0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 9 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
Innhold
1
Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Hva er statistikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bruk av modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Beskrivende statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Beskrivende statistikk med Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 16 17 29 34
2
Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 En enkel sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Utfall og mengdelĂŚre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Regneregler for sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kombinatorikk og utvalgsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Betinget sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Uavhengighet og produktmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35 41 45 49 59 68 74
3
Diskrete stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Hva er en stokastisk variabel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sannsynlighetsfordeling og fordelingsfunksjon . . . . . . . . . . . . . 3.3 Forventning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Flere stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Hypergeometrisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Poissonfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 83 85 91 97 105 110 116 119 123
4
Kontinuerlige stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Oppbygging av en kontinuerlig sannsynlighetsmodell . . . . . . . 4.2 Eksponensialfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 TilnĂŚrming til normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131 131 142 145 152 159
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 10 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
10
INNHOLD
5
Estimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Innledning til den statistiske analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Punktestimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Intervallestimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Vurdering av utvalgsstørrelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169 169 172 176 180 188 193
6
Hypotesetesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Hypotesetest på et eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Hypotesetesting i målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Hypotesetesting ved normaltilnærming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Styrkefunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Signifikanssannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 t-fordelingen og t-tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Tosidig test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199 199 203 208 210 216 222 229 236
7
Korrelasjon og regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Korrelasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Regresjonsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Mer om regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247 247 249 258 263
8
Sammenligning av to grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 To grupper i målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 To grupper i binomisk og i hypergeometrisk modell . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273 273 279 287
9
Ikke-parametriske metoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Parametrisk – ikke-parametrisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Tegntesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Wilcoxons ett-utvalgstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Wilcoxons to-utvalgstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297 297 298 302 307 310
10
Kjikvadrattester og kontingenstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Kjikvadratfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Test av modell. Helspesifisert hypotese . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Kontingenstabeller og uavhengighetstest . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315 315 316 320 328
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 11 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
INNHOLD
11
11
Statistisk analyse med Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Intervallestimering og hypotesetesting i m책lemodellen . . . . . . 11.3 Korrelasjon og regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Sammenligning av to grupper i m책lemodellen . . . . . . . . . . . . . 11.5 Ikke-parametriske tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Kjikvadrattester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Videre muligheter i Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337 337 340 342 345 346 348 349 350
Eksamensoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 5550 Statistikk I 8.01.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 6005 Statistikk I 3.05.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 6005 Statistikk I 7.01.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 6005 Statistikk I 2.05.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 6005 Statistikk I 3.01.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksamen 6005 Statistikk I 6.05.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353 353 356 359 362 365 368
Utvalgte svar p책 oppgavene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Tillegg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Greske bokstaver og summetegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabell over N(0, 1)-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabell over t-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabell over kjikvadratfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381 381 382 384 385
Stikkordregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 35 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
2
Sannsynlighetsregning
2.1 En enkel sannsynlighetsmodell Når vi kaster en mynt eller en terning, kan vi ikke forutsi hva resultatet av hvert enkelt kast vil bli. Vi kan angi en mengde av mulige resultater, og vi vil etter hvert knytte sannsynligheter til hvert av de mulige resultatene. Et slikt forsøk kalles et stokastisk forsøk. Det som generelt kjennetegner et stokastisk forsøk, er: 1) Resultatet av hvert enkelt forsøk kan ikke forutsies. 2) En mengde av mulige resultater kan angis. 3) Forsøket kan gjentas. Mengden av mulige resultater kalles utfallsrommet og betegnes med Ω. Elementene i utfallsrommet kalles enkeltutfall, og Ω skal være sammensatt slik at enhver gjentakelse av forsøket resulterer i ett og bare ett enkeltutfall. I vanlig mengdenotasjon skriver vi Ω = { u1 , u2 , u3 , … } der u1 , u2 , u3 , … er enkeltutfallene i utfallsrommet. For forsøket myntkast består utfallsrommet av de to enkeltutfallene Kron (K) og Mynt (M). Vi skriver Ω = { u1 , u2 } = { K , M } For forsøket terningkast blir utfallsrommet Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 36 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
36
SANNSYNLIGHETSREGNING
Sannsynlighet Til hvert av enkeltutfallene i utfallsrommet vil vi knytte en sannsynlighet. De fleste har en viss forståelse av hva som ligger i dette begrepet. F.eks. er det naturlig å oppfatte kron og mynt som like sannsynlige resultater når vi kaster en mynt. Hver av de to mulighetene har sannsynlighet 50 % hvis vi bruker en prosentskala fra 0 til 100, og sannsynligheten er 0.50 dersom vi bruker en skala fra 0 til 1. Begrepet sannsynlighet er helt fundamentalt. La oss se generelt hva som ligger i dette begrepet. Vi betrakter et stokastisk forsøk som har utfallsrom Ω, og u er et enkeltutfall i Ω. Sannsynligheten til u kan vi tenke oss kommer fram på følgende måte: Vi gjennomfører forsøket mange ganger. I hvert forsøk observerer vi om enkeltutfallet u forekommer eller ikke. Etter n forsøk har u forekommet n u ganger. Den relative hyppigheten av u er da nu /n. Sannsynligheten for u er grenseverdien for den relative hyppigheten nu /n når antall forsøk n vokser over alle grenser. Sannsynligheten for u betegnes p(u). Vi kan skrive dette slik: n ----un
→
p(u)
når antall forsøk n → ∞ Metoden med å gjenta forsøket mange ganger kan i prinsippet brukes til å finne p(u). Vi kan f.eks. kaste en mynt 100 ganger, 1000 ganger, 10.000 ganger eller mer for å bestemme sannsynligheten for kron. Det er lite praktisk! Vi vil heller ut fra vår oppfatning av virkeligheten finne det rimelig at når en kaster en mynt svært mange ganger, vil den relative hyppigheten av kron nærme seg 0.50. Vi får kron i ca. halvparten av kastene. Erfaring fra et stort antall myntkast bekrefter dette! Vi får dermed p(K) = p(M) = 0.50
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 37 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
37
Sannsynlighetsmodell Utfallsrommet og sannsynlighetene for alle enkeltutfallene i utfallsrommet kalles en sannsynlighetsmodell eller en stokastisk modell. Modellen for forsøket myntkast skriver vi slik Ω ={K,M} p : 0.50 0.50 Tilsvarende kan vi sette opp en modell for forsøket terningkast der vi bygger på at alle de 6 enkeltutfallene er like sannsynlige og altså har sannsynlighet 1/6: Ω ={1, p : 1/6
2, 1/6
3, 1/6
4, 1/6
5, 1/6
6} 1/6
Vi merker oss at sannsynlighetene i begge modellene er tall mellom 0 og 1, og summen av sannsynlighetene for alle enkeltutfallene i utfallsrommet er 1. Dette vil gjelde generelt. La oss igjen betrakte et generelt stokastisk forsøk med utfallsrom Ω. Den relative hyppigheten for et enkeltutfall u i Ω er som nevnt nu /n. Vi har 0 ≤ nu ≤ n
⇔
n 0 ≤ ----u- ≤ 1 n
La nå utfallsrommet for forsøket være Ω = { u1 , u2 , u3 , … } Vi gjennomfører forsøket mange ganger, og etter n gjentakelser har vi fått u1 n1 ganger u2 n2 ganger u3 n3 ganger osv. Siden utfallsrommet er bygd opp slik at enhver gjentakelse av et stokastisk forsøk resulterer i ett og bare ett enkeltutfall, har vi n1 + n2 + n3 + … = n Vi dividerer med n i alle ledd og får n1 n2 n3 ----- + ----- + ----- + … = 1 n n n
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 38 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
38
SANNSYNLIGHETSREGNING
Vi har altså vist at relative hyppigheter er tall mellom 0 og 1, og at summen av de relative hyppighetene for alle enkeltutfallene i et utfallsrom generelt er 1. Dersom vi nå tenker oss at antall forsøk n som gjennomføres vokser over alle grenser, vil de relative hyppighetene gå mot sannsynlighetene for de respektive enkeltutfallene. Tilsvarende egenskaper vil dermed også gjelde for sannsynlighetene. Vi lar p1 , p2 , p3 , … være sannsynlighetene for
u1 , u2 , u3 , …
Da har vi 0 ≤ pi ≤ 1 ,
i = 1, 2, 3, …
og p1 + p2 + p3 + … = 1 Modellene for myntkast og terningkast er begge uniforme. Med det mener vi at alle enkeltutfall har samme sannsynlighet. I den generelle uniforme modellen som består av m enkeltutfall u1 , u2 , … , um , har hvert enkeltutfall sannsynlighet 1/m. Vi kan dermed skrive den generelle uniforme modellen slik Ω = { u1 , u2 , … , um } p : 1/m 1/m … 1/m Fordelen med en uniform modell er at den er enkel. Men det fins selvsagt situasjoner hvor en slik modell ikke er realistisk, og det er naturlig å bruke en modell der sannsynlighetene for enkeltutfallene varierer.
Eksempel – panelplater En bedrift som produserer panelplater, har erfaring for at 50 % av platene som produseres, kan selges som A-kvalitet, 40 % som B-kvalitet og 10 % må kasseres. En rimelig modell for kvaliteten av en tilfeldig plate fra produksjonen vil da være Ω = { u1 , u2 , u3 } p : 0.50 0.40 0.10 der u1 er enkeltutfallet A-kvalitet, u2 B-kvalitet, og u3 er enkeltutfallet at platen må kasseres. Det stokastiske forsøket vi her betrakter, er altså produksjon av en tilfeldig panelplate. ■
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 39 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
39
Vi må være klar over at det som her er sagt om sannsynlighet og egenskaper ved en sannsynlighetsmodell, alene ikke er tilstrekkelig til å avgjøre hvilken modell som skal gjelde for et stokastisk forsøk. Dette illustreres i eksemplet nedenfor.
Eksempel – to myntkast Vi kaster en mynt to ganger. Vi vil vurdere to modeller for dette forsøket. Modell I:
Ω 1 = { KK, KM, MM } p : 1/3 1/3 1/3
Modell II:
Ω 2 = { KK, KM, MK, MM } p : 1/4 1/4 1/4 1/4
I modell I betyr KM én kron og én mynt uavhengig av rekkefølgen. I modell II betyr KM kron i første kast og mynt i andre kast, mens MK betyr mynt i første og kron i andre kast. Vi ser at de to modellene er forskjellige. F.eks. er sannsynligheten for kron i begge kast 1/3 i modell I og 1/4 i modell II. Begge de to modellene er i tråd med kravet til oppbygging av utfallsrom. I begge modellene er sannsynlighetene mellom 0 og 1, og summen av dem er 1. Både modell I og modell II er således lovlige. Spørsmålet er bare: Hvilken av dem stemmer best med virkeligheten? Gjentar vi forsøket noen ganger, vil vi fort finne ut at det er modell II. Det å få én mynt og én kron vil vi snart erfare forekommer mye oftere enn det å få kron i begge kast. Vi skal senere se (kapittel 2.6) at modell II kan utledes fra modellen for forsøket myntkast som vi satte opp på grunnlag av vår oppfatning om at kron og mynt er like sannsynlige resultat i et myntkast. Modellen stemmer bra med virkeligheten. Modell I derimot blir som et kart som er tegnet etter alle regler for karttegning, men som ikke stemmer med terrenget! Derfor er den ikke brukbar. Vi må ha erfaring fra virkeligheten eller en oppfatning om virkeligheten for å kunne lage modellen. ■
Eksemplene vi har sett på hittil, er prosessorienterte. De representerer den ene hovedtypen av stokastiske forsøk. Vi studerer en prosess (myntkasting, terningkasting, produksjon av panelplater osv.), og prosessen er stokastisk fordi
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 40 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
40
SANNSYNLIGHETSREGNING
vi ikke kan forutsi resultatet av hver enkelt realisasjon. Til slutt skal vi ta med et eksempel som er populasjonsorientert, og som dermed representerer den andre hovedtypen av stokastiske forsøk. Karakteristisk for denne typen forsøk er at det foregår trekning fra en mengde som vi kaller populasjonen. Vi skal behandle slike forsøk mer inngående i kapittel 2.4.
Eksempel – skoleklasse En skoleklasse består av 5 gutter og 7 piker, til sammen 12 elever. Én elev skal trekkes ut fra klassen, og trekningen skal gjennomføres på en slik måte at alle de 12 elevene har samme sjanse til å bli trukket ut. Det kan f.eks. gjøres ved at man lager like store lapper med elevenes navn eller med betegnelser som G 1 , G2 , G3 , G4 , G5 for guttene og P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 for pikene. Disse lappene blandes godt, og en lapp trekkes ut. På denne måten vil alle elevene ha samme sannsynlighet for å bli trukket ut. Vi sier at trekningen er tilfeldig. En annen betegnelse som brukes er rettferdig trekning. Slik trekning fører til en uniform modell for forsøket : Ω = { G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 } p : 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 ■
Utfallsrommene for de stokastiske forsøkene vi har studert her, inneholder et endelig antall enkeltutfall. Vi skal senere betrakte stokastiske forsøk der det er uendelig mange muligheter. Anta f.eks. at vi leverer en kupong med 10 Lottorekker hver uke, og at vi har tenkt å holde på inntil vi får 7 rette. Hvor mange spilleomganger må vi levere kupongen? Dette er et stokastisk forsøk der utfallsrommet ikke kan avgrenses til å inneholde et endelig antall enkeltutfall. Vi kan ikke være sikker på å få 7 rette innen et bestemt antall uker. Det naturlige utfallsrommet vil bestå av alle positive heltall. Vi skal komme tilbake til utfallsrom av denne typen når vi har gjennomgått tilstrekkelig med begreper og regler for å finne sannsynlighetene til enkeltutfallene i en slik modell. Når utfallsrommet enten inneholder et endelig antall enkeltutfall eller, som i Lottoforsøket, et uendelig antall der vi kan ramse opp alle mulighetene, så sies utfallsrommet å være diskret. I matematikken brukes begrepet en tellbar mengde om et slikt utfallsrom. Et diskret utfallsrom gir det vi kaller en diskret sannsynlighetsmodell eller en diskret stokastisk modell. Vi skal senere (kapittel 4) studere stokastiske forsøk der utfallsrommet ikke er diskret, men kontinuerlig. Betrakt f.eks. tiden fra en fotballkamp starter og til det scores et mål. Det kan ta alt fra noen få sekunder og opptil 90 minutter.
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 41 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
41
Utfallsrommet Ω for dette forsøket vil være tidsintervallet fra 0 til 90 dersom vi regner tiden i minutter : Ω = (0, 90].
Oppsummering En diskret sannsynlighetsmodell består av et utfallsrom Ω og sannsynligheter for alle enkeltutfallene i Ω. Ω = { u1 , u2 , u3 , … } p : p1 p2 p3 … Ved hver gjentakelse av forsøket inntreffer ett og bare ett av enkeltutfallene u1 , u2 , u3 , … Sannsynlighetene for enkeltutfallene tilfredsstiller følgende: 0 ≤ pi ≤ 1 ,
i = 1, 2, 3, …
p1 + p2 + p3 + … = 1
2.2 Utfall og mengdelære Et utfall er en delmengde av utfallsrommet Ω. Et utfall kan bestå av ett eller flere enkeltutfall. Andre navn som av og til brukes istedenfor utfall er hendelse og begivenhet. Utfall betegnes gjerne med store bokstaver som A, B, C osv., og de enkeltutfall som f.eks. A består av, kalles gunstige utfall for A. Vi sier at utfallet A forekommer eller inntreffer dersom resultatet av det forsøk eller fenomen vi studerer, blir et av enkeltutfallene i A. Dette er i tråd med vanlig språkbruk. Ytterpunktene for mulige utfall er på den ene side hele utfallsrommet Ω og på den andre side den tomme mengde Ø. Utfallsrommet Ω kalles det sikre utfall. Ω inntreffer alltid fordi utfallsrommet pr. definisjon består av alle mulige resultat. Vi regner den tomme mengden Ø som et utfall selv om den ikke inneholder noen enkeltutfall, og Ø kalles det umulige utfall fordi det aldri inntreffer.
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 42 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
42
SANNSYNLIGHETSREGNING
Eksempel – to myntkast For forsøket med to myntkast bruker vi følgende utfallsrom Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 } = { KK, KM, MK, MM } Eksempel på utfall kan være A = «Kron i første kast» = { KK, KM } = { u1 , u2 } B = «Minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 } C = «Samme resultat i begge kast» = { KK, MM } = { u1 , u4 } Merk skrivemåten. Utfall kan enten angis med en kort og dekkende tekst, eller en kan bruke vanlig mengdenotasjon. ■
For å være rustet til arbeidet med utfall/mengder i sannsynlighetsregningen skal vi kort gå gjennom viktige mengdebegreper som bl.a. komplement, union og snitt. Til å illustrere disse begrepene bruker en gjerne såkalte Venn-diagrammer. Se figur 2.1. Utfallsrommet Ω tegnes som et rektangel, og utfall/mengder markeres som flater inne i rektanglet. Hvis en vil, kan enkeltutfallene tegnes som prikker inne i de respektive utfallene, men dette utelates som regel fordi det blir for uoversiktlig. Ω
A B
Figur 2.1 Venn-diagram Komplementet til et utfall A, som skrives A, består av de enkeltutfall i Ω som ikke er i A. At A inntreffer, er ekvivalent med at A ikke inntreffer. Ω
Komplement A
A
Figur 2.2
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 43 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
43
SANNSYNLIGHETSREGNING
Unionen av to utfall A og B, som skrives A ∪ B, består av de enkeltutfall som er i A eller i B medregnet de som er med både i A og i B. At A ∪ B inntreffer, er ekvivalent med at minst et av utfallene A og B inntreffer. Ω A
Union A∪B
B
Figur 2.3
Snittet av to utfall A og B, som skrives A ∩ B, består av de enkeltutfall som er med i både A og B. At A ∩ B inntreffer, er ekvivalent med at både A og B inntreffer. Ω
Snitt A
B
A∩B Figur 2.4
To utfall A og B sies å være disjunkte dersom de ikke har noen enkeltutfall felles dvs. A ∩ B = Ø. Ω
Disjunkte utfall A
B
Figur 2.5 Utfallet A sies å være inkludert i utfallet B dersom alle enkeltutfallene i A også ligger i B. At A inntreffer, vil da innebære at også B inntreffer. I mengdenotasjon skriver vi A B. Ω
Inklusjon A
Figur 2.6
B
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 44 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
44
SANNSYNLIGHETSREGNING
Eksempel – to myntkast (forts.) Vi betrakter igjen forsøket med to myntkast med utfallsrom, og de 3 utfallene A, B og C som er definert tidligere. Eksempler på mengdeoperasjoner: A = «Mynt i første kast» = { MK, MM } = { u3 , u4 } B = «Ingen kron» = { MM } = { u4 } C = «Forskjellig resultat i de to kastene» = { KM, MK } = { u2 , u3 } Vi kan finne komplementet enten ved å skrive opp det utfall som logisk sett er motsatt av utgangspunktet, eller vi kan skrive opp de enkeltutfall som er i Ω men ikke i det utfall vi starter med. A ∪ B = «Kron i første kast eller/og minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 } = B Vi skriver gjerne «eller/og» for å markere at i unionen av A og B skal både de enkeltutfall som er i bare A, de som er i bare B og de som er i både A og i B, være med. Vi ser at unionen av A og B her blir lik B, fordi begge enkeltutfallene i A også er med i B. A er med andre ord inkludert i B. A ∩ C = «Kron i første kast og samme resultat i begge kast» = { KK } = { u1 } A ∩ B = «Mynt i første kast og minst én kron» = { MK } = { u3 } A ∩ B = «Kron i første kast og ingen kron» = Ø Også union og snitt av to utfall kan vi resonnere oss fram til gjennom vanlig logisk språkbruk, eller vi kan bruke mengedefinisjonen. Merk at her er A og B disjunkte utfall siden de ikke har noen enkeltutfall felles. ■
Begrepene union og snitt kan generaliseres til å gjelde flere enn to utfall. Unionen av utfallene A1 , A2 , … , An , som skrives A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An , inneholder de enkeltutfall som er i minst ett av de n utfallene. Snittet av utfallene A1 , A2 , … , An , som skrives A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An , inneholder de enkeltutfall som er i alle de n utfallene.
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 45 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
45
2.3 Regneregler for sannsynlighet Sannsynligheten for et utfall A er summen av sannsynlighetene for de enkeltutfall som A består av. Vi skriver P(A), og P kommer fra det engelske probability. Vi har altså P(A) = Σ p(u) der det summeres over alle enkeltutfallene i A. Merk at P(Ω) = 1, fordi sannsynligheten for Ω finnes ved å summere sannsynlighetene for alle enkeltutfallene i Ω som er 1. Dette samsvarer med at vi har kalt Ω for det sikre utfall. Av definisjonen følger at 0 ≤ P(A) ≤ 1 siden sannsynlighetene for enkeltutfallene er tall mellom 0 og 1, og summen av sannsynlighetene for alle enkeltutfallene er 1.
Eksempel – to myntkast Vi betrakter igjen forsøket med to myntkast med utfallsrom Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 } = { KK, KM, MK, MM } og uniform modell, altså sannsynlighet 1/4 på hver av de 4 enkeltutfallene. Utfallene A, B og C er gitt ved
A = «Kron i første kast» = { KK, KM } = { u1 , u2 } B = «Minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 } C = «Samme resultat i begge kast» = { KK, MM } = { u1 , u4 } Vi finner sannsynlighetene for A, B og C ved å summere over sannsynlighetene for de respektive enkeltutfallene. 1 2 1 1 P(A) = p( u1) + p(u2) = --- + --- = --- = --2 4 4 4
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 46 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
46
SANNSYNLIGHETSREGNING
3 1 1 1 P(B) = p( u1) + p(u2) + p(u3) = --- + --- + --- = --4 4 4 4 1 2 1 1 P(C) = p( u1) + p(u4) = --- + --- = --- = --2 4 4 4 Vi ser at A og C som begge består av 2 enkeltutfall får sannsynlighet 2/4, mens B som inneholder 3 enkeltutfall får sannsynlighet 3/4. ■
Generelt i en uniform modell, der altså alle m enkeltutfallene har lik sannsynlighet 1/m, gjelder det at sannsynligheten for et utfall A bare avhenger av antallet enkeltutfall som er i A, ikke av hvilke enkeltutfall A består av. La oss anta at A består av g enkeltutfall. Vi sier da at A har g gunstige enkeltutfall av m mulige. Da blir sannsynligheten for A en sum av g ledd hver på 1/m, og vi får gunstige g P(A) = ---- = -------------------mulige m Formelen ovenfor er av mange sett på som en generell formel for sannsynligheten til et utfall. Her må det imidlertid understrekes at formelen gjelder for et diskret utfallsrom med et endelig antall enkeltutfall og lik sannsynlighet på alle enkeltutfall. Disse forutsetningene er som regel oppfylt i spill og forskjellige trekkesituasjoner. Men formelen gjelder ikke generelt! Vi skal nå gå igjennom fire viktige regneregler for sannsynlighet. 1 Addisjonssetning for disjunkte utfall Dersom A og B er disjunkte, har vi (S.1)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Regelen følger av at summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i A ∪ B vil være summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i A pluss summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i B, fordi A og B ikke har noen enkeltutfall felles. 2 Komplementsetning (S.2)
P(A) = 1 – P(A)
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 47 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
47
Regelen følger av at A og A er disjunkte, siden A består av de enkeltutfall som ikke er i A. Dessuten er A ∪ A = Ω, fordi alle enkeltutfall i Ω fins enten i A eller i A. Dermed har vi 1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A)
⇒
P(A) = 1 – P(A)
Denne regelen er svært nyttig i situasjoner der det er lettere å regne ut sannsynligheten for komplementet til et utfall enn sannsynligheten til utfallet selv. Komplementet til hele utfallsrommet Ω er den tomme mengden Ø. Dermed har vi etter regel (S.2) P(Ø) = 1 – P(Ω) = 1 – 1 = 0 Den tomme mengden eller det umulige utfall har altså sannsynlighet 0. Tidligere har vi sett at hele utfallsrommet eller det sikre utfall har sannsynlighet 1. 3 Generell addisjonssetning For to utfall A og B gjelder generelt (S.3)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Regelen kan forstås rent «flatemessig» ved å studere Venn-diagrammet i figur 2.7.
A
B
Figur 2.7 Vi skal finne sannsynligheten for A ∪ B, altså summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i A ∪ B. Legger vi sammen sannsynlighetene for enkeltutfallene i A og sannsynlighetene for enkeltutfallene i B, vil enkeltutfallene i A ∩ B komme med to ganger. Disse er som vi vet både med i A og i B. Derfor må vi trekke fra igjen på høyresiden sannsynlighetene for enkeltutfallene i A ∩ B, slik at vi får med alle enkeltutfallene nøyaktig én gang. Merk at dersom A og B er disjunkte, så er A ∩ B = Ø. Da er P(A ∩ B) = 0, og regel (S.3) blir lik regel (S.1).
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 48 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
48
SANNSYNLIGHETSREGNING
Eksempel – to myntkast (forts.) Vi betrakter fortsatt eksemplet med to myntkast med uniform modell og med utfall A, B og C som definert tidligere. I forrige avsnitt skrev vi opp noen eksempler på komplement, union og snitt av disse utfallene. Vi hadde bl.a. A
= «Mynt i første kast» = { MK, MM } = { u3 , u4 }
A ∩ C = «Kron i første kast og samme resultat i begge kast» = { KK } = { u1 } A ∪ C = «Kron i første kast eller/og samme resultat i begge kast» = { KK, KM, MM } = { u1 , u2 , u4 } Når vi skal finne sannsynlighetene for utfallene ovenfor, trenger vi ingen regneregler fordi modellen er så enkel at vi lett kan skrive opp hvilke enkeltutfall alle komplement, unioner og snitt består av. Sannsynlighetene kan vi dermed finne ved å summere sannsynlighetene for enkeltutfallene eller ved å bruke «gunstige-på-mulige»-formelen. 1 2 P(A) = --- = --2 4
1 P(A ∩ C) = --4
3 P(A ∪ C) = --4
Vi kan alternativt bruke reglene (S.2) og (S.3) til å finne henholdsvis P(A) og P(A ∪ C). 1 1 P(A) = 1 – P(A) = 1 – --- = --2 2 3 1 1 1 P(A ∪ C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) = --- + --- – --- = --4 2 2 4 Når modellen blir mer komplisert, vil det svært ofte være langt enklere å bruke formlene (S.1), (S.2) og (S.3) enn å skrive opp og summere sannsynligheter for alle enkeltutfall i de forskjellige komplementer og unioner. ■
Både (S.1) og (S.3) kan generaliseres til å gjelde flere enn to utfall. Vi skal nøye oss med å generalisere (S.1) til å gjelde for n disjunkte utfall. Utfallene A1, A2, … , An sies å være disjunkte dersom de ikke har noen elementer felles, dvs. Ai ∩ Aj = Ø for i ≠ j.
0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 49 Monday, November 3, 2014 10:37 AM
SANNSYNLIGHETSREGNING
49
4 Addisjonssetning for n disjunkte utfall For n disjunkte utfall A1, A2, … , An gjelder (S.4)
P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An ) = P(A1) + P(A2) + … + P(An )
Regelen framkommer ved å benytte (S.1) gjentatte ganger.
2.4 Kombinatorikk og utvalgsmodeller I en uniform modell med m enkeltutfall er sannsynligheten for et utfall A gitt ved g P(A) = ---m når A består av g enkeltutfall. Vi kjenner formelen som gunstige på mulige. Vi har i eksemplene hittil lett kunnet finne m og g ved å skrive opp alle enkeltutfallene og telle opp antall mulige og antall gunstige. Denne metoden blir vanskelig, ja, til og med umulig når situasjonen blir mer komplisert.
Eksempel – skoleklasse Vi betrakter igjen skoleklassen som består av 5 gutter og 7 piker, til sammen 12 elever. Nå skal det trekkes ut 2 elever fra klassen. Hva er sannsynligheten for at det f.eks. blir trukket ut 1 gutt og 1 jente? Denne trekkesituasjonen er såpass komplisert at det kreves litt arbeid for å sette opp de mulige og de gunstige, men det er overkommelig. Man kan f.eks. lage en liste over alle mulige kombinasjoner av 2 elever der vi angir elevene ved navn eller ved betegnelser som G1 , G2 , G3 , G4 , G5 for guttene og P1, P2, P3 , P4 , P5 , P6 , P7 for pikene. ■ I eksemplet ovenfor lar det seg gjøre å sette opp utfallsrommet, men hva om det hadde vært 20 elever, 50 elever eller 100 elever, og hva om vi skulle trekke ut 5, 10 eller 15 elever? Vi ser fort at metoden med å skrive opp alle mulighetene er uholdbar som en generell strategi. Vi må ha formler. Vi skal kort gå gjennom seks såkalte kombinatorikk-formler. Formlene angir hvor mange forskjellige kombinasjoner det fins under nærmere gitte betingelser.