Issuu

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus S2 MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK

Foto og grafikk: Bilda er fargemanipulerte. Omslagsfoto: AdobeStock / nuchao Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: GettyImages / GibsonPictures Kapittel 3: Unsplash.com / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / tawatchai1990 Kapittel 5: AdobeStock / juliasudnitskaya Kapittel 6: AdobeStock / MarekPhotoDesign.com Oppgavedel: Adobe Stock / araho Side 142: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 181: GettyImages / Juanmonino Side 225: GettyImages / RomoloTavani Side 373: GettyImages / sirup Side 381: GettyImages / blueringmedia Side 394: GettyImages / malerapaso

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Sinus S2 følger læreplanen (LK20) i matematikk for samfunnsfag S2 frå 2020, for vg3 studieførebuande utdanningsprogram. Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate så langt det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel.

Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-74053-5 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus S2 er skriven for programfaget S2 i dei studieførebuande utdanningsprogramma. I boka blir elevane godt kjente med matematisk tankegang, og dei lærer å anvende matematikk innanfor økonomi og samfunnsfag. Elevane får god trening i å løyse oppgåver utan og med bruk av digitale hjelpemiddel. Dei lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python. I kapittel 1 lærer elevane om følger og rekker. Kapittel 2 handlar om derivasjon. I kapittel 3 og 4 arbeider elevane med integrasjon og matematiske modellar. Der bruker dei stoffet i kapittel 1 som grunnlag for integralrekninga. I kapittel 5 lærer elevane om sannsynsfordelingar for diskrete stokastiske variablar. I kapittel 6 lærer dei om kontinuerlege stokastiske variablar og om hypotesetesting. Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane skal finne ut eigenskapar og reglar før det blir behandla i boka. Men teorien er skriven slik at det likevel er mogleg å lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men dei kan også gjerast enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevane får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet. I boka er det i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. Nokre gonger står det i oppgåva om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver står eleven fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva for oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei støyter på ukjente ord og uttrykk. Til verket høyrer også ein nettstad: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Blant anna inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen

Innhald 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Talfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serielån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noverdi og annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uendelege rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Følger utan formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Derivasjon

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjerneregelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonen f(x) = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av eit produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av rasjonale funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av logaritme- og eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grensekostnad og grenseinntekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einingskostnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integrasjon

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eit spesielt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon av eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemt integral som grense for ein sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamentalsetninga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal ved rekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal mellom to grafar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Gini-koeffisienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modellar og metodar

4.1 4.2 4.3 4.4

Samla resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentielle modellar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logistisk vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfarten ved logistisk vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...................................................................

6 8 14 19 22 25 32 36 42 51 56 58 60 62 63 67 71 73 76 80 86 91 98 100 104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

108 112 114 119 128 131 137 140 142 144

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

148 152 157 163

4.5 4.6 4.7

Variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delbrøkoppspalting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Toll på import . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167 170 174 179 180 182

Sannsynsfordelingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stokastiske variablar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometriske fordelingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forventningsverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reknereglar for stokastiske variablar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forventning og varians i ei binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Kostnadseffektive testar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184 185 191 196 201 207 213 219 222 224 226

Normalfordeling og statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlege stokastiske variablar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalfordelinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standard normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomisk fordeling og normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sentralgrensesetninga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnitt og normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotesetesting i ein binomisk modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotesetesting med normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypotesetesting av forventningsverdiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Ein modell for aksjekursar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 229 235 240 246 253 257 260 267 270 278 280 282

Oppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Modellar og metodar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sannsynsfordelingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Normalfordeling og statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 285 313 335 350 370 389

Normalfordelingstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fasit teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fasit oppgåvedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414 416 427 447

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

FØLGER OG REKKER Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • utforske eigenskapar ved ulike rekker og gjere greie for praktiske anvendingar av eigenskapar ved rekker • utforske rekursive samanhengar ved å bruke programmering og presentere eigne framgangsmåtar

UTFORSK FIGURTAL STEG 1

Når vi kvadrerer eit naturleg tal, får vi eit kvadrattal. Dei seks minste kvadrattala er 1, 4, 9, 16, 25 og 36. Kvadrattal nr. n kallar vi Kn. Det er gitt ved formelen Kn n2 Ein slik formel som gir tal nr. n direkte, kallar vi ein eksplisitt formel. Kvadrattala kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

Vi ser for eksempel at kvadrattal nr. 4 dannar eit kvadrat med 4 kuler i kvar retning. Tal vi får ved å sette saman figurar etter eit system, kallar vi figurtal. Kvadrattala ovanfor er dermed eit eksempel på figurtal. a) Bruk den eksplisitte formelen for Kn til å finne K5, K6 og K10. b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1. c) Forklar at Kn 1 Kn 2 n 1, når n t 1. Formelen i oppgåve c kallar vi ein rekursiv formel for kvadrattala. Når vi kjenner eit kvadrattal, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke ein slik rekursiv formel, må vi kjenne eitt av tala. Her veit vi at K1 1. d) Bruk den rekursive formelen i oppgåve c til å finne K5, K6 og K10. STEG 2

No skal vi sjå på nokre figurtal som vi kan kalle rektangeltal. Her er dei minste rektangeltala:

R1 = 2

a) b) c) d) e)

R2 = 6

R3 = 12

Finn rektangeltala R4 og R8. Finn ein eksplisitt formel for rektangeltalet Rn. Talet 870 er eit rektangeltal. Kva for eit nummer har det? Finn ein rekursiv formel for Rn uttrykt med Rn 1 for n ! 1. Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8. 1.1 TALFØLGER

STEG 3

No skal vi sjå på tal som vi kallar trekanttal. Her er dei minste trekanttala:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

a) Finn trekanttala T5 og T6. b) Finn ein rekursiv formel for trekanttalet Tn uttrykt med Tn 1 for n ! 1. c) Samanlikn trekanttala og rektangeltala, og bruk formelen du fann i steg 2b, til å vise at trekanttal nr. n er gitt ved formelen Tn

n (n 1) 2

d) Finn nummeret til trekanttalet 820. e) Sjå på summen av to trekanttal som følger etter kvarandre. Kva for regel ser ut til å gjelde? Vis at regelen din er rett både ut frå kulene og ved rekning.

1.1 Talfølger Vi tar utgangspunkt i talet 2 og doblar det. Deretter doblar vi svaret. Slik held vi på og får desse tala: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … Dette er eit eksempel på ei talfølge eller ei følge. Forskjellen på ei talfølge og ei talmengde er at i ei talfølge har rekkefølga av tala betydning. Tala er nummererte i rekkefølga dei står i. I ei talmengde er rekkefølga utan betydning. Tala i ei talfølge kallar vi ledd. Ofte kallar vi det første leddet a1, det andre leddet a2 osv. I talfølga ovanfor er a1 2, a2 4, a3 8, a4 16, …

1 | FØLGER OG REKKER

Denne talfølga er bestemt ved at a1 2, og at an 2 an 1, når n ! 1. Dette er ein rekursiv formel for ledda i følga. I ein rekursiv formel er ledda bestemte av eitt eller fleire av ledda framfor. Nokre gonger kan i tillegg rekkenummeret inngå. Vi legg merke til at i følga på førre side er a1 2, a2 22, a3 23, a4 24 osv. Ledd nr. n er gitt ved an 2n Dette er ein eksplisitt formel for ledd nr. n. Med han kan vi finne ledd nr. 10 direkte: a10 210 1024. Når vi i denne boka skriv ‘ein formel for ledd nr. n’, meiner vi alltid ein eksplisitt formel. DISKUTER

Vil de bruke den rekursive eller den eksplisitte formelen for å finne a100 i følga ovanfor?

DØME

I ei talfølge er det første leddet a1 2. For alle naturlege tal n ! 1 er ledda gitt den rekursive formelen an 3 an 1 a) Finn dei fem første ledda i talfølga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n. c) Finn ledd nr. 15.

LØ Y S I N G

3 an 1 vel vi n 2 for å

a) Vi veit at det første leddet er a1 2. I formelen an finne det andre leddet. Det gir a2

3 a2 1 3 a1 3 2 6

For å finne det tredje leddet set vi n 3. a3

3 a3 1 3 a2

3 6 18

Det fjerde og det femte leddet finn vi slik: a4

3 a4 1 3 a3

3 18 54

3 a5 1 3 a4

3 54 162

Dei fem første ledda i talfølga er 2, 6, 18, 54 og 162.

1.1 TALFØLGER

b) Eit ledd er lik det føregåande leddet multiplisert med 3. a1 a2 a3 a4

2 3 2 6 3 3 2 18 3 3 3 2 54

For å komme til ledd nr. n må vi multiplisere a1 med 3 i alt n 1 gonger. Formelen for ledd nr. n er dermed an

n 1

a1 3

n 1

2 2 3

c) Ledd nr. 15 er a15 2 315 1 2 314 9 565 938

OPPGÅVE 1.10

I ei følge er ledd nr. n gitt ved an 5n 2 a) Finn dei fem første ledda og ledd nr. 120. b) Finn ein rekursiv formel for følga. OPPGÅVE 1.11

I ei talfølge er det første leddet a1 3. Når n ! 1, har vi den rekursive formelen an

an 1 4

a) Finn dei fem første ledda i følga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n. OPPGÅVE 1.12

I ei talfølge er det første leddet a1 16. Når n ! 1, er 1 an an 1 2 a) Finn dei fem første ledda i følga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n. OPPGÅVE 1.13

Her skal de sjå på dei berømte fibonaccitala. Dei er kalla opp etter den italienske matematikaren Leonardo Fibonacci. Han levde frå ca. 1170 til ca. 1250. Tala er følga som er bestemt ved at a1 1 og a2 1. Når n ! 2, er an

an 1 an 2

Finn dei 10 minste fibonaccitala.

1 | FØLGER OG REKKER

DISKUTER

Bruk internett og finn eksempel der fibonaccitala dukkar opp i naturen. No skal vi lage eit program med Python som skriv ut ledd i ei følge. Programmet nedanfor skriv ut dei første ledda i følga frå side 8 med den eksplisitte formelen an 2n. 1

antal_ledd = int(input("Antal ledd? "))

2 3 4 5

for n in range(1, antal_ledd + 1): ledd = 2**n print(f"Ledd nr. {n}:{ledd}")

Vi køyrer programmet og får dette resultatet: Antal ledd? Ledd nr. 1: Ledd nr. 2: Ledd nr. 3: Ledd nr. 4: Ledd nr. 5:

5 2 4 8 16 32

Programmet nedanfor skriv ut dei første ledda i følga i eksempelet på side 9. Ho var gitt ved den rekursive formelen a1 2 og an 3 an 1 når n ! 1. 1 2

antal_ledd = int(input("Antal ledd? ")) ledd = 2

3 4 5 6

for n in range(1, antal_ledd + 1): print(f"Ledd nr. {n}:{ledd}") ledd *= 3

Programmet gir denne utskrifta: Antal ledd? Ledd nr. 1: Ledd nr. 2: Ledd nr. 3: Ledd nr. 4: Ledd nr. 5:

5 2 6 18 54 162

1.1 TALFØLGER

OPPGÅVE 1.14

Lag eit program som skriv ut dei 10 første ledda i oppgåve 1.10. OPPGÅVE 1.15

a) Lag eit program som skriv ut dei 10 første ledda i oppgåve 1.11. b) Tilpass programmet slik at det skriv ut dei 15 første ledda i oppgåve 1.12. OPPGÅVE 1.16

a) Lag eit program som skriv ut dei 20 minste fibonaccitala. Sjå oppgåve 1.13. a b) Endre programmet slik at det skriv ut forholdet n mellom fibonaccitala an 1 for n mellom 2 og 20. 1 5 . 2 Samanlikn forholda i oppgåve b med det gylne snittet. Kva ser du?

c) Det gylne snittet er gitt ved talet M

DISKUTER

Bruk internett og finn ut kva det gylne snittet blir brukt til i kunst.

UTFORSK SUMMEN AV HEILE TAL STEG 1

I Utforsk figurtal såg vi på trekanttala:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

Vi fann denne formelen for trekanttal nr. n: Tn

n (n 1) 2

1 | FØLGER OG REKKER

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste naturlege tala. Samanlikn med trekanttala. Kva for regel ser ut til å gjelde? b) Korleis kan du ved hjelp av figuren sjå at regelen i oppgåve a er rett? c) Bruk regelen til å finne summen av dei 100 minste naturlege tala. STEG 2

I Utforsk figurtal såg vi på rektangeltala:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

Vi fann denne formelen: Rn

n n 1

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste positive partala. Samanlikn med rektangeltala. Kva for regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen din ved å summere fleire partal. b) Forklar regelen i oppgåve a ut frå figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av dei 50 minste partala. STEG 3

I Utforsk figurtal såg vi på kvadrattala Kn n 2 og framstilte dei som figurtal på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

a) Rekn ut summen av dei to minste, dei tre minste, dei fire minste og dei fem minste positive oddetala. Kva for regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen din ved å summere fleire oddetal. b) Forklar regelen i oppgåve a ut frå figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av dei 50 minste positive oddetala. d) Kva for samanheng må det vere mellom svara i oppgåve c i stega 1, 2 og 3?

1.2 REKKER

1.2 Rekker Det reknestykket vi får når vi skal summere ledda i ei talfølge, kallar vi ei rekke. Talfølga 6, 12, 24, 48, 96 gir rekka 6 12 24 48 96 Tala 6, 12, 24, 48 og 96 er ledda i rekka. Rekka har fem ledd og er eit eksempel på ei endeleg rekke. Den uendelege talfølga 1, 2, 4, 8, … gir den uendelege rekka 1 2 4 8 } Ei uendeleg rekke har uendeleg mange ledd. På same måten som for talfølger bruker vi ofte symbolet a1 om det første leddet i ei rekke, a2 om det andre leddet osv. I rekka 6 12 24 48 96 er a1 6, a2 12, a3 24, a4 48 og a5 96 Det talet vi får når vi legg saman ledda i ei endeleg rekke, kallar vi summen av rekka. Vi bruker sn som symbol for summen av dei n første ledda. I rekka 6 12 24 48 96 er s3 6 12 24 42 s5 6 12 24 48 96 186 Generelt er sn a1 a2 a3 a4 ... an Med symbol kan vi skrive denne summen slik: n

¦a i 1

Ofte er ledda i ei rekke gitt ved ein formel. DØME

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved an 2n 1 a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka. b) Finn s3 og s5 ved rekning. c) Finn s10 og s100 i CAS.

1 | FØLGER OG REKKER

LØ Y S I N G

a) Først finn vi dei fem første ledda i rekka a1 a2 a3 a4 a5

2 1 1 1 2 2 1 3 2 3 1 5 2 4 1 7 2 5 1 9

Rekka er 1 3 5 7 9 … b)

s3 a1 a2 a3 1 3 5 9 s5 1 3 5 7 9 25

c) I CAS finn vi summen av dei 10 første ledda ved å skrive Sum(2n 1, n, 1, 10) Legg merke til at vi først skriv formelen, deretter namnet på variabelen og til slutt den minste og den største verdien av variabelen. Det gir dette resultatet:

Når vi skal finne summen av dei 100 første ledda, endrar vi berre 10 til 100.

s10 100 og s100 10 000 100

100

n 1

Legg merke til at CAS skriv ¦ 2n 1. Det betyr ¦ 2n 1 og ikkje § 100 · ¨ ¦ 2n ¸ 1. CAS burde hatt ein parentes her. ©n1 ¹ DISKUTER 100 § 100 · Kva blir forskjellen på ¦ 2n 1 og ¨ ¦ 2n ¸ 1? n 1 ©n1 ¹

1.2 REKKER

OPPGÅVE 1.20

Finn summane s5, s6, s7 og s8 i rekka 2 3 5 7 11 13 17 19 OPPGÅVE 1.21

Ledda i ei rekke er gitt ved an 3n 2 a) Finn summen s6 ved rekning. b) Finn summen s20 i CAS. OPPGÅVE 1.22

Ledda i ei rekke er gitt ved an 2 n 2 a) Finn summen s5 ved rekning. b) Finn summen s15 i CAS. c) Finn s101 s100 utan digitale hjelpemiddel. Nokre gonger kan vi bruke CAS til å finne ein formel for summen av ei rekke. DØME

LØ Y S I N G

Bruk CAS til å finne summen av dei n minste positive oddetala. Oddetal nr. i er gitt ved formelen ai 2i 1 der i t 1. Dermed kan vi finne summen av dei n minste positive oddetala ved å skrive Sum(2i 1, i, 1, n)

Summen av dei n minste positive oddetala er lik kvadrattalet n2. Det stemmer med det vi fann i Utforsk summen av heile tal.

1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 1.23

a) Bruk CAS til å finne summen av dei n minste naturlege tala. b) Bruk CAS til å finne summen av dei n minste positive partala. Samanlikn svara med det vi fann i Utforsk summen av heile tal. OPPGÅVE 1.24

Finn digitalt ein formel for summen av rekka n

¦100 1, 05

i 1

Vi kan bruke Python til å summere rekker. Programmet nedanfor finn summen av ei rekke der ledda er gitt ved an 2n 1. 1

antal_ledd = int(input("Antal ledd? "))

2 3

sum = 0

4 5 6

for n in range(1, antal_ledd + 1): sum += 2*n - 1

7 8

print(f"Summen av {antal_ledd} ledd er {sum}.")

Programmet gir summen av 50 ledd på denne måten: Antal ledd? 50 Summen av 50 ledd er 2500.

OPPGÅVE 1.25

Bruk Python til å finne summen s20 i ei rekke der ledda er gitt ved an 3n 2 OPPGÅVE 1.26

Bruk Python til å finne summen s15 i ei rekke der ledda er gitt ved an 2 n 2

1.2 REKKER

UTFORSK ARITMETISKE FØLGER STEG 1

I ei aritmetisk følge er det ein fast differanse d mellom eit ledd og leddet framfor. Følga 2, 5, 8, 11, … er aritmetisk med differanse d 3, for differansen mellom eit ledd og leddet framfor er 3 for dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi også finne eit nytt ledd ved å legge 3 til det førre leddet. a) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til a4 11 i følga ovanfor? b) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til a10? Bruk dette til å forklare at a10 29. c) Kor mange gonger må vi legge til differansen 3 for å komme frå a1 2 til an? Bruk dette til å forklare at an 3n 1 STEG 2

I ei aritmetisk følge med differanse d er a1 2. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a7? d) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til an? Bruk dette til å forklare at an 2 n 1 d STEG 3

La a1 vere det første leddet i ei aritmetisk følge med differansee d. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til a8? d) Kor mange gonger må vi legge til differansen d for å komme frå a1 til an? Bruk dette til å forklare at an a1 n 1 d

1 | FØLGER OG REKKER

1.3 Aritmetiske følger I ei aritmetisk følge er det er ein fast differanse d mellom to ledd som følger etter kvarandre. Følga 1, 5, 9, 13, … er aritmetisk med differanse d 4, for differansen mellom eit ledd og leddet framfor er 4 for alle dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi finne eit nytt ledd ved å legge til 4 til det førre. Dermed er an an 1 4 når n ! 1. Vi har ein tilsvarande rekursiv formel for alle aritmetiske følger. Ei talfølge er aritmetisk dersom det finst eit tal d slik at an an 1 d for alle n ! 1.

DØME

LØ Y S I N G

I ei aritmetisk følge er a1 9 og d 2. Finn dei fem første ledda. a1 9 a2 a1 d 9 a3 a2 d 7 a4 a3 d 5 a5 a4 d 3

2 2 2 2

7 5 3 1

For å komme fram til ledd nr. n i ei aritmetisk følge må vi legge differansen d til a1 i alt n 1 gonger. Det gir denne eksplisitte formelen for leddet an i ei aritmetisk følge. La a1 vere det første leddet i ei aritmetisk følge med differanse d. Ledd nr. n er da gitt ved formelen an a1 n 1 d

DØME

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 3, og differansen d 2. a) Finn ein formel for ledd nr. n. b) Finn ledd nr. 37. c) Finn nummeret til leddet 69. 1.3 ARITME TISKE FØLGER

LØ Y S I N G

a) Ledd nr. n er gitt ved formelen an an

a1 n 1 d 3 n 1 2 3 2n 2 2n 1

b) Ledd nr. 37 er a37

2 37 1 75

c) La n vere nummeret til leddet 69. Da må an 69 2n 1 69 2n 68 n 34

OPPGÅVE 1.30

Skriv opp dei fem første ledda i ei aritmetisk følge der a) a1 12 og d 5 b) a1 24 og d 2 OPPGÅVE 1.31

Finn differansen og ein formel for leddet an i dei aritmetiske følgene. a) 5, 11, 17, 23, … b) 81, 64, 47, 30, … OPPGÅVE 1.32

Kari får 100 kr i vekepengar i veke nr. 1. Beløpet skal aukast med 2 kr kvar veke. a) Finn ein formel for beløpet i veke nr. n. b) Omtrent kor mykje får ho i vekepengar om 2 år? OPPGÅVE 1.33

I ei aritmetisk følge er det femte leddet a5 13 og differansen d 4. a) Finn det første leddet a1. b) Finn ein formel for ledd nr. n. c) Finn nummeret til leddet 105. OPPGÅVE 1.34

I ei aritmetisk følge er a3 11 og a5 8. a) Finn det første leddet a1 og differansen d. b) Finn ein formel for ledd nr. n.

1 | FØLGER OG REKKER

DISKUTER

Kva er likt og ulikt med følga gitt ved an 4n 1 og funksjonen f gitt ved f(x) 4x 1?

UTFORSK ARITMETISKE REKKER I ei aritmetisk rekke dannar ledda ei aritmetisk følge. Da veit vi at når n ! 1, er an a1 n 1 d der d er differansen i følgen. STEG 1

No skal vi utleie ein formel for summen s5 av dei 5 første ledda i ei aritmetisk rekke med differanse d. a) Forklar at s5

a1 a1 d a1 2d a1 3d a1 4d

b) Forklar at s5

a5 a5 d a5 2d a5 3d a5 4d

c) Summer dei to uttrykka for s5 og vis at s5 s5

5 a1 a5

d) Vis at s5

a1 a5 5 2

STEG 2

Gå fram som i steg 1 og vis at sn

a1 an n 2

også for andre verdiar for n.

1.4 ARITME TISKE REKKER

1.4 Aritmetiske rekker Når vi skal summere ledda i ei aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke. I ei aritmetisk rekke har vi dermed ein fast differanse d mellom to ledd som følger etter kvarandre. Rekka 2 5 8 11 14 } er aritmetisk med differanse d 3. Frå kapittel 1.3 veit vi at ledd nr. n i ei aritmetisk rekke er gitt ved an

a1 n 1 d

I Utforsk aritmetiske rekker beviste de sikkert denne formelen for summen av dei n første ledda i ei slik aritmetisk rekke: Summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke er gitt ved sn

a1 an n 2

Legg merke til at summen av ledda i ei aritmetisk rekke er ‘gjennomsnittsleddet’ gonga med antal ledd. DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut summen 1 2 3 } 100. Uttrykket er ei aritmetisk rekke der a1 1 og differansen d 1. Rekka har 100 ledd, slik at n 100, og det siste leddet er a100 100. Summen blir s100

DØME

LØ Y S I N G

a1 a100 1 + 100 101 100 100 100 2 2 2

Heidi får 100 kr i vekepengar. Beløpet skal aukast med 2 kr kvar veke. a) Kor mykje får Heidi i vekepengar i kvar av dei fire første vekene? b) Kor mykje får Heidi i vekepengar i veke nr. 104 (om to år)? c) Kor mykje får Heidi samla i vekepengar dei to første åra? a) Dei fire første vekene får ho a1 100 kr a2 100 kr 2 kr 102 kr a3 102 kr 2 kr 104 kr a4 104 kr 2 kr 106 kr

5050

1 | FØLGER OG REKKER

b) Vekepengane dannar ei aritmetisk følge der det første leddet a1 100 kr og differansen d 2 kr. I veke nr. 104 (om 2 år) får ho a104

a1 104 1 d 100 kr 104 1 2 kr 100 kr 103 2 kr 306 kr

c) Summen av alle kronebeløpa dei to første åra blir s104

a1 a104 100 kr + 306 kr 104 104 2 2

21 112 kr

Samla får Heidi 21 112 kr i vekepengar dei to første åra.

OPPGÅVE 1.40

Finn summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 1, d 5 og n 10 b) a1 100, d 3 og n 30 c) a1 15, a2 20 og n 12 d) a1 50, a10 32 og n 50 OPPGÅVE 1.41

Finn summen av dei aritmetiske rekkene. a) 1 2 3 4 } 1000 b) 1 4 7 } 28 c) 100 98 96 } 50 OPPGÅVE 1.42

a) Finn summen av alle naturlege tal som er mindre enn 10 000. b) Finn summen av alle positive oddetal som er mindre enn 10 000. c) Finn summen av alle positive partal som er mindre enn 10 000. OPPGÅVE 1.43

Vis at summen av dei n minste positive oddetala er lik n2. DØME

LØ Y S I N G

I ei aritmetisk rekke er a1 5 og differansen d 2. Summen av rekka er 192. a) Skriv opp dei første ledda i rekka. b) Finn eit uttrykk for ledd nr. n. c) Finn ved rekning og digitalt antalet ledd i rekka. a) Det første leddet er 5. Dei neste ledda får vi fram ved å legge til 2. Rekka er 5 7 9 11 …

1.4 ARITME TISKE REKKER

b) Ledd nr. n i ei aritmetisk rekke er gitt ved an

a1 n 1 d 5 n 1 2 5 2n 2 2n 3

c) Ved rekning: Her er antalet ledd n ukjent. Formelen for summen av n ledd gir sn

a1 an 5 (2n 3) 2n 8 n n n 2 2 2

2 n 4 2

n n2 4n

Dette gir ei likning som vi kan løyse. sn 192 n2 4n 192 n2 4n 192 0 n 12 n 16 Ettersom n må vere eit positivt heiltal, får vi løysinga n 12. Rekka består av 12 ledd. Digitalt: Vi kan løyse oppgåva i CAS. Da bruker vi at an 2n 3 og lèt x vere antalet ledd i rekka. Vi skriv Sum(2n 3, n, 1, x) og trykker på

Rekka består av 12 ledd. Vi kan også løyse oppgåva med Python: 1 2

sum = 0 n = 0

3 4 5 6

while sum < 192: n += 1 sum += 2*n + 3

7 8

print(f"Antal ledd er {n}.")

Programmet gir denne utskrifta: Antal ledd er 12.

1 | FØLGER OG REKKER

DISKUTER

a) Forklar korleis programmet i eksempelet fungerer. b) Kva skjer i programmet viss vi erstattar 192 med eit positivt tal som ikkje er ein mogleg sum for rekka?

OPPGÅVE 1.44

I ei aritmetisk rekke med a1 1 og d 7 er summen 1350. Kor mange ledd er det i rekka? Løys oppgåva ved rekning og digitalt. OPPGÅVE 1.45

Ei bedrift omset for 200 millionar kr i 2020 og reknar med å auke omsetninga med 15 millionar kr per år. Finn den samla omsetninga i perioden frå og med 2020 til og med 2029. OPPGÅVE 1.46

Vis at summen av dei n første ledda i ei aritmetisk rekke er gitt ved sn

n a1

n(n 1) d 2

der a1 er det første leddet og d er differansen.

1.5 Serielån Dei fleste av oss må før eller seinare ta opp lån til for eksempel bustad eller bil. Da må vi betale renter og avdrag. Når vi betaler eit beløp i avdrag, blir lånet redusert med det beløpet. Rentene betaler vi til banken utan at lånet minkar. Renta reknar vi alltid i prosent av restlånet. Når vi avtaler lånet med banken, avtaler vi også kor mange terminar vi skal ha i året. Det er kor mange gonger vi skal betale rente og avdrag per år. Det vanlege er at vi har 12 terminar per år. Da betaler vi rente og avdrag kvar månad. Men vi kan også avtale fire terminar eller éin termin per år. Den pengesummen vi betaler kvar termin, kallar vi terminbeløpet. Det er sett saman av rente og avdrag og kanskje også eit gebyr. Gebyret skal dekke dei utgiftene som banken har ved pengeoverføringa. Vi ser bort frå gebyra her. Dermed er terminbeløpet = avdrag + rente av restlånet 1.5 SERIEL ÅN

Vi må også avtale med banken korleis avdraga skal reknast ut. Viss vi vel eit serielån, er alle avdraga like store. Avdraget finn vi da ved å dividere lånesummen med antalet terminar i heile låneperioden. For eit serielån er avdraget =

lånesummen antal terminar

Avdraga er dermed like store i heile låneperioden. Men rentene reknar vi alltid i prosent av restlånet. Rentene minkar dermed utover i låneperioden etter kvart som lånet minkar. Terminbeløpet er da størst i byrjinga og minkar etter kvart som vi betaler ned på lånet. DØME

LØ Y S I N G

Ein familie låner 2 500 000 kr med 3 % årleg rente. Lånet er eit serielån med éin termin per år og 25 års nedbetalingstid. a) Kor store er dei årlege avdraga? b) Finn dei to første terminbeløpa. c) Forklar at restlånene dannar ei aritmetisk følge. Finn ein formel for restlånet Rn like før termin nr. n. d) Vis at terminbeløpa dannar ei aritmetisk følge. Finn ein formel for terminbeløp nr. n. e) Finn ved rekning kor mykje familien betaler til saman i løpet av 25 år. f) Bruk CAS og finn kor mykje familien betaler til saman i løpet av 25 år. g) Kor mykje betaler dei til saman i renter? a) Dei årlege avdraga er 2 500 000 kr 100 000 kr 25 b) Ved første termin skal familien betale 100 000 kr i avdrag og 3 % rente av 2 500 000 kr. Renta er 3 % av 2 500 000 kr 0,03 2 500 000 kr 75 000 kr Det første terminbeløpet er da T1 100 000 kr 75 000 kr 175 000 kr

1 | FØLGER OG REKKER

Ved andre termin er restlånet 2 500 000 kr 100 000 kr 2 400 000 kr . Renta blir da 3 % av 2 400 000 kr 0,03 2 400 000 kr 72 000 kr Det andre terminbeløpet er da T2 100 000 kr 72 000 kr 172 000 kr c) Restlånet minkar med 100 000 kr per termin. Det er dermed ei aritmetisk følge der differansen i kroner er d 100 000. Like før termin nr. n er restlånet i kroner Rn Rn Rn

R1 n 1 d 2 500 000 n 1 100 000 2 500 000 100 000 n 1000 000 2 600 000 100 000 n

d) Ettersom restlånet minkar med 100 000 kr per termin, vil rentene minke med 3 % av 100 000 kr 0,03 100 000 kr 3000 kr Dermed vil også terminbeløpa minke med 3000 kr per år. Dei dannar dermed ei aritmetisk følge der differansen i kroner er d 3000. Terminbeløp nr. n i kroner blir Tn T1 n 1 d 175 000 n 1 3000 Tn 1788 000 3000 n

175 000 3000 n 3000

Vi kan også rekne ut terminbeløpet slik: Tn 100 000 3 % av Rn 100 000 0, 03 2 600 000 1000 n 100 000 78 000 3000 n 178 000 3000 n e) Det første terminbeløpet er T1 178 000 3000 1 175 000 Det siste er T25 178 000 3000 25 103 000 Summen av dei 25 terminbeløpa er ei aritmetisk rekke. Da er s25

175 000 103 000 T1 T25 25 25 3 475 000 2 2

Familien betaler i alt 3 475 000 kr. 1.5 SERIEL ÅN

f) Frå oppgåve b veit vi at terminbeløp nr. n er gitt ved 178 000 3000 n. Summen av de 25 terminbeløpene kan vi dermed finne i CAS ved å skrive Sum(178000–3000n, n, 1, 25).

Familien betaler i alt 3 475 000 kr g) Summen av alle avdraga er alltid lik lånesummen, som her er 2 500 000 kr. Resten av det familien betaler, er renter. Det er 3 475 000 kr 2 500 000 kr 975 000 kr

OPPGÅVE 1.50

Frida Ford låner 200 000 kr til bil. Lånet er eit serielån med 6 % rente per år og med éin termin per år. Nedbetalingstida er på 5 år. a) Finn terminbeløpa for kvart av dei 5 åra. b) Kor mykje betaler Frida til saman i renter på dei 5 åra? OPPGÅVE 1.51

Knut har eit serielån over 20 år der avdraga er 110 000 kr per år. Han betaler 3,4 % rente per år. a) Kor stort er lånet? b) Finn terminbeløpa for dei to første åra. c) Finn ein formel for terminbeløp nr. n. d) Finn ved rekning kor mykje Knut betaler til saman i løpet av 20 år. e) Kor mykje betaler Knut til saman i renter? OPPGÅVE 1.52

Ein familie låner 2 200 000 kr med 3,7 % rente. Lånet er eit serielån med éin termin per år og 30 års nedbetalingstid. a) Finn terminbeløpa for dei to første åra. b) Finn ein formel for terminbeløp nr. n. c) Kor mykje betaler familien til saman i løpet av dei 30 åra? d) Kor mykje betaler dei til saman i renter? Vi kan bruke Python å rekne på serielån.

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

LØ Y S I N G

Tore Tesla skal kjøpe ny bil og låner 500 000 kr. Det er eit serielån med ei nedbetalingstid på 5 år og med månadlege terminar. Renta er 6 % per år. Lag eit program i Python som finn ut kor mykje han må betale til saman i løpet av dei 10 åra, og kor mykje han betaler i renter. Vi kan bruke dette programmet: 1 2

def restlån(i): return lån - (i-1)*avdrag

3 4 5

def terminbeløp(i): return avdrag + månadsrentefot/100 * restlån(i)

6 7 8 9

lån = float(input("Lån i kroner:")) antal_år = int(input("Antal år i nedbetalingstid:")) rentefot = float(input("Rentefot:"))

10 11 12 13

n = antal_år * 12 #n er antal terminar avdrag = lån/n månadsrentefot = rentefot/12

14 15 16

sum = (terminbeløp(1)+terminbeløp(n))/2 * n rente = sum - lån

17 18 19

print(f"Han betaler til saman {round(sum)} kr.") print(f"Av dette er {round(rente)} kr renter.")

Vi køyrer programmet og får denne utskrifta: Lån i kroner: 500000 Antal år i nedbetalingstid: 5 Rentefot: 6 Han betaler til saman 576250 kr. Av det er 76250 kr renter.

Han betaler i alt 576 250 kr. Av det er 76 250 kr rente.

DISKUTER

Forklar korleis programmet ovanfor verkar.

1.5 SERIEL ÅN

OPPGÅVE 1.53

Frida Fruktbar treng eit større hus og må låne 2 400 000 kr. Det er eit serielån med 4,2 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år, og det er 12 terminar per år. a) Kor mykje må ho betale til saman på dei 25 åra, og kor mykje rente betaler ho? b) Gjer om programmet og finn ut kor mykje ho må betale viss det hadde vore 1 termin per år. Frida synest at dette lånet blir for dyrt. Ho får eit nytt tilbod frå banken med lågare rente. Ho skal da betale 1 143 800 kr i rente dei 25 åra. c) Finn den nye rentefoten ved hjelp av programmet og prøving og feiling. d) Gjer om programmet slik at det systematisk går gjennom ulike verdiar for rentefoten og finn den nye rentefoten. I programmet på førre side sette vi månadsrentefoten til rentefoten delt på 12. Vi skal sjå på ein annan måte å rekne ut månadsrenta på. Vi set 100 kr i banken og får 6 % årleg rente. Etter 1 år har da beløpet vakse til 6 106 kr. Viss vi i staden hadde fått % 0, 5 % rente per månad, hadde 12 beløpet vakse til 100 kr 1, 00512 106,18 kr Det svarer til 6,18 % rente per år og altså ikkje 6 %. Viss renta per år skulle bli 6 %, måtte månadsrentefoten pmd vere bestemt ved at 12

§ p · 100 kr ¨ 1 md ¸ 106 kr © 100 ¹ 12 § pmd · 1 1, 06 ¨ ¸ © 100 ¹ 1 p 1 md 1, 0612 100 1 pmd 1, 0612 1 100 1 § · pmd 100 ¨ 1, 0612 1 ¸ © ¹ 0, 487 Renta måtte vere 0,487 % per månad. Vi ser at metoden med å dele den årlege rentefoten på 12 ga ei god tilnærming til det rette svaret.

1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 1.54

Gjer om programmet over slik at det reknar ut månadsrente slik som forklart på førre side. Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.53. Kva skjedde med rentene?

UTFORSK GEOMETRISKE FØLGER STEG 1

I ei geometrisk følge er det eit fast forhold k mellom eit ledd og leddet framfor. Talet k kallar vi kvotienten i følga. Følga 2, 6, 18, 54, … er geometrisk med kvotient k 3, for forholdet mellom eit ledd og leddet framfor er 3 for dei ledda som er oppgitt. Dermed kan vi finne eit nytt ledd ved å gonge det førre leddet med 3. a) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme frå a1 2 til a4 54 i følga ovanfor? b) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme frå a1 2 til a10? Bruk dette til å forklare at a10 39 366. c) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten 3 for å komme fråa a1 2 til an? Bruk dette til å forklare at an 2 3n 1 STEG 2

La a1 vere det første leddet i ei geometrisk følge med kvotient k. a) Skriv opp uttrykk for dei fem første ledda i følga. b) Kor mange gonger må vi gonge med kvotienten k for å komme frå a1 til a5? c) Kor mange gonger må vi gonge med k for å komme frå a1 til a10? d) Kor mange gonger må vi gonge med k for å komme frå a1 til an? Bruk dette til å forklare at an a1 k n 1

1.6 GEOME TRISKE FØLGER

1.6 Geometriske følger I ei geometrisk følge er det eit fast forhold k mellom eit ledd og leddet framfor. Talet k kallar vi kvotienten i rekka. Dermed kan vi alltid finne eit nytt ledd ved å gonge leddet framfor med kvotienten k. I følga 3, 6, 12, 24, 48, … er forholdet mellom eit ledd og leddet framfor lik 2 for alle ledda vi har oppgitt. Dette er dermed ei geometrisk følge der kvotienten k 2. Dersom n ! 1, er an 2 an 1 Ein tilsvarande rekursiv formel gjeld for alle geometriske følger. I geometrisk talfølge med kvotient k er an k an 1 for alle n ! 1.

DØME

LØ Y S I N G

I ei geometrisk følge er det første leddet a1 8, og kvotienten k . 2 Finn dei fem første ledda. Dei fem første ledda er a1 8

k a1

k a2

k a3

k a4

1 8 4 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

Undersøk om følga er geometrisk, og finn eventuelt kvotienten. 8 9, 6, 4, , … 3

LØ Y S I N G

Vi undersøker om det er eit fast forhold mellom eit ledd og leddet framfor for dei ledda som er oppgitt. a2 a1 a3 a2 a4 a3

6 6 2 9 9 3 4 4 2 6 6 3 8 8 3 8 3 3 4 4 3 12

2 3

Alle forholda er like. 2 3

Følga er geometrisk med kvotient k .

OPPGÅVE 1.60

Skriv opp dei fem første ledda i ei geometrisk følge der a) a1 5 og k 2 1 b) a1 16 og k 2 2 c) a1 81 og k 3 OPPGÅVE 1.61

Finn kvotienten k i dei geometriske følgene. a) 1, 3, 9, 27, … b) 625, 125, 25, 5, … 2 3 9 27 c) , 1, , , ,… 3 2 4 8 I Utforsk geometriske følger kom de sikkert fram til denne eksplisitte formelen for ledda i ei geometrisk følge. I ei geometrisk følge med kvotienten k er ledd nr. n gitt ved an a1 k n 1 der a1 er det første leddet. 1.6 GEOME TRISKE FØLGER

DØME

Finn det 10. leddet i den geometriske følga 3, 6, 12, 24, }

LØ Y S I N G

I denne følga er det første leddet a1 3, og kvotienten k 2. Det gir a10

DØME

LØ Y S I N G

a1 k

10 1

3 29 1536

På ei øy blir det sett ut 100 kaninar. Vi reknar med at kaninbestanden aukar med 4 % per veke. Kor mange kaninar er det på øya på slutten av året? Vekstfaktoren ved 4 % auke er 1,04. Ettersom kaninbestanden aukar med 4 % per veke, er kaninbestanden i veke nr. n an

an 1 1, 04

Talet på kaninar er dermed ei geometrisk følge med kvotient k 1,04. Talet på kaninar i veke nr. 52 er a52

a1 k

52 1

100 1, 0451 739

Om eitt år er det 739 kaninar på øya.

DISKUTER

Forklar kvifor den rekursive formelen i eksempelet ovanfor ikkje kan vere heilt rett for alle verdiar for n.

OPPGÅVE 1.62

Finn først ein formel for leddet an, og finn deretter a10 for kvar av følgene i oppgåve 1.61. OPPGÅVE 1.63

Tenk deg at Judas sette ein sølvmynt i banken i året 30 e.Kr. a) Kor mange sølvmyntar ville det ha stått på den kontoen i 2022 viss vi reknar med 1 % rente per år? b) Kva blir beløpet med 2 % rente per år?

1 | FØLGER OG REKKER

UTFORSK GEOMETRISKE REKKER I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. I ei geometrisk rekke er dermed kvart ledd lik det føregåande leddet multiplisert med eit fast tal k (kvotienten). Rekka 3 6 12 24 48 } er geometrisk med kvotient k 2. Vi skal no fram til ein formel for summen av ei geometrisk rekke. STEG 1

Vi ser på den geometriske rekka 1 k k 2 k 3 … a) b) c) d)

Sett opp eit uttrykk for summen s5 av dei fem første ledda. Sett opp eit uttrykk for k s5. Gong ut uttrykket! Rekn ut k s5 s5. Bruk oppgåve c til å vise at når k z 1, er s5

k5 1 k 1

Kvifor må vi her føresette at k z 1? STEG 2

Korleis kan du no bruke tankegangen i steg 1 til å bevise at når k z 1, er summen av dei n første ledda i rekka 1 k k2 k3 … gitt ved kn 1 k 1

sn STEG 3

Vi ser på den geometriske rekka a1 a1 k a1 k 2 a1 k 3 ... a) Forklar at sn

a1 1 k k 2 ... k n 1

b) Bruk steg 2 til å bevise at når k z 1, er sn

kn 1 k 1

STEG 4

Vi ser på rekka a1 a1 k a1 k2 a1 k3 …. Forklar at når k 1, er sn n a1.

1.7 GEOME TRISKE REKKER

1.7 Geometriske rekker I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. I ei geometrisk rekke er dermed alle ledd unntatt det første lik det føregåande leddet multiplisert med eit fast tal k (kvotienten). Frå kapittel 1.5 veit vi at ledd nr. n er gitt ved formelen an

a1 k

n 1

I Utforsk geometriske rekker kom de sikkert fram til dette: La sn vere summen av dei n første ledda i ei geometrisk rekke med kvotient k. Viss k z 1, er sn

kn 1 k 1

Viss k 1, er sn

DØME

n a1

Finn summen av den geometriske rekka 3 6 12 24 48 96 ved å bruke formelen for summen.

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke med seks ledd der kvotienten k 2. Summen er s6

26 1 64 1 k6 1 3 3 3 63 189 2 1 1 k 1

Når rekka har så få ledd, er det enklare å summere ledda direkte.

DØME

Finn summen av den geometriske rekka 1 2 4 … 128

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke der kvotienten k 2. Antalet ledd n er bestemt ved at 2n 1 128 n 1 7 n 8 k8 1 28 1 256 1 s8 a1 1 1 255 k 1 2 1 1

1 | FØLGER OG REKKER

128

DØME

Vi ser på rekka 3 6 12 24 … Finn digitalt summen av dei 20 første ledda utan og med bruk av formelen for summen.

LØ Y S I N G

Dette er ei geometrisk rekke der a1 3 og kvotienten k 2. Ledd nr. n er da gitt ved an

3 2

n 1

Vi løyser oppgåva i CAS og med Python. CAS: Når vi skal finne summen utan å bruke formelen, skriv vi Sum(3*2^(n – 1), n, 1, 20).

Ved hjelp av formelen finn vi summen slik:

Python: Dette programmet finn summen utan å bruke formelen: 1

sum = 0

2 3 4

for n in range(1, 21): sum += 3 * 2**(n - 1)

5 6

print(f"Utan sumformel blir summen {sum}.")

Programmet gir denne utskrifta: Utan sumformel blir summen 3145725.

1.7 GEOME TRISKE REKKER

Dette programmet finn summen ved hjelp av formelen: 1 2 3

a1 = 3 k = 2 n = 20

4 5

sum = a1*(k**n - 1)/(k - 1)

6 7

print(f"Med sumformel blir summen {sum}.")

Det gir dette resultatet: Med sumformel blir summen 3145725.

Summen er 3 145 725.

DØME

LØ Y S I N G

Ei gammal legende fortel at sjahen av Persia blei svært begeistra da han fekk lære å spele sjakk. Læremeisteren kunne derfor ønske seg kva han ville som takk for innsatsen. Til sjahen si forundring ønskte læremeisteren seg berre litt ris. Han ville ha eitt riskorn i den første ruta på sjakkbrettet, to riskorn i den andre, fire i den tredje osv. Sjahen godtok dette enkle ønsket. a) Kor mange riskorn blir det i den siste ruta når sjakkbrettet har 64 ruter? b) Kor mange riskorn skulle læremeisteren ha til saman? c) Kor mykje veg alle riskorna til saman viss eitt riskorn veier 0,02 g? a) Antalet riskorn i kvar rute er gitt ved den geometriske følga 1, 2, 4, 8, 16, } Her er det første leddet a1 1 og kvotienten k 2. Talet på riskorn i rute nr. n blir an

a1 k

n 1

1 2

n 1

Talet på riskorn i rute nr. 64 blir a64

263 | 9, 22 1018

b) For å finne ut kor mange riskorn det blir på brettet, må vi summere den geometriske rekka 1 2 4 } 263

1 | FØLGER OG REKKER

Denne rekka har 64 ledd og summen er s64

264 1 64 k 64 1 1 2 1 | 1, 84 1019 2 1 k 1

c) Samla veg riskorna omtrent 1, 84 1019 0, 02 g 1, 84 1019 2 10 5 kg 3, 7 1014 kg 3, 7 1011 to onn Riskorna veg ca. 370 000 000 000 tonn. Dette blir omtrent 50 tonn ris til kvar person som bur på jorda i dag. Sjahen av Persia fekk sannsynlegvis visse problem med å oppfylle dette ønsket.

OPPGÅVE 1.70

Finn summen av ei geometrisk rekke med n ledd når a) a1 1, k 2 og n 10 1 b) a1 3, k og n 10 2 c) a1 10, a2 12 og n 15 OPPGÅVE 1.71

Finn digitalt summen av dei geometriske rekkene utan og med bruk av sumformelen. a) 1 3 9 27 … 19 683 b) 384 192 96 48 … 6 3 c) 5 10 20 … 5120 d) 50 50 1,05 … 50 1,0519 OPPGÅVE 1.72

Ei bedrift har ei omsetning på 200 millionar kroner og har som mål å auke omsetninga med 7 % per år. a) Kor stor blir da omsetninga om ti år? b) Finn den samla omsetninga i denne tiårsperioden. OPPGÅVE 1.73

Ei bedrift slepper ut 36 tonn CO2 per veke. Bedrifta får pålegg om å redusere utsleppet med 5 % per veke. a) Kor stort blir da utsleppet per veke om 52 veker? b) Finn det samla utsleppet i perioden.

1.7 GEOME TRISKE REKKER

DØME

LØ Y S I N G

Mari set 10 000 kr i banken kvart år i 12 år. Ho får 3 % rente per år. a) Finn ved rekning kor mykje Mari har i banken like etter det tolvte innskotet. Kor mykje har Mari fått i rente? b) Kontroller digitalt kor mykje Mari har i banken etter det tolvte innskotet utan å bruke formelen for summen av ei geometrisk rekke. c) Kor mange år går det før Mari har 200 000 kr i banken? a) Like etter at det tolvte beløpet er betalt inn, har Mari ikkje fått noko rente på det beløpet, slik at det framleis er 10 000 kr. Det nest siste beløpet har stått i banken i eitt år og har vakse til 10 000 kr 1,03. Det tredje siste beløpet har stått i banken i to år og er blitt til 10 000 kr 1,032. Slik kan vi fortsette. Det første beløpet har stått i banken i 11 år og har vakse til 10 000 kr 1,0311. Til saman blir dette 10 000 kr 10 000 kr 1, 03 10 000 kr 1, 032 } 10 000 kr 1, 0311 Dette er ei geometrisk rekke med 12 ledd og kvotient k 1,03. Det første leddet er a1 10 000 kr. Summen er s12

1, 0312 1 k12 1 10 000 kr 1, 03 1 k 1

141 920 kr

Mari har sett inn 10 000 kr i tolv år. Til saman blir det 120 000 kr. Resten av beløpet er rente. Renta er 141 920 kr 120 000 kr 21 920 kr b) I CAS kan vi kontrollere beløpet ved å skrive Sum(1000*1.03^(n – 1), n, 1, 12).

Mari har 141 920 kr i banken etter 12 år. Med Python kan vi gjere det slik: 1

sum = 0

2 3 4

for n in range(1, 13): sum += 10000 * 1.03**(n - 1)

5 6

print(f"Etter 12 år har Mari {sum :.2f} kr.")

Det gir denne utskrifta: Etter 12 år har Mari 141920.30 kr.

1 | FØLGER OG REKKER

c) I CAS skriv vi Sum(1000*1.03^(n 1), n, 1, x) 200 000 der x er antalet år til beløpet er 200 000 kr. Vi løyser likninga og får dette:

Beløpet har passert 200 000 kr etter 16 år. Med Python kan vi finne antalet år slik: 1 2

sum = 0 n = 0

3 4 5 6

while sum < 200000: n += 1 sum += 10000*1.03**(n - 1) + 3

7 8

print(f"Det går {n} år til summen har passert 200 000 kr.")

Programmet gir dette svaret: Det går 16 år til summen har passert 200 000 kr.

DISKUTER

Forklar korleis programma i eksempelet fungerer.

OPPGÅVE 1.74

Otto set inn 30 000 kr på ein sparekonto i byrjinga av kvart år. Renta er 3 % per år. a) Finn ved rekning kor mykje pengar Otto har på kontoen like etter at han sette inn det sjette beløpet. b) Finn digitalt kor mykje pengar Otto har på kontoen like etter at han sette inn det tiande beløpet. c) Når har Otto 500 000 kr på kontoen? OPPGÅVE 1.75

Kari begynte å spare 1. januar 2020. Ho set 500 kr i banken den første dagen i kvar månad. Ho får 0,2 % rente per månad. a) Finn ved rekning kor mykje ho hadde i banken like etter innskotet den 1. januar 2021. b) Finn digitalt kor mykje ho har i banken på nyttårsaftan 2024. c) Finn digitalt kor lang tid det går før ho har 100 000 kr i banken. 1.7 GEOME TRISKE REKKER

1.8 Noverdi og annuitetslån Du skylder ein person 5000 kr. Beløpet skal betalast tilbake om 3 år. For å vere heilt sikker på at du klarer å betale dette, set du eit beløp x i banken i dag slik at beløpet om 3 år er blitt til 5000 kr. Du får 5 % rente per år. Beløpet x finn du da ved hjelp av denne likninga: x 1, 053 x

5000 kr

5000 kr 1,053

4319 kr

Viss du set 4319 kr i banken i dag, har beløpet vakse til 5000 kr om 3 år viss renta er 5 % per år. Beløpet 4319 kr kallar vi noverdien til 5000 kr om 3 år når kalkulasjonsrenta er 5 % per år. Noverdien N til eit beløp B som du skal betale om n periodar, er N

B vn

der v er vekstfaktoren til kalkulasjonsrenta per periode.

DØME

LØ Y S I N G

Ein venn skylder deg 50 000 kr. Han skal betale deg tilbake desse pengane om 5 år. Kva er noverdien av beløpet når kalkulasjonsrenta er 6 % per år? Noverdien er 50 000 kr 1, 065

37 363 kr

Når vi handlar på avbetaling, betaler vi eit fast beløp kvar månad i staden for å betale vara kontant. Når vi skal vurdere kor dyrt det er å handle på avbetaling, må vi rekne ut kva for eit beløp vi må sette i banken i dag for at beløpet skal dekke alle innbetalingane. Vi reknar da ut noverdien for kvart beløp og summerer.

1 | FØLGER OG REKKER

DØME

Helene skal kjøpe ein datamaskin. Ho kan velje å betale 13 000 kr kontant eller 400 kr per månad i 3 år. Det første beløpet skal ho betale om 1 månad. a) Finn ved rekning summen av noverdien for alle avbetalingsbeløpa når ho reknar med 0,5 % rente per månad. b) Finn summen av noverdiane digitalt. c) Bør Helene velje avbetaling eller kontant betaling?

LØ Y S I N G

a) Når Helene skal betale eit beløp kvar månad i 3 år, blir det i alt 12 3 36 beløp. Når den månadlege renta er 0,5 %, er vekstfaktoren 1,005. Det første beløpet skal ho betale om 1 månad. Noverdien er 400 kr 1,005 Det andre beløpet skal ho betale om 2 månader. Noverdien er 400 kr 1,0052 Slik kan vi fortsette. Det siste beløpet skal ho betale om 36 månader. Noverdien er 400 kr 1,00536 Summen av alle noverdiane er 400 kr 400 kr 400 kr 400 kr ... 2 3 1,005 1,005 1,005 1,00536 Dette er ei geometrisk rekke med 36 ledd og kvotient k 400 kr . Summen er leddet er a1

1 . Det første 1,005

1,005

s36

k 36 1 k 1

§ 1 · 1 400 kr ¨© 1, 005 ¸¹ 1 1, 005 1 1, 005

13 148 kr

b) I CAS kan vi summere alle noverdiane ved å skrive Sum(400/1.005^n, n, 1, 36).

Summen av noverdiane er 13 148 kr. 1.8 NOVERDI OG ANNUITE TSL ÅN

c) Noverdien av alle avbetalingsbeløpa er 13 148 kr. Helene må sette 13 148 kr i banken viss ho skal betale alle avbetalingsbeløpa ved hjelp av desse pengane. Det er meir enn 13 000 kr. Helene bør velje kontant betaling. Viss Helene hadde rekna med høgare rente, ville konklusjonen ha blitt ein annan. Viss ikkje Helene har 13 000 kr til disposisjon i dag, vil ho nok velje avbetaling sjølv om det ikkje lønner seg.

OPPGÅVE 1.80

Rekn med 5 % kalkulasjonsrente og finn noverdien av 8000 kr når du får utbetalt beløpet om a) 5 år b) 10 år c) 15 år OPPGÅVE 1.81

Odd skal kjøpe seg nytt hus. Han får valet mellom å betale 2,0 millionar kroner kontant eller å betale 240 000 kr per år i 12 år. Det første beløpet skal betalast om eitt år. Odd reknar med 5 % rente per år. a) Kva er noverdien av det første beløpet? b) Finn summen av alle noverdiane ved rekning. c) Finn summen digitalt. d) Kva for eit alternativ bør Odd velje? OPPGÅVE 1.82

Anne skal kjøpe seg ein ny tv. Ho får valet mellom å betale 8000 kr kontant eller å betale 350 kr per månad i 24 månader. Ho reknar med 6 % rente per år. a) Finn noverdien av det første beløpet. b) Finn summen av alle noverdiane ved rekning. c) Finn summen digitalt. d) Bør Anne velje avbetaling eller kontant betaling? I kapittel 1.5 lærte vi om serielån. Da var alle avdraga like store. Terminbeløpa var store i byrjinga og minka etter kvart som restlånet blei mindre. Når vi tar opp eit annuitetslån, blir avdraga bestemte slik at alle terminbeløpa blir like store. Ettersom avdraget rentene terminbeløpet, er avdraget = terminbeløpet rentene

1 | FØLGER OG REKKER

Dei første åra er restlånet stort, og da betaler vi mykje renter. Avdraga blir dermed små i byrjinga og veks etter kvart. Mange vel annuitetslån i staden for serielån for å unngå dei store terminbeløpa dei første åra. Når banken skal finne terminbeløpet for eit annuitetslån, gjer dei det på ein slik måte at summen av noverdien til alle terminbeløpa blir lik lånebeløpet. For eit annuitetslån er summen av noverdien til terminbeløpa lik lånebeløpet.

DØME

LØ Y S I N G

Vi tar opp eit annuitetslån i banken. Renta er 4 % per år, og terminbeløpet er 147 949 kr per år i 10 år. Kor stort er lånet? Vi må finne noverdien av alle terminbeløpa og summere dei. Det første beløpet betaler vi om eitt år. Noverdien i kroner er 147 949 1, 04 Det andre beløpet betaler vi om to år. Noverdien er 147 949 1, 042 Det tredje beløpet betaler vi om tre år. Noverdien er 147 949 1, 043 Slik kan vi fortsette. Det siste beløpet betaler vi om ti år. Noverdien er 147 949 1, 0410 Summen av noverdiane blir 147 949 147 949 147 949 147 949 ... 1 2 3 1, 04 1, 04 1, 04 1, 0410 Dette er ei geometrisk rekke der det første leddet er a1

147 949 1, 04

og kvotienten er 1 k 1, 04 1.8 NOVERDI OG ANNUITE TSL ÅN

Summen av dei 10 ledda er 10

s10

§ 1 · 1 10 k 1 147 949 ¨© 1, 04 ¸¹ 1199 999 a1 1 1, 04 k 1 1 1, 04

Ettersom summen av noverdiane er lik lånebeløpet, skulle lånebeløpet vere på 1 199 999 kr. I CAS finn vi lånebeløpet slik:

Lånet var på 1 200 000 kr.

No skal vi fram til ein formel for lånesummen L uttrykt med terminbeløpet T. Først formar vi om formelen for summen av n ledd i ei geometrisk rekke: sn

k n 1 1 k 1 1

1 kn 1 k

Eit annuitetslån skal betalast over n terminar. Terminbeløpet er T. La v vere vekstfaktoren til rentefoten. Lånebeløpet L er summen av noverdiane av terminbeløpa. Altså må L

T T T T 2 3 ... n v v v v

Dette er ei geometrisk rekke med første ledd a1 Formelen ovanfor gir 1 kn L a1 1 k

1 1 n T v v 1 1 v

T v

og kvotient k

1 1 1 n n v T T v v 1 § 1· v ¨1 ¸ © v¹ 1

1 v n . Talet F kallar vi v 1

1 Lånebeløpet L er altså terminbeløpet T gonga med F terminfaktoren.

1 | FØLGER OG REKKER

1 . v

Ved eit annuitetslån dannar noverdien av terminbeløpa ei geometrisk rekke T 1 og kvotienten er k . Her er T terminbeløpet der det første leddet er a1 v v og v vekstfaktoren til renta per termin. La n vere antalet terminar. Da er lånebeløpet L F T

1 vn . v 1

1 der terminfaktoren F

DØME

LØ Y S I N G

For eit annuitetslån med 4,5 % rente per år betaler Martin 139 671 kr per år i 15 år. a) Finn digitalt kor stort lånet var ved å summere ei rekke. b) Finn digitalt kor stort lånet var ved å bruke terminfaktoren. a) Noverdien av terminbeløpa er 139 671 kr 139 671 kr 139 671 kr , , ,… 1, 045 1, 0452 1, 0453 I CAS finn vi summen ved å skrive Sum(139671/1.045^n, n, 1, 15).

Lånet var på 1 500 000 kr. b) Ved å bruke terminfaktoren kan vi gå fram slik i CAS:

Lånet var på 1 500 000 kr.

1.8 NOVERDI OG ANNUITE TSL ÅN

DØME

LØ Y S I N G

Ein familie låner 2 500 000 kr med 3 % rente per år. Lånet er eit annuitetslån med éin termin per år og 25 års nedbetalingstid. a) Finn terminbeløpet digitalt ved å bruke ei rekke. b) Finn terminbeløpet digitalt ved å bruke terminfaktoren. c) Kor mykje betaler familien til saman i løpet av 25 år? Samanlikn med eksempelet om serielån på side 26. a) Noverdien av terminbeløpa er T T T , , , ... 1, 03 1, 032 1, 033 CAS finn vi terminbeløpet ved å skrive Sum(T/1.03^n, n, 1, 25) = 2500000 og deretter trykke på

Terminbeløpet er 143 570 kr. b) Når vi bruker terminfaktoren, kan vi gå fram slik i CAS:

Terminbeløpet er 143 570 kr. c) Familien betaler 25 slike terminbeløp. Det blir 143 570 kr 25 3 589 250 kr Ifølge eksempelet på side 26 ville dei ha betalt 3 475 000 kr til saman viss dei hadde valt eit serielån. Men vi kan ikkje samanlikne desse tala direkte. Når vi skal finne ut kva for eit lån som er billigast, må vi samanlikne summen av noverdien til alle terminbeløpa.

OPPGÅVE 1.83

Knut har eit annuitetslån der han skal betale 99 040 kr per år i 20 år. Han betaler 4,4 % rente per år. a) Finn digitalt kor stort lånet var ved å summere ei rekke. b) Finn digitalt kor stort lånet var ved å bruke terminfaktoren. 1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 1.84

Ein familie låner 1 200 000 kr med 3,7 % rente per år. Lånet er eit annuitetslån med éin termin per år og 30 års nedbetalingstid. a) Finn terminbeløpet digitalt ved å bruke ei rekke. b) Finn terminbeløpet digitalt ved å bruke terminfaktoren. c) Kor mykje betaler familien til saman i løpet av dei 30 åra? Her er eit program i Python som vi kan bruke til å finne lånesummen ved eit annuitetslån. 1 2 3 4

lån = float(input("Lånebeløp:")) rentefot = float(input("Rentefot:")) antal_år = int(input("Antal år i nedbetalingstid:")) terminar_per_år = int(input("Antal terminar per år:"))

5 6 7 8 9

n = antal_år * terminar_per_år # n er antal terminar totalt v = (1 + rentefot/100)**(1/terminar_per_år) F = (1 - 1/v**n)/(v - 1) terminbeløp = lån/F

10 11 12

print(f"Terminbeløpa er på {round(terminbeløp)} kr.") print(f"Rentene var til saman {round(n*terminbeløp-lån)} kr.")

DISKUTER

Finn ut korleis programmet verkar.

OPPGÅVE 1.85

Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.84. OPPGÅVE 1.86

Frida Fruktbar treng større hus og må låne 2 400 000 kr. Det er eit annuitetslån med 3,2 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år, og lånet har 12 terminar per år. a) Juster programmet og bruk det til å finne terminbeløpet og kor mykje ho betaler i renter til saman. b) Frida synest at dette lånet er for dyrt. Ho får eit nytt tilbod frå banken med lågare rente. Terminbeløpet er no på 11 318 kr. Finn den nye rentefoten ved prøving og feiling. OPPGÅVE 1.87

Frida Ford låner 200 000 kr til bil. Lånet er eit annuitetslån med 6 % rente per år og med 12 terminar per år. Nedbetalingstida er på 5 år. a) Finn terminbeløpet. b) Kor mykje betaler Frida til saman i løpet av dei 5 åra? 1.8 NOVERDI OG ANNUITE TSL ÅN

UTFORSK UENDELEGE REKKER STEG 1

Finn digitalt summen av dei 10 første, dei 20 første og dei 100 første ledda i rekka 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 Kva ser du? STEG 2

I kvadratet nedanfor har sidekanten lengda 1. 1

1 4

1 2

1 1 16 1 64

1 8 1 32

1 2

Del kvadratet i to like store delar som vist ovanfor. Kvar del får arealet . Del den eine av dei to delane i to like delar. Kvar av dei to nye delane får da 1 4

arealet . Fortsett slik, og bruk figuren til å seie noko om den uendelege 1 2

1 4

1 8

rekka

1 16

....

STEG 3

a) Bruk formelen for summen av ei geometrisk rekke til å vise at summen av dei n første ledda i rekka 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

b) Finn lim sn . nof

1 2

1 4

1 8

c) Kva vil du no seie om summen av den uendelege rekka

1 | FØLGER OG REKKER

1 16

…?

1.9 Uendelege rekker I Utforsk uendelege rekker vviste de sikkert at summen av dei n første ledda i rekka 1 1 1 1 … 2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

Viss vi lèt talet n på ledd gå mot uendeleg, går sn 1

1 o 1 når n o f 2n

1 2n

mot null. Da vil

Altså er lim sn 1. Da seier vi at rekka konvergerer og har summen s 1. nof

Ei uendeleg rekke konvergerer og har summen s viss summen sn av dei n første ledda nærmar seg talet s når n o f, altså viss lim sn s. nof

Viss summen sn av dei n første ledda ikkje nærmar seg noko bestemt tal når n o f, seier vi at rekka divergerer.

OPPGÅVE 1.90

Finn eit uttrykk for summen sn av dei n første ledda i kvar rekke. Avgjer om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av dei uendelege rekkene. a) 625 125 25 5 } b) 2 5 8 11 } c) 100 100 1,1 100 1,12 } d) 100 100 0,9 100 0,92 } No skal vi studere den uendelege geometriske rekka a1 a1 k a1 k 2 a1 k 3 } Vi ønsker å finne ut når rekka konvergerer. Viss a1 0, er alle ledda i rekka lik null. Rekka konvergerer og har summen 0. Vi føreset heretter at a1 z 0. Viss k 1, er sn n a1, og da vil absoluttverdien av sn vekse over alle grenser når n o f. Rekka divergerer.

1.9 UENDELEGE REKKER

Viss k 1, blir rekka a1 a1 a1 a1 … Summen sn vekslar mellom tala 0 og a1 alt etter om n er eit partal eller eit oddetal. Summen nærmar seg ikkje noko fast tal, og rekka divergerer. Dersom 1 k 1, vil k n o 0 når n o f. Dermed er lim sn

nof

lim a1

nof

0 1 1 kn 1 1 a1 a1 a1 k 1 k 1 1 k k 1

Rekka konvergerer og har summen s

a1 1 k

a1 . 1 k

Ei uendeleg geometrisk rekke der a1 z 0 er konvergent viss og berre viss kvotienten k ¢ 1, 1². Rekka har da summen s

DØME

a1 1 k

Den greske filosofen Zenon, som levde rundt 500 f.Kr., la fram eit problem som seinare er blitt kjent som Zenons paradoks. Zenon fortalde om Akilles, den raskaste mannen i Hellas på den tida, som skulle løpe om kapp med ei skjelpadde. Akilles kunne løpe 100 m like fort som skjelpadda løp 10 m. Skjelpadda fekk eit forsprang på 100 m. Da Akilles kom til punktet skjelpadda starta frå, var skjelpadda 10 m framfor han. Da Akilles kom dit, var skjelpadda på eit punkt 1 m framfor han. Akilles løp vidare, men skjelpadda var enno 0,1 m framfor han da han nådde dette punktet. Slik kunne Zenon fortsette resonnementet i det uendelege, og Zenon konkluderte med at Akilles aldri ville ta igjen skjelpadda. For grekarane var dette eit stort problem. Erfaringa viste jo at Akilles tok igjen skjelpadda. Men tanken kom til motsett konklusjon. Skulle ein tru på tanken eller på erfaringa? På den tida meinte nemleg grekarane at det var tanken som formidla sanninga. Erfaringa bestod av illusjonar. Kva er gale med resonnementet til Zenon?

1 | FØLGER OG REKKER

LØ Y S I N G

Viss vi summerer dei avstandane som Akilles løp, får vi 100 m 10 m 1 m 0,1 m } Dette er ei uendeleg geometrisk rekke med a1 100 m og kvotient k 0,1. Rekka konvergerer, for k ¢ 1, 1². Summen av rekka er s

a1 1 k

100 m 1 0,1

100 1000 m= m | 111,11 m 0, 9 9

Akilles tar igjen skjelpadda etter 111,11... m. Summen av uendeleg mange lengder blir her ei endeleg lengde. Det var utenkeleg for grekarane. Dei trudde at det eksisterte ei minste og udeleleg lengde (atomteorien). Med ei slik minste lengde kan ikkje summen av uendeleg mange lengder bli endeleg. Det som nok forvirrar hjernen vår i dette paradokset, er at vi kan gjenta resonnementet uendeleg mange gonger, men det betyr ikkje at det går uendeleg lang tid, eller at avstanden blir uendeleg lang.

DØME

LØ Y S I N G

a) Undersøk om dei uendelege geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen. 27 9 3 1 ... 1) 54 18 6 2 ... 2) 64 16 4 b) Bruk CAS til å løyse oppgåve a. a) Rekke 1 er geometrisk med kvotient k

a2 a1

18 54

1 3

Rekke 1 konvergerer fordi k 1, 1 . Summen av rekke 1 er s

a1 1 k

1 3

54 3

4 3

4 3 3

162 4

81 2

Rekke 2 er geometrisk med kvotient k

a4 a3

1 3 4

4 3

Rekke 2 divergerer (konvergerer ikkje) for k er ikkje mellom 1 og 1.

1.9 UENDELEGE REKKER

b) Ledd nr. n i rekke 1 er gitt ved an

a1 k

n 1

§ 1· 54 ¨ ¸ © 3¹

n 1

I CAS finn vi summen av den uendelege rekka ved å skrive Sum(54*(–1/3)^(n – 1), n, 1, f) Symbolet f finn vi ved å klikke på tastaturet

Summen er

og velje fana

#&¬

81 . 2

I rekke 2 er ledd nr. n gitt vedd an

a1 k

n 1

27 § 4 · 64 ¨© 3 ¸¹

n 1

Vi prøver å finne summen av den uendelege rekka i CAS.

Rekka divergerer.

OPPGÅVE 1.91

Lag eit pythonprogram som skriv ut delsummane sn for n 1, 2, …, 100 for rekkene i eksempelet ovanfor. Bruk programmet til å kontrollere om rekkene konvergerer eller divergerer. OPPGÅVE 1.92

Avgjer ved rekning om dei geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av rekkene. a) 100 50 25 … b) 1 1,5 2,25 … c) 10 9 8,1 7,29 … d) 10 11 12,1 13,31 …

1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 1.93

Da Heidi blei fødd, blei det avtalt at ho skulle få eit fast pengebeløp kvar månad heile livet. Den første månaden skulle ho få 1000 kr. Deretter skulle beløpet minke med 1 % per månad. a) Kor stort er det 12. beløpet? b) Kor mykje pengar får Heidi det første året? c) Kor mykje pengar får Heidi til saman? d) Kva ville du ha svart på oppgåve c viss beløpet hadde auka med 1 % per månad i staden? OPPGÅVE 1.94

a) Finn summen av rekka digitalt og ved rekning. 1 1 1 1 ... 4 16 64 256 b) Korleis kan du finne summen ut frå denne figuren?

OPPGÅVE 1.95

a) Finn summen av den uendelege geometriske rekka 1 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 b) Lag ein figur som i oppgåve 1.94 og bruk han til å finne summen i oppgåve a.

1.9 UENDELEGE REKKER

SAMANDRAG Talfølge (følge) Ei talfølge er ein serie av tal i ei bestemt rekkefølge. a1 , a2 , a3 ,... Rekke Vi får ei rekke når vi summerer ledda i ei talfølge. Ei rekke er dermed eit uttrykk av typen a1 a2 a3 ... Tala i rekka kallar vi ledd. I ei uendeleg rekke er det uendeleg mange ledd. Det talet vi får når vi summerer ledda i ei endeleg rekke, kallar vi summen sn av rekka. sn

a1 a2 a3 ... an

Aritmetisk følge I ei aritmetisk følge er det ein fast differanse d mellom eit ledd og leddet framfor. For n ! 1 er an

an 1 d

Ledd nr. n finn vi med formelen an

a1 n 1 d

Aritmetisk rekke I ei aritmetisk rekke dannar ledda ei aritmetisk følge. Summen sn av dei n første ledda er gitt ved formelen sn

a1 an n 2

Serielån For eit serielån er lånesummen antalet terminar terminbeløpet = avdraget + rente av restlånet

avdraget =

Terminbeløpa dannar ei aritmetisk rekke.

1 | FØLGER OG REKKER

Geometrisk følge I ei geometrisk følge finst det eit tal k slik at kvart ledd er lik det føregåande leddet multiplisert med kvotienten k. For n ! 1 er an an 1 k . Ledd nr. n finn vi med formelen an

a1 k

n 1

Geometrisk rekke I ei geometrisk rekke dannar ledda ei geometrisk følge. Dersom kvotienten k z 1, er summen sn av dei n første ledda gitt ved formelen sn

kn 1 k 1

Dersom k 1, er summen sn n a1. Noverdi B Noverdien N til eit beløp B som du skal betale om n periodar, er N n der v v er vekstfaktoren til kalkulasjonsrenta per periode. Annuitetslån Ved eit annuitetslån dannar noverdien av terminbeløpa ei geometrisk rekke T 1 og kvotienten er k . Her er T terminbeløpet der det første leddet er a1 v

og v vekstfaktoren til renta per termin. La n vere antalet terminar. Da er lånebeløpet L F T der terminfaktoren 1 vn v 1

1 F

Konvergent rekke Ei rekke konvergerer og har summen s dersom summen sn av dei n første ledda nærmar seg talet s når n går mot uendeleg. Divergent rekke Ei rekke divergerer viss ho ikkje konvergerer. Uendeleg geometrisk rekke Ei uendeleg geometrisk rekke med første ledd a1 z 0 konvergerer viss og berre viss kvotienten k 1, 1 . Summen s av rekka blir da s

a1 1 k

SAMANDRAG

FØLGER UTAN FORMLAR Viss vi har ei talfølge der an 1 an d, veit vi at følga er aritmetisk. Da har vi ein eksplisitt formel for det n-te leddet: an a1 (n 1) d. Viss vi har ei talfølge der an 1 k an, veit vi at følga er geometrisk. Da har vi denne eksplisitte formelen for det n-te leddet: an a1 k n 1. Sjølv om vi har ein rekursjonsformel for ei følge, klarer vi ikkje alltid å finne ein eksplisitt formel. Da kan vi i staden rekne ut dei neste ledda med eit program. Fast sparing

Kopla følger

Vi har a0 25 000 kr på ein bankkonto med 3 % årleg rente. 1. januar kvart år set vi inn 10 000 kr. Rett etter det n-te innskotet er kronebeløpet an på konto gitt ved rekursjonsformelen

I ein cellepopulasjon er det x0 9900 friske celler og y0 100 sjuke celler. I løpet av ein periode blir 3 % av dei friske cellene til sjuke celler på grunn av mutasjon. Dei resterande 97 % vil framleis vere friske. I den same perioden vil 1 % av dei sjuke cellene mutere til friske celler mens dei resterande 99 % framleis vil vere sjuke.

an 1,03 an 1 10 000 Med programmet øvst på neste side kan vi framstille utviklinga av beløpet på konto dei neste 10 åra. Resultatet vi får, liknar figuren nedanfor.

Antal friske celler etter éin periode er dermed x1 0,97 x0 0,01 y0 0,97 9900 0,01 100 9604

Sjølv om dette verken er ei aritmetisk eller geometrisk følge, kan vi i dette tilfellet finne ein eksplisitt formel for ledda i følga. Vi kan vise at ei følge definert ved rekursjonsformelen

Antal sjuke celler er y1 0,03 x0 0,99 y0 0,03 9900 0,99 100 396

an k an 1 d

På same måte kan vi rekne ut at det er x2 9320 friske celler og y2 680 ssjuke celler etter to periodar og så vidare.

har den eksplisitte formelen an

kn 1 d a0 k n k 1

Slike følger der ledda avheng av føregåande ledd i ei anna følge, kallar vi kopla følger.

y 14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000

x 0

1 | FØLGER OG REKKER

from pylab import xlabel, ylabel, scatter, show

2 3 4

a = [25000] N = 10

for n in range(N): ledd = 1.03*a[n] + 10000 8 a.append(ledd) 6 7 9

xlabel("År") ylabel("Kroner") 12 scatter(range(N+1),a) 13 show() 10 11

PROSJEKTOPPGÅVE 1

Kor mykje er det på bankkontoen i eksempelet om fast sparing etter 10 år? Finn svaret både ved programmering og ved å bruke formelen. PROSJEKTOPPGÅVE 2 a) Eit fond på 1 000 000 kr har ei årleg avkastning på 7 %. Kvart år blir det

utbetalt eit stipend på 100 000 kr frå fondet. Kor mange år tar det før fondet er tomt? b) Kor mange år tar det før fondet er tomt viss utbetalingane aukar med 1,5 % kvart år for å ta høgde for inflasjon? PROSJEKTOPPGÅVE 3

Korleis vil cellepopulasjonen med friske og sjuke celler utvikle seg over tid? PROSJEKTOPPGÅVE 4

Ei følge som er kjent for den kaotiske oppførselen sin er gitt ved rekursjonsformelen 1 an 1 r an (1 an ), a0 a' 2 1,0 der 0 < r < 4. 0,8 a) Lag ei grafisk framstilling av dei første 0,6 100 ledda i følga for nokre forskjellige 0,4 verdiar for r. 0,2 b) Kan du finne samanhengen mellom følga ovanfor og figuren til høgre? 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 r PROSJEKTOPPGÅVE 5

Vis at ei følge som er definert ved rekursjonsformelen an

k an 1 d

har den eksplisitte formelen an

kn 1 d a0 k n k 1 FØLGER UTAN FORML AR

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 5

I ei talfølge er det første talet 6 og det tredje talet 216. Kva er det andre talet om talfølga er aritmetisk, og kva er det andre talet dersom talfølga er geometrisk?

I ei geometrisk rekke er det andre leddet 3 8 og det tredje leddet .

a) Finn kvotienten k til rekka. 256 b) Kva for eit nummer har leddet i 2187 rekka?

OPPGÅVE 2

Ein veterinær skal behandle ein sjuk hund. Første dag får hunden 5 g av ein viss medisin. Dosen blir halvert for kvar dag. Behandlinga varer ei veke. Kor mykje medisin bør veterinæren skrive ut resept på? OPPGÅVE 3

Ei ny bedrift produserer radioar. Den første månaden, januar 2021, er månadsproduksjonen 580 radioar. Bedrifta reknar med å auke produksjonen med 30 radioar for kvar månad. a) Lag eit program med Python som skriv ut kor mange radioar det blei produsert kvar månad i 2021. b) Utvid programmet i oppgåve a slik at det også reknar ut kor mange radioar det blei selt i alt i 2021. c) Rekn ut kor mange radioar dei lagar i desember månad 2026. d) Kor mange radioar reknar bedrifta med å produsere i heile 2026? e) Finn ein formel for den totale produksjonen sn etter n månader. f) Når har bedrifta i alt produsert 10 000 radioar? OPPGÅVE 4

Ei uendeleg geometrisk rekke a1 a2 a3 a4 … konvergerer mot 12. 320 . Summen av dei fire første ledda er 27 Bestem a3 60

1 | FØLGER OG REKKER

OPPGÅVE 6

Eit reinsdyr beiter i eit område der graset inneheld det radioaktive stoffet cesium-137. Eit reinsdyr som beiter i området, får i seg 2,50 10 13 g av det radioaktive stoffet per kilogram kroppsmasse kvar dag. Gjennom biologiske prosessar kvittar reinsdyret seg dagleg med 3,5 % av det radioaktive stoffet. a) Kor mykje radioaktivt stoff er det i kvart kilogram av reinsdyret etter 14 dagar med beiting i området? b) Kva er den største mengda radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i kroppen etter lang tid med beiting i området? c) For at reinsdyrkjøttet skal kunne etast, må den radioaktive cesiummengda per kilogram ikkje overstige 5,0 10 12 g. Kva er den største mengda radioaktivt stoff per kilogram reinsdyret kan få i seg kvar dag for at kjøttet skal kunne etast? d) Eit reinsdyr har i seg 7,14 10 12 g cesium-137 per kilogram. Vi tenker oss at reinsdyret blir flytta til eit beiteområde som er fritt for radioaktivt stoff. Kor lang tid går det før kjøttet til dette reinsdyret kan etast?

OPPGÅVE 7

OPPGÅVE 8

Noregs utslepp av klimagassar var i 2020 på 49,3 millionar tonn CO2-ekvivalentar. På www.regjeringa.no fann vi dette:

Da Sofia blei fødd, blei det oppretta ein spareavtale. Kvar månad blei det sett inn 500 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,10 %. I denne oppgåva går vi ut frå at det blei sett inn 500 kr også på 5-årsdagen. a) Kor mykje var det på kontoen da Sofia fylte 5 år? b) Kor mykje har Sofia fått i rente? c) Kor stor måtte den månadlege rentefoten vere for at Sofia skulle hatt 35 000 kr på kontoen på 5-årsdagen? d) Kor stort beløp måtte det settast inn kvar månad for at det skulle vere 35 000 kr på kontoen da Sofia fylte 5 år?

Norge har som mål å redusere utslippet av klimagasser med 50 til 55 prosent innen 2030. Kjelde: Klimaendringer og norsk politikk – regjeringen.no (19.10.2021)

Gå ut frå at målsettinga er å redusere utsleppet med 50 % samanlikna med utsleppet i 2020. Vi skal vurdere to modellar for korleis dette kan gjennomførast: Modell 1: Forbruket blir redusert med eit fast antal tonn CO2-ekvivalentar kvart år. Det betyr at vi det første året slepper ut 49,3 millionar, mens vi det tiande året slepper ut halvparten så mykje. Modell 2: Vi reduserer forbruket med ein fast årleg prosent, slik at vi det første året slepper ut 49,3 millionar tonn CO2-ekvivalentar, mens vi det tiande året slepper ut halvparten så mykje. a) Kor stort er Noregs samla utslepp av klimagassar i løpet av desse 10 åra dersom vi legg modell 1 til grunn? b) Kor stort er Noregs samla utslepp av klimagassar i løpet av desse 10 åra dersom vi legg modell 2 til grunn? c) Anta at styresmaktene har som målsetting at det samla utsleppet ikkje skal overstige 350 millionar tonn CO2-ekvivalentar i tiårsperioden. Utsleppet skal kvart år i tiårsperioden reduserast med ein fast prosent. Bestem den lågaste prosenten som gjer at styresmaktene når målsettinga.

OPPGÅVE 9

a) Vegard Beider skal låne 150 000 kr for å kjøpe bil. Han vurderer eit annuitetslån med 4,5 % etterskotsrente per år. Lånet har éin termin per år, og nedbetalingstida er 5 år. Terminbeløpet er 34 169 kr. 1) Finn ved rekning kor mykje renter og kor mykje avdrag Vegard betaler dei to første åra. 2) Rekn ut noverdien av kvart av dei fem terminbeløpa. (Det første beløpet blir betalt om eitt år.) b) Vegard vurderer eit serielån med dei same vilkåra som for annuitetslånet. 1) Finn ut kor mykje Vegard da må betale i kvart av dei 5 åra. 2) Finn summen av noverdien av dei fem innbetalingane. 3) Kva for eit lån synest du at Vegard bør velje? Forklar! c) Vegard får også tilbod om eit annuitetslån med éin termin per år i 8 år. 1) Kor store blir dei årlege terminbeløpa viss renta no også er 4,5 % per år? 2) Terminbeløpet på dette lånet blei 23 680 kr. Kva var rentefoten?

REPE TISJONSOPPGÅVER

DERIVASJON Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • analysere og tolke ulike funksjonar ved å bruke derivasjon og integrasjon • modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

2.1 Den deriverte No skal vi repetere noko av det vi lærte om derivasjon i S1. Den deriverte til ein funksjon f er gitt ved f c(a)

lim

'x o0

f (a 'x ) f (a) 'x

Ein funksjon er deriverbar for x a viss denne grenseverdien eksisterer. Viss grenseverdien skal eksistere, må teljaren nærme seg 0 ettersom nemnaren nærmar seg 0 når Δx o 0. Altså må f (a 'x ) f (a) o 0 og f (a 'x ) o f (a) når Δx o 0. Det betyr at f må vere kontinuerleg for x a. Ein funksjon som er deriverbar i eit punkt, må vere kontinuerleg i punktet. f c(x ) gir vekstfarten til f i punktet x, f (x) og samtidig stigningstalet for tangenten til grafen i punktet. Når vi deriverer funksjonar, bruker vi desse reglane: r 1 xr c r x

u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ) k u(x ) c

k uc(x )

Dermed kan vi derivere funksjonar ledd for ledd slik som i dette eksempelet: DØME

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 3x 2 4 x 12 a) Finn f c(x ). b) Finn vekstfarten for x 1.

LØ Y S I N G

a) f c(x ) 3x 2 3 2 x 4 1 0 3x 2 6 x 4 b) Vekstfarten for x 1 er f c(1) 3 12 6 1 4 3 6 4 7

2.1 DEN DERIVERTE

OPPGÅVE 2.10

Deriver uttrykka. a) x2 4x 2

b) 2x3 4x2 3x 1

c) x4 2x3 5x2 2x 1

OPPGÅVE 2.11

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x 3 4 x 2 x 2 a) Finn f c(x ). b) Finn vekstfarten for x 2. I S1 lærte vi desse formlane: 1 xa

x a

m n

Ved hjelp desse formlane og formelen (x r )c r x r 1 kan vi derivere rotfunksjonar og potensar med negativ eksponent. I S1 lærte vi i tillegg desse derivasjonsreglane: ex c ex

DØME

a x c a x ln a

Deriver funksjonane. a) f (x ) 3e x 5x 2,4

LØ Y S I N G

b) g (x )

2 4 x x2

2 x 1 4 x 2

g c(x ) 2 1 x 2 4 ( 2) x 3 ( 2) c) h(x ) hc(x )

1 1 8 3 2 x x

2 8 x2 x3

1 12 1 x 2

1 12 x 2

1 1 2 12 x

1 2 x

OPPGÅVE 2.12

Deriver funksjonane. a) f (x ) 5e x 3x 2 2 x

a) f c(x ) 3 e x c 5 x 2,4 c 3 e x 5 2, 4 x 2,4 1 3e x 12 x1,4 b) g (x )

c) h(x )

2 | DERIVASJON

b) g (x ) 5 2 x

3 x

c) h(x ) 2000 1, 05x

OPPGÅVE 2.13

Ein funksjon f er gitt ved f ( x ) e x 5x 1 a) Finn likninga for tangenten i 0, f (0) . b) Finn koordinatane til botnpunktet.

UTFORSK SAMANSETTE FUNKSJONAR Vi har gitt funksjonane u(x ) 2 x 1 og g (x ) x 2 Da kan vi danne den samansette funksjonen f (x ) g u(x ) Han verkar slik: f (2) g u(2)

g 2 2 1

g (5) 52

Vi kan illustrere dette slik: 2

u(2)

g(u(2))

g(u(2))) = f(2)

Slik reknar vi ut f (1). f (1) g u(1)

g 2 1 1

g (3) 32

STEG 1

Bruk funksjonane ovanfor og rekn ut f ( 2) og f (3). STEG 2

La h(x) u g(x) der g og u er funksjonane ovanfor. Rekn ut h( 2) og h(3). På neste side lagar vi eit program i Python som reknar ut funksjonsverdiar for ein samansett funksjon. 2.2 K JERNEREGELEN

1 2

def u(x): return 2*x + 1

3 4 5

def g(x): return x**2

6 7 8

def f(x): return g(u(x))

9 10 11 12

svar = input("Verdi for a:") a = float(svar) print(f"f({svar}) = {f(a)}")

STEG 3

a) Bruk programmet til å løyse oppgåvene i steg 1. b) Tilpass programmet og bruk det til å løyse oppgåvene i steg 2. c) Tilpass programmet slik at det skriv ut f (a) for a 5, 4, …, 20. Vi kan finne funksjonsuttrykket til samansette funksjonar. Viss u(x ) 2 x 1 og g (x ) x 2, blir f (x ) g (u(x )) g 2 x 1

2x 1

4x2 4x 1

STEG 4

a) Finn funksjonsuttrykket til h(x ) u( g (x )) med u(x ) 2 x 1 og g (x ) x 2. b) Finn funksjonsuttrykket til f (x ) g (u(x )) og h(x ) u( g (x )) med u(x ) 3x 1 og g (x ) x 2 3x . STEG 5

La g (x ) x 2 2 x og u(x ) x 2. a) Vis at f (x ) g (u(x )) x 4 2 x 2. b) Finn g c(x ), uc(x ) og f c(x ). c) Rekn ut g c(u(1)), uc(1) og f c(1). d) Rekn ut g c(u(2)), uc(2) og f c(2). e) Rekn ut g c(u(3)), uc(3) og f c(3). f) Sjå på svara i kvar av oppgåvene c, d og e. Kva for regel ser ut til å gjelde? g) Undersøk om regelen din stemmer for andre x-verdiar. h) Klarer du vise at regelen gjeld for alle verdiar for x?

2 | DERIVASJON

2.2 Kjerneregelen Funksjonen f (x ) x 2 1 kan vi oppfatte som ein samansett funksjon. Viss 2 x , blir f (x ) g u(x ) . Funksjonen u(x) x 2 1 vi set u(x) x 1 og g (x ) kallar vi kjernen eller den indre funksjonen. Funksjonen g kallar vi den ytre funksjonen. DØME

Funksjonen f er gitt ved f (x )

2x 3

Skriv f som ein samansett funksjon. LØ Y S I N G

Her vel vi kjerne u(x ) 2 x 3 og ytre funksjon g (x ) x 3 Dette kan vi kontrollere slik: f (x ) g (u(x )) g (2 x 3)

2x 3

OPPGÅVE 2.20

Bestem kjerne u(x) og ytre funksjon g. 2x 1 a) f (x ) b) f (x )

x 2 2x

c) f (x )

2x 1

d) f (x ) 2

2 ,7

3x 1

Når vi skal derivere samansette funksjonar, bruker vi kjerneregelen. Det er den regelen du sikkert fann i Utforsk samansette funksjonar. Vi beviser han på slutten av dette delkapittelet. Viss f (x ) g u(x ) , så er f c(x ) g c u(x ) uc(x ) Det kan vere vanskeleg å skjønne innhaldet i denne regelen. Det viktige er å lære korleis vi bruker han. 2.2 K JERNEREGELEN

DØME

Deriver funksjonane ved hjelp av kjerneregelen. 4 3 b) f (x ) 2 x 1 a) f (x ) x 2 1 c) f (x ) e

LØ Y S I N G

x2 1

1 2x 1

d) f (x )

x2 1

a) Vi set kjernen u(x) x 2 1. Da er f (x )

u(x ) . Den ytre 4 funksjonen er g(x) = x . Da er f (x ) g u(x ) . Vidare er g c(x ) x 4 c 4 x 3 , og uc(x ) 2 x . Kjerneregelen gir 3

f c(x ) g c u(x ) uc(x ) 4 u(x ) uc(x ) 4 x 2 1 2 x 8 x x 2 1

Med litt trening gjer vi dette utan å bruke u(x). Da gjer vi det slik: f c(x )

x2 1

4 x2 1 x2 1 c 3

4 x 2 1 2x 8x x 2 1

b) Her vel vi kjerne u(x) 2x 1 og ytre funksjon g (x ) x 3. Da er g c(x ) 3x 2 og uc(x ) 2. Det gir 2

f c(x ) g c(u(x )) uc(x ) 3 u(x ) uc(x ) 3 2 x 1 2 6 2 x 1 Som oftast gjer vi dette slik: fc x

2x 1

3 2x 1 2x 1 c 3 2x 1 2 6 2x 1 2

c) No set vi u(x ) x 2 1 og g (x ) e x. Da er uc(x ) 2 x og g c(x ) e x . f c(x ) g c u(x ) uc(x ) e u( x ) uc(x ) e

x2 1

2x 2x e

x2 1

Med litt trening gjer vi det slik: f c(x )

x2 1

x2 1 c e

d) Med u(x) 2x 1 og g (x ) 1 g c(x ) 2 , blir x

x2 1

2x 2x e

x2 1

1 blir f (x ) g u(x ) . Ettersom uc(x ) 2 og x

f c(x ) g c(u(x )) uc(x )

1 u(x )

uc(x )

1 2x 1

2 2x 1

I praksis gjer vi det slik: § 1 ·c f c(x ) ¨ ¸ © 2x 1 ¹

2 | DERIVASJON

1 2x 1

2x 1 c

1 2x 1

2 2x 1

OPPGÅVE 2.21

Deriver funksjonane. 3 a) f (x ) 2 x 3 b) f (x )

x2 1

c) f (x ) e 2 x 3 d) f (x ) e) f (x )

2x 3 1 x2 1

Når vi skal derivere ein sum av fleire ledd der ledda er samansette funksjonar, må vi kunne derivere utan å bruke u(x). DØME

Deriver funksjonen gitt ved f (x )

LØ Y S I N G

f c(x )

x 2 1 2x 3 x2 1

2x 3

2 2 x 2 1 x 2 1 c 3 2x 3 2x 3 c

2 x 2 1 2 x 3 4 x 2 12 x 9 2 4 x x 2 1 6 4 x 2 12 x 9 4 x 3 4 x 24 x 2 72 x 54 4 x 3 24 x 2 76 x 54

OPPGÅVE 2.22

Deriver funksjonane. a) f (x ) 5x 2 x 1 b) g (x ) 3 x 2 2 c) h(x )

3x 1 x 2 3

OPPGÅVE 2.23

Deriver funksjonane. 2 a) f (x ) x 2 1 x 2 1 b) f (x )

1 2x 1 x 3 2

2.2 K JERNEREGELEN

BEVIS

Bevis for kjerneregelen. Vi skal finne f c(x ) når f (x ) g u(x ) Vi føreset at g og u er deriverbare og dermed kontinuerlege funksjonar. Vidare føreset vi at uc(x ) z 0. Da er u(x 'x ) u(x ) z 0 når Δx er nær 0. f c(x )

lim

'x o 0

lim

f (x 'x ) f (x ) 'x g u(x 'x ) g u(x )

'x o 0

lim

'x g u(x 'x ) g u(x ) u(x 'x ) u(x )

'x o 0

u(x 'x ) u(x ) 'x

§ g u(x 'x ) g u(x ) u(x 'x ) u(x ) · lim ¨ ¸ 'x o 0 u x ' x u x 'x ( ) ( ) © ¹ g u(x 'x ) g u(x ) u(x 'x ) u(x ) lim lim 'x o 0 'x o 0 u(x 'x ) u(x ) 'x Ovanfor multipliserte vi med u(x 'x ) u(x ) i teljaren og i nemnaren. Deretter brukte vi ei grenseverdisetning. No set vi t u(x) og 't

u(x 'x ) u(x )

Da er u(x 'x ) u(x ) 't t 't Ettersom u er kontinuerleg, nærmar u(x 'x ) seg u(x) når Δx o 0. Dermed nærmar Δt seg 0 når Δx o 0. Vi set inn i uttrykket ovanfor og får f c(x ) lim

't o0

g (t 't ) g (t ) u(x 'x ) u(x ) lim ' x o 0 't 'x

Etter definisjonen av derivert er den første grenseverdien lik g c(t ), og den andre er lik uc(x ). Dermed er f c(x ) g c(t ) uc(x ) g c u(x ) uc(x )

2 | DERIVASJON

2.3 Funksjonen f(x) = ln x No skal vi studere logaritmefunksjonen f (x ) ln x. Om denne funksjonen veit vi blant anna at f (1) ln1 0 f (e) ln e 1 Ettersom ln x berre er definert for x ! 0, er definisjonsmengda 0, o

Funksjonen har denne grafen: y 4 3

f(x) = lnx

2 1 –1

(e, 1) (1, 0) 1

x 2

9 10

–2 –3 –4 –5

Vi kan vise at grafen til f er kontinuerleg, og at grafen dermed er samanhengande for alle x D f . Vi kan også vise at ln x o f når x o f og at ln x o f når x o 0 . Dermed er verdimengda V f , og linja x 0 (y-aksen) er ein vertikal asymptote for logaritmefunksjonen. No skal vi bestemme ln x c og ser på den samansette funksjonen g (x ) e ln x . Vi veit at e ln x x. Dermed er g (x ) x , og da er g c ( x ) 1. Men ifølge kjerneregelen er g c (x )

e ln x c e ln x ln x c

x ln x c

Da må x ln x c 1 1 ln x c x Ettersom ln x berre er definert når x ! 0, er da f c(x )

1 x

! 0 for alle x D f .

Funksjonen er dermed veksande i heile definisjonsmengda. 2.3 FUNKSJONEN f(x) = ln x

Logaritmefunksjonen f (x ) ln x er veksande og kontinuerleg med 0, o og verdimengde V f . Vidare er definisjonsmengde D f f c(x )

DØME

LØ Y S I N G

1 x

Deriver funksjonane. a) f (x ) 2 x 5 ln x a)

f c(x )

b) g (x ) ln x 2 5

1 2 x c 5 ln x c 2 5 x

c) h(x )

ln x

5 x

b) Kjerneregelen gir g c(x )

1 x2 5 c x 5 2

1 2x x 5 2

2x x 5 2

c) Her må vi bruke kjerneregelen med ln x som kjerne. hc(x )

ln x

2 1 3 ln x ln x c 3 ln x x 2

3 ln x

OPPGÅVE 2.30

Deriver uttrykka. a) 3 ln x 4 d) ln x

b) ln 3x e) x 2 ln x 2

c) ln x 4 f) x 2 ln x

OPPGÅVE 2.31

Deriver funksjonane. a) f (x ) ln 2 x 5 b) g (x ) ln x 2 1

c) h(x ) 3x 2 ln x 2 x

OPPGÅVE 2.32

Forskarar trur at det om x år kjem til å vere G(x) gauper innanfor eit bestemt område, der G(x ) 100 60 ln x 1 ,

x ª¬0, 10 º¼

a) Finn gaupebestanden om 5 år. b) Bruk den deriverte til å anslå veksten i gaupebestanden i det 5. året.

DISKUTER

Forklar kvifor dei to funksjonane f (x ) ln x og g(x) ln(5x) har same derivert enda om funksjonane ikkje er like.

2 | DERIVASJON

UTFORSK PRODUKTREGELEN Ein funksjon f er gitt ved at f (x ) g (x ) h(x ). Den regelen vi kjem fram til, gjeld for alle deriverbare funksjonar g og h. Men her skal vi gå ut frå at g og h er positive og veksande funksjonar. Da kan vi tolke f (x ) som arealet av eit rektangel med grunnlinje g (x ) og høgde h(x ), og vi kan bruke denne figuren til finne f c(x ): 6h

h(x + 6x) h(x)

f (x) g(x)

g(x + 6x)

Her er f (x ) arealet av det gule rektangelet og f (x 'x ) arealet av heile rektangelet på figuren. Vidare er 'g g (x 'x ) g (x ) og 'h h(x 'x ) h(x ). STEG

'g 'h g c(x ), lim ' x o 0 'x 'x b) Bruk figuren til å vise at

a) Forklar at lim

'x o 0

hc(x ), lim 'g 'x o 0

0 og at lim 'h 0. 'x o 0

f (x 'x ) f (x ) 'g h(x ) g (x ) 'h 'g 'h c) Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f c(x ) g c(x ) h(x ) g (x ) hc(x )

2.4 Derivasjon av eit produkt I Utforsk produktregelen viste de dette: Viss f (x ) g (x ) h(x ), er f c(x ) g c(x ) h(x ) g (x ) hc(x ) Dei to faktorane kallar vi ofte for u og v. Da er f (x ) u(x ) v(x ) og f c(x ) uc(x ) v(x ) u(x ) vc(x ) Vi skriv produktregelen slik: u v c uc v u vc 2.4 DERIVASJON AV EIT PRODUK T

DØME

Vi har gitt funksjonen f (x )

x 2 1 2x 3

a) Finn f c(x ) ved hjelp av produktsetninga. b) Finn f c(x ) ved først å gonge parentesane. LØ Y S I N G

a) Produktregelen gir f c(x )

x 2 1 c 2x 3 x 2 1 2x 3 c 2x 2x 3 x 2 1 2 4 x 2 6x 2x 2 2 6x 2 6x 2

b) Vi gongar parentesane før vi deriverer. x 2 1 2x 3

f (x )

2 x 3 3x 2 2 x 3

f c(x ) 6 x 2 6 x 2

DØME

LØ Y S I N G

Deriver funksjonane. a) f (x ) x e x b) f (x ) x ln x

u v c uc v u vc og får

a) Vi bruker regelen f c(x )

x ex c

xc e x x e x c 1 e x x e x

f c( x )

x ln x c

f c(x )

x 2 e2x

1 x ex

1 x c ln x x ln x c 1 ln x x ln x 1 x c x 2 c e2 x x 2 e2 x c 2x e2 x x e2 x 2x c

2x e2 x x 2 e2 x 2

c) f (x ) x 2 e 2 x

2x 2x 2 e2 x

OPPGÅVE 2.40

Vi har gitt funksjonen f (x )

x 2 2x 1 x 2 3

a) Finn f c(x ) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f c(x ) ved å gonge parentesane. OPPGÅVE 2.41

Vi har gitt funksjonen f (x ) x 2 x a) Finn f c(x ) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f c(x ) ved å skrive funksjonen som ein potensfunksjon.

2 | DERIVASJON

OPPGÅVE 2.42

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 e x c) h(x )

2x 1 e x

b) g (x )

x2 4x 1 e x

OPPGÅVE 2.43

Deriver funksjonane. b) f (x ) x 2 ln x c) h(x )

b) g (x ) x ln x x 2

2 x 1 ln x 1

OPPGÅVE 2.44

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x x 4 a) b) c) d)

Finn nullpunkta til f utan hjelpemiddel. Finn f c(x ) utan hjelpemiddel. Finn toppunkt, botnpunkt og terrassepunkt utan hjelpemiddel. Teikn grafen til f digitalt.

OPPGÅVE 2.45

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

x 1 ex

Finn likninga for vendetangenten til f.

DISKUTER

a) La funksjonen f vere gitt ved f (x ) 3 x 2 Finn f c(x ) ved hjelp av produktregelen. Kvifor treng vi ikkje bruke produktregelen her? b) La funksjonen g vere gitt ved g ( x ) k v( x ) der k er ein konstant. Finn g c(x ) ved hjelp av produktregelen. Kvifor treng vi ikkje bruke produktregelen her?

2.4 DERIVASJON AV EIT PRODUK T

2.5 Derivasjon av rasjonale funksjonar La funksjonen f vere gitt ved f (x )

x2 x 1 x 1

Viss vi set u(x ) x 2 x 1 og v(x ) x 1, er f (x )

u(x ) v( x )

u . No skal vi lære å derivere slike funksjonar. Viss u og v v er to deriverbare funksjonar, har vi denne derivasjonsformelen: Vi kan også skrive f

§ u ·c ¨v¸ © ¹

uc v u vc v2

Beviset for denne kvotientregelen står på slutten av delkapittelet. DØME

LØ Y S I N G

Deriver funksjonane. x2 3 ex a) f (x ) b) g (x ) x 1 x

c) h(x )

ln 2 x x2

a) Kvotientregelen gir x2 3 c x 1 x2 3 x 1 c f c(x ) 2 x 1 2 x x 1 x 2 3 1 x 1 ·c ¸ ¹

§ ex g c(x ) ¨ ©x

§ ln 2 x hc( x ) ¨ 2 © x

x 1

e x c x e x xc x2 ·c ¸ ¹

2x 2 2x x 2 3

x 2 2x 3

x 1 x 1 ex

e x x e x 1 x2

ln 2 x c x 2 ln 2 x x 2 c x2

1 1 2 x 2 ln 2 x 2 x 2 x c x 2 ln 2 x 2 x 2x 2x x4 x4 x 1 2 ln 2 x 1 2 ln 2 x x 2 x ln 2 x x4

2 | DERIVASJON

OPPGÅVE 2.50

Deriver uttrykka. x a) x 1

x 1 x

2x 1 x 1

1 x4

OPPGÅVE 2.51

Deriver funksjonane. 2e x a) f (x ) b) g (x ) 2x 1 DØME

e2x 2x

c) h(x )

Ein funksjon f er gitt ved 2 x 2 3x 3 x 1

f (x ) a) b) c) d) LØ Y S I N G

ln x x

Finn f c(x ). Finn toppog botnpunktet til f. Finn alle asymptotane. Teikn asymptotane og grafen til f. 2 x 2 3x 3 c x 1 2 x 2 3x 3 x 1 c

f c(x )

x 1

4 x 3 x 1 2 x 2 3x 3 1 x 1

4 x 2 4 x 3x 3 2 x 2 3x 3 x 1

2x 2 4 x x 1

b) No faktoriserer vi f c(x ) og lagar forteiknslinje. f c(x )

2x 2 4 x x 1 –2

2x x 2

–1

x 1 0

1)2

f '(x)

x–2 (x –

0 0

Funksjonen har maksimalpunktet x 0 og minimalpunktet x 2. Funksjonsverdiane er f(0) 3 og f(2) 5. 2.5 DERIVASJON AV RASJONALE FUNKSJONAR

Funksjonen har toppunktet 0, 3 og botnpunktet 2, 5 . Legg merke til at her er minimalverdien 5 større enn maksimalverdien 3. c) Nemnaren er 0 når x 1. Da er teljaren 2 12 3 1 3 2. Han er ikkje 0, og dermed har funksjonen den vertikale asymptoten x 1 Graden av teljaren er 1 større enn graden av nemnaren. Funksjonen har da ein skrå asymptote som vi finn slik: 2 x 2 3x 3 : x 1

2x 1

2x 2 2x x 3 x 1 2

2 x 1

Dermed er 2 x 1 2 f (x ) 2x 1 x 1 f (x ) 2x 1

Når x o f, vil 2 o0 x 1

f (x ) 2x 1

Funksjonen har da ein skrå asymptote y 2x 1 d) No teiknar vi asymptotane og grafen: y f (x) =

2x2 – 3x +3 8 6 x–1 4

B y = 2x – 1

2 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –2 A x=1 –4 –6 –8

2 | DERIVASJON

x 4

OPPGÅVE 2.52

Funksjonen f er gitt ved f (x ) a) b) c) d)

x2 x 1

Finn nullpunktet ved rekning. Finn alle asymptotane ved rekning. Finn botnpunkt og toppunkt ved rekning. Teikn asymptotane og grafen til f utan hjelpemiddel.

OPPGÅVE 2.53

Funksjonen f er gitt ved f (x ) a) b) c) d) e)

BEVIS

x2 4x 5 x 2

Finn definisjonsmengda til f. Finn nullpunkta ved rekning. Finn alle asymptotane ved rekning. Finn botnpunkt og toppunkt ved rekning. Teikn asymptotane og grafen til f digitalt.

§ u ·c Beviset for formelen ¨ ¸ ©v¹

uc v u vc v2

Funksjonen f er gitt ved u(x ) v( x ) Da er u(x ) f ( x ) v(x ). Produktregelen gir f (x )

uc(x )

f c(x ) v(x ) f (x ) vc(x )

Dermed er f c(x ) v(x ) uc(x ) f (x ) vc(x ) uc(x )

uc(x ) v(x ) u(x ) vc(x ) u(x ) vc(x ) v( x ) v( x ) v( x )

uc( x ) v( x ) u( x ) vc(x ) v( x ) uc(x ) v(x ) u(x ) vc(x )

f c( x ) v( x ) f c(x )

v( x )

2.5 DERIVASJON AV RASJONALE FUNKSJONAR

2.6 Drøfting av logaritme- og eksponentialfunksjonar DØME

Funksjonen f er gitt ved f (x ) ln x 2 1 a) b) c) d)

LØ Y S I N G

Finn nullpunkta utan og med hjelpemiddel. Finn toppog botnpunkta utan og med hjelpemiddel. Finn vendepunkta utan og med hjelpemiddel. Teikn grafen digitalt.

a) Utan hjelpemiddel: Her utnyttar vi at ln1 0. f (x ) 0 ln x 2 1

x 1 1 x2 0 x 0 Med hjelpemiddel:

b) Utan hjelpemiddel: Først deriverer vi funksjonen ved hjelp av kjerneregelen. f c(x )

ln x 2 1

1 x2 1 c x 1 2

1 2x x 1

2x x2 1

Så lagar vi forteiknslinje for f c. 0 2x

x2 + 1 f ’(x)

Funksjonen har eit minimalpunktt x 0. Frå oppgåve a veit vi at f (0) 0. Botnpunkt 0, 0 .

2 | DERIVASJON

Med hjelpemiddel:

c) No treng vi f cc(x ). 2x c x 2 1 2x x 2 1 c

§ 2 x ·c f cc(x ) ¨ 2 ¸ © x 1 ¹

x2 1

2x 2 2 4 x 2 x2 1

2 x 2 1 2x 2x x2 1

2 2x 2 x2 1

No finn vi nullpunkta til f cc(x ). f cc(x ) 0 2 2x 2 x x

1 1 x 1 2

Nemnaren x 2 1 er positiv for alle x. Forteiknet til f cc(x ) er dermed bestemt av teljaren 2 2x 2. Han er negativ når x ! 1 og når x 1. Han er positiv når 1 x 1. Dermed skiftar f cc(x ) forteikn for x 1 og for x 1. Grafen har da vendepunkt der. 2

f ( 1) ln 1 1 f (1) ln 12 1

ln 2

Vendepunkt 1, ln 2 og 1, ln 2 . Med hjelpemiddel:

2.6 DRØF TING AV LOGARITME- OG EKSPONENTIALFUNKSJONAR

d) I grafikkfeltet finn vi no denne grafen:

DISKUTER

Grafen til ein funksjon f er symmetrisk om y-aksen viss f ( x ) f (x ) for alle x-verdiar. Forklar ut frå funksjonsuttrykket f(x) ln x 2 1 at grafen til funksjonen frå eksempelet ovanfor er symmetrisk om y-aksen. Korleis kunne vi ha brukt dette til å løyse oppgåva raskare?

OPPGÅVE 2.60

Funksjonen f er gitt ved f (x ) ln x 2 4 x 5 a) b) c) d)

Finn nullpunkta utan og med hjelpemiddel. Finn eventuelle toppog botnpunkt utan og med hjelpemiddel. Finn vendepunkta utan og med hjelpemiddel. Teikn grafen digitalt.

OPPGÅVE 2.61

a) Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 ln x 1) Finn eventuelle toppog botnpunkt utan og med hjelpemiddel. 2) Teikn grafen digitalt. b) Funksjonen g er gitt ved g (x ) x ln x 2 Teikn grafen til g digitalt saman med grafen til f. Forklar likskapar og forskjellar.

2 | DERIVASJON

DØME

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) a) b) c) d) e)

LØ Y S I N G

x 3 ex

Finn nullpunktet utan hjelpemiddel. Finn f c(x ) og f cc(x ). Finn ekstremalpunktet utan hjelpemiddel. Finn vendepunktet utan hjelpemiddel. Teikn grafen digitalt. f (x ) 0 x 3 ex x 3 0 x 3

0 e x ! 0 for alle x

x 3 ex c

f c(x )

x 3 c ex x 3 ex c

1 e x x 3 e x x 2 ex c

f cc(x )

1 x 3 ex

x 2 ex

x 2 c ex x 2 ex c

1 e x x 2 e x

1 x 2 ex

x 1 ex

c) No finn vi dei stasjonære punkta. f c(x ) 0 x 2 ex 0 x 2 0 x 2 f cc(2) 2 1 e 2

e2 ! 0

Ettersom f cc(2) ! 0, er x 2 eit minimalpunkt. f (2)

2 3 e2

e 2

Botnpunkt 2, e 2 d) I vendepunktet er f cc(x ) 0 x 1 ex x 1 0 x 1

Ettersom e x ! 0 for alle x, er forteiknet til f cc(x ) x 1 e x bestemt av x 1 . Dermed er f cc(x ) ! 0 når x ! 1 og f cc(x ) 0 når x 1. Dermed skiftar f cc(x ) forteikn for x 1 og funksjonen har dermed eit vendepunkt der. 2.6 DRØF TING AV LOGARITME- OG EKSPONENTIALFUNKSJONAR

f (1)

1 3 e1

Vendepunkt 1, 2e e) No teiknar vi grafen i GeoGebra.

OPPGÅVE 2.62

Funksjonen f er gitt ved f ( x ) e 2 x 4e x a) b) c) d) e)

Finn nullpunktet ved rekning. Finn botnpunktet til f. Finn vendepunktet til f. Finn likninga til tangenten i vendepunktet. Teikn grafen og tangenten i vendepunktet i eit koordinatsystem.

OPPGÅVE 2.63

I ein influensaepidemi blei mange smitta. Prosentandelen av sjuke i befolkninga var gitt ved P (x ) 100 xe x der x er antalet månader etter utbrotet. a) Når var det flest sjuke? Kor mange var sjuke da? b) Når var nedgangen størst? Kor stor var nedgangen da? c) Teikn grafen til P digitalt.

2 | DERIVASJON

UTFORSK GRENSEKOSTNAD OG GRENSEINNTEKT STEG 1

Ved ein produksjon er kostnaden K i kroner per dag når ei bedrift produserer x einingar per dag gitt ved K(x) 50x 400 a) Finn auken i kostnader når produksjonen aukar frå 100 einingar til 101 einingar per dag. Samanlikn med K c(100). Kva ser de? b) Forklar at kostnaden aukar med 50 kr når vi aukar produksjonen med 1 eining uansett kor stor produksjonen er. Samanlikn med K c(x ). STEG 2

Ved ein produksjon er kostnaden K per dag når ei bedrift produserer x einingar per dag gitt ved K(x) 0,01x 2 80x 2000 a) Finn auken i kostnader når produksjonen aukar frå 100 einingar til 101 einingar per dag. Samanlikn med K c(100). Kva ser de? b) Finn auken i kostnader når produksjonen aukar frå 300 einingar til 301 einingar per dag. Samanlikn med K c(300). Kva ser de? c) Kva for regel trur de gjeld? STEG 3

Ved ein produksjon er inntekta I i kroner per dag når ei bedrift produserer og sel x einingar per dag gitt ved I (x ) 0, 01x 2 140 x a) Finn auken i inntekt når salet aukar frå 50 einingar til 51 einingar per dag. Samanlikn med I c(50). Kva ser de? b) Finn auken i inntekt når salet aukar frå 200 einingar til 201 einingar per dag. Samanlikn med I c(200). Kva ser de? c) Kva for regel trur de gjeld?

2.7 GRENSEKOSTNAD OG GRENSEINNTEK T

2.7 Grensekostnad og grenseinntekt Grafen til funksjonen f (x ) ax b er ei rett linje med stigningstalet a. Når x aukar med éi eining, aukar da f (x ) med a einingar. Men vi veit at f c(x ) a. Dermed aukar f (x) med f c(x ) einingar når x aukar med 1 eining. No skal vi undersøke om noko liknande gjeld for andre typar funksjonar. Den deriverte f c til ein funksjon f er definert ved denne grenseverdien: f c(x )

lim

'x o0

f (x 'x ) f (x ) 'x

Viss ikkje f c(x ) endrar seg mykje i intervallet ª¬ x , x 1º¼, får vi ein god tilnærmingsverdi for f c(x ) når vi bruker verdien Δx 1 i uttrykket ovanfor. Det gir f c(x ) |

f ( x 1) f (x ) 1

f (x 1) f ( x )

Vi har vist at f (x 1) f (x ) | f c(x ) Tilnærminga er best når f c(x ) endrar seg lite mellom x og x 1. Det er det same som å seie vekstfarten til f c(x ), som er f cc(x ), er liten i området. Det er det same som at grafen krummar lite i intervallet. Når x aukar med éi eining frå x til x 1, aukar f (x ) med ca. f c(x ) einingar. La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Den deriverte, K c(x ), kallar vi grensekostnaden ved denne produksjonsmengda. Etter det vi viste ovanfor, er K c(x ) omtrent lik endringa i K (x ) når produksjonsmengda aukar frå x til x 1. Grensekostnaden K c(x ) er dermed omtrent lik kostnadsauken når produksjonen aukar med éi eining frå x til x 1. La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Grensekostnaden ved produksjonen er da lik K c(x ). Grensekostnaden fortel omtrent kor mykje kostnaden K(x) aukar når vi aukar produksjonen med éi eining frå x til x 1.

2 | DERIVASJON

DØME

Ved produksjon av ei vare er kostnaden i kroner gitt ved K (x ) 0, 01x 2 80 x 35 000, x ª¬0, 1000º¼ når vi produserer x einingar. a) Bruk den deriverte til å finne omtrent kor mykje kostnaden aukar når bedrifta aukar produksjonen frå 500 til 501 einingar. b) Finn nøyaktig kor mykje kostnaden aukar når bedrifta aukar produksjonen frå 500 til 501 einingar, ved å rekne ut K(501) og K(500).

LØ Y S I N G

a) Først finn vi grensekostnaden. K (x ) 0, 01x 2 80 x 35 000 K c(x ) 0, 02 x 80 Grensekostnaden når bedrifta produserer 500 einingar, er K c(500) 0, 02 500 80 90 Kostnaden aukar med ca. 90 kr når bedrifta aukar produksjonen frå 500 til 501 einingar. b) No reknar vi ut den nøyaktige kostnaden når bedrifta produserer 500 einingar, og når dei produserer 501 einingar. K (500) 0, 01 5002 80 500 35 000 77 500 K (501) 0, 01 5012 80 501 35 000 77 590, 01 Auken er K (501) K (500) 77 590, 01 77 500 90, 01 Kostnaden aukar med nøyaktig 90,01 kr når bedrifta aukar produksjonen frå 500 til 501 einingar.

I eksempelet ovanfor var grensekostnaden ved 500 einingar lik 90 kr. Auken i kostnad var 90,01 kr når vi rekna heilt nøyaktig. Når vi seier at auken er nøyaktig 90,01 kr, føreset vi at uttrykket for K(x) gir kostnaden heilt nøyaktig. Det er vanlegvis ikkje tilfellet. Vanlegvis er K(x) ein matematisk modell som berre gir tilnærma rett kostnad. Når vi skal rekne ut auken i kostnad, kan vi derfor gjerne bruke K c(x ). Det gir enklare rekning, og vi får samtidig ein god nok verdi for auken. La I(x) vere inntekta ved sal av x einingar av eit produkt. Den deriverte I c(x ) kallar vi grenseinntekta ved denne produksjonsmengda. Viss salet er x einingar og vi aukar salet med éi eining, vil grenseinntekta I c(x ) gi ein tilnærma verdi for inntektsauken. 2.7 GRENSEKOSTNAD OG GRENSEINNTEK T

La I(x) vere inntekta ved sal av x einingar av eit produkt. Grenseinntekta ved sal av x einingar er da likk I c(x ). Grenseinntekta fortel kor mykje inntekta aukar når vi aukar salet med éi eining frå x til x 1.

OPPGÅVE 2.70

Når ein fabrikk produserer x einingar per dag, er produksjonskostnaden K(x) i kroner per dag gitt ved K(x) 0,02x 2 75x 4500 a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden K c(x ). b) Bruk grensekostnaden til å rekne ut kor mykje det kostar å auke produksjonen frå 400 til 401 einingar per dag. c) Bruk K(x) til å rekne ut kor mykje det kostar å auke produksjonen frå 400 til 401 einingar per dag. Samanlikn med svaret i oppgåve b. OPPGÅVE 2.71

Inntekta I(x) i kroner per dag når det blir produsert x einingar per dag, er gitt ved I(x) 120x 0,01x2 a) Finn eit uttrykk for grenseinntekta. b) Bruk grenseinntekta til å rekne ut kor mykje inntekta aukar når bedrifta aukar produksjonen frå 550 til 551 einingar per dag. c) Bruk I(x) til å kontrollere svaret i oppgåve b. Overskotet O(x) når vi produserer og sel x einingar, er differansen mellom inntekta og kostnaden. O( x ) I ( x ) K ( x ) Det gir Oc(x ) I c(x ) K c(x ) Overskotet er størst i eit stasjonært punkt der Oc(x ) 0. Oc(x ) 0 I c(x ) K c( x ) 0 I c(x ) K c( x )

2 | DERIVASJON

Viss grenseinntekta er lik grensekostnaden, er Oc(x ) 0, og overskotsfunksjonen har eit stasjonært punkt. For dei tilfella vi arbeider med, vil alltid grensekostnaden auke og grenseinntekta minke når vi aukar produksjonen x. Det punktet der grenseinntekta er lik grensekostnaden, er da eit toppunkt for O. For dei funksjonane vi arbeider med, har vi dermed denne regelen: Overskotet har sin største verdi når grenseinntekta er lik grensekostnaden.

DØME

Kostnaden i kroner ved produksjon av x einingar er K (x ) 0, 015x 2 31x 3000, x ª¬0, 1000 º¼ og inntekta i kroner er I (x ) 0, 005x 2 50 x , x ª¬0, 1000 º¼ a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden og grenseinntekta når bedrifta produserer x einingar. b) Finn grensekostnaden og grenseinntekta når bedrifta produserer 600 einingar. c) Vil det lønne seg å auke produksjonen når produksjonen er 600 einingar? d) Kor mange einingar må bedrifta produsere for at overskotet skal bli så stort som mogleg?

LØ Y S I N G

a) Vi finner grensekostnaden og grenseinntekta ved derivasjon. K c(x ) 0, 03x 31 I c(x ) 0, 01x 50 b) Vi set x 600 og får K c(600) 0, 03 600 31 49 I c(600) 0, 01 600 50 44 Grensekostnaden er 49 kr, og grenseinntekta er 44 kr. c) Når bedrifta produserer 600 einingar og aukar produksjonen med éi eining, vil kostnaden auke med 49 kr og inntekta med 44 kr. Det lønner seg ikkje å auke produksjonen.

2.7 GRENSEKOSTNAD OG GRENSEINNTEK T

d) Når overskotet er størst, er grenseinntekta er lik grensekostnaden. I c(x ) K c(x ) 0, 01x 50 0, 03x 31 0, 01x 0, 03x 31 50 0, 04 x 19 19 475 x 0, 04 Ettersom grensekostnaden er aukande og grenseinntekta er minkande, gir denne produksjonsmengda maksimalt overskot og ikkje minimalt overskot. Overskotet er størst når bedrifta produserer 475 einingar.

OPPGÅVE 2.72

Eit firma produserer panelomnar. Viss firmaet ein månad produserer x omnar, er kostnaden i kroner K(x) 0,05x 2 380x 48 000 Viss dei får selt alle dei x omnane, er inntekta i kroner I(x) 0,02x 2 548x a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden og grenseinntekta. b) Finn grensekostnaden og grenseinntekta når firmaet produserer 1000 omnar per månad. c) Vil det lønne seg å auke produksjonen til meir enn 1000 omnar per månad? d) Kva for produksjonsmengde gir størst overskot? Kor stort er overskotet da? OPPGÅVE 2.73

Kostnaden i kroner ved å produsere x einingar per dag er gitt ved K (x ) 0, 025x 2 65x 4400, x ª¬0, 1200 º¼ Viss alle einingane blir selde, er inntekta i kroner gitt ved I (x ) 0, 015x 2 113x a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden og for grenseinntekta. b) Finn grensekostnaden og grenseinntekta når bedrifta produserer 700 einingar per dag. c) Vil det lønne seg å auke produksjonen til meir enn 700 einingar per dag? d) Kva for produksjonsmengde gir størst overskot? Kor stort er overskotet da?

2 | DERIVASJON

2.8 Einingskostnad La K(x) vere kostnaden når vi produserer x einingar i ein periode. Kostnaden per eining, einingskostnaden, er da E( x )

kostnaden antalet einingar

K (x ) x

I S1 teikna vi grafen til slike einingskostnadsfunksjonar. Grafane kunne sjå slik ut: kr

x Antal

Vi er ofte interesserte å finne den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad. Den mengda er vanskeleg å lese av på ein slik graf, for grafen har ein veldig flat botn. No skal vi fram til ein metode som hjelper oss til å finne botnen på slike grafar. Vi veit at einingskostnaden er gitt ved E( x )

K (x ) x

Vi bruker regelen for derivasjon av eit brøkuttrykk og får Ec(x )

K c(x ) x K (x ) x c x2

K c(x ) x K (x ) 1 x2

K c(x ) x K (x ) x2

Ec(x ) 0 i botnpunktet. Det er når K c(x ) x K (x ) 0 K c(x ) x K (x ) K (x ) K c(x ) x K c(x ) E(x ) Men K c(x ) er grensekostnaden. Dermed har vi bevist denne regelen: Vi finn den minste verdien for einingskostnaden i det punktet der einingskostnaden er lik grensekostnaden. 2.8 EININGSKOSTNAD

DØME

Når ei bedrift produserer x einingar per veke, er kostnaden i kroner gitt ved K (x ) 0, 5x 2 240 x 800, x ª¬0, 100 º¼ a) Finn funksjonsuttrykket til einingskostnaden. b) Finn funksjonsuttrykket til grensekostnaden. c) Framstill einingskostnaden og grensekostnaden i det same koordinatsystemet. d) Finn grafisk kva for produksjonsmengde som gir lågast einingskostnad. Kva vil det koste å auke produksjonen med 1 eining når bedrifta har denne produksjonsmengda? e) Løys oppgåve d i CAS.

LØ Y S I N G

a) Einingskostnaden er 0, 5x 2 240 x 800 x 800 E(x ) 0, 5x 240 x E( x )

K (x ) x

0, 5x 2 240 x 800 x x x

b) Grensekostnaden er K c(x ) x 240 c) Vi teiknar grafane til E og K c. kr 500

400 K' 300

200 100 x 20

2 | DERIVASJON

100

d) Einingskostnaden er lågast i det punktet der grafen for einingskostnaden skjer grafen for grensekostnaden. Avlesing viser: Einingskostnaden er lågast når bedrifta produserer 40 einingar per veke. Legg merke til at det er vanskeleg å finne botnpunktet til E nøyaktig utan å bruke denne metoden. Når bedrifta produserer 40 einingar, er grensekostnaden K c(40) 40 240 280 Det kostar 280 kr å auke produksjonen frå 40 til 41 einingar per veke. e) Vi kan finne den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad på denne måten:

Ettersom x er eit positivt tal, må vi velje x 40. Vi kan også finne den mengda mellom 0 og 100 som gir lågast einingskostnad slik:

Einingskostnaden er lågast når bedrifta produserer 40 einingar per veke. Kostnaden ved å auke produksjonen med 1 eining når vi produserer 40 einingar per veke, kan vi finne slik:

Det kostar 280 kr å auke produksjonen frå 40 til 41 einingar per veke.

2.8 EININGSKOSTNAD

OPPGÅVE 2.80

Når det blir produsert x einingar per dag, er kostnaden i kroner gitt ved

a) b) c) d) e) f) g) h)

K (x ) 0, 05x 2 80 x 18 000, x ª¬0, 1000 º¼ Finn eit uttrykk for einingskostnaden E(x). Kva blir kostnaden per eining når vi produserer 500 einingar per dag? Finn likninga for den skrå asymptoten til E. Teikn asymptoten og grafen til E i eit koordinatsystem. Finn eit uttrykk for grensekostnaden. Kva kostar det å auke produksjonen med 1 eining når vi produserer 500 einingar per dag? Framstill grensekostnaden grafisk i koordinatsystemet frå oppgåve d. Finn grafisk, i CAS og ved rekning den produksjonsmengda som gir den lågaste kostnaden per eining. Kor stor er kostnaden per eining da?

OPPGÅVE 2.81

Eit firma produserer panelomnar. Viss firmaet ein månad produserer x omnar, er kostnaden i kroner a) b) c) d)

K (x ) 0, 05x 2 380 x 48 000, x ª¬0, 2000 º¼ Finn funksjonsuttrykket for einingskostnaden. Finn funksjonsuttrykket for grensekostnaden. Framstill einingskostnaden og grensekostnaden i eit koordinatsystem. Finn grafisk og i CAS kva for produksjonsmengde som gir lågast einingskostnad. Kva vil det koste å auke produksjonen med 1 eining når bedrifta har denne produksjonsmengda?

Vi har her sett at vi kan bruke grafane for einingskostnaden og for grensekostnaden til å finne den lågaste einingskostnaden. No skal vi lære å bruke grafen for kostnadsfunksjonen når vi skal finne den lågaste einingskostnaden. Når ei bedrift produserer x einingar per dag, er kostnadsfunksjonen K (x ) 0,1x 2 50 x 30 000, x ª¬0, 800 º¼ Til venstre øvst på neste side har vi teikna grafen til K.

2 | DERIVASJON

y 125 000

125 000

100 000

75 000

(x, K(x))

50 000

(300, K(300))

50 000 K(x)

25 000

y = 180x

x 0

200

400

600

800

x 0

200

400

600

800

På grafen har vi plassert eit punkt som har koordinatane x, K(x) . Vi har også teikna ei linje gjennom origo og dette punktet. Denne linja har stigningstalet a

'y 'x

K (x ) x

E( x )

Stigningstalet til linja gjennom origo er dermed lik einingskostnaden E(x). Til høgre ovanfor har vi teikna linja gjennom origo og punktet 300, K(300) . Når x 300, er einingskostnaden E(300)

K (300) 300

54 000 180 300

Linja har dermed likninga y 180x. Når vi skal finne den lågaste einingskostnaden, kan vi føre punktet x, K(x) langs grafen og sjå kvar linja gjennom punktet og origo har lågast stigningstal. Det gjer vi her i GeoGebra. Der skriv vi inn funksjonsuttrykket K(x) og og klikkar på eit vilkårleg valt O 0, 0 . Deretter bruker vi verktøyet punkt på grafen til K. For dette punktet vel vi så Verdi i staden for Namn.

2.8 EININGSKOSTNAD

Vi trekker ei linje gjennom origo og punktet. Også for linja vel vi Verdi i staden for Namn. No drar vi i punktet på grafen til vi ser at stigningstalet for linja er minst mogleg. Vi fekk resultatet nedst på førre side. Einingskostnaden er minst når vi produserer ca. 548 einingar per dag. Einingskostnaden er da 159,54 kr. Ut frå figuren ser det ut som om einingskostnaden er lågast når linja gjennom origo er ein tangent for grafen. Det forklarer vi no. Grensekostnaden K c(x ) 0, 2 x 50 gir stigningstalet til tangenten i punktet x, K(x) . Med x 300 blir stigningstalet til tangenten K c(300) 0, 2 300 50 110 Det kan vi kontrollere i GeoGebra ved å skrive Tangent(300, K). Etter at vi har tatt bort den linja vi hadde frå før, får vi resultatet nedanfor. Tangenten har likninga y 110x 21 000. Stigningstalet er altså lik grensekostnaden 110.

Frå side 91 veit vi at einingskostnaden er lågast når grensekostnaden er lik einingskostnaden. Men ettersom einingskostnaden er stigningstalet til linja gjennom origo, må tangenten gå gjennom origo når einingskostnaden er lågast. Dermed kan vi finne den lågaste einingskostnaden i GeoGebra på denne måten: Vi skriv Tangent(A, K) der A er namnet på det fritt valde punktet på grafen. Deretter drar vi i punktet slik at vi får tangenten til å skjere y-aksen nærmast mogleg origo. Av figuren øvst på neste side ser vi at einingskostnaden er lågast når vi produserer ca. 548 einingar per dag. Einingskostnaden er da 159,55 kr. Det stemmer godt med det vi fann over.

2 | DERIVASJON

La K vere kostnadsfunksjonen ved ein produksjon. Einingskostnaden er lågast for den produksjonsmengda x som er slik at tangenten til grafen i punktet x, K(x) går gjennom origo.

OPPGÅVE 2.82

Ved ein produksjon er kostnaden i kroner per dag når det blir produsert x einingar per dag, gitt ved K (x ) 0, 5x 2 50 x 800, x ª¬0, 100 º¼ a) Finn digitalt den lågaste einingskostnaden ved å trekke linjer gjennom origo. b) Finn digitalt den produksjonsmengda som gir den lågaste einingskostnaden, ved å trekke tangentar til grafen. Kor stor er einingskostnaden da? OPPGÅVE 2.83

Når det blir produsert x einingar per dag, er kostnaden i kroner gitt ved K (x ) 0, 05x 2 80 x 18 000, x ª¬0, 1000 º¼ a) Finn digitalt den lågaste einingskostnaden ved å trekke linjer gjennom origo. b) Finn digitalt den produksjonsmengda som gir den lågaste einingskostnaden, ved å trekke tangentar til grafen. Kor stor er einingskostnaden da? Samanlikn med oppgåve 2.80h.

2.8 EININGSKOSTNAD

SAMANDRAG Derivasjon Den deriverte til ein funksjon f er gitt ved f c(a)

lim

'x o0

f (a 'x ) f (a) 'x

Derivasjonsreglar r 1 xr c r x

u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ) k u(x ) c

nt k uc(x ), der k ein konstan

Logaritmefunksjonen ln x Logaritmefunksjonen f (x ) ln x er veksande og kontinuerleg med 0, o og verdimengde V f . Vidare er definisjonsmengde D f f c(x )

1 x

Eksponentialfunksjonen ex Eksponentialfunksjonen f (x ) e x er veksande og kontinuerleg med 0, o . Vidare er definisjonsmengde D f og verdimengde V f f c(x ) e x Derivasjon av ax a x c a x ln a Kjerneregelen Viss f (x ) g u(x ) , så er f c(x ) g c u(x ) uc(x )

2 | DERIVASJON

Produktregelen u v c uc v u vc Kvotientregelen § u ·c ¨v¸ © ¹

uc v u vc v2

Grensekostnad La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Grensekostnaden ved produksjon av x einingar er da lik K c(x ). Grensekostnaden fortel omtrent kor mykje kostnaden K(x) aukar når vi aukar produksjonen med éi eining frå x til x 1. Grenseinntekt La I(x) vere inntekta ved sal av x einingar av eit produkt. Grenseinntekta ved sal av x einingar er da lik I c(x ). Grenseinntekta fortel kor mykje inntekta aukar når vi aukar salet med éi eining frå x til x 1. Overskot La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar og I(x) inntekta ved sal av x einingar. Viss vi sel alle einingane vi produserer, er overskotet gitt ved O(x) I(x) K(x) Overskotet er størst når grenseinntekta er lik grensekostnaden. Einingskostnad La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Da er einingskostnaden E( x )

K (x ) x

Vi finn den minste verdien for einingskostnaden i det punktet der einingskostnaden er lik grensekostnaden. Da vil tangenten til K i punktet x, K(x) gå gjennom origo.

SAMANDRAG

LINEÆR REGRESJON På figuren nedanfor har vi 3 punkt A(0, 1), B(3, 2) og C(5, 5). Punkta ligg ikkje på linje. Det er derfor ikkje mogleg å finne ein lineær funksjon som er slik at grafen går gjennom alle dei 3 punkta. Lineær regresjon er å finne den lineære funksjonen som passar best til punkt som ikkje ligg på linje. De har tidlegare gjort lineær regresjon i GeoGebra.

No skal vi sjå på matematikken bak lineær regresjon og lage eit program i Python som de kan bruke til lineær regresjon.

y h 6 5

C (5, 5)

4 3 2 1

B (3, 2) A (0, 1) x

–1

1 –1

100

2 | DERIVASJON

PROSJEKTOPPGÅVE 1 a) På førre side har vi teikna grafen til g og h der g(x) 0,5x 1,5 og h(x) = 0,8x 0,5 Synest de det er g eller h som er den beste tilnærminga til punkta? b) Foreslå to metodar som vi kan bruke til å rekne kor godt ein lineær funksjon tilnærmar nokre punkt i eit koordinatsystem. c) Bruk metodane frå oppgåve b til å bestemme kva for ein av funksjonane g og h som er den beste tilnærminga til punktae A, B og C. Gir begge metodane same konklusjon?

PROSJEKTOPPGÅVE 2 Vi skal no sjå på minste kvadrats metode. Da lagar vi eit kvadrat for kvart av datapunkta, som på figuren nedanfor. y 6 5

C (5, 5) g(x) = 0,5x + 1,5

4 3 2

B (3, 2)

1 A (0, 1) x –1

a) Studer figuren, og forklar korleis dei tre kvadrata er laga. Vis at summen av areala av dei tre kvadrata er 2,25.

b) Lag kvadrat for funksjonen h ovanfor på same måte som for g, og finn summen av areala. Vil de seie at det er g eller h som passar best med punkta A, B og C?

LINEÆR REGRESJON

101

PROSJEKTOPPGÅVE 3 No skal vi finne den lineære funksjonen f (x) ax b som gjer at arealet av dei tre kvadrata rundt A, B og C blir minst mogleg. a) Teikn figur, og forklar at summen av areala til dei 3 kvadrata er S a 0 b 1 2 a 3 b 2 2 a 5 b 5

Vi skal no gjere summen S minst mogleg. Det kan vi gjere med denne algoritmen:

1. Tenk dykk no at a er ein variabel, og at b er ein konstant. Deriver summen S med omsyn på a, og sett den deriverte lik 0. Det gir ei likning med a og b som ukjente. 2. Tenk dykk deretter at b er ein variabel, og at a er ein konstant. Deriver S med omsyn på b, og sett den deriverte lik 0. Det gir ei ny likning med a og b som ukjente. 3. Dei to likningane frå punkt 1 og 2 dannar eit likningssett. Løys dette likningssettet med omsyn på a og b.

b) Bruk algoritmen ovanfor og vis at vi får likningssettet 0 6 3a b 2 10 5a b 5 0 2 0 b 1 2 3a b 2 2 5a b 5 0

c) Løys likningssettet og finn funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen f. Kva blir den minst moglege summen av areala av kvadrata?

d) Teikn grafen til f saman med punkta A, B og C. PROSJEKTOPPGÅVE 4 No finn vi den lineære funksjonen f (x) ax b som passar best til nokre generelle punkt med minste kvadrats metode. Vi startar med 3 punkt (x1, y1), (x2, y2) og (x3, y3). a) Teikn figur, og forklar at summen av areala til dei 3 kvadrata er S ax1 b y1 2 ax2 b y2 2 ax3 b y3

b) Vis at algoritmen frå oppgåve 3 gir likningssettet x 12 x 2 2 x 32 a x 1 x 2 x 3 b x1 x2 x3 a 3 b

x 1 y 1 x 2 y2 x 3 y3

y 1 y2 y3

c) Korleis vil likningssettet sjå ut dersom vi har fleire enn 3 datapunkt?

102

2 | DERIVASJON

PROSJEKTOPPGÅVE 5 Nedanfor finn de eit program i Python som kan brukast til lineær regresjon. Der har vi bruk for formelen for løysinga av eit likningssett. Likningssettet p x q y r s x t y u har løysinga x

r t q u og y p t q s

p u r s p t q s

dersom p t q s z 0. 1 2

data = [(0, 1), (3, 2), (5, 5)] n = len(data) # Antal datapunkt

3 4 5 6 7

sum_x = 0 sum_y = 0 sum_xy = 0 sum_xx = 0

# # # #

Summen Summen Summen Summen

av av av av

x-verdiar i datasettet y-verdiar x*y kvadrata av x-verdiane

8 9 10 11 12 13 14 15

for punkt in data: # Går gjennom alle punkta i lista ‘data’ x_verdi = punkt[0] # x-verdien til datapunktet y_verdi = punkt[1] # y-verdien til datapunktet sum_x += x_verdi sum_y += y_verdi sum_xy += x_verdi*y_verdi sum_xx += x_verdi**2

16 17 18

a = (sum_xy*n - sum_x*sum_y)/(sum_xx*n - sum_x*sum_x) b = (sum_xx*sum_y - sum_xy*sum_x)/(sum_xx*n - sum_x*sum_x)

19 20

print("f(x) =", round(a, 4),"x +", round(b, 4))

a) Forklar programmet. b) Køyr ein lineær regresjon på dei same datapunkta i GeoGebra. Får de same resultat som med programmet ovanfor? c) Test programmet på eit datasett med fleire datapunkt. Samanlikn med det de får i GeoGebra.

LINEÆR REGRESJON

103

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 4

Deriver funksjonane utan hjelpemiddel. x2 1 a) f (x ) x 2

Funksjonen f er gitt ved

b) f (x ) 4 x 2 x 1 c) f (x ) x 2e d) f (x )

1 x2

x 2 1 ln x 2 1

f (x )

20 x x 2 , Df x2 5

a) Finn nullpunkta til f. b) Finn eventuelle asymptotar til f både ved rekning og i CAS. c) Vis ved rekning at

OPPGÅVE 2

Ein funksjon f er gitt ved x

e f (x ) x a) b) c) d) e)

Finn eventuelle nullpunkt for f. Finn eventuelle asymptotar for f. Finn f c(x ). Finn eventuelle toppog botnpunkt. Vis at f cc(x )

x 2 2x 2 e x x3

f) Undersøk om f har vendepunkt. OPPGÅVE 3

På ein skule bryt det ut influensaepidemi. Etter x dagar er antalet elevar som er borte frå skolen, gitt ved f (x ) 10 xe 0,05 x

a) Finn f c(x ) ved rekning. b) På det meste er 13,5 % av elevane borte på grunn av denne influensaen. Kor mange elevar er det på skulen? c) Finn ved rekning når fråværet minkar raskast. Kor raskt minkar fråværet da? d) Vi reknar at epidemien er over når det er berre 1 elev som er borte. Kor lenge varer denne epidemien? 104

2 | DERIVASJON

f c( x )

10 2 x 2 x 10 x2 5

d) Finn både ved rekning og i CAS koordinatane til eventuelle toppog botnpunkt. e) Teikn grafen til f med asymptotar. Tante Mari har eit soverom som held omtrent 15 qC. Viss temperaturen minkar mykje, sørger ein regulator for at litt varme blir tilført rommet. Eit døgn varierte temperaturen T(x), målt i qC, på soverommet slik: T (x ) 15 f (x ), x ª¬0, 24 der x er antal timar etter midnatt og f er den funksjonen vi definerte i innleiinga. f) Når var temperaturen på sitt lågaste? Løys oppgåva ved rekning og i CAS. Kva var temperaturen da? g) Når var temperaturen igjen 15 qC? h) Teikn grafen til T. i) Kva for temperatur vil tante Mari til slutt få i rommet viss modellen T(x) gjeld lenger enn eitt døgn?

OPPGÅVE 5

OPPGÅVE 7

Ein fabrikk skal begynne å lage eit nytt produkt. Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar per dag er gitt ved

Ei bedrift produserer og sel maskindelar. Kostnaden K(x) i kroner ved å produsere og selje x maskindelar, er gitt ved

K (x ) 0, 03x 2 60 x 2700 for x ª¬0, 2000 º¼ . a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. b) Finn eit uttrykk for einingskostnaden c) Finn den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad. d) Fabrikken sel produktet for 150 kr per eining. Finn den produksjonsmengda som gir størst overskot. OPPGÅVE 6

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x ln x 1 , x ! 0 a) b) c) d)

Teikn grafen digitalt. Finn f c(x ) ved rekning. Finn botnpunktet til f ved rekning. Undersøk om f har vendepunkt.

Eit barn veg 4 kg ved fødselen. Etter x veker er vekta i kilogram gitt ved funksjonsuttrykket g (x ) 0, 04 f (x ) 4, x 0 , 52 º¼ e) Kor mykje veg barnet etter eitt år? f) Når er barnet lettast, og kor mykje veg barnet da? g) Kor mange dagar går det før barnet har fått tilbake fødselsvekta? h) Teikn ein graf som viser korleis vekta utviklar seg i det første leveåret.

K (x ) 0,10 x 2 34 x 8000, x ª¬0, 600º¼ Inntekta I(x) i kroner ved sal av x einingar er gitt ved I (x ) 310 x 0, 36 x 2 , x ª¬0, 600º¼ a) Finn eit uttrykk for overskotet O(x) b) Teikn grafane til I, K og O i det same koordinatsystemet. c) Finn grafisk, ved rekning og i CAS kor mange maskindelar bedrifta må produsere og selje for at overskotet skal bli størst mogleg. d) Kor stort blir overskotet? e) Forklar kvifor vi får det same svaret på spørsmålet i oppgåve c om vi løyser likninga I c(x ) K c(x ). For ein annan type maskindel er salsprisen ved å produsere og selje x einingar gitt ved p(x ) ax bx 2 der a og b er to reelle tal. Kostnadsfunksjonen er som gitt ovanfor. f) Bestem a og b slik at overskotet er størst ved produksjon av 320 einingar, og at dette overskotet er 32 960 kr.

REPE TISJONSOPPGÅVER

105

OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.

ØV MEIR

gir meir trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart

B L A N D A O P P G Å V E R og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver. • Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du blant anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger sjølv lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. I desse oppgåvene er det meininga at du skal bruke litt meir tid, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

Følger og rekker ØV MEIR

1.1 TALFØLGER

Oppgåve 1.110

I ei følge er ledd nr. n gitt. Finn dei fem første ledda i følga. a) an n2 2 b) an n2 n n 1 c) an = n Oppgåve 1.111

I ei talfølge er det første leddet a1 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen an

Oppgåve 1.114

I ei talfølge er dei to første ledda a1 2 og a2 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen an 2 an 1 3 an 2 Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga. Oppgåve 1.115

Tala i talfølga 1, 3, 6, 10, 15, … kallar vi trekanttala.

3 an 1 2

a) Bruk formelen og finn ved rekning dei åtte første ledda i følga. b) Lag eit program som skriv ut dei åtte første ledda i følga. c) Utvid programmet slik at det også reknar ut summen av dei åtte første ledda. Oppgåve 1.112

Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n i talfølga. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, …

Trekanttala T4 og T3

a) Finn det sjette talet i følga. Kall trekanttalet i ledd nr. n for Tn. b) Finn uttrykk for Tn Tn 1 og Tn Tn 1 når n > 1. c) Bruk svara i oppgåve b til å finne ein formel for Tn uttrykt ved n. Oppgåve 1.116

Studer dei fire figurane nedanfor.

Oppgåve 1.113

Finn ein eksplisitt formel for det generelle leddet i talfølga. 1 1 1 1 1 1 1 a) 1, , , , … b) , , , , … 4 9 16 2 4 6 8 3 4 5 c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, , , , … 2 3 4

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Finn ein formel som viser kor mange kuler an vi treng for å kunne lage figur nummer n. 1 | FØLGER OG REKKER

285

Oppgåve 1.117

Oppgåve 1.122

Studer dei tre figurane nedanfor. Dei er laga etter eit fast mønster.

Vi har gitt rekka

a) Kor mange kuler kjem det til å vere på dei to neste figurane? Forklar samanhengen mellom figurane. b) Finn ein formel som fortel kor mange kuler Fn det er på figur nr. n. c) Finn nummeret til figuren som har 631 kuler. 1.2 REKKER

Oppgåve 1.120

Ein talfølge er gitt ved formelen

1 4 9 16 25 36 49 64 } a) Finn summane s3, s5 og s8 i CAS.. b) Bruk CAS til å finne summen av dei n første ledda i denne rekka. c) Kontroller formelen for n 3, n 5 og n 8. d) Finn s25. Oppgåve 1.123

Ledda i ei rekke er gitt ved an

1 1 2 n (n 1)2

der n 1, 2, 3, … a) Rekn ut s6. b) Vis at summen av dei n første ledda er gitt ve sn 1

an 2 3n der n = 1, 2, 3, … a) Finn summen av dei tre første ledda ved rekning. b) Bruk CAS til å finne summen av dei seks første ledda. Oppgåve 1.121

Ledda i ei rekke er gitt ved

1 (n 1)2

c) Finn s99. Oppgåve 1.124

Finn summen. 1 · § 1· §1 1· §1 1· § 1 ¨ 1 5 ¸ ¨ 2 6 ¸ ¨ 3 7 ¸ ¨ 996 1000 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Oppgåve 1.125

Finn digitalt summen av rekka.

an n 4 der n 1, 2, 3, … a) Finn summen av dei fem første ledda ved rekning. b) Bruk CAS til å finne summen av dei ti første ledda.

286

1 | FØLGER OG REKKER

200 200 1, 08 200 1, 082 ... 200 1, 0824 Oppgåve 1.126

Finn digitalt summen av rekka. 1 0,85 0,852 … 0,8599

1.3 ARITMETISKE FØLGER

Oppgåve 1.130

I ei aritmetisk talfølge er a1 5, a2 9 a) Finn a7 og a11. b) Finn ein formel for ledd nr. n. Oppgåve 1.131

Undersøk om følga er aritmetisk, og finn i så fall differansen d. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16 b) 15, 11, 7, 3, 1, 5 c) 2, 4, 10, 18, 22 3 5 7 d) 1, , 2, , 3, 2 2 2 Oppgåve 1.132

Vi har gitt talfølga 9, 14, 19, 24, … a) Forklar at følga er aritmetisk. b) Finn a10 og a20. c) Lag ein formel for det n-te leddet. Oppgåve 1.133

Oppgåve 1.135

Karianne vil trene armmusklane. Den første veka tar ho seks armhevingar kvar dag. Den neste veka tar ho kvar dag to armhevingar meir enn veka før. Ho vil så på tilsvarande måte auke antalet med to for kvar veke. a) Kor mange armhevingar tar ho den sjette veka? b) Ho ønsker til slutt å klare tretti armhevingar kvar dag på denne måten. Kor lenge må ho halde på? Oppgåve 1.136

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 12, og differansen d 3. Finn ein formel for ledd nr. n. Oppgåve 1.137

I ei aritmetisk følge er det andre leddet a2 3, og det fjerde leddet er a4 4. Finn ein formel for ledd nr. n.

Ledda i ei følge er gitt ved an 5n 7 a) Vis at an an 1 5. b) Kva kan du da seie om følga? Oppgåve 1.134

Finn a1 og d i ei aritmetisk følge når a) a2 25 og a3 20 3 7 b) a3 og a5 4 4 c) an an 1 2 og a3 8

Oppgåve 1.138

I ei aritmetisk følge er det første leddet a1 1, og det tredje leddet er a3 9. I ei anna aritmetisk følge er det andre leddet b2 19 og det tiande leddet b10 23. Løys ulikskapen an ! bn. 1.4 ARITMETISKE REKKER

Oppgåve 1.140

Finn summen av dei 20 første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 2 og d 3 b) a1 36 og d 2 c) a1 3 og a2 7

1 | FØLGER OG REKKER

287

Oppgåve 1.141

Oppgåve 1.147

Finn a10 og summen av dei ti første ledda i ei aritmetisk rekke når a) a1 1 og d 4 1 3 b) a1 og d 2 2 c) a1 32 og d 4

Eit bakeri vil bake eit nytt brød. Den første veka skal dei etter planen produsere 800 brød. Deretter reknar bakeriet med å auke produksjonen med 15 brød kvar veke. a) Kor mange brød reknar bakeriet med å produsere per veke etter 1) 10 veker 2) 26 veker b) Finn kor mange slike brød bakeriet vil lage til saman 1) de første 26 vekene 2) det første året

Oppgåve 1.142

Finn kor mange ledd det er i rekka, og finn summen av rekkene. a) 2 9 16 · · · 72 b) 84 79 74 · · · 24 c) 3 6 9 12 · · · 120 Oppgåve 1.143

I ei aritmetisk rekke med 25 ledd og differanse d 6 er summen 1875. Finn det første leddet a1. Oppgåve 1.144

I ei aritmetisk rekke er a6 38 og a10 78. Finn a1, d og s15. Oppgåve 1.145

Vi har den aritmetiske rekka 13 9 5 1 3 … a) Finn a15. b) Finn ein formel for an. c) Vis at sn 2n2 15n d) Finn summen av dei 100 første ledda. Oppgåve 1.146

Kva er summen av dei naturlege tala mindre enn 1000 som er delelege med 11?

288

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.148

Kari har i lekse å lese ei bok på fjorten dagar. Ho bestemmer seg for å begynne med fire sider og deretter auke med to sider for kvar dag. a) Kor mange sider les ho den tiande dagen? b) Kor mange sider var boka på når ho blei ferdig med å lese henne etter nøyaktig fjorten dagar? 1.5 SERIELÅN

Oppgåve 1.150

Harry Davidsen låner 75 000 kr for å kjøpe motorsykkel. Lånet er eit serielån over 3 år med éin termin i året. Lånet har ei etterskotsrente på 5 % per år. a) Finn 1) det første terminbeløpet. 2) det andre terminbeløpet. 3) det tredje terminbeløpet. b) Kor mykje betaler Harry til saman for lånet?

Oppgåve 1.151

Oppgåve 1.154

Bente låner 300 000 kr til kjøp av ny bil. Lånet er eit serielån over 6 år med éin termin i året. a) Finn avdraga.

a) I ei aritmetisk rekke er det første leddet a1 42 500 og differansen d 900. Finn a3 og an.

Det n-te terminbeløpet er gitt ved

Ingvild låner 500 000 kr til kjøp av ny traktor. Lånet er eit serielån over 25 år med 4,5 % etterskotsrente og med éin termin i året. b) Rekn ut rente og avdrag ved første termin. c) Finn det tredje terminbeløpet og eit uttrykk for terminbeløpet ved termin nr. n. d) Kor mykje betaler Ingvild tilbake til saman?

an 65 750 2250n b) Finn dei tre første terminbeløpa. c) Kor høg er årsrenta på lånet? d) Kor mykje betaler Bente ved den siste terminen? e) Kor mykje betaler Bente til saman på lånet? Oppgåve 1.152

Ola og Grete låner 1,5 millionar kroner til kjøp av ny leilegheit. Lånet er eit serielån over 20 år med 4,0 % etterskotsrente per år. Lånet har éin termin i året. a) Rekn ut dei to første terminbeløpa. b) Finn ein formel for terminbeløp nr. n. c) Rekn ut det 12. terminbeløpet. d) Kor mykje betaler Ola og Grete til saman? Oppgåve 1.153

Ingvald må låne 1 750 000 kr for å kjøpe seg leilegheit. I ein bank får han tilbod om eit serielån over 25 år til 4,0 % rente og éin termin per år. a) Rekn ut kor mykje Ingvald må betale den første terminen viss han vel dette lånet. b) Ingvald kan høgst betale 130 000 kr i rente og avdrag det første året. Gi eit par eksempel på fornuftige justeringar i lånevilkåra slik at han kan klare den første terminen.

Oppgåve 1.155

Lise har tatt opp eit serielån på 300 000 kr for å kjøpe ny bil. Renta på lånet er 4,0 % per år, og det er éin termin i året. Lånet skal betalast ned over 8 år. a) Finn ein formel for restlånet rett før termin nr. n. b) Finn ein formel for rentene ved termin nr. n. c) Finn ein formel for terminbeløpet ved termin nr. n. d) Kor mykje betaler Lise til saman for lånet?

1 | FØLGER OG REKKER

289

Oppgåve 1.156

Oppgåve 1.162

Tove og Bjørn skal kjøpe hytte og må låne 1 500 000 kr. Dei vurderer eit serielån i ein bank med 3,8 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år og har 1 termin per år. a) Dei ønsker at lånet heller skal ha 12 terminar per år. Kor mykje mindre betaler dei da i alt tilbake på 25 år enn om dei hadde 1 termin per år? b) Dei synest at også lånetilbodet med 12 terminar er for dyrt. Frå ein annan bank får dei tilbod om eit lån med lågare rente. Dette lånet har også 12 terminar per år, og banken garanterer at summen av terminbeløpa skal vere minst 50 000 kr lågare enn i tilsvarande tilbod frå den første banken. Finn den nye rentefoten. Gi svaret med éin desimal.

Ei bedrift slepper ut 12 tonn svoveldioksid (SO2) per år. Bedrifta får pålegg om å redusere utsleppet med 4 % per år. Kor stort blir utsleppet om a) 7 år b) 10 år

1.6 GEOMETRISKE FØLGER

Oppgåve 1.160

Skriv opp dei fem første ledda a1, …, a5 i ei geometrisk følge der a) a1 2 og k 3 b) a2 8 og k 2 1 3 c) a1 og a2 2 2 3 27 d) a2 og a4 2 8

Oppgåve 1.163

a) Bestem x og y slik at 1 8, x, y, , … 8 blir ei geometrisk følge. b) Finn kvotienten i følga. Oppgåve 1.164

I ei geometrisk følge er det første leddet a1 2 og kvotienten k 3. Kva for eit nummer i denne følga har leddet 354 294? Oppgåve 1.165

Ei bedrift sel eit år 12 500 einingar av ei vare. Bedrifta har som mål å auke salet med 5 % per år dei neste åra. a) Forklar at salstala vil danne ei geometrisk talfølge. b) Finn ein formel for salstalet om n år. c) Kor mange prosent aukar salstalet i alt med på fire år?

Oppgåve 1.161

Undersøk om følga er geometrisk, og finn i så fall kvotienten. a) 2, 14, 96 3 3 3 b) 3, , , 4 16 64 2 4 8 c) 1, , , 5 25 120

290

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.166

Bestem x dersom følga a1, a2, a3, } er geometrisk. a) a1 2 x 1, a2 2 x , a3 2 x 2 b) a1 x , a2 3x 1, a3 3x 1 3 5 c) a1 3x , a2 3x , a3 3x

1.7 GEOMETRISKE REKKER

Oppgåve 1.174

Oppgåve 1.170

I ei geometrisk rekke er det første leddet 7 . a1 4 og kvotienten k

Finn summen av ei geometrisk rekke med n ledd når a) a1 2, k 3 og n 8 b) a1 1, k 0,5 og n 12 c) a1 10, k 2 og n 10 Oppgåve 1.171

Anne låner pengar av ein venn. Dei avtaler at ho skal betale tilbake desse pengane utan renter i løpet av eitt år. Etter tre månader betaler ho det første avdraget på 582 kr. Resten skal ho betale med tre nye avdrag, eitt kvar tredje månad. Avdraga blir 10 % mindre for kvar gong. Kor mykje lånte Anne av vennen? Oppgåve 1.172

Henriette set 2000 kr i banken ved byrjinga av kvart år i 6 år. Ho får 4 % rente per år av banken. Kor stort beløp står da på kontoen til Henriette etter at ho har sett inn 2000 kr for 6. gong? Oppgåve 1.173

a) Vis at rekka er geometrisk. 1 1 1 1 1 + + +… 81 54 36 24 16

a) Vis at summen av dei n første ledda er § § 7 ·n · sn 10 ¨ ¨ ¸ 1 ¸ ¨© 5 ¹ ¸ © ¹ b) Kor mange ledd må vi minst ha med i rekka viss summen skal vere større enn 1100? Oppgåve 1.175

a) Kor mange av tala i talfølga 1,05, 1,052, 1,053, 1,054… er mindre enn 50? b) Kor mange ledd må det minst vere i rekka 1,05 1,052 1,053 1,054 … for at summen skal bli minst 50? Oppgåve 1.176

Tore skriv bok. Den første veka skriv han 12 sider. Dette talet aukar han med 10 % for kvar veke som går. Boka blir til slutt på 336 sider. a) Kor mange sider skriv han den åttande veka? b) Kor lang tid bruker han på heile boka?

b) Finn kvotienten og det sjuande leddet. c) Finn ein formel for sn. d) Bestem n når sn

58 025 41 472

1 | FØLGER OG REKKER

291

Oppgåve 1.177

Ei bedrift produserer eit år a1 25 000 par slalåmski. Bedrifta reknar med ein årleg produksjonsauke på 5 % dei neste 10 åra. Kall produksjonstalet det n-te året for an. a) Finn a2 og a5. b) Kva blir totalproduksjonen av slalåmski dei første 10 åra? c) Finn den gjennomsnittlege årsproduksjonen av slalåmski i denne tiårsperioden.

1.8 NOVERDI OG ANNUITETSLÅN

Oppgåve 1.180

Noverdien av 20 000 kr som du får utbetalt om seks år, er 14 099 kr. Kva for ei kalkulasjonsrente er brukt? Oppgåve 1.181

Idar skal få 20 000 kr når han blir 18 år. Kor stort beløp bør han få viss han heller skulle få gåva i dag på 10-årsdagen sin? Bruk 5 % kalkulasjonsrente per år. Oppgåve 1.182

Oppgåve 1.178

Kvart år i 18 år set foreldra til Stine 8000 kr av barnetrygda på ein konto heilt i byrjinga av året. Vi reknar med ei fast årsrente på 3,0 %. a) Kor mykje kjem det til å stå på kontoen rett etter at det 18. beløpet er sett inn? b) Rett etter at det 15. beløpet er sett inn, tar dei ut 40 000 kr til konfirmasjonen. Kor mykje står det no på kontoen rett etter at det 18. beløpet er sett inn? Oppgåve 1.179

Ola planlegg å kjøpe ny bil til 450 000 kr om fem år. Da reknar han med å få 150 000 kr for den gamle bilen sin. Han bestemmer seg for å legge til side 55 000 kr i byrjinga av kvart år. Det første sparebeløpet set han i banken om eitt år. Han får 3,0 % rente p.a. a) Finn ut om Ola har råd til å kjøpe denne nye bilen rett etter at han har sett inn det femte beløpet. b) Kor mykje må han sette inn på kontoen i byrjinga av kvart år dersom han skal få råd til å kjøpe denne bilen rett etter at han har sett inn det femte beløpet?

292

1 | FØLGER OG REKKER

Jens skal kjøpe nytt stereoanlegg. Han kan velje mellom å betale 15 000 kr kontant og 1400 kr kvar månad i eitt år, med første betaling om ein månad. Rekn med ei kalkulasjonsrente på 0,5 % per månad. a) Finn noverdien av det første beløpet. b) Forklar at noverdien av alle dei tolv beløpa er 1400 kr 1400 kr 1400 kr … 2 1, 005 1, 005 1, 00512 c) Finn ved rekning summen i oppgåve b. d) Løys oppgåve c i CAS. e) Bør Jens velje avbetaling eller kontant betaling? Oppgåve 1.183

Irene skal kjøpe ny datamaskin. Ho vel å kjøpe maskinen på avbetaling og betaler 700 kr per månad i 24 månader, første gong same dagen som ho kjøper maskinen. Kalkulasjonsrenta er 6,0 % per år. a) Finn summen av noverdiane av avbetalingsbeløpa. b) Ho kunne ha valt å kjøpe maskinen kontant for 12 990 kr. Kva måtte månadsbetalinga ha vore viss dei to tilboda skulle vere like?

Oppgåve 1.184

Finn Bølga låner 500 000 kr til kjøp av båt. Lånet er eit annuitetslån med éin termin i året. Årsrenta er 5,5 % etterskotsvis. a) Bølga kan velje mellom 15 og 20 års nedbetalingstid. Kva blir det årlege terminbeløpet med kvart av dei to alternativa? b) Bølga bestemmer seg for å velje 20 års nedbetalingstid. Rett etter den 15. innbetalinga bestemmer han seg for å gjere opp lånet. Kor stor er restgjelda like etter den 15. innbetalinga Oppgåve 1.185

a) Bård låner 250 000 kr for å kjøpe bil. Lånet er eit annuitetslån med 5 % etterskotsrente per år. Lånet har éin termin per år. Terminbeløpet er 49 254 kr. 1) Kor mykje betaler Bård i rente og i avdrag i kvart av dei to første åra? 2) Kor mange år må Bård betale på dette lånet? b) Kari Kakse låner pengar til hus. Ho tar opp eit annuitetslån med 4 % etterskotsrente per år og betaler 192 036 kr éin gang i året i 25 år. 1) Finn ved rekning og i CAS kor mykje pengar Kari lånte. 2) Finn ved rekning og i CAS kor store dei årlege terminbeløpa blir viss renta er 5 % per år. 3) Kva er renta viss det årlege terminbeløpet er 198 173 kr? Oppgåve 1.186

Ein kameratgjeng som går i vg3 på Russevangen vidaregåande skule, må ta opp eit lån for å finansiere russebussen.

Banken lèt dei låne 500 000 kr med 4,5 % etterskotsrente per år. Dei må betale ned lånet over fem år med éin termin i året. a) Elevane får tilbod om eit serielån. Finn kor mykje elevane må betale til saman i løpet av desse fem åra. Elevane synest det blir for mykje å betale i starten, og får i staden tilbod om eit annuitetslån med same vilkår som for serielånet. b) Finn terminbeløpet elevane må betale kvart år. c) Elevane vel annuitetslånet. Dei får likevel eit brev frå banken om at den årlege renta er sett opp, og at kvart terminbeløp no vil lyde på 116 000 kr. Finn den nye renta. Oppgåve 1.187

Ketil har inngått ein avtale med banken «Sparebluss». Han set kvar månad 500 kr inn på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,15 %. a) Kor mykje pengar er det på kontoen like etter at innskot nummer 36 er sett inn? b) Ketil trur han har minst 30 000 kr på kontoen før det har gått 5 år. Gjer utrekningar og finn ut om Ketil har rett. Da Ketil inngjekk avtalen med «Sparebluss», vurderte han heller å spare 500 kr kvar månad i aksjefondet «Aksjespar». Da ville han like etter at beløp 36 var sett inn, hatt 20 000 kr i dette fondet. c) Kva måtte den månadlege rentefoten ha vore om han skulle ha fått tilsvarande sum på ein sparekonto med fast rente? 1 | FØLGER OG REKKER

293

Oppgåve 1.188

Therese har nettopp vunne i Lotto. Ho har tre vaksne barn, og ho spanderer heile gevinsten på dei. Ho reknar ut at ho kan gi 15 000 kr i gåve til kvar av dei i 10 år framover, første gong om eitt år. Ho opprettar ein konto der ho set inn eit eingongsbeløp som skal dekke dei 10 framtidige utbetalingane. Banken gir ein årleg rentefot på 1,5 %. Kor mykje vann Therese i Lotto? Gå ut frå at ho set inn beløpet på konto i dag. Oppgåve 1.189

Eli-Trine skal kjøpe ei leilegheit, og banken har innvilga henne eit annuitetslån på 3 000 000 kr. Lånet skal ho betale tilbake med ei nedbetalingstid på 20 år, éin termin per år og ein fast årleg rentesats på 2,5 %. Første innbetaling er om eitt år. a) Kor stort blir det årlege terminbeløpet? b) Kor mykje må Eli-Trine totalt betale til banken i løpet av heile låneperioden? Eli-Trine angrar på at ho har valt annuitetslån. Rett etter at ho har betalt inn det 5. terminbeløpet, får ho gjort om lånet til eit serielån. Det står no igjen 15 årlege terminbeløp før ho er gjeldfri. Første innbetaling er om eitt år, og rentefoten er uendra. c) Kor stort årleg avdrag får ho på serielånet?

294

1 | FØLGER OG REKKER

1.9 UENDELEGE REKKER

Oppgåve 1.190

Finn summen av den uendelege geometriske rekka. 1 1 1 a) 1 4 16 64 2 3 9 27 b) 5 10 40 160 1 c) 3 3 1 3 d) 1 0,80 0,64 Oppgåve 1.191

Undersøk om den geometriske rekka konvergerer, og finn eventuelt summen av denne rekka. a) 100 50 25 b) 2 2 1,05 2 1,052 c) 10 11 12,1 … d) 4 2 2 2 … Oppgåve 1.192

a) Finn summen av dei 20 første ledda i rekka. 1) 100 80 64 51,2 … 2) 1 1,8 2,6 3,4 … b) Undersøk om dei uendelege rekkene i oppgåve a konvergerer. Finn eventuelt summen. Oppgåve 1.193

Sirklane på figuren fortset i det uendelege. Dei har diametrane 16, 8, 4 osv. Diameteren i kvar sirkel er halvparten av diameteren i den føregåande. Finn summen av areala av alle sirklane.

Oppgåve 1.194

Oppgåve 1.197

Sebastian skal sette opp eit gjerde. Han må da slå ned nokre pålar med slegge. Med det første slaget får han ein påle 5,00 cm ned i jorda. For kvart nytt slag blir lengda redusert med 8 %. a) Kor langt ned i jorda går ein påle på det 10. slaget? b) Kor langt ned i jorda har ein påle komme etter 9 slag? c) Sebastian har som mål at pålen skal 70 cm ned i jorda. Kan han nå målet sitt?

Frå eit kjernekraftverk får vi ein bestemt radioaktiv isotop som avfall. Denne isotopen blir broten ned med 5 % kvart år. Ein masse m av isotopen blir da på x år redusert til m 0,95x. a) Kor mykje er det igjen av isotopen etter 15 år viss m 4,0 kg?

Oppgåve 1.195

I ein tablett av eit legemiddel er det 1,2 mg av eit giftstoff. Kari tar ein slik tablett kvar dag. Kvar dag bryt kroppen ned 15 % av giftmengda. Dersom den samla giftmengda kjem over 8 mg, er det helseskadeleg. a) Kor mykje giftstoff har Kari i kroppen rett før ho skal ta den 3. tabletten sin? b) Kor mykje giftstoff har Kari i kroppen rett etter at ho har tatt den 10. tabletten sin? c) Finn ut om denne doseringa er helseskadeleg over tid.

Vi reknar med at kjernekraftverket ved slutten av kvart år har produsert 4,0 kg nytt radioaktivt avfall av denne isotopen. b) Forklar at den totale mengda avfall i kilogram etter 20 år er s20 4,0 1 0,95 0,952 · · · 0,9519 c) Rekn ut s20. d) Korleis går det med den totale massen av denne isotopen etter kvart som tida går? Grunngi svaret. Oppgåve 1.198

Nokre elevar har hengt eit lodd i ei fjør i taket. Dei trekker i loddet og slepper det. Dei vil finne ut kor langt loddet da beveger seg før det fell til ro. Dei finn at samla lengde i centimeter er tilnærma gitt ved rekka 50 50 0,905 50 0,9052

Oppgåve 1.196

Ein tablett inneheld ei viss mengde av eit verksamt stoff. Kvar dag bryt kroppen ned 40 % av denne stoffmengda. Gunnar tar éin slik tablett kvar dag. Kroppen hans skal ikkje ha meir enn 8 mg av det verksame stoffet. Kva er da den maksimale mengda kvar tablett kan innehalde?

a) b) c) d)

Kva for type rekke er dette? Forklar! Finn summen av dei 10 første ledda. Undersøk om rekka konvergerer. Kor langt beveger loddet seg til saman før det fell til ro?

1 | FØLGER OG REKKER

295

BLANDA OPPGÅVER

Oppgåve 1.203

Figuren nedanfor viser eit mønster som representerer figurtala f1, f2, f3 og f4.

Oppgåve 1.200

I ei talfølge er dei to første ledda a1 3 og a2 5. Resten av ledda er gitt ved an

an – 1 2 an – 2

Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga. Oppgåve 1.201

Den engelske matematikaren John Wallis gav i 1656 ut ei bok der han kom med denne formelen: S

4 16 36 64 3 15 35 63

a) Skriv av og sett inn verdiar i tabellen nedanfor. Figurnummer, n

Antal prikkar, fn

9 17

b) Finn ein eksplisitt formel for fn.

a) Finn den neste faktoren i formelen. b) Finn ein eksplisitt formel for den 4 . n-te faktoren an der a 1 3

Figuren nedanfor viser nokre kuler som er lagde oppå kvarandre slik at kvart lag frå toppen og nedover dannar trekanttala 1, 3, 6 osv.

Oppgåve 1.202

Maria lagar figurar etter eit bestemt mønster. Nedanfor ser du m1, m2 og m3.

a) Kor mange ruter er det i m4? b) Kor mange ruter tippar du det er i m10? c) Finn kor mange ruter det er i mn. d) Bruk det uttrykket du fann i oppgåve c, til å rekne ut kor mange ruter det er i m10. Korleis stemmer dette med det du tippa i oppgåve b?

296

1 | FØLGER OG REKKER

c) Skriv av og sett inn verdiar i tabellen nedanfor, der n er talet på lag frå toppen og nedover og Sn er summen av talet på kuler i desse laga. Talet på lag, n

Summen av kuler, Sn

d) Sjå etter mønster og gjett på ein formel for Sn. Bruk regresjon viss du ikkje finn fram til ein formel på ein annan måte.

Oppgåve 1.204

Oppgåve 1.208

I talfølga 1, 4, 11, 31, } er det n-te leddet det minste heiltalet m som er slik at m 1 t n. ¦ i 1 i a) Skriv eit program du kan bruke til å finne dei neste ledda i følga. b) Bruk regresjon for å finne ein tilnærma formel for an.

Finn summen av dei 200 første ledda i rekka

Oppgåve 1.205

a) Finn ein eksplisitt formel for det n-te leddet i talfølga. b) Finn summen av dei fem første ledda ved rekning og i CAS. c) Lag eit program med Python og finn summen av dei fem første ledda. d) Bruk CAS til å finne summen av dei n første ledda i denne rekka.

a) Drøft monotonieigenskapane og finn eventuelle asymptotar til funksjonen f gitt ved f (x )

x 2 5x 1 , Df 5x 2 5

¬ª0 , o

I ei talfølge er ledda gitt ved an

n2 5n 1 for n 1, 2, 3, } 5n2 5

2 5 8 11 14 … Oppgåve 1.209

Vi har gitt talfølga 1 1 1 1 1, , , , ,... 2 4 8 16

Oppgåve 1.210

Figuren viser tre rekker med fyrstikkhus.

b) Kva er det største leddet i følga? c) Bestem grenseverdien lim an . n of

d) Vis at følga er minkande. 1 e) Forklar at an ! for alle n. 5 Oppgåve 1.206

I ei aritmetisk rekke er summen av dei n første ledda sn 3n2 2n Finn ein eksplisitt formel for det n-te leddet i rekka. ▲ 1.2

Oppgåve 1.207

I ei aritmetisk talfølge er dei tre første ledda x 5, 15 og 6x 4. Finn x.

a) Kor mange fyrstikker er det i ei rekke med 10 slike hus? b) Kor mange fyrstikker er det i ei rekke med n slike hus?

1 | FØLGER OG REKKER

297

Oppgåve 1.211

Oppgåve 1.214

Ei aritmetisk rekke a1 a2 … an har summen 1 sn n 9n 7 2

Denne oppgåva er henta frå skriftene til den indiske matematikaren Bhaskara, som levde på 1100-talet.

Bestem a5 Oppgåve 1.212

Nyttårsaftan bestemte Petra seg for å slutte å røyke. Ho har til no røykt 600 sigarettar i månaden. Frå nyttår vil ho redusere forbruket med 50 sigarettar per månad. a) Kor mange sigarettar røyker ho da i oktober? b) Kor mange månader tar det for Petra å slutte å røyke? c) Kor mange sigarettar har ho røykt i alt frå nyttår til ho sluttar å røyke? Oppgåve 1.213

Monika har begynt å trene med ergometersykkel kvar dag. Den første veka syklar ho til saman 20 km. Deretter syklar ho 0,8 km lenger for kvar ny veke. a) Kor langt syklar Monica den 21. veka? b) Kor mange veker går det før Monika har eit gjennomsnitt på 4,8 km per dag? c) Monika held på med dette treningsprogrammet eit halvt år. Kor langt syklar ho til saman dette halve året?

298

1 | FØLGER OG REKKER

På ein ekspedisjon for å fange elefantane til fienden marsjerte ein konge 2 mil den første dagen. Sei meg, kloke reknemeister, kor mykje auka han marsjlengda med dagleg når han på 1 veke nådde byen til fienden, som låg 80 mil borte?

Oppgåve 1.215

I ei aritmetisk rekke er a1 a2 a3 126. Bestem a2. Oppgåve 1.216

I ei aritmetisk rekke er det tiande leddet 19. Summen av dei 100 første ledda er 7975. Kva er ledd nummer 1000 i rekka? Oppgåve 1.217

Vis at a) 1) 1 3 5 · · · 2n 1 n2 2) 2 4 6 · · · 2n n2 n b) Forklar at vi kan sannsynleggjere formlane i oppgåvene ovanfor ved hjelp av desse mønstera:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

2 + 4 + 6 + 8 = 42 + 4

c) Finn summen av dei 500 første positive oddetala. Løys oppgåva ved rekning, i CAS og ved programmering. d) Finn summen av dei 500 første positive partala. Løys oppgåva ved rekning, i CAS og ved programmering.

Oppgåve 1.218

Oppgåve 1.220

Figurtal er ei talfølge som vi får fram ved å ordne for eksempel kuler etter eit bestemt system. Trekanttala er eit eksempel på figurtal. Her er dei minste trekanttala:

Tom skal kjøpe seg ein liten hybel. Banken gir han eit serielån på 800 000 kr. Lånet har 5,0 % etterskotsrente per år og éin termin i året. a) Finn årlege avdrag når nedbetalingstida er 20 år. b) Finn rentebeløpa og terminbeløpa for dei to første åra. c) Finn terminbeløpet etter 12 år. d) Finn kor mykje Tom må betale i alt på dei 20 åra. Kor mykje betaler han i renter?

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

a) Finn trekanttala T5 og T6 og forklar kvifor trekanttala er summen av ledda i ei rekke. b) Vis at Tn

n (n 1) 2

c) Sjå på summen av to trekanttal som følger etter kvarandre. Kva for regel ser ut til å gjelde? Korleis kan du bruke kulene til å vise at regelen er rett? d) Bevis ved hjelp av formelen i oppgåve b at regelen er rett. ▲ 1.4

Oppgåve 1.219

Petter låner 1 500 000 kr til kjøp av ny leilegheit. Lånet er eit serielån med 4,5 % etterskotsrente per år og med éin termin i året. Dei årlege avdraga er på 60 000 kr. a) Finn rentene og terminbeløpa for kvart av dei to første åra. b) Kor lenge vil Petter ha lånet? c) Finn det 16. terminbeløpet. d) Kor mykje vil Petter betale til saman på dette lånet i løpet av låneperioden? Kor mykje renter vil han betale i alt?

Oppgåve 1.221

Ivan skal ta opp eit serielån på 1 500 000 kr. Den årlege renta er 3,2 %. Kor mange årlege terminar må lånet minst ha viss Ivan maksimalt kan betale 110 000 kr per år i terminbeløp? Oppgåve 1.222

Grete har tatt opp eit serielån. Finn lånebeløpet, antal årlege terminar og den årlege renta for lånet når du får vite at • restlånet rett etter 1. termin er 78 750 kr • restlånet rett etter 2. termin er 67 500 kr • ved 1. termin var avdraget 10 gonger større enn rentene Oppgåve 1.223

Hans har tatt opp eit serielån som han skal betale tilbake med årlege terminar. Finn antal terminar og den årlege renta for lånet når du får vite at rentene utgjer 37,5 % av det første terminbeløpet og 36 % av det andre terminbeløpet.

1 | FØLGER OG REKKER

299

Oppgåve 1.224

Oppgåve 1.228

Vi tar opp eit serielån på B kr med n terminar. Renta er p % per termin. Vis at dei totale rentene i kroner blir

Ein familie skal låne 2 millionar kroner. Lånet er eit annuitetslån over 25 år med éin termin i året og ei årsrente på 3,8 %. Første innbetaling er om eitt år. a) Finn det årlege terminbeløpet. b) Familien klarer ikkje å betale meir enn 115 000 kr i terminbeløp kvart år. Banken justerer derfor låneperioden slik at det nye terminbeløpet blir 115 000 kr. Kor lang blir låneperioden etter denne justeringa?

n 1 p 2 100

▲ 1.5

Oppgåve 1.225

Dagros er sjuk og treng behandling. Første dagen får kua 8 g av ein bestemt medisin, og deretter blir dosen halvert for kvar dag. Sett opp eit uttrykk som viser kor mange gram medisin Dagros har fått i alt på ei veke. Oppgåve 1.226

I ei geometrisk talfølge er det første leddet x, det tredje leddet x 2 og det femte leddet x 5. Alle ledda er positive tal. Finn x og dei fem første ledda i talfølga. ▲ 1.6

Oppgåve 1.227

Pernille låner 1 500 000 kr til kjøp av ny leilegheit. Lånet er eit annuitetslån med 4,5 % etterskotsrente per år og éin termin i året. Det første avdraget er på 33 659 kr. a) Finn terminbeløpet og det andre avdraget. b) Kor mykje betaler Pernille til saman på dette lånet i løpet av heile låneperioden? c) Banken vil sette opp renta på lånet til 5,5 % etterskotsrente per år før låneperioden begynner. Finn det nye terminbeløpet.

300

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.229

Familien Husnes låner 2 500 000 kr for å kjøpe hus. Lånet er eit annuitetslån med 3,5 % etterskotsrente per år og 20 års nedbetalingstid. Lånet har éin termin per år. a) Finn terminbeløpet. b) Kor mykje betaler familien Husnes i rente og i avdrag i kvart av dei to første åra? c) Kor mykje betaler familien til saman i løpet av 20 år? Oppgåve 1.230

Hulda har lyst på ein ny salong i stua. Ho kan velje mellom å betale 25 000 kr kontant og 500 kr per månad i 5 år. Viss ho vel avbetaling, skal ho betale det første beløpet om 1 månad. Vi reknar med 0,4 % rente per månad. a) Kva er noverdien av det første beløpet? b) Finn summen av alle noverdiane. c) Bør Hulda velje avbetaling eller kontant betaling?

Oppgåve 1.231

Oppgåve 1.233

Olai har nettopp fylt 18 år og fått seg sertifikat. Han har fått tilbod om å kjøpe onkelen sin gamle velhaldne Volvo Amazon 122 Sport. Da kan han velje mellom å betale 40 000 kr kontant eller 1800 kr per månad i to år. Det første beløpet skal han betale inn ein månad etter at han har overtatt bilen, og kalkulasjonsrenta blir sett til 0,5 % per månad. a) Finn ved rekning om det lønner seg for Olai å velje kontant betaling eller månadleg avbetaling. b) Olai er god i matematikk og legg fram ein ny avbetalingsplan for onkelen. Her foreslår han same månadlege beløp over to år, men den første innbetalinga skal da vere om seks månader. Korleis fell denne planen ut samanlikna med å betale 40 000 kr kontant? c) Kva for kalkulasjonsrente må vi legge til grunn i oppgåve a for at avbetaling og kontantbetaling skal falle likt ut?

Pelle Pirat vil spare pengar. Kvart år i 10 år framover set han inn 50 000 kr på ein sparekonto. Han forventar at den årlege avkastninga vil vere 5 % i heile perioden. a) Finn kor mykje Pelle har på kontoen like etter siste innbetaling. b) Pelle vurderer ulike alternative måtar å disponere pengane på. Den årlege avkastninga blir sett ved alle alternativa til 5 %.

Oppgåve 1.232

Etter vidaregåande har Pål tenkt å legge ut på ei jordomsegling. Til dette treng han eit lån på 500 000 kr. Han tar opp eit annuitetslån med 6,0 % etterskotsrente per år og éin termin i året. Nedbetalingstida er 15 år. a) Vis at terminbeløpet blir 51 481,38 kr. b) Kor mykje måtte etterskotsrenta ha vore for at han – med elles dei same vilkåra som er skisserte innleiingsvis i oppgåva – skal kunne ta opp eit lån på 550 000 kr? Terminbeløpet skal framleis vere 51 481,38 kr.

Alternativ 1 Pelle tar ut det oppsparte beløpet i 10 like store beløp. Det første beløpet tar han ut same dag som han har gjort det siste innskotet. Kor stor blir den årlege utbetalinga? Alternativ 2 Pelle bruker det oppsparte beløpet til å opprette eit fond. Fondet skal kvart år betale ut eit fast beløp til Pelles sjørøvarklubb. Den første utbetalinga er same dag som han har gjort det siste innskotet. Desse utbetalingane skal fortsette i all framtid. Kor stor blir den årlege utbetalinga? Alternativ 3 Pelle tar ut 20 000 kr om nøyaktig 10 år. Deretter aukar han det årlege uttaksbeløpet med 10 % kvart år. Alle uttaka skjer på same tidspunkt som ovanfor. Når er kontoen til Pelle tom?

1 | FØLGER OG REKKER

301

Oppgåve 1.234

Oppgåve 1.235

For eit annuitetslån med lånebeløpet L, terminbeløpet T, antal terminar n og vekstfaktoren v til terminrenta, er

Finn summen av talrekka.

1 n L T v v 1 1

Maryam meiner ho ikkje klarer å betale eit terminbeløp på meir enn 120 000 kr. Ho ser derfor på tre moglegheiter: Redusere lånebeløpet, betale over fleire terminar, og forhandle seg til ei lågare årleg rente. Vi ser først på kva som skjer viss Maryam reduserer lånebeløpet. b) Bruk formelen til å finne lånebeløpet L når T 120 000 kr, n 20 og v 1,029, og forklar at dette er det største beløpet Maryam kan låne. Vi ser no på kva som skjer viss ho betaler over fleire terminar. c) Vis at vi kan skrive formelen slik: lnT ln T L v 1 ln v

d) Kor mange år må Maryam minst betale lånet over viss ho betaler over fleire terminar? Vi ser til slutt på kva som skjer viss Maryam forhandlar seg til ei lågare rente. e) Bruk formelen og finn den årlege renta. ▲ 1.8

302

16 64 ... 5 25

Oppgåve 1.236

Maryam ønsker ta opp eit annuitetslån på 2 000 000 kr. Ho har fått eit tilbod om eit lån som ho skal betale over 20 år med éin årleg termin, ei årleg rente på 2,90 % og eit terminbeløp på 133 192 kr. a) Kontroller at tala passar i formelen.

5 4

1 | FØLGER OG REKKER

Undersøk om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen. a) 540 360 240 160 … b) 512 576 648 729 … c) 512 512,1 512,2 512,3 … Oppgåve 1.237

a) Finn summen av dei 10 første ledda i rekka 16 24 32 40 … b) Vis at den uendelege rekka 54 36 24 16 … konvergerer, og finn summen. Oppgåve 1.238

Ei rekke er gitt ved 1 5 9 13 … a) Finn ledd nr. 20 i rekka. b) Finn summen av dei 20 første ledda. c) Kor mange ledd må vi ta med for at summen skal bli 703? Vi ser no på rekka 1 1 2 4 … 2 3 9 27 d) Finn ein formel for summen av dei n første ledda i rekka. e) Bruk formelen i oppgåve d til å vise at rekka konvergerer. f) Finn summen av den uendelege rekka.

eit areal på 16 cm2. Du får det neste kvadratet ved å trekke sambandslinjer mellom midtpunkta på dei fire sidene.

Oppgåve 1.239

Vi har gitt rekka 4 2 2 2 2 … a) Vis at rekka er geometrisk. b) Forklar kvifor rekka konvergerer. c) Vis at summen av den uendelege rekka er 8 4 2 . Oppgåve 1.240

Vi har gitt rekka 1 2 3 … a) Finn summane s1, s2, s3 og s4. b) Nedanfor er det tre rektangel som er inndelte i kvadratiske ruter.

Finn summen av areala av alle kvadrata ved rekning og ved hjelp av figuren.

Oppgåve 1.242

Vi skal betale tilbake eit lån. Avdraget det første året skal vere a1 8000 kr. Deretter skal dei årlege avdraga auke med 800 kr heilt til lånet er nedbetalt. Vi betaler inga rente. a) Kor stort avdrag betaler vi på lånet det tiande året? b) Kor mykje betaler vi ned på lånet dei første ti åra? c) Lånet var på 250 000 kr. Kor mange år vil det ta før heile lånet er nedbetalt?

1 2 3 1 2 3 4

Teikn rektangla. Skraver så mange ruter i kvar rad som talet framfor rada seier. c) Vis at 1 2 3 ... n =

n(n 1) 2

d) Forklar korleis vi kan bruke rektangla i oppgåve b til å utleie formelen i oppgåve c. Oppgåve 1.241

Figuren i høgre spalte viser dei fem første av uendeleg mange kvadrat. Det første kvadratet er det ytste. Det har

Oppgåve 1.243

Mari treng dagleg tilførsel av eit bestemt legemiddel. Kroppen hennar skal ikkje ha meir enn 10 mg av eit stoff som finst i dette legemiddelet. Legemiddelet er i tablettform, og ho tar éin tablett per dag. Kvar tablett inneheld 0,6 mg av dette stoffet. Kor mange prosent av stoffet bør kroppen hennar bryte ned kvar dag for at éin tablett om dagen skal vere forsvarleg?

1 | FØLGER OG REKKER

303

Oppgåve 1.244

Oppgåve 1.246

Erke har bygd mange forskjellige sandslott som er plasserte på ei rekke ved sida av kvarandre. Slottet som står lengst til venstre, er høgast. Deretter minkar høgda for kvart slott slik at ho er 80 % av høgda på det slottet som står nærmast. a) Kor mange slott har Erke sett opp når det høgaste slottet er 1,00 m og det minste 0,21 m høgt? b) Tenk deg at alle slotta i oppgåve a blei sette oppå kvarandre som eit stort slott. Kor høgt blei dette slottet? c) Erke fortset å bygge sandslott etter det same systemet. Undersøk kor høgt sandslottet kan bli viss vi tenker oss at alle slotta stod oppå kvarandre.

Ei bedrift har fått løyve til å sleppe ut 500 kg gift per døgn i ein innsjø. Av forskjellige årsaker forsvinn 7 % av gifta i innsjøen per døgn. a) Kor mykje er det igjen av den første giftmengda på 500 kg etter 3 døgn? b) Forklar at rett etter det femte utsleppet er den totale giftmengda i innsjøen gitt ved

Oppgåve 1.245

a) Severin låner eit større pengebeløp av Severine. Lånet skal Severine betale tilbake over tre år, med éi innbetaling i året og første gong om eitt år. Med ei kalkulasjonsrente på 5 % per år må Severin årleg betale 33 049 kr til Severine. Finn noverdien av 33 049 kr når beløpet skal betalast om 1) eitt år 2) to år 3) tre år b) Kor mykje pengar lånte Severin av Severine? c) Severin får høyre at han kan låne 60 000 kr i «all æve» til 5 % rente per år ved å betale 3000 kr kvart år, første gong om eitt år. Finn ut korleis dette heng saman.

500 500 0,93 500 0,932 500 0,933 500 0,934

c) Finn summen av rekka i oppgåve b. d) Kor mykje gift vil det maksimalt vere i innsjøen etter lang tid med daglege utslepp? e) Testar tatt etter akkurat 10 utslepp viser at bedrifta slepper ut meir enn tillate. Måleresultat viser at det var ca. 5,9 tonn med gift i innsjøen på det tidspunktet. Kva for eit dagleg utslepp med konstant giftmengde svarer dette til? Oppgåve 1.247

Ein tablett av eit legemiddel inneheld 0,8 mg av eit giftstoff. Ein pasient tar éin slik tablett kvar dag. Kvar dag bryt kroppen ned 12 % av giftmengda. Dersom den totale giftmengda i kroppen kjem over 7 mg, vil det vere skadeleg for pasienten. Undersøk om doseringa er akseptabel. Oppgåve 1.248

Finn ein formel for summen av dei n første ledda i rekka 2 6 18 54 …

304

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.249

Oppgåve 1.251

a) Nedanfor ser du eit kvadrat med sider 1.

Vi har gitt den uendelege rekka

1 2

1 4

G F

1 4

1 C

1 2

I kvadratet er det teikna inn ei rekke rettvinkla trekantar med areala A, B, C, D, E, F og G. Finn areala av trekantane og sett svara opp som ei rekke i denne rekkefølga: A (B C) D (E F) G. b) Forklar korleis vi kan finne summen av rekka 1 1 1 1 1 . . . 2 4 8 16 32 ved hjelp av trekantar i kvadratet. Oppgåve 1.250

Vi har gitt den uendelege rekka 4 3

4 5

4 7

4 a) Skriv opp eit uttrykk for ledd nummer n, an, i denne rekka. b) Lag eit program med Python som reknar ut summen av dei n første ledda i rekka. c) Bruk programmet til å finne ein tilnærmingsverdi for summen S av den uendelege rekka. Kva trur du den eksakte verdien er? d) Bruk CAS til å finne S.

1 1 1 1! 2 ! 3!

der 1! 1, 2! 2 1, 3! 3 2 1, osv. a) Skriv opp eit uttrykk for ledd nummer n, an, i denne rekka. b) Lag eit program med Python som reknar ut summen av dei n første ledda i rekka. c) Bruk programmet til å finne ein tilnærmingsverdi for summen S av den uendelege rekka. Kva trur du den eksakte verdien er? d) Bruk CAS til å finne S. Oppgåve 1.252

Da Olav blei fødd, blei det oppretta ein spareavtale. Foreldra kunne velje mellom desse to alternativa: Alternativ 1: Kvar månad set dei inn 300 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,10 %. Frå og med innskot nr. 21 blir den månadlege rentefoten auka til 0,15 %. Alternativ 2: Kvar månad set dei inn 300 kr på ein konto med ein fast månadleg rentefot på 0,15 %. Frå og med innskot nr. 21 blir den månadlege rentefoten redusert til 0,10 %. a) Kva for eit alternativ bør foreldra velje for at sparesummen skal vere hø-gast mogleg like etter innskot nr. 40? b) Kva for eit alternativ bør foreldra velje for at sparesummen skal vere høgast mogleg like etter innskot nr. 30?

1 | FØLGER OG REKKER

305

Oppgåve 1.253

Oppgåve 1.255

a) Finn summen av den uendelege rekka

Ein snigel beveger seg med konstant fart på 2 m/s i eit koordinatsystem med meter på aksane og legg igjen eit grønt slimspor etter seg. Han startar i punktet A0 0, 0 og går rett fram til A1 1, 0 . Der vender han 90q mot venstre og går 0,9 m til A2 1, 0,9 . Dette mønsteret gjentar seg: Snigelen vender 90q mot venstre og går 90 % av den førre rette strekningen han gjekk, og slik fortset han. Kor lang tid kan snigelen fortsette å bevege seg etter denne regelen, og kva er koordinatane til punktet snigelen endar i?

1 1 1 ... 2 1, 04 1, 04 1, 043 b) Oline har lånt ein million kroner i ein bank for å pusse opp huset. Lånet er eit annuitetslån med éin termin i året. Ho har inngått ein spesialavtale med banken der ho skal ha lånet til «evig tid» og betale fast 4 % i rente per år. Første termin er om eitt år. Finn terminbeløpet som Oline må betale. c) Oline får likevel eit nytt tilbod frå banken på det «evige» annuitetslånet sitt. Viss ho betaler eit terminbeløp på 3000 kr per månad, får ho justert ned lånerenta. 1) Kor mange prosent rente betaler ho per månad viss ho tar imot dette tilbodet? 2) Kva for årsrente svarer denne månadsrenta til?

y 1

A3 = (0,19, 0,9)

A2 = (1, 0,9)

0,8 0,6 0,4 0,2

A4 = (0,19, 0,171)

A = (0, 0) 0 0 0,2 0,4

0,6

A1 = (1, 0) x 0,8

Oppgåve 1.254

a) Det aritmetiske gjennomsnittet av to a b tal a og b er . 2 Vis at alle ledda (bortsett frå det første) i ei uendeleg aritmetisk følge er det aritmetiske gjennomsnittet av leddet framfor og leddet etter. b) Det geometriske gjennomsnittet av to positive tal a og b er a b . Vis at alle ledda (bortsett frå det første) i ei uendeleg geometrisk følge med berre positive ledd er det geometriske gjennomsnittet av leddet framfor og leddet etter.

306

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.256

Ei uendeleg geometrisk rekke er gitt ved 1 k k 2 } Ei anna uendeleg geometrisk rekke er gitt ved 2 2m 2m2 } a) Vis at dersom dei to rekkene har same sum, er m 2k 1. b) Vis med eit eksempel at rekkene ikkje nødvendigvis har same sum sjølv om m 2k 1.

Oppgåve 1.257

Oppgåve 1.259

a) Forklar at vi kan skrive desimaltalet d 0,272727} som den uendelege geometriske rekka

Vi har gitt to tal a og b som er slik at a ! b ! 0. a) Forklar kvifor det finst nøyaktig to konvergente uendelege geometriske rekker med første ledd a og tredje ledd b.

27 27 27 } 102 104 106

b) Vis at summen av den uendelege 3 geometriske rekka er , og at derfor 11 3 . er d 11

c) Bruk eit tilsvarande argument til å skrive dei uendelege desimaltala 1,23454545… og 0,999… som rasjonale tal. Oppgåve 1.258

I ei uendeleg geometrisk følge a1, a2, a3, } er både a1 og kvotienten k positiv. Vi dannar ei ny følge ved å la bn ln an. a) Vis at følga b1, b2, b3, } er aritmetisk. Kva er differansen til følga? b) Gjeld det same dersom a1 eller k ikkje er positive?

Vi lagar ei ny uendeleg geometrisk rekke med første ledd 2a og andre ledd 2b. b) Forklar at den nye rekka er konvergent. Vi kallar summen av dei to rekkene i oppgåve a for S og T, og summen av rekka i oppgåve b for U. c) Vis at S T U. Oppgåve 1.260

Finn eit uttrykk for summen av dei n første ledda i rekka 3 4 5 ln 2 ln ln ln } 2 3 4 og vis at rekka divergerer.

Vi ser no berre på dei følgene a1, a2, a3, } f

som er slik at ¦ an 1. n 1

c) Bestem k uttrykt ved n når summen b1 b2 } bn skal vere størst mogleg.

Oppgåve 1.261

I eit koordinatsystem har vi gitt punktet O 0, 0 og ei følge av punkt ved Pn n 1 , n 1, 2, 3, } Vi definerer ei følge av vinklar ved vn Pn , O, Pn 1 . Teikn dei første punkta og vinklane i følgene, og bruk eit geometrisk argument for å bestemme N

lim ¦ vn

N of

n 1

Oppgåve 1.262

Skriv det uendelege produktet 1

8 4 816 8 64 } så enkelt som mogleg. ▲ 1.7

1 | FØLGER OG REKKER

307

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 1.300

Tenk deg at du har planta ein plante. Vi tenker oss at greinene veks horisontalt eller vertikalt, slik figuren nedanfor viser. Det første året veks han 100 cm. Det andre året veks det i toppen ut tre greiner som kvar er 30 cm lange. Det tredje året veks det i spissen av kvar grein ut tre nye greiner, som 2 kvar er 30 cm 12 cm. Slik fortset det vidare kvart år, slik at lengda av 5 2 kvar ny grein er av lengda av den føregåande greina. 5

År 1

År 2

År 3

År 4

a) Finn ut mest mogleg om korleis høgda og breidda av planten utviklar seg. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse om følger og rekker. b) Finn ut mest mogleg om korleis den samanlagde lengda av planten og alle greinene utviklar seg. Oppgåve 1.301

Vi ser på den uendelege rekka 1 1 1 ... 3 9 27 Forklar korleis vi kan finne summen ved hjelp av figuren nedanfor. 1 9

1 27

1 3

308

1 | FØLGER OG REKKER

Oppgåve 1.302

Mellom hjørna i ein firkant kan vi trekke seks forskjellige rette linjestykke som vist på denne figuren: 3 5 4

6 1

Finn ein formel som viser samanhengen mellom antalet linjestykke y i ein n-kant og antalet hjørne n-kanten har. Oppgåve 1.303

I 2020 blei det født 52 979 barn i Noreg. I 2010 blei det født 61 442 barn. Gå ut frå at fødselstalet har minka med den same prosenten per år i denne perioden, og at utviklinga fortset slik også etter 2020. Finn ut mest mogleg om korleis fødselstalet utviklar seg etter 2020. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse om følger og rekker. Oppgåve 1.304

Bruk beskrivinga av følgene til å beskrive dei på fire andre måtar. Listeform

Eksplisitt Rekursiv Beskriving formel formel med ord

Grafisk beskriving

an 1, 3, 5, 7, } bn cn

bn 2n cn 1 cn for n t 1 og c1 1 dn er det n-te kvadrattalet

en 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

n 1 2 3 4 5 6 7

1 | FØLGER OG REKKER

309

Oppgåve 1.305

Dei naturlege tala frå og med 1 til og med n er skrivne på kvar sin lapp. For kva for nokre n er det mogleg å fordele lappane i to bunkar slik at det er like mange lappar i kvar bunke og summen av tala på lappane i kvar bunke er den same? Oppgåve 1.306

Beskriv likskapar og forskjellar mellom dei tre talfølgene gitt ved • an 2n for n t 1 • bn 2 bn 1 for n t 2 og b2 4 • cn 1 cn 2n for n t 1 og c1 2 Oppgåve 1.307

I denne oppgåva skal du finne ein formel for summen sn av dei n minste kvadrattala ved blant anna å bruke at summen av dei n minste naturlege 1 tala er n n 1 . 2

Som eit eksempel finn vi summen s5 12 22 32 42 52 av dei fem minste kvadrattala. a) Forklar at s5 er lik summen av tala i trekanten nedanfor. 1 2 3 4 5

2 3

4 5

3 4

4 5

b) Studer figuren nedanfor og bruk han til å forklare at 3 s5 15 11. 1 2 3 4 5

3 4

5 2

4 3

4 5

+ 4

2 5

4 3

5 5

4 3

+ 5

5 5

c) Bruk eit tilsvarande argument til å vise at 3 s8

· §1 ¨ 2 8 9¸ 2 8 1 © ¹

d) Finn ein formel for sn.

310

1 | FØLGER OG REKKER

4 4

11 4

3 3

= 2

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

Oppgåve 1.308

Spel dette spelet med nokre andre elevar i klassen: Alle spelarane skriv talet 5 på kvart sitt ark. Ein spelar får a b poeng ved å stryke ut eit tal på arket og erstatte det med to naturlege tal a og b som har same sum som talet som blei strøke ut. Spelaren som samlar flest poeng totalt, vinn. Eksempel:

5 3 2 · 1 = 2 poeng

2 1 11

3 · 2 = 6 poeng 1 · 1 = 1 poeng

1 · 1 = 1 poeng 6 + 1 + 2 + 1 = 10 poeng =

No er det berre 1-tal på arket, og det er derfor ikkje mogleg å erstatte fleire tal. Spelaren får 3 2 1 1 2 1 1 1 10 poeng. Finst det nokon strategiar som er betre enn andre? Kva viss spelet startar med eit anna naturleg tal enn 5? Oppgåve 1.309

Når vi reknar med renter, bruker vi nokre gonger tilnærminga månadsrentefot |

årsrentefot 12

Dette er ei ofte god tilnærming, men det er ikkje heilt nøyaktig (sjå side 30). Gjer berekningar og gi ei vurdering av kor god tilnærminga er. Oppgåve 1.310

Vurder denne påstanden: «Viss vi samanliknar eit serielån og eit annuitetslån der lånebeløp, antal terminar og rente er like, vil dei samla rentene alltid vere størst for annuitetslånet.»

1 | FØLGER OG REKKER

311

Oppgåve 1.311

Thea har fått tilbod om eit annuitetslån. Ho har laga eit rekneark for å forstå lånet. Her ser du byrjinga av reknearket og ei formelutskrift. Rekneark med tal:

Rekneark med formlar:

a) Studer reknearket til Thea, og finn vilkåra for lånet. b) Forklar korleis reknearket fungerer, og lag eit tilsvarande rekneark med rader for alle terminane. c) Ida tok opp eit lån på 3 400 000 kr for nokre år sidan. Lånet var eit annuitetslån som ho skulle betale tilbake over 25 årlege terminar med ei årleg rente på 2,75 %. Rett etter at Ida betalte det 6. terminbeløpet, arva ho ein stor sum pengar og betalte derfor tilbake resten av lånet. Tilpass reknearket og finn ut kor mykje Ida betalte tilbake.

312

1 | FØLGER OG REKKER

Derivasjon ØV MEIR

Oppgåve 2.115

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 3 2 x . a) Finn f c( 1). b) Finn den momentane vekstfarten til f når x 0. c) Finn stigningstalet til tangenten til f i punktet 1, f(1) .

2.1 DEN DERIVERTE

Oppgåve 2.110

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 2 x 4 b) g (x ) 2 x 3 x 1 c) h(x ) x 3 2 x 2 3x 4 1 d) f (x ) 4 x 2 x 7 2

2.2 KJERNEREGELEN

Oppgåve 2.120

Finn f (x) g u(x) når a) u(x) x 1 og g(u) u3 b) u(x) x 2 2x 1 og g(u)

Oppgåve 2.111

Deriver funksjonane. a) f (x ) 5000 1, 05x b) f (x ) 20 000 0, 88 x c) f (x ) 10 x

Oppgåve 2.121

Skriv f som ein samansett funksjon. a) f (x) 1 2 x 2

Oppgåve 2.112

Deriver funksjonane. a) f (x) x 1,5 b) f (x) x 0,5 3 c) f (x) x 2 2x x 1 2 d) f (x) x 2 x

b) f (x)

Bruk kjerneregelen og finn f c(x). 2 a) f (x) 3x + 1 2 b) f (x) 5x 1 3 c) f (x) 1 x Oppgåve 2.123

Finn f c(x) når

c) f (x)

b) f(x) d) f(x)

Oppgåve 2.114

Deriver funksjonane. a) f (x ) 3e x e 5e x b) g (x ) x 2 c) h(x ) 2 3x ln 3 d) i(x ) 4 x 1

2x x 2

Oppgåve 2.122

Oppgåve 2.113

a) f (x) x2,5

1 x3 x3

Bruk kjerneregelen og finn g c(x ) når g (x )

3x 1 3x 1

Undersøk om oppgåva kan løysast på ein enklare måte. Oppgåve 2.124

Deriver funksjonane. 2 a) f (x) 3x 2 1 b) f (x) 3e2x 1 3 c) f (x) 1 x 2 1 d) f (x) x 2 1 e 2 x 2 2 | DERIVASJON

313

Oppgåve 2.125

Oppgåve 2.132

Deriver funksjonane. a) f (x) x 2 4 1 b) f(x) 3 2x

Deriver funksjonane. a) f (x ) ln x

c) f (x)

1 (1 x )2

d) f(x)

2 x

Oppgåve 2.126

Vi har gitt funksjonen f (x ) e 4 x a) Vis at f kan skrivast som ein samansett funksjon med kjerne u(x) 4x og ytre funksjon g (x ) e x. b) Finn f c(x ) med kjerneregelen med kjernen og den ytre funksjonen frå oppgåve a. c) Vis at f også kan skrivast som ein samansett funksjon med kjerne u(x ) e x og ytre funksjon g (x ) x 4. d) Finn f c(x ) med kjerneregelen med kjernen og den ytre funksjonen frå oppgåve c. Får du det same svaret som i oppgåve b? Kva for metode føretrekker du?

b) f (x ) ln 1 x c) f (x )

1 x ln 1 x

Oppgåve 2.133

Vi har gitt funksjonen f (x ) ln 4 x . a) Finn f c(x ) ved å bruke kjerneregelen. b) Bruk ein rekneregel for logaritmar til å vise at vi kan skrive f (x ) ln x ln 4. c) Finn f c(x ) ved å bruke oppgåve b. Får du det same svaret som i oppgåve a? Oppgåve 2.134

I denne oppgåva er g (x ) ln x 2 4 . a) Finn den momentane vekstfarten til g når x 1. b) Kva er stigningstalet til tangenten til g i punktet 2, g (2) ? c) to punkt på grafen til g har tangenten stigningstal 0,4. Finn x-koordinatane til dei to tangeringspunkta. 2.4 DERIVASJON AV EIT PRODUKT

2.3 FUNKSJONEN f (x) = ln x

Oppgåve 2.130

Deriver funksjonane. a) f (x ) x ln x b) f (x ) ln x 1 c) f (x ) ln 1 x d) f (x ) x 2 ln 3x e) f (x ) x 3 2 x ln 2 x Oppgåve 2.131

Deriver funksjonane. a) f (x ) ln x 2 1 b) f (x ) ln 1 x

314

2 | DERIVASJON

Oppgåve 2.140

Deriver funksjonen både ved hjelp av produktregelen og ved å gonge parentesuttrykka. a) f (x ) x 3 1 x 2 2 b) f (x )

x 1 2x 1

Oppgåve 2.141

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 x 2 1 b) f (x )

x 1 ex

§1 · c) f ( x ) ¨ x 3 2 x 2 5x ¸ 3 © ¹

Oppgåve 2.142

Oppgåve 2.147

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 ln x b) f (x ) e x e x c) f (x ) (x 2 3) ln(x 2 3)

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

1 x 3 3 6x x 2 2

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 3 ln(3x 1) 2 x 1 b) f (x ) 4 x 2 e

a) Finn f c(x ) ved rekning. b) Finn ved rekning eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f . c) Teikn grafen til f og kontroller svara i oppgåve b.

Oppgåve 2.144

Oppgåve 2.148

Deriver uttrykka. 3 a) x 2 1 x

Ein funksjon f er gitt ved

Oppgåve 2.143

b) 2 x 1 e

f (x )

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 3 x 3 x 2

f c(x ) 2

b) f (x )

1 x

c) f (x )

2x 1 x 1

d) f (x )

1 x

a) Finn alle nullpunkta til f ved rekning. b) Vis ved rekning at f c(x ) er gitt ved

Oppgåve 2.145

x 1 9 x2

x 1 x2

9 x 2 5x 2 4 x 9

c) Løys oppgåve b i CAS. d) Finn ved rekning eventuelle maksimal- og minimalpunkt til f . e) Teikn grafen til f digitalt og kontroller svara i oppgåve d.

Oppgåve 2.146

Undersøk kva for nokre av desse funksjonane som har x2 4x 4 som derivert. Kommenter svaret. 3 x 2 1) f (x ) 3 2) g (x )

x 6 x 12 x 3

§x 2· 3) h(x ) 9 ¨ ¸ © 3 3¹

4) j(x )

x3 2 x 1 3

5) k(x )

x2 x 6 4x x 1 3

Oppgåve 2.149

Ei bedrift reknar med at det månadlege salet av ein populær artikkel etter x månader er gitt ved funksjonen S(x)

x 3 x 36 , 0 ≤ x ≤ 36 100

a) Finn Sc(x) og finn ut når det månadlege salet er størst. Kor stort er salet da? b) Finn Ss(x) og finn ut når det månadlege salet minkar raskast. Kor raskt minkar salet da? c) Teikn grafen til S digitalt og kontroller svara frå oppgåve a og b.

2 | DERIVASJON

315

2.5 DERIVASJON AV RASJONALE FUNKSJONAR

Oppgåve 2.150

Deriver brøkane. x ln x a) b) x ln x e

2x x

Deriver funksjonane. 2x ex 1 a) f (x ) b) f (x ) x 2x 1 e 1 x 2 x 1

e) f (x )

x3 e3x

d) f (x )

2x 2 1 x 2

Deriver funksjonane. 2 ln x 1 a) f (x ) = x2 ln(3x ) x3

c) h(x ) =

2e x

Ein funksjon f er gitt ved x2 3 x 1

a) Finn f c(x ) både ved rekning og ved å bruke CAS. b) Finn ved rekning eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f . c) Grafen til f har to asymptotar. Bestem likningane for asymptotane både ved rekning og ved å bruke CAS. d) Teikn grafen til f saman med asymptotane. 2 | DERIVASJON

16 x x2 4

Ein funksjon f er gitt ved

Oppgåve 2.154

316

f c( x )

Deriver funksjonane. e3x ln x x a) f (x ) = b) g (x ) = x ln x x

a) Finn definisjonsmengda til f . b) Rekn ut eventuelle nullpunkt til f . c) Rekn ut eventuelle asymptotar til funksjonen. d) Vis både ved rekning og i CAS at

Oppgåve 2.156

Oppgåve 2.153

f (x )

2x 2 x2 4

e) Rekn ut eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f . f) Teikn asymptotane og grafen til f digitalt.

Oppgåve 2.152

b) g (x ) =

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

Oppgåve 2.151

c) f (x )

Oppgåve 2.155

f (x )

x 1 1 x2 x3

, Df

\ ^0`

a) Finn nullpunkta ved rekning. b) Løys ulikskapen f (x ) ! 0. c) Vis både ved rekning og ved å bruke CAS at f c(x )

x 1 x 3 x4

d) Finn ved rekning eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f . e) Bestem likningane for asymptotane både ved rekning og ved å bruke CAS. f) Finn både ved rekning og digitalt likninga for tangenten til f i punktet (1, 0) g) Teikn grafen til f saman med asymptotane.

Oppgåve 2.157

Oppgåve 2.159

Ein funksjon f er gitt ved

a) Funksjonen f er gitt ved

f(x)

x2 x 1

f (x )

a) Finn nullpunktet ved rekning. b) Finn alle asymptotane ved rekning. c) Finn f c(x) og rekn ut koordinatane til toppunktet og botnpunktet. d) Teikn asymptotane og grafen til f digitalt. e) Finn digitalt og ved rekning likninga for tangenten i punktet 1, f (1) . Oppgåve 2.158

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

x2 4x , Df x2 2

a) Rekn ut eventuelle nullpunkt til f . b) Rekn ut eventuelle asymptotar til funksjonen. c) Vis ved rekning at f c(x )

4 x2 x 2 x2 2

d) Finn både ved rekning og i CAS koordinatane til toppog botnpunktet. e) Teikn asymptotane og grafen til f digitalt. f) Løys likninga

x 4

x 2

1) Finn ved rekning nullpunktet til f . 2) Finn både ved rekning og digitalt eventuelle asymptotar til f . 3) Vis at f c(x )

x 4 (x 8) (x 2)2

4) Finn ved rekning eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f . b) Ei toppidrettsutøvar deltar i ei kondisjonskrevjande øving. Pulstalet per minutt til idrettsutøvaren er t minutt etter start gitt ved P (t ) 170 10 f (t ) der f er funksjonen frå oppgåve a. 1) Kva for eit pulstal har idrettsutøvaren ved start? 2) Teikn grafen til P digitalt. 3) Finn både ved rekning og digitalt når idrettsutøvaren oppnår det høgaste pulstalet under øvinga. Kva er pulstalet per minutt da? 4) Finn grafisk og ved rekning når pulstalet er 160.

x2 4x 1 x2 2 både grafisk og ved rekning. g) Bruk grafen til f og finn kor mange løysingar likninga x2 4x x2 2

har når konstanten a varierer. 2 | DERIVASJON

317

2.6 DRØFTING AV LOGARITME- OG EKSPONENTIALFUNKSJONAR

Oppgåve 2.164

Ein funksjon f er gitt ved 2

Oppgåve 2.160

f (x ) ln x ln x , D f

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x ln x , D f

¢0, o²

a) Teikn grafen til f. b) Finn f c(x ). c) Finn ved rekning eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f.

a) b) c) d) e)

¢0, o²

Teikn grafen til f. Finn nullpunkta til f ved rekning. Finn toppunktet ved rekning. Finn vendepunktet til f. Løys likninga f (x ) 2 både digitalt og ved rekning.

Oppgåve 2.161

Oppgåve 2.165

Funksjonen f er gitt ved

Rett etter midnatt kom det eit kraftig regnvêr i nærleiken av ei stor elv. x timar etter midnatt var vasstanden i elva f(x) cm over det normale, der

f (x ) x 2 3 ln x , D f

¢0, o²

a) Teikn grafen til f og finn nullpunkta til f digitalt. b) Finn f c(x ) og rekn ut koordinatane til eventuelle toppog botnpunkt. Oppgåve 2.162

Finn vendepunktet til funksjonen f. 1 a) f (x ) e x x 2 2 b) f (x ) 2 x 2 e 2 x

f (x ) 15 ln x 45 ln x , x ª¬1, 21 a) Finn ved rekning når vasstanden var på det høgaste. Kor mange centimeter over det normale var vasstanden da? b) Når var vasstanden tilbake til det normale?

Oppgåve 2.163

Funksjonen f er gitt ved f (x ) ln x 2 1 1 a) Finn nullpunkta til f ved rekning. b) Vis at f c(x )

2x x2 1

c) Finn botnpunktet til f ved rekning. d) Vis at 2 2x 2 f cc(x ) 2 x2 1 e) Bestem vendepunkta til f. f) Teikn grafen til f.

318

2 | DERIVASJON

Oppgåve 2.166

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

x 2 ex

a) Finn nullpunktet til f. b) Vis at f c(x ) x 1 e x . c) Finn dei eksakte koordinatane til botnpunktet. d) Finn f cc(x ) og eventuelle vendepunkt på grafen til f.

Oppgåve 2.167

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

x 1 e

1 x

1 x Vis at f c(x ) x e . Finn toppunktet til f ved rekning. 1 x Vis at f cc(x ) x 1 e . Finn dei eksakte koordinatane til vendepunktet til f. e) Teikn grafen til f.

a) b) c) d)

Oppgåve 2.168

Bedrifta AS Buksadi reknar med å selje f (x) bukser per dag x månader etter at bedrifta startar salet, der

b) Ein skoprodusent introduserer ein ny skotype. Produsenten reknar med at dei om x år kjem til å selje S(x) par sko per månad, der S(x ) 10 000 f (x ) og f er funksjonen frå oppgåve a. 1) Bruk grafen frå oppgåve a og finn grafisk når salet er 2000 par sko per månad. 2) Når er salet størst? Kor stort er salet per månad da? 3) Når er nedgangen i salet størst? Kor stor er nedgangen i salet per månad da?

f (x ) 1000 x 2 e x 2.7 GRENSEKOSTNAD OG GRENSEINNTEKT

a) Vis at f c(x )

2000 x 1000 x 2 e x

og at f cc(x )

2000 4000 x 1000 x 2 e x

b) Finn ved rekning når salet er størst. Kor mange plagg sel bedrifta per dag da? c) Finn ved rekning når salet minkar fortast. Kor mykje minkar salet da? d) Teikn grafen til f digitalt. Oppgåve 2.169

a) Funksjonen f er gitt ved f (x ) x e x , D f

Oppgåve 2.170

Ei bedrift har rekna ut kor stor inntekt I(x) i kroner dei får per veke ved å produsere og selje x spesielle klokker: I (x ) 0, 04 x 2 750 x , 0 d x d 500 a) Finn grenseinntekta I c(x ). b) Bruk grenseinntekta til å rekne ut kor mykje inntekta aukar når dei aukar produksjonen frå 250 til 251 klokker per veke. c) Finn nøyaktig kor mykje inntekta aukar når dei aukar produksjonen frå 250 til 251 klokker, ved å rekne ut I(251) I(250).

[0, 12]

1) Finn f c(x) og f s(x). 2) Finn toppunktet til f ved rekning. 3) Finn vendepunktet til f ved rekning. 4) Teikn grafen til f.

2 | DERIVASJON

319

Oppgåve 2.171

Oppgåve 2.173

Ei bedrift reknar med at kostnaden K(x) i kroner ved å produsere x spesielle jakker er gitt ved

Kostnaden K(x) i kroner ved ein produksjonsprosess når det blir produsert x einingar, er gitt ved K (x ) ax 2 225x 50 000

K(x) 0,6x 2 800x 60 000 for 0 d x d 12 000. a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden K c(x ).

a) Bestem a slik at grensekostnaden ved produksjon av 2000 einingar er 345 kr per eining.

Bedrifta reknar vidare med at inntekta ved produksjonen er gitt ved

Inntekta I(x) i kroner ved den same produksjonsprosessen er gitt ved

I (x ) 0, 4 x 2 1500 x b) Rekn ut grenseinntekta I c(x ). c) Rekn ut K c(350) og I c(350). Kommenter kva svaret betyr. d) Når har bedrifta størst overskot? e) Finn ved rekning eit uttrykk O(x) for overskotsfunksjonen. f) Bruk Oc(x ) til å kontrollere svaret i oppgåve d Oppgåve 2.172

Ei bedrift reknar med at kostnaden K(x) i kroner og inntekta I(x) i kroner ved å produsere og selje x einingar av ei vare er gitt ved K(x) 0,01x 150x 3000, x [0, 150] 3

og I(x) 0,01x 3 444x, x [0, 150] a) Finn grensekostnaden og grenseinntekta. b) Ved kva for produksjonsmengde har bedrifta størst overskot?

320

2 | DERIVASJON

I (x ) bx 2 463x b) Bestem b slik at grenseinntekta ved produksjon og sal av 2000 einingar er 303 kr per eining. c) Ved kva for produksjonsmengde gir denne prosessen størst overskot? Kor stort er overskotet da? d) Teikn grafane til K og I digitalt i det same koordinatsystemet. Kontroller svaret i oppgåve c. Oppgåve 2.174

Ved ein produksjonsprosess er inntekta I(x) i kroner og overskotet O(x) i kroner ved x produserte og selde einingar I(x) 0,03x 2 52x, x [0, 600] og O(x) 0,08x2 48x 3000, x [0, 600] a) Finn eit uttrykk for grenseinntekta. b) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. c) Ved kva for produksjonsmengde er det størst overskot? Finn svaret på to ulike måtar. Kva er overskotet da? d) Teikn grafen til O digitalt og kontroller svara i oppgåve c.

Oppgåve 2.175

Oppgåve 2.181

Kostnaden i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er

Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x koffertar av ein spesiell type er gitt ved

K (x ) 0, 02 x 2 48 x 4800 og inntekta i kroner ved sal av x einingar er I (x ) 0, 01x 2 78 x For både K og I er x [0, 1000]. a) Kva er kostnaden og inntekta ved produksjon og sal av 1) 100 einingar 2) 600 einingar b) Finn eit uttrykk for grensekostnaden og grenseinntekta. c) Finn grensekostnaden og grenseinntekta når vi produserer 600 einingar. Vil det lønne seg å auke produksjonen når produksjonen er 600 einingar? d) Teikn digitalt grafen til overskotsfunksjonen O. e) Finn i CAS og ved rekning når overskotet er størst. Kor stort er overskotet da?

K (x ) 0, 4 x 2 200 x 4840 a) Finn grensekostnaden K c(x ). b) Finn funksjonsuttrykket E(x) for einingskostnaden. c) Teikn grafane til einingskostnadsfunksjonen E og grensekostnadsfunksjonen K c digitalt i det same koordinatsystemet. La x [0, 500]. d) Finn grafisk den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad.

Oppgåve 2.182 2.8 EININGSKOSTNAD

Oppgåve 2.180

Ved ein produksjonsprosess er kostnaden K(x) i kroner ved x produserte einingar gitt ved 2

K (x ) 0, 5x 100 x 61 250 a) Finn funksjonsuttrykket E(x)for einingskostnaden. b) Finn Ec(x ). c) Teikn grafen til E digitalt. La x ª¬100, 700 º¼. d) Finn grafisk og ved rekning den produksjonsmengda som gir den lågaste einingskostnaden. Kva er kostnaden da?

Ved ein produksjonsprosess er kostnaden i kroner ved x produserte einingar K (x ) 0, 02 x 2 125x 4418 a) Finn funksjonsuttrykket E(x) for einingskostnaden. b) Finn likninga for den skrå asymptoten til E. c) Teikn grafen til E og den skrå asymptoten digitalt i eit koordinatsystem. d) Finn i CAS og ved rekning den produksjonsmengda som gir lågast kostnad per eining. Kor stor er einingskostnaden da? 2 | DERIVASJON

321

Oppgåve 2.183

Ein fabrikk skal begynne å lage eit nytt produkt og reknar med at kostnaden K(x) i kroner ved å produsere x einingar per veke er gitt ved K (x ) 0, 04 x 2 60 x 2900, x ª¬0, 800 º¼ a) Finn funksjonsuttrykket E(x) for einingskostnaden. b) Finn likninga for den skrå asymptoten til E. c) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. d) Framstill einingskostnaden og grensekostnaden digitalt i det same koordinatsystemet. e) Finn grafisk, i CAS og ved rekning den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad. Kor stor er kostnaden da? f) Fabrikken sel produktet for 120 kr per stykk. Finn den produksjonsmengda som gir størst overskot.

BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 2.200

Deriver funksjonane. 3 b) g (x ) a) f (x ) 4 x 1

x2 1

Oppgåve 2.201

Deriver funksjonane. a) f (x ) ln 23 b) f (x ) ln x 2 2 Oppgåve 2.202

Antalet biller i ein stamme er 4000. Veksten er 8 % per døgn. a) Sett opp eit uttrykk for talet på biller etter x døgn. b) Rekn ut vekstfarten til billestammen om 5 døgn. Oppgåve 2.203

Deriver uttrykka. b) x e x a) 1 x e x

c) x 2 e 2 x

Oppgåve 2.204 Oppgåve 2.184

Ei bedrift produserer komfyrar. Kostnaden i kroner ved produksjon av x komfyrar per veke er gitt ved K (x ) 30 x 2 1200 x 75 000 a) Finn funksjonsuttrykket E(x) for einingskostnaden. b) Kva er einingskostnaden ved produksjon av 40 komfyrar? c) Kva for produksjonsmengde gir lågast einingskostnad? d) Noko seinare endrar produksjonskostnaden seg. Den lågaste einingskostnaden er da ved 60 einingar per veke, og kostnaden er K (x ) 30 x 2 1200 x a Bestem konstanten a.

322

2 | DERIVASJON

Vi har gitt funksjonen f (x ) x 3 x a) Finn f c(x ) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f c(x ) ved å skrive funksjonen som ein potensfunksjon. Oppgåve 2.205

Ein elev har derivert funksjonen f (x ) 2 x 3 ln x i CAS og fått dette svaret:

Er løysinga rett? Kommenter.

4 2) g (x ) (ln x ) 4 x ln x

Oppgåve 2.206

Vi skal derivere funksjonen f (x ) x ln x

g c(x ) 4 ln3 x 4 1 ln x 4 x

4 ln3 x 4 ln x 4

Kva for ein eller kva for nokre av desse løysingane er rette? Kommenter kva for nokre feil som er gjorde i dei løysingane som ikkje er rette. 1) f (x ) x ln x 2 f c(x ) 1 ln x 2 x 2 ln x 2 2) f (x ) x ln x

ln x 2 2 ln x 3) f (x ) x ln x

4 3) g (x ) (ln x ) 4 x ln x 1 1 g c(x ) 4 (ln x )3 4 1 ln x 4 x x x 4 3 (ln x ) 4 ln x 4 x

4) g (x ) (ln x )4 4 x ln x 1 1 g c(x ) 4 ln3 x 4 1 ln x 4 x x x 4 3 ln x 4 ln x 4 x

ln x 2 2 x ln x f c(x ) 1 ln x 2 x 2 ln x

1 x

▲ 2.4

f c(x ) 1 ln x 2 x 2

ln x 2

Oppgåve 2.209

1 2x x2

Deriver funksjonane. a) f (x ) x 2 e x x2 b) f (x ) 2 x e c) g (x ) 2x x 2

4) f (x ) x ln x 2 f c(x ) 1 2 ln x x 2 ln x 2

1 2x x2

Oppgåve 2.210

Funksjonen f er gitt ved

Oppgåve 2.207

Ein elev har derivert ein funksjon og gjort denne utrekninga:

f (x ) 6x e

f c(x ) 2e 2 x 2 x ln x x

x2 8

, Df

Vis at

Kva for funksjon kan eleven ha derivert?

f c(x )

3 4 x2 e 8 2

Oppgåve 2.208 Oppgåve 2.211

Ein elev skulle derivere funksjonen

Funksjonen f er gitt ved

g (x ) (ln x )4 4 x ln x Vurder desse løysingane og kommenter eventuelle feil. 1) g (x ) (ln x )4 4 x ln x 1 g c(x ) 4 ln3 x 4 1 x

4 ln3 x

4 x

f (x )

ln x 1 ln x

a) Kva er definisjonsmengda til f ? b) Vis at 1 f c(x ) 2 x ln x 2 | DERIVASJON

323

Oppgåve 2.212

Oppgåve 2.214

Ein funksjon f er gitt ved

a) Funksjonen f er gitt ved

f (x )

x2 x 2 48

f (x )

a) Finn definisjonsmengda. b) Rekn ut eventuelle nullpunkt til f c) Finn eventuelle asymptotar til funksjonen ved rekning. d) Finn både ved rekning og i CAS eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f e) Teikn asymptoten og grafen til f. 31. desember var snødjupna på Trollknatten 40 cm. Dei første tjue dagane i januar kom det mykje snø. Snødjupna i centimeter x dagar etter 31. desember kunne beskrivast med funksjonen S(x ) 40 160 f (x ), x ª¬0, 20 º¼ f) Teikn grafen til S. g) Finn grafisk, i CAS og ved rekning når snødjupna var 160 cm. h) Gå ut frå at uttrykket ovanfor også gjeld når x ! 20. Kva er den største snødjupna vi da kan få på Trollknatten etter lang tid? Oppgåve 2.213

Ein funksjon f er gitt ved f (x )

2 x 2 x 10 , Df x 1

\ ^ 1`

a) Finn både ved rekning og digitalt likninga for tangenten til f i punktet P 0, f (0) . b) Det finst ein annan tangent til grafen som er parallell med tangenten i P. Bestem likninga for denne tangenten.

324

2 | DERIVASJON

10 x x2 3

1) Finn den horisontale asymptoten til f 2) Finn f c(x ) og eventuelle toppog botnpunkt på grafen til f 3) Vis at f cc(x )

20 x(x 2 9) (x 2 3)2

og finn vendepunkta til f b) Under eit kraftig regnvêr steig vasstanden i eit basseng. Vasstanden V(x) målt i centimeter x timar etter at regnvêret begynte, er gitt ved V (x ) 10 f (x ) der f er funksjonen frå oppgåve a. 1) Når var vasstanden på det høgaste? Kor mykje hadde vasstanden i bassenget stige på det tidspunktet? 2) Når minka vasstanden mest? Kor mykje var vasstanden i ferd med å minke per time da? 3) Teikn grafen til V digitalt.

Oppgåve 2.215

Kvotientregelen for derivasjon seier at viss f (x ) f c(x )

a) Forklar kvar av overgangane, og at vi dermed får det som blir kalla L’Hôpitals regel:

u(x ) , er v( x )

x oa

uc(x ) v(x ) u(x ) vc(x ) v( x )

f (x ) u(x ) v(x )

e7 x 1 'x o0 4 x

c) Finn grenseverdiane

Oppgåve 2.216

Viss vi skal rekne ut grenseverdien e7 x 1 'x o0 4 x

2x 2 4 x 6 x o 1 x 1

1) lim 2) lim

x o1

ln x 1 x

2 x 3 3x 2 8 x 3 3 2 1 x o 2 x 3x 3x 2

lim

3) lim 2

ser vi at både teljaren og nemnaren går mot 0.Vi kjenner ingen metodar for å faktorisere teljaren, men kan da bruke denne metoden for å bestemme ein slik grenseverdi: Gitt to funksjonar f og g som begge er deriverbare for x a, og der f (a) g (a) 0 mens g c(a) z 0. Da kan vi skrive

lim

7 4

lim

og bruke produkt- og kjerneregelen for derivasjon.

'x o0

f c(a) g c(a)

når vilkåra over gjeld. b) Bruk også metoden til å vise at

Utlei regelen ved å skrive

f (x ) lim x oa g ( x )

f (x ) g (x )

lim

f (a 'x ) lim 'x o0 g (a 'x )

f (a 'x ) f (a) g (a 'x ) g (a)

f (a 'x ) f (a) 'x lim 'x o0 g (a 'x ) g (a) 'x f (a 'x ) f (a) lim 'x o0 'x g (a 'x ) g (a) lim 'x o0 'x

ex x 1 x o0 x2

4) lim ▲ 2.5

Oppgåve 2.217

Ein funksjon f er gitt ved f (x ) x ln x 2 , x ! 0 a) Finn nullpunkta til f . b) Finn f c(x ). c) Finn eventuelle toppunkt og botnpunkt. d) Undersøk om grafen har vendepunkt. e) Teikn grafen til f.

f c(a) g c(a) 2 | DERIVASJON

325

Oppgåve 2.218

Oppgåve 2.220

Funksjonen f er gitt ved

Funksjonen f er gitt ved 2

f (x ) 10 ln x 5 ln x , x ! 0

f ( x ) 2 x 2e x

Oppgåve 2.219

Ei bedrift skal lage ein ny genser. Om x månader reknar bedrifta med å selje S(x genserar per månad, der S(x ) 10e

x 0 ,1 x 2

Bestem c slik at g får akkurat eitt nullpunkt.

0,5 1 1,5

f (x ) ln x 2 x Finn f (1), f c(1) og f cc(1), og bruk dette til å bestemme kva for ein av grafane A H som er grafen til f.

0,5 1 1,5

Graf E 2 | DERIVASJON

Graf F

0,5 1 1,5 Graf D

0,5 1 1,5

Graf C

0,5 1 1,5

Graf B

326

Vi har gitt funksjonen f ved funksjonsuttrykket

Graf A

Oppgåve 2.221

g (x ) 10 ln x 5 ln x c, x ! 0

, x ª¬0, 12 º¼

a) Teikn digitalt grafen til S. b) Finn ved rekning og i CAS når salet er 30 genserar per månad. x 0 ,1x 2 . c) Vis at Sc(x ) 10 2 x e d) Finn ved rekning når salet er størst. Kor mange genserar sel bedrifta per månad da? e) Finn Scc(x ) både ved rekning og i CAS. f) Når aukar salet fortast? Kor stor er auken per månad da?

Rekn ut f (1) og f (e). Faktoriser f (x ) mest mogleg. Finn nullpunkta til f ved rekning. Teikn digitalt grafen til f Løys ulikskapen f (x ) ! 0 både ved rekning, grafisk og ved å bruke CAS. f) Ein funksjon g er gitt ved

a) b) c) d) e)

a) Teikn grafen. b) Rekn ut f c(x ) og f cc(x ). c) Finn toppunktet, botnpunktet og vendepunkta til f ved rekning.

y x 0,5 1 1,5

Graf G

x 0,5 1 1,5

Graf H

Oppgåve 2.222

Oppgåve 2.225

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x for x ! 0. x 1 a) Cathrine meiner at f c(x ) x x Kva trur du ho har tenkt? Forklar kvifor svaret er feil. x b) Jon meiner at f c(x ) ln x x Kva trur du han har tenkt? Forklar kvifor svaret er feil. c) Vis at ln f (x ) x ln(x ), og bruk dette x til å vise at f c(x ) (ln x 1) x . x

Oppgåve 2.223

Vi har gitt to funksjonar f og g ved funksjonsuttrykka ex e x ex e x og g (x ) 2 2 a) Vis at f c(x ) g (x ) og at g c(x ) f (x ). b) Forklar korleis vi kan bruke resultatet i oppgåve a til å vise at både f og g er sin eigen andrederiverte. c) Kan du finne andre funksjonar som er sin eigen andrederiverte? 2

a) Funksjonen f er gitt ved f (x ) e x . Vis at f har to vendetangentar, og at 2 · § dei skjer i punktet ¨ 0, ¸. ©

K c(x ) 0, 04 x 100 Finn kostnadsfunksjonen K(x) når K(0) 40 000. Oppgåve 2.226

Bedrifta «Skarpe knivar» produserer og sel knivar. Ved produksjon og sal av x knivar per dag er kostnaden K(x) og inntekta I(x) gitt ved K (x ) 0, 3x 2 300 x 20 000

f (x )

Oppgåve 2.224

Ved produksjon av ei vare er grensekostnaden gitt ved

e¹

b) Funksjonen g er gitt ved g (x ) e a x , der a ! 0. Vis at g har to vendetangentar, og at dei skjer i det same punktet for alle a. c) Funksjonen h er gitt ved 2 h(x ) a e a x , der a ! 0. Vis at h har to vendetangentar, og at arealet av trekanten avgrensa av dei to vendetangentane og x-aksen ikkje avheng av a.

I (x ) 0, 2 x 2 550 x Vil du anbefale bedrifta å auke produksjonen viss ho produserer og sel 300 knivar per dag? Grunngi anbefalinga. Oppgåve 2.227

Når ei bedrift produserer x einingar av ei vare per dag, er grensekostnaden i kroner per dag gitt ved K c(x ) 0, 04 x 200 Grenseinntekta i kroner per dag når bedrifta sel x einingar av vara per dag, er I c(x ) 0, 02 x 500 a) Vil det lønne seg å auke produksjonen når han er 4000 einingar per dag? Grunngi svaret. b) Finn ved rekning når overskotet er størst.

▲ 2.6 2 | DERIVASJON

327

Oppgåve 2.228

Oppgåve 2.230

Firmaet «Ulyden» produserer radioar. Viss bedrifta produserer x radioar per dag, er kostnaden i kroner per dag gitt ved

Ei bedrift produserer og sel ei vare. Vi har desse opplysningane om kostnaden K(x) i kroner, inntekta I(x) i kroner, grensekostnaden K c(x ) og grenseinntekta I c(x ):

K (x ) 0, 6 x 2 600 x 40 000 Inntekta per dag viss bedrifta sel x radioar per dag, er gitt ved

K (40) 10 000, I (40) 12 000,

K c(40) 90 I c(40) 90

Kva veit vi ut frå dette om overskotet?

I (x ) 0, 4 x 1100 x

Ei bedrift produserer og sel ei vare. Ved produksjon av x einingar av vara er kostnaden i kroner K(x) gitt ved

O(x ) x 2 500 x 40 000

a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden K c(x ). b) Finn eit uttrykk for grenseinntekta I c(x ). c) Ved kva for produksjonsmengde er overskotet størst?

d) Finn ved rekning når overskotet er størst. Oppgåve 2.229

Eit firma produserer og sel mellom 1000 og 2000 einingar av ein spesiell artikkel per veke. Dersom dei sel x einingar av artikkelen per veke, er overskotet O(x) i kroner gitt ved 2

O(x ) 0, 03x 90 x 60 000, for x ª¬1000, 2000 º¼ . a) Når er overskotet størst? Når bedrifta sel x einingar, er inntekta I(x) i kroner gitt ved I (x ) 0, 01x 2 200 x , x ª¬1000, 2000 º¼ b) Finn eit uttrykk for kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar.

Oppgåve 2.231

a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden og eit uttrykk for grenseinntekta. b) Vil du anbefale å auke produksjonen når «Ulyden» produserer og sel 200 radioar kvar dag? Grunngi svaret. c) «Ulyden» produserer og sel x radioar kvar dag. Vis at overskotet per dag er gitt ved

328

2 | DERIVASJON

K (x ) 0, 4 x 2 280 x 20 000 og inntekta i kroner I(x) gitt ved I (x ) 0,1x 2 420 x

Oppgåve 2.232

Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er K (x ) 0, 02 x 2 42 x 600, x ª¬0, 500 º¼ og inntekta I(x) i kroner ved sal av dei x einingane er I (x ) 0, 015x 2 63x , x ª¬0, 500 º¼ a) Undersøk om det lønner seg å auke produksjonen når produksjonen er 400 einingar. b) Når er overskotet størst?

Oppgåve 2.233

Oppgåve 2.235

Ved produksjon og sal av x einingar per dag er inntekta I(x) og kostnaden K(x). Grafane nedanfor viser inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen.

Figuren nedanfor viser grafen til grenseinntekta og grensekostnaden for ei bedrift ved produksjon og sal av ei bestemt vare. I tillegg veit vi at I(0) 0 og K(0) 1200.

6000 5000

4000

3000

2000

1 000

40 x 20

100

120

140

20 10

a) Grunngi kva for graf som tilhøyrer inntekts- og kostnadsfunksjonen. b) Bestem eit funksjonsuttrykk for grenseinntekta og grensekostnaden når du får vite at både I og K er andregradsfunksjonar. c) Kor stort er det største daglege overskotet bedrifta kan ha?

x 20

Oppgåve 2.234

I koordinatsystemet nedanfor ser du grafen til ein grensekostnadsfunksjon K c. Grafen er ei rett linje.

100

120

140

a) Finn funksjonsuttrykket til I c(x ) og K c(x ). b) Finn funksjonsuttrykket til I (x ) og K (x ). c) Finn overskotsfunksjonen O(x ). d) Forklar korleis vi kan finne løysinga av likninga Oc(x ) 0 utan å derivere. e) Finn det største moglege overskotet. Oppgåve 2.236

y 2000

Ei bedrift har ei inntekt på

I (x ) 5439 ln 4 x 1 , x ª¬20, 200 º¼

1500 1000 500

x 400 800 1200 1600 2000 200 600 1000 1400 1800

a) Finn funksjonsuttrykket for grensekostnaden. b) Finn funksjonsuttrykket for einingskostnaden når den faste kostnaden er 62 500 kr.

kroner per månad ved produksjon og sal av x einingar. Dei faste kostnadene er 20 000 kr per månad, og ved produksjon av 50 einingar per månad er kostnaden 23 000 kr og grensekostnaden 80 kr. a) Bestem ein månadleg kostnadsfunksjon på forma K (x ) ax 2 bx c . b) Kor stort er det største månadlege overskotet bedrifta kan ha? 2 | DERIVASJON

329

Oppgåve 2.237

Oppgåve 2.241

Ei bedrift produserer og sel ei vare. Grensekostnaden K c(x) i kroner er

For ein produksjonsprosess er kostnaden i kroner for x produserte einingar

K c(x ) 0, 50 x 200 a) Finn eit uttrykk for kostnaden i kroner når den faste kostnaden er 7500 kr. b) Finn eit uttrykk for einingskostnaden. Oppgåve 2.238

Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er K (x ) 0, 002 x 2 0, 4 x 2000 a) Finn eit uttrykk for einingskostnaden E(x). b) Finn den produksjonsmengda som gir lågast kostnad per eining. Kor stor er einingskostnaden da? c) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. d) Kor stor er grensekostnaden når einingskostnaden er minst mogleg? Oppgåve 2.239

Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er K (x ) 0,1x 2 40 x 160 a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. b) Kor mange einingar blir produserte når grensekostnaden er 70 kr? c) Finn den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad. Oppgåve 2.240

Ved produksjon av ei vare er den deriverte av einingskostnaden Ec(x ) 0, 6

70 000 x2

Finn eit uttrykk E(x) for einingskostnaden når E(100) 1000.

330

2 | DERIVASJON

K (x ) 0, 03x 2 150 x 14 700 for x ª¬0, 2500º¼. a) Finn eit uttrykk for grensekostnaden. b) Finn eit uttrykk E(x) for einingskostnaden. c) Teikn grafane til K c og E digitalt i det same koordinatsystemet. d) Løys grafisk og ved rekning likninga K c(x ) E(x ). e) Produksjonen er etter kvart blitt dyrare. Den faste kostnaden, som er uavhengig av talet på produserte einingar, har auka slik at den lågaste einingskostnaden no er ved 750 einingar. Finn den faste kostnaden. Oppgåve 2.242

Ei bedrift produserer ei vare. Einingskostnaden E(x) i kroner ved produksjon av x einingar av vara er gitt ved E( x )

39 200 75 0, 02 x , x

for x ª¬0, 2500º¼ . a) Finn ved kva for produksjonsmengde vi har lågast einingskostnad. Kva er einingskostnaden da? b) Finn eit uttrykk K(x) for kostnadsfunksjonen. c) Overskotet O(x) ved produksjon av x einingar er gitt ved O(x ) 0, 03x 2 75x 39200 Gjer greie for korleis inntekta og overskotet til bedrifta varierer med produksjonsmengda.

Oppgåve 2.243

Oppgåve 2.245

I ei bedrift er overskotet O(x) i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare

Ei bedrift produserer x einingar av ei vare per dag. Dei totale utgiftene i kroner ved produksjonen er gitt ved

O(x ) 0, 03x 2 120 x 72 000 for x ª¬0, 4000º¼ . a) Finn Oc(x ). Ved kva for produksjonsmengde er overskotet størst? Kva er overskotet da? b) Finn ved rekning når O(x) ! 0. c) Ved produksjon av x einingar er prisen på vara i kroner gitt ved P (x ) 220 0, 01x Finn inntekta I(x) i kroner ved x produserte einingar når alle einingane blir selde. d) Vis at kostnadsfunksjonen ved x produserte einingar er gitt ved K (x ) 0, 02 x 2 100 x 72 000 Ved kva for produksjonsmengde blir einingskostnaden lågast? Kva er einingskostnaden da? Oppgåve 2.244

Ei bedrift produserer x einingar av ei vare. Kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er K (x ) 0, 01x 3 0, 08 x 2 200 x 30 000 for x ª¬0, 250 º¼ . Inntekta I(x) i kroner ved sal av x einingar er gitt ved I (x ) 0, 2 x 2 1000 x , x ª¬0, 250 º¼ Undersøk om den produksjonsmengda som gir størst overskot, også gir lågast einingskostnad.

K (x ) x 2 10 x 900, x 0, 50 a) Finn eit uttrykk for einingskostnaden. b) Rekn ut den minste verdien av einingskostnaden, og bestem kor mange einingar vi da må produsere. c) Vi går ut frå at heile produksjonen blir seld, og at inntekta ved salet er I (x ) 80 x Kor mange einingar må bedrifta produsere for at overskotet skal bli størst mogleg? Kor stort er overskotet da? d) Dersom salsprisen per eining er a kr, kan inntekta til bedrifta uttrykkast ved h(x ) ax Finn den minste verdien a kan ha for at bedrifta skal oppnå balanse mellom utgifter og inntekter. Kor mange einingar må bedrifta produsere kvar dag for å få balanse når a har denne verdien? Oppgåve 2.246

Grensekostnaden K c(x ) kroner ved produksjon av x einingar av ei vare er gitt ved K c(x ) 0, 08 x 80, x ª¬100, 800 º¼ Kostnaden ved produksjon av 100 einingar er 10 000 kr. Bestem kostnaden K(x) ved produksjon av x einingar.

2 | DERIVASJON

331

Oppgåve 2.247

Oppgåve 2.249

I ei bedrift er kostnaden i kroner per dag gitt ved

Ei bedrift produserer og sel ei vare. Dei månadlege einingskostnadene ved å produsere og selje x einingar av vara er gitt ved

K (x ) ax 2 bx c der x er antalet produserte einingar per dag, og der a, b og c er konstantar. Bedrifta har funne ut dette: 1. Kostnaden når dei produserer 1000 einingar per dag, er 345 000 kr. 2. Grensekostnaden når dei produserer 100 einingar per dag, er 51 kr per eining. 3. Einingskostnaden når produksjonen er 200 einingar per dag, er 1401 kr per eining. a) Bruk CAS til bestemme konstantane a, b og c. b) Bruk CAS til å finne kva for produksjonsmengde som gir lågast einingskostnad. c) Kva blir da einingskostnaden da? d) Bedrifta reknar med at heile produksjonen blir seld for 375 kr per eining uansett produksjonsmengde. Finn ved rekning eller i CAS det antal einingar som gir størst overskot. Kor stort er dette overskotet? Oppgåve 2.248

a) Forklar at vi har denne samanhengen mellom einingskostnaden E og kostnaden K: K ( x ) x E( x ) b) Bruk produktregelen for derivasjon til å vise at K c(x ) E(x ) x Ec(x ). c) Bruk blant anna oppgåve b til å forklare at når einingskostnaden er lågast, er grensekostnaden lik einingskostnaden.

332

2 | DERIVASJON

E( x )

64 000 0, 004 x 40 x

for x ª¬1000, 10 000 º¼ . a) Finn ved kva for produksjonsmengde vi har lågast einingskostnad. Kva er einingskostnaden da? b) Vara blir seld for 92 kr per eining. Bestem kva for produksjonsmengde som gir størst overskot. Kor stort er dette overskotet? Bedrifta er ikkje fornøgd med marknadsandelen dei har, og derfor bestemmer ho seg for å redusere prisen vara blir seld for. Ho stiller som krav at overskotet skal vere minst 80 000 kr. c) Kva for pris må bedrifta ta per eining for at det største overskotet kan bli 80 000 kr? Kor mange einingar må dei da selje? Oppgåve 2.250

Ei bedrift bruker ein kostnadsmodell på forma K (x ) ax 2 bx c for ei bestemt vare. Her er x antal selde einingar. Vara blir seld for ein fast pris p. Det viser seg at produksjonsmengda der overskotsfunksjonen har toppunkt også gir lågast einingskostnad. Vis at p b 2 ac ▲ 2.8

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 2.300

Vi skal derivere funksjonen f (x ) 2 x og får f c(x )

f (x 'x ) f (x ) 'x

lim

'x o0

lim

x 'x

'x o0

2x 'x

§ 2'x 1 · x 2 x ¨ lim ¸ 2 k © 'x o0 'x ¹ §

der k ¨ lim 'x o0

2'x 1 · ¸. 'x ¹

0,1

0,01

0,001

0,0001

§ 2 1 · k ¨ lim ¸ © 'x o 0 'x ¹ 'x

Kva for verdi nærmar k seg? Gi svaret med tre desimalar. b) Bruk ein derivasjonsregel og deriver funksjonen f (x ) 2 x. Samanlikn svaret med svaret du fekk i oppgåve a. c) Finn ut på tilsvarande måte som i oppgåve a kva for verdi k får når du deriverer funksjonane f (x ) 5x og f (x ) 10 x d) Studer verdiane du no har funne for k. Finn kva for eksponentialfunksjon som gir k 1. Ta med to desimalar i svaret. Oppgåve 2.301

Ein aksje blei kjøpt i desember 2021 for 1600 kr. Verdien varierte dei to neste åra etter modellen A(x )

100(x 2 32) , x ª¬0, 24 º¼ x 2

der x er antal månader etter nyttår 2021. Finn ut mest mogleg om utviklinga av aksjen. Legg vekt på å vise så mykje matematikk-kompetanse som mogleg.

2 | DERIVASJON

333

Oppgåve 2.302

I denne oppgåva er a ! 0 ein parameter. 1 § e ax e ax · 1¸ ¨ 2 a© ¹ a) Vis at grafen til f har eit botnpunkt i origo for alle a. b) Fest ein tynn kjetting (eller eit tau, ein hyssing eller liknande) i to punkt i same høgde på ein plan vegg slik at han heng fritt mellom punkta. Tenk deg no at veggen er plassert i eit koordinatsystem der det nedste punktet på kjettingen er origo. Vel meter som eining på aksane, og bestem parameteren a slik kjettingen går gjennom dei to festepunkta. f (x )

c) Gjer målingar eller bruk ein projektor til å teikne grafen til f på veggen. Kor godt passar grafen med kjedelinja? d) Gjenta forsøket med andre avstandar mellom festepunkta og strammare eller slakkare kjetting. e) Utforsk samanhengen mellom avstanden mellom festepunkta og høgdeforskjellen mellom festepunkta og botnpunktet. Oppgåve 2.303

Eit firma produserer og sel eit produkt. Produksjonen har faste vekentlege kostnader på 2000 kr, og figuren nedanfor viser den vekentlege grenseinntekta og grensekostnaden for verksemda. y Kr per eining

100

80 I'

60 40 20

x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Einingar

a) Finn det største moglege overskotet bedrifta kan ha. b) Grafen til I c(x ), grafen til K c(x ) og andreaksen avgrensar ein trekant. Finn arealet av trekanten. c) Kan du finne ein samanheng mellom svaret i oppgåve a og oppgåve b? Forklar. d) Vel ei anna oppgåve frå kapittelet, og undersøk om samanhengen frå oppgåve c også gjeld her.

334

2 | DERIVASJON

FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) 3, 8, 13, 18, 23 a120 598 b) a1 3 og an an 1 5 når n ! 1 1.11 a) 3, 7, 11, 15, 19 b) an 4n 1 1.12 a) 16, 8, 4, 2, 1 b) an 25 n 1.13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 1.16 a c) n nærmar seg det gylne an 1 1 5 når n o f. snittet M 2 1.20 s5 28, s6 41, s7 58, s8 77 1.21 a) s6 51 b) s20 590 1.22 a) s5 110 b) s15 2480 c) s101 s100 20 402 1.23 n2 n a) 2 b) n2 n 1.24 2000 1, 05n 1 1.25 s20 590 1.26 s15 2480 1.30 a) 12, 7, 2, 3 og 8 b) 24, 22, 20, 18, 16

416

1.31 a) d 6 og an 6n 1 b) d 17 og an 98 17n 1.32 a) an 98 2n b) 306 kr

1.53 a) 3 664 200 kr og 1 264 200 kr b) 3 710 400 kr og 1 310 400 kr c) 3,8 % d) 3,8 %

1.33 a) 3 b) an 4n 7 c) Ledd nr. 28 1.34 3 a) a1 14 og d b) an

31 3 n 2 2

1.52 a) 154 733 kr og 152 020 kr b) Tn 157 446 2713 n c) 3 461 835 kr d) 1 261 835 kr

1.40 a) 235 b) 1695 c) 510 d) 50

1.54 a) 3 640 947 kr og 1 240 497 kr 1.60 a) 5, 10, 20, 40, 80 b) 16, 8, 4, 2, 1 c) 81, 54, 36, 24, 16 1.61 a) k 3 1 b) k 3 2

1.41 a) 500 500 b) 145 c) 1950

c) k 1.62 a) an

3n 1 og a10 19 683

1.42 a) 49 995 000 b) 25 000 000 c) 24 995 000

b) an

625

1.44 Det er 20 ledd i rekka. 1.45 2675 millionar kr 1.50 a) 1. år: 52 000 kr 2. år: 49 600 kr 3. år: 47 200 kr 4. år: 44 800 kr 5. år: 42 400 kr b) 36 000 kr 1.51 a) 2 200 000 kr b) 184 800 kr og 181 060 kr c) Tn 188 540 3740 n d) 2 985 400 kr e) 785 400 kr

a10 c) an

1 3125

2 3 3 2

1 5

n 1

og a10

1.63 a) 406 millionar b) ca. 1017 sølvmyntar 1.70 a) 1023 b) 1,998 c) 720,4 1.71 a) 29 524 b) 255 c) 10 235 d) 1653,30 1.72 a) 393,4 millionar kr b) 2763 millionar kr

6561 256

1.73 a) 2,5 tonn b) 670 tonn 1.74 a) 194 052 kr b) 343 916 kr c) Etter 14 år 1.75 a) 6579 kr b) 31 904 kr c) 14 år 1.80 a) 6268 kr b) 4911 kr c) 3848 kr 1.81 a) 228 571 kr b) 2 127 180 kr c) 2 127 180 kr d) Han bør betale kontant viss han kan. 1.82 a) 348,26 kr b) 7897,00 kr d) Anne bør velje avbetaling. 1.83 a) 1,3 millionar kr b) 1,3 millionar kr 1.84 a) 66 891 kr b) 66 891 kr c) 2 006 721 kr 1.86 a) Terminbeløp: 11 632 kr Rente: 1 089 688 kr. b) 2,95 % 1.87 a) 3866 kr b) 263 953 kr

1.90

· a) sn ¸ ¹ Rekka konvergerer og har summen 3124 . b) sn

3125 § 1 1 4 ¨© 5

4 n 3n 1 2

Rekka divergerer c) sn 1000 1,1n 1 Rekka divergerer d) sn 1000 1 0, 9n Rekka konvergerer og har summen 1000. 1.92 a) Rekka konvergerer og har summen 200. b) Rekka divergerer. c) Rekka konvergerer og har 100 summen . 19 d) Rekka divergerer. 1.93 a) 895 kr b) 11 362 kr c) Nesten 100 000 kr avhengig av levealder. 1.94 1 a)

1.95 2 a)

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 Aritmetisk: 111 Geometrisk: 36 eller 36 Oppgåve 2 10 g (9,92 g) Oppgåve 3 a) Utskrifta blir: 580, 610, 640, 670, 700, 730, 760, 790, 820, 850, 880, 910 b) Det blei selt i alt 8940 radioar. c) 2710 (72 md.) d) 30 540 radioar e) sn 15n2 565n f) Etter ca. 13 md.

Oppgåve 4 To løysingar: 8 a3 viss k a3

9 16 9

1 . 3 1 3

viss k .

Oppgåve 5 2 a) k 3

b) nr. 8 Oppgåve 6 a) 2, 81 10 12 g b) 7,14 10 12g c) 1, 75 10 13g d) 10 dager Oppgåve 7 a) 369,75 millionar tonn CO2-ekvivalentar. b) 357,20 millionar tonn CO2-ekvivalentar. c) Den lågaste faste prosenten er 7,9 %. Oppgåve 8 a) 31 433,26 kr b) 933,26 kr c) 0,45 % d) 556,74 kr Oppgåve 9 a) 1) Første år: 6750 kr i rente og 27 419 kr i avdrag Andre år: 5516 kr i rente og 28 653 kr i avdrag 2) 32 698 kr, 31 290 kr, 29 942 kr, 28 653 kr og 27 419 kr b) 1) 36 750 kr, 35 400 kr, 34 050 kr, 32 700 kr og 31 350 kr 2) 150 000 kr c) 1) 22 741 kr 2) 5,5 % per år

2 2.10 a) 2 x 4 b) 6 x 2 8 x 3 c) 4 x 3 6 x 2 10 x 2 2.11 a) f c(x ) 3x 2 8 x 1 b) f c(2) 5

417

2.12 a) f c(x ) 5e x 6 x 2 3 b) g c(x ) 5 ln 2 2 x 2 x c) 2000 ln1, 05 1, 05x

2.32 a) 208 gauper b) 10 gauper per år 2.40 a) f c(x ) 4 x 3 6 x 2 4 x 6 b) f c(x ) 4 x 3 6 x 2 4 x 6

2.13 a) y 4 x 2

2.41

b) ln 5, 6 5 ln 5 2.20 a) u(x ) b) u(x ) c) u(x ) d) u(x )

5x x 2 5x x b) f c(x ) 2

a) f c(x )

2 x 1, g (x ) x x 2 2x , g (x ) x 3 2 x 1, g (x ) x 2 ,7 3x 1, g (x ) 2 x

2.21 a) f c(x ) 6 2 x 3

b) f c(x ) 4 x x 1 2

c) f c(x ) 2e 2 x 3 1 d) f c(x ) 2x 3 2x e) f c(x ) x2 1

2.23 a) f c(x ) 4 x 3 4 x 2x

e) 2 x

2 x

2.31 a) f c(x )

x2 3

4 x

x2 1 1 2x 1

1 x

c) hc(x )

4x2 4x 3 e x

2.45 x 5 y e3 2.50 1 a) x 1

f) 2 x

2 ln x x

1 x2 2

4 x5

a) f c(x ) b) g c(x ) c) hc(x )

2.61 a) 1) Botnpunkt: 2, 2 ln 4 b) g f for x ! 0

2.62 a) x ln4 b) Botnpunkt: ln 2, 4 c) Vendepunkt: 0, 3 d) y 2 x 3 2.63 a) 1 månad etter utbrotet, 36,8 % av befolkninga b) 2 månader etter utbrotet. Nedgangen er 13,5 % per månad.

2.71 a) I c(x ) 120 0, 02 x b) 109 kr c) 108,99 kr

2.51

2.70 a) K c(x ) 0, 04 x 75 b) 91 kr c) 91,02 kr

x 1

2.53 a) D f \ ^2` b) Ingen nullpunkt c) x 2 og y x 2 d) Toppunkt 1, 2 Botnpunkt 3, 2 2.60 a) 2, 0 b) Botnpunkt: 2, 0 c) 1, ln 2 og 1, ln 2

4x2 2 x2 1

2.44 a) x = 0, x = 4 b) f c(x ) 4 x 1 x 4 c) Toppunkt: ingen Botnpunkt: 1, 27 Terrassepunkt: 4, 0

4 ln x

2 2x 5 2x b) g c(x ) x2 1 2x 1 c) hc(x ) 3 2 x x

418

x 2 2x 3 e x

c) hc(x ) 9 3x 1 8 x x 2 3

b) g c(x )

c) hc(x ) 2 ln x 2 1

b) g c(x ) 12 x x 2 2

2.30 3 a) x

x 2 2x e x

2.43 a) f c(x ) 2 x ln x x b) g c(x ) ln x

2.22 a) f c(x ) 5 8 2 x 1

b) f c(x )

2.42 a) f c(x )

2.52 a) x 0 b) x 1 og y x 1 c) Toppunkt 0, 0 Botnpunkt 2, 4

4x 2 e x 2x 1

1 ln x x2 2x 1 e2 x 2x 2

2.72 a) K c(x ) 0,1x 380 og I c(x ) 0, 04 x 548 b) Grensekostnad 480 kr og grenseinntekt 508 kr c) Det lønner seg. d) 1200 omnar, 52 800 kr

2.73 a) K c(x ) 0, 05x 65 og I c(x ) 0, 03x 113 b) Grensekostnad 100 kr og grenseinntekt 92 kr c) Det lønner seg ikkje. d) 600 einingar, 10 000 kr

Oppgåve 3 a) f c(x ) 10 0, 5x e 0 ,05 x b) 545 elevar c) Størst nedgang etter 40 dagar. Fråværet minkar med 1,35 elevar per dag. d) Epidemien varer i 146 dagar.

2.80

Oppgåve 4 a) x 0, x 20 b) y 1 d) Toppunkt: 2, 4

a) b) c) e) f) h)

18 000 E(x ) 0, 05x 80 x 141 kr y 0, 05x 80 K c(x ) 0,1x 80 130 kr 600 einingar, 140 kr

2.81 a) E(x ) 0, 05x 380 b) K c(x ) 0,1x 380 c) 980 einingar, 478 kr

48 000 x

5 2

Botnpunkt: , 5 f) Kl. 02.00, 11 qC g) Kl. 20.00 i) 16 qC Oppgåve 5 a) K c(x ) 0, 06 x 60 b) E(x ) 0, 03x 60

2.83 a) 140 kr b) 600 einingar, 140 kr REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 2 x 4x 1 a) f c(x ) ( x 2)2 f c(x ) 8 x(2 x 2 3x 1) b) 8 x(x 1)(2 x 1) 1 x2

c) f c(x ) 2 x(1 x 2 )e d) f c(x ) 2 x ln(x 2 1) 1 Oppgåve 2 a) Ingen nullpunkt b) Vertikal asymptote: x 0 Horisontal asymptote: y 0 (x 1) e x c) f c(x ) x2 d) Botnpunkt: 1, e f) Ingen vendepunkt

3.13 1 1 a) t 2 C t 2 1 1 b) 2 C x x c) t 2 3 3 t 5 C d) 5 x C 3.14 a) f (x ) 2 x 2 2 x 2 b) f (x ) 2 x 3 5x 2 c) f (x ) 2 x 3 3x 2 1

2700 x

c) 300 einingar, 78 kr d) 1500 einingar, 64 800 kr

2.82 a) 90 kr b) 40 einingar, 90 kr

3.12 a) x 2 x C b) 4x C c) x 3 2 x 2 x C 1 5 d) x 3 x 2 6 x C 3 2

Oppgåve 6 b) f c(x ) ln x c) Botnpunkt: 1, 1 d) Ingen vendepunkt e) 10,1 kg f) Etter 1 veke, 3,96 kg g) 19 dagar Oppgåve 7 a) O(x ) 0, 46 x 2 276 x 8000 c) 300 maskindelar d) 33 400 kr f) a 290, b 0, 30

3 3.10 a) 2 x 2 2 x C 1 b) x 3 2 x 2 C 3 1 1 c) x 4 x 2 C 2 2 d) x 4 3x 2 x C 3.11 F ( x ) 2 x 4 4 x 3 5x 2 3x 2

3.20 a) 3ln x C b) x 2 x 2 ln x C c) 2 x 3 x 2 x ln x

1 C x

3.21 a) x ln x C b) x 2 x 2 ln x C 3.22 a) ln x 1 C 1 b) ln 2 x 1 C 2 3.23 a) ln x b) x ln x x C 3.30 a) 2e x C b) 3x 2 3e x C c) 2e 2 x 3e 3 x C d) e x e x C 3.31 3 x 2 C a) ln 2 1 x 3 C b) 2 x ln 3 c) 2 x 3x C

419

3.32 a) 67 500 e 0 ,08 x C b) 262 348 1, 05x C 3.33 2 c 2 2 xe x og ex

³ x e

1 x2 e C 2

3.53 b) 1 3.54 e 1 b) 2 3.60 32

3.40 71 a) A | 35, 5 2 b) A | 41,1 c) A | 40, 9 124 d) A 3 3.41 a) 1) 0,35 2) 0,383 3) 0,386 b) 0,386 c) 2 ln 2 1

3.61 3 ln 4

3.42 c) 2,71 d) 2,71

3.65 a) 0 b) 8

8 3

3.43 b) 20 c) 20 3.44 32 3 3.50 a) 10 b) 60 c) 6 3.51 a) 12 b) 12 7 c) 4 3.52 a) e 1 31 b) ln 2 c) 1

420

3.62 2 ln 2 3.63 a) x 2 og x 3 29 c) 6 3.64 1 e 2 e

3.66 8 3.70 8 3 3.71 32 3 3.72 a) x 0, x 1 eller x 2 1 b) Arealet er . 2 3.73 a) x 3, x 1, x 1 eller x 3 784 b) 15 REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 1) 2xe x 2) 4 x 2e 2 x b) 1) (2 x 2)e x C 2) (2 x 2 2 x 1)e 2 x C

Oppgåve 2 a) 2x4 2x3 5x C 3 b) 3 ln | x | 2 C x Oppgåve 3 b) 20,83, 20,83 c) 20,83, 20,83 125 d) 6 125 e) 6 Oppgåve 4 a) 4 2 2 64 b) 5 Oppgåve 5 9 Oppgåve 6 9 a) 2 b) a 1, 9454 Oppgåve 8 b) 0,855 1 c) e 2 | 1, 086 e 2 e) 2e 4 | 2,172 e Oppgåve 9 b) 533 m2 c) 308 m2

4 4.10 a) 421 tonn per veke b) 17 051 tonn c) 328 tonn per veke d) 8 veker 4.11 a) 71 500 barn per år b) 1,8 millionar barn c) 60 100 barn per år 4.12 a) 2990 kWh b) Ja, bilen kan køyre 1495 mil. Avstanden Oslo – Cape Town ca. 1400 mil.

4.13 a) 393 millionar kr per år b) 2763 millionar kr c) 2859 millionar kr d) Bedrifta har auka omsetninga jamt gjennom året. 4.14 a) 12,9 tonn per år b) 462 tonn c) 450 tonn d) Bedrifta har redusert utsleppet ved kvart årsskifte. 4.20 a) g (x ) 7672 e 0 ,3 x b) 0,7 personar c) 25 308 d) 3 veker 4.21 a) g (x ) 50, 61 e 0 ,21x b) 213 tonn c) 4,6 år 4.23 b) 500 c) 12 259 4.24 a) R(x ) 0, 08 x 1, 39 b) 5171 c) 19 726 4.30 a) 20 millionar b) 25,3 millionar d) Etter omtrent 18 år og 4 månader (18,33 år) 4.31 a) N 6 b) a 0,846 og k 0,198 c) Modellen gir litt høg verdi. (5,88) d) I løpet av 2007 4.32 a) 300 dyr b) 228 dyr d) Etter omtrent 5 år og 40 dagar. (5,11 år)

4.33 b) 29,7 millionar c) 27,5 millionar d) Etter 18,4 år. 4.34 a) f (t )

171 1 6, 896 e 0 ,182 x c) 171 revar d) 159 revar e) i løpet av 2027 4.35 a) f (x )

181 , der x 1 30, 7 e 0 ,47 x er alder i år og f er høgda i cm. c) 181 cm d) 178 cm e) Omtrent halvannan månad før han fyller 17 år 4.40 a) No: 20 millionar Etter lang tid: 30 millionar 3 e 0 ,05t b) f c(t ) 2 1 2 e 0 ,05t c) No: aukar med 0,33 millionar per år Om fem år: aukar med 0,36 millionar per år d) 0 e) Om 13,86 år 15 millionar 4.41 a) No: minkar med 15 dyr per år Etter 10 år: minkar med 3,2 dyr per år b) 0 d) Etter 6,6 år. 4.42 Ryktet spreier seg etter modellen: 300 R(t ) , der R er 1 99 e 0.5t antal elevar som kjenner til ryktet og t er døgn etter byrjinga.

4.50 4 a) 2 x 3 C b) 2e 2 x 1 C c) ln e x 1 C 1 d) ln 3x 1 C 3 4.51 a) 2 ln(2 x 2 5) C b) 2 ln x 3 1 C 1

x2 3

c) d)

1 6

x2 1 C

4.52 a) 10 b) 2 ln 7 2 ln 5 8 c) 5 4.53 2 a) 2e e

b) 0 8176 c) ln 2 4.54 5 timar (x 4,98) 4.60 a) 2 x 1 e x C b) 2 x 1 e x 1 C c) 2 3x 1 e 3 x C d)

1 x 1 20

8x 3 C

4.61 a) 2 e

388 5

4.62 a) x 2 2 x 2 e x C b) x 2 x

1 2

e2x C

4.63 1 1 a) x 2 ln x x 2 C 2

b) x 2 x ln x x 2 x C 2

c) 2 x 3 x 2 ln x x 3 x 2 C

421

4.70 a) 2 ln x ln x 2 C b) ln x 1 2 ln x 2 C c) ln x 2 ln x 2 3 ln x 3 C 4.71 a) ln b) ln

8 3

3 ln 2 ln 3

3 4

ln 3 2 ln 2

4.72 a) 2 x ln x 2 ln x 1 C b) 6 ln

2 3

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 2 e 4 e 3 b) 3 ln 3 c)

ln x 3 ln x 1 C ln

x 1 C x 3

Oppgåve 2 1 a) x 5 2 x 2 C 5 1 b) e 2 1 4 1 3 ln 3 c) 3 Oppgåve 3 a) ln x 2 9 C b) ln x 2 9 C Oppgåve 4 b) 4,0 % c) Etter ca. 13 år d) 37 år e) 18,2 millionar kroner f) 17,9 millionar kroner Oppgåve 5 a) 2,49 millionar einingar b) Tidleg i 2024 c) 34,5 millionar einingar d) Seint i 2035

422

Oppgåve 6 121, 871 a) f (x ) 1 1, 059 e 0 ,112 x b) 76 kg og 102 kg 14, 5 e 0 ,112 x c) f c x 1 1, 059 e 0 ,112 x

5.11 a)

f c(x ) ! 0 for alle verdiar av x, så Jan vil alltid løfte meir. d) Etter lang tid blir f c(x) | 0. Da løftar Jan ca. 122 kg. Etter lang tid vil Jan stabilisere seg på ca. 122 kg i benkpress. Oppgåve 7 1 b) x e § 1 e· , ¸ c) ¨ © e 2¹ 6 ln x 1 d) f cc(x ) x4 1 1 § 5 · e) ¨¨ e 6 , e 3 ¸¸ | 0, 85, 1,16 6 ¹ © 1 f) e 2 ln 3 | 1, 685 3

P(X k)

2 5

3 10

1 5

1 10

5.12 a) Alle dei naturlege tala 1 b) P ( X 1) 3 2 P ( X 2) 9 4 P ( X 3) 27 128 | 0, 0195 c) P ( X 8) 6561 5.13 a) P ( X 1)

5 5.10 a) k

P(X k)

1 5

1 | 0, 0278 36 35 | 0, 0270 P ( X 2) 1296 1225 | 0, 02663 P ( X 3) 46 656

b) P ( X n)

n 1

c) 0,0598 d) 25 gonger 5.20 P ( X 2) 0, 201 P ( X d 2) 0, 938 5.21 b) 1 gevinst c) P ( X 0) 0, 328 P ( X 1) 0, 410 d) P ( X d 1) 0, 737 e) Nei, for forsøka blir ikkje uavhengige.

5.22 P ( X 40) 0, 066 P ( X d 45) 0, 819 P ( X t 35) 0, 817 P (35 X 45) 0, 542

5.33 a) k 0

5.24 a) og b)

P(X k)

P(Y k)

0,116

0,161

0,358

0,403

0,358

0,323

0,143

0,101

0,022

0,012

0,001

0,000

P(X k)

P(Y k)

0,028

0,349

0,121

0,387

0,233

0,193

0,267

0,057

0,200

0,011

0,103

0,001

0,037

0,000

0,009

0,000

0,001

0,000

0,316

0,000

0,422

0,000

0,211

0,047

0,004

5.25 a) Vi må føresette sjølvstende. Viss ein person er borte, må ikkje det endre sannsynet for at andre er borte. b) 0,500 5.30 a) 0,093, 0,326 og 0,392 b) 0,573 5.31 a) 0,503 b) 0,381 c) 0,102 5.32 P ( X 15) 0, 073 P ( X d 15) 0,133 P (16 d X d 20) 0, 735 P ( X ! 18) 0, 414

b) P ( X 3) 0, 832 P (Y 2) 0, 564 5.40 30 kr 5.41 a) 1 gevinst b) k P(X k)

c) P 1 d) P 1 e) P 1

P(X k)

1 4

b) P 2, 5 5.44 a) k

P(X k)

2 5

3 10

1 5

1 10

b) P 2

5.42 a) k

P X k

0,282

0,470

0,217

0,031

0,001

c) P 1 d) P 1 e) P 1

5.43 a) k

5.45 c) Utfallsrommet er alle naturlege tal. e) P 6 5.50 a) 41,67 b) Var( X ) 4097 SD( X ) V X 64, 0 5.51 Var( X ) SD( X )

5 4 5 2

5.52 Var( X ) 1 SD( X ) 1 5.53 a) og b) E( X ) 16 Var( X ) 3, 2 SD( X ) V X 1, 79

423

5.54 a) og b) E( X ) 2 Var( X ) 1, 28 SD( X ) V X 1,13

5.65 a) E(S) 18 000 cm SD(S) 70 cm b) E(G) 180, 0 cm SD(G) 0, 7 cm

5.55 a) og b) E( X ) 6 Var( X ) 3, 39 SD( X ) V X 1, 84

5.70 a) P 2 og V b) 1) 0,302 2) 0,772

d) P ( X d 2)

5.60 1 1 a) E( X ) og Var( X ) 2 4 1 1 E(Y ) og Var(Y ) 2 4 1 b) E Z 1 og Var(Z ) 2 1 c) E Z 1 og Var(Z ) 2 5.61 7 35 a) E( X1 ) og Var( X1 ) 2 12 2 E( X 2 ) 2 og Var( X 2 ) 3 11 43 og Var(Z ) b) E(Z ) 2 12 11 43 og Var(Z ) c) E(Z ) 2 12 5.62 E(S) 14 og Var(S)

35 3

5.63 a) E(S) 360, 0 cm Var(S) 98 cm

SD(S) 9, 9 cm b) E(S) 540, 0 cm Var(S) 147 cm

SD(S) 12,1 cm c) E(S) 1800, 0 cm Var(S) 490 cm

SD(S) 22,1 cm 5.64 a) E(Y ) 70 kr og Var(Y ) 1167 kr 2 b) E(Y ) 70 kr og Var(Y ) 583 kr 2

5.71 a) P b) 1) 2) 3)

1, 26

P(X a)

1 6

1 2

3 10

1 30

P(X d a)

1 6

2 3

29 30

29 , dette er 30

sannsynet for å trekke høgst 2 raude kuler. 1 P ( X ! 1) , dette er 3

35 og V 0,083 0,655 0,954

sannsynet for å trekke meir enn ei raud kule. e) Forventningsverdi: 1,2, varians: 0,56

4, 77

Oppgåve 7 a) 5 kr, arrangøren må ta meir enn 5 kr i betaling. b) 111,81 kr2 c) 240 kr

5.72 a) E( X ) 30 og Var( X ) 21 E(Y ) 10 og Var(Y ) 9 E(Z ) 40 og Var(Z ) 24 c) Nei

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 0,75 b) P 0, 8, V

0, 93

Oppgåve 2 a) 0,26 b) E( X ) 1, 8, Var( X ) 0, 92 c) 0,66 d) E(Z ) 3, 6, Var(Z ) 1, 84

d) Forventningsverdi: 1,2, varians: 0,72 Oppgåve 9 a) P 3, V 1, 60 b) 0,243 c) 0,933 d) 0,067 e) 0,654

Oppgåve 3 a) P 4, V 1, 70 b) 0,63 c) 0,598

Oppgåve 10 a)

Oppgåve 4 x 14

Oppgåve 5 a) 0,0783 b) 0,5563 d) 15 personar Oppgåve 6 a) Hypergeometrisk forsøk b) a 0 1 2 3 P(X a)

P(X a) 0,216 0,432 0,288 0,064

1 6

1 2

3 10

1 30

Sum

P(X x)

1 8

3 8

1 8

x · P(X x)

3 8

3 4

3 8

3 2

(x P)2 P(X x)

9 3 3 9 32 32 32 32

3 4

b) 100 kr c) Var(Y) 300 kr2 3 d) SD(X) | 0, 866, 2 SD(Y) 300 kr | 17, 32 kr

424

6 6.10 34 c) | 0, 272 125 37 d) P ( X d 2) | 0, 296 125 32 P ( X t 6) | 0, 256 125 e) P 4 22 Var( X ) | 7, 33 3 22 SD( X ) | 2, 71 3 6.11 c) 0, 387 d) P ( X d 3) 0, 657 P ( X t 7) 0, 027 e) P 2, 5 15 Var( X ) 3, 75 4 15 | 1, 94 SD( X ) 2 6.13 a) 0, 239 b) P ( X d 5) 0, 393 P ( X t 7) 0, 607 d) P 10 Var( X ) 100 SD( X ) 10 e) 10 min 6.20 a) 0,525 b) 0,847 c) 0,016 d) 0,002 6.21 a) 0 b) 0,057 c) 0,028 6.22 a) 27 % b) 16 % c) 68 % d) 95 %

6.23 a) 49 b) 52 c) 7

6.51 a) 0,242 b) 0,067 c) P 13 000 cm og V d) 0,977 e) 0,683 f) 0,977

6.30 a) 0,525 b) 0,847 c) 0,016 d) 0,002

6.52

7 og V 2 P 350 og V 0,039 0,758 0,0017 0,0017

a) P

6.31 a) 27 % b) 16 % c) 68 % d) 95 %

b) c) d) e) f)

6.32 a) 49 b) 52 c) 7

6.60 a) 0,080 b) 0,383 c) 2500 g og 1 g d) 0,683 e) 0,383

6.40 a) 0,7304 c) 0,7297

35 1, 71 12 17,1

6.61 a) 0,99996 b) 0,317

6.41 a) 0,8539 c) 0,8490

6.62 a) 0,197 b) 0,789

6.42 b) 0,5708 c) 0,5708 d) 0,9754

6.70 a) 0,021 b) Ja

6.43 a) 0,1319 og 0,5832 b) 0,1324 og 0,5662 6.44 a) 0,647 b) 0,734 c) 0,875 d) Meiningsmålingar er sikrast for dei små partia. 6.50 a) P 800 kg og V b) 0,252 c) 0,818 d) 0,023

100 cm

15 kg

6.71 a) 0,077 b) Nei c) X d 13 6.72 a) 0,027 b) Ja c) X d 51 6.73 Nei 6.74 a) Nei b) X t 27

425

6.80 Ja 6.81 a) Nei b) Minst 134 6.82 a) Nei b) Ja 6.90 a) Ja b) 169,6 cm

REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 a) 0,53 b) 0,25 d) Forventningsverdi: 160 s Varians: 25 600 s2 Standardavvik: 160 s Oppgåve 2 a) Forventningsverdi: 20, varians: 16, standardavvik: 4 b) 0,0993 d) 0,354

6.92 a) Nei b) Ja

Oppgåve 3 a) 0,159 b) 0,683 c) 0,309 d) Forventningsverdi: 20 min, standardavvik: 2,5 min e) 0,212

6.93 a) Ja b) Nei

Oppgåve 4 a) 0,0284 b) Ja

6.91 a) Ja b) 8,87 s

6.94 a) Nei b) Ja

426

Oppgåve 5 a) Ettersom vi gjer 250 «like» forsøk og tel opp antalet der solen losnar, vil X vere binomisk fordelt. b) P 5, V 2, 21 c) Ettersom n p og n(1 p) begge er større enn 5, er X normalfordelt. d) Vi forkastar nullhypotesen når X ! 8, og vi aksepterer han når X d 8. e) Ettersom 9 ! 8, forkastar vi nullhypotesen, og vi kan påstå at solane losnar på meir enn 2 % av solane. Oppgåve 6 a) Normalfordelt. Forventningsverdi: 0,70 L per mil, standardavvik: 0,0167 L per mil b) 0,0672 c) Ja Oppgåve 7 a) H 0 : P 50, H1 : P z 50 b) X er normalfordelt ettersom X er normalfordelt. Standardavviket er 0,95. c) Vi forkastar nullhypotesen og påstår at drektigheitstida i fangenskap er forskjellig frå det «normale».

FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) 1, 2, 7, 14, 23 b) 0, 2, 6, 12, 20 c) 2, 3 , 4 , 5 , 6

2 3 4 5

1.111 a) 4, 10, 28, 82, 244, 730, 2188, 6562 c) Summen er 9848. 1.112 a) an 2n b) an n2 1.113

1 n2 1 b) an 2n c) an 2n 1 n 1 d) an n a) an

1.114 2, 4, 14, 40, 122 1.115 a) 21 b) Tn Tn 1 n, Tn Tn 1 n2 1 c) Tn n n 1 2 1.116 an n2 n 1.117 a) Figur 4: 37 kuler Figur 5: 61 kuler b) Fn 3n2 3n 1 c) Figur 15

1.137 1 an 2 n 2 1.138 n ! 6

1.122 a) s3 14, s5 55, s8 204 1 6

b) n n 1 2n 1 d) 5525 1.123 48 a)

1.140 a) 610 b) 340 c) 820

c) 0,9999 1.124 1 1 1 1 2

| 2, 0793

1 997

1 998

1 1000

1.141 a) a10

37, s10 190

b) a10 14, s10

1.125 14 621,19

1.142 a) n 11, s11 407 b) n 13, s13 702 c) n 40, s40 2460

1.130 a) a7 29, a11 45 b) an 1 4n

1.143 a1 3

1.131 a) Aritmetisk, d 3 b) Aritmetisk, d 4 c) Ikkje aritmetisk 1 d) Aritmetisk, d 2

1.132 b) a10 54, a20 104 c) an 4 5n 1.133 b) Følga er aritmetisk. 1.134 a) a1 30, d 5 1 4

c) a1 4, d 2

1.120 a) 78 b) 2184

1.135 a) 112 b) 13 veker

1.121 a) 35 b) 345

1.136 an 15 3n

1 2

145 2

4, s10 140

c) a10

1.126 6,67

b) a1

1 999

1.144 a1 12, d 10 og s15 870 1.145 a) a15 43 b) an 4n 17 d) s100 18 500 1.146 45 045 1.147 a) 1) 2) b) 1) 2)

935 1175 25 675 61 490

1.148 a) 22 sider b) 238 sider 1.150 a) 1) 28 750 kr 2) 27 500 kr 3) 26 250 kr b) 82 500 kr

427

1.151 a) 50 000 kr b) 63 500 kr, 61 250 kr, 59 000 kr c) 4,5 % d) 52 250 kr e) 347 250 kr

1.163 a) x 2, y b)

1 4

1.178 a) 187 315,48 kr b) 143 606,40 kr

1 2

1.179 a) Ola har ikkje råd. b) 56 506 kr (56 506,38 kr)

1.164 12

1.152 a) 135 000 kr, 132 000 kr b) 138 000 3000n c) 102 000 kr d) 2 130 000 kr

1.165 b) an 12 500 1,05n c) 21,6 %

1.153 a) 140 000 kr b) F.eks. 4 % rente og 30 år eller 3,4 % og 25 år

b) x

1.154 a) a3 40 700, an 43 400 900n b) Rente: 22 500 kr Avdrag: 20 000 kr c) 40 700 kr, an 43 400 900n d) 792 500 kr 1.155 a) 337 500 37 500n b) 13 500 1500n c) 51 000 1500n d) 354 000 kr

x 1

1.170 a) 6560 b) 1,9995 c) 3410

1.184 a) 49 812,79 kr, 41 839,67 kr b) 178 667,29 kr

1.172 13 265,95 kr 1.173 a a) 2 a1

1.160 a) 2, 6, 18, 54, 162 b) 4, 8, 16, 32, 64 1 3 9 27 81 c) , , , , 2 2 2 2 2 3 9 27 81 d) 1, , , , eller 2 4 8 16 3 9 27 81 1, , , , 16 2 4 8

c) s n

a3 a2

1.182 a) 1393,03 kr c) 16 266,50 kr e) Kontant betaling 1.183 a) 15 872,97 kr b) 575,72 kr

1.171 2000 kr (2001,50 kr)

d) 10

428

1 6

c) x 1 x 0 x 1

b) k

1.162 a) 9 tonn b) 8 tonn

1.181 13 536,79 kr

1.166 a) x 1

1.156 a) 26 125 kr b) Rentefoten kan høgst vere 3,5 %.

1.161 a) Nei 1 b) Ja, k 4 c) Nei

1.180 6%

a4 a3

a5 a4

3 2

1.174 b) 14 1.175 a) 80 b) 25 1.176 a) 23 sider (23,4) b) 14 veker 1.177 a) a2 26 250, a5 30 388 b) 314 447 par ski c) 31 445 par ski

1.185 a) 1) 1. år: avdrag: 36 754 kr, rente: 12 500 kr, 2. år: avdrag: 38 592 kr, rente: 10 662 kr 2) 6 år b) 1) 3 000 000 kr 2) 212 857 kr 3) 4,3 % 1.186 a) 567 000 kr b) 113 896 kr c) 5,16 % 1.187 a) 18480,63 kr b) Ja, det stemmer. Beløpet på kontoen passerer 30 000 kr når Ketil gjer innskot nr. 58. c) 0,593 % 1.188 414 998 kr 1.189 a) 192 441,39 kr b) 3 848 827,72 kr c) 158 846 kr

1.190 4 a) 3 3 3 c) 3 1

3 3 3 2

8 b) 5 5 d) 9

1.191 a) Konvergerer, s 200 b) Divergerer, k 1,05 c) Divergerer, k 1,1 2 8 d) k ,s 4 2 2 2 2 2 1.192 a) 1) 494,2 2) 172 b) Rekke 1 konvergerer. Summen er 500. Rekke 2 divergerer. 1.193 256S | 268,1 3 1.194 a) 2,36 cm b) 33,0 cm c) Nei. Pålen kjem 62,5 cm ned i jorda. 1.195 a) 1,89 mg b) 6,43 mg c) I det lange løp vil giftmengda nærme seg 8 mg. Giftmengda i kroppen nærmar seg derfor grensa for det helseskadelege. 1.196 3,2 mg 1.197 a) 1,85 kg c) s20 51,3 kg d) Den totale massen nærmar seg 80 kg. 1.198 a) Geometrisk rekke b) 332,3 cm c) Rekka konvergerer. d) 526,3 cm

1.200 3, 5, 11, 21, 43

1.207 x 3

1.201 100 a) 99

1.208 60 100 2n

b) an

1.209 a) an

2n 1

1.202 a) 26 c) n2 2n 2 d) 122

nummer, n Summen av prikkar, fn

b) fn 8n 7 c) Talet på lag, n Summen av kuler, Sn 1 3 n 6

1 2

9 17 25 33

4 10 20 35 1 3

n2 n

5 6 7 8

while sum < 10: if int(sum) < int(sum+1/i): print("Ledd nr.", int(sum)+1, "er", i) sum += 1/i i += 1

b) Ein eksponentialfunksjon ser ut til å passe. Vi kan vise at når n blir stor, er an | e n J , der J | 0,577 er ein matematisk konstant som blir kalla EulerMascheroni-konstanten. 1.205 a) Veksande for x >0, 1@ og minkande for x >1, o ². 1 Horisontal asymptote y .

1 5

1.206 6n 1

1 2n

1.212 a) 100

b) 12 md.

c) 3300

1.213 a) 36 km b) 18 veker c) 78 mil

mil

1.215 42

sum = 0 i = 1

b) a1

d) 2

1.211 a5 44

22 7

3 4

31 16

1.214

1.204 a) Forslag til Python-kode: 1

n 1

1.210 a) 41 fyrstikker b) 4n 1

1.203 a) Figur-

d) Sn

31 16

1 2

7 10

1.216 1504 1.217 c) 250 000 d) 250 500 1.218 a) T5 15 og T6 c) Tn Tn 1

n 1

1.219 a) 1. år: Renter: 67 500 kr, terminbeløp: 127 500 kr 2. år: Renter: 64 800 kr, terminbeløp: 124 800 kr b) 25 år c) 87 000 kr d) 2 377 500 kr, 877 500 kr

429

1.220 a) 40 000 kr b) 1. år: Renter: 40 000 kr, terminbeløp: 80 000 kr 2. år: Renter: 38 000 kr, terminbeløp: 78 000 kr c) 58 000 kr d) I alt: 1 220 000 kr, renter: 420 000 kr 1.221 25 år (24,10 o 25) 1.222 Lånebeløp: 90 000 kr, 8 årlege terminar og 5 % årleg rente 1.223 16 terminar og årleg rente 3,75 % 1.225 16 1 0,57 1.226 x 4, a1 a4

4, a2

3 6 , a5

2 6 , a3

1.227 a) Terminbeløpet: 101 159 kr, det andre avdraget: 35 173 kr b) 2 528 964 kr c) 111 824 kr 1.228 a) 125 332 kr b) 29 år 1.229 a) 175 903 kr b) Det første året: Renter: 87 500 kr, avdrag: 88 403 kr Det andre året: Renter: 84 406 kr, avdrag: 91 497 kr c) 3 518 060 kr 1.230 a) 498 kr c) s60 26 624 kr d) Hulda bør velje kontant betaling (25 000 kr).

1.231 a) Månadleg avbetaling: 40 613 kr. Kontant betaling. b) Noverdi: 39 612 kr. Det lønner seg med månadleg avbetaling. c) 0,625 % per månad

1.242 a) 15 200 kr b) 116 000 kr c) ca. 17 år (17,2 år)

1.232 b) 4,6 %

1.244 a) 8 slott c) 5,00 m

1.233 a) 660 339,36 kr b) 1) Alternativ 1: 81 444,73 kr 2) Alternativ 2: 31 444,73 kr 3) Alternativ 3: 21 år 1.234 b) 1 801 915 kr d) 24 år (23,1) e) 1,80 %

1.236 a) Rekka konvergerer fordi ho er geometrisk med ¨k ¨ . Summen er 1620. b) Rekka divergerer fordi ho er geometrisk med ¨k ¨! . c) Rekka divergerer fordi ho er aritmetisk. 1.237 a) 520 b) Summen er 162. 1.238 a) a20 77 b) s20 780 c) n 19 n 3 § §2· · d) sn ¨1 ¨ ¸ ¸ 2 ¨© © 3 ¹ ¸¹ 3 f) s 2

1.241 32 cm2

430

b) 4,16 m

1.245 a) 1) 31 475 kr 2) 29 976 kr 3) 28 549 kr b) 90 000 kr c)

1.235 25

1.240 a) s1 1, s2

1.243 6%

3000 3000 3000 ... 60 000 1, 05 1, 052 1, 053

1.246 a) 402 kg c) 2174 kg d) 7143 kg e) 800 kg 1.247 Akseptabel. S 6,7 mg 1.248 3n 1 1.249 b) Summen av alle trekantane vil nærme seg å dekke heile kvadratet. Da blir summen av rekka. 1.250

n 1

( 1) 4 2n 1 d) S S a) an

1.251 a) an

1 (n 1)!

d) S e 3, s3

6, s4 10

1.252 a) Alternativ 1 b) Alternativ 1

1.253 a) 25 b) 40 000 kr c) 1) 0,3 % per månad 2) 3,7 % per år 1.255 Etter 5 timar er snigelen i

100 90 , 181 181

. 1.256 b) Dette gjeld ikkje dersom k ¢ 1,0@. 1.257 679 c) og 1 550

1.258 a) Differansen er ln k. b) Nei n 1 c) k n 1 1.260 ln n 1

2 2.110 a) f c(x ) 2 x 2 b) g c(x ) 6 x 2 1 c) hc(x ) 3x 2 4 x 3 1 d) f c(x ) 8 x 2 2.111 a) f c(x ) 5000 ln1, 05 1, 05x 244 1, 05x b) f c(x ) 20 000 ln 0, 88 0, 88 x

1.308 Alle strategiar gir 10 poeng. Med starttal n gir alle strategiar n n 1 poeng. 2

2.121 a) u(x ) 1 2 x 2 , f (x ) 2

b) u(x ) 2 x x , f (x )

c) f c(x ) 2 x 2 d) f c(x ) 2 x +

b) f c(x ) 6e 2 x 1 3 x

c) f c(x )

3 1 x

2.125 a) f c(x ) =

b) f c(x ) 3 2 x5

c) f c(x ) d) f c(x )

x 2

x 4 2 3 2x

x +1

4 2x x x

2.126 b) f c(x ) 4e 4 x d) f c(x ) 4e 4 x

d) ic(x ) ln4 4 x 1

2.130 1 a) f c(x ) 1 b) f c(x ) c) f c(x )

x 2 + 2x + 2 1

5e x 1 2 c) hc(x ) 2 ln 3 3x

2.115 a) 1 b) 2 c) 1

u(x )

2 x d) f (x ) 4 x x 2 1 e 2 x

b) g c(x )

u(x )

2.122 a) f c(x) 6 3x 1 b) f c(x) 10 5x 1 2 c) f c(x) 3 1 x

2.124 a) f c(x ) 12 x 3x 2 1

2.114 a) f c(x ) 3e x

1.307 n(n 1)(2n 1) d) sn 6

x 2 2x 1

2.112 a) f c(x ) 1,5x 0 ,5 b) f c(x ) 0 ,5x 0 ,5

1.305 For alle n som er delelege med 4. 1.306 For alle n t 1 er an bn cn. Følgene er altså berre beskrivne på ulike måtar.

b) f (x )

2.123 g c(x) 10x 10

1.302 y 0,5n2 0,5n

1.262 2

x 1

2557 0, 88 x c) f c(x ) ln10 10 x

2.113 a) f c(x ) 2, 5x1,5 3 b) f c(x ) 4 x 2 c) f c(x ) 33 x 3 5 d) f c(x ) x 2 2

1.261 45q

2.120 a) f (x )

x 1 x 1 1 1 x

d) f c(x ) 2 x

1 x

e) f c(x ) 3x 2 2

1 x

1.311 c) 2 780 630 kr

431

2.131 a) f c(x ) b) f c(x ) 2.132 a) f c(x ) b) f c(x )

2.145 a) f c(x ) 6 x 5 5x 4

2x x2 1 2x x2 1

b) f c(x ) 4 x 1 x 2 c) f c(x ) 4 2 x 1 x 1

1 2 x 1

x 3, x

b) f c(x )

x 2 e 1 3 x 3

2.149

2 x 5x x 4 x 5

2.142 a) x 2 ln x 1 b) f c(x ) 2e 2 x

2.143

x2 1

2 x 13x 2 1

2 x b) 2 2 x 2 2 x 1 e 2 x

432

x 36

b) c) 3

9 x

25 Størst etter 9 månader, S(9) 1771 3 x 36 x 18 b) Scc(x ) 25 Etter 18 månader, S c(18) 117 2.150 ln x 1 a) 2 ln x

c) 2 x ln(x 2 3) 1

a) 6 x x 2 1

9 5

Minimalpunkt: x 1, x 3

a) Sc(x )

4 x 2x

f c(x ) 7

2.146 Alle funksjonane. Dei kan skrivast som g(x) konstant.

2.148 a) x 3, x 1, x 3 d) Maksimalpunkt:

ex 1

d) f c(x )

2.141 a) f c(x ) c)

1 x2

1 x ln x x ex 2 x x ln 2 1 x2

e) f c(x )

2e x

2x 1

b) Botnpunkt: 1, 8 Toppunkt: 5, 8

2.140 a) f c(x ) 5x 4 6 x 2 2 x b) f c(x ) 12 x 2 3

2x 1

c) f c(x )

2.147 3 a) f c(x ) x 2 6 x 5

2.134 a) 0,4 b) 0,5 c) 1 og 4

b) f c(x )

d) f c(x )

1 x 1 x

2 x 1

3 c) f c(x ) 3 1 x 1 x

c) f c(x )

2x 1

2 x 1 10 x 7

1 2x

2.133 a) f c(x )

2.151 a) f c(x )

x2 1 x2 1

2x 2 8x 1 x 2

3x 2 1 x e3x

2.152 4 ln x a) f c(x ) x3 1 3 ln(3x ) b) g c(x ) x4 2e 5 x 5x 1 c) hc(x ) x2 2.153 (3x 1)e 3 x a) f c(x ) x2 2 ln x b) g c(x ) (ln x x )2 2.154 a) f c(x )

x 2 2x 3 x 1

b) Botnpunkt: 3, 6 Toppunkt: 1, 2 c) x 1, y x 1 2.155 a) Df \^ 2, 2` b) x 0 c) x 2, x 2, y 2 e) Toppunkt: 0, 0 2.156 a) x 1, x 1 b) 0 < x < 1 32 d) Botnpunkt: 3, 27

Toppunkt: 1, 0 e) Horisontal asymptote: y 1 Vertikal asymptote: x 0 f) y 4x 4

2.157 a) x 0 b) x 1, y x 1 x x 2

c) f c(x )

x 1

Toppunkt: 2, 4 Botnpunkt: 0, 0 e) y

3 1 x 4 4

2.158 a) x 0, x 4 b) y 1 d) Toppunkt: 2, 2 Botnpunkt: 1, 1 f) x

1 2

g) Inga løysing: a < 1 eller a ! 2 1 løysing: a 1, a 1 eller a 2 2 løysingar: 1 < a < 1 eller 1 < a < 2 2.159 a) 1) x 4 2) x 2, y x 10 4) Toppunkt: 8, 24 Botnpunkt: 4, 0 b) 1) 90 3) Etter 4 minutter: 170 4) Etter 2 minutt og etter 7 minutt 2.160 1 b) f c(x ) 1

c) Toppunkt:

2.161 a) x 0,05 og x 1,91 1 b) f c(x ) 2 x x

2 1 5 , ln 2 ·¸ 2 2 2¹

2.162 a) 0, 1 b) 0, 1 2.163 a) x e 1 | 1, 31 og x e 1 | 1, 31 c) 0, 1 e) Vendepunkt: 1, ln 2 1 , 1, ln 2 1

1 4

d) 4,48, 0,75 e) x e 1 og x e2 2.165 a) Ca. kl. 4.30, 34 cm b) Kl. 20.00 2.166 a) x 2 c) Botnpunkt: 1, e d) f s(x) xex Vendepunkt: 0, 2 2.167 b) 0, e d) 1, 2 2.168 b) Etter 2 månader, 541 plagg per dag c) Etter 3 månader og 12 dagar, 159 plagg per dag 2.169 a) 1) f c(x) 1 x e x f s(x) x 2 e x 2) 1, 3)

c) Botnpunkt: 1, 1

2.164 b) x 1 og x e

b) 1) 2)

1 e

§ 2, 2 · ¨ e2 ¸ © ¹ Etter 3 månader og etter 2,5 år Salet er størst etter 1 år. Salet er da ca. 3680 par sko per månad. Nedgangen er størst etter 2 år. Nedgangen er da 1353 par sko per månad.

2.172 a) K c(x ) 0, 03x 2 150 I c(x ) 0, 03x 2 444 b) 70 2.173 a) a 0,03 b) b 0,04 c) 1700 einingar, 152 300 kr 2.174 a) I c(x ) 0, 06 x 52 b) K c(x ) 0,10 x 4 c) x 300, 4200 kr 2.175 a) 1) 100 einingar: kostnad: 9800 kr, inntekt: 7700 kr 2) 600 einingar: kostnad: 40 800 kr, inntekt: 43 200 kr b) K c(x ) 0, 04 x 48, I c(x ) 0, 02 x 78 c) K c(600) 72, I c(600) 66. Nei, inntekta aukar mindre enn kostnaden. d) O(x ) 0, 03x 2 30 x 4800 e) 500 einingar, 2700 kr 2.180 a) E(x ) 0, 5x 100 b) Ec(x ) 0, 5

61 250

61 250 x

x2 d) x 350, 450 kr 2.181 a) K c(x ) 0, 8 x 200 b) E(x ) 0, 4 x 200 d) x 110

4840 x

2.170 a) I c(x ) 0, 08 x 750 b) 730 kr c) 729,96 kr

2.182 4418 a) E( x ) 0, 02 x 125 x b) y 0, 02 x 125 d) 470 einingar, 143,80 kr

2.171 a) K c(x ) 1, 2 x 800 b) I c(x ) 0, 8 x 1500 c) K c(350) 1220, I c(350) 1220 d) Størst overskot når x 350 e) O(x ) x 2 700 x 60 000

2.183 2900 a) E(x ) 0, 04 x 60 x b) y 0, 04 x 60 c) K c(x ) 0, 08 x 60 e) 269 einingar, 81,54 kr f) 750 einingar

433

2.212 a) Df b) x 0 c) y 1 d) Toppunkt: 0, 0 g) 12. januar h) 200 cm

2.219 b) Etter 1,3 månader og etter 8,7 månader d) Etter 5 månader, 122 genserar x 0 ,1x 2 e) Scc(x ) 0, 4 x 2 4 x 8 e f) Etter 2,8 månader, 33 genserar per månad

x 1

2.213 a) y 11x 10 b) y 11x 26

2.214 a) 1) y 0

2.220 a) f (1) 0, f (e) 5 b) f (x) 5 ln x 2 ln x c) x 1, x e2 e) 1 < x < e2 f) c 5

2.184 a) E( x ) 30 x 1200

75 000

b) 4275 kr c) 50 komfyrar d) a 108 000 2.200 a) f c(x ) 12 4 x 1

b) g c(x ) 2.201 a) 0 b) f c(x )

x 2

2) f c(x )

2.202 a) 4000 1,08x b) 452 biller per døgn 2.203 a) x ex c) 2x e2x 1 x

7 2

2 x

7 2

2.205 Svaret stemmer ikkje. Eleven har gløymt å sette parentes rundt x i ln x. Vi må skrive ln(x) 2.206 Alternativ 3 og 4 er rette. 2.207 f (x) e2x x2 ln x 2.208 Alternativ 3 er rett. 2.209 a) ex 2x x2 1 x

2 x(1 x ) e2x

2x x 2

2.211 a) Df ¢0, 1² ¢1, o²

434

a) f c(x ) 3x 2 x

x2 3

5 3

b) e x 1 x

2.204

b) f c(x )

10 3 x 2

5 2

b) 1) Etter 1 time og 44 minutt (1,73 timar), 28,9 cm 2) Etter 3 timar, 4,2 cm per time 2.216 c) 1) 8 7 3) 9

2) 1 1 4) 2

2.217 a) x e2 b) f c(x) ln x 1 c) Botnpunkt: e, e d) Ingen vendepunkt 2.218 b) f c(x) x x 2 e x f s(x) x 2 4x 2 e x c) Toppunkt: 0, 2 4 · § Botnpunkt: ¨ 2, 2 2 ¸ e © ¹ Vendepunkt: 2 2 , 1, 62 , 2 2 , 1, 81

2.221 Graf A 2.225 O( x ) 0, 2 x 2 100 x 40 000 2.226 Når bedrifta produserer og sel 300 knivar per dag, er grensekostnaden 480 kr og grenseinntekta 430 kr. Det vil da ikkje lønne seg å auke produksjonen. 2.227 a) Ja

b) 5000 einingar

2.228 a) K c( x ) 1, 2 x 600 I c(x ) 0, 8 x 1100 b) Det lønner seg å auke produksjonen og salet. d) Ved produksjon og sal av 250 radioar per dag 2.229 a) Ved produksjon av 1500 einingar b) K (x ) 0, 02 x 2 110 x 60 000 2.230 Størst overskot når x 40. Overskotet er da 2000 kr. 2.231 a) K c(x ) 0, 8 x 280 b) I c(x ) 0, 2 x 420 c) Ved produksjon av 140 einingar

2.232 a) Det lønner seg ikkje å auke produksjonen. b) Ved produksjon av 300 einingar 2.233 a) Inntekt: Blå graf, kostnad: raud graf b) I c(x ) 0,16 x 58 K c(x ) 0, 5x 15 c) 400,75 kr 2.234 a) K c(x ) 0, 5x 1000 b) E(x ) 0, 25x 1000

62 500 x

2.235 a) I c( x ) 0, 2 x 80 K c(x ) 0, 3x 30 b) I (x ) 0,1x 2 80 x K (x ) 0,15x 2 30 x 1200 c) O(x ) 0, 25x 2 50 x 1200 e) 1300 kr 2.236 a) K (x ) 0, 4 x 2 40 x 20 000 b) 5993 kr 2.237 a) K (x ) 0, 25x 2 200 x 7500 7500 b) E(x ) 0, 25x 200 x 2.238 2000 a) E(x ) 0, 002 x 0, 4 x b) 1000 einingar, 3,60 kr c) K c(x ) 0, 004 x 0, 4 d) 3,60 kr 2.239 a) K c(x ) 0, 2 x 40 b) 150 einingar c) 40 einingar 2.240 E(x ) 0, 6 x 240

2.242 a) 1400 einingar, 131 kr b) K (x ) 0, 02 x 2 75x 39 200 c) I (x ) 0, 01x 2 150 x. Størst overskot ved 1250 einingar, O(1250) 7675 kr. O(x) ! 0 når x 744, 1756 . 2.243 a) Oc(x ) 0, 06 x 120, 2000, 47 800 kr b) 735 x 3265 c) I (x ) 0, 01x 2 220 x d) 1900, 176 kr 2.244 Den produksjonsmengda som gir størst overskot, gir ikkje lågast einingskostnad. Bedrifta har størst overskot ved produksjon av 154 einingar, men ho har lågast einingskostnad ved produksjon av 113 einingar. 2.245 900 a) E(x ) x 10 x b) 70 kr, 30 einingar c) 35 einingar, 325 kr d) a 70, 30 einingar 2.246 K (x ) 0, 04 x 2 80 x 1600 2.247 a) a 0,03, b 45, c 270 000 b) 3000 einingar c) 225 kr d) 5500 einingar, 637 500 kr 2.249 a) 4000 einingar, 72 kr b) 6500 einingar, 105 000 kr c) 88 kr, 6000 einingar

70 000

2.300 a) 0,693 c) 1,609 og 2,303 d) 2,718

2.241 a) K c(x ) 0, 06 x 150 b) E(x ) 0, 03x 150 d) x 700 e) 16 875 kr

14 700 x

2.303 a) 812,50 kr b) 2812,50 kr

3 3.110 a) F (x ) x 2 3x C b) F (x ) x 3 2 x 2 C c) F ( x ) 0, 004 x 5 0, 3x 3 0, 2 x 2 x C 1 3

d) F (x )

x 1 C

3.111 a) 3x C 1 3

1 3

b) x 3 x 2 x C 3.112 1 4 a) x 2 x x x C 2 1 3

b) x 3 9 x C 3.113

1 C 2x 2

2 a) C x

c) 3 3 x C

d) 4t 4 C

3.114 f (x ) x 2 2x 3 3.120 a) 4 ln x C b) 6ln t C c) x ln x C 1 s

d) ln s C 3.121 a) x ln x C b) 2 ln x 2 C c) ln x 2 1 C 3.122 2x a) 2 x 1 b) ln(x 2 1) C 3.130 a) F (x ) e x C b) F (x ) c) F (x )

1 4x e C 4 1 e 2 x C 2

d) F (x ) 2e 0 ,5 x C

435

3.144 b) Areal A 74,66 Areal B 135,44 c) 60,75 d) Fordi det eine området ligg under x-aksen.

3.131 1 a) e 2x + C 2

b) ex e x C 3.132 a) ln x e x C 1

3.150 a) 1 11 c) 2

b) e 5 x x 6 C 3.133 a)

1 2 1

e2x C

b) e 2 x 2e x x C 2

c) e x C d) x 4e x C

2 ln 2 1 e ln 3

3.135

e x

e (e x 1)2 ex b) x C e 1 a)

3.136 a) 118 241 1,07x C b) 156 454 0,88x C 3.140 a) 18 c) 25,33 e) 25,30 3.141 b) 1) 56,30 2) 57,08 3) 57,16 c) 57,16 343 d) | 57,17 6 3.142 32 3 3.143 0,75

436

b) 25,01 d)

76 3

1 2

Dei to areala avgrensa av grafen til f og linjene x 0 og x 2, er like store (høvesvis under og over x-aksen). 3.168 a) E b) C D F A B E

b) 8 d) 6

5 1

3.170 96 3.171 9 3.172 a) 11,4 mål b) 245 m

14 ln 2 7 d) ln 8 b)

3.173 a) 27

b) a 6 3 | 3, 30 3.174 a) 22,9 km2 b) 6,2 km2

3.161 15 b) 2

3.162 125 a) 6

3.163 64 3

x 3 2 x dx 0

3.160 8

c) 36

1 e

3.167

3.154 15 a) 4 ln 2 26 b) 3 3.155 a) 4 ln 3

d) 0

3.151 a) 15 8 b)

3.153 a) 0 8 c) 3

3.166 b) x 0 eller x 6

3.152 a) ln 2 b) e2 1

3.165

b) 8

3.134 1 a) 22 x C

3.164 37 12

15 2

9 2 8 d) 3

3.200 F (x ) 2x 3 x 2 x 8 3.201 a) 1 b) g (x ) 2 x 2 3x 6 3.202 2 a) C x 1 b) 2 C x

3.204 a) 10 min 3.205 a) f c(x ) x 2 2 x 3 b) f (x ) c) 1,

11 3

x 3 x 2 3x

3.206 a) 3 ln x

2 x

b) 2 ln x 8 x C c) 3e x 2e 2 x C

3.217 a) 2 250 000 b) Ca. 550 000 og ca. 308 000 c) Ca. 37 år 3.218 a) 0, 0 og 4, 12 32 b) 3 3.219 a) 16 b) a3 2a2 8a c) a 2, a 0 eller a 4

3.207 1 b) 2 ln 2 e

3.221 8 3

3.208 Ca. 25,5 m2

3.222 a) 2 2 2 ln

3.209

b) 2 2 2 ln 2 1 , arealet blir det same uansett kva for tangent vi vel.

ln 5 ln 2

1 1,32

3.210 b) x 1,86 og x 4,54 c) 15,95 3.211 9 2 3.212 36 3.213 9 2 3.214 c) 0,199333 d) 0,199335 3.215 a) 78 c) 12 153 d) 5625 3.216 a) a 3 b) a 4

2 1 | 1, 07

3.223 Forholdet mellom arealet av F 4 og arealet av T er . 3 3.224 8 b) 3 3.225 a) I1c(x ) 70 , I 2c ( x ) 0,1x 90 b) I1 70 x , I 2 0, 05x 2 90 x Viss salet er 0, er inntekta også 0. c) Begge delar blir 7000 (kr). d) 8500 kr e) 400 3.227 c) C 0 d) ln 2 3.228 1 Minste areal er (for k 1), og største areal er

6 1 (for k 3

3.300 y x 3.302 Toppunkter: 2, 4 og 6, 4 Botnpunkt og nullpunkt: 4, 0 3.303 a) 5,27 millionar b) 20,7 % c) 39,8 år d) 40,5 år g) 50,1 år 3.305 b) Følga er geometrisk. 3.307 a) 1 b) 1 c) Alle n 1 d) Integralet er lik S!

4 4.110 a) 6,4 millionar kroner b) 29,08 millionar kroner. Dette er den totale lønnsutbetalinga som bedrifta hadde i perioden. 4.111 a) 7,66 millionar kroner b) 3,0 % c) 50,4 millionar kroner. Dette er den samla omsetninga som bedrifta hadde i perioden. 4.112 a) 893 einingar b) 28 974. Dette er talet på selde kaffimaskinar det første året. c) 557 kaffimaskinar 4.113 a) 550 einingar c) 33 397 einingar

1).

437

4.133 a) f (t )

4.114 a) 3683 kr b) 2578 kr 4.115 b) 221 sofaer c) Sc(x ) 40e 0 ,1x 5xe 0 ,1x d) Sc(10) 3, 68. Salet er i ferd med å minke med 3,68 einingar per veke. e) Ca. 5800 sofaer (5823 sofaer) 4.116 a) 523 mg

b) 491 mg

4.120 a) f (x ) 1200 e 0.062 x b) 828 kr c) 10 164 kr d) I byrjinga av november 4.121 b) 556. Svaret fortel at det i alt hadde vore 556 frammøtte i løpet av de 10 første vekene. c) a 19. Svaret fortel at det går 19 veker før det i alt har vore meir enn 1000 frammøtte. 4.122 8,2 4.123 a) f (x ) 10 677 e 0 ,023 x 4.124 b) Etter 6 veker. Da er R-talet 1. c) 4427 d) 20 355 4.130 b) Etter 19 år c) 195 000 4.131 a) 100 c) 1) Etter 3,4 månader 2) Etter 6,9 månader d) 400 4.132 a) y

300 1 299e 0 ,2t c) Etter ca. 32 dagar

438

125 1 9e 0 ,18t c) 113 600 d) 113 600 e) 125 000 4.134 a) 2500 b) 2216 d) Etter ca. 13 år e) Nærmar seg 1800 4.135 a) y

24, 3 1 1, 44e 0 ,53t c) 24,3 millionar kroner 4.136 a) Modellen passar veldig godt. b) Folketalet vil nærme seg 8,0 millionar. c) Like før 1. januar 2032 6 d) g (t ) 1 0, 5e 0 ,0916t 4.140 a) 10 000 b) Ca. 17 000 c) 1) 667 innbyggarar per år 2) 733 innbyggarar per år 3) 247 innbyggarar per år e) Etter ca. 7 år f) Folketalet vil nærme seg 30 000. 4.141 a) 367 harar 140 000 e t b) hc t 2 1 175 e t c) hc(t) o 0 når t o f Talet på harar vil nærme seg 800. 4.142 b) Ca. 2500 fuglar per år 4.143 a) 2000 b) 1) Ca. 1700 2) Ca. 1500 d) 1) 86 elgar per år 2) 11 elgar per år e) Etter 3 år f) Talet på elgar vil nærme seg 1400.

4.144 a) 75

270 e 0 ,3t

b) f c(t )

1 3 e 0 ,3t c) 1) 20 kaninar per månad 2) 1 kanin per månad e) 300 4.150 1 2x 1 a) e C 2

b) e

1 2x

c) ln x 3 C 2

d) ln 4 3x C 3

4.151 1 a) (x 1)3 C 3 1

b) (2 x 3)4 C 8

c) d)

1 x 2 2

2 x

4.152 2 x 3 a) 2e C b) 2 ln x 2 x C c) ln 3x 2 3x 5 C d)

2x 1 2 C

4.153 a) ln x 2 3x C b) ln ln x C 4.154 3 a) e x C 1

b) (ln x )3 C 3

x2 1 C

4.155 2 a) e x C c) 1) 1,72 2) e 1 4.156 a) 3 (ln 2)2 b) | 0,24 2 7 c) ln 3

4.206 70 000 bakteriar

4.157 a) 2 2 b) 4 2

4.171

4.158 1 a) e 5 e 3

1 b) 2

4.172 a) A 1, B 3 b) 3 ln x 2 ln x 1 C

x 2 C a) ln x

4.159 1 a) 10 b) ln(e 1) ln 2 ln

e 1

7 c) 3

1 x ln C 6 x 6

4.173 a) ln x 1 ln x 2 C b) ln x 2 3x 2 C 4.174 a) ln x 2 2 ln x 3 C b) ln x 2 ln 2 x C

4.160 a) xe x C b) 2 x ln x 2 x C

4.175 2 ln x ln x 1 4 ln x 1 C

4.161 1 1 a) e 2 x x C

4.176 1 a) x 2 ln x 1 3 ln x 1 C

2 1 (3e 4 4

b) x 2 3x ln x 1 C 2

4.162 1 1 a) x 3 ln x x 3 C 3

b) (x x 1)e C x

4.163 1 1 a) x 5 ln x C 5

b) e (x 1) C 4.164 a) 2 ln 2 b) 4(2 ln 2 1) 4.165 2 2 a) x x ln x C 3

b) c)

2 1

3 1 (ln x 1) C x 5 5x e 2 x e 2 x C 2 2

d) (x 4 x 5)e C 4.166 1 x2 2 e (x 1) C 2

4.170 a) A 2, B 2 x b) 2 ln C x 1

4.200 45 592 kr 4.201 b) 10 000 kr c) 10 x 150e 0 ,2 x 100e 0 ,4 x d) 3 600 000 kr. Svaret er ein tilnærmingsverdi for samla omsetning i løpet av eitt år. 4.202 a) A1 5. Det samla overskotet var 5 millionar dei to første månadene. b) 20,5 millionar kroner c) Etter 9 månader (1. oktober), 35,5 millionar kroner 4.203 0 ,6 x 0 ,1x 2 b) f 3 (x ) 1000 e og 0 ,6 x 0 ,025 x 2

f12 (x ) 1000 e d) 5654, 22 591 og 203 637 e) 8,3 veker 4.204 a) A 12, B 5 4.205 Graf 3

b) c 0,2

4.207 a) N 100 b) y 10 c) 220, 50 . Vekstfarten er størst i vendepunktet. 4.208 c) Etter 20,2 timar x 20,21 . Populasjonen veks med f c 20,21 188 gjærsoppar per time. d) Stabiliserer seg rundt 3707 gjærsoppar. e) Populasjonen auka med 3230 gjærsoppar. 4.209 b) 55 apar c) Etter omtrent 9 år. 72 apar per år. d) 930 apar e) 16 % auke per år f) a 107,8 4.210 a) f (x )

28, 9 1 8, 84e 0 ,30 x b) Ja, han klarer det etter ca. 13 veker c) Etter 7,2 veker d) Ca. 181 km 4.211 a) Lineær: f (x ) 12, 6 x 135 Eksponentiell: g (x ) 244 1, 025x Logistisk: 894 h(x ) 1 4, 23e 0 ,058 x (x er alderen i år, funksjonsverdiane årslønna i kroner) c) 837 000 kr d) Etter 61 år e) 25,5 år, 13 000 kr/år f) 30 632 000 kr, total lønn frå ho er 25 til 70 år. 4.212 a)

2 9

3x 5 2 C

b) 2ln x x C c)

2 x 3

x 4 x C

439

4.227 5 3 a) x 2 x 1 b) 5 ln | x 2 | 3 ln | x 1 | C

4.213 1 ln(x 2 5) C 2

4.214 ln x ln ln x C 4.215 1 ln 7 ln 3 2

4.228 a) ln x 2 x C

1 7 ln 2 3

2 15

4.216 b) 7 3

1 2 ln x C 2

4.217 c) Konstantane (C) er forskjellige.

4.229 a) A 1, B 2, C 3 b) ln x 1 2 ln x 2 3 ln x 3 C

4.220 a) 2 x 2 3x C 2 b) 4e x C c) ln x 1 ln x 2 C 4.221 a) 1) 2 x 3 2 x 2 x C 1 2 2) e x C 2 3) (x 2 2 x 2)e x C b) 1) 2 ln 2 2 2) ln3 4.222 a) 2 ln x 2 4 C b) ln x 2 ln x 2 C c) 2 ln(x 2 4) C 1

d) e 2 x (4 x 2 4 x 2) C 8

4.223 2 a) e x

b) ln x 2 ln x 5

4.224 a) 2e 2 2 b) ln3 4.225 a) x 2 2 e

1 x2 2

b) 3 ln x 1 2 ln x 1 C

3x 2 x 1 2 C

4.300 a) 4,36 m/s b) 3256 m c) 3 min 36 s e) v(t 0 ) v (t 0 ) | 4, 63 m/s. Farten til Therese minkar utover i løpet (bortsett frå dei første få sekunda). Når farten og gjennomsnittsfarten er like, vil derfor gjennomsnittsfarten minke når ho løper vidare fordi farten minkar. 4.302 Omtrent kvart 10. år (9,64 år). 4.303 c) k 40 000c d) Etter 36 dagar

d) 2

5.110 a) 0, 1 eller 2 5 b) 1) 14 3 3) 28

x 1 e

ex 3 C e) ln x e 3 4.226 e 2

440

5.113 a) 0,02 c) 0,56 5.114 a) 0,0729 d) 16 biler

0, 40 0, 24 0,144 0, 0864 0, 40 0, 64 0, 784 0, 60n 1 0, 40 b) 0,88 d) 0,0172 b) 0,3439

5.115 a) 0,75 b) Utfallsrommet er alle dei naturlege tala. c) P ( X 1) 0, 25 P ( X 2) 0,188 P ( X 3) 0,141 d) P ( X d 1) 0, 25 P ( X d 2) 0, 438 P ( X d 3) 0, 578 e) P ( X n) 0, 75n 1 0, 25 f) 0,019

5.120 a) x

4.308 8 f) 3

5.112 a) P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3) P ( X 4) b) P ( X d 1) P ( X d 2) P ( X d 3) c) P ( X n)

5.116 a) 2, 3, 4, … c) P ( X 6) | 0,196 d) 12 e) 42

4.307 1 a) e 3 1 2 b) 0

c) 2 ln x 1 ln x C

5.111 a) p 0,08 b) 0,36

15 2) 28

P(X x)

0,047

0,187

0,311

0,276

0,138

0,037

0,004

b) 0,726 c) 0,953 d) 0,996

5.132 a) 0,38 b) x

5.121 a) 18 b) 0,185 c) 0,002 5.122 a) 0,204 b) 0,575, gir sannsynet for at minst fire av dei som blir intervjua, snuser. 5.123 a) 10 b) 0,103 c) 0,275 d) 0,014

0,1510

0,3776

0,3357

0,1079

0,0108

0,0002

5.144 a) 2,4

P(X x) 0,9600

100

0,0250

500

0,0125

2500

0,0025

5.140 a)

5.127 a) 0,624

P(X x) 0,0006

0,0140

0,0983

0,2840

x P(X x)

0,3651

(x P)2 P(X x) 0,063 0,205 0,008 0,226 0,502

0,2008

0,0372

5.150 a) x P(X x)

b) 0,176

P(X x) 0,16 0,48 0,32 0,05

Sum 1

3 Sum

P(X x)

1 8

3 8

1 8

x P(X x)

3 8

3 4

3 8

3 2

3 Sum

5.141 a)

P(X x)

1 6

1 3 1 2 10 30

x P(X x)

1 6 1 2 10 10

6 5

b) E(X) 1,2 5.142 a) p 0,25 b) 4,9

Sum 1

0,268 1,071 0,536 1,875

5.151 a) p 0,12 b) 5,2 c) 1,28, 1,13

b) E(X) 1,5

5.130

0,018 0,268 0,536 0,179

b) 0,50, 0,71

5.134 a) 0,0040 b) 0,0076

5.126 b) 0,934 c) 0,736 d) 195

c) 2,4

5.145 a) Matematikk: 3,31, tysk: 3,49 b) I matematikk. Sannsynet er 0,40 i matematikk og 0,38 i tysk.

b) 0,76 c) 0,75

c) 0,04 d) 0,015

b) 2,4

5.146 4,5

5.133 a) x

5.125 a) 0,196 b) x

5.131 a) 0,266 b) 0,859 c) 0,048

P(X x) 0,0168

c) 0,82 d) 0,45

5.124 Minst 17 gonger

5.143 a) 30 kr b) 100 000 kr

5.152 a) Forventningsverdi: 3, varians: 1, standardavvik: 1 b) Forventningsverdi: 3, varians: 1, standardavvik: 1 5.153 a) Forventningsverdi: 400, varians: 240, standardavvik: 15,5 b) Forventningsverdi: 400, varians: 240, standardavvik: 15,5 5.154 a) Forventningsverdi: 1,8, varians: 0,56, standardavvik: 0,75 b) Forventningsverdi: 1,8, varians: 0,56, standardavvik: 0,75 5.155 b) 0,2 og 0,8 eller motsett

441

5.160 a)

P(X x) 0,958

x 0 500

0,04

1000

0,002

5.204

5.172 a) 2 3

b) P 2, 67, V c) 0,790 d) 0,889

0, 94

b) 30 kr, 59 100 kr , 243,10 kr c) y P(Y y) 50

0,958

–450

0,04

–4950

0,002 2

d) 20 kr, 59 100 kr , 243,10 kr 5.161 a) E(X) 2,15, Var(X) 1,03 (1,0275) b) 4,30, 2,06 (2,055) c) 0,185 5.162 b) 0,45 c) 1,55, 0,80 d) 31 000 kr, 16 000 kr 5.163 a) p 0, 2 b) E( X ) 1, 7, Var( X ) 0, 81 c) 1) E(Z ) 3, 4 2) Var(Z ) 1, 62 5.164 a) E(Z ) 4 b) Var(Z )

175 3

5.170 a) P 0, 75, V b) 0,392 c) 0,973 d) 0,026

442

0, 798

5.176 a) x (kr) b) c) d) e) f)

500

0,76

0,20

0,04

P 30 kr , V 97, 98 kr 100 kr 0,30 P 40 kr , V 25, 30 kr P 70 kr , V 101,19 kr

5.200 a) 0,24 5.201 b) 0,519 5.202 Nei

b) 0,26

P(X x) 0,03

0,30

0,50

0,17

5.205 3 b) 13

5.175 a) E( X ) 150, Var( X ) 37, 5 b) 0,914 c) 0,041

5.203 a) 0,2250 b) 0,7417 1, 398

4, 27

5.174 a) E( X ) 4 b) Var( X ) 0, 8, 0, 89 c) Forskjellen i talet på mål mellom laga etter straffesparkkonkurransen d) E(V ) 0, Var(V ) 1, 6 e) 0,32

P(X x)

5.165 a) E( X ) 1, E(Y ) 0, 6 b) Var(X) 0,6, Var(Y) 0,44 c) S X Y er det totale vekesalet. d) E(S) 1, 6, Var(S) 1, 04 e) 0,16

5.171 a) P 2,1, V b) 0,351 c) 0,113 d) 0,337

5.173 a) P 24, V b) 0,093 c) 0,441 d) 0,708 e) 0,954

x 0

c) 0,63

1 2

5.206 21 raude ballar og 15 grøne ballar 5.207 a) 1) 0,21 2) 0,97 b) 1) 0,04 2) 0,42 3) 0,05 5.208 a) p 0,20 b) 1,5 5.209 a) p 0,10 b) 2,0 c) 1,2 5.210 a) p 0,2 b) a 8 c) Var(X) 12,4 5.211 1 1 og b 6 3

5.212 a) a 1 b) Var(X) 3 5.213 a) p 0,30 b) E( X ) 1, 55, Var( X ) 1, 65 5.214 a) x P(X x)

2 5

1 5

b) E( X ) 4, Var( X )

6 5

5.215 2 b) 3

7 c) 18

d) a 18

5.216 a) 1) x 0

P(X x) 0,033

0,300

0,500

0,167

2) E( X ) 1, 8 3) Var( X ) 0, 56 b) 1) y P(Y y) 0

0,064

0,288

0,432

0,216

5.300 a) E( Xn ) 1 for alle n, n 1 Var( Xn ) n 5.301 b) 6

b) Var( X ) Var(Y ) 262 109 375 26 244

| 9987

Var( X Y ) 0. Rekneregelen gjeld berre når X og Y er uavhengige. 5.224 E( X ) 200, Var( X ) 160

5.217 1 1 5 b) a ,b ,c 4 3 12 5.218 a) E(Z ) 5 b) Var(Z ) 2, 0

1 a) p 3 b) y

–50

–100

P(Y y)

5 9

1 3

1 9

5a 250 c) E(Y ) , 50 kr 9 9 5.226 a) P 88, V b) 0,84 c) 0,72

3, 25

b) 15,2, 3,90

5.220 D minst, så A, B og E med lik, og C størst. 5.221 1 a) E( X ) 1, Var(X ) 2 1 5 , Var(Y ) b) E(Y ) 3 18 c) 100, 300, 460, 500, 660, 820, 860, 1020, 1220 d) 420 kr 25 e) 144 5.222 a) Ikkje sann b) Sann c) Ikkje sann (men sann viss X og Y er uavhengige). d) Usann

5.227 a) x P(X x)

–100

4 5

1 5

b) E(X) 20 kr. Arrangøren tener i det lange løp 20 kr på kvart spel. 5.228 a) P 9, V b) 0,40 c) 0,94 d) 0,57

5.302 d) Det største heiltalet mindre eller lik (n 1) p (viss (n 1) p er eit heiltal, er dette og (n 1) p 1 begge dei mest sannsynlege).

5.225

2) E(Y ) 1, 8 3) Var(Y ) 0, 72

5.219 a) E(Z ) 10, 4

5.223 575 a) E( X ) | 3, 55 kr, 162 575 E(Y ) | 3, 55 kr, 162 E( X Y ) 0

6.110 c) Forventningsverdi: 70 km/h Varians: 33,3 km2/h2 Standardavvik: 5,8 km/h d) a 65 6.111 a) 0,11

c) 2500 timar

6.112 Funksjonane i A og C 6.113 a) 0,83 b) 0,38 d) Forventningsverdi: 100 s (1 min 40 s), standardavvik: 100 s (1 min 40 s) 6.114 a) a

1 9

b) Forventningsverdi: 2,25, varians: 27 , 80

standardavvik: 3 1, 90

5.229 3 5.230 a) P 50, V 6, 32 b) 0,46 c) 1) 0,696 2) 0,952 d) 150 000 kr, 18 974 kr

15 20

6.120 a) 0,495 b) 0,500 c) 0,122 6.121 a) 0,477, sannsynet for at ein tilfeldig vald husstand har eit straumforbruk mellom 24 000 kWh og 32 000 kWh. b) 0,683 c) 0,954

443

6.122 a) 0,683, sannsynet for at kjøleskapet fungerer normalt mellom 10 og 14 år. b) 0,023 c) 0,977 d) 0,136 6.123 a) 1) 0,683 b) 0,159

2) 0,307

6.124 a) 0,5 c) 0,25

b) 0,984

6.125 a) 0,196 c) 0,595

b) 0,054

6.126 a) 1,28 c) 1,09

b) 1,96

6.127 a) 0,6827 c) 0,999999998 | 1 6.130 Sjå oppgåve 6.121. 6.131 Sjå oppgåve 6.124. 6.132 Sjå oppgåve 6.125. 6.133 a) 1) 0,383 3) 0,841 b) 0,602 6.134 a) 0,023 c) 0,819 6.140 a) 0,654 6.141 a) 0,126 c) 0,126

444

2) 0,841

b) 0,159

c) 0,654

6.142 a) Fordi det er mange svar å velje mellom. b) P 6, V 2, 26 c) Ja, variansen er større enn 5. 6.143 a) Var( X ) 24, 84 ! 5 b) P 46, V 4, 98 c) 0,721 d) 0,721 e) 0,817 f) 0,817 6.144 a) Var( X ) 25, 6 ! 5 b) P 128, V 5, 06 c) 0,946 d) 0,947

6.154 a) 0,495, sannsynet for at Aurora bruker mellom 11 og 13 minutt til toget b) 0,50 c) 0,86 d) 0,23 6.160 a) 0,383 b) 400, 80 c) 1) 0,789 2) 0,468 6.161 a) 1000 g, 0,75 g b) 0,992 c) 0,818 (Med tabell: 0,816)

6.145 b) Binomisk fordeling: 0,734, tilnærma normalfordelt: 0,732

6.162 a) 0,309 b) 1000 g, 2 g c) 0,383 d) 0,159

6.146 a) 0,776 b) Var( X ) 1, 875 5 c) Var( X ) 187, 5 ! 5 d) 0,076 e) 0,077

6.163 a) Normalfordeling b) 0,683 c) 0,954

6.150 a) 60 kg, 2,12 kg b) 0,50 c) 0,50 d) 0,17 6.151 a) 0,683 b) 4200 cm, 22,4 cm c) 0,186 d) 0,736 6.152 a) 125 kg, 1,06 kg b) 0,03 c) 0,94 d) 0,03 6.153 a) 7, 2,42 b) 140, 10,8 c) 0,50 d) 0,65 e) 0,03

6.164 a) 0,323 b) Normalfordeling, 9,0 kg, 0,3 kg c) 0,904 d) 0,895 6.170 a) 0,218 b) 0,0867 c) Nei 6.171 a) 0,285 b) 0,0432 c) Ja 6.172 a) H0 : p 0,70 H : p ! 0,70 b) 0,0266 c) Ja

6.180 a) Var(X) 47, 5 ! 5 b) 50, 6,89 c) H0 : p 0,05 H : p ! 0,05 d) 0,0552 e) Nei 6.181 a) Var(X) 40,1 ! 5 b) 44, 6,33 c) H0 : p 0,088 H : p ! 0,088 d) 0,0291 e) Ja 6.182 a) Var(X) 128 ! 5 b) 160, 11,31 c) H0 : p 0,20 H : p ! 0,20 d) 0,0385 e) Ja 6.183 a) Var(X) 64 ! 5 b) H0 : p 0,20 H : p 0,20 P-verdien er 0,040. c) Ja 6.184 a) Var(X) 31, 68 ! 5 b) H0 : p 0,12 H : p 0,12 c) 0,0776 d) Nei 6.185 a) Ja, for P-verdien er 0,0332 0,05. b) 357 6.190 a) H0 : P 100 H : P 100 b) Ja 6.191 a) H0 : P 12 H : P 12 b) 0,1587 c) Nei d) 11,17 md.

6.192 a) H0 : P 25 H : P 25 2 b) 25 md., md. 3 c) 23 md. d) 0,014 e) Ja f) 23,9 md. 6.193 a) H0 : P 100 H : P ! 100 b) 3,11 timar c) 1) 0,0269 2) Ja 3) 105,1 timar d) Ettersom P-verdien er større enn 0,025, er det ikkje grunn til å hevde at levetida er lengre enn 100 timar. 6.194 a) 250 g, 1,46 g b) 246,2 g c) 0,0046, ja 6.195 a) 0,34 b) 0,31 c) 0,68 d) P-verdien er 0,064. Det er ikkje grunn til å seie at delane er for lette.

6.200 b) 0,45 c) 0,30 d) 115,13 min e) Forventningsverdi: 50 min f) Varians: 2500 min2, standardavvik: 50 min 6.201 a) 0,25 c) 7 år

b) 0,26 e) 3 år

6.202 a) Forventningsverdi: 1 , 2 varians: 1 3 c) 3 6.203 Benthe har gløymt å sjekke om f (x ) t 0 kan ikkje vere ein f. 13 Det er det ikkje, så a 20 sannsynsfordeling for nokre tal a. 6.204 16, 4 6.205 f (x ) g (x )

1 2 2S 1 3 2S

6.206 a) 0,0912

e e

( x 8 )2 8 ( x 8 )2 18

6.196 a) 0,383 b) Normalfordeling, 100 mm, 0,4 mm c) 0,9876 d) 99,08 mm e) P-verdien er 0,011. Det er grunn til å tru at spikrane er for korte.

6.207 a) P V og P V b) Forventningsverdi: 4, standardavvik: 2.

6.197 a) 0,004 b) Ja, ettersom P-verdien er mindre enn 0,05, har vi grunn til å klage. c) 57,5 g

6.209 0,39

b) 26,1 %

6.208 a) 0,022 b) 0,287 c) 0,683

6.210 0,16

445

6.211 0,6179 6.212 a) 0,35 2) 0,98 b) 1) 0,85 c) P 2, 5, V 1, 0 f) X er tilnærma normalfordelt.

6.222 a) Forventningsverdi: 12, standardavvik: 3 b) Frå sentralgrensesetninga veit vi at X har omtrent same fordeling som Y. c) Figur 1 og 2 d) Figur 3

6.228 a) 0,625 b) 142 g c) Nei d) 96,6 g

6.223 a) E(X) 1,2, Var(X) 0,36 b) S er tilnærma normalfordelt ifølge sentralgrensesetninga. c) E(S) 480 Standardavviket 12 d) 0,57 e) 0,048

6.229 a) Nullhypotese H 0 : P 6, 00, mothypotese H : P 6, 00 b) P-verdien 0,097. Ettersom P-verdien er større enn signifikansnivået 0,05, er det ikkje grunnlag for å hevde at den nye modellen bruker mindre bensin enn den gamle. c) 5,84 liter

6.224 a) 1) 0,81 2) 0,035 b) H0 : p 0,30 H : p > 0,30 c) P-verdien er 0,036 0,05. Vi har grunn til å hevde at meir enn 30 % av bilistane køyrer for fort.

6.230 a) 11, 0,5 b) 0,0228 c) Ettersom P-verdien er mindre enn 0,05, er det grunnlag for å hevde at levetida er mindre enn 12 år. d) 11,18 år 6.231 Nei

6.218 a) P 24, V 3,1 b) Var(X) 9,6 > 5 c) 0,4402 d) 0,4359 e) n 21

6.225 a) Binomisk, P 127,5, V 4,37 b) Var(X) 19,1 ! 5 c) Nullhypotesen H0 : p 0,85 Mothypotesen H : p < 0,85 d) P-verdien er 0,0025. e) Ja, det er grunn til å hevde at bruken av bilbelte har gått ned.

6.219 Alternativ 3

6.226 Brukaren har rett.

6.220 a) Graf 1 b) Graf 2 og graf 4 c) Forventningsverdi: 40, standardavvik: 10

6.227 a) 0,002 b) Det er grunn til å tru at kurset får fleire til å klare denne eksamenen. c) 82

6.213 a) 0,726

b) 0,841

c) 25

6.214 Ja (49,5 % er omtrent 50 %). 6.215 Forventningsverdi: 6, standardavvik: 5 6.216 a) Var( X ) 16 ! 5 b) P 80, V 4 6.217 a) 0,0035 b) P 36, V 2, 7 c) Var(X) 7,2 ! 5 d) 0,2975 e) 0,2879 f) p 0,87

6.221 1) f 3) h

446

6.232 a) 0,252 b) 0,495 c) H 0 : P 0, 33 L, H1 : P 0, 33 L. Det er grunnlag for å forkaste nullhypotesen. d) 0,359 L 6.300

2) g 4) k

a) P ( X

b) 0,180 c) P 8, V

2,19

STIKKORD A absoluttverdi 112 aksepteringsmengde 263 alternativ hypotese 261 analysen sitt fundamentalteorem 128 annuitetslån 42 ff, 44, 57 – avdrag 44 – sum av noverdiar 45 – terminbeløp 47, 57 antiderivasjon 108 ff antiderivert 108 ff, 114 ff, 128 ff, 140 areal – integral 119 ff, 131 ff, 137 ff, 141 – mellom graf og x-akse 199 ff – mellom to grafar 137 – under graf 119 ff aritmetisk følge 19 ff, 56 – ledd nr. n 19, 56 aritmetisk rekke 22 ff, 56 – sum 22, 56 asymptote – logaritmefunksjonen 71, 77 avbetaling 42 avdrag 25 – annuitetslån 44, 56 – serielån 26, 57 B bestemt integral 119 ff, 128 ff, 140 – antiderivasjon 128 – som grense for ein sum 119 bevis – delvis integrasjon 170 – einingskostnad 91 – kjerneregelen 70 – kvotientregelen 79 – sumformel for uendeleg geometrisk rekke 51, 52 binomisk fordeling 191 ff – forventningsverdi i 219 ff – hypotesetesting 260 ff – varians i 219 ff binomisk forsøk 191, 219 binomisk modell 192 D delbrøkoppspalting 174 ff, 175, 179 delvis integrasjon 170 ff, 179 derivasjon 62 ff, 98 – anti-

– eksponentialfunksjon 64 – kjerneregel 67 – logaritmefunksjon 72 – produkt 73 – rasjonal funksjon 76 – reglar 98, 99 – samansett funksjon 67 deriverbar 63 derivert – anti- 108 – eksponentialfunksjon 64 – ln x 72 – logaritmefunksjon 72 – polynomfunksjon 63 – produkt 73 – rasjonal funksjon 76 – rotfunksjon 64 – samansett funksjon 67 deterministiske forsøk 185 differensial 168 diskret stokastisk variabel 185 ff, 222 divergent rekke 51 ff, 57 dobbeltsidig test 274 drøfting – av eksponentialfunksjon 83 ff – av logaritmefunksjon 80 ff

– deterministisk 185 – hypergeometrisk 196 – stokastisk 185, 222 forventningsverdi 201 ff, 222, 223, 278, 279 – i binomisk fordeling 219 ff, 223 – reknereglar 202, 214, 215, 218, 222, 223 fundamentalsetninga 128 ff, 141 følge 8 ff, 56, 57 – aritmetisk 19 ff – geometrisk 32 ff – uendeleg 14

E einingskostnad 91 ff, 97, 99 eksplisitt formel 9, 19, 33 – aritmetisk følge 19 – geometrisk følge 33 eksponentialfunksjon – derivert 64 – drøfting 80 ff – integrasjon 114 ff eksponentiell modell 152 ff endeleg rekke 14, 57 estimat for P 257 estimator 257

H histogram 193, 194 hypergeometrisk – fordeling 196 ff, – forsøk 196 hypotese – alternativ 261 – forkaste 262 – mot- 261 – null- 261, 278 hypotesetesting 260, 279 – av forventningsverdi 270 ff, 279 – i binomisk modell 260 ff – med normalfordeling 267 ff høgresidig test 265, 275

F fibonaccitala 10 figurtal 7, 12 fordeling – binomisk 191 – hypergeometrisk 196 – kumulativ 193 – normal- 235 ff, 240 ff – sannsyns- 185 forkaste hypotese 262 forkastingsmengde 263 forsøk – binomisk 191, 219

G geometrisk følge 32 ff, 57 – kvotient 32 – ledd 32 – ledd nr. n 33, 57 geometrisk rekke 36 ff, 57 – sum 36 ff, 52, 57 – uendeleg 51, 52, 57 gjennomsnitt og normalfordeling 257 ff grenseinntekt 86 ff, 88, 99 grensekostnad 86 ff, 99

I indre funksjon 67 inntektsfunksjon 88 integral 109 ff integral og samla resultat 148 ff, 179 1 integralet ³ dx 112 ff x integralteikn 109 integrand 109

447

integrasjon – areal 119 ff, 131 ff, 137 ff, 140, 141 – delbrøkoppspalting 174, 175 ff, 179 – delvis 170 ff, 179 – eksponentialfunksjonar 114 ff, 140 – variabelskifte 167 ff, 179 integrasjonsformlar 140, 141 integrasjonsgrense 120 integrere 109 K kalkulasjonsrente 42, 57 kjerne 67 kjerneregelen 67 ff, 98 – bevis for 70 kontinuerleg stokastisk variabel 185, 278 kontinuerleg vekst 149 ff konvergent rekke 51 ff, 57 kostnadsfunksjon – grense- 86 ff kumulativ fordeling 193, 261, 262 kvadrattala 7, 13 kvotient 32 ff, 36, 52, 56, 57 kvotientregelen 76 ff, 99 – bevis for 79 L ledd 8 ff logaritmefunksjon (ln x) 71, 72, logistisk funksjon 157, 179 logistisk vekst 157 ff, 179 – vekstfart 163 ff, 166, 179 M mothypotese 261 N normalfordeling 235 ff, 278, 279 – funksjonen 235 – gjennomsnitt 257 ff – hypotesetesting 267 ff – standard 240 ff – tabell 241, 278, 414, 415 – tilnærma 247, 249, 278 noverdi 42 ff, 57 – sum av 45 nullhypotese H0 261, 278 O overskot – funksjon 88 – størst verdi 89 ff

448

P P-verdi 261 polynomfunksjon – derivert 63 populasjon 257 produkt – derivasjon av 73, 99 – regelen 73 ff, 99 punktsannsyn 185 R rasjonal funksjon – derivert 76 ff rekke 14 ff, 56, 57 – aritmetisk 22 ff, 56 – divergent 51, 57 – endeleg 14, 57 – geometrisk 36 ff, 52, 57 – konvergent 51 ff, 57 – ledd 14 – sum 22, 36, 56, 57 – uendeleg 14, 51 ff, 56, 57 rektangeltal 7, 13 rekursiv formel 9, 19, 32 rente 25 – annuitetslån 47 ,57 – kalkulasjons- 42, 57 – serielån 25 ff, 56 S samla resultat 148 ff, 179 samansett funksjon 67 sannsyn – i binomisk fordeling 191 ff, 223 – i hypergeometrisk fordeling 196 ff – i normalfordeling 235 ff, 240 ff – i stokastisk forsøk 231 ff – punkt- 185, sannsynsfordeling 185 ff, 222 sannsynstettleik 230, 231, sentralgrensesetninga 253 ff, 254, 279 serielån 25, 26, 56 – avdrag 26, 57 – rente 25 ff, 56 – terminbeløp 25 signifikansnivå 261 spreiingsmål 208 standard normalfordeling 240 ff, 278 – tabell 241, 414, 415 standardavvik 207 ff, 208, 209, 222, 278, 279 stikkprøve 257

stokastisk forsøk 185 ff, 222 stokastisk variabel 185 ff, 222 – forventningsverdi 202 – reknereglar 213 ff, 222, 223 – standardavvik 209 – uavhengig 214 – varians 209 substitusjon 167 sum – aritmetisk rekke 22 ff, 56 – geometrisk rekke 36 ff, 57 – rekke 14 ff, 22 ff, 36 ff, 56, 57 – uendeleg geometrisk rekke 51 ff, 57 T talfølge 8 ff, 56, 57 talmengde 8 termin 25 terminbeløp 25 – annuitetslån 42 – serielån 25 test – dobbeltsidig 274 – høgresidig 265, 275 – observator 261 – venstresidig 264, 274 tilnærma normalfordelt 247, 249 trekanttal 8, 12 U uavhengig stokastisk variabel 214 uendeleg – følge 14 – geometrisk rekke 51, 52, 57 – rekke 14, 56 utfall 185 utfallsrom 185, 222 utval 257 V variabel – diskret (stokastisk) 185 – kontinuerleg (stokastisk) 185 – stokastisk 185 variabelskifte 167 ff, 179 varians 207 ff, 208, 222, 223 – binomisk fordeling 219 ff – reknereglar 209, 214, 215, 218 vekstfart 63 – ved logistisk vekst 163 ff, 166, 179 venstresidig test 265, 274 Y ytre funksjon 67