Bài tập trắc nghiệm nâng cao Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết - Đặng Việt Đông

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Bài tập trắc nghiệm nâng cao Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết - Đặng Việt Đông Trường THPT Phùng Khắc Khoan WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI.............................................................................................................................. 3 HÀM SỐ ............................................................................................................................................ 3 HÌNH ĐA DIỆN................................................................................................................................. 9 I – HÌNH CHÓP ............................................................................................................................ 9 II – HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................ 13 MŨ - LÔ GARIT ............................................................................................................................. 15 HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU .............................................................................................................. 19 NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG .......................................................................... 24 HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ ............................................................................... 29 SỐ PHỨC......................................................................................................................................... 37 PHẦN II – LỜI GIẢI CHI TIẾT .................................................................................................... 41 HÀM SỐ .......................................................................................................................................... 41 HÌNH ĐA DIỆN............................................................................................................................... 64 I – HÌNH CHÓP .......................................................................................................................... 64 II – HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................ 78 MŨ - LÔ GARIT ............................................................................................................................. 85 HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU ............................................................................................................ 101 NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ........................................................................ 115 HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ ............................................................................. 129 SỐ PHỨC....................................................................................................................................... 155

Trang 2

PHẦN I – ĐỀ BÀI HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A. m > −3 B. m < − 3 C. m > 3 D. m < 3 4 2 2 Câu 2. Cho hàm số: y = x − 2( m − 2) x + m − 5 m + 5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hám số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều A. m = 2 − 3 3 B. 2 − 3 C. 3 − 2 D. 3 − 3 2 1 Câu 3. Cho hàm số y = x 3 − x 2 có đồ thị là (C). Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số

2

2 góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 4x +3

x 4 +1

3   4 40  1   A.  ; 0  B.  −1; −  ;  ;  2   3 27  2    2 1 + 2   2 −1 + 2  1  C.  − D.  ; 0  ; ( −2; −10 ) ;− ;  ;   4   2 4  2   2 2x − 4 Câu 4. Cho hàm số y = có đồ thi C điểm A(−5;5) . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt x +1 đồ thị C tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc toạ

( )

( )

độ).

A. m = 0

B. m = 0; m = 2 C. m = 2 D. m = −2 x+2 Câu 5. Cho hàm số: y = ( C ) . Tìm a sao cho từ A(0, a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) nằm ở x −1 hai phía trục Ox.  −2   −2  A.  ; +∞  B. ( −2; +∞ ) \ {1} C. ( −2; +∞ ) D.  ; +∞  \ {1}  3   3  3x − 1 Câu 6. Hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị y = . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất x−3 bằng?

A. 8 B. 4 C. xM < 3 D. 8 2 .

Câu 7. Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8 y − 74 = 0 A. m = 1 B. m = −2 C. m = 2 D. m = −1 1+

Câu 8. Cho f ( x ) = e và

1 x2

+

1

( x +1)2

m

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e n với m , n là các số tự nhiên

m tối giản. Tính m − n 2 . n A. m − n 2 = 2018 .

B. m − n 2 = −2018 .

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trang 3

A. B. C. D.

f (c ) > f (c ) > f (a ) > f (b ) >

f (a) > f (b ) > f (b) > f (a) >

f (b). f ( a ). f (c). f (c).

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch biến trên ℝ.

1 1 1 A. −3 ≤ m ≤ − .

B. −3 < m < − .

C. m < −3.

D. m ≥ − .

5 5 5 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y = 2 x3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 A. m < 0 hoặc m > 6 B. m > 6 C. m < 0 D. m = 9 x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các x −1 khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C).

A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 2 3 2x + 1 Câu 13. Cho hàm số y = ( C ) . Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

A. 12 B. −4 C. −3 D. 1 x−4 Câu 14. Nếu đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng ( d ) : 2 x + y = m tại hai đểm AB sao cho độ dài x +1 AB nhỏ nhất thì A. m=-1 B. m=1 C. m=-2 D. m=2 3 2 2 2 Câu 15. Cho hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x + 1 − m . Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ A. −1 ≤ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 B. −1 < m < 0 hoặc m > 1 C. 1 > m > 0 hoặc m < −1 D. 1 ≥ m ≥ 0 hoặc m ≤ −1 2 3 3 2 3 Câu 16. Cho hàm số y = x + 3mx − m có đồ thị ( Cm ) và đường thẳng d : y = m x + 2m . Biết rằng

m1 , m2 ( m1 > m2 ) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 , x3 thỏa x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ?

B. m12 + 2m2 > 4 .

C. m2 2 + 2m1 > 4 . D. m1 − m2 = 0 . x−3 Câu 17. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm x +1 tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất ?

A. M1 ( 0 ; − 3) và M 2 ( −2 ; 5 ) B. M1 (1; − 1) và M 2 ( −3 ; 3) A. m1 + m2 = 0 .

1 7 5   1  5 11  C. M 1  2 ; −  và M 2  −4 ;  D. M 1  ; −  và M 2  − ;  3 3 3   2  2 3 Câu 18. Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x 2 + 2mx + m 2 + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. m = 2 B. m = 1 C. m = -1 D. m = - 2 x2 − 2 x + 3 Câu 19. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = hợp với 2 trục tọa độ 1 x −1 tam giác có diện tích S bằng: Trang 4

A. S=1,5 B. S=2 C. S=3 D. S=1 3 2 Câu 20. Cho hàm số y = x − 2 x + (1 − m ) x + m có đồ thị ( C ) . Giá trị của m thì ( C ) cắt trục 2 2 2 hoành tại 3 điểm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1 + x2 + x3 < 4 là

A. m < 1

 1 − < m < 1 B.  4 m ≠ 0 

1 4

C. − < m < 1

D.

1 < m <1 4

3

Câu 21. Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x + m 2 (1) . Gọi M là điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị khác của m. Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 22. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó?

A.

3 2 a 8

B.

3 2 a 4

C. 0

D.

3 2 a 2

x (C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − 1 cắt (C ) tại hai điểm 1− x phân biệt M , N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A(−1;1) .

A. m = 1 B. m = 2 C. m = −1 D. m = 3 Câu 24. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị nhu hình vẽ bên. Tất cả

Câu 23. Cho hàm số y =

các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị là:

A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 B. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 C. m = −1 hoặc m = 3 D. 1 ≤ m ≤ 3 3 2 Câu 25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).

A. m = 1 B. m = 2 C. m = ±1 D. m = 3 2 2sin x Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = là 4 x 4 x sin + cos 2 2 A. 0 B. 4 C. 8 D. 2 3 2 Câu 27. Cho hàm số y = x − 6 x + 9 x + m có đồ thị (C), với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 .

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 1 < x1 < x2 < 3 < x3 < 4 B. 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 C. x1 < 0 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 D. 1 < x1 < 3 < x2 < 4 < x3 tan x − 2 Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = đồng biến trên khoảng tan x − m  π  0;  .  4 A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0.

C. 1 ≤ m < 2.

D. m ≥ 2.

Trang 5

2 Câu 29. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c > 0 B. a < 0, b > 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c < 0 D. a > 0, b < 0, c < 0

1 ( C ) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 x −1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .

1 1  1    1 A. M = 1 + 4 ;2 − 2 + 4  B. M =  4 ;2 + 4  2 2 2   2

Câu 30. Cho hàm số : y = x + 1 +

(

C. M = 1;2 + 2

)

1 1   D. M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2 

x4 5 − 3 x 2 + (C ) và điểm M ∈ (C ) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2 thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.  a < 3  a < 3  a < 7 a < 3 A.  B.  C.  D.  a ≠ ±1  a ≠ ±1  a ≠ 1  a ≠ ±2 2x − 3 Câu 32. Cho hàm số: y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường x−2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 IB , với I (2, 2) .

A. y = − x + 2 ; y = − x − 3 B. y = x + 2 ; y = − x + 6 C. y = − x + 2 ; y = − x + 6 D. y = x − 2 ; y = x − 6 Câu 33. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

1 ± 37 1 ± 137 1± 7 1 ± 142 A. m = B. m = C. m = D. m = 2 2 2 2 Câu 34. Cho hàm số: y = x3 − 2009 x có đồ thị là (C). M 1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp

Câu 31. Cho hàm số: y =

tuyến của (C) tại M 1 cắt (C) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n −1 cắt (C) tại điểm M n khác M n −1 (n = 4; 5;…), gọi ( xn ; yn ) là tọa độ điểm M n . Tìm n để : 2009 xn + yn + 22013 = 0 A. n = 685 B. n = 627 C. n = 675 D. n = 672 3 x − 2m Câu 35. Cho hàm số y = với m là tham số. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục mx + 1 Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích ∆OAB bằng 2 lần diện tích ∆OCD .

5 2 1 A. m = ± B. m = ±3 C. m = ± D. m = ± 3 3 3 1 3 Câu 36. Cho hàm số y = mx + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số. Tìm các 3 giá trị của m để trên ( Cm ) có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y = 0 .

Trang 6

m < 0 A.  m > 2 3 

m < 0 B.  m > 1

1 C. 0 < m < 3

 m < −1 D.  m > 5 3 

2x − 1 có đồ thị (C) và điểm P ( 2;5 ) . Tìm các giá trị của tham số m để x +1 đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều.

Câu 37. Cho hàm số y =

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C ) là: A. m = 1, m = −5 B. m = 1, m = 4 C. m = 6, m = −5 D. m = 1, m = −8 4 3 Câu 38. Cho hàm số y = x − mx + 4 x + m + 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ban đầu có 3 cực trị và trọng tâm của tam giác với 3 đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trùng với tâm đối xứng của đồ 4x thị hàm số y = .

4x − m A. m = 2 B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 3 2 Câu 39. Tìm tham số m để hàm số y = x + 3mx + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớ n h ơ n 4 .

1 − 21 1 − 21 1 + 21 A. m < B. m < hoặc m > 2 2 2 1 + 21 1 − 21 1 + 21 C. m > D. <m< 2 2 2 −x + 1 Câu 40. Đường thẳng d : y = x + a luôn cắt đồ thị hàm số y = ( H ) tại hai điểm phân biệt 2x − 1 A, B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( H ) tại A và B . Tìm a để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

A. a = 1 B. a = 2 C. a = −5 D. a = −1 Câu 41. Tìm m để phương trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3 A. Không có m B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 3 2 1 3 3 Câu 42. Cho hàm số: y = x - mx + m . Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm 2 2 phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. A. m = 0 ; m = ± 2 B. m = 0 C. m = ± 2 D. m = 0 ; m = 2 Câu 43. Cho hàm số y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) .

A. −3 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. −3 ≤ m ≤ 1 D. −3 ≤ m ≤ 2 Câu 44. Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?

40 120 60 180 A. B. C. D. m. m. m. m.

9+4 3 9+4 3 9+4 3 9+4 3  −8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 45. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  . Số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0 y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Trang 7

Câu 46. Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận là A. {0}.

2x − 1 có đúng 1 ( mx − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) 2

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

C. ∅

D. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) .

Câu 47. Đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 điểm phân biệt A ( 0;4 ) , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của

m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. m = 2 hoặc m = 3. B. m = −2 hoặc m = 3. C. m = 3.

D. m = −2 hoặc m = −3.

Câu 48. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2 x − 3 + y + 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

P = 4( x + y 2

2

) + 15 xy

)

là:

A. min P = −83 B. min P = −63 C. min P = −80 D. min P = −91 4 2 Câu 49. Gọi (Cm) là độ thì hàm số y = x − 2 x − m + 2017 . Tìm m để (Cm) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả: A. m = 2017 B. 2016 < m < 2017 C. m ≥ 2017 D. m ≤ 2017 2 x +2 có hai đường tiệm cận Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = mx 4 + 3 ngang.

A. m = 0 B. m < 0 C. m > 0 D. m > 3 2 Câu 51. Cho hàm số y = x + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a = 3

B. a = 2

C. a = 1

)

(

D. Một giá trị khác

(

)

Câu 52. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1 là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Trang 8

HÌNH ĐA DIỆN I – HÌNH CHÓP Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (SAB ) , (SAC ) và (SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

A. V = 680 B. V = 408 C. V = 578 D. V = 600 ABCD, M , N , P lần BC , BD, AC Câu 2.

Cho tứ diện lượt thuộc sao cho BC = 4BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).

A.

2 3

B.

a 3 14 48

B.

7 13

C.

5 13

D.

1 .

3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = . Gọi CM là 4 đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

A.

a 3 14 24

C.

a 3 14 16

D.

a 3 14 8

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và 1 mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt phẳng 3 (SAD ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 0,11 B. 0,13 C. 0,7 D. 0,9 Câu 5. Cho hình chóp S . ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) ,

300 , 450 , 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

( SBC ) lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là

Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC .

A. V =

a3 3

(4 + 3)

.

B. V =

a3 3

(

2 4+ 3

)

.

C. V =

a3 3

(

4 4+ 3

)

.

D. V =

a3 3

(

8 4+ 3

)

.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45 ° . Hình a 7 chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB. Biết CH = . Tính khoảng cách 3 giữa 2 đường thẳng SA và BC: a 210 a 210 a 210 a 210 A. B. C. D. 30 20 45 15 Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 3 3 3 1 A. V= a B. V= a3 C. V= a3 D. V= 3. a 3 3 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằng 2. Tìm giá trị của x để thể tích khối chóp lớn nhất Trang 9

A. 6 B. 2 C. 7 D. 2 6 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4

Câu 10. Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C = α . Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc β . Tính thể tích hình chóp SABC. a 3 tan β a 3 cos α tan β a 3 cos α tan β a 3 sin 2α B. V = C. V = D. V = 6 6 3 6 Câu 11. Cho hình chop S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N là trung điểm của SB và SD. Tính V hình chop biết rằng (MAC) vuông góc với (NAC).

3a 3 a3 3a3 3 a3 3 C. A. B. D. 2 2 2 2 Câu 12. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM , SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa

A. V =

diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) V chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số 1 .

V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3

Câu 13. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 2

1

A. x = V 3 B. x = 3 V C. x = V 4 D. x = V Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD là 4π dm 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC gần với giá trị nào nhất sau đây ?

(

A.

)

2 dm .

7

B.

3 dm .

7

C.

4 dm .

7

D.

2 3

D.

6 dm .

7

Câu 15. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N.Gọi V1 là thể tích của khối chóp S .AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A.

3 8

B.

1 3

V1 V

?

C.

1 8

Câu 16. Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu?

1 3 1 5 A. B. C. D. 4 4 8 8 Câu 17. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB ) bằng 300. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và

Trang 10

H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S .ABH đạt giá trị lớn nhất bằng?

a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 B. C. D. 3 2 6 12 Câu 18. Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc α .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc β . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .

A.

A. V =

l 3 3 cos3 α 4(cot gα + cot g β ) 2

B. V =

l 3 3 cos3 α 2(cot gα + cot g β ) 2

l 3 cos3 α l 3 5 cos α V = D. 2(cot gα + cot g β ) 2 4(cot gα + cot g β ) 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với SM đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD. Tính tỉ số .

SB 3 1 3 5 A. B. C. D. 4 4 5 4 C. V =

Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V. 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

3 3a 3 3a3 3 3a 3 3 5a3 A. B. C. D. 20 20 10 10

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 3 .

Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM , CD .

A.

15 23

B.

5 23

C.

15 29

D.

13 23

Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa 5 2 hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α = . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE 7 V và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số 1 .

V2 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Câu 24. Cho khối chóp S. ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. a 3 6 .

B.

a3 6 .

2

C.

a3 6 .

3

D.

a3 6 .

6 Trang 11

Câu 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

SC = a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF .

A. VSCEF =

2a 3 .

36

B. VSCEF =

a3 .

18

C. VSCEF =

a3 .

36

D. VSCEF =

2a 3 .

12

Trang 12

II – HÌNH LĂNG TRỤ

Câu 24. Một hình hộp có 6 mặt đều là các hình thoi có góc bằng 600 và cạnh bằng a. Tính thể tích của hình hộp đó. a3 2a 3 2a 3 2 2a 3 A. B. C. D. 2 2 3 3 Câu 25. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C ′B′ và C ′D′ . Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich khối chứa điểm A′ và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó

25 .

47

A.

B. 1.

C.

V1 là V2

17 .

25

D.

8 .

17

Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB ′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ .

3

A. a3 2 B. 2 a 3 C. a 3 6 D. 3a Câu 27. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giá ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 3 a 3 a3 3 a3 3 A. B. C. 12 6 3

D.

a3 3 24

Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông

(

)

góc của A ' lên măt phẳng ABC trùng với tâm G của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa

AA ' và BC là

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B ' C ' .

4

3 a3 3 a3 3 a3 3 B. V = C. V = D. V = a 3 3 6 12 36 Câu 29. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao cho MA = MA ' và NC = 4NC' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN nhọn.

Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A , góc BAC 0 Góc giữa AA' và BC' là 30 , khoảng cách giữa AA' và BC' là a . Góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là 600 . Thể tích lăng trụ ABC.A' B'C' là

A. V =

A.

2a 3 3 3

B.

a3 3 3

C.

a3 6 6

D.

a3 6 3

Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .

AM A'N 1 Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho = = . Tính thể tích V của khối BMNC’C. AB ' A 'C 3 A.

a3 6 108

B.

2a 3 6 27

C.

3a 3 6 108

D.

a3 6 27 Trang 13

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có khoảng cách giữa A ' C và C ' D ' là 1 cm. Thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là: A. 8 cm 3 .

B. 2 2 cm3 .

C. 3 3 cm 3 .

D. 27 cm 3 .

Câu 33. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là V1, V2 ( Trong đó V V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F = 1 .

V2 A.

7 .

17

B. 1.

C.

17 .

25

D.

8 .

17

Câu 34. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

49 25 8 A. .

B. 1.

C. .

D. .

47 17 95 Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C′.

4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = .

B. V = .

C. V = .

D. V = .

24 12 3 6 Câu 36. Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 3 3 9 a . a .

A. V = B. V = C. V = a 3 .

D. a 3 .

8 4 2 4 thẳng AA′ và BC bằng

Trang 14

MŨ - LÔ GARIT Câu 1. Cho phương trình 5x

2

A. m > 0

+ 2 mx + 2

− 52 x

2

+ 4 mx + 2

− x 2 − 2mx − m = 0 . Tìm m để phương trình vô nghiệm?

B. m < 1

m > 1

C. 0 < m < 1

D.  m < 0 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 − x2 ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 .

3

−1 21 21 −1 < m < 0. ≤ m ≤ 2.

B. 5 ≤ m ≤ .

C. 5 < m < .

D. 4 4 4 4 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là ( −∞;0] : A.

(

m 2 x +1 + ( 2m + 1) 3 − 5

1 A. m ≤ − .

2

B. m ≤

x

) + (3 + 5 )

x

< 0.

1 .

2

C. m <

1 .

2

1 D. m < − .

2

Câu 4. Tính giá trị của biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + ... + ln ( tan89°) .

1 B. P = .

2

A. P = 1.

2

D. P = 2.

2

+ 21− x = 2.26−5 x + m(1) . Tìm m để PT có 4 nghiệm phân biệt. 0 < m < 2. −1 21 −1  < m < 0. ≤ m ≤ 2.

A. B. 5 ≤ m ≤ .

C.  D. 1 1 4 4 4 m ≠ 8 , m ≠ 256 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32 x − ( m + 2) .log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm Câu 5. Cho phương trình : m.2 x

x1 , x2 sao cho x1.x2 = 27 4 A. m = 3

−5 x + 6

C. P = 0.

28 D. m = 1 3 Câu 7. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy B. m = 25

C. m =

nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .

( C. ( A.

) 2)

2

B. 10 − 2 và 10 + 2 .

10 − 2 .

10 −

2

và

(

)

2

D. 10 − 2 .

10 + 2 .

Câu 8. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho log a 2019 + 22 l o g a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019 A. n=2017 Câu 9. Phương trình log

2

(

B. n=2018 C. n=2019 D. n=2016 3 2 mx − 6 x + 2log 1 −14 x + 29 x − 2 = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi:

)

(

)

2

A. m < 19

B. m > 39

C. 19 < m <

39 2

D. 19 < m < 39

Trang 15

Câu 10. Biết phương trình log5

 x 2 x +1 1  x = a + b 2 trong = 2log3  −  2 2 x  có nghiệm duy nhất x  

đó a , b là các số nguyên. Tính a + b ?

A. 5 B. −1 Câu 11. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : A. 1 nghiệm

C. 1 log 4 ( x + 1) + 2 = log

B. 2 nghiệm

(

D. 2

2

2

4 − x + log 8 ( 4 + x )

C. 3 nghiệm

3

D. Vô nghiệm

)

Câu 12. Cho phương trình 2 − m2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5 ) = 0 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;2 ) .

B. ( −2;3)

A. ℝ

(

C. ( 0; +∞ )

D. ( −∞;1)

)

Câu 13. PHương trình log 3 x 2 + x + 1 = x ( 2 − x ) + log 3 x có bao nhiêu nghiệm A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm x 9 Câu 14. Cho hàm số f ( x) = x , x ∈ ℝ . Tính P = f (sin 2 10°) + f (sin 2 20°) + ..... + f (sin 2 80°) 9 +3 A. 4 B. 8 C. 9 D. 3 3+ 3 x 3−3 x 4+ x 4− x 3 Câu 15. Phương trình 3 +3 + 3 + 3 = 10 có tổng các nghiệm là ?

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 16. Gọi x 1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. ( x1 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

(

x

) (

5 −1 +

)

x

5 + 1 = 5.2 x −1 . Trong các

B. ( x2 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

C. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,0 ) = ( −1,0 )

D. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

Câu 17. Phương trình 1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 2 Câu 18. Tìm m để bất phương trình 1 + log5 ( x + 1) ≥ log5 ( mx + 4 x + m) thoã mãn với mọi x ∈ ℝ .

A. −1 < m ≤ 0 .

B. −1 < m < 0 .

C. 2 < m ≤ 3 .

D. 2 < m < 3 . x y −z Câu 19. Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn 2 = 3 = 6 . Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A. 0 B. 1 C. 6 D. 3 Câu 20. Cho a log 6 3 + b log 6 2 + c log 6 5 = 5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. Các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. a = b

B. a > b

Câu 21. Với a > 0, a ≠ 1 , cho biết : t = a A. u = a

−1 1− log a v

B. u = a

C. b > a 1 1− log a u

;v =a

1 1− log a t

1 1+ log a t

. Chọn khẳng định đúng : 1

23.

Tìm

t ất

cả

các

1

C. u = a 1+ log a v

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình m.2 3 nghiệm phân biệt.

A. 1 B. 2 C. 3

Câu

D. c > a > b

giá

trị

thực

củ a

D. u = a 1−log a v

x2 −5 x + 6

tham

2

+ 21− x = 2.26 −5 x + m có D. 4

số

m

để

phương

trình

log 22 x + log 1 x 2 − 3 = m (log 4 x 2 − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞) ?

2

(

A. m ∈ 1; 3  . 

)

B. m ∈ 1; 3 . 

)

C. m ∈ −1; 3 . 

(

D. m ∈ − 3;1 .  Trang 16

Câu 24. Tập các giá trị của m để bất phương trình A. (−∞;1]

log 22 x log22 x − 1

B. [1; +∞)

≥ m nghiệm đúng với mọi x > 0 bằng

C. ( −5; 2 )

D. [0;3)

Câu 25. Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) . Tìm giá trị của A.

4 3

B.

8 5

C.

Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9 x −2 + 3x + A. S = [1; +∞ ) ∪ {0} .

Câu 27. Cho

B. S = [1; +∞ ) .

x

1 1+ 3 2 2 − .32 x +1 ≥ 0 là 3

(

)

D.

C. S = [ 0; +∞ ) .

1 1+ 5 2

(

p q

)

D. S = [ 2; +∞ ) ∪ {0} .

( un ) là cấp số nhân với số hạng tổng quát un > 0; un ≠ 1 . Khi đó khẳng định nào sau

đây là đúng?

A.

log u 2017 k −1

log u 2017

=

k +1

B.

log u 2017 k +1

log u 2017 log u 2017 k −1

log u 2017

=

log u 2017 k −1

log u 2017 k +1

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

=

k +1

D.

k −1

k

k −1

C.

log u 2017 − log u 2017

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

=

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

(

)

Câu 28. Số nghiệm của phương trình log 3 x 2 − 2 x = log 5 x 2 − 2 x + 2 là A. 3.

Câu 29. Cho f ( x ) = e

B. 2.

1 1 1+ 2 + x ( x +1)2

C. 1.

D. 4.

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

m tối giản. Tính m − n2 . n A. m − n2 = 2018 .

B. m − n2 = −2018 .

m n

với m, n là các số tự

nhiên và

C. m − n2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

Câu 30. Hỏi phương trình 3.2 x + 4.3x + 5.4x = 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 9 x − 2 ( m + 1) .3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

4 3 3 B. m ≠ − .

C. m < − .

D. m ≤ − .

3 2 2 x 2 − 2 x +1 x2 − 2 x + 2 Câu 32. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 4 − m.2 + 3m − 2 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

A. ( −∞;1) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

C. [ 2; +∞ ) .

D. ( 2; +∞ ) .

A. m tùy ý.

(

)

Câu 33. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= x+ y A. P = 6 .

B. P = 2 2 + 3 .

C. P = 2 + 3 2 .

D. P = 17 + 3 .

Trang 17

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình x x + x + 12 ≤ m.log 5− có nghiệm.

A. m > 2 3 C. m ≥ 12log 3 5

4− x

3

B. m ≥ 2 3 D. 2 ≤ m ≤ 12log 3 5

(

Câu 35. Tìm giá trị của a để phương trình 2 + 3

)

x

(

+ (1 − a ) 2 − 3

)

x

− 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

thỏa mãn: x1 − x2 = log 2+ 3 3 , ta có a thuộc khoảng:

A. ( −∞; −3)

B. ( −3; +∞ )

C. ( 3; +∞ )

D. ( 0; +∞ )

30

Câu 36. Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 2 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 302 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n bằng A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 2 Câu 37. Cho hàm số y = x + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a = 3 B. a = 2 C. a = 1 D. Một giá trị khác 2log cotx log cos x = Câu 38. Cho phương trình ) ) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên 3( 2(

 π 9π  khoảng  ;  6 2  A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 39. Trong các nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 x + y bằng: 9 9 A. .

B. .

4 2

Câu 40. Xét các số thực A. Pmin = 19

C.

9 .

8

D. 9.

a thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log 2a ( a 2 ) + 3log b   b b B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15

Trang 18

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA = a 6 . Đáy 1 ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = AD = a. Gọi E là trung 2 điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. a 2 A. R = B. R = a 6. .

2 a 30 a 26 C. R = D. R = . .

3 2

S

M

O

A

N

S a 3 2 và α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( BCD ) . Gọi I,J lần lượt là

Câu 2. Cho tứ diện ABCD với BC = a ,các cạnh còn lại đều bằng

I M Q trung điểm các cạnh BC , AD . Giả sử hình cầu đường IJ kính tiếp xúc với CD. Giá trị cos α là: 2 3 2− 3 A. 3 − 2 3 B. 2 3 − 3 C. D. 3 3 B P A O N Câu 3. Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN€ SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. h h A. MN = B. MN = 2 3 h h C. MN = D. MN = 4 6 2 h h 4πR h V ậy V ≤ . Dấu '' = '' xảy ra khi x = . Hay MN = .

27 3 3 Câu 4. Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy.

Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N2 ) . Cho hình

N1

cầu nội tiếp ( N2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của ( N2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt ( N2 ) theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

N2

Trang 19

Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu.

250 3π 25 2π 20 3π 250 6π A. V = B. V = C. V = D. V = 27 27 27 27 Câu 6. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

36 38 38 36 6 6 4 B. r = C. r = D. r = 2π 2 2π 2 2π 2 2π 2 Câu 7. Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 là

A. r =

4

thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số

A.

3π + 2 . π−2

B.

3π − 2 . π−2

V1 a 2 , biết rằng ( P ) cách OO ' một khoảng bằng .

V2 2 2π + 3 2π − 3 C. .

D. . π−2 π−2

Câu 8. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là V 4π π V .

A. R = 3 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 2π V V π Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân AB=BC=a. Mặt phẳng 3 (AB’C) tạo với (BCC’B’) một góc α với tan α = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính bán kính mặt 2 cầu ngoại tiếp hình chóp B’ACM. 3 10a 3 10a 3 13a 13a A. B. C. D. 8 4 8 2 Câu 10. Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy góc α . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón.

3πa 3 4πa 3 4πa 3 4πa 3 A. V = B. V = C. V = D. V = 4sin 3 2α 3sin 3 3α 3sin 3 2α 3sin 3 α Câu 11. Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. h h h h A. d = B. d = C. d = D. d = 3 2 6 4 Câu 12. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S S 1 S ;h = ;h = A. R = .

B. R = .

2π 2 2π 4π 4π

2S 2S S S ;h = 4 ;h = 2 .

D. R = .

3π 3π 6π 6π Câu 13. Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 16π 3 dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn là 9 C. R =

Trang 20

đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là: A

M

O

N B

I P

Q

S

9π 10 3π 2 dm 2 . dm2 .

B. S xq = 4π 10 dm 2 .

C. Sxq = 4π dm .

D. S xq = 2 2 Câu 14. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm A. S xq =

S

I

J

O

A

H

Câu 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích của thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. a2 3 a2 2 a2 a2 A. B. C. D. 2 2 3 3 S

Câu 16. Cho hình chóp SABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và

K

BC= 3 a, BAC = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có bán kính bằng: A. 1 B. 2

C.

3

D. Không đủ dữ kiện để tính

H A

3

600

C

2

B

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Bán kính mặt cầu tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) là:

Trang 21

13a 13a 3 13a 13a B. C. D. 13 39 26 26 Câu 18. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay α = CAB

A.

tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

1 A. α = 60° .

B. α = 45° .

C. arctan .

2

D. α = 30° .

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC ,

SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. 32π .

3 108π C. V = .

3 A. V =

64 2π .

3 125π D. V = .

6 B. V =

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a.

5 11 4 A. πa 2 B. πa 2 C. 2πa 2 D. πa 2 3 3 3 Câu 21. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên.

Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?

A. min V = 8 3 .

B. min V = 4 3 .

C. min V = 9 3 .

D. min V = 16 3 .

Câu 22. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

3 34 − 17 2 3 34 − 19 2 B. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 5 34 − 15 2 5 34 − 13 2 C. x = D. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 Câu 23. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.

A. d = 50cm B. d = 50 3cm C. d = 25cm D. d = 25 3cm A. x =

Câu 24. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r. để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:

Trang 22

38 38 36 36 6 6 4 B. r = C. r = D. r = 2π2 2π 2 2π 2 2π 2 Câu 25. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V Câu 26. Trong không gian cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong 3 không gian thỏa mãn MA.MB = AB 2 4 A. Mặt cầu đường kính AB. B. Tập hợp rỗng (tức là không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện trên).

C. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R =AB. 3 D. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB 4 Câu 27. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là V thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số 1 là V2 5 4 A. .

B. .

C. 3 .

D. 2 .

4 3

A. r =

4

Câu 28. Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là 1 4 4 2 3 32 3 πR . πR .

A. πR3 .

B. πR3 .

C. D. 3 3 9 81

Trang 23

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b

Câu 1. Cho tích phân C = ∫ a

ex e +3 x

dx trong đó a là nghiệm của phương trình 2 x

2

+1

= 2 , b là một số

2

dương và b > a . Gọi A = ∫ x 2dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho C = 3 A .

1

A. 3

B. 2

C. 4 D. 5 2 a.e + b.e + c với a, b, c là các ước nguyên của 4.

Câu 2. Cho biết tích phân I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = 4 1 Tổng a + b + c = ?

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 1 a Câu 3. Cho hàm số f ( x) = + b.xe x . Biết rằng f '(0) = −22 và ∫ f ( x)dx = 5 . Khi đó tổng a + b 3 (x + 1) 0 bằng? −146 −26 B. 12 C. D. 10 A. 13 11 4

e

Câu 4. Cho

1

∫

1

f ( x)dx = 5 . Tính I = ∫ f (1 − x)dx

0

0

A. 5

B. 10 2 2

∫

Câu 5. Biết tích phân −

2 2

C.

1 5

D.

5

a.π + b 1 − x2 dx = trong đó a, b ∈ ℕ . Tính tổng a + b ? x 1+ 2 8

A. 0

B. 1 C. 3 D. -1 1 Câu 6. Biết rằng ∫ x cos 2 xdx = ( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với a, b, c ∈ ℤ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

4 0 A. a + b + c = 1 B. a − b + c = 0 C. a + 2b + c = 1 D. 2a + b + c = −1 tan x π  Câu 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) = , biết F ( 0 ) = 0 , F   = 1 . Tính 2 4 cos x 1 + a cos x 1

π  π  F  − F ? 3 4 A. 5 − 3 B. 5 − 1 C. 3 + 5 D. 5 − 2 Câu 8. Cho f ( x) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] , ta có f ( x) > 0 và a

f ( x) f (a − x) = 1 . Tính

dx

∫ 1 + f ( x) 0

a A. 2

B. 2a

C.

a 3

D. a ln( a + 1)

C.

1 .

2001.21002

D.

2

Câu 9. Tích phân I = A.

1 .

2002.21001

x 2001 ∫1 (1 + x 2 )1002 dx có giá trị là 1 B. .

2001.21001

1 .

2002.21002

Câu 10. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

Trang 24

0, 5m

2m

5m 19m

0, 5m 3

0,5m 3

A. 19m .

C. 18m3 .

B. 21m .

D. 40m3 .

3

Câu

11.

Cho

f ,g

là

hai

hàm

liên

t ục

trên

[1;3]

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 .

1

3

3

1

1

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx .

A. 8.

B. 9.

C. 6.

D. 7.

Câu 12. Gọi S a là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e 2 x − 2e x , trục Ox và đường thẳng x = a với a < ln 2 . Kết quả giới hạn lim S a là: a →−∞

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 13. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

A. 132π (dm3) B. 41π (dm3) 100 π (dm3) C. D. 43π (dm3) 3 3dm 5dm 3dm

Câu 14. Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

A. S = 106m .

B. S = 107 m .

C. S = 108m .

D. S = 109m .

3 Câu 15. Tìm giá trị của tham số m sao cho: y = x − 3x + 2 và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1 B. m = 1 C. 1 < m < 9 D. m = 9 π 2

Câu 16. Cho I n =

∫ cos

n

xdx , n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

0

A. I n =

n −1 I n −1 n

B. I n =

n −2 I n −2 n

C. I n =

n −1 I n −2 n

D. I n = 2I n −2

Trang 25

 5 1 1 Câu 17. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − có đồ thị (C). Tìm m ∈ 0;  sao cho hình phẳng   6 3 3 giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 và có diện tích bằng 4.

1 1 1 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 4 3 2 Câu 18. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 6 3 2 1 A. sin α = B. cos α = C. cos α = D. sin α = 3 2 2 3 Câu 19. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V .

225π cm 3 A. V = 2250 cm 3 B. V = C. V = 1250 cm 3 D. V = 1350 cm 3 4 Câu 20. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 ( C ) cắt trục ox tại bốn điểm phân

(

(

)

)

(

(

)

)

biệt và thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía trên trục ox có diện tích bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía dưới trục ox .

A. 3 B. -3 C. 2 D. 4 4 2 Câu 21. Cho hàm số y = x − 4 x + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành.

Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

2 20 C. m = D. m = 1 9 9 Câu 22. Cho y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) A. m = 2

B. m =

tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi hình vẽ bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.

A. S = 9 .

B. S =

27 .

4

C. S =

21 .

4

D. S =

5 .

4

Trang 26

2

Câu 23. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [ −6;6]. Biết rằng

∫ f ( x ) dx = 8

và

−1 3

6

∫ f ( −2 x ) dx = 3. Tính ∫ f ( x ) dx.

1

−1

B. I = 5 .

A. I = 11 .

C. I = 2 .

D. I = 14 .

2

Câu 24. Biết ∫ ex ( 2x + ex ) dx = a.e4 + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S = a + b + c 0

A. S = 2

B. S = −4

C. S = −2

D. S = 4

1 1 1 Câu 25. Rút gọn biểu thức: T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + C n , n ∈ ℕ* .

2 3 n+1 n 2n 2n − 1 2n+1 − 1 A. T = B. T = 2 n + 1 C. T = D. T = n+1 n+1 n+1 1 Câu 26. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?

1 + x2

(

)

)

(

A. F ( x ) = ln x + 1 + x2 + C

B. F ( x ) = ln 1 + 1 + x2 + C

C. F ( x ) = 1 + x2 + C

D. F ( x ) =

2x 1 + x2

+C

π 2

Câu 27. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

2 x −1.cos x ∫π 1 + 2x dx

−

1 A. 2

B. 0

2

C. 2

D. 1

Câu 28. Người ta dựng một cái lều vải ( H ) có dạng hình

S

“chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của ( H ) là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO = 6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của ( H ) là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các

đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của ( H ) với mặt phẳng ( P ) vuông

c6

1m

c1

c5

góc với SO là một lục giác đều và khi ( P ) qua trung

điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều ( H ) đó.

c2

c3

c4

O

3m Trang 27

135 3 ( m3 ).

5 135 3 C. ( m3 ).

4 A.

96 3 ( m3 ).

5 135 3 D. ( m3 ).

8 B.

Câu 29. Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a; b] có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a , x = b . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt b

2

cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . Theo kết quả a

trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 x 2 − ln x hàm số f ( x ) = và các đường thẳng x = 1 , x = e quanh Ox là 4 2e 2 − 1 4e 4 − 9 4e 4 + 16e 2 + 7 4e 4 − 9 A. π. π. π. π.

B. C. D. 8 64 16 16 x4 Câu 30. Cho hàm số y = − 2m 2 x 2 + 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị 2 của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua 64 điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15  2   1  ; ±1 .

A. ∅ .

B. {±1} .

C. ± D.  ± ; ±1 .  2   2  Câu 31. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m3

Trang 28

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆  x = −1 + 2t  có phương trình tham số  y = 1 − t ( t ∈ ℝ ) . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị  z = 2t  trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó toạ độ của điểm M là: A. M (1; 0; 2 ) B. M ( 2; 4;3) C. M ( −3; 2; −2 ) D. M (1; 4;3) Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các phương trình mặt phẳng (αm ) : 3mx + 5 1 − m 2 y + 4mz + 20 = 0, m ∈ −1;1 .

Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m ∈ −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.   (II) Với mọi m ≠ 0 thì các mặt phẳng (αm ) luôn cắt mặt phẳng (Oxz).

(III) d O; (αm ) = 5, ∀m ∈ −1;1 .     Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Cả 3 đều đúng.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x = t x − 2 y + 1 z −1  ∆1 : = = , ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0 1 2 −3  z = 1 + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S) theo giao 2 365π .

5 A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0 B. x − 5 y − 3z + 10 = 0

tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0 D. x − 5 y − 3z − 4 = 0 x = 3+ t x = t '   Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y = −2 − t và d’:  y = 5 + t '    z = 2t  z = 2t ' − 3 2 − 5 Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.

A. 3 x + y + 2 z + 7 = 0 .

B. 3 x − y − 2 z − 7 = 0 .

C. −3 x + y − 2 z + 7 = 0 .

D. 3 x + y − 2 z − 7 = 0 .  x = −t  Câu 5. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −1 + 2 t và   z = 2 + t

mp ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất.

A. x − y − z + 3 = 0 B. x + y − z + 3 = 0 C. x + y + z + 3 = 0 D. x − y + z + 3 = 0

Trang 29

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) là mặt phẳng qua hai điểm A(2;0;1) và

B (−2;0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng (Oxz ) một góc 450 . Khoảng cách từ O tới (α ) là:

1 3 2 3 B. C. .

D. . . .

2 2 2 2 Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M(3; 1; 0), N(- 9; 4; 9). Tìm điểm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho IM − IN đạt A.

giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A. a + b + c = 21 B. a + b + c = 14 C. a + b + c = 5 D. a + b + c = 19.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P ) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: 4 6 2 3 D. T = . .

2 3 Câu 9. Cho hai điểm A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của AM + BM. 7274 + 31434 2004 + 726 A. 6 + 204 B. C. D. 3 26 6 3 x −1 y + 2 z Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = = và 1 2 −1 x + 2 y −1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và d2 : 2 −1 2 đường thẳng d2 là lớn nhất.

A. x + y + z + 6 = 0 .

B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 .

D. x + y + z − 3 = 0 .

Câu 11. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − 4 = 0

A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

(α) : 2x − 2y − z + 1 = 0, và mặt cầu S có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8.

A. −9 B. −12 C. 5 D. 2 Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A ( − 2; − 2; 0 ) , B ( 3; − 2; 0 ) , C ( 3; 3; 0 ) , D ( − 2; 3; 0 ) , M ( − 2; − 2; 5 ) , N ( − 2; − 2;5 ) , P ( 3; − 2; 5 ) , Q ( − 2;3; 5 ) . Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm

đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng.

A. 3.

B. 6.

C. 8.

D. 9 Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; − 1;6), B( − 1;2;4) và I( − 1; − 3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.

A. 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 .

D. x + y + z − 3 = 0 .

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho MA2 + MB2 nhỏ nhất là: A. (-1;3;2) B. (2;1;-11) C. (-1;1;5) D. (1;-1;7) Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) . Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; −1) B. (1; −1;1) C. (1; −2;1) D. (2; −1;1) Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

Trang 30

 7 4 1  −1 4 −5  B. D  ; − ; −  C. D  ; ;  D. D(1; - 1; 0)  3 3 3   3 3 3 Câu 1.5. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  x = 1 + 2t  d:  y = −2 + 3t , t ∈ R trên mặt phẳng (Oxy): z = 3 + t 

A. D (1; 0;1)

 x = 3 + 2t '  A.  y = 1 + 3t ' , t ' ∈ R z = 0 

 x = 1 + 4t '  B.  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R z = 0 

 x = 1 + 2t '  x = 5 − 2t '   C.  y = 2 + 3t ', t ' ∈ R D.  y = 4 − 3t ', t ' ∈ R z = 0 z = 0   Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB

là: 4 6 2 3 D. T = . .

2 3 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A(1;2; −3) và đường thẳng

A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

x +1 y − 5 z = = . Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ đi qua M , vuông góc với đường 2 2 −1 thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. u = ( 2;1;6 ) .

B. u = (1;0;2 ) .

C. u = ( 3;4; −4 ) .

D. u = ( 2;2; −1) . d:

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng x −1 y z − 2 . G ọi là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ = = 2 1 2 nhất. Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ? d:

đến

lớ n

11 18 11 4 B. 3 2 C. D. 18 18 3 Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) ,

A.

D (1;1;1) với m > 0; n > 0 và m + n = 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?

2 3 3 .

C. R = .

D. R = .

2 2 2 Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ

v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). 2 x − y + 2 z − 3 = 0 2 x − y + 2 z + 3 = 0 A.  .

B.  .  2 x − y + 2 z + 21 = 0  2 x − y + 2 z − 21 = 0 2 x − y + z + 3 = 0  2 x − y + z + 13 = 0 C.  .

D.  2 x − y + z − 1 = 0 2 x − y + z − 1 = 0 A. R = 1 .

B. R =

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,

D ( 3;1;4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A. 1.

B. 4.

C. 7.

D. Vô số.

Trang 31

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

A. 1 mặt phẳng.

B. 4 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng. x + 4 y −5 z + 2 = = Câu 24. Đường thẳng ∆ song song với d : và cắt cả hai đường thẳng 3 1 −4 x+2 y −3 z x −1 y +1 z − 2 = = . Phương trình nào không phải đường thẳng ∆ d1 : = = và d 2 : 3 1 2 2 4 1 7 2 y− z− x + 4 y +1 z +1 x−3 3= 3 = = A. ∆ : B. ∆ : = 3 −4 1 3 −4 1 x − 4 y −1 z −1 x+9 y+7 z +2 = = = = C. ∆ : D. ∆ : 3 −4 1 3 −4 1 Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho chu vi tam giác  z = 2t  MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là A. M(1;0;2) ; P = 2( 11 + 29) B. M(1;2;2) ; P = 2( 11 + 29) C. M(1;0;2) ; P = 11 + 29 D. M(1;2;2) ; P = 11 + 29 Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d  x = 2 + 3t  có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là  z = 4 + 2t  nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A. M=(2;0;4 ).

B. M=(2;0;1).

C. M=(1;0;4 ).

D. M=(1;0;2 ).

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng x +1 y +1 z − 3 d: = = . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một 2 1 1 góc nhỏ nhất là A. ( P ) : y − z + 4 = 0 B. ( P ) : x − z + 4 = 0 C. ( P ) : x + y − z + 4 = 0

D. ( P ) : y − z − 4 = 0

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; −1;2 ) , song song với

( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2

trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 x −1 y +1 z + 2 . . = = = = A. B. 1 −5 7 4 −5 7 x −1 y +1 z − 2 x −1 y +1 z − 2 . . = = = = C. D. 4 5 7 1 −5 −7 Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + 4 y − 2 z − 6 = 0 , ( Q ) : x − 2 y + 4 z − 6 = 0 .

Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa giao tuyến của ( P ) , ( Q ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.

A. x + y + z + 6 = 0 .

B. x + y + z − 6 = 0 .

C. x + y − z − 6 = 0 .

D. x + y + z − 3 = 0 .

Trang 32

y = 0 Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) và Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − 2 z − 2 = 0 N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − 4 = 0 một góc bằng

45O . Phương trình mặt phẳng ( P ) là y = 0 y = 0 . .

A.  B.  2 x − y − 2 z − 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2x − 2z + 2 = 0 D.  C.  . . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2x − 2z − 2 = 0 Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(10;2;1) và đường thẳng

x −1 y z −1 = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho 2 1 3 khoảng cách giữa d và ( P ) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M ( −1;2;3) đến mp ( P ) là d:

97 3 76 790 2 13 3 29 . . . .

B. C. D. 15 790 13 29 Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: x + 3 y +1 z = = . Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Khi 2 1 −1 đó (P) có một véctơ pháp tuyến là

A. n = ( 4; 5; 13) B. n = ( 4; 5; −13) C. n = ( 4; −5; 13) D. n = ( −4; 5; 13) Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −2;0) , đường thẳng x +1 y z − 2 ∆: = = . Biết mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = 0 đi qua A , song song −1 3 1 với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b + c + d bằng bao nhiêu?

A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .

D. −1.

Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) v đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường 2 1 −1 thẳng ∆ ? x = 2 + t x = 2 + t x = 1 + t x = 2 − t     A.  y = 1 − 4t B.  y = 1 − 4t C.  y = 1 − 4t D.  y = 1 − 4t  z = −2t  z = 3 − 2t  z = −2t  z = −2t     A.

x = 1 − t  Câu 35. Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P): x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng  z = 2t  nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).  x = 1 − 2t  x = 1 − 3t  x = 1 − 2t x = 1 − t     A.  y = 1 + 2t B.  y = 1 + 3t C.  y = 1 − 2t D.  y = 1 + t z = 0 z = 5 z = 0 z = 5     Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A′(0;0; b) với (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ . Giả sử a + b = 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A′BDM ?

Trang 33

64 B. max VA′MBD = 1 27 64 27 C. max VA′MBD = − D. max VA′MBD = 27 64 Câu 37. Cho A( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) và điểm ( P ) : x + 2 y − 2 z − 5 = 0 . Gọi M là điểm

thuộc ( P ) sao cho biểu thức S = MA − 4 MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ A. max VA′MBD =

điểm M. A. xM = 3

B. xM = −1

C. xM = 1

D. xM = −3

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ nhất.

A. M ( −4; −1;0 ) .

B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0 ) .

D. M (1; −4;0 ) .

x = 2 − t x −1 y − 2 z −1  = = Câu 39. Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : và d 2 :  y = 3 − t . Mặt 1 2 −1  z = −2  phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 (với a; b; c; d ∈ ℝ ) vuông góc với đường thẳng d1 và chắn d1 , d 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a + b + c + d .

A. −14 B. 1

C. −8

D. −12 x −1 y + 2 z = = Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và 1 2 −1 x + 2 y −1 z = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và đường d2 : 2 −1 2 thẳng d 2 là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ( P ) có vectơ pháp tuyến là n = (1; −1;2 ) .

B. ( P ) qua điểm A( 0;2;0 ) .

C. ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) : 7 x − y + 5z − 3 = 0 .

D. ( P ) cắt d 2 tại điểm B ( 2; −1;4 ) .

Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C (3; −2;1) . Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng

độ âm.

A. S (−4; −6;4) .

3 11 và S có cao 2

B. S (3;4;0) .

C. S (2;2;1) .

D. S (4;6; −4) . x +1 = y + 1 = z − 3 và mặt phẳng Câu 42. Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 2 ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình A. x − z + 3 = 0.

B. x + y − z + 2 = 0.

C. x − y − z + 3 = 0.

D. y − z + 4 = 0.

Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu S có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng

6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.

Trang 34

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9 2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 2

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1) .

Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa

độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là A. R = 1 B. R = 3 C. R = 4 D. R = 5 Câu 45. Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O.ABC là A. 18 B. 27 C. 6 D. Không tồn tại a,b,c thỏa yêu cầu bài toán Câu 46. Cho hai điểm M (1;2;3) , A ( 2; 4;4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại B, C sao

cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 = = = A. ∆ : B. ∆ : 1 2 −1 −1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 = = = C. ∆ : D. ∆ : 1 1 1 1

y − 2 z −3 = 1 −1 y − 2 z −3 = 1 −1 x = 2 + t  Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t 

(

(

)

(

)

(

)

)

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm x 0

A. x 0 = 0

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

Câu 48. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng k2 3 k2 3 A. B. C. k 2 3 D. k 2 2 6 Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là x y z x y z x y z x y z A. + + = 1 B. C. D. + + =1 + + =1 + + = −1 7 3 3 27 3 3 27 3 3 −27 3 3 Câu 50. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ độ điểm M là: A. M ( 0;1; −1) B. M ( 2;11; −9 ) C. M ( 3;16; −13) D. M ( −1; −4;3) Câu 51. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1), B(1;0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1  −1 4 −5  7 4 1 7 4 1 A. D  ; − ; −  B. D  ; ;  C. D  ; ;  D. D  ; − ;   3 3 3  3 3 3   3 3 3  3 3 3 Trang 35

1 3  Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8. Đường 2 2  thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

B. S = 4 .

D. S = 2 2 . x = 2−t  2 2 2 Câu 53. Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = t . Tìm m để d z = m + t  A. S = 7 .

C. S = 2 7 .

cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và tại B vuông góc với nhau.

A. m = −1 hoặc m = −4 B. m = 0 hoặc m = −4 C. m = −1 hoặc m = 0 D. Cả A, B, C đều sai Câu 54. rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;01;1) , B (1;2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ A. M (1;1; −1) B. M (1;1;1) C. M (1;2; −1) D. M (1;0; −1)

Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng

x y −1 z +1 = = . Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8.

2 1 2 A. m = −24 B. m = 8 C. m = 16 D. m = −12 Câu 56. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D ( 0; −3; −1) B. D ( 0;2; −1) C. D ( 0;1; −1) D. D ( 0;3; −1)

(d ) :

Trang 36

SỐ PHỨC Câu 1. Cho hai số phức phân biệt z1; z 2 thỏa điều kiện

z1 + z2 z1 − z2

là số ảo. Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A. z1 = 1; z 2 = 1

B. z 1 = z 2

C. z1 = z 2

D. z1 = −z 2

Câu 2. Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + (4 − m) z 2 − 4 m = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6 .

A. m = −1

B. m = ±2

C. m = ±3

D. m = ±1

z +z=2 z A. 1 B. 1+i C. 1-i D. i Câu 4. Trong các số phức thỏa điền kiện z − 4i − 2 = 2i − z , modun nhỏ nhất của số phức z bằng?

Câu 3. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình

A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 3 2 .

Câu 5. Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z +i . z A. 1 .

P=

B. 2 .

C. 3 .

Câu 6. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Z (1 + i ) − 3 + 2i =

D. 4 .

13 là: 2

3 15 2 1 3 1 C. z = D. z = + i + i − i 4 4 2 2 2 2 2 3 Câu 7. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) ( z − 1)( z + i ) = 0 A. z = 1 + 3i

B. z =

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 8. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của 3 số phức: 1 + 2 i; (1 − i)(1 + 2i);

2 + 6i .Diện 3−i

tích của tam giác ABC bằng: 1 1 5 5 A. B. C. D. 2 4 5 2 m +1 Câu 9. Cho số phức z = ( m ∈ ℝ ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i < 1 là 1 + m ( 2i − 1)

A. ∅

B. 1

Câu 10. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn iz1 + 2 =

C. 4

D. Vô số

1 và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

z1 − z2 .

1 2 Câu 11. Trong mặt phẳng môđun lớn nhất thì số phức − 2 −2 A. .

2 A. 2 −

1 1 1 C. 2 − D. 2 + 2 2 2 phức Oxy , trong các số phức z thỏa z + 1 − i ≤ 1 . Nếu số phức z có z có phần thực bằng bao nhiêu ?

2 −2 2− 2 2+ 2 B. .

C. .

D. .

2 2 2 B. 2 +

Trang 37

Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z + 2i − 1 = z + i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1,3) .

A. 3 + i .

B. 1 + 3i .

Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn

C. 2 − 3i .

D. −2 + 3i .

2z − i ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .

2 + iz

A. 1.

B. 2.

C. 2 D. 3 Câu 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z = z − 3 + 4i .

25 =0 2 25 =0 C. 3 x − 4 y − 2 A. 3 x + 4 y −

B. 3x + 4 y − 25 = 0 D. 3x − 4 y − 25 = 0

1 . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 thì M’ di động trên đường nào?

A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0 B. 2 x + 2 y + 1 = 0 C. 2 x − 2 y + 1 = 0 D. 2 x + 2 y − 1 = 0

Câu 15. Điểm M biểu diễn số phức z ≠ 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' =

Câu 16. Tìm số thực m = a − b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 z 2 + 2(m − 1) z + (2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 . Tìm a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 17. Cho các số phức z thỏa mãn z = 2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Câu 18. Cho hai số phức u,v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016 . Tính M = 4u + 3v .

A.

2984

B.

2884

Câu 19. Cho số phức z thoả mãn: z − A. −21008

B. 21008

C.

2894

D.

z 6 + 7i = . Tìm phần thực của số phức z 2017 .

1 + 3i 5 C. 2 504 D. 22017

Câu 20. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2

24

C. 2016

1 1 1 + = . z w z+w

D. 2017

Trang 38

Câu 21. Biết số phức Z thỏa điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16π B. 4π C. 9π D. 25π

8

6

4

2

O

5

2

Câu 22. Số Phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai.

A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.

B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.

C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.

D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.

1 1 1 Câu 23. Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn + = . Mô đun z w z+w của số phức w là A. 2015 B. 1 C. 2017 y D. 0 Câu 24. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = 3 . Tìm giá trị x nhỏ nhất của z

O z

13 − 3

B. 2

C. 13 − 2

D. 2

A.

M

C

I

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 n Câu 26. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) , n ∈ ℕ thỏa mãn phương trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2 z − 1 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ 1 và số phức w = . Khi đó mô đun của số phức w là: 2 + iz A. w = 2 B. 1 < w < 2.

C. w ≤ 1 D. w > 2 Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

(

)

w = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó?

A. r = 4

B. r = 2

C. r = 16

D. r = 25 Trang 39

2 2017 Câu 29. Tìm phần ảo của số phức z , biết số phức z thỏa mãn i. z = 2 + i + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .

A. 1 B. 21009 C. −21009 D. 21009 i Câu 30. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r = 4.

B. r = 5.

C. r = 20.

D. r = 22.

Câu 31. Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2 A. P = 5 + 3 5 .

B. P = 2 26 .

C. P = 4 6 .

D. P = 34 + 3 2 .

Trang 40

PHẦN II – LỜI GIẢI CHI TIẾT HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A. m > −3 B. m < − 3 C. m > 3 D. m < 3 Hướng dẫn giải: 3 Số giao điểm của đồ thị (Cm) với Ox là số nghiệm của phương trình x + mx + 2 = 0 Với m = 0 vô nghiệm nên không có giao điểm Với m ≠ 0 ta có

2 = f ( x );(*) x 2 −2( x 3 − 1) f '( x ) = −2 x + = 0 ⇒ x =1 x2 x2

m = −x2 −

Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau: x −∞ 0 + + f '( x) +∞ f ( x)

1 0 -3

+∞

-

−∞ −∞ −∞

Số nghiệm phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm f(x) và đường thẳng y=m.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m > −3 thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án B. Câu 2. Cho hàm số: y = x 4 − 2( m − 2) x 2 + m 2 − 5 m + 5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hám số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều A. m = 2 − 3 3 B. 2 − 3 C. 3 − 2 D. 3 − 3 2 Hướng dẫn giải: Ta có: y ' = 4 x 3 − 4( m − 2) x

x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = 2 − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 (*)

) (

(

) (

)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0, m 2 − 5m + 5 , B 2 − m ;1 − m , C − 2 − m ;1 − m

⇒ AB = 2 − m ; = −m 2 + 4m − 4 ; AC = − 2 − m ; = −m 2 + 4m − 4 Do ∆ABC luôn cân tại A, nên

AB. AC 1 0 bài toán thoả mãn khi A = 60 ⇔ cos A = ⇔ = 0 ⇔ m = 2 − 3 3 2 AB AC

(

)

(

)

Chọn đáp án A. Câu 3. Cho hàm số y = x 3 −

1

2

x 2 có đồ thị là (C). Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số

2 góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 4x +3

x 4 +1

1  A.  ; 0  2 

3   4 40   B.  −1; −  ;  ;  2   3 27  

Trang 41

 2 1 + 2   2 −1 + 2  C.  − ;− ; ;   4   2 4   2 Hướng dẫn giải:

1  D.  ; 0  ; ( −2; −10 ) 2 

4x 2 +3 x 4 +1 4t + 3 ; - Đặt t = x2, với t ≥ 0 ta có hàm số g(t) = 2 t +1 1 −4t 2 − 6t + 4 - g'(t) = ; g’(t) = 0 ⇔ t = −2; t = ; 2 2 2 (t +1)

* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) =

- Ta lại có: lim g (t ) = 0 ; lim g (t ) = 0 , bảng biến thiên của hàm số: t →−∞

t

−∞

g’(t) g(t)

t →+∞

–2 –

0

0 +

+

0

3

1 +∞ 2 0 – 4 0

–1 - Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là g (x) = 4, đạt được khi x = ±

2 2

* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) - Ta có: y’ = 3x2 – x, giả sử điểm M0(x0, f(x0)) ∈ (C), thì hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M0 là f’(x0)= 3x 02 − x 0

4 3 4 40 - Vậy: 3x 02 − x 0 = 4 suy ra x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 2 3 27 3 4 40     + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết  −1; −  ;  ;  .

2 3 27     Chọn đáp án B.

2x − 4 có đồ thi (C ) điểm A(−5;5) . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt x +1 đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc toạ

Câu 4. Cho hàm số y =

độ).

A. m = 0 B. m = 0; m = 2 C. m = 2 D. m = −2 Hướng dẫn giải: Do các điểm O và A thuộc đường thẳng ∆ : y = − x nên để OAMN là hình bình hành thì

MN = OA = 5 2 Hoành độ của M và N là nghiệm của pt: 2 x − 4 = − x + m ⇔ x 2 + (3 − m) x − (m + 4) = 0 ( x ≠ −1) (1)

()

2

x +1

()

( )

Vì ∆ = m − 2m + 25 > 0, ∀m ,nên 1 luôn có hai nghiệm phân biệt, d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt

 x1 + x2 = m − 3 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của 1 ta có:   x1 x2 = −(m + 4) Gọi M ( x1 ; − x1 + m), N ( x2 ; − x2 + m ) ⇒ MN 2 = 2( x1 − x2 ) 2 = 2  ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2  = 2m 2 − 4m + 50 m = 2 MN = 5 2 ⇒ 2m 2 − 4m + 50 = 50 ⇔  m = 0

()

Trang 42

+ m = 0 thì O, A, M , N thẳng hàng nên không thoã mãn. + m = 2 thoã mãn.

Chọn đáp án C. x+2 Câu 5. Cho hàm số: y = ( C ) . Tìm a sao cho từ A(0, a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) nằm ở x −1 hai phía trục Ox.  −2   −2  A.  ; +∞  B. ( −2; +∞ ) \ {1} C. ( −2; +∞ ) D.  ; +∞  \ {1} 3 3     Hướng dẫn giải: Đường thẳng qua A(0, a ) có hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc (C) x+2 <=> kx + a = có nghiệm kép <=> ( kx + a )( x − 1) = x + 2 có nghiệm kép x −1 <=> kx 2 − ( k − a + 1) x − ( a − 2 ) = 0 có nghiệm kép  k ≠ 0  k ≠ 0 có 2 nghiệm k phân <=>  <=>  2 2 2  ∆ = ( k − a + 1) − 4k ( a + 2 ) = 0  h( k ) = k + 2 ( a + 5 ) k + ( a − 1) = 0 biệt ∆ = 12 ( a + 2 ) > 0 <=>  <=> a ∈ ( −2; +∞ ) \ {1} (1) 2 h(0) = ( a − 1) ≠ 0  k1 − ( a − 1) k + ( a + 1) => y1 = 1  x1 = 2k1 2  Khi đó   x = k2 − ( a − 1) => y = k2 + ( a + 1) 2  2 2 k2 2  Mà y1 y2 < 0 =>  k1 + ( a + 1)   k2 + ( a + 1)  < 0 2

<=> k1k2 + ( a + 1)( k1 + k2 ) + ( a + 1) = −4 ( 3a + 2 ) < 0 => a >

−2 3

( 2)

 −2  Từ (1) và (2) => a ∈  ; +∞  \ {1}  3  Chọn đáp án D.

Câu 6. Hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị y = bằng?

A. 8 Hướng dẫn giải:

B. 4

3x − 1 . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất x−3

C. xM < 3

D. 8 2 .

8 8   Giả sử xM < 3 , xN > 3 , khi đó M  3 − m;3 −  , N  3 + n;3 +  với m, n > 0 m n    2

2  1 1 64   8 8  .  = 4  mn + MN = (m + n) +  +  ≥ (2 mn ) 2 + 64  2  ≥ 64 m n mn m n     ⇒ MN ≥ 8 . Kết luận MN ngắn nhất bằng 8 Chọn đáp án A. Câu 7. Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8 y − 74 = 0 2

2

Trang 43

A. m = 1 B. m = −2 C. m = 2 Hướng dẫn giải: + y ' = 0 ⇔ −3x 2 + 6mx = 0 . Đồ thị có 2 điểm cực trị khi: m ≠ 0 + Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = 2m2.x - 3m - 3 + Trung điểm 2 điểm cực trị là I ( m; 2m3 − 3m − 1) + Điều kiện để 2 điểm cực trị đối xứng qua d : x + 8 y − 74 = 0  2 1  2m .( − ) = −1 8   m + 8(2 m3 − 3m − 1) − 74 = 0  + Từ đó thấy m = 2 thỏa mãn hệ trên.

Chọn đáp án C. 1+

Câu 8. Cho f ( x ) = e

1

x2

+

1

( x +1)2

D. m = −1

m

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3 ) ... f ( 2017 ) = e n với m , n là các số tự nhiên

m tối giản. Tính m − n 2 . n A. m − n 2 = 2018 .

B. m − n 2 = −2018 .

Hướng dẫn giải: Xét các số thực x > 0 và

1 1 = Ta có: 1 + 2 + 2 x ( x + 1)

(x

2

+ x + 1)

x 2 ( x + 1)

Vậy, f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

2

2

=

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

1 1 1 x2 + x + 1 =1+ =1+ − .

2 x +x x ( x + 1) x x +1

1 1   1 1  1 1  1 1  −  1+ −  + 1+ −  + 1+ −  +…+ + 1+   1 2   2 3  3 4  2017 2018 

=e

2018 −

1 2018

=e

20182 −1 2018

,

2

m 2018 − 1 = n 2018 20182 − 1 Ta chứng minh là phân số tối giản.

2018 Giả sử d là ước chung của 20182 − 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy ra 1⋮ d ⇔ d = ±1 20182 − 1 Suy ra là phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 .

2018 Vậy m − n 2 = −1 .

Chọn đáp án C. hay

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′( x ) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f (c ) > f ( a ) > f (b).

B. f (c ) > f (b) > f ( a ).

C. f (a ) > f (b ) > f (c ).

D. f (b ) > f ( a ) > f (c ).

Hướng dẫn giải: Trang 44

Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) liên tục trên các đoạn [ a; b] và [b; c ] , lại có f ( x ) là một nguyên hàm của f ′( x ) .  y = f ′( x) y = 0  Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  là: x = a  x = b b

S1 = ∫

b

b

f ′( x) dx = − ∫ f ′( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b ) . Vì S1 > 0 ⇒ f ( a ) > f ( b ) (1)

a

a

 y = f ′( x) y = 0  Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  là: x = b   x = c c

c

b

b

c

S 2 = ∫ f ′( x) dx = ∫ f ′( x)dx = f ( x ) b = f ( c ) − f ( b ) . S2 > 0 ⇒ f ( c ) > f ( b ) ( 2 ) .

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1 < S 2 ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) ( 3) . (có thể so sánh f ( a ) với f ( b ) dựa vào dấu của f ′( x ) trên đoạn [ a; b] và so sánh f ( b ) với

f ( c ) dựa vào dấu của f ′( x ) trên đoạn [b; c ] ).

Từ (1), (2) và (3) Chọn đáp án A. Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch biến trên ℝ.

1 1 1 A. −3 ≤ m ≤ − .

B. −3 < m < − .

C. m < −3.

D. m ≥ − .

5 5 5 Hướng dẫn giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: y′ = (2 m − 1) + (3m + 2)sin x Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì y′ ≤ 0, ∀x tức là: (2 m − 1) + (3m + 2)sin x ≤ 0 (1) , ∀x 2 7 +) m = − thì (1) thành − ≤ 0, ∀x 3 3 2 1 − 2m 1 − 2m 5m + 1 2 −1 +) m > − thì (1) thành sin x ≤ ⇒ ≥1⇔ ≤0⇔− <m≤ 3 3m + 2 3m + 2 3m + 2 3 5 2 1 − 2m 1 − 2m 2 m+3 +) m < − thì (1) thành sin x ≥ ⇒ ≤ −1 ⇔ ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m < − 3 3m + 2 3m + 2 3m + 2 3 1 Kết hợp được: −3 ≤ m ≤ − 5 Chọn đáp án A. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y = 2 x3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 A. m < 0 hoặc m > 6 B. m > 6 C. m < 0 D. m = 9 Hướng dẫn giải: Dùng BBT để xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trên các khoảng y ' = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x 2

∆ ' = 9 ( m − 1) − 36 ( m − 2 ) = 9m 2 − 54 m + 81 ≥ 0

Dấu bằng xảy ra khi m = 3

Trang 45

Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y ' = 0 ( x1 < x2 )

 x1 + x2 = 1 − m Theo viet:   x1.x2 = m − 2 Ta có BBT t −∞ y’ + y

x1 0

-

x2 0

+∞ +

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( x1 , x2 ) ⇒ pt y ' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 3 Gọi Độ dài khoảng nghịch biến của hàm số là D 2 2 D = x1 − x2 ⇔ ( x1 − x2 ) = (1 − m ) − 4 ( m − 2 ) = m 2 − 6 m + 9 D > 3 ⇔ D 2 > 9 ⇔ m 2 − 6m + 9 > 9 ⇔ m 2 − 6m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 6 (thỏa mãn) Chọn đáp án A. x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các x −1 khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C).

A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 2 3 Hướng dẫn giải:  m +1 Gọi M  m;  ∈ ( C )( m ≠ 1) . Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x = 1 và y = 1 là  m −1 m +1 2 2 S = m −1 + −1 = m −1 + ≥ 2 m −1 . =2 2 m −1 m −1 m −1

Dấu “=” xảy ra ⇔ m − 1 =

2 ⇔ m −1 = 2 ⇔ m = 1± 2 m −1

Chọn đáp án A. 2x + 1 ( C ) . Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

A. 12 B. −4 C. −3 D. 1 Hướng dẫn giải: Phương triình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x + 1 = kx + 2k + 1 ⇔ 2x + 1 = ( x + 1)( kx + 2 k + 1) ; ( x ≠ −1) x +1 ⇔ kx 2 + ( 3k − 1) x + 2k = 0 (1) ; ( x ≠ −1) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 . k ≠ 1   k ≠ 0 . ⇔  ∆ = k 2 − 6k + 1 > 0 ⇔  k < 3 − 2 2 ∨ k > 3 + 2 2  2  k ( −1) + ( 3k − 1)( −1) + 2k ≠ 0 Khi đó: A ( x1; kx1 + 2k + 1) , B ( x2 ; kx 2 + 2k + 1) với x1 , x2 là nghiệm của (1).

Câu 13. Cho hàm số y =

−3k + 1   x1 + x2 = Theo định lý Viet tao có  k .  x1 x2 = 2

Trang 46

Ta có d ( A; Ox ) = d ( B; Ox ) ⇔ kx1 + 2k + 1 = kx 2 + 2k + 1  x1 = x2  kx1 + 2k + 1 = kx 2 + 2k + 1 . ⇔ ⇔  kx1 + 2k + 1 = −kx 2 − 2k − 1  k ( x1 + x2 ) + 4k + 2 = 0 Do hai điểm A, B phân biệt nên ta loại nghiệm x1 = x2 . Do đó k ( x1 + x2 ) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = −3 .

Chọn đáp án C. Câu 14. Nếu đồ thị hàm số y =

x−4 cắt đường thẳng ( d ) : 2 x + y = m tại hai đểm AB sao cho độ dài x +1

AB nhỏ nhất thì A. m=-1 B. m=1 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm x−4 = −2 x + m ( x ≠ −1) x +1 ⇔ 2 x 2 − (m − 3) x − m − 4 = 0 ∆ = ( m + 1) 2 + 40 > 0, ∀m ∈ R Suy ra (d) luôn cắt dồ thị hàm số tại hai điểm A,B −m − 4 m−3 x A + xB = ; x A . xB = ; 2 2 y A = −2 xA + m; yB = −2 xB + m

C. m=-2

D. m=2

yB − y A = −2( xB − xA )

AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2 = 5( xB − x A )2  m − 3  2 −m − 4  5 2 = 5  ( xB + x A )2 − 4 x A xB  = 5  ( m + 1) + 40 ≥ 5 2 =  −4  2  4  2  Vậy AB nhỏ nhất khi m=-1 Chọn đáp án A. Câu 15. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + 1 − m 2 . Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ A. −1 ≤ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 B. −1 < m < 0 hoặc m > 1 C. 1 > m > 0 hoặc m < −1 D. 1 ≥ m ≥ 0 hoặc m ≤ −1 Hướng dẫn giải: Gọi hai điểm đối xứng nhau qua O là A ( x0 , y0 ) , B ( − x0 , − y0 ) Khi đó ta có y0 = x03 − 3mx0 2 + 3 ( m 2 − 1) x0 + 1 − m 2 và − y0 = − x03 − 3mx0 2 − 3 ( m 2 − 1) x0 + 1 − m 2 Từ đó suy ra: −6mx0 2 + 2 − 2 m 2 = 0(*) Nếu x0 = 0 thì 2 − 2 m 2 = 0 suy ra y0 = 1 − m 2 = 0 . Vậy A ≡ B ≡ O Do đó: đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O m ≠ 0  ⇔ phương trình (*) có nghiệm khác 0 ⇔  2 − 2m 2 ≠ 0 ⇔ −1 < m < 0 hay m > 1  2  ∆ ' = 6m ( 2 − 2m ) ≥ 0 Chọn đáp án B. 2 3 Câu 16. Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 − m3 có đồ thị ( Cm ) và đường thẳng d : y = m x + 2m . Biết rằng

m1 , m2 ( m1 > m2 ) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có

Trang 47

hoành độ x1 , x 2 , x3 thỏa x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ?

B. m12 + 2 m2 > 4 .

A. m1 + m2 = 0 .

Hướng dẫn giải:

C. m2 2 + 2m1 > 4 . D. m1 − m2 = 0 .

x = m x + 3mx − m x − 3m = 0 ⇔  x = − m ( DK : m ≠ 0 )  x = −3m 4 4 4 ycbt ⇔ x1 + x2 + x3 = 83 ⇔ m 4 + m 4 + 81m 4 = 83 ⇔ m = ±1 ⇒ m1 + m2 = 0 .

Chọn đáp án A. x−3 Câu 17. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm x +1 tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất ?

A. M1 ( 0 ; − 3) và M 2 ( −2 ; 5 ) B. M1 (1; − 1) và M 2 ( −3 ; 3) 3

2

2

3

1 7   C. M 1  2 ; −  và M 2  −4 ;  3 3   Hướng dẫn giải: m −3  Gọi M  m ;  thuộc đồ thị, có I(–1 ; 1) m +1  

IM =

( m + 1)

2

+

16

( m + 1)

2

, IM =

( m + 1)

2

5 1  5 11  D. M 1  ; −  và M 2  − ;  3 2  2 3

+

16

( m + 1)

2

≥ 2 16 ≥ 2 2

IM nhỏ nhất khi IM = 2 2 . Khi đó (m + 1)2 = 4. Tìm được hai điểm M1 (1; − 1) và M 2 ( −3 ; 3) .

Chọn đáp án B. Câu 18. Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x 2 + 2mx + m 2 + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. m = 2 B. m = 1 C. m = -1 D. m = - 2 Hướng dẫn giải: Vì với m tùy ý ta luôn có 3 x 2 + 2mx + m 2 + 1 > 0 ∀x nên diện tích hình phẳng cần tìm là 2

2

2

S = ∫ ( 3x 2 + 2mx + m2 + 1) dx =  x3 + mx 2 + ( m2 + 1) x  = 2m2 + 4m + 10 = 2 ( m + 1) + 8 0

0

S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = - 1. (dùng casio thử nhanh hơn) Chọn đáp án C. x2 − 2 x + 3 Câu 19. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = hợp với 2 trục tọa độ 1 x −1 tam giác có diện tích S bằng: A. S=1,5 B. S=2 C. S=3 D. S=1 Hướng dẫn giải: u/ (x ) u ( x) Ta có kết quả: Nếu đồ thị hàm số y = có điểm cực trị ( xo ; yo ) thì yo = / o v( x) v ( xo ) Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y=2x-2 (d) (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A(0;-2) ,B(1;0) nên diện tích tam giác OAB bằng 1 Chọn đáp án D. Câu 20. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m có đồ thị ( C ) . Giá trị của m thì ( C ) cắt trục 2 2 2 hoành tại 3 điểm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1 + x2 + x3 < 4 là

Trang 48

A. m < 1

 1 − < m < 1 B.  4 m ≠ 0 

1 4

C. − < m < 1

D.

1 < m <1 4

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là x = 1 x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = 0 ⇔  2 x − x − m = 0 m ≠ 0  1 (C) và trục hoành cắt nhau tại 3 điểm phân biệt: ⇔   m > − 4 2

x12 + x22 + x32 < 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 < 4 ⇔ 1 + 2m + 1 < 4 ⇔ m < 1 Chọn đáp án B. 3 Câu 21. Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x + m 2 (1) . Gọi M là điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị khác của m. Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: 2 Ta có y ′ = 3 ( x − m ) − 3, y ′′ = 6 ( x − m )  x = m −1 Suy ra y′ = 0 ⇔  . x = m +1 Vì x = x1 = m − 1, y′′ ( m − 1) < 0 nên hàm số đạt cực đại x = x1 = m − 1 tại và giá trị cực đại là y1 = m 2 − 3m + 2 .

Tương tự, ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 = m + 1 và giá trị cực tiểu là y2 = m 2 − 3m − 2 .

Ta giả sử điểm M là điểm cực đạ của đồ thị hàm số ứng với giá trị m1 và là điểm cực tiểu ứng của

đồ thị hàm số ứng với với giá trị m2 .

m1 − 1 = m2 + 1 Từ YCBT suy ra hệ phương trình  2 2 m1 − 3m1 + 2 = m2 − 3m2 − 2 3 1 1 1 Giải hệ ta tìm được nghiệm m1 = , m2 = − và suy ra tồn tại duy nhât một điêm M  , −  thỏa 2 2 2 4 bài toán.

Chọn đáp án A. Câu 22. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó?

3 2 a 8 Hướng dẫn giải: A.

B.

3 2 a 4

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ BH = CH =

Đặt BM = x, 0 < x <

C. 0

D.

a 2

3 2 a 2

A

a , ta có: 2

Q

a  MN = 2MH = 2(BH − BM) = 2  − x  = a − 2x 2 

M

P

H

N

C

B

Trang 49

= 600 và BM = x ⇒ QM = x 3 Tam giác MBQ vuông ở M, B Hình chữ nhật MNPQ có diện tích: S(x) = MN.QM = = (a − 2x)x 3 = 3(ax − 2x 2 )

S’

a  a ∈  0;  4  2 a 4 + 0

S

3 2 a 8

S'(x) = 3(a − 4x); S'(x) = 0 ⇔ x = x

Vậy max S(x) =  a x∈ 0;   2

0

a 2 −

a 3 2 a khi x = 4 8

Chọn đáp án A. x (C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − 1 cắt (C ) tại hai điểm 1− x phân biệt M , N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A(−1;1) .

A. m = 1 B. m = 2 C. m = −1 D. m = 3 Hướng dẫn giải: x  x ≠ 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d : = mx − m = 1 ⇔  2 1− x  mx − 2mx + m + 1 = 0(1) d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m < 0 Gọi I là trung điểm của MN ⇒ I (1; −1) cố định.

Câu 23. Cho hàm số y =

MN 2 2 2 2 Do AM + AN nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất 4 MN 2 = ( x2 − x 1)2 (1 + m)2 = −4m − ≥ 8 . Dấu “=” xảy ra ⇔ m = −1 m 2 2 Vậy min( AM + AN ) = 20 khi m = −1 Chọn đáp án C. Câu 24. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị nhu hình vẽ bên. Tất cả

Ta có: AM 2 + AN 2 = 2 AI 2 +

các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị là:

A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 B. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 C. m = −1 hoặc m = 3 D. 1 ≤ m ≤ 3 Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m là đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến trên trục Oy m đơn vị Để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị ⇔ y = f ( x ) + m xảy ra hai trường hợp sau: + Nằm phía trên trục hoành hoặc điểm cực tiểu thuộc trục Ox và cực đại dương + Nằm phía dưới trục hoành hoặc điểm cực đại thuộc trục Ox và cực tiểu dương Khi đó m ≥ 3 hoặc m ≤ −1 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án A.

Trang 50

3

2

Câu 25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).

A. m = 1 B. m = 2 C. m = ±1 D. m = 3 Hướng dẫn giải: 2 Ta có y ' = 3x − 6mx = 3x ( x − 2m ) . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m ≠ 0 .

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;1) và B (2m; −4m3 + 1) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm B lên trục tung, ta có BH = 2m . Diện tích của tam giác OAB là

S=

1 1 BH .OA = . 2m 2 2

Theo đề bài S=1 nên ta có

Chọn đáp án C.

1 . 2m = 1 suy ra m = ±1 . Vậy m=±1 là giá trị cần tìm.

2

Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = A. 0 Hướng dẫn giải:

B. 4

2sin 2 x là 4 x 4 x sin + cos 2 2 C. 8

D. 2

2sin 2 x 2sin 2 x 4sin 2 x = = .

2 1 2 2 sin x − 4 x 4 x sin + cos 1− sin x 2 2 2 4t Đặt sin 2 x = t (t ∈ [0;1]) , hàm số trở thành g (t ) = với t ∈ [0;1] , ta có −t + 2 8 g '(t ) = > 0 ∀t ∈ [0;1] , suy ra hàm số đồng biến trên [0;1] , vậy 2 (−t + 2) TXĐ: D = ℝ , ta có f ( x) =

max f ( x) = max g (t ) = g (1) = 4 , xảy ra khi t = 1 ⇒ x = x∈ℝ

t ∈[0;1]

π + k π (k ∈ ℤ) 2

Chọn đáp án B. Câu 27. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + m có đồ thị (C), với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 .

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 1 < x1 < x2 < 3 < x3 < 4 B. 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 C. x1 < 0 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 D. 1 < x1 < 3 < x2 < 4 < x3 Hướng dẫn giải: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x . Dựa vào đồ thị ta tìm được −4 < m < 0 thì đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

Ta có y ( 0 ) . y (1) < 0; y (1) . y ( 3) < 0; y ( 3) . y ( 4 ) < 0 do đó 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4

Chọn đáp án B. Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =  π  0;  .  4 A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0.

Hướng dẫn giải:

C. 1 ≤ m < 2.

tan x − 2 đồng biến trên khoảng tan x − m

D. m ≥ 2.

Trang 51

1 1 (tan x − m) − (tan x − 2) 2 2−m cos 2 x y ' = cos x = 2 2 (tan x − m) cos x(tan x − m) 2  π  π  π Hàm số đồng biến trên  0;  khi và chỉ khi hàm số xác định trên  0;  và y’ ≥ 0 ∀ x ∈  0;   4  4  4   π m ≤ 0  tan x ≠, ∀x ∈  0;  ⇔  4⇔  1 ≤ m ≤ 2 2 − m ≥ 0  Chọn đáp án A. 2 Câu 29. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c > 0 B. a < 0, b > 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c < 0 D. a > 0, b < 0, c < 0

Hướng dẫn giải: Do giới hạn của y khi x tiến tới vô cùng thì −∞ nên a < 0 . Loại A và D y ' = 4ax 3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) Do a < 0 mà nếu b < 0 thì phương trình 2 ax 2 + b vô nghiệm Nên b > 0 thì hàm số mới có 3 cực trị.

Chọn đáp án B. 1 Câu 30. Cho hàm số : y = x + 1 + ( C ) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 x −1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .

1 1  1    1 A. M = 1 + 4 ;2 − 2 + 4  B. M =  4 ;2 + 4  2 2 2   2

(

C. M = 1;2 + 2

)

1 1   D. M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2 

Hướng dẫn giải: a2 1 = a −1 a −1 a 2 − 2a a2 PTTT của ( C ) tại M là: y − y ( a ) = y ' ( a )( x − a ) ⇔ y = x − a + (d) ( ) 2 a −1 ( a − 1) Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1 Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 )  2a  Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là A = 1;   a −1 Với tiệm cận xiên là : B = ( 2a − 1;2a ) Gọi M = ( a; y ( a ) ) ∈ ( C ) ; a > 0 thì y ( a ) = a + 1 +

2 ; BI = 2 2 a − 1 , nên AI .BI = 4 2 vì a > 1 a −1 π π Lại có ∠AIB = suy ra AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BICos = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI 4 4 Ta có AI =

Trang 52

(

)

Theo bất đẳng thức Cô si : AB 2 ≥ 2 AI .BI − 2 AI .BI = 2 − 2 AI .BI ⇔ AB ≥ 2 2

(

)

2 −1

(1)

Đặt p là chu vi tam giác ABI thì : p = AB + AI + BI ≥ AB + 2 AI .BI ≥ 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ AI = BI ⇔ a = 1 +

(

)

2 −1 + 44 2

1 4

2 1 Vậy Minp = 2 2 2 − 1 + 4 4 2 ⇔ a = 1 + 4 2 1 1   Hay điểm cần tìm là M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2  Chọn đáp án D. x4 5 Câu 31. Cho hàm số: y = − 3 x 2 + (C ) và điểm M ∈ (C ) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2 thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.  a < 3  a < 3  a < 7 a < 3 A.  B.  C.  D.  a ≠ ±1  a ≠ ±1  a ≠ 1  a ≠ ±2 Hướng dẫn giải: 5 a4 − 3a 2 + ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng Điểm M ∈ (C ) , xM = a => yM = 2 2 ' ' 3 y y x x y : = ( − ) + v ớ i (∆ ) yM = 2 a − 6 a xM M M

(

)

5 a4 − 3a 2 + 2 2 Hoành độ giao điểm của ( ∆ ) và (C) là nghiệm của phương trình => ( ∆ ) y = (2a 3 − 6a)( x − a) +

x4 5 a4 5 − 3 x 2 + = (2a 3 − 6a )( x − a ) + − 3a 2 + ⇔ ( x − a )2 ( x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 2 2 2 2 x = a  ⇔ 2 2  g ( x) = x + 2ax + 3a − 6 = 0 Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a ' 2 2 2  ∆ g ( x ) = a − (3a − 6) > 0  a − 3 < 0  a < 3 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  a ≠ 1 a ≠ ±1  g ( a ) = 6a − 6 ≠ 0 Chọn đáp án A. 2x − 3 Câu 32. Cho hàm số: y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường x−2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 IB , với I (2, 2) .

A. y = − x + 2 ; y = − x − 3 B. y = x + 2 ; y = − x + 6 C. y = − x + 2 ; y = − x + 6 D. y = x − 2 ; y = x − 6 Hướng dẫn giải:  2x − 3  1 2 x 2 − 6 x0 + 6 Gọi M  x0 ; 0 x+ 0  ∈ (C ) . PTTT của (C) tại M: y = − 2 2 x0 − 2  ( x0 − 2 ) ( x0 − 2 )  Do AB = 2 IB và tam giác AIB vuông tại I ⇒ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = −1 -1. vì y / = < 0 nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1.

2 ( x − 2)

Trang 53

 x0 = 1 = −1 ⇔  ( x0 − 1)  x0 = 3 ⇒ có hai phương trình tiếp tuyến y = − x + 2 ; y = − x + 6 ⇔

−1

2

Chọn đáp án C.

Câu 33. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

1 ± 37 1 ± 137 1± 7 1 ± 142 A. m = B. m = C. m = D. m = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x = 0 x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 ⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = 0 ⇔  2  x + 2mx + m + 2 = 0 (*) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ∆ ' = m2 − m − 2 > 0 ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; −1) ∪ ( 2; +∞ ) m + 2 ≠ 0 Khi đó B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 là hai nghiệm của (*).  x1 + x2 = −2m Theo Vi-ét ta có   x1 x2 = m + 2 2

2

⇒ BC = 2 ( x1 − x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = 2 2 ( m 2 − m − 2 ) Ta có khoảng cách từ K đến d là h = 2 . Do đó diện tích ∆KBC là: 1 1 2.2 2 ( m 2 − m − 2 ) = 2 m 2 − m − 2 S = .h.BC = 2 2 1 ± 137 S = 8 2 ⇔ 2 m2 − m − 2 = 8 2 ⇔ m = (TM ) .

2 Chọn đáp án B. Câu 34. Cho hàm số: y = x3 − 2009 x có đồ thị là (C). M 1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp tuyến của (C) tại M 1 cắt (C) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n −1 cắt (C) tại điểm M n khác M n −1 (n = 4; 5;…), gọi ( xn ; yn ) là tọa độ điểm M n . Tìm n để : 2009 xn + yn + 2 2013 = 0 A. n = 685 B. n = 627 C. n = 675 Hướng dẫn giải: Gọi M k ( xk ; yk ) suy ra tiếp tuyến tại M k : y − yk = y ' ( xk )( x − xk )

D. n = 672

⇔ y = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk

Tọa độ điểm M k +1 được xác định: x 3 − 2009 x = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk ⇔ ( x − xk ) ( x 2 + x.xk − 2 xk2 ) = 0

⇔ x = xk ∨ x = −2 xk ⇒ xk +1 = −2 xk Ta có : x1 = 1; x2 = −2; x3 = 4;...; xn = ( −2 )

n −1

2009 xn + yn + 22010 = 0 ⇔ 2009 xn + xn3 − 2009 xn + 2 2010 = 0 ⇔ ( −2 )

3n −3

= −22013 = ( −2 )

2013

⇔ 3n − 3 = 2013 ⇔ n = 672

Chọn đáp án D.

Trang 54

3 x − 2m với m là tham số. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục mx + 1 Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích ∆OAB bằng 2 lần diện tích ∆OCD .

5 2 1 A. m = ± B. m = ±3 C. m = ± D. m = ± 3 3 3 Hướng dẫn giải: −1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị: 3mx 2 − 3m 2 x − m = 0, x ≠ m 2 2 Vì m ≠ 0 nên phương trình ⇔ 3 x − 3mx − 1 = 0 (*). Ta có ∆ = 9m + 12 > 0, ∀m ≠ 0 và  −1  3 f   = 2 + 2 ≠ 0, ∀m ≠ 0 (ở đây f ( x ) là vế trái của (*)) nên d luôn cắt đồ thị tại 2 điểm A, B m m phân biệt ∀m ≠ 0 Ta có A ( x1;3x1 − 3m ) , B ( x2 ;3x2 − 3m ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của (*). Kẻ đường cao OH của

Câu 35. Cho hàm số y =

∆OAB ta có OH = d ( 0; d ) =

−3m

10

AB = và

( x2 − x1 )

2

2

+ ( 3x2 − 3x1 ) = 10 ( x2 − x1 )

2

= 10 ( x1 + x2 ) − 40 x1 x2 = 10m2 +

2

40 3

(Định lý Viet đối với (*)).

Mặt khác ta có C ( m;0 ) , D ( 0; −3m ) (để ý m ≠ 0 thì C , D , O phân biệt). Ta tìm m để

S ∆OAB = 2 S ∆OCD hay 10m 2 +

40 −3m 2 = 2 m 3m ⇔ m = ± .

3 3 10

Chọn đáp án C. 1 Câu 36. Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số. Tìm các 3 giá trị của m để trên ( Cm ) có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y = 0 . m < 0 m < 0 1 A.  B.  C. 0 < m < 2 m > 3 m > 1 3  Hướng dẫn giải: y / = mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2

 m < −1 D.  m > 5 3 

Ta tìm m : mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m = 2 (*) có đúng một nghiệm âm

(*) ⇔ ( x − 1)( mx + 3m − 2 ) = 0 ⇔ x = 1 hoặc

mx = 2 − 3m

m = 0 : không thỏa yêu cầu m < 0 2 − 3m m ≠ 0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi <0⇔  m > 2 m 3  Chọn đáp án C. 2x − 1 Câu 37. Cho hàm số y = có đồ thị (C) và điểm P ( 2;5 ) . Tìm các giá trị của tham số m để x +1 đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C ) là: A. m = 1, m = −5 B. m = 1, m = 4 C. m = 6, m = −5 Hướng dẫn giải:

D. m = 1, m = −8

Trang 55

2x − 1 = − x + m ⇔ x 2 − (m − 3) x − m − 1 = 0 (1) , với x ≠ −1 x +1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m 2 − 2m + 13 > 0 ⇔ (đúng ∀m ) 0.m − 3 ≠ 0  x1 + x2 = m − 3 Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1), ta có:   x1 x2 = −m − 1

Giả sử A ( x1;− x1 + m ) , B ( x2 ;− x2 + m ) Khi đó ta có: AB = 2 ( x1 − x2 )

2

2

+ ( − x1 + m − 5 ) =

2

+ ( − x2 + m − 5) =

PA =

( x1 − 2 )

PB =

( x2 − 2 )

2

2

( x1 − 2 )

2

( x2 − 2 )

2

+ ( x2 − 2 ) , 2

+ ( x1 − 2 )

2

Suy ra ∆PAB cân tại P Do đó ∆PAB đều ⇔ PA2 = AB 2 2 2 2 2 ⇔ ( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) = 2 ( x1 − x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) + 4 ( x1 + x2 ) − 6 x1 x2 − 8 = 0  m =1 . Vậy giá trị cần tìm là m = 1, m = −5 . ⇔ m 2 + 4m − 5 = 0 ⇔   m = −5 Chọn đáp án C. Câu 38. Cho hàm số y = x 4 − mx3 + 4 x + m + 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ban đầu có 3 cực trị và trọng tâm của tam giác với 3 đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trùng với tâm đối xứng của đồ 4x thị hàm số y = .

4x − m A. m = 2 B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi phơng trình y’(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 4 x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 có 3nghiệm phân biệt m Xét g(x) = 4 x 3 − 3mx 2 + 4 có g’(x) = 12 x 2 − 6 mx ⇒ g ′( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 2 3 m 16 − m Do lim g ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = −∞ và g (0) = 4 > 0 , g ( ) = nên g(x) = 0 x →+∞ x →−∞ 2 4 m  2 > 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔  ⇔ m > 2 3 2 (học sinh có thể lập bảng biến thiên 3 16 − m  <0  4 x3 + 1 của hàm µ( x) = trên R \ {0} để tìm ra kết quả trên) x2 4x m Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = là I ( ;1) 4 4x − m Gọi A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thì x1 , x2 , x3 là nghiệm phơng trình : 4 x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 nên theo định lý Viet ta có

Trang 56

 x1 + x2 + x3 m = 3m    x1 + x2 + x3 =  3 4 ⇒ 4  2  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0  x 2 + x 2 + x 2 = ( x + x + x )2 − 2( x x + x x + x x ) = 9m 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 16  2 2 x m 3m x 5m Viết hàm số ban đầu dới dạng: y ( x) = y′( x)( − ) + (− + 3x + + 2) , vì thế 4 16 16 4 x m 3m 2 xi2 5m 3m 2 xi2 5m yi = y ( xi ) = y′( xi )( i − ) + ( − + 3 xi + + 2) = − + 3 xi + +2 4 16 16 4 16 4 do y′( xi ) = 0 (i = 1, 2,3)

y1 + y2 + y3 m2 2 5m 9m 4 5m =− ( x1 + x22 + x32 ) + ( x1 + x2 + x3 ) + +2=− 2 + +2 3 16 4 16 4 x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 m Trọng tâm của tam giác ABC là G( 1 ) ≡ I ( ; 1) khi và chỉ ; 3 3 4 9m4 5m y1 + y2 + y3 khi : + 2 = 1 ⇔ (m − 4)(9m3 + 36m2 + 144m + 64) = 0 =1⇔ − 2 + 16 4 3 Vì m > 2 3 2 nên m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm.

Chọn đáp án C. Câu 39. Tìm tham số m để hàm số y = x3 + 3mx 2 + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớ n h ơ n 4 .

1 − 21 1 − 21 1 + 21 A. m < B. m < hoặc m > 2 2 2 1 + 21 1 − 21 1 + 21 C. m > D. <m< 2 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có D = ℝ, y′ = 3 x 2 + 6mx + 3 ( m + 1) = 3 ( x 2 + 2mx + m + 1) Từ đ ó :

y′ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + m + 1 = 0 (1) . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ y′ ≤ 0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ (1) có hai nghiệm x1; x2 ( x1 ≠ x2 ) thoả mãn

x1 − x2 > 4

′ ∆′ > 0 ∆ > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ∆′ > 4 ⇔ m 2 − m − 1 > 4 ′ x − x > 4 2 ∆ > 4  1 2  1 − 21 1 + 21 . ∨m> 2 2 Vậy hàm số (1) nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ m2 − m − 5 > 0 ⇔ m <

1 − 21 1 + 21 ∨m> 2 2 Chọn đáp án B. ⇔m<

−x + 1 ( H ) tại hai điểm phân biệt 2x − 1 A, B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( H ) tại A và B . Tìm a để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

A. a = 1 B. a = 2 C. a = −5 D. a = −1 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( H ) :

Câu 40. Đường thẳng d : y = x + a luôn cắt đồ thị hàm số y =

Trang 57

1  −x + 1 x ≠ 2 = x+a⇔ 2x − 1  2 x 2 + 2ax − a − 1 = 0 (*)  2 Đặt g ( x ) = 2 x + 2ax − a − 1  ∆′g = a 2 + 2a + 2 > 0, ∀a 1  nên (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với mọi a .

Vì   1  1 2  g   = − ≠ 0, ∀a 2  2 Vậy d luôn cắt ( H ) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi a .

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của (*) . Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = −a , x1 x2 =

−a − 1 .

2

Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là k1 =

−1 2

; k2 =

−1 2

( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  ( 2 x1 − 1)2 + ( 2 x2 − 1)2  −1 −1 Ta có k1 + k2 = + = − 2 2 2 2  ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  2 2 2 = −  4 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 − 4 ( x1 + x2 ) + 2  (do ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1) = 1)   2

= −4 ( a + 1) − 2 ≤ −2, ∀a . Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = −1

Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng −2 khi a = −1 .

Chọn đáp án D.

Câu 41. Tìm m để phương trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3 A. Không có m B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 Hướng dẫn giải: Đặt x2 = X ≥ 0 , ta có phương trình: f(X) = X2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < x4 thì phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: 0 < X1 < X2. Khi đó x1 = − X 2 ; x2 = − X 1 ; x3 = X 1 ; x4 = X 2 Do đó: -2<-

⇔2>

X 2 <-1< - X 1 < 0 < X 2 >1 >

X1 < 1 <

X2 < 3

X 1 > 0 ⇔ 4 > X2 > 1 > X1 > 0

 af (1) < 0  −m + 3 < 0   ⇔  af (0) > 0 ⇔  m + 5 > 0 af (4) > 0 −7 m + 9 > 0  

  m>3  ⇔  m > −5  9 m< 7 

⇒ không tồn tại m thoả mãn bài toán .

Chọn đáp án A. 3 1 Câu 42. Cho hàm số: y = x3 - mx 2 + m 3 . Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm 2 2 phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. A. m = 0 ; m = ± 2 B. m = 0 C. m = ± 2 D. m = 0 ; m = 2

Trang 58

Hướng dẫn giải: 3 1 mx 2 − x + m 3 = 0 (1) 2 2 Đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,B,C ⇔ pt (1) có 3 nghiệm phân biệt xA, xB, 3 xC. Theo Vi et ta có : xA + xB +xC = m (2) 2 theo gt AB = BC ⇔ 2 xB =xA + xC (3) m m Từ (2) và (3) ⇒ xB = . V ậy x = là một nghiệm của (1).

2 2 3 1 m Chia f(x) = x 3 − mx 2 − x + m 3 cho x − ta được: 2 2 2 m2 m3 m m )+ . f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 2 2 2 4 m3 m m x= là nghiệm của (1) ⇔ + = 0 ⇔ m=0, m = ± 2 4 2 2 m2 m Khi đó f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 ) có 3 nghiệm phân biệt 2 2 m2 3m 2 m vì ϕ ( x ) = x2 – mx – 1 có 2 nghiệm trái dấu và có ϕ ( ) = -1 ≠ 0 . ∀m 2 4 2 Vậy: m = 0 ; m = ± 2 Chọn đáp án A. Câu 43. Cho hàm số y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) .

A. −3 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. −3 ≤ m ≤ 1 D. −3 ≤ m ≤ 2 Hướng dẫn giải: Ta có: y , = g ( x) = 3 x 2 − 2( m + 1) x − (2m 2 − 3m + 2)

PT hoành độ giao điểm: x3 -

∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 , ∀m  g ( 2) ≥ 0 2m 2 + m − 6 ≤ 0  ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ 2 y, ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;+∞ ) ⇔  S m − 5 < 0  2 − 2 < 0 Chọn đáp án D. Câu 44. Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?

40 120 60 180 A. B. C. D. m. m. m. m.

9+4 3 9+4 3 9+4 3 9+4 3 Hướng dẫn giải:

Bạn A chia sợi dây thành hai phần có độ dài x ( m ) và 20 − x ( m ) , 0 < x < 20 (như hình vẽ).

2

x 3 x2 3 2 x Phần đầu uốn thành tam giác đều có cạnh ( m ) , diện tích S1 =   . = (m ) 3 36 3 4 2

Phần còn lại uốn thành hình vuông có cạnh

20 − x 20 − x  2 ( m ) , diện tích S2 =   (m ) 4  4 

Trang 59

2

x 2 3  20 − x  Tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi f ( x ) = +  nhỏ nhất trên khoảng ( 0;20 ) .

36  4  180 x 3 20 − x Ta có: f ' ( x ) = − =0⇔ x= .

18 8 4 3+9 Bảng biến thiên: 180 x 20 0 4 3 +9 − f ′( x) 0 +

f ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta được x =

180 4 3 +9

.

Chọn đáp án D.  −8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 45. Cho các số thực a , b, c thỏa mãn  . Số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0

y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải: Ta có hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c xác định và liên tục trên ℝ .

Mà lim y = +∞ nên tồn tại số M > 2 sao cho y ( M ) > 0 ; lim y = −∞ nên tồn tại số m < −2 sao x →+∞

x →−∞

cho y ( m ) < 0 ; y ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > 0 và y ( 2 ) = 8 + 4a + 2b + c < 0 .

Do y ( m ) . y ( −2 ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( m; −2 ) .

y ( −2 ) . y ( 2 ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( −2;2 ) . y ( 2 ) . y ( M ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 2; M ) .

Vậy đồ thị hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox có 3 điểm chung.

Chọn đáp án D.

Câu 46. Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận là A. {0}.

2x − 1 có đúng 1 ( mx − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) 2

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

C. ∅ D. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải: Có lim y = 0 . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y = 0 . Vậy ta tìm điều kiện để hàm số x →±∞

không có tiệm cận đứng .  mx 2 − 2 x + 1 = 0 (1) Xét phương trình: ( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) = 0 ⇔  2  4 x + 4mx + 1 = 0 (2) 2x − 1 1 TH1: Xét m = 0 , ta được y = (thỏa ycbt) =− 2 2 ( −2 x + 1) ( 4 x + 1) 4 x + 1

TH2: Xét m ≠ 0 . Có: ∆1 = 1 − m và ∆ 2 = 4 m 2 − 4 Trang 60

1 − m < 0 m > 1 ⇔ ⇔ m∈∅ Th2a. Cả 2 phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm: ⇔  2 −1 < m < 1  4m − 4 < 0 1 Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m > 1 ) 2 1 Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì −1 < m < 1 ) 2 Chọn đáp án A. Câu 47. Đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 điểm phân biệt A ( 0;4 ) , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của

m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. m = 2 hoặc m = 3.

B. m = −2 hoặc m = 3. C. m = 3.

D. m = −2 hoặc m = −3.

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C ) : x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 = 4 x = 0 ⇔ x3 + 2mx 2 + ( m + 2 ) x = 0 ⇔  2 ϕ ( x ) = x + 2mx + m + 2 = 0 Với x = 0, ta có giao điểm là A ( 0;4 ) .

(1)

d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ϕ ( 0 ) = m + 2 ≠ 0 (*) ⇔ 2  ∆′ = m − m − 2 > 0 Ta gọi các giao điểm của d và ( C ) lần lượt là A, B ( xB ; xB + 2 ) , C ( xC ; xC + 2 ) với xB , xC là nghiệm của phương trình (1).  xB + xC = −2m Theo định lí Viet, ta có:  =m+2  xB .xC 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S = ⋅ BC ⋅ d ( M , BC ) = 4.

2 Phương trình d được viết lại là: d : y = x + 4 ⇔ x − y + 4 = 0.

1− 3 + 4 Mà d ( M , BC ) = d ( M , d ) = = 2.

2 12 + ( −1) Do đó: BC =

8 8 = ⇔ BC 2 = 32 d ( M , BC ) 2 2

2

2

Ta lại có: BC 2 = ( xC − xB ) + ( yC − y B ) = 2 ( xC − xB ) = 32 2

2

⇔ ( xB + xC ) − 4 xB .xC = 16 ⇔ ( −2m ) − 4 ( m + 2 ) = 16 ⇔ 4 m 2 − 4 m − 24 = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = −2. Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m = −2.

Chọn đáp án C.

Câu 48. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2 P = 4( x + y 2

2

) + 15 xy

A. min P = −83 Hướng dẫn giải:

(

)

x − 3 + y + 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là:

B. min P = −63

C. min P = −80

D. min P = −91

Trang 61

Ta có x + y = 2

(

)

2

x − 3 + y + 3 ⇔ ( x + y ) = 4 ( x + y ) + 8 x − 3. y + 3 ≥ 4 ( x + y )

x + y ≥ 4 . Mặt khác ⇔ x + y ≤ 0 x+y=2

(

)

x − 3 + y + 3 ≤ 2 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ 8 ⇒ x + y ∈ [ 4;8]

(

2

)

Xét biểu thức P = 4 x 2 + y 2 + 15xy = 4 ( x + y ) + 7xy và đặt

t = x + y ∈ [ 4;8] ⇒ P = 4t 2 + 7xy .

2

Lại có ( x + 3 )( y + 3 ) ≥ 0 ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − 9 ⇒ P ≥ 4 ( x + y ) − 21( x + y ) − 63

= 4t 2 − 21t − 63 .

Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 21t − 63 trên đoạn [ 4;8] suy ra Pmin = f ( 7 ) = −83 Chọn đáp án A. Câu 49. Gọi (Cm) là độ thì hàm số y = x 4 − 2 x 2 − m + 2017 . Tìm m để (Cm) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả: A. m = 2017 B. 2016 < m < 2017 C. m ≥ 2017 D. m ≤ 2017 Hướng dẫn giải: - Phương pháp: Tìm m để phương trình ẩn x tham số m có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng K + Cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(x) + Vẽ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của y=f(x) trên K + Biện luận để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =f(x) tại n điểm phân biệt trên K - Cách giải: ( Cm ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Phương trình x 4 − 2 x 2 − m + 2017 = 0 ⇔ m = x 4 − 2 x 2 + 2017 có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2017 trên R Có y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1 . Bảng biến thiên: x 0 0 1 −∞ y' − − 0 + 0 0 +∞ y 2017

2016

+∞ + +∞

2016

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =f(x) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi m =2017 Chọn đáp án A. x2 + 2 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận mx 4 + 3 ngang.

A. m = 0 B. m < 0 C. m > 0 D. m > 3 Hướng dẫn giải: x2 + 2 Đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn mx 4 + 3 lim y = a ( a ∈ ℝ ) , lim y = b ( b ∈ ℝ ) tồn tại. Ta có: x →+∞

x →−∞

+ với m = 0 ta nhận thấy lim y = +∞, lim y = +∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x →+∞

x →−∞

Trang 62

 3 3  + Với m < 0 , khi đó hàm số có TXĐ D =  − 4 − ; 4 −  , khi đó lim y, lim y không tồn tại suy  x →+∞ x →−∞ m m   ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

2  2 x 2 1 + 2  1+ 2 1 x  x + Với m > 0 , khi đó hàm số có TXĐ D = ℝ suy ra lim  suy ra , lim = x →±∞ m 3 x →±∞ 2 3 2 x m+ 2 x m+ 4 x x đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang.

Vậy m > 0 thỏa YCBT. Chọn đáp án C.

Câu 51. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a = 3 Hướng dẫn giải:

B. a = 2

C. a = 1 2

D. Một giá trị khác

2

Ta có y = x 2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5 . Đặt u = ( x + 1) khi đó ∀x ∈ [ −2;1] thì u ∈ [ 0; 4] Ta

được hàm số f ( u ) = u + a − 5 . Khi đó

Max y = Max f ( u ) = Max { f ( 0 ) , f ( 4 )} = Max { a − 5 ; a − 1 }

x∈[ −2;1]

u∈[ 0;4]

Trường hợp 1: a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ Max f ( u ) = 5 − a ≥ 2 ⇔ a = 3 u ∈[0;4]

Trường hợp 2: a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ Max f ( u ) = a − 1 ≥ 2 ⇔ a = 3 u ∈[ 0;4 ]

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y = 2 ⇔ a = 3 x∈[ −2;1]

Chọn đáp án A.

)

(

(

)

Câu 52. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1 là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải:

)

(

(

y = x3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1

⇔ y=

(

⇔ y=

x3 + 1 + 1 +

)

2

x3 + 1 + 1 +

(

)

x3 + 1 − 1

)

2

x3 + 1 − 1

Điều kiện để hàm số xác định x ≥ −1 Ta có y = x 3 + 1 + 1 + - Nếu −1 ≤ x < 0 thì

x3 + 1 − 1

x3 + 1 − 1 < 0 ⇒

x 3 + 1 − 1 = 1 − x3 + 1 ⇒ y = 2

- Nếu x ≥ 0 thì x 3 + 1 − 1 ≥ 0 ⇒ y = 2 x 2 + 1 ≥ 2 Vậy: y ≥ 2, ∀x ≥ −1, y = 2 ⇔ x = 0 Chọn đáp án C.

Trang 63

HÌNH ĐA DIỆN I – HÌNH CHÓP Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (SAB ) , (SAC ) và (SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

A. V = 680 B. V = 408 C. V = 578 Hướng dẫn giải: Gọi J là chân đường cao của hình chóp S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh AB, BC và CA. , SLJ và SKJ lần lượt là góc tạo bởi Suy ra, SHJ mặt phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng (S AB ) , (SBC ) và (SAC ) . = SLJ = SKJ , Theo giả thiết, ta có SHJ

D. V = 600 S

z=17

y=9

K

C

A

suy ra các tam giác vuông SJH , SJL và SJK bằng nhau.

J z=17 y=9 H Từ đó, JH = JL = JK . Mà J nằm trong tam giác ABC nên J là L x=8 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. x=8 Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được diện tích của tam giác B ABC là S = 204 . Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là S 204 bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. Ta có r = = = 6 . Đặt x = BH = BL , y = CL = CK , p 34 z = AH = AK .  x + y = 17 y z C K  A Ta có hệ phương trình  x + z = 25 .  y  y + z = 26 J z Giải ra được ( x ; y ; z ) = (8;9;17) L

JB = JH 2 + BH 2 = 6 2 + 82 = 10 . = (SB

, ( ABC )) = 45° , suy ra SJB là tam giác Ta có SBJ

H

x

x

B

vuông cân tại J. SJ = JB = 10 .

1 Thể tích V của khối chóp S.ABC là V = SJ .S ABC = 680 3 Chọn đáp án A. Câu 2. Cho tứ diện ABCD, M , N , P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).

2 A. 3 5 C. 13

7 B. 13 1 D. .

3

Hướng dẫn giải: Gọi I = MN ∩ CD, Q = PI ∩ AD , kẻ

A

P

Q

K I

H B

N

D

M

C

Trang 64

DH / / BC ( H ∈ IM ) , DK / / AC ( K ∈ IP ) ID DH BM 1 = = = IC CM CM 3 IK DK ID 1 DK 1 DK 2 = = = ⇒ = ⇒ = IP CP IC 3 2 AP 3 AP 3 ∆APQ đồng dạng ∆DKQ AQ AP 3 AQ 3 ⇒ = = ⇒ = DQ DK 2 AD 5 Đặt V = VABCD Ta có: VANPQ AP AQ 1 VANCD VDACN DN 1 1 = . = , = = = ⇒ VANPQ = V 10 VANCD AC AD 5 VABCD VDABC DB 2 1 1 1 1 VCDMP CM CP 1 = . = ⇒ VCDMP = V ⇒ VN . ABMP = VDABMP = (V − VCDMP ) = V 2 2 2 4 VCDBA CB CA 2 V 7 7 ⇒ VABMNQP = VANPQ + VN . ABMP = V ⇒ ABMNQP = 20 VCDMNQP 13

∆NMB = ∆NDH ⇒

Chọn đáp án B. Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = . Gọi CM là 4 đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

A.

a 3 14 48

B.

a 3 14 24

C.

a 3 14 16

D.

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. a 2 .a 2 AM AH AH . AC a 4 Ta có: = => AM = = = AC SA SA a 2

=> MC = AC 2 − AM 2 =

(a 2 )

2

a 3 14 8

S M A D

2

a 7 a −  = 2 2

H O

1 1 a a 7 a2 7 SM .MC = = 2 22 2 8 2 1 1 a 2 a 7 a 3 14 => VSMAC = BO.S SMC = = 3 3 2 8 48 Chọn đáp án A.

C

B

=> S SMC =

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và 1 mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt phẳng 3 (SAD ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 0,11 B. 0,13 Hướng dẫn giải:

C. 0,7

D. 0,9

Trang 65

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi N là trung điểm CD CD ⊥ SN , CD ⊥ ON

SCD ) , ( ABCD ) = SNO ⇒ ⇒ ( SCD ABCD CD ∩ = ( ) ( )  Kẻ CM ⊥ SD . Ta có  AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD   AC ⊥ SO ⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ⊥ ( SAD ) nên mặt phẳng

)

(

S

( P ) là ( ACM ) + Xét tam giác SON vuông tại N có : a ON 3a 2 SN = = =

cos SNO 1 2 3 2

M A N

O

2

 3a   a  SO = SN − ON =   −   = a 2  2  2 2

D

2

B

C 2

+ Xét tam giác SOD vuông tại O có : SD = SO + OD = 2

Ta có S∆SCD

2

(a 2 )

2

a 2 a 10 + =   2  2  

3a .a 1 1 3a 10 SN .CD = CM .SD = SN .CD ⇒ CM = = 2 = 2 2 10 SD a 10 2 2

 3a 10  a 10 = - Xét tam giác MCD vuông tại M có : DM = CD − CM = a −    10  10   2

2

2

a 10 VMACD V MACD 1 DM DA DC 1 DM 1 10 1 Ta có : . . = = . = . = . = VSABCD 2.VSACD 2 DS DA DA 2 DS 2 a 10 10 2 1 ⇒ VMACD = VSABCD . Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và 10 V 1 9 SABCM ⇒ VSABCD = V MACD + VSABCM ⇒ VSABCM = VSABCD . Do đó : MACD = ≈ 0,11 VSABCM 9 10 Chọn đáp án A. Câu 5. Cho hình chóp S . ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) ,

( SBC ) lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là 300 , 450 , 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC .

A. V =

a3 3

(4 + 3)

.

B. V =

a3 3

(

2 4+ 3

)

.

C. V =

a3 3

(

4 4+ 3

)

.

D. V =

a3 3

(

8 4+ 3

)

.

Hướng dẫn giải:

Trang 66

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) . Kẻ HD ⊥ AB ( D ∈ AB ) , HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) , HF ⊥ BC ( E ∈ BC ) . Khi đó ta có

SH SH = SH 3 , HE = = SH , 0 tan 30 tan 450 a2 3 SH SH S = .

Ta có suy ra HF = = ∆ABC 4 tan 60 0 3 1 1  a2 3 3a  . = ⇔ SH = SH  1 + 3 + a  2 4 3 2 4+ 3 

HD =

(

)

1 3a a2 3 a3 3 Vậy V = . . . = 3 2 4+ 3 4 8 4+ 3

(

)

(

)

Chọn đáp án D. Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45 ° . Hình a 7 chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB. Biết CH = . Tính khoảng cách 3 giữa 2 đường thẳng SA và BC: a 210 a 210 a 210 a 210 B. C. D. A. 30 20 45 15 Hướng dẫn giải: + D là đỉnh của hình bình hành ABCD thì d(SA;BC)=d(B;(SAD))=1,5.d(H;(SAD)) + Kẻ HE vuông AD, E thuộc AD. Kẻ HI vuông SE, I thuộc AE thì d(H;(SAD))=HI a 210 + Tính HI = 30 Chọn đáp án B. Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 3 A. V= a B. V= a3 3 1 3 3 C. V= a3 D. V= 3. a 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC Ta có tam giác SAB cân suy ra SM ⊥ AB HM // AC ⇒ HM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SMH ) ⇒ AB ⊥ SH (1) Và [(SAB), (ABC)] = SMH = 600 Tương tự AC ⊥ (SNH) ⇒ AC ⊥ SH (2) Từ (1) và (2) ⇒ SH ⊥ (ABC) AC Ta có SH = MH. tan 600 = 3 =a 3 2 1 1 3 3 SABC = AC.AB = a2 . Vậy V = .SH. SABC = a (đvdt) 2 3 3 Chọn đáp án A.

Trang 67

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằng 2. Tìm giá trị của x để thể tích khối chóp lớn nhất A. 6 B. 2 C. 7 D. 2 6 Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có OD=OB và SB=SD nên SO ⊥ BD , do đó BO ⊥ ( SAC ) .

Mặt khác SO 2 = SB 2 − OB 2 = AB 2 − OB 2 = OA2 nên SO = OA = OC . Do đó tam giác SAC vuông tại S. Ta có AC 2 = x 2 + 4 ⇒ 4OA2 = x 2 + 4 .

Do đó 4OB 2 = 12 − x 2 ⇒ 0 < x < 2 3 .

2 Và 16 S SOA = x 2 ( 4OA2 − x 2 ) = 4 x 2 .

Để VS . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi VSOAB đạt giá trị lớn nhất .

Do đó VS . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x 2 (12 − x 2 ) đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra x 2 = 12 − x 2 ⇒ x 2 = 6 ⇒ x = 6 .

Chọn đáp án A.

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 Hướng dẫn giải: Trong ( ABCD ) , gọi { I } = AC ∩ BM , trong ( SAC ) , kẻ đường thẳng qua I, / / SA , cắt SC tại S’ ⇒ S’ là giao điểm của SC với mp chứa BM, //SA. Do M là trung điểm của AD nên 3 3 dt ( BCDM ) = dt ( ABCD ) ⇒ VS '.BCDM = VS '. ABCD 4 4 Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của S, S’ trên ABCD S ' H ' CS ' CI 2 ⇒ = = = SH CS CA 3 3 3 2 1 ⇒ VS '. BCDM = VS '. ABCD = ⋅ VS . ABCD = VS . ABCD 4 4 3 2 Chọn đáp án A.

S

S'

M

A

D I

B

C

=C = α . Các cạnh bên Câu 10. Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B cùng tạo với đáy một góc β . Tính thể tích hình chóp SABC. a 3 tan β a 3 cos α tan β a 3 cos α tan β B. V = C. V = 6 6 3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO ⊥ ( ABC ) ⇒ OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

A. V =

D. V =

a 3 sin 2α 6

= SCO =β. = β . Tương tự ta cũng có SBO Do đó ( SA; ( ABC ) ) = SAO Nên ∆SAO = ∆SBO = ∆SCO ⇒ AO = BO = CO .

Trang 68

AC a a . = = 2OA ⇒ OA = sin B sin α 2 sin α a tan β Nên SO = OA.tan β = .

2sin α 1 1 a 2 sin 2α Mặt khác S ∆ABC = AB. AC.sin A = a 2 sin (180 − 2α ) = .

2 2 2 1 1 a 2 sin 2α a tan β a3 cos α tan β Vậy V = S∆ABC .SO = . = .

3 6 2 2sin α 6 Chọn đáp án B.

Theo định lí sin ta có:

Câu 11. Cho hình chop S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N là trung điểm của SB và SD. Tính V hình chop biết rằng (MAC) vuông góc với (NAC).

3a 3 a3 3a3 3 a3 3 A. C. B. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi I, H lần lượt là trung điểm AD và AB, O là giao điểm của AC và BI, vẽ HK // BI (K thuộc AC) Ta có ABCI là hình vuông nên AC vuông góc với BI Mà AC vuông góc NI (do NI // SA) Suy ra AC ⊥ ( NIO ) ⇒ ∠NOI = ( ( NAC ) , ( ACD ) ) = α Tương tự ta có ∠MKH = ( ( MAC ) , ( ACB ) ) = β Theo đề ta có α + β = 90° ⇒ tan α = cot β ⇒

NI HK = NO MH

Suy ra SA SA a 2 a 2 = ⇒ SA = a .

2 2 2 4 a3 3a 2 1 Mà S ABCD = ⇒ V = S ABCD .SA = 2 3 2 Chọn đáp án C.

NI .MH = OI .HK ⇒

Câu 12. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM , SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) V chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số 1 .

V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Hướng dẫn giải: Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC .

Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của (α ) với các S đường thẳng BC , AC .

Ta có NP //MQ //SC . Khi chia khối ( H1 ) bởi mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp N .SMQC và M N .QPC .

V d ( N , ( SAC )) S SMQC Ta có: N .SMQC = ; ⋅ VB. ASC d (B, ( SAC )) S SAC N

A

C Trang 69

Q

P B

2 SSMQC 5 4 d ( N , ( SAC )) NS 2 S AMQ  AM  = = . = = ;  = ⇒ 9 d (B, ( SAC )) BS 3 S ASC  AS  9 S ASC V 2 5 10 Suy ra N .SMQC = ⋅ = VB. ASC 3 9 27 VN .QP C d ( N , (QP C )) SQPC = ⋅ VS . ABC d (S,(A BC )) S ABC

1 1 2 2 NB CQ CP ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = SB CA CB 3 3 3 27 V V V1 10 2 4 V1 4 V 4 N . SMQC = + N .QP C = + = ⇒ = ⇒ 5V1 = 4V2 ⇒ 1 = V VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1 + V2 9 V2 5 Chọn đáp án A. =

Câu 13. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 2

1

A. x = V 3 B. x = 3 V C. x = V 4 Hướng dẫn giải: Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồ ( a,x > 0 ) Khi đó, V = a 2 x ⇒ a =

V V ⇒ S tp = 2a 2 + 4ax = 2 + 4 Vx x x

Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì Stp nhỏ nhất ⇒ 2 Cách 1 : Xét hàm số f ( x ) = 2 Ta có f ' ( x ) =

D. x = V

V + 4 Vx nhỏ nhất. x

V + 4 Vx trên ( 0; +∞ ) x

1 −2V 2 V 2 3 ; f ' x 0 x V V x x V + = ⇔ = ⇔ = ( ) x2 x 1

x f'(x)

0

+∞

V3

+

0

f(x) 1

f (V 3 ) 1

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng V 3 .

V V + 4 Vx = 2 + 2 Vx + 2 Vx ≥ 6 3 V 2 x x V Dấu " = " xảy ra tại = Vx ⇔ x 3 = V ⇔ x = 3 V x

Cách 2: ta có 2

Chọn đáp án B.

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD

(

)

là 4π dm 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC gần với giá trị nào nhất sau đây ?

Trang 70

A.

2 dm .

7

B.

3 dm .

7

C.

4 dm .

7

D.

6 dm .

7

Hướng dẫn giải: Gọi x > 0 là cạnh của hình vuông ABCD và H là trung điểm cạnh AD

x 3 .

2 Gọi O = AC ∩ BD và G là trọng tâm ∆ SAD , đồng thời d1 , d 2 lần lượt là 2 trục đường tròn ngoại tiếp ABCD, ∆SAD ( d1 qua O va / / SH , d 2 qua G va / / AB ) ⇒ I = d1 ∩ d 2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD ⇒ R = SI Dễ dàng chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) , SH =

2

2

2 21  x  x S = 4π R 2 ⇒ R = 1 = SI = SG 2 + GI 2 =   +  2  ⇒ x = 7 ( dm )  3   Gọi E là điểm thỏa ADEC là hình bình hành ⇒ ED / / AC ⇒ d ( AC; SD ) = d ( AC; ( SDE ) )

⇒ d ( AC; SD ) = d ( A; ( SDE ) ) = 2d ( H ; ( SDE ) ) = 2 HP (phần chứng minh HP ⊥ ( SDE ) xin dành cho bạn đọc)

∆SKH :

1 1 1 1 1 = + = + 2 2 2 2 2 HP SH KH x 3 x 2      2   4 

⇒ HP =

6 x 21 3 = dm ⇒ d ( AC ;SD ) = dm 14 7 7

Chọn đáp án D. Câu 15. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N.Gọi V1 là thể tích của khối chóp S .AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A.

3 8

B.

1 3

V1 V

?

C.

2 3

D.

1 8

Trang 71

Hướng dẫn giải: SM SN V ;y = ,(0 < x , y ≤ 1) khi đó ta có : VSABC = VSADC = VSABD = VSBCD = Đặt x = SD SB 2 Ta có : V1 VSAMPN VSAMP +VSANP V V 1  SM SP SN SP  1  = (x + y ) (1) . = = = SAMP + SANP =  + V V V 2VSADC 2VSABC 2  SD SC SB SC  4 Lại có :

V1 V

=

VSAMPN V

=

VSAMN 2VSABD

+

VSMNP 2VSBCD

1 1  3 = xy + xy  = xy (2) 2 2  4

1 3 x x 1 do 0 < y ≤ 1 => ≤1⇒x ≥ x + y ) = xy ⇒ y = ( 4 4 3x − 1 3x − 1 2 2 V1   3 3 x 3x 3 1 Từ (2) suy ra = .xy = .x = = f (x ),  ≤ x ≤ 1  V 4 4 3x − 1 4 (3x − 1) 4 2 Từ (1) và (2) suy ra :

1  f (x ) = Khảo sát hàm số y = f (x ),  ≤ x ≤ 1 => min 1    2 x ∈ ≤x ≤1   2



2 4 V 1 f   = => 1 =  3  9 3 V

Chọn đáp án B. Câu 16. Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu?

1 3 1 5 A. B. C. D. 4 4 8 8 Hướng dẫn giải: Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn nhất là AB, suy ra các tam giác ACD và BCD có tất cả các cạnh đều không lớn hơn 1. Các chiều cao AF và BE của chúng không lớn hơn 1 −

a2 , trong đó 4

CD = a ≤ 1 . a2 4 (do tam giác AHF vuông tại H có AF là cạnh huyền) Thể tích của khối tứ diện là: 1 1 1 1 1  a2  1 V = S BCD . AH = . .BE.CD. AH ≤ . .a. 1 −  = a ( 4 − a 2 ) 3 3 2 3 2  4  24 Chiều cao của hình tứ diện AH ≤ AF ≤ 1 −

Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét biểu thức a ( 4 − a 2 ) .

Vì 0 ≤ a ≤ 1 nên a ( 4 − a 2 ) ≤ 3 và V ≤

Chọn đáp án C.

1 1 a ( 4 − a2 ) ≤ .

24 8

Câu 17. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB ) bằng 300. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S .ABH đạt giá trị lớn nhất bằng? a3 2 3 Hướng dẫn giải:

A.

B.

a3 2 2

C.

a3 2 6

D.

a3 2 12

= 300 Ta có góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là CSB

Trang 72

Trong tam giác SBC có SB = BC .cot 30 0 = a 3 Trong tam giác SAB có SA = SB 2 − AB 2 = a 2 1 1 1 a 2 S ABH .SA = . HA.HB.a 2 = HA.HB 3 3 2 6 Ta có HA2 + HB 2 = AB 2 = a 2 và theo bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a 2 = HA2 + HB 2 ≥ 2.HA.HB ⇒ HA.HB ≤ 2

Đẳng thức xảy ra khi HA = HB ⇔ ABM = 450 ⇔ M ≡ D

Thể tích khối chóp S.ABH là: VS .ABH =

Khi đó VS .ABH =

a 2 a 2 a2 a3 2 HA.HB ≤ . = 6 6 2 12

Chọn đáp án D. Câu 18. Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc α .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc β . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .

A. V =

l 3 3 cos3 α 4(cot gα + cot g β ) 2

B. V =

l 3 3 cos3 α 2(cot gα + cot g β ) 2

l 3 cos3 α l 3 5 cos α V = D. 2(cot gα + cot g β ) 2 4(cot gα + cot g β ) 2 Hướng dẫn giải: Đặt 2 hình chóp tam giác đều là : O.ABC và O’.A’B’C’ với O là tâm của tam giác ABC và O’ là tâm của tam giác A’B’C’.

Theo bài ra thì OO’ là đường cao chung của 2 hình chóp . Đặt D,E,F là các giao điểm của các cặp cạnh bên tương ứng của 2 hình chóp . Phần thể tích chung 1 của 2 hình chóp là thẻ tích của khối đa diện ODEFO’. Ký hiệu V là thể tích đó thì V = OO '.S∆DEF 3 ∆OO ' C vuông tại O’ nên OO ' = l cos α C' Do tính đối xứng nên OO’ đi qua tâm I của ∆DEF .

A' Trong ∆IOE ta có : OI = IE cot gα O Trong ∆IO ' E có: O ' I = IE cot gα B' Suy ra OO ' = IE (cot gα + cot g β ) D OO ' l cos α F I ⇔ IE = = E cot gα + cot g β cot gα + cot g β 3 Tam giác DEF đều , đường cao EJ = EI 2 2 C DE 3 2 EJ 3 A = EI 3 Diện tích S∆DEF = với DE = 4 3 O' 2 2 3l 3 cos α Do đó S ∆DEF = 4(cot gα + cot g β ) 2 B Vậy thể tích phần chung của 2 hình chóp là : l 3 3 cos3 α V= 4(cot gα + cot g β ) 2 Chọn đáp án A. C. V =

Trang 73

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với SM đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD. Tính tỉ số .

SB 3 1 3 5 B. C. D. A. 4 4 5 4 Hướng dẫn giải: Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Suy ra ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; S 0; a 3 ) và a a 3  ; 0  . Suy ra phương trình của SB B =  ; H 2 2  D

A

2x 2y z−a 3 là: = = a a 3 −a 3 Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:  y 0 = 3 x0 .   z0 = a 3 − 2 3 x0

C

B

Mặt khác AM⊥DN ⇔ AM .DM = 0 3a ⇔ x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 ⇔ x0 = 8 3  3a 3a 3 a 3  SM 3 = . ⇔ M =  ; ;  ⇒ SM = SB hay 8 8 4 4 SB 4   Chọn đáp án A.

Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V. 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ∆ACD và ∆BCD có tất cả các cạnh không lớn hơn 1.

A Đặt CD = a ( 0 < a ≤ 1).

Gọi AM, BN lần lượt là chiều cao của ∆ACD và ∆BCD .

Ta có AM ≤ 1 −

a2 a2 ; BN ≤ 1 − .

4 4

Gọi AH là chiều cao của tứ diện, ta có AH ≤ AM ≤ 1 −

D

a2 .

4

B

H

M N

2

a a 1 1 Thể tích của tứ diện ABC V = .S ∆BCD . AH = .BN .CD. AH ≤ (1 − ) 3 6 6 4 Xét f ( a ) = a (4 − a 2 ) trên (0, 1]. Ta có f(a) liên tục trên (0, 1].

2 f ' ( a ) = 4 − 3a 2 , f ' ( a ) = 0 ⇔ a = ± ∉ ( 0;1] .

3

C

Trang 74

0

a

1

+

f'(a)

3

f(a) 0

Vậy m ax f ( a ) = f (1) = 3 . ( 0,1]

1 khi ∆ACD và ∆BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1, hai mặt phẳng (ACD) và 8 6 > 1.

(BCD) vuông góc với nhau. Khi đó tính được AB = 2 Chọn đáp án B. Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và S vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

C' 3 3a 3 3a3 A. B. D' 20 20 3 3 B' 3 3a 3 5a C. D. 10 10 Hướng dẫn giải: D C BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB ' SC ⊥ ( P) ⇒ SC ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB A Tương tự AD ' ⊥ SD B VS . AB 'C ' D ' = VS . AB 'C ' + VS . AD 'C ' Suy ra maxV =

VS . AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ABC SB SC SB 2 SC 2 SB 2 SC 2 4 5 20

(1)

VS . AD ' C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ADC SD SC SD 2 SC 2 SD 2 SC 2 4 5 20

(2)

1 1 a3 3 Do VS . ABC = VS . ADC = . a 2 .a 3 = 3 2 6 Cộng (1) và (2) theo vế ta được VS . AB 'C ' VS . AD ' C ' 9 9 9 a3 3 3 3a3 + = + ⇔ V = . = S . AB ' C ' D ' 10 6 20 a3 3 a3 3 20 20 6 6 Chọn đáp án A.

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 3 .

Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM , CD .

15 23 Hướng dẫn giải: A.

B.

5 23

C.

15 29

D.

13 23

Trang 75

Ta thấy ABCD là hình thoi, tam giác SBD cân tại S suy ra BD ⊥ ( SAC ) Gọi O là giao điểm của AC và BD , ta thấy ∆SBD = ∆ABD = ∆CBD ( c.c.c ) Suy ra OA = OC = OS =

1 ⋅ AC nên ∆SAC vuông tại S .

2

Xét ∆SAC ta có AC = SA2 + SC 2 = 2 2 ⇒ OC = 2, OD = CD 2 − OC 2 = 1 ⇒ BD = 2 Thể tích 1 1 1 1 15 VS .CMD = VS . ABCD = ⋅ BD ⋅ S∆SAC = ⋅ 2 ⋅ ⋅ 5 ⋅ 3 = S 4 12 12 2 12 Gọi N là trung điểm của AD nên CD / / ( SMN ) Suy ra 3 ⋅ VC .SMN d (CD, SM ) = d (CD, ( SMN )) = d (C , ( SMN )) = ( ∗) S∆SMN

15 (1).

12 3 13 Ta có MN = 3, SM = , SN = ( sử dụng công thức 2 2 đường trung tuyến)

Thể tích VC .SMN = VS .MCD =

= Theo định lý hàm số cosin trong ∆SMN ta có cos SMN

A

B

M

O D

C

2 3 3

N

= ⇒ sin SMN

23 3 3

1 = 23 (2).

Vậy SSMN = ⋅ SM ⋅ MN ⋅ sin SMN 2 4 Thay (1), (2) vào ( ∗) ta được d (CD, SM ) =

Chọn đáp án A.

3 ⋅ VC .SMN S∆SMN

3 15 15 = 12 = .

23 23 4

Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa 5 2 hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α = . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE 7 V và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số 1 .

V2 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Hướng dẫn giải: +) Gọi M là trung điểm BC. A Khi đó BC ⊥ (MAD) nên (P)⊥(AMD); H (P)∩(AMD)=ME. Kẻ AH⊥ME thì AH⊥(BCE) ( do AH ⊂ (AMD) ) E Kẻ DK⊥ME nên DK⊥(BCE) (do DK ⊂ (AMD) ).

Hiển nhiên AH song song DK K V1 VA.BCE AH = = Khi đó V2 VD.BCE DK D B M

C

Trang 76

(0 < β <

+) Gọi β là góc giữa (P) và (ABC)

π 2

=α ; AME = β . ). Hiển nhiên DME

sin β AH V = ⇒ sin β = 1 .sin α = t.sin α (1) sin α DK V2 1 MO 1 = ⇔ cosα cos β − sin α sinβ = . (2) +) Trong tam giác OMA: cos(α + β ) = MA 3 3

Vì AM = DM nên:

Từ (1) có: cosβ = 1 − sin 2 β = 1 − t 2 .sin 2 α = 1 − t 2 .x ; với x=sin2α.

1 1 Thay vào (2) ta có: 1 − t 2 x . 1 − x − t.x = ↔ (1 − t 2 x)(1 − x) = t.x + .

3 3 8 +) Giải phương trình có: x = 2 .

(9t + 6t + 9)

x 8 9t 2 + 6t + 9 8 Vì sin α = x → tan α = = 2 . 2 = 2 1 − x 9t + 6t + 9 9t + 6t + 1 9t + 6t + 1 2

2

 3 t = 5 8 50 196 171 2 2 = ↔ 9t + 6t + 1 = ↔ 9t + 6t − =0↔ Theo giả thiết suy ra 2 9t + 6t + 1 49 25 25 t = −19  15 V 3 Vậy ABCE = VDBCE 5 Chọn đáp án C.

Câu 24. Cho khối chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. a 3 6 .

B.

Hướng dẫn giải:

a3 6 .

2

C.

a3 6 .

3

D.

1 AH .SSBC .

3 Ta có AH ≤ SA ; dấu “=” xảy ra khi AS ⊥ ( SBC ) .

A

Gọi H là hình chiếu của A lên ( SBC ) ⇒ V =

1 ≤ 1 SB.SC , dấu “=” xảy ra khi SB.SC.sin SBC 2 2 SB ⊥ SC .

1 1 1 1 Khi đó, V = AH .S SBC ≤ AS ⋅ SB ⋅ SC = SA ⋅ SB ⋅ SC .

3 3 2 6 Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau.

Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là 1 a3 6 V = SA.SB.SC = .

6 6 Chọn đáp án D.

a3 6 .

6

a

S SBC =

a 3 C

S H

a 2 B

Câu 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

SC = a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF .

A. VSCEF =

2a 3 .

36

B. VSCEF =

a3 .

18

C. VSCEF =

a3 .

36

D. VSCEF =

2a 3 .

12

Trang 77

Hướng dẫn giải: Từ C hạ CF ⊥ SB, ( F ∈ SB ) , CE ⊥ SA, ( E ∈ SA)

 AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ ( SAC ) ⇒ AB ⊥ CE  Ta có  AB ⊥ SC

S

⇒ CE ⊥ ( SAB ) ⇒ CE ⊥ SB

F

Vậy mặt phẳng qua C và vuông góc SB là mặt ( CEF ) .

a

V SE SF .

Ta có SCEF = VSCAB SA SB Tam giác vuông SAC vuông tại C ta có:

SA = SC 2 + AC 2 = a 2

E C

B a

SE SC 2 a2 SE 1 = 2 = 2 ⇒ = và SA SA SA 2 2a Tam giác vuông SBC vuông tại C ta có:

a

A

SB = SC 2 + BC 2 = a 3 SF SC 2 a2 SF 1 = = ⇒ = 2 2 SB SB SC 3 3a V 1 1 1 1 1 1 1 3 a .

Do đó SCEF = . = ⇒ VSCEF = VSABC = . SA.S ABC = 6 6 3 36 VSCAB 2 3 6 Chọn đáp án C. và

II – HÌNH LĂNG TRỤ

Câu 24. Một hình hộp có 6 mặt đều là các hình thoi có góc bằng 600 và cạnh bằng a. Tính thể tích của hình hộp đó.

C' D' a3 2a 3 B. A. 2 2 3 600 2a 2 2a 3 A' B' C. D. 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: AB = AD = BD = a; AA’ = A’B = A’D = a ⇒ A’ABCD là tứ diện đều ⇒ Chân đường cao A’H trùng với tâm của ∆ ABD D C 2 2 a 3 a 3 ⇒ HA = HB = HD = AO = = O 3 3 2 3 600 600 2 2 3a 6a H 2 = ⇒ A’H2 = AA’2 – AH2 = a 9 9 A B a 2a 3 a 6 Từ đó tìm được V = ⇒ A’H = 3 2 Chọn đáp án B. Câu 25. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C ′B ′ và C ′D′ . Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich khối chứa điểm A′ và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó

V1 là V2

Trang 78

A.

25 .

47

B. 1.

C.

Hướng dẫn giải: Đường thẳng EF cắt A′D′ tại N , cắt A′B′ tại M , AN cắt DD′ tại P , AM cắt BB′ tại Q .

17 .

25

D.

8 .

17

Từ đó mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lăng trụ thành hai khối đó là ABCDC′QEFP và

AQEFPB′A′D′ .

Gọi V = VABCD. A′B′C ′D′ , V3 = VA. A′MN ,

V4 = VPFD′N , V4 = VQMB′E .

Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có V4 = V5 .

1 1 3a 3a 3a3 1 1 a a a a3 ′ ′ ′ ′ ′ ′ V3 = AA . A M . A N = a. . = , V4 = PD .D F .D N = . . . = 6 6 2 2 8 6 6 3 2 2 72 3 3 25a 47a V 25 V1 = V3 − 2V4 = , V2 = V − V1 = . V ậy 1 = .

72 72 V2 47 Chọn đáp án A. Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ .

A. a3 2 B. 2a 3 Hướng dẫn giải: Từ A kẻ AI ⊥ BC ⇒ I là trung điểm BC AI ⊥ (BC C ′B′ ) ⇒ AI ⊥ B ′ C (1) Từ I kẻ IM ⊥ B′ C (2) Từ (1), (2) ⇒ B ′ C ⊥ (IAM) Vậy góc giữa (A B ′ C) và ( B ′ CB) là

AMI = 60 1 Ta có AI= BC = a ; 2 AI a IM= = 0 tan 60 3

.

2a

3

A'

C'

B' B' H

0

BH = 2 IM =

D. 3a

C. a 3 6

M M B

C

I

0

60

A

C

I

;

3 1 1 1 3 1 1 = − = 2− 2 = 2 2 2 2 B'B BH BC 4a 4a 2a

B

C’

B’

Suy ra BB ′ = a 2 ; 1 1 S∆ABC = AI .BC = a.2a = a 2 2 2 2 VABC A′B′C ′ = a 2.a = a 3 2

A’

Chọn đáp án A. Câu 27. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

H

M

B

C

G Trang 79 A

điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giá ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 3 a 3 a3 3 A. B. 12 6

C.

a3 3 3

D.

a3 3 24

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vuông góc với A’A. suy ra MH = d ( BC , A ' A ) =

x2 +

Đặt AH=x, ta có A ' A =

a 3 4

a2 3

a a a2 3 a3 3 = Từ A’A. MH=A’G.AM, suy ra x = . Vậy V = . .

3 3 4 12 Chọn đáp án A. Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên măt phẳng ABC trùng với tâm G của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa

(

AA ' và BC là

)

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B ' C ' .

4

a3 3 3 Hướng dẫn giải: A. V =

B. V =

a3 3 6

C. V =

a3 3 12

D. V = a

3

3

36

Gọi M là trung điểm B ⇒ BC ⊥ (A ' AM ) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của G,M trên AA’ Vậy KM là đọan vuông góc chung củaAA’và BC, do đó d(AA',BC) = KM =

∆AGH ∼ ∆AMH ⇒

⇒ GH =

KM 3 = GH 2

VABC .A ' B ' C '

A'

2 a 3 KH = 3 6

∆ AA’G vuông tại G,HG là đường cao, A ' G = a3 3 = S ABC .A ' G = 12

a 3 .

4 C'

K H

a 3

B'

A

C G

M

B

Chọn đáp án C.

Câu 29. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao cho MA = MA ' và NC = 4NC' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN

Trang 80

Hướng dẫn giải: C A + Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng (A’B’C’) là G bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’) B VGA 'B'C ' = VA.A 'B'C' Mà VA.A 'B'C' = VABB'C ' (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và ABB’ N M diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’) ⇒ VGA 'B'C' = VABB'C' C' => Không thế khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất A' → Loại B,C + So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau B' → Khối A’BCN và Khối BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN => Khối A’BCN < Khối BB’MN. => Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn.

Chọn đáp án A. nhọn.

Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A , góc BAC Góc giữa AA' và BC' là 300 , khoảng cách giữa AA' và BC' là a . Góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là 600 . Thể tích lăng trụ ABC.A' B'C' là 2a 3 3 3 Hướng dẫn giải:

A.

B.

a3 3 3

C.

a3 6 6

D.

a3 6 3

A'

= 600 Ta có góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là BAC

C'

⇒△ABC đều.

B'

(

) (

300

)

= 300 BC' = CC'; BC' = BC'C Vì AA'/ /CC' ⇒ AA'; Kẻ AI ⊥ BC ⇒ AI ⊥ ( BB'C'C )

(

)

d ( AA'; BC' ) = d AA'; ( BB'C'C ) = AI = a ⇒ BC =

2a

,CC' =

3 Chọn đáp án A.

BC 1 2a 2a 3 3 = ⇒ = = 2a V 2a. .a.

ABC.A ' B' C ' 2 3 tan 300 3

A

600

C I B

Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .

AM A'N 1 Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho = = .

AB ' A 'C 3 C' Tính thể tích V của khối BMNC’C. A' 2a 3 6 3a 3 6 a3 6 B. C. 108 27 108 Hướng dẫn giải: Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB’A’ và AA’C’C. AM 1 AM 2 Ta có: = ⇒ = (Do G trung điểm AB’).

AB ' 3 AG 3 AM 2 Xét tam giác ABA’ có AG là trung tuyến và = . Suy ra AG 3 M là trọng tâm tam giác ABA’. Do đó BM đi qua trung điểm I của AA’.

A.

D.

a3 6 27

N K

I

M

B'

G

C

A H

Trang 81 B

A'N 1 A'N 2 = ⇒ = (Do K là trung điểm A’C).

A 'C 3 A'K 3 A'N 2 Xét tam giác AA’C’ có A’K là trung tuyến và = . Suy ra N là trọng tâm của tam giác A'K 3 AA’C’. Do đó C’N đi qua trung điểm I của AA’.

Từ M là trọng tâm tam giác ABA’ và N là trọng tâm của tam giác AA’C’. Suy ra: IM IN 1 = = .

IB IC ' 3 Gọi V1 ; V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; IBCC’. Ta có:

Ta có:

V1

1 IM IN IC 8 = . Mà V1 +V = V2 . Suy ra V = V2 . . .

9 9 V2 IB IC ' IC Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC. Ta được AH vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C). AA’ song song với mặt phẳng (BB 'C 'C ) nên khoẳng cách từ I đến mặt phẳng (BB’C’C) bằng khoẳng =

cách từ A đến (BB’C’C) và bằng AH. Ta có: AH =

a 3 .

2

1  1 a 3 a2 2 a3 6 8 2a 3 6 . Suy ra V = V2 = . .d I ; (BB 'C 'C ) .S ∆BCC ' = . . =  3  3 2 2 12 9 27 Chọn đáp án B. V2 =

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có khoảng cách giữa A ' C và C ' D ' là 1 cm. Thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là: B. 2 2 cm3 .

C. 3 3 cm 3 .

D. 27 cm 3 .

A. 8 cm 3 .

Hướng dẫn giải: Để tìm khoảng cách giữa A’C và C’D’, ta dựng một mặt phẳng chứa A’C và song song với C’D’.

Dễ thấy đó là mặt phẳng (CA’B’).

Gọi a là độ dài cạnh của khối lập phương, lúc này ta có:

d ( C ' D ', A ' C ) = d C ' D ', ( CA ' B ' )  = d  D ', ( CA ' B ' )  Để tính khoảng cách từ điểm D’ đến mặt phẳng (CA’B’), ta xét khối tứ diện D’CA’B’.

1 1 a2 a3 VD ' CA ' B ' = .CC '.S B ' A ' D ' = .a. = cm 3 ) ( 3 3 2 6 1 1 2 2 a ( cm 2 ) (do tam giác SCA ' B ' = .CB'. B'A' = .a 2.a = 2 2 2 CA’B’ vuông tại B’)

3V

Suy ra: d  D ', ( CA ' B ' )  = D ' CA ' B ' SCA' B '

a3 2 = 2 = a ( cm ) ⇒ a = 2 (cm).

2 2 2 a 2

Do đó V = a 3 = 2 2 cm3 Chọn đáp án B.

Câu 33. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là V1, V2 ( Trong đó V V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F = 1 .

V2 Trang 82

A.

7 .

17

B. 1.

C.

17 .

25

Hướng dẫn giải: *Gọi N là trung điể A’D’. Khi đó (P)≡BDNM).

Thấy BM∩DN∩AA’=I. Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1. (Với V là thể tích hình hộp) 1 V ( IA ' MN ) S ( AMN ) * Ta có: = = V ( AA'B'D') S ( A ' B ' D ') 4 1 V (AA'B'D') 1 = nên có: V ( IA ' MN ) = V * Mà: V 6 24 V ( IA ' MN ) IA '.IM .IN 1 * Lại có: = = 8 V ( IABD ) IA.IB.ID 1 *Vậy: V ( IABD) = V 3 1 1 7 17 * Do đó: V1 = V − V = V nên V2 = V − V1 = V . Vậy: 3 24 24 24 V1 7 = V2 17 Chọn đáp án A.

D.

8 .

17

I

D'

C'

N M

A'

B'

D C

A

B

Câu 34. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

49 25 8 A. .

B. 1.

C. .

D. .

47 17 95

Hướng dẫn giải:

Chứng minh EI = IJ = JF. Từ đó suy ra

E

EB EM FA ' 1 FN 1 = = = . Lại từ đó suy ra = .

EB ' EK FB ' 3 FK 2

EB 1 = nên suy ra d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h là chiều EB ' 3

cao lăng trụ).

Do đó VEKFB’ = (3/8)V (V là thể tích lăng trụ) .

B M

Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B'. Suy ra SKFB’ = (3/4)SA’B’C’.

Mặt khác vì

I

A

C J

F

A'

B' N

K C'

VEBIM EI EM EB 1 1 1 1 1 3 1 = . . = . . = nên VEBIM = . V = V .

VEB ' FK EF EK EB ' 3 3 3 27 27 8 72 VFA ' JN FJ FA ' FN 1 1 1 1 1 3 1 = = . . = . . nên VFA’JN = . V = V .

18 8 48 VFB ' EK FE FB ' FK 3 3 2 18

Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần chứa điểm B' và V2 là thể tích phần chứa điểm C. Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V. 49 Do đó V1/V2 = .

95

Chọn đáp án C.

Trang 83

Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

4 a3 3 a3 3 B. V = .

C. V = .

12 3

a3 3 .

24 Hướng dẫn giải: M là trung điểm của BC thì BC ⊥ ( AA′M ) .

Gọi MH là đường cao của tam giác A′AM thì MH ⊥ A′A và HM ⊥ BC nên HM là khoảng cách AA′ và BC .

A. V =

a 3 a 3 Ta có A′A.HM = A′G.AM ⇔ . A′A = 4 2

D. V =

a3 3 .

6

A

C

H

a2 A′A − 3

B

2

4a 2 3a 2 a − = . Đường cao của lăng trụ là A′G = 9 9 3

A

C G

a 3a 2 a3 3 = .

Thể tích VLT = .

3 4 12 Chọn đáp án B.

M

B

Câu 36. Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 3 3 9 a . a .

A. V = B. V = C. V = a 3 .

D. a 3 .

8 4 2 4 Hướng dẫn giải: A'

F'

Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° .

ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .

B'

E'

2

1 a 3 S ABC = S DEF = a.a.sin120° = 2 4 2

C'

AC = AB + BC − 2. AB.BC.cos B  1 = a 2 + a 2 − 2.a.a.  −  = a 3  2

D' A

2

F

B

E

H

S ACDF = AC. AF = a 3.a = a 2 3 S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF

a2 3 a 2 3 3a 2 3 = + a2 3 + = 4 4 2

C

D

a 3

B ' BH = 60° ⇒ B ' H = BB '.sin 60° = 2 V = BH '.SABCDEF = a 3.

3a2 3 9 3 = a 4 4

Chọn đáp án D.

Trang 84

MŨ - LÔ GARIT Câu 1. Cho phương trình 5x

2

A. m > 0

+ 2 mx + 2

− 52 x

2

+ 4 mx + 2

− x 2 − 2mx − m = 0 . Tìm m để phương trình vô nghiệm?

B. m < 1

m > 1

C. 0 < m < 1

D.  m < 0

Hướng dẫn giải: +Phương trình tương đương: 5x

2

+2 mx +2

+ ( x2 + 2mx + 2) = 52 x

2

+4 mx +2

+ (2x2 + 4mx + 2)

2 2 + Do hàm f(t)=5t + t đồng biến trên R nên ta có: ( x + 2mx + 2) = (2 x + 4mx + 2) + Từ đó điều kiện để pt vô nghiệm là C. Chọn đáp án C.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 − x 2 ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 .

3

−1 < m < 0.

A. 4 Hướng dẫn

B. 5 ≤ m ≤

21 .

4

C. 5 < m <

21 .

4

D.

−1 ≤ m ≤ 2.

4

1 − x 2 > 0  x ∈ ( −1;1) ⇔ giải: log3 (1 − x ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 ⇔   2 2 log3 (1 − x ) = log3 ( x + m − 4) 1 − x = x + m − 4 3 2 Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) = x + x + m − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ∈ ( −1;1) Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm thỏa: −1 < x1 < x2 < 1 2

 a. f ( −1) > 0  m − 5 > 0  a. f (1) > 0 21  ⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 3 > 0 ⇔ 5 < m < .

4  21 − 4m > 0   −1 < S < 1  2 Cách 2: Dùng đạo hàm Xét hàm số f ( x ) = x 2 + x − 5 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = −

21  1 Có f  −  = − ; f (1) = −3; f ( −1) = −5 4  2 Ta có bảng biến thiên x −1 –

f ′( x) f ( x)

−5

−

1 2

1

1 2

0

+

21 − 4

3

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng ( −1;1) khi

21 21 < −m < −5 ⇒ > m >5.

4 4 Cách 3: Dùng MTCT

−

Trang 85

Sau khi đưa về phương trình x 2 + x + m − 5 = 0 , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi m = −0, 2 : không thỏa ⇒ loại A, D. * Giải khi m = 5 : không thỏa ⇒ loại B. Chọn đáp án C.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là ( −∞;0] :

(

m 2 x +1 + ( 2m + 1) 3 − 5

x

) + (3 + 5 )

x

< 0.

1 1 A. m ≤ − .

B. m ≤ .

2 2 Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương x

C. m <

x

1 .

2

1 D. m < − .

2

x

 3− 5   3+ 5   3+ 5  2m + ( 2m + 1)   +   < 0 (1) . Đặt t =     > 0 ta được:  2   2   2  1 2m + ( 2m + 1) + t < 0 ⇔ f ( t ) = t 2 + 2mt + 2m + 1 < 0 ( 2 ) . Bất phương trình (1) nghiệm đúng t ∀x ≤ 0 nên bất phương trình ( 2 ) có nghiệm 0 < t ≤ 1 , suy ra phương trình f ( t ) = 0 có 2 nghiệm  f ( 0 ) ≤ 0 2m + 1 ≤ 0 1  m ≤ −0,5 t1 , t2 thỏa t1 ≤ 0 < 1 < t2 ⇔  ⇔ . Vậy m < − thỏa mãn ⇔ 2  4m + 2 < 0  m < −0,5  f (1) < 0 Chọn đáp án C. Câu 4. Tính giá trị của biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + ... + ln ( tan89°) .

1 B. P = .

2

A. P = 1.

C. P = 0.

D. P = 2.

Hướng dẫn giải: P = ln ( tan1° ) + ln ( tan 2° ) + ln ( tan 3° ) + ... + ln ( tan 89° ) = ln ( tan1°.tan 2°.tan 3°...tan 89° )

= ln ( tan1°.tan 2°.tan 3°...tan 45°.cot 44°.cot 43°...cot1° )

= ln ( tan 45°) = ln1 = 0. (vì tan α.cot α = 1 ) Chọn đáp án C. Câu 5. Cho phương trình : m.2 x A.

−1 < m < 0.

4

2

2

+ 21− x = 2.26−5 x + m(1) . Tìm m để PT có 4 nghiệm phân biệt. 0 < m < 2.

21 −1  ≤ m ≤ 2.

B. 5 ≤ m ≤ .

C.  D. 1 1 4 4  m ≠ 8 , m ≠ 256 −5 x + 6

Hướng dẫn giải: Viết lại PT (1) dưới dạng :

m.2 x

2

−5 x +6

2

+ 21− x = 2.26−5 x + m ⇔ m.2 x

x2 −5 x +6

1− x 2

x 2 −5 x + 6

2

−5 x + 6

2

+ 21− x = 2( x

2

−5 x + 6) +(1− x 2 )

+m

1− x 2

⇔ m.2 +2 =2 .2 + m 2 u = 2 x −5 x +6 , u, v > 0 . Khi đó PT tương đương với : Đặt :  1− x 2 v = 2

Trang 86

x = 3  2 x 2 −5 x + 6 = 1  u = 1 mu + v = uv + m ⇔ (u − 1)(v − m) = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 2 1− x =m v = m  2  21− x2 = m(*)  Để (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

m > 0 m > 0 (*) ⇔  . Khi đó điều kiện là : ⇔  2 2 1 − x = log2 m  x = 1 − log2 m m > 0  m > 0 m < 2  1 log 0 − m > 1 1    2 ⇔ m ≠ 1 ⇔ m ∈ (0;2) \  ;    8 256  8 1 − log2 m ≠ 4  1 − log m ≠ 9  1 2  m ≠ 256  1 1  Vậy với m ∈ (0;2) \  ;  thỏa điều kiện đề bài.  8 256  Chọn đáp án C. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32 x − ( m + 2) .log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2 = 27 4 A. m = 3 Hướng dẫn giải:

B. m = 25

C. m =

28 3

D. m = 1

2

( log3 x ) − ( m + 2 ) .log3 x + 3m − 1 = 0 (1) Đặt log 3 x = t 2

Phương trình trở thành: t − ( m + 2) t + 3m − 1 = 0 ( 2) Phương trình (1) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt.

2

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 3m − 1) = m2 − 8m + 8 > 0 (đúng) Gọi t1 , t2 là 2 nghiệm của phương trình (2)

⇒ x1 = 3t1 , x2 = 3t2 ⇒ 3t1 3t2 = 27 ⇔ t1 + t2 = 3 Theo Vi-et: t1 + t2 = m + 2 . Suy ra m = 1 Chọn đáp án D.

Câu 7. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x

2

+ y2 + 2

( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy

nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .

( C. ( A.

) 2)

2

B. 10 − 2 và 10 + 2 .

10 − 2 .

10 −

2

và

(

)

2

10 + 2 .

D. 10 − 2 .

Hướng dẫn giải: Ta có log x + y + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 6 ≤ 0 (1) .

2

2

Trang 87

Giả sử M ( x; y ) thỏa mãn pt (1) , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn ( C1 ) tâm I ( 2;2) bán kính R1 = 2 .

Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0 . Nên dễ thấy x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 là phương trình đường tròn ( C2 ) tâm J ( −1;1) bán kính R2 = m .

Vậy để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) thỏa đề khi chỉ khi ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngoài ⇔ IJ = R1 + R2 ⇔ 10 = m + 2 ⇔ m =

(

)

2

10 − 2 .

Chọn đáp án A. Câu 8. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho log a 2019 + 22 l o g a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019 A. n=2017 Hướng dẫn giải: log a 2019 + 2 2 l o g

B. n=2018 a

C. n=2019

D. n=2016

2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019

⇔ log a 2019 + 23 l o g a 2019 + 33 log a 2019 + ... + n3 log a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019 ⇔ (13 + 23 + 33 + ... + n3 ) log a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019 2

 n( n + 1)   2016.2017  ⇔  =  2  2    ⇔ n = 2017 Chọn đáp án A.

Câu 9. Phương trình log

2

( mx − 6x ) + 2log ( −14x 3

2

1 2

A. m < 19

B. m > 39

2

+ 29 x − 2 ) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi: C. 19 < m <

39 2

D. 19 < m < 39

Hướng dẫn giải: log 2 mx − 6 x3 + 2log 1 −14 x 2 + 29 x − 2 = 0 ⇔ log 2 mx − 6 x3 − log 2 −14 x 2 + 29 x − 2 = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

2

6 x 3 − 14 x 2 + 29 x − 2 ⇔ mx − 6 x = −14 x + 29 x − 2 ⇔ m = x 6 x3 − 14 x 2 + 29 x − 2 2 f ( x) = ⇔ f ′ ( x ) = 12 x − 14 + 2 x x   x = 1 ⇒ f (1) = 19   1  1  39 f ′( x) = 0 ⇔  x = ⇒ f   = 2 2 2   1  1  121 x = − ⇒ f  −  = 3 3  3  Lập bảng biến thiên suy ra đáp án Chọn đáp án C. 3

2

Trang 88

Câu 10. Biết phương trình log5

 x 2 x +1 1  x = a + b 2 trong = 2log3  −  2 2 x  có nghiệm duy nhất x  

đó a, b là các số nguyên. Tính a + b ?

A. 5 B. −1 C. 1 Hướng dẫn giải:  x 2 x +1 1  2 x +1 x −1 log5 = 2log 3  − = 2log3  ⇔ log5  x x 2 x  2 2 x x > 0 Đk:  ⇔ x >1 x −1 > 0

( ⇔ log ( 2

) x + 1) + log 4 x = log

D. 2

Pt ⇔ log5 2 x + 1 − log5 x = log 3 ( x − 1) 2 − log 3 4 x 5

3

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ 4 x = ( t − 1)

5

x + log3 ( x − 1)2 (1)

2

(1) có dạng log5 t + log3 (t − 1)2 = log5 x + log3 ( x − 1)2 (2) Xét f ( y ) = log 5 y + log3 ( y − 1)2 , do x > 1 ⇒ t > 3 ⇒ y > 1 .

1 1 + .2( y − 1) > 0 Xét y > 1 : f '( y ) = y ln 5 ( y − 1)2 ln 3

⇒ f ( y) là hàm đồng biến trên miền (1; +∞ ) (2) có dạng f (t ) = f ( x) ⇔ t = x ⇔ x = 2 x + 1 ⇔ x − 2 x − 1 = 0  x =1+ 2 ⇔ ⇔ x = 3 + 2 2 (tm) .  x = 1 − 2 (vn) Chọn đáp án C.

Câu 11. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm : A. 1 nghiệm

2

log 4 ( x + 1) + 2 = log

B. 2 nghiệm

2

4 − x + log 8 ( 4 + x )

C. 3 nghiệm

3

D. Vô nghiệm

Hướng dẫn giải: 2

log 4 ( x + 1) + 2 = log

2

4 − x + log8 ( 4 + x )

3

x + 1 ≠ 0 −4 < x < 4  (2) Điều kiện:  4 − x > 0 ⇔   x ≠ −1  4 + x > 0

(2) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 (16 − x 2 ) ⇔ log 2 4 x + 1 = log 2 (16 − x 2 ) ⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2

x = 2 + Với −1 < x < 4 ta có phương trình x 2 + 4 x − 12 = 0 (3) ; (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i )  x = 2 − 24 + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x 2 − 4 x − 20 = 0 (4); ( 4 ) ⇔   x = 2 + 24 ( lo¹i )

(

)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 2 1 − 6 ,

Chọn đáp án B.

Trang 89

(

)

Câu 12. Cho phương trình 2 − m 2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5 ) = 0 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;2 ) .

A. ℝ B. ( −2;3) C. ( 0; +∞ ) D. ( −∞;1) Hướng dẫn giải: Đặt f ( x ) = 2 − m2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5) . Do f liên tục trên ℝ nên f cũng liên tục trên đoạn

(

)

[ 0;2] .

(

)

Ta có f ( 0 ) = 2 − m 2 50 − 3.30 + m2 (15.0 − 5 ) = −6m2 − 1 < 0, ∀m .

f ( 2 ) = ( 2 − m ) 5 − 3.32 + m2 (15.2 − 5 ) = 13 > 0 .

2

2

Khi đó f ( 0) . f ( 2) < 0, ∀m .

Vậy f ( x ) = 0 có nghiệm trên khoảng ( 0;2 ) với mọi giá trị thực của m.

Chọn đáp án A. Câu 13. PHương trình log 3 x 2 + x + 1 = x ( 2 − x ) + log 3 x có bao nhiêu nghiệm

(

A. 1 nghiệm Hướng dẫn giải: điều kiện x > 0

)

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

 x2 + x + 1  2 Phương trình tương đương với log3   = 2x − x x   2

Ta có 2 x − x 2 = 1 − ( x − 1) ≤ 1 2    x2 + x + 1  1  1   + 3  ≥ log 3 3 = 1 Và log 3   = log 3  x + + 1 = log 3   x −   x x  x     

( x − 1) 2 = 0  x2 + x + 1   2 ⇔ x =1 Do đó log 3   = 2x − x ⇔  1 x x − = 0    x  Chọn đáp án A. 9x Câu 14. Cho hàm số f ( x) = x , x ∈ ℝ . Tính P = f (sin 2 10°) + f (sin 2 20°) + ..... + f (sin 2 80°) 9 +3 A. 4 B. 8 C. 9 D. 3 Hướng dẫn giải: Nếu a + b = 1 thì f ( a) + f (b) = 1 . Do đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Chọn đáp án A. Câu 15. Phương trình 33+ 3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 có tổng các nghiệm là ?

A. 0.

B. 2.

C. 3.

Hướng dẫn giải: 33+ 3x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 (7)

( 7 ) ⇔ 27.33 x + Đặt t = 3x +

27 81 1  1   + 81.3x + x = 103 ⇔ 27. 33 x + 3 x  + 81. 3x + x  = 103 3x 3 3 3  3   

D. 4.

( 7′)

1 Côsi 1 ≥ 2 3x. x = 2 x 3 3

Trang 90

3

1 1 1 1 1  ⇒ t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x ⇔ 33 x + 3 x = t 3 − 3t 3  3 3 3 3  3 10 10 Khi đó: ( 7 ') ⇔ 27 ( t 3 − 3t ) + 81t = 103 ⇔ t 3 = ⇔t= > 2 (N) 27 3 10 1 10 ⇒ 3x + x = Với t = ( 7′′) 3 3 3 y = 3 (N) 1 10 x 2 Đặt y = 3 > 0 . Khi đó: ( 7′′ ) ⇔ y + = ⇔ 3 y − 10 y + 3 = 0 ⇔  y = 1 (N ) y 3  3 3

Với y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1 1 1 Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = −1 3 3 Chọn đáp án A.

Câu 16. Gọi x 1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. ( x1 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

(

) (

5 −1 +

)

5 + 1 = 5.2

 5 −1 Nhận xét:   2   

x

)

x

5 + 1 = 5.2 x −1 . Trong các

D. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1) x

x

x

) (

5 −1 +

B. ( x2 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

C. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,0) = ( −1,0) Hướng dẫn giải: x

(

x −1

x

 5 −1  5 +1 5 ⇔ + = (1) .  2   2  2     x

x

 5 +1  5 −1  5 +1 x   = 1 = 1 ⇒   =    2   2   2 

−x

x

 5 −1 1 5 1 + Đặt t =  > 0, (1) ⇔ t + = ⇒ x1 = log 5 −1 2, x2 = log 5 −1 .  2  2 t 2   2 2 Câu 17. Phương trình 1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Giải phương trình: 1 + log 9 x − 3log9 x = log3 x − 1 . Điều kiện xác định: x ≥ 1

1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 ⇔ 1 + log 9 x − 3log 9 x = 2log 9 x − 1 ⇔ 1 − 2log 9 x = ( 2log 9 x − 1)

( 2log 9 x − 1) (

(

)

1 + log 9 x + 3 log 9 x ⇔

)

1 + log 9 x + 3 log 9 x + 1 = 0

⇔ 2log 9 x = 1 vì: 1 + log 9 x + 3log9 x + 1 > 0 ⇔ x = 3.

Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3.

Chọn đáp án B.

Câu 18. Tìm m để bất phương trình 1 + log5 ( x 2 + 1) ≥ log5 ( mx 2 + 4 x + m ) thoã mãn với mọi x ∈ ℝ .

A. −1 < m ≤ 0 .

B. −1 < m < 0 .

C. 2 < m ≤ 3 .

D. 2 < m < 3 .

Hướng dẫn giải:

Trang 91

mx 2 + 4 x + m > 0 ( ∀x ∈ ℝ ) ⇔ BPT thoã mãn với mọi x ∈ ℝ .⇔  2 2 ( ) 5 x + 1 ≥ mx + 4 x + m  m > 0  m > 0   m < −2  2  m > 2 mx 2 + 4 x + m > 0 16 − 4m < 0 ( ) ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ ⇔ 2 < m ≤ 3.  2 ( 5 − m ) x − 4 x + 5 − m ≥ 0 m < 5 5 − m > 0 2 m ≤ 3  16 − 4 ( 5 − m ) ≤ 0    m ≥ 7 Chọn đáp án C. Câu 19. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 x = 3 y = 6− z . Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A. 0 B. 1 C. 6 D. 3 Hướng dẫn giải: Khi một trong ba số x, y, z bằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Khi đó M=0 1

1

Khi x, y , z ≠ 0 ta đặt 2 x = 3 y = 6− z = k suy ra 2 = k x , 3 = k y , 6 = k 1

1

Do 2.3=6 nên k x .k y = k

−

1 z

hay

−

1 z

.

1 1 1 + =− x y z

Từ đó suy ra M=0 Chọn đáp án A. Câu 20. Cho a log 6 3 + b log 6 2 + c log 6 5 = 5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. Các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. a = b

B. a > b

C. b > a

D. c > a > b

Hướng dẫn giải: ⇔ log 6 3a 2b 5c = 5

⇔ 3a.2b.5c = 65 = 35.25.50 a = b = 5 Do a, b, c là các số hữu tỷ nên  c = 0 Chọn đáp án A.

Câu 21. Với a > 0, a ≠ 1 , cho biết : t = a A. u = a

−1 1− log a v

B. u = a

1 1− log a u

1 1+ log a t

;v=a

1 1− log a t

. Chọn khẳng định đúng : 1

C. u = a 1+ log a v

1

D. u = a 1− log a v

Hướng dẫn giải: 1 1 .log a a = 1 − log a u 1 − log a u 1 − log a u 1 1 1 log a v = .log a a = = = 1 − log a u 1 − log a t 1 − log a t 1 − 1 − log a u

Từ giả thiết suy ra: log a t =

1

⇔ − log a v log a u = 1 − log a u ⇔ log a u (1 − log a v) = 1 ⇔ log a u =

1 ⇔ u = a 1−loga v 1 − log a v

Chọn đáp án D.

Trang 92

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình m.2 3 nghiệm phân biệt.

A. 1 B. 2 C. 3 Hướng dẫn giải:

(

Pt ⇔ m 2 x

2

−5 x − 6

)

2

(

− 1 + 21− x 1 − 2 x

2

−5 x − 6

) ⇔ (2

x 2 −5 x −6

x2 −5 x + 6

)(

2

+ 21− x = 2.26 −5 x + m có D. 4

2

)

− 1 m − 21− x = 0

x = 2  2 x −5 x +6 − 2 = 0  ⇔ ⇔ x = 3  21− x = m  1− x = m ( *)  2 TH1: (*) có nghiệm duy nhất ( nghiệm x =0) ⇒ m = 2.

TH2: (*) Có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3 2

2

2

⇒ m = 2−3.

TH3: (*) Có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác 2

⇒ m = 2−8.

Vậy, có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Câu

23.

Tìm tất

cả

các

giá

trị

thực

của

tham

số

để

m

phương

trình

log 22 x + log 1 x 2 − 3 = m (log 4 x 2 − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞) ?

2

(

A. m ∈ 1; 3  .  Hướng dẫn giải:

)

B. m ∈ 1; 3 . 

)

(

C. m ∈ −1; 3 . 

Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình tương đương:

D. m ∈ − 3;1 . 

log 22 x − 2 log 2 x − 3 = m (log 2 x − 3) .

Đặt t = log 2 x với x ≥ 32 ⇒ log 2 x ≥ log 2 32 = 5 hay t ≥ 5.

t 2 − 2 t − 3 = m (t − 3) (*) .

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5 ” Phương trình có dạng

Với t ≥ 5 thì (*) ⇔ (t − 3). (t + 1) = m (t − 3) ⇔ t − 3.

⇔ t +1 − m t − 3 = 0 ⇔ m =

(

)

t +1 − m t − 3 = 0

t +1 t −3

4 t +1 4 4 . Với t ≥ 5 ⇒ 1 < 1 + ≤1+ = 3 hay = 1+ t −3 t −3 t −3 5−3 t +1 t +1 1< ≤ 3 ⇒1< ≤ 3 t −3 t −3 suy ra 1 < m ≤ 3. Vậy phương trình có nghiệm với 1 < m ≤ 3.

Chọn đáp án A. Ta có

Câu 24. Tập các giá trị của m để bất phương trình A. (−∞;1] Hướng dẫn giải:

log 22 x − 1

≥ m nghiệm đúng với mọi x > 0 bằng

C. ( −5; 2 )

B. [1; +∞)

Đặt t = log 22 x ( t > 1) . Khi đó ta có

log 22 x

D. [0;3)

t ≥ m ( *) t −1

Trang 93

Bất phương trình ban đầu có nghiệm với mọi x > 0 ⇔ (*) nghiệm đúng với mọi t > 1 t trên (1; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t −1 t −2 f ' (t ) = , f '(t ) = 0 ⇔ t = 2 3 t −1

(

)

lim f ( t ) = +∞

t →+∞

lim f ( t ) = +∞ t →1

BBT 2

1

t

+∞

0

f'(t) +∞

+∞

f(t)

1

Từ BBT ta có kết luận bất phương trình có nghiệm với mọi t > 1 ⇔ m ≤ 1 Chọn đáp án A.

Câu 25. Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) . Tìm giá trị của

4 8 1 1 B. C. 1 + 3 D. 1 + 5 3 5 2 2 Hướng dẫn giải: Đặt: t = log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) thì: p = 9t , q = 12t , 16t = p + q = 9t + 12t (1)

(

A.

2t

)

t

(

p q

)

t

4 4 4 q Chia hai vế của (1) cho 9t ta được:   = 1 +   , đặt x =   = > 0 đưa về phương trình: 3 3 p     3 1 q 1 x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 + 5 do x > 0 , suy ra = 1 + 5 .

2 p 2 Chọn đáp án D. 2 Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9 x − 2 + 3x + x − .32 x +1 ≥ 0 là 3 A. S = [1; +∞ ) ∪ {0} .

B. S = [1; +∞ ) .

C. S = [ 0; +∞ ) .

D. S = [ 2; +∞ ) ∪ {0}.

(

)

(

)

Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≥ 0.

9x 2 x x 2 BPT đã cho ⇔ 81. + 3 .3 − .3.3 81 3 x x x x ⇔ 3 −3 3 + 2.3 ≥ 0

(

)(

x

≥ 0 ⇔ 32 x + 3x.3 x − 2.32

x

≥0

)

⇔ 3x − 3 x ≥ 0 (vì 3x + 2.3 x > 0, ∀x ≥ 0. )  x ≥1 x ≥ 1 ⇔ x≥ x ⇔ ⇔ x = 0  x ≤ 0 Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là S = [1; +∞ ) ∪ {0} . ⇔ 3x ≥ 3

x

Chọn đáp án A. Câu 27. Cho

( un ) là cấp số nhân với số hạng tổng quát un > 0; un ≠ 1 . Khi đó khẳng định nào sau

đây là đúng?

Trang 94

A.

log u 2017 k −1

log u 2017

=

k +1

B.

log u 2017 k +1

log u 2017

C.

k −1

log u 2017

=

log u 2017 k −1

log u 2017

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

=

k +1

D.

k −1

k

k −1

log u 2017

log u 2017 − log u 2017

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

=

k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

log u 2017 − log u 2017 k +1

k

Hướng dẫn giải: Vì un là cấp số nhân nên

uk2 = uk −1 .uk +1 ⇒ 2log 2017 uk = log 2017 uk −1 + log 2017 uk +1

( )

⇒

1 1 1 1 − = − logu 2017 log u 2017 logu 2017 log u 2017 k −1

k

⇔

logu 2017 k −1

log u 2017 Chọn đáp án A. k +1

=

k +1

k

log u 2017 − log u 2017 k −1

k

log u 2017 − logu 2017 k +1

k

(

)

Câu 28. Số nghiệm của phương trình log 3 x 2 − 2 x = log 5 x 2 − 2 x + 2 là A. 3.

Hướng dẫn giải: ĐK: x ≠ 0; x ≠ 2 .

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Đặt t = x2 − 2 x ⇒ x2 − 2 x + 2 = t + 2 ⇒ log3 t = log5 ( t + 2) . log 3 t = u  t = 3u ⇒ 5u − 2 = 3u Đặt log3 t = log5 ( t + 2) = u ,  ⇒ u log 5 ( t + 2 ) = u t + 2 = 5 5u + 3u = 2 (1) 5u − 2 = 3u 5u + 3u = 2  u u . ⇒ u ⇒  3  ⇒ u 1 u u 5 − 2 = − 3 3 + 2 = 5 2 1 (2) + =      5  5  u u Xét (1) : 5 + 3 = 2

Ta thấy u = 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 0 là duy nhất.

Với u = 0 ⇒ t = −1 ⇒ x2 − 2 x + 1 = 0 , phương trình này vô nghiệm. u

u

 3 1 Xét ( 2 ) :   + 2   = 1 5 5 Ta thấy u = 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 1 là duy nhất.

Với u = 0 ⇒ t = 3 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x ≠ 0; x ≠ 2 .

Chọn đáp án B.

Trang 95

1+

Câu 29. Cho f ( x ) = e

1

x2

+

1

( x +1)2

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

m tối giản. Tính m − n2 . n A. m − n 2 = 2018 .

B. m − n 2 = −2018 .

Hướng dẫn giải:

m n

với m, n là các số tự

nhiên và

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

Xét các số thực x > 0 1 1 Ta có : 1 + 2 + = 2 x ( x + 1)

(x

2

+ x + 1)

x 2 ( x + 1)

Vậy, f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

2

2

=

1 1 1 x2 + x + 1 . = 1+ = 1+ − 2 x +x x ( x + 1) x x +1

1 1   1 1  1 1  1 1  −  1+ −  + 1+ −  + 1+ −  +…+ + 1+   1 2  2 3  3 4  2017 2018 

=e

2018 −

1 2018

=e

20182 −1 2018

,

2

hay

m 2018 − 1 = n 2018

20182 − 1 Ta chứng minh là phân số tối giản.

2018 Giả sử d là ước chung của 20182 − 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy ra 1⋮ d ⇔ d = ±1 20182 − 1 Suy ra là phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 .

2018 Vậy m − n 2 = −1 .

Chọn đáp án D. Câu 30. Hỏi phương trình 3.2 x + 4.3x + 5.4x = 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải: x

x

x

2 3 4 pt ⇔ 3.  + 4.  + 5.  − 6 = 0 5 5 5 x

x

x

2  3 4 Xét hàm số f ( x ) = 3.  + 4.  + 5.  − 6 liên tục trên ℝ . 5 5 5 x

x

x

2 3 4 2 3  4 Ta có: f ′ ( x ) = 3 ⋅   ⋅ ln + 4 ⋅   ⋅ ln + 5 ⋅   ⋅ ln < 0, ∀x ∈ ℝ 5 5 5 5 5 5 Do đó hàm số luôn nghịch biến trên ℝ mà f ( 0) = 6 > 0 , f ( 2) = −22 < 0 nên phương trình

f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án C. Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 9x − 2 ( m + 1) .3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

A. m tùy ý.

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3x , t > 0

4 B. m ≠ − .

3

2 ycbt ⇔ t − 2 ( m + 1) t − 3 − 2m > 0, ∀t > 0 ⇔ m <

3 C. m < − .

2

3 D. m ≤ − .

2

1 t 2 − 2t − 3 , ∀t > 0 ⇔ m < ( t + 3) , ∀t > 0 2t + 2 2 Trang 96

1 1 ( t + 3) , f ′ ( t ) = > 0, ∀t > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên ( 0, +∞ ) 2 2 3 Vậy ycbt ⇔ m < f ( t ) , ∀t > 0 ⇔ m ≤ f ( 0 ) = − .

2 Chọn đáp án D.

f (t ) =

Câu 32. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 4 x bốn nghiệm phân biệt.

A. ( −∞;1) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

C. [ 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải:

2

− 2 x +1

− m.2 x

2

−2 x+2

+ 3m − 2 = 0 có

D. ( 2; +∞ ) .

2

Đặt t = 2( x −1) ( t ≥ 1) Phương trình có dạng: t 2 − 2mt + 3m − 2 = 0 (*) Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

 m 2 − 3m + 2 > 0 m 2 − 3m + 2 > 0 m 2 − 3m + 2 > 0  ⇔ ⇔ ⇔ m − 1 ≥ 0 ⇔m>2 2 2 3 2 1 = ± − + > x m m m 3 2 1 m − m + < m −   2 2   1,2  m − 3m + 2 < m − 2m + 1 Chọn đáp án D. Câu 33. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x 2 + y ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= x+ y A. P = 6 .

B. P = 2 2 + 3 .

Hướng dẫn giải: Từ ln x + ln y ≥ ln x 2 + y ⇔ xy ≥ x 2 + y . Ta xét:

(

C. P = 2 + 3 2 .

D. P = 17 + 3 .

)

Nếu 0 < x ≤ 1 thì y ≥ xy ≥ x 2 + y ⇔ 0 ≥ x 2 mâu thuẫn.

Nếu x > 1 thì xy ≥ x 2 + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x 2 ⇔ y ≥

x2 x2 . V ậy P = x + y ≥ x + . x −1 x −1

x2 xét trên (1; +∞ ) . x −1  2− 2 x= (loai )  2 2x − 4x + 1 2  =0⇔ Có f ' ( x ) = 2 x − 2x + 1  2+ 2 (nhan) x =  2 2+ 2  Vậy min f ( x ) = f   = 2 2 + 3 .

1; + ∞ ( )  2  Chọn đáp án B. Ta có f ( x ) = x +

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình x x + x + 12 ≤ m.log 5−

4− x

3

có nghiệm.

A. m > 2 3 B. m ≥ 2 3 C. m ≥ 12 log 3 5 D. 2 ≤ m ≤ 12 log 3 5 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ∈ [ 0;4] . Ta thấy 4 − x ≤ 4 ⇒ 5 − 4 − x ≥ 3 ⇒ log 5 − 4 − x 3 > 0

Trang 97

(

)

(

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành m > f ( x ) = x x + x + 12 .log 3 5 − 4 − x Với u = x x + x + 12 ⇒ u ' =

(

)

v = log3 5 − 4 − x ⇒ v ' =

)

( *)

3 x 1 và + 2 2 x + 12 1

(

)

2 4 − x 5 − 4 − x .ln 3

Suy ra f ' ( x ) > 0; ∀x ∈ ( 0; 4 ) ⇒ f ( x ) là hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;4]

Để bất phương trình (*) có nghiệm ⇔ m ≥ min f ( x ) = f ( 0 ) = 2 3 [0;4]

Chọn đáp án A.

(

Câu 35. Tìm giá trị của a để phương trình 2 + 3

)

x

(

+ (1 − a ) 2 − 3

)

x

− 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

thỏa mãn: x1 − x2 = log 2 + 3 3 , ta có a thuộc khoảng:

A. ( −∞; −3) Hướng dẫn giải:

(

Ta có 2 + 3

B. ( −3; +∞ ) x

) (2 − 3 )

x

(

=1⇒ 2 − 3

C. ( 3; +∞ )

)

x

=

1

(2 + 3)

x

. Đặt t =

D. ( 0; +∞ ) 1

(2 + 3 )

x

( t > 0) , phương trình

1− a − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 − a = 0 (*) t Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân t1 + t2 = 4 > 0 ⇔ a <1 biệt ⇔  t1t2 = 1 − a > 0 đã cho trở thành t +

(

Ta có x1 − x2 = log 2 + 3 3 ⇔ 2 + 3

)

x1 − x2

(2 + 3) =3⇔ (2 + 3)

x1

x2

=3⇔

t1 =3 t2

Vì t1 + t2 = 4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t=3 và t=1 Khi đó 1 − a = 3.1 = 3 ⇔ a = −2 .

Chọn đáp án B.

Câu 36. Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 230 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 302 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n bằng A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 Hướng dẫn giải: - Phương pháp: Số chữ số cần dùng khi viết số A trong hệ thập phân là [ log A] + 1 với [ x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.

Tổng quát: số chữ số cần dùng khi viết số A trong hệ n-phân là [ log n A] + 1 Dựa vào 2 kết quả trên ta có m =  log 230  + 1 = [ 30 log 2] + 1 = 10 n =  log 2 302  + 1 = [ 2log 2 30] + 1 = 10

⇒ m + n = 20 Chọn đáp án B.

Trang 98

Câu 37. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a = 3 Hướng dẫn giải:

B. a = 2

C. a = 1

D. Một giá trị khác

2

2

Ta có y = x 2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5 . Đặt u = ( x + 1) khi đó ∀x ∈ [ −2;1] thì u ∈ [ 0;4] Ta

được hàm số f ( u ) = u + a − 5 . Khi đó

Max y = Max f ( u ) = Max{ f ( 0 ) , f ( 4 )} = Max { a − 5 ; a − 1 }

x∈[ −2;1]

u∈[ 0;4]

Trường hợp 1: a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ Max f ( u ) = 5 − a ≥ 2 ⇔ a = 3 u∈[0;4]

Trường hợp 2: a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ Max f ( u ) = a − 1 ≥ 2 ⇔ a = 3 u∈[ 0;4]

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y = 2 ⇔ a = 3 x∈[ −2;1]

Chọn đáp án A. Câu 38. Cho phương trình 2log3 ( cotx ) = log2 ( cos x ) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên

 π 9π  khoảng  ;  6 2  A. 4 Hướng dẫn giải:

B. 3

C. 2

D. 1

cot 2 x = 3u Điều kiện sin x > 0,cos x > 0 . Đặt u = log2 ( cos x ) khi đó  u cos x = 2 2

u 2u ) ( cos 2 x 4 u = 3 ⇔ f ( u ) =   + 4u − 1 = 0 Vì cot x = suy ra 2 2 u 1 − cos x 3 1− (2 ) 2

u

4 4 f ' ( u ) =   ln   + 4u ln 4 > 0, ∀u ∈ ℝ . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương 3 3 trình f ( u ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f ( −1) = 0 suy ra

cos x =

π 1 ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) .

2 3

π + k 2π . Khi đó phương trình nằm trong khoảng 3 π 7π  π 9π   π 9π  . Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng  ;  .  ;  là x = , x = 3 3 6 2  6 2  Chọn đáp án C. Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là x =

Câu 39. Trong các nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 x + y bằng: 9 9 A. .

B. .

4 2 Hướng dẫn giải:

C.

9 .

8

 x 2 + 2 y 2 > 1 ( I ), Bất PT ⇔ log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 ⇔  2 2 2 x + y ≥ x + 2 y Xét T= 2 x + y

D. 9.

0 < x 2 + 2 y 2 < 1 ( II ) .  2 2 0 < 2 x + y ≤ x + 2 y

Trang 99

TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 < T = 2 x + y ≤ x 2 + 2 y 2 < 1 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x 2 + 2 y 2 ≤ 2 x + y ⇔ ( x − 1) 2 + ( 2 y −

1 2 2

)2 ≤

9 . Khi đó 8

1 1 9 1  1 2 9 9 9 9 9 ( 2y − ) + ≤ (22 + ) ( x − 1) 2 + ( 2 y − ) + ≤ . + = 4 2  2 8 4 2 2 2 2 2 2  4 9 1 Suy ra : max T = ⇔ ( x; y) = (2; ) 2 2 Chọn đáp án B. a Câu 40. Xét các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log 2a ( a 2 ) + 3log b   b b A. Pmin = 19 B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15 Hướng dẫn giải: 2 x + y = 2( x − 1) +

P=

1 2

+ 3 ( log b a − 1) =

4

a (1 − log a b )   log a 2  b  Đặt t = log a b do a > b > 1 nên 0 < t < 1 4 3 + −3 P= 2 (1 − t ) t Xét f ( t ) =

4

(1 − t )

2

2

+ 3 ( log b a − 1)

3 1 + − 3 trên ( 0;1) ta thấy GTNN của f(t) là f   = 15 t  3

Chọn đáp án D.

Trang 100

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA = a 6 . Đáy ABCD là hình thang vuông 1 tại A và B, AB = BC = AD = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 2 chóp S.ECD. a 2 a 30 a 26 A. R = B. R = a 6.

C. R = D. R = . . .

2 3 2 Hướng dẫn giải: S .

Gọi H là trung điểm của CD và d là đường thẳng qua H và R vuông góc với đáy. Gọi I và R là tâm và bán kính mặt cầu K I ngoại tiếp S.CDE. Suy ra I thuộc d. Đặt IH = x.

Trong mp(ASIH) kẻ đường thẳng qua I và song song với AH cắt AS tại K. Ta có: a2 ID 2 = IH 2 + HD 2 = x 2 + .

2

IS2 = IK 2 + KS 2 = AH 2 + KS 2 = AC 2 + CH 2 + KS 2 = 2a 2 +

R x

E A

D a

H B

C

a

a2 + (a 6 − x) 2 2

a2 a2 2 6a 30a . Vậy bán kính mặt cầu bằng R = . = 2a 2 + + ( a 6 − x ) 2 ⇔ x = 2 2 3 3 Chọn đáp án C. a 3 và α là góc tạo bởi hai mặt Câu 2. Cho tứ diện ABCD với BC = a ,các cạnh còn lại đều bằng 2 phẳng ( ABC ) và ( BCD ) . Gọi I,J lần lượt là trung điểm các cạnh BC , AD . Giả sử hình cầu đường IJ Suy ra: x 2 +

kính tiếp xúc với CD. Giá trị cos α là:

A. 3 − 2 3

B. 2 3 − 3

C.

2 3 3

D.

2− 3 3

Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm IJ và F là điểm tiếp xúc giữa hình cầu đường kính IJ và đường thẳng CD. Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến CD bằng nữa độ dài IJ. a 2 Ta có AI = DI = .

2 a Vì FC và CI là hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm nên FC = CI = 2 a 3 a Tương tự ta có DJ = DF = − 2 2 Tam giác ADI cân có IJ là đường trung tuyến nên tam giác IDJ vuông tại J. a 3 −1 6− 2 α JD = Suy ra sin = sin JID = 2 = 2 DI 2 a 2 2 Do vậy cos α = 2 3 − 3 nên

(

)

Trang 101

Chọn đáp án B. Câu 3. Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN€ SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính S R = OA . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. h h A. MN = B. MN = 2 3 h h C. MN = D. MN = M 4 6 Hướng dẫn giải : Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau: O

Ta có SO = h ; OA = R . Khi đó đặt OI = MN = x .

IM SI OA.SI R.( h − x ) = ⇒ IM = = . Thể OA SO SO h πR 2 2 tích khối trụ V = πIM 2 .IH = 2 .x ( h − x ) h Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

S

Theo định lí Thales ta có

3

 2x + 2( h − x)  2x ( h − x) ≤   3   2 h h 4πR h . Dấu '' = '' xảy ra khi x = . Hay MN = .

Vậy V ≤ 27 3 3 Chọn đáp án B. Câu 4. Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy.

A

N

Q

I

B P

O

2

Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N2 ) . Cho hình

M

N

A

N1

cầu nội tiếp ( N2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của ( N2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt ( N2 ) theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải: Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ.

Gọi α là góc cần tìm.

Xét ∆AHD vuông tại H có DH = h, AH = R − r ⇒ h = 2r0 = AH .tan α = ( R − r ) tan α

N2

(1)

3

4 3 πh πr0 = 3 6 1 2 là V2 = πh ( R + r 2 + Rr ) 3

Thể tích khối cầu là V1 = Thể tích của ( N2 )

r

D

C

r0

V1 1 = ⇒ h 2 = R 2 + r 2 + Rr ( 2 ) V2 2 Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

h

α

A

O

K

H R

Trang 102 B

2

Mà h 2 = BC 2 − ( R − r ) = 4 Rr

( 3) Từ ( 2 ) , ( 3) ⇒ ( R − r ) = Rr ( 4 ) 2 2 Từ (1) , ( 3) , ( 4 ) ⇒ h2 = ( R − r ) .tan 2 α = 4 ( R − r ) (vì α 2

là góc nhọn)

⇒ tan 2 α = 4 ⇒ tan α = 2 Chọn đáp án A. Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu.

250 3π 25 2π 20 3π 250 6π A. V = B. V = C. V = D. V = 27 27 27 27 Hướng dẫn giải: 1 1 1 25 1 Ta có V = πr 2 h = πx 2 y = π 25 − y 2 y = πy − πy 3 .

3 3 3 3 3 25 1 3 Xét hàm số V = πy − πy với 0 < y < 5 .

3 3 25 5 .

Ta có V ' = π − πy 2 = 0 ⇒ y = 3 3

(

Khi đó thể tích lớn nhất là V =

Chọn đáp án A.

)

250 3π .

27

Câu 6. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

36 38 6 B. r = C. r = 2π 2 2π 2 Hướng dẫn giải: 1 3V Ta có: V = πr 2 h => h = 2 => độ dài đường sinh là: 3 πr

A. r =

4

l = h2 + r 2 = (

3V 2 81 ) + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = 2 πr πr

4

38 2π 2

D. r =

6

36 2π 2

38 + r2 2 4 πr

Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq = πrl = πr

38 38 2 + r = π + r4 π2 r 4 π2 r 2

Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi r =

6

38 .

2π 2

Chọn đáp án B. Câu 7. Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số

A.

3π + 2 . π−2

B.

3π − 2 . π−2

V1 a 2 , biết rằng ( P ) cách OO ' một khoảng bằng .

V2 2 2π + 3 2π − 3 C. .

D. . π−2 π−2

Hướng dẫn giải: Trang 103

Thể tích khối trụ V = πr 2 h = πa 2 .2a = 2πa3 .

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABB ' A ' .

Dựng lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm AB. Ta có OH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ OH =

a 2 2

a 2 = OH .

2 ⇒ ∆OAB vuông cân tại O ⇒ ABCD là hình vuông.

Từ đó suy ra: 1 1 a 3 ( π − 2) V2 = (V − VABCD . A ' B ' C ' D ' ) = 2πa 3 − ( a 2) 2 .2a = .

4 4 2 V 3π + 2 a 3 (π − 2) a 3 (3π + 2) . Suy ra 1 = .

V1 = V − V2 = 2πa 3 − = V2 π − 2 2 2 Chọn đáp án A. ⇒ AH = BH =

(

)

Câu 8. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là V 4π π V .

A. R = 3 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 2π V V π Hướng dẫn giải: V 2V + 2πR 2 V = πR 2 .h ⇒ l = h = 2 , STP = S Xq + 2Sd = 2πRl + 2πR 2 = πR R 2V V −2V + 4πR3 + 2πR 2 với R>0, f '( R) = Xét hàm số f ( R) = , f '( R) = 0 ⇔ R = 3 2 R 2π R Bảng biến thiên R V 3 0 +∞ 2π + 0 0 f , ( R)

f ( R)

+∞

Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi R =

+∞

3

V 2π

Chọn đáp án A. Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân AB=BC=a. Mặt phẳng 3 (AB’C) tạo với (BCC’B’) một góc α với tan α = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính bán kính mặt 2 cầu ngoại tiếp hình chóp B’ACM. 3 10a 3 10a 3 13a 13a A. B. C. D. 8 4 8 2

Trang 104

B'

A'

B'

A'

B' C'

A'

C'

C'

N O

B

B

A

a

M

I α

A

a

M

K

K

J C

Trục không có tính chất đặc biệt, ta sử dụng phương pháp 4 để giải R2 = B’O2 = NO2 + B’N2

= BJ 2 + ( BB ' − JO) 2 = OM2 = OJ2 + JM2 = 450 Chú ý CBJ Giải phương trình ta tìm được 5 2a OJ = 8 3 10a R= 8 Chọn đáp án A.

B J

a

A

M

C

Xác định tâm đáy: giao của hai đường thẳng trung trục MC và BI.

C

Dựng góc: chú ý BA vuông góc với giao tuyến CB’ Từ tam giác vuông BIA và góc α , tính được BI. Từ BI sử dụng 1 1 1 = + tính được 2 2 BI BC B ' B2 B'B = a 2 .

Câu 10. Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy góc α . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón.

3πa 3 4πa 3 4πa 3 4πa 3 A. V = B. V = C. V = D. V = 4sin 3 2α 3sin 3 3α 3sin 3 2α 3sin 3 α Hướng dẫn giải: Nếu mặt phẳng ( P ) qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SMN, (P) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo đường tròn có bán kính là R. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón, O là tâm đường tròn đáy của hình nón.

Ta có S∆SMN = MO.SO = a.a.tan α = a 2 tan α .

2

 a  .2a 2 SM .SN .MN SM .2a  cos α  a3 = = = Mặt khác S∆SMN = .

4R 4R 4R 2R cos 2 α a3 a a Do đó = a 2 tan α ⇒ R = = .

2 2 2R cos α 2cos α tan α sin 2α R cũng là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp.

4 4 a3 V = πR 3 = π 3 .

3 3 sin 2α Chọn đáp án C. Câu 11. Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất.

Trang 105

h h B. d = 3 2 Hướng dẫn giải: Gọi r là bán kính của (L). r h−d R ⇒ r = (h − d ) Ta có = R h h A. d =

C. d =

h 6

D. d =

h 4

3

R2 R2 R 2  ( h − d ) + ( h − d ) + 2d  4πR 2 h 2 ⇒ V = π 2 ( h − d ) .d = π 2 ( h − d )( h − d ) .2d ≤ π 2   = 2h 2h  3 27 h  h Dấu bằng xảy ra khi h − d = 2d ⇔ d = .

3 Chọn đáp án A. Câu 12. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S S 1 S ;h = ;h = A. R = .

B. R = .

2π 2 2π 4π 4π

2S 2S ;h = 4 .

3π 3π Hướng dẫn giải: C. R =

D. R =

S S ;h = 2 .

6π 6π

Gọi thể tích khối trụ là V , diện tích toàn phần của hình trụ là S .

Ta có: S = S2day + Sxq = 2πR2 + 2πRh . Từ đó suy ra: S S V V V Cauchy 3 V 2 = R 2 + Rh ⇔ = R2 + = R2 + + 3 2π 2π πR 2πR 2πR ≥ 4π2 3

V2  S  S3 hay 27 2 ≤   ⇔ V ≤ .

4 π  2π  54π

Vậy Vmax =

S3 V πR 2 h Rh . Dấu “=” xảy ra ⇔ R 2 = = = hay h = 2R .

2πR 2πR 2 54π

Khi đó S = 6πR 2 ⇒ R =

S S và h = 2R = 2 .

6π 6π

Chọn đáp án D. Câu 13. Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 16π 3 dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn là 9 đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là:

Trang 106

M

A

N

O

B

I P

Q

S

9π 10 2 3π dm . dm 2 .

B. S xq = 4π 10 dm 2 .

C. Sxq = 4π dm2 .

D. S xq = 2 2 Hướng dẫn giải: Xét hình nón : h = SO = 3r , r = OB, l = SA . Xét hình trụ : h1 = 2r = NQ , r1 = ON = QI QI SI 1 r = = ⇒ r1 = ⇒ Thể tích khối trụ là : ∆SQI ∼ ∆SBO ⇒ BO SO 3 3 3 2πr 16π = ⇒ r = 2 ⇒ h = 6 ⇒ l = h2 + r 2 = 2 10 ⇒ S xq = πrl = 4π 10 dm 2 Vt = πr12 h1 = 9 9 Chọn đáp án B. A. S xq =

Câu 14. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm Hướng dẫn giải: Đặt a = 50cm . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần 2

2

2

lượt là x, y ( x, y > 0) . Ta có SA = SH + AH = x + y Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là

I

πx 2 + πx x 2 + y 2 = πa 2 ⇔ x x 2 + y 2 + x 2 = a 2 a4 x ( x + y ) = a + x − 2a x , ( DK : x < a ) ⇔ x = 2 y + 2a 2 Khi đó thể tích khối nón là: 1 1 a4 y . y = πa 4 . 2 V = π. 2 2 3 y + 2a 3 y + 2a 2 2

4

4

2

2

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi Ta có

J

O

⇔ x x2 + y 2 = a 2 − x2 ⇔ 2

S

2

Stp = πx2 + πx x2 + y 2 Theo giả thiết ta có:

2

D. 25cm

2

H

A

y 2 + 2a 2 đạt giá trị nhỏ nhất y

y 2 + 2a 2 2a 2 2a 2 = y+ ≥ 2 y. = 2 2a y y y

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi y =

a 2a 2 , tức là y = a 2 ⇒ x = = 25cm y 2

Chọn đáp án D. Trang 107

Câu 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích của thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. a2 3 a2 2 a2 a2 A. B. C. D. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S, S SA = SB = a a Gọi O là tâm của đáy, SO = 2 Gọi thiết diện qua đỉnh, tạo với đáy góc 600 là ∆ SAC. Gọi M là trung điểm AC, góc giữa mặt phẳng (SAC) với mặt a = 600 đáy là SMO

SO a 6 = ( ∆ SMO vuông tại O).

0 sin 60 3 a 6 * OM = 6 2a 3 * AC = 2 AM = 2 OA2 − OM 2 = 3 1 1 a 6 2a 3 a2 2 * SSAC = SM.AC = . . = 2 2 3 3 3 Chọn đáp án C. * SM =

A

45

B

O

M

C

S

Câu 16. Cho hình chóp SABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và

K

BC= 3 a, BAC = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có bán kính bằng: A. 1 B. 2

C. 3 D. Không đủ dữ kiện để tính Hướng dẫn giải: Gọi AD là đường kính của đường tròn (ABC) Suy ra, AC ⊥ DC , suy ra CD ⊥ ( SAC ) hay AE ⊥ DE Tương tự, AH ⊥ HD . Suy ra mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có BC =2. đường kính AD = sin 600

H A

3

C

600 2

B S

K

H

Chọn đáp án B.

A

C

600

D B

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Bán kính mặt cầu tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) là: 13a 13a 3 13a 13a A. B. C. D. 13 39 26 26 Hướng dẫn giải: + Gọi H là trung điểm BC Trang 108

= 60o + ( SA, ( ABC )) = SAH a 3 3a , SH = AH tan 600 = 2 2 S + Bán kính mặt cầu 1 2 là: R = d (G, ( SAB)) = d (C , ( SAB)) = d ( H , ( SAB)) 3 3 + Gọi E là hình chiếu của H trên AB và K là hình chiếu của H M K trên SE. G Chứng minh: HK ⊥ (SAB) H B C a 3 3a E + Tính được: HE = ; HK = 4 2 13 a 2 A + R = HK = 3 13 Chọn đáp án A. Câu 18. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay α = CAB

+ AH =

tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

1 A. α = 60° .

B. α = 45° .

C. arctan .

2 Hướng dẫn giải:

D. α = 30° .

AC = AB. cos α = 2 R.cos α CH = AC.sin α = 2 R.cos α.sin α; AH = AC.cos α = 2 R.cos 2 α Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V = AH .πCH 2 = R3.cos 4 α.sin 2 α .

3 3 8 Đặt t = cos2 α ( 0 < t < 1) ⇒ V = R3t 2 (1 − t ) 3 3 8 8  t + t + 2 − 2t  = R3 .t.t ( 2 − 2t ) ≤ R3   6 6  3  2 1 Vậy V lớn nhất khi t = khi α = arctan .

3 2 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f ( t ) = t 2 (1 − t ) Chọn đáp án C. Câu 19. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC ,

SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. 32π 64 2π A. V = .

B. V = .

3 3 108π 125π C. V = .

D. V = .

3 6

Trang 109

Hướng dẫn giải: Ta có: CB ⊥ ( SAD ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB (1)

S

( α ) ⊥ SC, AM ⊂ ( α ) ⇒ AM ⊥ SC ( 2) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC ⇒ AMC = 90° .

N

Chứng minh tương tự ta có APC = 90°

Có AN ⊥ SC ⇒ ANC = 90° . Ta có:

AMC = APC = APC = 90° ⇒ mặt cầu đường kính AC là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP .

AC = 2 . Thể tích khối cầu: Bán kính cầu này là r = 2 4 32π V = πr 3 = 3 3 Chọn đáp án A.

P

M

D

A

B

C

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a.

5 11 4 A. πa 2 B. πa 2 C. 2πa 2 D. πa 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là Trung điểm của AB D Vì Tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều → DM ⊥ AB; CM ⊥ AB Do có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau => Góc = 900 DMC O Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G G là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD => H,G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và C A H ABD 2  M  H ∈ CM ; CH = 3 CM ⇒ B G ∈ DM ; DG = 2 DM  3 Kẻ Đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và Đường vuông góc với (ABD) từ G. Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O. => O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và R = OC. 3 3 3 a ⇒ CH = a; HM = a Tam giác ABC đều → CM = CB.sin 600 = 2 3 6 3 a CMTT ta có GM = 6 3 a Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông → OH = 6 Tam giác OHC vuông tại H → Áp dụng định lý Pitago ta có: 3 3 3 CM = CB.sin ( 60 ) = a ⇒ CH = a; HM = a 2 3 6

( )

Trang 110

OC = CH 2 + OH 2 = Chọn đáp án A.

5 5 a = R ⇒ V = 4πR 2 = πa 2 12 3

Câu 21. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên.

Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?

A. min V = 8 3 .

B. min V = 4 3 .

C. min V = 9 3 .

D. min V = 16 3 .

Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có ∆SIJ ~ ∆SMH SI IJ ⇒ = ⇒ MH ( SH − IH ) = IJ SH 2 − HM 2 SM MH 2 ⇒ MH 2 ( SH − 1) = SH 2 − HM 2

⇒ ( a 2 − 12 ) SH 2 − 2a 2 SH = 0 ⇒ SH =

S

2a 2 ( 2 a ≠ 12 ) a 2 − 12

I

J

A

B 1 3 2a 4 3 1 = S = S ABC .SH = H M 3 6 a 2 − 12 6 1 − 12 a2 a4 C 1 12 1 ⇒S ≥8 3 Ta có 2 − 4 ≤ a a 48 Chọn đáp án A. Câu 22. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

3 34 − 17 2 3 34 − 19 2 B. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 5 34 − 15 2 5 34 − 13 2 C. x = D. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 Hướng dẫn giải: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S = S MNPQ + 4 xy . Cạnh hình vuông 2 MP 40 MN = = = 20 2 ( cm ) ⇒ S = 20 2 + 4 xy = 800 + 4 xy (1) 2 2 A. x =

(

)

Ta có 2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2 ⇒ 0 < x < 20 − 10 2

(

Lại có AB 2 + AD 2 = BD 2 = 402 ⇒ 2 x + 20 2

)

2

+ y 2 = 1600

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2

Trang 111

Thế vào (1) ⇒ S = 800 + 4 x 800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4

(

)

Xét hàm số f ( x ) = 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4 , với x ∈ 0;20 − 10 2 có

(

f ' ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

)

  x ∈ 0;20 − 10 2 5 34 − 15 2  x ∈ 0;20 − 10 2 ⇔ ⇔x= Ta có  2  f ' ( x ) = 0 16x 100 − 15x 2 − x 2 = 0  5 34 − 15 2 Khi đó x = chính là giá trị thỏa mãn bài toán.

2 Chọn đáp án C. Câu 23. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.

A. d = 50cm B. d = 50 3cm C. d = 25cm D. d = 25 3cm Hướng dẫn giải: Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy. Suy ra: OO1 / / AA1 ⇒ OO1 / / ( AA1B ) ⇒ d ( OO1, AB ) = d ( OO1, ( AA1B ) ) = d ( O1, ( AA1B ) )

(

( (

)

)

)

Tiếp tục kẻ O1H ⊥ A1B tại H, vì O1H nằm trong đáy nên cũng vuông góc với A1A suy ra: O1H ⊥ ( AA1B ) . Do đó

A O

d ( OO1, AB ) = d ( OO1, ( AA1B ) ) = d ( O1, ( AA1B ) ) = O1H 2 2 Xét tam giác vuông AA1B ta có A1B = AB − AA1 = 50 3

I

2 2 Vậy O1H = O1A1 − A1H = 25cm

K

Chọn đáp án C. A1

Câu 24. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r. để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: A. r =

4

36 2π2

38 2π 2 Hướng dẫn giải: r=

4

B. r =

6

38 2π 2

D. r =

6

36 2π 2

O1

H

B

C.

1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = πr 2 h = 27 ⇒ r 2h = ⇒ h = . 2 3 π π r Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

S xq = 2πrl = 2πr r 2 + h 2 = 2πr r 2 +

= 2π r 4 +

812 1 812 1 4 = 2 π r + π2 r 4 π2 r 2

812 1 812 1 812 1 812 1 814 3 r 4.

6 + ≥ 2 π 3 . = 2 3 π (theo BĐT Cauchy) 2π 2 r 2 2π 2 r 2 2 π 2 r 2 2π 2 r 2 4π 4

Trang 112

S xq nhỏ nhất ⇔ r 4 =

812 1 38 38 6 6 ⇔ r = ⇔ r = 2 π2 r 2 2π 2 2 π2

Chọn đáp án B. Câu 25. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của lăng trụ là a, chiều cao lăng trụ là h. a2 3 4V Theo bài ra ta có V = .h → h = 2 4 a 3 Diện tích toàn phần của lăng trụ là: Stoan phan = S 2 day + S xung quanh = Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: Stoan

phan

a2 3 4V + 3a. 2 2 a 3

a 2 3 4 3V = + 2 a

a 2 3 2 3V 2 3V a 2 2 2 3V 2 3V + + ≥ 33 . . a a a a 2 2 2 a 3 2 3V 2 3V = = hay a = 3 4V .

Dấu bằng xảy ra khi 2 a a Chọn đáp án A. =

Câu 26. Trong không gian cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong 3 không gian thỏa mãn MA.MB = AB 2 4 A. Mặt cầu đường kính AB. B. Tập hợp rỗng (tức là không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện trên).

C. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R =AB. 3 D. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB 4 Hướng dẫn giải:

MA + MB + Tam giác MAB có đường trung tuyến IM → MI = 2

MA + MB MI = 2 2 2 2

3 BA + 4. . AB 2 4 .

MA + MB MA − MB + MA MB 2 4 ⇒ MI = = = = AB 2 4 4 4 MI = AB Vậy Tập hợp điểm M trong không gian là Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB Chọn đáp án C.

( )

(

) (

)

( )

Câu 27. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là V thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số 1 là V2

Trang 113

5 .

4 Hướng dẫn giải: A.

B.

4 .

3

C. 3 .

D. 2 .

1 Ta có: Thể tích khối nón là V1 = πr 2 h .

3 , cắt SO Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác của góc SBO tại I .

IO OB r r 2 + h2 = = ⇒ IS = IO ⋅ IS SB r r 2 + h2 Mặt khác: IO + IS = h Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là rh R = IO = r + h2 + r 2 4 3 4 r 3h 3 .

Thể tích khối cầu là V2 = πR = π 3 3 r + h2 + r 2 3

Ta có:

)

(

3

(

r + r 2 + h2 V1 ⇒ = 4rh 2 V2 Đặt f ( t )

( t + 1) = t −1

)

3

 h2  1 + 1 + 2  3 2  r  1+ t) t + 1) h2 V1 ( (  = . Đặt t = 1 + 2 ( t ≥ 1 ) ⇒ = = h2 r V2 4 ( t 2 − 1) 4 ( t − 1) 4 2 r

2

, Điều kiện: t ≥ 1 , f ′ ( t ) =

BBT ⇒ f ( t ) ≥ 8∀t ≥ 1 ⇒

t 2 − 2t − 3

( t − 1)

2

, f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 3 , f ( 3) = 8

V1 ≥2 V2

Chọn đáp án D. Câu 28. Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là 1 4 4 2 3 32 3 πR . πR .

A. πR3 .

B. πR3 .

C. D. 3 3 9 81 Hướng dẫn giải: Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó.

R Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn ( C ) bán kính r . Gọi x với f ′ ( x ) là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là hình tròn ( C ) sẽ là h = R + x . Khi đó bán kính đáy nón là

O x

R r

r = R2 − x2 , suy ra thể tích khối nón là 1 1 1 1 V = πr 2 h = π ( R + x ) ( R 2 − x 2 ) = π ( R + x )( R + x )( R − x ) = π ( R + x )( R + x )( 2 R − 2 x ) 3 3 3 6 3 1 ( R + x + R + x + 2R − 2 x ) 32πR 3 Áp dụng BĐT Cô-si ta có V ≤ π = 6 27 81 Chọn đáp án D. Trang 114

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b

ex

Câu 1. Cho tích phân C = ∫

dx trong đó a là nghiệm của phương trình 2 x

e +3 x

a

2

+1

= 2 , b là một số

2

dương và b > a . Gọi A = ∫ x 2 dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho C = 3 A .

1

A. 3 B. 2 Hướng dẫn giải: 2 Giải phương trình 2 x +1 = 2 ⇒ x = 0 ⇒ a = 0

C. 4

D. 5

Tính tích phân C. Đặt: t = e x + 3 ⇒ t 2 = e x + 3 ⇒ 2tdt = e x dx eb +3

∫

C=

2

2t dt = t

eb + 3

∫

2dt = 2t 2

eb + 3

= 2 eb + 3 − 4

2

Tính tích phân A ta có A = Theo giả thiết

7 3

7 11 109 109 C = 3 A ⇔ 2 eb + 3 − 4 = 3. ⇔ eb + 3 = ⇔ eb = ⇔ b = ln ≈ 3,305053521 3 2 4 4 Chọn đáp án A. e a.e4 + b.e2 + c Câu 2. Cho biết tích phân I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = với a, b, c là các ước nguyên của 4.

4 1 Tổng a + b + c = ?

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: e

e

e

1

1

I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = 2 ∫ x3dx + ∫ x ln xdx .

1

e

e

2∫ x3dx = 1

1 4 1 x = ( e4 − 1) 2 1 2

e

Ta có

∫ x ln xdx = 1

e e 21  1 2 1 2 1 2  x ln x − ∫ x dx  = e − x 1 1 x  2  2  2

e

I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = 1

e e2 + 1 = 1 4

1 4 e 2 + 1 2e 4 + e 2 − 1 e − 1) + = ( 2 4 4

Chọn đáp án A. Câu 3. Cho hàm số f ( x) =

a + b.xe x . Biết rằng f '(0) = −22 và (x + 1)3

1

∫ f ( x)dx = 5 . Khi đó tổng a + b 0

bằng?

−146 B. 12 13 Hướng dẫn giải: −3a f '(x) = + be x (1 + x) 4 (x + 1) f '(0) = −22 ⇔ −3a + b = −22 A.

C.

−26 11

D. 10

(1)

Trang 115

∫

f ( x)dx = 5 ⇔ −

1 a 3a x + . ( − 1 ) b e x ⇒ f ( x)dx = 5 ⇔ +b=5 ∫ 2 8 2( x + 1) 0

a = 8

Giải hệ (1) và (2) ta được: 

b = 2

( 2)

⇒ a + b = 10

Chọn đáp án D. Câu 4. Cho

1

∫

1

f ( x)dx = 5 . Tính I = ∫ f (1 − x)dx

0

0

B. 10

A. 5

C.

1 5

D.

5

Hướng dẫn giải: Đặt t = 1 − x ⇒ dt = dx ,

x = 0 ⇒ t =1 x =1⇒ t = 0

0

I = − ∫ f (t ) dt = 5 1

Chọn đáp án A. 2 2

∫

Câu 5. Biết tích phân

2 2

−

a.π + b 1 − x2 dx = trong đó a, b ∈ ℕ . Tính tổng a + b ? x 1+ 2 8

A. 0 Hướng dẫn giải: 2 2

∫

I= −

2 2

B. 1 0

1− x2 dx = 1 + 2x

Đặt x = sin t ⇒ I = Chọn đáp án C.

1 − x2 dx + 1 + 2x

∫ −

2 2

π +2 8

2 2

∫ 0

1− x2 dx = 1 + 2x

2 2

∫

D. -1

1 − x 2 dx

0

.

1

Câu 6. Biết rằng

C. 3

1

∫ x cos 2 xdx = 4 ( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với a, b, c ∈ ℤ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

0

A. a + b + c = 1

B. a − b + c = 0 C. a + 2b + c = 1 D. 2a + b + c = −1  du = dx 1 u=x 1  x.sin 2x 1 1 sin 2 1  ⇔ I sin 2xdx = Đặt  .

Khi đ ó = − + cos 2x sin 2x ∫ 0 20 0 2 2 4 dv = cos 2xdx  v = 2 a=2 sin 2 cos 2 1 1  = + − = ( 2.sin 2 + cos 2 − 1) ⇒  b = 1 ⇒ a − b + c = 0 2 4 4 4  c = −1  Chọn đáp án B. Câu 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) =

π  π  F −F ? 3 4 A. 5 − 3 Hướng dẫn giải:

B.

5 −1

tan x

π  , biết F ( 0 ) = 0 , F   = 1 . Tính 4 cos x 1 + a cos x 2

C.

3+ 5

D.

5− 2

Trang 116

π

π

π

4

4

4

∫

f ( x )dx = ∫

0

0

⇒ tan 2

π

tan x 2

cos x 1 + a cos x

π 4

tan x

dx = ∫

2

2

cos x tan x + 1 + a

0

dx = ∫ 0

1 2

2 tan x + 1 + a

d tan 2 x + 1 + a

+ 1 + a − tan 2 0 + 1 + a = 3 − 2 .

4 ⇒ a + 2 = a +1 + 3 − 2 ⇒ a + 2 = a +1+ 2 a +1 ⇒

(

)

3 − 2 +5−2 6

3− 6 = a +1 ⇒ a = 1 3− 2 π 3

tan x π  π  dx = Do đó F   − F   = ∫ 3  4  π cos x 1 + cos 2 x

tan 2

π 3

+ 2 − tan 2

π 4

+2 = 5− 3.

4

Chọn đáp án A. Câu 8. Cho f ( x) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] , ta có f ( x) > 0 và a

dx

∫ 1 + f ( x)

f ( x) f (a − x) = 1 . Tính

0

a A. 2 Hướng dẫn giải:

B. 2a 0

a

Đặt t = a − x ta có: a

Suy ra:

dx

C.

a 3

D. a ln( a + 1)

a

dx dt f (t )dt ∫0 1 + f ( x) = −∫a 1 + f (a − t ) = ∫0 f (t ) + 1 a

∫ 1 + f ( x) = 2 0

Chọn đáp án A. 2

x 2001 dx có giá trị là Câu 9. Tích phân I = ∫ (1 + x 2 )1002 1 1 1 A. .

B. .

1001 2002.2 2001.21001

C.

Hướng dẫn giải: 2

I =∫ 1

2

x 2004 .dx = ∫ x 3 (1 + x 2 )1002 1

1 1002

 1  x 3  2 + 1 x 

.dx . Đặt t =

1 .

2001.21002

D.

1 .

2002.21002

1 2 + 1 ⇒ dt = − 3 dx .

2 x x

Câu 10. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

Trang 117

0, 5m

2m

5m 0, 5m

19m

3

0, 5m 3

A. 19m .

C. 18m3 .

B. 21m .

D. 40m3 .

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. y

O

x

Ta có

 19  Gọi ( P1 ) : y = ax2 + c là Parabol đi qua hai điểm A  ;0  , B ( 0;2 )  2  2  8   19  8 2 0 = a.   + 2 a = − ⇔ x +2 Nên ta có hệ phương trình sau:  361 ⇒ ( P1 ) : y = −  2 361 2 = b b = 2 

 5 2 Gọi ( P2 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm C (10;0 ) , D  0;   2 3

Câu

11.

Cho

f ,g

là

hai

hàm

liên

t ục

trên

[1;3]

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 .

1

3

3

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx .

1

1

A. 8.

Hướng dẫn giải: 3

+ Ta có

B. 9.

C. 6.

3

D. 7.

3

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 .

1

+ Tương tự

1

1

3

3

3

1

1

1

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6 .

3 3 u + 3v = 10 u = 4 + Xét hệ phương trình  , trong đó u = ∫ f ( x ) dx , v = ∫ g ( x ) dx . ⇔ 2u − v = 6 v = 2 1 1

Trang 118

+ Khi đó

3

3

3

1

1

1

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .

5 1 2   a = − 40 0 = a. (10 ) + 2 1 5 Nên ta có hệ phương trình sau:  ⇔ ⇒ ( P2 ) : y = − x 2 + 40 2 5 = b b = 5  2  2 19  10  1 2 5   8 2   x + 2 dx  = 40m3 Ta có thể tích của bê tông là: V = 5.2  ∫  − x + dx − ∫ 2  − 0 0 2  361     40 2x Câu 12. Gọi S a là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e − 2e x , trục Ox và đường thẳng x = a với a < ln 2 . Kết quả giới hạn lim S a là: a →−∞

A. 1 Hướng dẫn giải:

B. 2

ln 2

Ta có S a =

∫ (e a

2x

C. 3

D. 4

1 − 2e x ) dx = e 2 a − 2e a + 2 2

Suy ra lim Sa = 2 , chọn đáp án B. a →−∞

Câu 13. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

A. 132π (dm3) B. 41π (dm3) 100 π (dm3) C. D. 43π (dm3) 3 Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn lớn có phương trình x 2 + y 2 = 25 .

3dm 5dm 3dm

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3 quay quanh Ox. 3

V = π ∫ (25 − x 2 ) dx = 132π (bấm máy) −3

Câu 14. Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

A. S = 106m .

B. S = 107 m .

C. S = 108m .

D. S = 109m .

Hướng dẫn giải: 10 −2 + C . Theo đề ta có Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 (1 + 2t ) dt = 1 + 2t v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 2

2  10  S = ∫ + 20  dt = ( 5ln (1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m .

0 1 + 2t  0

Câu 15. Tìm giá trị của tham số m sao cho: y = x 3 − 3x + 2 và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1 B. m = 1 C. 1 < m < 9 D. m = 9 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3x + 2 = m(x + 2)

⇔ x = −2 hoÆc x = 1 ± m , m ≥ 0.

Trang 119

Điều kiện d: y = m(x+2) và (C): y = x 3 − 3x + 2 giới hạn 2 hình phẳng: 0 < m ≠ 9.

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận được theo thứ tự từ trái sang phải.

0

Nếu m = 1: d đi qua điểm uốn (0;2) của (C). Khi đó S1 = S2 =

∫ (x

3

− 4x)dx = 4

−2

Nếu 0 < m < 1: S1 > 4 > S2 Nếu 1 < m < 9: S1 < 4 < S2 Nếu m > 9 ⇒ 1 − m < −2; 1 + m > 4. Khi đó: −2

∫

S1 =

1+ m 3

x − 3x + 2 − m(x + 2) dx; S2 =

∫

x 3 − 3x + 2 − m(x + 2) dx

−2

1− m

S2 − S1 = 2m m > 0 Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán π 2

Câu 16. Cho I n =

∫ cos

n

xdx , n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

0

n −1 I n −1 n Hướng dẫn giải:

A. I n =

Với I 0 =

π ;I = 2 1

Đặt u = cos

n −1

B. I n =

n −1 I n −2 n

D. I n = 2I n −2

∫ cos xdx = 1 .

0

x ⇒ du = − (n − 1) cosn −2 x . sin xdx . dv = cos xdx chọn v = sin x .

π 2

n

C. I n =

π 2

Suy ra

∫ cos

n −2 I n −2 n

xdx = cosn −1 x .sin x

0

π 2 0

π 2

π 2

π 2

0

0

(

)

+ (n − 1) ∫ cosn −2 x . sin2 xdx = (n − 1) ∫ cosn −2 x . 1 − cos2 x dx π 2

= (n − 1) ∫ cosn −2 x .dx − (n − 1) ∫ cosn x .dx .

0

0

π 2

Do đó

∫ cos

π 2

n

0

x .dx =

n −1 cosn −2 x .dx . n ∫0

Chọn đáp án C.  5 1 1 Câu 17. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − có đồ thị (C). Tìm m ∈ 0;  sao cho hình phẳng   6 3 3 giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 và có diện tích bằng 4.

1 1 1 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 4 3 2 Hướng dẫn giải:

1 1 Xét hàm số y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − trên [0;2 ] . Ta có y ′ = x 2 + 2 mx − 2 , 3 3  x = −m − m 2 + 2  5 y ′ = 0 ⇔  . Do m ∈ 0;  nên −m − m 2 + 2 < 0, 0 < −m + m 2 + 2 < 2  2  6  x = −m + m + 2 Trang 120

1 5 và y (0) = −2m − < 0, y (2 ) = 2m − < 0.

3 3 Ta có bảng biến thiên trong [0;2] x 0 −m + m 2 + 2 − 0 y′ y

2 +

y (0 )

y (2 )

Dựa vào BBT suy ra y < 0, ∀x ∈ (0;2) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có: 2 1 1 S = 4 ⇔ ∫ x 3 + mx 2 − 2 x − 2 m − dx = 4 3 3 0 2

1 1  4 m + 10 1 ⇔ −∫  x 3 + mx 2 − 2 x − 2 m − dx  = 4 ⇔ =4⇔m=  3 3  3 2 0 Chọn đáp án C.

Câu 18. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 6 3 1 2 A. sin α = B. cos α = C. cos α = D. sin α = 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng OB : y = x.tan α ; OA = 2017 cos α .

Khi đó thể tích nón tròn xoay là: 2017.cos α

V =π

∫

x 2 tan 2 α .dx =

0

20173.π 20173.π .cos α .sin 2 α = .cos α 1 − cos 2 α .

3 3

 1  2

(

(

Đặt t = cos α ⇒ t ∈  0;  . Xét hàm số f ( t ) = t 1 − t Ta tìm được f ( t ) lớn nhất khi t =

2

)

) , t ∈  0; 12  .

3 3 6 . ⇒ cos α = ⇒ sin α = 3 3 3

Chọn đáp án A. Câu 19. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Trang 121

Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V .

225π A. V = 2250 cm 3 B. V = C. V = 1250 cm 3 cm 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

(

(

)

)

(

)

(

D. V = 1350 cm 3

)

y = 225 − x 2 , x ∈  −15;15  Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x ∈  −15;15 

(

)

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

( )

S x (xem hình).

Dễ thấy NP = y và MN = NP tan 450 = y = 15 − x 2 khi đó

( )

S x =

1 1 MN .NP = . 225 − x 2 suy ra thể tích 2 2

(

)

15

hình nêm là: V =

15

∫ ( )

S x dx =

−15

1 . 225 − x 2 dx = 2250 cm 3 ∫ 2 −15

(

)

( )

Câu 20. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 ( C ) cắt trục ox tại bốn điểm phân biệt và thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía trên trục ox có diện tích bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía dưới trục ox .

A. 3 B. -3 C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải: Điều kiện để (C) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt là m > 2 Do tính đối xứng của đồ thị qua trục tung nên bài toán xảy ra khi x3

∫(x

4

x4

)

0

)

x3 x4

⇔

(

− 2mx 2 + m + 2 dx = − ∫ x 4 − 2mx 2 + m + 2 dx

∫ (x

4

)

− 2mx 2 + m + 2 dx =0 ⇔ 3x44 − 10mx42 + 15 ( m + 2 ) = 0

0

 x44 − 2mx42 + m + 2 = 0 3m + 6 ⇒ x42 = ⇒m=3 Suy ra x4 là nghiệm của hệ  4 2 m 3 x4 − 10mx4 + 15 ( m + 2 ) = 0

Chọn đáp án A. Câu 21. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành.

Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

A. m = 2

B. m =

2 9

C. m =

20 9

D. m = 1

Trang 122

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm x 4 − 4 x 2 + m = 0 (*) Đặt x 2 = t ; t ≥ 0 , phương trình trở thành: t 2 − 4t + m = 0 (**) Để S>0, S’>0 thì 0<m<4. Khi đó (*) có 4 nghiệm phân biệt − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 với t1 ; t2 , ( t1 < t2 ) là hai nghiệm dương phân biệt của (**) y = f ( x) Do ĐTHS hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng nên y t1

t1

0

t2

S = S ' ⇔ ∫ ( x 4 − 4 x 2 + m )dx = ∫ ( x 4 − 4 x 2 + m )dx t 2 4t ⇔ ∫ ( x − 4 x + m )dx = 0 ⇔ 2 − 2 + m = 0 5 3 0 20 Kết hợp với (**) ta được m = .

9 t2

4

O

−1

1

x

2

Chọn đáp án C.

−3 3

2

Câu 22. Cho y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi hình vẽ bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.

27 .

4 5 D. S = .

4

A. S = 9 .

B. S =

21 .

4 Hướng dẫn giải: 2 Từ đồ thị suy ra f ′ ( x ) = 3x − 3 .

C. S =

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 x 2 − 3) dx = x3 − 3x + C .

Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên

f ′ ( x0 ) = 0 ⇔ 3x02 − 3 = 0 ⇔ x0 = −1 .

Vậy f ( −1) = 4 nên có ngay C = 2 . Vậy phương trình đường cong ( C ) là y = x 3 − 3 x + 2 .

 x = −2 Xét phương trình x 3 − 3 x + 2 = 0 ⇔  . x = 1 Diện tích hình phẳng cần tìm là

1

∫ (x −2

Chọn đáp án B.

3

− 3x + 2 ) dx =

27 .

4 2

Câu 23. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [ −6;6]. Biết rằng

∫ f ( x ) dx = 8

và

−1

3

∫

6

f ( −2 x ) dx = 3. Tính

1

∫ f ( x ) dx. −1

B. I = 5 .

A. I = 11 .

Hướng dẫn giải:

C. I = 2 .

D. I = 14 .

3

Xét tích phân K = ∫ f ( −2 x ) dx 1

Đặt u = −2 x ⇒ du = −2dx ⇒ dx = −

du 2

Trang 123

Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ u = −2 ; x = 3 ⇒ u = −6 −6

Vậy, K = −

−2

1 1 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx . Mà K = 3 , nên ∫ 2 −2 2 −6 6

Vì f là hàm chẵn trên [ −6;6] nên

∫

−2

∫ f ( x ) dx = 6 .

−6

−2

f ( x ) dx =

2

∫ f ( x ) dx = 6 .

−6

6

2

6

−1

−1

2

Từ đó suy ra I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 + 6 = 14 .

Chọn đáp án D. 2

(

)

Câu 24. Biết ∫ ex 2x + e x dx = a.e4 + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S = a + b + c 0

A. S = 2 Hướng dẫn giải: 2

B. S = −4

(

)

C. S = −2

2

2

0

0

2

Ta có I = ∫ e x 2x + ex dx = ∫ e2x dx + ∫ 2x.ex dx = 0

Đặt u = x du = dx e4 1 ⇒ ⇒ = − + 2x.ex I   x x 2 2 dv = e dx  v = e 1 3  a = ;c = ⇒ 2 2 ⇒S= a+b+c = 4 b = 2 Chọn đáp án D.

(

1 2

1 3

)

2 0

2 e2x ex 1 2 + 2∫ xe x dx = − + 2∫ xex dx 2 0 2 2 0 0

2n n+1

B. T = 2 n + 1

Hướng dẫn giải: Ta có

2

− 2∫ e x dx =

Câu 25. Rút gọn biểu thức: T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + A. T =

D. S = 4

0

2 2 e4 1 e4 3 − + ( 2x.e2 ) − ( 2ex ) = + 2e2 + 0 0 2 2 2 2

1 Cnn , n ∈ ℕ * . n+1 2n − 1 C. T = n+1

D. T =

2 n+1 − 1 n+1

1 1 1 1 1 1 1 thay đổi ta nghĩ ngay đến biểu thức Cn + ... + Cnn . Nhận thấy các số ; ; ; ...; 2 n+1 1 2 3 n+1 1 n +1 n ∫ x dx = n + 1 x + c .

T = Cn0 +

n

Ở đây ta sẽ có lời giải như sau: ( 1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2 Cn2 + x3 Cn3 + ... + xnCnn .

Khi đó ta suy ra

1

∫ (1 + x )

n

0

⇔

1

(

)

dx = ∫ C n0 + xCn1 + x 2 C n2 + x 3 C n3 + ... + x n C nn dx 0

 n+1 1 2n+1 − 1 1 1 1 1 x2 x3 xn+1 n  1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cn . x + 1) Cn  ⇔ =  Cn0 x + Cn1 + Cn3 + ... + ( 0  n+1 n+1  0 n+1 2 3 n+1 n 2 3

Chọn đáp án D. Câu 26. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

(

)

1 1 + x2

trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?

)

(

A. F ( x ) = ln x + 1 + x2 + C

B. F ( x ) = ln 1 + 1 + x2 + C

C. F ( x ) = 1 + x2 + C

D. F ( x ) =

2x 1 + x2

+C

Hướng dẫn giải: Trang 124

Ta có bài toán gốc sau:

Bài toán gốc: Chứng minh 

Đặt t = x + x2 + a ⇒ dt =  1 + 

Vậy khi đó

∫

dx 2

x +a

=∫

dx

∫

2

x +a

= ln x + x 2 + a + c ( a ∈ ℝ )

 x + x2 + a tdx dt dx ⇔ dt =  dx ⇔ dt = ⇔ = 2 2 2 t 2 x +a x +a x +a 2x

dx x2 + a

dt = ln t + c = ln x + x 2 + a + c ( điều phải chứng minh). t

Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có 1

F ( x) = ∫

1+ x

2

)

(

dx = ln x + 1 + x 2 + c = ln x + 1 + x 2 + c .

Chọn đáp án A.

π 2

Câu 27. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

2 x −1.cos x ∫π 1 + 2x dx

−

1 A. 2 Hướng dẫn giải: π 2

Ta có:

∫ −

2

π 2

B. 0 π 2

x −1

C. 2

x

cosx 2 cos x dx = ∫ dx − x x 1+ 2 0 (1 + 2 ) .2

Đặt x = − t ta có x = 0 thì t = 0, x = π 2

x

2 cos x

2

π 2

−

∫ 0

2 cos ( − t )

2 x cos x dx (1) (1 + 2x ) .2

π π thì t = và dx = −dt 2 2 π 2

−t

π 2

D. 1

π 2

cos t

cos x

∫ (1 + 2 ) .2 dx = ∫ (1 + 2 ) .2 d ( − t ) = − ∫ (1 + 2 ) .2 dt = − ∫ (1 + 2 ) .2 dx x

0

−t

t

0

x

0

0

Thay vào (1) có π 2

π

π

π

π

2 2 2 1+ 2 ( ) cos x dx = 2 cos x dx = sin x 2 x −1 cosx 2 x cos x cos x = + = dx dx dx ∫π 1 + 2x ∫0 (1 + 2x ) .2 ∫0 (1 + 2x ) .2 ∫0 (1 + 2x ) .2 ∫0 2 2

−

x

π 2

=

0

1 2

2

π 2

Vậy

2 x −1 cosx 1 ∫π 1 + 2 x dx = 2

−

2

Chọn đáp án A. Câu 28. Người ta dựng một cái lều vải ( H ) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của ( H ) là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều

S

cao SO = 6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của ( H ) là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của ( H ) với mặt phẳng ( P ) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi

( P)

qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m .

c6

1m

c1 c2

c3 O

c5

c4 Trang 125

3m

Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều ( H ) đó.

135 3 96 3 ( m3 ).

B. ( m3 ).

5 5 135 3 135 3 C. ( m3 ).

D. ( m3 ).

4 8 Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A ( 0;6 ) , A.

1 7 B (1;3) , C ( 3;0 ) nên có phương trình là y = x 2 − x + 6 2 2 Theo hình vẽ ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM .

7 1 Nếu ta đặt t = OM thì BM = − 2t + (chú ý là ta phải 2 4 lấy giá trị có dấu “ − ” trước dấu căn và cho B chạy từ C đến A ).

Khi đó, diện tích của “thiết diện lục giác” bằng

A ( 0;6 )

2

1 BM 2 3 3 3  7 S ( t ) = 6. =  − 2t +  với t ∈ [ 0;6] .

4 2 2 4 Vậy thể tích của “túp lều” theo đề bài là:

B (1;3)

2

3 37 1 135 3 V = ∫ S ( t ) dt = ∫  − 2t +  dt = ... = 2 2 4 8 0 0 6

6

C ( 3;0 )

Chọn đáp án D.

Câu 29. Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a; b] có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a , x = b . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt b

2

cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . Theo kết quả a

trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 x 2 − ln x hàm số f ( x ) = và các đường thẳng x = 1 , x = e quanh Ox là 4 2e 2 − 1 4e 4 − 9 4e 4 + 16e 2 + 7 4e 4 − 9 π. π. π. π.

A. B. C. D. 8 64 16 16 Hướng dẫn giải: 2

2 2 x 2 − ln x x 2 ln x 1 1  1 1  = − ⇒ f ′( x) = x − ⇒ ( f ′ ( x )) =  x −  = x2 + − Ta có f ( x ) = 2 4 2 4 4x 4x  16 x 2  1 > 0, ∀x ∈ (1; e ) , nên f ( x ) đồng biến trên [1;e] . Suy ra Lại có f ′ ( x ) = x − 4x 1 f ( x ) ≥ f (1) = > 0, ∀x ∈ [1; e] .

2 Từ đây ta thực hiện phép tính như sau b e 2  x 2 ln x  1 1  2 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx = 2π ∫  − −  dx  1+  x + 2 2 4  16 x 2   a 1

Trang 126

2

e e  x 2 ln x  2  x 2 ln x   1 1 1  S = 2π ∫  − x d x 2 + + = π   −   x +  dx 2 ∫ 2 4  16 x 2 2 4   4x  1 1 e  x 2 ln x   1  = 2π ∫  −  x +  dx 2 4  4x  1 e

1 1 1 ln x  1 = 2π ∫  x3 + x − x ln x −  dx 2 8 4 16 x  1 = 2π ( I1 + I 2 + I 3 ) e

Với

 x4 x2  1  2e 4 + e 2 − 3 1 I1 = ∫  x3 + x  dx =  +  = 1 8  16 2  8 16  1 e

e

e 1 11 2 1 1  I 2 = ∫  − x ln x  dx = − x ( 2ln x − 1) = − e2 − 1 44 16 16  4  1 e

e 1 ln x  1 1 dx = − ln 2 x = − .

I3 = ∫  −  1 32 32  16 x  1 Chọn đáp án D.

x4 − 2m 2 x 2 + 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị 2 của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua 64 điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15  2   1  ; ±1 .

A. ∅ .

B. {±1} .

C. ± D. ± ; ±1 .

2 2     Hướng dẫn giải: Tập xác định D = ℝ x = 0  3 2 2 2 y ′ = 2 x − 4m x = 2 x x − 2m ; y ′ = 0 ⇔  x = 2 m  x = − 2m  Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ m ≠ 0 1 Vì a = > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A ( 0;2 ) 2 Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là d : y = 2 .

Câu 30. Cho hàm số y =

(

)

Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và d là:

x = 0  x2 = 0  x4 2 2 − 2m x + 2 = 2 ⇔  2 ⇔ x = 2 m 2 2  x = 4m  x = −2 m  Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) 2m

S=

∫ −2 m

2m

x4 x4 − 2 m 2 x 2 dx = 2 ∫ − 2 m 2 x 2 dx = 2 2 2 0

2m

∫ 0

 x4 2 2  − 2 m x  dx  2 

 x5 2  2 m 64 5 = 2  − m2 x3  = m 15  10 3 0 Trang 127

m = 1 64 ⇔ m =1⇔  15  m = −1 Chọn đáp án B. Ta có S =

Câu 31. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m3

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O) 20 1 ⇒ y2 = ax 2 + bx − = ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới 100 5 2 2 4 2 2 4 1 Ta có (P1 ) đi qua I và A ⇒ ( P1 ) : y1 = − x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 5 Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2 S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1 ; y2 trong khoảng (0; 25) 0,2

S = 2( ∫ ( − 0

25

2 2 4 1 x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9, 9m 2 625 25 5 0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1, 98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m 3 Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m 3 bê tông.

Chọn đáp án C. Trang 128

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t ( t ∈ ℝ ) . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị trí  z = 2t 

của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó toạ độ của điểm M là: A. M (1; 0; 2 ) B. M ( 2; 4;3) C. M ( −3; 2; −2 ) D. M (1; 4;3)

Hướng dẫn giải: Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ;2t ) ; AM + BM = (3t ) 2 + (2 5) 2 + (3t − 6) 2 + (2 5) 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét hai vectơ u = 3t ;2 5 và v = −3t + 6;2 5 .

(



| u |=  Ta có 

| v |= 

( 3t )

2

(

+ 2 5

( 3t − 6 )

2

(

)

)

(

)

2

+ 2 5

)

2

⇒ AM + BM =| u | + | v | và u + v = 6;4 5 ⇒| u + v |= 2 29

(

)

Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29

3t 2 5 = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng hướng ⇔ −3t + 6

2 5

⇒ M (1;0;2 ) và min ( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M (1;0; 2 ) thì min P = 2

(

11 + 29

)

Chọn đáp án A. Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các phương trình mặt phẳng (αm ) : 3mx + 5 1 − m 2 y + 4mz + 20 = 0, m ∈ −1;1 .

Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m ∈ −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.  

(II) Với mọi m ≠ 0 thì các mặt phẳng (αm ) luôn cắt mặt phẳng (Oxz).

(III) d O; (αm ) = 5, ∀m ∈ −1;1 .   Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Cả 3 đều đúng.

Hướng dẫn giải: 20 20 + Ta có d O; (αm ) = = = 4 , với mọi m ∈ −1;1 .   2 2 2 25 9m + 25 1 − m + 16m

(

)

Do đó với mọi m thay đổi trên −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O, bán   kính R = 4 . Khẳng đinh (I) đúng.

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (αm ) là n = 3m;5 1 − m 2 ; 4m và vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng (Oxz) là j = (0;1; 0) .

(

)

Trang 129

  (αm ) cắt (Oxz) khi và chỉ khi n; j  ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 . Khẳng đinh (II) đúng. + Khẳng đinh (III) sai.

Chọn đáp án A. Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x = t x − 2 y + 1 z −1  ∆1 : = = , ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0 1 2 −3  z = 1 + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S) theo giao

2 365π .

5 A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0 B. x − 5 y − 3z + 10 = 0

tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0 D. x − 5 y − 3z − 4 = 0 Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải:

+ ∆1 qua M 1 (2; −1;1) và có vectơ chỉ phương u1 = (1;2; −3) .

∆ 2 qua M 2 (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u2 = (1; −1; 2) .

+ Mặt phẳng (α) song song với ∆1 , ∆ 2 nên có vectơ pháp tuyến: u1 , u2  = (1; −5; −3) ⇒ Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: x − 5 y − 3z + D = 0 + Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1;3) và bán kính R = 4 .

2 365π 365 ⇒r= 5 5 D−3  D = −4 35 35 Khi đó: d ( I , (α ) ) = R 2 − r 2 = ⇒ = ⇔ 5 5 35  D = 10 + Phương trình mặt phẳng (α ) : x − 5 y − 3z − 4 = 0 (1) hay x − 5 y − 3z + 10 = 0 (2) .

Vì ∆1 / /(α ), ∆ 2 / /(α ) nên M1 và M2 không thuộc (α ) ⇒ loại (1).

Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2π r =

Vậy phương trình mặt phẳng (α) cần tìm là: x − 5 y − 3z + 10 = 0 .

Chọn đáp án B. x = 3+ t x = t '   Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y = −2 − t và d’:  y = 5 + t '    z = 2t  z = 2t ' − 3 2 − 5 Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.

A. 3 x + y + 2 z + 7 = 0 .

B. 3 x − y − 2 z − 7 = 0 .

C. −3 x + y − 2 z + 7 = 0 .

Hướng dẫn giải:

D. 3 x + y − 2 z − 7 = 0 . →

Giả sử (β): Ax + By + Cz + D = 0 (đk: A2 + B 2 + C 2 > 0 ), (β) có vtpt là n = ( A; B; C )  A ∈ ( β ) 3 A − 2 B + D = 0  D = − A + 2C 2 d ⊂ (β) ⇔ → → ⇔  ⇔   A − B + C 2 = 0  B = A + C 2  n . a = 0

Trang 130

A

→ →

cos(( β ),(Oyz )) = cos( n , i ) =

A2 + ( A + C 2) 2 + C 2 TH 1: A = 0 (không thoả đb hoặc ( β ),(Oyz ) không nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có: 1 1 = = cos(( β ),(Oyz )) = C C 2 2 6 12 C C 2 2 1 + (1 + 2) + ( ) ( 3) + 2.

2 +( ) + A A 3 9 A A 1

(

6 2 12 C 3+ ) + 3 9 A

6 2 C 6 C ( 3+ ) nhỏ nhất ⇔ 3+ =0 β ),(Oyz ) nhỏ nhất ⇔ cos(( β ),(Oyz )) lớn nhất ⇔ ( A 3 A 3 1   A = 1 (choïn) B=    3 . Vậy: (β): 3 x + y − 2 z − 7 = 0 ⇔  nên  2 7 C = −  D = − 3   3 Chọn đáp án D.  x = −t  Câu 5. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −1 + 2 t và   z = 2 + t mp ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua d và tạo với ( P ) một góc nhỏ

nhất.

A. x − y − z + 3 = 0 C. x + y + z + 3 = 0 Hướng dẫn giải:

B. x + y − z + 3 = 0 D. x − y + z + 3 = 0

 x y +1  = 2 x + y + 1 = 0 − 2 Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng:  1 ⇔  .  x z − 2  x + z − 2 = 0 =  1 −1 Do vậy mặt phẳng ( R ) qua d thì ( R ) thuộc chùm mặt phẳng: 2 x + y + 1 + m ( x + z − 2 ) = 0 .

Hay mp ( R ) : (2 + m ) x + y + mz + 1 − 2m = 0 (*). Mp ( R ) có n1 = (m + 2;1; m ); nP = (2; −1;−2 ) .

Vậy:

2 (m + 2 ) + 1 − 2 m 5 5 1 5 n1.nP cos α = = = = ≤ 2 2 2 2 n1 nP (m + 2 ) + 1 + m 4 + 1 + 4 3 2m + 4 m + 5 3 2 (m + 1) + 3 3 3

Do α nhỏ nhất cho nên cos α lớn nhất khi m = −1 .

Vậy thay vào (*) ta có mp ( R ) : x + y − z + 3 = 0 .

Chọn đáp án B. Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) là mặt phẳng qua hai điểm A(2;0;1) và

B (−2;0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng (Oxz ) một góc 450 . Khoảng cách từ O tới (α ) là: A.

3 .

2

B.

3 .

2

C.

1 .

2

D.

2 .

2 Trang 131

Hướng dẫn giải: Gọi K ; H lần lượt là hình chiếu vuông góc điểm O lên đường thẳng AB và mặt phẳng (α ).

Ta có: A, B ∈ ( Oxz )

⇒ (α ) ∩ ( Oxz ) = AB O

OH ⊥ (α )  HK ⊥ AB ⇒  OK ⊥ AB OK ⊥ AB

Oxz ) , (α ) = KH ⇒ ( , OK = OKH

(

) (

)

Suy ra tam giác OHK vuông cân tại H OK .

Khi đó: d ( O, (α ) ) = OH = 2

OA ∧ AB 3 . = Mặt khác: OK = d ( O, AB ) =

2 AB Khi đó: d ( O, (α ) ) = OH =

K 45

0

H α

OK 3 = .

2 2

Chọn đáp án A. Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M(3; 1; 0), N(- 9; 4; 9). Tìm điểm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho IM − IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A. a + b + c = 21 B. a + b + c = 14 C. a + b + c = 5 D. a + b + c = 19.

Hướng dẫn giải: Nhận thấy 2 điểm M, N nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Gọi R là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P), khi đó đường thẳng MR đi qua điểm M(3; 1; 0) x − 3 y −1 z = = . G ọi và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2 −1 1 H = MR ∩ (P) ⇒ H (1; 2; −1) ⇒ R (−1;3; −2) .

Ta có IM − IN = IR − IN ≤ RN . Đẳng thức xảy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ điểm I là  x = −1 − 8t  giao điểm của đường thẳng NR:  y = 3 + t (t là tham số ) và mặt phẳng (P).  z = −2 + 11t  Dễ dàng tìm được I(7; 2; 13).

Chọn đáp án A.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

4 6 .

2

D. T =

2 3 .

3

Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '(−1; −3;4) .

T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng.

Chọn đáp án A.

Trang 132

Câu 9. Cho hai điểm A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của AM + BM. 7274 + 31434 2004 + 726 A. 6 + 204 B. C. D. 3 26 6 3 Hướng dẫn giải: Ta có: (2.(-1)-3+(-2)+1)(2.(-9)-4+9+1)=72 > 0 => A,B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt n ( 2, −1,1)  x = −1 + 2t

 Đường thẳng AA’ đi qua A(-1, 3, -2) có vtcp n ( 2, −1,1) có pt:  y = 3 − t  z = −2 + t  Gọi H là giao của AA’ và (P) ta có: 2(-1+2t) - (3-t) + (-2 + t) + 1 =0 => t=1 => H(1, 2, -1).

Ta có H là trung điểm của AA’ => A’(3, 1, 0).  x = 3 − 4t

 Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp A ' B ( −12,3,9 ) có pt:  y = 1 + t  z = 3t  Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng (P) ta có: 2.(3-4t) – (1+t) + 3t +1 =0 => t=1 => N(-1, 2, 3).

Để MA+MB nhỏ nhất thì M ≡ N khi đó MA+MB = A’B =

( −12 )

2

+ 32 + 9 2 = 234 = 3 26

Chọn đáp án D. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z = = và 1 2 −1

x + 2 y −1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và 2 −1 2 đường thẳng d2 là lớn nhất.

A. x + y + z + 6 = 0 .

B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 .

D. x + y + z − 3 = 0 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: d1 đi qua M (1; −2; 0) và có VTCPu = (1;2; −1) . d2 :

Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = 0,( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) .

Ta có: d ⊂ (P ) ⇔ u.n = 0 ⇔ C = A + 2B Gọi α = ((P ), d2 ) ⇒ sin α = Với B = 0 ⇒ sin α = Với B ≠ 0 . Đặt t = Xét hàm số f (t) =

4 A + 3B

1 (4 A + 3B)2 = .

2 2 3 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5B

2 2 3

1 (4t + 3)2 A , ta được sin α = .

3 2t 2 + 4t + 5 B

(4t + 3)2 16t 2 + 124t + 84 .

Ta có: f '( t ) = 2t 2 + 4t + 5 (2t 2 + 4t + 5)2

 3 t=−  f '(t ) = 0 ⇔ 4   t = −7 BBT:

t

−∞

-7

−

3 4

+∞

Trang 133

f '(t )

+

0

0

+

25 3

f (t )

Dựa vào BBT ta có: max f (t ) = Khi đó: sin α = f (−7) =

-

25 A khi t = −7 ⇔ = −7 3 B

5 3 9

5 3 A khi = −7 ⇒ Phương trình mặt phẳng ( P ) : 7 x − y + 5z − 9 = 0 9 B Chọn đáp án B. Vậy sin α =

Câu 11. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − 4 = 0

(α) : 2x − 2y − z + 1 = 0, và mặt cầu S có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8.

A. −9 B. −12 C. 5 Hướng dẫn giải:

Ta có n1 = (2; −2; −1), n 2 = (1; 2; −2) lần lượt là VTPT của (α) và (β)

Suy ra VTCP của đường thẳng d là u =

D. 2

1   n1 ;n 2  = (2;1;2), 3

Ta có A(6;4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) nên A∈d.

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính R = 13 − m với m < 13.

IA = (8;1;5) ⇒  IA, u  = ( −3; −6;6) ⇒ d(I, d) = 3

AB = 4 vµ IH = 3 .

2 Trong tam giác vuông IHA ta có: IA 2 = IH 2 + AH 2 ⇔ R 2 = 9 + 16 ⇔ 13 − m = 25 ⇔ m = −12 . Vậy m = −12 là giá trị cần tìm.

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ AH =

Chọn đáp án B. Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A ( −2; −2; 0 ) , B ( 3; −2; 0 ) , C ( 3; 3; 0 ) , D ( − 2; 3; 0 ) , M ( − 2; − 2; 5 ) , N ( −2; −2;5 ) , P ( 3; −2; 5 ) , Q ( −2;3; 5 ) . Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm

đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng.

A. 3.

B. 6.

C. 8.

D. 9 Hướng dẫn giải: Vì tám điểm đã chõ tạo nên một hình lập phương, nên hình đa diện tạo bởi tám điểm này có 9 mặt đối xứng.

Chọn đáp án D. Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; − 1;6), B( − 1;2;4) và I( − 1; − 3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.

A. 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 .

D. x + y + z − 3 = 0 .

Hướng dẫn giải: Ta có IA = 32 + 22 + 42 = 29 và IB = 02 + 52 + 22 = 29 . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng

94 1 1  AB, vì IA=IB nên IM ⊥ AB, ta có M  ; ;5  ; IM = .

2 2 2  Trang 134

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P): Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay IH <

94 .

2

94 94 . Vậy ta có IH ≤ , IH lớn nhất khi H ≡ M. 2 2  3 7  Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là nP = IH = IM =  ; ;3  . Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 2 2  3 7 ( x − 2 ) + ( y + 1) + 3( z − 6 ) = 0 hay 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 2 2 Chọn đáp án A. Nếu H trùng với M thì IH = IM =

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho MA2 + MB2 nhỏ nhất là: A. (-1;3;2) B. (2;1;-11) C. (-1;1;5) D. (1;-1;7) Hướng dẫn giải: + Kiểm tra phương án A không thuộc (P). + Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh. Chọn C. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) . Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P) đạt giá K trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; −1) B. (1; −1;1) C. (1; −2;1) D. (2; −1;1) Hướng dẫn giải: - Khoảng cách từ K đến (P) lớn nhất bằng KH, khi H’ trùng H - Vậy mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với KH. H' - Tìm H và viết (P) hoặc: M N H P - (P) chứa MN và vuông góc với (MNP).

Gọi H, H’ là hình chiếu của K lên MN và (P).

Ta có: d (k ,(P )) = KH ≤ KH ' không đổi.

Vậy d ( K ,(P )) lớn nhất khi và chỉ khi H’ trùng H hay (P) vuông góc với KH.

MK = (0;1;0); NK = (1; −1; −1) ; MN = (−1;2;1)

(MNK) có vtpt là n =  MK , NK  = (−1;0; −1)  

 HK ⊂ ( MNK ) Do  nên HK có vtcp là  MN , n  = (2;2; −2) .    HK ⊥ MN

Chọn đáp án A.

Trang 135

Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1  −1 4 −5  A. D (1; 0;1) B. D  ; − ; −  C. D  ; ;  D. D(1; - 1; 0)  3 3 3   3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta thấy câu C và D có điểm D không thuộc (S). Loại C,D. Ta tính thể tích cho điểm D ở câu A và câu B. Điểm B ở câu B có thể tích lớn hơn.

Chọn đáp án B.

Câu 1.5. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  x = 1 + 2t  d:  y = −2 + 3t , t ∈ R trên mặt phẳng (Oxy): z = 3 + t 

 x = 3 + 2t '  A.  y = 1 + 3t ' , t ' ∈ R z = 0 

 x = 1 + 4t '  B.  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R z = 0 

 x = 1 + 2t '  x = 5 − 2t '   C.  y = 2 + 3t ', t ' ∈ R D.  y = 4 − 3t ', t ' ∈ R z = 0 z = 0  

Hướng dẫn giải:

A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d. Hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0), B/(3;1;0)

Phương trình hình chiếu đi qua A/ hoặc B / và nhận véc tơ cùng phương với A/ B / = ( 2;3; 0 ) làm véc tơ chỉ phương.

Chọn đáp án C.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

4 6 .

2

D. T =

2 3 .

3

Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '(−1; −3;4) .

T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng.

Chọn đáp án A. Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1;2; −3) và đường thẳng

x +1 y − 5 z = = . Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ đi qua M , vuông góc với đường 2 2 −1 thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. u = ( 2;1;6 ) .

B. u = (1;0;2 ) .

C. u = ( 3;4; −4 ) .

D. u = ( 2;2; −1) .

Hướng dẫn giải: Gọi ( P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d . Phương trình của ( P ) : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 . d:

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ∆, ( P ) .

Trang 136

d

P

A

K ∆

M

H

Ta có K ( −3; −2; −1)

d ( A, ∆) = AH ≥ AK

Vậy khoảng cách từ A đến ∆ bé nhất khi ∆ đi qua M , K . ∆ có véctơ chỉ phương u = (1;0;2 ) Chọn đáp án B.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng x −1 y z − 2 là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ . G ọi = = 2 1 2 nhất. Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ? d:

A.

11 18 18

B. 3 2

C.

11 18

D.

đến

lớ n

4 3

Hướng dẫn giải: Gọi

là hình chiếu của .

trên ;

là hình chiếu của

trên

A

Ta có lớn nhất khi , qua và Ta có ⇒ ( P) : x − 4 y + z − 3 = 0 Vậy d ( M , ( P ) ) =

Chọn đáp án A.

. d'

K

11 18 .

18

P

H

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A ( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) ,

D (1;1;1) với m > 0; n > 0 và m + n = 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?

A. R = 1 .

B. R =

2 .

2

C. R =

3 .

2

D. R =

3 .

2

Hướng dẫn giải: Gọi I (1;1;0) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy ) x y Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là: + + z = 1 m n Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC ) là nx + my + mnz − mn = 0 1 − mn = 1 (vì m + n = 1 ) và ID = 1 = d ( I ,( ABC )) Mặt khác d ( I ,( ABC )) = m2 + n2 + m2n2 Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với ( ABC ) và đi qua D Trang 137

Chọn đáp án A. Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ

v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). 2 x − y + 2 z − 3 = 0 2 x − y + 2 z + 3 = 0 A.  .

B.  .  2 x − y + 2 z + 21 = 0  2 x − y + 2 z − 21 = 0 2 x − y + z + 3 = 0  2 x − y + z + 13 = 0 C.  .

D.  2 x − y + z − 1 = 0 2 x − y + z − 1 = 0 Hướng dẫn giải: Vậy: (P): 2 x − y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x − y + 2 z − 21 = 0

(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (α ) là n = (1;4;1) .

⇒ VTPT của (P) là: nP = [ n, v ] = (2; −1;2) ⇒ PT của (P) có dạng: 2 x − y + 2 z + m = 0 .

 m = −21 . m = 3 Vậy: (P): 2 x − y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x − y + 2 z − 21 = 0 .

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P)) = 4 ⇔ 

Chọn đáp án B. Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,

D ( 3;1;4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A. 1.

B. 4.

C. 7.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải:

Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = (1;3; −1) , AD = ( 2;3;4 ) .

Khi đó  AB, AC  = ( −4;0; −4 ) suy ra  AB, AC  . AD = −24 ≠ 0 .

Do đó A, B, C , D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện.

Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ).

Trang 138

Chọn đáp án C. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ?

A. 1 mặt phẳng.

B. 4 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng.

D. Có vô số mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB = (−1;1;1); AC = (1;3; −1); AD = (2;3;4)

Khi đó:  AB; AC  . AD = −24 ≠ 0 do vậy A,B,C,D không đồng phẳng Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm. +) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng (ABC) +) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (ACD) +) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng (ABD) +) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) +) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD +) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD +) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD Chọn đáp án C. x + 4 y −5 z + 2 = = Câu 24. Đường thẳng ∆ song song với d : và cắt cả hai đường thẳng 3 1 −4 x+2 y −3 z x −1 y +1 z − 2 = = . Phương trình nào không phải đường thẳng ∆ d1 : = = và d 2 : 3 1 2 2 4 1 7 2 − − y z x + 4 y +1 z +1 x−3 3= 3 = = A. ∆ : B. ∆ : = 3 −4 1 3 −4 1 x − 4 y −1 z −1 x+9 y+7 z +2 = = = = C. ∆ : D. ∆ : 3 −4 1 3 −4 1 Hướng dẫn giải: Giải: Gọi M, N là giao điểm của ∆ và d1 , d 2 .

 xM = 1 + 3t  xN = −2 + 2t '   Khi đó M, N thuộc d1 , d 2 nên  yM = −1 + t ,  yN = 3 + 4t ' .  z = 2 + 2t  z = t '  M  N

Vector chỉ phương của ∆ là MN = ( −3 + 2t '− 3t;4 + 4t '− t ; −2 + t '− 2t )

−3 + 2t '− 3t 4 + 4t '− t −2 + t '− 2t x+ 4 y −5 z + 2 = = = = nên 3 −4 1 3 −4 1 4 7 2  Giải hệ ta được t ' = −1; t = − . Vậy N ( −4; −1; −1) , M  −3; − ; −  3 3 3 

∆ song song với d :

Trang 139

x + 4 y +1 z +1 = = 3 −4 1 Chọn đáp án A. Vậy ∆ :

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho chu vi tam giác  z = 2t  MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là A. M(1;0;2) ; P = 2( 11 + 29) B. M(1;2;2) ; P = 2( 11 + 29) C. M(1;0;2) ; P = 11 + 29 D. M(1;2;2) ; P = 11 + 29 Hướng dẫn giải: • Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t;1 − t;2t ) . AM + BM = (3t )2 + (2 5)2 + (3t − 6)2 + (2 5)2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; 2 5 và v = −3t + 6;2 5 .

(

)

(

)

Ta có u = (3t )2 + (2 5)2 ; v = (3t − 6)2 + (2 5)2

⇒ AM + BM =| u | + | v | và u + v = (6;4 5) ⇒| u + v |= 2 29

Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29

3t 2 5 = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng ⇔ −3t + 6 2 5 ⇒ M (1;0;2) và min( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29) Chọn đáp án A. Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d  x = 2 + 3t  có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là  z = 4 + 2t  nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A. M=(2;0;4 ).

B. M=(2;0;1).

C. M=(1;0;4 ).

D. M=(1;0;2 ).

Hướng dẫn giải: Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có:

2 2 2 ⇔ AM = ( 3t + 1; −2 − 2t;2t + 5) ⇒ AM = ( 3t + 1) + ( 2 + 2t ) + ( 2t + 5)

2 2 2 Tương tự: ⇔ BM = ( 3t − 5;2 − 2t;2t + 1) ⇒ BM = ( 3t − 5) + ( 2 − 2t ) + ( 2t + 1) Từ (*): MA=MB =

2

2

( 3t + 1) + ( 2 + 2t ) + ( 2t + 5)

2

=

2

2

( 3t − 5) + ( 2 − 2t ) + ( 2t + 1)

2

Hay: ⇔ 17t 2 + 34t + 30 = 17t 2 − 36t + 30 ⇔ 34t + 36t = 0 − 11 ⇔ 70t = 0 → t = 0 Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ).

Chọn đáp án A.

Trang 140

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng x +1 y +1 z − 3 d: = = . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một 2 1 1 góc nhỏ nhất là A. ( P ) : y − z + 4 = 0 B. ( P ) : x − z + 4 = 0 C. ( P ) : x + y − z + 4 = 0

D. ( P ) : y − z − 4 = 0

Hướng dẫn giải:

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ≠ 0) . Gọi a = (( P ),(Q)) .  M ∈ ( P ) c = − a − b Chọn hai điểm M (−1; −1;3), N (1; 0; 4) ∈ d . Ta có:  ⇒  N ∈ (P) d = 7a + 4 b 3 a+b . ⇒ (P): ax + by + (−2a − b)z + 7a + 4b = 0 ⇒ cosα = 6 5a2 + 4ab + 2b2 TH1: Nếu a = 0 thì cosα =

TH2: Nếu a ≠ 0 thì cosα =

3 6 3 6

.

b 2b2

.

=

3 ⇒ a = 30 0 .

2

1+

b a

b b 5 + 4 + 2  a a

2

. Đặt x =

b và f ( x ) = cos2 α a

9 x2 + 2x + 1 Xét hàm số f ( x ) = . .

6 5 + 4x + 2x2

Dựa vào BBT, ta thấy min f ( x ) = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ a = 90 0 > 300 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = 4 .

Vậy: (P): y − z + 4 = 0 .

Chọn đáp án A.

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với

( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 . = = A. 1 −5 7 x −1 y +1 z − 2 . = = C. 4 5 7 Hướng dẫn giải:

∆ có vectơ chỉ phương a∆ = (1; −2;2 )

d có vectơ chỉ phương ad = ( a; b; c )

( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2 x −1 = 4 x −1 = D. 1 B.

y +1 = −5 y +1 = −5

z+2 .

7 z−2 . −7

Vì d€ ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad .nP = 0 ⇔ 2a − b − c = 0 ⇔ c = 2a − b

cos ( ∆, d ) =

5a − 4b 3 5a 2 − 4ab + 2b 2

2

=

1 ( 5a − 4b ) 2 3 5a − 4ab + 2b 2

Trang 141

2

Đặt t =

a 1 ( 5t − 4 ) , ta có: cos ( ∆, d ) = b 3 5t 2 − 4t + 2

Xét hàm số f ( t ) =

( 5t − 4 )

2

 1 5 3 , ta suy ra được: max f ( t ) = f  −  = 5t − 4t + 2 3  5 2

Do đó: max cos ( ∆, d )  =

5 3 1 1 a ⇔t =− ⇒ =− 27 5 5 b

Chọn a = 1 ⇒ b = −5, c = 7 Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn đáp án A.

x −1 y +1 z − 2 = = 1 −5 7

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + 4 y − 2 z − 6 = 0 , ( Q ) : x − 2 y + 4 z − 6 = 0 .

Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa giao tuyến của ( P ) , ( Q ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.

A. x + y + z + 6 = 0 .

B. x + y + z − 6 = 0 .

C. x + y − z − 6 = 0 .

Hướng dẫn giải: Chọn M ( 6;0;0 ) , N ( 2;2;2 ) thuộc giao tuyến của ( P ) , ( Q )

D. x + y + z − 3 = 0 .

Gọi A( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) lần lượt là giao điểm của ( α ) với các trục Ox, Oy, Oz

x y z + + = 1( a, b, c ≠ 0 ) a b c 6  =1  a ( α ) chứa M , N ⇒  2 + 2 + 2 =1  a b c Hình chóp O.ABC là hình chóp đều ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c Vây phương trình x + y + z − 6 = 0 .

Chọn đáp án B. y = 0 Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) và Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − 2 z − 2 = 0 ⇒ (α) :

N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − 4 = 0 một góc bằng 45O . Phương trình mặt phẳng ( P ) là y = 0 y = 0 . .

A.  B.  2 x − y − 2 z − 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2x − 2z + 2 = 0 C.  .

D.  . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2x − 2z − 2 = 0 Hướng dẫn giải:

Gọi vectơ pháp tuyến của mp ( P ) và ( Q ) lần lượt là nP ( a; b; c ) a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ,

nQ ( P ) qua M (1;0;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + by + cz = 0

(

( P)

qua N ( 0;0; −1) ⇒ a + c = 0

( P)

hợp với ( Q ) góc 45O ⇒ cos nP , nQ = cos 45O ⇔

(

)

)

a−b 2

2a + b

2

2

=

a = 0 ⇔ 2  a = −2b

1

Trang 142

Với a = 0 ⇒ c = 0 chọn b = 1 phương trình ( P ) : y = 0 Với a = −2b chọn b = −1 ⇒ a = 2 phương trình mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 .

Chọn đáp án A.

Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(10;2;1) và đường thẳng

x −1 y z −1 = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho 2 1 3 khoảng cách giữa d và ( P ) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M ( −1;2;3) đến mp ( P ) là d:

97 3 76 790 . .

B. 15 790 2 13 3 29 . .

C. D. 13 29 Hướng dẫn giải: ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với A.

d H

K

đường thẳng d nên ( P ) chứa đường thẳng d ′ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d .

Gọi H là hình chiếu của A trên d , K là hình chiếu của H trên ( P ) .

P

d'

A

Ta có d ( d , ( P ) ) = HK ≤ AH ( AH không đổi)

⇒ GTLN của d (d , ( P)) là AH ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn nhất khi AH vuông góc với ( P ) .

Khi đó, nếu gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa A và d thì ( P ) vuông góc với ( Q ) .

⇒ n P = u d , nQ  = ( 98;14; − 70 )

⇒ ( P ) :7 x + y − 5 z − 77 = 0 ⇒ d ( M , ( P ) ) =

97 3 .

15

Chọn đáp án A. Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: x + 3 y +1 z = = . Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Khi 2 1 −1 đó (P) có một véctơ pháp tuyến là

A. n = ( 4; 5; 13) B. n = ( 4; 5; −13) C. n = ( 4; −5; 13) D. n = ( −4; 5; 13) Hướng dẫn giải: Gọi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc của A lên d và (P) Khi đó: d(A,(P)) = AK ≤ AH hay d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K

4 Ta có: H( −3 + 2t ; −1 + t ; −t ); a = ( 2;1; −1) và AH.a = 0 ⇔ t = 3

4 5 13 Suy ra: AH = ( − ; − ; − ) 3 3 3

Hay một véctơ pháp tuyến của (P) là n = ( 4; 5; 13) Chọn đáp án A.

Trang 143

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −2;0) , đường thẳng x +1 y z − 2 ∆: = = . Biết mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = 0 đi qua A , song song −1 3 1 với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Biết a , b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b + c + d bằng bao nhiêu?

A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .

D. −1.

Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆ .

Do H ∈ ∆ ⇒ H (−1 − t ;3t;2 + t ) ⇒ AH = (−t − 3;3t + 2; t + 2)

Do AH ⊥ ∆ ⇒ AH .u∆ = 0 với u∆ = (−1;3;1) ⇔ −1.(−t − 3) + 3.(3t + 2) + 1.(t + 2) = 0 ⇔ 11t = −11

⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −3;1) Gọi F là hình chiếu vuông góc của H trên ( P ) , khi đó: d (∆,( P)) = d ( H ,( P)) = HF ≤ HA Suy ra d ( ∆,( P )) max = HA . Dấu “=” xảy ra khi F ≡ A ⇒ AH ⊥ ( P) , hay bài toán được phát biểu lại là: “ Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với AH ”

Ta có AH = ( −2; −1;1) = −(2;1; −1) , suy ra n( P ) = (2;1; −1) Suy ra phương trình mặt phẳng ( P ) là: 2( x − 2) + y + 2 − z = 0 ⇔ 2 x + y − z − 2 = 0 . a, b ∈ ℕ * a = 2, b = 1 Do  ⇒ ⇒ a + b + c + d = 0.  ( a, b ) = 1 c = −1, d = −2 Chọn đáp án B.

Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) v đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường 2 1 −1 thẳng ∆ ? x = 2 + t x = 2 + t x = 1 + t x = 2 − t     A.  y = 1 − 4t B.  y = 1 − 4t C.  y = 1 − 4t D.  y = 1 − 4t  z = −2t  z = 3 − 2t  z = −2t  z = −2t     Hướng dẫn giải:  x = 1 + 2t  PTTS của d là  y = −1 + t .  z = −t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng ∆ cần tìm là đường thẳng MH.

Vì H thuộc d nên H (1 + 2t; −1 + t; −t ) suy ra MH = (2t − 1; −2 + t ; −t ) .

 1 −4 −2  2 Vì MH ⊥ d và d có 1 VTCP là u = (2;1; −1) nên MH .u = 0 ⇔ t = . Do đó MH =  ; ;  3 3 3 3  x = 2 + t  Vậy PTTS của ∆ là:  y = 1 − 4t .  z = −2t 

Chọn đáp án A.

Trang 144

x = 1 − t  Câu 35. Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P): x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng  z = 2t  nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).  x = 1 − 2t  x = 1 − 3t  x = 1 − 2t x = 1 − t     A.  y = 1 + 2t B.  y = 1 + 3t C.  y = 1 − 2t D.  y = 1 + t z = 0 z = 5 z = 0 z = 5     Hướng dẫn giải: Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I (1 − t;1 − t;2t ), I ∈ ( P) ⇒ t = 0 ⇒ I (1;1;0)

(d) có vectơ chỉ phương u = ( −1; −1;2)

(P) có vectơ pháp tuyến n = (1;1;0)

Vecstơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u ∆ = u , v  = (-2 ;2 ;0)  x = 1 − 2t  Phương trình mặt phẳng cần tìm là  y = 1 + 2t z = 0  Chọn đáp án A. Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A′(0;0; b) với (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ . Giả sử a + b = 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A′BDM ?

64 A. max VA′MBD = B. max VA′MBD = 1 27 64 27 C. max VA′MBD = − D. max VA′MBD = 27 64 Hướng dẫn giải: b  Ta có: C (a; a;0), B′(a;0; b), D′(0; a; b), C ′(a; a; b) ⇒ M  a; a;  2 

 b Suy ra: A′B = (a;0; −b), A′D = (0; a; −b), AM =  a; a; −  2  2

a 2b 3a b ⇒  A′B, A′D  = ( ab; ab; a 2 ) ⇒  A′B, A′D  . A′M = ⇒ VA′MBD = 2 4 1 1 1 2 64 2 Do a, b > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 4 = a + b = a + a + b ≥ 3 3 a b ⇒ a b ≤ 2 2 4 27 64 Suy ra: max VA′MBD = .

27 Chọn đáp án A. Câu 37. Cho A( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) và điểm ( P ) : x + 2 y − 2 z − 5 = 0 . Gọi M là điểm

thuộc ( P ) sao cho biểu thức S = MA − 4 MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. xM = 3 Hướng dẫn giải:

B. xM = −1

C. xM = 1

D. xM = −3

Trang 145

Gọi I là điểm IA − 4 IB = 0 ⇒ I ( 3;7; −3) Gọi G là trọng tâm ta m giác ABC ⇒ G ( −1; −1;3) Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P).

Có S = 3( MI + MG ) ≥ 3GI . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GI và (P) ⇒ M (1;3;1)

Chọn đáp án C. Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ nhất.

A. M ( −4; −1;0 ) .

B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0 ) .

D. M (1; −4;0 ) .

Hướng dẫn giải:

Gọi I ( a; b; c ) là điểm thỏa mãn 2 IA − IB = 0 , suy ra I ( 4; −1; −3) .

Ta có 2MA − MB = 2MI + 2IA − MI − IB = MI . Suy ra 2 MA − MB = MI = MI .

Do đó 2 MA − MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( P ) . Đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( P ) có là d :

x − 4 y +1 z + 3 = = .

1 1 −1

Tọa độ hình chiếu M của I trên ( P ) thỏa mãn

 x − 4 y +1 z + 3 = =  1 −1 ⇒ M (1; −4; 0 ) .  1  x + y − z + 3 = 0 Chọn đáp án D.

x = 2 − t x −1 y − 2 z −1  = = Câu 39. Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : và d 2 :  y = 3 − t . Mặt 1 2 −1  z = −2  phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 (với a; b; c; d ∈ ℝ ) vuông góc với đường thẳng d1 và chắn d1 , d 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a + b + c + d .

A. −14 B. 1 C. −8 D. −12 Hướng dẫn giải:

Ta có mặt phẳng (P) vuông dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n = (1; 2;1) .

Phương trình (P) có dạng ( P ) : x + 2 y − z + d = 0 .

 2 − d 2 − d 10 + d  ; ; Gọi M là giáo điểm của (P) với d1 và N là giao của (P) với d 2 suy ra M  , 3 6   6  −4 − d −1 − d  ; ; −2  .

N 3  3  2 16d 155 d Ta có MN 2 = + + .

18 9 9 Để MN nhỏ nhất thì MN 2 nhỏ nhất, nghĩa là d = −16 .

Khi đó a + b + c + d = −14 .

Chọn đáp án A.

Trang 146

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z = = và 1 2 −1

x + 2 y −1 z = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và đường 2 −1 2 thẳng d 2 là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ( P ) có vectơ pháp tuyến là n = (1; −1;2 ) . d2 :

B. ( P ) qua điểm A( 0;2;0 ) .

C. ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) : 7 x − y + 5z − 3 = 0 .

D. ( P ) cắt d 2 tại điểm B ( 2; −1;4 ) .

Hướng dẫn giải:

d1 qua M (1; −2;0 ) và có VTCP u = (1; 2; −1) . Vì d1 ⊂ ( P ) nên M ∈ ( P ) .

(

)

Pt mặt phẳng ( P ) có dạng: A ( x − 1) + B ( y + 2 ) + Cz = 0 A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Ta có: d1 ⊂ ( P ) ⇒ u.n = 0 ⇒ C = A + 2 B .

2

4 A + 3B

1 ( 4 A + 3B ) = .

2 2 3 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5B 2 2 TH1: Với B = 0 thì sin α = .

3

(

)

P ) , d 2 ⇒ sin α = Gọi α = (

2

TH2: Với B ≠ 0 . Đặt t = Xét hàm số f ( t ) =

A 1 ( 4t + 3) , ta được: sin α = .

B 3 2t 2 + 4t + 5

( 4t + 3) 2

2

2t + 4t + 5

. Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( x ) =

25 khi t = −7 khi 7

5 3 A = −7 . Khi đó sin α = f ( −7 ) = .

B 9 5 3 A khi = −7 .

9 B Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : 7 x − y + 5 z − 9 = 0 .

Chọn đáp án B .

Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C (3; −2;1) . Tìm tọa độ điểm So sánh TH1 và TH2 ⇒ α lớn nhất với sin α =

S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng

3 11 và S có cao 2

độ âm.

A. S (−4; −6;4) .

B. S (3;4;0) .

C. S (2;2;1) .

D. S (4;6; −4) .

Hướng dẫn giải:

Ta có AB = (2;1;2); AC = (2; −2; −1) , suy ra AB ⊥ AC .

Tam giác ABC vuông nên I và S có thể sử dụng các tính chất của phép dụng tâm để tính.

Tính được IM. S

MI ⊥ ( ABC ) ⇒ MI = k  AB, AC  → k

AS = 2MI , tìm S.

 AB, AC  = (3;6; −6)  

N I A

C

M Trang 147 B

 −1 5  Gọi M  3; ;  là trung điểm BC. Ta có:  2 2 2

 3 11  9 81 9 − = ⇒ IM = IM = IB − BM =    2  2 4 2  

MI ⊥ ( ABC ) ⇒ MI = k  AB, AC  = k (3;6; −6) ⇒ MI = 9 k .

2

2

2

9 1 =9k ⇔k =± 2 2

1 k = thì AS = 2 MI = ( 3;6; −6 ) ⇒ S ( 4;6; −4 ) 2 Chọn đáp án D. Suy ra

x +1 = y + 1 = z − 3 và mặt phẳng 2 ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình A. x − z + 3 = 0.

B. x + y − z + 2 = 0.

C. x − y − z + 3 = 0.

D. y − z + 4 = 0.

Hướng dẫn giải: Gọi ∆ là giao tuyến giữa ( P ) và ( Q ) . Khi đó, góc giữa ( P ) , ( Q ) nhỏ nhất khi chỉ khi ∆ ⊥ d .

Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; −1;3) và có vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1;1) .

Vectơ chỉ phương của ∆ là u∆ = n ∧ ud = ( 3; −3; −3) .

Vectơ pháp tuyến của ( Q ) là. nQ = ud ∧ u∆ = ( 0;9; −9 ) .

Mặt phẳng ( Q ) đi qua M ( −1; −1;3) và nhận vectơ pháp tuyến n = ( 0;1; −1) có phương trình Câu 42. Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

y−z+4=0 Chọn đáp án D. Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu S có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng

6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9 2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 2

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 Hướng dẫn giải: Gọi I ( x, y, z ) là tâm của S. Khi đó I ∈ ( P ) , IO = IA, IO + IA + AO = 6 + 2 nên ta suy ra hệ

 ( x − 1)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = x 2 + y 2 + z 2 − x + z + 1 = 0    2 2 2 ⇔  x2 + y 2 + z 2 = 9 2 x + y + z + 2 = 6 + 2 x + y − z − 3 = 0  x + y − z − 3 = 0   Giải hệ ta tìm được I ( 2, 2,1) hoặc I ( −1, 2, −2 ) Trang 148

Chọn đáp án D. Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1) .

Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa

độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là A. R = 1 B. R = 3 C. R = 4 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 Vì 4 điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:

D. R = 5

 A ∈ ( S )  4b + d + 4 = 0    B ∈ ( S ) ⇒  −2a + 2b + 8c + d + 18 = 0 C ∈ ( S ) 6a − 4b + 2c + d + 14 = 0  

OI = 5 ⇔ OI 2 = 5 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 5 Suy ra a = −1; b = 0; c = −2; d = −4 ⇒ R = 3 Chọn đáp án B.

Câu 45. Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O.ABC là A. 18 B. 27 C. 6 D. Không tồn tại a,b,c thỏa yêu cầu bài toán Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ thỏa O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3) x y z Phương trình mặt phẳng (ABC) là + + = 1 a b c 1 2 3 Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên + + = 1 a b c 1 VOABC= abc 6 1 2 3 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 = + + ≥ 3 3 . . ⇔ abc ≥ 27 a b c a b c 6 Chọn đáp án B. Câu 46. Cho hai điểm M (1;2;3) , A ( 2; 4;4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại B, C sao

cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 = = = = A. ∆ : B. ∆ : 1 2 1 −1 −1 −1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 = = = = C. ∆ : D. ∆ : 1 1 1 1 1 −1 Hướng dẫn giải: Gọi B ( a; b; c ) , từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC , suy ra C ( 2 − a; 4 − b;6 − c ) .

B ∈ ( P ) , C ∈ ( Q ) nên có hai pt: a + b − 2c + 1 = 0 (1) ; − a + 2b + c − 8 = 0

AM ( −1; −2; −1) , BC ( 2 − 2a; 4 − 2b;6 − 2c ) .

( 2) .

Trang 149

Tam giác ABC cân tại A nên: AM .BC = 0 ⇔ a + 2b + c − 8 = 0

( 3) .

 a + b − 2c + 1 = 0 a = 0   Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) có hệ:  − a + 2b + c − 8 = 0 ⇔ b = 3 ⇒ B ( 0;3; 2 ) , C ( 2;1; 4 ) .    a + 2b + c − 8 = 0 c = 2

Đường thẳng ∆ qua B và C có pt ∆ :

x −1 y − 2 z − 3 = = .

1 1 −1

Chọn đáp án D. x = 2 + t  Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t 

(

(

)

(

(

)

)

)

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm x 0

A. x 0 = 0 Hướng dẫn giải:

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

x = 2  Phương trình đường thẳng AB là: y = t1 t1 ∈ R . Dễ thấy đường thẳng ∆ và AB cắt nhau tại z = 3 + 3t 1 

(

(

)

)

điểm I 2; −1; 0 suy ra AB và ∆ đồng phẳng.

Lại có IA 0;1; 3 , IB 0; −1; −3 => IA = −IB ⇒ IA + IB = AB .

(

)

(

)

2

2 2 4 Ta có: MA4 + MB 4 ≥ 1 (MA2 + MB 2 ) ≥ 1  1 (MA + MB )  ≥ 1 AB 4 = 1 ( IA + IB ) .

2

4

4

22



(

8

Do đó MA + MB nhỏ nhất khi M trùng với điểm I 2; −1; 0

8

)

Chọn đáp án C. Câu 48. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng k2 3 k2 3 A. B. C. k 2 3 D. k 2 2 6 Hướng dẫn giải: x y z Phương trình (ABC): + + = 1 a b c Gọi H ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của O lên ( ABC )  ab 2 c 2 x = 2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )   H ∈ ( ABC ) a 2bc 2  bcx + cay + abz = abc  ⇔ y = Khi đó OH ⊥ AB ⇔ −ax + by = 0 2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )  −ax + cz = 0 OH ⊥ AC  a 2b 2 c z =  2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )  abc ⇒ OH = 2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) Trang 150

1 1 Ta có VOABC = OA.OB.OC = abc 6 6 3VABCD 1 2 2 2 ⇒ S ∆ABC = = ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) OH 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a 4 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ + + = a4 + b4 + c4 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vậy max S =

1 k4 k2 3 = 2 3 6

Chọn đáp án B. Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là x y z x y z x y z x y z A. + + = 1 B. C. D. + + =1 + + =1 + + = −1 7 3 3 27 3 3 −27 3 3 27 3 3 Hướng dẫn giải: Giá sử A(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy, C (0; 0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0) . x y z Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1 . a b c 9 1 1 1 VOABC = abc (2) Ta có: M (9;1;1) ∈ (P) ⇒ + + = 1 (1); 6 a b c (1) ⇔ abc = 9 bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 ⇔ (abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243  a = 27 9bc = ac = ab x y z   + + = 1.

Dấu "=" xảy ra ⇔  9 1 1 ⇔  b = 3 ⇒ (P): 27 3 3 c = 3  a + b + c = 1 Chọn đáp án B.

Câu 50. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ độ điểm M là: A. M ( 0;1; −1) B. M ( 2;11; −9 ) C. M ( 3;16; −13) D. M ( −1; −4;3) Hướng dẫn giải: Tam giác MAB có độ dài cạnh AB = 4 3 không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi MA + MB bé nhất.

AB = ( 4; −4; −4 ) ; CD = ( 2;10; −8 ) . Vì AB.CD = 0 nên AB ⊥ CD , suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ đó tìm ra điểm M ( 0;1; −1) .

Chọn đáp án A. Câu 51. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1), B(1;0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1  −1 4 −5  7 4 1 7 4 1 A. D  ; − ; −  B. D  ; ;  C. D  ; ;  D. D  ; − ;   3 3 3  3 3 3   3 3 3  3 3 3 Hướng dẫn giải: Trang 151

Ta có (S) : ( x − 1) 2 + y 2 + ( z + 1) 2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R = 2

Và AB = (1; −1; −4); AC = (−1; −3; −4)

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là n =  AB, AC  = (−8;8; −4) Suy ra mp(ABC) có phương trình: −8x + 8(y − 1) − 4(z − 1) = 0 ⇔ 2x − 2y + z + 1 = 0 1 Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d ( D;( ABC )) lớn nhất. Gọi 3 D1D 2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì d ( D;( ABC )) ≤ max {d ( D1 ;( ABC )); d ( D2 ;( ABC ))} .

Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

Đường thẳng D1D 2 đi qua I(1;0;-1), và có VTCP là n ABC = (2; −2;1)  x = 1 + 2t  Do đó (D1D2) có phương trình:  y = −2t .  z = −1 + t   x = 1 + 2t 2  t=  y = −2t   3 ⇒ Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ:  t = −2  z = −1 + t 2 2 2   ( x − 1) + y + ( z + 1) = 4 3  7 −4 −1   −1 4 −5  ⇒ D1  ; ;  & D2  ; ;  3 3 3    3 3 3   7 4 1 Ta thấy: d ( D1 ;( ABC )) > d ( D2 ;( ABC )) . Vậy điểm D  ; − ; −  là điểm cần tìm  3 3 3 Chọn đáp án D.

1 3  Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8. Đường 2 2  thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

A. S = 7 .

B. S = 4 .

C. S = 2 7 .

Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) và bán kính R = 2 2 .

D. S = 2 2 .

A

Vì OM = 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu ( S ) . Gọi A , B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB . Đặt x = OH , ta có 0 < x ≤ OM = 1, đồng thời 2

2

H O

M

2

HA = R − OH = 8 − x . Vậy diện tích tam giác OAB là 1 SOAB = OH . AB = OH .HA = x 8 − x 2 .

2 Khảo sát hàm số f ( x ) = x 8 − x 2 trên ( 0;1] , ta được

B

max f ( x ) = f (1) = 7 . ( 0;1]

Trang 152

Vậy giá trị lớn nhất của S∆OAB = 7 , đạt được khi x = 1 hay H ≡ M , nói cách khác là d ⊥ OM .

Chọn đáp án A. x = 2−t  2 2 2 Câu 53. Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = t . Tìm m để d z = m + t  cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và tại B vuông góc với nhau.

A. m = −1 hoặc m = −4 B. m = 0 hoặc m = −4 C. m = −1 hoặc m = 0 D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình

(2 − t)

2

2

+ t 2 + ( m + t ) − 2.( 2 − t ) + 4.( m + t ) + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ 3t 2 + 2 ( m + 1) t + m2 + 4m + 1 = 0 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ ' > 0 ⇔ ( m + 1) − 3m2 − 12m − 3 > 0

⇔ m2 + 5m + 1 < 0 .

Với phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng định lí Viet ta có m 2 + 4m + 1 −2 ; t1 + t2 = t1t2 = ( m + 1) 3 3

Khi đó IA = (1 − t1 ; t1; m + 2 + t1 ) , IB = (1 − t2 ; t2 ; m + 2 + t2 ) .

Vậy IA.IB = (1 − t1 )(1 − t2 ) + t1t2 + ( m + 2 + t1 )( m + 2 + t2 ) = 0 2

⇔ 3t1t2 + ( m + 1)( t1 + t2 ) + ( m + 2 ) + 1 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 1 −

2  m = −1 2 2 (TM). ( m + 1) + ( m + 2 ) + 1 = 0 ⇔  3  m = −4

Chọn đáp án A. Câu 54. rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1;2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ A. M (1;1; −1) B. M (1;1;1) C. M (1;2; −1) D. M (1;0; −1)

Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G ( 2;1;0 ) , ta có

MA2 + MB2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 (1) Từ hệ thức (1) ta suy ra : MA2 + MB 2 + MC 2 đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên (P).

Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có x = 2 + t  phương trình tham số là  y = 1 + t z = t 

Trang 153

x = 2 + t t = −1 y = 1+ t x = 1   Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình  ⇔ ⇒ M (1;0; −1) 0 z = t y =    x + y + z = 0  z = −1 Chọn đáp án D.

Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng

x y −1 z +1 = = . Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8.

2 1 2 A. m = −24 B. m = 8 C. m = 16 D. m = −12

(d ) :

Hướng dẫn giải: (S) có tâm I ( −2;3;0 ) và bán kính R =

( −2)

2

+ 32 + 02 − m = 13 − m ( m < 13)

Gọi H là trung điểm M, N ⇒ MH = 4

u , AI 

  =3 Đường thẳng (d) qua A ( 0;1; −1) và có vectơ chỉ phương u = ( 2;1;2 ) ⇒ d ( I ; d ) =

u

Suy ra R = MH 2 + d 2 ( I ; d ) = 42 + 32 = 5 Ta có 13 − m = 5 ⇔ 13 − m = 25 ⇔ m = −12 Chọn đáp án D.

Câu 56. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D ( 0; −3; −1) B. D ( 0;2; −1) C. D ( 0;1; −1) D. D ( 0;3; −1) Hướng dẫn giải: → D ( 0; b; c ) với c < 0 Do D ∈ ( Oyz ) 

c = 1( loai )  → D ( 0; b; −1) Theo giả thiết: d  D, ( Oxy )  = 1 ⇔ c = 1 ⇔  c = −1

Ta có AB = (1; −1; −2 ) , AC = ( −4;2;2 ) , AD = ( −2; b;1)

→  AB, AC  . AD = 6b − 6 Suy ra  AB, AC  = ( 2;6; −2 )  b = 3 1 Cũng theo giả thiết, ta có: VABCD =  AB, AC  . AD = b − 1 = 2 ⇔  6 b = −1 Chọn đáp án D.

Trang 154

SỐ PHỨC z1 + z2

Câu 1. Cho hai số phức phân biệt z 1; z 2 thỏa điều kiện

z1 − z2

là số ảo. Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A. z1 = 1; z 2 = 1

C. z1 = z 2

B. z 1 = z 2

D. z 1 = −z 2

Hướng dẫn giải: z1 ≠ z 2 ⇔ z 1 − z 2 ≠ 0 .

Thì

z1 + z2 z1 − z2

là số ảo ⇔

 z + z  z1 + z 2 z1 + z 2 2 + =0 +  1  = 0 . ⇔ z1 − z 2 z 1 − z 2  z 1 − z 2  z1 − z 2

z1 + z2

(

)

(

)

⇔ (z1 + z 2 )(z 1 − z 2 ) + (z1 − z 2 ) z 1 + z = 0 . ⇔ 2 z1 z1 − z 2 z 2 = 0 ⇔ z1 z1 − z 2 z 2 = 0 . ⇔ z 1 − z 2 = 0 .

Chọn đáp án A. Câu 2. Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + (4 − m) z 2 − 4 m = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6 .

A. m = −1 Hướng dẫn giải:

B. m = ± 2

C. m = ±3

D. m = ±1

 z1;2 = ±2i z 4 + (4 − m) z 2 − 4m = 0 ⇔ ( z 2 + 4)( z 2 + m) = 0 ⇔  nếu m ≤ 0 hoặc  z3;4 = ± −m  z1;2 = ±2i ⇔  nếu m > 0  z3;4 = ±i m 6 = z + z + z + z = 4 + 2 −m 1 2 3 4 ⇔ m = −1 Khi đó  m ≤ 0  6 = z + z + z + z = 4 + 2 m 1 2 3 4 ⇔ m=1 hoặc  m > 0  Kết hợp lại thì m = ±1 thoả mãn bài toán.

Chọn đáp án D. Câu 3. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình A. 1 B. 1+i Hướng dẫn giải: z + z = 2 ⇔ z + z.z = 2z z ⇔ a + bi + a 2 + b 2 = 2(a − bi)

z +z=2 z C. 1-i

⇔ (a + a 2 + b 2 ) + bi = 2a − 2bi  a = 1 => z = 1  2 2 2 a + a + b = 2a a − a = 0 b = 0  ⇔ ⇔   a = 0 b = −2b b = 0  => z = 0(loai)  b = 0 Chọn đáp án A.

D. i

.

Trang 155

Câu 4. Trong các số phức thỏa điền kiện z − 4i − 2 = 2i − z , modun nhỏ nhất của số phức z bằng?

A. 2 2

B. 2

C. 1

D. 3 2 .

Hướng dẫn giải: Giả sử số phức z = x + yi

x, y ∈ R

Theo đề z − 4i − 2 = 2i − z ⇔ (x − 2) 2 + (y − 4) 2 = x 2 + (y − 2) 2 ⇔ x+ y−4 = 0 ⇔ y = 4 − x (1) Mà z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2

(thay (1) vào)

= 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 .

Chọn đáp án A.

Câu 5. Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z +i . z A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải: 1 1 i i i i 1 1 Ta có 1 − ≤ 1 + ≤ 1 + ⇔ 1 − ≤ 1 + ≤ 1 + . Mặt khác z ≥ 2 ⇔ ≤ suy ra z z z z z z z 2 3 1 1 3 ≤ P ≤ Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng tổng giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P là 2 .

Chọn đáp án B. P=

Câu 6. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Z (1 + i ) − 3 + 2i = A. z = 1 + 3i

B. z =

Hướng dẫn giải:

2 1 + i 2 2

C. z =

+ Gọi z=x+yi. Từ giả thiết ta có: ( x + y − 3)2 + ( x − y + 2) 2 =

3 1 − i 2 2

13 là: 2 D. z =

3 15 + i 4 4

13 4

+ Đồng thời | z |= x 2 + y 2 lớn nhất.

Chọn đáp án A. Câu 7. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) ( z 2 − 1)( z 3 + i ) = 0

A. 3 Hướng dẫn giải:

B. 4

C. 6

D. 8

 z = −i  z = −i  z = ±1  z = −i  z = ±1  ⇔ z = i ( z + i ) ( z 2 − 1)( z 3 + i ) = 0 ⇔  z = ±1 ⇔  z = i   z 3 − i3 = 0  2   z = −i ± 5  z + iz − 1 = 0  2 Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6.

Trang 156

Chọn đáp án C. Câu 8. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của 3 số phức: 1 + 2 i; (1 − i)(1 + 2i);

y

2 + 6i .Diện tích của tam giác 3−i

ABC bằng: 1 1 A. B. 2 4 5 5 D. 5 2 Hướng dẫn giải: Dùng máy tính casio ta có A(1;2), B(3;1) ,C(0;2) 1 Dùng công thức S =  AB, AC  Với 2

AB = ( 2; −1;0 ) , AC = ( −1; 0;0 )

C. I

N

M

M’

x

O

Dùng máy tính ta có kết quả B: S=1/2 (Có thể dùng công thức tính diện tích phần Oxy tính nhanh hơn) Chọn đáp án B. m +1 Câu 9. Cho số phức z = ( m ∈ ℝ ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i < 1 là 1 + m ( 2i − 1)

B. 1

A. ∅ Hướng dẫn giải: Ta có z − i =

⇒ z −i =

C. 4

D. Vô số

m + 1 − i (1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i m +1 −i = = 1 + m ( 2i − 1) 1 + m ( 2i − 1) 1 − m + 2mi

3m + 1 + ( m − 1) i 1 − m + 2mi

=

3m + 1 + ( m − 1) i 1 − m + 2mi

<1

2

2

2

⇔ 3m + 1 + ( m − 1) i < 1 − m + 2mi ⇔ ( 3m + 1) + ( m − 1) < (1 − m ) + 4m2 ⇔ 5m2 + 6m + 1 < 0 ⇔ −1 < m < −

1 5

Vì m ∈ ℤ ⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Câu 10. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn iz1 + 2 =

1 và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

z1 − z2 .

A. 2 −

1

B. 2 +

1

C.

1

2−

D.

2+

1

2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt z1 = x1 + y1i ( x1; y1 ∈ ℝ ) . Khi đó điểm M ( x1; y1 ) là điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn:

1 = . Suy ra tập hợp các điểm M 4 1 biểu diễn z1 là đường trong ( C ) có tâm I 0; 2 và bán kính R = .

2 Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z 2 thì việc tìm GTNN của z1 − z2 là việc tìm GTNN của MN. i ( x1 + y1i ) + 2 =

1 1 ⇔ ix1 − y1 + 2 = ⇔ x12 + y1 − 2 2 2

(

(

)

2

)

Trang 157

Theo đề thì z2 = iz1 = − y1 + x1i ⇒ N ( − y1; x1 ) là điểm biểu diễn z 2 . Ta nhận thấy rõ ràng

OM .ON = − x1 y1 + x1 y1 = 0 ⇒ OM ⊥ ON . Dễ nhận thấy OM = ON = x12 + y12 Ta có hình vẽ sau:

Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN = OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất.

Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M ≡ M ' (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ) Tức là 1 1 1   M  0; 2 −  . Khi đó MN = OM 2 =  2 −  2 = 2 − .

2 2 2   Chọn đáp án A.

Câu 11. Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z + 1 − i ≤ 1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu ? − 2 −2 2 −2 2− 2 2+ 2 A. .

B. .

C. .

D. .

2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) Gọi A là điểm biểu diễn số phức −1 + i Ta có: z + 1 − i ≤ 1 ⇔ MA ≤ 1 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm A ( −1,1) , R = 1 như hình vẽ Để max z ⇔ max ( OM ) 2 2  x + 1) + ( y − 1) ≤ 1 y = −x 

⇒ M thỏa hệ: (

2 −2 2+2 ,x = − 2 2 Chọn đáp án A. ⇔x=

Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z + 2i − 1 = z + i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1,3) .

A. 3 + i .

B. 1 + 3i .

C. 2 − 3i .

Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R )

D. −2 + 3i .

Gọi E (1, −2 ) là điểm biểu diễn số phức 1 − 2i Gọi F ( 0, −1) là điểm biểu diễn số phức −i Ta có: z + 2i − 1 = z + i ⇔ ME = MF ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

EF : x − y − 2 = 0 . Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M ( 3,1) ⇒ z = 3 + i Chọn đáp án A. 2z − i ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .

Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn 2 + iz A. 1.

Hướng dẫn giải: Ta có:

B. 2.

C.

2

D.

3

Trang 158

(2 z − i )(2 z + i ) ≤ (2 + iz )(2 − iz ) 2z − i 2z − i 2z + i ≤1⇔ . ≤1⇔  ⇔ z. z ≤ 1 2 + iz 2 + iz 2 − iz 2 + iz ≠ 0 Chọn đáp án A.

Câu 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z = z − 3 + 4i .

25 =0 B. 3x + 4 y − 25 = 0 2 25 =0 C. 3 x − 4 y − D. 3x − 4 y − 25 = 0 2 Hướng dẫn giải: Vì z = z nên z − 3 + 4i = z − 3 + 4i = z − 3 − 4i , A. 3 x + 4 y −

suy ra z = z − 3 + 4i ⇔ z = z − 3 − 4i ⇔

z − 3 − 4i =1 z

z − 3 − 4i = 1 là đường trung trực của đoạn thẳng OA, với z 3  O ( 0 ) và A( 3 + 4i ) . Đường trung trực này đi qua trung điểm K  + 2i  của đoạn thẳng OA và 2 

nhận véctơ OA ( 3 + 4i ) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn

25 3  =0.

3  x −  + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y − 2 2  Chọn đáp án A.

1 . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 thì M’ di động trên đường nào?

A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0 B. 2 x + 2 y + 1 = 0 2 − 2 + 1 = 0 x y C. D. 2 x + 2 y − 1 = 0 Hướng dẫn giải: x  x' = 2  x + y2 z 1  Ta có z ' = = 2 . Do đó  y z z y' = 2  x + y2

Câu 15. Điểm M biểu diễn số phức z ≠ 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' =

M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 nên 2 2 ( x + 1) + ( y − 1) = 2

⇔ x2 + y2 + 2 x − 2 y = 0 ⇔

x2 + y 2 + 2 x − 2 y =0 x2 + y 2

2x 2y − 2 = 0 ⇔ 2 x '− 2 y '+ 1 = 0 2 x +y x + y2 Chọn đáp án C. ⇔ 1+

2

Câu 16. Tìm số thực m = a − b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 z 2 + 2( m − 1) z + (2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 . Tìm a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Trang 159

Hướng dẫn giải: ∆ ' = m2 − 6m − 1∈ R TH1: ∆ ' > 0 hay m ∈ (−∞;3 − 10) ∪ (3 + 10; +∞) Khi đó z1 + z2 = 10 ⇔ z12 + z22 + 2 z1 z2 = 10

  2m + 1 ≥ 0  2  m = 1 + 10  (1 − m) = 10 2 ⇔ (1 − m) − (2m + 1) + 2m + 1 = 10 ⇔  ⇔ 2m + 1 < 0  m = 3 − 20   2  m − 6m − 11 = 0

(loai)

TH2: ∆ ' < 0 hay m ∈ (3 − 10;3 + 10)

1 − m + i −(m2 − 6m − 1) 1 − m − i −(m2 − 6m − 1) + = 10 2 2

Khi đó: z1 + z2 = 10 ⇔ Hay

(1 − m) 2 + (−m2 + 6m + 1) = 10 ⇔ m = 2

Vậy m = 2 hoặc m = 3 − 20

Chọn đáp án C. Câu 17. Cho các số phức z thỏa mãn z = 2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. 20 B. Hướng dẫn giải: Đặt w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ )

C.

20

D. 7

7

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇒ x + yi = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇒z=

x − 3 + ( y + 2) i 2−i

=

2x − y − 8 x + 2 y + 1 i + 5 5

2

2

 2x − y − 8   x + 2 y + 1  ⇒   +  =2 5 5     ⇒ x2 + y 2 − 6 x + 4 y − 7 = 0 2

2

⇒ ( x − 3) + ( y + 2 ) = 20 Bán kính của đường tròn là r = 20 Chọn đáp án B.

Câu 18. Cho hai số phức u,v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016 . Tính M = 4u + 3v .

A. 2984 B. 2884 Hướng dẫn giải: 2 Ta có z = z.z . Đặt N = 3u − 4v .

(

)

C.

2

(

2

2894

D.

24

)

Khi đó N 2 = ( 3u − 4v ) 3u − 4v = 9 u + 16 v − 12 uv + vu .

2

2

2

(

)

Tương tự ta có M = 16 u + 9 v − 12 uv + vu .

Trang 160

(

2

2 2 Do đó M + N = 25 u + v

2

) = 5000 .

Suy ra M 2 = 5000 − N 2 = 5000 − 2016 = 2984 ⇒ M = 2984 .

Chọn đáp án A. z 6 + 7i = Câu 19. Cho số phức z thoả mãn: z − . Tìm phần thực của số phức z 2017 .

1 + 3i 5 A. −21008 B. 21008 C. 2504 D. 22017 Hướng dẫn giải: z 6 + 7i = Cho số phức z thoả mãn: z − . Tìm phần thực của số phức z 2013 .

1 + 3i 5 a − bi 6 + 7i = Gọi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có a + bi − 1 + 3i 5 (a − bi)(1 − 3i ) 6 + 7i a + bi − = ⇔ 10a + 10bi − a + 3b + i (b + 3a) = 12 + 14i 10 5 ⇔ 9a + 3b + i(11b + 3a) = 12 + 14i 9a + 3b = 12 a = 1 ⇔ ⇔ 11b + 3a = 14 b = 1

a = b = 1 ⇒ z = 1 + i ⇒ z 2017 = ( (1+i) 4 )

504

504

(1 + i ) = ( −4 ) (1 + i ) = 21008 + 21008 i

Chọn đáp án B. Câu 20. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 Hướng dẫn giải:

C. 2016

1 1 1 + = . z w z+w

D. 2017

2

( z + w) − zw = 0 z+w 1 1 1 1 ⇔ − =0⇔ Từ + = z w z+w zw z+w zw ( z + w ) 2 2 1 2 3 2 1  3 2 1   i 3w    ⇒ z + w + zw = 0 ⇔ z + zw + w + w = 0 ⇔  z + w  = − w ⇔  z + w  =   4 4 2  4 2   2    2

2

2

2

2

2  1 i 3 w   i 3w  z  Từ  z +  =  ⇒ z = − ±   w ⇒ w=    2  2  2   1 i 3   2 − ±  2   2 2017 = 2017 Suy ra: w = 1 3 + 4 4 Chọn đáp án D. 8

Câu 21. Biết số phức Z thỏa điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16π B. 4π C. 9π D. 25π Hướng dẫn giải: Đặt z=x+yi

6

4

2

O 2

5 Trang 161

z − 3i − 1 = x − 1 + ( y − 3)i = ( x − 1)2 + ( y − 3)2 Do đó 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 ⇔ 9 ≤ ( x − 1)2 + ( y − 3)2 ≤ 25 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn Tâm I (1 ;3) với bán kính bằng R=5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I (1 ;3) với bán kính r=3 Diện tích của hình phẳng đó là S = π.52 − π.32 = 16π Chọn đáp án A. Câu 22. Số Phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai.

A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.

B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.

C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.

D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.

Hướng dẫn giải: Ta có: z1 + z2 + z3 = 1 ⇔ 1 − z1 = z2 + z3 .

Nếu 1 − z1 = 0 thì z2 + z3 = 0 ⇒ z2 = − z3 .

Nếu 1 − z1 ≠ 0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 − z1 = z2 + z3 không trùng với góc tọa độ O. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức − z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.

Khi đó ta có OA + OM = OP (do P là điểm biểu diễn của số 1 + ( −z1 ) ) nên OAPM là hình bình hành. Mà z1 = z2 = z3 = 1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 đều nằm trên đường tròn

đơn vị. Ta cũng có OA = OM = 1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị.

Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2 + z3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số z 2 , z3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị.

Vậy M ' ≡ M , A ' ≡ A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2 = 1, z3 = − z1 hoặc z3 = 1, z2 = − z1 .

Do đó A, B là mệnh đề đúng.

C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.

2 2 2 2 i, z3 = − i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng + − D sai vì với z1 = 1, z2 = 2 2 2 2 z1 z2 z3 ≠ 1 .

Chọn đáp án D. 1 1 1 Câu 23. Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn + = . Mô đun z w z+w của số phức w là A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Từ + = ta suy ra z 2 + w 2 + zw = 0 z w z+w 2

2  1 i 3 w   i 3w   ⇒  z +  =   ⇒ z =  − ± w 2  2  2    2 Lấy mô đun hai vế ta có z = w = 2017 .

Chọn đáp án C.

Trang 162

Câu 24. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = 3 . Tìm giá trị

y

nhỏ nhất của z

A.

13 − 3

x O

B. 2

z

C. 13 − 2 D. 2 Hướng dẫn giải: Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z − 2 + 3i = 3 nằm trên

M

C

I

đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = 3 . (Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM) Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ điểm M∈(C) và OM nhỏ nhất.

(Bài toán hình học giải tích quen thuộc) Ta có: OM ≥ OI – IM = OI – R = 13 − 3 .

Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI. Vậy GTNN của z là:

13 − 3 .

Chọn đáp án A. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: 2

2

Giả sử z = a + bi , ta có: a + bi − 3 + 4i = 4 ⇒ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16

a − 3 = 4sin ϕ  a = 3 + 4sin ϕ ⇒ b + 4 = 4cos ϕ b = 4cos ϕ − 4

Đặt 

2

⇒ z = a 2 + b 2 = 9 + 16sin 2 ϕ + 24sin ϕ + 16cos 2 ϕ + 16 − 32cos ϕ = 41 + 24sin ϕ − 32cos ϕ 3 4 = 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ ) 5 5

3 4 2 ,sin α = ⇒ z = a 2 + b 2 = 41 + 40sin(ϕ − α ) ≥ 1 .

5 5 π π Dấu “=” xảy ra khi ϕ − α = − + k 2π ⇒ ϕ = − + α + k 2π .

Đặt cos α =

2

2

Vậy Min z = 1 .

Chọn đáp án A. Câu 26. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , n ∈ ℕ thỏa mãn trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Điều kiện n > 3, n ∈ ℕ Phương trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 ⇔ log 4 (n − 3)(n + 9) = 3 ⇔ n = 7 (so đk)

phương

3

2 z = (1 + i)7 = (1 + i). (1 + i )  = (1 + i)(2i)3 = 8 − 8i   Vậy phần thực của số phức z là 8.

Chọn đáp án D.

Trang 163

2z −1 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ 1 và số phức w = . Khi đó mô đun của số phức w là: 2 + iz A. w = 2 B. 1 < w < 2.

C. w ≤ 1 D. w > 2

Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . z ≤ 1 ⇒ a 2 + b 2 ≤ 1.

2

4a 2 + ( 2b − 1) 2z − 1 2z −1 >1⇔ . Xét = 2 2 + iz 2 + iz ( 2 − b) + a2

4a 2 + ( 2b − 1)

( 2 − b)

2

+a

2

2

> 1 ⇔ ... ⇔ a 2 + b 2 > 1. (vô lí)

Nên w ≤ 1.

Chọn đáp án C. Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

)

(

w = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó?

A. r = 4 Hướng dẫn giải:

B. r = 2

C. r = 16

(

) (

D. r = 25

2

)

Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ; a , b, x , y ∈ R => a − 1 + b 2 = 4 Theo đề x = a + 2 − b 3 x − 3 = a − 1 − b 3   w = 1 + i 3 z + 2 ⇔ x + yi = 1 + i 3 z + 2 ⇔  ⇒ y = b + a 3 y − 3 = b + 3 a − 1

)

(

(

)

(

)

=> x − 3

=> x − 3

2

2

)

(

2

(

2

2

)

( ) = (a − 1 − b 3 ) + (b + (a − 1) 3 ) = 4  (a − 1) + b  = 16 + (y − 3 ) = 16 suy ra bán kính đường tròn là r = 16 = 4 . + y− 3

2

2

2

Chọn đáp án A. 2 2017 Câu 29. Tìm phần ảo của số phức z , biết số phức z thỏa mãn i. z = 2 + i + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .

A. 1 B. 21009 C. −21009 D. 21009 i Hướng dẫn giải: 2 2017 Ta thấy 1; 1 + i; (1 + i ) ; ........; (1 + i ) lập thành một cấp số nhân gồm 2018 số hạng với u1 = 1 công bội

q = 1+ i .

2018

Suy ra i. z = S2018 ⇔ z = 1 − (1 + i )

q 2018 − 1 (1 + i ) = u1 = q −1 i

2018

2 = 1 − (1 + i )   

1009

−1

= i − i (1 + i ) 1009

= 1 − ( 2i )

2018

= 1 − 21009 i

⇒ z = 1 + 21009 i Vậy phần ảo của z là 21009 .

Chọn đáp án B.

Câu 30. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r = 4.

B. r = 5.

C. r = 20.

Hướng dẫn giải:

D. r = 22.

Trang 164

Gọi w = a + bi , ta có w = a + bi = (3 + 4i ) z + i ⇔ z =

a + (b − 1)i [ a + (b − 1)i ] (3 − 4i ) = 3 + 4i 9 − 16i 2

(3a + 4b − 4) 2 + (3b − 4a − 3) 2 3a + 4b − 4 (3b − 4a − 3) = + .i ⇒ z = 25 25 25 2 2 Mà z = 4 nên ⇔ (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) = 1002 ⇔ a 2 + b 2 − 2b = 399 Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn nên ta có

a 2 + b2 − 2b = 399 ⇔ a 2 + (b − 1)2 = 400 ⇒ r = 400 = 20 Chọn đáp án C. Câu 31. Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2 A. P = 5 + 3 5 .

Hướng dẫn giải:

B. P = 2 26 .

C. P = 4 6 .

D. P = 34 + 3 2 .

Đặt OA = z1 , OB = z2 ( với O là gốc tọa độ, A, B là điểm biểu diễn của z1 , z2 ).

Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có AB = z1 − z2 = 2, OC = z2 + z1 = 10, OM = 5 Theo định lý đường trung tuyến ta có 2 ( OA2 + OB 2 ) − AB 2 2 2 2 ⇒ OA2 + OB 2 = 52 ⇒ z1 + z2 = 52 OM = 4

(

2

Ta có z1 + z2 ≤ 2 z1 + z2

2

)=2

26 ⇒ Pmax = 2 26

Chọn đáp án B.

Trang 165