Issuu

Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 1

28/06/2021 23:01

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 2

28/06/2021 23:01

Per Chr. Hagen

Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 8. utgave

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 3

28/06/2021 23:01

© CAPPELEN DAMM AS, 2021 ISBN 978-82-02-67546-2 8. utgave, 1. opplag 2021 Denne boken ble først utgitt i 1996 av Cappelen Akademisk Forlag. Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Omslagsdesign: Kristin Berg Johnsen Sats: Bøk Oslo AS Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia www.cda.no e-post: akademisk@cappelendamm.no

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 4

28/06/2021 23:01

Forord Denne boken er skrevet til et innføringsemne i sannsynlighetsregning og statistikk på 5–10 studiepoeng. Et slikt emne inngår i økonomisk/ administrativ utdanning, ingeniørutdanning og i flere andre tverrfaglige utdanninger. Boken inneholder for det første det kjernepensum som inngår i ethvert grunnkurs i statistikkfaget: beskrivende statistikk (kapittel 1), grunnleggende sannsynlighetsregning (kapittel 2), stokastiske variabler (kapittel 3 og 4), estimering og konfidensintervall (kapittel 5) og hypotesetesting (kapittel 6). Også enkel regresjonsanalyse (kapittel 7.2) og kjikvadrattester (kapittel 8) vil vel de fleste mene hører med i et grunnkurs. Boken inneholder dessuten en del emner som dels kan supplere kjernestoffet i grunnkurset og dels kan være nyttig for studentene videre i studiet. Dette gjelder kapitlene 4.2, 5.5, 6.6, 7.1, 7.3, 9 og 10. Jeg vet at det på de forskjellige institusjonene er noe ulike oppfatninger om hvilke modeller som bør behandles i grunnkurset utover kjernepensumet, og jeg har forsøkt å få med i boken de varianter jeg regner med er aktuelle. Dette gir den enkelte emneansvarlige en viss frihet i valg av temaer. Opplegget i boken bygger på 40 års erfaring med grunnundervisning i sannsynlighetsregning og statistikk ved Norges Teknisk Høgskole (NTH, nå NTNU) og Universitetet i Sørøst-Norge (USN, tidligere Telemark distrikts høgskole (TDH) og Høgskolen i Telemark (HiT)). Framstillingen er eksempelbasert. Når nye begreper innføres, blir forklaringen av begrepene knyttet direkte opp mot eksempler som studentene kan kjenne seg igjen i. I starten av boken dvs. i kapittel 2 og 3 er det stort sett gitt fullstendige matematiske utledninger. Det er overkommelig, og det er etter min mening nyttig å få fram hvordan sannsynlighetsregningen er bygget opp

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 5

28/06/2021 23:01

forord

matematisk. Fra slutten av kapittel 3 og utover er det hverken mulig eller ønskelig å ta med all matematikken. Det ville bli for komplisert og omfattende. Herfra er matematiske utledninger er bare tatt med dersom de kan bidra til å gi økt forståelse av den formel eller sammenheng en skal fram til. Stoffet er likevel preget matematisk baserte resonnementer, forklaringer og eksempler. Ingen kan lære sannsynlighetsregning og statistikk eller andre matematiske emner bare ved å lese en lærebok eller ved å være til stede i undervisningen. Det er gjennom egen oppgaveregning en lærer mest, og det er først når en selv jobber med oppgavene, at en får testet om begrepene og metodene er forstått. Etter hvert kapittel er det derfor mange oppgaver som studentene kan trene på. Dette er oppgaver i de temaene som er behandlet i kapitlet, ofte eksamensoppgaver. Til slutt i boken er det tatt med noen hele eksamenssett fra Universitetet i Sørøst-Norge.

Nytt i 8. utgave 8. utgave er det gjort store endringer når det gjelder struktur, grafikk og layout. Det er lagt stor vekt på å få til en utforming som skal være lettere å lese enn før. Framfor alt skal det gå klart fram hva som er definisjoner og regler, hva som er eksempler og hva som er forklarende tekst. Det er dessuten gjort to viktige endringer i begrepsbruken for de enkleste sannsynlighetsmodellene. Elementene i et utfallsrom Ω betegnes nå som utfall (tidligere enkeltutfall), og en delmengde av Ω som består av et eller flere utfall, betegnes som en hendelse (tidligere utfall). Se kapittel 2.1 og 2.2. Det er disse betegnelsene som er blitt vanlig i norsk språk i sannsynlighetsregning og statistikk. Takk til Arild Brandrud Næss, Handelshøyskolen, NTNU. Han har, etter å brukt boken i noen år, kommet med en rekke forslag til forbed ringer, store og små. Svært mange av disse forslagene er tatt hensyn til i 8. utgave. Eksamenssettene bak i boka er skiftet ut med eksamenssett av nyere dato. En del nye oppgaver er også kommet til i slutten av de enkelte kapitlene.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 6

28/06/2021 23:01

forord

Kapitlene i tidligere utgaver om programpakken Minitab er tatt ut. Jeg har vurdert det slik at det ikke lenger er behov for å ha med bruksanvisning på Minitab eller andre statistikkprogram i en lærebok for et innføringskurs i sannsynlighetsregning og statistikk. Bø, mai 2021 Per Chr. Hagen

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 7

28/06/2021 23:01

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 8

28/06/2021 23:01

Innhold 1 Innledning ..................................................................................................... 13 1.1 Hva er statistikk?............................................................................................ 13 1.2 Bruk av modeller............................................................................................ 16 1.3 Beskrivende statistikk................................................................................... 18 1.4 Bruk av dataverktøy...................................................................................... 32 Oppgaver .................................................................................................................. 33 2 Sannsynlighetsregning .............................................................................. 35 2.1 En enkel sannsynlighetsmodell.................................................................. 35 2.2 Hendelser og mengdelære.......................................................................... 42 2.3 Regneregler for sannsynlighet................................................................... 46 2.4 Kombinatorikk og utvalgsmodeller........................................................... 51 2.5 Betinget sannsynlighet................................................................................ 62 2.6 Uavhengighet og produktmodeller.......................................................... 72 Oppgaver .................................................................................................................. 78 3 Diskrete stokastiske variabler ................................................................. 89 3.1 Hva er en stokastisk variabel?..................................................................... 89 3.2 Sannsynlighetsfordeling og fordelingsfunksjon..................................... 91 3.3 Forventning.................................................................................................... 97 3.4 Varians............................................................................................................. 104 3.5 Flere stokastiske variabler............................................................................ 114 3.6 Binomisk fordeling........................................................................................ 120 3.7 Hypergeometrisk fordeling......................................................................... 126 3.8 Poissonfordeling............................................................................................ 129 Oppgaver .................................................................................................................. 134 4 Kontinuerlige stokastiske variabler ........................................................ 143 4.1 Oppbygging av en kontinuerlig sannsynlighetsmodell........................ 143 4.2 Eksponentialfordelingen.............................................................................. 156

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 9

28/06/2021 23:01

innhold

4.3 Normalfordelingen....................................................................................... 159 4.4 Tilnærming til normalfordeling.................................................................. 167 Oppgaver .................................................................................................................. 174 5 Estimering ..................................................................................................... 187 5.1 Innledning til den statistiske analysen...................................................... 187 5.2 Punktestimering............................................................................................ 190 5.3 Målemodellen................................................................................................ 195 5.4 Intervallestimering........................................................................................ 199 5.5 Vurdering av utvalgsstørrelsen................................................................... 208 5.6 t-fordelingen.................................................................................................. 215 Oppgaver .................................................................................................................. 218 6 Hypotesetesting .......................................................................................... 225 6.1 Hypotesetest på et eksempel..................................................................... 225 6.2 Hypotesetesting i målemodellen............................................................... 230 6.3 Hypotesetesting ved normaltilnærming.................................................. 235 6.4 Styrkefunksjonen.......................................................................................... 237 6.5 Signifikanssannsynlighet (P-verdi)............................................................. 244 6.6 t-tester............................................................................................................. 250 6.7 Tosidig test...................................................................................................... 253 Oppgaver................................................................................................................... 260 7 Korrelasjon og regresjon ........................................................................... 273 7.1 Korrelasjon...................................................................................................... 273 7.2 Regresjonsanalyse......................................................................................... 276 7.3 Konfidensintervall og prediksjonsintervall.............................................. 287 Oppgaver................................................................................................................... 291 8 Kjikvadrattester og kontingenstabeller ................................................. 303 8.1 Kjikvadratfordelingen................................................................................... 303 8.2 Test av modell. Helspesifisert hypotese.................................................... 305 8.3 Kontingenstabeller og uavhengighetstest.............................................. 308 Oppgaver .................................................................................................................. 318 9 Sammenligning av to grupper .................................................................. 327 9.1 To grupper i målemodellen......................................................................... 327 9.2 To grupper i binomisk og i hypergeometrisk modell............................. 334 Oppgaver .................................................................................................................. 343

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 10

28/06/2021 23:01

innhold

10 Ikke-parametriske metoder ...................................................................... 355 10.1 Parametriske og ikke-parametriske modeller.......................................... 355 10.2 Tegntesten...................................................................................................... 357 10.3 Wilcoxons ett-utvalgstest............................................................................ 361 10.4 Wilcoxons to-utvalgstest............................................................................. 366 Oppgaver .................................................................................................................. 370 Eksamensoppgaver ................................................................................................ 377 Eksamen USN høst 2017 ........................................................................................ 377 Eksamen USN vår 2018 ........................................................................................... 379 Eksamen USN høst 2018 ........................................................................................ 382 Eksamen USN vår 2019 ........................................................................................... 385 Eksamen USN høst 2019 ........................................................................................ 388 Eksamen USN vår 2020 ........................................................................................... 390 Utvalgte svar på oppgavene ................................................................................ 395 Eksamen USN høst 2017 ........................................................................................ 405 Eksamen USN vår 2018 ........................................................................................... 405 Eksamen USN høst 2018 ........................................................................................ 406 Eksamen USN vår 2019 ........................................................................................... 406 Eksamen USN høst 2019 ........................................................................................ 407 Eksamen USN vår 2020 ........................................................................................... 407 Tillegg ........................................................................................................................ 408 Greske bokstaver og summetegn ........................................................................ 408 Tabell over N(0, 1)-fordelingen .............................................................................. 410 Tabell over t-fordelingen ........................................................................................ 412 Tabell over kjikvadratfordelingen ......................................................................... 413 Stikkordregister ...................................................................................................... 414

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 11

28/06/2021 23:01

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 12

28/06/2021 23:01

1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? De fleste av oss mottar hver eneste dag statistisk informasjon både fra aviser, radio og TV og fra bl.a. faglitteratur. Eksempel på dette kan være: • resultat av meningsmålinger om oppslutningen om de politiske partiene og om andre aktuelle samfunnsspørsmål, • opplysninger om utviklingen på arbeidsmarkedet, om produksjonen i industrien eller i landbruket, • data om utvikling når det gjelder aksjekurser, • informasjon om økning eller nedgang i folketall i kommuner, fylker eller i landet som helhet, • resultat av målinger av for eksempel forurensning, ozonlag eller pollen innhold i lufta, • data om vær og klima. Det kan være målinger av temperatur og nedbør for siste dager og uker for å få fram informasjon om hvordan været har vært, og det kan være data for flere tiår og hundreår for å studere utviklingen av klimaet. Slik informasjon presenteres gjerne i tabeller eller i en eller annen grafisk form. Dette fører nok til at mange har den oppfatning at faget statistikk handler om innsamling, systematisering og presentasjon av statistisk informasjon. Dette er imidlertid bare en del av de oppgaver en statistiker arbeider med, og det er ikke den viktigste delen.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 13

28/06/2021 23:01

innledning

Det å presentere et tallmateriale på en hensiktsmessig og forståelig måte kaller vi deskriptiv eller beskrivende statistikk. En kort innføring i beskrivende statistikk er gitt i kapittel 1.3. Hovedsakelig vil statistikeren arbeide med matematisk baserte teknikker for å få fram informasjon om den virkeligheten som ligger bak tallene. Dette kaller vi statistisk analyse. Typisk for de fenomener en statistiker studerer, er at de inneholder innslag av variasjon og tilfeldighet. Gjennom den statistiske analysen har man som siktemål å bringe på det rene om de effekter man observerer, kan forklares ved tilfeldig variasjon, eller om for eksempel endringer og forskjeller man observerer, må skyldes at det fins reelle forskjeller eller endringer i de fenomener som analyseres. Når en meningsmåling viser at Arbeiderpartiet har gått tilbake for eksempel 2 % siden siste valg, vil en statistiker ikke være fornøyd med bare å legge fram dette resultatet. Han vil gjerne si noe om usikkerheten i resultatet, og vil spørre seg om dette kan skyldes at vi denne gangen tilfeldigvis fikk med færre Ap-sympatisører i meningsmålingen enn forrige gang, eller om det må skyldes at oppslutningen om Ap blant velgerne virkelig har gått ned. Et annet eksempel som illustrerer en statistikers arbeidsmåte, kan være måling av pH-verdi eller surhetsgrad i fiskevann. Når vi måler pH-verdien i forskjellige vannprøver fra et fiskevann, vil det være en viss variasjon i de målte verdiene, både fordi pH-verdien ikke er helt den samme i alle deler av vannet og fordi selve målemetoden er noe usikker. Statistikeren vil ut fra de målingene som er gjort, anslå en verdi for surhetsgraden i fiskevannet og si noe om usikkerheten i den angitte verdien. Ved sammenligning av måledata fra et fiskevann med tilsvarende data fra et annet vann vil statistikeren vurdere om eventuelle forskjeller i surhetsgrad mellom de to vannene er for store til at de kan forklares ved den variasjonen vi finner innenfor ett og samme vann. Dersom dette er tilfelle, vil han konkludere med at de to vannene har forskjellig pH-verdi. For å kunne gjennomføre statistiske analyser som det her er gitt eksempler på, trengs sannsynlighetsregning. Det er en matematisk basert disiplin som kan hjelpe oss til å finne ut hvor sannsynlige forskjellige resultat av forsøk og fenomener der tilfeldigheter spiller en rolle, er. Sannsynlighetsregningen er, ved siden av å være et nødvendig grunnlag for den statistiske analysen, også i seg selv et nyttig redskap i mange sammenhen-

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 14

28/06/2021 23:01

1.1 hva er statistikk?

ger. Når en skal ta beslutninger under usikkerhet, for eksempel om investering i nye prosjekter, vil en ved hjelp av en sannsynlighetsmodell kunne regne på konsekvenser av de aktuelle beslutninger. Mange vil vel dessuten forbinde sannsynlighetsregningen med spill som for eksempel Lotto og tipping. Her er sannsynlighetsregningen uunnværlig når en skal vurdere vinnersjanser. I kapitlene 2, 3 og 4 gjennomgås den grunnleggende sannsynlighetsregningen. Siktemålet med denne teorien er å bygge opp en modell for forsøket eller fenomenet som vi studerer, en modell som tar hensyn til den variasjonen og de tilfeldighetene som har innvirkning på resultatet. Siden de metoder en statistiker arbeider med har et matematisk fundament, bruker vi ofte betegnelsen matematisk statistikk i motsetning til det å presentere tallmaterialet som kalles deskriptiv eller beskrivende statistikk. Ofte ser en i media at det ut fra et tallmateriale eller ut fra resultater fra en undersøkelse eller et forsøk, trekkes konklusjoner uten at det ligger noen analyse bak. Man «synser» og uttaler seg kun fordi dette synes rimelig ut fra tallene som er observert. Men man kan ikke vite om de eventuelle forskjeller som er observert, skyldes tilfeldigheter eller om det er reelle forskjeller som er kommet fram. Man bør generelt være kritisk til medias bruk av statistisk informasjon. Å gi et fyldestgjørende og presist svar på spørsmålet i tittelen om hva statistikk er, er like vanskelig som å gi en klar og konsis definisjon på hva økonomi eller geografi er. Det er ikke mulig å gi en kort og lettfattelig definisjon som samtidig er utfyllende. Her er likevel et forsøk på å forklare kort hva vi i denne boken vil legge i begrepet statistikk. Definisjon 1.1 Statistikk I faget statistikk studeres forsøk og fenomen der tilfeldigheter har innvirkning på resultatet. En utvikler og gjør bruk av matematisk baserte metoder til å få fram viten og om mulig trekke konklusjoner på grunnlag av resultatene.

Merk formuleringen «om mulig trekke konklusjoner». Av og til må man avfinne seg med at resultatene ikke gir grunnlag for å trekke noen konklusjoner på de spørsmål som er stilt.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 15

28/06/2021 23:01

innledning

Merk dessuten at metodespørsmålet er sentralt. Presentasjon av resultatene og eventuell utregning av viktige nøkkeltall for dataene er for så vidt også en del av arbeidet for en statistiker. Men den oppgaven vil i våre dager ofte bli utført av et dataprogram. Statistikeren vil også delta i planleggingen av forsøksopplegget og datainnsamlingen. Grundig planlegging er viktig for å få gode data. Forsøket bør legges opp på en slik måte at innslaget av uønsket variasjon blir minst mulig, slik at de effekter en ønsker å studere, kommer best mulig fram. I kapitlene 5–10 skal vi gi en innføring i statistisk arbeids- og tenkemåte. Vi skal gjennomgå viktige statistiske metoder, og vi skal anvende disse på en rekke vanlig forekommende problemstillinger. Statistikk brukes som redskapsfag innen nær sagt alle fagområder. Statistisk tenkning og statistisk analyse har en selvfølgelig plass innen teknologi og realfag og innen økonomi og samfunnsfag. Studenter som tar ingeniørutdanning eller økonomiutdanning, som studerer medisin eller tar høyere landbruksutdanning vil alle i sin utdanning ha et grunnkurs i statistikk med et omfang omtrent som i denne boken. Innholdet i faget varierer lite fra utdanning til utdanning. Kjernestoffet i sannsynlighetsregning og statistikk er det samme for alle. Statistikk er dessuten tatt i bruk av en rekke forskere i vitenskaper som for eksempel litteratur og språkfag, fag som en kanskje ikke vil forbinde med matematisk baserte metoder. Men statistikk kan være et nyttig redskap også her, for eksempel når litteraturforskere skal analysere og sammenligne forfatteres språkbruk.

1.2 Bruk av modeller En modell er en idealisert etterligning av virkeligheten eller mer presist av den delen av virkeligheten vi ønsker å studere. Viktige eksempler er miniatyrutgaver av for eksempel skip eller bygninger og alle typer av kart, fra detaljkart over området til for eksempel en høgskole til verdenskart. Hva slags modell vi vil bruke, avhenger av de oppgaver som skal løses. Vi trenger for eksempel forskjellige typer kart om vi skal planlegge et boligområde, om vi skal gå tur i fjellet, eller om vi skal kjøre bil rundt i Europa.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 16

28/06/2021 23:01

1.2 bruk av modeller

Hensikten med å bruke modeller som et hjelpemiddel er at det skal bli lettere å forstå og analysere virkeligheten. Modellen vil kunne sette en i stand til å se helheten og sammenhengen mellom de enkelte deler av virkeligheten. Eksempelvis gir et kart et idealisert bilde av det terrenget vi ønsker å studere, og gjennom kartet kan en raskt og greit få informasjon som det ofte vil være svært tidkrevende og vanskelig å skaffe seg ved å studere virkeligheten direkte. Det er dessuten viktig at en i en modell kan studere forskjellige alternativer og vurdere konsekvenser av disse. På et kart vil en for eksempel kunne studere forskjellige veivalg for fjellturen eller forskjellige planløsninger for for eksempel veitraseer og bebyggelse. Siktemålet med slik analyse i en modell er at en skal komme fram til gode veivalg, gode planløsninger osv. Generelt kan en si at målet er gode beslutninger. For at de beslutninger vi tar på grunnlag av analyse i modellen, skal være gode beslutninger, må modellen være realistisk. Modellen må ligne på virkeligheten. Kartet må stemme med terrenget. På den annen side må modellen ikke være for komplisert hvis vi skal kunne forstå og analysere den på en effektiv måte. Disse to kravene til realisme på den ene siden og enkelhet på den andre siden vil være motstridende når en skal lage modellen. Økt realisme i modellen fører til økt deltaljering og kompleksitet som igjen fører til at forståelsen og analysen blir vanskeligere. Når en skal velge modell, må en vurdere realisme opp mot enkelhet ut fra den oppgaven som skal løses. I praksis vil det som oftest være mulig å finne en rimelig god modell som er både tilstrekkelig realistisk og tilstrekkelig enkel for det aktuelle formål. For eksempel vil en kunne finne godt egnede kart til planleggingsformål, til fjellturen eller til bilturen i Europa. Vi skal i statistikken verken arbeide med kart eller med miniatyrutgaver, men med matematiske modeller. Det vil si at modellen er bygget opp av matematiske begrep som tall, mengder, formler og uttrykk, ligninger og funksjoner. I for eksempel fysikk og kjemi, der en også bruker matematiske modeller, er det ofte slik at når forsøksbetingelsene er kjent, vil en kunne regne seg fram til et entydig resultat av for eksempel en kjemisk reaksjon. Vi sier at forsøket og modellen er deterministisk. For de fenomener og forsøk en statistiker arbeider med, er det ikke slik. Her virker tilfeldigheter inn på resultatet, og utfallet av hvert enkelt gjentak av et forsøk kan ikke forutsies.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 17

28/06/2021 23:01

innledning

Vi sier at forsøket og modellen er stokastisk. Stokastisk er et adjektiv som brukes om noe som er påvirket av tilfeldigheter. En stokastisk modell vil typisk bestå av en mengde av mulige resultater for det forsøk eller fenomen vi studerer og en tabell eller en funksjon som forteller oss noe om hvor sannsynlig de forskjellige resultatene er. Vi bruker også betegnelsen sannsynlighetsmodell.

1.3 Beskrivende statistikk For at informasjonen i et tallmateriale av noe størrelse skal komme fram, er det viktig at materialet legges fram på en hensiktsmessig og forståelig måte. Vi skal her kort gå gjennom en del viktige teknikker for å systematisere og presentere data. Dette kaller vi deskriptiv eller beskrivende statistikk. Eksempel 1.1 Studenters alder Nedenfor er gitt alder for 166 studenter i 1. årskurs av studiene i økonomi og administrasjon ved Høgskolen i Telemark. 23

Vi skal bruke dette tallmaterialet til å illustrere de teknikkene vi skal gjennomgå.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 18

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

Det er vanskelig å skaffe seg noe godt bilde av den informasjon som ligger i materialet om en bare ser på de 166 tallene. Vi får ikke noe skikkelig inntrykk av aldersfordelingen blant studentene. Hvor stor andel av studentgruppen er for eksempel over 23 år? Vi vil dessuten ikke direkte ut fra tallene kunne si noe om disse studentene er gjennomgående eldre eller yngre enn en annen studentgruppe eller om spredningen i alder for disse studentene er større eller mindre enn for en annen studentgruppe. For å avgjøre slike spørsmål trenger vi det vi kaller et sentralmål som er et mål for alderen på en typisk student, og vi trenger et mål for spredning i aldersfordelingen.

Hyppighetstabell La oss starte med å studere fordelingen i et tallmateriale, nærmere bestemt aldersfordelingen i eksemplet. Vi vil få et klarere bilde av studentenes alder ved å sette opp en hyppighetstabell. På neste side er det gitt en slik tabell for de n = 166 studentene. I venstre kolonne står aktuelle aldre i stigende rekkefølge. I andre kolonne står antall studenter (nA) på hver alder. For eksempel er det n23 = 15 studenter som er 23 år. I tredje kolonne er det regnet ut hvilken andel (nA/n) dette utgjør av studentgruppen. Denne andelen kalles også den relative hyppigheten. For eksempel utgjør 23-åringene en andel på 15/166 = 0.090 eller 9.0 % av studentene. I siste kolonne er det regnet ut de kumulative andelene eller de kumulative relative hyppighetene. Disse finnes ved at en for hver alder summerer alle andeler til og med den aktuelle alder. Av denne kolonnen kan man for eksempel lese ut at andelen av studenter som er 23 år og yngre, er 0.741 eller 74.1 %. Følgelig er 25.9 % av studentene over 23 år.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 19

28/06/2021 23:01

innledning

Eksempel 1.2 Studenters alder Hyppighetstabell over aldersfordelingen Alder (år)

Antall

Andel

Kumulativ andel

nA/n

∑nA/n

0.0060

0.1145

0.1205

0.1928

0.3133

0.1446

0.4578

0.1928

0.6506

0.0904

0.7410

0.0482

0.7892

0.0301

0.8193

0.0181

0.8373

0.0663

0.9036

0.0120

0.9157

0.0060

0.9217

0.0000

0.9217

0.0120

0.9337

0.0060

0.9398

0.0060

0.9458

0.0060

0.9518

0.0060

0.9578

0.0120

0.9699

0.0000

0.9699

0.0060

0.9759

0.0000

0.9759

0.0181

0.9940

0.0000

0.9940

0.0060

1.0000

I eksemplet betraktet vi alder som en heltallsvariabel. Da er det ofte naturlig å la hver verdi være en gruppe av observasjoner, ofte kalt en klasse. Alternativt kunne vi slått sammen flere aldersverdier til en klasse.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 20

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

Det ville vært naturlig om vi hadde studert en gruppe personer der alle aldersgrupper (fra 0 til over 100 år) var representert. Da kunne det for eksempel være naturlig å operere med 5-års klasser: [0, 5), [5, 10), [10, 15) osv. Vi må lage aldersklassene slik at alle personer tilhører én og bare én klasse. Når vi behandler målinger der måleskalaen er kontinuerlig, må vi alltid gruppere dataene i klasser før vi kan sette opp en hyppighetstabell. Dersom vi for eksempel hadde målt vekt for de 166 studentene, ville vi dele opp tallmaterialet i vektklasser der en klasse for eksempel kunne dekke et intervall på 5 kg.

Histogram Informasjon i hyppighetstabellen kan presenteres grafisk i et stolpediagram, et såkalt histogram. For hver verdi (evt. hver klasse) lager vi en stolpe der høyden på stolpen er lik antall forekomster av denne verdien (klassen). I figur 1.1 er det tegnet histogram over aldersfordelingen for de 166 studentene. Her er for eksempel høyden på stolpen svarende til 23 år 15, fordi 15 av studentene er 23 år. Alternativt kunne en brukt andel eller prosent som høyde på stolpene. Dette ville gitt samme visuelle bilde av aldersfordelingen, men med en annen skala på y-aksen.

<INS PAT eps”

Antall 30

Alder (år)

Figur 1.1

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 21

28/06/2021 23:01

innledning

Både hyppighetstabellen og histogrammet gir oss nyttig informasjon om aldersfordelingen blant studentene. Vi kan lese ut at hovedtyngden (ca. 80 %) av studentene er i alderen 19–24 år, ca. 13 % er i gruppen 25–29 år og knapt 8 % av studentene er fra 30 år og opp til 42 år. Dette gir et godt bilde av alderssammensetningen i studentkullet.

Sentralmål I eksemplet med studentenes alder kan vi spørre: Hvor gammel er en typisk student? Noe helt entydig svar på et slikt litt upresist spørsmål fins vel ikke, men det mål man vanligvis vil bruke for alderen på en typisk student, er gjennomsnittsalderen. Gjennomsnittet er det mest brukte mål for størrelse i et tallmateriale. Et slikt mål for størrelse angir «sentrum» i aldersfor delingen. Vi bruker gjerne betegnelsen sentralmål. Definisjon 1.2 Gjennomsnitt Gjennomsnittet av n tall X1, X2, …, Xn er definert ved X=

1 1 ( X1 + X 2 + … + X n ) = n n

∑X i=1

I eksemplet kan vi regne ut at gjennomsnittsalderen for de 166 studentene er X = 23.0 år. Når vi i eksemplet sier at gjennomsnittsalderen for studentene er 23.0 år, får vi informasjon som er dekkende for alderen til en typisk student. Det fins imidlertid situasjoner der gjennomsnittet ikke gir et riktig bilde av en typisk observasjon. Anta for eksempel at en bedrift i tillegg til eieren har fem arbeidere som hver har en årslønn på kr 500 000. Eieren har selv en årsinntekt kr 2 300 000. Gjennomsnittsinntekten for de seks i bedriften, som blir kr 800 000, gir et galt bilde av lønnsnivået i bedriften. Svakheten med gjennomsnittet som sentralmål er at en eller noen få svært avvikende observasjoner kan trekke gjennomsnittet opp eller ned slik at resultatet ikke lenger ligger «sentralt» i fordelingen. Dette må vi være oppmerksom på når vi har klare skjevheter i tallmaterialet. Situasjonen i

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 22

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

bedriften med de seks ansatte var kanskje vel ekstrem, men selv mindre skjevheter vil kunne trekke gjennomsnittet i den ene eller den annen retning på en slik måte at vi ikke lenger er fornøyd med gjennomsnittet som sentralmål. Da vil medianen i fordelingen være et godt alternativ. Definisjon 1.3 Medianen Medianen M i et tallmateriale som består av n observasjoner er den midterste observasjonen dersom n er et oddetall. Dersom n er et partall, definerer vi medianen som gjennomsnittet av de to midterste observasjonene.

For å finne medianen vil en vanligvis først rangere observasjonene i stigende rekkefølge. Har en n = 9 observasjoner, er altså medianen den 5. minste observasjonen. Da er dette den midterste observasjonen i den forstand at det fins 4 observasjoner som er mindre enn medianen og 4 observasjoner som er større enn medianen. Hvis vi har n = 10 observasjoner, er det ingen av de 10 som er den midterste observasjonen. Da er altså medianen definert som gjennomsnittet av de to midterste, altså den 5. minste og den 6. minste. I eksemplet med alderen på de n = 166 studentene, er medianen gjennomsnittet av den 83. minste og den 84. minste alderen. Av hyppighets tabellen kan vi finne ut at medianen i aldersfordelingen er M = 22 år. I dette tilfelle er det ikke stor forskjell på gjennomsnittet på 23.0 år og medianen som er 22 år. Vi vil vel her si at begge sentralmålene er dekkende for alderen til en typisk student. Vi ser av histogrammet at aldersfordelingen er noe skjev mot høyre. De «eldre» studentene trekker gjennomsnittet litt opp. Det er årsaken til at gjennomsnittet gir en noe høyere verdi enn medianen.

Mål for spredning Både gjennomsnittet og medianen er intuitive og lett forståelige mål for størrelse. Når vi nå skal finne et mål for spredningen i et tallmateriale, så fins det ikke noen opplagt måte å måle spredningen på. Gjennomsnittet uttrykker, når det ikke er for sterkt påvirket av avvikende observasjoner,

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 23

28/06/2021 23:01

innledning

størrelsen på en typisk observasjon. For å nærme oss det som etter hvert skal bli vårt mål for spredning, vil vi nå stille spørsmålet: Hvor langt ligger observasjonene fra gjennomsnittet? Ligger mange observasjoner langt fra gjennomsnittet, vil vi si det er stor spredning i tallmaterialet. Ligger derimot alle observasjonene nær gjennomsnittet, vil vi si det er liten spredning. La oss starte med å regne ut gjennomsnittlig avstand mellom observasjonene og gjennomsnittet D=

⎞ 1 1⎛ n X 1 – X + … + X n – X = ⎜ ∑ X i – nX ⎟ = 0 ⎠ ⎝ n n i=1

(

)

Gjennomsnittlig avstand mellom observasjonene og gjennomsnittet blir altså lik null. Observasjonene som er mindre enn gjennomsnittet gir negative avstander, og observasjonene som er større enn gjennomsnittet gir positive avstander. Siden X ligger i sentrum av fordelingen, vil de positive og de negative avstandene oppveie hverandre slik at gjennomsnittlig avstand til gjennomsnittet blir null for ethvert tallmateriale. Dette betyr at denne gjennomsnittsavstanden er ubrukelig som spredningsmål. Vi må definere et avstandsmål der vi unngår at positive og negative avstander opphever hverandre. Det kan vi for eksempel gjøre ved å opphøye avstandene i andre potens. Vi ser på kvadratavstandene mellom observasjonene og gjennomsnittet. Da vil to observasjoner som ligger like langt fra gjennomsnittet på hver sin side ikke lenger oppheve hverandre, men få samme kvadrat avstand og dermed bidra like mye til gjennomsnittlig kvadratavstand. Vi definerer gjennomsnittlig kvadratavstand som følger SX 2 =

1 n 1 ⎡⎣(X 1 – X ) 2 + (X 2 – X ) 2 + … + (X n – X ) 2 ⎤⎦ = ∑ (X i – X ) 2 n i=1 n

Ut fra resonnementet ovenfor synes SX2 å være et logisk og fornuftig mål for spredning i et tallmateriale, og det er det. Det mest brukte spredningsmålet i statistikk er imidlertid den empiriske variansen som framkommer ved å dividere kvadratsummen i SX2 med n – 1 istedenfor med n. Dette er en mindre teknisk justering som foretas av matematiske grunner, og som vi kommer tilbake til i kapittel 5.3.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 24

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

Definisjon 1.4 Empirisk varians S2 =

1 n (X i – X ) 2 n – 1 i=1

∑

Både SX2 og S2 er, som det framgår av notasjonen, kvadratiske spredningsmål. Er for eksempel X-ene målt i meter (m), så blir enheten for disse spredningsmålene kvadratmeter (m2). For å få et spredningsmål som har samme dimensjon som observasjonene bruker vi S som er kvadratroten av den empiriske variansen. S kalles det empiriske standardavviket. Definisjon 1.5 Empirisk standardavvik S=

1 n (X i – X ) 2 n – 1 i=1

∑

Eksempel 1.3 Høyde Nedenfor er gitt høyde for 10 kvinnelige toppidrettsutøvere. Vi skal bruke dette svært begrensede tallmaterialet til å illustrere beregning av gjennomsnitt og standardavvik. Xi (cm) 164 167 170 171 166 169 168 171 168 168 Vi finner gjennomsnitt og empirisk varians X=

1 (164 +167 +170 +…+168 ) = 168.2 10

1 S 2 = [(164 −168.2) 2 + (167 −168.2) 2 + (170 −168.2) 2 9 +…+ (168 −168.2) 2 ⎦⎤ = 4.84 = 2.20 2

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 25

28/06/2021 23:01

innledning

Når en har et tallmateriale av noe størrelse vil en normalt bruke kalkulator med egne taster for gjennomsnitt og standardavvik, eller man vil bruke et dataprogram. Som før nevnt er gjennomsnittsalder for de 166 studentene X = 23.0 år, og vi kan få regnet ut at det empiriske standardavviket blant alle studentene er S = 4.56 år. Disse to nøkkeltallene for vårt materiale er mål for henholdsvis størrelse og spredning, og de kan brukes ved sammenligning med andre studentgrupper.

Kvartiler og kvartilbredde Som nevnt så er medianen et bedre sentralmål enn gjennomsnittet dersom fordelingen i datamaterialet er skjev eller om materialet inneholder en eller flere sterkt avvikende observasjoner. Også spredningsmålene empirisk varians og standardavvik har de samme svakheter som gjennomsnittet i slike tilfelle, og det kan være ønskelig å ha et spredningsmål som på samme måte som medianen er «robust» overfor skjevheter og store avvik i datamaterialet. Vi skal her definere et slikt mål, nemlig kvartilbredden. Når vi har n observasjoner rangert etter størrelse, så er medianen M den midterste observasjonen (evt. gjennomsnittet av de to midterste). Medianen deler dermed tallmaterialet i to halvdeler. For å finne nedre kvartil Q1 går vi til midten av nedre halvdel av observasjonene, og for å finne øvre kvartil Q3 går vi til midten av øvre halvdel. Q1, M og Q3 vil dermed dele materialet inn i 4 deler med 25 % av observasjonene i hver del. Se figur 1.2. Er observasjonene ordnet i stigende rekkefølge, så er i utgangspunktet Q1 observasjon nummer (n + 1)/4, M er observasjon nummer (n + 1)/2, og Q3 er observasjon nummer 3(n + 1)/4. Er for eksempel n = 15, er Q1 observasjon nummer 4, M er observasjon nummer 8, og Q3 er observasjon nummer 12. Dersom (n + 1) ikke er delelig med 4, blir uttrykkene for observasjonsnumrene for Q1 og Q3 ikke hele tall. Da vil vi definere hver av de to kvartilene som en veiet sum av de to nærmeste observasjonene. Se eksempel høyde for nærmere beskrivelse av utregning av kvartilene.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 26

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

25 %

Figur 1.2

Definisjon 1.6 Kvartilbredde Kvartilbredden i datamaterialet er definert som differansen mellom øvre kvartil og nedre kvartil QB = Q3 – Q1.

Kvartilbredden er upåvirket av de minste og de største observasjonene og er derfor et godt spredningsmål også om en har en skjev fordeling eller om en har noen få sterkt avvikende observasjoner.

Boksplott De fem nøkkelverdiene minste observasjon (min), nedre kvartil (Q1), median (M), øvre kvartil (Q3) og største observasjon (max) gir god informasjon om fordelingen i et datamateriale. Grafisk kan disse fem verdiene framstilles i et såkalt boksplott. Se figur 1.3. Boksplottet er raskt å tegne og gir på en lettfattelig måte grafisk informasjon om verdiområde, spredning og symmetri eller skjevhet i datamaterialet.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 27

Figu

28/06/2021 23:01

innledning

max

Q3 M Q1

min

Figur 1.3

Eksempel 1.4 Høyde Vi ordner høydene til de n = 10 kvinnelige toppidrettsutøvere etter størrelse 164 166 167 168 168 168 169 170 171 171 Med n = 10 er medianen observasjon nummer (n + 1)/2 = 5.5 altså gjennomsnittet av nummer 5 og nummer 6 som begge er 168. Dermed blir M = 168. Nedre kvartil er observasjon nummer (n + 1)/4 = 2.75. Da vil vi definere Q1 som en veiet sum av observasjon nummer 2 og nummer 3 med 25 % vekt på observasjon nummer 2 og 75 % vekt på nummer 3. Vi får Q1 = 0.25 · 166 + 0.75 · 167 = 166.75 Øvre kvartil er observasjon nummer 3(n + 1)/4 = 8.25. Vi regner ut Q3 som 75 % av observasjon nummer 8 pluss 25 % av observasjon nummer 9, Q3 = 0.75 · 170 + 0.25 · 171 = 170.25 Vi får kvartilbredde QB = Q3 – Q1 = 170.25 – 166.75 = 3.50

Boksplott for materialet er vist i figur 1.4.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 28

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

Høyde 172 170 168 166 164

max = 171.0 Q3 = 170,25 M = 168.0 Q1 = 166,75 min = 164.0

162 160 Figur 1.4

Eksempel 1.5 Studenters alder I datamaterialet med de n = 166 studentenes alder finner vi Q1 = 20, M = 22, Q3 = 24 og QB = 4. Vi har dessuten minste observasjon min = 18 og største observasjon max = 42. I boksplottet i figur 1.5 kommer skjevheten i aldersfordelingen klart fram gjennom den store avstanden mellom Q3 og max i forhold til den korte avstanden mellom Q1 og min.

<INS eps”

Antall 50 45 40 35 30 25 20 15

Figur 1.5

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 29

28/06/2021 23:01

innledning

Flere variabler Vi har hittil begrenset oss til å betrakte én variabel av gangen. Ofte er det imidlertid slik at en i en undersøkelse har samlet inn og registrert en rekke forskjellige opplysninger om hver forsøksenhet. Man vil bruke datamaterialet som helhet til å studere og beskrive en gruppe eller en populasjon. La oss gå tilbake til eksemplet med studentenes alder og anta at man i tillegg til alder også har registrert kjønn, opptakspoengsum, ønsket målform og for eksempel høyde og vekt for hver av de 166 studentene. I en slik situasjon er det fornuftig å organisere dataene i en tabell der hver linje representerer en forsøksenhet (her en student) og hver kolonne representerer en variabel. Utsnitt av en slik tabell er gitt nedenfor. Stud.nr.

Alder

Kjønn

Poeng

Målform

Høyde

Vekt

46.3

176

78.3

39.8

186

82.7

43.7

167

59.8

51.0

172

65.4

43.1

180

87.3

166

48.9

163

55.4

Når det gjelder de enkelte kolonner i tabellen, så er alder, høyde og vekt oppgitt i henholdsvis år, cm og kg. Kolonnen poeng angir studentens opptakspoeng (inklusiv tilleggspoeng) ved opptak til høgskolen. I kolonnen kjønn betyr 1 at studenten er en mann og 2 betyr kvinne. Kolonnen målform inneholder tallet 1 dersom studenten foretrekker bokmål og 2 dersom nynorsk er ønsket målform. Vi har gjennom tabellen ovenfor oppnådd en systematisering av dataene. Vi får en grei og oversiktlig presentasjon. Det er lett å identifisere alle opplysninger som hører til en og samme student og til en og samme variabel. Vi kan merke oss at det i tabellen fins to typer variabler. Alder, poeng, høyde og vekt er det vi kaller målevariabler eller kvantitative variabler.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 30

28/06/2021 23:01

1.3 beskrivende statistikk

Disse kan måles i anerkjente måleenheter, og det fins veldefinerte måleskalaer. Kjønn og målform er det vi kaller kategorivariabler eller kvalitative variabler. Her brukes henholdsvis 1 og 2 som kodebetegnelser for forskjellige kategorier (mann/kvinne og bokmål/nynorsk). Vi har ikke måleenheter, og vi har ingen skala. Vi kan for eksempel ikke si at en student som har verdien 2 for en kategorivariabel har dobbelt så stor verdi som en annen student som har verdien 1. Det er meningsløst. Tallene 1 og 2 er valgte koder for to forskjellige kategorier av studenter, for eksempel menn og kvinner. Når det gjelder målevariabler, kan vi derimot bruke en veldefinert skala. For eksempel er en student på 40 år dobbelt så gammel som en annen student på 20 år. Når vi senere skal analysere dataene, vil metodene være avhengig av hvilke(n) type® av variabler som ligger til grunn for analysen. Beskrivende mål for eventuell sammenheng mellom to variabler skal vi komme tilbake til senere. For å måle såkalt «samvariasjon» mellom to målevariabler brukes vanligvis empirisk korrelasjonskoeffisient. Denne kan gi oss et mål i en fast skala fra –1 til 1 for sammenhengen mellom to variabler som for eksempel høyde og vekt. For definisjon og tolkning av den empiriske korrelasjonskoeffisienten vises til kapittel 7.1. Sammenhengen mellom to kategorivariabler skal vi studere i kapittel 8.3. Når vi skal fokusere på to kategorivariabler som for eksempel kjønn og målform, vil det være fornuftig og oversiktlig å sette opp en egen tabell over forekomster av de forskjellige kategoriene for de to variablene. En slik todimensjonal tabell kalles en [kontingenstabell]kontingenstabell. Nedenfor er satt opp en kontingenstabell for variablene kjønn og målform.

[[s. 2

Målform Kjønn

Bokmål

Nynorsk

Sum

Mann

Kvinne

Sum

124

166

Tabellen viser for det første at det er 81 mannlige og 85 kvinnelige studenter. For det andre er det 124 studenter som velger bokmål og 42 som foretrekker nynorsk. Av mennene er det 59 som velger bokmål og 22 nynorsk.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 31

28/06/2021 23:01

innledning

Tilsvarende velger 65 kvinner bokmål og 20 nynorsk. Tabellen gir oss en systematisk og grei oversikt over forholdet mellom kjønn og målform.

1.4 Bruk av dataverktøy Når man skal arbeide med statistiske data, er bruk av dataverktøy uunnværlig. Dataprogrammer brukes til beskrivende statistikk som for eksempel beregning av gjennomsnitt og standardavvik og ikke minst til ulike grafiske framstillinger, og dataprogrammer brukes til statistisk analyse som for eksempel estimering, hypotesetesting og regresjonsanalyse. Jeg har valgt å ikke ta med statistisk programvare av noe slag i denne boken. Det er to grunner til det. For det første er dette en lærebok i et grunnkurs i statistikk der målet er å gi studentene forståelse av viktige begreper innen sannsynlighetsregning, stokastiske variabler og statistiske metoder. Eksempler på slike begreper kan være hva en betinget sannsynlighet uttrykker, hva et konfidensintervall er og hva kan vi slutte av en P-verdi. Dette er temaer som behandles og forstås helt uavhengig av programvare. Det er denne typen spørsmål som studentene møter i eksamensoppgavene. For det andre er det etter hvert blitt svært mange dataverktøy å velge mellom til forskjellige behov. De klassiske statstikkpakkene Minitab og SPSS, som tidligere dominerte både på universiteter og høgskoler og i forskermiljøer, er blitt utfordret og til dels utkonkurrert av nye programmer som STATA, SYSTAT, S-Plus og mange andre, men også av Excel. Excel er et program som mange velger å bruke til statistisk analyse fordi det er tilgjengelig for alle, og fordi det er kjent for mange fra andre bruksområder. Dessuten har forskere som arbeider med mer avanserte statistiske analyser, ofte basert på store datamengder, tatt i bruk programmeringsspråk som R og Python. Særlig er R blitt populær fordi dette er fri programvare som kan lastes ned gratis. Men brukerterskelen for R og Python er såpass høy at de egner seg bedre for forskere enn for studenter i et grunnkurs i statistikk.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 32

28/06/2021 23:01

1.4 bruk av dataverktøy

Oppgaver Oppgave 1.1 Nedenfor er gitt karakterer for 30 studenter i Statistikk I. 1.5 2.0 1.5 1.5 2.5 2.5 1.5 5.0 1.5 2.5 2.0 2.5 1.5 1.5 2.5 3.0 3.5 3.0 1.0 2.0 4.5 2.0 3.0 3.5 1.5 2.0 3.5 2.0 4.0 3.5 Sett opp hyppighetstabell over karakterene og tegn histogram. Finn gjennomsnitt, median og standardavvik i karakterfordelingen.

Oppgave 1.2 Finn nedre og øvre kvartil samt kvartilbredden for dataene i oppgave 1.1. Lag også boksplott for dataene.

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 33

28/06/2021 23:01

200249 GRMAT Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk 210801.indd 34

28/06/2021 23:01