Issuu

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

hơ

m /+

ạy

Kè

Q uy

XÁC SU T TH NG KÊ

BÀI T P

1 Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1. M t h p có 100 t m th như nhau ñư c ghi các s t 1 ñ n 100, Rút ng u nhiên hai th r i ñ t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t ñ n a/ Rút ñư c hai th l p nên m t s có hai ch s . b/ Rút ñư c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. Gi i

hơ

Q uy

b/ B : “Hai th rút ñư c l p nên m t s chia h t cho 5”

A92 9.8 ≈ 0, 0073 P ( A) = 2 = A100 100.99

a/ A :“Hai th rút ñư c l p nên m t s có hai ch s ”

Kè

S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. Đ có bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 th còn l i ñ t vào v trí ñâu. Do ñó s trư ng h p thu n l i cho là 99.20 99.20 = 0, 20 2 A100

ạy

P ( B) =

1.2.

a/ Hai qu c u ñen.

c/ Toàn c u tr ng

b/ Ít nh t 2 c u ñen

m /+

M t h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u ñen cùng kích thư c. Rút ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñư c có

Gi i

Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s trư ng h p ñ ng kh năng là C104 a/ A :”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u ñen” P ( A) =

C32 .C72 = 0,30 C104

b/ B :”trong 4 qu c u ñư c rút có ít nh t 2 qu c u ñen” P ( B) =

C32 .C72 + C33 .C71 1 = C104 3

c/ C :”trong 4 qu c u ñư c ch n có toàn c u tr ng” 2 Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

P (C ) =

C74 1 = C104 6

1.3. M t h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t lư ng. Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 ng. Tính xác su t ñ : a/ C hai ng ñư c ch n ñ u t t. b/ Ch

ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t.

c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t.

hơ

Gi i

a/ A :” C hai ng ñư c ch n ñ u t t” P ( A ) =

Q uy

Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 trong 8 ng nên các trư ng h p ñ ng kh năng là A82 . A52 ≈ 0,357 A82

C31.C51 ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t” P ( B ) = 2 ≈ 0, 268 A8

Kè

b/ B :” Ch

A32 ≈ 0,893 A82

ạy

c/ C :” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t” P ( C ) = 1 −

m /+

1.4.

M t h p ñ ng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu m i. L n ñ u ngư i ta l y ng u nhiên 3 qu ñ thi ñ u, sau ñó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 qu . Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i.

Gi i

Đ t A :” c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i”

Bi :” Trong 3 qu l y ra ñ thi ñ u có i qu m i” i ∈ {0;1; 2;3}

Ta th y các { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } l p thành nhóm ñ y ñ các bi n c , theo công th c xác su t toàn ph n

( )= =(

)

≈

1.5. T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên 5 sinh viên ñ l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

a/ BCB g m 3 n và 2 nam, b/ BCB có ít nh t m t n , c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n . Gi i Đ t Ak : “BCB có k nam sinh viên” chúng ta có:

( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ),

5− k

P ( Ak ) =

k .C C12 8

C520

C 520

hơ

P( A2 ) =

= 77

323

Q uy

b/ Đ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = A5 . Do ñó,

=−

C 520

= 1 − 33 = 613 646

646

Kè

P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 ) 5 .C C12 8

2 .C C12 8

a/ BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính:

ạy

c/ Đ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Do ñó,

m /+

P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 )

1.6.

T m t h p ch a 8 viên bi ñ và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2 l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t ñ l y ñư c

a/ 2 viên bi ñ ;

b/ hai viên bi khác màu;

c/ viên bi th hai là bi tr ng.

Gi i

V i i ∈ {1, 2} , ñăt: Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, Di : “viên bi l y ra l n th i là bi ñ ”. a/ Đ t A :“l y ñư c 2 viên bi ñ ”, chúng ta có:

P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) .P ( D2 / D1 ) = 8 . 7 = 14 13 12

b/ Đ t B : “l y ñư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) .P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = 5 8 + 8 5 = 20 13 12 13 12 39

T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác su t ph i tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) .P ( D2 / T1 )

suy ra P (T2 ) = 5 4 + 8 5 = 5

13 12

hơ

13 12

1.7.

Q uy

M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a) có duy nh t m t nam; b) có ít nh t m t n .

: “có duy nh t 1 nam”

1 5

( ) = ( 1) =

∈

5 70

m /+

: “có ít nh t 1 n ” (

4 ) = 1−

4 5 4 8

13 14

( ) = 1−

a) G i

3 3

4 8

G i

nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên”

: “Có

ạy

Đ t

Kè

Gi i

1.8.

M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a/ có không quá hai nam; b/ có ba n , bi t r"ng có ít nh t m t n ñã ñư c tuy n. Gi i Đ t a/ G i

: “Có

nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên”

: “có không quá 2 nam”

( )= b/ G i

∈

( 1) + (

1 5

3 3

+ 4 8

2 5

2 3

1 2

: “ch n ra 3 n , bi t r"ng có ít nh t 1 n ñư c tuy n”. G i B : “Có ít nh t m t n ñư c ch n”. 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Ta có

(

) = 1− (

Di p Hoàng Ân

4 5 4 8

4) = 1−

( )=

(

= 1

13 14

| )=

( 1) 1 = ( ) 13

1.9.

hơ

M t c#a hàng sách ư c lư ng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñ n c#a hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách th c hi%n c hai ñi u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t ñ ngư i này a/ không th c hi%n c hai ñi u trên; b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng.

Gi i Đ t

Q uy

: “khách hàng c n tư v n” : “khách hàng c n mua sách” Theo ñ ta có: ( ) = 0,3; ( ) = 0, 2; ( ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách cũng không c n tư v n là:

Kè

15  13 ( . ) = ( ) + ( ) − ( ) = 1 − 103 + 1 − 102 − 1 − 100 =  20

( )

1.10.

) = 10 − 100 = 1

( )− ( ( )

m /+

(

( )=

ạy

b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng. 3 10

Gi i

M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m , 50% dùng lo i s n ph(m và trong s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác su t ñ ngư i y a/ Dùng c và ; b/ Không dùng , cũng không dùng . Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0, 207; ( ) = 0,5; ( | ) = 0,365 a) Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là

(

) = ( ). (

) = 0,5.0,365 = 0,1825

b) Xác su t ngư i dân ñó không dùng c

và

là

( . ) = ( .) + ( ) − ( ) = 0, 4755 1.11. 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Xác su t ngư i dân ñó dùng

(

( . )= ( )

) = 0,5.0,365 = 0,1825 , bi t r"ng không dùng

( )− (

)

( )

0,5 − 0,1852 = 0, 404 1 − 0, 207

1.12.

là

) = ( ). (

Q uy

(

hơ

Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,207; ( ) = 0,5; ( / ) = 0,365 a/ Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là

Gi i

m /+

ạy

Kè

Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia ñình ñư c ch n ng u nhiên a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u; b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nh p trên 20 tri%u.

Gi i Đ t : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0, 6; ( / ) = 0, 75 a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u là:

P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45

b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính nhưng thu nh p ít hơn 20 tri%u là:

( )=

( )− (

) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07

1.13. Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia ñình ñư c ch n ng u nhiên a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u; b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u, bi t r"ng h ñó không có máy vi tính. 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

( )= ( )

( )− (

) = 0, 6 − 0, 45 = 0,3125

( )

1 − 0,52

hơ

(

b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là:

1.14.

: “v n ñ ng viên

(

) = 0,8; (

}

) = 0, 6;

Theo ñ bài ta có:

th ng” v i ∈ { ,

ạy

Gi i Đ t

Kè

Q uy

Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ Đ i tuy n th ng hai tr n; b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n.

(

) = 0, 3

(

)= (

m /+

a/ Xác su t ñ i tuy n th ng 2 tr n là

). (

) = 0,8.0, 6 = 0, 48

b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n nghĩa là có ít nh t m t trong hai v n ñ ng viên A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là:

P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A .M B )

= 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86

1.15.

Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ Đ i tuy n ch th ng có m t tr n. Gi i Đ t

: “v n ñ ng viên

Theo ñ bài ta có:

(

th ng” v i ∈ { ,

) = 0,8; (

}

) = 0, 6;

(

) = 0, 3

a/ Xác su t B th ng tr n là:

( ) (

)

P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A .) + P M A .P M B | M A = 0,54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Đ t : “ñ i tuy n ch th ng 1 tr n” Xác su t ñ i tuy n ch th ng 1 tr n là:

(

) (

)

P ( D ) = P M A .M B + P M A .M B = P ( M A ) − P ( M A .M B ) + P ( M B ) − P ( M A .M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A .M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38

` 1.16.

) = 0, 7; (

) = 0, 45

Kè

( 1 ) = 0,8; (

Q uy

hơ

Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n; b/ B lo i ' vòng th ba. Gi i Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo ñ bài ta có: a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là 1

) = ( 1 ). (

). (

) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252

ạy

(

b/ Xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng th III là 2

( 1 ). ( ( 1 ). (

1.17.

). ( 3 / ( 1 ) . (1 − 1

m /+

(

)

) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308

Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n; b/ B lo i ' vòng th hai, bi t r"ng thí sinh này b lo i. Gi i Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo ñ bài ta có:

( 1 ) = 0,8; (

) = 0, 7; (

) = 0, 45

a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là

(

) = ( 1 ). (

). (

) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252

b/ Đ t K: “Thí sinh ñó b lo i”

( )=

( )+ ( 1

)+ (

) = 1−

( 1) + ( 1)− (

(

)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

( 1 ). (

= 1−

Di p Hoàng Ân

(

) = 1 − 0,8.0, 7 + 0,308 = 0, 748

V y, xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng II, bi t r"ng thí sinh ñó b lo i là:

(

)= (

( )

(

( 1 ).

( )

) = 0,8 (1 − 0, 7 ) = 0, 3209 0, 748

1.18. M t lô hàng có 9 s n ph(m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 3 s n ph(m; ki m tra xong tr s n ph(m l i lô hàng. Tính xác su t ñ sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra.

Q uy

(

hơ

Gi i Chia 9 s n ph(m thành 3 nhóm. G i : “Ki m tra nhóm ” ∈ {1, 2,3} Đ t :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra”

1.19.

m /+

ạy

Kè

M t l p h c c a Trư ng Đ i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chi m t l% 40% trong n sinh viên, và chi m t l% 60% trong nam sinh viên. a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñư c m t sinh viên quê ' An Giang. N u bi t r"ng sinh viên v a ch n quê ' An Giang thì xác su t ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ có ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang, bi t r"ng l p h c có 60 sinh viên. Gi i a) Đ t :

: “Ch n ñư c sinh viên nam”

: “Ch n ñư c sinh viên n ”

2 3 1 )= 3

( )= (

: “Ch n ñư c sinh viên quê ' An Giang”

(

( )=

Do ñó,

)

(

( | )=

)= ( ) (

(

) ( )

)

( ) (

8 15

( ) ( | ) 3 = ( ) 4

b) L p có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n

S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24 S sinh viên N quê ' An Giang: 8 Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên : “ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang” ( ) = 1− ( ) = 1−

2 28 2 60

232 295

1.20. 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Có ba h p A, B và C ñ ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng, h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i. b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ñó l y ra 3 l thu c thì ñư c 1 l t t và 2 l h ng. Tính xác su t ñ h p A ñã ñư c ch n. Gi i a/ và

là t t” ∈ {

:“l l y ra t h p th

}

:“L y ñư c h p th

hơ

” ∈{

};

) (

)+ (

) (

:“L y ñư c 2 l h ng và 1 l

)+ (

) (

(

)

Kè

ạy

b/ Đ t t t”

Q uy

Nên, xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i

Khi ñó xác su t ñ h p A ñư c ch n

1.21.

) ( )

(

) (

(

( )

m /+

)

Có hai h p B và C ñ ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñư c l h ng. Tính xác su t ñ a/ L h ng ñó là c a h p B b sang; b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng.

Gi i G i : “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có l h ng” ∈ { } và ñ t : “l thu c l y t h p C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b h ng” =

( ) (

)+ ( ) (

a/ l h ng ñó là c a h p B b sang =  =  

= +

( ) (    

)+ ( ) ( ( )

)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng =

( ) ( ( )

)

 =  

   

1.22.

Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ : a/ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ ñ i tuy n th ng 2 tr n.

hơ

Gi i Đ t: : “v n ñ ng viên A chi n th ng”

b/ G i

−

Q uy =

: “ ñ i tuy n th ng 2 tr n”

(

)+ (

1.23.

Kè

(

= −

: “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n”

ạy

a/ G i

( ) = 0, 6 : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0, 7 : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8

m /+

Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ : a/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n.

Gi i Đ t: : “v n ñ ng viên A chi n th ng”

( ) = 0, 6 : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0, 7 : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8

a/ G i

: “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n”

(

= −

−

b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n G i : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n” =

(

)+ (

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

(

Di p Hoàng Ân

≈

1.24. Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên c a trư ng XYZ. a/ Tính xác su t ñ anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; ñ u c hai môn Toán và Tâm lý.

Gi i : “sinh viên thi trư t môn Toán”

Q uy

( ) = 0,34 và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0, 205

hơ

b/ N u bi t r"ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t ñ anh ta ñ u môn Toán là bao nhiêu?

Kè

( ) (

khi ñó ( | ) = 0, 5 a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý

−

∪

( )− ( )+ (

= −

( )=

ạy

Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý

)

( )= ( )

(

m /+

b/ Xác su t sinh viên ñ u môn Toán, bi t r"ng trư t môn Tâm Lý:

1.25.

( )− ( ) = ( )

Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a trư ng XYZ. Nhi u kh năng nh t là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác su t tương ng. Đáp s G i

: “sinh viên thi trư t môn Toán”

( ) = 0,34

và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0, 205 khi ñó Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý =

( ) (

( | ) = 0, 5

Nên, Sinh viên trư t c Toán và Tâm lý v i xác su t không ñ$i

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Do ñó, ch n 12 sinh viên nghĩa là th c hi%n 12 phép th# Bernoulli v i xác .s sinh viên nhi u su t thành công (trư t c Toán và Tâm lý) không ñ$i = kh năng trư t c hai môn ( +

=   2 2 12 ( 2 ) = 12 ( 0,17 ) . (1

)



Xác su t tương ng là

= .  10

− 0,17 ) = 0, 296 .

1.26.

hơ

Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên c a trư ng XYZ sao cho, v i xác su t không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm lý. Gi i

( ) = 0,34 ( ) = 0, 205

∪

( )− ( )+ (

= −

Kè

−

( )=

Q uy

và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” khi ñó ( | ) = 0, 5 Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý

: “sinh viên thi trư t môn Toán”

( )= − ≥(

( ) = −(

)

) ≥

−

⇔

m /+

ạy

G i n là s sinh viên c n ch n. Xác su t ñ sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý không ñ$i = nên ta có quá trình Bernoulli B ( n, p ) . Đ t : “ ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý ”. Theo yêu c u bài toán ta ñư c

(

≥

)

⇔

≥

V y, ch n ít nh t 5 sinh viên. 1.27. Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi%p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và 10% t$ng s s n ph(m c a m t xí nghi%p. T l% s n xu t ra ph ph(m c a các máy trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph(m t lô hàng c a xí nghi%p, trong ñó ñ l n l n các s n ph(m do 3 máy s n xu t. a/ Tính xác su t ñ s n ph(m l y ra là s n ph(m t t. Ý nghĩa c a xác su t ñó ñ i v i lô hàng là gì? b/ N u s n ph(m l y ñư c là ph ph(m, thì nhi u kh năng nh t là do máy nào s n xu t? Gi i Đ t

( Và

: “s n ph(m l y ra do máy 1

) = 0, 6; (

) = 0,3; (

s n xu t” v i ∈ {1, 2,3}

) = 0,1

:“s n ph(m l y ra là ph ph(m”

(

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

:”s n ph(m l y ra là s n ph(m t t”

( )= ( ) (

)+ ( ) (

Ý nghĩa, xác su t th hi%n t l% s n ph(m t t c a lô hàng. b/ Xác su t l y ra s n ph(m là ph ph(m

( )=

−

Theo công th c Bayes

)

( ()

(

() ) ( () ) ( ()

(

()

(

hơ

)

(

( )

(

()

Q uy

)

(

Kè

Do ñó, s n ph(m do máy 1 s n xu t ra ph ph(m nhi u nh t. 1.28.

)= ( ) (

) (

1.29.

(

m /+

ạy

Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñ u cho 3 ngư i (m i ngư i 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ngư i ñ u ñư c trúng thư'ng. Gi i Đ t : “Ngư i mua vé th ñư c vé trúng thư'ng” v i ∈ {1, 2,3}

Trong s các b%nh nhân ñang ñư c ñi u tr t i m t b%nh vi%n, có 50% ñi u tr b%nh A, 30% ñi u tr b%nh B và 20% ñi u tr b%nh C. T i b%nh vi%n này, xác su t ñ ch a kh i các b%nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t l% b%nh nhân ñư c ch a kh i b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñư c ch a kh i b%nh trong b%nh vi%n. Gi i Đ t : “b%nh nhân ñi u tr b%nh ” v i ∈ { , , : “b%nh nhân ñư c kh i b%nh” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,5; ( ) = 0,3; ( và ( / ) = 0, 7; ( / ) = 0,8; Xác su t ñ b%nh nhân kh i b%nh là

(

}

) = 0, 2

) = 0,9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

( ) = ∑ ( ). (

) = 0,5.0, 7 + 0,3.0,8 + 0, 2.0,9 = 0, 77

Xác su t ñ b%nh nhân tr kh i b%nh A là

(

( ). (

( )

) = 0,5.0, 7 = 45, 45% 0, 77

1.30.

hơ

Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô tư: N u m t 3 ho c m t 5 xu t hi%n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các trư ng h p khác thì ch n ng u nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ñ ch n ñư c viên bi ñ . N u viên bi tr ng ñư c ch n, tính xác su t ñ m t 5 c a con xúc x c xu t hi%n. Đ t

Gi i : “Gieo con xúc x c ñư c m t 3 hoăc m t 5”,

Q uy

: “L y t bình ra m t bi là bi ñ ”. Ta có +

Kè

ạy

: “m t viên bi ñư c ch n là bi tr ng”

G i

(

)

( )

1.31.

(

m /+

Đ t : “gieo con xúc x c ñư c m t 5”. Xác su t m t 5 xu t hi%n, bi t r"ng bi ñư c ch n là bi tr ng là

Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u nhiên 1 viên bi thì ñư c bi ñ . Theo ý b n, viên bi ñó v n thu c bình nào? Gi i G i Đ t

: “ có k bi ñ trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i ∈ {0,1, 2,3} : “L y m t bi t bình B ra là bi ñ ”. =∑

Đ t

: “bi ñ sau cùng l y t bình B”. 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Do ñó

Di p Hoàng Ân

( ) ( ) = = ( ) ( )

Gi i Đ t

Q uy

: “Th b t ' chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ”

hơ

V y, bi ñ sau cùng nhi u kh năng nh t là c a bình B. 1.32. Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u nhiên ra m t con ñ nghiên c u. Các con th còn l i ñư c d n vào m t chu ng th ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t ñ con th b t ra sau cùng là m t con th nâu.

: “Th b t ' chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu”

(

( )+ ( )+ ( ) )+ ( ) ( )+ + ( ) ( )+ ( ) ( ) )+ ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )+

ạy

Kè

: “Th b t ' chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ”

G i

(

) (

( ) ( ) (

m /+

)

() ( )

()

( )

()

1.33.

( ) ( )

Ban giám ñ c m t công ty liên doanh v i nư c ngoài ñang xem xét kh năng ñình công c a công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh nghi%m cho h bi t cu c ñình công ' nhà máy A và B x y ra l n lư t v i xác su t 0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bi t r"ng n u công nhân ' nhà máy B ñình công thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h . a/ Tính xác su t ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công. b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gi i Đ t:

: “ Công nhân ñình công ' nhà máy A”

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

: “Công nhân ñình công ' nhà máy B”

(

a/ Xác su t công nhân ñình công ' 2 nhà máy là ( ) = ( ). ( | ) = , . , = , b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là

(

( ( )

= ,

1.34.

hơ

M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân ñ i thu chi ch a các sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% ñư c xem là các giá tr b t thư ng so v i các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân ñ i thu chi thì 20% là nh ng giá tr b t thư ng. N u m t con s ' m t b ng cân ñ i t ra b t thư ng thì xác su t ñ s y là m t sai l m là bao nhiêu?

Kè

(

Q uy

Gi i = Đ t : “b n cân ñ i thu chi ch a sai l m” : “b n cân ñ i thu chi ch a giá tr b t thư ng”

Xác su t 1 con s ' 1 b ng cân ñ i t ra b t thư ng là 1 sai l m:

(

) = ( ). ( ( ) ( )

. ,

= ,

1.35.

ạy

(

m /+

M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X ư c tính r"ng kho ng 80% s ngư i dùng t l nh có ñ c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ngư i ñ c qu ng cáo, có 30% mua lo i t l nh X; 10% không ñ c qu ng cáo cũng mua lo i t l nh X. Tính xác su t ñ m t ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo.

Gi i Đ t : “ngư i ñó ñ c qu ng cáo”

: “ngư i ñó mua t l nh X”

(

, ;

(

Trư c tiên tính xác su t ñ ngư i mua t l nh X

( )= (

( )=

( ). (

Xác su t ñ 1 ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo:

(

) = ( ). ( ( ) ( )

, . , = ,

1.36. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H% th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ H% th ng I b h ng; 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ H% th ng II không b h ng. Gi i a/ Đ t

trong h% th ng I bi h ng” ∈ {

:”bóng ñèn th

Xác su t h% th ng I b h ng =

b/ Đ t

(

= −

:”bóng ñèn th

−

= ∈{

trong h% th ng II bi h ng”

Xác su t h% th ng II không b h ng +

= −

hơ

1.37.

Kè

:”bóng ñèn th

và

trong h% th ng I bi h ng” ∈ {

: “bóng ñèn th

trong h% th ng II bi h ng”

ạy

Gi i a/ Đ t

Q uy

Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H% th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ C hai h% th ng b h ng; b/ Ch có m t h% th ng b h ng.

(

= −

m /+

Xác su t h% th ng I b h ng

Xác su t h% th ng II b h ng là:

( )=

∈{

−

}. }. =

Nên, xác su t c hai h% th ng b h ng là

b/ Xác su t ch có m t h% th ng b h ng

1.38.

M t lô hàng g m r t nhi u bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn x u. M t ngư i ñ n mua hàng v i qui ñ nh: Ch n ng u nhiên 10 bóng ñèn ñem ki m tra và n u có nhi u hơn m t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t ñ lô hàng ñư c ch p nh n. Gi i Vi%c ki m tra 10 bóng ñèn, nghĩa là th c hi%n 10 phép th# Bernoulli, v i xác su t “thành công” g p bóng x u = (không ñ$i). Khi ñó ( ; , ) = , . , − , = , , ,..., ( :s l n thành công trong 10 phép th#) Đ t : “nh n lô hàng” 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

( )=

(

Di p Hoàng Ân

(

)=(

)

(

−

)

1.39.

( (

(

m Kè

)= ( )=

( )= ( )=

ạy

y ra h a ho n” y ra gãy ñ$” y ra sai l m c a con ngư i” rò r phóng x ”

m /+

Gi i Đ t : “x : “x : “x : “s Ta có

Q uy

hơ

M t nhóm nghiên c u ñang nghiên c u v nguy cơ m t s c t i m t nhà máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x . Nhóm nghiên c u nh n th y các lo i s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ$ c a v t li%u ho c sai l m c a con ngư i, và 2 hay nhi u hơn 2 s c không bao gi cùng x y ra. N u có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s gãy ñ$ c a v t li%u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s sai l m c a con ngư i thì s rò r s+ x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u cũng tìm ñư c xác su t ñ : Ho ho n và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0010, gãy ñ$ v t li%u và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ngư i và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ a/ có ho ho n; có gãy ñ$ v t li%u và có sai l m c a con ngư i; b/ có m t s rò r phóng x ; c/ m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i.

a/ Xác su t có ho ho n là

) = )

( (

( )=

Xác su t có gãy ñ$ v t li%u là

( )=

( (

) = )

và xác su t sai l m c a con ngư i

( )=

( (

) |

)

= ,

b/ Xác su t có s rò r phóng x x y ra:

( )= (

)+ (

+ ,

= ,

c/ Xác su t m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i là =

( ) = ( )

1.40. 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

M t ñ a phương có t l% ngư i dân nghi%n thu c lá là 30%. Bi t r"ng t l% ngư i b viêm h ng trong s ngư i nghi%n thu c lá là 60%, còn t l% ñó trong s ngư i không nghi%n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ngư i t ñ a phương trên. a/ N u ngư i ñó b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi%n thu c lá. b/ N u ngư i ñó không b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi%n thu c lá. Gi i Đ t : “ngư i dân nghi%n thu c lá”

a/ Trư c tiên ta tính xác su t ngư i này viêm h ng

( ) = ( ). (

( ). (

(

) = ( ). ( ( ) ( )

Q uy

Xác su t ñ ngư i nghi%n thu c lá n u b viêm h ng là

(

( )= (

(

, ;

hơ

( )= , : “ngư i dân b viêm h ng” ( | ) =

, . , = ,

( )= ( )

( )− (

( )

) = ( ) − ( ). ( − ( )

Kè

ạy

(

b/ Xác su t ñ ngư i nghi%n thu c lá n u không b viêm h ng là

1.41.

m /+

M t nhà xu t b n g#i b n gi i thi%u sách m i ñ n 80% gi ng viên c a m t trư ng ñ i h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Có 30% gi ng viên mua sách trong s nh ng ngư i nh n ñư c b n gi i thi%u, và trong s nh ng gi ng viên không nh n ñư c b n gi i thi%u, có 10% mua sách . Tìm t l% nh ng gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u trong s nh ng ngư i mua sách.

Gi i Đ t : “gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u sách m i”

: “gi ng viên mua sách”

(

, ;

(

( )=

Trư c h t ta tính xác su t ñ gi ng viên mua sách =

( )+

(

() (

( ) (

Nên, xác su t ñ gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u trong s nh ng ngư i mua sách:

(

) = ( ). ( ( ) ( )

, . , = ,

1.42. Nhà trư ng mu n ch n m t s h c sinh t m t t$ g m 7 nam sinh và 6 n .sinh. L n ñ u ch n ng u nhiên 2 h c sinh; sau ñó, ch n ti p 1 h c sinh n a. a/ Tính xác su t ñ h c sinh ñư c ch n l n sau là nam sinh. 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Bi t r"ng h c sinh ñư c ch n l n sau là n sinh, tính xác su t ñ c hai h c sinh ñư c ch n l n ñ u ñ u là nam sinh. Gi i a/ G i

h c sinh nam trong 2 h c sinh l n ñ u” ∈ {

: “ch n =

}

:”h c sinh ñư c ch n sau cùng là nam”

hơ

b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là

( )=

Q uy

( )=

(

Kè

()

nên xác su t ñ 2 h c sinh ñư c ch n l n ñ u là nam:

ạy

1.43.

m /+

S li%u th ng kê v b%nh lao ph$i t i m t ñ a phương cho bi t: Có 15% s ngư i làm ngh ñ,c ñá (LNĐĐ) và b lao ph$i; có 50% s ngư i không LNĐĐ và không b lao ph$i; có 25% s ngư i LNĐĐ nhưng không b lao ph$i. Ngoài ra, t l% nh ng ngư i không LNĐĐ nhưng b lao ph$i là 10%. Chúng ta có th k t lu n gì v m i quan h% gi a ngh ñ,c ñá và b%nh lao ph$i?

Gi i Đ t : “làm ngh ñ,c ñá” : “b lao ph$i”

Theo s li%u ñ bài ta có:

( )=

Khi ñó,

( )=

và

D- th y

( )=

≠

( )= =

( )

do ñó b%nh lao ph$i có liên quan

ñ n ngh ñ,c ñá. Xét

(

( ) = ( )

(

( )= ( )

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

(

Ta th y

Di p Hoàng Ân

(

)≈

) . Ch

ng t r"ng, xác su t ngư i b lao ph$i khi

Gi i Đ t : “Ngư i b nhi-m HIV ñ n t ñ a phương”

ngư i ñó làm ngh ñ,c ñá cao g n g p hai l n xác su t ngư i b lao ph$i nhưng ngư i ñó không làm ngh ñ,c ñá. 1.44. Gi s# m t xét nghi%m X cho k t qu dương tính (+) ñ i v i nh ng ngư i nhi-m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) ñ i v i nh ng ngư i không nhi-m HIV v i xác su t 1%. M t ngư i ñ n t ñ a phương có t l% nhi-m HIV là 1% ñư c làm xét nghi%m X và cho k t qu (+). Tính xác su t ñ ngư i này th c s nhi-m HIV.

hơ

( )=

: “ngư i ñ n t ñ a phương làm xét nghi%m X cho k t qu dương tính v i

( )= ( ) (

() (

Q uy

HIV”

ạy

Kè

Xác su t ñ ngư i ñ n t ñ a phương có t l% 1% ñư c xét nghi%m và cho k t qu dương tính là

1.45.

m /+

M t h p ch a 15 l thu c, trong ñó có 6 l h ng. L y l n lư t t ng l không hoàn l i ñ ki m tra, cho ñ n khi g p 3 l h ng thì d ng. a/ Tính xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l th ba; ' l th sáu b/ N u vi%c ki m tra d ng l i ' l th sáu, tính xác su t ñ l ñư c ki m ra ñ u tiên là l h ng. Gi i ñư c l h ng” Đ t :” l n ki m tra th

:” ki m tra liên ti p 5 l n ñư c 2 l h ng và 3 t t”

Đ t

(

a/ Xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l th ba

:”ki m tra d ng l i ' l th sáu”

= =

(

b/ Vi%c ki m tra d ng l i ' l th sáu, xác su t ñ l ñư c ki m ra ñ u tiên là l h ng.

(

( ) ( ( )

)

( ) ( ) ( ) ( ) 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

≈

1.46.

= −

(

−(

)

: “ít nh t m t quy n v' h ng” ≥

⇔

Kè

a/ Đ t

Q uy

hơ

T m t lô hàng có r t nhi u quy n v' v i t l% v' h ng là 5%, ngư i ta ch n ng u nhiên t ng quy n v' ñ ki m tra. a/ H i ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v' ñ xác su t có ít nh t m t quy n v' h ng không bé hơn 90% ? b/ Gi s# vi%c ki m tra s+ d ng l i khi phát hi%n 3 quy n v' h ng. Tính xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l n ki m tra th 10, Gi i G i là xác su t v' h ng trong m i lô hàng. = và g i là s quy n v' c n ki m tra. Ta có dãy phép th# Bernoulli v i xác su t thành công (v' h ng) là 0,05. Do ñó, ( ) ≥

m /+

ạy

Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v'. b/ Vi%c ki m tra phát hi%n 3 quy n v' h ng suy ra 9 l n ki m tra ñ u phát hi%n 2 quy n v' h ng và l n th 10 ph i là v' h ng. Đ t :”ki m tra d ng l i l n th 10” =( . ( )= ( ) ) = 1.47.

H p th nh t có 8 s n ph(m lo i và 2 s n ph(m lo i ; h p th hai có 5 s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . L y ng u nhiên t m i h p ra 2 s n ph(m. a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph(m lo i ; b/ Gi s# l y ñư c m t s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . Nhi u kh năng là s n ph(m lo i thu c h p nào? T i sao? Gi i L y ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i ∈ { } và ∈ { }

Đ t

:” l y ñư c

sp lo i

t h p th nh t”

:” l y ñư c

sp lo i

t h p th hai”

: “l y ñư c 3 sp lo i

( )= ( b/ G i

( ) ( )l

và 1 sp lo i

)+ (

”

n lư t là xác su t ñ sp lo i

thu c h p th nh t và h p

th hai 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

) ( )

(

( )=

) ( )

( ) < ( ) nên sp lo

Ta th y

nhi u kh năng thu c h p th hai.

(

hơ

( )=

Ta có

Di p Hoàng Ân

1.48.

Kè

Q uy

H p th nh t có 8 s n ph(m lo i và 2 s n ph(m lo i ; h p th hai có 5 s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . L y ng u nhiên m t h p, r i l y ng u nhiên t ñó ra 4 s n ph(m. a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph(m lo i ; b/ Gi s# l y ñư c m t s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . Nhi u kh năng là s n ph(m lo i thu c h p nào? T i sao? Gi i a/ L y ng u nhiên ra 1 h p, r i l y ng u nhiên t ñó ra 4 sp :” l y ñư c h p th

:” l y ñư c 3 sp lo i

( )= ( ) (

( ) ( )l

( )=

 + =  

n lư t là xác su t ñ sp lo i

( ) ( ( )

( )= Th y

   

thu c h p th nh t và h p

th hai Ta có

 =  

)

b/ G i

   

)+ ( ) (

} suy ra ( ) = ( ) =

”

và 1 sp lo i

m /+

g i

”, ∈ {

ạy

Đ t

)

( ) ( ( )

( ) > ( ) nên sp lo

) i

nhi u kh năng thu c h p th nh t.

1.49. 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

M t nhà máy s n xu t linh ki%n ñi%n t# v i 96% s n ph(m có ch t lư ng cao. M t qui trình ki m tra ch t lư ng s n ph(m có ñ c ñi m: 2% s n ph(m có ch t lư ng cao l i không ñư c công nh n và 5% s n ph(m không có ch t lư ng cao l i ñư c công nh n. Hãy tính xác su t ñ sau khi ki m tra, m t s n ph(m ñư c công nh n có ch t lư ng cao ñúng là s n ph(m có ch t lư ng cao. Gi i : “sp ñư c công nh n”

: “sp ch t lư ng cao” và

(

suy ra

(

L i có

(

suy ra

( )=

( )

và

(

( )− ( ( )

)

( )− (

)

Ta có

)= ( )=

hơ

(

( )= ()

()

( )=

Q uy

G i

( ) = ( )

ạy

(

Kè

Xs ñ 1 sp ñó ñư c công nh n ch t lư ng cao ñúng là sp ch t lư ng cao là

m /+

1.50.

Gi s# b n ñem giao m t lô hàng, r t nhi u s n ph(m, mà b n bi t r"ng nó có t l% ph ph(m là 10%. Ngư i nh n hàng ñ ngh l y ng u nhiên 6 s n ph(m ñ ki m tra, và n u có quá ph ph(m thì không nh n lô hàng. B n ñ ngh b"ng bao nhiêu ñ v a thuy t ph,c ñư c ngư i nh n, v a hy v ng kh năng lô hàng không b t ch i ít nh t là 95%? Gi i T l% ph ph(m là = Vi%c l y ng u nhiên 6 sp ñ ki m tra nghĩa là th c hi%n 6 phép th# Bernoulli v i xs thành công (g p ph ph(m) = (không ñ$i). Ta ñư c

(

−

Nh n xét:

( và

)+ ( )< ( )+ ( )+ (

nên theo yêu c u bài toán = . 1.51. M t khu dân cư A có t l% m c b%nh B là 30%. a/ Trong m t ñ t ñi u tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 10 ngư i. Tính xác su t trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b%nh B. 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Đư c bi t trong khu v c ñó có 60% dân s có chích ng a b%nh B. T. l% ngư i kháng b%nh B ñ i v i ngư i ñư c chích ng a là 95%. Còn t. l% kháng b%nh B ñ i v i ngư i không chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i này không m c b%nh B. Tính xác su t ngư i này có chích ng a. Gi i

( )=

: “Ngư i ñư c ch n m c b%nh B”

G i

Ch n ng u nhiên 10 ngư i là th c hi%n 10 phép th# Bernuolli v i xác su t thành − (không ñ$i). Ta có . công (m c b%nh B) ( ) = ( )=

(

( )=

:” chích ng a b%nh B”

(

và

)= =

hơ

(

Q uy

(

a/ Xác su t trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b%nh B

(

)+ ( ) (

xác su t ngư i này có chích ng a:

( )= ( ) ( )= ( ) ()

m /+

(

1.52.

Kè

( )

ạy

( )=

Xác su t ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i này không m c b%nh B:

T l% s n xu t ra ph ph(m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75 s n ph(m do máy ñó s n xu t ra. a/ Tính xác su t ñ trong lô hàng, có 10 ph ph(m b/ Trong lô hàng, nhi u kh năng nh t là có bao nhiêu ph ph(m? Tính xác su t tương ng. Gi i N u xem vi%c máy s n xu t ra m t s n ph(m là m t phép th# Bernoulli, v i xác su t cho “thành công” là p = 0, 08 , thì khi máy ñó s n xu t 75 s n ph(m, nó ñã th c hi%n quá trình P75 ( k ;0,08 ) a/ Xác su t ph i tính: 10 P75 10 = C75 0 08 10 0 92 65 = 0 03941 b/ S ph ph(m nhi u kh năng nh t trong lô hàng là: ( 75 + 1) .0, 08 = 6

v i xác su t tương ng: 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

P75 (6) = C756 (0, 08)6 .(0,92)69 = 0,16745

1.53. Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l% h t lép là 3% ñ nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t ñ có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ?. Gi i G i n là s h t ph i l y, chúng ta có Pn ( k ;0, 03) . Xác su t ñ có ít nh t m t h t n

ln 0, 05 = 98,3523 ln 0, 97

m /+

ạy

Kè

Q uy

V y, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng.

hơ

1 − ( 0,97 ) ≥ 0,95 ⇔ ( 0, 97 ) ≤ 0, 05 ⇔ n ≥

lép là 1 − (1 − 0, 03) n =1 − ( 0,97 ) . Theo gi thi t, chúng ta có:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

(

hơ

( ) ( ) ( )=

ạy

(

( ) ( ) ( )=

Q uy

(

là l t t”.

: “ l thu c l y ra t h p th

Kè

}

CHƯƠNG 2: BI N NG U NHIÊN 2.1. và ñ ng các l thu c. H p có 10 l t t và 5 l h ng, Có ba h p h p có 6 l t t và 4 l h ng, h p có 5 l t t và 7 l h ng. L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra. b/ Tìm xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t; ñư c 3 l cùng lo i. Gi i G i là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra

m /+

B ng phân ph i xác su t c a

( )

b) Xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t ≥

(

)= (

)+ (

Xác su t ñư c 3 l cùng lo i

(

)+ (

2.2. Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên và thi ñ u v i xác xu t th ng tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Tính xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n. Tính xác su t ñ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n. a/ G i 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân ={

: “V n ñ ng viên : “V n ñ ng viên : “V n ñ ng viên

G i

}

th ng” th ng” th ng”

Ta có

)= )=

( )

B ng phân ph i xác su t : 0 1

( ) )= (

)+ (

Kè

≥

b/ Xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n:

(

()

hơ

Q uy

( (

(

Xác su t ñ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n : ≥

−

2.3.

(

ạy

(

m /+

Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên và thi ñ u v i xác xu t th ng tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Sau ñ t thi ñ u, ñ i tuy n có hai tr n th ng; tính xác su t ñ A thua tr n. Gi i a/ G i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n.

}

G i : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”

Ta có

( (

= =

(

)= )=

B ng phân ph i xác su t

+ =

()

( )

: 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

( ) b/ Xác su t ñ

thua tr n, bi t r"ng ñ i tuy n có hai tr n th ng

(

{ (

})

= =

)

(

)

2.4.

}

Q uy

hơ

Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên và thi ñ u v i xác xu t th ng tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Tính s tr n th ng trung bình và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i tuy n. Gi i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n. a/ G i

Kè

G i : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”

)= )=

(

m /+

( (

(

ạy

Ta có

B ng phân ph i xác su t : 0 1

()

( )

b/ S tr n th ng trung bình =

và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i tuy n

( ) = ( )− ( ) Trong ñó,

( )=

= +

2.5. M t cơ s' s n xu t các bao k/o. S k/o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t như sau: 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

S k/o trong bao 18

Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 a/ Tìm trung bình và phương sai c a s viên k/o trong m i bao. b/ Chi phí s n xu t c a m bao k/o là 3X + 16, trong ñó X là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. Ti n bán m i bao k/o là 100$. Không phân bi%t s k/o trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n cho m i bao k/o. Gi i

Q uy

và phương sai c a s viên k/o trong m i bao:

( ) = ( )− ( )

là bi n ng u nhiên ch l i nhu n cho m i bao k/o. Ta có: =

Kè

b/ G i

hơ

( )= ∑ (

G i là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. a/ Trung bình và phương sai c a s viên k/o trong m i bao :

−

( )= (

ạy

l i nhu n trung bình

−

( )=

−

σ(

m /+

và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n cho m i bao k/o

( )=

2.6.

(

−

( )=

M t cơ s' s n xu t các bao k/o. S k/o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t như sau:

S k/o trong bao 18 0,14

Xác su t

0,24

0,32

0,21

0,09

a/ Tìm xác su t ñ m t bao k/o ñư c ch n ng u nhiên s+ ch a t 19 ñ n 21 viên k/o. b/ Hai bao k/o ñư c ch n ng u nhiên. Tính xác su t ñ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k/o. Gi i G i là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. a/ Xác su t ñ bao ñư c ch n ng u nhiên có t 19 ñ n 21 viên k/o: ≤

b/ Đ t

≤

)+ ( = )+ ( t 20 viên k/o” ( ) = +

: “Bao ch a ít nh

(

= +

)= =

Xác su t ñ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k/o: 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

(

Di p Hoàng Ân

( )=

( )+

()

( )+

( )=

2.7. M t h p ñ ng 5 s n ph(m, trong ñó có hai ph ph(m. Ngư i ta l n lư t ki m tra t ng s n ph(m (không hoàn l i) cho ñ n khi g p hai ph ph(m thì d ng l i. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph(m ñư c ki m tra. Tính s l n ki m tra trung bình. Gi i Goi là BNN ch s s s n ph(m ki m tra.

)= =

( ( )

)+ ( ( ) (

)

)+ ( ) (

Tương t =

( :

B ng phân ph i xác su t

) (

ạy

(

Q uy

(

)= ( ) (

)= (

)

Kè

ñư c ph ph(m”.( =

:“ l n ki m tra l n th

(

}

hơ

m /+

( )

( )= ∑ (

S l n ki m tra trung bình:

2.8.

M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. b/ Sau s n xu t, ngư i ñi u khi n báo r"ng su t ca ch có m t máy ho t ñ ng t t. Tính xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t. Gi i a/ G i là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t. ={

Đ t

“ máy th

}

b h ng trong 1 ca”. Suy ra,

( )= ( )= ( = )= (

( )=

)= ( ) ( ) ( )=

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê =

(

( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) (

)= ( )

)= (

( )= ) ( )=

)= ( ) ( ) ( )=

B ng phân ph i xác su t c a

: 0

(

Di p Hoàng Ân

hơ

( )

( {

(

})

= =

)

(

)

2.9.

(

Q uy

(

b/ Xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t, bi t r"ng su t ca ch có m t máy ho t ñ ng t t.

“ máy th

( )= ( )= ( = )= (

}

( )=

)= ( ) ( ) ( )= )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) (

(

b h ng trong 1 ca”. Suy ra,

Đ t

m /+

ạy

Kè

M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. b/ Trung bình, trong m t ca, có bao nhiêu máy ho t ñ ng t t? Tính ñ l%ch chu(n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. Gi i a/ G i là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t.

( (

)= (

( )= ) ( )=

)= ( ) ( ) ( )=

B ng phân ph i xác su t c a

: 0

( ) 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Trung bình s máy ho t ñ ng t t trong m t ca:

( )=

và ñ l%ch chu(n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t . σ( ) = 2.10. M t công ty có 3 t$ng ñ i lý. G i và theo th t là kh i lư ng hàng bán ñư c trong m t này c a 3 t$ng ñ i lý trên (tính b"ng t n). Bi t phân ph i xác su t c a các BNN và như sau: 5

)

hơ

0,2 0,3 0,4 0,1

)

Kè

0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 7

(

0,1 0,3 0,4 0,2 4

(

Q uy

(

∑

(

m /+

( )=

ạy

Tính kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong m t tháng (30 ngày) c a công ty trên. Gi i Trung bình kh i lư ng hàng hóa C bán ñư c trong 1 tháng. =

∑ =

(

( )=

Trung bình kh i lư ng hàng hóa

∑

( )=

bán ñư c trong 1 tháng.

Trung bình kh i lư ng hàng hóa

(

bán ñư c trong 1 tháng.

Nên kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong 1 tháng c a công ty là

( )+ ( )+ ( ) =

2.11. Ti n hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) t i m t chuy n giao thông, ngư i ta thu ñư c s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45 Xác su t 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 a/ Tính kỳ v ng và ñ l%ch chu(n c a SK/1C. b/ Gi s# chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn ñ ng, không ph, thu c vào s khách ñi trên xe, th2 công ty ph i quy ñ nh giá vé là bao nhiêu ñ có th thu ñư c s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn ñ ng? 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

là BNN ch s khách trên m t chuy n xe.

( )=

a/ Kỳ v ng c a SK/1C:

Đ l%ch chu(n c a SK/1C.: σ ( b/ G i

}

( )− ( )

( )=

là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe. =

−

trong ñó, (ñ ng) là s ti n quy ñ nh giá vé. Yêu c u bài toán, ( ) = ( − )=

( )=

⇔

≈

hơ

V y, công ty ph i quy ñ nh giá vé là 8,6 ñ ng.

⇔

Gi i G i

Di p Hoàng Ân

2.12.

ạy

Kè

Q uy

M t ngư i tham gia trò chơi gieo 3 ñ ng ti n vô tư. Anh ta ñư c 500ñ n u xu t hi%n 3 m t s p, 300ñ n u xu t hi%n 2 m t s p, và 100ñ n u ch có m t m t s p xu t hi%n. M c khác, anh ta m t 900ñ n u xu t hi%n 3 m t ng a. Trò chơi này có công băng v i ngư i này không? ( Trò chơi ñư c g i là công b"ng ñ i v i ngư i chơi n u tham gia chơi nhi u l n thì trung bình anh ta hòa v n). Gi i G i là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n ñư c khi tham gia trò chơi

(

Tương t ,

(

)= (

}

)= ( ) ( ) ( )= )+ ( )+ ( )=

=−

(

xu t hi%n m t s p” ∈ {

m /+

:”Gieo l n th

Đ t

}

= {−

B ng phân ph i xác su t c a

Và

-900 100 300 500

( )

( )=

nên m i l n chơi anh ta th ng ñư c 100ñ. V y trò chơi không công b"ng. 2.13. M t ngư i tham gia trò chơi sau: Gieo m t con xúc x c vô tư ba l n ñ c l p nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì ñư c thư'ng 6 ngàn ñ ng; n u xu t hi%n “ m t 1” 2 l n thì ñư c thư'ng 4 ngàn ñ ng; xu t hi%n “m t 1” 1 l n thì ñư c thư'n 2 ngàn ñ ng; khi không có “m t 1” nào xu t hi%n thì không ñư c thư'ng. M i l n tham gia trò chơi, ngư i chơi ph i ñóng ngàn ñ ng. Hãy ñ nh ñ trò chơi công b"ng. 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Gi i G i

Di p Hoàng Ân

là BNN ch s ti n còn l i sau m i l n tham gia trò chơi. ={

−

}

;

Ta có =

−

;

−

Trò chơi công b"ng

). ( )=

⇔

− =

⇔

Q uy

(

= .

( )=

và

( )

hơ

B ng phân ph i xác su t c a

Kè

V y, m i l n chơi ngư i tham gia ñóng 1 ngàn ñ ng thì trò chơi công b"ng. 2.14.

m /+

ạy

Theo th ng kê dân s , xác su t ñ m t ngư i ' ñ tu$i 40 s+ s ng thêm 1 năm n a là 0,995. M t công ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t năm cho nh ng ngư i ' ñ tu$i ñó là 10 ngàn, và trong trư ng h p ngư i mua b o hi m b ch t thì s ti n b i thư ng là 1 tri%u. H i l i nhu n trung bình c a công ty khi bán m i th b o hi m là boa nhiêu? Gi i G i là BNN ch l i nhu n c a công ty khi bán m i th b o hi m.

= {−

}

( )=

và

B ng phân ph i xác su t c a −

( )

V y, trung bình công ty l i 5 ngàn ñ ng khi bán 1 th b o hi m. 2.15. S lư ng xe ô tô mà m t ñ i lý bán ñư c trong m t tu n là m t BNN có phân ph i xác su t như sau: S xe bán ñư c 0 1 2 3 4 5 Xác su t tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 a/ Tính xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n. Tính kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b/ Gi s# chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý b"ng căn b c hai c a s xe bán ñư c v i 5 (tri%u ñ ng). Tìm chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong m t tu n. G i X là BNN s xe bán ra trong 1 tu n. a/ Xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n P ( X ≤ 3) = 1 − P ( X = 4 ) − P ( X = 5 ) = 0, 6

Kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm. E ( X ) = 2,8; D ( X ) = 2,16

hơ

b/ G i là chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong 1 tu n Y = X +5

( X ) + 5 = 6,55

Q uy

E (Y ) = E

Nên chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong m t tu n 2.16. 2 x , x ∈ [ 0;1] 0 , x ∉ [ 0;1]

Cho hàm f ( x) = 

ạy

Kè

a/ Ch ng t f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X . b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X 

Gi i

m /+



+∞

a/ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈

và

c/ Tính xác su t P  0 < X <  . 2

∫

f ( x)dx = ∫ 2 xdx =x 2

−∞

1 = 1 . Do ñó, f ( x ) là hàm m t ñ xác 0

∫

b/ F ( x ) =

0 , x ≤ 0  f (t )dt =  x 2 , 0 < x ≤ 1 1 , x > 1 

su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X .

−∞

 

1

1 2

c/ P  0 < X <  = ∫ 2 xdx = . 2 4 

2.17.

2 , x >1  Cho hàm f ( x) =  x3 0 , x ≤ 1

a/ Ch ng t f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X . c/ Tính xác su t P ( 0 < X < 3) Gi i 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

 1 b 2 dx = − 2 lim  2  = 1 . Do ñó, f ( x ) là 3 b →+∞ 2 x 1 x −∞ 1   hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X . , x ≤1 0 x  1  b/ F ( x ) = ∫ f (t )dt = 1 − 2 ,1 < x < +∞ −∞  x , x = +∞ 1 +∞

a/ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈

∫

và

+∞

f ( x)dx = ∫

8 9

c/ P ( 0 < X < 3) = ∫ f ( x)dx = .

hơ

2.18.

Q uy

a , x >1  Cho hàm f ( x) =  x3 ( a là h"ng s ) 0 , x ≤ 1 a/ Tìm a ñ f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X .

Kè

Gi i a/ ∀x ∈ R, f ( x) ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 và

 1 b a a dx = − a lim   = . Do ñó, f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a ∫ b →+∞ 2 x 2 1 x3 −∞   2 1 a ≥ 0  m t bi n ng u nhiên liên t,c X khi và ch khi  a ⇔a=2 .  2 = 1 , x ≤1 0 x  1  b/ F ( x ) = ∫ f (t )dt = 1 − 2 ,1 < x < +∞ −∞  x , x = +∞ 1 +∞

ạy

f ( x)dx = ∫

m /+

+∞

2.19.

Cho X là bi n ng u nhiên liên t,c có hàm m t ñ

2 x , x ∈ [ 0;1] f ( x) =  0 , x ∉ [ 0;1] Tìm kỳ v ng và phương sai c a X .

Gi i +∞

E(X ) =

∫ xf ( x)dx = ∫ 2 x dx = 3 2

−∞

+∞

( ) ∫

E X2 =

−∞

x 2 f ( x)dx = ∫ 2 x3dx = 0

1 2

do ñó, 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân 2

( )

D ( X ) = E X 2 − ( E ( X )) =

1 4 1 − = 2 9 18

2.20. Cho X là bi n ng u nhiên liên t,c có hàm m t ñ 3 x 2 , x ∈ [ 0;1] f ( x) =  0 , x ∉ [ 0;1] Tìm kỳ v ng và phương sai c a X . 1

+∞

hơ

∫ xf ( x)dx =∫ 3x dx = 4 0

+∞

( ) ∫

E X2 =

x 2 f ( x)dx = ∫ 3x 4 dx = 0

−∞

3 5

−∞

Q uy

E(X ) =

Gi i

do ñó, 3 9 3 . − = 5 16 80

m /+

ạy

Kè

( )

D ( X ) = E X 2 − ( E ( X )) =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Chương 3: M T S

Di p Hoàng Ân

PHÂN PH I THƯ NG DÙNG

3.1. M t ki%n hàng có 10 s n ph(m, trong ñó có 8 s n ph(m lo i A. L y ng u nhiên 2 s n ph(m. Đ t X là bi n ng u nhiên ch s s n ph(m lo i A có trong các s n ph(m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X . Tính E ( X ) , D ( X ) . Gi i

G i X là BNN ch s s n ph(m lo i A trong các s n ph(m l y ra l n th nh t.

C8k .C2k − 2 M ta có P ( X = k ) = ; p= = 0,8 2 C10 N N − n 64 = . N − 1 225

Nên E ( X ) = np = 1,6; D ( X ) = np (1 − p )

Q uy

Ta có X ~ H (10;8; 2 )

hơ

Im X = {0;1; 2}

Kè

3.2.

( )

m /+

ạy

Có 2 ki%n hàng, ki%n th nh t và ki%n th 2. Bi t r"ng, ki%n th hai có 8 s n ph(m, trong ñó có 5 s n ph(m lo i A. L n ñ u, l y ng u nhiên 2 s n ph(m ' ki%n th nh t b vào ki%n th hai, sau ñó l y ng u nhiên t ki%n th hai ra 2 s n ph(m. Đ t X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch s s n ph(m lo i A có trong các s n ph(m l y ra ' l n th nh t và l n th hai. Bi t r"ng b ng phân ph i xác su t c a

Bài gi i

Tìm lu t phân ph i xác su t c a Y ; tính E (Y ) và D (Y ) .

G i Y là BNN ch s s n ph(m lo i A trong các s n ph(m l y ra l n th hai.

Im Y = {0;1; 2}

Ta th y P ( X = 0 ) =

1 16 28 ; P ( X = 1) = ; P ( X = 2 ) = 45 45 45

Trong ñó,

P (Y = 0 | X = 0 ) =

C50 .C52 10 6 3 ; 0 | 1 ; 0 | 2 = P Y = X = = P Y = X = = ( ) ( ) 45 45 45 C102

M t khác 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

P (Y = 0 ) = P ( X = 0 ) .P (Y = 0 | X = 0 ) + P ( X = 1) .P (Y = 0 | X = 1) + P ( X = 2 ) .P ( Y = 0 | X = 2 ) = 997 838 ; P (Y = 2 ) = . 2025 2025

B ng phân ph i xác su t c a Y Y

0 190 2025

P (Y )

2 838 2025

2673 = 1,32; D ( X ) = 0, 40525. 2025

hơ

Nên E (Y ) =

1 997 2025

Tương t P (Y = 1) =

190 2025

Q uy

3.3.

M t ki%n hàng ch a 8 s n ph(m, trong ñó có 3 s n ph(m x u và 5 s n ph(m t t. L y ng u nhiên t ki%n hàng ra 4 s n ph(m (không hoàn l i).

Kè

a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph(m x u có trong 4 s n ph(m l y ra, và tính xác su t ñ trong ñó có ít nh t 2 s n ph(m t t.

ạy

b/ Đem 4 s n ph(m v a l y ra ñi bán. Bi t r"ng bán m t s n ph(m t t ñư c l i 50 ngàn ñ ng, và bán m t s n ph(m x u b l 15 ngàn ñ ng. Tính l i nhu n thu ñư c trung bình và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n khi bán 4 s n ph(m trên.

m /+

Gi i

a/ G i X là BNN ch s s n ph(m x u có trong 4 s n ph(m l y ra.

Im X = {0;1; 2;3}

C30 .C54 1 C31.C53 6 C32 .C52 6 P ( X = 0) = = ; P ( X = 1) = = ; P ( X = 2) = = ; C84 14 C84 14 C84 14

C33 .C51 1 P ( X = 3) = = C84 14

B ng phân ph i xác su t c a X X

P( X )

0 1 14

1 6 14

2 6 14

3 1 14

Xác su t ñ có ít nh t 2 s n ph(m t t: P ( X ≤ 2 ) = 1 − P ( X = 3) =

13 . 14

b/ G i Y là BNN ch l i nhu n thu ñư c khi bán 4 s n ph(m. Y = 200 − 65 X khi ñó E ( X ) =

6 6 1 15 2 + 2. + 3. = 1,5; D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) = 14 14 14 28 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

E (Y ) = E ( 200 − 65 X ) = 200 − 65 E ( X ) = 102,5 và σ (Y ) = D (Y ) = D ( 200 − 65 X ) = 65 D ( X ) = 47,5735 3.4. M t lô hàng có r t nhi u s n ph(m, v i t l% hàng gi là 30%. a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph(m, tính xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi .

Q uy

Gi i G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph(m gi . X B (10;0,3) Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi

hơ

b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph(m m t ñ ki m tra cho ñ n khi nào g p s n ph(m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph(m th t ñã ki m tra

P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 )

ạy

Kè

= 0,710 + 0,3.0,79 + 0,32.0,78 = 0,0455 b/ G i Y1 là BNN ch s s n ph(m th t ñã ki m tra. Ta có Im Y1 = {0;1; 2;...} Ta th y P (Y1 = 0 ) = 0,3; P (Y1 = 1) = 0, 7.0,3 theo quy n p

+∞

m /+

P (Y1 = n ) = 0,7 n.0,3 . Nên kỳ v ng c a s s n ph(m th t ñã ki m tra: +∞

E (Y1 ) = ∑ n.P (Y1 = n ) = 0, 7.0,3∑ n.0, 7 n −1 = 0, 21. n =1

(1 − 0,7 )

7 3

n =0

3.5.

M t lô hàng có r t nhi u s n ph(m, v i t l% hàng gi là 30%.

a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph(m, tính xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi . b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph(m m t ñ ki m tra cho ñ n khi nào g p s n ph(m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph(m ñã ki m tra.

Gi i G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph(m gi . X B (10;0,3) Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) = 0,710 + 0,3.0,79 + 0,32.0,78 = 0,0455 b/ G i Y2 là BNN ch s s n ph(m ñã ki m tra. Ta có Im Y2 = {1; 2;3;...} P (Y2 = 1) = 0,3; P (Y2 = 2 ) = 0,7.0,3 theo quy n p P (Y2 = n ) = 0,7 n−1.0,3 . Nên kỳ v ng c a s s n ph(m ñã ki m tra: +∞

+∞

E (Y2 ) = ∑ n.P (Y2 = n ) = ∑ n.0, 7 n −1.0,3 = 0,3. n =1

n =1

(1 − 0,7 )

10 3

hơ

3.6.

ạy

Kè

Q uy

M t khách hàng mua xe t i m t ñ i lý, n u xe có s c k4 thu t thì ñư c quy n tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñư c l y l i nguyên s ti n mau xe. M i chi c xe b tr l i như th làm thi%t h i cho ñ i lý 250 ngàn VNĐ. Có 50 xe ñư c bán ra. Xác su t ñ m t xe b tr l i là 0,1. a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xu t ñ có nhi u nh t 2 xe b tr l i. b/ Tìm kỳ v ng và ñ l%ch chu(n c a t$ng thi%t h i mà t$ng ñ i lý ph i ch u do vi%c tr l i xe. Gi i G i p là xác su t ñ m t xe b tr l i. Nên p = 0,1 . G i X là BNN ch s xe b tr l i. X B ( 50;0,1)

Po ( 5 )

m /+

ta th y ( n = 50 > 30; n. p = 5 ≤ 5; npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X

Suy ra E ( X ) = np = 5; D ( X ) = np (1 − p ) = 4,5. Xác su t nhi u nh t 2 xe b tr l i:

P ( X ≤ 2 ) = Po( 0 ) (5) + Po(1) (5) + Po( 2) (5) = 0,1246

b/ G i Y là BNN ch t$ng thi%t h i c a ñ i lý ph i ch u do vi%c tr l i xe. Y = 250 X suy ra E (Y ) = E ( 250 X ) = 250 E ( X ) = 1250 và σ (Y ) = D (Y ) = D ( 250 X ) = 250 D ( X ) = 530,330

3.7.

M t thí sinh tên M tham d m t kỳ thi môn XSTK . M ph i làm m t ñ thi tr c nghi%m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch có m t l i Gi i ñúng. M s+ ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu. (a) Gi s# M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u. (b) Gi s M ch c ch n tr l i ñúng ñư c 2 câu; còn các câu khác, M ch n ng u nhiên m t trong 4 l i Gi i c a m i câu. Tính xác su t ñ M thi r t. 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên p = 0, 25 . G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. X

B (10;0, 25 ) .

Đ t A :”M thi ñ u”

P ( A) = P ( X ≥ 6 ) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) +

Đ t R :” M thi r t”

B ( 8;0, 25 ) .

hơ

G i Y là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 8 câu. Y

+ P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = 0, 0197 b/ M ch c ch n tr l i dung 2 câu, mà các câu ñư c ñ c l p nhau và xác su t tr l i dung m i câu là 0,25. Do ñó, Xác su t ñ M r t trong trư ng h p tr l i ñúng 2 câu có nghĩa là ta tính xác su t ñ M r t tro

Q uy

P ( R ) = P (Y ≤ 3) = P (Y = 0 ) + P (Y = 1) + P (Y = 2 ) + P (Y = 3) = C80 0, 250 0, 758 + ... + C83 0, 2530, 755 = 0,8862.

3.8.

ạy

Kè

M t thí sinh M tham d m t kỳ . M ph i làm m t ñ thi tr c nghi%m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch có m t l i Gi i ñúng. M s+ ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu.

m /+

a/ Gi s# M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u.

b/ H i M ph i d thi ít nh t m y l n ñ xác su t có ít nh t m t l n thi ñ u không nh hơn 97%?

Gi i

a/ G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên p = 0, 25 .

B (10;0, 25 ) .

G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. X

Đ t A :”M thi ñ u”

P ( A) = P ( X ≥ 6 ) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) +

+ P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = 0, 0197 b/ G i n là s l n d thi c a M. Và B :“ít nh t m t l n ñ u” n

P ( B ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − (1 − 0,0197 ) ≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176, 238 V y, M ph i thi th# 177 l n. 3.9. Nhà máy d%t mu n tuy n d,ng ngư i bi t rành v m t lo i s i. Nhà máy th# thách ngư i d tuy n 7 l n. M i l n nhà máy ñem ra 4 s i gi ng nhau, trong ñó ch có m t s i th t và yêu c u ngư i này ch n ra s i th t. N u ch n ñúng ít 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

nh t 6 l n thì ñư c tuy n d,ng. M t ngư i ñ n xin tuy n d,ng nói: "Ch c n nhìn qua là có th phân bi%t s i th t hay gi v i xác su t 80% ". a/ N u ngư i này nói ñúng kh năng c a mình thì xác su t ñư c tuy n d,ng là bao nhiêu? b/ Tính xác su t ñ ñư c tuy n d,ng trong trư ng h p, th t ra, ngư i này không bi t gì v s i c .

Gi i a/ G i B :” năng l c nh n ra s i th t c a ngư i d tuy n” suy ra P ( B ) = 0,8 .

B ( 7;0,8 ) .

hơ

G i X là BNN ch s s i th t trong 7 l n th . X

Đ t A :”Ngư i này ñư c ch n”

Q uy

P ( A) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) = C76 .0,86.0, 2 + C77 .0,87 = 0,5767

b/ G i p là xác su t ch n ñư c s i th t trong m t l n th# (không bi t gì v s i). p = 0, 25 .

B ( 7;0, 25 )

Khi ñó X

Kè

Đ t A :”Ngư i này ñư c ch n”

ạy

P ( A) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) = C76 .0, 256.0, 75 + C77 .0, 257 = 0,0014. 3.10. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

m /+

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c.

a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng.

b/ Ph i l y bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai h ng không nh hơn 94% ?

Gi i

a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3}

B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3})

Và X

B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729

1 2 0, 243 0,027

3 0,001

Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . b/ G i n là s chai l y ra. Ta có X

B ( n;0,1)

1 − P ( X = 0 ) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔ n ≥ 26,7 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Do ñó, ít nh t l y 27 chai.

3.11.

T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. b/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ có ít nh t 1 chai h ng.

Gi i

hơ

a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3}

Và X ~ B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3})

1 2 0, 243 0,027

3 0,001

Kè

0 X P ( X ) 0,729

Q uy

B ng phân ph i xác su t c a X :

Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027

ạy

và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 .

m /+

b/ Ta có X i là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô i v i i ∈ {1; 2;3}

1 Đ t H i :”lô i ñư c ch n” i ∈ {1; 2;3} ⇒ P ( H i ) = . và 3 Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra”

3 1 P ( H ) = ∑ P ( H i ) .P ( H | H i ) =  P ( X 1 ≥ 1) + P ( X 2 ≥ 1) + P ( X 3 ≥ 1)  3 i =1 1 = 3 − P ( X 1 = 0 ) − P ( X 2 = 0 ) + P ( X 3 = 0 )  3 1 = 1 − ( 0,93 + 0,923 + 0,853 ) = 0, 2927 3

3.12.

T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t r i tính kỳ v ng và phương sai c a s chai h ng trong 3 chai l y ra.

Gi i G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra. 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Im X = {0;1; 2;3} P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038 P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) + + P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636 Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012 0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 Suy ra E (Y ) = 0, 2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33 2

3.13.

hơ

và D (Y ) = E (Y 2 ) − E (Y ) = ( 0, 2636 + 4.0, 0314 + 9.0,0012 ) − 0,332 = 0, 2911. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

Q uy

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c.

a/ L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra.

Kè

b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t.

ạy

Gi i

a/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra.

m /+

Im X = {0;1; 2;3}

P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038

P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) +

+ P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636

Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012

0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng”

P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) = 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 = 0,104 1000 1000 1000 Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t: =

( )

P A = 1 − P ( A ) = 0,896

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

3.14.

Di p Hoàng Ân

T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ có ít nh t 1 chai h ng. b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t.

Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra”

hơ

1 a/ Đ t H i :”lô i ñư c ch n” i ∈ {1; 2;3} ⇒ P ( H i ) = . và 3

Gi i

Kè

Q uy

3 1 P ( H ) = ∑ P ( H i ) .P ( H | H i ) =  P ( X 1 ≥ 1) + P ( X 2 ≥ 1) + P ( X 3 ≥ 1)  3 i =1 1 = 3 − P ( X 1 = 0 ) − P ( X 2 = 0 ) + P ( X 3 = 0 )  3 1 = 1 − ( 0,93 + 0,923 + 0,853 ) = 0, 2927 3

m /+

ạy

Trong ñó X i là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô i v i i ∈ {1; 2;3} b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng”

P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 )

500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104

Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t:

( )

P A = 1 − P ( A ) = 0,896

3.15.

T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. Ph i l y bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai h ng không nh hơn 94% ? b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t. 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X

B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3})

B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729

1 2 0, 243 0,027

3 0,001

B ( n;0,1)

Q uy

1 − P ( X = 0 ) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔ n ≥ 26,7

G i n là s chai l y ra. Ta có X

hơ

và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 .

Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027

Kè

Do ñó, ít nh t l y 27 chai. b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng”

P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 )

ạy

200 1 500 1 300 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104

m /+

Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t:

( )

T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là

3.16.

P A = 1 − P ( A ) = 0,896

PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c.

a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. b/ L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. c/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t.

Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X ~ B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3}) 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729

1 2 0, 243 0,027

3 0,001

Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . b/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra.

P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) +

hơ

P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038

Im X = {0;1; 2;3}

Q uy

+ P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636

ạy

Kè

Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012 0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 c/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng”

P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104

m /+

Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t:

( )

P A = 1 − P ( A ) = 0,896

3.17. Gi s# ngày sinh c a ngư i dân trong m t thành ph l n có th rơi ng u nhiên vào m t ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Ch n ng u nhiên 1095 ngư i trong thành ph ñó. Tính xác su t ñ : a/ Có hai ngư i có cùng ngày sinh ñã cho. b/ Có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho.

Gi i G i X là BNN ch s ngư i có cùng ngày sinh trong 1095 ngư i .

1   X ~ B 1095;  365   a/ Xác su t ñ có 2 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân 2

1093

1   1   364   2 P ( X = 2 ) = C1095     ≈ Po2  1095.  = Po2 ( 3) =0, 2565 365   365   365   b/ Xác su t ñ có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho: P ( X ≤ 7 ) = Po0 ( 3) + Po1 ( 3) + Po2 ( 3) + Po3 ( 3) + Po4 ( 3) + Po5 ( 3)

hơ

+ Po6 ( 3) + Po7 ( 3) = 0,988 3.18. M t tr m bưu ñi%n chuy n ñi%n trong kho ng th i gian 10-5 giây. Trong quá trình tránh ñi%n có các ti ng n ng u nhiên. S tín hi%u n ng u nhiên trong 1 giây là 104 . n u trong th i gian truy n tín hi%u có dù cjir m t tín hi%u n ng u nhiên thì tr m s+ ng ng làm vi%c. tính xác su t ñ cho vi%c truy n tính hi%u b gián ño n. bi t r"ng s tín hi%u n ng u nhiên rơi vào trong kho ng th i gian truy n tín hi%u là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison.

Q uy

Gi i

G i X là BNN ch s các tín hi%u n trong kho ng th i gian 10−5 truy n tin.

Kè

X ~ Po (104.10−5 ) ⇔ X ~ Po ( 0,1) Trong ñó,

ạy

s tín hi%u n trong kho ng th i gian 10−5 giây truy n tin là 104.10−5 = 0,1 .

m /+

Do ñó, xác su t vi%c truy n tin b gián ño n

P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − e

−0,1

( 0,1)

= 0, 0952 0! 3.19. S l i trên 1 mét vuông v i là m t bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison. Ki m tra lô v i, ngư i ta th y 98% có l i. V y trung bình m i mét vuông v i có bao nhiêu l i?

Gi i

G i X là BNN ch s l i trên 1mét vuông v i

Po ( λ )

Lô v i th y có 98% l i

P ( X ≥ 1) = 0,98 ⇔ 1 − P ( X = 0 ) = 0,98 ⇔ e −λ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 V y, trung bình m i mét vuông v i có 3,9 l i.

3.20. M t công nhân qu n lý 12 máy d%t. Các máy d%t ho t ñ ng ñ c l p nhau, và xác su t ñ m i máy, trong ca làm vi%c, c n s chăm sóc c a công nhân (vi t t t là CCN) là 0,3. 52

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(1,5ñ)

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

a/ Tính xác su t ñ , trong ca làm vi%c, có a1/ 4 máy CCN a2/ t 3 ñ n 7 máy CCN b/ Trung bình, trong ca làm vi%c, có bao nhiêu máy CCN? c/ Trong ca làm vi%c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nh t; tính xác su t tương ng.

Gi i. a/ G i X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi%c thì X ~ B (12;0,3)

hơ

k P( X = k ) = C12 (0,3) k (0, 7)12 − k , k ∈ {0,1, 2,…,12} , k ∈ {0,1,2,…,12}

a1/ Xác su t ph i tính:

Q uy

4 P( X = 4) = C12 (0,3) 4 (0,7)8 = 0, 2311

b2/ Xác su t ph i tính:

∑ P( X = k )

P(3 ≤ X ≤ 7) =

Kè

k =3

= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291

ạy

= 0,7376.

b/ S máy CCN trung bình:

m /+

E ( X ) = 12 × 0,3 = 3, 6

c/ S máy CCN nhi u kh năng nh t:

Mod ( X ) = [13 × 0,3] = 3.

Xác su t tương ng: P ( X = 3) = 0, 2397 .

3.21. Ngư i ta mu n l y m t s h t lúa t m t kho lúa có t l% h t lép là 0,2 ñ ki m tra. Bi t r"ng kho lúa có r t nhi u h t. a/ Ph i l y ít nh t bao nhiêu h t lúa ñ xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ? b/ L y ng u nhiên 100 h t lúa, tính xác su t ñ trong ñó có 25 h t lép; có t 10 ñ n 40 h t lép.

Gi i. a/ G i n là s h t lúa c n l y. Vì s h t lúa trong kho r t l n, nên các l n l y xem như ñ c l p. Xác su t ñ trong n h t lúa l y ra, không có h t lép nào là (0,8)n. Theo gi thi t: 53

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê n

Di p Hoàng Ân n

1 − ( 0,8 ) ≥ 0,95 ⇔ ( 0,8 ) ≤ 0, 05 ⇔ n ≥

ln (0,05) ln (0,8)

V y, ph i l y ít nh t 14 h t lúa. b/ G i X là bi n ng u nhiên ch s h t lép trong m u thì X ~ B ( n, p ) , v i n = 100 và p = 0, 2 . Vì n > 30; n. p = 20 > 5 và n. (1 − p ) = 80 > 5 nên chúng ta có th áp d,ng các công th c g n ñúng DeMoivre − Laplace. (i) Xác su t ñ có 25 h t lép:

(ii) Xác su t ñ có t 10 ñ n 40 h t lép:

Q uy

 40 − 100 × 0, 2   10 − 100 × 0, 2  − Φ P (10 ≤ X ≤ 40) ≈ Φ    100 × 0, 2 × 0,8   100 × 0, 2 × 0, 8     

hơ

25 P( X = 25) = C100 (0, 2)25 (0,8)75 = 0,04388

= Φ (5) − Φ (−2,5) = 1 − (1 − Φ (2,5)) = Φ (2,5)

ạy

Kè

⇒ P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938 3.22. C n xét nghi%m máu cho 5000 ngư i ñ tìm d u hi%u m t lo i b%nh B t i m t ñ a phương có t l% ngư i m c b%nh B theo th ng kê là 10%. Có 2 phương pháp:

a/ Xét nghi%m t ng ngư i m t.

m /+

b/ M i l n l y máu m t nhóm 10 ngư i tr n l n vào nhau r i xét nghi%m. N u k t qu âm tính thì thông qua, n u dương tính thì ph i làm thêm 10 xét nghi%m ñ xét nghi%m l i t ng ngư i m t trong nhóm.

Gi i.

H i phương pháp nào có l i hơn, bi t r"ng m i xét nghi%m ñ u t n kém như nhau và kh năng m c b%nh c a m i ngư i ñ c l p nhau?

a/ N u dùng phương pháp (1) thì ph i th c hi%n 5000 xét nghi%m.

b/ Bây gi chúng ta xem phương pháp (2): 10

Đ t X ch s nhóm có k t qu dương tính thì X ~ B (500; 1 − ( 0,9 ) ) Đ t Y ch s xét nghi%m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10 X S xét nghi%m trung bình theo phương pháp (2) là: 10

E (Y ) = 500 + 10 E ( X ) = 500 + 5000(1 − ( 0,9 )

) ≈ 3757 .

V y, áp d,ng theo phương pháp (2) có l i hơn. 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

3.23.

Di p Hoàng Ân

M t cơ s' s n xu t, trung bình trong m t tu n, nh n ñư c 4 ñơn ñ t

hàng. Bi t r"ng s ñơn ñ t hàng X mà cơ s' nh n ñư c trong m t tu n là m t BNN có phân ph i Poisson. Tính xác su t ñ cơ s' ñó a/ Nh n ñư c hơn 5 ñơn ñ t hàng trong m t tu n b/ Nh n ñư c 6 ñơn ñ t hàng trong hai tu n liên ti p

Gi i.

a/ X ~ Po ( 4 ) . Xác su t ph i tính:

hơ

P ( X > 5 ) =1 − P ( X ≤ 5)

4k − 4 = 1 − ∑ e = 1 − 0,7851 = 0, 2149 k =0 k !

Q uy

86 − 8 e = 0,1221 6!

ạy

Kè

P (Y = 6 ) =

b/ G i Y là BNN ch s ñơn ñ t hàng c a cơ s' trong hai tu n liên ti p thì Y ~ Po ( 8 ) . Xác su t ph i tính:

m /+

3.24. M t xe t i v n chuy n 1000 chai rư u vào kho. Xác su t ñ m i chai b v5 trong khi v n chuy n là 0,0035. Tính xác su t ñ sau khi v n chuy n, có 6 chai rư u b v5; có t 2 ñ n 8 chai rư u b v5. (gi s# r"ng s ki%n các chai rư u b v5 là ñ c l p nhau, do ch t lư ng riêng c a m i chai)

Gi i.

G i X là BNN ch s chai rư u b v5 sau khi v n chuy n, thì X ~ B (1000; 0,0035 ) .

Xác su t ñ có 6 chai rư u b v5: 6 P( X = 6) = C1000 (0,0035)6 (0,9965)994 = 0,07709

Tính g n ñúng:

Vì n = 1000 và n. p = 3,5 < 5 , nên có th xem: X ~ Po ( 3,5 ) . Do ñó:

P( X = 6) ≈

(3,5)6 −3,5 e = 0,0771 6!

Xác su t ñ có t 2 ñ n 8 chai rư u b v5

(3,5)k −3,5 P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0, 8543 k! k =2 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

3.25. Th i gian ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A là m t BNN tuân theo lu t phân ph i chu(n v i các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút) a/ Tính xác su t ñ m t s n ph(m lo i A nào ñó ñư c s n xu t trong kho ng th i gian t 9 phút ñ n 12 phút. b/ Tính th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A b t kỳ.

Gi i.

s n xu t m t s n ph(m lo i A ,

a/ Xác su t ph i tính:

Q uy

 12 −10   9 −10  P (9 ≤ X ≤ 12) = Φ   − Φ   1   1 

hơ

G i X là BNN ch th i gian d X ~ N (10;1) .

= Φ ( 2 ) – Φ ( −1) = Φ ( 2 ) + Φ (1) – 1

= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.

Kè

b/ Theo qui t c 3σ, h u như ch c ch n X l y giá tr trong kho ng:

ạy

[10 − 3 × 1; 10 + 3 ×1] = [7; 13]

V y, th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A b t kỳ là t 7 phút ñ n 13 phút (h u như ch c ch n).

m /+

3.26. Cho bi n ng u nhiên X tuân theo lu t phân ph i N (µ, σ 2 ) . Bi t r"ng X l y giá tr nh hơn 60 v i xác su t 0,1003 và l y giá tr l n hơn 90 v i xác su t 0,0516, hãy tính µ và σ.

Gi i.

Theo gi thi t,

 P( X < 60) = 0,1003   P( X > 90) = 0, 0516

⇔

  60 − µ   Φ  σ  = 0,1003      1 − Φ  90 − µ  = 0, 0516     σ 

  µ − 60   µ − 60  Φ  σ  = 0,8997  σ = 1, 28    ⇔  ⇔  90 − µ   Φ  90 − µ = 1,64 = 0,9484     σ   σ V y, µ = 73,15 và σ = 10, 27 . 56

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

3.27.

Di p Hoàng Ân

Đư ng kính c a m t lo i chi ti t do m t máy s n xu t có phân 2

ph i chu(n, kỳ v ng 20mm, phương sai ( 0, 2 ) mm. Tính xác su t l y ng u nhiên m t chi ti t a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm. b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm.

Gi i G i X là BNN ch ñư ng kính c a m t chi ti t, ta có

a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm

Q uy

 20,3 − 20   19,9 − 20  P (19,9 < X < 20,3) = Φ  − Φ    0, 2   0, 2  = Φ (1,5 ) + Φ ( 0,5 ) = 0,6247

)

hơ

(

X ~ N 20; ( 0, 2 )

b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm

m /+

ạy

Kè

 0,3  P ( X − 20 < 0,3) = 2Φ   − 1 = 0,8664  0, 2 

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

CHƯƠNG 7: LÝ THUY T M U 4. 1. Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ' ñ a phương A, ngư i ta ñi u tra s con c a m i gia ñình trong 30 gia ñình ñư c ch n ng u nhiên ' ñ a phương A. K t qu ñư c ghi l i như sau: 2

hơ

a) Hãy l p b ng phân ph i t n s và t n su t tích lu4 cho d li%u trên m u.

b) Trên m u v a nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l%ch chu(n c a SCTMGĐ.

Q uy

Gi i:

m /+

= 2,67 Giá tr phương sai m u: Đ l%ch chu(n: = 1,81 .

b) Giá tr trung bình m u là:

ạy

Kè

a) G i X là BNN ch s con trong m t gia ñình. B ng phân b t n s , t n su t và t n su t tích lũy cho X t d li%u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 T ns 3 6 6 6 4 3 1 1 T n su t 0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033 T n su t tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000

4. 2.

= 3, 2644

Đ nghiên c u v thâm niên công tác (tính tròn năm) c a nhân viên ' m t công ty l n, ngư i ta kh o sát thâm niên c a 100 nhân viên ñư c ch n ng u nhiên trong công ty. K t qu như sau: 5-7

8 - 10

11 - 13

14 - 16

17 -19

S nhân viên

Thâm niên

a) Hãy tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l%ch chu(n m u. b) Gi s# thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên là BNN X có kỳ v ng là 12 năm và ñ l%ch chu(n là 3 năm. Tính xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 năm.

Gi i G i X là BNN ch thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên. a) T d li%u ta tính ñư c: - Giá tr trung bình m u: = 12.24 58

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

= 3,27 .

- Giá tr ñ l%ch chu(n m u:

b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có:

−µ

( 0,1)

Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là:   ( > 12,5) =  σ− µ > 12,5σ− µ  = ( > 1,67 ) = 1 −  

≤ 1,67 ) = 0,0478

(

hơ

4. 3.

Chi u cao (cm)

S thanh niên

[154, 158)

[158, 162)

[162, 166)

[166, 170)

[170, 174)

[174, 178)

[178, 182)

Q uy

Đ nghiên c u chi u cao c a thanh niên l a tu$i t 18 ñ n 22 tu$i ' thành ph LX, ngư i ta ño trên m t m u g m m t s thanh niên ñư c ch n ng u nhiên ' thành ph LX. K t qu như sau (ñơn v cm):

Kè

a) Tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l%ch chu(n m u.

m /+

ạy

b) Theo tài li%u kh o sát trư c ñó chi u cao c a nh ng thanh niên l a tu$i trên tuân theo lu t phân ph i chu(n v i kỳ v ng là µ = 166 cm và ñ l%ch chu(n là σ = 7 cm. Hãy tính xác su t ñ trung bình m u có giá tr l n 167 cm.

18 ñ n 22 tu$i ' thành ph

Gi i: G i X là BNN ch chi u cao c a thanh niên l a tu$i t LX. a) T d li%u ta tính ñư c: - Giá tr trung bình m u: = 166,55 cm - Giá tr ñ l%ch chu(n m u: = 5,865 cm. b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có:

−µ

( 0,1)

Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là:

(

> 167 ) =

 −µ   σ

167 − µ

 = 

(

> 1,57 ) = 1 −

(

≤ 1,57 ) = 0,058

4. 4. Gi s# ñ tăng theo ph n trăm lương hàng năm c a m i công nhân viên ch c trong công ty Alpha tuân theo lu t phân ph i chu(n v i trung bình 12,2% và 59

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

ñ l%ch chu(n 3,6%. M t m u ng u nhiên g m 9 ph n t# ñư c ch n t t$ng th Tìm xác su t ñ trung bình m u nh hơn 10%. Gi i: G i X là BNN ch ñ tăng lương theo ph n trăm. Ta có

(

−µ

σ < 10 ) =

(12,2; 3,6 ) và 2

( 0,1)

  

 10 − 12,2 − 12, 2  10 − 12, 2  9< 9  = Φ 9  = 0,0334 . 3,6 3,6  3,6  

4. 5.

hơ

Đ nghiên c u tu$i th c a m t lo i bóng ñèn, ngư i ta th p th# 100 bóng ñèn trư c c i ti n k4 thu t. Sau khi c i ti n k4 thu t, ngư i ta th p l i 100 bóng. S li%u có ñư c cho trong b ng sau: M u 1: Trư c c i ti n

< 1030

[1030, 1050)

[1050, 1070)

[1070, 1090)

Q uy

Tu$i th (gi )

S bóng ñèn

1150

1160

1170

1180

1190

[1110, 1130)

1200

[1130, 1150)

[1150, 1170)

[1170, 1200]

> 1200

ạy

m /+

[1090, 1110)

S bóng ñèn

Kè

Tu$i th (gi )

M u 2: Sau c i ti n

a) Tính giá tr ñ i di%n cho m i l p ' m u 1 và l p b ng t n s , t n su t cho m u 1.

b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l%ch chu(n c a hai m u trên.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i: a)

(1 ñ) Giá tr ñ i di%n

T ns

T n su t

< 1030

1020

0,02

[1030, 1050)

1040

0,03

[1050, 1070)

1060

0,08

[1070, 1090)

1080

[1090, 1110)

1100

[1110, 1130)

1120

[1130, 1150)

1140

0,12

[1150, 1170)

1160

0,10

[1170, 1200]

1185

0,05

> 1200

1215

0,02

hơ

Q uy

ạy

m /+

Tu$i th (gi )

Kè

Trư c c i ti n

0,13 0,25 0,20

T ng s 100 1 b) G i và l n lư t là các BNN ch tu$i th c a bóng ñèn trư c và sau c i ti n k4 thu t. Ta có = 1112,15 ; = 1175,5 ; = 39,26 và = 14,38 Như v y, trung bình m u 1 bé hơn trung bình m u 2 và ñ l%ch chu(n m u 1 l n hơn ñ l%ch chu(n m u 2.

4. 6.

Theo H i sinh viên ' thành ph LX thì có 60% sinh viên hi%n ñang theo h c ñ i h c mu n tìm vi%c làm ngoài gi h c. M t m u g m 205 sinh viên ñư c ch n ng u nhiên. Tìm xác su t ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi h c.

Gi i: G i h c,

là t l% sinh viên hi%n ñang theo h c ñ i h c mu n tìm vi%c làm ngoài gi = 0,6 .

T l% sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi trên m u là

205

Xác su t có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi : 61

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

(

> 135 ) = −

Vì

Di p Hoàng Ân

135   >  =  205 205 

0 (1 − 0 )

27   41 

( 0,1)

  

Do ñó

0 (1 − 0 )

)

    

Q uy

 27   27  − 0  41   41 − 0, 6  = 1− Φ 205   =1− Φ  0 (1 − 0 )   0, 6 (1 − 0,6 )      = 1 − Φ (1,71) = 1 − 0,9564 = 0,0436

hơ

> 135 ) =

−

27 − 41 0 (1 −

(

    

4. 7.

ạy

Kè

M t m u kích thư c n ñư c thành l p t t$ng th tuân theo phân ph i chu(n v i kỳ v ng µ và ñ l%ch chu(n là 8. Hãy xác ñ nh n sao cho, v i xác su t b"ng 0,9524, trung bình m u n"m trong kho ng t µ - 4 ñ n µ + 4.

Gi i:

(µ − 4 ≤

m /+

Ta có

≤ µ + 4 ) = 0,9524

(

− µ ≤ 4 = 0,9524

⇔

   

−µ

(1 ñ)

  = 0,9524 σ 

)

⇔

≤

  ⇔ 2Φ   − 1 = 0,9524 2     ⇔ Φ  = 0,9762 2  

(1 ñ)

= 1,98 2 ⇒ = 16 ⇔

4. 8.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

S li%u th ng kê cho bi t có 40% các h gia ñình ' thành ph A có thu nh p hàng năm n"m trong kh ng t 1200 USD ñ n 2000 USD. V y, ph i ñi u tra m t m u g m bao nhiêu h gia ñình ñ , v i xác su t 0,95, t l% các gia ñình có thu nh p trong kho ng nói trên, sai l%ch so v i t l% chung c a thành ph không quá 4%?

Gi i: Ta có t l% h gia ñình ' thành ph A có thu nh p hàng năm n"m trong kh ng t 1200 USD ñ n 2000 USD là = 0,4 . G i là t l% m u:

(

)

0, 4 (1 − 0, 4 )

= 577

m Kè

m /+

≈ 576, 24 ⇒

⇔

= 1,96

ạy

0,04

  = 0,975  

  − 1 = 0,95  

 0,04 ⇔ Φ  0, 4 (1 − 0, 4 ) 

⇔

0, 4 (1 − 0, 4 )

  = 0,95  

Q uy

 0,04 ⇔ 2Φ   0, 4 (1 − 0, 4 ) 

0,04

hơ

− 0, 4

   

⇔

− 0,4 < 0,04 = 0,95

4. 9.

M t lô hàng ñ t tiêu chu(n xu t kh(u n u t l% ph ph(m không quá 5%. N u ki m tra ng u nhiên 100 s n ph(m thì v i t l% ph ph(m th c t t i ña là bao nhiêu, chúng ta có th cho phép lô hàng ñư c xu t kh(u mà kh năng không m c sai l m là 95%?

Gi i: G i

là t. l% ph ph(m th c t t i ña.

Lô hàng ñư c phép xu t kh(u mà không m c sai l m khi

. Theo ñ

bài:

( ⇔ Vì

) = 0,95

  − 0, 05 0 − 0,05  100 < 100  = 0.95  0,05 (1 − 0, 05 )  0,05 (1 − 0,05 )   − 0,05 100 ~ ( 0,1) nên ñ6ng th c trên tương ñương: 0,05 (1 − 0,05 ) 63

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

  0 − 0,05 Φ 100  = 0,95  0,05 (1 − 0,05 )    ⇒

⇔

− 0,05

0,05 (1 − 0,05 ) 0

100 =

0,95

1,65 0,05 (1 − 0,05 ) 100

= 1,65

+ 0,05 ⇔

= 0,086

4. 10.

hơ

Chi u cao (ñơn v cm) c a m t thanh niên ' thành ph l n A là BNN tuân theo lu t phân ph i N(165; 100). Ngư i ta ño ng u nhiên chi u cao c a 100 thanh niên ' thành ph A (TP.A).

Q uy

c) Xác su t ñ chi u cao trung bình c a 100 thanh niên ñó l%ch so v i chi u cao trung bình c a thanh niên TP.A không vư t quá 2cm là bao nhiêu?

Kè

d) N u mu n ch u cao trung bình ño ñư c sai l%ch so v i chi u cao trung bình c a t$ng th không vư t quá 1cm v i xác su t không dư i 99% thì chúng ta ph i ti n hành ño chi u cao c a bao nhiêu thanh niên?

ạy

Gi i:

Do ñó

(

(165;1) và

)

là s thanh niên c n ño chi u cao. Khi ñó,

Theo ñ bài ta có:

  

( 0,1)

− 165 < 2 = 2Φ ( 2 ) − 1 = 0,9545

b) G i

⇔

− 165 ~

⇒

m /+

a) G i là BNN ch chi u cao c a m i thanh niên ' thành ph A. Ta có ~ (165;100 ) .

− 165 10

( <

− 165 10

( 0,1)

)

− 165 < 1 ≥ 0,99

  ≥ 0,99 10 

  ⇔ 2Φ   − 1 ≥ 0,99 10     1,99 ⇔ Φ = 0,995 ≥ 10 2  

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

≥ Φ −1 ( 0,995 ) = 2,5758

⇒

10 ⇒ ≥ 663, 47

CHƯƠNG 5: Ư C LƯ NG THAM S

5. 1.

hơ

a) Hãy thi t l p công th c tìm kho ng tin c y γ cho trung bình t$ng th trong trư ng h p t$ng th có phân ph i chu(n ñã bi t ñ l%ch chu(n.

Q uy

b) Tìm kho ng tin c y 95% cho trung bình t$ng th X bi t X ~ ( µ , σ 2 ) v i σ = 3 và m u ñ c trưng X có kích thư c n = 25 trung bình m u x = 10 .

Gi i

tin c y γ cho trư c ta tìm kho ng

( x − e; x + e ) sao cho

Kè

a) V i ñ

⇔ P (| X − µ |< e ) = γ

m /+

| X −µ | n ⇔ P  n<e =γ σ   σ

ạy

P ( X − e < µ < X + e) = γ

 n ⇔ P  | U |< e =γ σ  

Vì U ~ N ( 0,1) nên ta có 2Φ ( a ) − 1 = γ , a = e

1+ γ ⇒ a = u1+γ 2 2

⇔ Φ (a) =

Suy ra: u1+γ = e 2

⇒ e = u1+γ . 2

σ n

V y, kho ng tin c y γ cho µ là ( x − e; x + e ) v i e = u1+γ . 2

σ n

b) Áp d,ng công th c trên, kho ng tin c y 95% cho trung bình c a X là:

( x − e; x + e ) e = u1+γ . 2

σ n

= u1+ 0,95 . 2

3 3 = u0,975 . = 1,176 5 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

V y kho ng tin c y c n tìm là: ( 8,824;11,176 ) .

5. 2. a) Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng 500, nhưng chưa bi t trung bình. Ngoài ra, tu$i th c a lo i bóng ñèn ñó tuân theo lu t phân ph i chu(n. Kh o sát trên m t m u ng u nhiên g m 15 bóng lo i trên, ngư i ta tính ñư c tu$i th trung bình là 8900 gi . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a lo i bóng ñèn hình nói trên.

a) M t t$ng th X có phân ph i chu(n. Quan sát m t m u ng u nhiên kích thư c 25 ngư i ta tính ñư c trung bình là 15 và ñ l%ch chu(n là 3. Hãy ư c lư ng kỳ v ng c a X b"ng kho ng tin c y 95%.

hơ

Gi i

a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình:

V i x = 8900 , và e = u1+ γ .

(

)

Kè

Do ñó

σ 500 500 = u0,975 . = 1,96. = 253 n 15 15

Q uy

( x − e; x + e )

ạy

b) Kho ng tin c y cho kỳ v ng c a X là: ( x - e; x + e ) v i x = 15 Vì X có phân ph i chu(n chưa bi t ñ l%ch chu(n nên: 2

s 3 3 ) = t1(+240,95 . = 2, 0639. = 1, 24 5 n 25 2

m /+

e = t1(+24γ) .

(

)

V y, kho ng tin c y c n tìm là

5. 3.

Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng 500, nhưng chưa bi t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m u b"ng 8900 ñư c tính trên m u c5 = 35 .

a) Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a lo i bóng ñèn hình ñang kh o sát.

b) Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV trên có phân ph i chu(n. Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho trung bình t$ng th .

Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình:

( x − e; x + e ) , v i e = u1+γ . 2

x = 8900 và

σ 500 500 = u0,975 . = 1, 96. = 165, 65 n 35 35

V y, kho ng tin c y c n tìm là: (8734; 9066) (gi ). 66

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b) Kho ng tin c y 90% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình:

( x − e; x + e ) , v i

x = 8900 .

Do X có phân ph i chu(n chưa bi t ñ l%ch chu(n nên: e = t1(+n −γ 1) . 2

s 500 500 = t1(+340,9) . = 1, 6909. = 142, 9 n 35 35 2

V y, kho ng tin c y c n tìm:

(8757; 9043) (gi ).

5. 4.

hơ

a) Ki m tra tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV trên m t m u ng u nhiên g m 100 bóng ñèn tính ñư c giá tr trung bình m u là 8900 gi và ñ l%ch chu(n m u b"ng 500 gi . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho trung bình t$ng th .

Q uy

b) Đ tin c y s+ là bao nhiêu n u cùng m u trên sai s ư c lư ng b"ng 130 gi .

Gi i

Kho ng tin c y c n tìm:

ạy

s 500 500 = u1+ 0,95 . = 1,96. = 98 n 100 100 2

(8802; 8998) (gi ).

e = u1+ γ .

x = 8900 .

Kè

( x − e; x + e ) , v i

a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình:

m /+

b) Gi s# γ là ñ tin c y, khi sai s ư c lư ng .

1+γ 2

500 100 = 130 ⇒ 1+γ = 130. = 2, 6 500 100 2 1+ γ Tra b ng 4 ta tìm ñư c = 0,9953 ⇔ γ = 0,9906 . 2   1+ γ ( =  < 1+γ  = ( < 2, 6 ) v i ~ ( 0,1) ) 2  2  V y, ñ tin c y γ = 99, 06% . =

5. 5.

Kh i lư ng X c a m t s n ph(m do m t nhà máy s n xu t tuân theo lu t phân ph i chu(n. L y m t m u ng u nhiên (không hoàn l i) g m 10% c a m t lô hàng g m 300 s n ph(m c a nhà máy ñó, ngư i ta tính ñư c x = 148,50 gam và s = 35,75 gam. a) Hãy xây d ng công th c tìm kho ng tin c y γ cho trung bình t$ng th h u h n trong trư ng h p l y m u không hoàn l i. b) Tìm kho ng tin c y 95% cho kh i lư ng trung bình c a m i s n ph(m trong lô hàng nói trên. 67

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i a) G i N là kích thư c t$ng th , n là kích thư c m u. Vì l y m u có hoàn l i thì σ X =

N −n N −1

σX n

Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm, U =

Y / n −1

( n − 1) S σ

~ χ 2 ( n − 1)

2 X

7 ñây Y =

X −µ N −1 n ~ t ( n − 1) S N −n

hơ

Và T =

X −µ X −µ N −1 = n ~ N ( 0,1) σX σX N −n

Suy ra a = t1(+n γ−1) 2

s n

N −n N −1

m /+

V y ta tính ñư c e = t1(+nγ−1)

ạy

Kè

1+ γ v i T là BNN có phân ph i student n − 1 b c t do. 2

Suy ra P (T < a ) =

e N −1 n s N −n

T ñó P ( T < a ) = γ v i a =

Q uy

Do ñó v i ñ tin c y γ cho trư c ta tìm e sao cho P ( X − µ < e ) = γ

b) Theo ñ bài ta có n = 30; s = 35, 75; N = 300; x = 148,5; γ = 0,95 35, 75 270 = 12, 685 30 299

) . Ta tính ñư c e = t1(+290,95 2

5. 6.

Kho ng tin c y 95% cho kh i lư ng trung bình là (135,815;161,185 )

M t lô bút bi c a xí nghi%p A s n xu t ra g m 1000 h p, m i h p 10 cây. Ki m tra ng u nhiên 50 h p, th y có 45 cây bút b h ng. a) Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% bút b h ng và s bút b h ng c a lô hàng. b) V i m u trên, n u mu n ư c lư ng t l% bút h ng v i ñ chính xác 1,5% thì ñ tin c y ñ t ñư c là bao nhiêu?

Gi i a) G i p là t l% bút h ng c a lô bút.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

T. l% bút h ng trên m u p =

45 = 0, 09 500

Kho ng tin c y 95% cho t. l% bút h ng c a m u:

( p − e; p + e ) v i

p (1 − p )

e = u1+0,95

= 1,96.

0, 09 (1 − 0, 09 ) 500

= 0, 025

Kho ng tin c y 95% cho t. l% bút h ng c n tìm là: ( 0, 065;0,115 ) và cho s bút h ng là ( 650;1150 ) (cây).

⇒

1+ γ = 2

− 1 = 0, 7588 =75,88%.

⇒γ=

hơ

n = 1,172 p (1 − p )

= 0, 015 ⇒ u1+γ = 0, 015

p (1 − p )

Q uy

u1+γ

b) Gi s# e = 0, 015 , ta có

5. 7.

Kè

Quan sát ' m t m u, ngư i ta có k t qu v chi u cao X(m) c a lo i cây công nghi%p ' m t nông trư ng như sau: 8 2

s cây

ạy

m /+

a) Hãy ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó b"ng kho ng tin c y 90%.

Gi i

b) Đ ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó ' ñ tin c y 95%, v i sai s không quá 2 dm thì c n ph i quan sát thêm bao nhiêu cây n a?

a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 6, 02 và ñ l%ch chu(n m u s =

Kho ng tin c y 90% cho chi u cao trung bình c a lo i cây ñó là:

( x − e; x + e ) ,

e = u1+ γ 2

Do ñó

(

s 1, 206 1, 206 = u0,95 . = 1, 65. 10 10 100

)

b) Gi s# n1 là s cây c n quan sát v i ñ tin c y 95% và sai s không quá 0,2 (m) ta có: u0,975

1, 45 ≤ 0, 2 n1 69

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân 2

⇔ n1 ≥ u0,975

1, 206 1, 206   ⇔ n1 ≥ 1, 96. = 139, 6 ⇒ n1 = 140 0, 2 0, 2  

V y ta c n quan sát thêm ít nh t 140 – 100 = 40 (cây) n a.

5. 8. Quan sát ' m t m u, ngư i ta có k t qu v chi u cao X(m) c a lo i cây công nghi%p ' m t nông trư ng như sau: xi

s cây

hơ

a) Hãy ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó b"ng kho ng tin c y 90%.

Q uy

b) Nh ng cây cao t 7 m tr' lên g i là cây lo i A. Hãy tìm kho ng tin c y 95,44% cho t l% cây lo i A c a nông trư ng.

Gi i

Kè

a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 6, 02 và phương sai m u s 2 =

ạy

Kho ng tin c y 90% cho chi u cao trung bình c a lo i cây ñó là:

( x − e; x + e ) , 2

s 1, 2059 1, 2059 = u0,95 . = 1, 65. 10 10 100

m /+

e = u1+ γ

Do ñó K = (

)

b) T. l% cây lo i A trên m u là: 35 = 0,35 100

Kho ng tin c y 95,44% cho t. l% cây lo i A c a nông trư ng là:

( p − e; p + e )

v i e = u1+0,9544 2

p (1 − p ) n

= u0,9772

0,35.0, 65 0,35.0, 65 = 2. = 0, 0954 100 10

Kho ng tin c y c n tìm là: ( 0, 2546;0, 4454 ) .

5. 9. Đ sâu c a bi n ñư c xác ñ nh b"ng m t máy ño có sai s h% th ng b"ng 0, còn sai s ng u nhiên c a nó tuân theo lu t phân ph i chu(n v i ñ l%ch chu(n 20m. a) C n ph i ti n hành bao nhiêu l n ño ñ xác ñ nh ñư c ñ sâu c a bi n v i sai s cho phép không quá 15m ' ñ tin c y 90% ? 70

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b) Tìm kho ng tin c y 95% cho sai s ng u nhiên trung bình. Bi t r"ng khi ti n hành ño ' m t ñ a ñi m xác ñ nh 25 l n ngư i ta tính ñư c sai s ng u nhiên trung bình m u là 100m.

Gi i là s l n ño c n thi t.

a) G i

Ta có e = u1+γ 2

20 2 σ σ2 ≤ 15 ⇔ n ≥ 2 u12+γ = .1, 652 = 4,84 15 2 225 n

V y c n ño ít nh t 5 l n.

)v i

1+0 ,95 2

0,975

20 20 = 1,96. = 7,8 5 25

hơ

− ; +

(

b) Kho ng tin c y 95% cho sai s trung bình ng u nhiên là:

Q uy

V y kho ng tin c y c n tìm là:

( 92, 2;107,8) .

5. 10.

Kè

Ngư i ta mu n ư c lư ng t l% viên thu c b s t m trong m t lô thu c r t nhi u viên.

ạy

a) N u mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin c y 95% thì ph i quan sát ít nh t m y viên?

m /+

b) Quan sát ng u nhiên 200 viên, th y có 20 viên b s t m . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho t l% t$ng th . N u mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin c y 95% thì ph i quan sát ít nh t m y viên?

Gi i

a) Theo ñ bài ta có:

 u1+ γ   u1+ 0,95 2  = 2 e ≤ ε = 0, 01 ; ⇔ n ≥   2.0, 01   0, 02   

  =  

V y, ph i quan sát ít nh t 9604 viên.

b) G i p là t l% viên thu c b s t m . Kho ng tin c y 95% cho p :

( p − e; p + e ) e = u1+γ 2

p (1 − p ) 0,1( 0,9 ) 0, 09 = u1+ 0,95 = 1,96. = n 200 200 2

V y kho ng tin c y 95% cho t l% viên thu c b s t m là:

(

N u sai s không quá 1% ' ñ tin c y 95% ta c n quan sát bao nhiêu: 71

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân 2

 u1+ γ n≥ 2  ε 

  u1+ 0,95   . p (1 − p ) =  2  .0,1.0,9 =   0, 01    

V y, ph i quan sát ít nh t 3458.

5. 11.

S con bò

hơ

SLSHN (kg)

Đ nghiên c u s n lư ng s a hàng ngày (SLSHN) c a m t ñàn bò, ngư i ta ñi u tra ng u nhiên trên 100 con bò c a nông trư ng và có k t qu sau:

a) Ư c lư ng s n lư ng s a trung bình m i ngày c a m t con bò b"ng kho ng tin c y 97%.

Q uy

b) V i ñ tin c y 97%, có th nói s n lư ng s a trung bình hàng ngày c a m t con bò nhi u nh t b"ng bao nhiêu?

Gi i

Kè

a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 11, 78 , s = 1, 79

Kho ng tin c y 97% cho SLSHN trung bình: ( x − e; x + e )

s 1, 79 1, 79 = u0,985 . = 2,1707. = 0, 39 10 n 100

ạy

V i e = u1+ 0,97 .

m /+

V y, kho ng tin c y c n tìm là: (11,39; 12,17) (kg) b) Ta tìm kho ng tin c y m t bên: ( −∞; x + e ) :

s 1, 79 1, 79 = u0,97 = 1,88. = 0,337 10 n 100

v i e = uγ

T ñó suy ra s n lư ng s a trung bình hàng ngày nhi u nh t:

11, 78 + 0,337 = 12,117 (kg)

5. 12.

Đ nghiên c u s n lư ng s a hàng ngày (SLSHN) c a m t ñàn bò, ngư i ta ñi u tra ng u nhiên trên 100 con bò c a nông trư ng và có k t qu sau: SLSHN (kg)

S con bò

a) Tìm kho ng tin c y 90% cho t l% bò cho SLSHN trên 11kg. Mu n sai s khi ư c lư ng s n lư ng s a trung bình m i ngày không vư t quá 0,5kg và sai s khi ư c lư ng t l% bò cho SLSHN trên 11kg không vư t quá 12%, v i cùng ñ tin c y 98%, thì c n ñi u tra bao nhiêu con bò?

Gi i 72

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 11, 78 , s = 1, 79 G i p là t l% bò cho SLSHN trên 11 kg. T l% này trên m u kh o sát là: p =

66 = 0, 66 100

Kho ng tin c y 90% cho p: ( p − e; p + e ) V i n

= u0,95 .

0, 66 (1 − 0, 66 ) 100

= 1, 6449.

V y, t l% bò cho SLSHN trên 11 kg t

0, 66 (1 − 0, 66 ) 100

= 0, 0779

58,21% ñ n 73,79%.

p (1 − p )

hơ

e = u1+ 0,9

b) G i n1 là s bò c n ñi u tra. Ta ph i có:

Q uy

2  s2  2 2 1, 79 n ≥ u . n ≥ 3263 . = 69, 4 2, 1+ 0,98  1 2  1 0,5 0,52   2 ⇔  p 1 − p ( ) n ≥ u 2 . n ≥ 2, 32632. 0, 66.0, 34 = 84, 33 1+ 0,98 2  1  1 0,122 0,12  2

Kè

Ch n n1 = 85 . V y c n ñi u tra 85 con bò.

ạy

5. 13.

m /+

Đ dài c a m t lo i chi ti t máy ñư c ño 25 l n b"ng m t máy ño có sai s h% th ng b"ng 0. Bi t r"ng sai s ng u nhiên c a vi%c ño có phân ph i chu(n v i phương sai 100cm2 và ñ dài trung bình trong 25 l n ño là 100cm. a) Hãy tìm kho ng tin c y 99% cho ñ dài c a lo i chi ti t máy trên.

Gi i

b) Ph i ti n hành bao nhiêu l n ño ñ b r ng kho ng tin c y 99% cho ñ dài c a lo i chi ti t máy trên không quá 8 cm.

a) Kho ng tin c y 99% cho ñ dài chi ti t máy nói trên: ( x − e; x + e ) . V i e = u1+γ . 2

σ n

= u0,995 .

10 10 = 2,5758. = 5,15 5 25

Đáp s : (94,85; 105,15).

b) G i n1 là s l n ño. Ta c n có: 2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 ⇔ u1+γ . 2

σ n1

≤4 2

2   σ2 2 σ 100 ⇔ n1 ≥  u1+γ  . 2 = ( u0,995 ) . = 2,57582. = 41, 47 16 16  2  4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Suy ra, n1 = 42 .

Di p Hoàng Ân

V y, c n ti n hành ño ít nh t 42 l n.

5. 14. Gi s# ñư ng kính c a m t lo i s n ph(m là bi n ng u nhiên có phân ph i N(µ, σ2). Đo 10 s n ph(m, ngư i ta có b ng s li%u: 4,1;

3,9;

4,7;

5,0;

4,4;

4,2;

3,8;

4,4;

4,0

Tìm kho ng tin c y 95% cho µ và kho ng tin c y 99% cho µ và σ2.

Gi i x=

hơ

T s li%u ñã cho ta tính ñư c: s=

s 9 = t0,975 10

( 4, 0257;

4,5543)

1 e = t1n+−0,95

Q uy

♣ Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình:

4, 6698)

ạy

( 3,9102;

Kè

♣ Kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình:

♣ Kho ng tin c y 99% cho phương sai là:

m /+

2 χ12+ γ ( n − 1) = χ12+ 0,99 ( 9 ) = χ 0,995 ( 9 ) = 23,589 2

2 χ12−γ ( n − 1) = χ12− 0,99 ( 9 ) = χ0,005 ( 9 ) = 1, 735

( n − 1) s

= 9.

 2 2   ( n − 1) s ; ( n − 1) s  = 0, 0521;0, 7084 )  χ 2 ( n − 1) χ 2 ( n − 1)  ( 1−γ  1+γ   2 2 

5. 15.

Nghiên c u v ñ b n X (kg/mm2) c a m t lo i thép, ngư i ti n hành m t s quan sát m t s t m thép trên m u và có k t qu cho trong b ng sau:

Đ b n (kg/mm2)

S t m thép

(95, 115]

(115,135]

(135,155]

(155,175]

31 74

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

(175,195]

(195,215]

> 215

a) Tìm kho ng tin c y 97% cho ñ b n trung bình c a lo i thép trên. b) S+ ñ t ñ tin c y bao nhiêu n u mu n ư c lư ng ñ b n trung bình c a lo i thép trên b"ng kho ng tin c y có ñ dài b"ng 6?

Gi i

144

= 6, 0412

( x − e; x + e ) = (156,6;168, 7 )

m /+

5. 16.

ạy

1+ γ = 0,86 ⇒ γ = 72% 2

⇒

s n 144 = 3 ⇒ u1+ γ = 3. = 3. = 1, 0814 s 33, 0476 n 2

Kè

b) G i γ là ñ tin c y c n tìm Ta có: e = u1+γ

hơ

s = u0,985 n

Q uy

e = u1+ γ

Kho ng tin c y 97% cho trung bình ñ b n: ( x − e; x + e )

a) T s li%u trên ta tính ñư c: x = 162, 6389; s = 33, 4076

Nghiên c u v ñ b n X (kg/mm2) c a m t lo i thép, ngư i ti n hành m t s quan sát m t s t m thép trên m u và có k t qu cho trong b ng sau:

Đ b n (kg/mm2)

S t m thép

(95, 115]

(115,135]

(135,155]

(155,175]

(175,195]

(195,215]

> 215

a) Tìm kho ng tin c y 97% cho ñ b n trung bình c a lo i thép trên. b) Thép có ñ b n trên 195kg/mm2 ñư c g i là thép lo i A. Tìm kho ng tin c y 98% cho t l% thép lo i A.

Gi i 75

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

a) T s li%u trên ta tính ñư c: x = 162, 6389; s = 33, 4076 Kho ng tin c y 97% cho trung bình ñ b n: e = u1+ γ 2

s = u0,985 n

144

= 6, 0412

( x − e; x + e ) = (156,6;168, 7 ) b) G i p là t. l% thép lo i A. T l% m u: p =

27 = 0,1875 . 144

Kho ng tin c y 98% cho p : ( p − e; p + e )

144

0,1875 (1 − 0,1875 )

= 2,3263.

= 0, 0106

Q uy

hơ

p (1 − p ) 0,1875 (1 − 0,1875 ) = u0,99 . n 144

e = u1+ 0,98 .

V y, kho ng tin c y c n tìm: ( 0,1769; 0,1981) .

5. 17.

19,5

20,5

m /+

s s n ph(m

x (gam)

ạy

Kè

M c tiêu hao nguyên li%u cho m t ñơn v s n ph(m là m t bi n ng u nhiên X tuân theo qui lu t chu(n. Quan sát 28 s n ph(m ñư c ch n ng u nhiên, ngư i ta thu ñư c k t qu cho trong b ng sau:

Hãy xây d ng kho ng tin c y 90% cho phương sai t$ng th trong hai trư ng

h p:

a) bi t E(X) = 20g;

Gi i

b) chưa bi t E(X).

n 2 2  n x − µ ( ) ( xk − µ )  ∑ ∑ k  k =1 a) Kho ng tin c y γ cho phương sai t$ng th :  ; k =1 2  2 χ 1−γ ( n )   χ 1+γ ( n )  2 2  

2 χ12+ γ ( n ) = χ12+ 0,9 ( 28 ) = χ 0,95 ( 28 ) = 41, 337 2

2 χ12−γ ( n ) = χ12− 0,9 ( 28 ) = χ 0,05 ( 28) = 16,928 2

∑ ( xk − µ )

= 7, 25

k =1

Kho ng tin c y c n tìm: 76

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê  7, 25 7, 25   41,337 ; 16, 928  = ( 0,175; 0, 428 )  

Di p Hoàng Ân

  2 n − 1) s 2  (  ( n − 1) s b) Kho ng tin c y γ cho phương sai t$ng th :  2 ; 2 χ n − 1 χ 1−γ ( n − 1)  ( )  1+γ  2 2  2 χ12+ γ ( n − 1) = χ12+ 0,9 ( 27 ) = χ 0,95 ( 27 ) = 40,113 2

2 χ12−γ ( n − 1) = χ12− 0,9 ( 27 ) = χ 0,05 ( 27 ) = 16,151 2

 5, 74

hơ

( n − 1) s 2 = 5, 74 5, 74 

Q uy

Kho ng tin c y c n tìm:  ;  = ( 0,143;0,355 ) .  40,113 16,151 

5. 18.

X (ñơn v tính b"ng %) là ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m (s.ph), ngư i ta có s li%u:

[7,9)

8 14

m /+

[9,11)

[11,13)

[13,15)

[15,17)

[17,19)

[19,21)

ạy

[5,7)

Kè

S s n ph(m

a) Đ ư c lư ng trung bình ch tiêu X v i ñ tin c y 95% và ñ chính xác 0,3% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu s n ph(m n a? b) Ngư i ta xem các s n ph(m có ch tiêu X dư i m t m c qui ñ nh là lo i 2. T s li%u trên, b"ng phương pháp ư c lư ng kho ng t l% (lo i 2), ngư i ta tính ñư c kho ng tin c y là (4%, 16%). Tìm ñ tin c y c a ư c lư ng này.

Gi i a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c: x = 13,52 ; s = 3,35 .

Đ ư c lư ng trung bình ch tiêu X v i ñ tin c y 95% và sai s 0,3 ta c n:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

2  u1+ γ   u0,975  2 2 2   n1 ≥ .s =   .s =  0,3   0,3   

× 11, 2420 =

V y c n ñi u tra thêm 283 s n ph(m n a. b) G i p là t l% s n ph(m lo i 2 ' m u t kho ng tin c y γ c a t. l% s n ph(m lo i 2 ta có:  p − e = 0, 04  p = 0,1 ⇔   p + e = 0,16 e = 0, 06

hơ

n p (1 − p ) 0, 06 0, 06 = 100 = 10 = 2 n 0,3 0,1× 0,9

⇒ u1+γ = e / 2

1+ γ = 2

Q uy

p (1 − p )

⇔γ

Kè

e = u1+γ

M t khác,

5. 19.

ạy

Vi%n th ng kê mu n ư c lư ng t l% p ngư i dân không ñ ng ý v m t ñi u lu t m i ñư c ñ ngh .

m /+

a) N u mu n sai s cho phép không quá 2% ' ñ tin c y 90% thì ph i h i ý ki n ít nh t m y ngư i?

b) Trên m t m u ng u nhiên 344 ngư i ñư c h i ý ki n, có 83 ngư i không ñ ng ý. Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho p . D a vào s li%u c a m u này, hãy gi i l i câu a).

Gi i

a) G i n là s ngư i c n h i ý ki n. Ta ph i có: 2

 1   1  n ≥  u1+ 0,9 .  =  u1+ 0,9 .  = 1691,1 2 ε 2.0, 02  2   2 

V y, ph i h i ý ki n ít nh t 1692 ngư i. b) T l% m u: p = e = u1+ 0,9 . 2

p (1 − p ) n

83 = 0, 241 . Kho ng tin c y 90% cho p : ( p − e; p + e ) 344 = 1, 6449.

0, 241(1 − 0, 241) 344

= 0, 0379

V y, kho ng tin c y c n tìm là: ( 0, 2031;0, 2789 ) t c là t 27,89%.

20,31% ñ n

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i l i câu a), trên cơ s' có m u thăm dò, kích thư c m u c n tìm: n1 ≥ u12+ 0,9 .

p (1 − p )

= 1, 6449 2.

0, 241(1 − 0, 241) 0, 022

= 752, 2

V y, c n h i ý ki n ít nh t 753 ngư i.

5. 20. Đ nghiên c u ñư ng kính X (mm) c a m t lo i s n ph(m do m t xí nghi%p s n xu t, ngư i ta ño ng u nhiên 100 s n ph(m c a xí nghi%p và có k t qu cho trong b ng sau: 9,85

9,90

9,95

10,00

10,05

10,10

10,15

T ns

hơ

Q uy

Theo qui ñ nh, nh ng s n ph(m có ñư ng kính t 9,9 mm ñ n 10,1 mm là nh ng s n ph(m ñ t tiêu chu(n k4 thu t. Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% và ñư ng kính trung bình c a nh ng s n ph(m ñ t tiêu chu(n k4 thu t.

9,90

9,95

T ns

10,00

10,05

10,10

ạy

Kè

B ng s li%u cho các s n ph(m ñ t tckt:

Gi i

m /+

♣ G i p là t l% s n ph(m ñ t tckt, t l% này trên m u là: p =

86 = 0,86 100

Kho ng tin c y 95% cho p : ( p − e; p + e ) n

= 1,96.

p (1 − p )

e = u1+ 0,95 .

0,86 (1 − 0,86 ) 100

= 0, 068

79,2% ñ n

V y, kho ng tin c y cho p là: ( 0, 792; 92,8 ) nghĩa là t 92,8%.

♣ G i X 1 là BNN ch ñư ng kính c a nh ng s n ph(m ñ t tckt. T s li%u ta có: x1 = 9, 994; s1 = 0, 06 .

Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình nh ng s n ph(m ñ t tckt:

( x1 − e; x1 + e ) e = u1+ 0,95 . 2

s1 0, 06 = 1, 96. = 0, 012 n1 86

Kho ng tin c y c n tìm: ( 9,982;10,006 ) (mm). 79

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

5. 21. X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Ki m tra ng u nhiên ' m t s s n ph(m, ngư i ta có k t qu sau: 1

(90, 95]

(95, 100]

(100, 105]

hơ

(105, 110]

a) Đ ư c lư ng trung bình c a ch tiêu Y v i sai s cho phép 0,5 cm và ñ tin c y 90% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu s n ph(m n a?

Q uy

b) Cho bi t kho ng tin c y 96% c a ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n m u c a ch tiêu X.

Gi i

ạy

Kè

a) B ng phân b t n s ch tiêu Y:

(90, 95]

(95, 100]

m /+

(100, 105]

(105, 110]

T ñó: y = 98, 4504; s y = 3,89

G i n1 là s s n ph(m c n ñi u tra:

  s2 3,892 n1 ≥  u1+ 0,9  . Y2 = 1, 6449 2. = 163,8 0, 52  2  ε

⇒ n1 = 164

V y, c n ñi u tra thêm 43 s n ph(m n a. b) Theo ñ bài ta có:

 x − e = 1,59  x = 2,1 ⇔   x + e = 2, 61 e = 0, 51

M t khác, e = u1+ 0,96 . 2

s e n 0,51. 121 ⇒s= = = 2, 732 u1+ 0,96 2, 0537 n 2

5. 22. 80

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Ki m tra ng u nhiên ' m t s s n ph(m, ngư i ta có k t qu sau: 1

(90, 95]

(95, 100]

(100, 105]

(105, 110]

hơ

a) Cho bi t kho ng tin c y 96% c a ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n c a ch tiêu X.

b) Hãy tìm các giá tr x3 và x4 .

Q uy

Gi i a) B ng d li%u ch tiêu X:

Theo ñ bài ta có:

ạy

s e n 0,51. 121 ⇒s= = = 2, 732 u1+ 0,96 2, 0537 n

M t khác, e = u1+ 0,96 .

Kè

 x − e = 1,59  x = 2,1 ⇔   x + e = 2, 61 e = 0, 51

m /+

b) B ng d li%u ch tiêu X:

Ta có nx = 36.1 + 46.2 + 29.x3 + 10.x4 ⇒ 29 x3 + 10 x4 = 126,1 (1)

1 4  ∑ ni xi2 − nx 2  n − 1  i =1 

s2 =

⇒ ( n − 1) s 2 = n1 x12 + n2 x22 + n3 x32 + n4 x42 − nx 2 ⇔ n3 x32 + n4 x42 = ( n − 1) s 2 − n1 x12 − n2 x22 + nx 2 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 120.2, 732 2 − 36 − 46.4 + 121.2,12 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 120.2, 732 2 − 36 − 46.4 + 121.2,12 = 1209, 27 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 1209, 27

(2)

T (1) suy ra: 10 x4 = 126,1 − 29 x3 Thay vào (2) ta ñư c: 81

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê 1 2 ⇔ 29 x32 + (126,1 − 29 x3 ) = 1209, 27 10

Di p Hoàng Ân

⇔ 290 x32 + (126,1 − 29 x3 ) = 12092, 7 ⇔ 1131x32 − 7313,8 x3 + 3808, 51 = 0  x3 = 5,9 ⇔  x3 = 0,57 126,1 − 29.5,9 = −4, 5 (lo i) 10 126,1 − 29.0, 57 = 10, 957 (nh n). 10

V i x3 = 0,57 suy ra x4 =

hơ

V i x3 = 5,9 suy ra x4 =

V y, x3 = 0,57 và x4 = 10,957 .

Q uy

5. 23.

M t gi ng lúa m i ñư c gieo trong 10 mi ng ñ t thí nghi%m có các ñi u ki%n gi ng nhau, cho các s n lư ng tính theo cùng m t ñơn v như sau:

25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.

ạy

Kè

Bi t r"ng s n lư ng lúa là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n N(µ, σ2). Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho µ và σ2.

m /+

T s li%u ta tính ñư c:

Gi i

Giá tr trung bình m u: x = 25, 4

Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 2, 24

Kho ng tin c y 90% cho s n lư ng trung bình µ : ( x − e; x + e ) s = n

V i e = t1(+9)0,9 .

= 1,3

V y, Kho ng tin c y 90% cho µ: (24,1; 26,7)

Kho ng tin c y 90% cho σ 2 :   2 2  ( n − 1) s ( n − 1) s  ;  χ2 χ 12− 0,9  1 + 0,9    2 2  9.2, 242 9.2, 242   45,1584 45,1584  = ; ;  =   = ( 2, 67; 13, 58 ) 2 2  χ 0,05   χ 0,95  

5. 24. 82

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Đ ñánh giá tr lư ng cá trong m t h l n, ngư i ta ñánh b t 2000 con cá t h ñó, ñánh d u r i th l i xu ng h . Vài ngày sau, h ñánh b t l i 400 con thì th y có 80 con có ñánh d u. a) Hãy ư c lư ng tr lư ng cá trong h b"ng kho ng tin c y 95%. b) N u mu n sai s c a ư c lư ng gi m ñi m t n#a thì l n sau ph i ñánh b t bao nhiêu con cá?

Gi i a) G i p là t l% cá dư c ñánh d u trong h .

2000 v i N là tr lư ng cá trong h . N

hơ

Khi ñó, p =

p (1 − p ) 0, 2. (1 − 0, 2 ) 80 = u0,975 . = 0, 0392 và e = u1+ 0,95 . 400 n 400 2

Q uy

V i p=

Kho ng tin c y 95% cho t l% cá ñư c ñánh d u trong h : ( p − e; p + e ) .

V y kho ng tin c y cho p : ( 0,1608;0, 2392 ) t c là t 16,08% ñ n 23,92%.

Kè

Do ñó, lư ng cá trong h ư c lư ng kho ng t 8361 ñ n 12438 con. b) G i n1 là s cá c n ñánh b t. Ta có:

(e / 2)

= 1,962.

0, 2 (1 − 0, 2 )

ạy

p (1 − p )

( 0, 0392 / 2 )

= 1600

m /+

V y, l n sau c n b t 1600 con.

n1 ≥ u12+ 0,95 .

5. 25.

M t máy s n xu t t ñ ng có t l% s n xu t ra s n ph(m lo i A lúc ñ u là 48%. Máy ñư c c i ti n và sau m t th i gian áp d,ng, ngư i ta ki m tra 40 h p, m i h p g m 10 s n ph(m và ghi l i s s n ph(m lo i A trong m i h p (SSPLA/h) như sau : 1

S h p

SSPLA/h

Hãy ư c lư ng t l% s n ph(m lo i A sau khi máy ñư c c i ti n b"ng kho ng tin c y 95%

Gi i T$ng s s n ph(m lo i A trong 40 h p là 215. T l% s n ph(m lo i A trên m u kh o sát: p=

215 43 = 400 80 83

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Kho ng tin c y 95% cho t l% s n ph(m lo i A: ( p − e; p + e ) V i e = u1+0,95 . 2

p (1 − p ) p (1 − p ) = u0,975 . n n

43  43  1 −  80  80  = 1,96 = 0,0489 400

V y, t l% s n ph(m lo i A t 48,86% ñ n 58,64%

5. 26.

(20, 22]

Kè

ạy

(22, 24] (24, 26]

10 8 7

m /+

(26, 28]

Q uy

hơ

Đ nghiên c u s phát tri n c a m t lo i cây tr ng, ngư i ta quan tâm ñ n ñư ng kính X (cm) và chi u cao Y (m) c a lo i cây ñó. Đo chi u cao và ñư ng kính c a 100 cây cùng ñ tu$i ñư c ch n ng u nhiên, k t qu thu ñư c cho trong b ng sau:

a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình c a lo i cây này.

b) Đ ư c lư ng ñư ng kính trung bình c a lo i cây này v i ñ chính xác ñ t ñư c ' câu (a) và ñ tin c y 99% thì c n ño thêm bao nhiêu cây n a?

Gi i

a) B ng phân b t n s cho ñư ng kính trung bình c a cây: xi

(20, 22]

(22, 24]

(24, 26]

(26, 28]

T ñó giá tr trung bình m u: x = 23,94 và ñ l%ch chu(n m u: s X = 1,52 . Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình c a cây: ( x − e; x + e ) e = u1+ 0,95 . 2

sX 1,52 = 1,96. = 0, 298 n 100

Kho ng tin c y c n tìm: ( 23, 64; 24, 24 ) . b) Gi s# n1 là s cây c n ño, ta ph i có: 84

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

  s2 1,52 2 n1 ≥  u1+ 0,99  . X2 = 2,57582. = 172, 6 0, 2982  2  e

Suy ra, n1 = 173 V y, s cây c n ño thêm là nt = 73 cây.

5. 27.

(20, 22]

(22, 24]

(24, 26]

Q uy

hơ

Kè

(26, 28]

m /+

ạy

Nh ng cây cao t 6m tr' lên là cây lo i A. Hãy ư c lư ng t l% và ñư ng kính trung bình c a cây lo i A b"ng kho ng tin c y 99% (gi thi t ñư ng kính cây lo i A là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n).

Gi i

S cây lo i A trên m u: 29. Giá tr t l% cây lo i m u p = 0, 29 .

= 2,5758.

0, 29 (1 − 0, 29 ) 100

= 0,117

p (1 − p )

e = u1+ 0,99

Kho ng tin c y 99% cho t l% cây lo i A: ( p − e; p + e )

Kho ng tin c y 99% cho t. l% cây lo i A là: ( 0,173;0, 407 ) t c là t 17,3% ñ n 40,7%. S li%u cho cây lo i A: xi

(22, 24]

(24, 26]

(26, 28]

G i X 1 là ñư ng kính cây lo i A, µ1 là ñư ng kính trung bình c a cây lo i A. Giá tr trung bình m u: x1 = 25, 07 , s1 = 1.73 . Kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình c a cây lo i A: ( x1 − e; x1 + e ) 85

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê s1 28 ) e = t1(+ 0,99 = n1 2

Di p Hoàng Ân = 0,89

V y, kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình c a cây lo i A: (24,18; 25,96) (cm).

5. 28.

hơ

Đ kh o sát m c tiêu hao nguyên li%u (tính b"ng gam) ñ s n xu t ra m t ñơn v s n ph(m c a m t nhà máy, ngư i ta quan sát m c tiêu hao nguyên li%u trên m t m u, và thu ñư c k t qu sau: (ñơn v gam)

Q uy

a) Tìm kho ng tin c y 98% cho s ti n trung bình ñư c dùng ñ mua nguyên li%u ñ s n xu t trong m i quí c a nhà máy. Bi t r"ng giá lo i nguyên li%u này là 800 ngàn ñ/kg và s n lư ng c a nhà máy trong m t quí là 40.000 s n ph(m.

Kè

b) N u mu n ư c lư ng s ti n trung bình ñ mua nguyên li%u trong m i quí c a nhà máy b"ng kho ng tin c y 99% và sai s không quá 8 tri%u ñ ng thì ph i l y m u v i kích thư c là bao nhiêu?

ạy

Gi i

a) T s li%u ban ñ u ta xây d ng ñư c b ng sau: x = 20,1 s = 1, 29

m /+

Kho ng tin c y 98% cho m c tiêu hao nguyên li%u trung bình c a m i s n ph(m:

s 1, 29 = u0,99 . = n 100

e = u1+ 0,98

( x − e; x + e )

= 0,3

Do ñó ( x − e; x + e ) = (19,8; 20, 4 )

T ñó suy ra kho ng tin c y 98% cho s ti n trung bình cho m i quý:

(19,8 × 4 × 8 ×10 ; 20, 4 × 4 × 8 ×10 ) = ( 633600;652800 ) 3

(ngàn ñ ng)

b) N u sai s ư c lư ng s ti n trung bình m i quý là 8 tri%u ñ ng thì sai s

ư c lư ng m c tiêu hao nguyên li%u là ε =

8.106 = 0, 25 (g) 40000.800

Khi ñó kích thư c m u quy ñ nh: 2

 s n1 ≥  u1+ 0,99 .  = 176, 65  2 ε

Ch n n1 = 177 . 86

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

5. 29. Đ nghiên c u lãi su t ngân hàng gi a hai nhóm nư c công nghi%p phát tri n và ñang phát tri n, ngư i ta ñi u tra lãi su t ngân hàng trong m t năm c a 7 nư c phát tri n và 11 nư c ñang phát tri n ñư c ch n ng u nhiên. V i các nư c phát tri n, lãi su t trung bình là 17,5% và ñ l%ch chu(n là 3,2%; còn ñ i v i các nư c ñang phát tri n, lãi su t trung bình là 15,3% và ñ l%ch chu(n là 2,9%. V i ñ tin c y 95%, hãy ư c lư ng s chênh l%ch v lãi su t trung bình gi a hai nhóm nư c trên. Bi t r"ng lãi su t ngân hàng c a c a hai nhóm nư c trên là các BNN tuân theo qui lu t chu(n có cùng phương sai.

Gi i

hơ

G i X, Y l n lư t là các bi n ng u nhiên ch lãi su t ngân hàng c a hai nhóm nư c phát tri n và ñang phát tri n. X, Y tuân theo lu t phân ph i chu(n v i cùng phương sai.

Q uy

Theo bài ta có x = 17,5%, s X = 3, 2%; n = 7; y = 15, 3%, sY = 2,9%; m = 11 x − y = 2, 2 + ( m − 1) sY2

n+m−2

1 1  e = t116+ 0,95 s 2  +  = n m 2

6.3, 22 + 10.2, 92 = 16

2 X

Kè

( n − 1) s =

1 1   + =  7 11 

ạy

Ta tính ñư c s

m /+

Kho ng tin c y 95% cho s chênh l%ch lãi su t ngân hàng trung bình gi a hai nhóm nư c trên là: ( -0,8912%;5, 2912% )

5. 30.

Đ nghiên c u lư ng ti n g#i ti t ki%m vào ngân hàng c a hai thành ph , ngư i ta ñi u tra ng u nhiên 23 ngân hàng ' thành ph A và tìm ñư c lư ng ti n g#i trung bình c a m i khách là 1,317 tri%u ñ ng. 7 thành ph B, nghiên c u 32 ngân hàng, tìm ñư c lư ng ti n g#i trung bình c a m i khách là 1,512 tri%u ñ ng. Hãy ư c lư ng s chênh l%ch trung bình gi a lư ng ti n g#i ti t ki%m trung bình c a dân hai thành ph A và B b"ng kho ng tin c y 95%. Bi t r"ng ti n ti t ki%m c a ngư i dân hai thành ph A và B là các BNN tuân theo lu n phân ph i chu(n, v i ñ l%ch chu(n theo th t , là 0,517 tri%u và 0,485 tri%u. Gi i G i X, Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch ti n g#i c a ngư i dân thành ph A, B. Ta có x = 1, 317 , n = 23 , σ X = 0, 517 ; y = 1,512; m = 32; σY = 0, 485 . Kho ng tin c y 95% cho hi%u trung bình ti n g#i ti t ki%m c a dân hai thành ph A, B là:

( x − y − e; x − y + e ) t m u và ñ tin c y ta tính ñư c

x − y = 1,317 − 1,512 = 0,195

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê e = u1+ γ . 2

2 X

Di p Hoàng Ân

2 Y

σ σ 0, 517 0, 485 + = u0,975 + n m 23 32

Do ñó ( x − y − e; x − y + e ) = (

)

5. 31. M t k4 sư lâm nghi%p nghiên c u chi u cao c a m t lo i cây v i gi thi t là nó có phân ph i chu(n. Trên m t m u có kích thư c n = 10, anh ta tính ñư c chi u cao trung bình c a m i cây là 13,78 và kho ng tin c y 90% c a trung bình t$ng th là (13,063; 14,497). Không may, b s li%u c a m u b th t l c, anh ta ch còn nh các s sau: 13;

13,5;

12,8;

15,2;

12;

15,2.

15;

hơ

12,2;

B n có th giúp anh ta tìm l i ñư c các s li%u b th t l c không?

Gi i

Suy ra x + y = 137,8 − 108,9 = 28,9

108, 9 + x + y = 13, 78 10

Kè

Q uy

Gi s# hai s li%u th t l c là x và y ta có:

e 0, 717 = = 1, 2368 0,5797 0,5797

suy

m /+

s s 1,8331 (9 ) = t0,95 = s = 0,5797 s 10 10 10

e = t1(+)0,9

Mà

ạy

M t khác t kho ng tin c y và trung bình m u ta tính ñư c e = 0, 717

Suy ra s 2 = 1,5298

1 1 1495, 01 + x 2 + y 2 − 10.13, 782 = x 2 + y 2 − 403,874 9 9

(

)

(

)

M t khác s 2 =

Như v y ta có h% phương trình:

 x + y = 28, 9  2 2  x + y = 417, 6422

Gi i h% phương trình ta ñư c x = 14,59; y = 14,31 .

5. 32. Công ty ABC mu n nghiên c u nhu c u tiêu dùng v lo i hàng c a công ty ' m t khu v c có 4000 h gia ñình, h ti n hành ñi u tra v nhu c u c a m t hàng ñó ' 400 h gia ñình, ñư c ch n ng u nhiên ' khu v c ñó. K t qu ñi u tra như sau: Nhu c u (kg/tháng)

S gia ñình

10 88

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

[1, 2)

[2,3)

[3,4)

132

[4,5)

[5,6)

[6,8)

hơ

a) Hãy ư c lư ng nhu c u trung bình v m t hàng này c a toàn khu v c trong m t năm b"ng kho ng tin c y 95%.

Q uy

b) V i m u trên, khi ư c lư ng nhu c u trung bình v m t hàng này c a toàn khu v c trong m t năm, n u mu n sai s ư c lư ng là 5,7 t n, thì ñ t ñư c ñ tin c y b"ng bao nhiêu?

Gi i

a) T s li%u ta tính ñư c: n = 400 ; x = 3, 6688 (kg/tháng); s = 1,5870

e = u0,975

s n

N −n 1,5870 3600 = 1, 96. = 0,1476 N −1 20 3999

ạy

( x − e; x + e ) v i

Kè

Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a m i h là:

V y ( x − e; x + e ) = ( 3,5212; 3,8164 ) .

m /+

Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a toàn khu v c:

( 3,5212 × 4000 ×12; 3,8164 × 4000 ×12 ) = (169017;183187 )

b) Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a m i h : ( x − e; x + e )

Do ñó kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a toàn khu v c là:

( x − e; x + e ) × 4000 ×12 . Như v y sai s ư c lư ng nhu c u trung bình

cho

toàn

khu

v c

là

4000 × 12 × e .

Theo

bài

5, 7 4000 × 12e = 5700 ⇒ e = = 0,1188 4 × 12

T ñó ta có: u1+γ . 2

⇒

1+ γ = 2

s n

N −n n N −1 = 0,1188 ⇒ u1+γ = . .0,1188 = 1,578 N −1 s N − n 2

⇔γ

V y, ñ tin c y c n tìm là 88,54%.

5. 33.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

M t lô trái cây c a m t c#a hàng ñ ng trong các s t, m i s t 100 trái. Ngư i ta ti n hành ki m tra ng u nhiên 50 s t, thì th y có 450 trái không ñ t tiêu chu(n. a) Tìm kho ng tin c y 96% cho t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. b) N u mu n ư c lư ng t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng, v i sai s b"ng 0,5% thì ñ tin c y ñ t ñư c là bao nhiêu?

Gi i a) G i p là t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng.

450 = 0, 09 5000

hơ

Giá tr t l% m u: p =

0, 09 (1 − 0, 09 )

= 2, 0537.

5000

= 0, 008

Kè

5000

0, 09 (1 − 0, 09 )

Q uy

= u0,98

p (1 − p )

e = u1+ 0,96 .

Kho ng tin c y 96% cho p : ( p − e; p + e )

ạy

Kho ng tin c y cho p : ( 0, 082;0, 098) t c là t 8,2% ñ n 9,8%.

1+ γ = 0,8917 ⇔ γ = 0, 7833 2

⇒

p (1 − p ) n = 0, 005 ⇔ u1+γ = 0, 005. = 1, 2354 n p (1 − p ) 2

m /+

e = u1+γ .

b) Gi s# γ là ñ tin c y c m tìm. Theo ñ bài:

5. 34.

Do ñó ñ tin c y là: 78,33% .

M t lô trái cây c a m t c#a hàng ñ ng trong các s t, m i s t 100 trái. Ngư i ta ti n hành ki m tra ng u nhiên 50 s t, thì th y có 450 trái không ñ t tiêu chu(n. a) Tìm kho ng tin c y 96% cho t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. b) N u mu n ư c lư ng t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng, v i ñ tin c y 99% và sai s không l n hơn 1%, thì c n ki m tra bao nhiêu s t?

Gi i a) G i p là t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. Giá tr t l% m u: p =

450 = 0, 09 5000

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Kho ng tin c y 96% cho p : ( p − e; p + e ) e = u1+ 0,96 .

p (1 − p ) n

= 2, 0537.

= u0,98

0, 09 (1 − 0, 09 ) 5000

= 0, 008

Kho ng tin c y cho p : ( 0, 082;0, 098) t c là t 8,2% ñ n 9,8%. b) G i n1 là s trái cây c n ki m tra. Khi ñó: ε

= 2,57582.

0, 09 (1 − 0, 09 ) 0, 012

= 5433,9

p (1 − p )

hơ

n1 ≥ u12+ 0,99 .

Do ñó, n1 = 5434 trái, do ñó s s t c n ki m tra là: S = [5434 /100] + 1 = 55 (s t)

Q uy

5. 35.

[1; 1,5)

S h gia ñình

147

[1,5; 2)

[2; 2,5)

[2,5; 3)

[3; 3,5)

≥ 3,5

192

ạy

Nhu c u (kg/tháng)

Kè

M t công ty s n xu t b t gi t mu n thăm dò m c ñ tiêu th, s n ph(m này trong thành ph H. Công ty ti n hành ñi u tra 500 h gia ñình và có k t qu sau:

m /+

Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñình.

a) Hãy ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình l n nh t c a toàn thành ph H trong m t năm v i ñ tin c y 96%

Gi i

b) Đ ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình c a m t h trong m t tháng v i sai s ư c lư ng không quá 50 gam và ñ tin c y 95% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu h gia ñình n a?

a) T d li%u ñã cho ta tính ñư c:

Giá tr trung bình m u: x = 1,803

Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 0, 6233 Sai e = u0,96

ư c s s = = n n

lư ng

cho

kho ng

tin

c y

96%

Do ñó nhu c u b t gi c trung bình c a m t h l n nh t là: x + e = 1,803 + 0, 0488 = 1,8518 (kg)

V y nhu c u l n nh t c a thành ph trong m t năm là: 91

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

là:

Bài t p Xác su t th ng kê × ×

Di p Hoàng Ân

( ). 2

u   1,96.0, 6233  s ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  0,975 .s  =   = 596, 9134 0, 05 n   0, 05  

b) Ta có u0,975

Suy ra, n1 = 597 V y c n ñi u tra thêm ít nh t 97 h n a.

5. 36.

Nhu c u (kg/tháng)

[1; 1,5)

[1,5; 2)

[2; 2,5)

S h gia ñình

147

192

Q uy

hơ

M t công ty s n xu t b t gi t mu n thăm dò m c ñ tiêu th, s n ph(m này trong thành ph H. Công ty ti n hành ñi u tra 500 h gia ñình và có k t qu sau:

Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñình.

[2,5; 3) 34

[3; 3,5)

≥ 3,5

Kè

a) Nh ng h có nhu c u trên 2 kg trong m t tháng ñư c g i là nh ng h có nhu c u sao. Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% nh ng h có nhu c u cao ' thành ph H.

m /+

ạy

b) Đ ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình c a m t h trong m t tháng v i sai s ư c lư ng không quá 50 gam và ñ tin c y 95% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu h gia ñình n a?

Gi i

a) T d li%u ñã cho ta tính ñư c: Giá tr trung bình m u: x = 1,803

Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 0, 6233

Giá tr t l% m u: p =

140 = 0, 28 500

Kho ng tin c y 95% cho t. l% nh ng h có nhu c u cao: ( x − e; x + e )

sai s e = u1+ γ . 2

p (1 − p ) = u0,975 .0, 0201 = n

Kho ng tin c y 95%: ( 0, 2406;0,3194 ) 2

b) Ta có u0,975

u   1,96.0, 6233  s ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  0,975 .s  =   = 596, 9134 0, 05 n   0, 05  

Suy ra n1 = 597 V y c n ñi u tra thêm ít nh t 97 h n a. 92

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

5. 37. Đ ñánh giá m c tiêu hao nhiên li%u c a m t lo i xe ô tô, ngư i ta theo dõi lư ng tiêu hao nhiên li%u (lít/100 km) c a 100 chuy n xe và có k t qu sau: Lư ng tiêu hao

[35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55)

S chuy n xe

[55; 60) 8

a) Tìm kho ng tin c y 95% cho lư ng tiêu hao nhiên li%u trung bình c a lo i xe nói trên

hơ

b) Xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t là xe có m c tiêu hao nhiên li%u t 55 lít/100 km tr' lên. Hãy ư c lư ng t l% xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t t i thi u ' ñ tin c y 95%.

Q uy

Gi i

a) G i X là bi n ng u nhiên ch m c tiêu hao nguyên li%u cho m i chuy n xe. T s li%u trên ta xây d ng ñư c b ng sau:

ạy

Kè

x = 47 1  5  s 2 =  ∑ ni xi2 − nx 2  = 99  i =1  s e = u1+ γ . = u1+ 0,95 . = n 100 2 2

100

Do ñó kho ng tin c y 95% cho lư ng tiêu hao nguyên li%u trung bình:

m /+

( 45,88; 48,12 )

b) T. l% xe c n ki m tra k4 thu t c a m u: p =

8 = 0, 08 100

T l% xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t t i thi u ' ñ tin c y 95% là p ≥ p − e p (1 − p )

v i e = uγ

= u0,95

0, 08.0,92 = 0, 045 10

Suy ra p ≥ 0, 08 − 0, 045 = 0, 035 .

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

CHƯƠNG 6: KI M Đ NH GI THI T

X − 72 64 ~ N ( 0,1) . s

N u H 0 ñúng thì bi n ng u nhiên U =

hơ

6. 1. Trong m t cu c ñi u tra v nh p m ch c a 64 thanh niên làm ngh A, k t qu là nh p m ch trung bình 74 l n/phút và ñ l%ch chu(n b"ng 9 l n/phút. Hãy ki m ñ nh xem ñ c ñi m ngh A có làm cho nh p m ch c a thanh niên tăng quá m c bình thư ng không, bi t r"ng nh p m ch bình thư ng c a thanh niên là 72 l n / phút. ( k t lu n v i m c α = 1% ). Gi i: G i X là bi n ng u nhiên ch nh p m ch c a thanh niên làm ngh A. Ta c n ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = 72; H1 : µ > 72 , ' m c α = 1% .

Q uy

V i α = 1% , gtth = u1−α = u0,99 = 2,5758 .

74 − 72 16 .8 = = 1, 778 < gtth . 9 9 V y, ta ch p nh n gi thi t H 0 nghĩa ngh A không làm tăng nh p ñ p c a thanh

V i m u c, th ta có u =

m /+

ạy

Kè

niên. 6. 2. Đi u tra Cholesterol toàn ph n trong huy t thanh c a 25 b%nh nhân b m t lo i b%nh B, ta có trung bình c ng c a lư ng Cholesterol là 172 mg% và ñ l%ch chu(n b"ng 40 mg%. Theo tài li%u v h"ng s sinh hoá bình thư ng c a ngư i Vi%t Nam thì lư ng Cholesterol trung bình toàn ph n trong huy t thanh là 156 mg% và tuân theo lu t phân ph i chu(n. H i lư ng Cholesterol c a các b%nh nhân m c b%nh B có cao hơn bình thư ng không? (k t lu n ' m c α = 5% ) . Gi i: Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = 156 ( mg % ) ; H1 : µ > 156 ( mg ) ' m c α = 5% . X − 156 25 ~ t ( 24 ) S ( 24 ) = t0,95 = 1, 7109

N u H 0 thì bi n ng u nhiên T =

) V i m c α = 0, 05 ta có t1(−240,05 V i m u c, th ta tính ñư c:

172 − 156 24 . V y H 0 b bác b nghĩa là lư ng Cholesterol c a b%nh 5 = 2 > t0,95 40

nhân m c b%nh B cao hơn bình thư ng. 6. 3. M t công ty bào ch m t lo i thu c ch a d ng tuyên b r"ng thu c c a h có hi%u qu không dư i 90% trong vi%c làm gi m cơn d ng trong vòng 8 gi . M t m u g m 200 ngư i b d ng s# d,ng lo i thu c trên, có 160 ngư i gi m cơn d ng. Hãy xác ñ nh xem l i tuyên b c a công ty có giá tr không? ( ' m c ý nghĩa α = 0,07). Gi i: 94

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân G i p là t l% ngư i gi m d ng khi dùng thu c c a công ty trong vòng 8 gi . Ta c n xác ñ nh xem p có b"ng 90% tr' lên hay không. Mu n v y ta ki m ñ nh gi

thi t: H 0 : p = p0 = 90%; H1 : p < p0 = 90% ' m c ý nghĩa α = 0,07. P − p0 n ~ N ( 0, 1) N u H 0 ñúng thì bi n ng u nhiên U = p0 (1 − p0 )

V i m c α = 0, 07 ta có gtth = −u1−α = −u0,93 = −1, 4758 . V i m u c, th ta có: u =

160 / 200 − 0, 9 200 = −4, 714 < gtth = −1, 4758 . 0, 9.0,1

Q uy

hơ

V y ta bác b gi thi t H 0 nghĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr . K t lu n ' m c ý nghĩa 0,07. 6. 4. (3 ñi m) Trư c ñây, Nhà máy Alpha s n xu t ra m t lo i s n ph(m v i t l% ph ph(m 5%. Năm nay, sau ñ t c i ti n k4 thu t, ñ ki m tra hi%u qu , ngư i ta l y ra ra m t m u g m 800 s n ph(m ñ ki m tra thì th y có 24 ph ph(m.

a) V i m c ý nghĩa α = 5%, hãy ki m ñ nh xem ñ t c i ti n k4 thu t có th c s làm gi m t l% ph ph(m không?.

Kè

b) Sau ñ t c i ti n k4 thu t, n u nhà máy báo cáo t l% ph ph(m là 2% thì có ch p nh n ñư c không? (' m c ý nghĩa α = 3%).

ạy

Gi i:

a) G i p là t. l% ph ph(m sau ñ t c i ti n kĩ thu t, t l% m u . Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau:

m /+

H 0 : p = p0 = 5%; ñ i thi t H1 : p < p0 ' m c ý nghĩa α = 5%. P − p0

N u H 0 ñúng thì U =

p0 (1 − p0 )

n ~ N ( 0,1)

V i m c α = 5% ta có gtth = −u1−α = −u0,95 = −1, 65 .

V i m u c, th ta tính ñư c

p − p0

p0 (1 − p0 )

V y, ta bác b ph(m.

0, 03 − 0, 05 800 = −2, 6 < gtth 0, 05.0, 95

H 0 nghĩa là ñ t c i ti n kĩ thu t th t s làm gi m t. l% ph

b) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p = p0 = 2%; ñ i thi t H1 : p ≠ p0 ' m c α = 3% . N u H 0 ñúng thì U =

P − p0 p0 (1 − p0 )

n ~ N ( 0,1) . 95

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Vơi s m c α = 3% ta có gtth = u

Di p Hoàng Ân

1−

α 2

= u0,985 = 2,17 .

T m u c, th ta tính ñư c. p − p0

u =

p0 (1 − p0 )

0, 03 − 0, 02 800 = 2, 02 < gtth 0, 02.0,98

V y ta ch p nh n H 0 nghĩa là ch p nh n l i tuyên b c a công ty.

Q uy

hơ

6. 5. Ti n lương hàng tu n trung bình trên m t m u g m 30 công nhân trong m t xí nghi%p l n là 180 (ngàn ñ ng) v i v i ñ l%ch chu(n 14 (ngàn ñ ng). Trong m t xí nghi%p l n khác, m t m u g m 40 công nhân ñư c ch n ng u nhiên có ti n lương hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñ ng) v i ñ l%ch chu(n 10 (ngàn ñ ng). Ti n lương hàng tu n trung bình ' hai xí nghi%p trên có khác nhau không? ( ' m c ý nghĩa α = 5%). Gi s# ti n lương hàng tu n c a hai xí nghi%p là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n có cùng phương sai.

X −Y

(

1 n

1 m

n+m−2

ạy

(n − 1) S X2 + (m − 1) SY2

)

~ t ( n + m − 2)

v i S2 =

Kè

N u H 0 ñúng thì T =

Gi i: G i X, Y là ti n lương hàng tu n c a m i công nhân c a hai xí nghi%p trên tương ng. Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X ≠ µY ' m c α = 5% .

m /+

( 68) v i m c α = 5% ta có gtth = t ( nα+ m −2) = t0,975 = 1,9955 1−

V i m u c, th ta tính ñư c s 2 = x − y

Do ñó ttn =

V y ta bác b trên là khác nhau.

( n1

1 m

)

29.14 2 + 39.102 = 140 ,94 78

180 − 170 1   1 140 ,94  +   30 40 

= 3, 4876 > gtth

H 0 nghĩa là ti n lương hàng tu n trung bình ' hai xí nghi%p

6. 6. G i X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch kh i lư ng c a tr sơ sinh trai và tr sơ sinh gái. Cho bi t X và Y tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai. Kh o sát ng u nhiên 20 tr sơ sinh trai, ngư i ta tính ñư c x = 3200 g, s X = 400 g và 17 tr sơ sinh gái, ngư i ta tính ñư c y = 3000 g, sY = 380 g. Ph i chăng kh i lư ng c a tr sơ sinh trai l n hơn kh i lư ng c a tr sơ sinh gái? (k t lu n v i m c ý nghĩa α = 5%) Gi i: 96

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c α = 5%.

X −Y

N u H 0 ñúng thì T =

v i S =

(

1 n

~ t ( n + m − 2)

)

1 m

(n − 1) S X2 + (m − 1) SY2

; n = 20; m = 17 .

n+m−2

Giá tr t i h n gtth = t1(−nα+ m −2) = t035,95 = 1,6896

(

1 n

1 m

)

3200 − 3000  1 1 152868,57  +   20 17 

n hơ

= 1,55 < gtth

x − y

ttn =

19.4002 + 16.3802 = 152868,57 35

Q uy

V i m u c, th ta có s 2 =

Ta ch p nh n H 0 nghĩa là tr ng lư ng c a tr sơ sinh trai không l n hơn tr ng lư ng c a tr sơ sinh gái (α = 5%).

S s n ph(m

485

480

m /+

Kh i lư ng (g)

ạy

Kè

6. 7. Kh i lư ng c a m t lo i s n ph(m do m t nhà máy s n xu t là m t bi n ng u nhiên tuân lu t phân ph i chu(n N(500; (8,5)2). Sau m t th i gian s n xu t, ban lãnh ñ o nhà máy nghi ng r"ng kh i lư ng c a lo i s n ph(m này có xu hư ng gi m, nên ti n hành cân th# 25 s n ph(m và thu ñư c k t qu sau: 2

490

495

500

510

V i m c ý nghĩa α = 5% , hãy cho k t lu n v ñi u nghi ng trên.

Gi i:

T s li%u ta tính ñư c x = 494 ; s = 8,9 n = 25 .

Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ0 = 500; H1 : µ < µ0 ' m c α = 5% .

N u H 0 ñúng thì BNN U =

X − µ0

n ~ N ( 0 ,1) v i n = 25;σ = 8,5; µ0 = 500

V i m c α = 5% ta có gtth = −u1−α = −u0 ,95 = −1,65

V i m u c, th giá tr c a U là u =

494 − 500 .5 = −3,53 < gtth nên H 0 b bác 8 ,5

b nghĩa là ñi u nghi ng trên là ñúng.

6. 8. M t công ty mu n ñánh giá v hi%u qu c a m t ñ t qu ng cáo ñ i v i s s n ph(m bán ra c a công ty. 10 c#a hàng bán s n ph(m c a công ty ñư c ch n ng u nhiên ñ theo dõi s lư ng s n ph(m bán ra trong m t tu n trư c ñ t qu ng cáo (TĐQC) và m t tu n sau ñ t qu ng cáo (SĐQC). C# a

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

hàng TĐQC

114

113

111

SĐQC

137

135

125

114

157

144

Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a ñ t qu ng cáo (' m c α = 5%).

Gi i: G i D là hi%u s gi a s s n ph(m bán ra sau qu ng cáo và trư c qu ng cáo c a m i c a hàng. B ng hi%u s : D

-20 25

-31 33

hơ

T ñó ta tính ñư c d = 21;sD = 32,98 . Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau ' m c α = 5% .

Q uy

D n ~ t ( n − 1) SD

N u H 0 ñúng thì T =

H 0 : µ D = 0; H 1 : µ D > 0

21 10 = 2 , 01 > gtth 32 ,98

ạy

V i m u c, th ta có t =

Kè

V i α = 5% gtth = t1(−9α) =

Nên H 0 b bác b .

m /+

V y, ñ t qu ng cáo th t s làm tăng s lư ng s n ph(m bán ra.

6. 9. M t máy s n xu t t ñ ng có t l% s n xu t ra s n ph(m lo i A lúc ñ u là 48%. Máy ñư c c i ti n và sau m t th i gian áp d,ng, ngư i ta ki m tra 40 h p, m i h p g m 10 s n ph(m và ghi l i s s n ph(m lo i A trong m i h p (SSPLA/h) như sau : 1

S h p

SSPLA/h

Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a vi%c c i ti n máy ' m c ý nghĩa α = 0,05.

Gi i: G i

là t l% s n ph(m l o A sau ñ t c i ti n k4 thu t.

T l% s n ph(m lo i A trên m u kh o sát: p=

215 43 = 400 80

Ki m ñ nh gi thi t: H 0 : p = p0 = 48%; H1 : p > p0 ' m c α = 5% . 98

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê N u H 0 ñúng thì BNN P − p0

p0 (1 − p0 )

Di p Hoàng Ân

n ~ N ( 0,1)

V i m c ý nghĩa α = 0, 05 giá tr t i h n b"ng: u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th , ta tính ñư c: u=

43 − 0, 48 80 400 = 2,3018 n= 0, 48 (1 − 0, 48 )

p − p0 p0 (1 − p0 )

hơ

Vì u > gtth nên H 0 b bác b nghĩa là vi%c c i ti n k4 thu t th t s mang l i hi%u qu .

Q uy

6. 10. Kh i lư ng trung bình khi xu t chu ng ' m t tr i chăn nuôi gà công nghi%p năm trư c là 3,3 kg/con. Năm nay ngư i ta s# d,ng lo i th c ăn m i. Sau m t th i gian, cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;

3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,

ạy

Kè

Gi thi t kh i lư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n v i phương sai 0,04. V i m c ý nghĩa α = 0,05, hãy cho k t lu n v tác d,ng c a lo i th c ăn m i.

m /+

Gi i:

thi t

G i X là BNN ch kh i lư ng gà khi xu t chu ng. Theo gi X ~ N ( µ ; 0, 22 ) . T s li%u ñã cho ta tính ñư c: x = 3, 62 ; s = 0, 405 .

N u th c ăn m i có tác d,ng t t thì kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay s+ cao hơn. Mu n k t lu n v ñi u ñó ta ki m ñ nh gi thi t sau:

H 0 : µ = µ0 = 3,3 (

N u H 0 ñúng thì BNN U =

) ; H1 : µ > µ0 ' m c ý nghĩa α = 5% . X − µ0

n ~ N ( 0,1)

V i m c ý nghĩa α = 0, 05 gtth = u1−α = u1=0,05 = u0,95 = 1,6449 V i m u c, th ta tính ñư c: u=

x − µ0

3, 62 − 3,3 15 = 6, 2 0, 2

Vì u > gtth nên H 0 b bác b . V y, kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay cao hơn năm trư c, nghĩa là th c ăn m i có tác d,ng tăng tr ng lư ng gà.

6. 11. Đ ñi u tra kh i lư ng gà xu t chu ng ' m t tr i chăn nuôi gà công nghi%p năm nay. Ngư i ta cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50, Gi thi t kh i lư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n v i phương sai 0,04. Có nên báo cáo kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay là 3,7 kg/con hay không? (' m c ý nghĩa α = 0,05). Gi i: G i X là BNN ch kh i lư ng gà xu t chu ng năm nay. Ki m ñ nh gi thi t

x − µ0

Q uy

V i m c ý nghĩa α = 0, 05 gtth = u1−α / 2 = u1=0,025 = u0,975 = 1,96 V i m u c, th ta tính ñư c:

hơ

n ~ N ( 0,1)

X − µ0

N u H 0 ñúng thì BNN U =

H 0 : µ = µ0 = 3,7 ( kg ) ; H1 : µ ≠ µ0 ' m c α = 5% .

3, 62 − 3, 7 15 = −1,55 0, 2

Kè

σ Vì | u |< gtth nên H 0 không b bác b . V y, ' m c ý nghĩa 5% ta công nh n báo cáo c a tr i chăn nuôi.

m /+

ạy

6. 12. M t cu c ñi u tra c a H i ph, n ñ ñánh giá v m t dư lu n xã h i cho r"ng lương c a ph, n th p hơn lương c a nam gi i. M t m u nhiên g m 4 ñàn ông có lương trung bình là 78,0 (ngàn ñ ng), v i ñ l%ch chu(n m u là 24,4; m t m u ng u nhiên khác ñ c l p v i m u trên g m 4 ph, n có lương trung bình là 63,5 (ngàn ñ ng), v i ñ l%ch chu(n là 20,2. Gi s# r"ng lương c a c nam và n gi i ñ u là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai. Hãy cho k t lu n v cu c ñi u tra trên ' m c ý nghĩa 10%.

Gi i:

G i X , Y theo th t là lương c a ñàn ông và ph, n . Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c α = 10% . X −Y

N u H 0 ñúng thì BNN U =

1 1  S2  +  n m

Vơi S

~ t ( n + m − 2)

n − 1) S X2 + ( m − 1) SY2 ( = n+m−2

( 6) V i m c ý nghĩa α = 10% , gtth = t1(−nα+ m−2) = t0,9 =

V i m u c, th : s 2 = 22, 42 Và t =

x−y 1 1  s  +  n m 2

78 − 63,5 1 1 22, 4  +  4 4

= 0,915

100

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Vì t < gtth nên H 0 không b bác b .

Di p Hoàng Ân

V y, k t lu n c a cu c ñi u tra chưa ñúng.

6. 13. Ngư i ta mu n nghiên c u tác d,ng c a vi%c cho sinh viên ñi th c t xem s ti p thu ki n th c có t t hơn không b"ng cách so sánh ñi m thi c a nhóm sinh viên không ñi th c t (SVKĐTT) v i nhóm sinh viên có ñi th c t (SVCĐTT). K t qu như sau: 0

SVCĐTT

SVKĐTT

1 1

hơ

Đi m

G i X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên bi u th ñi m s c a sinh viên có ñi th c t và sinh viên không ñi th c t .

Q uy

Đi m thi c a nhóm sinh viên có ñi th c t có th c s t t hơn không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 0,01 )

Gi i:

~ N ( 0 ,1)

ạy

X −Y

s X2 sY2 + n m

N u H 0 ñúng thì BNN U =

Kè

Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c ý nghĩa α = 0,01

m /+

V i α = 0,01 ta có gtth = u1−α = u1−0 ,01 = u0 ,99 = V i m u c, th ta tính ñư c

T b ng s li%u ta có: n = 67 x = 5,85 ; s X = 2 ; m = 73 ; y = 4,88; sY = 2 ,39 .

5,85 − 4 ,88

22 2 ,392 + 67 73

= 2 , 6116 > gtth

utn =

Nên H 0 b bác b nghĩa là SVCĐTT có ñi m cao hơn SVKĐTT.

6. 14. M t công ty v n t i, mu n ñánh giá tác d,ng c a m t lo i ch t ph, gia pha vào xăng, ñã ch n 10 chi c xe. Cho m i chi c ch y hai l n v i cùng ñi u ki%n như nhau; nhưng l n ñ u v i xăng không có ch t ph, gia (KPG), l n sau, v i cùng m t lư ng xăng như l n ñ u, có ch t ph, gia (CPG). Ngư i ta ghi l i s d m ñã ñi ñư c c a 10 chi c xe trên trong hai l n như sau: Xe

KPG

CPG

KPG

CPG

101

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

26,2

26,7

15,8

15,7

25,7

25,8

13,9

14,2

22,3

21,9

12,0

12,6

19,6

19,3

11,5

11,9

18,1

18,4

10,0

10,3

Có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñư c v i xăng không có ch t ph, gia và có ch t ph, gia không? (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%)

Gi i:

hơ

G i X , Y l n lư t là các BNN ch s dăm ñi ñư c c a xe KPG và xe CPG. Đ t D = X − Y . B ng s li%u cho D : 2

-0,5

-0,1

0,4

0,3

-0,3

0,1

-0,3

T ñó ta tính ñư c: d = −0,17, sD = 0, 3368

-0,6

-0,4

-0,3

Q uy

D 10 ~ t ( 9 ) SD

m /+

N u H 0 ñúng thì BNN T =

ạy

H 0 : µ D = 0; µ D ≠ 0 ' m c α = 5% .

Kè

Đ xét xem khác nhau v s d m trung bình gi a xe KPG và xe CPG ta ki m ñ nh gi thi t sau:

( 9) V i α = 5% = 0, 05 : gtth = t (9)0,05 = t0,975 = 2, 2622

1−

−0,17 10 = 1,596 0, 3368

V i m u c, th ta có: t =

Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n.

V y, ' m c ý nghĩa α = 5% không có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñư c v i xăng không có ch t ph, gia và có ch t ph, gia.

6. 15. Kh i lư ng bao g o (KLBG) là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n N ( 50;0, 01) . Có nhi u ý ki n c a khách hàng ph n ánh là kh i lư ng b thi u. M t nhóm thanh tra ñã cân ng u nhiên 25 bao g o trong kho và ñư c k t qu như sau: KLBG (kg)

(48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5]

S bao g o

Hãy ki m ñ nh xem ý ki n c a khách hàng ph n ánh có ñúng không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%).

Gi i: 102

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê G i X là BNN ch kh i lư ng bao g o. T x = 49, 27; s = 0,53 .

Di p Hoàng Ân

s li%u ñã cho ta tính ñư c

Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ = µ0 = 50 (

) ; H1 : µ < µ0 ' m c ý nghĩa α = 5%

N u H 0 ñúng thì BNN U =

X − µ0

n ~ N ( 0,1)

V i m c ý nghĩa α = 5% gtth = −u1−0,05 = −1,6449 V i m u c, th :

49, 27 − 50 25 = −36,5 0,1

hơ

Vì u < gtth nên H 0 b bác b . Nghĩa là ý ki n c a khách hàng ph n ánh là ñúng (α = 5%).

Q uy

6. 16. M t m u g m 300 c# tri ' khu v c A và m t m u g m 200 c# tri ' khu v c B cho th y có 56% và 48%, theo th t , ng h ng c# viên X. 7 m c ý nghĩa 5%, hãy ki m ñ nh gi thi t: a) Có s khác bi%t gi a hai khu v c v s

ng h

ng c# viên X.

Kè

b) :ng c# viên X ñư c ng h hơn ' khu v c A.

Gi i:

ạy

G i p A và pB theo th t là t. l% ng h

ng c# viên X ' khu v c A và B.

N u

m /+

a) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p A = pB ; H1 : p A ≠ pB ' m c ý nghĩa α = 5% .

ñúng

PA − PB 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m

~ N ( 0 ,1)

v i

np A + mpB = 0 ,528 n+m

p0 =

thì

V i α = 5% ta có gtth = u

Giá tr th c nghi%m u =

1−

= u0 ,975 = 1,96

0 ,56 − 0 , 48 1   1 0 ,528.0 , 472  +   300 200 

= 1, 755 < gtth

Do ñó H 0 không b bác b nghĩa là s khác nhau gi a t. l% ng h gi a hai khu v c A, B ñ i v i ng c# viên X không có ý nghĩa v m t th ng kê. b) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p A = pB ; H1 : p A > pB ' m c ý nghĩa α = 5% . N u H 0 ñúng thì U =

PA − PB 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m

~ N ( 0 ,1)

103

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê np + mpB p0 = A = 0 ,528 n+m

Di p Hoàng Ân

V i α = 5% ta có gtth = u1−α = u0 ,95 = 1,65 0 ,56 − 0 , 48

1   1 + 0 ,528.0 , 472    300 200 

= 1,755 > gtth

Nên H 0 b bác b nghĩa là ng c# viên X ñư c ng h nhi u hơn ' khu v c A.

hơ

6. 17. Đi u tra ng u nhiên 200 ngư i có hút thu c lá, th y có 28 ngư i b lao ph$i; 170 ngư i không hút thu c lá, th y có 12 ngư i b lao ph$i. T l% lao ph$i gi a nh ng ngư i có và không hút thu c lá có khác khau không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%).

Q uy

Gi i:

1−

m u

p1 − p2

1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m

ạy

= u0,995 = 2,5758

có:

28 12 − 200 170 = 2,1428 4  4  1 1  1 −   +  37  37   n m 

~ N ( 0,1)

np1 + mp2 28 + 12 40 4 = = = n+m 370 370 37

V i m c α = 1% , gtth = u V i

1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m

m /+

V i p0 =

P1 − P2

N u H 0 ñúng thì BNN U =

Kè

H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 ≠ p2 ' m c α = 1% .

G i p1 , p2 l n lư t là t l% lao ph$i nh ng ngư i có hút thu c lá và không hút thu c lá. Ta ki m ñ nh gi thi t sau:

Ta có | u |< gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là t l% lao ph$i gi a nh ng ngư i có và không hút thu c lá không khác khau (α = 1%).

6. 18. M t nhà máy có hai phân xư'ng A và B cùng s n xu t m t lo i tr,c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, ngư i ta ño ñư c ñư ng kính c a chúng như sau (ñơn v mm) 250;

249;

251;

253;

248;

250;

252;

257;

245;

248;

247;

249;

250;

280;

250;

247;

253;

256;

249.

104

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi s# ñư ng kính c a các tr,c máy ' hai phân xư'ng A và B tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai.

Đo ng u nhiên ñư ng kính 20 tr,c máy do phân xư'ng B s n xu t, ngư i ta tính ñư c ñư ng kính trung bình là 249,8 v i phương sai 56,2. Hãy ki m ñ nh, ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H 0 cho r"ng ñư ng kính trung bình các tr,c máy ñư c s n xu t ' hai phân xư'ng là như nhau ñ i v i gi thi t H1 cho r"ng chúng khác nhau. Gi i:

G i X , Y l n lư t là ñư ng kính tr,c máy do phân xư'ng A, B tương ng s n xu t.

~ t ( n + m − 2)

n − 1) S X2 + ( m − 1) SY2 ( =

Kè

V i n = 20; m = 20 và S

1 1  S2  +  n m

X −Y

N u H 0 ñúng thì BNN T =

Q uy

H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X ≠ µY ' m c ý nghĩa α = 5%.

hơ

Ki m ñ nh gi thi t

n+m−2

ạy

( 38) V i ' m c ý nghĩa α = 5%, gtth = t ( nα+ m− 2) = t0,975 = 2

1−

x−y

1 1  s2  +  n m

251, 25 − 249,8

1   1 57,83  +   20 20 

= 0, 6029

19.s X2 + 19 sY2 19.7, 71112 + 19.56, 2 = = 57,83 38 38

s2 =

m /+

V i m u c, th : x = 251, 25 và s X = 7, 7111

Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n. Đư ng kính trung bình các tr,c máy ñư c s n xu t ' hai phân xư'ng là như nhau (' m c ý nghĩa α = 5%).

6. 19. Phân xư'ng A c a m t nhà máy s n xu t m t lo i tr,c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, ngư i ta ño ñư c ñư ng kính c a chúng như sau (ñơn v mm) 250;

249;

251;

253;

248;

250;

252;

257;

245;

248;

247;

249;

250;

280;

250;

247;

253;

256;

249.

Gi s# ñư ng kính c a các tr,c máy c a phân xư'ng A tuân theo lu t phân ph i chu(n. Bi t ñư ng kính c a m t tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, theo qui ñ nh là 250 mm. Hãy cho k t lu n v ch t lư ng s n xu t c a phân xư'ng A ' m c ý nghĩa α = 5%. 105

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Gi i: G i X l n lư t là ñư ng kính tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t. T s li%u ta có: x = 251, 25 và s = 7, 7111

Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ X = µ0 = 250; H1 : µ X ≠ µ0 ' m c α = 5%.

N u H 0 ñúng thì BNN T =

X − µ0 n ~ t ( n − 1) S

hơ

251, 25 − 250 20 = 0, 786 7,111

Q uy

V i m u c, th ta có: t =

1−

(19) V i m c α = 5% gtth = t (19α) = t0,975 = 2, 0930

Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n. Do ñó Tình hình s n xu t c a phân xư'ng A bình thư ng (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%).

7 1

3 6

S s n ph(m

0 6

m /+

SKTTMSP

ạy

Kè

6. 20. S n ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t s n ph(m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k4 thu t, ngư i ta l y ng u nhiên 36 s n ph(m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph(m (SKTTMSP). K t qu thu ñư c như sau:

Gi i:

Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a ñ t c i ti n k4 thu t ñ i v i s khuy t t t trung bình c a m t s n ph(m ' m c ý nghĩa α = 10%.

T s li%u ta tính ñư c x = 2, 7222; s = 1,86

Đ k t lu n v hi%u qu ñ t c i ti n k4 thu t ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = µ0 = 3; H1 : µ < µ0 ' m c ý nghĩa α = 10%

X − µ0 n ~ N ( 0,1) s V i ' m c ý nghĩa α = 10% gtth = −u1−α = −u0,9 = −

N u H 0 ñúng thì BNN U =

V i m u c, th u =

2, 722 − 3 36 = −0,896 1,86

Vì u > gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là ñ t c i ti n k4 thu t không mang l i hi%u qu (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 10%). 106

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

6. 21. S n ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t s n ph(m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k4 thu t, ngư i ta l y ng u nhiên 36 s n ph(m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph(m (SKTTMSP). K t qu thu ñư c như sau: SKTTMSP

0 6

S s n ph(m

7 1

3 6

hơ

S n ph(m có không quá 2 khuy t t t ñư c g i là s n ph(m lo i A. T l% s n ph(m lo i A trư c ñ t c i ti n k4 thu t là 40%. Đ t c i ti n k4 thu t có th c s làm tăng t l% s n ph(m lo i A không? (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%). 15 5 = . 36 12

Ki m ñ nh gi thi t

Q uy

G i p là t l% s n ph(m lo i A. T l% m u: p =

Gi i:

Kè

P − p0

p0 (1 − p0 )

n ~ N ( 0,1)

ạy

N N u H 0 ñúng thì BNN U =

H 0 : p = p0 = 40%; H1 : p > p0 ' m c ý nghĩa α = 5%

5 /12 − 0, 4

m /+

V i m u c, th ta có: u =

V i ' m c ý nghĩa α = 5%, gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449 0, 4 (1 − 0, 4 )

36 = 0, 204

Vì u < gtth nên H 0 không b bác b .

V y, ñ t c i ti n k4 thu t không làm tăng t l% s n ph(m lo i A. (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%).

6. 22. Nh ng th ng kê trong năm trư c cho th y m t ngư i M4 ñi du l ch ' châu Âu trong vòng 3 tu n s+ chi h t 1010 USD cho vi%c mua s m. Năm nay, ngư i ta th ng kê trên 50 khách du l ch thì th y s ti n trung bình mà h chi tiêu là 1090 USD và ñ l%ch chu(n là 300 USD. V i m c ý nghĩa α = 1% hãy cho bi t m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch năm nay có tăng so v i năm trư c không? Gi i: G i X là BNN ch m c chi tiêu c a m i khách du l ch trong năm nay, µ = EX . Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ 0 = 1010; H1 : µ > µ 0 ' ý nghĩa α = 1%

N u H 0 ñúng thì BNN U =

X − µ0 n ~ N ( 0,1) s

V i ý nghĩa α = 1% , gtth = u1−α = u0,99 = 2,3263 107

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

V i m u c, th ta có: u =

Di p Hoàng Ân 1090 − 1010 50 = 1,8856 300

Vì u < gtth nên H 0 không b bác b . V y, chưa ñ cơ s' ñ k t lu n m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch năm nay tăng.

6. 23. M t hãng bào ch thu c ñang th# nghi%m hai lo i thu c gây mê A và B m i. Vi%c th# nghi%m ñư c ti n hành trên hai nhóm thú v t khác nhau. Nhóm th nh t g m 100 con dùng thu c A thì có 71 con b mê; nhóm th hai g m 90 con dùng thu c B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mu n ki m ñ nh xem tác d,ng c a hai lo i thu c trên có khác nhau không ' m c ý nghĩa 5%. Hãy cho bi t k t lu n.

hơ

Gi i: 71 58 ; p2 = . 100 90

71 + 58 129 = = 0, 6789 . 190 190 H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 ≠ p2 ' m c ý nghĩa α = 5% .

chung

là

ki m

ñ nh

thi t

P1 − P2

~ N ( 0,1)

ạy

1 1  p (1 − p )  +  n m

N u H 0 ñúng thì BNN U =

Kè

Q uy

t l% m u ñ i v i 2 lo i thu c ñó là p1 =

G i p1 và p2 l n lư t là t l% con v t b mê khi dùng thu c A, B tương ng. Giá tr

m /+

V i ' m c ý nghĩa α = 5% , gtth = u

1−

α 2

= u0,975 = 1,96

71 58 − p1 − p2 100 90 = = 0, 017 129  129  1 1  1 1  p (1 − p )  +  +  1 −  190  190  100 90  n m

V i m u c, th ta tính ñư c:

Vì | u |< gtth nên H 0 không b bác b . V y, tác d,ng c a hai lo i thu c trên không khác nhau ' m c ý nghĩa 5%.

6. 24. V i ý mu n làm tăng ch s m5 s a c a lo i gi ng bò A, m t tr i chăn nuôi cho lai bò gi ng A v i m t lo i bò gi ng B. Đo ch s m5 s a c a 130 con bò lai gi ng ñư c ch n ng u nhiên trong ñàn bò c a tr i, ngư i ta có k t Ch s m5 s a

S bò lai

108

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

[3,0; 3,6)

[3,6; 4,2)

[4,2; 4,8)

[4,8; 5,4)

[5,4; 6,0)

[6,0; 6,6)

[6,6; 7,2)

hơ

Bi t r"ng ch s m5 s a trung bình c a gi ng bò A thu n ch ng là 4,95. Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a vi%c lai gi ng ' m c ý nghĩa 1%.

Gi i:

Q uy

G i X là BNN ch ch s m5 s a c a gi ng bò lai. T s li%u ta tính ñư c: x = 5,15 và s = 0, 77 . Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = µ 0 = 4,95; H1 : µ > µ 0 ' m c ý nghĩa α = 1%. X − µ0 n ~ N ( 0,1) s V i ' m c ý nghĩa α = 1%, gtth = u1−α = u0,99 = 2,3263

Kè

N u H 0 ñúng thì BNN U =

ạy

V i m u c, th ta tính ñư c: 5,15 − 4, 95 130 = 2,96 0, 77 Vì u > gtth nên H 0 b bác b .

m /+

V y, ch s m5 s a c a gi ng bò lai cao hơn bò thu n ch ng.

6. 25. Đi u tra v m t nguyên nhân gây ung thư ph$i: Thăm dò trong 200 ngư i có hút thu c lá, th y có 28 ngư i b K ph$i; trong 170 ngư i không không hút thu c lá, có 12 ngư i b K ph$i. H i t l% ngư i b K ph$i trên nh ng ngư i hút thu c lá có cao hơn t l% ñó trên nh ng ngư i không hút thu c lá không? (K t lu n ' m c α = 5% ). Gi i:

G i p1 , p2 l n lư t là t l% ngư i b K ph$i trong s nh ng ngư i hút thu c và không hút thu c. Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 > p2 ' m c α = 5%

N u H 0 ñúng thì BNN U = V i α = 5% , gtth = u1−α = u0,95 V i m u c, th ta tính ñư c: p1 =

P1 − P2 1 1  p (1 − p )  +  n m = 1, 6449

~ N ( 0,1)

28 7 6 28 + 12 4 = ; p2 = ; p = = 200 50 85 200 + 170 37 109

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê p1 − p2 = 2,14 u= 1   1 p (1 − p )  +   200 170 

Di p Hoàng Ân

Ta có u > gtth nên H 0 b bác b . V y t l% b K ph$i trong s nh ng ngư i hút thu c là cao hơn t l% ñó trên nh ng nguoif không hút thu c lá.

Gi i: Ki m ñ nh gi thi t v phương sai:

~ χ 2 ( n − 1)

Kè

29.1,12 V i m u c, th ta có y = = 35, 09 1

Q uy

σo2

N u H 0 ñúng thì Y =

(n −1) S 2

H 0 : σ 2 = σ 02 = 1; H1 : σ 2 ≠ σ 02 ' m c ý nghĩa α = 1%

hơ

6. 26. N u máy móc ho t ñ ng bình thư ng thì kh i lư ng m t s n ph(m tuân theo lu t phân ph i chu(n v i ñ l%ch chu(n không quá 1kg. Có th coi máy móc còn ho t ñ ng bình thư ng hay không n u cân th# 30 s n ph(m do máy ñó s n xu t ra, thì tính ñư c ñ l%ch chu(n là 1,1 kg. Yêu c u k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1% .

V i α = 0,01 ta có χ 2α (n − 1) = χ 20,01 (29) = 13,121 2

1−

0,01 2

ạy

(n − 1) = χ 2

(29) = 52,336

1− α 2

m /+

χ2

Do χ 2α ( n − 1 ) < y < χ12− α ( n − 1 ) nên H 0 không b bác b nghĩa là: 2

Chưa ñ cơ s' ñ nói r"ng máy móc ho t ñ ng không bình thư ng.

6. 27. M t nhà s n xu t bóng ñèn cho r"ng ch t lư ng bóng ñèn ñư c coi là ñ ng ñ u n u tu$i th c a bóng ñèn có ñ l%ch chu(n b"ng 1000 ho c ít hơn. L y ng u nhiên 10 bóng ñ ki m tra, thì ñư c ñ l%ch chu(n m u là 1150, V y, v i m c ý nghĩa 5%, có th coi ch t lư ng bóng ñèn do công ty ñó s n xu t là ñ ng ñ u không? Bi t r"ng tu$i th c a bóng ñèn là m t BNN có phân ph i chu(n. Gi i:

Ki m ñ nh gi thi t v phương sai d ng H 0 : σ 2 = σ 02 = 10002 ; H1 : σ 2 > σ 02 ' m c α = 5% . N u H 0 ñúng thì Y =

(n −1) S 2 σo2

~ χ 2 ( n − 1)

2 Giá tr tơi h n: gtth = χ12− α (n − 1) = χ0,95 (9) = 16,919

V i m u c, th ta có y =

9.11502 = 11,9025 < gtth 1000 2 110

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là có th coi ch t lư ng bóng ñèn do công ty ñó

s n xu t là ñ ng ñ u.

6. 28. T i m t nông trư ng, ñ ñi u tra kh i lư ng c a m t lo i trái cây, sau m t ñ t bón m t lo i phân m i, ngư i ta cân th# m t s trái cây ñư c ch n ng u nhiên và ñư c k t qu sau: S trái cây

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

[60, 65)

[65, 70)

187

[70, 75)

[75, 80)

≥ 80

Q uy

hơ

Kh i lư ng (gam)

Kè

Trư c kia, kh i lư ng trung bình c a m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%).

ạy

Gi i:

T s li%u ñã cho ta tính ñư c n = 361; x = 66,38; s = 5, 41

X − µ0 s

n ~ N ( 0,1)

N u H 0 ñúng thì U =

m /+

Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ 0 = 65( g ); H1 : µ > µ 0 ' m c α = 1%

V i α = 0, 01 ta suy ra: gtth = u1−α = u0,99 = 2,33 66, 38 − 65 361 = 4,85 > gtth 5, 41

V i m u c, th ta tính ñư c: u =

V y H 0 b bác b nghĩa là: lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu . (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%).

6. 29. M t công ty thương m i, d a vào kinh nghi%m quá kh , ñã xác ñ nh r"ng vào cu i năm thì 80% s hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñ y ñ , 10% kh t l i 1 tháng, 6% kh t l i 2 tháng, và 4% kh t l i hơn 2 tháng. Vào cu i năm nay, công ty ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hoá ñơn và th y r"ng: 287 hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñ y ñ , 49 kh t l i 1 tháng, 30 kh t l i 2 tháng và 34 kh t l i hơn 2 tháng. Như v y, vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay có còn theo qui lu t như nh ng năm trư c không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5% ). Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H 0 : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay theo qui lu t năm trư c 111

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H1 : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không theo qui lu t năm trư c.

7 m c ý nghĩa α = 5%. B ng t n s lý thuy t và th c nghi%m: l i Thanh toán Khu t l i 1 Khu t l i 2 Khu t hơn 2 tháng ñ y ñ ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) ( x4 ) quan

287

lý

320

hơ

T n s thuy t

( oi − ei )

i =1

Q =∑

( 287 − 320 ) =

( 30 − 24 ) + 24

( 34 − 16 ) + 16

= 27,178

320

( 49 − 40 ) +

Q uy

Ta có: 2

T n s sát

Kè

2 V i α = 5% , gtth = χ12−α ( 3) = χ0,95 ( 3) = 7,815

ạy

Ta th y Q 2 > χ12−α ( 3) nên:

Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không còn theo qui lu t như nh ng năm trư c. (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%).

m /+

6. 30. Đ l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t công ty ñã ti n hành ñi u tra v s' thích c a khách hàng v 3 lo i m u khác nhau c a cùng m t lo i hàng. K t qu ñư c trình bày ' b ng sau: A

Thích

Không thích

Không có ý ki n

M u

hàng

Ý ki n

Có hay không s phân bi%t v s' thích c a khách hàng ñ i v i 3 lo i m u nói trên? K t lu n ' m c ý nghĩa 5%.

Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H 0 : Không có s phân bi%t v s' thích H1 : Có s phân bi%t v s' thích ñ i v i 3 m t hàng (m c ý nghĩa 5%).

B ng ñ i chi u t n s : Trong ngo c là t n s lý thuy t: M u

112

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

hàng Ý ki n Thích

(38,33) (38,33) (38,33) Không thích

(42,33) (42,33) (42,33) Không có ý ki n

( oi − ei )

i =1

= 7, 606

hơ

Q =∑ 2

(19,33) (19,33) (19,33)

Q uy

2 χ12−α ( 4 ) = χ0,95 ( 4 ) = 9, 488

Ta th y Q 2 < χ12− α (8 ) nên H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là:

Không có s phân bi%t v s' thích ñ i v i 3 m t hàng.

X 110

120

m /+

100

ạy

Kè

6. 31. Đi u tra m t s s n ph(m c a m t xí nghi%p v chi u dài (X (cm)) và hàm lư ng ch t A (Y (%)), ngư i ta có k t qu sau:

130

140

Các s n ph(m có chi u dài không quá 110cm và hàm lư ng ch t A không hơn 12% ñư c g i là s n ph(m lo i II. N u xí nghi%p báo cáo r"ng s n ph(m lo i II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th ch p nh n ñư c không? K t lu n ' m c ý nghĩa 5% (gi thi t hàm lư ng này có phân ph i chu(n)

Gi i: B ng s li%u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph(m lo i A. yj

Giá tr trung bình m u: y = 9,85 và giá tr ñ l%ch chu(n m u: sY = 1, 56 , c5 m u n = 27 . 113

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µY = µ0 = 10 ( % ) ; H1 : µY ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5%

N u H 0 ñúng thì BNN T =

Y − µ0 n ~ t ( n − 1) SY

) V i m c ý nghĩa α = 5% ta tính ñư c gtth = t ( 260,05 = 2, 0555 1−

9,85 − 10 V i m u c, th ta tính ñư c: t = 27 = −0,5 1, 56 Ta có t < gtth nên H 0 không b bác b .

V y, ch p nh n báo cáo c a xí nghi%p (' m c ý nghĩa 5%).

hơ

6. 32. G o ñ tiêu chu(n xu t kh(u là g o có t l% h t nguyên, h t v5 và t m, theo th t , là: 90%, 6% và 4%.

Q uy

Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ngư i ta th y trong ñó có: H t nguyên: 880; h t v5: 60 và t m: 60

H i lô g o có ñ tiêu chu(n xu t kh(u không? Cho k t lu n ' m c ý nghĩa

5%.

Kè

Gi i:

ạy

Đ k t lu n v tiêu chu(n c a lô g o ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : Lô g o ñ tiêu chu(n xu t kh(u.

m /+

H1 : Lô g o không ñ tiêu chu(n xu t kh(u (' m c ý nghĩa 5%).

N u H 0 ñúng thì trong 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v5 và 40 h t

( 880 − 900 ) = 900

Ta có Q

t m.

( 60 − 60 ) + 60

( 60 − 40 ) + 40

= 10, 44

) = V i α = 5%, gtth = χ1(−30,05

Vì Q 2 > gtth nên H 0 b bác b .

V y, lô g o không ñ tiêu chu(n xu t kh(u (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%).

6. 33. Giám ñ c tr i gà Alpha xem l i h sơ c a m t ñ t kh o sát v kh i lư ng c a gà xu t chu ng ' tr i gà thì th y s li%u ñư c ghi như sau: Kh i lư ng (kg)

S con gà

114

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

[2,3; 2,7)

[2,7; 2,9)

[2,9; 3,1)

[3,1; 3,3)

[3,3; 3,5)

[3,5; 3,7)

[3,7; 3,9)

hơ

Ban giám ñ c tr i gà Alpha báo cáo r"ng kh i lư ng trung bình c a gà trên 3 kg. Hãy cho nh n xét v báo cáo trên ' m c ý nghĩa 2%.

Gi i:

T s li%u ta tính ñư c:

Q uy

n = 121; x = 3, 06; s = 0, 2826 . H 0 : µ X = µ0 = 3; H1 : µ X > µ0 ' m c α = 2% .

Kè

X − µ0 n ~ N ( 0,1) sX

ạy

N u H 0 ñúng thì BNN U =

Ta ki m ñ nh gi thi t sau:

x − µ0 3, 06 − 3 n= 121 = 2, 3354 0, 2826 sX

m /+

V i m u c, th : u =

V i α = 2% , gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449

Vì u > gtth nên H 0 b bác b nghĩa là báo cáo c a Ban giám ñ c là ñúng (' m c ý nghĩa 5%).

6. 34. Đ so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti%n lo i cũ v i m t máy ti%n lo i m i, ngư i ta cho m i máy c t th# 10 l n và ño th i gian c t (tính b"ng giây) . K t qu thu ñư c như sau: Máy lo i cũ:

58,

56,

38,

70,

38,

42,

75,

68,

67.

Máy lo i m i: 57,

55,

63,

24,

67,

43,

33,

68,

56,

54..

58,

Bi t r"ng th i gian c t c a máy lo i cũ và c a máy lo i m i là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu(n có ñ l%ch chu(n, theo th t , là 13,5 giây và 14,5 giây. V i m c ý nghĩa 5%, có th cho r"ng máy lo i m i t t hơn (có th i gian c t trung bình ít hơn) máy lo i cũ hay không?

Gi i: G i X , Y theo th t là BNN ch th i gian c t c a máy ti%n cũ và máy ti%n m i. 115

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ X = µY ; H1; µ X > µY ' m c ý nghĩa 5%. N u H 0 ñúng thù BNN U =

X −Y

σ X2 n

σ Y2

~ N ( 0,1)

V i α = 5% , gtth = u1−0,05 = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th ta tính ñư c: x = 57; s X = 13, 6; y = 52; sY = 14, 46

57 − 52 = 2, 988 13, 5 14,5 + 10 10

hơ

Do ñó u =

Vì u > gtth nên H 0 b bác b .

m /+

ạy

Kè

Q uy

V y, có th cho r"ng máy lo i m i t t hơn (có th i gian c t trung bình ít hơn) máy lo i cũ.

116

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ H I QUY 7.1. Xem vectơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu(n hai chi u mà m t m u ng u nhiên g m 8 c p ñư c ch n ra như sau: xi

a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y và cho nh n xét.

hơ

b) Hãy ki m ñ nh gi thi t v s tương quan gi a X à Y ' m c α = 5% .

c) Hãy l p hàm h i quy tuy n tính m u và d ñoán n u X l y giá tr b"ng 20 thì Y nh n giá tr bao nhiêu?

∑ xi yi − n x . y (n −1)s X .sY

= 0,996 . X và Y có quan h% g n như tuy n tính.

a) r =

Q uy

Gi i:

: ρ ≠ 0 ' m c α = 5%

ñúng thì T = R ∑( =1

n−2

1 − R2

~ t ( n − 2)

).(

−

)

( − 1)

là h% s tương quan m u)

( = 8 và ! =

ạy

N u

: ρ = 0;

m /+

Kè

b) Ki m ñ nh gi thi t

−2 6 = 0,996 = 27,3 2 1− # 1 − 0,9962 ,

V i m u c, th , ta có # = 0,996 và " = #

V i α = 5% , gtth = "1(−6α) / 2 = 2,4469 .

b bác b nghĩa là

th t s tương quan.

Vì " > $""% nên

c) Phương trình h i quy tuy n tính m u:

y = −0.107 + 4,107 x . T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2. M t cơ s' s n xu t ñã ghi l i s ti n ñã chi cho vi%c nghiên c u phát tri n và l i nhu n hàng năm c a cơ s' trong 6 năm v a qua như sau: (ñơn v 106 VNĐ) Chi nghiên c u

L i nhu n

117

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u gi a chi nghiên c u và l i nhu n. b) Chi nghiên c u và l i nhu n có th c s tương quan không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%). c) Vi t phương trình ñư ng h i qui tuy n tính m u c a l i nhu n theo chi phí nghiên c u.

Gi i: a) r = 0, 909

~ t ( n − 2)

gtth = t1−α / 2 ( t − 2 ) = t0,99 ( 4 ) = 3,7469

4 = 4,361 1 − 0,9092

Kè

V i m u c, th ta có t = 0,909

hơ

1 − R2

n−2

Q uy

N u H 0 ñúng thì BNN T = R

b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0; H1 : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa α = 1%

(k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%).

ạy

Vì t > gthh nên H 0 b bác b . Nghĩa là X và Y th c s tương quan.

7.3.

m /+

y = 2 x + 20

c) Phương trình ñư ng h i quy tuy n tính m u:

161,5

163

165

167

168

171

172

160

Đo chi u cao Y (cm) và chi u dài chi dư i X (cm) c a m t nhóm thanh niên, ngư i ta thu ñư c s li%u sau:

(a). Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. (b).

7 m c ý nghĩa α = 5%, hãy cho nh n xét v tài li%u cho r"ng h% s tương quan c a X và Y là 0,9.

(c). Vi t phương trình ñư ng h i quy m u c a Y theo X.

Đáp s : (a)

r = 0,996

(b) Ki m ñ nh gi thi t H0: ρ = 0,9 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,9. Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i 118

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

U =

Z − µZ ~ N (0,1) . σZ

V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c, th , chúng ta có :

(

)

1 + 0,996 z = 1 ln = 3,106 , 2

1 − 0,9

)

và

0,9 = 1,5365; 2(8 −1)

σZ = 1 , 5

z − µZ = 3,509 σZ

hơ

(

1 + 0,9 µ Z = 1 ln +

1 − 0,996

u > gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 b bác b , nghĩa là tài li%u không ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%). (c)

Q uy

Vì

y = 1,768x + 21,857.

Đi m ñ án

ạy

m /+

Đi m thi

Kè

7.4. M t gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t ñ án phân tích d li%u và d kỳ thi h t môn. Sau ñó, m t m u g m 10 sinh viên ñư c ch n ng u nhiên, ñi m s ñư c ghi l i như sau:

(a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên (gi thi t ñi m thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu(n).

(b) 7 m c ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá v s tương quan tuy n tính gi a hai lo i ñi m trên.

Gi i:

(a) G i X là ñi m thi c a sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 .

Kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên: ( x − e; x + e )

e = t1(+γ) . 9

s 5,97 = 2,2622. = 4, 27 10 10

Kho ng tin c y c n tìm ( 74,33; 82,87 ) . (b) G i Y là ñi m ñ án c a sinh viên. Đ t ρ = ρ

Chúng ta ph i có quy t ñ nh gi a hai gi thi t: H 0: ρ = 0

và

H1: ρ ≠ 0,

N u H0 ñúng thì BNN 119

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân T= R

10 − 2

~ t(8)

1 − R2

(8) t0,975 = 2,3060 ;

V i m c α = 5% , giá tr t i h n là:

v i m u c, th , chúng ta có h% s tương quan m u: r = 0,776 . Do ñó: t=

0, 776. 8 1 − (0, 776)

= 3, 48

Vì |t| >2,306 nên gi thi t H0 b bác b ' m c ý nghĩa α = 5%. khác, chúng ta ch p nh n r"ng X và Y tương quan ' m c ý nghĩa 5%.

Nói cách

Q uy

hơ

7.5. Đ th c hi%n m t công trình nghiên c u v m i quan h% gi a chi u cao Y(m) và ñư ng kính X(cm) c a m t lo i cây, ngư i ta quan sát trên m t m u ng u nhiên và có k t qu sau:

Kè

(a). Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y và cho nh n xét.

ạy

(b) Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X. Hãy d báo chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm.

m /+

(a) r = 0,939.

Gi i:

Vì r r t g n 1 nên gi a X và Y có h i qui tuy n tính.

(b) y = 0,166x + 1,041.

D báo chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm là:

y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m

7.6. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns

2 5 2

2 10 1

4 10 2

6 10 4

4 15 2

6 15 6

8 15 4

6 20 3

8 20 3

6 25 1

8 25 2

a) Hãy tính các giá tr trung bình m u c a X, Y; phương sai m u c a X, Y và h% s tương quan m u gi a X và Y. b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu?

Gi i: a) Ta có trung bình m u: 120

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

x = 5,93; y = 15,17;

Phương sai m u:

σ X2 = 3, 44; σ Y2 = 28, 42 H% s tương quan m u: r = 0,66 b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr là 9 thì Y s+ nh n giá tr là 21.

2 10 1

4 10 2

6 10 4

4 15 2

6 15 6

8 15 4

6 20 3

8 20 3

6 25 1

8 25 2

hơ

2 5 2

X Y T ns

7.7. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau:

Q uy

a) Tính giá tr h% s tương quan m u gi X và Y. Vi t Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X.

b) Ki m ñ nh gi thi t xem X và Y có tương quan không ' m c ý nghĩa 5%?

Kè

Gi i:

ạy

a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 .

Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x .

N u H 0 ñúng thì BNN n−2

~ t (n − 2)

T= R

m /+

b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0; H1 : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa 5%

1 − R2

( ) V i m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 = 2,0484

V i m u c, th ta có

t=r

n−2 = 4, 69 1− r2

Vì t > gtth nên H 0 b bác b , nghĩa là X và Y tương quan ' m c ý nghĩa 5%.

7.8. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns

2 5 2

2 10 1

4 10 2

6 10 4

4 15 2

6 15 6

8 15 4

6 20 3

8 20 3

6 25 1

8 25 2

a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t phân ph i chu(n). 121

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu?

Gi i: a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y = 15,17; sY = 5,33 Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y − e; y + e ) ( ) V i e = t0,975 . 29

sY 5,33 = 2, 0452. = 1,99 ≈ 2 30 30

V y kho ng tin c y c n tìm là:

hơ

(13,18;17,16 )

b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x

Q uy

N u X có giá tr là 9 thì Y s+ nh n giá tr là 21.

2 10 1

4 10 2

6 10 4

4 15 2

6 15 6

8 15 4

6 20 3

Kè

2 5 2

8 20 3

6 25 1

8 25 2

ạy

X Y T ns

7.9. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau:

m /+

a) Có tài li%u cho r"ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh n xét v tài li%u trên ' m c ý nghĩa 5%. Gi thi t các ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân ph i chu(n.

b) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X.

Gi i:

a) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µ0 = 6,5; H1 : µ X ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5%.

N u H 0 ñúng thì BNN T =

X − µ0 n ~ t ( n − 1) S

( ) V i ' m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 = 2,0452 29

Vói m u c, th ta tính ñư c: t =

5,93 − 6,5 30 = 0,908 3, 44

Vì t < gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là ta ch p nh n tài liêu trên ' m c ý nghĩa 5%. b) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 . Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x .

122

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

7.10. Nghiên c u lư ng phân bón (X kg) ñư c dùng ñ bón cho ru ng trong m t v,; Y(kg/1000m2) là năng su t lúa. Th ng kê ' 30 h gia ñình, k t qu như sau: S h

270

280

290

300

310

320

a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình h i quy m u Y theo X.

hơ

b) Ki m ñ nh gi thi t cho r"ng h% s tương quan c a X và Y b"ng 0,9 ' m c ý nghĩa α = 5%.

Q uy

a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,891 .

Gi i: Phương trình ñư ng h i quy m u: Y = 210,15 + 1,64 X .

Z − µZ ~ N (0,1) . σZ

ạy

U =

Kè

Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i

b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = ρ 0 = 0,9; H1 : ρ ≠ ρ 0 ' m c ý nghĩa α = 5%.

m /+

V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; V i m u c, th , ta có

(

 1 + 0,891  z = z = 12 ln   = 1,427  1 − 0,891 

)

0,9 = 1, 488; 2(30 −1)

σZ = 1

z − µZ = 0,317 σZ

u =

1 − 0,9

1 + 0,9 µ Z = 1 ln +

Vì | u |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là gi thi t h% s tương quan c a X và Y b"ng 0,9 là ñúng ' m c ý nghĩa α = 5%.

7.11. Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ngư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi

[40, 45) 65)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

[60,

123

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

[140, 145)

[145, 150)

[150, 155)

[155, 160)

[160, 165)

(a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho các giá tr c a X, Y.

hơ

(b) Tính các giá tr trung bình m u, ñ l%ch chu(n m u và h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy tuy n tính m u c a Y theo X.

Gi i:

Q uy

a) B ng t n s , t n su t c a X và Y: Bi n X

Bi n Y

0,094

[145, 150)

0,170

[150, 155)

0,377

[155, 160)

0,321

[160, 165)

0,038

0,019

[45, 50)

0,113

[50, 55)

0,453

[55, 60)

0,302

[60, 65)

0,113

[40, 45)

m /+

# = 0,6544

= 54, 23;

T n su t

= 5,14;

= 4, 41

= 152,69;

T ns

[140, 145)

L p

Kè

T n su t

ạy

T ns

L p

Phương trình h i quy:

= −31,59 + 0,56

7.12. Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ngư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi

[40, 45) 65)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

[60,

124

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài t p Xác su t th ng kê

Di p Hoàng Ân

[140, 145)

[145, 150)

[150, 155)

[155, 160)

[160, 165)

a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy tuy n tính m u c a Y theo X.

hơ

b) Có tài li%u cho bi t h% s tương quan gi a X và Y là 0,65. Hãy cho nh n xét v tài li%u ñó, ' m c α = 5%.

Gi i:

Q uy

a) # = 0,6544 Phương trình h i quy:

: ρ = 0,65 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,65 ' m c α =

Kè

b) Ki m ñ nh gi thi t 5%.

= −31,59 + 0,56

ạy

Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i

Z − µZ ~ N (0,1) . σZ

m /+

U =

V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ;

v i m u c, th , chúng ta có :

(

oo G

và

Vì

1 − 0,65

1 − 0,6544

)

0,65 = 0,7816; 2(53 −1)

z − µZ = 0,01 σZ

1 + 0,65 µ Z = 1 ln + 2

(

)

1 + 0,6544 z = 1 ln = 0,783 ,

σZ = 1 ,

u < gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t

ñư c ch p nh n, nghĩa là

tài li%u ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%).

125

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn