CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi)

TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPTQG

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

CHUYÊN ĐỀ:

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi.

MỞ ĐẦU Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác là nội dung cơ bản và quan trọng trong học tập lượng giác và là một nội dung trong cấu trúc đề thi THPTQG. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác giúp các em học sinh thêm tự tin trong kì thi THPTQG. Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT. Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Các phương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.

Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng giác và cách giải phương trình lượng giác.

Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác.

Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.

PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. A. Lí thuyết cơ bản.

B. Bài tập và phương pháp giải toán.

Dạng 1. Bài tập về hệ thức lượng giác cơ bản.

I. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị của biểu thức lượng giác.

1. Cho một hàm số lượng giác. Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại.

2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác.Tính giá trị của một biểu thức lượng giác.

3. Cho một biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá của biểu thức lượng giác.

Tổ: Toán - Tin

1

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Bài tập tính giá trị của biểu thức lượng giác qua các đề thi thử THPTQG năm 2015.

II. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.

IV. Rút gọn các biểu thức lượng giác.

Dạng 2: Bài tập về công thức quy gọn góc (Công thức biểu diễn góc (cung) có liên quan đặc biệt).

Dạng 3: Bài tập về công thức lượng giác. (Công thức cộng. Công thức nhân.

Công thức biến đổi).

I. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

II. Rút gọn biểu thức lượng giác.

III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

IV. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác.

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.

Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp.

I.

Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.

II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

III. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.

IV. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.

Dạng 3. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình tích các phương trình lượng giác thường gặp.

I.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

II. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

III. Phương trình đưa về phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.

IV. Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.

Dạng 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực với phương pháp khác.

I

Phương pháp tổng bình phương.

II. Phương pháp đánh giá hai vế.

Tổ: Toán - Tin

2

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

PHẦN I. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Số tiết dạy:18 tiết = 6 buổi.

A.Mục tiêu bài dạy.

1.Mục tiêu bài dạy.

- Học sinh nhớ được các hệ thức lượng giác cơ bản.

-Hiểu được các công thức thu gọn góc.

-Hiểu và nhớ công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi.

2. Kỹ năng.

-Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác. +Rút gọn biểu thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

B.

LÝ THUYẾT CƠ BẢN.

I. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG: 1. Độ:

Goù c 10 =

1 goù c beï t 180

2. Radian: (rad)

180 0 = π rad 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung) thông dụng: Độ

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

3600

Radian

0

π

π

π

π

3

2

5π 6

2π

4

3π 4

π

6

2π 3

II. GÓC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC: y

1. Định nghĩa: y

(tia ngọn) (điểm ngọn)

+

B

α

+

α t

α O

x

O

(tia gốc)

x A (điểm gốc)

AB = α + k 2π

(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

Tổ: Toán - Tin

t

M

3

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

III. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: y

1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin (trục hoành )

−1

(trục tung )

C

x'

• t'At : trục tang

u

B 1

u'

• y'Oy : trục sin

t

• u'Bu : trục cotang

+

1 A

R =1 O

−

−1 y'

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:

x

t'

a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu Ta định nghĩa:

t

y

t

Trục sin

Trục cotang

u'

U

B M

Q t O

+

T

α

α

x'

u

P

sin α = OQ

x

A −

Trục cosin

−1

y'

cos α = OP tgα

= AT

cot gα = BU

Trục tang

t'

b. Các tính chất: Với mọi α ta có:

−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

• tanα xaù c ñònh ∀α ≠

π 2

+ kπ với k ∈ ℤ

• cotα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ k ∈ ℤ

Tổ: Toán - Tin

4

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

c. Tính tuần hoàn

sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tan(α + kπ ) = tan α

(k ∈ Z )

cot(α + kπ ) = cot α IV. GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y

t

3

- 3

- 3 /3

-1

u'

2π/3 3π/4

π

π/2

1

3 /3

3

1

u

π/3

3 /2

π/4

2 /2

5π/6

x'

B

π/6

3 /3

1/2

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

-1

3 /2

2 /2

x

1 A (Ñieåm goác)

O

-1/2 -π/6

- 2 /2

- 3 /3

-π/4

- 3 /2

-1

-π/3

-1

-π π/2

y'

Góc Hslg sin α cos α tan α cot α

00

300

450

600

0

π

π

6

0

t'

- 3

900

1200

1350

1500

π

π

4

3

2

2π 3

3π 4

5π 6

π

2π

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

0

1

3 2

2 2

1 2

0

0

3 3

1

3

kxđ

kxđ

3

1

3 3

0

Tổ: Toán - Tin

−

−

2 2

3600

−

3 2

-1

1

3 3

0

0

kxđ

kxđ

− 3

-1

−

3 3

-1

− 3

−

5

1 2

1800

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT: Đó là các cung: 1. Cung đối nhau

: α vaø -α

2. Cung bù nhau

: α vaø π -α

3. Cung phụ nhau

: α vaø

π

: α vaø

π

4. Cung hơn kém

π 2

2

2

(tổng bằng 0) (tổng bằng π )

− α (tổng bằng

+α

5. Cung hơn kém π : α vaø π + α

1. Cung đối nhau:

= − sin α

tan(−α )

= − tan α

Cos đối

π

= cosα Phụ chéo = cot α

π

) (Vd:

(Vd:

π

(Vd:

π

6

6

6

&

&

6

&

&

,…)

5π ,…)

6

π 3

,…)

2π ,…)

3

7π ,…)

6

= sin α = − tan α

cot(π − α ) = − cot α 4. Cung hơn kém

π 2

π

Hơn kém

π 2

cos( + α ) = − sin α 2

π

sin( + α ) = cos α sin bằng cos 2 cos bằng trừ sin π tan( + α ) 2

= −cot α

π

π

cot( + α ) = − tan α 2

cot( − α ) = tan α 2

Tổ: Toán - Tin

6

tan(π − α )

π

cos( − α ) = sin α 2

tan( − α ) 2

π

(Vd:

sin(π − α )

Sin bù

3. Cung phụ nhau:

sin( − α ) 2

2

6

π

cos(π − α ) = − cosα

cot(−α ) = − cot α

π

π

&−

2. Cung bù nhau:

cos(−α ) = cosα sin(−α )

π

(Vd:

6

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

5. Cung hơn kém π :

cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tan(π + α ) = tan α

Hơn kém π tan , cot

cot(π + α ) = cot α VI. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: 1. Các hệ thức cơ bản: 2

1 + tan 2α =

2

cos α + sin α = 1 sinα π (α ≠ +kπ ) cosα 2 cosα cotα = (α ≠ kπ ) sinα

1 + cot 2α =

tanα =

1 cos2α 1 sin 2 α

(α ≠

π 2

+kπ )

(α ≠ kπ )

tanα . cotα = 1 (α ≠

kπ ) 2

2. Công thức cộng:

cos(α + β ) = cosα .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cosα .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cosα sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα tanα +tanβ 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β tan(α +β ) =

3. Công thức nhân đôi:

cos2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2sin α .cosα 2 tan α π π kπ π tan 2α = (α ≠ ± +kπ , α ≠ + ,α ≠ +kπ ) 2 4 4 2 2 1 − tan α 4. Công thức nhân ba:

cos3α = 4cos 3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α 5. Công thức hạ bậc: cos 2 α =

Tổ: Toán - Tin

1 + cos 2α 1 − cos 2α ; sin 2 α = ; 2 2

7

tg 2α =

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α 4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α 4

1 − cos 2α 1 + cos 2α

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

6. Công thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan

sin α =

2t ; 1+ t2

2

cos α =

1− t ; 1+ t2

tan α =

……

α 2

2t 1 + t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 cosα .cos β =

8. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos α + cos β = 2 cos

α +β

cos α − cos β = −2sin sin α + sin β = 2 sin

2

.cos

α +β 2

α +β

α −β

.sin

.cos

2

α −β 2

α −β

2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β tan α + tan β =

9. Các công thức thường dùng khác: π

π

cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) 4 4

π

π

cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) 4 4 3 + cos 4α 4 5 + 3 cos 4α cos 6 α + sin 6 α = 8

cos 4 α + sin 4 α =

Tổ: Toán - Tin

8

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

C. BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN I. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Cho 1 hàm số lượng giác. Tính giá trị của các hàm số lượng giác còn lại. * Các bước thực hiện: Bước 1: Kiểm tra dấu của các hàm số lượng giác cần tính.

Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.

Bước 3: Kết luận. * Ví dụ 1: a) Cho sinα =

4 π và < α < π 5 2

Tính cosα, tanα, cotα.

Giải: + Vì:

π 2

< α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có: cos2α = 1 – sin2α = 1 tanα =

sin α 4 =− cosα 3

cotα = − b) Cho cosα = + Vì π < α <

16 9 3 = ⇒ cosα = − 25 25 5

3 4 1 3π với π < α < . Tính sinα, tanα, cotα.

4 2

3π => sinα < 0, tanα > 0, cotα > 0.

2

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có: sin2α = 1 – cos2α =

Tổ: Toán - Tin

15 − 15 ⇒ sin α = 16 4

9

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

tanα = 15 ;cot α =

……

15 15

* Ví dụ 2: a) Cho tanα = - 2 và

π 2

< α < π . Tính sinα, cosα, cotα;

b) Cho cotα = 3 và π < α <

3π . Tính sinα, cosα, tanα.

2

2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác. Tính giá trị của một biểu thức lượng giác.

* Phương pháp: Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác đã cho chỉ còn hàm số lượng giác đã biết.

Cách 2: + Tính các hàm số có trong biểu thức. + Thay kết quả tìm được vào biểu thức.

Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn. * Áp dụng: Ví dụ 1: Cho tanα = - 2. Tính giá trị của các biểu thức.

A=

sin α + 2cos α sin α − 2cos α

Giải:

Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ 0 Chia cả tử và mẫu của A cho cosα ≠ 0 và thay tanα = - 2, được: A=

tan α + 2 −2 + 2 = =0 tan α − 2 −2 − 2

Ví dụ 2: Cho cotα = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau: A=

1 cos α − sin α cosα + sin 2 α 2

Giải:

Chia cả tử và mẫu của B cho sin2α ≠ 0 thay cotaα = 3, được:

1 + cot 2 α 10 = A= 2 cot α − cot α + 1 7 Ví dụ 3:

Tổ: Toán - Tin

10

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

a) Cho 3sin4α - cos4α =

……

1 (1). Tính 2

A = sin4α + 3cos4α.

Giải: Đặt t = sin2α với 0 < t < 1. => cos2α = 1 – t

Thì (1) trở thành 3t2 – (1 – t)2 =

1 2

6t2 – 2(1 – 2t + t2) = 1

 −3 t = 2 ∉ [ 0;1] 2 4t + 4t – 3 = 0  t = 1 ∈ [ 0;1]  2 Với t =

1 1 1 ta có sin2α = => cos2α = thay vào A ta được: 2 2 2

A=

1 3 + =1 4 4

b) Tương tự cho 3 sin4α +2cos4α =

98 . Tính A = 2sin2α + 3cos4α.

81

Ví dụ 4: (Đề minh họa – THPT Quốc Gia – 2015) Cho

π 2

< α < π và sinα =

3 tan α . Tính A = 5 1 + tan 2 α

Ví dụ 5: Đề thi THPT Quốc gia năm 2015 Tính giá trị của biểu thức p = (1-3cos2α) (2+3cos2α), biết 2 sin α = 3 Giải: 2 7 14 P = (−2 + 6sin 2 α )(5 − 6sin 2 α ) = . = 3 3 3 3. Cho 1 biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá trị của biểu thức

lượng giác. * Phương pháp: - Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính. * Áp dụng: Ví dụ 1: Cho sinα + cosα =

2

a) Tính sinα , cosα, tanα, cotα.

Tổ: Toán - Tin

11

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin5α + cos2α Giải:

a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản, ta có sin α + cosα = 2 sin α = 2 − cosα ⇔  2  2 2 2 sin α + cos α = 1 ( 2 − cosα ) + cos α = 1

 2 2 = sin α = 2 −  tan α = 1  2 2  ⇒ cot α = 1 cosα = 2  2 b) Theo kết quả a) sinα = cosα = 5

2 . Thay vào A ta được: 2

5

 2  2 2 A=   +  = 4  2   2  Ví dụ 2: Cho tanα + cotα = 2 a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα b) Tính giá trị của biểu thức A =

sin α cosα tan 2 α + cot 2 α

Giải:

a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản ta có:

 tan α = 2 − cot α  tan α = 2 − cot α  tan α + cot α = 2  <=>  2   tan α cot α = 1  cot α (2 − cot α ) = 1 cot α − 2cot α + 1 = 0  tan α = 1 cot α = 1



+ sin α = cosα =

2 2

2 2 .

1 b) Theo kết quả a, thì A = 2 2 = 1+1 4 Ví dụ 3: Cho sin2αcos2α =

1 4

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

Tổ: Toán - Tin

12

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin4α + cos4α Giải:

a) Theo hệ thức lượng giác cơ bản và giả thiết có:  1  2 sinx = ± sin 2 α + cos 2α = 1 sin x =     2 ⇔  2 1 ⇔ 2 1 sin os c = α α 2  cos x = cos x = ±  4   2

1 2 1 2

⇒ tanx = ± 1; cotx = ± 1 b) A = (sin2x)2 + (cos2x)2 =

1 1 1 + = 4 4 2

BÀI TẬP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC QUA CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015

1. Cho góc α thỏa mãn π < α <

3π và tanα = 2 2 2

π   5π  Tính M = sin α + sin  α +  + sin  − 2α  2   2  2

THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giải: + Vì π < α <

3π 1 1 1 = ⇒ cosα = − (gt) ⇒ cosα < 0 ⇒ cos2α = 2 1 + tan α 5 5

+ M = sin2α + cosα + cos2α = sin2α + 2cos2α + cosα - 1 = cos2α + cosα =

1 1 − 5 5

2. Biết rằng số thực α thỏa mãn tanα = 2. Tính:

sin α + 2cos3 α (Trường ĐH Vinh – TPTH chuyên lần 2) cosα + 2sin 3 α π 7 3. Biết rằng α ∈ (−π ; − ) và sin2α = . Tính: 2 9 A=

A=

cos 2α − 4cos α + 4 + sin 2 α − 4sin α + 4 (ĐH Vinh – THPT chuyên lần 3)

Tổ: Toán - Tin

13

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

4. Cho

……

π  < α < 2π và tan  α +  = 1 2 4 

π

 

Tính A = cos  α −

π

 + sinα 6 (Đề THPT Hùng Vương – Phú Thọ)

5. Cho sinα + 2cosα = - 1 và

π 2

< α < π . Tính sin2α

(Đề THPT Cẩm Lý – Bắc Giang) 6. Cho góc α thỏa mãn π < α <

3π π −4  và cosα = . Tính tan  α −  2 4 5 

(Đề THPT Thạch Thành I) 7. Cho góc α. Thỏa mãn

π 2

< α < π và sinα =

4 . Tính A = sin2(α + π) 5

(Đề Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) 8. Cho góc α thỏa mãn π < α <

3π và sinα - 2cosα = 1. Tính A = 2tanα - cotα 2

(Đề Sở GD&ĐT Nghệ An) 9. Cho cosα =

π π  π 4  với - < α < 0 . Tính A = sin  α −  cos  α +  2 4 4 5   (Đề THPT Thủ Đức)

10. Cho tanα = 2. Tính A =

sin 3 α + cos3α − sin 3 α + sin α 2sin 3 α − 3cos3 α + sin α + cosα (Mẫu đề thi thử THPT QG đề 9)

4. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho sinα - cosα =

2

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα b) Tính giá trị của biểu thức A = sin6α + cot6α Bài 2: Cho sinα + cosα = a với a ∈  − 2; 2  . Tính giá trị của biểu thức:

a)

A = sinαcosα;

B = sinα - cosα;

D = tan2α + cot2α

E=

C = sin4α + cos4α

sin 2 α sin α + cosα − sin α − cosα tan 2 α − 1

Bài 3: Tính sinα, cosα, tanα, cotα, biết

a) asinα + bcosα = 0 với a2 + b2 ≠ 0

Tổ: Toán - Tin

14

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

1  1    b) 1 +  sin α + 1 +  cosα = 2 + 2  cosα   sin  c) 5sinα - 20cosα = 4(tanα - 4) d) 49 – 50sinαcosα = 12(tanα + cotα) II. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Bài toán: CMR: A (sin, cos, tan, cot) = B(sin, cos, tan, cot) 2. Phương pháp:

Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản  A = A1 = A2 = ... = Am = B  B = B = B = ... = B = A  1 2 m Cách 2: Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.  A = A1 = A2 = ... = Am = G ⇒ A= B  B = B = B = ... = G  1 2 Cách 3: Biến đổi tương đương A = B ⇔ A1 = B1 ⇔ A2 = B2 ⇔ … ⇔ An = Bn – đúng.

Cách 4: Xuất phát từ 1 đẳng thức đúng An = Bn ⇔ An-1 = Bn-1 ⇔ … ⇔ A = B 3. Ví dụ minh họa:

1 + sin 2 a Ví dụ 1: CMR: = 1 + 2 tan 2 a 2 1 − sin a

(1)

Giải: Sử dụng cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản.

1 + sin 2 a 1 + sin 2 a 1 sin 2 a = = + = (1 + tan 2 a) + tan 2 a = 1 + 2 tan 2 a 2 2 2 2 1 − sin a cos a cos a cos a Ví dụ 2: Biến đổi đến cùng một biểu thức trung gian:

tan 2 a 1 + cot 2 a 1 + tan 4 a . = 1 + tan 2 a cot 2 a tan 2 a + cot 2 a

(1)

Giải: Sử dụng cách 2. Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.

VT(1) =

tan 2 a  1 tan 2 a  1 tan 2 a + 1) = tan 2 a + = (   2 2 2 1 + tan a  cot a  1 + tan α

(2)

VP(1) =

1 + tan 2 a tan 2 a (tan 2 a + cot 2 a) = = tan 2 a tan 2 a + cot 2 a tan 2 a + cot 2 a

(3)

Từ (2), (3) ⇒ đpcm.

Tổ: Toán - Tin

15

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

Ví dụ 3: CMR:

……

π 1 − sin a cos a , ∀a ≠ + kπ = cos a 1 + sin a 2

Giải: Sử dụng cách 3: Biến đổi tương đương.

1 − sin a cos a = ⇔ (1 − sin a )(1 + sin a ) = cos 2 a cos a 1 + sin a 2

2

2

2

⇔ 1 – sin a = cos a ⇔ sin a + cos = 1 đúng.

Chứng tỏ:

1 − sin a cos a = đúng (đpcm). cos a 1 + sin a

4. Bài tập tương tự: Bài 1: CMR:

cos a 1 + t ana = 1 + sin a cos a

b)

sin a 1 + cos a 2 + = 1 + cos a sin a sin a

t ana cot 2 a − 1 . =1 c) 1 − tan 2 a cot a

d)

1 + cos a 1 − cos a 4cot a − = 1 − cosa 1 + cos a sin a

a)

Bài 2: CMR:

a) (sina + cosa)2 - (sina – cosa)2 = 4sinacosa b) 1 + 2sinacosa = sinacosa (1 + tana) (1 + cota)2 c) tan2a – sin2a = tan2a sin2a d)

(sin a + cos a)2 − 1 = 2 tan 2 a cot a − sin a cos a

Bài 3: CMR:

a) 1 -

sin 2 a cos 2 a − = sin a cos a 1 + cot a 1 + t ana

c) sin4a – cos4a = 1 – 2cos2a

b)

1 + cot a 1 + t ana = 1 − cot1 t ana − 1

d) sin4a + cos4a = 1-2sin2acos2a

e) sin6a + cos6a = 1 – 3sin2acos2a g) sin8a + cos8a = 1 – 4sin2acos2a + 2sin4acos4a. h) sin2a – tan2a = tan6a (cos2a – cot2a) i)

tan 3 a 1 cot 3 a − + = tan 3 a + cot 3 a 2 2 sin a sin a cos a cos a

k)

t ana − sin a 1 = 3 sin a cosa(1+ cos a )

Tổ: Toán - Tin

16

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC BIẾN SỐ 1. Phương pháp

- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.

- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.

2. Ví dụ minh họa:

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số.

Bài 1: a)

A = cos4x – sin4x + 2sin2x = cos2x – sin2x + 2sin2x = cos2x + sin2x = 1

b)

B = cos4x + sin2xcos2x + sin2x = cos2x (cos2x + sin2x) + sin2x = 1

c) Tương tự: C = 2(cos6x + sin6x) – 3 (sin4x + cos4x) d) Bài 2: a)

D = 3(sin8x – cos8x) + 4(sin6x – 2sin6x) + 6sin4x A = (sin4x + cos4x – 1) (tan2x + cot2x + 2)

(1 − tan 2 x)2 1 − 2 2 tan x sin x cos 2 x

b)

B=

c)

tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x + C= sin 2 x cos 2 x

d)

D=

1 − sin 6 x 3tan 2 x − cos6 x cos2 x

IV. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Phương pháp

- Đưa về cùng một hàm số lượng giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.

- Nếu gặp dạng phân thức thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.

- Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng lũy thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = cos2a + cos2acot2a = cos2a (1 + cot2a) = cos2a .

1 = cot2a 2 sin a

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

Tổ: Toán - Tin

17

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

1  1  1  2 B = 1 + t ana + 1 + t ana −  = (1 + t ana) − cos a  cos a  cos 2 a  = 1 + 2tana + tan2a - 1- tan2a = 2tana.

Ví dụ 3: Rút gọn C=

2cos 2 a − 1 (cos a + sin a)(cos a − sin a) = = cos a − sin a sin a + cos a sin a + cos a

3. Bài tập tương tự

Rút gọn biểu thức a)

A = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2

b)

B=

cos 2 a + cos 2 a cot 2 a sin 2 a + sin 2 a tan 2 a

c) C =

d)

D=

tan a sin a − sin a cot a

e) E =

sin 2 a − tan 2 a cos 2 a − cot 2 a 1 + sin a 1 − sin a + 1 − sin a 1 + sin a

DẠNG 2: CÔNG THỨC QUI GỌN GÓC (CÔNG THỨC BIỂU DIỄN CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT) I. BẢNG CÔNG THỨC QUY GỌN GÓC.

Góc

-α

900-α

900+α

sin

-sin

cosα

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

sinα

cos

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

-sinα

sinα

cosα

tan

-tanα

cotα

-cotα

-tanα

tanα

tanα

-cotα

tanα

cot

-cotα

tanα

-tanα

-cotα

cotα

cotα

tanα

cotα

HSLG

1800-α 1800+α 2700-α 2700+α 3600+α

II. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác của các góc sau:

a) 4950

b)

43π 6

Giải:

a) Ta có: 4950 = 3600 + 1800 - 450 sin4950 = sin[3600 + (1800 – 450)] = sin(1800 - 450) = sin450 =

Tổ: Toán - Tin

18

2 2

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

cos4950 = cos[3600 + (1800 – 450)] = cos(1800 – 450) = -cos450 = -

2 2

tan4950 = - 1 cot4950 = - 1 b)

π 43π = 6π + π + 6 6 sin

43π 1 π  π π   = sin 6π + (π + )  = sin  π +  = − sin = − 6 6  6 6 2  

cos

43π 3 π π = cos(π + ) = −cos = − 6 6 6 2

tan

43π π π 1 = tan(π + ) = tan = + 6 6 6 3

cot

43π cot π = = 3 6 6

Bài 2: Tính A =

(cot 440 + tan 2260 )cos4060 − cot 720.cot180 0 cos316

Giải:

cot440 = tan460 ;

cos4060 = cos460

tan2260 = tan 460 ; cos3160 = sin460 Khi đó: A =

cot720 = tan180

(tan 460 + tan 460 )cos460 − tan180.cot180 0 sin 46

= 2 (tan460 . cot460) – 1 = 2 – 1 = 1 Bài 3: Tính a) B = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800

b) C = tan100tan200 … tan700tan800.

Giải:

a) B = (cos200 + cos1600) + (cos400 + cos1400) + (cos600 + cos1200) + (cos800 + cos1000) + cos1800 = - 1 b) C = (tan100tan800) (tan200 tan700) (tan300 tan600) (tan400tan500) = 1 III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

cos( −2880 )cot 720 Bài 1: a) A = − tan180 0 0 tan( −162 )sin108

sin(−2340 ) − cos2160 .tan 360 b) B = 0 0 sin144 − cos126

Tổ: Toán - Tin

19

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

c) C =

……

cos 21970 + cos 2 2870 sin 2 3230 − 1 − sin 2 2170 cos 2 370

1 2sin 25500.cos(−1880 ) + d) D = tan 3680 2cos 6380 + cos980 Bài 2: Tính:

a) A = tan200 + tan400 + … + tan1600 + tan1800 b) B = sin50 + sin100 + … + sin3550 + sin3600 DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN, CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI) I. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Phương pháp:

Khi gặp các dạng toán này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong bài. Từ đó có các phương pháp để giải quyết như sau:

Phương pháp 1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.

Phương pháp 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh về một đẳng

thức luôn đúng.

Phương pháp 3: Rút gọn hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một

biểu thức trung gian thứ ba.

Phương pháp 4: Từ một đẳng thức luôn đúng hoặc đẳng thức cho trước qua các

phép biến đổi tương đương để được đẳng thức cần chứng minh.

2. Bài tập áp dụng Bài 1:

Chứng minh rằng

sin x − sin y x+y ) = −cot( cos x − cos y 2

Giải

x+y cos   x+y  2  .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức Bởi vì cot  =   2  sin  x + y     2  x+y x+y xuất hiện cos   , sin  .  2   2 

Tổ: Toán - Tin

20

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Khi đó ta có: x+y x−y 2cos sin sin x − sin y 2 2 = −cot x + y = cos x − cos y −2sin x + y sin x − y 2 2 2 Bài 2:

Chứng minh rằng:

cos x + sin x cos2x = cos x − sin x 1 − sin 2x

Giải:

cos2x cos2x − sin 2 x ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) = cos x + sin x = = 1 − sin 2x cos2x + sin 2 x − 2sinxcosx cosx − sin x ( cos x − sin x )2 Bài 3: Chứng minh rằng: n

tan n α + cos nα  tan α + cosα  (n ∈ Z+ )   = n n  1 + cotα .cosα  1 + cot α .cos α n

  n n  tan α + cosα   tan α + cosα  Ta có  = ( tan α )   =  1 + cotα .cosα   1 + 1 .cosα  tan α  

(1)

tan n α + cos nα tan n α + cos nα n = = ( tan α ) n n 1 1 + cot α .cos α 1 + .cos nα n ( tan α )

(2)

Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

sin 4 x + cos 4 x − 1 2 = Bài 4: chứng minh: sin 6 x + cos 6 x − 1 3 Giải: Ta có sin 4 a + cos 4 a − 1 = 1 − 2sin 2 acos 2 a − 1 = −2sin 2 acos 2 a

sin 6 a + cos 6 a − 1 = (sin 2 a + cos 2 a )3 − 3sin 2 acos 2 a (sin 2 a + cos 2 a ) − 1 = −3sin 2 acos 2 a sin 4 x + cos 4 x − 1 −2sin 2 acos 2 a 2 Do đó = = sin 6 x + cos 6 x − 1 −3sin 2 acos 2 a 3 Bài 5: Chứng minh rằng: 8 + 4tan

Tổ: Toán - Tin

π 8

+ 2tan

21

π 16

+ tan

π 32

= cot

π 32

(*)

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

Ta có: (*) ⇔ 8 = cot Mà cota-tana=

π 32

− tan

π 32

− 2tan

π 16

− 4tan

……

π 8

cosa sin a cos 2a-sin 2 a 2cos2a − = = = 2cot2a sina cosa sinacosa sin2a

Do đó:

π π  π π  ⇔ cot − tan  − 2tan − 4tan = 8 32  16 8  32

π π π  ⇔  2cot − 2tan  − 4tan = 8 16 16  8  ⇔ 4cot

⇔ 8cot

π 8

π 4

− 4tan

π 8

=8

= 8 (hiển nhiên đúng).

Bài 6: Chứng minh:

 2π   2π  3 − x  + cos 2  + x = a/cos 2 x+cos 2   3   3  2

b/

1 1 1 1 + + + = cotx - cot16x sin2x sin4x sin8x sin16x

Giải:

 2π   2π  − x  + cos 2  + x  3   3 

a/ Ta có: cos 2 x+cos 2 

1 1 4π   1    4π  - 2x   = (1 + cos2x) + 1 + cos  2x+   + 1 + cos  2 2 3  2    3  =

3 1 4π  + cos2x + cos  2x+ 2 2 3 

=

3 1 4π  + cos2x + 2cos2xcos  2 2 3 

=

3 1  -1   3 + cos2x + 2cos2x    = 2 2  2  2

b/ Ta có: cota - cotb =

Tổ: Toán - Tin

  4π  - 2x    + cos    3 

cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b − a ) − = = sina sinb sin asinb sin asinb

22

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

sin(2 x − x ) 1 (1) = sinxsin2x sin 2 x

Do đó: cot x − cot 2 x =

sin(4 x − 2 x) 1 (2) = sin 2 x sin 4 x sin 4 x sin(8 x − 4 x ) 1 cot 4 x − cot8 x = (3) = sin 4 x sin 8 x sin8 x sin(16 x − 8 x) 1 cot 8 x − cot16 x = (4) = sin16 x sin8 x sin16 x

cot 2 x − cot 4 x =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được:

cotx - cot16x =

1 1 1 1 + + + sin2x sin 4 x sin 8 x sin16 x

9 3 1 1 (1 + cos8x) − (1 − 2cos4x+cos 2 4 x) + cos4x + 16 8 32 32 9 3 1 1 1 (1+cos8x) = + cos4x + cos8x+ cos4x 16 8 32 16 64 35 7 1 = + cos4x+ cos8x 64 16 64 =

3. Bài tập tương tự Bài 1. Chứng minh rằng:

π  π  1 a.sinxsin  − x  sin  + x  = sin3x 3  3  4 π  π  1 b.cosxcos  − x  cos  + x  = cos3x 3  3  4 c. tan α .tan(

π

π

+ α ).tan( − α ) = tan 3α 3 3

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a.

cot 2

α − cot 2 3α

2 2 = 8cos2 α .cosα 3α 2 1 + cot 2 2

b. tan a.tan 3a =

tan 2 a − tan 2 2a 1 − tan 2 a.tan 2 2a

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x ta có:

a. sin10 x + cos10 x =

Tổ: Toán - Tin

63 15 5 cos8x + cos4x + 128 32 128

23

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

b. cos6 x − sin 6 x =

……

15 1 cos2x + cos6x 16 16 7 8

1 8

c. cos8x − sin8 x = cos2x + cos6x II. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Phương pháp

- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.

- Nếu gặp dạng phân thức lượng giác thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.

- Nếu gặp căn thức lượng giác thì phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn dưới dạng luỹ thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.

2. Áp dụng 2  1 + cos x   (1 − cos x)  VD: Rút gọn biểu thức A=   1 + sin 2 x   sinx  

1 π < x <π 2 2

Tính giá trị của A nếu cos x = − , Giải

2 2  1 + cos x   sin x + 1 − 2cos x + cos x  A=   sin 2 x  sinx   

 1 + cos x  2(1 − cos x)  =   2  sinx  sin x  2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x 2 = = 3 3 sin x sin x sinx

1 3 3 1 π < x < π có sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sinx = 2 2 4 4 2

Với cos x = − ,

(do sinx > 0) Do đó A =

2 4 4 3 = = s inx 3 3

3. Bài tập tương tự: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

A=

Tổ: Toán - Tin

sin2a + sin5a -sin3a 1+ cosa - 2sin 2 2a

24

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

a. A = sin 3xsin 3 x + cos3x cos3 x b. B =

1 + cos x  (1 − cos x)2  1 +  sin x  sin 2 x 

c. C = sin3xcos3x + cos3x sin 3 x d. D = cos3x.cos3x − sin3xsin 3 x

π

e. E = cos(x + ) sin 2 x(1 + cotx) + cos 2 x(1 + tan x)

4

π

(x ≠ k ) 2

π

4sin(4x − ) 2 f. F = 3 π 3π cot 2 (2x − ) − tan 2 (2x + ) 2 2 III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN: 1. Nhận xét:

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu

thức: 2. Phương pháp:

- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.

- Nếu biểu thức chứa 1 biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.

3. Áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

π

π

3

3

a. A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 ( b. B = cos2 x + cos2 ( c. C = sin 2 x + sin 2 (

2π 2π − x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x 3 3

2π 2π − x) + cos 2 ( + x) 3 3

2π 2π − x) + sin 2 ( + x) 3 3

Giải: a/ A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 (

2π 2π − x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x 3 3

Tổ: Toán - Tin

25

π

π

3

3

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

 2π   2π   4π   4π  ⇔ 2A=1+cos  − 2x  + 1+cos  + 2x 1+cos  − 2x 1+cos  + 2x  − 2(1-cos2x )  3   3   3   3    2π   2π     4π   4π  ⇔ 2A=2+ cos  − 2 x  +cos  + 2 x   + cos  − 2 x  +cos  + 2 x  +2cos2x   3    3   3    3 4π 4π ⇔ 2A=2+2cos2xcos + 2cos2xcos + 2cos2x 3 3 ⇔ A=1-cos2x-cos2x+2cos2x ⇔ A=1 Nhận xét:

• Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay một giá trị bất kì của x vào biểu thức ban đầu Với x = 0 ⇒ A = cos 2

π 3

+ cos 2

π 3

+ cos 2

2π 2π + cos 2 =1 3 3

• Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn.

• Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở trên ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép

theo một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được. Ý b, c tương tự.

4. Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a. A = cos 2 (x − a) + cos 2 x − 2cosa cos xcos(a − x) b. B = cos2 (x − a) + sin 2 (x − b) − 2cos(x − a)sin(x − b)sin(a − b) Bài 2: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

x 3x cot 2 − cot 2 2 2 a. A = x 3x cos2 .cos x(1 + cot 2 ) 2 2 b. B = sin 4 x(1 + sin 2 x) + cos 4 x(1 + cos 2 x) + 5sin 2 xcos 2 x c. C = sin8 x + cos8x + 6sin 4 xcos4 x + 2sin 2 xcos 2 x + 1 d. D = 3(sin8 x − cos8 x) − 4(sin 6 x − cos6 x) + 6sin 4 x

Tổ: Toán - Tin

26

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

IV. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. 1. Các ví dụ Bài 1: Tính sin, cos, tan, cot của các cung sau:

a)

π 12

π

Giải:

12

a) sin

=

π 3

−

π 4

=

π 4

−

5π 12

c)

7π 12

π 6

π π π π 2 π π  = sin  −  = sin cos − cos sin = ( 3 − 1) 12 3 4 3 4 4 3 4 π

cos

π π π π 2 π π  = cos  −  = cos cos + sin sin = ( 3 + 1) 12 3 4 3 4 4 3 4 π

tan

π π  = tan  −  = 2 − 3 12 3 4

cot

π π  = cot  −  = 2 + 3 12 3 4

π

π

b) Tương tự c)

b)

5π π π = + 12 4 6

7π π π = + 12 3 4

Bài 2: Tính:

a)

b)

sin100 cos200 + sin 200 cos100 sin 300 1 A= = = tan 300 = 0 0 0 0 0 cos17 cos13 − sin17 sin13 cos30 3

6 cos90 cos390 + sin 90 sin 390 cos300 = = B= 3π 5π 3π 5π π 2 cos cos + sin sin cos 7 28 7 28 4

Bài 3: Cho sina =

3π −12 π  < α < 2π . Tính cos  − a  với 2 13 3 

Giải: + Vì

3π < α < 2π (gt) => cosa > 0 2 Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản có.

Tổ: Toán - Tin

27

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

cos2a = 1 – sin2a = 1 -

……

144 25 5 = => cos a = 169 169 13

+ Áp dụng công thức cộng:

5 − 12 3 π π π  − a  = cos cos a + sin sin a = 3 3 26 3 

cos 

Bài 4: Tính các tổng sau:

π

a.

A = cos

b.

B = cos

c.

C = sin 4

d.

D = cos6

e.

E = sin

f.

F = cos

+ cos

7

3π 5π + cos 7 7

2π 4π 6π 8π + cos + cos + cos 5 5 5 5

π 16

π 16

π 5

π 9

+ sin 4

3π 5π 7π + sin 4 + sin 4 16 16 16

+ cos6

+ sin

3π 5π 7π + cos6 + cos6 16 16 16

π 13π 23π + sin + sin 5 5 6

+ cos

5π 7π + cos 9 9

Bài 5: Tính các tổng sau:

a. B = sin10° sin 50° sin 70° π 2π 3π 4π 5π 6π 7π b. C = cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 0 0 0 0 c. D = sin 5 .sin15 .sin 25 ...sin 85 2. Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng

cos

π π 8π 12π 18π 1 7 sin + cos + cos = cos + 35 35 35 2 5 2 5

Bài 2: Chứng minh rằng

1 2π sin 7 2

+

1 4π sin 7 2

+

1 6π sin 7 2

=8

Bài 3: Tính giá trị: A = tan1100 + cot200 Bài 4: Chứng minh

Tổ: Toán - Tin

28

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

a. tan200 + tan 400 + 3 tan 200 tan 400 = 3 b. cos

π 7

− cos

2π 3π 1 3π 5π 1  π  + cos = ⇔  cos + cos + cos =  7 7 2  7 7 7 2

Bài 5: Chứng minh rằng:

a.

tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 = 0

0

0

0

8cos200 3 0

b.

sin 47 + sin 61 − cos79 − cos65 = cos7

f.

c.

cos200 + 2sin 2 550 = 1 + 2 sin 650

g.

d.

tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan810 = 4

h.

e.

cos

π 5

− cos

2π 1 = 5 2

sin 90 sin120 = sin 480 sin810 1 − 2sin 700 = 1 0 2sin10 sin 330 + cos630 = cos30

Bài 6: Chứng minh rằng:

a.

tan 200.tan400.tan600.tan800 = 3

b.

tan10.tan190.tan210.tan390.tan410.tan590.tan610.tan790.tan810 =

Bài 7: Tính tổng:

A = tan 2

π 12

+ tan 2

( 5 +1)(4 − 10 + 2 5) 4

3π 5π + tan 2 12 12

PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Số tiết dạy:30 tiết= 10 buổi.

A.

Mục tiêu bài dạy.

1. Kiến thức.

-Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

-Phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp -Phương pháp biến đổi tương đương.

-Phương pháp đánh giá.

-Phương pháp tổng bình phương.

2.K ỹ năng.

-Giaỉ phương trình lượng giác cơ bản.

- Giaỉ phương trình lượng giác thường gặp.

-Giaỉ phương trình lượng giác không mẫu mực.

Tổ: Toán - Tin

29

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

B.C ác dạng phương trình lượng giác.

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Dạng tổng quát:

sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a (với a là hằng số).

2. Công thức nghiệm a) Phương trình: sinx = a (1)

* Nếu |a| > 1 thì (1) vô nghiệm * Nếu |a| < 1 thì (1) có nghiệm.

 x = α + k 2π

+ Đặt a = sin α thì (1) trở thành sin x = sinα ⇔   x = π − α + k 2π

 x = α10 + k 3600  −π π  (k ∈ ℤ, α = α10 ).α ∈  ;  Hoặc  0 0 0  2 2  x = 180 − α1 + k 360   −π π  α ∈  ;  thì viêt α = arc sin a + Nế u   2 2 a = sin α   x = arcsin a + k 2π sinx= a ⇔  ( k ∈ ℤ)  x = π − arcsin a + k 2π  f ( x) = α + k 2π Tổng quát sin f ( x) = sin α ⇔  ( k ∈ ℤ)  f ( x) = π − α + k 2π  f ( x) = g ( x) + k 2π sinf( x) = sing( x) ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = π − g ( x) + k 2π * Đặc biệt:

i) sinf( x ) = 1 ⇔ f(x) =

π 2

+ k 2π (k ∈ ℤ)

 f ( x) = α + k 2π 2i) sin f ( x) = sin α ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = π − α + k 2π 3i) sinf(x) = 0 ⇔ f(x) = kπ

(k ∈ ℤ )

b) Phương trình cosx = a (2)

* Nếu |a| > 1 thì (2) vô nghiệm. * Nếu |a| < 1 thì (2) có nghiệm.

Tổ: Toán - Tin

30

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

 x = α + k 2π Đặt a = cosα thì (1) trở thành cosx = cosα ⇔  (k ∈ ℤ)  x = −α + k 2π

 x = α10 + k 3600 (k ∈ ℤ,α10 = α ) Hoặc  0 0  x = −α1 + k 360 cos x = a - Nếu:  thì viêt α = arccos a a = cosα  x = arccos a + k 2π cos x = a ⇔  ( k ∈ ℤ)  x = − arccos a + k 2π  f ( x) = α + k 2π Tổng quát: + cosf(x) = cosα ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = −α + k 2π

 f ( x) = π − g ( x) + k 2π ⇔  f ( x) = −π + g ( x) + k 2π Đặc biệt:

+ cosf(x) = 0 ⇔ f(x) =

π 2

( k ∈ ℤ) ⇔

+ kπ ( k ∈ ℤ)

+ cosf(x) = 1 ⇔ f(x) = k2π (k∈ ℤ ) + cosf(x) = - 1 ⇔ f(x) = π + k2π (k∈ ℤ ) c) Phương trình tanx = a (3)

B1: Điều kiện của (3) là cosx ≠ 0 ⇔ x =

π 2

+ mπ (m ∈ ℤ )

 a = tan α

B2: Với điều kiện (*) thì (1) ⇔   t anx = tan α

⇔ x = α + kπ hoặc x = α10 + k1800 (k ∈ ℤ , α = α10 ) B3: Kết luận nghiệm thỏa mãn (*). * a = tanα viết α = arctan a Thì tanx = a ⇔ x = arctana + k π (k ∈ ℤ ) * Tổng quát: + tanf(x) = tanα ⇔ f(x) = α +k π (k ∈ ℤ ) + tanf(x) = tang(x) ⇔ f(x) = g(x) + k π (k ∈ ℤ ) * Đặc biệt: + tanf(x) = 0 ⇔ f(x) = kπ (k ∈ ℤ ) + tanf(x) = 1 ⇔ f(x) =

Tổ: Toán - Tin

π 4

+ kπ ( k ∈ ℤ )

31

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

+ tanf(x) = -1 ⇔ f(x) =

……

−π + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

d) Phương trình cotx = a (4)

* Các bước giải phương trình B1: điều kiện của (4) là sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ mπ(*) (m∈ ℤ ) B2: Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ x = α + kπ hay x = α10 + k1800 (k ∈ ℤ , α10 = α , a = cotα) B3: Kết luận nghiệm thỏa mãn (*) * Tổng quát: + cotf(x) = cotα ⇔ f(x) = α + kπ (k∈ ℤ ) + cotf(x) = cotg(x) ⇔ f(x) = g(x) + kπ (k∈ ℤ ) * Đặc biệt: + cotf(x) = 0 ⇔ f(x) = + cotf(x) = 1 ⇔ f(x) = + cotf(x) = -1 ⇔ f(x) =

π 2

π 4

+ kπ ( k ∈ ℤ ) + kπ ( k ∈ ℤ )

−π + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

3. Bài tập ôn luyện Bài 1: Giải các phương trình sau:

 

a) sin  x +

π  =1 3

b) sin (4x – 300) = - 1

π  − 3x  = 0 5 

 

π  =0 12 

 

π  = −1 4

 

π  = −1 4

c) sin  x +

d) cos (4x – 50) = 1

e) cos 

g) cos  x +

h) tan2x = 0

i) tan(x + 100) = 1

k) tan  x −

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) sin(3x – 100) = d) sin (3x + 50) =

1 2 2 2

 

b) cos  4 x −

π 1 = 4 2

e) cos(4x – 300) = -

3 2

i) sin(x – 100) = -

Tổ: Toán - Tin

32

h) sin4x =

 

π  −1 = 6 2

 

2 =− 12  2

c) sin  x +

1 2

g) cos  x +

3 2

k) cos2x =

π  3 2

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

 

m) cos  3x +

……

π − 3 = 4 2

Bài 3: Giải các phương trình sau:

sin x cot 5 x =1 cos9 x

a) sin2x – cos2x = 0

a1)

b) sin3x + 2cos3x = 0

b1) tan3x = tan5x

c) 4sin2x = 1

c1) (2cosx – 1) (sinx + cosx) = 1

d) sin2x + sin22x = 1

d1 )

e)

sin 4 x =1 cos6 x

sin 2 x = −2cos x 1 + sinx

e1) sin2x = 2cosx

 −3π



, π  của phương trình Bài 4: Tìm tất cả các nghiệm x ∈   2  sinxcos

π 8

+ cos x sin

π 8

=

1 2

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I. PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT, BẬC 2, BẬC 3 VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác a) Dạng tổng quát: at + b = 0 (a ≠ 0, a, b là hằng số, t là 1 hàm số lượng giác). b) Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. c) Ví dụ:

* Ví dụ : Giải phương trình sau:

 

b) cos  x −

a) 2sin3 x – 1 = 0

π

− 3 =0 6

Giải a) 2sin3 x – 1 = 0 ⇔ sin3 x =

Tổ: Toán - Tin

1 2

33

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

π 2π  x = + k  π 18 3 (k ∈ ℤ) ⇔ sin3 x = sin ⇔  6  x = 5π + k 2π  18 3  

b) 2cos  x −

3 π   − 3 = 0 ⇔ cos  x −  = 6 6 2 

π

 π π π   x − 6 = 6 + k 2π x = + k 2π π π  ⇔ cos  x −  = cos ⇔  ⇔ (k ∈ ℤ) 3  6 6   x − π = −π + k 2π  x = k 2π  6 6 2. Phương trình bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác. a) Dạng tổng quát: at2 + bt + c = 0

at3 + bt2 + ct + d = 0 (với a ≠ 0; a, b, c, d là hằng số, t là một hàm số lượng giác) b) Cách giải:

- Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho để đưa về phương trình bậc 2, bậc 3 rồi giải phương trình đại số, đối chiếu điều kiện nếu có.

- Lưu ý: với t = sin x hoặc t = cos x thì có điều kiện |t| < 1 c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2sin2 x + 3sin x – 2 = 0 (Đề khảo sát chất lượng ôn thi THPTQG lần 1 năm 2014 – 2015 của Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc).

Giải: 2sin2 x + 3sin x – 2 = 0 1  sin x = ⇔  2  sin x = −2( PT vô nghiêm)

π   x = 6 + k 2π (k ∈ ℤ) ⇔   x = 5π + k 2π  6 Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm là: x =

π 6

+ k 2π ; x =

5π + k 2π (k ∈ ℤ) 6

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2 x + 3sin x = 2 (1)

Tổ: Toán - Tin

34

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Giải:

(1) ⇔ 1 – 2sin2 x + 3sin x = 2

⇔ 2sin2 x – 3sin x + 1 = 0

π   x = 2 + k 2π  sin x = 1 π   ⇔ 1 ⇔  x = + k 2π (k ∈ ℤ) sin x = 6  2  5π x = + k 2π  6 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là :

x=

π 2

+ k 2π ; x =

π 6

+ k 2π ; x =

5π + k 2π (k ∈ ℤ ) 6

d. Bài tập tương tự: Bài 1: Giải các phương trình sau:

1. sin2 x - cos2 x = 0

2. sin3 x + 2cos3 x = 0

3. 4sin2 x = 1

4. Sin2 x + sin22 x = 1

5.

sin 4 x =1 cos6 x

6.

7. tan3 x = tan5 x 9.

sin x.cot 5 x =1 cos9 x

8. (2cos x – 1) (sin x + cos x ) = 1

sin 2 x = −2cos x 1 + sin x

Bài 2: Giải phương trình sau:

1. cos2 x + 3sin x = 2

2. 4sin4 x + 12cos2 x = 7

3. 25sin2 x + 100cos x = 89

4.sin42 x + cos42 x = sin2 x cos2 x

5. 2 + cos2 x = - 5sin x

6. sin3x + 2cos2x – 2 = 0

7. 2 + cos x = 2 tan 9.

x 2

8. tan2 x + sin2 x =

sin 5 x =1 5sin x

11. sin6 x + cos6 x =

3 cot x 2

10. 3cos4 x – 2cos23 x = 1

1 sin2 x 4

12. 2cos2 x + 8sin x – 5 = 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1. sin4 x = tan x (ĐHY khoa Hà Nội 2000) 2. sin3 x + sin2 x = 5sin x (ĐHY Hải Phòng 2000)

Tổ: Toán - Tin

35

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

3.

……

sin 3x sin 5 x (ĐH Thủy Lợi 2006) = 3 5

4. cot x – tan x + 4sin2 x = 5. 16sin2

2 (KB – 2003). sin 2x

x -cos2 x = 15 (đề thi thử THPT QG năm 2015 - Sở GD&ĐT TPHCM).

2

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. 1) Dạng tổng quát: asin x + bcos x = c (a2 + b2 ≠ 0, a, b, c là hằng số).

2) Cách giải: Giải phương trình: asinx + bcosx x = c (1)

Cách 1: Dùng góc trung gian đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 + b2 > c2 .

Bước 2: Chia cả 2 vế của (1) cho

a 2

a +b

2

sin x +

a  = cosα  2  a + b2 Đặt:  b  = sin α  a 2 + b 2

a 2 + b 2 ta được

b 2

a +b

2

c

cos x =

2

a + b2

(2)

chọn α ∈ (0; π/2)

Thì phương trình (2) trở thành sin( x + α) =

c 2

a +b

2

là phương trình lượng giác cơ

bản.

Bước 3: Giải phương trình (3) tìm nghiệm x và kết luận.

x để đưa về phương trình bậc 2 một ẩn).

2

Cách 2: (Dùng công thức biểu diễn t = tan

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của (1): a2 + b2 ≥ c2 Bước 2: * Xét cos

x = 0 có là thỏa mãn (1) không.

2

+ Nếu b + c = 0 thì (1) nhận cos

x = 0 làm nghiệm.

2

+ Nếu b + c ≠ 0 thì (1) không nhận cos

Tổ: Toán - Tin

36

x = 0 làm nghiệm.

2

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

x 1− t2 x 2t * Khi cos ≠ 0 , đặt t = tan ⇒ sinx = và cos x = 2 1+ t2 2 1+ t2 Phương trình (1) trở thành (b + c) t2 – 2at + c – b = 0 (*) - Giải (*) tìm nghiệm t.

- Với t tìm được; giải phương trình tan

x = t , tìm nghiệm x .

2

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

3) Áp dụng:

Ví dụ: Giải phương trình sau: a) sin x ( 3 - sin x ) – cos x (1 + cos x ) = 0 (1) (Đề thi thử ĐH lần 3 năm học 2014 – 2015 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ).

Giải: 3 sin x – cos x – (sin2 x + cos2 x ) = 0

(1) ⇔

3 sin x – cos x = 1

⇔

3 1 1 sin x − cos x = 2 2 2 π π  ⇔ sin  x −  = sin 6 6  ⇔

π  x = + k 2π  ( k ∈ ℤ) ⇔ 3   x = π + k 2π Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là: x = b) (cos x + sin x )2 -

π 3

+ k 2π ; x = π + k2π (k ∈ ℤ )

3 cos2 x = 1 + 2sin x (1)

(Đề thi khảo sát năm 2014 – 2015 trường THPT chuyên Hùng Vương)

Giải : (1) ⇔ sin2 x - 3 cos2 x = 2sin x ⇔

1 3 sin2 x cos2 x = sin x 2 2  

⇔ sin  2 x −

Tổ: Toán - Tin

π

 = sin x 3

37

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

π  = + k 2π x  3 (k ∈ ℤ) ⇔  x = 4π + k 2π  9 3 c)

3 sin x + cos x + 2cos3 x = 0 (Đề thi thử THPT QG năm 2015 Trường THPT Vĩnh Lộc).

Giải: 3 sin x + cos x + 2cos3 x = 0 ⇔

3 1 sin x + cos x = − cos3 x 2 2

π  ⇔ cos  x −  = cos(π − 3x ) 3  ⇔x=

π 3

+k

π 2

( k ∈ ℤ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x =

π 3

+k

π 2

(k ∈ ℤ)

4. Bài tập tương tự:

1. cos2x + (1 + 2cosx) (sinx – cosx) = 0 (Đề KSCL – THPT QG lần 2 năm 2014 – 2015 – Sở GD&ĐT Hưng Yên) 2

2. 2sin x – sin2x + cosx – sinx = 0 (Đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2015 – Sở GD&ĐT Nghệ An) 2

3. 2sin x – sin2x + cosx – sinx = 0 (Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2015 – Trường THPT Quỳnh Châu) 4. cos2x (cosx + sinx – 1) = 0 (Đề thi thửa THPT QG năm 2015 – trường THPT Quỳnh Lưu II) 5. sin2x + 1 = 6sinx + cos2x (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Thanh Chương III) 6. ( 3 - 1) sinxcosx – ( 3 + 1) cos2x = sinx – cosx – 1 (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn) 7. cos2x + 2sinx = 1 +

3 sin2x

(Đề thi thử lần 1 THPTQG năm 2015 – Sở GD&ĐT Nghệ An) 8.

3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Nguyễn Du)

Tổ: Toán - Tin

38

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

9. sin2x – 2cos2x = 3sinx – cosx (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – Trường THPT Nguyễn Huệ) 10. 2cosx (sinx + 1) -

3 cos2x = 0

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường Phan Bội Châu) 11. cos2x – sinx = cosx (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Phan Châu Trinh) 12. 4sin2

3π  x  − 3 cos2 x = 1 + 2cos 2  x −  2 4  

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Lê Hồng Phong) 13. cos2x -

3 sin4x = 2cos3xcosx + 1

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Quỳnh Lưu I).

14. sin3x + cos3x = sinx + cosx (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Thành Nhân) 15. 2cos2x + 2cosx – 2sin2x + 4sinx – 5 = 0 (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Hồng Quanh) 16. sinx -

3 cosx = 2

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Yên Phong 2) III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. 1) Dạng tổng quát:

+ asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = d (1) + acos3 x + bsin2 x cos x + csin x cos2 x + dsin3 x + esin x + gcos x = 0 (2) 2) Cách giải: (Đưa về phương trình bậc 2, 3 với một hàm số lượng giác tanx hoặc

cotx). * Xét cos x = 0 có thỏa mãn phương trình (1) hoặc (2) không. * Khi cos x ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2 x ≠ 0 Khi cos x ≠ 0, chia cả 2 vế của (2) cho cos3 x ≠ 0 được: (1) ⇔ atan2 x + btan x + c = d(1 + tan2 x )

⇔ (a – d) tan2 x + btan x + c – d = 0 (3) (2) ⇔ a + btan2 x + ctan x + dtan3 x + etan x (1 + tan2 x ) + g(1+tan2 x ) = 0

⇔ (d + e) tan3 x + (b + g) tan2 x + (c + e) tan x + d + g = 0 (4) Giải phương trình (3) hoặc (4) tìm nghiệm x và kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

Tổ: Toán - Tin

39

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

* Lưu ý: Với phương trình (1) dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2 x , cos2 x .

3) Áp dụng:

Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 (1) * Xét cosx = 0 thì VT (1) = 4 = VP(1)

⇒ cosx = 0 thỏa mãn. Suy ra x =

π 2

+ kπ ( k ∈ ℤ) là nghiệm của (1)

* Khi cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2x ≠ 0 ta được tanx =

2 3

⇔ x = arctan

2 +kπ (k∈ ℤ ) 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x =

π 2

+ kπ ; x = arctan

2 + kπ (k ∈ ℤ) 3

b) cos3x - 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 (1) * Xét cosx = 0 thì sinx = 0 * Xét cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos3x ≠ 0, ta được: 3tan3x + tan2x – tanx – 1 = 0

 π   t anx = −1  x = − 4 + kπ   1 π  ⇔  x = + kπ ( k ∈ ℤ) ⇔  t anx =  6 3   1   x = −π + kπ  t anx = − 3  6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = − x= −

π 4

π 6

+ kπ , x =

π 6

+ kπ

+ kπ ( k ∈ ℤ )

4. Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình sau:

1. 2sin22x – 2 3 sin2xcos2x = 3

Tổ: Toán - Tin

2. 4sinx + 6cosx =

40

1 cos x

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

3.

1 cos x

3 sinx + cosx =

5. 8cosx =

……

4. sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2

3 1 + sinx cos x

6. sin3x = 2cos3x

Bài 2: Giải phương trình sau:

 

1. cos3x + sin3x = sinx – cosx 3.

2. 8cos3  x +

π  2 sin 3  x +  = 2sin x 4 

 = cos3x 3

4. sin3x + cos3x + 2cosx = 0

5. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 7. 6sinx – 2cos3x =

π

6. 2cos3 x = sin3x

5sin 4 x cos x 2cos 2 x

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa:

* Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có chứa sinx+cosx và sinxcosx.

VD: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c * Phương trình nửa đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có chứa sinx-cosx và sinxcosx.

VD: a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c 2. Cách giải:

* Với phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

 

+ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +

π

 với t ∈[4

2;

2]

t2 −1 ⇒ sin x cos x = 2 Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn t. + Giải phương trình ẩn t đối chiếu đk. + Với t tìm được, giải PT

π  2 sin  x +  = t tìm nghiệm x .

4 

Và kết luận nghiệm. * Đối với phương trình nửa đối xướng đối với sinx và cosx

Tổ: Toán - Tin

41

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

 

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x −

⇒ sin x cos x =

……

π

2;

 với t ∈[4

2]

1− t2 2

Chuyển phương trình đã cho về phương trình đại số ẩn t + Giải phương trình ẩn t tìm nghiệm thích hợp + Với t tìm được, giải PT ẩn x:

π  2 sin  x −  = t 4 

+ Kết luận nghiệm của phương trình.

3 Áp dụng

Ví dụ: Giải phương trình: a) 5(sin x + cos x ) + sin2 x + 1 = 0 (1)

 

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +

π

2;

 với t ∈[4

2]

t2 −1 hay (sin2 x = t2 – 1) ⇒ sin x cos x = 2 Phương trình (1) trở thành: 5t + t2 – 1 + 1 = 0

t = 0 ∈  − 2; 2     ⇔ t = −5 ∉  − 2; 2    

π π   + Với t = 0, ta có: 2 sin  x +  = 0 ⇔ sin  x +  = 0 4 4   ⇔ x=− Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -

π 4

π

+ kπ ( k ∈ ℤ )

4

+ kπ ( k ∈ ℤ )

b) 5(1 – sin2 x ) – 16(sin x – cos x ) + 3 = 0 (1)

 

Đặt với t = sin x − cos x = 2 sin  x +

π

 t ∈[4

2;

2]

⇒ 2sin x cos x = 1 – t2 hay sin2 x = 1 – t2

 1 t = (tm) PT (1) trở thành: 5t – 16t + 3 = 0 ⇔  5  t = 3 (loai ) 2

Tổ: Toán - Tin

42

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

+ V ới t =

……

1 π 1  giải PT: 2 sin  x −  = 4 5 5 

π 1  + k 2π x = + arcsin  4 1 π 5 2  ⇔ ,k ∈ℤ ⇔ sin  x −  = 4 5 2   x = 5π − arcsin 1 + k 2π  4 5 2 Vậy PT đã cho có các nghiệm là: x=

π 4

+ arcsin

1 5 2

+ k 2π ; x =

5π 1 − arcsin + k 2π , k ∈ ℤ 4 5 2

4. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau:

1. 3(sinx + cosx) – sinxcosx – 3 = 0 3.

2. |sinx + cosx| - sin2x = 0

2sin 2 x + 1 sinx + cos x = 2sin 2 x − 1 s inx + cos x − 1

4. sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2

5. sin3x + cos3x + sin2x (sinx + cosx) = 1

6. 2sinx + cotx + 2sin2x + 1

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1. (sinx – cosx + 1) (sin2x + 3. sin2x + (sinx – cosx) +

1 1 )=2 2

2. |sinx – cosx| + 4sin2x = 1

1 =0 2

4. cotx – tanx = sinx – cosx 6. 1 + sin3x – cos3x = sin2x

5. |sinx – cosx| + 2sin2x = 1

DẠNG 3. DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Phương pháp : Dùng các công thức lượng giác lượng giác phù hợp, kết hợp với các phép biến đổi tương đương .Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau: 2

x x  a.  sin + cos  + 3 cos x =2 2 2 

b.

c. sin x + cos x.sin2x + 3cos3x = 2 ( cos4x +sin 3 x )

(1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − sin x )

3

d.

3cos5x − 2sin3x.cos2x − sin x =0

Tổ: Toán - Tin

43

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Giải 2

x x  a.  sin + cos  + 3 cos x = 2 2 2  ⇔ 1+sin x + 3 cos x = 2 ⇔

1 3 1 sin x + cos x = 2 2 2

π  π π  x + = + k 2π x = − + k 2π   π π  3 6 6 ⇔ sin  x +  = sin ⇔  ⇔ (k ∈ Z ) π π π 5 3 6  x + =  x = + k 2π + k 2π   3 6 2 Ý b, c, d tương tự.

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình sau:  

a. 5  sin x +

cos3x +sin3x   = 3 + cos2x 1 + 2 sin 2 x 

b. cos 2 3 x.cos2x − cos 2 x = 0

π π 3   c. cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0 4 4 2 







d. 4.sin x cos x + 3sin 2 x = 6 sin x

Giải: 

1

cos3x +sin3x 

a. 5  sin x +  = 3 + cos2x . Điều kiện: sin 2 x ≠ − (*) 2 1 + 2 sin 2 x   Phương trình (a) trở thành:  sin x+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x  ⇔ 5  = 3 + cos2x 1 + 2sin 2 x    sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x  ⇔ 5  = 3 + cos2x 1 + 2sin 2 x   sin x + cos x +sin3x = 3 + cos 2 x 1 + 2 sin 2 x ( sin x+sin3x ) + cos x = 3 + cos 2 x ⇔ 5.

1 + 2 sin 2 x 2 sin 2 x.cos x + cos x ⇔ 5. = 3 + cos 2 x 1 + 2sin 2 x cos x (1+2sin2x ) ⇔ 5. = 3 + cos 2 x 1 + 2 sin 2 x

⇔ 5.

Tổ: Toán - Tin

44

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

⇔ 5 cos x = 2 + 2 cos 2 x

⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x + 2 = 0 1  cos x =  ⇔ 2  cos x = 2(PTVN)

π   x = 3 + k 2π 1 Vậy cos x = ⇒  .

2  x = − π + k 2π  2 π

Kết hợp với điều kiện nghiệm là x = Vậy phương trình có nghiệm: x =

π 3

3

+ k 2π

+ k 2π

Ý b, c, d tương tự.

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài 1. Giải các phương trình sau: 3 2

a. sin x +sin 2 x + cos3 x = 0

b. sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

c.

d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( tan x − sin x ) = 2

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

Giải: a. s inx+sin 2 x + cos3 x = 0 . ⇔ sin x +sin 2 x + cos3 x = 0

⇔ sin x (1 + sin x ) + cosx (1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ (1 + sin x ) ( sin x + cos x (1-sin x ) ) = 0 sin x =1 ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x = 0 π  x = + k 2π ⇔ 2 2 t + 2t − 1 = 0(1)

t = −1 − 2 < − 2 ( l ) (1) ⇔  t = 2 − 1

π π 2 −1   ⇒ 2 sin  x +  = 2 − 1 ⇔ sin  x +  = = sin α 4 4 2  

Tổ: Toán - Tin

45

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

π   x = α − 4 + k 2π Do đó:  (k ∈ Z )  x = 3π − α + k 2π  4 3 ⇔ sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x b.

(1) 2 ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) − 1 = 3sin x.cos x

Đặt t = sin x + cos x, t ≤ 2

 t2 −1   t2 −1 t 1 ⇔ 1 − = 1 + 3 ()     2    2  2  3 − t 2  2 + 3 ( t − 1) ⇔ t = 2  2 

⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 ⇔ ( t + 1) ( t 2 + 4t + 1) = 0 .

 t = −1  ⇔  t = −2 − 3 < − 2 ( l )   t = −2 + 3

Do đó phương trình:   π 1  π  sin  x + 4  =  2 sin  x + 4  = 1 2      ⇔    π  3−2 π = sin α sin  x +  =  2 sin  x +  = 3 − 2 4 4  2     x = k 2π   x = π + k 2π 2  ⇔ π  x = α − + k 2π 4   3π − α + k 2π x =  4

c.

sin x ≠ 0 π 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x . Điều kiện:  ⇒ x ≠ k ( *) .

2 cos x ≠ 0

Khi đó phương trình (c) trở thành:

sin x cos x + cos x sin x ⇔ 2 ( sin x + cos x ) .sin x cos x =1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) =

Tổ: Toán - Tin

46

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

t = sin x + cos x, t ≤ 2  Đặt  . t2 −1 sin x.cos x =  2

Thay vào phương trình ta được:  t 2 −1  3 3 2 ⇔ 2t   = 1 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ t − 2 t + 2t + 1 = 0  2 

(

)(

)

π π π   ⇒ t = 2 ⇔ 2 sin  x +  = 2 ⇔ sin  x +  = 1 ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 4 4  

Thỏa mãn điều kiện.

Bài 2. Giải các phương trình:

a. cos 2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x- cos x )

b. cos3 x + sin 3 x = cos2x

c. 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3cot 2 x + 2 = 0 d. tan x + cot x + tan 2 x + cot 2 x + tan 3 x + cot 3 x = 6 Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. sin 3 x − cos3 x = sin x- cos x

π  b. sin 2 x + 2 sin  x −  = 1 4

c. sin2 x -12(sin x - cos x )+12=0 .

d.





sin x + cos x =1 sin 2 x + 1

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a.

1 − cos2x 1 − cos3 x = 1 + cos2x 1 − sin 3 x

b. 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos3x =2 2 ( 2 + sin 2 x )

c. sin 2 x cos x − cos2x + sin x = cos 2 x sin x + cos x d. 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3x IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI BẬC BA ĐỐI VỚI SINX, COSX Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. sin 3 x − 3cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x cos x b. sin 2 x ( tan x +1) = 3sin x ( cos x-sin x ) + 3

Giải: a. sin 3 x − 3cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x Có 2 cách giải:

Tổ: Toán - Tin

47

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Cách 1.

Chia 2 vế phương trình cho cos3 x ≠ 0 , ta có phương trình: ⇔

sin 3 x sin x sin 2 x − 3 = − 3 cos3 x cos x cos 2 x

⇔ tan 3 x + 3 t an 2 x- tan x- 3 = 0

(

)

⇔ tan x + 3 ( tan 2 x − 1) = 0  tan x = − 3 ⇔  tan x = ± 1 π   x = − 3 + kπ ⇔ (k ∈ ℤ)  x = ± π + kπ  4

Cách 2. ⇔ sin 3 x − s inxcos 2 x + 3 sin 2 x cos x − 3cos3 x = 0 ⇔ sin x ( sin 2 x − cos 2 x ) + 3 cos x ( sin 2 x − cos 2 x ) = 0

(

)

⇔ ( sin 2 x − cos 2 x ) sin x + 3 cos x = 0

π π kπ    2 x = 2 + kπ x = 4 + 2 sin 2 x − cos 2 x = 0  −cos2x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) sin x + 3cosx = 0  x = − π + kπ  x = − π + kπ  tan x = − 3   3 3 ⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x − tan x-1=0 ⇔ ( tan x +1) ( 3 tan 2 x − 1) = 0

π   tan x =-1  x = − 4 + kπ ⇔ ⇔  tan x = ± 1  x = ± π + kπ  3  6

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC I. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG 1. Phương pháp

- Xét phương trình f(x) = 0

f1 (x) = 0 f (x) = 0  2 2 2 - Nếu f(x) = f1 (x) + f 2 (x) + .... + f n (x) thi f (x) = 0 ⇔  2 ... f n (x) = 0

Tổ: Toán - Tin

48

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. 4sin 2 x − 2 3 tan x +3tan 2 x − 4sin x + 2 = 0

b. tan 2 x + tan 2 2 x + cot 2 3 x = 1

c. 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x +2 3 tan x +4=0

d. sin 2 x + sin 2 y + sin 2 ( x + y ) =

9 4

Giải:

a.

4sin 2 x − 2 3 tan x +3tan 2 x − 4sin x + 2 = 0 2

⇔ ( 2sin x − 1) +

(

)

2

3 tan x +1 = 0

 π x = + k 2π   1  6 sin x =   2sin x − 1 = 0  2   5π ⇔ ⇔ ⇔  x = + k 2π .

6  3 tan x +1=0  tan x =- 1     3 π  x = − + kπ 6  Kết hợp với điều kiện có nghiệm x =

5π + k 2π thỏa mãn.

6

b. tan 2 x + tan 2 2 x + cot 2 3x = 1 Do: cot 3 x = cot ( x + 2 x ) =

1 − tan x.tan2x ⇒ tan x.cot3x + tan2x.cot3x + tan x.tan2x =1 tan x + tan2x

Cho nên phương trình có dạng: 2

2

( tan x - tan2x ) + ( tan 2 x − cot 3x ) + ( cot 3x − tan x )

2

=0

⇔ tan x = tan2x = cot3x ⇒ x ∈ ∅ . Phương trình vô nghiệm

(

c. 4cos 2 x + 3tan 2 x − 4 3cosx+2 3 tan x +4=0 ⇔ 2cos x- 3

2

) +(

)

2

3 tan x +1 = 0

 π x = + k 2π    3 6  cos x = π   2 ⇔ ⇔  x = − + k 2π .

6  tan x = - 1     π 3  x = − + lπ 6 

Khi biểu diễn nghiệm trên vòng tròn đơn vị ta thấy nghiệm chung là: x=−

π 6

+ k 2π

(k ∈ Z )

d. sin 2 x + sin 2 y + sin 2 ( x + y ) =

Tổ: Toán - Tin

9 1 − cos2x 1 − cos2y 1 − cos2 ( x +y ) 9 ⇔ + + = 4 2 2 2 4

49

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

⇔ 2  cos2x +cos2y+cos2 ( x +y )  + 3 = 0

⇔ 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) +2  2cos 2 ( x + y ) − 1 + 3 = 0

⇔ 4 cos 2 ( x + y ) + 2.2 cos ( x + y ) .cos ( x-y ) + 1 = 0 sin ( x − y = 0 ) (1)  ⇔  2 cos ( x + y ) + cos ( x − y )  + sin ( x − y ) = 0 ⇔  1 cos ( x +y ) = − cos ( x-y )( 2 )  2 2

2

- Xét: x − y = kπ ⇔ y = x − kπ , thay vào (2).

1  cos2x = - ⇒ k = 2n  1 2 ⇔ cos ( 2 x − kπ ) = − cos kπ ⇔  2  cos2x = 1 ⇒ k = 2n + 1  2

π   x = 3 + nπ Giải ta tìm được:  ( n, k ∈ Z )  y = π + ( m − k )π  3

π   x = − 3 + nπ hoặc  ( m, k ∈ Z )  y = − π + (m − k )π  3

Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 4

a. sin 2 x + sin 2 3 x = s inx.sin 2 3 x b. 3cot 2 x + 4 cos 2 x − 2 3 cot x − 4 cos x + 2 = 0 c. 8cos 4 x.cos 2 2 x + 1 − cos3x + 1 = 0 d. sin 2 x +

sin 2 3 x ( cos3x.sin 3 x + sin 3x.cos3 x ) = sin x.sin 2 3x 3sin 4 x

Giải:

a.

1 ⇔ sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 2 3 x 4 1 1 1 1 ⇔ sin 2 x − 2. sin x.sin 2 3 x + sin 4 3x + sin 2 3 x − sin 4 3 x = 0 2 4 4 4 2 1   1 ⇔  sin x- sin 2 3 x  + sin 2 3 x (1 − sin 2 3 x ) = 0 2   4 2

1   1 ⇔  sin x- sin 2 3 x  + sin 2 3 x.cos 2 3 x = 0 2   4

Tổ: Toán - Tin

50

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

 x = kπ   x = kπ    s inx=0     x = π + l 2π  x = kπ  π   x=k  sin3x=0 1 2     6    3 π  s inx= sin 3 x  ⇔ ⇔  ⇔  ⇔  x = + l 2π 2 5π 1 ⇔  x =  6 + l 2π  s inx= sin 2 3 x.cos 2 3 x = 0  s inx= 1 6      2  5 π  2 x =  + l 2π  cos3x=0 π π  sin 2 3x=1  x = + k 6     6 3 

b. 3cot 2 x + 4 cos 2 x − 2 3 cot x − 4 cos x + 2 = 0 (1) ĐK: x ≠ kπ (1) ⇔

(

)

2

2

3 cot x − 1 + ( 2 cos x − 1) = 0

1  cot x = 3 ⇔ cosx= 1  2

π   x = 3 + kπ π ⇔ ⇒ x = + m2π ( m ∈ Z ) 3  x = ± π + l 2π  3

c. 8cos 4 x.cos 2 2 x + 1 − cos3x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 x (1 + cos4x ) + 1 − cos3x + 1 = 0 π kπ  1 x=± +   os4 =c x 2π 2   6 2 ⇔ ( 2cos4x +1) + 1 − cos3x = 0 ⇔  ⇒x= + m 2π ( m ∈ Z ) 2⇔ 2 l π 3 cos3x =1 x =  3

d. sin 2 x +

sin 2 3 x cos3xsin 3 x + sin 3 x cos3 x ) = sin xsin 2 3 x ( 3sin 4 x

sin 2 3 x ( cos3xsin 3 x + sin 3x cos3 x ) 3sin 4 x sin 2 3 x  3 = sin x ( 4cos3 x − 3cos x ) + cos3 x ( 3sin x-4sin 3 x )  =  3sin 4 x 2 sin 2 3 x  2 2  = sin 3 x . 3 sin 2 x.cos2x 3sin x cos x cos x sin x ⇔ − ( )  3sin 4 x 2 3sin 4 x  sin 2 3 x 1 1 = sin 4 x = sin 2 3 x sin 4 x 4 4 ⇔

Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải.

Tổ: Toán - Tin

51

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

II. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ 1. Phương pháp

- Xét phương trình: f(x) = g(x) , với ∀x ∈ D - Nếu tồn tại số thực k sao cho: f (x) ≤ k ≤ g(x), ∀x ∈ D f (x) = k thi f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≤ k ≤ f (x)  g(x) = k 2. Kiến thức sử dụng:

- Tính chất của hàm số lượng giác.

- Các bất đẳng thức cơ bản: cauchy, Bunhiacopski 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2 (1 + sin 2 2 x )

b. sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x

c. 3 − cos x − cos x + 1 = 2

d. tan 2 x + cot 2 x = 2sin 5  x + 

π

 4

Giải: a. cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2 (1 + sin 2 2 x )

(

Ta có: VT 2 = 1.cos3x +1. 2 − cos 2 3 x

)

2

≤ (1 + 1) ( cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x ) = 4 ⇒ VT ≤ 2

VP = 2 (1 + sin 2 2 x ) ≥ 2 ⇒ Cho nên phương trình có nghiệm khi cả hai vế xảy ra dấu đẳng thức: 1  1 = cos 2 3 x = 1 cos6x =1  cos3x = 2 − cos 2 3 x ⇔  cos3x ⇔ ⇔ 2 − cos 2 3 x ⇔  sin2x =0 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0  kπ   x = 3 6 x = k 2π ⇔ ⇔ . 2 x = lπ  x = lπ  2

Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k, l thuộc Z sao cho hai nghiệm: kπ lπ 3 = ⇔ k = l ⇒ chọn: l = 2n.

3 2 2

Khi đó phương trình có nghiệm là: x = nπ

(n ∈ Z )

b. sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x VT = sin 3 x + cos3 x ≤ sin 2 x + cos 2 x = 1

Tổ: Toán - Tin

52

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

VP = 2 − sin 4 x ≥ 2 − 1 = 1 . (Do 0 ≤ sin 4 x ≤ 1 ) Do đó phương trình chỉ xảy ra khi: sin 2 x (1 − sin x ) = 0 sin 3 x = sin 2 x   sin x = 1 π ⇔ cos3 x = cos 2 x ⇔ cos 2 x (1 − cos x ) = 0 ⇔  ⇒ x = + k 2π 2 cos x = 0 sin 4 x = 1  2 sin x 1 =  

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. cos13 x + sin14 x = 1

b. cos 2 x − 4 cos x − 2 x sin x + x 2 + 3 = 0

Giải a. cos13 x + sin14 x = 1

 cosx ≤ 1 cos13 x ≤ cos 2 x ⇔  14 ⇒ cos13 x + sin14 x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1 Do:  2 sin x ≤ sin x  s inx ≤ 1 Vậy:  π   x = 2 + kπ  cos x =0   12 π  13 2 cos 2 x ( cos11 x − 1) = 0 x = + kπ cos x = cos x  sin x =1   x = π + kπ   ⇒  14 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ 2 2 2 12  2  cos x =1 sin x = sin x  sin x ( sin x − 1) = 0  2π x = l     x =k2π  sin x =0   x =kπ  2

2

b. 2 − 2 cos x − 2 x sin x + x 2 = 0 ⇔ ( cos x-1) + ( x − sin x ) = 0  x = k 2π cos x − 1=0 cos x = 1  x = k 2π ⇔ ⇒ ⇔ 2 ⇔ ⇒x=0 2 2  x -sin x = 0  x = sin x cos x + sin x = x + 1  x = 0

Bài tập tương tự: Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. sin x + cosx = 2 ( 2 − sin 3 x )

b. tan x +tan2 x = -sin3 x cos2 x .

c. sin4 x cos16 x = 1

π  d. 2sin  x +  = t anx +cotx 4 



Bài 2. Giải các phương trình sau:  

a.  cos 2 x +

2

2

1   2 1  1 +  sin x + 2  = 12 + sin y 2  cos x   sin x  2 2

2

     3x 1   3x 1  81 2 b.  sin +  +  cos +  = cos 4 x 2 2 4 3 x 3 x  sin   cos   2  2

Tổ: Toán - Tin

53

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Bài 3. Giải các phương trình sau: 1 =0 s inx.cos2x.cos3x

a. 4 cos x − 2 cos 2 x − cos4x =1

b. tan 2 x + tan 3x +

c. cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0

d. ( cos4x-cos2x ) = 5 + sin 3x

2

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Giải các phương trình sau: 1). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Ngày 28/12/2014) π π 4 cos x cos( x + )cos( − x) = sin 3 x 3 3

2). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 1/2015) cos 3 x − cos x = 2sin 2 x + sin x + 1

3). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 3/2014) sin 3 x − cos 3 x = cos x − 1 2sin 2 x − 1

4). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 4/2015) cos 3 x − sin 2 x = (cos x − sin x)(2 cos x − 2sin x + 1)

5) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 1) (1 + sin 2 x)(cos x − sin x) = 1 − 2sin 2 x

6). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 2) 1 4 4 π sin x + cos ( + x ) = 2 4

7). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 3) π π cos 2 x − sin 2 2 x = sin( x + ) sin( x − ) 2 4 cos x 6 6

8). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 4) sin 2 x = sin 3 x + cos x(cos x − 1)

9). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 2- ngày 05/10/2014) sin x + sin 3 x + sin 5 x + 2 tan x = 0 cos x + cos 3x + cos 5 x

10). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 23/11/2014) 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1

11). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 21/12/2014) sin 4 x = tan x

Tổ: Toán - Tin

54

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

12). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 25/01/2015) log 5− x2 (

3sin 2 x − 2sin x ) = log 22 5− x sin 2 x cos x

13). (Sở GD-ĐT Hà Nội- Trường THPT Thăng Long-lần 1) sin 2 x + 3 cos 2 x = sin 2 x − 3

14).(Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ-lần 1) 2cox 3 x + cos 4 x + cos 2 x = 0

15). (Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội- lần 1) 3cos 2 x + s inx-1= cos x + sin 2 x − sin 2 x

16). (Trường THPT chuyên Đại học Vinh- lần 1) cos 3 x + cos x = 2 3 cos 2 x sin x

17). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1) sin 3 x − sin x + sin 2 x = 0

18). (Trường THPT chuyên Hà Tĩnh- lần 1) cos 3 x + 2sin 2 x − cos x = 0

19). (Trường THPT chuyên Lam Sơn- ngày thi 31/1/2015) 2 cos 5 x.cos 3 x + sin x = cos8 x

20). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đông Sơn 1) cos 2 x + (1 + 2 cos 2 x)(sin x − cos x) = 0

21). (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Quỳnh Lưu 1) 2 sin 2 x − cos 2 x = 7 sin x + 2cox − 4

22). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Hàn Thuyên- lần 2) π cos x + cos 3 x = 1 + 2(2 x +

4

)

23). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 1) sin 2 x + 2 sin x + 1 = cos 2 x

( x ∈ ℝ)

24). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 2) sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

25). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 4) cos x − cos 2 x + sin x = 0

26). (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Hồng Quang- lần 1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x − 2 = 0

27). (Trung tâm dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong- lần 1) 3s in 2 x + cos2 x = 2

28). (Sở GD_ĐT Bắc Giang-Trường THPT Lục Ngạn số 1- lần 2) 2 s in 6 x − 2sin4 x + 3cos2 x = 3 + sin 2 x

Tổ: Toán - Tin

55

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

29). (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Trần Nguyên Hãn) π sin 2 x + cos x − 2 sin( x − ) − 1 = 0 4

30). (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Chí Linh- lần 1) 2 s in 2 x =

s inx − cos3 x + 2 cos 2 x cos x

π

π

tan( − x) tan( + x) 4 4

31). (Trường THPT Chuyên Bắc Yên Thành- lần 1) cos x = 1 − sin x 1 + sin x

32). (Trường THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-lần 1) sin 2 x − 2sin x − 2 cos x + 2 = 0

33). (Sở GD_ĐT Tỉnh Nam Định) 4sin 2 x + sin x = 2 − 3 cos x

34). (Trường THPT Nghi Sơn- Thanh Hóa) cos 2 x + cos x(2 tan 2 x − 1) = 2

35). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Ngô Gia Tự) sin 2 x − 2 2(sin x + cox) = 5

36). (Trường THPT Nguyễn Trung Thiên- lần 1) sin 2 x − sin x = 2 − 4 cos x

37). (Trường THPT Quảng Xương I) 4 sin 2 x + sin x + 3 cos x = 2

38). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thiệu Hóa- lần 1) sin 3 x + cos 4 x = 1

39). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 2) π 3x

x (tan 2 x cot x − 1) sin 4 x = sin( x + ) + 2 cos sin 3 2 2

40). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 3) 2 cos 6 x − 2 cos 4 x − 3cos2 x = sin 2 x + 3

41). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) sin 4 x + 2 = cos 3 x + 4 sin x + cos x

42). (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc-Trường THPT Yên Lạc- lần 1) 3π sin x(1 + 8cos x) = cos(3 x −

2

)

43). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Yên Phong số 2) sin x − 3 cos x = 2

Tổ: Toán - Tin

56

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

44). (Sở GD_ĐT Thái Nguyên -Trường THPT Gang Thép) cos x + sin x − sin 2 x − cos 2 x = 1

45). (Trường THPT Triệu Sơn 5- lần 2) sin 2 x − cos 2 x = 2sin x − 1

46). (Sở GD_ĐT Hà Tĩnh-Trường THPT Cù Huy Cận) π 3 sin 2 x − cos 2 x − 3cos( − x) − 3 cos x + 2 = 0 2

47). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Trần Phú) sin 2

x = cos 5 x + 1 2

48). (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc) sin 2 x + 3sin x − 2 = 0

49). (Trường THPT Lam Kinh- lần 1) π

cos x + cos 3x = 1 + 2 sin(2 x + ) 4

50). (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Lê Quý Đôn) cos10 x = 2 cos 4 x sin x − cos 2 x

51). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Lý Thái Tổ) cos 2 x + cos x sin x − sin x + sin 2 x = cos x

52). (Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi- lần 1) 2 cos x( 3 cos x + cos x − 1) = 1

53). (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Nam Yên Thành – lần 1) sin 3 x + cos 2 x = 1 + sin x cos 2 x

54).(Sở GD_ĐT Hà Nội- Trường THPT Yên Lãng) sin 3 x + cos3 x = cos 2 x (2 cos x − sin x)

55). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Như Xuân) (sin x + cos x) 2 = 1 + cos x

56). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3) 3cos x − 2 = −3(1 − cos x) cot 2 x

57).(Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3- lần 2) π 2 cos(2 x + ) + 4sin x sin 3 x − 1 = 0 3

58).( Vietel study- lần 1) 3 sin x + cos x =

1 cos x

59).( Vietel study- lần 2)

Tổ: Toán - Tin

57

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

2 3 cos3 x + 5 cos 2 x sin x + 3 sin 2 x cos x =0 tan x + 3

60).( Vietel study- lần 3) 2 sin x sin 3 x + sin 2 x = 4 cos x sin 3 x + 2 cos 2 x + 2

61).( Vietel study- lần 4) 2 sin 2 x − 2 cos 2 x + 5 cos x + 2 sin x + 3 = 0

62)( Vietel study- lần 6) (cos x − 1) cos 2 x = 2(1 + sin x) sin x + cos x

HIỆU TRƯỞNG

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 11 năm 2015 Người viết

Đào Mỹ Hạnh

Tổ: Toán - Tin

58

Trường THPT ……….