Den kompletta guiden till Högskoleprovet

Lukas Holmegaard, Nils Holmegaard

Den kompletta guiden till

H ö g s ko l ep r ov e t

Allt du behöver veta för att nå toppresultat på högskoleprovet Grundlig genomgång av samtliga åtta delprov

Värdefulla tips, strategier och lösningstekniker

i

Stort antal övningar för olika ambitionsnivåer

ii

Den komple t ta g ui d e n t i ll

H รถ gsko l epr ov et Lukas Holmegaar d & N i l s H o l m e gaar d

ISBN-13: 978-91-639-3534-3 © Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard 2007, 2011, 2016, 2017, 2018 Akademius AB, Kungsbacka HÖGSKOLEPORTEN E-post: info@hogskoleporten.se Webbadress: www.hogskoleporten.se Omslagsdesign: Daniel Åberg, Åbergs stilus et forma Första utgåvan: 2008-01-17 Andra utgåvan: 2011-05-30 Tredje utgåvan: 2016-06-15 Fjärde utgåvan: 2018-12-01 Tryck: 2018-11-15 Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Innehållet i verket får varken helt eller delvis kopieras, lagras på maskinläsbart medium eller annat medium eller spridas utan författarens och upphovsrättsinnehavarens skriftliga medgivande. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Angående informationen i boken: Informationen har kontrollerats noggrant i flera omgångar av experter inom varje ämnesområde.

Detta till trots garanteras inte att uppgifterna i alla delar är fullständiga, korrekta och aktuella.

Diagram, tabeller och kartor i övningsuppgifterna är i första hand konstruerade i pedagogiskt syfte och data stämmer inte i alla avseenden med de förhållanden som råder i verkligheten.

D EL I: INT R OD U K T I ON

1

Vo lym e r

61

R äta l i nje r

64

E xpo ne nt i e l l t i l lvä xt

67

S a nno l i kh e t

71

O r d ni nga r o ch ko m bi nat i o ne r

75

1. S å förber e d e r d u d i g i n fö r hög s ko le pr ov e t

3

A l l mä n t om högskolep rovet

4

Prove t s utform ning

4

Poä n g s k a la och norm ering

5

F råg e - o ch svarshäften

5

Pra k t is k a förberedelser

6

I n t ro d u k t i o n 80

Re g l e r under p rovet

6

Ta be l l e r 8 0

F us k

6

Om tabeller

80

Me r in f o r m ation

6

Andelar och procent

82

A t t a n vä nda boken

6

Huvudräkning

82

Medelvärde och median

84

Övningar på tabeller

85

Möjliga förändringar av högskoleprovet 7

D EL II: KVA NT I TA T I VA D E LPR OV

9

2. NOG – Nog m e d i n fo r m at i o n

11

3. D T K – D iag r a m , ta be l l e r oc h k a r t or

79

D i agra m 90

In t ro d uk tion

12

Uppg if t e r nas utformning

12

E k vat io n er och ekvationssystem

15

O l ik he t e r

24

In d ire k t lösning

27

A n d e l a r och p rocent

33

In d e x o ch p risutveckling

44

S t räc k a , hastighet och tid

49

V in k l a r

52

A re o r

56

Om diagram

90

Linjediagram

90

Stapeldiagram

90

Diagram som visar intervall

92

Cirkeldiagram

92

Radardiagram (Spindelnätsdiagram)

93

Övningar på diagram

94

K a rt o r 1 1 2 Om kartor

112

Riktningar

113

Skalor

113

Övningar på kartor

114

v

4. XY Z – M at e m at i k

123

177

In t ro d uktion

12 4

M a rk eringa r i oc h b redvid t ext en 17 7

Uppg if t ernas utformning

12 4

De t re fråget y perna

17 7

A rit me t ik

12 5

B rå k

12 7

A t t k ä nna igen oc h u t eslu ta av leda nde sva rsa lt ernat iv

17 8

Po t e n s e r

12 9

Lösningst ek nik

17 9

A l g e b ra

13 7

F un k t io ner

14 1

B l a n da d e övningar

14 4

5. KVA – Kvantitativa jämförelser 147 In t ro d uktion

14 8

Uppg if t ernas utformning

14 8

O l ik he t er

14 9

Jä mf ö re lse av bråktal

15 1

Jä mf ö re lse av p otenstal

15 4

Ut t ryck för olikheter

15 6

Övni nga r

7. OR D – Or d f ör stå e l se

180

199

I nt r o d u kt i o n

200

O r d ku ns ka p

201

Fö r l e d

203

Grek isk a förled

20 3

Lat insk a förled

20 9

A ndra förled

212

E ft e r l e d

213

Grek isk a oc h lat insk a eft erled

213

A ndra eft erled

215

Ä m ne s s pe ci fi ka o r d

216

N ä r s t o r leksförhållande inte k a n avg öras

15 9

S t o rhe t er och enheter

16 2

M edic in

2 16

B l a n da d e övningar

16 5

Ekonom i

217

J u ridik

221

U t va l da o r d

225

L ö s ni ngs t e kni k

24 6

DEL III: VERBALA DELPROV 1 6 9 6. L ÄS – Sv e n s k lä s fö r s tå e ls e

vi

T e xt e r

171

In t ro d uktion

17 2

S n a b b l ä sning

17 2

I nt r o d u kt i o n

250

M ät läshastig h e te n

1 72

U ppgi ft e r na s u t fo r m ni ng

250

Att läsa me r än e tt ord i tag e t

1 76

O l i ka t ype r av u ppgi ft e r

250

Vanliga mi sstag

1 76

8. M E K – M e n in g skom p l e t t e r in g

249

L u ckt e s t 2 7 1

S ig n a l o rd

251

L ö s n in g steknik

253

Lösningst ek nik

2 72

Övn in ga r

255

E nge l s kku ns ka pe r

272

Övni nga r på a r t i kl a r

278

Övni nga r på ko r ta t e xt e r

2 91

Övni ng på l u ckt e s t

2 95

9. EL F – Eng e ls k lä s fö r s tå e ls e

269

In t ro d uk tion

270

A rt ik l a r

270

D e tre fråg e type rn a

2 70

AP P EN D I X 3 0 3

Marke ri n gar i och bre dvid te xte n 2 71

Kä l l fö r t e ckni ng

303

L ö s nin g ste kn i k

R e gi s t e r

305

Ko rta t e xter L ö s nin g ste kn ik

2 71 271 2 71

vii

viii

F ör or d Alla vet vilka möjligheter ett bra resultat på högskoleprovet kan ge. Resultatet från en enda dags prov kan vara lika viktigt för antagning till en högre utbildning som betygen från en hel gymnasieutbildning. Trots det är det många som inte förbereder sig inför högskoleprovet. En anledning till det kan vara att man tror att högskoleprovet är något slags anlags- eller intelligenstest som det inte går att förbättra sig på. Det är fel. Högskoleprovet testar sådant som man lär sig på gymnasiet inom ämnen som matematik, svenska och engelska och det går mycket väl att förbättra sig inom dessa områden. Detta bekräftas av ett flertal studier som visar att man tenderar att få en högre poäng vid upprepat provdeltagande. Övning ger färdighet även på högskoleprovet och man kan förbättra sina möjligheter till ett bra resultat avsevärt genom rätt förberedelser.

Tanken med den här boken är att lotsa läsaren genom de kunskaper som krävs för ett bra resultat på högskoleprovet.

Vi har kartlagt ett stort antal tidigare högskoleprov och plockat ut det vi tycker är allra viktigast så att du ska kunna studera effektivt. I kapitlet ”Förberedelser inför högskoleprovet” berättar vi mer om högskoleprovet och hur du bäst använder boken.

Med enkelt språk och en översiktlig layout hoppas vi kunna förklara svåra moment på ett lätt sätt. För att passa alla ambitionsnivåer finns det rikligt med övningsuppgifter av varierande svårighetsgrad. Boken ger en kompakt utbildning inom de områden man behöver behärska för att lyckas på högskoleprovet och innehåller även många tips som kan leda till mer effektiva studier. Vi tror därför att boken kan användas inte bara för att nå ett bättre resultat på högskoleprovet utan även som repetition och förberedelse inför framtida högskole- eller universitetsstudier.

Vi har genom åren mottagit tackbrev från personer som lyckats på högskoleprovet med hjälp av boken. Vi har även kunnat läsa i olika tidningar om personer som skrivit 2,0 på högskoleprovet och angett att de använt boken som stöd. Vi hoppas att boken kommer uppfylla dina förväntningar och att även du i framtiden ska se tillbaka på dina förberedelser och känna att du verkligen gav dig själv chansen på högskoleprovet.

Slutligen vill vi rikta ett stort tack till de författare och ämnesexperter som bidragit genom att låta oss vidareanvända deras eminenta texter och genom att granska tillhörande uppgifter. Vi tackar även våra familjer och vänner som gjort boken möjlig genom sin närvaro och stöttning.

Stort lycka till på provet önskar Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard

ix

x

Del 1

Introduktion

1

F ö r b e r ed else r in för h ögskole provet

Allmänt om högskoleprovet

4

Fusk

6

Provets utformning

4

Mer information

6

Poängskala och normering

5

Att använda boken

6

Fråge- och svarshäften

5

Praktiska förberedelser

6

Möjliga förändringar av högskoleprovet

7

Regler under provet

6

Kapit e l 1 – Fö rb e r e de l s e r in f ö r hö g s ko l e p r ov e t

A llmä nt om högs kol e p r ov et Högskoleprovet är ett frivilligt prov som skrivs en gång varje vår och höst. Det har använts som urvalsinstrument till högre utbildning sedan våren 1977. Varje år kommer mer än en tredjedel av alla sökande in på högskolan med hjälp av resultat från högskoleprovet. De flesta skriver högskoleprovet för att öka chanserna att komma in på högskolan, men vissa skriver det för att de ser det som en rolig utmaning.

Högskoleprovet är öppet för alla, oavsett ålder eller nationalitet. Alla som gjort högskoleprovet och har ett svenskt personnummer placeras automatiskt i en speciell urvalsgrupp för högskoleprovsresultat när man söker till högskolan. Den som sedan tidigare har slutbetyg från gymnasiet eller studieomdöme från en folkhögskola söker då automatiskt i två urvalsgrupper.

Resultatet från högskoleprovet gäller i fem år. Om man skrivit högskoleprovet flera gånger är det alltid det bästa resultatet under de senaste fem åren som räknas när man söker in till högskolan.

Prove ts u t for m ni ng Högskoleprovet består av 160 frågor och är indelat i en kvantitativ del som testar kunskaper i matematik och logik och en verbal del som testar kunskaper i svenska och engelska avseende ordkunskap och läsförståelse.

Både den kvantitativa och den verbala delen består av 80 frågor fördelade på fyra delprov vardera enligt figuren nedan.

Kvantitativ del

NOG – logisk kvantitativ problemlösning (12 frågor )

DTK – diagram, tabeller och kartor (24 frågor)

XYZ – matematik ( 24 frågor)

KVA – kvantitativa jämförelser (20 frågor )

Verbal del

LÄS – svensk läsförståelse (20 frågor)

ELF – engelsk läsförståelse (20 frågor)

ORD – ordkunskap (20 frågor )

MEK – meningskomplettering (20 frågor)

4

Själva provdagen är uppdelad i fem provpass. Två av provpassen innehåller verbala delprov och två innehåller kvantitativa delprov. Förutom detta ingår ett så kallat utprövningspass där frågor som kommer att dyka upp på framtida högskoleprov testas. Det kan vara antingen ett extra verbalt provpass eller ett extra kvantitativt provpass.

Provpassens ordning är inte känd i förväg och man vet inte vilket av dem som är utprövningspass. Uppgifterna i utprövningspasset räknas inte in i resultatet, men vilket provpass det är vet man alltså inte förrän efteråt.

Ungefärligt schema under provdagen 08.20 – 08.25

Legitimationskontroll – 5 minuter

08.30 – 09.00

Information och regler – 30 minuter

09.00 – 09.55

PROVPASS 1 – 55 minuter

10.00 – 10.25

Rast – 25 minuter

10.30 – 11.25

PROVPASS 2 – 55 minuter

11.30 – 11.45

Rast – 15 minuter

11.50 – 12.45

PROVPASS 3 – 55 minuter

12.50 – 13.55

Lunch – 1 timme och 5 minuter

14.00 – 14.55

PROVPASS 4 – 55 minuter

15.00 – 15.15

Rast – 15 minuter

15.20 – 16.15

PROVPASS 5 – 55 minuter

16.15 – 16.20

Avslutande information till provdeltagarna – 5 minuter

Eftersom varje kvantitativt provpass innehåller uppgifter från samtliga kvantitativa delprov och varje verbalt provpass innehåller uppgifter från samtliga verbala delprov, så går det inte att precisera exakt hur mycket tid man har på sig på varje delprov. Man kan själv välja att snabbt göra uppgifterna från ett visst delprov för att sedan lägga mer tid på ett annat.

För att man på något sätt ska ha en uppfattning om hur mycket tid man bör lägga på de olika uppgifterna har Universitets- och högskolerådet tagit fram rekommendationer. Följer man dem så hinner man göra alla uppgifter inom provets tidsgräns. Rekommendationerna ser ut så här:

K a pi t e l 1 – För be r e d e ls e r i n för h ögs kol ep rovet

Kvantitativa delprov NOG

20 minuter för 12 uppgifter = 1 minut och 40 sekunder per uppgift

DTK

46 minuter för 24 uppgifter = 1 minut och 55 sekunder per uppgift

XYZ

24 minuter för 24 uppgifter = 1 minut per uppgift

KVA

20 minuter för 20 uppgifter = 1 minut per uppgift

F r åg e- o c h svar sh äf t en När provdagen börjar får man ett svarshäfte som innehåller en svarsblankett för varje provpass. Man får inte göra anteckningar eller uträkningar i dessa utan ska endast fylla i sitt namn och personnummer samt markera det man tror är rätt svar på de olika uppgifterna. Exempel på hur en svarsblankett kan se ut visas i figuren nedan.

Svarsblanketterna samlas in efterhand som man genomför de fem provpassen. Det är viktigt att vara noga med att fylla i hela rutan med rätt svarsalternativ eftersom svaren läses in på optisk väg.

Verbala delprov LÄS

A

44 m inuter för 20 uppgifter = 2 minuter och 12 sekunder per uppgift

1

ORD

6 minuter för 20 uppgifter = 18 sekunder per uppgift

4

MEK

16 minuter för 20 uppgifter = 48 sekunder per uppgift

7

ELF

2 3

B

C

D

E

Svaret markeras genom att man fyller i en av de tomma rutorna.

5 6

8 9

44 minuter för 20 uppgifter = 2 minuter och 12 sekunder per uppgift

10 11 12 13

Poä ng ska l a och nor m e r i n g

14 15 16

För varje rätt svar på provet får man en råpoäng och eftersom det finns 160 frågor på högskoleprovet så är 160 den maximala råpoängen. Råpoängen i sig säger emellertid inte vilket resultat man kommer att få på högskoleprovet eftersom poängen normeras och resultatet beror på hur bra man har lyckats i förhållande till alla andra som skrivit provet. När proven rättas får man en normerad poäng som man sedan använder när man söker till högskolan.

Den normerade poängen ingår i en 21-gradig skala från 0,0 till 2,0, där 2,0 är högsta möjliga resultat. Hur många rätta svar som krävs för att få en viss normerad poäng vet man inte förrän efter provet. Om man känner till sin råpoäng kan man dock genom att jämföra sitt resultat med gamla normeringstabeller uppskatta ungefär vilken normerad poäng man kommer att få. Universitets- och högskolerådet publicerar normeringstabellen för det senaste provet på www.studera.nu.

17 18 19 20 21 22

Texterna och frågorna presenteras i särskilda frågehäften som delas ut i början av varje provpass. Man får göra anteckningar i dessa häften. Man erhåller även ett personligt svarshäfte där man kan markera sina svar så att man kan jämföra med facit efter provet och därmed räkna ut sin råpoäng. Efter varje provpass får man några minuter på sig för att föra över svaren från svarsblanketten till sitt personliga svarshäfte. Ungefär en timme efter provet presenteras de rätta svaren på Universitets- och högskolerådets hemsida. Som tidigare nämnts så kan man genom att jämföra råpoängen med normeringstabeller från tidigare prov räkna ut ungefär vilket resultat man

5

Kapit e l 1 – Fö rb e r e de l s e r in f ö r hö g s ko l e p r ov e t

kommer att få på högskoleprovet. Det officiella resultatet skickas via epost till varje provdeltagare några veckor efter provet.

Pra ktisk a för b e r e d e l s e r Det är viktigt att man förbereder allt praktiskt dagarna innan provet för att undvika att bli stressad under provdagen. Man bör tänka på vad man ska äta eller dricka mellan provpassen eller under lunchen och det kan vara en god idé att ta med exempelvis frukt och en termos kaffe. Det är också viktigt att i förväg ta reda på hur man tar sig till platsen där provet äger rum.

• Legitimation (obligatoriskt) • Blyertspennor • Pennvässare • Suddgummi • Vanlig rak linjal (man får inte ha med sig gradskiva) • Olikfärgade markeringspennor (om man vill) Man bör även planera lunchen i förväg så att man vet var och vad man ska äta. Mat med långa kolhydrater, som till exempel pasta, är bra eftersom det ger en mer konstant och långvarig energinivå. Det kan också hjälpa med en termos kaffe, lite frukt eller annat att äta eller dricka mellan delproven.

Regler u nd e r p r ov e t Det är inte tillåtet att komma försent till ett provpass, att gå ut från provsalen under ett provpass eller att fortsätta skriva efter att tiden på ett provpass gått ut. Man får inte heller ha med sig hjälpmedel som gör det möjligt att lagra eller hämta information.

Fusk Den som ertappas med fusk på högskoleprovet får sitt provresultat ogiltigförklarat och riskerar avstängning från deltagande i framtida högskoleprov (upp till två år) samt polisanmälan med böter eller upp till sex månaders fängelse som möjlig straffpåföljd. Personer som antagits

6

till utbildningar baserat på högskoleprovsresultat får sina antagningar återkallade om det i efterhand visar sig att de fuskat. Den som ser någonting misstänkt under provdagen bör alltid ta upp detta med provledaren.

M er i n f o r m ati o n På Universitets- och högskolerådets studentportal www.studera.nu finns mer information om hur man anmäler sig till högskoleprovet, var man kan skriva det, speciella regler för dyslektiker och synskadade, med mera.

Eftersom Universitets- och högskolerådet kontinuerligt uppdaterar och ändrar regelverket kring högskoleprovet bör man alltid använda www.studera.nu som referens för praktiska frågor kring provet.

Att an vän da b o k en Ett bra sätt att komma igång är att gå till vår hemsida www.hogskoleporten.se och ladda ner ett gammalt högskoleprov. Vi har lagt upp alla högskoleprov sedan år 2000, men rekommenderar att man övar på de senaste proven för att vara säker på att man använder aktuella prov. Förslagsvis kan man börja med att göra ett kvantitativt och ett verbalt provpass för att bilda sig en uppfattning om provets utformning och för att kartlägga sina styrkor och svagheter. Sedan gäller det att fylla de kunskapsluckor man har och att lära sig effektiva tekniker och strategier för att lösa uppgifterna.

Om det främst är de kvantitativa delproven man har problem med, så rekommenderar vi att man börjar med att läsa hela kapitlet NOG i den här boken, eftersom matematiken som presenteras där är grundläggande även för de andra kvantitativa delproven DTK, XYZ och KVA. Det är förstås bra att lägga lite extra tid på de delprov och matematiska moment som man uppfattar som svårast. Det går relativt fort att öka sina möjligheter att få hög poäng på de kvantitativa delproven.

För den som har ont om tid rekommenderar vi att åtminstone läsa de första sidorna i varje kapitel för att förstå hur uppgifterna är utformade och hur man löser dem på ett effektivt sätt. På många uppgifter i de kvantitativa delproven är det inte nödvändigt att göra en fullständig uträkning för att komma fram till rätt svar, och

K a pi t e l 1 – För be r e d e ls e r i n för h ögs kol ep rovet

därför är just lösningstekniken viktig för att spara tid. I boken presenteras dock fullständiga lösningar för att man ska kunna följa tankegången.

M ö j l i ga f ö r än d r i n gar av h ö g sko l ep r ov et

För att förbättra sina chanser på de verbala delproven, går det att snabbt utöka sitt ordförråd genom att lära sig de föroch efterled som presenteras i kapitlet ”Ord” eftersom de ingår i många andra ord. Att lära sig orden i ORD-kapitlet är ett relativt säkert sätt att ta extra poäng på provet.

En statlig utredning som presenterades i mars 2017 föreslog en rad genomgripande förändringar av regelverket kring högskoleprovet, nämligen:

När det gäller engelska (ELF) och läsförståelse (LÄS och MEK) så räcker det inte med god ordkunskap; det krävs även läsvana. Det kan vara till stor hjälp att lära sig att identifiera olika typer av frågor och avledande svarsalternativ. Sådana tekniker presenteras i kapitlen LÄS och MEK. På längre sikt är det bästa sättet att förbereda sig att kontinuerligt läsa mycket, gärna lite svårare svenska och engelska texter från exempelvis The Economist, Svenska Dagbladets Under Strecket, eller olika branschtidningar.

Vi har här försökt ge förslag på förberedelser, men varje person måste själv komma fram till det sätt som passar bäst. Vi vill dock uppmuntra alla som planerar att skriva högskoleprovet att ge sig själva en ärlig chans. Det är ett prov som ger möjlighet att ersätta betygen från år av gymnasiestudier och det är väl värt mödan att investera några veckor eller månader på förberedelser! Det finns många exempel på personer som höjt sitt resultat på högskoleprovet genom att satsa ordentligt på att göra det.

• en nedre åldersgräns för högskoleprovet på 19 år • en sänkning av andelen högskoleplatser som tillsätts via högskoleprovet från 33% till 15% • förkortad giltighetstid för högskoleprovet från fem till tre år • att man inte ska få skriva mer än tre högskoleprov inom en treårsperiod Dessa var alltså utredningens förslag som skickades på remiss. I juli 2018 beslutade regeringen att år 2022 införa en åldersgräns som innebär att det är möjligt att skriva provet först det år den ansökande fyller 18 år. I övriga frågor saknas ännu slutgiltigt beslut.

Det planeras i skrivande stund inga förändringar av högskoleprovets format. Däremot undersöks om högskoleprovet kan digitaliseras. Det skulle sannolikt innebära ett större antal provtillfällen per år.

7

8

Del 2

Kvantitativa delprov 9

10

2

N O G - N og m e d in form at ion Introduktion

12

Vinklar

52

Uppgifternas utformning

12

Areor

56

Volymer

61

Räta linjer

64

Exponentiell tillväxt

67

Sannolikhet

71

Ekvationer och ekvationssystem

15

Olikheter

24

Indirekt lösning

27

Andelar och procent

33

Index och prisutveckling

44

Sträcka, hastighet och tid

49

Ordningar och kombinationer 75

11

Kapit e l 2 – NO G – N o g m e d in f o r m at io n

I n tro duk t i on Syfte:

Att testa matematiska färdigheter och förmåga till logiskt resonemang

Antal uppgifter:

12

Provets struktur:

Alla uppgifter är utformade på samma sätt och innehåller en matematisk frågeställning.

Man ska bedöma om frågeställningen går att besvara och i så fall hur mycket information som krävs. Till varje uppgift finns fem svarsalternativ.

Tid per uppgift:

1 minut och 40 sekunder

Delprovet NOG testar matematiska färdigheter och förmåga till logiskt resonemang. Genom att lära sig den grundläggande matematik som behövs för att lösa dessa typer av uppgifter tillsammans med några effektiva lösningstekniker kan man förbättra sina chanser att uppnå ett bra resultat.

Kapitlets avsnitt om ekvationer och ekvationssystem, olikheter och indirekt lösning av uppgifter är grunden för ett bra resultat på NOG. När man har lärt sig teorin och gjort övningarna i dessa avsnitt kan man gå vidare och träna på de andra uppgiftstyperna och ordningen kan då väljas fritt.

Frågorna i delprovet NOG är uppbyggda på så sätt att man inte uttryckligen behöver beräkna ett matematiskt svar utan endast behöver avgöra om informationen är tillräcklig för att det skulle vara möjligt att räkna ut ett svar om så krävdes. Ofta är uppställning av ekvationssystem det mest effektiva sättet att lösa sådana uppgifter.

I de förklaringar som presenteras efter varje övningsuppgift ingår fullständiga uträkningar för att man lättare ska förstå lösningsmetoderna. Under själva högskoleprovet bör man dock aldrig räkna ut mer information än vad som krävs för att lösa en viss uppgift: det räcker oftast med att ställa upp ekvationssystem, man behöver inte lösa dem.

U ppgi fte rn a s ut form n i n g Alla uppgifter på NOG är konstruerade på samma sätt och innehåller information som är uppdelad i tre delar: grundinformation med fråga, information 1 och

information 2. Uppgiften är att avgöra om informationen som ges är tillräcklig för att besvara frågan och i så fall vilka delar av den givna informationen som krävs.

Exempeluppgift Att hyra en segelbåt kostar 400 kr första dygnet och därefter betalar man en lägre avgift per dygn.

Hur mycket kostar det att hyra en segelbåt en vecka?

(1) De efterföljande dygnen är hyran per dygn för segelbåten 25 procent lägre än första dygnet.

(2) Första dygnets hyra för segelbåten är 100 kr högre än vad den är per dygn de efterföljande dygnen.

12

[Grundinformation]

[Information 1] [Information 2]

K a pi t e l 2 – N OG – N og me d i n fo rm atio n

Svarsalternativ A) i (1) men ej i (2)

B) i (2) men ej i (1)

C) i (1) tillsammans med (2)

D) i (1) och (2) var för sig

E) ej genom de båda påståendena

Innebörden av svarsalternativen är följande: A) i (1) men ej i (2)

Grundinformationen tillsammans med information 1 är tillräcklig för att besvara frågan.

Grundinformationen tillsammans med information 2 räcker inte för att besvara frågan.

B) i (2) men ej i (1)

Grundinformationen tillsammans med information 2 är tillräcklig för att besvara frågan.

Grundinformationen tillsammans med information 1 räcker inte för att besvara frågan.

C) i (1) tillsammans med (2)

Det går att besvara frågan genom att kombinera grundinformationen, information 1 och information 2.

Grundinformationen tillsammans med information 1 räcker inte för att besvara frågan.

Grundinformationen tillsammans med information 2 räcker inte för att besvara frågan.

D) i (1) och (2) var för sig

Grundinformationen tillsammans med information 1 är tillräcklig för att besvara frågan.

Grundinformationen tillsammans med information 2 är tillräcklig för att besvara frågan.

E) ej genom de båda påståendena

Inte ens om man kombinerar grundinformationen, information 1 och information 2 kan frågan besvaras.

13

Kapit e l 2 – NO G – N o g m e d in f o r m at io n

En illustration av hur man praktiskt kan gå till väga för att komma fram till vilket svarsalternativ som är riktigt visas nedan. Börja läsningen i figuren vid den svarta punkten. Täck först över information 2 i uppgiftstexten (t.ex. med en penna) och se om det går att lösa uppgiften med grundinformationen och information 1. Täck sedan

Är grundinformationen och information 1 tillräcklig för att besvara frågan?

Ja

över information 1 och se om det går att lösa uppgiften med grundinformationen och information 2. Om inget av dessa alternativ ensamt räcker för att lösa uppgiften går man vidare med att använda all tillgänglig information.

Det korrekta svaret på exempeluppgiften är D). För en förklaring av de beräkningar som behövs, se sidan 18.

Är grundinformationen och information 2 tillräcklig för att besvara frågan?

Ja

(D) i (1) och (2) var för sig

Nej

(A) i (1) men ej i (2)

Nej Är grundinformationen och information 2 tillräcklig för att besvara frågan?

Ja

(B) i (2) men ej i (1)

Nej Är grundinformationen, information 1 och information 2 tillräcklig för att besvara frågan?

Ja

Nej

14

(C) i (1) tillsammans med (2)

(E)

ej genom de båda påståendena

K a pi t e l 2 – N OG – N og me d i n fo rm atio n

Ek vati on e r och e k vat i on ssystem Med hjälp av ett ekvationssystem kan man ofta på ett lätt sätt avgöra om informationen i en NOG-uppgift är tillräcklig för att besvara frågan. Detta gäller även när en uppgift behandlar andra matematiska moment såsom index eller räta linjer. En rekommendation är därför att man noga går igenom följande stycke så att man förstår den lösningsteknik som används i de avsnitt i det här kapitlet som behandlar andra matematiska områden.

Teori Ekvationer Ekvation betyder likhet på latin. Uttryck på vardera sidan om ett likhetstecken ska vara lika stora.

10 + 5

=

15

Vänster uttryck

Höger uttryck

Här är både det vänstra och det högra uttrycket lika med 15 och det är alltså en ekvation. Om man nu till exempel i stället för talet tio i ekvationen ovan inför bokstavsbeteckningen x får man följande: x + 5

=

15

Obekant

Detta är också en ekvation och att lösa den innebär att man ska hitta ett värde på x som gör att det vänstra och det högra uttrycket är lika stora. Man ser att det enda möjliga värdet för att detta ska gälla är talet tio. Det finns alltså en entydig lösning. Om man nu också i stället för talet fem inför en bokstavsbeteckning y får man följande: x + y Obekant

=

värdet fem på x och värdet tio på y eller värdet sju på x och värdet åtta på y och så vidare. Det går alltså inte att komma fram till en entydig lösning till ekvationen när man har två obekanta variabler och endast en ekvation.

För att man ska kunna hitta en entydig lösning måste man ha ytterligare en ekvation, till exempel: x + y

=

15

Första ekvationen

y

=

5

Andra ekvationen

Ekvationer som på detta sätt hör ihop kallas tillsammans för ett ekvationssystem. Nu går det åter att få fram en entydig lösning eftersom den enda möjligheten att det vänstra och det högra uttrycket i den andra ekvationen ska vara lika stora är att y har värdet fem. När man väl har bestämt värdet på y finns det bara ett enda möjligt värde på x som gör att det vänstra och det högra uttrycket i den första ekvationen är lika stora, nämligen att x har värdet tio. På motsvarande sätt gäller att om man har tre obekanta variabler så måste man ha tre oberoende ekvationer för att kunna bestämma en entydig lösning.

Detta kan formuleras som en generell regel: För att man ska kunna finna en entydig lösning så måste antalet oberoende ekvationer vara lika stort som antalet obekanta variabler.

Notera dock att i vissa fall behöver man inte bestämma alla obekanta variabler i uppgifterna på högskoleprovet och då kan informationen vara tillräcklig även om man inte har så många oberoende ekvationer som regeln ovan anger. Att ekvationerna är oberoende innebär att ingen av dem ska kunna fås fram genom att man skriver om någon av de andra ekvationerna eller genom att kombinera de övriga ekvationerna med varandra.

15

Obekant

För att lösa denna ska man på samma sätt som tidigare hitta en entydig kombination av värden på x och y som gör att det vänstra och det högra uttrycket blir lika stora. Man upptäcker då att flera kombinationer av x och y är möjliga, till exempel värdet tio på x och värdet fem på y, men även

15

Kapit e l 2 – NO G – N o g m e d in f o r m at io n

Den kompletta guiden till

Exempel på två ekvationer som inte är oberoende är följande: x + y [

Högskole prove t

=

=

Lösning av ekvationssystem

15

Första ekvationen

15 - y

Andra ekvationen

Det finns flera metoder att lösa ekvationssystem. På högskoleprovets NOG-del behöver man emellertid inte ta fram själva lösningen utan det räcker att kunna avgöra om informationen i uppgiften är tillräcklig för att ta fram en lösning om man hade velat det. Om man ändå vill lösa ett ekvationssystem så illustreras här en metod man kan använda då man har två oberoende ekvationer. Exempel:

Om man i den andra ekvationen lägger till y i både det vänstra och det högra ledet (det vänstra och det högra uttrycket) ser manpå atthögskoleprovet den andra ekvationen blir likadan Framgång är ingen slump: det är ett kunskapstest och inte ett som den första och ekvationerna är därför inte oberoende.

Första ekvationen

x + sina y = chanser 5 intelligenstest. Forskning visar att alla kan förbättra att lyckas på högekvationen 2x - yman = 0egentligenAndra skoleprovet med rätt förberedelser! Men vad behöver kunna?

Och Första ekvationen

x + y x

=

15

hur manAndra sigekvationen effektivt om man har begränsat med tid? + y förbereder = 15

Välj en av ekvationerna, till exempel den första, och skriv om den så att en av variablerna står ensam på ena sidan Vid lösning av ekvationer kan man ibland behöva skriva likhetstecknet, det villGenom säga isolera variabeln på ena Den kompletta guiden till Högskoleprovet gerom svar på dessa frågor. att varva om dem på ett annat sätt än det ursprungliga, till exempel sidan om likhetstecknet. teori med exempel och övningar lotsas läsaren igenom de åtta delproven och lär sig för att isolera en obekant variabel. Om man kommer ihåg allt som krävs förom attlikhetstecknet nå toppresultat.

Bokens unika metodologi, med teori, exempel, att uttrycken på båda sidor ska vara lika x + 2y = 5 stora kan att det gårhar att lägga och dra ifrån tal tipsman ochinse övningar redantillhjälpt tiotusentals personer in på drömutbildningen!

Dra ifrån 2y eller variabler bara man gör det både i det vänstra och det i både vänstra och högra ledet högra uttrycket. Detsamma gäller för multiplikation och Boken vänder sig till alla som ska skriva högskoleprovet, oavsett om man skrivit det division.

Exempel: x = 5 - 2y

tidigare eller om det är första gången, och oavsett ambitionsnivå. Målet är att för-

2xmedla + 5 = 15 kunskaper

som inte bara möjliggör framgång på högskoleprovet, som i den andra Sätt in uttrycket för den isoleradeutan variabeln talet femför resten av livet. ekvationen: kommer att vara Lägg till tillnytta i både vänstra och högra ledet

2x - y =

2x + 10

0

20 Ge dig =själv chansen att lyckas på högskoleprovet. Vi hoppas att den här boken blir

ett perfekt stöd för påtiovägen!

Dra dig ifrån talet

Ersätt x med 5 – 2y

i både vänstra och högra ledet

2x

=

2 (5 - 2y) - y

10

=

0

”Ger en god överblick och övning inför provets alla delar.”

Multiplicera med talet två i både vänstra och högra ledet

Svenska Dagbladet 4x

=

Nu har x eliminerats ur den andra ekvationen och bara variabeln y är kvar och värdet på den kan då bestämmas.

20 2 (5 - 2y) - y

=

0

Isolera x genom att dela med med talet fyra i både vänstra och högra ledet

x

=

5

Förenkla uttrycket

10 - 5y

=

0 Isolera y

y

16

=

2