BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ÔN THI THPTQG . 231 BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHÂN THEO MỨC ĐỘ

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ÔN THI THPTQG . 231 BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHÂN THEO MỨC ĐỘ KIẾN THỨC WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số.

- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề này vì các lý do sau:

2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.

- Bài toán cực trị một trong những bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, đây là một trong những nội dung quan trọng khi ôn thi THPTQG cho học sinh.

- Học sinh vẫn còn gặp khó khăn khi xác định cực trị, số cực trị của hàm số.

- Tạo ra một tài liệu dùng cho việc dạy và học ôn thi THPTQG đạt hiệu quả tốt nhất.

II.MỤC ĐÍCH

2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b). Khi đó: i) Nếu f’(x)<0, ∀x ∈ ( a;x0 ) và f’(x) > 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực tiểu tại điểm x0 ii) Nếu f’(x)>0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) < 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực đại tại điểm x0

Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau: - Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi THPTQG, đồng thời cùng dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.

Quy tắc 1 -Tìm tập xác định.

-Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn.

- Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn.

- Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh.

- Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi THPTQG. III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH - Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A của trường THPT Bình Sơn.

IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ

-Lập Bảng biến thiên.

-Kết luận.

2.4. Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0. Khi đó i) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 ii) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

- Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết.

Quy tắc 2 -Tìm tập xác định.

B.NỘI DUNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1. Điểm tới hạn của hàm số

-Tính f’’(x) và suy ra f’’(xi).

o Nếu f’’(xi) < 0 thì f đạt cực đại tại xi

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định của f ( x) và f '( x0 ) = 0 hoặc f '( x0 ) không xác định.

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số giữ nguyên một dấu.

2. Cực trị của hàm số 2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 ∈ D *) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x)<f(x0), với mọi x0 ∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực đại của f. *) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x)>f(x0), với mọi x0 ∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của f.

Trường THPT Bình Sơn

-Tính f’(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f’(x) = 0

2

o Nếu f’’(xi) > 0 thì f đạt cực tiểu tại xi Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1.

3. Một số lưu ý về cực trị của một số hàm số: 3.1 Hàm số bậc ba: y = f ( x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d ,

a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0

TXĐ: R Đạo hàm: y ' = f '( x) = 3a.x 2 + 2b.x + c

∆ ' = b 2 − 3ac

Để hàm số có cực trị (CĐ và CT) thì ∆ ' > 0

Trường THPT Bình Sơn

3

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG. 2

A. y′ ( x0 ) = 0 và y′′ ( x0 ) ≠ 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.

b  6ac − 2b bc 1 Ta có: y = f ( x) =  x +  3a.x 2 + 2b.x + c + .x + d − 9a  9a 9a 3

(

)

Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba (nếu có) là: y =

6ac − 2b 2 bc .x + d − 9a 9a

+ Nếu a < 0 thì: xCT < xCÐ

3.2 Hàm số trùng phương: y = f ( x) = a.x 4 + b.x 2 + c,

a , b , c ∈ ℝ, a ≠ 0

TXĐ: R

Đạo hàm: y ' = f '( x) = 4a.x3 + 2b.x

điểm cực tiểu của hàm số.

+ Nếu a < 0, b > 0 thì: hàm số có 2 CĐ và 1 CT

Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị cực tiểu của hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 2 là

+ Nếu a > 0, b < 0 thì: hàm số có 1 CĐ và 2 CT  −b −b 2   −b −b 2  Tọa độ 3 cực trị là: A ( 0; c ) , B   2a ; 4a + c  , C  − 2a ; 4a + c      −b b 2 .

2a 4 a

3.3 Hàm số phân thức: y = f ( x) =

Lời giải Chọn D Theo định lý về quy tắc tìm cực trị A, C và B đúng.

D. sai vì xét hàm số y = x 4 trên ℝ thỏa mãn y′ ( 0 ) = 0 và y′′ ( 0 ) = 0 nhưng x0 = 0 vẫn là

Để hàm số có 3 cực trị (CĐ và CT) thì ab < 0

a.x 2 + b.x + c , d .x + e

a , b , c , d , e ∈ ℝ, a , d ≠ 0

A. −20 .

B. 7 .

C. −25 .

Lời giải

D. 3 .

Chọn C TXĐ: D = ℝ .  x = −1 y′ = 3x 2 − 6 x − 9 . Cho y′ = 0 ⇔  x = 3 Bảng biến thiên:

x

−1

−∞

y′

 e TXĐ: ℝ \ −   d

Đạo hàm: y ' = f '( x) =

C. Hàm số đạt cực đại tại x0 thì y′ ( x0 ) = 0 .

D. y′ ( x0 ) = 0 và y′′ ( x0 ) = 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số.

+ Nếu a > 0 thì: xCÐ < xCT

S ∆ABC =

B. y′ ( x0 ) = 0 và y′′ ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

+

0 7

−

3 0

+∞ + +∞

y

a.d .x 2 + 2ae.x + be − dc

( d .x + e )

Để hàm số có cực trị (CĐ và CT) thì y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình đường thẳng qua CĐ và CT là y =

−25

−∞ Vậy giá trị cực tiểu là yCT = −25 .

2

2a.x + b d

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu f ′ ( x0 ) = 0 và f ′′ ( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

B. Nếu f ′ ( x0 ) = 0 và f ′′ ( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .

C. Nếu f ′ ( x ) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f ( x ) liên tục tại x0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực trị tại điểm x0 .

II. CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHÂN THEO MỨC ĐỘ KIẾN THỨC

D. Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm.

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Lời giải Chọn D Xét hàm số y = x 3  → y ′ = x 2 → y′ = 0 ⇔ x = 0

Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) . Khẳng định nào sau đây sai ?

Trường THPT Bình Sơn

4

Hàm số y không đạt cực trị tại điểm x = 0 .

Trường THPT Bình Sơn

5

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 4: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng

cực trị?

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

x

0 0

−∞

y′

−

1 ||

+

Chọn C

+∞

2

Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Hàm số đã cho có đạo hàm không đổi dấu

−

trên ℝ nên nó không có cực trị.

5

+∞ y 4

A. yCT = 0 .

Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình

−∞

B. max y = 5 .

C. yC Ð = 5 .

ℝ

D. min y = 4 .

bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y

ℝ

Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 , yC Ð = 5 ; đạt cực tiểu tại x = 0 ,

2 −2

Câu 5: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có đúng một cực trị?

B. y = x 4 + 2 x 2 − 3 .

C. y = − x 3 − 4 x + 5 .

D. y =

2x − 3 . x +1

Lời giải Chọn B Ta có đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 luôn có hai hoặc không có cực trị. Đồ thị hàm số y =

ax + b với ad − bc ≠ 0 không có cực trị. cx + d

sau: 2

−∞

y′

+

4

0 3

−

0

+∞

Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Hàm số đạt cực tiểu tại B (1; −1) và giá trị cực tiểu bằng −2 .

Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y = x 3 − 12 x − 1

B. yCĐ = −2 .

+∞ −2

−∞

C. yCĐ = 45 .

D. yCĐ = 15 .

Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3 x 2 − 12 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

Lời giải

Chọn A Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = y ( 2 ) = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y ( 4 ) = −2.

Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 x − 4 có bao nhiêu

Trường THPT Bình Sơn

Lời giải

A. yCĐ = −17 .

+

y

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = −2.

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 .

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại bằng 2 .

Câu 6: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x

x

O

yCT = 4 ; hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

A. y = x3 − 3x 2 + x .

D. 3 .

Lời giải

biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

6

 x = −2 ⇒ y = 15 Cho y′ = 0 ⇔  .  x = 2 ⇒ y = −17  y ′′ ( −2 ) = −12 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = −2 và giá trị cực đại Ta lại có: y′′ = 6 x ⇒   y ′′ ( 2 ) = 12 > 0 của hàm số bằng yCĐ = 15 .

Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm

Trường THPT Bình Sơn

7

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

trên ℝ . Mệnh đề nào dưới đây đây là đúng?

 x =1 y′ = 0 ⇔  x = −1 .   x = 0

A. Nếu f ′ ( x0 ) = 0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 .

B. Nếu f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0 .

Cách 1:

C. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

y′

Lời giải Chọn D Ta xét từng đáp án: Đáp án A: Nếu f ′ ( x0 ) = 0 nhưng f ′ ( x ) không đổi dấu khi x chạy qua x0 thì hàm số vẫn không đạt cực trị tại x0 nên đáp án A sai.

y′′ ( −1) = 8 Câu 13: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án D: Đúng.

x

Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3 là C. 3 .

y′

Lời giải

2

−∞

+

−∞ A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

y′ = 4 x 3 + 4 x = 4 x ( x 2 + 1) .

0 3

4

−

0

+∞ −2 B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Lời giải

Chọn D

y ′ = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = −3 .

y′′ = 12 x 2 + 4 .

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

y′′ ( 0 ) = 4 > 0 ⇒ Hàm số có một cực tiểu.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , giá trị cực đại yCĐ = 3 .

Vậy hàm số có một cực trị.

Câu 12: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 − 2 x2 + 2 .

B. ( 2;0 ) .

C. (1;1) .

Lời giải:

Chọn D Ta có y′ = 4 x 3 − 4 x .

Trường THPT Bình Sơn

+∞ +

y

D. 1 .

Chọn D Tập xác định D = ℝ .

A. ( −1;1) .

+∞

y′′ ( 0 ) = −4 ⇒ điểm cực đại.

có đạt cực trị hay không nên đáp án B sai. Đáp án C: Nếu đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua x0 thì chỉ suy ra được hàm số đạt cực trị tại

B. 2 .

1

0 + 0 −∞ 0 +

Cách 2: y′′ = 12 x 2 − 4

y′′ (1) = 8

A. 0 .

−

y

Đáp án B: Với điều kiện f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = 0 thì không đủ cơ sở để khẳng định được hàm số

x0 chứ chưa suy ra được hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

0

−1

x −∞

D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 .

8

D. ( 0; 2 ) .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 , giá trị cực đại yCT = −2 .

Câu 14: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

B. Hàm số có đúng một điểm cực trị.

C. Hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Lời giải Chọn D

Trường THPT Bình Sơn

9

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x = 0 Hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 2 có TXĐ : D = ℝ ; y′ = 4 x3 − 6 x = 2 x ( 2 x 2 − 3) = 0 ⇔  . x = ± 3 2  Bảng biến thiên:

x

−∞

y′

−

3 − 2 0

0

+

+∞

0

−

3 2 0

+∞

x

−

+∞ 1

y3

Vậy hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại.

−∞

B. x = 0 .

C. x = 5 .

Chọn D Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 .

Câu 15: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm tới cấp hai trên ( a; b ) ; x0 ∈ ( a; b ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 18: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau đây đúng.

x

 f ′ ( x0 ) = 0 A. Nếu  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.  f ′′ ( x0 ) < 0  f ′ ( x0 ) = 0 B. Nếu  thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.  f ′′ ( x0 ) ≠ 0  f ′ ( x0 ) = 0 C. Nếu  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số.  f ′′ ( x0 ) > 0 D. A, B, C đều sai.

Lời giải Chọn B

Câu 16: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Có bao nhiêu điểm cực trị của hàm số 1 y= ? x A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải Chọn C Điều kiện x ≠ 0 .

1 Ta có y′ = − 2 < 0 với mọi x ≠ 0 . Vậy hàm số không có cực trị. x Câu 17: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

−∞

−1 0

+

y′

1

0

+

10

2 0

−

+∞ +

2

+∞

y

19 12

−∞ A. Hàm số có hai điểm cực trị.

C. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Lời giải

Chọn A Câu 19: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

x

−∞

y′

+

−1 0 4

−

1 0

+∞ + +∞

y

0

−∞

Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.

A. yCĐ = 4 và yCT = −1 .

B. yCĐ = 1 và yCT = 0 .

C. yCĐ = −1 và yCT = 1 .

D. yCĐ = 4 và yCT = 0 .

Lời giải Chọn D Qua bảng biến thiên ta thấy yCĐ = 4 và yCT = 0 .

Trường THPT Bình Sơn

D. x = 2 .

Lời giải

y

y1

+∞ −

Hàm số đạt cực đại tại

+∞

y2

2

0 5

+

y

A. x = 1 .

+

0 0

−∞

y′

Trường THPT Bình Sơn

11

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 20: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − 5 x 2 + 7 x − 3 là:  7 32  B.  ; −  .  3 27 

A. (1;0 ) .

C. x = 1 .

D. y = 0 .

Lời giải Chọn A y′ = 3x 2 − 10 x + 7 , y′′ ( x ) = 6 x − 10

A. N (1;3) .

C. P ( 7; − 1) .

D. Q ( 3;1) .

Lời giải Chọn A Ta có y′ = 3 x 2 − 3 . y ′ = 0 ⇔ x = ±1 .

Bảng biến thiên

x

−1

−∞

y′

 x = 1, y = 0 . y′ = 0 ⇔   x = 7 , y = − 32 3 27 

+

0 7

1

−

0

+∞ + +∞

y

3

−∞

 y′ (1) = 0 Vì  nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;0 ) .  y′′ (1) = −4 < 0

Dựa vào bảng biến thiên, điểm N (1;3) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Câu 21: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

2x −1 A. y = .

B. y = x 4 .

C. y = − x 3 + x .

D. y = x . x +1 Lời giải Chọn A 3 2x −1 Xét hàm số y = ta có y′ = > 0 với x ≠ −1 nên hàm số không có cực trị.

2 x +1 ( x + 1) Câu 22: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực đại của đồ thị hàm số

Câu 24: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

C. Giá trị cực đại của hàm số bằng −4 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Lời giải Chọn B Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x = 3x ( x − 2 ) .

Do đó y′ > 0 với mọi x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) và y′ < 0 với mọi x ∈ ( 0; 2 ) .

Câu 25: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Hàm số y = x 3 − 3 x + 2 có giá trị cực đại bằng A. 0 .

y = x3 − 3x + 5 là điểm A. N ( −1;7 ) .

B. M (1; − 3) .

B. P ( 7; − 1) .

C. Q ( 3;1) .

D. M (1; 3) .

Lời giải

B. 20 .

C. −1.

Lời giải

D. 4 .

Chọn D

Chọn A Tập xác định D = ℝ .

x = 1⇒ y = 0 Ta có: y ′ = 3 x 2 − 3 . Xét y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = −1 ⇒ y = 4

x =1 Ta có y ′ = 3 x 2 − 3 . Do đó y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = −1 Bảng biến thiên

 y′′ (1) = 6 > 0 Và: y′′ = 6 x ⇒  . Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = −1 . Vậy yCĐ = 4 .  y′′ ( −1) = −6 < 0

x

−1

−∞

y′

+

0 7

1

−

0

+∞ + +∞

Câu 26: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Hàm số y = A. 1 .

B. 2 .

y

3

−∞

Dựa vào bảng biến thiên, điểm N ( −1;7 ) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Câu 23: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x3 − 3x + 5 là điểm

Trường THPT Bình Sơn

12

2x −1 có bao nhiêu điểm cực trị? x −1 C. 0 .

D. 3 .

Lời giải Chọn C Tập xác định D = ℝ \ {1} .

Ta có y′ =

−1

( x − 1)

Trường THPT Bình Sơn

2

< 0, ∀x ∈ D .

13

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị.

Câu 27: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho đồ thị

(C )

của hàm số

y = − x 3 + 3x 2 − 5 x + 2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. ( C ) không có điểm cực trị.

B. ( C ) có hai điểm cực trị.

C. ( C ) có ba điểm cực trị.

D. ( C ) có một điểm cực trị.

Lời giải

Câu 30: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Chọn A 2

2

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Tập xác định: D = ℝ . Ta có: y′ = −3 x + 6 x − 5 = −3 ( x − 1) − 2 < 0 , ∀x ∈ ℝ .

như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Suy ra đồ thị hàm số không có điểm cực trị.

Câu 28: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 ∈ K . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Nếu f ′′ ( x ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .

B. Nếu f ′′ ( x ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) thì f ′ ( x0 ) = 0 .

D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) thì f ′′ ( x0 ) = 0 .

Lời giải Chọn C Mệnh đề đúng là: “Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) thì f ′ ( x0 ) = 0 ”.

Câu 29: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 2 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

Lời giải

Chọn B Câu 31: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −4 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ℝ . Đạo hàm: y′ = 4 x 3 − 4 x .

Hướng dẫn giải

x = 0 y′ = 0 ⇔  .  x = ±1

Chọn B Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 32: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình

Bảng biến thiên:

bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x )

Trường THPT Bình Sơn

14

Trường THPT Bình Sơn

15

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Do đó hàm số có hai điểm cực trị là x = −1 và x = 0 .

Câu 35: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Tìm điểm cực tiểu của hàm số

f ( x ) = ( x − 3) e x .

A. x = 0 .

B. x = 2 .

C. x = 1 .

D. x = 3 .

Lời giải A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

Lời giải

D. 1

Chọn B Hàm số f ( x ) = ( x − 3) e x ⇒ f ′ ( x ) = e x + ( x − 3) e x , ( x − 2 ) e x = 0 ⇔ x = 2 ,

Chọn A Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

3

Câu 33: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Hàm số y = x − 3 x đạt cực tiểu tại x bằng ?

A. −2 .

B. −1 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải Chọn C x =1 Ta có: y′ = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = −1 Bảng biến thiên:

f ′′ ( x ) = e x + ( x − 2 ) e x = ( x − 1) e x ; f ′′ ( 2 ) = e2 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 36: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên:

–∞

x

2

y'

+

0

+

4 –

0

+

3 Khẳng định nào sau đâyylà đúng ?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . – ∞

+

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = −-2 2.

Lời giải

Chọn C Giá trị cực đại của hàm số là y = 3 tại x = 2 .

Câu 37: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) , có bảng biến Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .

thiên như sau:

Câu 34: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên

x

+

y′

0

−1

−∞

0

−1

−∞

+

2

0 5

−

0 B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3 .

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0 .

Lời giải

0

+∞ + 2

y

−6

2

+∞

−∞

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

C. Hàm số có một điểm cực trị.

+∞ +

−

1

y

x y′

như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

C. Hàm số có bốn điểm cực trị.

B. Hàm số không có cực đại.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −6 .

Lời giải

Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp 1 và y′ = 0 tại x = −1 và không xác

Chọn A Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y ′ đổi dấu qua các nghiệm này. Do đó các mệnh đề “Hàm số không có cực đại” và “Hàm số có bốn điểm cực trị” bị LOẠI.

định tại x = 0 , đồng thời y′ đổi dấu khi đi qua các điểm x = −1 và x = 0 .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và có giá trị

Trường THPT Bình Sơn

16

Trường THPT Bình Sơn

cực tiểu bằng yCT = y ( 2) = −6 .

17

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 38: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị

Câu 41: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến

như hình vẽ bên

thiên:

Hàm số đạt cực đại tại A. x = 0 B. x =1 C. x = −3

y′

Chọn A.

y

x

x

D. x = − 1 Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có bảng biến thiên -1 0

−∞

-

f ′( x )

0 0

+

+∞ +

-3

f ( x)

-4

-4

Câu 39: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 2.

C. 1.

Lời giải

D. 3.

Chọn D Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.

Câu 40: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x

−2

−∞

+

y′

0

−

2

y

1

−∞ Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0.

+

2 0 4

+∞ −

18

+∞ +

−∞ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

+∞ −2

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 .

Lời giải

Câu 42: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên: x −∞ 0 1 y′ || 0 + + − 0 y −∞ −1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .

Lời giải Chọn D Dựa vào BBT. Hàm số có hai cực trị ⇒ A sai.

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 ⇒ B sai.

Hàm số không có GTNN, GTLN ⇒ C sai.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .

+∞ +∞

Câu 43: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu? −∞

B. Hàm số có 3 cực tiểu.

D. Hàm số đạt cực đại tạo x = 4 .

Lời giải

Chọn A Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án A.

Trường THPT Bình Sơn

0 0

−

Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 .

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

A. 5.

0

+

4

1 0

-

3 0

1

−∞

A.

y = −x4 + x2 + 3 .

B.

y = x4 + x2 + 3 .

C.

y = −x4 − x2 + 3 .

D.

y = x4 − x2 + 3 .

Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên loại B, C. Vì đồ thị hàm số có hai điểm cục đại nên hệ số x 4 có giá trị âm.

Câu 44: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

Trường THPT Bình Sơn

19

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Câu 47: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x

−∞

y′

−

x1

x2

0

+

x3

0

−

y 3

+∞ +

Khi đó số cực trị của hàm số y = f ( x ) là

B. 2.

A. 3.

2 C. 4.

Lời giải

D. 1.

−1

Chọn A Do hàm số xác định trên ℝ và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại

x1 ; x2 ; x3 nên hàm

số y = f ( x ) có ba cực trị.

y = x3 −3x + 2 . Tọa độ điểm

Câu 45: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số cực tiểu của đồ thị hàm số là A. ( −2;0) .

B. ( −1;4) .

C. ( 0;1) .

x

O

D. (1;0 ) .

Lời giải Chọn B

A. Điểm cực đại của hàm số là 3.

B. Giá trị cực đại của hàm số là 0.

C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1.

D. Điểm cực tiểu của hàm số là −1.

Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1.

Câu 48: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

x = 1 .

Ta có y′ = 3x −3, y ′ = 0 ⇔   x = −1

x

2

y ′′ = 6 x , y (1) = 6 > 0 nên hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = −1 , 2

A. x = 4 .

B. x = 0 .

C. y = − 1 .

D. x = 2 .

+

−5 Hàm số đạt cực tiểu tại A. x = −5 .

B. x = 2 .

−∞

C. x = 3 .

Lời giải

D. x = 1 .

Câu 49: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ta có: y ′ = 2 x − 4 , y ′ = 0 ⇔ x = 2 .

y = −x4 + 2x2 + 2 là A. 2.

B. 3.

C. 0.

Lời giải

Chọn B Ta có Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

y = x2 − 4x + 3 là Parabol có đỉnh là ( 2;1) và có a = 1 > 0 nên x = 2

là điểm cực tiểu.

Trường THPT Bình Sơn

+∞ −

Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 .

Tập xác định: D = ℝ .

Cách 2: Đồ thị hàm số

3 0 1

y

Lời giải Chọn D

0

−

+∞

yCT = 4.

Câu 46: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số y = x − 4x + 3 có cực tiểu tại

2

−∞

y′

20

y′ = −4x3 + 4x .

x = 0  x = −1 ⇔ . y′ = 0   x = 1 Bảng xét dấu

Trường THPT Bình Sơn

21

D. 1.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. M ( 0; −3) là điểm cực tiểu của hàm số.

B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

C. f ( 2) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 50: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai? x −∞ 0 −2 − 0 y′ +

+∞

1

0

+

2

−

+∞

2

C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2.

x0 = 2 được gọi là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải

Chọn A A sai vì phát biểu đúng là: “ M ( 0; −3) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số”.

4 3 Câu 53: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x) = x − 8x + 1 . Chọn mệnh

y −1 A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và x = 1 .

D.

−∞ B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .

Lời giải −∞

Chọn A Dựa vào BBT, hàm số không đạt cực trị tại x = 0 .

đề đúng.

A. Nhận điểm x = 6 làm điểm cực đại.

C. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại.

Chọn B

x = 0 . x = 6

f ′ ( x ) = 4x3 − 24x2 = 4x2 ( x − 6) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 

Câu 51: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau x −∞ 1 2 y′ || 0 + − 5 y −∞ −2 Hàm số đạt cực đại tại A. x = 5 .

B. x = 1 .

C. x = 2 .

Bảng biến thiên

x +

0 0

−∞

y′

+∞

−

∞

+

CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nhận điểm x = 6 làm điểm cực tiểu.

D. y = 5 .

Câu 54: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Lời giải

x

Dựa vào bảng biến thiên, ta có tại x = 1 , đạo hàm của hàm số đổi dấu từ ( + ) sang ( − ) nên

y′

0

−∞

−

1

−

0

+∞ +

+∞

hàm số có điểm cực đại là x = 1 . y

Câu 52: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên: −∞ x −2 0 − + y′ 0 0 1 y

Trường THPT Bình Sơn

6 0

−

y

+∞

Chọn B

−∞ Khẳng định nào sau đây sai?

B. Nhận điểm x = 6 làm điểm cực tiểu.

D. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.

Lời giải

−3

2

+

0

−

+∞

1

−∞

+∞ 1 −1

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm s ố có giá trị cực tiểu y = − 1 .

C. Hàm s ố có đúng một điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Lời giải

Chọn D Đạo hàm của hàm số không đổi dấu tại x = 0 nên hàm số không đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 55: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm

22

Trường THPT Bình Sơn

23

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

số

3

y = x − 3x + 5

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

là điểm ?

A. Q ( 3; 1) .

B. M (1; 3) .

C. P ( 7; −1) .

D. N ( −1; 7) .

Lời giải Chọn B Ta có y ′ = 3 x 2

− 3 ⇒ y ′′ = 6 x

.

Xét dấu f ′ ( x)

 x = 1 ⇒ y′′ (1) = 6 > 0 Khi đó y′ = 0 ⇔   x = −1 ⇒ y′′ ( −1) = −6 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = −1 .

Với x = 1 ⇒ y = 3 ⇒ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x3 − 3x + 5

là M (1; 3) .

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 56: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có 2

f ′ ( x ) = x 3 ( x − 26 ) ( x − 10 ) . Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

A. 4.

B. 1.

C. 2.

Lời giải

D. 3.

x = 0  Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 26 ) ( x −10 ) = 0 ⇔  x = 10 .  x = 26 2

3

Bảng biến thiên:

0

−∞

+

y′

0

10 −

0

+∞

26

+

0

Câu 58: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

có hai điểm cực trị A(1; − 7) , B ( 2; − 8) . Tính y ( −1) ?

A. y ( −1) = 7 .

B. y ( −1) = 11

⇔

 3a + 2b + c = 0  12a + 4b + c = 0    7a + 3b + c = −1 d = −7 − a − b − c

D. y ( −1) = −35

⇔

 a=2  b = −9    c = 12 d = −12

Suy ra: y = 2 x 3 − 9 x 2 + 1 2 x − 1 2 . Do đó, y ( −1) = −35 .

Câu 59: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Đồ thị hàm số

+

y = x3 − 3x2 + 2ax + b

có điểm cực

tiểu A ( 2; − 2 ) . Khi đó a + b bằng

y

A. 4.

B. 2.

−∞

Chọn B Ta có: y ′ =

Câu 57: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 2

3x2 − 6 x + 2a

B. 2.

C. 0.

Lời giải

Chọn B Ta có D = ℝ .

Trường THPT Bình Sơn

D. −2.

; y ′′ = 6 x − 6

 y′ ( 2 ) = 0  2a = 0  a = 0  ′′ y 2 > 0 ⇔ ⇔ .Vậy a + b = 2 .  ( ) 6.2 − 6 > 0  4a + b − 4 = −2 b = 2 y 2 = − 2 ( )  

f ( x ) có đạo hàm

3 ( x − 2 ) ( 2 x + 3) . Tìm số cực trị điểm của f ( x ) .

A. 3.

C. −4.

Lời giải

Để đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A ( 2; − 2 ) cần có:

⇒ Vậy hàm số có 2 cực trị.

f ′ ( x ) = ( x + 1)

C. y ( −1) = −11 Lời giải

Chọn D Ta có: y ′ = 3 a x 2 + 2 b x + c .  3a + 2b + c = 0  12a + 4b + c = 0  Theo bài cho ta có:   a + b + c + d = −7 8a + 4b + 2c + d = −8

Chọn C

x

  x = −1 f ′ ( x ) = 0 ⇔( x + 1)2 ( x − 2 )3 ( 2 x + 3) = 0 ⇔ x = 2 .  3 x = −  2

D. 1.

Câu 60: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

f ( x ) = 2x3 − 6x2 − m + 1 có các giá trị cực trị trái dấu?

A. 2.

24

Trường THPT Bình Sơn

B. 9.

C. 3.

25

D. 7.

m

để hàm số

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải

x

Chọn D TXĐ: D = R .

+ +∞

2 −2

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (1;2 ) , ( 3; −2) .

Để hai giá trị cực trị trái dấu cần có : y1. y2 < 0 ⇔ (1 − m)( −m − 7) < 0 ⇔ −7 < m < 1.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = − 2 x + 4 .

Câu 63: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈{−6; −5; −4; −3; −2; −1;0} .

Câu 61: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x + sin 2 x + 2017 . Tìm các điểm cực tiểu của hàm số. π π A. x = − + k π , k ∈ ℤ .

B. x = − + k 2π , k ∈ ℤ .

3

3

−

−∞

 x1 = 0 . Khi đó : y1 = y ( 0) = 1 − m và y1 = y ( 2) = −7 − m f ′( x) = 0 ⇔   x2 = 2

C. x =

0

y

f ′ ( x) = 6x2 −12x = 6x ( x − 2) .

π

+

+∞

3 0

1

−∞

y′

ℝ và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên ℝ như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng? y

3

D. x =

+ k 2π , k ∈ ℤ .

π 3

+ kπ , k ∈ ℤ .

Lời giải

x

O

Chọn A

π   x = 3 + kπ 1 Ta có y ′ = 1 + 2 cos 2 x , y ′ = 0 ⇔ 1 + 2 cos 2 x = 0 ⇒ cos 2 x = − ⇒  (k ∈ ℤ) .

2  x = − π + kπ  3

A. Hàm số y = f ( x) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Lại có y ′′ = − 4 sin 2 x ,

D. Hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

 π π   π y ′′  + kπ  = −4sin  2  + kπ   = −2 3 < 0 nên x = + k π , k ∈ ℤ là các điểm cực 3 3    3 đại ;

C. Hàm số y = f ( x) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy ∃ x1 < x 2 để f ′ ( x1 ) = f ′ ( x2 ) = 0 Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x)

  π  π   π y′′  − + kπ  = −4sin  2  − + kπ   = 2 3 > 0 nên x = − + k π , k ∈ ℤ là các điểm 3  3     3 cực tiểu.

Câu 62: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 là A. y = 2 x + 4 .

B. y = − x + 2 .

C. y = 2 x − 4 .

Lời giải

Chọn D Ta có:

B. Hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

y′ = 3x 2 − 12 x + 9

Trường THPT Bình Sơn

D. y = − 2 x + 4 .

x

26

+

0 0

x1

+

0

x2

−

0

+

+∞

y KL: Hàm số y = f ( x) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Câu 64: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Gọi A và B là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

x = 1 , cho y′ = 0 ⇒ 3 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇒  x = 3

−∞

y′

y = x4 − 2x2 −1. Tính diện tích S của tam giác OAB ( O là gốc tọa độ)

A. S = 2 .

Trường THPT Bình Sơn

B. S = 4 .

C. S = 1 .

Lời giải

27

D. S = 3 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn A

Câu 67: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Gọi M ,

x = 0 4 2 3 Ta có y = x − 2x − 1 ⇒ y′ = 4x − 4x = 0 ⇔   x = ±1  y′′ ( 0 ) < 0 Lại có y′′ = 12 x 2 − 4 ⇒   y′′ ( ±1) > 0 Do đó x = 0 là điểm cực đại và x = ±1 là điểm cực tiểu.

Với x = ±1 ⇒ y = −2 ⇒ A (1; −2 ) , B ( −1; −2 ) ⇒ AB = ( −2;0 ) ⇒ AB = −2 = 2. Đường thẳng AB : y = − 2 ⇒ d ( O ; AB ) = 2 ⇒ S OAB =

1 AB .d ( O ; AB ) = 2.

2

Câu 65: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị của hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

A. N (1;12) .

B. M (1; − 12 ) .

C. P (1;0)

D. Q( 0; −1) .

Lời giải Chọn A Tập xác định ℝ y′ = −3x 2 + 6 x + 9

A. 7.

B. 9.

C. 8.

D. 6.

Lời giải

Chọn A 2  x = −1  y ( −1) = 1 = m 2 ⇒ Đạo hàm y ′ = x + 4 x +2 3 ; y′ = 0 ⇒ x + 4 x + 3 = 0 ⇔  .  x = −3  y ( −3) = −3 = M ( x + 2)

Bảng biến thiên: 2

Khi đó M 2 − 2n = ( −3) − 2.1 = 7 .

Câu 68: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m x − 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi: A. m > 0 .

B. m = 0 .

C. m < 0 .

D. m ≠ 0 .

Lời giải Chọn B Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 x + m , y ′′ = 6 x − 6 .

 y′ ( 2 ) = 0 m = 0 ⇒ ⇔ m = 0. Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì   y′′ ( 2 ) > 0 6 > 0

 x = −1 y′ = 0 ⇔ −3x 2 + 6 x + 9 = 0 ⇔  x = 3 Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A( −1; −4) và B ( 3;28) .

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8 x − y + 4 = 0 .

Thay N (1;12) vào phương trình AB ta có 8.1 −12 + 4 = 0. Vậy N thuộc AB .

Câu 66: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Biết đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y = − 2 x + 1.

B. y = − x + 2.

C. y = x − 2 .

D. y = 2 x − 1 .

Lời giải

Chọn A

1  Thực hiện phép chia y cho y ′ ta được: y = y′. x  + ( −2 x + 1) . 3  Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: A( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) .

 1   y1 = y ( x1 ) = y′ ( x1 ) .  3 x1  + ( −2 x1 + 1) = −2 x1 + 1    Ta có:  .  y = y ( x ) = y′ ( x ) .  1 x  + ( −2 x + 1) = −2 x + 1 2 2 2  2 2 2  3  Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y = − 2 x + 1 .

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = − 2 x + 1 .

Trường THPT Bình Sơn

n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị

x2 + 3x + 3 . Khi đó giá trị của biểu thức M 2 − 2 n bằng cực tiểu của hàm số y = x+2

28

Câu 69: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

B. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

C. Hàm số có 1 điểm cực trị.

D. Hàm số có 2 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải Chọn A

x = 0

 Ta có y ′ = 4 x 3 − 2 x ; y′ = 0 ⇔  

x=±

2 2

Ta có bảng biến thiên sau

x

−

−∞

y′

−

+∞

2 2 0

0

+

0

−

2 2 0

1

y 0 Vậy: hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Nhận xét: Có thể giải nhanh bài toán như sau

Trường THPT Bình Sơn

29

0

+∞ +

+∞

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Hàm số đã cho là hàm trùng phương có a > 0, b < 0 nên có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Câu 70: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) biết f ′ ( x ) = x ( x 2 − 1) ( x + 2 )

A. 2.

2018

x

.

C. 4.

Lời giải

B. 3.

D. 1.

Chuyên

ĐH

Vinh-GK1-năm

2017-2018)

Tìm

m

để

hàm

số

1 3 x − mx 2 + ( m 2 + m − 1) x + 1 đạt cực trị tại 2 điểm x1 ; x 2 thỏa mãn x1 + x2 = 4 .

3

A. m = 2 .

B. Không tồn tại

m.

C. m = −2 .

D. m = ±2 .

Lời giải

Chọn C Ta có: y ′ = x 2 − 2 m x + m 2 + m − 1 Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt là nghiệm của phương trình y′ = 0

x1 ; x 2

||

4 −

0

+

f ( 0)

2

+∞ +∞

2

Suy ra hàm số y = f ( x ) có ba nhiêu điểm cực trị.

Câu 73: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Hàm s ố f ( x ) = B. 2.

C. 1.

x2 + x + 1 có bao nhiêu x +1 D. 0.

Lời giải Chọn B

x2 + x + 1 . x +1 TXĐ: D = ℝ \ {−1} . f ( x) =

f ′(x) =

x2 + 2x

( x + 1)

2

x = 0 .  x = −2

=0 ⇔

lim y = ±∞ và lim− y = −∞ , lim+ y = +∞ .

⇔ ∆ > 0 ⇔ m 2 − ( m 2 + m − 1) > 0 ⇔ m < 1 .

Do

+

0

y

điểm cực trị?

A. 3.

(THPT y=

−

+∞

y 71:

0

−4

−∞

y′

Chọn B Ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = 0, x = 1, x = − 1 và f ′( x) liên tục đổi dấu qua 3 nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị. x −∞ 0 +∞ −2 −1 1 y′ 0 0 0 0 + + − − −

Câu

 f ( x ) khi x ≥ 0 nên bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) là:  f ( −x ) khi x < 0

( )

Ta có: y = f x = 

x →±∞

x →−1

x →−1

Bảng biến thiên:

⇒ x1 + x 2 = 2 m

m = 2 Theo giả thiết: x1 + x2 = 4 ⇔ 2m = 4 ⇔  . So điều kiện, ta nhận m = −2 .  m = −2 Câu 72: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x

−2

−∞

+

y′

y

0 6

+∞

4 −

0

+ +∞

2

−∞

Đồ thị hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 2.

C. 4.

Lời giải

Chọn A

Trường THPT Bình Sơn

D. 1.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.

4 2 Câu 74: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số: y = (1− m) x − mx + 2m −1.

Tìm m để đồ thị hàm số có đúng một cực trị A. m < 0 .

B. m < 0 hoặc m > 1 .

C. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 .

D. m > 1 .

Lời giải Chọn C

m ≤ 0 Đồ thị hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0 ⇔ −m (1 − m ) ≥ 0 ⇔  . m ≥ 1 Câu 75: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 6 x + 3 là

30

Trường THPT Bình Sơn

31

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. 1.

B. 2.

Chọn B Ta có y ′ =

6x2 − 6

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

C. 4.

Lời giải

D. 3.

và y ′ = 0 ⇔ x = ± 1 . Do đó hàm số có hai điểm cực trị

y

6

⇒ số cực trị của

4

hàm số là 2 3 2 Câu 76: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số y = x − mx + 3( m +1) x −1

đạt cực tiểu tại x = 1 với m bằng: A. m = −1 .

B. m > −3 .

C. m = 0 .

2

D. m = −6 .

Lời giải

−2

2

O

x

Chọn D A. 4.

 y ′ = 3 x 2 − 2 mx + 3m + 3 Ta có:  .  y ′′ = 6 x − 2 m

B. 2.

A. 3.

là

y = x3 − 3x + 3

D. 1.

C. 0.

Câu 80: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? x −∞ 6 2 y′ 0 0 + + − 6

Lời giải

Chọn B y′ = 3 x2 − 3 = 0

 x = −1 (2 nghiệm đơn). Vậy hàm số có hai cực trị . ⇔ x = 1

y

A. b ≥ 0 và c = −1.

y = x4 + bx2 + c

chỉ

c thỏa mãn điều kiện nào?

B. b < 0 và c = −1.

C. b ≥ 0 và c > 0.

Lời giải

D. b > 0 và

c tùy ý.

Chọn A TXĐ : ℝ

+∞

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞;2) ∪ ( 6; +∞) .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu y C T = 1 đạt tại x C T = 6 . Đáp án A sai vì hàm số có giá trị cực đại bằng 6.

y′ = 4 x 4 + 2bx = 2 x ( 2 x 2 + b ) .

Hàm số có duy nhất một điểm cực trị ⇔ y′ = 0 ⇔ 2 x ( 2 x 2 + b ) = 0 có duy nhất một nghiệm b Tức là x = − ≤ 0 ⇔ b ≥ 0.

2 2

Đáp án C sai vì hàm số đồng biến trên ( −∞;2) và ( 6;+∞) , không được dùng dấu

∪

.

Đáp án D sai vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 6 .

Câu 81: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng

Mặt khác điểm cực trị của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ ( 0; −1) nên ta có c = −1.

Câu 79: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho đồ thị hàm y = f ( x ) như hình vẽ. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

x

32

x1

−∞

+

y′

x2

−

0

x3

+

+∞ +∞

0

x4

+

−

0

Trường THPT Bình Sơn

y3

33

+ +∞

y2 y1

+∞

x5

y −∞

Trường THPT Bình Sơn

+∞

1

−∞

Câu 78: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Biết đồ thị hàm số có một điểm cực trị là điểm có tọa độ ( 0; −1) thì b và

D. 2.

C. 5.

Giải:

Chọn C Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị.

Chú ý, tại các điểm mà đồ thị có dạng “nhọn” thì đó vẫn là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

 y′ (1) = 0 m + 6 = 0 m = −6 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔  ⇔ m = −6 . ⇔ ⇔ 6 − 2m > 0 m < 3  y′′ (1) > 0 Câu 77: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của hàm số

B. 3.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. 4.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Lời giải

Vậy D đúng.

Câu 83: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có

Chọn C

đồ thị của hàm số f ′( x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( x ) đã cho có mấy điểm cực trị?

Tập xác định D = ℝ \ { x1} .

Theo định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị và dựa vào bảng biến thiên ta có các điểm cực trị của hàm số là: x 2 ; x 4 ; x 5 .

y

f ′( x)

Câu 82: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y =

1 3 x − x 2 + x + 2017 không có cực trị.

3

B. Hàm số y = x có cực trị.

x

O

C. Hàm số y = 3 x 2 không có cực trị.

D. Hàm số y =

1 có đồng biến, nghịch biến trong từng khoảng nhưng không có cực trị. x2

Lời giải Chọn C • y=

1 3 x − x 2 + x + 2017 ⇒ y ′ = x 2 − 2 x + 1 ; y ′ = 0 ⇒ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (hàm số không 3

0 0

–

+∞ +

+∞

y

+∞

−

x2

+

0

x3

0

−

Nhìn bảng biến thiên suy ra hàm số y = f ( x ) đã cho có 3 điểm cực trị.

y

||

+∞

+∞

+ +∞

0 Theo bảng biến thiên hàm số có một cực trị. Vậy C sai.

1 2 ⇒ y ′ = − 3 đồng biến khi x < 0 , nghịch biến khi x > 0 nhưng không có cực trị. x2 x

Trường THPT Bình Sơn

D. m = 0; m = 1 .

Chọn C Tập xác định D = ℝ .

0

–

+

Lời giải

Bảng biến thiên: −∞

0

Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ x = 1 khi A. m = 1 .

B. m = 0; m = 4 .

C. m = 4 .

2 1 Ta có: y = x ⇒ y′ = 3 • 3 x y ′ không xác định tại x = 0

x

+∞

x4

+

y

2

y′

0

2

Hàm số y = x có một cực trị. Vậy B đúng.

• y=

x1

−∞

Câu 84: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m − 1) x .

0

3

D. 1.

C. 3.

Lời giải

Chọn C Ta có bảng biến thiên y′

−∞

y′

B. 2.

x

có cực trị). Vậy A đúng. − x, x < 0 −1, x < 0 • y= x = ⇒ y′ =  , ≥ 0 x x  1, x ≥ 0

x

A. 4.

34

y′ = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 ( m − 1)

2

* ĐK cần ( ⇒) : Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ x = 1 thì

m = 0 2 y ′ (1) = 0 ⇔ 3 − 6 ( m + 1) + 3 ( m − 1) = 0 ⇔ 3m 2 − 12 m = 0 ⇔  m = 4 * ĐK đủ ( ⇐) 2

+ Với m = 0 , y ′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 nên hàm số không có điểm cực trị. Vậy loại

m = 0.

Trường THPT Bình Sơn

35

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x =1 + Với m = 4 , y ′ = 3 x 2 − 3 0 x + 2 7 ; y ′ = 0 ⇔  nên hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành x = 9 độ x = 1 . Vậy nhận m = 4 .

Câu 85: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hàm số 2

y = f ( x ) có

2

f ′ ( x ) = ( 2 x − 1) x (1 − x ) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đã cho không có cực trị.

C. Hàm số đã cho có hai cực trị.

B. Hàm số đã cho có đúng một cực trị.

D. Hàm số đã cho có ba cực trị.

Lời giải

Chọn B

f ′( x) chỉ đổi dấu qua nghiệm x = 1 nên hàm số đã cho có đúng một cực trị.

2

Câu 86: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Tìm giá trị cực tiểu y C T của hàm số y = x3 − 3x2 + 2 .

A.

B.

yC T = 4 .

C.

yCT = 1 .

yC T = 0

D.

.

Lời giải Chọn D Cách 1:

yCT = − 2 .

Câu 87: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a , b , c , d là các hằng số).

( I ) : Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x ) luôn lớn hơn giá trị cực đại của nó. ( II ) : Hàm số y = ax4 + bx + c ( a ≠ 0) luôn có ít nhất 1 điểm cực trị. ( III ) : Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x ) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.

( IV ) : Hàm số

y = f ( x) =

Số mệnh đề đúng là: A. 1.

ax + b cx + d

ad − bc ≠ 0 ) không có cực trị.

( c ≠ 0;

B. 4.

C. 3.

Lời giải

D. 2.

Chọn D Ta có: * Mệnh đề ( I ) sai, hàm y =

x2 − x +1 là một ví dụ. x −1

* Mệnh đề ( II ) đúng, vì y ′ = 4 a x 3 + b . * Mệnh đề ( III ) sai, hàm

y = x3 − 3x2 + 2

y′ = 3x − 6 x

* Mệnh đề (VI ) đúng.

x = 0 y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2

Vậy số mệnh đề đúng là 2.

2

y = x4 − 2x2

là một ví dụ.

Câu 88: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và

y ′′ = 6 x − 6

2

y′′ ( 0) = −6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại.

có đạo hàm f ′ ( x ) =

y′′ ( 2) = 6 > 0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu.

( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3 )

trị?

A. 1.

yCT = y ( 2) = −2 .

3

x−4

5

. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Cách 2:

Chọn C

y′ = 3x2 − 6 x

x =1  Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 3

x = 0 x = 2

y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 

BBT :

x

−∞

+

y′

y

0 0 2

0

+∞

−2

Dựa vào BBT ta có y C T = − 2 .

Trường THPT Bình Sơn

+∞

2 -

+

Bảng xét dấu của f ′( x) như sau:

+∞ Do f ′( x) đổi dấu khi

36

Trường THPT Bình Sơn

x qua 1, 3, 4

nên hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.

37

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 89: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị hàm số

3

y = x − 3x + 2

Chọn B Ta có y ′ = 3 x 2 + 6 x − 9 , y′ = 0 có hai nghiệm x = 1 ; x = −3 Bảng biến thiên : x −∞ −3 1 y′ 0 0 + −

có

hai điểm cực trị A , B . Diện tích tam giác OAB với O( 0;0) là gốc tọa độ bằng?

A. 2.

B.

1 .

2

C. 1 .

D. 3.

Lời giải Chọn A Ta có S OAB

(1)

Câu 92: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f ′ ( x ) = x ( x + 1)

2 ⇒ BA = ( 2; −4) ⇒ AB = 22 + ( −4) = 2 5

(2)

Đường thẳng AB nhận BA = ( 2; −4 ) là một VTCP nên nhận n = ( 2;1) là một VTPT.

2 = 5 22 + 12 Từ (1), (2), (3) ta được S O A B = 2 .

2

có đạo hàm là

f

4

( x − 1) , số điểm cực tiểu của hàm số f là B. 1.

A. 3.

D. 2.

C. 0.

Lời giải

Chọn B

Kết hợp với AB qua A(1;0) ⇒ AB : 2 ( x −1) +1.( y − 0) = 0 ⇔ 2x + y − 2 = 0 .

⇒ d ( O; AB ) =

10

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai cực trị cùng dấu.

 x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ A (1;0 ) Đạo hàm y ′ = 3 x 2 − 3 . Cho y′ = 0 ⇔   x = −1 ⇒ y = 4 ⇒ B ( −1; 4 )

2.0 + 0 − 2

+∞

42

y

1 = AB.d ( O ; AB ) 2

+∞ +

x = 0 2 4 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( x − 1) = 0 ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu:

(3)

Câu 90: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Vậy số điểm cực tiểu của hàm số đã cho 1.

trên ℝ và có bảng biến thiên:

x

−∞

y′

−

+∞

−1 0

0

+

||

−

1 0

0

+

+∞

Câu 93: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Đường thẳng đi qua 2điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là: A. y = x − 4 .

B. y = 2 x + 2 .

C. y = − x + 1 .

+∞

y −3 −3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −3 .

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 và 1.

Lời giải Chọn A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 91: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 5 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .

B. Hàm số có hai cực trị cùng dấu.

C. Hàm số đồng biến trên ℝ .

D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.

Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

38

D. y = − 2 x + 2 .

Lời giải Chọn D Ta có: y ′ =

3x2 − 6x

.

x = 0 y′ = 0 ⇔  . x = 2 Với x = 0 ⇒ y = 2 ; x = 2 ⇒ y = − 2 . Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng y = ax + b đi qua A( 0;2) ; b = 2 2 = b . ⇔  −2 = 2 a + b  a = −2

B ( 2; −2) nên ta có  V ậy y = − 2 x + 2 .

Câu

94:

(THPT

( m −1) x3 + y= 3

Bình

Xuyên-Vĩnh

Phúc-năm

2017-2018)

( m −1) x2 + 4x −1. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Trường THPT Bình Sơn

39

x1

Cho

hàm

, đạt cực đại tại

x2

số

đồng

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. − 2; 0 ; 3; 0.

thời x 1 < x 2 khi và chỉ khi:

A. m < 1 .

m = 1 C.  . m = 5 Lời giải

B. m > 5 .

Chọn A Yêu cầu bài toán tương đương tìm

m > 1 D.  . m < 5

 m < 1 2 2 ∆′ = ( m − 1) − 4 ( m − 1) = m − 6m + 5 > 0 ⇔   m > 5 ⇔ m < 1 . m − 1 < 0  Câu 95: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Biết rằng hàm số

Chọn D TXĐ: D = ℝ Ta có y ′ = 3 x 2

y = x3 − 2 x2 + mx + 3

m bằng

B. 3.

C. 2.

Lời giải

(*) .

Đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị là ( 0;0) và (1;1) .

m để hàm số đã cho có hai cực trị.

có hai nghiệm phân biệt, khi đó:

A. 4.

D. 1 .

 y′ (0 ) = 0 c = 0  3a + 2b + c = 0 a = −2 ′ y 1 = 0  ( )   ⇔ . ⇔ b = 3 d = 0 y 0 = 0 c = d = 0   ( )  a + b + c + d = 1 y 1 =1  ( ) Vậy các hệ số a, b, c, d lần lượt là − 2; 3; 0 ; 0.

Câu 98: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 − 1 2 x + 2 0 là A. ( −2;0) .

B. ( 2; −4) .

C. ( 2;36) .

D. ( −2;36 ) .

Lời giải Chọn D Tập xác định: D = ℝ .

− 4x + m

Điều kiện cần: Do hàm số đạt cực tiểu tài x = 1 ⇒ y′ (1) = 0 ⇔ 3 − 4 + m = 0 ⇔ m = 1 . Điều kiện đủ: Với m = 1 thì y ′ = 3 x − 4 x + 1 ⇒ y ′′ = 6 x − 4

 x = −2 Đạo hàm cấp một: y ′ = 3 x 2 − 1 2 ; y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 12 = 0 ⇔  . x = 2

⇒ y′′ (1) = 2 > 0 . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Đạo hàm cấp hai: y′′ = 6 x . Ta có:

2

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 96: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Hàm số y = x 4 − 2 m x 2 + m − 1 có đúng một cực trị khi và chỉ khi A. m ≤ 0 .

D. 0 ; 0 ; − 2; 3.

Chọn B y′ = 3ax 2 + 2bx + c = 0

y′ = ( m −1) x2 + 2 ( m −1) x + 4 . Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0

đạt cực tiểu tại x = 1 . Giá trị của

B. − 2; 3; 0 ; 0.

C. − 2; 0 ; 0 ; 3.

Lời giải

B. m > 0 .

C.

m tuỳ ý.

y′′ ( 2) = 12 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số. y′′ ( −2) = −12 < 0 nên x = −2 là điểm cực đại của hàm số.

D. m ∈ ∅ .

Lời giải

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là ( −2;36 ) .

Chọn A y′ = 4 x3 − 4m x

Câu 99: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tìm y = x 4 − 2 m x 2 + 2 m + m 4 − 5 đạt cực tiểu tại x = −1 .

= 4x ( x 2 − m ) .

x = 0 y′ = 0 ⇔  2 .  x = m (*) Hàm số có đúng một cực trị

A. m = −1 .

⇔ PT (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 ⇔ m ≤ 0 .

Câu 97: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

có hai điểm cực trị là ( 0;0) và (1;1) . Các hệ số a, b, c, d lần lượt là

B. m = 1 .

Chọn B Tập xác định: D = ℝ . y′ = 4 x 3 − 4m x .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 ⇒ y′ ( −1) = 0 ⇔ −4 + 4m = 0 ⇔ m = 1 .

Với m = 1 hàm số có dạng:

Trường THPT Bình Sơn

40

C. m ≠ −1 .

Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

y = x4 − 2x2 − 2

.

41

m

D. m ≠ 1 .

để hàm số

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG. 3

y′ = 4 x − 4 x

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

.

A. Cực đại của hàm số bằng

y′ = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0

x = 0 ⇔  x = −1 .  x = 1

y′

−

0 0

+

1 0

−

−2

+

−x2 − 2x + 8

+∞

y′ =

+∞

Bảng biến thiên

( x 2 + 8) x

y −3

y

Câu 100: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;4] có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 . y

+∞ −

1 4

1 − 8

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy cực đại của hàm số là y CÐ =

4 x

Lời giải

B. −135 .

y′ = 3x2 − 6 x − 9 = 0

0 1 .

4

C. −120 .

D. −125 .

C. y = − x 4 − x 2 + 1 .

 x = −1 ⇔ ; lim = ±∞ .  x = 3 x→±∞

Bảng biến thiên:

x

Câu 101: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong các hàm số sau đây hàm số nào có cực trị

3 0

−1

−∞

+

y′

y

2x +1 D. y = . x−2

0 5

−

+∞ + +∞

−27

−∞

Dựa vào BBT ta có: y C Đ = 5 , y C T = − 2 7 ⇒ y C Đ . y C T = − 1 3 5 .

Câu 104: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Biết hàm số

Lời giải Chọn C

x3 − ( m +1) x2 + ( m + 2) x −1 đạt cực trị tại x = 1 ( m là tham số thực). Khi đó điểm cực 3 trị của hàm số khác 1 là

x3 2 − x + 3x −1 ta có: 3

y=

.

Loại A và D nên chọn C.

A. −1.

Câu 102: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trường THPT Bình Sơn

0

2 0

+

Chọn B TXĐ: D = ℝ .

Chọn C Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

y′ = x2 − 2 x + 3 > 0 ∀x

−

Lời giải

−2

Xét hàm số y =

−4 0

−∞

A. −3 .

3

x3 2 B. y = − x + 3x −1 .

3

 x = −4 , ∀x ∈ ℝ ; y ′ = 0 ⇔ − x 2 − 2 x + 8 = 0 ⇔  x = 2

Câu 103: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x . Tích các giá trị cực trị của hàm số là

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

1 2

2

y′

−3

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

A. y = x .

D. Cực đại của hàm số bằng −4.

Chọn A

+∞

O

1 .

8

Lời giải

−1 0

−∞

B. Cực đại của hàm số bằng −

C. Cực đại của hàm số bằng 2.

Lập bảng biến thiên:

x

1 .

4

42

x +1 . x2 + 8

B. −2.

C. 3.

Lời giải

Chọn C 2 Ta có: y′ = x − 2 ( m +1) x + m + 2 .

Trường THPT Bình Sơn

43

D. Đáp số khác.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG. 2

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 ⇒ y′ (1) = 0 ⇔ −m + 1 = 0 ⇔ m = 1 .

x3 − 2x2 + 3x −1 và 3 Suy ra điểm cực trị còn lại là x = 3 .

Với m = 1 ta có: y =

y′ = x2 − 4 x + 3 = 0

có đạo hàm f ′( x) = x3 ( x − 1) ( x + 2 ) . Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

x = 1 ⇔ . x = 3

B. 1.

A. 3.

Chọn D

Câu 105: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

x = 0 x = 0  2  Xét f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 2 ) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔  x = 1 . x + 2 = 0  x = −2 

R và đồ thị hàm số y = f ′ ( x) được cho như hình vẽ.

2

3

y

1

Ta có bảng biến thiên:

−1

x

1

0

−2

−∞

f ′( x)

x

O

+

0

−

+∞

1

+

+

0

+∞ f ( 0)

−∞

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị.

Chọn khẳng định đúng A. f ( x ) đạt cực đại tại x = 0 .

B. f ( x ) đạt cực tiểu tại x = −1 .

C. f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 1 .

Lời giải

−∞

−

−1 0

+

Câu

108:

(THPT

Chuyên

Lam-Thanh

Hóa-lần

1-năm

2017-2018)

Cho

hàm

số

y = f ( x ) = x 2 − 2 x − 4 có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm

D. f ( x ) có ba điểm cực trị.

cực trị?

Chọn B Ta có bảng biến thiên

x

0

f ( −2)

f ( x)

f ′( x)

D. 2.

C. 0.

Lời giải

1 0

+∞ −

f ( x) A. 1.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .

Câu 106: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Tính tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = − 2 x 3 + 3 x 2 + 1 8 .

A. 38 .

B. 37 .

C. 40 .

Lời giải

D. 39 .

Chọn B Ta có y ′ = − 6 x 2 + 6 x

–

||

+∞

Câu 107: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ ,

1

1− 5

–∞

y′

Tính tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là S = y ( 0) + y (1) = 18 + 19 = 37.

D. 2.

Chọn B Ta có tập xác định của hàm số là D = ℝ .

Hàm số xác định và liên tục trên ℝ , ta có bảng biến thiên sau:

x

x = 0 y′ = 0 ⇔  x = 1

C. 4.

Lời giải

B. 3.

+

0 5

1+

–

+∞

5

||

+

+∞

y 0

0

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 109: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ

Trường THPT Bình Sơn

44

Trường THPT Bình Sơn

45

x y′

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 2 .

và có bảng biến thiên như sau

B. m ≤ −1 .

C. m ≥ 2 .

Lời giải

D. −1 ≤ m ≤ 2 .

Chọn D Ta có: y ′ = x 2 − 2 m x + m + 2 Để hàm số đã cho không có cực trị khi phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 hay ∆′ ≤ 0 ⇔ m − ( m + 2) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2 .

Câu 112: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) có

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

)(

(

)

2

2 đạo hàm là f ′ ( x ) = x −1 x − 3 . Số điểm cực trị của hàm số này là:

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

A. 1.

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.

B. 2.

Lời giải

Lời giải

Chọn B

Chọn D

x = 1

2 f ′ ( x ) = ( x2 −1) x − 3 = 0 ⇔  x = −1 .

(

Dựa vào điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị.

Câu 110: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số f ( x) = x4 + x3 − mx2 có 3 điểm cực trị?

 9  2

)

x = 3 

m để hàm số Bảng xét dấu y ′

 

A. m ∈( 0; +∞) .

B. m ∈  − ; +∞  \ {0} .

C. m ∈( −∞;0) .

D. m ∈  −

Do đó số điểm cực trị của hàm số là 2.

 9  ; +∞  \ {0} .  32 

Câu 113: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Tìm các giá trị của

m sao cho đồ thị hàm số

1 y = x 3 + mx 2 − ( 6 m + 9 ) x − 12 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với 3

Lời giải Chọn D

trục tung.

y′ = 4 x + 3 x − 2mx = x ( 4 x + 3 x − 2m ) .

3

D. 4.

C. 3.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3 .

2

2

x = 0

Cho y′ = 0 ⇔ 

2 4x + 3x − 2m = 0 (1)

3 2

A. −3 ≠ m < − .

3 2

B. m = −2.

C. m < − .

3 2

D. −3 < m < − .

Lời giải

.

Chọn A

Do y′ = f ′ ( x) là hàm bậc ba nên hàm số y = f ( x ) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình

2 Tập xác định ℝ . Ta có y′ = x + 2mx − ( 6m + 9 ) .

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 x 2 > 0

2 9 ∆  9   (1) = 3 − 4.4. ( −2m) = 9 + 32m > 0 m > − ⇔ m ∈  − ; +∞  \ {0} .

Ta có  ⇔ 32  2  32  4.0 + 3.0 − 2m ≠ 0 m ≠ 0

Câu 111: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Tìm tham số số y = 1 x 3 − mx 2 + ( m + 2 ) x + 2018 không 3

Trường THPT Bình Sơn

có cực trị.

46

 m ≠ −3

∆ ′ = m 2 + 6 m + 9 > 0  ⇔ ⇔ 3.  −6 m − 9 > 0 m < −



m để hàm

2

Câu 114: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Biết đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 có

Trường THPT Bình Sơn

47

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

hai điểm cực trị là A( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) . Khẳng định nào sau đây không đúng?

A.

y1 y 2 = − 4

B. AB = 4 2 .

.

C.

y1 = − y 2

D. x1 − x2 = 2 .

.

Lời giải

Câu 117: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Biết rằng đồ thị hàm số

y = f ( x ) = x3 + ax2 + bx + c có hai điểm cực trị A , B và đường thẳng AB đi qua điểm I ( 0;1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc + 2ab + 3c .

Từ đó suy ra các khẳng định A, C, D đúng. Khẳng định B không đúng.

A. −22 .

=2 5.

2

B. 22 .

C. −34 .

D. 34 .

Lời giải

Câu 115: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số y = x 4 + 2 x 3 − 2 01 7 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Lời giải Chọn B Tập xác định D = ℝ .

3

m .

3

⇔ 4 − m = 13 ⇔ m = −9 . Vậy m0 = −9 ∈( −15; −7) .

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(1;2) và B ( 3; − 2 ) .

2

y′ = 0 nên: x1 + x2 = 2; x1 . x2 =

2

Với x = 3 ⇒ y = − 2 .

2

x1; x2 là nghiệm của

Để x12 + x2 2 − x1 x2 = 13 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1.x1 = 13

x = 1 Ta có y ′ = 3 x 2 − 1 2 x + 9 ⇒ y ′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 1 2 x + 9 = 0 ⇔  . x = 3 Với x = 1 ⇒ y = 2 .

( 3 −1) + ( −2 − 2)

Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m < 3 .

Hai điểm cực trị

Chọn B

Thật vậy AB =

y′ = 3x2 − 6x + m.

2 Xét y′ = 0 ⇔ 3x − 6x + m = 0 ; ∆′ = 9 − 3m .

Chọn A 2

Ta có

y′ = 3x2 + 2ax + b và y = y′  1 x + 1 a  + 6b − 2a x + 9c − ab . 3

9 

9

9

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là AB : y =

6b − 2a2 9c − ab x+ .

9 9

9c − ab Vì I ( 0;1) thuộc AB nên: 1 = ⇔ ab = 9c − 9 .

9

2

Ta có y′ = 4x + 6x = 2x ( 2x + 3)

2

Khi đó, P = abc + 2 ab + 3c = c ( 9c − 9 ) + 2. ( 9c − 9 ) + 3c = 9c 2 + 12c − 18 ≥ ( 3c + 2 ) − 22 ≥ 22 .

 x=0 y′ = 0 ⇔  x = − 3  2

2 Vây min P = −22 đạt được khi c = − .

3

Do y ′ chỉ đổi dấu khi đi qua x = −

3 nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

2

Câu 118: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Giả sử A , B là hai điểm cực trị của 3 2 đồ thị hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ

nhất của P = abc + ab + c .

A. − 16 .

9

D. 1.

Lời giải

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 116: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Biết 3

C. − 2 5 .

B. −9 .

25

2

m để hàm số y = x −3x + mx −1 có hai điểm cực trị x1, x2

2 1

m0 là giá trị của tham số

2

sao cho x + x2 − x1x2 = 13 . Mệnh đề nào

B. m0 ∈( 7;10) .

C. m0 ∈( −15; −7) .

Lời giải

Chọn C TXĐ: D = R

Trường THPT Bình Sơn

f ′ ( x ) = 3x2 + 2ax + b . Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ a 2 − 3b > 0 .

dưới đây đúng?

A. m0 ∈( −1;7) .

Chọn C TXĐ D = ℝ .

48

D. m0 ∈( −7; −1) .

Lấy f ( x ) chia cho f ′( x) .

1 3

1  2 9  3

2 9

1 9

Ta có f ( x ) = f ′ ( x ) . x + a  +  b −  x + c − ab .

Trường THPT Bình Sơn

49

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

2 3

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

2 9

1 9

Ta có

Suy ra đường thẳng đi qua A , B là: y =  b −  x + c − ab ( d ) .

9

Do đó S OAB =

2

5 25 Khi đó P = abc + ab + c ⇔ P = 9 c 2 + 10 c ⇔ P =  3c +  − .

3 9 

của tham số

Câu 119: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A. y = −

16 8 x+ .

3 3

B. y =

y = x + 3x − 5x +1 là 1 3

C. y = − x +

8 .

3

D. y =

1 8 x− .

3 3

Lời giải

Gọi

y′ = 3x2 + 6x −5 . Lấy y chia

1 1 OA.OB = 4 m 3 2 m = 4 ⇔ 8 m 4 = 8 ⇔ m = ± 1.

2 2

m để hàm số y = x3 + x2 − ( 2m + 1) x + 4 có đúng hai cực trị.

2 .

3

B. m > −

4 .

3

y ′ , ta được y = −

16 8 1 1 x + +  x +  . y′ 3 3 3 3

Chọn A 2 Ta có y′ = 3x + 2 x − ( 2m +1) .

⇔ 12 + 3( 2m +1) > 0 ⇔ m > − 2 .

3

Câu 122: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực trục hoành.

A. − 1 < m ≠ 0 .

4

C. − 1 < m < 0 .

B. m > 0 .

4

D. m < − 1 .

4

Lời giải

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

Chọn A

16 8 x+ .

3 3

Câu 120: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Tất cả các giá trị của tham số thực

m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A , B

sao cho tam giác OAB có diện

tích bằng 4 với O là gốc tọa độ là

 m = −1 B.  . m = 1

C. m = 1 .

Lời giải Chọn B

1  m = − 4 2 D.  .

1  m =  4 2 

2 TXĐ: D = ℝ , có y′ = 3x − 4x + (1 − m) .

Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành thì y = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Suy ra x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − x − m ) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

1 + 4m > 0 1 Nên  ⇔ − < m ≠ 0.

1 − 1 − m ≠ 0 4  Câu 123: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Với giá trị nào của tham số 1 hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1 đạt cực đại tại điểm x = 1 .

3

A. m = 2 .

Tập xác định ℝ .

B. m = 3 .

C. m = −1 .

Lời giải

Chọn A

Trường THPT Bình Sơn

4 3

D. m < .

m để đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + (1− m) x + m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với

 16 8 1 1 16 8 16 8   y ( x1 ) = − 3 x1 + 3 +  3 x1 + 3  . y′ ( x1 ) = − 3 x1 + 3  y1 = − 3 x1 + 3    Do đó  ⇔  y ( x ) = − 16 x + 8 +  1 x + 1  . y′ ( x ) = − 16 x + 8  y = − 16 x + 8 2 2 2 2 2  2   2 3 3 3 3 3 3 3 3 

A. m ≠ 0 .

2 .

3

Hàm số đã cho có đúng hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1; x2 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ⇒ y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) = 0 .

y=−

C. m < − Lời giải

Chọn A Ta có

A. m > −

2

16 8 x+ .

3 3

⇔ 3x ( x − 2m) = 0 . y′ > 0 có hai nghiệm phân

Câu 121: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực

25 .

9 3

3 x 2 − 6 mx = 0

biệt khi và chỉ khi m ≠ 0. Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; 4m3 ) và B ( 2m; 0) .

1 Theo đầu bài ( d ) đi qua gốc tọa độ ⇒ c − ab = 0 ⇔ ab = 9c .

Suy ra min P = −

y′ = 3x2 − 6mx . Khi đó

50

Trường THPT Bình Sơn

51

D. m = 0 .

m

thì

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Ta có y ′ = x − 2 mx + ( m − m + 1) ; y ′′ = 2 x − 2m 2

2

Điều kiện để O không nằm trên đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu 3m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠

 m = 2  y′ (1) = 0 m2 − 3m + 2 = 0  ⇔ ⇔  m = 1 ⇔ m = 2. Điều kiện    y′′ (1) < 0 2 − 2m < 0 m > 1 Câu 124: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm giá trị của 4

Để tam giác OAB vuông tại O thì

OA.OB = 0 ⇒ ( m − 1)( m + 1) + ( m + 1)( m − 3) = 0 ⇒ m = −1 hoặc m = 2 (thỏa mãn điều kiện).

Câu 126: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham

m để đồ thị hàm số

2

y = x − 2mx + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

3

A. m= 3 .

B. m= 3 .

C. m = 3 3 .

D. m = 1 .

Lời giải:

1

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; 2 ) , B − m ; 2 − m 2 , C

)

(

)

m ; 2 − m2 .

Ba điểm cực trị này lập thành tam giác cân đỉnh A . Gọi H là trung điểm cạnh BC ta có H ( 0; 2 − m 2 ) .

(

)

= 2 m , AH =

13 (*) 3

2   2m 26 

7m 2

7m 2  2m 26 −  x+ + . Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua 3 9 9 3

điểm cực trị là y =  

M ( 9; − 5) nên m = 3 (thỏa mãn điều kiện (*) ).

Câu 127: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

(2−2+ m ) = m .

2

3

trục hoành.

A. ∅ .

B. ( −∞;3) ∪( 3;4] .

Câu 125: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

C. ( −∞;3) ∪( 3;4) .

Chọn C

O một tam giác vuông tại O khi:

Ta có y = x 3 − 5 x 2 + ( m + 4 ) x − m = ( x − 1) ( x 2 − 4 x + m )

C. m = −1 .

D. m = 2 .

Lời giải Chọn B Ta có y ′ = 3 x 2 − 6 mx + 3 ( m 2 − 1) , y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ x1 = m −1,

x2 = m+1. 1 3

Ta có y =  x −

m  . y′ − 2x + 3m −1 nên ta chứng minh được đường thẳng qua cực đại cực 3

tiểu là y = − 2 x + 3 m − 1 .

Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có là A( m −1; m +1) và B ( m +1; m − 3) .

Trường THPT Bình Sơn

52

D. ( −∞;4) .

Lời giải

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m 3 + 4 m − 1 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị tạo với gốc toạ độ

 m = −1 B.  . m = 2

m

2

sao cho đồ thị hàm số y = x − 5x + ( m + 4) x − m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với

Vậy diện tích tam giác ABC là S = 1 . AH .BC = 1 m .2 m = 1 ⇔ m = 1.

2 2

m = 1 A.  .  m = −2

y ′ = 0 có hai

−  x+ + nên phương trình đường thẳng đi qua hai Ta có y = y′. x +  +  3 9  3 9 9 3

Vì thế hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.

2

nằm

D. m = −1.

y′ = 3x2 + 4x + m−3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình

nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ′ > 0 ⇔ m <  x = m.

m+ m

m để đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + ( m − 3) x + m có hai điểm cực trị và điểm M ( 9; − 5)

Ta có

x=0 y′ = 4 x3 − 4mx. Do đó y ′ = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔  2

Ta có BC =

số

trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

A. m = −5.

B. m = 3.

C. m = 2.

Lời giải : Chọn B

Chọn D Tập xác định D = ℝ .

(

1 3

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 4 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

4 − m > 0 m < 4 . ⇔ ⇔ 1 − 4 + m ≠ 0 m ≠ 3 Câu 128: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = x3 + ax2 + bx + c và giả

sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết AB đi qua gốc tọa độ O ?

A. 2b + 9 = 3a.

B. c = 0.

C. ab = 9c.

D. a = 0.

Lời giải Chọn C

y′ = 3x2 + 2ax + b . Để hàm số có cực trị thì y′ = 0 ⇔3x2 + 2ax + b = 0 có hai nghiệm phân Trường THPT Bình Sơn

53

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

biệt hay a − 3b > 0 ⇔ a > 3b . Ta có

y = 2x3 −9x2 +12x +1, y′ = 6x2 −18x +12

ab   x a    2 2a  y = y′.  +  +   −  x + c −  . Suy ra phương trình đường thẳng đí qua hai điểm 9  3 9   3 9 

x = 1 y′ = 0 ⇔  x = 2 Bảng biến thiên

2

2

2



2



A , B là y =  2 − 2 a  x + c − ab . Nếu AB đi qua gốc tọa độ O thì c − ab = 0 ⇔ ab = 9c .

3 9 9 9 

x



Câu 129: (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 1 3 x − ( m + 1) x 2 − ( 2 m − 1) x + m + 2 , 3

f (x) =

+

0

−

+∞

Dựa vào BBT ta thấy hàm số không đạt cực tiểu tại x = 1 . Do đó a = 1 không thỏa mãn.

D. −22 .

C. −18 .

+ Với a = −

Lời giải Chọn D

y = 2 x3 −

2 Ta có f ′ ( x) = x − 2 ( m +1) x − 2m +1.

biệt

+∞

2

0

−∞

B. 1.

Hàm số có hai điểm cực trị

+

y

m là tham số. Biết hàm số có hai điểm cực trị

x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x12 + x22 −10 ( x1 + x2 ) .

A. 78 .

1

−∞

y′

x1 , x2 khi và chỉ khi phương trình f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm phân m>0

x1 , x2 ⇔ ∆ ′ = m 2 + 4 m > 0 ⇔  .  m < −4

1 2

9 2 x + 3x + 1 , 2

y′ = 6x2 −9x +3

1  x= y′ = 0 ⇔  2  x = 1 Bảng biến thiên

x

Theo Vi-et ta có x1 + x2 = 2 ( m +1) , x1x2 =1− 2m.

1 2

−∞

+

y′

2

T = x12 + x22 − 10 ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − 10 ( x1 + x2 ) .

⇒ T = 4m 2 − 8m − 18 = 4 ( m − 1)2 − 22 ≥ −22 .

+∞

1

0

+

0

−

y

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là −22 khi m = 1 .

Câu 130: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số

a

y = 2x3 + 9ax2 +12a2 x +1 có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu của đồ

thị hàm số bằng 1.

A. a = − 1 .

2

C. a = 1 .

B. a = 1 .

D. a = −1 .

2

A.

1 thỏa mãn.

2

y = −x3 − 3x2 + 4 . Biết rằng có hai giá

m1 , m2 của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với 2

m1 + m2 = 0 .

B.

m1 + m2 = 10 .

C.

m1 +m2 .

m1 + m2 = 6 .

D.

m1 + m2 = −6 .

Lời giải

y′ = 6x2 +18ax +12a2 (1)

Chọn D

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì ∆′ > 0 ⇔ 81a − 72 a = 9 a > 0 luôn đúng ∀a ∈R .

2

2

2

xCT là nghiệm của phương trình (1) . Từ giả thiết xCT =1 thay vào phương trình (1) ta

1  a=− có: 12 a + 18 a + 6 = 0 ⇔  2   a = −1

Ta có

x 1 y′ = −3x2 − 6x và y =  +  y′ + 2x + 4 , suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai  3 3

điểm cực trị của đồ thị hàm số là y = 2 x + 4 ⇔ 2 x − y + 4 = 0 , ( ∆ ) .

2

2

2

Đường tròn ( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5 có tâm I ( m; m + 1) và bán kính Đường thẳng ( ∆ ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) khi và chỉ khi

+ Với a = −1

Trường THPT Bình Sơn

trị

2

Chọn A TXĐ: D = R

Do đó

Câu 131: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

đường tròn ( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5 . Tính tổng

Lời giải

+

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . Do đó a = −

54

Trường THPT Bình Sơn

55

R= 5 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

d ( I , ( ∆)) = R ⇔

2m − m −1 + 4 5

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

 m=2 = 5 ⇔ m+3 = 5 ⇔  . Vậy m1 + m2 = −6 .  m = −8

Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x 2 . Theo bài ra ta có phương trình:

x12 + x22 = 7 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 7

Câu 132: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả giá trị thực của

m để đồ thị hàm số y = x3 −3mx2 + 2 có hai điểm cực trị A

tham số

và B sao cho các điểm

Vậy có hai giá trị của

C. m = 2 .

B. m = − 2 .

2 .

D.

m = −

(

2 ;

Chọn D

y′ = 3x2 − 6mx ;

y′ = 0

trị A và B .

Ta có y =  1 x − m  y ′ + 2 x + 3

⇔m

= ±

2 (do

A. 3.

B. 1.

7 . Hỏi có mấy giá trị của m ?

C. Không có Lời giải.

m.

Chọn D 2 Có y′ ( x ) = x − mx + 1 ,

•

(

)

⇔

m3 + m = 5m − 9 ⇔ m 3 − 14 m + 27 = 0 (1) . Gọi m1 , m2 , m3 là ba 3

nghiệm của (1) . Áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc ba ta có

Câu

135:

(THPT

S = m1 + m2 + m3 = 0 hoặc dùng MTCT

D. 2.

A. 4.

ChasnhPhus

m

Yên

năm

2017-2018)

Cho

hàm

số

là tham số; gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số đã

B. 1.

m > 2 Điều này tương đương với ∆ > 0 ⇔ m 2 − 4 > 0 ⇔  .  m < −2

Khi đó

56

Văn

cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = ( x12 − 1)( x22 − 1) bằng

Đạo hàm

x1 , x2 . Khi đó, ta có

Lương

1 1 y = x 3 − mx 2 − 4 x − 10 , với 3 2

Để hàm số có cực trị thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt.

Trường THPT Bình Sơn

3

m m2 −1 2 x+ 3 3

C. 0.

Lời giải

D. 9.

Chọn D Tập xác định D = ℝ .

y′ = 0 ⇔ x2 − mx +1= 0 (1) .

Gọi hai nghiệm của (1) là

3

suy ra đường thẳng AB : y =

giải tính tổng ba nghiệm ta được S = 0 .

1 3 1 x − mx 2 + x − 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh 3 2

của tam giác vuông có cạnh huyền là

•

 m3 + m  Ta có I  m, ∈d 3  

m ≠ 0 ).

Câu 133: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng đồ thị hàm số f ( x) =

3

m ( m 2 − 1)

A , B nằm khác phía và cách đều d : y = 5 x − 9 ⇔Trung điểm I của đoạn AB thuộc d .

thẳng hàng ⇔ M A , MB cùng phương

2m −1 4 − 4m3 2m − 1 1 − m3 = = ⇔ ⇔ 2m − 1 = m 3 − 1 ⇔ m 3 = 2m −1 4 −1 1 =2

D. 3.

y′ = x2 − 2mx + m2 −1. ∆′ = m 2 − ( m 2 − 1) = 1 ⇒ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số có hai điểm cực

Ta có MA = ( −1; 4 ) , MB = ( 2 m − 1; 4 − 4 m 3 ) .

⇔ m2

C. −6 .

Hướng dẫn giải

Ta có

Khi đó hai điểm cực trị là A( 0;2) , B ( 2 m; 2 − 4 m 3 ) .

⇔

B. 0.

Chọn B

⇔ 3 x 2 − 6 mx = 0 ⇔ x = 0 , x = 2m .

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 .

Ba điểm A , B và M (1; − 2)

)

B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y = 5 x − 9 . Tính tổng các phần tử của S .

A. 6.

Hướng dẫn giải Ta có:

m

1 để đồ thị của hàm số y = x 3 − mx 2 + m 2 − 1 x có hai điểm cực trị là A và B sao cho A , 3

2 .

m =

m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 134: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của

A , B và M (1; − 2) thẳng hàng.

A. m =

⇔ m 2 − 2 = 7 ⇔ m 2 = 9 ⇔ m = ±3 (thỏa mãn).

 x1 + x2 = m .   x1.x2 = 1

y′ = x2 − mx − 4 .

y′ = 0 ⇔ x2 − mx − 4 = 0 .

Ta có ∆ = m 2 + 16 > 0 , ∀m ∈ ℝ ⇒ y′ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ∈ ℝ hay hàm số luôn có hai điểm cực trị

Trường THPT Bình Sơn

x1 , x2 ∀m ∈ ℝ .

57

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Do

x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải

 x1 + x2 = m .  x1.x2 = −4

y′ = 0 nên theo định lý Viet ta có  2

Chọn A

2

P = ( x12 − 1)( x22 − 1) = ( x1 x 2 ) − ( x12 + x22 ) + 1 = ( x1 x2 ) − ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 + 1 2

= 16 − m 2 − 8 + 1 = − m 2 + 9 ≤ 9 , ∀m ∈ ℝ .

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9 ⇔ m = 0 .

⇒SOBC = 1 0. ( m − 2 ) − ( m − 1) .1

mãn

m

3 2 để hàm số y = x − 3( m +1) x +12mx − 3m + 4 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa

x1 < 3 < x2 .

A. m ≠ 1 .

3 C. m < .

2

B. m > 1 .

đường tròn ngoại tiếp bằng

x = 2 y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 12m = 0 ⇔ x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 ⇔  .  x = 2m

137:

(THPT

A. P = 2 .

Lộc-Hà

Tĩnh-lần

1

năm

2017-2018)

Cho

biết

hàm

số

tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại x = −2 .

B. f ( −2) = 24 .

C. f ( −2) = 2 .

5 . Tính P = m1 + 5m2 .

5 3

5 3

B. P = .

D. f ( −2) = 16 .

Khi đó

y x m −2x = − + do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C ) là y′ 3 3 y′

(

3

)

y = − 2 x hoặc y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + m = ( x − m ) + m − 3 x .

2  x = m − 1 ⇒ y1 = −2m + 2 .

Lại có: y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 mx + 3 m 2 = 3 ⇔ ( x − m ) = 1 ⇔  1  x 2 = m + 1 ⇒ y 2 = −2 m − 2

Gọi A ( m −1; − 2m + 2) , B ( m + 1; − 2m − 2 ) ⇒ AB = 2 đường tròn

2 Ta có: f ′ ( x ) = 3x + 2ax + b .

do đó

Lời giải

 f ′ (1) = 0 2a + b = −3 a = 3    Theo đề bài ta có:  f ( 3) = 29 ⇔ 9a + 3b + c = 2 ⇔ b = −9 .  c = 2 c = 2    f ( 0) = 2

tham số

2

A. −15 .

Trường THPT Bình Sơn

B. 12 .

C. 6.

58

⇔ IA . IB = 0

⇔ ( m − 2) m + ( −2m +1)( −2m − 3) = 0

Câu 140: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số

m1 , m2 là các giá trị của

m để đồ thị hàm số y = 2x −3x + m−1 có hai điểm cực trị là B ,

giác OBC có diện tích bằng 2, với O là gốc tọa độ. Tính

AIB= 90° hay AI ⊥ BI

5 do đó AB là đường kính của

 m = −1 . ⇔ 5m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔  m = 3 5  3 Vậy m1 =−1, m 2 = ⇒ P = m1 + 5m2 = 2 .

5

⇒ f ( x) = x3 + 3x2 − 9x + 2 ⇒ f ( −2) = 24 .

Câu 138: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Gọi

D. P = −2 .

C. P = − .

Chọn B

3

m1 , m2 với

Chọn A Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 mx + 3 ( m 2 − 1) .

y = f ( x ) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị tại điểm x = 1 , f ( 3) = 29 và đồ thị hàm số cắt trục A. f ( −2) = 4 .

(kí hiệu

Lời giải

x1 , x2 thỏa mãn x1 < 3 < x2 khi và chỉ khi

3 .

2

Can

m

m1 < m2 ) sao cho hai điểm cực trị của ( C ) cùng với I tạo thành một tam giác có bán kính

2 Ta có y′ = 3x − 6 ( m + 1) x + 12m .

Câu

m = 5 1 ⇒mm m −1 = 2 ⇔  1 2 =−15 .

2  m = −3

có đồ thị ( C ) và điểm I (1;1) . Biết rằng có hai giá trị của tham số

Chọn D

2 < 3 < 2m ⇔ m >

SOBC = 2 ⇒

Bài ra

1 m −1 .

2

Câu 139: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m

3 D. m > .

2

Lời giải

Bởi vậy, hàm số đã cho có hai điểm cực trị

=

2

Câu 136: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

OB = ( 0; m − 1) ⇒   x = 1 ⇒ y = m − 2 ⇒ C (1; m − 2) OC = (1; m − 2 )

 x = 0 ⇒ y = m − 1 ⇒ B ( 0; m − 1)

y ' = 6x2 − 6x = 0 ⇒ 

Ta có

C sao cho tam

m1m2 .

D. −20 .

y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2 ?

A. 3.

B. 1.

C. 2.

Lời giải Chọn D

Trường THPT Bình Sơn

59

m để đồ thị hàm số có D. 0.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải

y = − x + 3 x + 3 ( m − 1) x − 3m − 1 ⇒ y ′ = − 3 x + 6 x + 3 ( m − 1) .

3

2

2

2

2

2

x = 1− m . y′ = 0 ⇔  x = 1+ m Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2 thì

m ≠ 0 m ≠ 0   1 + m < 2 ⇔ m < 1 . 1 − m < 2 m > −1   Vậy không có giá trị nguyên nào của

Chọn B Đạo hàm :

Hàm số có hai cực trị x1 , x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ a < −3 ∪ a > 0 .

Khi đó

m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 141: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Có bao nhiêu số nguyên số

3

m để hàm

2

y = x −3x − mx + 4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng ( −3;3) .

A. 12 .

B. 11 .

C. 13 .

Lời giải

x1 , x2 là nghiệm pt (1) , theo định lý Viet :

 x 2 + 2 ax2 + 9 a = x12 + ( x1 + x2 ) x2 − 3 x1 x2 = ( x1 − x2 ) = 4 a 2 + 12 a Do đó :  1 .

2

2

D. 10 .

Theo đề bài, ta có :

y′ = 3x2 − 6x − m

Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng ( −3;3) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai

x1 , x2 ∈ ( −3;3) .

thỏa mãn

⇔ m = 3 x 2 − 6 x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ ( −3;3) .

4 a + 12 a 4 a + 12 + =2⇔ = 1 ⇔ a = −4 . a 4 a + 12 a

Câu 143: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = là tham số. Biết

nghiệm phân biệt x1 , x2 ∈ ( −3;3) . ⇔ 3 x 2 − 6 x − m = 0 có hai nghiệm phân biệt

 x1 + x2 = 2 a .   x1 .x2 = −3a

2 2 2  x2 + 2 ax1 + 9 a = x2 + ( x1 + x2 ) x1 − 3 x1 x2 = ( x1 − x2 ) = 4 a + 12 a

Chọn B Ta có

y′ = x2 − 2ax −3a , y′ = 0 ⇔ x2 − 2ax −3a = 0 (1)

a

a0 là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x1, x2

2 1

x + 2ax2 + 9a a2 + 2 = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 a x2 + 2ax1 + 9a

A. a0 ∈ ( −7; −3) .

2 Xét hàm số f ( x) = 3x − 6x .

1 3 x − ax 2 − 3ax + 4 với 3

B. a0 ∈ ( −10; −7 ) .

C. a0 ∈ ( 7;10) .

D. a0 ∈ (1;7 ) .

Lời giải

Ta có f ′ ( x ) = 6x − 6 ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .

Bảng biến thiên

Chọn A

y′ = x2 − 2ax −3a Theo yêu bài toán: ∆ > 0 ⇔ a 2 + 3 a > 0 ⇔ a < − 3 ∨ a > 0 .

2

2

2

2

Ta có: x1 − 2ax1 − 3a = 0 ⇒ x1 = 2ax1 + 3a ; x2 − 2ax2 − 3a = 0 ⇒ x2 = 2ax2 + 3a

x12 + 2ax2 + 9a a2 2ax1 + 3a + 2ax2 + 9a a2 + 2 =2 ⇔ + =2 2 2 a x2 + 2ax1 + 9a a 2ax2 + 3a + 2ax1 + 9a

Dựa vào bảng biến thiên ta có −3 < m < 9 .

Vậy m∈{−2; −1;0;...;8} .

⇔

Câu 142: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

x3 y = − ax2 − 3ax + 4 .

3

Để

hàm

x12 + 2ax2 + 9a a2 + 2 = 2 thì 2 a x2 + 2ax1 + 9a

 

5 2

A. a ∈  −3; −  .

Trường THPT Bình Sơn

 

số

đạt

cực

trị

tại

x1 ,

x2

thỏa

mãn

7 2

C. a∈( −2; −1) .

60

Do a 2 + 3 a > 0 nên: Dấu '' = '' xảy ra:

a thuộc khoảng nào ?

B. a ∈  −5; −  .

2 a ( x1 + x2 ) + 12 a a2 4 a 2 + 12 a a2 + =2⇔ + 2 =2 a2 2 a ( x1 + x2 ) + 12a a2 4 a + 12 a

 7  2

 

D. a ∈  − ; − 3  .

4a2 + 12a a2 + ≥2 a2 4a2 + 12a

a = 0 4a 2 + 12a a2 = 2 ⇔ 4a 2 + 12a = a 2 ⇔ 3a 2 + 12a = 0 ⇔  .

2 a 4a + 12a  a = −4

V ậ y a = −4 .

3

Câu 144: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x + m 2 có đồ

Trường THPT Bình Sơn

61

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

thị là ( Cm ) với một giá trị

m

m

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

là tham số thực. Biết điểm M ( a; b) là điểm cực đại của ( Cm ) ứng với

thích hợp, đồng thời là điểm cực tiểu của ( Cm ) ứng với một giá trị khác của

m . Tổng

S = 2018a + 2020b bằng A. 504 .

B. −504 .

C. 12504 .

D. 5004 .

R= 5 nên từ

4

m = 1 2 2 . ⇔ ( m − 2 ) + ( −4m + 2 ) = 5 ⇔ 17 m 2 − 20 m + 3 = 0 ⇔  m = 3 17  Tổng tất cả các số m bằng 1 + 3 = 20 .

17 17

3

Vì điểm M ( a; b) thuộc đồ thị ( Cm ) nên ta có: ( a − m ) − 3a + m 2 = b, ∀m ∈ ℝ . (1)

m +1 0

+∞

Câu 146: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá tri thực của tham số

+ +∞

y

thị hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Nếu

m1 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm

M ( a; b) là điểm cực đại thì a = m1 −1. Nếu m2 là giá trị của tham số nhận điểm M ( a; b) là điểm cực tiểu thì

m để đồ thị hàm số

2

3

m là tham số. Gọi A , B

cực trị của đồ thị hàm số và I ( 2; −2) . Tổng tất cả các số tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng

5 là

A. − 2 .

17

C. 14 .

17

B. 4 .

17

D. 2 0 .

17

( m > 0)

(

Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Ta có H ( 0; −m S ∆ ABC =

tạo thành

2

) ( + m − 1)

)

m ; −m 2 + m − 1 .

1 AB . AC .BC (do ∆ABC cân tại A ) .

AH .BC = 2 4R

 AH = m2

⇔ AB 2 = 2 AH . R trong đó 

4  AB = m + m

4 Suy ra m + m 4 = 4m 4 ⇔ 3m = m ⇔ m =

1 .

3

3

Câu 147: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

y = x4 − 2mx2 − 2m2 + m4 có đồ thị ( C ) . Biết đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C và

Chọn D x = m +1 y′ = 3x2 − 6mx + 3m2 − 3 = 3 ( x − m) −1 ; 2 ⇔  .  x = m −1 2

m.

Giả sử A( m +1; −4m − 2) ; B ( m −1; −4m + 2) . Ta có

Trường THPT Bình Sơn

Chọn A y′ = 4 x 3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )

Tọa độ ba điểm cực trị: A( 0; m−1) , B − m ; − m 2 + m − 1 , C

là hai điểm

D. 4.

C. 3.

Lời giải

x = ± m

m để ba điểm I , A , B

Lời giải

Do đó, hàm số luôn có hai cực trị với mọi

y = x − 2mx + m−1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường

Xét y′ = 0 ⇔ 

Câu 145: Cho hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m − m , với 2

m để đồ

2

x = 0

a = m2 +1.

1   − 1 − 3a + ( a + 1)2 = b a = 2 Mà m1 , m2 phải thỏa mãn (1) nên ta có:  . ⇔ 2 1 − 3a + ( a − 1) = b b = − 1  4 Vậy S = 2018a + 2020b = 504 .

3

4

tròn ngoại tiếp chúng bằng 1?

A. 1.

B. 2.

CT

−∞

= 2R suy ra

o AB

sin AIB = = 1 ⇒ AIB = 90 hay ∆AIB vuông tại I .

2R

2

Chọn A

 x = m −1 2 Xét y′ = 3 ( x − m ) − 3 ; y′ = 0 ⇔  .  x = m +1 Bảng biến thiên x −∞ m −1 y′ 0 + − CĐ

AB sin AIB

AB2 2 1 =5 Gọi M là trung điểm AB , ta có M ( m; −4m) và IM = AB ⇔ IM =

Lời giải

Ta có

Mặt khác, vì ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

62

ABDC là hình thoi trong đó D( 0; −3) , A thuộc trục tung. Khi đó

9 5

 

A. m ∈  ; 2  .

AB= 2 5 , ∀m ∈ R .

 

1 2

C. m∈ ( 2;3) .

B. m ∈  −1;  .

Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

63

m thuộc khoảng nào? 1 9  2 5

D. m ∈  ;  .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn D

Câu 150: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

x = 0 Ta có y ′ = 4 x x 2 − m ⇒ y ′ = 0 ⇔  2 ; x = m

(

4

(

C

(

m ; m − 3m

2

)

)

. Để ABDC là hình thoi điều kiện là BC ⊥ AD và trung điểm I của BC

trùng với trung điểm J của AD . Do tính đối xứng ta luôn có BC ⊥ AD nên chỉ cần

(

2

)

m = 1

1 9 ⇔ m ∈ ;  .

3 m =  2 5 

2

Trường hợp m = −1 , suy ra y = 2x +1 ⇒ Hàm số có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại nên loại m = −1 .

Trường hợp m ≠ −1 3 Ta có: y′ = 4 ( m + 1) x − 2 ( m −1) x = 2 x  2 ( m + 1) x 2 − ( m − 1)

x = 0 Xét y′ = 0 ⇔  2  g ( x ) = 2 ( m + 1) x − ( m −1) = 0 (*)

x = 0 Xét y ′ = 0 ⇔  2 . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m > −1 (* ) x = m +1

Tọa độ ba điểm cực trị là A ( 0; m 2 ) , B

Câu 149: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Tìm

m đề đồ thị hàm số

2

) (

m + 1; − 2 m − 1 , C − m + 1; − 2 m − 1

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi

AH = BH ⇔

( m +1)

4

= m +1 ⇔ m = 0 : T / m (*) .

Câu 151: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Gọi ( P ) là đường Parabol qua ba điểm cực

Hỏi

1 4 x − mx 2 + m 2 . Gọi 4

x = 0 . y ' = 4 x 3 − 4 mx = 0 ⇔  2 x = m

m0 thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (10; 15) .

B. ( −6; 1) .

C. ( −2; 10) .

Lời giải

64

(

)

)

m; − m2 +1 , C − m; − m2 +1 .

(

)

2m ; 0 , C − 2 m ; 0 .

Nhận xét: Parabol ( P ) đi qua ba điểm A, B , C có dạng

) (

D. ( −8; 2) .

Chọn C Tập xác định D = ℝ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là: A ( 0; m 2 ) , B

BC = 4 ⇔ 4m = 16 ⇔ m = 4.

m0 là giá trị để ( P ) đi qua điểm A ( 2; 24) .

x = 0 Vì y ' = 0 ⇔  2 nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình  x = 2m y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Điều này tương đương m > 0 .

D. m = ± 2 .

Chọn B Tập xác định: D = ℝ .

(

)

y' = x3 −2mx .

y = x − 2mx +1 có ba điểm cực trị A( 0; 1) , B, C thỏa mãn BC = 4?

C. m = ±4 .

Lời giải

(

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H ( 0; − 2m −1)

trị của đồ thị hàm số y =

Vì hàm trùng phương luôn đạt cực trị tại điểm x = 0 nên để hàm số có một điểm cực đại mà m + 1 < 0  m < −1 không có điểm cực tiểu thì  , suy ra không tồn tại m thỏa yêu cầu bài ⇔ −m + 1 ≤ 0 m ≥ 1 toán.

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ m > 0 .

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: A ( 0;1) , B

y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị là

Cách 2: Ta có y ′ = 4 x ( x 2 − m − 1) 2

Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là: A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Lời giải Chọn B

Trường THPT Bình Sơn

Chọn A

3

Câu 148: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = ( m +1) x − ( m −1) x + 1 .

B. m = 4 .

D. m = 1; m = 0 .

Lời giải

b 3 + 8a = 0 ⇔ −8 ( m + 1) + 8 = 0 ⇔ m = 0 .

4

A. m = 2 .

C. m = 1 .

B. m = −1; m = 0 .

ab < 0 ⇔ m > −1 ⇒ loại B. Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi

ĐK : m 4 − 2 m 2 − 3 = 2 m 4 − 6 m 2 ⇔ m 4 − 4 m 2 + 3 = 0 ⇔ 

4

vuông cân.

A. m = 0 .

Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương

 m 4 − 2m 2 − 3  I ≡ J với I 0; m − 3m , J  0; .

2   4

m

2

sao cho đồ thị của hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

)

Với điều kiện m > 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A ( 0; m 4 − 2 m 2 ) ; B − m ; m 4 − 3m 2 ; 4

2

2

y = ax + b (vì hai điểm B và C

1 đối xứng qua trục tung). Suy ra ( P ) có phương trình là y = − mx 2 + m 2 .

2

Trường THPT Bình Sơn

65

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

m = 6 Vì ( P ) đi qua A ( 2; 24 ) nên m 2 − 2 m − 24 = 0 ⇔   m = −4 m > 0 ).

Câu 154: (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

⇒ m = m0 = 6 (thỏa điều kiện

f ( x) = mx4 − ( m + 1) x2 + ( m + 1) . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

4 2 Câu 152: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Cho hàm số y = x − 2 ( m +1) x + m có

đồ thị ( C ) ,

m là tham số. ( C )

có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA = BC ; trong đó

O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung khi: A. m = 0 hoặc m = 2 .

B. m = 2 ± 2 2 .

C. m= 3±3 Lời giải

3.

D.

m= 5±5 5 .

 x = ± m +1

Quãng

 m + 1 3m2 + 2m −1   m + 1 3m2 + 2m −1  ; ;  ; C  −  .

4m 2m 4m  2m   

)

(

)

m + 1; − m 2 − m − 1 là ba điểm cực trị của đồ

Xương-Thanh

Hóa-lần

1-năm

2017-2018)

Cho

hàm

số

y = x −2mx +1− m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm D. m = 2 .

y′ = 4x3 − 4mx = 0

)

đồ thị hàm số.

Ta có OA = ( 0;1 − m) , BC = − 2 m ; 0 , OB = m ; − m 2 + 1 − m và AC = − m ; − m 2 .

OA.BC = 0  − 2 m .0 + (1 − m ) .0 = 0 ⇔ Gốc O là trực tâm của tam giác ABC thì  2 2 OB. AC = 0  − m . m − m ( − m + 1 − m ) = 0

)

(

0 = 0 ⇔ m m 3 + m 2 − m − 1 = 0 ⇔ m = 0 , m = 1 , m = −1 . ⇔ 4 2 3 −m + m − m + m = 0

(

)

Kết hợp điều kiện m > 0 ta có m = 1 .

Trường THPT Bình Sơn

B. 0 < m < 3 .

C. 0 < m < 4 .

)

x = 0 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ m > 0 (1) . ⇔ 2 x = m

Khi đó, toạ độ 3 điểm cực trị lần lượt là: O( 0;0) , A − m ; − m 2 , B

(

) (

1 1 OI . AB < 32 ⇔ m 2 .2 m < 32 ⇔ 2 2

( m ) < 32 ⇔

)

m ; −m 2 .

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 0; − m ) .

2

Theo đề bài:

SOAB < 32

⇔

5

m < 2 ⇔ m < 4 ( 2) .

Từ (1) và ( 2 ) suy ra: 0 < m < 4 .

Câu 156: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Với giá trị nào của tham số 4

2

4

2

m thì đồ

thị hàm số y = x − 2 ( m −1) x + m − 3m + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 .

66

D. 0 < m < 2 .

Lời giải

) ( (

m để

y = x4 − 2mx2 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 32 .

Chọn C

m ; − m 2 + 1 − m , C − m ; − m 2 + 1 − m là các điểm cực trị của

)

3 

Câu 155 : (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số

A. m > 0 .

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 .

(

1 m cần tìm là: [ −1;0] ∪   .

đồ thị hàm số

cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.

A. m = 0 .

B. m = 1 .

C. m = −1 .

Lời giải Chọn B 3 x = 0 .

Ta có y′ = 4x − 4mx = 0 ⇔ 4 x ( x − m 2 ) = 0 ⇔  2 x = m

(

 m = −1 Để ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ khi 3m 2 + 2m − 1 = 0 ⇔  . m = 1 3 

Vậy giá trị

2

Khi đó gọi A ( 0;1 − m) , B

Lời giải

x = 0  ′ y′ = 2 x ( 2mx − ( m + 1) ) ; y = 0 ⇔  m +1 x=±  2m

Theo giả thiết: OA = BC ⇔ m2 = 4 ( m + 1) ⇔ m = 2 ± 2 2 .

4



1 3

 

D. 0; −1;  .

2

thị ( C ) với A là điểm cực trị thuộc trục tung.

(THPT

 1  

C. 0;  ∪{−1} .

3

Tọa độ ba điểm cực trị là: A( 0; m + 1) ; B 

(

153:

1  3 

B. [ −1;0] ∪   .

TH2: Có ba điểm cực trị khi m < −1 hoặc m > 0 ta có:

.

Gọi A ( 0; m ) , B − m + 1; − m 2 − m − 1 và C

Câu

1

TH1: Có một điểm cực trị khi a.b ≥ 0 ⇔ −m ( m + 1) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 .

Đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị thì m + 1 > 0 ⇔ m > −1.

x = 0

 

A. −1;  .

3 Chọn B

Chọn B Ta có y′ = 4 x 3 − 4 ( m + 1) x = 4 x ( x 2 − ( m + 1) ) .

Khi đó y′ = 0 ⇔ 

m để tất cả các

điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là

Trường THPT Bình Sơn

67

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. m = 4 .

B. m = 5 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

C. m = 3 .

Lời giải

D. m = 2 .

A.

Đồ thị hàm số y = 2 x 4 + 2 mx 2 −

Tọa độ ba điểm cực trị là: A ( 0; m4 − 3m 2 + 2017 )

) (

 

AH = ( m − 1) , BC = 2 2

)

Do đó để tứ giác ABOC nội tiếp được khi

2

m − 1 ( m − 1) = 32 ⇔ m = 5

Câu 157: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm giá trị của

m để đồ thị hàm số

y = x4 − 2mx2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

m= 3 3 .

B.

m= 3 .

C.

m=3 3.

tham số

)

(

)

m ; 2 − m2 .

Ba điểm cực trị này lập thành tam giác cân đỉnh A . Gọi H là trung điểm cạnh BC ta có H ( 0; 2 − m 2 ) .

)

(2−2+ m ) = m .

2

1 2

Vậy diện tích tam giác ABC là S = . AH .BC =

1 m .2 m = 1 ⇔ m = 1.

2

Câu 158: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

Hàm số

3m để đồ thị hàm số y = 2 x + 2 mx − có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này 2 4

2

cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

Trường THPT Bình Sơn

68

B. 0 < m < 1 .

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

D. m > 0 .

C. 0 < m < 3 4 .

Lời giải

y = x4 − 2mx2 có TXĐ : D = ℝ . Ta có y′ = 4x3 − 4mx ;

x = 0 . y′ = 0 ⇔  2 x = m

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị là O( 0;0) ,

(

) (

(

)

)

2 m ; − m 2 . Tam giác OBC cân tại O , với I 0; − m trung điểm của

B − m ; − m2 , C

(

−2 − 2 3 .

Chọn B

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; 2 ) , B − m ; 2 − m 2 , C

(

m để đồ thị của hàm số y = x4 − 2mx2

diện tích nhỏ hơn 1.

A. m < 1 .

 x = m.

Vì thế hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.

= 2 m , AH =

}

Câu 159: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của

x=0 y′ = 4 x3 − 4mx. Do đó y ′ = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔  2

m+ m

ABO = ACO = 90° hay AB ⊥ OB

m = −1 m m2  m2 + 3m  ⇔ AB.OB = 0 ⇔ − +  . =0⇔ 2 2  2  m = −1 ± 3

{

Chọn D Tập xác định D = ℝ .

Ta có BC =

ABO = ACO

Đối chiếu điều kiện ta được S = − 1; − 1 − 3 nên tổng cần tìm là

D. m = 1 .

Lời giải:

2

 m −m2 − 3m  m −m2 − 3m  3m    và C  − − ;  .  , B  − 2 ; 2 2 2 2     

Ta có AO là đường trung trực của BC nên

m−1

1 AH . BC = 32 ⇔ 2

3m có ba điểm cực trị thì m < 0 .

2

Khi đó ba điểm cực trị là A 0; −

m − 1; m 4 − 4 m 2 + 2016 , C − m − 1; m 4 − 4 m 2 + 2016 .

Gọi trung điểm của BC ,có H ( 0; m 4 − 4 m 2 + 2016 )

A.

D. 0.

Ta có y ′ = 8 x 3 + 4mx = 4 x ( 2 x 2 + m ) .

Để hàm số có ba cực trị thì pt y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt.ĐK: m > 1 .

S ∆ABC =

C. −1.

2

 g ( x) = x − ( m −1)

(

−2 − 2 3 .

Chọn B

x = 0

B

B.

Lời giải

Chọn B y ′ = 4 x 3 − 4 ( m − 1) x = 4 x  x 2 − ( m − 1)  Xét y′ = 0 ⇔ 

2−2 3 .

BC Theo yêu cầu bài toán, ta có: S ABC =

1 1 OI . BC = − m 2 .2 m < 1 ⇔ 0 < m < 1 .

2 2

Câu 160: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Giá trị thực của tham số đồ thị hàm số

4

2

4

m để

y = x − 2mx + m + 2m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện

tích bằng 4 2 thoả mãn điều kiện nào dưới đây?

A. m < −3 .

B. m > 4 .

C. −3 < m < 0 .

Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

69

D. 0 < m < 4 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có một góc bằng 120°.

Chọn D Ta có

A. m =

y′ = 4x3 − 4mx . Do đó y′ = 0 ⇔ 4x3 − 4mx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = m .

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; m 4 + 2m ) , B − m ; m 4 − m 2 + 2 m ,

(

B

(

)

)

m ; m − m + 2 m . Do hàm số trùng phương là hàm số chẵn, có đồ thị nhận trục tung làm 2

trục đối xứng nên tam giác ABC cân ở A . Gọi H là trung điểm của BC ta có

BC = 2 m . Vậy ta có diện tích tam giác ABC là

H ( 0; m 4 − m 2 + 2m ) , từ đó A H = m 2 và S=

1 1 AH .BC = m 2 .2 m = 4 2 2 2

3

B. m =

.

1 3

3

C. m =

.

−1 3

3

D. m =

.

1 3

.

Lời giải

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 .

4

−1

⇔ m2. m = 4 2 ⇔ m = 2. Vậy thỏa mãn 0 < m < 4 .

Chọn C y′ = 4 x 3 + 4mx = 4 x ( x 2 + m ) .

Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ y ′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m < 0 .

x = 0

Khi đó y′ = 0 ⇔ 

 x = ± −m

.

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; m 2 + m ) , B

(

) (

)

−m ; m , C − −m ; m .

4 2 Câu 161: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = x − 2mx + m ( C ) .

Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

A. m = 1 .

B. m = 0 .

C. m = −2 .

D. m = 2 .

Lời giải Chọn D Ta có

= HAC = 60° ⇔HB = AH.tan HAB

∆ABC có một góc bằng 120° khi và chỉ khi HAB

y′ = 4x3 − 4mx .

1 3

x = 0 y′ = 0 ⇔  2 x = m

⇔ −m = m2 3 ⇔ m = − 3 .

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 .

Các điểm cực trị của đồ thị là A ( 0; m ) , B 4

Ta có: AB = AC = m + m ,

(

2

)

(

m;− m + m , C − m;− m2 + m

)

BC = 2 m .

Gọi I là trung điểm BC . Suy ra I ( 0; − m + m ) và AI = m

(

1 2

D. S = 2 .

Lời giải

)

x = 0 ⇒ y = 2 Ta có y′ = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔   x = ±1 ⇒ y = 1 Bảng biến thiên

 m = 0 ( loai )  m3 + 1 = m 2 − 1

 m ≥1  m −1 ≥ 0  m = 0 ( loai ) ⇔ 3 ⇔  ⇔m=2 4 2 m +1 = m − 2m + 1  m = −1( nhan )  m = 2 nhan ( ) 

x

−1

−∞

y′

2

−

0

+∞

+

0 0

1 −

0

2

y 1 4

Câu 162: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số: y = x

70

C. S = 1 .

B. S = .

Chọn C Tập xác định D = ℝ .

⇔ 2 m m2 − m3 + 1 − 1 = 0 ⇔ 

Trường THPT Bình Sơn

y = x4 − 2x2 + 2 . Diện tích

S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

2

1  AB + BC + CA  2 4 S = AI .BC =   .r ⇔ m .2 m = 2 m + m + 2 m .1 2 2  

)

Câu 163: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số A. S = 3 .

2

(

Do ∆ABC cân tại A nên gọi H ( 0; m) là trung điểm của BC thì ∆AHC vuông tại H .

+ 2mx2 + m2 + m. Tìm

1

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A( 0;2) , B ( −1;1) , C (1;1) .

Trường THPT Bình Sơn

71

+

+∞

+∞

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn C + Tập xác định: D = ℝ .

1 1 Nhận xét ∆ABC cân tại A . Vì vậy S = y A − y B . xC − xB = .1.2 = 1 .

2 2

Câu 164: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Xác định các hệ số a, b, số

4

c để đồ thị hàm

2

y = ax + bx + c , biết điểm A (1; 4 ) , B ( 0; 3) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

1 4

A. a = 1 ; b = 0 ; c = 3 .

B. a = − ; b = 3 ; c = −3 .

C. a = 1 ; b = 3 ; c = −3 .

D. a = −1 ; b = 2 ; c = 3 .

Lời giải

Chọn D TXĐ: D = ℝ

1 của đồ thị hàm số y = x 4 − mx 2 + m 2 , tìm 4

m để ( C )

A. m = −4 .

C. m = 4 .

Lời giải

B. m = 6 .

 x = ± 2m

(

) ( m ; m − m + 2m ) .

Gọi H là trung điểm BC . Khi đó H ( 0; m − m + 2 m ) .

2 1 1 Ta có: S = AH .BC = . ( − m ) . ( 2 m ) = m m = 4 .

2 2 4

4

2

2

2

2

đi qua điểm A( 2;24) .

D. m = 3 .

với m > 0 .

B. m ≥ 0.

C. m < −1.

Lời giải

y = −x4 + 2mx2 +1 đạt cực tiểu D. m > 0.

Chọn D

 y ′ ( 0 ) = 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì  .  y ′′ ( 0 ) > 0

y′ = −4x3 + 4mx và y′′ = −12x2 + 4m .

Câu 168: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

Theo giả thiết ( C ) đi qua 4 điểm M ( 0; m 2 ) , N c = m  0 = 2 ma + 2 mb + c  có hệ phương trình:  ⇔  0 = 2 ma − 2 mb + c  24 = 4 a + 2b + c  2

(

2 m ; 0 , P − 2 m ; 0 và A( 2;24) nên ta

) (

)

c = m  2  m = −4 ( L )  2 ma + 2 mb + m = 0 . ⇒  2  m = 6 ( N )  2 ma − 2 mb + m = 0  2  4 a + 2b + m = 24 2

Câu 166: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Tìm

m

để đồ thị hàm số

4

y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 4.

5

m= 5 16 .

Ta có

2 Giả sử ( C ) : y = ax + bx + c .

B. m =

⇔ m5 =16 ⇔ m = 5 16 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).

tại x = 0 khi: A. −1 ≤ m < 0.

x = 0 ⇒ y = m2 ; x = ± 2m ⇒ y = 0 .

Trường THPT Bình Sơn

)

Vậy ta có 4m > 0 ⇔ m > 0 .

x = 0

3 Ta có: y′ = x − 2mx = 0 ⇔ 

m=±5 16 .

(

A 0; 2m + m 4 , B − m ; m 4 − m 2 + 2 m và C

Câu 167: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Hàm số

Chọn B

A.

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

V ậy

Câu 165: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Gọi ( C ) là đường parabol qua ba điểm cực trị

2

x = 0 . y′ = 0 ⇔  2 x = m

2

 y ′ (1) = 0  4 a + 2b = 0  4 a + 2b = 0  a = −1     y (1) = 4 ⇔  a + b + c = 4 ⇔  a + b + c = 4 ⇔ b = 2 .     c = 3 0 = 0 0 = 0  y′ (0 ) = 0  y 0 = 3 c = 3 c = 3  ( )

4

y′ = 4x3 − 4mx ;

∆ ABC

y′ = 4ax3 + 2bx .Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại hai điểm A (1; 4 ) , B ( 0; 3) nên

Ta có

+

4 .

C. m= Hướng dẫn giải

72

5

16 .

D. m = ± 5 4 .

m

để đồ thị ( C ) của hàm số

y = x4 − 2m2 x2 + m4 + 5 có ba điểm cực trị,

đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S .

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải Chọn C Ta có

y′ = 4x3 − 4m2 x .

Hàm số có cực đại cực tiểu

⇔ phương trình

y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 .

Gọi A ( 0; m 4 + 5 ) , B ( m;5) , C ( −m;5) lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng.

Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường

tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ⇒ AB ⊥ OB ⇔ A B .O B = 0 .

Trường THPT Bình Sơn

73

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn B

5 Trong đó AB = ( m; −m 4 ) , OB = ( m;5) . Ta có phương trình m 2 − 5 m 4 = 0 ⇔ m = ±

y′ = x3 − 2mx = x ( x 2 − 2m ) .

5

Câu 169: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Tìm tất cả các giá trị 4

m

sao cho đồ thị hàm số

2

y = x + ( m + 1) x − 2m −1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120° .

A. m = −1 −

2 3

3

B. m = −1 −

.

1 .

3

2 3

3

, m = −1 .

Lời giải Chọn A Ta có y ′ = 4 x 3 + 2 ( m + 1) x = 2 x ( 2 x 2 + m + 1) . x = 0 y′ = 0 ⇔  2 2x = −m −1

⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < −1.  −m − 1 ( m + 1) 2   −m − 1 ( m + 1)2  ;− − 2m − 1 , C  ;− − 2m − 1 , Khi đó A ( 0; − 2m − 1) , B  −     2 4 2 4     là các điểm cực trị của đồ thị.

Ta thấy AB = AC = − m + 1 + 2

4

16

nên tam giác ABC cân tại A .

4

2

. 3= −

m  a = − 2  2 ma + 2 mb + c = 0   m Ta có:  2 ma − 2 mb + c = 0 ⇔ b = 0 hay y = − x 2 + m 2 2 c = m 2 c = m 2    m Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua B 2 ; 2 nên: 2 = − a 2 2  ma = −1 . Vậy ma = 2 . ⇔   ma = 2

y = x 4 − 2 (1 − m 2 ) x 2 + m + 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

1 cực trị của đồ thị hàm số y = x 4 − mx 2 + m 2 . Gọi 4

B

ma là giá trị để ( P ) đi qua

B

(

)

B.

m để hàm số có cực đại

1 2

B. m = .

C. m = −

1 .

2

D. m = 1 .

(

) (

)

1 − m 2 ; − m 4 + 2m 2 + m , C − 1 − m 2 ; − m 4 + 2m 2 + m .

Tam giác ABC cân tại A nên có diện tích S ABC =

2 1 1 BC .d ( A, BC ) = .2 1 − m 2 . ( m 4 − 2 m 2 + 1) = 1 − m 2 . (1 − m 2 ) ≤ 1, ∀m∈( −1;1) .

2 2

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi m = 0 .

4 2 Câu 172: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = mx − ( m + 1) x + 1 . Hỏi

( − 2; 5 ) .

C. Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

)

2 ; 2 . Hỏi

ma thuộc khoảng nào dưới đây?

10; 15 .

⇔ ma2 − ma − 2 = 0

Với điều kiện trên thì đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A ( 0; m + 1) ,

3 ( m + 1) m +1 2 3 =− ⇔ 3 ( m + 1) = − 8 ⇔ m = − 1 − 3 .

16 2 3

(

+ m a2

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 1 − m 2 > 0 ⇔ −1 < m < 1 .

m +1 2

Câu 170: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho ( P ) là đường Parabol qua ba điểm

A.

2

Lời giải Chọn A Ta có y ′ = 4 x 3 − 4 (1 − m 2 ) x = 4 x ( x 2 − 1 + m 2 ) .

4

⇔

( )

)

y = ax2 + bx + c

Câu 171: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

A. m = 0 .

2  ( m + 1) − 2m − 1 Gọi H là trung điểm BC , ta có H  0; −   4  

( m + 1)

)

2 m ; 0 , C − 2 m ; 0 có dạng:

cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.

A = 120° .

Từ giả thiết suy ra

BH = AH tan 60° ⇔

) (

(

(

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt

( m + 1)

4

 x = 0, y = m 2  y′ = 0 ⇔  x = 2 m , y = 0   x = − 2 m , y = 0 Gọi parabol đi qua điểm A ( 0; m 2 ) , B

D. m < −1 .

C. m = − 3

m Để hàm số có ba cực trị thì ab < 0 ⇔ − < 0 ⇔ m > 0 .

74

( − 5; 2 ) .

D.

( − 8; 2 ) .

có bao nhiêu số nguyên các trục tọa độ.

Trường THPT Bình Sơn

m để hàm số có cực trị và điểm cực trị của đồ thị hàm số đều thuộc 75

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

B. 1.

A. 0.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

D. 4.

C. 3.

Lời giải

2

nhận m = 0 .

• Trường hợp 2: m ≠ 0 . Ta có:

Như vậy

yCT có giá trị lớn nhất bằng 1, đạt được khi m = 0 .

Câu 174: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hàm số điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số

.  x2 = m + 1 2m 

A. m = − 2 .

nên nhận −1 ≤ m < 0 . m > 0 m +1 + N ếu . Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. >0 ⇔ 2m  m < −1

 m +1  Do đó yêu cầu đề bài tương đương y  ± =0 2m   − ( m + 1)

nguyên của tham số để hàm số y = x 4 − 2 ( m 2 + 1) x 2 + 2 có 3 điểm cực trị sao cho giá trị cực

y′ = 4x3 − 4m2 x ;

Ta có

0 = 0  x A + xO = xB + xC ⇔ 2 ⇔ 4 2 4 2 y + y = y + y  A O B C m + 0 = −m + m + −m + m

(

⇔ 2m 4 − m 2 = 0 ⇔ m 2 =

V ậy m = ±

4

Trường THPT Bình Sơn

(

76

2

m0 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2

y = x + 2mx −1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng A. m0 ∈ ( −1;0] .

2  y′′ ± m 

)

1 ⇔m=± 2 .

2 2

Câu 175: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)

2 Hàm số đạt cực trị tại x = 0 , x = ± m +1 .

)

) (

2 .

2

nào sau đây đúng

) . + 1 ) = 8 ( m + 1) > 0

x = 0 . y′ = 0 ⇔  2 x = m

Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 .

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y ′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m ∈ ℝ .

(

2 .

2

Lời giải

D. m = −2 .

x = 0 x = 0 ⇔ Ta có y ′ = 4 x 3 − 4 ( m 2 + 1) x = 4 x ( x 2 − m2 − 1) = 0 ⇔  2 2 2  x = ± m + 1 x = m +1

 y′′ ( 0) = −4 m2 + 1 < 0 

D. m =

Chọn B

Chọn A

Lại có y ′′ = 12 x 2 − 4 m 2 + 1 ⇒ 

C. m = ± 2 .

Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

m là −1; 0; 1.

C. m = 2 .

Lời giải

2 .

2

Tọa độ các điểm cực trị là A ( 0; m2 ) , B ( m; −m 4 + m 2 ) , C ( m; −m 4 + m 2 ) .

Câu 173: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm giá trị tiểu đạt giá trị lớn nhất.

A. m = 0 .

B. m = −1 .

B. m = ±

m là

x = 0 Khi đó: y′ = 0 ⇔  .  x = ±m

m +1 + 1 = 0 ⇔ m = 1 (nhận).

2m

4m 2 − 1  ≤m≤0 V ậy  nên có các giá trị nguyên của m = 1

(

2

x = 0

m +1 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m < 0 . Khi đó đồ thị hàm số có một điểm cực trị ( 0;1) thuộc O y 2m

2

2

y = x4 − 2m2 x2 + m2 có đồ thị ( C ) . Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C sao cho bốn

y′ = 4mx3 − 2 ( m + 1) x , y′ = 0 ⇔ 

( m + 1)

2

Dấu " = " xảy ra ⇔ m = 0 .

Ta có: y = −x +1. Khi đó đồ thị hàm số có một điểm cực đại ( 0;1) nằm trên O y . Nên

⇔m

)

(

⇒ yCT = y ± m2 + 1 = ( m 2 + 1 ) − 2 ( m 2 + 1 ) + 2 = − ( m 2 + 1 ) + 2 ≤ −1+ 2 = 1.

Chọn C Tập xác định D = ℝ .

• Trường hợp 1: m = 0 .

+ Nếu

2 Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = ± m +1

B. m0 ∈ ( −2; −1] .

C. m0 ∈ ( −∞; −2] .

Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:

y = x4 + 2mx2 −1 ⇒ y′ = 4x3 + 4mx .

Trường THPT Bình Sơn

77

4 2 . Mệnh đề

D. m0 ∈ ( −1;0) .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x = 0

y′ = 0 ⇔ 

2  x = −m

Để đồ thị hàm số

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

(1).

Suy ra

y = x4 + 2mx2 −1 có ba điểm cực trị thì

y′ = 0 phải có ba nghiệm phân biệt

tức là m < 0 .

 x = ± −m

nên ta gọi A( 0; −1) , B − − m ; − m 2 − 1 , C

(

)

(

−m ; −m 2 − 1

)

2

H ( 0; − m 2 − 1) . Nên: AH =

2 2

( −m )

(2

= m2 và BC =

−m

1 2 .m .2 − m theo giả thiết S∆ABC = 4 2 nên 2

)

2

= 2 −m .

A. m =

1+ 15 .

2

và

diện

B. m =

tích

−1 + 3 .

2

tam

giác

m −m = 4 2 ⇔ m = −2 .

C. m =

5+ 3 .

2

ABC D. m =

Lời giải Chọn A y

bằng

−1+ 15 .

2

4 9

y = x4 − 2m2x2 + m4 + 3 có ba điểm cực trị đồng thời ba

điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

1   −1 A. S =  ; 0; .

3  3

 −1 1  C. S =  ;  .  3 3 Lời giải

B. S = {−1;1} .

 −1 1  D. S =  ;  .  2 2

Chọn C

2

Câu 176: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2 m + 3 có ba điểm cực trị A , B , C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ số diện tích tam giác nhỏ được ra

1+ 15 2

của tham số thực m để đồ thị hàm số

1 Tam giác ABC cân tại A nên S ∆ABC = AH .BC với H là trung điểm của BC nên

chia

Do điều kiện m > −1 nên chọn m =

Câu 177: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tập hợp S tất cả các giá trị

x = 0

Khi đó (1) ⇔ 

Ta có: S ∆ABC =

AO 2 2m + 3 2 1 ± 15 = ⇔ = ⇔ 2m 2 − 2 m − 7 = 0 ⇔ m = AI 3 (m + 1)2 3 2

.

x=0 y′ = 4x3 − 4m2 x ; y ′ = 0 ⇔ 

 x = ± m. Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y ′ = 0 có 3 nghiệm, hay m ≠ 0 .

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ A ( 0; m 4 + 3) ; B ( m;3) ; C ( −m;3) .

Ta có AC ( −m; −m4 ) ; OC ( −m;3)

 AB = AC Tứ giác OBAC có  . OB = OC Suy ra OA là đường trung trực của BC . Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B , C phải nhìn cạnh OA dưới góc 90°.

m = 0: L

2 4  Khi đó AC.OC = 0 ⇔ m − 3m = 0 ⇔ 



A

m=±

.

1 :T / m 3

Câu 178: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị tham số

M

N O

x

m sao cho đồ thị hàm số y = x4 − 2 ( m +1) x2 + m2

có ba điểm cực trị nội tiếp đường tròn bán

kính bằng 1.

B

I

C

A. m = 1 , m =

3− 5 .

2

B. m = 0 , m =

−3 + 5 .

2

C. m = 0 , m =

3− 5 .

2

D. m = 1 , m =

3+ 5 .

2

Để hàm số có 3 cực trị thì a.b < 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1

⇒ y = 2m + 3 x = 0 y′ = 4x3 − 4(m + 1) x = 0 ⇔  2  x = ± ( m + 1) ⇒ y = 2 − m Do trục hoành cắt tam giác ABC nên ⇒ 2 m + 3 > 0 ; 2 − m 2 Gọi M , N là giao điểm của trục Ox và 2 cạnh AB , AC .

2

S AM AN  AO  4 Ta có AMN = . =  = với I là trung điểm BC .

S ABC AB AC  AI  9

Trường THPT Bình Sơn

78

Hướng dẫn giải

< 0

Chọn B x = 0 Ta có y ′ = 4 x 3 − 4 ( m + 1) x = 4 x ( x 2 − m − 1) = 0 ⇔  2 (1) x = m +1

Trường THPT Bình Sơn

79

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ y ′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > −1 .

Câu 180: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thị hàm số:

4

y = x − 2mx + m−1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh

 x = 0 ⇒ y = m2 Khi đó (1) ⇔  .

2 2 2  x = ± m + 1 ⇒ y = ( m + 1) − 2 ( m + 1) + m = −2m − 1

của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Như vậy A ( 0; m2 ) , B

A.  −1 + 5 . m=

(

) (

)

m + 1; − 2 m − 1 , C − m + 1; − 2 m − 1 là ba điểm cực trị của đồ thị

m = 1 

B. m= 1 .

C.  −1 + 5 . m=±



2

)

Ta có y′ = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m ) .

Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ AH ⊥ BC và H ( 0; −2m − 1)

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔ m ≥ 0

2 ⇒ AH = ( 0; − m 2 − 2 m − 1) ⇒ AH = − m 2 − 2 m − 1 = ( m + 1) .

3 Khi đó: y′ = 4mx − 4mx = 0 ⇔ 

x = 0 x = ± m

1 AB . AC .BC Ta có S ABC = AH .BC = ⇒ 2R. AH = AB. AC .

2 4R

Mà R = 1 và BC = − 2 m + 1; 0 ⇒ BC = 2 m + 1 2

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A ( 0; m − 1) C

)

4

(

m ; −m2 + m − 1

Ta có: S ∆ ABC

3

⇒ 2 ( m + 1) = m + 1 + ( m + 1) ⇒ ( m + 1) + 1 = 2 ( m + 1)

⇒R=

Câu 179: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai

A. y = − 2 x − 2 .

x2 + 2 x x −1

B. y = 2 x + 2 .

C. y = 2 x − 2 .

Lời giải

D. y = − 2 x + 2 .

Chọn B

 x = 1+ 3 ⇒ y = 4 + 2 3 , y′ = 0 ⇔  ( x − 1)  x = 1 − 3 ⇒ y = 4 − 2 3 Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 1 + 3; 4 + 2 3 và B 1 − 3; 4 − 2 3 . Đường y′ =

x2 − 2 x − 2 2

(

)

(

(

là ( 2; −1) . Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 x − y + 2 = 0 hay y = 2x + 2 . *Cách khác: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là y =

80

)

)

1 = y B − y A . xC − x B = m 2 m ; 2

AB. AC .BC ( m 4 + m )2 m =1⇔ = 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 ⇔ ( m − 1) ( m 2 + m − 1) = 0 4 S△ ABC 4m 2 m

 m = 1  m = 1 −1 + 5 . ⇔ 2 ⇔  m = 2 m + m −1 = 0   m = −1 − 5 l ()  2 Vậy: m = 1 hoặc m =

)

)

thẳng qua hai điểm cực trị có vectơ chỉ phương là BA = 2 3; 4 3 nên có vectơ pháp tuyến

Trường THPT Bình Sơn

(

B − m ; −m 2 + m − 1 ,

AB = AC = m4 + m ; BC = 2 m .

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng tam giác ABC .

−3 + 5 thỏa mãn. ⇒ m 3 + 3m 2 + m = 0 ⇒ m = 0 , m = 2

điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

2

−1 + 5 .

2

Chọn A Tập xác định D = ℝ .

)

(

D. m = ±

Lời giải

 AB = m + 1 + ( m + 1)4  AB = m + 1; − m 2 − 2m − 1  ⇒ Ta có  ⇒ AB = AC .

2  AC = m + 1 + ( m + 1)4  AC = − m + 1; − m − 2m − 1  

( (

m = 1  

hàm số đã cho.

m để đồ

2

(x

2

+ 2 x )′

( x − 1)′

−1 + 5 .

2

Câu 181: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Để hàm số y = cực đại tại x = 2 thì

A. ( 2; 4) .

= 2x + 2 .

m thuộc khoảng nào?

B. ( 0; 2) .

C. ( −4; − 2 ) .

Lời giải

Chọn C

Trường THPT Bình Sơn

x2 + mx +1 đạt x+m

81

D. ( −2; 0) .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Tập xác định D = ℝ \ {−m} .

2

y′ =

Gọi hai hoành độ cực trị là

x1 và x2 ta có

2

x + 2 mx + m − 1

(x + m)

2

, ∀x ≠ − m

Khi đó điểm A ( x1 , 2x1 − m) và B ( x2 , 2x2 − m) .

Điều kiện cần :  m = −1 Để hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y′ ( 2 ) = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔  ⇒ loại A, B.  m = −3 Điều kiện đủ : 2 x = 2 Với m = −1 , ta có y ′ = x − 2 x2 , ∀x ≠ 1 ; y′ = 0 ⇔  x = 0 ( x − 1)

AB = 4 + 4m. 5 = 5 ⇔ 4 + 4 m = 5 ⇔ m = 1 .

4

Câu 183: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

A. y = 2 x + 2 .

x2 + 2x + 3 .

2x +1 B. y = x + 1 .

x

C. y = 2 x + 1 .

−∞

+

0 0 CÐ

1

2 −

−

0

+

+∞

+∞ +∞

Chọn B

 1  2

 Tập xác định D = ℝ \ −  .

y CT Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ m = −1 không thoả mãn ycbt.

2 x = 4 Với m = −3 , ta có y ′ = x − 6 x +2 8 , ∀ x ≠ 3 ; y′ = 0 ⇔  x = 2 ( x − 3) −∞

−∞

Bảng biến thiên

x

−∞

+

y′

3

2 0 CÐ

4 −

−

0

+

+∞

+∞ +∞

2  y ′ = 2 x + 2 x −2 4 ,

( 2 x + 1)

 x = 1( ⇒ y = 2)

y′ = 0 ⇔2x2 + 2x − 4 = 0 ⇔ 

 x = −2( ⇒ y = −1)

CT Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ m = −3 thoả mãn ycbt. −∞

−∞

Vậy m = −3 ∈ ( −4; − 2) .

 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là: y = x +1.

Cách khác: u (x)  Áp dụng tính chất: Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ y = thì giá trị cực trị v ( x) tương ứng của hàm số là y0 =

m , đồ thị của hàm số

x2 − mx y= có hai điểm cực trị A , B và AB = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x +1 B. 0 < m < 1 .

C. 1 < m < 2 .

Lời giải

Chọn B

D. m < 0 .

thực của tham số

1 .

16

1 + m > 0 Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có  ⇔ m > −1 . 1 − 2 − m ≠ 0

Chọn A

82

2

+ 2 x + 3)′

( 2 x + 1)′

= x + 1.

m

để đồ thị hàm số y =

x2 + mx + m2 có hai điểm cực trị A , B . Khi x −1

AOB = 90° thì tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng A.

( x + 1)

(x

Câu 184: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp các giá trị

2 Ta có D = ℝ \ {−1} và có đạo hàm là y ′ = x + 2 x −2 m .

Trường THPT Bình Sơn

u ( x0 ) u ′ ( x0 ) . Suy ra với bài toán trên ta có phương trình = v ( x0 ) v ′ ( x0 )

đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y =

Câu 182: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Với tham số

.

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M (1;2 ) và N ( −2; −1) .

y

A. m > 2 .

D. y = 1 − x .

Lời giải

Bảng biến thiên y′

 x1 + x2 = − 2 .   x1 x2 = − m

B. 8.

C. Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

83

1 .

8

D. 16 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

y′ =

( 2x + m)( x −1) − x 2 ( x −1)

2

2

− mx − m

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x − 2x − ( m + m 2

=

( x − 1)

2

Vậy không có giá trị

)

2

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì y′ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

(

đồ thị là đường cong ( C ) . Biết rằng tồn tại hai số thực

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là

xA + xB = 2 ; xA.xB = −m2 − m.

4

4

A. T = 2 2 − 12 2 .

B. T = 11 − 6 2 .

1 4

x2 − m x + 4 x− m

 x 1 3 3

. Biết rằng

m sao cho ba điểm A , D. 3.

Chọn A

y′ = 1 −

x− m 4

(x − m )

2

= x+

)

(

(

(

(

)

(

x = 2 + m , ∀x ∈ D , y′ = 0 ⇔  .  x = −2 + m

6 − m = 4k

 AC = k AB  ⇔ 6 − m = 8k (vô Ba điểm A , B , C ( 4;2) phân biệt và thẳng hàng ⇔  6 − m ≠ 0  6 − m ≠ 0 nghiệm).

84

)

)

(

)

)

Điểm uốn: y ′′ = 6 x − 6 , y ′′ = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 0 . Vậy điểm uốn U (1;0) .

Ta có, hai điểm cực trị luôn nhận điểm uốn U là trung điểm.

Xét phương trình x 3 − 3 x 2 − m 2 − 2 x + m 2 = 0 (1) 2

⇔ ( x − 1) x − 2 x − m 4 . x− m

Tọa độ hai điểm cực trị là B ( 2 + m ; 4 + m ) , A ( −2 + m ; −4 + m ) .

AB = ( 4;8 ) , AC = ( 6 − m ; 6 − m ) .

Trường THPT Bình Sơn

(

(

Tập xác định D = ℝ \ { m } . x2 − m x + 4

2 2 2 m + 1 x + m2 + 1 .

3 3 2 2 2 2   Vậy hai điểm cực trị là A x1; − m + 1 x1 + m + 1  và   3 3 2 2   C  x2 ; − m2 + 1 x2 + m2 + 1    3 3

Ta có: y =  −  . y′ −  

B , C ( 4;2) phân biệt và thẳng hàng.

Ta có y =

15 − 6 2 .

2

y′ = 3x2 − 6x − m2 + 2. Ta có ∆ ′ = 9 + 3m 2 − 6 = 3 m 2 + 3 > 0 nên đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị với ∀m ∈ ℝ . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của y ′ .

2

C. 1.

Lời giải

D. T =

Ta có

1 1 Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng 0 2 +  −  = .

16  4

B. 2.

3 2−2 .

2

Chọn B

⇔ 5 ( −m 2 − m ) + 4 m + m 2 = 0 ⇔ − 4 m 2 − m = 0 ⇔ m = 0; m = − .

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phân biệt là A , B . Tìm số giá trị

C. T =

Lời giải

AOB = 90° ⇒ xA.xB + yA.yB = 0 ⇔ xA xB + 4xA xB + 2m( xA + xB ) + m2 = 0

Câu 185: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y =

m1 , m2 của tham số m để hai điểm

nhật. Tính T = m1 + m2 .

yA = 2xA + m; yB = 2xB + m.

A. 0.

)

cực trị của ( C ) và hai giao điểm của ( C ) với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ

yA = 2x + m.

xA ; xB là hoành độ của A , B khi đó x A ; xB là nghiệm của x 2 − 2 x − ( m + m 2 ) .

Theo định lí Viet ta có

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 186: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − m 2 − 2 x + m 2 có

2 ∆′ = 1 + m + m > 0 ⇔ ⇔ ∀m ∈ ℝ .

2 −1 − m − m ≠ 0

Gọi

m nào thỏa mãn.

2

)

)=0

x = 1 . ⇔ 2 2  x − 2 x − m = 0 ( 2)

Phương trình ( 2 ) luôn có hai nghiệm thực phân biệt

x3 và x4 . Do U ∈Ox nên các điểm

B ( x3 ;0) và D ( x4 ;0) luôn đối xứng qua U ⇒ ABCD luôn là hình bình hành. Để ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD .

2 2 4 2 2 2 2  4 2 2 Ta có AC = ( x1 − x2 ) + m + 1 ( x1 − x2 ) = 1 + m + 1  ( x1 − x2 ) 9 9  

(

)

(

(

)

)

4 2 − m2  4  4 2 2 2  4 = 1 + m 2 + 1   4 −  = 1 + m + 1  m 2 + 1 3 3 9  9     

(

)

2

Và BD 2 = ( x3 − x4 ) = 4 + 4 m 2

Trường THPT Bình Sơn

85

(

) (

)

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Vậy ta có phương trình:

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải

2 4 4 2 1 + m + 1  m2 + 1 = 4 m2 + 1 3  9 

(

) (

) (

)

Chọn A Ta có đồ thị hàm y = f ( x ) như hình vẽ sau:

2 4 2 m +1 = 3 9 2 9 ⇔ m2 + 1 = 2

⇔ 1+

(

(

y

)

⇔ m2 = ⇒ m14 = m 24 =

)

3 −1 2

11 − 3 2 nên T = 11 − 6 2 .

2

Câu 187: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho các hàm số

( I ) : y = x2 + 3 , ( II ) : y = x3 + 3x2 + 3x − 5 , ( III ) : y = x − 1 , ( IV ) : y = ( 2 x + 1)7 . Các hàm x+2 B. ( III ) , ( IV ) , ( I ) . C. ( IV ) , ( I ) , ( II ) . D.

( II ) ,

( III ) ,

( IV ) . y = x2 + 3. Ta có

A. 11 .

B. 15 .

C. 6.

Lời giải

y′ = 3x2 + 6x +3.

y ′ = 0 ⇔ x = − 1 . Nghiệm trên là

nghiệm bậc chẵn, y ′ không đổi dấu khi qua nghiệm x = −1 nên hàm số không có cực trị.

1 1 Hàm số ( III ) : y = x − . Ta có y′ = 1 + > 0 với mọi x ≠ −2 . Hàm số không có cực 2 x+2 ( x + 2) trị.

7

6

y = ( 2 x + 1) . Ta có y ′ = 7. ( 2 x + 1) .2 . y ′ = 0 ⇔ x = −

nghiệm bậc chẵn, y ′ không đổi dấu khi qua nghiệm x =

1 . Nghiệm trên là 2

−1 nên hàm số không có cực trị.

2

Câu 188: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

y

cực trị có hoành độ dương ⇔phương trình y′ = 3x −12x + m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. ∆′ > 0 36 − 3m > 0   Điều kiện:  P > 0 ⇔  m > 0 ⇔ 0 < m < 12 . S >0  4>0   Vì m nguyên nên có 11 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 190: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Tìm cực đại của hàm số y = x 1 − x 2 .

A.

1

B.

2

−1 2

C. −

.

Lời giải

Chọn D Tập xác định là [ −1;1] Ta có y ′ = 1 − x 2 + x

y′ = 0 ⇔ x = ±

−x 1− x

2

=

1 − 2 x2 1 − x2

2 2

Bảng biến thiên

x

O

A. 5.

y = x3 − 6x2 + mx −1 có hai điểm

2

nên hàm số có cực trị.

Trường THPT Bình Sơn

D. 8.

3

y ′ = 2 x . y ′ = 0 ⇔ x = 0 . y ′ đổi dấu khi qua nghiệm x = 0

3 2 Hàm số ( II ) : y = x + 3x + 3x − 5 . Ta có

( IV ) :

m

2

Hàm số y = x − 6 x 2 + m x − 1 có 5 điểm cực trị khi hàm số

Chọn D

Hàm số

3

Chọn A

Giải: Hàm số ( I ) :

Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có năm điểm cực trị.

Câu 189: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số y = x − 6 x + m x − 1 có 5 điểm cực trị.

số không có cực trị là:

A. ( I ) , ( II ) , ( III ) .

x

O

B. 3.

C. 2.

86

D. 4.

Trường THPT Bình Sơn

87

1 .

2

D.

1 .

2

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x −1 y′

||

2 2

− −

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

2 2

0

+

0

+1 −∞

||

1 2

0

y −

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = 2

A. 6.

f ( x)

− 3f ( x) C. 4.

Lời giải.

B. 5.

D. 3.

Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ ℝ .

1 2

0

1 Ta thấy cực đại của hàm số là .

2

Khi đó xét hàm số g ( x ) = 2

f ( x)

− 3 f ( x)

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x.)  2 f ( x ).ln 2 − 3 f ( x ).ln 3   

Câu 191: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số

y = f ′ ( x) có đồ thị như hình vẽ:

 f ′( x) = 0 g′ ( x ) = 0 ⇔  f ( x) f ( x)  2 .ln 2 − 3 .ln 3 = 0 Xét phương trình 2 f ( x ). ln 2 − 3 f ( x ). ln 3 = 0 trên khoảng ( −∞; +∞) . 2 ⇔  3

f (x)

= log 2 3 ⇔ f ( x ) = log 2 ( log 2 3 ) ≈ − 1, 4 (loại) 3

Do đó số điểm cực trị của hàm g ( x ) cũng bằng số điểm cực trị của hàm f ( x ) .

Tức là hàm g ( x ) có 3 điểm cực trị.

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Câu 193: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) .

−2, −1 và 0. Hỏi hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 1 .

B. 4.

A. 3.

C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực tiểu.

C. 5.

D. 6.

Lời giải

D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

Chọn A

Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số f ′( x) ta thấy giá trị f ′( x) đổi dấu từ âm sang dương tại vị trí x = 3 nên hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 3 . Xét trên khoảng ( −∞;3) giá trị hàm số luôn âm nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞;3) .

 x = −2  Vì hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là − 2, − 1 và 0 nên f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 .  x = 0 (Cả 3 nghiệm này đều là nghiệm đơn theo nghĩa f ′ ( x) đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

Câu 192: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên:

′ Ta có: y ′ = f ( x 2 − 2 x ) = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x )

(

)

y

O

−1

Trường THPT Bình Sơn

88

x = 1 x = 1 x = 1  2  2 x =1 x x − 2 = − 2 ( x − 1) = 0 ⇔  x = 0 .  ⇔ ⇔ y′ = 0 ⇔  2  x = 0  x 2 − 2 x = −1  f ′ ( x − 2 x ) = 0  x = 2   2  x = 2  x − 2 x = 0

x .

Trường THPT Bình Sơn

89

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

(Cả 3 nghiệm này cũng đều là nghiệm đơn theo nghĩa y ′ đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

Từ đồ thị hàm số ta thấy, qua điểm

Vậy hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có 3 cực trị.

cực tiểu, qua điểm

x3 là điểm cực đại. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 195: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số đó:

4

A. 3.

Rõ ràng từ đây dễ dàng kiểm tra về tính cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) .

Chọn D

)

m để hàm

2

B. 5.

Xét hàm số

Câu 194: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Đồ thị sau đây là của hàm số y = f ′ ( x ) .

3

số y = 3 x − 4 x − 12 x + m có 7 điểm cực trị?

′ y ′ = f ( x 2 − 2 x ) = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x ) = ( 2 x − 2 ) ( x 2 − 2 x )( x 2 − 2 x + 1)( x 2 − 2 x + 2 )

(

x2 f ′ ( x) không đổi dấu nên điểm x2 không là điểm cực trị, qua điểm x3

dấu của f ′ ( x) đổi từ dương sang âm nên

Chú ý: Ta có thể chọn f ′ ( x ) = x ( x + 1)( x + 2) nhận − 2, − 1 và 0làm nghiệm đơn.

Khi

x1 dấu của f ′( x) đổi từ âm sang dương nên x1 là điểm

D. 4.

C. 6.

Lời giải

y = 3x4 − 4x3 −12x2 + m .

TXĐ: D = ℝ .

Khi đó hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

x = 0

Có

y

y′ =12x3 −12x2 − 24x , y′ = 0 ⇔  x = −1  x = 2

Ta có bảng biến thiên

x

−∞

y′

y

0 0

−1 −

0

+

+∞

2 −

+

0

+∞

+∞ m

O A. 0.

B. 1.

C. 2.

m − 32

D. 3.

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị với mọi

Lời giải Chọn C Gọi

m− 5

x

x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x) và trục O x như hình vẽ y

m . Do đó để hàm số

y = f ( x ) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại

m − 5 < 0 7 − 3 = 4 điểm phân biệt ⇔  ⇔ 0 < m < 5. m > 0

m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là m∈{1; 2; 3; 4} .

Vậy có 4 giá trị nguyên cần tìm của m .

Vì

Câu 196: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm 3

 5x   là 2  x +4 D. 6.

f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1)(13 x − 15 ) . Khi đó số điểm cực trị của hàm số y = f 

x1

O

x2

x3

x

A. 5.

B. 3.

C. 2.

Lời giải

Chọn D

Trường THPT Bình Sơn

90

Trường THPT Bình Sơn

91

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Ta có:

(

)

2 2 3 5x    5 x ′ ′  5 x  5 x + 4 − 5 x.2 x  5 x   5 x − 1  13. 2 − 15  y′ =  2     .f  2 = 2 2 2 x +4  x +4 x +4  x + 4   x + 4   x2 + 4

(

2

=

=

)

−5 x + 20  5 x   5 x − x − 4   65 x − 15 x 2 − 60      2  2 2 2 ( x2 + 4)  x + 4   x + 4   x + 4  2

5 ( 2 − x )( 2 + x )

(x

2

+ 4)

2

⋅

2

(5x )

(x

2

2

+ 4)

x

3

2

( x − 1)( 4 − x ) ⋅ ( 3 − x ) (15 x − 20 ) x2 + 4

(x

2

+ 4)

0

+

0

−

+

+∞

f ( −2)

3

y

3

+∞

0

−2

−∞

y′

3

⋅

 x = −2  x < −2 Từ đồ thị ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  và f ′ ( x ) > 0 ⇔  , f ′ ( x ) < 0 ⇔ −2 < x < 0 . x = 0 x > 0 Từ đó suy ra bảng biến thiên

f ( 0)

−∞

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −2 .

 x = 2   x = −2 x = 0  y′ = 0 ⇔  x = 1 x = 4  x = 3  x = 4  3

Câu 198: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau:

 5x   có 6 2  x +4

Do phương trình y′ = 0 có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép nên hàm số y = f 

điểm cực trị.

Câu 197: (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x )

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2017) − 2018x + 2019 là:

A. 3.

liên tục trên ℝ , đồ thị của đạo hàm f ′ ( x) như hình vẽ sau:

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Lời giải

y Chọn B

Ta có  f ( x − 2017) − 2018x + 2019′ = f ′ ( x − 2017) − 2018 .

Đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) bằng cách

−2

O

x

tịnh tiến sang phải 2017 đơn vị và tịnh tiến xuống dưới 2018 đơn vị.

Do đó đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm và đổi dấu qua

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f đạt cực tiểu tại x = 0 .

C. f đạt cực đại tại x = −2 .

điểm đó nên hàm số y = f ( x − 2017) − 2018x + 2019 có một điểm cực trị.

B. f đạt cực tiểu tại x = −2 .

D. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.

Lời giải

Câu 199: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây:

Chọn B

Trường THPT Bình Sơn

92

Trường THPT Bình Sơn

93

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

có đúng một điểm cực trị ?

A. 7.

B. 0.

C. 6.

Lời giải

D. 5.

Chọn C x = 0

f ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 ( x + 1) ( x 2 + 2 mx + 5 ) = 0 ⇔  x = − 1

 x 2 + 2 mx + 5 = 0 (1) 

Để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị có các trường hợp sau: + Phương trình (1) vô nghiệm: khi đó m 2 − 5 < 0

1 y = f ( x + 2018) + m2 có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của các phần tử của tập S 3 bằng: A. 7.

B. 6.

C. 5.

Lời giải

5

.

m = ± 5 m 2 − 5 = 0 ⇔ ⇒ m ∈∅ . + Phương trình (1) có nghiệm kép bằng −1: khi đó  m − 2 + 6 = 0 m = 3 

m để hàm số

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số

⇔ − 5 < m <

+ Phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng −1:

m > 5

D. 9.

Chọn A

 m 2 − 5 > 0 ⇔ m < − 5 ⇔ m = 3 .   −2 m + 6 = 0 

Ta có: hàm số y = f ( x + 2018) có đồ thị là đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến sang trái 2018

Vậy giá trị nguyên m∈{−2; −1;0;1;2;3} . .

m = 3

đơn vị; 1 Hàm số y = f ( x + 2018 ) + m 2 có đồ thị là đồ thị hàm số y = f ( x + 2018) tịnh tiến lên trên 3

Câu

201:

(THPT

f ( x) = (m

2018

Lương

Văn

+ 1) x + ( −2m 4

2018

ChasnhPhus −2

2018

Yên

m − 3) x + m 2

2

2018

năm

2017-2018)

+ 2018 , với

m

Cho

hàm

số

là tham số. Số cực trị

của hàm số y = f ( x ) − 2017 .

1 2 m đơn vị.

3

A. 3.

1 3

2 Hàm số y = f ( x + 2018) + m có đồ thị gồm hai phần:

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) = 4 ( m 2018 + 1) x 3 + 2 ( −2m 2018 − 2 2018 m 2 − 3) x .

1 3

+ Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x + 2018 ) + m 2 phía dưới trục O x qua O x . số

1 y = f ( x + 2018) + m2 3

có

5

điểm

cực

Để

đồ

⇔ 3≤

1 2 m < 6 ⇔ 9 ≤ m 2 < 18 ⇔ 3 ≤ m < 3 2 (do m ∈ ℤ + ) suy ra: m ∈{3;4} ⇒ S = {3;4} .

3

trị

Vậy tổng cần tìm bằng 7.

x = 0  Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔  2 −b 2m 2018 + 22018 m 2 + 3 . x = =  2a 4 ( m2018 + 1)  2018 + 2 2018 m 2 + 3 Nhận xét 2 m > 0 ∀m ∈ ℝ nên hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2017 luôn có 3 cực 2018

4(m

+ 1)

trị.

Nhận xét f (1) = ( m 2018 + 1) + ( −2m 2018 − 2 2018 m 2 − 3 ) + m 2018 + 2018 .

Câu 200: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 ( x + 1) ( x 2 + 2 mx + 5 ) . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

Trường THPT Bình Sơn

D. 7.

Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2017 .

3

hàm

C. 6.

Lời giải

Chọn D

+ Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f ( x + 2018 ) + 1 m 2 phần phía trên O x .

thị

B. 5.

94

m để hàm số f ( x )

2018 2 Do đó g (1) = −2 m −1 < 0 ∀m . Suy ra hàm số g ( x ) luôn có ba cực trị trong đó có hai cực

tiểu nằm bên dưới trục O x nên hàm số y = f ( x ) − 2017 có 7 cực trị.

Trường THPT Bình Sơn

95

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG. 3

Câu 202: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số y = x − mx + 5 , ( m > 0 ) với

m là tham số. Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Chọn A

Vậy để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f ( x ) + m xảy ra hai trường hợp: +) Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m nằm phía trên trục hoành hoặc có điểm cực tiểu thuộc trục

O x và cực đại dương. Khi đó m ≥ 3 .

3 x − mx + 5 nÕu x ≥ 0 3 −x − mx + 5 nÕu x < 0

3

Ta có: y = x − mx + 5 = 

+) Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m nằm phía dưới trục hoành hoặc có điểm cực đại thuộc trục

O x và cực tiểu dương. Khi đó m ≤ −1 .

Vậy giá trị m cần tìm là m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 .

3x2 − m nÕu x > 0 .

2 −3x − m nÕu x < 0

Nên y′ = 

Bởi thế với m > 0 thì y′ = 0 ⇔ x =

x

Câu 204: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo

m , ta có bảng biến thiên 3 0

−∞

y′

của y = f ( x ) + m nằm dưới O x .

−

−

m 3 0

4

A. 5.

D. 2.

Ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x ) :

x

O

−3 0

−∞

f ′( x)

y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị?

y

+

1

x

x

f

−

+

0 0

−

+

0

( x ):

−

0

+∞

2

+

0

(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số f

( x ) là 3.

Câu 205: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm

Chọn C

m khi

m > 0 , tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng m khi m < 0 .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 3 )( x 4 − 1) trên R . Tính số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

A. 2.

C. 1.

Lời giải

B. 3.

Hơn nữa đồ thị y = f ( x ) + m là:

Chọn B

+) Phần đồ thị của y = f ( x ) + m nằm phía trên trục O x .

Cho f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 3 )( x 4 − 1) = 0

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y = f ( x ) + m nằm dưới O x qua O x và bỏ đi phần đồ thị

96

+∞

2

0

−2

−∞

f ′( x)

B. m = −1 hoặc m = 3 .

D. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 .

Lời giải

Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m là đồ thị y = f ( x ) tịnh tiến lên trên một đoạn bằng

−1 −

f ( x) Ta có bảng biến thiên của hàm số f

−3

Trường THPT Bình Sơn

là

 x = −1  Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = −3

Câu 203: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như

A. 1 ≤ m ≤ 3 .

C. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 .

C. 1.

Lời giải

B. 3.

(x)

Chọn B

+

Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị.

m để hàm số

3

+∞

y

hình vẽ bên. Tìm tham số

5

hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) . Số điểm cực trị của hàm số f

(

⇔ ( x − 1) x +

3

Trường THPT Bình Sơn

)( x − 3 ) ( x

2

− 1 )( x 2 + 1 ) = 0

97

D. 4.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

⇔( x − 1)2 ( x +

3

)( x − 3 ) ( x + 1) ( x

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn A

x = 1 

Vì hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là −2; −1, 0 và có đạo hàm liên tục trên ℝ nên

+ 1) = 0 ⇔  x = ± 3 .

2

 x = −1 

f ′ ( x ) = 0 có đúng ba nghiệm bội lẻ là −2; −1, 0.

Dễ thấy x = 1 là nghiệm kép nên khi qua x = 1 thì f ′( x) không đổi dấu, các nghiệm còn lại

Xét hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có y′ = ( 2 x − 2 ) . f ′ ( x 2 − 2 x ) .

x = ± 3 , x = −1 là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm đó f ′ ( x) có sự đổi dấu. Vậy hàm số

x = 1 x = 1  2  x − 2 x = −2 ⇔  x = 0 . y′ = 0 ⇔ ( 2 x − 2 ) . f ′ ( x 2 − 2 x ) = 0 ⇒  2  x − 2 x = −1  x = 2  2  x − 2 x = 0

y = f ( x ) có 3 cực trị.

Câu 206: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = x + 3 +

1 , gọi S x +1

Khi đó y′ = 0 có ba nghiệm bội lẻ 0; 1; 2 nên hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) chỉ có ba điểm cực trị.

là tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số. Giá trị của S bằng 9 2

1 2

A. S = .

7 2

B. S = .

D. S = 4 .

C. S = .

Câu 208: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hàm số

y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x) như hình bên.

Lời giải Chọn C

y

Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {−1} . 

x +3+

1

 1 x +1 Ta có: y = x + 3 + = x +1  1 −x − 3 + 

−2

neá u − 3 ≤ x ≠ −1

.

x +1

 neá u − 3 < x ≠ −1 2 1 −  ( x + 1)  x = −2 ′ y = ; y′ = 0 ⇔  .

1 x = 0 −1 − neá u x < −3 2  ( x + 1)  Bảng biến thiên:

x

−3

−∞

+

−

+∞

−2 0 0

Hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4.

−1 −

−

0 0

+∞

+

+∞

1 − 2

−∞

+∞ 4

Từ bảng biến thiên suy ra tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số là S = − 1 + 0 + 4 = 7 .

2 2

Câu 207: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là −2;

−1, 0 và có đạo hàm liên tục trên ℝ . Khi đó hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực

Trường THPT Bình Sơn

B. 8.

C. 10 .

Lời giải

98

B. 3.

C. 5.

Lời giải

D. 2.

Chọn C

y

trị?

A. 3.

3 x

neá u x < −3

1

y′

O 1

 x = −2 x = 0 Từ đồ thị y = f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  ; x =1  x = 3

x > 3 ; f ′( x) < 0 ⇔ f ′( x) > 0 ⇔   −2 < x < 1

 x < −2 1 < x < 3 . 

x = 0 x = 0  2 x = 0  x = 1 ⇔  x = ±1 . ⇔ Ta có g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 ) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔  2   2  f ′ ( x ) = 0  x = 3  x=± 3  2  x = 0

D. 7.

Trường THPT Bình Sơn

99

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

0 < x 2 < 1 Ta có f ′ ( x 2 ) > 0 ⇔  ⇔ 2 x > 3

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 210: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo

  −1 < x < 1   x ≠ 0  x > 3 .     x < − 3

hàm liên tục trên ℝ , hàm số y = f ′ ( x − 2) có đồ thị như hình dưới. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

Ta có bảng biến thiên

x

0

−1

−3

−∞

1

+∞

3

2x

−

−

0

f ′ ( x2 )

+

0

−

0

+

0

+ +

0

−

0

+ +

g′ ( x)

−

0

+

0

−

0

+

0

−

0

+

−

+

B. 2.

A. 0.

C. 1.

Lời giải

D. 3.

Chọn B Ta có: đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) sang phải

Từ bảng biến thiên ta có hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) có 5 điểm cực trị. y

Câu 209: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x) trên ℝ . Hình vẽ bên là đồ thị

một đơn vị. Khi đó hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên:

x

của hàm số f ′( x) trên ℝ .

A. 5.

C. 2.

Lời giải

B. 3.

−3

−∞

f ′( x)

Hỏi hàm số y = f ( x ) + 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

+

x

O

0

−2 0

−

+∞

−1

+

0

+

f ( −3)

D. 4.

f ( x)

f ( −1) f ( −2)

Chọn A Cách 1: Từ đồ thị hàm số của f ′( x) ta thấy f ( x ) có hai cực trị dương nên hàm số y = f ( x ) lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được bốn cực trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2018 với trục tung nữa ta được tổng cộng là 5

Dựa vào bảng biến thiên ta có số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là 2.

Câu 211: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số bậc ba

y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ y

cực trị.

Cách 2: Ta có: y = f ( x ) + 2018 = f ′

( x )( x ) = 2

2

( x ) + 2018 .

x x2

1

2

O

. f ′( x ) .

x1 < 0,

0 < x2 < x3 .

Suy ra: f ′ ( x ) cùng dấu với Do x − x1 > 0 nên y′ = f ′

( x − x )( x − x )( x − x ) .

1

2

′

x

( x )( x ) = 2

2

x2

x

−3

Từ đồ thị hàm số của f ′( x) suy ra f ′ ( x) cùng dấu với ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) với

f ′ ( x ) cùng dấu với

100

Tìm tất cả các giá trị của

m để hàm số

A. m ≥ 3 hoặc m ≤ −1.

B. m ≥ 1 hoặc m ≤ −3. C. m = 3 hoặc m = − 1.

Lời giải

y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị.

D. 1 ≤ m ≤ 3.

Chọn A

3

Vậy hàm số y = f ( x ) + 2018 có 5 cực trị.

Trường THPT Bình Sơn

x

O

g ( x)

Đạo hàm: y ′ = f ′

y = f ′ ( x − 2)

y

( x − x )( x − x ) .

2

3

x x2

.

Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + m được suy ra từ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách tịnh tiến theo phương của trục tung m đơn vị.

Đồ thị hàm số y = g ( x ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = g ( x ) bằng cách giữ nguyên phần

Trường THPT Bình Sơn

101

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

không âm của đồ thị y = g ( x ) , sau đó lấy đối xứng đối xứng phần g ( x) < 0 qua trục hoành.

Vì vậy dựa vào đồ thị của f ( x ) để y = g ( x ) có ba điểm cực trị khi đồ thị hàm số

x

x1 với f ( x1 ) = 1 và đạt cực tiểu tại x2 với f ( x2 ) = −3 . Khi đó

để đồ thị hàm số y = x m2 − x2 có hai điểm cực trị A , B

Hàm số có hai điểm cực trị khi  m  m2  Khi đó A  − ;−  và B  2 2   

AB≤ 2 30 ⇔

m2 − 2 x 2

+∞ 4

Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2 m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi A. m∈( 4;11) .

 11  .  2

B. m ∈  2;

 11

D. m ∈ 2;  .  2

C. m = 3 .

Chọn B

D. 5.

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

Chọn B ĐK: − m ≤ x ≤ m . Ta có y′ =

+

0

Lời giải

C. 4.

Lời giải

B. 6.

−

11

AB≤ 2 30 . Số phần tử của S là

A. 7.

+∞

2

0

−∞

Câu 212: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Gọi S là tập hợp tất cả các

thỏa mãn

+

f ( x)

m ≥ 3 . ⇔  f ( x1 ) + m   f ( x2 ) + m  ≥ 0 (1+ m)( m − 3) ≥ 0 ⇔   m ≤ −1

m

1

−∞

f ′ ( x)

đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + m cắt trục hoành tại một hoặc hai điểm khi g ( x1 ) .g ( x2 ) ≥ 0

giá trị nguyên của tham số

m nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Câu 214: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

g ( x ) = f ( x ) + m cắt trục hoành tại một hoặc hai điểm.

Giả sử f ( x ) đạt cực đại tại

⇔ m > 0.

Vì m∈Z và m ∈ [ −5;5] nên

; y′ = 0 ⇔ x = ±

m

Để đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2 m có 5 điểm cực trị thì đồ thị y = f ( x ) cắt đường thẳng (Thỏa mãn ĐK).

y = 2 m tại 5 − 2 = 3 điểm phân biệt ⇔ 4 < 2m < 11 ⇔ 2 < m <

2 m2 − x 2 m≠ 0. m m2  ;  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

2 2 

(

AB 2 ≤ 120 ⇔ 2 m 2 + m 4 ≤ 120 ⇔ m 2 + 12

)( m

2

11 .

2

Câu 215: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số

y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình dưới. Hàm sô y = f ( x2 ) có bao nhiêu điểm cực đại?

− 10 ) ≤ 0 ⇔ m ≤ 10 (1) .

Vì m∈ℤ và m ≠ 0 nên từ (1) suy ra m∈{−3; −2; −1;1;2;3} .

Câu 213: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1)

4

5

( x − m ) ( x + 3)

3

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m trong đoạn

[ −5;5] để số điểm cực trị của hàm số f ( x ) bằng 3: A. 5.

B. 3.

C. 4.

Lời giải

D. 2.

Nếu m = −1 thì hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị là x = −1 < 0 và x = −3 < 0 . Khi đó, hàm

( x ) chỉ có 1 cực trị. Do đó, m = −1 không thỏa yêu cầu đề bài.

Nếu m = −3 thì hàm số f ( x ) không có cực trị. Khi đó, hàm số f ( x ) chỉ có 1 cực trị. Do

số f

đó, m = −3 không thỏa yêu cầu đề bài. Để hàm số f

x =m và

x = −3 < 0 .

( x ) có 3 điểm cực trị thì hàm số f ( x ) phải có hai điểm cực trị trái dấu

Trường THPT Bình Sơn

102

C. 1.

B. 3.

Lời giải

Chọn A

Khi m ≠ −1 và m ≠ −3 thì hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị là

A. 2.

Chọn D

 x = −2 Từ đồ thị suy ra f ′ ( x ) = 0 ⇔  trong đó x = 1 là nghiệm kép. x =1

Ta có y = f ( x 2 ) ⇒ y′ = 2 xf ′ ( x 2 ) . x = 0  2

x = 0

. y′ = 0 ⇔  x = −2 ⇔   x = ±1 2 x = 1 

Trường THPT Bình Sơn

103

D. 0.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Ta có bảng biến thiên

phải cắt trục O x tại 2 hoặc 3 giao điểm.

m > 0  + TH1: Tịnh tiến đồ thị ( C′) : y = f ( x + 1) + m lên trên . Khi đó −3 + m ≥ 0 ⇔ 3 ≤ m < 6 . −6 + m < 0 

Vậy hàm số không có điểm cực đại.

Câu 216: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

y = f ( x) .

m < 0 + TH2: Tịnh tiến đồ thị ( C′) : y = f ( x + 1) + m xuống dưới . Khi đó  ⇔ m ≤ −2 . 2 + m ≤ 0 Vậy có ba giá trị m nguyên dương.

Câu 217: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈[ −10;10] để hàm số y = mx 3 − 3mx 2 + (3m − 2) x + 2 − m có 5 điểm cực trị?

A. 9.

B. 7.

C. 10 .

D. 11 .

Lời giải Chọn C 3 2 Xét hàm số f ( x ) = mx − 3mx + ( 3m − 2) x + 2 − m .

x = 1

3 2 Ta có: mx − 3mx + ( 3m − 2) x + 2 − m = 0 ⇔ 

2 mx − 2mx + m − 2 = 0 (1)

.

Yêu cầu bài toán ⇔phương trình f ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔phương trình (1) có hai Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số cực trị ?

A. 2.

B. 1.

m để hàm số

y = f ( x + 1) + m có 5 điểm

C. 3.

Lời giải

D. 0.

Vì

+ Đồ thị của hàm số y = f ( x + 1) + m được suy ra từ đồ thị ( C ) ban đầu như sau: Tịnh tiến ( C ) sang phải một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới)

m đơn vị.

f ( x) = x3 + mx2 + nx −1với cực trị của hàm số y = f

Ta được đồ thị ( C′) : y = f ( x + 1) + m .

-

m nguyên và m ∈[ −10;10] nên m∈ {1;2;...;10} .

Câu 218: (Chuyên Lê Hồng Phong

Chọn C

-

2 m − m ( m − 2) > 0 . m − 2m + m − 2 ≠ 0

nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 

Phần đồ thị ( C′) nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục O x ta được đồ thị của hàm

A. 2.

– Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho hàm số

m + n > 0

m , n là các tham số thực thỏa mãn  . Tìm số 7 + 2 ( 2m + n) < 0

(x) .

B. 9.

số y = f ( x + 1) + m .

Chọn C

Ta được bảng biến thiên của của hàm số y = f ( x + 1) + m như sau

 f ( 0) = −1 < 0   f (1) = m + n > 0   f ( 2) = 7 + 2 ( 2m + n ) < 0

C. 11 .

Hướng dẫn giải

lim f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = −∞ .

x → +∞

x → −∞

Khi đó đồ thị hàm số y = f ( x ) có dạng như sau:

Để hàm số y = f ( x + 1) + m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số ( C′) : y = f ( x + 1) + m

Trường THPT Bình Sơn

104

Trường THPT Bình Sơn

105

D. 5.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

)′ (

(

)

2 2 Ta có y′ = x − 2x f ′ x − 2 x = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x )

x = 1 2 x − 2 = 0   2 x = 1+ 2 2 x − 2 = 0 x − 2 x = − 2  ⇔ 2 Khi đó y′ = 0 ⇔  ⇔  x = 1 − 2 2   f ′ x − 2 x = 0  x − 2x = 1 x = 3 2   x − 2x = 3  x = −1  x < −2 Từ bảng xét dấu ta thấy f ′ ( x ) < 0 ⇔  x > 3

5

2

(

4

6

(

(x)

1 − 2 < x < 1 + 2  ⇔  x < −1 2 x − 2 x > 3  x > 3 

 x2 − 2x < −2

2 Khi đó f ′ x − 2x < 0 ⇔ 

8

Đồ thị y = f

)

)

có dạng như sau.

Bảng biến thiên 8

6

4

2

Câu 220: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

5

y

5

2

Vậy số cực trị của hàm số y = f

(x)

2

là 11.

O

x

Câu 219: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f ′( x) như sau x

−2

−∞

f ′ ( x)

−

0

−3

3

1 +

0

+

0

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số

Hỏi hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải

Chọn B

−6

+ ∞

−

D. 4.

106

y = f ( x − 1) + m có 5

điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 12 .

B. 15 .

C. 18 .

Lời giải

Chọn A

Trường THPT Bình Sơn

m để hàm số

Trường THPT Bình Sơn

107

D. 9.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

y

Nhận xét: Số giao điểm của ( C ) : y = f ( x ) với O x bằng số giao điểm của ( C′) : y = f ( x −1) với O x .

Vì m > 0 nên ( C′′) : y = f ( x − 1) + m có được bằng cách tịnh tiến ( C′) : y = f ( x −1) lên trên

2

m đơn vị.

4

x

O 1

B. 4.

A. 3.

C. 5.

Lời giải

D. 6.

Chọn C Ta có: y′ = 2 x. f ′ ( x 2 )

x x TH1: 0 < m < 3

TH2 : m = 3

2x = 0 x = 0  2  x = 0 x = 0 2  y′ = 0 ⇔ x = 1 ⇔  x = ±1    x2 = 2 x = ± 2  2   x = ±2 x = 4 x > 2  x < −2 ⇔ 2  0 < x < 1  −1 < x < 1

 x2 > 4

Do f ′ ( x 2 ) > 0 ⇔ 

x x x TH3 : 3 < m < 6 TH1: 0 < m < 3 . Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị. Loại.

TH2: m = 3 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.

TH3: 3 < m < 6 . Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận.

TH4: m ≥ 6 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại.

Vậy 3 ≤ m < 6 . Do m ∈ ℤ * nên m∈{3;4;5} .

Câu 221: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x)

−1

2

−

−

f ′ ( x2 )

+

0

−

0

−

0

y′

−

0

+

0

+

0

TH4 : m ≥ 6

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12 .

−2

−∞

2x

−

−

0 0

1

+

+

+

0

−

0

−

+ 0 +

−

0

+

0

−

0

−

0

Câu 222: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị f ′( x) như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( x ) − x . Hàm số g ( x ) đạt cực đại tại điểm có hoành độ ?

2

y

1

số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 ) .

−1 O

1

2x

−1

A. x = 2 .

108

+

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.

trên ℝ , phương trình f ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm thực và đồ thị hàm số f ′( x) như hình vẽ. Tìm

Trường THPT Bình Sơn

+∞

2

2

+ 0 +

−

Trường THPT Bình Sơn

B. x = 0 .

C. x = −1 .

109

D. x = 1 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải

x

Chọn C

∞ +

g'(x)

Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 . Do đó đồ thị của hàm số g′ ( x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

2016

2019

0

0

+∞

4036

của hàm số f ′( x) đi xuống 1 đơn vị.

g(x)

y

y = f ′( x)

2

0

∞

y = g′( x)

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục hoành tại một điểm 1

−1

+∞ +

O

tại 1

2

x0 < 2016 , tiếp xúc với trục hoành

x1 = 2019 và có hai cực trị nên đồ thị hàm số y = f ( x − 2017 ) + 2018 có 3 cực trị.

Câu 224: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm

x

f ′( x) trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ

−1 −2

Quan sát đồ thị g′ ( x) ta thấy g′ ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = −1 .

Do đó g ( x ) đạt cực đại tại x = −1 .

Câu 223: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau. x

∞ +

f'(x)

1

3

0

0

+∞

2

Đồ thị của hàm số y = ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu ?

+

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

+∞

2018 f(x) ∞

- 2018

Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = f ( x − 2017 ) + 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 5.

B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Lời giải

D. 4.

Lời giải Chọn B Do hàm số g ( x ) = f ( x − 2017 ) + 2018 thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải một đoạn có độ dài bằng 2017 đơn vị và tịnh tiến lên trên một đoạn có độ dài bằng 2018 đơn vị nên ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) như sau

2

 f ( x) = 0

y = ( f ( x ) ) ⇒ y′ = 2 f ( x ) . f ′ ( x ) = 0 ⇔ 

 f ′ ( x ) = 0

Trường THPT Bình Sơn

110

Trường THPT Bình Sơn

111

.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

 x = x1 x = 0   Quan sát đồ thị ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = 1 và f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 với x1 ∈ ( 0;1) và  x = x2  x = 3

x2 ∈ (1;3) .   f ( x ) > 0   x ∈ ( 3; +∞ )  f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈( 0; x1 ) ∪ (1; x2 ) ∪ ( 3; +∞) ⇔ Suy ra y ′ > 0 ⇔   f ( x ) < 0  x ∈∈ ( 0; x1 ) ∪ (1; x2 )  f ′ x < 0   ( ) Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = ( f ( x ) )

2

Chọn D Xét hàm số

g(x) = f (x2 −3) .

(

)′ (

)

(

)

2 2 2 Có g′ ( x ) = x − 3 . f ′ x − 3 = 2 x. f ′ x − 3

x = 0 x = 0 x = 0  2  x = ±1 ⇔ g′ ( x ) = 0 ⇔  . ⇔ x − 3 = − 2 2    f ′ ( x − 3) = 0  x2 − 3 = 1  = ± 2 x   Ta lại có x > 1 thì f ′ ( x ) > 0 . Do đó x 2 > 4 thì f ′ ( x 2 − 3 ) > 0 . x <1 thì f ′ ( x ) < 0 . Do đó x 2 < 4 thì f ′ ( x 2 − 3 ) < 0 .

Từ đó ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Câu 225: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f '( x ) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số các mệnh đề sau: I. Hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị.

g(x) = f (x2 −3) và

II. Hàm số g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0.

III. Hàm số g ( x ) đạt cực đại tại x = 2.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có I. Hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị . LÀ MỆNH ĐỀ ĐÚNG. II. Hàm số g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0. LÀ MỆNH ĐỀ SAI. III. Hàm số g ( x ) đạt cực đại tại x = 2. LÀ MỆNH ĐỀ SAI. IV. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;0) . LÀ MỆNH ĐỀ ĐÚNG.

IV. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;0) .

V. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) . LÀ MỆNH ĐỀ SAI.

V. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Vậy có hai mệnh đề đúng.

Câu 226: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Tổng các giá trị nguyên của tham số

m để hàm số y = x3 − 3x2 − 9x − 5 +

A. 2016 .

B. 1952 .

m có 5 điểm cực trị là.

2 C. −2016 .

Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 5 + Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

Lời giải

Trường THPT Bình Sơn

112

D. 2.

m .

2

 x = −1 2 Ta có f ′ ( x ) = 3x − 6x − 9 = 0 ⇔  . x = 3 Ta có bảng biến thiên

Trường THPT Bình Sơn

113

D. −496 .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x

−1

−∞

+

f ′( x)

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

0

−

+∞

+ +∞

m 2

f ( x)

3 0 m − 32 2

−∞

 f ( x ) neá u f ( x ) ≥ 0 Do y = f ( x ) =  nên − f ( x ) neá u f ( x ) < 0  Nếu

m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0 thì f ( x ) = 0 có nghiệm 2

Trường hợp này hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

x0 >3, ta có bảng biến thiên của hàm số đã

Như vậy, các giá trị nguyên của

m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là m∈{1;2;3;...;63} .

Tổng các giá trị nguyên này là:

cho là

S = 1 + 2 + 3 + ... + 63 =

63 (1 + 63) 2

= 2016 .

Câu 227: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m để hàm số

A. 44 .

m − 32 ≥ 0 ⇔ m ≥ 64 thì f ( x ) = 0 có nghiệm 2

B. 27 .

C. 26 .

Lời giải

D. 16 .

Chọn B

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

 Nếu

y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 5 điểm cực trị.

x0 <−1,ta có bảng biến thiên của hàm

số đã cho là

4 3 2 Xét hàm số f ( x ) = 3x − 4x −12x + m .

3 2 Ta có f ′ ( x ) = 12 x − 12x − 24x ,

x = 0 f ′ ( x ) = 0 ⇔ 12 x3 − 12 x 2 − 24 x = 0 ⇔  x = −1 .  x = 2 Ta có bảng biến thiên

x

x3 với x1 <−1< x2 < 3 < x3 , ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

−

0

+

0

+∞

2 −

0

m

+∞

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. m  > 0 m  Nếu  2 ⇔ 0 < m < 64 thì f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 5 + = 0 có ba nghiệm m 2  − 32 < 0  2

0

−1

−∞

f ′( x)

+

+∞

f ( x)

x1 ; x2 ;

m −5

m − 32

 f ( x ) neá u f ( x ) ≥ 0 Xét hàm số y = f ( x ) =  − f ( x ) neá u f ( x ) < 0 Nên từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) suy ra hàm số y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 5

m − 32 < 0 điểm cực trị khi và chỉ khi  ⇔ 5 ≤ m < 32 . m − 5 ≥ 0 Do đó có 27 giá trị nguyên dương của tham số

điểm cực trị.

Trường THPT Bình Sơn

114

Trường THPT Bình Sơn

115

m để hàm số

y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 5

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 228: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x ) = ax4 + bx2 + c biết a > 0 , c > 2017 và a + b + c < 2017 . Số cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2017 là

A. 1.

B. 7.

C. 5.

Lời giải

D. 3.

Chọn A 4 2 Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c xác định và liên tục trên D = ℝ .

Ta có f ( 0) = c > 2017 > 0 .

A. 5.

C. 4.

Lời giải

B. 3.

D. 6.

Chọn C Xét hàm số y = f  f ( x )  , y ′ = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  ;

x = 0 x = 0  x = 2 ′ x=2  f ( x) = 0 y′ = 0 ⇔  ⇔ ⇔ .  f ( x) = 0  x = a ∈ ( 2; +∞ )  f ′  f ( x )  = 0    f ( x ) = 2  x = b ∈ ( a; +∞ ) Với x > b , ta có f ( x ) > 2 ⇒ f ′  f ( x )  > 0

f ( −1) = f (1) = a + b + c < 2017 Do đó  f ( −1) − 2017  .  f ( 0 ) − 2017  < 0 và  f (1) − 2017  .  f ( 0 ) − 2017  < 0

Với a < x < b , ta có 0 < f ( x ) < 2 ⇒ f ′  f ( x )  < 0

Mặt khác lim f ( x ) = +∞ nên ∃α < 0 , β > 0 sao cho f (α ) > 2017 , f ( β ) > 2017

Với 0 < x < a hoặc x < 0 , ta có f ( x ) < 0 ⇒ f ′  f ( x )  > 0 BBT: x −∞ a 0 2 y′ 0 0 0 + + − −

x → ±∞

 f (α ) − 2017  .  f ( −1) − 2017  < 0 và  f ( β ) − 2017  .  f (1) − 2017  < 0

Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2017 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2017 có dạng

b 0

+∞

+

y Dựa vào BBT suy ra hàm số y = f  f ( x )  có bốn điểm cực trị.

Câu 230: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

− 2 x ) với ∀x ∈ ℝ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m để

hàm số f ( x 2 − 8 x + m ) có 5 điểm cực trị?

A. 15 .

B. 17 .

C. 16 Lời giải

D. 18

Chọn A Vậy số cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2017 là 7.

Câu 229: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng hàm số f ( x ) có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f  f ( x )  . y O 2 x

Đặt g ( x ) = f ( x 2 − 8 x + m ) f ′ ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

− 2 x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 2 x − 8 ) ( x 2 − 8 x + m − 1)

2

(x

2

− 8 x + m )( x 2 − 8 x + m − 2 )

x = 4  2 x − 8 x + m − 1 = 0 (1) g ′ ( x ) = 0 ⇔  2 x − 8x + m = 0 (2)  2  x − 8 x + m − 2 = 0 ( 3) 

Các phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3 ) không có nghiệm chung từng đôi một và −4

(x

2

2

− 8 x + m − 1) ≥ 0 với ∀x ∈ ℝ

Suy ra g ( x ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ

Trường THPT Bình Sơn

116

Trường THPT Bình Sơn

khi ( 2 ) và ( 3 ) có hai nghiệm phân biệt khác

117

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

 m < 16  ∆ 2 = 16 − m > 0  m < 18  ∆ = 16 − m + 2 > 0   4⇔ 3 ⇔ m < 16 . ⇔ − + ≠ 16 32 m 0  m ≠ 16   m ≠ 18 16 − 32 + m − 2 ≠ 0 m nguyên dương và m < 16 nên có 15 giá trị Vì

Câu 231: Cho hàm số

3

2

f ( x) = ax + bx + cx + d ,

y

m cần tìm.

( a, b, c, d ∈ ℝ)

thỏa mãn a > 0 , d > 2018 ,

x

a + b + c + d − 2018 < 0 . Tìm s ố điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2018 .

A. 2.

B. 1.

C. 3.

Lời giải

-2

O

-1

1

2

D. 5.

Vậy hàm số y = f ( x ) − 2018 có 5 điểm cực trị.

Chọn D - Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 = ax 3 + bx 2 + cx + d − 2018 .

 g ( 0 ) = d − 2018 Ta có:  .  g (1) = a + b + c + d − 2018  g ( 0) > 0 Theo giả thiết, ta được  .  g (1) < 0

C. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ

 lim g ( x ) = +∞ x →+∞ ⇒ ∃β > 1: g ( β ) > 0 và ⇒ ∃α < 0: g (α ) < 0 . g ( x ) = −∞  xlim →−∞

- Lại do: a > 0 nên 

 g (α ) .g ( 0) < 0  Do đó:  g ( 0) .g (1) < 0 ⇒ g ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (α ; β ) .   g (1) .g ( β ) < 0 Hay hàm số y = g ( x ) có đồ thị dạng y

1. Một số hướng phát triển Đề tài -Khai thác thêm các kỹ năng khác để tìm nhanh cực trị -Ứng dụng trong các bài toán khác về bài toán liên quan đến khảo sát hàm số ….

2. Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài Đề tài này thực sự cần thiết phải giảng dạy trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPTQG. Có thể áp dụng cho học sinh 12 chuẩn bị thi THPTQG. Chỉ nên áp dụng đề tài này cho nhóm đối tượng học sinh khá và giỏi, còn với nhóm đối tượng học sinh trung bình và yếu chỉ nên áp dụng mức độ kiến thức nhận biết và thông hiểu.

E. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Giải tích 12 .

x -2

O

-1

1

2

- Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

- Đề thi thử THPTQG các trường THPT. - Các đề thi khảo sát chất lượng của các trường Trung học phổ thông trên cả nước.

- Các tài liệu trên Internet.

Sông Lô, ngày 22 tháng 10 năm 2019 Người viết chuyên đề

Khi đó đồ thị hàm số y = g ( x ) có dạng

Phạm Văn Minh

Trường THPT Bình Sơn

118

Trường THPT Bình Sơn

119