) + xy = 5 ⇔  2 (x + y ) − xy = 7

 x + y + xy = 5

a. 

2

2

 x + y + xy = 7

( x + y ) + xy = 5 ⇔  2 ( x + y ) + ( x + y ) − 12 = 0

(I)

S + P = 5 ⇔  2 S + S − 12 = 0

S  S ⇔  S  S

Đặt 

⇔

S + P = 5  S = 3; S = −4

⇔

S = 3 (1)   P = 2   S = −4  ( 2)  P = 9

=3 + P=5 = −4

S = x + y  p = xy

(I)

+ P=5

Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình t 2 − 3t + 2 = 0

⇒

t1 = 2; t 2 = 1

Vậy (1) có 2 nghiệm (1;2) ; (2;1) Giải (2): Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình t 2 + 4t + 9 = 0 vì phương trình t 2 + 4t + 9 = 0 có ∆ ′〈 0 nên trường hợp này

vô nghiệm.

Vậy các nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x;y) = ( 2;1) và (1;2)

11

x + y + z = 6   xy + yz − zx = 7  x 2 + y 2 + z 2 = 14 

b. Có :

⇔

x + y + z = 6   xy + yz − zx = 7  2 (x + y + z ) − 2( xy + yz + xz ) = 14

 x + y + z = 6(1)   xy + yz − zx = 7(2)  y ( x + z ) = 9(3) 

⇔

⇔

( x + z ) + y = 6(1)   xy + yz − zx = 7(2)  y ( x + z ) = 9(3) 

Từ (1) và (3) theo định lí Viét ⇒ y và x+z là các nghiệm của phương trình t 2 − 6t + 9 = 0

từ (1) (2) và (3)

⇔

(t − 3)2 = 0

⇔

t=3

 y = 3(4)  ⇔  x + z (5)  x.z = 2(6) 

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet ⇒ x và z là các nghiệm của phương trình t 2 − 3t + 2 = 0

⇒ t1 = 1; t 2 = 2

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1).

Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phương trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã đưa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ là y và ta giải được hệ nhờ định lí Viet.

Bài tập áp dụng: 1.Tìm 2 số biết : a. Tổng là 18 và tích là 45 b. Tổng là 4 và tích là -12 c. Tổng là -10 và tích là 16 d.Tổng là 2+ 3 và tích là 2 3 e.Tổng là 4 7 và tích là -17 2. Tìm 2 số x,y biết: a. x – y = 9 và x.y = 90 b. x 2 + y 2 = 625 và x+y = 35 c. x 2 + y 2 = 164 và x-y = 2 d. x 2 + y 2 = 208 và x.y = 96 e. x 2 + y 2 + xy = 52 và x+y = 8

12

3. Tìm 2 số x,y biết: a. x 2 + y 2 = 34 và x.y = 15 b. x 2 + y 2 = 10 và x+y –xy = 5 c. x 2 − y 2 = 2 và xy = - 3 d. x-y = 5 và xy = 66 e. x 3 + y 3 = 177 và xy = -10

Dạng 4: Ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)

Có ∆ = b 2 − 4ac P= x1 x 2 =

c a

S = x1 + x 2 = −

b a

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét . ∆ ≥ 0  1.phương trình có 2 nghiệm dương ⇔  P〉 0 S 〉 0 

2.Phương trình có 2 nghiệm âm

∆ ≥ 0  ⇔  P〉 0 S 〈0 

3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P 〈0 Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm. Thường có 2 cách giải: Cách 1: Có P 〈 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm) Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0 Hoặc:

 P〉 0  ∆ ≥ 0 S 〉 0 

Thì hai nghiệm đều dương.

13

Cách 2: Trước hết phải có ∆ ≥ 0 khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu : S 〉 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S=0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm) Hoặc S 〈 0, P ≤ 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm) Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S. VD1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu . Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ? a. x 2 − 2mx + 5m − 4 = 0

(1)

b. mx 2 + mx + 3 = 0 Hướng dẫn:

(2)

a. Phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x 2 cùng dấu khi và chỉ khi   m − 2 ′  m − 5m + 4 ≥ 0 ∆ ≥ 0  ⇔ ⇔    P〉 0 5m − 4〉 0  4 m〉 5

 5 3 2  m − 2 ≥ 2  5 3 5 9   ≥ m− 2 ≥ 2 5 3  2 4 ⇔ ⇔  m− ≤ −  2 2  m〉 4    4  5  m〉  5

4  < m ≤1 ⇔ 5 m ≥ 4

Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > 0 (Do m nhận giá trị dương) nên PT có 2 nghiệm dương. b. PT (2) có hai nghiệm x1 ; x2 cùng dấu khi và chỉ khi  m ≠ 0 a = m ≠ 0  m(m − 12)  ⇔ m 2 − 12m ≥ 0 ⇔  ⇔ m ≥ 12 ∆ ≥ 0 m > 0  P > 0 3   >0 m

Mặt khác: S = x1 + x2 =

−b − m = = −1 < 0 nên PT có hai nghiệm cùng âm. a m

VD2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có: a. Một nghiệm b. Hai nghiệm cùng dấu phên biệt c. Hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn:

14

a. PT đã cho có một nghiệm khi và chỉ khi a = 0 m + 1 = 0  m = −1  m = −1     a m ≠ 0 + 1 ≠ 0 ⇔ ⇔ ⇔     m ≠ −1  m = −5   ∆ ' = 0  (m + 4)2 − (m + 1)2 = 0  2   3(2m + 5) = 0  

b. PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi   m ≠ −1 a ≠ 0 m ≠ −1   '  −5 ∆ > 0 ⇔ 3(2m + 5) > 0 ⇔  P > 0 m +1 m > 2   =1> 0 m +1

c. Để PT có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ −1    − 5 a 0 ≠  m > m ≠ −1  ' 2   −5 ∆ > 0  ⇔ m +1 ⇔ m > ⇔ m > −1  2 P > 0 m +1 = 1 > 0   S < 0  m < 4  −2(m + 4) < 0    m > −1  m + 1

Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu được dạng ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm nghĩa là như thế nào?

VD3: Cho phương trình (m -4)x2 -2(m - 2)x + m -1 = 0 Tìm m để phương trình a. Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn b. Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ Hướng dẫn: HS đã biết điều kiện để phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu là S < 0. Tuy nhiên ở đây còn liên quan đến GTTĐ của các nghiệm, vì vậy ta phải có thêm ĐK về tích các nghiệm nũa. a. PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn khi và chỉ khi

15

 m ≠ 4 a ≠ 0  1 < m < 4   m −1 <0 ⇔ ⇔2<m<4 P < 0 ⇔  2 < m < 4 S < 0 m − 4   2(m − 2)  m − 4 < 0

b. PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ khi và chỉ khi  m ≠ 4 a ≠ 0 m ≠ 4    2(m − 2)  < 0 ⇔ 2 < m < 4 ⇔ m = 1 S < 0 ⇔  P = 0  m−4 m = 1    m −1 0 =  m − 4

c. Ta xét các khả năng sau: TH1: Nếu m - 4 = 0 ⇔ m = 4 thì phương đã cho trở thành -4x + 3 = 0 ⇔ x=

3 >0 4

Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn TH2: Nếu m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 4 phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phương trình có một nghiệm dương i) PT có 2 nghiệm trái dấu. Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0 ⇔

m −1 < 0 ⇔1< m < 4 m−4

ii) PT có nghiệm kép dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ∆ ' = 0 m = 0  '  ⇔ ⇔m=0  −b m − 2 > 0 > 0   m − 4  a

iii) PT có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi  m > 0 ∆ ' > 0   ⇔ m =1  P = 0 ⇔ m = 1 S > 0  2(m − 2)   >0  m−4

Kết hợp lại ta có: Với 1 ≤ m ≤ 4 hoặc m = 0 thì phương trình có một nghiệm dương.

VD4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm (m + 1)x2 - 2x + m -1 =

16

Hướng dẫn: Ta xét các khả năng xảy ra: i) Khi m + 1 = 0 ⇔ m = -1, PT đã cho có dạng -2x - 2 = 0 ⇔ x = -1 < 0 Vậy m = -1 không phải là giá trị cần tìm. ii) Khi m ≠ -1 PT đã cho là phương trình bậc hai Cách 1: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi + Hoặc PT có một nghiệm dương, tức là: 1 − (m + 1)(m − 1) ≥ 0 ∆ ' ≥ 0 2 − m 2 ≥ 0   m ≤ 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m ≤ 2  m > −1 S > 0 m + 1 > 0  m + 1 > 0

+ Hoặc PT có một nghiệm âm và một nghiệm không âm, tức là: m ≤ 2 − 2 ≤ m ≤ 2 ∆ ' ≥ 0     m −1 ≤ 0 ⇔ −1 < m ≤ 1 Không có giá trị của m thoả mãn. P ≤ 0 ⇔  S < 0  m +1  m < −1    m < −1 

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m ≤ 2 Cách 2:

PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P = 0 hay – 1 < m < 1 + Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1 + Hoặc PT có 2 nghiệm cùng dương, tức là: − 2 ≤ m ≤ 2 ∆ ' ≥ 0     m < −1 ⇔ 1 < m ≤ 2 . Vậy giá trị cần tìm là 1 < m ≤ 2 P > 0 ⇔  S > 0 m > 1  m > −1 

Cách 3: PT đã cho có 2 nghiệm đều âm khi và chỉ khi − 2 ≤ m ≤ 2 ∆ ' ≥ 0     m < −1 ⇔ − 2 ≤ m < −1 P > 0 ⇔  S < 0 m > 1  m < −1 

Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi -1 < m ≤ 2.

Bài tập áp dụng 17

BT1: Cho phương trình

x2 -2(m + 1)x + m2 - 4m + 5 = 0

a. Tìm m để phương trình có nghiệm b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương BT2: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 3)x + m - 4 = 0. Tìm m để phương có hai nghiệm a. Trái dấu b. Hai nghiệm dương c. Hai nghiệm âm BT3: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m + 4 = 0. Tìm m để phương trình a. Có đúng một nghiệm dương b. Có đúng một nghiệm không dương

Dạng 5: Ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước I. Phương pháp giải

ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh nghiệm với một số cho trước. Để giải các bài tập kiểu này ta thường thực hiện các bước sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra được biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận.

II. Một số ví dụ Vd1: Tìm m để phương trình x2 - mx + m = 0 có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 ≤ −2 < x2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho có nghiệm x1 ; x2 khi và chỉ khi m ≤ 0 ∆ ≥ 0 ⇔ m(m − 4) ≥ 0 ⇔  m ≥ 4

 x = −2 < x (1)

2 Ta có: x1 ≤ −2 < x2 ⇔  1  x1 < −2 < x2 (2)

18

TH1: x = -2 là một gnhiệm của PT đã cho nên ta có: (-2)2 – m(-2) + m = 0 ⇔ 4 + 3m = 0 ⇔ m =

−4 3

Ta tính nghiệm còn lại nhờ vào định lí Viét như sau: x1.x2 =

−4 c 2 = m ⇒ (−2) x2 = ⇒ x2 = > −2 = x1 a 3 3

V ậy m =

−4 là giá trị cần tìm 3

TH2: x1 < −2 < x2 ⇔ ( x1 + 2)( x2 + 2) < 0 ⇔ x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 < 0 ⇔ m + 2m + 4 < 0 ⇔ m <

−4 3

Kết hợp cả hai trường hợp và đối chiếu với điều kiện có nghiệm thì m ≤

−4 là 3

các giá trị cần tìm.

VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình x2 + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m Hướng dẫn : Cách 1: PT đã cho có 2 nghiệm thoả mãn m < x1 ≤ x2 khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 1 − 4m ≥ 0    x1 − m > 0 ⇔ ( x1 − m)( x2 − m) > 0 ⇔   x1 x2 − m( x1 + x2 ) > 0    x2 − m > 0 ( x1 − m) + ( x2 − m) > 0 1  m≤ 1   4 m ≤ 4   2   m < −2 ⇔ m < −2  m + 2m > 0 ⇔    −1 − 2 m > 0 m > 0   −1  m <  2

Cách 2: Từ việc tìm m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn m ta đưa về tìm m để PT có nghiệm đều dương Bằng cách: Đặt t = x – m ⇒ x = t + m. PT đã cho viết được dưới dạng là (t + m)2 + t + 2m = 0 ⇔ t 2 + (2m+1)t + m2 + 2m = 0 (*)

19

VD3:Cho phương trình (m − 4 ).x 2 − 2(m − 2 )x + m − 1 = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x 2 thoả mãn :

x1 〈 0〈 x 2 và x1 〉 x 2 .

Hướng dẫn: Vì x1 〈 0 nên x1 = − x1 do vậy x1 〉 x 2 ⇒ − x1 〉 x 2 hay S = x1 + x 2 〈 0 Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x 2 thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi.

 x1 〈 0〈 x 2   x1 〉 x 2

m − 4 ≠ 0  2 a ≠ 0 (m − 2 ) − (m − 4 )(m − 1)〉 0 ∆ ′〉 0   ⇔  ⇔  m − 1 〈0 0 p 〈  m − 4  s〈 0  2(m − 2 ) 〈0   m−4

m ≠ 4 m〉 0  ⇔  ⇔ 2 〈 m〈 4 1〈 m〈 4 2〈 m〈 4

Vậy giá trị cần tìm của m là: 2 〈 m〈 4 VD4: Cho hai phương trình bậc hai: x 2 + mx + n = 0

(1)

x 2 + px + q = 0

(2)

các tham số m,n,p,q phải thoả mãn điều kiện gì để các

nghiệm x1 ; x 2 của (1) và x3 , x 4 của (2) thoả mãn điều kiện . Mỗi phương trình có một nghiệm bị kẹp giữa các nghiệm của phương trình kia. ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan 1950).

Hướng dẫn : Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x1 〈 x 2 và x3 〈 x 4 . Theo yêu cầu của đề bài ta phải có : x1 〈 x 3 〈 x 2 〈 x 4 hoặc x3 〈 x1 〈 x 4 〈 x 2 Dễ dàng trong trường hợp nào ta cũng có

(x3 − x1 )(x3 − x 2 )(x 4 − x1 )(x 4 − x 2 )

(3)

〈0

Do phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 nên theo định lí Viét ta có:  x1 + x 2 = − m   x1 x 2 = n

Và do phương trình (2) có hai nghiệm x3 , x 4 nên theo định lí Viét

ta có:  x3 + x 4 = − p Ta có (3) ⇔ x 32 − (x1 + x 2 )x3 + x1 x 2 . x 42 − ( x1 + x 2 )x 4 + x1 x 2   x3 x 4 = q

[

(

)(

][

)

⇔ x32 + mx 3 + n . x 42 + mx 4 + n 〈 0 ⇔ q 2 − mpq + np 2 − 2nq − mnp + m 2 q + n 2 〈 0

20

]

〈 0

Vậy điều kiện cần tìm là (q − n 2 ) + (m − p )(. mq − np ) 〈 0 Bài tập áp dụng: 1 2

1. Tìm m để phương trình 2mx 2 − x + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 〈 − ≤ x 2 2. Theo phương trình : x 2 + 2(m − 1)x − (m + 1) = 0 a. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1. b. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

3. Tìm m để phương trình mx 2 − 2(m − 2 )x + 1 = 0 . Có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.

4. Cho hai phương trình : x 2 − 2 px + n = 0 x 2 − 2mx + n = 0

Tìm điều kiện để mỗi phương trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của phương trình kia.

Dạng 6: Ứng dụng định lí Viét vào lập phương trình khi có hai biêu thức chứa hai nghiệm. ta cần lập phương trình bậc hai nhận các số x1 ; x 2 là các nghiệm. Điều này dựa trên định lý “ Nếu x1 + x 2 = S và x1 .x 2 = P thì x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0 ”.

VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là : 1 10 − 72

và

1 10 + 6 2

Giải: Theo định lí Viét ta có: S = x1 + x 2 =

P = x1 x 2 =

1 10 − 72

1

.

+

1 10 + 72

1

10 − 72 10 + 72

phương trình x 2 −

=

=

10 + 72 + 10 − 72 20 = 28 10 2 − 72

1 vì S 2 ≥ 4 P nên x1 , x 2 là 2 nghiệm của 28

20 1 x+ = 0 ⇔ 28 x 2 − 20 x + 1 = 0 .

28 28

Như vậy với bài toán lập phương trình bậc hai khi đã biết trước hai nghiệm của nó ta chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm là S 2 ≥ 4 P .

21

VD2: Cho phương trình x 2 + px + q = 0 (1) có hai nghiệm x1 và x 2 không phải phương trình hãy lập phương trình bậc hai theo y mà các nghiệm số của nó là : y1 =

x1 + 1 ; x1 − 1

y2 =

x2 + 1 x2 − 1

Theo Viét ta có x1 + x 2 = − p x1 .x 2 = q S = y1 + y 2 =

p = y1 .y 2 =

x1 + 1 x +1 2 x1 x 2 − 2 2q − 2 + 2 = = x1 − 1 x 2 − 1 x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 p + q + 2

x1 .x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1 q − p + 1 = x1 .x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 q + p + 1

Với S 2 ≥ 4 P thì y1 , y 2 là hai nghiệm của phương trình y2 −

2q − 2 q − p +1 .y + =0 ⇔ p + q +1 q + p +1

( p + q + 1)y 2 − 2(q − 1) y + (q + 1 − p ) = 0

Vì p 2 ≥ 4q ( do phương trình (1) có hai nghiệm nên

q − p +1 2q − 2 ≥ 4. =0 p + q +1 q + p +1

hay S 2 ≥ 4 p VD3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 .x 2 = 4 và x1 x2 a2 − 7 = 2 + x1 − 1 x 2 − 1 a − 4

Để lập được phương trình bậc hai trước hết ta cần tìm x1 + x 2 . Thật vậy ta có x1 .x 2 = 4 và x1 x2 x .x − x1 + x1 .x 2 − x 2 2 x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) 2.4 − ( x1 + x 2 ) + = 1 2 = = = x1 − 1 x 2 − 1 (x1 − 1)(. x 2 − 1) x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 5 − ( x1 + x 2 ) 8 − ( x1 + x 2 ) a 2 − 7 = 5 − ( x1 + x 2 ) a 2 − 4

(

)

(

⇔ [8 − (x1 + x 2 )]. a 2 − 4 = [5 − ( x1 + x 2 )]. a 2 − 7

)

⇔ x1 + x 2 = a 2 + 1 Với điều kiện S 2 ≥ 4 P ⇔ (a 2 + 1) 2 ≥ 4.4

(

)

⇔ ( a 2 + 1 − 4). a 2 + 1 + 4 ≥ 0 ⇔ a 2 − 3 ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ 3 ⇔ a ≤ − 3 hoặc a ≥ 3

Khi đó x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình : X 2 − (a 2 + 1) X + 4 = 0 2

22

VD4: Biết rằng x1 ; α là nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 . Còn x 2 ; α là nghiệm của phương trình x 2 + p1 x + q1 = 0 biết x1 ≠ x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x 2 . giải: Theo bài ra ta có α 2 + pα + q = α + p1 + q1 ⇒ ( p − q1 ).α = q1 − q .Vì x1 ≠ x 2 nên p − p1 ≠ 0 ⇒ α =

q1 − q p − p1

ta có : x1 + α = − p ; x 2 + α = − p1 (1) ⇒ x1 + x 2 = − ( p − p1 ) − 2α

*. Nếu α ≠ 0 x1 .α = q ; x 2 .α = q1 ⇒ x1 .x 2 = 

Do vậy S = (x1 + x 2 ) = − p + p1 + 2. 

P= x1 .x 2 =

qq1 ( p − p1 )

(q − q1 )

q.q1

α2

q. p1   p − p1 

2

2

các nghiệm của phương trình

. Với các giá trị của p , q . S 2 ≥ 4 P thì x1 , x 2 là 2  q1 − q  qp1 .( p − p1 )   .x + =0 x +  p + p1 + 2. p − p1  ( q − q1 ) 2  2

*. Với α = 0 . từ (1) ⇒ x1 = − p ; x 2 = − p1 ⇒ Ta có phương trình : x 2 + ( p + p1 )x + p. p1 = 0 .

Như vậy để lập phương trình bậc 2 biết các nghiệm của nó thoả mãn một

điều kiện nào đó ( có thể là 2 số cho trước hoặc liên quan tới các nghiệm của 1 phương trình hoặc 2 phương trình nào đó) Ta cần: B1: Tính tổng S và tích P của chúng B2: Lập phương trình dạng : X 2 − SX + P = 0 ( Điều kiện để có 2 nghiệm là S 2 − 4 P ≥ 0 ).

BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm : a.

1 1 và 3 2

d.

a− b

e. a+b m và a- b m

b. 1+ 3 và 1- 3 c. 3 − 2 và

a + b và

1

f. m-

m 2 + 1 và m+

m2 + 1

3+ 2

2. Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình 3x 2 + 5 x − 6 = 0 . Không tính x1 , x 2 hãy lập phương trình bậc hai ẩn y mà nghiệm là. y1 = x1 +

1 1 ; y2 = x2 + x2 x1

23

3.Cho phương trình x 2 − 2mx + 1 = 0 , có 2 nghiệm x1 , x 2 hãy tìm 1 phương trình bậc hai có hai nghiệm là: X 1 = x1 −

3 3 ; X 2 = x2 − x1 x2

4. Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình 6 x 2 + 5 x + 1 = 0 . Không tính x1 , x 2 hãy lập phương trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm là. y1 = y2 =

x1 + 1 ; x1 − 1

x2 + 1 x2 − 1

5. Gọi p, q là hai nghiệm của phương trình bậc hai 3x 2 + 7 x + 4 = 0 . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là: a.

p q và b. (p + q)2 và (p – q)2 q −1 p −1

BT6. Giả sử PT ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có nghiệm x1, x2 khác 0. Tìm một PT bậc hai mà các nghiệm của nó là một trong những trường hợp sau: a. (− x1 ) và (− x 2 )

b.

d. x1 + x 2 và x1 .x 2

1 1 và x1 x2

c. 2x1 và 2x2

e. x12 và x 22

g. Lớn hơn nghiệm của PT đã cho một lượng bằng n h. Gấp n lần nghiệm của PT đã cho BT7. Gọi x1, x2 là nghiệm của PT x2 - 7x + 3 = 0 a. Lập PT bậc hai có 2 nghiệm 2x1- x2 và 2x2 - x1 b. Tính giá trị của A = 2 x1 − x 2 + 2 x 2 − x1 (Đề thi tuyển sinh vào trường THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001) BT8. Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1, x2 sao cho: 4 x1 x 2 − 5( x1 + x 2 ) + 4 = 0   1 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = m + 1 (m ≠ −1)

III. Tài liệu tham khảo:

[1] Toán 9 tập 2 [2] Bài tập Toán 9 tập 2 [3] Vũ Việt Yên – Triệu Khuê : Hướng dẫn ôn luyện thi môn Toán tập II – Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội [4] Trần Thị Vân Anh: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 – Nhà xuất bản

ĐHQG Hà Nội 24

[5] Trần Mạnh Sang: Định lý Viét và ứng dụng.

[6] Một số tài liệu tham khảo từ internet: dienantoanhoc.net, mathscope.org.

25