Utdrag Matematikk for økonomi og finans

DEL I Forberedende stoff

KAPITTEL 0

Algebra og algebraiske uttrykk En bok om matematikk må starte et sted, og man må gå ut ifra at noen begreper er kjente.

For eksempel må vi vite hva multiplikasjon er, for at vi skal kunne definere potenser.

Nye begreper må defineres ved hjelp av begreper vi allerede kjenner betydningen av, og nye resultater må forklares eller bevises med utgangspunkt i resultater som allerede er kjente.

I dette kapittelet beskriver vi den viktigste matematikken som vi i hoveddelen av boken går ut ifra at du er kjent med. Mye av dette er nok stoff du har sett før, men som det kanskje er lurt å repetere likevel. Dessuten er det ikke sikkert du er vant med betegnelsene og skrivemåtene vi bruker i boken.

Vi anbefaler derfor at du går gjennom kapittel 0 før du går i gang med kjernestoffet i boken. Du kan selvsagt også bruke kapittel 0 til å slå opp navn og begreper senere.

Hvis du kan stoffet godt fra før, kan du gå gjennom kapittel 0 ganske raskt. Hvis ikke vil det være svært nyttig å bruke litt tid på å repetere dette stoffet. Oppgavene i kapittel 0 er nyttige for å teste om du er klar til å gå løs på kjernestoffet i boken. Løsning av disse oppgavene finner du på slutten av kapittelet.

Emner i kapittel 0 Aritmetikk Algebra Likninger

Tall, brøker, potenser, røtter, parenteser Algebraiske uttrykk, algebraiske lover, kvadratsetningene Enkle algebraiske likninger

16

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

0.1 Tall De positive heltallene 1, 2, 3, 4, . . . er de mest brukte tallene. Når vi teller noe, er det disse tallene vi bruker. De positive heltallene kalles også for naturlige tall.

Heltall er en felles betegnelse for de positive heltallene 1, 2, 3, 4, . . ., de negative heltallene 1, 2, 3, 4, . . . og 0.

De grunnleggende regneoperasjonene er addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I en addisjon kalles tallene som legges sammen for ledd, og svaret kalles en sum. I en subtraksjon kalles tallene som trekkes fra hverandre også for ledd, og svaret kalles en differanse. I en multiplikasjon kalles tallene som ganges sammen for faktorer, og svaret kalles et produkt. I en divisjon kalles tallene som divideres på hverandre for dividend og divisor, og svaret kalles en kvotient.

Operasjon addisjon subtraksjon multiplikasjon divisjon

Tegn

Resultat

þ

: eller =

sum differanse produkt kvotient

Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av heltall gir et heltall som svar.

Divisjon av heltall gjør ikke alltid det. For eksempel er ikke kvotienten 3 : 2 ¼ 3=2 et heltall, ettersom det ikke finnes noe helt tall som multiplisert med 2 gir 3 tilbake. Siden 1 2 ¼ 2 og 2 2 ¼ 4, er kvotienten 3=2 et tall mellom 1 og 2.

Rasjonale tall er tall som kan skrives som en kvotient m=n av heltall. Rasjonale tall kan være heltall (om divisjonen m=n går opp). Andre rasjonale tall er ikke hele, slik som kvotienten 3=2. Men alle heltall er rasjonale siden de kan uttrykkes som en kvotient ved hjelp av divisjon med 1. For eksempel er 3 ¼ 3=1.

En brøk av heltall er et uttrykk på formen m=n, der m kalles teller og n nevner. En brøk er nesten det samme som en kvotient av heltall og skrives på samme måte. Vi kan si at brøken m=n er et «regnestykke» (en divisjon), mens kvotienten m=n er et tall, nemlig resultatet av divisjonen. Legg merke til at et gitt rasjonalt tall kan representeres som en brøk på mange forskjellige måter.

For eksempel representerer disse brøkene samme rasjonale tall: 3 ¼ 6 ¼ 9 ¼ 12 ¼ . . .

2 4 6 8 Et desimaltall er et tall med heltallsdel, desimalskilletegn og desimaler. Vi kan skrive ethvert rasjonalt tall på desimalform. Dersom tallet er gitt som en brøk av heltall m=n, finner vi desimalformen til tallet ved å utføre divisjonen m : n ¼ m=n.

For eksempel er 3=2 ¼ 1,5. Legg merke til at vi bruker komma som desimalskilletegn på norsk, mens det på engelsk brukes punktum.

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Vi kan representere heltall og rasjonale tall geometrisk på en rett linje, tallinjen. Vi velger først et nullpunkt på linjen, deretter velger vi en lengdeenhet og en retning. Alle heltall er multipler av den valgte enheten, og rasjonale tall er brøkdeler av enheten. I tallinjen i figuren nedenfor har vi tegnet inn heltallene fra 4 til 4 og et par eksempler på rasjonale tall. Tallinjen fortsetter i begge retninger – vi viser kun et utsnitt. Legg merke til at den positive retningen er markert med en pil mot høyre. Negative tall markeres da til venstre for nullpunktet. −1/3 −4

−3

−2

−1

0

3/4 3/2 1

2

3

4

De rasjonale tallene fyller ikke hele tallinjen. Det finnes altså tall på tallinjen som ikke kan skrives som en brøk av heltall, og disse kalles irrasjonale tall.

Noen eksempler på irrasjonale tall er pffiffiffi ¼ 3,14159 . . .

2 ¼ 1,41421 . . .

Skrivemåten 3,14159 . . . med prikker etter de oppgitte desimalene indikerer at det er flere desimaler enn de vi har skrevet ned. Tallet er altså ikke helt lik 3,14159.

Rasjonale tall har en desimalform der desimalene gjentas periodisk etter et bestemt antall desimaler. Irrasjonale tall har en desimalform der desimalene ikke gjentas periodisk, uansett hvor langt ut i desimalutviklingen man går.

Når vi skal angi desimalene i et rasjonalt tall, kan vi gjøre det ved å oppgi hvilke desimaler som gjentas. For eksempel kan vi skrive 1 ¼ 0,25 4

1 ¼ 0,1666 . . . ¼ 0,16 6

3 ¼ 0,428571428571 . . . ¼ 0,428571 7

med strek over de desimalene som gjentas. I det første eksempelet er naturligvis alle desimalene bortsett fra de to første lik null.

Hvis vi skulle angi desimalene i et irrasjonalt tall, måtte vi oppgi uendelig mange desimaler. Det er ikke mulig å gjøre dette i praksis. For praktiske formål bruker vi derfor ofte tilnærmede verdier som 3,14. Det kan vi selvsagt gjøre for rasjonale tall også. For eksempel er 1=6 0,17. Tegnet betyr altså tilnærmet lik.

17

0

18

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Absoluttverdien til et tall a skrives jaj, og er avstanden fra tallet a til 0 på tallinjen. Vi ser at j0j ¼ 0, og når a 6¼ 0 er jaj det positive tallet vi får når vi «glemmer» fortegnet til a. For eksempel er j12j ¼ 12 og j 12j ¼ 12. Siden ð 12Þ ¼ 12, kan vi skrive dette slik:

a, hvis a 0 jaj ¼ a, hvis a < 0 Når vi bruker en tilnærmet verdi i stedet for den virkelige verdien, er feilen i tilnærmelsen lik avstanden mellom de to verdiene, og den er lik absoluttverdien til differansen mellom verdiene. For eksempel er feilen i tilnærmelsene 1=3 0,33 og 1=6 0,17 henholdsvis j1=3 0,33j ¼ j0,333 0,33j ¼ j0,003j ¼ 0,003 j1=6 0,17j ¼ j1,666 0,17j ¼ j 0,003j ¼ 0,003 Bruker vi en tilnærmet verdi der siste siffer er avrundet riktig, er feilen maksimalt 0,005 når vi bruker to desimaler (som i de to eksemplene ovenfor), og den er maksimalt 0,0005 når vi bruker tre desimaler. Hvor mange desimaler vi tar med i en tilnærmet verdi, kommer an på hvor stor nøyaktighet vi trenger. Jo flere desimaler vi tar med, jo større nøyaktighet oppnår vi. Spesielt i mellomregninger er det viktig å bruke mange nok desimaler.

Reelle tall er fellesbetegnelsen på rasjonale og irrasjonale tall, og vi bruker noen ganger symbolet R for alle de reelle tallene. De reelle tallene er altså alle tallene på tallinjen, og vi sier ofte bare et tall når vi mener et reelt tall. Alle reelle tall kan skrives på desimalform.

Tall

Symbol

Naturlige tall Hele tall Rasjonale tall Reelle tall

1, 2, 3, 4, . . . . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

Tallene som kan skrives som brøker av hele tall Tallene på tallinjen

N Z Q R

De reelle tallene er ordnet som tallene på tallinjen. Et tall er større jo lenger til høyre tallet står (når den positive retningen er valgt mot høyre). For eksempel kan vi se fra tallinjen nedenfor at 3 er mindre enn ¼ 3,14 . . . og at pffiffiffi 2 ¼ 1,41 . . . er mindre enn 1. Et tall er positivt om det er større enn null, og negativt om det er mindre enn null. − 2 −4

−3

−2

−1/3 −1

0

p

3/4 3/2 1

2

3

4

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Vi skriver a < b når tallet a er mindre enn tallet b. Det er det samme som å si at b er større enn a, som skrives b > a. De viktigste tegnene for ulikheter er følgende: Ulikheter a<b a b a>b a b a 6¼ b

a a a a a

er er er er er

mindre enn b mindre enn eller lik b større enn b større enn eller lik b forskjellig fra b

Tallet 0 har egenskapen at et produkt er lik 0 hvis minst e´n av faktorene er lik 0, og kun da. Vi kan skrive dette slik: a b ¼ 0 ()

a¼0

eller

b¼0

Dette betyr blant annet at vi ikke kan dividere med 0. For eksempel skulle 3 : 0 være et tall som multiplisert med 0 gir 3 tilbake, og noe slikt tall finnes ikke.

Men det er ikke noe i veien for å dividere 0 på et annet tall. For eksempel er 0 : 3 ¼ 0.

Divisjon med null er ikke definert.

Den motsatte eller inverse operasjonen til multiplikasjon med et tall a 6¼ 0 er divisjon med a. Siden a ð1=aÞ ¼ 1, vil operasjonene multiplikasjon med a og med 1=a oppheve hverandre, og den inverse operasjonen til multiplikasjon med a 6¼ 0 kan derfor også uttrykkes som multiplikasjon med 1=a. For eksempel er divisjon med 2 det samme som multiplikasjon med 1=2. Vi bruker skrivemåten a 1 ¼ 1=a. Siden vi ikke kan dividere med 0, eksisterer ikke 0 1 .

Divisjon med a 6¼ 0 er det samme som multiplikasjon med a 1 ¼ 1=a.

19

0

20

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Oppgaver til delkapittel 0.1 Oppgave 0.1.1 Regn ut uten kalkulator: a) 3,3 þ 9,8

b) 14 87

c) 3 35

d) 124 : 4

c) 0,3 3,5

d) 1,24 : 4

Oppgave 0.1.2 Regn ut uten kalkulator: a) 33 þ 0,98

b) 1,4 87

Oppgave 0.1.3 Skriv tallene på desimalform uten å bruke kalkulator: a) 1=2

b) 1=3

c) 1=4

d) 1=5

e) 1=6

f) 1=8

Oppgave 0.1.4 Skriv tallene på desimalform uten å bruke kalkulator: a) 7=2

b) 4=3

c) 5=4

d) 3=5

e) 5=6

f) 3=8

0.2 Brøker En brøk er et uttrykk på formen m=n, der m og n er heltall. Tallet m kalles teller, og n kalles nevner. Brøken m=n representerer det rasjonale tallet som framkommer når vi utfører divisjonen m : n ¼ m=n. Vi kan altså tenke på brøken som et «regnestykke» og brøkstreken som et divisjonstegn. Nevneren i en brøk kan ikke være lik null, siden divisjon med null ikke er definert.

Et rasjonalt tall kan representeres som en brøk eller som et desimaltall.

Resultatet av divisjonen 3 : 7 kan vi for eksempel representere som 3 7

eller

0,428571428571 . . .

på henholdsvis brøkform og desimalform. Begge disse måtene å representere tall på har sine fordeler, og det er nødvendig å kunne forstå og regne med både brøker og desimaltall. Vi skal se nærmere på hvordan vi regner med brøker uten å gå veien om desimaltall, og vi går gjennom de viktigste regneteknikkene for brøker nedenfor.

Vi har så langt definert en brøk til å være en brøk av heltall, det vil si et uttrykk m=n der m og n er heltall (med n 6¼ 0Þ. Dette er det opprinnelige brøkbegrepet. Det er imidlertid nyttig å utvide brøkbegrepet til også å omfatte

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

andre uttrykk på brøkform. For eksempel kan vi kalle uttrykk m=n der m og n er reelle tall (med n 6¼ 0) for brøker av reelle tall. Noen eksempler på brøker pffiffiffi av reelle tall er =2 eller 1= 2. Hvis man først behersker regning med brøker av heltall, kan man regne med andre brøkuttrykk på tilsvarende nåte.

Utvidelse og forkortelse av brøker Vi kan utvide en brøk ved å multiplisere med den samme faktoren (ulik null) over og under brøkstreken. For eksempel er 1 ¼ 1 3 ¼ 3 2 2 3 6 Når vi utvider en brøk, finner vi en ny representasjon av det samme tallet.

Brøkene 1=2 og 3=6 er altså like. De representerer begge det reelle tallet som kan skrives som 0,5 på desimalform siden 1 : 2 ¼ 0,5 og 3 : 6 ¼ 0,5.

Det motsatte av å utvide en brøk er å forkorte en brøk. Vi gjør dette ved å dividere med samme faktor (ulik null) over og under brøkstreken. For eksempel er 124 ¼ 2 2 31 ¼ 2= 2= 31 ¼ 31 368 2 2 92 2= 2= 92 92 Vi har dividert med 4 over og under brøkstreken. Det endrer ikke verdien til brøken. Når teller og nevner er skrevet som et produkt av faktorer, kan vi stryke eller forkorte de faktorene som er felles. Det er det samme som å dividere med disse faktorene i teller og nevner. Husk at dette kun fungerer om teller og nevner er skrevet som et produkt av faktorer. Husk også at om vi stryker den siste faktoren i teller eller nevner, står det 1 igjen etter at vi har dividert med denne faktoren. For eksempel er 3= 3 3 1 ¼ ¼ ¼ 24 3 8 3= 8 8

og

24 3 8 3= 8 8 ¼ ¼8 ¼ ¼ 3= 3 3 1

siden 3 : 3 ¼ 1.

Addisjon og subtraksjon av brøker To brøker kan alltid utvides slik at de får samme nevner, og denne nevneren kalles fellesnevner. Det er alltid mulig å bruke produktet av nevnerne som fellesnevner, men det er ikke alltid det enkleste. Når vi skal legge sammen eller trekke fra hverandre to brøker, utvider vi alltid til fellesnevner først. For eksempel er 1 3 1 7 3 2 7 6 13 þ ¼ þ ¼ þ ¼ 2 7 2 7 7 2 14 14 14

21

0

22

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Her har vi brukt fellesnevner 2 7 ¼ 14. Når først brøkene har felles nevner, er addisjon og subtraksjon lett å utføre. Et annet eksempel er 10 1 ¼ 10 2 1 7 ¼ 20 7 ¼ 13 21 6 21 2 6 7 42 42 42 Her er nevnerne 21 ¼ 3 7 og 6 ¼ 2 3, og vi har brukt fellesnevner 3 7 2 ¼ 42.

Vi kunne også brukt 21 6 ¼ 126 som fellesnevner, men det er enklere å bruke 42. Legg merke til at den felles faktoren 3 tas med to ganger i produktet 126, men kun e´n gang i 42. Tallet 42 kalles minste felles multiplum av 21 og 6.

Multiplikasjon og divisjon av brøker Vi multipliserer brøker ved å multiplisere teller med teller og nevner med nevner.

Brøkene trenger ikke ha samme nevner. For eksempel er 1 3 1 3 3 ¼ ¼ 2 5 2 5 10 Når en brøk m=n er ulik null, er telleren m 6¼ 0, og ðm=nÞ 1 er den omvendte brøken n=m, der teller og nevner har byttet plass. For eksempel er ð3=5Þ 1 ¼ 5=3.

Det skyldes at en brøk multiplisert med den omvendte brøken alltid gir 1 som svar. For eksempel er 3 5 3 5 15 ¼ ¼ ¼1 5 3 5 3 15 Divisjon med en brøk er det samme som multiplikasjon med den omvendte brøken. Det er fordi divisjon med et tall a 6¼ 0 er det samme som multiplikasjon med a 1 . For eksempel er

1 3 1 3 1 1 5 1 5 5 : ¼ ¼ ¼ ¼ 2 5 2 5 2 3 2 3 6

Regning med brøker og heltall Ethvert heltall a kan gjøres om til en brøk ved omskrivningen a ¼ a=1 siden a : 1 ¼ a. Når vi regner med blandede uttrykk som inneholder både brøker og heltall, er det nyttig å skrive om alle uttrykkene til brøker. For eksempel er 3

4 3 4 3 4 12 ¼ ¼ ¼ 5 1 5 1 5 5

og

2þ

2 2 2 10 2 12 ¼ þ ¼ þ ¼ 5 1 5 5 5 5

I det siste eksempelet har vi utvidet brøkene til fellesnevner 5.

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Oppgaver til delkapittel 0.2

0

Oppgave 0.2.1 Regn ut ved hjelp av brøkregning: a) 1=3 1=5

b) 2=21 þ 1=6

c) 1=3 6=7

d) 1=5 : 2=3

Oppgave 0.2.2 Regn ut ved hjelp av brøkregning: a) 3 þ 1=5

b) 2=15 1=18

c) 3=5 7=4

d) 1 2=3 þ 3 4=15

0.3 Potenser Når et tall a multipliseres med seg selv gjentatte ganger, kalles det en potens med grunntall a. Vi bruker skrivemåten a a ffla{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl . . . ffla} an ¼ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl n faktorer

for potenser. Det positive heltallet n kalles eksponenten og angir antall ganger grunntallet a opptrer som faktor. For eksempel er 22 ¼ 2 2 ¼ 4,

23 ¼ 2 2 2 ¼ 8,

24 ¼ 2 2 2 2 ¼ 16,

25 ¼ 2 2 2 2 2 ¼ 32

En potens a2 med eksponent to kalles noen ganger et kvadrat, siden arealet av et kvadrat med side s er s2 . Eksempler på kvadrater er 12 ¼ 1

22 ¼ 4

23

32 ¼ 9

42 ¼ 16

52 ¼ 25

For alle reelle tall a er kvadratet a2 0. Grunnen til at et kvadrat ikke kan være negativt, er at a2 ¼ a a er et produkt av to faktorer med samme fortegn eller to faktorer som begge er lik null. For eksempel er kvadratene 22 ¼ 4 og ð 2Þ2 ¼ 4 begge positive med samme verdi.

Fortegnet til potensen an avhenger av om n er et partall eller et oddetall.

For eksempel er ð 2Þ2 ¼ ð 2Þ ð 2Þ ¼ 4 ð 2Þ3 ¼ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ¼ 8 ð 2Þ4 ¼ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ¼ 16 ð 2Þ5 ¼ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ ¼ 32 Vi ser at når a er et negativt tall, er an er positiv når n er et partall og negativ når n er et oddetall.

24

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Oppgaver til delkapittel 0.3 Oppgave 0.3.1 Regn ut uten kalkulator: a) 34

b) 26

c) 53

d) 35

e) 24

f) 42

Oppgave 0.3.2 Regn ut uten kalkulator: a) ð 1Þ7

b) ð 3Þ3

c) 33

d) 44

e) ð 4Þ4

Oppgave 0.3.3 Regn ut uten kalkulator: a)

23 ð22 Þ4 22 26

b)

65 ð32 Þ3 26 37 62

c)

34 ð 3Þ2 33 ð 1Þ3

d) 35 63

0.4 Røtter

pffiffiffi Kvadratroten til et positivt tall a skrives a og er det positive tallet med kvadrat a. pffiffiffi pffiffiffiffiffi For eksempel er 4 ¼ 2 siden 4 ¼ 22 er kvadratet av 2, og 49 ¼ 7 siden pffiffiffi 49 ¼ 72 . Når a er et negativt tall, er ikke a definert siden et kvadrat ikke pffiffiffi kan være negativt. Når a ¼ 0, definerer vi 0 ¼ 0 siden 02 ¼ 0. pffiffiffi pffiffiffi Legg merke til at 4 ¼ 2 selv om både 22 ¼ 4 og ð 2Þ2 ¼ 4. Vi ønsker at a pffiffiffi kun skal ha e´n verdi, og har valgt å definere a til å være positiv når a er positiv. pffiffiffi Hvis vi mener det negative tallet med kvadrat a, må vi skrive a.

Det er ofte vanskelig å uttrykke en kvadratrot på desimalform. For eksempel pffiffiffi er 2 et tall mellom 1 og 2, siden 2 ligger mellom 12 ¼ 1 og 22 ¼ 4. Man kan pffiffiffi finne en tilnærmingsverdi for 2 ¼ 1,41421 . . . ved hjelp av kalkulator. pffiffiffi Tredjeroten til et tall a er det tallet x slik at x3 ¼ a, og skrives 3 a. For pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi eksempel er 3 8 ¼ 2 og 3 8 ¼ 2. Tredjeroten 3 a er definert for alle reelle tall a og kan være både positiv og negativ. pffiffiffi Roten av orden n til et tall a (eller n’te-roten til a) skrives n a, og den defineres på ulik måte alt ettersom n er et partall eller et oddetall. Når n er et pffiffiffi pffiffiffi partall, er n a det tallet x 0 slik at xn ¼ a. Når n er et oddetall, er n a det tallet x slik at xn ¼ a. pffiffiffi pffiffiffi Når n er et partall, er n a kun definert når a 0. Verdien n a 0. Når n pffiffiffi pffiffiffi er et oddetall, er n a definert for alle reelle tall a. Verdien n a kan være både positiv og negativ.

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Oppgaver til delkapittel 0.4

0

Oppgave 0.4.1 Regn ut uten kalkulator: pffiffiffiffiffi pffiffiffi a) 16 b) 1

c)

ffiffiffiffiffi p 3 27

d)

p ffiffiffiffiffiffiffi 3 1

e)

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 27

c)

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 32

pffiffiffiffiffiffiffi d) 144

e)

pffiffiffiffiffiffiffiffi 4=9

Oppgave 0.4.2 Regn ut uten kalkulator: pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 100 b) 5 32 Oppgave 0.4.3 Regn ut. Bruk gjerne kalkulator: pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi c) 3 a) 356 b) 5 31

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d) 4 þ 9

0.5 Parenteser Regneoperasjoner kombineres ofte i sammensatte uttrykk. For eksempel inneholder det sammensatte uttrykket 60 þ 140 1,05 en addisjon og en multiplikasjon.

Når vi skal regne ut slike uttrykk, må vi finne ut i hvilken rekkefølge vi skal utføre regneoperasjonene. En vanlig misforståelse er at sammensatte uttrykk alltid regnes ut fra venstre, slik at operasjonene lengst til venstre utføres først.

Dette er ikke riktig.

For å gjøre det helt klart i hvilken rekkefølge operasjonene skal utføres, kan vi bruke parenteser. Parenteser styrer rekkefølgen ved at uttrykket inne i parentesen regnes ut først, og deretter erstattes hele parentesen med resultatet av utregningen. Det kalles å løse opp parentesen. I eksempelet ovenfor er det to ulike måter å sette parenteser på: 60 þ ð140 1,05Þ ¼ 60 þ 147 ¼ 207

25

og

ð60 þ 140Þ 1,05 ¼ 210

Vi ser at resultatene ikke er like, og at rekkefølgen er viktig for å kunne regne ut uttrykket 60 þ 140 1,05. Hvilken rekkefølge skal vi velge om det ikke er satt noen parenteser?

Om parenteser ikke er angitt, må vi bruke prioritetsreglene til å bestemme rekkefølgen. Ifølge disse prioritetsreglene skal operasjoner med høyere prioritet utføres før operasjoner med lavere prioritet. Operasjoner med samme prioritet utføres fra venstre mot høyre. Prioritetsnivåene, fra høyest til lavest prioritet, er følgende:

26

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Prioritetsnivåer 1) Parenteser

2) Potenser og røtter

3) Multiplikasjon og divisjon

4) Addisjon og subtraksjon

Det er altså slik at multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon, og at potenser og røtter utføres før multiplikasjon og divisjon. Operasjoner på høyere prioritetsnivå sies å binde sterkere. I eksempelet utføres multiplikasjon før addisjon: 60 þ 140 1,05 ¼ 60 þ 147 ¼ 207 Hvis vi utfører operasjonene fra venstre uten å bruke prioritetsreglene, får vi altså ikke riktig resultat. I uttrykk som 22 skal vi regne ut potensen 22 først.

Vi kan tenke på det negative fortegnet som multiplikasjon med 1, slik at vi oppfatter uttrykket som 22 ¼ 1 22 ¼ 1 4 ¼ 4 Dersom vi ønsker å regne ut kvadratet av 2, må vi skrive ð 2Þ2 . Det gir resultatet ð 2Þ2 ¼ ð 2Þ ð 2Þ ¼ 4.

Legg merke til at mange enkle kalkulatorer kun kan regne fra venstre, og de vil altså ikke gi korrekt svar i eksempelet 60 þ 140 1,05. Undersøk hvilket svar din kalkulator gir før du går videre. En del kalkulatorer har innstillinger som gjør det mulig å velge at utregninger skal følge prioritetsreglene og ikke gjøres fra venstre mot høyre. Merkelig nok er ikke nye kalkulatorer alltid innstilt slik, så det er lurt å sjekke om du trenger å endre innstilling på din kalkulator.

Det er viktig å være nøyaktig med bruk av parenteser, slik at man unngår misforståelser. Parenteser som mangler, er en svært vanlig årsak til feil, og slike feil kan lett unngås. Husk at når andre leser matematiske uttrykk du har skrevet, kan de ikke vite hvilken rekkefølge du har tenkt regningen skal gjøres i, om du ikke angir den nøyaktig med parenteser!

Oppgaver til delkapittel 0.5 Oppgave 0.5.1 Regn ut uten kalkulator: a) 1 þ 2 3

b) 12

c) 3 ð2 32 þ 5Þ 4

d) 1=2 ð1=4Þ2

Oppgave 0.5.2 Regn ut uten kalkulator: a) 1=3 2

b) 2 5 32

c) 2 þ ð1 7Þ2

d) ð1 þ 3 ð4 1Þ2 2Þ 2

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

0.6 Algebraiske uttrykk En variabel er et symbol som representerer et tall, gjerne et tall med en verdi som ikke er spesifisert. Vi bruker ofte bokstaver som x, y og z for variabler.

For eksempel skriver vi at xþy ¼yþx i stedet for å si at «summen av et tall og et annet tall er lik summen av det andre tallet og det første tallet». Symbolet x representerer det første tallet, og symbolet y representerer det andre tallet. Vi ser at utsagnet blir kortere, mer presist og enklere å lese når vi bruker variabler (symboler) i stedet for ord.

Et algebraisk uttrykk er uttrykk som er bygget opp av variabler og tall ved hjelp av regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, potenser og røtter. Med potenser mener vi potenser med gitte positive heltall som eksponenter. Regneoperasjonene vi har gått gjennom i kapittel 0, er altså akkurat de som kan inngå i algebraiske uttrykk. Parenteser kan også inngå i algebraiske uttrykk.

Vi kan tenke på algebraiske uttrykk som «regnestykker» som kan evalueres eller regnes ut når vi erstatter variablene med tall. Uttrykkene pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x x2 þ 1 1 x þ x2 1þx er eksempler på algebraiske uttrykk i e´n variabel x. Vi kan for eksempel evaluere det algebraiske uttrykket 1 x þ x2 i x ¼ 2 ved å erstatte variabelen x med tallet 2. Vi får da 1 x þ x2 ¼ 1 2 þ 22 ¼ 1 2 þ 4 ¼ 3. Vi tar også med noen eksempler på algebraiske uttrykk i to variabler x og y: x3 þ x2 y 4y þ

pffiffiffi y

og

xy 1 þ x2 ðy3 1Þ x2 þ y2

Det er vanlig å utelate multiplikasjonstegnet der det ikke kan føre til misforståelser, som når vi multipliserer med en variabel eller en parentes.

Det kan være flere grunner til å bruke algebraiske uttrykk, med variabler som har verdier som ikke er spesifisert. Noen ganger er det fordi vi ønsker å uttrykke noe generelt som gjelder for mange ulike verdier av variablene. Andre ganger er det fordi en variabel representerer en verdi som ikke er kjent.

Når to algebraiske uttrykk er like for alle mulige verdier av variablene som inngår, kalles likheten en algebraisk lov. Et eksempel på en algebraisk lov er x þ y ¼ y þ x. Uansett hvilke tall vi setter inn for x og y, vil uttrykket x þ y og uttrykket y þ x få samme verdi. De algebraiske lovene kalles også regneregler og uttrykker allmenngyldige egenskaper ved de reelle tallene. Den algebraiske loven x þ y ¼ y þ x forteller oss at summen av to reelle tall er uavhengig av rekkefølgen.

27

0

28

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

En algebraisk likning er en påstand eller krav om at to algebraiske uttrykk har samme verdi. Et eksempel på en algebraisk likning er 5x 3 ¼ x þ 5 I en likning er det ofte bestemte (men ukjente) verdier av variablene som gjør påstanden sann eller oppfyller kravet i likningen. Disse verdiene kalles løsninger av likningen. I eksempelet viser det seg at x ¼ 2 er den eneste løsningen av likningen.

Oppgaver til delkapittel 0.6 Oppgave 0.6.1 Evaluer disse uttrykkene i x ¼ 2: a) 3x x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b) x2 þ 5 1

c) x3 3x2 1

d) ðx 2Þ ð1 þ xÞ 3x x ðx 7Þ

Oppgave 0.6.2 Sett inn x ¼ 2 i likningene. Er x ¼ 2 en løsning? a) 3x 1 ¼ x þ 4 c) ð2x þ 1Þ ðx 2Þ ¼ 0

b) x2 4x ¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d) x þ 2 ¼ 4 x

0.7 Algebraiske lover Regning med algebraiske uttrykk er nyttig i mange sammenhenger, for eksempel når vi løser likninger. Vi ønsker gjerne å skrive uttrykkene enklest mulig. Ofte ønsker vi også å skrive uttrykkene på en bestemt form, for eksempel som et produkt.

Det vi kaller regning med algebraiske uttrykk, er egentlig omskrivninger som benytter seg av algebraiske lover. Det er derfor viktig å kjenne de algebraiske lovene godt. De viktigste algebraiske lovene er de kommutative, assosiative og distributive lovene. Regning med algebraiske uttrykk handler ofte om å kombinere disse lovene.

De kommutative lovene a) x þ y ¼ y þ x

b) x y ¼ y x

De assosiative lovene c) ðx þ yÞ þ z ¼ x þ ðy þ zÞ Den distributive loven e) x ðy þ zÞ ¼ x y þ x z

d) ðx yÞ z ¼ x ðy zÞ

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

De kommutative lovene for addisjon og multiplikasjon uttrykker at rekkefølgen av leddene i en sum eller av faktorene i et produkt ikke har noen betydning for resultatet.

I en sum med tre ledd kan vi regne ut summen på to ulike måter uten å bytte om på rekkefølgen av leddene. Det samme gjelder et produkt av tre faktorer.

Vi må i hvert tilfelle gjøre to operasjoner, og vi kan velge rekkefølgen av operasjonene. De assosiative lovene for addisjon og multiplikasjon uttrykker at det ikke har noen betydning for resultatet hvilken av operasjonene vi gjør først.

På grunn av de assosiative lovene kan vi skrive x þ y þ z og x y z uten å bruke parenteser. Hvis vi bruker de kommutative lovene gjentatte ganger, ser vi at rekkefølgen er uten betydning også i summer med flere enn to ledd og i produkter med mer enn to faktorer.

Den distributive loven uttrykker at multiplikasjon med en sum gir samme resultat som summen av multiplikasjonen med hvert av leddene. Når vi bruker den distributive loven, kalles det å multiplisere ut parenteser, og når vi bruker vi den distributive loven baklengs, kalles det sammentrekning. For eksempel får vi ved den distributive loven at 2ðx yÞ ¼ 2x 2y

og

2x þ 4x ¼ ð2 þ 4Þx ¼ 6x

Hvis vi bruker den distributive loven gjentatte ganger, kan vi multiplisere sammen flere parenteser som har flere ledd hver. For eksempel er ðx þ 3Þðy 1Þ ¼ xðy 1Þ þ 3ðy 1Þ ¼ xy x þ 3y 3 Når vi multipliserer variabler med tall, er det vanlig å skrive produktet slik at tallet står foran variablene. Tallet kalles da en koeffisient. For eksempel kan vi skrive ðx 3Þðx þ 5Þ ¼ x2 þ x 5 3x 15 ¼ x2 þ 5x 3x 15 ¼ x2 þ 2x 15

Oppgaver delkapittel 0.7 Oppgave 0.7.1 Multipliser ut og trekk sammen: a) ð2x 1Þð3 xÞ þ ðx 4Þð2 3xÞ

b) x2 ðx 2Þ xð2x 3Þ

c) xðx þ yÞ ðx yÞy Oppgave 0.7.2 Multipliser ut og trekk sammen: a) ðx þ 2Þx ðx þ 1Þðx 2Þ þ 5

b) ðx þ 3Þ2 ðx þ 2Þðx þ 4Þ

c) ðu þ vÞðu vÞ Oppgave 0.7.3 Trekk sammen uttrykkene og skriv så enkelt som mulig: b) 2x 1 þ x þ 3 x c) x þ 2 1 a) 1 1 x xþ1 3 5 2 x 2 xþ1 x

29

0

30

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

0.8 Kvadratsetningene Vi kan bruke de algebraiske lovene til å regne ut, eller skrive om, uttrykkene ðx þ yÞ2

ðx yÞ2

ðx þ yÞðx yÞ

som er henholdsvis kvadratet av en sum eller differanse av to variabler, og produktet av summen og differansen mellom de samme to variablene. Resultatene kalles med et fellesnavn kvadratsetningene. Det ville egentlig vært riktigere å kalle den tredje setningen for konjugatsetningen. Uttrykket ðx þ yÞðx yÞ er jo ikke et kvadrat.

Kvadratsetningene er bestemte kombinasjoner av kommutative og distributive lover. For eksempel kan vi skrive om ðx þ yÞ2 på følgende måte ved hjelp av disse algebraiske lovene: ðx þ yÞ2 ¼ ðx þ yÞðx þ yÞ ¼ x2 þ yx þ xy þ y2 ¼ x2 þ xy þ xy þ y2 ¼ x2 þ 2xy þ y2 Grunnen til at kvadratsetningene er viktige og har egne navn, er at de brukes så ofte. Det lønner seg å kunne kvadratsetningene (inkludert konjugatsetningen) svært godt.

Kvadratsetningene a) ðx þ yÞ2 ¼ x2 þ 2xy þ y2 b) ðx yÞ2 ¼ x2 2xy þ y2 Konjugatsetningen c) ðx þ yÞðx yÞ ¼ x2 y2

Leddet 2xy i de to kvadratsetningene kalles kryssleddet, og det er en vanlig feil å glemme kryssleddet. Vi kan bruke kvadratsetningene gjentatte ganger for å skrive om kvadratet av summer med flere enn to ledd. For eksempel er

2 ðx þ y zÞ2 ¼ ðx þ yÞ z ¼ ðx þ yÞ2 2ðx þ yÞz þ z 2 ¼ x2 þ 2xy þ y2 2xz 2yz þ z 2 Vi kan også bruke kvadratsetningene baklengs. For eksempel er x2 þ 8x þ 16 ¼ x2 þ 2 x 4 þ 42 ¼ ðx þ 4Þ2 For at vi skal kunne bruke kvadratsetningene baklengs, må vi kjenne igjen et uttrykk som et kvadrat. Det krever at man kan kvadratsetningene godt.

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Oppgaver til delkapittel 0.8

0

Oppgave 0.8.1 Skriv om uttrykkene ved hjelp av kvadratsetningene: a) ð2x 3Þ2

b) ðu vÞ2 þ ðu þ vÞ2

c) ð2x þ 3yÞð2x 3yÞ

Oppgave 0.8.2 Skriv uttrykkene som kvadrater: a) x2 4x þ 4

b) 4y2 þ 12y þ 9

c) w2 þ 14w þ 49

0.9 Likninger En algebraisk likning er en påstand om at to algebraiske uttrykk er like. Likningen kan inneholde e´n eller flere variabler, som gjerne kalles ukjente ettersom variablene representerer tall med ukjent verdi. Likningene 2x 1 ¼ x þ 7

og

x2 3x þ 2 ¼ 0

er eksempler på algebraiske likninger med e´n ukjent x, og likningene 3x 5y ¼ 15

31

og

x2 þ y2 ¼ 4

er eksempler på algebraiske likninger med to ukjente x og y. Hvis vi setter inn en verdi for hver av de ukjente i en likning, er påstanden i likningen enten sann eller usann. En løsning av en likning er en verdi for hver av de ukjente som gjør påstanden sann. Vi kan tenke på en likning som et krav og løsningene av likningen som de verdiene av variablene som oppfyller kravet.

I likningen 2x 1 ¼ x þ 7 kan man se at x ¼ 8 er en løsning, fordi påstanden er sann når man setter inn x ¼ 8: Man får da 2x 1 ¼ 2 8 1 ¼ 15 på venstre side, og 8 þ 7 ¼ 15 på høyre side i likningen. Påstanden er sann fordi venstre side er lik høyre side. I likningen 3x 5y ¼ 15 er x ¼ 5 og y ¼ 0 en løsning, fordi innsetting gir at venstre side er lik 3 5 5 0 ¼ 15, og at høyre side er lik 15. Det er vanlig å skrive løsningen med x ¼ 5 og y ¼ 0 som tallparet ðx, yÞ ¼ ð5, 0Þ.

Det viser seg at likningen 2x 1 ¼ x þ 7 kun har den ene løsningen x ¼ 8, mens likningen 3x 5y ¼ 15 har mange løsninger, som ðx, yÞ ¼ ð5, 0Þ og ðx, yÞ ¼ ð0, 3Þ. Likningen x2 þ 1 ¼ 0 har ingen løsninger, fordi kvadratet x2 ikke kan ha negative verdier. For at vi skal få null på venstre side, må jo x2 ¼ 1.

En algebraisk likning kan ha e´n løsning, flere løsninger eller ingen løsninger.

32

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Når vi skal finne løsningene til en likning, forsøker vi å forenkle likningen ved å utføre operasjoner som bevarer løsningene til likningen, slik at løsningsmengden (det vil si samlingen av alle løsninger) er den samme før og etter operasjonen. Slike operasjoner kalles lovlige operasjoner. Det vi ønsker å oppnå, er å erstatte likningen med en annen likning med de samme løsningene på en slik måte at den nye likningen er enklere (slik at det blir lettere å se hva løsningene er).

Vi presenterer nedenfor noen operasjoner som er lovlige. Det er ikke de eneste lovlige operasjonene på likninger, men det er de vi bruker oftest, og de eneste vi trenger for å løse en del enkle likninger.

Noen lovlige operasjoner: a) Å legge til eller trekke fra samme uttrykk på begge sider av likningen. b) Å multiplisere eller dividere med samme uttrykk, med verdi ulik null, på begge sider av likningen.

Vi tar med et eksempel som viser hvordan vi løser likningen 3x þ 2 ¼ 11 ved å bruke de lovlige operasjonene ovenfor: 3x þ 2 ¼ 11

Steg 1: Vi trekker fra 2 p˚a begge sider av likningen

3x þ 2 2 ¼ 11 2 3x ¼ 9 3x ¼ 9 3 3 x¼3

Steg 2: Vi deler p˚a 3 p˚a begge sider av likningen

Vi sier at vi har løst likningen for x. Likningen x ¼ 3 har en form som gjør det lett å lese av hva løsningene er. Det er fordi x står alene på venstre side, mens uttrykket på høyre side ikke inneholder x. Vi ser at x ¼ 3 er en løsning, og at det er den eneste løsningen. Siden vi kun har brukt lovlige operasjoner, gjelder det samme for den opprinnelige likningen 3x þ 2 ¼ 11. Legg merke til at vi kun har gjort to lovlige operasjoner. Resten er kun utregning og forenkling av uttrykk.

Det er viktig å tenke på hvilke lovlige operasjoner det er lurt å gjøre for å få den ukjente alene. I eksempelet ovenfor har vi tenkt slik: For å gjøre om 3x þ 2 slik at x blir stående alene, må vi først trekke fra 2 (som gir 3x) og deretter dividere med 3 (som gir x).

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Når begge sider av likningen inneholder den ukjente x, bør vi først sørge for å samle alle ledd som inneholder x på den ene siden av likningen. Vi viser løsning av likningen 2x 1 ¼ x þ 7 som et eksempel: 2x 1 ¼ x þ 7

Steg 1: Vi trekker fra x p˚a begge sider av likningen

2x 1 x ¼ x þ 7 x x 1 ¼ 7

Steg 2: Vi legger til 1 p˚a begge sider av likningen

x 1þ1 ¼ 7þ1 x¼8 Likningen har altså løsningen x ¼ 8, og kun den. Vår strategi i dette tilfellet var altså først å samle alle ledd med x på venstre side og alle konstantledd (ledd uten x) på høyre side.

I beskrivelsen av de lovlige operasjonene ovenfor, brukte vi begrepet et uttrykk med verdi ulik null. Med uttrykk mener vi enten et tall eller et algebraisk uttrykk. Når vi multipliserer eller dividerer med et algebraisk uttrykk uðxÞ i en ukjent variabel x, er det kun løsningene med uðxÞ 6¼ 0 som med sikkerhet blir bevart. Vi må derfor være påpasselige når vi utfører slike operasjoner.

Når vi multipliserer eller dividerer med et algebraisk uttrykk uðxÞ i en likning, må vi sjekke om eventuelle løsninger x med uðxÞ ¼ 0 bevares.

Hvis vi for eksempel dividerer likningen x2 3x ¼ 0 med x på begge sider, får vi x 3 ¼ 0. Den nye likningen har løsningen x ¼ 3, og kun den. Ettersom vi har dividert med x, er det kun løsninger med x 6¼ 0 vi vet er bevart. Men hva skjer med x ¼ 0? Vi kan undersøke det ved å sette x ¼ 0 inn i den opprinnelige likningen x2 3x ¼ 0. Vi ser at det er en løsning. I dette eksempelet mister vi altså løsningen x ¼ 0 når vi dividerer med x.

En bedre metode for å løse likningen x2 3x ¼ 0, er å skrive venstre side som xðx 3Þ, et produkt av to faktorer. Da blir likningen xðx 3Þ ¼ 0. Vi vet at et produkt er null hvis og bare hvis minst en av faktorene er null. Vi får dermed xðx 3Þ ¼ 0

)

x ¼ 0 eller

x 3¼0

og ser at x ¼ 0 og x ¼ 3 er løsningene til denne likningen. Å skrive et algebraisk uttrykk som et produkt av faktorer, kalles å faktorisere uttrykket. Det er svært nyttig å faktorisere den ene siden i en likning, når den andre siden av likningen er lik null.

33

0

34

0

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Likninger og faktorisering Likningen uðxÞ vðxÞ ¼ 0 har som løsning alle verdier av x slik at uðxÞ ¼ 0 eller vðxÞ ¼ 0.

Det kan være nyttig å tenke på hvorfor nettopp operasjonene nevnt ovenfor er lovlige operasjoner (altså hvorfor de bevarer løsningene i likningen). Grunnen er at operasjonene utføres på hele venstre side og hele høyre side av likningen, og at operasjonene er reversible. Det å legge til et uttrykk på begge sider av likningen kan reverseres ved å trekke fra samme uttrykk på begge sider. Det å multiplisere med et uttrykk på begge sider kan reverseres ved å dividerer med det samme uttrykket på begge sider, så lenge verdien av uttrykket er ulik null.

Legg merke til at når vi trekker fra 2 i likningen 3x þ 2 ¼ 11, har det følgende effekt: Leddet þ2 på venstre sider forsvinner, og det dukker opp et nytt ledd 2 på høyre side. Vi kan skrive det slik, der pilen indikerer at vi utfører en lovlig operasjon: 3x þ 2 ¼ 11 ) 3x ¼ 11 2 Dette kalles å flytte over et ledd, og når vi gjør dette, må vi alltid bytte fortegn på leddet som flyttes over. Selv om vi sier at vi flytter over et ledd, tenker vi at vi trekker fra leddet på begge sider av likningen.

Dersom en likning inneholder brøker, lønner det seg å multiplisere likningen med produktet av nevnerne (eller fellesnevneren) slik at vi får en likning uten brøker. For eksempel kan vi multiplisere likningen 3 1 ¼ x 2 med 2x, og det vil bevare alle løsninger med 2x 6¼ 0. Effekten av å multiplisere med 2x er at vi får 3 2 ¼ 1 x, og derfor kalles operasjonen kryssmultiplikasjon.

Kryssmultiplikasjon betyr at altså at nevneren på venstre side multipliseres med telleren på høyre side, og omvendt. Selv om vi sier at vi kryssmultipliserer, tenker vi at vi multipliserer med fellesnevneren på hver side av likningen.

I dette tilfellet ser vi at vi får 6 ¼ x, eller at x ¼ 6. Vi sjekker spesielt om x ¼ 0 kan være en løsning, siden multiplikasjon med 2x kun bevarer løsninger der 2x 6¼ 0, det vil si x 6¼ 0. Men i dette tilfellet er x ¼ 0 ikke en løsning, og løsningene av likningen er derfor x ¼ 6.

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

Oppgaver til delkapittel 0.9

0

Oppgave 0.9.1 Sett inn ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ i likningene. Er ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ en løsning? a) 3x 5y ¼ x 4

b) x2 þ y2 ¼ 13

c) ð2x þ 1Þðy 2Þ ¼ 0

d) xy ¼ x þ y þ 1

Oppgave 0.9.2 Løs følgende likninger: a) 4x þ 1 ¼ 11

b) x 2 ¼ 3x þ 4

c) 2x þ 4 ¼ 3ðx þ 2Þ

d) 3x þ 4 ¼ 3x þ 2

Oppgave 0.9.3 Løs følgende likninger: a) x2 4x ¼ 0 3

b) ðx þ 1Þðx 3Þ ¼ 0

2

c) x 3x ¼ 0

d) xðx þ 2Þðx 4Þ ¼ 0

Løsning av oppgaver i kapittel 0 Oppgave 0.1.1 a) 13,1

b) 73

c) 105

d) 496

b) 85,6

c) 1,05

d) 4,96

Oppgave 0.1.2 a) 33,98 Oppgave 0.1.3 a) 0,5

b) 0,333 . . .

c) 0,25

d) 0,2

e) 0,166 . . .

f) 0,125

c) 1,25

d) 0,6

e) 0,833 . . .

f) 0,375

Oppgave 0.1.4 a) 3,5

b) 1,333 . . .

Oppgave 0.2.1 a) 2=15

b) 11=42

c) 6=21 ¼ 2=7

d) 3=10

b) 7=90

c) 21=20

d) 2=15

Oppgave 0.2.2 a) 16=5

35

36

DEL I FORBEREDENDE STOFF

Oppgave 0.3.1

0

a) 81

b) 64

c) 125

d) 243

e) 16

c) 27

d) 256

e) 256

c) 27

d) 27

Oppgave 0.3.2 a) 1

b) 27

Oppgave 0.3.3 a) 8

b) 9=8

Oppgave 0.4.1 a) 4

b) 1

c) 3

d) 1

e) 3

c) 2

d) 12

e) 2=3

Oppgave 0.4.2 a) 10

b) 2

Oppgave 0.4.3 a) 18,868

b) 1,987

c) 1,732

d) 3,606

Oppgave 0.5.1 a) 7

b) 1

c) 11

d) 7=16

c) 38

d) 52

c) 5

d) 4

Oppgave 0.5.2 a) 2=3

b) 1

Oppgave 0.6.1 a) 2

b) 2

Oppgave 0.6.2 a) x ¼ 2 er ikke løsning siden 5 6¼ 6 b) x ¼ 2 er ikke løsning siden 4 6¼ 4 c) x ¼ 2 er løsning siden 0 ¼ 0 d) x ¼ 2 er løsning siden 2 ¼ 2 Oppgave 0.7.1 a) 5x2 þ 21x 11

b) x3 4x2 þ 3x

Oppgave 0.7.2 a) 2x2 x þ 7

b) 1

c) u2 v2

c) x2 þ y2

f) 16

ALGEBRA OG ALGEBRAISKE UTTRYKK

37

Oppgave 0.7.3 a)

1 xðx þ 1Þ

b)

11x þ 8 30

c)

x3 þ 2x2 3x þ 2 xðx 2Þðx þ 1Þ

Oppgave 0.8.1 a) 4x2 12x þ 9

b) 2u2 þ 2v2

c) 4x2 9y2

b) ð2y þ 3Þ2

c) ðw þ 7Þ2

Oppgave 0.8.2 a) ðx 2Þ2 Oppgave 0.9.1 a) ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ er løsning siden 1 ¼ 1 b) ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ er løsning siden 13 ¼ 13 c) ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ er løsning siden 0 ¼ 0 d) ðx, yÞ ¼ ð3, 2Þ er løsning siden 6 ¼ 6 Oppgave 0.9.2 a) x ¼ 3

b) x ¼ 3

c) x ¼ 2

Oppgave 0.9.3 a) x ¼ 0, x ¼ 4

c) x ¼ 0, x ¼ 3

b) x ¼ 1, x ¼ 3

d) x ¼ 0, x ¼ 2, x ¼ 4

d) ingen løsning

0