BỘ CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPTQG ỨNG DỤNG VECTƠ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ

TÀI LIỆU VẬT LÝ ÔN THI THPTQG

vectorstock.com/28062424

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BỘ CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPTQG ỨNG DỤNG VECTƠ QUAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ………..

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

Chuyên đề: “Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ”

Nhóm giáo viên: ………….. ……………..

Tổ: Lí – Hóa – Công Nghệ Đơn vị: ……………..

Năm học: …………..

Phần MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ.

Trong chương trình thi đại học (nay là kì thi THPT Quốc gia) thì phần Dao động cơ là một phần quan trọng không thể thiếu trong cấu trúc đề thi, với tỉ lệ số câu trong đề thi tương đối lớn. Hơn nữa, do thi dưới hình thức trắc nghiệm nên để làm nhanh được một bài toán cũng là một vấn đề rất được quan tâm. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kỹ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Bởi vậy, với mỗi bài toán đề ra, người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà còn phải tìm cách giải nhanh nhất.

Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều (còn gọi là phương pháp vectơ quay) để giải các bài tập dao động cơ đã đáp ứng được điều đó. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng nắm được thành thạo và nhanh nhạy phương pháp này do các em thấy lúng túng khi dùng đường tròn lượng giác và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động này. Vì vậy, tôi đưa ra chuyên đề: “Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ” nhằm giúp các em giải quyết những khó khăn trên.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Vận dụng các kiến thức vật lí và toán học để đưa ra phương pháp giải một số bài tập về dao động cơ một cách đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng. Từ đó xây dựng một hệ thống bài tập để học sinh có thể vận dụng phương pháp trên.

III. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG. Chuyên đề áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 và học sinh chuẩn bị thi THPT quốc gia.

IV. THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề được giảng dạy trong 9 tiết.

-1-

Phần NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT. * Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao

M

động điều hòa (còn gọi là phương pháp vectơ

x

φ P

O

quay): Để biểu diễn dao động điều hòa x=Acos(ωt+φ) của một vật trên trục Ox, người ta dùng một vectơ

OM có độ dài bằng A (biên độ), quay đều quanh điểm O ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc là ω (với O là vị trí cân bằng của vật).

- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và

OM là φ (pha ban đầu).

- Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM sẽ là (ωt+φ), góc này chính là pha của dao động.

- Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM trên

trục Ox sẽ là: ch x OM = OP = Acos(ωt + φ)

Vectơ quay ở thời điểm t = 0

M ωt φ

x

P

O

Vectơ quay ở thời điểm t bất kì

Như vậy : Độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véctơ quay OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.

Nói cách khác: Khi véctơ OM quay đều với tốc độ góc ω quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M sẽ dao động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số ở thời điểm t=0. góc đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc xOM

* Chú ý: Tại thời điểm ban đầu t = 0: - Nếu vật đi theo chiều âm trục Ox thì

OM ở trên Ox → φ > 0.

- Nếu vật đi theo chiều dương trục Ox

thì OM ở dưới Ox → φ < 0.

M -A

P

O

φ>0 φ<0

P

A

x

M

-2-

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG. 1. Bài toán tìm thời gian.

1.1. Tìm thời điểm t mà vật đi qua vị trí có li độ x1 (giả sử kể từ thời điểm t=0).

1.1.1. Phương pháp giải.

Phương trình dao động điều hòa có dạng: x=Acos(ωt+φ), trong đó A, ω, φ đã biết. Để làm bài toán này, ta dùng Phương pháp vetơ quay, và làm theo các bước: - Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên, dựa vào pha ban đầu φ đề bài cho để vẽ

vectơ OM 0 tại thời điểm ban đầu t=0.

- Khi vật đến li độ x1, ta vẽ vectơ OM1 .

- Dựa vào hình vẽ, tìm góc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM 0 đến

OM1 . α . ω 1.1.2. Ví dụ minh họa.

- Ta có: α = ωt → t =

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt) cm. Tìm thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng kể từ lúc t=0?

HD:

M1

- Vì ϕ = 0 nên ban đầu vectơ quay ở OM0 - Vật đi qua vị trí cân bằng O, ứng với vectơ quay ở OM1 và OM2. → Thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí cân bằng ứng với vectơ quay ở OM1.

- Hình vẽ, góc quét được từ OM0 đến OM1 là:

α -8

O

M0 8

M2

π α 1 → Thời điểm cần tìm: t = = s 2 ω 4 * Nhận xét: Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:

α=

- Khi vật đến vị trí cân bằng thì x = 0 ↔ 8cos(2πt) = 0 → 2 πt =

π 1 k + k.π ↔ t = + , với k = 0, 1, 2, ...

2 4 2

- Thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng ứng với k = 0 → t =

1 s.

4

-3-

x

π ) cm.

6 Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương kể từ lúc t=0?

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +

HD: - Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.

- Vật qua x = 2cm theo chiều dương tương ứng vectơ quay ở OM. - Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương tương ứng vectơ quay quét được 2 vòng (qua x = 2cm 2 lần) và lần cuối cùng quét từ OM0 đến OM. → Góc quét được trong thời gian đó là: α = 2.2π +

→ Thời điểm cần tìm là: t =

M0

-4

3π 2

π 6

O

2

x

4

M

3π 2

α 11 = s ω 8

* Nhận xét: Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau: - Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương nên ta có thể viết: π π π  x=4cos(4πt + 6 ) = 2 → 4πt + 6 = ± 3 + 2kπ   v = −4.4π.sin(4πt + π ) > 0 → sin(4πt + π ) < 0  6 6

→ Từ đó ta có : 4πt +

π π 1 k = − + 2kπ → t = − + , với k = 1, 2, 3, …

6 3 8 2

- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương lần thứ 3 ứng với k = 3 → t =

11 s 8

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +

π ) cm.

6

Tìm thời điểm lần thứ 2015 vật qua vị trí x=2cm kể từ lúc t=0?

HD: - Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.

- Vật qua x = 2cm tương ứng vectơ quay ở OM1 và OM2.

- Cứ 1 chu kỳ (vectơ quay quay được 1 vòng) thì vật qua x = 2cm 2 lần.

M1 π6

-4

M0 x

O 4

M2

-4-

→ Vật qua x = 2cm lần thứ 2015 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007 vòng (qua x = 2cm 2014 lần) rồi quay tiếp từ OM0 đến OM1. → Góc quét được trong thời gian đó là: α = 1007.2π +

→ Thời điểm cần tìm là: t =

α = ω

1007.2π +

4π

π 6

π 6 = 12085 s 24

* Nhận xét: Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau: - Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều âm, ta có: π π π  x=4cos(4πt + 6 ) = 2 → 4πt + 6 = ± 3 + 2kπ   v = −4.4 π.sin(4πt + π ) < 0 → sin(4πt + π ) > 0  6 6

π π 1 k = + 2kπ → t − = + , với k = 0, 1, 2, 3, …

6 3 24 2 - Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương, ta có:

→ Từ đó ta có: 4πt − +

π π π  x=4cos(4πt + 6 ) = 2 → 4πt + 6 = ± 3 + 2kπ   v = −4.4 π.sin(4πt + π ) > 0 → sin(4πt + π ) < 0  6 6

→ Từ đó ta có: 4πt + +

π π 1 k = − + 2kπ → t + = − + , với k = 1, 2, 3, …

6 3 8 2

- Vì tại thời điểm ban đầu t = 0, vật qua li độ x = 2 3 cm theo chiều âm nên lần đầu tiên vật qua li độ x = 2cm sẽ là theo chiều âm. Mặt khác cứ 1 chu kì thì vật qua x = 2cm hai lần (1 lần theo chiều âm, 1 lần theo chiều dương). Do đó lần thứ 2015 vật qua vị trí x=2cm tương ứng là lần thứ 1008 vật qua x = 2cm theo chiều âm.

1 k 1 1007 12085 + , với k = 1007 → t − = + = s 24 2 24 2 24 Có thể thấy rằng cách giải này là tương đối dài dòng và dễ nhầm lẫn so với cách dùng Vectơ quay.

Ví dụ 4: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k=100N/m, một đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ → Thời điểm cần tìm là: t − =

vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi

-5-

buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Lấy g=10m/s2. Xác định tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một chu kỳ.

HD: - Tần số góc của con lắc: k ω= = 10 2 (rad/s) m - Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:

mg = 0,05m = 5cm ; A=10cm > ∆ℓ0 k - Trong 1 chu kì:

∆ℓ 0 =

x

A nén

M2

M1 ∆ϕ

∆l0

O

O

dãn

(A > ∆l0)

β

-A

+ Thời gian lò xo nén ∆t1 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến vị trí cao nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng.

Ta có: ∆t1 = → ∆t1 =

π 2π ∆φ ∆ℓ 0 1 , với sinβ = = → β = → ∆ϕ = π - 2β = 6 3 ω A 2

∆φ 2π π = = s ω 3.10 2 15 2

+ Thời gian lò xo dãn ∆t2 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến vị trí thấp nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng.

Ta có: ∆t2 =

2π 2π - ∆φ = s ω 15 2

- Tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một chu kỳ là:

∆t1 1 = ∆t 2 2

* Nhận xét: Mấu chốt của bài toán ở chỗ: phải hiểu được trong 1 chu kì dao động của vật thì lò xo bị nén, bị dãn tương ứng khi vật dao động trong phạm vi nào, từ đó dùng phương pháp vectơ quay ta tìm được khoảng thời gian lò xo bị nén, bị dãn tương ứng.

Ví dụ 5 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kì 1,2s. Trong một chu kì, nếu tỉ số của thời gian lò xo dãn với thời gian lò xo nén bằng 2 thì thời gian mà lực đàn hồi ngược chiều lực kéo về là A. 0,2 s B. 0,1 s C. 0,3 s D. 0,4 s HD: - Chọn chiều dương hướng lên, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng.

-6-

- Gọi độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là ∆ℓ0.

- Gọi ∆ϕ1 ; ∆ϕ2 là góc quét ứng vời thời gian lò xo nén và dãn, ta có: ∆ϕ2 ω.t 2 = = 2 → ∆ϕ2 = 2.∆ϕ1 ∆ϕ1 ω.t1

x nén

- Hình vẽ thấy:

2π A ∆ϕ2 = 2π − ∆ϕ1 → ∆ϕ1 = → ∆ℓ 0 = 3 2

A

∆l0

M2

M1 β

O

dãn

∆ϕ1 O

π -A 6 - Vì lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi tác dụng lên vật sẽ hướng thẳng lên nếu lò xo dãn và hướng thẳng xuống nếu lò xo nén. Do đó, lực - Từ hình vẽ có: ∆ϕ1 = π - 2β → β =

đàn hồi ngược chiều với lực kéo khi lò xo bị dãn và li độ của vật trong phạm vi: A .

2 - Trong 1 chu kì, góc quét ứng với thời gian lực đàn hồi ngược chiều lực kéo về là: 0 ≤ x ≤ ∆ℓ 0 =

π ∆ϕ → Thời gian tương ứng là: t1 = 1 = 0,2s → Đáp án A. 3 ω * Nhận xét: Bài toán này phải vận dụng khá nhiều kiến thức, phải nhớ được đặc điểm của lực kéo về là luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi sẽ hướng về phần giữa lò xo nếu lò xo dãn, hướng ra xa hai đầu lò xo nếu lò xo nén. ∆ϕ1 = 2β =

1.1.3. Bài tập tự giải.

Bài 1 (CĐ 2009). Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 50 N/m, dao động điều hòa theo phương ngang. Cứ sau 0,05 s thì vật nặng của con lắc lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ. Lấy π2 = 10. Khối lượng vật nặng của con lắc bằng A. 250 g B. 100 g C. 25 g D. 50 g 2π Bài 2. Vật dao động theo phương trình x = 4cos( t) cm. Kể từ t = 0, vật qua vị trí 3 x = 2 3 cm lần thứ 2017 vào thời điểm A. 2034,25s B. 3024,15s C. 3024,5s D. 3024,25s Bài 3. Vật dao động với phương trình x=5cos ( 4πt + π 3 ) cm. Kể từ t = 0, lần thứ 2025 vật cách VTCB 2,5 2 cm là 12119 12149 11219 11249 A. s B. s C. s D. s 48 48 48 48 Bài 4. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng 100N/m, một đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ VTCB

-7-

kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Lấy g=10m/s2. Khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu k ỳ là π π π π A. s B. s C. s D. s 3 2 15 2 6 2 5 2 Bài 5. Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30cm đầu trên treo vào điểm cố định, đầu dưới gắn vật nhỏ. Khi hệ cân bằng, lò xo có chiều dài 31cm. Khi con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A thì khoảng thời gian lò xo bị nén trong mỗi chu kỳ là 0,05s. Tìm A. A. 2cm B. 1,7cm C. 1,4cm D. 1cm Bài 6. Một vật dao động điều hòa với biểu thức li độ x = 4cos ( 5π 6 - 0,5πt ) , trong đó x tính bằng cm và t giây. Vào thời điểm nào sau đây vật sẽ đi qua vị trí

x = 2 3cm theo chiều âm của trục tọa độ?

4 2 s D. s 3 3 Bài 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(ωt + ϕ). Trong

A. 6s

B. 3s

C.

khoảng thời gian 1/60 (s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x0 = 0 đến vị trí x = A 3 2 theo chiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm thì nó có vận tốc là 40π 3 cm/s.

Khối lượng quả cầu là m = 100g. Năng lượng của nó là A. 32.10-2 J B. 16.10-2 J C. 9.10-3 J D. 48.10-2 J Bài 8. Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với tần số 2,5Hz và biên độ 8cm. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên, gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian khi vật đi qua VTCB và chuyển động ngược chiều dương. Lấy g=π2. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu tới thời điểm lò xo không biến dạng lần thứ nhất là B. 4/15 s C. 1/30 s D. 7/30 s A. 3/10 s Bài 9. Lò xo k=25N/m treo thẳng đứng, đầu trên giữ cố định, đầu dưới treo vật m=100g. Từ VTCB, kéo vật thẳng xuống một đoạn bằng 2cm rồi truyền cho vật tốc độ 10π cm/s hướng xuống. Chọn gốc thời gian là lúc truyền tốc độ, chiều dương trục tọa độ hướng thẳng xuống. Cho g=π2=10. Kể từ t=0, tìm thời điểm vật đi qua vị trí lò xo bị dãn 6cm lần đầu tiên.

A. 10,3 ms B. 33,3 ms C. 66,7 ms D. 100 ms Bài 10. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ k=50N/m và vật m=200g.

Vật đang nằm yên ở VTCB thì được kéo thẳng đứng xuống dưới để lò xo giãn tổng cộng 12cm rồi thả cho nó dao động điều hòa. Lấy g=π2=10. Thời gian lực đàn hồi tác dụng vào giá treo cùng chiều với lực hồi phục trong một chu kỳ dao động là 1 2 1 1 A. s B. s C. s D. s 3 15 30 15 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ĐA D D B B C A A D D D

-8-

1.2. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất t để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2.

1.2.1. Phương pháp giải.

Với bài toán này ta có thể dùng Phương pháp vectơ quay và làm theo các bước: - Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên.

- Khi vật đến vị trí x1, vẽ vectơ OM1 .

- Khi vật đến vị trí x2 (mất thời gian ngắn nhất), vẽ vectơ OM 2 .

- Dựa vào đề bài và hình vẽ, tìm qóc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM1

đến OM 2 . α . ω 1.2.2. Ví dụ minh họa.

- Ta có: α = ωt → t =

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(ωt-π/2). Cho biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x= A 3 2 trong khoảng thời gian ngắn 1 s và tại điểm cách VTCB 2cm vật có vận tốc 40π 3 cm/s. Xác định tần 60 số góc và biên độ A của dao động.

nhất là

HD: - Theo đề, tại t = 0, véctơ quay ở vị trí OM0.

- Sau khoảng thời gian ngắn nhất t =

1 s thì vật 60

A 3 , vectơ quay ở vị trí OM1.

2 π - Từ hình vẽ tìm được α = .

3

A 3 2

-A

x

α

đến li độ x =

- Ta có: α = ω.t ↔

A

O

M1 M0

π 1 = ω. → ω = 20π rad s 3 60

→ Biên độ của vật là: A = 22 +

(40π. 3)2 = 4cm (20 π)2

* Nhận xét: Mấu chốt bài toán ở chỗ: vật đi từ x = 0 (thời điểm ban đầu) đến A 3 mất khoảng thời gian ngắn nhất thì tương ứng trong khoảng thời gian 2 đó, vectơ quay phải quét từ OM0 đến OM1. x=

-9-

Ví dụ 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m=100g và lò xo nhẹ k=100N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn 4cm rồi truyền cho nó tốc độ 40π cm/s hướng thẳng lên để nó dao động điều hòa. Lấ y π2=10. Tìm thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén 1,5cm.

HD: - Tần số góc của con lắc: ω =

k = 10π (rad/s) m

mg = 0,01m = 1cm k - Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc O tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương hướng lên.

- Theo đề, khi lò xo dãn 4cm, tức vật có li độ x = -3cm thì vật được truyền tốc độ 40π cm/s hướng thẳng lên. Biên độ của vật được tính là: - Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: ∆ℓ 0 =

v2 (40 π)2 2 A= x + 2 = 3 + = 5cm ω (10π)2 2

x

A

5

- Khi lò xo nén 1,5cm thì vật ở li độ x=2,5cm.

- Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động

M2

2,5 ∆l0

O

O

α

từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén 1,5cm tương ứng với thời gian vectơ quay

-A M1

quét từ OM1 đến OM2.

2π 1 = 10π.t → t = s 3 15 Ví dụ 3 (ĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc

Ta có: α = ω.t ↔

dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và π2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

4 7 s s B. 15 30 HD: - Tần số góc của con lắc: A.

C.

3 s 10

D.

1 s 30

- 10 -

ω=

2π 2π = = 5π rad s T 0, 4

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:

g π2 ∆ℓ 0 = 2 = = 0,04m = 4cm ω (5π) 2

• -8 • -4

∆l0

• O

- Tại t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương, tức là vectơ quay ở OM0.

x

- Vì A > ∆ℓ0 nên lực đàn hồi có độ lớn cực

M1

tiểu bằng 0 tại vị trí lò xo không biến dạng, khi đó vật ở li độ x1 = -4cm. → Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu tương ứng với thời gian vectơ quay quét từ

α

-8 -4

O

8 x

OM0 đến OM1. Ta có: M0 7π 7 = 5π.t → t = s → Đáp án B. 6 30 1.2.3. Bài tập tự giải.

Bài 1 (CĐ 2011). Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động điều hòa với π biên độ góc rad tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Lấy π2 = 10. Thời 20 π 3 gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc rad là 40 1 1 A. 3s B. 3 2 s C. s D. s 2 3 Bài 2 (ĐH 2013). Vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos4πt (t tính bằng s). Tính từ t=0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là A. 0,083s B. 0,104s C. 0,167s D. 0,125s Bài 3. Vật dao động điều hòa với tần số 5Hz, biên độ A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1=-0,5A đến li độ x2=0,5A là A. 1/10 s B. 1 s C. 1/20 s D. 1/30 s Bài 4. Vật dao động điều hòa với biên độ A. Vật đi từ li độ x=A/2 đến li độ x=-A/2 hết khoảng thời gian ngắn nhất là 0,5s. Tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x = A 2 .

A. 0,25 s B. 0,75 s C. 0,375 s D. 1 s Bài 5. Vật dao động điều hòa gọi với biên độ A và tần số f. Khoảng thời gian ngắn

α = ω.t ↔

- 11 -

A 2 A 3 đến li độ x = là 2 2 5f 5 f 1 A. ∆t = B. ∆t = C. ∆t = D. ∆t = 24 24f 24 24f Bài 6. Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng. Một điểm M nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vạt. Tại thời điểm t thì vật xa M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là ∆t vật gần M nhất.

A a) Vật cách VTCB một khoảng vào thời điểm gần nhất là 2 ∆t ∆t ∆t ∆t A. t + B. t + C. t + D. t + 4 2 3 6 b) Vật cách VTCB một khoảng 0,5A vào thời điểm gần nhất là ∆t ∆t ∆t ∆t A. t + B. t + C. t + D. t + 4 2 3 6 c) Độ lớn vận tốc của vật bằng nửa tốc độ cực đại vào thời điểm gần nhất là ∆t ∆t ∆t 2∆t A. t + B. t + C. t + D. t + 4 3 3 6 d) Độ lớn vận tốc của vật đạt cực đại vào thời điểm gần nhất là ∆t ∆t ∆t ∆t A. t + B. t + C. t + D. t + 4 2 3 6 Bài 7. Thời gian ngắn nhất để một vật dao động điều hòa đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng ba lần thế năng là 0,1s. Tần số dao động của vật là A. 2,1Hz B. 0,42Hz C. 2,9Hz D. 0,25Hz Bài 8. CLLX nằm ngang gồm vật m=100g và lò xo k=100N/m. Từ VTCB kéo vật theo phương ngang một đoạn A, rồi thả ra cho vật dao động điều hòa. Sau khoảng thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lần thế năng đàn hồi lò xo?

1 1 1 2 A. s B. s C. s D. s 15 30 5 15 Bài 9. Vật dao động điều hòa với biên độ 8cm. Trong một chu kì, thời gian dài nhất vật đi từ vị trí có li độ x1=4cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 4 3 cm là 0,45s. Chu kì dao động của vật là: A. 2s B. 5,4s C. 0,9s D. 1,8s Bài 10. CLLX treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm. Chọn trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian t=0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Lấy g=π2=10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t=0 đến lúc lực đàn hồi của lò xo đạt cực đại lần thứ hai là A. 0,1 s B. 0,5 s C. 0,4 s D. 0,2 s Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ĐA C A D C B ABDC B B D B nhất vật đi từ li độ x =

- 12 -

1.3. Các bài toán sau đây đều có thể quy về dạng bài trên: 1.3.1. Dạng bài và phương pháp giải.

- Bài toán tìm thời điểm vật có vận tốc (v), gia tốc (a), thế năng (Wt), động năng (Wđ), lực hồi phục (F), lực đàn hồi… nào đó.

→ Có thể tìm li độ x, rồi dùng phương pháp vectơ quay để tìm ra yêu cầu của bài toán.

- Bài toán tìm số lần vật đi qua li độ x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F,… → tìm ra li độ x) từ thời điểm t1 đến t2. → Dùng phương pháp vetơ quay, và lưu ý rằng, trong mỗi chu kỳ thì vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí li độ khác 2 lần.

- Bài toán tìm li độ x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F,... → tìm ra li độ x) sau (trước) thời

điểm t một khoảng thời gian ∆t, biết tại thời điểm t vật có li độ x1.

→ Dùng phương pháp vetơ quay, biểu diễn OM1 khi vật ở li độ x1, sau đó 1 khoảng

thời gian là ∆t, vectơ quay quay được góc α, ta biểu diễn vectơ OM lúc đó trên đường tròn. Sau đó dựa vào hình vẽ để tìm x.

1.3.2. Ví dụ minh họa. π Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2πt - ) cm. Tìm 6 thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s?

HD: - Khi v = -8π cm/s thì vật ở li độ:

v x = A 2 - ( ) 2 = ±4 3cm ω

M2

M1 π

-8

- Vì v < 0 nên vectơ quay ở OM1 và OM2 → Cứ 1 chu kì (vectơ quay được 1 vòng) thì

−4 3

O

4 3

8 x M0

vật có v = -8π cm/s 2 lần. → Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8π cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến OM2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2π + π → Thời điểm cần tìm là: t =

α 1007.2π + π = = 1007,5s ω 2π

* Nhận xét: Ta có thể làm theo cách khác như sau:

- 13 -

π - Biểu thức vận tốc là: v = 16π.cos(2πt + ) cm/s 3 (Tức là vận tốc có thể biểu diễn theo hàm cos nên có thể sử dụng vectơ quay cho -16π trục vận tốc) - Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.

- Khi v = -8π cm/s thì vectơ quay ở OM1 và OM2.

M1

M0

π -8π

16π

O

v

M2

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì vật có v = -8π cm/s 2 lần. → Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8π cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến OM2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2π + π → Thời điểm cần tìm là: t =

α 1007.2π + π = = 1007,5s ω 2π

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2πt -

π ) cm. Tìm 3

thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng?

HD: - Ta có : Wđ = Wt 1 A W →x=± = ±4 2cm 2 2 → Khi Wđ = Wt thì vectơ quay ở 4 vị trí là OM1, OM2, OM3, OM4. → Wt =

4

- Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt ứng với vectơ quay quét từ OM0 đến OM1 → Góc quét tương ứng là: α = → Thời điểm cần tìm là: t =

π π π - = 3 4 12

α 1 = s ω 24

M2

M3

4 2

α

M1

M4 M0

* Nhận xét: Vì Phương pháp vectơ quay biểu diễn cho dao động điều hòa có dạng tổng quát x=Acos(ωt+φ), vì thế ở bài toán này ta phải chuyển điều kiện Wđ = Wt tương ứng khi đó vật ở li độ x = ±

A , từ đó ta dùng Phương pháp vectơ quay cho trục li độ x.

2

- 14 -

π ) cm. Tìm 4 thời điểm lần thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng?

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(πt -

HD: - Theo đề Wđ = 3Wt 1 A W → x = ± = ±4cm 4 2 → Khi Wđ = 3Wt thì vectơ quay ở 4 vị trí là OM1, → Wt =

4 2

OM2, OM3, OM4.

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì Wđ=3Wt 4 lần.

- Thời điểm vật qua vị trí có Wđ = 3Wt lần thứ 2010 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 502 vòng (qua vị trí có Wđ = 3Wt 2008 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến OM2. π π 11π → Góc quét được trong thời gian đó là: α = 502.2π + π - ( - ) = 1004π + 3 4 12 α 11 12059 = 1004 + = s ω 12 12 Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A = 5cm và chu kỳ 0,2s.

Tại thời điểm t1, chất điểm có li độ x1 = 2cm đang đi theo chiều dương. Hỏi sau đó 0,05s chất điểm có li độ là bao nhiêu và chuyển động theo chiều nào?

→ Thời điểm cần tìm là: t =

HD: - Vẽ đường tròn tâm O bán kính A = 5cm, trục Ox nằm ngang.

- Tại thời điểm t1, vectơ quay ở OM1.

- Sau thời điểm t1 0,05s, vectơ quay quét được ∆t π .2π = , tức là vectơ quay ở OM2.

T 2 → Tại thời điểm t1+0,05 (s), chất điểm có li độ là x2. Ta có: x2 = 5.cos(∆φ – α)

góc: ∆φ =

+ M2 -5

O

x

∆φ 2

x2 5

α M1

2 → α = 66,42 0 5 → x2 = 5.cos(900 – 66,420) = 4,583cm

Với: cosα =

Hình vẽ thấy tại thời điểm t2 thì chất điểm đang chuyển động theo chiều âm.

- 15 -

Ví dụ 5: Một con lắc dao động với phương trình x = 4cos(4πt - π/3) cm. Xác định số lần vật qua li độ x = 3cm trong 1,2s đầu tiên.

HD: - Tại thời điểm ban đầu t=0 vật có

M1

x0=2cm và v0> 0 (vectơ quay ở OM0).

Q - Trong khoảng thời gian t=1,2s, vectơ quay quét được góc α = ω.t = 4π.1,2 -4 O 2 4 3 x = 4π + 0,8π - Với góc quét 4π (vectơ quay quét được P 2 vòng), vật qua li độ x = 3cm 4 lần, và M0 vectơ quay lại trở về OM0.

- Với góc quét 0,8π = 1440, vectơ quay quét từ OM0 đến OM1, do đó vật đi qua li độ x = 3cm 2 lần nữa.

- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = 3 cm trong thời gian 1,2s đầu tiên là 6 lần.

Ví dụ 6: Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt)cm a) Tính số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong 2s và trong 3,25s. c) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm. Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm

1 (t + 6) s và (t + ) s.

3 HD: a) - Trong thời gian t=2s, véctơ quay quét được góc: α = ω.t = 4π rad.

Vì mỗi vòng quay, vật qua vị trí x=-2cm 2 lần → Trong 2s, vật qua vị trí x=-2cm 4 lần.

M1

-2

x O

M0

H.1

- Trong thời gian t=3,25s, véctơ quay quét được góc: α = ω.t=6,5π rad = 6π + 0,5π. + Với góc quét 6π (vectơ quay quét được 3 vòng), vật qua li độ x = -2cm 6 lần, và vectơ quay lại trở về OM0. + Với góc quét 0,5π, vectơ quay quét từ OM0 đến OM1, do đó vật không đi qua li độ x = -2cm lần nào nữa.

Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong thời gian 3,25s đầu tiên là 6 lần. c) Xác định vị trí sau thời gian ∆t: - Khi ∆t = 6s: Véctơ quay quét góc: α = ω.∆t = 12π → Véctơ quay đã quay 6 vòng và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s) = x(t) = 2cm.

- 16 -

1 2π s: Véctơ quay quét góc: α = ω.∆t = 3 3 → Có hai khả năng: + Tại thời điểm t, vật có x=2cm; v>0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM1) và t + - Khi ∆t =

1 1 s (OM2) được biểu diễn như H.2. Từ hình vẽ suy ra: x(t+ ) = 2cm và đang 3 3 chuyển động theo chiều âm.

M2

O

2π 3 2

M1 x 4

-4

M2

2π 3

O

2

4

x

H.3

H.2

M1

+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm và v<0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM1) và t +

1 1 s (OM2) được biểu diễn như H.3. Từ hình vẽ suy ra: x(t+ ) = -4cm và đang ở 3 3 biên âm.

Ví dụ 7: Vật dao động theo phương trình x=20cos(5πt/3 - π/6)cm. Kể từ lúc t=0 đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì lực hồi phục sinh công âm trong khoảng thời gian là A. 2013,08 s B. 1207,88 s C. 1207,4 s D. 2415,8 s

HD: - Tại t=0, vectơ quay ở OM0.

- Khi vật ở li độ x = -10cm thì vectơ quay ở OM1.

- Công của lực hồi phục: A = F.v, Hay A = -k.x.v → A < 0 thì x.v > 0 (x và v cùng dấu). → Bài toán trở thành: Kể từ lúc t=0 đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ

K

M1 γ H

-10 O

β

Q x 20 M0

P

2013, tìm thời gian để có x.v > 0.

- Cứ 1 chu kì thì vật đi qua x = -10cm theo chiều âm 1 lần, khi đó thời gian mà x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc π (quét từ P đến Q và từ K đến H).

- 17 -

→ Cứ 2012 chu kì thì vật qua x = -10cm theo chiều âm 2012 lần, khi đó thời gian

mà x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc 2012π (vectơ quay lại trở về OM0) → Muốn vật qua x = -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì vectơ quay quét thêm từ OM0 đến OM1, khi đó thời gian mà x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc β + γ. Hình vẽ có β = γ = π/6.

- Vậy kể từ lúc t=0 đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì thời gian để có x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc: α = 2012π + β + γ

π π 5π .t = 2012.π + + → t = 1207,4s → Đáp án C 3 6 6 Ví dụ 8 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn Hay ω.t = 2012π + β + γ ↔

gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là T/3. Lấy π2=10. Tần số dao động của vật là A. 4 Hz

B. 3 Hz

C. 2 Hz

D. 1 Hz

HD: - Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu diễn gia tốc bằng một véctơ quay.

- Trong thời gian T/3, véctơ quay quét được góc:

M1

M2 -Aω2

-100

α 100 Aω2 a O

2π M4 M3 3 → Các véctơ quay biểu diễn độ lớn của a không vượt quá 100cm/s2 như hình vẽ. ∆ϕ = ω.∆t =

π π → A.ω2.cos = 100 → ω = 2π → f=1Hz → Đáp án D. 3 3 Ví dụ 9 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc ω . Vật nhỏ của con lắc có khối lượng 100g. Tại thời điểm t = 0, vật nhỏ qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t = 0,95s, vận tốc v và li

→ Từ hình vẽ ta có: α =

độ x của vật nhỏ thỏa mãn v = −ωx lần thứ 5. Lấy π2 = 10 . Độ cứng của lò xo là A. 85 N/m B. 37 N/m C. 20 N/m D. 25 N/m

HD: - Ta có phương trình dao động của vật là: π  x = A cos  ωt −  2  - Vận tốc v = −ωx (v và x trái dấu nhau) ứng với trường hợp vật hướng về vị trí cân bằng.

M1 −

A 2

3π 4

A 2

x

M2 M0

- 18 -

A 2 - Vật qua vị trí thỏa mãn v = −ωx tương ứng vectơ quay ở M1 và M2.

- Mỗi chu kì vật qua v = −ωx hai lần, do đó lần thứ 5 thỏa mãn thì vectơ quay quét

- Khi t = 0,95s: v = ±ω A 2 − x 2 = −ωx → x = ±

được góc: α = 2.2π +

3π 4

3π 3π k .0,95 → k = 25 N m → Đáp án D. = ω.t ↔ 2.2π + = 4 4 m Ví dụ 10 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng 100g đang dao động điều hòa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí cân

- Ta có: α = 2.2π +

bằng. Từ thời điểm t1 = 0 đến t 2 = π 48 ( s ) , động năng của con lắc tăng từ 0,096J đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064J. Ở thời điểm t2, thế năng của con lắc bằng 0,064J. Biên độ dao động của con lắc là

A. 5,7 cm

B. 7,0 cm

C. 8,0 cm

HD: - Tại thời điểm t1 = 0:

D. 3,6 cm M0

M1

Wđ = 0,096J; Wt = W − Wđ = 0,032 2

→

β

2

Wđ A − x A = =3→ x = ± 2 Wt x 2

- Tại thời điểm t2: Wđ = Wt → x = ± Có: sin α =

α x

−

A 2

A 2

A 2

x x0 1 π 2 π 5π = → α = ; sin β = 1 = → β = → ∆ϕ = α + β = A 2 6 A 2 4 12

∆t = t 2 − t 1 =

∆ϕ ∆ϕ 1 2W →ω= = 20rad / s → W = mω2 A 2 → A = = 8cm ω ∆t 2 mω2

→ Đáp án C.

1.3.3. Bài tập tự giải.

Bài 1 (ĐH - 2009). Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x = Acosωt. Cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau.

Lấy π2 =10. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng A. 50 N/m B. 100 N/m C. 25 N/m D. 200 N/m Bài 2. Vật dao động điều hoà có phương trình x=Acos(2πt-π/3) cm. Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t=0 thì thế năng của vật tăng lên 3 lần so với thời điểm ban đầu?

- 19 -

1 1 1 1 s B. s C. s D. s 4 12 6 3 Bài 3. Vật dao động điều hòa, trong mỗi chu kì, thời gian vật có động năng lớn hơn 3 lần thế năng là 0,2s. Trong mỗi chu kì, thời gian để tốc độ của vật nhỏ hơn 1/2 tốc độ cực đại là A. 0,3s B. 0,2s C. 0,6s D. 0,4s Bài 4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật 100g và lò xo có độ cứng 100N/m.

Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng để lò xo giãn 3cm rồi truyền cho vật vận tốc đầu là 20π 3 cm/s. Lấy, g=π2=10. Biết tại thời điểm t=0,05s thì vật đi qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng theo chiều âm và đang chuyển động nhanh dần. Phương trình dao động của vật là A. x = 4cos(10πt-π/6) cm B. x = 4cos(10πt+π/3) cm C. x = 3 cos(10πt-π/6) cm D. x = 4cos (10πt+π/6) cm Bài 5. CLLX treo thẳng đứng. Khi vật ở VTCB thì lò xo dãn ∆ℓ0. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kì T thì thấy thời gian mà độ lớn gia tốc của con lắc không lớn hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi đặt con lắc là T/3. Biên độ dao động A của con lắc bằng B. 3.∆ℓ C. ∆ℓ 2 D. 2.∆ℓ A. 2.∆ℓ Bài 6. Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại là 3m/s và gia tốc cực đại là 30π (m/s2). Thời điểm ban đầu vật có vận tốc 1,5 3 m/s và thế năng đang giảm.

Hỏi vào thời điểm nào sau đây vật có gia tốc bằng 15π (m/s2)?

A. 0,1 s B. 0,15 s C. 0,2 s D. 0,3 s Bài 7. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt - π 3)cm . Thời điểm vật có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại lần thứ 2014 trong quá trình dao động là A. 402,7s B. 204,5s C. 201,3s D. 405,9s Bài 8. Vật dao động điều hoà thực hiện 10 dao động trong 5s, khi vật qua VTCB thì có vận tốc 62,8cm/s. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí có li độ x= 2,5 3 cm và đang chuyển động về VTCB. Vật có động năng bằng ba lần thế năng lần thứ hai kể từ khi bắt đầu chuyển động vào thời điểm A. 0, 25s B.1,25s C. 0,125s D. 2,5s Bài 9. Con lắc đơn có chiều dài ℓ=144cm. Từ VTCB kéo vật nặng để dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ, rồi thả nhẹ để con lắc dao động điều hòa.

Lấy g=10m/s2, π2=10. Thời điểm đầu tiên kể từ lúc thả vật đến lúc véctơ gia tốc của vật có phương nằm ngang là A. 0,8 s B. 0,2 s C. 0,6 s D. 0,3 s Bài 10. Trong dao động điều hòa, thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp vật đi qua vị trí động năng bằng thế năng là 0,66s. Giả sử tại thời điểm nào đó vật đi qua vị trí có thế năng Wt, động năng Wđ, và sau đó 1 khoảng thời gian ngắn nhất ∆t thì vật qua vị trí có động năng tăng 3 lần, còn thế năng giảm 3 lần. Tìm ∆t.

A. 0,11s B. 0,22s C. 0,33s D. 0,44s Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ĐA A B B A D C C C D B A.

- 20 -

II.2. Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian ∆t.

2.1. Phương pháp giải.

Xét vật dao động điều hòa theo phương trình x=Acos(ωt+φ). Để tìm quãng đường s mà vật đi được trong khoảng thời gian t (giả sử kể từ thời điểm t=0), ta có thể dùng phương pháp vectơ quay: - Tìm góc quét được trong thời gian t: α = ωt.

- Nếu α = k.2π, với k nguyên hoặc bán nguyên (k=0,5; 1; 1,5; 2;…) thì: s=k.4A. - Nếu k không nguyên, không bán nguyên thì phân tích: α = k1.2π + β, với k1 nguyên (k1=0; 1; 2;…); β < 2π. + Góc quét k1.2π tương ứng với vật đi được quãng đường: s1 = k1.4A.

+ Góc quét β tương ứng với vật đi được quãng đường s2. Để tìm s2 ta có thể làm theo các bước:

• Vẽ đường tròn, biểu diễn vectơ OM 0 tại t=0.

• Sau khi vectơ quay quét được góc k1.2π thì nó trở lại OM 0 , trên đường tròn ta biểu

diễn góc β là góc quét từ OM 0 đến OM1 . Dựa vào hình vẽ để tìm s2.

2.2. Ví dụ minh họa. π Ví dụ 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=10sin(10t– )cm. Tính 2 8π s kể từ thời điểm t = 0. quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian 15 HD:

- Góc quét trong thời gian t =

M1

8π s: 15

4π 8π s = 4π + 15 3 - Với góc quét 4π (vectơ quay lại trở về M0) thì vật đi được quãng đường tương ứng là: s1 = 2.4A = 2.4.10 = 80cm α = ω.t = 10.

-10 M0

O O β 5

10 x

4π (vectơ quay quét từ OM0 đến OM1) thì vật đi được quãng 3 đường tương ứng là: s2 = 20+5 = 25cm

- Với góc quét β =

- Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian

8π s kể từ thời điểm t = 0 15

là: s = s1 + s2 = 80 + 25 = 105cm - 21 -

π Ví dụ 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=8cos(3πt- )cm. Tính 2 11 quãng đường vật đi được sau s kể từ thời điểm t = 0.

18 HD: - Tại t = 0: x = 0 và v < 0 → vật chuyển động

theo chiều âm.

11 5π - Tại t = s: α = ω.t = π + 18 6 - Từ hình vẽ suy ra quãng đường vật đi được là: S = 3.8 + 4 = 28cm

-4 α -8

M

x

8

O

M0

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x=4cos(2πt +

π )cm.

3

Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s kể từ lúc t = 0.

HD: - Biểu diễn vectơ OM0 ở thời điểm t = 0.

- Trong thời gian 3,75s, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 2π.3,75 = 7,5π → Phân tích: α = 3.2π + 1,5π M0 - Góc quét α1 = 3.2π, tương ứng vật đi được + quãng đường là: s1 = 3.4A = 3.4.4 = 48cm.

2 3 x O 2 ∆φ 4 -4 - Góc quét α2 = 1,5π, tương ứng vectơ quay quét từ OM0 đến OM, khi đó vật đi được quãng đường là: M s2 = 12 + ( 2 3 − 2 ) = 13,46 cm.

- Vậy tổng quãng đường mà vật đi được là: s = s1 + s2 = 61,46 cm.

Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình x = 12cos(50t -

π ) 2

cm. Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t =

π s kể từ lúc bắt đầu dao động.

12

s2= 12cos600

HD:

- Ta biểu diễn vectơ quay OM 0 tại thời điểm t=0

trên vòng tròn. π - Trong khoảng thời gian t = s kể từ lúc bắt 12

-12

0

12

600 300

N M0

- 22 -

đầu dao động, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 50.

π 25π = 12 6

π π 25π (24 +1)π = = 2.2π + ; Vậy ∆φ1 = 2.2π và ∆φ2 = 6 6 6 6 - Khi quét góc: ∆φ1 = 2.2π thì s1 = 2.4.A = 2.4.12 = 96cm, (quay 2 vòng quanh M0)

- Phân tích góc quét: α =

π , vectơ quay quét từ M0 → N thì: s2 = 12cos600 = 6cm 6 - Quãng đường tổng cộng là: s = s1+ s2 = 96 + 6 = 102cm

- Khi quét góc: ∆φ2 =

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 4cos(4πt+π/3)cm.

Tính quãng đường vật đi được: - trong t=2s từ vị trí ban đầu.

- trong 3,25s kể từ vị trí x= -2 cm ngược chiều dương.

- trong 2,325s từ vị trí cân bằng theo chiều dương.

HD: - Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.

- Trong t=2s: véctơ quay quét được góc : ∆ϕ = 2.4π = 8π → Quãng đường dao động điều hòa đi được là: s=4.4.A = 64 cm.

- Trong 3,25s: Véctơ quay quét được góc: M0

∆ϕ = 3,25.4π = 13π → Quãng đường vật đi là: s = 13.2.A = 104cm

- Trong 2,325s: Véctơ quay quét được góc ∆ϕ

x -4

4

2

= ω.t = 9,3π = 9π + 0,3π. Biểu diễn véctơ quay 300 0 24 0 ở vị trí cuối OM1 như hình vẽ (0,3π = 54 ).

M1 → Từ hình vẽ, tìm được quãng đường đi được là: s = 9.2.4 + 4.sin300 + 4.sin240 = 75,63cm Ví dụ 6: Một vật m=1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x=Acos(ωt +ϕ). Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng O. Từ vị trí cân bằng ta kéo vật theo phương ngang 4cm rồi buông nhẹ. Sau thời gian t = vật đi được quãng đường dài 6cm. Tính cơ năng của vật.

HD: - Biên độ dao động: A=4cm.

- Chọn t=0 là lúc buông tay ở biên dương

→ vectơ quay ở OM 0 .

π s kể từ lúc buông tay 30 M

O -2

M0 4 x

- 23 -

→ Sau t =

π s, vật đi quãng đường 6cm thì vật đến vị trí x=-2cm → vectơ quay ở 30

2π OM . Từ hình vẽ ta có: Góc quay: α = ω.t = 3

mω2 A 2 → ω = 20 rad/s → Cơ năng của vật là: W = = 0,32J. 2 Ví dụ 7 (ĐH 2014): Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài 14cm với chu kì 1s. Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ 3,5cm theo chiều dương đến khi gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu lần thứ hai, vật có tốc độ trung bình bằng bao nhiêu?

A. 27,3cm/s B. 28,0cm/s C. 27,0cm/s D. 26,7cm/s HD: 14 = 7cm .

2 - Lần thứ 2 gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu thì vectơ quay ở OM.

- Ta có: A =

- Hình vẽ, có: Góc quét từ OM0 đến OM là:

11π α 11 →t= = s 6 ω 12 → Tương ứng quãng đường vật đi được là: s = 3,5 + 14 + 7 = 24,5 cm α=

α

3,5

-7

7

M

x

M0

s Tốc độ trung bình của vật trong thời gian đó là: vTB = ≈ 26,7 cm s → Đáp án D. t Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa biên độ A=5cm tần số 2Hz. a) Tìm thời gian ngắn nhất vật đi được đoạn đường S=5cm và thời gian dài nhất vật đi một đoạn đường 5cm. b) Tìm tổng chiều dài quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian 4,125s kể từ lúc nó qua điểm cách vị trí cân bằng 2,5 2 cm theo chiều dương.

HD: a) Ta biết tốc độ của chất điểm khi qua vị trí cân bằng là lớn nhất, như vậy thời gian chuyển động của chất điểm trên một đoạn quỹ đạo quanh vị trí cân bằng có chiều dài xác định là nhỏ nhất so với bất kỳ đoạn thẳng nào khác có cùng chiều dài. Dựa vào lập luận này ta có thể tìm kết quả của bài toán bằng hình vẽ như sau:

- 24 -

Chọn hai điểm P1; P2 trên trục quỹ đạo Ox đối

S . Vẽ đường tròn 2 tâm O bán kính R=A=5cm, trên đường tròn, ở cùng một phần cung âm (hay dương) ta xác định hai điểm M1; M2 sao cho hình chiếu của M1 lên trục Ox là P1 hình chiếu của M2 là P2 . xứng qua O cách O một đoạn

Ta có OP1 = Acosα → α =

M1+

M2

∆φ α

A P2

O

x P1

B

π → thời gian tương 3

1 ∆φ = s.

2πf 12 - Tương tự khi chất điểm chuyển động ở gần vị trí biên thì tốc độ nhỏ hơn, nên trên cùng một chiều dài quãng đường đi thì thời gian chuyển động ở đoạn này là dài nhất. Ta có thể tìm kết quả bài toán như sau: Trên Ox chọn điểm P sao cho PB = S/2, kẻ đường thẳng M2 vuông góc với Ox tại P cắt đường tròn tại hai điểm M1; + M2. Khi vectơ OM1 quét góc ∆φ đến trùng OM2 tương α P2 A x ứng chất điểm chuyển động từ P1 đến B rồi trở về O ∆φ P1 B P2 ≡ P1 tại P. Ta tính được ∆φ = 2α

ứng của giai đoạn này là ∆t min =

M1

1 Vậy thời gian để đi được chiều dài S như trên là: ∆t Max = s 6 b) Tìm tổng chiều dài đường đi của chất điểm.

- Ta biết mỗi nửa chu kỳ T chất điểm luôn đi được một đoạn đường bằng 2A. Như T T + ∆t1 với n là số nguyên; ∆t1 < 2 2 - Tổng chiều dài quãng đường là S = 2nA + ∆S1 với ∆S1 là chiều dài quãng đường vậy ta chia thời gian khảo sát ∆t = n

đi dược trong thời gian ∆t1.

- Áp dụng tính chất này ta tìm kết quả bài toán như sau:

Ta có:

T T ∆t 4,125 = = 16,5 → ∆t = 16. + 2 4 T / 2 0,25

- Để tìm quãng đường đi ∆S1 trong khoảng thời gian

T đầu tiên, ta dùng hình vẽ 4

sau:

- 25 -

Trên trục Ox ta chọn điểm P1 có tọa độ x1= 2,5 2 cm và chọn điểm M1 trên đường tròn ở phần cung dương (hình vẽ).

Góc quét ∆φ trong thời gian

M2

T π là 4 2

∆φ

A

Ta có ∆φ = α + β

β

O α

2 x1 π π = , suy ra α = nên β = .

A 2 4 4

Mà cosα =

+ P2 P1

x B

M1

Như vậy: ∆S1 = 2P1B = 2(5 - 2,5 2 ) = 2,93cm Tổng chiều dài quãng đường chất điểm đi được: S = 16.2.5 + 2,93 = 162,93cm

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=Acos(ωt+ϕ) dọc theo trục Ox. Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian ∆t cho trước trong các trường hợp: a) ∆t <

T 2

b) ∆t >

T 2

HD: Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.

M2

M1

M2

P

P

∆ϕ 2

A

P2

O

P1

H.1

A

A x

A

O

H.2

∆ϕ 2

x M1

Góc quét ∆φ = ω∆t.

T thì ∆φ = ω∆t < π.

2 - Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (H.1)

a) Nếu ∆t <

∆ϕ 2 - Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (H.2)

→ Smax = 2A sin

→ S min = 2A(1 − cos

∆ϕ ) 2

- 26 -

T thì ∆φ = ω.∆t > π .

2 - Tách ∆φ = n.π + ∆φ1 → S = n.2A + S1, với S1 là quãng đường vật đi thêm khi

OM quay góc ∆φ1 sau khi đã đi quãng đường 2.nA b) Nếu ∆t >

→ Smax = n.2A +S1max và Smin = n.2A + S1min.

- Áp dụng công thức trên ta có: Smax = 2A(n + sin

∆ϕ ∆ϕ ) ) ; S min = 2A(n + 1 − cos 2 2

2.3. Bài tập tự giải.

Bài 1 (ĐH 2010). Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x =

-A , chất điểm 2

có tốc độ trung bình là

6A 9A 3A 4A B. C. D. T 2T 2T T Bài 2 (ĐH 2012). Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với cơ A.

năng dao động là 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Gọi Q là đầu cố định của lò xo, khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp Q chịu tác dụng lực kéo của lò xo có độ lớn 5 3 N là 0,1 s. Quãng đường lớn nhất mà vật nhỏ của con lắc đi được trong 0,4 s là A. 40 cm B. 60 cm C. 80 cm D. 115 cm Bài 3. Vật dao động với phương trình x=6cos(2πt-π/3) cm. Tính độ dài quãng 13 đường vật đi được trong khoảng thời gian t1 = 1,5 s đến t2 = s.

3 A. 50 + 5 3 cm B. 53 cm C. 46 cm D. 66 cm Bài 4. Vật dao động điều hoà xung quanh VTCB O. Ban đầu vật đi qua O theo π chiều dương. Đến thời điểm t1= s vật chưa đổi chiều chuyển động và vận tốc 15 còn lại một nửa. Đến thời điểm t2 = 0,3π s vật đã đi được 12cm. Vận tốc ban đầu v0 của vật là A. 20 cm/s B. 25 cm/s C. 3 cm/s D. 40 cm/s Bài 5. Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Biết rằng vật thực hiện 12 dao động hết 6s. Tốc độ của vật khi qua VTCB là 8π cm/s. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian bằng 2/3 chu kỳ T là A. 8 cm B. 9 cm C. 6 cm D. 12 cm

Bài 6. Vật dao động điều hòa với tần số f và biên độ A. Khi vật đi từ li độ x = -A/2 - 27 -

đến li độ x = A (đi qua biên x = –A), tốc độ trung bình của vật bằng 15Af 9Af 13Af B. vtb = C. vtb = 4Af D. vtb= A. vtb = 4 2 4

Bài 7. Vật dao động theo trục phương trình x=3cos(10t – π/3)cm. Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian t=0,157s kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động là A. 12,1m/s B. 21,1m/s C. 21,1cm/s D. 12,1cm/s Bài 8. Vật dao động điều hòa với chu kì T. Khi vật đi qua vị trí có li độ x1=8cm thì vật có vận tốc là v1=12cm/s. Khi vật có li độ x2=-6cm thì vật có vận tốc v2=16cm/s.

Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian T/6 là A. 8,66cm đến 10cm B. 2,68cm đến 12cm C. 10cm đến 17,32cm D. 2,68cm đến 10cm Bài 9. Vật dao động điều hoà, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua VTCB là 0,5s; quãng đường vật đi được trong 2s là 32cm. Tại thời điểm t=2,5s vật qua li độ x=2cm theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. x = 4cos(2πt +

2π )cm 3

B. x = 4cos(πt -

5π )cm 6

π π C. x = 4cos(2πt - )cm D. x = 8cos(πt + )cm 3 6 Bài 10. CLLX treo thẳng đứng gồm lò xo độ cứng 100N/m và vật nặng khối lượng 100g. Kéo vật thẳng đứng xuống dưới làm lò xo giãn 3cm, rồi truyền cho nó vận tốc 20π 3 cm/s hướng lên. Chọn t=0 lúc truyền vận tốc. Lấy g=π2=10. Trong khoảng thời gian 1/4 chu kỳ, quãng đường vật đi được kể từ lúc t=0 là A. 4cm B. 8cm C. 5,46cm D. 2,54cm Câu ĐA

1 B

2 B

3 D

4 A

5 C

6 A

7 D

8 D

9 A

10 C

- 28 -

II.3. Bài toán về hai chất điểm dao động điều hòa.

3.1. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai quỹ đạo gần trùng nhau có phương trình lần lượt là x1 = 4cos4πt (cm) và x2 = 3sin4πt (cm). Xác định thời điểm: a) hai chất điểm gần nhau nhất lần đầu tiên. b) hai chất điểm cách nhau xa nhất lần đầu tiên. Tính khoảng cách lớn nhất giữa chúng.

HD: Ta thấy hai chất điểm này dao động cùng tần số, vuông pha nhau với pha ban đầu

O

M

π lần lượt là φ1=0 và φ2= - . Ta biểu diễn 2 các dao động điều hòa bằng các vectơ quay OM và ON cùng quay với một tốc độ góc là ω=4π rad/s, tại thời điểm ban đầu

x

N

như hình vẽ. a) Khi hai chất điểm gần nhau nhất thì đường MN vuông góc với trục Ox, như vậy tam giác vuông OMN quay một góc α ( H.1). Ta tính được α ≈ 370. Vậy thời điểm hai chất điểm gần nhau nhất lần đầu tiên là: t1 =

α 37.π = ≈ 0,051s ω 180.4π M

N

M O

x

x

O

β α N H.1

H.2

b) Hình chiếu của hai điểm M và N trên trục Ox cách xa nhau nhất khi đoạn MN song song với trục Ox. (H.2). Như vậy so với vị trí ban đầu thì tam giác OMN đã quay một góc là β.

- Dựa vào hình vẽ ta thấy: β = 900 + α = 1270.

- Vậy thời điểm đầu tiên hai chất điểm cách nhau xa nhất là: - 29 -

β 127.π = = 0,176s ω 180.4π - Khoảng cách lớn nhất giữa 2 chất điểm chính bằng chiều dài đoạn MN, ta có:

t2 =

MN =

ON 2 + OM 2 = 5cm

Ví dụ 2: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của chúng lần lượt là π π ) và x2 = 10 2 cos( 4πt + )cm. Tìm thời điểm hai chất điểm 12 3 cách nhau 5cm lần đầu tiên kể từ lúc t=0. x1=10cos( 4πt +

HD: - Khoảng cách giữa 2 chất điểm ở thời điểm t bất kì là: π π   d = x 2 − x1 = 10 2cos  4πt +  cm − 10cos  4πt +  cm 12  3   π  = 10cos  4πt -  cm = y 6 

- Nhận thấy y biến thiên điều hòa với biên độ 10 cm và tần số góc ω = 4π rad/s.

- Thời điểm t = 0: d = 5 3 cm (vectơ quay ở OM0).

- Khi hai chất điểm cách nhau 5cm lần đầu tiên thì vectơ quay ở OM, tương ứng góc quét được là

M O

α

5 3

5

10 M0

π π 1 . Ta có: α = = ωt → t = s 2 2 8 Ví dụ 3: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là α=

π  x1 = 4cos  4πt +  cm 3 

t1 =

và

π  x 2 = 4 2cos  4πt +  cm . Tính từ thời điểm 12  

1 1 s đến thời điểm t 2 = s thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo 24 3

phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là bao nhiêu?

HD: - 30 -

y

- Khoảng cách giữa 2 vật trên trục Ox ở thời điểm t bất kì là:

π π   d = x 2 − x1 = 4 2cos  4πt +  cm − 4cos  4πt +  cm 12  3   π  = 4cos  4πt -  cm = y 6  - Nhận thấy y biến thiên điều hòa với biên độ 4 cm và tần số góc ω = 4π rad/s.

- Tại thời điểm t1 =

1 s : y1 = 4cm (vectơ 24

α O

−2 3

quay ở OM1).

1 - Tại thời điểm t 2 = s : y2 = −2 3 cm 3 (vectơ quay ở OM2).

- Dựa vào hình vẽ, tính từ thời điểm t1 =

β

M1 y 2 3 4

M2

1 1 s đến thời điểm t 2 = s thì thời gian 24 3

mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm tương ứng với thời gian để vectơ quay quét được góc: φ = α + β =

π π + .

3 6

1 - Ta có: φ = ωt → Thời gian cần tìm là: t = s.

8 Ví dụ 4: Hai chất điểm có cùng khối lượng dao động trên cùng một phương cùng tần số f=2Hz và biên độ A=6cm, tại thời điểm t1 chúng cùng đi qua vị trí có ly độ x=3cm nhưng có chiều ngược nhau. a) Tìm độ lệch pha của hai dao động. b) Sau bao lâu kể từ thời điểm t1, chúng lại có động năng bằng nhau?

HD: Ta biểu diễn hai dao động bằng hai vectơ quay OM1 và OM2 trong cùng một gốc quay O: - Tại thời điểm t1: a) Góc hợp bởi hai vectơ tại thời điểm t1 là độ lệch pha ∆φ của hai dao động.

Dựa vào hình, ta tính được: ∆φ =

M1

x

∆φ O

3

6

M2

2π 3 - 31 -

b) Hai chất điểm có động năng bằng nhau lần tiếp theo khi chúng qua hai vị trí đối xứng nhau đối với vị trí cân bằng (x1 = - x2) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đoạn thẳng nối

M1

M1M2 bây giờ phải song song với trục Ox, như vậy hệ thống OM1M2 đã quay quanh O một góc α = π/2, tương ứng

M2 ∆φ

O

x1

α

x2

A

x

α π = = 0,125s ω 2.4π Vậy sau thời điểm t1 0,125s thì động năng của hai chất điểm lại bằng nhau.

với thời gian là: ∆t =

Ví dụ 5: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của chất điểm (1) là: x = 2cos(5πt + π/2)cm và chất điểm (2) là y = 4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = − 3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là A. 3 3 cm

B.

7 cm

HD: Tại thời điểm t = 0: vectơ quay biểu diễn cho chất điểm (1) ở OM10; vectơ quay biểu diễn cho chất điểm (2) ở OM20.

- Ở thời điểm t: chất điểm (1) có li độ x = − 3 cm và đi theo chiều âm thì vectơ quay biểu diễn cho nó ở OM11. Hình vẽ tìm được góc quét từ OM10 đến OM11 là π/3.

Do đó ở thời điểm này vectơ quay biểu diễn cho chất điểm (2) là ở OM21 (góc quét từ OM20 đến OM21 cũng bằng π/3), trên hình vẽ tìm được li độ của chất điểm

C. 2 3 cm

D. 15 cm

y 4 M21

2 3

d M11 -2 − 3

M20

M10 π/3

π/3 O

2

x

-4

(2) tương ứng là y = 2 3 cm. → Khoảng cách giữa hai chất điểm khi đó là: d = ( 3)2 + (2 3)2 = 15cm → Đáp án D - 32 -

3.2. Bài tập tự giải.

Bài 1. Hai vật dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song với trục tọa độ Ox. VTCB của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ox. Biên độ dao động của chúng lần lượt là 14cm và 48cm. Biết hai vật đi qua nhau ở vị trí có li độ x=13,44cm khi chúng đang chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó theo phương Ox là A. 62cm B. 48,56cm C. 50cm D. 47,44cm Bài 2. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số 0,5Hz dọc theo 2 đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB của M và N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết biên độ của M bằng 6cm, của N bằng 8cm, và N dao động sớm pha hơn M. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10cm. Tại thời điểm t, hai vật đi ngang qua nhau, hỏi sau đó 1 khoảng thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu thì khoảng cách giữa chúng bằng 5 2 cm.

A. 1/3 s B. 1/2 s C. 1/6 s D. 1/4 s Bài 3. Hai chất điểm M1, M2 dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox (VTCB của M và N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox) với cùng tần số f, biên độ tương ứng là 3cm và 4cm, và dao động của M2 sớm pha hơn của M1 góc π/2. Khi khoảng cách giữa M1 và M2 là 5cm thì M1 và M2 cách gốc tọa độ lần lượt là A. 3,2cm và 1,8cm B. 2,86cm và 2,14cm C. 2,14cm và 2,86cm D. 1,8cm và 3,2cm Bài 4. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa dọc theo 2 đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB của M và N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M bằng 3cm, của N bằng 4cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 5cm. Ở thời điểm mà M cách VTCB 1cm thì N cách VTCB bao nhiêu?

4 2 1 8 2 cm B. cm C. 3cm D. cm 3 3 2 Bài 5. Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai trục tọa độ song song, cùng chiều, cạnh nhau, gốc tọa độ nằm trên đường vuông góc chung. Phương trình dao động

A.

của 2 vật là x1=10cos(20πt+φ1)cm và x2= 6 2 cos(20πt+φ2)cm. Hai vật đi ngang nhau và ngược chiều khi có tọa độ 6cm. Tìm khoảng cách cực đại giữa 2 vật trong quá trình dao động.

A. 16 2 cm

B. 16cm

C. 14 2 cm

D. 14cm

- 33 -

Bài 6. Hai chất điểm M và N cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số 2Hz dọc theo 2 đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB của M và N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết biên độ của M bằng 6cm, của N bằng 12cm. Mốc thế năng tại VTCB. Ban đầu M và N cùng đi qua VTCB theo chiều ngược nhau. Thời điểm đầu tiên mà khoảng cách giữa 2 vật bằng 9cm là A. 4 s B. 4/3 s C. 1/24 s D. 3 s Bài 7. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10cos(2πt) cm và x2 = 10 3 cos(2πt + π/2) cm. Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là A. 16 phút 46,42s B. 16 phút 46,92s C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s Bài 8. Dao động của một vật là tổng hợp của 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình là x1 = 6cos (10t + π 3 ) cm và x 2 = 8cos (10t - π 6 ) cm . Lúc li độ dao động của vật là 8cm và đang giảm thì li độ của thành phần x1 lúc đó bằng D. - 3 3 cm A. 6cm B. 0 C. 3 3 cm Bài 9. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3Hz và f2 = 6Hz. Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều dương. Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là 1 1 1 1 A. s s s s B. C. D. 4 18 26 27 Bài 10 (ĐH 2012). Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là 3 4 9 16 A. B. C. D. 4 3 16 9 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ĐA C D D D D C A B D C

- 34 -

Phần KẾT LUẬN 1. Kết luận.

Trong việc nâng cao chất lượng giáo dục nói chung - môn vật lí nói riêng thì việc cải tiến phương pháp dạy học là một nhân tố rất quan trọng. Tôi đã mạnh dạn đưa ra một số ý kiến của mình về vận dụng phương pháp ứng dụng véctơ quay trong dạy học vật lí lớp 12. Trong chuyên đề này tôi chỉ mới tìm cho mình một phương pháp và chỉ áp dụng cho một vài dạng toán, tất nhiên là không trọn vẹn, nhằm mục đích giúp các em học sinh áp dụng cho các bài toán về dao động điều hòa một cách nhanh chóng và chính xác.

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng học sinh hứng thú hơn trong học tập bộ môn và có những cách giải rất sáng tạo, bước đầu đã mang lại những kết quả tốt. Hi vọng đây là một phương pháp hay để các giáo viên trong tổ Vật Lí vận dụng vào giờ dạy của mình.

Do thời gian nghiên cứu còn eo hẹp và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên tài liệu trình bày chưa thật hoàn chỉnh và sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.

Vì vậy tôi rất mong nhận được những nhận xét, góp ý của các quý thầy cô để xây dựng được một tập tài liệu hoàn hảo hơn, giúp quá trình dạy và học của cả thầy và trò ngày càng hoàn thiện.

2. Kiến nghị.

2.1. Đối với nhà trường.

Nhà trường trang bị thêm các sách tài liệu cho thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.

Thường xuyên tổ chức các buổi trao đổi, thảo luận về phương pháp dạy học.

2.2. Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo.

Thường xuyên tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi và học tập chuyên môn - nghiệp vụ.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

- 35 -

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO …………

TRƯỜNG THPT ………………

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Người viết……………..

Giáo ………………. Đối tượng: Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG Dự kiến thời gian bỗi dưỡng: 3 tiết

……………

Mục lục Phần I: Đặt vấn đề…………………………………………………. ................... 1 Phần II: Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề …………. ....................... 2 A - Lý thuyết cơ bản………………………………... ..................................... 2 B - Dạng đồ thị của một số phương trình………………… ............................ 4 Phần III: Phân dạng bài tập về đồ thị trong dao động điều hòa……………........ 7 Phần IV: Phương pháp giải và ví dụ minh họa ……………………… ............... 7 Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐIỀU HÒA)………………………………………… .. 8 Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ CỦA HÀM TUẦN HOÀN)…………………………............ ...... .17 Dạng 3: Đồ thị dạng khác: (đường thẳng, elip, parabol...)….. ...................... 20 Phần V: Một số câu đồ thị trong các đề THPTQG các năm gần đây……….. ... 21 Phần VI: Bài tập tự luyện…………………………………………… ............... 24 Phần VII: Kết luận………………………………….. ....................................... 33

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình ôn thi THPTQG, tôi nhận thấy dạng bài tập về đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của các đại lượng đặc trưng của dao động cơ (x, v, a, Wđ, Wt, Fđh, Fkv…theo t hoặc phụ thuộc vào nhau), sóng cơ ( u, v … theo t), dòng điện xoay chiều (UR, UL, UC, P…) theo R, L, C, f… hay dao động và sóng điện từ ( q, i, u,Wđt, Wtt, …theo t hoặc phụ thuộc vào nhau) là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ làm được các bài tập quen thuộc (thậm chí có nhiều học sinh nhìn thấy bài tập có đồ thị còn ngại, lúng túng do chưa có kỹ năng phân tích trên đồ thị hoặc bỏ qua không làm được). Bởi mỗi đồ thị lại có một hình dạng khác nhau ( đường hình sin, thẳng, elip, parabol, đường cong có tính tuần hoàn…). Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ đó giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết. Ở đây trong phạm vi một chuyên đề hẹp tôi chỉ giới thiệu về dạng bài tập đồ thị trong dao động điều hòa mà chủ yếu là các đồ thị có tính tuần hoàn.

1

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ A – Lý thuyết cơ bản (Phương trình và công thức của một số đại lượng) I. Phương trình của cáchàm điều hòa ( thể hiện mối liên hệ giữa x(t), v(t), a(t), Fkv(t), Fđh(t) (CLLX nằm ngang).

1. Phương trình li độ: x = A cos (ωt + ϕ ) (1) + Li độ: Kí hiệu x , đơn vị mm, cm, m... là độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng (vtcb). + Biên độ: Kí hiệu A , đơn vị mm, cm, m... là giá trị cực đại của li độ.

( A > 0).

A = | x |max

+ Tần số góc: Kí hiệu ω , đơn vị rad /s ω = 2π f =

2π T

+ Chu kì dao động: Kí hiệu T, đơn vị s (giây). Khoảng thời gian ngắn nhất vật thực hiện một dao động toàn phần (thời gian ngắn nhất vật lặp lại dao động như cũ) T=

∆t 1 2π ; T= (Trong đó: N là số dao động trong khoảng = N ω f

thời gian ∆t ) + Tần số dao động: Kí hiệu f , đơn vị Hz . Số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây f =

1 ω = T 2π

+ Pha dao động: Kí hiệu ωt + ϕ , đơn vị rad Pha ban đầu: ϕ pha dao động ứng với thời điểm ban đầu, gốc thời gian, thời điểm t = 0 2. Phương trình (biểu thức) vận tốc: v = x ' = − Aω sin (ωt + ϕ ) (2) 2 2 3. Phương trình (biểu thức) gia tốc: a = v ' = − Aω cos (ωt + ϕ ) = −ω x (3)

4. Lực kéo về hay lực phục hồi: Fkv = - kx = - m ω 2 x = - kAcos( ω .t + ϕ )(4) ( = Fđh(CLLX nằm ngang))

2

II. Phương trình của các hàm tuần hoàn (thể hiện mối liên hệ giữa Wđ(t), Wt(t), Fđh (t)(CLLX thẳng đứng) 5. Động năng: Kí hiệu: Wd , đơn vị J Wđ =

1 2 1 mv = mω 2 A2sin 2 (ωt + ϕ ) (5) 2 2

6. Thế năng: Kí hiệu: Wt , đơn vị J Wt =

1 1 mω 2 x 2 = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ ) (6) 2 2

7. Lực đàn hồi : Với con lắc lò xo thẳng đứng: + Fđh = k ∆lcb + x (7)(chiều dương hướng xuống dưới) + Fđh = k ∆lcb − x

(chiều dương hướng lên trên)

III. Công thức của các hàm khác ( đường thẳng, elip, parabol…) * Đồ thị là đường thẳng ( ϕ (t), a(x), Fkv(x), Fđh(x) 1. Pha của dao động ở thời điểm t: ω t + ϕ , đơn vị rad (8) 2. Lực kéo về hay lực phục hồi, lực đàn hồi: Fkv = - kx = - m ω 2 x ; (9) Fđh = k ∆lcb + x (10) Fđh = k ∆lcb − x 3. Công thức độc lập giữa a(x): a = - ω 2 .x (11) * Đồ thị là đường elip (thể hiện mối liên hệ giữa v(x), a(v)) 4.Công thức độc lập giữa v(x) x2 +

v2

ω

2

= A2(12)

5. Công thức độc lập giữa a(v) v2

ω

2

+

a2

ω

4

= A2

(13)

* Đồ thị là đường parabol 6. Công thức của động năng, thế năng theo x hoặc v - Động năng: Wđ = - Thế năng : Wt =

mv 2

2

(14)

kx 2 (15) 2

3

B – Dạng đồ thị của một số phương trình 1. Đồ thị của li độ x theo thời gian t: Xét phương trình dao động x = A cos(ωt + ϕ) , (giả sử chọn chọn gốc thời gian tại vị trí biên dương để φ = 0). Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồ thị biểu diễn x theo t như sau: t 0

ωt 0

x A

T 4 T 2 3T 4

π 2

0

3π 2

0

T

2π

A

−A

π

Đồ thị biểu diễn li độ x = Acos(ωt +ϕ) với φ =0

2. Đồ thị và sự so sánh pha của các dao động điều hòa: x, v, a theo t Vẽ đồ thị của dao động x = A cos(ωt + ϕ) trong trường hợp φ = 0. t 0

x A

v 0

a

A

− Aω 2

O

T 4 T 2 3T 4

0

− Aω

0

−A

0

Aω

0

T

A

0

− Aω 2

x T 4

T 2

3T 4

T

t

-A v

Aω

0

Aω2

O

t

-Aω a Aω2 O

t

-Aω2

Nhận xét: + Nếu dịch chuyển đồ thị v về phía chiều dương của trục Ot một đoạn đồ thị của v và x cùng pha nhau.

Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc

π T hay về thời gian là .

2 4

T thì 4

+ Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía chiều dương của trục Ot một đoạn

T thì 4

đồ thị của a và v cùng pha nhau.

ơn v một góc Nghĩa là, a nhanh pha hơn

π T hay về thời gian là .

2 4

ng ợc pha nhau (trái dấu nhau). + Nhận thấy a và x luôn ngư 3. Đồ thị x, v và a theo t dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0. t 0

x A

v 0

a − Aω 2

T 4 T 2 3T 4

0

− Aω

0

−A

0

Aω2

0

Aω

0

T

A

0

− Aω 2

4. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa ăng a. Sự bảo toàn cơ năng Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực thế (trọng lực và lực đàn hồi, …) và không có ma sát nên ccơ năng của nó được bảo toàn. Vậy cơ năng của vật dao động được bảo toàn. b. Biểu thức thế năng Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x = Acos(ωt +ϕ) và thế năng của con lắc lò xo có dạng:

1 1 Wt = kx2 = kA2 cos2 ( ωt + ϕ) 2 2 1 = mω2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 Ta có đồ thị Et trong trường hợp φ = 0.

c. Biểu thức động năng Ở thời điểm t bất kì vật có vận tốc v = − ω A sin( ω t + ϕ )

1 2 1 2 2 2 và có động năng Wñ = mv = mω A sin (ωt + φ) 2 2 Ta có đồ thị Wñ trong trường hợp φ = 0.

Ta có đồ thị Wđ và Wt vẽ trên cùng một hệ trục. d. Biểu thức cơ năng Cơ năng tại thời điểm t: 1 W = Wñ + Wt = m ω 2 A 2 2

PHẦN III: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA. Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản: Dạng 1:Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐIỀU HÒA):Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ năng.

Dạng 2:Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian(ĐỒ THỊ CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (ω, A, φ,viết PT dao động…)

Dạng 3:ĐỒ THỊ DẠNG KHÁC: đường thẳng, elip, parabol… Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực đàn hồi theo vận tốc, theo li độ, pha theo thời gian…:Xác định các đại lượng đặc trưng (ω, A, φ,viết PT dao động…)

PHẦN IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA ĐVĐ: Để giải bài toán về đồ thị nói chung phải dựa vào phương trình về sự phụ thuộc của các đại lượng vào nhau. Ví dụ: + x(t); v(t); a(t); Fkv(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo ngang)…là đường hình sin, có tính tuần hoàn, đối xứng qua trục ot + Wđ(t); Wt(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo thẳng đứng) … là đường hình sin, có tính tuần hoàn, nhưng khôngđối xứng qua trục ot. + v(x); a(v): là đường elip. + a(x); Fkv(x); Fđh(x); φ(t) là đường thẳng. + Wđ(v); Wt(x); Wđ(x); Wt(v): là đường parabol.

Dựa vào các đặc điểm của từng đồ thị để khai thác các giá trị trên đồ thị,ở đây chủ yếu xét các đồ thị có tính tuần hoàn (đồ thị hình sin)

7

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian(ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ năng. a. Xác định biên độ Nếu tại VTCB, x = 0, thì: + x = x max = A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A). + v = v max = ωA (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max ). + a = a max = ω2 A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max ).

KL: Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục tung (tìm biên độ A, ωA hoặc ω2 A ). b. Xác định pha ban đầu φ Vì các phương trình được biểu diễn theo hàm chuẩn là hàm cos nên từ đồ thị ta suy ra cos ϕ =

x0 v a , cos ϕv = 0 , cos ϕa = 0 . v max a max A

thấy φ nhận hai giá trị, ta dựa vào chiều chuyển động của vật để loại nghiệm.

KL:Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ c. Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω): Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì Tlà khoảng thời gian giữa hai điểm cùng pha gần nhất. Rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω).

Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel để xác định góc quét tương ứng với thời gian sau đó áp dụng công thức tìm ω: ω=

∆ϕ . ∆t

KL: + Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa vào khoảng thời gian gần nhất cùng pha để vật nhận giá trị nào đó.

Lưu ý: - Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên điều hòa theo hàm số sin và cos với chu kì T.

8

Ví dụvề pha ( nhận biết nhanh) x

x

A

A T 2

0

3T 4

T 4

0

T

3T 4

T 2

t

t T

T 4

− A

− A

t = 0; x0= A; ϕ=0

t = 0; x0 = 0; v0> 0; ϕ = -π/2

x x

A

T 4

0

A

T 2

t

3T 4

T 4

0

T

−A

3T 4

T 2

T

t

− A

t = 0; x0= 0; v0< 0; ϕ = π/2

t = 0; x0= -A; ϕ = π x

x

A A 3 2 0

7T 12

t

A A 2 2 0

13T 12

T 12

5T 8

t 9T 8

T 8

− A

− A

t = 0; x0 =

A 3 2

t = 0; x0 =

; ϕ = - π/6

A 2 2

; ϕ = - π/4

x

A

A 2T 3

A 2

0

0

7T 6

T 6

5T 6

t

A 2 −A

−

− A

t = 0; x0 = A ; ϕ = - π/3 2

T T/3 12

t

4T 3

t = 0; x0= -A/2; v0> 0; ϕ = - 2π/3

9

Ví dụ 1( Vận dụng): x(cm) Cho đồ thị của một dao động điều hòa a) Tìm: Biên độ, tần số góc, chu kỳ, tần số, 10 pha ban đầu của dao động? Từ đó viết PT dao động?

7 1 5 b) Phương trình vận tốc.

24 24 c) Phương trình gia tốc. d) Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau và bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng.

Giải a) Tính A; ω; T; f.

-B1: Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới hạn cắt điểm có li độ là 10 trên trục tung =>A = 10cm 1 - B2:Thời gian đi từ x = 5 đến x = 0 là t = T = s ⇒ T = 0, 5s 12 24 π 3 - B3:Tại thời điểm t = 0; x = 5cm; x đang giảm: • 5 10 x 1 π = = cos ϕ x = A cosφ => => ϕ = ± A 2 3 Vận dụng mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều: Ta nhận xét vì x đang giảm => vật đang chuyển động theo chiều âm π π nên ta chọn ϕ = α= 3 2 A 2

2π = 4π ; f = 2 Hz Vậy: ω = T =>Phương trình dao động: x = 10cos( 4π t +

π 3

) (cm)

b) Phương trình vận tốc:v = x ' = - 40 π sin( 2π t + c) Phương trình gia tốc:a = - ω2.x = -16cos( 4π

π

A 2

T 4

) (cm/s)

3 π t + ) (m/s2) 3

( thay a vào x) d) Động năng bằng thế năng tại các vị trí: A 1 2 1 2 W = Wđ + Wt = 2Wt => kA = 2 kx ⇒ x = ± 2 2 2 Thời gian để vật đi từ x 1 =

T 1 A A đến x 2 = − là t = = s = 0,125 s 4 8 2 2

10

t(s)

x

Ví dụ 2 (Vận dụng): Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t của một vật dao động điều hòa. Tốc độ cực đại của vật bằng: B. 1,05 cm/s.

A. 5,24 cm/s.

C. 10,47 cm/s.

D. 6,28 cm/s.

Giải - B1:Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới hạn cắt điểm có li độ là 2cm trên trục tung =>A = 10cm - B2:Từ đồ thị, ta thấy tại t = 0, vật đi qua d vị trí x = 1 cm theo chiều dương.

Tại thời điểm t = 0,5 s, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. + Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa với vòng tròn lượng giác ta xác định được

5T 5π = 0,5 ⇒ T = 1, 2 ⇒ ω = rad/s.

12 3

Tốc độ cực đại của vật v max = ωA = 10, 47 cm/s. =>Chọn C Ví dụ 3( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD – ĐT năm 2017 – MĐ 202) ( Vận dụng): Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t . Tần số góc của dao động là A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C. 5π rad/s.

D. 5 rad/s.

Giải

- Từ đồ thị ta thấy tại t = 0 vật đi qua VTCB theo chiều âm, đến thời điểm t = 0,2s vật đii qua VTCB theo chiều dương. Vậy vật đã đi được nửa chu kỳ => T = 2.0,2 = 0,4( s ) =

2π

ω

=> ω = 5π ( rad / s ). =>Chọn C.

Ví dụ 4 (Thông hiểu): Một vật dao động điều hòa có đồthịvận tốc nhưhình vẽ. Nhận định nào sau đây đúng?

A. Li độtạiΑvàΒgiống nhau.

B. Vận tốc tại C cùng hướng với lực hồi phục. độ ực đạ đại âm.

C.Tại D vật có li độcực D. Tại D vật có li độbằng 0.

Giải - Tại A và B, li độ trái dấuvì vmax tại VTCB mà A và B ở hai bên VTCB. - Tại C vận tốc âm và đang giảm nên vật đang chuyển động theo chiều âm về ư thứ 2) nên li độ âm => Lực hồi phục có giá trị dương. biên âm (ở góc phần tư v li độ, tại điểm D vận ận tốc tố bằng 0, vật - Vận tốc luôn dao động vuông pha với ng theo chiề chiều âm nên tại D vật có li độ cực đại âm.=> chọn C đang chuyển động Ví dụ 5 (Thông hiểu): Hai vật dao động điều hòa (có cùng khối lượng) trên cùng một trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của hai vật trùng với gốc tọa độ O. Đường biểu diễn vậận tốc theo thời gian của mỗi vật v(t) trên hình vẽ bên. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của mỗi vật. Hãy chọn phát biểu sai: A. Ở thời điểm ban đầu (t = 0), vật 1 ở điểm biên.

B. Hai vật có cùng chu kì là 3 s.

C. Năng lượng dao động của vật 1 bằng 4 lần năng lượng dao động của vật 2.

D. Hai vật dao động vuông pha.

Giải + Tại thời điểm t = 0, vật 1 có vận tốc bằng 0 → 1 đang ở vị trí biên → A đúng. + Dựa vào độ chia của trục Ot, ta thấy chu kỳ của mỗi vật đều bằng 12 ô mà ta xác định được độ dài mỗi ô là a =

4 = 0, 25 ⇒ T = 12a = 3 s → B đúng.

16

+ Ta có A1 = 0,5A2, (do vận tốc cực đại của vật 1 bằng một nửa vật 2) do đó E1 = 0,25E2 → C sai. + Hai dao động này vuông pha nhau → D đúng=>Chọn C

Ví dụ 6 (Vận dụng): Vận tốc của một vật

dao động điều hòa biến thiên theo đồ thị như hình vẽ. Lấy π2 = 10, phương trình dao động của vật là A. x = 2cos(2πt + B. x = 2 10 cos(πt + C.x = 2 10 cos(2πt D. x = 2 10 cos(πt -

π 3 3

π 3

π 3

40 20 3

) cm.

π

v (cm/s)

) cm.

5

12

t (s)

) cm. ) cm.

Giải

- B1: Lúc t = 0: v = 20 3thay vào PT: v = x ' = − Aω sin (ωt + ϕ ) ⇔ sin ϕ = −

3 2

và do vận tốc đang giảm nên vật ở li độ dương và đang đi về biên dương. π  π A → ϕ = − ⇒ x = A cos  −  = .

3  3 2 - B2: Thời gian tương ứng từ x =

A đến vị trí biên dương rồi về vị trí cân bằng 2

theo chiều âm lần thứ nhất (góc quét π/3+π/2): t = rad/s =>- - B3: Biên độ A =

v max

=

T T 5 + = ⇒ T = 1 → ω = 2π 6 4 12

40 20 = = 2 10 cm 2π π

ω π Vậy : x = 2 10 cos(2 π t − ) cm. =>Chọn C 3

Ví dụ 7 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD - ĐT năm 2018)(Vận dụng).

Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số. hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t.

Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau: A. π/3 B. π/6 C. 5π/6 D. 2π/3 Giải Cách 1: Từ đồ thị ta thấy v2 đạt cực đại trước khi x1 đạt cực đạilà 2 ô.

Mỗi chu kì 12 ô nên: v2 nhanh pha hơn x1 thời gian là T/6 ứng với góc

π 3

.

Hay v2 sớm pha hơn x1về thời gian làT/6 ứng với góc

π 3

.

Vì v2 vuông pha nhanh hơn x2 nên x1 sớm pha hơn x2 là :

π 2

−

π 3

=

π 6

. Chọn B.

Cách 2: Lập PT dao động của hai vật:  π Phương trình dao động của M1 là : x1 = A1 cos  ωt −  ( cm ) .

3 

v2 max A 3 π → x2 = 2 → ϕ2 = − .

2 2 6  π Nênphương trình dao động của M2 là : x2 = A2 cos  ωt −  ( cm ) 6 

Lúc t = 0 ta có : v2 =

Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau: ∆ϕ =| ϕ1 − ϕ2 |=

π 6

Chọn B.

Ví dụ 8 (Vận dụng): Cho hai dao động điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ.

Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là: A. 140π cm/s.

B. 100π cm/s.

C. 200π cm/s.

D. 280π cm/s.

Giải Cách giải 1:Chu kỳ dao động T = 0,1s.

Tần số góc ω = 20π rad/s.  π   x1 = 8cos  20πt −  cm 2  Phương trình dao động của hai vật:   x = 6 cos ( 20πt − π ) cm  2

Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau:  π   v1 = 160π cos  20πt −  cm/s 2    v = 120π cos ( 2πt − π ) cm/s  2

Khi đó:v = v1 + v2 = 200πcos(20πt + ϕ ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s. =>Chọn C

−1 Cách giải 2:Ta có: T = 1.10 = 0,1s ⇒ω=

2π = 20π rad/s .

T

π  Dao động 1 đang ở vị trí cân bằng và có li độ đang tăng: x1 = 8cos  20πt −  cm 2 

Dao động 2 đang ở vị trí biên âm và đang tăng nên: x2 = 6cos( 20πt −π) cm Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:

A12 = A12 + A 22 = 10cm ⇒ v12max = ωA12 = 200π cm/s.

Ví dụ 9 (Đề THPTQG chính thức năm 2015) (Vận dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5.

A. 4s.

B. 3,25s.

C. 3,75.

D.3,5s.

Giải Cách giải 1: Tốc độ cực đại của chất điểm 2:

v2 max = ω2A2 = ω2 .6 = 4π ⇒ ω2 =

2π rad/s .

3

Từ hình vẽ ta có: T2 = 2T1 ⇒ ω1 = 2 ω 2 =

4π rad/s 3

 π  4π  x 1 = 6 cos  3 t − 2  cm    Phương trình dao động của hai chất điểm:   x = 6 cos  2 π t − π  cm    2 2  3

Hai chất điểm có cùng li độ khi:  4π π   2π π  4π π 2π π x1 = x 2 ⇔ cos  t −  = cos  t −  ⇒ t− = t − + k2π 2 2 3 2 3 2  3  3 Có hai họ nghiệm t1 = 3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3….

Và t 2 = k 2 + 0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x1 = x 2 :

Lần t1 = 3k 1

1

2

3

4 3s

5

6

7

…

t 2 = k 2 + 0,5 0,5s 1,5s 2,5s

3.5s

4,5s

5,5s

Vậy, hai chất điểm gặp nhau lần thứ 5 ở thời điểm t = 3,5s.

Chọn D Cách giải 2: Từ hình vẽ ta có: T 2 = 2 T1 ⇒ ω 1 = 2 ω 2

2π  = 1,5s v2max 4π 2π 4π T1 = ω ω = = = rad/s ⇒ ω = rad/s ⇒  1 1 Mặt khác: 2 A 6 3 3 T = 3s  2 Từ hình vẽ, lần thứ 5 (không kể thời điểm t = 0): 2,25T1< t < 1,25T2 3,375s < t < 3,75s

Chọn D

Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian(ĐỒ THỊ CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (A, ω,φ,viết PT dao động…)

Cách giải chung Cách 1: Khai thác trực tiếp các dữ kiện trên đồ thị + Cách tính biên độ của đại lượng biến thiên Biên độ của đại lượng biến thiên = (Giá trị lớn nhất (độ lớn) + giá trị ( độ lớn) nhỏ nhất): 2 + Tìm φ: Từ đồ thị viết PT của đại lượng biến thiên, với t = 0 giải PT kết hợp vòng tròn lượng giác suy ra pha ban đầu φ. + Tìm ω: Từ tính tuần hoàn của đồ thị suy ra chu kỳ trên trục thời gian ( Chú ý với đồ thị động năng và thế năng theo thờii gian thì chu kỳ T’ = T/2, lực đàn hồi T’ = T) Cách 2: Biến đổi hàm tuần hoàn về hàm điều hòa và vẽ lại đồ thị bằng sự dịch chuyển của trục ot sao cho đường hình sin đối xứng để xác định chu kỳ, biên độ và pha ( sử dụng được vòng tròn lượng giác) * Từ PT của đại lượng biến thiên đặt thành hàm mới là hàm điều hòa với sự dịch chuyển trên trục ot = phần hằng số trong phương trình ban đầu.

Ví dụ 10 ( Vận dụng): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độcứng k = 25 N/m dao động điều hòa theo phươngthẳng đứng. Biết trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O trùng với vị trí cân bằng. Biết giá trị đại số của lực đàn hồi tác dụng lên vật biến thiên theo đồ thị. Viết phương trình dao động của vật?

π  A. x = 8cos  4π t +  cm 3 

π  B. x = 10 cos  5π t +  cm 3 

π  C. x = 8cos  4π t −  cm 3 

2π   D. x = 10 cos  5π t −  cm 3  

Giải Công thức tính lực đàn hồi trong trường hợp này là

F = − k ( ∆l0 + x ) = −k∆l0 − kx

+ Tìm biên độ của đại lượng biến thiên: Fmax =

1, 5 + 3, 5 = 2, 5N ; 2

+ Tìm pha ban đầu:

F = 2,5 2,5cos cos ( ω t + ϕ ) − 1(N) ; F0 = 2,5cos ϕ − 1 = −2, 25 ⇒ ϕ = −

2π 3

+ Tìm chu kỳ:

 1 2π F = 2,5cos  ω −  3 3

∆ l0 =

x=

  − 1 = −3,5 ; 

F = − k ( ∆l0 + x ) = − k∆l0 − kx ;

1 = 0 , 0 4 m => ω = k

2π −2,5  cos  5π t − k 3 

g = 5 π rad / s ∆ l0

π    = 10 cos  5π t +  cm 3  

Ví dụ 11 (Nhận biết):Cho một vật dao động điều hòa với biên độ A dọc theo trục Ox và quanh gốc tọa độ O. Một đại lượng Y nào đó của vật phụ thuộc vào li độ x của vật theo đồ thị có dạng một phần của đường pa-rabôl như hình vẽ bên. Y là đại lượng nào trong số các đại lượng sau?

A. Vận tốc của vật.

B.Động năng của vật.

C. Thế năng của vật.

D. Gia tốc của vật.

Giải Vì đồ thị động năng theo li độ là một hàm bậc hai với hệ số a < 0.=>Chọn B

Ví dụ 12 (Vận dụng): Con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa ở nơi có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Độ lớn lực đàn hồi của lò xo biến thiên theo đồ thị như hình vẽ. Lấy π2 ≈ 10. Khối lượng của vật nhỏ bằng A. 100 g.

B. 300 g.

C.200 g.

D. 400 g.

5

2 1 0, 2

O

0, 4

t(s)

(F = 2)

Giải Trong quá trình dao động của vật, có thời điểm lực đàn hồi có độ lớn bằng 0 → A > ∆l0. + Từ đồ thị, ta có Fx = A A + ∆l0 = = 5 ⇒ A = 1,5∆l0 Fx =− A A − ∆l0

(F = 0)

(F = 1) −A

x +A

−∆ℓ 0

(F = 0)

(F = 2)

+ Ta để ý rằng, tại thời điểm t = 0 lực đàn hồi có độ lớn đang giảm Ft =0 x + ∆l0 = = 0, 4 ⇒ x = 0 Fx = A A + ∆l0

→ tại t = 0 vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm. → Từ đồ thị ta thấy hai vị trí lực đàn hồi có giá trị bằng 2N ở thời điểm t = 0,2s và t = 0,4s.

Biểu diễn các vị trí tương ứng trên đường tròn, ta dễ dàng thu được 0,5T = 0,4 – 0,2 → T = 0,4 s → ω = 5 rad/s → ∆l0 = 40 cm và A = 60 cm.→ Khối lượng của vật nhỏ Fx =A = mω2 ( A + ∆l0 ) ⇒ m =

Fx = A = 200 (g) =>Chọn C ω ( A + ∆l0 ) 2

19

Dạng 3: DẠNG ĐỒ THỊ KHÁC: Đường thẳng, elip, parabol… (Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực kéo vềtheo li độ hoặc vận tốc trong dao động điều hòa điều hòa). * Sử dụng tính chất của các đồ thị trong toán học ví dụ như công thức tính tọa độ ở đỉnh parabol, tiêu điểm của các elip hay giá trị của đường thẳng có đi qua gốc tọa độ…

Ví dụ 13 (Vận dụng).Một vật nặng có khối lượng m = 0,01 kg daođộng điều hòa quanh vịtrí cân bằng. Đồthịhìnhbên mô tả lực kéo về F tác dụng lên vật theo li độ x. Chu kì dao động của vật là

A.0,152 s

B.0,314 sC.0,256 s

D.1,265 s

Giải + Từ đồ thị ta có: Fmax = 0,8N, A = 0,2m

Fmax = mω 2 A ⇒ ω =

Fmax 0,8 2π 2π = = 20rad / s ⇒ T = = = 0,314s m.A 0, 01.0, 2 ω 20

PHẦN V: MỘT SỐ CÂU ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TRONG ĐỀ THI THPTQG CÁC NĂM GẦN ĐÂY Câu 1 (Đề THPTQG năm 2015)(Vận dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5.

A. 4s.

B. 3,25s.

C. 3,75.

D.3,5s.

Câu 2 (Đề THPTQG 2016)( thông hiểu): Cho hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thẳng vuôn góc với trục Ox tại O. Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1, đường (2) la đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là B. 3 A.1/27 C. 27 D. 1/3 Câu 3 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 202) (Vận dụng):Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t . Tần số góc của dao động là A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C.5π rad/s.

D. 5 rad/s.

Câu 4(Đề THPTQG 2017 – MĐ 203)( Vận dụng):Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao động điều hòa. Phương trình dao động của vật là 3 20π π cos( t + )(cm.)

8π 3 6 3 20π π B. x = cos( t + )(cm.)

4π 3 6

A. x =

C. x =

3 20π π 3 20π π cos( t − )(cm). D. x = cos( t − )(cm) .

8.π 3 6 4π 3 6

Câu 5(Đề THPTQG 2017 – MĐ 203)(Vận dụng):Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa. Hình bên là đồ thịbiểu diễn sự phụ thuộc của động năng Wđ của con lắc theo thời gian t.Hiệu t 2 − t1 có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 0,27 s.

B. 0,24 s.

C. 0,22 s.

D. 0,20 s.

Câu 6(Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)(Thông hiểu):Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t. Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau A.π/3. B. 2π/3.

C. 5π/6.

D. π/6.

Câu 7(Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)(Thông hiểu):Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t. Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau A.π/3. B. 2π/3.

C. 5π/6.

D. π/6.

Câu 8(Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)(Thông hiểu): Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số.

Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian.

Hai dao động của M2 và M1 lệch pha nhau A. 2π/3 B. 5π/6 C. π/3 D. π/6 Câu 9(Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)(Thông hiểu):

Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số. hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t.

Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau: A. π/3 B. π/6 C. 5π/6 D. 2π/3

Câu 10(Đề THPTQG 2019 – MĐ 203)(Vận dụng):Một con lắc lò xo được treo vào một điểm cố định đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng lên vật nhỏ của con lắc theo thời gian t. Tại t=0,3 s, lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là A.3,5N B.4,5N C.1,5N D.2,5 Câu 11(Đề THPTQG 2019 – MĐ 203)(Vận dụng):Một con lắc lò xo được treo vào một điểm 5 cố định đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng lên vật O nhỏ của con lắc theo thời gian t. Tại t=0,45 s, lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là A.1,59N B.1,29N C.2,29N D.1,89N Câu 12(Đề thi chính thức THPTQG 2019 – MĐ 203):Một con lắc lò xo được treo vào một 5 điểm cố định đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng.Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng O lên vật nhỏ của con lắc theo thời gian t. Tại t = 0,15s lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là A.4,43N B.4,83N C. 5,83N D. 3,43N

PHẦN VI: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

0, 4

0, 4

Dạng 1: ĐỒ THỊ HÌNH SIN – HÀM ĐIỀU HÒA (Đồ thị li độ x, vận tốc v, gia tốc a, lực kéo về Fkv) Câu 1(NB). Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t của một vật dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật là

A.2,0mm C.0,1dm

B.1,0mm D.0,2dm

Câu 2(NB). Đồ thị hình bên dưới biểu diễn sự

x

phụ thuộc của li độ vào thời gian của một vật dao

động điều hòa. Đoạn PR trên trục thời gian t biểu

R O

P

t

thị

A.hai lần chu kì C.một chu kì

B.hai điểm cùng pha D.một phần hai chu kì

Câu 3(TH). Hình vẽ bên là đồ thị phụ thuộc thời

x (cm)

gian của li độ dao động điều hòa. Chu kì dao động là

O

A.0,75 s C.3 s

1

t (s)

B.1,5 s D.6 s

Câu 4(TH). Một vật dao động điều hòa có li độ x được biểu diễn như hình vẽ. Cơ năng của vật là

x (cm) 10

250 mJ. Lấy π2 = 10. Khối lượng của vật là:

A.500 kg C.5 kg

B.50 kg D.0,5 kg

O

2 1

t (s)

Câu 5(TH).Đồ thị vận tốc - thời gian của một vật dao động điều hoà như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Tại thời điểm t1, gia tốc của vật có giá trị dương.

B. Tại thời điểm t3, vật ở biên dương.

C. Tại thời điểm t2, gia tốc của vật có giá trị âm.

D. Tại thời điểm t4, vật ở biên dương.

-----------------------------------------------

Câu 6(VD).Vật dao động điều hòa có đồ thị tọa độ như hình dưới. Phương trình dao động là A. x = 2cos (5πt + π) (cm). π 2

B. x = 2cos (5πt - ) (cm).

C. x = 2cos 5πt (cm). π 2

D.x = 2cos (5πt + ) (cm).

Câu 7(VD).Đồ thị li độ của một vật dao động điều hoà có dạng như hình vẽ. Phương trình dao động của vật là π π A. x = 4cos  t −  ( cm ) . 3

 B. x = 4cos  t + π 3

3

π  ( cm ) 3

π π C. x = 4cos  t −  ( cm ) . 3

π 

6

π

D. x = 4cos  t +  ( cm ) .

3 6 

Câu 8(VD).Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, với O trùng với vị trí cân bằng của chất điểm. Đường biểu diễn sự phụ thuộc li độ x chất điểm theo thời gian t cho ở hình vẽ. Phương trình vận tốc của chất điểm là

v vmax

O -vmax

t2 t1

t4 t3

t

A. v = 60πcos (10πt + π /3)( cm/s ) .

B. v = 60πcos (10πt +π/6 )( cm/s ) .

C. v = 60cos (10πt + π/3)( cm/s ) . D. v = 60cos (10πt − π / 6)( cm/s ) .

Câu 9(VD). Một vật dao động điều hoà trên trục Ox. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ có dạng như hình vẽ bên. Phương trình dao động của li độ là A. x = 7 cos ( 2πt − 3π / 4 )( cm ) .

B. x = 7 cos ( 4πt − π / 6 )( cm ) . cos ( 2πt − π / 6 )( cm ) .

C. x = 77cos

D. x = 7 cos ( 4πt + π / 6 )( cm ) .

Câu 10(VD).Một chất điểm dao động điều hoà hàm cosin cógia tốc biểu diễn như hình vẽ sau.

Phương trình dao động của vật là  

π

 

π

A. x = 10cos  πt +  ( cm ) .

3 

B. x = 20cos  πt −  ( cm ) .

2 

C. x = 20cos πt ( cm ) .  

π

D. x = 20cos  πt +  ( cm ) .

2 

Câu 11(VD). (Thi thử sở Quảng Nam năm học 2016-2017).Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của gia tốc a vào thời gian t như hình vẽ. Ở thời điểm t = 0, vận tốc của chất điểm là A. 1,5π m/s.

B. 3π m/s.

C. 0,75π m/s.

D. -1,5π m/s.

a(m/s2)

Câu 12(VD). (Sở Bình Thuận năm học 20162017).Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t như hình vẽ. Tại thời điểm t = 3s (kể từ thời điểm ban đầu) , chất điểm có vận tốc xấp xỉ bằng A. -8,32 cm/s. B. -1,98 cm/s.

C. 0 cm/s.

D. - 5,24 cm/s.

Câu 13(VD). Một chất điểm dao động điều hòa có pha dao động của li độ quan hệ với thời gian được biễu diễn như hình vẽ . Quãng đường chất điểm đi được từ thời điểm t3 đến thời điểm t4 là 10cm và t2 - t1= 0,5s. Độ lớn gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3,69s gần ây? giá trị nào nhất sau đây?

2 A. 17cm/s .

B. 12cm/s2.

C. 20m/s2. D. 35cm/s2.

Câu 14(VD).(Minh họa lần 2 của Bộ GD năm học 2016-2017).Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0,2 s, chất điểm có li độ 2 cm. Ở thời điểm t = 0,9 s, gia tốc của chất điểm có giá trị bằng A. 14,5 cm/s2. B. 57,0 cm/s2.

C. 5,70 m/s2 .

D. 1,45 m/s 2.

O

−2 Câu 15(VD).Một vật có khối lượng m=100 gam, F(10 N) 4 dao động điều hoà theo phương trình có dạng x = Acos(ωt + ϕ) . Biết đồ thị lực kéo về theo

thời gian F(t) như hình vẽ.Lấy π = 1 0 . Viết phương trình vận tốc của vật.

A. v= 4πcos(πt+π/6) (cm/s) B.v= 4πcos(πt +5π/6 )(cm/s) C. v= 4πcos(πt+π/6) (cm/s) D. v= 8πcos(πt -π/6 ) (cm/s) 2

0

−2

−4

2 3

7 6

5 3

t= 0; F0= -2.10-2 N

t(s)

Dạng 2. ĐỒ THỊ HÀM TUẦN HOÀN nă , lực đàn hồi, lực kéo về theo thời gian trong dao (Đồ thị động năng, thế năng động điều hòa điều hòa).

Câu 16(TH). Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của thế năng đàn hồi Wđh của một con lắc lò xo nằm ngang vào thời gian t. Tần số dao động của con lắc bằng A. 33 Hz. B. 25 Hz. C. 42 Hz. D. 50 Hz. Câu 17(VD).Một vật có khối lượng 400g dao động điều hoà có đồ thị động năng như hình vẽ.

Tại thời điểm t = 0 vật đang chuyển động theo chiều dương, lấy π 2 ≈ 10 . Phương trình dao động của vật là  

π ( cm ) .

6 

 

π ( cm ) .

3 

A. x = 10cos  πt + B. x = 10cos  πt +  

C. x = 5cos  πt +

2π   ( cm ) .

3 

π  D. x = 5cos  2πt −  ( cm ) .

3 

Câu 18(VD).Một vật có khối lượng m = 100g đang dao động điều hòa trên trục Ox. Đồ thị động năng phụ thuộc theo thời gian của vật được biểu diễn như hình bên. Tại thời điểm t = 8,5s thế năng của vật là 93,75 mJ. Tốc độ của vật lúc t = 0 gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 124 cm/s. B. 130 cm/s.

C.152 cm/s D. 115 cm/s.

Câu 19(VD).Một vật có khối lượng 100g dao động. điều hoà có đồ thị thế năng được biểu diễn theo thời gian như hình vẽ. thời điểm t = 0 vật có gia tốc âm, lấy π2 = 10. Phương trình vận tốc của vật là  

Wd(J)

π

A. v = 60π cos  10πt +  ( cm / s ) 4 

 

π

B. v = 30π cos  5πt −  ( cm / s ) 4 



3π   ( cm / s ) 4 

 

3π  ( cm / s ) 4 

 C. v = 60π cos  10πt −

D. v = 30π cos  5πt −

Wd(J)

Câu 20(VD). (Thi thử THPT Huỳnh Thúc Kháng 2017). Một vật có khối lượng 250 g dao động điều hòa, chọn gốc tính thế năng ở vị trí cân bằng, đồ thị động năng theo thời gian như hình vẽ. Thời điểm đầu tiên vật có vận tốc thỏa mãn v = −10ωx (x là li độ) là A.

7π s.

120

B.

π π π s .C. s .D. s.

30 20 24

Câu 21(VD).Một con lắc lò xo có độ cứng 100 N/m đang dao động điều hoà. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của thế năng và động năng vào li độ như hình vẽ. Giá trị của W0 là A. 0,4 J.

B. 0,5 J.

C. 0,3 J.D.0,2 J

Câu 22(VD). Một vật nhỏ có khối lượng 500g dao động điều hòa trên trục Ox, đồ thị động năng và thế năng của vật theo thời gian như hình vẽ . biên độ dao động của vật là A. 1cm.

B. 2cm.

C. 4cm.

D.8cm.

Fdh(N) Câu 23(VD).Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k =25N/m dao động điều 1,5 hòa theo phương thẳng đứng. Biết trục OX 0 thẳng đứng hướng xuống, gốc O trùng với VTCB. Biết giá trị đại số của lực đàn hồi −2,25 tác dụng lên vật biến thiên theo đồ thị. −3,5 Viết phương trình dao động của vật?

A. x = 8.cos(4πt + π / 3)cm.

B. x = 8.cos(4πt − π / 3)cm.

C.x= 10cos(5πt+ π/3)cm.

D. x = 10.cos(5πt − 2π / 3)cm.

Câu 24(VD) (THPT Yên Lạc –VP 2016).Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k gắn với vật nhỏ có khối lượng m đang dao động điều hòa dọc theo trục Ox thẳng đứng mà gốc O ở ngang với vị trí cân bằng của vật. Lực đàn hồi mà lò xo tác dụng lên vật trong quá trình dao động có đồ thị như hình bên.

Lấy π2 = 10, phương trình dao động của vật là: A.x = 2cos(5πt –π/2)cm.

B. x = 2cos(5πt + π/2)cm.

C. x = 2cos(5πt – π/3)cm .

D. x = 2cos(5πt + π/3)cm.

1 3

t(s)

Dạng 3. DẠNG ĐỒ THỊ KHÁC: Đường thẳng, elip, parabol… nă , lực đàn hồi, lực kéo vềtheo li độ hoặc vận tốc (Đồ thị động năng, thế năng đ ều hòa). trong dao động điều hòa đi Câu 25(NB).Một vật dao động điều hòa, trên trục Ox. Đồ thị nào dưới đây biểu diễn đúng sự phụ thuộc của gia tốc a vào li độ x của vật?

O

A.

x

O

x

x

O

C.

B.

Câu 26(VD). (Thi thử THPT Nông Cống 2 – Thanh Hóa năm học 2016-2017). Trên hình vẽ là đồ thị sự phụ thuộc của vận tốc theo li độ của một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Vận tốc cực đại của dao động gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 79,95 cm/s.

B. 79,90 cm/s.

C. 80,25 cm/s.

D. 80,00 cm/s.

Câu 27(VD). Một con lắc lò xo có vật nhỏ khối lượng 0,1 kg dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = Acosωt (cm). Đồ thị biểu diễn động năng theo bình phương li độ như hình vẽ. Lấy π2 = 10.

Tốc độ trung bình của vật trong một chu kỳ là A. 20 cm/s.

C. 10 cm/s.

a

a

a

a

B. 40 cm/s.

D.80 cm/s.

Câu 28(VD). Động năng dao động của một con lắc lò xo được mô tả theo thế năng dao động của

O

D.

x

nó bằng đồ thị như hình vẽ. Cho biết khối lượng của vật bằng 100 g, vật dao động trên quỹ đạo là một đoạn thẳng dài 8cm Tần số góc của dao động bằng

A. 5rad/s.

B. 5

C. 5

D. 2rad/s.

3

rad/s.

2

rad/s.

Câu 29(VD). Một vật có khối lượng m = 0,01kg dao động điều hoà quanh vị trí x = 0 dưới tác dụng của lực được chỉ ra trên đồ thị như hình vẽ.

F(N) 0,8 0,2 x(m)

- 0,2 -0,8

Chu kì dao động của vật bằng: A. 0,256 s B. 0,152 s C. 0,314 s D. 1,255 s

Câu 30(VD). Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa mà lực đàn hồi 4 và chiều dài của lò xo có mối liên hệ được cho bởi đồ thị hình vẽ.

Cho g = 10 m/s2. Biên độ và chu kỳ dao động của con lắc là 0 A. A = 6 cm; T = 0,56 s.

B. A = 4 cm; T = 0,28 s.

–2 C. A = 8 cm; T = 0,56 s.

D. A = 6 cm; T = 0,28 s.

32

Fđh(N)

2 4

ℓ (cm)

6 10

188

PHẦN VII: KẾT LUẬN Bài tập về đồ thị là một dạng toán đòi hỏi HS cần có phản xạ nhanh, tư duy logic tốt, nắm vững được sự phụ thuộc của các đại lượng đặc trưng, các giá trị cực đại từ đó suy ra biên độ, các giá trị đặc biệt và mối liên hệ với vòng tròn lượng giác (trong đồ thị hình sin) để tìm được các đại lượng như chu kỳ, tần số, tần số góc và pha ban đầu tại thời điểm t = 0. Khi học sinh đã quen và định hướng được cách giải thì việc giải bài toán có đồ thị trở nên đơn giản. Với sự lựa chọn thi tổ hợp các môn KHTN theo nguyện vọng thì đa số các em đều có kiến thức nền cơ bản rất tốt. Đối với những HS từ Khá trở lên các em rất hứng thú với những bài tập có đồ thị.

Phương pháp giải bài tập trên đã được sử dụng để dạy và ôn tập thi THPTQG cho học sinh lớp 12 (lớp 12A1, 12A2 năm học 2016 – 2017, lớp 12A1 năm 2018 – 2019và lớp 12A3 năm 2019 – 2020 trường THPT Xuân Hòa). Kết quả đạt được là học sinh đã biết cách giải các bài toán cùng dạng, không bỡ ngỡ khi gặp bài toán có đồ thị, biết cách phân loại, phản xạ nhanh với các giá trị đặc biệt trên đồ thị hơn phù hợp với việc làm bài thi trắc nghiệm.

Bài viết chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để nội dung và hình thức bài viết được hoàn thiện hơn.

33