CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐỖ ĐỨC ANH PHÒNG GD VÀ ĐT BÌNH XUYÊN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Ngƣời thực hiện: Đỗ Đức Anh; SĐT: 0988865901 Đơn vị công tác: GV Trƣờng THCS Lý Tự Trọng Đối tƣợng bồi dƣỡng: HSG Lớp 9 Dự kiến số tiết bồi dƣỡng: 18 tiết

1

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ó

A

C

ẤP

 f ( x)  0  f ( x )  g ( x )   g ( x)  0  f ( x )  g ( x) 

H

Dạng 2:

ÁN

-L

Í-

  f ( x)  0  f ( x)  g ( x)   g ( x)  0  2  f ( x)  g ( x)

TO

Dạng 3:

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

 f ( x)  0  f ( x )  g ( x )  h( x )   g ( x )  0   f ( x)  g ( x)  2 f ( x).g ( x)  h( x)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2+

3

10

00

B

B. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa 1. Phƣơng pháp Phương pháp này áp dụng giải một số phương trình cơ bản sau Dạng 1:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

A.LÝ THUYẾT. I. Định nghĩa.

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong các dấu căn.

II. Các bƣớc thƣờng dùng khi giải phƣơng trình vô tỉ Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp và giải bài toán.

Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

III. Các kiến thức liên quan.

1. Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả phương trình.

2. Các phép biến đổi căn thức.

3. Các dạng phương trình đã học -Phương trình bậc nhất -Phương trình tích.

-Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

-Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

-Phương trình bậc 2, phương bậc cao.

4. Các phương pháp giải hệ phương trình.

5. Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức.

N

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Dạng 4: 2n

f ( x) 

2n

 f ( x)  0  g ( x)   g ( x)  0 (n  N * )  f ( x)  g ( x) 

Dạng 5:

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn  g ( x)  0 2 n f ( x)  g ( x)  (n  N * )  2n  f ( x)  g ( x)

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Dạng 6: 2 n 1

f ( x)  2 n 1 g ( x)  f ( x)  g ( x) ( n  N * )

Dạng 7:

N

f ( x)  g ( x)  f ( x)  g 2 n 1 ( x) (n  N * )

Y

N

H Ơ

2. Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình: x  1  x  1 (1) Giải x  1 x  1  2   x3 x  3  x  1  (x  1) x  3x  0

TP .Q

2

Đ

ẠO

Ví dụ 2. iải phương trình: 1  2 x 2  x  1 Giải Ta có: 1  2 x 2  x  1

Ư N

H

Ví dụ 3.

Giải

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

x 1  0 x  1    ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm  2 2 2      1 2 x ( x 1) 3 x 2 x 0   iải phương trình: x  1  x  7  12  x

Ta có: x  1  x  7  12  x  x  1  12  x  x  7

C

ẤP

2+

3

10

00

B

x  7  0   7  x  12  12  x  0    x  4  2 (12  x )( x  7) (§K míi TM §k cò)  x  1  12  x  x  7  2 (12  x )( x  7)  7  x  12 7  x  12 x  8    2 2  x  8,8 ( x  4)  4( x  7)(12  x) 5 x  84 x  352  0

H

x  2  0

 x  2 (2)

Í-

ĐKXĐ: 

Ó

A

Ví dụ 4. iải phương trình: x  2  3 x 2  4  0 (1) Giải

-L

2 x  4  0

ÁN

Cách 1:

(1)  x  2  3 ( x  2)( x  2)  0



TO



 x  2. 1  3 x  2  0

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

x  2  x2 0     x  17  1 3 x  2  0  9 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

x  1  0

(1)  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 n 1





(3)

Kết hợp (2) và (3) ta được: x = 2 Cách 2:

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x  2  3 x2  4  0

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x  2  3 x2  4  x  2  9( x 2  4)  x  2  9( x  2)( x  2)  0

H Ơ

N

x  2  ( x  2) 1  9( x  2)   0    x  17 9 

Y

3x

TP .Q

Giải ĐK: 0  x  3 khi đó phương trình đã cho tương đương: 3

3 1  10 10  1    x  x  3x  x  3  0   x   3 3 3 3  Ví dụ 6. iải phương trình sau: 2 x  3  9 x 2  x  4



Đ Ư N H

x  1  x  3  1  3x  9x     x  5  97  x  3  1  3x  18 2

B

3 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 

2

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giải ĐKXĐ: x  3 phương trình tương đương:

ẠO

2

G

3

2

10

00

Ví dụ 7. iải phương trình sau: 2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2  Giải 2  3 3 9 x2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2  



3

x  2  3 3x



3

 0  3 x  2  3 3x  x  1

ẤP

x 2  3x  2  x 2  1  6  3 x  1  2 x  2  2 x  1 (x  )

C

Ví dụ 8. iải phương trình

2+

3

2

Giải

Ó

A

x 2  3x  2  x 2  1  6  3 x  1  2 x  2  2 x  1



  x 1  x  1  3  0

x 1  2

Í-

x  2  x 1  3  2



ÁN





-L

 x 1

H

 ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  1)  3 x  1  2 x  2  2 x  1  6

x2 

x 2 3



TO

* x  2  x  1  3  0  x  2  x  1  2 ( x  2)( x  1)  9

G

 x2  x  2  4  x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

3x  x

Ví dụ 5. iải phương trình:

N

Từ đó cũng tìm được x=2 là nghiệm.

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

x  4  2  x2 2  x  x  2  x  8 x  16 * x 1  2  x  3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= 2;3 .

Ví dụ 9: iải các phương trình sau: 3 2x  1  3 x  1 .

Giải: 3 3 2x  1  x  1  3x  1  3 3 2x  1. 3 x( 3 2x  1  3 x)  1 thay 3 2x  1  3 x  1 ta có: 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3x  1  3 3 2x  1. 3 x  1  3 2x  1. 3 x  x

2

G

– Nếu a = 0: phương trình vô nghiệm

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a2  4 a2  4 . Điều kiện để có nghiệm: x a  2a 2a 2 2 2 Nếu a > 0: a 4 2a  a ≤ 4  0  a  2

a

4 ≤ 2a2  a2

Nếu a < 0: a2

TR ẦN

H

– Nếu a ≠ 0: x 

4  a ≤ –2

Tóm lại:

00

B

– Nếu a ≤ –2 ho c 0 < a ≤ 2: phương trình có m t nghiệm x 

C

ẤP

2+

3

10

– Nếu –2 < a ≤ 0 ho c a > 2: phương trình vô nghiệm.

3. Bài tập áp dụng: Bài 1: iải các phương trình sau: a) x  x 1  13 b) 3 x  34  3 x  3  1 e) x  3  5  x  2 d) 1  x x2  4  x  1

a2  4 .

2a

h)

x 2 5  0

5x  1  2

i)

H

Ó

A

g) x  x 1  x  4  x  9  0

c) 2x  5  3x  5  2 f) x  1  x  7  12  x

g) x 2  x  1  1 h) 3  x  2  x  1 i) x  4x  3  2 2m  x  x 2

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Bài 2: iải phương trình: d) x  2 x  3  0 a) x 2  1  x  1 b) 3  x  6  x  3 e) 3x  2  x  1  3 c) x  9  5  2 x  4 f) 3x  4  2 x  1  x  3 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x2  3x  2  Bài 4: Cho phương trình: x2  5  x  m a) iải phương trình khi m = 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 5: Cho phương trình: 2 x2  mx  3  x  m a) iải phương trình khi m=3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

Bài 6: iải các phương trình sau: 1 9 a) x  7 x  3  9  0 x 1  x  1  3 x  1  17 d)

1 0 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

Đ

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x  a

Ta có: x 2  4  x  a  

ẠO

x  a  2  x  4  x  2xa  a 2ax  (a  4)  0

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

 x(x  1)2  0  x1  0;x 2  1 Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi mới kết luận nghiệm.

Ví dụ 10. iải và biện luận phương trình: x 2  4  x  a Giải

N

 (2x  1)x  x 3

2

2

g)

x 2 x 4



6 x 7 x

5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon www.facebook.com/daykem.quynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com 5 3 b) 2 x  1  1 e) x  3  9 x  27  4 x  12  1 h) x  5  5 x  1  0 3 2 2 2 c) 3x  7 x  4  0 i) 5x  7 x  12  0 f) ( x  3) 10  x  x  x  12

II. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

1. Phƣơng pháp Sử dụng hằng đẳng thức sau:

N Y https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

5 2

Phương trình  2 x  5  1  2 x  5  3  14

10

00

B

 2x  5  5  x  15 Thoả mãn) Vậy:x = 15

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ĐKXĐ: x 

A

x 1 1  2

Ó

 x 1 1

C

ẤP

2+

3

Ví dụ 3. iải phương trình: x  2 x  1  x  2 x  1  2 Giải ĐKXĐ: x  1 Phương trình  x  1  2 x  1  1  x  1  2 x  1  1  2

ÁN

-L

Í-

H

Nếu x  2 phương trình  x  1  1  x  1  1  2  x  2 Loại) Nếu x  2 phương trình  x  1  1  1  x  1  2  0 x  0 Luôn đúng với x ) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   x  R | 1  x  2

TO

Ví dụ 4. iải phương trình: x  2  2 x  1  x  10  6 x  1  2 x  2  2 x  1 (2) Giải

G

x  1  0 (2)  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Đ

ẠO

TP .Q

2. Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình: x 2  6x  9  x  8 (1) Giải (1)  (x  3)2  8  x  |x – 3| = 8 – x – Nếu x < 3: (1)  3 – x = – x vô nghiệm) – Nếu x  3: (1)  x – 3 = 8 – x  x = 5,5 thoả mãn) Vậy: x = 5,5.

Ví dụ 2. iải phương trình: x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5  7 2 Giải

H Ơ

N

 f ( x )  g( x ) ( NÕu f ( x )  0) f 2 ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )    f ( x )   g( x ) (NÕu f ( x )  0)

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

  x  1  2 x  1  1  x  1  2.3 x  1  9  2 x  1  2 x  1  1  x  1     x  1  1 | x  1  3 | 2.| x  1  1| (*) Đ t u = x  1 (u 0)  phương trình ) đã cho trở thành: u  1 | u  3| 2 | u 1|

– Nếu 0 ≤ u < 1: u + 1 + 3 – u = 2 – 2u  u = –1 loại) – Nếu 1 ≤ u ≤ 3: u + 1 + 3 – u = 2u – 2  u = 3 – Nếu u > 3: u + 1 + u – 3 = 2u – 2 (vô số nghiệm) 6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Với u = 3  x + 1 = 9  x = thoả mãn). Vậy: x = 8 Với u>3 phương trình vô số nghiệm: x  -1 Ví dụ 5. Cho phương trình x 2  2ax  a2  15  6 x 2  4 x  4 a) Khi cho a=-2, hãy giải phương trình; b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a phương trình có đúng hai nghiệm khác nhau x1 , x2 Giải

N

x 2  2ax  a2  15  6 x 2  4 x  4

Y

(1)

TP .Q ẠO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x  2  3 x  1 x  2  6 x  2  15  x  2  3     x  2  3  x  5 b) Trường hợp 1: x  2 , phương trình 1) trở thành  x  2  x  a  6 x  27  6 x  27  0  x  a  6 x  27 

U

a) Với a=-2 phương trình 1) có dạng

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

 9   x   2  9   x   2    x  a  27  9     6 27 x  a   x   7 x   2     x   9  x  a  6 x  27   x   9     2 2    x  a  6 x  27    x   a  27 5   a  27 9 a  27 9 nÕu a   hoÆc x1   nÕu a   Suy ra x1  7 2 5 2 Trường hợp 2: x  2 phương trình 1) trử thành x  a  6a  3

3a 1 a3 1 nÕu a  hoÆc x2  nÕu a  5 2 7 2 Kiểm tra các khoảng thấy x1  x2 suy ra điều phải chứng minh.

Í-

H

Ó

Tương tự TH1 có x2 

12) x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5  7 2

2) x 2  6 x  9  2 x  1

13)

3) x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  4

14) x  2 x  1  x  4 x  4  10

4) x 2  4 x  4  2  x 5) x  2 x  1  x  2 x  1  2

x2  4 x  4  x2  6x  9  1 15) 16) x  3  2 x  4  x  4 x  4  1

6) x  4 x  4  3

17) x  6  2 x  2  x  11  6 x  2  1

7) x 2  2 x  x 2  2 x  1  5  0

18) x  2 x  1  x  2 x  1 

8) x 2  4 x  4  2 x  10

19) x 2  2 x  1  2 x  8

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

3. Bài tập áp dụng: iải các phương trình sau: 1) x 2  2 x  1  5

2x  4  6 2x  5  2x  4  2 2x  5  4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x  a  6 x  2  15

N

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x3 2

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 1 9) x  x   x   2 2 4

1 2 x  x 1  6  2 5  0 4

20)

21) x 2  6 x  9  2 x 2  8 x  8  x 2  2 x  1

x  4 x  4  5x  2

22) ( x  1)  4  4 x  1  x  1  6 x  1  9  1

11) x  8  6 x  1  4

x  x 2  1. x  x 2  1  1

1 t

B

Đ t t  x  x 2  1 t  0, x  1 thì phương trình có dạng: t   2  t  1

2+

5 4

ẤP

ĐKXĐ: x  

3

10

00

Thay vào tìm được x  1 Ví dụ 2. iải phương trình: 2 x2  6 x  1  4 x  5 Giải

-L

Í-

H

Ó

A

C

t2  5 Đ t t  4 x  5(t  0) thì x  . Thay vào ta có phương trình sau: 4 t 4  10t 2  25 6 2 2.  (t  5)  1  t  t 4  22t 2  8t  77  0 16 4 2 2  (t  2t  7)(t  2t  11)  0

ÁN

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2  1  2 2; t3,4  1  2 3

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

TO

Do t  0 nên chỉ nhận các giá trị t1  1  2 2, t3  1  2 3 Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x  1  2 vµ x  2  3 Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nhận xét.

H

ĐKXĐ: x  1

Ư N

Giải

G

x  x2  1  x  x2  1  2

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ví dụ 1. iải phương trình:

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

III.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.

1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng 1.1 Phƣơng pháp Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đ t t= f(x) trong đó f(x) là biểu thức dưới dấu căn ho c biểu thức chứa dấu căn và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chỉ chứa m t biến t mà ta có thể giải được phương trình đó theo t, thì việc đ t phụ xem như “hoàn toàn”.

1.2 Các ví dụ

N

10)

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2 x2  6 x  1  0 Ta được: x 2 ( x  3) 2  ( x  1) 2  0 , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đ t: 2 y  3  4 x  5 và đưa về hệ đối xứng Xem phần đặt ẩn phụ đƣa về hệ) 1 x

Ví dụ 3. iải phương trình: x 2  2 x x   3x  1 Giải 8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x  1 1 Điều kiện x   0   x  1  x  0

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được: 1 1  3 x x t  1 1 x   t (t  0) ta có phương trình: t 2  2t  3  0   x t  3 (Lo¹i)

N

1 1 5  1  x2  x 1  0  x  ( Tháa m·n) x 2 Ví dụ 4. Giải phương trình x  1  x  3  2 ( x  1)( x  3)  4  2 x

Giải

t  2 t  3 (lo¹i)

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Phương trình có dạng: t 2  t  6  0  

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Với t=2 ta có x  1  x  3  2  x  1 Với phương trình này ta có thể giải như sau Vì x  1  x  3  2 . Suy ra VT  2; VP= 4 - 2 x  2. Dấu “=” xảy ra khi x=1 Tổng quát: Với phương trình dạng f ( x )  h( x )  a f ( x ).h( x )  g( x ) a là hằng số cho trước) Ta xác định điều kiện rồi đ t t  f ( x )  h( x ) (t  0)  t 2  f ( x )  h( x )  2 f ( x ).h( x ) sau đó tiếp tục giải.

Nhận xét: Đối với cách đ t ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được m t lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải. Do vậy ta có thể đ t ẩn phụ theo cách khác.

1.3 Bài tập áp dụng iải các phương trình sau: 5) x2  3 x4  x2  2 x  1 1) x  5  x  1  6



Í-



ÁN

-L

2) x  2004  x 1  1  x

TO

3) x 2  2 x x 



2

6) 3x 2  21x  18  2 x 2  7 x  7  2 7) 2 x 2  3 x  2 x 2  3 x  9  33

1  3x  1 x

8) x  1  x  2  2 x 2  x  2  13  2 x

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

4) 3 x 2  2 x  2 x 2  x  1  x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Điều kiện: 1  x  2 Đ t t  x  1  x  3  t 2  2 x  2  2 ( x  1)( x  3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

x

TP .Q

Với t=1 suy ra

H Ơ

Đ t

N

x2 x

2. Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến: 2.1. Phƣơng pháp Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2   uv   v 2  0 1) bằng cách 2

u u Xét v  0 phương trình trở thành:          0 . v v v  0 thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được 1) a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x  9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 u   v  mu 2  nv 2 Chúng ta hãy thay các biểu thức A x), B x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này. a) Phƣơng trình dạng: a. A  x   b.B  x   c A  x  .B  x 

Như vậy phương trình Q  x    P  x  có thể giải bằng phương pháp trên nếu:

N

H Ơ

N

  P  x   A  x  .B  x    Q  x   aA  x   bB  x 

Xuất phát từ đẳng thức:

x 4  x 2  1   x 4  2 x 2  1  x 2   x 2  x  1 x 2  x  1





ẠO G

Đ

4 x 4  1   2 x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  1

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x2  2 2 x  4  x 4  1 Để có m t phương trình đẹp, chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2  bt  c  0 giải được. b) Phƣơng trình dạng:  u   v  mu 2  nv 2 Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện” hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

2.2. Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình: 2  x 2  2   5 x3  1

C

u  x  1 (u  0) ; v  x 2  x  1 (v 

A

Đ t

Giải

ẤP

ĐKXĐ x  1

3 ) 2

H

Ó

 u  2v 5  37 Phương trình trở thành: 2  u  v   5uv   Tìm được: x  1 u  v 2 2  3 4 x  x 2  1 (*) Ví dụ 2. iải phương trình: x 2  3x  1   3 2

TO

ÁN

-L

Í-

2

Giải

Dễ thấy: x  x  1   x  2 x  1  x   x 2  x  1 x 2  x  1 2

4

2

2

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/



x4  1  x2  2 x  1 x2  2 x  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

x3  1   x  1  x 2  x  1

Ta viết   x 2  x  1    x 2  x  1   Đồng nhất vế trái với

) ta được:

3  x 2  x  1  6  x 2  x  1   3

x

2

3 3

x

2

 x  1 x 2  x  1

 x  1 x 2  x  1

3 3 Đ t: u  x 2  x  1  u   ; v  x 2  x  1  v   

4

4  Phương trình trở thành: -3u+6v=- 3. uv  u  3v .

Suy ra x2  x  1  3x2  3x  3  2x2  4x  2  0  x  1

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

iải phương trình: x2  3 x2  1  x 4  x 2  1 Giải

Ví dụ 3.

x  1

ĐKXĐ   x  1

N

H Ơ

hay: 2(u + v) - (u - v)=  u  v  u  v 

 x  20   x  1

2

u  x 2  x  20 . v  x  1 

G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

không thể đ t: 

H

Ta có:  x 2  x  20   x  1   x  4  x  5  x  1   x  4   x 2  4 x  5 

TR ẦN

Ta viết lại phương trình: 2  x 2  4 x  5  3  x  4   5 ( x 2  4 x  5)( x  4) . Đến đây

 x  2

3

 6x  0

2+

3

Bài 2. iải phương trình: x3  3x 2  2

10

00

B

bài toán được giải quyết .

2.3. Bài tập áp dụng Bài 1. iải phương trình sau: 2 x2  5x  1  7 x3  1 (*)

ẤP

Bài 3. iải phương trình: 10 x3  1  3  x 2  2 

Í-



-L



H

Ó

A

C

Bài 4. iải phương trình sau: x2  2 x  2 x  1  3x2  4 x  1 3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 3.1 . Phƣơng pháp Từ những phương trình tích x  1 1 x  1  x  2  0 , 2x  3  x 2x  3  x  2  0









G

TO

ÁN

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, đ khó của phương trình dạng này phụ thu c vào phương trình tích mà ta xuất phát.

3.2 Các ví dụ



ID

BỒ



iải phương trình: x 2  3  x 2  2 x  1  2 x 2  2

Ư

Ỡ N

Ví dụ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Nhận xét: Không tồn tại số  ,  để: 2 x 2  5 x  2    x 2  x  20     x  1 vậy ta

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q

x

Y

Ví dụ 4. iải phương trình: 5x2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 Giải Điều kiện x  5 . Chuyển vế bình phương ta được: 2 x2  5x  2  5

N

2  u  x Ta đ t:   u, v  0; u  v  khi đó phương trình trở thành: u  3v  u 2  v2 2  v  x  1

Giải t  3 t  x  1

Đ t t  x2  2 ; t  2 , ta có: t 2   2  x  t  3  3x  0   3.3 Bài tập áp dụng iải phương trình: a) x2  3x  x x 2  2  1  2 x 2  2 b) ( x  1) x 2  2 x  3  x 2  1

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c) x2  1  2 x. x2  2 x d) 3x 2  x  48  (3x  10) x 2  15 e) 2( x  1). x 2  2 x  1  x 2  2 x  1

N

f) x 2  4 x  ( x  2). x 2  2 x  15  39

H Ơ

g) (1  4 x) 4 x 2  1  8 x 2  2 x  1

Y

N

h) (4 x  1) x3  1  2 x3  2 x  1 x2  2x  3  x2  1

a3  b3  c3   a  b  c    a  b  a  c b  c   0

B

3

7 x  1  3 x2  x  8  3 x2  8x  1  2 3 3x  1  3 5  x  3 2 x  9  3 4 x  3  0

3

10

3

00

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba.

A

C

ẤP

2+

4.2 Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình: x  2  x . 3  x  3  x . 5  x  5  x . 2  x Giải ĐKXĐ: x  2  u  v  u  w   2 2  u 2  uv  vw  wu   2 3  v  uv  vw  wu   u  v  v  w   3 , giải hệ   2 5  w  uv  vw  wu  v  w  u  w   5

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

u  2  x ; u  0  Đ t v  3  x ; v  1 , ta có:   w  5  x ; w  3 30 239 x ta được: u  60 120

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

Ví dụ 2. iải phương trình sau: 2 x2  1  x2  3x  2  2 x2  2 x  3  x 2  x  2 Giải

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

k) x2  3x  1   x  3 x2  1 4. Đặt nhiều ẩn phụ đƣa về tích 4.1 Phƣơng pháp Xuất phát từ m t số hệ “đại số” đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đ t nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ 3 Xuất phát từ đẳng thức  a  b  c   a3  b3  c3  3 a  b b  c  c  a  , ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

 x  1

j)

U

i) x3  3x  2  ( x  2) x3  2 x  1

a   b  Ta đ t:  c   d 

2x2  1 x 2  3x  2 2x  2x  3 2

a  b  c  d

, khi đó ta có: 

2 2 2 2 a  b  c  d

 x  2

x2  x  2

Ví dụ 3. iải phương trình:

4 x2  5x  1  2 x2  x  1  9 x  3 .

12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2   4 x  5x  1  a  a, b  0 . ta có: Đ t 2 2 x  x  1  b  

a  b a  b  a 2  b 2   a  b  a  b  1  0   . a  b  1

H Ơ N

TR ẦN

H

- Bài tập tương tự: x3  3x2  2 ( x  1)3  3x  0

00

B

- Bài tập tương tự: x3  (3x2  4 x  4) x  1  0 4.3 Bài tập áp dụng: iải các phương trình sau:

x  4 x 1  x   4 1  x   1  x  4 x 3  4 x 2 1  x  4 1 5  x   x  2x  x x x

ẤP

3)

2+

3

2) 4 x2  5x  1  2 x 2  x  1  9 x  3

10

3

1)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

5. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ: 5.1.Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thông thƣờng 5.1.1 Phƣơng pháp Đ t u    x  , v    x  và tìm mối quan hệ giữa   x  và   x  từ đó tìm được hệ theo u,v 5.1.2 Các ví dụ





G

TO

Ví dụ 1. iải phương trình: x 3 25  x3 x  3 25  x3  30 Giải

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành: x3  ( x  2)(3x  2 x  2)  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q ẠO Đ G

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x3  3x 2  2 y 3  6 x  0  x3  2 y 3  3x( x  2)  0 x  y  x3  3xy 2  2 y 3  0    nghiêm x  2; 2-2 3 x   2 y 

Y

Ví dụ 4. iải phương trình: x3  3x2  2 ( x  2)3  6x  0 Giải - Đ t y  x  2 ta được phương trình:

N

1  1  x  4 x2  5x  1  4 x2  4 x  4 x  3 3     2 2 x  4  4 x  5 x  1  2 x  x  1  1  4 x 2  5 x  1  1  2 x 2  x  1  9

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

Đ t y  35  x3  x3  y3  35 3

 xy ( x  y )  30 3 3  x  y  35

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 

giải hệ này ta tìm được ( x; y)  (2;3)  (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Ví dụ 2. iải phương trình:

2 1 x  4 x 

1 2

4

Điều kiện: 0  x  2  1 13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn



Đ t  4

2 1 x  u

 x  v

0u

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2  1,0  v 

2 1

4

H Ơ

N

1  u  4 v 1   2 u  v  4  2  Ta đưa về hệ phương trình sau:  2 u 2  v 4  2  1  1  v   v 4  2  1    4 2  2

1   iải phương trình thứ 2: (v  1)   v  4   0, từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm 2 

N

2

Y

2

(1)

việc

(2)

10

00

B

2   x  1  y  2 Ta xét m t hệ phương trình đối xứng loại II sau:  2   y  1  x  2

2+

3

giải hệ này thì đơn giản.

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đ t y  f  x  sao cho (2) luôn 2

 ( x  2  1)  1  x2  2 x  x  2

C

 x  1

ẤP

đúng, y  x  2  1 , khi đó ta có phương trình:

Ó

A

Vậy để giải phương trình: x 2  2 x  x  2 ta đ t lại như trên và đưa về hệ

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

 x   2  ay  b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2:  , ta sẽ xây dựng 2  y     ax  b được phương trình dạng sau: đ t  y    ax  b , khi đó ta có phương trình: a  2  x     ax  b  b    a  n Tương tự cho bậc cao hơn:  x     n ax  b  b   

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

2) x  5  x  1  6 5.2 Xây dựng phƣơng trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II 5.2.1 Phƣơng pháp Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q ẠO

6  2x 6  2x 8   5 x 5 x 3

Đ

1)

U

nghiệm của phương trình.

5.1.3 Bài tập áp dụng iải phương trình:

BỒ

ID

Ư

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng: n  x     p n a ' x  b '   và đ t  y    n ax  b để đưa về hệ, chú ý về dấu của  .

Việc chọn  ;  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng:

 x   

n

 p n a ' x  b '   là chọn được.

5.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1 iải phương trình: x 2  2 x  2 2 x  1 Giải 14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 2

Điều kiện: x 

Ta có phương trình được viết lại là: ( x  1)2  1  2 2 x  1

N

 x 2  2 x  2( y  1) Đ t y  1  2 x  1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y  2 y  2( x  1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x  y )( x  y )  0

N Y G Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(2 x  3) 2  4 y  5  ( x  y )( x  y  1)  0  2 (2 y  3)  4 x  5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2  12 x  2  2 4 x  5  (2 x  3) 2  2 4 x  5  11 Đ t 2 y  3  4 x  5 ta được hệ phương trình sau:

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Với x  y  2 x  3  4 x  5  x  2  3 Với x  y  1  0  y  1  x  x  1  2 Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1  2; 1  3} 5.3 Dạng đối xứng loại I 5.3.1 Phƣơng pháp Bước 1: Đ t điều kiện xác định nếu phương trình vô tỉ chứa các căn bậc chẵn) Bước 2: Đ t ẩn phụ A( x)  a  o, B( x)  b  o ho c 3 B( x)  b và 3 A  x   a ...

Bước 3: iải hệ phương trình hai ẩn a, b Bước 4:Thay ngược trở lại A( x)  a, B( x)  b để tìm x. Đối chiếu ĐKXĐ nếu có để trả lời) 5.3.2 Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình 3 1  x  3 1  x  2 (2) Giải ĐKXĐ x  0 1 x  a

ÁN

3

TO

Đ t:

a  b  2

a  1  b  1 a  b  2

khi đó ta có hệ phương trình 

3

3

1 x  b  3 1  x  1 1  x  1     x  0 thỏa mãn ĐKXĐ).

Do đó, ta có:   3 1  x  1 1  x  1

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

5 4

TP .Q

ĐKXĐ x  

H Ơ

iải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2  2 Ví dụ 2. iải phương trình: 2 x2  6 x  1  4 x  5 Giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0.

Ví dụ 2: iải phương trình (2) 4 97  x  4 x  5 Giải ĐKXĐ 0  x  97 a  b  5

Đ t 4 97  x  a  0, 4 x  b  0 khi đó ta có hệ phương trình ẩn a , b là: 

4 4 a  b  97

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com  a  b  5 a  b  5  2 2 2 2 a  b  25  2ab a  b  25  2ab    ab  44     ab 44     2 2 2 2  a  b  5 (25  2ab)  2a b  97 (ab)  50ab  264  0   ab  6     ab  6

N

giải 2 hệ phương trình này ta được a = 3, b = 2 thỏa mãn ĐKXĐ) và a = 2 , b = 3 thỏa mãn ĐKXĐ), khi đó ta có hệ phương trình I)

N

H Ơ

4   97  x  3 97  x  81   x  16 thỏa mãn ĐKXĐ) 4  x  16   x 2

ẤP

2+

3

10

chúng ta vẫn giải hệ được, và từ hệ này chúng ta xây dựng được bài toán phương trình sau: Bài 1 . iải phương trình: 4 x2  5  13x  3x  1  0 Nhận xét: Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước: 2

Í-

H

Ó

A

C

13  33   2 x    3x  1  4 4  13 Đ t 2 y   3x  1 thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có 4

thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đ t:  y    3x  1 , chọn  ,  sao cho hệ chúng ta có thể giải được, (đối xứng hoặc gần đối xứng ) 2 2 2 2    y     3x  1  y  2 y  3x    1  0 (1) Ta có hệ:  (*)  2 2 4  13    5    0 (2) x x y  4  13  5      x x y    Để giải hệ trên thì ta lấy 1) nhân với k c ng với 2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm x  y  2 2  3  2  1 Nên ta phải có: , ta chọn được ngay   2;   3   4   13 5   Ta có lời giải như sau:

ÁN

TO

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Ư N

H

TR ẦN

00

B

(2 x  3)2  2 y  x  1 (1) đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng Ta xét hệ sau:  2 (2 y  3)  3 x  1 

-L

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

5.3.3 Bài tập áp dụng 1) iải phương trình tổng quát sau: 3 m  x  3 x  a trong đó m và a là các tham số còn x là ẩn).

2) 48  x3  35  x3  13 3)/ 4 629  x  4 77  x  8 5.4 Dạng hệ gần đối xứng 5.4.1 Phƣơng pháp

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

 4 97  x  2 97  x  16    x  81 thỏa mãn ĐKXĐ) 4 x  81 x  3    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S= 16;81

1 3

Điều kiện: x   ,

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3 2

H Ơ N Y

(1) (2)

để hệ có nghiệm x = y thì: A-A’=-B và m=m’,

B

 f ( x)  A.x  B. y  m  f ( y )  A '.x  m '

Xét hệ: 

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

Nếu từ 2) tìm được hàm ngược y  g  x  thay vào 1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng phương trình theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.

5.4.2 Các ví dụ Ví dụ 1: iải phương trình 25  x 2  10  x 2  3 (1) Giải ĐKXĐ  10  x  10 Đ t 25  x2  a  0, 10  x2  b  0 a  b  3

a  b  3 a  4   (thỏa mãn) a  b  15 a  b  5 b  1

ÁN

-L

Khi đó ta có hệ phương trình ẩn a,b sau: 

2

2

G

TO

2 2  25  x 2  4  25  x  16  x  9 Do đó ta có     x 2  9  x  3 (thỏa mãn ĐKXĐ)  2 2 2

  10  x  1

 10  x  1

 x  9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Ư N

H

TR ẦN

Một cách tổng quát .

Í-

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

Chú ý: Khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay  ;  bằng cách viết lại phương trình Ta viết lại phương trình như sau: (2 x  3) 2   3 x  1  x  4 khi đó đ t 3x  1  2 y  3 , nếu đ t 2 y  3  3 x  1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn, ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP .Q

(2 x  3)2  2 y  x  1  ( x  y )(2 x  2 y  5)  0 Ta có hệ phương trình sau:  2 (2 y  3)  3x  1 15  97 Với x  y  x  8 11  73 Với 2 x  2 y  5  0  x  8 15  97 11  73  Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:  ;  8 8  

N

Đ t 3x  1  (2 y  3), ( y  )

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

Vậy nghiệm của phương trình vô tỉ đã cho là 3 và-3 Cách2: Bình phương hai vế sau khi đ t điều kiện  10  x   10  25  x 2  3  10  x 2  25  x 2  9  10  x 2  6 10  x 2  6  6 10  x 2  1  10  x 2  x  3

(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy nghiệm của phương trình vô tỉ đã cho là 3 và-3 Ví dụ 2 iải phương trình: 3 x  2  x  1  3 Giải a  b  3

ĐKXĐ x  1 , đ t 3 x  2  a, x  1  b  0 khi đó ta có hệ phương trình: 

3 2 a  b  3

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Từ a b = 3 ta có b = 3 - a thay vào phương trình thứ hai của hệ a3  b2  3 ta có a3  (3  a)2  3  a3  a2  6a  6  0  (a 1)(a2  6)  0  a  1 khi đó x  a3  2  x  3 thỏa ĐKXĐ)

N

Khi đó phương trình có nghiệm x=3 Ví dụ 3 iải phương trình: 3 2  x  x 1  1 Giải ĐKXĐ: x  1

H Ơ

a  b  1

Đ t 3 2  x  a, x  1  b  0 , khi đó ta có hệ phương trình ẩn a,b là: 

Y

H

 3 2  x  2 TH3:a =-2 , b = 3 ta có hệ:   x  10 (thỏa mãn ĐKXĐ)

TR ẦN

  x 1  3

10

cho ta các nghiệm a = 0 và b = 1; a =1 và b = 0; a =-2 và b = 3

3

3 2 a  b  1

2+

a  b  1

sau 

00

B

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1;2;10} Nhận xét: Từ VD 3 ta có thể giải bài toán tổng quát sau: 3 2  mx  mx 1  1 với m là tham số, m  0 ) Cách giải:Đ t 3 2  mx  a, mx  1  b  0 khi đó ta cũng có hệ phương trình

C

ẤP

3  2  2  mx  0 TH1:a = 0 và b = 1 khi đó ta có hệ phương trình:   mx  2  x  m   mx  1  1

Ó

A

 3 2  mx  1 1 TH2:a = 1và b = 0 khi đó ta có hệ phương trình:   mx  1  x 

  mx  1  0 10 TH3:a = -2 và b = 3 khi đó ta có hệ phương trình  x  m

-L

Í-

H

m

(1)

TO

ÁN

Ví dụ 4: iải phương trình x 3  x 2  1  x 3  x 2  2  3 Giải Với điều kiện: 0

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

x3  x 2 1  0  x3  x 2  2  0 3 2  Đ t  u  x3  x2  1 Với v > u v  x  x  2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

 3 2  x  1  x  1 (thỏa mãn ĐKXĐ)   x  1  0

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 x  1  1 a  b  3 TH2:a =1 , b = 0 ta có hệ:  3 2 a  b  3

ẠO

3 2  x  0 TH1:a = 0 , b = 1 ta có hệ:   x  2 (thỏa mãn ĐKXĐ)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

thỏa mãn)

TP .Q

a  0 a  1 a  2 , , b  1 b  0 b  3

iải hệ này ta được các nghiệm: 

N

3 2 a  b  1

Phương trình 1) trở thành u + v = 0 Ta có hệ phương trình

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn  uv 3  2 2 v  u  3

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

 ( x  1)( x 2  2 x  2)  0  x  1( do x 2  2 x  2  0)

BỒ

ID

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1} 5.4.3. Bài tập áp dụng iải các phương trình sau 1) 3 2  x  x 1  1 2) 3 24  x  12  x  6 3) 3 x  2  x  1  3 4) 10  2x  2x  3  1 5) 32  x 2  1  x 2  4 6) 3 x 1  3  4 82  x 7) x  4 20  x  4 IV.Phƣơng pháp nhân liên hợp 1. Phƣơng pháp M t số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích  x  x0  A  x   0 ta có thể giải phương trình A  x   0 ho c chứng minh A  x   0 vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A  x   0 vô nghiệm Sử dụng các biểu thức liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích A+B A-B A2-B2 A-B A+B A2-B2 A+B A2-AB+B2 A3+B3 A-B A2+AB+B2 A3-B3 2. Các ví dụ Ví dụ 1: iải phương trình: x  x  2   x  x  1  2 x 2 (1) Giải Cách 1: ĐKXĐ x  2 hoÆc x  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

N

 u  v  3 uv 3 u  1    (v  u )(v  u )  3 v  2 v  u  1  x 3  x 2  1  1  3  x  x 2  2  2  x3  x2 1  1  3 2 x  x  2  4  x3  x2  2  0

1  

x2  x  x2  2x x  x  1  x  x  2  3x x  x  1  x  x  2 

2x 2x

 2 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon www.facebook.com/daykem.quynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com 3  3  x  x  1  x  x  2   2 Nếu x  1 ta có   2 x  x  1  2 x   3 2  x  x  1  x  x  2   2 x 

iải 3) ta tìm được x 3  3  x  x  1  x  x  2   2 Nếu x  -2 ta có   2 x  x  1  2 x  2  x  x  1  x  x  2   2 x 

N Y

2

00

B

TR ẦN

H

Ư N

Chia cả hai vế cho t ta được  t  2   t  1  2 t Bình phương hai vế tìm được t Sau đó tìm ra x.

Trong cách 1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp. Còn trong cách 2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình. Nhìn chung thì việc vận dụng theo cách đơn giản hơn.

10

Ví dụ 2. iải phương trình sau: 3x 2  5x  1  x 2  2  3  x 2  x  1  x 2  3x  4

3

Giải

2+

Ta nhận thấy:  3x  5 x  1   3x  3x  3  2  x  2  và 2

 2    x 2  3x  4   3  x  2 

ẤP

2

C

x

2

H

Ó

A

Ta có thể trục căn thức 2 vế:

2 x  4

3x 2  5 x  1  3  x 2  x  1



3x  6 x 2  2  x 2  3x  4

ÁN

-L

Í-

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 3. iải phương trình sau: 10 x  1  3x  5  9 x  4  2 x  2 Giải 5 3 10 x  1  9 x  4 

TO

Điều kiện x 



BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

(1) 

 



3x  5  2 x  2  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q

Đ

t 

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 t  t  2   t  t  1  2

 t 

G

t  t  2   t  t  1  2

ẠO

iải 4) ta tìm được x Cách 2: ĐK: x  2 hoÆc x  1 Nếu x  1 ta chia cả hai vế cho x ta được:  x  2   x  1  2 x Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x Nếu x  -2 Đ t t = -x  t  2 . Thay vào phương trình ta được

H Ơ

N

 4

x 3 x 3  0 10 x  1  9 x  4 3x  5  2 x  2 x  3   x 3 1 1   0  10 x  1  9 x  4 3x  5  2 x  2 

Vậy phương trình có nghiệm x=3 Ví dụ 4. iải phương trình sau: x2  12  5  3x  x2  5 Giải 20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x 2  12  x 2  5  3x  5  0  x 

Để phương trình có nghiệm thì:

5 3

Ta nhận thấy: x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng  x  2  A  x   0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau:

x  x2  3

x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Giải

ĐKXĐ: x  3 Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:

Ư N









x  0   2  x  3

3



3

x



2

 3



3

 3 3.x

TR ẦN

 3

2

B

x



H





 3 x  x 2  3  x 2  3 x  x 2  3  3.x

2

  x

 3

2



3

2

x

4

00

x

 3  27 x 2 3

10

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

2

ẤP

2+

3

 x  0 ; x2 9  2 x4   0  x  0    4 3 2 4 4 3 4 4 2 2 ( x  3)  x  9  2 x  4( x  3)  x  9  2 x 

H

Ó

A

C

iải hệ trên ta tìm được x  2 Ví dụ 6: iải phương trình. 3x  2  x 3x  2  2 2 x 2  1 (1) Giải



Í-



3 x  2  2  x( 3 x  2  2)  2

TO





3 x  2  2  2  x( 3 x  2  2)  2 x  2 2 x 2  1

ÁN



(1) 

2 3

-L

§iÒu kiÖn x 



2x2  1  x 1



G

3x  6 x(3 x  6) 2 x( x  2)   0 3x  2  2 3x  2  2 2x2  1  x  1 x  2  3x 2x  3x  6    0 (2)  3 x  2  2 3x  2  2 2x2  1  x  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x2  3

ẠO

x  x2  3



Đ

x2  3

Ví dụ 5. iải phương trình:

H Ơ

  x2 x 1   x  2    3  0  x  2 2 x2  5  3   x  12  4 5 x2 x2 Dễ dàng chứng minh được:   3  0, x  2 2 3 x  12  4 x 5 3

N

x2  5  3

N

 3 x  2 

Y

x 2  12  4

x2  4

U

2

TP .Q

x2  4

x  12  4  3x  6  x  5  3  2

BỒ

ID

Ư

Ỡ N



Ta cã:

3x 2 x (3 2 x 2  1  2 3 x  2  3 x  1)   A 3x  2  2 2x2  1  x  1 3x  2  2 2x2  1  x  1







21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon www.facebook.com/daykem.quynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com 2 2 18 x  12 x  17 2 V× x  nªn 3 x  1  0 vµ 3 2 x 2  1  2 3 x  2   0, x  3 3 3 2 x 2  1  2 3x  2

H Ơ Y ẠO

 x9

3x  ( 3x  1  1) 3x  10

C

ẤP

2+

3

10

00

B

4 1 5 7)  x   x  2x  x x x 2 2 8) 3 x  7 x  3  x  2  3 x 2  5 x  1  x 2  3 x  4 9) 10 x  1  3x  5  9 x  4  2 x  2 10) 2 x 2  16 x  18  x 2  1  2 x  4 V.Phƣơng pháp đánh giá.

1. Kiến thức cơ bản a. Dùng hằng đẳng thức: Từ những đánh giá bình phương: A2  B 2  0 , ta xây dựng phương trình dạng

 

H



4 x 2  12  x  1  4 x 5 x  1  9  5 x

ÁN



2

5x  1  2 x 

-L

phương trình:



Í-

Từ phương trình

Ó

A

A2  B 2  0

2

9  5 x  2  x  1  0 ta khai

triển ra có



TO

b. Dùng bất đẳng thức A  m nếu dấu B  m

Ỡ N

G

M t số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



2

Đ

3  9  2x

G



2 x2

TR ẦN

6)

x 2  1  x  x3  1

3

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5)

 3x  1  1

H

4)

3x  10

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3x

3)

2

TP .Q

Tổng quát:  f  x  .g  x    f  x  .h  x    f  x 

N

2

U

2)  x  3 x  2    x  3 x  1  2  x  3

N

Suy ra A>0 phương trình 2) vô nghiệm Vậy Phương trình có nghiệm x=2 3. Bài tập áp dụng: iải phương trình: 1) x  x  3  x  x  4   2 x 2

BỒ

ID

Ư

bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A  B

Ta có:

1  x  1  x  2 . Dấu bằng khi và chỉ khi x  0 và

x 1 

1  2 , dấu x 1

bằng khi và chỉ khi x=0.

Vậy ta có phương trình: 1  2015 x  1  2015 x 

1  1 x x 1

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 A  f  x  khi đó:  B  f ( x)

 A  f  x  A B  B  f  x 

 256

2

2

2

2

H

 16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x      64 2 2   x 1  x2 2  5  1 x   Dấu bằng   3 2   2 2 10 x  16  10 x  x   5 2

10

00

B

TR ẦN

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

  13  27 13 13x  3  3x   40 16 10x  2

Ư N

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com



13. 13. 1  x2  3. 3. 3 1  x2

Đ

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

ẤP

2+

3

Ví dụ 2. Giải phương trình: x3`  3x 2  8 x  40  8 4 4 x  4  0 Giải 2 3 4 Ta chứng minh: 8 4 x  4  x  13 và x  3x2  8x  40  0   x  3  x  3  x  13

2x 1  2x  2 1  2x 2x Giải:

C

Í-

H

Ó

A

Ví dụ 3: iải phương trình:

-L

Điều kiện: x > 0; x < 

1 2

G

TO

ÁN

2x 1  2x  2 1  2x 2x Áp dụng BĐT Cô si suy ra VT 2

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

Dấu “=” xảy ra khi 4x2 = 4x2 + 4x + 1  x  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



2

ẠO



Biến đổi phương trình ta có: x2 13 1  x2  9 1  x2

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được.

2. Các ví dụ Ví dụ 1. iải phương trình: 13 x2  x4  9 x 2  x 4  16 Giải: Điều kiện: 1  x  1

N

Đôi khi m t số phương trình được tạo ra từ ý tưởng: 

1 không thỏa mãn điều kiện 4

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4: iải phương trình: x  x  1  1 Giải: Điều kiện: x 0 Với x 0 phương trình có VT 1 dấu “ =” xảy ra khi x = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 Ví dụ 5: iải phương trình: x2 + x  1 - 2x + 1= 0 Giải: 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Điều kiện: x

-1 phương trình được biến đổi thành (x  1)2  0 x  1 2 (x – 1) + x  1 =0     không tìm được x. x 1     x  1  0

H Ơ N

x2  2x  4  3 x3  4x

7)

1  2x  1  2x 

Ư N H

10

00

9) 2 x4  8  4 4  x4  4 x4  4 10) 16 x 4  5  6 3 4 x3  x 11) x3`  3x 2  8 x  40  8 4 4 x  4  0 12) 8  x3  64  x3  x4  8x 2  28

G

1  2x 1  2x  1  2x 1  2x x  4 1 x  x  1 x  2  4 8

TR ẦN

4

Đ

x 3  3x 2  8x  40  8 4 4 x  4

BỒ

ID

Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

C. KẾT QUẢ TRIỂN KHAI CHUYÊN ĐỀ TẠI ĐƠN VỊ MÌNH Với n i dung chuyên đề trên cá nhân tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho đ i tuyển HS lớp 9.

Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các em đã cơ bản nắm được m t số phương pháp giải phương trình vô tỉ và vận dụng tốt vào để giải các phương trình vô tỉ trong các đề thi HS và thi vào lớp 10.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

5) 6)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP .Q

4

ẠO

4)

B

http://daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Y

1 5  8x 2  x 2 3 x   2x 8

3)

8)

N

Vậy phương trình vô nghiệm 3. Bài tập áp dụng iải các phương trình sau 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14  4  2 x  x 2 1) 2) x  94  96  x  x 2  190 x  9027

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial