Matematicasprimaria

Sociedad Matemática Mexicana

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria Módulo I

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Introducción La problemática del aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas en los diversos niveles educativos y en especial en la escuela primaria, ha sido objeto de investigación sistemática e institucional en los últimos cuarenta años. Dichas investigaciones han arrojado luz sobre los diversos factores que inciden en el problema y de ello se han derivado acciones encaminadas a tratar de resolver tal problemática.

En particular, las investigaciones sobre dicho proceso han ayudado a entender que los niños aprenden matemáticas partiendo, por lo general, de experiencias concretas relacionadas con objetos y/o situaciones del mundo físico o social y que al interaccionar con tales situaciones, los niños llevan a cabo procesos de abstracción que hacen posible que, poco a poco, puedan prescindir de los objetos físicos. Tales investigaciones también han permitido comprender que el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista entre los propios niños y con el profesor, son de gran ayuda para el aprendizaje y la construcción de conocimientos matemáticos.

La comprensión de los procesos de aprendizaje de la matemáticas que viven los niños ha dado lugar a una nueva concepción de la enseñanza, considerándola como el proceso de conducción de la actividad de aprendizaje, lo cual a su vez, conlleva una nueva concepción del profesor como el propiciador y conductor de dicha actividad de aprendizaje, en contraposición con la concepción más tradicional del profesor como el expositor y transmisor del conocimiento.

Esta concepción de la enseñanza implica la necesidad de que el profesor (a) diseñe o seleccione actividades que promuevan la construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en las que los niños puedan observar, explorar, conjeturar, interactuar entre ellos y con el (la) profesor(a), ya que de ello depende en buena medida, el éxito en el aprendizaje de las matemáticas.

La promoción, por parte de los profesores, del aprendizaje de las matemáticas a través de actividades como las descritas en el párrafo anterior, ocasionará a su vez, que los niños conciban a esta disciplina, como un conjunto 2

de herramientas funcionales y flexibles que les ayudan a entender y resolver diversos problemas.

El Diplomado “Las Matemáticas y su Enseñanza en la Escuela Primaria” ha sido diseñado para ofrecer a los profesores de este nivel escolar, la oportunidad de vivir experiencias que les permitan ampliar y profundizar su dominio de los contenidos matemáticos que son objeto de estudio en la escuela primaria, así como experiencias que lleven a reflexionar sobre las estrategias didácticas que pueden favorecer los procesos de aprendizaje de los alumnos de este nivel escolar.

En correspondencia con lo aquí dicho, se establece el siguiente:

Propósito Fundamental del Diplomado

Que los profesores participantes mejoren su nivel de dominio del contenido matemático que es objeto de estudio en la escuela primaria, y desarrollen competencias para diseñar y desarrollar cada vez mejores estrategias didácticas, así como para utilizar, de manera más eficaz, los diversos recursos didácticos recomendados institucionalmente.

El propósito fundamental establecido se deriva de la expectativa de que, con una mayor preparación en el conocimiento de las matemáticas y una mejor comprensión de los planteamientos que sobre su aprendizaje y enseñanza aparecen en los planes y programas de estudio de educación básica vigentes, el (la) profesor(a) mejorará su práctica docente y, consecuentemente, habrá una elevación significativa en la calidad de la educación que reciben los niños en la escuela.

Para el logro del

objetivo fundamental del Diplomado se plantean los

siguientes:

Objetivos Específicos.

Que los profesores alumnos: 3

1. Amplíen y profundicen su conocimiento y comprensión sobre los contextos y las secuencias de situaciones problemáticas que dan significado a los contenidos matemáticos que se trabajan en la escuela primaria.

2. Mejoren su comprensión sobre el enfoque didáctico de los nuevos materiales para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, profundizando en su estructura y sus contenidos.

3. Experimenten una manera grata y creativa de enseñar, estudiar y aprender matemáticas, que los motive a procurar que sus alumnos vivan experiencias semejantes en su aula de clases.

4. Elaboren actividades y secuencias didácticas para su salón de clases sustentadas, tanto en su experiencia como en razonamientos reconocidos.

Estructura del Diplomado El Diplomado está organizado en tres módulos y cada uno tendrá una duración de 40 horas. El primero de ellos se concibe como un primer acercamiento a la problemática del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Consta de cuatro sesiones de diez horas cada una.

En la primera de estas sesiones se hará una presentación general de la estructura del diplomado y se desarrollarán actividades que propicien la reflexión sobre las siguientes tres cuestiones: a) El uso de los problemas en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. b) El uso de los juegos en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. c) El uso de los recursos tecnológicos (calculadora y computadora) en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas.

Las actividades de la segunda sesión están diseñadas para propiciar la reflexión sobre las dificultades que tienen los niños al tratar de entender y aprender los conceptos básicos de tres contenidos esenciales de los ejes temáticos denominados “Los números, sus relaciones y sus operaciones” y “Procesos de 4

cambio”. Dichos contenidos son: Sistemas de numeración, Técnicas de cálculo y Fracciones.

La tercera sesión contiene actividades a través de las cuales se promueve la reflexión sobre los procesos de aprendizaje y enseñanza de los ejes temáticos denominados “Geometría” y “Medición”.

La cuarta sesión tiene el propósito de reflexionar sobre el aprendizaje y la enseñanza de los contenidos de los ejes temáticos denominados “El tratamiento de la información” y “La probabilidad y el azar”.

El segundo módulo, tendrá también una duración de 40 horas. En este módulo las actividades están destinadas a la profundización de los contenidos de cuatro de los ejes temáticos de la primaria. Las primeras veinte horas se centran en los ejes denominados “Los números, sus relaciones y sus operaciones” y “Procesos de cambio”, en tanto que las veinte horas restantes están enfocadas en los ejes temáticos denominados “Geometría” y “Medición”.

En el tercer módulo, con idéntica duración al anterior, se destinan las primeras 20 horas a analizar aspectos de profundización en los ejes temáticos denominados “El tratamiento de la información” y “La probabilidad y el azar”. Por último, tomando en cuenta lo que se ha revisado y analizado en el Diplomado hasta este momento, las últimas 20 horas se utilizarán para desarrollar actividades cuyo propósito es la reflexión y el análisis del uso de los diversos materiales con que cuenta el profesor para planear y llevar a cabo su trabajo con los niños, esto es, las actividades están encaminadas al análisis de los libros de texto, de los ficheros, de los libros del maestro, de los medios tecnológicos como “Enciclopedia”, “Mi ayudante” y otros, con el fin de que dichos materiales sean revalorados, pero sobre todo, con el objeto de que se reflexione sobre su mejor uso con los alumnos.

Metodología La estrategia metodológica general para el desarrollo de las diversas actividades diseñadas para el tratamiento de los contenidos matemáticos a abordar en el diplomado, será el planteamiento de una situación problemática en 5

la que se propondrá realizar alguna tarea (problémica) o responder una cierta pregunta (problémica) con objeto de propiciar la reflexión a través de la cual se construyan los conocimientos y se desarrollen las habilidades y actitudes que se pretenden lograr con la actividad en particular y con el módulo y el diplomado en general.

En un primer momento, se promoverá el trabajo individual con la situación, con objeto de que este primer momento permita a los profesores alumnos un primer nivel de conocimiento de la situación, el cual es necesario para la realización de la actividad del segundo momento, que se desarrollará en equipos.

En este segundo momento las actividades a realizar son de comunicación y tienen la intención de que los participantes tengan la necesidad de verbalizar el conocimiento adquirido en la primera etapa para poder contrastar su versión de lo aprendido con la versión de sus compañeros de equipo, de tal forma que la contrastación de puntos de vista y opiniones sobre las tareas realizadas, o, en su caso, las respuestas a las preguntas formuladas, permitan arribar a un segundo nivel de conocimiento más eficaz para la interpretación de la situación problémica, objeto de estudio.

En un tercer momento, el trabajo será a nivel de todo el grupo, de interacción entre equipos y la conducción del profesor, con el propósito de obtener un conocimiento todavía más eficaz del objeto de estudio, que permita formular una versión del mismo,

compartida

por

todos

los

integrantes

del

grupo

y

avalada

e

institucionalizada por el profesor.

Página electrónica WEB Para fortalecer el uso de la tecnología en las actividades de enseñanza, por parte de los profesores, se promoverá el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

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En tal sentido, los materiales de apoyo, lecturas complementarias, páginas de interés y otros, estarán disponibles mediante una página WEB a la cual tendrán acceso cada uno de los profesores-alumnos. Asimismo, en esa página electrónica se abrirán foros de discusión en los que los asesores e instructores podrán intercambiar sus puntos de vista, compartiendo sus experiencias y enriqueciendo sus visiones a la vez que usan la tecnología. Similarmente, en cada Estado se podrá abrir un foro para el intercambio de puntos de vista entre los profesoresalumnos.

El acceso a diversos sitios electrónicos en los que se presenta información y se discuten aspectos del ámbito de trabajo académico de los profesores, con la guía de la Comisión Académica, permitirá que los profesores fortalezcan sus mecanismos de formación y actualización y estén en condiciones, a su vez, de promover su uso entre los estudiantes.

Por otro lado, la página WEB permitirá poner a la luz pública los informes académicos y administrativos de los diferentes actores del diplomado, facilitando con ello la supervisión del trabajo.

Evaluación La evaluación que se hará en el diplomado se especifica en cada uno de los módulos que se cubrirán y tendrán como base los siguientes lineamientos:

•

Asistencia regular (más de cien horas de asistencia) y participación activa en las sesiones del diplomado;.

•

Presentación por escrito del diseño, análisis y argumentación de una actividad didáctica para cada uno de los ejes abordados (aprobación de cada uno de los módulos)

•

Exposición satisfactoria, a juicio de los instructores, de una de las actividades didácticas diseñadas.

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I TRODUCCIÓ AL MÓDULO I Este primer módulo del diplomado consta de cuatro secciones. Se pretende que las actividades propuestas en cada una de ellas puedan realizarse en un tiempo aproximado de diez horas de trabajo colectivo por los profesores-estudiantes, bajo la conducción del instructor.

El enfoque de enseñanza propuesto para la escuela primaria privilegia la resolución de problemas como la fuente principal de generación de conocimiento matemático. Por esta razón la sección de inicio está dedicada a la reflexión sobre el papel que juegan los problemas en la enseñanza, y en todas las actividades se ha tratado de mantener el planteamiento, la resolución y el diseño de problemas como el eje que articula los contenidos.

Las actividades han sido concebidas para que los profesores-estudiantes se involucren en ellas como una manera de vivir experiencias de aprendizaje que les sirvan como referencia en su trabajo diario. No están pensadas para un grado escolar específico y de ningún modo se recomienda trasplantarlas a los salones de clase de primaria. A lo largo de todo el diplomado, pero particularmente en este módulo hemos tratado de aterrizar la recomendación general: “Para que la propuesta actual de enseñanza de las matemáticas pueda ser llevada convenientemente a la práctica es necesario que los maestros interioricen el enfoque actual, que sepan vivencialmente cómo es el aprendizaje a través de problemas, que sepan manejar situaciones problemáticas para promover el desarrollo de habilidades, respetando los procesos de los alumnos, y que aprendan a detectar cuándo éstos han logrado un avance en la construcción de un conocimiento.”1 En la primera sección titulada El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la enseñanza de las matemáticas, pueden distinguirse dos partes, en una primera se plantean situaciones problemáticas, que incluyen el uso de juegos como una vía para plantearlas y una segunda parte en la cual se discuten aplicaciones específicas de la calculadora y la computadora en la enseñanza.

El propósito principal de las situaciones problemáticas que se presentan es generar y analizar estrategias de solución, verificar los resultados obtenidos e introducir variantes a la situación como una manera de generar nuevas situaciones problemáticas. Mientras que el uso de la calculadora y la computadora pretenden ilustrar con ejemplos, la potencialidad que pueden tener estos recursos para 1

Alatorre, Silvia, et al (1999). Propósitos y Contenidos de la Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel de Educación Primaria en México, pp. xii, http://miayudante.upn.mx/docint/DI0007.pdf [15 de junio de 2008]

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enseñar matemáticas en el nivel que nos ocupa; en el caso de la computadora se propone la utilización de un software de geometría dinámica, para la discusión de algunos conceptos geométricos.

Hemos titulado la segunda sección con el nombre genérico de Aritmética, y sus contenidos se refieren principalmente al eje temático llamado Los números, sus relaciones y sus operaciones, aunque están conectados también con los ejes de Medición y Procesos de cambio. Las primeras actividades de esta sección se refieren al uso de un sistema de numeración posicional de base 5, y se pretende poner a discusión las dificultades que un niño enfrenta cuando intenta aprender a manejar un sistema de numeración posicional de base 10.

Encontraremos también aquí una serie de actividades que promueven el cálculo mental como recurso para la resolución de problemas y por último se propone un conjunto de actividades vinculadas al concepto de fracción. Este último tópico nos parece de primordial importancia en virtud de que las dificultades para su aprendizaje han representado uno de los grandes retos que enfrentan los maestros en su práctica docente. Aunque las actividades sobre fracciones no pretenden ilustrar de manera exhaustiva estas dificultades, sí se pretende mostrar el hecho de que las dificultades del concepto están relacionadas con la diversidad de significaciones que tiene y con los obstáculos que representa para un aprendiz la experiencia previa con el manejo de los números enteros.

La tercera sección denominada Geometría, se refiere al eje temático que lleva el mismo nombre, pero está conectada también con el eje de Medición. Ésta es la parte donde se utiliza la mayor cantidad de recursos didácticos, desde simples hojas de papel transparente, hasta la computadora para generar representaciones dinámicas de las situaciones propuestas. En el primer grupo de actividades se emplea el doblado de papel para plantear y resolver problemas relacionados con las líneas notables de un triángulo y sus propiedades; la discusión está centrada aquí en el análisis de las estrategias seleccionadas y en la argumentación sobre la efectividad de las mismas.

El segundo grupo de actividades se refieren a propiedades de triángulos y cuadriláteros, se utiliza la construcción manual de una torre para analizar la rigidez como propiedad exclusiva del triángulo; las actividades incluidas aquí dan lugar a diversas situaciones en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el enunciado de definiciones cobran especial importancia. Todos estos elementos son componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en particular.

En el tercer grupo de actividades se aborda el concepto de medición; la finalidad de estas actividades es promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud y superficie. Se utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición.

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La cuarta y última sección, denominada Datos y azar, aborda tópicos que a lo largo de la escuela primaria forman parte de los ejes temáticos denotados La predicción y el azar y Tratamiento de la información. Esta sección inicia con una primera actividad que consiste en responder un cuestionario sobre la actividad profesional de los profesores-estudiantes para posteriormente procesar los datos y analizar los resultados. El propósito de esta actividad es que los profesoresestudiantes expliquen el comportamiento de una variable estadística con base en las características globales de los datos.

Luego sigue un segundo grupo de actividades relacionadas con experimentos aleatorios de lanzamientos de monedas; se pretende aquí que, a partir de estos experimentos, los profesores-estudiantes analicen algunos conceptos como: experimento aleatorio, espacio muestra, eventos, regularidad estadística, entre otros.

El tercer grupo de actividades se trata principalmente el tema de combinatoria; se espera aquí que los participantes pongan en juego las ideas relacionadas con espacio muestra y combinatoria, con la pretensión de generar la reflexión en torno a la orientación que pueden tener las actividades de enseñanza con sus alumnos.

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Sección 1: El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la enseñanza de las matemáticas Actividad 1 Cálculo de áreas El profesor de quinto grado, en la clase de Matemáticas, colocó en el pizarrón, una cartulina con la siguiente figura:

Nos pidió que la observáramos porque la clase consistiría en contestar diversas preguntas referentes a ella.

En realidad las primeras preguntas fueron muy fáciles, pues nos preguntó cuáles figuras observábamos. De inmediato, Manuelito, que muchas veces está distraído, pero que esta vez no lo estaba, dijo que observaba un rectángulo y tres triángulos, uno grande, uno mediano y uno chico. También dijo que el rectángulo estaba lleno de cuadritos, que el triángulo grande era verde, que el mediano era amarillo y que el chico era azul.

La segunda pregunta fue que cuántos cuadritos había en total, en el rectángulo. Esto resultó también fácil pues hubo muchos que querían 11

contestar, pero, finalmente, el profesor le pidió a Gustavo que él contestara y lo hizo muy bien.

Poco a poco las preguntas fueron siendo menos fáciles, aunque cada vez más interesantes, pues al menos para mi y mis compañeros de equipo, eran retos que nos motivaban a tratar de vencerlos, sobre todo porque el profesor nos decía, esta pregunta vale cinco puntos o, el que conteste esta pregunta gana diez puntos de la calificación del periodo. Yo logré contestar algunas y acumulé quince puntos.

Entre las preguntas que hizo y que nos hicieron pensar mucho, están las siguientes:

a) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo verde? b) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo azul? c) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo amarillo?

Por cierto que al principio nos confundimos pues creíamos que se refería sólo a cuadritos completos, pero el profesor nos aclaró que se trataba de saber cuántos eran en total, es decir, se trataba de ver cuántos se completaban contando también los que sólo tenían pintada una parte.

Contesten, cada uno de ustedes, las preguntas que formuló el profesor y luego comenten en equipo, además de la respuesta que obtuvieron, lo que hicieron para obtenerla. Vean si hay más de una manera de llegar a la respuesta y, si hay diversas maneras, pónganse de acuerdo sobre cuál o cuáles de las maneras les parecen las mejores. Además ¿Qué otras preguntas relacionadas con la figura pueden formular?

Actividad 2

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Las monedas defectuosas Juan es un estudiante muy inquieto e ingenioso que acostumbra retar a sus compañeros, y a veces también a sus maestros, con problemas diversos. El que proponemos en esta actividad, se lo planteó a varios de sus compañeros diciéndoles que estaba dispuesto a pagar cien pesos a quien ideara una estrategia, al menos tan breve como la que él había diseñado, para resolverlo. El problema es el siguiente: Se tienen diez bolsas, todas iguales, conteniendo 10 monedas cada una. Las monedas de nueve de las bolsas son auténticas y todas iguales, mientras que una de las bolsas contiene monedas falsas. Las monedas falsas sólo se distinguen de las auténticas porque pesan un gramo menos, esto es, cada moneda auténtica pesa 10 gramos, mientras que cada moneda falsa pesa sólo 9 gramos. El problema consiste en determinar cuál es el mínimo número de pesadas que es necesario hacer para saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas.

Juan dijo a sus amigos que él ideó una manera de saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas y que es una forma en la que usa muy poquitas pesadas, pero que si alguien logra una forma de saberlo en menos pesadas que él, le dará cien pesos.

Diseñen una estrategia para saber cuál es la bolsa de las monedas falsas, procurando hacerlo en el menor número de pesadas, luego comparen sus estrategias para ver quién lo logró en menos pesadas. Si alguno lo hizo en menos pesadas que Juan, se habrá ganado cien pesos.

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Actividad 3 El premio de los marineros En esta actividad trabajaremos con un problema adaptado de una anécdota narrada en el hermoso libro “El hombre que calculaba”2, cuya lectura recomendamos ampliamente. El problema es el siguiente: a) El Capitán de un barco anuncia que a la mañana siguiente, al desembarcar, a tres de sus marineros les sería repartida como recompensa una cantidad de monedas de oro que colocó en una bolsa. Uno de los marineros despierta antes que los demás y decide tomar su parte de la recompensa por adelantado. Al querer distribuir en tres partes iguales las monedas se dio cuenta que la división no era exacta ya que sobraba una moneda. Para evitar problemas con sus compañeros, tiró la moneda sobrante al mar, tomó su parte y se fue a dormir de nuevo. Por la mañana, el ayudante del capitán, que desconocía la cantidad original de monedas en la bolsa, sustrajo una de ellas para él y enseguida reunió a los tres marineros a los que repartió equitativamente el resto.

Si el ayudante del capitán entregó 23 monedas a cada uno de los tres marineros, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente y cuántas le tocaron al marinero madrugador?

b) Supongamos ahora que los tres marineros se hubieran levantado por la noche (en diferentes momentos) y decidido, cada uno, tomar su parte 2

Malba, T., El hombre que calculaba. Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo oriega Editores. México, 2003.

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por adelantado. Supongamos también, que cada uno de los tres se hubiera encontrado con la misma situación que el marinero madrugador de arriba y hubiera procedido en la misma forma que éste, es decir, tirar una moneda de la bolsa al mar, dividido las restantes en tres partes iguales y tomar una de esas partes para él, dejando las restantes para que fueran repartidas.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto dándole a cada marinero

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monedas,

¿Cuántas

monedas

había

en

la

bolsa

originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?

c) Consideremos finalmente otra versión de la historia. En esta versión hay también un marinero madrugador que procede exactamente como se relata en la pregunta del inciso a), sólo que ahora la información que se tiene es la siguiente:

Si el ayudante del capitán reparte equitativamente las monedas que quedan en la bolsa (después de apropiarse una) y después de esta repartición al marinero madrugador le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada uno de los otros dos marineros?

d) Supongamos ahora otra vez que los tres marineros se levantaron por la noche (en diferentes momentos), se encontraron con la situación que antes describimos para el marinero madrugador y procedieron igual que éste.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto y después de esta repartición, al tercer marinero madrugador (el que se levanta más tarde) 15

le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?

Actividad 4 El juego de Nim Este es un juego muy interesante y muy antiguo también, por lo que es posible que usted conozca alguna de sus versiones. En cualquier caso, el juego es para dos personas, digamos el jugador A y el jugador B. Nosotros iniciaremos jugando con la siguiente versión. Se colocan sobre la mesa dos filas o montones de piedritas, por ejemplo, una fila con 7 piedras y otra con 5:

FILA 1:

FILA 2: Figura 1

a) El jugador A debe escoger una fila y quitar de ella una o más piedras (tantas como desee, desde una hasta la totalidad). Por ejemplo, puede retirar 2 piedras de la segunda fila quedando entonces las filas de la siguiente manera:

FILA 1:

FILA 2: Figura 2

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b) Enseguida le toca jugar a B, quien puede también retirar tantas piedras como quiera de la fila que él escoja. Por ejemplo, puede quitar 3 piedras de la primera fila, quedando ahora las filas así:

FILA 1: FILA 2: Figura 3

c) Enseguida juega A de nuevo y se repiten lo pasos anteriores hasta que se acaben las piedritas de ambas filas. Gana el jugador que retira por última vez. Hay que enfatizar que las piedras se quitan de una sola fila, la que el jugador escoja en cada turno.

Ensaye ahora en su equipo varias veces con los siguientes objetivos:

d) Con las filas del ejemplo usado arriba, trate de encontrar una estrategia ganadora, es decir, una estrategia para ganar con seguridad.

e) Investigue ahora si la estrategia encontrada funciona cuando se modifica el número inicial de piedras en alguno de los montones o en ambos.

f) Cambiemos ahora las reglas del juego, primeramente restringiendo el número de piedras que pueden retirarse a un máximo de 2. ¿Existe ahora una estrategia ganadora? ¿Qué pasa si hay solamente una fila de piedras?

Actividad 5 Un juego con dados 17

Este juego puede llevarse a cabo entre tres, cuatro o cinco jugadores, entre los cuales uno será el cajero por acuerdo de los integrantes del equipo. A quien se elija para ser el cajero, se le entregará una caja que contiene fichas de los siguientes colores: rojas, azules y amarillas. Las fichas amarillas valen cinco pesos, las azules valen veinte pesos y las rojas valen ochenta pesos.

Se utilizan además dos dados que, por turnos, lanzarán cada uno de los jugadores con excepción del cajero. Antes de iniciar el juego, el cajero entregará a cada uno de los jugadores una ficha roja, una ficha azul y una ficha amarilla. Las reglas del juego son las siguientes:

i) Al iniciar el juego, cada jugador apostará una ficha amarilla, que entregará al cajero. ii) Luego, por turnos, cada uno de los jugadores lanza los dos dados. iii) Si la suma de los puntos que obtiene, es mayor que siete, el cajero le entregará un número de fichas amarillas igual a la diferencia entre los puntos obtenidos y siete, iv) Si el número de puntos obtenidos, es menor que siete, entonces el jugador debe pagar al cajero, tantas fichas amarillas como indique la diferencia entre siete y el número de puntos obtenidos. e) Si el número de puntos obtenidos es siete, ni se pierden ni se ganan fichas. v) Cuando los dos dados marquen el mismo número de puntos, el número de fichas que se gana o se pierde será el doble de la diferencia antes indicada. vi) Cada vez que un jugador completa cuatro fichas amarillas deberá pedirle al cajero que se las cambie por una ficha azul y cada vez que completa cuatro fichas azules deberá cambiarla por una roja.

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a) Organicen los equipos y jueguen de tal manera que cada jugador lance los dados, diez veces. Al terminar, determinen si ganaron o perdieron dando la respuesta en fichas, es decir, alguien puede decir, por ejemplo: gané una ficha roja y dos amarillas o perdí tres fichas azules y una amarilla.

b) Sin que el cajero tenga que revisar las fichas que tiene, determinen cuánto ganó o cuánto perdió dando la respuesta en fichas.

Tomando en cuenta que cuatro fichas amarillas equivalen a una ficha azul y que cuatro azules equivalen a una roja, determine, lo que, en cada caso se pide:

c) ¿Qué fichas tuvo, al final del juego, un jugador que al principio tenía 123 (una, dos, tres) fichas (donde el número de la derecha indica la cantidad de fichas amarillas, el del medio, la cantidad de fichas azules y el de la izquierda, la cantidad de fichas rojas) y ganó 33 (tres, tres) fichas. (No olvide que siempre que se completan cuatro fichas de un color se cambian por una de otro color que sea equivalente).

d) ¿Cuántas fichas ganó un jugador que al principio tenía 32 (tres, dos) fichas y al final tenía 111 (una, una, una) fichas?

e) Un tercer jugador ganó 203 (dos, cero, tres) fichas con las cuales completó 302 (tres, cero, dos) ¿Cuántas fichas tenía al principio? f) En un determinado juego, en el que participaron tres jugadores, sucedió que, al terminar, los tres tenían exactamente 123 (una, dos, tres) fichas ¿Cuántas fichas tienen entre los tres?

g) Si se reparten 213 (dos, una, tres) fichas entre tres personas, de manera equitativa ¿Cuántas fichas le tocan a cada quien?

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Actividad 6 Determinando cantidades numéricas Utilizando la calculadora, resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a) Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, pero menor que 4.31 b) Encuentreun número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24, pero menor que 3.25 c) Entre cuanto hay que dividir el número 8.375 para que el resultado sea menor que 41.9, pero mayor que 41.8 d) Determine tres números enteros consecutivos, tales que su producto sea 15600 e) Determine cinco números pares consecutivos, cuya suma sea 1800.

Actividad 7 Ejercicios con exponentes a) Si 42 = 16 y 43 = 64; ¿Cuál debe ser el exponente para que el resultado sea 32? Proponga algún número y luego use la calculadora para comprobar si el número propuesto fue el correcto o no.

En caso de que no haya sido,

inténtelo de nuevo.

b) Utilice la calculadora para indagar a qué potencia debe elevarse el cuatro para que el resultado sea 23.

Actividad 8 Conceptos de distancia 1.- Con ayuda de algún software de geometría dinámica (preferentemente gratuito como el GeoGebra), marque dos puntos y determine la distancia entre ellos. __________________ 20

2.- Determine la longitud del segmento que une a los dos puntos arriba mencionados, deslice uno de ellos y compare ambos datos. La longitud es: ______________________

3.- Con base en los resultados de 1 y 2, escriba una definición del concepto de distancia entre dos puntos. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ______________________________________________________

4.- En el mismo ambiente de geometría dinámica, trace una línea recta y un punto fuera de ella; una vez hecho lo anterior, use los menús del software mencionado para determinar directamente la distancia entre la recta y el punto dados. __________________

5.- Con las herramientas del software, trace una perpendicular a la recta dada desde el punto dado y determine el punto de intersección de ambas rectas.

6.- Determine la longitud del segmento de recta que une al punto dado con la intersección de rectas mencionado en 5 y compárelo con la distancia obtenida en 4. La longitud es: _____________

7.- Con base en lo analizado en 4, 5 y 6, escriba una definición del concepto de distancia entre un punto y una recta. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ______________________________________________________ 21

Sección 2: Aritmética Actividad 1 Contando en base 5 En una elección, al contar los votos que obtuvieron cada uno de tres candidatos, se utilizó el conocido sistema de marcar una rayita por cada voto (V) obtenido, agrupando las rayitas en conjuntos (C) de cinco. Los conjuntos de cinco votos, a su vez, se anotaban formando una fila (F) de cinco conjuntos; luego se empezaba otra fila y cuando se completaban cinco filas, se encerraban en un rectángulo y a éste se le llamaba un paquete (P) y con cinco paquetes se formaba un bloque (B).

A continuación aparecen los registros de la votación obtenida en una de las casillas por cada uno de los candidatos.

Casilla A Votos

Candidato

Anselmo

Federico

Rogelio

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Observe los registros y conteste cada una de las preguntas que se formulan a continuación: a) Sin contar las marcas, ¿puede determinar cuál de los candidatos obtuvo más votos?

Utilice las equivalencias mostradas en la tabla siguiente para responder en términos de bloques, paquete, filas y votos sueltos, las tres preguntas planteadas a continuación.

Equivalencia Cinco votos

Un conjunto (C)

Cinco conjuntos

Una fila (F)

Cinco filas

Un paquete (P)

Cinco paquetes

Un bloque (B)

b) ¿Cuántos votos más necesitaba Anselmo para completar un bloque de votos? c) ¿Cuántos votos se emitieron en la casilla? d) ¿Cuántos votos de ventaja obtuvo el candidato con mayor votación sobre el candidato con menor votación?

Para registrar los votos de cada candidato, en las diferentes casillas de cada sección (formada por cinco casillas), se utilizó la siguiente tabla en la cual, la columna con la letra P, indica el número de paquetes obtenidos por casilla. En la tabla, la primera columna de la izquierda está marcada con la letra B, para anotar en ella el número de bloques que obtenga cada candidato, cuando se contabilicen todas las secciones. Las tablas mostradas enseguida corresponden a la primera de las secciones.

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Anselmo

Federico

Rogelio

B P F C V

B P F C V

B P F C V

A

3 2

3

2

A

3 1

2

4

A

3 1

4

4

B

2 0

2

3

B

1 4

4

4

B

4 0

1

3

C

3 2

0

0

C

1 2

0

2

C

2 4

3

2

D

4 0

0

4

D

2 2

1

4

D

2 0

4

0

E

2 4

3

1

E

2 0

1

1

E

2 1

3

4

Total

Total

Total

A partir de los resultados registrados para cada candidato en cada una de las casillas de la primera sección, determine en cada caso lo que se le pide, escribiendo sus respuestas en términos de bloques, paquetes, filas, conjuntos y votos sueltos. a) ¿En cuál casilla obtuvo, cada candidato, el mayor número de votos y en cuál el menor número? b) ¿Cuál fue el mayor número de votos obtenido por un candidato en una casilla y cuál fue el menor? c) Completa los datos de la tabla anotando los que corresponden al último renglón. No se permite utilizar los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9. d) ¿Cuál fue el total de votos que se emitieron en la primera sección? e) ¿Cuál fue la diferencia de votos entre el candidato que más obtuvo y el que menos obtuvo?

24

Actividad 2 Calculando en base 5 En el contexto de la actividad anterior, escribir 203 (dos, cero, tres) significa dos paquetes, 0 conjuntos y 3 votos sueltos. Considerando esto y las equivalencias entre bloques, paquetes, filas, conjuntos y votos sueltos, efectúe las siguientes operaciones: 31 2 + 23 1

20 0 1 –

10 3

13 1 2

13 2 ×

3

__

1 3+

3

__

2

3

__

2

__

1 0

__

__

0

__

3

13 2 0

2 0 3 ×

1 3 3 1

–

2

__

1 3

3 ×

1

3 __ __

1

__

3301 2

3 ×

2 3

__

__

2

__

30 1 34 3 4

25

1 2 2201

__ __ __

32 0

__ __

__ __

2

__

0

Actividad 3 Diversos procedimientos para sumar y restar 1. Resuelva mentalmente las siguientes sumas y luego conteste lo que se le pregunta en cada caso: a) 68 + 7 = ¿Cómo hizo la operación? ◊ ¿Contó a partir del 69 hasta llegar al 75? ◊ ¿Descompuso el 7 en 2 + 5, luego sumó 68 + 2 obteniendo 70 y después sumó 5 para obtener 75? ◊ ¿Descompuso el 68 en 60 + 8, luego sumó 8 + 7 obteniendo 15, que luego descompuso en 10 + 5 y sumó 60 + 10 obteniendo 70, y al 70 le sumó 5 y obtuvo 75? ◊ ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo? b) 40 + 36 = ¿Cómo hizo la operación? ◊ ◊ ◊

¿Sumó 40 + 30 obteniendo 70 y después sumó 6? ¿Sumó 0 + 6 = 6 y 4 + 3 = 7 y con estos números formó el 76? ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo?

c) 80 + 30 = ¿Cómo hizo la operación? ◊ ¿Sumó 8 + 3 = 11 y al 11 le agregó el 0? ◊ ¿Sumó 0 + 0 = 0 y 8 + 3 = 11 y con estos números formó el 110? ◊ ¿Descompuso el 30 en 20 +10, luego sumó 80 +20, obteniendo 100, y al 100 le sumó 10? ◊ ¿Observó que el 30 es tres veces 10 y sabiendo esto contó de 10 en 10 a partir del 90, diciendo 90, 100, 110? ◊ ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo? d) 148 + 252 = ¿Cómo hizo la operación? Explique cómo procedió.

26

2. Efectúe mentalmente las siguientes restas y explique cuál fue el procedimiento que utilizó: 5.

6.

7.

8.

78 – 9 = 56 – 38 = 314 – 125 = 432 – 198 =

3. Formen equipos de tres personas para comentar y analizar los procedimientos que cada uno utilizó al realizar las operaciones, tratando de dar respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿Por qué eligieron el procedimiento que utilizaron, en cada caso? b) Analicen las respuestas que cada uno de los integrantes del equipo dio a la pregunta anterior y, con base en ellas, determinen, en su opinión ¿De qué depende el procedimiento que las personas eligen para efectuar operaciones mentales? c) ¿Promueven, con sus alumnos, actividades de cálculo mental? ¿Con qué propósitos lo hacen? d) ¿Consideran que las respuestas que han dado a la pregunta del inciso b), reafirman su idea de los objetivos que deben formularse al promover las actividades de cálculo mental con sus alumnos, o los induce a reformularlos? e) Si consideraron en la pregunta anterior que los objetivos del cálculo mental deben ser reformulados, escriban los que ahora creen que deben ser.

4. Reflexionen, comenten y enlisten diversos procedimientos que pueden promover con los niños para efectuar sumas y restas mentalmente, anotando el grado o los grados en los que creen conveniente promover cada uno, así como el rango numérico en que consideran más apropiado utilizar dicho procedimiento.

Actividad 4 Diversos procedimientos para multiplicar y dividir 1. Intente, de manera individual, resolver los siguientes problemas sin utilizar la técnica o el algoritmo usual para multiplicar y luego comente y analice con su equipo, los procedimientos que cada uno utilizó para realizar las operaciones.

27

a) ¿Cuántas botellas hay en 125 cajas, si en cada caja se colocan 24 botellas? b) Un ciclista dio, en la semana 598 vueltas a una pista que mide 450 metros. ¿Cuántos metros ha recorrido en total? c) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular se necesitan 175 mosaicos a lo largo y 120 a lo ancho. ¿Cuántos mosaicos se necesitan en total? d) Juan, que trabaja en una taquería, utiliza la siguiente lista de precios para calcular el consumo de sus clientes.

No.

de

Precio

tacos 1

$ 13

2

$ 26

3

$ 39

7

$ 91

10

$ 130

◊ ¿Cómo calcularía usted, lo que debe pagarse por 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 17, 132 tacos? ◊ Juan, para calcular cuánto debe pagarse por 12 tacos, suma lo que cuestan dos tacos con lo que cuestan 10, es decir efectúa la siguiente suma: 2 6 + 1 3 0 1 5 6

◊ Compare lo que hace Juan con el procedimiento usual de multiplicar 13 x 12.

28

1 3 × 1 2 2 6 1 3 1 5 6

◊ ¿En qué se parecen dichos procedimientos y en qué son diferentes? ◊ Por analogía con el procedimiento que utiliza Juan para calcular cuánto cuestan 12 tacos, ¿cuál cree que sea el procedimiento de Juan para saber cuál es el precio de 17 tacos? ◊ Escriba el procedimiento de Juan y compárelo con el procedimiento usual de multiplicar 13 × 17. ◊ Ahora usted calcule cuánto cuestan 132 tacos, utilizando el procedimiento de Juan, y después compare dicho procedimiento con el usual de multiplicar 132 × 13.

2. Intente resolver los siguientes problemas sin utilizar la técnica o el algoritmo usual para dividir y comenten y analicen, en equipo, los procedimientos que cada uno utilizó para realizar las operaciones. a) Se quieren empacar 768 naranjas en 48 bolsas de tal manera que haya el mismo número de naranjas en cada bolsa, ¿cómo hacerlo y cuántas deberán ponerse en cada una? b) ¿Cuántas cajas se necesitan para acomodar 2904 botellas, si en cada caja se colocan 24 botellas? c) Se van a preparar 35 arreglos florales, para lo cual se dispone de 665 flores. Si se quiere que cada arreglo tenga el mismo número de flores, ¿cuántas tendrá cada uno? d) Un atleta corrió, en su práctica matutina, 7200 metros en un pista circular, si la pista mide 450 metros, ¿cuántas vueltas dio?

29

e) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular, se utilizaron 2992 mosaicos, si a lo ancho se colocaron 34 mosaicos por fila, ¿cuántos mosaicos se utilizaron a lo largo, en cada fila? f) Un automovilista, viajando siempre a la misma velocidad, recorrió 1235 kilómetros en 13 horas. ¿cuántos kilómetros recorría cada hora?

Actividad 5 Combinando operaciones Diseñen, en cada caso, una o más estrategias para efectuar mentalmente las siguientes operaciones. Efectúenlas y luego comente cada quien con su compañero de al lado, las estrategias diseñadas y la razón o las razones que tuvieron para hacerlo como lo hicieron:

a) 998 + 987 b) 1407 – 508 c) 97 × 215 d) 998 × 987 e) 64 × 50 f) 72 × 25 g) 56 × 125 360 h) 5 675 i) 25 4199 j) 19

Actividad 6 Partir y repartir Intente resolver cada uno de los dos siguientes problemas. Después de que los haya resuelto (o lo haya intentado) comente con su equipo las respuestas y la forma en que cada quien llegó a ellas, tratando de ponerse de acuerdo en la 30

validez o no de lo que hicieron. Analicen y comenten, también, en qué se parecen y en qué son diferentes los problemas. a) Si cinco niños se reparten en forma equitativa siete chocolates, ¿Qué tanto chocolate le toca a cada niño? Intente hacer el reparto (equitativo) de más de una manera.

b) Al repartirse equitativamente, tres chocolates (del mismo tamaño) entre cuatro niños, a cada uno le tocó una porción de chocolate del siguiente tamaño:

¿De qué tamaño era cada uno de los tres chocolates?

Actividad 7

Comparar y medir Después de haber comentado y analizado los problemas anteriores, procedan de la misma manera con los siguientes: a) Si el área del hexágono es una unidad de área, ¿cuánto es el área de cada una de las siguientes figuras?

31

b) Divida el siguiente segmento en siete partes iguales:

c) Compare la longitud de los siguientes dos segmentos y determine cuántas veces más largo es uno que el otro.

d) Localice dos puntos, tales que ambos estén dos veces más lejos del extremo A que del extremo B, del siguiente segmento:

e) Los números colocados en la recta numérica indican la longitud del segmento que va del punto en el que se coloca el cero, al punto en el que se coloca el otro número. Por ejemplo, el segmento que va del 0 al 1, mide 1; el 8 8 segmento que va del 0 al 4, mide 4: el que va del 0 al , mide . De 5 5 3 acuerdo con esto, coloque los siguientes números en la recta numérica: y 7 7 3 7 y determine la longitud del segmento que va del al .

7 3 3

32

f) Ahora localice el punto medio del segmento cuya longitud acaba de determinar y anote el número que le corresponde. g) Localice los puntos que dividen en cinco partes iguales al segmento que 1 9 va del al y determine el número que le corresponde a cada uno.

2 4

Sección 3: Geometría Actividad 1 Doblado de papel. Trazos notables Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con su pareja de trabajo.

Usted necesita hojas traslúcidas para doblar. Su asesor le proporcionará las necesarias.

Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido. ¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran cantidad de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte, cocina, etc.

1. Tome la hoja y trace un segmento de recta:

33

2. Ahora, ¿cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento?

Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido.

Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Coméntenlo con el resto del grupo.

3. Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. La mediatriz tiene la propiedad de que cualquiera de sus puntos equidista de los extremos del segmento.

Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el párrafo anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el segmento).

Describa brevemente cómo dobló el

¿Qué es lo que le permite asegurar

papel para obtener la mediatriz

que la línea trazada por ese punto medio es perpendicular al segmento?

34

Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada en el primer párrafo de este punto.

4. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.

Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento, pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese punto.

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.

5. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera, con las mismas restricciones que antes. Construya una paralela al segmento que pase por el punto.

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede asegurar que efectivamente la línea es paralela

35

6. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos ambientes.

Actividad 2 Doblado de Papel. Trazo de las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas en un triángulo Para esta actividad el asesor les proporcionará al menos 12 hojas de papel traslúcido. Para llevarla a cabo, se le invita a integrarse en un equipo de cuatro personas.

1. En primer término tomen una hoja cada integrante del equipo. Dibujen en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):

2. En cada triángulo tracen las mediatrices, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres mediatrices.

Cada mediatriz es una recta perpendicular que pasa por el punto medio del lado correspondiente.

Comenten brevemente cómo llevaron a cabo la construcción de cada mediatriz y escriban sus conclusiones.

36

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes.

En cada uno tracen las medianas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres medianas.

Cada mediana es un segmento de recta cuyos extremos son el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.

Comenten brevemente cómo llevaron a cabo la construcción de cada mediana y escriban sus conclusiones. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 4. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes.

En cada uno tracen las bisectrices, tomando en cuenta que:

•

Un triángulo tiene tres bisectrices.

Cada bisectriz es un segmento de recta que biseca (divide en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.

Comenten brevemente cómo llevaron a cabo la construcción de cada bisectriz y escriban sus conclusiones. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 37

____________________________________________________________ 5. En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres alturas.

•

Cada altura es un segmento de recta que parte desde un vértice hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección perpendicular a ese lado opuesto.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

6. Respondan brevemente a las siguientes cuestiones y luego comparen sus respuestas con las de sus compañeros. ¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad? Comente ampliamente __________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 38

¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles?

Coméntenlo con sus compañeros y a juicio del asesor verifique su conjetura. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ___________________________________________________________ 7. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos ambientes.

8. ¿Qué ventajas tiene el uso de software de geometría dinámica para fortalecer o refutar las conjeturas formuladas en esta secuencia? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Actividad 3 Construcción de estructuras Para esta actividad se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura (u otro tipo de material que sirva como conector). Se trabaja en equipos de 4 personas.

Su equipo tiene 20 minutos para construir la estructura más alta posible que se pueda sostener por sí sola. Al término de los 20 minutos, mida la altura de su estructura y conteste las siguientes preguntas.

39

1. ¿Qué altura alcanzó la estructura?

____________________________

2. ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.) ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. ¿A qué creen que se deban esas características? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades.

Actividad 4 Construcción de cuadriláteros, dadas las medidas de sus lados 1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el cuadrilátero, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna.

En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

40

¿Se Lado A

Lado B

Lado C

Lado C

(Unidades)

(Unidades)

(Unidades)

(Unidades)

10

10

10

10

10

7

5

4

10

5

6

4

7

6

3

4

8

6

4

4

6

4

1

2

8

3

3

2

9

2

3

3

construir

puede el

¿Se deformar

cuadrilátero?

cuadrilátero?

(Si/No)

(Si/No)

puede el

2. ¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus lados? Justifique su respuesta _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

3. Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________

41

______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. ¿Podría unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente?

Si es así, ¿en cuáles? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________________________________________ 5. En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la figura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

Actividad 5 Construcción de triángulos, dadas las medidas de sus lados 1.

Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna. En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

42

¿Se

puede ¿Se

puede

Lado A

Lado B

Lado C

construir

el deformar el

(Unidades)

(Unidades)

(Unidades)

triángulo?

triángulo?

(Si/No)

(Si/No)

8

8

8

8

7

4

5

4

2

7

3

4

6

3

2

2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 8 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría construirlo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo.

Lado B

Lado C

(Unidades) (Unidades) 6

6

8

7

9

10

6

10

8

9

10

4

14

6

¿Se puede construir el triángulo?

43

¿Por qué?

14

1

3. ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos para poder construir un triángulo? Escriba con sus propias palabras una regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 4. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.

5. Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su respuesta. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

44

Actividad 6 Construcción de estructuras Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la actividad 5.

Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.

1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué cambiarían? _______________________________________________________________ ______________________________________________________________

45

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

Construyan una nueva estructura en 20 minutos. El propósito es construir una estructura más alta que la anterior.

Altura de la nueva estructura: _____________________

Actividad 7 ¿Qué significa medir?

Esta actividad se desarrolla en equipos de tres personas, pero se recomienda trabajar primero individualmente y después comentar con los compañeros de trabajo.

Usted necesitará tres triángulos para medir, los cuales le serán proporcionados por su asesor.

1. Utilice todos los tres triángulos para construir las siguientes figuras:

46

2. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene mayor área? Justifique su respuesta. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene menor perímetro? ¿Cuál tiene mayor perímetro? Justifique su respuesta. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

47

4. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ordene los polígonos de menor a mayor, según su perímetro. Explique como lo hace. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________________________________________

Actividad 8 Calculando áreas 1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área del rectángulo que se muestra en la retícula, tomando como unidad de área un cuadrado mínimo de ella.

2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del rectángulo. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 48

______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo rectángulo en una retícula:

4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo. _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo? a. Para responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:

Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el área de un paralelogramo? ____________________________________

49

b. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario. Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de modo que obtendrá dos triángulos congruentes.

Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma base y la misma altura del triángulo. c. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo? ______________________________________________________ d. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y altura h. _______________________________________________________ 6. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base menor b y su altura h.

Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo. a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula. __________________________________________________ b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo? ___________________________________________________ c. Escriba la fórmula para el área del trapecio. ___________________________________________________ 7. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2 unidades.

50

a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos. ______________

________________

______________

b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce para encontrar el área de un polígono regular? __________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

Sección 4: Datos y Azar Actividad 1

Información General del Profesor-Alumno Conteste la siguiente encuesta indicando en cada caso lo se te pide 1. Género:

Masculino

Femenino

2. ¿Cuántos años de servicio tiene en primaria? _____________ 3. ¿Tiene computadora en tu casa?

51

Si

No

4. Señale con una X, ¿qué tanto utiliza Internet?

Nunca_______ A lo más una hora a la semana_______ Más de una y hasta cinco horas a la semana _______ Más de cinco horas a la semana ______ 5. ¿Qué le parece la reforma de planes y programas de educación básica realizada en 1993? a) Excelente b)Buena c)Regular d)Mala e)Pésima 6. ¿Ha utilizado Word?

Si

No

7. ¿Ha utilizado Excel?

Si

No

8. ¿Cuántas horas a la semana trabaja un tema de matemáticas frente a un grupo? _______ 9. ¿En qué grado de la escuela primaria trabaja actualmente?________________ 10. Para las preguntas que aparecen abajo, considere como respuesta uno de los siguientes ejes temáticos. a. Los números, sus relaciones y sus operaciones, b. Medición c. Geometría d. Procesos de cambio e. Tratamiento de la información f. La predicción y el azar i. ii. iii. iv)

¿Cuál de los ejes le parece más importante? ¿Cuál de los ejes le gusta más? ¿A cuál de los ejes le dedica menos tiempo?

De acuerdo a su experiencia, ¿En qué eje presentan mayor dificultad los estudiantes? v) ¿Cuál de los seis ejes le parece menos importante?

52

( ( ( (

) ) ) )

(

)

b) Organice las respuestas de sus compaĂąeros en la siguiente tabla.

No. De No. De Pregunta Respuesta 1 2 3 4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

53

7

8

9

10 i ii

iii

iv

v

c) De acuerdo a la información anterior responda lo siguiente: 1. ¿Cuántas personas en _____________________

total

contestaron

la

encuesta?

2. ¿Cuántas personas son del sexo masculino?______ ¿Qué porcentaje representan? ________ 3. ¿Cuál es el mayor número de años de servicio y cuántas personas cumplen con este número? _______ y ¿a qué porcentaje de personas corresponde ese dato? _______ 4. ¿La mayoría tiene computadora en su casa? _______ ¿en qué basa su respuesta? ______________________________________________________ 5. ¿Qué puede comentar acerca del uso que hacen de Internet sus compañeros de grupo? ___________________________________________ ¿Y los profesores de su localidad? ____________________________________ ______________________________________________________________ 6. Realice una tabla, respecto a lo que les pareció la Reforma de planes y programas de educación básica realizada en 1993. ¿Cuáles fueron las características sobresalientes de lo que acaba de hacer? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ¿A

qué

cree

que

se

deban

estas

características?

______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 7. ¿Podría decir qué en general se tiene conocimiento sobre Word y Excel por parte del grupo? ______________________________________________________________ 8. ¿Entre qué valores se encuentra el número de horas que trabajan temas de matemáticas frente a un grupo? ____________________________________

54

9. De acuerdo al grado en el que imparten clase, ¿cómo se distribuyen sus compañeros? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 10. ¿Cuál es el nombre del eje que a la mayoría le parece menos importante? _________________________________ ¿Por qué cree que esto sea así? ______________________________________________________________ 11. ¿Cuál es el nombre del eje más gustado? ______________________________________________________________ 12. ¿Cuál es el nombre del eje al que se le dedica menor tiempo? ______________________________________________________________ 13. ¿Cuál es el nombre del eje, en el cual, de acuerdo a la experiencia de sus compañeros, los alumnos presentan mayor dificultad? __________________ 14. ¿Coincide el eje más importante con el eje más gustado? _________ ¿Por qué?__________________________________________________________ 15. ¿Coincide el eje al que se le dedica menor tiempo con el que, según la experiencia, presentan mayor dificultad los estudiantes? _________ ¿Por qué? ______________________________________________________________ 16. Plantee una pregunta sobre algún punto abordado en la encuesta que le parezca interesante o pertinente, para explorar algún punto del tratamiento de la información, la predicción y el azar _____________________________ ______________________________________________________________

55

Actividad 2 Antes del lanzamiento de monedas

1. Al jugar a los volados con una moneda ¿cuál es la probabilidad de obtener águila? ______________________________________________________________________ ¿Por qué cree eso? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad? _________________________________________________________________

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda ¿cuántas águilas espera que ocurran? ______________________________________________________________________ ¿Por qué cree eso?________________________________________________________ 2 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es más probable que resulte al lanzar una moneda cinco veces? (bajo la convención de que se anota A cuando sale “águila” y S cuando sale “sello”) a) AAASS;

b) SAASA;

d) ASASA;

c) SASSS;

e) Las cuatro sucesiones son igual de probables.

Inciso: _________ ¿Por

qué

ha

dado

esa

respuesta?

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

56

3. Cuatro personas lanzan siete veces una moneda. Los resultados que han tenido los anotan en una hoja, quedando su registro como se muestra a continuación.

José

A

A

A

A

A

A

A

María

A

S

A

S

A

S

A

Pedro

A

A

S

S

S

A

A

Pablo

S

S

S

S

A

S

S

Si cada una de estas personas hace otro lanzamiento, ¿cuál cree que será el resultado para cada una de ellas? José ____ María ____ Pedro ____ Pablo ____ ¿En qué se ha basado para dar esa respuesta? ________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 4. Si lanzara dos veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados tendría? ________________________________________________________________________ Si lanzara tres veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados

tendría?

________________________________________________________________________

Si lanzara una moneda y, sólo en el caso de haber obtenido águila, la volviera a lanzar, ¿qué posibles resultados tendría? ___________________________________________

5 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es menos probable que resulte al lanzar una moneda cinco veces?: a) AAASS; d) ASASA;

b) SAASA;

c) SASSS;

e) Las cuatro sucesiones son igual de probables.

Inciso: _________ ¿Por qué ha dado esa respuesta? ____________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

57

Actividad 3

Experimentando con monedas 1. Efectúe ochenta lanzamientos de una moneda y, utilizando la tabla que aparece abajo, registre los resultados de cada lanzamiento como A (águila) o S (sello), formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístrelo en la columna correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far).

Registro tabular Lanz. acum..

Resultados

f

fa

far

Lanz.

Acum.

5

45

10

50

15

55

20

60

25

65

30

70

35

75

40

80

58

Resultados

f

fa

Far

2. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de lanzamiento de monedas.

Registro gráfico

far 1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

5

10

15

20 25

30

35 40

45

50 55

60

65 70

75

80 85

90

95 100

Número de lanzamientos acumulados

3. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda las siguientes preguntas ¿qué relación tiene este comportamiento con la probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una moneda? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el lanzamiento de una moneda sea el número que usted cree? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

59

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Actividad 4 Experimentando con monedas dobladas 1. Si le hacemos un doblez a la moneda con una pinza de mecánica ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en un lanzamiento de esta moneda? _______________________________________________________________

¿Por qué cree eso? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda doblada ¿cuántas águilas espera que ocurran?________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿Por qué cree eso? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

2. Utilizando ahora monedas dobladas con una pinza de mecánica, efectúe ochenta lanzamientos de una moneda y utilice la tabla que aparece abajo para registrar los resultados de cada lanzamiento formando grupos de cinco resultados, las frecuencias (f) obtenidas en los grupos sucesivos, frecuencias acumuladas (fa) y las frecuencias acumuladas relativas (far).

Lanz.

Acum.

Resultados

f

Registro tabular Lanz. fa Far Resultados Acum.

5

45

10

50

15

55

20

60 60

f

fa

Far

25

65

30

70

35

75

40

80

3. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de lanzamiento de monedas.

Registro gráfico far 1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

5

10

15

20 25

30

35 40

45

50 55

60

65 70

75

80 85

90

95 100

Número de lanzamientos acumulados

4. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda las siguientes preguntas: ¿qué relación tiene este comportamiento con la 61

probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una moneda doblada? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el lanzamiento de esta moneda sea el número que usted cree? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Actividad 5 Haciendo Pulseras3 Maura y Enrique quieren hacer pulseras con cuentas de distintos colores.

Disponen de cuentas de tres colores distintos, amarillo, rojo, verde.

1. Diseñe un tramo de pulsera de tres cuentas de colores diferentes, como las que podrían hacer Maura y Enrique.

2.

¿Puede

diseñarse

un

tramo

de

pulsera

distinto

con

las

mismas

cuentas?__________

3. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer con estas cuentas?

3

Basada en la lección 34 del Libro de Texto: Matemáticas, Quinto Grado. SEP, 2004.

62

Si agregamos cuentas de otros colores, 4. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cuatro cuentas de diferentes colores?

5. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cinco cuentas de diferentes colores?

Actividad 6 Utilicemos cuentas del mismo color Analicemos ahora tramos en lo que se pueden utilizar cuentas del mismo color.

1. Muestre un tramo de tres cuentas que tenga dos cuentas del mismo color.

2. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?

63

3. Muestra un tramo de cuatro cuentas que tenga dos cuentas del mismo color

4. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?

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