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Projecto IMLNA Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra

O DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE DIRECTA PELA EXPLORAÇÃO DE REGULARIDADES

Tarefas para o 1.º e o 2.º Ciclos do Ensino Básico Materiais de Apoio ao Professor

João Pedro da Ponte Ana Isabel Silvestre Cristina Garcia Sara Costa

Setembro 2010

Projecto finannciado pela FC P CT – Fundaçãoo p a Ciênciaa e Tecnologiaa, contrato N.º para PTDC C/CED/654488/2006

Materiais divulgados d com m o apoio da Associaação de Professsores de Matemática

Índice

Introdução

2

O conceito de proporcionalidade directa

2

O raciocínio proporcional

3

Problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e estratégias de resolução dos alunos

4

Objectivos gerais de aprendizagem

6

Sugestões didácticas

7

Referências

10

Tarefa 1 – Os colares

11

Tarefa 2 – Os quadrados

20

Tarefa 3 – A magia da tabela

36

Tarefa 4 – As pilhas

46

Tarefa 5 – Existe proporcionalidade directa?

52

Tarefa 6 – Aluguer das bicicletas

61

Tarefa 7 – Escalas 1

66

Tarefa 8 – Escalas 2

72

1

Introdução

Este documento reúne um conjunto de tarefas que os professores do 1.º e do 2.º ciclo do ensino básico podem utilizar nas suas aulas para desenvolver o raciocínio proporcional nos seus alunos. Para cada tarefa são indicados os objectivos de aprendizagem e são apresentadas possíveis estratégias de resolução dos alunos, que o professor deve ter presente ao acompanhar o trabalho destes e ao dirigir a discussão colectiva na turma.

Começamos por abordar o conceito de proporcionalidade directa e os aspectos fundamentais do raciocínio proporcional e, de seguida, apresentamos os principais tipos de problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e as estratégias de resolução mais frequentemente usadas pelos alunos. Finalmente, apresentamos os objectivos de aprendizagem do Programa de Matemática e concluímos apresentando um conjunto de sugestões didácticas para a exploração das tarefas propostas.

O conceito de proporcionalidade directa

Estes materiais procuram mostrar como alguns tipos de tarefa podem enriquecer a experiência escolar dos alunos e ajudar a desenvolver a sua capacidade de raciocínio proporcional. Procuramos contrariar a ideia redutora de que a resolução de problemas que envolvem relações proporcionais tem sempre de ser feita usando a regra de três simples, regra esta que frequentemente os alunos aplicam sem que compreendam o que estão a fazer.

Em contrapartida, damos ênfase às relações multiplicativas que se encontram numa relação de proporcionalidade. Essas relações envolvem dois aspectos: a covariação de grandezas e a invariância entre grandezas:

2



Co-variação de grandezas (representadas por variáveis):



Invariância entre grandezas (representadas por variáveis):

O conceito de proporcionalidade directa pode ser apresentado aos alunos como uma igualdade entre duas razões, a  c ou como uma função linear dada por y=mx, b

d

com m0. O aspecto mais inovador da presente abordagem, que se apoia em resultados de investigação nacional e internacional, é a exploração intuitiva da proporcionalidade como função linear logo desde os primeiros anos de escolaridade, que, deste modo adquire precedência sobre a noção de igualdade entre razões.

O raciocínio proporcional

Na literatura existem várias caracterizações do raciocínio proporcional. Por exemplo, Lesh, Post e Behr (1988), consideram o raciocínio proporcional como uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de co-variação e possibilita múltiplas comparações, requerendo a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação, relacionados com inferência e predição e envolvendo pensamento qualitativo e quantitativo.

Pelo seu lado, Lamon (2005) refere que o raciocínio proporcional está associado à capacidade de analisar relações entre grandezas, o que implica compreensão da rela3

ção constante entre estas (invariância) e a noção de que ambas variam em conjunto (covariação) (como nos esquemas da página anterior). Isto pressupõe que os alunos já tenham a capacidade de perceber que, na equivalência entre razões, há algo que muda (quantidades absolutas) e que, ao mesmo tempo, há algo que se mantém constante (na mesma proporção). Na sua perspectiva, uma deficiente compreensão da natureza multiplicativa das situações proporcionais pode estar na origem de muitas das dificuldades dos alunos. Em ambos os casos, a utilização do raciocínio proporcional implica muito mais do que o uso da expressão a  c na resolução de problemas. b

d

Mais recentemente, Silvestre e Ponte (2009), sistematizando ideias de diversos autores, sugerem que o raciocínio proporcional envolve três condições: (i) capacidade para distinguir situações que têm subjacentes relações de natureza proporcional de situações que não o têm; (ii) compreensão da natureza multiplicativa das relações proporcionais; e (iii) capacidade de resolução de vários de tipos de problemas, revelando a flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens sem ser afectado pelos dados numéricos, pelo contexto, pela linguagem utilizada e pela forma como os problemas são apresentados (texto, gráficos, tabelas, razões).

Problemas de proporcionalidade e estratégias de resolução dos alunos

Nos primeiros anos de escolaridade, os problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa podem ser agrupados do seguinte modo: 

Problemas de valor omisso, em que são dados três dos valores que compõem uma proporção e é pedido o quarto (por exemplo, as questões 2.1 a 2.5 da Tarefa “A magia da tabela”);



Problemas de comparação, em que são dadas duas razões e pede-se para indicar qual é maior, menor ou se são iguais (por exemplo, a questão da Tarefa “Aluguer de bicicletas”);



Problemas de conversão entre representações, nos quais, a partir dos dados representados num determinado sistema, se pede a sua representação noutro sistema mantendo a mesma relação entre si (por exemplo, a questão 1.2 da Tarefa “As pilhas”).

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Vários estudos identificam e caracterizam as estratégias usadas pelos alunos (com idades entre 11 a 16 anos) para resolver estes problemas. Note-se que estas estratégias decorrem das relações multiplicativas apresentadas mais atrás: 

Razão unitária, também conhecida por “quanto para um”, identificada como a estratégia mais intuitiva atendendo ao facto dos alunos a usarem desde os primeiros anos de escolaridade (cálculo de razões unitárias em problemas de divisão e cálculo de múltiplos da razões unitárias em problemas de multiplicação);



Factor de mudança ou factor escalar (Hart, 1983), conhecida por “tantas vezes como”, estratégia que está condicionada a aspectos numéricos dos problemas mas que está presente no reportório das crianças;



Comparação das razões, associada a problemas de comparação, que permite comparar as razões unitárias através de duas divisões;



Algoritmo do produto cruzado, do qual uma versão é a conhecida “regra de três simples”, que, embora eficiente, é um processo mecânico desprovido de significado no contexto dos problemas.

Post, Behr e Lesh (1988) identificam ainda a estratégia da interpretação gráfica,

em que se usam gráficos para identificar razões equivalentes ou para identificar um valor desconhecido num problema de valor omisso. Uma outra estratégia é a composição/decomposição (building-up/building-down, no dizer de Hart, 1984), que não está confinada à utilização de raciocínios multiplicativos.

Pelo seu lado, Lamon (1994) classifica as estratégias de raciocínio como “dentro” (escalar) e “entre” variáveis (funcional), que relaciona com as estruturas multiplicativas. Assim, o raciocínio escalar ocorre quando se realizam transformações “dentro” da mesma variável e o raciocínio funcional ocorre quando se estabelecem relações “entre” duas variáveis diferentes. Segundo esta investigadora, a distinção entre estes dois tipos de relação é importante pois os processos cognitivos envolvidos são diferentes.

Objectivos de aprendizagem do Programa de Matemática

De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico (ME, 2007) ao longo do 1.º e do 2.º ciclo, os alunos desenvolvem o seu pensamento algébrico, isto é, desenvolvem ideias algébricas sem que o foco esteja no uso da linguagem algébrica formal. Assim, no 1.º ciclo começam por investigar sequências numéricas e padrões geométricos e explorar diversos tipos de relações. No 2.º ciclo aprofundam este trabalho

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com a exploração de regularidades, a determinação dos termos através da lei de formação da sequência e a determinação da lei de formação da sequência através da análise da relação existente entre os seus termos.

Relativamente à proporcionalidade directa, o trabalho feito no 1.º ciclo com regularidades, estruturas multiplicativas e números racionais, permite, no 2.º ciclo, um estudo aprofundado da noção de proporcionalidade, explorando situações que envolvam esta noção. Este trabalho dos alunos é essencial para que atinjam os objectivos gerais de aprendizagem previstos para a Álgebra do 2.º ciclo: 

Ser capazes de explorar, investigar regularidades;



Compreender a noção de proporcionalidade directa e usar o raciocínio proporcional;



Ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar recorrendo a representações simbólicas.

Por outro lado, todo o trabalho realizado deve também visar o desenvolvimento

das capacidades transversais: 

Resolver problemas em contextos matemáticos e não matemáticos, adaptando, concebendo e pondo em prática estratégias variadas e discutindo as soluções encontradas e os processos utilizados;



Raciocinar matematicamente, formulando e testando conjecturas e generalizações, e desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos relativos a resultados, processos e ideias matemáticos;



Comunicar oralmente e por escrito, recorrendo à linguagem natural e à linguagem matemática, interpretando, expressando e discutindo resultados, processos e ideias matemáticos.

Sugestões didácticas

Stanley, McGowan e Hull (2003) argumentam que a abordagem tradicional de ensino para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, em que os alunos “resolvem problemas de proporções” está ultrapassada e deve ser substituída por outra, em que os alunos trabalham em tarefas que os ajudam a descobrir as ideias essenciais da proporcionalidade. Assim, torna-se necessária uma outra abordagem ao ensino deste conceito que ultrapasse a limitação do trabalho a partir de proporções, marcado pelo formalismo do uso de representações e regras cujo significado não se chega a compreender. É 6

necessário, também, ultrapassar o treino de procedimentos e a verbalização de regras sem qualquer significado (Greer, 1997).

Para isso, uma abordagem algébrica da proporcionalidade pode dar continuidade ao trabalho iniciado nos primeiros anos de escolaridade, mobilizando tópicos matemáticos em que a proporcionalidade directa está presente, explorando a natureza multiplicativa da relação proporcional e ampliando as experiências dos alunos nos diferentes tipos de problemas que envolvem esta relação. Isto é, o ensino do tópico proporcionalidade directa pode ser desenvolvido com recurso ao trabalho com regularidades e relações, pois este representa um caminho para desenvolver as capacidades que envolvem o raciocínio proporcional, em particular o sentido de co-variação e de invariância, ao mesmo tempo que contribui para o desenvolvimento da capacidade de generalização.

Cabe ao professor escolher as tarefas matemáticas a propor aos seus alunos, tendo em conta que a capacidade de raciocinar proporcionalmente influencia a aprendizagem de outros conceitos matemáticos estudados no ensino básico (por exemplo, escala, fracção, percentagem e medida) e a aprendizagem de temas matemáticos do ensino secundário (por exemplo, trigonometria), sendo ainda fundamental na aprendizagem de disciplinas como Física, Química e Geografia. Assim, o professor deve seleccionar tarefas que permitam aos alunos analisar, através da exploração de regularidades numéricas, situações que envolvem proporcionalidade directa e outras situações em que tal relação não existe. Este trabalho não deve ser menosprezado pois existe uma forte tendência para os alunos utilizarem estratégias proporcionais em problemas onde não existe uma relação de proporcionalidade directa.

As tarefas aqui apresentadas têm por base o pressuposto que a experiência matemática dos alunos deve contemplar situações que, pela sua natureza, possam dar sentido à aprendizagem de conceitos, a partir de vivências do quotidiano ou envolvendo a utilização de materiais manipuláveis, levando-os assim a identificar e compreender as relações de proporcionalidade directa. O quadro seguinte sugere as tarefas que podem ser mais apropriadas para cada ano de escolaridade, os temas e tópicos do programa com que mais directamente se relacionam e os objectivos específicos que permitem atingir. Os professores devem, naturalmente, adaptar as tarefas aqui propostas às características da sua turma, acrescentando ou retirando questões, alterando o enunciado sempre que considerem pertinente.

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Ano de escolaridade

1.º / 2.º

3.º / 4.º

Tarefa

Temas/tópicos do programa

Colares

 Números e operações - Regularidades (sequências) - Números racionais não negativos

 Geometria e Medida - Perímetro, área e Os quadrados volume (1.ª e 2.ª parte)  Números e operações - Regularidades (sequências)  Números e Operações A magia da  Álgebra tabela - Proporcionalidade directa

As pilhas

5.º/ 6.º

Existe proporcionalidade  Álgebra directa?

- Proporcionalidade directa Aluguer de bicicletas

Escalas

Objectivos específicos - Continuar uma sequência segundo uma lei de formação.

- Compreender e utilizar os operadores dobro, triplo, quádruplo e metade e quarta parte.

- Calcular o perímetro e a área de polígonos.

- Investigar regularidades em sequências.

- Compreender a relações de co-variância e de invariância entre o comprimento do lado e o perímetro do quadrado.

- Investigar regularidades multiplicativas em tabelas.

- Resolver problemas utilizando a tabela.

- Utilizar as regularidades multiplicativas (co-variância e invariância) para identificar uma relação de proporcionalidade directa.

- Analisar o aspecto gráfico da relação de proporcionalidade directa.

- Distinguir situações em que não existe proporcionalidade de situações em que existe.

- Analisar os dados em diferentes representações.

- Distinguir situações em que não existe proporcionalidade directa de situações em que existe.

- Analisar os dados em tabelas.

- Utilizar as relações de co-variação e de invariância na resolução de problemas sobre escalas em contexto realista.

Nestas tarefas são dadas indicações sobre as relações multiplicativas que devem constituir um foco de trabalho na aula nos primeiros anos de escolaridade, permitindo que os alunos, gradualmente, reconheçam regularidades e as utilizem com compreensão e eficiência, nomeadamente resolvendo problemas envolvendo relações de proporcionalidade. De facto, o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos depende em grande parte do seu conhecimento sobre relações multiplicativas, associado à sua compreensão das situações descritas nos problemas propostos e à sua capacidade de mobilizar o conhecimento intuitivo na aprendizagem da Matemática.

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O professor deve explorar o mais possível o que os alunos já sabem e capitalizar as suas estratégias informais para a resolução de problemas de forma a facilitar o desenvolvimento do raciocínio proporcional utilizando diferentes representações. A partir das discussões gerais das tarefas feitas na sala de aula devem ser introduzidos termos e formas de representação cada vez mais formais e estruturadas, sempre que possível com o contributo dos alunos. Para explorar as suas estratégias e a sua capacidade de aplicar conhecimentos anteriores, o trabalho feito na sala de aula deve ser exploratório e investigativo. No entanto, sempre que se considere necessário, nomeadamente para consolidação de conhecimentos, o trabalho também pode passar pela resolução de exercícios.

As tarefas aqui apresentadas pressupõem a sua realização em dois momentos distintos: o trabalho autónomo dos alunos (em grupo, a pares, ou individualmente) e a discussão geral na turma. Tendo em conta que este segundo momento é fundamental, para que a discussão possa ser rica e não apressada, é necessário que o trabalho autónomo seja limitado no tempo. O momento de discussão geral permite a cada aluno reflectir sobre o próprio trabalho e confrontá-lo com trabalhos diferentes que surjam na turma.

De forma a aprofundar e consolidar os conhecimentos dos alunos, deve ser valorizada a capacidade de argumentação e a participação crítica. Todos devem ter oportunidade de participar mas devem ser evitadas repetições de ideias e estratégias já apresentadas anteriormente. O aluno deve perceber que se valoriza não só a resposta correcta mas também a diversidade de estratégias e a forma de comunicação e representação utilizadas.

Se as discussões decorrerem num clima de trabalho agradável e com regularidade, os alunos rapidamente percebem que têm oportunidade de expor as suas estratégias e representações, bem como as suas dificuldades. Percebem, também, que o facto de não terem concluído a tarefa no primeiro momento da aula, não impede a sua participação no segundo momento. Há vantagens que, quando possível, a discussão seja feita na mesma aula do trabalho autónomo, para que a sua resolução esteja presente na memória dos alunos. Além disso, deve ter-se presente que o trabalho em cada tarefa se deve encerrar com uma breve síntese final, em que são retomadas as ideias e representações fundamentais, ajudando a clarificar e validar as ideias e a salientar para os alunos os aspectos importantes que importa reter.

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Referências Hart, K. (1984). Ratio: Children’s strategies and errors. Windsor, England: NFER Nelson.

Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norming. In G. Harel & J. Confrey (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany NY: SUNY Press.

Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 93-118). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

ME (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME-DGIDC. [Acedido em 21/06/2009 de http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ ProgramaMatematica.pdf] Post, T, Behr, M., & Lesh, R. (1988). Proportionality and the development of prealgebra understandings. In A. F. Coxford & A. P. Shulte (Eds.), Algebraic concepts in the curriculum K-12 (pp. 78-90). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Silvestre, A, & Ponte, J. (2009). Ser ou não ser uma relação proporcional: Uma experiência de ensino com alunos do 6.º ano. In Actas do XX Seminário de Investigação em Educação Matemática (CDROM). Viana do Castelo: Associação de Professores de Matemática.

Stanley, D., McGowan, D., & Hull, S. H. (2003). Pitfalls of over-reliance on cross multiplication as a method to find missing values. Texas Mathematics Teacher, 11, 9-11.

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1.º/2.º anos Os colares

A Maria está a fazer colares para oferecer às suas amigas. Só tem contas de duas cores – brancas e azuis. Começou a construir um colar colocando duas contas azuis e uma conta branca.

De seguida, construiu outro colar como o representado na figura:

1. Desenha o 3.º colar:

2. Completa: Para fazer o 4.º colar, a Maria usou _______________ contas azuis e _______________ contas brancas.

3. Desenha o 4.º colar.

4. Completa a tabela: Número de contas azuis 2

Número de contas brancas 1

5. Quantas contas vai ter o 5.º colar? Explica como pensaste.

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Os colares (1.º/2.º anos) – Notas para o professor

Aspectos gerais. A tarefa “Os colares” envolve uma sequência pictórica de colares com contas brancas e azuis. O primeiro colar é constituído por três contas, duas azuis e uma branca, dispostas segundo a sequência de cores azul, azul, branco. O segundo colar tem seis contas, quatro azuis e duas brancas, dispostas de acordo com a sequência azul, azul, branco, azul, azul, branco. Esta tarefa tem por base a ideia que o trabalho com sequências e regularidades pode ser realizado por alunos desde o 1.º ano de escolaridade, com o recurso a material manipulável e estimulando a sua comunicação sobre o modo como pensam.

A sequência dos colares:

O objectivo global desta tarefa é envolver os alunos no trabalho com sequências (colares compostos de contas de várias cores), procurando que estes:

1) Identifiquem e comuniquem (completar frases; preencher tabelas) as regularidades que encontram; 2) Evidenciem as diferentes variáveis (número do colar; número de contas azuis; número de contas brancas; número total de contas) e as suas relações; e 3) Compreendam que as relações de co-variação e invariância que caracterizam a proporcionalidade directa se mantêm independentemente do modo como se continua a sequência.

Para realizar esta tarefa os alunos devem ser capazes de realizar contagens simples.

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Questão 1. Nesta questão os alunos têm de decidir como continuar a sequência de colares: 1. Desenha o 3.º colar.

A observação das figuras dos dois primeiros colares pode levar os alunos a continuar a sequência de duas formas: (i) Acrescentando, um conjunto de três contas, duas contas azuis e uma branca:

Nesta situação, tanto o número total de contas como o número de contas azuis e o número de contas brancas cresce segundo uma progressão aritmética – uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Embora a designação “progressão aritmética” não seja ensinada aos alunos no ensino básico, o professor deve ajudá-los a compreender esta regularidade: Sequência do número de contas brancas: 1, 2, 3, 4… (diferença constante = 1) Sequência do número de contas azuis: 2, 4, 6, 8… (diferença constante = 2) Sequência do número total de contas: 3, 6, 9, 12… (diferença constante = 3)

(ii) Duplicando o número de contas do 2.º colar e atendendo à sequência das cores:

Neste caso, tanto o número total de contas como o número de contas azuis e o número de contas brancas crescem segundo uma progressão geométrica. Recordemos que se chama progressão geométrica a qualquer sequência em que o quociente entre dois termos consecutivos é constante: Sequência do número de contas brancas: 1, 2, 4, 8… (quociente constante = 2) Sequência do número de contas azuis: 2, 4, 8, 16… (quociente constante = 2) Sequência do número total de contas: 3, 6, 12, 24… (quociente constante = 2)

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A maioriia dos alunoos opta por continuar a sequência pelo acrésccimo de trêss contas (ccomo progrressão aritm mética) mass a segundaa opção (coomo progresssão geoméétrica) tambbém represeenta uma forrma possíveel de a contiinuar. O proofessor devee evidenciar junto doos alunos quue ambas ass opções estãão correctass.

Alguns alunos a mosttram dificulldade em deesenhar o teerceiro colaar e os seus erros podeem estar associados a uma u incorreccta interpretação da infformação, tal como ind dica o exem mplo seguintte, em que o aluno nãoo desenha o 3.º colar mas m sim um ccolar com 3 contas:

Erro com mum: interpretação incorrrecta da info formação

Outros alunos a revellam dificulddade em diistinguir nuumerais carddinais e ord dinais pelo que, em veez de desenhharem o terrceiro colar,, desenham m três colarees com diferrentes quanntidades de contas: c

Erro comum m: dificuldadde em disting guir numeraiss e cardinais

Alguns alunos a podeem desenhaar um colar qualquer seem estabeleecerem umaa relação explícita e enttre o primeiiro e o segundo colar:

Ressposta incorrrecta

Para quaalquer uma das resposttas anteriorees, o professsor deve quuestionar oss alunos para p que os próprios iddentifiquem os seus errros. É necesssário que o professor esteja e atentto às dificulldades dos alunos a nesta questão para p que o trabalho t a reealizar nas questões seguintes não fique neggativamentee condicion nado.

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m Questão 2. Esta quuestão depeende da opçção tomadaa pelo alunoo sobre o modo comoo continuar a sequênciaa de colaress: 2. Comppleta: Paara fazer o 4.º 4 colar, a Maria M usou ________________ conntas azuis e __________ _ ______ conntas brancas.

Os alunoos que conseeguiram ideentificar um ma regulariddade nos prim meiros três colares, independent i temente da opção que tomaram, têm t facilidaade em estim mar o númeero de contaas de cada cor c que exisstem no quaarto colar. (i) Acresscentando, um u conjunto de três contaas, duas conttas azuis e um ma branca:

(ii) Dupllicando o número n de contas c do colar c anterioor e atendeendo à sequ uência das cores: c

Questão 3. Com essta questão pretende-see que o aluuno utilize as regularid dades assocciadas ao núúmero de coontas azuis e brancas, desenhe d o quarto q colarr e valide a questão trrês: 3. Desenhha o 4.º colaar.

(i) Acresscentando, um u conjuntto de três co ontas, duas contas azuuis e uma branca ao teerceiro colarr:

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(ii) Duplicando o número de contas do 3.º colar e atendendo à sequência das cores:

Se o questionamento do professor não tiver levado os alunos a esclarecer totalmente as suas dúvidas sobre a questão 1, é provável que continuem a surgir diversos erros. No exemplo seguinte, o aluno não desenha o 4.º colar mas sim um colar com 4 contas:

No caso seguinte regista-se a dificuldade em distinguir numerais cardinais e ordinais pelo que o aluno desenha quatro colares com diferentes quantidades de contas:

Questão 4. Com o preenchimento da tabela os alunos podem explorar as relações de co-variação das contas azuis e brancas e ainda as relações de invariância entre variáveis: 4. Completa a tabela: Número de contas azuis

Número de contas brancas

2

1

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A maioria dos alunos preenche a tabela, tendo por base as regularidades aditivas das peças azuis e brancas. No entanto, alguns alunos podem identificar as relações multiplicativas de dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo dentro das variáveis e ainda as relações dobro ou metade entre variáveis.

(i) Acrescentando, um conjunto de três contas, duas contas azuis e uma branca:

Durante a discussão em grande grupo e para além de explorar as relações aditivas dentro de cada variável o professor deve solicitar aos alunos que investiguem outras regularidades. Por exemplo: 

Co-variação das variáveis



Invariância entre variáveis

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(ii) Duplicando o número de contas do colar anterior e atendendo à sequência das cores:

Devem ser exploradas as relações na tabela que representa a progressão aritmética e também as relações da tabela que representa a progressão geométrica para mostrar que, embora os valores numéricos envolvidos nas duas sequências sejam diferentes, ambas são relações proporcionais. A exploração da tabela pode mostrar aos alunos com maior dificuldade durante a discussão de sala de aula, o diferente comportamento das duas sequências.

O trabalho, algo moroso, que envolve a exploração de regularidades e, neste caso, a semelhança de regularidades em duas sequências diferentes é fundamental para desenvolver nos alunos a capacidade de generalização. Paralelamente, esta exploração revela as regularidades de cunho multiplicativo que envolve as relações de proporcionalidade directa tendo em conta que do seu conhecimento depende a resolução com correcção de inúmeros problemas do dia-a-dia, bem como o desenvolvimento do raciocínio proporcional dos alunos.

Questão 5. A facilidade ou dificuldade dos alunos em responder a esta questão depende do modo como exploraram a tabela e da sua capacidade de generalização.

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5. Quanttas contas teem o 5.º collar? Explicaa como penssaste.

A maioriia alunos reecorre à tabeela preenchiida na questtão anteriorr, soma o nú úmero de coontas azuis com o núm mero de contas brancaas e escrevee o númeroo total de co ontas.

Mas é importannte conhecerr a naturezaa das estratéégias por eles utilizadaas. Eis um exeme plo de d uma estraatégia aditivva:

Outros alunos, a com dificuldadee em perceb ber a relaçãoo entre o traabalho deseenvolvido e a presentee questão, podem p utilizzar uma estrratégia pictóórica, mais elementar:

É naturaal que os allunos do 1.º ou 2.º an no se sintam m mais confiantes a uttilizar e estraatégias pictóóricas, contaagens unitárrias ou deseenvolver esttratégias additivas. No entanto, dado d o objecctivo de deesenvolver o raciocínio o proporcional dos aluunos, o proffessor deve fomentar o uso de estrratégias muultiplicativas, utilizandoo as noçõess de dobro, metam de, trriplo, terça parte, etc. Não N se devee perder de vista que a relação de proporcionaalidade diirecta é mulltiplicativa e não aditivva. O professsor deve ajudar os aluunos a comp preender que, q emboraa a estratéggia aditiva produzam p respostas r coorrectas, é moroso e difícil d utilizzá-la se se quiser q saberr o número de d contas dee um colar com um eleevado númeero de ordem m.

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3.º e 4.º anos

Os quadrados (1.ª parte)

Observa a sequência:

1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste:

2. Completa a tabela, tendo em conta que o lado do 1.º quadrado corresponde à unidade de medida de comprimento: Medida do lado do quadrado

Perímetro do quadrado

3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades? Explica como pensaste.

4. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com o seu perímetro.

5. Determina a medida do lado de um quadrado que tem de perímetro 40. Explica como pensaste.

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3.º/4.º ano

Os quadrados (2.ª parte)

Observa a sequência:

1.

Completa a tabela, tendo em conta que a área do 1.º quadrado corresponde à unidade de medida de área:

Medida do lado do quadrado

Área do quadrado

2.

Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com a sua área.

3.

Qual é a área de um quadrado cujo lado são 9 unidades de medida? Explica como pensaste.

4.

Determina a medida do lado de um quadrado que tem de área 121. Explica como pensaste.

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Os quadrados (3.º e 4.º anos, 1.ª e 2ª parte) – Notas para o professor

O trabalho com sequências pictóricas envolve a exploração de regularidades e o estabelecimento de generalizações, constituindo um contexto para explorar relações de proporcionalidade directa. A tarefa “Os quadrados” envolve uma sequência pictórica em que cada figura (quadrado) é constituída por um ou mais quadrados pequenos. A tarefa tem duas partes, a primeira envolvendo a noção de perímetro e a segunda a noção de área. Deste modo, ao estabelecer conexões com outros tópicos matemáticos, a tarefa procura contribuir para uma gestão flexível do currículo.

Observa a sequência:

O objectivo global da tarefa é evidenciar a relação proporcional que existe entre o comprimento do lado do quadrado e o seu perímetro através do reconhecimento de regularidades entre valores numéricos (co-variação do comprimento do lado e o perímetro; invariância da razão entre perímetro e o comprimento do lado que, neste caso, corresponde ao número de lados da figura). Paralelamente, pretende que os alunos compreendam que a relação entre o comprimento do lado do quadrado e a sua área não é de proporcionalidade directa. As regularidades podem ser exploradas deixando os alunos fazer generalizações envolvendo variáveis sem se usar o termo “proporcionalidade directa”, por se tratar de alunos do 3º ou 4.º ano de escolaridade.

1.ª Parte

Pretende-se que os alunos: (i) explorem o perímetro das figuras, em particular, a relação entre o comprimento do lado e o perímetro do quadrado; (ii) descrevam em linguagem natural e simbolicamente uma regra ou função que permite determinar o perímetro de qualquer quadrado; e (iii) utilizem essa regra ou função para determinar o comprimento do lado ou o perímetro de um outro quadrado qualquer.

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Para realizar esta tarefa, os alunos devem ter alguma experiência de trabalho com sequências e na descrição das suas regras de formação (em linguagem natural).

Devem ainda, conhecer as noções de perímetro e de área, podendo fazer-se uma pequena revisão dessas noções durante a introdução da tarefa. Após o trabalho autónomo dos alunos, em pares ou em pequenos grupos, deve ser realizada uma discussão em grande grupo, com foco nas relações numéricas, partindo das explorações dos alunos.

Questão 1. A primeira questão pede aos alunos que continuem a sequência de crescimento e expliquem como pensaram: 1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste.

Através da observação das figuras da sequência, espera-se que os alunos reconheçam que todas as figuras são quadrados constituídos por quadrados mais pequenos iguais ao quadrado da primeira figura. Espera-se também que os alunos reconheçam que cada figura é obtida pelo acréscimo de uma unidade de medida de comprimento a cada um dos lados da figura anterior. Os alunos podem seguir diferentes processos de construção, como o exemplo da figura seguinte:

Não sendo previsível que os alunos revelem dificuldade na construção da 4.ª figura, é importante que o professor peça aos alunos para explicarem como pensaram. É necessário assegurar rigor nos registos escritos dos alunos, fazendo a sua correcção de modo a que estes traduzam efectivamente o modo como cada aluno pensou, uma vez que, como se pode verificar no exemplo seguinte, os registos dos alunos são frequentemente incompletos, e precisam do feedback do professor.

23

Registoo escrito pou uco claro

O professsor também m deve ficaar atento a alguns erroos que posssam surgir e que resulltam de faltta de experriência dos alunos nestte tipo de tarefas. t Com m frequênciia, na origeem de erros, está o factto dos alunoos utilizarem m apenas um ma parte daa informação o disponívvel. No exeemplo seguiinte, o alunoo parece compreender a necessidaade de acrésscimo de um ma fila horrizontal (linnha) para construir a quarta q figurra a partir da terceira,, mas parecce não reconnhecer que todas as figguras são qu uadrados, peelo que o núúmero de fillas na horizzontal tem de d ser igual ao número de filas na vertical v (colunas):

Erroo comum: uttilização inco orrecta dos dados

Questão 2. Pretendde-se que os o alunos completem c uma tabelaa que envo olve a mediida do lado dos quadraddos da sequuência e o reespectivo peerímetro.

2. Comppleta a tabella, tendo em m conta que o lado do 1.º quadradoo correspondee à unidade de medida de comprim mento: Meedida do laddo do quadraado

Perímetrro do quadraado

A maioria dos alunos não reveela dificuldaade em preeencher a tabbela. Contu udo, o profeessor deve averiguar a o modo como o fazem, recolhendo notas sobree as suas esstraté-

24

gias, de modo a enriquecer a discussão em grande grupo. Esta deve começar pela contagem mais elementar (muitos alunos ainda fazem contagens unidade a unidade), passando pelas estratégias aditivas até às estratégias multiplicativas, evidenciando o refinamento das estratégias. De salientar que, por vezes, os alunos utilizam folhas de rascunho onde registam as suas estratégias e colocam apenas os valores numéricos na tabela. Por outro lado, a identificação da regra geral de formação depende da capacidade do aluno em encontrar relações entre os valores numéricos.

Estratégia de contagem elementar: unidade a unidade

Estratégia aditiva

Estratégia multiplicativa

Se os alunos utilizarem a estratégia de contagem unidade a unidade, sem identificar regularidades, podem sentir a necessidade de desenhar o 5.º quadrado da sequência para concluir o preenchimento da tabela.

Observar e compreender a natureza das estratégias dos alunos é fundamental para conhecer o seu desenvolvimento matemático. Nesta situação, em particular por se

25

tratar de uma relação de proporcionalidade directa, o professor deve explorar com os alunos as relações multiplicativas dentro e entre variáveis.

Relação proporcional: co-variação das variáveis

Relação proporcional: co-variação das variáveis

Relação proporcional: invariância entre variáveis

26

Relação proporcional: invariância entre variáveis

Quando os alunos investigam as relações entre números põem em evidência regularidades numéricas que facilitam o enunciar de uma regra geral de formação (generalização).

Questão 3. Nesta questão pede-se o perímetro de uma figura distante: 3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades? Explica como pensaste.

Se os alunos estiverem familiarizados com o uso da tabela e utilizarem as relações numéricas que reconhecem nesta situação, é possível que respondam utilizando as relações entre e dentro das variáveis. Caso contrário, o professor deve evidenciar tais relações, ajudando os alunos a encontrar o factor de mudança (estratégia funcional, entre variáveis) e o factor escalar (estratégia escalar, dentro das variáveis):

Nestes anos de escolaridade, os alunos tendem a optar por uma estratégia aditiva ou multiplicativa em vez de usar uma estratégia pictórica.

27

Estratégia aditiva: a adiçãão sucessiva do comprimento do ladoo

Estrattégia multiplicativa

Tal comoo nas duas respostas anteriores, a é frequente os o alunos eescreverem como pensam sem inddicar o signnificado doss valores nu uméricos quue apresentaam. É necesssário contrrariar esta situação s peddindo-lhes para p melhorrarem as suaas respostass. Por outro lado, e connsiderando que q uma rellação de prooporcionalidade envolvve uma relaação multipllicativa, devem d ser reeforçadas ass estratégiass multiplicaativas.

Os alunoos manifestaam com freequência con nfusão nas noções de áárea e perím metro.

No exemplo e segguinte, o aluuno recorre à escrita dee uma regraa geral que não corresp ponde à relaação entre o comprimeento do ladoo e o perímeetro. De factto, os alunoos tendem a utilizar com c facilidaade regras que memorizzam mas nãão compreenndem.

E frequentte Erro

Outro errro frequennte resulta de d um deseenvolvimennto frágil daa capacidad de de resollver problem mas. No exeemplo seguiinte o aluno o não utilizaa adequadam mente a info ormação dada d no enuunciado:

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Erro frequente: utilização u inccorrecta dos dados d

v 20 com mo a medidda do perím metro e deterrmina Neste caaso, o aluno assume o valor a meedida do laddo através dee uma estrattégia pictórica.

q pedee-se aos alu unos para relacionar a medida do o lado Questão 4. Nesta questão do quuadrado com m o seu perímetro.

4. Escreve uma frasse que relacione a mediida do lado de um quaddrado qualquuer com o seu s perímetrro.

Espera-sse que, para respondeer, os aluno os utilizem a relação entre variááveis, exploorada atravéés da tabelaa, embora possam p ter seguido s um ma estratégiaa aditiva ou u uma estraatégia multipplicativa.

Resposta correcta baseada b num ma estratégia aditiva

Resposta correcta c baseeada numa estratégia multiplicativa

29

Questão 5. Na últim ma questão pretende-see que, à sem melhança daas duas queestões anterriores, os aluunos utilizeem novamennte a relação o entre variáveis explorada na tabeela.

5. Determinaa a medida do lado de um u quadrad do que tem de d perímetrro 40. Explica como pennsaste.

Neste caaso, para encontrar e o comprimeento do laddo do quaddrado, os alunos a podeem dividir o valor do perímetro p p 4 (númeero de ladoss) – utilizanndo uma reelação por entree variáveis – que caso não seja appresentado como estraatégia pelos alunos dev ve ser exploorada pelo professor. p E um exem Eis mplo de umaa estratégia multiplicatiiva:

Outra esttratégia muultiplicativa pode ser uttilizada com mo mostra a resposta seeguinte, poois o alunoo considera a relação de d co-variaçção que caraacteriza as relações dee proporciionalidade directa: d

Esta estrratégia devee ser exploraada através do recurso a uma tabela, durante a discussãão em grannde grupo, mostrando m q existe uma que u co-varriação das vvariáveis medida m do laado e perímeetro:

30

utras estratéégias menoss sofisticadas. O É provávvel que os alunos apreesentem ou exem mplo seguinnte mostra o uso de um ma estratégiia aditiva, envolvendo e tentativa e erro, faciliitada por o valor v numérico ser um m número peequeno e múúltiplo de 100:

Na respoosta seguintte o aluno usa u uma esttratégia muultiplicativa tentando en ncontrar o número quue multipliccado por 4 dá d 40:

À semelhhança da quuestão 3, um m erro que pode p surgir deve-se à ffrágil capaccidade de reesolução de problemas,, por parte dos d alunos, que se refleecte na utiliização incorrrecta dos dados d do prroblema. Coomo se podde verificar na respostaa seguinte, o aluno con nsiderou incorrectam mente o valorr 40 como sendo s a med dida do ladoo do quadrado:

E frequentte: interpretaação incorreccta dos dadoss do problem Erro ma.

P 2.ª Parte

Pretendee-se que os alunos: (i) explorem e a área das figuras, em pparticular, a relae o com mprimento do d lado e a área do qu uadrado; (ii)) descrevam m, em lingu uagem ção entre naturral e simbollicamente, uma u regra ou o função que q permitee determinarr a área de qualquer quadrado; e (iii) utilizzem essa reegra ou funçção para determinar o comprimen nto do lado ou a área de um outro quadrado qualquer. q

31

Questão 1. Na primeira questão, é pedido o preenchimento de uma tabela para relacionar o comprimento do lado de um quadrado com a sua área: 1. Completa a tabela, tendo em conta que a área do 1.º quadrado corresponde à unidade de medida de área: Medida do lado do quadrado

Área do quadrado

Como na sequência pictórica apresentada no início da tarefa só existem 3 quadrados desenhados, o aluno deve arranjar uma estratégia para determinar a área dos quadrados com 4 e 5 unidades de medida de comprimento.

Considerando que a primeira parte da tarefa foi corrigida antes de os alunos realizarem esta parte da tarefa, não devem repetir-se erros de interpretação ou de utilização parcial dos dados.

Mais uma vez, o professor deve acompanhar o modo como os alunos determinaram a área dos quadrados e se investigaram regularidades na sequência tendo em consideração as sugestões apresentadas para a primeira parte da tarefa.

Por exemplo, os alunos podem perceber que a área dos quadrados é igual ao produto do número de coluna pelo número de linhas:

32

Os alunos que revelem dificuldades em utilizar estruturas multiplicativas podem utilizar uma estratégia aditiva. O professor pode então mostrar a complexidade do cálculo quando se utiliza esta estratégia em quadrados grandes (por exemplo, 173 linhas).

Por outro lado, durante a discussão em grande grupo e caso nenhum aluno o faça por comparação com a relação entre o comprimento do lado do quadrado e o perímetro, deve o professor evidenciar que não existe uma relação de co-variação entre as variáveis nem uma relação de invariância entre as variáveis (não se tratando portanto de uma relação de proporcionalidade directa)1.

A literatura sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional refere que os alunos têm tendência para assumir que todas as relações são proporcionais utilizando, de forma errónea, estratégias multiplicativas proporcionais em situações em que estas não são aplicáveis. É também importante que os alunos reconheçam a importância de explorar regularidades e de compreender o seu significado no contexto da tarefa.

Questão 2. A segunda questão pretende que os alunos comuniquem em linguagem natural a(s) regularidade(s) que encontraram aquando do preenchimento da tabela apresentada na primeira questão: 2. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com a sua área.

1

Na verdade não temos aqui uma função linear (do tipo y=mx, em que m0), mas sim a função quadrática y=x2.

33

De um modo m geral,, os alunos revelam teendência para melhorarr a comuniccação escriita à medidda que o prrofessor vaii valorizand do a clareza e rigor ddas respostaas, tal comoo se pode veerificar na resposta r segguinte:

Questão 3. Para ressponder a esta e questão o, o aluno deve d utilizaar a regularridade identtificada na questão 1, traduzida em e linguag gem naturall escrita na questão 2,, para deterrminar a áreea de um quuadrado cujaa medida do o comprimento do ladoo é 9.

3. Qual é a área de um quadrado cujo lado o são 9 uniddades de meedida?

Explicca como pensaste.

Os alunoos tendem a utilizar a regularidad de numéricaa para deterrminar a área do quaddrado e justiificar este prrocedimentoo atendendo o à generalização dessaa regularidaade:

Questão 4. Nesta quuestão é peddido o comp primento doo lado de um m quadrado o cuja área é 121 unidaades de áreaa. Como estte alunos sãão do 1.º cicclo e não connhecem rad dicais, utilizzam uma esstratégia seemelhante à usada na questão annterior, por tentativa e erro, evenntualmente partindo p de um valor dee referênciaa. É o que veemos na ressposta seguiinte:

34

m dificuldad des em distiinguir as nooções de peerímeCaso os alunos conntinuem com tro e área podem m surgir resppostas incorrrectas com mo as seguinttes:

E frequennte: não disttingue as no Erro oções de perrímetro e áreea

Na respoosta seguintte o aluno parece não distinguir d ass noções de perímetro e área e inteerpreta incoorrectamente os dados do d problem ma (considerra 121 comoo medida do o lado do quuadrado):

Erro frequeente: não disttingue as noçções de perím metro e área

O trabalhho com seqquências perrmite desen nvolver nos alunos o háábito de exp plorar regullaridades nuuméricas e fazer generralizações. Com esta tarefa, t subddividida em m duas partees, os alunos podem coompreender que a mesm ma sequênccia pode envvolver a exp ploração de d mais do que q uma rellação entre variáveis – na primeira parte a relação entre comprim mento do laddo e perímettro e na seggunda parte a relação enntre compriimento do lado l e área. Por outro lado, l esta taarefa permitte evidenciaar que as rellações entree variáveis são s de diferrente natureeza, nem toodas sendoo de proporrcionalidadee directa, aapesar de serem s comuuns nas acçções do nossso quotidiaano e, por issso, frequenntes nos coontextos doss problem mas escolarees. Antes dee efectuar cálculos c e co omeçar a reesolver queestões, os allunos, por isso, têm de compreendder a relaçãoo entre variááveis.

35

5.º/6.º anos A magia da tabela

1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica as tuas descobertas.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10 12 14 16 18

20

3

6

9

12 15 18 21 24 27

30

4

8

12 16 20 24 28 32 36

40

5

10 15 20 25 30 35 40 45

50

6

12 18 24 30 36 42 48 54

60

7

14 21 28 35 42 49 56 63

70

8

16 24 32 40 48 56 64 72

80

9

18 27 36 45 54 63 72 81

90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2. Vamos verificar se a tabela é mesmo mágica. Para isso vamos usá-la na resolução de diversos problemas. Em todos eles, usa a tabela para responder e explica como pensaste.

2.1.

O mealheiro do Tiago está vazio e ele começou hoje a colocar 3€, diariamente.

Quanto dinheiro terá o mealheiro no sétimo dia?

2.2.

Todos os dias, o Tiago coloca 3€ no seu mealheiro e o Miguel coloca 5€ no seu mealheiro. Quando o Tiago tiver 21 €, quanto terá o Miguel no seu mealheiro?

2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras. Quantas cadeiras se podem pintar com 20 latas de tinta?

2.4. Dois bilhetes de autocarro de Lisboa para Santarém custam 16€. Quanto custam 7 bilhetes?

2.5. Quinze alunos pintaram 35m2 da parede do ginásio da escola. Sabendo que cada aluno pinta a mesma área, quantos metros quadrados de parede serão pintados no mesmo tempo por uma turma de 27 alunos?

36

A magia da tabela (5.º/6.º anos) – Notas para o Professor

Ao longo da escolaridade, os alunos devem desenvolver hábitos de pensamento associados ao trabalho flexível com números e à exploração e identificação de regularidades. “A magia da tabela1” é uma tarefa que pretende continuar a desenvolver hábitos de pensamento relativos ao trabalho com números e operações, bem como levar os alunos a utilizar os seus conhecimentos deste tópico na resolução de problemas do dia-adia envolvendo relações de proporcionalidade directa. Pretende-se, ainda, que os alunos compreendam os conceitos de razão e proporção, interpretando experiências reais e as suas representações simbólicas. Pode acontecer que os alunos reconheçam que a tabela apresentada é a da multiplicação, uma vez que esta é estudada no 1.º ciclo, embora muito provavelmente num formato diferente.

O trabalho em sala de aula pode ser desenvolvido em pares ou em grupos, permitindo aos alunos trocar ideias e esclarecer dúvidas entre si. Caso os alunos revelem alguma resistência em utilizar a tabela na resolução das questões 2.1, 2.2 e 2.4, dada a sua simplicidade, preferindo utilizar estratégias aditivas ou multiplicativas, o professor deve incentivar o uso da tabela para validar as respostas.

Questão 1. Com a primeira questão pretende-se que os alunos investiguem regularidades numa tabela numérica 10x10.

1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica as tuas descobertas.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

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15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

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40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

37

Com frequência, os alunos focam-se iniciaalmente nass situações de adição reepetida enntre os valoores numériccos da tabella. Por exem mplo, na linnha um, o núúmero à dirreita é obtiddo pela adiçção de uma unidade ao número im mediatamentte à sua esquuerda. No entane to, é provável que q rapidam mente os aluunos reconh heçam as tabbuadas ou oos múltiplo os dos númeeros de 1 atté 10:

À medidda que os allunos se envvolvem na investigação i o são capazzes de identtificar váriaas regulariddades numa mesma sittuação, tal como mosttra a respossta anteriorr, que referre a existênccia de um eiixo de simetria (diagon nal que passsa nos quadrrados perfeiitos).

Após os alunos tereem realizadoo a primeiraa questão, o professor ppode fazer a discussãão em grandde grupo, na n qual os alunos a podeem mostrar e discutir aas suas desccobertas. Isso I pode coontribuir paara a utilizaçção da tabella na resoluução dos prooblemas aprresentadoss posteriorm mente.

38

O professor deve ajudar os alunos a identificar outras regularidades caso estas não surjam naturalmente em respostas como esta: “Os números da coluna 6 são o triplo dos números da coluna 2. E os da coluna 2 são a terça parte dos da coluna 6”.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

O professor pode também sugerir a análise de regularidades em partes mais pequenas da tabela.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

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4

8

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16

20

24

28

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36

40

5

10

15

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30

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40

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50

6

12

18

24

30

36

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54

60

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Co-variação dentro das colunas

Invariância entre colunas

Identidade fundamental das proporções 1x4 = 2x2

39

Muitos dos d problem mas que sãoo colocados aos alunoss neste ano de escolariidade, são facilmente f r resolvidos q quando os alunos têm um bom conheciment c to das estru uturas multiiplicativas. Assim, toddo o trabalhho e tempo dedicado a desenvolvver este con nhecimentto é importaante.

Questão 2. A questãão 2.1. apreesenta uma situação s prooblemática rrealista: 2.1. O meealheiro do Tiago está vazio v e ele começou hooje a colocaar 3 €, diariamennte. Quantoo dinheiro teerá o mealheeiro no sétim mo dia?

Após ideentificarem as variáveiis do probleema, os aluunos podem m utilizar as relações numéricas estudadas e responder sem efectuaar qualquer cálculo.

Varriáveis (núm mero de dias identificado i a azul; dinheeiro identificaado a verde)

Que podderá ser traaduzido na seguinte reesposta quee representaa uma estraatégia multiiplicativa:

É provávvel que os alunos a regisstem os cálculos e escrevam com mo encontrarram o valorr numérico da respostaa, é o que accontece no exemplo e segguinte em qque o aluno utiliza um ma estratégiia multiplicativa:

40

Os alunoos com difficuldade nas n estruturaas multipliccativas tenddem a utiliizar a adiçãão sucessivaa:

Dada a importância i a do raciocíínio proporccional no deesenvolvim mento dos allunos, semppre que esstes revelarrem tendênncia para utilizar u estrratégias aditivas, deve ser realizzado trabalhho no sentiddo de os levvar a comprreender as estruturas e m multiplicativaas e a utilizzá-las na ressolução de problemas. p O probleema apresenntado na quuestão 2.2 envolve e duaas variáveis da mesma natureza (dinheiro do Tiago e dinheiro d do Miguel).

M 2.2. Todoos os dias, o Tiago colooca 3 € no seu s mealheiiro e o Migguel coloca 5 € no seu meealheiro. Quando Q o Tiago T tiver 21 €, quannto terá o Migguel no seu mealheiro? m Após ideentificarem as variáveeis do probllema os aluunos podem m responder rapidameente.

Varriáveis (dinhheiro do Tiaggo identificaddo a verde; dinheiro d do Miguel M identificado a laraanja)

41

Uma possível resposta é a seguinte que representa uma estratégia multiplicativa associada à tabela:

Os alunos também podem optar por utilizar as linhas associadas às variáveis dinheiro como se pode ver na resposta seguinte que traduz outra estratégia associada à tabela:

O problema seguinte difere dos anteriores por envolver números ligeiramente maiores e apresentar uma relação não unitária (a razão de 15:18): 2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras.

Quantas cadeiras pode pintar com 20 latas de tinta?

Os alunos têm de identificar, na tabela, um terno que envolva os valores numéricos do problema:

Variáveis (latas de tinta, identificado a rosa; cadeiras, identificado a azul)

À medida que os alunos vão reconhecendo as regularidades indicam, na sua resposta escrita, o modo como encontraram a resposta ao problema. Eis um exemplo de uma estratégia multiplicativa:

42

O professsor pode então iniciarr o uso de uma u linguagem associada à razão o e às proporções, assoociando a expressões e d tipo “15 está para 20 do 2 assim coomo 18 estáá para 24”.

Nas resppostas à queestão 2.4 os alunos reveelam uma teendência paara utilizar exclue sivam mente a tabeela em vez de d escreverem o modo como encoontram o vallor omisso.

2.4. Doiss bilhetes de d autocarroo de Lisbo oa para Sanntarém custtam 16 €.

Quantto custam 7 bilhetes?

Por exem mplo, na resposta seguuinte, o alun no, usando uma estratéégia multipllicativa, mostra m comoo pensa colocando etiqquetas para comunicar o que signiificam os vaalores numééricos das colunas: c

De referiir que os aluunos continnuam a fazerr uso do seuu conhecim mento matem mático e elee baliza o seu s trabalhoo de formaa a asseguraar uma respposta correcta. Na ressposta seguiinte, e apessar do traballho desenvoolvido nas questões q annteriores, o aaluno, que segue s uma estratégia multiplicaativa, utilizza uma razão interm média (razãão unitária)) nos proceedimentos de d cálculo. De D facto, a razão unitáária facilita a compreennsão das relações entree variáveis.

43

Durante a exploraçção da quesstão, em graande grupoo, o professor pode an nalisar com os alunos as a várias reppresentaçõees utilizadass e, em partticular, a efficiência dee cada uma delas. dades A questãão 2.5. tambbém envolvve duas variááveis difereentes e uma das quantid é aprresentada em m linguagem m natural ennquanto as outras duass são apreseentadas na forma f de nuumeral deciimal.

2.5.Q Quinze alunnos pintaram m 35 m2 da d parede do d ginásio da escola.

S Sabendo que cada alunno pinta a mesma m área,, quantos m metros quad drados de parede serãoo pintados no n mesmo tempo t por uuma turma d 27 alunoss? de Nas resppostas seguuintes, os alunos, a ao utilizarem estratégias multiplicaativas, pareccem apreendder efectivaamente a “m magia” da taabela na resoolução do pproblema.

Alguns alunos a revelam flexibillidade em estabelecer e uma relaçãoo entre variiáveis na diisposição hoorizontal (essquema) e na n disposiçãão vertical (tabela): (

44

O trabalho com foco na investigação e exploração de relações multiplicativas é fundamental para que o aluno compreenda as relações proporcionais, desenvolva flexibilidade na utilização dos seus conhecimentos (tabuada, múltiplos, divisores, razão unitária), estabeleça conexões entre esses conhecimentos e os utilize na resolução de situações problemáticas.

45

5.º/6.ºº anos

As pilhass

1.

A tabela reppresenta a reelação entree o número de embalaggens e o núm mero de pilh has.

Número dee embalagens 5 10 15 20

Núúmero de pilhas 20 40 60 80

1.1. És capaaz de utilizaar a informaação existen nte na tabelaa para determ minar se ex xiste proporccionalidade na relação entre o núm mero de pilhhas e o núm mero de embalagens? Apresenta A d duas resoluçções diferenttes e explica o teu racioocínio.

d na tabela.

1.2. Compleeta o gráficoo utilizandoo os dados disponíveis

m 25 1.3. Será poossível deterrminar, atraavés do gráffico, o númeero de pilhaas que há em embalaagens? Justifica a tua reesposta.

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As pilhas (5.º/6.º anos) – Notas do Professor

Muitos problemas apresentados aos alunos envolvem contextos realistas e relações de proporcionalidade directa. Contudo, e apesar de muitos alunos conseguirem desenvolver raciocínios proporcionais baseados no seu conhecimento intuitivo, nem sempre revelam compreender o conceito de proporcionalidade directa. Considerando que, para a faixa etária dos alunos do 2.º ciclo, descrever um exemplo evidenciando as regularidades de co-variação dentro das variáveis e a invariância entre variáveis constitui uma explicação aceitável, esta tarefa é um exemplo do que o aluno deve compreender sobre uma relação de proporcionalidade directa. Com esta tarefa pretende-se, por um lado, que os alunos aprofundem o seu conhecimento sobre as relações de proporcionalidade directa, continuando o desenvolvimento de hábitos de pensamento na procura de regularidades e do seu significado. Por outro lado, pretende-se que, gradualmente, aprendam a utilizar, flexivelmente, diferentes representações (tabela, gráfico).

Questão 1. Os alunos cuja experiência matemática não inclua tarefas de exploração podem revelar alguma dificuldade em compreender a primeira questão, pois é pedido que averigúem se existe proporcionalidade directa na relação entre o número de pilhas e o número de embalagens.

1.1. És capaz de utilizar a informação existente na tabela para determinar se existe proporcionalidade na relação entre o número de pilhas e o número de embalagens? Apresenta duas resoluções diferentes e explica o teu raciocínio.

Para responder a esta questão, espera-se que os alunos investiguem as relações de invariância entre variáveis, também conhecida por relação funcional, como mostram as seguintes respostas, com representações menos ou mais elaboradas. No exemplo abaixo, o aluno utiliza uma estratégia funcional sem ter mostrado como determinou a constante:

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Uma estrratégia mais elaboradaa é a do exem mplo seguinnte em que é provável que o alunoo tenha utilizado a razãão unitária (4 pilhas:1 embalagem m) que desiggna por “nú úmero consttante”, paraa averiguarr a relação de proporccionalidade. Este alunno identifico ou as duas constantes de proporcionalidade 4 e 0,25:

Os alunoos efectuam m o quocientte entre o número n de pilhas p e o nnúmero de embae d tabela. O significaddo da constaante é lagenns, indicanddo-os de acoordo com a estrutura da diferrente conforrme a estruttura adoptadda. Assim, ao a efectuar o quocientee entre o nú úmero de piilhas e o núúmero de em mbalagens, obtêm-se o 4 pilhas por embalagem e , se se efecttuar o quocciente entre o número de d pilhas e o número de embalageens, obtém-sse 0,25 da embae lagem m por cada pilha.

No exem mplo seguinte outro aluuno resolve o mesmo problema esttabelecendo o uma igualldade entre razões sem recorrer à constante c dee proporcionalidade:

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Outro tippo de estratéégias envolvve as relaçõ ões de co-vaariação denttro das variááveis, tambbém conheciidas por esttratégias esccalares, com mo no seguinnte exemploo:

Alguns alunos a podeem utilizar também estratégias additivas, paraa as quais o professoor deve cham mar a atençãão, no sentiido de evolu uírem para estratégias e m multiplicativ vas.

Tendo em m conta quue o conceitto de proporrcionalidade directa ennvolve umaa relam va, as estrattégias aditivvas não são consideraddas como estratégias prroporção multiplicativ cionaais.

Na questtão 1.2. preetende-se quue os alunoss representeem a inform mação contida na tabella num gráffico de ponttos. Uma diificuldade que q pode suurgir está reelacionada com c a tomaada de decissão sobre a marcação m d escala noss dois eixoss. da

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Alguns alunos, deppois de marrcarem os pontos, p dessenham intuuitivamentee uma linhaa que une oss pontos e opinam o sobrre a curiosid dade da disposição doss pontos. Na discussãão em grandde grupo, appós a resoluução da tareefa, o professsor deve qquestionar os alunos sobre s a posssibilidade de d se consegguir, atravéss da análise do gráfico,, verificar a existênciia de proporrcionalidadee directa. Deve D solicitaar aos alunoos que argum mentem, ex xplicitandoo as suas respostas e appresentandoo exemplos.

A questãão 1.3 apelaa à intuição matemática m a do aluno.

1.3. Será posssível determ minar, atravvés do gráficco, o númerro de pilhas que há em 25 embaalagens? Jusstifica a tua resposta.

Os alunoos que comppreendem e que utilizaam exclusivvamente o ggráfico marccam o m a ressposta à queestão 1.2. Contudo, C daddo que os alunos a pontoo (25, 100) tal como mostra não estão e ainda familiarizaados com esste tipo de tarefa, t algunns tendem a aplicar esstratégias aditivas dass quais o grááfico está auusente:

Outros alunos a usam m estratégiass multiplicattivas sem reeferência aoo gráfico:

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Esta tarefa pode ser aplicada antes da leccionação formal da unidade de proporcionalidade directa, usualmente feita no 6.º ano, de modo a explorar estes conceitos de forma informal. A tarefa tem ainda a potencialidade de os alunos utilizarem duas representações com os mesmos dados. E o professor, durante a discussão em grupo alargado, pode questionar os alunos sobre como podem ser traduzidas num gráfico as regularidades numéricas que envolvem relações proporcionais.

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5º/6.º ano

Existe proporcionalidade directa?

1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizaste, em cada caso, para responderes: 1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos, duas raparigas levam 20 minutos.

1.2. Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas caixas custam 5,60€.

1.3. Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer 3 modelos iguais em 6 horas.

1.4. Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro colega pintam o mesmo muro em 6 dias.

2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a quantidade de água consumida durante a refeição? Apresenta o teu raciocínio.

Número de pessoas 3 4 5 6 7

Quantidade de água consumida à refeição (litros) 5 6 7 8 9

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3. Existe uma relação de proporcionalidade entre as grandezas A e B? Apresenta o teu raciocínio.

Grandeza A Grandeza B

3 2,25

4 3

5 3,75

6 4,5

7 5,25

4. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de semanas e o comprimento de um insecto nas primeiras 6 semanas de vida?

Comprimento de um insecto (cm)

Nº de semanas

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Existe proporcionalidade directa? (5º/6.º ano) – Notas para o professor

O desenvolvimento do raciocínio proporcional envolve a capacidade de distinguir situações em que existe proporcionalidade directa de outras situações onde tal relação não existe. As respostas dos alunos revelam que eles têm significativas dificuldades neste ponto, registando-se uma forte tendência para usarem estratégias proporcionais em situações que não envolvem proporcionalidade directa. O facto de os alunos reconhecerem em situações do quotidiano a relação de proporcionalidade directa não é suficiente para compreenderem a relação multiplicativa que lhes é inerente. Por outro lado, o reconhecimento das relações de co-variação e de invariância também não deve ser considerado como condição para identificar uma relação de proporcionalidade directa, sendo fundamental uma análise da situação problemática em causa. Com esta tarefa pretende-se que os alunos analisem os dados numéricos e o contexto dos problemas apresentados em diferentes representações e identifiquem as relações de proporcionalidade directa. É uma tarefa bastante enriquecedora pois permite a mobilização do conhecimento intuitivo dos alunos que pode ser desenvolvida em 90 minutos, 45 minutos para o trabalho autónomo dos alunos e 45 minutos para discussão colectiva na turma.

Questão 1. A questão 1.1. apresenta uma situação problemática em que não existe uma relação de proporcionalidade directa pois as variáveis – número de amigos e tempo – não dependem uma da outra. Contudo, se o contexto não for considerado pelos alunos, isto é, se considerarem apenas o registo numérico podem afirmar, erradamente, que existe proporcionalidade directa.

1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizaste, em cada caso, para responderes: 1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos, duas raparigas levam 20 minutos.

As respostas mostram que alguns alunos mobilizam o seu conhecimento intuitivo para responder correctamente à questão, enquanto outros alunos revelam uma forte tendência para considerar a existência de proporcionalidade directa:

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Ressposta incorrrecta que con nsidera, erraadamente, a existência de uma relaação de prop por-

cionalidadee directa enttre variáveiss A questãão 1.2. apreesenta um contexto c sim mples em que q o preçoo é directam mente proporcional ao número de embalagenns de cereaiss.

1. Indicaa se cada frase f é verddadeira ou falsa f e expplica o racioocínio que utilizaaste, em cadda caso, parra responderres: 1.2. Se uma caixaa de cereais custa 2,80€ € duas caixaas custam 5,60€.

Embora os alunos reconheçam m a relação o de proporcionalidadde directa, existe e uma tendência para utilizaar uma estrratégia aditiiva (estratéégia não prooporcional)) para justifficar a respoosta, como se s pode verrificar na ressposta seguiinte:

Perante esta situaçãão, o professsor deve fo ocar os alunnos na utilizzação de esstratégias multiplicatiivas.

A questãão 1.3. tambbém envolvve um conteexto simplees com umaa relação dee proporciionalidade directa d entree o tempo gasto g para co onstruir um m modelo e o tempo.

1. Indicaa se cada frase f é verddadeira ou falsa f e expplica o racioocínio que utilizaaste, em cadda caso, parra responderres: 1.3. Se um rapazz faz um modelo m de carro c em 2 horas, podde fazer 3 moodelos iguaais em 6 horras.

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O professor deve estimular os alunos a utilizar, de forma flexível, diferentes estratégias e representações. Nos dois exemplos seguintes os alunos utilizam a mesma representação (tabela) e estratégias multiplicativas diferentes.

Neste caso o aluno usa uma estratégia escalar de factor 3:

O exemplo seguinte mostra uma estratégia funcional (factor 2):

Quando os alunos já aprenderam a noção de constante de proporcionalidade esta deve ser mobilizada para as respostas:

A questão 1.4. envolve uma situação em que as variáveis apresentam uma relação de proporcionalidade inversa: 1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizaste, em cada caso, para responderes: 1.4 Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro colega pintam o mesmo muro em 6 dias.

Os alunos respondem correctamente quando mobilizam o seu conhecimento intuitivo, não sendo previsível que reconheçam a relação de proporcionalidade directa.

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Alguns alunos tendem a considerar esta relação como sendo de proporcionalidade directa, como se pode verificar na resposta seguinte e respondem incorrectamente:

Resposta incorrecta

Durante o trabalho em grupo e no período destinado à discussão colectiva na sala de aula, sempre que se detectar a dificuldade de compreensão da situação, o professor deve estimular o confronto das ideias dos alunos de modo a que as falsas concepções sejam abandonadas.

Questão 2. Esta questão é diferente das anteriores porque envolve um maior volume de dados e também pela uma representação diferente.

2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a quantidade de água consumida durante a refeição? Apresenta o teu raciocínio.

Número de Quantidade de água pessoas consumida à refeição (litros) 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9

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Pretende-se que os alunos apliquem o seu conhecimento sobre as regularidades numéricas que envolvem as relações de proporcionalidade directa. Tendo em conta que nos dados não se apresenta e relação unitária (razão unitária) entre a água consumida por uma pessoa ou o número de pessoas que consomem um litro de água, é provável que os alunos utilizem a estratégia que envolve a relação entre variáveis.

Como o aluno não encontra um quociente invariante, conclui correctamente que não existe proporcionalidade directa.

Os alunos que já tenham aprendido a identidade fundamental das proporções podem optar pela representação da razão (pessoas:água(l)).

Neste caso, o aluno coloca incorrectamente o sinal igual entre as razões mas depois mostra que as razões não são iguais porque não se verifica a propriedade fundamental das proporções. Esta resposta mostra que os alunos apresentam representações incongruentes que importa esclarecer.

Questão 3. As questões 2 e 3 diferem da 1 na medida em que os dados são apresentados em tabelas. Na questão 3 a tabela é horizontal, ao contrário da tabela da questão 2, que é vertical, mas o objectivo é o mesmo, isto é, pretende-se que os alunos apliquem o seu conhecimento sobre as regularidades numéricas que envolvem as relações de proporcionalidade directa. A questão 3 apresenta um contexto abstracto que pode constituir alguma dificuldade para os alunos.

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3. Existee uma relaçção de propporcionalid dade entre as a grandezaas A e B? Apressenta o teu raciocínio. r G Grandeza A 3 4 5 6 7 G Grandeza B 2,25 3 3,75 4 4,5 5,225

Talvez por p não estar represenntada qualqu uer relação unitária, m mais uma vez v os alunoos tendem a desenvolvver uma esttratégia quee envolve o cálculo doo quociente entre variááveis.

A invariância do quuociente (coonstante de proporcionnalidade) peermite aos alunos a deciddir que existte uma relaçção de propporcionalidaade directa entre e as granndezas A e B. A questãão 4 envolve uma repreesentação grráfica e, por isso, podee suscitar alguma dúvidda aos alunnos. Esta é uma repressentação po ouco utilizaada nas tareefas matemááticas dos primeiros p annos de escollaridade.

5. Existee uma relaçção de proporcionalidade entre o número n de semanas e o com mprimento de d um insectto nas primeeiras 6 semanas de vidda?

Pretendee-se que os alunos, atraavés da obseervação do gráfico e teendo em con nsideraçãoo a sua expperiência annterior (por exemplo, na n tarefa “A As pilhas”),, respondam m que não existe e uma relação prooporcional, pois aquando da eclossão do inseccto (tempo zero) este já j tem 3 cm m de comprim mento.

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No entanto, os alunos revelam uma forte tendência para, através da observação do gráfico, responderem que existe uma relação de proporcionalidade directa porque o tempo e o tamanho do insecto variam no mesmo sentido após a eclosão deste.

Exemplo de uma resposta incorrecta

É provável que alguns alunos, pouco à vontade na representação gráfica, convertam os dados noutra representação. No entanto, isso não é facilitado pela tabela construída, precisamente para focar os alunos na observação do gráfico e não na conversão dos dados entre representações.

Note-se, ainda, que alguns alunos desta faixa etária tendem a assumir como válidas apenas respostas onde apresentam registos numéricos e cálculos. No entanto, os que revelam um conhecimento robusto sobre a relação de proporcionalidade directa podem justificar a sua inexistência através da desigualdade entre as razões, por exemplo, 0/33/4.

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5º/6.º ano

Aluguer de bicicletas

O Pedro e a Margarida foram passear ao Parque das Nações e decidiram alugar bicicletas. O Pedro escolheu a empresa Ciclotour e a Margarida a YBike, cujas tabelas de preços são as seguintes:

Ciclotour Tempo (minutos) Preço (euros) 30 3 45 4,5 60 6 90 9

YBike Tempo (minutos) Preço (euros) 20 1,5 40 4 60 6,5 90 10

1. Em alguma das empresas o preço a pagar é directamente proporcional ao tempo de utilização da bicicleta? Explica o teu raciocínio.

2. Nalguma das empresas é possível prever o preço a pagar pelo aluguer da bicicleta, durante 120 minutos? Justifica a tua resposta.

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Alluguer de bicicletas b (55º/6.º ano) – Notas parra o Professsor

Muitos problemas p e contextoos realistas, à primeira vista, envollvem relaçõ em ões de proporcionalidade directa. Contudo, C esssa relação pode não exxistir. Assim m, importa que o profeessor proponha tarefas aos alunoss tendo em vista desennvolver a caapacidade dee distinguuir situaçõess onde existtem relações proporcio onais das ouutras onde issso não acon ntece.

A presente tareffa envolve duas d relações, num con ntexto semeelhante, mas só uma deelas é ões de de prroporcionalidade directta. O seu obbjectivo é leevar os alunnos a identiificar relaçõ proporcionalidade directa e desenvolvver a sua capacidade de d resoluçãão de probleemas. ultiplicativa inerente à proporcionaalidaSupõõe-se que oss alunos connheçam a estrutura mu de directa e utilizem flexivvelmente esse conhecimento paraa averiguarr a existênccia de proporcionalidade neste caaso. Trata-sse, assim, de uma tarrefa simplees que não deve levanntar dúvidass aos alunoss.

Questão 1. Nesta questão, poode haver necessidade n e de ajudarr a interpreetar o enunnciado emboora se preveeja que o significado da d expressãão “directam mente propo orcional” já j tenha siddo trabalhaddo na aula.

1. Em algum ma das emppresas o preeço a pagar é directameente proporccional ao tempo dee utilização da bicicletaa? Apresentta todas as estratégias e qque conhecees para inveestigar a exiistência de proporciona p alidade direecta.

Após obbservar as duuas tabelas,, o aluno prrocura enconntrar um tippo de regulaaridade multiplicativ m va que sabe existir na proporciona p lidade direccta. No exem mplo seguin nte, o alunoo opta por innvestigar a existência de d invariânccia entre varriáveis (relaação funcion nal):

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t e o prreço verificca-se a existtência De factoo, ao calculaar o quociennte entre o tempo de prroporcionalidade directta, caso o valor v o quocciente seja constante c (cconstante dee proporciionalidade). dade inerentte à proprieedade fundaamenOutra esstratégia esttá associadaa à regularid tal daas proporçõões, isto é, a igualdade entre o pro oduto dos meios m e o prroduto dos extree mos. Trata-se dee uma estrattégia frequeentemente associada a aoo produto crruzado:

Uma outtra estratégia consiste na investig gação da coo-variação ddentro das variáv veis, verbalizadaa com frequuência peloss alunos parra explicar o que é umaa relação dee proporciionalidade directa, d mass que nem sempre está expressa noos seus registos escritos.

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O professsor, durantte o períodoo da aula deestinado à discussão d em m grande grupo, g deverá dedicar o tempo neecessário à análise doss resultadoss, comparanndo as diferrentes estraatégias com objectivo de d desenvolver nos alu unos a capaacidade de utilizar flex xivelmentte diferentess estratégiass.

Questão 2. Nesta quuestão preteende-se quee o aluno coompreenda qque a previssibilidade está associiada a uma regularidadde, neste casso, dada pela relação dde proporcio onalidade directa.

2. Em que empresaa é possível prever o preeço a pagarr pelo aluguer da bicicleta, durante 120 minutos? Justifica a tua respostaa.

A identificação da empresa dee aluguer de bicicletass é feita atraavés da ressposta dadaa à questão 1.

1 na qual os alunos ideentificaram a relação de proporcioonalidade directa.

Conttudo, várioss alunos tendem a respoonder que é a empresa Ciclotour, calculando, desnecessariamentee, o preço a pagar pela utilização de d uma biciccleta durantte 120 minu utos:

Ou de foorma mais elementar.

A maioria das respoostas dos aluunos mostraa que esta última ú questtão constituii uma oporttunidade paara se continuar a deseenvolver no os alunos a capacidade de resolução de probllemas. Isto é, os alunoos devem teer em consid deração o que q é que see pretende com c a 64

questão e que para responder não é necessário realizar qualquer cálculo. Por outro lado, devem compreender que as respostas a várias questões associadas a uma determinada situação problemática não devem ser vistas isoladamente umas das outras.

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5º/6.º ano

Escalas 1

1. Observa o objecto que tens na mesa e, com o auxílio da régua, regista as suas medidas _____________ 2. Observa o panfleto e procura a imagem do objecto que tens na mesa e, usando de novo a régua, regista as suas medidas _______________.

3. Com as informações anteriores completa a tabela:

Medida do panfleto Medida real Escala

4. Determina a escala que foi utilizada no panfleto.

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Escalas 1 (5º/6.º ano) – Notas para o Professor Ao longo do 1.º ciclo, os alunos realizam várias tarefas em que realizam medições utilizando unidades de medida convencionais, resolvem problemas envolvendo grandezas e medidas e envolvendo raciocínio proporcional. A presente tarefa, relativa a escalas, pretende continuar este tipo de trabalho, desenvolvendo nos alunos a capacidade de utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões e resolver problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa, através da determinação e utilização da escala de um desenho. Na sua realização, espera-se que os alunos recorram ao seu conhecimento sobre razões e proporções.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos utilizem objectos reais e do seu dia-adia de uma forma interessante do ponto de vista matemático. Através da observação e da análise de um folheto de supermercado espera-se que mobilizem o seu saber de modo a verificarem se as imagens dos panfletos se encontram à escala relativamente ao tamanho real dos objectos representados. Esta tarefa deve ser realizada pelos alunos em 45 minutos, seguida de 45 minutos para a discussão colectiva do trabalho e das conclusões de cada grupo.

Antes da resolução da tarefa o professor deve discutir com os alunos o conceito de escala (procurando identificar as definições dos alunos, construindo assim um conceito mais claro e explícito). Recorde-se que, muitas vezes, os alunos abordam este tema também em Estudo do Meio (no 1.º ciclo) e na disciplina de História e Geografia de Portugal (2.º ciclo).

Para a realização da tarefa, o professor deve levar os objectos e os panfletos apropriados. Os objectos podem ser diferentes de grupo para grupo ou podem ser iguais, mas em qualquer dos casos convém colocar mais do que um objecto em cada grupo.

Assim, cada grupo deve ter em cima da mesa os respectivos objectos, o panfleto e o guião da tarefa permitindo que os alunos comecem desde logo a trabalhar. Após algum tempo de análise dos objectos pelos grupos, deve promover-se um debate colectivo relativamente às medidas que interessam para a realização da tarefa e ao modo de efectuar as medições. É importante que se combine que se deve medir a altura e o comprimento de cada objecto, registando os valores na respectiva folha de registo.

Deve chamar-se a atenção que os objectos a procurar nos panfletos devem ser iguais aos que estão em cima da mesa e que é necessário efectuar as medições em cada imagem seguindo as mesmas regras da medição dos objectos, registando os respectivos

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valorres na fichaa de trabalhho. Após estta fase, os alunos a deveem determinnar a escalaa para cada objecto. Ou O seja, devem utilizar as mediçõees efectuadaas para cadda objecto e imagem e verificar se encontraam uma relaação constan nte. Se a rellação for coonstante dizzemos que os o objectos se encontraam “à escalaa”. Como os o objectos são s diferenttes e os panfletos tambbém, pode acontecer a quue nem todoos os objecto os se enconntrem na mesma escala..

Questõess 1 e 2. Com C as duaas primeirass questões pretende-see que os alunos a obserrvem e regiistem as meedidas (com mprimento e altura) doss objectos qque têm em cima da mesa. m De segguida, os allunos procuuram nos paanfletos disstribuídos im magens doss seus objecctos e regisstam as meedidas. Nestte caso os vários gruppos têm objjectos diferrentes entree si, tal com mo se pode verificar v noss exemplos seguintes:

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Questões 3 e 4. Com estas questões, os alunos organizam a informação recolhida na tabela apresentada e calculam a escala da representação do produto indicado no panfleto. Para tal, os alunos podem utilizar estratégias variadas, nomeadamente, recorrendo a processos funcionais ou escalares. Usando processos funcionais, os alunos verificam a relação multiplicativa existente entre o comprimento do produto no panfleto e a sua altura e depois verificam se a relação é a mesma nos objectos reais. Usando processos escalares, os alunos identificam a relação multiplicativa existente entre o comprimento do produto no panfleto e o seu comprimento real e verificam se esta relação se mantém para as alturas do produto no panfleto e na realidade.

Por vezes, e por se tratar da repetição do mesmo tipo de raciocínio, os alunos podem recorrer a procedimentos como a propriedade fundamental das proporções ou a regra de três simples. Em todos os casos, procuram o valor unitário, ou seja, procuram verificar quanto de altura corresponde a 1cm de comprimento ou vice-versa. Por fim, retiram as conclusões relativas a cada situação. Verifica-se que nem sempre os objectos se encontram à escala quando desenhados no panfleto, devendo-se discutir com os alunos por que razão tal pode acontecer.

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Na discuussão final, quando os alunos a apresentam o seeu trabalho, devem ser idenm na mesm ma escala. Este momentto pode serr intetificaados os objeectos que se encontram ressaante para oss vários gruupos, uma vez v que pod dem haver grupos g que nnão têm nen nhum objeccto represenntado à escaala e é, por vezes, v uma surpresa coonstatar que isso aconteece.

Tendo em m conta a situação s prooposta, pod de promoverr-se um debbate subordinado ao teema da Eduucação paraa o Consum mo. A este reespeito, poddem ser anaalisadas queestões relaccionadas com m o porquêê das imageens não sereem colocaddas nos panfletos na mesma m escalla e qual a im mportânciaa deste factoor para as esstratégias dee publicidadde e venda.

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5º/6.º ano

Escalas 2

1. Mede M o compprimento e a altura do painel p que se s encontra à entrada ddo bloco:

Comprimentoo ___________________

A Altura _______________ ____

2. Observa O as várias v fotogrrafias e indiica qual a que q está à esscala. Justiffica a tua reespostaa.

Imag gem 1

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Imag gem 2

Imag gem 3

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Escalas 2 (5º/6.º ano) – Notas para o Professor

Com esta tarefa pretende-se que os alunos observem um painel e verifiquem se as imagens/fotografias que o representam se encontram à escala. É uma tarefa que permite aos alunos aplicar os seus conhecimentos relativos à proporcionalidade directa numa situação do seu dia-a-dia, relativa a um painel localizado na escola.

Para a realização desta tarefa pressupõe-se que os alunos tenham desenvolvido, ao longo do 1.º ciclo, as capacidades de realizar medições recorrendo a unidades de medida convencionais, de resolver problemas envolvendo grandezas e medidas e de resolver problemas envolvendo raciocínio proporcional. Deve reservar-se, pelo menos, 30 minutos para os alunos realizarem a tarefa e 30 minutos para a apresentação dos resultados e discussão colectiva.

As questões colocadas visam desenvolver nos alunos as capacidades de utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões, determinar e utilizar a escala de um desenho, resolver problemas envolvendo escalas, usando razões e proporções, e resolver e formular problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa.

Questão 1. Para a realização desta questão, os alunos devem efectuar, antecipadamente as devidas medições no painel. Após a entrega do guião da tarefa, cada grupo deve medir cada uma das imagens/fotografias dadas e verificar qual delas se encontra à escala. Podem surgir dúvidas nos alunos relativas ao que se entende por limites do painel nas imagens/fotografias. Para o evitar, pode proceder-se antecipadamente a uma análise das imagens de modo a esclarecer essa questão.

No momento de discussão, o professor deve proporcionar a cada grupo de alunos oportunidade para explicar como efectuou as medições do painel e o porquê de existirem valores diferenciados. Assim, deve ter-se em atenção que, apesar dos cálculos efectuados serem correctos, podem existir respostas erradas relativamente à selecção da imagem, visto terem subjacentes medições incorrectas. Durante as apresentações dos grupos o professor deve procurar que os alunos explicitem as suas escolhas, procurando que desenvolvam a sua capacidade de argumentação.

Questão 2. Com esta questão os alunos podem organizar os dados relativos às diferentes imagens e ao painel real de diferentes formas, nomeadamente, organizando uma tabela ou fazendo os cálculos isoladamente para cada imagem. Com a informação 74

recolhida os alunos devem verificar a relação numérica entre os dados relativos a cada imagem. Para isso, podem utilizar estratégias variadas, tais como processos funcionais ou escalares. Com a utilização de processos funcionais, verificam a relação multiplicativa existente entre o painel em cada imagem e na realidade. Podem utilizar uma tabela comum em que rapidamente verificam que a razão entre o comprimento e a altura do painel é a mesma na imagem 1 e na realidade e, por isso, só esta imagem está desenhada à escala.

Com a utilização de processos escalares, os alunos identificam a relação multiplicativa existente entre as dimensões de cada imagem e do painel e verificam se esta relação se mantém para as alturas do painel nas imagens e na realidade:

Os alunos também podem apresentar estratégias como a propriedade fundamental das proporções:

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Os alunos percebem qual a imagem que está à escala porque, ao efectuarem os cálculos para cada uma das medidas, o resultado é o mesmo. No entanto, por vezes, têm dificuldade em expressar o seu raciocínio, utilizando justificações pouco estruturadas e precisas, como no caso seguinte:

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No momento da discussão, é importante realçar que ampliar e reduzir implica não deformar a imagem, ou seja, os alunos devem ser levados a perceber o cariz multiplicativo (e não aditivo) da relação proporcional.

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