Vibrações Mecânicas

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Balakumar Balachandran Edward B. Magrab

vibracoesmecanicas

Outras obras Programação em MATLAB para engenheiros – 2ª edição Stephen J. Chapman Mecânica dos Materiais – tradução da 7ª edição norte-americana James M. Gere Barry J. Goodno

Tradução da 2ª edição norte-americana

Aplicações: Livro-texto para as disciplinas vibrações mecânicas, dinâmica de máquinas, dinâmica de veículos e dinâmica de estruturas. Indicado para os cursos de Engenharia em geral e especificamente Engenharia Mecânica, Automobilística, Naval e Aeronáutica, e também para cursos de áreas aplicadas em Física e Matemática.

ISBN 13 – 978-85-221-0905-0 ISBN 10 – 85-221-0905-2

9 788522 109050

vibracoesmecanicas

A vibração é um tópico clássico e, ao longo dos anos, cresce a diversidade de sistemas projetados nos quais ela precisa ser considerada.

Neste livro, os autores apresentam uma introdução ao tópico para alunos de engenharia e ciências físicas, contextualizando as aplicações das vibrações em exemplos e exercícios práticos.

Vibrações lineares e não lineares, construção de modelos de sistemas, análise, prognóstico e medição são aspectos físicos dos fenômenos vibratórios enfatizados em todos os capítulos.

O livro está organizado de modo a conduzir o estudante dos tópicos mais simples aos mais complexos. O capítulo 1 traz um resumo de conceitos, como cinemática e graus de liberdade, e de princípios, como o da quantidade de movimento linear, de Newton, e o da quantidade de movimento angular, de Euler. Nos capítulos que seguem são trabalhados conceitos de rigidez elástica equivalente, construção de modelos de sistemas vibratórios, determinação da equação governante, sistemas de um e múltiplos graus de liberdade, linearização de sistemas não lineares, ressonância, função de resposta em frequência, excitação harmônica, frequências naturais e modos de vibrar, entre outros tópicos das vibrações. Em todo o livro, o MATLAB foi extensivamente utilizado. Exercícios finalizam cada capítulo, permitindo ao aluno aplicar e testar os conhecimentos adquiridos.

Ciência e Engenharia dos Materiais – tradução da 3a edição norte-americana Donald R. Askeland Pradeep P. Phulé

vibracoesmecanicas Tradução da 2ª edição norte-americana

Balakumar Balachandran Edward B. Magrab

MATERIAL COMPLEMENTAR – POWERPOINT (para professores que comprovadamente adotam a obra)

VIBRAÇÕES MECÂNICAS TRADUÇÃO DA 2a EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

Balakumar Balachandran | Edward B. Magrab

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Balachandran, Balakumar

Vibrações Mecânicas / Balakumar Balachandran, Edward B. Magrab ; [tradução All Tasks].[Revisão técnica Mario F. Mucheroni] -- São Paulo : Cengage Learning, 2016.

1. reimpr. da 1 ed. brasileira de 2011.

Título original: Vibrations.

"Tradução da 2ª ed. norte-americana".

Bibliografia.

ISBN 978-85-221-0905-0 1. Vibração 2. Vibração - Modelos matemáticos I. Magrab, Edward B.. II. Título.

10-12645 CDD-620.3

Índices para catálogo sistemático:

1. Vibrações mecânicas : Engenharia

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VIBRAÇÕES MECÂNICAS TRADUÇÃO DA 2a EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

Balakumar Balachandran | Edward B. Magrab

Tradução All Tasks Revisão Técnica Mario F. Mucheroni Engenheiro mecânico graduado pela Fundação Educacional de Bauru, mestre e doutor em Engenharia Mecânica pela USP. Professor do Departamento de Engenharia Mecânica da Escola de Engenharia de São Carlos – USP.

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

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Vibrações Mecânicas – Tradução da 2a edição norte-americana Balakumar Balachandran e Edward B. Magrab

Gerente Editorial: Patricia La Rosa Supervisora de Produção Editorial: Fabiana Alencar Albuquerque

Editora de Desenvolvimento: Monalisa Neves Título Original: Vibrations – Second Edition

ISBN Original: 13: 978-0-495-41125-3 10: 0-495-41125-6

© 2009 Cengage Learning. © 2011 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei nº 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

Esta editora empenhou-se em contatar os responsáveis pelos direitos autorais de todas as imagens e de outros materiais utilizados neste livro. Se porventura for constatada a omissão involuntária na identificação de algum deles, dispomo-nos a efetuar, futuramente, os possíveis acertos.

A Editora não se responsabiliza pelo funcionamento dos sites contidos neste livro que possam estar suspensos.

Tradução: All Tasks Revisão Técnica: Mario F. Mucheroni Copidesque: All Tasks Revisão: All Tasks e Fernanda Batista dos Santos Pesquisa Iconográfica: Graciela Naliati Diagramação: All Tasks Capa: Absoluta Publicidade e Design

Para informações sobre nossos produtos, entre em contato pelo telefone 0800 11 19 39 Para permissão de uso de material desta obra, envie pedido para direitosautorais@cengage.com ISBN 13: 978-85-221-0905-0 ISBN 10: 85-221-0905-2 Cengage Learning Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens, 111– Prédio 11 – Torre A – Conjunto 12 Lapa de Baixo – CEP 05069-900 – São Paulo-SP Tel.: (11) 3665-9900 – Fax: (11) 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

Impresso no Brasil.

Printed in Brazil.

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Sumário

1 Introdução 1.1 1.2 1.3

Introdução 1 Conceitos básicos da dinâmica 2 Resumo 16 Exercícios 16

2 Construção de modelos de sistemas vibratórios 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Introdução 21 Elementos de inércia 22 Elementos de rigidez 26 Elementos de dissipação 44 Construção de modelos 49 Projeto para vibração 53 Resumo 53 Exercícios 54

3 Sistemas de um grau de liberdade: equações governantes 3.1 3.2

3.3

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60

Introdução 61 Métodos de equilíbrio de forças e equilíbrio de momentos 62 Frequência natural e fator de amortecimento 70

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vi Vibrações mecânicas

3.4 Equações governantes para diferentes tipos de amortecimento 77 3.5 Equações governantes para diferentes tipos de forças aplicadas 77 3.6 Equações de Lagrange 81 3.7 Resumo 100

Exercícios 101

4 Sistema de um grau de liberdade: características de resposta livre

108

4.1 Introdução 109 4.2 Respostas livres de sistemas não amortecidos e amortecidos 110 4.3 Estabilidade de um sistema de um grau de liberdade 137 4.4 Trepidações de máquinas-ferramenta 140 4.5 Sistemas de um grau de liberdade com elementos não lineares 143 4.6 Resumo 148

Exercícios 148

5 Sistemas de um grau de liberdade sujeitos a excitações periódicas 5.1 5.2 5.3 5.4

5.5 5.6 5.7

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154

Introdução 155 Resposta à excitação harmônica 157 Função de resposta em frequência 173 Sistemas com massa desbalanceada em rotação 185 Sistemas com excitação da base 190 Medição da aceleração: acelerômetro 199 Isolação de vibrações 200

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Sumário vii

5.8 Dissipação de energia e amortecimento equivalente 206 5.9 Resposta à excitação com componentes harmônicos 214 5.10 Influência da rigidez não linear sobre a resposta forçada 226 5.11 Resumo 233

Exercícios 233

6 Sistemas de um grau de liberdade sujeitos a excitações transientes 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

238

Introdução 239 Resposta à excitação impulso 240 Resposta à entrada degrau 252 Resposta à entrada rampa 260 Densidade espectral de energia 265 Resposta à excitação pulso retangular 266 Resposta ao pulso meia-onda senoidal 270 Testes de impacto 278 Resumo 279 Exercícios 280

7 Sistemas de múltiplos graus de liberdade:

equações governantes, frequências naturais e modos de vibrar 282 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

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Introdução 283 Equações governantes 284 Características de resposta livre 311 Eixos rotativos em suportes flexíveis 349 Estabilidade 358 Resumo 361 Exercícios 361

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viii Vibrações mecânicas

8 Sistemas de múltiplos graus de liberdade:

solução geral para resposta e oscilações forçadas

372

8.1 Introdução 373 8.2 Método do modo normal 375 8.3 Formulação do espaço de estado 392 8.4 Método da transformada de Laplace 403 8.5 Funções de transferência e funções de resposta em frequência 411 8.6 Absorvedores de vibração 423 8.7 Isolamento de vibrações: relação de

transmissibilidade 447 8.8 Sistemas com base móvel 451 8.9 Resumo 455

Exercícios 455

9 Vibrações de vigas

460

9.1 Introdução 461 9.2 Equações governantes do movimento 462 9.3 Oscilações livres: frequências naturais e modos de vibrar 479 9.4 Oscilações forçadas 538 9.5 Resumo 553

Glossário 555 Apêndices

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A Pares da transformada de Laplace 559 B Série de Fourier 566 C Escala de decibéis 567 D Soluções de equações diferenciais ordinárias 569

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Sumário ix

E Matrizes 580 F Números e variáveis complexos 583 G Frequências naturais e formas dos modos de vibrar de barras, eixos e cordas 587

Respostas dos exercícios selecionados 595 Índice remissivo 602 Tabela de símbolos 613

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Prefácio

A vibração é um tópico clássico, cujos princípios são conhecidos e estudados há muitos séculos e apresentados em muitos livros. Ao longo dos anos, a aplicação desses princípios para a compreensão e o projeto de sistemas tem aumentado de modo considerável na diversidade de sistemas projetados nos quais as vibrações são um fator a ser considerado: dispositivos e sistemas mecânicos, aeroespaciais, eletromecânicos e microeletromecânicos, sistemas biomecânicos e biomédicos, navios e submarinos e estruturas em obras civis. À medida que os parâmetros de desempenho de um sistema projetado são forçados até limites superiores, efeitos não lineares também devem ser considerados.

O objetivo deste livro é possibilitar a utilização dos princípios da vibração em uma ampla gama de aplicações e responder ao grande número de desafios enfrentados por analistas e projetistas de sistema.

Para esse fim, os autores tiveram como meta o seguinte: a) fornecer uma introdução ao tópico de vibrações para alunos de graduação em engenharia e ciências físicas; b) apresentar os princípios das vibrações em um contexto geral e ilustrar a utilização desses princípios por meio da escolha cuidadosa de exemplos de diversas disciplinas; c) aplicar um método ponderado que integre princípios das vibrações lineares e não lineares com a construção de modelos, a análise, o prognóstico e a medição, de modo que a compreensão dos aspectos físicos dos fenômenos vibratórios e sua relevância para projetos de engenharia possam ser enfatizadas; e d) fornecer diretrizes de projeto aplicáveis a uma ampla gama de sistemas vibratórios.

Para a redação desta obra, os autores observaram as diretrizes descritas a seguir. O material apresentado deveria, tanto quanto possível, ter uma relevância física para justificar sua apresentação e desenvolvimento. Os exemplos deveriam ser importantes e abrangentes, tendo como origem diversas áreas, tais como biomecânica, placas e componentes de circuito eletrônico, máquinas, processos de usinagem (corte), dispositivos microeletromecânicos e estruturas. A integração e a progressão deveriam ocorrer de modo natural entre sistemas lineares e não lineares, do domínio do tempo ao domínio da frequência, em meio às respostas dos sistemas às excitações harmônicas e transientes e entre modelos de sistemas discretos e contínuos.

A discussão sobre métodos e procedimentos numéricos, por si, deveria receber ênfase mínima, enquanto ferramentas, tais como o MATLAB, deveriam ser utilizadas para gerar as soluções numéricas e complementar as soluções analíticas. Os algoritmos para geração de soluções numéricas deveriam ser apresentados fora dos capítulos, pois tendem a interromper a fluidez do material apresentado. Outros recursos de ferramentas como o MATLAB deveriam ser aplicados de acordo com a análise, de modo que sistemas lineares pudessem ser estendidos para incluir elementos não lineares. Finalmente, a interação e a apresentação deveriam ser naturais e integradas entre a análise, a construção de modelos, a medição, o prognóstico e o projeto, de modo que o leitor não desenvolvesse uma distinção artificial entre esses processos.

Muitas partes deste livro foram utilizadas em sala de aula em um curso de vibrações ministrado a alunos do terceiro ano na Universidade de Maryland. Em geral, esses alunos tiveram um curso de segundo ano em x

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Prefácio xi

dinâmica e um curso de equações diferenciais ordinárias que inclui transformadas de Laplace. Além disso, materiais fundamentais sobre números complexos (Apêndice F) e álgebra linear (Apêndice E) são apresentados nos pontos pertinentes do curso. Em relação às respostas, nossa preferência, na maioria dos casos, é obter a solução por meio das transformadas de Laplace. Um dos principais motivos para utilizar o método da transformada de Laplace é que este é utilizado no estudo dos sistemas de controle e pode ser aplicado com facilidade para mostrar a dualidade entre o domínio do tempo e o domínio da frequência. Porém, outros meios de se chegar à resposta também são apresentados no Apêndice D. Este livro tem estas características: as leis de Newton e as equações de Lagrange são utilizadas no desenvolvimento de modelos de sistemas. Uma parte significativa desse desenvolvimento requer a aplicação da cinemática. Portanto, o Capítulo 1 fornece uma revisão desse tópico. Nós utilizamos transformadas de Laplace para desenvolver soluções analíticas para sistemas vibratórios lineares e, do domínio de Laplace, estendemos os resultados para o domínio da frequência. As respostas desses sistemas são discutidas nos domínios do tempo e da frequência, para enfatizar sua dualidade. As noções de função de transferência e função de resposta em frequência também são utilizadas em todo o livro para ajudar o leitor a desenvolver uma visão abrangente dos sistemas vibratórios. Apresentamos diretrizes de projeto para vibração com base em princípios de vibração desenvolvidos em todo o livro. As diretrizes aparecem nos pontos relevantes de cada capítulo. Essas diretrizes de projeto também têm a função de resumir o material precedente, encapsulando os elementos mais importantes relacionados a algum aspecto do projeto para vibração. Muitos exemplos da área de sistemas microeletromecânicos foram incluídos no livro para estabelecer um contexto físico para a aplicação dos princípios das vibrações em escalas de “extensões pequenas”. Além disso, existem vários exemplos de modelos vibratórios da biomecânica. Em todo o livro, o MATLAB foi extensivamente utilizado. Isso nos permitiu incluir uma grande quantidade de novos resultados numéricos, antes inacessíveis ou dificilmente acessíveis para análise. Esses resultados revelam muitos fenômenos interessantes que, acreditam os autores, ajudam a expandir nosso conhecimento sobre as vibrações.

O livro está organizado em nove capítulos, e os tópicos cobrem desde sistemas de pêndulo e protótipos de mola-massa-amortecedor a vigas. Em mecânica, as vibrações são consideradas um subconjunto da dinâmica, na qual são estudados os movimentos dos corpos sujeitos a forças e momentos. Para boa parte do material que forma este livro, o conhecimento sobre ­dinâmica no plano é suficiente. O Capítulo 1 fornece um resumo de conceitos, como o de graus de liberdade, e princípios, como o princípio da quantidade de movimento linear, de Newton, e o princípio da quantidade de movimento angular, de Euler.

No segundo capítulo, os elementos utilizados na construção de um modelo de sistema vibratório são apresentados e discutidos. A noção de rigidez elástica equivalente é apresentada em diferentes contextos físicos. Vários modelos de amortecimento que podem ser utilizados na construção de modelos de sistemas vibratórios também são apresentados nesse capítulo. Uma seção sobre projeto para vibração foi adicionada nesta edição. O Capítulo 3 trata da derivação da equação governante de um sistema vibratório ­de um grau de liberdade. Para esse fim, são aplicados princípios de equilíbrio de quantidade de movimento linear e equilíbrio de quantidade de movimento angular e equações de Lagrange. Noções como as de frequência natural e fator de amortecimento também são apresentadas, além de ser explicada a linearização de sistemas não lineares. No quarto capítulo, respostas a diferentes condições iniciais, incluindo o impacto, são analisadas. Também são comparadas as respostas dos sistemas com molas lineares e molas não lineares.

As características de oscilação livre dos sistemas com amortecimento não linear são estudadas. A noção de estabilidade é brevemente abordada, e o fenômeno importante das trepidações de máquina-ferramenta é apresentado.

No Capítulo 5, as respostas dos sistemas de um grau de liberdade sujeitos a excitações periódicas são consideradas. As noções de ressonância, ­função de resposta em frequência e função de transferência são discutidas em detalhes. As respostas dos sistemas vibratórios lineares e não lineares sujeitos a excitações harmônicas também são estudadas. A transformada de Fourier é apresentada, e considerável atenção é dada para relacionar as informações no domínio do tempo ao domínio da frequência e vice-versa. Para diferentes excitações, a sensibilidade das funções de resposta em frequência em relação aos parâmetros do sistema também é examinada para fins de projeto. O projeto de um acelerômetro é discutido, e a noção de amortecimento equivalente é apresentada. Esta edição do livro também inclui

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xii Vibrações mecânicas

uma seção sobre formas alternativas da função de resposta em frequência. No Capítulo 6, as respostas dos sistemas de um grau de liberdade a diferentes tipos de excitações transientes externas são discutidas e analisadas no que se refere aos seus espectros de frequência em relação à função da amplitude de resposta do sistema. A noção de energia espectral é aplicada para estudar as respostas vibratórias, e uma seção sobre testes de impacto foi adicionada.

Os sistemas de múltiplos graus de liberdade são tratados nos Capítulos 7 e 8, e o assunto é desenvolvido até sistemas com um número infinito de graus de liberdade no Capítulo 9. No Capítulo 7, a derivação das equações governantes do movimento de um sistema com múltiplos graus de liberdade é estudada por meio da aplicação dos princípios de equilíbrio ­de quantidade de movimento linear e equilíbrio de quantidade de movimento angular e das equações de Lagrange. As frequências naturais e os modos de vibrar de sistemas não amortecidos também são ­estudados nesse capítulo, e a noção de modo vibratório é explicada. A linearização de sistemas não lineares de múltiplos graus de liberdade e os sistemas com forças giroscópicas também são tratados nesse capítulo. As noções de estabilidade discutidas no Capítulo 4 para um sistema de um grau de liberdade são estendidas para sistemas de múltiplos graus de liberdade, e a conservação da energia e da quantidade de movimento é estudada. Nesta edição, uma seção sobre vibrações de eixos rotativos em suportes flexíveis foi adicionada.

No Capítulo 8, diferentes métodos que podem ser aplicados para a obtenção da resposta de um sistema de múltiplos graus de liberdade são apresentados. Esses métodos incluem o método direto, o método do modo normal, o método da transformada de Laplace e o método com base na formulação do espaço de estado.

Formas de solução explícita para respostas de sistemas de múltiplos graus de liberdade são obtidas e utilizadas para se obter a resposta para condições iniciais e diferentes tipos de forçamento. A importância do método do modo normal para a execução da análise modal dos sistemas vibratórios com propriedades especiais de amortecimento é discutida nesse capítulo. A formulação do espaço de estado é utilizada para demonstrar como sistemas vibratórios com formas arbitrárias de amortecimento podem ser tratados.

A noção de ressonância em um sistema de múltiplos graus de liberdade é tratada. Noções de funções de resposta em frequência e funções de transferência, apresentadas no Capítulo 5 para ­sistemas de um grau de liberdade, são consideradas novamente, e a relevância dessas noções para a identificação de sistemas e o projeto de absorvedores de vibração, filtros mecânicos e sistemas de isolamento de vibrações é enfatizada no Capítulo 8. O material ­referente aos absorvedores de vibração inclui o tratamento tradicional dos absorvedores de vibração linear e uma breve introdução ao projeto de absorvedores de vibração não linear, que incluem um sistema de barra-cursor, um absorvedor pendular e um amortecedor de impacto. Ferramentas com base em técnicas de otimização também são apresentadas para ajustar absorvedores de vibração e sistemas de isolamento de vibração.

No Capítulo 9, o tópico das vibrações de vigas é tratado de forma extensa como um e­ xemplo representativo de vibrações em sistemas com um número infinito de g­ raus de liberdade. A derivação das equações governantes do movimento para vigas isotrópicas é analisada, e oscilações livres e forçadas das vigas são estudadas para um grande número de condições de contorno e de elementos de ligação interna e externa. Em particular, grande atenção é dada a características de oscilação livre, tais como modos de vibrar e efeitos das forças axiais, fundações elásticas e geometria de vigas no que se refere a essas características. Um grande número de resultados ­numéricos que não ocorrem em outros casos estão incluídos nesse material. No Capítulo 9, a eficiência do método da transformada de Laplace para determinar a solução da resposta da viga para condições de contorno complexas é exemplificada. Além disso, esta edição inclui um apêndice sobre as frequências naturais e os modos de vibrar associados com as oscilações livres de cordas, barras e eixos, cada caso para várias combinações de condições de contorno, incluindo uma massa ligada e uma mola ligada.

O apêndice também apresenta os resultados que podem ser utilizados para determinar quando os sistemas podem ser modelados como sistemas de um grau de liberdade.

Nesta edição do livro, estão inclusos vários recursos que facilitam a utilização do material por parte do leitor. A introdução de cada capítulo discute o que será especificamente coberto. Foram escolhidos exemplos com vários níveis de complexidade, cobrindo uma grande gama de tópicos de vibração que, em muitos casos, têm aplicação prática em problemas reais. Os exercícios foram reorganizados para se correlacionar com a seção mais apropriada do texto. Um glossário foi adicionado para relacionar em uma

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Prefácio xiii

seção a definição dos principais termos empregados no livro. Finalmente, esta edição inclui sete apêndices sobre os seguintes temas: i) pares de transformadas de Laplace; ii) série de Fourier; iii) noção de decibel; iv) números e variáveis complexas; v) álgebra linear; vi) métodos de solução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem; e vii) frequências naturais e modos de vibrar, eixos e cordas.

Em se tratando de como este livro pode ser utilizado em um semestre de curso de graduação, nossa experiência na Universidade de Maryland é descrita a seguir. Em um formato de curso com cerca de 28 aulas expositivas de 75 minutos, conseguimos cobrir o seguinte material: Capítulo 1; Capítulo 2, exceto Seção 2.5; Capítulo 3; Seções 4.1 a 4.3 do Capítulo 4; Capítulo 5, exceto Seções 5.3.3, 5.8, 5.9 e 5.10; Seções 6.1 a 6.3 do Capítulo 6; Seções 7.1 a 7.3 do Capítulo 7, exceto Seções 7.2.3, 7.3.3 e 7.3.4; Seções 8.1, 8.2, 8.4, 8.5 e 8.6.1 do Capítulo 8. Também utilizamos este livro em um formato com 28 aulas expositivas de 50 minutos e 14 sessões de oficina de 90 minutos para um curso de graduação. Em cursos com sessões de aula expositiva e sessões de oficina, estas podem incluir oficinas de MATLAB e experimentos físicos. Nesse formato, é possível abordar o material das Seções 2.5, 4.4, 4.5, 5.10, 7.2 e 8.6. Certamente, existem seções como a 4.2, que podem ser muito longas para serem totalmente cobertas. Em tais seções, é importante estabelecer um equilíbrio, combinando tarefas de leitura e instruções em sala de aula. Nossa experiência mostra que uma escolha cuidadosa das tarefas de leitura periódicas pode ajudar o instrutor a cobrir uma quantidade considerável de material, se desejar. Também encorajamos o instrutor a utilizar o grande número de exemplos fornecidos no livro. O Capítulo 9 não é coberto durante as aulas expositivas. É sugerido que os alunos estudem o material desse capítulo por meio do componente de projeto do curso. Também é concebível considerar que os Capítulos 6, 7, 8 e 9 possam formar a base de um curso de pós-graduação em vibrações.

Expressamos nossos sinceros agradecimentos aos nossos ex-alunos, por sua participação entusiasmada nas primeiras versões deste livro e por seu feedback; aos que analisaram o manuscrito, por suas sugestões construtivas; a nossos colegas professor Bruce Berger, por sua cuidadosa leitura do Capítulo 1; professor Amr Baz, por sugerir materiais e exemplos para inclusão; professor Donald DeVoe, pela referência à literatura sobre sistemas microeletromecânicos; e Dr. Henry Haslach, pela leitura e pelos comentários de partes do Capítulo 9; professor Miao Yu, por utilizar este livro em sala de aula e fornecer feedback, especialmente em relação ao Capítulo 5; professor Jae-Eun Oh, da Universidade de Hanyang, Coreia do Sul, pelas muitas horas de leitura das primeiras versões dos Capítulos 1 a 6 e por fornecer feedback para o material, bem como sugestões de exercícios e suas soluções; e professor Sergio Preidikman, da Universidade de Córdoba, Argentina, por utilizar este livro em sala de aula e fornecer feedback para melhorar o livro, bem como apontar vários erros de tipografia na primeira edição. Gostaríamos de agradecer aos professores Bingen Yang, da University of Southern California, Robert G. Parker, da Ohio State University, e Kon-Well Wang, da Pennsylvania State University, por seus comentários e sugestões úteis durante a preparação da primeira edição deste livro.

Além disso, agradecemos aos professores Leonard Louis Koss, da Monash University, Austrália; Robert G. Langlois, da Carleton University, Canadá; Nicholas Haritos, da University of Melbourne, Austrália; e Chuck van Karsen, da Michigan Technological University, por suas análises construtivas durante a preparação da segunda edição. Também somos profundamente gratos a William Stenquist, da Cengage Learning, por seu constante apoio e encorajamento durante o projeto da primeira edição, e a Christopher Carson, também da Cengage Learning, por seu apoio à segunda edição do livro. Por fim, mas não menos importante, agradecemos nossas famílias pelo grande apoio e compreensão durante toda essa longa empreitada.

B. Balachandran E. B. Magrab College Park, MD

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A Cengage Learning agradece especialmente ao professor Mario Francisco Mucheroni, docente do Departamento de Engenharia Mecânica da Escola de Engenharia de São Carlos-USP, pela dedicação e cuidado na revisão técnica da tradução desta obra para o português.

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Índice de exemplos

Capítulo 1 1.1 1.2 1.3

1.4

1.5

Cinemática de um pêndulo no plano 7 Cinemática de um disco que rola sobre um plano 8 Cinemática de uma partícula em um sistema de eixos rotativo 8 Velocidade absoluta de um pêndulo ligado a um disco rotativo 9 Massa em movimento sobre uma mesa rotativa 10

Capítulo 2 2.1 Determinação de momentos de inércia de massa 24 2.2 Mecanismo de cursor: sistema com inércia variável 25 2.3 Rigidez equivalente de uma combinação viga-mola 33 2.4 Rigidez equivalente de uma viga em balanço com carga transversal na extremidade 34 2.5 Rigidez equivalente de uma viga com extremidade fixa e em translação na outra extremidade 34 2.6 Rigidez equivalente de um sistema microeletromecânico (MEMS) flexão fixa-fixa 35 2.7 Rigidez equivalente de molas em paralelo: remoção de uma restrição 36 2.8 Rigidez não linear resultante da geometria 39 2.9 Rigidez equivalente resultante das forças de gravidade 43 2.10 Projeto de um amortecedor de placas paralelas 46 2.11 Coeficiente de amortecimento equivalente e rigidez equivalente de um sistema vibratório 46 2.12 Coeficiente de amortecimento linear equivalente de

um amortecedor não linear 47 Capítulo 3 3.1 Oscilações relativas à ação do vento em torno da posição de equilíbrio estático de um sistema 65 3.2 Oscilações do tímpano: oscilador não linear e sistemas linearizados 65 3.3 Biomecânica da mão 68 3.4 Frequência natural a partir da deflexão estática de uma máquina 71 3.5 Deflexão estática e frequência natural da tíbia humana 71 3.6 Sistema com frequência natural constante 72

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xvi Vibrações mecânicas

3.7 Efeito da massa sobre o fator de amortecimento 75 3.8 Efeitos dos parâmetros de sistema sobre o fator

de amortecimento 75 3.9 Equação do movimento de um sistema de um grau de liberdade linear 83 3.10 Equação do movimento de um sistema em translação

e rotação 84 3.11 Equação governante para um pêndulo invertido 85 3.12 Equação governante do movimento de um segmento

de disco 87 3.13 Equação governante de um sistema em translação com mola pré-tracionada ou pré-comprimida 89 3.14 Equação do movimento de um disco com massa

na extensão 91 3.15 Formulação de Lagrange para um dispositivo de sistema microeletromecânico (MEMS) 92 3.16 Equação do movimento de um mecanismo de cursor 94 3.17 Oscilações de um virabrequim 96 3.18 Vibração de um regulador centrífugo 98 3.19 Oscilações de um sistema em rotação 99 Capítulo 4 4.1 Resposta livre de um sistema microeletromecânico 113 4.2 Resposta livre de um pneu de carro 114 4.3 Resposta livre de uma porta 114 4.4 Impacto de um para-choque 119 4.5 Impacto de um recipiente contendo um sistema de um grau de liberdade 121 4.6 Colisão de dois corpos viscoelásticos 124 4.7 Sistema vibratório empregando um modelo de Maxwell 125 4.8 Sistema vibratório com modelo de Maxwell

considerado novamente 128 4.9 Estimativa do fator de amortecimento por meio

do decremento logarítmico 135 4.10 Problema inverso: informação a partir do gráfico

do espaço de estado 135 4.11 Instabilidade do pêndulo invertido 139 Capítulo 5 5.1 Estimativa do fator de amortecimento do sistema para ajustar a resposta transiente 163 5.2 Resposta de partida de uma máquina rotativa com

aparos flexíveis 163 5.3 Resposta forçada de um sistema amortecido 166 5.4 Resposta forçada de um sistema não amortecido 168 5.5 Alterações na frequência natural e no fator de amortecimento do sistema para aumentar a sensibilidade 178 5.6 Fator de amortecimento e largura de banda para obtenção do Q desejado 181 5.7 Fração da força aplicada transmitida para a base 189

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Índice de exemplos xvii

5.8 Resposta de um instrumento sujeito à excitação de base 194 5.9 Função de resposta em frequência de um pneu para análise de projeto de pavimento 195 5.10 Excitador eletrodinâmico de vibração 196 5.11 Projeto de um acelerômetro 200 5.12 Projeto de uma montagem de isolação de vibração 202 5.13 Sistema modificado para limitar o valor máximo do TR em decorrência da partida da máquina 203 5.14 Sistema vibratório com amortecimento estrutural 213 5.15 Estimativa de amplitude da resposta de um sistema sujeito ao amortecimento fluido 214 5.16 Resposta de uma máquina de tecer 217 5.17 Sistema de um grau de liberdade sujeito a um trem de pulsos periódicos e à excitação tipo dente de serra 218 5.18 Resposta do sistema de um grau de liberdade a impulsos periódicos 222 5.19 Excitação da base: mecanismo cursor-manivela 224 5.20 Determinação da linearidade do sistema com base nas características da amplitude da resposta 231 Capítulo 6 6.1 Resposta de um sistema vibratório linear a

múltiplos impactos 246 6.2 Utilização de um impacto adicional para suprimir

a resposta transiente 247 6.3 Nível de tensão sob carregamento impulsivo 248 6.4 Projeto de estrutura sujeita a ventos constantes 249 6.5 Resposta de veículo a um degrau no perfil da estrada 256 6.6 Resposta do assento de um automóvel e do ocupante 258 6.7 Resposta da lage do piso ao carregamento transiente 264 6.8 Resposta à excitação da base na forma

meio-pulso senoidal 274 6.9 Sistema de um grau de liberdade com base móvel e mola não linear 276 Capítulo 7 7.1 Modelamento de fresadora sobre piso flexível 286 7.2 Conservação da quantidade de movimento linear em um sistema de múltiplos graus de liberdade 288 7.3 Sistema com movimentos de translação e rotação 288 7.4 Equações governantes de um giroscópio sensor

de velocidade de rotação 291 7.5 Sistema com massa em translação ligada a um disco oscilante 298 7.6 Sistema com movimentos de translação e rotação

considerado novamente 300 7.7 Pêndulo absorvedor 301 7.8 Sino e badalo 303 7.9 Três osciladores não lineares acoplados ‒ dispositivo

de Lavrov 304

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xviii Vibrações mecânicas

7.10 Equações governantes de um giroscópio sensor

de velocidade de rotação 306 7.11 Equações governantes de vibrações do sistema mão-braço 307 7.12 Frequências naturais e modos de vibrar de um sistema de dois graus de liberdade 315 7.13 Modo de corpo rígido de um sistema de vagões ferroviários 320 7.14 Frequências naturais e modos de vibrar de um sistema de duas massas e três molas 321 7.15 Frequências naturais e modos de vibrar de um pêndulo ligado a uma massa em translação 323 7.16 Frequências naturais e modos de vibrar de um sistema com movimentos de translação e rotação 326 7.17 Problema inverso: determinação dos parâmetros

do sistema 328 7.18 Frequências naturais de um sistema de N graus de liberdade: caso especial 329 7.19 Sistema de um grau de liberdade com um sistema de osciladores 332 7.20 Ortogonalidade de modos, massas modais e rigidezes modais de um sistema mola-massa 337 7.21 Natureza da matriz de amortecimento 344 7.22 Características da oscilação livre de um sistema proporcionalmente amortecido 344 7.23 Características da oscilação livre de um sistema com forças giroscópicas 346 7.24 Conservação de energia em um sistema de três graus de liberdade 349 7.25 Estabilidade de um sistema não amortecido com

forças giroscópicas 358 7.26 Vibrações devidas à ação do vento no tabuleiro de ponte pênsil: análise de estabilidade 359 Capítulo 8 8.1 Oscilações livres não amortecidas de um sistema de dois graus de liberdade 380 8.2 Oscilações livres amortecidas e não amortecidas de um sistema de dois graus de liberdade 381 8.3 Sistema não amortecido absorvedor de vibração 388 8.4 Absorvedor de motor a diesel 390 8.5 Resposta forçada de um sistema com movimentos

de translação e rotação 391 8.6 Forma do espaço de estados das equações de um girosensor 394 8.7 Forma do espaço de estados das equações de um modelo

de sistema de fresagem 395 8.8 Autovalores e autovetores de um sistema amortecido

proporcionalmente da matriz de estado 397 8.9 Comparação de oscilações livres para um sistema com modelo

de amortecimento arbitrário e um sistema com modelo de

amortecimento modal constante 400 8.10 Oscilações livres amortecidas de um sistema mola-massa 409

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Índice de exemplos xix

8.11 Funções de resposta em frequência para sistemas com movimentos de translação e rotação 417 8.12 Funções de resposta em frequência para um sistema amortecido estruturalmente 418 8.13 Resposta em amplitude de um filtro micromecânico 419 8.14 Sino e badalo (continuação) 422 8.15 Projeto de absorvedor para sistema rotativo com

massa desbalanceada 430 8.16 Projeto de absorvedor para uma máquina 432 8.17 Projeto de um pêndulo centrífugo absorvedor de vibração para motor de combustão interna 435 8.18 Projeto de montagem de uma máquina para atender às exigências de relação de transmissibilidade 450 8.19 Isolamento de um sistema eletrônico 453 Capítulo 9 9.1 Condições de contorno para viga em balanço com uma massa longa 477 9.2 Vigas com elementos discretos: manutenção de uma primeira frequência natural constante 499 9.3 Determinação das propriedades de uma viga que suporta máquinas rotativas 521 9.4 Frequências naturais de duas vigas em balanço conectadas por uma mola: fixadores bimorfos 530 9.5 Frequências naturais de uma viga em balanço

de seção variável 535 9.6 Forma de modo de vibrar de um taco de beisebol 537 9.7 Resposta de uma viga em balanço de impulso 543 9.8 Microviga em balanço com amortecimento pneumático 545 9.9 Funções de resposta em frequência de uma viga 546 9.10 Utilização de um segundo impacto para anular

a resposta transiente 549 9.11 Carga em movimento sobre uma viga 551

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2010 Photos.com, uma divisão da Getty Images. Todos os direitos reservados.

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Dois importantes nomes no campo das vibrações: Galileu Galilei efetuou as primeiras medições da frequência do pêndulo e Sir Isaac Newton descobriu as leis do movimento.

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1 Introdução 1.1 INTRODUÇÃO 1.2 CONCEITOS BÁSICOS DA DINÂMICA 1.2.1 Cinemática da partícula e do corpo rígido 1.2.2 Coordenadas generalizadas e graus de liberdade 1.2.3 Dinâmica da partícula e do corpo rígido 1.2.4 Trabalho e energia 1.3 RESUMO

1.1

EXERCÍCIOS

INTRODUÇÃO

As vibrações ocorrem em muitos aspectos de nossa vida. Por exemplo, no corpo humano, oscilações de baixa frequência ocorrem nos pulmões e no coração, e oscilações de alta f­requência, no sistema auditivo. Também ocorrem oscilações na laringe, quando uma pessoa fala, e oscilações induzidas por movimentos ritmados do corpo, como caminhada, saltos e dança. Muitos sistemas construídos pelo ser humano também estão sujeitos às vibrações ou as produzem. Por exemplo, qualquer desbalanceamento em máquinas equipadas com peças rotativas, tais como ventoinhas, ventiladores, separadores centrífugos, máquinas de lavar roupa, tornos, bombas centrífugas, prensas rotativas e turbinas, pode causar vibrações. No caso dessas máquinas, as vibrações são, em geral, indesejáveis. Edifícios e outras estruturas podem estar sujeitos a vibrações causadas por máquinas em funcionamento – tráfego de veículos, aeronaves ou trens – ou ­fenômenos naturais, como terremotos e ventos.

Passarelas e pavimentos em edifícios também estão sujeitos a vibrações geradas pelo movimento de pessoas.

Em sistemas estruturais, as tensões oscilantes causadas pelas vibrações podem resultar em falha por fadiga.

As vibrações também são indesejáveis durante as m ­ edições com instrumentos de precisão, como microscópios eletrônicos, e na fabricação de sistemas microeletromecânicos. Os processos de projeto de veículos requerem que o ruído causado pela vibração dos painéis seja reduzido. As vibrações, que podem causar o som desagradável chamado ruído, também são responsáveis pela música que ouvimos.

As vibrações também são benéficas para muitas aplicações, como relógios atômicos, que têm como referência as vibrações atômicas, alimentadores vibratórios de peças, misturadores de tinta, ­instrumentação com ultrassom utilizada em cirurgias oculares e outros tipos de intervenção, sirenes e alarmes, determinação de propriedades fundamentais de películas finas com base no conhecimento sobre vibrações atômicas e estímulo do crescimento ósseo.

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2 Vibrações mecânicas

A palavra oscilação é, muitas vezes, utilizada como sinônimo de vibração para descrever movimentos alternados de avanço e recuo. Entretanto, neste livro, o termo vibração é utilizado no contexto dos sistemas mecânicos e biomecânicos, nos quais os componentes de energia do sistema são a energia cinética e a energia potencial. É provável que o antigo interesse em vibrações tenha se originado do desenvolvimento de instrumentos musicais, tais como apitos e tambores. Acredita-se q­ ue, desde 4.000 a.C., na Índia e na China, pessoas se interessavam em entender a música, que é d­ escrita como um efeito pulsante causado pela rápida alteração no tom (altura) do som. A origem da gaita pode ser datada de 3.000 a.C., quando, na China, um instrumento feito de bambu chamado “sheng” foi introduzido. Estudos arqueológicos das tumbas reais no Egito mostraram que instrumentos de corda também eram utilizados por volta de 3.000 a.C. Um dos primeiros estudos científicos sobre tais instrumentos é ­atribuído ao filósofo e matemático grego Pitágoras (582–507 a.C.). Ele mostrou que se duas cordas iguais forem sujeitas à mesma tensão e se uma tiver a metade do comprimento da outra, os tons produzidos serão separados por uma oitava (um fator de dois). É interessante notar que, não obstante seja considerada uma arte altamente subjetiva e p­ essoal, a música é intimamente governada por princípios de vibração, como os determinados por Pitágoras e seus sucessores.

A corda vibratória também foi estudada por Galileu Galilei (1564–1642), que foi o primeiro a mostrar que o tom está relacionado com a frequência de vibração. Galileu também estabeleceu os fundamentos para os estudos dos sistemas vibratórios por meio de suas observações feitas em 1583 referentes aos movimentos de uma lâmpada suspensa de uma catedral em Pisa, na Itália. Ele descobriu que o período do movimento era independente da amplitude do balanço da lâmpada. Essa propriedade é válida para todos ­os sistemas vibratórios que podem ser descritos por modelos lineares. Há muitos séculos, o sistema de pêndulo estudado por Galileu tem sido empregado como paradigma para ilustrar os princípios das vibrações.

Galileu e muitos outros que o seguiram estabeleceram os fundamentos das vibrações, uma disciplina que, de modo geral, é considerada uma das que compõem a mecânica. A Tabela 1.1 fornece um breve resumo de alguns dos principais nomes e suas contribuições. As biografias de muitos dos relacionados nessa tabela podem ser encontradas no Dictionary of Scientific Biography.1 É interessante observar que, segundo a Tabela 1.1, o primeiro interesse dos pesquisadores foram as vibrações de pêndulo e corda, seguido por uma fase cujo foco foram as ­vibrações de membrana, placa e cascas e subsequentemente por uma fase em que vibrações em problemas práticos e oscilações não lineares receberam considerável atenção.

O livro de Lord Rayleigh, Theory of Sound, publicado pela primeira vez em 1877, foi uma das primeiras obras abrangentes sobre vibrações. De fato, muitos dos desenvolvimentos matemáticos comumente abordados em um curso sobre vibrações datam da década de 1800 e períodos anteriores. Entretanto, desde então, a aplicação desses princípios para a compreensão e o projeto de sistemas tem aumentado de modo considerável na diversidade de sistemas projetados com as vibrações como um fator a ser considerado: dispositivos e sistemas mecânicos, eletromecânicos e microeletromecânicos, sistemas biomecânicos e biomédicos, navios e submarinos e estruturas em obras civis.

Neste capítulo, mostraremos como: • Determinar o deslocamento, a velocidade e a aceleração de um elemento de massa.

• Determinar o número de graus de liberdade.

• Determinar a energia cinética e o trabalho de um sistema.

1.2

CONCEITOS BÁSICOS DA DINÂMICA

Podemos afirmar que a dinâmica tem duas partes, uma é a cinemática, e a outra, a cinética. Enquanto a cinemática trata da descrição matemática dos movimentos, a cinética estuda as leis físicas que definem um movimento. Neste capítulo, primeiramente, os aspectos da cinemática das partículas e dos corpos rígidos serão considerados novamente. Depois, as noções de coordenadas generalizadas e graus de liberdade serão discutidas. A seguir, a dinâmica das partículas e dos corpos rígidos é abordada, e os princípios 1

C. C. Gillispiec (ed.). Dictionary of Scientific Biography. 18 Vols. New York: Scribner, 1970–1990.

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Capítulo 1 – Introdução 3 Tabela 1.1 Principais nomes do campo das vibrações e suas contribuições.

Nome

Área de contribuição

Galileu Galilei (1564–1642) Medição da frequência do pêndulo, corda vibratória Marin Mersenne (1588–1648)

Corda vibratória

John Wallis (1616–1703) Vibrações de corda: observações de modos e harmônicos Christian Huygens (1629–1695)

Oscilações não lineares do pêndulo

Robert Hooke (1635–1703) Relação tom-frequência; lei da elasticidade de Hooke Isaac Newton (1642–1727)

Leis do movimento, cálculo diferencial

Gottfried Leibnitz (1646–1716)

Cálculo diferencial

Joseph Sauveur (1653–1716) Vibrações de corda: estabeleceu o termo “harmônica fundamental” para a frequência mais baixa e “harmônicas” para as componentes de frequência mais alta Brook Taylor (1685–1731) Cálculo da frequência das cordas vibratórias; teorema de Taylor Daniel Bernoulli (1700–1782) Princípio da superposição linear de harmônicas; vibrações de corda e viga Leonhard Euler (1707–1783) Princípio da quantidade de movimento angular, número complexo, equações de Euler; vibrações de viga, placa e cascas Jean d’Alembert (1717–1783) Princípio de D’Alembert; equações de movimento; equação de onda Charles Coulomb (1736–1806)

Vibrações torcionais; atrito

Joseph Lagrange (1736–1813) Equações de Lagrange; frequências de tubos de órgão abertos e fechados E. F. F. Chladni (1756–1824)

Vibrações de placa: linhas nodais

Jacob Bernoulli (1759–1789)

Vibrações de viga, placa e casca

J. B. J. Fourier (1768–1830)

Série de Fourier

Sophie Germain (1776–1831)

Equações governantes das vibrações de placa

Simeon Poisson (1781–1840) Vibrações de placa, membrana e barra; efeito de Poisson G. R. Kirchhoff (1824–1887)

Vibrações de placa e membrana

R. F. A. Clebsch (1833–1872)

Vibrações de meios elásticos

Lorde Rayleigh (1842–1919) Métodos de energia: método de Rayleigh; diagrama de Strutt; tratado sobre vibrações Gaston Floquet (1847–1920)

Estabilidade de oscilações periódicas: teoria de Floquet

Henri Poincaré (1854–1912) Oscilações não lineares; mapa de Poincaré; estabilidade; caos A. M. Liapunov (1857–1918)

Estabilidade do equilíbrio

Aurel Stodola (1859–1943) Vibrações de viga, placa e membrana; pás de turbina C. G. P. De Laval (1845–1913) Vibrações de disco rotativo desbalanceado: soluções práticas Stephen Timoshenko (1878–1972) Vibrações de viga; problemas de vibração em motores elétricos, turbinas a vapor e turbinas hidráulicas Balthasar van der Pol (1889–1959)

Oscilações não lineares: oscilador de van der Pol

Jacob Pieter Den H­artog (1901–1989) Sistemas não lineares com amortecimento de Coulomb; vibração de máquinas rotativas e alternativas; livro-texto sobre vibrações

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4 Vibrações mecânicas

de quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular são apresentados. ­Finalmente, o trabalho e a energia são discutidos.

1.2.1 Cinemática da partícula e do corpo rígido Cinemática da partícula A Figura 1.1 mostra uma partícula livre no espaço. Para estudar os movimentos dessa partícula, um sistema de referência R e um conjunto de vetores unitários2 i, j e k fixos nesse sistema são considerados. Esses vetores unitários, ortogonais entre si, são considerados constantes no tempo, isto é, seu sentido e seu comprimento permanecem inalterados durante o tempo t. Um conjunto de eixos de coordenadas ortogonais orientados nos sentidos X, Y e Z também é mostrado na Figura 1.1. A origem O desse sistema de coordenadas está fixa no sistema de referência R para todo tempo t. O vetor posição rP/O da partícula P é expresso como (1.1)

FIGURA 1.1 Cinemática da partícula. R é o sistema de referência no qual os vetores unitários i, j e k estão fixos.

onde o sobrescrito no vetor posição indica que o vetor tem o sentido do ponto O ao ponto P. Quando não há ambiguidade acerca do vetor posição em questão, como na Figura 1.1, o sobrescrito é omitido por conveniência, isto é, r P/O = r. A velocidade v e a aceleração a da partícula, ambas grandezas vetoriais, são definidas, respectivamente, como (1.2)

onde as derivadas são tomadas em relação ao tempo.3 Utilizando as Eqs. (1.1) e (1.2) e observando que os vetores unitários não mudam com o tempo, obtemos 2

Como uma convenção adotada para todo o livro, letras em negrito e itálico representam vetores.

O operador da derivada temporal d/dt é definido apenas quando um sistema de referência é especificado. Para sermos precisos, devemos escrever as Eqs. (1.2) como a seguir:

3

Entretanto, para facilitar a notação, os termos sobrescritos foram omitidos neste livro. Em todo o livro, apesar de a presença de um sistema de referência como R na Figura 1.1 não ser explícita, supomos que o operador da derivada temporal foi definido em um sistema de referência específico.

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Capítulo 1 – Introdução 5

(1.3a) e

(1.3b)

onde o ponto sobre um símbolo indica a diferenciação em relação ao tempo. Observe que, ao serem obtidas as Eqs. (1.3a,b), as derivadas em relação ao tempo dos vetores unitários i, j e k são todas iguais a zero, pois tais vetores unitários são constantes (isto é, permanecem inalterados com o tempo) no ­sistema de referência em questão.

Cinemática do corpo rígido no plano Um corpo rígido é mostrado no plano X-Y na Figura 1.2 juntamente com as coordenadas do centro de massa do corpo. Nessa figura, os vetores unitários i, j e k estão fixos no sistema de referência R, enquanto os vetores unitários e1 e e2 estão fixos no sistema de referência R′. Esses vetores são definidos de modo que o produto vetorial e1 x e2 = k. Os vetores unitários i, j e k são constantes no tempo, mas os vetores unitários e1 e e2 têm o movimento do corpo e, portanto, mudam em relação ao tempo. A velocidade e a aceleração do centro de massa do corpo rígido em relação ao sistema de referência R são determinadas de modo similar ao discutido anteriormente no caso da partícula e são dadas por

(1.4)

FIGURA 1.2 Cinemática dos corpos rígidos no plano.

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6 Vibrações mecânicas

Para determinar a velocidade e a aceleração de qualquer outro ponto P do corpo, utilizando as grandezas correspondentes do centro de massa do corpo, é necessário considerar a velocidade angular ω e a aceleração angular α do corpo rígido.4 Uma vez que, neste caso, o movimento do corpo rígido está restrito ao plano, esses dois vetores estão orientados no sentido Z e cada um é paralelo ao vetor unitário k. Quando consideramos a velocidade e a aceleração do centro de massa do corpo rígido, a velocidade e a aceleração em qualquer outro ponto P do corpo são expressas como (1.5)

onde rP/G é o vetor posição do ponto G ao ponto P, vP/O e aP/O são a velocidade e a aceleração do ponto P em relação a O, respectivamente, e, o símbolo “v” se refere ao produto vetorial. As Equações (1.5) são derivadas primariamente das definições dadas pelas Eqs. (1.2). Observando que, de acordo com a primeira das Eqs. (1.5), a velocidade relativa do ponto P em relação a G é definida por

(1.6)

temos que a aceleração é expressa como5 (1.7) As Equações (1.5) a (1.7) são válidas para quaisquer dois pontos arbitrários do corpo rígido. Se os vetores unitários fixos no corpo e1 e e2 forem utilizados para escrever os vetores posição e velocidade durante o cálculo das velocidades e acelerações por meio das Eqs. (1.2), (1.5), (1.6) e (1.7), deveremos concluir que os vetores unitários fixos no corpo mudam sua orientação em relação ao tempo. Isso é mostrado por

(1.8)

Nas definições e relações fornecidas nesta seção para velocidades e acelerações, se o ponto O for fixo para todos os instantes de tempo no que é chamado sistema de referência inercial,6 as grandezas correspondentes serão chamadas velocidades e acelerações absolutas. Essas grandezas são importantes na determinação das equações governantes de um sistema, como será discutido na Seção 1.2.3. A seguir, cinco exemplos são fornecidos para explicar como a cinemática das partículas e dos corpos rígidos pode ser utilizada para descrever o movimento dos corpos rígidos que serão considerados nos próximos capítulos.

4 Novamente, para facilitar a notação, em vez das notações exatas de R ωR′ e R αR′ para a velocidade vetorial angular do sistema de referência R′ em relação a R e a aceleração angular do sistema de referência R′ em relação a R, respectivamente, os termos sobrescritos à esquerda e à direita foram omitidos.

5

Para a obtenção das Eqs. (1.7), supomos que todas as derivadas no tempo estão sendo avaliadas no sistema de referência R.

6

Um sistema de referência inercial é um sistema “fixo absoluto”, que, para nossos fins, não compartilha nenhum dos movimentos das partículas ou dos corpos considerados nos problemas de vibração. (Certamente, em um contexto mais amplo, um sistema de referência inercial verdadeiro não existe.) Em todo este livro, o sistema de referência R é utilizado como um sistema de referência inercial, mas não é mostrado de modo explícito na Figura 1.3 ou em quaisquer outras figuras a seguir neste capítulo ou nos capítulos subsequentes.

Entretanto, a escolha desse sistema de eixos é considerada para a definição das velocidades absolutas e das acelerações absolutas.

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Capítulo 1 – Introdução 7

EXEMPLO 1.1 Cinemática de um pêndulo no plano Considere o pêndulo no plano mostrado na Figura 1.3, onde os vetores unitários ortogonais e1 e e2 estão fixos no pêndulo e têm seu movimento. Os vetores unitários i, j e k, orientados nos sentidos X, Y e Z, respectivamente, são constantes no tempo. A velocidade e a aceleração do pêndulo de movimento plano P são as grandezas de interesse. O vetor posição do ponto P é expresso como

(a)

Aplicando as Eqs. (1.2) e (1.8) e observando que h e L são constantes em relação ao tempo e que a velociconcluímos que a velocidade do pêndulo é dade angular

(b)

e a aceleração do pêndulo é

(c) Para a obtenção das Eqs. (b) e (c), as seguintes relações foram observadas. (d)

FIGURA 1.3 Pêndulo no plano. Os sistemas de referência não são mostrados de modo explícito na figura, mas supomos ­que os vetores unitários i, j e k estejam fixos em R e que os vetores unitários e1 e e2 estejam fixos em R′.

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8 Vibrações mecânicas

Observando que os vetores unitários e1 e e2, fixos no pêndulo, são decompostos através dos vetores unitários i e j, como a seguir, (e) podemos redefinir a velocidade e a aceleração do pêndulo dadas pelas Eqs. (b) e (c), respectivamente, como (f)

EXEMPLO 1.2 Cinemática de um disco que rola sobre um plano Um disco de raio r rola sem deslizar no plano X-Y, como mostra a Figura 1.4. Vamos determinar a velocidade e a aceleração do centro de massa em relação ao referencial mostrado. Os vetores unitários e1 e e2 estão fixos no disco, e é a velocidade angular do disco. Para determinar a velocidade do centro de massa do disco, localizado em G, a primeira das Eqs. (1.5) é utilizada, isto é, (a) Observando que a velocidade do ponto de contato é zero, a velocidade angular e podemos avaliar a velocidade do ponto G. Além disso, das definições dadas pelas Eqs. (1.2), a aceleração pode ser calculada. As expressões resultantes são (b) Como esperado, o centro de massa de um disco que rola ao longo de uma linha reta não apresenta nenhuma aceleração vertical causada por esse movimento.

FIGURA 1.4 Disco rolante.

EXEMPLO 1.3 Cinemática de uma partícula em um sistema de eixos rotativo7 Uma partícula está livre para se mover em um plano que gira em torno de um eixo normal ao plano, como mostra a Figura 1.5. Os vetores unitários i e j, que são orientados nos sentidos X e Y, respectivamente, têm 7

Nos Capítulos 7 e 8, a cinemática da partícula discutida será aplicada no estudo das vibrações de um girosensor.

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Capítulo 1 – Introdução 9

a direção fixa para todos os instantes de tempo. Vamos determinar a velocidade da partícula P localizada no plano x-y. O sistema de eixos x-y-z gira em relação ao sistema de eixos X-Y-Z, que é constante no tempo.

A rotação ocorre em torno do eixo z com uma velocidade angular ω. O vetor unitário k está orientado ao longo do eixo de rotação, no sentido z. Os vetores unitários e1 e e2 estão fixos no sistema de eixos rotativo e orientados nos sentidos x e y, respectivamente.

No sistema de eixos rotativo, o vetor posição do ponto P é (a) Utilizando a primeira das Eqs. (1.2) para a velocidade de uma partícula, observando as Eqs. (1.8), reconhecendo que ω = ωk, e utilizando as Eqs. (d) do Exemplo 1.1, concluímos que a velocidade da partícula é

(b)

FIGURA 1.5 Partícula em um sistema de eixos rotativo.

Exemplo 1.4

Velocidade absoluta de um pêndulo ligado a um disco rotativo

Vamos determinar a velocidade absoluta do pêndulo ligado ao disco rotativo mostrado na Figura 1.6. Este é um sistema representativo do amortecedor de pêndulo centrífugo que será tratado no Capítulo 8. Suponha que o ponto O esteja fixo em um sistema de referência inercial, os vetores unitários e1 e e2 estejam fixos no pêndulo, e os vetores unitários ortogonais e91 e e92 estejam fixos no disco rotativo. Os movimentos do pêndulo estão restritos ao plano que contém os vetores unitários e1 e e2, o ângulo θ descreve a posição angular do disco em relação à horizontal, e o ângulo φ, a posição angular do pêndulo em relação ao disco.

Da figura, observamos que o vetor posição que descreve a localização da massa m é

Então, a velocidade da massa m é

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10 Vibrações mecânicas

Uma vez que a orientação dos vetores unitários e′1 e e′2 muda com o tempo por causa da rotação do disco, temos

que fornece

[

]

FIGURA 1.6 Pêndulo ligado a um disco rotativo.

Exemplo 1.5

Massa em movimento sobre uma mesa rotativa8

Considere uma massa m presa através de restrições elásticas e localizada sobre uma mesa que gira a uma velocidade angular constante ω, como mostra a Figura 1.7. Vamos determinar a velocidade absoluta da massa. Suponhamos que o ponto O esteja fixo no plano vertical, os vetores unitários e1 e e2, estejam fixos na massa m, como mostra a Figura 1.7, e k = e1 x e2. Então,

e a velocidade é dada por

8 N. S. Clarke.“The Effect of Rotation upon the Natural Frequencies of a Mass-Spring System”. J. Sound Vibration, 250(5), pp.

849–887, 2000.

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Capítulo 1 – Introdução 11

FIGURA 1.7 Mesa rotativa sem atrito de raio L sobre a qual uma massa m está vinculada elasticamente.

1.2.2 Coordenadas generalizadas e graus de liberdade Para descrever o movimento físico de um sistema, é necessário escolher um conjunto de variáveis ou coordenadas chamadas coordenadas generalizadas.9 Estas são comumente representadas pelo símbolo qk.

O movimento de uma partícula livre, mostrada na Figura 1.8a, é descrito por meio das coordenadas generalizadas q1 = xp, q2 = yp e q3 = zp. Neste caso, todas as três coordenadas são necessárias para descrever o movimento do sistema. O número mínimo de coordenadas independentes requeridas para descrever o movimento de um sistema é chamado graus de liberdade de um sistema. Qualquer partícula livre no espaço tem três graus de liberdade.

A Figura 1.8b mostra um pêndulo com movimento plano. O ponto pivô desse p­ êndulo está fixo em (xt,yt,0), e o pêndulo tem um comprimento constante L. Neste caso, as coordenadas são escolhidas como xp e yp. Entretanto, uma vez que o comprimento do pêndulo é constante, essas coordenadas não são independentes uma em relação à outra, porque (1.9) A Equação (1.9) é um exemplo de equação de restrição, que, neste caso, é uma restrição geométrica.10 O movimento do pêndulo no plano pode ser ­descrito por meio da utilização de xp ou yp. Visto que xp = L sen θ e yp = L ‒ L cos θ, também podemos utilizar a variável θ para descrever o movimento do pêndulo, que é uma coordenada independente classificada como coordenada generalizada. Uma vez que apenas uma variável ou coordenada independente é necessária para descrever o movimento do p­ êndulo, um pêndulo plano com movimento de comprimento constante tem um grau de l­iberdade com movimento plano.

Como um terceiro exemplo, um haltere no plano é considerado na Figura 1.8c. Nesse sistema de partículas, uma haste sem massa de comprimento constante liga duas ­partículas. Neste caso, as coordenadas são escolhidas como xa, ya, xb e yb, onde esse conjunto ­inclui as coordenadas de cada uma das 9 Em um contexto mais amplo, o termo “coordenadas generalizadas” também é aplicado a qualquer conjunto de parâmetros que possam ser utilizados para especificar a configuração do sistema. Existem diferenças sutis entre as definições de coordenadas generalizadas utilizadas na literatura. Nesta subseção, chamamos de coordenadas ­generalizadas as coordenadas que formam o conjunto mínimo ou o menor número possível de ­variáveis necessárias para descrever um sistema (J. L. Synge and B. A. Griffith.

Principles of Mechanics. ­Section 10.6. New York: McGraw Hill, 1959).

10

Uma restrição geométrica é um exemplo de restrição holonômica, que pode ser expressa na forma f (q1, q2, . . . , qn; t ) = 0, onde qi representa as coordenadas generalizadas, e t, o tempo.

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Vibrações mecânicas

duas partículas no plano. Visto que o comprimento do haltere é constante, apenas três dessas coordenadas são independentes. Pelo menos três das quatro coordenadas são necessárias para descrever o movimento do haltere no plano. Dessa forma, um haltere no plano tem três graus de liberdade. Nesse caso, as coordenadas generalizadas são escolhidas como xG, yG e θ, onde xG e yG são as coordenadas do centro de massa do haltere, e θ representa o ângulo de rotação em torno de um eixo normal ao plano do haltere.

FIGURa 1.8 (a) Partícula livre no espaço; (b) pêndulo no plano; (c) haltere no plano; e (d) corpo rígido livre no plano.

A Figura 1.8d mostra um corpo rígido livre para se movimentar no plano X–Y. As coordenadas generalizadas q1 = xG e q2 = yG especificam a translação do centro de massa do corpo rígido. Além dessas duas coordenadas generalizadas, outra coordenada generalizada θ, que representa o ângulo de rotação em torno do eixo Z, também é necessária. Assim, um corpo rígido livre para se mover no plano tem três graus de liberdade. Não surpreende o fato de que o haltere no plano tenha o mesmo número de graus de liberdade do corpo rígido mostrado na Figura 1.8d, pois o conjunto de duas partículas, separadas por uma distância fixa L na Figura 1.8c, é um corpo rígido.

Nos exemplos mostrados nas Figuras 1.8b e 1.8c, é necessário considerar as equações de restrição para a determinação do número de graus de liberdade de um sistema. Para uma configuração de sistema especificada por n coordenadas, relacionadas por m restrições independentes, o número de graus de liberdade N é definido por (1.10) A dinâmica dos sistemas vibratórios de um grau de liberdade é tratada nos Capítulos 3 a 6, a dinâmica dos sistemas vibratórios com um número finito mas maior que um de graus de liberdade é discutida nos Capítulos 7 e 8, e a dinâmica dos sistemas vibratórios com um número infinito de graus de liberdade é estudada no Capítulo 9. Em grande parte do material apresentado nesses capítulos, os sistemas físicos se movem no plano, e os sistemas estão sujeitos apenas a restrições geométricas.

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Capítulo 1 – Introdução 13

1.2.3 Dinâmica da partícula e do corpo rígido Nas duas subseções anteriores, foi descrito como as ­velocidades e as acelerações de partículas e corpos rígidos e o número de coordenadas independentes necessárias para a descrição do movimento de um sistema podem ser determinados. Nesta subseção, as leis físicas que governam o movimento de um sistema são discutidas. As velocidades e as acelerações determinadas de acordo com a cinemática serão utilizadas na aplicação dessas leis a um sistema.

Para todos os sistemas tratados neste livro, os valores das velocidades de deslocamento dos sistemas serão muito inferiores à da luz. Em mecânica, a dinâmica de tais sistemas é estudada na área conhecida de modo geral como Mecânica Newtoniana. Dois princípios importantes utilizados nessa área são o princípio da quantidade de movimento linear e o princípio da quantidade de movimento angular, fornecidos por Newton e Euler, respectivamente.

Princípio da quantidade de movimento linear O princípio newtoniano da quantidade de movimento linear afirma que, em um sistema de referência inercial, a razão de mudança da quantidade de movimento linear de um sistema é igual à força total que atua sobre esse sistema. Esse princípio é expresso como (1.11) onde F representa o vetor força total que atua sobre o sistema, e p, a quantidade de movimento linear total do sistema. Novamente, é importante observar que a derivada temporal na Eq. (1.11) é definida em um sistema de referência inercial e que a quantidade de movimento linear é definida com base na velocidade absoluta do sistema em questão.

Dinâmica da partícula No caso de uma partícula, a quantidade de movimento linear é dada por p = mv (1.12) onde m é a massa da partícula, e v, a velocidade absoluta da partícula. Quando a massa m é constante, a Eq. (1.11) assume a forma usual.

(1.13)

FIGURA 1.9 Partícula livre de massa m em translação no sentido i.

que é chamada segunda lei do movimento de Newton. A velocidade na Eq. (1.12) e a aceleração na Eq. (1.13) são determinadas pela cinemática. Portanto, para a partícula mostrada na Figura 1.9, a Eq. (1.13) fornece

ou

Dinâmica de um sistema de n partículas Para um sistema de n partículas, o princípio da quantidade de movimento linear é expresso como (1.14)

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14 Vibrações mecânicas

onde o termo subscrito i se refere à i-ésima partícula no conjunto de n partículas, Fi é a força externa que atua sobre a partícula i, pi é a quantidade de movimento linear dessa partícula, mi é a massa constante da i-ésima partícula, e vi é a velocidade absoluta da i-ésima partícula. Para a j-ésima partícula nesse conjunto, a equação governante assume a forma (1.15)

onde Fij é a força interna que atua sobre a partícula j por ação da partícula i. Observe que, partindo da equação do movimento de uma partícula individual dada pela Eq. (1.15) para a de um sistema de partículas dada pela Eq. (1.14), devemos supor que todas as forças internas satisfaçam a terceira lei do movimento de Newton, isto é, a s­ uposição de forças internas iguais e opostas (Fij = ‒ Fij).

Se o centro de massa do sistema de partículas estiver localizado no ponto G, poderemos mostrar que a Eq. (1.14) é equivalente a

(1.16) onde m é a massa total do sistema, e vG, a velocidade vetorial absoluta do centro de massa do sistema.

A Equação (1.16) também é válida para um corpo rígido.

A Eq. (1.11) deixa claro que na ausência de forças externas, a quantidade de movimento linear do sistema é conservada, isto é, a quantidade de movimento linear do sistema permanece constante para todos os instantes de tempo. Esse é um importante teorema de conservação utilizado, quando aplicável, no exame dos resultados obtidos da análise dos modelos vibratórios.

Princípio da quantidade de movimento angular O princípio da quantidade de movimento angular afirma que a razão de mudança da quantidade de movimento angular de um sistema em relação ao centro de massa do sistema ou a um ponto fixo é igual ao momento total em relação a esse ponto. Esse princípio é expresso como (1.17) onde a derivada temporal é avaliada em um sistema de referência inercial, M é o momento resultante que atua em relação a um ponto fixo O em um sistema de referência inercial ou em relação ao centro de massa G, e H é a quantidade de movimento angular total do sistema em relação a esse ponto.

No caso de uma partícula, a quantidade de movimento angular é definida por (1.18) onde r é o vetor posição do ponto fixo O à partícula, e p é a quantidade de movimento linear da partícula com base na velocidade absoluta da partícula. Para um sistema de n partículas, o princípio dado pela Eq. (1.17) pode ser aplicado em relação ao centro de massa G do sistema ou a um ponto fixo O. A quantidade de movimento angular assume a forma

(1.19)

onde ri é o vetor posição do ponto O ou do ponto G à i-ésima partícula, e pi é a quantidade de movimento linear da partícula com base em sua velocidade absoluta. No caso de um corpo rígido se movendo no

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Capítulo 1 – Introdução 15

plano, como mostra a Figura 1.8d, a quantidade de movimento angular em relação ao centro de massa é dada por (1.20) onde JG é o momento de inércia da massa em relação ao centro de massa, e o vetor unitário k é orientado no sentido Z. A quantidade de movimento angular do corpo rígido em relação ao ponto fixo O é dada por (1.21) onde JO é o momento de inércia de massa em relação ao ponto fixo.

Da Eq. (1.17), fica claro que na ausência de momentos externos, a quantidade de movimento angular do sistema é conservada, isto é, a quantidade de movimento angular do sistema permanece constante para todos os instantes de tempo. Esse é outro importante teorema de conservação utilizado, quando aplicável, no exame dos resultados obtidos da análise dos modelos vibratórios.

As equações governantes derivadas para sistemas vibratórios nos capítulos subsequentes têm como base as Eqs. (1.11) e (1.17). Nenhum exemplo específico é fornecido, mas o material dos capítulos posteriores explica como esses princípios importantes são empregados no desenvolvimento de modelos matemáticos de um sistema.

1.2.4 Trabalho e energia A definição da energia cinética T de um sistema é fornecida, e a relação entre o trabalho realizado em um sistema e a energia cinética é apresentada. A energia cinética de um sistema é uma grandeza escalar. Para um sistema de n partículas, a energia cinética é definida como

(1.22)

onde vi é a velocidade absoluta da i-ésima partícula, e o símbolo “•”, o produto escalar de dois vetores.

No caso de um corpo rígido, a energia cinética é expressa na forma conveniente a seguir, definida por König,11

(1.23)

onde o primeiro termo no lado direito representa a energia cinética associada com a translação do sistema, e o segundo termo no lado direito representa a energia cinética associada com a rotação em torno do centro de massa do sistema. Para um corpo rígido se movendo no plano, como mostra a Figura 1.8d, a energia cinética assume a forma (1.24) onde o primeiro termo no lado direito é a parte de translação com base na velocidade vG do centro de massa do sistema, e o segundo termo no lado direito está associado com a velocidade angular do sistema em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é normal ao plano do movimento. No caso de um corpo rígido girando no plano em torno de um ponto fixo O, a energia cinética é dada por

(1.25)

11

D. T. Greenwood. Principles of Dynamics. NJ: Prentice Hall, Upper Saddle River, Chapter 4, 1988.

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16 Vibrações mecânicas

Teorema do trabalho e energia De acordo com o teorema do trabalho e energia, o trabalho realizado para mover um sistema de um ponto A a um ponto B é igual à variação da energia cinética do sistema, definido como (1.26) onde WAB é o trabalho realizado para deslocar o sistema do ponto inicial A ao ponto final B, TB é a energia cinética do sistema no ponto B, e TA é a energia cinética do sistema no ponto A. O trabalho realizado WAB é uma grandeza escalar.

Outra forma de energia chamada energia potencial de um sistema é abordada no Capítulo 2. Nenhum exemplo específico é fornecido, mas a utilização da energia cinética e do trabalho realizado no desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas vibratórios é explicada nos capítulos posteriores.

1.3

RESUMO

Neste capítulo, uma revisão da dinâmica foi apresentada para resumir o material que é, em geral, um pré-requisito para o estudo das vibrações. Nessa discussão, a cinemática, a noção de graus de liberdade e os princípios das quantidades de movimento linear e angular foram apresentados. Esse material de revisão resume os fundamentos necessários para o aprendizado dos assuntos apresentados nos capítulos posteriores.

EX ER C ÍC IOS Seção 1.1 1.1 Escolha dois nomes na Tabela 1.1, estude suas contribuições e redija um parágrafo acerca de cada um.

Seção 1.2.1 1.2 Considere a cinemática do pêndulo plano dis-

cutida no Exemplo 1.1, comece com o vetor posição rP/O, decomposto nos vetores unitários i e j, e verifique as expressões obtidas para a aceleração e a velocidade dadas pela Eq. (f) do Exemplo 1.1.

1.5 Na Figura E1.5, um cursor de massa Mr está localizado em uma barra, cujo deslocamento angular no plano é descri­ to pela coordenada θ.

O movimento do cursor se afastando do ponto pivô é medido pela coordenada r1. A aceleração da gravidade atua em uma direção normal ao plano do movimento. Suponha que o ponto O esteja fixo em um sistema de referência inercial e determine a velocidade absoluta e a aceleração absoluta do cursor.

1.3 Considere a cinemática do disco rolante abordada no Exemplo 1.2 e verifique que a aceleração do ponto de contato é diferente de zero.

1.4 Mostre que a aceleração da partícula no sistema de eixos rotativo do Exemplo 1.3 é

FIGURA E1.5 onde a é a magnitude da aceleração angular do sistema de eixos rotativo em torno do eixo ɀ.

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1.6 Considere o pêndulo de massa m preso a um

pivô móvel, como mostra a Figura E1.6. Suponha

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Capítulo 1 – Introdução 17

que o ponto pivô não possa se mover em translação na direção vertical. Se a posição horizontal do ponto pivô em relação ao ponto fixo O for medida pela coordenada x, e o ângulo φ for utilizado para descrever o deslocamento angular do pêndulo em relação à direção vertical, determine a velocidade absoluta do pêndulo.

FIGURA E1.7 (continuação) Seção 1.2.3 1.8 Trace os diagramas de corpo livre para cada massa mostrada na Figura E1.6 e obtenha as equações do movimento na direção horizontal, utilizando a Eq. (1.15).

FIGURA E1.6 Seção 1.2.2 1.7 Determine o número de graus de liberdade dos sistemas mostrados na Figura E1.7. Suponha que o comprimento L do pêndulo mostrado na Figura E1.7a seja constante e que o comprimento entre cada par de partículas na Figura E1.7b seja constante. Sugestão: Para a Figura E1.7c, o corpo rígido pode ser considerado um sistema de partículas em que o comprimento entre cada par de partículas é c­ onstante.

(espacial)

FIGURA E1.7 A

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1.9 Trace o diagrama de corpo livre para todo o sistema mostrado na Figura E1.6, obtenha a equação do movimento do sistema, utilizando a Eq. (1.14), na direção horizontal e verifique se essa equação pode ser obtida da Eq. (1.15).

1.10 Determine a quantidade de movimento linear para o sistema mostrado na Figura E1.5 e explique se essa quantidade é conservada. ­Suponha que a massa da barra seja Mbarra e a distância do ponto O ao centro da barra seja Lbarra.

1.11 Determine a quantidade de movimento angular do sistema mostrado na Figura 1.6 em relação ao ponto O e discuta se essa quantidade é conservada.

1.12 Um corpo rígido está suspenso no teto através de dois cabos elásticos ligados ao corpo nos pontos O′ e O′′, como mostra a Figura E1.12.

O ponto G é o centro de massa do corpo. Quais desses pontos você escolheria para definir a equação da quantidade de movimento angular com base na Eq. (1.17)?

FIGURA E1.12

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18 Vibrações mecânicas 1.13 Considere o corpo rígido mostrado na Figura E1.13. Esse corpo tem uma massa m e inércia de rotação JG em relação ao centro de massa G. O corpo está suspenso de um ponto O no teto por meio de uma suspensão elástica. O ponto de ligação O′ está a uma distância l do centro de massa G do corpo. M(t) é um momento externo aplicado ao sistema em relação a um eixo normal ao plano do corpo. Utilize as coordenadas generalizadas x, que descreve os movimentos de subida e descida do ponto O′ em relação ao ponto O, e θ, que descreve as oscilações angulares em relação a um eixo normal ao plano do corpo rígido. Para o sistema mostrado na Figura E1.13, utilize o princípio da quantidade de movimento angular dado pela Eq. (1.17) e obtenha uma equação do movimento para o sistema. Suponha que o efeito da gravidade esteja presente.

1.17 No sistema mostrado na Figura 1.6, com massa m do pêndulo, comprimento r e inércia de rotação do disco em relação ao ponto O JO, determine a energia cinética do sistema.

1.18 Referindo-se à Figura E1.6 e supondo que a barra

à qual a massa m do pêndulo está ligada não tenha massa, determine a energia cinética do sistema.

1.19 Determine a energia cinética do sistema mostrado na Figura E1.5.

FIGURA E1.13 Seção 1.2.4 1.14 Para o sistema mostrado na Figura E1.13, determine a energia cinética do sistema.

1.15 Determine a energia cinética do pêndulo plano do Exemplo 1.1.

1.16 Considere o disco que rola ao longo da linha na Figura E1.16. O disco tem uma massa m e uma inércia de rotação JG em relação ao centro de massa G. Responda as seguintes questões: (a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? (b) Determine a energia cinética do sistema.

FIGURA E1.16

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