Issuu

A n n e Rasch -H alvorsen • Toril Es keland Rangnes • Oddv ar Aas en

Tusen millioner Et matematikkverk fra Cappelen Damm

u n n bok r G

Bokm ål

A n n e R a s ch -H alvorsen • Toril Es keland Rangnes • Oddv ar Aas en Illustratør: Bjør n Eids v ik

Tusen millioner un n b o k r G

6B B okm ål

© CAPPELEN DAMM AS, 2013 ISBN 978-82-02-41329-3 1. utgave, 1. opplag 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Tusen Millioner følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er laget til bruk på grunnskolens barnetrinn. Hovedillustratør: Bjørn Eidsvik Omslagsdesign: 07 Gruppen AS, Kristine Steen Omslagsillustrasjon: Bjørn Eidsvik Graﬁsk formgiving: 07 Gruppen AS, Kristine Steen Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia Forlagets redaktør: Espen Skovdahl Redaksjonell revisjon: Anders Tangerud www.cdu.no http://tusenmillioner.cdu.no Fotograﬁer © Steinar Myhr / NN Samfoto s. 6, 114, © Joe McDonald / Corbis / NTB Scanpix s. 28, © moodboard/Corbis / NTB Scanpix s. 58, © Bjørn Rørslett/NN s. 86, © Steve Halsetrønning / NN / Samfoto / NTB Scanpix s. 140, © Sergii Shalimov / NTB Scanpix s. 168

Innledning Velkommen til Tusen millioner 6B. Hvert år fra 5. til 7. trinn vil du få arbeide med to grunnbøker og en oppgavebok. Her ser du Matellitten som skal følge deg gjennom alle bøkene: Kapitlene i grunnboka er delt inn i ﬁre deler: Grunnleggende lærestoff og oppgaver Kan jeg? Jeg regner mer Oppsummering Oppgavene i Jeg regner mer er delt inn i to deler etter vanskelighetsgrad: Litt vanskeligere oppgaver Mer utfordrende oppgaver

Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Betyr at dere skal samarbeide

x.x

Betyr at det hører et arbeidsark til oppgaven Betyr at du kan bruke kalkulator til oppgaveløsingen Betyr at du kan bruke pc til oppgaveløsingen

Vi håper du vil få glede av arbeidet med Tusen millioner! Hilsen Anne Rasch-Halvorsen Toril Eskeland Rangnes

Oddvar Aasen

Innhold 8

Tid .................................... Å regne med tid ...................... Når tideler og hundredeler teller .............. Tidens gang i naturen ............ Kan jeg? ................................... Jeg regner mer.......................... Oppsummering ........................

Areal ........................................ Arealet av et rektangel ........... Arealet av en trekant .............. Omgjøring av arealenheter .... Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

6 8

Volum ..................................... Måleenheter for volum ........... Volumet av rette ﬁrkantete prismer ................................. Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

58 60

Målestokk ............................. Forstørre og forminske ........... Arbeidstegninger og kart ........ Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

86 88 97 104 106 112

Rutenett og koordinatsystem .......... Plassering og ﬂytting i rutenett ............................. Kart ........................................... Hva er et koordinatsystem? ... Flytting i koordinatsystemet .. Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

15 18 20 23 27

28 30 35 41 45 48 55

68 73 75 83

114 116 121 124 128 131 133 139

Hoderegning og avrunding ....................... Hoderegning med addisjon og subtraksjon .................... Noen gode måter å regne i hodet på ........................... Multiplikasjon med 10 og 100 .......................... Avrunding av kjøpesum .......... Avrunding til nærmeste titall eller hundretall ......... Avrunding av desimaltall til hele tall .......................... Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

14 140 142 145 148 152

Sannsynlighet .................... Sannsynlighet .......................... Å regne ut sannsynlighet ....... Hvor mange muligheter? ........ Spill og sannsynlighet ............ Kan jeg? ................................... Jeg regner mer ........................ Oppsummering ........................

168 170 172 175 179 182 184 190

155 157 159 161 166

Klar, ferdig, gå!

Sola er oppe hele dĂ¸gnet nĂĽr det er midnattssol!

Tenk om tiden sto stille!

Tid MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• regning med tid • rutetabeller • tideler og hundredeler i tidsregning • tidsangivelser i naturen Arbeidsark 8.1

Klokkeskiver

Tid 7

Å regne med tid

Bussen går kl. 10.55 og er framme kl. 12.40.

12.40 –10.55 1.85

Da tar reisen mindre enn 2 timer.

Du kan ikke regne slik, Jon!

Forklar hvorfor Jon ikke kan regne slik han gjør. Hvor lang tid bruker bussen?

1 1 1 1

minutt = 60 sekunder time = 60 minutter timer = 60 · 60 sekunder = 3600 sekunder døgn = 2 · 12 timer = 24 timer

I klokkeslett bruker vi ikke desimaltegn mellom timer og minutter, men punktum. Klokka 12.40 er ikke et desimaltall, men betyr 40 minutter over 12.

Bussreisen vil ta 1 time og 45 minutter.

Når vi regner med tid, og skal låne en time, må vi alltid veksle til 60 minutter. 5 10

Husk: I klokkeslett brukes punktum mellom timer og minutter.

12.40 – 10.55 =0 1.45

Hvilke tidspunkter viser disse klokkene? Alle tidspunkter er før klokka 12.00 på formiddagen.

8.1

Tegn visere slik at klokkene viser a) kl. 07.00

c) kl. 10.15

e) kl. 11.20

b) kl. 04.30

d) kl. 02.45

f) kl. 03.40

Tid

Hvor mange minutter er det i a) en time

c) en halv time

b) et kvarter

d) tre kvarter

Hvor lang tid er det fra klokka a) 10.00 til klokka 11.15

c) 02.30 til klokka 05.00

b) 06.00 til klokka 08.40

d) 05.50 til klokka 08.20

En buss starter fra Kongsberg kl. 12.58 og er framme på Notodden kl. 13.45. Hvor lang tid bruker bussen?

Et tog starter fra Oslo S kl. 10.35 og er framme på Lillehammer kl. 13.13. Hvor lang tid bruker toget?

Jon går tur hver søndag. Han pleier å ta tiden på seg selv. En gang startet han kl. 10.34 og var tilbake igjen kl. 14.23. Hvor lang tid brukte Jon?

En buss går fra Notodden kl. 12.55. Den er framme i Oslo kl. 14.50. Hvor lang tid bruker bussen?

En buss går fra Oslo kl. 09.40. Den bruker 41 minutter til Drammen. a) Når er den framme i Drammen? Bussen stopper 4 minutter i Drammen. Den kjører videre til Kongsberg og er på Kongsberg kl. 11.03. b) Hvor lang tid bruker bussen fra Drammen til Kongsberg?

Se på rutetabellen for togene mellom Dombås og Åndalsnes. a) Hvor mange tog går det daglig fra Oslo S til Dombås? b) Hvor lang tid bruker tog nr. 46 fra Dombås til Åndalsnes? c) Hvor mange stasjoner mellom Dombås og Åndalsnes kan toget stoppe på? d) Hvor lang tid bruker tog nr. 46 fra Dombås til Bjorli?

Tid

Se på rutetabellen for tog fra Oslo til Trondheim. a) Hvor mange tog går fra Oslo S til Trondheim hvert døgn? b) Hvor mange av disse togene stopper på Moelv? c) Hvor lang tid bruker tog nr. 313 fra Oslo S til Lillehammer? d) Når er toget som går fra Oslo S kl. 16.07, i Oppdal?

Se på tabellen side 12. Kaja og faren hennes skal reise fra Oslo til Trondheim en onsdag, men faren skal ha et møte på Lillehammer underveis. Møtet er planlagt fra kl. 11.00 til kl. 15.00. a) Hvilket tog kan de ta fra Oslo S? b) Hvor lang tid er det fra toget kommer til Lillehammer og til møtet skal starte?

a) Hvilket nummer har det første toget de kan ta videre til Trondheim? b) Hvor lenge må de vente hvis møtet er ferdig kl. 15.00 og toget er i rute? c) Når kommer de til Trondheim? d) Hvor lang tid har de brukt fra Oslo S til Trondheim? Stoppen i Lillehammer skal regnes med.

På neste side ser du rutetabellen for den gamle trikkeruten Gråkallbanen i Trondheim. Nederst i tabellen står navn på stasjonene og hvor mange minutter det tar før trikken kommer dit etter start fra Lian.

Tid

13 13

HERLOFSONLØYPA

Avgang fra

Lø rd ag

12:13 12:28 12:43 12:58 13:13 13:28 13:43 13:58 14:13 14:28 14:43 14:58 15:13 15:43 16:13 16:43

17:13 17:43 18:13 18:43 19:13 19:43 20:13 20:43 21:13 21:43 22:13 22:43 23:13 23:43 00:43 01:43 02:43

09:13 09:43 10:13 10:43 11:13 11:43 12:13 12:43 13:13 13:43 14:13 14:43 15:13 15:43 16:13 16:43

Sø nd ag

Lø rd ag

07:13 07:43 08:13 08:43 09:13 09:28 09:43 09:58 10:13 10:28 10:43 10:58 11:13 11:28 11:43 11:58

Sø nd ag

M an da g

re da g

18:13 18:43 19:13 19:43 20:13 20:43 21:13 21:43 22:13 22:43 23:13 23:43 00:43 01:43 02:43

-f M an da g

re da g

14:13 14:28 14:43 14:58 15:13 15:28 15:43 15:58 16:13 16:28 16:43 16:58 17:13 17:28 17:43 17:58

-f M an da g

05:58 06:13 06:28 06:43 06:58 07:13 07:28 07:43 07:58 08:13 08:28 08:43 08:58 09:13 09:28 09:43 09:58

10:13 10:28 10:43 10:58 11:13 11:28 11:43 11:58 12:13 12:28 12:43 12:58 13:13 13:28 13:43 13:58

-f M an da g

re da g

13. AUGUST 2007

Gjelder fra:

-f

til St. Olavsgt.

17:13 17:43 18:13 18:43 19:13 19:43 20:13 20:43 21:13 21:43 22:13 22:43

k vil trikken I perioder med mye trafik tter kunne passere noen minu senere.

er natt-trikk. Avganger merket rødt kun natt til Disse avgangene går takster Egne ag. sønd lørdag og gjelder.

dager Rutetilbud for spesielle meside sam publiseres på vår hjem er. plass holde våre på

AS Gråkallbanen Tlf: 72 55 23 55 www.graakallbanen.no

a) Hva heter holdeplassen som trikken passerer 5 minutter etter at den har startet fra Lian? b) Hvor mange minutter bruker trikken på turen fra Lian til St. Olavs gate? c) Kaja skal ta trikken fra Breidablikk. Hvor lang tid bruker trikken fra Breidablikk til St. Olavs gate?

Kaja skal være hos tannlegen kl. 10.00. Hun bruker 10 minutter på å gå fra St. Olavs gate til tannlegen. a) Når må hun reise fra Breidablikk? b) Når kommer Kaja til St. Olavs gate?

Når tideler og hundredeler teller Shani Davis har satt verdensrekord på 1500 m skøyteløp med tida 1.42,32!

Hva betyr tida 1.42,32?

Når vi regner med minutter og sekunder, bruker vi et 60-tallssystem. Mellom timer, minutter og sekunder brukes punktum. Da vi begynte å måle deler av et sekund, ble det bestemt at vi skulle bruke tidels, hundredels og tusendels sekund. Dette er en del av vårt titallssystem. Tiden 1.42,32 betyr altså 1 minutt, 42 sekunder og 32 hundredeler av et sekund. Når Julie får tiden 10,2 på 60-meter, har hun brukt 10 sekunder og 2 tideler av et sekund.

Tid

a) Hvor mange sekunder er det i ett minutt? b) Hvor mange tidels sekunder er det i ett sekund?

Hvor mye lengre tid er a) 4 sekunder enn 2,5 sekunder b) 12,8 sekunder enn 2,5 sekunder c) 48,2 sekunder enn 32,5 sekunder

Hvor mye lengre tid er a) 1 minutt enn 40 sekunder b) 2 minutter og 20 sekunder enn 1 minutt og 30 sekunder c) 4 minutter og 5 sekunder enn 25 sekunder

Toppen skole har hatt idrettsdag. Julie løp 60 m på 10,2 sekunder, og Patrik på 11,1 sekunder. a)

Hva betyr tida 10,2 sekunder?

b) Hvor mye raskere løp Julie enn Patrik?

Kaja har personlig rekord på 11,3 sekunder på 60 m. Hvor mye må hun forbedre seg for å løpe på 10,4 sekunder?

I 500 m terrengløp løp Jon på 1 minutt og 48 sekunder, mens Mia løp på 2 minutter og 3 sekunder. Hvor mange sekunder raskere løp Jon enn Mia?

I VM i skiskyting i 2007 ble resultatet for de seks beste på jaktstart for menn: 1 2 3 4 5 6

Ole Einar Bjørndalen NOR Maxim Tchoudov RUS Vincent Defrasne FRA Michal Slesingr CHE Emil Svendsen NOR Raphaël Poirée FRA

32.21,27 +1.09,80 +1.09,90 +1.14,70 +1.17,20 +1.18,80

a) Hvor mange sekunder var Ole Einar Bjørndalen foran Maxim Tchoudov? b) Hvor lang tid kom Maxim Tchoudov foran Vincent Defrasne i mål? c) Hvor lang tid bak tredjeplassen kom Emil Svendsen? d) Hvor mye manglet det på at Ole Einar Bjørndalen slo Raphaël Poirée med 2 minutter?

I VM i kombinert i 2007 ble resultatene for de tre beste: 1 Hannu Manninen FIN 2 Magnus Moan NOR 3 Björn Kircheisen GER

17.40,20 + 0,30 + 29,50

a) Hva betyr tida til Hannu Manninen? b) Hvor lang tid var Magnus Moan etter Hannu Manninen? c) Hvor lang tid var Björn Kircheisen etter Magnus Moan i mål? Björn Kircheisen ﬁkk starte 47 sekunder foran Magnus Moan og 49 sekunder foran Hannu Manninen fordi han vant hopprennet. d) Hvor mye fortere gikk Hannu Manninen enn Björn Kircheisen? e) Hvor mye fortere gikk Magnus Moan enn Björn Kircheisen?

Tid

17 17

Tidens gang i naturen

Nå går sola over Sølvtind igjen. Da er det slutt på vinteren!

Hvilke merker i naturen kan fortelle oss noe om tida? Fra eldre tider har mennesker brukt forandringer i naturen til å holde rede på tida. Om vinteren står sola lavt på himmelen, og været er kjølig. Når sola kommer høyere på himmelen, er det et tegn på at våren er i anmarsj, med varmere vær. Da er det på tide å slippe dyrene ut på beite og å så korn. Nord for polarsirkelen, som går over Saltfjellet i Nordland, kan vi ha mørketid om vinteren og midnattssol om sommeren. Når sola ikke kommer så høyt på himmelen at den er synlig om dagen, sier vi at vi har mørketid. Når sola ikke går ned bak horisonten om natta, sier vi at vi har midnattssol. Sola står på sitt høyeste når det er midtsommer, altså sommersolverv. Det vil si 21. eller 22. juni. I den delen av Norge som ligger nord for polarsirkelen, har vi mørketid en del av vinteren og midnattssol en del av sommeren.

I Tromsø står sola for lavt på himmelen til at den er synlig fra og med 28. november til og med 14. januar. Hvor mange dager er det mørketid i Tromsø hver vinter?

Det er midnattssol i Tromsø fra og med 19. mai til og med 26. juli. Hvor mange døgn er det midnattssol om sommeren i Tromsø?

15. januar er den første soldagen i Tromsø. Da er sola oppe fra kl. 11.33 til kl. 12.15. Etter 14 dager, den 29. januar, har lengden på dagen økt slik at sola står opp kl. 09.20 og går ned kl. 14.37. a) Hvor lenge er sola oppe i Tromsø den første soldagen? b) Hvor lenge er sola oppe den 29. januar? c) Hvor mye lenger er sola oppe 29. januar enn 15. januar?

Sankthansaften, 23. juni, går sola opp i Trondheim kl. 03.03 om morgenen, og ned kl. 23.38. I Oslo går sola opp kl. 03.54 og ned kl. 22.44. Hvor mye lenger er sola oppe i Trondheim enn i Oslo?

Det er mørketid i Hammerfest fra og med 20. november til og med 22. januar, mens det er midnattssol fra og med 13. mai til og med 28. juli. a) Hvor mange døgn er det mørketid i Hammerfest i løpet av et år? b) Hvor mange døgn er det midnattssol i Hammerfest på et år? c) Hvor mange døgn i året er det både soloppgang og solnedgang i Hammerfest?

Tid

Kan jeg? Oppgave 1 Klokka til høyre viser formiddagstid.

a) Hva er klokka om 12 minutter? b) Hva var klokka for 15 minutter siden? c) Hva var klokka for 1 time og 20 minutter siden? d) Hva er klokka om 1 time og 5 minutter?

Oppgave 2 Jon løp 3000 m på 15.00 minutter. Julie løp 45 sekunder raskere, og Simen løp 45 sekunder langsommere enn Jon. a) Hvor lang tid brukte Julie på sin 3000 m? b) Hvor lang tid brukte Simen på sin 3000 m? c) Hvor stor forskjell var det på tidene til Simen og Julie?

Oppgave 3 Simen skal ta bussen fra Lilleby til Toppen. Se på tabellen, og ﬁnn ut hvor lang tid bussen bruker.

Holdeplass

Tid for passering

Fra Lilleby

14.35

Berg

14.50

Vik

15.05

Til Toppen

15.15

Oppgave 4 Nedenfor ser du utsnitt fra en tabell for Østfoldbanen. Moren til Julie skal ta toget fra Oslo til Fredrikstad for å delta på et kurs. Hun må være i Fredrikstad før kl. 10.00. For å komme til Oslo S må hun reise 20 minutter med buss. Bussen går hver hele og halve time.

a) Hvilket nummer er det på toget som moren til Julie skal ta? b) Når må hun ta bussen hjemmefra? c) Hvor lang tid tar togturen? d) Hvor lang tid tar hele reisen?

Tid 21

Oppgave 5 På en skoleidrettsdag hadde Mia som mål å løpe 100 m på 16,0 sekunder. Hun klarte det 0,4 sekunder raskere. a) Hva ble tida til Mia på 100 m? b) Simen slo Mia med 9 tidels sekund. Hva ble tida til Simen?

Oppgave 6 I 50 kilometer langrenn i Holmenkollen 2007 ble det følgende resultatliste: 1 2 3 4

Odd Bjørn Hjelmeseth NOR Tobias Angerer GER Frode Estil NOR René Sommerfeldt GER

2.17.22,0 2.17.31,8 ? 2.18.54,9

a) Hva betyr tida 2.17.22,0? b) Hvor mye raskere var Odd Bjørn Hjelmeseth enn Tobias Angerer? c) Frode Estil brukte 31,8 sekunder lengre tid enn Odd Bjørn Hjelmeseth. Hva ble tida til Frode Estil? d) Hvor lang tid foran René Sommerfeldt var Tobias Angerer?

Oppgave 7 En dag stod sola opp kl. 04.59 i Kristiansand, og gikk ned igjen kl. 21.51. Hvor lenge var sola oppe i Kristiansand dette døgnet?

Oppgave 8 Sant eller usant? a) Det er 60 minutter i en time. b) Når vi regner med tid, bruker vi bare punktum og ikke desimaltegn. c) Vi bruker punktum mellom timer og minutter. d) Vi bruker desimaltegn mellom minutter og sekunder. e) Vi bruker desimaltegn mellom sekunder og tidels sekund. f) Det kalles mørketid når sola er oppe hele døgnet. g) Det kalles mørketid når sola er under horisonten hele døgnet.

Jeg regner mer 29

a) Hvor mange minutter er det i en time? b) Hvor mange sekunder er det i et minutt? c) Hvor mange timer er det i et døgn?

8.1

Tegn visere på klokkene slik at de viser a) kl. 11.25

c) kl. 07.55

e) kl. 09.36

b) kl. 04.05

d) kl. 01.22

f) kl. 10.53

Hvor lang tid er det fra a) kl. 10.30 til kl. 14.20 b) kl. 00.30 til kl. 08.15 c) kl. 09.13 til kl. 11.00 d) kl. 06.40 til kl. 15.28

Hvor lang tid er det fra a) kl. 14.30 til kl. 16.15 b) kl. 09.52 til kl. 11.00 c) kl. 21.10 om kvelden til kl. 07.15 neste morgen

Mia trenger ni og en halv time søvn hver natt for å føle seg uthvilt. a) Når må hun legge seg hvis hun skal stå opp kl. 07.15? I helga legger Mia seg senere enn vanlig. Da trenger hun en halv time lengre søvn. b) Når bør hun legge seg i helga hvis hun skal stå opp kl. 08.30?

Tid 23

Simen spiller håndballkamp. Hver omgang er på 20 minutter. Klokka i hallen står på 17.33 i andre omgang. Hvor lang tid er det igjen av kampen?

I siste kamp scoret laget til Simen 6 mål på 5 minutter. Hvor mange sekunder gikk det i gjennomsnitt mellom hver gang de scoret når tiden regnes fra første scoring til siste scoring?

Kaja og Julie spiller på samme fotballag. I siste kamp scoret Kaja etter 10 minutter og 24 sekunder. Julie scoret 7 minutter og 45 sekunder senere. Hvor lang tid hadde lagene spilt da Julie scoret?

Dette er resultatlista på 60 m fra skoleidrettsdagen i friidrett: a) Hvor mye raskere løp Mia enn Julie? b) Hvor mye raskere måtte Patrik ha løpt hvis han skulle løpt akkurat 2 sekunder raskere enn Kaja?

Navn

Sekunder

Jon

11,2

Mia

10,7

Simen

10,9

Kaja

12,1

Julie

11,5

Patrik

10,4

c) Hvor mange tidels sekund raskere løp Simen enn Jon? d) Hvor mange tidels sekund raskere løp de tre guttene til sammen enn de tre jentene?

På Nordkapp, som er det nordligste punktet i Norge, er sola oppe fra og med 11. mai til og med 31. juli uten å gå ned. a) Hvor mange døgn er sola oppe sammenhengende på Nordkapp før den går ned igjen? b) Hvor mange timer tilsvarer det?

Bodø ligger like nord for polarsirkelen. Derfor er mørketida kortere der enn lenger nord. I Bodø er det mørketid fra og med 15.12 til og med 28.12. a) Hvilken høytid ligger innenfor mørketida i Bodø? b) Hvor mange døgn er mørketida i Bodø? c) Omtrent hvor mange ganger lengre er mørketida i Hammerfest enn i Bodø?

Vebjørn Rodal vant 800 m i OL i Atlanta i 1994. For å komme til finalen måtte han først løpe forsøk og semifinale. I semifinalen løp han på 1.43,96, og i finalen løp han på 1.42,58. Hvor mye raskere løp han i finalen enn i semifinalen?

Tid 25

Patrik skal reise med buss nr. 63 til Trondheim sentralstasjon fra Singsaker, som er en bydel i Trondheim. Han skal være på sentralstasjonen senest kl. 17.00 på en tirsdag. Han tar bussen fra Asbjørnsens gate. a) Når må Patrik ta bussen? b) Hvor mange minutter før tida vil han komme fram? c) Julie vil ta samme buss fra Rosenborg skole. Når vil bussen komme dit? d) Hun vil gå av ved Torvet. Hvor mange minutter vil hennes busstur ta?

Oppsummering

Å regne med tid Til tidsregning bruker vi en kombinasjon av ﬂere ulike tallsystemer i tillegg til 10-tallsystemet. For å angi tiden brukes enheter som år, måneder, uker og døgn. Til kortere tidsrom brukes timer, minutter og sekunder. Når vi oppgir tid, forkorter vi ofte minutter til min og sekunder til sek. 1 1 1 1

år ʜ 365 døgn (366 døgn i skuddår) døgn = 24 timer time = 60 minutter minutt = 60 sekunder

I idrettskonkurranser tar vi ofte tiden med en nøyaktighet på sekunder, tidels sekunder og noen ganger hundredels sekunder. Når vi skal regne med tid, må vi huske å bruke punktum mellom timer og minutter. Det gjør vi for å vise at disse tidsenhetene angis i 60-tallsystemet. Når vi regner med tideler og hundredeler av et sekund, bruker vi 10-tallsystemet. Derfor bruker vi komma mellom sekunder og tideler. 1.29,68 betyr 1 minutt, 29 sekunder, 6 tidels sekund og 8 hundredels sekund.

Mørketid Når sola ikke går høyt nok på himmelen til å være synlig om dagen, sier vi at vi har mørketid.

Midnattssol Når sola ikke går ned bak horisonten om natta, sier vi at vi har midnattssol.

Tid 27

En løveﬂokk kan ha et territorium på opptil 400 kvadratkilometer. Hvor stort område er det?

Jeg vet en lur måte å ﬁnne arealet på!

9 Areal MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• arealet av rektangler • arealet av trekanter • høyden i en trekant • omgjøring mellom arealenheter Arbeidsark 9.1

Ruteark 1 cm2

9.4

Felles problemløsing

9.2

Arealet av en trekant

9.5

Arealmal

9.3

Høyden i en trekant

Areal 29 Areal 29

Arealet av et rektangel

4 cm

Må vi alltid telle ruter når vi skal ﬁnne arealet av rektangler?

5 cm

Nei, det er lettere å regne det ut.

Hvor stort er arealet av rektangelet? Hvordan tenker vi når vi bruker multiplikasjon for å ﬁnne arealet av et rektangel?

Arealet forteller hvor stor en flate er. Da må vi finne hvor mange arealenheter som trengs for å dekke flaten. I stedet for å telle arealenheter kan vi finne arealet av et rektangel ved å multiplisere. Da kan vi tenke på to måter:

Eksempel 1 Vi har fem kolonner med ﬁre kvadratcentimeter i hver kolonne. Arealet av rektangelet er 5 · 4 cm2 = 20 cm2

1 cm2 1 cm2 1 cm2 1 cm2

Eksempel 2 Lengden av rektanglet er 5 cm og bredden 4 cm. 4 cm

Arealet av rektangelet er 5 cm · 4 cm = 20 cm2 5 cm

Vi skriver ofte A i stedet for areal. Da kan vi skrive arealet av alle rektangler slik: A = lengde · bredde Hvis vi erstatter lengden med l og bredden med b, kan vi skrive arealet slik: A=l·b

9.1

a) Bruk rutearket og tegn et rektangel med areal 24 cm2. b) Hvor stor er lengden til rektangelet? c) Hvor stor er bredden til rektangelet?

a) Tegn forskjellige rektangler med areal 24 cm2. Hvor mange kan du tegne? b) Skriv mål på sidene i rektanglene.

Regn ut arealet av rektanglene: a)

b) 16 cm 5 cm

9 cm 3 cm

Areal

d) 9 cm

12 cm 18 cm

12 cm

a) Tegn et rektangel med l = 6 cm og b = 5 cm. Regn ut arealet. b) Tegn et rektangel med l = 4,5 cm og b = 8 cm. Regn ut arealet.

9.1

a) Bruk rutearket og tegn et rektangel med areal 36 cm2. b) Hvor stor er lengden i rektangelet? c) Hvor stor er bredden i rektangelet?

Et kvadrat har arealet 100 cm2. Hvor lang er siden i kvadratet?

a) Finn lengden til rektangelet A. b) Finn bredden til rektangelet B. c) Finn siden i kvadratet C. A 21 cm2

C 32 cm2

8 cm

3 cm

25 cm2

5 cm

Mål lengden og bredden, og regn ut arealet av hvert frimerke. a))

Mål lengden og bredden på kalkulatoren din. Hvor stort er arealet av framsiden på kalkulatoren?

Mål lengden og bredden til framsiden på ei fyrstikkeske. Rund av til hele centimeter. Hvor stort er arealet av framsiden?

Mål lengden og bredden til framsiden på matematikkboka di. Hvor stort er arealet av framsiden?

Et skilt er 5 dm langt og 7,5 dm bredt. Hvor stort er arealet av skiltet?

Et bord er 18 dm langt og 8 dm bredt. Hvor stort er arealet av bordplata?

En port er 9 dm bred og 2,5 m høy. Hvor stort er arealet av porten?

Areal

Høyden er 80 cm.

Kaja hjelper vaktmesteren med å legge ﬂiser over benken. Hvor mange ﬂiser på 10 cm · 10 cm trenger de?

Lengden er 2 m.

10 cm

Arealet av en trekant

Se, jeg har en lur idé!

Du har tegnet rektangler som er dobbelt så store som trekantene!

Hvordan kan vi ﬁnne arealet av en trekant?

Simen vet hvordan han kan ﬁnne arealet av et rektangel. Da multipliserer han lengden med bredden. Når han skal ﬁnne arealet av en trekant, «tenker» han seg et rektangel rundt trekanten og dividerer på 2.

Eksempel 1

høyde = 3 cm

grunnlinje = 4 cm

Arealet av hele rektangelet er: A = 4 cm · 3 cm = 12 cm2

Areal

Vi ser at trekanten er halvparten så stor som rektangelet. Da må arealet av trekanten være:

4 cm · 3 cm 2

= 6 cm2

Vi kan skrive arealet av alle trekanter slik:

A =

grunnlinje · høyde 2

Hvis vi kaller grunnlinjen g og høyden h, får vi arealet av alle trekanter ved å skrive slik: A = g·h 2

Vi skriver g for grunnlinje og h for høyde!

Eksempel 2

3 cm

5 cm

g·h 5 cm · 3 cm = = 7,5 cm2 2 2

a) Tegn tre ulike rektangler i kladdeboka. Bruk hele centimeter på sidene. b) Regn ut arealet av hvert rektangel. c) Del hvert rektangel i to like store trekanter. d) Hvor mange kvadratcentimeter er arealet av hver trekant?

Regn ut arealet av trekantene. a) 3 cm

5 cm

b) 2 cm

3 cm

c) 2,5 cm

4 cm

9.2

Regn ut arealet av trekantene.

9.3

Tegn inn riktige høyder i trekantene.

Det må alltid være rett vinkel mellom grunnlinjen og høyden!

Areal

a) Hvor mange centimeter er grunnlinjen i trekanten? b) Hvor mange centimeter er høyden i trekanten? c) Regn ut arealet av trekanten.

a) Hvor stort er arealet av trekanten nedenfor?

2 cm 3 cm

b) Tegn en rettvinklet trekant der både grunnlinjen og høyden er dobbelt så lange som på ﬁguren ovenfor. c) Regn ut arealet av den nye trekanten du har tegnet. d) Hvor mange ganger større er arealet av den store trekanten enn av den lille trekanten?

a) Tegn en rettvinklet trekant der grunnlinjen er dobbelt så lang som ﬁguren i oppgave 21, men høyden er den samme. b) Regn ut arealet av trekanten. c) Tegn en ny rettvinklet trekant der høyden er dobbelt så lang, men grunnlinjen er den samme. d) Regn ut arealet av denne trekanten. e) Sammenlikn svarene i oppgave b og d. Hva ﬁnner du?

Mål grunnlinjen og høyden i trekantene nedenfor. Hvor stort er arealet av a) trekant A b) trekant B c) trekant C

Tegn en trekant med grunnlinje 4 cm og høyde 3 cm. Hvordan kan du lage en trekant som har tre ganger så stort areal? Forklar.

En vimpel har grunnlinje 15 cm og høyde 40 cm. a) Lag en skisse av vimpelen. b) Hvor mye stoff trenger du for å lage vimpelen?

Rommet til Simen er 5 m langt og 3 m bredt. a) Hvor stor er grunnﬂaten i rommet? Møblene hans dekker 6,5 m2. b) Hvor mye gulvplass har han som det ikke står møbler på? Simen ønsker seg et rom som er 5 m2 større. c) Hvilke mål kan rommet ha?

Areal

Nedenfor ser du tegninger av tre traﬁkkskilt. Regn ut arealet av skiltene. a)

50 cm

30 cm

50 cm

c) 43 cm

50 cm

Finn arealet av draken ved å addere arealet av de ﬁre trekantene. Mål de lengdene du trenger.

Omgjøring av arealenheter Hvis siden i et kvadrat er 1 cm, så er arealet 1 cm2.

Hvis siden i et kvadrat er bare 1 mm, så er arealet 1 mm2.

Hvis siden i et kvadrat er 1 dm, så er arealet 1 dm2.

Hvor stort er arealet av et kvadrat som har side 1 m?

S Sidene i kvadratet til venstre er 1 dm. Det er plass til 100 ruter på 1 cm2 i kvadratet. Det betyr: 1 dm2 = 100 cm2 Sidene i kvadratet til høyre er 1 cm. Det er plass til 100 ruter på 1 mm2 i kvadratet. Det betyr: 1 cm2 = 100 mm2 Vi får: 1 cm2 = 100 mm2 1 dm2 = 100 cm2 1 m2 = 100 dm2

1 dm

Areal

Gjør om 4 m2 til a) kvadratdesimeter b) kvadratcentimeter c) kvadratmillimeter

Ei dør er 1,5 m bred og 2 m høy. a) Hvor mange kvadratmeter er arealet av døra? b) Hvor mange kvadratdesimeter er arealet av døra?

Skiltet over inngangen til en butikk er 3,5 m langt og 5 dm bredt. a) Hvor mange kvadratmeter er arealet av skiltet? b) Hvor mange kvadratdesimeter er arealet av skiltet?

Et lønneblad dekker 1,3 dm2. Hvor mange kvadratcentimeter dekker lønnebladet?

Hvor stort er arealet av ﬁgurene i a) kvadratcentimeter

b) kvadratdesimeter

3 cm

5 cm B 4 cm

2 cm

4 cm 5 cm

3 cm

2 cm

Gjør om til kvadratdesimeter. a) 16 m2

b) 350 cm2

c) 1000 cm2

d) 4500 cm2

b) 4,52 dm2

c) 6,7 dm2

d) 6,78 dm2

c) 1000 mm2

d) 1200 mm2

Gjør om til kvadratcentimeter. a) 700 mm2

d) 11 cm2

Gjør om til kvadratcentimeter. a) 4,5 dm2

c) 88 cm2

Gjør om til kvadratdesimeter. a) 300 cm2

b) 1,5 m2

b) 750 mm2

a) Tegn en trekant, og marker grunnlinjen med g og høyden med h. b) Mål grunnlinjen og høyden, og regn ut arealet i kvadratcentimeter. c) Gjør om arealet til kvadratdesimeter.

En dør er 2 m høy og 80 cm bred. a) Hvor mange kvadratdesimeter er arealet av døra? b) Døra skal males. Det er et lite kvadratisk vindu i døra med side 30 cm. Hvor stor ﬂate skal males? c) Hvor stor ﬂate må Mia male hvis hun skal male tre strøk?

Areal

Regn ut.

a) 6 m2 + 100 dm2 = b) 20 m2 + 400 dm2 =

4 m2 + 2000 dm2 = 4 m2 + 20 m2 = 24 m2

c) 30 m2 + 1000 dm2 =

a) 2 dm2 + 100 cm2 = b) 50 dm2 + 500 cm2 = c) 50 dm2 + 1000 cm2 =

a) 9 m2 + 1200 dm2 = b) 56 m2 + 4400 dm2 = c) 37 dm2 + 6300 cm2 =

a) 4 m2 + 50 dm2 + 300 m2 = b) 30 dm2 + 400 cm2 + 50 dm2 = c) 500 cm2 + 80 dm2 + 0,5 dm2 =

9.4

Klart for felles problemløsing. Klipp ut kortene på arbeidsarket. Gå sammen i grupper, og fordel kortene. Finn løsningen sammen.

Kan jeg? Oppgave 1 Regn ut arealet av ďŹ gurene. a)

5m 7m

c) 2m

Oppgave 2 Regn ut arealet av rektanglene nĂĽr a) lengden er 8 cm og bredden er 3 cm b) lengden er 2,4 m og bredden er 80 dm

Areal 45

Oppgave 3 Hvor stort er arealet av trekantene? a)

4 cm

7 cm

3 cm

6 cm

9 cm

Oppgave 4 Tegn to ulike rektangler som begge har arealet 48 cm2. Skriv mål på grunnlinjen og høyden.

Oppgave 5 Skriv som kvadratmeter. a) 700 dm2

b) 540 dm2

Oppgave 6 Skriv som kvadratcentimeter. a) 750 mm2

b) 80 dm2

Oppgave 7 Regn ut. a) 7 m2 + 300 dm2 =

c) 300 dm2 + 4000 cm2 =

b) 4,5 m2 + 600 dm2 =

d) 400 cm2 + 6000 dm2 =

Oppgave 8 Sant eller usant? a) Areal kan måles i kvadratmeter. b) Areal kan måles i centimeter. c) Vi ﬁnner arealet av en trekant ved å multiplisere to av sidene i trekanten. d) Vi ﬁnner arealet av et rektangel ved å multiplisere lengden med bredden. e) Det er 100 cm2 i 1 dm2. f) Når omkretsen til et rektangel dobles, dobles også arealet.

Tenk deg godt om!

Areal 47

Jeg regner mer 45

Regn ut arealet av ďŹ gurene. a)

b) 2 cm 3 cm 3 cm 4 cm

c) 3 cm

3 cm

a) Tegn et rektangel med lengde 5 cm og hĂ¸yde 3 cm. b) Regn ut arealet.

a) Tegn et kvadrat med side 7 cm. b) Regn ut arealet av kvadratet.

Regn ut arealet av rektanglene. a)

3 cm

3,5 cm

5,5 cm 4 cm

En plen er 12 m lang og 8 m bred. Midt pĂĽ plenen er det en kvadratisk sandkasse med side 2 m. a) Lag en tegning av plenen med sandkassen. b) Hvor stort er arealet av sandkassen? c) Hvor stort er arealet av plenen?

Tegn av rektangelet nedenfor. a) Hvor mange kvadratcentimeter er arealet av rektangelet? b) Hvor mange kvadratcentimeter er arealet av hver av trekantene?

3 cm

7 cm

a) Tegn en trekant med grunnlinje 8 cm og hĂ¸yde 5 cm. b) Regn ut arealet av trekanten.

Et seil har form som en rettvinklet trekant. Det er 5,8 m hĂ¸yt og 2 m langt. Regn ut arealet av seilet.

49 Areal 49

Omtrent hvor mange kvadratcentimeter er arealet av håndﬂaten din? Bruk arealmalen.

Gjør om til kvadratcentimeter.

9.5

a) 1 dm2

b) 150 cm2

b) 50 mm2

b) 70 dm2

d) 550 cm2

c) 700 mm2

d) 750 mm2

c) 250 dm2

d) 1000 dm2

Hagen til Julie er 46 m lang og 25 m bred. a) Hvor stort er arealet av hagen? En ﬁredel av hagen er plen. b) Hvor stort er arealet av plenen?

c) 500 cm2

Gjør om til kvadratmeter. a) 100 dm2

d) 0,5 dm2

Gjør om til kvadratcentimeter. a) 100 mm2

c) 10 dm2

Gjør om til kvadratdesimeter. a) 100 cm2

b) 4 dm2

a) Tegn et rektangel med lengde 4,7 cm og høyde 2,6 cm. b) Regn ut arealet. c) Regn ut omkretsen.

Et teppe er 5 m langt og 80 cm bredt. Hvor stort er arealet av teppet?

En eske er 8 cm lang, 21 mm bred og 1 cm høy. a) Hvor stor er den største ﬂaten på esken? b) Hvor stor er den minste ﬂaten på esken?

Finn arealet av a) det gule området b) det grønne området c) hele området

3 cm

4 cm

Areal 51

a) Tegn et rektangel som har areal 60 cm2. Sidene skal være hele centimeter. b) Hvor mange rektangler kan du tegne som har areal 60 cm2? Tegn rektanglene.

Finn arealet av ﬁgurene. a)

4 cm

7 cm

5 cm

4 cm

6 cm

4 cm

4,8 cm

2 cm

Hvor lang er innebandybanen når kortsiden er 20 m og arealet av banen er 800 m2?

8 cm

En vegg som er 2,4 m høy og 3 m lang, skal males. Midt på veggen er det et vindu som er 1 m bredt og 1 m høyt. a) Tegn veggen med vinduet. b) Regn ut arealet av hele veggen med vinduet. c) Regn ut arealet av vinduet. d) Hvor stort areal skal males?

Mia skal lage et fuglebrett. Bunnen og taket skal være like store.

I gruppen til Mia er det 15 elever. Alle vil lage like fuglebrett.

a) Hvor mange kvadratcentimeter er bunnen og taket til sammen? cm

b) Hvor mange kvadratmeter materialer går med til fuglebrettene? c) Hvor mange kvadratdesimeter tilsvarer det?

Et kvadrat har arealet 144 m2. Hvor lange er sidene i kvadratet?

Arealet til gulvet i et rektangelformet rom er 12,60 m2. Den ene siden er 3 m. Hvor lang er den andre siden? A

a) Regn ut arealet av skiltene. b) Gjør om arealene til kvadratdesimeter.

1m 9m

Areal 53

En hustomt er 87 m lang og 42 m bred. Prisen på tomta er 120 kr per kvadratmeter. Hvor mye koster tomta?

a) Hvor mange heller trengs til en uteplass som er 15 m lang og 18 m bred? b) Hvor mye koster hellene til sammen?

Gjør om til kvadratdesimeter. a) 6 m2

c) 600 cm2

b) 0,7 m2

d) 2700 cm2

Gjør om til kvadratcentimeter. a) 1,5 dm2

c) 60 dm2

b) 6 m2

d) 670 mm2

Gjør om til kvadratmeter. a) 1456 dm2

d) 740 dm2

Gjør om til kvadratcentimeter. a) 750 mm2

b) 16 000 cm2 c) 2460 cm2

b) 60 mm2

c) 32 dm2

d) 0,5 dm2

Gjør om til kvadratmeter. a) 237 dm2

d) 5000 cm2

b) 59 dm2

e) 1 000 000 mm2

c) 34 000 cm2

f) 700 000 mm2

Oppsummering Areal Arealet forteller hvor stor en flate er. Vi måler ofte størrelsen av en flate ved å finne ut hvor mange mindre flater, arealenheter, som trengs for å dekke den. Vi kan måle areal med kvadratmillimeter, kvadratcentimeter, kvadratdesimeter og kvadratmeter. Disse kaller vi arealenheter.

1 dm

1cm2

1 dm Vi skriver: A = 1 dm2 = 100 cm2

Vi skriver ofte bare A for areal.

Areal 55

Arealet av et rektangel A = lengde · bredde = l · b A = 5 cm · 3 cm = 15 cm2

3 cm

5 cm

Arealet av en trekant

3 cm

4 cm

3 cm

> 4 cm

3 cm

4 cm

grunnlinje · høyde 2

4 cm · 3 cm 2

3 cm

= 6 cm2

Det må alltid være en rett vinkel mellom grunnlinjen og høyden i en trekant.

Omgjøring av arealenheter 1 cm2 betyr arealet av et kvadrat med side 1 cm. 1 cm 1 cm

1 dm2 betyr arealet av et kvadrat med side 1 dm.

1 dm

Her ser vi at 1 dm2 = 10 cm · 10 cm = 100 cm2 På tilsvarende måte får vi: 1 cm2 = 1 cm · 1 cm = 10 mm · 10 mm = 100 mm2 1 m2 = 1 m · 1 m = 10 dm · 10 dm = 100 dm2

Areal 57