ÁLGEBRA LINEAR PARA CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E DA ADMINISTRAÇÃO

ÁLGEBRA LINEAR PARA CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E DA ADMINISTRAÇÃO

Álgebra Linear PARA C IÊNCIAS E CONÔMICAS , C ONTÁBEIS E DA A DMINISTRAÇÃO

Sumário

Módulo 1 – Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares Capítulo 1.1 – Matrizes, 3 1.1.1

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2

T    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

(a) Matriz linha e matriz coluna, 5 (b) Matriz quadrada, 5 (c) Matriz diagonal, 6 (d) Matriz identidade, 6 (e) Matriz nula, 7

O  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (a) Igualdade entre matrizes, 7 (b) Soma de matrizes, 8 (c) Produto por um escalar, 9 (d) Produto de matrizes, 12

1.1.3

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Capítulo 1.2 – Tópicos adicionais de matrizes, 25 1.2.1

M  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.2

T    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.3

M  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

O   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (a) Matriz simétrica e matriz antissimétrica, 32 (b) Matriz triangular inferior ou triangular superior, 33 (c) Matrizes idempotentes, periódicas e nilpotentes, 33 (d) Matriz ortogonal, 34

1.2.4

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Á L

X

Capítulo 1.3 – Sistemas de equações lineares, 43 1.3.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.2

O  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3.3

M  G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Capítulo 1.4 – Método de Gauss-Jordan, 59 1.4.1

S      . . . . . . . . . . 59

1.4.2

M  G-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.4.3

C    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Capítulo 1.5 – Determinantes, 75 1.5.1

D   1  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

(a) Determinante de segunda ordem, 76 (b) Regra de Cramer, 78 (c) Matriz adjunta, 79 (d) Determinante nulo, 79 (e) Determinantes de ordem 1, 81

D   3 –   S . . . . . . . . . . . . . 81 (a) Determinante nulo, 82 (b) Regra de Sarrus, 82 (c) Regra de Cramer, 84

1.5.2

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Capítulo 1.6 – Determinantes de ordens superiores, 91 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 (a) Submatriz, 91 (b) Menor relativo, 92 (c) Cofator, 93

1.6.1 1.6.2

R      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.6.3

P   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.6.4

C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Módulo 2 – Vetores Capítulo 2.1 – Vetores, 111 2.1.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

S

XI

S  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 (a) Módulo de um segmento orientado, 113 (b) Segmento nulo, 113 (c) Direção de um segmento orientado, 113 (d) Sentido de um segmento orientado, 114 (e) Segmentos opostos, 114 (f) Segmentos equipolentes, 114

2.1.2

V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 (a) Representação de um vetor, 116 (b) Módulo de um vetor, 116 (c) Vetor nulo, 117 (d) Direção de um vetor, 117 (e) Sentido de um vetor, 117 (f) Vetores iguais, 117 (g) Vetores opostos, 117 (h) Notação, 118 (i) Versores, 118

2.1.3

2.1.4

S   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

(a) Notação para vetor oposto, 120 (b) Subtração de vetores, 120 (c) Propriedades da soma de vetores, 120

P       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 (a) Divisão de um vetor por um escalar, 122 (b) Propriedades do produto de um vetor por um escalar, 123

2.1.5

2.1.6

C    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

(a) Propriedades mistas, 124

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Capítulo 2.2 – Vetores no plano e no espaço, 135 V   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Módulo, 139

2.2.1

V   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Módulo, 143

2.2.2 2.2.3

S   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.2.4

P       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Capítulo 2.3 – Produto escalar, 153 2.3.1

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.3.2

P    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.3.3

C     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.3.4

N     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.3.5

P       . . . . . . . . . . . . . . . . 161

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Á L

XII

Módulo 3 – Espaços vetoriais Capítulo 3.1 – Espaços vetoriais, 171 3.1.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 n , 173 (c) Números complexos, 174

(a) Matrizes coluna, 171 (b) Espaços (d) Polinômios, 175

3.1.2

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.1.3

E  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Capítulo 3.2 – Subespaços vetoriais, 187 3.2.1

E  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.2.2

S  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

S      . . . . . . . . . . . . . 193 (a) Soma, 193 (b) Intersecção, 194 (c) Soma direta, 194

3.2.3

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Capítulo 3.3 – Espaços vetoriais gerados, 201 3.3.1

C  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.3.2

G    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Capítulo 3.4 – Base e dimensão, 215 3.4.1

D     . . . . . . . . . . . . . 215

3.4.2

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.4.3

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Capítulo 3.5 – Coordenadas e mudança de base, 231 3.5.1

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.5.2

M     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

S

XIII

Capítulo 3.6 – Espaços vetoriais com produto interno, 245 3.6.1

P  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2 , 247 (b) Espaço n , 247 (c) Espaço Mm×n , 248

(a) Espaço

3.6.2

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

3.6.3

D   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.6.4

Â   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Módulo 4 – Transformações lineares, autovalores e autovetores Capítulo 4.1 – Transformações lineares, 265 4.1.1

F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

4.1.2

T  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4.1.3

M  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

4.1.4

U   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Capítulo 4.2 – Matrizes de transformações lineares, 281 A    . . . . . . . . . 281 (a) Transformação nula, 281 (b) Transformação identidade, 281 (c) Reflexão, 282 (d) Projeção, 283 (e) Dilatação e contração, 285

4.2.1

4.2.2

M     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Capítulo 4.3 – Núcleo e imagem de uma transformação linear, 301 4.3.1

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

4.3.2

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4.3.3

P   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Á L

XIV

Capítulo 4.4 – Composição e inversas de transformações lineares, 311 4.4.1

C    . . . . . . . . . . . . . . . . 311

4.4.2

T   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

4.4.3

M      . . . . . . . . . . . 317

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Capítulo 4.5 – Autovalores e autovetores, 331 4.5.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4.5.2

C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

4.5.3

C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Capítulo 4.6 – Autovetores e diagonalização de matrizes, 347 4.6.1

A  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

4.6.2

A  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

D   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 (a) Diagonalização e potências de matrizes, 355

4.6.3

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Módulo 5 – Formas lineares, formas quadráticas e geometria analítica Capítulo 5.1 – Retas, planos e formas lineares, 365 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 (a) Intersecção de retas, 366

5.1.1

P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 (a) Intersecção de dois planos, 370 (b) Intersecção de três planos, 371 (c) Carteira de investimentos, 372

5.1.2

5.1.3

R   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

5.1.4

F  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

S

XV

Capítulo 5.2 – Cônicas, 383 5.2.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

5.2.2

P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

5.2.3

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

5.2.4

E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

5.2.5

H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

5.2.6

C  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Capítulo 5.3 – Cônicas e formas quadráticas, 399 5.3.1

C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

5.3.2

F  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

5.3.3

D    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Capítulo 5.4 – Quádricas e formas quadráticas, 411 5.4.1

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

5.4.2

F       . . . . . . . . 413

S  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 (a) Cilindro parabólico, 415 (b) Cilindro elíptico, 416 (c) Cilindro hiperbólico, 417

5.4.3

5.4.4

C    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Capítulo 5.5 – Quádricas e classificação de quádricas, 427 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 (a) Paraboloide, 427 (b) Paraboloide elíptico, 429 (c) Paraboloide hiperbólico, 430

5.5.1

5.5.2

E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

(a) Esfera, 431 (b) Elipsoide, 432

5.5.3

H   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

(a) Hiperboloide de uma folha, 433 (b) Hiperboloide de duas folhas, 434 (c) Cone, 435

5.5.4

C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

Á L

XVI

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Bibliografia, 451 Índice remissivo, 453

MÓDULO 1

Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares

Capítulo 1.1 – Matrizes, 3 1.1.1 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 T    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 O  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Capítulo 1.2 – Tópicos adicionais de matrizes, 25 1.2.1 M  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 T    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 M  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 O   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 27 29 32

Capítulo 1.3 – Sistemas de equações lineares, 43 1.3.1 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.2 O  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.3 M  G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Capítulo 1.4 – Método de Gauss-Jordan, 59 1.4.1 S      . . . . . . . . . . 59 1.4.2 M  G-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.3 C    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Capítulo 1.5 – Determinantes, 75 1.5.1 D   1  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.2 D   3 –   S . . . . . . . . . . . . . 81 Capítulo 1.6 – Determinantes de ordens superiores, 91 1.6.1 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 R      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 P   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.4 C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 93 95 99

1.1

Matrizes 1.1.1 1.1.2 1.1.3

Mď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?şď?Ľď?ł Tď?Šď?°ď?Żď?ł ď?Ľď?łď?°ď?Ľď?Łď?Šď?Ąď?Šď?ł ď?¤ď?Ľ ď?­ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?şď?Ľď?ł Oď?°ď?Ľď?˛ď?Ąď&#x;§ď&#x;ľď?Ľď?ł ď?­ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?Łď?Šď?Ąď?Šď?ł

Matrizes são objetos de suprema importância na elaboração de modelos econômicos mais complexos, alÊm de serem utilizadas em diversas outras åreas do conhecimento humano. Neste capítulo, estudaremos o conceito de matrizes, mostrando alguns tipos especiais de matrizes e as operaçþes matriciais.

1.1.1 Matrizes

Vamos começar este capítulo analisando uma tabela que traz as disciplinas para o primeiro e segundo semestres do programa de MBA (Master of Business Administration) da Harvard Business School (EUA).

Primeiro semestre

Segundo semestre

Finanças 1 Marketing Liderança e comportamento organizacional Apresentação de relatórios financeiros e controle Tecnologia e administração de operaçþes

Finanças 2 EstratÊgia Negociação O administrador empreendedorista Negócios, governo e a economia internacional Liderança e prestação de contas corporativa

Fonte: www.hbs.edu/mba/academics.

Observe que esta tabela contÊm informaçþes sobre as disciplinas que devem ser cursadas no primeiro ano do MBA, colocadas em forma ordenada.

Podemos visualizar esta tabela composta por linhas e colunas: a a11 a12 linha 1 −→ tabela que acabamos de ver tem 6 linhas e 2 colunas. As linhas a21 a22 linha 2 −→ estĂŁo em posição horizontal e as colunas, na vertical. a31 a32 ¡¡¡ Note que uma determinada combinação de linha e de co¡¡¡ a41 a42 luna determina a informação de somente um curso. Cada uma ¡¡¡ a51 a52 dessas combinaçþes ĂŠ chamada cĂŠlula. A tabela ao lado mostra linha 6 −→ a61 a62 quantas cĂŠlulas existem em uma tabela com 6 linhas e 2 colunas. A cada cĂŠlula associamos o sĂ­mbolo aij , onde i ĂŠ o nĂş

coluna 1 coluna 2 mero da linha e j o nĂşmero da coluna Ă qual ela corresponde.

4

à ������ L�����

Por exemplo, a cĂŠlula a21 da primeira tabela contĂŠm a disciplina “Marketingâ€?; a cĂŠlula a32 corresponde Ă disciplina “Negociaçãoâ€?; jĂĄ a cĂŠlula a61 nĂŁo contĂŠm informação. É muito comum que tabelas contenham informaçþes em forma de nĂşmeros. A tabela a seguir mostra os nĂşmeros do desemprego no Brasil de 1999 a 2002 em porcentagem da população economicamente 1999 2000 2001 2002 ativa. Nela, temos informação em texto e informação numĂŠrica. Podemos extrair somente a informação nuTotal 7,6 7,1 6,2 7,1 mĂŠrica e escrever uma tabela mais compacta, que conteHomens 7,1 6,5 5,9 6,7 nha somente a informação mais bĂĄsica do que se tem a Mulheres 8,3 8,0 6,7 7,8 relatar (segunda tabela a seguir).

Fonte: www.ibge.gov.br.

A primeira tabela tem 4 linhas e 5 colunas, contendo  informaçþes tanto em texto quanto em números; a se 7,6 7,1 6,2 7,1 7,1 6,5 5,9 6,7 gunda, com 3 linhas e 4 colunas, contÊm somente informação numÊrica. Ambas são exemplos de matrizes, que 8,3 8,0 6,7 7,8 são tabelas planas (em duas dimensþes) contendo linhas e colunas. Dizemos que a primeira, com 4 linhas e 5 colunas, Ê uma matriz 4 × 5, enquanto a segunda Ê uma matriz 3 × 4.

Em matemåtica, Ê mais comum operar com matrizes contendo somente dados numÊricos, embora em computação seja muito frequente o uso de matrizes contendo tanto texto quanto números (caracteres alfanumÊricos).

Definição 1 Uma matriz š Ê uma tabela contendo certo números de linhas e de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas Ê chamada matriz m × n.

Em geral, matrizes sĂŁo representadas entre dois parĂŞnteses ( ) ou entre dois colchetes [ ] e ĂŠ bastante comum associar-se letras romanas maiĂşsculas a matrizes, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 1. SĂŁo matrizes

1 2 A= , 3 4

B=

0,1 −3

2 0,6

 −3 D =  4 , −6 

−4 8

,

C = −1

2

0 ,

E= 2 .

Por padronização, usaremos neste texto somente a representação de parênteses para matrizes. O próximo exemplo mostra a classificação das matrizes do exemplo 1 quanto ao número de linhas e de colunas.

1. A palavra matriz vem do latim matrix, que significa â€œĂşteroâ€?, ou algo que contĂŠm ou gera.

Cď?Ąď?°ď&#x;­ď?´ď?ľď?Źď?Ż 1.1

5

M�������

Exemplo 2. Classifique cada uma das matrizes do exemplo 1 quanto ao nĂşmero de linhas e de colunas.

Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. A matriz A ĂŠ 2 Ă— 2, pois tem 2 linhas e duas colunas; a matriz B ĂŠ 2 Ă— 3; a matriz C ĂŠ 1 Ă— 3; a matriz D ĂŠ 3 Ă— 1 e a matriz E ĂŠ 1 Ă— 1. ²

1.1.2 Tipos especiais de matrizes

Alguns tipos de matrizes recebem nomes especiais, em geral por apresentarem particularidades que auxiliam em alguns tipos de cĂĄlculos ou na modelagem de certos fenĂ´menos. Veremos agora alguns desses tipos.

( a ) M����� ����� � ������ ������ Definição 2 Uma matriz coluna, tambÊm chamada de vetor ou vetor coluna, Ê uma matriz composta por somente uma coluna (ou seja, Ê uma matriz n × 1).

Exemplo 1. São matrizes coluna (vetores) as seguintes matrizes:  

−3 −1   B= , A= 2 , 3 6

C= 7

Definição 3 Uma matriz linha, tambÊm chamada covetor ou vetor linha, Ê uma matriz composta por somente uma linha (Ê uma matriz 1 × n).

Exemplo 2. SĂŁo matrizes linha as seguintes matrizes:

A = 1 2 −8 , B= 1 3 ,

( b ) M����� ��������

C= 7

Definição 4 Uma matriz Ê quadrada se tiver o mesmo número de linhas e colunas, isto Ê, se ela for do tipo n × n.

Exemplo 1. SĂŁo quadradas as matrizes

1 A= 3

2 , 4



1 B = ďŁ­âˆ’3 2

3 4 −1

 −4 8 , 0

C= 7

2. É muito comum associar uma matriz 1 × 1 numÊrica a um número real. No entanto, temos que salientar que 3 = 3, pois a primeira expressão da desigualdade Ê a matriz cujo único elemento Ê 3 e o lado direito desta Ê o número 3.

6

à ������ L�����

A faixa formada pelos elementos aii ĂŠ chamada diagonal principal da matriz. Somente matrizes quadradas tĂŞm uma diagonal principal, como pode ser notado do exemplo a seguir.

Exemplo 2. Os elementos da diagonal principal da matriz A abaixo estão demarcados. Observe que não Ê possível estabelecer uma diagonal principal para a matriz B.  

1 3 2 4 5 2 B= A = 1 2 7 , −1 3 9 3 −1 4

( c ) M����� �������� Definição 5 Uma matriz diagonal Ê uma matriz quadrada, tal que todos os elementos fora da diagonal principal, isto Ê, os elementos aij , i = j, são nulos.

Exemplo 1. As seguintes matrizes sĂŁo diagonais: A=

0 , 3

−1 0 

2 D = 0 0

0 −1 0



3 B = 0 0  0 0 , 0

0 4 0

 0 0 , 5



3 E = 0 0

C= 7 , 0 3 0

 0 0 .

3

Observe da matriz D do exemplo anterior que, mesmo que a matriz tenha algum elemento nulo na diagonal, ela pode ainda ser uma matriz diagonal. Podemos representar matrizes diagonais de uma forma mais compacta, escrevendo diag (a11 , a22 , . . . , ann ) para representar uma matriz diagonal n Ă— n.

Exemplo 2. Represente, sob a forma diag (a11 , a22 , . . . , ann ), as matrizes do exemplo 5.

Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. Podemos escrever Âł A = diag (−1,3), B = diag (3, 4, 5), C = diag (7) e D = diag (2, −1, 0).

( d ) M����� ���������� Definição 6 A matriz identidade In Ê a matriz diagonal n × n tal que aii = 1 para i = 1, ¡ ¡ ¡ , n.

3. A matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal sĂŁo todos aii = k, onde k ∈ Um exemplo ĂŠ a matriz E do exemplo 1.

, ĂŠ chamada matriz escalar.

C 1.1

7

M

Exemplo 1. I1 = 1 ,

I2 =

 1 I3 = 0 0

0 , 1

1 0

0 1 0

 0 0 .

1

As matrizes identidade, como veremos na próxima seção, fazem o papel do número 1 na multiplicação de matrizes.

( e ) M 

Definição 7 A matriz nula 0mn é a matriz m × n tal que todos os seus elementos são iguais a zero.

Exemplo 1. 011

= 0 ,

023 =

0 0

0 0

0 , 0

 0 033 = 0 0

 0 0 .

0

0 0 0

As matrizes nulas, como também será visto na próxima seção, fazem o papel do número 0 na adição de matrizes. Observe que uma matriz nula não precisa ser quadrada (isto é, n × n).

1.1.3 Operações matriciais

Como nos números reais, também podemos estabelecer algumas operações entre matrizes. Essas operações são a soma, o produto por um escalar e o produto entre matrizes. Veremos cada uma delas independentemente. Para simplificar parte da notação, chamaremos A = (aij ) a matriz m × n cujos elementos são dados individualmente por aij , i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

( a ) I   Antes de definir as operações matriciais, precisamos estabelecer o critério de igualdade de duas matrizes. Esse é dado pela seguinte definição.

Definição 8 Duas matrizes A = (aij ) e B = (bij ), ambas m × n, são iguais se aij = bij para todos os valores de i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Exemplo 1. As matrizes A=

−1 4

8 6

e B=

−1 4

8 6

são iguais, pois todos os seus elementos são iguais. Podemos, então, escrever A = B.

8

à ������ L�����

( b ) S��� �� ��������

Loja Moema Loja Paulista Loja Eldorado

Para ilustrar as operaçþes matriciais, usaremos um exemplo simples de uma rede de lojas de música que estå organizando seu estoque de compositores barrocos. A tabela a seCorelli Scarlatti Vivaldi Purcell Bach Händel guir mostra a quantidade de CDs de cada compositor dis3 6 10 7 21 12 poníveis em cada loja.

4 4 8 10 25 14 Nesta matriz estĂŁo repre2 3 9 8 15 6 sentados os estoques de cada CD em cada loja, sendo que as linhas representam as lojas e as colunas representam os compositores.

Vamos supor, agora, que entre uma nova leva de CDs para complementar o estoque antigo. Por simplicidade, vamos representar o estoque atual pela matriz puramente numÊrica  3 6 10 7 21 12 E1 = 4 4 8 10 25 14 .

2 3 9 8 15 6 

A nova leva de CDs Ê dada por  2 4 4 2 7 5 E2 = 1 2 4 4 7 4  .

1 1 3 4 9 10 

O novo estoque, jå incluindo a nova leva, fica dado pela soma dos elementos da matriz E1 com os elementos da matriz E2 :     5 10 14 9 28 17 3 + 2 6 + 4 10 + 4 7 + 2 21 + 7 12 + 5 E3 = 4 + 1 4 + 2 8 + 4 10 + 4 25 + 7 14 + 4 = 5 6 12 14 32 18 .

3 4 12 12 24 16 2 + 1 3 + 1 9 + 3 8 + 4 15 + 9 6 + 10 A matriz que representa o estoque final pode ser vista como a soma da matriz do estoque inicial (E1 ) e da nova leva (E2 ).

Dadas duas matrizes, A e B, com o mesmo nĂşmero de linhas e colunas, podemos somĂĄ-las somando cada elemento aij de A ao respectivo elemento bij de B, como no exemplo a seguir.

Exemplo 1. Calcule a soma das matrizes A=

3 2

−1 4

e B=

−2 5

4 .

7

Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. A soma ĂŠ dada por

3 + (−2) A+B= 2+5

−1 + 4 1 = 4+7 7

3 .

11

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ÁLGEBRA LINEAR

PARA CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E DA ADMINISTRAÇÃO

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A oobbbra rraa taam mbé mbéém au auxxiiliia o estu esttuuddaanntte es te a rreevviisa sar o co conntteeúúdoo do En E ssiinoo Méddiioo traze raazend zend ze ndo ex exem empplloss maiss eela mais ma labbooraaddoos e aapplica la liica cadoos à ec ecoonnom econ omiiaa e à addm minnisstraç traç tr açããoo. o. O Oss exe xerc rcíccios ioos ap aprreese sent ntam ntam m trrêêêss níve ní veiss de di diffiiculd culddad cu a e, e, par ara au auxxiiliar liiar ar na ccoomp mpre reeennsã são e ffiixxaaçã ção bbáási siccaa do ccoonntteeúúdo sica do, le leva vvaar a uum ma m meelh ellhhor hoorr elaabo boraçã rraaçã ção doo que ue foi oi aapr prenndi pr didoo e taam m mbé bbéém appre reseent ntar tar ar que uest uest stõõees bbaast stõe ast stan anttee desa de esa saffiiaaddoorrass aoss aalu luunoos maais luno is avanç vanç va nçados addos o .

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